РАБОЧАЯ БИБЛИОТЕКА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ШКОЛ II СТУПЕНИ

А. М. ВОРОНЕЦ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ

Комиссией по учебникам при Главсоцвосе допущено для школ II ступени

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

1931

Главлит А 86591 Инд. У—17 ГИЗ № 38537 Тираж 10.000 экз. 6-я типо-литография УПП ОГИЗа Москва, Большая. Переяславская, 46,

ПЕРВЫЙ КОНЦЕНТР ШКОЛ II СТУПЕНИ.

I. ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ.

Задачи №№ 1—34 не требуют знания алгебры: они могут быть решены чисто арифметически.

1. У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у сестры его вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько всего братьев и сестер?

2. Два путника, из которых один имел с собою 5 хлебов, а другой 3 хлеба, встретили на дороге незнакомца. Последний просил дать ему хлеба. Все трое сели завтракать и съели все 8 хлебов. Незнакомец дал за это 8 копеек. Сколько должен получить каждый из двух путников?

3. Стали вороны садиться по одной на березу — нехватило одной березы; стали садиться по две на березу—одна береза оказалась лишней. Сколько было ворон и сколько берез?

4. По двору ходят куры и кролики. Число голов равно 50, число ног 160. Сколько кур и сколько кроликов?

5. Два отца и два сына разделили между собою поровну три рубля, причем каждый получил по рублю. Как это могло получиться?

6. Расстояние между двумя станциями 240 км. Со станции выходят одновременно два поезда друг другу навстречу и идут с одинаковою скоростью 40 км в час. В момент выхода первого поезда из него вылетает голубь со скоростью 60 км в час и летит навстречу второму поезду; встретив поезд, голубь моментально поворачивает обратно и летит навстречу первому поезду; встретив этот поезд, голубь летит обратно ко второму поезду и т. д. Какое расстояние пролетит голубь, пока поезда не встретятся?

7. Освещение лестницы дома обходится 200 рублей в год. В доме, кроме подвального, 4 этажа; всего в доме 5 квартир. На каждой площадке лестницы по одной лампе. Плата

за освещение была распределена поровну между нсеми квартирами. Но жильцы подвального этажа заявили, что они лестницей не пользуются, и потому с них несправедливо брать за ее освещение. Тогда распределили плату поровну между остальными четырьмя квартирами. Но теперь оказались недовольными жильцы первого этажа, так как для них светит только одна лампа на первой площадке. Как распределить плату между квартирами?

8. Два поезда, причем каждый состоял из паровоза, тендера и 28 вагонов, встретились у разъезда, устроенного для пропуска 15 вагонов. Как разъехаться поездам? Предполагается, что все вагоны, паровоз и тендер одинаковы по длине.

9. Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз большее задуманного вами числа. Какая разность у вас получилась? Я отгадываю: вы получили 10. Верно?

10. В корзине были яблоки, всего менее 500. Когда отсчитывали по два, по три, по четыре, по пяти, по шести яблок, всякий раз в корзине оставалось одно яблоко. Остатка не получилось, когда отсчитывали по семи яблок. Сколько яблок было в корзине?

11. В корзине были яблоки, всего менее 200. Когда отсчитывали по два яблока, осталось одно; когда отсчитывали по три яблока, осталось два яблока; по четыре — осталось три; по пяти — осталось четыре; по шести — осталось пять; когда же отсчитали по семи яблок, остатка не получилось. Сколько яблок было в корзине?

12. В корзине были яблоки. Первый мальчик взял половину всех яблок и еще половину яблока; второй мальчик взял половину оставшихся яблок и еще половину яблока; третий мальчик взял половину оставшихся (после второго) и еще половину яблока. После этого в корзине осталось одно яблоко. Сколько яблок было в корзине?

13. Яблоки были распределены между детьми так первый получил одно яблоко и ^ остатка; второй — 2 яблока и остатка; третий — 3 яблока и ^ остатка и т. д.

Оказалось, что все дети получили поровну. Сколько было детей и сколько яблок?

14. Разделить 7 яблок поровну между 12 мальчиками, не разрезая яблоки на 12 и более частей. Как это сделать?

15. Как разделить 24 бутылки, из которых 5 наполнены молоком, 11 налиты молоком наполовину и S пустых, между тремя лицами, чтобы каждое получило поровну и молока и бутылок?

16. Сколько разных лиц в таком списке: 3 матери, 7 дочерей, 7 сестер, 5 двоюродных сестер, 2 тетки, 5 племянниц, 5 внучек и одна бабушка?

17. Некто, забыв завести вечером свои стенные часы, заметил утром, что они стоят. Не имея карманных часов и оставив дома стенные часы, он отправился к своему знакомому, у которого узнал время своего прихода к нему. Уходя от знакомого, он также справился о времени и, возвратившись домой, правильно поставил свои стенные часы. Зная, что он из дому к знакомому и от знакомого домой шел одинаковое время, узнать, каким образом он мог правильно поставить свои часы.

18. Разместите: 1) 28, 2) 32 и 3) 20 спичек в квадратах, перенумерованных на рисунке 1 цифрами от 1 до 8, так, чтобы при счете спичек в 1-м, 2-м и 3-м квадратах, в 3-м, 4-м и 5-м квадратах, в 5-м, 6-м и 7-м квадратах, 7-м, 8-м и 1-м квадратах — каждый раз получалось 9 спичек.

1

2

3

8

4

7

6

5

Рис. 1.

19. Петров, имея 3 пиджака, 4 брюк и 5 жилетов, уверяет приятелей, что может более месяца ежедневно изменять свой костюм. Приятели не поверили, и у них состоялась сделка на следующих условиях: если Петров повторит костюм ранее месяца, то за каждый недостающий до месяца день он платит 10 рублей; если же он долее месяца будет

ежедневно изменять свой костюм, то за первый день сверх месяца он получит 1 рубль, за второй—2 рубля, за третий— 3 рубля и т. д. Выиграет или проиграет Петров и сколько?

20. Мать послала свою дочь в кооператив и велела купить масла и колбасы. Исполнив поручение, девочка вернулась домой, положила на стол покупку и сдачу и сообщила, что цены за покупки проставлены на пакетах. Мать, посмотрев на цены и сосчитав сдачу, сказала: „Или тебе неправильно дали сдачу, или ты потеряла деньги, или с тебя взяли лишнее“. Девочка ответила: „В кооперативе лишнего не берут, кассирша и я сосчитали правильно, и я сдачу не потеряла“. Оказалось, что мать права и дочь права. В чем же кроется недоразумение?

21. Один старый араб, умирая, завещал свой табун верблюдов трем сыновьям по такому расчету: старшему — половину табуна, среднему — третью долю табуна и младшему— одну девятую долю табуна. Когда братья стали делить наследство, оказалось, что в табуне всего 17 верблюдов; братья не сумели произвести раздела и пригласили на совет мудрого человека. Последний привел одного своего верблюда и сказал: „Теперь в табуне стало 18 верблюдов:

старший получает 18 • у = 9 верблюдов, средний 18 . * =6 верблюдов и младший 18--^-=2 верблюда. Все трое получили 9 + 6+2=17 верблюдов, как завещал вам отец. Мой же верблюд оказался лишним, я уведу его обратно“. Как вы объясните этот дележ?

