Шапошников Н. А., Вальцов Н. К. Сборник алгебраических задач : для 6-го и 7-го классов / [объяснит. текст под ред. И. А. Гибша]. — 4-е изд., [изм.]. — М. : Учпедгиз, 1935. — 152 с.

Н. А. ШАПОШНИКОВ и Н. К. ВАЛЬЦОВ

СБОРНИК АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА 1935

Н. А. ШАПОШНИКОВ и Н. К. ВАЛЬЦОВ

СБОРНИК АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ДЛЯ 6-го и 7-го КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ИЗДАНИЕ 4-е,

Утверждено Наркомпросом РСФСР

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА 1935

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА.

В настоящем издании внесены следующие изменения по сравнению с изданием 1933 г,

1. Объяснительный текст переработан под редакцией доцента И, А, Гибша. Даны точные формулировки определений основных понятий и правил алгебраических преобразований и действий.

2. Задачи на действия с относительными числами выделены в отдельную главу 1а, число примеров увеличено.

3. Нумерация задач во всех главах, кроме первой, полностью совпадает с нумерацией в предыдущем издании, что позволяет одновременно пользоваться обоими изданиями.

4. В тех случаях, где номера задач полностью не совпадают (глава I), задачи имеют двойную нумерацию: рядом с новым номером поставлен в скобках номер, под которым задача дана в предыдущем издании. Вновь введенные задачи отмечены звездочкой.

5. Увеличено число ответов.

Ответств. редактор В. Т. Снигирев Техн. редактор И. И, Кутин

Подписано к печати с матриц 7/1—1935 г.

Формат бумага 82xH0/ai. Бумага ролевая ф-ки «Красногородка» Тираж 700.(00 (1-150 тыс.) экэ.

Изд. листов 9'/2« Бум. листов 2*/* Авт. лист. 10,47(181 000 зы. в бум. листе)

Цена 90 коп., перепл. 25 коп.

У-21. Учпедгиз M 659!. Заказ 22 Уполя. Тал влита Б-40383.

18-я тип. треста «Полиграфкнига», Москва, Варгунихина гора, В

ГЛАВА I.

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

§ 1. Алгебраические выражения.

Для того чтобы составить обозначение суммы, разности, произведения и частного двух чисел, обозначенных буквами а и Ь, достаточно соединить эти буквы знаками соответствующих действий. Этим путем получаются обозначения:

Для того чтобы составить обозначение результата совокупности действий, выполненных в определенном порядке над несколькими числами, достаточно последовательно обозначить результаты этих действий в том порядке, в котором эти действия были выполнены. Например, каждое из обозначений:

выражает результат двух действий, выполненных над числами я, Ь% с.

Совокупность чисел и букв (обозначающих числа), соединенных между собою посредством знаков, которые указывают, какие действия и в каком порядке надо произвести над данными числами, называется алгебраическим выражением.

В алгебре употребляются те же знаки действий, что и в арифметике. Но знак умножения (точка или крестик) обычно опускается, так что если между числом и буквою или между двумя буквами не поставлен знак, то подразумевается знак умножения.

Если алгебраическое выражение задано в словесной форме, то, употребляя буквы и знаки действий, можно представить его в алгебраической форме.

1. Написать сумму чисел а и Ь.

2. Написать разность чисел /я и я.

3. Написать произведение чисел а и о.

4. Написать частное от деления числа m на число п.

5. Написать сумму чисел а и 2.

6. Написать частное от деления числа а на 2.

7. Написать сумму чисел я, b и с.

8. Написать произведение чисел a, b и с.

9. Написать сумму числа а с произведением чисел b и с.

9. Написать разность между произведением чисел m на п и числом р.

10. Написать сумму числа а с частным от деления числа £ на число с.

10. Написать разность между частным от деления числа m на число п и числом р.

11. Написать частное отделения произведения чисел а и £ на число с.

11. Написать частное от деления числа р на разность чисел m и л.

12. Написать частное от деления произведения чисел а и b на произведение чисел cud.

12. Написать частное от деления 1 на произведение чисел а, b и с. j

13. Написать сумму числа а и — .

14. Написать произведение чисел — и а.

14. Написать произведение чисел -g-, /и, п и р.

15. Написать полусумму чисел а и Ь.

15. Написать полуразность чисел m и я.

16. Написать полупроизведение чисел а и Ь.

17. Написать сумму числа а и частного от деления числа b на 2.

17. Написать разность между частным от деления 2 на m и числом л.

18. Написать число, большее числа а на число Ь.

18. Написать число, меньшее числа m на число л.

19. Написать число, меньшее числа а в m раз.

19. Написать число, большее числа b в п раз.

20. Сумма двух чисел s; одно из них а. Выразить другое число.

20. Разность двух чисел d; вычитаемое Ь. Выразить уменьшаемое.

21. Разность двух чисел Ь; уменьшаемое а. Выразить вычитаемое.

21. Произведение двух чисел р\ одно из них а. Выразить другое.

22. Частное двух чисел q; делитель Ь. Выразить делимое. 22. Частное двух чисел q; делимое а. Выразить делитель.

23. Написать общую форму всякого четного числа. 24о Написать общую форму всякого нечетного числа. 25. Написать общую форму числа, кратного 3. 25. Написать общую форму числа, дающего при деле ши на 3 в остатке 1.

27 (32). Выразить, сколько единиц содержит число, состоящее из а десятков.

28 (32). Выразить, сколько единиц содержит число, состоящее из Ь сотен.

29 (33). Выразить, сколько единиц содержит число, состоящее из а десятков и Ь единиц.

30 (34). Выразить, сколько единиц содержит число, состоящее из а сотен и Ь единиц.

31 (34). Выразить, сколько единиц содержит число, состоящее из а сотен, b десятков и с единиц.

32 (34). Выразить, сколько единиц содержит число, написанное теми же цифрами, как и в предыдущей задаче, но расположенными в обратном порядке.

33 (36). Написать число с а сотнями и b десятками.

33 (36), Написать число с а тысячами и b десятками.

34 (37). Сколько минут в а часах и b минутах?

34 (37). Сколько минут в m часах, / минутах и р секундах?

35 (38). Сколько миллиметров в а метрах, b сантиметрах и с миллиметрах?

36 (38). Сколько метров в а сантиметрах?

37.* Сколько килограммов в а тоннах, b центнерах и с килограммах?

38.* Сколько тонн в m килограммах? 39. Сколько килограммов в п граммах?

39. Сколько граммов в р килограммах и q граммах?

40. Вычислить р процентов числа а. 40. Вычислить q процентов числа 240.

§ 2. Алгебраические формулы.

Алгебраическая запись, выражающая посредством букв и математических знаков какое-нибудь соотношение (какую-нибудь зависимость, связь) между числами или результатами действий над числами, называется формулой. Если это соотношение выражено посредством знака равенства, то формула называется равенством; если же соотношение выражено посредством знака неравенства, то формула называется неравенством. Например, формула s — bh выражает зависимость между основанием Ь% высотою h \\ площадью

5 прямоугольника, а формула s = vt выражает зависимость между скоростью V равномерного движения, промежутком времени /, в течение которого происходило движение, и пройденным за этот промежуток времени путем .s. Формула а+ £ = а выражает ту мысль, что сумма двух слагаемых не зависит от порядка, в кототором выполняется сложение. Формула abc = cöa выражает то же свойство произведения трех сомножителей Формула a + b<ab выражает связь между суммою и произведением любых двух чисел, превосходящих число 2.

Записать формулами следующие зависимости между числами

41. Сумма чисел а и b равна .s.

41. Разность между числами а и b равна d.

42. Произведение чисел а и b равно р.

42. Частное от деления числа а на число b равно q.

43. Число а, увеличенное на число Ь, равно произведению чисел рид.

43. Число а, уменьшенное на число Ь, равно частному от деления с m d.

44. Число а, увеличенное в п раз, равно числу Ь.

44. Число а, уменьшенное в п раз, равно числу с.

45. Число а более числа b на число с.

45. Число а менее числа b на число г.

46. Число с более числа d в m раз.

46. Число с менее числа d в п раз.

47. Число а более числа b в 10 раз.

47, Число а менее числа b в 100 раз.

48. Число а более произведения чисел b и с на число d.

48. Число а менее произведения чисел b и с на число d.

49. Сумма чисел а и b более их разности.

49. Разность чисел с и d менее их суммы.

50. Частное от деления a m b менее полусуммы этих чисел.

50. Произведение чисел b более их полусуммы.

51. Сумма частных от деления а на b и b на а более 2.

51. Число 2 менее разности частных от деления а на b и b m а.

52. Если к числу, содержащему а десятков и b единиц, прибавить число т, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке.

52. Если из числа, содержащего а десятков и b единиц, вычесть число я, то получится число, вдвое меньшее начального.

53*. По плану завод должен выпускать в день а автомобилей. Фактически завод выпускает в среднем b автомобилей в день, перевыполняя дневную норму на m автомобилей. Выразить зависимость между a, b и т.

53*. Колхоз засеял m гектаров вместо п гектаров, предположенных по плану, перевыполнив плановое задание на р гектаров. Выразить зависимость между тл п и р.

54. Автомобиль в t часов проехал а километров, делая в час по d километров. Выразить зависимость между числами а и d.

54. Куплено а килограммов товара по m рублей за килограмм, и за все заплачено s рублей. Выразить зависимость между числами a, m и s.

55*. Тарифная ставка рабочего а рублей в месяц. Приработок составляет р процентов ставки. Фактический заработок m рублей. Выразить зависимость между a, m и р.

55*. В группе а учащихся. Из них на субботник выделено b человек, что составляет р процентов общего числа учащихся группы. Выразить зависимость между я, b и р.

§ 3. Коэфициент.

Если алгебраическое выражение представляет собою произведение буквенных и числовых множителей, то, изменяя порядок сомножителей, можно все числовые множители поместить впереди буквенных множителей и, перемножив их, заменить всю группу числовых множителей их произведением. Например, произведение За2Ь3~с можно представить сперва в виде 3«-^- a2b*c, а затем в виде ~^а2Ь3с.

Числовой множитель, стоящий перед буквенным множителем или перед произведением буквенных множителей, называется коэфициентом.

Если коэфициент есть целое число, то он указывает, сколько раз повторяется слагаемым буквенное выражение, перед которым он стоит. Например:

ЗаЧ = (аЧ). 3 = аЧ +■ аЧ + аЧ.

Если коэфициент есть дробное число, то он указывает, какая дробь берется от буквенного выражения, перед которым он стоит. Например:

Коэфициент 1 обычно опускается; например, вместо Ьа8£* пишут а862.

Написать сокращенно при помощи коэфициентов следующие выражения:

Написать без коэфициентов следующие выражения:

§ 4. Степень.

Если некоторое число повторяется сомножителем несколько раз, то для сокращенного обозначения такого произведения пишут это число один раз, а над ним справа пишут другое число, указывающее, из скольких равных сомножителей составлено произведение; например, вместо 3-3-3-3 пишут З4; вместо а-а-а пишут а3.

Произведение нескольких равных сомножителей называется степенью] число, повторяющееся сомножителем, называется основанием степени,) а число, показывающее, сколько раз основание повторяется сомножителем, называется показателем степени. Так, в выражении З4 число 3 есть основание, число 4 есть показатель степени, а произведение З4, равное 81, есть степень.

Число 52 есть 5 во второй степени, или вторая степень числа 5. Число 73 есть 7 в третьей степени, или третья степень числа 7.

Вообще, выражение ат читается так: а в степени m или яг-ая степень числа а. Вторая степень называется часто квадратом, а третья — кубом; например, а2 читают: а в квадрате, № читают: b куб.

Во многих случаях оказывается удобным заменять букву а выражением а1, называемым первой степенью числа а.

Умножение равных множителей является пятым по порядку математическим действием и называется возвышением или возведением в степень.

Упростить следующие выражения введением показателей степени:

Написать следующие выражения без показателей:

Найти числовые значения степеней:

Ввести коэфициент и показатели в выражениях:

Написать без коэфициентов выражения:

Написать без показателей выражения:

Написать без коэфициентов и без показателей выражения:

§ 5. Корень.

Число а, я-ая степень которого равна числу Ь9 называется корнем п-ой степени из числа Ь. Иначе говоря, число а есть корень л-ой степени из числа b в том случае, если аа = Ь. Например, 2 есть корень третьей степени из числа 8, так как 23 = 8.

Из этого определения следует, что найти корень данной степени из данного числа — значит по данной степени некоторого числа и данному показателю этой степени найти число, которое было возвышено в степень.

Действие, с помощью которого по данной степени некоторого числа и данному показателю этой степени находится основание данной степени, называется извлечением корня п-ой степени из данного числа; при этом данная степень называется подкоренным числом, а данный показатель степени — показателем корня.

Извлечение корня обозначается знаком |/ ; под горизонтальной чертой этого знака пишут подкоренное число, а в отверстии его — показатель корня.

Равенство yrb = a имеет тот же смысл, что и равенство ап = Ь.

В примере )/б4 = 4 число 64 есть подкоренное число, число 3 есть показатель корня, а число 4 есть корень третьей степени из числа 64.

Корень с показателем 2 называется иначе квадратным корнем; корень с показателем 3 называется иначе кубическим корнем. Показатель 2 в обозначении квадратного корня опускается.

Разложить следующие числа на 2 равных множителя:

Разложить следующие числа на 3 равных множителя:

Разложить следующие числа на 4 равных множителя:

Найти указанные корни:

§ 6. Порядок действий. Скобки.

Сложение и вычитание называются действиями первой ступени, умножение и деление — действиями второй ступени, возвышение в степень и извлечение корня — действиями третьей ступени.

При обозначении с помощью алгебраического выражения результата какой-либо совокупности действий, выполненных в определенном порядке над несколькими числами, соблюдают следующие правила :

Правило 1. Если над результатом действия какой-либо ступени выполняется действие предыдущей ступени, то результат первого действия не заключается в скобки. Например;

Правило 2, Если над результатом действия какой-либо ступени выполняется действие следующей ступени, то результат первого действия заключается в скобки. Например:

Но в случае, если согласно этому правилу в скобки должны быть заключены числитель или знаменатель дроби или выражение, находящееся под знаком корня, то скобки опускаются; в этом случае роль скобок играет черта. Например:

Правило 3. Если над результатом действия какой-либо ступени выполняется действие той же ступени, то результат первого действия заключается в скобки. Например:

Но если результат первого действия служит во втором действии первым слагаемым, уменьшаемым, множимым или делимым, то скобки обычно опускаются, так как отсутствие скобок не может повести к недоразумениям. Например:

При чтении алгебраического выражения словами или при задании его в словесной форме названия действий произносятся в порядке, обратном тому порядку, в котором они должны быть выполнены.

Например, выражение а2-\-Ь2 читается так: сумма квадратов чисел а и Ь.

Прочесть словами следующие выражения:

Указать порядок действий в нижеследующих выражениях:

Записать с помощью букв следующие алгебраические выражения:

196. Произведение некоторого числа на сумму двух других чисел.

196. Произведение некоторого числа на разность двух других чисел.

197. Квадрат суммы двух чисел. 197. Квадрат разности двух чисел.

198. Куб разности двух чисел. 198. Куб суммы двух чисел.

199. Разность квадратов двух чисел. 199. Сумма квадратов двух чисел.

200. Сумма кубов двух чисел. 200. Разность кубов двух чисел.

