А. Д. АЛЕКСАНДРОВ

Избранные труды

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СТАТЬИ РАЗНЫХ ЛЕТ

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ

Избранные труды

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ СТАТЬИ РАЗНЫХ ЛЕТ

Санкт-Петербург

СМИО Пресс

2016

УДК 51(0.1) + 514 ББК 22.1 А 46

Составители:

доктор физ.-мат. наук, проф. А. Л. Вернер,

Народный учитель России, кандидат пед. наук В. И. Рыжик

Александров А. Д.

A46 Педагогические статьи разных лет. СПб: СМИО Пресс, 2016. - 216 с.

ISBN 978-5-7704-0317-6

Академик А. Д. Александров (1912—1999) не только выдающийся математик XX века, но и замечательный педагог. Он является автором учебников по геометрии, как для вузов так и для школьников. В данный том его избранных трудов включены наиболее значительные статьи, посвященные различным аспектам преподавания геометрии в школе. Книга будет полезна преподавателям математики, школьникам, студентам и аспирантам педагогических институтов и университетов.

© Александров А. Д., 2016 ISBN 978-5-7704-0317-6 © Оформление, СМИО Пресс, 2016

Макет изготовлен в ИПК «КОСТА» Директор издательства И. С. Морозова

Издательство «СМИО Пресс» Санкт-Петербург, ул. Седова, д. 97, к. 3, лит. А. Тел. (812) 976-94-76, тел. (911) 290-90-26, (962) 722-46-55, e-mail: smiopress@mail.ru, http://www.smio.ru

Подписано в печать 7 апреля 2016 г. Формат 70x100 Vi6-Печать офсетная. Гарнитура школьная. Тираж 400 экз. Уч.-изд. л. 15, 6. Бумага офсетная. Заказ №

Отпечатано в ИПК «БИОНТ» 199106, Санкт-Петербург, Средний пр. ВО, д. 86. Тел. (812) 322-68-43, (812) 320-52-85, e-mail: biontll@mail.ru, http://biont.spb.ru.

Предисловие

Вклад академика А. Д. Александрова, крупнейшего геометра современности, в школьное математическое (и, прежде всего, геометрическое) образование, его педагогические идеи востребованы самой педагогической реальностью.

Об отличии александровского понимания школьного курса геометрии от понимания его авторами многих других школьных учебников говорят уже форзацы написанных им учебников: на них Парфенон, решетка Летнего сада, храм Покрова на Нерли, спираль ДНК и слова: «Окружающий нас мир — это мир геометрии».

Во введении учебника стереометрии про геометрию им сказано так:

«Своеобразие геометрии, выделяющее ее среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.

Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих двух сторон, нет и подлинной геометрии.

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины — «лед и пламень не столь различны меж собой». Так геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так ее и надо изучать: соединяя живость воображения с логикой, наглядные картины — со строгими формулировками и доказательствами».

Ранее он писал: «И сказочный великан, и мальчик-с-пальчик со школьной парты, чтобы поспевать за наукой, должны получить волшебные сапоги усовершенствованного обучения, а не безумный совет идти в истоптанных башмаках протоптанными тропами. Иначе они рискуют достичь цели к старости. … Образование должно быть эффективным и экономичным. Какого бы материального благосостояния ни достигло общество, всегда будет необходимость экономии сил и времени человека, чтобы он мог отдать их творческой работе с наибольшей пользой для народа и удовлетворением для себя».

Именно такой усовершенствованный курс элементарной геометрии был разработан А.Д. Александровым в 1979–1983 гг. Этот курс, с одной стороны, сохранил евклидовский дух геометрии, а с другой — сделал ее более современной. Стремясь к экономии сил и времени ученика, призы-

вая освободить основную линию курса геометрии от второстепенных понятий и теорем, Александр Данилович одновременно и в учебниках, и в публицистических статьях говорил о том, что геометрия интересна, но изучение ее требует труда, и добавлял: «Но ведь мало что значительное оказывается легко доступным».

Учебники геометрии Александрова заговорили с учениками живо, образно, интересно. Их можно просто читать, и даже с удовольствием, а не только «разбирать» и «заучивать». Кажется, впервые был сделан важный шаг — школьный учебник сблизился с научно-популярной литературой. Эти учебники беседуют с учениками, отдельные их пункты (например, «Роль аксиом», «О значении перпендикуляра», «О роли понятия выпуклости в современной математике и его применения» ит.п.).раскрывают смысл вводимых понятий, и, тем самым, мотивируется важность изучаемого.

В статье «Что такое многогранник?» А.Д. Александров формулирует принципы преподавания геометрии. Первый принцип состоит в том, что каждый элемент курса нужно начинать с возможно более простого и наглядного, с того, что можно нарисовать на доске и показать на моделях, на реальных предметах, насколько это только возможно.

Александр Данилович не раз говорил, что не видит смысла в том, чтобы школьники знакомились с основаниями теории на уровне, который был неизвестен Гауссу, Лобачевскому или Риману, имея в виду аксиомы порядка и непрерывности.

В связи с известным доказательством теоремы Пифагора Александр Данилович писал: «Теорема Пифагора замечательна еще и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: a2 + b2= c2… В этом и состоит самый лучший математический стиль: посредством остроумного построения, приема или соображения сделать неочевидное очевидным».

Работу над школьными учебниками геометрии А. Д. Александров начинал в 1979 году с учебника стереометрии. Поскольку уже в те годы в школах СССР работа велась по разным учебникам планиметрии, то курс стереометрии Александр Данилович строит так, что плоскость в пространстве определяется как фигура, на которой выполняется планиметрия. Как построена планиметрия для дальнейшего изучения стереометрии — не важно; важно, что можно на плоскости использовать все результаты планиметрии — теоремы о треугольниках, окружностях и т.п.

Для всех александровских учебников характерен серьезный разговор с учеником, выдержанность единого уровня логической строгости, причастность школьного курса к современной математике, дифференциро-

ванность курса, связь курса геометрии с другими разделами науки, с практикой. То, что теперь именуют гуманизацией и гуманитаризацией, уже есть в этих учебниках — геометрия представлена в них как соединение классических и современных идей, как необходимый элемент общей культуры человечества.

Почти полвека Александр Данилович был автором журнала «Математика в школе». Вот перечень его статей, опубликованных в этом журнале:

1. Что такое топология. 1946, № 1, стр. 7–9.

2. Математика и диалектика. 1972, № 1, стр. 3–9, № 2, стр. 4–10.

3. О геометрии. 1980, № 3, стр. 56–62.

4. Что такое многогранник? 1981, № 1, стр. 8–16, № 2, стр. 19–25.

5. О пробном учебнике «Начала стереометрии» (совместно с А.Л. Вернером и В.И. Рыжиком). 1982, № 4, стр. 53–58.

6. О понятии множества в курсе геометрии. 1984, № 1, стр. 47–52.

7. Что же такое вектор? 1984, № 5, стр. 39–45.

8. О строгости изложения в учебном пособии А. В. Погорелова. 1985, № 5, стр. 64–68.

9. Диалектика геометрии. 1986, № 1, стр. 12–19.

10. Пути развития школы. 1987, № 5, стр. 9–14.

11. Об основаниях геометрии. 1990, № 3, стр. 70–71.

12. Теория относительности. 1991, № 3, стр. 4–8.

13. О геометрии Лобачевского. 1993, № 2, стр. 2–7, № 3, стр. 2–5.

Перечитывая эти статьи, убеждаешься в том, что ни одна из них не устарела и в них говорится об очень актуальных и сегодня вещах. Например, о программах в статье «Пути развития школы» (1987 год)сказано:

«Однако остается настоятельная необходимость их усовершенствования по крайней мере в двух направлениях. Во-первых, сделать программный материал более интересным и содержательным и исключить второстепенные формальные вопросы (вроде внутреннего строения рака, ряда химических реакций или искусственных уравнений в алгебре). Во-вторых, необходимо дифференцировать материал, разделив его на: 1) обязательный для всех минимум, доступный подавляющему большинству учащихся, но сохраняющий самые существенные элементы курса, и 2) дополняющий его материал, предназначенный более слабым только для ознакомления, а более сильным и интересующимся предметом учащимся — для овладения». (МШ, 1987, № 3, стр. 9).

Среди написанного А.Д. Александровым для учителей — целая серия статей глубокого философского содержания о сущности математики и, в том числе, геометрии. Стремясь оградить преподавание математики в школе от больших (и распространенных) опасностей — от формализма,

от отрыва от практики, Александр Данилович много и подробно пишет о диалектике математики и в особенности геометрии, о ее противоречивой сущности. Вот как об этом он говорит в статье «Диалектика геометрии» (1986 год):

«Так всякая теорема геометрии, отнесенная к реальности, выражает закон природы и может быть неточной: совершенно точной она является только как вывод из аксиом, но тогда отвлеченной от реальности. Заостряя, можно сказать: либо смысл — и тогда неточность, либо точность, но тогда отказ от смысла. …

Всякая теория чистой математики, взятая именно в этом качестве чисто математической теории, является системой логических выводов, и ее собственная математическая истинность состоит только в ее непротиворечивости. Но вместе с тем она имеет смысл и значение только в меру того, насколько так или иначе, прямо или косвенно через другие теории она служит познанию действительности и овладению ею в практике…

Наука, восходя к абстракциям и тем непосредственно удаляясь от действительности, обретает возможность проникать в нее глубже и разностороннее».

Курс математики в школе непрерывно обновляется. О том, что школьный курс геометрии должен быть причастен к современной науке, Александр Данилович говорил и писал неоднократно, а потому и учителя должны знать о новых разделах геометрии. Именно об этом его первая статья в МШ «Что такое топология?» (а ведь в то время о топологии не говорилось в курсах геометрии не только пединститутов, но и университетов). Об этом же и его последние статьи в МШ: «Теория относительности» и «О геометрии Лобачевского».

В школьном курсе геометрии есть «болевые точки»: уровень строгости курса, соответствие наглядных представлений с точностью формулировок, подход к изложению новых разделов курса (например, к теории векторов)или употреблению общематематических понятий (например, понятия множества) ит.п. На все вопросы, которые могут возникнуть у учителей по этим проблемам, они могут найти обстоятельные ответы в соответствующих статьях А.Д. Александрова в МШ.

Хочется надеяться, что статьи академика А. Д. Александрова будут изданы отдельной книгой, что было бы хорошим подарком российским учителям.

Частично данное издание восполняет этот пробел.

ГЕОМЕТРИЯ

Статья из Математического энциклопедического словаря (М.: Сов. энциклопедия, 1988)

Геометрия (греч. γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) — часть математики, изучающая пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

Происхождение термина «геометрия», что буквально означает «землемерие», можно объяснить следующими словами, приписываемыми Евдему Родосскому (IV в. до н.э.): «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие развития Нила, постоянно смывавшего границы». Уже у древних греков геометрия означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введен термин «геодезия». Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, геометрия развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объемов и площадей при земляных и строительных работах и т. п.

Первоначальные понятия геометрии возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» ит.п. Вторые выражаются в понятиях «больше», «меньше», в понятии о равенстве тел.

Путем такого же отвлечения возникает понятие геометрического тела. Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом геометрия, как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределенности и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определенными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, например, в определениях, данных Евклидом: «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех

размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность.

Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением геометрии как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в геометрии, и есть пространственная форма (поэтому в геометрии говорят, например, «шар», а не «тело шарообразной формы»); расположение и размеры определяются пространственными отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в геометрии, также есть некоторое отношение между двумя фигурами — данной и той, в которую она преобразуется. В современном, более общем смысле геометрия объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к геометрии определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдаленным) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе геометрии в первоначальном ее значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения ее понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики, и ее границы не являются точными. См. ниже — разделы Обобщение предмета геометрии и Современная геометрия.

Развитие геометрии

В развитии геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

Первый период — зарождение геометрии как математической науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н.э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки геометрии, дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к XVII в. до н.э., но и оно, несомненно, не первое. Геометрические сведения того периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению некоторых площадей и объемов. Они излагались в виде правил, по-видимому, в большей мере эмпирического происхождения, логические же доказательства были,

вероятно, еще очень примитивными. Геометрия, по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в VII в. до н.э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путем накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приемов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве.

Этот процесс привел, наконец, к качественному скачку. Геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические ее изложения, где ее предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития геометрии. Известны упоминания систематического изложения геометрии, среди которых данное в V в. до н.э. Гиппократом Хиосским. Сохранились же и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 г. до н.э. «Начала» Евклида. Здесь геометрия представлена так, как ее в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией: это — наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений — аксиом и основных пространственных представлений. Геометрию, развиваемую на тех же основаниях (аксиомах),даже уточненную и обогащенную как в предмете, так и в методах исследования, называют евклидовой геометрией. Еще в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объемов (Архимед, III в. до н.э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский, III в. до н.э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх, II в. до н.э.) и геометрия на сфере (Менелай, I в. н.э.).Упадок античного общества привел к сравнительному застою в развитии геометрии, однако она продолжала развиваться в Индии, Средней Азии, странах арабского Востока.

Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет геометрии. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине XVII в. Р. Декартом, который ввел в геометрию метод координат, позволивший связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную. Г. перешла на качественно новую ступень по сравнению с Г. древних: в ней рассматриваются гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. С этого времени начинается третий период развития геометрии. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, воз-

никшая в XVIII в. в результате работ Л. Эйлера, Г. Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т.е. их непрерывные совокупности) и преобразования (понятию «дифференциальная геометрия» придается теперь часто более общий смысл, о чем см. в разделе Современная геометрия). Ее название связано в основном с ее методом, исходящим из дифференциального исчисления. К 1-й половине XVII в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; ее первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений геометрии были даны в XVIII—начале XIX в. Л. Эйлером для аналитической геометрии (1748),Г. Монжем для дифференциальной (1795), Ж. Понселе для проективной геометрии (1822), причем само учение о геометрическом изображении (в прямой связи с задачами черчения) было еще раньше (1799) развито и приведено в систему Г. Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия)геометрии оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.

Четвертый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского. Независимо от Н. И. Лобачевского в 1832 г. ту же геометрию построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал их). Источник, сущность и значение идеи Н. И. Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной». Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Н. И. Лобачевский пришел к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Н. И. Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям геометрии приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову геометрию. Заслуга Н.И. Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил новую геометрию, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на ее несоответствие обычным наглядным представлениям.

Н.И. Лобачевский рассматривал геометрию как возможную теорию пространственных отношений, однако она оставалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868 г.) ее реальный смысл и тем самым было сделано ее полное обоснование (см. раздел Истолкование геометрии).

Переворот в геометрии, произведенный Н. И. Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, недаром Н.И. Лобачевский был назван «Коперником геометрии». В его идеях были намечены три принципа, определивших новое развитие геометрии. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова, но и другие геометрии. Второй принцип — это принцип самого построения новых геометрических теорий путем видоизменения и обобщения основных положений евклидовой геометрии. Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физическими исследованиями, и не исключено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евклидовой геометрии. Современная физика подтвердила это. Однако от этого теряется математическая точность евклидовой геометрии, т.к. она определяется логической состоятельностью (непротиворечивость) этой геометрии. Точно так же в отношении любой геометрической теории нужно различать их физическую и математическую истинность: первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая — в логической непротиворечивости. Н. И. Лобачевский дал, таким образом, материалистическую установку философии математики. Перечисленные общие принципы сыграли важную роль не только в геометрии, но и в математике вообще, в развитии ее аксиоматического метода, в понимании ее отношения к действительности.

Главная особенность нового периода в истории геометрии, начатого Н.И. Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета геометрии; возникает понятие о разного рода пространствах (термин «пространство» имеет в науке два смысла; с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой — абстрактное «математическое пространство»). При этом одни теории складывались внутри евклидовой геометрии в виде ее особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. (Так складывались проективная аффинная, конформная геометрия и др., предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих проективных, аффинных, конформных и др. преобразованиях.)Возникло понятие проективного, аффинного, конформного пространства: сама евклидова геометрия стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной геометрии. Другие теории, подобно геометрии

Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой Г. Так создавалась, например, многомерная геометрия; первые относящиеся к ней работы (Г. Грасман и А. Кэли, 1844) представляли формальное обобщение обычной аналитической геометрии с трех координат на n. Некоторый итог развития всех этих новых «геометрий» подвел Ф. Клейн в 1872 г., указав общий принцип их построения (см. Эрлангенская программа).

Принципиальный шаг был сделан Б. Риманом (лекция 1854 г., опубликована в 1868 г.). Во-первых, он ясно сформулировал обобщенное понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений (см. раздел Обобщение предмета геометрии).Во-вторых, он ввел понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами (подобно измерению длины линии очень малым масштабом). Отсюда развилась обширная область геометрии, так называемая риманова геометрия и ее обобщения, нашедшая важные приложения в теории относительности, механике и пр.

В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и которые тем самым сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. В XX в. топология развилась в самостоятельную дисциплину.

Так геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т.д.) и фигуры в этих пространствах.

Одновременно с развитием новых геометрических теорий велась разработка уже сложившихся областей евклидовой геометрии — элементарной, аналитической и дифференциальной геометрий. Вместе с тем в евклидовой геометрии появились новые направления. Предмет геометрии расширился и в том смысле, что расширился круг исследуемых фигур, круг изучаемых их свойств, расширилось само понятие о фигуре. На стыке анализа и геометрии возникла в 70-х гг. XIX в. общая теория точечных множеств, которая, однако, уже не причисляется к геометрии, а составляет особую дисциплину — теорию множеств. Фигура стала определяться в геометрии как множество точек. Развитие геометрии было тесно связано с глубоким анализом тех свойств пространства, которые лежат в основе евклидовой геометрии. Иными словами, оно было связано с уточнением оснований самой евклидовой геометрии. Эта работа привела в конце XIX в. (Д. Гильберт и др.) к точной формулировке аксиом евклидовой геометрии, а также других «геометрий».

Обобщение предмета геометрии

Возможность обобщения и видоизменения геометрических понятий легче всего уяснить на примере. Так, на поверхности шара можно соединять точки кратчайшими линиями — дугами больших кругов, можно измерять углы и площади, строить различные фигуры. Их изучение составляет предмет геометрии на сфере, подобно тому как планиметрия есть геометрия на плоскости; геометрия на земной поверхности близка к геометрии на сфере. Законы геометрии на сфере отличны от законов планиметрии; так, например, длина окружности здесь не пропорциональна радиусу, а растет медленнее и достигает максимума для экватора; сумма углов треугольника на сфере непостоянна и всегда больше двух прямых. Аналогично можно на любой поверхности проводить линии, измерять их длины, углы между ними, определять ограниченные ими площади. Развиваемая так геометрия на поверхности называется ее внутренней геометрией (К. Гаусс, 1827). На неравномерно изогнутой поверхности соотношения длин и углов будут различными в разных местах, следовательно, она будет геометрически неоднородной в отличие от плоскости и сферы. Возможность получения разных геометрических соотношений наводит на мысль, что свойства реального пространства могут лишь приближенно описываться обычной геометрией. Эта идея, впервые высказанная Н. И. Лобачевским, нашла подтверждение в общей теории относительности.

Более широкая возможность обобщения понятий геометрии выясняется из следующего рассуждения. Обычное реальное пространство понимают в геометрии как непрерывную совокупность точек, т.е. всех возможных предельно точно определенных местоположений предельно малого тела. Аналогично непрерывную совокупность возможных состояний какой-либо материальной системы, непрерывную совокупность каких-либо однородных явлений можно трактовать как своего рода «пространство». Вот один из примеров. Опыт показывает, что нормальное человеческое зрение трехцветно, т. е. всякое цветовое ощущение Ц есть комбинация — сумма трех основных ощущений: красного К, зеленого З и синего С с определенными интенсивностями. Обозначая эти интенсивности в некоторых единицах через х, у, z, можно написать Ц = хК + уЗ + zС. Подобно тому как точку можно двигать в пространстве вверх и вниз, вправо и влево, вперед и назад, так и ощущение цвета Ц может непрерывно меняться в трех направлениях с изменением составляющих его частей — красного, зеленого и синего. По аналогии можно сказать, что совокупность всех цветов есть трехмерное пространство —«пространство цветов». Непрерывное изменение цвета можно изображать как линию в этом простран-

стве. Далее, если даны два цвета, например красный К и белый Б, то, смешивая их в разных пропорциях, получают непрерывную последовательность цветов, которую можно назвать прямолинейным отрезком КБ. Представление о том, что розовый цвет Р лежит между красным и белым и что более густой розовый лежит ближе к красному, не требует разъяснения. Таким образом, возникают понятия о простейших «пространственных» формах (линия, отрезок) и отношениях (между, ближе)в пространстве цветов. Далее, можно ввести точное определение расстояния (например, по числу порогов различения, которое можно проложить между двумя цветами), определить поверхности и области цветов, подобно обычным поверхностям и геометрическим телам, ит.д. Так возникает учение о пространстве цветов, которое путем обобщения геометрических понятий отражает реальные свойства цветового зрения человека.

Другой пример. Состояние газа, находящегося в цилиндре под поршнем, определяется давлением и температурой. Совокупность всех возможных состояний газа можно представлять поэтому как двумерное пространство. «Точками» этого «пространства» служат состояния газа; «точки» различаются двумя «координатами»— давлением и температурой, подобно тому, как точки на плоскости различаются значениями их координат. Непрерывное изменение состояния изображается линией в этом пространстве.

Далее, можно представить себе любую материальную систему — механическую или физико-химическую. Совокупность всех возможных состояний этой системы называют «фазовым пространством». «Точками» этого пространства являются сами состояния. Если состояние системы определяется n величинами, то говорят, что система имеет n степеней свободы. Эти величины играют роль координат точки — состояния, как в примере с газом роль координат играли давление и температура. В соответствии с этим такое фазовое пространство системы называют n-мерным. Изменение состояния изображается линией в этом пространстве; отдельные области состояний, выделяемые по тем или иным признакам, будут областями фазового пространства, а границы областей — поверхностями в этом пространстве. Если система имеет только две степени свободы, то ее состояния можно изображать точками на плоскости. Так, состояние газа с давлением р и температурой Т изобразится точкой с координатами р и Т, а процессы, происходящие с газом, изобразятся линиями на плоскости. Этот метод графического изображения общеизвестен и постоянно используется в физике и технике для наглядного представления процессов и их закономерностей. Но если число степеней свободы больше трех, то простое графическое изображение (даже в пространстве)становится невозможным. Тогда, чтобы сохранить полезные геометриче-

ские аналогии, прибегают к представлению об абстрактном фазовом пространстве. Так наглядные графические методы перерастают в это абстрактное представление.

Метод фазовых пространств широко применяется в механике, теоретической физике и физической химии. В механике движение механической системы изображают движением точки в ее фазовом пространстве. В физической химии особенно важно рассматривать форму и взаимное прилегание тех областей фазового пространства системы из нескольких веществ, которые соответствуют качественно различным состояниям. Поверхности, разделяющие эти области, суть поверхности переходов от одного качества к другому (плавление, кристаллизация и т.п.). В самой геометрии также рассматривают абстрактные пространства, «точками» которых служат фигуры; так определяют «пространства» кругов, сфер, прямых и т.п. В механике и теории относительности вводят также абстрактное четырехмерное пространство, присоединяя к трем пространственным координатам время в качестве четвертой координаты. Это означает, что события нужно различать не только по положению в пространстве, но и во времени.

Таким образом, становится понятным, как непрерывные совокупности тех или иных объектов, явлений, состояний могут подводиться под обобщенное понятие пространства. В таком пространстве можно проводить «линии», изображающие непрерывные последовательности явлений (состояний), проводить «поверхности» и определять подходящим образом «расстояния» между «точками», давая тем самым количественное выражение физического понятия о степени различия соответствующих явлений (состояний), ит. п. Так по аналогии с обычной геометрией возникает «геометрия» абстрактного пространства; последнее может даже мало походить на обычное пространство, будучи, например, неоднородным по своим геометрическим свойствам и конечным, подобно неравномерно искривленной замкнутой поверхности.

Предметом геометрии в обобщенном смысле оказываются не только пространственные формы и отношения, но любые формы и отношения, которые, будучи взяты в отвлечении от своего содержания, оказываются сходными с обычными пространственными формами и отношениями. Эти пространственноподобные формы действительности называют «пространствами» и «фигурами». Пространство в этом смысле есть непрерывная совокупность однородных объектов, явлений, состояний, которые играют роль точек пространства, причем в этой совокупности имеются отношения, сходные с обычными пространственными отношениями, как, например, расстояние между точками, равенство фигур и т.п. (фигура — вообще часть пространства). Геометрия рассматривает эти формы действитель-

ности в отвлечении от конкретного содержания, изучение же конкретных форм и отношений в связи с их качественно своеобразным содержанием составляет предмет других наук, а геометрия служит для них методом. Примером может служить любое приложение абстрактной геометрии, хотя бы указанное выше применение n-мерного пространства в физической химии. Для геометрии характерен такой подход к объекту, который состоит в обобщении и перенесении на новые объекты обычных геометрических понятий и наглядных представлений. Именно это и делается в приведенных выше примерах пространства цветов и др. Этот геометрический подход вовсе не является чистой условностью, а соответствует самой природе явлений. Но часто одни и те же реальные факты можно изображать или аналитически, или геометрически, так же, как одну и ту же зависимость можно задавать уравнением или линией на графике.

Не следует, однако, представлять развитие геометрии так, что она лишь регистрирует и описывает на геометрическом языке уже встретившиеся на практике формы и отношения, подобные пространственным. В действительности геометрия определяет широкие классы новых пространств и фигур в них, исходя из анализа и обобщения данных наглядной геометрии и уже сложившихся геометрических теорий. При абстрактном определении эти пространства и фигуры выступают как возможные формы действительности. Они, стало быть, не являются чисто умозрительными конструкциями, а должны служить, в конечном счете, средством исследования и описания реальных фактов. Н.Н. Лобачевский, создавая свою геометрию, считал ее возможной теорией пространственных отношений. И так же как его геометрия получила обоснование в смысле ее логической состоятельности и применимости к явлениям природы, так и всякая абстрактная геометрическая теория проходит такую же двойную проверку. Для проверки логической состоятельности существенное значение имеет метод построения математических моделей новых пространств. Однако окончательно укореняются в науке только те абстрактные понятия, которые оправданы и построением искусственной модели, и применениями если не прямо в естествознании и технике, то хотя бы в других математических теориях, через которые эти понятия так или иначе связываются с действительностью. Легкость, с которой математики и физики оперируют теперь разными «пространствами», достигнута в результате долгого развития геометрии в тесной связи с развитием математики в целом и других точных наук. Именно вследствие этого развития сложилась и приобрела большое значение вторая сторона геометрии, указанная в общем определении, данном в начале статьи: включение в геометрию исследования форм и отношений, сходных с формами и отношениями в обычном пространстве.

В качестве примера абстрактной геометрической теории можно рассмотреть геометрию n-мерного евклидова пространства. Она строится путем простого обобщения основных положений обычной геометрии, причем для этого имеется несколько возможностей: можно, например, обобщать аксиомы обычной геометрии, но можно исходить и из задания точек координатами. При втором подходе n-мерное пространство определяют как множество каких-либо элементов-точек, задаваемых (каждая) n числами x1, х2, …, хn, расположенными в определенном порядке,— координатами точек. Далее, расстояние между точками Х(x1, x2, …, xn) и Y(y1, y2, …, yn) определяется формулой

что является прямым обобщением известной формулы для расстояния в трехмерном пространстве. Движение определяют как преобразование фигуры, которое не изменяет расстояния между ее точками. Тогда предмет n-мерной геометрии определяется как исследование тех свойств фигур, которые не меняются при движениях. На этой основе легко вводятся понятия о прямой, о плоскостях различного числа измерений от двух до n – 1, о шаре и т.д. Таким образом складывается богатая содержанием теория, во многом аналогичная обычной евклидовой геометрии, но во многом и отличная от нее. Нередко бывает, что результаты, полученные для трехмерного пространства, легко переносятся с соответствующими изменениями на пространство любого числа измерений. Например, теорема о том, что среди всех тел одинакового объема наименьшую площадь поверхности имеет шар, читается дословно также в пространстве любого числа измерений [нужно лишь иметь в виду n-мерный объем, (n – 1)-мерную площадь и n-мерный шар, которые определяются вполне аналогично соответствующим понятиям обычной геометрии]. Далее, в n-мерном пространстве объем призмы равен произведению площади основания на высоту, а объем пирамиды — такому произведению, деленному на n. Такие примеры можно продолжить. С другой стороны, в многомерных пространствах обнаруживаются также качественно новые факты.

Истолкования геометрии

Одна и та же геометрическая теория допускает разные приложения, разные истолкования (осуществления, модели или интерпретации). Всякое приложение теории и есть не что иное, как осуществление некоторых ее выводов в соответствующей области явлений.

Возможность разных осуществлений является общим свойством всякой математической теории. Так, арифметические соотношения реализуются

на самых различных наборах предметов; одно и то же уравнение описывает часто совсем разные явления. Математика рассматривает лишь форму явления, отвлекаясь от его содержания, а с точки зрения формы многие качественно различные явления оказываются часто сходными. Разнообразие приложений математики, и в частности геометрии, обеспечивается именно ее абстрактным характером. Считают, что некоторая система объектов (область явлений) дает осуществление теории, если отношения в этой области объектов могут быть описаны на языке теории так, что каждое утверждение теории выражает тот или иной факт, имеющий место в рассматриваемой области. В частности, если теория строится на основе некоторой системы аксиом, то истолкование этой теории состоит в таком сопоставлении ее понятий с некоторыми объектами и их отношениями, при котором аксиомы оказываются выполненными для этих объектов.

Евклидова геометрия возникла как отражение фактов действительности. Ее обычная интерпретация, в которой прямыми считаются натянутые нити, движением — механическое перемещение и т.д, предшествует геометрии как математической теории. Вопрос о других интерпретациях не ставился и не мог быть поставлен, пока не выявилось более абстрактное понимание геометрии. Н.И. Лобачевский создал неевклидову геометрию как возможную геометрию, и тогда возник вопрос о ее реальном истолковании. Эта задача была решена Э. Бельтрами (1868), который заметил, что геометрия Лобачевского совпадает с внутренней геометрией поверхностей постоянной отрицательной кривизны, т. е. теоремы геометрии Лобачевского описывают геометрические факты на таких поверхностях (при этом роль прямых выполняют геодезические линии, а роль движений — изгибания поверхностей на себя). Поскольку вместе с тем такая поверхность есть объект евклидовой геометрии, оказалось, что геометрия Лобачевского истолковывается в понятиях геометрии Евклида. Тем самым была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, так как противоречие в ней в силу указанного истолкования влекло бы противоречие в геометрии Евклида.

Таким образом, выясняется двоякое значение истолкования геометрической теории — физическое и математическое. Если речь идет об истолковании на конкретных объектах, то получается опытное доказательство истинности теории (конечно, с соответствующей точностью); если же сами объекты имеют абстрактный характер (как геометрическая поверхность в рамках геометрии Евклида), то теория связывается с другой математической теорией, в данном случае с евклидовой геометрией, а через нее — с суммированными в ней опытными данными. Такое истолкование одной математической теории посредством другой стало математическим мето-

дом обоснования новых теорий, приемом доказательства их непротиворечивости, поскольку противоречие в новой теории порождало бы противоречие в той теории, в которой она интерпретируется. Но теория, посредством которой производится истолкование, в свою очередь нуждается в обосновании. Поэтому указанный математический метод не снимает того, что окончательным критерием истины для математических теорий остается практика. В настоящее время геометрические теории чаще всего истолковывают аналитически; например, точки на плоскости Лобачевского можно связывать с парами чисел х и у, прямые — определять уравнениями и т.п. Этот прием дает обоснование теории потому, что сам математический анализ обоснован в конечном счете огромной практикой его применения.

Современная геометрия

Принятое в современной математике формально-математическое определение понятий пространства и фигуры исходит из понятия множества. Пространство определяется как множество каких-либо элементов («точек») с условием, что в этом множестве установлены некоторые отношения, сходные с обычными пространственными отношениями. Множество цветов, множество состояний физической системы, множество непрерывных функций, заданных на отрезке [0, 1], ит.п. образуют пространства, где точками будут цвета, состояния, функции. Точнее, эти множества понимаются как пространства, если в них фиксируются только соответствующие отношения, например расстояние между точками, и те свойства и отношения, которые через них определяются. Так, расстояние между функциями можно определить как максимум абсолютной величины их разности: max|f(x) – g(x)|. Фигура определяется как произвольное множество точек в данном пространстве. Иногда пространство — это система из множеств элементов. Например, в проективной Г. принято рассматривать точки, прямые и плоскости как равноправные исходные геометрические объекты, связанные отношениями «принадлежности».

Основные типы отношений, которые в разных комбинациях приводят ко всему разнообразию «пространств» современной геометрии, следующие.

1) Общими отношениями, имеющимися во всяком множестве, являются отношения принадлежности и включения: точка принадлежит множеству, и одно множество есть часть другого. Если приняты во внимание только эти отношения, то в множестве не определяется еще никакой «геометрии», оно не становится пространством. Однако если выделены некоторые специальные фигуры (множества точек), то «геометрия»

пространства может определяться законами связи точек с этими фигурами. Такую роль играют аксиомы принадлежности в элементарной, аффинной, проективной геометрии; здесь специальными множествами служат прямые и плоскости.

Тот же принцип выделения некоторых специальных множеств позволяет определить понятие топологического пространства — пространства, в котором в качестве специальных множеств выделены «окрестности» точек (с условием, что точка принадлежит своей окрестности и каждая точка имеет хотя бы одну окрестность; наложение на окрестности дальнейших требований определяет тот или иной тип топологических пространств). Если всякая окрестность заданной точки имеет общие точки с некоторым множеством, то такая точка называется точкой прикосновения этого множества. Два множества можно назвать соприкасающимися, если хотя бы одно из них содержит точки прикосновения другого; пространство или фигура будет непрерывной, или, как говорят, связной, если ее нельзя разбить на две несоприкасающиеся части; преобразование непрерывно, если оно не нарушает соприкосновений. Таким образом, понятие топологического пространства служит для математического выражения понятия непрерывности. [Топологическое пространство можно определить также другими специальными множествами (замкнутыми, открытыми) или непосредственно отношением прикосновения, при котором любому множеству точек ставятся в соответствие его точки прикосновения.] Топологические пространства как таковые, множества в них и их преобразования служат предметом топологии. Предмет собственно геометрии (в значительной ее части) составляет исследование топологических пространств и фигур в них, наделенных еще дополнительными свойствами.

2) Второй важнейший принцип определения тех или иных пространств и их исследования представляет введение координат. Многообразием называют такое (связное) топологическое пространство, в окрестности каждой точки которого можно ввести координаты, поставив точки окрестности во взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие с системами из n действительных чисел х1, х2, … хn. Число n есть число измерений многообразия. Пространства, изучаемые в большинстве геометрических теорий, являются многообразиями; простейшие геометрические фигуры (отрезки, части поверхностей, ограниченные кривыми, ит.п.) обычно — куски многообразий. Если среди всех систем координат, которые можно ввести в кусках многообразия, выделяются системы координат такого рода, что одни координаты выражаются через другие дифференцируемыми (то или иное число раз) или аналитическими функциями, то получают так называемое гладкое (аналитическое) многообра-

зие. Это понятие обобщает наглядное представление о гладкой поверхности. Гладкие многообразия как таковые составляют предмет дифференциальной топологии. В собственно геометрии они наделяются дополнительными свойствами. Координаты с принятым условием дифференцируемости их преобразований дают почву для широкого применения аналитических методов — дифференциального и интегрального исчисления, а также векторного и тензорного анализа. Совокупность теорий геометрии, развиваемых этими методами, образует общую дифференциальную геометрию; простейшим случаем ее служит классическая теория гладких кривых и поверхностей, которые представляют собой не что иное, как одно-и двумерные дифференцируемые многообразия.

3) Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит к общему принципу определения разных пространств, когда пространством считается множество элементов (точек), в котором задана группа взаимно однозначных преобразований этого множества на себя. «Геометрия» такого пространства состоит в изучении тех свойств фигур, которые сохраняются при преобразованиях из этой группы. Поэтому с точки зрения такой геометрии фигуры можно считать «равными», если одна переходит в другую посредством преобразования из данной группы. Например, евклидова геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, аффинная геометрия— свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, топология — свойства фигур, сохраняющиеся при любых взаимно однозначных и непрерывных преобразованиях. В эту же схему включаются геометрия Лобачевского, проективная геометрия и пр. Фактически этот принцип соединяется с введением координат. Пространство определяется как гладкое многообразие, в котором преобразования задаются функциями, связывающими координаты каждой данной точки и той, в которую она переходит (координаты образа точки задаются как функции координат самой точки и параметров, от которых зависит преобразование).

Поэтому общим аппаратом разработки таких «геометрий» служит теория непрерывных групп преобразований. Возможна другая, по существу эквивалентная, точка зрения, согласно которой задаются не преобразования пространства, а преобразования координат в нем, причем изучаются те свойства фигур, которые одинаково выражаются в разных системах координат. Эта точка зрения нашла применение в теории относительности, которая требует одинакового выражения физических законов в разных системах координат, называемых в физике системами отсчета.

4) Другой общий принцип определения пространств, указанный Б. Риманом (1854), исходит из обобщения понятия «расстояние». По Б. Риману,

пространство — это гладкое многообразие, в котором задан закон измерения расстояний, точнее длин, бесконечно малыми шагами, т. е. задается дифференциал длины дуги кривой как функция координат точки кривой и их дифференциалов. Это есть обобщение внутренней геометрии поверхностей, определенной К. Гауссом как учение о свойствах поверхностей, которые могут быть установлены измерением длин кривых на ней. Простейший случай представляют так называемые римановы пространства, в которых в бесконечно малом имеет место теорема Пифагора (т. е. в окрестности каждой точки можно ввести координаты так, что в этой точке квадрат дифференциала длины дуги будет равен сумме квадратов дифференциалов координат; в произвольных же координатах он выражается общей положительной квадратичной формой). Такое пространство, следовательно, евклидово в бесконечно малом, но в целом оно может быть не евклидовым, подобно тому как кривая поверхность лишь в бесконечно малом может быть сведена к плоскости с соответствующей точностью. Геометрии Евклида и Лобачевского оказываются частным случаем этой римановой геометрии. Наиболее широкое обобщение понятия расстояния привело к понятию общего метрического пространства как такого множества элементов, в котором задана «метрика», т.е. каждой паре элементов отнесено число — расстояние между ними, подчиненное только общим условиям. Эта идея играет важную роль в функциональном анализе и лежит в основе некоторых важнейших геометрических теорий, таких, как внутренняя геометрия негладких поверхностей и соответствующие обобщения римановой геометрии.

5) Соединение идеи Б. Римана об определении «геометрии» в бесконечно малых областях многообразия с определением «геометрии» посредством группы преобразований привело (Э. Картан, 1922–1925) к понятию о таком пространстве, в котором преобразования задаются лишь в бесконечно малых областях; иными словами, здесь преобразования устанавливают связь только бесконечно близких кусков многообразия: один кусок преобразуется в другой, бесконечно близкий. Поэтому говорят о пространствах со «связностью» того или иного типа. В частности, пространства с «евклидовой связностью» суть римановы. Дальнейшие обобщения восходят к понятию о пространстве как о гладком многообразии, на котором заданы вообще «поле» какого-либо «объекта», которым может служить квадратичная форма, как в римановой геометрии, совокупность величин, определяющих связность, тот или иной тензор и др. Сюда же можно отнести так называемые расслоенные пространства. Эти концепции включают, в частности, связанное с теорией относительности обобщение римановой геометрии, когда рассматриваются пространства, где метрика задается уже не положительной, а знакопеременной квадратичной фор-

мой (такие пространства также называют римановыми или псевдоримановыми, если хотят отличить их от римановых в первоначальном смысле). Эти пространства являются пространствами со связностью, определенной соответствующей группой, отличной от группы евклидовых движений.

На почве теории относительности возникла теория пространств, в которых определено понятие следования точек, так что каждой точке X отвечает множество V(X) следующих за нею точек. (Это является естественным математическим обобщением следования событий, определенного тем, что событие Y следует за событием X, если X воздействуют на Y, и тогда Y следует за X во времени в любой системе отсчета.) Так как само задание множеств Y определяет точки, следующие за X, как принадлежащие множеству V(X), определение этого типа пространств оказывается применением первого из перечисленных выше принципов, когда «геометрия» пространства определяется выделением специальных множеств. Конечно, при этом множества V должны быть подчинены соответствующим условиям; в простейшем случае — это выпуклые конусы. Эта теория включает теорию соответствующих псевдоримановых пространств.

6) Аксиоматический метод в его чистом виде служит теперь либо для оформления уже готовых теорий, либо для определения общих типов пространств с выделенными специальными множествами. Если же тот или иной тип более конкретных пространств определяют, формулируя их свойства как аксиомы, то используют либо координаты, либо метрику и др. Непротиворечивость и тем самым осмысление аксиоматической теории проверяется указанием модели, в которой она реализуется, как это впервые было сделано для геометрии Лобачевского. Сама модель строится из абстрактных математических объектов, поэтому «окончательное обоснование» любой геометрической теории уходит в область оснований математики вообще, которые не могут быть окончательными в полном смысле, но требуют углубления (см. Аксиоматический метод).

Перечисленные принципы в разных сочетаниях и вариациях порождают обширное разнообразие геометрических теорий. Значение каждой из них и степень внимания к ее задачам определяются содержательностью этих задач и получаемых результатов, ее связями с другими теориями геометрии, с другими областями математики, с точным естествознанием и задачами техники. Каждая данная геометрическая теория определяется среди других геометрических теорий, во-первых, тем, какое пространство или какого типа пространства в ней рассматриваются. Во-вторых, в определение теории входит указание на исследуемые фигуры. Так, различают теории многогранников, кривых, поверхностей, выпуклых тел ит.д. Каждая из этих теорий может развиваться в том или ином про-

странстве. Например, можно рассматривать теорию многогранников в обычном евклидовом пространстве, в n-мерном евклидовом пространстве, в пространстве Лобачевского и др. Можно развивать обычную теорию поверхностей, проективную, в пространстве Лобачевского и т.д. В-третьих, имеет значение характер рассматриваемых свойств фигур. Так, можно изучать свойства поверхностей, сохраняющиеся при тех или иных преобразованиях; можно различать учение о кривизне поверхностей, учение об изгибаниях (т. е. о деформациях, не меняющих длин кривых на поверхности), внутреннюю геометрию. Наконец, в определение теории можно включать ее основной метод и характер постановки задач. Так, различают геометрию: элементарную, аналитическую, дифференциальную; например, можно говорить об элементарной или аналитической геометрии пространства Лобачевского. Различают геометрию «в малом», рассматривающую лишь свойства сколь угодно малых кусков геометрического образа (кривой, поверхности, многообразия), от геометрии «в целом», изучающей, как ясно из ее названия, геометрические образы в целом на всем их протяжении. Очень общим является различение аналитических методов и методов синтетической геометрии (или собственно геометрических методов); первые используют средства соответствующих исчислений: дифференциального, тензорного и др., вторые оперируют непосредственно геометрическими образами.

Из всего разнообразия геометрических теорий фактически более всего развиваются n-мерная евклидова геометрия и риманова (включая псевдориманову) геометрия. В первой разрабатывается, в особенности, теория кривых и поверхностей (и гиперповерхностей разного числа измерений), причем особое развитие получает исследование поверхностей в целом и поверхностей, существенно более общих, чем гладкие, изучавшиеся в классической дифференциальной геометрии; сюда же включаются многогранники (многогранные поверхности). Затем нужно назвать теорию выпуклых тел, которая, впрочем, в большей части может быть отнесена к теории поверхностей в целом, так как тело определяется своей поверхностью. Далее — теория правильных систем фигур, т. е. допускающих движения, переводящие всю систему саму в себя и какую-либо ее фигуру в любую другую.

В теории римановых пространств исследуются вопросы, касающиеся связи их метрических свойств с топологическим строением, поведения геодезических (кратчайших на малых участках) линий в целом, как, например, вопрос о существовании замкнутых геодезических, вопросы «погружения», т.е. реализации данного m-мерного риманова пространства в виде m-мерной поверхности в евклидовом пространстве какого-либо числа измерений, вопросы псевдоримановой геометрии, связанные с об-

щей теорией относительности, и др. К этому можно добавить развитие разнообразных обобщений римановой геометрии как в духе общей дифференциальной геометрии, так и в духе обобщений синтетической геометрии.

В дополнение следует упомянуть алгебраическую геометрию, развившуюся из аналитической геометрии и исследующую прежде всего геометрические образы, задаваемые алгебраическими уравнениями; она занимает особое место, так как включает не только геометрические, но также алгебраические и арифметические проблемы. Существует также обширная и важная область исследования бесконечномерных пространств, которая, однако, не причисляется к геометрии, а включается в функциональный анализ, так как бесконечномерные пространства конкретно определяются как пространства, точками которых служат те или иные функции. Тем не менее, в этой области есть много результатов и проблем, носящих подлинно геометрический характер и которые поэтому следует относить к геометрии.

Значение геометрии

Применение евклидовой геометрии представляет самое обычное явление всюду, где определяются площади, объемы и т.п. Вся техника, поскольку в ней играют роль формы и размеры тел, пользуется евклидовой геометрией. Картография, геодезия, астрономия, все графические методы, механика немыслимы без геометрии. Ярким примером является открытие И. Кеплером факта вращения планет по эллипсам; он мог воспользоваться тем, что эллипс был изучен еще древними геометрами. Глубокое применение геометрии представляет геометрическая кристаллография, послужившая источником и областью приложения теории правильных систем фигур.

Более отвлеченные геометрические теории находят широкое применение в механике и физике, когда совокупность состояний какой-либо системы рассматривается как некоторое пространство (см. раздел Обобщение предмета геометрии). Так, все возможные конфигурации (взаимное расположение элементов) механической системы образуют «конфигурационное пространство»; движение системы изображается движением точки в этом пространстве. Совокупность всех состояний физической системы (в простейшем случае — положения и скорости образующих систему материальных точек, например молекул газа) рассматривается как «фазовое пространство» системы. Эта точка зрения находит, в частности, применение в статистической физике и др.

Впервые понятие многомерных пространств зародилось в связи с механикой еще у Ж. Лагранжа, когда к трем пространственным координатам х, у, z в качестве четвертой координаты было присоединено время t. Так появляется четырехмерное «пространство—время», где точка определяется четырьмя координатами х, у, z, t. Каждое событие характеризуется этими четырьмя координатами, и, отвлеченно, множество всех событий в мире оказывается четырехмерным пространством. Этот взгляд получил развитие в геометрической трактовке теории относительности, данной Г. Минковским. В ней он воспользовался четырехмерной римановой (псевдоримановой) геометрией. Так геометрические теории, развившиеся из обобщения данных пространственного опыта, оказались математическим методом построения более глубокой теории пространства и времени. В свою очередь теория относительности дала мощный толчок развитию общих геометрических теорий. Возникнув из практики, геометрия через ряд абстракций и обобщений возвращается к естествознанию и практике на более высокой ступени в качестве метода.

С геометрической точки зрения многообразие пространства—времени обычно трактуется в общей теории относительности как неоднородное римановского типа, но с метрикой, определяемой знакопеременной формой, приводимой в бесконечно малой области к виду

dx2 + dy2 + dz2 – c2 dt2

(с — скорость света в вакууме). Само пространство, поскольку его можно отделить от времени, оказывается также неоднородным римановым. С современной геометрической точки зрения лучше смотреть на теорию относительности следующим образом. Специальная теория относительности утверждает, что многообразие пространства—времени есть псевдоевклидово пространство, т. е. такое, в котором роль «движений» играют преобразования, сохраняющие квадратичную форму:

x2 + y2 + z2 – c2 t2,

точнее, это есть пространство с группой преобразований, сохраняющих указанную квадратичную форму. От всякой формулы, выражающей физический закон, требуется, чтобы она не менялась при преобразованиях группы этого пространства, которые суть так называемого преобразования Лоренца. Согласно же общей теории относительности, многообразие пространства—времени неоднородно и лишь в каждой «бесконечно малой» области сводится к псевдоевклидову, т.е. оно есть пространство картановского типа (см. раздел Современная геометрия). Однако такое понимание стало возможно лишь позже, т. к. само понятие о пространствах такого типа появилось после теории относительности и было развито под ее прямым влиянием.

В самой математике положение и роль геометрии определяются прежде всего тем, что через нее в математику вводилась непрерывность. Математика как наука о формах действительности сталкивается прежде всего с двумя общими формами — дискретностью и непрерывностью. Счет отдельных (дискретных) предметов дает арифметика, пространственную непрерывность изучает геометрия. Одним из основных противоречий, движущих развитие математики, является столкновение дискретного и непрерывного. Уже деление непрерывных величин на части и измерение представляют сопоставление дискретного и непрерывного; например, масштаб откладывается вдоль измеряемого отрезка отдельными шагами. Противоречие выявилось с особой ясностью, когда в Древней Греции (вероятно, в V в. до н. э.) была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата: длина диагонали квадрата со стороной 1 не выражалась никаким числом, так как понятие иррационального числа не существовало. Потребовалось обобщение понятия числа — создание понятия иррационального числа (что было сделано лишь много позже в Индии).Общая же теория иррациональных чисел была создана лишь в 70-х гг. XIX в. Прямая (а вместе с нею и всякая фигура) стала рассматриваться как множество точек. Теперь эта точка зрения является господствующей. Однако затруднения теории множеств показали ее ограниченность. Противоречие дискретного и непрерывного не может быть полностью снято.

Общая роль геометрии в математике состоит также в том, что с нею связано идущее от пространственных представлений точное синтетическое мышление, часто позволяющее охватить в целом то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов. Так, геометрия характеризуется не только своим предметом, но и методом, идущим от наглядных представлений и оказывающимся плодотворным в решении многих проблем других областей математики. В свою очередь геометрия широко использует их методы. Таким образом, одна и та же математическая проблема может сплошь и рядом трактоваться либо аналитически, либо геометрически или в соединении обоих методов.

В известном смысле почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и геометрии, а в смысле метода — из сочетания выкладок и геометрических представлений. Это видно уже в понятии совокупности всех действительных чисел как числовой прямой, соединяющей арифметические свойства чисел с непрерывностью. Вот некоторые основные моменты влияния геометрии в математике.

1) Геометрия наряду с механикой имела решающее значение в возникновении и развитии анализа. Интегрирование происходит от нахождения площадей и объемов, начатого еще древними учеными, причем

площадь и объем как величины считались определенными; никакое аналитическое определение интеграла не давалось до 1-й половины XIX в. Проведение касательных было одной из задач, породивших дифференцирование. Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и сохраняет свое значение. В самой терминологии анализа виден геометрический источник его понятий, как, например, в терминах «точка разрыва», «область изменения переменной» ит.д. Первый курс анализа, написанный в 1696 Г. Лопиталем, назывался «Анализ бесконечно малых для изучения кривых линий». Теория дифференциальных уравнений в большей части трактуется геометрически (интегральные кривые и т. п.). Вариационное исчисление возникло и развивается в большей мере на задачах геометрии, и ее понятия играют в нем важную роль.

2) Комплексные числа окончательно утвердились в математике на рубеже XVIII–XIX вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, т.е. путем построения «комплексной плоскости». В теории функций комплексного переменного геометрическим методам отводится существенная роль. Само понятие аналитической функции w = f(z) комплексного переменного может быть определено чисто геометрически: такая функция есть конформное отображение плоскости z (или области плоскости z)в плоскость w. Понятия и методы римановой геометрии находят применение в теории функций нескольких комплексных переменных.

3) Основная идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса (например, все непрерывные функции, заданные на отрезке [0, 1]) рассматриваются как точки «функционального пространства», причем отношения между функциями истолковываются как геометрические отношения между соответствующими точками (например, сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной величины разности функций — как расстояние и т.п.). Тогда многие вопросы анализа получают геометрическое освещение, оказывающееся во многих случаях очень плодотворным. Вообще, представление тех или иных математических объектов (функций, фигур и др.) как точек некоторого пространства с соответствующим геометрическим толкованием отношений этих объектов является одной из наиболее общих и плодотворных идей современной математики, проникшей почти во все ее разделы.

4) Геометрия оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику — теорию чисел. В алгебре используют, напр., понятие векторного пространства. В теории чисел создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся вычислительному методу.

5) Логическое усовершенствование и анализ аксиоматики геометрии играли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксио-

матического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории. На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.

В целом взаимопроникновение геометрии и др. областей математики столь тесно, что часто границы оказываются условными и связанными лишь с традицией. Почти или вовсе не связанными с геометрией остаются лишь такие разделы, как абстрактная алгебра, математическая логика и некоторые другие.

Литература

История геометрии

История математики. М., 1970–1972. Т. 1–3; Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. М., 1981; Стройк Д. Дж. Краткий очерк истории математики / Пер. с англ. 4-е изд. М., 1983; Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия /Пер. с нем. 2-е изд. М., 1966.

Классики науки

Евклид. Начала / Пер. с греч. М.; Л., 1948–1950. Кн. 1–15; Архимед. Сочинения. М., 1962; Декарт Р. Геометрия / Пер. с франц. и лат. М.; Л., 1938; Монж Г. Приложение анализа к геометрии / Пер. с франц. М.; Л., 1936; Гаусс К.Ф. Общие исследования о кривых поверхностях / Пер. с лат. //Об основаниях геометрии. М., 1956; Лобачевский Н.И. Полн. собр. соч. М.; Л., 1946–1951. Т. 1–3; Больаи Я. Appendix. Приложение… / Пер. с лат. М.;Л., 1950; Риман Б. О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии / Пер. с нем. // Об основаниях геометрии. М., 1956; Клеин Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа») // Там же; Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. с нем. М.; Л., 1948.

Учебная литература

Адамар Ж. Элементарная геометрия / Пер. с франц. Ч. 1. Планиметрия. 4-е изд. М., 1957. Ч. 2. Стереометрия. 3-е изд. М., 1958; Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия / Пер. с нем. 3-е изд. М., 1981; Берже М. Геометрия / Пер. с франц. М., 1984. Т. 1–2; Каган В.Ф. Основания геометрии. М.; Л., 1949–1956. Ч. 1–2; Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 6-е изд. М., 1978; Погорелов А.В. Геометрия. М., 1984; Дубровин В. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. 2-е изд. М., 1985.

О ГЕОМЕТРИИ

(Математика в школе. 1980. № 5)

Кажется, общепризнано, что наше среднее образование страдает перегрузкой. Но даже постановления, обязывающие преодолеть эту болезнь, не ведут к радикальным результатам: каждый специалист настаивает на том, что без его предмета, без таких-то и таких-то разделов обойтись никак невозможно. Но если спросят: почему?— то последует ответ: это невозможно никак, потому что никак невозможно… ибо образование «состоит в наполнении человека знаниями».

Однако, по более глубокому пониманию, цель среднего образования состоит в том, чтобы дать человеку основные практически нужные знания и развить его личность, развить духовно — в умственном и нравственном отношении (последнее и есть самое главное). Поэтому вопрос о нужности любого школьного предмета, о необходимости того или иного его раздела сводится к вопросу о его практической надобности и значении в развитии личности. И если этот вопрос поставить всерьез, то выяснится, что кое-что, а то и довольно многое можно исключить из программ без сожаления, а кое-что следовало бы и добавить. Только всерьез поставить и решить этот вопрос для каждого предмета не очень просто; потому его решение и заменяют простыми уверениями в надобности «своего» предмета.

