А.САВИН

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

А.САВИН

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Иллюстрации: АКардашука, М.Колденковой, А.Савельева

МОСКВА ACT 1995

ББК 22.1 С13

Художники: А.В.Кардашук, М.В.Колденкова, А.Н.Савельев

Савин А.П.

С13 Занимательные математические задачи / Худож. А.В.Кардашук, М.В.Колденкова, А.Н.Савельев.- М.: ACT, 1995. - 176 с.

ISBN 5-88196-400-4

Многие слышали о замечательном журнале “Квант”, а те, кто не только слышал, ко и читал его, наверняка помнят смешные задачки из раздела “Квант для младших школьников”. Его многолетний ведущий А.П.Савин собрал самые лучшие из них и подготовил для этой книги.

Эти задачки не требуют специальных знаний, они доставят удовольствие и взрослым, не забывшим, сколько будет “дважды два”, и детям, в том числе и дошколятам. Приятных вам встреч с героями нашей КНИГИ !

ISBN 5-88196-400-4

© А.П.Савин, 1995

© Иллюстрации. А.В.Кардашук, А.Н.Савельев, 1995 © Оформление. М.В.Колденкова, 1995 © ASTREY Enterprises, 1995

Предисловие

Народная память донесла до нас множество притч, легенд и сказок. Из поколения в поколение передавалась мудрость, накопленная веками, этические и эстетические принципы предков. И наряду с историями о богатырях и красавицах, тружениках и лодырях, богачах и бедняках, через сотни лет до нас дошли и математические задачи. Часто они облекались в занимательную форму, не уступающую иным сказкам. Например,

Летели галки, Сели на палки. Если на палке Сядет по галке, Одной из галок Не хватит палок

Если на палке Сядет по две галки, Одна из палок Будет без галок. Сколько было галок? Сколько было палок?

Такие задачи, несомненно, способствовали развитию сообразительности. Естественное стремление человека к познанию объясняет тот факт, что яркая математическая головоломка доставляет не меньшее удовольствие, чем остроумный анекдот.

В последнее время появилось много прекрасных математических задач с новыми идеями. Это связано и с развитием самой математики, и с увеличивающимся спросом на задачи математических олимпиад разного уровня — от школьных до международных. Много задач сочиняется ежегодно для вступительных экзаменов в вузы. Однако среди них редко можно встретить задачу, требующую для решения свежей, нестандартной идеи. В подавляющем большинстве случаев это чисто «технические» задачи. Поэтому читатель, который знаком лишь с задачами для вступительных экзаменов, получит удовольствие от задач, собранных в этой книге.

Из названий первых трех глав «Простые задачи», «Задачи посложнее» и «Трудные задачи» понятно, как они расположены. Хотя сложность задачи — понятие очень субъективное: может оказаться, что вам придется изрядно поломать голову над задачей из первой главы, а решение некоторых из третьей главы придут к вам мгновенно.

В первых трех главах очень мало геометрических задач, а четвертая глава посвящена специфическому типу геометрических задач — задачам на разрезание. Это вызвано жела-

нием ограничиться традиционным набором занимательных задач, а также тем, что в последнее время вышло в свет несколько прекрасных задачников по геометрии.

Четвертая глава «Задачи в картинках» содержит мой опыт создания задач в форме «комиксов». Они пользовались успехом у читателей.

В пятую главу собраны задачи, которые принято называть «арифметическими ребусами». Задачи этого типа решаются с помощью логических рассуждений и перебора вариантов и, по моему мнению, они и привлекательны, и полезны для развития логического мышления.

Все задачи, помещенные в книге, были опубликованы в 1970-1993 гг. в журнале «Квант» в рубрике «Квант для младших школьников». Все эти годы я был ведущим этой рубрики, отбирал и редактировал наиболее интересные задачи, поступающие в журнал.

Некоторые задачи основаны на реалиях времени их создания, поэтому не удивляйтесь, увидев в условиях задач очень смешные цены, уже исчезнувшие копейки, автобусные билеты и многое другое, что было когда-то актуально, а сейчас уже ушло в историю.

Перечислить авторов всех задач не представляется возможным, однако замечу, что редкий номер журнала «Квант» не содержит задач И.Ф.Акулича, Н.К.Антоновича, С.В.Дворянинова, Л.П.Мочалова, В.В.Произволова и С.В.Токарева. Считаю своим долгом также назвать имена следующих активных «композиторов задач»: Н.А.Авилов, С.Б.Баженов, Г.А.Гальперин, А.М.Домашенко, С.А.Ляшенко, Н.Ю.Нецветаев, И.П.Нагель, Н.Х.Розов, М.А.Роллова, С.Р.Серфибеков, В.П.Чичин и А.В.Шведов. Большая часть задач придумана мной.

Из 1500 задач, опубликованных в «Кванте» почти за четверть века я отобрал в эту книгу 400 задач. Надеюсь, что знакомство с ними доставит вам удовольствие.

А Савин

Глава 1

ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ

1.00. Где золотой ключик?

Рассказывают, что черепаха Тортилла отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказывал А.Н.Толстой, а вынесла три коробочки: красную, синюю и зеленую. На красной коробочке было написано «Здесь золотой ключик», на синей — «Зеленая коробочка пуста», а на зеленой — «Здесь сидит гадюка». Тортилла прочла надписи и сказала: «Действительно, в одной из коробок лежит золотой ключик, в другой — гадюка, а третья пуста, но все надписи неверны». Где лежит золотой ключик?

1.01. Бой курантов.

Анатолий Павлович любит читать книгу, сидя в скверике около курантов. Однажды, пока он сидел, часы начинали бить 5 раз, а всего он насчитал 11 ударов. С последним ударом Анатолий Павлович встал и пошел домой. В какое это было время? Куранты отбивают каждый час положенное количество раз и, кроме того, бьют один раз в половину каждого часа.

1.02. Домашние любимцы.

Мадемуазель Рембо любит домашних животных. Все ее животные, кроме двух, — собаки, все, кроме двух, — кошки, все, кроме двух, — попугаи, а остальные — тараканы. Сколько каких животных у мадемуазель Рембо?

1.03. Блондины и голубоглазые.

Доля блондинов среди голубоглазых больше, чем их доля среди всего населения. Верно ли, что доля голубоглазых среди блондинов больше, чем их доля среди всего населения?

1.04. Бочка и ведра.

У меня есть 3 ведра, каждое из которых вмещает целое число литров. Если вылить полное первое ведро воды во второе, то она займет там ровно 2/3 его объема, а если вылить в третье, то она займет 3/4 его объема. Однажды я наполнял бочку в 30 л водой, вылив сначала первое ведро воды, потом второе, затем третье, но бочка не наполнилась. Сколько литров воды можно было влить в нее еще?

1.05. После турнира.

После окончания шахматного турнира, проходившего в один круг (каждый участник сыграл с каждым по одному разу), все 5 его участников: Рыбаков, Щукин, Окунев, Ершов и Карасев (перечислены здесь в порядке занятых мест), обменивались впечатлениями.

— Не думал, что только лишь я один не испытаю горечь поражения, — сказал Щукин.

— А вот мне единственному не удалось одержать ни одной победы, — заметил Карасев.

Попробуйте по этим данным восстановить турнирную таблицу: как каждый сыграл с остальными участниками?

1.06. Рыцарский щит.

Сэр Артур заказал художнику рисунок для своего щита, имеющего форму четверти круга, попросив окрасить его в 3 цвета: желтый — цвет доброты, красный — храбрости и синий — мудрости. Когда художник принес раскрашенный щит, то оруженосец заметил, что на рисунке храбрости больше, чем ума. Однако художник смог доказать, что там того и другого поровну. Как?

1.07. Домой на метро.

Чтобы попасть домой из Дворца Спорта, я смогу выйти либо на станции метро Математическая, либо на следующей — Физической. От станции метро Математическая я иду к дому втрое дольше, чем от Физической, но пока поезд подходит к станции Физическая, я успеваю пройти треть пути от станции Математическая до дома. Какой путь быстрее?

1.08. Неправильные весы.

У продавца, который привез на базар орехи, оказались неправильные рычажные весы и правильная килограммовая гиря. Чтобы отвесить покупателю 2 кг орехов, он один раз уравновесил гирю орехами, положив ее на правую чашу весов, а во второй — на левую. Докажите, что в результате он отвесил больше 2 кг орехов. Как отвесить ровно 2 кг орехов?

1.09. В гости.

Винни-Пух и Пятачок одновременно отправились в гости друг к другу, но поскольку оба всю дорогу считали пролетавших галок, то не заметили друг друга при встрече. После встречи Пятачок подошел к дому Винни-Пуха через 4 мин, а Винни-Пух к дому Пятачка через 1 мин. Сколько минут был в пути каждый из них?

1.10. Удастся ли распилить?

На столе лежат 5 красных палочек разной длины и 5 синих палочек. Суммы длин у тех и других одинаковы. Можно ли распилить эти палочки так, чтобы их потом можно было расположить парами палочек одинаковой длины и разного цвета?

1.11. Дед и внуки.

Дедушка с тремя внуками вышел прогуляться в парк. Встретившийся им дедушкин знакомый спросил, сколько каждому из них лет. Ваня сказал: «Я моложе Пети, и мне больше трех лет». Петя произнес: «Я моложе Саши на четыре года». А Саша сказал: «Нам вместе в четыре раза меньше лет, чем дедушке, а вместе с дедушкой нам ровно 100 лет». Сколько лет каждому из внуков?

1.12. Далеко ли до дома?

Веселый турист отправился на слет, предполагая каждый день проходить 1 /3 всего пути, чтобы через 3 дня прибыть на место. В первый день он прошел 1 /3 пути, но во второй день, устав, он прошел не 1/3 пути, а 1 /3 остатка. И в третий день он прошел 1 /3 нового остатка. В результате ему осталось пройти еще 32 км. Сколько километров от дома до места слета?

1.13. Кружочки на бумаге.

В первом классе урок математики. Учитель кладет перед одним из учеников лист бумаги, на котором нарисовано несколько кружочков. «Коля, — спрашивает учитель, — сколько здесь кружочков?» «Семь», — отвечает Коля. — «Правильно!», — говорит учитель. Потом он кладет этот лист перед Мариной и задает тот же вопрос.«Пять кружочков», — отвечает Марина. «Правильно!» — говорит учитель. Сколько же кружочков нарисовано на этом листе бумаги?

1.14. Как ее зовут?

Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите и получила число 2011533. Как ее зовут?

1.15. Успел ли?

Слава взял у товарища книгу на 3 дня. В первый день он прочитал 1/2 книги, во второй — 1/3 оставшихся страниц, а количество страниц, прочитанных в третий день, было равно половине числа страниц, прочитанных в первые два дня. Успел ли Слава прочитать книгу?

1.16. Всегда 2?

При делении числа 2 х 3 = 6 на 4 получаем в остатке 2. При делении числа 3x4=12 на 5 получаем в остатке 2. Верно ли, что остаток от деления произведения двух последовательных чисел на число, следующее за ними, всегда равен 2?

1.17. Во время затмения.