201. Произведение кубов двух чисел.

201. Куб произведения двух чисел.

202. Разность я-ых степеней двух чисел.

202. «-ая степень разности двух чисел.

203. Произведение я-ых степеней двух чисел.

203. я-ая степень частного двух чисел.

204. Произведение я-ых степеней четырех чисел.

204. /г-ая степень суммы четырех чисел.

205. Произведение суммы двух чисел на их разность.

205. Частное от деления разности двух чисел на их сумму.

206. Удвоенный квадрат суммы двух чисел.

206. Утроенный куб разности двух чисел.

207. Квадрат утроенной суммы двух чисел.

207. Куб удвоенной разности двух чисел.

208. Утроенный квадрат произведения двух чисел.

208. Квадрат утроенного произведения двух чисел.

209. Куб удвоенной разности двух чисел.

209. Квадрат утроенной суммы двух чисел.

210. Удвоенная я-ая степень разности двух чисел.

210. Утроенная /z-ая степень суммы двух чисел.

211. Удвоенная разность кубов двух чисел.

211 Утроенная сумма квадратов двух чисел.

212. Квадрат суммы удвоенного числа а и числа Ь,

212. Куб разности между утроенным числом а и числом Ь.

213. Сумма квадратов сумм а-\-Ь и c-\-d.

213. Разность кубов разностей m — п и р — q.

214. Квадрат полусуммы двух чисел.

214. Квадрат полуразности двух чисел.

215. Квадрат учетверенной суммы двух чисел.

215. Куб учетверенной разности двух чисел.

216. Произведение суммы четвертых степеней двух чисел на разность четвертых степеней тех же чисел.

216. Частное от деления разности кубов двух чисел на сумму кубов тех же чисел.

217. Кубический корень из суммы кубов двух чисел.

217. Квадратный корень из разности квадратов двух чисел,

218. Квадратный корень из утроенной суммы двух чисел,

218. Кубический корень из удвоенной разности двух чисел.

219. Кубический корень из квадрата суммы двух чисел,

219. Квадратный корень из куба разности двух чисел.

220. Корень четвертой степени из частного от деления некоторого числа на сумму двух других чисел,

220. Корень кубический из произведения некоторого числа на разность двух других чисел.

221. Корень пятой степени из утроенного частного от деления суммы квадратов двух чисел на квадрат разности тех же чисел.

221. Корень пятой степени из полупроизведения разности квадратов двух чисел на квадрат суммы тех же чисел.

222. Корень п-ой степени из суммы четных степеней двух чисел.

222. Корень я-ой степени из разности нечетных степеней двух чисел.

223. Корень четной степени из произведения суммы четных степеней двух чисел на разность нечетных степеней тех же чисел.

224 (223). Корень нечетной степени из частного от деления разности нечетных степеней двух чисел на сумму четных степеней тех же чисел.

225 (224). Кубический корень из квадрата числа, имеющего а сотен, b десятков и с единиц.

226 (224). Квадратный корень из куба числа, имеющего а сотен и b единиц.

227 (225). Выразить число, у которого цифра единиц есть а, цифра десятков двумя больше, а цифра сотен тремя меньше цифры единиц.

228 (225). Выразить число, у которого цифра сотен есть а, цифра десятков двумя меньше, а цифра единиц тремя больше цифры сотен.

229 (226). Выразить произведение трех последовательных целых чисел, начиная с целого числа а.

230. (226). Выразить произведение трех последовательных целых чисел, предшествующих целому числу а,

231 (227), Выразить произведение трех последовательных возрастающих четных чисел, начиная с числа 2п,

232 (228). Выразить произведение трех последовательных убывающих четных чисел, начиная с числа 2л,

§ 7. Подстановки.

233 (229). В выражении 2х2у* подставить а-\-Ь вместо X и ab вместо у.

234 (229.) В выражении Зх3у2 подставить а — b вместо х и <|- вместо у.

235 (230). В выражении Злу/2 + 4х2у подставить а£с вместо ума — b вместо лг.

236 (230). В выражении 4х2у— Зху2 подставить у вместо х »а — b вместо у.

237 (231). В выражении 8 подставить а — b \с вместо X и 2а -|- 3 вместо j;. •* ^

238 (231). В выражении ^ш~^у9 подставить а-\-Ь—с вместо у и 26 — 3 вместо х.

§ 8. Общие формулы решения арифметических задач.

Решить следующие арифметические задачи на буквах:

239*. В школе-семилетке m учащихся. Во II ступени на п учащихся меньше, чем в I. Сколько учащихся в I ступени?

240*. На фабрике работают 5 человек, из них подсобных рабочих р процентов. Сколько на фабрике подсобных рабочих?

241 (234). Смешаны а килограмм чаю ценою по b рублей за 1 кг и с килограмм чаю ценою по d рублей за 1 кг, и вся смесь продана с прибылью в р процентов. За сколько продали килограмм смеси?

242 (235). Число m разделить на 2 части так, чтобы одна часть была вдвое более другой.

243 (235). Число п разделить на две части так, чтобы одна часть была втрое меньше другой.

244 (236). Составить выражение для площади фигуры (черт. 1), разбив ее на два прямоугольника.

245 (237). Составить выражение для площади той же фигуры, рассматривая ее как разность площадей двух прямоугольников. (Сравнить полученные результаты).

Черт. 1.

246 (238). Нескольким рабочим вместе заплачено а рублей; из них b рабочих получили по с рублей каждый. Сколько получили остальные рабочие?

247 (239). Ванна наполняется одним краном в отдельности в а минут, другим в отдельности в b минут. Во сколько времени наполнится ванна при совместном действии двух этих кранов?

248 (239). Каждый из трех рабочих в отдельности может вымостить определенный участок в а дней, b дней и с дней. Во сколько времени вымостят этот участок все трое рабочих?

249 (240). Разбить число m на 4 части, прямо пропорционально числам a:b:c:d.

250 (241). Из двух пунктов, находящихся на расстоянии d километров друг от друга, выходят одновременно друг другу навстречу два поезда со скоростями в а и b километров в час. Через сколько часов они встретятся?

251 (241). Из двух пунктов выходят одновременно друг другу навстречу два поезда со скоростью в а и b километров в час и встречаются через t часов. Каково расстояние между пунктами?

252 (242). Бассейн объемом в р куб. метров наполняется насосом водою в а часов. В какое время наполнится водою тем же насосом другой бассейн объемом в q куб. метров?

253 (243). Экипажу корабля отпущена провизия на а дней. Тотчас же по отбытии обнаружилось, что экипажу придется пробыть в море на b дней больше, чем предполагалось. Какую часть намеченной порции придется получать каждому участнику экипажа?

§ 9. Вычисление алгебраических выражений.

Если мы вместо букв, входящих в алгебраическое выражение, подставим данные числовые значения этих букв и выполним все указанные действия, то полученное в результате этих действий число называется числовым значением алгебраического выражения при данных значениях букв.

При нахождении числового значения алгебраического выражения действия выполняются в следующем порядке:

1) если выражение не содержит скобок, то сперва производят действия третьей ступени (возвышение в степень и извлечение корня), затем — действия второй ступени (умножение и деление) и, наконец, действия первой ступени (сложение и вычитание); при этом действия одной и той же ступени производятся в том порядке, в котором они записаны; такой порядок действий называется нормальным;

2) если же выражение содержит скобки, то это обозначает, что требуется отступить от нормального порядка действий; в этом случае сперва выполняют все действия над числами, которые заключены в скобки, а затем — все остальные действия, причем как первая, так и вторая группы действий выполняются в нормальном порядке;

3) черта в обозначениях дроби и корня заменяет скобки. Найти числовые значения алгебраических выражений при заданных числовых значениях букв:

ГЛАВА Ia

ДЕЙСТВИЯ НАД ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ.

§ 1. Понятие об относительном числе. Числовая ось.

1*. Записать с помощью относительных чисел следующие показания термометра: 4° тепла, 17° тепла, 9° мороза, 16° мороза, 30° тепла.

2*. Отметить на числовой оси точки, соответствующие числам: -J- 10; + 4; — 7;— 10,2; + 5,4;~ 12,6. Масштаб: 1 единица в 0,5 см.

3*. Принимая на числовой оси масштаб: единица в 0,5 см, записать относительные числа, соответствующие следующим точкам: 1) точке В, расположенной справа от начала на расстоянии 3,5 см; 2) точке КУ лежащей слева от начала на расстоянии 4,5 см; точке О — началу оси.

4*. В профсоюзе в начале года было р членов, а к концу года оказалось q членов. На сколько человек увеличилось число членов профсоюза? Объяснить значение ответа при р = 5000, q — 5200 и при /7 = 5000, ? = 4980.

5*. В городе в течение года прибыло а новых жителей и выбыло b человек. На сколько увеличилось народонаселение города в год? Объяснить значение ответа при а = 2000, £ = 3000 и при а = 2500, £ = 2000.

§ 2. Сложение и вычитание относительных чисел.

Для того чтобы сложить два относительных числа с одинаковыми знаками, надо сложить абсолютные величины этих чисел и перед найденной суммой поставить общий знак обоих слагаемых.

Например:

Для того чтобы сложить два относительных числа с разными знаками, надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую абсолютную величину и перед найденной разностью поставить знак того числа, которое имеет большую абсолютную величину. Например:

Произвести сложение:

Для того чтобы сложить несколько чисел, надо сложить первые два из них, к полученной сумме прибавить третье число, к новой сумме прибавить четвертое число и т, д. Например:

Основное свойство суммы состоит в том, что сумма не изменяется при всяких перестановках слагаемых и при замене какой угодно группы слагаемых их суммой. На основании этого свойства для нахождения суммы нескольких слагаемых поступают так: сперва находят отдельно сумму всех положительных и сумму всех отрицательных слагаемых, а затем складывают полученные суммы.

Вычислить:

Для того чтобы вычесть из одного относительного числа другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например:

Вычислить:

Ряд относительных чисел, соединенных между собою знаками -|-или —, называется алгебраической суммой этих чисел*

Для нахождения алгебраической суммы нескольких чисел достаточно заменить каждое вычитание прибавлением противоположного числа, а затем найти сумму всех слагаемых по правилу, указанному на стр. 20. Например:

Произвести сложение и вычитание:

§ 3. Умножение и деление относительных чисел.

Для того чтобы перемножить два относительных числа с одинаковыми знаками, надо перемножить их абсолютные величины и перед найденным произведением поставить знак-|-. Например:

Для того чтобы перемножить два относительных числа с разними знаками, надо перемножить их абсолютные величины и перед найденным произведением поставить знак —. Например:

Для того чтобы перемножить несколько сомножителей, достаточно перемножить их абсолютные величины и перед произведением поставить знак -J- в случае, если число отрицательных сомножителей четное, и знак — в случае, если число отрицательных сомножителей нечетное.

Произвести умножение:

Для того чтобы разделить одно число (делимое) на другое (делитель), надо разделить абсолютную величину делимого на абсолютную величину делителя и перед найденным частным поставить знак-|-в случае, если оба данных числа имеют одинаковые знаки, и знак—в случае, если они имеют разные знаки. Например:

Произвести деление:

ГЛАВА II

ДЕЙСТВИЯ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ И МНОГОЧЛЕНАМИ.

§ 1. Приведение подобных членов многочлена.

Два одночлена называются подобными, если они совсем не отличаются один от другого или же отличаются только коэфициентами. Если в многочлене имеются подобные члены, то сумму этих подобных членов можно заменить одним членом, который подобен каждому из данных членов и коэфициентом которого служит сумма коэфициентов заменяемых подобных членов.

Такая замена суммы подобных членов одним членом называется приведением их. Например, в многочлене

7а?Ь — ЗаЬс — 4а2Ь -\- 2а2Ь — ЪаЬс

имеются две группы подобных членов: во-первых, 7агЬ,— 4а2Ь ч-\-2а2Ь и, во-вторых, — Заде и —ЪаЬс. Складывая коэфициенты+7,— 4 и 4-2, получаем число + 5; следовательно, сумма членов первой группы может быть заменена членом Ьа2Ь. Складывая коэфициенты —3 и —5, находим число —8, откуда следует, что сумма членов второй группы может быть заменена членом —Sabc. Поэтому данный многочлен после приведения его членов обращается в двучлен 5а2Ь —Sabc.

Сделать приведение подобных членов:

Черт. 2. Черт. 3.

42. Квадрат разбит на части, как указано на чертеже 2. Найти площадь каждой части и затем площадь всего квадрата.

43. Квадрат разбит на части, как показано на чертеже 3. Найти площадь каждой части, а затем, площадь всего квадрата.

§ 2. Сложение и вычитание одночленов и многочленов.

Для того чтобы к одночлену или многочлену прибавить одночлен, достаточно к первому слагаемому приписать прибавляемый одночлен с его знаком (т. е. со знаком его коэфициента).

Для того чтобы к одночлену или многочлену прибавить многочлен, достаточно к первому слагаемому приписать последовательно

все члены прибавляемого многочлена с их знаками (т. е. со знаками их коэфициентов).

Для того чтобы из одночлена или многочлена вычесть одночлен, достаточно к уменьшаемому прибавить вычитаемый одночлен с противоположным знаком (т. е. со знаком, противоположным знаку его коэфициента).

Для того чтобы из одночлена или многочлена вычесть многочлен, достаточно к уменьшаемому прибавить последовательно все члены вычитаемого многочлена с противоположными знаками (т. е. со знаками, противоположными знакам их коэфициентов).

№ 44—53 перенесены в главу 1а под № 6—12; 26 -27.

Произвести вычитание:

Произвести сложение и вычитание:

Произвести сложение одночленов:

Произвести вычитание одночленов:

Произвести сложение многочленов:

Произвести вычитание многочленов:

§ 3. Раскрытие скобок и заключение в скобки.

Если часть многочлена заключена в скобки и перед скобками стоит знак -|-, то можно скобки вместе со знаком перед ними опустить и все члены, стоящие в скобках, переписать с их знаками. Например:

а -\- (Ь — с) — а -\- b — с.

Если часть многочлена заключена в скобки и перед скобками стоит знак—, то можно скобки вместе со знаком перед ними опустить и все члены, стоящие в скобках, переписать с обратными знаками. Например:

а — (Ь — с)— а — b -\-с.

Обратно, если весь многочлен или часть его требуется заключить в скобки, то в случае, если перед скобками ставится знак -f-, у всех членов, заключаемых в скобки, сохраняются их знаки, а в случае, если перед скобками ставится знак —, у всех членов, заключаемых в скобки, знаки изменяются на обратные.

Первое из указанных преобразований называется раскрытием скобок, а второе — заключением в скобки.

Раскрыть скобки:

142. Не изменяя значения многочлена х—y-\-z— «, представить его в различных видах, поставив скобки: 1) перед х и после а, 2) перед z и после и, 3) перед х и после z9 4) перед у и после и.

142. Не изменяя значения многочлена — хА~у— z-\-uf представить его в различных видах, поставив скобки: 1) перед х и после и, 2) перед z и после и% 3) перед х и после гг А) перед у и после и.

143. Не изменяя величины многочлена т2 — Зп2 -|~ 4р2 — 5q2 — г2, поставить скобки: \) перед Зп2 и после 4p2, 2) перед 5д2 и после г2, 3) заключить весь многочлен в скобки и перед ними поставить знак —.

