С. С. ВАРДАНЯН

ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

«ПРОСВЕЩЕНИЕ»

С. С. ВАРДАНЯН

ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

КНИГА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 6—8 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Под редакцией В. А. Гусева

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1989

ББК 22.151.0 В18

Рецензенты:

учитель школы № 415 Москвы, кандидат педагогических наук, доцент Е. Н. Турецкий;

кандидат физико-математических наук Г. А. Гальперин

Учебное издание

Варданян Сарибек Срапионович

ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

Зав. редакцией Р. А. Хабиб Редактор Л. Н. Белоновская Младший редактор Е. В. Казакова Художник Е. П. Титков Художественный редактор Е. Р. Дашук Технические редакторы Г. В. Субочева, Т. П. Локтионова Корректор О. В. Ивашкина

ИБ Л6 11287

Сдано в набор 27.01.88. Подписано к печати 21.10.88. Формат 60 X 907ie. Бум. кн.-журн. отеч. Гарнит. литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 9. Усл. кр.-отт. 9,5. Уч.-изд. л. 7,21. Тираж 80 000 экз. Заказ 1896. Цена 25 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Областная ордена *3нак Почета» типография им. Смирнова Смоленского облуправления издательств, полиграфии и книжной торговли, 214000, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2.

Варданян С. С.

В18 Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Кн. для учащихся 6—8 кл. сред. шк./Под ред. В. А. Гусева.— М.: Просвещение, 1989.— 144 с: ил.

ISBN 5-09-000595-8

Книга содержит около 400 разнообразных по содержанию и трудности задач по планиметрии, связанных с различными сферами деятельности человека (строительство, геодезия, космические исследования и др.). Ко всем задачам даны решения или указания к ним.

ББК 22.151.0

ISBN 5-09-000595-8

© Издательство «Просвещение», 1989

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дорогие ребята!

В течение трех лет с 6 по 8 класс вы изучаете курс геометрии на плоскости, так называемую планиметрию.

В курсе геометрии приходится доказывать много различных теорем, иногда их доказательства довольно трудны. Многие из вас задают себе вопрос: зачем все это мне нужно?

И это естественный вопрос, так как школьные учебники не всегда дают на него полный ответ. Эта книга должна помочь вам получить ответ на поставленный вопрос. В ней собрано около 400 задач с практическим содержанием, в решении которых используются ваши знания по геометрии.

Самым важным и интересным является переход от текста задачи к так называемой «математической модели задачи». Часто это сводится к правильному построению геометрического чертежа по тексту задачи. Решив соответствующую геометрическую задачу, вы снова возвращаетесь к практической стороне исходной задачи и даете ответ на поставленный в ней вопрос. Именно так часто приходится поступать при решении практических задач на производстве, в технике, в науке.

Почти ко всем задачам в книге даны решения. Попробуйте сначала решить понравившуюся вам задачу самостоятельно, а затем сравните ваше решение с помещенным в книге. Если самостоятельное решение вам не по силам, то после соответствующих попыток можно прочитать его в конце книги, разобраться в нем, а затем взять похожую задачу. Иногда в условии можно встретить некоторые технические научные термины и понятия. Если вы их не знаете, то посмотрите в начало решения задачи, там в ряде случаев вы найдете нужные вам разъяснения.

Желаем вам успешной работы с нашей книгой.

С. С. Варданян, В. А. Гусев

ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

Измерение отрезков

1. Рабочие на одной стороне железнодорожной линии устанавливают телеграфные столбы через каждые 50 м. Сколько потребуется столбов, чтобы установить их на участке пути длиной 8 км? (Первый и последний столбы установлены на концах участка пути.)

2. По двум сторонам аллеи на расстоянии 3 м друг от друга нужно посадить деревья. Сколько деревьев необходимо для посадки, если длина аллеи равна 210 м? (См. замечание к задаче 1.)

3. После проведения маневров космический корабль «Союз- 12», продолжая полет по околоземной орбите, имел следующие параметры: наибольшее расстояние корабля от поверхности Земли — 347,9 км, наименьшее — 332,9 км. Найдите большую полуось орбиты корабля, если радиус Земли считать равным 6371 км.

4. Кузнечик прыгает по прямой большими и малыми прыжками. Большой прыжок составляет 12 см, малый — 7 см. Как ему попасть из точки О в точку Л, находящуюся от О на расстоянии 3 см?

5. Автопоезд длиной 20 м проезжает мимо километрового столба за 10 с. Сколько времени ему понадобится для того, чтобы проехать мост длиной 40 м?

6. Сколькими способами из стержней длиной 7 и 12 см можно составить стержень длиной 1 м?

7. Длина дороги от Л до F (рис. 1) равна 53 км. Расстояние от А до В больше, чем от В до С, расстояние от S до С больше, чем от С до D, и т. д. (каждый предыдущий участок больше последующего). Найдите длину каждого из пяти участков дороги, если известно, что каждая из них содержит целое

число километров и расстояние от А до B в два раза больше расстояния от Е до F.

8. В парке все деревья выше 10 и ниже 50 м, а расстояние между каждыми двумя деревьями не больше разности их высот. Докажите, что этот парк можно окружить забором длиной 80 м.

Измерение углов

9. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают 13 ч? 18 ч? 12 ч?

10. Найдите угол между стрелками часов, если они показывают 15 ч; 18 ч 15 мин; 9 ч; 9 ч 15 мин.

11. Сцеплены два зубчатых колеса, имеющие 30 и 48 зубьев. На какой угол повернется первое колесо, когда второе повернется на 12 зубьев? На какой угол повернется второе колесо, когда первое сделает полный оборот?

12. В результате повышения давления на 105 Па стрелка манометра отклоняется вправо, описывая угол, равный 6° (отклонение стрелки прямо пропорционально изменению давления). Какой угол опишет стрелка манометра при увеличении давления на 8-105 Па?

13. В плоскости расположены п одинаковых зубчатых колес так, что первое сцеплено зубцами со вторым, второе — с третьим и т. д., наконец, последнее, я-е колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колеса такой системы?

Равенство треугольников

14. От оконного стекла треугольной формы откололся один из его уголков. Можно ли по сохранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры?

15. Столяру нужно заделать отверстие треугольной формы. Сколько размеров и какие он должен снять, чтобы изготовить латку? Что он должен измерить, если отверстие имеет форму: а) прямоугольного треугольника; б) равностороннего треугольника?

Рис. 1

Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

16. От пункта А, расположенного на берегу, к пункту B, лежащему на острове, требуется провести телефонную связь. Как, не переплывая на остров, определить необходимое количество (длину) телефонного кабеля? Какой признак равенства треугольников здесь можно использовать? (Пункты А и В расположены на берегах, а кабель прокладывается по дну реки, т. е. условно ищем длину отрезка AB.)

17. Если между точками А и В имеется препятствие, то расстояние AB можно найти следующим образом (рис. 2). Выбрать точку С, из которой видны точки А и В, и провести прямые АС и ВС. Отложить СА{ = СА, СВ{ = СВ. Расстояние АХВХ будет равно искомому расстоянию AB. Докажите это.

18. Из пунктов А и Al, расстояние между которыми известно, требуется прорубить просеки в направлениях AB и MN (рис. 3). Вычислите длину каждой просеки до точки их пересечения. Какой признак равенства треугольников здесь можно использовать?

19. Для определения расстояния от точки В до недоступной точки А провешивают произвольную прямую ВС, измеряют А ABC и /.ВС А и, построив их по другую сторону от прямой ВС, провешивают прямые BD и CD (рис. 4). Докажите, что расстояние BD равно искомому расстоянию AB.

20. В школьной мастерской сделайте из проволоки четыре стержня длиной 4, 7, 10 и 13 см. Соединяя концами три стержня из четырех, выясните, из каких трех стержней можно составить треугольник, а из каких нельзя. Объясните ваши выводы.

21. Три поселка В, С и D расположены так, что С находится в 7 км к юго-западу от поселка В, а поселок D — в 4 км к востоку от В. Три других поселка А, К и M расположены так, что поселок M находится в 4 км к югу от /С, а поселок А — в 7 км к юго-востоку от М. Сделайте чертеж и докажите, что расстояние между пунктами С и D такое же, как между пунктами К и А.

22. При постройке кровель, мостов, подъемных кранов скрепляют опорные брусья или балки так, чтобы они образовали систему треугольников. Почему такое расположение балок лучше обеспечивает жесткость формы сооружения, нежели иное?

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

23. На плане поселка (рис. 5) улицы AB и DC параллельны, улицы AB и FE составляют угол a, a улицы EF и AD — угол B. Найдите углы, которые образуют улицы AD и AB, AD и DC.

24. В городе 10 улиц параллельны друг другу, а 10 других улиц пересекают их под прямым углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый маршрут, проходящий через все перекрестки?

25. По одну сторону шоссе q находятся два поселка (рис. 6). Требуется проложить железнодорожную линию /, параллельную шоссе и такую, чтобы сумма расстояний от этих поселков до нее была наименьшей. (Железнодорожную линию и шоссе принять за прямые, поселки — за точки.)

Рис. 5 Рис. 6

Сумма углов треугольника

26. Как измерить изображенный на доске угол, часть которого вместе с вершиной случайно стерли?

27. Для соединения двух деревянных брусьев в одном из них выпилен фигурный паз ABCDE, в который вставляется соответствующим образом выпиленный конец второго бруса (рис. 7). Найдите Z.CBA, если ZJVMB = 60°, a ZBCD = 30°.

28. Найдите углы а и B у заготовки, изображенной на рисунке 8.

29. Два груза Рх и Р2 подвешены на концах нити, перекинутой через блоки А и В. На той же нити в точке С подвешен груз Р, который уравновешивает грузы Pi и Р2. Докажите, что Z-ACB = /_PlAC+ ZCBP2.

30. Два пункта А и В находятся на противоположных берегах озера. Как найти расстояние между ними, выполнив такое построение, чтобы отрезок AB оказался одной из боковых сторон равнобедренного треугольника?

31. В Швамбрании 100 аэродромов. Расстояние между ними попарно различны. С каждого аэродрома поднимается по самолету, и каждый самолет летит на ближайший аэродром. Докажите, что ни на какой аэродром не прилетит более пяти самолетов.

32. Угол между стропильными ногами черепичной крыши составляет 90°. Вычислите высоту крыши, если расстояние между концами стропильных ног равно 12 м.

Рис. 7 Рис. 8

Прямоугольный треугольник

33. Угол между стропильными ногами железной крыши обычно составляет 120°. Найдите длину стропила, если его верхний конец отстоит от основания на 2,5 м.

34. При разведке бурением по рудной жиле пройдено 1,5 м. Найдите мощность этой жилы, если угол падения ее равен 60°. (Мощностью жилы называют толщину пласта.)

35. Ширина здания АС равна 10 м (рис. 9), раскосы DF и EF поддерживают стропильные ноги AB и ВС и перпендикулярны к ним. Найдите длину раскосов DF и EF и длину балки DE, если известно, что угол а наклона стропильных ног к горизонту равен 30° и AF=FC.

36. Две точки земного шара А и В лежат на одном меридиане, /_АОВ= 120° (О — центр земного шара), нужно соединить прямолинейным туннелем. Вычислите наибольшую глубину залегания этого туннеля под поверхностью земли. (Радиус Земли принять равным 6400 км.)

37. Железный прут длиной I изогнут в двух точках, делящих его на три равные части под углами 120° (изгиб совершался в одной плоскости и в одну сторону). Найдите расстояние между концами образовавшейся скобы.

38. Из металлического стержня требуется изготовить скобу с тремя равными звеньями, образующими на сгибах угол 120°. Какой длины нужен стержень, если расстояние между концами скобы должно быть равно m?

39. Штурман корабля заметил маяк, находившийся на се-

Рис. 9 Рис. 10

веро-востоке. Когда корабль проплыл 10 км на север, маяк оказался на юго-востоке (рис. 10). Найдите расстояние от корабля до маяка в начале и в конце пути. Каким было наименьшее расстояние от корабля до маяка?

40. На вершине В вертикальной башни укреплен вертикальный шест ВС. Тросы, соединяющие В и С с некоторой точкой, лежащей в плоскости основания башни, составляют с этой плоскостью углы 30° и 60°. Найдите отношение длины шеста к высоте башни.

41. Как найти высоту дерева, имея прямоугольный треугольник с углом 30°?

Геометрическое место точек

42. На рисунке 11 изображена часть стропильной фермы. Как построить точки D и Е, в которых должны крепиться раскосы DF и EF, если известно, что DF=AD и EF=EC?

43. На полевом стане для снабжения водой трех объектов, не лежащих на одной прямой, требуется вырыть колодец, который был бы одинаково удален от всех трех объектов. Где надо выбрать место для колодца?

44. Через селение А нужно провести прямую дорогу таким образом, чтобы пункты В и С оказались на одинаковых расстояниях от этой дороги. Как это сделать?

45. На железной дороге требуется построить станцию с таким расчетом, чтобы она находилась на одинаковых расстояниях от двух населенных пунктов. Где должна быть расположена станция? В каком случае такую станцию построить невозможно?

46. Два прямолинейных участка дороги нужно соединить дорогой, имеющей форму дуги окружности, так, чтобы эти участки касались построенной дуги. Как это сделать?

47. Два наблюдательных пункта M и /V расположены на двух пересекающихся прямолинейных дорогах AB и ВС. Как найти точку, одинаково удаленную от дорог и одинаково удаленную от наблюдательных пунктов?

Рис. 11

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

48. Как найти расстояние между недоступными для геодезиста точками А и В, используя признак параллелограмма?

49. Для отыскания расстояния между двумя недоступными точками А и В, расположенными на противоположном берегу реки (рис. 12), на местности провешивают произвольную прямую MN и отыскивают на ней такие точки К и Ly что BK-LMN и AL1MN. Разделив полученный таким образом отрезок KL пополам точкой О, провешивают через точку О прямые АО и ВО и находят точки С и D их пересечения соответственно с прямыми AL и ВК. Докажите, что полученный таким образом отрезок CD равен искомому расстоянию AB.

50. На большом участке земли проведено х параллельных прямых, а потом под углом 60° к ним еще у параллельных прямых. Сколько различных параллелограммов получилось на этом участке?

51. Школьная мастерская изготовила партию пластин четырехугольной формы. Как проверить, будет ли пластина иметь форму прямоугольника, располагая лишь линейкой с делениями?

52. Ученику поручили изготовить щит, который должен полностью закрыть нишу прямоугольной формы. Сколько размеров и какие он должен снять, чтобы изготовить этот щит?

53. В прямоугольной пластинке нужно просверлить круглое отверстие на равном расстоянии от ее вершин. Как найти центр этого отверстия?

54. Прямоугольную заготовку с размеченными клетками, шесть из которых отмечены точкой, требуется разрезать по сторонам клеток на шесть равных частей так, чтобы в каждой

Рис. 12 Рис. 13

части было по одной клетке с точкой (рис. 13). Как это сделать?

55. Фруктовый сад колхоза имеет форму прямоугольника, стороны которого относятся как 16:11, причем его ширина меньше длины на 250 м. За сколько времени сторож может обойти вдоль забора весь участок, идя со скоростью 4 км/ч?

56. Имеются 4 палочки длиной 1 см, 4 палочки длиной 2 см, 7 палочек длиной 3 см, 5 палочек длиной 4 см. Можно ли из всех этих палочек сложить прямоугольник?

57. Как при помощи линейки найти положение центра тяжести пластины, изображенной на рисунке 14?

58. На рисунке 15 показан нерациональный (15, а) и рациональный (15,6) раскрой стальной полосы при изготовлении заготовки AFEDCB для деталей комбайна. Подсчитайте, сколько погонных метров полосы будет сэкономлено при изготовлении 200 заготовок (измерения на рисунке даны в миллиметрах) .

59. Как с помощью двусторонней линейки разделить данный угол пополам; как удвоить его?

60. Докажите, что почтовый конверт склеивается из листа бумаги, имеющего форму ромба (припуски на склеивание не учитывать).

Рис. 14

Рис. 15

61. Разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

62. Заготовлены одинаковые по ширине рейки в форме прямоугольников. Как, не используя угломера, обрезать концы реек под углом 45°, чтобы из них можно было сложить раму?

63. Из листа стали вырезан четырехугольник с равными сторонами. Как убедиться, не измеряя углов, будет ли четырехугольник квадратом?

64. Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырехугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Достаточна ли такая проверка?

65. Столяру нужно изготовить подставку в форме четырехугольника. Сколько и какие размеры он должен иметь для выполнения этого заказа? Что должен измерить столяр, если подставка имеет форму: а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба; г) квадрата; д) равностороннего треугольника?

66. Для того чтобы убедиться, что четырехугольный кусок ткани имеет форму квадрата, этот кусок дважды перегибают сначала по одной, потом по другой диагонали. Образующиеся треугольники оба раза точно совмещаются. Можно ли считать, что подобная проверка показывает, что этот кусок ткани действительно имеет форму квадрата?

67. Сторона квадратной шайбы равна 60 мм. Какой длины должен быть лист стали шириной 300 мм, если из него нужно сделать 50 шайб?

68. Сложите квадрат наибольшей площади, используя палочки из задачи 56.

69. Имеется 9 палочек различной длины от 1 до 9 см. Сколькими способами можно составить из этих палочек квад-

Рис. 16

раты и каковы их стороны? (Необязательно использовать все палочки; способы изготовления одного квадрата считаются разными, если использованы разные палочки.)

70. Можно ли из 18 плиток размером 1X2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва» (например, такое расположение плиток, как на рисунке 16, а, не годится, так как здесь есть «шов» АВ)?

Рис. 17

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

71. Как, используя свойство средней линии треугольника, найти расстояние между двумя точками А и B, к каждой из которых можно подойти, но из одной другую увидеть нельзя?

72. Как найти расстояние до недоступной точки, используя свойство средней линии треугольника?

73. Используя свойство средней линии треугольника, найдите расстояние между двумя недоступными точками А и В.

74. Одна из вершин земельного участка треугольной формы недоступна. Как измерить периметр этого участка, используя свойство средней линии треугольника?

75. На плане заданы прямые а и ft, которые пересекаются за пределами рисунка. Через данную на плане точку S провести прямую, которая при своем продолжении проходила бы через точку С пересечения прямых а и ft, которой нет на плане.

76. На рисунке 17 даны прямые AB и CD, пересекающиеся за пределами листа в некоторой точке М, и прямые EF и GH, также пересекающиеся вне чертежа в некоторой точке N. Как найти длину отрезка MN, концами которого служат точки M и N пересечения данных прямых, а также середину этого отрезка?

Трапеция

77. Ученик для определения вида четырехугольника измерил его углы. Какого вида четырехугольник ABCD, если:

78. Между двумя телеграфными столбами на одной с ними прямой и на одинаковом расстоянии от них расположен третий телеграфный столб. На каком расстоянии от прямой дороги находится этот столб, если два крайних столба удалены от дороги на 32 и 58 м?

79. Как заготовку, имеющую форму равнобедренного ААВС (АВ = АС), перекроить в параллелограмм?

80. Цепь зубчатой передачи имеет форму прямоугольной трапеции ABCD с углом D, равным 60° (рис. 18). Сколько звеньев цепи находится в промежутке AD, если их по 8 в промежутках ВС и CD? (На рисунке 18 не изображены звенья на участках AB и AD.)

81. Земельный участок, имеющий форму трапеции, отдан под спортивный городок. Какие размеры должен снять землемер, чтобы начертить план этого участка?

82. Под сад отведен участок земли, имеющий форму равнобедренной трапеции, одно основание которой на 50 м больше каждой из остальных сторон, а средняя линия равна 90 м. Вокруг сада проходит аллея шириной 2 м. По двум сторонам аллеи нужно посадить деревья на расстоянии 3 м друг от друга. Сколько нужно для этого деревьев?

83. Участок, занятый под фруктовый сад, имеет форму трапеции. Деревья расположены пятью параллельными между собой рядами, одинаково удаленными друг от друга. Во всех рядах расстояние между соседними деревьями одинаковое. В одном крайнем ряду 18 деревьев, а в другом — 26. Сколько деревьев в каждом из остальных рядов?

Синус и косинус

84. При проверке рудничных путей оказалось, что рельсы на каждый метр своей длины имеют подъем, равный 1,75 см. Найдите угол подъема пути.

85. На прямолинейном участке железнодорожного пути, идущем в гору, находятся два пункта А и В, расстояние между

Рис. 18

которыми равно 470 м. Пункт В расположен на 8 м выше пункта А. Найдите угол подъема пути на участке AB.

86. Механическая пожарная лестница была выдвинута на 50,5 м при предельном угле подъема 72°. Какой высоты достиг верхний конец лестницы, если ее нижний конец отстоит от поверхности земли на 1 м?

87. На вершине горы произвели взрыв. Звук взрыва услышали у подошвы горы в точке К через 4 с после взрыва. Найдите высоту горы, если из точки К ее вершина видна под углом 29°30', а скорость звука 331 м/с.

88. При съемке равномерно поднимающейся улицы длиной 730 м установлено, что ее вертикальное повышение равно 37 м. Найдите угол подъема и горизонтальную проекцию улицы.

89. Идущий по дороге человек практически не замечает уклона пути, если высота подъема менее — пройденного пути. Чему равен в этом случае угол подъема?

90. Закругление AB железнодорожного пути (рис. 19) представляет собой дугу окружности радиуса г=220 м, причем w/lB=10°. Найдите стрелку прогиба MN.

91. Угол наклона дороги равен 15°30'. На какую высоту поднимется пешеход, пройдя 200 м?

92. На рисунке 20 изображен погрузочный кран, стрела ВС которого равна 9 м и может иметь максимальное отклонение от вертикальной колонны AB на угол 64°. Найдите радиус действия крана (расстояние от груза до вертикальной колонны).

93. Лесничий следит за пожарами с наблюдательной вышки, построенной на высоком холме. Высота холма 726 м, а высота самой вышки равна 24 м. На каком расстоянии от пункта

Рис. 19 Рис. 20

наблюдения возник пожар, если лесничий заметил огонь под углом 7° к горизонту?

94. Из пункта А вышел крейсер со скоростью 36 км/ч. Через 2 ч крейсеру по радио был дан приказ изменить курс на 90° влево по движению, и одновременно из пункта А для встречи с крейсером вышел катер со скоростью 54 км/ч. Под каким углом к первоначальному направлению должен идти катер, чтобы в кратчайший срок встретиться с крейсером?

95. В тот момент, когда искусственный спутник Земли находится на высоте 328 км над пунктом В, из пункта D спутник виден на горизонте. Сколько градусов содержит дуга BD?

96. Какой длины надо взять металлические балки для монтажа лестницы, чтобы отвесное расстояние между площадками было равно 1,78 м, а угол наклона балки к горизонту равен 28°24'?

97. Самолет вылетел из пункта А в северо-восточном направлении, образующем с линией юг — север угол 15°. Скорость самолета 320 км/ч. На сколько километров севернее пункта А будет находиться самолет через 3 ч полета?

98. Тело массой m = 300 кг лежит на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 20°. Найдите скатывающую силу \F\ и силу давления тела на плоскость |Q|.

99. Какую силу надо приложить к вагону массой 8 т так, чтобы удержать его в равновесии на рельсовом пути, наклоненном к горизонту под углом 0°28'?

100. Сила |/?|=30 H разложена на две взаимно перпендикулярные составляющие X и Y и образует с составляющей X угол а = 51°2Г. Найдите каждую из составляющих сил.

101. Найдите расстояние I между центрами шкивов диаметром D и d при перекрестной передаче, если D=320 мм, rf= 150 мм, B=17°25'. (B — угол между ремнем и линией, соединяющей центры шкивов.)

102. Две улицы, обе стороны которых застроены, имеют одинаковую ширину и пересекаются под острым углом а (рис. 21). Вдоль оси одной из них едет мотоциклист А в направлении /СО,

Рис. 21

вдоль другой — мотоциклист В в направлении LO. Мотоциклисты заметили друг друга, когда были на одинаковом расстоянии от точки О. Зная, что ширина каждой улицы равна а, найдите расстояние между мотоциклистами в этот момент, если а = 25 м, а = 52°.

Тангенс

103. Вершина радиомачты видна с расстояния 300 м от ее основания под углом 10°. Какова высота радиомачты?

104. В 800 м от места подъема самолета прямо по курсу видны деревья высотой до 20 м. Под каким углом должен подниматься самолет, чтобы не задеть деревья?

105. При высоте солнца 48° длина тени телебашни равна 76 м. Найдите высоту телебашни.

106. Между двумя площадками лестничной клетки требуется уложить на металлические балки бетонные ступени. Под каким углом к горизонту следует закрепить балки, если подъем ступени равен 15,5 см, а ее ширина 32,5 см?

107. Под каким углом виден телеграфный столб, имеющий высоту 8 м и находящийся от наблюдателя на расстоянии 230 м? (Ростом наблюдателя разрешается пренебречь.)

108. Из окна одного дома, находящегося на высоте 12,8 м над поверхностью Земли, под углом понижения а = 32° виден нижний край другого дома, стоящего напротив первого. Найдите ширину улицы, если дома стоят на ее противоположных сторонах.

109. Для определения высоты облака над поверхностью Земли в ночное время применяется «потолочный прожектор», лучи от которого направляются по вертикали и оставляют белое пятно на облаке. Найдите высоту облака, если угол между направлением на освещенную часть облака и направлением на прожектор равен a, a расстояние от наблюдателя до прожектора равно а.

110. Длина балки, на которую опираются стропила крыши, равна 18 м. Вычислите высоту крыши, зная, что стропила с этой балкой образуют угол 24°24/.

