ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Уравнения и неравенства

ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ

МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1987

ББК 22.1 315 УДК 51

Коллектив авторов

ВАВИЛОВ В. В., МЕЛЬНИКОВ И. И., ОЛЕХНИК С. Н., ПАСИЧЕНКО П. И.

Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 240 с.

Содержит справочные сведения по методам решения уравнений и неравенств с одним неизвестным: содержащих знак абсолютной величины, иррациональным, показательным и логарифмическим. Содержит задачи, предлагаемые на вступительных экзаменах. Методы иллюстрируются примерами.

Тесно примыкает к справочному пособию авторов «Задачи по математике. Алгебра» (объявлено в темплане 87 № 49 под названием «Задачи по математике для подготовительных отделений»).

Для самостоятельного повторения курса алгебры, для слушателей подготовительных отделений вузов, а также для поступающих в вузы.

Ил. 12.

Рецензент доктор физико-математических наук М. К. Потапов

Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1987

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ...................... 4

Глава 1. Эквивалентные уравнения и неравенства ... 5

§ 1. Равносильные уравнения............ 5

§ 2. Равносильные неравенства........... 21

Глава 2. Уравнения с одним неизвестным....... 34

§ 1. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины 34

§ 2. Иррациональные уравнения........... 49

§ 3. Показательные уравнения............ 80

§ 4. Логарифмические уравнения.......... 96

Глава 3. Неравенства с одним неизвестным...... 128

§ 1. Неравенства, содержащие знак абсолютной величины 128

§ 2. Иррациональные неравенства.......... 144

§ 3. Показательные неравенства........... 161

§ 4. Логарифмические неравенства.......... 180

Ответы....................... 213

Дополнение. Некоторые задачи, предлагавшиеся на письменных вступительных экзаменах по математике в

МГУ им. М. В. Ломоносова............. 233

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга представляет собой справочное пособие, содержащее систематическое изложение методов решения уравнений и неравенств с одним неизвестным: иррациональных, логарифмических и показательных уравнений и неравенств, а также уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины.

Теоретическую основу составляют понятия равносильного перехода и эквивалентности двух уравнений или неравенств.

В начале каждого параграфа приводятся краткие теоретические сведения, затем на решениях типовых задач разбираются различные методы решения уравнений или неравенств. Далее рассматриваются методы решения уравнений или неравенств, зависящих от параметра. В конце параграфа имеются задания и упражнения на отработку приведенных методов решения.

Для более полного усвоения материала в книге даны задачи различной трудности.

Книга тесно примыкает к пособию авторов «Задачи по математике. Алгебра», в котором изложены методы решения рациональных уравнений, неравенств и систем.

ГЛАВА 1

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§ 1. Равносильные уравнения

Два уравнения

h(x) = gi(x) и h(x)=g2(x) (1)

называются равносильными (эквивалентными), если совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решений.

Из определения равносильности уравнений следует, что вместо того, чтобы решать данное уравнение, можно решать уравнение, ему равносильное.

Понятие равносильности обладает свойством транзитивности, т.е. если уравнение / (х) =g (х) равносильно уравнению а (х) = = ß (х) и уравнение а (х) = р (х) равносильно уравнению m (х) = = р(х), то уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению т(х)~ = р(х).

Замена уравнения ему равносильным уравнением или замена уравнения ему равносильной совокупностью уравнений (неравенств, систем) называется равносильным переходом.

Пример 1. а) Уравнение х=\ равносильно уравнению У х=1, так как число 1 является корнем каждого уравнения, а других корней ни одно из этих уравнений не имеет;

б) уравнения х(х— 1) = 0 и х (х—1) (х—2) = 0 не являются равносильными, так как число 2 является корнем одного уравнения и не является корнем другого уравнения.

В определении равносильности двух уравнений ничего не говорится об ОДЗ этих уравнений. Так, приведенный выше пример показывает, что эквивалентные уравнения могут иметь различные области допустимых значений: в п. а) уравнение х=\ имеет в качестве ОДЗ множество всех действительных чисел, в то время как уравнение у х= 1 — множество неотрицательных действительных чисел. Пример б) показывает, что, хотя ОДЗ уравнений (множество всех действительных чисел) совпадают, но уравнения могут и не быть равносильными.

При решении уравнений вместо понятия равносильности уравнений часто пользуются понятием равносильности уравнений на множестве: два уравнения называются равносильными на множестве Л, если совпадают множества всех их корней, принадлежащих множеству Л, или они оба не имеют решений на этом множестве.

Уравнения могут не быть равносильными, но быть равносильными на некотором множестве. Примером могут служить уравне-

ния

которые равносильны на множестве положительных чисел, но не являются равносильными.

Говорят, что уравнение равносильно данной совокупности уравнений (неравенств, систем) на множестве Л, если множество всех корней уравнения, принадлежащих Л, совпадает с множеством всех решений совокупности уравнений (неравенств, систем), принадлежащих множеству Л.

Пример 2. Являются ли уравнение

и совокупность уравнений

равносильными на множестве всех действительных чисел?

Решение. Поскольку

то при любом X справедливо неравенство х2-\~х+ \ > 0. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Любой корень этого уравнения обращает в нуль хотя бы один из входящих в него многочленов, т. е. является корнем хотя бы одного из уравнений данной совокупности. Наоборот, любой корень совокупности удовлетворяет данному уравнению. Поэтому уравнение и совокупность уравнений равносильны.

Пример 3. Являются ли уравнение

и совокупность уравнений

х+1=0, х-1=0, х = 0

равносильными на ОДЗ данного уравнения?

Решение. Областью допустимых значений данного уравнения является множество #\{0}. На этом множестве данная совокупность имеет два корня: хг=—1 и х2 = \. Оба эти числа, и только они, являются корнями уравнения. Поэтому данное уравнение и совокупность уравнений равносильны на ОДЗ уравнения.

Если для данной пары уравнений (1) любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения, при этом пишут

Если заменить уравнение его следствием, то множество решений второго уравнения будет содержать все корни исходного уравнения и помимо них может содержать еще некоторые числа, называемые посторонними корнями исходного уравнения. Поэтому, если в процессе решения от уравнения перешли к его следствию,

то в конце решения необходимо еще провести исследование корней (например, сделать проверку) и отобрать те из них, которые являются решениями исходного уравнения. Так, например,

Решив второе уравнение, найдем Х\ = — 1, х2 = 0, лг3 = 1, однако число 0 не является корнем первого уравнения.

Этот пример показывает, что посторонний (для первого уравнения) корень х2 = 0 появился вследствие того, что ОДЗ второго уравнения стала шире ОДЗ первого уравнения. Однако расширение ОДЗ уравнения при переходе к его следствию происходит не всегда (см. пример 16)).

Процесс решения уравнения как правило состоит в последовательной замене уравнения более простым уравнением или в замене его совокупностью уравнений (неравенств, систем). Делая некоторые преобразования в одной или в обеих частях уравнения, получаем новое уравнение, которым заменяем исходное уравнение.

Покажем на примерах, что одни и те же преобразования уравнения могут приводить к уравнению, как равносильному, так и неравносильному данному.

Пример 4. Уравнение

после приведения подобных членов в левой его части заменяется уравнением

7 — 2* = 11— 4х,

ему не равносильным. Действительно, число 2 является единственным корнем уравнения 7 — 2а: =11—4х и не является корнем исходного уравнения.

Пример 5. Уравнение

после приведения подобных членов заменяется уравнением 5 + 2л: = 26 — X,

ему равносильным. Действительно, число 7 является единственным корнем как уравнения 5+ 2* = 26 — х, так и исходного уравнения.

Пример 6. Уравнение

после сокращения левой его части на общий множитель х— 1 заменяется уравнением х+\=2, не равносильным исходному. Действительно, число 1 является единственным корнем следствия, но не является корнем исходного уравнения.

Пример 7. Уравнение

после сокращения левой части на общий множитель х—I, заменяется уравнением дс+1 =5, равносильным исходному. Действительно, число 4 является единственным корнем как уравнения x-f-l=5, так и исходного уравнения.

Пример 8. Уравнение

х- 1=6—2*

после возведения обеих частей в квадрат заменяется уравнением (х—1)2 = (6—2х)2, ему не равносильным. Действительно, единственный корень исходного уравнения — число 7/3—является решением уравнения (х—1)2 = (6 — 2х)2, но корень этого уравнения — число 5 — не является решением исходного уравнения.

Пример 9. Уравнение

после возведения обеих частей в квадрат заменяется уравнением х+1 =2 — л,

равносильным исходному. Действительно, число 1/2 является единственным корнем как уравнения *+1=2 — х, так и исходного уравнения.

Утверждения о равносильности уравнений.

1. Уравнения f(x)=g(x) и f (х) — g(x) = 0 равносильны.

2. Уравнения f(x) — g\x) и / (х) + а = g (х) + а равносильны для любого числа а.

3. Уравнения f(x) = g(x) и af(x) = ag(x) равносильны для любого числа а Ф 0.

4. Уравнения a^{x) = ag{x) (а > 0, а Ф 1) и f(x) = g(x) равносильны.

5. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) неотрицательны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве уравнения / (х)= = g (х) и fn(x) = gn(x) (rt£N) равносильны.

6. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) положительны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве А уравнения logfl / (х) = loga g (х) {а > 0, а Ф 1) и / (х) = g (х) равносильны. В частности, если b > 0, то уравнения ah{x) = b и h (x) — \ogab равносильны.

7. Пусть функция у = ц)(х) определена и не обращается в нуль ни в одной точке множества Л, содержащемся в ОДЗ уравнения f(x) = g(x). Тогда на множестве А уравнения / (х) = = g (х) и / (х) ф (х) = g (х) ф (х) равносильны. Множество А может совпадать с ОДЗ уравнения f (x) — g(x).

Утверждения о следствии.

1°. Уравнение f2n (х) = g2n (х) (/zÇN) является следствием уравнения f(x)=g(x).

2°. Уравнение f(x) = g(x) является следствием уравнения bga / (х) = loga g (х) (а > 0, а ф 1).

3°. Уравнение / (х) = g (х) ф (х) является следствием уравнения f(x)/y(x) = g (X).

4°. Уравнение f(x) = g(x) является следствием уравнения f(x)+h(x)=g(x)+h(x).

5°. Совокупность уравнений

является следствием уравнения / (х) g (х) = 0,

Пример 10. Являются ли уравнения

равносильными?

Решение. Второе уравнение получено из первого уравнения прибавлением к обеим его частям одного и того же выражения —Г* котоРое не опРеДелено ПРИ *=1/2. Это означает,

что число 1 /2 не может быть корнем первого уравнения, но может быть корнем второго. Легко проверить, что число 1/2 является корнем второго уравнения.

Итак, корень второго уравнения *=1/2 не является корнем первого уравнения. Следовательно, данные уравнения не являются равносильными?

Пример 11. Являются ли уравнения

равносильными?

Решение. Решим первое уравнение. Освобождаясь от знаменателя, т. е. умножая обе части исходного уравнения на выражение X2— 13* + 30, получаем уравнение

Множество всех корней этого уравнения состоит из двух чисел: х1=10 и х2 = Ь. В результате проведенного преобразования могли появиться посторонние корни; поэтому необходимо сделать проверку. Она показывает, что число xi = \0 не является корнем исходного уравнения, а число х2 = 5 является его корнем, т. е. первое уравнение имеет единственный корень х = 5.

Уравнение х2—15*+ 50 = 0 имеет два решения: хг = Ъ и jta=10. Сравнивая множество корней данных уравнений, получаем: второе уравнение является следствием первого.

Пример 12. Являются ли уравнения

равносильными?

Решение. Множество всех корней второго уравнения состоит из двух чисел: *i = 2 и х2 = —2. Проверка показывает, что число —2 не принадлежит ОДЗ первого уравнения и поэтому не может быть его корнем; следовательно, эти уравнения не равносильны.

Второе уравнение примера 12 получено из первого возведением в квадрат, поэтому второе уравнение есть следствие первого. При этом данные уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения.

Пример 13. Являются ли уравнения

равносильными?

Решение. Множество всех корней второго уравнения состоит из двух чисел: 4 и —4. Однако число —4 не является корнем первого уравнения; поэтому данные уравнения не являются равносильными. При этом число —4 удовлетворяет условию x^s—5, т. е. входит в ОДЗ первого уравнения; следовательно, эти уравнения не являются равносильными на ОДЗ первого уравнения. Они равносильны, например, на множестве х^—2, так как на этом множестве число 4 является единственным корнем как первого, так и второго уравнения.

Пример 14. Являются ли уравнения

равносильными?

Решение. Множество всех корней второго уравнения состоит из чисел Xi = 3 и х2 = 1. Однако число 1 не является корнем первого уравнения, и поэтому данные уравнения не являются равносильными.

Этот пример показывает, что переход от уравнения \oga f(x) = = loga g (x) (где a > 0, a Ф 1) к уравнению f (x) — g (дс), вообще говоря, не приводит к равносильному уравнению, а приводит только к его следствию; поэтому при потенцировании уравнения необходимо сделать проверку.

Уравнение loga / (х) == loga g (х) равносильно на своей ОДЗ уравнению f (x)=g (х). Поэтому уравнения lg (дс2 — 4) = lg(4x—7) и x2 — 4х = 4х—7 равносильны на ОДЗ первого уравнения, состоящей из всех x > 2.

Пример 15. Даны два уравнения:

а) При каком условии второе уравнение есть следствие первого?

б) При каком условии первое уравнение есть следствие второго?

в) При каком условии эти уравнения равносильны? Решение, а) Пусть х0 — корень первого уравнения, т. е.

справедливо числовое равенство

отсюда получаем равенство

Прибавим к обеим частям этого равенства число fi (х0) f2 (х0). Получим

Поскольку /2 (х0) Ф О, то при /2 (*о) + /4 (хо) Ф 0 имеет место равенство

Это равенство означает, что число х0 является корнем второго уравнения. Поэтому, если ни один из корней первого уравнения не является корнем уравнения /2 W + /4 W = 0. то второе уравнение является следствием первого уравнения.

б) Пусть х0 — корень второго уравнения, т. е. справедливо числовое равенство

Тогда имеем равенство

или

Поэтому при /4 (*о) Ф 0 (напомним, что /2 (х0) Ф 0) имеем

Это означает, что число х0 является корнем первого уравнения.

Таким образом, если ни один из корней второго уравнения не является корнем уравнения /4(*)=0, то первое уравнение является следствием второго уравнения.

в) Объединяя результаты, полученные в п. п. а) и б), получаем: данные уравнения эквивалентны, если любой корень первого уравнения не является корнем уравнения f2 W + ?4 W = 0 и любой корень второго уравнения не является корнем уравнения

М*)=о.

Пример 16. Даны два уравнения:

а) Могут ли быть потеряны корни в результате перехода от первого уравнения ко второму?

б) Могут ли появиться посторонние корни при этом переходе?

Решение. Покажем, что при переходе от первого уравнения ко второму возможны и потеря корней, и приобретение постороннего корня.

а) Пусть

Так как число 1 является корнем уравнения

но не является корнем уравнения

(3)

то при переходе от уравнения (2) к уравнению (3) произошла потеря корня х=\.

б) Пусть f(x) = x, g(x) = 2x. Так как число я является корнем уравнения \gx = ig2x, но не является корнем уравнения х = 2х, то при переходе от уравнения х — 2х к уравнению tg х = = tg 2х был приобретен корень х = я.

Обращаем внимание на часто встречающуюся ошибку при решении уравнений, состоящую в том, что формально используются формулы, без учета условий их применимости, и в результате происходит сужение или расширение области допустимых значений исходного уравнения и тем самым возможна потеря корней или появление посторонних.

Так, например, при переходе от уравнения

(4)

к уравнению

(5)

теряется корень —5/2. Потеря корня происходит в результате неправильного применения формулы \^аЬ= Y\ я \ V\b\ (ab^O). Формула У"(2* + 3) (* —2) = J^2Ff3 У 7^2 верна только при *^2, т. е. при замене уравнения (4) уравнением (5) теряются корни из области —3/2. Поэтому нельзя считать, что уравнение решено, когда найдено единственное решение — число 3 — уравнения V х—2 j/~2* + 3 = 3.

Пример 17. Являются ли уравнения

равносильными?

Решение. Множество всех решений первого уравнения состоит из трех серий решений

из которых серия решений Xk = n/2+nk (&ÇZ) не является решением второго уравнения (не входит в его ОДЗ). Поэтому данные уравнения не являются равносильными. Они не равносильны на ОДЗ первого уравнения, но равносильны на ОДЗ второго уравнения, множеством всех решений которого являются последние две серии решений первого уравнения.

Пример 18. Решить уравнение

(6)

Решение.

Первый способ. ОДЗ уравнения есть любое х ф 0. Применяя формулу log2x2 = 2 log2*(* > 0), получаем уравнение 21og2x = 2, откуда находим * = 2.

Проделанное преобразование позволило решить уравнение (6) только на части его ОДЗ, а именно для положительных где справедлива формула log2 х2 = 2 log2 х. На множестве х < 0 уравнение не решалось; поэтому нельзя считать найденный корень единственным решением уравнения (6).

Решим уравнение на множестве х < 0. Поскольку х < 0

то для x < 0 получим уравнение

откуда находим х — —2. Этот корень удовлетворяет условию х< 0.

На каждом из двух множеств ОДЗ делались равносильные преобразования, поэтому уравнение (6) имеет два корня хг = 2 и х2 = —2.

Второй способ. Учитывая справедливость равенства

при любом x Ф 0, имеем

Третий способ. Уравнение

равносильно системе

Поэтому

Таким образом, решением исходного уравнения являются х± = 2 и х2 = —2.

Пример 19. Решить уравнение

(7)

Решение.

Первый способ. ОДЗ уравнения (7) задается условием —11. Учитывая, что

имеем

Таким образом, решения исходного уравнения содержатся среди чисел *i = 5 и х2 = —2.

Прежде чем сделать проверку, обратим внимание читателя на часто встречающуюся ошибку. Переходя от данного уравнения к его следствию, находят корни. Затем проверяют, входят ли найденные корни в ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые не входят в ОДЗ, отбрасывают, а остальные (входящие в ОДЗ исходного уравнения) выписывают в ответ. В этом и состоит ошибка. Нельзя ограничиться проверкой принадлежности найденных корней ОДЗ уравнения. Необходимо проверять, удовлетворяют ли корни следствия, входящие в ОДЗ исходного уравнения, самому исходному уравнению. Это подтверждается данным примером.

Действительно, оба корня совокупности удовлетворяют ОДЗ, но число 5 удовлетворяет уравнению (7), а число —2 не удовлетворяет ему. Итак уравнение (7) имеет единственный корень х = 5.

Второй способ. Уравнение У а (х) = ß (х) равносильно системе

так как ß2 (х) ^ 0, и равенство а (х) = ß2 (х) накладывает на а (х) условие неотрицательности.

Решая равносильным переходом уравнения типа (7), можно не находить ОДЗ этого уравнения, но обязательно накладывать условие неотрицательности функции ß (х).

Учитывая это, для данного примера имеем

Итак, х = 5 — единственное решение уравнения (7).

Пример 20. Решить уравнение

(8)

Решение.

Первый способ. ОДЗ уравнения (8) задается условием X2 (х—1)^0, т. е. есть х = 0 и х^ 1. Разобьем ОДЗ на две части: х = 0 и х^ 1.

Если х = 0, то уравнение (8) превращается в верное числовое равенство. Таким образом, число 0 — решение уравнения (8).

Если х^\, то |jc|=x и УX2 (х—\) = х\/Гх—1; поэтому уравнение (8) принимает вид хУх— \=х. В этих условиях левую и правую части последнего уравнения можно разделить на х.

Тогда имеем уравнение Ух—1 = 1, которое равносильно уравнению х = 2.

Объединяя найденные решения уравнения (8), на обеих частях его ОДЗ получим ^ = 0 и х2 = 2— решения уравнения (8).

Второй способ. Уравнение У а (х) — ß (х) равносильно системе

По определению модуль числа есть величина неотрицательная, следовательно,

Третий способ. Поскольку

имеем

При решении уравнения использовался переход к следствию, поэтому надо делать проверку. Подставляя х = 0 и х = 2 в исходное уравнение, получаем верные числовые равенства; следовательно, лс = 0 и х = 2—-корни уравнения (8).

Пример 21. Решить уравнение

(9)

Решение.

Первый способ. Уравнение р2 (х) = 0 есть следствие уравнения р(х)=0; поэтому

Поскольку уравнение (9) решалось переходом к следствию, то необходимо сделать проверку. Проверкой устанавливаем, что число 2 и число 3 является решением уравнения (9), а число 1 не является его корнем.

Второй способ. Учитывая, что совокупность уравнений

является следствием уравнения / (х) g (х) = 0, имеем

Делая проверку, устанавливаем, что xt = 2 и х2 = 3 — корни уравнения (9).

Третий способ. Находим ОДЗ уравнения (9). Она задается условием х^2. Учитывая, что уравнение f(x)g(x) = 0

равносильно системе

имеем

Следовательно, множество всех решений уравнения (9) состоит из чисел 2 и 3.

ЗАДАНИЕ 1

1. Найти область допустимых значений уравнения:

2. Являются ли уравнения равносильными:

3. Привести пример, когда уравнения вида

f(*) = 0 и f(x)g{x) = 0

1) равносильны;

2) первое уравнение является следствием второго;

3) второе уравнение является следствием первого.

4. Являются ли равносильными уравнения:

5. Какое из двух уравнений есть следствие другого:

ЗАДАНИЕ 2

1. Найти область допустимых значений уравнения:

2. Являются ли равносильными уравнения:

3. Какое из уравнений

есть следствие другого? При каком условии эти уравнения равносильны?

4. Являются ли равносильными уравнения:

5. Какое из двух уравнении является следствием другого:

ЗАДАНИЕ 3

1. Какое из двух уравнений является следствием другого:

2. Равносильны ли два уравнения:

3. Равносильны ли уравнение и совокупность уравнений:

ЗАДАНИЕ 4

1. Какое из двух уравнений является следствием другого:

2. Равносильны ли два уравнения:

3. Равносильны ли уравнение и совокупность уравнений:

Упражнения

1. Равносильны ли два уравнения:

2. Равносильны ли два уравнения на множестве целых чисел:

3. Равносильны ли следующие уравнения на множестве рациональных чисел:

4. Равносильны ли следующие уравнения на множестве действительных чисел:

5. Какое из двух уравнений является следствием другого:

6. Доказать, что

7. Доказать, что

§ 2. Равносильные неравенства

Два неравенства

fi (*X*iW и ft(x)<gt(x) (1)

называются равносильными (эквивалентными), если совпадают множества всех их решений. При этом пишут

Л M < £1 W<*fiW < ftW-

Если оба неравенства не имеют решений, то по определению они также считаются равносильными.

Пример 1. а) неравенства х2 > 1 и 1 + -—- > 0 равносильны, так как множества решений каждого из этих неравенств есть

X > 1 И X < — 1.