143. Не изменяя величины многочлена — а2-}-2£2— Зс2 —{— 4- 4а*2 -j-r2, поставить скобки: 1) перед 2£2 и после Зс2, 2) перэд Зс2 и после г2, 3) заключить, весь многочлен в скобки и перед ними поставить знак — .

144. Не изменяя величины многочлена а3— a2b-\-ab2 —bB9 заключить его в скобки, поставив перед скобками знак—.

144. Не изменяя величины многочлена—т2-\-тп — я2, заключить его в скобки, поставив перед скобками знак —.

145. В выражении а3 а?Ь — а№ — £3 заключить средние члены в скобки со знакам -f- перед ними и крайние тоже в скобки со знаком — перед ними.

145. В выражении cß-\-a2b — ab2 — £3 заключить крайние члены в скобки со знаком -f- перед ними и средние тоже в скобки со знаком — перед ними.

146. Многочлен а2 — 4b2-\-3ab — с4 представить в виде суммы двух слагаемых, из которых одно: —4b2-\~3ab.

146. Многочлен а2 — 4b2-\-3ab—с4 представить в виде суммы двух слагаемых, из которых одно: — 4Ь2 — с4.

147. Многочлен а4-(-2а3 — За2 — 4а разложить на два слагаемых, из которых одно: а4— За2.

147. Многочлен а4-[-2а3—за2 — 4а разложить на два слагаемых, из которых одно: 2а3 — 4а.

148. Трехчлен а-\-Ь—1 разложить на два слагаемых, из которых одно должно быть равно а.

148. Трехчлен а—Ь-\-\ представить в виде разности с уменьшаемым а.

149. Не изменяя значения выражения а -f- (Ь — с -\- d) — (е -f--f-/—g)-\-(h — /)-|-(—/—m), заменить в нем перед скобками знаки сложения на знаки вычитания и обратно.

150. Раскрыть скобки в выражении —(1—2п-\- 3/г2 —|— 4#3).

150. Раскрыть скобки в выражении —(—1-f-a — а2-\-а3).

151. От сложения каких двух одночленов получится в сумме двучлен — a — b?

151. От вычитания каких двух одночленов получится в разности двучлен — а — Ь?

152. Не изменяя величины многочлена а4— 4а3 — За2 -\-2а — 5, поставить скобки перед 4а3 и после За2, перед 2а и после 5, затем все выражение заключить в скобки, перед которыми поставить знак —,

§ 4. Умножение одночленов.

Произведение степеней одного и того же основания равно степени того же основания с показателем, равным сумме показателей степеней сомножителей.

Для того чтобы перемножить два одночлена, достаточно перемножить их коэфициенты и к найденному произведению приписать сперва каждую букву, входящую как во множимое, так и во множитель, с показателем, равным сумме ее показателей во множимом и во множителе, а затем — каждую букву, входящую только во множимое или только во множитель, с ее показателем.

№ 153—161 перенесены в главу 1а под № 75—83.

§ 5. Умножение многочлена на одночлен.

Для того чтобы умножить многочлен на одночлен или одночлен на многочлен, достаточно каждый член многочлена умножить на одночлен и все найденные произведения сложить.

§ 6. Умножение многочленов.

Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно умножить каждый член множимого на каждый член множителя и найденные произведения сложить. Если в составленном таким

образом многочленном произведении встречаются подобные члены, то делают приведение этих членов.

262. На сколько увеличится площадь прямоугольника со сторонами а и Ьу если каждую из них увеличить на 1? Одну увеличить на /, другую—на kl

263. На сколько уменьшится площадь прямоугольника со сторонами а и Ьу если каждую из них уменьшить на 1?Одну уменьшить на /, другую — на kl

№264—271 перенесены в главу 1а под Ms 84—87 и 91—94.

§ 7. Деление одночленов.

Для того чтобы разделить одночлен на одночлен, достаточно разделить коэфициент делимого на коэфициент делителя и к найденному частному приписать сперва каждую букву, входящую как в делимое, так и в делитель, с показателем, равным разности ее показателей в делимом и делителе, а затем — каждую букву, входящую только в делимое, с ее показателем. Если при этом какая-либо буква входит в делимое и делитель с одним и тем же

показателем, то ее вовсе не пишут в частном. Если же показатель какой-либо буквы в делимом меньше показателя той же буквы в делителе, или если в делитель входит буква, не содержащаяся: в делимом, то деление нацело невозможно, т. е. частное не может быть представлено в виде целого одночлена.

§ 8. Деление многочлена на одночлен.

Для того чтобы разделить многочлен на одночлен, достаточно разделить каждый член многочлена на одночлен и полученные частные сложить.

Частное от деления одночлена на многочлен может быть представлено только в виде дроби.

§ 9. Деление многочлена на многочлен.

Для того чтобы разделить многочлен на многочлен, поступают следующим образом: 1) располагают делимое и делитель по нисходящим степеням одной и той же буквы; 2) делят высший член делимого на высший член делителя; получают первый член частного; 3) найденный «член частного умножают на делитель и произведение вычитают из делимого; 4) делят высший член найденного первого остатка на высший член делителя и получают второй член частного; 5) найденный второй член частного умножают на делитель и произведение вычитают из первого остатка; 6) так же поступают со вторым остатком и т. д.

Если получается остаток, высший член которого не делится нацело на высший член делителя, то деление без остатка невозможно.

§ 10. Сокращенное умножение.

Формулы сокращенного умножения:

Произвести умножение по формулам:

416. Как изменится площадь квадрата со стороною я, если одну сторону его увеличить на 1, а другую уменьшить на 1? Если каждую сторону его увеличить на 1?

424. Как изменится площадь квадрата со стороной а, если увеличить каждую сторону его на Ь? Если уменьшить каждую сторону на с?

В следующих задачах произвести умножение сокращенным путем, соединяя множители наивыгоднейшим образом:

§ 11. Сокращенное деление.

При делении: 1) разности одинаковых (нечетных или четных) степеней на разность оснований; 2) разности одинаковых четных степеней на сумму оснований; 3) суммы одинаковых нечетных степеней на сумму оснований,—частные находятся сокращенном путем — по формулам.

Непосредственным делением могут быть выведены формулы:

Формула (1) указывает, что при делении разности кубов двух чисел на разность первых степеней этих чисел частное предстанет собою трехчлен вида а2 -f- ab b2, получающийся из трехчлена а2-4~2д£-|~^2> т- е* из квадрата суммы а + ^> заменою коэфициента 2 коэфициентом 1 и называемый поэтому неполным квадратом суммы.

Точно так же формула (2) указывает, что при делении суммы кубов двух чисел на сумму первых степеней этих чисел частное представляет собою трехчлен вида а2 — ab-\-b2; этот трехчлен называется неполным квадратом разности.

Из формул (1) и (2) следуют формулы:

которые читаются так: произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы тех же чисел равно разности кубов этих чисел; произведение суммы двух чисел на неполный квадрат разности тех же чисел равно сумме кубов этих чисел.

Произвести деление по формулам:

ГЛАВА III.

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ.

Для разложения на множители существуют следующие основные приемы: 1) вынесение общего множителя за скобки, 2) группировка, 3) применение формул сокращенного умножения и деления.

§ 1. Вынесение за скобки.

Многочлен вида'ат-\-Ьт можно рассматривать как результат умножения многочлена а-\-Ь на общий множитель т\ поэтому можно написать: . , . ,

am + bm = т(а -f- b).

Это преобразование носит название вынесения общего множителя за скобки. Например:

12а2ЬЧ — 6д*£* — 24а2 ЪЧ* = 6аЧЦ2Ьс — Ь* — Ас0).

Здесь за скобки вынесен общий множитель 6a*bf9 а в скобках написано частное от деления данного многочлена на вынесенный за скобки одночлен.

Разложить данные многочлены на множители:

30. На чертеже 4 дана развертка полной поверхности призмы с квадратным основанием. Вычислить площадь этой развертки и разложить полученное выражение на множители.

30. На чертеже 5 дана развертка полной поверхности цилиндра. Составить выражение для ее площади и разложить его на множители.

Черт. 4. Черт. 5.

§ 2. Вынесение за скобки многочленного множителя.

В многочлене а(т -\-п) -f- *(/w-f- п) двучлен т-\-п Служит общим множителем его членов. Вынося этот общий множитель за скобки, получаем:

Разложить на множители.

К разложению на множители способом вынесения за скобки можно отнести также преобразования» состоящие в вынесении за скобки одного из членов многочлена, не являющегося общим множителем всех членов этого многочлена. Например, выражение . b может быть представлено в виде

В следующих многочленах вынести первый член за скобки:

§ 3. Способ группировки.

В многочлене am -f- bm -j- an -j- bn нет множителя, который входил бы в состав каждого члена. Но первые два члена образуют группу членов, имеющих общий множитель ту а вторые два члена образуют группу членов, имеющих общий множитель п. Если мы из первых двух членов вынесем за скобки множитель /и, а из вторых двух членов — множитель л, то данный многочлен преобразуется в двучлен:

m(a-f-b)-\-п(а-\-Ь),

члены которого имеют общий множитель (а-\-Ь)\ в силу этого данный многочлен может быть окончательно представлен в виде

т. е. разложен на множители.

Этот способ разложения многочлена на множители называется способом группировки. Он применяется в том случае, когда члены многочлена могут быть соединены в такие группы, в каждой из которых все члены имеют один и тот же общий множитель. Если после вынесения общего множителя всех членов каждой группы за скобки оказывается, что все многочленные множители, заключенные в скобки, одинаковы, то, вынося этот общий многочленный множитель за скобки, представляют данный многочлен в виде произведения двух множителей.

Общий множитель всех членов каждой группы может быть вынесен за скобки со знаком или со знаком —. При выборе знака стремятся к тому, чтобы многочленные множители, заключенные в скобки, оказались одинаковыми.

§ 4. Применение формул сокращенного умножения.

Каждая из формул сокращенного умножения (стр. 44) есть вместе с тем формула разложения многочлена на множители. В самом деле, если многочлен имеет вид:

1) а*±2аЬ-\- **; 2) а* — >2; 3) а*±:ЗаЧ-\-3ab*±b\ то он может быть представлен в виде произведения:

Разложить на множители по формулам сокращенного умножения:

§ 5. Применение формул сокращенного деления.

Формулы сокращенного деления дают возможность разложения некоторых многочленов на множители. Например:

Разложить на множители по формулам сокращенного деления:

§ 6. Применение всех изложенных способов разложения многочленов на множители.

159. Составить выражение площади кольца, если радиус внешнего круга /?, а внутреннего г, и разложить его на множители.

159. Найти площадь квадратной рамы, если сторона внутреннего квадрата равна я, а внешнего Ь, и полученное выражение разложить на множители.

160. Определить вес чугунной трубы длиною /, внешний диаметр которой равен a, a внутренний b (удельный вес чугуна d — 7,2), в разложенном на множители виде.

§ 7. Наибольший общий делитель.

Наибольшим общим делителем нескольких целых одночленов (с целыми коэфициентами) называется тот из всех их общих делителей, который делится на каждый из остальных общих множителей этих одночленов.

Для того чтобы найти наибольший общий делитель нескольких целых одночленов (с целыми коэфициентами), достаточно найти наибольший общий делитель всех коэфициентов и затем последовательно приписать к нему каждый из общих буквенных множителей с наименьшим из всех показателей, с которым этот множитель входит в данные одночлены.

Для того чтобы найти наибольший общий делитель нескольких целых многочленов (с целыми коэфициентами), необходимо предварительно разложить эти многочлены на множители.

Найти наибольший общий делитель следующих выражений:

§ 8. Наименьшее общее кратное.

Наименьшим общим кратным нескольких целых одночленов (с целыми коэфициентами) называется то из всех общих кратных этих одночленов, на которое делится каждое общее кратное их.

Для того чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких целых одночленов (с целыми коэфициентами), достаточно найти

наименьшее общее кратное всех коэфициентов и затем последовательно приписать к нему каждый из буквенных множителей, входящих, по крайней мере, в один из данных одночленов, с наибольшим из всех показателей, с которым этот множитель входит в какой-либо из одночленов.

Для того чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких целых многочленов (с целыми коэфициентами), необходимо предварительно разложить эти многочлены на множители.

Найти наименьшее общее кратное для следующих выражений:

ГЛАВА IV.

ДРОБИ.

Все преобразования дробей и действия над дробями в алгебре выполняются по тем же правилам, что и в арифметике.

§ 1. Сокращение дробей.

Для того чтобы сократить дробь, достаточно числитель и знаменатель ее разложить на множители и затем разделить либо сразу на их наибольший общий делитель, либо последовательно на каждый общий делитель.

Сократить следующие дроби:

§ 2. Приведение дробей к общему знаменателю.

Общим знаменателем двух или нескольких дробей служит наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Составив общий знаменатель, делят его в отдельности на каждый из знаменателей и находят для каждой дроби дополнительный множитель. На этот дополнительный множитель умножают числитель и знаменатель соответствующей дроби.

Привести к общему знаменателю следующие дроби:

§ 3. Сложение и вычитание дробей.

Для того чтобы сложить или вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, достаточно составить дробь, у которой числитель равен соответственно сумме или разности числителей данных дробей, а знаменатель тот же, что и у данных дробей.

Для того чтобы сложить или вычесть дроби с различными знаменателями, надо сперва привести их к общему знаменателю.

При сложении или вычитании дробей с многочленными числителями или знаменателями вычисления ведут в таком порядке. Сначала подготовляют дроби для приведения к общему знаменателю, для чего разлагают знаменатели дробей на множители; найдя общий знаменатель, пишут его под общей чертой деления, а над нею обозначают произведения числителей дробей на соответствующие дополнительные множители, отделяя эти произведения теми знаками сложения и вычитания, которыми были отделены данные дроби: после этого в полученном общем числителе раскрывают скобки и, если возможно, делают приведение подобных членов; наконец, испытывают, не допускает ли полученная дробь сокращения, и, если допускает, то сокращают ее на наибольший общий делитель ее членов. Например:

Иногда при приведении дробей к общему знаменателю требуется изменить знак у одного из данных знаменателей. Эту перемену всегда можно сделать, но вместе с этим нужно переменить знак и у числителя или же, оставляя числитель прежним, поставить перед самой дробью знак, противоположный тому, с которым она была дана. Например, имеем:

§ 4. Умножение дробей.

Для того чтобы перемножить две дроби, достаточно составить дробь, у которой числитель есть произведение числителей данных дробей, а знаменатель есть произведение знаменателей данных дробей.

В произведении надо, если возможно, выполнить сокращение. Впрочем, сокращение, как в арифметике, лучше производить до выполнения умножения. Например:

§ 5. Деление дробей.

Для того чтобы разделить целое или дробное выражение на дробь, достаточно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Например:

§ 6. Задачи на все действия с дробями.

§ 7. Отрицательные и нулевые показатели.

Выражение сгт, в котором а есть число, отличное от нуля, а —m есть отрицательное число (отрицательная степень), обозначает дробь, у которой числитель есть 1, а знаменателем служит степень ат того же числа а с положительным показателем т\

Выражение а°, в котором а есть любое число, отличное от нуля (нулевая степень), равно 1 :

Вычислить следующие выражения:

При решении примеров на отрицательные показатели следует обратить внимание на следующее:

1. Если, опираясь на определение отрицательной степени, упростим выражение ~л_2^_8, то получим следующий результат:

Отсюда правило: если в одночленном выражении имеются в числителе и знаменателе множители с положительными и отрицательными показателями, то в окончательном результате множители с положительными .-показателями остаются на своих местах, а множители с отрицательными показателями переходят из числителя в знаменатель и обратно, причем каждый отрицательный показатель меняется на противоположный ему положительный.