Отец и сын наблюдали солнечное затмение, поэтому темой их разговора были Луна и Солнце. «Папа, — спросил мальчик, — а во сколько раз Солнце дальше от нас, чем Луна?» «Насколько я помню, — отвечал отец, — в 387 раз». «Тогда я могу посчитать, во сколько раз объем Солнца больше объема Луны». «Пожалуй, ты прав», — подумав, ответил отец. Во сколько же раз объем Солнца больше объема Луны?

1.18. Точки на прямой.

На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Потом вновь между каждыми двумя соседними точками поставили по точке. И так несколько раз. Докажите, что после каждой такой операции общее количество точек на прямой будет нечетно.

1.19 Так сколько же?

За книгу заплатили 100 руб. и осталось заплатить еще столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за нее заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит эта книга?

1.20. Мгновенный ответ.

«У нас в классе 35 человек. И, можешь себе представить, каждый дружит ровно с 11 одноклассниками...» «Не может этого быть», — прервал своего приятеля Степа Мошкин. Почему он так решил?

1.21. Возможно ли?

Мой знакомый мальчик Саша однажды сказал такую фразу: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году исполнится 13 лет». Может ли такое быть?

1.22. Счет на пальцах.

Начнем считать пальцы на левой руке. 1-м будет большой, 2-м — указательный, 3-м — средний, 4-м — безымянный, 5-м — мизинец, 6-м — снова безымянный, 7-м — средний, 8-м — указательный, 9-м — большой, 10-м — указательный и.т.д. Какой палец будет 1979-м?

1.23. Что задумано?

Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543,142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?

1.24. В чем дело?

Когда секундная стрелка на часах прошла 1 с, минутная стрелка прошла 6 мин. Тем не менее часы исправны. Как это объяснить?

1.25. Передвижка.

В равенстве 101 — 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

1.26. Авиарейс.

Самолет вылетел из города А в полдень и приземлился в городе Б в 14 ч местного времени. В полночь он вылетел обратно и прилетел в город А тогда, когда там было 6 ч утра. Сколько времени длился полет?

1.27. Домино в коробке.

Домино уложено в коробку так, как показано на рисунке. Определите расположение костей домино в верхнем ряду.

1.28. Два пирата.

За десять дней пират Ерема Способен выпить бочку рома. А у пирата у Емели Ушло б на это две недели. За сколько дней прикончат ром Пираты, действуя вдвоем?

1.29. Трехзначные числа.

Некоторое трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Найдите эти числа.

1.30. Семерку — в конец.

Трехзначное число начинается с цифры 7. Из него получили другое трехзначное число, переставив эту цифру в конец числа. Полученное число оказалось на 117 меньше предыдущего. Какое число получилось?

1.31. Когда он родился?

Моему племяннику в X2 году исполнится х лет. В каком году он родился?

1.32. Вес бревна.

Бревно положили одним концом на одни весы, а другим концом — на другие. Первые весы показали 200 кг, а вторые 100 кг. Сколько весит бревно? Где находится центр тяжести?

1.33. В чем причина?

Мои настенные часы ведут себя очень странно. В первой половине каждого часа они спешат на 2 мин, зато во второй его половине на 2 мин отстают. В чем причина? Как их починить?

1.34. Возраст братьев.

В 1987 г. возраст старшего из моих братьев стал равен сумме цифр года рождения младшего, а возраст младшего — сумме цифр года рождения старшего брата. Сколько им было лет, если один старше другого на 7 лет?

1.35. Наименьшее число.

Найдите наименьшее число, которое начинается с цифр 1993 и делится на все числа от 1 до 9.

1.36. Сколько мне лет?

Дядя Алеша вдвое старше меня, а цифры числа, выражающего мой возраст, равны сумме и разности цифр его возраста. Сколько мне лет?

1.37. В овощном магазине.

Был уже вечер, и покупатели разошлись по домам, а до конца работы у Наташи — молодой помощницы продавца — оставалось еще полчаса. На прилавке лежали 3 кочана капусты, 2 арбуза и свекла. Чтобы скоротать время, Наташа стала взвешивать эти овощи и с удивлением обнаружила, что все 3 кочана капусты весят одинаково, и у арбузов оказался равный вес. Еще удивительнее было равновесие, оказавшееся в трех случаях, изображенных на рисунке. А теперь ответьте, во сколько раз дыня тяжелее свеклы?

1.38. Угол между стрелками.

Какой угол составляют стрелки часов в 9 ч 20 мин?

1.39. Поход за грибами.

Алик, Боря, Витя и Гена ходили по грибы. Алик с Борей вместе собрали грибов столько же, сколько Витя с Геной вместе, а у Алика с Геной грибов оказалось меньше, чем у Бори с Витей. Гена нашел грибов больше, чем Витя. Расставьте мальчиков в порядке убывания числа найденных ими грибов.

1.40. И так и сяк — квадрат.

Если к числу 20 прибавить 16, то получим 36 — полный квадрат. Если отнимем от него 16, то получим 4 — тоже полный квадрат. Существуют ли еще целые числа, которые становятся квадратами как после прибавления к ним 16, так и после вычитания из них 16? Сколько их?

1.41. Примечательный возраст.

В этом году я отпраздновал свой день рождения. Число исполнившихся мне лет во многом примечательно.

Если от него отнять 2, то оно разделится на 3,

а если отнять 3, то разделится на 2.

Если к нему прибавить 4, то оно разделится на 5,

а если от него отнять 5, то разделится на 4.

Если от него отнять 5, то оно разделится на 6,

а если отнять 6, то разделится на 5.

Если к нему прибавить 7,

то оно разделится на 8,

а если прибавить 8, то разделится на 7.

Сколько же лет мне исполнилось?

1.42. Математик и ГАИ.

К задумчиво стоящему на тротуаре математику подъехал милиционер. «Вы не обратили внимания на номер проехавшего сейчас самосвала?» — спросил он. «О да! У него редкостный номер! Второе двузначное число получается из первого перестановкой цифр, а их разность равна сумме цифр каждого из них». Какой же номер у самосвала?

1.43. Кубатура.

Вместо звездочки поставьте цифру так, чтобы полученное из 19*83 число стало точным кубом.

1.44. Поездка на каникулах.

На каникулах Петя гостил у бабушки.

В субботу бабушка посадила его на поезд, который в понедельник доставил Петю домой. Петя обратил внимание, что число дня его возвращения совпало с номером его вагона, а номер места был меньше номера вагона. Но число дня, в который он садился в поезд, было меньше номера вагона. В каком вагоне и на каком месте он ехал?

1.45. Номер телефона.

У моего телефона замечательный номер. Его первые цифры одинаковы, остальные 4 — тоже одинаковы. Более того, сумма всех 7 цифр номера равняется числу, первая цифра которого совпадает с первой цифрой номера телефона, а вторая — с последней. Каков же мой номер телефона?

1.46. Грибы в корзине.

В корзине лежит 20 грибов: белые, подосиновики и подберезовики. Сколько в корзине белых грибов, если подберезовиков в ней в 9 раз больше, чем подосиновиков?

1.47. Что за числа?

Найдите все такие двузначные числа, которые делятся на каждую из цифр в их записи.

1.48. Сбор металлолома.

Во время подведения итогов соревнования по сбору металлолома выяснилось, что 6 «А» собрал металлолома больше, чем 6 «Б» и 6 «В» вместе, а 6 «А» с 6 «Б» собрали вместе столько же металлолома, сколько 6 «В» и 6 «Г», кроме того 6 «Б» и 6 «Г» собрали металлолома больше, чем 6 «А» и 6 «В». Как распределились места в соревновании?

1.49. На лыжах.

В последнее время я много хожу на лыжах. Правда, вчера я прошел на 3 км меньше, чем позавчера, и на 40 км меньше, чем позавчера и сегодня вместе. Сколько километров я прошел на лыжах сегодня?

1.50. Ищем число.

Существует ли трехзначное число, делящееся на 11, у которого первая цифра больше второй, а вторая больше третьей?

1.51. Два простых.

Два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а их разность — полный квадрат. Какие это числа?

1.52. Простой номер телефона.

Алло, Катя! Нам поставили телефон!,Запиши номер. Он, как и у тебя, пятизначный. Первая цифра —простое число, следующие 2 цифры — двузначное простое число, а последние 2 цифры получаются из предыдущей пары их перестановкой и образуют точный квадрат. Сумма же этих двух цифр равняется первой цифре номера. Так какой же у меня номер телефона?

1.53. Сколько бидонов?

В магазин привезли 223 л масла в бидонах по 10 и 17 л. Сколько было бидонов?

1.54. Что поставить?

Какое число нужно поставить вместо знака * в последовательности: 7, 17, 37, 77, *, 317,..?

1.55. Старый шифр.

Найдите ключ к «тарабарской грамоте» — тайнописи, применявшейся ранее в России для дипломатической переписки, исследовав отрывок:

«Камащамлтая чмарога» — кайпониль, нпирепяшваяля ш Моллии цся цисоракигелтой неменилти.

1.56. Девятку — в конец.

Цифру 9, с которой начиналось трехзначное число, перенесли в конец числа. В результате получилось число на 216 меньшее. Какое число было первоначально?

1.57. Спички в коробке.

В коробке лежали спички. Их количество удвоили, а затем убрали 8 спичек. Остаток спичек снова удвоили, а затем снова отняли 8 спичек. Когда эту операцию проделали в третий раз, то в коробке не осталось ни одной спички. Сколько их было сначала?

1.58. Сколько номеров?

Саша обратил внимание на номер автомашины, подъехавшей к его дому: СТО 85—87. Интересно, если прибавить к первому числу цифры второго, то получится 85 + 8 + 7 = 100, и если прибавить ко второму числу цифры первого, то тоже получится 87 + 8 + 5 = 100. А сколько всего таких номеров?

1.59. Супердомино.

Обычный комплект домино содержит 28 костей. Сколько костей содержал бы комплект костей домино, у которого на каждой половинке кости количество очков изменялось бы не от 0 до 6, а от 0 до 12?

1.60. Произведения цифр.

Найдите все двузначные числа, в целое число раз большие произведения своих цифр.

1.61. Двухкомнатная квартира.

В моей квартире две комнаты. Число, выражающее площадь первой комнаты в квадратных метрах, на единицу больше числа, выражающего периметр этой комнаты в метрах. У второй же первое число на единицу меньше второго. Длина и ширина каждой комнаты — целые числа. Найдите размеры комнат моей квартиры.

1.62. Перегоревшие лампочки.

Переключатель имеет 6 положений, при которых горит разное число лампочек — от 0 до 5. Однажды несколько лампочек перегорело. Может ли человек, не знающий распределения горящих лампочек в каждом из положений переключателя, определить, какие лампочки перегорели.

1.63. Школьники.

Братья Боря и Алеша родились летом. Старший, Борис, сейчас учится в классе, номер которого равняется числу лет Алеши. В какой класс пойдет учиться Алеша, когда Боря окончит школу?

1.64. Забытая авторучка.

Дорога от дома до школы занимает у Володи 20 мин. Однажды он по дороге вспомнил, что не взял с собой авторучку. Оглядевшись, Володя понял, что если он продолжит путь в школу с той же скоростью, то придет туда за 8 мин до звонка, а если вернется домой, то, двигаясь с той же скоростью, опоздает на 10 мин к началу урока. Какую часть пути он прошел?