б) неравенства х— 1 > 0 и х(х— 1) > 0 не являются равносильными, так как значение х= —2 является решением второго неравенства, но не является решением первого.

Равносильные неравенства могут иметь различные области допустимых значений (например, неравенство х > 1 равносильно неравенству У х > 1), однако ОДЗ неравенства х > 1 является множество всех действительных чисел, а ОДЗ неравенства У X > 1 — множество неотрицательных чисел.

Из определения равносильных неравенств следует, что вместо данного неравенства можно решать неравенство, ему равносильное.

Два неравенства называются равносильными на множестве А, если совпадают множества их решений, принадлежащие этому множеству А.

Два неравенства могут быть неравносильными, но могут быть равносильными на некотором множестве. Примером могут служить неравенства х2 > 1 и х > 1, которые равносильны на множестве положительных чисел, но не являются равносильными на множестве всех действительных чисел.

Если для данной пары неравенств (1) любое решение первого неравенства является решением второго неравенства, то второе неравенство называется следствием первого неравенства, при этом пишут

Если заменить неравенство его следствием, то множество решений второго неравенства будет содержать множество решений исходного неравенства и помимо него может содержать некоторые числа, называемые посторонними решениями исходного неравенства. Поэтому, если в процессе решения от неравенства переходят к его следствию, то в конце решения необходимо провести исследование, позволяющее из полученного множества чисел отобрать те из них, которые являются решениями исходного неравенства.

Так, например,

Множество решений неравенства

состоит из всех чисел промежутка

однако множество решений неравенства

состоит из всех чисел промежутка

Этот пример, в частности, показывает, что посторонние решения (для исходного неравенства) могут возникнуть даже тогда, когда происходит сужение (а не расширение) области допустимых значений исходного неравенства.

Чаще всего посторонние решения при замене одного неравенства другим происходят за счет расширения ОДЗ исходного неравенства.

Утверждения о равносильности неравенств:

1. Неравенства f (х) < g (х) и g (х) > / (х) равносильны.

2. Неравенства f (х) < g (х) и f(x)—g(x) < 0 равносильны.

3. Неравенства / (х) < g (х) и / (х) + ф (х) < g (х) + ф (х) равносильны, если функция ф (х) определена на ОДЗ неравенства /(*)<*(*).

В частности, неравенства f (х) < g (х) и / (х) + а < g (*) + а равносильны для любого числа а.

4. Если функция ср (х) положительна при всех значениях х из ОДЗ неравенства f(x)<g(x), то неравенство f (х) < g (х) и неравенство ф (х) f (х) < ф (х) g {х) равносильны. Если функция F(x) отрицательная при всех значениях х из ОДЗ неравенства (х) < g(x), то неравенство f (х) < g (х) равносильно неравенству

ф (*)/(*) > ф (*)£(*)•

В частности, если а — положительное число, то

a если а — отрицательное число, то

5. Неравенства

6. Неравенства

равносильны.

равносильны для любого фиксированного числа а из промежутка (1; +»).

7. Неравенства

равносильны для любого фиксированного числа а из промежутка (0; 1).

8. Пусть функции f (х) и g (х) неотрицательны на множестве А. Тогда на этом множестве неравенства

равносильны.

9. Неравенства

равносильны.

10. Неравенства

равносильны.

11. Пусть а—фиксированное число из промежутка (1; +оо) и функции f (х) Hg (х) положительны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве равносильны неравенства

12. Пусть а—фиксированное число из промежутка (0; 1) и функции y = f(x) и y = g(x) положительны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве равносильны неравенства

Утверждения о том, когда одно неравенство является следствием другого.

1°. Неравенство f (х) < g (х) является следствием неравенства

2°. Неравенство f (х) < g (х) является следствием неравенства

3°. Пусть а —фиксированное число из промежутка (1; +оо). Тогда неравенство / (x) < g (х) является следствием неравенства loga/(x) < \ogag(x).

4°. Пусть а—фиксированное число из промежутка (0; 1). Тогда неравенство f(x) > g(x) является следствием неравенства \ogaf(x) < ^gag(x).

5°. Неравенство f (х) > 0 является следствием неравенства / (х) ' > 0, где ф (х) принимает только неотрицательные значения.

Пусть дано m неравенств fx (x) > g1 (х); ... ; fm (x) > gm (*), и пусть множество Q — пересечение ОДЗ всех этих неравенств. Если находят все числа a (ctÇQ), которые являются решением каждого из этих неравенств, то говорят, что дана система m неравенств

Множество Q называют областью допустимых значений (ОДЗ) этой системы. Число а из ОДЗ системы неравенств называется решением этой системы. Решить систему неравенств — это значит найти множество всех ее решений. Если это множество окажется пустым, то говорят, что система неравенств не имеет решений.

Пусть дано k систем неравенств:

(2)

Если нужно найти все числа а, каждое из которых является решением хотя бы одной из этих систем, то говорят, что дана совокупность k систем неравенств. Число а называется решением этой совокупности, если оно является решением хотя бы одной системы неравенств из совокупности (2). Решить совокупность систем неравенств (2) — это значит найти множество всех ее решений. Если каждая из систем совокупности (2) состоит только из одного неравенства, то говорят, что дана совокупность k неравенств.

Говорят, что неравенство f (x) > g (х) равносильно на множестве А совокупности систем неравенств (2), если множество решений (принадлежащих этому множеству) неравенства f (x) > g (х) совпадает с множеством решений (принадлежащих этой области) совокупности систем неравенств (2).

Пример 2. Являются ли неравенства

равносильными?

Решение. Второе неравенство получено из первого неравенства прибавлением к обеим его частям одного и того же выражения —î-r, которое не определено при х=\. Это означает, что число х=\ не может быть решением первого неравенства. Однако х = 1 является решением второго неравенства. Итак, существует решение второго неравенства, которое не является решением

первого неравенства. Следовательно, данные неравенства не являются равносильными. Второе неравенство является следствием первого неравенства, так как любое решение первого неравенства является решением второго.

Пример 3. Являются ли неравенства

равносильными?

Решение. ОДЗ первого неравенства есть множество R\{2; 3}. На этом множестве неравенство

равносильно первому и имеет решения (— оо ; 2), (5/2; 3) и (3; + оо).

Уравнение 2х2— llx-f-15 = 0 имеет два корня: Xi = 3 и х2 = 5/2. Следовательно, множество решений неравенства 2*2— 11дг+ 15 > 0 состоит из двух промежутков: (—оо; 5/2) и (3; -f-oo).

Таким образом, данные неравенства не являются равносильными и, более того, ни одно из них не является следствием другого.

Разобранный пример показывает, что при решении неравенства нельзя обе его части умножать на знаменатель без выяснения знака принимаемых им значений. Так в примере 3 имеем

Однако, умножив обе части последнего неравенства на выражение X2 — 5* + 6, мы получим неравенство 2*2—11*-|-15 > 0, не равносильное исходному.

Пример 4. Являются ли неравенства

равносильными?

Решение. Область допустимых значений первого неравенства определяется системой

и, значит, состоит из всех чисел отрезка [1; 2].

Решением второго из данных неравенства являются все числа из промежутка (—оо; 3/2).

Таким образом, данные неравенства не являются равносильными, так как, например, число х = —5 является решением второго неравенства, но не входит в ОДЗ первого неравенства.

Второе неравенство является следствием первого (см. утверждение 2°). Подчеркнем, что данные неравенства равносильны на ОДЗ первого неравенства.

Пример 5. Являются ли равносильными неравенства

Решение. Поскольку

то множество решений второго из данных неравенств состоит из всех чисел промежутков (—оо; 1) и (3; +оо). Однако, например, число х = 0 из промежутка (— оо ; 1) не является решением неравенства lg (л;2 — 4) > lg (4а:—7), так как оно не входит в его ОДЗ, и поэтому данные неравенства не являются равносильными. Второе неравенство примера 5 является следствием первого неравенства.

Пример 6. Доказать, что

Привести пример, когда эти системы не являются равносильными.

Решение. Пусть число х0 является решением первой системы; тогда справедливы числовые неравенства / (х0) > 0 и g(x0) > О, и, значит, f (х0)+g (х0) > 0. Таким образом, вторая система является следствием первой системы.

Положим f (х) = х2 и g (х) = X. Докажем, что системы

не являются равносильными. Действительно,

Следовательно, множество решений второй системы состоит из двух промежутков: (—оо; —1) и (0; + оо).

Пример 7. Доказать, что

Решение. Пусть число х0 является решением первого неравенства; тогда справедливо числовое неравенство Vf2(x0)^ ^У¥Ы- Так как Vf2 (х0) = | / (*0) I и У g2 (х0) = \g (х0) |, то

l/(*o)J>U(*o)|. ч1 , , ч1

Обратно, если х0 — решение неравенства | / (*0) | g (*о) I» то по свойствам числовых неравенств имеем

из которого получаем

Таким образом, данные неравенства являются равносильными,

ЗАДАНИЕ 1

Равносильны ли следующие неравенства:

ЗАДАНИЕ 2

Равносильны ли следующие неравенства:

ЗАДАНИЕ 3

Равносильны ли следующие неравенства:

ЗАДАНИЕ 4

Равносильны ли следующие неравенства:

ЗАДАНИЕ 5

Являются ли равносильными неравенство и система:

ЗАДАНИЕ 6

Являются ли равносильными неравенство и система:

ЗАДАНИЕ 7

Доказать, что неравенство и совокупность систем равносильны:

ЗАДАНИЕ 8

Доказать, что неравенство и совокупность систем равносильны:

Упражнения

1. Являются ли равносильными неравенства:

2. Являются ли равносильными неравенство и совокупность

систем:

ГЛАВА 2

УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

§ 1. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины

По определению

\а\ — а, если а^О, I а I = — а, если а < 0.

При решении уравнения, содержащего знак абсолютной величины (знак модуля), как правило, следует разбить ОДЗ уравнения на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве уравнение записать без знака модуля и решить на этом множестве. Объединение множеств решений, найденных на всех частях ОДЗ уравнения, составляет множество всех решений уравнения.

Простейшими уравнениями с модулями являются уравнения вида

(1)

где f (х) и g (х) — некоторые функции.

Для того чтобы решить уравнение (1), нужно найти сначала все решения уравнения f(x) = g(x), принадлежащие множеству х^О, затем решить уравнение /( — x) = g(x) на множестве х < 0; объединение множеств найденных решений составляет множество всех решений уравнения (1). Другими словами, уравнение (1) равносильно совокупности систем

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности систем

Уравнение х2 — 5х + 6 = 0 имеет два решения: Xi = 2, х2 = 3, каждое из которых неотрицательно; поэтому числа 2 и 3 являются решением первой системы совокупности. Уравнение х2 + 5х + 6 = 0 имеет решения х3 = —2 и jc4 = —3, которые являются решениями второй системы совокупности, так как *3 < 0 и хх < 0.

Следовательно, множество всех решений данного уравнения состоит из четырех чисел: —2, 2, —3, 3.

Заметим, что данное уравнение можно решить, используя метод замены неизвестного. Положим / = |*|. Тогда данное уравнение можно записать следующим образом: t2— 5/ + 6 = 0 (поскольку x2 = I x2 I = I x I2). Решением этого уравнения являются два положительных числа: 2 и 3; поэтому исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: |*| = 2, |*| = 3, решая которую получим решение исходного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности

Уравнение х = х2+х — 2 имеет корни хх= — V~2 и х2=У~2, из которых решением первой системы является число V~2. Уравнение — х = х2 + х—2 имеет два корня: х3 =—1 —У^З и *4 =—1 + }/3\ Так как —1 — ^3 < 0 и —1 + У~3 > 0, то решением второй системы совокупности является число ( — 1 — У~3 ). Таким образом, данное уравнение имеет два корня: У~2,

Приведем два способа замены уравнения

(2)

совокупностью систем.

Первый способ. Уравнение (2) равносильно совокупности систем:

Второй способ. Уравнение (2) равносильно совокупности систем:

Если в уравнении (2) функция / (х) имеет более простой вид, чем g (х), то целесообразно уравнение (2) заменять первой совокупностью систем, а если более простой вид имеет функция g (*), то уравнение (2) целесообразно заменять второй совокупностью систем.

В частности, уравнение вида

при Ь < О решений не имеет;

при Ь = 0 равносильно уравнению f(x) = 0;

при Ь > О равносильно совокупности уравнений

Пример 3. Найти все корни уравнения 2|x2 + 2*—5| = *— 1,

удовлетворяющие неравенству * < У 2 .

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности систем

которая на множестве (—оо; |^2) равносильна совокупности

Решим первую систему. Корнями уравнения 2*2 + 4*—10 = = *— 1 являются числа 3/2 и (—3), каждое из которых не принадлежит промежутку [1; V~2)t и поэтому первая система решений не имеет.

Решим вторую систему. Уравнение 2*2-f-4*—10 = —*+1 имеет корни

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию

Из неравенства

имеем следующую цепочку числовых неравенств:

Последнее числовое неравенство верно, и поэтому верно и исходное неравенство. Из неравенства

имеем

Последнее неравенство ложно, и поэтому исходное неравенство

также является ложным; следовательно,

Таким образом, выполняется условие

поэтому число

решение второй системы.

Число--- отрицательно, и, следовательно, оно не принадлежит промежутку [1; V~2) и решением системы не является. Таким образом, вторая система совокупности имеет единственныи корень --- .

Итак, совокупность двух систем, а следовательно, и исходное уравнение имеют единственный корень—число -^-.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений

Итак, единственным решением исходного уравнения является число 0.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид I / (х) I = —/ (х), где

Такое уравнение равносильно совокупности систем

Первая система этой совокупности равносильна уравнению f (х) — = 0, а вторая система — неравенству / (х) < 0; поэтому совокупность этих систем равносильна совокупности уравнения f (х) — 0 и неравенства f (х) < 0, т. е. неравенству /(*)^0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно неравенству

т. е. неравенству

Решая его, например, методом интервалов (рис. 2.1), находим решение исходного уравнения — объединение промежутков [3; 4) и [7; 8).

Рис. 2.1

Уравнение вида

(3)

где h, f, g—некоторые функции, равносильно совокупности систем

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решая уравнение ——находим Х\ — —3 — его единственный корень. Но он не удовлетворяет условию х—1^0; поэтому первая система совокупности решений не имеет.

Решая уравнение 0 = 1, находим *2 =—1/3 —его единственный корень. Он удовлетворяет условию *—1 < 0, и поэтому число —1/3 является решением второй системы совокупности.

Итак, единственным решением исходного уравнения является число —1/3.

При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

т. е. совокупности систем

(4)

Вторая система совокупности (4) решений не имеет. Первая система совокупности (4) равносильна совокупности двух следующих систем:

т. е. совокупности

(5)

Единственным решением совокупности (5), а следовательно, и исходного уравнения является число 0.

Рассмотрим уравнение вида

(6)

где fi(*)i fn(x)* S(x) — некоторые функции. Если это уравнение решать последовательным раскрытием знаков модулей, то после раскрытия одного знака модуля получается совокупность двух систем, после раскрытия второго знака модуля — совокупность четырех систем и т. д. Этот метод очень громоздкий. Такие уравнения проще решать методом интервалов. Для этого находят сначала все точки, в которых хотя бы одна из функций fi (х), /2 W, fn(x) меняет знак. Эти точки делят область допустимых значений уравнения (6) на промежутки, на каждом из которых все функции fi(x)yf2(x), fn (х) сохраняют знак. Затем, используя определение абсолютной величины, переходятот уравнения (6) к совокупности систем, не содержащих знаков модуля.

Рис. 2.2

Пример 8. Решить уравнение

(7)

Решение. Методом интервалов (рис. 2.2) находим интервалы знакопостоянства выражений За: — 8 и Зх — 2: х < 2/3, 2/3 < < X < 8/3, X > 8/3.

Таким образом, уравнение (7) равносильно совокупности трех систем:

т. е. совокупности систем

Решением первой системы являются все числа из промежутка (—оо ; 2/3]. Вторая и третья системы решений не имеют.

Итак, множеством всех решений исходного уравнения является промежуток (—оо ; 2/3J.

Пример 9. Решить уравнение

(8)

Решение. Методом интервалов находим (рис. 2.3) интервалы знакопостоянства выражений jc, 7 — jc и х—2: х < 0, 0 < < х<2, 2 < X <7, х> 7.

Рис. 2.3

Таким образом,

(8')

Первая система совокупности равносильна системе

и, следовательно, решений не имеет.

Вторая система совокупности равносильна системе

и, следовательно, решений не имеет.

Третья система совокупности равносильна системе

и, следовательно, решений не имеет.

Четвертая система совокупности равносильна системе

и, следовательно, решений не имеет.

Итак, совокупность (8'), а значит, и исходное уравнение решений не имеют.

Замечание. Решения уравнений вида

(9) (10)

(11)

(при заданных числах а, Ь, с > 0) допускают простую геометрическую интерпретацию.

Решить уравнение (9) —значит найти все точки на числовой оси Ох, которые отстоят от точки с координатой а на расстояние с. Таких точек две: точка с координатой (с + а) и точка с координатой (а —с).

Решить уравнение

— значит найти все такие точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от нее до точек с координатами 1 и 3 равна 6. Ясно, что ни одна из точек отрезка [1; 3] не удовлетворяет этому условию, так как сумма указанных расстояний для любой из них равна 2 (т. е. не равна 6). Вне этого отрезка существует только две искомые точки: точка с координатой 5 и точка с координатой (—1).

Аналогично интерпретируется решение уравнения вида (11). Так, например, для того, чтобы решить уравнение

нужно на числовой прямой Ох найти все такие точки, для каждой из которых разность расстояния от нее до точки с координатой (1) и расстояния от нее до точки с координатой (3) равна 2. Так как длина отрезка [1; 3] равна 2, то ясно, что любая точка с координатой х^З удовлетворяет, а любая точка с координатой X < 3 не удовлетворяет ему. Таким образом, решением исходного уравнения является множество всех чисел из промежутка [3; +оо).

Пример 10. Найти все значения а, при которых уравнение

(12)

имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми числами.

Решение. Уравнение (12) можно записать в виде

Из свойств абсолютной величины следует, что равенство |Л| + |£| = Л — В, справедливо тогда и только тогда, когда А^О и В^О. Следовательно, уравнение (12) равносильно системе неравенств

(13)

Значение а = 0 удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае система (13), а следовательно, и уравнение (12) имеют решением все x£R,

Пусть а ф 0. Тогда система неравенств (13) равносильна системе

(14)

Таким образом, необходимо найти все такие значения а, при которых система (14) имеет не менее четырех различных решений,

являющихся целыми числами. Сравним числа —а и —1/а2. Найдем их разность:

Так как а2+а+\ > 0 при любом а, то а2+а+\ на знак разности сравниваемых чисел не влияет. Согласно методу интервалов (рис. 2.4), имеем

Следовательно:

а) если а > 1, то система (14) решений не имеет; поэтому и исходная задача решений не имеет;

б) если а= 1, то (14) х = — 1, т. е. имеется единственное решение, и условия задачи не выполнены;

в) если 0 < а < 1, то —1 < —а < 0. Поэтому отрезок f—а~*2; —а] будет содержать не менее четырех целых чисел, если справедливо неравенство —а~2^—4. Решим систему

Итак, если 0 < а<: 1/2, то данное уравнение имеет не менее четырех различных решений, являющимися целыми числами.

г) если —1 < а < 0, то 0 < —а < 1, и отрезок [—а~2; —а] будет содержать по крайней мере четыре целых числа, если справедливо неравенство —а~2^—3. Решим систему

Рис. 2.4

Итак, если —У^З/З^а < 0, то уравнение имеет не менее четырех целых решений;

д) если а — — 1, то отрезку [—1; 1] принадлежат только три целых числа, т. е. условия задачи не выполнены;

е) если а < —1, то —1 < —а~2 < 0; и для того, чтобы отрезку [—а~2; —а] принадлежало не менее четырех целых чисел, необходимо выполнение неравенства —а ^ 3, т. е. неравенства

—3. Итак, при а<;—3 данное уравнение имеет не менее четырех целых решений.

Объединяя все результаты, получаем множество искомых значений числа а—промежуток (—оо;—3] и отрезок [—У^З/З; 1/2].

Пример 11. Найти все решения системы уравнений

(15)

удовлетворяющие условиям х > 0 и у < 0.

Решение. Пусть пара чисел (*0, у0) удовлетворяет условиям задачи, т. е. х0 > 0, у0 < 0 и (х0, у0) является решением системы (15).

Обозначим а = х0+\/у0, Ь— 10/3 — х0+у0; тогда первое уравнение можно записать в виде | а |+| 6|=а+£. Из свойств абсолютной величины следует, что это равенство справедливо тогда и только тогда, когда а ^ 0 и 6^0. Это означает, что справедливы неравенства

Из этих неравенств следует, что

Поскольку уо < 0, то это неравенство можно переписать в виде

(16)

Далее, так как

то

и, следовательно,

Поскольку

то

(17)

Сравнивая неравенства (16) и (17), приходим к выводу, что

откуда находим

Но тогда из условий

получаем

Итак, каждая пара чисел (х0, у0), удовлетворяющая условию задачи, находится среди пар (1/3; —3) и (3; —1/3). Проверкой убеждаемся, что они удовлетворяют всем условиям задачи. Эти пары чисел и есть множество всех решений данной системы.

При решении примера 11 было использовано следующее утверждение:

Равенство \ а | -f- | Ь \ = а + b имеет место тогда и только тогда, когда а^О и Ь^О, т. е.

Это утверждение является частным случаем следующего утверждения:

Равенство \ а+Ь\ = \ а\+\ b \ имеет место тогда и только тогда, когда ab^O, т. е.

Пример 12. Решить уравнение

(18)

Решение. Поскольку

то уравнение (18) можно переписать в виде

Используя утверждение 2, получаем равносильное неравенство т. е.

Решениями этого неравенства, а значит, и исходного уравнения являются число 0 и все числа из промежутка (1; +оо).

Пример 13. Решить систему уравнений

(19)

Решение. Данная система равносильна системе

которая (так как х+у — 4 = (х — 3) + (г/—1)) по утверждению 2 равносильна смешанной системе

Последняя система равносильна следующей совокупности систем:

Первая система этой совокупности равносильна системе

все решения которой можно записать в виде (/; 9 — /), где t — любое число из отрезка [3; 8].

Вторая система совокупности равносильна системе

множество решений которой состоит из числовых пар (а; —1—а), где а — любое число из отрезка [—2; 3].