2. Если упростим выражение то получим

отрицательная степень какого-либо числа равна положительной степени обратного числа.

Упростить выражения:

Представить следующие дроби в виде целых выражений, вводя отрицательные показатели степеней:

В каждом из следующих выражений произвести последовательно четыре преобразования: 1) уничтожить все степени с отрицательными показателями, 2) привести знаменатель к единице, 3) при вести числитель к единице и 4) уничтожить все степени с положительными показателями.

Упростить выражения:

ГЛАВА V.

ВОЗВЫШЕНИЕ В СТЕПЕНЬ.

При возвышении в степень имеет место следующее правило знаков: любая степень (кроме нулевой) положительного числа есть положительное число; четная степень отрицательного числа есть положительное число, а нечетная степень отрицательного числа есть отрицательное число.

Для того чтобы возвысить в степень произведение нескольких сомножителей, достаточно возвысить в эту степень каждый сомножитель отдельно и найденные степени перемножить, т. е.

(abc)m = атЬтст.

Для того чтобы возвысить в степень дробь, достаточно возвысить в эту степень числитель и знаменатель отдельно и степень числителя разделить на степень знаменателя» т. е.

(OL \т_аЛ

Для того чтобы степень какого-либо числа возвысить в новую степень, достаточно основание данной степени возвысить в степень, показатель которой равен произведению показателя данной степени на показатель новой степени, т. е.

{ат)а — атп.

Все эти правила относятся также к отрицательным и нулевым показателям.

Указанные правила дают возможность возвышать в степень одночлен.

Возвести в степень:

ГЛАВА VI.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАВЕНСТВ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.

§ 1. Пропорции.

Основное свойство членов арифметической пропорции: сумма крайних членов арифметической пропорции равна сумме средних.

Основное свойство членов геометрической пропорции: произведение крайних членов геометрической пропорции равно произведению средних.

Если один из членов арифметической или геометрической пропорции неизвестен, то его можно найти по следующим правилам: в арифметической пропорции неизвестный крайний член равен сумме средних членов без другого крайнего члена; неизвестный средний равен сумме крайних без другого среднего; в геометрической пропорции неизвестный крайний равен произведению средних, деленному на другой крайний; неизвестный средний равен произведению крайних, деленному на другой средний.

Из геометрической пропорции у = ~ вытекают следующие 5 пропорций, называемые производными пропорциями:

Пропорция, у которой крайние или средние члены равны между собою, т. е~ пропорция вида a—b^b— ç и называется непрерывной пропорцией.

Повторяющийся член непрерывной арифметической пропорции называется средним арифметическим (или просто средним) числом по отношению к двум неравным у повторяющийся член непрерывной геометрической пропорции называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) числом по отношению к двум неравным. Среднее арифметическое двух чисел равно их полусумме, а среднее геометрическое двух чисел равно корню квадратному из их произведения, т. а.

Найти X из следующих пропорций:

Представить следующие равенства в виде пропорций:

Найти X из следующих пропорций, применяя производные пропорции:

В следующих пропорциях определить при помощи производных пропорций значения х и у, принимая во внимание данные равенства:

33- Найти среднее арифметическое чисел 20 и 10.

34. Написать непрерывную арифметическую пропорцию, два члена которой были бы 11 и 5.

35. Составить непрерывную геометрическую пропорцию, два члена которой были бы 4 и 25.

§ 2. Уравнение с одним неизвестным.

Алгебраические равенства разделяются на тождества и уравнения.

Тождеством называется равенство, обе части которого имеют равные значения при всяких значениях входящих в это равенство букв.

Например, равенства а — (Ь — с) = а — b -U с; (a -f - b) (а — b) — ~- а2 — ; (a -f- b — с) m — am -f- bm — cm суть тождества.

Уравнением называется равенство, обе части которого имеют равные значения только при определенных значениях некоторых входящих в это равенство букв, называемых неизвестными.

Значения неизвестных, при которых обе части уравнения имеют равные значения, называются корнями уравнения. Решить уравнение— значит найти его корни.

Решение уравнения состоит в том, что данное уравнение последовательно заменяют новыми уравнениями, каждое из которых эквивалентно (равносильно) предыдущему, т. е. имеет те же корни, что и предыдущее.

При решении уравнения первой степени с одним неизвестным соблюдают следующий порядок:

1) освобождают уравнение от знаменателя;

2) раскрывают скобки;

3) переносят члены, содержащие неизвестное, в одну часть уравнения, а члены, не содержащие неизвестного, — в другую часть;

4) в каждой части выполняют приведение подобных членов;

5) делят обе части уравнения на коэфициент при неизвестном..

Решить следующие уравнения:

Если уравнение имеет дробные члены, знаменатели которых содержат неизвестное, то корни этого уравнения должны быть подвергнуты испытанию (проверке). Именно, все те корни, которые обращают один, по крайней мере, из знаменателей какого-либо из дробных членов данного уравнения в нуль, должны быть отброшены как посторонние.

Если коэфициенты при неизвестном или свободные члены суть не числа, а буквенные выражения, то уравнение называется буквенным. Буквенное уравнение решается по тем же правилам, что и численное уравнение. В результате решения буквенного уравнений получаются, вообще говоря, выражения, содержащие те буквы, которые входят в состав коэфициентов и свободных членов данного уравнения. Эти выражения, ^называемые корнями уравнения, обладают тем свойством, что при подстановке их в уравнение вместо неизвестного уравнение обращается в тождество.

Например, уравнение ах-\-Ъх — с имеет корень —; при подстановке этого корня в уравнение получается тождество:

§ 3. Система уравнений.

Одно уравнение с двумя неизвестными х и у имеет бесчисленное множество систем корней, каждая из которых состоит из двух чисел; при этом один из корней выбирается произвольно, а другой корень определяется из уравнения и зависит от первого корня. Каждая система корней одного уравнения с двумя неизвестными называется решением этого уравнения. Например, уравнение 2х-\-Ъу=\\ имеет бесчисленное множество решений, одно из которых есть х—4, у— 1.

Если даны два уравнения с двумя неизвестными х и у и требуется разыскать все общие решения этих уравнений т. е. все

те системы корней, которые одновременно удовлетворяют каждому из данных уравнений, то совокупность данных уравнений называется системой двух уравнений с двумя неизвестными.

В теории доказывается, что система двух уравнений с двумя неизвестными 1) либо имеет единственное общее решение, 2) либо не имеет ни одного общего решения, 3) либо имеет бесчисленное множество общих решений.

Третий случай имеет место при том условии, если одно из данных уравнений получено из другого путем умножения на какое-нибудь отличное от нуля число и, следовательно, эквивалентно (равносильно) этому другому уравнению, так что все без исключения решения одного уравнения суть вместе с тем решения другого уравнения. Например, уравнения Зх—Ъу — 2 и \2х—20у — = 8 имеют бесчисленное множество общих решений, так как второе уравнение получено из первого путем умножения на 4.

Второй случай имеет место при условии, если левая и правая части одного из уравнений получена путем умножений левой и правой частей другого уравнения соответственно на неравные между собою числа m и п. Например, уравнения Зх — Ъу = 2 и 9х—15д/=4 не имеют ни одного общего решения.

Две системы двух уравнений с двумя неизвестными, имеющие одни и те же решения, называются эквивалентными (равносильными). Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными состоит в том, что данную систему заменяют другой, эквивалентной данной, в которой одно уравнение содержит два неизвестных, а другое — одно неизвестное; последнее получается из уравнений данной системы путем исключения из них одного из неизвестных.

Для исключения из двух уравнений данной системы одного из неизвестных существуют следующие способы:

1. Способ алгебраического сложения. Этот способ состоит в том, что все члены каждого из уравнений умножают на соответственно подобранные множители так, чтобы коэфициенты при одном и том же неизвестном в обоих уравнениях оказались противоположными числами, а затем уравнения почленно складывают, в результате чего получают уравнение, содержащее одно только неизвестное. Очевидно, что если уравниваемые коэфициенты имеют одинаковые (разные) знаки, то уравнивающие множители должны быть взяты с разными (одинаковыми) знаками.

2. Способ подстановки. Этот способ состоит в том, что из одного уравнения данной системы определяют какое-либо из неизвестных в зависимости от Другого и найденное для этого неизвестного выражение подставляют в другое уравнение

системы, в результате чего получают уравнение с одним только неизвестным.

До того как приступить к исключению неизвестного, каждое из уравнений приводят к нормальному виду ах + Ьу = с (где я, b и с — целые числа, не имеющие общих множителей), для чего выполняют все те -преобразования, которые применяются к уравнению с одним неизвестным.

Примеры решения системы уравнений с двумя неизвестными:

Пример 1.

4х-~~%у = 7\ 5* + 2у=26.

Исключаем неизвестное у; для этого члены первого уравнения умножаем на 2, второго — на 3, после чего уравнения почленно складываем; получаем уравнение 23л:—92, откуда находим, что X = 4. Подставляя значение неизвестного х в первое уравнение, находим, что y=zz3.

Пример 2,

5x~f 6y**=lg; 7х-{- 10у = 24.

Исключаем неизвестное у. Замечая, что коэфициенты при неизвестном у имеют одинаковые знаки, умножаем все члены первого уравнения на 5. а все члены второго уравнения на —3, после чего уравнения почленно складываем; получаем уравнение 4а: = 8, из которого находим, что лг = 2. Путем подстановки находим, что у = 1.

Пример 3.

3*-^-4у=*= 19; 2х — 5у=$.

Определяем из первого уравнения неизвестное х в зависимости от неизвестного у:

Подставляем найденное для неизвестною х выражение во второе уравнение:

Мы получили одно уравнение с одним неизвестным у. Решая его, находим, что у — 1.

Подставляя найденное для у значение 1 в выражение для х9 получаем :

Решить следующие системы уравнений:

Если после освобождения системы уравнений от знаменателей и раскрытия скобок в одном или в обоих уравнениях появляются члены второго измерения по отношению к неизвестным х и у (т. е. члены, содержащие х2, у2 или ху), то данная система не представляет уже собою системы двух уравнений первой степени, Однако иногда можно свести такого рода систему к системе уравнений первой степени с помощью надлежащего выбора вспомогательных неизвестных. Например, для решения системы

достаточно обозначить дробь — через и, а дробь у — через v; тогда данная система сведется к системе

решаемой обычным путем. Найдя значения вспомогательных неизвестных и и vt определим значения неизвестных х и у из равенств х — , у= — .

Точно так же система

решается с помощью введения вспомогательных неизвестных

Система трех уравнений.

Система четырех и более уравнений:

4. Составление уравнений.

Составить по условиям задачи уравнение с одним или несколькими неизвестными — значит при помощи уравнений выразить зависимость между известными и неизвесными величинами, входящими в условие задачи.

Приведем несколько примеров на составление уравнений.

Задача 1. Число книг на одной полке вдвое меньше, чем на другой. Если взять с первой полки 6 книг, а на вторую поставить 8 книг, то число книг на первой окажется в 7 раз меньше, чем на второй. Узнать, сколько книг на каждой полке.

Обозначим неизвестное число книг первой полки через х. Затем выразим все величины, встречающиеся в условии задачи, в зависимости от X.

Число книг первой полки есть х. Число книг второй полки есть 2х. С первой полки берут 6 книг; поэтому на ней останется X—6 книг. На вторую полку прибавляют 8 книг; следовательно, на ней получится 2х -|- 8 книг. После этого отношение между числами книг второй и первой полок окажется равным 2 X. -4- S —_g . По условию задачи это отношение равно 7. На этом основании составляем уравнение х__§ = 7. Решив его, найдем, что х= 10.

Если бы мы обозначили через х неизвестное число книг второй полки, то, как легко убедиться, получилось бы уравнение:

которое также разрешает задачу и дает ответ: х = 20.

Задача 2. Длина окружности переднего колеса экипажа на * меньше длины окружности заднего; переднее колесо на протяжении 30 м сделало . столько же оборотов, сколько заднее на протяжении 36 м. Определить длины окружностей каждого колеса.

Допустим, что длина окружности переднего колеса равна х метрам. Тогда длина окружности заднего колеса будет равна (x-\-^r^j метрам. Переднее колесо на протяжении 30 м сделало — оборотов, а заднее на протяжении 36 м сделало -г- оборотов. Согласно условию задачи имеет место уравнение:

откуда находим, что

Но можно составить уравнение и иначе. Именно, обозначим через X число оборотов, которое сделало каждое колесо. Тогда длина окружности первого колеса выразится частным —, а второго—частным —. Согласно условию задачи разность длин этих окружностей есть -«-, т. е.:----— ~п

Зная же число оборотов колеса, найдем и длину окружности каждого колеса.

Для решения этой задачи можно также составить систему двух уравнений с двумя неизвестными по схеме:

Задача 3. Через две трубы, действующие вместе, водоем может наполниться в 9| часа. Обе трубы были открыты одновременно и действовали в течение 5 часов, но затем вторая труба испортилась, и ее пришлось закрыть, а первая труба через 7 часов после этого наполнила весь водоем. Во сколько часов каждая труба отдельно могла бы наполнить этот водоем?

Допустим, что одна первая труба без участия второй заполняет водоем в X часов, а одна вторая — в у часов. Тогда в час одною первою трубою заполняется водоема,^ второю — ~ водоема, а обеими трубами вместе ) всего водоема. Так как,

по условию, обеими трубами вместе водоем заполняется в 9-g-часа, то отсюда следует, что в час обеими трубами заполняется —о водоема. На этом основании составляем первое уравнение (с двумя неизвестными):

Далее, обе трубы действовали одновременно только 5 часов; за это время они заполнили -f- — j водоема; но затем продолжала работать в течение 7 часов одна первая труба, которая добавила еще — водоема. Отсюда второе уравнение (с двумя неизвестными):

Решая систему двух уравнений:

получаем: х = 15, у = 25.

Из приведенных примеров видно, что составление уравнения выполняется в следующем порядке:

1) решают вопрос о том, какую именно из неизвестных величин принять за основное неизвестное; 2) обозначив это неизвестное через X (или какой-либо другой буквой), выражают все другие неизвестные величины, встречающиеся в условии задачи, через основное неизвестное х; 3) опираясь на зависимость между известными и неизвестными величинами, составляют уравнение.

Задачи на составление уравнений1).

371. Два лица имеют вместе 38 руб., причем у первого шестью рублями больше, чем у второго. Сколько денег у каждого?

372. В двух кошельках находится 81 руб. В первом денег вдвое меньше, чем во втором. Сколько денег в каждом?

373. В трех корзинах находится 47 яблок, причем в первой и во второй — поровну, а в третьей—нз 2 яблока больше, чем в каждой из остальных. Сколько яблок в каждой корзине?

1) Задачи 371—477 проще всего сводить к уравнению с одним неизвестным; в последующих задачах надо пользоваться двумя или несколькими неизвестными, хотя иногда можно все-таки пользоваться одним неизвестным.

374. На трех полках лежит всего 66 книг, причем на нижней втрое больше, а на средней вдвое больше, чем на верхней. Сколько книг на каждой полке?

