Шапошников Н. А., Вальцов Н. К. Сборник алгебраических задач. — Ч. 2 : для 8-го и 9-го классов средней школы. — 15-е изд. — М. : Учпедгиз, 1935. — 132 с.

Н. А. ШАПОШНИКОВ и Н. К. ВАЛЬЦОВ

СБОРНИК АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ЧАСТЬ II

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА 1935

Н. А. ШАПОШНИКОВ и Н. К. ВАЛЬЦОВ

СБОРНИК АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ДЛЯ 8-го и 9-го КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

издание 15-е

Утверждено Наркомпросом РСФСР

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА 1935

Отв. редактор В. Молодший.

Техн. редактора И. Кутин и М. Хасича.

Сдано в набор 2 XII 1934 г. Подписано к печати 4/TI 1935 г.

Формат бумаги 82х НО/§* Бум. фабрики Окуд. Тираж 200.000 (100.000 f 100.000).

Издат. листов 8*/4. Бум. листов 2«/и. Авт. лист. 9,15 (181 ООО во. ■ 1 бум. листе).

Цена 80 коп.. перепл. 25 кои.

У-21. Учпедгиз M 6590.. Зак. 876. Уполн. Главлита JW Б-$й№4.

Отпечатано с матриц и 10 вщ. цшиш Кйнигр-фкиига», Москва, Варгунихина гора, 8

ГЛАВА IX.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ.

§ 1. Общие сведения о корнях. Извлечение корня из одночлена.

Определение. Корнем п-й степени из а называется такое количество х% которое, будучи возвышено в п-ую степень, дает а.

Выражают это количество х знаком Y а. В равенстве j/а—х а называется подкоренным количеством, п — Показателем

корня, а X или равное ему -\f а — корнем /1-й степени из я. Действие отыскания х по данным а и п называется извлечением корня.

Правило знаков. Корень четной степени из положительного количества имеет дза знака: положительный и отрицательный; так у-\-а = у а. Корень четной степени из отрицательного количества есть мнимая величина; таков корень у — а. если само а есть абсолютное число. Корень нечетной степени из всякою количества, положительного или отрицательного^ имеет тот же знак, как подкоренное количество; так:

Теорема 1. Корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя; так:

Теорема 2. Корень из дроби равен корню из числителя, разделенному на корень из знаменателя; так:

Теорема 3. Корень из степени получается через деление показателя степени на показатель корня) так: у атп — ат.

Извлечение корня из одночленов. Чтобы извлечь корень из одночлена, нужно поставить знак по правилу знаков, затем извлечь требуемый корень из каждого множителя и делителя и расположить результаты множителями или делителями, соответственно тому, как располагались множители и делители данного одночлена.

При этом корни из числовых коэфициентов извлекаются непосредственно, а к буквенным выражениям применяется третья теорема. Например, имеем:

Показатель корня может быть отрицательным количеством.

Всякий корень с отрицательным показателем равен единице, разделенной на подобный же корень с положительным показателем. Так:

К корням с отрицательными показателями применяются указанные выше: правило знаков, все три теоремы и правило извлечения корня из одночлена.

Извлечь корень из одночленов:

§ 2. Вывод множителя из-под радикала и введение множителя под радикал.

Если подкоренное выражение разлагается на два множителя, из которых один представляет полную степень, а другой—неполную, то можно извлечь корень из первого множителя и полученное рациональнее выражение умножить на иррациональный корень из второго множителя. Такое преобразование называется выводом множителя из-под радикала.

Если при корне находится рациональный множитель, то можно ввести его под радикал, возведя его для этого в степень, указываемую показателем корня, и умножив результат на подкоренное выражение. Такое преобразование называется введением множителя под радикал.

§ 3. Сокращение показателей корней и приведение радикалов к общему показателю.

Величина корня не изменится, если умножим или разделим показатель корня и показатель подкоренного выражения на одно и то же число. Из этой теоремы выводятся два следствия:

1. Если показатель корня и показатель подкоренного выражения содержат общий множитель, то на этот множитель их можно сократить.

2. Если несколько корней имеют различные показатели, то, умножая показатели корней и показатели подкоренных выражений соответственно на одинаковые числа, можно привести корни к одинаковому показателю.

Умножить показатель подкоренного выражения — значит то же, что возвести это выражение в соответствующую множителю степень. Разделить показатель подкоренного выражения — значит то же, что извлечь из этого выражения соответствующий делителю корень.

Сократить показатели корней:

Привести к общему показателю корни:

§ 4. Приведение корней к нормальному виду.

Всякий корень может быть приведен к простейшей, или нормальной, форме. Для этого нужно произвести последовательно следующие действия.

Преобразовать подкоренное выражение в одночлен, если такое преобразование не сделано и возможно.

Сократить показатель корня, если последний имеет общий множитель с показателями всех множителей и делителей подкоренного выражения.

Выделить из-под радикала ту часть подкоренного выражения, которая допускает извлечение корня.

Уничтожить иррациональность знаменателя.

Последнее преобразование состоит в том, что умножают числитель и знаменатель подкоренного выражения на одно и то же выражение, выбирая множитель так, чтобы знаменатель сделался полной степенью, и затем извлекают из знаменателя корень.

Привести к простейшей форме следующие корни.

§ 5. Подобие корней.

Когда корень приведен к простейшей форме, то рациональный множитель корня называется его коэфициентом.

Корни называются подобными, если они различаются только коэфициентами, но имеют одинаковые показатели корней и одинаковые подкоренные выражения. Чтобы судить о том, подобны ли данные корни или нет, нужно привести их к простейшей форме.

Доказать подобие корней:

§ 6. Сложение и вычитание корней.

Для сложения и вычитания корней соединяют их посредством знаков этих действий. Затем приводят корни к нормальному виду и, если между корнями окажутся подобные, делают приведение. Это приведение состоит в том, что коэфициенты подобных членов, взятые со знаками соответствующих членов, заключают в скобки, а общий корень выводят за скобки множителем. Затем полученный общий коэфициент упрощают.

§ 7. Умножение и деление корней.

Произведение корней с одинаковыми показателями (одноименных корней) равняется корню той же степени из произведения подкоренных выражений.

Частное от деления одноименных корней равно корню той же степени из частного от деления подкоренных выражений.

Если показатели корней различны, то их сначала приводят к общему показателю, а затем производят умножение или деление по предыдущим правилам.

Когда корни имеют коэфициенты, то последние перемножают или делят отдельно, и результат пишут перед полученным общим корнем.

Произвести указанные действия над корнями:

§ 8. Возведение корней в степень и извлечение из них корня.

Для возведения корня в степень нужно возвести в эту степень подкоренное выражение.

Предыдущее правило можно выразить так: при возведении корня в степень показатель корня остается без изменения, а показатели подкоренного выражения умножаются на показатель степени.

Если данный корень имеет коэфициент, то последний возводится в степень отдельно, и результат пишется коэфициентом при самом корне.

Возведение многочленных выражений делается по общим правилам возвышения многочлена в степень.

При извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение остается без изменения.

Если данный корень имеет коэфициент, то обыкновенно прежде извлечения из данного корня нового корня вводят этот коэфициент под знак радикала данного корня.

Извлечь корень:

§ 9. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.

Для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби нужно подыскать простейшее из выражений, которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение, и умножить на подысканный множитель числитель и знаменатель данной дроби. Например, если в знаменателе дроби стоит двучлен у то надо числитель и знаменатель дроби множить на количество, сопряженное знаменателю, т. е. сумму надо множить на соответствующую разность и наоборот.

В более сложных случаях уничтожают иррациональность не сразу, а в несколько приемов, последовательно вводя множители в члены дроби.

Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби:

§ 10. Квадратный корень из двучлена вида A ± √B.

Квадратный корень из двучлена А В может быть упрощен в том случае, когда двучлен А2 — В есть полный квадрат. Формула упрощения такова:

По этой формуле решить следующие примеры:

§ 11. Задачи на все действия над радикалами.

Определить частные значения выражений:

§ 12. Степени и корни с дробными показателями.

Количество с дробным показателем представляет корень, показатель которого равен знаменателю дроби, из того же количества в степени, указываемой числителем дроби.

Так:

Корень с дробным показателем равен степени, показатель которой обратен показателю корня. Так:

Действия со степенями и корнями, имеющими дробные показа • тели, производятся по тем же правилам, какие выведены для степеней и корней с целыми показателями.

Заменить радикалы выражениями с дробными показателями:

Заменить выражения с дробными показателями радикалами:

Вычислить:

Произвести указанные действия:

§ 13. Мнимые числа.

Корни четных степеней из отрицательных чисел, рациональных и иррациональных, называются мнимыми. В противоположность им числа положительные и отрицательные называются действительными, или вещественными.

Простейшее из мнимых чисел есть Y — 1. Принято обозначать его буквой /, так что |/ — 1 = /. В алгебре показывается, что i2 = —1. Отсюда, возведя i в последовательные степени, получаем:

При дальнейшем увеличении показателя те же четыре результата повторяются периодически. Поэтому всякая степень от I с целым и положительным показателем равна степени, показатель которой представляет остаток от деления данного показателя на 4.

Так:

Всякое мнимое число вида ^— а может быть представлено в виде произведения действительного количества на /, именно:

|/ — a=i ]f а.

Подобное выражение мнимого числа называется нормальной его формой. Для производства действий с мнимыми числами нужно привести их сначала в нормальную форму.

Выражение вида а-\-Ы} где а \\ b суть действительные числа, называется комплексным числом. Оно становится действительным в случае b = 0. Два комплексных числа вида а Ы и а — Ы, т. е. такие, которые отличаются только знаками при мнимой части, называются сопряженными. В теории действий с комплексными числами часто встречается число |/а2 -|- L2. Оно называется модулем комплексного числа а-\-Ы и обозначается обыкновенно через М,

При производстве всяких действий с комплексными числами нужно приводить предварительно мнимые части их к нормальному виду.

При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно складываются или вычитаются их действительные части и отдельно мнимые части. Так:

Умножение комплексных чисел совершается по общим правилам, причем только принимается во внимание, что /2 — —1. Поэтому:

Деление комплексных чисел выполняется посредством умножения делимого и делителя на выражение, сопряженное с делителем. От этого новый делитель становится действительным, именно обращается в квадрат модуля прежнего делителя.

Таким образом:

Возведение в квадрат и в куб комплексных чисел делается по формулам для действительных чисел. Применяя эти формулы, полезно сначала только обозначать степени мнимого /, а потом уже заменять их простейшими выражениями.

Таким образом:

Извлечение квадратного корня делается по формулам:

где M обозначает модуль подкоренного комплексного числа. Полученному корню можно приписать или те знаки его действительной или мнимой частей, какими они являются по этой формуле, или знаки противоположные.

Упростить мнимые выражения:

Произвести показанные действия:

ГЛАВА X.

ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

1. Построить точки с координатами:

2, Построить точки с координатами:

3. Какие особенности есть в расположении точек:

4. На какой линии лежат точки, координаты которых равны между собою и по величине и по знаку? Как расположена эта линия? Какие углы она образует с осями координат?

5. На какой линии лежат точки, координаты которых равны между собою по абсолютной величине, но противоположны по знаку? Какие углы она образует с осями координат?

6. Построить прямолинейный отрезок, соединяющий две точки:

(10, 13) и (—14,-3); (-5, 7) и (3,-9).

7. Построить треугольник по координатам его вершин:

(6, 12); (9, 1); (-6, 5).

8. Построить четырехугольник по координатам его вершин.

(-4, 9); (12, 7); (3,-3); (-10,-6).

9. Построить графики:

у = 3х; 2х=5у; Зх — 2у = 0; Ах— 7у = 0.

10. Построить графики:

х-\-у=2\ X —у= I.

11. Построить прямую у— 2х 5 и найти точку пересечения ее с осью ординат.

12. Построить прямую у=3х — 7 и найти точку пересечения ее с осью абсцисс.

13. Построить прямую у = — х-\-3 и найти точки пересечения ее с осями координат.

14. Построить прямую у = х — 2 и найти точки пересечения ее с осями координат.

15. Построить графики: лгу =8; ху—\.

16. Построить графики: ху —— 5; ху= — 9.

17. Построить графики для перевода дюймов в сантиметры, зная, что 1 дюйм = 2,54 см.

18. Построить график зависимости длины окружности от радиуса (принять 7Т—3,14).

19. Средняя скорость движения поезда равна 35 км в час. Составить таблицу числовых значений пройденного поездом пути за различные промежутки времени и построить график этой зависимости (указание: принять единицу масштаба по оси К равной ~ единицы масштаба по оси х.

20. Построить график уравнения равномерного движения 9=s0-\-vt9 принимая г0ф*зам и v—3cMJcefc.

21. Изобразить графически формулу:

Х=606,5-f 0,305/,

выражаюшую зависимость количества тепла водяного пара X от температуры t.

22. По закону Фарадея количество Q вещества, отложившегося при прохождении тока, прямо пропорционально электрохимическому эквиваленту а, силе тока / и времени Построить график этой зависимости для меди (а = 0,328) при постоянной силе тока /=24.

23. Опытным путем получена следующая таблица для скорости звука V м\сек в сухом воздухе при различных температурах С:

t с

— 30

— 17

-5

0

8

12

20

30

V м/сск

313

321

329

332

337

339

344

349

Составить приближению линейную формулу зависимости V от t.