Таким образом, решениями системы (19) являются все возможные числовые пары

Геометрическая интерпретация системы (19). Если на плоскости задана прямоугольная система координат ХОУ, то (рис. 2.5):

Рис. 2.5

а) множество всех точек прямой у =— х + 9 (т. е. точек (t; 9 — /), где /С(—оо; +оо)) и множество всех точек прямой у = — X— 1 (т. е. точек (а; —1—а), где aÇ(—оо ; + оо)) есть множество всех решений первого уравнения системы (19);

б) множество всех точек квадрата ABCD, включая его вершины А (3; 6), В (8; 1), С (3; —4) и D (—2; 1) (т. е. точек (/; 9 — t), где /С[3; 8] — точки стороны AB; точек (а; а —7), где а£[3; 8] —точки стороны ВС; точек (а;—1 — а), где 2; 3]— точки стороны CD; точек (ß; ß + З), где ßC[—2; 3] —точки стороны DA), есть множество всех решений второго уравнения системы (19);

в) множество всех точек стороны AB квадрата ABCD, лежащей на прямой у = — х+9, а также множество всех точек стороны CD, лежащей на прямой у = —х— 1 (т. е. точек (/; 9 — /), где t£[3; 8], и точек (а; — 1—а), где 2; 3]), есть множество всех решений системы (19).

ЗАДАНИЕ 1

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 2

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 3

1. Решить уравнение:

2. Найти все корни уравнения

удовлетворяющие неравенству

3. Найти все значения а, при которых система уравнений

имеет единственное решение. Найти это решение.

ЗАДАНИЕ 4

1. Решить уравнение:

2. Найти наименьшее целое значение х, удовлетворяющее уравнению

3. Найти все значения а, при которых система уравнений

имеет единственное решение. Найти это решение.

Упражнения

1. Решить уравнение:

2. Решить систему:

3. Найти все решения системы уравнений

удовлетворяющие условию х < О, у > 0.

4. Найти все решения системы уравнений

удовлетворяющие условию х > 0, у > 0.

5. Для каждого значения а найти все *, удовлетворяющие условию:

6. Найти все решения уравнения

удовлетворяющие неравенству

7. Найти все значения а, при которых уравнение имеет единственный корень:

8. Найти все значения а, при которых существует только одно значение х, удовлетворяющее системе уравнений:

9. Найти все значения а, при которых уравнение:

имеет три различных корня. Найти эти корни.

10. Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно два различных корня:

11. Найти все значения а, при которых система уравнений

имеет решение.

§ 2. Иррациональные уравнения

В этом параграфе рассматриваются уравнения, содержащие неизвестное под знаком корня (радикала). Отметим, что

1. Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.

3. Функции у= ухи у — у x являются возрастающими на своей области существования.

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Пример I. Доказать, что уравнение не имеет решений:

Решение, а) Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.

б) Левая часть исходного уравнения определена при х^~3/2. При каждом таком х величина У~2х+3 неотрицательна, а величина У~х+3 положительна. Следовательно, их сумма всегда больше нуля. Поэтому уравнение решений не имеет.

в) Выражение У 4-х определено при х^4, а выражение Ух — 6 определено при дс^б. Следовательно, не существует такого x, при котором оба эти выражения имеют смысл. Поэтому уравнение решений не имеет.

г) Выражение У— 1 —х определено при *<; — 1, и оно неотрицательно. При таких x верно неравенство х—5 < 0; поэтому выражение \/х—5 отрицательно. Левая часть уравнения неотрицательна, а правая —отрицательна; поэтому уравнение решений не имеет.

д) При x < 0 не имеет смысла выражение ЪУ х, при х > 0— выражение 3 j/"— x, а при х = 0 — выражение 17/х; следовательно, левая часть уравнения не имеет смысла ни при каком значении х. Поэтому уравнение не имеет решений.

е) ОДЗ уравнения определяется системой

из которой находим: х^З.

При любом X справедливо неравенство —3 < х+9; поэтому при х^ 3 верно неравенство У~х—3 < )Лс+9, т. е. выражение У х—3 — Ух+9 отрицательно. В то же время на ОДЗ исходного уравнения выражение Ух—2 положительно. Поэтому уравнение не имеет решений.

ж) Решая систему неравенств

находим ОДЗ уравнения: х^О.

На ОДЗ уравнения имеем Ух+9^3 и |/"~*^>0, т. е. его левая часть не меньше 3, а правая меньше 3. Поэтому уравнение не имеет решений.

з) Решая систему

находим ОДЗ уравнения: х < 0. При X < 0 верно неравенство

следовательно, и неравенство

В то же время при х < 0 выражение у—х положительно; поэтому справедливо неравенство У— х— 1 > — 1.

Таким образом, на ОДЗ уравнения его левая часть меньше (—1) (так как —у/Г2< — \), а правая часть больше (—1). Следовательно, уравнение не имеет решений.

Напомним, что уравнение

является, вообще говоря, следствием уравнения

Поэтому, если над иррациональным уравнением проводится преобразование, заключающееся в возведении обеих его частей в четную степень, то каждый из найденных корней полученного уравнения должен быть проверен: является ли он решением исходного уравнения или нет.

Проверка осуществляется непосредственной подстановкой в исходное уравнение каждого из корней полученного уравнения. Если подставляемое число превращает исходное уравнение в верное числовое равенство, то число удовлетворяет исходному уравнению, т. е. является его корнем; в противном случае говорят, что это число является его посторонним корнем.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение, а) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим 1 Зл: =1 — 2,v-4-ле2, т. е. уравнение

являющееся следствием исходного уравнения. Находим корни этого уравнения: хх = 0 и х2 = 5.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

Пусть х = 0\ тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Поэтому = 0 — корень исходного уравнения.

Пусть X = 5; тогда в левой части исходного уравнения имеем Y 1 -j-3-5 = 4, а в правой его части 1—5=:—4. Поскольку 4?=—4, то х2 = 5 не является корнем исходного уравнения.

Итак, *i = 0 — единственный корень исходного уравнения.

б) Возводя обе части уравнения в квадрат, получим

т. е. уравнение

являющееся следствием исходного уравнения.

Находим корни этого уравнения: Х\ — 0 и х2 = 5. Подстановкой каждого из этих корней в исходное уравнение устанавливаем, что корень Хх = 0 посторонний, а корень х2 = Ъ удовлетворяет ему.

Итак, число х2 = 5 — единственный корень исходного уравнения.

Отметим, что следствием уравнений а) и б) является одно и то же уравнение л:2 — 5л: = 0, имеющее два корня: дс^О и х2 = 5. Корень *1 = 0 есть корень уравнения а), но посторонний для уравнения б); корень х2 = 5 есть корень уравнения б), но является посторонним для уравнения а).

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Возводя обе части уравнения в квадрат, получим

т. е. уравнение

являющееся следствием исходного уравнения.

Найдем его корни: х1 = 0 и х2=\. Подставляя каждый из найденных корней в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются его корнями.

Это уравнение служит примером того, что возведение в квадрат исходного уравнения не всегда приводит к появлению посторонних корней.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Уединим один из корней в левой части:

Возводя в квадрат обе части полученного уравнения, имеем

Приводя подобные члены и уединяя радикал в правую часть, получим уравнение

Возводя обе части полученного уравнения в квадрат, имеем

т. е. уравнение

являющееся следствием исходного уравнения. Находим корни этого уравнения: #i = 6, х2 = 2 —.

Подставим каждый из этих корней в исходное уравнение. При х = 6 получим верное числовое равенство. Следовательно, Xi = 6 есть корень исходного уравнения.

При jc = 2~ левая часть исходного уравнения равна а его правая часть равна 7. Поскольку 6 4" Ф 7, то число х2 = 2~ не удовлетворяет исходному уравнению, т. е. является для него посторонним корнем.

Итак, Х\ = 6 — единственный корень исходного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Уединим по два радикала в каждой части так, чтобы после возведения в квадрат получить наиболее простое уравнение:

Проведем цепочку преобразований:

Последнее уравнение является следствием исходного и имеет корни #1 = 2 и х2 =—0,5.

При х = 2 исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Поэтому #1 = 2 является его корнем.

При х = —0,5 в левой части исходного уравнения имеем выражение У—0,5 — 2, которое лишено смысла; поэтому число х2 =—0,5 не удовлетворяет исходному уравнению.

Итак, #2 = 2 —единственный корень исходного уравнения.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Возводя обе части уравнения в куб, получим

По условию выражение

равно единице. Подставляя в полученное уравнение вместо этого выражения единицу, получим уравнение

(1)

являющееся следствием исходного уравнения, поскольку уравнение (1) может иметь корень, который не обязательно удовлетворяет соотношению:

Возводим уравнение (1) в куб:

Последнее уравнение имеет корни *i = 0 и *2=1.

Проверка показывает, что Xi = О — посторонний корень исходного уравнения, а х2=1 удовлетворяет ему.

Итак, х2= 1 —единственный корень исходного уравнения.

Уравнения вида

где f (х), g(x), ф (х) — некоторые функции, решают, как правило, следующим образом. Возводят обе части уравнения в куб и получают уравнение

В этом уравнении заменяют выражение

являющееся левой частью исходного уравнения, на ф (х), являющееся его правой частью. В результате получают уравнение

которое \поскольку оно решается при условии

= ф(*)/) является следствием исходного уравнения. После уединения радикала и возведения полученного уравнения в куб находят его корни, а затем непосредственной подстановкой в исходное уравнение каждого из найденных чисел отбирают те, которые являются корнями исходного уравнения.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Первый способ. Непосредственной проверкой убеждаемся, что справедливо соотношение

Левую часть этого равенства разлагаем на множители:

Заменяя разность единицей, получим уравнение

Сложив левые и правые части полученного и исходного уравнений, имеем уравнение

которое является следствием исходного уравнения и имеет корни *! = 2, х2 = —9/2.

Непосредственная подстановка этих чисел в исходное уравнение показывает, что они оба являются его решениями.

Второй способ. Обозначим 2х2+5х—2=/. Тогда исходное уравнение примет вид У t = У t — 7+ 1. Возведя обе части полученного уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение Уе— 7 = 3, являющееся следствием предыдущего. Из него находим /=16.

Возвращаясь к неизвестному х, получим уравнение

являющееся следствием исходного. Проверкой убеждаемся, что его корни *i = 2 и х2 =—9/2 являются корнями исходного уравнения.

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение

являющееся следствием исходного.

Положим у=

тогда

Это уравнение имеет два корня: ^ = 25/12, у2 — — 49/12.

Таким образом, следствием исходного уравнения является совокупность систем

(2)

Решим первую систему совокупности. Согласно теореме Виета, 1/х и l/yi—x2 являются корнями квадратного уравнения

решая его, находим его корни: 5/3 и 5/4. Следовательно, первая система совокупности равносильна совокупности систем:

Решение этой совокупности состоит из двух чисел: *i = 3/5 и х2 = 4/5.

Решим вторую систему совокупности. Корни квадратного уравнения

равны

Согласно теореме Виета, вторая система совокупности (2) равносильна совокупности систем:

Выражение

положительно, а число

отрицательно, поэтому первая система этой совокупности не имеет решений.

Решением второй системы этой совокупности есть число — (5 + /"73)/14.

Таким образом, множество всех корней исходного уравнения содержится в множестве

{— (5+V73)/14, 3/5, 4/5}.

Непосредственная подстановка показывает, что три числа: —(5+^73)/14, 3/5, 4/5 —составляют множество всех решений исходного уравнения.

При возведении обеих частей иррационального уравнения в степень, позволяющую избавиться от радикалов, появление посторонних корней исходного уравнения происходит, как правило, по следующим причинам:

а) за счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения (т. е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного уравнения);

б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них положительная, а другая отрицательная.

Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно проводить таким образом;

1. Найти ОДЗ исходного уравнения.

2. Перейти от уравнения к его следствию.

3. Найти корни полученного уравнения.

4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

Проверка состоит в следующем:

а) проверяется принадлежность каждого найденного корня ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними для исходного уравнения;

б) для каждого корня, входящего в ОДЗ исходного уравнения, проверяется, имеют ли одинаковые знаки левая и правая части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень. Те корни, для которых части какого-либо возводимого в четную степень уравнения имеют разные знаки, являются посторонними для исходного уравнения;

в) только те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения и для которых обе части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень, имеют одинаковые знаки, проверяются непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Такой метод решения с указанным способом проверки позволяет избежать громоздких вычислений в случае непосредственной подстановки каждого из найденных корней последнего уравнения в исходное.

Пример 9. Решить уравнение

(3)

Решение. Решая систему неравенств

находим ОДЗ уравнения: #i=l, #2 = 4. Проверкой устанавливаем, что каждое из них является корнем уравнения (3).

Итак, множество всех корней уравнения (3) состоит из двух чисел: хх=\ и х2 = 4.

Пример 10. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения: х^—16. Уединив радикал, получим уравнение угх+\6 = х—4. Возведя обе части этого уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение X2 — 9jc = 0, корни которого: *i = 0 и х2 = 9. Каждый из этих корней принадлежит ОДЗ исходного уравнения.

Для корня *1 = 0 части возводимого в квадрат уравнения угх+\6 = х—4 имеют разные знаки; поэтому х\ = 0— посторонний корень исходного уравнения.

Подстановкой убеждаемся, что х = 9 является единственным корнем исходного уравнения.

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Решая систему неравенств

находим ОДЗ уравнения: 1.

Возведя в квадрат обе части исходного уравнения, получим уравнение

являющееся его следствием. Корни этого уравнения: #! = 2 и х2 = —3.

Корень х2 = —3 не принадлежит ОДЗ исходного уравнения и поэтому является для него посторонним.

Подставляя число 2 в исходное уравнение, получаем верное равенство; следовательно, х = 2 является его единственным корнем.

Пример 12. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения: х^\. Возведя обе части уравнения в квадрат и проведя преобразования, получим уравнение

После возведения в квадрат обеих частей этого уравнения получим уравнение

являющееся следствием исходного уравнения. Корни этого уравнения: #1=10 и #2 = 362.

Число #2 = 362 является посторонним корнем исходного уравнения, так как для него возводимое в квадрат уравнение 2 \г2х2+Зх — 5 = 60 — 3# имеет правую и левую части разных знаков.

Число #!=10 принадлежит ОДЗ исходного уравнения и удовлетворяет ему; поэтому оно —его единственный корень.

Пример 13. Решить уравнение

Решение. Решая неравенство 1—#2^0, находим ОДЗ уравнения: —1<:#«^1.

Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение

являющееся следствием исходного. Корни этого уравнения: #i = 0 и #2 = 4/5.

Оба эти корня принадлежат ОДЗ исходного уравнения. Но при каждом из них правая часть возводимого в квадрат уравнения 2 Y\ — #2 = #—2 есть величина отрицательная, а левая-положительная. Поэтому оба эти корня являются посторонними для исходного уравнения.

Итак, исходное уравнение решений не имеет.

Пример 14. Решить уравнение

Решение. Решая систему неравенств

находим ОДЗ уравнения: х^—1/11.

В этом уравнении можно уединить любой из трех радикалов. Целесообразно уединить радикал yllx+l, так как полученное после возведения в квадрат и упрощений уравнение будет более простым, чем после уединения любого другого радикала.

Построим цепочку уравнений, являющихся следствием исходного:

Корни последнего уравнения: xt = 0 и х2 = —2^.

Корень х2 = —2^g не принадлежит ОДЗ исходного уравнения

и поэтому не является его решением.

Корень Xi = 0 принадлежит ОДЗ исходного уравнения и, подставляя его в исходное уравнение, получаем верное числовое равенство; поэтому Xi = 0 — корень исходного уравнения.

Итак, Xi = 0—единственный корень исходного уравнения.

Пример 15. Решить уравнение

Решение. Решая систему неравенств

находим ОДЗ уравнения: х^\. Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение

являющееся следствием исходного. Корни этого уравнения есть Xi = ~l/3 и х2 = 2.

Корень Xi = —1/3 не принадлежит ОДЗ исходного уравнения.

Корень *2 = 2 принадлежит ОДЗ исходного уравнения и при подстановке превращает его в верное числовое равенство.

Итак, Xi = 2 — единственный корень исходного уравнения.

Уравнение f (x) = g (x) a (x) является следствием уравнения

Если область определения функции ф (*) не уже ОДЗ уравнения f(x) = g(x), то уравнение

является следствием уравнения

Поэтому, если в процессе решения уравнения проводятся преобразования, состоящие в избавлении уравнения от знаменателя или в умножении уравнения на выражение, ОДЗ которого не уже ОДЗ данного уравнения, то возможно расширение ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, возможно появление посторонних корней. В этом случае также необходима проверка как составная часть решения уравнения.

Пример 16. Решить уравнение

Решение. Решая неравенство 2х— 1 > 0, находим ОДЗ уравнения: х > 1/2. _

Умножив обе части исходного уравнения на У2х—\ и упростив его, получим уравнение

являющееся следствием исходного. Его корни: хг = 1 и х2 = 3/4.

Оба корня принадлежат ОДЗ исходного уравнения. Подстановкой убеждаемся, что оба эти корня являются корнями и исходного уравнения.

Пример 17. Решить уравнение

(4)

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств

т. е. x > 0, x Ф 4.

Умножая обе части исходного уравнения на выражение 2 (2 У х-х)у получим уравнение

(5)

являющееся следствием исходного уравнения (уравнение (5) имеет более широкую ОДЗ: х^О).

Решая уравнение (5), находим два его корня: #!=16 и #2=4. Число #2 = 4 не принадлежит ОДЗ уравнения (4) и поэтому является посторонним его корнем. Подстановка числа #i=16 в уравнение (4) показывает, что оно является единственным его корнем.

Пример 18. Решить уравнение

(6)

Решение. ОДЗ уравнения (6): #^—1. Умножая обе части уравнения (6) на выражение у\+х—1, получим уравнение

являющееся следствием уравнения (6). Это уравнение имеет два корня: #1 = 0 и #2 = — 1 (заметим, что расширения ОДЗ не произошло). Оба найденных корня принадлежат ОДЗ уравнения (6); тем не менее проверка показывает, что #i = 0 — посторонний корень уравнения (6), а #2 = — 1 удовлетворяет ему.

Таким образом, уравнение (6) имеет единственный корень # = —1.

Пример 19. Решить уравнение

Решение. Решая неравенство 2— #3^0, находим ОДЗ исходного уравнения: #^ £/2 .

Правая часть исходного уравнения при любом # из ОДЗ является неотрицательным числом, поэтому #2 — 2^0, т. е. |#|^

Из неравенств х^^/2 и | # | ^ У 2 следует, что все корни исходного уравнения могут быть только среди чисел #<:—V~2.

Возведя обе части исходного уравнения в шестую степень, получим его следствие: (#2 —2)2 = (2 —#3)3, т. е. уравнение

которое преобразуем и запишем следующим образом:

Таким образом, следствием исходного уравнения является система:

Эта система не имеет решений, так как при #<;—У2 все слагаемые в левой части уравнения этой системы отрицательны.

Итак, уравнение, данное в условии задачи, решений не имеет.

Пример 20. Решить уравнение

Решение. Решив систему неравенств

найдем ОДЗ уравнения —промежутки —2«^*<0 и 0 < х^2.

Умножая исходное уравнение на выражение

получим уравнение

являющееся следствием исходного. Перенося все члены этого уравнения в левую часть и группируя слагаемые, получаем уравнение

На ОДЗ исходного уравнения имеем:

поэтому уравнение

является следствием исходного. Оно имеет корни: хл=—2, х2 = = 0, *з = 2.

Корень *2 = 0 не принадлежит ОДЗ исходного уравнения.

Непосредственной подстановкой каждого из чисел хх = —2 и *з = 2 в исходное уравнение, убеждаемся, что множество всех его решений состоит из двух чисел: (—2) и 2.

Это уравнение можно решить другим способом. Найдем ОДЗ уравнения: —2<*<0, 0<*^2. Домножая числитель и знаменатель левой части исходного уравнения на выражение

получим

т. е. уравнение

Умножив обе его части на х, получим уравнение

являющееся следствием исходного уравнения.

Корни этого уравнения: хх =—2 и х2 = 2. Подстановкой каждого из корней в исходное уравнение устанавливаем, что они удовлетворяют ему.

Формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений. Пусть / и g— некоторые функции, Тогда:

Применяя любую из этих формул формально (без учета указанных ограничений), следует иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Например, выражение У] У g определено при / ^0 и g^O, а выражение Vf g —как при f^O, g ^ 0> так и при / ^ 0, g <:0.

Для каждой из формул 1—5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой. Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул 1—5 «слева — направо» (как они написаны) приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения; поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.

Преобразования уравнений с формальным использованием формул 1—5 «справа — налево» недопустимы, так как возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней. Так, например, если заменить уравнение У{х—2) (2л:+3) = = 3 (ОДЗ: Ж—3/2, х^2) уравнением Ух —2 /~2x4-3 = 3 (ОДЗ: х^2), то будет сужена ОДЗ исходного уравнения и потерян корень х = —5/2.

Пример 21. Решить уравнение

Решение. Используя формулы 4 и 5, получим уравнение

являющееся следствием исходного. Решение этого уравнения сводится к решению совокупности уравнений

Из первого уравнения этой совокупности находим Xi =—1. Из второго следует, что \х—1 \ = х+5, откуда находим х2 = —2.

Таким образом, корнями данного уравнения могут быть только числа (—1) и (—2). Проверка показывает, что оба найденных корня удовлетворяют данному уравнению.

Пример 22. Решить уравнение

Решение. Решая систему неравенств

найдем ОДЗ данного уравнения —промежуток —2 < #<;2. Положив t =

получим

поэтому данное уравнение можем записать в виде

является следствием данного уравнения. Решая эту совокупность, находим ее корни: Xi — 2 и х2 = 0.

Оба корня принадлежат промежутку —2 < *^2; подстановкой чисел 0 и 2 в исходное уравнение убеждаемся, что они являются его корнями.

Итак, множество всех решений исходного уравнения состоит из двух чисел: xt = 2 и х2 = 0.

Некоторые преобразования приводят к тому, что ОДЗ полученного уравнения не содержит некоторой части ОДЗ исходного уравнения и в то же время имеет часть, не содержащуюся в ОДЗ исходного уравнения. Делая такие преобразования, можно получить уравнение, среди корней которого нет некоторых корней исходного уравнения и в то же время среди корней полученного уравнения содержатся посторонние его корни.

Например, если рассматривать уравнение

(7)

Корнями этого уравнения являются ti=0 и t2=\. Следовательно, совокупность уравнений

т. е. совокупность

как пропорцию и, используя свойство пропорции

заменить его уравнением

(8)

то из двух корней х± = 2 и х2 = 0 уравнения (8) (см. пример 22) корень *1 = 0 является посторонним для уравнения (7) (см. пример 20), а корень х3 = —2 уравнения (7) не содержится среди корней уравнения (8).

Чтобы избежать потери корней и появления посторонних корней, целесообразно решать уравнение методом равносильного перехода, т. е. решать уравнение только на его ОДЗ, заменяя уравнение равносильным. Если желаемое преобразование уравнения или его членов на всей ОДЗ сделать нельзя, то надо разбить ОДЗ уравнения на части и на каждой из этих частей решить уравнение. Затем, объединяя множества решений уравнения на всех частях ОДЗ уравнения, получим множество всех решений уравнения.

Например, решим уравнение (7) методом равносильного перехода (рассматривая уравнение (7) как пропорцию и переходя к уравнению (8), являющемуся его производной пропорцией).