Понимание того, что практически нужно в данном предмете и что в нем может служить развитию личности, должно определять и содержание предмета, и постановку его преподавания. В конечном счете это понимание должно служить основой для решения всех вопросов преподавания.

Мы рассмотрим в этом плане курс геометрии, особенно стереометрии, и в первую очередь с точки зрения его роли в развитии личности. Одним из результатов нашего рассмотрения будет вывод о том, что из программы стереометрии полезно исключить целых два раздела.

1. Противоречивая сущность геометрии

Особенность геометрии, выделяющая ее не только среди остальных частей математики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением.

Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга.

Воображение дает непосредственное видение геометрического факта и подсказывает логике его выражение и доказательство, а логика, в свою очередь, придает точность воображению и направляет его к созданию картин, обнаруживающих нужные логике связи.

Это, несомненно, так, во всяком случае для трехмерной евклидовой геометрии. Но в источнике и содержательном основании неевклидовой и многомерной геометрии тоже лежат наглядные представления, хотя бы обобщенные; без них любой раздел геометрии перестает быть собственно геометрией. Но мы будем говорить здесь не о всей геометрии, а о той ее части, которая изучается в школе, и при этом специально о стереометрии.

Именно в стереометрии указанная особенность геометрии выступает наиболее ярко. Во-первых, потому, что в ней требуется пространственное воображение. Факты планиметрии изображаются на доске и на бумаге в их подлинном виде (не считая того, что нельзя нарисовать бесконечную прямую без всякой толщины и т.п.). Но факты стереометрии изображаются условно и потому не могут быть верно восприняты без дополнительного пространственного представления. А оно составляет известную трудность, нередко значительную.

Во-вторых, стереометрия изучается в последних классах школы, когда учащиеся должны быть достаточно развиты для того, чтобы воспринять логику дедуктивного изложения. Поэтому курс стереометрии можно и следует строить с большей логической последовательностью и доказательностью, чем курс планиметрии.

Таким образом, мы с большим правом можем повторить о курсе стереометрии то, что было сказано о геометрии вообще. Стереометрия и должна быть преподана в соединении наглядности и логики, как живое пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.

Живое воображение скорее ближе искусству, сухая строгая логика — привилегия науки. Они, можно сказать, совершенные противоположности («лед и пламень не столь различны меж собой»). Однако геометрия их все же соединяет, и задачи преподавания — соединить их в одном учебном предмете.

Это есть реальное взаимопроникновение, единство противоположностей, противоречие в самой сущности предмета, которое не может быть разрешено иначе, как уничтожением самого предмета, т. е. ликвидацией курса геометрии и заменой его чем-то другим. Это противоречие составляет особую трудность, а вместе с этим и особую прелесть геометрии.

Трудно сочетать столь противоположные свойства, как живость воображения и строгость мысли, но зато, когда их единство осуществляется, достигается большая ясность понимания и радость непосредственного «видения» истины.

В курсе геометрии соединяются еще две противоположности: абстрактная математическая геометрия и реальная геометрия — реальные пространственные отношения и свойства тел. Это противоречие выступает уже в тот момент, когда на доске «проводят прямую» и говорят: «Проведем прямую через точки А и В…» Но на доске нет точек и невозможно провести прямую: геометрические точки и прямые — это идеальные объекты, они не существуют иначе как в абстрактном мышлении, их, в строгом смысле, нельзя даже представить, а можно только мыслить.

Утверждения геометрии высказываются и доказываются для идеальных геометрических объектов, но воспринимаются как утверждения об объектах наглядно представимых и применяются к реальным вещам, в которых идеальные объекты геометрии реализуются нередко очень условно. Стереометрия начинается с того, что «через три точки проходит плоскость». Но показать это реально можно лишь с чрезвычайной условностью. «Плоскость» в реальности — это либо «плоский предмет», либо «плоская поверхность» предмета, т.е. не геометрическая плоскость как таковая, тем более бесконечная.

При всей своей абстрактности геометрия возникла из практики и применяется в практике. Поэтому преподавание геометрии обязательно должно связывать ее с реальными вещами, с другими дисциплинами, особенно с физикой (и через приложения, и в иллюстрациях геометрических понятий и утверждений, и в определениях основных понятий).

Например, в действующем курсе геометрии перемещение определяют как отображение всего пространства или (в планиметрии)— всей плоскости. Но это нелепо. На самом деле перемещают предметы. Соответственно в курсе геометрии нужно начинать с понятия о перемещении фигур как образе реальных перемещений предметов с одного места на другое*; это отвечает наглядному представлению и удобно в геометрии (например, если нужно одновременно переместить две фигуры так, чтобы они покрыли данную точку).

При всем этом связь геометрии с реальностью заключает противоречие — несоответствие реальных вещей геометрическим абстракциям.

Таким образом, преподавание геометрии должно включать три тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элемента: логику, на-

* Перемещение материальной точки с одного места на другое — из геометрической точки А в точку В и осуществляет отображение А на В.

глядное представление, применение к реальным вещам. Этот «треугольник» составляет, можно сказать, душу преподавания геометрии; воображение ближе к реальности, как это и изображено на схеме.

Логика

Воображение Практика

Задача преподавания геометрии — развить у учащихся соответствующие три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление.

Разумеется, в задачи курса геометрии входит дать учащимся, как это принято говорить, основные знания и умения в области геометрии. Однако все же главные, глубинные задачи преподавания геометрии заключены в трех указанных элементах, во-первых, ввиду их значения для общего развития, во-вторых, потому, что они уже включают основное из тех знаний, которые должен давать курс геометрии. Поэтому остановимся сначала на этих элементах.

2. Воображение и реальность

Воображение — это прекрасная и могущественная способность человека. Что являет собой, в подавляющей части, искусство и техника, как не воплощенное воображение!? Научные идеи и теории также оказываются, в большой мере, его порождениями. Пространственное воображение, развитию которого служит геометрия, составляет важный компонент в общей способности человека к воображению и имеет существенное значение в ряде отношений.

Оно, разумеется, вообще необходимо человеку для ориентировки в окружающем мире и в развитой форме существенно для многих видов деятельности. Оно нужно квалифицированному рабочему, инженеру, архитектору, авиатору, скульптору и т. д.

Вместе с тем развитие пространственного воображения расширяет видение мира, делает его более пространственно выпуклым и содержательным подобно тому, что делает стереоскоп с плоскими снимками.

Развитое воображение обогащает внутренний мир человека, давая ему возможность создавать в себе и созерцать разнообразные картины.

Словом, развитое пространственное воображение — это важный элемент общей культуры. Геометрия, требуя воображать геометрические образы в их идеальной точности и логической определенности, дает этим пространственному воображению утонченность и точность.

Великий архитектор нашего века Ле Корбюзье (1887–1965) писал: «Геометрия есть средство, с помощью которого мы воспринимаем среду и выражаем себя.

Геометрия — это основа.

Кроме того, она является материальным воплощением символов, выражающих все совершенное, возвышенное.

Она доставляет нам высокое удовлетворение своей математической точностью.

Машина идет от геометрии. Следовательно, человек нашей эпохи своими художественными впечатлениями обязан в первую очередь геометрии. После столетия анализа современное искусство и современная мысль рвутся за пределы случайного, и геометрия приводит их к математическому порядку и гармонии. Эта тенденция усиливается с каждым днем»*.

В этих вдохновенных словах геометрия воспета в ее воплощении в реальных вещах, в единстве геометрического образа и его материального осуществления. «Машина идет от геометрии». Вся техника пронизана геометрией и начинается с геометрии, ибо всюду, где нужна малейшая точность размеров и формы, где нужна структурность взаимного расположения частей,— там вступает в силу геометрия.

Конструктор, рабочий-изобретатель, инженер представляют себе сначала примерный вид создаваемой детали или конструкции, чертят, уточняют, делают модели; наконец, складывается точное представление, делаются рабочие чертежи, и по ним воссоздают пространственный вид предмета, изготовляют его. Так происходит взаимодействие пространственного воображения, изображения на чертеже и реального воплощения в модели или в готовом предмете.

В механике и в физике геометрические представления также играют фундаментальную роль уже потому, что движение, процессы происходят

* Ле Корбюзье. Градостроительство // Архитектура XX века / Ле Корбюзье. М., 1977. С. 25.

в пространстве. Вспомним хотя бы кинематику и геометрическую оптику. Вспомним еще строение кристаллов, пространственные модели сложных молекул, симметрию живых организмов и др.

О значении пространственных представлений в изобразительном искусстве и архитектуре говорить не приходится — оно очевидно. (Отметим, между прочим, что посвященная искусству книга одного из самых выдающихся советских художников — Петрова-Водкина — называется «Пространство Евклида».)

Ученику нужно показать эти реальные связи и воплощения геометрии в жизни, в природе, в искусстве, в технике и науке, чтобы геометрия предстала перед ним не как сухой предмет, подлежащий зубрежке и сдаче на экзамене, а как полное содержания, значения и красоты явление культуры, как наука в ее связях с реальными вещами.

Пространственные представления, геометрическая интуиция играют существеннейшую роль вне геометрии и в самой математике. Математический анализ немыслим без геометрических образов, начиная с числовой прямой, графиков функций и т. д. Эта роль геометрии сказалась в нашем веке в создании функционального анализа, занявшего с его основным понятием пространства функций центральное место в современной математике. Чтобы не возбудить подозрений в стремлении автора-геометра расхвалить свою науку, сошлюсь на суждение одного нашего выдающегося математика другой специальности: «Пространства функций в большинстве случаев бесконечномерны, но возможность направленно воспитать, а затем применить к ним первоначально развитую конечномерную (даже трехмерную) интуицию оказалась исключительно плодотворным открытием»*.

Этот пример — формирование громадной области науки по указаниям геометрической интуиции — с большой силой показывает нам ту направляющую роль, какую играет геометрическое воображение в его союзе с логикой. Точно так же должно быть и в школьном преподавании.

Изложение любого элемента курса — будь то аксиома, определение, теорема, задача — должно начинаться с наглядной картины, которую учащиеся и должны усвоить в первую очередь. Надо, чтобы ученик представлял себе, допустим, что такое пирамида, мог описать ее, мог решить касающуюся ее простую задачу. А если при этом он не может безошибочно произнести точного ее определения — в этом еще нет большой беды.

Существенно наглядно-оперативное знание предмета, содержащее наглядные представления и умения правильно ими оперировать. Все

* Мания Ю.И. Математика и физика. М.: Знание, 1979. С. 10.

представляют себе, что такое стул, и умеют им пользоваться, но, наверное, каждый затруднится произнести сразу, как на экзамене, определение: «стулом называется…». У математиков XVII–XVIII вв. не было точных определений ни функции, ни предела, ни самого переменного х, но они действовали с замечательным успехом (вспомним хотя бы Эйлера).

Педантичное стремление дать каждому понятию словесное определение может вести к тому, что вместо пояснения и уточнения представлений, которые уже есть у учащихся, вместо формирования у них новых ясных понятий им дается нечто трудно представимое или вовсе не вообразимое, а лишь выраженное в словесной оболочке — порой такое, что они не могут ни понять правильно, ни применить.

Например, в действующих учебниках дается определение: направлением называется множество всех сонаправленных лучей. И так как ученикам уже внушили, что множество — это собрание элементов, что оно состоит из своих элементов, то выходит, что направление состоит из всех сонаправленных лучей. Интуитивное понятие направления, свойственное каждому человеку, заменяется чем-то невообразимым и к тому же совершенно бесполезным, поскольку таким понятием направления никто, собственно, не пользуется… Сходное положение обнаруживается с понятиями вектора, многогранника и др.

Вряд ли есть что-либо более вредное для духовного — умственного и морального — развития, чем приучать человека произносить слова, смысл которых он толком не понимает и при надобности действует не по этим словам, а по другим понятиям.

Однако мы свернули на критику существующих учебников, которая сейчас вовсе не входит в нашу задачу. О них стоило упомянуть лишь затем, чтобы ярче оттенить значение наглядности и не дать подумать, что, всячески подчеркивая ее значение, мы «ломимся в открытые двери». Вовсе нет! Есть все основания четко выдвинуть и подчеркнуть как первый основной принцип преподавания геометрии: каждый элемент курса геометрии должен опираться на возможно более простое и ясное наглядное представление, с такого представления надо начинать и им руководствоваться в изложении.

Соответственно этому изложение следует начинать с наглядной картины — с рисунка на доске, описания, показа модели, примеров.

В стереометрии существенно именно рисовать, чтобы вызвать пространственное представление, пользуясь, например, штриховкой, оттеняющей грани многогранника, ит.п. (В этой связи заметим в скобках, что на физико-математических и естественных факультетах педагогических институтов полезно было бы ввести занятия по специальному рисованию.)

Вместе с рисунком должно идти разъяснение его пространственного содержания, возбуждающее верное пространственное представление. Одновременно нужно разъяснять также точный геометрический смысл изображаемого — пронизать и организовать наглядное представление точной логикой. Тут же необходимо, если это не сделано ранее, дать реальные примеры из жизни, из техники и т.п.

Логически организованное представление дает нужную формулировку определения, теоремы или задачи. За этим вступают в действие логические доказательства.

Геометрический метод и состоит в том, что само логическое доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением; лучше всего, когда доказательство или решение, можно сказать, видно из наглядной картины. (В старинных индийских сочинениях бывало так, что доказательство сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!».) При прочих равных условиях следует предпочесть наглядный вывод вычислительному и ради наглядности можно жертвовать логической точностью и обоснованностью. Так, полезно привлекать наглядные соображения непрерывности, наглядно представляемые движения точек и фигур и другие образы, заимствованные даже из механики и физики («сам» Архимед пользовался механическими соображениями в своих геометрических выводах, хотя, конечно, окончательное оформление их совершал со всей строгостью).

К тому же подходу должен быть приучен и ученик — начинать с рисунка, с наброска, наглядного описания — отвечает ли он у доски, учит ли что-нибудь дома, решает ли задачу; вместе с рисунком должны идти пространственное представление, точное понимание и т.д.

Насколько важно сочетание ясного наглядного представления и точного понимания и насколько опасно пренебречь им, можно видеть на примере определения многогранника, данного в учебнике для IX–X классов. Это определение так усложнено и запутано, что его рекомендуют и не спрашивать у учеников. И не мудрено: авторы учебника сами запутались в своем определении и оно оказалось неверным! На рис. 523 страницы 338 учебника по геометрии для VI–VIII классов изображены пять многогранников и два из них не подпадают под определение, данное в учебнике для IX–X классов. А произошло это потому, что авторы не смогли соединить должным образом наглядное представление о многограннике с логической точностью формулировок.

Итак, изложение всякого раздела курса начинается с картины, с наглядного представления, обращается к логике формулировок и выводов, а затем полученное знание применяется и закрепляется при рассмотре-

нии примеров и решении задач. Этот общий порядок изложения можно характеризовать кратко словами В.И. Ленина: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике…»

Так В. И. Ленин характеризовал вообще путь познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности»*. Таким путем, скажем мы, и должно идти познание учащимися геометрии.

3. Логика и мировоззрение

Пока мы больше говорили об исходном пункте — о «живом созерцании»; обратимся ко второму — к «абстрактному мышлению», к тому элементу «треугольника», изображающего сущность геометрии, который был обозначен как логика.

Кажется, с давних пор общепризнано, что курс геометрии должен учить логическому мышлению, и было бы лишним распространяться здесь на эту тему, но все же представляется необходимым обратить внимание на некоторые моменты.

По-видимому, есть серьезная опасность, что многие учащиеся не столько усваивают с пониманием логику формулировок и доказательств, сколько заучивают их. Едва ученика выводят из заученной формулировки, из заученного хода рассуждений, как он теряется; он следует, собственно, не смыслу формулировки, не рассуждению, а их внешности, словесной оболочке.

Одно из первых средств преодоления этой опасности: уменьшить число формулировок и особенно доказательств, которые ученик должен знать — выучить, запомнить. Лучше, чтобы ученик знал доказательства немногих теорем, но знал с действительным их пониманием, чем старался бы вбить себе в голову доказательства тех десятков утверждений, которые содержатся в курсе геометрии даже за один класс.

Если мы хотим учить логическому мышлению, то и надо учить ему, а не заучиванию готовых рассуждений. Поэтому излагаемые формулировки и доказательства должны рассматриваться скорее как упражнения в логическом мышлении, чем как то, что надо знать.

Отсюда вытекает и следующий вывод: нужно давать возможно больше упражнений в логическом мышлении, как вообще нужно много упражняться, чтобы научиться какому-либо виду деятельности, будь то работа

* Ленин В.И. Полн. собр. соч. Т. 29. С. 152–153.

напильником, ходьба на лыжах или логические рассуждения. Поэтому полезно, во-первых, чтобы учащиеся разбирали много доказательств (разобрали, поняли), но не выучивали, не заучивали… Во-вторых, следует решать возможно больше задач на доказательство: гораздо полезнее и приятнее сообразить самому хотя бы маленький вывод, чем заучивать чужие рассуждения (если не считать тех, которые особенно поучительны, остроумны и красивы).

Логика геометрии заключена не только в отдельных формулировках и доказательствах, но во всей их системе в целом. Смысл каждого определения, каждой теоремы, каждого доказательства определяется, в конечном счете, только этой системой, которая и делает геометрию целостной теорией, а не собранием отдельных определений и утверждений.

Это заключенное в геометрии понятие о точной науке с ее строго разворачивающейся системой выводов так же существенно, как и точность в каждом выводе.

Геометрия так и должна быть преподана — с возможно большей строгостью всей ее системы. При этом надо понимать, что абсолютной строгости вообще не существует, и поэтому задача преподавания состоит в том, чтобы, приняв некоторый уровень строгости — определенную систему предпосылок, разворачивать на ее основе последующее изложение. При этом все существенное в курсе следует доказывать на принятом уровне строгости и не допускать логических перерывов, по крайней мере, в основных линиях курса.

Именно так — в полной логической связности — построено изложение в «Началах» Евклида. Так же, в общем, оно построено и в знаменитом учебнике Киселева. Он удачно популяризировал Евклида, и его завидный успех обусловлен в значительной мере именно тем, что на нем лежал отсвет гения Евклида, подобно тому как на переложениях для детей «Гулливера» и «Робинзона Крузо» остается след руки их великих создателей.

Требование изложить основные линии курса без логических пропусков, со всеми доказательствами, вовсе не означает, что ученики должны учить все эти доказательства: такая нагрузка была бы чрезмерной. Все доказательства могут быть разделены на три части: те, которые следует изучить и знать, те, которые надо понять, и, наконец, те, которые можно оставить, имея лишь в виду, что они могут быть предъявлены и разобраны по желанию всем классом или отдельными учениками в зависимости от их уровня. (Они должны быть изложены в учебнике в качестве дополнений.)

В изложении геометрии можно исходить из разных основных посылок, из разных систем аксиом, лишь бы в них не было ни противоречий,

ни пропусков. Иначе говоря, принятая аксиоматика должна быть непротиворечивой и полной, в остальном ее выбор условен и должен определяться педагогическими соображениями, прежде всего простотой вывода из них основных следствий, за которыми пойдет развертывание собственного содержания курса. Безусловное значение имеет сама стереометрия как система положений, связанных логическими переходами. А система аксиом играет роль отправного пункта, от которого начинается прохождение этой системы.

В последнее время представилось необходимым перейти в школьной геометрии на более глубокий уровень строгости, чем тот, который был у Евклида. Эта большая строгость состоит прежде всего в явном указании и формулировке основных понятий и аксиом, которые в прежних изложениях только подразумевались.

Но, излагая более точно исходные посылки, формулируя принятые аксиомы, необходимо дальше держаться заложенного в них уровня строгости, не оставляя ни одного существенного пункта без доказательства, соответствующего принятому уровню. Иначе в курсе будет потеряна система, будет смазана логика его изложения и может оказаться, что в нем будет представлена не целостная наука — геометрия, а ее фрагменты, чтобы не сказать куски и обрывки, один — на одном уровне логики, другой — на другом, а то и вовсе без логики.

Если принят теоретико-множественный уровень, то нужно его держаться. Например, сформулировав аксиому: «прямая есть непустое множество точек», нельзя после этого принять без доказательства, что на каждой прямой есть по крайней мере две точки (как это сделано в пособии по геометрии для IX–Х классов). Иначе уточнение исходных посылок остается без должного употребления и поэтому лишается смысла. Выходит, сначала произносятся «ученые слова», а потом действуют по «очевидности». Такое преподавание учит тому, что слова могут расходиться с делом.

Нельзя также оставлять без доказательства существенные теоремы курса, говоря: «примем без доказательства»… Так почти все в курсе оказывается принятым без доказательства или основанным на принятом без доказательства, и курс приобретает сходство с набором сведений по геометрии, тогда как он, по крайней мере стереометрия, должен дать ученикам не просто сведения по геометрии, а систему в точности деталей и всей структуры.

Скрытая здесь глубокая задача курса геометрии состоит в воспитании научного мировоззрения, в воспитании его основы, которую образует безусловное уважение к установленной истине, требование доказывать

то, что выдвигается в качестве истины, не допуская подмены доказательства ни верой, ни ссылкой на авторитет. Стремление к истине, поиск доказательств (или опровержений)— это активная, а потому и ведущая сторона в основе научного мировоззрения. Свойственное ему убеждение в фундаментальном значении и могуществе научной истины ярко выражено в знаменитых словах В. И. Ленина: «Учение Маркса всесильно, потому что оно верно»*.

Разворачиваясь в строгой системе точных понятий и выводов, геометрия дает представление о строго установленной истине, о заключенной в ней необходимости, так что ее нельзя ни изменить, ни подделать, ни обойти. Так курс геометрии воспитывает уважение к истине, воспитывает требование доказывать то, что утверждается в качестве истины, если, конечно, это требование не заменяется в курсе псевдодоказательствами или заявлениями: «примем без доказательства…». Так без доказательства можно принять мало ли что, и основанием будет служить ссылка на авторитет: верно потому, что сказано в учебнике (или учителем), а не потому, что доказано.

В уважении к истине, в требовании доказательства заключается чрезвычайно важный нравственный момент. В простейшей, но очень важной форме он состоит в том, чтобы не судить без доказательств, не поддаваться впечатлениям, настроениям и наветам там, где нужно разобраться в фактах. Научная преданность истине и состоит в стремлении основывать свои убеждения в любом вопросе на наблюдениях и выводах настолько объективных, настолько не поддающихся посторонним влияниям, предвзятым мнениям и порывам темперамента, насколько это только доступно человеку. Впрочем, у нас нет здесь места развить эту, саму по себе чрезвычайно важную, тему нравственного содержания в основе научного мировоззрения. Мы только обращаем внимание на то, что курс геометрии в правильной его постановке и ориентации, воспитывая должное отношение к истине, тем самым вносит свой вклад в формирование научного мировоззрения и вместе с этим — в нравственное воспитание учащихся.

Конечно, если преподавание полностью замыкается в самой геометрии, то даваемое им развитие логического мышления и элементов научного мировоззрения не выйдет за ее специальные рамки. Поэтому педагог должен привлечь внимание учащихся к связи того, что делается в курсе геометрии, с более широкими проблемами и показать общее значение требований доказательности и точности в установлении истины вообще — не в одной лишь геометрии, а всюду. Но чтобы к тому была возможность,

* Ленин В.И. Полн. собр. соч. Т. 23. С. 43.

курс не должен быть перегружен специальным материалом. Тогда учащиеся смогут усвоить то, что действительно необходимо, и в меру сил продумать общие выводы.

Мировоззрение не выучивают, оно формируется человеком в результате переработки им опыта жизни, культуры и учения.

4. Знания и умения

Рассмотрев глубинные задачи преподавания геометрии, обратимся теперь к его явному содержанию — к тем знаниям и умениям, которые оно должно давать и вырабатывать у учащихся. Начнем с умений.

Можно сразу заметить, что выработка умения решать геометрические задачи и проводить доказательства уже заключена в сочетании геометрического воображения с логическим мышлением. Оно состоит в умении наглядно представить себе задачу, увидеть пути решения и логично провести его. Если же задача касается реальных вещей, то первое, что нужно уметь,— это представить ее как задачу математическую, как задачу геометрии (если это не сделано явно в ее постановке) и затем действовать по наглядному представлению и логике.

Геометрический метод и есть не что иное, как живое воображение, в котором находят указания для логически проводимого решения.

Вместе с этим чисто геометрическим методом применяются элементарная и векторная алгебра, тригонометрические функции и анализ. В школьной геометрии приложения алгебры, не считая отдельных задач, связаны с методом координат. Однако метод координат в пространстве как отдельную тему необходимо исключить из школьного курса: его включение создало без особой к тому надобности крайнюю перегрузку и уводит от основного содержания курса. Тема эта принадлежит аналитической геометрии пространства и должна быть оставлена для вузовского курса; в школе на ее настоящую проработку просто нет времени. Полезно дать только наглядное понятие о координатах в пространстве, наглядное, а не формальное, основанное на векторной алгебре, какое дано в действующем курсе. Некоторые же применения координат можно включить в задачи — не больше.

Лучше уделить больше места наглядным вещам, чтобы обогатить и закрепить развитие наглядных представлений и логического мышления, не замененного формальными выкладками.

Совершенно так же ни в коем случае не следует загружать учащихся искусственно усложненными задачами. Это касается не только геометрии.

Задачи, предлагаемые, скажем, на выпускных экзаменах, бывают часто совершенно надуманными и содержат такие выкрутасы, какие не встречаются ни в практике, ни в самой изысканной науке. Истина, подобно подлинной красоте, проста как строки: «Тиха украинская ночь…» и так же чужда всяческим вывертам. Выверты и придумывают потому, что не умеют найти подлинное. Проще задать хитросплетенную задачу, чем вскрыть у ученика степень ясности и точности его наглядного представления и понимания (то же относится к задачам на вступительных экзаменах в вуз). Сила и острота сообразительности упражняется и обнаруживается на решении естественных по постановке, трудных и глубоких задач.

Векторная алгебра, включая скалярное произведение, нужна в физике и уже потому не должна быть исключена из курса геометрии. К тому же она имеет простое наглядное основание (как исчисление «направленных отрезков») и богатые приложения в самой геометрии. Нужно лишь позаботиться о том, чтобы строить ее действительно на возможно более простых наглядных основаниях и в тесной связи с задачами физики. А то получается такое нелепое положение, когда физики рассказывают о векторах для своих нужд по-своему, а математики — по-своему, без всякой нужды.

Тригонометрические функции — это испытанный аппарат геометрии, и их тоже нужно излагать, отправляясь от простых наглядных задач, как они практически и возникли — из решения треугольников.

Применение анализа в вычислении объемов может быть отнесено к самому анализу в качестве его приложения, как это сделано для площадей криволинейных трапеций и др. Собственно геометрии принадлежат сами понятия площади, объема, площади поверхности и геометрические приемы, связанные с нахождением этих величин для простейших фигур.

В результате данного краткого обзора можно видеть, что в подавляющей своей части те умения, какие должен приобрести учащийся в курсе геометрии, охватываются сочетанием наглядного представления с логикой, о котором мы говорили выше.

То же сочетание охватывает и подавляющую часть тех знаний, какие должен давать курс геометрии. Однако следует откровенно признать, что значительная часть знаний, требуемых от школьника, выучивается и забывается, так как нужна не столько сама по себе в будущем для практической надобности или общего развития, сколько для успеваемости, а также для того, кто пойдет в вуз, где ему понадобятся специальные сведения по геометрии. Формальные знания в самом деле могут быть забыты. Можно забыть, например, формулу объема шара, как и другие

формулы, которые можно найти в справочниках. Важнее сохранить в памяти наглядные представления, общие понятия и методы, чем загружать память деталями, которые по надобности выводятся из общих сведений или находятся в учебниках и справочниках.

Полезно исключить из программы как особую тему изучение многогранных и специально трехгранных углов, оставив ее только в качестве материала для задач. Тема эта стоит в курсе особняком, и в ней нет надобности. Также предлагается, как уже было объяснено, исключить из курса стереометрии как особую тему метод координат в пространстве, уводящий от основных линий курса.

Зато полезно ввести некоторые наглядные вещи, касающиеся выпуклых тел, многогранников, перемещений, симметрии*; ввести затем, чтобы дать дополнительную пищу развитию воображения и расширению кругозора. Рассмотрение симметрии (фактически групп симметрии) правильных многогранников — прекрасное упражнение для развития наглядных представлений, а вместе с тем понятие симметрии — это самая современная наука, так как оно играет фундаментальную роль в новейших теориях физики.

Понятия, идущие из наглядной геометрии, вообще имеют в современной науке чрезвычайно большое значение, так что не надо думать, будто наглядное — это низшая, а не высшая математика. От простого и наглядного идет путь в высшее — путь геометрии.

Материал курса геометрии, как уже было сказано о доказательствах теорем, полезно разбить на три части: обязательный минимум, который надо знать, потом то, с чем ученики должны быть ознакомлены, и, наконец, дополнения, с которыми учащиеся могут быть ознакомлены. Курс должен заключать в себе возможность выбора в зависимости от тех или иных конкретных условий, таких, например, как уровень класса, склонности учителя и др.

Привести курс геометрии в достаточное соответствие со всеми изложенными в этой статье принципами представляется нелегким делом, тем более что существующий курс слишком нарушил эти принципы. Но всякая перестройка образования, как бы ни была она радикальна, не должна совершаться в порядке переворота. Переворот, который лет десять назад был совершен в геометрии, уже немало навредил ей. Нужны не перевороты, а усовершенствования, совершаемые настоятельно, но постепенно (не считая хирургических операций отсечения тех отделов курса, которые признаны ненужными). Конкретно преломить и осуще-

* Симметрии в общем смысле слова как свойства фигуры, состоящего в возможности ее совмещения самой с собою путем (нетождественных) перемещений.

ствить глубокие задачи курса с его мировоззренческим значением в гармонии наглядного и логического, добиваясь при этом максимально возможной простоты и ясности,— все это достаточно трудно.

В заключение отметим, что изложенные принципы могут быть полностью отнесены к курсу геометрии в ПТУ. В нем должна господствовать та же линия на развитие пространственных представлений и логического мышления в связи с реальными вещами. Разница может быть лишь в том, что наглядный материал больше увязывается с производством и техникой, а некоторый менее нужный материал и некоторые логические тонкости могут быть опущены.

ДИАЛЕКТИКА ГЕОМЕТРИИ

(Математика в школе. 1986. № 1)

В произошедшем столкновении разных точек зрения на школьный курс математики, в его перестройке общие, по существу философские, установки сказались самым непосредственным образом, хотя они не были во всем ясно осознанны. Более всего это касается курса геометрии. Именно для понимания геометрии философский взгляд представляется особенно существенным, прежде всего, потому, что в этом курсе, в самой геометрии содержится глубокая трудность — внутреннее противоречие.

Исследование противоречия в сущности предмета составляет ядро, главное содержание диалектики; данная статья и посвящена этой диалектике геометрии.

Противоречие в курсе геометрии

Курс геометрии начинается с указания примеров геометрических фигур, изображаемых на рисунках. Так, например, пишут: «Посмотрите на рисунок. Вы видите прямую а и три точки А, В, С вне этой прямой». Дальше, опять со ссылками на рисунки, вводятся понятия (или представления) о расположении точек на прямой и об отрезках. Затем говорится: «Посмотрите на рисунок. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости».

Стоп! В самом деле, посмотрите на воспроизведенный из учебника рисунок. «Прямая а» на немне разбивает плоскость, потому что от точки С до D можно дойти, огибая нарисованную «прямую». На это, случается, обращают внимание сами ученики. Разбивает плоскость не «прямая» на рисунке, а воображаемая мыслимая прямая, которая «считается» неограниченно продолженной в обе стороны. Каждому понятно, что одно дело то, что видно на рисунке, и совсем другое — то, что «считается».

Аналогичное явление обнаруживается еще раньше в формулировке: «Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Но если

«прямая», как перед этим объясняется, проводится с помощью линейки, то через две точки можно провести много разных «прямых»— одну покороче, другую подлиннее и т. д.

Понятно, что указанное свойство принадлежит прямой, которая «считается неограниченно продолженной в обоих направлениях». Но это не оговаривается. Однако в жизни каждый понимает прямую как конечную линию, которая может быть или короче, или длиннее, и никто не считает ее неограниченно продолженной в обоих направлениях. Неограниченно — значит и за пределы Солнечной системы, за пределы метагалактики!? Понятно, что неограниченно продолженная прямая — это абстракция.

Итак, мы обнаруживаем противоречие в самом начале курса геометрии — противоречие между реальностью, представленной на рисунке, с одной стороны, и мыслимым образом или абстрактным понятием геометрической фигуры — с другой. И если это противоречие конкретного объекта и абстрактного понятия не разъяснено, то оно оборачивается путаницей и внушением учащимся, будто они видят на рисунке то, что на самом деле не видят и видеть не могут. (Понятие прямой отражает реальность, но в идеализированной форме, дополненной представлением о бесконечном продолжении.)

«Идеальное,— писал Маркс,— есть не что иное, как материальное, пересаженное в человеческую голову и преобразованное в ней»*. Подчеркнем: «преобразованное». Сознание человека отражает объективную действительность, но в преобразованном виде, зачастую в весьма преобразованном. Геометрические фигуры — тому очень важный и ясный пример.

В самом начале школьного учебника показывают на рисунке примеры простейших фигур и тут же говорят, что «фигуры состоят из точек», что «всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек».

Но это не может непосредственно относиться к фигурам, как они нарисованы, и к точкам, которые «наносятся остро отточенным карандашом». На самом деле имеются в виду абстрактные фигуры и идеальные точки без всяких размеров, не наносимые на рисунок никаким карандашом, идеальные прямые без всякой толщины, не проводимые по линейке; подразумевается взгляд на фигуру как на множество точек. Но этот взгляд, представляющий далеко идущую абстракцию, сложился менее 100 лет назад, а до того никто не мыслил себе фигуры, составленные из точек, и теперь математики их так не столько «представляют себе», сколько

* Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 23, с. 21.

абстрактно мыслят (что, впрочем, тоже спорно). Так здесь, в самом начале курса, мы вновь обнаруживаем вариант уже указанного противоречия: фигура подается как то, что есть на рисунке, т.е. как нечто материальное, и вместе с тем как множество точек, т. е. как нечто совершенно абстрактное. Если это противоречие не раскрыто, то «что такое геометрическая фигура», остается неясным.

Другая сторона того же противоречия обнаруживается в доказательствах теорем: требуется, чтобы они проводились путем «чисто логического рассуждения», и вместе с тем они неизбежно опираются на наглядные представления. Иногда в учебниках даже особо подчеркивается, что при доказательстве теорем разрешается пользоваться только теми свойствами фигур, которые указаны в аксиомах или установлены доказанными теоремами; другими свойствами фигур, даже если они кажутся очевидными, пользоваться нельзя.

Однако это указание постоянно нарушается прежде всего тем, что ряд понятий и свойств фигур, не оговоренных в аксиомах, в дальнейшем изложении вводится из наглядных соображений. Не доказывается, что точка на отрезке делит его на два отрезка, что треугольник (как фигура из трех точек и соединяющих их отрезков) ограничивает часть плоскости, не определяется, что значит «ограничивает», и др. Все это очевидно и может оставаться в школьном курсе без доказательств и определений, но не согласуется с запрещением ссылаться на очевидность.

Таким образом, в области доказательств и определений также обнаруживается противоречие, аналогичное противоречию в представлении о фигурах и их основных свойствах,— противоречие между реальностью и наглядностью, с одной стороны, и логической строгостью, соответствующей абстрактности, с другой стороны. Эти противоположности — диалектические, т. е. они взаимосвязаны и взаимообусловлены, они необходимо соединяются в курсе геометрии: в нем невозможно отказаться от наглядных представлений, нелепо не опираться на них, нелепо не применять геометрию к реальным вещам и вместе с тем также невозможно отказаться от логической строгости, требующей отвлечения от наглядности. Когда же эти противоположности либо разрываются, как в запрещении опираться на очевидность, либо смешиваются, как в ссылке на рисунок, где якобы видно бесконечную прямую, то возникает грубое противоречие, путаница.

Соединение указанных противоположностей лежит в самой сущности геометрии. Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одного из них, нет и подлинной геометрии.

В этом и состоит в конечном счете противоречие в сущности геометрии: в ней непосредственно изучаются идеальные геометрические фигуры, которых нет в действительности, но ее выводы применяются к реальным вещам, к практическим задачам. Так оно происходит и в школьном преподавании: аксиомы, определения, теоремы относятся к идеальным фигурам, но поясняются на реальных примерах и применяются в решении реальных задач. Предложения геометрии выражают реальные факты, но в идеальном виде и потому могут не вполне соответствовать реальным фактам, а в некоторых случаях и вовсе от них отделяться. Вместе с тем очевидно, что, скажем, теоремы о равенстве и подобии треугольников, теорема Пифагора и другие выражают реальные факты.

По поводу же логической строгости выводов геометрии следует заметить, что строгость их, как и выводов всей математики, не абсолютна, тем более в школьном изложении. Абсолютной строгости не бывает вообще; в школьном курсе нужно держаться «достаточного» уровня строгости, не исключающего опоры на наглядную очевидность. Где провести границу, какую опору на наглядность считать допустимой, а какую — нет, это вопрос педагогического такта.

Таким образом, соединенные в геометрии противоположности взаимно проникают: наглядность входит в доказательства и определения, которые в свою очередь придают наглядности большую точность. Эта диалектика лежит в самом начале, в самых основах курса геометрии. Недостаточное ее понимание ведет, как уже сказано, к тому, что диалектическое противоречие превращается в путаницу, в ошибочные утверждения.

Сделанные замечания о фактах и строгости тоже относятся к диалектике: всякое содержательное утверждение нужно понимать не в абсолютном смысле, а с возможностью его ограничения, с возможностью, что оно не совсем, не абсолютно верно. Нет абсолютной строгости, нет полного соответствия утверждений геометрии реальным фактам.

Внося всюду этот элемент критики, диалектика побуждает к развитию мысли, к углублению понимания, к достижению более глубокой и более точной истины. Эта черта диалектики также имеет существенное значение для преподавания геометрии, в преодолении догматизма.

Противоречие в сущности геометрии

Геометрия возникла из практики сначала в виде набора простейших правил решения практических задач измерения участков земли, объемов сосудов и т. п.; так она постепенно складывалась 4–5 тыс. лет назад в Древнем Египте в качестве опытной практической науки.

Однако в Греции в период VII–V вв. до н. э. геометрия постепенно отделилась от опыта, ее предмет составили уже не реальные, а идеальные фигуры. Обращение к опыту, даже к рисунку, было исключено из ее аргументов; ее утверждения превратились из констатации опыта в теоремы, т. е. предложения, требующие доказательства рассуждением. Это понятно: с идеальными фигурами нельзя ставить опыты, их нельзя ни сделать, ни нарисовать, их можно только представлять.

Вместе с тем само понятие об идеальных фигурах формировалось на почве тех логических рассуждений, которыми обосновывались выводы геометрии, поскольку в этих рассуждениях фигуры выступали как предметы мысли. Формирование идеального предмета геометрии и ее мыслительного метода представляло единый процесс, в котором обе стороны как бы подталкивали друг друга в их движении в область абстрактного мышления.

Этот процесс хотя и отвлекал предмет геометрии от реальности, шел естественно, отправляясь от практики. Рассмотрим, например, понятие об отрезке. Землемеры в Древнем Египте вбивали в землю колышки и между ними протягивали веревки. При этом практически важна была только длина веревки и ничто другое. Колышки и веревки можно было брать потоньше, и не было видно, почему нельзя уточнять это и дальше. Так места, где воткнуты колышки, начинают мыслиться как точки, а веревки — как отрезки, и в конце концов приходят к представлениям о точке без всяких размеров и об отрезке, вообще о линии, как о «длине без ширины» (как и определяется линия у Евклида), ибо точка отмечает только конец отрезка и в отрезке важна только его длина. Итак, можно сказать: отвлечение от реальности практики направлялось самой практикой.

Совершенно так же представление о других фигурах возникало в результате отвлечения от всего того, что является посторонним и случайным по отношению к форме и размерам, когда именно они важны практически. Фигура в геометрии и есть не что иное, как образ реального тела, в котором отвлекаются от всего, кроме формы и даже некоторых размеров. Понятия об идеальных фигурах с идеально точными размерами и формой позволяли формулировать точные правила решения практических задач, получать точные логические выводы. Точные правила требуют точных понятий, как в точной работе нужен точный инструмент. Геометрия и развивалась как инструмент решения практических задач и на этой почве формировалась как отвлеченная логическая система с последовательностью доказываемых утверждений — теорем. Конечно, в этом процессе, шедшем в Греции с VI в. до н.э., важную роль играли и чисто умозрительные интересы, обусловленные объемом и красотой содержания геометрии.

Геометрия отделялась от действительности, ее непосредственный предмет становился идеальным, только мыслимым, и ее метод — чисто умозрительным, требовавшим доказательства рассуждением без ссылки на опыт. Опыт выступал в геометрии в форме мысленных экспериментов: мысленные построения, доказательства теорем наложением фигур и др.

Отделение геометрии от действительности, данной в повседневной практике, особенно четко проявилось, когда греки, исходя из теоремы Пифагора, открыли несоизмеримые отрезки.

Содержание теоремы Пифагора было известно в Египте и Вавилонии задолго до Пифагора как опытный факт, как закон реальной геометрии, подобно любому закону физики. Из этого закона следует, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы: нет отрезка, укладывающегося на них по целому числу раз.

Но это последнее утверждение нельзя проверить на опыте, потому что абсолютно точное измерение невозможно. Более того, реальные измерения могли бы опровергнуть это утверждение, потому что можно подобрать отрезок, укладывающийся на стороне и диагонали целое число раз с чрезвычайно высокой точностью. Никакие реальные предметы не имеют абсолютно точных размеров, никакие реальные длины не могут быть абсолютно точно фиксированы, поскольку тела состоят из частиц, не имеющих вполне точных размеров. Поэтому, с точки зрения реальных измерений, можно было бы сказать, что диагональ и сторона всякого реального квадрата соизмеримы.

Таким образом, исходя из твердо установленного опытного факта геометрия делает вывод, не имеющий реального смысла. Физики не придали бы ему значения и отбросили бы как ненужный и бессмысленный, а математики удержали его и, мало того, построили теорию отношений несоизмеримых величин (Евдокс, IV в. до н. э.). Затем много позже эти отношения (в Индии и затем в Средней Азии) были истолкованы как новый вид чисел — иррациональные числа; впоследствии на этой почве развился математический анализ, а уже в конце XIX в.— теория множеств.

Что тут происходило? Во-первых, выводу из опыта, превращенному в теорему, был придан абсолютно точный смысл. Во-вторых, из него был сделан логический вывод, и затем на основе этого вывода шло восхождение к новым отвлеченным понятиям.

Здесь с особой ясностью выступила особенность и сущность не только геометрии, но чистой математики вообще. Всякой науке свойственна абстракция, идущая, скажем в современной физике, очень далеко, но во всех науках абстракции сверяются с опытом, им не придается самостоятельного значения. В математике же абстракции принимаются в их

идеальном существовании. Предмет геометрии составляют идеальные фигуры, а не реальные формы реальных тел, хотя геометрические фигуры являются изображением (отражением) этих форм и выводы о них применяются к реальным телам.

Хотя геометрия сложилась у греков как наука об идеальных фигурах, тем не менее казалось: она совершенно точно соответствует свойствам реальных пространственных отношений хотя бы при предельном уточнении размеров и форм тел. Абсолютное пространство, как его понимал Ньютон, представлялось, несомненно, обладавшим евклидовой геометрией. Никакая другая геометрия и не мыслилась. (В конце XVIII в. знаменитый философ Кант пришел даже к мысли, что геометрия априорна — независима от опыта.)

Таким образом, в геометрии заключалось противоречие: будучи наукой об идеальных, только мыслимых, фигурах, она считалась безусловно верной для реальных пространственных форм и отношений при предельном их уточнении.

Однако убеждение в таком точном соответствии идеальной и реальной геометрии было подвергнуто сомнению Н. И. Лобачевским и К. Гауссом и была понята возможность другой — неевклидовой геометрии (которая и была развита, как известно, Лобачевским, а также Больяи). Потом, уже в начале нашего столетия, возникла общая теория относительности, согласно которой геометрия реальных пространственных отношений оказывается неточно евклидовой (что находит подтверждение в очень больших космических масштабах).

Так евклидова геометрия, возникнув из опыта и отделившись от него в своей идеальности, пришла с ним хотя бы в некоторое несоответствие. Однако это ничуть не затрагивает ее как часть чистой математики, потому что в этом качестве она представляет собой систему логических выводов из аксиом, независимо от того или иного отношения их к действительности.

Противоречие, бывшее внутри евклидовой геометрии, как бы разорвало ее: произошло раздвоение геометрии на чисто математическую геометрию с ее единственным условием логической точности и на геометрию как физическую теорию, как учение о реальных пространственных отношениях, сверяемое с опытом, как это присуще всякой физической теории. Идеально точная евклидова геометрия, зародившись как опытная наука, превратилась в собственную противоположность — в науку, которая сама по себе не заботится о соответствии с опытом, а в связи с опытом оказывается не совсем точной.

Такие противоречия, такие переходы в противоположность, такое раздвоение единого — единой геометрии на геометрию чисто математи-

ческую и геометрию физическую — охватывается общим понятием диалектики.

В.И. Ленин писал: «Раздвоение единого и познание противоречивости частей его… есть суть… диалектики…

Правильность этой стороны содержания диалектики должна быть проверена историей науки»*.

Так в истории науки единая геометрия раздвоилась на противоречивые части, разошедшиеся в чистую математику и в физику. Отделение чисто математической геометрии от опыта особенно обостряется в теоретико-множественном взгляде на фигуры, как на состоящие из точек, из бесконечного числа — континуума точек. Отношение этого представления к реальным фигурам более чем отдаленное. Если следовать выводам теории множеств, то приходим к теоремам, совершенно немыслимым с точки зрения реальности**.

Отклонение от евклидовой геометрии, как уже сказано, обнаруживается в космических масштабах, но на Земле те отклонения, которые выводятся из общей теории относительности, совершенно ничтожны и лежат за пределами опыта. (Чтобы их обнаружить, нужно увеличить точность измерения длин по крайней мере в 100 раз в сравнении с достигнутой, дойти до измерения длин порядка одной десятитысячной длины волны света.)

Таким образом, если не следовать теоретико-множественной точке зрения, то евклидова геометрия может с очень высокой точностью рассматриваться как наука о фигурах в физическом смысле — как теория, касающаяся реальных пространственных отношений в пределах земного опыта. Ее строго дедуктивное, основанное на аксиомах построение возможно и без теоретико-множественной точки зрения***.

Конечно, геометрия отражает свойства реальных фигур, реальные пространственные отношения в идеализированном виде. Но точно так же, скажем, механика системы материальных точек или твердого тела отражает свойства реальных механических явлений в идеализированном виде: ведь ни материальных точек, ни абсолютно твердых тел нет в действительности, это — ее идеализированные образы. Поэтому можно сказать: геометрия при соответствующем понимании (без теоретико-множественной точки зрения, без бесконечных прямых и др.) в соотнесении с опытом «ничуть не хуже» механики. Но взятая как чисто логическая

* Полн. собр. соч., т. 29, с. 316.

** Доказано, например, что сферу можно разбить на такие части, что, перемещая их, из них можно составить две такие же сферы.

*** Так, основания геометрии Д. Гильберта составлены без теоретико-множественной точки зрения, однако они отходят от реальности в некоторых других отношениях.

система выводов, она вовсе отделяется от опыта. Так, геометрия включает в себя эти противоположности, в ней мы постоянно переходим от реальности, например от рисунка, к логической строгости, отвлеченной от наглядности, и обратно — к реальности в решении практических задач.

Диалектика аксиом

Двойственность геометрии, раскрытая в предыдущем изложении, чрезвычайно ясно выступает в понимании ее аксиом.

По своему происхождению и первоначальному смыслу аксиомы геометрии выражали непосредственные обобщения опытных фактов. Они имеют такой же смысл и теперь, если трактовать их элементарно, без теоретико-множественного воззрения. В самом деле, в «Началах» Евклида первые аксиомы (или, как они там названы, постулаты) утверждают:

1) через каждые две точки можно провести прямую,

2) и каждую прямую можно продолжить.

Из второго утверждения очевидно, что «прямая» понимается как конечная, как понимают ее все люди в жизни, в практике, когда не занимаются геометрией. Поэтому оба утверждения выражают очевидные опытные факты — возможности реальной практической деятельности по проведению прямых линий.

В принятом теперь учебнике аксиомы также выражают опытные факты с некоторым добавлением представления о бесконечно продолжаемой прямой и о том, что фигура «составляется из точек». Если начинать с прямой, как ее понимают в жизни, то можно было бы высказать следующие аксиомы.

11. Через каждые две точки можно провести прямую.

12. Всякую прямую можно продолжить в обе стороны (в виде прямой, конечно).

13. Неограниченно продолженная прямая, проходящая через две данные точки, только одна. Далее, отрезок можно, в согласии с наглядным пониманием, определить как часть прямой, заключенную между двумя точками.

Аксиомы измерения и откладывания отрезков и углов имеют очевидный опытный смысл, взятый из практики измерений. (Скрытое здесь понятие иррационального числа не может беспокоить ни учащегося, ни преподавателя, так как поначалу оно совершенно не нужно.)

Аксиома параллельных обычно выражается в учебниках в форме, недоступной опыту, как утверждение о бесконечных прямых. Но у Евклида равносильный этой аксиоме V постулат утверждает, если понять

его простой смысл, возможность построения треугольника по стороне и двум углам:

Какой отрезок АВ и два угла, в сумме меньше развернутого, ни задать, существует (можно построить) треугольник со стороной АВ и углами А, В, равными данным*.

Практический смысл этого утверждения очевиден и не нуждается в пояснениях.

До второй половины прошлого столетия аксиомы принимались именно как выражение фактов, хотя и взятых в идеализированном виде. Еще Лобачевский, вводя свою аксиому, противоположную аксиоме параллельных, понимал ее как выражение возможных пространственных отношений, как касающуюся их гипотезу. Сама геометрия Лобачевского представлялась ему как возможная теория пространственных отношений.

Однако с дальнейшим развитием геометрии, с уточнением ее аксиоматики, с появлением многих разных геометрий разного числа измерений и дальше с появлением взгляда на фигуры как множества точек положение в корне изменилось. Различные мыслимые геометрии, тем более высшего числа измерений, уже нельзя было понимать как возможные изображения пространственных отношений в обычном смысле.

Какой же смысл могут иметь тогда аксиомы геометрии, если мы отвлекаемся от того, что она изображает? Ответ был найден: аксиомы должны рассматриваться как «скрытые определения», т.е. точнее надо сказать так:

Система аксиом какой-либо теории является определением ее предмета и основных ее понятий.

Как чисто теоретическое изучение какого-либо предмета должно начинаться с его определения и полностью на него опираться, так и чисто дедуктивное построение теории должно начинаться с определения ее предмета и основных понятий. А так как тут заранее не на что ссылаться, то определения эти и заключены в самих аксиомах.

Изучение какой-либо фигуры в геометрии начинается с ее определения. Например, изучение окружности открывается ее определением и на основе этого определения устанавливаются ее свойства, выраженные в теоремах.

Также естественно начать изучение плоскости (т. е. построение планиметрии) с ее определения. Например:

Плоскостью (евклидовой плоскостью) называется множество некоторых элементов, называемых точками, при условии, что в этом множестве

* У Евклида формулировка другая: если две прямые пересечены третьей и образуют с нею с одной стороны внутренние углы в сумме меньше двух прямых, то прямые с этой стороны пересекаются.

выделены некоторые подмножества, называемые прямыми, а также установлены некоторые отношения и выполняются аксиомы (далее перечисляются отношения и аксиомы).

Отношение «точка принадлежит прямой» уже подразумевается тем, что прямая является некоторым подмножеством плоскости.

Если брать аксиомы из учебника А.В. Погорелова*, то там фигурирует еще другое отношение — одна точка лежит между двумя другими. Других основных отношений в аксиоматике, принятой в этом учебнике, нет. Зато есть аксиомы, которые относят каждому отрезку и углу положительное число —«длину» (в данной единице) и «градусную меру».

Если брать аксиомы из учебника под редакцией А. Н. Колмогорова**, то там нет никаких основных отношений, кроме принадлежности точки прямой. Но каждым двум точкам соотносится расстояние. Поэтому согласно этой аксиоматике можно сказать:

Плоскостью называется множество «точек», в котором выделены подмножества, называемые прямыми, и каждым двум точкам соотнесена величина, называемая расстоянием, так, что выполняются соответствующие аксиомы (их можно найти в конце учебника в качестве приложения).

Итак, коротко говоря, плоскость — это множество, в котором выполняются аксиомы планиметрии (выбранные тем или иным способом).Элементы этого множества называются точками.

Последняя фраза представляет собой определение точки в планиметрии. Далее можно дать определение других основных понятий.

Прямой называется подмножество плоскости, для которого вместе с другими такими же подмножествами выполняются аксиомы планиметрии.

Расстоянием называется величина, относимая каждым двум точкам так, что выполняются соответствующие аксиомы.

При аксиомах, принятых в учебнике А.В. Погорелова, аналогично можно дать определение длины, градусной меры и отношения «между» (это такое отношение точек, для которого выполняются аксиомы).

Аналогично можно дать определение пространства как множества, где выполняются аксиомы стереометрии.

Таким образом, аксиоматика дает определение предмета теории и ее основных исходных понятий.

Мы определили точку не саму по себе, а совместно с другими точками, как элемент образуемого ими множества с его структурой, описанной аксиомами. Совершенно так же прямую, расстояние, отношение «между»

* Погорелов А.В. Геометрия 6–10. М.: Просвещение, 1983.

** Геометрия 6–8 / Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1982.

определяют каждое не само по себе, а совместно с другими, как они входят в аксиомы.

Прямая — это множество точек, удовлетворяющее вместе с другими такими множествами аксиомам планиметрии. Иначе говоря, прямая — это множество точек, входящее определенным образом в структуру плоскости. Такие определения встречаются постоянно не только в математике. Так, например, класс — это множество учащихся, входящее известным образом в структуру школы. Вообще, для всякой организации определения возможны только через взаимные отношения ее элементов и частей, в частности и для таких «организаций», как плоскость или евклидово пространство.

Такие определения, когда понятия определяются через взаимные отношения, можно назвать соотносительными. На них обратил внимание К. Маркс в «Капитале», приведя пример: данный человек — король лишь постольку, поскольку есть люди, являющиеся его подданными. Король и подданные определяются их взаимным отношением.

Заметим, что в учебниках под редакцией А. Н. Колмогорова и под редакцией З. А. Скопеца* говорится, что основные понятия, например «точка» и «прямая», принимаются без определений. Это означает на самом деле, что они принимаются без предварительных определений; их определения даются самими аксиомами. Аксиомы играют для них роль, как говорят, неявных определений. Но мы убедились, что эти определения можно выразить явно.