22. Сообразительный человек пришел к тупоумному скряге и сказал ему: „Заключим такую сделку: я буду уплачивать тебе ежедневно в течение месяца (30 дней) по рублю, а ты давай мне: в первый день -|- копейки, во второй 4- копейки и т. д., т. е. в каждый последующий день в 2 раза более, чем в предыдущий“. Жадный скряга согласился. Кто оказался в барыше и на сколько?

23. Погонщик гнал ослов; захотелось встречному парню подшутить над ним, вот он и спрашивает: „Эй, сколько вас тут ослов?“ Погонщик отвечает: „Если прибавить еще столько ослов, сколько есть, да еще полстолько, да еще четверть столько, да еще тебя взять в придачу, то вышла бы как раз сотня ослов“. Сколько было в табуне ослов?

24. Петя сказал Мише: „Длина забора вокруг нашего квадратного палисадника выражается таким числом метров, что оно равно числу квадратных метров в площади палисадника; угадай размеры нашего палисадника“. Миша подумал и ответил: „Длина и ширина вашего палисадника по 4 метра; длина забора равна 16 метрам, и площадь равна 16 квадратным метрам. А вот наш палисадник не квадратный, а просто прямоугольный, но у него длина забора и площадь выражаются одним и тем же числом. Подумай ты теперь, каков наш палисадник“. Петя отгадал. А вы?

25. Ученик правильно умножил на классной доске шестизначное число на пятизначное; но в то время, когда он пошел от доски, товарищ его стер задачу так, что остались только следующие данные:

Требуется по этим данным восстановить задачу. Звездочками отмечены места стертых цифр.

26. Три брата получили 24 яблока, причем каждому досталось столько яблок, сколько ему было лет. Младший был смышленнее других; он предложил братьям такую сделку: „Я,— сказал он, — оставлю себе только половину, а остальные мои яблоки разделю между вами поровну; но пусть следующий оставит себе тогда половину, а остальные яблоки даст мне и старшему брату поровну; потом и старший должен оставить себе половину, а остальные отдать поровну мне и среднему брату“. Братья согласились на такую сделку. В результате у всех братьев оказалось яблок поровну. Сколько лет было каждому брату?

27. Ученик при решении задачи должен был разделить одно число на 2 и к полученному частному прибавить 3; вместо этого ученик по ошибке умножил это число на 2 и от полученного произведения отнял 3. Несмотря на ошибочные действия, ученик получил верный ответ. Какое число встретилось в задаче?

28. Число оканчивается с правой стороны цифрой 2; если эту двойку с правой стороны переставить на левую сторону, то число удвоится. Найдите это число.

29. Три мальчика несли по одинаковому числу яблок и встретились с девятью девочками, имевшими по одинаковому числу пряников. Каждый из мальчиков дал каждой из девочек одинаковое число яблок, а каждая из девочек дала каждому из мальчиков одинаковое число пряников, после чего у каждого мальчика и у каждой девочки оказалось яблок и пряников поровну. Сколько яблок имел каждый из мальчиков и сколько пряников имела каждая из девочек до встречи?

30. На квадратной доске из 36 квадратов расположены следующие числа в следующем порядке:

5

50

1

20

3

2

3

10

5

25

20

15

25

1

20

2

15

1

10

15

10

3

25

50

2

50

1

5

20

10

15

5

25

2

50

3

Разделите доску на четыре одинаковые части так, чтобы в каждой из этих частей оказалось по 9 различных чисел, сумма которых равна 131.

31. Как провести в три владения I, II и III (рис. 2) воду, газ и электричество со станций В (вода), Г (газ) и Э (электричество) так, чтобы трубы и провода не пересекались?

Рис. 2.

32. Старинная задача. Четыре бедняка поселились у пруда и выстроили себе избушки 1, 2, 3 и 4 (рис. 3).

Потом поодаль их поселились четыре богача и выстроили себе дома I, II, III и IV. Богачам не понравилось, что бедные имеют свободный доступ к пруду, и они решили обвести свои владения одною изгородью так, чтобы у бедняков не было прохода к пруду. Как это сделать?

Рис. 3.

33. На круглом участке земли расположены четыре дома (рис. 4). Надо эти дома отгородить друг от друга так, чтобы каждому было отведено одинаковое количество земли. Как провести заборы?

Рис. 4.

34. На прямоугольном участке земли (рис. 5) посажены 7 яблонь (они отмечены звездочками). Как разделить весь участок тремя прямыми линиями так, чтобы образовалось 7 отдельных участков, из коих каждый содержит одну яблоню?

Рис. 5.

II. ГОЛОВОЛОМКИ.

1. ШАХМАТНАЯ ДОСКА.

Расставьте на шахматной доске 8 ферзей (возьмите 8 шашек, пусть каждая изображает ферзя) так, чтобы ни один ферзь не был под ударом другого. Ферзь — самая сильная фигура в шахматной игре. Он может стать на любое место, приходящееся в том же горизонтальном, вертикальном или диагональном направлении. Если ферзь стоит на клетке, отмеченной кружочком на рисунке б, то он может стать на любую из клеток, отмеченных крестиками; эти клетки и считаются под ударом ферзя, обозначенного кружочком.

На рисунке 7 указано одно из решений предложенной задачи. Задача допускает множество разнообразных решений. Когда вы найдете верное решение, зарисуйте его на клетчатой бумаге по образцу рисунка.

Рис. 6. Рис. 7.

Рис. 8. Рис. 9.

Расставьте на шахматной доске 5 ферзей так, чтобы любая клетка была под ударом одного или нескольких ферзей. Решите эту задачу сначала вообще, а потом при соблюдении одного из следующих добавочных условий: 1) ни один ферзь не находится под ударом другого; 2) каждый ферзь находится под ударом всех остальных.

Задача, решается ли она без добавочных условий или при одном из них, имеет множество решений. Записывайте каждое из найденных вами.

На рисунках 8, 9 и 10 даны образцы решений.

Из всех шахматных фигур конь ходит наиболее замысловато: он как бы вырисовывает букву Г или поставленную прямо, или перевернутую, или опрокинутую. Если конь стоит на клетке, отмеченной кружком на рисунке 11, то он может стать отсюда на любую из клеток, отмеченных крестом.

Рис. 10. Рис. 11.

Рис. 12. Рис. 13.

Конь, поставленный на любую клетку шахматной доски, может последовательными ходами обойти все остальные клетки, побыв на каждой только один раз, и вернуться последним ходом на исходную клетку. Перенумеруйте таким образом все клетки шахматной доски для последовательных ходов коня и запишите свое решение. Задача может быть решена различными способами. На рисунке 12 изображено одно из решений, а рядом, на рисунке 13, показано, какую извилистую линию описывает конь при своих перемещениях, отмеченных на рисунке.

Ход коня позволяет писать своеобразным шифром письма и т. п. Прочтите для примера стихотворение, разбитое по слогам на клетках шахматной доски, передвигаясь по клеткам ходом коня.