24. При испытании электровоза получена следующая таблица зависимости между силой тока / (амп.) и тягой Р (кг):

I амп.

65

86

106

116

137

150

Р кг

160

360

560

660

850

980

Начертить график зависимости Р от /; заменить этот график приближенно прямой линией; составить приближенную линейную формулу зависимости Р от /, найдя угловой коэфициент и начальную ординату по измерению на чертеже.

25. По закону Ома /= , где / (амп.) — сила тока, V (вольт) — напряжение тока, R (сек\см) — сопротивление проводника. Считая R постоянным, построить график зависимости / от V; считая V постоянным, построить график зависимости / от R.

26. При температуре в 14°С и давлении в 5 атмосфер газ занимает объем в 6 л. На основании закона Бойля-Мариотта построить график изменения объема массы этого газа в зависимости от изменения давления.

27. Решить графически систему уравнений:

28. Решить графически систему уравнений:

29. Решить графически систему уравнений:

30. Пешеход вышел из города в деревню в 12 час. дня и шел равномерно со скоростью Зкм в час. В 14 час. того же дня из города отправился по той же дороге другой пешеход, проходя по 4*/2 км в час Когда и на каком расстоянии от города второй пешеход нагонит первого? (Решить графически.)

31. Себестоимость К в копейках 1 м сварочного шва при толщине d миллиметров листа можно приближенно вычислить по формулам:

К~ 1,5 -f 0,95öf — при кислородно-ацетиленовой сварке, /C=4-f-0,6i — при сварке водяным газом.

Начиная с какой толщины листа сварка водяным газом будет стоить дешевле, чем кислородно-ацетиленовая?

32. Велосипедист выехал из города в 9 час. утра и ехал со скоростью \2 км в час; в 10 ч. 30 м. выехал по тому же пути автомобиль со скоростью 48 км в час. Через 15 мин. после отъезда автомобиль остановился на 15 мин., после чего пошел со скоростью 30 км в час Определить графически место и время, когда автомобиль нагонит велосипедиста. (Принять масштаб по оси Y равным ^единицы масштаба по оси X.)

33. Из Москвы в Курск, расстояние между которыми 530 км, в 6 час утра отправился автомобиль, который шел безостановочно все расстояние со средней скоростью 50 км в час. Другой автомобиль вышел по тому же пути в 4 ч. 30 м. утра и и:ет со скоростью 65 км в час. Пройдя 162 км, этот последний автомобиль имел остановку до 8 ч. 80 м., после чего пошел со скоростью 40 км в час до Орла (380 км от Москвы). В Орле автомобиль пробыл Р/2 часа и затем пошел со скоростью 90 км в час

Начертить график движения обоих автомобилей. Где и когда автомобили сошлись? Который автомобиль прибыл ранее в Курск и на сколько времени? (Принять масштаб по оси Y равным единицы масштаба по оси X.)

ГЛАВА XI.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

§ 1. Решение буквенных квадратных уравнений.

Приведение буквенных квадратных уравнений к простейшему виду и решение их выполняется теми же приемами и по тем же формулам, какие были указаны для квадратных уравнений с числовыми коэфициентами (см. 1-ю часть задачника).

Решить неполные квадратные уравнения:

Решить полные квадратные уравнения:

§ 2. Свойства корней квадратного уравнения.

Корни приведенного квадратного уравнения л2 -f- рх 4- q = О бывают действительными и различными при условии р2>4^, действительными и равными при условии p2=4q и мнимыми при условии р2 < 4q.

Подобно этому корни общего уравнения ах2 -j- bx-\- с = О действительны и различны при условии Ь2 > 4асу действительны и равны при условии Ь2 = 4ас и мнимы при условии Ь2 < 4ас. Не решая следующих квадратных уравнений, определить, какие из них имеют действительные различные, действительные равные или мнимые корни:

В приведенном уравнении сумма корней равна коэфициенту р, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно коэфициенту q.

В общем уравнении сумма корней равна отношению коэфициентов —, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно отношению коэфициентов —.

Пользуясь этими замечаниями, можно определить знаки действительных корней.

Не решая следующих уравнений, определить знаки корней их, если последние действительны:

Квадратный трехчлен вида x2-\-px-\-q всегда разлагается в произведение (х — хг)(х — дг2), где хл и х2 суть корни трехчлена.

Трехчлен вида ах2-\-Ьх-\-с разлагается в произведение а(х — *3)(лг — х2), отличающееся от предыдущего множителем а. Разложить трехчлены в произведения:

Пользуясь связью между коэфициентами и корнями квадратного уравнения, можно составлять уравнения по данным корням их. При этом уравнение составляется в приведенной форме. Если же коэфициенты полученного уравнения оказываются дробными, то, уничтожая знаменатель, получаем уравнение в общей форме.

Составить квадратные уравнения по данным корням их:

95, Составить уравнение, корни которого были бы обратны корням уравнения х2 рх -\-q = 0.

95. То же самое для уравнения вида ах2 -f- bx -|-£=0.

96. Составить уравнение, корни которого были бы в m раз более корней уравнений ах2 -j- bx -f-c = 0.

96. То же самое для уравнения вида х2 -f- рх -f- q = 0.

97. Составить уравнение, корни которого были бы на у больше корней уравнения х2 -f- рх + q = 0.

98. Составить уравнение, корни которого были бы сумма и произведение корней уравнения ах2 -f- bx -f- с = 0.

99. Выразить сумму кубов корней уравнения ах2 + bx -\- с = 0.

100. Выразить неполный квадрат суммы из корней уравнения •v3+/>A- + <7 = 0.

101. При каком значении b уравнение 4х2-\-bx-\-25— 0 имеет равные корни?

102. Показать, что если дискриминант квадратного уравнения ах2 zh &х ~h с ~ 0 равен нулю, то левая часть этого уравнения есть полный квадрат.

102. То же самое для уравнения вида х2-\-рх -\-д = 0.

103. При каких положительных значениях с корни уравнения Зх2—18л; -\-с = 0 действительны и при каких мнимы?

104. Решить уравнение ax2-\-bx — 0 по формуле полного квадратного уравнения.

105. Решить уравнение ах2-\-с = 0 по формуле полного квадратного уравнения.

106. В уравнении х2— 6x-{-q = 0 определить то значение q, при котором корни уравнения а и ß удовлетворяют зависимости 32 + 2ß = 20.

107. В уравнении х2— 5x-\-q = 0 определить то значение q, при котором корни уравнения а и ß удовлетворяют зависимости 3(2-4-5^=17.

108. Какая зависимость должна существовать в уравнении X2 -)-рх -f- q = 0 между коэфициентами р и q, чтобы один корень этого уравнения был в m раз более другого?

109. В формуле решения уравнения x2-\-px-{-q — 0 уничтожить иррациональность в числителе дроби.

§ 3. Составление буквенных квадратных уравнений.

110. Найти два числа, произведение которых ру а частное q.

111. При делении одного числа на другое в частном получается лив остатке Ь\ произведение этих двух чисел равно с. Найти эти числа.

112. Разложить число а на два множителя, разность между которыми равна Ь.

113. Найти два числа, сумма квадратов которых S, а отношение p:q.

114. Сумма правильной дроби с обратной равна а. Найти величину дроби; определить, при каких значениях а задача имеет решение.

115. Одна часть суммы в а руб. приносит ежегодно b руб., а другая с руб. прибыли. По скольку процентов прибыли дает каждая часть, если со второй получается одним процентом больше, чем с первой?

116. Отрезок длиною а разделен на две части, из коих одна есть средняя пропорциональная между всем отрезком и второй частью. Определить длины частей отрезка.

117. Разделить прямолинейный отрезок длиною а на такие две части, чтобы удвоенная площадь квадрата, построенного на одной части, равнялась площади прямоугольника, измерениями которого служат другая часть и сам данный отрезок.

118. Периметр прямоугольника равен 2ру площадь равна S. Определить стороны прямоугольника; исследовать решение и выяснить, при каком соотношении между р a S прямоугольник обращается в квадрат.

119. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна л, а высота менее основания на т. Найти основание и высоту равнобедренного треугольника.

120. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущен на гипотенузу перпендикуляр. Определить части, на которые этот перпендикуляр делит гипотенузу, если длина перпендикуляра А, а гипотенузы — с.

121. Если радиус круга увеличить на а сантиметров, то площать круга увеличится в п раз. Определить радиус круга.

122. По сторонам прямого угла от его вершины в одно и то же время начинают двигаться два тела. Скорость одного Ул сантиметров в секунду, скорость другого V2 сантиметров в секунду. Через сколько времени расстояние между этими телами будет равно ä сантиметров?

123. Равнодействующая двух сил, приложенных к точке под углом в 120°, равна Р; отношение этих сил т:п. Определить составляющие силы.

124. Электрическая лампа в m свечей висела над столом. Когда она перегорела, ее заменили лампой в п свечей и, чтобы степень освещения не изменилась, опустили на h сантиметров. На какой высоте над столом висит теперь лампа?

125. Два магнита А и В находятся на расстоянии d сантиметров друг от друга. Магнит В в п раз сильнее магнита А. На каком расстоянии от магнита А находится точка, в которой притяжение обоих магнитов одинаково, если известно, что сила притяжения магнита обратно пропорциональна квадрату его расстояния от притягиваемого тела?

126. Две водопроводные трубы с диаметрами а и b надо заменить одной трубой с той же пропускной способностью. Каков должен быть диаметр этой трубы?

127. Камень падает в колодец, и звук его падения наблюдатель услышал через п секунд после начала падения. Найти глубину колодца, если скорость звука равна 330 л в секунду и g=9,S м в секунду.

128. Из прямоугольного куска жести, измерения которого а и Ь, требуется сделать открытую коробку так: 1) чтобы площадь стенок равнялась площади дна, 2) чтобы площадь дна имела заданный размер 5. Выяснить условия годности корней.

129. Железнодорожный путь имеет длину а километров. Если увеличить скорость поезда на b километров в час, то поезд будет затрачивать на прохождение пути на с часов меньше, чем теперь. Сколько времени затрачивает поезд на прохождение всего пути и какова его скорость?

130. Два автомобиля выезжают одновременно из места А в место В. Один из них проходит в час на m километров больше, чем другой, и поэтому приходит в место В на п часов раньше другого. Расстояние между А н В равно Я километрам. Сколько километров проходит в час каждый автомобиль?

131. Два прокатных стана могут, работая одновременно, прокатать а килограммов железа в Т часов. Если будет работать только первый из станов, то на прокатку указанного количества железа потребуется на t часов больше времени, чем при работе одного второго стана. Во сколько времени может прокатать а килограммов железа каждый из станов, работая отдельно?

§ 4. График квадратной функции. Графическое решение квадратного уравнения.

График уравнения у = ах2 есть парабола, касающаяся оси X в точке О и симметрично расположенная относительно оси К. Если а">0, то парабола у—ах2 проходит по ту сторону от оси Х$ по какую лежат положительные значения ординат; если л<С0, то, наоборот, парабола проходит по ту сторону оси Х9 по какую лежат отрицательные значения ординат.

График уравнения у=ах2-\- Ьх-\- с есть парабола, ось которой параллельна оси Y и ветви которой направлены в положительном или отрицательном направлении оси F, в зависимости от того, будет ли à>0 или д<0.

Можно двумя способами графически решать квадратное уравнение. Первый способ.

Построив по точкам параболу у = ах2 -f- bx -f - ct определяем корни уравнения ах2 -f- bx -f- с = 0 как абсциссы точек пересечения параболы с осью X. Если парабола у = ах2-\-Ьх-\-с пересекает ось X в двух точках, то уравнение ах2 + bx -f- с = 0 имеет два различных действительных корня. Если парабола касается оси X, то уравнение имеет два равных действительных корня. Наконец, если парабола не пересекает оси Ху то уравнение имеет два мнимых (сопряженных) корня (черт. 1),

Второй способ.

Перепишем уравнение ах2 -j- bx -f- с = О в виде ах2 = — bx—с„ Полагая ах2=у, получим систему:

Так как корни этих уравнений должны быть одни и те же, то они должны представлять собою координаты точек, лежащих одновременно на обоих графиках этих уравнений, т. е. должны быть координатами точек пересечения этих графиков. Построив на одном чертеже график уравнения у = ах2 и график уравнения^ = — Ьх—с, найдем координаты точек их пересечения (черт. 2).

Черт. 1. Черт. 2.

Если парабола у = ах2 имеет две обшие точки с прямой у=ж — Ьх — с, то уравнение ах2 + Ьх-\-с = 0 имеет два действительных различных корня. Если они имеют одну общую точку, то квадратное уравнение имеет два равных действительных корня. Наконец, если они не имеют общих точек, то квадратное уравнение имеет два мнимых (сопряженных) корня (черт. 3).

132. Построить графики функций:

133. Построить графики функций:

134. Построить графики функций:

135. Построить графики функций:

136. Построить график функции:

137. Построить график функции:

138. Построить график функции:

139. Построить график функции:

Черт. 3.

140. Построить график зависимости площади квадрата от его стороны.

141. Построить график зависимости площади круга от радиуса.