111. Телеграфный столб высотой 14 м находится на берегу реки. Верхний конец столба виден с другого берега под углом 22° к горизонтали. Найдите ширину реки.

Рис. 22

112. Вычислите перемещение стержня MN при поступательном перемещении толкателя ABC (рис.22), имеющего форму прямоугольного треугольника с острым углом а, на расстояние /.

113. Прожектор, расположенный в 1200 м от аэропорта, обнаружил вертикальным лучом самолет, а наблюдатель в аэропорту в то же время увидел этот самолет под углом 25°17'. На какой высоте и на каком расстоянии от аэропорта находился самолет в этот момент?

114. Самолет приближается к аэропорту на высоте 7000 км. Пилот имеет предписание производить снижение для посадки под постоянным углом 6°. На каком расстоянии (с точностью до 1 км) от посадочной полосы должен он начать снижение?

115. Для двух шкивов, соединенных ременной передачей, вычислите углы а при прямой передаче и B при перекрестной передаче, если диаметры шкивов £) = 250 мм и d=100 мм, а расстояние между центрами шкивов /=1250 мм. (а и B — углы между ремнем и линией, соединяющей центры шкивов.)

Теорема Пифагора

116. Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние нижнего конца лестницы от стены равно 3,5 м. На какой высоте от земли упирается в стену верхний конец лестницы?

117. Вертикальная мачта поддерживается четырьмя канатами, прикрепленными к ней на расстоянии 16 м от земли и к земле на расстоянии 12 м от основания мачты. Сколько метров каната потребовалось для укрепления мачты, если на узлы пошло 10 м?

118. 12 апреля 1961 года советский гражданин Ю. А. Гагарин на космическом корабле «Восток» был поднят над землей на максимальную высоту 327 км. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удаленные от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли считать равным «6400 км.)

119. Длина маятника АМ=1 м (рис. 23), высота его подъема при отклонении в точку В на некоторый угол а равна СА = 10 см. Найдите расстояние от точки В до прямой MA.

120. Для установки мачты телевизионной антенны изготовлены тросы длиной /=20,2 см. Тросы крепятся к этой мачте на высоте h= 18,62 м. На каком расстоянии от основания мачты надо укрепить концы троса?

121. Высоты двух вертикальных столбов равны 5 и 12,5 м. Расстояние между ними 10 м. Найдите наименьшую длину троса, которым можно соединить верхние концы столбов.

122. К вертикальному столбу в двух местах, находящихся на расстоянии 4 м одно от другого, прикреплены два троса, вторые концы этих тросов прикреплены к устою, расположенному на земле. Расстояние от устоя до столба 12 м, длина меньшего троса 13 м. Вычислите длину большего троса.

123. Вычислите высоту слоя воды над линией, соединяющей две противоположные точки берега озера Севан, расстояние между которыми 90 км. Замечание. Следует иметь в виду, что поверхность воды озера не плоская, а является частью сферы радиуса 6375 км.

124. От пристани одновременно отплыли два парохода: один на юг со скоростью 16 морских миль в час, а другой на запад со скоростью 12 морских миль в час. Какое расстояние будет между пароходами через 2,5 ч (1 морская миля=1,85 км.)

125. Параллельно стенду на расстоянии 500 м от него расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полета пули равна 2,8 км. Какой участок стенда находится под обстрелом этой цепи?

126. Имеется цилиндрическая заготовка большого диаметра (рис. 24). Как вычислить диаметр этой заготовки, пользуясь штангенциркулем?

Рис. 23

Рис. 24

127. Две рейки соединены под прямым углом. Как с помощью полученного приспособления найти диаметр круга, центр и большая часть окружности которого находятся вне листа?

128. Пролет треугольной строительной фермы AB = d (рис. 25), а уклон — =—. Найдите длину раскоса DN, если известно, что DN = NB.

129. Найдите длину газопровода ABCDE, изображенного на рисунке 26.

130. Найдите ширину железнодорожного полотна при его основании и площадь поперечного сечения полотна дороги, если ширина его наверху 5,6 м, длина ската 4,2 м, а откос полуторный. Данные получены путем измерения. (Откос равен отношению проекции ската на основание откоса к высоте ската.)

131. Строительная ферма имеет ноги AB и ВС по 8,5 м, пролет АС=\5 м. Найдите высоту фермы BD и высоту всех ее вертикальных стоек, которые делят расстояние между пятами стропильных ног на шесть равных частей (рис. 27).

132. На пластинке имеются три отверстия А, В и С, расстояния между которыми известны (рис. 28). Найдите расстояние h между верхним отверстием С и прямой, соединяющей два нижних отверстия А и В. Найдите также проекцию АС на AB.

Рис. 25 Рис. 26

Рис. 27 Рис. 28

133. Подсчитайте радиус малого круга в конструкции рамы окна (рис. 29), внешняя часть которой имеет вид полукруга радиуса R.

134. При подготовке рисунка заготовки (рис. 30) для разметчика необходимо знать расстояния между центрами отверстий АС и ВС. Найдите эти расстояния, если АВ = а, CD = b, а расстояние от центра С и D до прямой AB равно Л.

135. В дождевальной установке дождеватели расположены по так называемой квадратной схеме (рис. 31). При каком максимальном расстоянии d между дождевателями установка будет орошать все поле, если один дождеватель орошает круг радиуса г?

136. Подсчитайте, сколько дисков радиуса г можно изготовить при рациональном раскрое стандартной полосы металла шириной 5г и длиной 40г. (На рисунке 32 показан соответственно нерациональный и рациональный раскрой.)

137. Какое дополнительное количество заготовок детали самоходного комбайна (рис. 33) можно изготовить из стальной полосы размером 80x2430 мм при соответствующем изменении контура детали, позволяющем произвести рациональный раскрой?

138. Из точек А и В по указанным взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 34) выходят одновременно пароход и яхта. Их скорости соответственно равны 0п = 4О км/ч, уя=16 км/ч. Через сколько времени расстояние между ними окажется наименьшим, если АВ=\АЪ км?

Рис. 29 Рис. 30

Рис. 31

Рис. 32

Рис. 33

Рис. 34 Рис. 35

139. Пролет треугольной стропильной фермы AB = d (рис. 35), — «= —. Найдите длину раскоса DN и длину стойки AB если DN укрепляется перпендикулярно CB, a NN{ перпендикулярно AB.

140. Вычислите расстояние ОЕ от начала петли поворотов трамвая до центра окружности петли (рис. 36), если радиусы этой окружности и сопрягающей дуги АС равны /?, а расстояние между осями путей равно /.

141. Промежуточная шестерня с центром О (рис. 37) должна передавать движение от зубчатой рейки AB шестеренкам с центрами 0\ и 02, расстояния от которых до рейки одинаковы и равны h. Вычислите радиус промежуточной шестерни, если радиусы ведомых шестеренок равны г, а расстояние между их центрами равно а. Объясните, как построить центр промежуточной шестерни, если его нет на чертеже.

142. Движущаяся лестница (эскалатор) метрополитена имеет 170 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Найдите: а) длину лестницы; б) угол наклона ее; в) глубину станции (по вертикали).

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

143. Наблюдатель, находясь на высоте 18 м, заметил под углом понижения, равным 6°18', автомобиль. Вычислите расстояние (по горизонтали) от наблюдателя до автомобиля.

Рис. 36 Рис. 37

Рис. 38 Рис. 39

144. С наблюдательного пункта замечают под углом 63с30' самолет, пролетающий над башней, высота которой 79,5 м. Верхушка башни видна из того же наблюдательного пункта под углом 20°45/. На какой высоте находится самолет?

145. Высокая радиомачта укрепляется длинными тросами (AB — один из тросов на рисунке 38). Какую длину имеет трос, если точка А находится на расстоянии 75 м от основания мачты и ZBi4C = 59°? На каком расстоянии от земли трос прикреплен к мачте? Какова высота мачты, если ZDAC = 7l°?

146. Плечи прямолинейного рычага имеют длины 59 и 159 см. На сколько поднимается по вертикали каждый конец при повороте рычага на: а) 40°; б) 60° от горизонтального положения?

147. Самолет летит с постоянной скоростью v в горизонтальном направлении. Найдите высоту полета, если в положении 0\ при наблюдении с него за некоторым неподвижным предметом угол между лучом зрения и вертикалью равен фЬ а спустя / св положении 02 аналогичный угол равен ф2.

148. Рулевое управление автомобиля таково, что при повороте руля оба колеса поворачиваются на разные углы ф и а (рис. 39) так, что продолжения осей вращения OB, OA, ОС и OD всех четырех колес пересекаются в одной точке О. Сделано это для того, чтобы во время поворота все колеса автомобиля катились по концентрическим окружностям с центрами в точке О. Предположим, что левое колесо повернуто на угол а, как это показано на рисунке 39. Требуется вычислить, на какой угол повернется при этом правое колесо, если рас-

стояние между передней и задней осями колес равно /, а колея передних и задних колес равна Учитывая, что при движении автомобиля в таком положении каждое колесо его будет двигаться по своей окружности, рассчитайте радиус каждой из этих окружностей. Вычислите при а = 28°, / = 2300 мм, /=1440 мм. (Углы схождения колес не учитывать.)

Преобразования фигур

149. На площадке, имеющей форму параллелограмма, размещен участок квадратной формы. Как провести прямую, которая разобьет одновременно и площадку и участок на две равные части?

150. На земельном участке прямоугольной формы разбит сад, имеющий форму круга. Как провести прямую, которая одновременно разбивает участок и сад на две равные части? В каком случае задача имеет бесчисленное множество решений?

151. Как с помощью центральной симметрии, найти расстояние между двумя точками, если эти точки доступны, но разделены препятствием?

152. Игра в монеты. Двое по очереди кладут на стол прямоугольной формы пятикопеечные монеты. Монеты можно класть только на свободные места, т. е. так, чтобы они не покрывали друг друга даже отчасти. Сдвигать монеты с места, на которое они положены, нельзя. Предполагается, что каждый имеет достаточное количество монет. Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть монеты начинающий игру, чтобы выиграть?

153. В каком месте прямолинейного железнодорожного пути нужно построить элеватор, чтобы сумма расстояний от него до двух данных совхозов А и В, расположенных по одну сторону от железной дороги, была наименьшей?

154. Земельный участок, имеющий форму квадрата, был огорожен изгородью, от которой сохранились два столба на параллельных сторонах квадрата. Кроме того, остался столб в центре квадрата. Как восстановить границу участка?

155. Найдите периметр прямоугольной пластинки, центр симметрии которой отстоит от большей стороны на 8 см, а от меньшей стороны на 12 см.

Рис. 40 Рис. 41

156. Для снабжения водой двух селений А и В, расположенных по одну сторону канала, требуется на его берегу построить водонапорную башню. Где нужно построить башню, чтобы общая длина труб от башни до обоих селений была наименьшей?

157. Луч света отражается от плоского зеркала под углом, равным углу падения. Как нужно направить луч света из точки А, чтобы он, отразившись от зеркала MN, прошел через точку B?

158. Найдите расстояние между двумя недоступными предметами с помощью осевой симметрии.

159. На бильярдном столе CDEF дано положение двух шаров А и В. Укажите направление, в котором надо толкнуть шар А, чтобы он, отразившись от борта CD, ударил шар В.

160. Два железнодорожных пути AB и ВС и одна шоссейная дорога АС расположены так, как показано на рисунке 40. Возле железнодорожных путей планируется строительство двух торговых баз (по одной на каждом пути) и дорог, соединяющих их между собой и с городом К, расположенным на шоссейной дороге. Где построить эти базы, чтобы соединяющая их и город К замкнутая дорога имела наименьшую длину?

161. Скорняку нужно было положить на мех заплату в виде треугольника. Он выкроил заплату, но по ошибке не той стороной (наизнанку). Как должен поступить скорняк, чтобы наложить требуемую заплату из ошибочно вырезанного куска меха?

162. Схема расположения трех городов А, В и С, находящихся между железнодорожными линиями U и /2, изображена на рисунке 41. Эти города должны быть соединены замкнутой

дорогой кратчайшей длины с выходом ее на железнодорожные линии Ii и /2. Начертите эту дорогу.

163. На прямоугольном бильярдном столе дано положение двух шаров Л и В. В каком направлении нужно толкнуть шар Л, чтобы он, последовательно отразившись от всех четырех бортов, ударил затем шар В?

Подобные фигуры

164. Возьмите рисунок какой-либо детали, выполненный в натуральную величину. Выполните в тетради рисунок той же детали в масштабе 1 : 3, используя гомотетию.

165. Между пунктами А и В находится болото. Чтобы найти расстояние между А и B, отметили вне болота произвольную точку С, измерили расстояния ЛС = 600 м и BC = 400 м, а также ZЛCB = 620. Начертите план в масштабе 1:10 000 и найдите по нему расстояние между пунктами А и В.

166. Для определения ширины озера взяли три точки Л, С, D, лежащие на одной прямой (рис. 42), и через точку С провесили прямую СЕ так, что ZDCE=ZBAD. Как найти ширину озера?

167. Пионерское звено Л идет по маршруту в направлении AB (рис. 43). В каком направлении должно двигаться звено С, чтобы пересечь шоссе MN в том же месте, что и звено Л?

168. Из пункта В к месту пересечения двух дорог АС и AD требуется провести узкоколейную дорогу. Как на местности на-

Рис. 42 Рис. 43

метить трассу дороги ВА, если место пересечения дорог А окружено лесом?

169. Через лес требуется прорубить просеку в направлении, заданном двумя доступными точками А и B, между которыми находится лес. Как это сделать?

170. Найдите расстояние между двумя недоступными точками путем построения на местности подобных треугольников.

171. Пантограф (рис. 44) изготовлен из пяти планок одинаковой длины, в каждой из которых на равных расстояниях просверлено 25 отверстий. Карандаш установлен в точке G, а обводящий штифт в точке С. 1) Подсчитайте коэффициент подобия если планка EF соединяет отверстия под номером 7. 2) Укажите номера отверстий, которые нужно соединить, чтобы получить увеличение в три раза.

172. Прямоугольная карта города целиком покрыта второй картой того же города, масштаб которой в пять раз больше, причем так, что их соответствующие стороны (края карт) параллельны. Докажите, что можно, не сдвигая карты с места, одновременно проколоть их иглой так, что точка прокола укажет на обеих картах один и тот же пункт города. Докажите, что это утверждение останется верным, даже если не требовать, чтобы соответствующие стороны карт были параллельны.

173. Открытый участок дороги находится в полосе шириной AB = 50 м. Наблюдательный пункт находится на колокольне высотой MN = 22 м. Какой высоты нужно сделать вертикальную маску KB на расстоянии 550 м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя?

174. Теннисный мяч подан с высоты 2 м 10 см и пролетел над самой сеткой, высота которой 90 см. На каком расстоянии от сетки мяч ударится о землю, если он подан от черты, находящейся в 12 м от сетки, и летит по прямой?

175. Тень, отбрасываемая телеграфным столбом на поверхность земли, равна 9 м, в то время как вертикальный шест высотой 2 м отбрасывает тень в 2,4 м. Найдите высоту столба.

Рис. 44

Рис. 45 Рис. 46

176. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 0,75 м, а длинное плечо — 3,75 м. На какую высоту поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого опускается на 0,5 м?

177. Высота изображения дерева на задней стенке фотографической камеры получилась равной 32 мм. Найдите высоту дерева, если оно находится на расстоянии 29 м от объектива фотоаппарата, а глубина фотокамеры 16 см.

178. Столб высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если ее держать на расстоянии 70 см от глаза. Найдите расстояние от столба до наблюдателя.

179. Из листа железа, имеющего форму прямоугольного треугольника (рис. 45), вырезан квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а остальные вершины квадрата лежат на катетах и на гипотенузе треугольника. Найдите сторону полученного квадрата, если катеты треугольника равны а и Ь.

180. Клин А, опирающийся щекой на клин В, может двигаться лишь в вертикальном направлении (рис. 46). На сколько поднимается клин А, если клин В, катеты которого равны тип, подвинуть на / влево?

181. Какой длины должна быть поднога стропильной фермы (рис. 47), если длина стропильной ноги равна 10 м, а длина ригеля составляет— от длины затяжки? (АС— стропильная нога, KL — ригель, AB — затяжка, АК — поднога.)

182. Как найти расстояние до недоступной точки путем построения подобных треугольников?

183. Как путем построения подобных треугольников найти расстояние между двумя недоступными пунктами А и В?

184. Найдите расстояние между двумя предметами А и В (рис. 48), к которым можно подойти, но между которыми находится какое-либо препятствие.

Рис. 47 Рис. 48

185. Как с помощью подобия треугольников найти высоту предмета, к основанию которого можно подойти?

186. Как найти высоту предмета, к основанию которого нельзя подойти? (Используйте метод решения задачи 185.)

187. Найдите длины трех стержней А\Ви А2В2 и Л3В3, параллельных основанию AB металлоконструкции, зная, что точки Аи А2у Аз делят отрезок АС на четыре равные части, а основание AB = 6 м (рис. 49).

188. На рисунке 50 изображен пропорциональный делительный циркуль (AD=\5 см). Каким должно быть расстояние а, чтобы циркуль увеличивал: а) в два раза; б) в четыре раза?

189. Две улицы AB и АС, изображенные на рисунке 51, на равных расстояниях от точки А пересекаются четырьмя параллельными и равноотстоящими друг от друга улицами. Найдите длины отрезков всех параллельных улиц, заключенных между AB и ЛС, если известно, что длина самого короткого из них равна 800 м.

190. Найдите длины стержней А\В\ и А2В2, параллельных основаниям AB и B$AZ металлоконструкции, изображенной на

Рис. 49 Рис. 50

Рис. 51 Рис. 52

рисунке 52, если раскосы А{В, А2Ви АзВ2 попарно параллельны, нижнее основание металлоконструкции АВ = 1, а верхнее основание Л303 = /3.

191. На прямоугольном бильярдном столе со сторонами а и Ъ находится шар, стоящий у одного из бортов на расстоянии / от вершины угла. Найдите направление, в котором надо ударить шар, чтобы он, отразившись от остальных трех бортов, пришел в ту же точку.

Параллельный перенос

192. Между пунктами А и В протекает река (берега ее принимаем за параллельные прямые а и Ь). В каком месте реки следует построить мост, чтобы путь от А до В был кратчайшим? (Мост перпендикулярен берегу реки.)

193. Населенные пункты А и В разделены двумя каналами, каждый из которых имеет параллельные берега. Где следует построить переправу через эти каналы, чтобы пункты А и В были соединены кратчайшим путем?

194. Заготовку, имеющую форму тупоугольного ААВС, нужно перекроить в заготовку, имеющую форму прямоугольника. Как это сделать?

Векторы

195. На одну точку действуют три силы F^lOH, F2=\0H, /гз = 20 H. Эти силы расположены в одной плоскости, причем каждые две соседние силы образуют угол 120°. Найдите направление и величину равнодействующей.

196. Корабль направлен рулевым по линии AB от точки А со скоростью 10 км/ч. Через 1 ч проверка показала, что корабль снесен течением со своего пути по направлению AD и находится от А на расстоянии AD, равном 10 км (AD составляет с AB угол 30°). Найдите величину и направление скорости течения (рис. 53).

197. Два пешехода Р и Q равномерно идут по прямолинейным отрезкам. Какую линию описывает середина отрезка PQ при движении пешеходов?

198. Стропила ВА и ВС составляют угол а с горизонтальной балкой АС. К концу веревки D подвешен груз Р. Найдите модуль силы Л, прижимающей стропильную ногу к балке АС, и модуль силы F2, растягивающей балку АС (рис. 54).

199. Равнодействующая двух взаимно перпендикулярных сил, приложенных в одной точке, образует с одной из составляющих сил Р\9 равной 8Н, угол 35°. Найдите вторую составляющую силу.

200. Силы 7,25 и 10,3 H действуют на одну и ту же точку тела под прямым углом друг к другу. Найдите равнодействующую этих сил и углы, образуемые ею с каждой из составляющих.

201. Какую силу можно приложить под углом 31° к направлению движения, чтобы на пути 100 м она совершила работу, равную 1400 Дж?

202. Под каким углом к направлению движения надо приложить силу, равную 19,6 Н, чтобы на пути в 13 м она совершила работу 196 Дж?

Рис. 53 Рис. 54

Теоремы косинусов и синусов

203. В точке О приложена сила |Р| = 18,ЗН. Известна одна ее составляющая |Pi| = 12,8H и угол а=37° между данной силой и составляющей Р\. Вычислите другую составляющую.

204. Два парохода начинают свое движение одновременно из одного и того же пункта и двигаются равномерно по прямым, пересекающимся под углом ф. Скорость первого парохода а км/ч, а второго—Ь км/ч. Вычислите, на каком расстоянии друг от друга будут находиться пароходы через / ч.

205. Сила I Pi |=240 H разложена на две составляющие |Р2| = 185Н и |Рз| = 165Н. Под каким углом действуют силы Р2 и Рз?

206. В 7 ч утра пассажирский самолет вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 ч 10 мин самолет сделал поворот на 35° вправо и в 9 ч совершил посадку в городе С. Найдите расстояние между городами Л и С, если средняя скорость самолета на каждом участке полета была равной 320 км/ч.

207. На крышке парового цилиндра диаметром 350 мм требуется просверлить 8 отверстий для болтов. Найдите расстояние между центрами отверстий, если эти центры должны отстоять от краев крышки на 50 мм.

208. Железный стержень длиной а требуется изогнуть под прямым углом так, чтобы расстояние между концами было равно Ь. Где должна находиться точка сгиба? При каких условиях задача имеет решение? Рассмотрите эту задачу при условии, если стержень необходимо изогнуть под углом 60°, 120°.

209. Из двух пунктов А и В выезжают одновременно два поезда соответственно по направлениям AD и BE, пересекающимся в точке С под углом 60°. Оба поезда движутся равномерно со скоростью 20 км/ч и 30 км/ч соответственно. Через сколько часов с момента их отправления расстояние DE между ними станет равным первоначальному, если ЛС = 50 км, ВС=40 км?

210. Силу, равную 23 Н, требуется разложить на две составляющие, углы которых с направлением заданной силы равны 47° и 54°. Найдите величину каждой из этих сил.

211. На озере расположен небольшой остров А. Найдите расстояние от острова А до пункта B, находящегося на берегу. (Остров А принять за точку.)

212. Для определения высоты шахтного террикона CD (рис. 55) выбрали базис АВ = = 100 м и с помощью угломерного инструмента, высота которого AAi = BB\ = l14 м, измерили углы ai = 25° и а2=17°. Используя результаты измерения, найдите высоту террикона.

213. С наблюдательного пункта замечают под углом 63°30' самолет, пролетающий над башней, высота которой 79,5 м. Прямая, соединяющая наблюдательный пункт с верхушкой башни, образует с горизонтальной плоскостью угол 20°45'. На какой высоте находится самолет?

214. Две силы 36 H и 83 H действуют на материальную точку под углом а = 77°12/. Найдите их равнодействующую и угол, который ее направление составляет с направлением большей силы.

215. С вертолета, находящегося над шоссейной дорогой, была замечена двигавшаяся по ней колонна машин. Начало колонны видно под углом понижения 75°, а конец — под углом 70°. Найдите длину колонны, если вертолет находится на высоте 1650 м.

216. Вершина горы из точки А видна под углом 38°42/, а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом 42°. Найдите высоту горы.

217. Дорога в гору поднимается двумя уступами в виде ломаной линии, первый уступ составляет с горизонтом угол 30°, второй — 65°, а прямая, соединяющая вершину горы с ее основанием, наклонена к горизонту под углом 60°. Длина первого уступа равна 1 км. Найдите высоту горы.

218. Азимут направления движения баржи по каналу с прямолинейными берегами равен 27° (рис. 219). Скорость баржи равна 80 м/мин. Наблюдатель, находящийся в определенной точке, установил, что за 4 мин азимут направления на баржу изменился от 156° до 56°. На каком расстоянии от канала находится наблюдатель?

Рис. 55

219. Судно идет точно на восток со скоростью 12 узлов. В 13 ч 10 мин азимут направления на маяк был равен 70°, а в 13 ч 40 мин — 20°. На каком расстоянии от судна находится маяк во время второго показания? (1 узел соответствует 1 морской мили в час.)

220. В стене шахты на одинаковой высоте пробиты два штрека, входы в которые отдалены друг от друга на 4 м. Первый штрек имеет длину 350 м и направлен перпендикулярно к стене. Длина второго штрека равна 420 м, и он направлен под углом 125° к стене шахты. Концы этих штреков должны быть соединены третьим штреком. Какова длина связывающего штрека? В каком направлении надо пробивать этот связывающий штрек от концов данных штреков, если работу надо начинать с обоих концов одновременно?

Ломаная. Многоугольник

221. Деревни А и В находятся на одинаковом расстоянии от города М. На прямой, проходящей через M и B, расположены еще две деревни С и D так, как это изображено на рисунке 56. К какой из первых двух деревень А и В ближе расположена: а) деревня С; б) деревня D?

222. Расстояние от пункта А до пункта В равно 4 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Какое наибольшее и какое наименьшее расстояние может быть от пункта А до пункта С?

223. Четыре дома расположены в вершинах земельного участка, имеющего форму выпуклого четырехугольника. В каком месте этого участка нужно выкопать колодец, чтобы сумма всех расстояний от каждого дома до колодца была наименьшей?

224. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного четырехугольника, можно сделать паркет, покрывающий плоскость.

225. Десять пятаков разложены в виде замкнутой цепочки (т. е. первый касается второго, второй — третьего и т. д., десятый — первого). Одиннадцатый пятак катится без скольжения по внешней стороне цепочки, касаясь по очереди каждого из десяти

Рис. 56

пятаков. Сколько оборотов сделает этот пятак, вернувшись в исходное положение? Докажите, что число оборотов не зависит от формы цепочки.