ОДЗ уравнения (7) есть множество всех х из двух промежутков: —2^д:<0 и 0<*«^2. Непосредственной подстановкой х1 = —2 и х2 = 2, принадлежащих ОДЗ уравнения (7), убеждаемся, что эти числа являются его корнями. На оставшейся части ОДЗ, т. е. на интервалах —2 <*<0и0<*<2, уравнение (7) равносильно уравнению (8).

Решения *з = 0 и *4 = 2 уравнения (8) не принадлежат ни одному из интервалов —2 <*<0и0<*<2; поэтому на рассматриваемой части ОДЗ уравнение (7) решений не имеет. Таким образом, множество всех решений уравнения (7) состоит из двух чисел: xi = —2 и х2 = 2.

Пример 23. Решить уравнение

(9)

Решение. Решая неравенство

находим ОДЗ уравнения (9): *< — 1 и X > 3. На ОДЗ уравнения имеем:

и

поэтому уравнение (9) равносильно совокупности систем

Обозначим t

Поскольку

то полученная совокупность систем равносильна совокупности

На ОДЗ исходного уравнения

поэтому из последней совокупности систем следует, что

(9)

Уравнение х2 — 2х — 52 = 0 имеет два корня: #2=1 — ^53, из которых только х2 удовлетворяет условию х^ —1. Уравнение х2 — 2х—19 = 0 имеет также два корня: х3 = = 1+2 и лг4=1—21^5, из которых только х3 удовлетворяет условию X > 3.

Итак, множество всех решений уравнения (9) состоит из двух чисел: 1 —- У"53 и 1+2^5 .

Приведем другое решение уравнения (9).

ОДЗ уравнения (9) задается совокупностью двух неравенств:

Обозначим у

тогда

уравнение (9) можно записать в виде

Поскольку у2+Зу — 28 = (у+7) (у—4), то полученное уравнение имеет два корня: у1 = —7 и */2 = 4. Следовательно, уравнение (9) равносильно совокупности двух уравнений:

Выражение

неотрицательно; на ОДЗ уравнения имеем:

х—3 > 0 при x > 3 и х-3 < 0 при —1. Поэтому уравнение (9) на его ОДЗ равносильно совокупности двух систем:

Решая полученную совокупность систем, находим множество всех корней уравнения (9) — числа 1 — у к и 1+2 У Ъ .

Пример 24. Решить уравнение

(10)

Решение. Решая неравенство *2—1^0, находим ОДЗ уравнения (10) — промежутки —оо < х^— 1 и 1 # < +оо. Непосредственной подстановкой каждого из чисел #i = — 1 и х2=1 в уравнение (10) убеждаемся, что они не являются его корнями. На оставшейся части ОДЗ уравнения имеем £/*2 — 1 > 0; при этом:

если x < —1, то

если x > 1, то

Следовательно, на этой части ОДЗ, разделив на ух2—1 обе части уравнения (10), имеем равносильную ему совокупность двух систем:

Для каждого х из промежутков —оо < х < —1 и 1 < л: < +оо выражение

положительно; поэтому, обозначив t

получим, что t > 0 и Учитывая, что

имеем: совокупность систем (11) равносильна совокупности систем

т. е. совокупности

Находим, что

При с Ф 1 имеем:

Отсюда получаем, что числа *i =

являются корнями соответствующих уравнении систем последней совокупности. Таким образом, уравнение (10) равносильно совокупности систем

следовательно, множество всех_решений уравнения (10) состоит из двух чисел: — |/"5 /2 и ]/" 5 /2.

Уравнение вида

равносильно системе

Пример 25. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

т. е. системе

Решая уравнение #2 + 7л: + 6 = 0, найдем два его корня: *i = —1 и х2 — — 6. Условию X ^— 4 удовлетворяет только Xi~ —1. Следовательно, единственным корнем исходного уравнения является число (—1).

Пример 26. Решить уравнение

(12)

Решение. Решая систему неравенств

находим ОДЗ уравнения (12): х^ — 4. Имеем:

Решая уравнение х2 — 288х+1136 = 0, находим его корни: *i = 284 и jc2 = 4. Условию —4<:х<:12 удовлетворяет только х2 = 4. Следовательно, х = А — единственный корень уравнения (12).

Пример 27. Решить уравнение

(13)

Решение. Решая систему неравенств

находим ОДЗ уравнения: х^> — 4/3. Имеем:

Отсюда находим, что Xi = — 4/3 — единственный корень уравнения (13).

Смешанную систему, состоящую из уравнения и неравенств, рационально решать следующим образом: не решая систему неравенств, решить уравнение этой системы, а затем исследовать, какие из корней удовлетворяют всем условиям системы, а какие не удовлетворяют.

Пример 28. Решить уравнение

(14)

Решение. Перепишем уравнение (14) таким образом, чтобы после возведения в квадрат обеих его частей получить равносильное уравнение, более простое, чем в остальных случаях:

Учитывая, что левая и правая части последнего уравнения должны быть одновременно либо неотрицательными, либо неположительными, и возводя обе его части в квадрат, получим равносильную ему систему, состоящую из уравнения и совокупности двух систем неравенств:

которая после упрощений принимает вид

Эта система равносильна совокупности двух систем:

(15)

(16)

Имеем:

Корни х1 =— 2, х2 =-2- и Хз =-2- уравнения системы (15) не удовлетворяют ей, так как xx =— 2 не удовлетворяет условию х2 + х — 3^0, х2 =-^- не удовлетворяет условию 2х2 — 1^0, х3 =--- не удовлетворяет условию x2 + 5* + 5 ^ 0. Поэтому система (15) не имеет решений.

_3+у7> -3-/"5 Корни х2 =-2- и *3 =-2- уравнения системы (1о) не удовлетворяют ей, так как х2 =-^- не удовлетворяет условию 2л:2—1^0, х3 =---не удовлетворяет условию х2+х—3<:0, а корень Хх =— 2 удовлетворяет всем условиям системы (16).

Итак, совокупность систем (15) и (16), а следовательно, и уравнение (14) имеют единственный корень Xi = — 2.

Пример 29. Решить уравнение

(17)

Решение. Обозначив

имеем / ^ 0

Произведя замену неизвестного в уравнении (17), получим

Итак, уравнение (17) равносильно неравенствам

Таким образом, исходное уравнение (17) имеет бесконечно много корней, а именно все числа х из отрезка [5, 10].

Решение некоторых иррациональных уравнений сводится к решению однородных уравнений или алгебраических систем.

Пример 30. Решить уравнение

(18)

Решение. ОДЗ уравнения (18) —множество всех действительных чисел. Заметим, что если положить и= у х+\, v = = \/x—1, то уравнение (18) примет вид

(19)

Левая часть этого уравнения является однородной функцией степени 2.

Число х = 1 не является корнем уравнения (18); следовательно, если x Ф 1, то V ф 0. Разделив (19) на v2 и положив w = u/v, получим уравнение w2 — Зш + 2 = 0, откуда щ=1 и w2 = 2.

Таким образом, уравнение (18) на оставшейся части его ОДЗ (т. е. при x Ф — 1) равносильно совокупности

Первое уравнение этой совокупности корней не имеет, второе имеет единственное решение л: = 9/7, принадлежащее ОДЗ уравнения (18). Следовательно, уравнение (18) имеет единственный корень х-9/7.

Пример 31. Решить уравнение

(20)

Решение. ОДЗ уравнения —множество всех действительных чисел. Положим и=\/8 + *, v=\/8 — х. Поскольку uz+v3=16, то для и и v получим симметрическую систему уравнений

решая которую найдем:

Таким образом, уравнение (20) равносильно совокупности двух уравнений:

Решая эту совокупность, найдем множество всех решений уравнения (20) —числа 3V2Ï и ( —3 }^2Ï).

Уравнение вида

введением переменных

сводится к решению системы алгебраических уравнений

Пример 32. Решить уравнение

(21)

Решение. Положив

имеем

Для и и V получим:

Эта система равносильна совокупности двух систем:

(22)

Первая система совокупности (22) не имеет решений, так как дискриминант квадратного уравнения

отрицателен.

Вторая система совокупности (22) имеет два решения:

(23)

Поскольку и=У я, то ы^О; так как и2 < 0, то уравнение (21) равносильно уравнению

откуда получаем

— единственный

корень уравнения (21).

Пример 33. Решить систему

(24)

Решение. Заменим систему (24) системой

(25)

являющейся следствием системы (24). Система (25) равносильна совокупности двух систем:

(26)

Первая система совокупности (26) равносильна системе Вторая система совокупности (26) равносильна системе

Из условия ху = 9 следует, что х и у одного знака; поэтому справедливы равенства

Следовательно, система (27) равносильна системе

(28)

Уравнение а2 — 10а + 9 = 0 имеет корни а\=\ и а2 = 9. Согласно теореме Виета, система (28) равносильна совокупности двух систем:

которая равносильна совокупности четырех систем:

Таким образом, множество всех решений системы (24) содержится среди множества упорядоченных пар

соответствующих буквенному набору (х; у). Подстановкой каждой из этих пар в систему (24) убеждаемся, что пара (—1; —9) не удовлетворяет этой системе, а остальные пары ей удовлетворяют.

Итак, множество всех решений системы (24) состоит из четырех упорядоченных пар: ( — 9; —1); ( — 2; —9/2); (1; 9); (9; 1), соответствующих буквенному набору (х\ у).

Пример 34. При каждом значении а решить уравнение

(29)

Решение. Уравнение (29) равносильно системе

которая в свою очередь равносильна системе

(30)

(27)

Уравнение системы (30) является уравнением четвертой степени относительно х и второй степени относительно а. Переписав его в виде

разложим левую часть на множители. Дискриминант квадратного трёхчлена относительно а равен

и, следовательно,

Таким образом, уравнение (29) равносильно совокупности двух смешанных систем:

т. е. совокупности систем

Первая система этой совокупности решений не имеет. Вторая система совокупности равносильна системе

которая равносильна совокупности систем:

Таким образом, для уравнения (29) получаем: при а< —1/4 корней нет;

при а =—1/4 и а>0 существует единственный корень

при —1/4 < û<0 существует два корня:

Пример 35. Найти такие значения a, bt с, при которых уравнение

(31)

имеет бесконечно много решений.

Решение. Перенесем У х в правую часть и возведем обе части полученного уравнения в квадрат. После приведения подобных членов получим уравнение

являющееся следствием уравнения (31).

При а+2с = 0 и с2 — Ь = 0, и только в этом случае, последнее уравнение имеет бесконечно много решений (все неотрицательные числа).

Подставив а — — 2с и è = c2 в исходное уравнение, получим

или

т. е. уравнение

(32)

При с < О это уравнение корней не имеет, а при с = 0 имеет единственное решение: xi = 0.

Пусть с > 0. Рассмотрим такие значения неизвестного х, которые удовлетворяют неравенству О^х^с2. Тогда У х^с, а поэтому I У X—с\ = с—У X. Следовательно, уравнение (32) равносильно системе

Итак, уравнение (31) имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда а = —2с, Ь — с2 и с > 0, и его решениями являются все числа из отрезка [0; с2].

ЗАДАНИЕ 1

I. Доказать, что уравнение не имеет действительных корней:

2. Решить уравнение, вводя новое переменное

ЗАДАНИЕ 2

1. Доказать, что уравнение не имеет действительных корней:

2. Решить уравнение, вводя новое переменное

ЗАДАНИЕ 3

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 4

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 5

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 6

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 7

1. Решить уравнение:

2. Решить систему уравнений:

ЗАДАНИЕ 8

1. Решить уравнение:

2. Решить систему уравнений:

Упражнения

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить систему уравнений:

§ 3. Показательные уравнения

Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Используя это свойство, уравнение

где а > 0, а Ф 1, Ь > О, следует решать так:

Многие показательные уравнения решаются методом приведения обеих частей уравнения к одному основанию.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Поскольку

то

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Поскольку

то

При решении простейших показательных уравнений используется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Вынося в левой части уравнения выражение 52*-1 за скобки, получаем

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку

то исходное уравнение равносильно уравнению

Уравнение вида

равносильно уравнению f (х) = 0.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению х2 + -1- X — 2 = 0. Следовательно, данное уравнение имеет два корня: х1 = —2, #2=1.

Пример 6. Решить уравнение

(1)

Решение. Область допустимых значений уравнения (1) определяется условием 5 — х^ 0, т.е. #<:5. При таких значениях х уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

Из первого уравнения находим #! = 5.

Для решения второго уравнения преобразуем его правую часть: 9 УЗ =32 31/2 = 32.ь. Та ким образом, второе уравнение совокупности равносильно уравнению

т. е.

Отсюда находим

Области допустимых значений уравнения принадлежит только число 1/5. Следовательно, решениями уравнения (1) являются числа 5 и 1/5.

Пример 7. Решить уравнение

(2)

Решение. В данном уравнении имеется два различных основания степеней. Разделив обе части уравнения (2) на положительную величину (9/5) 52х З3*, получаем уравнение

Последнее уравнение равносильно уравнению

отсюда х + 3 = 0, т. е. х = — 3.

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Сгруппируем члены, содержащие степени с основанием 4 и с основанием 3:

Вынесем общие множители за скобки:

Разделим это уравнение на выражение в его правой части, получим (4/3)*-3/2= 1. Отсюда находим х — 3/2 = 0; следовательно, х = 3/2 — единственный корень исходного уравнения.

Уравнение вида

f (а*) = 0

при помощи замены переменной t — ax сводится к решению равносильной ему совокупности простейших показательных уравнений:

где /ь t2,..., h~все корни уравнения f(t) = 0. Так, например, уравнение

где Л, Б, С —некоторые числа, а > 0, а Ф 1, сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений ax = ti, ax = t2, где tu t2— корни уравнения At2 + Bt + С = 0.

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Пусть / = 5*. Тогда /2 — 2t— 15 = 0. Отсюда находим ti—Ь, t2 = — 3. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности уравнений

Второе уравнение этой совокупности корней не имеет, так как — 3 < 0, а 5* > 0 при любом х, а из первого уравнения находим, что х=\ единственный корень исходного уравнения.

Уравнение вида

(3)

где а > 0, а Ф 1, Ь > 0, может быть решено при помощи логарифмирования обеих частей (это возможно, так как обе части уравнения положительны). Логарифмируя, получаем уравнение

равносильное уравнению (3).

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Обе части уравнения положительны; поэтому можно прологарифмировать его по основанию 5. Получим уравнение

равносильное исходному. Таким образом,

т. е.

Пример 11. Решить уравнение

(4)

Решение. Обе части данного уравнения положительны. Прологарифмировав обе части этого уравнения по основанию 5, получим уравнение

т. е. уравнение

равносильное уравнению (4). Отсюда находим

т. е.

Пример 12. Решить уравнение

(5)

Решение. Поскольку

то уравнение (5) равносильно уравнению

Положим 81/x = t; тогда уравнение (5) равносильно совокупности уравнений

где числа 6 и 2 — корни квадратного уравнения

Из этой совокупности находим два корня уравнения (5):

Решение показательных уравнений, в которых имеется три степени с различными основаниями, являющихся последовательными членами геометрической прогрессии, причем эти основания возводятся в одну и ту же зависящую от х степень, сводится к решению квадратных уравнений. Такие уравнения имеют вид

(6)

где а Ф О, ß, у—действительные числа, / (х) — некоторая функция, а основания я, b и с удовлетворяют условию Ь2 = ас.

Уравнения такого типа сводятся к решению совокупности показательных уравнений

где tlt t2— корни квадратного уравнения

Пример 13. Решить уравнение

(7)

Решение. В этом уравнении числа 16, 36, 81 образуют три последовательных члена геометрической прогрессии (со знаменателем 9/4).

Для решения исходного уравнения разделим обе его части на 81х. Получаем

(8)

Пусть / = (4/9)*; тогда уравнение (8) принимает вид

откуда /х = 2/3 и t2 ——13.

Таким образом, уравнение (7) равносильно совокупности двух показательных уравнений:

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет, Из уравнения (4/9)* = 2/3, т. е. уравнения

находим единственный корень исходного уравнения:

Пример 14. Решить уравнение

(9)

Решение. Используя свойства степени, представим данное уравнение в виде

(10)

Разделим обе части уравнения (10) на 15Л'2 + Зл'~4 и введем обозначение у = (3/5)л*~3*-4. Получим уравнение

которое имеет единственный положительный корень yi—l. Таким образом, уравнение (9) равносильно уравнению

т. е.

откуда следует, что множество всех решений уравнения состоит из двух чисел: —4 и 1.

Пример 15. Решить уравнение

(11)

Решение. Это уравнение близко по виду к уравнению (6): показатель степени у оснований один и тот же, однако основания 27, 12 и 8 трех последовательных членов геометрической прогрессии не образуют.

Последовательными (но четырьмя) членами геометрической прогрессии являются числа 27, 18, 12 и 8. Поэтому можно считать, что член, содержащий 18х, входит в данное уравнение с пулевым коэффициентом.

Делим все члены уравнения (11) на 8А" и получаем

Пусть / = (3/2)*; тогда имеем уравнение t3 +1 — 2 = 0. Поскольку t3 + t — 2 = (t—l)(/2 + / + 2), то это уравнение имеет единственный корень t1=\. Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению

единственный корень которого х = 0. Уравнение вида

(12)

где а, ß, с — действительные числа, а основания а и b являются взаимно обратными положительными числами (т. е. ab=l), можно решать следующим образом.

Ввести переменную t = a^x) и, используя равенство ab=\t перейти от уравнения (12) к уравнению

(12')

Тогда уравнение (12) будет равносильно совокупности двух показательных уравнений:

где fi, /2 — корни уравнения (12'). Если уравнение (12') решений не имеет, то и уравнение (12) также не имеет решений.

Пример 16. Решить уравнение

(13)

Решение. Используя свойства степени, перепишем данное уравнение в виде

Это уравнение является уравнением вида (12).

Пусть /

тогда имеем

, Отсюда находим

Таким образом, уравнение (13) равносильно уравнению

откуда x= 1.

Пример 17. Решить уравнение

(14)

Решение. Поскольку

то, умножив

обе части уравнения на

приведем его к виду (12):

(15)

Положим t —

тогда уравнение (15) принимает вид

корни этого уравнения есть ^=10, t2=\/\0.

Таким образом, уравнение (14) равносильно совокупности показательных уравнений

(16)

Первое уравнение этой совокупности равносильно уравнению

откуда

Второе уравнение совокупности (16) равносильно уравнению

которое корней не имеет, так как его дискриминант меньше нуля.

Таким образом, решениями уравнения (15) являются числа Xi и х2.

Решение некоторых показательных уравнений сводится к решению алгебраических однородных уравнений (см. § 3 гл. 4).

Пример 18. Решить уравнение

(17)

Решение. Уравнение (17) равносильно уравнению

(18)

решение которого сводится к решению однородного уравнения

Поскольку 2х Зх > О, то уравнение (18) можно разделить на 22(*2-зх). Тогда получим уравнение

равносильное уравнению (17).

Пусть f = (3/2)**-s*i тогда из уравнения 27/2 + fa — 8 = 0 находим ti = — 2/3, /2 = 4/9.

Таким образом, уравнение (17) равносильно уравнению

Отсюда находим *i = l, х2 = 2 — корни уравнения (17).

Пример 19. Решить уравнение

(19)

Решение. Область допустимых значений данного уравнения состоит из всех натуральных чисел, больших 1.

Уравнение (19) является однородным; разделив обе части уравнения на ^/4 и положив ^ = ^/3/2, получим уравнение

корни которого /i = 3/2, t2 = 2/3.

Таким образом, уравнение (19) равносильно совокупности уравнений

которые решений не имеют. Следовательно, и уравнение (19) корней также не имеет.

Замечание. В некоторых пособиях и руководствах областью определения, например, функции у — ^2 принято считать множество всех положительных чисел (а иногда и всех х таких, что хфО).

Однако, придерживаясь точного определения корня, следует считать, что функция у =%/2 определена только при натуральных х^2.

Поэтому функции y = 2llX wy=x/2 нельзя считать тождественными: они имеют разные области определения.

Пример 20. Решить уравнение

(20)

Решение. Заметим, что32 + 52 = 34. Поэтому уравнение (20) имеет решение хх = 3. Докажем, что других решений нет.

Действительно, каждая из функций у = Зх-г и у = 5х~1 как показательная функция с основанием, большим 1, является возрастающей; поэтому их сумма — тоже возрастающая функция. Значит, при x < 3 левая часть уравнения меньше 34, а при х > 3 больше 34.

Пример 21. Решить уравнение

(21)

Решение. Разделив обе части уравнения на 2х, получим уравнение

(22)

равносильное уравнению (21). Уравнение (22) можно записать в виде

(23)

Сравнивая это уравнение с основным тригонометрическим тождеством, заключаем, что число Х\ = 2 является корнем уравнения (21). Других корней нет, так как в левой части уравнения (22) стоит сумма двух убывающих показательных функций # = (1/2)* и У = (УЗ/2)Х.

Некоторые показательные уравнения содержат выражения вида

По определению считаем, что

поэтому функция f (x)gu) имеет смысл лишь тогда, когда определены обе функции: f (х) и g (х) и / (х) > 0.

Пример 22. Решить уравнение

(24)

Решение. Имеем:

Таким образом, уравнение (24) равносильно уравнению

откуда

Итак, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

решая которую находим два корня уравнения (24):

Пример 23. Решить уравнение

(25)

Решение. Область допустимых значений данного уравнения определяется условием х > 0. При положительных х уравнение (25) равносильно уравнению

т. е. уравнению

Отсюда следует, что при х>0 уравнение (25) равносильно совокупности уравнений

решая которую находим два корня уравнения (25): #i = 8, лг2 = 1.

Пример 24. Решить систему

Решение. Обозначая (3/2)* y=t, первое уравнение данной системы можно записать в виде

Это уравнение равносильно уравнению

т. е. уравнению

Поскольку / > 0, то последнее уравнение имеет единственный корень—число 9/4.

Итак, первое уравнение системы равносильно уравнению (3/2)х~у = (3/2)2, т.е. уравнению х—у = 2. Поэтому исходная система равносильна системе

решением которой являются две упорядоченные пары чисел: (12; 10) и (—10; —12).

Пример 25. Решить систему

Решение. Первое уравнение при условии у > 0 равносильно совокупности уравнений

т. е. совокупности уравнений

Поэтому данная система равносильна совокупности трех систем:

т. е. совокупности

Итак, множество всех решений данной системы состоит из трех упорядоченных пар: (5; 1), (—3; 9), (—4; 10).

Пример 26. Найти все значения а, при которых уравнение

(26)

имеет хотя бы одно решение.

Решение. Сделаем замену 2х —t > 0; тогда исходное уравнение примет вид

Для того чтобы уравнение (26) имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен t2 — at — <2 + 3 имел хотя бы один положительный корень, и, следовательно, дискриминант этого квадратного трехчлена должен быть неотрицательным.

Поскольку

то условие D^O выполняется при а^2 и а^—6.