Основные понятия теории — это те, определения которых даются самими аксиомами. Но «понятие», которому не дается никакого определения, вовсе не понятие, а простое слово.

Одному и тому же предмету можно давать разные определения, беря за исходные разные его свойства, лишь бы определения были равносильны. Совершенно так же в основание планиметрии, в определение ее предмета, как и всякой другой теории, можно принимать разные основные понятия, разные системы аксиом, лишь бы они были равносильны. Выбор тех или иных основных понятий и аксиом может диктоваться соображениями простоты, легкостью получения выводов, наглядностью истолкования и др. В общем выбор тех или иных основных понятий и аксиом — дело условия, можно сказать, удобства, лишь бы, как уже сказано, аксиомы были равносильны, т. е. определяли бы тот же самый предмет.

Таким образом, аксиомы геометрии, как и в других теориях, можно понимать в двух различных смыслах. В одном смысле они являются

* Геометрия 9–10 / Под ред.З.А. Скопеца. — М.: Просвещение, 1983.

выражением обобщения некоторых фактов, в другом — служат определению абстрактного предмета теории и ее основных понятий.

Если аксиомы понимают в первом их значении, то для них, как и для всей теории, имеет смысл вопрос об истине: верно ли отражают они свойства предмета, к которому относятся выражаемые ими факты, может быть это выражение неточно или даже вовсе ошибочно?

Но если аксиомы понимать в значении определения некоторого предмета, то вопрос об истине — верны они или неверны, точны или неточны — не имеет никакого смысла. Вопрос может стоять только об осмысленности, непротиворечивости определения, но бессмысленно спрашивать, верно оно или неверно. Когда говорят, что какое-то определение неверно, то имеют в виду либо определение, относящееся к предмету, который и без того определен или предъявлен, либо говорят об употреблении термина, не соответствующего принятому. Вопрос «верно или неверно?» в его подлинном значении подразумевает объект, к которому относится утверждение. Но само определение «определяет» свой объект, поэтому, если угодно, оно всегда «верно» в том же бессодержательном смысле, в каком верна тавтология, например, «шар есть шар».

Все сказанное легко видеть на примере теорий более простых, чем геометрия.

Возьмем, например, теорию групп. Она возникла как теория композиций подстановок. Если имеется набор каких-либо различных элементов, скажем, чисел или букв, то их можно располагать в разных порядках и переход от одного расположения к другому представляет собой подстановку одних элементов на место других. Произведя одну подстановку, а за ней и другую, получаем их композицию — некоторую новую подстановку. Данная совокупность подстановок представляет собою «группу», если композиция любых двух из них дает подстановку из той же совокупности.

Отвлекаясь от подстановок, дают следующее определение:

Группой называется множество каких-либо элементов, в котором определена «операция», сопоставляющая каждым двум элементам а, b, взятым в данном порядке, определенный (единственный) третий элемент с, что записывается: c = ab, причем выполняются следующие аксиомы — известные «аксиомы группы»: (1) (ab) c = a(bc); (2) существует такой элемент е, что для всякого а ае=а; (3) для всякого а существует такой элемент а–1, что аа–1 = е. Все эти аксиомы выполняются в группах подстановок. Если же добавить требование, что число элементов конечно, то получаем «конечную группу» и каждая конечная группа может быть представлена как группа подстановок (вообще говоря, не всех подстановок данного числа элементов). Но в самом понятии группы, как говорят, природа или

конкретный вид ее элементов не играет никакой роли. Таким образом, аксиомы группы выражают в отношении подстановок свойства их композиции; для них они верны. Но сами по себе они служат определением понятия группы.

Также в элементарной геометрии: ее аксиомы, как и она сама в целом, взятая в отношении к реальным телам, выражают общие свойства их пространственных форм и отношений. И это выражение может быть неточным; оно и оказывается не совсем точным. Но сама по себе аксиоматика геометрии определяет ее абстрактный предмет независимо от степени его соответствия реальности и служит основанием его чисто умозрительного исследования, исходя из определения. В школьном курсе эти два аспекта не различаются, как не различались они до второй половины прошлого столетия в течение более 2000 лет. В этом заключалось и остается в школьном курсе внутреннее противоречие геометрии.

Поясним это на простом примере. Согласно евклидовой геометрии, фигуры можно свободно перемещать без изменения расстояний между их точками; в частности, для каждого данного треугольника можно в любом другом месте построить равный ему треугольник, однако, согласно общей теории относительности, это в строгом смысле невозможно. Треугольник с такими же сторонами, как данный, построенный в другом месте, будет иметь, вообще говоря, несколько иные углы; он неизбежно несколько исказится. На Земле и вблизи нее это искажение ничтожно и лежит за пределами всякой точности измерения. Но вблизи сверхплотной звезды такое искажение становится в принципе заметным. Может оказаться, что построить в любом месте треугольник, строго равный данному, невозможно.

Такая ситуация, однако, никак не задевает евклидову геометрию как математическую теорию. В ней указанное свойство треугольника выполняется либо по выбору аксиомы, либо в силу теоремы при другом выборе аксиомы.

То же относится к любой аксиоме или теореме геометрии, например к теореме Пифагора. В отношении к реальным телам ее содержание выражает закон природы, который, как всякий закон, может быть не совсем точным, как и утверждает общая теория относительности. Но теорема Пифагора в евклидовой геометрии незыблема как логический вывод из аксиомы.

Так всякая теорема геометрии, отнесенная к реальности, выражает закон природы и может быть неточной; совершенно точной она является только как вывод из аксиом, но тогда отвлеченный от реальности. Заостряя, можно сказать: либо смысл — и тогда неточность, либо точность, но тогда отказ от смысла.

Сказанное относится к другим геометрическим теориям, как, например, к геометрии Лобачевского, римановой геометрии, а также к математическим теориям вообще.

Всякая теория чистой математики, взятая именно в этом ее качестве чисто математической теории, является системой логических выводов, и ее собственная математическая истинность состоит только в ее непротиворечивости. Но вместе с тем она имеет смысл и значение только в меру того, насколько так или иначе, прямо или косвенно через другие теории она служит познанию действительности и овладению ею в практике.

Математические теории можно уподобить станкам, значение которых состоит в том, чтобы делать нужные людям вещи, сами же по себе они не нужны. Но как станку нужна точная и прочная структура, так и чистой математике нужна логическая строгость — прочность ее структуры. В станке может работать непосредственно только резец, но без станка в целом он не будет хорошо работать. Так и в математике: непосредственно применяться на практике могут отдельные ее части и выводы, но чтобы обеспечить точность этих применений, нужны целостные математические теории, вся логическая структура математики в целом. Впрочем, у евклидовой геометрии применяется, работает большинство ее выводов.

Логическая строгость теории обеспечивает уверенность в приложениях: если что-либо с приложением теории не получается, то это не из-за неточности самой теории, а либо из-за неточности данных, или неточности соответствия условий задачи выводам теории, либо просто из-за нашей ошибки. Отвлеченный характер математики, и геометрии в частности, обеспечивает тем самым ее мощь в приложениях. Тем более что теория может применяться в разных областях к разным явлениям, где можно истолковать ее абстрактные понятия. Она применима ко всему, что подпадает под отвлеченное определение ее предмета аксиомами. Так, группу могут образовывать подстановки, геометрические преобразования, алгебраические преобразования и др.

Наука, восходя к абстракциям и тем непосредственно удаляясь от действительности, обретает возможность проникать в нее глубже и разностороннее.

ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ

(Александров А. Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987)

Начало геометрии — до Евклида

Подлинные начала и основания геометрии, как уже было сказано, лежат в объективной действительности, в материальной практической деятельности людей. Отсюда шло восхождение в область абстрактного мышления, где формировались и изменялись как понимание предмета геометрии, так и ее исходные положения. Теоретические основания геометрии образуются соединением этих двух компонент: взгляда на ее предмет и ее исходных положений. История оснований геометрии и есть история восхождения в область абстракции через ряд существенных этапов.

Первоначальные геометрические понятия возникли у людей в глубочайшей древности и постепенно расширялись и уточнялись с развитием практической деятельности, когда люди оценивали расстояния, делали прямые копья и стрелы, сравнивали их по длине и т. п. Потом с развитием земледелия были выработаны в практике правила измерения земельных участков, правила нахождения простейших площадей и объемов, правила, необходимые для строительства и др. Эти простые правила сравнения фигур, нахождения геометрических величин, правила простейших геометрических построений и составили начала геометрии как прикладной науки, как собрания правил решения практических задач*. Такие зачатки геометрии складывались в древних земледельческих обществах (в Египте, в Месопотамии, в дельте Инда, в Китае; самое древнее дошедшее до нас в отрывках сочинение из Египта с решением геометрических задач относится к XVII–XVI вв. до н. э., но оно, конечно, не было первым). На этом уровне геометрия достигла заметного развития; были установлены многие ее факты, как, например, теорема Пифагора, при-

* Понятие «наука» толкуют по-разному, но в данном случае мы имеем в виду то, что сказано: «собрание правил…»

ближенное выражение объема шара и др., но не как логически доказанные теоремы, а как выводы из опыта. Впрочем, это противопоставление вывода из наблюдения и логического доказательства не следует преувеличивать, и мы это еще обсудим. До нас дошли только жалкие отрывки того, что знали в Египте по геометрии, и есть основания думать, что там не только знали больше, но и приводили хотя бы некоторые доказательства*.

Практические правила постепенно приводились в систему, одни правила стали выводиться из других и обосновываться рассуждениями. Возникло доказательство, правила стали превращаться в теоремы — в предложения, которые доказываются рассуждением без прямых ссылок на опыт; появились также задачи и выводы, имеющие умозрительный, теоретический интерес; сложилось представление об идеальных геометрических фигурах. Геометрия становится, таким образом, теоретической наукой. Тогда же складывалась теоретическая арифметика, начала теории чисел, так что в целом возникла «чистая» математика. Как проходил этот процесс, точно не известно. Но, во всяком случае, известно, что геометрия оформилась в Греции в период VII–V вв. до н. э. Имена первых греческих геометров — или, лучше сказать, философов, занимавшихся геометрией,— Фалеса (ок. 625–547 гг. до н.э.) и Пифагора (ок. 580–500 гг. до н. э.) сохранились в названиях известных теорем. Факт, составляющий содержание теоремы Пифагора, был известен раньше, но можно думать, что Пифагор нашел доказательство**. Есть сведения, что Пифагор ставил общую задачу доказательства теорем и тем самым — развития геометрии как теоретической науки, а в пифагорейском афоризме —«числа правят миром», в идее математической гармонии мира можно видеть первый замысел того, что можно назвать математическим естествознанием, о чем много веков спустя писал, например, Галилей. Такие фундаментальные идеи зарождаются, складываются и развиваются постепенно. Поэтому не нужно ни приуменьшать, ни преувеличивать значение и содержание того, что думали, говорили и делали люди от древности до наших дней. В частности, это важно для лучшего понимания развития оснований геометрии.

В конце V в. до н. э. греческий геометр Гиппократ Хиосский (т. е. с острова Хиоса) создал сводное сочинение по геометрии —«Начала», до нас, однако, не дошедшее. Он же, как и другие греческие геометры того времени, занимался тонкими теоретическими вопросами геометрии.

* Есть указание, что еще Демокрит (ок. 460–370 гг. до н. э.) гордился тем, что превзошел египетских землемеров в построениях и доказательствах.

** Есть легенда, что на радостях открытия Пифагор принес жертву в сто быков. Отчего теперь, как говорят, «все скоты дрожат, когда открывается новая истина».

Таким образом, несомненно, что в то время геометрия уже сложилась как наука с ее системой выводов и теоретических задач.

Важнейшим событием в геометрии того времени — в V в. до н. э. было открытие несоизмеримых отрезков; диагональ квадрата не соизмерима со стороной: их отношение не выражается отношением целых чисел. Раньше думали, что отношение любых величин можно выразить рациональным числом, но выяснилось, что это неверно.

До того великий философ и ученый Демокрит развил взгляд на геометрические фигуры как на состоящие из мельчайших частиц —«амер». Согласно этому взгляду отношение отрезков выражается отношением числа таких частиц*. Опираясь на это представление, он создал как бы прообраз интегрального исчисления, находя объемы суммированием тонких слоев. Он получил таким путем важные результаты. Теория его оказалась, однако, неверной (явление обычное и характерное для научных теорий).

В целом открытие несоизмеримых отрезков не только оказало глубокое влияние на понятие о геометрических фигурах и произвело чрезвычайное впечатление на греческую мысль в геометрии и философии. В нем открывалось понятие математической непрерывности, понятие о континууме, которое на протяжении веков служило и продолжает служить предметом затруднений и глубочайших исследований от известных парадоксов Зенона до резких споров интуиционистов против «формалистов» в начале нашего столетия, от зарождения понятия о вещественном числе до нестандартного анализа и современного решения проблемы континуума.

Теория отношений несоизмеримых величин была создана Евдоксом (ок. 408–355 гг. до н.э.) — по-видимому, величайшим греческим ученым в области математики**. Его теория остается и поныне образцом строгого логического построения. В связи с этим он высказал аксиому, называемую аксиомой Архимеда (хотя сам Архимед приводил ее как известную). Однако до обобщения понятия числа — до понятия об иррациональных числах — греки не дошли; это понятие складывалось гораздо позже, уже в Индии и Средней Азии.

Но независимо от этого можно сказать, что с «Началами» Гиппократа и теорией Евдокса греческая геометрия приобрела в своих основах ту фор-

* Не следует смешивать амеры как частицы идеальных фигур с атомами, образующими материальные тела. Здесь, говоря о Демокрите, мы следуем С.Я. Лурье, крупному советскому исследователю античной науки.

** Вместе с теорией отношений Евдокс создал метод нахождения площадей и объемов, известный как «метод исчерпывания», которым потом с особым успехом пользовался Архимед. Кроме того, Евдокс создал — возможно, первую — модель движения Солнца, Луны и планет и тем, можно сказать, создал первую математическую теорию естествознания.

му, в какой она просуществовала до конца прошлого столетия и в какой мы в основном воспринимаем ее и теперь, хотя, конечно, понимание и анализ ее предмета и основ чрезвычайно продвинулись с того времени.

«Начала» Евклида

Основные достижения греческой геометрии до 300 г. до н. э. были систематизированы и изложены Евклидом (ок. 339–275 гг. до н.э.) в его знаменитом труде «Начала». Там содержатся только основы геометрии того времени, но, например, известные к тому времени результаты, касающиеся конических сечений, не затрагиваются. «Начала» состоят из тринадцати книг или, как мы теперь сказали бы, глав; книги I–IV и VI посвящены планиметрии, XI–XIII — стереометрии, а остальные содержат элементы теории чисел и геометрически изложенной алгебры, так что в целом «Начала» представляют изложение основ не одной геометрии, а математики того времени вообще (хотя в ней геометрия занимала господствующее, можно сказать подавляющее, положение).

Каждая книга «Начал» открывается определениями тех понятий, которые впервые появляются в этой книге. Первая книга начинается с 23-х определений. Вот первые из них*.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же — длина без ширины.

3. Концы же линии — точки.

4. Прямая линия есть та, которая ровно расположена по отношению к точкам на ней.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Границы же поверхности — линии.

7. Плоский угол есть наклонение друг к другу двух линий. Дальше идут определения — прямого, острого и тупого углов, треугольника и другие, в общем равносильные принятым в настоящее время.

За определениями следуют основные положения, принимаемые без доказательств,—«постулаты» и «общие понятия»—«аксиомы». Принцип этого деления исходных положений на постулаты и аксиомы не совсем ясен; в разных списках «Начал» это деление проводится различно (кроме того, есть мнения, что некоторые аксиомы были добавлены к тексту Евклида позже; и также не известно точно, какие постулаты, аксиомы и определения Евклид заимствовал у своих предшественников; несомненно, он заимствовал у Гиппократа Хиосского, но насколько — не известно).

* Мы цитируем по изданию: Евклид. Начала. Книги I–VI / Перевод и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского. М.; Л.: Гостехиздат, 1948.

Бесспорно признают три постулата, они формулируются у Евклида так:

«Допустим:

1. Что от каждой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить прямо.

3. И что из всякого центра, всяким раствором может быть описан круг».

Знаменитый V постулат (в других списках 11-я аксиома)*, равносильный аксиоме параллельности, гласит: «если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие (вместе) двух прямых, то неограниченно продолженные эти две прямые встречаются с той стороны, где углы меньше двух прямых» (рис. 1).

За постулатами следуют «общие понятия» (аксиомы);они открываются двумя следующими:

1. Равные одному и тому же, равны и между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

Рис. 1

За аксиомами следуют теоремы и задачи на построение под общим названием «предложения»; они расположены в строгой последовательности так, что каждое последующее опирается на предыдущее, а также на постулаты и аксиомы. Первым предложением является задача: «На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник». Четвертое предложение представляет первую теорему — «первый случай равенства треугольников»; пятое — теорему об углах равнобедренного треугольника и т.д.

Теперь рассмотрим приведенные нами элементы «Начал»: определения, постулаты и т. д.

Начальные определения Евклида являются описаниями основных объектов геометрии, но не их формальными определениями, которые для основных понятий и невозможны. Эти евклидовы определения критикуют и называют «дефектными», но не основательно. Определение точки точно выражает ее место в геометрии; теперь говорят, что точка — элемент множества, которое представляет собою плоскость, она не имеет ни частей, ни свойств сама по себе.

Определение линии и поверхности можно считать равносильным тому, как их определяли геометры XIX века: линия — это одномерная протяженность, поверхность — двумерная. Одно измерение линии — длина; у поверхности два измерения — длина и ширина.

* Название «пятый постулат» более распространено, но заметим, что у Бояи говорится об «одиннадцатой аксиоме».

То, что границы линии — точки, а границы поверхности — линии, выражает примерно то же, что теперь принимают за определение числа измерений. Точка нульмерна, линия одномерна, так как малая ее часть выделяется точками, поверхность двумерна, так как ее части выделяются линиями*.

Определение угла как наклонения одной линии к другой выражает сущность этого понятия лучше, чем определение его как пары лучей, или ограниченной двумя лучами части плоскости. Угол в треугольнике, вписанный угол в окружности и др. понимают на самом деле по Евклиду.

Три первых приведенных выше постулата выражают возможность основных построений. При этом важно понимать, что «прямая» у Евклида не бесконечная, а конечная, но допускающая неограниченное продолжение. Когда, как в предложении 1, говорится об «ограниченной прямой», то имеется в виду прямая с фиксированными «границами»— точками, т. е. определенный отрезок. Вообще же «прямая» мыслится как свободно продолжаемая. Понятие бесконечной прямой, как данной в ее бесконечности, было чуждо грекам.

Точно так же после открытия несоизмеримых отрезков, опровергнувшего представления о частицах геометрических фигур, прямая мыслилась греками как непрерывная, неограниченно делимая, но не состоящая из точек. Так же, например, окружность: на ней есть точки, она геометрическое место точек, но не состоит из точек. Это соответствует наглядному представлению, тем более — построению: прямую проводят по линейке, окружность описывают циркулем, но не строят по точкам; это и невозможно.

Аксиомы Евклида относятся прежде всего к величинам, к любым величинам, будь то длина отрезка, величина угла, площадь треугольника или многоугольника. «Равные» означает у Евклида «равновеликие», так что, скажем, для треугольников это означает равенство площадей. Это понимание равенства, как и понимание «прямой», очень ясно видно в евклидовой формулировке предложения 4.

«Если два треугольника имеют по две стороны, равные каждая каждой, и по равному углу, содержащемуся между равными прямыми, то они будут иметь и основание, равное основанию, и один треугольник будет равен другому, остальные углы, стягиваемые равными сторонами, будут равны остальным углам каждый каждому».

Конечно, в постулатах и аксиомах Евклида нет многого из того, чем он на самом деле пользуется в доказательствах. Это понятие о совмеще-

* Вообще, фигура (пространство) n-мерна, если сколь угодно малая окрестность точки в ней ограничивается (n– 1)-мерной фигурой. Так, в определении Евклида можно видеть зачаток современного определения числа измерений в топологической теории размерности. Впрочем, конечно, не следует преувеличивать эту связь.

нии или наложении фигур, которое используется уже в доказательстве первой теоремы — предложения 4, а также в аксиоме 7: «совмещающиеся равны». Это понятие о строении прямой, о порядке точек на ней, которое неявно, присутствует постоянно, когда, например, говорится о разделении прямой на отрезки и т.п. Это также понятие о расположении фигур с той или с другой стороны от прямой; понятия, связанные с непрерывностью (например, о пересечении прямой и окружности), и др.

Однако нет ничего удивительного в том, что все это считалось само собой понятным, входящим в само понятие прямой, окружности и плоскости. Так же теперь, когда говорят, например, что фигура «состоит из точек» или «является их совокупностью», то считают это само собой понятным, хотя можно спросить: в каком смысле «состоит»? Во всякой аксиоматике подразумевается что-то известным и само собой понятным. Поэтому Евклида надо понимать как ступень выявления оснований геометрии, ступень, важнейшую как первую (если не говорить о предшественниках), за которой следуют другие ступени.

Ни в определениях, ни в постулатах и аксиомах Евклид, конечно, не отрывается от наглядных представлений: его система содержательна, но никак не формальна. Постулаты говорят о реальных построениях, хотя бы и в общей идеализированной форме. Соответственно, доказательства носят тот же характер, как бы мысленных экспериментов; как совмещение треугольников воспроизводит в мысли реальное наложение одного на другой. Обычное — содержательное, а не чисто формальное — изложение элементарной геометрии сплошь носит такой характер с большей или меньшей степенью абстракции, с дополнением возможного только мыслимым.

Достойно внимания, что уровень строгости Евклида не вызывал возражений, кроме разве частных замечаний комментаторов, вплоть до последней четверти XIX в.— настолько он совершенен.

«Начала» служили образцом научного изложения на протяжении 2000 лет, им следовал, например, Ньютон в «Оптике» ив «Математических началах натуральной философии». Со времен Евклида все учили геометрию по его «Началам». Школьные учебники до самого последнего времени представляли, по существу, популярное изложение «Начал». Немногие произведения сравнимы с ними по долголетию.

От Евклида до Лобачевского

После Евклида греческие ученые существенно продвинули геометрию в ряде направлений (развивали дальше методы нахождения площадей и объемов (Архимед, 287–212 гг. до н.э.), глубоко изучили конические

сечения (Аполлоний, ок. 260–170 гг. до н. э.), положили начало тригонометрии (Гиппарх, 180–125 гг. до н.э.), начала геометрии на сфере (Менелай, I–II вв.) и др.). После них ничего особенно существенного в геометрии долго не было сделано, так как, можно сказать, она была доведена ими до тех пределов, за которыми ее развитие требовало новых методов; ибо Архимед уже решал, по существу, задачи интегрального исчисления, а Аполлоний получал результаты аналитической геометрии, но без алгебры, без понятия о любом вещественном числе.

Это понятие складывалось постепенно (в Индии, в Средней Азии),на основе понятия об отношении отрезков, отношении любых геометрических величин, пока не было выработано определение числа как отношения величин вообще*. Таким образом, понятие вещественного числа фактически выросло из оснований геометрии, но теперь, отделенное от нее, оно вносится в них извне, как уже известное. Однако при достаточно глубоком понимании оснований геометрии они не должны включать понятие числа, а оно само должно выводиться из них, как и было в действительности. И теперь при неформальном введении общего понятия об иррациональных числах объясняют, что они необходимы для измерения отрезков, несоизмеримых с единицей.

Новые методы, в которых нуждалась геометрия, были подготовлены развитием алгебры и понятия числа (в Индии, в Средней Азии, в арабских странах и позже в Европе) и были созданы в XVII в.— это метод координат и методы анализа бесконечно малых (Декарт, Ньютон, Лейбниц и др.).Результатом явилось совершенно новое, мощное развитие геометрии в виде аналитической и дифференциальной геометрии — общей теории кривых и поверхностей.

Однако при всем этом основы геометрии оставались такими же, как они были представлены в «Началах» Евклида. Особое место в них занимал пятый постулат, отличаясь от остальных постулатов и аксиом своей сложностью; и трудно было его признать очевидным, как остальные аксиомы и постулаты. Поэтому возникло стремление доказать его; вывести из других основных посылок геометрии. Есть сведения, что этим занимался уже Архимед, а может быть, и сам Евклид. Так началась долгая история попыток доказать V постулат. Но прежде, чем говорить о ней, рассмотрим ближе сам постулат. Он равносилен известной аксиоме параллельности: через точку вне прямой проходит только одна прямая, ей параллельная.

* Возможно, первым, кто дал такое общее определение, был великий поэт и математик Омар Хайям (1048–1131); Ньютон в книге «Всеобщая арифметика» (1703) формулировал определение, которое представляется просто более четким выражением определения Хайяма.

Действительно, как известно, легко доказывается, что если две прямые образуют с секущей с одной стороны углы, вместе равные 180°, то прямые параллельны. Поэтому если выполняется аксиома параллельности, так что через данную точку может проходить только одна прямая, параллельная данной, то прямые в постулате Евклида должны пересекаться и, как можно видеть, с одной стороны, где сумма углов меньше 180°. Таким образом, V постулат следует из аксиомы параллельности.

Обратно, если выполнен V постулат, то всякие две прямые, не образующие с секущей углы, в сумме равные 180°, должны пересекаться (так как тогда с одной из двух сторон сумма углов меньше 180°). Стало быть, не пересекаются только те, у которых сумма углов 180°, так что к данной прямой может быть только одна параллельная, проходящая через данную точку.

У Евклида параллельные прямые определяются в начале I книги и рассматриваются в ней в ряде предложений. Поэтому не совсем ясно, почему он не высказывает вместо V постулата аксиому параллельности. Можно думать, это связано с тем, что параллельность прямых означает, что они не встречаются (как говорит Евклид) и при неограниченном продолжении, так что для того, чтобы непосредственно убедиться в параллельности прямых, нужно пройти одну из них целиком, а это немыслимо. В пятом постулате этого нет, и он позволяет вывести признаки параллельности, проверяемые «тут же», где секущая пересекает две прямые*.

Стоит еще отметить, что V постулат имеет простой, можно сказать практический, смысл: он утверждает возможность построить треугольник с данным основанием и углами при нем, в сумме меньшими 180°. По постулату прямые, проведенные под такими углами к основанию, пересекутся и тем самым треугольник получится.

Трем признакам равенства треугольников соответствуют построения треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по трем сторонам, по стороне и двум углам при ней. В первом случае построение всегда возможно; во втором доказывается, что оно возможно при выполнении условия, что бóльшая из сторон меньше суммы двух других. Но в третьем случае условия, когда построение возможно, не устанавливаются из других предпосылок геометрии — это условие нужно особо постулировать.

* При современной привычке к понятию о бесконечной прямой, к понятию о существовании или несуществовании объекта (в данном случае точки пересечения), которые не подлежат проверке, а только мыслятся, эти соображения не представляются существенными, но это только свидетельствует о поверхностном взгляде. Более глубокое понимание выясняет, что есть существенное различие между процессом, который наверняка когда-нибудь кончится, и таким, который может никогда не кончиться.

Четкое выделение постулата и выявление его роли в выводах геометрии было важным достижением. Но постулат формулируется сложно, а сравнительная простота аксиомы параллельности только внешняя, так как за нею стоит понятие бесконечно проходимой прямой (которое греками и не мыслилось). Поэтому немудрено, что возникли, как уже сказано, попытки доказать постулат как теорему. Попытки эти, длившиеся свыше 2000 лет, были безуспешными*.

Они каждый раз сводились к тому, что постулат заменялся каким-нибудь другим утверждением, представлявшимся более очевидным. Например, греческий комментатор Евклида Прокл (V в.) доказывал V постулат, исходя из того, что параллельные прямые расположены на постоянном расстоянии друг от друга или по крайней мере на ограниченном (читатель сам может вывести отсюда V постулат).

Глубоко мыслящие математики понимали, что V постулат только заменяется другим, менее глубоким; казалось, что доказательство им удалось.

Один из приемов состоял в рассмотрении четырехугольника с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами (рис. 2).Это та фигура, на которой мы формулируем «аксиому параллельных отрезков».

По симметрии углы С, D равны, и априори возможны три гипотезы: а) углы эти прямые, б) тупые, в) острые. Первая —«гипотеза прямого угла» равносильна постулату Евклида; «гипотеза тупого угла» исключается (она приводит к противоречию с тем, что прямые не могут пересекаться в двух точках). Остается «гипотеза острого угла»; ее опровержение означало бы доказательство V постулата. Такой подход был еще у арабского математика Ибн аль-Хайсама (X в.). Его развил итальянский

Рис. 2

* Вот неполный перечень ученых, занимавшихся доказательством V постулата: греки Птолемей (II в.) и Прокл (V в.), араб ибн аль-Хайсам (конец X в.), персидский и таджикский поэт и математик Омар Хайям (ок. 1100 г.), азербайджанец Насир-ад-Динат-Туси (XIII в.), немец Шлюссель (1574), итальянцы Катальди (впервые в 1603 г. опубликовавший книгу, целиком посвященную вопросу о параллельных), Борелли (1638),Витале (1680), англичанин Валлис (1663–1693), итальянец Саккери (1733), швейцарец Ламберт (1766–1786), француз Лежандр (1800). Указаны даты, когда работа выполнена и опубликована.

ученый Саккери, опубликовавший в 1736 г. сочинение с «доказательством» V постулата («Евклид, очищенный от всяких пятен»). Саккери ведет доказательство от противного: приняв гипотезу острого угла, он делает из нее выводы, стремясь найти противоречие; выводы получались в высшей степени странные с точки зрения обычной геометрии, но логического противоречия не обнаруживалось (заключение Саккери, будто он доказал V постулат, было основано на ошибке).

Так же от противного пытался доказать V постулат швейцарский ученый Ламберт (труд его на эту тему был написан в 1766 г. и опубликован в 1786 г.). Он прошел в своих выводах очень далеко. Его выводы, так же как выводы Саккери, представляли собою фактически теоремы геометрии, в которой принималось отрицание V постулата. Ламберт даже высказал мысль, что она «справедлива на мнимой сфере». Можно сказать, он развил геометрию, основанную на отрицании V постулата; однако он не допускал мысли о возможности такой геометрии, неевклидовой.

Переворот в геометрии

К смелой мысли о возможности геометрии, отличной от евклидовой, подошло почти одновременно несколько человек, но первый, кто выразил эту мысль совершенно четко и определенно и развил эту неевклидову геометрию, был Николай Иванович Лобачевский (1792–1856). Об этом он выступил с докладом в Казанском университете в 1826 г., ав 1829–1830 гг. вышла его обширная работа с изложением основ новой геометрии. В 1832 г. венгерский математик Я. Бояи*, не зная о результатах Лобачевского, опубликовал работу с изложением той же теории. Как выяснилось впоследствии, К. Ф. Гаусс также пришел к выводу о возможности неевклидовой геометрии, но сообщал об этом лишь в частной переписке, воздерживаясь от публикации из боязни быть не понятым и подвергнуться нападкам. Действительно, очень немногие математики того времени поняли и признали новую геометрию. Но Лобачевский продолжал се развивать и публиковать развернутые работы, и когда потом она была признана, то получила название геометрии Лобачевского, а один английский математик назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

До того времени все были убеждены, что возможна, мыслима лишь одна геометрия — та, основы которой изложены в «Началах» Евклида. Но произошел кардинальный переворот: рядом с той геометрией появилась еще другая. Затем возникли и другие геометрии: отделилась от ев-

* Фамилию эту пишут по-разному. По-видимому, ближе всего к венгерскому произношению — Бояи. Венгерское его имя Янош передавали раньше по-немецки Иоганн.

клидовой геометрии проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, а дальше — возникла общая теория пространств с произвольным законом измерения длин — риманова геометрия и др. Из науки о фигурах в одном трехмерном евклидовом пространстве геометрия за какие-нибудь 40–50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чем-то сходных со своей прародительницей — геометрией Евклида.

Однако это уже выходит за рамки нашего предмета — оснований самой евклидовой геометрии. Вернемся к геометрии Лобачевского в связи с основаниями геометрии.

Хотя геометрия Лобачевского развивалась у него как чисто умозрительная теория и сам он называл ее «воображаемой», тем не менее он рассматривал ее как возможную теорию реальных пространственных отношений. Однако попытки найти тому подтверждение из данных астрономии не дали результата. Вопрос о ее реальном смысле оставался открытым. Убеждение в ее логической правомерности было основано на том, что в ней при достаточно далеком ее развития не обнаружилось противоречие, как нет его в геометрии Евклида. Но убеждение не заключало все же математического доказательства (к тому же геометрия Евклида была гораздо более продвинута, включая аналитическую и дифференциальную геометрию). Доказательство того, что геометрия Лобачевского логически столь же правомерна, как геометрия Евклида, не было тогда получено потому, что не были осознаны понятия, на которых такое доказательство могло быть основано. Вопрос был решен только в 1868 г.— почти 40 лет спустя после появления первой работы Лобачевского — итальянским геометром Бельтрами, который показал, что геометрия в областях плоскости Лобачевского осуществляется на поверхности постоянной, отрицательной гауссовой кривизны, как их внутренняя геометрия* (например, на псевдосфере, рис. 3). В целом же геометрия на всей плоскости и в пространстве Лобачевского представляется посредством соответствующей аналитической модели. После этого геометрия Лобачевского получила общее признание, и вскоре были найдены другие, более простые ее истолкования (интерпретации или реализации).

Рис. 3

* С современной точки зрения внутренняя геометрия поверхности объемлет те свойства поверхности и фигур на ней, которые определяются ее внутренней метрикой.

Но замечательно, что все необходимое для выяснения найденного смысла геометрии Лобачевского и доказательства ее непротиворечивости было известно гораздо раньше. Внутреннюю геометрию поверхностей развил сам Гаусс в работе 1827 г. и показал, что на поверхностях отрицательной кривизны сумма углов треугольника меньше 180°, как в неевклидовой геометрии. Однако он не догадался сопоставить одно с другим, ав 1839 г. К. Миндинг (профессор университета в Дерпте — ныне Тарту)исследовал геометрию на поверхностях постоянной отрицательной кривизны и нашел формы* тригонометрии, совпадающие с теми, какие были получены Лобачевским, и стоило их только сопоставить, как вывод о реализуемости геометрии Лобачевского на поверхностях был бы получен! Лобачевский, введя координаты в своей геометрии, мог бы догадаться, что это дает основание для ее аналитической интерпретации и, тем самым, для доказательства ее непротиворечивости.

Никто не догадался сделать тот или другой из этих выводов. Потому что не было, во-первых, осознано само понятие модели или интерпретации геометрии и, во-вторых, геометрия Лобачевского, как она строилась тогда, была слишком далека от теории поверхностей.

В 1854 г. немецкий математик Б. Риман (1826–1866) в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в Геттингенском университете, наметил общую аналитическую теорию геометрии пространств любого числа измерений и указал, в частности, на пространства, в которых реализуется геометрия Лобачевского (без явного указания на связь с работами последнего). Эта лекция осталась не понятой и была опубликована только в 1866 г. после смерти Римана. Но, ознакомившись с нею, Бельтрами немедленно опубликовал работу с развернутым представлением геометрии Лобачевского в пространстве как частного случая римановой геометрии и тем представил доказательство ее непротиворечивости, поскольку модель была чисто аналитической.

Вскоре после этого в 1871 г. немецкий математик Ф. Клейн указал более простую модель геометрии Лобачевского, которая в неявном виде содержалась в работе 1859 г. английского математика Кэли. Поэтому модель эта известна как модель Кэли—Клейна.

Таким образом, геометрия Лобачевского имеет реальный, хотя и искусственный, смысл и столь же непротиворечива, как геометрия Евклида.

С точки зрения оснований геометрии в этом заключалось не только доказательство независимости V постулата — впрочем, уже полученное раньше Бельтрами. Здесь ясно выявилось понятие интерпретации (реализации) теории как изображения ее на почве другой уже известной

* Видимо, имеются в виду формулы. — Прим. ред.

теории и вместе с этим как средства доказательства как непротиворечивости теории, так и независимости ее аксиом. Доказательство независимости аксиомы состоит в доказательстве непротиворечивости теории, в которой эта аксиома, при сохранении всех остальных, отрицается.

Однако сами основания геометрии оставались, собственно, на том же уровне, на каком они были в «Началах» Евклида; они не были проанализированы глубже, чтобы выявить те предпосылки, которые не были явно выражены в аксиомах. Без этого, между прочим, сам вопрос о независимости аксиом не мог быть поставлен с достаточной точностью. Но решение этой задачи не было связано прямо с V постулатом и геометрией Лобачевского.

История V постулата и геометрии Лобачевского чрезвычайно поучительна и ясно показывает превратности путей познания. Усилия многих математиков на протяжении 2000 лет шли в ложном направлении, и нужен был гений, чтобы понять это. Но даже когда это было понято и доказательство, да не одно, было у многих под руками, его не видели, в немалой степени потому, что не было ясно, что нужно и как можно доказать. А все разрешилось простой моделью внутри круга. Вот она — геометрия Лобачевского… и ничего больше; все остальное — как леса при постройке — можно убрать.

Открытие и обоснование неевклидовой геометрии имело фундаментальное значение для понимания оснований геометрии, конечно не в том, что была установлена независимость аксиомы параллельности, а в том, что логическое построение геометрии было отделено от наглядного представления. Многие выводы, «факты» геометрии Лобачевского, будучи логически обоснованными, находились в самом резком противоречии с наглядными представлениями. Однако это отделение от наглядности было еще далеко не полным, в частности, прямая и плоскость представлялись интуитивно, и строение их в смысле расположения точек никак явно не выражалось. Поэтому стояла задача пополнить должным образом аксиомы Евклида. Это и было сделано позже.

От Евклида до Гильберта — от геометрической наглядности до геометрической бессмыслицы

Параллельно решению вопроса о V постулате и вслед за ним развитие оснований геометрии шло в ряде направлений. Одно из важнейших заключалось в выработке общего понятия преобразования фигур и выяснении его фундаментального значения: были исследованы разные виды

преобразований и, в частности, важные в самой элементарной геометрии движения или перемещения. Простейшая теорема о движениях на плоскости — «теорема Шаля» была установлена только в то время — в первой половине XIX в. В алгебре возникло общее понятие группы и тут же вошло в геометрию: каждый из исследуемых видов преобразований пространства или плоскости, в частности движения, образовывали группу. Понятие движения было положено в основания геометрии в работе Г. Гельмгольца 1868 г. «О фактах, лежащих в основании геометрии». Гельмгольц был не математиком, а физиком и физиологом, и, можно думать, поэтому-то он и смог увидеть основание геометрии в механическом движении твердых тел, как оно есть на самом деле. Приняв движение за основное понятие, можно было определить равные фигуры как такие, которые совмещаются, преобразуются одна в другую, посредством движения.

Затем в 1872 г. Ф. Клейн выдвинул общую идею, что геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при преобразованиях того или иного рода (при условии, что преобразования эти образуют группу). Под такое понимание геометрии подпадали, в частности, геометрии Евклида, Лобачевского, проективная и др. (но не общая риманова геометрия, введенная раньше Риманом).

Однако в этих работах с самого начала применялись координаты. Поэтому вопрос о чисто геометрическом изложении оснований геометрии в духе Евклида — по изречению древних «геометрия геометрически» (geometria geometrici) — оставался открытым. Основания здесь все еще понимались, собственно, на уровне Евклида. Для Лобачевского, скажем, не вставал вопрос о том, чтобы указать аксиомы порядка, определяющие расположение точек на прямой, порядок этот считался геометрически очевидным. (В этой связи можно отметить старание некоторых авторов школьных учебников ввести в них с самого начала аксиомы порядка, не для того ли, чтобы дети понимали геометрию лучше Лобачевского? Очевидное можно оставить для них очевидным.)

Общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX в. выразилась в геометрии в стремлении пополнить аксиомы евклидовой геометрии, чтобы по возможности полностью указать все, что на самом деле использовалось в доказательствах.

Первым крупным достижением на этом пути явилось исследование М. Паша, опубликованное в 1882 г. Паш считал, что основные положения геометрии должны быть заимствованы из опыта, но дальнейшее развитие ее должно идти путем чисто логических умозаключений. Соответственно, в его аксиомах речь идет об отрезках и ограниченных кусках плоскости. Под теми и другими понимаются некоторые совокупности точек, но какие именно и что нужно понимать под точкой, не определяется; все, что о них

нужно знать, формулируется в аксиомах. Таким образом, Паш осуществляет аксиоматическое построение геометрии. Наибольшая его заслуга состояла в формулировке аксиом порядка. Порядок расположения точек на прямой, так же как расположение их относительно прямой на плоскости, представляется очевидным, и нужно было, выделив его основные свойства, выразить их в аксиомах, полностью обеспечивающих необходимые выводы; одна из этих его аксиом известна как аксиома Паша. Однако в целом система Паша оказалась слишком громоздкой: отказавшись включить в основные объекты бесконечную прямую и плоскость, он не смог добиться компактности аксиом.

Еще раньше, до Паша, были установлены разные формы аксиомы непрерывности, не столько даже в связи с основаниями геометрии, как в связи с основами анализа, с построением теории вещественных чисел. Ввиду соответствия точек прямой и вещественных чисел свойства расположения и непрерывности ряда тех и других равносильны. Разные формы аксиомы непрерывности были даны Вейерштрассом, Дедекиндом и Кантором.

После Паша ряд работ по основаниям геометрии был выполнен итальянским ученым Дж. Пеано и его учениками, среди которых вообще было развито внимание к проблемам логики и оснований математики (в частности, Пеано дал аксиомы натурального ряда). Один из них — М. Пиери — опубликовал в 1899 г. систему аксиом евклидовой геометрии, в которой было только два основных понятия — точка и движение (перемещение). Однако из-за такого уменьшения числа основных понятий аксиоматика получилась громоздкой и трудно обозримой, прежде всего из-за необходимости определить через движение и прямую, и плоскость, и отношение порядка.

В том же 1899 г. появилась в первом издании работа Гильберта (1862–1943) «Основания геометрии», которая затем неоднократно переиздавалась, причем в изложенную в ней аксиоматику вносились, без изменения общего ее характера, отдельные уточнения и упрощения, предлагавшиеся также и другими авторами. (В первоначальном виде система аксиом Гильберта была даже неполной, на что обратил внимание Пуанкаре, и Гильберт добавил аксиому полноты. Кроме того, были, например, удалены, оказавшиеся лишними, три аксиомы порядка, которые удалось доказать как теоремы, и теперь остались независимые аксиомы порядка.)

Основная заслуга Гильберта, благодаря которой его труд стал классическим, заключается в том, что ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становится совершенно прозрачной (первые три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением — при-

надлежности, порядка, конгруэнтности). Это расчленение аксиоматики позволяет, во-первых, формулировать аксиомы наиболее простым и кратким образом и, во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если класть в основу не всю аксиоматику, а те или иные группы аксиом. Такой логический анализ, выясняющий роль отдельных групп аксиом, проведен Гильбертом в ряде исследований, составляющих в действительности большую часть его книги. Кроме того, работа Гильберта дала толчок целому ряду исследований в том же направлении.

Важно также, что работа Гильберта представила аксиоматику геометрии в форме, подчеркнуто отстраненной от наглядных представлений. Так, точки и прямые — это просто некоторые мыслимые «вещи», в первом издании их связь выражалась аксиомой: «Каждые две точки определяют прямую». Словом, как уже говорилось при характеристике формальной аксиоматики, у Гильберта под «точками», «прямыми» и «плоскостями» и под отношениями «принадлежит», «между», «конгруэнтно» понимаются какие-то «вещи» и отношения, о которых известно только, то, что они удовлетворяют аксиомам. При таком взгляде необходимо встает вопрос о непротиворечивости аксиом. Для его решения Гильберт указывает аналитическую модель, в которой выполняются аксиомы. Этим вопрос только сводится к вопросу о непротиворечивости арифметики вещественных чисел, который сам требует решения. И так как арифметика целых, а вслед за тем вещественных чисел играет роль фундамента почти всей математики, то вопрос связывается с проблемой обоснования математики вообще.

Более того, так как, исходя из аксиом, мы делаем умозаключения по законам логики, то, желая установить непротиворечивость нашей системы, мы должны одновременно с математическим содержанием подвергнуть исследованию и саму логику. Тем более, что, рассуждая о вещах и отношениях, о которых ничто не дано, кроме сказанного в аксиомах, мы не имеем критерия проверки вывода, иного кроме самой логики.

Для решения встающей таким образом проблемы Гильберт, непосредственно вслед за работой по основаниям геометрии, наметил метод полной формализации, который уже был кратко описан раньше. Предложения математики, равно как и законы логики, записываются при помощи особой символики в виде формул без участия словесных выражений. Требование осмысленности высказываний заменяется при этом правилами составления формул. Процесс логического вывода заменяется манипуляциями с такого рода формулами по точно и ясно указанным правилам. Теория задается правилами составления формул, исходными формулами и правилами механического получения из одних формул новых формул. Нет необходимости понимать, какое содержание записа-

но в виде той или иной формулы: нужно иметь в виду формулу саму по себе, как конкретную и обозримую комбинацию знаков. Так, в принципе, развитие теории может быть передано машине. О машинах Гильберт не думал; машины, которым можно «поручать» такие доказательства теорем, появились гораздо позже. Но принцип полной формализации был явно выражен.

Так, от геометрической наглядности «Начал» Евклида основания геометрии были доведены до наглядности формул без всякого следа геометрического смысла. Однако фактически такая формализация оснований геометрии не была осуществлена и, как было позже доказано, она не могла привести к окончательному доказательству непротиворечивости геометрии.

Независимо от этого крайнего направления формализации аксиоматики за «Основаниями геометрии» Гильберта появлялись работы с другими вариантами аксиоматики, как, например, аксиоматика, основанная на понятии движения (наложения), предложенная Ф. Шуром (1904);аксиоматика, предложенная тогда же В.Ф. Каганом (1869–1953), основанная, однако, на понятии о численном расстоянии; аксиоматика Г. Вейля, основанная на понятии векторного пространства, и др.

Вопрос о выработке аксиоматики, возможно более простой и легче ведущий к основным результатам элементарной геометрии, остается актуальным не только как классический вопрос математики, но не меньше в связи с задачами преподавания.

Анализ предмета геометрии

Обратившись к «Основаниям геометрии» Гильберта, мы изменили временной последовательности: до их появления произошли важные изменения в понимании самого предмета геометрии.

Уже к середине XIX в. выявилось разделение свойств пространства и фигур в нем на три уровня: самый основной составляют свойства непрерывности, над ними — свойства взаимного расположения точек и прямых и над всем этим — метрические свойства, связанные с величинами, прежде всего — с понятием равенства отрезков; с изучения этих свойств начиналась и на нем сосредоточивалась геометрия Евклида.

Однако основные свойства пространства и фигур в нем составляют свойства непрерывности, вовсе с этим не связанные. Линия представляется как однократная непрерывная протяженность, поверхность — как двукратная, пространство — трехкратная непрерывная протяженность. Многомерное пространство определялось Риманом в его основополагаю-

щей работе 1854 г. «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» как многократная непрерывная протяженность*. «Мероопределение», т. е. измерение длин и расстояний, Риман вводил уже в эту протяженность.

Основу этих понятий выявил, можно сказать, еще Лобачевский в понятии о прикосновении, когда писал: «Прикосновение составляет отличительное свойство тел и дает им название геометрических, когда удерживает это свойство, отвлекаясь от всех остальных». Исходя из понятия о прикосновении, можно дать определения понятиям топологии, понятиям непрерывности (фигура непрерывна или, как принято говорить, связна, если она не распадается на не прикасающиеся друг к другу части). Преобразование фигуры непрерывно, если оно не нарушает имеющихся в ней прикосновений. Граница — это то, что прикасается как к самой фигуре, так и к тому, что лежит вне нее. С точки зрения окрестностей точка «прикасается» к множеству М, если во всякой ее окрестности есть точки из М. Множество открыто, если оно не содержит точек своей границы**.

С середины XIX в. стала выделяться и складываться в особую дисциплину область геометрии, специально исследующая свойства фигур, основанные на прикосновении (свойства связности), — топология, или, как ее тогда еще называли,— «анализ положения». Но первые относящиеся сюда задачи и результаты восходили еще к Эйлеру и Гауссу.

Из линий выделяются прямые их специальными свойствами, и над общими свойствами непрерывности выявляются свойства пространства и фигур в нем, основанные на свойствах прямых линий и отрезков (плоскость можно определить как поверхность, которая содержит всякую прямую, имеющую в ней две общие точки). Изучение этих свойств составило аффинную геометрию.

Если же ввести еще понятие равенства отрезков, длины или расстояния, то появляется метрическая геометрия.

Можно дать еще такое определение. Метрическая геометрия евклидова пространства изучает свойства фигур, сохраняющиеся при перемещениях — преобразованиях, сохраняющих расстояние между точками. Аффинная геометрия изучает свойства фигур, сохраняющихся при преобразовании пространства, переводящих прямые в прямые (иначе говоря, сохраняющих прямолинейное расположение точек). Топология изучает свойства фигур, сохраняющиеся при любых взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Из этих определений также ясно

* Многомерное пространство рассматривали и до Римана, но общее понятие (включая бесконечномерное пространство) ввел он.

** Не следует, однако, думать, что понятия топологии исходят от Лобачевского; свое понятие прикосновения он не развивал.

отношение глубины тех свойств, которые относятся к каждой из указанных областей геометрии.

Соответственно этому основания геометрии представляются так. Самую основу составляют свойства непрерывности, основанные на понятии прикосновения, и их должны выражать самые первые «топологические» аксиомы. Дальше должны следовать «аффинные» аксиомы, выражающие свойства, связанные с понятием прямой и расположением точек на ней. И, наконец, должны идти метрические аксиомы, выражающие свойства равенства фигур (которые могут определяться через равенство отрезков, или через наложимость, или как-либо иначе). Однако такое построение оснований геометрии встречает трудности и, по-видимому, неосуществлено.

Другой путь может состоять в том, что за топологическими аксиомами вводятся аксиомы, определяющие перемещения (наложения); причем естественно определять перемещения тел, а не всего пространства.

Однако такое естественное, казалось бы, построение оснований геометрии оказывается сложным. Еще Гильберт в 1902 г. построил основания планиметрии, начинающиеся с понятия непрерывности и налагающие очень простые аксиомы на перемещения. Но непрерывность определена у него через отображение на «числовую плоскость», т.е. через введение координат, так что полученная аксиоматика не является замкнутой: она в самой основе опирается на понятие числа, лежащее вне самой геометрии.

Замкнутая аксиоматика геометрии, берущей за основу топологические свойства и свойства перемещений, построена в недавнее время не только для плоскости, но и для n-мерного евклидова пространства.

Такой подход к основаниям геометрии и само определение указанных уровней, на которые разделяются свойства фигур, приобрели, однако, достаточную точность только в связи с появлением взгляда на пространство и фигуры как на множества точек. Понятие непрерывной протяженности оставалось, собственно, интуитивным и немного отличалось от евклидовых определений линии и поверхности. И еще лет через 20 после Римана Клейн писал о пространстве как «месте точек». Фигура вообще определялась как геометрическое место точек. Точка принадлежит фигуре, лежит на прямой и т. п., но фигура не мыслится состоящей из точки.

Эта точка зрения изменилась после того, как в период 1875–1886 гг. Георг Кантор (1845–1918) создал теорию множеств. Пространство, фигуры стали определять как множества точек, т. е. некоторых элементов, называемых точками, как множества, в которых установлена соответствующая структура (как, например, в метрических и топологических пространствах). Множество в простейшем понимании толкуется как совокупность. Раньше фигура представлялась как место, в котором есть точки,

но которое не состоит из точек, теперь стали говорить, что фигура состоит из точек. Эта «наивная» точка зрения сохраняется до сих пор во многих случаях. Однако логические трудности и парадоксы, обнаружившиеся в теории множеств уже к концу XIX в., заставили более глубоко мыслящих математиков отойти от наивного взгляда на множество просто как на совокупность. В частности, тот же Гильберт уже в 1904 г. выдвинул мысль, что множество следует рассматривать как «мыслимую вещь», находящуюся к другим вещам — элементам в известном отношении, обозначаемом словом «принадлежит».

В результате понятия множества точек и геометрического места точек стали, по существу, равнозначными. Как было отмечено при обсуждении системы Гильберта, он, очевидно, из понимания трудностей, заключающихся в понятии бесконечного множества, обошел его в своих «Основаниях геометрии», не считая последней аксиомы полноты. Отрезок как множество точек, лежащих между двумя данными, нигде в выводах Гильберта не нужен, достаточно о каждой рассматриваемой точке судить, принадлежит она данному отрезку или нет. И так как в применяемых конструкциях рассматривается каждый раз конечное число точек, то больше ничего и не нужно. То же относится к понятию луча: всегда нужно только о конечном числе точек судить, с какой стороны от данной точки на прямой они лежат. Однако у Гильберта окружность, как и луч, определяется как совокупность точек (с соответствующим условием), что равносильно понятию множества в наивном понимании. Другого общего понятия фигуры у него нет; термин «фигура» он применяет лишь к совокупности конечного числа точек. Поэтому оснований элементарной геометрии как «науки о фигурах» у него нет.

Для того чтобы дать основания хотя бы элементарной геометрии в ее подлинном виде, мы и ввели, как одно из основных, понятие фигуры и формулировали соответствующие аксиомы без понятия множества (или бесконечной совокупности точек).

Вместе с тем, надо сказать, теория множеств привела в геометрии к выводам, представляющимся не то чтобы удивительными, но и невозможными с наглядной точки зрения. Так, в начале нашего столетия было доказано, что сферу можно разделить на конечное число таких частей, что, перемещая их, из них можно составить две такие же сферы (то же поэтому можно сделать с полным шаром). По внешней формулировке этот результат принадлежит как будто элементарной геометрии, но по содержанию и доказательству вовсе выходит за ее пределы; никакое построение не может дать хотя бы приближения к таким частям сферы; доказательство их существования совершенно не эффективно (оно основано на аксиоме выбора).

В сравнительно недавнее время взгляд на отрезок как на множество точек привел к новым неожиданным следствиям. С самого возникновения теории множеств в ней встала так называемая «проблема континуума», которая может быть сформулирована на языке геометрии следующим образом. Существует ли на отрезке такое бесконечное множество точек, точки которого нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие ни с натуральными числами, ни со всеми точками самого отрезка?

Вопрос был решен американским математиком Коэном в 1970 г.: он доказал, что ответ может быть и положительным, и отрицательным — ни в том, ни в другом не будет противоречия. Иначе говоря, ответ зависит от выбора дополнительной аксиомы, подобно тому как возможен выбор между аксиомой параллельных и ее отрицанием.

Таким образом, выходит, что отрезок в элементарной геометрии оказывается не однозначно определенным объектом, если рассматривать его как множество точек. Вместе с тем в дальнейшем обойтись без того или иного понятия бесконечного множества как геометрического места точек даже в элементарной геометрии невозможно.

Тут мы видим проблему, которая ждет разъяснения, хотя можно думать, что абсолютной ясности в понятии бесконечности достигнуть вообще нельзя. И, повторяем, это касается не каких-то особых «высот» математики, но элементарной геометрии, если только вникнуть в ее основания достаточно глубоко.