375. Часы, цепочка и брелок стоят вместе 72 руб. Брелок дороже цепочки в два раза, а часы дороже брелка в три раза. Что стоят часы, цепочка и брелок в отдельности?

376. Разделить число 21 на две части так, чтобы кратное отношение первой части ко второй равнялось дроби .

377. Разделить число 88 на такие две части, чтобы частные от деления первой части на 5, а второй на 6 были равны.

378. Сумма двух чисел 85, а разность их 15. Найти оба числа.

379. Разность двух чисел 8, а кратное отношение их равно дроби j. Найти эти числа.

380. Разделить число 46 на две части так, чтобы разность частных от деления первой части на 3 и второй на 7 равнялась 2.

381. Разделить число 75 на две части так, чтобы большая часть превышала втрое разность между обеими частями.

382. Сумма двух чисел 64. При делении большего числа на меньшее получается в частном 3 и в остатке 4. Найти эти числа.

383. Разность двух чисел 35. При делении большего числа на меньшее получается в частном 4 и в остатке 2. Найти эти числа.

384. Одно из неизвестных двух чисел больше другого на 5. Если разделить меньшее число на 4, а большее на 3, то первое частное будет на 4 меньше второго. Найти оба числа.

385. Одно из двух неизвестных чисел меньше другого на 6. Если разделить большее число пополам, то полученное частное будет тремя единицами меньше другого числа. Найти оба числа.

386. В одном резервуаре вдвое больше воды, чем в другом; если же перелить из первого во второй 16 гл, то в обоих окажется воды поровну. Сколько воды в каждом?

387. В одном ящике 12 лгг, а в другом 36 кг гвоздей. Сколько гвоздей нужно переложить из второго ящика в первый, чтобы гвоздей (по весу) в них стало поровну?

388. Из двух сортов чаю ценою в 15 руб. и 21 руб. за килограмм требуется составить 32 кг смеси ценою в 16 руб. 50 коп. за килограмм. Сколько нужно взять чаю каждого сорта?

389. В учебном заведении в двух группах в начале учебного года было 45 учащихся. В середине учебного года перевели из первой группы во вторую двоих учащихся, после чего число учащихся первой группы составило 80°/0 числа учащихся второй группы. Сколько учащихся было в каждой группе в начале учебного года?

390. Метр материи подешевел на 60 коп., вследствие чего 19 м материи по новой цене стоят на 4 руб. дешевле, чем 18 м этой же материи по старой цене. Определить цену материи до снижения.

391. Из двух металлов с удельным весом 7,2 и 8,4 составлено 19 #г сплава с удельным весом 7,6. Сколько взято каждого металла?

392.. Некто имеет в правом кармане в четыре раза более рублей, чем в левом; если же он переложит из правого кармана з левый 6 руб., то в правом окажется денег только в три раза более, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане?

393. При расчете двух рабочих первый из них получил за работу на 12 руб. больше второго, и ему же после этого второй рабочий уплатил 2 руб. долгу. Оказалось, что первый понес домой денег втрое больше, чем второй. Сколько заработал каждый?

394. Отцу 40 лет, а сыну 12 лет. Сколько лет назад отец был впятеро старше сына?

395. Отец на 39 лет старше сына, а через 7 лет будет старше сына в четыре раза. Сколько лет тому и другому?

396. В одном резервуаре 48 ведер, а в другом 22 ведра воды. Из первого отлили воды вдвое больше, чем из второго, и тогда в первом осталось втрое больше воды, чем во втором. Сколько ведер вылито из каждого?

397. За 30 м сукна двух сортов заплачено всего 512 руб. Метр первого сорта стоит 18 руб., а метр второго— 16 руб. Сколько куплено метров того и другого сорта?

398. Из кооператива было продано 38 кг чаю двух сортов ценою по 18 руб. за 1 кг первого сорта и по 9 руб. 60 коп. за 1 кг второго сорта и выручено при этом за весь первый сорт на 132 руб. больше, чем за второй. Сколько продано чаю того и другого сорта?

399. Два велосипедиста выехали одновременно из двух городов, находящихся на расстоянии 300 км, и едут навстречу один другому. Первый проезжает в среднем в час 12 км, второй—\3 км. Когда они встретятся?

400. С двух станций железной дороги, находящихся на расстоянии 76-^- км, выходят одновременно два поезда и идут по одному направлению со скоростями 31 км и 18-^- км в час, причем первый идет за вторым. Когда первый поезд догонит второй?

401. Со станции в 12 часов дня выходит пассажирский поезд, делающий по 32 км в час. Через 45 минут с той же станции выходит курьерский поезд, делающий по 42 км в час. В котором часу курьерский поезд догонит пассажирский?

402. При продаже товара на 299 руб. выручено 15°/0 прибыли. Что стоит товар без прибыли?

403. При продаже товара на 429 руб. получено убытку 2^-°/0. Что стоит товар?

404. Бассейн наполняется одной трубой в 3 часа, другой— в 5 часов. Во сколько времени наполнится он, если открыть одновременно обе трубы?

405. Бассейн наполняется водой через одну трубу в 4 часа, а через другую вся вода может вытечь в 6 часов; Во сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб?

406. Двое рабочих вместе кончают работу в 3 часа 36 мин.; первый может ее исполнить в 6 часов. Во сколько времени сделает ту же работу второй?

407. В бассейн проведены три трубы; через первые две вода вливается, через третью вытекает. Через первую трубу бассейн может наполниться в 3 часа, через вторую — в 2 часа, а через третью вся вода может вытечь из бассейна в 6 часов. Во сколько времени бассейн наполнится, если открыть все три трубы?

408. Из трех труб, проведенных в бассейн, первая наполняет его в 5 часов, вторая наполняет в 15 часов, а через третью весь бассейн вытекает в 3 часа. Во сколько времени полный бассейн вытечет при одновременном действии всех труб?

409. Поезд идет из А в В со средней скоростью 30 км в час, возвращается из В в А со скоростью 28 км в час. Весь проезд туда и обратно он делает в 14-^- часов. Сколько километров от Л до В?

410. Из А в В вышел поезд, проходящий в час 20 км. Через 8 часов выходит поезд из Б в Л, проходящий 30 км в час. Расстояние AB равно 350 км. На каком расстоянии от А поезда встретятся?

411. Сумма трех чисел равна 70. Второе число при делении на первое дает в частном 2 и в остатке 1, третье при делении на второе дает в частном 3 и в остатке 3. Найти эти числа.

412. Найти число, которое при делении на 5 дает в остатке 2, а при делении на 8 дает в остатке 5, зная притом, что первое частное на три единицы больше второго.

413. Заплачено за 75 кг сахару на 18 руб. более, чем за 5 кг чаю. 50 кг сахару стоят на 36 руб. дешевле, чзм 6 кг чаю. Что стоит килограмм чаю и килограмм сахару?

414. Заплачено за 25 м сукна и 21 м бархата 741 руб. Известно, что 10 м бархата стоят на 54 руб. дороже 13 л* сукна. Что стоит метр того и другого?

415. Сумма цифр некоторого двузначного числа равна 12. Если от искомого числа отнять 18, то получится число, обозначенное

теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

416. В некотором двузначном числе число десятков вдвое более числа единиц. Если цифры этого числа переставим, то получим число, меньшее искомого на 36. Найти это число.

417. Сумма денег должна быть разделена между двумя лицами так, чтобы части первого и второго относились между собой как числа 5 и 3, и чтобы часть первого была на 5 руб. более всей суммы. Как велика часть каждого?

418. Товар продан с убытком за 420 руб.; если бы его продали за 570 руб., то полученная прибыль была бы в 5 раз более понесенного убытка. Что стоит товар?

419. Из резервуара вылита сна-ала половина всей бывшей в нем воды и ~ гл, потом половина остатка и гл. Наконец, еще половина остатка и у гл\ после этого в резервуаре осталось 6 гл.

Сколько было воды вначале?

420. Кооператив получил некоторое количество сахару для распределения между своими пайщиками. Если каждому пайщику выдать по 2,5 кг, то останется 95 кг; если же каждому выдать по 3 кг, то не хватит 286 кг. Сколько было пайщиков и сколько сахару получил кооператив?

421. Себестоимость литой детали возросла на 10°/0 и составляет 1 руб. 98 коп. На сколько процентов против нормы нужно снизить себестоимость, чтобы довести стоимость детали до 1 руб. 44 коп.?

422. Верхнее основание трапеции равно 5 см, высота — S см, а площадь — 68 см2. Определить нижнее основание.

423. Найти дробь, у которой знаменатель четырьмя больше числителя и которая обращается в -| от прибавления к числителю и знаменателю ее по 5.

424. На какое одно и то же число надо увеличить числа 2, 5, 22 и 37, чтобы полученные числа составляли геометрическую пропорцию?

425. Разность лет брата и сестры есть 7, а отношение их лет -g- . Сколько лет брату и сестре?

426. Некоторое количество бочек вина ценой по 30 руб. за бочку распродано следующим образом: ^- продана по 35 руб., ~ по 29 руб. и остаток по 32 руб. за бочку, от чего получено 1815 руб. прибыли. Сколько было бочек вина?

427. Если задуманное число умножить на 3, справа приписать 2, полученное число разделить на 19 и к частному прибавить 7, то получится число, втрое более задуманного. Какое это число?

428. Сумма трех чисел 100. Если разделить первое число на второе, то в частном получится 4 и в остатке 3; если же второе число разделить на третье, то в частном получится 2 и в остатке 4. Найти эти числа.

429. Если на каждую из скамеек в классе посадить по 5 учеников, то четверо останутся без места; а если на каждую посадить по 6 учеников, то на последней будет два пустых места. Сколько в классе учеников и скамеек?

430. Каждый из сомножителей двух произведений 44 • 11 и 16-32 увеличен на одно и то же число, после чего получены два равных произведения. Определить это число.

431. Знаменатель дроби вчетверо более числителя; если к элементам этой дроби прибавить по 10, то она обращается в ~ . Найти дробь.

432. Окружность переднего колеса экипажа lyJW, заднего — 2 м. На каком расстоянии переднее колесо сделает на 50 оборотов более заднего?

433. Сколько раз нужно к числителю дроби g прибавить по 9 и к знаменателю по 2, чтобы дробь обратилась в единицу?

434. Если к искомому числу прибавить 365, сумму умножить на 5 и в полученном произведении зачеркнуть 0 на месте единиц, то получится 244. Что это за число?

435. Двое должны разделить между собою 38 руб. 40 коп. так, чтобы первый получил половину того, что следует второму, и еще 1 руб. 80 коп. Сколько должен получить каждый?

436. От шнура отрезана всего шнура и ~ сму потом отрезана у остатка и еще ^ см> наконец, у второго остатка и еще см% после чего от всего шнура осталось 6 см. Сколько сантиметров было в целом шпуре?

437. Несколько рабочих получило 120 руб.; если бы их было четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько было рабочих?

438. В колхозе было суходольного луга на 4 га больше, чем заливного, а урожай с суходольного луга получился на 3 m меньше, чем с заливного. Сколько было в колхозе гектаров заливного и

суходольного луга, если 1 га заливного луга дает в среднем 2-^- т сена, а 1 га суходольного — l-g- т?

439. Партийная организация села в 1931 г. состояла из 11 человек. В 1932 г. партячейка выросла до 29 человек, увеличив число членов на 2, а число кандидатов — в 3 раза. Сколько членов и кандидатов в отдельности стало в 1932 г.?

440. По плану колхоз должен был во время весеннего сева засевать 25 га в день. Колхозники смогли увеличить дневной засев до 30 га и закончили весь сев за 3 дня до срока. Как велика была площадь посева?

441. Ледяная глыба плавает в морской воде, причем объем ее надводной части равен 2000 мв. Как приблизительно велики объем всей глыбы и ее вес, если удельный вес морской воды равен 1,03, а удельный вес льда 0,9?

442. Определить вес деревянной доски, если удельный вес ее равен 0,52 и если доска должна быть на 5 кг легче, чем вес воды в ее объеме.

443. В 1931 г. в совхозе было 50 постоянных и временных рабочих. В 1932 г. число постоянных рабочих увеличилось в дза раза, а временных в три раза. Всего же рабочих стало 130 человек. Сколько постоянных и временных рабочих было в 1932 г. в отдельности?

444. Участок земли имеет вид квадрата; если длину его стороны уменьшить на 20 то площадь его уменьшается на 3600 м2. Найти площадь участка.

445. Площадь кольца равна 75,36 м2> ширина кольца / равна 2 м. Найти радиусы внутренней и внешней окружности (черт. 6).

448. В сельской школе I ступени первая группа занималась сначала в первую смену со второй группой, затем с третьей и, наконец, с четвертой. В зависимости от этого число учащихся в первой смене составляло соответственно 105 человек, 100 и 90. Всего учащихся в школе насчитывалось 185 человек. Сколько учеников было в каждой группе?

447. В нынешнем году число мальчиков в школе увеличилось на -х- числа девочек, бывших в прошлом году в школе, и составило 200 человек; а число девочек увеличилось на числа мальчиков, состоявших в прошлом году в школе, и составило 160 человек. На сколько процентов (приблизительно) прибавилось учащихся в школе против прошлого года?

Черт. 6.

448. Земельный участок имеет вид треугольника ABC (черт. 7) с основанием ЛС=80 м и высотою /Ш = 60л*. Прямая Л/Г делит площадь участка так, что часть АЕС на 600 м2 больше части ABE. Найти расстояние ЕМ от точки Е до основания АС.

449. Дан квадрат со стороною в АО мм (черт 8) На его диагонали BD найти такую точку О, чтобы площадь треугольника DOC была бы больше площади треугольника АОВ на 1,6сл*2.

Черт. 7. Черт. 8.

Указание. Взять за х расстояние ОЕ от точки О до стороны AB.

450. При проведении землеустройства яровой клин колхоза, имеющий вид прямоугольника с периметром в 5,4 км, должен увеличиться по длине на ^ своей длины, а по ширине на ^ своей ширины. При этом периметр нового участка должен быть равен 5,76 км. Определить длину и ширину нового участка.

451. Для прохождения расстояния в 1 км лыжной команде требуется на 9 минут времени меньше, чем пехоте. Найти скорость движения лыжной команды и пехоты, если скорость лыжников в 2]/2 раза больше скорости пехоты.

452. Через 30 минут после начала отхода пехоты противника была послана для ее преследования конница из пункта, отстоящего на 2 км от того места, с которого начала отход пехота противника. Через сколько времени конница настигнет пехоту, если скорость пехоты 4 км в час, а конницы—\2 км в час?

453. За год работы завод израсходовал 2Ъ2 ЪЪЬ квт-ч, электроэнергии на сумму 25 061 руб. 40 коп. Сначала энергия получалась заводом с маленькой электростанции по цене 15 коп. за 1 квт~ч. Потом завод был включем в сеть районной электростанции, отпускавшей электроэнергию по 8 коп. за киловатт-час. Сколько энергии получил завод за год от каждой электростанции и какую сумму должен он заплатить каждой из них?

454. Рычаг первого рода имеет плечи длиною в 20 см и 50 см. Как распределить на его концах груз в 56 кг, чтобы рычаг остался в равновесии?

455. На концах стержня длиною в 30 см подвешены грузы — на одном в 1 кг, на другом 0,5 кг. В какой точке следует подпереть стержень, чтобы он находился в равновесии?