1.65. Нитки.

Маше для шитья нужны были нитки №10, но у нее таких ниток не было. Тогда она взяла 5 ниток № 50 и сложила их в одну. Будет ли замена равноценной? Номер нитки определяют так: наматывают ее на стержень виток к витку в один ряд. Номер нитки равен количеству витков на отрезке в 1 см.

1.66. Про Ивана-царевича.

Пошел Иван-царевич куда глаза глядят искать Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.

— Знаю, — говорит, — я дорогу в Кащеево царство, случалось ходить туда. Всего, что было, не помню, но шел я четыре дня и четыре ночи.

Первые день и ночь — прямой дорогой на север. Так прошел я треть пути. Потом повернул на запад, продирался сутки лесом и прошел вдвое меньше. А третьи сутки шел лесом, уже на юг, и вышел на ровную дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки сто верст и попал в Кащеево царство. Ты же ходок резвый, как и я, иди, Иван-царевич. Глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кащея.

— Нет, — отвечал Иван-царевич, — если все так, как ты говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.

Прав ли он? Сколько верст прошел Леший и сколько намерен пройти Иван-царевич?

1.67. Часы с боем.

Двое часов начали и кончили бить одновременно. Первые бьют через каждые 2 с, вторые — через каждые 3 с. Всего было насчитано 13 ударов, причем слившиеся удары воспринимались как один. Сколько времени прошло между первым и последним ударами?

1.68. На грибной охоте.

Ира, Таня, Коля и Леня собирали грибы. Таня собрала больше всех, Ира — не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

1.69. Стулья и табуретки.

В комнате стоят табуретки и стулья. У каждой табуретки 3 ноги, у каждого стула 4 ноги. Когда на всех стульях и табуретках сидят люди, в комнате 39 ног.

Сколько в комнате табуреток и сколько стульев?

1.70. На автостоянке.

Три товарища Петя, Толя и Витя подошли к стоянке автомашин и мотоциклов. Любуясь машинами, Петя от нечего делать сосчитал все транспортные средства — их оказалось 45. Толя сосчитал все колеса — их оказалось 115. Мотоциклов с коляской было в 2 раза меньше, чем мотоциклов без коляски — отметил Витя. Сколько автомашин было на стоянке?

1.71. В метро.

Два человека бегут по ступеням эскалатора метро. Один бежит быстрее другого. Кто из них насчитает больше ступеней?

1.72. А если пешком?

Если Аня идет в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она затрачивает 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь занимает у нее 0,5 ч. Сколько времени тратит Аня на дорогу, если и в школу, и из школы она идет пешком?

1.73. Кто в чем?

На улице, встав в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какого цвета платье надето на каждой из девочек?

1.74. Старинные меры.

В книгах новгородских писцов 15 в. упоминаются такие меры жидкости: бочка, насадка и ведро. Из этих же книг известно,что 1 бочка кваса и 20 ведер кваса уравниваются тремя бочками кваса, а 19 бочек, 1 насадка и 15,5 ведра уравновешиваются с 20 бочками и 8 ведрами. Сколько насадок содержится в бочке?

1.75. О тяжелых днях.

Существует ли такой год, в котором тринадцатое число ни разу не является понедельником? А какое наибольшее число раз в год оно может быть понедельником?

1.76. Портфели на весах.

Школьники Вадик и Саша увидели весы и взвесили на них свои портфели.

Весы показали, что массы портфелей — 3 кг и 2 кг. Когда они поставили на весы оба портфеля, то весы показали 6 кг.

— Как же так? — воскликнул Саша. — 2 + 3 не равняется шести!

— Разве ты не видишь? — ответил Вадик. — Просто у весов сдвинута стрелка.

Так сколько же весили портфели на самом деле?

1.77. Что в коробках?

У меня в трех коробках лежали гвозди, винты и гайки. На каждой коробке было написано, что в ней лежит. Однажды мой младший брат пересыпал содержимое коробок так, что надпись на каждой коробке перестала соответствовать ее содержимому. Хорошо еще, что он не смешал их! Гвозди остались лежать отдельно от гаек, винтов и т.д.Можно ли, открыв одну из коробок, определить, что лежит в каждой коробке?

1.78. Найди число.

Каково наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 — кубом целого числа?

1.79. В кафе-мороженом.

Ира, Витя и Коля взяли каждый по порции трех видов мороженого: фруктового, сливочного и шоколадного. Однако им этого оказалось мало и Ира взяла еще порцию фруктового, Витя — сливочного, а Коля — шоколадного мороженого. Уходя они уплатили: Ира — 70 руб., Витя — 80 руб., Коля — 90 руб. Сколько стоит порция каждого из видов мороженого?

1.80. На вес.

Продавцы часто не пересчитывают мелочь, а взвешивают ее. Однажды продавцу дали 5 руб. монетами по 15 и 20 коп. Их общий вес оказался равным 80 г. Сколько было монет? Пятнадцатикопеечная монета (пятиалтынный) весит 2,5 г, а двадцатикопеечная монета (двугривенный) — 3 г.

1.81. Детские весы.

Антоше подарили весы, и он начал взвешивать игрушки. Машину уравновесили мяч и 2 кубика, а машину с кубиком — 2 мяча. Сколько кубиков уравновесят машину?

1.82.

Замечательное число.

Однажды у знаменитого индийского математика Рамануджана спросили: «Чем замечательно число 1729». «Так это же наименьшее число, которое представляется в виде суммы кубов двух натуральных чисел двумя различными способами!» — воскликнул он. Найдите оба эти представления.

1.83. На поляне.

На лесной поляне собрались друзья: Попугай, Удав, Слоненок, Теленок, Котенок, Мартышка и Верблюжонок. Попугай начал всех мерить. Оказалось, что Слоненок длиннее Теленка на 3 попугая, Верблюжонок длиннее Мартышки тоже на 3 попугая, Теленок длиннее Попугая на 7 попугаев, верблюжонок длиннее Котенка на 6 попугаев, а все они укладываются на Удаве, длина которого 38 попугаев. Выразите длины друзей в попугаях.

1.84. Делимость на 5.

Может ли число а2 + b2 + с2 делиться на 5, если ни одно из целых чисел a, b и с не делится на 5?

1.85. Заработок лодыря.

По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней он проработал из этих 30 дней?

1.86. Возраст правнучки.

Таня в 6 раз моложе своего прадедушки. Кроме того, она заметила, что если между цифрами ее возраста поставить ноль, то получится возраст прадедушки. Сколько ей лет?

1.87. Совсем простые.

Найдите два таких простых числа, сумма и разность которых также являются простыми числами.

1.88. Два путника.

Два путника вышли одновременно. Один шел из А в Б, а второй — из Б в А. Шли они равномерно, но с разными скоростями. В момент встречи первому оставалось идти еще 16 ч, а второму — 9 ч. Через сколько часов после выхода они встретились?

1.89. Фехтовальщики.

На королевских соревнованиях Франции по фехтованию первые 4 места разделили Атос, Портос, Арамис и д'Артаньян. Сумма мест, занятых Атосом, Портосом и д'Артаньяном, равна 6, сумма мест Портоса и Арамиса тоже равна 6. Какое место занял каждый из мушкетеров, если Портос занял более высокое место, чем Атос?

1.90. Охота на мышей.

Четыре кота: Васька, Пушок, Базилио и Леопольд— охотились на мышей. Пушок с Леопольдом поймали столько же мышей, сколько Базилио с Васькой: Васька поймал мышей больше, чем Базилио, но Васька с Леопольдом поймали мышей меньше, чем Пушок и Базилио. Сколько мышей поймал каждый кот, если Пушок поймал 3 мыши?

1.91. На рынке.

На рынке молочница торговала молоком из двух бочек, одна из которых вмещала молока втрое больше, чем другая.

Когда в маленькой бочке оставался 21 л молока, а в большой — 39 л, молочница долила доверху маленькую бочку молоком из большой.

В результате большая бочка оказалась наполненной ровно наполовину.

Сколько молока она отлила и какого объема были бочки?

1.92. Привезли фрукты.

В магазин поступила тонна фруктов: яблоки в ящиках по 48 кг, груши в ящиках по 20 кг, сливы в коробках по 14 кг и вишни в коробках по 10 кг.

При этом яблок поступило в 2 раза больше, чем груш, вишен столько же, сколько слив. Сколько ящиков яблок и груш,сколько коробок слив и вишен поступило в магазин?

1.93. В день рождения бабушки.

— С днем рождения, бабушка!

— Спасибо, Андрей! И тебя с днем рождения!

— Сколько лет тебе исполнилось?

— А вот посчитай. Если две последние цифры нынешнего года поменять местами, то получится год моего рождения.

— Значит, ты в восемь раз старше меня. А дедушка еще старше?

— Конечно. Он родился до революции, а я — после нее.

1.94. Какое это слово?

Число 222122111121 получается, если в некотором слове заменить буквы на их номера в алфавите. Какое это слово?

1.95. Торт.

На свой день рождения фрекен Бок испекла огромный торт. Известно, что Малыш и торт весили столько же, сколько Карлсон и фрекен Бок. После того, как торт съели, Карлсон весил столько же, сколько фрекен Бок и Малыш. Докажите, что кусок торта, который съел Карлсон, весит столько же, сколько весила фрекен Бок до своего дня рождения.

1.96.

По проекту Остапа Бендера.

Перед началом международного шахматного турнира в городе Нью-Москва (б.Васюки) туда была проведена железная дорога из города Старые Васюки (б.Москва) длиной 1993 км. На первом километровом столбе этой дороги написаны числа 1 и 1992, на втором — 2 и 1991, на третьем — 3 и 1990 и т.д. Докажите, что числа на каждом из этих столбов всегда взаимно простые.

1.97. На весах.

Маша и Катя вместе весят 40 кг, Катя и Света — 50 кг, Света и Даша — 60 кг, Даша и Галя — 70 кг, Маша и Галя — 80 кг. Сколько весит каждая из девочек?

1.98. Найди русское слово.

В Лондоне над входом в метро висит не буква M, а буква U, поскольку по-английски «метро» — underground, что означает «подземка». Это слово начинается и оканчивается одной и той же комбинацией из трех букв. Найдите русские слова с таким же свойством (содержащие больше 6 букв).

1.99. Ошибка Незнайки.

Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умножать числа «в уме». Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое-нибудь число, перемножить его цифры и сказать ему результат. 2310 — немедленно выпалил Незнайка, лишь успев записать число. «Ты неправ» — ответил, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа?

Решения задач

Глава I

Простые задачи

1.00. Ключик находится в зеленой коробочке. Действительно, из надписи на синей коробочке следует, что в ней что-то лежит, а из надписи на самой зеленой коробочке следует, что в ней лежит не гадюка. А так как, по словам Тортиллы, лежать в коробочке может лишь гадюка или золотой ключик, то там находится золотой ключик.