142. Решить графически уравнение: х2— 3л: = 0.

143. Решить графически уравнение: х2-\-4х — 0.

144. Решить графически уравнение: х2 — 4 = 0.

145. Решить графически уравнение: х2 — 2х—3 = 0.

146. Решить графически уравнение: х* — 5л: -|- 6 = 0.

147. Объем V одного грамма воды при температуре /°С приближенно выражается формулой:

V=\ +8,38.10~6(* — 4)2.

Построить график зависимости V от t и определить, при каком значении t получит наименьшее значение V.

148, Снаряд зенитного орудия вылетает из дула орудия вертикально вверх с начальной скоростью \2Ь м\сек\ пройденный им путь 5 (в метрах), если пренебречь сопротивлением воздуха, выразится формулой:

5= 125* —4,905/2,

где t — время, протекшее от начала движения. Построить график зависимости S от t; определить, какова будет наибольшая высота подъема снаряда и в какой момент она будет достигнута.

ГЛАВА XII.

УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ.

Уравнением высшей степени называется всякое уравнение степени выше второй. Всякое алгебраическое уравнение я-й степени имеет п корней, которые могут быть не все различны, и левая часть уравнения разлагается на п линейных множителей (теорема Гаусса).

Общий вид уравнения 3-й степени есть: axz-\-bx2-{-cx +■ d=0. Если разделим обе части уравнения на я, то получим приведенное уравнение, которое пишется в виде а3 -\- рх2-\-сх-{'Г = 0. Общий вид уравнения 4-й степени таков:

ах* + bx* -f сх2 + dx -f с = 0,

а приведенное уравнение 4-й степени таково:

*4 + />-*3 + ?JC2 + rjc + s = 0.

§ 1. Биквадратное уравнение.

Биквадратным уравнением называется такое уравнение 4-й степени, в котором отсутствуют члены с нечетными степенями неизвестного, т. е, уравнение вида:

ах* + Ьх2+ с = 0.

Это уравнение можно рассматривать как квадратное, но не относительно х9 а относительно х1\ х2 можно найти по формуле решения квадратного уравнения; извлекая из полученного результата квадратный корень, определяем х.

Таким образом, формула решения биквадратного уравнения такова;

Эта формула дает четыре корня биквадратного уравнения, именно;

8. Чему равна сумма корней биквадратного уравнения?

8. Чему равно произведение корней биквадратного уравнения?

9. Разложить на множители трехчлен 4*4 — 17л;2 4-4.

10. Составить уравнение, корни которого были бы -4- 1 и + 3.

§ 2. Двучленное уравнение.

Приведенным двучленным уравнением называется уравнение вида

хп + а — 0.

Для решения таких уравнений принимают х = -\/a-z> вследствие чего данные уравнения приводятся к более простым: гп — 1 =0 и 2гя -|— 1 = 0. Эти последние при нескольких небольших значениях п решаются посредством разложения первых частей на множители, а затем найденные значениям помножаются на у а. Уравнения общего вида axn^zb = 0 преобразуются в приведенные посредством деления на коэфициент а и решаются тем же способом.

§ 3. Трехчленное уравнение.

Трехчленным уравнением называется уравнение вида: ax2a + bxn-\-c = 0; п^2.

Решение его приводится к решению двух двучленных уравнений подстановкой xn = z, которая обращает данное уравнение в квадратное и позволяет найти два значения z.

§ 4. Уравнения, левая часть которых разлагается на множители.

Иногда левую часть уравнения высшей степени удается разложить на множители — на линейные или на нелинейные. Тогда уместно применить правило о том, что произведение нескольких сомножителей лишь тогда может быть нулем, когда один из них равен нулю. Приравнивая каждый из сомножителей нулю, разбиваем заданное уравнение на ряд уравнений, решая которые найдем корни начального уравнения.

§ 5. Возвратное, или симметричное, уравнение.

Возвратным, или симметричным, уравнением называется такое уравнение любой степени, у которого коэфициенты членов, равноудаленных от начала и от конца уравнения, равны между собой. Полностью решаются в самом общем виде лишь уравнения 3-й, 4-й и 5-й степеней. Кубическое уравнение решается простым разложением на множители левой части. Левая часть уравнения 5-й степени также разлагается на два уравнения, из которых одно линейное, а другое 4-й степени, опять-таки возвратное. Возвратное уравнение 4-й степени первого рода таково:

ах* -|- bx^ -j- сх2 -|~ Ьх -J- cl = 0.

Разделив обе части этого уравнения на х2> получают:

Сгруппировав члены с одинаковыми коэфициентами, получают:

Заменив *-Ьт через новое неизвестное у, получают:

и тем самым приводят возвратное уравнение к квадратному относительно у.

Возвратное уравнение 4-й степени второго рода таково:

Решается оно так же, как и уравнение первого рода, с той лишь разницей, что у будет заменять собою х — — , а выражение x2-\~~ï будет выражаться через у2-\-2.

Возвратное уравнение 5-й степени, как уже сказано, по выделении линейного множителя сводится к возвратному уравнению 4-й степени.

Всякое возвратное уравнение четной степени приводится к ура* нению степени вдвое меньшей приемом, аналогичным решению уравнения 4-й степени. Но это новое уравнение вдвое меньшей степени, вообще говоря, не будет возвратным.

Например:

и окончательно:

Если это уравнение разрешимо, то и возвратное уравнение 6-й степени разрешимо.

Наконец, возможны возвратные уравнения неполные; часто они разрешимы разложением на множители левой части уравнения.

55. Доказать, что корни возвратного уравнения 4-й степени первого рода попарно обратны по величине друг другу.

55, Доказать, что корни квадратного уравнения 4-й степени второго рода попарно обратны друг другу и по величине и по знаку.

56. Разложить на множители симметричный многочлен:

2** — 9*3 + 14*2 _ 9х + 2.

56. Разложить на множители симметричный многочлен:

SO** — 17*з _ 228*2 + 17* + 30.

57. Составить уравнение с корнями: 2; 3 и -~.

57. Составить уравнение с корнями: 2; —~; Зи—-i-.

ГЛАВА XIII.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Иррациональным уравнением называется такое уравнение, в котором неизвестное входит под знак корня. Для решения такого уравнения нужно заменить его другим, не содержащим корней из неизвестных выражений. Это достигается посредством возведения в степень, применяемого один раз или несколько раз последовательно.

Так как возведение в степень вносит посторонние решения, то, решив иррациональное уравнение, нужно проверить каждый из корней подстановкой его в то из уравнений, которое первоначально возводилось в степень. Если окажется, что испытуемый корень не удовлетворяет проверяемому уравнению, то он и не будет корнем данного уравнения, а должен принадлежать одному из дополнительных уравнений, которых всегда будет столько, сколько раз при решении производилось возведение в степень.

ГЛАВА XIV.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СТЕПЕНИ ВЫШЕ ПЕРВОЙ.

§ 1. Решение систем уравнений.

Для решения системы уравнений:

Ax* + Bxy-\-Cy2-\-Dx -f£y + F=0 и ах-\- Ьу = с, из которых одно 2-й, а другое 1-й степени, выразим^ через х из

второго уравнения и полученное выражение у = —т— подставим в первое. Получится квадратное уравнение вида:

Решив последнее, найдем два значения хг и х2 и, подставив их в выражение у, получим соответствующие значения уг и у2. В результате получаются две системы решений.

Для решения двух уравнений 2-й степени:

исключаем из них сначала квадрат одного неизвестного, например у. Для этого умножаем первое уравнение на Сл% второе на Си вычитаем одно из другого. Получим вспомогательное уравнение, которое представим для краткости в виде:

Пользуясь тем, что полученное уравнение содержит только 1-ю степень у, выражаем из него у через х в рациональной форме:

Полученное выражение у вставляем в одно из данных уравнений. Тогда составится уравнение относительно одного х 4-й степени. Если последнее будет решено, то будут найдены четыре значения л:, а вставляя каждое из них в предыдущее выражение у через X, получим четыре соответствующих значения у.

В случае, когда квадрат одного из неизвестных не входит в одно из уравнений, вычисление упрощается.

Решить системы уравнений:

Нередко возможно применить некоторые искусственные способы решения систем уравнений, соответствующие особым формам уравнений. Разъясним на примерах некоторые из этих способов.

Пример 1. Пусть даны уравнения х-\-у = 8 и ху= 15. Форма этих уравнений показывает, что х и у можно рассматривать как корни одного квадратного уравнения: г2 — 8^4-15 = 0. Корни последнего суть 3 и 5. Так как каждый из этих корней может быть принят за X и каждый за у> то данная система уравнений имеет две системы решений: х1=» 3, уг = 5 и д-2 = 5, у2~3.

Пример 2. Возьмем уравнения х-\-у=7 и х2-\-у* = 25. Возведя первое из них в квадрат и вычтя затем второе, найдем произведение jcy= 12. Зная же сумму и произведение неизвестных, можем определить неизвестные так, как показано в первом примере.

Пример 3. Пусть даны уравнения х2—у2 = 24 и х—.у =4. Разделив первое на вюрое, найдем уравнение 1-й степени х-{-у = 6, которое со вторым из данных определяет единственную систему хг—5 и уг = 1.

Пример 4. Даны уравнения х2-\-у2 = 25 и ху= 12. Умножив второе уравнение на 2, сложим его с первом и затем вычтем из

пэрвого. Получим: (л: -j-jO* = 49 и (х— >>)2 = 1, откуда х-\-у = = ±7 и X — у = -Ь 1. Поэтому решения данных уравнений получатся из следующих систем уравнений 1-й степени:

х+у = 7; х+у = 7\ х + у = — 7; х + у = — 7; х—у=\; х—у = —1; х—у = 1; х—у = —\.

Эти решения суть: хл = 4, уг = 3; х2 = 3, ,у2 =4; л*3 = — 3, ^з = —4; дг4 = —4, jf4 = —3.

Те же уравнения можно было бы решить посредством особой подстановки, которую мы разъясним на следующем примере.

Пример 5. Возьмем уравнения 2ху —у2 = 15 и х2 -f- ху = 36, первые части которых суть однородные выражения 2-й степени. Положим у — их. Получим :

х*(2и — ы*) = 15 и **(1 + <у) = 36.

Отсюда, определяя два выражения для х2 и сравнивая их, находим уравнение:

Корни этого уравнения суть: иг = ^ и и2 = ~. По первому корню вычислим лг2=-^— = 16, т. е. X = ±4, и вследствие этого I I и y — ux = -+;5i по второму корню найдем также а2 = 27, т. е. dfc31^3, вследствие чего .y = :fc у^З. Всего получаем четыре системы решений.

Решить следующие системы или обычными или искусственными приемами:

§ 2. Составление систем уравнений.

91. Разложить число 209 на два множителя, сумма которых равна 30.

92. Разложить число 195 на два множителя, разность которых равна 2.

93. Сумма двух чисел равна 13, сумма их квадратов равна 89. Найти эти числа.

94. Разность квадратов двух чисел равна 200. Если каждое из чисел уменьшить на 1, то разность их квадратов будет равна 180. Найти эти числа.

95. Если к произведению двух чисел придать меньшее из них,

то получится 54. Если к тому же произведению придать большее число, то получится 56. Найти эти числа.

96. Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число с теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.

97. Произведение двух целых положительных чисел в три раза больше суммы их, а сумма квадратов тех же чисел равна 160. Найти эти числа.

98. Сумма двух чисел равна 22, а сумма кубов их равна 2926. Найти эти числа.

99. Разность двух чисел равна 3, а разность кубов их равна 657. Найти эти числа.

100. Найти такую дробь, чтобы сумма квадратов ее элементов равнялась 25, а сумма этой дроби с обратной дробью равнялась т^.

101. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 34; произведение искомого числа на обращенное равно 1855. Найти число.

102. Сумма трех чисел, составляющих непрерывную разностную пропорцию, равна 54, а произведение их равно 5760. Найти эти числа.

103. Сумма трех чисел, составляющих непрерывную разностную пропорцию, равна 12, а сумма квадратов их равна 66. Найти эти числа.

104. Сумма цифр трехзначного числа равна 11 ; сумма квадратов тех же цифр 45. Если от искомого числа отнять 198, то получится число обращенное. Найти это число.

105. Сумма трех чисел, составляющих непрерывную кратную пропорцию, равна 19, а сумма квадратов их 133. Найти эти числа.

106. Найти трехзначное число по следующим условиям: частное от деления искомого числа на сумму его цифр равно 48; частное от деления на ту же сумму произведения цифр равно lO-g-; цифра десятков есть среднее арифметическое остальных цифр.

107. Найти два числа, сумма квадратов которых превышает сумму их первых степеней на количество a, a разность квадратов превышает разность первых степеней на количество Ь,

108. Отношение суммы двух чисел к их разности равно отношению р к q, а произведение суммы тех же чисел на их разность равно а. Найти эти числа.

109. Площадь прямоугольника 112 см2. Сумма площадей квадратов, построенных на смежных сторонах прямоугольника, 260 см2. Найти стороны прямоугольника.

110. Отношение сторон прямоугольника равно 6. Сумма

площадей квадратов, построенных на этих сторонах, 592 см2. Найти стороны прямоугольника.