Корни ti и t2 квадратного уравнения t2 — at — a-f 3 = 0 удовлетворяют системе уравнений

При а^— 6 имеем tit2 > 0, a t1+t2 < 0; поэтому оба корня tit t2 отрицательны, и, следовательно, исходное уравнение решений не имеет.

При а^2 имеем t\~rt2 > 0; следовательно, хотя бы один из корней t\ или t2 больше нуля.

Итак, при а^2 данное уравнение имеет хотя бы одно решение.

ЗАДАНИЕ 1

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 2

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 3

1. Решить уравнение:

2. Решить систему уравнений:

ЗАДАНИЕ 4

1. Решить уравнение:

2. Решить систему уравнений:

ЗАДАНИЕ 5

1. Решить уравнение:

2. Решить систему уравнений:

ЗАДАНИЕ б

1. Решить уравнение:

2. Решить систему уравнений:

Упражнения

1. Решить уравнение:

2. Решить систему уравнений:

§ 4. Логарифмические уравнения

Решение простейшего логарифмического уравнения

(1)

основано на следующем важном свойстве логарифмов:

логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.

Для уравнения (1) из этого свойства получаем: х = аь—единственный корень.

Для уравнения вида

(2)

получаем равносильное уравнение

Пример 1. Решить уравнение:

Решение, а) Поскольку

то исходное уравнение равносильно уравнению

т. е. уравнению

Отсюда получаем

единственный корень данного уравнения.

б) Исходное уравнение равносильно уравнению

откуда х-—9. Число (—9) —единственный корень данного уравнения.

в) Исходное уравнение равносильно уравнению

т. е. уравнению (2дг—5)2 = 1, которое имеет два корня: *i = 3, дг2 = 2. Числа 2 и 3 являются множеством всех решений данного уравнения.

К простейшим логарифмическим уравнениям относится также уравнение вида

(3)

которое

а) при Аф\ и В Ф О имеет единственный корень x = AlfB\

б) при Л=1 и В = 0 имеет решением любое положительное, отличное от единицы, число;

в) при А= 1 н В Ф 0 корней не имеет;

г) при А Ф 1 и В = 0 корней не имеет.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение, а) Поскольку

и следовательно, исходное уравнение равносильно

уравнению

откуда * = (l/2)~2 = 4. Число 4 —единственный корень исходного уравнения.

б) Исходное уравнение равносильно уравнению

откуда х = 1 + |^3. Число 1 + У^З — единственный корень данного уравнения.

в) Область допустимых значений исходного уравнения определяется системой

Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Число Зт/ 3 — единственный корень исходного уравнения.

Пример 3. Доказать, что уравнение не имеет решений:

Решение, а) ОДЗ уравнения определяется неравенством x ^ 0. На ОДЗ имеем

следовательно, log3 (3 + Y *)^ 1 и log3 (1 +х2) ^ 0. Сумма положительного числа и неотрицательного числа не равна нулю; поэтому исходное уравнение решений не имеет.

б) ОДЗ уравнения состоит из всех неотрицательных х. На ОДЗ имеем

поэтому

Сумма двух

неположительных чисел не может равняться положительному числу; поэтому исходное уравнение решений не имеет, в) ОДЗ уравнения определяется системой

которая не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение решений не имеет.

г) ОДЗ уравнения определяется системой неравенств

откуда находим х > 3. На ОДЗ справедливо неравенство х—3 < < х+9, а следовательно, и неравенство lg(x—3)<lg(x+9). Таким образом, левая часть исходного неравенства отрицательна. При x > 3 верно неравенство х—2 > 1; поэтому lg (х—2) > 0. Следовательно, правая часть исходного неравенства положительна. Отрицательное число не может быть равно положительному числу; поэтому данное уравнение решений не имеет.

д) Рассуждаем аналогично решению примера г), учитывая, что в данном случае основание логарифма меньше единицы. Получаем: на ОДЗ левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна. Отсюда вытекает, что данное уравнение решений не имеет.

е) ОДЗ уравнения состоит из всех действительных чисел. При каждом x имеем Б + х^^гб и 25 + х2^25; поэтому

Складывая два последних неравенства, получаем, что левая часть исходного неравенства не меньше 3; следовательно, уравнение не имеет решений.

Сведение логарифмических уравнений к простейшим уравнениям, неравенствам, системам. Уравнение вида

равносильно совокупности уравнений

где tit t2, • ••» tn —все корни уравнения /(/) = 0. Уравнение вида

равносильно совокупности уравнений

где /i, t2, /я — все корни уравнения f(t) = 0.

Пример 4. Решить уравнение:

(4) (5)

Решение, а) Обозначим t=\gx н произведем замену неизвестного в уравнении (4). Получим

Таким образом, уравнение (4) равносильно совокупности двух простейших уравнений:

Итак, множество всех решений уравнения (4) состоит из чисел УТЬ и 10.

б) Обозначим t = \ogxW и произведем замену неизвестного в уравнении (5). Тогда

Таким образом, (5)

Итак, множество всех решений уравнения (5) состоит из чисел

Уравнение вида

можно заменить равносильной ему системой двумя способами.

Первый способ:

Второй способ:

Аналогично уравнение вида

можно заменить равносильной ему системой двумя способами.

Первый способ:

Второй способ:

Заметим, что выбор способа замены определяется тем, какое из неравенств g (х) > 0 или f (х) > О— решается проще.

Пример 5. Решить уравнение:

(6)

(7) (8) (9)

Решение, а) Уравнение (6) равносильно системе

Уравнение системы имеет два корня: #i = 3, х2 = — 6. Однако первому условию удовлетворяет только число хх = 3. Таким образом, уравнение (6) имеет единственный корень — число 3.

б) Уравнение (7) равносильно системе

Следовательно, множество всех решений уравнения (7) состоит из двух чисел: ^ = —2, #2 = 9.

в) Уравнение (8) равносильно системе

Итак, уравнение (8) имеет единственный корень — число о.

г) Уравнение (9) равносильно смешанной системе

Уравнение системы имеет два корня: хх = —4,*2 =—2. Число #! = —4 удовлетворяет всем соотношениям системы, а для числа х2 = —2 не выполняется условие Т* ф 1. Таким образом, уравнение (9) имеет один корень — число хх = —4. Уравнение вида

равносильно смешанной системе

Пример 6. Решить уравнение:

Решение, а) Данное уравнение равносильно системе

Следовательно, единственным корнем уравнения является число 4.

б) Исходное уравнение равносильно системе

Итак, единственным корнем уравнения является число 4.

Уравнение вида

можно заменить равносильной системой двумя способами.

Первый способ:

Второй способ:

Уравнение вида

можно заменить равносильной системой двумя способами. Первый способ:

Второй способ:

Заметим, что выбор системы, равносильной данному уравнению, определяется тем, какое из неравенств g (х) > 0 или h(x) > 0 (р (х) >0) решается проще.

Пример 7. Решить уравнение:

Решение, а) Данное уравнение равносильно системе

Уравнение этой системы хА — 4х2 + х+6 = 0 имеет три корня: *! = — 1, х2 = 2, х3 = 3. Число Xi = — 1 не удовлетворяет условию x2—1 > 0. Числа х2 = 2 и х3 = 3 являются решениями этой системы, а следовательно, и исходного уравнения.

б) Уравнение равносильно системе

Уравнение

имеет три корня: х\ — — 1, х2 = 2, х3 = 3. Из них только число 3 удовлетворяет всем требованиям системы. Следовательно, данное уравнение имеет один корень — число 3,

Уравнение вида

равносильно системе

которая в свою очередь равносильна системе

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

т. е. системе

Решим уравнение этой системы:

Число (—3) не удовлетворяет условию х2 + 6#+8 > 0. Число (—1) удовлетворяет всем условиям системы. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень Х\ — — 1.

Уравнение вида

равносильно системе

Пример 9. Решить уравнение:

Решение. Уравнение равносильно системе

Рассмотрим уравнение последней системы:

С учетом неравенства системы получаем: единственным решением исходного уравнения является число 9/2.

Уравнение вида

равносильно уравнению

которое в свою очередь равносильно системе

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Уравнение равносильно уравнению

которое равносильно системе

После преобразований уравнение системы принимает вид

Последнее уравнение имеет единственный корень *i=l/2. Этот корень не является решением системы, так как не удовлетворяет условию 2*—1 > 0. Следовательно, исходное уравнение решений не имеет.

Уравнение вида

равносильно уравнению

которое в свою очередь равносильно системе

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Уравнение равносильно уравнению

которое равносильно системе

Итак, единственным корнем исходного уравнения является число

Уравнение вида

равносильно системе

которая в свою очередь равносильна системе

Пример 12. Решить уравнение:

Решение, а) Уравнение равносильно системе

Таким образом, единственным корнем исходного уравнения является число 4.

б) Уравнение равносильно системе

Следовательно, единственным корнем исходного уравнения является число 13.

в) Уравнение равносильно уравнению

которое равносильно системе

Итак, единственным корнем исходного уравнения является число 4.

Уравнение вида

равносильно уравнению

которое равносильно системе

т. е. системе

Пример 13. Решить уравнение

Решение, а) Уравнение равносильно уравнению

которое равносильно системе

Единственным корнем исходного уравнения является число 9.

б) Уравнение равносильно уравнению

которое равносильно системе

Число 7 —единственный корень исходного уравнения,

в) Уравнение равносильно уравнению

которое равносильно системе

Число б — единственный корень исходного уравнения,

г) Уравнение равносильно уравнению

которое равносильно системе

Число

единственный корень исходного уравнения.

Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному основанию. Для этого используется формула перехода к новому основанию

или ее частный случай

Пример 14. Решить уравнение:

Решение, а) ОДЗ уравнения — промежуток х > 0. Поскольку

то исходное уравнение равносильно уравнению

т. е. уравнению

Число 8 входит в ОДЗ исходного уравнения; поэтому оно есть его единственный корень.

б) ОДЗ уравнения —множество всех положительных чисел. Перейдем в логарифмах уравнения к основанию У 2. Поскольку

то исходное уравнение равносильно уравнению

Обозначим

тогда последнее уравнение можно записать в виде

Оно равносильно

Итак, данное уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности двух уравнений:

Следовательно, множество всех решений исходного уравнения состоит из чисел 1/2 и У 2.

в) ОДЗ уравнения —множество х > О, х Ф 1/5.

Перейдем в логарифмах уравнения к основанию 5. Поскольку

то исходное уравнение равносильно уравнению

Обозначив / :

запишем последнее уравнение следующим

Имеем:

Итак, исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности трех уравнений:

Следовательно, множество всех решений данного уравнения состоит из трех чисел: 1, 5, 1/25.

Использование различных логарифмических формул в процессе преобразования уравнения может повлечь за собой как появление посторонних корней, так и потерю корней исходного уравнения.

Так, например, преобразование потенцирования уравнения (т. е. замена уравнения logö / (х) = \oga g (х) уравнением / (x) = = g (*)) может привести к расширению ОДЗ исходного уравнения и тем самым к появлению посторонних корней. Таким образом, уравнение / (х) = g (х) есть следствие уравнения loga / (x)=loga g (x).

Пример 15. Решить уравнение

(10)

Решение. Решив систему неравенств

найдем ОДЗ уравнения (10): х> 1.

Потенцируя уравнение (10), получим уравнение

(11)

являющееся его следствием.

Уравнение (11) имеет два корня: хг = 2 и х2 = — 3. Число #1 = 2 входит в ОДЗ уравнения (10) и поэтому является его корнем. Число х2 =—3 не входит в ОДЗ уравнения (10) и тем самым является его посторонним корнем.

Итак, число 2 — единственный корень уравнения (10).

Формулы логарифмов. Пусть f и g — некоторые функции и а > 0, а Ф 1. Тогда, если / > 0 и g > 0, то

Применяя любую из этих формул формально (без учета неравенств / > 0 и g > 0), нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Например, выражение loga/ + loga g определено при / > 0 и g > 0, а выражение loga (fg) — как при / > 0, g > 0, так и при / < 0, g < 0. Аналогично ОДЗ левой части формул 2° — 4° может быть шире ОДЗ правой части.

Таким образом преобразование уравнения с формальным использованием формул 1° —4° «справа —налево» приводит к уравнению, являющемуся следствием исходного уравнения (его ОДЗ может оказаться шире). В этом случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения; поэтому в конце решения надо проверять принадлежность каждого корня последнего уравнения ОДЗ исходного уравнения.

Пример 16. Решить уравнение

(12)

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой

решение которой — промежуток 1 < х < -f- оо. Применяя формулу Г к левой части уравнения (12) и проводя вычисления для правой части, получим уравнение

(13)

являющееся следствием уравнения (12). Потенцируя уравнение (13), приходим к уравнению, являющемуся его следствием:

откуда находим два корня:

Проверим, входят ли полученные корни в ОДЗ уравнения (12). Сделав это, находим, что уравнение (12) имеет единственный корень х2 = У 6— 1.

Заметим, что число Xi =—1 — у 6, не являясь корнем уравнения (12), в то же время есть корень уравнения (13), ОДЗ которого состоит из двух промежутков: х<-3 и х > 1, т. е. шире ОДЗ уравнения (12).

Решение уравнения (12) можно коротко записать так:

Итак, число У 6—1 есть единственный корень уравнения (12).

Преобразование уравнения с использованием формул 1°—4° «слева — направо» часто приводит к уравнению, ОДЗ которого уже, чем у исходного уравнения, и, следовательно, возможна потеря корней исходного уравнения. Чтобы избежать потери корней, надо использовать более общие формулы.

Логарифмические формулы более общего вида. Пусть / и g—некоторые функции и пусть а > О, a 1. Тогда, если /^0 и g^O; то

Левая и правая части формулы 1 имеют различные ограничения на / и g: левая часть имеет смысл при fag одинакового знака, а правая —при любых / и g> отличных от нуля. Аналогично ОДЗ правой части формул 2—4 может быть шире ОДЗ левой части.

Следовательно, преобразование уравнения с использованием формул 1—4 «слева —направо» (как они написаны) приведет к уравнению, являющемуся следствием исходного уравнения. Преобразование уравнения с формальным использованием формул 1—4 «справа —налево» может привести к потере корней.

(14)

Пример 17. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой

решение которой есть два интервала: —6 < х <—2, —2 < х < 4. Переходя в уравнении (14) к основанию 1/4 и используя формулу

получаем уравнение

(15)

Заметим, что при этом ОДЗ уравнения (14) не изменилась: на ней уравнения (14) и (15) равносильны. Уравнение (15) на ОДЗ уравнения (14) равносильно системе

т. е. системе

Таким образом, уравнение (14) равносильно совокупности двух систем:

т. е. совокупности систем

Первая система имеет решение *i = 2, вторая —решение х2 = =з 1 — ]АЗЗ. Два этих числа составляют множество всех решений уравнения (14).

При решении уравнений формальное использование формулы перехода к другому основанию

может приводить к потере корней или появлению посторонних корней, так как левая и правая ее части имеют различные области существования.

(16)

Пример 18. Решить уравнение

Решение.

Первый способ. Найдем ОДЗ уравнения (16). Она задается системой неравенств

Уравнение (16) на этой области равносильно уравнению

(17)

Легко видеть, что xi=l — корень уравнения (17), а следовательно, и уравнения (16).

Пусть теперь х принадлежит ОДЗ и х Ф 1. При таких значениях x уравнение (17) равносильно уравнению

(18)

Обозначив /

придем к уравнению

Это уравнение равносильно системе

т. е. системе

Эта система имеет два решения: tx = —2 и /2=1/2. Следовательно, уравнение (16) на своей ОДЗ и при х Ф 1 равносильно совокупности двух уравнений:

Из этой совокупности находим числа х2 = Y 2/2 и *3 = 4, которые являются решениями уравнения (16).

Все переходы были равносильны; поэтому множество всех решений уравнения (16) состоит из трех чисел:

Если бы при переходе от уравнения (16) к уравнению (18) не был рассмотрен отдельно случай x — 1, то произошла бы потеря корня х= 1.

Действительно, при x=l log^ х существует и равен 0, но выражение -:-. <п. лишено смысла.

Всякий раз, когда возникает необходимость применять формулу перехода к другому основанию, целесообразнее всего переходить к основанию, равному некоторому числу. Конкретные при-

меры подсказывают, к какому именно основанию. Так, например, в уравнении (16) лучше всего было бы перейти к основанию 2.

Второй способ. ОДЗ уравнения задается системой неравенств:

х> О, X Ф 1/16, хф 1/4, X Ф 2.

Перейдем в уравнении (16) к логарифмам по основанию 2. На своей ОДЗ оно равносильно уравнению

Обозначив */=log2*, придем к уравнению

которое равносильно совокупности

Второе уравнение этой совокупности равносильно уравнению

Итак, уравнение (16) на своей ОДЗ равносильно совокупности уравнений

Найденные числа дг2 = 2/2, xs = 4 принадлежат ОДЗ

уравнения (16); поэтому они и составляют множество всех его решений.

Применение основного логарифмического тождества

может привести к появлению посторонних корней, если не следить за условиями его применимости.

Пример 19. Решить уравнение

(19)

Решение. ОДЗ данного уравнения определяется системой неравенств х > 0; х Ф 1. Уравнение (19) на своей ОДЗ равносильно уравнению

(20)

Уравнение (20) имеет два корня: *i=l, х2 =—7, которые не входят в ОДЗ уравнения (19). Следовательно, уравнение (19) не имеет корней.

Применение основного логарифмического тождества без учета ограничения, задаваемого системой неравенств х > 0, х Ф 1, приводит к уравнению (20), имеющему два корня, которые для уравнения (19) являются посторонними.

При решении логарифмических уравнений иногда используется формула

Пример 20. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения: х > 0. На этом множестве

поэтому данное уравнение равносильно уравнению

т. е. уравнению

Отсюда получаем log5* = 4, т. е. х = 625. Число 625 принадлежит ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, является его единственным корнем.

Иногда целесообразно логарифмировать обе части уравнения, чтобы свести его решение к одному из простейших уравнений. Как правило, это приходится делать для уравнений смешанного типа, содержащих как показательную, так и логарифмическую функцию.

Пример 21. Решить уравнение

(21)

Решение. ОДЗ уравнения: х > 0. Обе части уравнения (21) положительны на его ОДЗ; поэтому, прологарифмировав их по основанию 2, получим уравнение

равносильное исходному.

Таким образом, все корни уравнения (21), и только они, удовлетворяют уравнению

Отсюда находим

Итак, множество всех решений уравнения (21) состоит из чисел

Пример 22. Решить систему

Решение. Множество допустимых значений х и у в данной системе определяется системой неравенств: х > 0, х Ф 1, у > О, у ф. 1. Полагая e=logyx и учитывая, что при х и у из ОДЗ

получим уравнение

Множество всех решений этого уравнения состоит из чисел

?! = 3 и 22 = —1/3.

Таким образом, данная система на своем множестве допустимых значений равносильна совокупности двух систем:

Из равенства \ogyx = 3 следует х=у3; поэтому первая система этой совокупности равносильна на ОДЗ системе

Отсюда находим х = 8, у = 2.

Вторая система совокупности равносильна на ОДЗ системе

Отсюда находим х=1/4, # = 64.

Итак, множество всех решений исходной системы состоит из

двух упорядоченных пар: (8; 2), ^-^-;64^.

Пример 23. Решить систему

Решение. ОДЗ системы определяется условиями

откуда получаем х > \у\. Из второго уравнения исходной системы следует ху > 0. Поэтому вместо нее будем решать равносильную ей систему

(22)

В условиях системы (22) х+у = х+3/х > *+1/*^2; поэтому \og2(x+y) > 1. Следовательно, система (22) равносильна совокупности двух систем:

Решая эти системы, имеем соответственно

Из системы двух уравнений

найдем х2 — 9/х2 = 8, откуда х4 — 8х2 — 9 = 0, и, следовательно, х2 = 9. Учитывая условие х > 0, получаем * = 3 и соответственно у=\. Единственная пара чисел (3; 1), соответствующая набору (х\ у)у удовлетворяет всем условиям первой системы совокупности, а следовательно, является решением системы (22). Система

имеет два решения : (3 У 3/7; V 7/3), (—3 V 3/7; — У 7/3), соответствующих набору (*, у). Из этих двух решений всем условиям второй системы совокупности удовлетворяет только пара чисел (3 |Лз/7; 1^773).

Таким образом, множество всех решений системы (22) состоит из двух упорядоченных пар: (3; 1) и (3^3/7; |/~7/3), соответствующих набору (*; у). Эти пары — решение исходной системы.

Пример 24. Найти все значения а, для которых уравнение

(23)

имеет единственный корень.

Решение. ОДЗ данного уравнения определяется системой неравенств ах > 0 и х+1 > 0. Следовательно, уравнение (23) имеет единственный корень тогда и только тогда, когда система

(24)

имеет единственное решение.

Уравнение

т. е. уравнение

имеет решение только тогда, когда

т. е. при а<:0 и а ^4. В этих условиях уравнение имеет два корня:

При а = 0 не выполнено условие ах > 0. При а < 0 из системы

следует, что оба корня отрицательны. Но в условиях системы (24)

поэтому при а < 0 система (24), а вместе с ней и уравнение (23) имеют единственное решение х±. При а > 4 из системы

следует, что оба корня уравнения

положительны, и поэтому все условия системы выполняются, т. е. система (24), а также уравнение (23) имеют два решения.

Наконец, при a = i система (24) имеет только одно решение х=\.

Итак, уравнение (23) имеет единственный корень тогда и только тогда, когда а < 0 и а = 4.

Пример 25. При каждом значении а решить уравнение

Решение. При любом значении а все искомые значения неизвестной лежат в области, задаваемой системой неравенств

т. е. в области 0 < х < У 2. Для любого х из этого интервала выполнены неравенства

и, следовательно,

Складывая последние два неравенства и сравнивая полученный результат с исходным уравнением, получаем, что оно может иметь решение только для значений я, удовлетворяющих системе уравнений

т. е. системе

Эта система уравнений решений не имеет. Следовательно, при а Ф —2 и а Ф 1/3 данное уравнение не имеет корней. При а = —2 исходное уравнение принимает вид

Это уравнение на множестве

равносильно уравнению

не имеющему на этом множестве корней.

При а=1/3 исходное уравнение принимает вид

Это уравнение на множестве

равносильно уравнению

т. е. уравнению

имеющему единственный корень хг=\. Этот корень принадлежит ОДЗ исходного уравнения.

Итак, при а=1/3 исходное уравнение имеет единственный корень *1 = 1; при аф\/3 уравнение корней не имеет.

В заключение отметим, что при решении любых уравнений нужно руководствоваться следующим правилом: решение каждого уравнения необходимо проводить сознательно, не механически, не обходить вниманием ни один переход, где возможны потери корней или появление посторонних. Преобразования, допускающие потерю корней, лучше не использовать. Если приходится делать преобразования, при которых могут появиться посторонние корни, то в конце решения необходимо провести исследование (например, сделать проверку) по отбору корней, которое в данном случае является необходимой частью решения уравнения, а не просто дополнительным контролем за вычислениями. Иногда в процессе решения целесообразно разбить ОДЗ уравнения на несколько частей

и на каждой из них решить уравнение отдельно. Наиболее эффективным при решении уравнений является метод равносильного перехода.