2. РАЗРЕЗНАЯ ШАШЕЧНАЯ ДОСКА.

Начертите на картоне 14 фигур по образцу, указанному на рисунке 14, и примерно такого же размера; вырежьте аккуратно каждую фигурку и соберите из них шашечную (или шахматную) доску. Когда последняя будет собрана, зарисуйте расположение фигурок.

Рис. 14.

Рис 15.

3. ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА.

Выпилите из дерева или вырежьте из картона 7 фигур по образцу, указанному на рисунке 15, причем точно соблюдайте размеры и форму. Вам будет легко это сделать, если вы начертите фигурки на клетчатой бумаге, как это сделано на рисунке. Из фигур, изображенных на рисунке 15, всякий раз складывая их все вместе, составьте: 1) квадрат, 2) прямоугольник и 3) фигуры, которые изображены в уменьшенном виде на рисунке 16.

Рис. 16.

4. АВТОМОБИЛЬНЫЙ ГАРАЖ.

На рисунке 17 изображен план гаража, содержащего 12 помещений для 12 автомобилей. В каждом (квадратном) помещении может стать только один автомобиль. Сейчас в гараже 8 машин; 4 машины, обозначенные буквами А, Б, В и Г, стоят в помещениях 1, 2, 3 и 4; 4 машины, обозначенные буквами Д, Е, Ж и 3, стоят в помещениях 9, 10, 11 и 12.

Требуется переставить машины А, Б, В и Г в поме-

щения 9, 10, 11 и 12, а машины Д, Е, Ж и 3 в помещения 1, 2, 3 и 4. Как это сделать при возможно меньшем числе (43) передвижений? Следует иметь в виду, что в один прием можно передвинуть только один из автомобилей на одно из свободных помещений; например передвижение машины Е из помещения 10 в помещение 7 считается за одно передвижение. Само собою разумеется, что машины могут передвигаться только через свободные помещения, т. е. не могут перескакивать друг через друга.

Чтобы облегчить себе решение задачи, сделайте чертеж, подобный данному рисунку, вырежьте из полукартона 8 кружочков, изображающих машины, перенумеруйте квадратные помещения гаража, надпишите на кружочках буквенные обозначения машин и передвигайте затем кружочки. Каждое передвижение, например машины Е из помещения 10 в помещение 7, записывайте так: Е 10—7.

Рис. 17.

5. ПАРОВОЗНОЕ ДЕПО.

В депо, план которого изображен на рисунке 18, имеется 9 мест для паровозов. Десятое место—снаружи; оно сделано для маневрирования. В депо на местах стоят 9 паровозов, из коих 3 имеют литеру А, 3 — литеру Б, 3 — литеру В. Требуется, передвигая паровозы по прямым или криволинейным путям, соединяющим их места, переставить паровозы так, чтобы паровозы литеры А стали на местах внутренней окружности, паровозы Б — на средней окружности и паровозы В — на наружной окружности, После этого требуется

Рис. 18,

переставить паровозы так, чтобы паровозы с одинаковыми литерами стояли на местах, соединенных прямыми путями.

Чтобы облегчить себе решение задачи, сделайте чертеж, вырежьте 9 кружочков с надписями букв А, Б и В; передвигайте, пользуясь запасным местом 10, кружочки. Само собою разумеется, что в один прием можно передвинуть только один паровоз.

III. ЧИСЛОВЫЕ КУРЬЕЗЫ.

1. Верно ли, что 28 = 2 + 2 + 2 + 22? Запишите число 23 с помощью только двоек.

2. Число 100 может быть записано посредством 4 девяток так:

Запишите число 100 посредством:

1) 6 девяток, 2) 5 единиц, 3) 5 троек, 4) 5 пятерок (в этом случае возможны 2 способа).

3. Число 100 может быть записано посредством всех 10 цифр, из коих каждая берется только один раз, так:

Существуют еще 4 способа; найдите их.

4. Запись 483-12 = 5796 замечательна тем, что содержит по одному разу каждую значащую цифру (от 1 до 9 включительно). Составьте еще такую запись.

5. Составьте произведения числа 142 857 на 2, 3, 4, 5 и 6. Чем примечательны результаты?

6. Зная особое свойство произведения 12345 679-9== = 111 111 111, напишите число 12 345 679 и спросите того, кто не знает этого произведения, какая из цифр написанного числа ему нравится больше других. Допустим, вам ответят: „Цифра 7“. Предложите тогда ответившему умножить написанное число на 63 (9 • 7 = 63); если он умножит без ошибок, то будет крайне удивлен, что произведение окажется равным числу 777 777 777, изображаемому его любимыми семерками! Если кому понравится цифра 3, то пусть он умножит написанное число на 27 (9-3 = 27); он получит произведение, состоящее из девяти троек.

7. Заметьте, что 6-21 = 126. Найдите еще такого рода соотношения между числами.

8. Вы знаете, что 12 • 12 = 144. Переставьте цифры в обратном порядке в сомножителях, и в произведении; получится 21 • 21=441. И это верно. Найдите еше такого рода соотношения между числами.

9. Частное от деления числа 97 524 на 10 836 равно 9. Делимое и делитель замечательны тем, что изображаются всеми цифрами, встречающимися лишь по одному разу. Точно так же 95 823:10 647 = 9. Найдите еще такого рода соотношение.

10. Обратите внимание на дробь . Если зачеркнуть в числителе и в знаменателе цифру 6, то получится . Вы знаете, что так „сокращать“ дробь нельзя. Между тем б5= 5 . Подберите еще такие примеры дробей, где зачеркивание одной и той же цифры в числителе и в знаменателе дает, к нашему удивлению, верный результат.

11. Продолжите, не совершая непосредственного умножения, следующие строки:

12. Проверьте справедливость следующих записей:

Вообще

IV. МИР БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

Ряд целых чисел бесконечен. Какое большое число вы ни напишете, к нему можно прибавить единицу, и получится еще большее число. Но не всякое огромное число имеет жизненный смысл. Можно представить себе число, записанное единицею и миллионом нулей; если записать это число на ленте бумаги так, чтобы каждая цифра имела ширину в 4 мм, то лента была бы длиною в 4 км. Но какой смысл имеет это число? Что представляет собою запись: единица, рядом справа миллион нулей и слово „километров“? Чтобы уяснить себе это, сделаем мысленно путешествие на расстояния, из коих каждое последующее больше предыдущего в 10 раз.