226. Вычислите углы, которые образуют улицы городского квартала ABCD, имеющего форму четырехугольника, по углам, указанным на плане (рис. 57).

Правильные многоугольники

227. Чтобы обточить круглый валик для последующего изготовления из него детали квадратного сечения со стороной а, токарь должен знать наименьший диаметр обтачиваемой детали. Найдите формулу для определения диаметра d валика.

228. Углы квадратного железного листа со стороной а срезаны так, что получилась заготовка, имеющая форму правильного восьмиугольника. Найдите сторону восьмиугольника.

229. Требуется разметить на фланце по окружности диаметра 500 мм двадцать центров отверстий на равных расстояниях друг от друга. Объясните, как это сделать. Вычислите расстояние между двумя соседними центрами.

230. По окружности требуется разметить центры отверстий для 15 болтов так, чтобы расстояние между центрами отверстий было равно 30 мм. Какую длину должен иметь радиус окружности?

231. Как сложить паркет из: а) правильных восьмиугольников и квадратов; б) правильных двенадцатиугольников и треугольников?

232. Заготовку, имеющую форму правильного шестиугольника, перекроите в заготовку, имеющую форму трапеции.

233. Найдите расстояние между центрами смежных отверстий на разметке (см. рис. 58), если диаметр окружности разметки равен 250 мм.

234. В дождевальной установке дождеватели расположены по треугольной схеме (в шахматном порядке, рис. 59). Один

Рис. 57

Рис. 58 Рис. 59

дождеватель орошает круг радиуса г. При каком максимальном расстоянии d между соседними дождевателями установка будет орошать все поле? Каким должно быть при этом расстояние / между трубопроводами?

235. Можно ли сложить паркет из правильных десятиугольников и пятиугольников?

236. В вершинах площадки, имеющей форму правильного шестиугольника со стороной а, помещены лампочки одинаковой силы света /. Найдите на апофеме шестиугольника точку /С, которая освещалась бы всеми лампочками так же, как если бы все лампочки были сосредоточены в центре фигуры.

237. Из каких правильных многоугольников одного вида можно сложить паркет?

Длина окружности

238. Как использовать чертежный угольник в качестве центроискателя?

239. Скорость резания при сверлении 25 м/мин. Диаметр сверла 20 мм. Чему равно число оборотов шпинделя сверлильного станка?

240. Дисковая фреза имеет 32 зуба с шагом 10,5 мм. Найдите скорость резания, если шпиндель стояка делает 250 об/мин.

241. Ведущее колесо паровоза делает 6 об/с, диаметр колеса 120 см. Найдите скорость паровоза.

242. Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеряемое по дуге окружности, равняется 47,1 мм. Диаметр колеса 60 см. Сколько зубьев имеет колесо?

243. Наибольшее число оборотов шпинделя на токарном станке ni = 800 об/мин, наименьшее — п2 = 20 об/мин. Найдите

Рис. 60 Рис. 61

фактическую наибольшую и фактическую наименьшую скорости резания при обработке детали диаметром D=10 см.

244. Найдите формулу для определения основного машинного времени, затраченного на сверление отверстия в плите, если / — глубина сверления (в миллиметрах), п — число оборотов сверла в минуту, 5 — подача на один оборот сверла (в миллиметрах).

245. Диаметр D больших деталей можно находить в процессе обработки детали на станке (рис. 60). Для этого ролик (или диск) диаметра d приводят в соприкосновение с поверхностью изделия. Зная число оборотов шпинделя п и число оборотов ролика m, выведите формулу для вычисления диаметра D.

246. Какой длины нужен плоский лист для изготовления /м волнистого железа, профиль которого изображен на рисунке 61?

247. При поднятии воды из колодца вал делает 18 оборотов. Вычислите глубину колодца, если диаметр вала равен 20 см.

248. Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 об/мин. Найдите скорость точки, лежащей на окружности шкива.

249. Найдите расстояние AB (по хорде) между соответствующими сторонами зубьев шестеренки (рис. 62), если радиус /?= 100 мм, а число зубьев 20.

Рис. 62 Рис. 63

250. Два одинаковых шкива соединены приводным ремнем. Найдите длину этого ремня при прямой передаче, если диаметр каждого шкива равен 300 мм, а расстояние между центрами шкивов 1=2 м (провисание ремня не принимать во внимание).

251. Длина минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля 3 м 27 см. Какой путь пробегает ее конец за 1 мин?

252. Внутренняя сторона беговой дорожки стадиона имеет форму, изображенную на рисунке 63 (прямоугольник с полуокружностями вместо меньших сторон). Длина каждой из прямолинейных частей дорожки равна 100 м. Длина всей дорожки стадиона равна 400 м. Вычислите ширину поля стадиона.

253. Какой длины нужен приводной ремень для соединения двух шкивов с диаметрами D = 375 мм и d = 325 мм, если расстояние между центрами шкивов /=3000 мм?

254. Из листа жести сделали одну трубу диаметром 18 см и из такого же листа жести сделали три одинаковые трубы той же длины. Затраты жести на швы трех труб такие же, как и на швы одной первой. Вычислите радиус одной из меньших труб.

255. На сверлильном станке производится сверление сквозных отверстий диаметром 40 мм и глубиной 80 мм. Найдите время обработки одного отверстия, если известно, что скорость резания и = 25 м/мин, а подача на один оборот сверла равна 0,25 мм.

256. Кусок проволоки согнут в виде окружности радиуса 2 см. Разрезав кусок в одном месте, его разогнули в дугу радиуса 5 см. Найдите центральный угол полученной дуги.

257. Как вычислить радиус Земли, если широты пунктов А и B, в которых произведены измерения, равны соответственно Ф и ф1, а длина дуги меридиана между ними равна s?

258. Диаметры колес телеги равны 75 и 90 см. Какой путь пройдет телега, если на этом пути переднее колесо сделает на 230 оборотов больше заднего?

259. Диаметр шкива электромотора, делающего 960 об/мин, равен 180 мм. Каков должен быть диаметр шкива электромотора, устанавливаемого взамен первого, если новый мотор сделает 1440 об/мин, а скорость приводного ремня остается прежней?

260. Наибольшее расстояние автоматической станции «Луна-19» от поверхности Луны равно 135 км, наименьшее — 127 км. Считая орбиту станции круговой, найдите ее длину, если радиус Луны равен 1738 км.

261. В соответствии с программой исследования космического пространства 3 апреля 1973 года в Советском Союзе произведен запуск орбитальной научной станции «Салют-2». Длина орбиты автоматической станции равна 41 500 км. Считая орбиту станции круговой, вычислите радиус орбиты.

262. Наибольшее расстояние от поверхности Земли искусственного спутника «Интеркосмос-10», запуск которого осуществлен в Советском Союзе 30 октября 1973 года, равно 1477 км, наименьшее — 265 км. Вычислите длину орбиты спутника, считая ее круговой.

263. Угол подъема винтовой лестницы определяется формулой tga=—, где h — высота подъема винтовой лестницы при одном полном обороте винта (ход винта), d — средний диаметр винта. Найдите а, если Л = 4,5 мм, a внутренний и внешний диаметры нарезки равны соответственно 38 и 46 км.

264. Колодец цилиндрической формы, имеющий в диаметре 135 см, а глубину 380 м, надо выложить кирпичом. Сколько штук кирпича для этого потребуется, если размер кирпича 25X12X6,5 см?

265. Как определить длину L приводного ремня (рис. 64), если все три шкива одного диаметра d, а расстояния между их осями равны а, Ь, с?

266. Глубина резания при обработке вала 1 см, длина окружности вала до обработки равна 78,5 см. Вычислите длину окружности вала после обработки.

267. Длина окружности вала после обработки равна 29,25 см, толщина снятой стружки — 0,5 см. Вычислите длину окружности вала до обработки.

268. Сколько шариков необходимо для укомплектования шарикоподшипника, если внешний диаметр шарикоподшипника D = 200,

Рис. 64

внутренний d= 180, диаметр каждого шарика dm= 10?

269. Требуется провести железную дорогу, проходящую через пункты А и B, удаленные друг от друга (по прямой) на расстояние 12,5 км. Почвенные условия таковы, что можно провести железную дорогу в форме дуги, радиус которой равен 8 км. Найдите длину железнодорожной линии.

270. Допустим, что земной шар и футбольный мяч обтянуты по экватору обручами. Если разрезать в обоих случаях обручи и прибавить к их длинам по 1 м, а затем снова концы их сшить и расположить вновь образовавшиеся обручи на одинаковом расстоянии от поверхности земного шара и мяча, то образуются зазоры. В каком случае зазор (т. е. ширина кольца) будет больше?

271. В соответствии с программой сотрудничества социалистических стран в области исследования и использования космического пространства в мирных целях 19 июня 1976 года в Советском Союзе произведен запуск искусственного спутника Земли «Интеркосмос-15». Максимальное удаление его от поверхности Земли (в апогее) 521 км, минимальное (в перигее) — 481 км; период обращения 94,6 мин. Найдите длину большей полуоси орбиты и скорость полета спутника (орбиту спутника считать круговой).

272. В Советском Союзе 22 июня 1976 года произведен запуск орбитальной научной станции «Салют-5»; ее максимальное удаление от поверхности Земли (в апогее) 260 км, минимальное (в перигее)—219 км. Найдите величину угла, под которым наблюдается Земля со станции в тот момент, когда станция находится в апогее. Какова длина дуги земной поверхности в плоскости орбиты станции, наблюдаемой из этой же точки?

273. Маховик двигателя внутреннего сгорания вращается равномерно, совершая п об/с. Выразите функцией от времени переменное расстояние точки М, взятой на ободе маховика, от плоскости пола машинного отделения при условии, что эта плоскость параллельна оси вращения и отстоит от нее на расстоянии а.

274. Обычно шайбы штампуются из отходов листового железа, и при этом проще центры шайб расположить так, как показано на рисунке 65, а. Но часто в целях экономии металла рекомендуют центры шайб располагать так, как изображено на рисунке 65, б. Всегда ли при новом способе получается экономия?

Рис. 65

275. Связисту нужно протянуть по лесу провод из точки А в точку В, при этом ему приходится огибать встречающиеся на пути деревья. Расстояние АВ = 1. Докажите, что для осуществления этой цели связисту достаточно иметь кусок провода длиной 1,6 /.

Вписанные и описанные многоугольники

276. В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были освещены одинаково?

277. В треугольной пластинке нужно так просверлить отверстие, чтобы оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого отверстия?

278. Из бревна диаметром 120 мм необходимо выпилить брус толщиной 40 мм. Найдите наибольшую ширину бруса.

279. Лесная поляна имеет форму ромба. В какой точке поляны нужно находиться, чтобы одновременно услышать эхо своего возгласа от всех стен леса?

280. Стекольщику поручили вырезать стекло для окна круглой формы. Что и как должен стекольщик измерить, располагая рулеткой, чтобы вырезать нужное стекло?

281. Считается, что громоотвод защищает от молнии все предметы, удаленные от его основания не далее его двойной высоты. Где на треугольном участке поместить громоотвод, защищающий все точки участка, чтобы высоту его сделать наименьшей?

282. Чтобы стесать круглое бревно, превратив его в балку квадратного сечения, плотники иногда так вычисляют сторону поперечника балки. Измеряют диаметр бревна, умножают его на 5, затем полученное произведение делят на 7. Установите степень точности этих вычислений.

283. Из бревна требуется выпилить 7 досок одинаковой ширины и толщиной 40 мм каждая. Найдите наибольшую ширину каждой доски, если диаметр бревна равен 350 мм. (Длина доски равна длине бревна.)

284. Участок треугольной формы расположен так, что вершина О лежит на берегу реки (рис. 66). В период разлива небольшая окрестность вершины О с участка была смыта. Требуется произвести размежевание участка на два так, чтобы прямолинейная межа прошла через дерево M и вершину О затопленной части участка.

285. В балке наибольшей жесткости (дающей наименьший прогиб), которую нужно вырезать из данного бревна, отношение сторон прямоугольного сечения должно быть 1 : УЗ. Опишите способ построения такого сечения.

286. Из всех брусьев, которые можно выпилить из данного бревна, наибольшей прочностью обладает тот, у которого отношение сторон прямоугольного сечения равно 1 :2. Докажите, что если разделить диаметр бревна на три равные части, через точки деления провести прямые, перпендикулярные к нему, и продолжить их до пересечения с окружностью, то полученные четыре точки окружности будут вершинами поперечного сечения искомого бруса.

287. Из нескольких бревен одинакового диаметра выпиливают балки различного поперечного сечения. При каком сечении балки получится наименьшее количество отходов?

288. На шоссе MN (рис. 67) найдите такую точку, из которой фасад здания AB был бы виден под наибольшим углом зрения.

289. На корабле имеется географическая карта, на которой отмечены пункты А, В и С, находящиеся на берегу. Расстояния между пунктами на карте равны ЛС=а, СВ = Ь. Для определения местонахождения корабля — точки О — на карте с корабля измеряют углы, под которыми видны отрезки АС и СБ, между соответствующими пунктами на берегу (рис. 68): /АОС = у, ZCOB=y. Как построить точку О на карте?

Рис. 66

Рис. 67 Рис. 68

290. Как раскроить заготовку, имеющую форму произвольного треугольника, на семь равнобедренных треугольников, из которых три равны между собой?

Угловая величина дуги окружности

291. Сколько спиц в колесе, если каждый из углов, расположенных между двумя соседними спицами, равен 18°?

292. Сколько градусов содержит дуга, описываемая точкой колеса за 1 с, если колесо делает 45 об/мин?

293. Найдите в градусах центральные углы, соответствующие шагу зубчатого колеса, имеющего 20, 30, 45, 80 и 120 зубцов.

294. Зубчатое колесо с 60 зубьями сцеплено с другим, имеющим 75 зубцов. На какой угол повернется второе зубчатое колесо при одном полном обороте первого?

295. При обточке резцом принято рассматривать задний угол а, угол заострения B, передний угол у и угол резания ô (рис. 69). Выразите угол заострения B через а, у, б. Чему равен угол резания б, если передний угол равен 18°?

296. Начертите головку резца, имеющего передний угол Y=10°, задний угол а = 20° (см. задачу 295). Чему равен угол заострения B?

297. Груз Q поднимается при помощи блока (рис. 70). Найдите угол охвата ф каната, если сила Р направлена под углом а к вертикальной оси.

298. Диаметры двух сцепленных зубчатых колес относятся как 3:8. На какой угол повернется большее колесо при одном обороте меньшего?

Рис. 69 Рис. 70

299. На какой угол повернется Земля вокруг своей оси за 8 ч? На какой угол за это же время повернется часовая стрелка часов?

300. Сцеплены два зубчатых колеса, имеющие соответственно 24 и 36 зубцов, а) На какой угол повернется второе зубчатое колесо, если первое зубчатое колесо повернется на 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 360°? б) На какой угол повернется первое зубчатое колесо, если второе зубчатое колесо повернется на 4, 6, 9, 12, 24 зубца?

301. Как изменяется угол между часовой и минутной стрелками часов в течение 1, 12, 46 мин?

Площади многоугольников

302. Основание постамента памятника имеет форму квадрата со стороной 6 м. Вокруг памятника проходит аллея шириной 2 м. Найдите площадь аллеи.

303. Стальной стержень квадратного сечения со стороной 2,5 мм при испытании на прочность разорвался при нагрузке в 250 кг. Вычислите прочность стержня на разрыв.

304. Освещение комнаты считается нормальным, если площадь проемов окон составляет не менее 0,2 площади пола. Определите, нормально ли освещение вашего класса, комнаты.

305. Оштукатуренная стена длиной 8,25 м и высотой 4,32 м имеет три окна размером 2,2x1,2 м каждое. Найдите площадь той поверхности стены, которая покрыта штукатуркой.

306. Колхозный сад имеет форму прямоугольника со сторонами 580 и 376 м. Сколько в нем яблонь, если на каждую яблоню приходится в среднем по 16 м2? Какую выручку дал

сад после продажи яблок, если с 1 га собрано по 35 т яблок и каждая тонна продана в среднем по 450 р.?

307. Пол школьного зала имеет прямоугольную форму размером 11X8,8 м. Требуется его выстелить плитками квадратной формы размером 22x22 см каждая. Сколько потребуется таких плиток, если на обрезки и пригонку затрачивается 3% от общей площади всех плиток?

308. Требуется установить двигатель весом 4,25 т на фундамент прямоугольной формы размером 1,4X2,8 м. Вычислите давление, приходящееся на 1 см2 площади фундамента.

309. Площади двух аэродромов, каждый из которых имеет форму квадрата, относятся как 16:9. Сторона первого аэродрома на 60 м больше стороны второго. Найдите сторону второго аэродрома.

310. Каждый из двух равновеликих участков нужно обнести забором. Один участок имеет форму квадрата со стороной 80 м, а другой — форму прямоугольника, одна сторона которого равна 50 м. На какой забор потребуется больше материала и на сколько, если на каждые 12 м забора нужно 1 м3 пиломатериалов?

311. Трактор весит 68 800 кг, ширина его гусениц 0,35 м, длина части гусениц, соприкасающейся с грунтом, 2,05 м (с каждой стороны). Какой вес приходится на 1 дм2 рабочей площади гусениц?

312. Тракторным пятикорпусным плугом (ширина захвата каждого корпуса 35 см) вспахано 5,6 га за 8-часовую смену. С какой скоростью двигался трактор?

313. Трактор, двигаясь со скоростью v км/ч, тянет за собой дисковую сеялку с рабочим захватом / м. Сколько гектаров можно засеять таким образом за 8-часовой рабочий день?

314. Из металлического стержня длиной а необходимо согнуть скобу прямоугольной формы и приварить ее к металлической балке. Как выбрать на стержне точки сгиба, чтобы площадь образовавшегося прямоугольника была наибольшей?

315. Токарный станок должен стоять на кирпичной кладке. Сила, действующая на одну из двух его ножек, равна 3990 Н. Допускаемое давление в кирпичной кладке 70 Н/см2. Поперечное сечение кирпичной кладки имеет форму прямоугольника, одна из сторон которого равна 4,2 см. Найдите второе измерение опоры кирпичной кладки.

316. Бункер комбайна вмещает около 15 ц зерна, ширина рабочего захвата около 5 м, рабочая скорость агрегата около 5 км/ч, урожайность на участке в среднем 25 ц с 1 га. Чему равно расстояние между пунктами загрузки комбайна и время, в течение которого бункер наполняется зерном?

317. Сад, в котором деревья посажены в шахматном порядке, состоит из 32 рядов, по 45 деревьев в каждом. Соседние деревья одного ряда расположены на расстоянии 6 м, а соседние деревья разных рядов — на расстоянии 8,54 м. От забора, которым огорожен сад, крайние деревья отстоят на 3 м. Найдите площадь, занимаемую садом.

318. От прямоугольного участка ABCD, площадь которого 5 = 2000 м2, а ширина Ь = 80 м, межой, параллельной основанию, нужно отрезать участок площадью Q = 780 м2. Как это сделать?

319. Из листа жести, длина которого 1,2 м, а ширина 0,25 м, требуется изготовить открытый сверху прямоугольный желоб так, чтобы его поперечное сечение было равно 0,5 м2, а длина 1,2 м. Какой ширины следует отогнуть под прямыми углами края листа жести, чтобы изготовить требуемый желоб?

320. Ребята решили пристроить к стене школы физкультурный зал прямоугольной формы. Оказалось, что кирпича у них хватит только на 100 м стены (по периметру трех новых стен). Зал должен быть как можно больше по площади. Что вы посоветуете ребятам? Какие размеры пристройки выбрать?

321. Прямоугольная цветочная клумба занимает площадь 216 м2. Вдоль длинных сторон клумбы нужно проложить дорожки шириной 2 м, вдоль коротких — шириной 3 м. Каковы должны быть размеры прямоугольного участка (клумбы вместе с дорожками), чтобы площадь дорожек была наименьшей?

322. Наиболее качественной считается конструкция канала, которая при заданной площади его сечения обеспечивает возможно меньшее трение жидкости о стены и дно канала, т. е. наименьшую смачиваемую площадь. Найдите оптимальные размеры открытого прямоугольного канала с заданной площадью сечения S.

323. Новосел, решив выложить пол в квадратной кухне площадью 7,29 м2 квадратными разноцветными плитками, купил такой набор: 1 плитка со стороной 120 см, 3 плитки со стороной 90 см, 9 плиток со стороной 60 см и 2 плитки со стороной

30 см. Другой новосел для точно такой же кухни купил на 1 плитку больше со стороной 120 см, на 1 плитку меньше со стороной 90 см и на 1 плитку меньше со стороной 60 см. Кто из них поступил разумно?

324. Три пластины имеют соответственно форму квадрата, прямоугольника и ромба. У всех одинаковые периметры — 20 см. Какая из этих пластин имеет наибольшую площадь?

325. Поле имеет форму параллелограмма, основание которого 500 м, а высота 180 м. Через поле под прямым углом к основанию проходит шоссейная дорога шириной 12 м. Найдите посевную площадь поля.

326. Как разделить участок, имеющий форму параллелограмма, на две равновеликие части межой, проходящей через произвольную точку, которая задана на плане участка?

327. Как от части поля, ограниченной двумя межами AB и ЛС, исходящими из одной общей точки Л, отрезать участок, имеющий форму параллелограмма, площадь которого равна m, если вершина параллелограмма D лежит на меже AB и AD = d?

328. Воздух давит с силой 10,3 H на каждый квадратный сантиметр. Найдите силу, с которой воздух давит на треугольную площадку, основание которой равно 0,13 м, а высота 6,18 м.

329. Найдите внутри участка, имеющего треугольную форму, такую точку, что три луча с началом в этой точке, проходящие через вершины треугольника, делят участок на три равновеликие части.

330. Участок FDEG (рис. 71) разбит межой на участки DFABC и CBAGE. Замените межу ABC, изображенную на рисунке, прямолинейной межой, проходящей через точку А так, чтобы площади двух участков не изменились.

331. Найдите внутри участка, имеющего треугольную форму, такую точку, что лучи, проходящие через нее и середины сторон треугольника, делят его на три равновеликие части.

332. Внутри треугольного участка найдите такую точку, чтобы лучи, соединяющие ее с вершинами, разбили участок на такие три части, площади которых равны числам 5Ь S2, 53.

333. Через точку /(, лежащую на стороне ВС в ААВС} проведите пря-

Рис. 71

мую, пересекающую сторону АС и делящую треугольник на две равновеликие части.

334. Участок имеет форму ААВС, площадь которого равна m, а сторона AC = d. Как провести межу BD так, чтобы она отделила от данного участка AABD, площадь которого равна м?

335. У жестяной заготовки квадратной формы срезаны два противоположных уголка так, что отрезанными оказались два равных прямоугольных равнобедренных треугольника. Образовавшаяся при этом пластинка имеет форму шестиугольника. Как найти ее площадь, произведя вычисления наиболее удобным способом, предполагающим проведение наименьшего количества измерений?

336. Часть поля ограничена двумя исходящими из точки А межами AB и АС. Через точку /С, лежащую на меже AB, проведите еще одну межу, которая отрежет от этой части поля треугольный участок площадью т, если KA = d.

337. Треугольный участок ABC разделите на три равновеликие части межами, исходящими из одной точки D, лежащей на стороне АС, если известно, что площадь участка равна т, АС — Ъ, а расстояние от точки D до вершины А равно d.

338. Дан ААВС площади 1. Первый игрок выбирает точку X на стороне AB, второй—У на стороне ВС, затем первый — Z на стороне АС. Цель первого — получить AXYZ наибольшей площади, второго — наименьшей. Какую наибольшую площадь может обеспечить себе первый при правильной игре второго?

339. Участок, имеющий форму прямоугольника ABCD, нужно разделить двумя межами, исходящими из вершины А, на три равновеликие части. Как это сделать?

340. Через точку, лежащую внутри участка, имеющего форму квадрата, нужно провести прямую так, чтобы отсечь участок наименьшей площади.

341. Найдите наиболее простой способ деления участка прямоугольной формы на четыре равновеликие части.

342. Железный щит (рис. 72) нужно окрасить эмалевой краской с двух сторон. Сколько потребуется краски, если на 6,5 см2 расходуется 1,5 г краски? (Все необходимые размеры в сантиметрах даны на рисунке.)

343. Из прямоугольного листа жести длиной 40 см и шириной 35 см вырезали для лейки часть, имеющую форму трапе-

Рис. 72 Рис. 73

ции с основаниями, равными 40 см и 12 см, и высотой 20 см. Найдите площадь оставшейся части.

344. Землемер должен был найти площадь участка земли ABCDE (рис. 73). Он провел линию север — юг через точку Е, а также линию восток — запад через точки А, В, С, D и установил, что ЛО = 37 м, BR = 47 м, CQ = 42 м, DP = 28 м, PQ= 13 м, QE = 7 м, £7?= 19 м и 07?= 18 м. Затем он вычислил искомую площадь. Найдите эту площадь.

345. Земельный участок имеет форму трапеции ABCD. Разделите участок ABCD на две равновеликие части межой, проходящей через середину отрезка AB.

346. Лист жести имеет форму трапеции ABCD. Из вершины В проведите прямую ВКУ отсекающую — часть площади листа.

347. Земельный участок ABCD, имеющий форму прямоугольной трапеции, разделен высотой MN на две равновеликие части (рис. 74). Найдите расстояние AN, если АВ = а = = 100 м, a DC = b = 60 м.