456. Аэроплан при попутном ветре делает 180 км в час, а при встречном — 150/с* в час. Определить скорость ветра и техническую (собственную) скорость аэроплана.

457. Пароход почтовой линии при движении вверх по Волге от Астрахани до Горького имеет среднюю скорость движения \Акм в час, а при движении в обратном направлении вниз по течению 18 км в час. Найти скорость течения Волги и собственную скорость парохода.

458. Рычаг уравновешен двумя грузами в 30 кг и 80 кг. Если к меньшему грузу прибавить 10лгг, то больший груз придется удалить от точки опоры на 5 дм. Найти длину обоих плеч рычага.

459. Рычаг уравновешен двумя грузами в 20 кг и 16 кг. Если от меньшего груза отнять 5 кг, то точка опоры — при неизменной общей длине рычага — сдвинется для сохранения равновесия на 60 см. Найти длину обоих плеч рычага.

460. Колхозом в 9 дней было обмолочено двухконной молотилкой 172 копны вязаной ржи и яровых культур. Молотилка обмолачивает за рабочий день 18 копен ржи или 20 копен яровых культур. Сколько дней было затрачено на обмолот ржи и яровых культур отдельно?

461. 8 косцов и 3 сенокосилки за рабочий день скосили 14,5 га дуга, а 6 косцов и 4 сенокосилки скосили при той же производительности 17 га. Найти производительность косца и сенокосилки.

462. По одну сторону точки опоры рычага первого рода подвешены два груза — в 70 г и 40 г. Точка привеса первого отстоит от точки опоры на 3 см далее, .чем точка привеса второго. На каких расстояниях находятся точки привеса грузов от точки опоры, если оба груза уравновешиваются грузом в 120 г, подвешенным по другую сторону точки опоры на расстоянии 10 см от нее?

463. Латунь состоит из меди и цинка. Сколько содержится меди и сколько цинка в сплаве в 124 кг, если удельный вес меди 8,9, удельный вес цинка 7 и удельный вес латуни 8,25.

464. В воду температуры 100° влита ртуть температуры 20ö; температура смеси 96,8°. Найти массу воды и массу ртути, если общая масса 18 #г, а удельная теплоемкость ртути 0,033.

485. Уборочные площади совхозов и колхозов возросли в 1931 г. по сравнению с 1929 г. — по совхозам в 5 раз, по колхозам в lÖ1^ раз. Вся же уборочная площадь обобществленного сектора в 1931 г. составляла 72 млн. га и превышала такую же площадь 1929 г. в 12 раз. Сколько гектаров убрано совхозами и колхозами отдельно в 1929 и 1931 гг.?

468. На опытной станции участок пшеницы и участок овса с сорными травами дали всего 1472 кг зерна. По очистке этих участков от сорняков урожайность пшеницы повышается на 80°/0, а урожайность овса — на 24°/0; после очистки с этих же участков получается 2058 кг зерна. Определить урожайность пшеницы и овса до очистки участков и после.

467. В двух сосудах имеются две различных жидкости. Если взять первой жидкости 10,8 г, а второй 4,8 г, то удельный вес смеси будет 1,56. Если же взять жидкостей поровну, то удельный вес будет 1,44. Определить удельный вес каждой жидкости.

488. Камень, удельный вес которого 3, связан вместе с куском пробки, удельный вес которой 0,24. Сколько весит камень и какого веса должна быть пробка, чтобы все вместе весило 115 кг и было равно весу воды в том же объеме, т. е. чтобы в воде не погружалось и не всплывало?

469. Рычаг первого рода длиною в 42 см находится в равновесии под действием сил в 6 кг и 15лгг. Определить длину плеч.

470. К рычагу первого рода привешены 2 груза. Длины плеч 20 см и 50 см. Давление на точку опоры равно 31,5 кг. Сколько весит каждый груз?

471. На рычаг второго рода, находящийся в равновесии, действуют силы в 6 кг и 10 кг. Расстояние между точками приложения сил разно 10 см. Найти длину плеч рычага.

472. Во время империалистической войны Россия потеряла убитыми в 2,25 раза больше, а ранеными в 2-g- раза больше, чем Англия. Общие же потери Англии составляют 3 млн. человек, а России в 2-g- раза более. Определить отдельные потери ранеными и убитыми Англии и России.

473. Для выполнения земляных работ требуется некоторое количество человекодней. Райколхозсоюз вместо законтрактованных 250 человек доставил только 200; вследствие этого работа продолжалась на 25 дней дольше предположенного срока. Сколько человеко-дней требуется для выполнения работы?

474. Требуется получить 25-процентный (по весу) раствор некоторого вещества. Сколько граммов вещества нужно взять на 100б\**3 воды?

475. До окончания постройки плотины оставалось 6 месяцев. Рабочие выдвинули встречный план и решили закончить постройку на 1 месяц раньше. На сколько процентов надо повысить производительность труда для выполнения встречного плана?

476. Пешеход должен пройти некоторое расстояние с тем, чтобы прибыть на место не позже назначенного времени. Пройдя в час 3 км, он рассчитал, что опоздает на 20 минут, если будет продолжать путь с тою же скоростью, .с какой шел до сих пор, а потому ускоряет ход на ~ км в час и прибывает на место за 40 минут до срока. Какое расстояние должен был пройти пешеход?

477. Два числа составляют в сумме 47. Если первое из них разделить на второе, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти эти числа.

478. В двух кассах магазина находится 140 руб. Если из первой переложить во вторую 15 руб., то в обеих кассах окажется поровну. Сколько денег в каждой?

479. В двух бочках налита вода; если перелить из первой во вторую 6 гл, то в обеих будет поровну; если же перелить 4 гл из второй в первую, то в первой окажется вдвое более, чем во второй. Сколько воды в каждой бочке?

480. За 2 м сукна одного сорта и 3 м другого заплачено 81 рубль; если же купить 4 м первого сорта и 5 м второго, то придется заплатить 147 руб. Что стоит метр того и другого сорта?

481. Определить дробь, которая обращается в когда к числителю и знаменателю ее прибавим по 3, и в ~i когда из знаменателя ее вычтем единицу.

482. Найти два числа по следующим условиям: если к первому из них прибавить 3, то сумма будет втрое больше второго числа, а если ко второму прибавить 2, то вторая сумма будет вдвое меньше первого числа.

483. Найти число, которое при делении на 3 и на 5 дает в остатках 2 и 4, притом частные этих делений таковы, что если к первому прибавить единицу, то сумма будет вдвое больше второго.

484. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры этого числа переставить, то полученное число составит у первоначального. Найти число.

485. Некоторое двузначное число в 21 раз больше разности между числом его десятков и единиц. Если переставить его цифры

и от вновь полученного числа отнять 12, то разность будет в три раза больше суммы цифр. Найти это число.

486. За 1 кг чаю и 3 кг сахару заплачено 15 руб. 60 коп. Если бы цена чая возросла на 25°/0, а сахара на 10°/0, то на такую же покупку надо было бы истратить 18 руб. 96 коп. Что стоит килограмм чаю и килограмм сахару?

487. В два чана налита вода. Чтобы в обоих было поровну, нужно перелить из первого во второй столько, сколько там было, потом из второго в первый столько, сколько в первом осталось, и, наконец, из первого во второй столько, сколько во втором осталось. Тогда в каждом чане окажется по 64 л. Сколько в них было сначала?

488. Если на странице некоторой книги отбросить от каждой строки по 3 буквы и потом отнять две целых строки, то число всех букв уменьшится на 145; если же прибавить к каждой строке по 4 буквы и приписать 3 таких целых строки, то число всех букв увеличится на 224. Сколько строк в странице и букв в строке?

489. Турист вышел из одного места в другое. Если бы он проходил в час одним километром меньше, то на весь путь ему понадобилось бы шестью часами больше, чем теперь; а если бы он проходил в час двумя километрами больше, то совершил бы путь в y того времени, которое он употребляет теперь. Найти время движения и скорость его.

490. Две трубы наполняют бак в 16 часов. Если бы в течение четырех часов вода текла из обеих труб, а потом первую закрыли, то одна вторая окончила бы наполнение бака в 36 часов. Во сколько времени каждая труба отдельно наполняет бак?

491. Пароход прошел в 11 часов без остановки 168 км по течению реки и 48 км против течения; в другой раз он прошел в 11 часов 144 км по течению и 60 км против течения. Сколько километров проходит он в стоячей воде и какова скорость течения?

492. Пароход прошел в 13 часов без остановки 140 км по течению реки и 24^ км против течения; в другой раз он прошел в 11 часов 120 км по течению и 20 км против течения. Сколько километров он проходит в стоячей воде и какова скорость течения?

493. На молотьбе хлеба работало некоторое количество рабочих. Если бы их было тремя меньше, то они проработали бы двумя днями дольше, а если бы их было четырьмя больше, то работа их была бы окончена двумя днями раньше. Сколько было рабочих и сколько дней они работали?

494. На выполнении работы было занято некоторое количество рабочих. Если бы их было пятью больше, то работа была бы

окончена четырьмя днями раньше, а если бы их было десятью меньше, то они проработали бы двадцатью днями дольше. Сколько было рабочих и сколько дней они работали?

495. Разыгрывают книги. Если установленное число лотерейных билетов продавать по 20 коп., то сумма, вырученная за все билеты, будет меньше стоимости книг на 8 руб. 50 коп., если же билеты продавать по 25 коп., то всего будет выручено на 6 руб. 50 коп. больше стоимости книг. Сколько всего лотерейных билетов установлено для распространения и во сколько ценились книги?

496. На заводе заказано определенное количество плугов и установлен определенный срок для выполнения заказа. Если завод будет выпускать 240 плугов в день, то к сроку будет готово на 400 плугов меньше, чем заказано. Если же завод будет выпускать ежедневно 280 плугов, то к сроку будет заготовлено 200 плугов лишних. Сколько плугов заказано и какой срок был установлен для выполнения заказа?

497. За 2 м одного сорта и 5 м другого сорта товара заплачено 8 руб. 40 коп. Если цена первого сорта возрастет на 12,5°/0, а цена второго сорта на 15°/0, то на эту покупку придется потратить 9 руб. 50 коп. Сколько стоит метр каждого сорта?

498. Имеется вино двух сортов. Если смешать эти сорта в отношении 4:5; то гектолитр смеси будет стоить 500 руб., если же смешать в отношении 3:2, то 486 руб. Найти цену гектолитра каждого сорта.

499. Предположено перевезти лошадьми товар со станции в склад в определенное число дней. Если лошадей будет на 2 меньше, то для перевозки потребуется на 2 дня больше; если лошадей будет на 4 больше, то времени потребуется на 2 дня меньше. Во сколько дней был перевезен товар и сколькими лошадьми?

500. Были поставлены рабочие вырыть канаву. Если бы рабочих было двумя меньше, то работа была бы окончена днем позже, если бы рабочих было тремя больше, то работа была бы сделана днем раньше. Сколько было рабочих, и в какой срок они исполнили работу?

501. Если искомое двузначное число разделить на число, изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 1 и в остатке 9; если же искомое число разделить на сумму его цифр, то частное будет 5 и остаток 11. Найти число,

502. Какое число, будучи разделено на 7 и на 5, дает в остатке соответственно 1 и 4, причем сумма частных составляет ~ искомого?

503. Из двух мест, расстояние между которыми 650 км, отправляются друг другу навстречу два поезда. Если оба поезда тронутся с мест одновременно, то они встретятся через 10 часов, если же

второй поезд отправится 4 часами и 20 минутами раньше первого, то встреча произойдет через 8 часов после отправления первого поезда. Сколько километров проходит каждый поезд в час?

504. Найти два числа, произведение которых относится к их разности как 5:2, а сумма к разнести как 3:2.

505« Разделить число 226 на три части так, чтобы вторая часть была на 7 больше первой и на 22 больше третьей.

506» Три ящика с чаем весят вместе 250 кг. Первый со вторым на 10 кг легче третьего, а второй с третьим на 110 кг тяжелее первого. Сколько весу в каждом ящике?

507. Найти величины трех денежных сумм, зная, что первая сумма вместе с половиной второй, вторая вместе с третью третьей и третья вместе с четвертью первой составляют по 100 руб.

508. Разделить число 49 на три таких части, которые сделались бы равными, если бы к первой прибавить треть, ко второй четверть и к третьей одну пятую суммы д:;х других.

509. Три лица имеют вместе 190 руб. Число рублей первого, сложенное с полусуммой денег второго и третьего, составляет 120 руб., а число рублей второго, сложенное с пятой частью разности денег третьего и первого, составляет 70 руб. Сколько денег у каждого?

510. В трех корзинах лежат яблоки. В первой двумя больше, чем во второй, во второй втрое, а в третьей в ~ раза меньше, чем в двух остальных. Сколько яблок в каждой корзине?

511. Три города расположены не на одной прямой линии. Расстояние от первого до третьего через второй вчетверо длиннее прямого пути между ними, расстояние от первого до второго через третий на 5 км длиннее прямого пути, расстояние от второго до третьего через первый равно 85 км. Определить расстояние между городами.

512. Найти число, которое при делении на 4, 7 и 11 дает остатки 2, 1 и 6, при этом сумма частных двумя меньше половины неизвестного числа.

513. Число десятков трехзначного числа есть среднее арифметическое между числами сотен и единиц; частное от деления искомого числа на сумму его цифр равно 48; если от него отнять 198, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

514. В три сосуда налита вода. Если воды первого сосуда перелить во второй, затем ~ воды, оказавшейся во втором, перелить

в третий и, наконец, воды третьего перелить в первый, то в каждом сосуде окажется по 9 л. Сколько воды было в каждом?

515. Три лица внесли в сберкассу различные вклады по одним и тем же процентам. Первый получил в год прибыли 12 руб., второй 20 руб., третий 36 руб. Сумма денег первого и третьего составляет 600 руб. Как велик вклад каждого?

516. В первой и второй группах школы было 60 учащихся. В конце учебного года перешли из первой во вторую 25 человек, из второй в третью 20 и из третьей в четвертую 35. После этого оказалось во второй группе втрое больше учащихся, чем в первой, и на 5 больше, чем в третьей. Сколько было учащихся в каждой группе?

517. Имеются три сплава. В одном на 2 г цинка приходится 3 г меди и 1 г никеля, в другом те же металлы смешаны в отношении 2:4:3 и в третьем—в отношении 1:2:1. Требуется получить новый сплав, в котором было бы 10 г цинка, 18 г меди и 10 г никеля. Сколько надо взять от каждого сплава?

518. Найти три числа, составляющие непрерывную арифметическую пропорцию, сумма которых 570; причем если большее число разделить на меньшее, то в частном получится 11, а в остатке число, на единицу большее десятой части среднего числа.

519. Сумма трех дробей равна 1. Вторая дробь есть среднее арифметическое количество между первой и третьей; первая дробь в три раза более третьей. Определить эти дроби.

520. Найти число, которое при делении на 2, 3 и 4 дает в остатках соответственно 1, 2 и 3, причем сумма всех частных равна самому искомому числу.

521. Разделить 120 на такие четыре части, чтобы они составляли арифметическую пропорцию, в которой последующий член первого отношения равнялся бы третьей части суммы остальных, а последующий член второго отношения составлял бы четвертую часть суммы трех остальных.