Решение каждого уравнения должно оформляться как доказательство теоремы о том, что данному уравнению удовлетворяют те и только те числа, которые вынесены в ответ (или о том, что уравнение решений не имеет).

ЗАДАНИЕ 1

1. Доказать, что уравнение не имеет решений:

2. Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 2

1. Доказать, что уравнение не имеет решений:

2. Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 3

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 4

Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 5 Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 6 Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 7 Решить уравнение:

Упражнения

1. Решить уравнение:

ЗАДАНИЕ 8 Решить уравнение:

2. Решить систему:

ГЛАВА 3

НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

§ 1. Неравенства, содержащие знак абсолютной величины

При решении неравенств, содержащих знак абсолютной величины (знак модуля), следует разбить область допустимых значений неравенства на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве нужно решать неравенство и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.

Пример 1. Решить неравенство

(1)

Решение. Из свойств квадратного трехчлена следует, что х2 — 2х<0 при 0<х<2 и х2 — 2х^0 при *<0 и х^2. Разобьем всю прямую на три промежутка (— оо ; 0], (0; 2), [2; +оо) — и решим данное неравенство на каждом из них.

При х^О неравенство (1) принимает вид х2 — 2х < *, т. е. X2 < Зх, откуда следует, что при *<:0 неравенство (1) не имеет решений.

При 0 < X < 2 из (1) получаем неравенство — (х2 — 2х) < х, т. е. неравенство х2 — х > 0, которое при указанных значениях * выполняется только при 1 < X < 2. Поэтому интервал (1; 2) входит в множество решений неравенства (1).

При X 2 имеем неравенство х2 — 2х < х, т. е. неравенство X2 — Зх < 0, которое при указанных значениях х выполняется только для 2«^* < 3.

Объединяя решения, полученные на каждом из трех промежутков, находим множество решений неравенства (1) — промежуток (1; 3).

Неравенство вида

где f (х) и g (х) — некоторые функции, равносильно совокупности двух систем

Пример 2. Решить неравенство

(2)

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Поскольку x2 — 2х—3 = (* + 1) (x—3), то множеством всех решений неравенства х2 — 2х—3 < 0 является интервал —1 < х < 3; следовательно, решением первой системы совокупности является промежуток 0 х < 3.

Из равенства х2 + 2х—3 = (х + 3) (х—1) следует, что неравенство х2+2х—3 < 0 выполняется только при —3 < х < 1. Отсюда заключаем, что решением второй системы совокупности является интервал —3 < х < 0.

Объединяя полученные множества решений двух систем, получаем множество решений неравенства (2) — интервал—3 < х < 3.

Неравенство (2) можно решать при помощи замены переменной t = \x\: сначала найти решение системы

т. е. промежуток 0 «С t < 3, а затем решить неравенство 0 <; | х | < 3. В результате получим решения неравенства (2): —3 < х < 3.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

т. е. совокупности

Решение первой системы совокупности есть промежуток

Решением неравенства

является интервал

и, следовательно, решением второй системы

совокупности является множество

Таким образом, получаем множество решений исходного неравенства:

Неравенство вида

где / (х) и g (х) — некоторые функции, равносильно системе

Для тех x, при которых g(x)^0, эта система, а значит, и данное неравенство решений не имеют. В частности, неравенство

при а^О решений не имеет, а при а > 0 оно равносильно системе

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе

Неравенство х2— Ах—5 < 0 выполняется при х из интервала — 1 < X < 5, а неравенство х2 — 4*+5 > 0 выполняется при любом х.

Таким образом, множество решений исходного неравенства есть интервал (—1; 5).

Пример 5. Решить неравенство

(3)

Решение. Данное неравенство равносильно системе

Неравенство х2 — 6*+15 > 0 выполняется при любом х. Поскольку X2 — 4х+3 = (х— 1) (*—3), то неравенство х2—4*+3 > 0 выполняется при X < 1 и X > 3.

Таким образом, множество решений исходного неравенства (3) состоит из объединения двух промежутков: (— оо; l)U(3;+co).

Неравенство вида

(4)

где f (х) и g (х) — некоторые функции, равносильно совокупности двух неравенств:

т. е. совокупности

Все те X из ОДЗ неравенства (4), для которых g (х) < 0, входят в множество решений неравенства (4) и равносильной ему совокупности.

В частности, неравенство

(5)

равносильно совокупности

Если а < 0, то неравенство вида (5) выполняется при любом допустимом значении х данного неравенства.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство можно переписать в виде

и, следовательно, оно равносильно совокупности неравенств

(6)

Поскольку х2 + 3х— 10 = (*+5) (х—2), а х2 — Зх—4 = (х+1) (*—4), то множество решений совокупности (6), а следовательно, и исходного неравенства состоит из объединения двух промежутков: (-оо; _l)U(2;+eo).

Пример 7. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств

Решением неравенства х2 — 4х—8 > 0 являются все х из промежутков x < 2 — 2 У 3 и x > 2+2 У 3. Неравенство *2 — 8 <_0 выполняется только для х из промежутка *—2У 2 < х < 2У 2. Поскольку

то решениями совокупности неравенств, а значит, и исходного неравенства являются все числа х из объединения двух промежутков: (-оо;2У 2)[)(2 + 2У 3; +оо).

Пример 8. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе

Первое неравенство системы равносильно неравенству

Применяя метод интервалов, находим его решения —все числа из промежутков — 2<*s^8/5 и 2<*< + со» т. е. множество (-2; 8/5]U(2;+00).

Второе неравенство системы равносильно неравенству

и, применяя снова метод интервалов, находим множество его решений, состоящее из объединения трех промежутков: (—оо; —2)U U[0; 2) U [5/2; +оо).

Пересечение полученных двух множеств составляет множество решений исходного неравенства, т. е. множество [0; 8/5] (J [5/2; +оо).

Пример 9. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности

Первое неравенство последней совокупности выполняется только при X^ 1

Поскольку

то множеством решений неравенства

является множество

Объединяя множества решений обеих неравенств совокупности, получаем множество решений исходного неравенства:

Неравенство вида

можно решить двумя способами; оно равносильно совокупности двух систем

а также равносильно системе неравенств

Выбор способа решения зависит от конкретного неравенства и от сложности функций f и g.

Пример 10. Решить неравенство

(7)

Решение. Решим данное неравенство двумя способами. Первый способ. Неравенство (7) равносильно совокупности двух систем:

Неравенство

первой системы равносильно системе

которая решений не имеет. Следовательно, не имеет решений и первая система совокупности.

Неравенство | — х— 1|<1 — х равносильно неравенству Ix-f-11 < 1 — х% которое в свою очередь равносильно системе

Отсюда заключаем, что множество (— оо ; 0) является множеством решений второй системы совокупности и тем самым неравенства (7). Второй способ. Неравенство (7) равносильно системе

(7')

Неравенство

равносильно совокупности систем

решением которой является интервал

Таким образом, неравенство |х|+х—2 < 0 системы (7') надо решать только при х < 0. При таких х оно принимает вид—2 < 0; следовательно, множеством решений неравенства (7) являются все числа промежутка (— оо ; 0).

Неравенство вида

(8)

можно решить двумя способами; оно равносильно совокупности неравенств

а также равносильно совокупности двух систем

Пример 11. Решить неравенство

Решение. Область допустимых значений данного неравенства состоит из всех действительных чисел. Неравенство равносильно совокупности двух систем:

Решим первую систему:

Решим вторую систему. Первое ее неравенство равносильно неравенству

Если ж < 0, то 1 — * > О, следовательно, вторая система равносильна системе

Решение этой системы есть промежуток —1^*<0. Таким образом, множество всех решений исходного неравенства состоит из чисел промежутка [—1; 1].

Неравенство вида

(9)

решается при помощи разбиения области его допустимых значений на промежутки, каждый из которых является промежутком знакопостоянства как функции / (*), так и функции g{x). Затем на каждом из этих промежутков решается неравенство без знака абсолютной величины. Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ исходного неравенства, получаем множество всех его решений.

Также решаются и неравенства более общего вида:

где ai, ..., ап — некоторые действительные числа.

Некоторые неравенства вида (9) целесообразно решать, перейдя к равносильному неравенству:

Например, неравенство

равносильно неравенству

Пример 12. Решить неравенство

(10)

Решение. Точки х— 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (10)) на три промежутка: х < 1, 1 < jc < 2, Jt > 2. Решим данное неравенство на каждом из этих промежутков.

Если X < 1, то х- 1 < 0 и 2 — х> 0. Неравенство (10) принимает вид 1— *+2 — * > 3-f-x, т. е. X < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (10) являются все отрицательные числа.

Если 1<х<2, то х-1^0 и 2 — х^0. Имеем

Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на отрезке [1; 2] неравенство (10) решений не имеет.

Если x > 2, то x— 1 >0 и 2-х < 0. Имеем:

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (10), получаем его решение —множество

Пример 13. Решить неравенство

(11)

Решение. Поскольку Зх2 — 7х—6 = 3 (х—3) (х+2/3) и х2+х = х (x-f-1), то числовая ось (ОДЗ неравенства (11)) точками — 1, —2/3, 0, 3 разбивается на пять промежутков знакопостоянства функций Зх2 —7х—6 и х2 + х.

На каждом из них решим заданное неравенство.

Если x < — 1, то Зх2 —7х+6 > 0 и х2 + х > 0, следовательно, в этом случае имеем

Полученная система решений не имеет, так как 2— У7 > —1.

Если — 1<х< —2/3, то Зх2 — 7х—6^0 и х2 + х<0. Таким образом, на этом промежутке имеем систему

Из неравенства

получаем

Так как

то решением неравенства (11) на рассматриваемом множестве является промежуток Если —

Имеем

Так как

то решением полученной системы, а значит, и неравенства (11) на рассматриваемом множестве является интервал

Если 0<х<3, то

Имеем систему

Поскольку

то решением полученной системы, а следовательно, и неравенства (II) на рассматриваемом множестве является промежуток

Если X > 3, то

Имеем:

Таким образом, в этом случае решением неравенства (11) является интервал

Объединяя решения, найденные на всех частях ОДЗ неравенства (11), получаем множество его решений: промежутки

Неравенство вида

равносильно совокупности двух систем:

Аналогично совершается переход к равносильным совокупностям систем и для неравенств вида

Пример 14. Решить неравенство

(12)

Решение. Неравенство (12) равносильно совокупности двух систем:

Для первой системы этой совокупности получаем:

Полученная система решений не имеет.

Решим вторую систему совокупности. Имеем:

Таким образом, решениями неравенства (12) являются все числа x из промежутка 3/2 <~х < 2.

Пример 15. Решить систему неравенств

Решен и е. ОДЗ системы состоит из всех действительных чисел, отличных от нуля. Первое неравенство системы равносильно двойному неравенству

Если x > 0, то неравенство \/х < 1 равносильно неравенству x > 1.

Таким образом, множество решений системы состоит из всех х промежутка (1; 3].

Решить неравенство с двумя неизвестными х и (/ — значит найти все упорядоченные пары чисел (*, у), при подстановке которых в данное неравенство получается верное числовое неравенство.

Пример 16. Решить неравенство

(13)

Решение. ОДЗ неравенства (13) определяется условием

Перепишем неравенство (13) в виде

Отсюда следует, что х — \у \ ^0. При выполнении этого условия обе части полученного неравенства на его ОДЗ неотрицательны. Поэтому после возведения в квадрат обеих частей неравенства (13) на его ОДЗ получим равносильную ему систему

Поскольку х^\у\^0, то левая часть первого неравенства этой системы неположительна, а правая часть —неотрицательна. Поэтому система удовлетворяется только в том случае, когда обе части равны нулю, т. е. неравенство (13) равносильно системе

Первое уравнение последней системы означает, что либо х = 0, либо у — О.

Если л: = 0, то из неравенства х^\у\ находим, что у = 0. Но пара (0; 0) не входит в ОДЗ исходного неравенства.

Если у = 0, то из второго уравнения получаем (с учетом *^?0) х= 1. Пара (1; 0) удовлетворяет неравенству (13) и является единственным его решением.

Пример 17. При всех а решить неравенство

(14)

Решение. Поскольку | х2 — 5*+4 | ^ 0 при любом х, то при а<;0 неравенство (14) решений не имеет.

Пусть а > 0. Поскольку х2— 5*+4 = (*—1) (х—4), то числовая ось (ОДЗ неравенства (14)) разбивается на три промежутка: X < 1, 1 <x<4, X > 4.

Решим неравенство (14) на каждом из них.

Если X < 1, то X2 — 5jc+4 > 0, ив этом случае неравенство (14) равносильно системе

(15)

Дискриминант квадратного трехчлена х2 — 5л:+(4 — а) равен 9+ 4а и, следовательно, больше нуля при а > 0. Поэтому из неравенства X2 — Ъх-j-4 — а < 0 находим

При каждом положительном а верны неравенства

Поэтому из системы

(15) находим: каждое х интервала

всех а > 0 есть решение неравенства (14).

Если 1 < л:< 4, то неравенство (14) на этом множестве равносильно неравенству

(16)

Дискриминант квадратного трехчлена х2 — 5*+4 +я равен 9—4а. Таким образом, неравенство (16) имеет место при любом действительном X, если а > 9/4, а при 0 < а ^9/4 решением неравенства (16) являются все х из промежутков —со < х < (5— 1^9 —4а)

Кроме того, при 0 < а ^9/4 справедливы неравенства

Отсюда заключаем, что в случае 1^х^4 при а > 9/4 решением неравенства (14) является отрезок 1<;*<;4, при0<а^9/4 множество решений неравенства (14) состоит из двух промежутков:

При X > 4 неравенство (14) равносильно системе

Итак,

а) при а^О исходное неравенство решений не имеет;

б) при 0 < а ^ 9/4 имеет решение

в) при а > 9/4 имеет решение

Полученный ответ геометрически иллюстрируется на рис. 3.1: положение I соответствует случаю а < О, положение II—случаю О < а «^9/4, положение III — случаю а > 9/4.

Пример 18. Найти все значения а Ф О, для которых неравенство

(17)

имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми числами.

Решение. Левая часть неравенства (17) неотрицательна при любых значениях а и х\ следовательно, неравенство может иметь решение только тогда, когда его правая часть неотрицательна, т. е. при а3^1. Поскольку

(18)

то неравенство (17) равносильно неравенству

Неравенство (18) можно решить формально, раскрывая знаки модуля. Приведем другое решение. Для этого перепишем его в виде

(19)

Согласно геометрической интерпретации модуля, решить неравенство (19) —значит найти на координатной прямой все точки х такие, что сумма расстояний от каждой из них до точки с коор-

Рис. 3.1

динатой —а3 и до точки с координатой —1 не больше 1 —а3, т. е. не больше длины отрезка [—1; —а3]. Указанному условию удовлетворяют те и только те точки, для которых справедливо двойное неравенство— 1 <;х<;—а3. Таким образом, решением неравенства (17) являются все числа из отрезка [—1;—а3]. Для того чтобы отрезок [—1 ; —û3] содержал не менее четырех целых чисел, он должен содержать числа —1, 0, 2, 1, т. е. должно выполняться неравенство 2<; — а3. Из этого неравенства следует, что только при Ç(—оо ; —V~2] неравенство (17) имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми числами.

ЗАДАНИЕ 1

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 2

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 3

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 4

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 5

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 6

1. Решить неравенство:

2. Решить систему:

ЗАДАНИЕ 7

1. Решить неравенство:

2. Решить систему:

ЗАДАНИЕ 8

1. Решить неравенство:

2. Для всех а решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 9

1. Решить неравенство:

2. Для всех а решить неравенство:

Упражнения

1. Решить неравенство:

2. Решить неравенство:

3. Решить систему:

4. Для всех а решить неравенство:

§ 2. Иррациональные неравенства

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.

Чтобы избежать ошибок при решении иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т. е. найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.

Пример 1. Решить неравенство

(1)

Решение. Область допустимых значений неравенства (1) состоит из всех х, удовлетворяющих условию х2— х — 2^0, т. е. состоит из промежутков —1 и *:^2.

Подстановкой каждого из чисел *i =— 1 и *2 = 2 в исходное неравенство устанавливаем, что эти числа являются его решениями.

На оставшейся части ОДЗ, т. е. на каждом из двух промежутков x < —1 и x > 2, функция у—У~х2—х—2 положительна; значит, на этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству x—1^0.

Множеством всех решений последнего неравенства, содержащихся в рассматриваемой части ОДЗ уравнения, является промежуток x > 2.

Объединяя решения на всех частях ОДЗ уравнения, находим, что множество всех решений неравенства (1) состоит из точки х- — 1 и промежутка х^2.

Пример 2. Решить неравенство

(2)

Решение. ОДЗ исходного неравенства определяется системой

из которой находим: —2<;*«^3.

Для значений х = —2 и х = 3 неравенство (2) выполняется; следовательно, эти значения являются его решениями.

Пусть —2 < x < 3. Для любого х из этого интервала х+4 > 0, 2*+5 > 0, 6+я—x2 > 0. Поэтому на интервале (—2; 3) исходное неравенство равносильно неравенству

из которого находим #<:—1. Из этих значений х интервалу —2 < x < 3 принадлежат все числа промежутка —2 < x<:—1.

Следовательно, решениями неравенства (2) являются все числа из промежутка — 2^**^ — 1 и х — 3.

Пример 3. Решить неравенство

(3)

Решение. ОДЗ неравенства (3) определяется системой неравенств

т. е. ОДЗ есть отрезок 2<х<3.

Обе части неравенства (3) на ОДЗ неотрицательны, и тем самым неравенство (3) равносильно системе

т. е. системе

Неравенство 5х2-|-7х4-17 >0 выполняется при любом х.

Таким образом, решениями неравенства (3) служат все числа отрезка 2«^х«^3.

Неравенство вида

равносильно системе

а неравенство вида

равносильно неравенству

Пример 4. Решить неравенство

(4)

Решение. Неравенство (4) равносильно системе неравенств

(5)

Решениями первого неравенства этой системы являются все х, для которых I x I ^ 2 Y2 , т. е. все числа отрезка —2 Y2 х < <2^2.

Решениями неравенства x-f-2 > 8—- х2, т. е. неравенства х2+ + х—6 > 0, являются все числа из двух промежутков: х < —3 и x > 2.

Таким образом, решением системы (5), а следовательно, и неравенства (4) являются все числа из промежутка 2<х^2)/^2.

Пример 5. Решить неравенство

(6)

Решение. Неравенство (6) равносильно неравенству

которое после приведения к общему знаменателю можно переписать в виде

т. е. неравенство (6) равносильно неравенству

(7)

Решая неравенство (7) методом интервалов, получим решения неравенства (6) —все числа из промежутков (—оо; —2), (—5/4; -1) и (Is 5).

Неравенство вида

равносильно системе а неравенство вида

равносильно неравенству

Пример 6. Решить неравенство

(8)

Решение. Неравенство (8) равносильно системе

Из первых двух неравенств этой системы найдем —5^х< 1. Решая квадратное неравенство х+Б < (1— #)2, т. е. неравенство X2 — Зх—4 > 0, получаем х < —1, х > 4.

Таким образом, решениями неравенства (8) являются все числа из промежутка — 5<:х < — 1.

Пример 7. Решить неравенство

(9)

Решение. Неравенство (9) равносильно системе рациональных неравенств

Решением первого неравенства системы являются все числа из промежутков — оо < —2и 5^л:< + оо, решением второго — все числа из промежутка х < 8, решением третьего —все числа из промежутка — со < х < 74/13.

Отсюда получаем решения неравенства (9) —все числа из промежутков (—со; —2] и [5; 74/13).

Неравенство вида

равносильно совокупности двух систем неравенств:

Неравенство вида

равносильно неравенству

Пример 8. Решить неравенство

(10)

Решение. Квадратный трехчлен —*r2-f-6*—5 имеет корни #1=1 и #2 = 5; поэтому неравенство (10) равносильно совокупности двух систем

Из второй системы этой совокупности находим 4 < л:^5.

Решая неравенство — х2+6х—5 > (8 — 2х)2, т. е. неравенство 5х2 — 38х + 69 < 0, получаем 3 < х < 23/5. Из этих х условию 8 — 2*^0 удовлетворяют только числа из промежутка 3<#s^4.

Множеством решений исходного неравенства является объединение множеств 3 < Ж 4 и 4 < Ж 5, т. е. промежуток 3 < л:<5.

Пример 9. Решить неравенство

(11)

Решение. Из условий 2 — х^О и хфО найдем ОДЗ неравенства (11): x < 0, 0 < х^2.

Для x < 0 исходное неравенство равносильно неравенству

т. е. неравенству

(12)

Поскольку для любого отрицательного х справедливо неравенство Y 2-х > 1, то по свойству степеней имеем

С другой стороны, для любого отрицательного х верно неравенство

Следовательно, для любого отрицательного х справедливо неравенство (12); поэтому все х < О являются решениями неравенства (11).

Для любого x из промежутка 0 < х<:2 исходное неравенство равносильно неравенству

т. е. неравенству

(13)

Разобьем промежуток 0 < х^2 не два множества: 0 < х<:3/2 и 3/2 < х<2.

На промежутке 0 < х<:3/2 обе части неравенства (13) неотрицательны; поэтому оно равносильно неравенству

т. е. неравенству

решения которого на рассматриваемом промежутке составляют отрезок 1^x^3/2. Все х из этого отрезка являются решениями неравенства (11).

На промежутке 3/2 < х^2 левая часть неравенства (13) неотрицательна, а правая отрицательна. Поэтому все числа этого промежутка являются решениями неравенства (13), а значит, и исходного неравенства.

Следовательно, решениями неравенства (11) будут все числа из промежутков —оо <х<0 и 1<к2,

Решение неравенства (11) можно записать так:

Подчеркнем, что такое оформление решения задачи допустимо только при глубоком понимании смысла знаков совокупности и систем и их правильном употреблении.

Неравенство (11) можно решить другим способом. Обозначим t = y~2 — х; тогда t^O и х = 2 — t2. Делая замену неизвестного в уравнении (11), получим систему

Итак, уравнение (11) равносильно совокупности неравенств

Таким образом, множество всех решений неравенства (11) есть множество (— оо ; 0) (J [1 ; 2].

Пример 10. Решить неравенство

(14)

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Решим каждую из этих систем. Для первой системы имеем:

Вторая система совокупности равносильна системе

Следовательно, решениями неравенства (14) являются все числа из двух промежутков: —2 >^ 13<л: <—4 и 2<x<;2]/"l3.

Пример 11. Решить неравенство

(15)

Решение. Непосредственное возведение обеих частей этого неравенства в квадрат (при х из ОДЗ) приводит к неравенству четвертой степени относительно х, решение которого представляет собой технически сложную задачу. Решение можно упростить, используя вспомогательное неизвестное.