Рис. 74 Рис. 75

348. От прямоугольного поля ABCD межой, исходящей из точки £, лежащей на стороне AD на расстоянии d от точки Л, отделите участок, площадь которого m, если ширина поля АВ = а.

349. Из листа фанеры размером 220x80 см для цветочных ящиков требуется вырезать равнобокие трапеции с основаниями 30 и 10 см и острым углом 45°, причем сделать разметку требуется наиболее рациональным способом. Сколько таких трапеций можно вырезать из этого листа?

350. На участке ABCD, имеющем форму прямоугольной трапеции (размеры участка в метрах указаны на рисунке 75), через точку £, лежащую на стороне AB, нужно провести межу так, чтобы получился участок AEFD площадью 580 м2. Как это сделать?

351. Поверхность пруда имеет форму квадрата. В вершинах квадрата на берегу пруда растут четыре дуба. Хотят вдвое увеличить площадь поверхности пруда, но так, чтобы новый пруд сохранил форму квадрата и чтобы все четыре дуба остались целы (т. е. были на берегу). Как это сделать?

352. Диагонали четырехугольного участка взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3,2 и 4,5 м. Найдите площадь этого участка.

353. Участок земли, имеющий форму четырехугольника, разделите на два равновеликих участка.

354. При раскрое куска сукна, имеющего форму прямоугольника ABCD, его разрезали на три части по параллельным прямым BN и DM. Сколько процентов составляет площадь средней части от площади всего куска, если ЛВ=125см, ЛМ=105 см?

355. Участок ABCD, имеющий форму четырехугольника, разделите на два равновеликих участка межой, исходящей из точки М, лежащей на стороне DC.

356. Участок ABCDE, имеющий форму пятиугольника, разделите на две равновеликие части межой, проходящей через точку М, заданную на стороне DE пятиугольника.

357. Требуется выстелить пол комнаты размером 6X4 м плитками правильной шестиугольной формы. Сколько таких плиток необходимо иметь, если сторона плитки 20 см?

358. Некоторая поверхность площади S покрыта равными правильными шестиугольными плитками. Найдите площадь по-

верхности, которую можно покрыть тем же числом равных правильных треугольных плиток, если сторона треугольной плитки равна меньшей диагонали шестиугольной плитки.

359. Пол прямоугольного фойе театра, размер которого 14,6x8,4 м, требуется покрыть керамическими плитками двух разных цветов (поровну каждого цвета). Сколько требуется плиток каждого цвета, если плитка имеет форму правильного шестиугольника со стороной 10 см?

Площадь круга

360. Дерево имеет 1,88 м в обхвате. Чему равна площадь поперечного сечения, имеющего (приблизительно) форму круга?

361. Вода течет по двум трубам с одинаковой скоростью. Первая труба имеет диаметр = 20 см, а вторая — d2=15 см. Во сколько раз подача воды в первой трубе больше, чем во второй?

362. Разделите пополам участок, имеющий форму круга радиуса а, окружностью, центр которой совпадает с центром данного участка. Чему равен радиус делящей окружности?

363. Токарь должен обточить вал диаметром 142 мм так, чтобы площадь его поперечного сечения уменьшилась в 1,5 раза. На сколько уменьшится диаметр?

364. Чему равна сила, с которой пар давит на поршень диаметра d=120 мм, если среднее давление пара 3-Ю5 Па?

365. Найдите предельную нагрузку, которую может выдержать латунная проволока, если диаметр ее поперечного сечения 2,5 м, а предельная нагрузка для латуни при растяжении составляет 65 кг/мм2.

366. Стальная проволока диаметром 5 мм имеет предел прочности 85 кг/мм2. При какой массе груза Q проволока может разорваться?

367. На каждый квадратный сантиметр площади поршня паровой машины пар давит с силой 85 Н. Вычислите силу, с которой пар давит на весь поршень диаметром 420 мм.

368. Надо заменить трубу, площадь сечения которой 78,5 см2, четырьмя трубами одного и того же диаметра так, чтобы сумма площадей четырех труб меньшего диаметра равнялась площади сечения трубы большего диаметра. Найдите диаметр меньших труб.

369. Две трубы, внутренние диаметры которых равны 15 и 25 мм, требуется заменить одной, не изменяя их пропускной способности. Каким должен быть внутренний диаметр новой трубы?

370. Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 1256 мм2, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 38,5 мм?

371. Из листа жести, имеющего форму прямоугольной трапеции, основания которой равны 30 и 20 см, а высота 20 см, вырезан круг наибольшего диаметра. Какой процент составляют обрезки?

372. Из квадратного листа жести со стороной 20 см вырезан круг наибольшего диаметра. Какой процент площади листа жести составляет площадь обрезков?

373. Поперечное сечение башни, изображенное на бумаге в масштабе 1 : 100, есть круг, площадь которого равна 50,24 см2. Вычислите длину окружности поперечного сечения башни.

374. Внешняя окружность основания заводской трубы имеет длину 12,56 м, толщина трубы 50 см. Какое давление оказывает труба на основание, если ее масса 350 т?

375. Вычислите площадь поперечного сечения шестигранной гайки, ширина которой равна 3,6 см, а диаметр отверстия 1,5 см.

376. Из стального листа, имеющего форму полукруга, нужно вырезать прямоугольный лист (одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга) наибольшей площади. Как это сделать?

Рис. 76 Рис. 77

377. Вычислите стороны прямоугольной пластины, из которой вырезается 7 кругов радиуса г так, как показано на рисунке 76. Подсчитайте также процент отхода материала.

378. Два прожектора расположены один напротив другого на прямолинейных параллельных противоположных берегах реки. Расстояние между прожекторами равно 12 км. Прожекторы могут освещать местность в радиусе 10 км каждый. Чему равна площадь поверхности реки, освещаемой этими прожекторами?

379. Вычислите площадь окна, имеющего форму прямоугольника, законченного вверху сегментом в 60°. Высота окна отсчитывается от середины дуги сегмента до основания и равна 2,4 м, ширина его 1,6 м.

380. Вычислите периметр Р и площадь Q поперечного сечения подземного канала, изображенного на рисунке 77 (ААВС равносторонний).

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ

Измерение отрезков

1. Нужное количество столбов равно 8000:50+1, т. е. всего необходимо установить 161 столб.

2. На каждой стороне аллеи нужно посадить 210:3+1, т. е. 71 дерево. С двух сторон нужно посадить 142 дерева.

3. Большая полуось орбиты корабля определяется по формуле Q= -у (Hi + R + R + H2) (рис. 78), где Н2 — наибольшее и #i — наименьшее расстояние (LN и МК) корабля от поверхности планеты, R — радиус Земли Л. Поэтому Q^6706,5 км.

4. Кузнечик может попасть в точку Л, например, следующим способом: сделать в направлении к точке Л два больших и в обратном направлении три маленьких прыжка.

5. То, что автопоезд длиной 20 м проезжает мимо километрового столба за 10 с, означает, что этот автопоезд проезжает 20 м за 10 с. Для того, чтобы начало автопоезда прошло путь от одного конца моста до другого, потребуется 20 с и еще 10 с для того, чтобы автопоезд выехал с моста. Всего для проезда через мост автопоезду потребуется 30 с.

6. Пусть m и п — число стержней соответственно длиной 7 и 12 см, из которых сложен стержень длиной 1 м=100см, тогда

(1)

Так как 12 и 100 делятся на 4, то m тоже делится на 4. Кроме того, число m не может быть больше 14 (так как 7-15>100). Отсюда число m равно либо 4, либо 8, либо 12. Подставляя эти значения m в равенство (1), находим, что условию задачи удовлетворяет только пара чисел m=4 и п = 6, так что данная задача имеет единственное решение.

7. Длина дороги от Л до F меньше 2EF+6EF + EF=9EF, но больше 2EF+3EF+EF=&EF, откуда

(рис. 1). Этому неравенству удовлетворяют три значения EF: 6, 7 и 8. Если EF=6 км, то АВ=\2 км и на оставшиеся три участка придется 35 км, но длины этих участков меньше АВ=\2 км, и, следовательно, сумма их длин не может равняться 35 км. Если EF=8 км, то Л5=16 км и на оставшиеся три участка придется 29 км. Наименьшие возможные длины этих трех участков равны 11, 10 и 9 км, и поэтому сумма их не меньше 30 км. Если EF=7 км, то Л/?=14 км и на оставшиеся три участка придется 32 км, которые могут распределиться между ними следующими тремя способами: 13, И, 8; 12, 11, 9; 13, 10, 9. Вывод. Задача имеет три решения: 14, 13, 11, 8, 7; 14, 12, И, 8, 7; 14, 13, 10, 9, 7.

8. Заметьте, что тропинка, которая начинается у самого высокого дерева, затем идет напрямик к следующему по высоте дереву, потом — к третьему по высоте и т. д. до самого низкого дерева, имеет длину меньше 40 м. Запишем это так: d\^h2 — hu d2^hs — h2i dn-\ = hn — hn-U где — расстояние между соседними по высоте деревьями, hi — высота деревьев. Сложив эти неравенства, получим:

Огородив забором (длиной 80 м) эту тропинку, соединяющую все деревья, мы тем самым окружим забором и весь парк.

Измерение углов

9. 30°, 180°, 0°.

10. 90°, 97°30', 90°, 172°30'.

11. Если второе колесо повернется на 12 зубьев, то это означает, что оно повернется на (360° : 48) • 12 = 90°, тогда первое колесо повернется на (48:30)-90°= 144°. Если первое колесо сделает полный оборот, т. е. повернется на 360°, то второе колесо повернется на угол 30 :48-360° = 225°.

Рис. 78

12. Если при повышении давления на 105 Па стрелка манометра описывает угол 6°, то при повышении давления на 8-105 Па стрелка манометра повернется на 6°-8 = 48°.

13. Два любых соседних колеса вращаются в противоположных направлениях, значит, первое и последнее колеса также имеют противоположные направления вращения. Вращение возможно тогда и только тогда, когда число колес четно. Итак, колеса такой системы могут вращаться, если число колес четно, и не могут в противном случае.

Равенство треугольников

14. Анализируя условие задачи, ее формулировку можно записать так: построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Такая задача хорошо знакома вам и не вызовет затруднений.

15. Воспользовавшись признаками равенства треугольников, можно понять, какие три размера треугольника следует снять. Если треугольник прямоугольный (а), то достаточно двух измерений; если равносторонний (б), то необходимо одно измерение.

16. Провесив прямую АС (рис. 79), отложим АС = СА\. ZCAB измерим теодолитом и через точку А\ провесим прямую АХВХ так, чтобы ZCAXBX = ZCAB. Тогда ААВС = ААХВХС (по стороне и двум прилежащим углам). Искомая длина кабеля равна А\В\.

17. ААВС = ААХВХС по двум сторонам и углу, заключенному между ними (рис. 2). Значит, АВ = АХВХ.

18. Постройте треугольник по стороне AM и двум прилежащим углам ВАМ и NMA, а затем измерьте стороны, лежащие против этих углов (рис. 3). (Построение проводите в нужном масштабе.)

19. По условию задачи ZABC= = ZDBCy ZACB=ZDCB, ВС — общая сторона (рис. 4). По второму признаку равенства AABC = ADBC, следовательно, AB = DB.

Рис. 79

Рис. 80

20. Можно составить из троек (4, 7, 10}; {4, 10, 13} и {7, 10, 13}. Нельзя составить из тройки {4, 7, 13}. Общий вывод. Треугольник можно построить по трем сторонам только в том случае, если сумма двух меньших его сторон строго больше наибольшей стороны.

21. Договоримся, что на карте север (А') направлен вверх, юг (S)—вниз, восток (О)—направо, запад (W)—налево. По этому условию поселки В, С w D расположены так, как показано на рисунке 80, а. А поселки М, К и А расположены так, как показано на рисунке 80,6. Притом BD = КМ = 4 км, ВС=МА = 7 км и ZCBD=ZKMA = 135°. Тогда ADBC= Л/ШЛ, следовательно, DC = AK.

22. Балки таких сооружений сами по себе почти не поддаются ни заметному растяжению, ни сокращению длины (сжатию). Под действием внешней силы возможно было лишь изменение их взаимного наклонения. Но с тремя сторонами данной длины может существовать только один треугольник, так как все треугольники с соответственно равными сторонами равны между собой. Поэтому при неизменной длине балок, скрепленных в форме треугольника (хотя бы даже только шарнирами), углы, составленные ими, должны оставаться неизменными. Среди всех п-угольников, составленных из стержней, только треугольники являются жесткими фигурами.

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

23. Из рисунка 5 видно, что ZDAB= 180°- (a + B).

24. Легко привести пример, когда поворотов 20. (Сделайте это сами.) Докажем, что меньше 20 поворотов быть не может. Рассмотрим 10 улиц какого-нибудь одного направления. Если маршрут проходит по всем этим улицам, то на каждой из них уже есть не менее двух поворотов маршрута, и все доказано. Если же найдется такая улица, по которой маршрут не проходит вовсе, то он должен проходить по всем десяти перпендикулярным улицам. К ним мы можем применить то же самое рассуждение.

25. Проведем прямую pA-q и спроектируем точки А и В на прямую р. Буквами А\ и В{ обозначим проекции точек А и В на прямую р. Проведем прямую l\\q и отметим точку M пересечения прямых I и р. Если M лежит между А\ и Ви то сумма расстояний от точек А и В до / равна AiM + BiM = A\B{ (все рассматриваемые длины отрезков положительны). Если точка M лежит на продолжении отрезка А\Ви то А{М + B\M>AiB{. Таким образом, любая прямая /, параллельная прямой q и проходящая между точками А и B, является искомой (рис. 6).

Сумма углов треугольника

26. Пересекаем стороны угла прямой MN (рис. 81). Допустим, что А—стертая вершина. При помощи транспортира измеряем ZAMN и ZAHM, тогда ZBAC = 180°- (ZAMN+ + ZANM).

27. ZBCD = 30° (рис. 7), тогда ZKCB = 30° + 30°=60°. ZCKB=ZMAB = 60°, откуда следует, что ZCBA = 180°- (60° + + 60°) =60°.

28. AK = AB-KB = 30 = DK (рис. 8), откуда следует, что прямоугольный AAKD равнобедренный и что ZD А /С = а=45°= = ZADK. Отсюда B = 45°+ 90°= 135°.

Рис. 81 Рис. 82

Рис. 83 Рис. 84

29. Мы считаем, что близко расположенные отвесные линии параллельны друг другу (на самом деле они пересекаются в центре Земли). Из AADC (рис. 82) можно записать, что ZACB= ZCAD+ ZADC, так как ZACB внешний. Поскольку APx\\BP2t то ZADC=ZCBP2i и, следовательно, ZACB = = ZCAPX + ZCBP2l что и требовалось доказать.

30. На берегу озера провесили прямую AD (рис. 83), на ней нашли такую точку С, что ZACB= 180 тогда АВ = АС.

Если же построить ZC=ZЛ, тогда АВ = ВС, однако второе построение невозможно, если угол А прямой или тупой.

31. Доказательство от противного. Допустим, что на некоторый аэродром, расположенный в точке О (рис. 84), прилетит более пяти самолетов. Это значит, что имеется по крайней мере 6 аэродромов Ль Л2, Л3, Л4, Л5, Лб, для которых аэродром О является ближайшим. Сумма углов с вершиной в точке О, образованных лучами ОЛь ОЛ2 и т. д., равна 360°, поэтому по крайней мере один из этих углов, например ZAxOA2y не больше -----=60°. Рассмотрим сначала случай, когда величина этого угла не равна 60°. В ААхОА2 сумма ZЛ1 и ZA2 не меньше 180° —60°= 120°, значит, хотя бы один из этих углов, например ZAU не меньше 60°. Из условия следует, что ААхОА2 разносторонний, поэтому ZAX больше ZA\OA2 и противолежащая ZAi сторона Л20 больше стороны АХА2, противолежащей ZA\OA2. Но мы допустили, что точка О — ближайшая к Л2, т. е. А20<А\А2, откуда возникает противоречие. В случае, когда ZЛ1OЛ2 = 0o, одна из точек Ль Л2, например Л2, лежит на отрезке ОАх. Но в этом случае АхА2<АхО. Противоречие.

Рис. 85

32. АВ = ВС (стропильные ноги, рис. 85), поэтому ААВС равнобедренный, откуда следует, что /ВАС = ZBCA = 45°, тогда

/ABD = /CBD = 45°y AD = CD= — =6 м, BD = AD = 6 м.

Прямоугольный треугольник

33. На рисунке 86 стропильные ноги AB и ВС равны, поэтому ААВС равнобедренный. /АВС=120°, Z^BD = 60°, значит, /.BAD = 30°. Тогда AB = 2BD = 5 м.

34. Пусть мощность жилы ЛС = х (рис. 87). Угол падения

расстояние AB =1,5 м, следовательно,

35. AF=FC=5 м (рис. 9). /DAF=30°, поэтому DF= ^- = = 2,5 м. Аналогично £/7=2,5 м. /AFD= Z£/7C = 60°, значит, ZDFE= 180°-(60° + 60°) =60°. Так как DF = EF, то ADEF равносторонний, откуда D£ = 2,5 м.

36. Пусть Л и В—две точки, о которых говорится в задаче (рис. 88). Тогда /АОВ= 120°. Проведем ОСЛ.АВ. /АОС = /СОВ = 60°, откуда ZOAD = 30°, т. е. OD =-у-«3200 км.

CD«6400 —3200, т. е. глубина залегания туннеля приблизительно должна быть равна 3200 км.

37. По условию задачиAD = AB = BC= -и /DAB= /АВС = 120° (рис. 89), поэтому /DAE= ZCBF=30° (AE1DC, BF A. DC). Следовательно,

Тогда

Рис. 86 Рис. 87 Рис. 88

38. Из решения задачи 37 следует m = — /, откуда /= у m—1,5 т.

39. По условию задачи АВ=\0 км, ZMAO=ZMBO = 45°, AB ЮМ (рис.10). АМ = ВМ = 5у'2 км. Наименьшим из расстояний от маяка до AB является расстояние ОМ. АОВМ прямоугольный равнобедренный, поэтому ОВ = ОМ= ^АВ = = 5 км.

40. По условию задачи ZBDA = 30°) ZCDA =60° (рис. 90), поэтому АВ = ZCDB = 60°-30° = 30°, a ZDCB = 90°-60° = 30°, т. е. ACBD равнобедренный, ВС= BD = 2AB, значит, — =2.

41. Устанавливаем прямоугольный AAlBlCl (ZC! = 90°, Z^! = 30°) так, чтобы гипотенуза А\ВХ занимала вертикальное положение, продолжение катета С\А\ прошло через вершину дерева Л, а продолжение катета СХВ\ — через основание дерева В (рис. 91). Измеряем h — высоту точки Ci над землей. AB = 4h, так как АВ = 2СХВ (из ААС{В), a CxB = 2h (из ACiMB). Этот способ пригоден в том случае, когда предмет AB имеет сравнительно небольшую высоту (менее 8 м). Аналогичным способом можно определить и ширину реки.

Геометрическое место точек

42. Построить угол DFA, равный ZBAF (DF пересекает AB в точке D, рис. 92). Точно так же, построив ZEFC= ZBCAt получим Е — точку пересечения FE и ВС. Точки D и Е искомые, потому что AADF и AFEC равнобедренные, а значит, AD = DF и FE = EC.

Рис. 89

Рис. 90

Рис. 91

Рис. 92

43. Обозначим объекты буквами А, В, С. Искомым местом будет точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины отрезков AB и ВС.

44. Если пункты А, В, С лежат на одной прямой, то дорогу следует провести через них (рис. 93,а). Если пункты А, В, С не лежат на одной прямой, то дорогу проводят либо через середину отрезка ВС (рис. 93,6), либо параллельно прямой ВС (рис. 93,в).

45. 1) Пусть оба населенных пункта А и В расположены по одну сторону железной дороги MN (рис. 94,а). Соединив точки А и B, через середину отрезка AB проводим перпендикуляр до пересечения с MN в точке К. В точке К должна быть построена железнодорожная станция, так как АК=ВК.

2) Пусть населенные пункты расположены по разные стороны желеаной дороги. Решение видно из рисунка 94,6.

3) Задача не имеет решения, если А и В находятся на одном перпендикуляре к линии железной дороги, но на разных расстояниях от нее.

46. Решение показано на рисунке 95.

47. Построим BD — биссектрису ZABC и через точку К— середину MN проведем KE1.MN (рис. 96). О — точка пересечения BD и КЕ, так как она одинаково удалена от дорог (лежит на биссектрисе BD) и наблюдательных пунктов (лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN).

Рис. 93

Рис. 94

Рис. 95 Рис. 96

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

48. Провешиваем базис CD (рис. 97). О — середина CD. По стороне и двум прилежащим углам строим AAxOD = ААОС и АВхОС= ABOD. Из равенства треугольников следует, что АО=АхО, ВО = ВхОу т. е. отрезки ААХ и ВВХ точкой О делятся пополам. Следовательно, четырехугольник АВАХВХ — параллелограмм (ААХ и ВВХ—его диагонали), поэтому АВ = АХВХ. Остается измерить АХВХ.

49. AD\\BC (рис. 12). ABOC = ADOA, откуда BC=AD, следовательно, ABCD — параллелограмм, значит, AB = CD.

50. Будем считать, что первые х параллельных прямых расположены горизонтально. Выбрав две горизонтальные и две наклонные, мы получим параллелограмм. Проверьте, что таким способом можно получить любой параллелограмм на листе, а разные способы выбора прямых приводят к различным параллелограммам. Задача свелась к такой: сколькими способами можно выбрать из данных прямых четыре — две горизонтальные и две наклонные? Первую горизонталь можно выбрать X способами, после этого вторую х- 1 способами. Всего х{х— 1) способов. Но в этом подсчете каждая пара горизонталей встре-

Рис. 97

чается дважды (подумайте почему).

Следовательно, имеется __1 способов выбора пары горизонталей. Точно так же есть OiMllll способов выбора пары наклонных. Каждый способ выбора пары горизонталей можно комбинировать с каждым способом выбора пары наклонных независимо. Следовательно, число параллелограммов равно —--'-^-.

51. Сначала проверить равенство обеих пар противоположных сторон, а затем равенство диагоналей.

52. Либо две стороны, либо одну сторону и диагональ.

53. Проведем диагонали АС и DB (рис. 98). Точка пересечения диагоналей АС и DB будет центром отверстия, так как точка О равноудалена от вершин пластины. Докажем ее единственность. Если точка X равноудалена от точек А и B, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ\ если же она равноудалена от точек Л и С, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АС. Пересечение этих серединных перпендикуляров — точка X — совпадает, как нетрудно видеть, с пересечением О диагоналей АС и BD. Поэтому найденная точка О единственная.

54. Решение показано на рисунке 99.

55. Пусть ширина участка AD = ВС = ху тогда DC = AB = = х + 250 (рис. 100). Из условия задачи *"т"2 — ~-, откуда * = 550, х + 250 = 800. Периметр прямоугольника равен 2-(800 м + 550 м)=2700 м, а скорость сторожа 4 км/ч, т. е. -, или - м/мин. Время, за которое сторож может обойти весь участок, равно 2700: ^2- % т. е. 40,5 мин.

Рис. 98

Рис. 99

Рис. 100

Рис. 101

56. Если а и Ь — длины сторон прямоугольника, то его периметр равен 2(а + 6), a следовательно, в случае целых а и Ь периметр есть четное число. Но сумма длин всех палочек данного набора равна 53 см (подсчитайте сами), и это число нечетное. Поэтому из всех палочек данного набора прямоугольник сложить нельзя.

57. Строим центры тяжести четырехугольников GBCD и AGEF, точки N и M пересечения их диагоналей (рис. 101). Искомый центр тяжести пластины будет лежать на прямой MN. Аналогично находим центры тяжести Р и Q прямоугольников ABHF и CHED. Искомый центр тяжести должен лежать и на прямой PQ. Следовательно, он будет являться точкой пересечения прямых MN и PQ.

58. При нерациональном раскрое (рис. 15, а) на изготовление каждой детали расходуется 175 погонных миллиметров стандартной стальной полосы. При рациональном раскрое заготовки соответствующим образом переставляются (рис. 15,6), в результате чего достигается экономия АхК = х погонных миллиметров на каждую пару. Найдем х. AxK = x = AiP — КР = = 175-/(Р, KP = DCx + CxDh DCX = CD = № мм, следовательно, Р/С=60 мм + 60 мм=120 мм. Тогда х= 175-120 = 55. Отсюда заключаем, что при изготовлении 200 деталей мы сэкономим 55 ммХ 100 = 5500 мм, т. е. 5,5 погонных метров стандартной стальной полосы.

59. При решении задачи используйте свойство диагонали ромба: «Диагонали ромба являются биссектрисами его углов».

60. Из рисунка 102 видно, что Z1 + Z2 + Z3 = 180° (при складывании листа в конверт точки А и D совпадают и Zl + Z3 = 90°).

Следовательно, точка Е лежит на стороне ADy точка F — на AB, точка G — на ВС, точка H — на CD, т. е. фигура ABCD является четырехугольником. Из складывания следует, что AE = ED = DH = HC=CG = GB = BF = FA (каждый равен поло-

Рис. 102 Рис. 103

вине диагонали прямоугольника EFGH). Следовательно, четырехугольник ABCD имеет равные стороны AB, ВС, CD и DA и поэтому является ромбом.

61. Первый способ (рис. 103,а). Пусть требуется разделить пополам /.ABC, вершина В которого находится вне чертежа. На сторонах угла возьмем две произвольные точки M и N и проведем МЕ\\ВС и NE\\AB. Отложим ND = ME и проведем DKWEM. Полученный четырехугольник BKDN — ромб (докажите самостоятельно), т. е. BD делит данный угол пополам. Следовательно, BD является биссектрисой данного угла.