Примерно 2400 лет назад пифагорейцы в Греции открыли несоизмеримые отрезки и тем дали начало понятию о математической непрерывности, о континууме, и до сих пор в нем открываются все новые глубины и трудности. Но даже в понятии натурального ряда открываются новые глубины и трудности.

Гильберт был убежден, что его теория доказательств с ее «конечной установкой» (сведения бесконечного к конечному) хотя бы в принципе позволит разрешить трудности и устранить возможность противоречий. Но надежды эти не оправдались. Математика оказалась гораздо сложней и интересней; не укладывается она ни в какую чисто формальную теорию, даже элементарная геометрия не поддается окончательному обоснованию. Тем оно интереснее: есть еще над чем подумать — не над оставшимися деталями, а над новыми принципами, как о пути в новые страны.

Диалектика геометрии (в ее содержании)

Геометрия, возникая из практики, появилась, можно сказать, как первая глава физики: ее предмет составляли реальные пространственные отношения и формы тел. За ней логически следует вторая глава — ме-

ханика: если геометрия трактует общие законы возможного взаимного расположения тел, то законы его изменения со временем входят в предмет механики.

Однако в Греции в период VII–V вв. до н. э. геометрия постепенно отделилась от опыта, ее предмет составили уже не реальные, а идеальные фигуры. Обращение к опыту исключалось из ее аргументов; ее утверждения превратились из констатации опыта в теоремы — в предложения, требующие доказательства рассуждением, исходя из основных понятий. С идеальными фигурами нельзя ставить опыты, их в их идеальности можно только мыслить. Построения геометрии — только мыслимые, осуществлять их на самом деле нет надобности, чем они совершенно отличаются от экспериментов физики.

Вместе с тем само понятие об идеальных фигурах формировалось на почве тех логических рассуждений, которыми обосновывались выводы геометрии, поскольку в этих рассуждениях фигуры выступали как предметы мысли. Формирование идеального предмета геометрии и ее мыслительного метода шло единым процессом, в котором обе стороны как бы подталкивали друг друга в область абстрактного мышления.

Во всякой науке есть свои, порой далеко идущие абстракции*. Но математика, в частности геометрия, отличается от остальных наук тем, что в ней ее абстракции фигурируют в их самодовлеющем идеальном существовании без того, чтобы сверять их с опытом, как это делается в других науках. Возникнув из практики, математические понятия превратились в человеческих головах в самостоятельные «вещи», как это очень ясно выражено, например, в аксиоматике Гильберта. Конечно, такое понимание выявилось постепенно, но во всяком случае в основе своей оно сложилось еще в Греции и знаменовало тем самым возникновение математики.

Отделение геометрии от действительности особенно четко проявилось, когда, исходя из теоремы Пифагора, были открыты несоизмеримые отрезки. Содержание теоремы Пифагора было известно до греков как закон реальной геометрии, подобно любому закону физики. Из этого закона, применяемого с идеальной точностью, следует, что диагонали и стороны квадрата несоизмеримы: нет отрезка, укладывающегося в них по целому числу раз.

Но это последнее утверждение нельзя проверить на опыте, потому что абсолютно точное измерение невозможно и, более того, реальные предметы не имеют абсолютно точных размеров. Реальные измерения могли бы

* Абстракция свойственна языку и, соответственно, мышлению. Уже имя собственное есть абстракция, так как «Иван Иванович» сегодня один, а завтра и тем более через 20 лет уже другой, хотя он все тот же Иван Иванович.

установить существование общей меры у стороны и диагонали квадрата с очень высокой точностью. Так, измерение единицами порядка миллиметра могло бы установить соизмеримость с точностью до микрона*.

Таким образом, исходя из твердо установленного опытного факта, в геометрии был сделан вывод, не имеющий реального смысла; в физике ему не придали бы значения, но в математике он сохранился и имел величайшие последствия — во всех применениях и перипетиях учения о математическом континууме.

Что тут произошло? Во-первых, выводу из опыта, превращенному в теорему, была придана абсолютная точность. Во-вторых, на этом основании был произведен логический вывод и затем от этого вывода шло восхождение к новым отвлеченным понятиям.

Здесь с чрезвычайной ясностью выступила особенность и сущность не только геометрии, но и математики вообще — придавать абстракциям самодовлеющее бытие. Предмет геометрии составляет идеальные фигуры, хотя они явились изображением (отражением) реальных форм и выводы о них применяются к реальным телам.

Хотя геометрия строилась как наука об идеальных фигурах, тем не менее казалось, она совершенно точно отражает свойства реального пространства — свойства реальных форм и отношений реальных тел, хотя бы при предельном уточнении этих форм и отношений.

Абсолютное пространство, как понимал его Ньютон, представлялось несомненно обладавшим евклидовой геометрией. Никакая другая геометрия и не мыслилась. (В конце XVIII в. знаменитый философ Кант даже выдвинул мысль, что геометрия априорна — не зависит от опыта!)

Таким образом, в геометрии заключалось противоречие: будучи наукой об идеальных, только мыслимых формах, она считалась безусловно верной для реальных пространственных форм и отношений при предельном их уточнении.

Однако убеждение в таком соответствии идеальной и реальной геометрии было подвергнуто сомнению Лобачевским и Гауссом и была понята возможность другой, неевклидовой геометрии. Потом, уже в на-

* Выполняется следующая теорема. При любом данном числе N > 0 для любого данного квадрата найдется такое l > 0, что отрезок с длины l укладывается на стороне и диагонали квадрата по целому числу раз с погрешностью, меньшей l⁄N. Если N очень велико, то такую погрешность никак нельзя заметить. А всегда можно взять l⩾a⁄N, где а — сторона квадрата. Например, если отрезок с взять в 0,1 диагонали, то он уложится на стороне 7 раз с точностью до 0,01. Нарисуйте квадрат и убедитесь, что сторона и диагональ квадрата имеют такую общую меру с такой точностью. Так как можно обеспечить погрешность ~1⁄N при подходящем l⩾a⁄N, то погрешность будет ~ ⁄, так что если взять N = 1000, то погрешность будет порядка одной миллионной!

чале нашего столетия, возникла общая теория относительности, согласно которой геометрия реальных пространственных отношений не является точно евклидовой (что находит подтверждение в космических масштабах).

Так евклидова геометрия, возникнув из опыта и отделившись от него в своей идеальности, пришла с ним хотя бы в некоторое несоответствие. Однако это ничуть не затрагивает ее как часть чистой математики, потому что в этом качестве она представляет собой систему логических выводов из аксиом, независимо от того или иного отношения их к действительности.

Противоречие, заключавшееся в евклидовой геометрии, как бы разорвало ее: произошло разделение геометрии на чисто математическую геометрию с ее единственным условием логической точности и на геометрию как физическую теорию, как учение о реальных пространственных отношениях, сверяемое с опытом, как присуще всякой физической теории.

Идеально точная евклидова геометрия, зародившись как опытная наука, превратилась, можно сказать, в собственную противоположность — в науку, которая сама по себе не заботится о соответствии с опытом, а в связи с опытом оказывается, как можно считать, не совсем точной. Либо логическая точность без связи с реальностью, либо связь с реальностью без абсолютной точности — так можно остро выразить это противоречие.

Такие противоречия, переход в противоположность, раздвоение единого — единой геометрии на математическую и физическую — охватывается общим понятием диалектики. В. И. Ленин писал: «Раздвоение единого и познание противоречивых частей его, … есть суть… диалектики. Правильность этой стороны содержания, диалектики должна быть проверена историей науки»*. Так в своей истории единая геометрия раздвоилась на части, разошедшиеся в математику и в физику.

Отделение математической геометрии от опыта, от физики особенно обострилось в теоретико-множественном взгляде на фигуры, как на «состоящие» из точек. Отношение этого представления к реальным фигурам более чем отдаленное: оно, можно сказать, не имеет к ним отношения. Если следовать теории множеств, то можно прийти к выводам, совершенно немыслимым с точки зрения реальности, как упомянутое в предыдущем параграфе «составление» двух полных шаров из одного.

Для евклидовой геометрии в ее обычном содержании без крайностей, появляющихся на почве применения теории множеств, ее раздвоение между математикой и физикой имеет, конечно, принципиальное значе-

* Ленин В.И. Полн. собр. соч. Т. 29. C. 316.

ние, но практически неосуществимо, если разумно ограничить ее область применения.

Отклонение от евклидовой геометрии, можно считать, обнаруживается в космических масштабах, но на Земле отклонения, которые выводятся из общей теории относительности, совершенно ничтожны и лежат за пределами, пока доступными опыту (чтобы их обнаружить, нужно увеличить точность измерения длин по меньшей мере в 100 раз в сравнении с достигнутой, дойдя до измерения длин порядка одной десятитысячной длины волны света).

Таким образом, если не следовать теории множеств, то евклидова геометрия может с очень высокой точностью рассматриваться как наука о фигурах в физическом смысле — как теория, касающаяся реальных пространственных отношений в пределах земного опыта. Ее строго дедуктивное построение на аксиомах возможно и без теории множеств.

Евклидова геометрия, тем более элементарная, может сохранять в указанных пределах свои прежние позиции, соединяя отвлеченный взгляд вместе с содержательным. Конечно, она отражает свойства реальных фигур, реальные пространственные отношения в весьма идеализированном виде, но точно так же, скажем, механика отражает реальные механические явления в идеализированном виде — в понятиях материальной точки или абсолютно твердого тела, каких нет в действительности. Поэтому, можно сказать, геометрия, при соответствующем понимании, в ее отношении к опыту «ничем не хуже» механики, хотя взятая как чисто математическая теория, как система логических выводов, она вовсе отделяется от опыта.

Так, геометрия включает в себя эти противоположности: в ней мы постепенно переходим от наглядности к логическим выводам в отвлечении от наглядности и от этих выводов к применениям в других науках, в технике, в практике.

Аксиоматика, от которой мы отправлялись ввиду ее очевидной связи с реальностью, тем более дает основание для органического единства указанных противоположностей: эту аксиоматику можно понимать и как отвлеченное основание дедуктивной теории, и как выражение законов реальной геометрии.

Диалектика геометрии (в ее построении)

С одной точки зрения и по своему происхождению аксиомы имеют наглядное содержание, отражающее действительность, практику; с другой точки зрения аксиомы — это не более как словесные определения,

не выражающие сами по себе никакого смысла, и единственное обязательное требование к ним — это непротиворечивость.

Взятые в отношении к реальности, аксиомы и теоремы геометрии, как, например, теорема Пифагора, могут выражать законы природы и в таком качестве могут быть неточными или, в принципе, даже неверными. А теорема Пифагора в евклидовой геометрии незыблема как логический вывод из аксиом, но тогда нет вопроса о ее реальном смысле. Заостряя, можно сказать: либо реальный смысл и тогда неточность, либо точность, но тогда отказ от смысла.

Для утверждений, относящихся к реальной действительности, осмыслен вопрос об их истинности. Но математическая теория, взятая в качестве чисто математической теории, является системой логических выводов, и ее собственная математическая истинность состоит только в ее непротиворечивости. Понятие истины —«верно или неверно» выражает отношение утверждения к объекту. Но у отвлеченной аксиоматической теории нет объекта — она в своей рафинированной отвлеченности ни к чему не относится*.

Мы говорим о теории как системе логических выводов, но что такое логический вывод, по какой логике? Что значит правильное логическое рассуждение? Если рассуждение к чему-то относится, то его можно проверить по результату. Но логический вывод из отвлеченных аксиом ни к чему не относится. Стало быть, остается одно: уточнить, что значит «логический вывод», и, следовательно, что значит «непротиворечивость»: разве не можем мы прийти к противоречию или, напротив, пропустить его из-за плохой логики?

Следовательно, нужно уточнить логику, устранить неточности, свойственные обычному языку. Сами правила уточненного языка и логики должны быть формальными, чтобы войти в аксиоматику данной теории, сделав совершенно ясным, как ее можно развивать.

Это находит свое осуществление в формальном представлении теории как «вычисления» с формулами. Смысл формул никак не учитывается, и логические выводы сводятся к оперированию с формулами по строго предписанным правилам; формулы здесь просто комбинации некоторых предметов. В таком виде развитие теории можно передать машине.

Так теория, возникшая как отражение материальной действительности и оторвавшаяся от нее в своем развитии, возвращается к материи, но уже совсем другим образом — в виде машины, «доказывающей» теоремы. С развитием ЭВМ дело идет к тому, что математика будет машинизироваться.

* Это в свое время остро выразил Рассел: «Математика есть доктрина, в которой неизвестно, о чем мы говорим, и верно ли то, что мы говорим».

Однако никакую содержательную теорию, включающую арифметику натуральных чисел, нельзя формализовать полностью, а стало быть, нельзя и до конца машинизировать. В ней при любой формализации останутся утверждения, которые формальными средствами нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть.

Точно так же нельзя теми же формальными средствами решить, является теория непротиворечивой или нет, т. е. не получатся ли в ней, при чисто формальном ее развитии, две формулы, одна выражающая отрицание другой. Для машины это значило бы, что она «заклинится» на таких выводах.

Так как аксиомы геометрии включают понятие о последовательности натуральных чисел, то указанные выводы применимы также к ней. Формализовать ее полностью и формально доказать ее непротиворечивость невозможно. Это, конечно, не должно нас смущать: как не может смущать то, что нет машины, работа которой была бы абсолютно гарантирована. Точность математики чрезвычайно высока, а возникающие трудности преодолеваются ее усовершенствованием (как были в свое время преодолены парадоксы теории множеств). Абсолютное не дано — оно открывается и формируется в развитии, не имеющем конца.

При всей возможной формализации любой математической теории теория эта имеет научный смысл и значение не просто в силу формальной строгости, а в меру того, насколько она, так или иначе, прямо или косвенно через другие теории, служит познанию действительности и овладению ею в практике. Теория может представлять и самостоятельный интерес, скажем, ввиду красоты построения. Но в таком качестве она имеет не научное, а эстетическое или иное значение, как имеет значение игра в шахматы. Но математика — не интеллектуальная игра в теоремы, а могущественное орудие познания.

Математику можно уподобить заводу, а ее теории — станкам. Станки служат для того, чтобы делать нужные людям вещи, сами же по себе они не нужны. Но именно станкостроение составляет основу развития индустрии. Как станку нужна точная и прочная структура, так и математической теории нужна логическая строгость — прочность ее структуры. В станке может работать непосредственно только резец, но без станка в целом он не будет хорошо работать. Так и в математике: непосредственно применяться на практике могут отдельные ее части и выводы, но, чтобы обеспечить точность этих применений, нужны целостные математические теории, вся логическая структура математики в целом.

Логическая строгость теории обеспечивает уверенность в приложении: если что-либо с приложением теории не получается, то это не из-за неточности теории, а либо из-за неточности данных, или из-за неточности

соответствия условий задачи понятиям теории и т.п., а то просто из-за нашей ошибки. Тем более, что теория может применяться в разных областях, к разным явлениям, где только можно истолковать ее абстрактные понятия. Она применима ко всему, что подпадает под отвлеченное определение ее предмета, даваемое аксиомами. Так наука, восходя к абстракциям и тем удаляясь от действительности, вместе с тем приближается к ней, так как обретает возможность проникать в нее разностороннее и глубже.

Особенность элементарной геометрии среди других частей математики состоит в том, что она соединяет в себе строгую логику с наглядным представлением, логический анализ — с целостным синтетическим восприятием предмета. Можно сказать, что в существе своем геометрия и есть не что иное, как органическое соединение строгой логики с наглядным представлением: наглядное представление, пронизанное и организованное строгой логикой, и логика, оживленная наглядным представлением. Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии. Хотя «лед и пламень не столь различны меж собой», но геометрия соединяет в себе эти противоположности. Даже в «Основаниях геометрии» при всей их рафинированной логике Гильберт не обошелся без рисунков.

Конечно, при современном развитии математики почти любой геометрический вопрос можно формулировать и решить методами алгебры и анализа. Евклидову и аффинную геометрию можно свести к алгебре векторного пространства (которое, хотя и называется пространством, представляет собою алгебраическую систему — коммутативную группу с операторами).

Однако геометрия — это не только содержание, но и способ рассмотрения, не только «тело», но и «геометрический дух», выражающийся в целостном синтетическом рассмотрении предмета и вносящий в другие области математики геометрические понятия и представления, идущие от непосредственной наглядности, начиная с геометрического языка анализа — как «точка разрыва», «область задания функции», «комплексная плоскость», «интегральные кривые дифференциальных уравнений» ит.д., ит. д. Функциональный анализ пронизан духом геометрии; его фундаментальное понятие пространства функций того или иного класса вышло из геометрии, появившись в работе Римана «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии».

Мы углубились в логику оснований геометрии не для того, чтобы изгнать наглядность, а затем, чтобы укрепить ее и дать тем бóльшую ясность, уверенность и простор духу наглядной геометрии.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

(Александров А. Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987)

Введение

Известно, что геометрия возникла из практики, в частности из измерения земли; само слово «геометрия» и означает «землемерие». Поэтому фактически основания геометрии, по крайней мере геометрии на плоскости — планиметрии, лежат в этой практике. Соответственно, наиболее естественные логические основания геометрии, содержащиеся в ее аксиомах, должны возможно ближе выражать ту же практику, лишь представляя ее в идеализированном виде. Так мы и подойдем к аксиомам планиметрии: мы выведем их из практики.

Основания геометрии в пространстве — стереометрии более сложны, хотя все же главное в ней — это геометрия на плоскости, которую стереометрия, естественно, включает (чтобы получить аксиомы стереометрии, достаточно прибавить к аксиомам планиметрии только несколько простых аксиом). Поэтому мы ограничимся сначала основаниями планиметрии и только потом перейдем к геометрии в пространстве. Кстати, это позволит выяснить существенные вопросы оснований геометрии на более простом материале.

Слово «аксиома» происходит, как известно, от греческого и означает в переводе —«достойное признания»; прежде и понимали «аксиому» как положение, достойное признания ввиду его очевидности, не требующее доказательства, безусловное. Аксиомы геометрии тоже толковали как не требующие доказательства по очевидности*. Но понимание это изменилось, и понятию «аксиома» дают другое определение; воспроизведем его из «Словаря русского языка».

* В известном учебнике геометрии А.П. Киселева так и было написано: «Аксиомы. Так называют истины, которые вследствие своей очевидности принимаются без доказательства» (Киселев А. П. Элементарная геометрия. М., 1914. С. 1).

«Аксиома — положение, принимаемое без доказательства в качестве исходного, отправного для данной теории. Неоспоримая истина, совершенно очевидное утверждение». «Аксиоматика — совокупность аксиом, лежащих в основе той или иной теории». Говорят также: «система аксиом».

Таким образом, прежнее значение слова «аксиома» толкуется теперь как вторичное. В науке же слово аксиома понимается всегда в смысле первого из данных в «Словаре» определений. При этом аксиомы совершенно условны, лишь бы из них выводилась соответствующая теория.

Однако в элементарной геометрии, поскольку она неразрывно связана с наглядным содержанием, не следует пренебрегать очевидностью аксиом: хорошо, чтобы они были возможно более наглядны, естественны. Это и достигается связью с практикой. (Изложение геометрии в школе тоже должно начинаться с практики, с наглядных представлений, с геометрических построений, восходя отсюда к логическому развитию геометрии*.)

Греческий ученый Евдем Родосский (IV в. до н. э.) писал: «Геометрия была открыта египтянами и возникла из измерения земли. Это измерение было им необходимо вследствие разливов Нила, постоянно смывавших границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума».

Отрезки

Измерением земли и восстановлением границ земельных участков занимались в Древнем Египте специальные землемеры, которые и были, по-видимому, первыми геометрами. Они пользовались при этом веревками, отчего греки называли их герпедонаптами — веревковязателями.

Мы можем вообразить, как два землемера втыкают в землю колышки и протягивают между ними веревку (рис. 1). Места, куда воткнуты колышки, представляют точки. Размеры их практически не играют роли; однако чем тоньше колышки — тем точнее. Натянутая веревка представ-

* Заметим, что термином «геометрия» теперь обозначают многие теории, порой довольно далекие от первоначальной элементарной геометрии. Но мы, говоря о геометрии, будем иметь в виду евклидову планиметрию и стереометрию, пока не перейдем, указав на это явно, к другим геометрическим теориям.

Рис. 1

ляет прямолинейный отрезок. Толщина ее практически не играет роли — важна только длина. Так приходим к понятиям точки без всяких размеров и отрезка без толщины и ширины. А протягивание веревки между двумя колышками дает нам при обобщении, как установленный на опыте закон реальной геометрии, следующее общее утверждение о возможности проведения отрезка.

Любые две точки можно соединить отрезком и притом единственным*.

Но землемеры должны еще сравнивать размеры участков — сравнивать их стороны. Натянув веревку вдоль стороны одного участка, получают отрезок веревки, равный этой стороне, т.е. равный данному отрезку АВ. Переносят веревку и вытягивают отмеренный ею отрезок вдоль стороны другого участка (рис. 2), т. е. откладывают вдоль этой стороны отрезок веревки, равный данному АВ, и получают отрезок A1B1, равный АВ.

Обобщая это построение, получаем общее утверждение о возможности откладывания отрезка.

От конца данного отрезка можно отложить вдоль него отрезок, равный наперед заданному, и притом единственный.

Кроме того, в описанном построении заключается еще один вывод. Отрезок А1В1, равный АВ, сравнивается с ним не прямо, а через отрезок веревки (веревку можно пе-

Рис. 2

* Едва ли египтяне высказывали явно такое утверждение; оно, надо думать, просто подразумевалось как очевидное. Но у Евклида первый постулат утверждает: что «от всякой точки до всякой точки можно провести прямую», так что под «прямой» понимается не бесконечная, а «конечная прямая», т. е. отрезок. Мы вовсе не претендуем на то, чтобы в какой-либо мере восстанавливать выводы самих египтян или греков. Наша задача состоит только в том, чтобы показать исходное практическое содержание того, что мы примем в качестве аксиом планиметрии.

Рис. 3

реносить, а стороны участков, конечно, нельзя). Обобщая, получаем утверждение о сравнении отрезков.

Отрезки, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.

Наконец, может обнаружиться, что наличной веревки не хватает для сравнения с ее помощью отрезка A1B1 с данным АВ. Тогда это делают по частям. Натянув веревку от точки А до какой-то точки С на отрезке АВ, переносят веревку на отрезок A1B1 и отмечают на нем отрезок А1С1, равный АС. Потом натягивают веревку уже от точки С… (рис. 3). Так сравнивают отрезки по частям. Обобщая, получаем, можно сказать, закон сложения отрезков.

Отрезки, слагающиеся из соответственно равных отрезков, равны.

Если точки С, C1 лежат на отрезках АВ и A1B1 и при этом A1C1 = АС, C1B1 = CB, то также А1В1 = АВ (рис. 3). Тут отрезки АВ, А1В1 слагаются из двух каждый, но могут слагаться и из большего числа. Натягивая более длинную веревку вдоль отрезка АВ, а потом вдоль A1B1, можно сравнить их прямо — без промежуточных точек С, C1— и убедиться, что они равны.

Но если нет такой длинной веревки или линейки, по которой можно провести суммарный отрезок, то как тогда обеспечить, чтобы два отрезка, примыкающие один к другому, составляли один отрезок? Есть простой способ.

Пусть нужно продолжить отрезок АВ на отрезок, равный данному с. Берем отрезок несколько длиннее с и добавок натягиваем (а линейкой откладываем) вдоль отрезка АВ от точки В до D (рис. 4). Так получается отрезок DC, перекрывающийся с АВ, на участке DB. Отрезки АВ и DC образуют вместе один отрезок АС. Обобщая, можно это выразить в виде правила соединения отрезков.

Если точка D лежит на отрезке АВ и отрезок DC проходит через точку В, то отрезки АВ и DC образуют один отрезок (рис. 4).

Рис. 4 Рис. 5

Можно заметить, что вообще, если у двух отрезков есть две общие точки, то они образуют один отрезок.

Все построения, о которых шла речь, проводятся на «плоскости»— на земле, на бумаге, на доске. Но их можно проделывать и в пространстве, протягивая, скажем, веревку из окна на улицу. Отличие в том, что можно ограничить часть плоскости отрезками как забором, и можно различать, что лежит с одной стороны от отрезка, а что — с другой; в пространстве же это невозможно. Конечно, отрезок на плоскости можно обойти, но, продолжая отрезок, можно перекрыть обход (рис. 5). Это дает нам закон разделения плоскости.

На плоскости по отношению к каждому данному отрезку различают две стороны: любые две точки на одной стороне можно соединить, не пересекая ни сам отрезок, ни его продолжения, но для точек, лежащих с разных сторон, это невозможно (рис. 5).

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Веревка представляет собой довольно грубое средство: достигаемая с нею точность не велика, хотя вполне годится для разметки участков земли. Тонкая веревка годится для построений и сравнения длин на классной доске, а нитка — для того же в тетради. Когда нужна большая точность или когда имеют дело с большими расстояниями, пользуются другими средствами. Прямолинейность можно определять по лучу света. При всем этом обобщения фактов, выраженные в сформулированных правилах, остаются те же. Они подтверждаются с громадной точностью не только непосредственно, но и через проверку вытекающих из соответствующих им аксиом выводов геометрии*.

ЗАМЕЧАНИЕ 2

В просторечии слово «отрезок» почти не употребляется — говорят: «прямая», «проведем прямую», «иди по прямой» ит.п. Но при этом никто не име-

* Отклонения, вытекающие из теории относительности, мы обсудим потом.

ет в виду бесконечную прямую во всей ее бесконечности, как принято теперь в геометрии. У греков, в частности в «Началах» Евклида, прямая понималась как конечная; представление о бесконечной прямой им было чуждо*. Понятие конечной прямой — отрезка — первично и берется из практики, а понятие бесконечной прямой возникает из возможности продолжения отрезка за оба конца. Но теперь в изложении начал геометрии все переворачивается: бесконечная прямая понимается как нечто первичное, а отрезок определяют как часть прямой. На самом же деле в геометрии прямые в их полной бесконечности почти не встречаются, а всюду фигурируют отрезки. Даже параллельные прямые, появляясь в их определении и в аксиоме параллельности, дальше не играют роли: всегда имеют дело с параллельными отрезками. К тому же отрезок представляется, например, чертой на бумаге, но подобное изображение (модель) бесконечной прямой невозможно: бесконечная — значит, уходящая за всякие пределы Вселенной. В учебниках и в преподавании геометрии говорят о прямой, проведенной на чертеже, но на нем изображается конечная прямая. Словом, основным объектом геометрии фактически является отрезок, а не бесконечная прямая.

Угол

Угол образуется двумя отрезками с общим концом; они — стороны угла, их общий конец — его вершина (рис. 6). При этом понимают, что любые отрезки с тем же общим концом, налегающие на стороны данного угла, образуют тот же угол. Если отрезки служат один продолжением другого, то угол развернутый; если они налегают друг на друга, то угол нулевой (рис. 7, а, б). Эти два особых случая мы сейчас исключаем из рассмотрения. В геометрии угол часто определяют как фигуру, состоящую из двух бесконечных полупрямых с общим началом, или как часть плоскости, ограниченную такими полупрямыми. Но такие углы не только

Рис. 6 Рис. 7

* Заметим еще, что, например, Н.И. Лобачевский имел в виду конечную прямую, когда писал: «Величина прямой линии определяется сравнением ее с другой» (см.: Об основаниях геометрии. М., 1956. С. 32). В учебнике А.П. Киселева различаются «конечная» и «бесконечная прямая» (см.: Киселев А.П. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1980. С. 4). «Бесконечная прямая» понимается как неограниченно продолжаемая; параллельные прямые определялись как такие, которые не пересекаются, «как их ни продолжать».

Рис. 8 Рис. 9

не появляются на практике, но и в геометрии по большей части имеют в виду углы, образуемые отрезками, как, скажем, углы треугольника ит.п. У Евклида угол определяется как наклон одной линии по отношению к другой.

Представим себе, что нужно отложить от данного отрезка угол, равный данному. Скажем, землемер должен провести третью сторону участка под тем же углом к данной линии, под каким уже проведена другая сторона. Можно наложить на стороны данного угла две палочки, скрепив их у вершины, и перенести в нужное место. Но скрепление непрочно, и угол может измениться. Чтобы этого не случилось, скрепляем стороны — палочки — поперечиной, как на рис. 8. Получается жесткая конструкция, которую можно переносить и с ее помощью откладывать угол, равный данному. Этот практический прием приводит нас к определению равенства углов.

Назовем поперечиной угла отрезок, соединяющий точки на разных его сторонах или на их продолжениях. Для двух углов с вершинами О, О1 назовем поперечины АВ и A1B1 соответственными, если O1A1 = OA, O1B1 = OB. Два угла, по определению, равны, если у них есть равные соответственные поперечины (т. е. при OA = O1A1, ОВ = О1В1 также АВ = А1В1, рис. 9).

Перенося конструкцию с поперечиной, можно в любом месте отложить угол, равный данному. Это мы можем принять как общее утверждение о возможности откладывания угла.

От каждого отрезка по любую сторону от него от данного его конца можно отложить угол, равный данному. При этом можно пользоваться любой поперечиной, и угол будет получаться всегда один и тот же.

Заметим, что это правило выражает в общем виде тот известный способ, каким строят угол, равный данному, с помощью циркуля и линейки (рис. 10). Пусть даны угол POQ и отрезок О1Р1. Отметив на ОР и OQ точки А, В, фиксируем на O1P1 точку А1 так, чтобы O1A1 = OA. Затем циркулем строим дугу окружности с центром А1 и радиусом ОВ и дугу окружности с центром A1 и радиусом АВ. В пересечении этих дуг получаем точку В1. Через нее и проходит вторая сторона угла, равного данному.

Рис. 10

По построению здесь O1A1 = OA, O1B1 = OB и A1B1 = AB, т.е. поперечины тоже равны. (Сформулированное правило как раз и выражает, что построение заведомо получится: дуги пересекутся, и угол будет получаться один и тот же, какие бы точки А, В на сторонах данного угла ни брать.)

ЗАМЕЧАНИЕ

В этой главе мы рассматриваем практические основания геометрии. Поэтому изложенное построение, как и все, о которых идет здесь речь, понимается в буквальном смысле: с помощью реального циркуля и реальной линейки, так что «дуга окружности»— это линия, зачерчиваемая циркулем,— например, след карандаша. Отрезок, окружность, как дальше перпендикуляр, понимаются в том наглядном практическом смысле, как они известны, скажем, из пропедевтического курса геометрии, но никак не в смысле абстрактной аксиоматизированной геометрии.

Прямоугольник

Прямоугольники — это (если не считать отрезков и углов) наиболее часто встречающиеся в практике фигуры: дверные проемы, оконные стекла, верхние доски столов, стены и потолки комнат, листы бумаги; на земле — поверхности грядок, ит.д. ит.п.— все они по большей части имеют прямоугольную форму. Так и в Египте люди очерчивали прямоугольные участки земли, прямоугольные основания домов и храмов и др.

Прямоугольник можно построить так. Из концов данного отрезка АВ проводят в одну сторону равные перпендикулярные ему отрезки AC, BD (рис. 11). (Уже египетские землемеры умели восстанавливать перпендикуляры.) Затем соединяют концы С, D этих отрезков и получают прямоугольник. В частности, будет CD = АВ. Это и можно принять как «правило прямоугольника»— утверждение о возможности строить прямоугольники.

Если из концов отрезка АВ проведены в одну сторону равные перпендикулярные ему отрезки AC, BD, то CD = AB. Это правило можно назвать также правилом параллельных отрезков. Действительно, продолжая отрезки AC, BD, будем получать сколь угодно

Рис. 11 Рис. 12

длинные отрезки, находящиеся на постоянном расстоянии друг от друга, т. е. параллельные друг другу, как, например, рельсы прямого железнодорожного пути.

ЗАМЕЧАНИЕ

Почти во всех изложениях оснований геометрии вместе с основным понятием прямой фигурирует аксиома параллельных. В ней речь идет о двух непересекающихся бесконечных прямых, и потому ее реальный практический смысл довольно трудно разъяснить; ее часто высказывают без всяких пояснений. У Евклида равносильная аксиома — пятый постулат — выражался существенно иначе.

Мы заменяем аксиому параллельных «аксиомой прямоугольника», повторяющей только что сформулированное «правило прямоугольника». Она имеет совершенно ясное, непосредственно практическое содержание. Ее, как отмечено, можно назвать также аксиомой параллельных отрезков. Главное свойство параллельных прямых состоит именно в равенстве расстояний точек одной прямой до другой (рис. 12). Греческое слово «параллельная» означает «идущая рядом» и тем самым выражает именно это основное свойство параллельных линий.

Измерение

Вернемся к сравнению отрезков. В простейшем случае, сравнивая один реальный отрезок АВ с другим CD, растягивают веревку вдоль АВ, затем переносят на CD и так выясняют, какой из отрезков больше или они равны. Если веревка, укладывающаяся на отрезке АВ, не умещается на CD, то отрезок АВ больше (рис. 13); если же веревка не дотягивает от С до D, то CD больше. Так в простейшем случае (веревкой или чем-нибудь другим) сравнивают отрезки по их величине — по длине. Более точное сравнение и в том случае, когда нет веревки, которая растягивалась бы по одному из отрезков, получается путем измерения.

Измерение длины отрезка, или, короче говоря, измерение отрезка состоит в сравнении его с каким-либо фиксированным отрезком, приня-

Рис. 13 Рис. 14

тым за единицу измерения*. Оно основано на тех же правилах или законах откладывания, сравнения и сложения отрезков. В простейших практических случаях измеряют тем, что есть в наличности; сторону земельного участка — шагами, доску —«четвертями», растянутыми пальцами и т.п.

В общем виде измерение происходит так. Откладываем вдоль данного отрезка АВ отрезок АА1, равный «единице», е. Допустим, точка А1 оказалась на отрезке АВ так, что остался отрезок A1В. Вдоль А1В откладываем отрезок А1А2, равный е, и так продолжаем, пока от конца Аn n-го отрезка уже нельзя дальше отложить отрезок, равный е, укладывающийся в отрезке АВ (рис. 14). При этом либо точка Аn совпадает с В, либо остается «остаток»— отрезок АnВ, который короче, чем е. В первом случае говорим, что длина отрезка АВ равна n («единиц» е), во втором — больше n, но меньше n + 1. Во втором случае, когда отрезок АВ не измеряется точно в целых «единицах», отрезок АВ слагается из отрезка ААn, равного nе, и остатка АnВ. Для измерения остатка берут более мелкую «единицу» е1 (как правило, какую-либо долю «единицы» е). Если опять останется остаток, то его измеряют еще более мелкой «единицей» ит. д.

Практически этот процесс все более точного измерения очень быстро кончается — просто потому, что никакой реальный отрезок — будь то линия, ограничивающая земельный участок, стальной стержень, ребро доски стола и т.п.— не имеет абсолютно точных размеров. Однако теоретически в геометрии считается, что процесс измерения можно продолжать неограниченно.

Оставив пока в стороне эту абстрактную возможность, посмотрим, что предполагается в процессе измерения и что оно дает. Откладывая на данном отрезке АВ отрезки, равные «единице» е, мы рано или поздно при-

* Точнее, единицу измерения представляет не один данный отрезок, а его длина или, можно сказать, любой равный ему отрезок. Так, мы говорим «один метр», имея в виду не эталон, не отрезок между чертами, нанесенными на стержне, хранящемся в Институте метрологии, а длину в один метр.

ходим к тому, что дальше откладывать «единицу» невозможно: доходим до того, что n отрезков е покрывают АВ или отсекают от него отрезок, меньший е, так что (n+ 1)-й отрезок е перекроет АВ. Это выражают в виде правила, которое принято называть аксиомой Архимеда*.

Какие два отрезка ни взять, равными любому из них можно перекрыть другой.

Иначе говоря, для отрезков а, е существует такое целое число m, что а < mе. Понятно, что только возможность такого сравнения отрезков позволяет выразить или оценить длину одного отрезка через длину другого.

Используемую при уточнении измерения возможность делить данный отрезок на меньшие равные доли не нужно формулировать особо, так как это в геометрии выводится из других аксиом.

Свойства численного выражения длины

Значение измерения и численного выражения длины состоит в том, что геометрическим соотношениям отрезков соответствуют аналогичные соотношения численных значений длин. Благодаря этому вместо построений можно пользоваться записями и вычислениями на бумаге, начиная с того, что длину отрезка можно задавать не образцом, имеющим такую-то длину, а числом.

Рядом с фигурой землемера появляется фигура писца (рис. 15).

Рис. 15. Египетская статуя

Абсолютно точные выражения и задания длин реальных отрезков невозможны. Но практически всегда можно выбрать настолько малую «единицу», что рассматриваемые длины будут выражаться в целых числах с достаточной точностью. Так, скажем, для отрезков на чертежах можно взять за такую «единицу» микрон, и отличается ли один отрезок от другого на несколько микронов, не будет иметь никакого практического значения. К тому же можно заметить, что числа фактически выражаются десятичными дробями — в целых числах некоторых десятичных долей. Таким образом, длины практически выражают целыми числами с достаточной точностью. Тогда соответствие геометрических

* Однако ее впервые высказал не Архимед, а его предшественник Евдокс (если не кто-нибудь еще раньше). Архимед сам на него ссылался.

соотношений отрезков и численных длин устанавливается совершенно элементарно.

Итак, мы рассматриваем отрезки, составленные из отрезков, равных некоторой «единице» е, и выражаем их длины в этой «единице». Легко доказывается следующее.

1. Если длины равны, то отрезки равны. В самом деле, пусть два отрезка а, b имеют равные длины, т. е. составляются одним и тем же числом отрезков, равных е. По правилу сравнения отрезки, равные одному и тому же е, равны друг другу. Поэтому отрезки а, b составляются из равных отрезков. А по закону сложения отрезки, составленные из соответственно равных отрезков, равны. Стало быть, отрезки а и b равны, что и требовалось доказать.

2. Обратно: у равных отрезков длины равны. Действительно, пусть отрезки а и b равны. Допустим, однако, что а состоит из m отрезков, равных е, а b — из другого числа, скажем, n > m. Тогда на b откладываются m отрезков е, что дает отрезок с = mе, равный а по доказанному. Но так как b = а, то получается, что вдоль b отложено два разных отрезка, равных одному и тому же а. Это противоречит закону откладывания отрезка.

Очевидным образом доказываются следующие утверждения.

3. Длина суммы отрезков равна сумме их длин; обратно: сумма длин двух или нескольких отрезков равна их сумме.

4. Аналогичное верно для разностей отрезков и длин.

5. У большего отрезка длина больше; обратно: если длина больше, то отрезок больше.

Однако в геометрии мыслится бесконечно точное измерение и, соответственно, выражение длин иррациональными числами, когда длина данного отрезка не соизмерима с единицей. Это уже выходит за пределы реальности, так что здесь практические основания геометрии кончаются, и мы должны перейти к чисто теоретическим ее основаниям.

Фигуры

Геометрию определяют как науку о пространственных формах и отношениях, взятых в их «чистом» виде — в отвлечении от материального содержания. Когда реальные тела, участки земли, какие-либо фигуры, начерченные на бумаге, и пр. рассматриваются в таком отвлечении, принимаются во внимание только их форма и размеры, а все остальные свойства оставляются в стороне без внимания. В таком виде они становятся «геометрическими фигурами», при этом формы и раз-

меры фигур считаются идеально точно определенными, не так как у реальных тел. Кроме того, в представлении о геометрических фигурах отвлекаются нередко и от некоторых размеров; так мыслятся поверхности без всякой толщины, линии без ширины и толщины, точки без всяких размеров.

Коротко можно сказать, что геометрия — это наука о фигурах, а фигура — это мысленный образ предмета, в котором сохраняются только формы и размеры — те, которые принимаются во внимание. Так, отрезок — это мысленный образ натянутой нити, лишенной всякой толщины. Отрезки, как и точки,— это только простейшие фигуры, дальше рассматриваются углы, треугольники, многоугольники, окружности… и фигура писца — тоже геометрическая фигура (см. рис. 15).

Поскольку у фигуры приняты во внимание только формы и размеры, то фигуры считаются одинаковыми (равными или конгруэнтными), если у них одинаковые формы и соответствующие размеры. Это взятое из практики понятие равенства в геометрии уточняется, поскольку еще надо уточнить, что понимается под формой и о каких размерах идет речь.

О форме и размерах в геометрии не говорят: фигуры сравнивают по расстояниям между их соответствующими точками. Например, треугольники равны, если равны их стороны, четырехугольники равны, если равны их стороны и диагонали. Для общих фигур сравнивают расстояния между любыми точками, поскольку заранее не указано, какие расстояния являются определяющими. (Это приводит к определению: две фигуры равны, если существует такое соответствие между их точками, что расстояния между соответственными точками равны, т.е. если точкам А, В соответствуют точки А′, В′, то отрезки АВ и А′В′ равны.) Говорят порой, что равны те фигуры, которые можно наложить одна на другую. Но не только нельзя реально наложить, скажем, один участок земли на другой, но и представить это затруднительно. Практически, сравнивая предметы как фигуры, их обмеряют и сравнивают полученные результаты, т. е. действуют, как и говорит определение: сравнивают расстояния между соответствующими точками.

Так общее понятие равенства фигур приводится к понятию о равенстве отрезков. Вообще, геометрия в ее общем учении о любых фигурах, по крайней мере на плоскости, исходит из тех аксиом, какие говорят о точках и отрезках. Но тогда к этому нужно присоединить аксиомы, говорящие о фигурах и дающие их отвлеченное, согласно духу аксиом, определение, уже никак не опирающееся на наглядные представления.

Но еще раньше, допустив неограниченно точное измерение идеальных отрезков, мы покинули почву практики и перешли в область чистого

мышления, рассуждая о том, чего, насколько можно судить, нет в действительности. В действительности нет, конечно, и идеальных отрезков, как нет и идеальных точек; однако в начальных выводах геометрии их можно представить себе более наглядно и практически, но дальше это делается невозможным — геометрия из практической превращается в часть «чистой математики», с ее идеальным, «умопостигаемым», как говорили греки, предметом — идеальными геометрическими фигурами. Как далеко могут заходить абстракции аксиоматического построения геометрии, мы потом увидим.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Статья из Математического энциклопедического словаря (М.: Сов. энциклопедия, 1988)

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — часть геометрии, входящая в элементарную математику. Границы элементарной геометрии, как вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что элементарная геометрия есть та часть геометрии, которая изучается в средней школе; это определение, однако, не только не вскрывает содержания и характера элементарной геометрии, но и никак ее не исчерпывает, так как в элементарную геометрию включается обширный материал, лежащий вне школьных программ (например, аксиоматика, сферическая геометрия). Можно сказать, что элементарная геометрия есть исторически и, соответственно, логически первая глава геометрии (поскольку из нее развились другие геометрические направления); в своих основах она сложилась в Древней Греции, и изложение ее основ дают уже «Начала» Евклида (III в. до н. э.). Такое историческое определение закономерно, и оно также не уточняет общего содержания и характера элементарной геометрии, тем более что ее развитие продолжается и в настоящее время. Поэтому это определение должно быть раскрыто и дополнено.

В Древней Греции исследовали не только многоугольники, окружность, многогранники и другие фигуры, рассматриваемые в школьном курсе, но также конические сечения (эллипс, гипербола, парабола) и ряд других более сложных кривых и фигур (например, квадратриса). Однако каждый раз кривая (фигура) задавалась конкретным геометрическим построением, только такие кривые (фигуры) считались геометрическими, т.е. могущими быть предметом геометрии; другие же возможные кривые назывались механическими. Эта точка зрения была отвергнута в XVII в. Р. Декартом при создании им аналитической геометрии и была полностью преодолена вместе с развитием анализа, когда предметом математики стали любые, по крайней мере любые аналитические, функции и кривые.

В этом исторически ясно обозначенном переходе от конкретно определенных кривых (окружность, эллипс и т.д.) и функций (данная степень х, синус и т. п.) к любым, по крайней мере из необозримо обширного класса, кривым и функциям и состоит логический переход от элементарной математики, в частности от элементарной геометрии, к высшей. Элементарная геометрия совершенно исключает рассмотрение любых аналитических кривых и поверхностей, которые составляют уже предмет дифференциальной геометрии, любых выпуклых тел, которые служат предметом геометрии выпуклых тел, ит. п. Вместе с тем каждая данная кривая, каждое данное выпуклое тело и т. п., определенные тем или иным построением или конкретным свойством (например, эллипс, цилиндр и т. д.), могут стать предметом элементарной геометрии. Стало быть, элементарная геометрия характеризуется в смысле ее предмета тем, что в ней рассматриваются не вообще любые фигуры, но каждый раз те или иные достаточно определенные фигуры.

Точнее, элементарная геометрия исходит из простейших фигур: точка, отрезок, прямая, угол, плоскость и основного понятия о равенстве отрезков и углов или вообще о совмещении фигур при наложении, чем определяется их равенство. Кроме того, при строгом аксиоматическом построении элементарной геометрии явно выделяются понятия: «точка лежит на прямой» или «на плоскости», «точка лежит между двумя другими». Предмет элементарной геометрии составляют: 1) фигуры, определяемые конечным числом простейших фигур (например, многоугольник определяется конечным числом отрезков, многогранник — конечным числом многоугольников, а стало быть, опять-таки отрезков); 2) фигуры, определенные тем или иным свойством, формулируемым в исходных понятиях (например, эллипс с фокусами А, В есть множество таких точек X, что сумма отрезков АХ и ВХ равна данному отрезку); 3) фигуры, определенные построением (например, конус строится проведением прямых из данной точки О во все точки какой-либо данной окружности, не лежащей с О в одной плоскости, а коническое сечение определяется пересечением конуса плоскостью).

Фигура, как бы ни была она сложна, заданная подобным образом, может стать предметом исследования в рамках элементарной геометрии. Что касается свойств таких фигур, то элементарная геометрия ограничивается изучением свойств, которые определяются опять-таки на основе указанных простейших понятий. Свойства эти суть прежде всего взаимное расположение и равенство тех или иных элементов фигуры, длина, площадь, объем. Соответственно, определения длины окружности, площади эллипса, объема шара и т.п. принадлежат элементарной геометрии. Однако общие понятия длины, площади и объема лежат за пределами

элементарной геометрии, например теорема о том, что среди всех замкнутых кривых данной длины наибольшую площадь ограничивает окружность, хотя и говорит о свойстве окружности, не принадлежит элементарной геометрии, так как в ней фигурирует понятие длины любой замкнутой кривой и ограничиваемой ею площади. В элементарной геометрии рассматриваются свойства касательной к окружности, можно рассматривать и свойства касательных к эллипсу, гиперболе, параболе, но общее понятие касательной лежит за пределами элементарной геометрии. Это логическое различие в общности понятий и степени абстракции вполне отвечает историческому развитию, ибо общие понятия длины, площади, объема, так же как общее понятие касательной к кривой, были постепенно выработаны только вместе с развитием анализа, а указанная теорема о максимальном свойстве окружности была строго доказана только в середине XIX в. Геометрические построения и преобразования, изучаемые в элементарной геометрии, определяются опять-таки конкретными геометрическими предписаниями на основе первичных понятий геометрии; таково, например, преобразование обратных радиусов, или инверсия.

Соответственно предмету элементарной геометрии ограничены и ее методы; они заведомо исключают пользование общими понятиями любой фигуры, переменной, функции, исключают ссылки на общие теоремы теории пределов и т. п. Основной метод элементарной геометрии — это вывод теорем путем наглядного рассуждения, основанного либо на исходных посылках — аксиомах, либо на уже известных теоремах элементарной геометрии, с применением того или иного вспомогательного построения, не употребляющего общих понятий кривой, тела и др. (например, «продолжим отрезок АВ», «разделим угол А пополам» ит. п.).Привлекаемые в элементарной геометрии вычислительные средства из алгебры и тригонометрии допускают, по существу, сведение к таким построениям. Понятие предела не исключается из элементарной геометрии, поскольку оно фигурирует в теоремах о длине окружности, поверхности шара и других, бесспорно включаемых в элементарную геометрию. Однако в каждом таком случае речь идет о конкретной последовательности, заданной элементарно-геометрическим построением, и приближение к пределу устанавливается непосредственно, без ссылок на общую теорию пределов. Примером может служить определение длины окружности посредством рассмотрения последовательности вписанных и описанных правильных многоугольников. Подобный прием в принципе возможен для любой данной кривой, но для произвольной кривой вообще ничего подобного сделать нельзя, поскольку «кривая вообще» не задана конкретно. Стало быть, разница между элементарной геометрией, вообще

элементарной математикой, и высшей состоит, скорее, не в том, что во второй применяется понятие предела, а в первой — нет, а в степени общности этого понятия. Соответственно определению метода элементарной геометрии та или иная теорема может принадлежать элементарной геометрии по формулировке, но не по доказательству. Примером может служить теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями граней (точную формулировку см. в статье Многогранник). Эта теорема элементарна по формулировке, но известные ее доказательства не элементарны, так как используют общие теоремы анализа либо даже топологии.

Коротко можно сказать, что элементарная геометрия включает те вопросы геометрии, которые в своей постановке и решении не включают общей концепции бесконечного множества, но лишь конструктивно определенные множества (геометрические места). Когда говорят, что евклидова геометрия основана, скажем, на системе аксиом Гильберта или на иной, близкой по характеру системе аксиом, то забывают, что при введении общих понятий кривой, выпуклого тела, длины и других фактически используют способы образования понятий, вовсе не предусмотренные в аксиомах, а опирающиеся на общую концепцию множества, последовательности и предела, отображения или функции. То, что выводится из аксиом Гильберта без таких добавлений, и составляет элементарную часть евклидовой геометрии. Это разграничение можно уточнить в терминах математической логики. Вместе с тем, соответственно пониманию элементарной геометрии, можно говорить об элементарной геометрии n-мерного евклидова пространства, о элементарной геометрии Лобачевского и др. При этом имеются в виду те разделы, теоремы и выводы из этих геометрических теорий, которые характеризуются теми же чертами.

Исторический очерк. Расцвет математики в Вавилоне и Египте относится примерно к 1-й половине II тыс. до н. э. Дошедшие до нас тексты содержат лишь готовые рецепты для решения задач; из этого, однако, нельзя делать вывод о примитивно практическом или даже чисто эмпирическом характере всей древневосточной математики; интересно в этом отношении высказывание Демокрита: «никто не превзошел меня в построении фигур из линий, сопровождающемся доказательством,— даже арпедонапты (землемеры) в Египте». Имеются данные, что в Египте и Вавилоне было разработано учение о подобии и пропорциональности; были известны «формулы» для площадей прямоугольников и трапеций и приближенные «формулы» для площади любых четырехугольников; была найдена приближенно площадь круга:  3,16 r . Вавилонянам

и, вероятно, египтянам была известна «теорема Пифагора» (примерно в это же время она была известна и в Китае). Египтяне знали выражение для объема правильной усеченной четырехугольной пирамиды, не говоря уже об объеме куба, параллелепипеда и призмы с трапецией в поперечном сечении; вопрос о том, знали ли они выражение для поверхности шара, остается спорным.

Как стройная система взаимосвязанных теорем элементарная геометрия сложилась в Древней Греции. Первыми известными нам математиками Древней Греции являются Фалес Милетский и Пифагор Самосский. Фалесу приписывается утверждение, что прямоугольные треугольники, имеющие равный катет и равный острый угол, равны, а имеющие равный острый угол — подобны (пользуясь этим, он определял расстояние корабля от берега и высоту пирамиды по ее тени); что вертикальные углы, как и углы при основании равнобедренного треугольника, равны; что диаметр делит окружность на две равные части. Еще меньше известно о Пифагоре: утверждение, что треугольник, вписанный в полукруг,— прямоугольный, приписывают то Фалесу, то Пифагору; что касается так называемой теоремы Пифагора, то о том, что она приписывалась Пифагору, сообщает только Прокл, причем сам он относится к этому с недоверием.

Развитие геометрии в V в. до н. э. связано с именем Демокрита и руководимой им атомистической школы. Эта школа, по-видимому, выводила уже геометрию из небольшого числа предпосылок. Демокрит, основываясь на созданном им атомистическом представлении о строении геометрических фигур, установил, что объем пирамиды равен третьей части объема призмы, а объем конуса — третьей части объема цилиндра с теми же основаниями и высотой. Как сообщают Плутарх и Аристотель, он разбивал конус на ряд наложенных друг на друга кружков; подобным же образом он представлял себе шар состоящим из очень узких пирамид с вершиной в центре и заявлял, что шар «повсюду угловат», т. е. является многогранником с чрезвычайно большим числом граней. Наконец, Демокрит вслед за Анаксагором изучал теорию перспективы.

Первым математиком, написавшим курс геометрии («Начала»), был Гиппократ Хиосский. Дошедшие отрывки из его работы напоминают по стилю и структуре «Начала» Евклида, но каковы были постулаты, от которых он отправляется, неизвестно. Гиппократ занимался проблемой квадратуры круга, волновавшей уже Анаксагора, и так называемой делосской задачей об удвоении куба. Эти задачи ему решить не удалось. Другой младший современник Демокрита Антифонт подошел к методу исчерпывания: для определения площади круга он вписывал в него многоугольники, последовательно удваивая число их сторон, и мысленно продолжал это до тех пор, пока не доходил «до тех минимальных частиц,

из которых состоит как прямая, так и окружность круга» (он исходил из атомистических предпосылок). Еще интереснее попытка, предпринятая в это же время Гиппием Элидским. По-видимому, впервые в истории математики он вычертил «квадрирующую кривую» (квадратрису), которая одновременно разрешала и задачу квадратуры круга, и задачу трисекции угла. Это открытие имело исключительное значение: была открыта первая трансцендентная кривая.

Причинами крушения атомистической геометрии были трудности, связанные с неоднородностью пространства в такой геометрии, и ее несовместимость с открытым пифагорейцами существованием несоизмеримых величин, в частности несоизмеримостью стороны и диагонали квадрата. С начала IV в. до н.э. ведущая роль переходит к этой пифагорейской школе. Возможно, что уже пифагорейцами V в. до н.э. были сделаны некоторые математические открытия. Так, им приписывают доказательство теоремы, что сумма углов треугольника равна двум прямым; решение задачи: построить параллелограмм, подобный данному параллелограмму и равновеликий данному треугольнику; открытие додекаэдра.

На математике того времени отразилось влияние Платона: из математики изгоняются числовые расчеты, увязка с практической жизнью, приближенные решения. В центре внимания становятся игравшие большую роль в мистико-религиозных теориях Платона правильные многогранники, теория пропорций и учение об иррациональных величинах. Ученик Платона Теэтет изучил правильные многогранники, придав этому учению, вероятно, тот вид, какой оно имеет в «Началах» Евклида. Архит Тарентский углубил учение о пропорциях и решил задачу удвоения куба стереометрическим путем: он строил цилиндр, конус и тор и находил точку их пересечения. Таким путем были открыты конические сечения — парабола и гипербола (эллипс был открыт раньше).