Путешествие на 1 км небольшое — это прогулка по длинной улице. Расстояние в 10 км нетрудно пройти пешком, без отдыха, в 2 * часа. Расстояние в 100 км пассажирский поезд проходит в 3 часа. Расстояние в 1000 км — уже немалое, скорый поезд проходит его дольше, чем в сутки. 10000 км — это расстояние от Ленинграда до Владивостока, 11 суток езды в вагоне скорого поезда. Расстояний в 100000 км уже нет на земном шаре; вы знаете, что длина земного меридиана равна 40 000 км. Если бы можно было удалиться от нашей Земли на 100000 км, мы приблизились бы к Луне, до которой 384000 км. От Земли до Солнца 149 500000 км, а до самой удаленной от Солнца планеты — Нептуна — 4 500000000 км. Поэтому, если бы мы удалились от Земли на 10000000000 км, мы вышли бы за

пределы солнечной системы и погрузились бы в бездны межзвездных расстояний. До ближайшей к Солнцу, а следовательно, и к нам, звезды 42 000000000000 км. Это огромное расстояние луч света пробегает в 4* года, а скорость распространения света равна, как известно, 300000 км в сек. Подсчитайте, сколько времени понадобилось бы,чтобы проехать такое расстояние в поезде. До самых удаленных от нас звезд не более 10000000000000000000 км. Вы видите, что последнее число записывается единицею и 19 нулями. Как это далеко от единицы с миллионом нулей! Число, изображаемое единицею и миллионом нулей, написать можно, но оно не будет изображать чего-либо нам понятного, чего-либо существующего. Все, что существует во Вселенной, можно оценить сравнительно небольшими числами. Вы видели, что наибольшие межзвездные расстояния оцениваются такою малою мерою длины, как километр, числами, записываемыми с помощью только 20 цифр. Если же мы увеличим меру длины, возьмем за единицу расстояний „световой год“, т. е. расстояние, пробегаемое лучом света в один год при скорости 300000 км в сек., то межзвездные расстояния могут быть оценены совсем малыми числами, например, 100000 световыми годами.

Мы говорили о числах, измеряющих расстояния. Возьмем теперь числа, измеряющие вес. Наш земной шар в целом весит приблизительно 6 500000 000 000000000000 тонн. Солнце весит в 329 000 раз больше, чем земной шар. Солнце есть одна из звезд Вселенной, а всех звезд более 10 миллиардов. Таким образом вес всего вещества во Вселенной можно оценить числом тонн, изображаемых цифрою 2 и 37 нулями. Поэтому число тонн, изображаемое единицею и миллионом нулей, во много раз превышает вес всего существующего в мире.

Если вес земного шара выражается ограниченным числом тонн, то легко понять, что число песчинок, имеющихся на Земле, не бесконечно; оно может быть вычислено. Такой подсчет сделал величайший математик древности Архимед, живший около 2200 лет назад.

Он доказал, что, если бы весь земной шар был набит песчинками, число всех песчинок было бы менее числа, изображаемого единицею и 33 нулями.

Мы называли различные большие числа, но не читали их так, как принято читать числа, не превышающие мил-

лиарда. Вы, может быть, слышали или читали слова „квадриллион*, „септиллион“ и т. п. и интересуетесь, как прочесть, например, число, изображаемое единицею и 33 нулями? Теперь такие огромные числа не имеют специальных названий, такие числа читаются именно так, как мы говорим, например: „число, изображаемое единицею и 33 нулями“, и записывается сокращенно так: 1033. Число, изображаемое цифрою 5 в сопровождении 78 нулей, записывается так: 5 . 1078. В подробном чтении таких чисел нет никакой надобности, так как мы знаем, что они в сущности не имеют смысла. Старинные слова „секстиллион“ и т. п. теперь забываются. А в прежнее время люди изобретали мудреные названия для больших чисел, и школьники мучились над их чтением. Вот, например, какие названия существовали около 300 лет тому назад в России для отдельных разрядов единиц, начиная с правого края: 1) единицы, 2) десятки, 3) сотни, 4) тысячи, 5) десятки тысяч, 6) сотни тысяч, 7) тьмы (одна тьма — по-теперешнему миллион), 8) десятки тем, 9) сотни тем, 10) тысячи тем (по-теперешнему миллиарды), 11) десятки тысяч тем, 12) сотни тысяч тем, 13) л е г и о н ы (по-теперешнему триллионы), 14) десятки легионов, 15) сотни легионов, 16) тысячи легионов, 17) десятки тысяч легионов, 18) сотни тысяч легионов, 19) тьмы легионов, 20) десятки тем легионов, 21) сотни тем легионов, 22) тысячи тем легионов, 23) десятки тысяч тем легионов, 24) сотни тысяч тем легионов, 25) леодры, 26) десятки леодров, 27) сотни леодров, 28) тысячи леодров, 29) десятки тысяч леодров, 30) сотни тысяч леодров, 31) тьмы леодров, 32) десятки тем леодров, 33) сотни тем леодров, 34) тысячи тем леодров, 35) десятки тысяч тем леодров, 36) сотни тысяч тем леодров, 37) легионы леодров, 38) десятки легионов леодров, 39) сотни легионов леодров, 40) тысячи легионов леодров, 41) десятки тысяч легионов леодров, 42) сотни тысяч легионов леодров, 43) тьмы легионов леодров, 44) десятки тем легионов леодров, 45) сотни тем легионов леодров, 46) тысяч и тем легионов леодров, 47) десятки тысяч тем легионов леодров, 48) сотни тысяч тем легионов леодров, 49) враны, 50) колоды. Дальше счет не шел, так как предполагалось, что больших чисел человек не может понимать. Число

624)34 782 364 902 143 572 894 311'835 678 259 628 360 178732 584

наши предки читали так: шесть колод, два врана, тридцать четыре тысячи семьсот восемьдесят две тьмы легионов, три-

ста шестьдесят четыре тысячи девятьсот два легиона, сто сорок три тысячи пятьсот семьдесят две тьмы восемьсот девяносто четыре тысячи триста одиннадцать леодров, восемьсот тридцать пять тысяч шестьсот семьдесят восемь тем двести пятьдесят девять тысяч шестьсот двадцать восемь легионов, триста шестьдесят тысяч сто семьдесят восемь тем семьсот тридцать две тысячи пятьсот восемьдесят четыре.

Теперь мы читаем то же число так: шестьдесят два и сорок восемь нулей, а записываем его в виде 62 • 1048, так как остальные цифры столь громадного числа не имеют никакого значения.

Некоторые колоссальные числа можно записывать немногими значками, употребляя так называемый показатель степени. Степенью называется произведение одинаковых множителей. Например произведение 2-2 2-2 2-2, равное 64, называется степенью; это произведение состоит из шести одинаковых множителей, из которых каждый равен числу 2; оно записывается условно в виде 26, где 6 называется показателем степени и показывает, сколько раз нужно повторить число 2 сомножителем. Поэтому 34 = 3-3-3.3=81; 52 = 26, 10^=1 000000 и т. д. Повторным умножением можно убедиться, что

264= 18 744 073 709 551 616.

Это число, уменьшенное на единицу, дает ответ на задачу, сколько зерен пшеницы потребовал будто бы себе в награду изобретатель шахматной игры, назначив одно зерно на первую клетку доски, два зерна — на вторую клетку, четыре зерна — на третью и т. д., на каждую последующую клетку вдвое больше зерен, чем на предыдущую. Можно подсчитать, что такого числа зерен пшеницы не дает весь мировой урожай. Это фантастическое число может, как видите, быть изображенным с помощью всего только трех цифр: 264. Еще более грандиозное число получается с помощью трех цифр в виде 99°.Так как 99=387420489, то Э^Э387420489. Написать это число в обычном виде, конечно, можно, но трудно: оно состоит более чем из 360 миллионов цифр! Сообразите, какой длины понадобилась бы бумажная лента, чтобы записать это число.