1.01. Обозначим через х количество ударов курантов, услышанных при первом отбивании полного часа. Может быть две возможности: первый удар соответствовал получасу или полному часу. В первом случае, поскольку часы начинали бить 5 раз, мы имеем соотношение

1+х+1+(х+1) + 1 = 11, или 2х=7,

что невозможно, так как х — целое число. Во втором случае имеем х+1+(х+1) + 1+(х+2) = 11, или Зх= 6. Отсюда х= 2. Анатолий Павлович ушел в тот момент, когда часы пробили х + 2 = 4 раза, т.е. в 4 часа.

1.02. Заметим, что собак, кошек и попугаев у мадемуазель Рембо поровну. Обозначим число собак через х, а число тараканов через у, тогда всего у мадемуазель Рембо Зх+у животных, но все они, кроме двух, — собаки. Следовательно, Зх + у—2=х, или 2х + у = 2. Так как числах и у целые и неотрицательные, то X может равняться 1 или 0. В первом случае получаем, что у нее по одной собаке, кошке и попугаю, но нет тараканов. Во втором случае, что у нее л ишь 2 таракана и нет больше других животных.

1.03. Проще всего решить эту задачу, введя обозначения. Обозначим через N общее количество населения, через ß — количество блондинов, через G количество голубоглазых и через M — количество голубоглазых блондинов. Из условия следует, что ^ > ~. Умножим это неравенство на G и разделим на Б, получим

А это и означает, что доля голубоглазых среди блондинов больше, чем их доля среди всего населения.

1.04. Обозначим объемы ведер через а, b, с. Из условия задачи получаем, что а = 2b/3, а = ЗЬ/4. Так как числа а, b, с — целые, то а делится на 2 и на 3, т.е. делится на 6. Если а = 6, то b = 9, с = 8 и а + b + с = 23, следовательно, в бочку еще можно долить 30 — 23 = 7 л воды. Если а = 12, то b = 18, с = 16 и а + b + с = 46, что противоречит условию задачи.

1.05. Нетрудно понять, что каждый сыграл по 4 партии, а всего было 10 партий. Победитель набрал не более 3 очков, поскольку одну партию он проиграл, но не мог набрать меньше, так как тогда общее число очков не превосходило бы числа 2,5 + 2 + 1,5 + 1 + 0,5 = 7,5, что

меньше 10. Значит, Рыбаков одну партию проиграл, а остальные выиграл. Выиграть у Щукина он не мог, так как Щукин не проиграл ни одной партии, значит он проиграл Щукину и выиграл у всех остальных. Теперь заметим, что 3 + 2,5 + 1,5 + 1 = 10, поэтому Щукин набрал 2,5 очка, Окунев — 2, Ершов — 1,5, и Карасев 1 очко. Теперь нетрудно установить, что остальные партии Щукин свел в ничью. Ершов, набрав 1,5 очка, проиграл Рыбакову и сделал ничью со Щукиным, в остальных двух партиях он набрал 1 очко. Если он сделал еще 2 ничьих, то он не выиграл ни одной партии, что противоречит высказыванию Карасева. Если он выиграл у Окунева, то тот, проиграв Рыбакову и Ершову и сделав ничью со Щукиным, не сможет набрать 2 очка. Значит, Ершов выиграл у Карасева и проиграл Окуневу. Окунев же сделал ничью с Карасевым.

1.06. Следует заметить, что сумма площадей двух маленьких полукругов равна площади щита, поэтому непокрытая ими площадь равняется площади, покрытой дважды.

1.07. Быстрее от Физической, поскольку после прибытия туда оставшийся путь вдвое короче оставшегося пути на другом маршруте.

1.08. Пусть отношение плечей весов равно а : b, а вес при первом взвешивании равен х, а при втором взвешивании — у. Из соотношения а • х = b • 1 получаем, что х = b/а, из соотношения а -1 =Ь-у получаем, что у = а/Ь. Но а/Ь + b/а всегда больше 2, если а и b положительные неравные числа. Действительно, эту сумму можно переписать в виде ( Щ- -^)2+2, что, очевидно, больше 2 при указанных условиях. Правильно можно взвесить 1 кг орехов так: уравновесить гирю орехами, потом снять гирю и на ее место сыпать орехи до уравновешивания.

1.09. Обозначим расстояние между домами Винни-Пуха и Пятачка через а, путь, пройденный Винни-Пухом до встречи — черезX, скорость Винни-Пуха через Б, а скорость Пятачка через /7. Запишем условия задачи через введенные обозначения:

Перемножив полученные два последних равенства и заменив в результирующем (а — х)//7 на х/Б из первого равенства, мы получим, что х*/В2 = 4, следовательно, х/Б = 2. Отсюда и из второго равенства получаем, что а/В = 3. Таким образом Винни-Пух потратил на дорогу 3 мин, а Пятачок на 3 мин больше, поскольку он пришел на 3 мин позже, т.е. 6 мин.

1.10. Чтобы совершить требуемый распил, сложим красные палочки в одну линию, а рядом положим синие палочки. Теперь осталось распилить синие палочки в местах, соответствующих стыку

красных палочек, а красные — в стыках синих, как показано на рисунке.

1.11. Из слов Саши следует, что дедушке 80 лет, внукам вместе 20 лет. Если обозначить возраст Вани через х, а возраст Пети через у, то из высказывания Пети следует: х + 2у = 16, что при х меньшем у, но большем 3 возможно лишь для х = 4, у = 6. Итак, возраст Вани — 4 года, Пети — 6 лет и Саши — 10 лет.

1.12. После первого перехода туристу осталось пройти 2/3 пути, после второго перехода — 2/3 остатка, т.е. 2/3 х 2/3 пути, а после третьего перехода — 2/3 нового остатка, т.е. 2/3 х 2/3 х 2/3 всего пути. Отсюда 32 км составляет 8/27 всего пути, а весь путь равен 108 км.

1.13. На листе бумаги было 12 кружочков: 7 с одной стороны и 5 — с другой.

1.14. В этой записи каждая цифра может играть одну из трех ролей: быть номером буквы, быть первой цифрой двузначного числа и быть его второй цифрой. В нашей записи цифра 0 не может выступать ни в первой, ни во второй роли, а цифра 5 — во второй роли.

Отсюда первая цифра имени имеет номер 20. Этот номер имеет буква Т. Остальные цифры разбиваются на 2 блока: 115 и 33. Блок 115 можно представить тремя способами: 1-1-5, 11-5, 1-15, что соответствует сочетаниям букв ААД, ЙД, АН. Второй блок можно представить двумя способами: 3-3 и 33, что соответствует сочетаниям В В и Я. Получаем 6 возможностей: ТААДВВ, ТААДЯ, ТЙДВВ, ТЙДЯ, ТАЕВВ и ТАНЯ. Очевидно, имя девочки— Таня.

1.15. За 2 первых дня Слава прочел 1/2 + 1/6 = 2/3 книги, а в третий день — еще 1 /3, тем самым закончил чтение книги.

1.16. Да, верно так как

1.17. Ключом к решению этой задачи является тот факт, что видимые (угловые) размеры Солнца и Луны одинаковы, что особенно хорошо видно во время солнечных затмений. Из подобия следует, что радиус Солнца в 387 раз больше радиуса Луны, а объем Солнца больше объема Луны в 3873 = 5796063 раз.

1.18 Количество промежутков между точками на единицу меньше количества самих точек, поэтому, если в каждый промежуток поставить по точке, то получим количество точек, равное сумме 2-х последовательных чисел. Но в таком случае одно из них четно, а другое — нечетно, следовательно, сумма всегда нечетна.

1.19. Книга стоит 2 рубля.

1.20 Подсчитаем количество дружеских пар, оно равно 35 х 11/2 — дробному числу, что невозможно.

1.21. Такая ситуация возможна, если Саша родился 31 декабря, а фразу произнес 1 января. Действительно, позавчера, т.е. 30 декабря ему было еще 10 лет, а вчера, 31 декабря, ему исполнилось 11 лет, в этом году 31 декабря, ему исполнится 12 лет, а в будущем году — 13 лет.

1.22. Следует заметить, что пальцы будут повторяться с периодом 8, поэтому достаточно рассмотреть остаток от деления 1979 на 8, который равен 7. Седьмым идет средний палец.

1.23. Задумано число 163.

1.24. Здесь имеется в виду секунда времени и угловые минуты. Действительно, за 1 ч минутная стрелка проходит360е, за 1 мин — 6е, а за 1 с — еще в 60 раз меньше, то есть 6 мин.

1.25. Передвижка очень неочевидна — следует приподнять цифру 2, тогда получим 101 — 102 = 1.

1.26. Пусть разница во времени между городами А \л Б составляет х часов, а полет продолжается у часов. Из условия задачи составляем 2 уравнения: у — х = 2, у + х = 6. Откуда получаем, что х = 2, а у = 4. Полет длился 4 ч.

1.27. Ответ изображен на рисунке.

1.28. Ерема в день выпивает 1 /10 бочки, а Емеля — 1/14. Вместе они выпивают 1/10+1/14=6/35 бочки. Следовательно, бочку они выпьют за 35/6 = 6—1/6 дней. Таким образом, шести дней им хватит. Это стихотворение С.Сатина было опубликовано в журнале «Крокодил».

1.29. Первое число — 147, а второе — 111.

1.30. Запишем условие, обозначив через х цифру десятков числа, а через у — цифру единиц: 700 + 10х + у = 10Ох + 10у + 7 + 117. Отсюда 90х + Эу = 576 или 10х+у=64. Значит, х=6, у =4, а искомое число — 764.

1.31. Первое число, являющееся квадратом целого числа и большее 1993, есть 2025 = 452. Если человеку в 2025 г. исполняется 45 лет, то он родился в 1980 г.

1.32. Бревно весит 300 кг, его центр тяжести вдвое ближе к первым весам, чем ко вторым.

1.33. У часов минутная стрелка плохо закреплена на оси, немного болтается. Это и приводит к описанному поведению. Ее нужно закрепить.

1.34. Обозначим последние цифры года рождения старшего брата через х и у, а младшего — через и и v. Возраст старшего брата в 1087 г. будет равен 87 -10х - у, а возраст младшего брата — 87 - 10u - v. По условию задачи эти возрасты равны 10 + и + v и 10 + X + у, а их разность равняется 7. Записав эти условия в виде уравнений, получаем: 87 -10х-у= 10 + 1/ + v, 87-10(7-1/= Ю + х+у+7.

1.35. Наименьшим числом, делящимся на все числа от 1 до 9, является число 2520. Таким образом, искомое число должно делиться на 2520, найти его легче всего, деля «уголком» число 1993**** на 2520. Количество цифр, обозначенных звездочками, выясняется в процессе деления. Получаем число 1993320, а частное - 791.

1.36. Обозначим возраст дяди Алеши через 10х + у, а мой — через 10u + v. Тогда имеем уравнение 10х + у - 2( 10u + v). Дальше очевидно, что v = х + у, в противном случае я оказался бы старше дяди, а а = X - у, или и = у - х. Исследовав оба случая, получаем, что имеет место второй случай. Заменяя и \л vb уравнении на их выражения через х и у, получаем 28х = 21 у ил и 4х = Зу, откуда х = 3, у = 4, или X = 6, у = 8. Но во втором случае получаем, что цифра у равна 14, что невозможно. Итак, дяде Алеше 34 года, мне 17 лет.