Крупнейшим математиком этой эпохи был Евдокс Книдский. Основное его значение — в создании новой геометрической аксиоматики и метода исчерпывания. От Архимеда известно, что именно Евдоксу принадлежит в своей основе так называемая аксиома Архимеда. Она по существу совпадает с определением, данным в книге V «Начал» Евклида: «Две величины имеют отношение между собою, если меньшую из них можно повторить столько раз, чтобы результат был равен или больше»; это заменило атомистическую аксиому, которая еще сохраняется у Евклида в сочинении «О делении струны»: «Если некоторую величину прибавлением или вычитанием можно довести до требуемой величины, то… она состоит из частиц, а величины, состоящие из частиц, относятся как целые числа». На основании «аксиомы Архимеда» строится метод исчерпывания для определения площадей и объемов, сходный с методом Антифонта

(вписываются многоугольники со все бóльшим числом сторон), но окончательный вывод получается независимо от всяких атомистических предпосылок путем ложного предположения и приведения к абсурду. Так, Евдокс дал точные выводы для объемов пирамиды, конуса и шара; все эти объемы были уже найдены в V в. до н.э., но атомистическим способом. Ученик Евдокса Менехм впервые дал связное учение о конических сечениях. Дальнейшему уточнению математической аксиоматики и стройности доказательства значительно содействовал Аристотель как основатель научной логики. Результатом всех этих разнообразных влияний и источников явились «Начала» Евклида. Евклид — первый античный математик, сочинения которого (хотя и не все) дошли до нас целиком. В «Началах» чувствуется влияние Платона и Аристотеля вплоть до того, что труд Евклида завершается учением о правильных многогранниках. Во всем сочинении нет ни слова о практических приложениях геометрии — об измерении и счете; даже вопрос об отношении длины окружности к диаметру, столь интересовавший геометров V в. до н.э., здесь опущен, как относящийся к измерению. Задача Евклида — вывести всю систему из немногих основных положений, и с позиций своего времени он с ней блестяще справился.

Величайшим математиком античности был Архимед. Геометрические работы Архимеда посвящены нахождению отношения длины окружности к диаметру (он дает оценку 310  317 ), нахождению площади параболического сегмента, эллипса и его сегмента, а также нахождению объема цилиндра, шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида и, наконец, изучению спирали, известной под названием спирали Архимеда. Площади и объемы Архимед находил способом атомистов, разлагая плоские фигуры на прямые, а тела — на пластинки элементарной толщины. Но он считал это лишь способом нахождения решений, поэтому он всегда дает также строгое доказательство найденных решений по методу исчерпывания. Из арабских источников известно, что определение площади треугольника по трем сторонам, т.е. так называемая «формула Герона», также принадлежит Архимеду.

Если квадратуры и кубатуры Архимеда содержали в зародыше интегральное исчисление, то Аполлония Пергского, современника Архимеда, нужно считать предшественником создателей аналитической геометрии. Его наиболее известной работой были «Конические сечения» в 8 книгах (8-я до нас не дошла). Аполлоний столь приблизил учение о конических сечениях к нашим алгебраическим формулировкам, что почти каждую из его теорем можно сразу перевести на алгебраический язык. После Аполлония исследования продолжаются, но уже с меньшей оригиналь-

ностью, показывая постепенный упадок. Римское господство не принесло успеха геометрии; на латинском языке до нас дошли только сборники по землемерному делу, дающие геометрические формулы с грубым приближением. В римскую эпоху жило немало выдающихся греческих ученых, особенно в Александрии (Герон, Папп, Менелай), но и они создали мало нового. Так, Герон, живший около начала нашей эры, в «Метрике» и «Геометрии» приводит целый ряд интересных геометрических формул, сопровождая их доказательствами, но этот материал только выписан из сочинений его предшественников. Еще больше материала по самым различным областям элементарной геометрии содержится в «Математическом собрании» Паппа. Отметим, что сам Папп открыл общую теорему об объеме тела вращения, известную под названием «теоремы Гюльдена».

В IV–XIV вв. геометрия в Европе переживает глубокий упадок. Математика развивается в эту эпоху на Востоке (преимущественно арифметика и алгебра). Ученые Востока также полностью освоили творения греческих геометров, комментировали их и развивали в некоторых специальных вопросах. К началу XV в. в Европе начинается пробуждение математической мысли в связи с общими причинами, породившими эпоху Возрождения. Усвоив арабскую науку, европейские ученые обращаются непосредственно к Евклиду, Архимеду, Аполлонию, переводят их, комментируют и кое в чем дополняют. Но для того чтобы не только овладеть античной геометрией, а двинуть ее вперед, нужно было оторваться от ее громоздкого оформления. Этот шаг сделал Ф. Виет, который в своих сочинениях «Геометрические решения» и «Дополнение к геометрии» (1593)ввел новые алгебраические обозначения, применяя алгебру к геометрии и давая геометрические построения алгебраических формул. Тем самым была подготовлена почва для возникновения аналитической геометрии. В этих новых направлениях геометрия выходит за рамки элементарной геометрии, и отсюда начинается новый период истории геометрии.

С XVII в. происходит также и новое развитие элементарной геометрии. К ней присоединяется едва намечавшееся у древних учение о простейших геометрических преобразованиях, развивается учение о геометрических построениях, теория многогранников и другие области элементарной геометрии (геометрия треугольника, учение о площадях и объемах и т.п.),позже возникает и разрабатывается учение о правильных системах фигур. Одновременно с созданием анализа формируется дифференциальная геометрия. Древнегреческие геометры употребляли наложение и совмещение фигур перемещением. Несколько позже начали пользоваться преобразованиями подобия и инверсии. После XVII в. различные преобразования становятся предметом исследования. В работах Ж. Д’Аламбера, Л. Эйлера, М. Шаля классифицируются движения на плоскости

и в пространстве. В различных исследованиях от Ж. Дезарга до Ж. Понселе накапливаются принадлежащие элементарной геометрии новые результаты, из которых складывается общее учение о проективных преобразованиях. В XIX в. аксиоматика движения становится уже одной из возможных форм аксиоматического построения элементарной геометрии. Учение о геометрических построениях обогащается не только новыми решениями, но и новыми постановками задач и приводит к решению лежащего уже вне элементарной геометрии вопроса о границах возможностей классических построений с помощью циркуля и линейки. В начале XIX в. из анализа основ элементарной геометрии вырастает геометрия Лобачевского. Подчеркивая происхождение столь важной для всей науки теории из вопросов элементарной геометрии, не надо забывать, что в своем первоначальном виде геометрия Лобачевского сохраняет элементарно-геометрический характер. Поэтому многие вопросы элементарной геометрии (теория многогранников, теория построений и т.п.) развивались и развиваются далее для различных геометрий.

Восходящая к древности теория многогранников обогащается в XVIII– XX вв. многими новыми результатами; она послужила одним из источников таких разделов современной геометрии, как общая теория выпуклых тел, теория нерегулярных поверхностей, комбинаторная топология. В связи с классификацией возможных симметрий возникает учение о правильных системах фигур. К этой теории примыкают многие вопросы дискретной геометрии. Во всех этих разделах до сих пор остается значительное число нерешенных вопросов, по своей формулировке принадлежащих элементарной геометрии. В создавшейся одновременно с анализом дифференциальной геометрии получают общее решение многие задачи, ставившиеся ранее для частных фигур в рамках элементарной геометрии. Так обстоит дело с измерением объемов и площадей. Однако в XX в. в элементарной геометрии появляется новый результат о возможной неравносоставленности равновеликих многогранников в противовес равносоставленности равновеликих многоугольников. Словом, развитие задач элементарной геометрии постоянно приводило и приводит к перерастанию тех или иных ее направлений в качественно новые области геометрии, где применяются уже более далекие абстракции и новые методы. Наряду с этим современное состояние таких вопросов, как теория треугольника и тетраэдра, показывает, какое неисчерпаемое разнообразие конкретных результатов элементарной геометрии может содержать изучение даже таких простых фигур.

О ПОНЯТИИ МНОЖЕСТВА В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

(Математика в школе. 1984. № 1)

Курс геометрии в VI–X классах школы претерпевает в настоящее время чрезвычайное преобразование, и среди всех вносимых в него изменений одно из самых существенных касается понятия множества.

В прежних, еще действующих в старших классах учебниках понятие множества является основным, фигура определяется как множество точек, и через весь курс проходят теоретико-множественные определения, формулировки и формы записи, кое в чем даже с излишествами. В полной противоположности этому во внедряемом теперь учебнике А. В. Погорелова* ничего этого нет, нет даже самого слова «множество». Эта резкая разница, этот разрыв между одним и другим подходами выглядит как поворот «на все 180º» и вызывает у многих учителей недоумение. Учитель М.М. Назаренко из Закарпатья в письме в редакцию журнала пишет: «Язык теории множеств в геометрии запрещают. Но… почему мы должны отбросить и не брать хорошее, что было в старой программе?».

В данной статье мы, конечно, не можем ничего ни разрешить, ни запретить и едва ли в силах существенно повлиять на перестройку курса геометрии, но можно попытаться разобраться в вопросе о месте и роли теоретико-множественных понятий и в том, что с ними происходит в проводимой перестройке.

1. О понятии множества в геометрии

Прежде всего, совершенно независимо от каких бы то ни было школьных программ и учебников нужно констатировать и подчеркнуть, что понятие множества является основным в современной математике вооб-

* Погорелов А.В. Геометрия 6–10. М.: Просвещение, 1982.

ще, и в геометрии в частности. Фигуры, как и разного рода рассматриваемые в геометрии пространства, определяют как множества точек с теми или иными свойствами, с той или иной структурой (точка же — это просто элемент соответствующего множества).

Для того чтобы продемонстрировать, насколько понятие множества необходимо в геометрии, насколько существенно оно входит в ее изложение, возьмем в качестве примера недавно вышедшее из печати пособие по геометрии для педвузов, написанное А. В. Погореловым*. Пример тем более убедительный, что автор его является также автором учебника, где нет даже слова «множество».

В рассматриваемом пособии уже в самом начале (гл. I, § 4) к понятию геометрического места дается пояснение, что «речь идет о множестве точек…». Далее за аналитической геометрией следует дифференциальная геометрия — общая теория кривых и поверхностей. Изложение здесь начинается словами: «Понятие преобразования фигуры (множества точек)известно из элементарной геометрии». Таким образом, автор в скобках поясняет, что фигура есть множество точек.

Другая глава начинается со слова «множество» уже без того, чтобы говорить о «фигуре»: «Пусть G — множество точек на плоскости…».

В дальнейшем приводится, например, известное определение: «выпуклым телом называется ограниченное замкнутое множество с внутренними точками, которое вместе с любыми двумя его точками содержит соединяющий их отрезок». Тут же формулируется теорема, в которой фигурирует понятие пересечения множеств: «Выпуклый многогранник есть пересечение конечного числа полупространств, имеющих общую внутреннюю точку».

О площади простых фигур и объеме простых тел пишется как о функциях, определенных на множестве «простых фигур» и на множестве «простых тел».

Словом, понятие множества используется в рассматриваемом пособии достаточно широко. И так же широко это понятие вообще используется в сочинениях по геометрии и играет, можно сказать, фундаментальную роль, потому что, как уже сказано, общий предмет геометрии — разного рода пространства и фигуры в них — определяется как множества**.

* Погорелов А.В. Геометрия. М.: Наука, 1983.

** Укажем только один пример: определение топологического пространства. Академик Л.С. Понтрягин формулирует его так: «Множество R элементов какого-либо ряда называется топологическим пространством, если… каждому множеству М элементов пространства R поставлено в соответствие множество M …» — и дальше формулируются соответствующие условия (см.: Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. С. 61).

В некоторых случаях вместо того, чтобы определять пространство как множество точек, пишут, что оно «состоит» из точек. Так, например, в одном курсе геометрии для университетов изложение открывается словами: «Геометрия разворачивается в некотором пространстве, которое состоит из точек Р, Q, …». Впрочем, дальше авторы определяют нужные им пространства явно как множества точек с соответствующими свойствами*.

Вообще множество в простом понимании — это то же, что совокупность (так оно и определяется или разъясняется, например, в учебнике по алгебре и анализу). Можно также сказать, что множество каких-либо элементов — объект, состоящий из этих элементов. Тогда говорим ли мы, что пространство или фигура — множество точек или состоит из точек — безразлично.

2. Понятие множества в школьных учебниках

Так именно и подходят к понятиям фигуры как множеству точек в учебнике под редакцией А.Н. Колмогорова. Ставится вопрос: что такое геометрическая фигура? Берется пример — окружность, замечают, что «любая окружность состоит из всех точек плоскости, которые находятся от центра на расстоянии, равном радиусу этой окружности». Отсюда переходят к определению окружности как множества точек, находящихся от данной точки на данном положительном расстоянии. Обобщая, дают определение: «Геометрической фигурой называется любое множество точек»**. Из сказанного можно заключить: говорится ли, что фигура состоит из точек или что она есть множество точек — это одно и то же.

В учебнике А.В. Погорелова на первой же странице говорится, что «всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек» (с. 3). Таким образом, в этом учебнике фигура тоже представляется как множество точек, только это явно не выражается. Между тем стоило к сказанному о фигуре добавить: «поэтому говорят, что фигура — это множество точек», как получилось бы точное совпадение с определением фигуры в учебнике под редакцией А.Н. Колмогорова.

Далее, в учебнике А.В. Погорелова дается определение отрезка: «Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками» (с. 5). Очевидно, это определение равносильно следующему: «Отрезком называется мно-

* Дубровин Б. А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. С. 17, 409–411.

** Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия 6–8 / Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1979. С. 9–10.

жество всех точек прямой, лежащих между двумя данными ее точками». (Можно заметить, что такое определение, вопреки общепринятому, исключает из отрезка его концы, но здесь оставим это без внимания.)

В разделе, посвященном геометрическим построениям, вводится понятие геометрического места точек: «геометрическим местом точек называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством» (с. 55). Но, как можно заметить, это понятие оказывается лишним, если пользоваться понятием множества. В самом деле, фигура, состоящая из некоторых точек,— множество этих точек, поэтому геометрическое место — попросту то же, что множество точек. Так оно, между прочим, и объяснено в учебнике самого А. В. Погорелова для педвузов, на который мы уже ссылались; там вслед за определением понятия «геометрическое место» сказано, что «речь идет о множестве точек».

В определении, правда, говорится о точках, «обладающих определенным свойством». Но какие свойства имеются тут в виду, не говорится. Между тем очевидно, что всякое данное множество точек как-то задается, т. е. точки его чем-то выделяются — какими-то свойствами. Если этого нет, то просто бессмысленно говорить о данном множестве. Исключение составляют заранее указанные множества — прямые, введенные без предварительного определения. Но свойством точек является, в частности, и то, что они принадлежат данной фигуре. Поэтому всякая фигура есть геометрическое место ее точек*. Но тогда проще сказать, что фигура есть множество точек, и особое понятие геометрического места лишается смысла. Особенно ясно это видно на приводимом в учебнике примере: «Окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки». Это равносильно тому, что окружность — множество всех точек, расположенных на одном и том же положительном расстоянии от данной точки.

Преимущество термина «множество» в сравнении с термином «геометрическое место» состоит в его краткости, а главное — в том, что «множество» имеет общематематическое значение и употребляется во всех областях математики.

* Может возникнуть сомнение, что свойством точки считается принадлежность ее данной фигуре. Но это сомнение не основательно. Дело в том, что точка сама по себе не обладает никакими свойствами; ее «свойства» состоят в ее отношении к другим точкам и фигурам, например, то, что она лежит от данной точки на таком-то расстоянии или является точкой пересечения двух данных прямых и т. п. Совершенно так же «свойством» точки является, например, и то, что она принадлежит данной прямой или лежит внутри данной выпуклой области и т.п. Таким образом, наш вывод, что фигура есть геометрическое место принадлежащих ей точек, логически допустим.

Итак, что же мы видим?

Учебник А.В. Погорелова основан на той же теоретико-множественной точке зрения, что и учебник под редакцией А.Н. Колмогорова. Разница в том, что в последнем эта точка зрения выражена явно и проводится через все изложение с некоторыми излишествами*, тогда как в учебнике А.В. Погорелова она не развита и прикрыта отсутствием самого слова «множество», замененного в специальном случае термином «геометрическое место».

Так происходит метание из одной крайности в другую, что никак нельзя считать полезным для такого трудного дела, как преподавание математики в школе. А кроме того, ввиду общематематического значения термина «множество», широко употребляемого в геометрии, скрывать его от учащихся представляется неуместным. Получается, что теоретико-множественная точка зрения как будто проводится, но в то же время как бы скрывается под прикрытием «геометрического места». Зачем?

3. Иная, не теоретико-множественная точка зрения в геометрии

Совпадение теоретико-множественных точек зрения в учебнике А.В. Погорелова и в учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова выступит еще яснее, если рассмотреть, как изложено понятие геометрической фигуры в известном учебнике А.П. Киселева. Учебник открывается следующими словами введения**:

«1. Геометрические фигуры. Часть пространства, занимаемая физическим телом, называется геометрическим телом. Геометрическое тело отделено от окружающего пространства поверхностью.

Часть поверхности отделяется от смежной части линией.

Часть линии отделяется от смежной части точкой.

Геометрическое тело, поверхность, линия и точка не существуют раздельно. Однако при помощи отвлечения мы можем рассматривать по-

* Например, направление определяется как множество сонаправленных лучей (с. 130). Таким образом наглядное понятие направления заменяется странным представлением, что направление состоит из лучей (так как множество состоит из элементов). Еще, например, говорится, что отношение подобия есть отношение эквивалентности на множестве фигур плоскости (с. 220). Это не только едва ли понятно учащимся, но остается без всякого употребления, к тому же понятие о «множестве фигур плоскости» несколько спорно (например, включаются ли сюда неизмеримые множества).

** Киселев А.П. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1980. С. 4.

верхность независимо от геометрического тела, линию — независимо от поверхности и точку — независимо от линии. При этом поверхность мы должны представлять себе не имеющей толщины, линию — не имеющей ни толщины, ни ширины и точку — не имеющей ни длины, ни ширины, ни толщины.

Совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве, называется вообще геометрической фигурой».

Мы видим, что здесь первичным является понятие пространства и вовсе не имеется в виду, что оно состоит из точек; соответственно не состоят из точек ни тела, ни поверхности, ни линии. Эти фигуры содержат точки, но не представляются составленными из точек. Это явно выражено в определении геометрического места точек:

«Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, называется такая линия, или поверхность, или совокупность линий и поверхностей (вообще такая фигура), которая содержит в себе все точки, обладающие этим свойством, и не содержит ни одной точки, не обладающей им» (с. 31).

Это определение отличается от данного в учебнике А. В. Погорелова тем, что здесь геометрическое место содержит точки с данным свойством, но не говорится, что оно состоит из них.

Такое представление, что фигуры содержат точки, но не составляются, не состоят из точек, более соответствует наглядному пониманию. Ни прямые, ни отрезки не представляются наглядно состоящими из точек, на них можно отмечать точки, но они не составляются из точек. Отрезок проводят непрерывно по линейке, но не строят по точкам. Это и невозможно. Так же и окружность нельзя составить из точек, ее описывают сплошной линией с помощью циркуля.

Таким образом, тот взгляд на геометрические фигуры, что они содержат точки, но не составляются из них, ближе соответствует как построению фигур, так и наглядному представлению.

В учебнике А.В. Погорелова говорится, что «мы представляем себе геометрическую фигуру составленной из точек». Но на самом деле так никто не представляет себе ни прямых, ни окружностей, ни каких бы то ни было линий, поверхностей и тел. Эти фигуры — будь то отрезок, окружность, квадрат и т.п.— выступают в нашем представлении как нечто целое; их можно отвлеченно мыслить как состоящими из точек, но нельзя представить их себе составленными из точек. Наглядно они представляются в их непрерывности ближе к тому, как о них говорится у А.П. Киселева. В том же духе дается первоначальное понятие о фигурах в учебнике Л.С. Атанасяна и Э.Г. Позняка (Геометрия 6–8. М.: Просвещение, 1981).

Учебник А. П. Киселева известен своими высокими достоинствами, в частности последовательностью и строгостью изложения, и это доказывает, что для изложения элементарной геометрии теоретико-множественная точка зрения вовсе не является необходимой. Понятно, говоря о строгости изложения, надо понимать ее соответствие принятому в учебнике уровню, вполне достаточному для школьного курса. Изложение в нынешних учебниках не является существенно более строгим (хотя возможно, скажем, строго аксиоматическое изложение, идущее на более глубоком уровне строгости).

Не следует думать, будто изложенное в учебнике А.П. Киселева понятие фигуры было принято им ради популярности, из методических соображений и наглядности. Такое понимание было принято в математике на самом высоком научном уровне в то время, примерно 100 лет назад, когда А.П. Киселев составлял свой учебник (1-е его издание вышло в 1893 г.). В то время теоретико-множественная точка зрения еще только складывалась в математике.

Пространство определялось как протяженность или как «место точек» (подобно геометрическому месту)*. Аналогично линия определялась как «однократная протяженность», поверхность —«двухкратная протяженность», пространство —«трехкратная протяженность», тело — часть этой протяженности (и дальше мыслились «протяженности» или «многократно протяженные многообразия» любой кратности, любого числа измерений).

Такое понимание лежало в основе создаваемых в XIX в. геометрических теорий, далеко выходивших за рамки элементарной геометрии, так что не только она, но и весьма общие теории «высшей» геометрии обходились без теоретико-множественной точки зрения. Однако она сложилась и возобладала в начале нашего века как более глубокий, более утонченный взгляд на предмет геометрии.

В частности, теоретико-множественная точка зрения позволила проанализировать само понятие о «непрерывной протяженности» и дать его вариантам четкие определения. В простейшем случае вопрос состоит в определении того, что значит «непрерывная кривая», «однократная протяженность»… Теоретико-множественная точка зрения позволила также сделать предметом исследования пространства и фигуры, существенно более общие, чем те, какие рассматривались в геометрии раньше. Но независимо даже от этих более общих и более глубоких направлений исследования теоретико-множественная точка зрения укрепилась в ос-

* Например, о пространстве как «месте точек» писал Ф. Клейн в своей «Эрлангенской программе» (см.: Об основаниях геометрии: Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М.: Гостехиздат, 1956. С. 429; см. там же работу Б. Римана).

новании геометрии, как это мы подчеркнули в начале нашей статьи. Понимание фигуры как множества точек стало общим стандартом.

С этим связано также более тонкое рассмотрение фигур, когда выделяются, например, внутренность фигуры и ее граница; даются точные определения понятий области, тела и др.*

Ввиду всего этого введение в курс элементарной геометрии теоретико-множественной точки зрения представляется необходимым, хотя возможно изложение и без нее, как у А.П. Киселева. Вопрос в том, как, в каком объеме следует вводить соответствующие понятия, можно ли обходить самый термин «множество», можно ли не давать определения границы, поверхности тела и другие, как это и сделано в учебнике А.В. Погорелова. В нем, как мы выяснили, в начале выражена теоретико-множественная точка зрения на фигуры. Но дальше она остается почти без всякого употребления.

Надо еще иметь в виду, что сама теоретико-множественная точка зрения претерпела изменения, а вместе с нею изменяется и взгляд на фигуру как состоящую из точек. Но этот вопрос мы рассмотрим дальше.

4. Об обозначениях и терминах

С теоретико-множественной точкой зрения связаны известные обозначения и термины: точка принадлежит множеству A∈M, включение M⊂N, объединение M⋃N, пересечение M∩N. Кроме того, в учебнике под редакцией А.Н. Колмогорова применяются обозначения: отрезка [АВ], луча [АВ), прямой (АВ), длины отрезка |АВ|. В учебнике А. В. Погорелова ни тех, ни других обозначений нет.

Учитель из Закарпатья, письмо которого мы цитировали в самом начале, пишет: «Язык теории множеств в геометрии по новой программе запрещают. Но язык теории множеств в геометрии учениками успешно усваивается и помогает быстро, красиво и нагляднее оформлять задачи, помогает экономить время урока. Почему мы все должны отбрасывать и не брать хорошее, что было в старой программе, а возвращаться к прежним записям по геометрии?»

Дальше в письме приводятся примеры записи условий и решения задачи в прежних обозначениях, указанных выше, и по новой системе.

В заключение автор письма пишет: «Да не так уж много обозначений в геометрии, и они вводятся постепенно, чтобы считать, что ученикам трудно. Я лично за разумный язык множеств в геометрии, и без него тяжело».

* Об этом коротко говорится в учебнике «Геометрия: 6–8» под редакцией А.Н. Колмогорова на с. 35.

Прежде всего, мне думается, следует понять, что приведенные выше принятые по прежней программе обозначения, о которых пишет автор письма, вовсе не обязательно связывать с теорией множеств, со взглядом на фигуры как на множества точек. Эти обозначения можно понимать и использовать и при наглядном понимании, которое принято в учебнике А. П. Киселева.

В самом деле. Что значит A∈F? Это значит, что точка А содержится в фигуре F. И это понятно без всяких множеств.

Что значит F ⊂G? Это значит, что фигура F содержится в фигуре G, как, например, вписанный многоугольник содержится в круге. Запись F ⋃G обозначает фигуру, слагающуюся из фигур F и G; как, например, параллелограмм слагается из двух треугольников. Запись F ∩G обозначает общую часть фигур F, G или пересечение, как, например, пересечение шара с плоскостью.

Все это наглядно понятно без теории множеств, без того, чтобы считать, что фигура состоит из точек. Определять все это — включение, объединение, пересечение — в духе теории множеств совершенно не обязательно, достаточно наглядного понимания. Например, в учебнике А.В. Погорелова при обращении к вопросу о площадях говорится об «областях», ограниченных треугольником, параллелограммом и другими фигурами, а также о «простых областях». Но определения «области» не дается, не дается и определения того, что значит «ограничивает» (и оговаривается, например, что имеются в виду «конечные части» плоскости, ограниченные треугольником и др.). Говорится, что область называется простой, если она допускает разбиение на конечное число треугольников. Но «разбиение» не определяется. Все это должно пониматься наглядно, что вполне допустимо. Но если здесь принята ссылка на наглядное представление, то почему она не должна быть допущена при рассмотрении, скажем, пересечения плоскости с шаром?

Словом, если быть последовательным, то нет оснований не допускать наглядного, не связанного с теоретико-множественным взглядом понимания смысла всех этих обозначений: A∈F, F ⊂G, F ⋃G, F ∩G.

Что же касается обозначений [АВ], [АВ), (АВ), |АВ|, то они вовсе не связаны с теорией множеств. Отрезок, луч, прямая, длина — это понятно и без нее.

Итак, все указанные обозначения имеют смысл и могут употребляться независимо от того, принимаем мы теоретико-множественную точку зрения или придерживаемся более наглядных представлений. Поэтому тем более не видно оснований запрещать пользоваться этими обозначениями учителю, который находит их полезными и может провести их применение, без затруднений для учащихся. Стремление запрещать

в данном случае, как и во многих других, касающихся преподавания, есть не более как неуместное проявление бюрократического стремления к «единообразию» при непонимании существа дела.

Можно вспомнить еще и другое обозначение множества. Например, окружность радиуса R обозначается так:

F = {x||OX| = R}.

Это тоже можно понимать как обозначение не множества, а геометрического места точек в определении, данном у А.П. Киселева, которое мы цитировали выше. Мой личный взгляд на вопрос обозначений состоит, коротко говоря, в том, что не следует придавать ему слишком большого значения. Обозначения можно выбирать разные, лишь бы они были проще, и гораздо важнее, чем форма записи задач и теорем, их наглядное понимание и умение представить его грамотно рисунком и, что особенно важно, словесно, русским языком. Часто поступающие в вуз выпускники умеют писать значки, но не умеют говорить. Старое обозначение отрезка АВ, как, например, у Киселева, кажется мне наилучшим, а скобки [АВ] представляются совершенно лишними довесками. Для обозначения других фигур можно, скажем, применять слова или их сокращения, например: луч АВ, пр. АВ (прямая АВ),— кому как кажется удобнее. Длину отрезка можно обозначать как сам отрезок: АВ, поскольку это не ведет к путанице. Ученик должен понимать, о чем идет речь. Недостаток понимания — это самый распространенный недостаток. Пишут, говорят и толком не понимают смысла сказанного не одни лишь слабые ученики. Даже сами преобразователи курса геометрии недостаточно понимают некоторые аспекты предмета, в частности содержание теоретико-множественного подхода. Особенно показательными были нападки на теорию множеств в известной статье академика Л.С. Понтрягина. Там вместе с принижением этой теории как моды, как только удобного языка, был, в частности, сделан выпад против принятых в теории множеств «значков». Но, как показано, эти «значки» не обязательно связывать с теорией множеств, и решать вопрос об их употреблении в школьном преподавании должны методисты и, в первую очередь, сами учителя.

5. Более современный взгляд

Принятое в учебнике А.В. Погорелова и учебнике под редакцией А.Н. Колмогорова понимание фигуры как состоящей из точек недостаточно соответствует наглядному представлению и современному понятию о множествах.

В наглядном представлении, как мы уже подчеркивали, фигура — будь то отрезок, окружность, квадрат и т. п.— выступает как нечто целое, не составленное из точек; но содержащее их. Когда учащемуся в самом начале курса говорят, что мы представляем себе фигуры составленными из точек, он может заучить, но представлять себе этого не будет. Поэтому такое изложение приучает заучивать и произносить слова, которые остаются непонятными, тем более, что дальше такое «представление» о фигурах почти не используется. Определяют отрезок как часть прямой, состоящую из точек, лежащих между двумя данными точками. Но проще можно сказать, что отрезок — это часть прямой, заключенная между двумя точками. УА.П. Киселева отрезок определяется именно в таком духе, и это не вело ни к каким недоразумениям.

Итак, с исходной точки зрения наглядного представления и педагогического такта начинать преподавание геометрии с понятия фигуры как составленной из точек не следует. К тому же это понятие о фигуре не согласуется с пониманием «множества», которое уже не толкуется во всех случаях просто как совокупность. Не обсуждая такого понимания множеств вообще, рассмотрим понятие о фигуре как множестве точек с этой более современной, более точной и глубокой точки зрения. Во-первых, фигура (множество точек) рассматривается как «вещь», как целое в соответствии с наглядным представлением. Во-вторых, имеется в виду, что фигура содержит точки и определяется своими точками,— т.е. если, например, две разными способами построенные фигуры имеют одни и те же точки, то это одна и та же фигура.

Именно это имеется в виду, когда говорится, например, о том, что уравнение задает данную линию — прямую, окружность или какую-либо другую. Данное уравнение задает линию, если эта линия содержит все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, и не содержит никаких других. Вспоминая определение геометрического места точек уА.П. Киселева, можно сказать, что линия задается данным уравнением, если она является геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Итак, фигура определяется своими точками — тем, какие точки ей принадлежат, а какие — нет. Как, например, окружность определяется тем, что ей принадлежат все точки, лежащие на данном расстоянии от центра, и никакие другие. Это и выражают, говоря: окружность есть множество точек, удаленных от центра на данное расстояние.

Так, всякая фигура определяется своими точками, и в этом смысле есть множество точек. А будем ли мы считать, что фигура «составляется» из точек — не существенно и, самое главное, не имеет точного математи-

ческого смысла. В противоположность этому сказанное о фигурах выше можно выразить в точных аксиомах —«аксиомах фигуры».

В этих аксиомах фигурируют два рода объектов — точки и фигуры, и отношение — точка принадлежит фигуре, в обозначениях A ∈F. Формулируем аксиомы.

1. Фигура определяется принадлежащими ей точками, т.е. если для фигур F и G при A∈F также A ∈G и обратно при B∈G также B ∈F, то фигуры F и G совпадают.

2. Точка есть фигура, ей принадлежит она сама и никакие другие точки.

3. Если дано какое-либо условие (свойство) для точек, проверяемое для каждой точки, то существует фигура, содержащая все точки с этим условием, и никакие другие.

Подразумевается, что условие выражается в основных понятиях аксиоматики геометрии, как, например, уА. В. Погорелова: прямая, лежит между, численная длина.

Поскольку основным объектом служит также прямая, то должна быть добавлена аксиома.

4. Прямая является фигурой.

Первую аксиому, что фигура определяется своими точками, и выражаем, говоря, что фигура есть множество точек. Но это вовсе не подразумевает, что она составляется из точек; это на самом деле и не нужно.

Третья аксиома выражает то же, что определение геометрического места точек. Можно сказать, что понятия «фигура», «множество точек», «геометрическое место точек» выражают одно и то же.

Исходя из того, что фигура определяется своими точками, можно обычным образом определить понятия включения F ⊂G, объединения F ⋃G, пересечения F ∩G. Например, объединение F ⋃G — это фигура, которой принадлежат точки хотя бы одной из фигур F и G, и никакие другие.

Можно доказать, что для всяких двух фигур F и G существует их объединение. В самом деле, поскольку фигуры F и G считаются заданными, для каждой точки А предполагается известным (проверяемым), принадлежит она или F или G. Поэтому согласно аксиоме 3 объединение F ⋃G определено.

Изложенное понятие о фигуре представляется вполне достаточным и строгим для элементарной геометрии. Его и надо иметь в виду и на него опираться.

Но, разумеется, это вовсе не значит, что так и нужно подавать понятие о фигуре в школьном курсе. Начинать лучше с наглядных представлений, как, скажем, у А.П. Киселева или Л.С. Атанасяна и Э.Г. Позняка. Как

они вводят, например, понятие об отрезке: «Отрезок — геометрическая фигура. Мы представляем себе отрезок как часть прямой, ограниченную двумя точками» (это, несомненно, понятно без того, чтобы говорить, что отрезок составляется из точек).

Такой наглядный уровень представления о фигурах может сохраняться в курсе, пока не возникает необходимость углубить его. Это необходимо при рассмотрении преобразований (отображений), фигур и задании их уравнениями в координатах. Отображение происходит поточечно, и поэтому здесь необходимо явное понимание того, что фигура определяется своими точками. Но и тут нет надобности излагать наши «аксиомы фигуры»; это можно сделать дополнительно в конце курса. Не будем подробнее развивать представленную здесь концепцию*. Отметим только ее связь с современным пониманием «множества» вообще.

Множество понимается вообще не обязательно как совокупность элементов, а как «вещь» («мыслимая вещь»), которая находится в известном отношении к другим «вещам»— «элементам», выражаемом словами: «элемент принадлежит множеству». При этом множество определяется своими элементами: если у множеств М, N одни и те же элементы, то это одно и то же множество (как говорится в нашей первой аксиоме для фигур). Но представление, что множество состоит из элементов, как куча песка из песчинок, совершенно необязательно. Понятие о множестве как «о мыслимой вещи», или, короче, «вещи», было выдвинуто Д. Гильбертом еще в 1904 г., когда он, по его собственным словам, «впервые изложил… самостоятельное рассмотрение множества как «вещи»**.

В заключение сделаем три замечания.

1. Обратим внимание на диалектику в развитии понятия фигуры. От прежнего представления о фигуре как о целом, о «месте точек» произошел переход к понятию о фигуре как о совокупности — о множестве точек. Но затем последовал как бы возврат к старому: к пониманию фигуры как «вещи», как целого, содержащего точки, определяемого или по не состоянию из них, или не обязательно состоящего из них.

2. Понимание множества как «вещи», которая может и не состоять из элементов, но определяется ими, делает более понятными определения направления как множества сонаправленных лучей и вектора как множества равных направленных отрезков. Направление не состоит из лучей,

* Она проведена в написанном мною учебнике для VI–VIII классов, изданном Институтом математики сибирского отделения АН СССР. Несколько переработанный и дополненный вариант для VI класса выйдет в 1984 г. в издательстве «Просвещение» с соавторами: А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. Геометрия 6.

** См.: Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: Гостехиздат, 1948 (добавление VII; в примеч. на с. 322).

но определяется ими, так же как вектор не состоит из направленных отрезков, но определяется ими.

3. В понятии множества, в частности в понятии отрезка (числового отрезка) как множества, выявляются известные трудности, так что увлечение теоретико-множественным подходом может быть подвергнуто критике. Но не будем входить здесь в эти более глубокие вопросы. Для школьного курса геометрии они не имеют значения, поскольку мы не будем муссировать в нем теоретико-множественные представления, придерживаясь изложенных более наглядных точек зрения.

6. Некоторые выводы

Сформулируем основные выводы.

1. В учебнике А.В. Погорелова принято то же понятие фигуры, что в учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова: фигура состоит из точек, есть множество точек соответственно тому, что множество понимают как совокупность. Тем самым в основе этих учебников лежит одна и та же теоретико-множественная точка зрения.

2. Разница в том, что в учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова эта точка зрения проводится последовательно и явно, с известными излишествами, тогда как в учебнике А. В. Погорелова она используется мало и прикрыта тем, что сам термин «множество» отсутствует. Зато применяется термин «геометрическое место точек», совершенно равносильный термину «множество» при понимании фигуры как состоящей из точек.

3. Понятие множества вообще является основным в математике (одним из самых основных). Понимание фигуры и пространства как множества точек принято в современной геометрии и сплошь употребляется в математической литературе. Поэтому исключение его из школьного курса геометрии представляется недопустимым, тем более потому, что принято теоретико-множественное понимание фигуры и вводится термин «геометрическое место».

4. Изложение школьного курса геометрии возможно и без теоретико-множественного взгляда. Пример дает учебник А. П. Киселева. Однако это слишком не соответствует современному пониманию и не содержит более глубокого подхода, когда не только наглядно представляются, но и определяются понятия границы, тела, разбиения (прямая «разбивает» плоскость) и др.

5. Обозначения и термины, связанные с теорией множеств, как «принадлежит», «пересечение» и другие, могут наглядно пониматься в геометрии и без теоретико-множественной точки зрения. Употребление этих

и иных обозначений — вопрос методический, поэтому при его решении должно предоставлять достаточную свободу учителю.

6. Следует вернуть в курс геометрии термин «множество» и, возможно, ввести некоторые пункты, связанные с теоретико-множественной точкой зрения (как, скажем, определение границы и т. п.). Вопрос в том, как, в каком объеме, в каком месте курса это разумно сделать. Но, во всяком случае, не представляется разумным бросаться из крайности в крайность — от теоретико-множественных излишеств к полному затушевыванию того, что связано с теоретико-множественным подходом.

7. Начинать изложение разумно с наглядного представления о фигурах, соответствующего их построению. Утверждение, что мы представляем себе фигуры составленными из точек, не согласуется с наглядным представлением и остается малопонятным, хотя учащиеся выучат все, что им скажут. Теоретико-множественный взгляд разумно вводить, когда в курсе появится известная необходимость в нем (при определении отображений и др.). Состоит ли фигура из точек или мы представляем ее как целое, содержащее точки и определяющееся своими точками,— это, в конце концов, для курса элементарной геометрии не существенно. Но полезно понимать, что современный взгляд на множества и, соответственно, на фигуры вовсе не требует, чтобы фигуры представлялись составленными из точек; они определяются своими точками. Этот взгляд может быть изложен в виде «аксиом фигуры» достаточно точно для элементарной геометрии.

ТАК ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ВЕКТОР?

(Математика в школе. 1984. № 5)

Постановка вопроса

В происходящей перестройке школьного курса геометрии одним из центральных моментов оказалось коренное изменение понятия о векторе. Вектор, определяемый как параллельный перенос плоскости или пространства, заменен направленным отрезком: на место отображения всей плоскости или всего пространства поставлена фигура с «отмеченной» точкой (один конец отрезка «отмечен» как начало). Куда, кажется, идти дальше по различию понятий и представлений?

Такой переворот вызывает недоумение и рождает вопросы: так что же такое вектор? Как нужно его определять? Есть ли в математике согласие по этому поводу? Между тем понятие о векторе входит в школьный курс физики, где ему издавна давалось достаточно простое определение.

В предлагаемой статье мы покажем прежде всего, что это принятое в физике определение вектора применимо в геометрии и что оно равносильно тому, какое обычно дают в курсах аналитической геометрии. Затем обратимся к упомянутым определениям вектора как переноса и как направленного отрезка и убедимся, в частности, что последнее определение в учебниках, где оно дается, приводит к противоречиям и путанице, так что негодность его оказывается «доказанной от противного» самими авторами.

В заголовке поставлен вопрос: что же такое вектор? Спрашивают также: какое определение правильное? Оба вопроса неточны. Ответы на них простые: вектор — это то, что называют вектором, и правильное определение — то, какое принято, если только оно осмысленно и не содержит в себе противоречия. Точнее спрашивать не что такое вектор, а что называют вектором, или что следует называть вектором, чтобы определение было осмысленным, не вело бы к путанице и было плодотворным в применениях.

Чтобы показать, что я на самом деле отвечаю на правильно поставленный вопрос, «что называют вектором?», приведу определения, какие давали самые авторитетные авторы в своих курсах.

Понятие вектора в физике и в геометрии

Начало теории векторов было положено в 40-х годах XIX в.; позднее она получила развитие на почве физики, и ее современное изложение намечено американским физиком Дж. Гиббсом в 1881–1884 гг. Естественно поэтому начинать с понятия вектора в физике, тем более, что и в школьном курсе оно появляется на уроках физики уже в VI классе.

Величиной вообще называется такое свойство предмета, явления или процесса, которое в каком-то отношении может быть больше или меньше, причем так, что есть возможность точного сравнения. Сравнение величин данного рода с одной из них, принятой за единицу, называется измерением; оно дает численное значение величины при данной единице. Известными примерами величин служат длина, объем, масса, работа, сила света и др. Примером не из физики может служить стоимость. Любая из названных величин вполне характеризуется своим численным значением при данной единице измерения. Такие величины называют, как известно, скалярными величинами, или скалярами.

Однако в природе есть величины, которые помимо численного значения (при данной единице) характеризуются еще направлением; к ним относятся сила, скорость, ускорение, перемещение материальной точки и др. В физике принято определение: «Величины, характеризующиеся не только численным значением, но и направлением, называются векторами»*. Их называют также векторными величинами.

Численное значение вектора называется его абсолютной величиной, или модулем. Точнее следовало бы сказать, что модуль (абсолютная величина)— это не само численное значение, а то, что измеряется в векторе и в результате выражается численным значением. Например, абсолютная величина скорости в 5 км/ч, или 5000 м/ч, одна и та же, хотя их численные значения различны.

Векторы изображаются направленными отрезками: длина отрезка — модуль, направление отрезка — направление вектора. Векторы складываются по правилу треугольника или, что для непараллельных векторов равносильно,— по правилу параллелограмма. (Подчеркнем, что здесь сложение векторов происходит не по условному определению, а так, как, например, фактически в природе складываются силы, скорости и т. п.)

* Фриш С. Э., Тиморева А.В. Курс общей физики. Т. I. M.: Физматгиз, 1956. С. 27. Такое определение общепринято; см., например, классическое руководство: Кочин Н. Е. Векторное исчисление. 8-е изд. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 6.

Можно назвать величины, определяемые модулем (численным значением при данной единице) и направлением, но не складывающиеся как векторы. Примером могут служить потоки машин на улицах города: их можно измерять, скажем, числом машин за 1 ч, и они имеют определенные направления, но не складываются как векторы. Поэтому в определение вектора нужно включить указание на то, как складываются векторы.

Итак, учитывая закон сложения векторов, мы приходим к такому определению: «Вектором называется любая величина, которая определяется указанием направления и модуля и подчиняется правилу векторного сложения»*.

Из данного понятия вектора в физике легко получается, как частный случай, определение вектора в геометрии. В геометрии вектором называют такой вектор, модулем которого является длина. Особое положение занимает нулевой вектор, он не имеет направления и изображается не отрезком, а точкой. Полное определение вектора должно содержать указание и на нулевой вектор. Мы этого дальше не делаем ради краткости.

В развернутом виде приведенное определение можно выразить, не включая ничего «от физики», а также и самого понятия величины. Векторами в геометрии называются абстрактные объекты, задаваемые длиной и направлением (или, другими словами, «соединение длины с направлением»), представляемые направленными отрезками и складывающиеся по правилу треугольника. Данный вектор изображается (представляется) любым отрезком той же длины и того же направления. При этом направленные отрезки тоже называют векторами; так, говорят, например, «вектор АВ», хотя — это не вектор, а лишь его изображение. В таком смешении терминов нет беды, если только ясно понимать каждый раз, в каком именно смысле употребляется в том или ином случае данный термин.

Векторы представляют также перемещениями точек и параллельными переносами, но все это, как и направленные отрезки,— изображения векторов, но не сами векторы в их общем понятии.

Принятое в физике определение вектора как величины, задаваемой численным значением и направлением, излагалось в школе уже давно и вполне усваивалось учениками. Поэтому аналогичное определение вектора в геометрии, надо думать, вполне для них доступно и может быть усвоено.

* Эта формулировка взята из книги В.В. Зубова «Механика» (М.: Наука, 1978. С. 28).

Вектор в геометрии

В геометрии изображения векторов в виде направленных отрезков стали принимать за сами векторы. Появилось определение: вектором называется направленный отрезок (или упорядоченная пара точек). Так определяют вектор в курсах аналитической геометрии*. За этим следует определение равенства векторов: два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины. И далее вводится понятие свободного вектора. Вот, например, как это делается в одном из солидных курсов**.

Вектор задается длиной, направлением (если он не нулевой) и началом: «Равные векторы отличаются друг от друга только положением начала. Однако во многих вопросах положение начала вектора не играет роли, существенны лишь длина и направление вектора. Отвлекаясь в определении вектора от положения его начала, мы приходим к понятию свободного вектора. Таким образом, свободный вектор (в пространстве, на плоскости, на прямой) вполне определяется заданием его длины и (если он не нулевой) направления. Равные векторы, не совпадающие по положению, рассматриваются как разные конкретные изображения одного и того же свободного вектора.

В векторном исчислении свободный вектор называют просто вектором. Мы также в дальнейшем почти всегда будем пользоваться лишь термином вектор; при этом читатель должен иметь в виду, что всюду, где специально не указано положение начала, речь идет о свободном векторе».

Так, в курсе аналитической геометрии Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова вводится двойное употребление слова «вектор»; «читатель должен иметь в виду» эту двойственность. То же самое делается во всех курсах аналитической геометрии и в справочниках: вектором называют и направленный отрезок, и свободный вектор.

Вместе с тем надо понимать, что именно векторы, как свободные векторы, составляют предмет векторного исчисления, а стало быть и предмет соответствующего раздела школьного курса. В курсе аналитической геометрии Б.Н. Делоне и Д.А. Райкова так и сказано: «В векторном исчислении свободный вектор называют просто вектором». В Математической энциклопедии читаем дефиницию: «Векторная алгебра — раздел

* См., например: Делоне Б. Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Т. 1; Ефимов И.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Физматгиз, 1962; Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Физматгиз, 1969; и др.

** Делоне Б. Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия. М., Л.: Гостехиздат, 1948. Т. 1. С. 26.

векторного исчисления, в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами». Векторы как свободные векторы вводятся вместо направленных отрезков прежде всего потому, что векторные операции для них однозначны, а для отрезков — нет. Так, сумма двух свободных векторов есть определенный свободный вектор, тогда как суммой двух направленных отрезков служит любой из направленных отрезков, полученных соответствующим построением; для приложений же векторного исчисления нужны однозначные операции. Как сказано в курсе аналитической геометрии Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова, направленный отрезок задается длиной, направлением и началом, и дальше: «отвлекаясь в определении вектора от положения его начала, мы приходим к понятию свободного вектора». А так как «в векторном исчислении свободный вектор называется просто вектором», то приходим к определению: «Вектором в векторном исчислении называется направленный отрезок, рассматриваемый в отвлечении от положения его начала», так что всякий направленный отрезок данной длины и направления представляет один и тот же вектор. Поскольку здесь абстрагируются от положения начала и тем самым сохраняют от конкретного образа направленного отрезка только длину и направление, то данное определение можно выразить иначе. «Вектором называется абстрактный объект, характеризующийся длиной и направлением», или, другими словами, «соединение длины с направлением». Присоединяя сюда указание на правило сложения, получим, в точности, то определение, какое было дано в конце предыдущего параграфа.

Мы не предлагаем определять вектор в школьном курсе, как «абстрактный объект», а выясняем связь понятий векторной величины и свободного вектора. Важно наглядное представление вектора направленными отрезками данной длины и направления.

В курсе аналитической геометрии Б.Н. Делоне и Д. А. Райкова говорится: «Наглядно свободный вектор можно представить как операцию параллельного переноса всего пространства, всей плоскости, всей прямой. Действительно, задать параллельный перенос — это все равно, что задать длину (а именно, расстояние, на которое смещаются все точки) и направление (а именно, направление, в котором смещаются все точки), а задать длину и направление — все равно, что задать свободный вектор. В таком смысле и можно представлять себе свободный вектор как операцию параллельного переноса».

К этому полезно еще добавить, что сложение векторов соответствует сочетанию (композиции) параллельных переносов: перенос, являющийся сочетанием двух переносов, представляет вектор, служащий суммой векторов, представляемых этими переносами.

В цитированном курсе мы пришли от вектора как направленного отрезка к представлению свободного вектора параллельным переносом. А так как свободный вектор тоже называется вектором и представление его переносом точное, то возможно отождествить вектор с переносом, и получить определение: «Вектором называется параллельный перенос».

Последняя операция — отождествление вектора и переноса — была произведена в учебнике под редакцией А.Н. Колмогорова (а вслед за ним в учебнике под редакцией З.А. Скопеца). А.В. Погорелов в своем учебнике останавливается на определении вектора как направленного отрезка. Связь между этими крайностями, заключающаяся в основном для векторного исчисления понятий свободного вектора, исчезла, и получился форменный разрыв в трактовке понятия вектора. Только в последнем, переработанном издании учебника A.Н. Колмогорова появился «свободный вектор» и говорится, что примером «свободных векторов» могут служить параллельные переносы. Понятие свободного вектора присутствует также, хотя только в качестве замечания, в пробном учебнике «Геометрия 6–8» Л. С. Атанасяна и др. (М.: Просвещение, 1981).

Другое определение свободного вектора выдвигается с теоретико-множественной точки зрения, поскольку он представляется любым направленным отрезком из множества всех отрезков, равных друг другу: «Свободный вектор есть множество всех равных друг другу направленных отрезков».

Такое определение дается в пробном учебнике B.Г. Болтянского и др.*, и мыслится картина бесконечной совокупности направленных отрезков: из каждой точки — по отрезку. Но указанное представление не соответствует ни приложениям, ни тому, как на самом деле понимают свободный вектор; сомнительно, чтобы кто-нибудь из геометров, говоря, скажем, о касательном векторе кривой, имел в виду бесконечную совокупность направленных отрезков.

Может быть, самое лучшее определение вектора дано в Словаре русского языка**: «Вектор. Изображаемая отрезком прямой математическая величина, характеризующаяся численным значением и направлением (от лат. vector — везущий, несущий)». Здесь нужно было только сказать не «отрезком», а «направленным отрезком». Почему бы не принять такое определение в учебниках?

* Болтянский В. Г., Воловин М.Б., Семушин А. Д. Геометрия 8. М.: Просвещение, 1979. С. 122. Если понимать множество не как совокупность, а вообще как вещь, определяемую элементами (см. мою статью «О понятии множества в курсе геометрии» // Математика в школе. 1984. №1), то данное определение просто совпадает с предыдущим.

** Словарь русского языка. 2-е изд. М.: Русский язык, 1981. Т. 1. Равносильное определение дается также в авторитетном словаре английского языка Вебстера.

Векторы в учебнике А. В. Погорелова

В учебнике А. В. Погорелова вектор определяется как направленный отрезок. Изложение начинается следующим образом*: «Некоторые физические величины (сила, скорость, ускорение и др.) характеризуются не только величиной, но и направлением… В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками».

«Направленный отрезок называется вектором… Иногда вектор обозначают указанием концов отрезка, изображающего вектор. Например, вектор a на рис. 167 можно обозначить AB. При таком способе обозначения вектора a точка А называется началом, а точка В — концом вектора a . При обозначении вектора посредством указания концов изображающего его отрезка на первое место всегда ставится начало вектора».

«Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор» (разрядка всюду моя.— А. А.).

Разберем, что здесь написано.

Прежде всего, в первой фразе бросается в глаза оборот: «Некоторые физические величины… характеризуются не только величиной…», что выглядит довольно странно (характеризовать величины величиной, хотя бы и не только величиной). Но это, впрочем, недостаток языка. Существенное идет дальше. Назвав направленный отрезок вектором, автор не объяснил, не определил, что называется направленным отрезком. Поэтому и определения вектора тут нет. По-видимому, имеется в виду, что и так понятно, что такое направленный отрезок: отрезок «со стрелкой на конце» (как изображено на рис. 167), хотя «стрелка»— это не геометрическое понятие. Далее говорится: «Иногда вектор обозначают указанием концов отрезка, изображающего вектор». Таким образом выходит, что направленный отрезок, который назван вектором, изображает вектор. И это повторяется снова, когда говорится, что при обозначении вектора указанием концов «изображающего его отрезка» на первое место ставится начало, и потом, когда модулем вектора названа «длина отрезка, изображающего вектор».

Итак, направленный отрезок называется вектором, а вектор изображается отрезком, т. е. направленный отрезок изображается отрезком.

Но и это еще не все.

По поводу обозначения вектора «указанием концов отрезка, изображающего вектор», — как, например, AB, говорится: «При таком способе обозначения вектора a точка А называется началом, а точка В — концом

* Погорелов А.В. Геометрия 6–10. М.: Просвещение, 1982. С. 130, 131.

вектора a», т.е. выходит, что понятия начала и конца вектора связываются с его обозначением. Тогда, если вектор обозначен через a, то неясно, есть ли у него начало и конец. Это происходит, понятно, от того, что не дано определение направленного отрезка, который «направлен» тем, что указан порядок его концов: первый —«начало», второй —«конец» направленного отрезка.

Таким образом, обнаруживается, что в учебнике вместо определения понятия вектора подается путаница. Главное в ней то, что направленный отрезок, названный вектором, тут же называется изображением вектора, и это повторяется неоднократно*. (Направленный отрезок и есть изображение вектора, а не сам вектор, как его понимают в векторном исчислении; но это не согласуется с высказанным определением вектора как направленного отрезка.)

Далее определяется равенство векторов — направленных отрезков: они равны, если совмещаются параллельным переносом. Перенос же был определен ранее формулами x′ = x + a, y′ = y + b в прямоугольных координатах. Однако то, что это определение не зависит от выбора системы координат, не оговаривается, хотя и следует из доказываемой тут же теоремы**. Принципиальный момент независимости определения от выбора системы координат оказывается скрытым, смазанным. Таким образом, ни перенос, ни равенство векторов не получают четкого геометрического определения. Впрочем, выводится, что равные векторы — это те, у которых одинаковы направления и длины. А это только и нужно.

Затем вводятся координаты вектора, и операции с векторами определяются через операции с их координатами; исходный геометрический смысл этих операций отодвигается на второй план, так что получается искаженное представление векторного исчисления, которое создано и применяется как геометрическое исчисление, чтобы обходиться, насколько возможно, без координат, а тут оно само основывается на координатах, начиная с определения равенства векторов. К тому же получается непоследовательность: понятие вектора определяется посредством наглядного образа направленного отрезка, а в определении действий этот образ не используется. Кроме того координаты задают не вектор как на-

* Все это было в предыдущих изданиях учебника и в точности повторяется в пособии для педвузов и университетов: Погорелов А.В. Геометрия. М.: Наука, 1983.