522. Разделить 272 на такие четыре части, чтобы вторая была средним арифметическим количеством между первой и третьей частями, а третья — средним арифметическим между второй и четвертой частями, и кроме того вторая часть должна относиться к третьей, как 9:8.

523. На 4 полках находятся 192 книги. С первой полки перекладывают на вторую того, что было на второй, потом со второй полки перекладывают на третью i того количества, которое было

на первой; затем с третьей полки перекладывают на четвертую столько, сколько было на четвертой; наконец, с четвертой полки перекладывают на первую столько же, сколько там осталось. После этого на всех полках оказалось книг поровну. Сколько книг первоначально было на каждой полке?

524. Сумма двух чисел кратное отношение одного к другому </. Найти оба числа.

525. Разделить число а на три части так, чтобы первая часть была больше второй на число m и меньше третьей в п раз.

526. Одно число в а раз меньше другого. Если прибавить к первому числу m, а ко второму я, то первая сумма будет в b раз меньше второй. Найти эти числа.

527. Числитель дроби меньше знаменателя ее на число а. Если же от обоих членов дроби отнять по Ь> то получится дробь, равная дроби Найти члены дроби.

528. Разделить число а на такие три части, чтобы первая была в р раз больше второй и в ^ раз меньше третьей.

529. Знаменатель дроби больше числителя ее в а раз. Если прибавить к числителю число b и вычесть из знаменателя число с, то получится дробь, равная дроби — . Найти члены дроби.

530. Разделить число m на две части так, чтобы разность частных от деления первой части на д, а второй на b равнялась г.

531. Разность двух чисел d. При делении уменьшаемого на вычитаемое получаются частное q и остаток, равный половине разности. Найти эти числа.

532. За несколько метров сукна заплачено а рублей; если бы купили сукна более на с метров, то нужно было бы заплатить b рублей. Сколько метров куплено?

533. 1) Какое число от умножения на а увеличится на число ml 2) Какое число от деления на а уменьшится на число т>

534. При продаже товара за m рублей кооператив получил р процентов убытка. Что стоит товар самому кооперативу?

535. Два автомобиля выезжают одновременно из двух городов А и В и едут по одному направлению от города А к городу В и далее. Первый проезжает в час а километров, второй b километров. Расстояние AB равно d километрам. Когда и на каком расстоянии от А первый автомобиль догонит второй?

536. Переднее колесо экипажа имеет окружность в а метров, окружность заднего b метров. Какое расстояние должен проехать экипаж, чтобы переднее колесо сделало на п оборотов больше заднего?

537. В бак проведены две трубы, которые обе наполняют его— первая при отдельном действии в а часов, вторая также при отдельном действии в b часов Во сколько времени наполнится бак при одновременном действии обеих труб?

538. Окружность заднего колеса экипажа в а раз больше окружности переднего колеса. Экипаж проехал m метров, и при этом переднее колесо сделало k оборотами больше заднего. Определить окружность обоих колес и числа оборотов.

539. Народонаселение города увеличивается ежегодно на р°/о сравнительно с народонаселением предыдущего года. В настоящее время в городе m жителей. Сколько было жителей 3 года назад?

540. Двое рабочих, работая одновременно, кончают работу в а часов. Один первый сделает ту же работу в h раз скорее, чем один второй. Во сколько времени каждый из рабочих кончит работу?

541. Лодочник, гребя по течению реки, проплывает п метров в t часов; гребя же против течения, он употребляет на и часов более, чтобы проплыть то же расстояние. Определить часовую скорость течения.

542. Тело А движется со скоростью v метров в секунду. С какой скоростью должно было двигаться другое тело В, вышедшее из того же места t секундами раньше, если оно было настигнуто телом А через и секунд после начала движения этого тела?

543. Из двух сортов товара ценою в а рублей и в b рублей за кило составлено d кило смеси. При продаже этой смеси по m рублей за кило получено 5 рублей убытка. Сколько кило того и другого сорта пошло на составление смеси?

544. В бассейн, вмещающий m ведер, проведены две трубы. Первая вливает в бассейн а ведер в час. Вторая выливает весь бассейн в b часов. Во сколько часов наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб?

545. Разделить число а на три части так, чтобы первая относилась ко второй, как m:п, а вторая к третьей, как р:д.

546. Из двух мест А и В на реке, отстоящих одно от другого на п метров, плывут навстречу друг другу две лодки, управляемые гребцами с одинаковой силой. Первая, плывущая по течению, проходит все расстояние AB в t часов; вторая, плывущая против течения, употребляет на то же расстояние больше времени на и часов. Определить часовую скорость течения.

547. Кооператив, продавая килограмм товара за а рублей, получает на этом прибыли р процентов. Сколько процентов прибыли он получит, если продаст килограмм этого товара за b рублей?

548. Какое одно и то же число надо прибавить к числам a, bt с и d, чтобы новые числа были пропорциональны между собою?

549. Определить вклады в сберкассу трех лиц, зная, что первый со вторым имеют вместе m рублей, второй с третьим п рублей, и что вклад первого в р раз меньше вклада третьего.

550. Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся на расстоянии d метров. Первое движется со скоростью V метров в секунду. С какою скоростью должно двигаться второе тело, если оно вышло на h секунд позднее первого и должно итти до встречи всего п секунд?

551. Два велосипедиста выезжают из городов А и В, находящихся на расстоянии d километров, и едут навстречу, проезжая в час — первый и километров и второй v километров; выезд первого из А состоялся на h часов раньше выезда второго из В. Определить, когда и где встретятся велосипедисты.

552. Разделить число а на такие три части, что если к первой приложить т% вторую сначала уменьшить на m, а затем умножить на я и третью разделить на я, то полученные результаты окажутся равными.

553. В резервуар проведены три трубы: Л, В и С. Через А и С вода вливается, через В вытекает. При совместном действии труб А и В резервуар наполняется в m часов, при действии А и С—в п часов, при действии В и С—в р часов. Во сколько времени наполнится резервуар при одновременном действии всех труб?

554. Если одно из двух неизвестных чисел увеличим на а, то получится сумма, в m раз большая второго числа; если же второе число увеличим на Ьу то новая сумма будет в п раз больше первого числа. Найти эти числа.

555. Два тела находятся на расстоянии d метров. Если они будут двигаться навстречу одно другому, то столкнутся через m секунд; если одно из них будет догонять другое, то столкновение произойдет через п секунд. Какова скорость каждого тела?

556. Два числа относятся между собой, как гп\п\ если же к первому из них придать а и ко второму Ь, то они будут относиться как p:q. Найти эти числа.

557. Два котла весят Р тонн; р процентов веса одного котла составляют q процентов веса другого. Найти вес каждого котла.

558. Два работника получили г рублей; первый работал а дней, второй b дней. Первый выручил в с дней столько, сколько второй в d дней. Какова поденная плата каждого?

559. Имеется латунь двух сортов. Взяв а граммов первого сорта иТЬ граммов второго, получаем сплав ценою m рублей за грамм; если же взять b граммов первого и а граммов второго, то получится сплав ценою п рублей за грамм. Что стоит грамм того и другого сорта?

560. Два двухколесных экипажа, находящиеся на расстоянии d метров, катятся навстречу. Отношение межу длинами окружностей их колес равно т:п> а отношение между числами оборотов равно p:q. Сколько метров пройдет до встречи каждый экипаж?

561 (562). Имеются два сплава меди и цинка, В одном эти металлы смешаны в отношении т:п, в другом — в отношении p:q. Требуется отделить от сплавов по части так, чтобы сумма весов отделенных частей была а килограммов, и чтобы при сплавлении этих частей медь и цинк смешались в отношении г:s. По скольку килограммов должны содержать отделенные части?

562 (563). Площадь кольца (черт. 9) равна Q, ширина кольца /. Найти радиусы окружностей (внутренней и внешней).

563 (564). Стороны прямоугольника ABCD равны: AD = a, AB = b. Разделить площадь прямоугольника на три равных части двумя прямыми, выходящими из середины К стороны AB (черт. 10).

Указание. Найти DL9 LM, MC.

Черт. 9. Черт. 10.

ГЛАВА VII.

КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ.

§ 1. Извлечение квадратного корня из чисел.

Извлечь квадратный корень из данного числа — значит найти такое число, квадрат которого равен данному числу. Квадратный корень из положительного числа имеет два значения; например: j/"l6=== ±4, так как (-j-4)2= 16 и (—4)2== 16. Из отрицательного числа нельзя извлечь квадратного корня; например: ]/ —16 не может быть выражен никаким положительным и никаким отрицательным числом.

Квадратный корень может быть извлечен точно только из тех чисел, которые представляют собою полный квадрат какого-нибудь числа; например, у 49 — 7, у gg — 'g"* Квадратный корень

из целого числа, не представляющего собою полного квадрата, не может быть выражен точно ни целым, ни дробным числом; таковы, например, корни ^2, |/7 и т. д.

Извлечение квадратного корня из целых чисел выполняют по следующему правилу. Разбиваем цифры числа, с правой стороны к левой, на грани по две цифры в каждой грани, причем в последней грани слеза может оказаться одна цифра. Извлекаем корень из наибольшего квадрата, заключающегося в числе, обозначенном первой гранью слеза; получится первая цифра корня. Квадрат числа, обозначенного найденной цифрой, вычитаем из первой грани; к остатку сносим вторую грань; составится первый остаток. В обозначении остатка отделяем одну цифру справа. Число, обозначенное остальными цифрами, делим на удвоенное число, обозначенное найденными цифрами корня; получится вторая цифра корня или число, большее искомого. Для проверки найденной цифры частного приписываем ее к обозначению делителя и умножаем составившееся число на ту же испытуемую цифру частного. Если произведение не больше первого остатка, то цифра корня найдена верно. Полученное произведение вычитаем из первого остатка и сносим следующую грань; составится второй остаток. Поступая с ним так же, как с первым, получим третью цифру корня и т. д.

Извлечь квадратный корень из чисел:

Для того чтобы извлечь корень из обыкновенной дроби, достаточно извлечь этот корень отдельно из числителя и из знаменателя и затем первый результат разделить на второй. До извлечения корня следует дробь сократить.

Для того чтобы извлечь квадратный корень из десятичной дроби, содержащей четное число десятичных знаков, достаточно, отбросив запятую, выполнить извлечение корня из получившегося целого числа и в результате отделить запятой (справа налево) число цифр, вдвое меньшее, чем число десятичных знаков в данной дроби.

Если же число десятичных знаков нечетное, то нужно приписать к этому числу справа нуль и затем извлекать кор:пь, как из дроби с четным числом десятичных знаков.

Извлечь корни из дробных чисел:

§ 2. Нахождение приближенных квадратных корней.

Приближенным квадратным корнем из целого числа с точностью до 1 (с недостатком) называется наибольшее целое число, квадрат которого не превосходит данного числа. Если к этому корню прибавим 1, то найдем приближенный квадратный корень с точностью до 1 с избытком.

Для того чтобы найти приближенный квадратный корень из целого числа с точностью до 1, достаточно выполнить извлече-

ние корня по правилу, указанному в § 1. Последний остаток указывает, насколько квадрат найденного корня меньше числа, из которого извлекался корень.

Для того чтобы найти приближенный квадратный корень с точностью до —, достаточно умножить подкоренное число на квадрат знаменателя п дроби, указывающей степень точности корня, из произведения извлечь корень с точностью до 1 и полученный результат разделить на число п.

Для того чтобы из целого числа найти приближенный квадратный корень с точностью до 0,1, достаточно к остатку, полученному после извлечения корня с точностью до 1, приписать справа два нуля и, продолжая извлечение корня согласно правилу, найти сверх полученных цифр корня еще одну; эта цифра выразит число десятых долей корня; ее надо отделить запятой.

Для того чтобы найти приближенный квадратный корень из целого числа с точностью до 0,01, достаточно, поступая подобно предыдущему, найти два десятичных знака корня и т. д.

При нахождении приближенного квадратного корня из дроби следует предварительно сделать знаменатель полным квадратом, для чего числитель и знаменатель достаточно умножить на число, произведение которого на данный знаменатель дает полный квадрат.

Извлечь корни из следующих чисел с точностью до 1:

47. 969. 48. 7269. 49. 53 780. 50. 81 300 000.

Извлечь корни из следующих чисел с нижеуказанной степенью точности:

Извлечь корпи из следующих чисел с одним, двумя и тремя десятичными знаками и определить степень точности.

ГЛАВА VIII.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧИСЛОВЫМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ.

§ 1. Решение числовых уравнений второй степени.

Уравнением второй степени, или квадратным уравнением, называется всякое уравнение, которое посредством преобразований, заменяющих его другими, равносильными ему уравнениями, может быть приведено к виду:

называемому общим видом квадратного уравнения. Числа a, b и с называются коэфициентами уравнения; коэфициент с, представляющий собою член, не содержащий неизвестного х, называется свободным членом. Если эти коэфициенты выражены дробными числами, то их можно заменить целыми числами. Коэфициент а всегда можно сделать положительным числом.

Если коэфициент с или коэфициент b равен нулю, то получается так называемое неполное квадратное уравнение.

Для решения неполного квадратного уравнения ах2 -f- Ьх — О достаточно вынести в первой части его за скобки х. Получится уравнение х(ах-\-Ь) — 0, которое имеет два корня: хг — 0 и ъ_

Пример. Уравнение х2—5я = 0 имеет корни: ^ = 0, х2 = 5.

При решении неполного квадратного уравнения вида ах2-\-с = 0 различают два случая:

1. Если при положительном значении коэфициента а коэфициент с есть отрицательное число, то уравнение имеет корни

Пример. Уравнение 4л:2 — 7 = 0 имеет корни:

2. Если при том же условии с есть положительное число, то уравнение корней (вещественных) не имеет.

Пример. Уравнение 4х2 -\- 7 = 0 имеет корни :

т. е. оно вещественных корней не имеет.

Решить следующие неполные квадратные уравнения:

Полное квадратное уравнение ах2 -f- bx -{-с = 0 решается по следующим формулам :

1. Если коэфициент b есть число нечетное, то решение выполняется по общей формуле:

2. Если коэфициент b есть число четное, равное 2Ь\ то решение находится по формуле:

Решить следующие полные квадратные уравнения:

§ 2. Свойства корней квадратного уравнения и разложение трехчлена второй степени на множители.

Сумма корней полного квадратного уравнения ах2 Ак-f- с = 0 равна — ~, т. е. частному от деления коэфициента при неизвестном в первой степени на коэфициент при высшем члене, взятому с противоположным знаком, а произведение корней квадратного уравнения равно ~, т. е. частному от деления свободного члена на коэфициент при высшем члене. Для приведенного уравнения x2-\-px-\-q — 0, получаемого из уравнения в общем виде путем деления всех коэфициентов на коэфициент а при высшем члене, сумма корней равна числу — /7, а произведение корней равно числу q. Если обозначим корни квадратного уравнения через хг и х2) то свойства его корней запишутся так:

Эти равенства выражают зависимость, существующую между корнями квадратного уравнения и его коэфициентами.

Пользуясь этой зависимостью, можно представить трехчлен ах2 -\~ bx -f-с в виде произведения а(х — х1)(х — х2), где ху и хг суть корни уравнения ах2 -f- bx -\- с = О,

Разложить на множители следующие трехчлены второй степени:

§ 3. Составление квадратного уравнения с одним неизвестным.

Все что было сказано ранее о составлении уравнения или системы уравнений первой степени, относится и к составлению квадратного уравнения.