111. Высота трапеции равна IS см. Площадь ее равновелика площади прямоугольника, построенного на основании трапеции; тройное верхнее основание, сложенное с нижним, в 4 раза больше высоты. Определить основания трапеции.

112. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета на 1 см, сумма же гипотенузы с этим катетом в 5 раз больше другого катета. Определить стороны этого треугольника.

113. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь 24 см2. Найти стороны треугольника.

114. Периметр прямоугольного треугольника равен 30 см, площадь 30 см2. Найти стороны треугольника.

115. Сумма диагоналей ромба на 6 см меньше его периметра. Вычислить длину стороны ромба и его диагоналей, если площадь ромба равна 24 см2.

116. Сумма площадей двух кругов, касающихся внешним образом, равна 90нем2. Вычислить диаметры кругов, если расстояние между их центрами равно \2 см.

117. Определить катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна a, а площадь s.

118. Определить стороны прямоугольного треугольника поданной площади его s и периметру 2р.

119. Найти стороны прямоугольного треугольника по периметру 2р и разности катетов d.

120. Найти диагонали ромба по стороне его а и площади s.

121. Тело, находившееся в покое, начинает двигаться равномерно-ускоренно. Пройдя путь в 1440 м9 оно приобрело скорость 24 м в секунду. Сколько времени и с каким ускорением двигалось тело?

122. Равнодействующая двух сил, пересекающихся под прямым углом, равна \5 кг. Если одну из этих сил уменьшить на 4 кг, а другую увеличить на 6 кг, то равнодействующая их будет равна 17 кг. Найти величины действующих сил.

123. Между двумя городами, находящимися на расстоянии 450 км, ходят пассажирский и товарный поезда. Пассажирский проходит весь путь на 8 час. скорее, чем товарный. После увеличения скорости обоих поездов на 5кн в час пассажирский поезд стал проходить все расстояние только на 6 час. скорее товарного. Найти скорость обоих поездов.

124. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 28 км. Через 1 час езды они встретились и, не останавливаясь, продолжали путь. Первый прибыл в город В на 35 минут скорее, чем второй прибыл

в город Л. Найти скорость каждого, а также расстояние, которое проехал каждый до встречи.

125. Два тела начинают двигаться равномерно по двум прямым линиям, пересекающимся под прямым углом, к точке их пересечения. В начале движения расстояние между телами 169 с.*/, скорость первого тела 1 см J сек у второго — 4 см/сек. Определить расстояние тел до точки пересечения их путей, если известно, что через 2 секунды после начала их движения расстояние между телами будет равно 25 см.

126. В бак проведены две трубы; через первую года вытекает, через вторую вливается. При совместном действии обеих труб бак наполняется в 24 часа. Если бы увеличить площади поперечных разрезов труб так, чтобы первая труба двумя часами скорее опоражнивала бак, а вторая также двумя часами скорее наполняла его, то при совместном действии обеих труб бак наполнился бы в 12 час. Во сколько часов первая труба опоражнивает бак, и во сколько часов вторая его наполняет?

127. На протяжении 18 м переднее колесо экипажа делает на 10 оборотов больше заднего. Если бы окружность переднего колеса увеличить на 6 дм, а окружность заднего уменьшить на 6 дм, то на том же протяжении переднее колесо сделало бы на 4 оборота больше заднего. Найти окружность обоих колес.

128. На протяжении 27-« заднее колесо экипажа делает на 5 оборотов меньше переднего. Если бы окружность заднего колеса увеличить на 3 дм, а окружность переднего уменьшить на 3 дм, то на том же протяжении заднее колесо сделало бы на 9 оборотов меньше переднего. Найти окружность обоих колес.

129. Тело взвесили на неправильных весах, т. е. с неравными плечами; при установке гирь на одной чашке весов вес оказался р граммов, на другой—q граммов. Найти истинный вес тела.

130. Три проводника, соединенные последовательно, имеют сопротивление в 11 омов. При параллельном соединении их сопротивление равно 1 ому. Вычислить сопротивление каждого из проводников, если сопротивление одного из них на 1 ом меньше суммы сопротивления двух других.

131. Определить удельный вес двух тел, если смесь, содержащая а килограммов первого тела и b килограммов второго, имеет удельный вес р, а смесь, содержащая с килограммов первого и d килограммов второго, имеет удельный вес q.

132. Из двух точек M и N, находящихся на расстоянии ^сантиметров, одновременно начинают двигаться два тела, которые встречаются, когда первое тело прошло а сантиметров. Определить скорости тел, зная, что число сантиметров, выражающее разность между

скоростями первого и второго тел, равно числу секунд, протекших от начала движения до встречи.

133. По окружности круга движутся два тела; первое пробегает окружность d секундами скорее, чем второе, и если они движутся по одному направлению, то сходятся через каждые m секунд. Какую часть окружности пробегает каждое тело в секунду?

134. Три тела движутся по прямой линии от точки M к точке N. Второе тело начало двигаться а секундами, а третье b секундами позже первого. Скорость первого тела менее скорости второго на с сантиметров, скорость третьего равна v сантиметрам в секунду. Найти расстояние MN и скорость первого тела, если известно, что все тела достигают точки M в один и тот же момент.

§ 3. Графическое решение систем уравнений с двумя неизвестными 2-й степени.

Начертив графики каждого из уравнений системы, определяют координаты точек пересечения этих графиков, значения координат и дают искомые корни системы уравнений. Решить графически системы уравнений:

ГЛАВА XV.

ПРОГРЕССИИ.

§ 1. Арифметическая, или разностная, прогрессия.

Арифметической, или разностной, прогрессией называется такой ряд чисел, в котором каждое последующее, начиная со второго, получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же постоянного числа, называемого разностью арифметической прогрессии (обозначаемого буквой d). Любой из членов прогрессии может быть принят за первый член, обозначается он ак (или просто а)у а следующие а2, я3, а4... ап (или просто и).

Если разность арифметической прогрессии d есть величина положительная, то прогрессия называется возрастающей, если разность отрицательна,— убывающей.

Сумма некоторого числа членов арифметической прогрессии, начиная от некоторого числа av принимаемого за первый, до некоторого artt принимаемого за последний, обозначается через sn (или просто s).

Формулы арифметической прогрессии:

Полезно знать еще одну формулу суммы членов арифметической прогрессии:

1. Найти 15-й член и сумму 15 членов прогрессии: 2, 5, 8, И... .

1. Найти 20-й член и сумму 20 членов прогрессии: 3, 7, 11, 15... .

2. Найти 18-й член и сумму 18 членов прогрессии: — 3,-5, — 7,-9... .

2. Найти 13-й член и сумму 13 членов прогрессии: — 2,-6, ю, — 14... .

3. Найти сумму всех двузначных чисел от 21 до 50 включительно.

3. Найти сумму всех двузначных чисел.

4. Найти сумму ряда последовательных целых чисел от 1 до п.

4. Найти сумму ряда последовательных целых чисел от 1 до 2п.

5. Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100.

5. Найти сумму натуральных чисел от 1 до 1000.

6. Найти сумму всех четных чисел до 200 включительно.

6. Найти сумму всех нечетных чисел до 175 включительно.

7. Найти я-е нечетное число и сумму п нечетных чисел.

7. Найти п-е четное число и сумму п четных чисел.

8, Найти сумму п членов прогрессии: а, 2а — Ь, За — 26... .

8. Найти сумму п членов прогрессии: Ь, 2Ь — а, ЗЬ — 2а... .

9. Между числами 3 и 24 вставить 6 средних арифметических, т. е. так, чтобы искомые числа вместе с данными составили арифметическую прогрессию.

9. Между числами 17 и 82 вставить 12 средних арифметических.

10. Между 27 и — 28 вставить 10 средних арифметических.

10. Между 17 и — 19 вставить 17 средних арифметических.

31. Третий член прогрессии 25, десятый — 3. Найти первый член и разность.

31. Пятый член прогрессии 13, девятый 19. Найти первый член и разность.

32. Четвертый член прогрессии 10, седьмой 19. Найти сумму десяти членов.

32. Пятый член прогрессии —8, семнадцатый 28. Найти сумму пятнадцати членов.

33. Четвертый член прогрессии 9, девятый — 6. Сколько нужно взять членов, чтобы сумма их равнялась 54?

33. Десятый член прогрессии 4, девятнадцатый —32. Сколько нужно взять членов, чтобы сумма их равнялась 180?

34. Сумма третьего и седьмого членов прогрессии равна 4, а сумма второго и четырнадцатого — 8. Найти прогрессию.

34. Сумма четвертого и десятого членов прогрессии равна 44, а сумма второго и пятнадцатого 53. Найти прогрессию.

35. Найти разность прогрессии, первый член которой равен 100, а сумма шести первых членов в 5 раз больше суммы следующих шести членов.

35. Найти первый член прогрессии, разность которой рав.ш 4, а сумма первых пяти членов в три раза меньше суммы следующих пяти членов.

36. Составить такую прогрессию от 1 до 21, чтобы сумма всех ее членов относилась к сумме членов между 1 и 21 как 11:9.

36. Составить такую прогрессию от 1 до 29, чтобы сумма всех ее членов относилась к сумме членов между 1 и 29 как 4:3.

37. Первый член прогрессии 1 ; сумма m первых членов ее относится к сумме п первых же членов как /я2: я2. Найти прогрессию

37. Первый член прогрессии 2, сумма m первых членов ее относится к сумме п. первых же членов как т(т-\-\):n(n -j- !)• Найти прогрессию.

38. Найти сумму m -f- п членов прогрессии, в которой /я-й член равен я, а я-й член равен т.

38. Найти сумму m — п членов прогрессии, в которой сумма m членов равна я, а сумма п членов равна т.

39. Найти прогрессию, зная, что сумма первого и второго членов ее равна 7, а произведение их равно 10.

39. Найти прогрессию, зная, что разность между вторым и первым ее членами равна a, a произведение их равно .

40. Найти сумму 100 членов ряда: 1—3 —j— 5 — 7-{-••• •

41. Найти прогрессию, зная, что сумма трех первых членов ее равна 15, а произведение их 80.

41. Найти прогрессию, зная, что сумма трех первых членов ее равна нулю, а сумма их квадратов 50.

42. Найти прогрессию, зная, что сумма второго и четвертого членов ее равна 16, а произведение первого члена на пятый разно 28.

42. Найти прогрессию, зная, что сумма первого и пятого членов ее равна 12, а произведение второго члена на четвертый равно 32.

43. Числа градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах многоугольника, составляют прогрессию, разность которой 10°; наименьший угол этого многоугольника 100°. Сколько в многоугольнике сторон?

44. Числа градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах многоугольника, составляют прогрессию, разность которой 5°; наименьший угол этого многоугольника 120°. Сколько в многоугольнике сторон?

45. Свободно падающее тело в безвоздушном пространстве проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 л более, чем в предыдущую. Какое расстояние оно пройдет в 21-ю секунду и за 21 секунду?

46. Сколько секунд будет падать тело с высоты 4410 л?

47. Тело, брошенное вверх, теряет каждую секунду 9,8-к своей скорости. Сколько времени будет лететь вверх тело, брошенное вертикально со скоростью 656,6 м в секунду?

48. Через сколько времени тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 784 м в секунду, упадет на землю?

49. С какой скоростью было брошено вертикально вверх тело, если оно упало через 1,5 минуты обратно на землю?

50. До какой высоты поднялось вертикально брошенное тело и с какой скоростью оно было брошено, если через минуту оно упало обратно на землю?

51. Между сторонами угла проведены на одинаковом расстоянии друг от друга 15 параллельных отрезков, из которых каждый следующий на 3 см длиннее предыдущего. Найти длину первого и последнего, если сумма всех отрезков 405 см.

52. В горных местностях температура воздуха летом при подъеме на каждые 100 м в среднем опускается на 0,7° С. В 11 часов на горе термометр показывал 14,8°; как высоко находится наблюдатель, если у подножья в это время температура была 26° С?

53. Через сколько секунд упадет в колодезь глубиною в 44,1 м камень (сопротивление воздуха во внимание не принимается)?

54. Ступенчатый шкив состоит из шести ступеней. Диаметры их составляют арифметическую прогрессию. Наибольший диаметр равен 240 мм, наименьший 80 мм. Найти остальные диаметры (черт. 4).

55. Турист, восходя на гору, поднялся в первый день на высоту

Черт. 4.

900 л, а в каждый следующий день продолжал подниматься на высоту на 50 м меньшую, чем в предыдущий. Во сколько дней он добрался до вершины горы, если высота ее 5250 м1

56. Паровоз прибыл с пассажирского вокзала на товарную станцию, расстояние между которыми 3 км. При этом в первую минуту он прошел 480 м, а в каждую следующую проходил на 40 м меньше, чем в предыдущую. За сколько минут совершил он не ь переезд?

57. По шоссе едут экипаж и автомобиль по одному и тому же направлению. Экипаж находится впереди автомобиля на 84м и едет равномерно со скоростью 3 м в секунду. Автомобиль же проезжает в первую секунду 8 мщ а в каждую следующую на 0,1 м меньше, чем в предыдущую. Сколько времени будет ехать автомобиль, пока поровняется с экипажем?