V. МАЛЫЕ ЧИСЛА.

Подобно тому как можно писать сколь угодно большие числа, можно писать сколь угодно малые дроби. Древняя легенда говорит1, что один индусский юноша, превосходивший всех своих современников умением разбираться в больших и малых числах, назвал наименьшую долю длины, какую только можно придумать. Единицею длины он взял индусскую меру длины „иоджану“, равную приблизительно 10 км. Он говорит, что наименьшая доля длины есть Тб8 47049“5б1б000 и оджаны и объясняет так: это есть седьмая доля тончайшей пылинки; 7 тончайших пылинок составляют одну небольшую пылинку; из 7 небольших пылинок выходит такая, которую кружит ветер; из 7 таких пылинок выходит пылинка, пристающая к ноге зайца; 7 подобных пылинок дают одну, пристающую к ноге барана; 7 пылинок, пристающих к ноге барана, образуют одну, пристающую к ноге буйвола; 7 таких пылинок составляют маковое зернышко, 7 маковых зернышек дают горчичное зерно, 7 горчичных—ячменное, 7 ячменных дают длину сустава пальца, из 12 суставов получаем пядь (по-нашему это фут, или 0,3 м), из двух пядей — локоть, 4 локтя составляют дугу (лука) и 4000 дуг составляют одну иоджану.

Указанная доля иоджаны составляет по-нашему приблизительно 0,00000001 мм.

Изложенное объяснение молодого индуса, конечно, остроумно, но не жизненно, так как невозможно измерять и отличать друг от друга пылинки, пристающие к ноге зайца или барана. Посмотрим, что может обозначать 0,00000001 мм. Длину, равную 0,1 мм, человеческий глаз не видит, нужно смотреть через сильное увеличительное стекло; 0,1 мм есть толщина листа плотной хорошей бумаги. Металлические нити в электрических лампочках накаливания имеют толщину приблизительно 0,01 мм. Толщина стенок мыльного пузыря в тот момент, когда он лопается, равна приблизительно 0,001 мм. Тысячная часть миллиметра имеет особое название: микрон. Бациллы, вызывающие разные болезни человека, имеют размеры в несколько микронов и могут быть видимы в сильные микроскопы. Сильнейшие микроскопы уже не по-

1 Из книги В. К. Беллюстина, Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики.

зволяют разглядывать размеры, меньшие 0,1 микрона, или 0,0001 мм.

Всякое вещество состоит из мельчайших частиц. Мельчайшая неделимая частица называется молекулой. Поперечный размер молекулы считается равным 0,000001 мм. Таким образом индус, указавший, что тончайшая пылинка имеет размер, в 100 раз меньший размера молекулы, ошибся; он дал преувеличенно малую долю.

Чтобы понять, сколь мал размер молекулы1, посмотрите на рисунок 19, изображающий план Москвы вместе с ее ближайшими окрестностями. Этот план вычерчен на кружке величиною в серебряную 20-копеечную монету. Легко представить себе, сколь малым пятнышком изображается на этом плане, при соблюдении его масштаба, очень большой дом. Вообразите себе, что на этом плане отмечено маковое зернышко, лежащее на улице, и тогда вы поймете, как мала молекула.

Рис. 19.

1 Из учебника физики А. В, Цингера.

ВТОРОЙ КОНЦЕНТР ШКОЛ II СТУПЕНИ

VI. ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ.

1. Гражданин. А сообщил в 8 часов утра по телефону новость двум своим знакомым В и С, затратив на это 5 мин. Граждане В и С сейчас же передали ту же новость по телефону, каждый тоже двум своим знакомым. Допустим, что новость продолжает так передаваться от каждого двум другим и что каждый затрачивает на передачу новости 5 мин. В котором часу весь город, население которого равно 2 млн., узнает новость?

2. Найдите трехзначное число, кратное отношение которого к изображению числа в плоском зеркале равно

3. Некто на вопрос своего знакомого: „Сколько вам лет?“—ответил: „Мне теперь вдвое более лет, чем сколько было вам тогда, когда мне было столько же лет, сколько вам теперь; когда же вам будет столько же лет, сколько мне теперь, то сумма наших лет будет 63“. Сколько лет каждому?

4. Задача Ньютона. На лугу, площадь которого равна 3^- акра, пасутся в продолжение 4 недель 12 быков и за это время съедают как ту траву, что была раньше, так и ту, что равномерно подрастала во все это время. На другом лугу, площадь которого равна 10 акрам, пасутся в продолжение 9 недель 21 бык и также съедают как ту траву, что была раньше, так и ту, что равномерно подрастала во все это время. Сколько нужно пустить быков на третий луг, площадь которого равна 24 акрам, чтобы они в продолжение 18 недель съели как ту траву, что на нем есть, так и ту, которая будет равномерно подрастать во все это время?

Примечание. Акр — английская земельная мера, равная приблизительно 0,4 гектара. Предполагается, что высота травы на всех

трех лугах до выгона на них быков одинакова и что подрастание травы на всех трех лугах за один день одно и то же.

5. Некто имел в 1894 году столько лет от роду, сколько единиц в числе, составленном двумя последними цифрами того года, когда он родился. Сколько ему лет?

6. Пешеход, идя вдоль линии трамвая, через каждые 4 минуты встречает вагон трамвая, и через каждые 12 минут его нагоняет вагон трамвая, движущегося по одному с ним направлению. Через какие промежутки времени отходят с конечной станции вагоны трамвая?

Примечание. Предполагается, что все вагоны движутся равномерно с одинаковою скоростью и что пешеход также идет равномерно.

7. Три крестьянина — Петр, Павел и Андрей — и их жены — Екатерина, Марья и Софья — отправились на ярмарку. Каждым из этих шести лиц было куплено столько вещей, сколько рублей заплачено было им за каждую вещь. Петр купил 25 вещами более, чем Марья, а Павел 11 вещами более, чем Екатерина. Известно, кроме того, что каждый крестьянин издержал на 63 рубля более, чем его жена. Определите, которая именно из трех женщин была женою Петра, которая— женою Павла и которая — женою Андрея.

8. Некто возвращался с сыном из города, где он купил лошадь. Желая скорее вернуться в деревню, они условились ехать поочередно 1 км верхом, а следующий—итти пешком; при этом проехавший километр привязывал лошадь к километровому столбу, где ее находил тот, чья очередь наступала ехать. Скорость лошади была вдвое более скорости сына. К пятому километровому столбу отец и сын явились одновременно. После этого, чтобы ускорить возвращение, они решили увеличить свою скорость: отец на 4~км, в час, а сын ш^км в час. Затем первым отправился верхом сын, причем скорость лошади была вдвое более увеличена, чем скорость сына (пешком). В деревню отец и сын явились в одно и то же время. Оказалось, что путешествие из города в деревню продолжалось 1 час 55,5 мин. Определите первоначальную скорость отца и расстояние деревни от города, зная, что оно выражается целым числом километров.