** Эта теорема гласит: «Каковы бы ни были две точки А и А′, существует и притом единственный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А′». То, что отсюда следует независимость определения переноса от системы координат, нельзя не оговорить для учащихся. Кроме того, теорема сформулирована неточно, так как перенос определен для любой фигуры. Поэтому следовало сказать: «Каковы бы ни были фигура F, ее точка А и некоторая точка А′, существует и притом единственный перенос фигуры F…».

правленный отрезок, а свободный вектор: у всех равных векторов координаты одни и те же. Поэтому фактически определяются операции со свободными векторами; только об этом не говорится и сами операции производятся с парами чисел. В общем, вместо исчисления векторов подается исчисление пар чисел с геометрической интерпретацией.

Так координаты вытесняют геометрию настолько, что, например, правилу параллелограмма не придается должного значения; оно появляется только в задаче и не учитывается среди многочисленных «вопросов для повторения». Верх формализма представляет приведенное в тексте решение задачи: «Доказать, что векторы AB и BA противоположно направлены». Решение получается с помощью координат (из умножения на –1, со ссылкой на теорему 10.5 об умножении вектора на число), тогда как ответ очевиден, если геометрически определено, что значит, что векторы направлены противоположно (но такое определение не дано). Связь с физикой ограничивается общим замечанием, предваряющим введение понятия о векторе и остающимся без последствий: ни примеров, ни задач из физики нет, да и геометрические приложения едва можно найти среди множества задач на формальные действия с координатами. Учащиеся научатся формальному оперированию с парами координат, но не наглядно с векторами. Параллельно в том же VIII классе излагаются векторы в физике совсем иначе, так что учащиеся должны учить векторы «по физике» и «по геометрии».

Понятие вектора в учебнике Л. С. Атанасяна и др.*

В рассматриваемом учебнике вектор так же определяется как направленный отрезок, но изложение строится иначе, чем в учебнике А.В. Погорелова.

В параграфе «Понятие вектора» п. 1 начинается так: «Из курса физики мы знаем, что целый ряд физических величин, таких, как сила, перемещение материальной точки, скорость, ускорение и т.д., характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие величины называются векторными величинами или векторами».

Далее в п. 2 «Понятие вектора» говорится: «Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, встречающихся в природе, мы приходим к понятию вектора. Предварительно введем понятие направ-

* Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г. Геометрия 6–8: Пробный учебник. М.: Просвещение, 1981. С. 283–284.

ленного отрезка. Отрезок называется направленным, если указано, какой из его концов считается первым, какой — вторым…

Определение. Вектором называется направленный отрезок.

Первый конец направленного отрезка называется началом вектора, второй — концом вектора».

Недостаток этого изложения состоит в том, что вводятся два понятия вектора без должных оговорок. Вп. 1 сказано, что векторами называются величины, характеризующиеся числовым значением и направлением, авп. 2 дается определение, где вектором называется направленный отрезок.

Однако авторы не могут оставить определение вектора как направленного отрезка. В конце § 1 они делают важное замечание.

«Замечание. Позже, при введении действий над векторами, мы увидим, что результат этих действий не изменится, если данный вектор a заменить любым равным ему вектором. По этой причине векторы, изучаемые в геометрии, называются свободными. Каждый из свободных векторов определен с точностью до выбора его начала. Поэтому любой вектор, равный вектору a , с началом в произвольной точке, можно обозначить той же буквой a» (с. 288)*.

Этим замечанием подправляется, если не снимается определение вектора как направленного отрезка; здесь вектор — уже направленный отрезок «с точностью до выбора его начала». И дальше это становится совершенно ясным.

Описав сложение векторов по правилу треугольника, когда первоеслагаемое a откладывается от точки А, так что a + b = AB + BC = AC, авторы пишут: «Можно доказать, что если… точку А, от которой откладывается вектор a , заменить другой точкой А1, то вектор AC заменитсяравным ему вектором A1C1. Отсюда следует, что сумма a + b не зависитот выбора точки А».

Итак, сумма a + b не зависит от выбора точки А. Но если эта сумма — вектор, т.е. по определению, направленный отрезок, то AC и A1C1 — это разные векторы, так как они — разные направленные отрезки, и значит сумма зависит от выбора точки А. Если же мы примем, что сумма a + b не зависит от выбора точки А, то тем самым отождествим векторы AC и A1C1. Так что вектор оказывается не направленным отрезком, а свободным вектором.

* Это замечание убрано в 3-м издании (1983 г.); оставлено только указание, что равные векторы обозначаются одной и той же буквой.

Таким образом, определение вектора как направленного отрезка привело к путанице.

В векторном исчислении сумма векторов a + b определена однозначно; она не зависит от выбора начальной точки, потому что сами векторы, по определению, не зависят от того, от каких точек откладываются изображающие их направленные отрезки. Но если векторы определяются как направленные отрезки, то сумма делается неоднозначной: ее представляют бесконечно много разных (хотя и равных) направленных отрезков.

Недостаток изложения в рассматриваемом учебнике состоит еще в том, что в нем есть ошибки и важнейшие свойства векторов принимаются без доказательства, хотя их можно было бы доказать доступно для учащихся. Но принятие без доказательства важных пунктов курса геометрии разрушает его в самой сущности систематического, доказательного изложения некоторой области знания.

Векторы в учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова

В учебнике под редакцией А.Н. Колмогорова вектор определялся как параллельный перенос всей плоскости, а в следующем за ним пособии для IX–X классов (под редакцией З. А. Скопеца)— как перенос всего пространства. Это определение в сравнении с определением вектора как направленного отрезка обладает тем важным преимуществом, что параллельный перенос представляет свободный вектор и поэтому все векторные операции с ним определяются как однозначные в согласии с векторным исчислением. При таком определении вектора векторное исчисление может быть изложено без противоречий и смешения понятий, какое выступает при определении вектора как направленного отрезка. Противоречия, которые появлялись в первых изданиях при сопоставлении с физикой, в последних изданиях учебника под ред. А. Н. Колмогорова устранены.

Однако если обратиться к задачам, предлагаемым в учебнике, то сразу видно, что в них фигурируют направленные отрезки, а не переносы плоскости или пространства. И это не удивительно, так как вектор и не есть параллельный перенос. Как сказано в курсе аналитической геометрии Б.Н. Делоне и Д.А. Райкова, «свободный вектор можно представить себе как операцию параллельного переноса» (то же сказано и в последнем издании учебника под ред. А.Н. Колмогорова), но это еще не значит, что вектор и есть перенос. Например, комплексные числа можно представить как векторы на плоскости, но значит ли это, что они являются векторами?

Главное же состоит в том, что фактически в выводах векторного исчисления и его применениях векторы представляются не как переносы плоскости или пространства, а как направленные отрезки, вообще говоря, с произвольно выбираемым началом (посмотрите любую книгу, где используются векторы).

В последнем издании учебника под ред. А.Н. Колмогорова явно вводится понятие свободного вектора и перенос привлекается как его изображение. В результате изложение оказывается существенно лучше, чем в других учебниках для VI–VIII классов, без путаницы и ошибок.

В дополнение к сказанному можно предложить следующий подход к изложению понятия о векторах, представляющийся естественным для учебника под редакцией А. Н. Колмогорова. В этом учебнике в самом начале вводится понятие величины и оно проходит через все изложение, поэтому было бы естественно определить векторы в согласии с физикой как величины, связанные с направлением.

Так же как обычные (скалярные) величины, векторы можно складывать и умножать на числа. Но сложение их особое. При сложении обычных величин их численные значения складываются: 2 кг плюс 2 кг будет 4 кг. Но если я переместился на 2 м, а потом еще на 2 м, то может оказаться, что я переместился вовсе не на 4 м, а даже совсем не переместился — переместился на ноль метров, если второе перемещение было прямо противоположным первому.

Основной величиной в геометрии является расстояние и, соответственно, вектор в геометрии — это расстояние, соединенное с направлением, т. е. как бы пройденное в данном направлении. Это связанное с направлением расстояние, т. е. вектор, естественно изображается направленным отрезком, как перемещение от начальной точки к конечной. И складываются векторы как перемещения…

Сказанное — только намек на возможное изложение. Но в развернутом виде оно получилось бы вполне естественным и простым.

Об изложении понятия о векторе

Как уже было подчеркнуто, реально в геометрии вектор представляют направленным отрезком с точностью до выбора начала, т.е. любым из равных друг другу направленных отрезков. Говорят: «отложим вектор a от точки А» и т.п. и этим ясно выражают, что вектор, отложенный от точки А,— тот же самый вектор; говорят о трехвекторнике пространственной решетки, но от какой точки он строится — не важно; и т.п. Только если вектор естественно связан с какой-нибудь точкой, как, скажем, касатель-

ный вектор кривой в данной ее точке, то такой вектор представляют отложенным от этой точки.

При введении понятия вектора задача состоит в том, чтобы передать учащимся представление о векторе как о любом из равных направленных отрезков. Здесь есть испытанное эффективное средство: повторение и воспроизведение такого представления в разных ситуациях. Вектор скорости корабля задается числом морских миль в час и курсом (направлением),и этот вектор один и тот же у всех кораблей эскадры. Вектор перемещения у идущих строем людей один и тот же. Ту же идею воспроизводят рисунки, на которых изображается сложение векторов, откладываемых от разных точек, и др.

Можно сказать, что направленные отрезки называют векторами, но определять вектор как направленный отрезок, т. е. «данный вектор — это данный направленный отрезок», неправильно. Точно так же неправильно определять вектор как параллельный перенос. Ошибка состоит в том, что хотят сразу дать определение вектора. Но нужно сначала определить направленный отрезок в равенство направленных отрезков, а уже потом высказать определение: «Вектором в геометрии называется направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до выбора его начала, т. е. равные друг другу направленные отрезки считаются представителями или изображениями одного и того же вектора. Данный вектор — это любой из таких отрезков».

Но еще раньше полезно установить связь с понятием вектора в физике, указав примеры и высказав принятое определение: «Вектором называется величина, характеризующаяся модулем (численным значением) и направлением». Затем можно сказать, что в геометрии вектор — частный случай таких векторов, это вектор, модулем которого является длина, так что вектор характеризуется длиной и направлением. Задать вектор — значит задать длину и направление.

Векторы изображаются направленными отрезками, и так как вектор задается длиной и направлением, то всякий направленный отрезок данной длины и направления может служить изображением данного вектора. В соответствии с этим вектор наглядно представляют всегда как направленный отрезок, но какой из равных друг другу направленных отрезков берется — это безразлично либо определяется дополнительными соображениями.

Определение вектора как величины, характеризуемой длиной и направлением, опирается на понятие направления, которое здесь понимается наглядно; его можно определить следующим образом. Направление — это свойство, общее у сонаправленных лучей и направленных отрезков и различное у несонаправленных. Но для понятия о векторе это

не очень нужно; как уже было сказано, направление можно понимать наглядно без определения. Дело в том, что если понимать вектор как любой из равных направленных отрезков, то нужно только определить, что значит, что эти отрезки одинаково направлены, а это можно определить достаточно просто, через сонаправленные лучи, например, как сделано в учебнике под редакцией А.Н. Колмогорова. (Но в этом учебнике транзитивность сонаправленности не доказана. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. полного определения нет, ауА. В. Погорелова оно опирается на понятие параллельного переноса, определение которого сложно, поскольку использует координаты. Можно определить сонаправленные лучи как нерасходящиеся и, уточнив это наглядное определение, легко дать строгое доказательство транзитивности.)

Определив, что значит «направленные отрезки одинаково направлены», можно сформулировать определение равенства направленных отрезков и затем — определение вектора, как он понимается в векторном исчислении: направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до выбора начала.

Вместе с тем векторами называют и сами направленные отрезки; как говорят, например: «вектор AB», хотя это и неточно, потому что направленный отрезок — не сам вектор, а только его изображение. Однако если на фотографии мы видим знакомого Н. Н., мы говорим: «вот Н. Н.», хотя это не он, а его изображение. И как на разных фотографиях мы называем его одинаково, так и о разных, но равных друг другу направленных отрезках говорят как об одном и том же векторе.

Многозначность терминологии — явление самое обычное, и избежать ее можно лишь за счет насилия над языком, а то и над здравым смыслом. Так, углом называют и фигуру, и величину — меру угла, когда говорят, например: «сумма углов треугольника равна 180°»*. Когда говорят о синусе «данного угла», то обычно имеют в виду любой угол, равный данному, или любой угол с данной мерой. Совершенно так же когда говорят «данный вектор», имеют в виду любой направленный отрезок данной длины и направления. Отношение вектора к направленному отрезку как к его конкретному представителю имеет в математике немало аналогов и помимо приведенного примера с углом. Например, когда говорят о данном рациональном числе, то допускают любое его представление в виде обыкновенной, или десятичной, или иной, скажем, двоичной дроби.

Определение вектора как направленного отрезка, рассматриваемого с точностью до выбора начала, может показаться несколько расплывчатым

* Так, например, сказано в учебнике А. В. Погорелова. Л. С. Атанасяна и др. формулируют это с педантичной точностью: «Сумма градусных мер углов треугольника равна 180°».

и не подходящим под установившиеся стандарты определений. Но оно выражает то, как в действительности понимают вектор, и потому на самом деле применяют, а не так, что дается определение, заучивается, а затем применяется (или имеется в виду) другое определение.

Определения нужны не для заучивания, а для уточнения понимания. Нужно добиваться не пустого заучивания, а действенного, т. е. работающего в применениях понимания. Кто может с ходу сформулировать: «Что называется стулом?» Но едва ли кто-либо в здравом уме подаст человеку не стул, когда стул есть и просят его подать. Так и в геометрии нужно, чтобы человек умел отличать, применять то, что следует, хотя бы порой и затруднялся сформулировать определение. А с векторами получилось иначе; дают и заставляют заучивать определение, но действуют не по заученному определению: с отрезками вместо переносов или с парами координат вместо отрезков.

Преподавание должно быть возможно ближе к реальности в том смысле, как на самом деле понимают и применяют то или иное понятие, и тем более в том смысле, что в действительности отражает данное понятие. Связь с физикой, с практикой — это не просто методическое требование, а выражение сущности науки и задач образования, ибо наука не существует иначе как в связях, во взаимодействии с другими науками, с задачами техники, с жизнью; образование должно давать элементы науки в этом ее понимании, а не формальные знания, которые заучиваются ради отметок.

Заключение

Вернемся к началу нашей статьи — к перестройке школьного курса геометрии в вопросе изложения элементов векторного исчисления. Недостатки этого изложения послужили отправной точкой шумного и резкого осуждения в центральной печати. На недостатки, в самом деле, следовало указать и осудить их, а главное — исправить коренным образом. Но что же произошло? Вместо непротиворечивого определения вектора как переноса в новом учебнике А.В. Погорелова появилась путаница вокруг элементарнейшего понятия направленного отрезка: спутаны предмет и его изображение (направленный отрезок — и вектор, и его изображение); спутано то, что есть в предмете, с тем, что есть в обозначениях (начало и конец вектора связываются с обозначением); не выявлено, что формальные определения с координатами нуждаются в оправдании доказательством независимости от выбора координат; наглядные операции с векторами заменены формальными выкладками с координатами…

Автор учебника мог проскользнуть мимо, недосмотрев, так как автору порой бывает трудно проверить самого себя, он может читать не то, что написал, а что подразумевал, когда писал; на то существуют редакторы и рецензенты…

К изданию этого учебника в «Библиотеке учителя математики» было помещено послесловие И.Ф. Тесленко и В.В. Фирсова. В нем, в частности, утверждается, что в учебнике отсутствуют мотивировки вводимых понятий*, хотя введение понятия вектора мотивировано ссылкой на векторные величины в физике (не говоря о введении в учебнике других понятий).Не понятно, как авторы послесловия могли пройти мимо этой мотивировки и, главное, не заметить путаницы с изображением вектора и всего прочего в одном из основных пунктов курса (не говоря о других, которых мы не касаемся)? Теперь все это внедряется в обязательном порядке десяткам тысяч учителей и миллионам учащихся. Не лучше изложены эти вопросы и в другом распространяемом учебнике — авторов Л.С. Атанасяна и др.

В заключение отметим, что когда учебник рекомендован в качестве учебного пособия для всех школ, то существенные его изменения будут, конечно, затруднять работу учителя. Но оставлять серьезные недостатки, прямые ошибки тоже нельзя; их нужно срочно исправлять. Это можно сделать, даже не дожидаясь следующего издания самого учебника, например, в брошюре для учителей вместе с методическими указаниями. Концепции могут быть разными, но все же не такими, когда даже в основных понятиях считаются допустимыми неточность, небрежность, путаница и прямые ошибки, перекочевывающие из издания в издание.

* Погорелов А. В. Геометрия 6–10. Пробный учебник. М.: Просвещение, 1981. На с. 266 читаем: «…в пособии отсутствует традиционный методический материал, всевозможные пояснения… мотивировки введения понятий…».

ЧТО ТАКОЕ МНОГОГРАННИК?

(Математика в школе. 1981. № 1–2)

На вопрос, поставленный в заголовке, А.П. Киселев отвечал: «Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскостями»*.

Такое определение представляется неточным и даже несколько наивным; лучше сказать, что многогранник ограничен многоугольниками; но наглядное представление о многограннике тут выражено и его нетрудно довести до определения, вполне строгого с современной точки зрения. Дальше это и будет сделано.

В действующем в настоящее время пособии для 9–10 классов**, утвержденном Министерством просвещения СССР, дается совсем другое определение, не равносильное ни определению Киселева, ни другим принятым определениям. Но оно слишком сложно и обладает другими примечательными свойствами, так что мы процитируем и обсудим его дальше особо.

Рассмотреть определение многогранника интересно и важно не только само по себе и не только в связи с особенностями определения, данного в «Геометрии 9–10», но еще и потому, что на нем можно очень ясно проследить важнейшие общие принципы преподавания геометрии. Именно в изучении многогранников, в самом их определении более выпукло, чем в любом другом вопросе, выступает необходимость того органического сочетания живого пространственного воображения и строгой логики, которые составляют сущность геометрии, как о том было сказано в моей предыдущей статье «О геометрии»***. Поэтому данная статья служит также конкретным дополнением и иллюстрацией к написанному в той статье.

* Киселев А.П. Элементарная геометрия. М., 1914. С. 307 (цитируется дальше как «Киселев А. П.»); 1980. С. 210.

** Клопский В. М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. 4-е изд. М., 1978. С. 117 (цитируется дальше как «Геометрия 9–10»).

*** Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. №3.

§ 1. Многогранники в курсе геометрии

Многогранники составляют, можно сказать, центральный предмет стереометрии.

Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей; двугранных углов и др., так же как введение векторов и координат,— все это только начала стереометрии, подготовка средств для исследования ее более содержательных объектов — главным образом тел и поверхностей. (Кроме тел и поверхностей в геометрии пространства изучаются, например, правильные системы точек и вообще фигур.)

Само слово «стереометрия» происходит, как известно, от греческого «стереос»— телесный и «метрео» — измеряю. Наука об измерении тел, о телах, а из всех тел особо выделяются многогранники.

Центральная роль многогранников определяется прежде всего тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников; достаточно вспомнить определения объемов тел и площадей, поверхностей путем предельного перехода от многогранников.

Многогранники при всем возможном разнообразии и сложности их форм составляют предмет элементарной геометрии, поскольку любой многогранник определяется конечным числом ограничивающих его многоугольников. Что же касается других тел, то из них только некоторые входят в элементарную геометрию — те, которые задаются специальными построениями, как, например, прямой круговой цилиндр и т. п. А изучение тел и поверхностей общего вида выходит далеко за пределы элементарной математики. Один из методов их исследования состоит в приближении многогранниками, откуда и происходит центральная роль многогранников.

Независимо от этого многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимися теоремами и задачами. Достаточно вспомнить теорему Эйлера о числе граней, ребер и вершин, симметрию правильных многогранников, вопрос о заполнении пространства многогранниками и др.

Существующий и нашедший отражение в действующих программах взгляд, будто наглядная геометрия представляет лишь математическую старину, основан на недостаточном понимании современной математики, в которой именно в настоящее время теории, связанные своими корнями, в частности, с обычными многогранниками, приобретают большое значение. Обобщение наглядных геометрических понятий имеет в математике неубывающее значение.

Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Уже самые простые факты, касающиеся многогранников, требуют такого соединения, которое оказывается при этом не совсем легким делом. Даже такой простой факт, как пересечение диагоналей параллелепипеда в одной точке, требует усилия воображения, чтобы его увидеть наглядно, и нуждается в строгом доказательстве.

Для обогащения курса стереометрии наглядным материалом представляется разумным перенести изучение многогранников ближе к началу. Не странно ли рассматривать призмы и пирамиды только после векторов и координат, без малого в середине последнего года обучения?

Само определение понятия многогранника оказывается как раз таким вопросом, где необходимо особенно внимательно сочетать наглядные представления, рассмотрение реальных примеров и логической точности формулировок (то, что образует, согласно предыдущей статье, «треугольник» в основах преподавания геометрии). Формулировки должны исходить из реальных примеров, из наглядных представлений и возвращаться к ним для проверки и дальше — для применения.

Эти требования могут считаться очевидными. Однако они оказываются совершенно нарушенными в том определении многогранника, которое дано в действующем пособии «Геометрия 9–10». Это тем более заставляет разобрать вопрос об определении многогранника с возможно большей обстоятельностью, начав с наглядного описания и рассмотрения реальных примеров. К этому мы и обратимся.

§ 2. Наглядное определение многогранника

Проще и короче всего определить многогранник как тело, поверхность которого состоит из многоугольников (в конечном числе). При этом «тело» и «поверхность» можно понимать в наглядном смысле, как понимают обычно. Тело в отвлечении от его материальности — это часть пространства. Поэтому данное определение многогранника можно пересказать и так:

Многогранник — это часть пространства, ограниченная конечным числом многоугольников.

При этом в согласии с наглядным представлением подразумевается следующее:

(1) Имеется в виду конечная часть пространства; конечная в смысле конечности ее размеров, или, как принято говорить в математике,— огра-

Рис. 1 Рис. 2

ниченная*. (Это оговаривается, поскольку можно считать, что многоугольники, ограничивающие конечную часть пространства, ограничивают вместе с нею и остальную его часть — бесконечную; во всяком случае они тоже образуют ее границу.)

(2) Многоугольники, ограничивающие многогранник, присоединяются к нему (содержатся в нем). Они образуют его поверхность; остальная же часть многогранника — это его внутренность, так что многогранник состоит из поверхности и внутренности. (Это можно считать описательным определением поверхности и внутренности.) Поверхность всюду прилегает к внутренности и отделяет ее от остального пространства — внешнего по отношению к многограннику. Поэтому, например, куб с «крылом», т. е. с приложенным к нему прямоугольником со стороной на ребре куба, не считается многогранником: крыло не прилегает к внутренности и никаким образом ее не ограничивает, не отделяет от остального пространства (рис. 1).

Многогранник, и даже одна его внутренность, состоит из одного куска, или, как принято говорить в математике, связна: не выходя из нее, можно непрерывно пройти от одной ее точки до любой другой. Или, что в данном случае равносильно, любые две точки внутренности можно соединить лежащей в ней ломаной.

Поэтому, например, два куба, приставленные один к другому по ребру, т.е. имеющие общее ребро и ничего больше, не образуют многогранника, а приставленные по куску грани — образуют его, так же как объединение параллелепипеда с поставленным на него кубом и т.п. (рис. 2).

Все сказанное содержится в наглядном представлении о многограннике и явно оговаривается для того, чтобы проанализировать это наглядное представление и тем самым выяснить, во-первых, те его элементы, которые должны фигурировать в формально строгом определении многогранника, а во-вторых, точнее различать в конкретных случаях, какая фигура должна быть признана многогранником, а какая — нет.

* Выражения «фигура конечных размеров» или «конечная фигура» представляются само собой понятными. Вместе с тем не очень удобно сказать: «Многогранник есть ограниченная часть пространства, ограниченная многоугольниками».

В качестве примеров многогранников приводят обычно такие, как куб, пирамида, призма. Но в практике мы постоянно встречаемся с предметами, имеющими форму более сложных многогранников, с достаточной, по крайней мере, точностью. Примером может служить прямоугольный стол с достаточно острыми ребрами у верхней доски и у ножек. Такие же примеры могут представлять книжные полки, шкафы и др.

Недостроенный дом тоже представляет собою многогранник. Когда стены только начали возводить, он имеет форму прямоугольного кольца, или, иначе говоря, параллелепипеда со сквозным отверстием. Когда же строительство доходит до отверстий окон, то получается многогранник со многими «отверстиями».

Многогранниками могут быть буквы в лозунгах над фасадами домов, как М, И, Н, А.

Многогранник может иметь несвязную поверхность, т. е. состоящую из нескольких поверхностей, как, скажем, закрытый ларец имеет внешнюю и внутреннюю поверхности.

Словом, встречающиеся в жизни многогранники разнообразны и имеют нередко очень сложное строение. В этой связи полезно отметить следующий очевидный факт или, другими словами, теорему.

Фигура, составленная из многогранников, последовательно прикладываемых один к другому по кускам поверхности (по кускам граней или по граням), сама оказывается многогранником.

Пример представляет любая кирпичная кладка, поскольку можно считать кирпичи прямоугольными параллелепипедами. Другим примером может служить любая конструкция из досок и брусков, как, например, столы, книжная полка и т.п., если доски и бруски так обработаны, что их можно считать многогранниками; обычная доска — прямоугольный параллелепипед.

Пользуясь указанной теоремой, можно получать сколь угодно разнообразные и причудливые многогранники, складывая их из других, более простых. Можно при этом заметить, что объем получающегося таким путем многогранника равен сумме объемов тех многогранников, из которых он составляется.

Обычно, рассматривая в школе многогранники, ограничиваются самыми простыми примерами и тут же заявляют, что «мы будем рассматривать только выпуклые многогранники», как это было сказано, например, уА. Киселева, а теперь говорится в действующем пособии «Геометрия 9–10»*. Однако ограничиваться при нахождении объемов только выпуклыми многогранниками нет оснований, и на самом деле ими и не ограничиваются.

* См.: Киселев А. П. С. 307; Геометрия 9–10. С. 118.

Словом, неправильно приводить только простейшие примеры многогранников и рассматривать только выпуклые многогранники. Указание на возможное разнообразие многогранников, на реальные многогранные тела сложного строения, как стол, дом и др., обогащает представления учащихся. Дав определение многогранника, разобрав его наглядно и приведя примеры, можно, например, дать задание ученикам найти в окружающей обстановке примеры многогранных тел, отмечая потом наиболее удачные находки.

§ 3. Что такое многоугольник и что такое грань?

В определении многогранника мы пользовались понятием «многоугольник», считая его известным. Но и его нужно определить; без этого анализ наглядного представления о многогранниках, который был проведен в предыдущем параграфе, нельзя считать завершенным.

Многоугольником называется часть плоскости, ограниченная конечным числом отрезков.

При этом подразумевается, что (1) эта часть плоскости — конечная;

(2) отрезки, ее ограничивающие, к ней присоединяются, образуя ее границу, которая полностью прилегает к остальной части многоугольника — к его «внутренности»; (3) внутренность многоугольника связна.

Здесь, как и в § 2, связность фигуры можно понимать в том смысле, что любые две ее точки соединимы лежащей в ней ломаной. Так же будет пониматься связность и дальше*.

Заранее не исключается, что два отрезка из ограничивающих данный многоугольник лежат на одной прямой и имеют общий конец. Но тогда их можно объединить в один отрезок. Так придем к отрезкам, не содержащимся ни в каких больших отрезках, тогда они называются сторонами многоугольника, т. е. стороной многоугольника называется отрезок, лежащий на его границе и не содержащийся ни в каком большем отрезке, также лежащем на границе данного многоугольника.

Вершинами многоугольника называются точки, служащие концами его сторон.

Фигура, получающаяся из многоугольников, прикладываемых друг к другу по сторонам или отрезкам сторон, сама оказывается многоугольником. Так, складывая вместе простые многоугольники, скажем треугольники, можно получать многоугольники весьма разнообразного

* Общее понятие связности определяется иначе, но в тех случаях, когда ее надо оговорить в элементарной геометрии, она равносильна указанному свойству; любые две точки фигуры соединимы в ней ломаной.

Рис. 3

строения, в частности ограниченные несколькими ломаными, иначе говоря, «кольцеобразные»: с одной «дырой» или с любым числом «дыр» (рис. 3).

Однако такие многоугольники не подпадают под определение, какое дается в большинстве учебных пособий: у А.П. Киселева, А. В. Погорелова, в принятом теперь пособии для 6–8 классов и др.* Все они называют многоугольником часть плоскости, ограниченную простой замкнутой ломаной, т. е. это многоугольник в смысле данного нами выше определения, но только такой, который ограничен простой замкнутой ломаной. Во избежание путаницы мы назовем такой многоугольник простым. Так что простой многоугольник — это конечная часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной.

Соответственно тому, как понимается многоугольник, определяется и многогранник. Если многоугольник понимается как простой, то многогранник ограничен простыми многоугольниками. Это, однако, не влияет на понятие о многограннике, так как любой многоугольник можно разбить на простые, в частности на треугольники. Поэтому тело, ограниченное конечным числом общих многоугольников, ограничено также конечным числом простых многоугольников.

Различие обнаруживается, когда будем определять, что называется гранью многогранника. Так что такое грань?

В определении многогранника не исключается, что некоторые из ограничивающих его многоугольников могут лежать в одной плоскости. Если два таких многоугольника прилегают друг к другу по стороне или по отрезку их сторон, то их можно объединить в один многоугольник. Произведя такие объединения, можно считать, что никакие два смежных многоугольника не лежат в одной плоскости. Иначе говоря, никакой из этих многоугольников не содержится ни в каком большем многоугольнике, лежащем на поверхности многогранника. При этом условии эти многоугольники называются гранями многогранника.

* См.: Киселев А. П. С. 24; Погорелов А.В. Геометрия. 1979. С. 109–110; Геометрия 6. 1978. С. 88.

Таким образом, многоугольник на поверхности многогранника называется его гранью, только если он не содержится ни в каком другом многоугольнике, лежащем целиком на поверхности того же многогранника. Иначе многоугольник будет только частью целой грани. Например, треугольники, на которые грани куба делятся диагоналями, не являются гранями куба, хотя они, конечно, его ограничивают.

Данное определение грани годится во всех случаях, если имеются в виду любые, а не только простые многоугольники. Но представим себе какой-либо многогранник, у которого есть грань, не являющаяся простым многоугольником. Такую грань можно делить на простые многоугольники, но каждый из них всегда можно включить в больший. Поэтому в этом случае вовсе не понятно, какой простой многоугольник следовало бы считать гранью. Однозначно определить грань как некоторый простой многоугольник здесь невозможно.

Таким образом, если мы хотим понимать под гранями многогранника вполне определенные многоугольники, то нельзя, во-первых, сказать только, что грани — это многоугольники, ограничивающие многогранники, а нужно добавить, что — наибольшие, а во-вторых, нельзя рассматривать только простые многоугольники (причина этого, как видно из предыдущего, в том, что фигура, складывающаяся из многоугольников, всегда будет многоугольником; а складывающаяся из простых многоугольников может не быть простым многоугольником).

Рассмотренный, казалось бы, простой вопрос о гранях многогранника очень поучителен как пример, показывающий, насколько необходимо внимательное сочетание наглядного представления и строгой логики. Представляя себе многогранник как тело, ограниченное многоугольниками, нужно вдуматься как в это представление, так и в принятое определение многоугольника. Нередко говорят просто: «Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются гранями»*. Но это, как мы видели, неверно: никто не считает гранями куба любые многоугольники, на которые можно разделить его обычно понимаемые грани, хотя в совокупности такие многоугольники его и ограничивают.

Причина ошибки в том, что представляют себе ограничивающие многогранник многоугольники как грани, т. е. как наибольшие, но упускают из виду, что это представление нужно явно оговорить в определении.

Более того, определив многоугольник как простой многоугольник, упускают из виду многогранники, у которых есть не простые грани; происходит это оттого, что либо ограничивают наглядное представление и рассматриваемые примеры только простейшими многогранниками,

* См., например: Погорелов А. В. Геометрия. 1979. С. 148.

либо, представляя и более сложные примеры, не обращают должного внимания на то, что для них принятые определения могут не годиться.

Расширяйте наглядные представления; сверяйте с ними даваемые определения и обратно — представления с определениями.

§ 4. Другие формулировки тех же определений

В первом варианте определения многогранника, данном в § 2, мы воспользовались понятиями тела и его поверхности, считая их само собою понятными из наглядного представления. Во втором варианте многогранник — это часть пространства, ограниченная многоугольниками; и здесь считается понятным из наглядных соображений, что такое часть пространства и что значит «ограниченная» многоугольниками. Аналогично многоугольник был определен в § 3 как часть плоскости, ограниченная отрезками.

Эти определения выдержаны в духе Евклида*. Теперь они считаются недостаточно строгими, и мы сейчас дадим определения, строгие в современном смысле. Начнем с кратких предварительных определений; все они относятся как к пространству, так и к плоскости!

Фигура — это то же, что множество точек.

Точка называется граничной точкой данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей.

Точка фигуры, не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней.

Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей, а множество всех ее внутренних точек — внутренностью.

Замкнутой областью называется множество точек, обладающее следующими свойствами:

(1) Оно содержит внутренние точки, и внутренность его связна.

(2) Оно содержит свою границу, и она совпадает с границей его внутренности.

Данное определение относится к множеству точек либо на плоскости, либо — в пространстве. Замкнутая область в пространстве называется телом, а на плоскости — плоской замкнутой областью или просто замкнутой областью, если ясно, что речь идет о фигуре на плоскости.

* Следуя Евклиду, в учебнике Киселева было написано: «Всякая ограниченная часть пространства называется геометрическим телом», «Граница геометрического тела, т.е. то, чем оно отделяется от остального пространства, называется поверхностью» (Киселев А.П., с. 3).

Из определения замкнутой области — как на плоскости, так и в пространстве — следует, что она состоит из* внутренности и ее границы, которая оказывается также границей самой замкнутой области. Поэтому замкнутую область можно определить несколько иначе.

Замкнутая область — это множество точек, имеющее (не пустую) связную внутренность и состоящее из нее и ее границы.

Конечно, нужно доказать, что оба данных определения равносильны**, но мы этого делать здесь не будем; доказательство это совсем просто. Важнее ясное понимание данных определений (тогда, кстати, и равносильность их делается очевидной). Граница замкнутой области всюду прилегает к ее внутренности. Но, например, у «куба с крылом», описанного в § 2, «крыло» входит в границу фигуры «куба с крылом», но не содержится в границе ее внутренности. Граница тела называется его поверхностью.

В определении замкнутой области не требуется, чтобы она была ограниченной — имела конечные размеры; допускаются и бесконечные области. Примерами в пространстве могут служить полупространство, двугранный угол, как множество, ограниченное двумя полуплоскостями, и др. Все пространство тоже является телом — это единственное тело, не имеющее границы.

Часто в само понятие тела включают требование его ограниченности — конечности его размеров, но мы этого не делаем, потому что в геометрии имеем дело и с бесконечными телами, не только такими простыми, примеры которых мы только что привели. Точно так же и в планиметрии встречаются бесконечные области, например угол — часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Дадим теперь определения многоугольника и многогранника.

Многоугольником называется замкнутая область конечных размеров, граница которой состоит из конечного числа отрезков.

Многоугольник называется простым, если его граница представляет собой одну простую замкнутую ломаную.

Многогранником называется тело конечных размеров, граница (поверхность) которого состоит из конечного числа многоугольников.

Итак, мы повторили то определение многогранника, с какого начали в § 2. Однако теперь входящие в него понятия тела и его поверхности понимаются не только наглядно, но и с точки зрения данных им выше определений.

* Здесь и всюду дальше «состоит из» значит то же, что «является объединением». Мы будем также говорить, что фигура «составлена» из некоторых фигур, если она служит их объединением, но они не имеют общих внутренних точек.

** Нужно доказать, что у множества, состоящего из внутренности и ее границы, эта последняя оказывается его собственной границей.

Вернемся еще к определению многогранника по Киселеву, которое было приведено в самом начале нашей статьи; в нем многогранник определяется как тело, «ограниченное плоскостями». Это надо точнее понимать так:

Многогранник — это тело, ограниченное кусками плоскостей или, другими словами, плоскими фигурами (в конечном числе).

Из того, что плоскости пересекаются по прямым, можно заключить, что «куски плоскостей», ограничивающие многогранник, представляют собою многоугольники*.

То же определение можно выразить несколько иначе, не говоря о «кусках плоскостей»:

многогранник — это тело конечных размеров, граница которого содержится в конечном числе плоскостей.

Когда в § 2 было сказано, что многогранник ограничен многоугольниками, это и означало, что они образуют его границу. Вместе с тем, это также означало, что они отделяют многогранник от остального пространства: нельзя выйти непрерывно изнутри многогранника наружу, не пересекая ни одного из ограничивающих его многоугольников. Вообще нельзя выйти изнутри любого тела, не пересекая его границу.

Это наглядное соображение можно точно выразить следующим предложением.

У любого тела никакую внутреннюю его точку нельзя соединить ломаной с не принадлежащей ему точкой, не пересекая его границы**.

Докажем это предложение. Пусть ломаная L соединяет точку, лежащую внутри данного тела М, с точкой вне его. Нужно доказать, что на этой ломаной есть хотя бы одна точка границы тела М.

Если хотя бы одна вершина ломаной L принадлежит границе, то мы уже имеем требуемое. Поэтому допустим, что ни одна из них не лежит на границе. Тогда среди всех звеньев ломаной, очевидно, есть хотя бы одно такое АВ, что один его конец А лежит внутри тела М, другой В — вне его. Покажем, что на таком отрезке есть точка границы тела М.

Разделим отрезок АВ на 10 равных частей. Если одна из точек деления оказывается на границе, то мы уже имеем нужный результат. Но если

* У Киселева сказано: «Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскостями. Многоугольники, образованные пересечениями этих плоскостей, называются гранями…». В другом учебнике того же времени говорится: «Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскостями, называется многогранником. Плоскости, ограничивающие многогранник, имеют вид многоугольников…» (Котельников И. Краткий курс геометрии. Л., 1925. С. 115).

** На самом деле то, что изнутри тела нельзя выйти, не пересекая границы, означает более сильное утверждение, что не только ломаная, но любая непрерывная линия, соединяющая внутреннюю точку тела с не принадлежащей ему точкой, пересекает границу. То же верно не только для тела, но вообще для любой фигуры.

это не так, то найдется отрезок А1В1, у которого конец А1 лежит внутри тела, В1— вне его.

С отрезком А1В1 поступаем так же и либо получаем точку на границе, либо находим отрезок А2В2 с концами внутри тела М и вне его.

Продолжая этот процесс, мы либо натолкнемся на каком-то шаге на некоторую точку С, лежащую на границе, либо будем получать последовательность вложенных отрезков

AB ⊃A1B1 ⊃A2B2 ⊃… ⊃AnBn ⊃…

и вместе с ними отрезки

AA1 ⊂AA2 ⊂AA3 ⊂… ⊂AAn ⊂…

Если длина отрезка АВ равна а, то длина отрезка АА1 равна нескольким ее десятым долям; аналогично длина отрезка А1А2 равна нескольким десятым долям длины отрезка A1B1 ит. д. Таким образом, отрезки AA1, AA2 ит. д. имеют длины, получающиеся из а умножением на последовательные десятичные дроби

O, k1, O, k1k2, O, k1k2k3 и т.д.

Бесконечная дробь

O, k1k2k3 . . .

представляет некоторое вещественное число k. На отрезке можно отложить отрезок АС длины ka. Это обеспечено соответствующей аксиомой, принятой еще в планиметрии. Легко убедиться, что с ростом номера n точки Аn, как и точки Вn, подходят к точке С все ближе и ближе. А так как точки Аn принадлежат телу, а Вn не принадлежат ему, то точка С граничная. И наше утверждение доказано.

§ 5. Многогранная поверхность

Нередко многогранником называют не тело, ограниченное многоугольником, а поверхность, составленную из многоугольников*; такое словоупотребление встречается вне школьного курса даже чаще. Встречается и смешение терминов, когда «многогранник» понимается то в одном, то в другом смысле. Так, когда говорят, например, «склеим из развертки куб», то имеют в виду не тело, а поверхность.

Подобное употребление одного и того же слова в разных, хотя и тесно связанных, смыслах встречается в геометрии постоянно и, можно даже

* См., например, статью «Многогранник» в БСЭ, а также книгу Александрова А.Д. «Выпуклые многогранники» (М., 1950).

сказать, характерно для нее. Углом называют и фигуру, состоящую из двух лучей, и ограниченную ею часть плоскости; так же как двугранный угол понимается или как фигура из двух полуплоскостей, или как ограниченная ею часть пространства; многоугольником называют и ломаную, и ограниченную ею часть плоскости, ит. п. В этом нет ничего страшного, если каждый раз понимать, в каком именно смысле употребляется в данный момент тот или иной термин. Но здесь мы не станем так поступать и поверхность, составленную из многоугольников, будем называть не многогранником, а многогранной поверхностью (кстати, в согласии с терминологией действующего пособия для IX–X классов).

Для человека, знакомого с понятием многообразия, дать определение «простой многогранной поверхности» можно очень коротко: это есть (связное) многообразие, с краем или замкнутое, состоящее из конечного числа многоугольников. Но дадим элементарное определение, обходящееся без понятия о многообразии.

«Простой» многогранной поверхностью называется связная фигура, составленная из конечного числа простых многоугольников так, что произвольная ее точка принадлежит либо одному и только одному многоугольнику, либо общей стороне двух и только двух многоугольников, либо является общей вершиной нескольких углов данных многоугольников, причем так, что от каждого из этих углов к каждому можно перейти, проходя через стороны, минуя вершину, т. е., иными словами, углы с общей вершиной образуют связную фигуру и без самой вершины (так что, например, углы не могут сходиться в одной вершине как боковые грани двух пирамид с общей вершиной).

Простая многогранная поверхность называется замкнутой, если каждая сторона каждого из составляющих ее многоугольников является стороной также какого-либо другого из этих многоугольников.

Грани, ребра и вершины многогранной поверхности определяются так же, как для многогранника. Грань есть содержащийся в поверхности многоугольник, не заключенный ни в каком другом многоугольнике, содержащемся в той же поверхности. Ребром называется отрезок, служащий стороной какой-либо грани; вершиной поверхности называется точка, служащая вершиной какой-либо грани. Для замкнутой многогранной поверхности выполняется следующая фундаментальная теорема.

ТЕОРЕМА

Всякая простая замкнутая многогранная поверхность ограничивает многогранник, т. е. является поверхностью некоторого многогранника.

Доказывается эта теорема не просто. Чаще ее формулируют иначе:

Всякая простая замкнутая многогранная поверхность разбивает пространство на две части. Она является их общей границей; одна часть конечная; она представляет собою многогранник, поскольку ее граница образована конечным числом многоугольников.

Наглядный смысл слова «разбивает» представляется очевидным, но он все же нуждается в определении, тем более при теоретико-множественной точке зрения, когда определяются понятия границы и пр.

Говорят, что фигура F разбивает пространство, если ее дополнение (пространство за вычетом фигуры F) не связно.

В данном случае фигура F — многогранная поверхность, и то, что она разбивает пространство на две части, означает, что ее дополнение состоит из таких двух частей, что точки из разных частей нельзя соединить ломаной, не пересекая F, а точки любой одной части — можно.

Итак, всякая простая замкнутая многогранная поверхность ограничивает некоторый многогранник. Такие многогранники, по аналогии с «простыми многоугольниками», ограниченными простыми замкнутыми ломаными, можно было бы назвать «простыми», хотя они, соответственно ограничивающим их поверхностям, могут иметь очень сложное строение. Прежде всего, они могут различаться по «связности» (по топологическому типу): «односвязные»— как, скажем, прямой параллелепипед, далее такой параллелепипед с одним отверстием, с двумя и т. д., как стена с одним окном, с двумя и т. д. (рис. 4).

Строение других многогранников, ограниченных не простыми поверхностями, может быть много сложнее. Они могут иметь любое число многогранных полостей внутри; у них и вершины могут оказаться внутри граней, когда многогранник как бы загибается, упираясь вершиной в свою собственную грань, ит.п.

Полезно рассмотреть еще одно определение замкнутой многогранной поверхности, равносильное предыдущему. Для этого определим сначала многогранный угол.

Угол, понимаемый как плоская фигура, состоящая из двух лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости, назовем плоским углом.

Рис. 4

Многогранным углом называют фигуру, составляемую из плоских углов с общей вершиной, последовательно прилегающих один к другому по сторонам в круговом (циклическом) порядке, т. е. так, что если, начав с одного из них, перейти к прилегающему к нему по стороне, от этого — к прилегающему к нему по стороне и т. д., то придем к исходному углу, пройдя при этом все углы, образующие данный многогранный угол, причем каждый угол имеет общие точки (не считая вершины) только с двумя углами, прилегающими к нему по сторонам.

Многогранному углу можно дать и другое равносильное определение. Именно, многогранный угол есть фигура, составленная из конечного числа плоских углов с общей вершиной так, что выполнены два условия:

(1) фигура остается связной, если удалить вершину образующих ее углов;

(2) произвольная точка фигуры, не считая вершины, лежит либо внутри одного и только одного угла, либо на стороне, общей двум и только двум углам.

Равносильность двух данных определений видна непосредственно, если понять их и представить наглядно.

Теперь простую замкнутую поверхность можно определить следующим образом: это есть составленная из конечного числа многоугольников связная фигура, произвольная точка которой является либо внутренней точкой только одного из составляющих ее многоугольников, либо внутренней точкой на общей стороне двух и только двух многоугольников, либо вершиной только одного многогранного угла, образованного углами данных многоугольников.

То, что это определение равносильно тому, какое было дано выше, становится ясным, если понять его, пользуясь вторым определением многогранного угла.

В определении многогранного угла не исключается, что у него могут быть плоские углы, лежащие в одной плоскости. Если два таких угла смежны по стороне, то их можно объединить в один угол. Поэтому можно считать, что среди плоских углов никакие два смежных уже не лежат в одной плоскости. В таком случае плоские углы называются гранями многогранного угла, т.е. грань — это плоский угол, не содержащийся ни в каком другом плоском угле того же многогранного угла. Стороны граней называются ребрами многогранного угла. Общая вершина всех углов называется вершиной многогранного угла.

Однако тут возможны два особых случая. Первый, когда все плоские углы лежат в одной плоскости, так что многогранный угол сводится к плоскости; это, так сказать, одногранный угол. Второй, когда все плоские углы лежат в двух полуплоскостях, которые образуют двугранный угол.

Обычно эти два случая исключают, так что многогранный угол — не менее, чем трехгранный.

Грани многогранного угла могут представлять собою не только выпуклые, но и развернутые и вогнутые углы (больше 180°). Могут быть многогранные углы с любым числом таких граней. (Заметим, что у трехгранного угла одна грань может быть углом больше 180°, но развернутым углом быть не может.)

Допустим, точка О многогранной поверхности является вершиной многогранного угла, одна из граней Q которого представляет собою развернутый угол. Тогда точка О лежит внутри стороны того многоугольника Р, служащего гранью поверхности, на который налегает грань Q многогранного угла. Два многоугольника прилегают к Р по отрезкам его стороны, разделенным точкой О.

Примером может служить дом с такой крышей, от ребра которой в точке О отходит ребро крыши над мансардой. Противоположный скат крыши имеет форму прямоугольника, и точка О лежит на его стороне. Она делит ребро на два отрезка, служащих сторонами двух других граней крыши (рис. 5).

Рис. 5

Таким образом, мы можем отметить две взаимно связанные особенности, которые могут быть у многогранной поверхности.

(1) Грани многогранной поверхности могут прилегать не по целым сторонам, а по отрезкам сторон.

(2) Вершина многогранного угла может оказаться внутри стороны грани; тогда можно считать ее условной вершиной самой грани; угол при ней — развернутый. (При этом надо исключать «многогранные углы», сводящиеся к двугранным углам или к плоскостям.)

Учтя эти особенности, можно изменить определение простой замкнутой многогранной поверхности так, чтобы многоугольники, образующие поверхность, обязательно оказывались гранями:

Простая замкнутая многогранная поверхность — это связная фигура, составленная из многоугольников так, что произвольная ее точка является либо внутренней точкой только одного многоугольника, либо внутренней точкой общего отрезка сторон двух и только двух многоугольников, либо вершиной только одного многогранного угла, гранями которого служат углы данных многоугольников, не исключая развернутых углов при «условных вершинах».

При таких условиях многоугольники, образующие поверхность, необходимо оказываются ее гранями. Читатель сам в этом убедится, так же

как убедится в равносильности данного и предыдущих определений простой замкнутой многогранной поверхности. В общем, она хоть и названа простой, но совсем не такая простая, как может казаться, если представлять себе только поверхность выпуклых призм и пирамид.

В заключение параграфа вернемся к многогранным углам.

Многогранный угол разбивает пространство и служит общей границей двух бесконечных тел. Нередко многогранным углом называют именно тело, ограниченное многогранным углом в нашем смысле. Это совершенно подобно тому, как двугранным углом называют или фигуру, составленную из двух полуплоскостей с общей ограничивающей полупрямой, или часть пространства, ограниченную такими полуплоскостями; в этом случае надо оговаривать, какая из двух таких частей пространства имеется в виду. Совершенно необязательно, чтобы она была выпуклой. Когда говорят о двугранном угле многогранника при данном его ребре, естественно иметь в виду ту часть пространства, в которой вблизи ребра содержится многогранник. (У не простого многогранника в одном ребре могут сходиться два и больше двугранных углов.)

§ 6. Определение многогранника в «Геометрии 9–10»

В «Геометрии 9–10» в начале главы V, посвященной многогранникам, дается определение:

«Простой многогранной поверхностью называется объединение конечного числа многоугольников, удовлетворяющее следующим условиям:

1) для любых двух вершин этих многоугольников существует ломаная, составленная из их сторон, для которой взятые вершины служат концами;

2) произвольная точка объединения многоугольников либо является точкой только одного из данных многоугольников, либо принадлежит общей стороне двух и только двух многоугольников, либо является вершиной только одного многогранного угла, плоскими углами которого служат углы данных многоугольников».

После этого определения говорится: «В дальнейшем, говоря о простых многогранных поверхностях… будем опускать слово «простых». Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются ребрами, а вершины — вершинами многогранной поверхности.

Если каждое ребро многогранной поверхности содержится в двух ее гранях, то эту многогранную поверхность называют замкнутой».

«Замкнутая многогранная поверхность разбивает множество всех не принадлежащих ей точек пространства на два подмножества. Для

одного из них существуют прямые, содержащиеся в этом подмножестве, для другого — таких прямых не существует; первое из указанных подмножеств называется внешней областью замкнутой многогранной поверхности, а второе — ее внутренней областью».

И тут наконец определяется, что такое многогранник:

«Определение. Объединение замкнутой многогранной поверхности и ее внутренней области называется многогранником».

Первое, что бросается в глаза в данном определении,— это его крайняя сложность, то, что оно начинается издалека: с многогранной поверхности. Но и этого мало: для того чтобы понимать данное определение, нужно знать, что понимается не только под многоугольником, но и под многогранным углом и его плоскими углами и что значит «разбивает».

Под многоугольником понимается здесь, по определению, данному в пособии для VI класса, то, что мы назвали простым многоугольником.

Обратимся к понятию многогранного угла. Оно определяется в § 40 «Геометрии 9–10».

«Пусть даны многоугольник Φ = АВС … и точка S, не принадлежащая его плоскости. Объединение всех лучей, имеющих общее начало S и пересекающих данный многоугольник Φ, называется многогранным углом.

Точка S называется вершиной многогранного угла, лучи SA, SB, …— его ребрами. Углы ASB, BSC, … называют гранями многогранного угла или его плоскими углами. Величина каждого из них принадлежит промежутку ]0°, 180°[».

Из приведенного выше определения замкнутой многогранной поверхности легко заключить, что каждая ее вершина является вершиной многогранного угла, плоскими углами которого служат углы ее граней. А так как эти плоские углы всегда меньше 180°, то у всех граней все углы меньше 180°. Но, как известно и не трудно доказать, многоугольник, у которого все углы меньше 180°, выпуклый.

Таким образом выходит, что под рассматриваемое определение замкнутой многогранной поверхности подпадают только такие, у которых все грани выпуклые. Соответственно под определение многогранника подходят только многогранники с выпуклыми гранями. Так что ни призмы, ни пирамиды с невыпуклыми основаниями не считаются многогранниками… что несколько странно, а вернее, просто нелепо.

Далее можно заметить, что многогранный угол, как он здесь определен, имеет в вершине опорную плоскость: он лежит по одну сторону от плоскости, проходящей через его вершину S параллельно плоскости многоугольника Φ.

Следовательно, у замкнутой многогранной поверхности, по приведенному определению, через каждую вершину проходит такая плоскость, что

вблизи вершины поверхность лежит с одной стороны от этой плоскости (локально опорная плоскость). Однако на рисунке в пособии для VIII класса, где изображены примеры многогранников, у двух из них поверхности указанным свойством не обладают, так что эти многогранники не являются многогранниками, согласно данному определению; один из них составлен из 7 кубов: к одному кубу прилегают по граням 6 других.

Все это несколько странно: в VIII классе даются простые примеры, которые отпадают по определению, даваемому в X классе, отпадают без пояснений. Но отложим обсуждение этих педагогических странностей, а вернемся к странностям геометрическим.

Из проведенного разбора определения многогранной поверхности нетрудно вывести общее заключение в виде следующей теоремы:

Замкнутая многогранная поверхность удовлетворяет определению, данному в «Геометрии 9–10», тогда и только тогда, когда все ее грани выпуклые, а углы граней, сходящихся в одной вершине, имеют в ней общую опорную плоскость, т. е. лежат с одной стороны от некоторой плоскости, проходящей через вершину*.

Многогранник, как он определен, имеет такую поверхность. Поэтому перед нами вовсе не общее определение многогранника, а определение многогранников довольно специального вида, включающее, правда, выпуклые многогранники, но все-таки вместе с тем исключающее даже такие простые многогранники, как призмы с невыпуклыми основаниями.

Но собственно говоря, мы рано перешли от поверхности к самим многогранникам, так как в их определении фигурирует понятие «разбивает», которое само требует определения или хотя бы пояснения. Однако ни определения, ни пояснения ему не дается, как если бы оно считалось самоочевидным либо понятным из того, как оно фигурировало еще в пособии для VI класса. Но там ему тоже не было дано явного определения**.

* Выпуклость граней следует из указанного свойства углов; мы явно ее указываем для ясности.

** В «Геометрии 6» (под ред. А.Н. Колмогорова. М., 1978) оно фигурирует, когда говорится отом, что точка разбивает прямую, что прямая разбивает плоскость, и далее — в определениях угла и многоугольника. Например, в последнем случае говорится: «Замкнутая ломаная разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два подмножества» (две области). «Любые две точки одной и той же области можно соединить отрезком или ломаной, не пересекающей ломаную l. Для точек разных областей этого сделать нельзя». Читатель должен догадаться, что эти слова дают определение понятия «разбивает» и что оно в этом же смысле употребляется в X классе при определении многогранника.