58. Два автомобиля движутся друг другу навстречу из двух мест, расстояние между которыми равно 240 м. Первый автомобиль выехал на 3 секунды раньше второго и движется равномерно со скоростью 10 м в секунду. Второй же проходит в первую секунду своего движения 2 м, а в каждую следующую на 1 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд после выезда первого автомобиля произойдет их встреча?

59. Предполагают, что при углублении на каждые 30,5 м внутренняя температура земли возрастает на 1°С. Если на поверхности земли температура равна 10°С, то на какой глубине она достигает: точки кипения воды (100°), плавления свинца (334°), плавления железа (1200°)? Полагая, что указанный закон не изменяется до самого центра земли, найти температуру в центре земли. Средний радиус земли равен 6370 км.

60. Школьный кооператив приобрел учебные пособия на сумму 800 руб. с условием уплачивать эту сумму в течение нескольких месяцев так, чтобы в первый месяц внести 120 руб., а в каждый следующий платить на 20 руб. больше, чем в предшествующий месяц. Через сколько месяцев кооператив выплатит всю указанную сумму?

61. Камень, пущенный в колодезь, достиг поверхности воды через 4 секунды. Определить глубину колодца до поверхности воды.

62. Авиатор, выпрыгнув из корзины привязного аэростата, пролетает вниз 100 м% прежде чем раскроется парашют. Сколько времени проходит до раскрытия парашюта?

63. На стрелковые состязания назначено несколько призов; наибольший из них 150 руб., а ценность каждого следующего приза уменьшается на одну и ту же сумму до самого меньшего в 30 руб. Общая ценность призов 360 руб. Сколько всего назначено призов?

64. Периметр многоугольника равен 158 см, причем длины сторон его составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 3 см. Наибольшая сторона многоугольника равна 44 см. Сколько сторон имеет многоугольник?

65. Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает свою скорость и через 26 минут достигает скорости 60 км в час. Каково ускорение поезда в минуту?

§ 2. Геометрическая, или кратная, прогрессия.

Геометрической, или кратной, прогрессией называется такой ряд чисел, в котором каждое последующее, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения его на одно и то же постоянное число, называемое знаменателем геометрической прогрессии (обозначаемое буквой q).

Если знаменатель геометрической прогрессии g больше 1, то прогрессия называется возрастающей; если меньше 1, то прогрессия называется убывающей; если он отрицателен, прогрессия представляет собой ряд знакопеременный.

Формулы геометрической прогрессии:

66. Найти сумму 10 членов прогрессии

66. Найти сумму 8 членов прогрессии:

67. Найти сумму 7 членов прогрессии: —

67. Найти сумму 10 членов прогрессии

68. Найти сумму 8 членов прогрессии: 3

68. Найти сумму 11 членов прогрессии:

69. Найти сумму 5 членов прогрессии:

69. найти сумму 7 членов прогрессии:

70. Найти сумму п членов прогрессии:

70. Найти сумму п членов прогрессии:

71. Найти сумму п членов прогрессии: 71. Найти сумму п членов прогрессии :

72. Между числами 47 и 1269 вставить 2 средних пропорциональных количества.

72. Между числами 31 и 496 вставить 3 средних пропорциональных количества.

73. Между числами ^- и ~ вставить 5 средних пропорциональных количеств.

73. Между числами ~ и вставить 9 средних пропорциональных количеств.

74. Найти сумму 6 членов геометрической прогрессии, любой член которой выражается в виде 3-2*"1, где п есть порядок (номер) члена.

74. Найти сумму 5 членов прогрессии, любой член которой выражается в виде 2- 5*"1.

75. Найти сумму п членов прогрессии, любой член которой выражается в виде (—\)nan~1bm~a+1.

75. Найти сумму п членов прогрессии, любой член которой выражается в виде (—\)nam~n + 1ôa~l.

96. Первый член прогрессии равен 1 ; сумма третьего и пятого членов 90. Найти прогрессию.

96. Первый член прогрессии равен 3, разность между седьмым и четвертым членами 168. Найти прогрессию.

97. Сумма первого и третьего членов прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму десяти членов.

97. Разность между третьим и первым членами прогрессии равна 24, а разность между пятым и первым 624. Найти сумму шести членов.

98. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что первое больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.

98. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что сумма крайних членов равна 27, а сумма средних 18.

99. Три числа, сумма которых равняется 114, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как 1-й, 4-й и 25-й члены арифметической прогрессии. Найти эти числа.

99. Три числа, сумма которых 124, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии и одновременно 3-м, 13-м и 15-м членами арифметической прогрессии. Найти эти числа.

100. Найти прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых равна 112, а трех последних 14.

100. Найти прогрессию из шести членов, зная, что сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 455, а сумма членов, стоящих на четных местах, равна 1365.

101. Три числа, составляющие геометрическую прогрессию, дают в сумме 26; если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то получатся три числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

101. Три числа, составляющие арифметическую прогрессию, дают в сумме 15; если к этим числам прибавить соответственно 1, 4 и 19, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найти эти числа.

102. Если из четырех неизвестных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, вычесть соответственно 2, 7, 9 и 5, то получатся числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найти члены арифметической прогрессии.

102. Если из четырех неизвестных чисел, составляющих геометрическую прогрессию, вычесть соответственно 5, 6, 9 и 15, то получатся числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найти члены геометрической прогрессии.

103. Найти /я-й и л-й члены прогрессии, в которой (/я-}-л)-й член равен а (т — л)-й равен /.

103. Найти я-й и (т-\-р)'& члены прогрессии, в которой /и-й член равен а р-й равен /.

104. Доказать, что во всякой геометрической прогрессии произведение членов, равноудаленных от начала и от конца, есть величина постоянная, равная произведению крайних членов.

104. Вывести формулу произведения п членов геометрической прогрессии.

105. Вычислить произведение пяти членов геометрической прогрессии, первый член которой ]/2, а знаменатель у.

105. Вычислить произведение п членов геометрической прогрессии, первый член которой j/a, а знаменатель .

106. Допустимое число оборотов шпинделя токарного станка колеблется между пл = \\ и пи = 350 в минуту. Кроме этих чисел оборотов возможны еще девять других: л2, п3..., л10, составляющих с данными геометрическую прогрессию. Найти эти числа оборотов.

107. В ремне, обхватывающем шкив, натяжения возрастают в геометрической прогрессии при увеличении угла обхвата на одну и ту же величину. Для углов обхвзта в 15° и 90° натяжения соответственно равны 9,56 кг и 17,41 кг. Рассчитать натяжение через каждые 15° и определить наименьшее натяжение при угле обхвата, равном 0°.

108. Числа, выражающие длину, ширину и вышину прямоугольного параллелепипеда, образуют геометрическою прогрессию; площадь основания параллелепипеда равна 108 j.2, а полная поверхность 88Ô м2. Определить измерения параллелепипеда.

109. Числа, выражающие длину, ширину и вышину прямоугольного параллелепипеда, образуют геометрическую прогрессию; объем параллелепипеда равен 216 л*3, а диагональ У 364 м. Определить измерения параллелепипеда.

110. После каждого качания поршня под колоколом воздушного насоса остается 0,83 бывшего раньше количества воздуха. Определить, как велико будет давление воздуха под колоколом по ле 15 качаний, если первоначальное давление было равно 760 мм.

111. В сосуде имеется 50 л 80-процентного спирта. Сколько литров чистого спирта будет еще в сосуде, если из него 20 раз отливать по 1 л жидкости и каждый раз добавлять по 1 л воды?

112. В сосуде было 1250 л 80-процентного алкоголя. Из него 3 раза брали некоторое количество жидкости и добавляли таким же количеством воды. После этого в сосуде оказалось 125 л чистого алкоголя. Какое количество жидкости брали из сосуда каждый р.з?

Если абсолютная величина знаменателя прогрессии меньше единицы, то можно рассматривать в ней неограниченную последовательность членов. Из алгебры известно, что у бесконечно убывающей прогрессии пред. ал = 0, а вследствие этого из формулы sn= —при я-*<х>, получается формула s = Y^q Д1Я предела суммы членов бесконечно убывающей прогрессии.

Определить предел суммы в следующих бесконечно убывающих геометрических прогрессиях:

117. Составить такую бесконечно убывающую прогрессию, в которой каждый член в К раз больше суммы всех следующих за ним членов.

117. Составить такую бесконечно убывающую прогрессию, в которой каждый член в К раз меньше суммы всех следующих за ним членов.

118. Прямолинейный отрезок AB делится в точке С пополам, далее АС делится пополам в точке D, затем CD пополам в точке Е, DE пополам в точке F, EF пополам в точке G и т. д. до бесконечности. Определить предельное расстояние точки деления от точки А.

118. Прямолинейный отрезок AB делится в точке С пополам, далее ВС делится в D пополам, затем CD в Е пополам, DE в F пополам, EF в G пополам и т. д. до бесконечности. Определить предельное расстояние точки деления от А.

119. В квадрат, сторона которого а, вписан через деление сторон пополам другой квадрат, в этот квадрат вписан точно так же новый квадрат и т. д. до бесконечности. Определить пределы, к которым стремятся суммы сторон и площадей всех квадратов.

119. В правильный треугольник, сторона которого а, вписан через деление сторон пополам другой правильный треугольник. В этот треугольник вписан точно так же новый треугольник и т. д. до бесконечности. Определить пределы, к которым стремятся суммы сторон и площадей всех треугольников.

120. Дан правильный треугольник, сторона которого а; из трех высот его строится новый правильный треугольник; из высот этого второго треугольника — еще новый правильный треугольник и т. д. Определить пределы тех алгебраических сумм, из которых в одной периметры, а в другой площади треугольников поочередно являются слагаемыми и вычитаемыми.

120. Дан квадрат с диагональю а; сторона этого квадрата принимается за диагональ второго квадрата; сторона второго — за диагональ нового квадрата и т. д. Определить пределы тех алгебраических сумм, из которых в одной периметры, а в другой площади квадратов поочередно являются слагаемыми и вычитаемыми.

121. В круг радиуса R вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг — второй квадрат и т. д. Определить предельные значения сумм площадей всех кругов и всех квадратов.

121. В круг радиуса R вписан правильный треугольник, в этот треугольник вписан круг, в круг — правильный треугольник и т. д. Определить предельные значения сумм площадей всех- кругов и всех треугольников.

122. На стороне угла в 45° взята точка на расстоянии а от вершины. Из этой точки опущен перпендикуляр на вторую сторону, из основания этого перпендикуляра — новый перпендикуляр на первую сторону и т. д. до бесконечности. Найти предел суммы длин этих перпендикуляров.

122. На стороне угла в 60° взята точка на расстоянии а от вершины. Из этой точки опущен перпендикуляр на вторую сторону, из основания этого перпендикуляра — новый перпендикуляр на первую сторону и т. д. до бесконечности. Найти предел суммы длин этих перпендикуляров.

ГЛАВА XVI.

ЛОГАРИФМЫ.

§ 1. Общие свойства логарифмов.

Логарифмом числа N при основании а называется показатель степени, в которую надо возвести основание я, чтобы получить число N. Это соотношение обозначается так: x=logaN.

Исходя из определения логарифма, решить следующие задачи: 1. Какое число имеет логарифм 3 при основании 2?

1. Какое число имеет логарифм 2 при основании 3?

2. Какое число имеет логарифм ^- при основании 8?

3. При каком основании число 32 имеет логарифм 5?

3. При каком основании число 81 имеет логарифм 4?

4. При каком основании число 4 имеет логарифм ?

4. При каком основании число 9 имеет логарифм -~?

5. Чему равен логарифм числа 1-6, когда основание равно 2?

5. Чему равен логарифм числа 27, когда основание равно 3?

6. Чему равен логарифм числа 3, когда основание равно 81?

6. Чему равен логарифм числа 7, когда основание равно 49?

7. При каком основании log 16 равен 2?

7. При каком основании log 81 равен 2?

8. Найти X, зная, что log^* — 3. 8. Найти X, зная, что log6# = 3.

9, Какое число имеет при основании 5 логарифм—2?

9. Какое число имеет при основании 3 логарифм — 3?

10. Найти логарифм 1 при основании 2.

10. Найти логарифм 1 при основании 3.

11. Найти логарифмы числа 1024, принимая за основание числа:

11. Найти логарифмы числа 729, принимая за основание числа:

12. Найти логарифмы числа 81, принимая за основания числа:

12. Найти логарифмы числа 256, принимая за основание-числа :

13. Какое число имеет логарифм — 3 при основании 8?

13. Какое число имеет логарифм — 4 при основании 6?

14. При каком основании логарифм ^1 равен — 5?

14. При каком основании логарифм 1 равен—3?

16. Найти логарифмы дроби 1, принимая за основания числа:

15. Найти логарифмы дроби —-, принимая за основания числа:

16. Найти логарифмы дроби lg, принимая за основания числа:

16. Найти логарифмы дроби 1^, принимая за основания числа:

17. Основание равно найти числа, логарифмы которых суть: 0, 1,-1, 2—2, 3,-3.

17. Основание равно 1-^-; найти числа, логарифмы которых суть 0, 1,-1, 1, 3,-3, 4,-4.

18. Основание равно 2-«-; найти логарифмы чисел:

18. Основание равно найти логарифмы чисел у, 2-<р

19. При каких основаниях число 125 имеет логарифмы 3, 1, —3,-1?