1.37. Из рис. 1 и 3 следует, что 3 кочана капусты уравновесят 2 дыни и 2 свеклы. Если добавить на каждую чашку весов еще по 2 свеклы, то равновесие не нарушится. Но 3 кочана капусты и 3 свеклы, согласно рис.2, весят столько же, сколько 3 дыни. Поэтому 3 дыни весят столько же, сколько 2 дыни и 5 свекол. Значит, дыня в 5 раз тяжелее свеклы.

1.38. В 9 ч угол между стрелками равен 90*. За час часовая стрелка проходит 1/12 часть окружности, т.е. 30*, а за 20 мин пройдет 1/3 этого угла, т.е. 10е. Аналогично минутная стрелка, проходящая за час 360е, за 20 мин пройдет 120е. Таким образом, угол в 90°уменьшится на 10е и увеличится на 120е, став равным 200е, дополнительный к нему угол будет равен 160е.

1.39. Разложим грибы на две кучки: слева грибы Алика и Гены, а справа — грибы Бори и Вити. По условию, в левой кучке меньше грибов, чем в правой. Мысленно добавим в левую кучку грибы Алика и Бори, а в правую — грибы Вити и Гены. По условию, это равные количества, поэтому в левой кучке вновь будет меньше грибов, чем в правой. Если слева и справа забрать грибы Бори и Гены, то снова слева, где останется удвоенное количество грибов Алика, количество грибов будет меньше, чем справа, где останется удвоенное число грибов Вити. Отсюда следует, что у Вити грибов больше, чем у Алика. Если теперь вернуться к первоначально рассмотренным кучкам и положить налево грибы Вити и Гены, а направо — грибы Алика и Бори, то после того, как из каждой кучки мы заберем грибы Алика и Вити, в левой — меньшей кучке — будет лежать удвоенное число грибов Гены, а справа — удвоенное число грибов Бори. Отсюда следует, что Боря собрал грибов больше, чем Гена. Гена, по условию, собрал грибов больше, чем Витя, а Витя, как мы выяснили, собрал грибов больше, чем Алик.

1.40. Обозначим искомое число через х. Тогда х+ 16 = л2, х -16 =/с2. Отсюда

1 -32 = 2-16 = 4-8 = (л-/с)(л + /<).

Остается рассмотреть 3 случая:

1.л-/с = 1, л + /с = 32, 1. л-/с=2, л + к= 16, З.л-/с = 4,л + /с=8.

Первый случай отпадает, так как здесь решения нецелые:

л = 33/2, к = 31/2. Во втором случае получаем л = 9, к = 7, X = 65. В третьем случае л = 6, /с= 2, х=20. Таким образом, еще только число 65 обладает указанным свойством.

1.41. Это число 41. Найти его можно многими способами.

1.42. Если X и у — цифры первого двузначного числа, то из условия задачи записывается уравнение: 10х + у- х = х + у. Отсюда 8х = 10y или 4х = 5у. Учитывая, что X и у — цифры, получаем х = 5, у = 4. Искомый номер 54 - 45.

1.43. Проще всего решить эту задачу, раскрыв таблицу кубов целых чисел. Но несложно найти ответ и без таблицы. Заметим, что на 3 оканчиваются только кубы чисел, оканчивающихся на 7. Затем отметим, что при любой цифре, поставленной вместо звездочки, это число меньше, чем 303= 27000, но больше 203 = 8000. Значит, это число 273. Чтобы найти искомую цифру, не нужно даже возводить число 27 в куб. Достаточно заметить, что число 19 * 83 должно делиться на 9, а это возможно лишь при * = 6.

1.44. Из условия следует, что Петя вернулся домой в начале следующего месяца, пробыв в пути 2 дня, но первого числа он вернуться не мог, так как номер вагона больше номера места. Значит, он вернулся 2 числа в вагоне Ns 2 на месте N21.

1.45. Пусть первая цифра номера — х, а вторая — у. Тогда, с одной стороны, сумма цифр номера равна Зх + 4у, а с другой — 10х + у. Следовательно, 3 х+4у = 10х+у, т.е. 7х = Зу. Отсюда х = 3, у=7 b и мой номер телефона 333-77-77.

1.46. Если в корзине один подосиновик, то там еще 9 подберезовиков и 10 белых грибов. Если подосиновиков 2, то подберезовиков 18 и белых нет, но сказано, что они есть, поэтому останется случай, когда в корзине 10 белых грибов. Очевидно, что больше двух подосиновиков также не может быть в корзине.

1.47. Из того, что 10х + у делится на х, следует, что у делится нах. Из делимости этого числа на у следует, что либо х делится на у, либо 2х делится на у, либо 5х делится на у. В первом случаех=у, что дает числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Во втором случае это числа 12,24,36 и 48. В третьем — число 15.

1.48. На первом месте 6«Г», на втором 6«А», на третьем 6«Б» и на четвертом 6«В».

1.49. Обозначим путь, пройденный на лыжах сегодня, через х, а вчера — через у. Тогда позавчера был пройден путь (у + 3) км. Из второго соотношения следует, что у+40 = у+3+х. Отсюда х = 37 км.

1.50. Такого числа нет. Действительно, пусть такое число существует, обозна-

чим через 10х + у частное от его деления на 11. Если х + у меньше 10, то цифрами искомого числа будут х, х + у, и у, что противоречит убыванию цифр, так как х + у не меньше, чем х. Если же х + у больше 10, то цифрами нашего числа будутх + 1,х + у-10иу, и здесь противоречие, посколькух+у-10 меньше, чему.

1.51. Легко понять, что цифры х и у, из которых составлены эти числа, нечетны и различны. Пустьх больше, чем у, тогда разность 10х + у- Юу-х = 9(х - у) должна быть полным квадратом, что при указанных ограничениях на числа х и у может быть только в случае х - у = 4. Если еще заметить, что ни одно из чисел х и у не может равняться 5, то полученное соотношение может выполняться лишь в случае х= 7, у =3. Итак, искомые числа 37 и 73.

1.52. Имеется всего 6 двузначных чисел, являющихся полными квадратами: 16,25,36, 49,64, 81, но лишь одно из них — 16 — после перестановки цифр образует простое число — 61. Следовательно, номер телефона таков: 7-61-16.

1.53. Заметим, что количество литров масла, содержащееся в 17-литровых бидонах, должно оканчиваться на цифру 3, это возможно, если таких бидонов 9. Отсюда следует, что десятилитровых бидонов 7, а всего 16 бидонов.

1.54. В этой последовательности каждое следующее число равно удвоенному предыдущему, сложенному с числом 3. Таким образом вместо вопросительного знака следует поставить число 157.

1.55. Нетрудно догадаться, что зашифрованный отрывок соответствует тексту: «Тарабарская грамота» — тайнопись, применявшаяся в России для дипломатической переписки. В примененном шифре гласные буквы остаются на месте, а согласные меняются по следующему правилу:

бвгджзклмн

щшчцхфтсрп

т.е. каждая согласная меняется на ту букву, которая стоит с ней в одном столбце. Об этом шифре упоминает писатель П.И.Мельников (Андрей Печерский) в романе «В лесах».

1.56. Первоначальное число 975. Решение аналогично решению задачи 1.30.

1.57. Если обозначить через х первоначальное количество спичек, то по условию задачи можно написать следующее уравнение:

откуда 8х- 56 = 0; х= 7.

1.58. Если цифры номера а, b, с и d, то условие задачи запишется в виде: 10а + b + с + с/ = а + b+10с + с/ = 100. Из первого равенства следует, что а = с, тогда второе равенство перепишется в виде: 11а + b + с/= 100. Из первого равенства следует, что а = с, тогда второе равенство перепишется в виде: 11а + b + с/= 100. Ясно, что число а может равняться лишь 8 или 9. При а = 9 получаем b + d = 1, следовательно, в этом случае имеем два решения: 90-91 и 91 -90. Если а = 8,то b + b = 12 и получаем еще 7 решений: 83-89, 84-88, 85-87, 86-86, 88-84, 89-83.

1.59. Очевидно, что в супердомино будет 13 дуплей. На одной половине кости, не являющейся дуплем, может стоять любое из 13 возможных очков, а на другой — любое из 12 оставшихся; итого, 13 • 12 = 156, но каждую кость мы таким образом просчитали дважды, поэтому их будет вдвое меньше: 78. Вместе с дуплями получаем 91 кость.

1.60. Пусть это число 10х + у, тогда 10х + у= лху, откуда у = ^ - . Число л -1 взаимно простое с числом х, поэтому, чтобы число у было целым, число х - 1 должно быть делителем числа 10, т.е. равняться 1 или 2, или 5, или 10. Нетрудно убедиться, что первый случай невозможен, так как тогда у больше 9. Во втором случае мы имеем число 15, которое в 3 раза больше произведения своих цифр. В третьем случае имеем число 12, которое в 6 раз больше произведения своих цифр, число 24, которое в 3 раза больше произведения своих цифр, и число 36, которое в 2 раза больше произведения своих цифр. В третьем случае имеем лишь число 11, которое в 11 раз больше произведения своих цифр.

1.61. Обозначим длины сторон первой комнаты через х и у. Из условия задачи получаем уравнение: ху = 2х + у + 1, откуда

Чтобы число у было целым, нужно, чтобы X - 2 = 1 или X - 2 = 5. В первом случае получаемX = V3, у=7, а во втором случае x=V~7, у= 3. Аналогично для второй комнаты получаем ее размеры 3 • 5.

1.62. Да, может. Для этого следует для каждого положения переключателя записать номера лампочек, которые не зажглись. Те лампочки, которые не зажглись ни разу — перегорели.

1.63. Возраст каждого из мальчиков на 6 больше номера класса, в котором он учится. Поэтому Боря на 6 лет старше Алеши. Когда Боря закончит 10-й класс, Алеша закончит 4-й класс и перейдет в 5-й.

1.64. Если бы Володя вышел из дома без запаса в 8 мин, то он в случае возвращения домой за ручкой опоздал не на 10, а на 18 мин, которые он должен потратить на двукратное прохождение только что пройденного пути. Следовательно, к моменту , когда он вспомнил о забытой ручке, Володя шел уже 9 мин. А так как весь путь он проходит за 20 мин, то за 9 мин он прошел 9/20 пути от дома до школы, т.е. почти полпути.

1.65. Прочность нитки пропорциональна площади ее поперечного сечения. При увеличении радиуса сечения площадь сечения увеличивается пропорционально квадрату радиуса. При переходе от нитки № 50 к нитке № 10 радиус сечения увеличивается в 5 раз, следовательно, площадь увеличивается в 25 раз. Отсюда следует, что вместо одной нитки № 10 нужно брать не 5, а 25 ниток № 50 для равноценной замены.

1.66. Поскольку Леший шел по лесу со скоростью вдвое меньшей, чем по дороге, то он за двое суток (вторые и третьи) прошел столько же, сколько за первые, т.е. треть пути. Следовательно, за последние сутки он прошел также треть пути, составляющую 100 верст. Итак,

Леший прошел 300 верст. Иван-царевич рассуждал так: «Если я пройду полпути на север, а потом поверну на восток, то еще через полсуток окажусь в Кащеевом царстве, пройдя 100 верст.