Заметим еще: принято говорить, что замкнутая ломаная разбивает плоскость, а не дополнительное ей множество, так же как точка разбивает прямую, а не множество отличных от нее точек прямой и т. п. Так же говорят, что поверхность разбивает пространство, а не множество не принадлежащих ей точек (оно уже разбито ею на две части). Это, кстати, соответствует обычному пониманию.

Таким образом выясняется, что никакого строгого определения многогранника в «Геометрии 9–10» нет вовсе, а есть определение многогранников некоторого специального вида, исключающее самые простые, невыпуклые многогранники, определение, опирающееся к тому же на принятое без определения понятие «разбивает».

Но тогда почему нельзя было принять понятие «ограничивает», смысл которого даже более очевиден и которое тоже фигурирует в пособии для VI класса, и, приняв его, определить многогранник, скажем, в том духе, как сделано нами в § 2? Но этот вопрос мы рассмотрим в следующем параграфе, а сейчас в дополнение к сказанному вникнем еще в определение простой многогранной поверхности, с которого все начинается, когда не требуется, чтобы поверхность была замкнутой. Для незамкнутых поверхностей тут обнаруживаются дополнительные неточности.

Первая из них заключена в определении граней: «Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями». Это определение неоднозначно, точно так же как неоднозначно определение, рассмотренное в § 3. Настоящую грань поверхности (т.е. лежащий на ней многоугольник, не содержащийся ни в каком другом лежащем на ней многоугольнике) можно разбивать на меньшие многоугольники; и они составляют ту же поверхность, так что их тоже надо считать «гранями». Нужно только, чтобы концы разрезов попадали внутрь «свободных» сторон, т. е. таких, по которым к данному многоугольнику не прилегает другой. Иначе окажутся нарушенными условия, принятые в определении многогранной поверхности (в чем читатель может убедиться сам). Поэтому, между прочим, подразделение многоугольников, составляющих замкнутую поверхность (при данном ее определении), недопустимо. Но скажем, боковую поверхность прямой призмы можно нарезать на сколь угодно узкие прямоугольники, и их нужно будет, по определению, тоже считать ее «гранями».

Другая неточность в определении незамкнутой многогранной поверхности заключена в последней возможности, указанной для ее произвольной точки, когда, как там сказано, точка «является вершиной только одного многогранного угла, плоскими углами которого служат углы данных многоугольников». Однако остается не совсем ясным, имеются ли здесь в виду обязательно все плоские углы какого-то одного многогранного угла или допускается, что могут быть только некоторые. По буквальному смыслу сказанного это допускается. Но в таком случае под определение подпадает фигура, состоящая из двух или вообще из любого числа многоугольников, не лежащих попарно в одной плоскости и имеющих последовательно по одной общей вершине. Однако такую фигуру никто не считает поверхностью.

Если этого не допускать, то возникает другая трудность. Например, поверхность, полученная из поверхности октаэдра исключением внутренности одной грани, не будет считаться простой многогранной поверхностью, раз в вершине у ее края сходятся не все грани четырехгранного угла. Однако по общему признанию она есть простая многогранная поверхность.

В общем рассмотренное определение многогранной поверхности и многогранника никуда не годится.

§ 7. Почему дано такое определение многогранника в «Геометрии 9–10»?

Рассмотренное в § 6 определение многогранника, данное в «Геометрии 9–10», появилось там, как очевидно, из желания дать определение многогранника, аналогичное определению многоугольника в пособии для VI класса. Это определение предваряется там определением ломаной, затем определяются простая замкнутая ломаная, ее внутренняя и внешняя области и, наконец, дается определение: объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области называется многоугольником.

Определение многогранника в «Геометрии 9–10» точно следует этой схеме, с заменой плоскости на пространство и ломаной на поверхность. Однако определения многогранника не получилось, причем промах был дан в самом начале — в определении простой многогранной поверхности.

Это связано с неудачным, чтобы не сказать — неверным, определением многогранного угла. Многогранный угол определен как тело, образованное лучами, идущими из данной точки через все точки какого-либо многоугольника (в частности, все его плоские углы меньше 180°). Поэтому и получилось не общее определение многогранников, а только некоторых специальных (с выпуклыми гранями и локально опорными плоскостями у плоских углов, сходящихся в одной вершине).

Но для определения многогранной поверхности естественно определять многогранный угол тоже как поверхность, как в § 5 статьи; приняв это определение, можно было бы получить верное определение замкнутой многогранной поверхности, а за нею и многогранника, внешне совершенно аналогичное данному в «Геометрии 9–10».

Достаточно в определении простой многогранной поверхности, данном в «Геометрии 9–10» и воспроизведенном выше в § 6, понимать «многогранный угол» так, как он определен у нас в § 5. При этом его плоские углы тоже нужно понимать, как в § 5, так что они могут не быть гранями многогранного угла, а только частями граней.

Замкнутая простая многогранная поверхность определяется тогда так же, как в «Геометрии 9–10», с добавлением «условия замкнутости»: каждая сторона каждого многоугольника служит также стороной другого многоугольника. (В определении незамкнутой поверхности сохранится неточность, но можно вообще сразу определить замкнутые поверхности, так как они только и нужны для определения многогранника.)

Многоугольники можно понимать как простые, т. е. так, как это принято в действующих пособиях от VI до X класса (при этом надо позаботиться о правильном определении грани).

Словом, все сохраняется и получается верно, если только верно определить многогранный угол — так, чтобы у него могли быть любые плоские углы. (Впрочем, получающееся определение замкнутой многогранной поверхности оказывается несколько сложнее второго ее определения, данного в § 5.)

Однако и в исправленном виде рассматриваемое определение оставалось бы очень сложным. Именно его крайняя сложность — это, как уже было сразу отмечено в § 6, первое, что бросается в глаза. Определение это слагается по меньшей мере из шести шагов (считая понятие многоугольника известным):

(1) предварительно определяется многогранный угол и его плоские углы;

(2) само определение многогранника начинается определением простой многогранной поверхности, которое уже само по себе очень сложно (включая два пункта, причем во втором из них фигурируют три возможности для точки поверхности);

(3) потом специально определяется замкнутая многогранная поверхность;

(4) далее высказывается без особых пояснений и комментариев теорема о том, что замкнутая многогранная поверхность разбивает пространство, причем смысл термина «разбивает» никак не определяется;

(5) после этого определяются внутренняя и внешняя области замкнутой многогранной поверхности;

(6) и наконец, на шестом шаге дается определение многогранника; к этому добавляется еще седьмой шаг:

(7) даются определения поверхности и внутренней области многогранника, его граней, ребер и вершин через соответствующие понятия, относящиеся к многогранной поверхности.

После всего этого сообщают, что «многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми» и что «мы будем изучать только выпуклые многогранники».

Таким образом выходит, что все усилия, потраченные на определение многогранника, оказались напрасными: определение это не нужно; раз будут изучать только выпуклые многогранники, достаточно было опре-

делить выпуклые многогранники, а в отношении любых многогранников ограничиться описанием в нескольких словах, например, что «многогранник есть тело, ограниченное конечным числом многоугольников». Потраченные усилия тем более напрасны, что, как мы убедились, определения многогранника и не получилось; вышло определение многогранников специального вида*.

Однако заявление насчет ограничения только выпуклыми многогранниками на самом деле не выполняется: приступая к вопросу об объеме многогранников, оговаривают, что «рассматриваются как выпуклые, так и невыпуклые многогранники»**. Но так как невыпуклые призмы не подпадают под определение многогранника, как это показано выше в § 6, то выходит, что вопрос об их объеме как будто не рассматривается.

Между тем можно было, не мудрствуя лукаво, последовать примеру старых учебников и сказать: многогранником называется часть пространства, ограниченная конечным числом многоугольников. И добавить к этому оговорки, указанные в § 2.

На это могут возразить, что тут нужно еще определить, что значит «ограничивает» и что понимается под «частью пространства». Но ведь и в рассматриваемом определении фигурирует слово «разбивает» без всякого определения. Нет никаких оснований считать понятие «разбивает» более ясным само по себе, чем понятие «ограничивает»; последнее даже в геометрии, не только во всякой науке, но ничуть не меньше — в жизни, во всяком деле. Это чрезвычайно важный воспитательный момент преподавания, и на него стоит обратить самое пристальное внимание.

Но авторы пособия не задали себе придирчиво вопроса о смысле слов, употребляемых в определении многогранника; не вдумались ни в смысл слов «плоские углы многогранного угла»; ни в смысл понятия «грань», ни даже в смысл слова «многоугольник». Невероятно, чтобы, задав себе такие вопросы и задумавшись над ними, они так и не заметили бы прорех в своих определениях.

Этот недостаток внимания к смыслу применяемых понятий выступает особенно резко в сравнении с теми претензиями на особую строгость в духе теоретико-множественной установки, которыми открывается «Геометрия 9–10», когда в первой аксиоме говорится, что прямая есть непустое множество точек. Так очевидное облачается в мундир формальной строгости, а неочевидное — то, что действительно нужно разъяснить, тонет в лохмотьях путаницы, как тонет понятие многогранной поверхности, да и другие важные моменты курса, о которых мы сейчас не говорим.

* Нужно еще отметить, что определение правильных многогранников («Геометрия 9–10», с. 133) не совпадает с принятым и, чтобы оно было верным, надо было оговорить, что речь идет о выпуклых многогранниках.

** «Геометрия 9–10», с. 134.

Курсу геометрии нужна система, общий уровень строгости и соответствующая ему логическая связность изложения. Этот принцип как раз и требует внимательной добросовестной сверки понятий, сверки нового материала с тем, что уже было, как надо было сверить определение многогранника с примерами, нарисованными в пособии для VIII класса*!

§ 8. Конструктивные определения

Мы отметили в § 2, что фигура, составленная из многогранников, прилегающих друг к другу по граням или кускам граней, сама оказывается многогранником и что так можно из простых многогранников составлять сколь угодно сложные. Это замечание можно уточнить и получить из него новое определение многогранника, исходя из самых простых многогранников — из тетраэдров. (Тетраэдр, между прочим, называют также симплексом, что можно было бы перевести как «простак», если бы это русское слово уже не было наполнено несколько другим смыслом.)Именно выполняется теорема:

ТЕОРЕМА

Всякое тело, составленное из тетраэдров, является многогранником, и всякий многогранник можно разбить на тетраэдры или, что равносильно, составить из тетраэдров.

В несколько уточненной форме и не пользуясь понятием тела, эту теорему можно высказать так:

Фигура является многогранником тогда и только тогда, когда ее можно составить из конечного числа тетраэдров так, что

(1) каждые два тетраэдра либо не имеют общих точек, либо имеют только одну общую вершину, или одно общее ребро, или одну общую грань;

(2) от каждого тетраэдра к каждому можно пройти по тетраэдрам, последовательно прилегающим один к другому по целым граням. То, что фигура, так составленная из тетраэдров, является многогранником, доказывается очевидно.

Докажем обратное утверждение, что всякий многогранник можно разбить на тетраэдры так, что будут выполнены условия (1), (2).

* Из всего сказанного сам собою вытекает еще один ответ на поставленный раньше вопрос: почему в «Геометрии 9–10» дано такое неудовлетворительное определение многогранника?

Всякий человек может ошибиться, напутать, даже написать явную чепуху. Из рассмотренного примера с определением многогранника видно, что рецензирование этого пособия не было выполнено с должной тщательностью.

Пока настоящая статья находилась в редакции, вышло шестое издание пособия с теми же ошибками, хотя авторы уже знали о них (см. их статью в № 4 журнала за 1980 г., с. 22).

Если многогранник выпуклый, то его можно разбить на выпуклые пирамиды, проводя из любой его внутренней точки отрезки до всех точек каждой грани. Разбивая же грани на треугольники, разобьем соответственно эти пирамиды на тетраэдры.

Пусть теперь дан невыпуклый многогранник. Проведем плоскости вдоль всех его граней; они разобьют многогранник на части, являющиеся выпуклыми многогранниками, так как каждая из них оказывается пересечением конечного числа полупространств, ограниченных проведенными плоскостями.

Разбивая теперь грани этих многогранников на треугольники и применяя к каждому из них предыдущее построение, получим разбиение всего исходного многогранника на тетраэдры с требуемыми свойствами.

Доказанная теорема позволяет определить многогранник как фигуру, составленную из тетраэдров так, что выполнены условия (1), (2).

Такое определение, которое характеризует предмет тем способом, каким он может быть построен, называется конструктивным. Полученное определение многогранника именно такое; любой многогранник строится последовательным прикладыванием тетраэдров по граням; а как строить тетраэдры — известно.

B противоположность этому определения многогранника, рассмотренные ранее, состоят в указании его характерных свойств, или, иначе говоря, в точном его описании. Такие определения и называют дескриптивными, т. е. описательными.

Описательное определение многогранника позволяет судить о фигуре, является ли она многогранником или нет. Посмотрел со всех сторон на данное тело, увидел, что всюду его поверхность состоит из многоугольников,— значит, многогранник. Такой же характер имеют, например, обычные определения призмы и пирамиды.

Из двух определений многогранного угла, данных в § 5, первое — конструктивное, в нем сказано, как многогранный угол строится из плоских углов; второе определение дескриптивное. Впрочем, его можно считать смешанным — конструктивно-дескриптивным, поскольку в нем говорится, что многогранный угол строится из плоских углов, а потом описывается, какой может быть его произвольная точка.

Такой же характер имеют данные там же в § 5 определения простой многогранной поверхности и простой замкнутой многогранной поверхности.

Самые простые из простых многогранных поверхностей — это многоугольники. Подобно многогранникам им можно дать конструктивное определение.

Многоугольник — это фигура, составленная из треугольников так, что:

(1) любые два из них либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую вершину, либо — только одну общую сторону;

(2) от каждого к каждому можно перейти треугольникам, смежным по сторонам. Многоугольник строится из треугольников прикладыванием их по сторонам, не допуская, чтобы они перекрывались.

Так же можно строить любую простую многогранную поверхность. Но тут составляющие треугольники не обязаны лежать все в одной плоскости. Поэтому надо следить за тем, чтобы они не только не налегали один на другой, но и не прилегали один к другому лишний раз. В частности, если к стороне данного треугольника уже приложен другой, то третий не должен вовсе к ней прикасаться, разве что в конце — в вершине. Также не допускается, чтобы один треугольник хоть где-то прикасался к внутренности другого.

Прикладывание вершинами не разрешается, так что если два треугольника Ti, Tj получают общую вершину А, не прилегая по стороне, то только потому, что от Ti к Tj идет ряд треугольников, прилегающих последовательно по сторонам с общим концом в точке А.

Поверхность будет замкнутой, если у треугольников не останется свободных сторон.

Можно также составлять простую поверхность из любых многоугольников; это равносильно составлению ее из треугольников, поскольку каждый многоугольник можно составить из треугольников.

В общем, мы получаем ясное представление о простой многогранной поверхности, описывая, как ее можно строить. Это описание можно превратить в четко сформулированное конструктивное определение. Но мы этого здесь делать не будем, оставив эту формулировку читателю в качестве хорошего упражнения в сочетании наглядного представления с логической точностью. Важно не пропустить в формулировке ни одного условия, которые наглядно подразумеваются.

На этом можно было бы построить очень полезный урок — беседу о многогранной поверхности, исходя из описания простой операции прикладывания друг к другу многоугольников.

Ставя наводящие вопросы, учитель сможет привлечь учеников к точному описанию условий, которые нужно соблюдать, складывая (или склеивая) из многоугольников простую поверхность. Так, участвуя в творческом процессе, учащиеся дойдут до формулировки определения, получив не только хорошее упражнение мысли, но и удовольствие от успеха.

Формулировка может выйти не очень короткой, но таков уж сам предмет — простая многогранная поверхность, которая только называется простой, а в общем, не такая уж простая.

Запоминать же формулировку ученикам не нужно, потому что упражнение мысли, понимание и радость успеха гораздо важнее любого заучивания: то, что хорошо понято, то и запомнится. К тому же, если в самом деле рассматривать на уроке многогранную поверхность, то лишь для упражнения в соединении наглядного представления с логикой, а действительно запомнить ученикам нужно только то, что многогранник — это тело, ограниченное многоугольниками.

Также полезно рассмотреть отдельно многогранные углы (тем более что на них естественно обратить внимание при рассмотрении многогранных поверхностей и правильных многогранников).

Точное определение грани важно и полезно не ради формального знания, потому что и так никто не спутает грань с куском грани, а опять-таки для упражнения в сочетании наглядного понимания и точной формулировки. Допустим, ученик говорит заученное из «Геометрии 9–10», что «грани — это многоугольники, из которых образуется поверхность». Тогда ему можно показать часть грани и подвести к верному ответу.

Геометрия — наука особенно трудная из-за необходимости сочетать в ней строгую логику с наглядным пониманием. А насколько это трудно, показывает следующий любопытный факт.

В учебнике Киселева и у его последователей до недавнего времени, значит — десятилетиями, давалось определение призмы: «Призмой называется многогранник, у которого две грани — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани — параллелограммы»*.

Это определение неверно! Неверно даже, если ограничиться только выпуклыми многогранниками. Невыпуклые многогранники с указанным свойством можно получать, просто ставя одну на другую призмы с одинаковыми основаниями, но с разными наклонами ребер, так что можно сложить сколь угодно длинный многогранник.

Выпуклым многогранником, подпадающим под определение, но не являющимся призмой, является 12-гранник, все грани которого параллелограммы, попарно равные и параллельно расположенные.

Какой точно этот многогранник, как он выглядит, читатель, если не знает, пусть найдет сам. А есть ли другие примеры?

Указанная ошибка, сохранявшаяся в течение десятков лет, вызвана именно тем, что каждый наглядно понимает, что такое призма, и видит,

* Киселев А. П., с. 307.

что у нее грани такие, как сказано в «определении» Киселева. Но сверить определение более точно с теми возможностями, какие в нем допускаются,— этого и не делали. В конечном счете это оказывалось не очень важным, так как ученики вместе с учителями верно понимали, что такое призма. Несчастье же сложных определений, вроде определения простой многогранной поверхности в «Геометрии 9–10», в том, что с ними из-за их запутанности и не связывается верное представление. Красота и ясность геометрии не должны тонуть в запутанных словах, а получать еще большую ясность в четкости формулировок.

ДОПОЛНЕНИЕ

Заметим, что данные нами определения стороны многоугольника и грани многогранника могут быть подвергнуты серьезной критике. Представим себе квадрат, разделенный на 9 равных квадратов. Выбросим один квадрат, находящийся в центре исходного квадрата, и другой при его вершине, получим многоугольник (не простой; нужные стороны, понятно, не выбрасываются вместе с квадратами). Через ту вершину, где встречались два исключенных квадрата, проходят два пересекающихся отрезка, лежащие на границе полученного многоугольника. Но считать их сторонами было бы довольно странно, скорее, каждый из них надо считать состоящим из двух сторон, встречающихся в указанной вершине. У одной внутренность многоугольника лежит с одной стороны, у другой — с другой. Из этого примера видно, что определение стороны многоугольника как отрезка, лежащего на границе и не содержащегося ни в каком другом отрезке, лежащем на границе, едва ли можно считать разумным, хотя оно формально допустимо. Лучше будет такое определение: сторона многоугольника — это отрезок на его границе, не имеющий, кроме обоих концов, общих точек с отрезками границы, лежащими на других прямых; концы же общие с другими такими отрезками. Аналогичное замечание вызывает определение грани многогранника. Можно построить примеры, когда у одной части многоугольника на границе многогранника внутренность многогранника лежит с одной стороны, а у другой — с другой стороны. Читатель сможет сам построить такие примеры и поразмыслить насчет усовершенствования определения грани. Задача интересная и поучительная как пример увязывания наглядного представления с точными определениями.

ЧТО ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ

(Математика в школе. 1946. № 1)

Молодая геометрическая дисциплина, называемая топологией, достигшая сейчас широкого развития и проникшая в разнообразные отрасли математических наук, бесспорно заслуживает внимания более широких кругов, чем узкий круг специалистов. И это не только потому, что она оказалась очень важной для приложений и обогатила науку новыми общими идеями, но и потому, что наглядность целого ряда ее результатов, элементарность и изящество рассуждений могут привлечь к ней многих любителей наглядной геометрии. Настоящая статья «Что такое топология» должна служить введением, дающим понятие о предмете топологии и характере ее задач.

Чтение этой статьи не предполагает у читателя никаких знаний, выходящих за пределы курса средней школы.

1. От элементарной геометрии к топологии

Круг геометрических фигур и тел, изучаемых в элементарной геометрии, довольно ограничен. В планиметрии приходится встречаться с треугольниками, параллелограммами и другими многоугольниками; из кривых линий в планиметрии изучают окружность, а иногда еще эллипс, гиперболу и параболу. В стереометрии занимаются пирамидами, призмами и другими многогранниками, а из тел с кривыми поверхностями там встречаются только цилиндр, конус, шар, иногда еще эллипсоид. Все эти фигуры и тела или состоят из прямолинейных отрезков, как многоугольники, или из многоугольных плоских кусков, как многогранники, или представляют кривые и поверхности, строящиеся по определенным правилам; так, поверхностью шара называют геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, эллипсом называют геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек (фокусов эллипса) одна и та же. В эти определения входят понятия

об углах, длинах. Теоремы, доказываемые в элементарной геометрии о перечисленных здесь фигурах и телах, относятся почти исключительно к длинам, величинам углов, площадей или объемов. Длина линий, величина углов и т. д. требуют для своего определения измерения,— без сравнения величин в элементарной геометрии нельзя сделать и шагу. Поэтому элементарную геометрию называют также «метрической геометрией», а те свойства фигур, в описании которых участвуют длины, величины углов площади, объемы, называют метрическими, т.е. связанными с измерением.

В элементарной геометрии не допускаются искажения фигур, изменяющие расстояния между их точками. При доказательствах некоторых теорем элементарной геометрии мы путем движения накладываем одну фигуру на другую (например, при доказательстве равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними один треугольник накладывается на другой). При этом передвигаемая фигура движется, как твердое тело: расстояния между ее точками не изменяются.

Таким образом, элементарную (метрическую) геометрию можно характеризовать как геометрию твердых тел. Не подлежит сомнению, что геометрия возникла именно из измерений, производившихся над твердыми телами. Это положение знаменитый французский математик Пуанкарэ выразил в изречении: «Если бы в природе не было твердых тел, то не было бы и геометрии».

Могло бы показаться, что если отказаться от измерений длин, углов, площадей и объемов, то в геометрии почти нечем будет заниматься. Разве что останутся такие мало интересные теоремы, как, например: две прямые, параллельные одной и той же третьей, параллельны между собой. Однако геометры уже давно заметили, что это не так. С углублением в изучение различных свойств геометрических фигур удалось выяснить, что существует обширная область таких геометрических фактов, которые, являясь далеко не тривиальными, вместе с тем совершенно не связаны с понятиями о длинах и т.п.

Оказалось, что многие свойства плоских геометрических фигур сохраняются при проектировании их из какой-нибудь точки с одной плоскости на другую. При таком проектировании отношения длин, углов и площадей изменяются, но прямые остаются прямыми.

Такие свойства фигур, которые сохраняются при их проектировании и даже при любых преобразованиях, оставляющих прямые линии прямыми, называются проективными в отличие от метрических свойств, связанных с измерением длин и т.п. После того, как в начале прошлого столетия французский геометр Понселе изучил ряд проективных свойств фигур и привел в систему ранее известное, круг вопросов, связанных

с проективными свойствами фигур, выделился в особую геометрическую дисциплину — проективную геометрию.

Проективные свойства лежат в природе геометрических фигур глубже, чем свойства метрические, недаром геометры достигли их понимания значительно позже. Но эти свойства вместе с тем являются более общими и более прочно связанными с фигурами, так как они сохраняются не только при движениях, но и при более общих преобразованиях фигур.

Но движение математической мысли вглубь природы геометрических образов не остановилось на этом.

Было замечено, что в целом ряде математических проблем, связанных с геометрией, играют роль еще более глубокие свойства геометрических фигур, связанные с ними еще прочнее. Это такие свойства, в которых не только нет речи об измерении длин и углов, но которые сохраняются при любых искажениях фигур, при том лишь условии, что эти искажения не приводят к разрыву или склеиванию отдельных частей фигуры. Такого рода свойства геометрических фигур называются топологическими, а наука, занимающаяся их изучением, и есть топология.

2. Точное определение предмета топологии

Пусть мы имеем две геометрические фигуры (неважно — на плоскости или в пространстве). Обозначим эти фигуры F1 и F2. Допустим, что тем или иным способом мы сопоставляем каждой точке фигуры F1 точку фигуры F2, и притом так, что каждая точка фигуры F2 оказывается сопоставленной с какой-нибудь точкой фигуры F1. Такое сопоставление точек фигуры F1 точкам фигуры F2 называется однозначным отображением фигуры F1 на фигуру F2. Однозначным потому, что каждой точке фигуры F1 сопоставляется только одна точка фигуры F2. Возьмем, например, окружность F1 и отрезок F2, равный ее диаметру (рис. 1). Спроектируем окружность на этот отрезок. Каждой точке окружности соответствует одна точка отрезка. Таким образом, получается однозначное отображение окружности F1 на отрезок F2. Здесь, однако, каждой точке отрезка, кроме его концов, соответствуют две точки на окружности. Например, точке А соответствуют В и С.

Рис. 1

Если при отображении фигуры F1 на F2 это обстоятельство не имеет места, т.е. если не только каждой точке фигуры F1 соответствует только одна точка F2, но и обратно — каждой точке фи-

гуры F2 соответствует только одна точка фигуры F1, то говорят, что отображение фигуры F1 на F2 взаимно однозначное.

Условие взаимной однозначности можно выразить и так: отображение F1 на F2 взаимно однозначно, если каждой точке F1 соответствует только одна точка F2 и разным точкам соответствуют разные*.

Если мы отрежем от окружности на рис. 1 верхнюю половину, то наше проектирование даст уже взаимно однозначное отображение нижней полуокружности на отрезок.

На отображение можно смотреть не только как на сопоставление точек одной фигуры точкам другой. Можно мысленно или на самом деле перевести точки одной фигуры в точки другой, превратив тем самым одну фигуру в другую. Такой перевод точек фигуры F1 в точки фигуры F2 называют преобразованием F1 в F2. Можно, например, сдавить окружность и превратить ее в изображенный на рис. 1 отрезок EF.

Вообще говорят, что фигура F1 преобразуется, если ее точки принимают какие-то новые положения. Если при этом разные точки принимают разные положения, т.е. если не происходит «склеиваний» разных точек или целых частей фигуры, то преобразование будет взаимно однозначным: например, преобразование окружности в отрезок не взаимно однозначное, а преобразование полуокружности в отрезок взаимно однозначное.

Преобразование фигуры F1 в фигуру F2 называется непрерывным, если бесконечно близким точкам фигуры F1 соответствуют бесконечно близкие точки фигуры F2. Иными словами, если при таком преобразовании не происходит «разрывов» в фигуре F1. Например, преобразование окружности в отрезок путем сдавливания является непрерывным.

Точный смысл данного определения непрерывности преобразования состоит в следующем. Назовем окрестностью точки А фигуры F ту часть фигуры F, которая состоит из точек, удаленных от А не более чем на некоторое заданное расстояние. На плоскости окрестностью точки будет описанный вокруг нее кружок. На окружности окрестностью точки будет дуга, между концами которой лежит заданная точка.

Пусть фигура F1 преобразуется в фигуру F2. Пусть А1— произвольная точка фигуры F1, а А2— соответствующая ей точка фигуры F2. Если для каждой сколь угодно малой окрестности точки А2 найдется достаточно малая окрестность точки А1, такая, что все ее точки переходят при преобразовании в точки, принадлежащие первой окрестности, то преобразование называется непрерывным.

* Если разным точкам фигуры F1 соответствуют разные точки фигуры F2, то значит каждой точке А2 фигуры F2 соответствует только одна точка А1 фигуры F1.

Если бы ей соответствовала еще точка В1, то значит — разным точкам В1 и А1 фигуры F1 соответствовала бы одна точка А2 фигуры F2. А это противоречит условию.

Рис. 2

Возьмите листок бумаги, назовите его F1, разорвите его, и обе половинки назовите F2. Точки листа примут новые положения. Значит, вы подвергли листок бумаги преобразованию в два листа бумаги F2 (рис. 2). Это преобразование не непрерывное. Для того чтобы убедиться в этом, отметим на линии разрыва точку А1. После разрывания она окажется лежащей на одной из половинок F2; это будет точка А2. Возьмем (около точки А2) окрестность такую, чтобы в нее не попадали точки другой половины листа бумаги. Теперь какую бы малую окрестность точки А1 на целом листе F1 мы ни взяли, половина ее при разрывании попадет на другую половину листа бумаги. Значит, никакая окрестность точки А1 не обладает таким свойством, что ее точки переходят при нашем преобразовании (разрывании) в точки, принадлежащие окрестности А2. Значит, наше преобразование не непрерывное.

Рассмотрим теперь обратное преобразование, состоящее в склеивании двух половинок листа бумаги F2 в один целый лист F1. Это преобразование уже будет непрерывным. Если точка не лежит на линии склеивания, то ее окрестность будет той же, что и на целом листе. Если же точка лежит на линии склеивания, то ее окрестность на половинке листа перейдет в половину окрестности соответствующей точки на целом листе.

На этом примере мы видим, что преобразование F2 в F1 может быть непрерывным, а преобразование F1 в F2 не непрерывным. Если же как преобразование F1 в F2, так и преобразование F2 в F1 непрерывно, то такое преобразование называется взаимно непрерывным. Преобразование, являющееся одновременно взаимно однозначным и взаимно непрерывным, называется топологическим.

Две фигуры, получающиеся одна из другой путем топологического преобразования, называются гомеоморфными.

Какое-нибудь свойство геометрической фигуры называется топологическим, если оно сохраняется при произвольных топологических преобразованиях этой фигуры.

Топология занимается изучением топологических свойств фигур. Можно было бы сказать, что топология — это наука о топологических свойствах геометрических фигур и об их топологических преобразованиях. Но не вдаваясь в подробности, придется заметить, что это определение будет полным только при условии, если значительно расширить простое наглядное представление о геометрической фигуре. Мы пока оставим

этот вопрос в стороне и ограничимся рассмотрением таких геометрических фигур, которые доступны наглядному представлению. Под геометрической фигурой вообще можно пока понимать произвольное геометрическое место, или, как говорят математики, множество точек на плоскости или в нашем обычном трехмерном пространстве. Но и такое понятие является слишком общим для нас и неопределенным. Мы собственно будем заниматься фигурами, которые можно составить из конечного, а иногда и из бесконечного числа топологически преобразованных прямолинейных отрезков, или многоугольных кусков плоскости. Окружность или любой овал можно получить, согнув два прямолинейных отрезка и соединив их концами друг с другом. Круг можно получить из многоугольного куска плоскости, растянув его у краев так, чтобы его стороны закруглились, углы исчезли. Поверхность шара можно получить из двух кругов, если, изогнув каждый из них в виде полушария, склеить их друг с другом краями.

В топологии, однако, безразлично — идет ли дело о прямолинейном отрезке или о кривой, получающейся в результате его топологического преобразования. Под отрезком мы будем поэтому понимать любой такой криволинейный отрезок. Точно так же под многоугольником можно понимать многоугольник с криволинейными сторонами, получающийся в результате топологического преобразования многоугольника с прямолинейными сторонами. Когда речь будет идти о поверхности шара, то вместо нее можно взять любую поверхность, гомеоморфную шару.

Таким образом, круг фигур, которыми занимается топология, в высшей степени обширен, а теоремы, доказываемые в топологии о геометрических фигурах, обладают большой общностью, потому что они относятся не только к фигурам, построенным по правилам, употребляемым в элементарной геометрии, но к любым фигурам, получающимся в результате их топологических преобразований. Приведем пример доказательства гомеоморфности двух фигур. Выпуклым называют тело, обладающее тем свойством, что всякий прямолинейный отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит в этом теле. Примерами выпуклых тел могут служить шар, эллипсоид, тетраэдр, куб. Замкнутой выпуклой поверхностью называют поверхность выпуклого тела. Докажем, что всякая замкнутая выпуклая поверхность гомеоморфна поверхности шара. Тем самым будет показано, что всякое топологическое свойство шаровой поверхности принадлежит вместе с тем любой замкнутой выпуклой поверхности. Прежде всего докажем, что если внутри выпуклого тела взять произвольную точку О, то всякий луч, проведенный из нее, пересечет поверхность F этого тела только в одной точке. Так как точка О лежит внутри тела, то вокруг нее можно описать такой маленький шарик С,

Рис. 3

что он будет сам лежать целиком внутри тела (рис. 3). Проведем из О какой-нибудь луч. Он мог бы пересечь поверхность F во многих точках или даже местами скользить по поверхности F*. Из всех точек поверхности F, лежащих на луче, мы возьмем самую далекую от О. Пусть это будет точка А. Соединив теперь точку А с точками шарика С, получим конус с вершиной А. Каждый отрезок, входящий в этот конус, принадлежит телу, так как он соединяет две точки тела: точку А с точкой, лежащей в шарике С. Следовательно, весь конус лежит в теле. А так как отрезок ОА лежит внутри этого конуса, то он лежит и внутри нашего выпуклого тела. Таким образом, точка А единственная, в которой луч пересекает поверхность.

Итак, каждый луч, проведенный из О, пересекает F в одной точке. Вместе с тем он пересекает поверхность шарика С тоже только в одной точке. Поэтому если мы сопоставим те точки, которые лежат на одном и том же луче, то получим взаимно однозначное соответствие между точками поверхности F и шарика С. Если перевести точки F в соответствующие точки на С, то получим взаимно однозначное преобразование поверхности F в поверхность шара С.

Это преобразование будет вместе с тем взаимно непрерывным. Для доказательства опишем вокруг прямой ОВВ′, как оси, узкий круговой конус (В и В′ соответственные точки С и поверхности F). Он вырезает на поверхности шара и на F по маленькой окрестности точек В и В′. При преобразовании эти окрестности совпадут. Значит, малая окрестность точки В′ на F перейдет при преобразовании в малую окрестность точки В на С (как бы мала эта последняя окрестность ни была). Вместе с тем как бы ни была мала окрестность точки В′ на F, она при преобразовании покроет некоторую окрестность точки В на С (ту самую, которая вырезается нашим конусом). Это значит, что наше преобразование взаимно непрерывно. Следовательно, мы не только доказали, что любая замкнутая выпуклая поверхность гомеоморфна поверхности шара, но указали вместе с тем топологическое преобразование, переводящее одну из них в другую.

* На чертеже проведенный луч встречает поверхность только в одной точке. Доказательство показывает, что если F выпуклая, то иначе не может быть. Однако, пока доказательство не проведено, мы не можем сказать, что будет именно так, а не иначе. A priori луч может пересекать F во многих точках и даже скользить по F. Вместе с тем, если бы мы изобразили такое положение на чертеже, то F пришлось бы взять не выпуклой.

3. Эйлер. Сети кривых

Первые топологические вопросы восходят к Эйлеру*. В 1736 г. он занимался решением «задачи о кенигсбергских мостах». В городе Кенигсберге было 7 мостов, соединяющих берега и острова на реке Прегель (рис. 4). Спрашивается, можно ли, гуляя по городу, пройти все эти 7 мостов, но каждый из них только по одному разу? Эйлер доказал, что это невозможно. Задача эта топологическая, ибо ни форма берегов реки, ни форма мостов, ни длина и сам путь не играют здесь никакой роли. Важно только то, как мосты соединяют берега с островами, и то, что путь прогулки непрерывен (переправляться через реку помимо моста не разрешается). Таким образом, если подвергнуть рис. 4 произвольному топологическому преобразованию, то условия задачи не изменяются.

С аналогичной топологической задачей читатель постоянно встречается: нарисовать данную фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя более одного раза одной и той же линии.

Задача о кенигсбергских мостах может быть сведена к этой задаче. Действительно, взяв на берегах и на острове по точке А, В, С и соединив их линиями, проходящими через мосты, убеждаемся в том, что прохождение мостов равносильно прохождению этих линий (рис. 4а).

Выбор точек А, В, С произволен, так как произвольные изменения пути на берегах и на острове не влияют на прохождение мостов.

Мы докажем невозможность пройти по всем мостам, проходя каждый по одному разу, если докажем невозможность нарисовать фигуру по рис. 4а одним росчерком, не прочерчивая ни одной линии более одного раза. Для этого мы решим общий вопрос о прочерчивании любой фигуры одним росчерком. Пусть дана некоторая фигура, состоящая из сети линий (например, на рис. 4а), соединяющих данные точки, которые мы назовем узлами. При этом предполагается, что любой узел соединен с любым

Рис. 4 Рис. 4a

* Леонард Эйлер (Euler) — знаменитый математик (1707–1783). Работал в Петербурге, где и умер.

другим некоторой цепью линий, которые могут проходить также через другие узлы. Назовем узел четным, если в нем сходится четное число линий, и нечетным, если число сходящихся в нем линий нечетное.

Докажем теорему:

ТЕОРЕМА

Если в сети линий все узлы четные, то ее можно прочертить одним росчерком, не зачерчивая ни одной линии более одного раза.

Если же есть нечетные узлы, то число таких узлов всегда четное, и наименьшее число росчерков, необходимых для зачерчивания фигуры, равно половине числа нечетных узлов (на рис. 4а все 4 узла нечетные, а потому для ее зачерчивания необходимо не менее двух росчерков).

Пусть в фигуре нет нечетных узлов. Начнем зачерчивать ее, отправляясь от какого-нибудь узла А. Проходя через любой узел S, мы зачерчиваем две линии: подходящую к S и выходящую из S. Следовательно, каждый раз число непрочерченных линий уменьшается на 2. Потому мы не сможем продолжать зачерчивание только тогда, когда вернемся в исходный узел А, и из него уже не будет исходить непрочерченных линий. Если при этом осталась какая-нибудь непрочерченная линия, исходящая из какого-нибудь узла В, лежащего на уже прочерченном пути, то мы могли бы изменить наш путь: дойдя до узла В, идти по непрочерченным линиям и, вернувшись в В, идти дальше до А. Отсюда видно, что можно так выбрать путь, чтобы вовсе не осталось незачерченных линий. Следовательно, отправляясь из любого узла А, можно одним росчерком зачертить всю фигуру.

Допустим теперь, что в фигуре есть нечетные узлы. Назовем «минимальной системой росчерков» такую совокупность росчерков, зачерчивающих данную фигуру, в которой число необходимых росчерков минимальное. Сколько таких минимальных систем может быть, мы не знаем, но очевидно, что хотя бы одна такая минимальная система существует. Представим себе такую минимальную систему росчерков.

В минимальной системе росчерков не может быть росчерков, имеющих общий конец (или начало; начало и конец росчерка играют одинаковую роль, так как, очевидно, всякий росчерк можно произвести в двух противоположных направлениях: от начала к концу и от «конца» к «началу»).Иначе можно было бы соединить два таких росчерка в один (дойдя до конца одного, пойти по другому), и наша система росчерков не была бы минимальной. Поэтому всякий узел может служить концом только одного росчерка (в минимальной системе росчерков). Вместе с тем, проходя через любой узел, мы зачеркиваем две сходящиеся в нем линии. Поэтому, если в четном узле имеется конец одного росчерка, то в нем должен быть конец другого росчерка. Следовательно, четные узлы вообще не могут

быть концами росчерков. Итак, концы росчерков имеются только в нечетных узлах и, как мы показали, в каждом узле только по одному концу. Вместе с тем не может быть, чтобы нечетный узел не был концом какого-нибудь росчерка. Действительно, проходя через узел один раз, мы зачерчиваем две сходящиеся в нем линии, а проходя через узел несколько раз, зачертим четное число таких линий. Поэтому нельзя прочертить все линии, сходящиеся в нечетном узле, не прочерчивая ни одной из них дважды и всякий раз проходя через узел. Следовательно, верно, что всякий нечетный узел является концом какого-нибудь росчерка.

Итак, мы показали, что в минимальной системе росчерков концы росчерков имеются только в нечетных узлах и в каждом узле по одному концу росчерка. Это значит, что в минимальной системе росчерков число концов росчерков равно числу нечетных узлов. Но каждый росчерк имеет два конца. Поэтому число нечетных узлов в два раза больше числа росчерков. Иными словами, число нечетных узлов четное, и минимальное число росчерков, необходимое для зачерчивания фигуры, равно половине числа нечетных узлов, что и требовалось доказать.

Эйлер решал и другие топологические задачи, однако все они скорее любопытны, чем важны. Но в 1752 г. он доказал теорему, которая затем была обобщена другими математиками и вместе с тем оказалась в высшей степени полезной при решении целого ряда задач. Эта теорема будет стоять в центре нашего внимания. В несколько расширенной форме она состоит в следующем.

Пусть на поверхности шара нарисована сеть из m отрезков, не имеющих общих точек, кроме концов. Концы отрезков мы будем называть узлами сети. Если несколько отрезков имеют общий конец, то он считается за один узел. Пусть в сети имеется k узлов. Сеть отрезков разбивает поверхность шара на несколько областей — таких, что из одной области в другую нельзя перейти, не пересекая отрезков сети. Пусть этих областей имеется всего n. Если сеть такова, что из любого узла сети можно попасть в другой, идя только по отрезкам сети, то число областей плюс число узлов равно числу отрезков плюс 2:

n + k = m + 2.

Нарисуйте шар и на нем любую сеть отрезков так, чтобы она не распадалась на несколько сетей, а чтобы из одного узла в другой можно было пройти по отрезкам сети, и проверьте эту теорему. Мы показали выше, что любая замкнутая выпуклая поверхность гомеоморфна поверхности шара. Поэтому только что сформулированная теорема Эйлера, поскольку ею устанавливается чисто топологический факт, может быть перенесена на любые замкнутые выпуклые поверхности, в частности на выпуклые

многогранники. На всяком выпуклом многограннике ребра его образуют как раз такую сеть отрезков, какая требуется теоремой. Узлами здесь будут вершины, а областями — грани. Поэтому у всякого выпуклого многогранника число граней плюс число вершин равно числу ребер плюс два.

Приведем таблицу, иллюстрирующую этот факт.

Название многогранника Число граней n Число ребер m Число вершин k n – m + k

Куб 6 12 8 2

Октаэдр 8 12 6 2

Тетраэдр 4 6 4 2

Пирамиды, с р-угольником в основании р+ 1 2р р+ 1 2

Призма, с р-угольником в основании р+ 2 2р 2р 2

Бипирамида, составленная из двух пирамид с р-угольными основаниями 2р 3р р+ 2 2

4. Листинг. Узлы

Первая попытка систематического исследования некоторых топологических задач была сделана в 1847 г. математиком Листингом. Как он сам указал, его работа возникла под влиянием Гаусса из «анализа отдельных, сюда относящихся случаев, даваемых естественными науками и их приложениями»*. Самый термин «топология» был предложен Листингом. Он писал: «Под топологией мы будем понимать учение о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин». Хотя это определение кажется теперь слишком расплывчатым, тем не менее легко видеть, что оно по существу совпадает с тем, которое было дано выше, ибо «связность, взаимное положение и следование независимо от отношений мер и величин» сохраняются при топологических преобразованиях.

Среди задач, занимавших Листинга, особенно заслуживает внимания «проблема узлов», которая, несмотря на простоту своей формулировки

* Листинг. Предварительные исследования по топологии.

Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

и давнее происхождение (как видим, она была поставлена уже почти 100 лет назад), до сих пор не получила полного решения.

Узлом в топологии называют замкнутую пространственную кривую, гомеоморфную окружности, но не могущую быть превращенной в окружность путем непрерывной деформации без разрезываний и склеиваний. Простейший пример узла дан на рис. 5. Возьмите нитку, завяжите ее узлом и скрепите ее концы. Получится замкнутая кривая. Она гомеоморфна окружности. Действительно, если бы мы не завязали ее, а только скрепили концы, то получили бы замкнутую нить, которую можно растянуть в окружность. У этой окружности были бы все те же различные точки, что и у узла. Значит, соответствие здесь взаимно однозначное. Оно также взаимно непрерывное, потому что у точек, не являвшихся концами нити, окрестности вообще не менялись, а при скреплении концов в обоих случаях, как на узле, так и на окружности, окрестность точки, где произведено скрепление, одинаково составляется из окрестностей концов первоначальной нити. Отношение следования, соседства, связности точек узла и окружности одно и то же. Словом, они гомеоморфны. Тем не менее их нельзя превратить друг в друга, не прибегая к разрезываниям и склеиваниям. Кривая, изображенная на рис. 6, не является узлом, а только перекрученной окружностью, так как ее можно непрерывно, без разрезываний и склеиваний, деформировать в окружность.

Узлы можно завязывать бесконечным числом способов. На рис. 5, 7, 8 вы видите несколько примеров. Узлы считаются различными, если один нельзя превратить в другой, не прибегая к разрезываниям и склеиваниям, или, если угодно, к развязыванию и завязыванию.

Возникает задача: даны два узла; узнать — различны они в этом смысле или одинаковы.

Ставится и такая задача, «проблема классификации узлов»: указать правило, по которому можно было бы последовательно находить все более и более сложные узлы, не пропуская ни одного из них и не встречая од-

ного и того же узла более одного раза. При этом, повторяем, различными считаются только такие узлы, которые нельзя превратить друг в друга без разрезываний и склеиваний.

Пример проблемы узлов очень поучителен в следующем отношении. Мы видим, что могут существовать гомеоморфные фигуры, которые тем не менее нельзя превратить друг в друга путем непрерывной последовательности топологических преобразований. Такие фигуры различаются не их внутренними свойствами (порядок, связность, соседство их частей одни и те же), а расположением в пространстве*. Например, фигуры на рис. 9 нельзя превратить одна в другую путем деформации в плоскости, но в пространстве это возможно. Точно так же два зацепленных друг за друга кольца нельзя разъединить, хотя они и гомеоморфны двум разделенным кольцам (рис. 10). Из этих примеров мы видим, что топологическое преобразование, переводящее одну фигуру в другую, ей гомеоморфную, не обязательно должно производиться в виде непрерывной деформации. Можно фигуру разрезать на куски и эти куски потом склеивать. Важно только, чтобы после всего этого различные точки остались различными (взаимная однозначность) и бесконечно близкие точки остались бесконечно близкими (взаимная непрерывность; точнее, следовало бы говорить о сколь угодно малых окрестностях). Вообще в понятии преобразования играет роль только начальная фигура и конечный результат, но не являются существенными те конкретные операции, посредством которых этот результат достигается.

Превращая окружность в данный узел, ее можно разрезать в разных местах, деформировать и двигать отдельные части и затем склеивать их. Нужно только следить за тем, чтобы после всего этого разные точки остались разными, близкие — близкими, но неважно, где и как вы резали окружность, как деформировали и двигали ее отдельные части, лишь бы в результате получился данный узел, а не какой-нибудь другой.

Именно потому, что в понятие преобразования не входят конкретные операции, посредством которых оно производится, и не входят промежу-

Рис. 9 Рис. 10

* Узлы можно «развязывать», не разрезая в четырехмерном пространстве.

точные стадии его, именно поэтому мы особо оговариваем, что узел не может быть превращен в окружность посредством непрерывной последовательности топологических преобразований, т. е. так, чтобы при всех промежуточных стадиях соответствие с исходной кривой было взаимно однозначным и непрерывным.

5. Элементарные поверхности

Основная проблема топологии состоит в том, чтобы уметь для двух данных фигур решить, гомеоморфны они или нет, и вместе с тем, когда возможно, перечислить все негомеоморфные, значит, топологически различные типы фигур. Эта задача в общей ее постановке слишком трудна, и топологи еще очень далеки от ее решения в не слишком простых случаях. Однако много важного и интересного уже сделано в этом направлении. Мы приведем здесь пример решения этой основной проблемы топологии для замкнутых поверхностей, но не в самом общем виде. Речь будет идти об элементарных замкнутых поверхностях; это значит о таких, которые можно осуществить в нашем пространстве посредством склеивания конечного числа многоугольных кусков плоскости. На рис. 11, 12, 13 даны примеры таких поверхностей. Это поверхности шара, кольца (тора), «кренделя».

Легко усмотреть, что поверхность тора гомеоморфна поверхности (на рис. 12б) шара с одной ручкой. Поверхность кренделя гомеоморфна поверхности шара с двумя ручками (рис. 13б). Вырезая в поверхности шара пары дырок и приклеивая к краям этих дыр ручки, мы будем получать все новые и новые поверхности. Число ручек называется родом поверхности и обозначается р. Для шара р = 0, для тора р = 1, для кренделя р = 2.

Можно доказать, во-первых, что все эти поверхности топологически различны, т. е. ни одну из них нельзя превратить в другую путем топологического преобразования, что, впрочем, представляется в высшей

Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13

степени очевидным. Во-вторых, можно доказать, что любая замкнутая поверхность, которую, как мы сказали, можно склеить из конечного числа изогнутых многоугольных кусков плоскости, обязательно гомеоморфна одной из таких поверхностей.

Как получить поверхность шара из двух многоугольных кусков плоскости, мы уже говорили: каждый из них следует согнуть в виде полушария и склеить друг с другом краями. Ясно также, что и шар с дырками можно получить аналогичным способом. Что касается ручки, то ее легко получить из прямоугольника, согнув его в трубку и склеив пару противоположных сторон так, как показано на рис. 14. Таким образом, поверхность с любым числом ручек можно будет склеить из конечного числа изогнутых кусков плоскости.

Топологическое различие поверхности шара от любой другой из приведенных здесь поверхностей состоит в том, что любая замкнутая кривая, не пересекающая сама себя (гомеоморфная окружности), разбивает шар на две области, в то время как на всякой другой поверхности есть такие же кривые, не разбивающие эту поверхность. Примером такой кривой может служить окружность, охватывающая ручку.

То, что всякая кривая, гомеоморфная окружности, разбивает шаровую поверхность или плоскость на две части, представляется в высшей степени очевидным. Однако в понятие о такой кривой вовсе не входит это ее свойство. Это тем более ясно, что на других поверхностях она может не ограничивать никакой области. Поэтому не должно казаться странным, что в 1893 г. французский математик Жордан строго доказал теорему:

ТЕОРЕМА

Всякая плоская кривая, гомеоморфная окружности, всегда разбивает плоскость на две и только две области.

Эта теорема относится также к поверхности шара. Она поучительна в том отношении, что показывает, сколь строго относятся математики

Рис. 14 Рис. 15

к тем понятиям, с которыми они оперируют, и сколь мало они доверяются «полной очевидности». Если не держаться этого правила, то можно было бы доказать много «очевидных», но неверных теорем. Например, для человека неискушенного может быть ясно, что всякая поверхность имеет две стороны: закрасив одну ее сторону, можно оставить другую незакрашенной. Однако возьмите полоску бумаги, перекрутите ее на 180° и соедините концы. Получится поверхность, называемая листом Мебиуса (рис. 15). Она имеет только одну сторону. Муха, ползущая вокруг нее, не пересекая края, вернется к прежнему месту, но с противоположной стороны. Край листа Мебиуса состоит только из одной кривой. Отправляясь от любой точки края, вы можете обойти все его точки, не покидая его.

Проведем на листе Мебиуса среднюю линию (она показана на рисунке). Эта линия имеет только одну сторону, а не две, как, например, окружность на плоскости. Идя вдоль нее, отправляясь из точки А, можно, нигде ее не пересекая, попасть в точку В, лежащую напротив точки А. Поэтому если разрезать лист Мебиуса по средней линии, то он не распадется на два куска, а превратится в замкнутую ленту, перекрученную на 360° и имеющую уже две стороны. Если эту ленту снова разрезать по средней линии, то получатся две зацепленные друг за друга ленты.

Рекомендуем читателю склеить из полоски бумаги лист Мебиуса и убедиться на опыте в правильности наших утверждений. Напоминаем, что полоску бумаги следует перекрутить на 180°, т. е. так, чтобы при склеивании совпали углы, лежащие крест-накрест.

6. О неподвижных точках

Задача о рассмотрении топологически различных замкнутых поверхностей, которой мы коснулись в предыдущем пункте, была решена впервые математиком Риманом в середине прошлого столетия. Решение это, однако, было строго обосновано только в более позднее время. Полезно тут же отметить, что Риман пришел к указанной задаче, отправляясь от вопросов совсем другой отрасли математики.

Однако, несмотря на работы Эйлера, Листинга, Римана и других математиков, топология до конца прошлого столетия находилась по существу в зачаточном состоянии. Отдельные, разрозненно поставленные задачи и уже доказанные теоремы сами по себе не представляли еще стройной системы, пронизанной едиными идеями и методами, и заслуживающей поэтому названия науки. Первый, кто ввел в топологию общие методы и понятия, послужившие основой для большинства дальнейших

топологических исследований, был Пуанкаре*. Поэтому он в большей мере, чем кто бы то ни было другой, заслуживает звания творца современной топологии. Его топологические исследования начались в восьмидесятых годах прошлого столетия. Мы не можем говорить здесь об общих понятиях и методах, введенных в топологию Пуанкаре. Даже в той части, где они не требуют больших специальных знаний, понимание их довольно трудно. Сейчас остановимся на одном из конкретных результатов, полученных Пуанкаре.

Представьте себе плоский кусок резины, скажем, кусок футбольной камеры. Он может быть произвольной формы с тем лишь условием, что в нем не должно быть дырок. С точки зрения топологии это означает, что он должен быть гомеоморфным кругу.

Положим наш кусок резины на стол и обведем карандашом его контур с тем, чтобы не забыть, какую точно область на столе он покрывал. Теперь возьмем этот кусок резины, сомнем его как угодно, растянем, сложим и склеим в несколько раз, следя, однако, за тем, чтобы он не разорвался. После этого положим его на прежнее место и придавим к столу так, чтобы он стал плоским. При этом не будем позволять ему принять старую форму, но позаботимся только о том, чтобы он не выходил из пределов контура, указывающего его прежнее положение.

Оказывается, что в результате хотя бы одна точка нашего куска резины попадет в точности на прежнее место, независимо от того, как бы мы ни мяли резину, лишь бы только не резать ее и придавить, не выходя за пределы того места, где она раньше лежала. Как ни изменили бы форму резины, в результате хотя бы одна точка попадет в точности на свое старое место, т.е. останется неподвижной. Этот замечательный факт, строго математически доказанный Пуанкаре, не имеет ничего общего с механическими свойствами резины, он имеет чисто топологическую причину. Будем говорить, что фигура претерпевает непрерывное преобразование в себя, если, во-первых, в результате преобразования она не выходит из тех пределов, какие она раньше занимала, т.е. каждая ее точка попадает на место какой-нибудь другой ее точки (или остается на прежнем месте), и если, во-вторых, бесконечно близкие точки фигуры остаются бесконечно близкими, т. е. для сколь угодно малой окрестности всякой точки в новом положении найдется такая маленькая окрестность той же точки в прежнем положении, что эта последняя окрестность после

* Анри Пуанкаре (Henri Poincare), француз (1854–1912), был одним из крупнейших математиков. Помимо топологических исследований, ему принадлежит целый ряд важных работ во многих других областях математики и ее приложении в механике, астрономии и физике.