Второй способ (рис. 103,6). Через произвольную точку D, взятую на стороне AB данного угла, строим прямую DE, параллельную другой стороне ВС. Разделим /BDE пополам биссектрисой DN. ABDN равнобедренный, так как ZBDN = = /NDE по построению, a ZNDE= /DNB как внутренние накрест лежащие углы при параллельных DE и NC и секущей DN. Следовательно, перпендикуляр ВК, проведенный через середину основания DN, является искомой биссектрисой.

62. Нужно на сторонах рейки от точек А и В (рис. 104) отложить равные AB отрезки AD и ВС, затем обрезать рейку по диагонали квадрата ABCD. Ясно, что /DBC = 45°.

63. Достаточно проверить равенство диагоналей.

64. Этой проверки недостаточно: существует четырехугольник с равными взаимно перпендикулярными диагоналями, не имеющий прямых углов. (Убедитесь в этом построив такой четырехугольник.)

Рис. 104

65. Необходимо снять пять размеров: четыре стороны и угол; три стороны и два угла; две стороны и три угла. В остальных случаях нужно измерить: а) две смежные стороны и угол между ними; б) две смежные стороны; в) сторону и один из углов; г) сторону; д) сторону.

66. Нет, так как совмещение образовавшихся треугольников в обоих случаях дает возможность сделать вывод, что четырехугольник есть ромб (но необязательно квадрат).

67. На ширине листа поместится 5 шайб, т. е. для получения 50 шайб нужно вдоль листа разместить 50:5=10 рядов, т. е. длина листа должна быть 60-10, т. е. 600 мм.

68. Если а — длина стороны квадрата, то его периметр равен 4а, т. е. делится на 4. Наибольшее число, не превосходящее 53 (длину всех палочек) и делящееся на 4, равно 52. Следовательно, если мы сможем выбрать четыре набора из палочек задачи 56, в каждом из которых сумма длин равна 13 см, то и длина стороны искомого квадрата будет равна 13 см. Такими наборами являются, например, следующие: 4, 4, 3, 2; 4, 4, 3, 1, 1; 4, 3, 3, 2, 1; 3, 3, 3, 2, 2.

69. Легко видеть, что для составления квадрата потребуется не менее 7 палочек. Поэтому нельзя составить квадрат со стороной менее 7 см. С другой стороны, сумма длин всех палочек равна 45 см, и поэтому из них нельзя составить квадрат со стороной более 11 см. Из палочек данного набора можно составить отрезки длиной 7, 8, 9, 10 и 11 см следующими способами:

Следовательно, из данного набора можно составить квадрат со стороной 7 ровно одним способом (его стороны состоят из палочек длиной 7 см, т. е. 6+1, 5 + 2 и 4 + 3), со стороной 8, 10 и 11 также одним способом, а квадрат со стороной 9 пятью способами.

70. Предположим, что нам удалось выложить квадрат размером 6x6 плитками 1X2 без «швов». Тогда каждая из деся-

ти прямых, разрезающих этот квадрат на клетки 1X1, должна пересекать по крайней мере одну плитку 1X2. Нетрудно доказать, что каждая такая прямая пересекает обязательно четное число плиток. Действительно, она отрезает от квадрата 6x6 прямоугольник 6х£, состоящий из четного числа клеток 1X1; этот прямоугольник содержит некоторое количество целых плиток 1x2, некоторое четное количество целых плиток 1X2 и еще некоторое четное количество клеток 1X1—половинок плиток, пересеченных прямой (рис. 16,6). Но если каждая прямая пересекает не менее двух плиток, то общее число плиток должно быть не меньше 2-10 = 20, а их всего 18. Таким образом, мы доказали, что квадрат 6x6 разрезать требуемым образом на плитки нельзя.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

71. Провешиваем две пересекающиеся прямые CA и СВ (рис. 105). Измеряем расстояние АС и ВС и делим пополам каждый из отрезков, получив точки D и Е. Измеряем DE. Из рисунка видно (докажите самостоятельно), что AB = 2DE.

72. Пусть А — недоступная точка, а В — точка, в которой мы находимся. Для нахождения расстояния AB выберем точку С и найдем середину D стороны ВС (рис. 106, а). Проводим DE\\AB, тогда AB = 2DE. Второе решение получим, если проведем DE\\ACt тогда АВ = 2ВЕ (рис. 106,6).

73. 1) Провешиваем базис CD и прямые АС, ВС, BD и AD (рис. 107, а). Находим точку M — середину CD и проводим MN\\BD и MP\\AD. Очевидно, что точки Р и N являются серединами отрезков АС и ВС, следовательно, PN есть средняя линия ААВС и AB = 2NP.

2) Через взятую на местности точку О провешиваем прямую CD и AM±CD, BN ICD (рис. 107,6). Через середины отрезков ОМ и ON проводим перпендикуляры к этим отрезкам и находим точки Р и Q — середины сторон АО и ВО. Так как PQ — средняя линия ААОВ, то AB = 2PQ. 74. Разделите пополам сторону

Рис. 105

Л С, соединяющую доступные вершины (рис. 108), и через середину ее Е проведите прямые параллельные двум другим сторонам, что определяет положение всех трех средних линий треугольника (EF\\AB, КЕ\\ВС). По теореме Фалеса точки F и К — середины отрезков ВС и AB. Тогда AC = 2FK> AB = 2EF и ВС = 2КЕ. Периметр ААВС равен АВ + ВС+АС = = 2(EF+ KE + KF), а отрезки КЕ, EF и KF можно измерить.

75. 1) Из точки S проводим SD\\b и SE\\a (рис. 109, а). Соединив точки Е и D отрезком ED и разделив отрезок ED пополам, получим точку О — вторую точку искомой прямой SC (С — находящаяся вне рисунка точка пересечения а и о). Действительно, SECD — параллелограмм и ED — его диагональ, через середину которой проходит вторая диагональ SC. Следовательно, прямая SO проходит через точку С пересечения прямых а и Ь.

2) Если точка S расположена так,

Рис. 106

Рис. 107

Рис. 108

Рис. 109

что одна из прямых или обе прямые, проведенные из точки S параллельно прямым а и Ь, не пересекают последних в пределах рисунка, то следует выбрать точку Sx так, чтобы она была расположена, как в первом случае. Затем находят середину О отрезка ED (рис. 109,6) и середину Т отрезка SS\ и соединяют точку Т с точкой О. Прямая, проходящая через точку S параллельно ТО, будет искомой. Действительно, в ASSXC точка Т — середина стороны SSj и точка О — середина стороны S\C (на основании предыдущего), а потому SC\\OT.

76. Как и в задаче 75, выбрать точку S на листе, построить прямые, проходящие через точку S и недоступные точки M и N и отрезок MXN{ (рис. 110). Тогда M\N\ — средняя линия ASMN, откуда MN = = 2M\N\ (длина M\NX легко определяется, если М{ и ЛТ! лежат на листе). Если М2 — середина M\NU то соединив 5 с Л12, найдем точку О пересечения прямых SM2 и MN, т. е. середину MN (если О лежит на листе).

Трапеция

77. а) Трапеция; б) параллелограмм (в частности, ромб); в) равнобедренная трапеция; г) прямоугольник (в частности, квадрат); д) параллелограмм (в частности, ромб).

Рис. 110

Рис. 111 Рис. 112

78. Решение задачи опирается на свойство средней линии трапеции. Четырехугольник AEFB (рис. 111)—трапеция, средняя линия которой DC находится по формуле DC=45 м.

79. Достаточно провести среднюю линию EF, затем построить трапецию ExFxCxAy центрально-симметричную трапеции EFCA, и треугольник EBF параллельно сдвинуть (рис. 112) в направлении ВА. Этим способом любой треугольник можно «перекроить» в параллелограмм.

80. Так как Z£> = 60°, то ZKCD = 30° (рис. 18). Следовательно, KD= -у , отсюда ясно, что в промежутке KD находятся 4 звена цепи, АК=ВС, значит, в промежутке АК находится 8 звеньев, следовательно, в промежутке AD находится 12 звеньев цепи.

81. Необходимо измерить 3 стороны и один угол.

82. Пусть AB = BC = CD = x, тогда AD = x + 50. По условию MN = 90 м (рис. 113). Из свойства средней линии

откуда л: = 65 м, AD=\15 м. Внутренний периметр аллеи равен 3-65+115, т. е. 310 м. Количество деревьев внутри разно 310:3, т. е. приблизительно 103 дерева. Внешний периметр аллеи равен 326 м (подсчитайте сами), количество деревьев во внешней аллее равно 326 : 3, т. е. приблизительно 109 деревьев. Всего необходимо 212 деревьев.

83. А2В2 — средняя линия трапеции ABCD (рис. 114), а значит, число деревьев, расположенных на А2В2, равно 22. АХВХ—средняя линия трапеции AA2B2Bt а значит, число деревьев, расположенных на А\Ви равно 24. Аналогично на стороне Л303 20 деревьев.

Рис. 113 Рис. 114

Синус и косинус

84. Из ААОВ (рис. 115)

откуда

(AB — подъем рудничного пути, а — угол подъема).

85. Из ААСВ (рис. 116)

откуда B^l°.

86. Из рисунка 117 видно, что С\В = Л£ sin 72°, откуда DB = = CB + CD^49 м.

87. Из ААОК (рис. 118) ЛО=А=Л/( sin 29°30', a AK=vt= = 331-4, тогда Л^652 м.

88. По условию задачи АВ = 730 м, BC = 37 м (рис. 134).

Из прямоугольного ААСВ можно записать

откуда

Рис. 115 Рис. 116 Рис. 117

Рис. 118 Рис. 119 Рис. 120

Рис. 121 Рис. 122

89. -V =0,04, т. е. sin а = 0,0400, откуда а~2°18'.

90. Из AANO (рис. 119) NO = rcos ZAON~2\9 м, т. е. MN = MO-NO~l м.

91. Из ААВС (рис. 120) sin 15°30'= , где ЛС = 200 м.

Значит, ВС = АС sin 15°30'«53,44 м.

92. Радиус действия крана (рис. 20) можно вычислить из прямоугольного ABCD по формуле BD = BC cos ZCBD, откуда BD^8,09 м.

93. Пусть A — точка, где возник пожар (рис. 121), тогда С5 = 24 м, BO = 726 м, т. е. СО = 750 м. Из АСОА находим

94. Предположим, что катер выходит под углом а к первоначальному направлению крейсера и через х ч встретится с крейсером, тогда ВС = 36х (рис. 122), ЛС = 54*. Из прямоугольного ААВС находим sin а— 0,6667, откуда а~41°49'.

95. Обозначим ZBOD = a (рис. 123). Из прямоугольного AAOD имеем

Радиус Земли 6371 км и высота спутника 328 км. Следовательно, cos а~0,9511, откуда <х~18°.

96. Из ААВС (рис. 124)

Рис. 123 Рис. 124

Рис. 125 Рис. 126 Рис. 127

97. Пусть АК— расстояние, которое самолет пролетел за 3 ч (рис. 125). Оно равно Зи = 960 км, ZKAM=\b°. Из ААКМ находим AM = AK-cos 15°~927,3 км.

98. ZBAC = ZQOP=a (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, рис. 126). Из AOQP находим \F\ = |/*| sin а, где P = mg.

99. /АОВ= ZDEC = 0°28' (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, рис. 127). Из АОАВ находим АВ = \Р\ sin ZAOB, где P = mg.

100. Из рисунка 128 видно, что

101. Из ЛОЛ/С (рис. 129) найдем КО]

Далее найдите ООь

102. Мотоциклисты друг друга могут увидеть только тогда, когда их линия зрения проходит через точку С (рис. 130), в этот момент расстояние между мотоциклистами равно AB. АЛОВ равнобедренный (по условию задачи ЛО = БО), поэтому

а так как £С||ЛО (Е — основание

Рис. 128 Рис. 129

перпендикуляра, опущенного из точки А на сторону улицы), то

Из прямоугольного ААЕС находим АЕ = АС sin /.АСЕ, откуда

Но АС = СВ, следовательно, AB~57 м.

Рис. 130

Тангенс

103. Высоту мачты ВС можно найти из ААВС (рис. 131). ВС = AB tg 10°~53 м.

104. Из ААСВ (рис. 132) tga~0,025, откуда а«1°26'. Самолету следует подниматься под углом, величина которого должна быть больше 1С26'.

105. Из AMNK (рис. 133) NK = MK tg 48°~84,4 м.

106. По условию задачи подъем ступени БС=15,5 см, а ее ширина ЛС = 32,5 см (рис. 134). Пусть ZCAB = a. Из прямоугольного ААВС найдем

откуда

107. По условию задачи АС = 8 м, ОС = 230 м (рис. 135). Пусть /АОС = а. Из ААОС находим tgct^0,0348, откуда а «2°.

108. Пусть на рисунке 136 высота окна первого дома от поверхности земли /15=12,8 м, а ширина улицы АС. Из ААВС находим АС=AB tg (90°—32°) ~20,5 м.

109. Решение задачи следует из рисунка 137. В ААВС,

Рис. 131 Рис. 132 Рис. 133

Рис. 134 Рис. 135 Рис. 136

Рис. 137 Рис. 138 Рис. 139

ПО. По условию задачи ZBAC = 24°24\ АС= 18 м (рис. 138).

Тогда AD= 9 м. В AADB верно равенство

откуда

111. В АС AB (рис. 139)

откуда ширина реки

112. Из AAOD (рис. 22) AD = AO tg а. Но так как ЛО = /, AD — искомое перемещение стержня, то AD = ltga. ИЗ. В АСВН (рис. 140) CB = B# tga~585 м.

114. В прямоугольном ААВС (рис. 141) BC = 7000 м, ZACB = 84°, АВ = ВСtg84°~67 км.

115. 1) На рисунке 142, а изображена прямая передача. Из прямоугольного ДЛСВ известно, что /4B = i4Ctg<x, или /?_r = /tga, откуда tga = 0,06, а~3°26'.

Рис. 140 Рис. 141

Рис. 142

2) На рисунке 142,6 изображена перекрестная передача. Из прямоугольного AAOiK известно, что АО\ = 0\К sin B, т. е. /? = 01/(sinB. Из прямоугольного АОСК следует, что ОС = = /(OsinB, т. е. r = KO sin B. Тогда /?+г= {ОхК+ОК) sin B =

откуда

Теорема Пифагора

116. Из ААВС (рис. 143) по теореме Пифагора ВС2 = = АВ*-АС\ т. е. ЯС=12 м.

117. По теореме Пифагора из ABAC (рис. 144) ВС =

Учитывая, что всего 4 каната и на узлы пошло 10 м, всего потребуется 90 м каната.

118. Из прямоугольного AADO (рис. 145) следует, что

119. Из прямоугольного АМСВ (рис. 23)

120. Искомое расстояние

Рис. 143 Рис. 144 Рис. 145

121. Проведем СЕ1.АВ. Из прямоугольного АВЕС (рис. 146), ВС =

122. Из ABCD (рис. 147) ВС =

Из AACD найдем

123. Из АОСВ (рис. 148) СО =

Тогда DC =

124. В прямоугольном AKAD (рис. 149) AD = 12-2,5, Л/( =

откуда /Со = 50 морских миль ^92,5 км.

125. Пусть AB — расстояние между крайними стрелками, т. е. АВ=120 м, АК = ВЕ = 500 м, AD = BC=2800 м (рис. 150). Из AAKD следует, что DK-2755 м, откуда DC = 2DK + + ЛЯ^5630 м.

126. ACME (рис. 24) прямоугольный, так как ZCME = 90°. MB ICE, следовательно, МВ2 = ВЕ • ВС. Из рисунка видно, что

Получаем, что

откуда

127. Пользуясь решением предыдущей задачи, можно написать (d — BC)BC = AB2 (d — диаметр крута) (рис. 151), откуда

128. Так как CD\\NNit то

(рис. 25),

По условию задачи

Рис. 146

Рис. 147 Рис. 148 Рис. 149

Рис. 150 Рис. 151 Рис. 152

Из ACDB находим СВ

Подставив это значение во вторую пропорцию, получим

Так как DN=NВ, то ADN В равнобедренный, поэтому DNX = NXB =

откуда MB =

Так как DN = NBf то DN =

129. Подсчитаем длины наклонных участков газопровода ВС и CD (рис. 26). Из АВСВх находим 51С=100У~Зм, £С = 200 м, а из ADCDX находим CDX= 100 м, С£>=100}'2~~л. Суммарная длина горизонтальных частей AB + DE=*AE — BXC — — CD, = 100(7 —УЗ)м. Искомая длина газопровода l = AB + DE + + BC+CD«869 м.

130. Откос полуторный, т. е. — =1,5, (рис. 152). AB — длина, ВС — высота ската, АС — проекция ската на основание. Из рисунка видно, что AD = 2AC + 5B. Из ААВС следует равенство

откуда

ЛС«3,5 м, Ло«12,6 м, BC«2,33 м. Площадь поперечного сечения полотна дороги S= — (AD + BE)BCœ2l,2 м2.

131. Из AADB (рис. 27) следует, что BD = h = 4 м. Из рисунка видно, что

Из AEFA следует, что

Из AKQA следует, что

132. Из AACD находим соотношение h2 = AC2-AD2. Из ACDB следует, что h2 = CB2-DB2 (рис. 28). Пусть Л£=х, тогда из равенства AC2—AD2=CB2 — DB2, следует, что 6400—лг2= = 2500- (100 —л:)2, *=69,5 мм. Отсюда Л«39,6 мм.

133. Пусть г — искомый радиус, тогда

(рис. 29). По теореме Пифагора из АОСВ можно записать ОС2 = СВ2—ОВ2у т. е.

откуда

134. Из прямоугольного ААСК, где АС = х, по условию С/С=А, по теореме Пифагора находим х=

(рис. 30). Из прямоугольного AC KB, где СВ = у, находим

135. На рисунке 31 расстояние d слишком велико. Расположим дождеватели так, как показано на рисунке 153. Это наилучший вариант, поскольку при малейшем удалении дождевателей друг от друга образуются неорошаемые участки, т. е. 2ûf2=(2r)2, откуда d = гу27

136. При нерациональном раскрое получается (рис 32, а) (40 г : 2)-2 = 40, т. е. 40 дисков. При рациональном раскрое (рис. 32,6) из ААО{03 находим

т. е. число изображенных отрезков не больше

т. е. 23.

Поэтому дисков 46.

137. При нерациональном раскрое (рис. 33, а) из полосы получится 2430 мм : 100 мм«24 детали. Из ANKO (рис. 33,6)

Рис. 153

т. e. L/(~45 — 20,6 = 24,4, откуда L/C«24 мм, т. е. при рациональном раскрое на каждую деталь (в длину) расходуется 100 мм —24 мм = 76 мм (вместо 100 мм), поэтому получается 2430 мм : 76 мм«31 деталь, т. е. 7 дополнительных деталей.

138. Пусть расстояние между яхтой и пароходом окажется наименьшим через х часов. Тогда (рис. 34) B/(=145 — 40х, BD=l6x. Расстояние между ними DK = y(145 — 40л:)2— (16jc)2 принимает наименьшее значение при х^3,125, т. е. через 3 ч 7 мин 30 с.

139. По условию -=—, откуда CD= —. Из прямоугольного ADCB (рис. 35) можно найти СВ

Из ADNC следует, что

(1)

Из ADNB следует, что

(2)

Пусть DN=y, CN = x, тогда из (1) и (2) можно написать

откуда х=

следовательно,

Из прямоугольного ADNB

следует, что

откуда

Из ADN\N находим NN\--

140. На участке АХА трамвай движется прямолинейно (рис. 36). От точки А до точки С трамвай движется по дуге окружности радиуса /?, касательной к прямой АА{ в точке А и сопряженной в точке перегиба С с окружностью радиуса R рассматриваемой петли. Пройдя дугу петли C/CD, трамвай проезжает по сопрягающей дуге BD радиуса R и выходит на прямолинейный путь ВВ{. Из прямоугольного треугольника 0{ОЕ искомое расстояние

141. Данная задача имеет определенное прикладное значение, так как при проектировании рассматриваемого механизма требуется найти радиус ведущей шестерни и построить положение ее центра, ибо без этого радиуса невозможно подсчитать передаточное число и ряд других необходимых параметров механизма.

Пусть X — радиус промежуточной шестерни с центром О. Из прямоугольного АОхОМ по теореме Пифагора имеем

откуда х=

(рис. 37). Зная r, h и ху нетрудно построить центр О промежуточной шестерни. Однако центр О возможно построить, не прибегая к вычислению радиуса х. Для этого проводим прямую А\В\\\АВ на расстоянии г от последней и строим окружность, проходящую через центры Oi и 02 и касающуюся проведенной прямой А\В\. Данное построение представляет собой построение окружности, проходящей через три заданные точки Ох, 02 и Сь Легко Еидеть, что искомый центр промежуточной шестерни совпадает с центром построенной таким образом окружности, так как в этом случае OK=OL = OC = x.

142. Глубина станции ЛО = 3400 см = 34 м (рис. 154).

Из AADC находим АС

Длина лестницы Л.9=170ЛС^76 м. Из прямоугольного ААОВ найдем

откуда

Рис. 154

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

143. По условию задачи ЯС=18 м, ZMCA = 6°18' (рис.141). Следовательно, ZACB = 83°42'. Из ААСВ найдем АВ = = ВС tg 83°42'« 163 м (искомое расстояние от наблюдателя до автомобиля).

144. По условию задачи AB = 79,5 м, ZAHB = 20°45\ ZAHC=&3°3W (рис. 155). Из АВАН находим

Из АСАН находим

Рис. 155 Рис. 156

145. Длину троса и расстояние до места прикрепления от (ли можно найти из ААВС так: АВ =

ВС=АС tg 59°« 124,8 м (рис. 38). Высоту мачты можно найти из AACD так: DC = AС tg 71°«217,8 м.

146. а) По условию задачи ОВх = ОВ = 159 см, ОА = ОАх = = 59 см, /ВОВх = ZAOAX = 40° (рис. 156). Из прямоугольного АСОВх находим ВхС = ОВх sin 40°« 102,2 см. Из ААхСхО находим АхСх = АхО sin40°«37,9 см.

б) Аналогично, ВХС= 159 sin 60°« 137,7 см. АХСХ = 59 sin 60°« «51,1 см.

147. Из прямоугольных ААОхВх и АА02В2 (рис. 157) соответственно ABx = higcç)i и AB2 = higy2y следовательно, ABx-AB2 = h(tg (pi—tg ф2), но Л#1— АВ2 = ВХВ2. По условию d — скорость самолета, а / — время полета. Следовательно, vt =

148. Из прямоугольного АОВС имеем

(рис. 39). Но вследствие перпендикулярности сторон (ось вращения колеса перпендикулярна плоскости его вращения) /ВОС = = ZCBN = a, а поэтому ОВ =

Рассмотрим прямоугольный AOAD. Вследствие

Рис. 157

перпендикулярности сторон ZAOD= /DAM = y, катет OD в AOAD равен

Тогда

При а=28°, /=2300 мм, /=1440 мм имеем lgq>«0,3987, откуда Ф«2Г45'. Радиус окружности, по которой движется переднее левое колесо,

Радиус окружности, по которой движется переднее правое колесо,

Радиус окружности, по которой движется заднее левое колесо

Радиус окружности, по которой движется заднее правое колесо, OD = OC+CD^5770 мм.

Преобразования фигур

149. Рассмотрим два случая:

1) Пусть центр симметрии параллелограмма не совпадает с центром квадрата. Тогда искомая прямая EF проходит через центры этих фигур (рис. 158).

2) Пусть центр симметрии параллелограмма совпадает с центром квадрата. Тогда искомой прямой будет любая прямая, проходящая через общий центр фигур.

150. Рассмотрим два случая:

1) Если центр сада 0\ не совпадает с центром симметрии прямоугольника О, то искомая прямая EF проходит через центры этих фигур (рис. 159).

2) Если центр сада 0\ совпадает с центром симметрии прямоугольника О, то искомой прямой будет любая прямая, проходящая через общий центр.

151. Выберем точку О и построим точки А\ и Bb центрально-симметричные соответственно точкам А и В относительно центра О. Легко доказать, что АВ = А]В[ (рис. 160).

Рис. 158 Рис. 159 Рис. 160

152. Начинающий игру должен положить монету на центр стола. В дальнейшем он кладет свою монету каждый раз симметрично относительно центра стола монете, положенной вторым играющим,— это он всегда сможет сделать после каждого хода второго игрока. Поэтому именно начинающий сделает последний ход в этой игре и, следовательно, выиграет.

153. Нужно построить точку Bi, симметричную точке В относительно прямой / (/ — полотно железнодорожного пути). Точка С пересечения В\А и I искомая.

154. Пусть M и К — данные точки на сторонах искомого квадрата, О — его центр (рис. 161). Построим точки Мх и Ки симметричные соответственно M и К относительно точки О. Получим прямые МК\ и /Шь которым принадлежат две противоположные стороны квадрата.

Параллелограмм MKMxKi определяет направления сторон квадрата МК\ и КМ и Если К'К — перпендикуляр на прямую Af/Ci, то КК'— длина стороны квадрата, а КК'- -~--половина его диагонали. Строим циркулем с центром О и радиусом КК'< на прямых МК\ и К\М вершины А, B, С, D искомого квадрата.

155. У прямоугольника EDKC центр симметрии О есть точка пересечения диагоналей ЕК и CD (рис. 162). ВО ICE,

Рис. 161

Рис. 162 Рис. 163

Рис. 164 Рис. 165

OA ICK, BO=12 см, следовательно, С/( = 24 см, 0/1 = 8 см, следовательно, £С=16см. Периметр прямоугольника равен 2(24 см+16 см) =80 см.