Сделав замену у = х2+ 2*, получим относительно переменной у неравенство

(16)

Неравенство (16) равносильно совокупности двух систем:

Из второй системы совокупности находим у > 7. Решениями неравенства (5^+1)^(7— у)2 первой системы, т. е. неравенства */2—19*/ +48^ О, являются все числа из промежутка 3<;#^16, а решениями первой системы—все числа отрезка 3^*/<;7.

Таким образом, неравенство (16) равносильно совокупности неравенств

Возвращаясь к неизвестному х, получаем

Следовательно, множеством всех решений неравенства (15) являются все числа из двух промежутков: — 3 и х^ 1.

Неравенство (15) можно решить другим способом. Обозначим

f = Уг5*2+10х+1; тогда /^0 и jc2 + 2x=(/2—1)/5. Делая замену неизвестного в уравнении (15), получим систему

Поэтому неравенство (15) равносильно неравенству

Итак, множеством всех решений неравенства (15) есть множество (— оо; — 3] (J [ 1 ; +оо).

Пример 12. Решить неравенство

(17)

Решение. ОДЗ данного неравенства определяется из системы

откуда 0<*<5. Обе части неравенства (17) неотрицательны; поэтому оно равносильно системе

т. е. системе

При 0<:*<;5 имеем

поэтому решением последней системы, а значит и неравенства (17) являются все числа из промежутка 0^х^5.

Пример 13. Решить неравенство

(18)

Решение. Поскольку

то ОДЗ данного неравенства состоит из х = 3, —5 и х^5.

При х = 3 обе части неравенства (18) равны нулю; поэтому число х = 3 не является решением неравенства (18). Таким образом, неравенство (18) равносильно системе

Обе части в иррациональном неравенстве неотрицательны; поэтому после возведения его в квадрат и упрощений получим систему

равносильную последней. Она в свою очередь равносильна системе

т. е. системе

Таким образом, неравенство (18) равносильно системе

Решая эту систему, найдем, что ей, а следовательно, и неравенству (18) удовлетворяют все числа из промежутка х > 17/3.

Пример 14. Решить неравенство

(19)

Решение. Область допустимых значений неравенства находится из системы

откуда X ^ 4/5.

Неравенство (19) перепишем в виде

(19')

Поскольку

то ОДЗ уравнения целесообразно разбить на два множества: отрезок 4/5 <; х<; 1 и промежуток х> 1—и на каждом из них решить неравенство (19').

На отрезке 4/5<:х«^1 справедливы неравенства |/*5х—4 — У^2лГЛ<0 и ^3x^2 — У4х~^3^ О, поэтому на отрезке 4/5г^х<:1 неравенство (19'), а следовательно, и неравенство (19) решений не имеет.

На промежутке х > 1 справедливы неравенства уг5х—4 — У2х— 1 > 0 и УЗх—2— Vix—3 < 0, поэтому любое х из промежутка х > 1 является решением неравенства (19'), а следовательно, и неравенства (19).

Итак, множеством всех решений неравенства (19) является промежуток x > 1.

Пример 15. Для всех а^О решить неравенство

(20)

Решение. Неравенство (20) при условии а^О равносильно совокупности двух систем:

Вторая система совокупности при O^a^l решений не имеет, а при а> 1 имеет решение — а<:х< — 1. Первая система совокупности равносильна системе

(21)

Решим неравенство 2х2 + 2х+1—а2 < 0. Дискриминант квадратного трехчлена 2х2+2х+1—а2 равен 8а2 —4. По условию а^>0; поэтому дискриминант положителен только при а> 1/У 2. Следовательно, система (21) равносильна системе

которая:

имеет решение

при а > 1 имеет решение

Объединяя эти решения с полученными выше, получим ответ к неравенству (20):

при 0<:а<; У 2/2 оно не имеет решений;

при г - < а 1 оно имеет решение

<х<

при а > 1 оно имеет решение

Неравенство (20) допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций / (х) = л:-f-1 и g(xt а) =

Графиком функции g (х, а) является верхняя полуокружность радиуса а с центром в начале координат, т. е. множество точек

(х, у), координаты которых удовлетворяют следующей системе:

В зависимости от значений числа а эта полуокружность может занимать следующие положения (рис. 3.2) относительно графика функции / (х)=#+1:

1. График функции g (х, а) (положение I) расположен ниже прямой y = x+lt что соответствует случаю 0<а < V 2/2.

Рис 3.2

2. График функции g (x, а) (положение II) касается прямой у=х+\, что соответствует случаю а=У 2/2.

3. График функции g(x, а) (положение III) пересекает прямую у — х+\ в двух точках, что соответствует случаю V 2/2 < < а<1.

4. График функции g (*, а) (положение IV) пересекает прямую у = х+1 в одной точке, что соответствует случаю а > 1,

Пример 16. Для всех а решить неравенство

(22)

Решение. Левая часть неравенства (22) неотрицательна на ОДЗ, поэтому а— 1 > 0, т. е. а > 1. Найдем ОДЗ данного неравенства. Имеем

откуда получаем два промежутка: — оо < ж—а/3; а< х< оо. Возведя обе части неравенства (22) в квадрат, получим

т. е.

Это неравенство с учетом ОДЗ и условия а > 1 равносильно совокупности двух систем:

т. е. совокупности систем

Поскольку

(23) (24)

При а — \+Уз система (24) решений не имеет, а системе (23)

удовлетворяют все х из промежутка

При 1 < а < 1 + Уз совокупность систем (23) и (24) равносильна совокупности систем (соответственно)

(25)

(26)

и справедливы неравенства

поэтому решениями системы (25) являются все х из промежутка

а система (26) решений не имеет.

При а > 1 + У3 совокупность систем (23) и (24) равносильна совокупности систем (соответственно)

(27)

(28)

и справедливы неравенства ^2-20-2 ■ > — и ^——J- >

> а; поэтому решениями системы (27) являются все х из промежутка — oo<#s^—а/3, a решениями системы (28)-—все х из

а (а2 — 2а + 2) промежутка —Ц;—~--т^ < х < + оо.

Таким образом, для исходного неравенства (22) имеем:

ЗАДАНИЕ 1

1. Доказать, что неравенство не имеет решений:

2. Решить неравенство:

3. Решить систему неравенств:

ЗАДАНИЕ 2

1. Доказать, что неравенство не имеет решений:

2. Решить неравенство:

3. Решить систему неравенств:

ЗАДАНИЕ 3

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 4 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 5 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 6

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 7

1. Решить систему неравенств:

2. При всех а решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 8

1. Решить систему неравенств:

2. При всех а решить неравенство:

Упражнения

Решить неравенство:

§ 3. Показательные неравенства

Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах монотонности степени:

Учитывая эти свойства, многие простейшие показательные неравенства решаются методом приведения обеих частей неравенства к одному основанию.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Поскольку

то данное неравенство равносильно неравенству

Следовательно, промежуток (— со ; 6/7) есть множество всех решений исходного неравенства.

Решение любого нестрогого показательного неравенства отличается от решения соответствующего строгого неравенства только включением в множество всех его решений корней соответствующего уравнения.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству

Таким образом, исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа.

При решении некоторых показательных неравенств используется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Поскольку

то данное неравенство

равносильно неравенству

Так как 5* > 0 при любом х, то полученное неравенство равносильно неравенству

Следовательно, отрезок [—5; 5] есть множество всех решений данного неравенства.

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Поскольку

то данное неравенство равносильно неравенству

Таким образом, промежуток (0; +оо) есть множество всех решений данного неравенства.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства х^О. Приводя левую часть неравенства к степени с основанием 3, получим

Таким образом данное неравенство равносильно неравенству

Обозначим t-

имеем:

Таким образом, данное неравенство равносильно двойному неравенству

откуда 0 ^ x < 64.

Итак, промежуток [0; 64) есть множество всех решений данного неравенства.

Пример 6. Решить неравенство

(1)

Решение. ОДЗ неравенства (1) определяется условием 6 — #^0, т. е. *^6. Неравенство (1) равносильно совокупности, состоящей из уравнения и системы двух неравенств:

Из уравнения У б-— х = 0 находим # = 6. Поскольку 25 Y5 = 52.51/2 = 52»5, то первое неравенство системы равносильно неравенству

которое равносильно неравенству

Следовательно, первое неравенство системы равносильно совокупности простейших неравенств

Учитывая условие х < б, получаем решение системы - промежуток —со < х< 1/5.

Следовательно, решениями неравенства (I) являются число х = 6 и все числа промежутка —со < х^ 1/5*

Пример 7. Решить неравенство

(2)

Решение. Разделив обе части неравенства (2) на выражение

положительное при любом действительном х, получаем

неравенство

равносильное (2), т. е. неравенство

Последнее неравенство равносильно неравенству

Итак, множество всех решений неравенства (2) есть промежуток (—со; —3].

Пример 8. Решить неравенство

(3)

Решение. Неравенство (3) равносильно неравенству

(4)

Обозначив / = 2*, получим

Таким образом, неравенство (4) равносильно совокупности неравенств

Следовательно, множество всех решений неравенства (4) есть множество

Неравенство вида

при помощи замены переменной t = ax сводится к решению системы неравенств

а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.

Так, например, неравенство

(5)

где А Ф О и а > О (а Ф 1), заменой t = ax сводится к решению системы неравенств

(6)

Дискриминант D квадратного трехчлена At2 + Bt+C равен <52-4ЛС.

1. Если D < 0 и А < 0, то второе неравенство системы (6) верно при любом /, в том числе и при / > 0; поэтому неравенство (5) верно при любом х.

2. Если D < 0 и А > 0, то второе неравенство системы (6) решений не имеет; следовательно, и неравенство (5) не имеет решений.

3. Если D^O и t2 — корни квадратного трехчлена Ai2 {--f-£/ + C (пусть при этом /i</2)> то

а) при А < О и t2^0 система (6) верна при любом t > О; следовательно, неравенство (5) верно при любом х\

б) при ^4<0 и и /2>0 система (6) верна при / > t2\ следовательно, неравенство (5) равносильно неравенству

в) при А < 0 и /х^О система (6) равносильна совокупности

следовательно, неравенство (5) равносильно совокупности простейших неравенств

г) при А > 0 и t2^0 система (6), а следовательно, и неравенство (5) решений не имеют;

д) при А > 0 и /i^O, t2 > 0 система (6) равносильна неравенству 0 < t2\ следовательно, неравенство (5) равносильно неравенству

е) при А > О и ti > 0 система (6) равносильна двойному неравенству /i*^/^/2; следовательно, неравенство (5) равносильно двойному неравенству

которое равносильно системе

Пример 9. Решить неравенство

Решение. Обозначив / = 2~*, получим

Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству

Итак, промежуток (—2; + оо) есть множество всех решений исходного неравенства.

Неравенство вида

(7)

где а > 0, а Ф 1, Ь > 0, может быть решено при помощи логарифмирования обеих частей (это возможно, так как обе части неравенства положительны).

При всех Ь^О неравенство (7) справедливо для любого х из ОДЗ неравенства.

Неравенство af{x)^,b при 6<0, а > 0, а ^ 1 решений не имеет.

Пример 10. Решить неравенство

Решение. Обе части неравенства положительны при любом значении х. Прологарифмировав обе части неравенства по основанию 3, получим неравенство

равносильное исходному. Таким образом,

Отсюда с учетом того, что 2+log3 11 > 0, находим все решения исходного неравенства — промежуток

Пример 11. Решить неравенство

(8)

Решение. Обе части данного неравенства положительны при любом x. Прологарифмировав его по основанию 10, получим неравенство

т. е. неравенство

равносильное неравенству (8). Поскольку

то

т. е.

Итак, промежуток

есть множество всех решений неравенства (8).

Решение показательных неравенств, которые имеют три различных основания, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, причем эти основания возводятся в

одну и ту же степень, зависящую от х, сводится заменой переменной к решению квадратного неравенства.

Такие показательные неравенства, в частности, имеют вид

или

где а^О, Р, у—действительные числа, f (*) — некоторая функция, а основания а, Ь, с удовлетворяют условию Ь2 = ас.

Пример 12. Решить неравенство

(9)

Решение. Запишем неравенство в виде

В этом неравенстве числа 49, 140 и 400 образуют три последовательных члена геометрической прогрессии со знаменателем 20/7. Разделив обе его части на 400*, получим неравенство

Обозначив t

имеем

Таким образом, неравенство (9) равносильно неравенству

откуда получаем

Следовательно,

промежуток

является множеством всех решений

неравенства (11).

Пример 13. Решить неравенство

(10)

Решение. Разделив неравенство (10) на 4*, получим равносильное ему неравенство

Таким образом, исходное неравенство (10) равносильно неравенству

откуда х^О.

Следовательно, промежуток (—со; 0] есть множество всех решений неравенства (10).

Неравенство вида

где а Ф О, р, 7 —любые действительные числа, а основания а и Ь являются положительными взаимно обратными числами (ab=l), можно решать при помощи замены t = a^x).

Пример 14. Решить неравенство

Решение. Используя свойства степени, перепишем данное неравенство в виде

Обозначив t —

получим

Таким образом, данное неравенство равносильно двойному неравенству

откуда находим

Следовательно, отрезок [(l+lg2)/7; (l + lg3)/7] есть множество всех решений данного неравенства.

Решение некоторых показательных неравенств сводится к решению алгебраических однородных неравенств, т. е. неравенств вида

где а0, 01, ап — некоторые числа (а0 Ф 0), а / (*), g (^ — некоторые функции.

Пример 15. Решить неравенство

(11)

Решение. Неравенство (И) равносильно неравенству

которое является однородным неравенством вида

Поскольку 3х ~3* > 0 при любом х, то, разделив неравенство (11) на 32<*2~3*\ получим равносильное ему неравенство

Квадратный трехчлен 8у2+6у—27 имеет корни 3/2 и —9/4. Следовательно, неравенство (11) равносильно совокупности неравенств

Первое неравенство этой совокупности решений не имеет. Из второго неравенства находим:

Таким образом, множество всех решений неравенства (11) есть отрезок

Пример 16. Решить неравенство

(12)

Решение. Область допустимых значений данного неравенства состоит из всех натуральных чисел, больших 1.

Неравенство (12) является однородным. Разделив обе его части

и положив

получим

Решением этого неравенства является отрезок 2/3^/^3/2. Таким образом, неравенство (12) равносильно двойному неравенству

отсюда находим

т. е. неравенству (12) удовлетворяют все числа из ОДЗ. Итак, решением неравенства (12) есть множество Х = {х: х^>2, xÇN}.

Некоторые показательные неравенства содержат выражения вида f(x)g{x). Напомним, что по определению

т. е. функция f(x)8{x) определена тогда, когда определены обе функции f (x), g(x) и, кроме того, f (х) > 0.

Пример 17. Решить неравенство

(13)

Решение. Область допустимых значений данного неравенства определяется условием х > 2. При таких х имеем

3.

Таким образом, множество всех решений неравенства (13) состоит из объединения двух промежутков: (2; 3)(J(4; + оо).

Пример 18. Решить неравенство

(14)

Решение. Область допустимых значений неравенства (14) определяется условием х > 0. При таких х обе части неравенства (14) положительны. Прологарифмировав их по основанию 5, получим неравенство

равносильное (14). Из (15) получаем неравенство

т. е.

Таким образом, неравенство (14) равносильно совокупности

Следовательно, множество решений неравенства (14) имеет вид

Пример 19. Решить систему

(16)

Решение. Уравнение данной системы равносильно уравнению

Обе части его положительны; поэтому оно равносильно уравнению

Поскольку log47>0 и | *2 — 8*+ 12 | ^ 0 при любом *, то отсюда следует у^О. Поэтому неравенство системы (16) следует решать только для двух случаев: О^у^З и у > 3.

При 0<;#«^3 неравенство системы (16) принимает вид

т. е. ï/2 + 4t/«^0; отсюда находим —4<;*/^0. Учитывая условие О < г/ ^ 3, получаем у = 0.

При у > 3 неравенство системы (16) принимает вид

это неравенство не имеет решений.

Подставляя значение у = 0 в уравнение системы (16), получим

Таким образом, две пары чисел (2; 0), (6; 0), и только они, являются решениями системы (16).

Пример 20. Найти все значения а, при которых неравенство

(17)

выполняется для любых х.

Решение. Полагая / = 2*2, неравенство (17) можно записать следующим образом:

(18)

Тем самым решение исходной задачи свелось к отысканию всех значений а, при которых неравенство (18) выполняется для любых t > 0.

Поскольку

то при а+1 < 0 (т. е. а < —1) неравенство (18) справедливо для любого в том числе и для t > 0.

При я+ 1 ^ 0 имеем

поэтому неравенство

(18) равносильно неравенству

(19)

При таких а справедливо неравенство

следовательно, неравенство (19) выполняется для любого t > 0, если выполняется неравенство

т. е. неравенство

(20)

При — 1<а^—1/2 неравенство (20) решений не имеет. При а > —1/2 имеем

Таким образом, только при а из множества (—оо; —1)(J (J [}^3/2 ; +оо) неравенство (18) справедливо для любого / > 0.

Итак, неравенство (17) выполняется для любого х только при всех а из множества (—оо; —1)(J [1^3/2; +оо).

Решению неравенства (18) можно дать следующую геометрическую интерпретацию. При каждом а квадратному трехчлену, стоящему в левой части неравенства (18), на плоскости tOY соответствует парабола, ветви которой направлены вверх, осью симметрии служит прямая t = —2а—1, а вершиной является точка (—2а— 1; —4а—4).

При всех а < — 1 вершина параболы, а следовательно, и вся парабола расположены в верхней полуплоскости. Это означает, что квадратный трехчлен /2 + 2 (2а+ 1) / + 4а2 — 3 положителен при любом г, в том числе и при / > 0.

При каждом а^ Y 3/2 ось симметрии параболы расположена левее оси OY и парабола пересекает ось OY в точке (0; 4а2 —3); при этом 4а2 — 3^0. Это означает, что квадратный трехчлен /2+ -f-2 (2а+1)/ + 4а2 —3 положителен при любом / > 0.

Пример 21. При всех значениях а (а > 0, а Ф 1) решить неравенство

(21)

Решение. Обозначив / = а*, неравенство (21) можно записать следующим образом:

(22)

Поскольку

при всех а, то неравенство (22) равносильно

совокупности двух систем (так как / > 0):

Решим первую систему. Неравенство—t2—а2/+1^1 равносильно неравенству /2 + а2/<;0, которое при / > 0 решений не имеет; следовательно, первая система решений не имеет.

Решим вторую систему. Неравенство t2+a2t —1^1 равносильно совокупности двух неравенств:

Поскольку

то вторая

система совокупности равносильна неравенству

Следовательно, при а > 0, а Ф 1 и любом х

неравенство (21) равносильно неравенству

Отсюда находим:

а) при 0 < а < 1 неравенство (21) имеет решение

б) при а > 1 неравенство (21) имеет решение

ЗАДАНИЕ 1

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 2

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 3

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 4 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 5 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 6 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 7 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 8 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 9

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 10

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 11

1. Решить неравенство:

2. Решить систему

3. Для всех значений а решить неравенство

ЗАДАНИЕ 12

1. Решить неравенство:

2. Решить систему

3. Для всех значений а решить неравенство

Упражнения

1. Решить неравенство:

2. Решить неравенство:

3. Решить систему:

§ 4. Логарифмические неравенства

Решение простейших логарифмических неравенств основано на следующих свойствах монотонности логарифма:

В данных переходах от простейшего логарифмического неравенства к равносильным системам неравенств, не содержащих знака логарифма, учтена область допустимых значений исходного неравенства.

Решение любого нестрогого логарифмического неравенства отличается от решения соответствующего строгого логарифмического неравенства только включением в множество всех его решений множества корней соответствующего логарифмического уравнения.

Простейшие логарифмические неравенства:

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Поскольку основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно двойному неравенству

Неравенство

выполняется для всех х из промежутков

Неравенство

равносильно неравенству

т. е. неравенству

решение которого есть х < 3.

Пересечение множеств решений каждого из неравенств системы есть промежуток — оо < х < 2, который и является множеством всех решений исходного неравенства.

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Основание логарифма больше единицы; поэтому данное неравенство равносильно неравенству

откуда следует, что интервалы — оо < * ^ 1 — }^ 5 и 1 + ^5^ ^ x < + оо составляют множество всех решений исходного неравенства.

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Поскольку

то данное неравенство равносильно неравенству

которое равносильно совокупности систем

(1)

Решим первую систему. Так как х2 + х+1 > 1 при х > 0, то lg (х2+х+1) > 0 при x > 0; поэтому первая система совокупности (1) решений не имеет.

Вторая система совокупности (1) равносильна системе

Следовательно, промежуток — оо < х < — 1 есть множество всех решений исходного неравенства.

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Так как log1/2 *= — log2 х, то данное неравенство равносильно неравенству

которое, учитывая, что основание логарифма больше единицы, равносильно системе неравенств

(2)

Неравенство

Поскольку 12*—8 < 0 при найденных значениях *, то на интервале 5/12 < X < 2/3 второе неравенство системы (2) равносильно неравенству 5—12*:^ х (12*—8), откуда —5/6^*«^ 1/2. Из этих значений х решениями исходного неравенства являются лишь те, которые удовлетворяют двойному неравенству 5/12 < х < 2/3.

Таким образом, множеством всех решений исходного неравенства есть промежуток 5/12 < 1/2.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Поскольку основание логарифмов больше единицы, то данное неравенство равносильно системе неравенств

которую, учитывая, что

можно переписать в виде

Положив / = |*|, отсюда получаем систему (относительно /)

итак, исходное неравенство равносильно неравенству

откуда следует, что множество всех решений исходного неравенства состоит из промежутков —2 < х < — J^"2 и Y~2 < х < 2.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Так как

то данное неравенство равносильно неравенству

Так как основание логарифма меньше единицы, то полученное неравенство равносильно системе неравенств

Решая первое неравенство этой системы, найдем, что 1/2^ <;х=<5/2. Решением неравенства х2 — Зх+2 > 0 являются промежутки «—оо<х<1 и 2<х< + оо. Пересечение полученных множеств решений неравенств системы является .множеством всех решений исходного неравенства, т. е. промежутки 1/2 х< 1 и 2 < х<5/2.

Пример 7, Решить неравенство

Решение. Из свойства монотонности показательной функции (основание меньше единицы) следует, что данное неравенство равносильно неравенству

Поскольку основание логарифма меньше единицы, то отсюда заключаем, что исходное неравенство равносильно неравенству

т. е. системе двух квадратных неравенств

(3)

Из первого неравенства этой системы найдем, что его решением являются промежутки —оо<х<1/ЗиЗ<х< + оо. Решение второго неравенства есть промежуток 0 х ^ 10/3. Пересечение множеств решений неравенств системы (3), т. е. все х из промежутков 0«^х< 1/3 и 3 < jc< 10/3, является решением исходного неравенствае

Пример 8. Решить неравенство

Решение. Поскольку основание логарифма меньше единицы, то данное неравенство равносильно неравенству

которое, учитывая, что основание логарифма больше единицы, равносильно неравенству

т. е. неравенству

Поскольку

то, решая неравенство

методом интервалов найдем, что множество всех его решений, а значит, и исходного неравенства, есть промежутки — 4 < х <—3 и 8 < X < + оо.