преобразования целиком окажется лежащей в первой окрестности. Преобразование это может не быть взаимно однозначным: разные точки могут попадать в одно и то же место (резину можно складывать и склеивать).

Будем еще говорить, что при преобразовании точка фигуры является неподвижной, если она в результате этого преобразования остается на прежнем месте.

Введя эти термины, мы можем формулировать поясненную на примере с куском резины «теорему о неподвижной точке»:

ТЕОРЕМА

При всяком непрерывном преобразовании в себя любой фигуры, гомеоморфной кругу, существует хотя бы одна неподвижная точка*.

Попробуйте проверить это на примерах. То требование, что фигура гомеоморфна кругу, т. е. в ней нет дыр, существенно, так как если взять круглое плоское кольцо, то поворот его вокруг центра, скажем, на 90° будет непрерывным его отображением в себя, но при этом ни одна точка кольца не останется неподвижной.

В пространстве имеет место такая теорема:

ТЕОРЕМА

При всяком непрерывном преобразовании в себя любого тела, гомеоморфного шару, существует хотя бы одна неподвижная точка.

Если взять кусок резины без дыр (например, резинку для стирания карандаша) и произвольно смять его так, чтобы он не выходил из своих прежних границ, то в результате хоть одна его точка окажется на прежнем месте.

Рассмотрим еще непрерывные преобразования в себя поверхности шара. Если отразить поверхность шара в центре, т.е. если поставить всякую ее точку на место диаметрально противоположной, то получим непрерывное преобразование ее в себя. Непрерывность этого преобразования следует из того, что любая окрестность любой точки перейдет при этом в такую же окрестность точки, диаметрально противоположной. Как ясно из самого определения этого преобразования, оно не оставляет на месте ни одной точки поверхности шара. Оно обладает, однако, тем свойством, что его нельзя осуществить путем непрерывной деформации. Если же мы ограничимся такими непрерывными преобразованиями поверхности шара в себя, которые можно осуществить, непрерывно ее

* Доказательство этой теоремы, принадлежащее Пуанкаре, см. в книге Гильберта и Кон-Фоссена, стр. 23.

деформируя, то оказывается при любом таком преобразовании должна существовать хотя бы одна неподвижная точка. Это относится не только к поверхности шара, но и к любой другой, ей гомеоморфной, например, к выпуклой замкнутой поверхности.

Вообразите себе какое-нибудь выпуклое тело, скажем, яйцо, с натянутой на его поверхности замкнутой резиновой пленкой. Как бы вы ни двигали и ни деформировали эту пленку, не отрывая ее от поверхности тела, в результате всегда хотя бы одна точка ее окажется на прежнем месте.

Приведенные здесь теоремы о неподвижных точках, как мы говорили, берут свое начало от Пуанкаре. Они были затем широко обобщены в работах многих топологов. Значение их далеко выходит за пределы топологии. Они служат мощным методом доказательств теорем в других отделах математики, математической физики и механики, которые при поверхностном рассмотрении кажутся не имеющими ничего общего с топологией.

7. Заключение

Оглядываясь на приведенные примеры топологических задач и теорем, можно видеть, что в них действительно отсутствует измерение. Если нам и приходилось прибегать к числам, то речь шла о числе областей, на которые разбивают сеть кривых поверхность шара, о числе «ручек» у поверхности или о числе неподвижных точек. Эти числа вовсе не выражают результаты сравнения качественно одинаковых величин, в чем как раз и состоит измерение. Топологию можно поэтому характеризовать как науку о качественных свойствах геометрических фигур. Числа, которые в ней встречаются, выражают по существу опять-таки качественные различия, характеризуя взаимное положение и связь частей фигуры, как, например, число «ручек» у поверхности. Формулы и вычисления, с которыми имеют дело топологи, относятся в большинстве случаев к малым числам, и в них фигурируют только простые арифметические действия.

Качественные топологические свойства, как мы уже отмечали, связаны с геометрическими фигурами прочнее, нежели количественные. Они являются более основными, и многие количественные, метрические свойства фигур непосредственно зависят от их топологических свойств. Вместе с тем топология прочнее связана с наглядными пространственными представлениями, потому что порядок и связь точек, линий, поверхностей и тел являются более первоначальными в наглядном представлении, чем, например, тригонометрические функции углов. Пространственное

представление выступает здесь в своем наиболее чистом виде, очищенное от элементов измерения.

Если бы не существовало твердых тел, то метрическая геометрия не была бы возможна, но топология осталась бы.

Литература

Александров и Ефремович. О простейших понятиях современной топологии. ОНТИ, 1935. (Это совершенно популярная книжка.)

Гильберт и Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. ОНТИ, 1936. Гл. IV. Топология. (Эту прекрасную книгу следует рекомендовать вниманию каждого геометра. Написана она просто.)

Александров и Ефремович. Очерк основных понятий топологии. ОНТИ, 1936. (Первая глава, посвященная топологической классификации поверхностей, элементарна. Чтение III и IV глав требует сведений из теории групп.)

Радемахер и Теплиц. Числа и фигуры. ОНТИ, 1936. (Здесь топологическим вопросам посвящены очерки 2-й, 11-й, 13-й. В этой книжке в совершенно элементарной и вместе с тем изящной форме рассматривается целый ряд интересных математических результатов. Всякий студент или преподаватель математики должен познакомиться с этой книгой.)

Житомирский, Львовский и Милинский. Задачи по высшей геометрии. Ч. 1. ОНТИ, 1935. (Здесь можно найти много интересных топологических задач, формулируемых совершенно наглядно и не требующих для своего решения больших знаний.)

ТУПОСТЬ И ГЕНИЙ

(Квант. 1982. № 11–12)

Всякий, кто занимался математикой — решая задачи, доказывая теоремы или формируя новые концепции, наверное, имел случай не раз поражаться своей тупости. Думал, думал над задачей — не решил, а узнал решение — подумал: какой дурак! как я не сообразил? А то думал, думал — решил и рад, а все же, бывает, подумаешь: тупица! как я раньше не сообразил?

У ученых-математиков бывает: думаешь, думаешь над теоремой, иногда долго, иной раз и не год, и не два, ищешь доказательство и так, и сяк, и с этого конца, и с другого, ан не выходит, а вышло — удивляешься: дурак! как я раньше не сообразил? ведь по сути это совсем просто. О новых концепциях и говорить не приходится: занимаешься какими-нибудь вопросами, а не приходит в голову посмотреть на них с более общей точки зрения или с другой, так сказать, стороны; не формулируются поэтому общие понятия, проясняющие круг вопросов. А потом, если — такое счастье!— сообразил, то удивляешься: как это раньше тебе в голову не пришло? Ну, а если сообразил кто-то другой, то, как ни радуешься успеху науки, зло берет: как это я, тупица, сам не додумался!

Поиски решения нестандартной задачи, как и доказательства теоремы, состоят обычно в том, что приходит в голову одно решение или доказательство — неверное! потом — другое: «гениальная идея!» — неверно!— третья попытка — неверно! еще бросок на задачу — промах… и если задача или теорема трудная, то так может длиться долго.

Помню, предложил я Иосифу Либерману одну теорему доказать — была у меня хорошая гипотеза. Тогда он был студентом — талантливый парень!— и стал бы крупным геометром, если бы не война: он погиб в августе 1941 г., а в июле в форме морского офицера защитил диссертацию.

Так вот, предложил я ему доказать теорему. Встречаемся через некоторое время, он говорит: «Доказал»,— и рассказывает. А я его остановил: «Почему в этом месте Вы так утверждаете?» Обнаружилась ошибка. Иосиф ушел. Опять встречаемся — исправил он ошибку, но дальше опять ошиб-

ки. Так я его почти целый год гонял. Но потом он еще подучил топологию и доказал не только мою теорему, но и более сильную, которую уже сам сформулировал.

Таких историй долгих поисков можно рассказать множество. Вот, например, придумал я в 1937 г. одну теорему, очень хорошую теорему, и доказал ее при некоторых дополнительных предположениях. Естественно, встал вопрос доказать ее без этих предположений. Вопрос стоит до сих пор — сорок пять лет. Очень я старался ее доказать, и другие очень старались, да не вышло.

И так во всех науках. Бьется филолог над расшифровкой и толкованием текста — и так, и сяк… А потом, когда сообразил, тоже, наверное, удивляется вроде нас, математиков: какой дурак! как это я раньше не сообразил? оно ведь очень видно!

Словом, тот, кто думал, вдумывался, искал, тот знает, насколько туп и несообразителен бывает человек. Сообразительностью своей любуются обычно люди, которым не приходилось упорно вдумываться и искать,— легко дается удача тому, кто не ставит перед собой трудных задач, серьезных целей.

И вот я хочу рассказать историю о человеческой тупости и о гении, историю, несравненно более значительную, чем те, о которых я только что говорил. Дело идет об одном из величайших завоеваний человеческого духа, в котором участвовали первоклассные таланты и подлинные гении, без преувеличений. Речь о неевклидовой геометрии, о ее более чем двухтысячелетней истории.

История эта очень интересна и поучительна. С ней связано много такого, что касается не математики самой по себе, а свойств, путей и страстей человеческих. Но прежде чем говорить об истории, надо бы объяснить, что такое геометрия Лобачевского.

Ответ, конечно, всем известен: это геометрия, полученная из геометрии Евклида изменением одной только аксиомы параллельных. У Лобачевского принимается за аксиому, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, параллельные данной (т.е. лежащие с ней в одной плоскости и ее не пересекающие). Утверждения, или, другими словами, теоремы, которые выводятся из измененных таким образом оснований геометрии Евклида, и составляют геометрию Лобачевского. Все это, как мы видим, «очень просто» и говорится коротко и ясно. Трудность, однако, в том, что аксиома Лобачевского не соответствует нашему наглядному представлению. Поэтому и выводы из нее — многие теоремы геометрии Лобачевского — оказываются вовсе странными и невообразимыми. Реальный смысл этой геометрии из данного выше ее простого формального определения совершенно не ясен.

Рис. 1 Рис. 2

Сам Лобачевский называл свою геометрию воображаемой. Он смотрел на нее как на теорию, которая могла бы оказаться приложимой к реальному пространству. Но только «могла бы»— реальных же приложений не было. Поэтому и логическая непротиворечивость этой геометрии оставалась неустановленной. Ведь как ни развивал ее Лобачевский, а могло бы оказаться, что дальше все-таки обнаружится противоречие.

Реальный смысл и логическая непротиворечивость геометрии Лобачевского вытекают из ее простой модели, придуманной немецким математиком Ф. Клейном. Вот эта модель.

За «плоскость» принимается внутренность какого-либо круга (рис. 1),за «точки»— точки этой внутренности, за «прямые»— хорды, конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За «перемещения» принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды — в хорды. Соответственно «конгруэнтными» называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.

Всякая теорема планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида, и, обратно, всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского. Это общее утверждение доказывается проверкой справедливости в модели аксиом геометрии Лобачевского. То, что аксиома параллельных не выполняется в этой модели, видно непосредственно: на рис. 2 через точку С, не лежащую на «прямой» (т.е. на хорде) АВ, проходит бесконечно много «прямых» (хорд), не пересекающих АВ.

Поэтому если в геометрии Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие (вернее, его перевод на «язык в круге») имеется и в геометрии Евклида.

Далее, всякая теорема геометрии Лобачевского описывает в модели Клейна некоторые факты, имеющие место внутри круга. Именно факты, если мы берем не абстрактный круг, а реальный круг и реальные хорды и понимаем теоремы как утверждения об этих реальных вещах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким

образом, геометрия Лобачевского имеет вполне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.

Стало быть, геометрия Лобачевского настолько непротиворечива, насколько непротиворечива геометрия Евклида, и имеет в такой же степени реальный, экспериментально устанавливаемый смысл.

От Евклида до Лобачевского

Сам Евклид (III в. до н.э.) принимал в качестве аксиомы параллельных следующее предложение (у Евклида оно было пятым постулатом): если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых. Мы привели эту формулировку Евклида только затем, чтобы можно было убедиться в ее сложности. Другие постулаты гораздо проще и формулируются гораздо короче, начиная с первого: через всякие две точки можно провести прямую.

Естественно возникали попытки освободиться от сложного пятого постулата, вывести его из других основных посылок геометрии. Я думаю, что сам Евклид предпринимал такие попытки и, во всяком случае, в его время уже были такие попытки. Известно упоминание у арабских авторов не дошедшего до нас сочинения Архимеда (III в. до н.э.) «О параллельных линиях», где, надо полагать, пятый постулат выводился из каких-то более простых посылок.

Попытки доказать пятый постулат продолжались с тех пор в течение двух тысяч лет. Их предпринимало множество ученых. Вот неполный перечень: греки Птолемей (II в., автор известной системы Птолемея)и Прокл (V в.), араб ал-Хайсам (X в.), перс (или таджик) Омар Хайям (XI —начало XII в., широко известный как поэт), азербайджанец ат-Туси (XIII в.), немец X. Клавий (1574 г.; здесь и дальше дата работы), итальянцы П.Л. Катальди (1603 г.), И.А. Борелли (1658 г.) иГ. Жордано-Витале (1680 г.), англичанин Дж. Валлис (1693 г.), итальянец Дж. Саккери (1733 г.), немец И.Г. Ламберт (1766 г.), французы Л. Бертран (1778 г.)иА. М. Лежандр (1794, 1823 гг.), русский С.Е. Гурьев (1798 г.). Все их попытки сводились к тому, что пятый постулат выводился из какого-нибудь другого положения. Причем многие не замечали этого, считая, что доказательство им удалось. Другие, более проницательные и критичные, явно формулировали то положение, из которого выводили пятый постулат, как это сделал, например, Омар Хайям.

Напряжение поисков доказательства с бурным развитием математики в XVII–XVIII вв. возрастало.

Значительные усилия сделал итальянский монах, преподаватель математики и грамматики Джироламо Саккери, труд которого с попыткой доказательства пятого постулата появился в 1733 г.— в год его смерти. Он называется «Евклид, очищенный от всех пятен; или же Геометрическая попытка установить первые начала всей геометрии». Отправляясь от работ своих предшественников, Саккери пытается доказать пятый постулат от противного: приняв предположение, равносильное отрицанию пятого постулата, он выводил из него следствия, стремясь прийти к противоречию. Но так как отрицание пятого постулата есть аксиома Лобачевского, то выводы, которые получал Саккери, были не более и не менее как теоремами геометрии Лобачевского. Иначе говоря, Саккери развивал новую геометрию, не понимая, однако, того, что делает. К противоречию он не пришел, но все же заключил, что ему удалось доказать пятый постулат, хотя, по-видимому, он не был в этом вполне уверен. Он как бы убеждал сам себя, когда писал о гипотезе, равносильной отрицанию пятого постулата, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем».

Из довольно многочисленных (пятьдесят пять) появившихся в XVIII в. сочинений по теории параллельных особенно выделяется написанная в 1766 г. «Теория параллельных» И. Г. Ламберта, немецкого математика, физика и астронома. Ведя доказательство пятого постулата от противного, Ламберт получил из его отрицания много следствий. Он, можно сказать, в значительной мере построил основы геометрии Лобачевского. В его выводах не было противоречия, и он не подумал, что нашел его, как это делали почти все его предшественники. Ламберт даже высказал мысль, что он «почти должен сделать вывод»: опровергаемая им гипотеза «имеет место на какой-то мнимой сфере». Но все же он остался уверен, что геометрия, основанная на отрицании пятого постулата, невозможна. Его работа не давала, однако, доказательства этому убеждению. Поэтому, надо думать, он остался ею недоволен и не опубликовал ее. Она была издана только в 1786 г.— через девять лет после его смерти и через двадцать лет после того, как она была написана. В общем Ламберт очень близко подошел к открытию новой геометрии, но не сделал его.

Вплотную подошли к пониманию возможности неевклидовой геометрии немецкие математики Ф. К. Швейкарт (1818 г.) иФ. А. Тауринус (1825 г.), но ясно выраженной мысли, что намечаемая ими теория будет столь логически законной, как и геометрия Евклида, они все же не высказали.

К. Ф. Гаусс, по его собственному свидетельству, занимался теорией параллельных с 1792 г. и, как видно из его переписки, постепенно приходил к убеждению, что доказательство пятого постулата невозможно. Так, в 1817 г. в письме к Г.В. Ольберсу он писал: «Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка»*. Раз он пишет «прихожу все более», то, значит, еще не пришел окончательно. Далее он продолжает: «Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До тех пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто априори, а скорее с механикой»**. В то время он далеко развил неевклидову геометрию, но только в 1824 г. в письме к Тауринусу он написал определенно, что неевклидова геометрия, в которой «сумма углов треугольника меньше 180°… совершенно последовательна, и я развил ее для себя совершенно удовлетворительно»***. Однако лишь в 1831 г. он взялся за то, чтобы изложить, хотя бы кратко, свои выводы, но за всю жизнь так ничего и не опубликовал по поводу неевклидовой геометрии. В 1829 г. в письме к Ф. В. Бесселю он писал: «Я опасаюсь крика беотийцев, если выскажу мои воззрения»****. Он боялся подорвать свой научный авторитет.

Но когда Гаусс писал все это, уже нашелся человек, который не только совершенно удовлетворительно развил геометрию, отрицающую пятый постулат, и не только понял, что она совершенно последовательна, но, не убоявшись ничьего крика, доложил свои выводы научному собранию. Это был Николай Иванович Лобачевский, который пришел к убеждению о возможности неевклидовой геометрии еще в 1824 г. и представил доклад с изложением ее начал физико-математическому факультету Казанского университета 23 (11) февраля 1826 г.; опубликовал он его в расширенном виде в работе «О началах геометрии» в ряде выпусков «Казанского вестника», научного издания Казанского университета, с февраля 1829 г. по август 1830 г.

В 1835–1838 гг. Лобачевский публикует более развитое изложение своей теории «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», в предисловии к которому пишет: «Напрасное старание со времен Евкли

* Гаусс К. Ф. Отрывки из писем и черновые наброски // Об основаниях геометрии. М., 1956. С. 103.

** Там же.

*** Там же. С. 105.

**** Там же. С. 106. Беотийцы, жители области Древней Греции Беотии, считались особо глупыми.

да в продолжение двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения»*. Для Лобачевского вопрос об истинности той или иной геометрии был, стало быть, вопросом опыта; свою геометрию он рассматривал как возможную теорию свойств реального пространства, т.е. свойств структуры соответствующих отношений материальных тел и явлений.

Почти одновременно с Лобачевским — в 1825 г.— к той же геометрии пришел молодой венгерский математик Янош Бойаи**. Свои выводы Янош Бойаи изложил в 1832 г. в качестве приложения (Аппендикса) к учебнику геометрии своего отца Фаркаша Бойаи. Фаркаш Бойаи послал учебник Гауссу. Тот, одобрительно отозвавшись о результатах Яноша, написал вместе с тем, что все это ему давно известно. Янош Бойаи, понимавший значение своих открытий, решил, что Гаусс просто приписал их себе. Он надолго прекратил свои занятия неевклидовой геометрией. Но Лобачевский продолжал разрабатывать свою геометрию и публиковать работы с ее изложением вплоть до самой смерти.

Нельзя удивляться, что новая геометрия могла казаться невозможной. Посмотрите на рис. 3: ясно, что прямая СМ, если ее достаточно далеко продолжить, обязательно пересечет прямую АВ. Допущение, будто через одну точку проходят две прямые, параллельные данной, совершенно противоречит наглядному представлению. Такое допущение кажется просто нелепым. Никакой неевклидовой геометрии быть не может! Тем более нужно отдать должное смелости мысли Лобачевского и Бойаи, которые решились допустить «нелепость». Нелепость с точки зрения наглядного представления — да, но с точки зрения логики — другое дело. Как ни кажется наглядно нелепым допущение многих параллелей, логически оно допустимо. Нужна была большая смелость мысли, чтобы твердо убедиться в этом, хотя теперь, когда найден простой смысл неевклидовой геометрии, никакой смелости мысли не нужно — достаточно самой небольшой способности к отвлеченному мышлению.

Рис. 3

* Лобачевский Н. И. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных //Об основаниях геометрии. М., 1956. С. 61–62.

** У нас можно встретить также написания Больяй, Бойай, Бояи, но Бойаи ближе венгерскому произношению.

От убеждения к доказательству

Итак, Лобачевский и Бойаи публично, а Гаусс в письмах выразили убеждение в правомерности неевклидовой геометрии и далеко развили ее. Однако это убеждение основывалось только на том, что в полученных выводах не было противоречий. Но ведь можно было бы думать, что в дальнейших выводах противоречия все же появятся. Реальный смысл новой геометрии оставался неясным. И пока он не был найден, великое открытие все же висело в воздухе — геометрия Лобачевского оставалась не более чем воображаемой.

В 1839–1840 гг. появились две работы профессора Дерптского (ныне Тартуского) университета Ф. Миндинга, в которых он исследовал некоторые специальные поверхности — поверхности постоянной отрицательной кривизны. В этих работах по существу заключался вывод, что геометрия на таких поверхностях есть не что иное, как геометрия Лобачевского. Но этот вывод там не был явно высказан. Интересно, что двумя годами раньше в том же журнале, где были напечатаны работы Миндинга, была опубликована одна из работ Лобачевского!

В 1854 г. при вступлении на должность профессора Геттингенского университета Б. Риман, как это полагалось, прочел пробную лекцию. Лекция называлась «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии». Она содержала необычайное богатство плодотворных идей — от общей концепции математического пространства до предвидения того, что стало потом общей теорией относительности. Кроме того, в лекции была намечена общая теория некоторого типа пространств (называемых теперь римановыми), которые включают как простейшие частные случаи пространства Евклида, Лобачевского и так называемые сферические пространства. Риман дал чисто аналитическое определение таких пространств; это, в частности, означало, что геометрия Лобачевского в такой же степени непротиворечива, как и анализ.

Но этого никто не заметил. Лекция Римана осталась непонятой. И только слушавший ее старый, 77-летний Гаусс ушел, как свидетельствуют, после лекции в глубокой задумчивости. Лекция Римана не была сразу опубликована, ее издали только в 1868 г., через два года после его смерти. И тогда она сразу произвела величайшее впечатление, вызвала бурное развитие намеченной в ней теории.

Тогда же, в 1868 г., итальянский математик Е. Бельтрами сделал то, до чего дошел, но чего не сказал Миндинг,— он показал, что геометрия Лобачевского выполняется на поверхностях постоянной отрицательной кривизны.

Однако выводы Бельтрами были аналитическими, далекими от элементарной геометрии, от Евклида. Лишь в 1871 г. Ф. Клейн заметил ту модель

на круге, о которой шла речь в начале статьи. Позднее А. Пуанкаре нашел другую интересную модель, связанную с комплексными числами*.

Так через сорок лет после опубликования первых работ Лобачевского и Бойаи их убеждение было доказано и их геометрия получила всеобщее признание.

Оглянемся теперь на историю пятого постулата Евклида. Лобачевский сказал о ней: «Напрасное старание… в продолжение двух тысяч лет». Но какие старания! Множество математиков расточает их, и каких математиков! Среди них знаменитейшие имена: попытки открываются, возможно, Архимедом, проходят через Омара Хайяма и подходят к завершению с Гауссом.

Попытки доказать пятый постулат были, как мы выяснили раньше, совершенно естественными. Но две тысячи лет никто не догадывался, что доказательство невозможно. Никто не мог подумать, что может существовать какая-то геометрия, отличная от привычной евклидовой. Ее неразрывная связь с нашим пространственным опытом и наглядным представлением, ее логическое совершенство и прозрачность, вековые традиции ее изучения и, можно сказать, исповедания — все это делало геометрию Евклида непререкаемой, как бы абсолютно необходимой, присущей и миру, и разуму. Ее происхождение из практики затмевалось совершенством и ясностью ее логики. И дошло, наконец, до того, что в 1781 г. великий философ И. Кант в своей «Критике чистого разума» счел геометрию априорной — независимой от опыта — и основал на этом вывод об априорности самого пространства, которое для него не форма, присущая миру, а только априорная форма внешнего чувственного созерцания.

Гений

Но как раз в это же время из попыток доказать пятый постулат стали пробиваться первые проблески сомнений. Уже в 1766 г. у Ламберта брезжит мысль, что отрицание пятого постулата «имеет место на какой-то мнимой сфере», что, может быть, странные выводы, к которым приводит это отрицание,— не бессмыслица. Напряжение нарастает. Кантовское «априори» распространяется в умах, особенно после второго издания «Критики чистого разума» в 1787 г.

Но труд Ламберта выходит в 1786 г. Затем из столь же упорных, как и безуспешных, попыток доказать пятый постулат в первой четверти XIX в. прорастает, наконец, общая мысль о том, что, возможно, мыслима геометрия, отличная от евклидовой. Почти одновременно, хотя и с разной

* Гиндикин С. Волшебный мир Анри Пуанкаре // Квант. 1976. № 3.

степенью определенности и ясности, эта идея появляется у нескольких человек — у Швейкарта, Тауринуса, Гаусса, Лобачевского и Бойаи.

Дойти до мысли, опровергающей привычное, может быть само по себе гениальным. Но это еще не наука, а только идея. Наука же требует претворения идеи в фактическом развитии теории, как инженерия — претворения идеи в предмете, в осуществленном изобретении.

Гений — не только полет мысли, но также ее упорство, труд, приподнятый вдохновением, и вдохновение, подкрепленное трудом. Так, Коперник не только выразил мысль, что не Земля, а Солнце находится в центре (мысль, кстати сказать, не новую; ее высказал еще в III в. до н.э. Аристарх Самосский), но и построил «систему Коперника»— дал точное описание движения планет вокруг Солнца, согласное с наблюдениями. Точно так же Лобачевский не только выразил убеждение в возможности неевклидовой геометрии, но и построил эту геометрию. И как от Коперника пошло новое развитие астрономии, дошедшее до современного взгляда на Вселенную с множеством «миров»— планетных систем, галактик и пр., так от Лобачевского пошло новое развитие геометрии, приведшее к созданию множества разнообразных «геометрий», самых разных геометрических теорий «воображаемых» пространств — топологических, римановых, финслеровых, расслоенных…— «им же несть числа». Недаром, когда в 60–70-е гг. прошлого века начал во всю силу разворачиваться этот пошедший с Лобачевского процесс преобразования геометрии, Лобачевский был назван «Коперником геометрии». Нельзя, конечно, забывать, что новую геометрию развил и обнародовал также Бойаи, но преимущество отдается Лобачевскому, потому что он сделал это раньше и потом еще существенно продолжил свои исследования.

Лобачевский утверждался в мысли о недоказуемости пятого постулата и о возможности неевклидовой геометрии, исходя из философских, теоретико-познавательных убеждений. Это выражено в его словах из предисловия к «Новым началам геометрии»: «истина, которую хотели доказывать», т.е. пятый постулат, не заключается «в самих понятиях», а в применении к реальному пространству и подлежит проверке опытом, как физический закон. Этим отрицается кантовское априори: геометрия не независима от опыта, а подлежит проверке*. В других сочинениях

* Собственно говоря, слово «геометрия» должно пониматься двояко: как чисто математическая теория и как теория реальных пространственных отношений. В этом втором качестве она подлежит проверке опытом (современная физика доказала, что наше пространство не является точно евклидовым). Но от чисто математической теории самой по себе требуется логическая стройность и непротиворечивость. В таком виде та или иная геометрия — это совокупность предложений, выводимых из принятых посылок, независимо от ее приложений.

Лобачевский явно возражал против кантианства в общей форме, когда писал, например, что «понятия приобретаются чувствами, врожденным не должно верить»*. Кстати, это стоит заметить научным снобам, полагающим, будто ни им, ни науке вообще не нужно философское мышление. Все великие ученые от Ньютона и Галилея, если говорить лишь о Новом времени, были философами. Без философии наука не развивается: проложение новых ее путей, когда они не оформились, и есть философское движение мысли. Вопрос только в том, какая это философия, связывается ли она с точной логикой и фактами опыта или с пребывающими в безвоздушном пространстве общими фразами априорности и чистого спекулятивного мышления. Галилей, Ньютон, Лобачевский, Риман не только высказывали философские суждения, но и, отправляясь от общих убеждений, строили здания научных теорий — прочные основания целых обширных областей науки.

Появление неевклидовой геометрии было началом революционного преобразования геометрии. Но также, что характерно для близящейся революции, с назреванием ее сил росла и реакция. Именно тогда, когда открытие новой геометрии уже приближалось, появилась философия Канта с ее учением об априорности геометрии, о пространстве как априорной форме созерцания. Любая другая геометрия казалась немыслимой.

Лобачевский явно выступает против этих воззрений. Появление новой геометрии опровергает их и открывает неведомые, немыслимые раньше пути развития науки — революция совершается. Гений — это революция, революция — это гений в действии.

Тупость

Как история пятого постулата и неевклидовой геометрии демонстрирует человеческий гений, так демонстрирует она и неповоротливость ума, если избегать грубого слова «тупость».

Начать с того, что множество попыток доказать пятый постулат было основано на ошибках. Авторам этих доказательств только казалось, что они нашли доказательство. Так было даже в начале XIX в. Только немногие понимали, что опираются на дополнительные предположения, равносильные пятому постулату, и явно их формулировали.

Ошибки были психологически обусловлены тем, что автору очень хотелось пятый постулат доказать, отказ от него был невообразимым, а положение, принятое открыто, на которое автор опирался,— само собою очевидным и ускользало от того, чтобы его явно формулировать.

* Лобачевский Н.И. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных. С. 28.

Очень характерен пример Саккери: при всей глубине и тонкости его выводов, относящихся к неевклидовой геометрии, он в конце все же заключает, что ему удалось «вырвать с корнем» гипотезу, отрицающую пятый постулат, и очистить Евклида от пятен.

И Ламберт, далеко развивший неевклидову геометрию, только «почти» сделал вывод о ее выполнимости, и Гаусс мучительно долго «все более приходил» к убеждению о невозможности доказать пятый постулат.

Когда же неевклидова геометрия была открыта и обнародована и встал вопрос о ее реальном смысле, то тут несообразительность показала себя в полную силу.

Гаусс еще в 1827 г. развил основы общей теории геометрии на поверхностях, в которой роль прямолинейных отрезков играют кратчайшие линии, расположенные на поверхности. У него был получен, в частности, вывод, что на некоторых поверхностях (поверхностях отрицательной кривизны)сумма углов треугольника (стороны которого — кратчайшие линии) меньше 180°. Он знал вместе с тем, что в неевклидовой геометрии верно то же. Но он не сопоставил два вывода, не догадался, что неевклидова геометрия должна осуществляться на некоторых поверхностях. Если бы он додумался до этого, то доказательство не представляло бы для него, при его исключительной силе математика, особого труда. Что на поверхностях постоянной отрицательной кривизны имеет место геометрия Лобачевского, заметил итальянский математик Бельтрами только сорок лет спустя.

Вероятно, мысли Гаусса в неевклидовой геометрии, с одной стороны, и в теории поверхностей — с другой, шли как бы параллельно, не пересекаясь. Явление довольно обычное. Людям сплошь и рядом не приходит в голову сопоставить вещи, которые кажутся совершенно различными, но при ближайшем рассмотрении оказываются тесно связанными или даже совпадающими. Так бывает и у одного человека, когда он знает обе «вещи», но не сопоставляет их. Так же бывает и в группе людей, когда одни знают одно, другие — другое, да не сопоставляют.

Именно так и было дальше с неевклидовой геометрией и геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Миндинг, найдя формулы тригонометрии на этих поверхностях (а они такие же, как в геометрии Лобачевского), не заметил этого, хотя работа Лобачевского была уже опубликована. Двумя годами раньше в том же журнале! Да и Лобачевский, который как геометр-профессионал мог бы прочитать работу Миндинга, не сделал этого сопоставления!

Так путешественники, подошедшие к горному хребту или подплывшие к острову с разных сторон, могут не сообразить, что открыли одно и то же.

Работу Ф. Миндинга развил в 1857 г. Д. Кодацци, но и он не сообразил сопоставить свои выводы с неевклидовой геометрией. Да он, возможно,

о ней и не знал, хотя часть работ Лобачевского была опубликована по-французски и по-немецки, а работа Бойаи еще в 1832 г. вышла на латинском языке.

И только в 1868 г. Бельтрами, отправляясь от работ Миндинга и Кодацци, делает наконец нужное сопоставление и подробно доказывает, что на поверхностях постоянной отрицательной кривизны выполняется геометрия Лобачевского.

В промежутке, в 1859 г., Кэли создает теорию расстояния, содержащую модель геометрии Лобачевского, но не понимает этого, так как не сопоставляет с ней свою теорию. Хотя позже, в 1861 г., он публикует работу по геометрии Лобачевского!

И только в 1871 г. Клейн делает такое сопоставление — приходит к той простой модели в круге, о которой мы рассказали вначале. Указанием на эту элементарную модель решается вопрос о недоказуемости пятого постулата. Вот к чему, можно сказать, свелось то, над чем более двух тысяч лет бились лучшие умы математиков!

История неевклидовой геометрии показывает, с каким трудом люди доходят до вещей, которые, когда они наконец ухвачены и поняты, оказываются простыми, и как люди зачастую не понимают, что делают и что лежит у них под руками. Ни Гаусс, ни Лобачевский не поняли то, что было у них почти в руках. Даже Гаусс и Лобачевский!

В наше время все еще находятся люди, занимающиеся «доказательством» пятого постулата и осаждающие математиков этими своими «трудами». Но так как вопрос о пятом постулате решен и решение это с помощью модели в круге нетрудно понять каждому, названные «доказательства» и «труды» относятся уже не к неповоротливости ума, а к глупости или даже к сфере медицины. Глупость — это совсем не то, что тупость — неповоротливость ума; напротив, у дурака может быть «легкость в мыслях необыкновенная», ум его может поворачиваться с головокружительной быстротой, да без толку. Это не имеет никакого отношения к той неповоротливости ума, свойственной даже гениям, которую так ярко показывает трудная история пятого постулата и неевклидовой геометрии.

Характер

Гаусс, Бойаи, Лобачевский — три математика, открывших неевклидову геометрию. Три человека — три характера.

Гаусс — математик чрезвычайной силы, о котором говорят «великий Гаусс», «princepes mathematicorum» (т.е. король математиков, «старшина математиков»).

Но Гауссу при всей его математической силе была свойственна интеллектуальная осторожность, нерешительность, которая проявилась, в частности, в том, что он более тридцати лет занимался теорией параллельных, прежде чем решился выразить даже самому себе и в частных письмах твердое убеждение в правомерности неевклидовой геометрии. Дальше следовала уже иная осторожность — трусость, которая не дала ему выступить со своими выводами из опасения «крика беотийцев»…

Полной противоположностью Гауссу предстает перед нами Янош Бойаи — самый молодой из трех: когда он додумался до неевклидовой геометрии, ему было всего двадцать три года (соответственно Гауссу — сорок семь, Лобачевскому — тридцать один). Лобачевский выступает публично в тридцать два года, Бойаи — в тридцать, Гаусс — никогда. Работа Бойаи по неевклидовой геометрии написана блестяще, разве что уж слишком кратко. Блеск его таланта соответствовал остальным чертам его пылкой натуры. Он был гусарский офицер, один из знаменитых венгерских гусар, дуэлянт. Как-то ему пришлось встретиться в дуэли на шпагах с несколькими противниками; схватки следовали одна за другой, и он оговорил себе право в перерывах играть на скрипке, чтобы восстановить гибкость кисти. Он победил (не убивая их) всех своих противников.

Но гусарское самолюбие погубило Бойаи. Не тем, что его самого убили на дуэли, а тем, что это самолюбие распространялось у него в область математики.

Гаусс прислал его отцу, своему старому знакомому, положительный отзыв о работе Яноша, написав, что очень хвалить его достижения не может, так как этим он хвалил бы сам себя, потому что те же результаты известны ему давно. Янош же решил, что Гаусс попросту присвоил себе его открытия. Позже, когда появился немецкий перевод одной из книг Лобачевского, он решил, что под псевдонимом Лобачевского скрывается Гаусс, укравший его, Бойаи, результаты. Кроме открытия неевклидовой геометрии Бойаи выполнил еще одну работу по математике, где содержались идеи, опережавшие его время, но недостаточно тщательно оформленные. В последние годы жизни сознание его помрачилось. Он умер в 1860 г., на пятьдесят восьмом году жизни.

Лобачевский решительно отличался от Гаусса и от Бойаи, соединяя смелость с упорством и основательностью, силу теоретической мысли с силой воли. Его открытие не встретило признания, и его считали даже немного сумасшедшим, как говорил о нем, например, Н.Г. Чернышевский. Признание, идущее от Гаусса, пришло позднее. Но Лобачевский не смущался и продолжал свои «сумасшедшие» исследования по «сумасшедшей» геометрии, публикуя вслед за первой обширной работой 1829–1830 гг. следующие. Ослепнув к старости, свою последнюю книгу «Пангеометрия» он диктовал.

Деятельность Лобачевского была не только научной: восемнадцать лет он был ректором Казанского университета, проявив на этом посту выдающуюся энергию, административное умение и понимание задач воспитания юношества. Его энергичная и умелая деятельность в тяжелое время холерной эпидемии 1835 г. может показаться даже странной у человека, который занимался воображаемой геометрией, одной из абстрактнейших областей абстрактнейшей из наук — математики. Но, может быть, этому не следует особенно удивляться. Воля, необходимая для решительных действий в трудных условиях, также необходима для того, чтобы развить и отстаивать научные убеждения и истину вопреки всем «крикам беотийцев».

Талант, гений — это не только специальные способности, но и характер. Как Магеллану и Нансену была нужна решимость, чтобы отправиться в неизведанное плавание, так теоретику нужна интеллектуальная решимость, чтобы подумать «невероятное» и развить его вопреки не только устоявшимся взглядам и традициям, но нередко и вопреки собственным сомнениям. Но мало убедиться в своих идеях для самого себя — их нужно передать другим людям. А это тоже может требовать решимости, потому что люди могут не понять, отбросить и даже подвергнуть насмешкам и поруганию новые идеи и выводы. Это могут сделать в первую очередь свои же коллеги — ученые, убежденные в незыблемости своих взглядов, в своей академической непогрешимости, мещане в академических креслах и на профессорских кафедрах, те «беотийцы», которым побоялся противопоставить себя Гаусс.

В недавнее время да, возможно, и по сию пору с легкой руки Бертольда Брехта принято было поносить Галилея за предательство истины — за то, что он отрекся от своих научных убеждений. То, что отрекаться от истины дурно, едва ли нуждается в особых объяснениях. Но в момент суда инквизиции Галилей был 68-летним стариком, через три года он ослеп, а ему грозили пыткой, заточением, перед ним стоял образ сожженного на костре Джордано Бруно. Остановитесь, читатель, и постарайтесь представить себе, что вас жгут на костре или вздергивают на дыбе. После этого мы продолжим разговор о верности истине — о ней так легко рассуждать, когда вам не грозят ни костер, ни пытки, ни заточение.

В действительности Галилей хотя и отрекся словесно, но истины не предал. Ослепший старец, узник инквизиции, он диктует свое главное научное сочинение и издает его за границей — в Голландии. Галилей исполнил свой долг ученого. По-видимому, на самом деле он не сказал инквизиторам знаменитые слова: «А все-таки она вертится!». Но он сказал то же, хотя и менее эффектно, но более весомо своим научным трудом, своей книгой, написанной после суда инквизиции. Поэтому легенда,

приписывающая ему те слова, справедлива по существу. Поэтому правильно он остался в памяти народа верным истине, верным своим научным убеждениям.

Но Гауссу ничего не грозило, кроме разве нелестных суждений коллег, а он скрыл свои научные убеждения, скрыл истину. Он поступил мудро с точки зрения мещанства, одинаково — прошлого или современного, подвизающегося в науке или всякого другого.

Охотно морализуя по поводу «отречения» Галилея или тех, кто когда-то «каялся в грехах менделизма-морганизма», мещанин будет делать все, чтобы «не испортить отношения» с кем следует. Он не будет ни отрекаться, ни каяться, потому что ему не от чего отрекаться и не в чем каяться, у него все в порядке, все как полагается.

Этот конформизм, этот подлый дух приспособленчества противен настоящей науке, потому что она требует готовности подвергнуть сомнению и пересмотреть любые научные взгляды, научные положения, как бы ни казались они прочно установленными. Она требует дерзости мысли и дерзости в том, чтобы открыто выступить с дерзкой мыслью, как это было с открытием неевклидовой геометрии.

Но история пятого постулата и неевклидовой геометрии показывает, с каким трудом люди, даже дерзко мыслящие, доходят до истин, которые, когда они уже открыты, оказываются простыми. Эта история показывает, насколько неповоротливой бывает мысль самых выдающихся ученых. Поэтому с дерзостью мысли они соединяют скромность в оценке своих достижений. Так, Ч. Дарвин сказал о себе в автобиографии: «Воистину удивительно, что, обладая такими посредственными способностями, я мог оказать довольно значительное влияние на убеждения людей науки по некоторым важным вопросам»*.

Дерзость в достижениях и скромность в их оценке, глубокое понимание того, что достигнутое — только капля в океане недостигнутого и непознанного, этому, вместе с законами и теориями, тоже можно учиться у великих ученых, у истории науки.

* Дарвин Ч. Соч. М., 1959. Т. 9. С. 242.

ПУТИ РАЗВИТИЯ ШКОЛЫ

(Математика в школе. 1987. № 5)

Положение дел в нашей школе широко критикуют и в частностях, и в целом: в печати появились многочисленные публикации по этому поводу — от конкретной критики учебников до предложений «революционных» преобразований всей системы. Многое в школьном деле действительно нуждается в перестройке. Вопрос в следующем: в каком направлении, какими средствами, какими темпами перестраивать систему среднего образования? В решении этих вопросов, как представляется, надо исходить из понимания общих задач школы.

<…>

Среди многочисленных выступлений печати по проблемам школьного образования особое место заняли «полемические заметки» математика М. Постникова, опубликованные в «Литературной газете» (25 марта 1987 г.). В этих «заметках» согласно заглавию —«Школа с уклоном в будущее»— предлагается некоторая глобальная реформа среднего образования. В кратком редакционном предисловии говорится, что «система образования нуждается в том же революционном подходе, что и другие сферы нашей жизни». Какую же революцию предлагает профессор М. Постников?

М. Постников пишет, что надо «решить проблему глобально: чему и как учить». И продолжает: «Ключом к такому решению, на мой взгляд, является формула из документа ЦК КПСС по школьной реформе: школа должна готовить к жизни». Вслед за этим он разъясняет, что быть готовым к жизни —«это значит, что нужно владеть знаниями и навыками, которые условно можно разделить на четыре полностью равноправных цикла: грамотность, этика, эстетика, здоровье (физическая культура)».

В «грамотность» включается: 1) умение читать и писать на родном языке, 2) «знание иностранного языка», 3) «умение общаться с компьютером», 4) «общее представление о науках».

Этический, или, как говорится дальше —«лучше сказать, социальный цикл»—«это воспитание человека для жизни в обществе. Здесь пробле-

мы мировоззрения, поведения, умения ориентироваться в обществе, владеть собой. Это знание законов и социальных норм общества, своих прав и обязанностей как гражданина. Тут и проблемы семьи…». Трудовое воспитание не упоминается, хотя труд можно было бы считать особым «циклом» наряду с другими. Но тут нет даже самого слова «труд», как нет слов «мораль» и «нравственность». Какое же воспитание без труда и морали? Умение жить и ориентироваться в обществе можно понимать по-разному.

За циклом «этики» следуют также кратко и неопределенно очерченные циклы «эстетики» и «здоровья» и еще несколько замечаний, в частности, что «пресловутых домашних заданий быть не должно». На этом изложение проекта школы «с уклоном в будущее» заканчивается, а далее следует главная часть всех «полемических заметок»— полемика против общего научного образования. Впрочем, она начинается еще раньше.

С самого начала изучение «основ наук» объявляется «устаревшим элитарно-гимназическим принципом», а в цикл «грамотность» включено «общее представление о науках», но не знание их элементов. Разъясняя свой взгляд на науки в школе, М. Постников пишет, например: «Что касается географии, то… я разделяю мнение г-жи Простаковой». То есть незачем знать, где находится Париж или Лондон: понадобится — извозчик (воздушный извозчик) довезет. Так не растить ли нам недорослей с уклоном в будущее? Но не будем торопиться с выводом…

Перечислив науки: математику, физику, химию, биологию, историю, географию (пропустив, например, астрономию), М. Постников пишет: «Думаю, одного часа в день… достаточно на все эти дисциплины». Однако за такое время получить сколько-нибудь серьезное представление об этих науках, хотя бы представление, а не знания, невозможно. И лучше сказать — представление не о науках, а о том, что они дают нашему пониманию природных явлений, техники, основ научного мировоззрения. Упоминание мировоззрения в «цикле этики» пусто без тех основ, какие дает ему наука биология с учением об эволюции, физика с раскрываемым ею строением материи, законом сохранения энергии и др., забытая М. Постниковым астрономия с ее захватывающими картинами далеких миров… А полеты к планетам, к комете Галлея, космические скорости, невесомость, ядерные реакции — во всем этом — механика, астрономия, физика.

Впрочем, М. Постников выдвигает утилитарный взгляд: в школе необходимо только то, что нужно для жизни. «Сколько математики нужно для жизни — столько она и должна занимать детского времени — ни больше, ни меньше»; «формула равноускоренного движения»—«не нужно в жизни это знать»… Никакой механики и физики недорослю не нужно: включил выключатель — горит лампочка.

Но, выдвинув утилитарный взгляд —«что нужно для жизни», М. Постников противоречит сам себе. В «грамотность» он включил знание иностранного языка, хотя для подавляющего большинства оно нужно в жизни не более, чем «формула равноускоренного движения». Обязательное знание иностранного языка он заимствовал из той самой элитарной гимназии, от которой открещивается.

Точно так же не нужно в жизни включенное в «грамотность» представление о науках, как толкует М. Постников. О математике он пишет: «Нужны живые, непринужденные рассказы о неевклидовой геометрии… об экстремумах, об изопериметрах» ит.д. Однако в жизни неевклидова геометрия вовсе не нужна, а сколько-нибудь верное представление о ней, как и об изопериметрах и экстремумах, невозможно без понятия о евклидовой геометрии, функциях и др. Иначе эти представления сказываются такими, о которых говорят: «слышал звон…» и которые доходят до нелепостей, появляющихся порой в печати.

Считая нужными живые рассказы о разных темах из математики, М. Постников нападает на «так называемую „систему“ знаний по математике» и на связанное с ней дедуктивное мышление и иронизирует по поводу того, что в школе изучают элементы математики, появившиеся давным-давно, как, например, геометрия — еще в Древней Греции. Во всем этом обнаруживается непонимание того, что такое математика, что она отличается от всех других наук абстрактным характером своего предмета и, соответственно, умозрительным характером его изучения: в математике доказывают теоремы. Математика и есть совокупность взаимосвязанных теорий, каждая из которых представляет собой систему доказываемых теорем, основанную на исходных понятиях. Первой такой теорией явилась геометрия, которую создали греки, дав этим начало и образец для дальнейшего развития. И как бы ни выросла математика, как бы ни удалилась она от греческой геометрии в новые высоты абстракции и глубины оснований, сущность ее заложена и остается выраженной в системе элементарной геометрии, дополненной затем алгеброй и математическим анализом. Математика развилась из этих начал в грандиозное творение человеческого духа, могущественное средство познания и творчества. Значение ее становится общеизвестным. Но представление о ней нельзя получить из рассказов об отдельных ее темах; оно требует знакомства с характером системы ее понятий и выводов — доказательств. Суть их — в точности, в строгости, в обоснованности рассуждений и выводов. Такое строгое мышление нужно не только в математике. М. Постников же, назвав его «дедуктивным», заявляет, что оно требуется «исключительно ученым-теоретикам».

Завершая расправу с математикой, он пишет, что «никаких иных целей, кроме повышения культурного уровня, преподавание математики

не должно иметь». Но как раз повышению культурного уровня больше, чем рассказы об изопериметрах и т. п., способствует представление о математике, о ее сущности, о ее методе, о ее значении для других наук вместе с упражнением в точных рассуждениях и выводах. На всем этом и основано обязательное включение математики в общее образование, в той ее части, которая доступна в его рамках. Еще Роджер Бэкон в XIII в. писал об особом значении математики. Геометрия в ее логической системе представляет пример строгой научной теории, и в этом ее значение в формировании научного мировоззрения. М. Постников пишет, что систематичность изложения математики в школе «всегда ложная», но никакая систематичность несовершенна; с точки зрения строгой оценки систематичность вузовского курса тоже можно объявить «ложной». Но это от непонимания диалектики противоположностей систематичности и несистематичности.

Можно считать, что М. Постникову верное представление о математике не нужно для формирования культурного уровня. Увлеченный своей идеей преобразования школы, он предлагает путь, ведущий к ликвидации школьного математического образования, вкупе со всеми «основами наук». По той же причине он исключает пользу упражнения в строгом мышлении, какое дает изучение математики — изучение, а не знакомство. Изучение требует труда и усилий, и оно полезно не только усвоенным знанием, но и само по себе как трудовая тренировка, как упражнение ума. Но М. Постников отбрасывает труд учения, особенно резко это проявилось в его заявлении о ненужности «пресловутых домашних заданий», чтобы недоросли не утруждались дома над задачей или домашним сочинением. Но для пытливого ума, для развивающейся личности удовольствие поломать голову над интересной задачей или изложить свои мысли в домашнем сочинении. Нужно ли это в жизни? Кому как. Сознательный рабочий ломает голову над тем, как лучше обработать деталь, и стремится выразить свои мысли в рационализаторском предложении, в заметке в стенной газете. Интеллигентность будет распространяться, так что серьезно понятый «уклон в будущее»— это воспитание интеллигентных людей, способных к серьезной умственной работе, а это требует труда. И если школьные знания забываются и оказываются ненужными в последующей жизни и работе, то остается общее развитие личности. По точному афоризму: общее развитие — это то, что остается, когда все выученное забыто.

Пребывание в школе должно, по М. Постникову, продолжаться 8–9 лет, кончаясь для ученика к 15 годам, когда он, получив профориентацию, обращается к обучению профессии или подготовке в вуз. «Здесь,— как пишет Постников,— и нужно преподать основы тех наук, которые нужны

профессии. Только специальные знания — до мельчайших подробностей»… и конец общему образованию — наступает строгая специализация. Так что до 15 лет ученики должны познакомиться с науками, обсудить в классе «Войну и мир», вникнуть в проблемы семьи, приобрести мировоззрение… Возможно ли? И нас заверяют, что «общество получит полноценный продукт — гармонически развитую личность» к 15 годам, т.е. когда личность еще только формируется.

Но помимо образования есть еще самое главное — нравственное воспитание, которое должно пронизывать все происходящее в школе. Именно нравственность составляет основу личности. Однако об этом вовсе не говорится, а выделяется «социальный цикл» подготовки к жизни в обществе. Он представляется «полностью равноправным» с другими тремя циклами, так что даже если здесь и имеется в виду какое-то моральное воспитание, то все равно его основное значение исключается.

В общем, «школа, ориентированная в будущее», ориентирована несерьезно, чтобы не сказать большего, и претензии на выпуск «гармонически развитых личностей» к 15 годам, да еще без привычки к труду, без глубокой моральной основы по меньшей мере сильно преувеличены.

«Заметки» открываются выражением жалости к молодым людям, штурмующим вузы, и завершаются жестким заявлением о тех, кто не попадет на подготовительные курсы: «Здесь экзамен — и очень строгий!— необходим. Но такой абитуриент заранее знает, на что он идет…». Как будто тот, кто теперь «штурмует вуз», этого не знает… Автор, видно, забыл к концу заметки о том, что писал вначале. К тому же он писал о том, чего не знает: теперь в технические и педагогические вузы (на физико-математические факультеты) нет конкурса или он очень мал — их не штурмуют.

Эти противоречия, сопоставление с г-жой Простаковой, расправа с изучением математики без понимания, категоричность сомнительных суждений, претенциозность заявлений о подготовке «гармонических личностей»— все это несерьезно.

<…>

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

ГЕОМЕТРИЯ (Статья из Математического энциклопедического словаря) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Развитие геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Обобщение предмета геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Истолкования геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Современная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Значение геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

О ГЕОМЕТРИИ (Математика в школе. 1980. №5) . . . . . . . . . . . . . . . . .30

1. Противоречивая сущность геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

2. Воображение и реальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

3. Логика и мировоззрение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

4. Знания и умения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

ДИАЛЕКТИКА ГЕОМЕТРИИ (Математика в школе. 1986. №1) . . . . .46

Противоречие в курсе геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Противоречие в сущности геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

Диалектика аксиом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

Очерк развития оснований геометрии (Александров А.Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987) . . . . . . . . .61

Начало геометрии — до Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

«Начала» Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

От Евклида до Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Переворот в геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

От Евклида до Гильберта — от геометрической наглядности до геометрической бессмыслицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

Анализ предмета геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

Диалектика геометрии (в ее содержании) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

Диалектика геометрии (в ее построении) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

Практические основания геометрии (Александров А.Д. Основания геометрии. М.: Наука, 1987) . . . . . . . . .90

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

Отрезки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

Угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

Прямоугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

Измерение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

Свойства численного выражения длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (Статья из Математического энциклопедического словаря) . . . . . . . .104

О ПОНЯТИИ МНОЖЕСТВА В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ (Математика в школе. 1984. №1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

1. О понятии множества в геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

2. Понятие множества в школьных учебниках . . . . . . . . . . . . . . . . .115

3. Иная, не теоретико-множественная точка зрения в геометрии . .117

4. Об обозначениях и терминах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

5. Более современный взгляд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

6. Некоторые выводы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

ТАК ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ВЕКТОР? (Математика в школе. 1984. №5) . .128

Постановка вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

Понятие вектора в физике и в геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

Вектор в геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

Векторы в учебнике А. В. Погорелова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

Понятие вектора в учебнике Л.С. Атанасяна и др. . . . . . . . . . . . . .136

Векторы в учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова . . . . . . . . . .138

Об изложении понятия о векторе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

ЧТО ТАКОЕ МНОГОГРАННИК? (Математика в школе. 1981. №1–2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

§ 1. Многогранники в курсе геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

§ 2. Наглядное определение многогранника . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

§ 3. Что такое многоугольник и что такое грань? . . . . . . . . . . . . . . . .149

§ 4. Другие формулировки тех же определений. . . . . . . . . . . . . . . . .152

§ 5. Многогранная поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

§ 6. Определение многогранника в «Геометрии 9–10» . . . . . . . . . . .160

§ 7. Почему дано такое определение многогранника в «Геометрии 9–10»? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

§ 8. Конструктивные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

ЧТО ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ (Математика в школе. 1946. №1) . . . . . .172

1. От элементарной геометрии к топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

2. Точное определение предмета топологии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174

3. Эйлер. Сети кривых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

4. Листинг. Узлы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

5. Элементарные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

6. О неподвижных точках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

7. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

ТУПОСТЬ И ГЕНИЙ (Квант. 1982. №11–12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

От Евклида до Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

От убеждения к доказательству. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199

Гений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

Тупость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

Характер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

ПУТИ РАЗВИТИЯ ШКОЛЫ (Математика в школе. 1987. №5) . . . . .208