156. Построим точку Bb симметричную точке В относительно прямой / (рис. 163). В\А пересекает / в точке С, которая является искомой точкой. Действительно, любая точка прямой I (кроме С) не удовлетворяет требованию данной задачи. Например, рассмотрим точку Сь принадлежащую /, тогда

157. Построим точку Ль симметричную точке А относительно MN (рис. 164). Ai соединим с точкой В и получихМ К — точку пересечения MN и А\В. Искомым направлением луча будет направление АК. Действительно, Z1 = Z2, Z2=Z5, следовательно, Z1 = Z5, откуда следует, что Z3=Z4. Следовательно, луч АКу отразившись от зеркала MN, пройдет через точку В.

Рис. 166 Рис. 167

158. Провешиваем прямую а и находим на ней основания С и D перпендикуляров, проведенных через точки А и В (рис. 165). Выбрав на прямой а две произвольные точки M и N, измеряем ZAMC и ZBND, затем по другую сторону прямой строим ZCMK=ZAMC и ZDNE = ZBND. КЕ = АВ, так как указанные отрезки симметричны относительно а. Остается измерить КЕ — это и будет расстояние между недоступными предметами А и В.

159. Допустим, что задача решена: шар А надо толкнуть в направлении AM, чтобы он после отражения в точке M от борта CD ударил шар В (рис. 166). Проведем MN1CD. Известно, что угол падения равен углу отражения, значит, Zl = = Z2. Построим точку В\ симметрично точке В относительно CD. Так как Z3=Z4, Z2=Z5, то Z1 = Z5, а это возможно только тогда, когда линия АМВ{ является прямой. План построения очевиден.

160. Выбор оптимального плана расположения баз означает отыскание таких двух точек, расположенных на соответственных сторонах данного ААВС, чтобы периметр AKMN был минимальным (рис. 167). Построим точки К\ и /С2, симметричные точке К относительно соответственно прямых AB и ВС. Соединим К\ и /С2 и получим на ВС и AB точки M и N. MN + MK + NК=К\К2 минимально, AMNK удовлетворяет условию задачи.

161. Для исправления ошибки скорняк должен разрезать заплату, например, следующим образом. Пусть А — наибольший угол ААВС (рис. 168), EF — средняя линия, AD — высота. Тогда ABED и ADFC равнобедренные, поскольку четырехугольник AFDE имеет ось симметрии EF. Поэтому скорняк может разрезать заплату по прямым ED и DF (угол А взят наибольшим, чтобы точка D наверняка лежала на стороне ВС, а не на ее продолжении) и перевернуть треугольники BED, DFC и четырехугольник AEDF, как показано на рисунке 168.

162. Построим точку Ль симметричную Л относительно прямой 1\. (рис. 169), затем точку В\, симметричную В относительно прямой /2> получим К — точку пересечения 1\ и А\В, К\ — точку пересечения В\С и

Рис. 168

Рис. 169 Рис. 170

12. Соединив точки А, К, В, Ки С, получим искомую замкнутую дорогу кратчайшей длины.

163. Пусть шар А (рис. 170), последовательно отразившись в точке К от 1-го борта, в точке L от 2-го борта, в точке M от 3-го борта и в точке Р от 4-го борта, ударил шар В.

Построим точку Ль симметричную точке А относительно линии /ь точку Л2, симметричную точке А\ относительно линии /2; точку Л3, симметричную точке Л2 относительно линии /3; точку Л4, симметричную точке Л3 относительно линии /4.

По свойству отражения точка А{ будет принадлежать прямой KL, точка Л2 —прямой LM, точка Л3 — прямой MP и, наконец, точка Л4 — прямой BP. Отсюда вытекает способ построения.

1) Пользуясь тем, что положение точки Л дано, последовательно строим точки Ль Л2, Аз и Л4.

2) Соединим точку В с точкой Л4 и отметим точку Р пересечения прямой ВАА с линией /4.

3) Точку Р соединим с точкой Л3 и отметим точку M пересечения прямой РАЪ с линией /3.

4) Точку M соединяем с точкой Л2 и отмечаем точку L пересечения прямой МА2 с линией /2.

5) Точку L соединяем с точкой А\ и отмечаем точку /( пересечения прямой LA\ с линией 1\.

6) Точку /С соединяем с точкой Л. Л/(—искомое направление удара.

Если шар А толкнуть в направлении луча Л/С, то он, последовательно отразившись от четырех бортов, ударит шар В.

Доказательство и исследование решения задачи (в зависимости от расположения шаров Л и В) предлагаем провести самостоятельно.

Подобные фигуры

165. Для того чтобы найти расстояние между пунктами А и B, на местности выбирают такую точку С, из которой видны оба пункта. После этого на местности измеряют расстояния CA, СВ и ZACB. По этим данным (например, в масштабе 1 : 10000) строят АНТК, в котором ZHTK= ZЛCB, а стороны ТН и ТК в 10 000 раз меньше отрезков CA и СВ соответственно. Расстояние между пунктами А и В получим, измерив длину стороны НК и увеличив ее в 10 000 раз.

166. AADB со ACDE (рис. 42), следовательно, откуда AB

167. Проводим BRWAC (рис. 171). На прямой BR находим точку D, такую, что BD:DR=AC:CK. Направление CD есть искомое.

168. Через точку B проводим две прямые ВС и BD (рис. 172,а). Точки С и D пересечения этих прямых с АС и AD соединяем прямой (провешиваем CD). Из любой точки Ci, взятой на стороне АС угла Л, проводим СХВХ\\СВ и CXDX\\CD, а через точку Dx проводим DiBi||DB. Остается провесить искомую прямую BBi. Докажем, что построили правильно. ABCD и ABXCXDX гомотетичные и точка Л — центр гомотетии.

Эту задачу можно решить и другим способом. Через точку В (рис. 172,6) провешиваем прямую CD, пересекающую стороны ZA. Через точку Ci на стороне Л С проводим CiDiHCÖ. Делим отрезок CXDX в отношении CB:BD, т. е. CXBX:BXDX = = CB:BD. Через точки В к Вх провешиваем искомую прямую.

169. Выбираем точку С (рис. 173). На прямой Л С откладываем CD =

Рис. 171

Рис. 172

Аналогично находим точку £, такую, что СЕ = — -ВС. Тогда DE\\AB. Поставив на DE какие-либо две вехи M и Nt откладываем отрезки CAx = k-CM и CBx = k-CN. Очевидно, точки Ах и Вх находятся на прямой AB. Теперь можно делать просеку с двух сторон: в направлении ААХ и в направлении ВВХ.

170. Провешиваем прямую CD и проводим к ней перпендикуляры MA и NB, проходящие через точки А и В (рис. 174). Взяв на CD какую-либо точку О, измеряем ОМ и ON и откладываем

Провешиваем NiQJ-CD. AAOBwAPOQ, откуда AB = nPQ. (Число п надо подобрать таким образом, чтобы расстояние PQ оказалось доступным для измерения.)

171. Коэффициент подобия определяется из формулы

(рис. 44).

Рис. 173 Рис. 174

Рис. 175

1) Соединяя отверстия под номером 7, имеем

2) Если k = —, то —=—, и так как AD = 2A, то АЕ = 8.

Следовательно, для получения увеличения в три раза нужно соединить девятые номера отверстий.

172. Нарисуем обе карты на одном рисунке (рис. 175, а). Получим два подобных прямоугольника с коэффициентом подобия — , один из которых расположен внутри другого. Тогда четыре прямые ААи ВВи СС\ и DDX пересекутся в одной точке О — центре гомотетии прямоугольников ABCD и A\B\C\D\. Проверьте, что точка О искомая. Других точек, удовлетворяющих условию задачи, нет. Докажите это. Пусть А и В — два каких-то пункта на большой карте (скажем, ее соседние углы; рис. 175,6), А\ и В\ — соответствующие пункты на меньшей карте. Предположим, что мы нашли такую точку О, которая на обеих картах указывает один и тот же пункт города. Тогда Л АОВ и ААхОВх должны быть подобны друг другу с коэффициентом подобия, равным отношению масштабов 5, откуда АО : А{0 = 5 и угол между отрезками АО и АхО равен углу ер между отрезками AB и АХВ\. По этим данным положение точки О однозначно определяется (легко построить АААхО, в котором известны ZAiOA = y1 отношение сторон АхО:АО = 5 и сторона AAi). Докажите, что для построенной точки О подобны ААОВ и ААхОВи отсюда следует, что О действительно попадает в один и тот же пункт на обеих картах. (При этом карта ABCD получается из карты A\B\C\D\ поворотом на угол ср

и растяжением в 5 раз относительно центра О.) Подумайте, останется ли верным утверждение задачи, если одна из карт перевернута другой стороной.

173. ДЛШЛсл KB А (рис. 176), следовательно,

174. ААВС со ADKC (рис. 177), следовательно,

175. АБСА со AK CD (рис. 177), следовательно,

176. ADEOtf) АСКО (рис. 178), следовательно, откуда DE = 2,5 м.

177. ААОВ<л АА{ОВх (рис. 179), следовательно, откуда AB = 5,8 м.

178. ААОВ со ACOD (рис. 180), следовательно, откуда £0 = 525 м.

Рис. 176 Рис. 177

Рис. 178 Рис. 179

179. ACEDœADFB (рис. 45), откуда

180. Пусть клин В подвинут на ВВ\ = 1 влево (рис. 181)

и А\К=х. ААВС<л AKBiC, следовательно,

181. ААСВслАКи (рис. 47), откуда

Пусть длина подноги АК = х, тогда

182. Эту задачу можно решить несколькими способами. Рассмотрим некоторые из них.

1) Пусть нужно найти расстояние от А до В. Выбираем произвольную точку С, на отрезке ВС отмечаем любую точку D и через нее проводим DE\\AC (рис. 182). Тогда из подобия ААВС и AEBD находим

Если провести

DK\\AB, то из подобия ААВС и AKDC можно найти

Рис. 180 Рис. 181

Рис. 182 Рис. 183 Рис. 184

2) Решение можно осуществить путем построения прямоугольного ABAC и подобного ему AADC (рис. 183), откуда следует, что

3) Провесим базис АС и на нем отметим произвольную точку D, из которой провешивается прямая DF\\AB, ААВСсл DFC

(рис. 184). Следовательно,

откуда

4) Провешиваем прямую BE под произвольным углом а к прямой AB, измеряем угол а при помощи угломерного инструмента. Берем на прямой BE точку С и измеряем отрезки ВС и СЕ (рис. 185). Из точки Е, пользуясь тем же угломерным инструментом, провешиваем прямую EF под тем же углом а к прямой BE. Ha прямой EF выбираем точку D так, чтобы точки А, С и D были расположены на одной прямой. Измеряем отрезок ED. Из подобия ACED и АСВА получим,

183. Эту задачу можно решать несколькими способами. Рассмотрим некоторые решения.

1) Провешиваем прямые АО и ВО, такие, что АОЛ-ВО. При точке К (рис. 186) построим АОКС=АОКА. Провешиваем CDA-ВС. Из подобия прямоугольных треугольников BCD и COD следует, что

2) Провешиваем прямую MN (рис. 187) и строим А\А и В\В, перпендикулярные MN. На отрезке А\В\ берем произвольную точку О и от нее откладываем отрезки

Рис. 185 Рис. 186

Рис. 187 Рис. 188

Затем через точки Ci и Di проводим перпендикуляры к MN и находим точки С и D (пересечение этих перпендикуляров с направлениями OA и OB). Соединим С и D и получим, что АЛОВ (л ACOD, откуда AB = nCD.

3) Отмечаем на продолжении прямой AB точку С, к которой можно подойти. Далее выбираем на местности такую точку D, из которой были бы видны А, В и С и можно было бы измерить DC (рис. 188). Провешиваем прямые DA, DB и DC. Измеряем CD, откладываем какую-нибудь его часть, например

и провешиваем из точки Е под углом DEG, равным углу BCD, прямую EG до пересечения с прямыми AD и BD. Измеряем EG. Из подобия AABD, AGFD, ABCD и A FED следует: AB : GF=DC : DE, откуда АВ =

4) Чтобы найти расстояние между недоступными точками А и В, лежащими на другом берегу реки, геодезисты на своем берегу провешивают произвольную прямую и отмечают на ней точки M и N, а затем через любую точку К (точка К выбирается так, чтобы точки С и D были доступными), взятую на прямой MN, провешивают прямые КС и KD, соответственно параллельные прямым AN и BN. Прямые КС и KD соответственно пересекаются с прямыми AM и ВМ в точках С и D. Расстояния MN, CD и МК измерены в процессе провешивания

(рис. 189). Легко установить, что

184. Выбираем точку С так, чтобы из нее были видны А и В, и провешиваем прямые ВС и АС (рис. 190). Измеряем отрезки АС и ВС и на их продолжении откладываем СЕ=АС и DC = BC. Отрезок DE равен ЛВ. Если местность не позволяет произвести построение треугольника, равному данному, то можно отложить отрезки СМ и CN, уменьшив соответственно отрезки CA и СВ в одном и том же отношении. Тогда

и из подобия ААВС и AMNC можно найти длину AB, измерив предварительно на местности отрезок MN.

185. Существует несколько способов нахождения высоты 1) Берем два кола BD и СЕ и устанавливаем их так, чтобы точки А, В и С находились на одной прямой (рис. 191), Измеряем BD и СЕ, а также DG и DE. Если провести прямую CH\\EG, то AACH (л ABCF, следовательно,

откуда АН =

2) Высота предмета может быть определена при помощи тени. Например, если тень от шеста в 1,5 раза больше самого шеста, то высота измеряемого предмета в 1,5 раза меньше его тени (рис. 192).

3) Высота предмета может быть определена при помощи равнобедренного прямоугольного треугольника, прикрепленного к палке длиной 1 или 1,5 м (рис. 193). Устанавливают треугольник так, чтобы один из катетов был направлен отвесно.

Рис. 189

Рис. 190 Рис. 191

Рис. 192 Рис. 193

Приближаясь к дереву и удаляясь от него, находим такое место, из которого точки А, В и С видны на одной прямой, тогда EF=AD = CD, а высота предмета равна EF+AE.

4) Высота предмета может быть определена при помощи зеркала. Если предмет, высоту которого требуется определить, стоит на открытой ровной местности, то, пользуясь отражением этого предмета в зеркале, можно определить высоту. Зеркало на земле должно быть положено горизонтально. Для определения высоты предмета от зеркала отходят на некоторое расстояние и становятся в такую точку D, из которой видно отражение верхней точки измеряемого предмета, тогда

(рис. 194).

5) Можно поступить и так. Для определения высоты предмета берутся четыре кола: два больших одинаковой высоты и два одинаковой высоты поменьше. Колья вбиваются в землю так, чтобы их основания были расположены на одной прямой и чтобы вершина предмета, высоту которого измеряют, и вер-

Рис. 194 Рис. 195

шины кольев лежали соответственно на прямых AG и АЕ. Проведем (мысленно) прямую NE\\BC и TR\\AG. Для получения точки R надо обратить внимание на то, что ATOR = = DPG и OR=PG=FH (рис. 195). Образовавшиеся AETR и AEAG подобны, так как TR\\AG. Следовательно, ER:EG= = TO:AN, но RE = OE-OR = KC-FH. (Эти отрезки могут быть получены путем измерения расстояний между кольями.) ТО = ТК—ОК=ТК—ЕС, т. е. ТО равно разности длин кольев. Итак, три члена пропорции известны. Следовательно, можно найти четвертый член AN. Прибавив к AN длину меньшего кола, получим искомую высоту.

186. Высота предмета, к основанию которого нельзя подойти, может быть определена при помощи тени. Для этого вбиваем в землю кол А\В{ и замечаем положение тени предмета AB и кола (рис. 196). Длины теней равны BD и B\D\. Через некоторое время отмечаем новое положение теней кола и предмета (ВС и В\С\). Измерив A\BU CD и CxDXy находим высоту AB предмета из пропорции AB : AXBX = CD : C\DU откуда

187. Из подобия ААСВ и ААХСВХ следует, что

тогда

откуда ^4^1 = 4,5 м. Аналогично (рис. 49),

188. ААВЕ со ADCE (рис. 197), следовательно,

Пусть AE = at ED =15 — а, тогда: а)

откуда а = 5 см;

Рис. 196 Рис. 197 Рис. 198

189. Из подобия AABiCi и ААВ2С2 (рис. 51) следует, что

т. е. B2C2=1600 м. Аналогично находим B3C3 = 2400 м, B4C4 = 3200 м.

190. Из подобия ААА{В и ААхА2Ви ААХВ\В и АА2В2Ви ААХА2ВХ и АА2АгВ2} АА2В2ВХ и AA3B3B2i находим

(рис. 52). Полученные значения длин стержней соответствуют металлоконструкциям различной высоты с основаниями / и J3. Для полного определения габаритов металлоконструкции необходимо задать либо ее высоту, либо угол.

191. Шар надо послать параллельно одной из диагоналей стола. Докажем это утверждение, построив траекторию движения шара HGFEH (рис. 198). Из построения следует, что углы с номерами 1, 2, ..., 8 попарно равны. Из равенств Z1 = Z5 и Z4=Z5 следует, что EH\\FG и EF\\GH, т. е. четырехугольник EFGH — параллелограмм. ААЕН = ACGF (по гипотенузе и острому углу), следовательно, CG = AE, из подобия ААЕН и ADHG вытекает, что

откуда следует, что HG\\AC, что и требовалось доказать.

Параллельный перенос

192. Решение изображено на рисунке 199.

193. Пусть MP и KL — отрезки, перпендикулярные соответственно линиям берегов каналов (рис. 200). Постройте образ

Рис. 199

Рис. 200 Рис. 201

течки B при параллельном переносе, переводящем M в Р, затем образ B при параллельном переносе, переводящем К в L. Путь ACDEFB искомый.

194. Проводим EF — среднюю линию ABAC. AFEC заменим центрально-симметричным AFKB. Затем проводим АН±.КВ и ААНВ параллельно переносим в положение AEKQ (рис. 201).

Векторы

195. ZAOB= 120°. Следовательно, ZAOC = ZBOC= 120° : 2 = = 60°, так как АОВС — ромб (рис. 202). Тогда сумма векторов Fi и F2 равна вектору ОС и с вектором F3 находится на одной прямой. Остается найти сумму векторов ОС и F$. Их сумма имеет направление силы ?3 и равна ЮН.

196. ÄH= \ ТС (рис. 203), AH = AD sin 15°, Л//«2,59, АС = = 2ЛЯ«5 км/ч. Скорость течения направлена под углом 105° к прямой.

Рис. 202 Рис. 203

197. 1) Если пешеходы Р и Q двигаются по параллельным прямым, то ясно, что середина отрезка PQ перемещается тоже по прямой, параллельной первым двум.

2) Пусть эти прямые пересекаются в точке О. Возьмем точку О за начало отсчета. Тогда скорости V\ и v2 пешеходов— это векторы, направленные соответственно вдоль прямых, а их длины равны пути, проходимому пешеходом за единицу времени. Пусть первый пешеход находится в момент времени / в точке Р, второй —в точке Q, тогда OP = a + t v{ и OQ = b + t v2 (векторы а и b определяют начальные положения пешеходов при / = 0). Середина M отрезка PQ находится, естественно, в точке М, такой, что

Мы видим, что она тоже движется по некоторой прямой равномерно со скоростью

Для того чтобы определить эту прямую, достаточно отметить середину начальных положений пешеходов и их положений, скажем, через единицу времени.

198. Из прямоугольного ABDK (рис. 54) BD= \F{\ sin а,

откуда

Но так как сила Р действует на обе стороны, то

199. Из рисунка 204 имеем

200. В АОАВ (рис. 205)

Рис. 204 Рис. 205 Рис. 206

Теоремы косинусов и синусов

203. Из ААОВ по теореме косинусов (рис. 206) следует, что P22 = ^2 + /V-2PrPcosa, откуда Р2«11,2Н.

204. Из ААВС (рис. 207) по теореме косинусов находим искомое расстояние ВС2=AB2+АС2 — 2АВ-AC cos ф, т. е.

205. Обозначим угол, образованный Л и Р2, через a, а Р3 и Рх — через B (рис. 208). По теореме косинусов из ААОВ найдем cosa =

откуда а«43°20'. По той же теореме из ААОС найдем cos B =

откуда B«55°15'. Искомый угол равен a + B«98°35'.

206. Из условия задачи видно, что самолет от города А до города В долетел за — ч, следовательно, от города А до города В расстояние составляет приближенно 213,3 км. Самолет от города В до города С долетает за — ч, следовательно, от города В до города С расстояние составляет приближенно 266,6 км. ZDBC = 35° (рис. 209), следовательно, ZABC=\45°.

По теореме косинусов

207. По условию задачи АО = ВО= 125 мм, ZAOB = 45°. По теореме косинусов из ААОВ (рис. 210) АВ2 = А02 + В02-

Рис. 207 Рис. 208 Рис. 209

208. 1) Из рисунка 211, а по теореме Пифагора

Задача имеет решение, когда

т. е. при условии

2) Из рисунка 211,6 по теореме косинусов

откуда х =

Задача имеет решение, когда

т. е. при условии

3) Из рисунка 211, в по теореме косинусов

Задача имеет

решение, когда

т. е. при условии

209. Расстояние /Ш = 20/, BE = 30ty где t—искомое время. По условию задачи С£> = 20/-50, С£ = 30/-40. Из ADEC по теореме косинусов

Из ААВС получим

(рис. 212). Учитывая, что AB = DE, находим

< = 3 ч.

210. ZD АС = 54° и ZCAB = 47°, откуда ZDCA = 47°, ZADC = 79° (рис. 213). По теореме синусов

откуда следует, что

211. Для определения искомого расстояния на берегу провешивается базис ВС = а (рис. 214) и из точек В и С путем

Рис. 210

Рис. 211

визирования на пункт А измеряются углы anB. Далее на бумаге в соответствующем масштабе строится ААВС, из которого по теореме синусов находят расстояние х.

откуда х =

212. Из прямоугольного АСЕА\ находим СЕ = САх sin а\ (рис. 55). Из A/liCBi запишем

откуда СА\ =

следовательно, СЕ =

а искомое расстояние

213. По условию задачи OB = 79,5 м, ZO4B = 20°45', Z<X4C=63°30' (рис. 215), откуда следует, что ZACO = 26°30't

Из ААОВ находим АВ =

Из ААВС по теореме синусов

откуда

BC«341 м. Высота полета самолета СО«341 м + 79,5 м = = 420,5 м.

214. Если данные силы обозначим через Л и F2, то равнодействующая сила F=F\ + F2. Построим сумму этих векторов.

Найдем величину равнодействующей силы F при помощи теоремы косинусов, зная, что /^ЗбН, /72 = 83Н, а=77°12/. По теореме косинусов F2 = Fi2 + F22 — 2FX-F2 cos a, подставив данные,

Рис. 213 Рис. 214 Рис. 215

Рис. 216 Рис. 217

получим Р — ЭбОЭ, откуда F«97,5H. По теореме синусов

215. Пусть Л — начало, С — конец колонны машин (рис. 216). По условию ZMBA = 75° и ZNBC = 70°, поэтому ZABD =15°

216. По условию задачи ЛЯ = 200 м, Z CAB = a = 38°42/, ZCBD = B = 42° (рис. 217). Из ДСВЛ по теореме синусов следует равенство

, откуда СВ-

B — внешний угол ААВС, поэтому B = a + v> откуда Y = B"~а> следовательно,

Из ACDB находим

217. По условию ^ЛО£ = 30°, ZDO£ = 60° (рис. 218), поэтому ZDCM = 30°, ZODB = 30°. ZDЛC = 650, поэтому ZADC =

Из AOAD по теореме синусов

Из AACD находим DC =

Высота горы

218. S — место наблюдателя (рис.219). При первом наблюдении баржа находилась на луче SE, при втором — на лу-

Рис. 218

Рис. 219 Рис. 220

че SK. Надо построить отрезок с концами на лучах SE и S/C, параллельный и равный отрезку OB. ЕК — канал, по которому движется баржа. ZKSE = 156°-56°= 100°. ZSEK = 27° + + (180°-156°) =51°, следовательно ZSKE= 180°- (51°+100°) = 29°. По теореме синусов

откуда SE^ 157,5 м.

Расстояние наблюдателя до канала AS = SE sin 51°^ 122,4 м.

219. Предположим, что в точке M находится маяк (рис. 220). Так как судно идет точно на восток, значит оно двигается по лучу AB (ZNAB = 90°). В 13 ч 10 мин судно находилось в точке Л (ZNAM = ZNME = 70°). Но так как в 13 ч 40 мин азимут направления на маяк был равен 20°, значит, он в этот момент находился в точке В (ZNMEi = 20°). За 0,5 ч судно прошло расстояние AB, которое равно 6 милям. Надо найти ВМ = х. Нетрудно установить, что ZAMB = o0°, a ZMAB = 20°, тогда по теореме синусов

откуда x~2J морских миль.

220. Так как ZDBC = 90°, a ZBCE= 125°, следовательно ZADE= 125°-90° = 35° (рис.221).

Из ADBC находим DC =

Рис. 221

Из AADE по теореме косинусов

откуда АЕ^245 м. По теореме синусов

Пусть ZAED = xt тогда

Итак, связывающий штрек имеет длину 245 м, и составляет с первым штреком угол 88°47', а со вторым — угол 56°13'.

Ломаная. Многоугольник

221. а) Соединив А с точками M и С (рис. 56), видим, что МА+АС>МС, но МА=МВ, следовательно, АС>ВС. Итак, деревня С расположена ближе к B, чем к А.