19. При каких основаниях число 343 имеет логарифмы 3,—3, 1—1?

20. Если основание логарифмов равно 0,5, то чему равны логарифмы чисел 1, 4, 2, 8, -g-?

20. Если основание логарифмов равно 0,2, то чему равны логарифмы чисел 1, 25, 5, 0,04, 125, 0,008?

21. Какое число имеет логарифм — при основании 3?

21. Какое число имеет логарифм-^- при основании 2г

22. Между какими целыми числами заключаются логарифмы чисел 3, 5, 10, 25, 100 и 500 при основании 2?

22. Между какими целыми числами заключаются логарифмы чисел 5, 12, 862, 1613 и 11 111 при основании 10?

23. Между какими отрицательными целыми числами заключаются логарифмы дробей 0,02, 0,034, 0,005, 0,000675, 0,00009 при основании 10?

23. Между какими отрицательными целыми числами заключаются логарифмы числа 597 при основании 0,1?

24. При каком основании число 5 имеет логарифм 2?

24. При каком основании число 3 имеет логарифм 2?

25. Найти число, логарифм которого при основании 8 равен

25. Найти число, логарифм которого при основании 25 равен 2

26. При каком основании число 7 имеет логарифм — 1 ?

26. При каком основании число 5 имеет логарифм—-^?

27. Основание логарифмов —8; найти числа, логарифмы которых суть: —1, 3, —2, —у.

27. Основание логарифмов — 81; найти числа, логарифмы которых суть: 2, —1, — 2, ~, —у.

28. Найти логарифмы чисел — ^, при основании, равном —у.

28. Найти логарифмы чисел —-^-,—2,-32, 64 при основании, равном — -5-.

29. Чему равен логарифм у^9 при основании 3, 81, -gr».jj?

29. Чему равен логарифм у 49 при основании 7, 49 _L ?

30. При каком основании у 8 имеет логарифмы — , — 3,

30. При каком основании }/25 имеет логарифмы 2l t__L f

31. Чему равен logö 1?

32. Чему равен lg10oo?

32. Чему равен lg0 -, сю ?

33. Чему равен lg^ 0?

33. Чему равен lg01 0?

34. Что больше: log1415 или logls14?

Если какое-либо число составлено из других чисел путем их перемножений, деления, возвышения в степень или извлечения корн то логарифмы такого числа можно вычислить по логарифмам чисел, из которых оно составлено; например, логарифмы чисел ab и можно вычислить по логарифмам чисел а и Ь. Процесс этот называется логарифмированием данного количества. Действие логарифмирования производится на основании следующих четырех теорем:

1) логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей;

2) логарифм дроби равен разности между логарифмом числителя и логарифмом знаменателя;

3) логарифм степени равен показателю степени, помноженному на логарифм основания степени;

4) логарифм корня равен логарифму подкоренного количества, деленному на показатель корня.

35. Выразить log 6 через log 2 и log3.

35. Выразить log 21 через Jog3 и log7.

36. Выразить lcgly через log 5 и log3.

36. Выразить log 2у через log 13 и log 5.

37. Выразить log 125 через log 5.

37. Выразить log 81 через log3.

38. Выразить log у\\ через log 11.

38. Выразить log у 2 через log 2.

39. Пели основание логарифмов равно 3, то log81=4 и lrg243 = 5. Чему равны log (81-243) и log ^ при том же основании?

39. Если основание логарифмов равно 2, то log 64 = 6 и log 1024= 10. Чему равны log (1024-64) и log при том же основании?

40. Каких первоначальных чисел нужно знать логарифмы, чтобы найти логарифмы при том же основании чисел: 24, -gp j/38, у ^?

40. Каких первоначальных чисел нужно знать логарифмы, чтобы найти логарифмы при том же основании чисел: 18, 27, 36, 40, 50?

41. Зная, что lg2 = 0,30103, lg3 = 0,47712 и lg5 = 0,69897, найти lg 6, lg 15, lg 30, lg 10, lg 1000.

41. Зная, что lg2 = 0,30103, lg5 = 0,69897 и lg7 = 0,84510, hайти lg 14, Ig35, lg50, lg 100, lg 10000.

42. При данных предыдущей задачи найти ^2—, lg 1-g-, fe£. Ig0'6' ]g°'016-

42. При данных предыдущей задачи найти lg 2-g-, lg у, lg , lg 0,07, lg 0,0014.

43. При данных задачи 41 найти Ig 20, lg 200, а также lg 15, lg 150, lg 1500.

43. При данных задачи 41 найти lg 70, lg 700, а также lg 35, 1g 350, lg 3500.

44. При данных задачи 41 найти lg 0,3, Ig 0,003, lg 0,06, lg 0,0006. 44. При данных задачи 41 найти lg 0,2, lg 0,002, lg 0,14, lg 0,0014.

Прологарифмировать следующие выражения:

По логарифму числа можно найти начальное число приемами, обратными четырем правилам логарифмирования.

Действие, обратное логарифмированию называется потенцированием. Найти число по их логарифмам:

§ 2. Десятичные логарифмы.

85. Зная, что lg2 = 0,30103, найти логарифмы чисел: 20,2000, 0,2 и 0,000002.

85. Зная, что lg3 = 0,47712, найти логарифмы чисел: 300, 3000, 0,03 и 0,0003.

88. Зная, что lg 5 = 0,69897, найти логарифмы чисел : 2,5; 500; 0,25 и 0,005.

86. Зная, что lg7 = 0,84510, найти логарифмы чисел: 0,7, 4,9, 0,049 и 0,0007.

87. Зная, что lg 3 = 0,47712 и lg 7 = 0,84510, найти логарифмы чисел: 210, 0,021.

87. Зная, что lg 2 = 0,30103 и lg 7 = 0,84510, найти логарифмы чисел: 140; 0,14.

88. Зная, что lg 3 = 0,47712 и lg 5 = 0,69897, найти логарифмы чисел: 1,5, 0,12 и 0,36.

88. Зная, что lg5 = 0,69897 и lg7 = 0,84510, найти логарифмы чисел: 3,5, у, 0,28, ^ и 1,96.

89. Найти логарифмы чисел: 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, ЗОЮ, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1008, 0,00005.

89. Найти логарифмы чисел: 15, 154, 837, 510, 5002, 1309, 8900, 8,315, 790,7, 0,09, 0,6745, 0,000745, 0,04257, 0,00071.

90. Найти логарифмы чисел: 2174,6, 1445,7, 2169,5, 8437,2, 46,472, 6,2853, 0,78938, 0,054294, 631,074, 2,79556, 0,747428. 0,00237158.

90. Найти логарифмы чисел: 2578,4, 1323,6, 8170,5, 6245,3, 437,65, 87,268, 0,059372, 0,84938, 62,5475, 131,037, 0,593946, 0,00234261.

91. Найти числа, соответствующие логарифмам: 3,16227,3,59207, 2,93318, 0,41078, 1,60065, 2J5686, 3^23528, ÎJ9692, 4^87806, 5,14613.

91. Найти числа, соответствующие логарифмам: 3,07372, 3,69203, 1,64904, 2,16107, 0,70364, 1,31952, 4;30814, 3,00087, 2,69949, 6,57978.

92. Найти числа, соответствующие логарифмам:3,57686, 3,16340, 2,40359, 1,09817, 4,49823, 2,83882, Г,50060, 3,30056, Г,17И2, 4,25100.

92. Найти числа, соответствующие логарифмам: 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, Г,41509, 2,32649, 4,14631, ЗДМ290, 5,39003.

93. Преобразовать в искусственную форму логарифмы:—2,69537, — 4,21293, — 0,54225, — 1,68307, — 3,53820, — 5,89990.

93. Преобразовать в искусственную форму логарифмы: — 3,21729, — 1,73273, — 5,42936, — 0,51395, — 2,43780, — 4,22990.

94. Найти истинные значения логарифмов: 1,33278, 3,52793, 2,95426, 4,23725, Т,39420, 5,67990.

94. Найти истинные значения логарифмов: 2,45438, 1,73977, 3,91243, 5,12912, 2^3770, 4,28990.

Вычислить при помощи логарифмов следующие выражения:

139. Площадь прямоугольного треугольника равна 282,14 см2; один катет его втрое больше другого. Найти катеты.

140. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 385 м3. Измерения параллелепипеда относятся друг к другу как 3:5:8. Найти измерения параллелепипеда.

141. Объем правильной треугольной пирамиды равен 187,2 сл.3. Сторона ее основания вдвое меньше ее высоты. Определить сторону основания.

142. Найти ребро куба, имеющего объем, в два раза больший объема куба с ребром 2,378 м.

143. Найти объем шара, поверхность которого равна 0,038 мп.

144. Найти радиус ß основания конуса, имеющего объем V = 36,785 д л3 и высоту Я — /?.

145. Найти ребро куба, имеющего объем т/-- 0,5 л3.

146. Деревянной шар, плавая в воде, вытеснил 2791,22сл3 воды. Определить радиус шара (удельный вес дерева 0,5).

147. Требуется отлить свинцовый шар объемом 2,332 дм3. Определить диаметр отливки (формы).

148. Объем конуса равен 96 см3. Радиус его основания вчетверо меньше его высоты. Определить радиус основания конуса.

149. Найти градусную меру дуги окружности длиною .5= 115,3 м при радиусе окружности R= 667,5 л*.

150. Сколько будет весить бронзовая телефонная проволока длиною в 1,25 км, если толщина ее 2,7 мм, а удельный вес бронзы 9?

151. Средняя плотность земного шара 5,54 г. Найти массу земли, если средний радиус ее равен 6371 км.

152. Пользуясь формулой а=-^, найти, чему равно ускорение а центробежной силы Луны, если ее расстояние от Земли /?— 60,27 земных радиусов, а время обращения вокруг Земли Г= 27,32 суток.

153. Пользуясь формулой равноускоренного движения 5 = ^~ , найти путь s, пройденный телом в течение 11 секунд, если ускорение ^=9,8.

154. Количество теплоты в малых калориях, выделяемое в t секунд током в i ампер при сопротивлении проводника в г омов, выражается формулой:

Q=0,24Prt.

Сколько теплоты выделяется в 1 час при горении 16-свечной лампочки, потребляющей ток силою 0,315 ампера, если сопротивление нити лампочки равно 357,2 ома?

155. Найти ребро правильного тетраэдра, объем которого

V = 1 дм*.

156. Найти плотность стали, если из опыта было найдено, что стальной цилиндр размерами R = 5,5 см и Н= 16,5 см весит 13,09лгг.

157. Моток стальной проволоки весит 20 кг. Диаметр проволоки равен 2,5 мм. Определить длину этой проволоки (принимая удельный вес стали для проволоки 7,96).

158. Сколько литров газа вмещает баллон, имеющий форму шара, радиус которого R=\,7'SSdM? 4

Указание. Igyit имеется в таблице „Некоторые постоянные числа".

159. Время одного качания маятника определяется формулой / = тг|/~ , где / — длина маятника, a g— ускорение свободно падающего тела. Для Москвы g = 9,S15 м)сек2.

Вычислить для Москвы длину секундного маятника (т. е. маятника, совершающего одно качание в одну секунду).

Если выражение содержит в себе действия сложения и вычитания, то его можно логарифмировать только после приведения к виду, удобному для логарифмирования.

Если приведение выражения к виду, удобному для логарифмирования, представляет большие трудности, надо отдельные части выражения, связанные между собою знаками сложения или вычитания, отделить от всего выражения, вычислить эти части логарифмированием, подставить полученные результаты в начальное выражение, сложить и вычесть эти результаты, конечно, без логарифмирования и, наконец, вычислить новую форму начального выражения (тоже большею частью логарифмированием).

§ 3. Показательные и логарифмические уравнения.

Показательным называется такое уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени или корня. Логарифмическим уравнением называется такое, в котором неизвестное входит под знаком логарифма. Главнейшие способы решения этих уравнений таковы: 1) уравнивание оснований; 2) логарифмирование обеих частей уравнения, без применения таблиц логарифмов или с применением их; 3) потенцирование обеих частей уравнения; 4) сведение показательного или логарифмического уравнения к алгебраическому относительно выражения, содержащего в себе показательную или логарифмическую функцию неизвестного.

Например:

(здесь нельзя брать радикал со знаком минус, так как при десятичном основании отрицательное число логарифма не имеет).

§ 4. Задачи на сложные проценты.

249. В какую сумму обратится вклад в 246 руб., положенный в банк на 8 лет по 5°/0?

249. В какую сумму обратится вклад в 3768 руб., положенный в банк на 20 лет по 4°/0?

250. Сколько нужно внести в банк, платящий 6°/0 в год, чтобы через 20 лет иметь 8000 руб.?

250. Сколько нужно внести в банк, платящий 3°/0 в год, чтобы через 12 лет иметь 6720 руб.?

251. Через сколько лет капитал в 20 728 руб. обратится в 50 000 руб., считая по 4у°/0?

251. Через сколько лет вклад в 18 978 руб. обратится в 48593 руб., считая по 7^%?

252. При каких процентах вклад в 2498 р. 60 к. обратится через 12 лет в 4000 руб.?

252. При каких процентах вклад в 2465 руб. обратится через 10 лет в 4015 р. 30 к.?