1.67. Прошло 18 секунд.

1.68. Девочки собрали грибов больше, чем мальчики. Действительно, пусть Коля собрал грибов больше, чем Леня, тогда Таня собрала грибов больше, чем Коля, а Ира — больше, чем Леня.

1.69. Обозначим через х количество табуреток, а через у— количество стульев. Когда они все заняты, табуретке соответствует 5 ног, стулу — 6, отсюда 5х + 6у=39 или 5х= 39 - 6у. Правая часть есть нечетное число, делящееся на 3, значит X также является нечетным числом, делящимся на 3. При х= 3 получаем, чтоу=4, еслихбольшеЗ,т.е. 9,15 и т.д., то 5х будет больше 39.

1.70. Если бы у каждого транспортного средства было по 4 колеса, то понадобилось бы 4 • 45 = 180 колес, следовательно, 180 - 115 = 65 колес — лишние. Каждому мотоциклу с коляской соответствует 1 лишнее колесо, а мотоциклу без коляски — 2, но поскольку мотоциклов без коляски вдвое больше, чем мотоциклов с коляской, то число лишних колес в 5 раз больше числа мотоциклов с коляской. Получаем, что мотоциклов с коляской было 65 : 5 = 13, мотоциклов без коляски 13 • 2 = 26 и автомашин 45 -13 -26 = 6.

1.71. Больше насчитает бегущий быстрее. Если бегущие одновременно входят на эскалатор, то второй не сосчитает те ступеньки, которые «уйдут» между моментами схода с эскалатора первого и второго человека.

1.72. Так как путь в оба конца на автобусе занимает у Ани полчаса, то путь в один конец занимает четверть часа, поэтому из 1,5 ч езды на автобусе в один конец и ходьбы пешком в другой ходьба занимает час с четвертью. Итак, дорога в оба конца пешком занимает 2,5 ч.

1.73. Девочка в зеленом платье — это не Надя, не Аня и не Валя, значит в зеленом платье Галя. Девочка в белом платье не может стоять рядом с Галей, значит, она стоит напротив нее, соседствуя с Надей, которая, следовательно, одета в розовое платье. Поскольку девочка в белом платье — это не Галя, не Надя и не Валя, то она Аня, а Валя одета в голубое платье.

1.74. Из первого условия следует, что в бочке содержится 10 ведер, а из второго, с учетом полученного результата, что в насадке 2,5 ведра. Следовательно, в бочке 4 насадки.

1.75. Пронумеруем все числа в году и выпишем номера, которые получили 13-е числа месяцев: 13, 44, 72, 103, 133, 164, 194, 225, 256, 286, 317, 347. Теперь запишем остатки, получающиеся при делении этих чисел на 7: 6, 2, 2, 5, 0, 3,2,1, 4, 6, 2, 4. Мы видим, что все остатки от 0 до 6 присутствуют, поэтому каждый из дней недели будет 13 числом хоть один раз, следовательно, хоть раз тринадцатое число будет понедельником. Заметим также, что остаток 2 встречается трижды и нет остатков, встречающихся

большее число раз, поэтому максимальное число 13-х чисел, являющихся понедельниками, будет 3 в году. Это произойдет, если год начинается с воскресенья. Приведенные рассуждения относились к обычному году. Для високосного года таблица остатков будет выглядеть так: 6, 2, 3, 6, 1, 4, 3, 2, 5, 0, 3, 5. И здесь все остатки представлены, а остаток 3 — трижды, поэтому високосный год, начинающийся с субботы, будет иметь понедельниками три 13-х числа.

1.76. Пусть стрелка сдвинута на х кг, тогда портфели весят 3 + х кг и 2 + х кг, а вместе 6 + х кг. Приравняв суммы, получим, что х= 1 кг, следовательно, портфели весили 4 и 3 кг.

1.77. Если на коробке было написано, скажем, «гвозди», а оказались винты, то в коробке с надписью «винты» не могут быть ни винты, ни гвозди, значит, там лежат гайки, а в коробке с надписью «гайки» лежат гвозди.

1.78. В искомом числе 2 входит в степени, делящейся на 3, притом нечетной, а 3 в четной степени, дающей при делении на 3 в остатке 2. Наименьшее такое число — это 23 ■ 32 = 72.

1.79. Если обозначить через х стоимость порции фруктового мороженого, то сливочное будет стоить х + 10 руб., а шоколадное — х + 20 руб. Ира заплатила 70 руб за 2 порции фруктового, одну шоколадного и одну сливочного. Отсюда, 4х+ 30 = 70 и х= 10. Итак, порция фруктового мороженого стоила 10 руб., порция сливочного — 20 руб, и порция шоколадного — 30 руб.

1.80. Обозначим через х количество монет по 15 коп. и через у — количество монет по 20 коп. Из первого условия следует, что 15х+ 20у= 500, а из второго, что 2,5х+ Зу = 80. Решив полученную систему уравнений, имеем х = 20,у= 10, всего 30 монет.

1.81. Из первого соотношения следует, что 2 мяча и 4 кубика уравновесят 2 машины, а из второго соотношения следует, что 2 мяча и 4 кубика уравновесят машину с 5-ю кубиками, значит, машину уравновешивают 5 кубиков.

1.83. Длина Теленка — 8 попугаев, Слоненка — 11 попугаев, Верблюжонка — 9 попугаев, Котенка — 3 попугая.

1.84. Не может. Если число не делится на 5, то его квадрат при делении на 5 имеет остаток 1 или 4. Осталось провести небольшой перебор вариантов.

1.85. Пусть работник работал х дней, тогда он отдыхал 30 - х дней. Так как он ничего не заработал, то 48х = 12 (30 - х) или 5х = 30,х = 6.

1.86. Тане 18 лет.

1.87. Это числа 2 и 5. Других чисел нет.

1.88. Обозначим скорость первого путника через X, а второго — через у, пусть Т— время от выхода путников до встречи. Так как расстояние от места встречи до пункта Л равно хГ, до пункта Б — уТ, то получаем, что £ • Т- 16, а - • Г= 9. Перемножив эти равенства, получаем, что 7*= 144, а Г= 12.

1.89. Из первого условия следует, что Арамис занял четвертое место, а из последнего, что д'Артаньян был первым, а Атос третьим.

1.90. Обозначим количество мышей, пойманных Пушком, через /7, Васькой — через Б, Базилио через Б и Леопольдом — через Л. Запишем условия задачи: П + Л = Б + Б, Б >Б,/7 + Б>Л + Б. Если вычесть из последнего неравенства первое соотношение, то получим 2Б > 2Л, откуда Б > Л. Если их сложить, то имеем 2/7 >2Б, т.е. /7 > Б, теперь выстраивается цепочка неравенств П> В> Б >Л.Но/7=3, поэтому Б = 2,Б=1 иЛ= 0. Итак, Пушок поймал 3 мыши, Васька — 2, Базилио — 1, элегантный Леопольд предпочел жить в мире с мышами.

1.91. Заметим, что после переливания в большой бочке оказалось в 1,5 раза больше молока, чем в маленькой. Если обозначим количество перелитого молока через х, то получим уравнение:

1,5-(21 +х) = 39-х. Отсюдах = 3, следовательно, бочки вмещают 24 и 72 л.

1.92. Пусть поступило х ящиков яблок, у ящиков груш, и коробок вишен и v коробок слив. Из условий задачи получаем 48х=20уи 14v= 10(7. Сократив обе части первого уравнения на 4, получаем 12х = 5у. Так как х и у — целые числа, то X должен делиться на 5, поэтому х = 5р, тогда у = 12р. Во втором уравнении произведем сокращение на 2 и получим 7v= 5(7, следовательно, и v делится на 5, т.е. v= 5g, а и = 7д. Поскольку общий вес фруктов равен 10ОО кг, то 48х + 20у + 141/+ 10(7 = 1000, или, с учетом сделанных выкладок, 720р + 140g = 1000. Единственным целым неотрицательным решением этого уравнения является р = 1, g = 2. Отсюда следует, что привезено 10 ящиков груш, 14 коробок вишен и 10 коробок слив.

1.93. Возраст бабушки равен 1900+ 10х +у- 1900- 10у-х= 9(х-у), т.е. делится на 9, но он делится и на 8, поэтому X - у = 8, что возможно в двух случаях: х = 8, у = 0 и х = 9, у = 1. Так как бабушка родилась после 1917 г., то это 1919 г. и разговор происходил в 1991 г.

1.94. Это слово фуфайка. Решение этой задачи аналогично решению задачи 1.14.

1.95. Если обозначить вес Малыша, Карлсона, фрекен Бок и торта соответственно через М, К, Ф, Г, а вес куска, съеденного Карлсоном, через С, то получим два уравнения: Ф + К=М+7 и К+ С= Ф + M + Т- С. Заменив во втором уравнении M + Г на Ф + К, получим после приведения членов С= Ф.

1.96. Утверждение задачи основано на том, что число 1993 — простое. Если бы числа X и 1993 - х имели общий множитель, отличный от единицы, то его имела бы и их сумма, т.е. число 1993, а оно — простое.

1.97. Если сложить все 5 указанных весов, то получим, что удвоенный вес всех девочек равен 300 кг, т.е. их общий вес равен 150 кг. Так как Маша и Катя весят вместе 40 кг, а Даша и Света — 60 кг, то вместе они весят 100 кг, а Галя — 50 кг. Тогда Даша весит 20 кг, Маша — 30 кг, Света — 40 кг и Катя — 10 кг.

1.98. Одно из таких слов — водопровод, другое — колокол.

1.99. Умный Знайка заметил, что число 2310 делится на 11, а цифры 11 не существует.

Глава 2

ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ

2.00. Последний фрукт.

На чудо-дереве садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он срывает два плода и на их месте вырастает один новый плод, причем, если он срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных, то банан. Каким может оказаться последний фрукт на этом дереве?

2.01. Счастливые номера.

В одной из новогодних телепередач поэт А.Вознесенский прочитал свое стихотворение, в котором утверждалось, что шоферы считают счастливыми те номера машин, в которых сумма цифр первой половины номера равняется сумме цифр второй половины номера. Номер 19—82 счастливый, так как 1 + 9 = 8 + 2. А в одной из телепередач серии «Следствие ведут знатоки» утверждалось, что по шоферскому поверью счастливым является номер, в котором сумма чисел первой и второй половины равняется 100, например, 19—81, так как 19+ 81 = 100. Перечислите все номера, счастливые одновременно и в первом, и во втором смысле.

2.02. В посудной лавке.

На полке стоят несколько кувшинов, среди которых есть по крайней мере два кувшина разной формы, а также по крайней мере два кувшина разной расцветки. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно разной формы и разной расцветки.

2.03. Средний результат.

В соревнованиях по стрельбе участвовало 30 человек. Первый стрелок выбил 80 очков, второй — 60 очков, третий выбил среднее арифметическое чисел очков у первых двух, четвертый — среднее арифметическое числа очков у первых трех. И вообще, каждый следующий выбивал среднее арифметическое чисел очков, выбитых предыдущими стрелками. Сколько очков выбил последний стрелок?