9. Два поезда двигаются по параллельным путям друг другу навстречу, один со скоростью 18 км в час, а другой со скоростью 24 км в час. Пассажир, сидящий в первом

поезде, заметил, что второй поезд шел мимо него в течение 13 сек. Какова длина второго поезда?

10. Ящик, наполненный изюмом и миндалем, взятыми одинакового веса, стоит 11 руб. 20 коп., а наполненный тем и другим в одинаковом объеме стоит 11 руб. 22 коп. Сколько килограммов изюма наполняют ящик и сколько килограммов миндаля входит в него, если килограмм изюма стоит 20 копеек, а килограмм миндаля 24 копейки?

11. Ящик вмещает 6 кг миндаля или 4 кг изюма. Если наполнить его тем и другим на одинаковые суммы, то содержимое будет весить 4 * кг и стоить 1 руб. 8 коп. Сколько стоит килограмм миндаля и сколько — килограмм изюма?

12. В шестом часу минутная стрелка находится на три минутных деления позади часовой. Сколько минут шестого в этот момент и через сколько минут после этого стрелки совпадут?

13. Двое часов А и В бьют в одно и то же время. Было услышано 19 ударов. Известно, что часы А отстают от часов В на 2 секунды. Промежуток времени между последовательными ударами часов А равен 3 секундам, а подобный же промежуток для часов В равен 4 секундам. Когда часы бьют в один и тот же момент, ухо слышит только один звук. Определите час, указываемый часами.

14. У меня есть часы, которые я завожу раз в сутки, тотчас после того, как они бьют 12 час дня. За сутки гири их опускаются, каждая на 312 мм. Однажды, заведя их, я ушел из дома и, возвратившись вечером, заметил, что часы пробили столько раз, на сколько миллиметров одна гиря была выше другой. Определите, в котором часу я вернулся домой, если известно, что мои часы бьют только часы и не бьют получасов.

15. Вязанка дров стоит 1 рубль. Сколько стоит вязанка таких же дров, перевязанная веревкою вдвое более длинною? Часть веревки, идущая на узел, в расчет не принимается. Веревка охватывает дрова в обоих случаях в один ряд.

16. Вообразим себе веревку, длина которой равна длине экватора земного шара. Удлиним эту веревку на один километр; из вновь образовавшейся веревки образуем круглое кольцо, расположенное концентрически относительно земного экватора. Пролезет ли под это кольцо мышь?

17. Вообразим, что вся масса земного шара раскатана, без нарушения ее плотности, в колбасу длиною от Земли

до Солнца. Будет ли такая колбаса толще обыкновенной? Расстояние от Земли до Солнца равно 150 млн. кму а радиус земного шара 6360 км.

18. Имеются два ящика одинаковых размеров, наполненные шарами одинакового удельного веса; в первый положены 27 одинаковых крупных, а во второй 64 одинаковых мелких шаров. Какой ящик тяжелее? Предполагается, что в обоих ящиках шары уложены вплотную доверху так, что в каждом слое находится по одинаковому числу их.

19. Скорняку нужно было наложить на мех заплату в виде треугольника. Он выкроил заплату, но, по ошибке, кроил по обратной стороне. Как должен поступить скорняк, чтобы наложить требуемую заплату из ошибочно вырезанного куска?

20. Каково должно быть отношение между шириною улиц, идущих с востока на запад, и высотою домов в Москве, чтобы тень от домов в полдень осеннего равноденствия не достигала противоположных (через улицу) домов? Географическая широта Москвы равна '55° 45'.

21. Вот Полифема-циклопа из меди отлита статуя: руку, уста и единое око — ваятель сделал на диво, скрывши в них трубы. Водой великан истекает как будто, и в настоящее время влагу уста источают. Хитрое в трубах устройство: ведущая в руку способна весь водоем до краев через три дня переполнить. Оку достаточно дня, а устам и всего лишь две пятых. Вместе все три водоем скоро ли могут наполнить?1

22. Из „Скупого рыцаря“ Пушкина:

„...Читал я где-то,

что царь однажды воинам своим

велел снести земли по горсти в кучу,—

и гордый холм возвысился, и царь

мог с вышины с весельем озирать —

и дол, покрытый белыми шатрами,

и море, где бежали корабли...“

Вычислите высоту такого холма и дальность обозреваемого с его вершины горизонта. В основу расчетов положите следующие данные. Численность армии примите в 100000 воинов. Число горстей земли, заполняющих 1 куб. дм,—равным 10. Примите, что холм был конический и имел

1 Из книги Г. Н. Попова, Памятники математической старины в задачах. Гиз, 1929 г., ц. 50 коп.

Полифем—имя одноглазого богатыря древнегреческих преданий.

так называемый естественный откос, т. е. что образующая конуса составляла 45° с диаметром основания. Окружающую местность считайте равниной1.

23. Не вычисляя числа 999, узнайте, сколькими цифрами оно изображается.

24. Число 13**45*, где звездочки поставлены на места стертых цифр, делится без остатка на 792. Восстановите число.

25. Чему равен остаток от деления 58 7263794 на 9?

26. Вычислите произведение логарифмов всех целых чисел, начиная с 1 и кончая 10000.

27. Вычислите, с точностью до 0,01, выражение:

где число радикалов бесконечно. 28. Вычислите произведение:

где число множителей бесконечно.

29. Вычислите с точностью до 0,01 разность дробей:

где число „колен“ обеих дробей бесконечно.

30. Составьте квадратное уравнение вида х2 +рх + q=0 так, чтобы коэфициенты рид служили корнями этого уравнения.

VII. СОФИЗМЫ.

1. Собака бежит в 10 раз скорее ежа, который находится впереди ее на 100 м. Спрашивается, когда собака догонит ежа.

Когда собака пробежит 100 му то еж будет находиться впереди ее на 10 м. Если она пробежит и эти 10 ж, то все-таки не догонит ежа, который в это время успеет подвинуться вперед на 1 м. Тогда собака, чтобы догнать ежа, должна будет пробежать 1 ж, но еж в свою очередь подвинется вперед на 0,1 м и т. д.

1 Из книги Я. И. Перельмана, Новый задачник к краткому курсу геометрии. Гиз, 1922 г.

Таким образом оказывается, что собака никогда не догонит ежа.

2. Тождество

может быть представлено в форме

или по извлечении квадратного корня из обеих частей равенства в виде

Прибавив к обеим частям последнего равенства по

будем иметь:

2 = 3.

3. Очевидно, что

или

После логарифмирования обеих частей последнего неравенства получим

откуда после сокращения на

будем иметь

4. Обозначим через а число, кратное отношение которого к числу b равно 1 -4- • Тогда

Умножив обе части этого равенства на 4, получим

Отсюда

или

или

После сокращения на ЪЬ—2а получаем

5 = 7.

5. Пусть сторона квадрата ABCD (рис. 20) равна 8 линейным единицам, так что площадь квадрата равна 64 квадратным единицам.