Решение неравенства вида

где /—некоторая функция, при помощи замены t = \ogax сводится к решению неравенства / (/) ^ 0 с последующим решением соответствующих простейших логарифмических неравенств.

Пример 9. Решить неравенство

Решение. Положим у = lg х, тогда данное неравенство принимает вид

Это неравенство равносильно неравенству

т. е. неравенству

Решением последнего неравенства является промежуток

Отсюда заключаем, что данное неравенство равносильно неравенству

решение которого есть интервал 0 < х < 10.

Пример 10. Решить неравенство

Решение. Положим у = 3х — 1 ; тогда данное неравенство принимает вид

(4)

Поскольку

то неравенство (4) перепишем в виде

Положив / = log4*/, имеем неравенство

решением которого являются промежутки —оо</<:1/2 и 3/2< + оо.

Таким образом, для нахождения значений у имеем совокупность двух простейших логарифмических неравенств

Решение этой совокупности есть промежутки 0 < у^2 и 8*Су < +00.

Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств

т. е. совокупности

Решением первого неравенства этой совокупности является промежуток 0<*<^1, решением второго —промежуток 2*^#<+оо.

Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех значений х из промежутков 0 < 1 и 2«^*< + оо.

Существуют различные способы оформления решения логарифмического неравенства. Наиболее распространенные из них — метод перехода к решению равносильных совокупностей неравенств и метод разбиения ОДЗ данного неравенства на промежутки, на которых решаются соответствующие равносильные (на рассматриваемом промежутке) неравенства. По существу, эти методы решения одинаковы и различаются только способом оформления.

Пример 11. Решить неравенство

Решение.

Первый способ. Данное неравенство равносильно неравенству

которое равносильно совокупности двух систем

(5)

Решением первой системы совокупности (5) являются промежутки — 2 < X < — 1 и 2 < * < + оо.

Решением второй системы совокупности (5) являются промежутки — 1<*<0и0<х<1.

Объединяя полученные множества решений систем совокупности, находим множество всех решений исходного неравенства — все X из четырех промежутков: — 2<*< —1, —1 < * < О, О < X < 1, 2 < X < + оо.

Второй способ. Область допустимых значений данного неравенства определяется системой

откуда находим ОДЗ неравенства:

а) Рассмотрим сначала данное неравенство на множестве (—2; ^— 1) U ( 1 ; +оо). На этом множестве оно равносильно неравенству

(так как х2 > 1), решением которого на этом множестве являются промежутки —2 < х < — 1, 2 < * < + со.

б) На множестве (—1; 0) U (0; 1) данное неравенство равносильно неравенству

(так как г? < 1), решением которого на этом множестве являются промежутки — 1<#<0и0<х<1.

Объединяя полученные решения, получим множество решений исходного неравенства — все х из промежутков —2<х< — 1, —1 <*<0, 0<*< 1, х>2.

При решении логарифмических неравенств следует избегать преобразований, которые могут привести к потере или появлению посторонних решений, так как в противном случае обоснование правильности ответа, как правило, есть более сложная задача, чем решение исходного неравенства. Тем самым, по существу, единственным методом решения логарифмических неравенств является

метод перехода к равносильным неравенствам (системам или совокупностям).

Пример 12. Решить неравенство

Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из всех значений х, удовлетворяющих условию х>—2. При этих значениях неизвестного

поэтому исходное неравенство можно записать в виде

или

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств

Решение первого неравенства этой системы есть промежуток — 4 < x < 3. Из этих значений х второму неравенству удовлетворяют только те x, которые принадлежат интервалу — 2 < х < 3. Следовательно, множеством всех решений исходного неравенства является интервал —2 < х < 3.

Пример 13. Решить неравенство

(6)

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется системой

Из нее находим ОДЗ: промежуток 4<х< + оо. Данное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

Основание логарифма меньше единицы; поэтому неравенство (6) равносильно системе

Поскольку

то множеством всех решений исходного неравенства является промежуток 4 < x < -f- оо.

Пример 14. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства задается системой

откуда находим 0 < х < 4. Поскольку

то

имеем

Полученная система равносильна совокупности двух систем

(7)

Решая первую систему совокупности, имеем

Решая вторую систему совокупности, имеем

Таким образом, множеством всех решений совокупности систем (7), а следовательно, и исходного неравенства являются х = 2 и О < х<4/5.

Неравенство вида

равносильно совокупности систем

а неравенство вида

равносильно совокупности систем

Неравенство вида

равносильно совокупности систем

а неравенство вида

равносильно совокупности систем

Пример 15. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем

Решим первую систему. Имеем:

поэтому первая система совокупности решений не имеет.

Решчм вторую систему. Имеем:

Таким образом, решением совокупности, а следовательно, и исходного неравенства является интервал

Пример 16. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем

Первая система этой совокупности решений не имеет, так как неравенство—4х2+\2х—8> 1 равносильно неравенству (2*—3)? < < 0, которое не имеет решений.

Первое неравенство второй системы совокупности справедливо при 1 < X < 3/2 и 3/2 < X < 2, а второе неравенство этой системы— при 1 < X < 5/4 и 5/4 < X < 3/2. Поэтому решение второй системы, а следовательно, и исходного неравенства есть множество всех х из промежутков 1 < х < 5/4 и 5/4 < х < 3/2.

Неравенство вида

где /, ф, g—некоторые функции, равносильно совокупности систем

а неравенство вида

равносильно совокупности систем

Неравенство вида

равносильно совокупности систем

а неравенство вида

равносильно совокупности систем

Пример 17. Решить неравенство

Это неравенство равносильно совокупности систем

т. е. совокупности

(8)

Первая система совокупности (8) равносильна совокупности систем

(9) Имеем:

так как

первая система совокупности (9) не

имеет решений.

Решим вторую систему совокупности (9). Имеем:

Таким образом, промежуток —2|^2<х< — 1 есть множество всех решений совокупности (9), т. е. первой системы совокупности (8).

Вторая система совокупности (8) равносильна совокупности систем

(10)

Решим первую систему совокупности (10). Имеем:

Решением неравенства 5х2+4х—8^ 0 являются промежутки

Решением неравенства

является промежуток

Поскольку

т. е. решением первой системы совокупности (10) является промежуток

Вторая система совокупности (10) не имеет решений, так как

и последняя система решений не имеет.

Таким образом, промежуток

есть множество всех решений совокупности (10), т. е. второй системы совокупности (8).

Итак, множество всех решений совокупности (8), а следовательно, и исходного неравенства состоит из промежутков

Пример 18. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству

(11)

Положим y = \ogx2; тогда неравенство (11) запишется в виде

(12)

Решим это неравенство. Его ОДЗ есть промежуток —-3*^у < + оо. При у < —1 промежуток—3«^# < —1 из ОДЗ входит в множество решений неравенства (12), так как 1 < 0. При у^—1 получаем равносильное неравенство

или

решение которого есть —2«^(/«^1. Поэтому промежуток —1«^*/<;1 есть решение неравенства (12) на множестве у^—1. Таким образом, решением неравенства (12) является промежуток —3<у< 1.

Следовательно, исходное неравенство равносильно системе неравенств

(13)

Область допустимых значений этой системы состоит из всех х > 0,

Хф 1.

Если 0 < x < 1, то log2 x < 0. Поэтому

Таким образом, на множестве 0 < х < 1 решение системы (13) есть промежуток

Если x > 1, то имеем

Таким образом, на множестве х > 1 решением системы неравенств (13) есть промежуток 2 <; х < + оо.

Итак, множество всех решений системы (13), а следовательно,

и исходного неравенства состоит из промежутков

Пример 19. Решить неравенство

(14)

Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из всех x > 0. На ОДЗ имеем:

следовательно, данное неравенство равносильно неравенству

или

Последнее неравенство равносильно совокупности неравенств

Множество всех решений этой совокупности, а следовательно, и

неравенства (14) состоит из промежутков

Пример 20. Решить неравенство

Решение. ОДЗ данного неравенства состоит из всех х, удовлетворяющих системе

т. е. является объединением трех промежутков:

Поскольку при таких

значениях х имеем

и

то исходное неравенство равносильно на его ОДЗ неравенству

(15)

Из верного числового неравенства 11<53/а следует log5 П < 3/2 и 2 — 3/loge H < 0. Поэтому неравенство (15) равносильно неравенству

(16)

Это неравенство на ОДЗ исходного неравенства равносильно совокупности двух систем

т. е. совокупности

(17)

Множество решений первой системы совокупности (17) состоит из промежутков —оо < х < —2, 6<;* < +оо, которые принадлежат ОДЗ исходного неравенства. Множество решений второй системы совокупности (17) есть интервал —2 < х < 1/3. Из этих чисел в ОДЗ исходного неравенства входят только числа из интервала

Итак, множество всех решений исходного неравенства состоит из трех промежутков:

Пример 21. Решить неравенство

Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из всех Ху удовлетворяющих системе

т. е. состоит из промежутков —1=^*^0 и 4«^* < + оо. Поскольку на этих промежутках

то исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

т. е. неравенству

Последнее неравенство равносильно неравенству

т. е. неравенству —1 < 3. Из этих значений х в ОДЗ исходного неравенства входят только х из промежутка —1 ^*<;0. Итак, решение исходного неравенства есть промежуток —1

Пример 22. Решить неравенство

(18)

Решение. Область допустимых значений исходного неравенства состоит из всех х, удовлетворяющих системе

т. е. системе

Отсюда следует, что ОДЗ состоит из всех х, удовлетворяющих системе

Поскольку квадратное уравнение х2 — 4*+3 = 0 имеет положительные корни х\ = 1 и х2 = 3, то ОДЗ исходного неравенства есть х= 1 и х = 3. Решения исходного неравенства лежат в его ОДЗ; поэтому решения находятся среди чисел 1 и 3.

Пусть х= 1. Подставляя это значение в левую часть неравенства (18), получаем logb-^+l=—1 +1 =0, т. е. значение х=1 является его решением.

Пусть х = 3. Тогда левая часть исходного неравенства равна

Поскольку 27 > 25, то

следовательно, logs > 0. Поэтому значение х = 3 не является решением исходного неравенства.

Таким образом, множество решений исходного неравенства состоит из единственного числа х= 1.

Пример 23. Решить систему

Решение. Область допустимых значений системы определяется системой неравенств х > О, у > 0. Второе неравенство системы на ОДЗ равносильно неравенству 2 log2 х ^ log2 у, заменяя в котором 2\og2y на 4 1og2*+l, получаем неравенство

т. е.

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда 21og2*—1=0, т. е. при х= Y2.

При х=У~2 из уравнения системы находим у = 2.

Проверка показывает, что пара чисел (>^2; 2) удовлетворяет данной системе, а, значит, исходная система имеет единственное решение (1^2; 2).

Пример 24. Решить систему неравенств

Решение. Если числа х, у удовлетворяют данной системе, то они удовлетворяют и условиям 2 — х > 0, 2—х Ф 1, 2х—2>0, 4—у > 0, 4—уФ 1,2 — у > 0, т. е. системе неравенств 1 < х < 2, у < 2. На этом ОДЗ для оснований логарифмов исходной системы имеем

0 < 2-х < 1, 4—у > 2. Таким образом, данная система равносильна системе

Следовательно, множество всех решений исходной системы есть множество пар (х, у), где х принадлежит интервалу (3/2; 2), а у интервалу (1; 2).

Пример 25. При 0 < а < 1/4 решить неравенство

(19)

Решение. Заметим, что х > 0 и х Ф 1. Данное неравенство равносильно неравенству

т. е. неравенству

откуда

(20)

Если 0 < X < 1, то Iog2 X < 0; если * > 1, то log2 х > 0. Поэтому неравенство (20) равносильно совокупности двух систем

(21)

(22)

Решим систему (21).

При 0 < х+а < 1 имеем 0 < х+а < 5/4, так как 0 < а < 1/4 и log2(*+a) < 0; при х+а > 1 имеем log2(jc+a) > 0. Поэтому система (21) равносильна совокупности двух систем (а > 0, х > 0):

(23)

(23')

При всех 0 < а < 1/4 дискриминант D квадратного трехчлена X2 — (1 — 2а) х+ а2 положителен (D — 1 — 4а) ; поэтому

где

причем *i < х2.

Числа *i и х2 удовлетворяют системе

откуда следует, что при заданных ограничениях на а числа хг и х2 положительны. Кроме того, поскольку х1+х2= 1 — 2а = = 1 —û—а < 1—а, то каждое из них меньше 1— а. Поэтому система (23') решений не имеет.

Решением системы (23), а следовательно, и системы (21) (при 0 < а < 1/4) являются все х из интервалов 0<х<*! и х2<х< 1—а.

Решим систему (22). Неравенство

равносильно неравенству

(24)

При х> 1 и 0 < о < 1/4 справедливо неравенство х < х+а, откуда в силу возрастания функции y=\og2x имеем log2x<

< log2(*+a).

Поскольку log2x > 0 и log2 (х+а) > 0, то

Следовательно, неравенство (24) справедливо для всех х> 1, О < а < 1/4.

Таким образом, множество всех решений системы (22) есть промежуток 1 < x < + 00.

Итак, при любом а из интервала О < а < 1/4 множество всех решений неравенства (19) состоит из трех промежутков:

Пример 25. Найти все значения а, при которых неравенство

(25)

выполняется для любого значения х.

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству

Основание логарифма больше единицы; поэтому данное неравенство равносильно системе

Таким образом, требуется найти все значения а, при которых системе неравенств

(26)

удовлетворяет любое значение х.

При а = 5 первое неравенство системы (26) принимает вид 4х<:0, которое не выполняется, например, для х=1.

При а = 0 второе неравенство системы (26) принимает вид 4х > 0, которое не выполняется, например, для х =—1.

Пусть а > 5. Рассмотрим первое неравенство системы (26). Для х = 0 оно принимает вид а—5^0. Это означает, что при любом а > 5 значение х = 0 не является решением системы (26), а следовательно, и исходного неравенства.

Пусть а < 0. Рассмотрим второе неравенство системы (26). Для х = 0 оно принимает вид а > 0, что противоречит неравенству а < 0. Следовательно, при а < 0 значение х = 0 не является решением системы (26), а следовательно, и исходного неравенства.

Пусть 0 < а < 5. Квадратный трехчлен (а—5) х2 + 4х+(а—5) неположителен для любого х, если его дискриминант D = = 16—4 (а—5) (а—5) неположителен. Квадратный трехчлен ах2 + 4х+а положителен для любого xt если его дискриминант D = 16—4а2 отрицателен.

Таким образом, поставленная задача сводится к решению системы

Поскольку

то исходное неравенство справедливо для всех х только при а из промежутка 2 < а^З.

ЗАДАНИЕ 1 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 2

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 3

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 4

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 5 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 6

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 7

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 8

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 9

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 10 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 11

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 12 Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 13

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 14

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 15

Решить неравенство:

ЗАДАНИЕ 16

Решить неравенство:

Упражнения

Решить неравенство:

ОТВЕТЫ

ГЛАВА 1

§ 1

ЗАДАНИЕ 1

I. 1) {х: 1<*< 9/2}; 2) {х: —3<*<— 2 и х> —2}; 2. 1) да, 2) нет. 3. 1) при g(x) = f (x), f (х) = 0 О f (x) g (х) =0; 2) при ^(др) = = Vf(x)-2 f(x)=0t=f(x)g(x)=0; 3) при£(*) =

= / (x) + 1 f (x) = 0z=5> f (x) g (x) = 0. 4. 1) да; 2) нет (рассмотреть: / (д:) = 1 — л:, g(x) = x—2); 3) да. 5. 1) первое уравнение есть следствие второго; 2) одно уравнение следует из другого, так как они равносильны; 3) второе уравнение есть следствие первого (рассмотреть / (x) = arccos х).

ЗАДАНИЕ 2

1. 1) {х: 9<*<10}; 2) {х: — 1 < х < 1 и х> 1}. 2. 1) да; 2) да. 3. 1) второе уравнение есть следствие первого; если на ОДЗ второго уравнения ft(x)g^(x) Ф 0, то они равносильны. 4. 1) да; 2) нет (рассмотреть f (x) = l—x2t g(x) = l—x); 3) да. б. 1) f(x) = = 1 =ф f2 (х) = 1 ; 2) первое уравнение есть следствие второго (рассмотреть / (x)=x2t g (x) — lg (x2— 1)); 3) второе уравнение есть следствие первого (рассмотреть }(х)=х).

ЗАДАНИЕ 3

1. 1) второе уравнение есть следствие первого; 2) второе уравнение есть следствие первого; 3) второе уравнение есть следствие первого; 4) первое уравнение есть следствие второго; 5) первое уравнение есть следствие второго. 2. 1) нет; 2) нет; 3) нет. 3. 1) да;

2) нет. 3) да.

ЗАДАНИЕ 4

1. 1) первое уравнение есть следствие второго; 2) ни одно из них не есть следствие другого; 3) ни одно из них не есть следствие другого; 4) каждое из уравнений есть следствие другого, так как они равносильны; 5) второе уравнение есть следствие первого. 2. 1) да; 2) нет; 3) нет. 3. 1) да; 2) нет; 3) да.

Упражнения

1. 1) нет; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) нет; 8) нет 9) да; 10) да; 11) нет; 12) нет; 13) да; 14) нет; 15) да; 16) нет 17) нет; 18) нет; 19) нет; 20) нет; 21) да; 22) нет; 23) нет; 24) нет 25) нет; 26) да. 2. 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да. 3. 1) нет; 2) да

3) да; 4) нет. 4. 1) да; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да; 7) нет

§ 2

ЗАДАНИЕ 1

В примерах 2), 4), 6), 7), 10), 15), 17) и 18) неравенства не являются равносильными, а в остальных—равносильны.

ЗАДАНИЕ 2

В примерах 2), 4), 6), 7), 10), 15), 17) и 18) неравенства не являются равносильными, а в остальных — равносильны.

ЗАДАНИЕ 3

В примерах 5), 11), 13) неравенства равносильны, а в остальных—не являются равносильными.

ЗАДАНИЕ 4

В примерах 2), 7), 12) и 16) неравенства равносильны, а в остальных— не являются равносильными.

ЗАДАНИЕ 5

В примерах 2), 5), 6), 9) и 11) неравенство и система не являются равносильными, а в остальных — равносильны.

ЗАДАНИЕ 6

В примерах 2), 3), 6) неравенство и система не являются равносильными, а в остальных—равносильны.

Упражнения

1. В примерах 3), 4), 5), 7), 11), 14), 15), 19), 20), 22), 23) и 25) неравенства равносильны, а в остальных — не являются равносильными. 2. Во всех примерах этого номера неравенство и совокупность систем равносильны.

ГЛАВА 2

§ 1

ЗАДАНИЕ I

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4

Упражнения

§ 2

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4

ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАНИЕ 6

ЗАДАНИЕ 8

ЗАДАНИЕ 7

Упражнения

§ 3

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4

ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАНИЕ 6

Упражнения

§ 4

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4

ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАНИЕ 6

ЗАДАНИЕ 7

ЗАДАНИЕ 8

Упражнения

ГЛАВА 3

§ 1

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4

ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАНИЕ 6

ЗАДАНИЕ 7

ЗАДАНИЕ 8

ЗАДАНИЕ 9

Упражнения

§ 2

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4

ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАНИЕ 6

ЗАДАНИЕ 7

ЗАДАНИЕ 8

Упражнения

§ 3

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4

ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАНИЕ б

ЗАДАНИЕ 7

ЗАДАНИЕ 8

ЗАДАНИЕ 9

ЗАДАНИЕ 10

ЗАДАНИЕ 11

ЗАДАНИЕ 12

Упражнения

§ 4

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ЗАДАНИЕ 3

ЗАДАНИЕ 4

ЗАДАНИЕ 5

ЗАДАНИЕ 6

ЗАДАНИЕ 7

ЗАДАНИЕ 8

ЗАДАНИЕ 9

ЗАДАНИЕ 10

ЗАДАНИЕ 11

ЗАДАНИЕ 12

ЗАДАНИЕ 13

ЗАДАНИЕ 14

ЗАДАНИЕ 15

ЗАДАНИЕ 16

Упражнения

Дополнение

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ В МГУ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

1. Решить уравнение:

2. Сколько корней на отрезке [0, 1] имеет уравнение:

3. При каждом а решить уравнение:

4. Указать все а, при которых уравнение имеет решения и найти эти решения:

5. Решить неравенство:

6. Пусть а > О, b > О. Найти решения неравенства:

7. Решить систему уравнений:

8. Найти все пары целых чисел х, у, удовлетворяющих системе:

9. Найти все значения я, при каждом из которых система имеет ровно четыре различных решения:

10. Найти все значения а, при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение:

11. Найти все значения а, при каждом из которых для любого значения Ь система имеет по крайней мере одно решение (X, У, 2):

Валерий Васильевич Вавилов Иван Иванович Мельников Слав Николаевич Олехник Петр Иванович Пасиченко

ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ.

Уравнения и неравенства

Редактор А. Т. Цветков, Т. В. Шароватова Художественный редактор Г. Af. Коровина Технический редактор Л. В. Лихачева Корректоры Н. Д. Храпко, И. Я- Кришталь

ИБ № 12572

Сдано в набор 06.03.87. Подписано к печати 08.10.87. Формат 84Xl08Vas- Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 12,6. Усл. кр.-от. 12,81. Уч.-изд. л. 15,77. Тираж 350 000 (2 завод 200 001—350 000) экз. Заказ № 1510. Цена 85 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука> Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 1 13054 Москва, Валовая, 28

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Готовится к печати:

ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. АЛГЕБРА: Справочное пособие/Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. М. — Темплан 87, позиция № 49.

Книга является справочным пособием и содержит основные методы решения задач по алгебре. Изложение методов сопровождается необходимыми теоретическими сведениями и разбором примеров. По каждой теме приводятся задания и упражнения для закрепления и более полного ее усвоения.

Создан на основе курса математики подготовительного отделения Московского государственного университета (механико-математический факультет).

Для школьников старших классов и слушателей подготовительных отделений. Может быть использован для самостоятельной подготовки в вуз.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Готовится к изданию:

ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. НАЧАЛА АНАЛИЗА:

Справочное пособие / Вавилов В. В., Mельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И.

Справочное пособие по методам решения задач по началам математического анализа. Методическое построение позволяет углубленно повторить начала анализа и самостоятельно подготовиться к поступлению в вуз с повышенной математической программой. Типовые задачи сопровождаются подробным разбором.

Создан на основе преподавания математики на подготовительном отделении Московского государственного университета (механико-математический факультет).

Для школьников старших классов и слушателей подготовительных отделений. Может быть использован для самостоятельной подготовки в вуз.