2.04. Листок календаря.

Листок календаря частично закрыт предыдущим листком, как изображено на рисунке. Какая его часть больше: открытая или закрытая?

2.05. Как можно больше.

Впишите в квадратики цифры 1,2,..., 9, каждую по одному разу так, чтобы произведение оказалось наибольшим.

2.06. Зеркальные числа.

Два числа называются зеркальными, если одно число получается из другого перестановкой цифр в обратном порядке, например, зеркальными будут числа 123 и 321. Найдите 2 зеркальных числа, если известно, что их произведение равно 92565.

2.07. Три простых числа.

Про 3 простых числа известно, что одно из них равно разности кубов двух других. Какие это числа?

2.08. Слоны и озеро.

Паганель, путешествуя по Африке, однажды остановился на ночлег на берегу небольшого озерка с чистейшей водой (на дне били ключи). Однако утром к озеру подошло стадо слонов. Паганель насчитал 183 головы. На следующее утро они ушли, оставив вместо озера грязную лужу. Через год Паганель вновь топал на это место. Озеро вновь было полно воды, но утром опять появилось стадо слонов. На этот раз в стаде было 37 слонов и воды им хватило на 5 дней. Покидая берега выпитого до дна озера, Паганель задумался: за сколько дней сможет осушить озеро один слон?

2.09. Углы звезды

Нетрудно показать, что у правильной пятиконечной звезды сумма углов равна 180°. Покажите, что такая же сумма углов будет у произвольной пятиконечной звезды.

2.10. Домино и сложение

На рисунке изображен прямоугольник, выложенный из 6 косточек домино, так, что ему соответствует пример на сложение. Сложите 6 косточек домино (может быть, других) в такой же прямоугольник так, чтобы сумма (число в нижней строчке) была возможно меньше.

2.11. Счастливые билеты.

Шофер автобуса установил в одной кассе катушку билетов с номерами от 537000 до 537999, а в другой — с номерами от 462000 до 462999. В какой из катушек больше «счастливых» билетов, т.е. в которых сумма первых трех цифр равна сумме следующих трех цифр?

2.12. Фальшивая монета.

Бронзовые монеты в 1, 2, 3 и 5 коп. весят соответственно 1, 2, 3 и 5 г. Среди четырех бронзовых монет (по одной каждого номинала) одна фальшивая — отличается весом от нормальной. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

2.13. Одинаковые показания.

В Великобритании и США температуру принято измерять по шкале Фаренгейта, в которой температура плавления льда составляет 32°, а кипения воды — 212°. Существует ли температура, при которой значения в градусах по шкалам Цельсия и Фаренгейта будут одинаковы?

2.14. Слежка в ЦРУ.

Начальник отдела, в котором служит Джеймс Бонд, получил приказ об установлении взаимной слежки между агентами с номерами от 001 до 007 по схеме: первый следит за тем, кто следит за вторым, второй — за тем, кто следит за третьим, и т.д., последний следит за тем, кто следит за первым. Но в тот момент, когда начальник составил соответствующую схему, пришло дополнение к приказу — включить в эту группу и агента 008. Сможет ли он теперь составить нужную схему слежки?

2.15.

Квадрат суммы квадратов.

Проверьте, что (32 + 52)2 = 162 + 302 и попробуйте доказать, что квадрат суммы двух квадратов различных натуральных чисел является всегда суммой квадратов двух натуральных чисел.

2.16. Равноделящий зигзаг.

Как в треугольнике ABC провести ломаную BDEFG (см. рис.), чтобы все 5 полученных треугольников имели одинаковые площади?

2.17. Два подряд.

Найдите наименьшее число, сумма цифр которого делится на 17 и сумма цифр следующего за ним числа тоже делится на 17.

2.18. Любопытная расстановка.

Правильный пятиугольник разрезан своими диагоналями на 11 частей, как на рисунке. Расставьте в них числа 1, 2, 11 так, чтобы суммы чисел были равны во всех треугольниках, все вершины которых являются вершинами этого пятиугольника.

2.19. Три бидона.

Бак полон воды. Эта вода была поровну перелита в 3 бидона. Оказалось, что в первом баке вода заняла половину его объема, во втором — 2/3, а в третьем — 3/4 объема. Известно, что бак и все 3 бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объеме бака возможна такая ситуация.

2.20. Числа на кубике.

Детский кубик я оклеил чистой бумагой, каждую грань разделил на 4 части, и в каждый полученный квадратик попытался записать целое число так, чтобы сумма этого числа с четырьмя числами, находящимися в соседних квадратиках, равнялась 13. Однако это у меня не получилось (см. рис.). Может быть, вы это сможете сделать? Или это сделать невозможно?

2.21. Прогулка по парку.

Коля и Витя, гуляя по парку, набрели на большую круглую поляну, обсаженную столетними липами. Коля пошел вокруг поляны, считая деревья. Витя сделал то же, но начал с другого дерева. Дерево, которое у Коли было 20-м, у Вити было 7-м, а 7-е — 94-м. Сколько деревьев росло вокруг поляны.

2.22. Игра за столом.

За круглым столом сидят 5 ребят, а на столе лежат 11 шашек: 5 черных и 6 белых. Ребята играют в следующую игру. Сначала каждый берет по 2 шашки, потом начинающий берет оставшуюся шашку. Если у него оказываются все 3 шашки одинакового цвета, то он выиграл, и игра прекращается. Если нет, то он оставляет себе 2 шашки одинакового цвета, а 3-ю передает партнеру справа. Если у того окажутся 3 шашки одинакового цвета, то выиграл он. Если нет, то он поступает аналогично предыдущему и т.д. Может ли так случиться, что каждый сделает не меньше двух ходов?

2.23. Размер квадрата.

Квадратный лист бумаги разрезали на 6 кусков, каждый из которых имел форму выпуклого многоугольника. Пять кусков затерялись, а оставшийся имеет форму правильного восьмиугольника. Можно ли по нему установить размеры исходного квадрата?

2.24. Есть ли еще?

Числа 2,75 и 8 обладают тем свойством, что их произведение равно сумме составляющих их цифр: 2,75 - 8 = 2 + 7 + 5 + 8 = 22. Найдите еще хотя бы одну пару таких чисел.

2.25. Крестики-нолики.

Нарисуйте на клетчатой бумаге многоугольник с наименьшим числом клеток такой, что, играя на нем в КН-3, начинающий всегда выигрывает. КН-3 — игра в «крестики-нолики», при которой выигрывает тот, кто первым поставит 3 своих значка подряд на одной прямой.

2.26. Невозможный треугольник?

Возможен ли треугольник со сторонами а = 8см и b = 3 см, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

2.27. Кляксы.

Второкласснице Наташе было задано на дом выразить заданное целое число часов в секундах. Она красиво написала ответ в тетради и тут же закрыла ее. Придя в школу, Наташа обнаружила, что две цифры расползлись в кляксы. Более того, она еще забыла, какое именно число часов нужно было выразить в секундах. Какие же цифры нужно написать вместо клякс?

2.28.Равнобедренный треугольник.

Высота треугольника в 2 раза меньше его основания, а один из углов при основании равен 75°. Докажите, что этот треугольник — равнобедренный.

2.29. Круги и квадраты.

Круг и квадрат имеют одинаковые площади. В круг вписали квадрат, а в квадрат вписали круг. Что больше: площадь квадрата, вписанного в круг или площадь круга, вписанного в квадрат?

2.30. Раскраска кубика.

Каждая грань кубика разделена на 4 квадрата, каждый из получившихся квадратов окрашен в один из трех цветов: синий, желтый или красный так, чтобы квадратики, имеющие общую сторону, были окрашены в разные цвета. Докажите, что при этом обязательно окажется 8 синих, 8 желтых и 8 красных квадратов.

2.31. Странное свойство.

Возьмем некоторое двузначное число, например, 13. Умножим его на 20 и сложим с исходным. Получим 273. Если теперь умножить это число на 481, то получим число 131313, в записи которого трижды повторяется исходное число 13. Это удивительное свойство выполняется для любого двузначного числа. Попробуйте объяснить это.

2.32. Электронные часы.

На электронных часах высвечивается время: часы и минуты. Сколько времени в сутки на их табло присутствует хотя бы в одном месте цифра 2? Найдите соответствующее время для остальных цифр: 0, 1, 3,4,..., 9.

2.33. На прогулке.

Саша и Гриша часто катались на велосипедах по тропинке от одного конца леса до другого. Однажды Гриша, проехав 2 км по лесу, встретил Сашу, чинившего свой велосипед. Друзья поговорили о школьных делах, и Гриша поехал дальше. Достигнув опушки леса, он поехал в обратную сторону и через 2 км снова встретил Сашу, чинившего свой велосипед, но уже в другом месте, ему удалось проехать лишь 900 м. Определите время их первого разговора, если известно, что Гриша ездил все время со скоростью 10 км/час, а от въезда в лес до поворота он потратил 24 мин.

2.34. Два произведения.

Возьмем два двузначных числа и перемножим их. Произведение обозначим через А. Теперь в каждом из сомножителей переставим цифры и перемножим полученные числа. Полученное число обозначим через В. Докажите, что число А - В делится на 99.

2.35. Полплощади.

Покажите, что у пятиконечной звезды, изображенной на рисунке, закрашена ровно половина ее площади.

2.36.

Сохранение делимости.

Возьмите шестизначное число, которое делится хотя бы на одно из чисел 7,11, 13, 37. Переставьте первую цифру в конец числа. Проверьте, что полученное число вновь будет иметь тот же делитель, что и первоначальное. Почему?

2.37. А если наоборот?

Известно, что Земли крутится вокруг своей оси в направлении, обратном направлению вращения вокруг Солнца. Насколько бы изменилась продолжительность земных суток, если бы Земля вращалась с той же угловой скоростью вокруг своей оси, но в обратную сторону?

2.38. Странная последовательность.

Какое число нужно поставить вместо знака * в последовательности 17, 23, 13, 11, *, 15,...?

2.39. Какая квартира?

Леня и Коля пошли в гости к Боре, но забыли номер его квартиры. Коля помнил, что если прибавить к этому номеру 10, то получится точный куб, а Леня вспомнил, что если вычесть из номера 10, то получится точный квадрат. В какой квартире живет Боря?

2.40. Шифровка.

Шифр устроен следующим образом: каждой цифре сопоставлено по 3 буквы, а знаку * — 2 буквы и пробел как это указано в таблице:

0123456789*

агжймптхшыю

бдзкнруцщья

веилосфчъэ

Попробуйте расшифровать следующую запись:

5343934*150413*6*414724144414*8156215044414*305041080?

2.41. Возвращение.

Акшин возвращался из города с покупками для одноклассников. Он истратил ровно 500 руб. и купил при этом ровно 100 предметов: портфели, авторучки и микрокалькуляторы. Сколько было куплено авторучек, если авторучка стоит 1 руб., портфель— 10 руб., а микрокалькулятор — 50 руб?

2.42. Испорченный бриллиант.

У ювелира во время шлифовки раскололся бриллиант, в результате его стоимость снизилась на 32%. Какая часть бриллианта откололась, если стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его веса?