Разделим квадрат ABCD на 4 части прямыми линиями EF, GH и BF, как показано на чертеже, и составим из этих частей новую фигуру. Приложим треугольник EBF стороною BE к стороне GD трапеции DGHF, чтобы образовался прямоугольный треугольнике катетами в 5 и 13 линейных единиц. Подобным же образом поступаем с треугольником FBC, т. е. приложим его стороною FC к стороне ЕН трапеции GAEH. Наконец два полученные таким образом равные прямоугольные треугольника прикладываем один к другому так, чтобы их гипотенузы совпали. Тогда получится прямоугольник со сторонами в 13 и 5 линейных единиц; следовательно, площадь прямоугольника будет равна 65 квадратным единицам. Но прямоугольник получился из квадрата с площадью в 64 квадратных единицы, поэтому

64 = 65.

6. Из точек А и В (рис. 21), взятых соответственно на непараллельных прямых хх\ уу\ восставлены к последним перпендикуляры, пересекающиеся в точке С. Окружность, проведенная через точки А, В и С, пересекает прямые XX1 и уу' соответственно в точках D и Е. Прямые DC и ЕС должны быть диаметрами этой окружности, так как углы при точках А и В, будучи вписанными, суть прямые. Середины О и Ог диаметров DC и ЕС должны быть центрами окружности.

Таким образом окружность имеет два центра.

Рис.20

Рис. 21.

Рис. 22.

7. Из точки D (рис. 22), делящей гипотенузу ВС прямоугольного треугольника ABC пополам, опущены на катеты AB и АС перпендикуляры DE и DF. Очевидно, что длина ломаной BEDFC равна сумме катетов ВА + +АС. Разделим BD и DC пополам в точках G и H и проведем из этих последних прямые, параллельные AB и ЛС, продолжив их до пересечения с BE и ED и с DF и FC в точках К и L, M и N. Легко усмотреть, что длина ломаной линии BKGLDMHNCтакже равна сумме катетов В А + АС. Понятно, что, увеличивая таким образом число делений гипотенузы ВС и проводя соответственные прямые, мы каждый раз будем получать ломаную линию, длина которой будет равна сумме катетов ВА + АС. Но в пределе при бесконечно большом числе делений гипотенузы ВС ломаная линия утратит свою зубчатую форму и сольется с гипотенузою ВС. Таким образом сумма катетов равна гипотенузе.

8. Возьмем полуокружность ABD (рис. 23) радиуса СЛ=/?, длина которой, следовательно, равна тг/?, и на каждом из радиусов CA и СВ опишем, как на диаметрах, полуокружности АЕС и CFB. Очевидно, что длина кривой линии AECFB равна длине полуокружности ADB, т. е.

Разделив АС и ВС пополам в точках G и Я, построим на отрезках ЛО, GC, СИ и HB, как на диаметрах, полуокружности. Нетрудно усмотреть, что длина полученной кривой линии AKGLCMHNB также равна Понятно, что, увеличивая таким образом число делений диаметра AB и строя на получаемых отрезках, как на диаметрах, полуокружности, мы каждый раз будем получать кривую линию, длина которой будет равна r,R. Но в пределе при бесконечно большом числе делений диаметра AB кривая линия утратит свою волнообразную форму и сольется с диаметром AB.

Рис. 23.

Таким образом длина полуокружности равна диаметру, т. е.

« = 2.

9. В произвольно взятом треугольнике АБС (рис. 24) проведем биссектрису угла АБС и из середины D стороны АС восставим к последней перпендикуляр. Пусть этот перпендикуляр пересекается с упомянутою биссектрисою в точке О. Соединив точку О с вершинами Л и С и опустив из нее перпендикуляры ОЕ и OF на стороны AB и ВС, заметим, что OA = ОС (из равенства прямоугольных треугольников ADO и CDO). Из равенства прямоугольных треугольников ВЕО и BFO заключаем, что BE = BF и OE=OF. Из равенства прямоугольных треугольников АОЕ и COF заключаем, что АЕ — CF. Итак,

АЕ = CF и EB^CF.

Сложив почленно последние равенства, получим

AB = ВС,

т. е. всякий треугольник есть равнобедренный.

10. Возьмем четыреугольник ABCD (рис. 25), в котором угол ABC прямой, угол BCD — тупой и AB = CD. Разделим стороны AD и ВС в точках К и L пополам и проведем прямую КО, перпендикулярную к AD, и прямую LO, перпендикулярную к ВС. Соединив точку О пересечения этих перпендикуляров с вершинами Л, В, С и D, заметим, что AO=OD (из равенства прямоугольных треугольников АКО и DKO) и ВО = ОС, </OBL = ^ OCL (из равенства прямоугольных треугольников BIO и СШ). Так как AB CD, АО - OD и

Рис. 24.

Рис. 25.

ВО == ОС, то треугольник Д#0 равен треугольнику DCÖ, и следовательно, ^АВО — ^ОСО. Итак,

Вычтя из первого равенства почленно второе, получим

т. е. прямой угол равен тупому.

11. Два концентрические колеса радиусов OA = R и OB = г (рис. 26), неизменно скрепленные одно с другим, катятся: первое по рельсу Ах, второе — по рельсу By. Выйдя из начального положения I и повернувшись на полоборота, колеса займут положение II и будут касаться рельсов в точках D и С, диаметрально противоположных точкам А и В. Расстояние AD будет равно половине длины окружности большего колеса, т. е. tzR, а расстояние ВС — половине длины окружности меньшего колеса, т. е. яг. Итак,

AD = я/? , ВС = тсг.

Но AD = ВС как противоположные стороны прямоугольника ABCD; следовательно

Рис. 26.

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ

К главе I.

1. 4 брата и 3 сестры. 2. 7 коп. и 1 коп. 3. 4 вороны и 3 березы 4. 20 кур и 30 кроликов. 5. Всего было трое: дед, отец и внук. 6. 180 км. 7. 20, 40, 60 и 80 руб. 10. 301 яблоко. 11. 119 яблок. 12. 15 яблок 13. 9 детей и 81 яблоко. 14. Три яблока надо разделить каждое на 4 равные части; остальные четыре яблока — каждое на три равные части. 15. Задача имеет три решения, приведенные в следующей таблице:

16. 8 лиц: бабушка, 2 ее дочери и 5 внучек. 17. Уходя к знакомому, он завел свои часы. По своим часам он знал, сколько времени он был вне дома; по часам знакомого знал, сколько времени пробыл у него. Дальнейшие соображения очевидны. 19. Петров выиграет 465 руб. 20. На пакетах были проставлены числа 99 и 89, а мать прочла их наоборот: 66 и 68. 21. Завещание было неправильное, так как сумма назначенных частей меньше единицы; в самом деле: у + ~з + “g“ = Tg* 22- Скряга оказался в убытке на 2 684 324 р.

55 х коп. 23. В табуне было 36 ослов. 24. 6 м в длину и 3 м в ширину. 25. Умножалось644 112на 79534. 26. Старшему было 13 лет, среднему 7 лет и младшему 4 года. 27. Число 4. 28. Число равно 105 263 157 894 736 842.29.36 яблок; 12 пряников. 30. Торговка неверно рассчитала цену десятка яблок: десяток яблок состоял из пятка яблок первой торговки и пятка яблок второй; первый пяток надо было продать за

а второй за

следовательно десяток следовало продавать за

31. Задача может быть решена только при том условии, чтобы одна из труб или один из проводов проходил через одно из владений. На рисунке 27 изображено одно

из возможных решений; здесь труба, проводящая газ в III владение, проходит через II владение. 32, На рисунке 28 пунктирная линия изображает одно из возможных решений задачи. Другие решения постарайтесь найти сами. 33. Задача может быть решена различными способами. На рисунке 29 дано одно из возможных решений. Остальные найдите сами. 34. Решение обозначено на рисунке 30.