б) Соединив А с D, видим, что DM + MA>DAy но МА = МВ, следовательно, DB>DA. Итак, деревня D расположена ближе к Л, чем к В.

222. Заметим, что расстояние от Л до С зависит от расположения точки С, которая лежит на окружности радиуса ВС = 8 с центром в точке В (рис. 222). Из рисунка видно, что АС2^АС^АВ+ВСи т. е. 4^ЛС^12, значит, наибольшее расстояние равно 12 км, а наименьшее — 4 км.

223. Искомая точка является точкой О пересечения диагоналей данного выпуклого четырехугольника ABCD. Действительно, если бы она занимала другое положение Оь то BOx + OxD^BD и АОх + ОхС^АС. Сложим эти неравенства BOx + AOx + DOx + COx^BO+AO + DO + C09 т. е. минимум достигается при совпадении Ох с О.

224. Переведем данный четырехугольник ABCD (рис. 223) параллельным переносом вдоль обеих диагоналей в ту и дру-

Рис. 222 Рис. 223

Рис. 224

гую сторону на расстояние, равное длине каждой диагонали. Продолжая указанный процесс, мы покроем всю плоскость сеткой таких четырехугольников. Покажем, что образовавшиеся «просветы» (например, четырехугольник ВНЕС) также равны данному четырехугольнику. Действительно, ACEF= АЕСВ, так как EF=BC и СЕ — общая сторона, a Z1 = Z1' (ибо BEFC — параллелограмм) и ACFM = AEBH, так как BE=CF, BH = MF, ZEBH= ZMFC как углы с соответственно параллельными сторонами. Следовательно, четырехугольники ABCD, СЕ FM, ЕСВН, ... равны между собой.

225. Докажем, что если пятак К (рис. 224, а), обкатывая неподвижный пятак S, прошел по его окружности дугу AB, равную а, то сам он при этом повернулся на угол 2а вокруг точки Oi. Действительно, если бы пятак К во все время движения касался пятака S одной и той же своей точкой С, то, перейдя из положения I в положение II, он повернулся бы на угол а, как это ясно из рисунка. В действительности же в положении II точкой касания оказывается точка D, такая, что ZDO{C = a. В общей сложности пятак К повернулся на угол а + а = 2а. Таким образом, чтобы найти угол, на который повернулся одиннадцатый пятак, надо определить, сколько (дуговых) градусов составляет его путь по десяти пятакам, и полученный результат удвоить. Соединив центры соседних пятаков Оь 02, ..., О10 отрезками, получим некоторый десятиугольник, необязательно выпуклый (рис. 224,6). При движении одиннадцатый пятак не может касаться дуг, лежащих внутри десятиугольника, а также дуг величиной по 60°, примыкающих к точкам касания извне. Общая сумма этих последних дуг равна 60°-2-100= 1200°. Как легко видеть из рисунка 270,6, сумма

дуг внутри десятиугольника равна сумме его внутренних углов, являющихся центральными углами для этих дуг. Сумма внутренних углов любого п-угольника (необязательно выпуклого) равна 180°/г—360°. Следовательно, «дуговой путь» одиннадцатого пятака равен (360°-10- 1200°) - (180°• 10-360°) =960°.

Вернувшись в исходную точку, он совершит 5— оборота.

226. Из четырехугольника KEDN (рис.57) находим ZCDA = = 360°- (80°+80°+90°) = 110°. Из четырехугольника КЕСМ находим Z£C7W = 360°- (110° +90° +80°) =80°, откуда ZC = = 180°-80° =100°. Из АМРВ находим ZPMB= 180°-110°= = 70°, а /МВР= 180°- (70°+30°) =80°, откуда ZB=180°-80°-= 100°. Из четырехугольника ABCD находим ZA = 360°- (1104 + 100°+100°) =50°, ZB=100°, ZC=100°, ZD=110°.

Правильные многоугольники

227. Обозначим длину сторон детали квадратного сечения через а, тогда из прямоугольного ААВС следует АС2 = 2АВ2У или d2 = 2a2 (рис. 225), откуда d = a]/2. Например, если а = 20 мм, то диаметр валика d = 20^2 мм«28,3 мм.

228. Из АСВА (рис. 226)

следовательно, СК=КЕ. Таким образом,

229. Предположим, что точки А и В являются центрами отверстий (рис. 227), тогда ZAOB = 360° : 20= 18°. Следова-

Рис. 225 Рис. 226 Рис. 227

Рис. 228 Рис. 229

тельно, ZAOK = 9°. Из ААОК находим АК=АО sin АОК = = 250 sin 9°. Расстояние между двумя соседними центрами равно 4B = 24/(=2.250sin9o«78,2 мм.

230. Соединив центры отверстий, получим правильный многоугольник, число сторон которого 15, а сторона AB = 30 мм. Чтобы найти радиус описанной окружности, воспользуемся формулой R = AO =

(рис. 227)

231. а) См. рисунок 228; б) см. рисунок 229.

232. Пусть ABCDEF—исходная заготовка. Проведем отрезки AD, BD и CKJ-BD (рис. 230). Строим АВК\Си симметричный АВКС относительно точки В. AABD параллельно перенесем, получив AEDN, a ADKC и АСХК\В переносим в положение AFQA и AMQF и получим трапецию MADN.

Рис. 230 Рис. 231

233. Как видно из рисунка 58, СЛ = а4 =

обозначим ВК = х. ИзАСОК следует

Из АСКВ находим

, откуда

Эту задачу можно решать и так. По условию задачи ZCOB = 45°, тогда ZDOC=22°30'. Из прямоугольного ACDO находим АС = = /? sin 22°30'«47,8 мм, С£ = 2ЛС~95,6 мм.

234. При наилучшем расположении дождевателей границы кругов, орошаемых дождевателями А, В и С, должны, очевидно, пройти через одну точку (рис. 231). В таком случае г равно радиусу окружности, описанной около ААВС. Поэтому d = a3 = /*y3. Из рисунка 59 видно, что / легко выразить через d так:

235. Угол десятиугольника равен - , а угол пятиугольника — . Если в одной точке сходится х десятиугольников и у пятиугольников, то должно иметь место уравнение

откуда

При этом нужно иметь в виду, что X и у — числа натуральные. Полагая *=1, 2, 3, найдем из уравнения у = 2у—,—Из этих чисел первое натуральное, а все остальные нет. Таким образом, единственно возможным оказывается случай Xе 1, у = 2, т. е. в каждой точке сходятся один десятиугольник и два пятиугольника. Но легко убедиться, что паркет из десятиугольников и пятиугольников все же невозможен. Из двух соседних сторон пятиугольника к одной должен прилегать треугольник, а к другой — пятиугольник, потому что в вершине должны

Рис. 232

сходиться один десятиугольник и два пятиугольника. При обходе пятиугольника мы должны около одной стороны обнаружить десятиугольник, около следующей — пятиугольник, около третьей опять десятиугольник, около четвертой — пятиугольник, около пятой — десятиугольник. Но тогда оказалось бы, что к двум соседним сторонам, первой и пятой, прилегают десятиугольники, что невозможно. Следовательно, сложить такой паркет нельзя.

236. Пусть точка /С, находящаяся на апофеме ОР, отстоит от центра на расстоянии х (рис. 232). Тогда освещенность Е\ точки К при условии, что все лампочки находятся в центре, выразится формулой £i= — (освещенность прямо пропорциональна силе света источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния между источником света и освещенной точкой). Если лампочки расположены по одной в вершинах шестиугольника, то освещенность точки К можно определить так:

находим из прямоугольных AKFC, АКРЕ и AKOD:

По условию

Отсюда получаем уравнение

После преобразований получим уравнение

откуда

237. Так как между плитками паркета не должно быть пробелов, то сумма углов плиток, сходящихся в одной точке, должна быть 360°. Следовательно, паркет можно сложить только из таких правильных многоугольников, угол которых содержится целое число раз в 360°. Углы правильных многоугольников равны 60°, 90°, 108°, 120°, ____При увеличении числа сторон правильного многоугольника угол возрастает, но остается все же меньше 180°. Углы 60°, 90°, 120° содержатся в 360° соответственно 6, 4, 3 раза, т. е. целое число раз. Угол 108° не содержится в 360° целое число раз. Остальные углы (больше 120° и меньше 180°) содержатся в 360° менее трех раз и более

Рис. 233

двух раз (т. е. также не целое число). Таким образом, ни из каких правильных многоугольников, кроме многоугольников с углами 60°, 90°, 120°, т. е. треугольников, квадратов и шестиугольников, нельзя сложить паркет. Остается выяснить, можно ли сложить паркет из многоугольников этих трех видов.

Чтобы построить соответствующую фигуру для квадратов, достаточно провести равноотстоящие друг от друга параллельные прямые и им перпендикулярные и отстоящие друг от друга на то же расстояние (рис. 233,а). Чтобы получить подобную же сеть из правильных треугольников, достаточно провести две группы равноотстоящих параллельных так, как изображено на рисунке 233,6, а в полученных ромбах с углом 60° провести меньшие диагонали. Сеть шестиугольников можно получить, объединяя по шесть треугольников в один шестиугольник, как показано на рисунке 233,6.

Длина окружности

238. Из рисунка 234 видно, что AB есть диаметр окружности. Проведем еще один диаметр таким же способом. Точка пересечения двух диаметров есть центр окружности.

239. Скорость резания определяется по формуле ü — ndn, откуда

240. Скорость резания v = ndn.

Рис. 234

По условию nd= 10,5-32=336, откуда ü=84 м/мин.

241. Скорость паровоза можно найти по формуле v = ndn^ «81 км/ч.

242. По условию задачи nd«47,l£ (где k — число зубьев колеса, d — диаметр колеса в миллиметрах), следовательно, k = 40, т. е. 40 зубьев.

243. Наибольшая скорость резания V\ = rcdn\y наименьшая — v2 = ndn2. Следовательно, ui~251,2 м/мин, ü2ä6,3 м/мин.

244. Если на один оборот сверла подача s мм, то на п оборотов подача ns мм в минуту. Так как глубина сверления / мм, то машинное время равно /= —мин.

245. Приравниваем расстояния, пройденные точками, расположенными на одной и на другой окружности: ndm = nDnf откуда D= — d, (рис. 60).

246. Как видно из рисунка 61, плоский лист длиной ~— соответствует волнистому железу длиной d, значит, волнистое железо длиной I соответствует плоскому железу длиной

247. Глубина колодца равна #=л^/г«11,3 м.

248. Скорость точки, лежащей на окружности шкива, можно определить по формуле

где d — диаметр шкива,

п — число оборотов шкива, t — время, за которое шкив делает 80 оборотов. Подставив значения параметров, получим и «5,9 м/с

249. По условию 20 зубьев, тогда из рисунка 62 ясно, что угол а=18°, a расстояние между соответствующими сторонами зубьев

250. Как видно из рисунка 235, длина ремня равна /=яб? + 2/, или /«5 м.

251. Длина окружности, которую описывает конец минутной стрелки за 1 ч, равна 2л/?«654лсм. Если за 60 мин конец стрелки пробегает 654ясм пути, то за 1 мин конец стрелки пробегает 654я : 60«33,56 см.

Рис. 235 Рис. 236

252. Как видно из рисунка 63, общая длина беговой дорожки равна

откуда ttd = 200, значит,

253. Как видно из рисунка 236, длина ремня равна:

254. Пусть радиус одной из меньших труб равен х, тогда

откуда х=3 см.

255. Как мы знаем, скорость резания равна

откуда время выработки

Число оборотов п=320 об/мин.

Следовательно, /«1,2 мин.

256. Длина окружности радиуса 2 см равна 2д-2« 12,56 м, а длина дуги AB равна / = /?<х, где /? = 5 см, a=ZAOB

(рис. 237). Следовательно,

257. Длину дуги AB (рис. 238) можем считать по формуле

По условию задачи

258. Путь, пройденный телегой, обозначим ле, тогда по усло-

Рис. 237

вию задачи

откуда х=

259. По условию задачи линейные скорости обоих шкивов

равны, т. е.

откуда

260. Длина орбиты С = 2ла, где

Следовательно,

261. Длина орбиты С = 2л/?, откуда /? =

262. Длина орбиты находится по формуле С=2л#, где

a = H + Rt # = 6371 км,

тогда а = 7242 км,

следовательно, С«45 479,76 км«45 500 км.

263. Средний диаметр винта

(рис. 239), тогда tga«0,0341, откуда а»1°57;.

264. Длина окружности, диаметр которой меньше диаметра колодца на удвоенную ширину кирпича, равна «351 см (рис. 240). Длину окружности делим на длину кирпича, получаем 351:25« 14 кирпичей уложено в один ряд. Таких рядов будет 380:6,5«59. Следовательно, потребуется кирпича 14-59, т. е. 826 штук.

265. Как видно из рисунка 64, длина приводного ремня равна:

Рис. 238 Рис. 239 Рис. 240

Рис. 241

266. Обозначим ОЛ=г, OB = R (рис. 241), по условию задачи r = R—\ и 2л/? = 78,5, откуда R =

тогда

2лг=2л(/?-1)~72,2 см.

267. Пусть ОЛ = г, OB = R (рис. 241), тогда /? = г + 0,5. По условию 2яг = 39,25, откуда

Найдем длину окружности вала

268. Диаметр окружности, проходящей через центры шариков, di =

(рис. 242), а длина ее

Необходимое число шариков

т. е. необходимо 59 шариков.

269. По условию задачи Л/2 =12,5 км, Л0 = 8 км (рис. 243).

Пусть / — длина дуги ADB, т. е. / =

Из А А СО следует, что

откуда

следовательно,

kjADB= 102°48'. Длина железной дороги /«14,3 км.

270. Как правило, человек, прочитавший условие этой задачи, считает, что зазор больше у обруча вокруг футбольного мяча, так как на первый взгляд прибавление 1 м к длине обруча футбольного мяча значительно увеличит его длину, а значит, и зазор будет большой, а в случае земного шара увеличение это по сравнению с длиной обруча незначительное. Проверим строгим подсчетом, верен ли этот интуитивно сделанный

Рис. 242 Рис. 243

Рис. 244 Рис. 245

вывод. Пусть радиусы Земли и мяча соответственно Rur. Тогда длины обручей 2nR и 2лг, а после увеличения их на 1 м станут 2л/?+1 и 2лг+1. Радиусы увеличенных окружностей

тогда зазоры

271. Длина орбиты спутника C=2nQ, где Q — радиус орбиты

(см. рис.244),т.е.

Следовательно, скорость спутника

272. По условию задачи ЛС=//2 = 260 км. Требуется определить ZBAD и длину \jBCD (рис. 244). Из прямоугольного ААВО находим

откуда

тогда

Длина дуги

273. Рассмотрим сечение маховика плоскостью, перпендикулярной оси вращения и проходящей через точку М. В этом сечении маховик изобразится окружностью с центром О и радиусом R, а плоскость пола — прямой LM\ (рис. 245). Через точку О проводим оси координат так, чтобы ось абсцисс была параллельна прямой LM{. Отсчет времени начнем с момента,

когда точка M находится на положительном луче оси абсцисс (на рисунке совпадает с точкой А). Предположим, что по отношению к нам маховик вращается против часовой стрелки. За te радиус ОМ опишет угол ZAOM = a=2nnt радиан. Искомое расстояние s = MxM = MxP + PM. По условию МхР = а.

По определению синуса имеем sin АОМ=—5— , откуда РМ = R sin А ОМ = R sin 2nnt. Следовательно, искомая функция s = a + R sin 2nnt. Если ось вращения лежит в плоскости пола, то а = 0 и s = R sin 2ntit.

274. Пусть первым способом в ряд укладывается m шайб и получается п рядов, т. е. из листа шириной 2Rn выходит тп шайб. Ширина ряда при штамповке вторым способом /?УЗ, т. е. «экономия» равна

Чтобы сэкономить хотя бы на один ряд, необходимо иметь не менее

рядов, т. е. не менее 7 рядов (рис. 65).

При новом способе всего примерно получится рядов. Но в таком количестве рядов теряется по одной шайбе. Следовательно, при новом способе всего получится не более шайб. Оценим разность

Так как число п положительно, то эта дробь будет положительной только при

т. е. при

или т^4 (так как m —целое число). Значит, экономия возможна при условии, что в ряд укладывается более 4 шайб и получается не менее 7 рядов.

275. Соединим точки А и В отрезком (рис. 246). На участках, где нет деревьев, проведем провод по этой прямой. Там, где прямая AB «встречает» деревья, пустим провод по меньшей из двух дуг окружности, ограничивающей сечение ствола плоскостью, перпендикулярной к стволу. Покажем, что в этом случае длина провода не превосходит -у-. Пусть аи ..., ап — длины прямолинейных участков провода, а Ь\, Ьц, — длины участков прямой AB, находящихся внутри стволов. Общая дли-

Рис. 246

на провода не превосходит

Величину нельзя заменить в этом неравенстве меньшей, так как легко указать пример, когда потребуется провод длиной

в лесу растет единственное дерево диаметром /, а точки А и B — диаметрально противоположные точки окружности его ствола.

Вписанные и описанные многоугольники

276. В центре окружности, описанной около треугольника.

277. В центре вписанной в треугольник окружности.

278. По условию задачи BC=40 мм, ЛС=120 мм (рис. 247). Из ААВС находим АВ = ^АС2-ВС2~ 113 мм. Значит, наибольшая ширина бруса равна 133 мм.

279. Задача сводится к отысканию точки, равноудаленной от четырех сторон ромба, т. е. к нахождению центра вписанного круга. Точка эта лежит на пересечении диагоналей ромба (или биссектрис его углов).

Рис. 247 Рис. 248

280. Нужно взять три точки на краях круглого окна и измерить расстояния между ними. Построенный по трем сторонам треугольник определяет единственную описанную около него окружность.

281. В центре описанной около треугольника окружности (высота грамоотвода равна половине радиуса).

282. Обозначим АВ=ВС=х (рис. 248). По расчетам плотника сторона квадратной балки равна

Найдем сторону балки х в ААВС из уравнения 2x2 = 4R2, откуда

Степень точности приблизительно равна

283. Ширину доски ВС обозначим через х (рис. 249). Она определяется как катет прямоугольного ААВС, гипотенуза которого ЛС = 350 мм, а другой катет ЛВ = 40-7, т. е. 280 мм. Из прямоугольного ААСВ находим х = ^/АС2 — АВ2 = 2\0 мм.

284. Проведем MM1QO и MLA.PO (рис. 250). Около четырехугольника NMLO можно описать окружность, так как Z L= ZN = 90°. Диаметром указанной окружности является МО, а ее центр Ох лежит в середине МО. МОхО — искомая межа.

285. Разделим диаметр бревна на четыре равные части (рис. 251), в первой и третьей точках деления восстановим перпендикуляры до пересечения с окружностью и построим прямоугольник ABCD. Пусть АВ = х, ВС = у. Учитывая, что в прямоугольном треугольнике катет есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией его на гипотенузу, из ААВС можно записать AB2 = R29 BC2 = 3R2.

286. Учитывая, что в прямоугольном треугольнике катет есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой

Рис. 249 Рис. 250

Рис. 251 Рис. 252 Рис. 253

и проекцией его на гипотенузу, из ААВС (рис. 252) имеем АВ2 =

откуда х=

откуда у =

что и требовалось доказать.

287. Пусть сторона прямоугольника АВ=х (рис. 253), радиус круга/?, тогда из ABCD сторона

следовательно, площадь прямоугольника

Произведение двух множителей, стоящих в правой части последнего равенства, будет наибольшим в том случае, если они равны между собой, так как их сумма 4R2 — х2 + х2 есть величина постоянная (это можно доказать). Следовательно, s достигнет своего наибольшего значения при 4/?2 — х2 = х2, откуда x = R~^2, т. е. сечение — квадрат. Значит, для балки квадратного сечения получилось наименьшее количество отходов.

288. Фасад AB здания виден под наибольшим углом из той точки С дороги, в которой окружность, проходящая через точки А и B, касается прямой MN (рис. 254). Проведем наряду с указанной окружностью другую произвольную окружность через точки Л, В и пересекающую MN и докажем, что ZBAC>ZBDA. Действительно, ZBEA= ZBCA как вписанные углы, опирающиеся на дугу AB одной окружности, ZBEA = çp + a как внешний угол AAED. Следовательно, Z^)BЛ = ZBCЛ = ф + a>ф=ZB/ЗЛ, т. е. ZBCA больше любого другого ZBDA, под которым виден с дороги MN фасад AB здания. Построение искомой точки С сводится к построению окружности, касающейся данной прямой MN и проходящей через данные точки А и В. Если продолжить прямую AB до пересечения в точке R с прямой MN, то расстояние RC можно

определить по формуле

будет найдено положение точки С.

289. Точка О, определяющая место корабля на карте, находится как точка пересечения дуг сегментов, вмещающих измеренные углы ф и у (рис. 68). Нетрудно установить, что данная задача всегда имеет решение, так как измерение углов ф и у велось с корабля, находящегося в определенной точке моря. Рассмотрим вопрос о единственности решения. Единственность решения нарушится, очевидно, только в том случае, когда совпадают центры 0\ и 02 дуг сегментов, т. е. когда корабль будет находиться на окружности, проходящей через точки А, С, В. Этот случай исключается при выпуклости берега в сторону моря (при этом все три точки нельзя будет одновременно наблюдать с корабля) и при расположении точек А, С и В на одной прямой (при этом окружность, проходящая через точки Л, С и B, будет иметь бесконечно большой радиус). Таким образом, задача может иметь бесчисленное множество решений только в том случае, если ломаная ABC направлена выпуклостью в сторону берега.

Однако следует отметить, что указанный способ на практике не дает большой точности. Точное решение задачи можно получить, применяя аналитический способ, заключающийся в подсчете расстояний АО = х и углов ai и CL2 для нахождения положения точки О на карте.

(рис. 254) и тем самым

Рис. 254

Рис. 255

290. Пусть О — центр вписанной в ААВС окружности (рис. 255). Радиусом ОС (где AB — наибольшая сторона) проводим окружность с центром О; F, G, D, Е — точки ее пересечения со сторонами ААВС. Тогда OF=OG=OD=OE=OC и нетрудно показать (так как АО, ВО и СО — биссектрисы углов А, В и С), что AF=AG, BE = BD. Значит, AAFG, ABED, АО F G, АО ED, АОСЕ, АО F С равнобедренные, причем AOFC=AOEC=AOGD (по двум сторонам и углу между ними).

Угловая величина дуги окружности

291. 360°: 18°=20, т. е. 20 спиц.

292. Если в минуту колесо делает 45 оборотов, то в секунду оно делает 45:60=0,75 оборотов, что соответствует дуге, содержащей 0,75-360°= 270°.

293. Центральные углы для шага каждого зубчатого колеса можно определить в градусах, если 360° разделить соответственно на 20, 30, 45, 80 и 120. Получим 18°, 12°, 8°, 4°30', 3° (рис. 256).

294. (60: 75).360°=288°.

295. Из рисунка 69 видно, что зависимость между углами резца следующая: a + B + v = 90°, a + B = o, ô + y=90°, откуда B = o-a, ô = 90o-y = 90°-18o=72°.

296. В предыдущей задаче считали, что угол заострения B = o-a (рис. 69), откуда B = 90°-(а + у), т. е. B = 60°.

297. Z/<C£> = 90° (рис. 70), следовательно, ZKCP=ZACO = = 90°—a, a это значит, что ZAOC=a, тогда ф=180°—а.

298. Диаметры первого и второго колес относятся как 3:8, это значит, что если первое колесо сделает полный оборот, то второе колесо сделает оборота, т. е. повернется на угол, равный

299. Земля вокруг своей оси делает полный оборот за 24 ч, значит, за 1 ч Земля вокруг своей оси повернется на 360°: 24= 15°, а за 8 ч она повернется на 15°-8=120°. Часовая стрелка за 1 ч повернется на 360°: 12 = 30°, а за 8 ч повернется на 30°• 8 = 240°.

Рис. 256

300. а) 20°, 30°, 40°, 60°, 80°, 120°, 240°; б) 60°, 90°, 135°, 180°, 360°.

301. Часовая стрелка за 1 ч, т. е. за 60 мин, поворачивается на угол 360°: 12 = 30°, значит, за 1 мин она повернется на 30° : 60 = 0°30/. Минутная стрелка за 1 ч, т. е. за 60 мин, повернется на 360°, значит, за 1 мин она повернется на 360°: 60 = 6°. Таким образом, угол между часовой и минутной стрелками в течение 1 мин изменяется на 6° —0°30' = 5°30'. За 12 мин этот угол изменяется на 5°30'-12 = 66°. За 46 мин угол изменяется на 5°30'-46 = 253°.

Площади многоугольников

302. Площадь основания постамента равна 36 м2. Площадь аллеи равна разности площадей двух квадратов со сторонами 10 и 6 м соответственно, т. е. 5 = 64 м2.

303. Площадь сечения равна 6,25 мм2. Прочность на разрыв равна 250 кг : 6,25 мм2 = 40 кг/мм2.

305. Площадь стены равна 8,25 м-4,32 м = 35,64 м2. Площадь трех окон равна 3-2,2 м-1,2 м = 7,92 м2. Тогда площадь поверхности стены, покрытой штукатуркой, равна 27,72 м2.

306. Площадь сада S = 580 м-376 м = 218 080 м2«21,8 га. Число яблонь /г=218 080: 16= 13 630. Выручка от продажи яблок равна 450 р.-35-21,8= 343 350 р.