253. При каких процентах вклад через 10 лет удвоится?

254. Строительный кооператив получил ссуду 7025 р. 16 к., в уплату которой он должен внести в течение 10 лет 12 000 руб. Из каких процентов была выдана кооперативу ссуда, считая проценты на проценты?

255. Сколько лет придется строительному кооперативу погашать ссуду в 8760 руб., за которую по расчету из 5~°/0, считая проценты на проценты, кооператив должен будет выплатить 25 000 руб.?

256. Какую постоянную сумму в начале каждого года должно сдавать заводоуправление в банк для образования капитала на постройку клуба для рабочих, чтобы к концу десятого года этот капитал достиг 60 000 руб., при условии, что банк начисляет 5°/о» считая проценты на проценты?

257. За какой срок возрастает в 4 раза вклад, отданный в рост оо 6^-°/0, считая проценты на проценты?

258. Какая сумма накопится от ежегодных взносов по 600 руб. в начале каждого года в течение 20 лет из 4у°/0, считая проценты на проценты?

259. Определить размер ссуды, полученной кооперативом, если Д1я погашения ее он должен вносить в конце каждого года в течение 12 лет по 1500 руб. при расчете из 7—-%.

260. Строительный кооператив для погашения ссуды взимает со своих членов по 8 руб. в месяц с каждой тысячи рублей их задолженности, по расчету погашения ссуды в течение 15 лет ежегодными взносами в конце каждого года из 5 °/0. Правильно ли кооператив произвел раскладку уплаты взносов на своих членов?

281. Во сколько лет можно погасить 6-процентную ссуду в 14 752 руб. ежегодными взносами по 3000 руб. в конце каждого года?

262. Участок леса согласно оценке содержит 4850 „и3 древесины. Насколько увеличится участок через 12 лет, если средний ежегодный прирост древесины составляет 1,2 °/0?

263. 14 лет назад участок леса содержал 24 500 л3. В течение этого времени он возрос до 33 450 л3. Определить средний годовой процент прироста.

264. Участок леса стоит 22 000 руб., и ценность его возрастает ежегодно на 2 Сколько он будет стоить через 15 лет?

265. Некоторые болезнетворные бактерии делятся каждые полчаса. Сколько бактерий могло бы быть в организме (при условии беспрепятственного роста) через 24 часа после инфекции, при которой их было внесено 10 штук?

266. Москва насчитывала в 1931г. 2,8 млн. жителей. Предполагается, что к 1940 г. население Москвы возрастет до 6 млн. человек. Каков процент ежегодного прироста населения?

267. Ежегодный прирост леса в среднем равен 2,25 °/0. Сколько дров может дать лесной участок через 80 лет, если в настоящее время он содержит 13 490 л8?

268. Ежегодный прирост леса составляет 3,5 °/0. В настоящее время в нем можно собрать 14 500 л3 дров. Сколько куб. метров дров в нем будет через 10 лет?

269. В городе в настоящее время 120 000 жителей, а 20 лет назад было 65 000. Через сколько лет в городе будет 200000 жителей, если процент роста населения считать постоянным?

270. Валовая продукция фабрично-заводской промышленности СССР в ценах 1926/27 г. составляла в 1928 г, 15,7 млрд. руб., а в 1932 г. 34,3 млрд. руб. Определить средний процент ежегодного прироста продукции в первую пятилетку.

271. Городское население СССР составляло в 1928 г. 27,6 млн. человек, а в 1932 г. оно увеличилось до 38,7 млн. человек. Определить средний годовой прирост в процентах.

ГЛАВА XVII.

СОЕДИНЕНИЯ.

Соединения могут быть трех видов: размещения, перестановки и сочетания.

Размещениями из общего количества элементов по нескольку называются такие соединения, которые отличаются одно от другого как самими элементами, так и их порядком. Количество размещений из п элементов по k обозначается знаком Ак, где:

Акп = п{п— !)(/! — 2) .(п — ft+1).

Перестановками из п элементов называются такие соединения из п элементов по всем элементам, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Количество перестановок из п элементов обозначается знаком Рп% причем:

Рл = А1 = п(п — — 2) ... 321 = 1-2-3 ...л.

Сочетаниями из общего количества элементов по нескольку называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только самими элементами и в которых порядок элементов не имеет значения. Количество сочетаний из п элементов по k обозначается знаком С*, причем:

Кроме этих обозначений количества соединений есть еще другие обозначения; если условиться произведение ряда целых натуральных чисел от 1 до л обозначать через ni (это произведение называют „факториалом"), тогда указанные выше формулы соединений примут вид:

1. Составить перестановки из трех элементов.

1. Составить перестановки из четырех элементов.

2. Составить размещения из четырех элементов по три.

2. Составить размещения из пяти элементов по три.

3. Составить посредством размещений перестановки из трех элементов.

3. Составить посред:твом размещений перестановки из четырех элементов.

4. Составить размещения всех видов из четырех элементов.

4. Составить размещения всех видов из пяти элементов.

5. Составить сочетания всех видов из четырех элементов.

5. Составить сочетания всех видов из пяти элементов.

6. Составить посредством сочетаний размещения всех видов из трех элементов.

6. Составить посредством сочетаний размещения всех видов из четырех элементов.

7. Выразить арифметиче:кие числа: А*, Рб, С*.

7. Выразить арифметические числа: Л|, Рс, С[0.

8. Выразить арифметические числа: Р8, Ä[v С|,.

8. Выразить арифметические числа: Яп, А915, С\ь.

9. Выразить число размещений из п-\-\ элементов по А—1 в каждом размещении.

9. Выразить число размещений из п — 2 элементов по k-\-\ в каждом размещении.

10. Выразить число размещений из m \-п элементов по m — п -\- 1 в каждом размещении.

10. Выразить число размещений из т—п элементов па m —- 2п— 1 в каждом размещении.

11. Проверить равенства: С^ = С^ и С7и — С\Т И. Проверить равенства: С| = С| и С\Ъ = С\Б.

12. Проверить равенства: С\-\-С\=СА7 и Cf0-f Cf0 =C\V

12. Проверить равенства: С| -(- С£ = С| и CJ2 -\- С^2 = CJ3.

13. Выразить число сочетаний из п-\-2 элементов по k—I в каждом сочетании.

13. Выразить число сочетаний из п — 1 элементов по k-\-2 в каждом сочетании.

14. Выразить число сочетаний из m — п элементов по п -j- 1 в каждом сочетании.

14. Выразить число сочетаний из m j- п элементов по п—2 в каждом сочетании.

15. Сколькими способами можно рассадить за столом четырех человек?

15. Сколькими способами можно рассудить за столом пять человек?

16. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов?

16. Сколько различных трехзначных чисел можно написать посредством девяти цифр?

17. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности?

17. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре одинаковые должности из девяти кандидатов на эти должности?

18. Сколько прямых линий можно провести между десятью точками, расположенными так, что никакие три из них не лежат на одной прямой?

18. Сколько окружностей можно провести между десятью точками, расположенными так, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности?

19. Из скольких предметов можно составить 210 размещений по два предмета в каждом?

19. Из скольких предметов можно составить 66 различных пар?

20. Сколько нужно взять предметов, чтобы число размещений из них по 4 было в 12 раз больше числа размещений по 2?

20. Сколько нужно взять предметов, чтобы число сочетаний из них по 3 относилось к числу сочетаний по 5 как 2:3?

21. Число сочетаний из п элементов по 3 в 5 раз меньше числа сочетаний из п-\-2 элементов по 4. Найти я.

21. Число размещений из п элементов по 5 в 18 раз больше числа размещений из п—2 элементов по 4. Найти я.

22. Число сочетаний из 2п элементов по п + 1 относится к числу сочетаний из 2/г-|-1 элементов по п—1 как 3:5. Найти п.

22. Число сочетаний из 2п элементов по л — 1 относится к числу сочетаний из 2п — 2 элементов по п как 77:20. Найти п.

23. Показать, что непосредственное определение числа парных сочетаний приводится к суммированию разностей прогрессии.

23. Показать, что непосредственное определение числа тройных сочетаний приводится к суммированию ряда парных произведений.

24. Между перестановками цифр числа 12 345 сколько таких, которые начинаются цифрой 1? числом 12? числом 123?

25. Между сочетаниями из 10 букв а, Ьу с ... по 4 сколько таких, которые содержат букву я? буквы а и Ь?

26. Между размещениями из 12 букв af b, с . .. wo 5 сколько таких, которые содержат букву а? буквы а и M

27. Между сочетаниями из h букв по k сколько таких, из которых каждое содержит ц определенных букв?

28. Между размещениями из h букв по k сколько таких, из которых каждое содержит п определенных букв?

29. При каких и скольких значениях k существует неравенство

30. Показать, что при четном п в ряде чисел сочетаний Схя, С*,., CJj"-1 имеется одно среднее, наибольшее из веек число.

ГЛАВА XVIII.

БИНОМ НЬЮТОНА.

Формула бинома Ньютона такова:

Выражение общего члена бинома Ньютона: 7\+1 = Найти сокращенным путем произведения двучленов:

Найти разложение степеней двучленов:

13. Найти 5-й член разложения (а — Ь)9.

13. Найти 8-й член разложения (а — Ь)б-

14. Найти средний член разложения (а — £)и.

14. Найти два средних члена разложении (а — £)17.

15. В разложении (* + 0Х19 найти те члены, которые содержат букву а в 8-й степени, букву х в 8-й степени.

15. В разложении (х + а)16 найти те члены, которые содержат букву а в 11-й степени, букву х в 11-й степени.

16. В разложении (х2— ах)24 найти те члены, коэфициент которых есть число сочетаний по 18.

16. В разложении (х3 — a°jc)31 найти те члены, коэфициент которых есть число сочетаний по 7.

17. В разложении (ifz-^-y/z)9 найти тот член, который после упрощения содержит букву z в 4-й степени.

17. В разложении (\/z-\-^z2)n найти тот член, который после упрощения содержит букву z в 6-й степени.

18. В разложении найти член, не содержащий z.

18. В разложении (iL-j- — V0 найти член, не содержащий z.

19. Найти 5-й член разложения {у\-\-г—}А — .г)*, если коэфициент 3-го члена равен 78.

19. Найти 4-й член разложения (>/l-|-^—|/1—z)nу если коэфициент 3-го члена равен 45.

20. Сумма коэфициентов при 2-м и 3-м членах разложения ( yz2 + равна 78. Определить член разложения, не содержащий z.

20. Сумма коэфициентов при 2-м и 3-м членах разложения равна 153. Определить член разложения, не содержащий z.

ГЛАВА XIX.

ДЕЛИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ.

Не производя деления, определить, выполняется ли оно с остатком или без остатка:

Не производя деления, найти остаток от деления:

Решить уравнения:

Разложить на линейные множители многочлены:

ГЛАВА XX.

НЕРАВЕНСТВА.

В следующих примерах сложить два данных неравенства:

В следующих примерах вычесть второе неравенство из первого;

Умножить обе части неравенства на указанные множители:

Разделить обе части неравенства на указанные делители:

Перемножить почленно неравенства:

Разделить неравенства:

Решить неравенства:

Определить, при каких значениях х ниженаписанные выражения положительны:

Определить, при каких значениях х ниженаписанные выражения отрицательны:

Решить совокупные неравенства:

Определить, при каких значениях а ниженаписанные дроби положительны :

Определить, при каких значениях а ниженаписанные дроби отрицательны:

52, На основании неравенства (а — Ь)2^>0 доказать, что сумма квадратов двух чисел всегда больше удвоенного произведения тех же чисел.

53. Доказать, что правильная дробь увеличивается от прибавления к членам ее одного и того же положительного числа.

54. Доказать, что неправильная дробь уменьшается от прибавления к членам ее одного и того же положительного числа.

55. Доказать, что среднее арифметическое двух чисел больше среднего геометрического между ними.

56. Доказать, что во всяком треугольнике полупериметр больше каждой из сторон.

57. Доказать, что во всяком неравнобедренном прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, меньше половины гипотенузы.

58. Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике квадрат удвоенной высоты, опущенной на гипотенузу, меньше суммы квадрата гипотенузы с удвоенным произведением катетов.

59. Город находится между двумя угольными районами. В нервом—жирный каменный уголь с теплотворной способностью р (8000 калорий), во втором — тощий уголь с теплотворной способностью q (3500 калорий); q<Cp.

Стоимость тонны угля I района с погрузкой а руб. (14), доставка до N обходится m руб. (16) с тонны. Для II района расходы соответственно b руб. (7) и п руб. (12). При каком значении п выгоднее получить городу /V уголь из II района?

60. Пусть N руб. — стоимость сельскохозяйственного орудия, Р руб.—общая стоимость починки, п — число возможных случаев употребления орудия без ремонта, m — число возможных случаев

употребления орудия при наличии ремонта. При каком условии производство ремонта себя оправдает?

61. В сосуде имеется 4 л воды комнатной температуры в 13°. До какой температуры нужно нагреть 5 л воды, чтобы при смешении с первой получить воду с температурой не менее 25° и не более 30°?

62. Латунь есть сплав из меди и цинка, удельные веса которых соответственно колеблются от 8,8 до 9,0 и.от 6,85 до 7,2.