К главе VI.

1. В 9 час. 40 мин. утра. 2. Если х — число сотен искомого числа, у— число десятков и z—число его единиц, то

Рис. 27.

Рис. 28.

откуда

Так как z должно быть числом целым, то у должно делиться без остатка на 101; и так как j/< 10, то, следовательно,^ = 0. Для х и z будем иметь единственно возможные значения: лс = 1, z = 8. Ответ: 108. 3. 21 и 28.

4. Обозначим искомое число быков через х\ пусть у есть первоначальная высота травы на лугах и пусть на всех трех лугах трава подрастает ежедневно на z. Тогда количества травы (по объему), съеденные быками на трех лугах, выразятся соответственно через:

Следовательно один бык съедал за один день на каждом лугу соответственно травы (по объему):

Отсюда имеем два уравнения:

или

Из уравнения

Рис. 29. Рис 30.

имеем: у = 84г. Подставив это значение у в уравнение*

находим, что л = 36. Ответ:36 быков. 5.47 или 97. 6. Если vt -скорость вагона трамвая, v2—скорость пешехода, а—расстояние между двумя последовательными вагонами, идущими в одном направлении, то по условиям задачи:

Из этих уравнений находим, что vi — 2v2, т. е. что пешеход движется вдвое медленнее трамвая.

Заметив, что время, протекающее между прохождениями через станцию двух следующих один за другим вагонов, выразится через-—, найдем из предыдущего, что-^ ■= 6. Ответ: через 6 минут. 7. Обозначим через X число вещей, купленных каким-либо из трех крестьян, а через — число вещей, купленных его женою. По условию задачи будем иметь:

Так как 63 = 63 • 1 = 21 • 3 = 9 • 7, то последнему уравнению можно удовлетворить, сделав одно из трех следующих предположений:

Из этих пар уравнений получаем соответственно:

Так как но условию Петр купил 23 вещами более, чем Марья, то он не мог купить ни 12, ни 8 вещей, и следовательно купил 32 вещи; число вещей, купленных Марьей, меньше на 23, следовательно равно 9. Итак можно написать предыдущее в виде:

Далее, так как, по условию, Павел купил 11 вещами более, чем Екатерина, то число купленных им вещей не может быть 8, и остается принять, что оно равно 12. Екатерина купила 11 вещами менее, т. е. купила 1 вещь. Таким образом:

Из этой таблицы видно, что Андрей купил 8 вещей, а Софья 31 вещь Ответ ясен из таблицы. 8. Первоначальная скорость отца равна 4 км в час. Расстояние от города до деревни равно 10 км. 9. 151^ м. 10. Если ящик наполняется х килограммами изюма или у килограммами миндаля, то

Отсюда X = 5 и у = 6 или л' — 366: 55 и у = 305: 66. 11. Килограмм миндаля стоит 36 коп., килограмм изюма 18 коп. 12. Часы показывают 24 мин. шестого. Стрелки совпадут через Зц мин. 13. Пусть удар часов Л совпадал с j-овым ударом часов В. Тогда до дг-ового удара часы А били в продолжение 3 (л:—1) сек., а часы В до _у-ового удара—в продолжение 4(v — 1) сек. Так как часы А отстают от В на 2 сек., то

откуда X = 3; 7; 11 и соответственно у = 3; 6; 9. Между двумя последовательными совпадениями ударов часы А бьют 3 раза, часы В 2 раза. Очевидно, что совпадений было 3. Следовательно в действительности ударов было 22, т. е. часы показывали 11 часов. 14. Ходовая гиря опускается за каждый час на 312:24 = 13 мм, боевая же с каждым ударом на 312: (13- 12)=2 мм. Поэтому, если при моем возвращении домой часы пробили X часов, то но условиям задачи

откуда х=я И. 15. 4 руб. 16. Расстояние от поверхности Земли до концентрического экватора кольца будет равно приблизительно 159 м. 17. Толщина „колбасы“ будет равна приблизительно 95 км. 18. Оба ящика весят одинаково. 19. Одно из возможных решений: ошибочно вырезанным кусок ABC (рис. 31) следует разрезать по радиусам Оа, Ob, Or окружности, вписанной в треугольник ЛВС. Каждая из полученных трех частей перевертывается на своем месте. 20. Более, чем tg 55° 45', или, приблизительно, 1,47. 21. В 3^ часа. 22. Высота холма 2^ м: дальность видимого с его вершины горизонта, прибавляя на рост человека — 6,7 км. 23. 370 миллионов цифр (с точностью до миллиона). 24. 1 380 456. Для решения вопроса нужно знать признак делимости на 11: число делится на 11, если разность между суммою цифр, стоящих на нечетных местах (начиная с правого края), и суммою цифр, стоящих на четных местах, или равна нулю, или делится на 11. Если первая сумма менее второй, то к ней надо прибавить столько раз по 11, чтобы вычитание стало арифметически возможным. 25. 1. 26. 0. 27. 2,79. 28. 25. 29. 0,11.

Рис. 31.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Первый концентр школы II ступени

I. Занимательные задачи.................... 3

II. Головоломки......................... 10

III. Числовые курьезы..................... 16

IV. Мир больших чисел................... 18

V. Малые числа......................... 22

Второй концентр школы II ступени

VI. Задачи и вопросы...................• • • 24

VII. Софизмы.......................... 28

Ответы к задачам.................. 34

ОГИЗ —КНИГОЦЕНТР

БИБЛИОТЕЧКА ПО МАТЕМАТИКЕ

ВОЛЬБЕРГ, О. Основные идеи в геометрии. 1930. Стр. 174. Ц. 1 р. 75 к.

ВОРОНЕЦ, А. М. и ПОПОВ, Г. Н.

Вып. 1-й. О мерах и счете в древности. 1928. Стр. 36. Ц. 15 к. Вып. 3-й. Дети и юноши-математики. 1928. Стр. 49. Ц. 20 к.

ИДЕЛЬСОН, Н. И. Механизация счета. Изд 2-е. 1930. Стр. 128. Ц. 75 к.

ПЕЛЛИНЕН, И. П. Элементы военного дела на руках математики в школах повышенного типа. Под ред. проф. Военно-политической академии им. Толмачева. Н. А. Морозова. 1931. Стр. 112. Ц. 70 к.

ПЕРЕЛЬМАН, Я И. Математика на каждом шагу. Книга для внеклассного чтения школ ФЗС. 1931. Стр. 112. Ц. 55 к.

ПРОДАЖА ВО ВСЕХ МАГАЗИНАХ И ОТДЕЛЕНИЯХ КНИГОЦЕНТРА ОГИЗА И В „КООПКНИГАХ“.