307. Площадь прямоугольника 5=11 м-8,8 м = 96,8 м2. Площадь одной плитки Si = 484 см2 = 0,0484 м2. Число плиток п = 96,8 :0,0484 = 2000. Всего надо 2000 + 2000 • 0,03 = 2060 плиток.

308. Площадь фундамента S = 39 200 см2. Давление, приходящееся на каждый 1 см2, равно /7=4250:3920«0,11 кг/см2.

309. Обозначим сторону первого аэродрома через х, тогда сторона второго аэродрома (я — 60) м. По условию задачи X2: (х—60)2= 16 : 9, откуда *=240 м, л:—60= 180 м.

310. Площадь квадрата 5 = 6400 м2. Пусть х — вторая сторона прямоугольника, тогда его площадь 50-л: = 6400, откуда *=128 м. Периметр квадрата равен 80 мХ4 = 320 м. Периметр прямоугольника равен 2(50 м + 128 м)=356 м. Следовательно, периметр прямоугольника больше периметра квадрата на 36 м и на установку забора вокруг прямоугольника потребуется на 1 м3-(36:12)=3 м3 больше материала, чем на забор вокруг квадрата.

311. Площадь части гусеницы, соприкасающейся с грунтом, равна 0,35 м-2,05 м = 0,7175 м2. Площадь обоих гусениц равна 0,7175 м2-2= 1,435 м2= 143,5 дм2. На 1 дм2 площади приходится 68 800 кг: 143,5«480 кг.

312. Ширина захвата пяти корпусов плуга равна 1,75 м. За 8 ч трактор пройдет путь 56 000 м2 : 1,75 м = 32 000 м. Средняя скорость трактора равна 4000 м/ч = 4 км/ч.

313. V км/ч= 1000 V м/ч. Засеянная площадь равна 1000 vX Х/-8 м2 = 8000 ^/м2 = 0,8и/га.

314. Если одну из сторон прямоугольника обозначить через х, то площадь его равна

Это выражение принимает максимальное значение при #=

т. е.

когда одна сторона прямоугольника вдвое больше другой.

315. Из курса физики знаем, что

где 5 — площадь кирпичной кладки и равна 4,2* см2, F — сила, р — допускаемое давление. Таким образом, 4,2*=57, откуда х« 13,6 см.

316. Если с 1 га урожайность 25 ц, то бункер наполняется зерном с площади 5=15:25, т. е. S = 0,6 га = 6000 м2, откуда длина участка земли равна 6000 м2 :5 м=1200 м. Время, за которое наполняется бункер, равно 1200 м : 5000 м/ч = 0,14 ч = = 8,4 мин.

317. Если в каждом ряду 45 деревьев и соседние деревья одного ряда расположены на расстоянии 6 м, то длина одного ряда равна 6 м-44 = 264 м. Если в 32 рядах деревья двух рядов находятся на расстоянии 8,54 м, то ширина сада равна 8,54 м-31 =264,74 м. Размеры ограждения 264 м + 6 м = 270 м и 264,74 м + 6 м = 270,74 м. Тогда площадь, занимаемая садом, равна 73 099,8 м2«7,3 га.

318. Площадь участка S = ab, т. е. 2000=а-80, откуда а = 25 м. Площадь отрезанного участка Q = ax (где х — вторая сторона этого участка), т. е. 780 = 25а:, откуда х=31,2 м. Значит, нужно на большей стороне прямоугольника отложить АК = х=31,2 м и провести прямую параллельно второй стороне прямоугольника.

319. Предположим, что с обоих краев листа жести надо отогнуть полосы шириной X см. Тогда (25 —2jc)jc = 50, откуда

*i = 2,5 и лг2=10. Следовательно, задача имеет два решения: 1) ширина желоба 20 см, а высота 2,5 см; 2) ширина желоба 5 см, а высота 10 см.

320. Обозначим буквой х длину одной из стен пристройки. Противоположная стена (она тоже новая), как во всяком прямоугольнике, равна X. Поскольку кирпича, идущего на три стены, хватает на 100 м, то длина третьей стены равна (100 — 2х) м. (Четвертая стена не нужна — зал пристраивается к зданию школы.) Площадь зала равна д:(100 — 2х) м2. Надо выяснить, при каком х выражение д:(100 — 2л:) принимает свое наибольшее значение. Для этого достаточно выделить полный квадрат: х (100 — 2х) = 1250 — 2 (х—25)2. Отсюда ясно, что л: (100 — 2л:) достигает своего максимального значения, равного 1250, при # = 25. Значит, размер зала должен быть 25x50 м.

321. Пусть ширина клумбы х м, а длина ум. Тогда длина участка, т. е. клумбы вместе с дорожками, равна (у + 6) м, а ширина—(* + 4) м. Площадь дорожек S= (х + 4) (# + 6) — 216 =

По условию #// = 216, поэтому у =

Значит,

Очевидно, что S достигает наименьшего значения при том же значении переменной #, что и сумма

Так как #>0, то, используя неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, приходим к следующему заключению:

Причем

при #=12. Тогда #=18. Следовательно, площадь дорожек наименьшая, когда ширина клумбы равна 12 м, а длина 18 м. Тогда размер прямоугольного участка (клумбы вместе с дорожками) равен 24X16 м.

322. Обозначим через х основание сечения канала, через у его высоту. По условию задачи известна площадь сечения канала S. Она равна произведению основания на высоту сечения канала, т. е. S = xy. Смачиваемая площадь канала будет тем меньше, чем меньше сумма трех сторон его сечения (его «мокрый периметр»), которая равна 2у+х. Так как лг^О, 2у^0> то из неравенства, связывающего среднее геометрическое и сред-

нее арифметическое двух неотрицательных чисел, следует, что х+2у^

Откуда

получаем, что наименьшее значение выражения

Таким образом, оптимальными размерами открытого прямоугольного канала с заданной площадью его сечения, обеспечивающими возможно меньшее трение жидкости о стены и дно канала, являются такие, что основание сечения канала в два раза больше его высоты:

323. При ответе на вопрос нужно учитывать не только деньги, затраченные новоселами на покупку плиток, но и соответствие купленного набора поставленным целям, а также подумать о том, удастся ли новоселам выложить пол в своих кухнях купленными плитками. И тогда обнаруживается, что первый новосел сможет это сделать (рис. 257), а второй не сможет (если, разумеется, плитки нельзя разрезать). Действительно, общая площадь купленных им плиток равна 7,56 м2, т. е. излишек составляет 0,27 м2, а эту площадь нельзя составить из набора плиток, купленных вторым новоселом, так как 0,27 м2<0,36 м2 — площадь одной наименьшей плитки. Теперь ясно, что более разумно поступил первый.

324. Площадь квадрата равна 25 см2 (подсчитайте сами). Обозначим одну сторону прямоугольника через х, тогда другая равна 10 — X, а площадь S = jc(10 — х) = — х2Л-10#=25— (х—5)2. Это выражение получает максимальное значение 25 при х=5. Ясно, что большую площадь имеет пластина, имеющая форму квадрата. Докажите самостоятельно, что площадь пластины в форме ромба меньше площади прямоугольной пластины.

325. Посевная площадь поля равна разности площади параллелограмма ABCD и площади прямоугольника EFKT (рис. 258), т. е. S = SABCd-Sefkt = AD-ET-TK-EF= = ET(AD-TK)~% га.

326. Можно доказать, что любая межа, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, разделит его на две равновеликие части. Действительно, из рисунка 259

Рис. 257

Рис. 258 Рис. 259 Рис. 260

видно, что 53 = 5б, 52, = 55, Si = S4, следовательно, S6 + Si + S2= =S3-{-S4 + S5, т. е. 5 a Feb =SBS SfDCE • Ясно, чтобы решить нашу задачу, надо провести через данную точку К и точку О пересечения его диагоналей прямую EF.

327. Основанием искомого параллелограмма должен служить отрезок AD (рис. 260). Высоту параллелограмма можно определить из равенства S = dh = m, откуда h= —. Поэтому, проведя AKLAD, отложим на перпендикуляре АК отрезок AK = h= — . Проводим затем в точке К перпендикуляр к АК и находим его пересечение с межой АС в точке Е. Для того чтобы построить искомый параллелограмм, остается на перпендикуляре ЕК отложить отрезок EF\\AD длиной d. Легко видеть, что полученная таким образом точка является четвертой вершиной искомого параллелограмма. SAEFD = d-AK = d• — =т.

328. S«117 см2, откуда F= 10,3-S«200H.

329. Этой точкой является точка пересечения медиан треугольника. В самом деле, Si + S2 + S3 = S6 + S5 + S4 и S6 + Si + S2 = S3 + S4 + S5 (Рис- 261). Ввиду того, что Si = S6, S2 = S3, S2 + S3 = = S4 + S5 и Si+S6 = S44-S5, получим S aaob = 5 aboc = S aaoc -

330. Точки A и С соединим отрезком (рис. 262) и через точку В проведем ВМ\\АС (точка M на стороне DE). Тогда

Рис. 261 Рис. 262

Рис. 263 Рис. 264

MA— искомая межа, так как ААВС и ААМС равновелики.

331. В ААВС проведем средние линии DE, EF, FD (рис. 263). 5adbe = Saaef = 5acfd (так как равны треугольники по трем сторонам). Теперь нужно в ADEF найти точку О, такую, что Sadoe=Saeof = Sadof. Но в задаче 329 мы установили, что О — точка пересечения медиан ADEF. Тогда

adoe "~Ь 5 adbe ~ S aeof ~Ь "S aaef ~ S adof + S adcf »

Sbdoe = SEofa=Scdof. Значит, надо провести средние линии ААВС и их середины соединить с вершинами ADEF, получим точку О.

332. По сторонам данного треугольника и площадям его частей находим высоты

(рис. 264), где а, Ь, с — стороны ААВС. Проводим прямые, которые параллельны сторонам треугольника и отстоят от них соответственно на расстояниях h\, А2, Лз- Точка пересечения прямых D является искомой.

333. Пусть Е — середина стороны ВС. Для определенности положим, что точка К лежит между точками В и Е (рис. 265). Соединим точки К и А и проведем FE\\AK. Тогда прямая FK делит ААВС на две равновеликие части. Докажем это. Соединив точки А и Е, получим Saabe=Sаасе, так как ВЕ = ЕС. Из трапеции AKEF получаем Saefa = Saefk как площади тре-

Рис. 265 Рис. 266

Рис. 267 Рис. 268

угольников с одним основанием АК и равными высотами, следовательно, SAAOf=Saeok, откуда Sabkf=Safkc .

Если точка К лежит между точками £ и С, то прямая KF пересекает сторону AB в точке F. Тогда S afbk =S Afkc\ Если Е = К, то S аавк —S аакс -

334. Предположим, что задача решена и нам удалось разделить треугольник на две части так, что

(рис. 266).

Отсюда

Но AC = d, и, следовательно,

откуда

Вычислив AD, мы определяем положение искомой точки D на стороне АС в ААВС и отделяем искомый треугольный участок прямой, проходящей через данную точку В и найденную точку D.

335. Искомая площадь Sbghdef = SABcd — 2Saaef (рис. 267).

Следовательно,

и поэтому достаточно измерить сторону квадрата и катет одного из отрезанных треугольников.

336. Для того чтобы иметь возможность отрезать треугольник заданной площади m, нужно, очевидно, вычислить и построить высоту этого треугольника (его основание уже дано: KA = d). Так как площадь отрезанного треугольника должна быть равна m, то

откуда

Строим теперь AFJLKA (рис. 268) и на AF откладываем высоту

Затем проводим через точку D перпендикуляр DE к AD до

Рис. 269

пересечения этого перпендикуляра с межой АС в точке Е. Полученная точка Е является вершиной искомого треугольника, а прямая КЕ есть искомая линия раздела.

337. Из трех равновеликих участков, получающихся в результате деления ААВС межами DM и DN, четырехугольный участок находится между треугольными (рис. 269, а). Проводим через вершины А и С перпендикуляры к стороне АС, откладываем на них соответственно отрезки длиной

Проводя через концы полученных отрезков прямые, параллельные АС, получим точки M и N их пересечения со сторонами AB и ВС. Тогда M и N будут вершинами AAMD и ADNC, площадь каждого из которых равна

Тогда

Рассматриваемый случай имеет место при выполнении условия

В случае, если четырехугольный участок находится не между треугольниками (рис. 269,6),

Этот случай имеет место, если

338. Докажем два утверждения: а) второй игрок может обеспечить выполнение неравенства

как бы ни играл первый; б) первый игрок может обеспечить выполнение неравенства

(рис. 270), как бы ни играл второй.

Рис. 270 Рис. 271

а) Стратегия второго игрока: выбрать Y так, чтобы ^КЦЛС. Тогда (независимо от положения точки Z).

б) Стратегия первого игрока: поставить точки X и Y в серединах AB и АС. Тогда (независимо от выбора Y) SAxyz яв—.

339. На сторонах ВС и DC прямоугольника ABCD от вершины С, противоположной вершине Л, отложим отрезки СЕ и CF, имеющие длины — ВС и — CD (рис. 271). Тогда АЕ и AF разделят прямоугольник ABCD на три равновеликие части. Действительно, пусть AB = CD = a, AD = BC=b. Тогда площадь прямоугольника ABCD равна ab. Площадь ААВЕ равна

Площадь AAFD равна

Площадь четырехугольника ABCF равна

Следовательно, Sabae =Saecf = S aafd

340. Задача имеет бесчисленное множество решений, если заданная точка есть центр квадрата. В остальных случаях через точку Q внутри квадрата, не совпадающую с его центром, проведем прямую, перпендикулярную его диагонали. Легко доказать, что площадь AEFA меньшая (рис. 272).

341. Пусть Е и F — середины сторон DC и ВС (рис. 273). Точки Е и F соединим с вершиной Л отрезками АЕ и AF. Проведя диагональ АС, получим четыре равновеликих треугольника. Докажем это.

но BF=FC, следовательно,

Рис. 272 Рис. 273

следовательно,

= 5дА£С . Так как S aade ==Sааес > следовательно, S aabf = Saafc = Saace = Saaed. Этимже способом можно разделить на четыре равновеликие части квадрат, параллелограмм и ромб.

342. Из рисунка 72 видно, что 445-130 = 57 850 — площадь прямоугольника ; 375 • 130 = 24 375 — площадь треугольника; -у .375+150-130=34 125 — площадь трапеции. 57 850 см2- площадь щита,

= 15 600 г—количество краски, израсходованной на окраску одной стороны, 15600 г-2 = 31 200 г = 31,2 кг—количество краски, необходимое для окраски двух сторон щита.

343. Искомая площадь S = SABcd — SAFkd (рис. 274),

344. Из рисунка 73 видно, что

Рис. 274 Рис. 275 Рис. 276

345. Проведем EF — среднюю линию трапеции ABCD, СК\\АВ и DKiWAB (рис. 275). Очевидно, ЧТО 5 АЕВС = 5 AFKC S AKCF^S ADKiF и S AAED = S AEDF + 5 ADKXF, откуда S AECD = ~ S ABCD. Значит, чтобы найти искомую фигуру, достаточно середину одной боковой стороны трапеции соединить с концами другой боковой стороны. Ломаная CED — искомая межа.

346. Пусть AD = a, BC=&, BC\\AD (рис. 276). По условию задачи имеем

откуда следует,

. Вышеприведенные рассуждения легко переносятся на прямоугольник, ромб и квадрат.

347. Пусть основания AB и CD трапеции ABCD соответственно равны а и 6, а неизвестное расстояние AN от вершины А до межи равно х (рис. 74). По требованию задачи

поэтому

Можно предложить простое геометрическое решение. Трапеция ABCD делится на равновеликие части линией, перпендикулярной к AB и проходящей через середину средней линии трапеции. (Докажите справедливость этого самостоятельно.)

348. 1. Межа FE отделяет от данного прямоугольника ABCD трапецию AEFB, площадь которой

(рис. 277,а). Отсюда

Отложив на ВС от точки В отрезок

получаем искомую точку.

Рис. 277

2) Отделяемый участок площадью m имеет форму треугольника (рис. 277,6), площадь которого -û?x=m, *= —, где

x = AF.

349. Исходя из условия задачи, находим, что высота трапеции равна 10 см, и поэтому в одном ряду в длину данного листа трапеция укладывается 10 раз, если попеременно к меньшему ее основанию приставлять большее (обратите внимание на угол 45°). Всего в восьми рядах укладывается 80 трапеций, после чего останется полоса размером 10x80 см, на которой нужная нам трапеция укладывается еще 3 раза. Тем же способом из данного листа можно вырезать 83 трапеции нужной формы и размера.

350. Соединим отрезком точку Е с вершиной D (рис. 75). SAEDA = \80 м2. Если к AEDA добавить AEDF, имеющий площадь 400 м2, то EF — искомая межа.

откуда

Отложив на стороне DC трапеции ABCD отрезок

и соединив полученную точку F с данной точкой Е, получим участок AEFD, площадь которого равна 580 м2. EF — искомая межа.

351. Построим точки Оь 02, 03, 04, симметричные точке О относительно прямых ВС, AD, CD и AB соответственно (рис. 278). Докажем, что S0io20304 = 25abcd. Пусть ВС = х. Тогда площадь пруда равна х2. Площадь нового пруда

352.

(рис. 279).

353. Проведем диагональ BD (рис. 280), CF\\BD и соединим F и В; S ABDc = Sabdf и 5 авос ==S adof- Следовательно, Sabcd = S aabf- Разделив отрезок AF пополам, получим точку К и, проведя ВК, получим S aabk = Sbcdk. Этот способ пригоден для любого четырехугольника.

354. Пусть AD = CB = x (рис. 281). Общая площадь куска равна

Рис. 278 Рис. 279 Рис. 280

т. е. площадь средней части составляет

355. Четырехугольник ABCD преобразуем в равновеликий ему треугольник с вершиной в точке M (рис. 282). Для этого проведем CF\\MB и отрезок MF, потом проведем DE\\MA. Медиана МК в AMEF — искомая межа.

356. Проведем DCX\\MC и ЕАХ\\МА (рис. 283). SAMDC =S AMCCi • ЗнаЧИТ, S AMDO~\-S АМОС = S АМОС + S AOCCx* T- e-

S amdo^Saocci- Таким образом, можно доказать, что Sam£o,= = 5длои,- Следовательно, Sabcde=Saimcib. Теперь остается четырехугольник А\МСХВ разбить на два равновеликих участка межой, проходящей через точку M (см. задачу 355).

357. Площадь пола S = 24 м2. Площадь одной плитки находится по формуле

где п = 6, откуда

Но так как a6 = R, то

Число плиток м~243.

358. Площадь правильного п-угольника

тогда площадь правильного шестиугольника

площадь правильного треугольника

т. е. в два раза меньше.

359. Сторона правильного шестиугольника a6 = R=lO см.

Площадь правильного многоугольника

Рис. 281 Рис. 282 Рис. 283

R=10 и п = 6, т. е. S6«260 см2. Площадь пола равна S= 122,64 м2. Отсюда число плиток равно 4717. Каждого цвета понадобится 2359 плиток.

Площадь круга

360. По условию задачи 2л/?=1,88 м, откуда /?«0,3 м. Площадь поперечного сечения 5 = я/?2«0,28 м2.

361. Подача воды в первой трубе будет во столько раз больше, чем во второй трубе, во сколько раз площадь поперечного сечения первой трубы больше площади поперечного сечения второй трубы, т. е.

362. Площадь участка равна яа2. Пусть искомый радиус окружности равен х, тогда площадь его равна

363. Площадь поперечного сечения вала я/?2. Площадь поперечного сечения вала после уменьшения я/"2. По условию задачи

откуда

Значит, диаметр вала уменьшился приблизительно на 26 мм.

364. Площадь поршня равна

Искомую силу найдем по формуле F=p-S.

365. Площадь поперечного сечения проволоки равна я/?2«4,9 мм. Предельная нагрузка, которую может выдержать латунная проволока, равна приблизительно 319 кг.

366. Площадь поперечного сечения проволоки равна я/?2~ 19,625 мм2. Предельная масса равна « 19,625-85 = = 1668,125. Значит, при Q, большем 1668 кг, проволока разорвется.

367. Площадь поршня S = л/?2~ «138 474 мм2«1385 см2. Если на каждый квадратный сантиметр площади поршня пар давит с силой 85 Н, то F = 85-S H.

368. По условию задачи площадь сечения большей трубы л/?2 = 78,5 см2. Поэтому площадь сечения каждой из меньших труб 19,625 см2, откуда радиус сечения г«2,5 см. Диаметр каждой из меньших труб d«5 см.

Рис. 284

369. По условию задачи

откуда d2 =

370. Площадь сечения проволоки л/?2= 1256, откуда /? = Толщина слоя равна /? — г«0,75 мм, где

г= 19,25 мм.

371. Площадь круга л/?2«314 см2 (рис. 284), площадь трапеции равна 500 см2. Площадь обрезков 186 см2. Обрезки составляют

372. Площадь квадратного листа равна 400 см2. Площадь вырезанного круга л/?2«314 см2. Площадь обрезков 400 см2 —

откуда

составляют обрезки от общей площади листа.

373. Так как масштаб 1 : 100, то поперечное сечение башни равно 50,24 см2-10 000 = 5024 дм2, т. е. я/?2 = 5024, откуда /?«40 дм. Длина окружности поперечного сечения равна 2л/? «25,12 м.

374. Пусть ОЛ = г, OB = R (рис. 285). Площадь сечения трубы, т. е. площадь кольца, равна

Рис. 285 Рис. 286 Рис. 287

По условию задачи 2л/? = 12,56, откуда /?«2 м, следовательно, г« 1,5 м. Тогда S«5,5 м2. Давление на основание равно приблизительно 64 т на 1 м2.

375. Искомая площадь равна разности площадей правильного шестиугольника и круга (рис. 286). Вычислим эти площади. Л/5 = 3,6 см: 2= 1,8 см. Зная, что AB = R (радиус описанной окружности), находим BD= —. Из AADB следует, что

AD2 = AB2 — BD21 т. е. 3,24 = У?2- —-, откуда /?«1,2уЗсм.

Площадь шестиугольника S6= 1,5/?2УЗ, следовательно, S6~ «11,21 см2. Площадь круга SKP = nr2«l,76 см2. Искомая площадь S— 9,45 см2.

376. Первый способ. Пусть в полукруг радиуса R с центром О вписан прямоугольник ABCD (рис. 287). Пусть AB=xt тогда AO = yR2 — х2, где О^х^/?. Выразим площадь прямоугольника через R и х:

Таким образом, задача сводится к отысканию наибольшего значения функции y = x2(R2 — X2) в промежутке [0; R].

Если положить x2 = zf то получим y=z(R2 — z). А так как уравнение z(R2 — г)=0, имеет корни Zi = 0, z2 = R2, то наибольшее значение функции достигается при

Чтобы выяснить, какова форма прямоугольника наибольшей площади, следует вычислить длину второй его стороны. Легко видеть, что AD = 2-AO = Ry2, т. е. одна сторона прямоугольника вдвое больше другой.

Второй способ. Задача решается проще, если независимой переменной считать величину Z.AOB (рис. 287). Пусть ZAOB = a, тогда AB = R sin a, AO = R cos а. Следовательно, S = 2/?2sinacosa = /?2 sin 2а, а<90°. Отсюда сразу видно, что Smax = R2 при а = 45°. Никаких вычислений больше не требуется. Полученный ответ дает представление о форме искомого прямоугольника и простой способ его построения.

377. Из рисунка 76 видно, что BC = MN = 6r. Из АО{07К находим

Рис. 288 Рис. 289

« 5,46г. Площадь прямоугольника SABcd ~ 6г • 5,46/* = 32,76г2. Площадь семи кругов равна 7яг2«21,98г2. Отход составляет « 10,78г2, т. е. 3,3% от всей пластины.

378. Площадь поверхности реки, освещаемая этими прожекторами, равна разности суммы площадей двух полукругов и суммы площадей двух сегментов (рис. 288), т. е.

S = nr2-2--AD-BK. Так как ВК = 4 км, КО{ = 6 км и ЛО, = 10 км, тогда /4/С = 8 км, a AD=16 км. Следовательно, S«3,14-100 —— -16-4, т. е. 5«229 км.

379. По условию задачи ZEOC = 60°, следовательно, ZDOC = 30° (рис. 289), тогда

следовательно, ОС= 1,6 m = R (АЕОС равносторонний). Из ЛО/СС находим

тогда D/C~0,2 м. Искомая площадь окна

380. Искомый периметр Р слагается из длины дуги полуокружности радиуса -7- и длины дуги сектора радиуса а с центральным углом 60° (рис. 77). Следовательно,

Площадь поперечного сечения канала Q слагается из площади полукруга радиуса

и площади сегмента ABE.

Произведя соответствующие вычисления, получим

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ................... 3

Измерение отрезков................. 4 56

Измерение углов.................. 5 57

Равенство треугольников............... — 58

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых . . 7 59

Сумма углов треугольника.............. 8 60

Прямоугольный треугольник.............. 9 62

Геометрическое место точек.............. 10 63

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат..... 11 65

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника...... 14 70

Трапеция...................... — 72

Синус и косинус.................. 15 74

Тангенс...................... 18 77

Теорема Пифагора................. 19 79

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника ..................... 24 84

Преобразования фигур................ 26 86

Подобные фигуры.................. 28 91

Параллельный перенос............... 32 101

Векторы..................... — 102

Теоремы косинусов и синусов............ 34 104

Ломаная. Многоугольник.............. 36 109

Правильные многоугольники............. 37 111

Длина окружности................ 38 115

Вписанные и описанные многоугольники........ 43 122

Угловая величина дуги окружности.......... 45 126

Площади многоугольников.............. 46 127

Площадь круга.................. 53 140