Кусок латуни весит 400 г и в воде испытывает давление снизу вверх в 50 г. Сколько меди и цинка в сплаве?

63. При определении скорости звука избраны были два наблюдательных пункта на расстоянии 1000 л. Звук шел по ветру не меньше 2]/2 секунд, а против ветра не более 3 секунд. Найти верхнюю границу скорости звука.

ГЛАВА XXI.

РЕШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.

Решить следующие уравнения в целых числах способом подстановок:

Решить следующие уравнения в целых числах способом последовательных делений:

Могут ли быть решены в целых и положительных числах следующие уравнения:

Следующие уравнения решить в целых и положительных числах:

Найти наименьшие положительные числа, удовлетворяющие следующим уравнениям:

Решить в целых положительных числах следующие системы уравнений:

47. Разложить число 200 на два слагаемых, из которых одно делилось бы без остатка на 7, а другое на 13.

48. Сколькими и какими способами можно заплатить 149 руб. за билеты по 3 руб. и по 5 руб.?

49. Найти два числа, разность которых 10, зная, что уменьшаемое кратно 8, а вычитаемое кратно 17.

50. Сколькими и какими способами можно взвесить груз в 114 лгг, имея гири в 5 и Зкг?

51. Сколькими и какими способами можно взвесить груз в 87 кг, имея гири в 5 и 2 кг?

52. Двум артелям рабочих выдано 330 руб. Каждый рабочий первой артели получил 16 руб., а каждый рабочий второй 9 руб. Сколько было рабочих в каждой артели?

53. Сколько можно поместить пятикопеечных и двухкопеечных монет (бронзовых) на протяжении метра, полагая, что диаметр первых равен 25 мму а диаметр вторых 18 мм?

54. Дробь равна разности двух дробей, из которых у одной знаменатель 9, а у другой 13. Найти эти дроби.

55. При каком значении х дробь —^— обращается в положительное четное число?

56. Найти общий вид чисел, кратных 5, которые при делении на 8 дают в остатке 1.

57. Найти общий вид чисел, кратных 7» которые при делении на 5 дают в остатке 2.

58. При каком значении х дробь —у-— обращается в положительное число, делящееся на 4 с остатком 3?

59. Найти общий вид чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2, а при делении на 7 дают в остатке 3.

60. Найти общий вид чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 4, а при делении на 8 дают в остатке 3.

61. Стрелок за каждый удачный выстрел получает по 8 коп., а за каждый неудачный сам платит по 27 коп. Сделав некоторое число выстрелов, меньшее 120, он выручил 97 коп. Сколько было удачных выстрелов и сколько неудачных?

61. Ставится водопровод протяжением 105 м; на складе имеются трубы в 3 м и 4,5 м длины. Сколько и каких нужно поставить труб?

62. При вращении двух зацепляющихся зубчатых колес, из которых одно имеет 19 зубцов, а другое 23, первый зубец одного колеса попал в первый промежуток другого. Сколько полных оборотов должны сделать оба колеса, чтобы первый зубец попал опять в первый промежуток, сколько, чтобы попал во второй промежуток, в третий и т. д.?

63. При вращении двух зацепляющихся зубчатых колес, из которых одно имеет 25 зубцов, а другое 36, первый зубец одного колеса попал в первый промежуток другого. Сколько полных оборотов должны сделать оба колеса, чтобы первый зубец попал опять в первый промежуток, сколько, чтобы попал во второй промежуток, в третий и т. д.?

64. Найти трехзначное число, сумма цифр которого 16; если к этому числу прибавить 99, то получится число, обозначенное теми же цифрами в обратном порядке их.

65. Найти наименьшее из чисел, которые при делении на 3, 4, 5 дают в остатках 1, 2 и 3.

66. Найти общий вид чисел, которые, будучи кратны 5, при делении на 8, 11 и 3 дают остатки 1, 3 и 1.

67. Найти наименьшее из чисел, которые при делении на 5, 6, 7 и 8 дают остатки 3, 1, 0 и 5.

68. Заплатить 25 коп. монетами по 2, 3 и 5 копеек.

69. Цех завода из 75 рабочих был премирован за образцовую работу 200 руб. Решено их истратить на покупку театральных билетов. Сколько и каких придется приобрести билетов, если касса имеет билеты в 4 руб., 2 р. 75 к. и 2 руб.?

ГЛАВА XXII.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ.

Обратить следующие непрерывные дроби в простые:

Обратить следующие простые дроби в непрерывные:

Найти приближения к следующим непрерывным дробям и вычислить пределы ошибок этих приближений:

Найти приближения к бесконечным непрерывным дробям и определить пределы их ошибок:

Обратить следующие корни в непрерывные дроби:

Обратить следующие дроби в иррациональные выражения:

Решить в целых числах неопределенные уравиения:

Разложить в непрерывные дроби и вычислить приближенно следующие логарифмы:

Разложить в непрерывные дроби и вычислить приближенно корни уравнений:

37. В конце XIX столетия знаменитым химиком Д. И. Менделеевым в лаборатории палаты мер и весов было найдено с большой точностью, что 1 фунт = 0,40951241 кг и I аршин = 0,711200 м.

Для быстрого перевода, в особенности устного, эти числовые отношения сложны. Найти по три последовательных подходящих дроби, выражающие эти отношения, и указать степень точности.

38. Отношение длины окружности к диаметру приближенно равно 3,1415926535; обратить его в непрерывную дробь и найти для нее пять последовательных подходящих с указанием степени точности каждой.

ГЛАВА XXIII.

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ.

§ 1. Исследование уравнений 1-й степени с одним неизвестным.

Определить, при каких значениях а нижеследующие уравнения имеют положительные решения:

Определить, при каких значениях а нижеследующие уравнения имеют отрицательные решения:

Нижеследующие уравнения, имеющие отрицательные решения, изменить так, чтобы решения их сделались положительными:

Исследовать, при каких значениях буквенных количеств, входящих в нижеследующие уравнения, эти уравнения имеют положительные, отрицательные, нулевые, бесконечные и неопределенные решения:

15. Две партии рабочих получили вместе 120 руб.; каждый рабочий первой партии получил 7 руб., а каждый рабочий второй 5 руб.; во второй партии было тремя рабочими больше, чем в первой. Сколько было рабочих в каждой партии?

16. Определить двузначное число, в котором число десятков вдвое меньше числа простых единиц, а разность между числами единиц и десятков составляет 6.

Решить и исследовать следующие общие задачи, приводящие к буквенным уравнениям:

17. В одном резервуаре налито а ведер, а в другом Ь ведер воды. Каждый час прибавляется в первый по m ведер, а во второй по п ведер. Через сколько часов количества ведер в обоих резервуарах сравняются?

18. Отцу а лет, сыну Ь лет. Через сколько лет отец будет в к раз старше сына?

19. Какое число нужно вычесть из чис л а и b для того, чтобы отношение разностей оказалось равным k?

20. Переднее колесо повозки имеет в окружности а метров, заднее b метров. Как велик путь, на котором переднее колесо сделает одним оборотом больше заднего?

21. Какое число нужно приложить к числителю и знаменателю дроби у, чтобы она обратилась в дробь — ?

22. В а литрах воды растворено b граммов соли; сколько нужно прибавить воды, чтобы на каждый литр приходилось m граммов соли?

23. Разложить число а на две части так, чтобы сумма произведений первой части на m и второй на п была равна сумме произведений первой части на р и второй на q.

24. В треугольнике ABC даны стороны: AB —с, АС = Ь и ВС—а. Проведя равноделящую внешнего угла при вершине С, отметить точку пересечения этой равноделящей с продолжением стороны AB. Определить расстояние AD.

§ 2. Исследование системы уравнений 1-й степени с двумя неизвестными.

25. Определить, при каких значениях а система уравнений х-\-у = а и Ъх-\-2у=\0 дает положительные решения.

26. Определить, при каких значениях а система уравнений 4х— З.у = 6 и —5х-\-ау = Ъ дает отрицательные решения.

27. Определить значение а, при котором система уравнений Зл* — 7у=15 и 46;c-{-öy = 60 не имеет решений.

28. Определить значение а, при котором система уравнений 2х -Ь 5у « 7 и 7х — ау = 9 не имеет решений.

29. Определить значение а и Ь, при которых система уравнений ах — Ьу—\Ъ и 4х-f-by = 2 имеет бесчисленное множество решений.

30. Определить значения а н Ь, при которых система уравнений ак—у — Ь и 4х~{-Зу—10 имеет бесчисленное множество решений,

§ 3. Исследование уравнений 2-й степени.

В нижеследующих задачах определить условия, при которых корми уравнений будут действительными и положительными, а также подыскатъ для корней некоторые соизмеримые целые значения, соответствующие ч четным предположениям.

31. Найти два числа, сумма которых a, a произведение Ь.

32. В данный квадрат, сторона которого я, вписать другой квадрат, сторона которого Ь.

33. По данной гипотенузе а построить прямоугольный треугольник, равновеликий квадрату, сторона которого Ь.

34. Даны круг радиуса R и вне его точка на расстоянии d от центра. Провести через эту точку секущую к кругу так, чтобы ее внутренний отрезок равнялся радиусу круга.

35. Вписать в круг радиуса R прямоугольник, площадь которого была бы равна площади квадрата со стороной к.

В нижеследующих уравнениях 2-й степени с двумя неизвестными требуется определить те действительные значения переменного х9 при которых переменное у также действительно:

ГЛАВА XXIV.

ПРЕДЕЛЫ.

Найти пределы:

Найти пределы сумм членов бесконечно убывающих прогрессий:

Если h приближается к нулю, то какие из следующих величин будут бесконечно малыми?

К каким пределам стремятся следующие выражения при х—► ()?

27. Найти предел произведения:

ОТВЕТЫ.

Глава IX.

Глава X.

4. На биссектрисе 1-го и 3-го квадрантов.

5. На биссектрисе 2-го и 4 го квадрантов. 30» На расстоянии 22 км через 2 ч. 40 м. 31. Приблизительно начиная с = 7,15.

Глава XI.

117. Отрезок надо разделить пополам.

118. Стороны прямоугольника таковы:

получится квадрат,

Глава XII.

Глава XIII.

Глава XIV.

Глава XV.

Глава XVI.

Глава XVII.

Глава XVIII.

Глава XIX.

Глава XX.

Глава XXI.

Глава XXII.

Глава ХХШ.

Глава XXIV.

СОДЕРЖАНИЕ.

Глава IX. Иррациональные выражения (1 —28).

9 1. Общие сведения о корнях. Извлечение корня из одночлена (3). § 2. Вывод множителя и8-п д радикала и введение множителя под радикал (5). § 3. Сокращение показателей корней и приведение радикала к общему показателю (7). § 4. Приведение корней к нормальному виду (8). § 5. Подобие корней (9). § 6. Сложение и вычитание корней (10). § 7. Умножение и деление корней (12). § 8. Возведение корней в степень и извлечение из них корня (16). § 9. Уничтожение иррациональности и знаменателе дроби (18). § 10. Квадратный корень из двучлена вид • kdaVВ (20). § 11. Задачи на все действия над радикалами (20). § 12. Степени и корни с дробными показателями (2л). § 13. Мнимые числа (2 >).

Глава X. Функции и их графики (28 — 32)

Глава XI. Квадратные уравнения (32 — 42).

§ 1. Решение буквенных квадратны* уравнений (32). § 2. Свойства корней квадратного уравнения ( >4). § 3. Составление буквенных квадратных уравнений (37). § 4. График квадратной функции. Графическое решение квадратного уравнения (39).

Глава XII. Уравнения высших степеней (42 — 47).

§ 1. Биквадратное уравнение (\2\ § 2. Двучленное уравнение (43). § 3. Трехчленное уравнение (44>. § 4. Уравнения, левая часть которых разлагается на множителя (44). § 5. Возвратное, или симметричное, уравнение (45).

Глава XIII. Иррациональные уравнения (47 — 49).

Глава XIV. Системы уравнений степени выше первой (49 — 64).

§ 1. Решение систем уравнений (49). § 2. Составление систем уравнений (€0). § 3. Графическое решение систем уравнений с двумя неизвестными 2-й степени (64).

Глава XV. Прогрессии (64 — 76).

§ 1. Арифметическая. или разностная, прогрессия (64). § 2. Геометрическая, или кратная, прогрессия (0).

Глава XVI. Логарифмы (76 — 93).

§ 1. Общие свойства логарифмов (76). § 2. Десятичные логарифмы (83). § 3. Показательные и логарифмические уравнения (89). § 4. Задачи на сложные проценты (92),

Глава XVII. Соединения (94 — 96).

Глава XVIII. Бином Ньютона (97 — 98).

Глава XIX. Делимость многочленов (98 — 99).

Глава XX. Неравенства (99 — 102).

Глава XXI. Решение неопределенных уравнений первой степени (102 — 105).

Глава XXII. Непрерывные дроби (105 — 107).

Глава XXIII. Исследование уравнений (107 —109).

§ 1. Исследование уравнений 1-й степени с одним неизвестным (107). § 2. Исследование системы уранений 1-й степени с двумя неизвестными (108). § 8. Исследование уравнений

2-й степени (109) .

Глава XXIV. Пределы (109 — 110).

Ответы (111 - 131),