73. Сумма квадратов трех последовательных чисел равна 365. Найти эти числа.

73. Сумма квадратов трех последовательных четных чисел равна 116. Найти эти числа.

74. Продано несколько килограммов товара за 120 руб.; цена килограмма в рублях на 2 меньше числа килограммов. Сколько килограммов продано?

74. Продано несколько килограммов товара за 270 руб.; цена килограмма в рублях на 3 больше числа килограммов. Сколько килограммов продано?

75. Найти двузначное число, зная, что цифра единиц искомого числа двумя больше цифры его десятков, и что произведение числа на сумму его цифр есть 144.

75. Найти двузначное число, зная, что цифра десятков искомого числа двумя больше цифры его единиц, и что произведение

76. Несколько человек должны были заплатить поровну всего 72 руб. Если бы их было тремя меньше, то каждому пришлось бы заплатить четырьмя рублями больше. Сколько их было?

76. Несколько человек должны были заплатить 60 руб. Если бы их было тремя больше, то каждому пришлось бы заплатить рублем меньше. Сколько их было?

77. Бассейн наполняется двумя трубами в 6 часов. Одна первая труба наполняет его на 5 часов скорее, чем одна вторая. Во сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?

77. Бассейн наполняется двумя трубами в 3 часа 36 минут. Одна первая труба наполняет его на 3 часа скорее, чем одна вторая. Во сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?

78. При продаже часов за 39 руб. получено столько процентов прибыли, сколько рублей стоили часы. Что они стоили?

78. При продаже часов за 24 руб. получено столько процентов убытка, сколько рублей стоили часы. Что они стоили?

79. Два туриста одновременно выходят из одного города в другой. Первый проходит в час на 0,5 км больше второго и поспевает придти часом раньше. Расстояние между городами 28 км. Сколько километров проходит каждый из них в час?

79. Два лица выезжают одновременно из городов А и В навстречу друг другу. Первый проезжает в час двумя километрами больше второго и приезжает в В часом раньше того, как второй в А. Расстояние А В равно 48 км. Сколько километров проезжает каждый из них в час?

80. Долг в 820 руб. уплачен банку в два годичных срока, причем в конце каждого года платили по 441 руб. По скольку процентов был сделан заем?

80. Долг в 2100 руб. уплачен в два годичных срока, причем в конце каждого года платили по 1210 руб. По скольку процентов был сделан заем?

81. В бригаде колхоза было 960 копен ржи и овса. При молотьбе бригада смогла обмолачивать каждый день на 40 копен больше, чем предполагалось планом, а потому закончила молотьбу за 4 дня до срока. Сколько копен намечалось планом обмолачивать в день, и во сколько дней думали окончить молотьбу?

82. Колхоз сдал ржи на lO/j больше, чем овса. За рожь было получено 280 руб., а за овес 180 руб. Центнер ржи стоит на 1 рубль больше, чем центнер овса. Сколько центнеров ржи и овса было сдано вместе?

82. После того как в колхозе лошади пахали пар в течение 8 дней, в колхоз прибыл трактор и вместе с лошадьми допахал остаток пара в 3 дня. Если бы лошади и трактор работали все время вместе, то они закончили бы пахоту в 9 дней. Определить, сколько надо тракторов, чтобы поднять пар колхоза в тот же срок.

83. Огород совхоза величиною в 36 га, имеющий форму прямоугольника, разделен линией, параллельной ширине огорода, на 2 участка в отношении 2:1. Меньший участок имеет по длине огорода на 100 м меньше, чем ширина огорода. Определить длину и ширину огорода.

83. Из листа железа прямоугольной формы сделана коробка (без крышки), имеющая объем в 750 смв. Для этого по углам листа вырезаны квадраты со стороною в 5 см и получившиеся края загнуты. Найти размеры листа железа, если одна из его сторон на 5 см больше другой.

84. Расстояние от Горького до Астрахани и обратно, равное в один конец 2250 км, пароход скорой линии проходит в 280 часов. Скорость течения Волги в среднем 2,5 км в час. Определить собственную среднюю скорость парохода.

84. Себестоимость единицы продукции, равная вначале 25 руб., после двух последовательных снижений на одно и то же число процентов снизилась до 20 руб. 25 коп. На сколько процентов снижалась себестоимость каждый раз?

85- Колхоз заготовил для зимнего прокормления крупного рогатого скота 210 m силосованного корма. Но при вступлении в колхоз новых хозяйств число голов скота увеличилось на 10. Вследствие этого, чтобы хватило запасенного корма, пришлось норму корма на голову скота уменьшить на 0,5 /я. Сколько тонн силосованного корма предполагалось расходовать на голову скота первоначально?

86. Одна часть облигаций займа в 500 руб. приносит ежегодно 12 руб., а другая 31,5 руб. прибыли. По скольку процентов дает каждая часть, если со второй получается одним процентом больше, чем с первой?

87. Окружность заднего колеса экипажа в 2 раза больше окружности переднего; если бы окружность заднего колеса уменьшить на 2 дм, а переднего увеличить на 4 дм, то на расстоянии 120 л* заднее колесо сделало бы на 20 оборотов меньше переднего. Найти окружности обоих колес

87. Окружность переднего колеса экипажа в 3 раза меньше окружности заднего; если бы окружность переднего колеса увеличить на 3 дм, а заднего на 2 дм, то на пространстве 140 м переднее колесо сделало бы на 60 оборотов больше заднего. Найти окружности обоих колес.

88. А отправился в путь из города M к городу N и проходил по 12 км в день. После того как он прошел 65 км, навстречу ему из города N отправился В. Проходя каждый день ~ всего расстояния между городами M и N, В по прошествии стольких дней, сколько он делал в день километров, встретил А. Определить расстояние между городами M и N.

89. Конный вестовой, выезжающий из места А, должен поспеть в место В через 5 часов В то же время другой вестовой выезжает из места С и, чтобы поспеть в В в одно время с первым, должен проезжать каждый километр на 1-^ минуты скорее, чем первый. Расстояние от С до В на 20 км больше расстояния от А до В. Определить последнее.

90. Два поезда отправляются из двух городов А и В, расстояние между которыми 600 км, и идут навстречу один другому. Они могут встретиться на половине пути, если поезд из В выйдет на 1~ часа раньше другого. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через 6 часов расстояние между ними составляло бы десятую часть первоначального расстояния. Сколько часов каждый поезд употребляет на прохождение от А до В?

91. Два лица идут навстречу один другому из двух мест А и В. При встрече оказывается, что первый прошел на 6 км больше второго. Продолжая движение, первый приходит в В через 4 часа, а второй в А через 9 часов после встречч. Как велико расстояние от А до Б?

92. На расстоянии 36 м переднее колесо экипажа делает на 6 оборотов больше заднего. Если бы окружность каждого колеса увеличилась на метр, то на том же расстоянии переднее колесо делало бы только на 3 оборота больше заднего. Определить длину окружности каждого колеса.

93. За выгрузку товара уплачено 40 руб. Так как рабочих явилось на 3 человека больше намеченного числа, то каждый из них получил на 3 руб. меньше предположенного. Сколько человек явилось на выгрузку?

94. Каждый из участников шахматного турнира играет по две партии с каждым из остальных, и всего таким образом сыграно 462 партии. Сколько было участников?

95. На 156 руб. куплено несколько килограммов товара. Если бы 1 кг стоил рублем дешевле, то на те же деньги можно было бы купить товара на 1 кг больше. Сколько стоит 1 кг товара?

96. Поезд был задержан на 16 минут и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, увеличив на 10 км начальную скорость. Найти начальную скорость поезда.

97. Два аэроплана вылетели одновременно с одного и того же аэродрома по одному направлению в одно и то же место назначения, находящееся на расстоянии 1600 км от аэродрома. Первый аэроплан, летевший со скоростью на 40 км в час быстрее второго, прибыл на 2 часа раньше. Определить скорость аэропланов.

97. Расстояние между станциями равно 96 км. Скорый поезд проходит это расстояние на 40 минут быстрее почтового, средняя скорость которого на \2км в час меньше средней скорости скорого поезда. Найти скорости обоих поездов.

98. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу в 12 часов; первый, работая отдельно, мог бы выполнить ту же работу на 10 часов скорее второго. Во сколько часов мог бы выполнить эту работу каждый из них, работая отдельно?

99. На всех соотрудников учреждения было выдано 480 трамвайных билетов. Так как решили выдавать билеты только малооплачиваемым соотрудникам, то 16 человек вовсе не получили билетов; зато каждый из остальных получил восемью билетами больше, чем предполагалось. Сколько всего соотрудников в учреждении?

100. Два грузовика должны были перевезти некоторый груз за 6 часов. Второй грузовик задержался, и к моменту его прибытия первый успел перевезти всего товара, а остальной груз перевез второй грузовик. Весь груз был перевезен таким образом за 12 часов. Сколько времени нужно было бы каждому грузовику в отдельности для перевозки всего груза?

101. Две силы, приложенные к одной и той же точке, образуют между собой прямой угол. Отношение их равно 2:5, а их равнодействующая равна 37,7 кг. Найти эти силы.

101. Если одну сторону квадрата уменьшить на 2 м, а другую на 5 м, то площадь полученного прямоугольника сделается равной 40 м2. Найти сторону квадрата.

102. При продаже товара за 31 руб. 25 коп. получено столько процентов прибыли, сколько рублей в себестоимости товара. Какова себестоимость товара?

103. Бассейн наполняется двумя трубами в 3 часа 45 мин. Первая труба может наполнить его четырьмя часами скорее, чем вторая. Во сколько времени каждая труба в отдельности может наполнить бассейн?

103. Рукопись в 60 листов отдана двум переписчикам. Если

первый начнет работу через 2-^- часа после вторе го, то каждый из них перепишет по половине рукописи; если же они начнут писать одновременно, то через 5 часов останется непереписанных 33 листа. Во сколько времени может переписать рукопись каждый отдельно?

104. Зеркало в 84 см длины и 60 см ширины имеет раму, ширина которой везде одинакова, а площадь равна площади зеркала. Найти ширину рамы.

104. Периметр основания прямоугольного здания равен 70 м. Здание окружено решеткой, отстоящей везде от здания на равном расстоянии. Площадь земли, ограниченная решеткой, на 74 м2 более площади, занимаемой зданием. Найти расстояние решетки от здания.

105. По сторонам прямого угла, начиная от его вершины, одновременно движутся два тела: одно со скоростью 24 м в минуту, другое со скоростью 10 м в минуту. Через сколько минут расстояние между телами по прямой линии будет 806 м!

106. На какое число надо разделить 136, чтобы в частном получить на 3 меньше делителя, а в остатке на 7 меньше делителя?

107. Даны три числа: 100, 60 и 30. Какое число нужно отнять от первого и прибавить его к третьему, чтобы второе число оказалось средним пропорциональным между вновь полученными числами?

107. Водном бумажнике 232 руб. 60 коп., в другом — 70 руб. и в третьем — 37 руб. Сколько нужно переложить из третьего в первый, чтобы в первом оказалось во столько раз больше, чем во втором, во сколько во втором больше, чем в третьем?

108. На плоскости дано несколько точек, между которыми нет трех, лежащих на одной прямой. Если соединить все эти точки попарно прямыми линиями, то получится 253 прямых. Сколько дано точек?

109. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше одного катета на 9 см и больше другого на 18 см. Определить стороны этого прямоугольного треугольника.

109. Стороны прямоугольного треугольника выражаются тремя последовательными четными числами. Найти эти стороны.

110. Лодочник плыл по течению реки из города А в город В, а потом назад против течения из .в в Л и на всю поездку употребил 3 часа 45 минут. Город А отстоит от города Б на 6 км, а скорость течения реки равняется 3 км в час С какой скоростью плыл бы лодочник в стоячей воде, если бы работал с прежней силой?

ОТВЕТЫ.

Глава I

Глава Ia.

Глава II.

Глава III.

Глава IV.

Глава V,

Глава VI.

Глава VII.

Глава VIII.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Глава I. Основные алгебраические обозначения • • • » • 3—19

§ 1. Алгебраические выражения (№ 1—40). § 2. Алгебраические формулы (№ 41-55). § 3. Коэфициент (№ 56-70). § 4. Степень (№ 71—130). § 5. Корень (№ 131-160). § 6. Порядок действий. Скобки (№ 151-232). § 7. Подстановки. (№ 233-238). § 8. Общие формулы решения арифметических задач (№ 239—253). § 9. Вычисление алгебраических выражений (№ 254 -266).

Глава 1а. Действия с относительными числами . • • • . • 19—26

§ 1. Понятие об относительном числе. Числовая ось (№ 1—-5;. § 2. Сложение и вычитание относительных чисел 6—74). § 3. Умножение и деление относительных чисел (№ 75—94).

Глава II. Действия над одночленами и многочленами . • 26-50

§ 1. Приведение подобных членов многочлена (М 1—48). § 2. Сложение н вычитание одночленов и многочленов (№ 54—126). § 3. Раскрытие скобок и заключение в скобки (№ 127—152). $ 4. Умножение одночленов (№ 162-211). § 5. Умножение многочлена на одночлен (ЛИ? 212—231). § 6. Умножение многочленов (№ 232—263). § 7. Деление одночленов (№ 272—321). § 8. Деление многочлена на одночлен (№ 322 - 341). § 9. Деление многочлена на многочлен (№ 342—369). § 10. Сокращенное умножение (№ 370-469). § 11. Сокращенное деление. (№ 470 —514).

Глава III. Разложение на множители . . . . . 50—60

§ 1. Вмнесение за скобки (№ 1—СО). $ 2. Вынесение за скобки многочленного множителя (№ 31 — 58). § 3. Способ группировки (№ 59—83). §4. Применение формул сокращенного умножения (№ 84—108). § 5. Применение формул сокращенного деления (№ 1(9—118). § 6. Применение всех изложенных способов разложения многочленов на множители. (№ 119—218). § 7. Наибольший общий делитель (№ 219-230). § 8. Наименьшее общее кратное (Л* 231—252).

Глава IV. Дроби..... ... ...... 61—76

§ 1. Сокращение дробей (№ 1—50). § 2. Приведение дробей к общему знаменателю (№ 51—65). $ 3. Сложение и вычитание дробей (№ 66—120). $ 4. Умножение дробей (№ 121—175). * 5. Деление дробей (№ 176—230). $ 6. Задачи на все действия с дробями (№ 231—250). § 7. Отрицательные и нулевые показатели. № 251-343.)

Глава V. Возвышение в степень (№ 1—38) ........ 77—75

Глава VI. Преобразование равенств. Уравнения первой степени................... 78—124

§ 1. Пропорции (№ 1—35). § 2 Уравнение с одним неизвестным (№ 36—210). § 3. Система уравнений (№ 211—370). § 4. Составление уравнений (№ 371—563).

Глава VII. Квадратный корень............... 124—127

§ 1. Извлечение квадратного корня из чисел (№ 1-46). § 2. Нахождение приближенных квадратных корней (№ 47—76).

Глава VIII. Квадратные уравнения с числовыми коэфициентами...........127—137

§ 1. Решение числовых уравнений второй степени (№ 1—52). § 2. Свойства корней квадратного уравнения и разложение квадратного трехчлена на множители. (№ 53—72). § 3. Составление квадратного уравнения с одним неизвестным (№ 73—110),

Ответ ..................... .....138—151