2.43. Рваная бумага.

Имеется кусок бумаги. Его можно разорвать на 8 или 12 частей, каждый новый кусок также можно разорвать на 8 или 12 частей или оставить его целым, и так далее. Можно ли получить таким образом 60 кусков? Докажите, что можно получить любое число кусков, большее 60.

2.44. Энциклопедисты.

После образования на острове Чунга-Чанга двух суверенных государств Чунга и Чанга, были изданы «Большая чунгийская» и «Большая чангийская» энциклопедии. Первая содержала столько же томов с простыми номерами, сколько и с непростыми, а вторая — столько же томов с составными номерами, сколько и с несоставными. В какой энциклопедии больше томов?

2.45. Узнай возраст.

Я моложе своего деда во столько раз, во сколько старше своей сестры. Сколько мне лет, если моей сестре еще нет 7 лет, а мне с дедом вместе уже 84 года?

2.46. В буфете.

Был жаркий день, и 4 супружеские пары, гуляя, выпили в течение дня 44 стакана лимонада. Анна выпила 2 стакана, Мария — 3, Софья — 4, Дарья — 5. Андреев выпил столько же, сколько и его жена. Борисов выпил стаканов вдвое больше, чем его жена. Васильев — втрое больше своей жены, а Груздев выпил в 4 раза больше стаканов лимонада, чем его жена. Кто на ком женат?

2.47. Порванная книга.

Из книги выпал кусок. Первая страница куска имеет номер 387, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?

2.48. На футбольном матче.

Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды — 22 года. Во время матча один из игроков был удален за грубость. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет удаленному футболисту?

2.49. В универмаге.

В универмаг привезли платья трех разных фасонов и трех разных расцветок. Продавец хочет выбрать для витрины три платья так, чтобы были представлены все фасоны и все расцветки. Всегда ли она сможет это сделать?

2.50. Тестовая проверка.

Профессор Тестер проводит серию тестов, на основании которых он выставляет испытуемому средний балл. Ответив на последний тест, Джон понял, что если бы за этот тест он получил 97 очков, то его средний балл равнялся бы 90. С другой стороны, если бы он получил за последний тест всего 73 очка, то его средний балл составил бы 87 очков. Сколько тестов в серии профессора Тестера?

2.51. Цена книги.

9 одинаковых книг стоят меньше 10 руб., а 10 таких же книг стоят больше 11 руб. Сколько стоит одна книга?

2.52. В 6 раз.

Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

2.53. Удивительная пара.

Найдите 2 числа, сумма, произведение и частное которых равны между собой.

2.54. В джунглях.

Маугли попросил обезьян принести ему орехов. Обезьяны набрали поровну орехов и понесли их Маугли. По дороге они поссорились и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате Маугли досталось лишь 33 ореха. По сколько орехов собрали обезьяны? Известно, что каждая обезьяна принесла больше одного ореха.

2.55. По порядку.

Расставьте числа а = 245, b = 336, с = 427, d=518 в порядке их возрастания.

2.56. Трансформации.

Число, записанное мелом на доске, можно либо заменить на удвоенное, либо стереть у него последнюю цифру. Как из числа 458 получить за несколько ходов число 14?

2.57. На тусовке.

Четыре неформальные молодежные группы «Зеленый фронт», «Эко», «Красный патруль» и «Искатели истины» решили объединиться. На объединительной конференции присутствовало поровну делегатов от всех четырех групп. Разногласия возникли при выборе названия нового объединения. Для голосования были отобраны два названия: «Зеленый мыслитель» и «Мыслящий эколог». Известно, что все делегаты от «Красного патруля» хотят голосовать за одно и то же название, а в остальных делегациях единства нет. Среди делегатов «Зеленого фронта» столько же хотят голосовать за первое название, сколько делегатов из «Эко» — за второе. Среди приверженцев второго названия 1/3 составляют делегаты «Искателей истины». Какое название будет выбрано?

2.58. Проверка тождества.

Проверьте, что

И вообще

если с = а + b.

2.59. Копилка.

Когда Петя разбил свою копилку, в ней оказалось 16 бронзовых монет. Он разложил их в 4 кучки по 4 монеты так, чтобы суммы денег в каждой кучке были одинаковы. Тут он заметил, что наборы монет во всех кучках разные. Сколько денег было в копилке?

2.60. На микрокалькуляторе.

На микрокалькуляторе каждая цифра записывается с помощью не более 7 маленьких отрезочков. В примере на сложение, изображенном на рисунке, у каждой из цифр ровно один отрезок стоит не на своем месте. Переставьте их так, чтобы равенство было верным.

2.61. Другой спидометр.

Собираясь в путешествие на автомобиле, я обнаружил неисправность спидометра — прибора, указывающего скорость и пройденный путь. Я заменил его спидометром от какой-то другой машины. Когда я отъехал от дома, на счетчике спидометра было 131313 км. У столба с отметкой 100 км он показывал 131460 км, еще через 70 км — 131558 км. Когда я добрался до места назначения, счетчик показывал 132713 км. Сколько километров я проехал?

2.62. Вращение биссектрисы.

Сколько оборотов в сутки делает биссектриса между часовой и минутной стрелками?

2.63. Последняя цифра квадрата.

Какой может быть последняя цифра квадрата, если предпоследняя цифра — нечетное число?

2.64. Шахматный турнир.

В студенческом шахматном турнире приняли участие 2 школьника. Они вместе набрали 6,5 очков, а все студенты — поровну. Сколько студентов участвовало в турнире? Напоминаем, что в турнире каждый участник играет с каждым по одному разу, за выигрыш дается 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за поражение — 0 очков.

2.65. Высыхающее море.

Недавно сообщалось, что из-за понижения уровня Аральского моря его акватория (площадь) уменьшилась на 40%, а объем воды — на 60%. Может ли быть справедливым такое утверждение? А может ли случиться обратное соотношение: в результате падения уровня воды его акватория уменьшилась на 60%, а объем воды — на 40%?

2.66. Фома и Ерема.

Фома и Ерема нашли на дороге по пачке 11-рублевок. В чайной Фома выпил 3 стакана чая и съел 4 калача и 5 бубликов. Ерема выпил 9 стаканов чая, съел 1 калач и 4 бублика. Стакан чая, калач и бублик стоят по целому числу рублей. Оказалось, что Фома может расплатиться 11 -рублевками без сдачи. Покажите, что это может сделать и Ерема.

2.67. Номера автобусов.

Мимо моего дома проходят 3 автобусных маршрута, их номера — трехзначные числа, причем все они — квадраты. Более того, они записываются одними и теми же цифрами. Какие номера у автобусов?

2.68. Уютная квартира.

Иван Семенович долгое время прожил в однокомнатной квартире. Ему почему-то нравилось, что комната была квадратной и длины ее сторон выражались целым числом метров. Недавно он обменял ее на двухкомнатную квартиру той же площади. Одна из комнат имеет площадь 7 м2, а другая — вновь квадратная со сторонами, выражающимися целым числом метров. Какая площадь квартиры Ивана Семеновича?

2.69. Игра навылет.

Несколько шахматистов в парке целый день играли в шахматы. Поскольку у них был лишь один комплект шахмат, то они установили следующий порядок игры: выигравший очередную партию пропускает 2 следующие партии, а проигравший — 4. При ничьей проигравшим считается тот, кто играл белыми фигурами. Сколько было шахматистов, если это правило удалось соблюсти?

2.70. Два кошелька.

В двух кошельках находится по 98 коп., причем в первом кошельке лежит 49 монет, а во втором 50 монет. Можно ли уверенно утверждать, что деньги из первого кошелька можно разделить на две равные по стоимости части? А деньги из второго кошелька?

2.71. Эпидемия гриппа.

Вчера число учеников, присутствующих в классе, было в 8 раз больше числа отсутствующих. Сегодня не пришли еще 2 ученика, и оказалось, что отсутствуют 20% от числа учеников, присутствующих в классе. Сколько всего учеников в классе?

2.72. Коллекционеры.

Алеша и Витя начали коллекционировать значки. Хотя у Вити количество значков меньше утроенного числа значков Алеши, но даже в том случае, если Витя отдаст 4 значка Алеше, у него останется больше значков, чем станет у Алеши. По сколько значков у каждого из ребят, если всего у них меньше 20 значков?

2.73. Поправка в цене.

Мужичок привез продавать на рынок фуки, глюки и друки. Пройдясь по рынку, он решил увеличить запланированные им цены, добавив еще по одному нулю, но не в конце, а в середине чисел. В результате цена за один фук увеличилась в 6 раз, за глюк — в 7 раз, а за друк — в 9 раз. Сколько они стали стоить, если первоначальная цена каждого из них была меньше 100 руб.?

2.74. Утроенная сумма.

Найдите все числа, равные утроенной сумме своих цифр.

2.75. Червивый персик.

Продав последний персик за 2 руб. 30 коп., торговец вычислил, что он продавал их в среднем по 2 руб. 45 коп. Но покупатель вернул ему этот персик, указав на червоточину, и согласился купить его лишь за 1 руб. 58 коп. Пересчитав среднюю цену, торговец выяснил, что она стала равной 2 руб. 42 коп. Сколько персиков продал торговец?

2.76. Кого больше?

Учитель задал на уроке замысловатую задачу. В результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным количеству девочек, ее не решивших. Кого в классе больше — решивших задачу или девочек?

2.77. В шторм.

У шхуны капитана Врунгеля «Победа» (а потом «Беда») был четырехзначный номер. Номер этот был примечателен тем, что являлся квадратом целого числа. Во время шторма смыло первую цифру, и номер стал кубом целого числа. После следующего шторма смыло следующую цифру, и номер стал четвертой степенью целого числа. Какой номер был на шхуне первоначально?

2.78. В цирке.

Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену цирка соответственно в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях и рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

2.79. Удалось ли сыграть?

В шахматном турнире Женя и Саша сыграли одинаковое количество партий, заболели и выбыли из турнира. Остальные участники турнира доиграли до конца. Всего в турнире было сыграно 23 партии. Играли ли Женя и Саша в турнире между собой?

2.80. У светофора.

Девочка подошла к переходу через улицу в тот момент, когда загорелся желтый свет, и загляделась на работу светофора. По своим часам она заметила, что красный свет горит в 1,5 раза меньше времени, чем зеленый, а желтый — в 4 раза меньше, чем красный. После того, как в 18-й раз горел желтый свет, зажегся зеленый и девочка, простояв 17 мин, стала переходить улицу. Сколько времени горит желтый свет?

2.81.

Любая сумма без сдачи.

При каком наименьшем количестве монет можно уплатить без сдачи любую сумму от 1 коп. до 1 руб.?

2.82. Кулинарная задача.

На днях я впервые в жизни жарил оладьи. Естественно, что они у меня имели довольно причудливые формы. Когда я начал переворачивать одну из них, то она никак не входила на старое место на сковороде, а налезала на остальные оладьи. Оладьи удалось вновь разместить на сковороде, перевернув их все. Как?

2.83. На фуникулере.

Однажды мне довелось проехаться по канатной дороге. В некоторый момент я обратил внимание на то, что идущий мне навстречу вагончик имеет номер 95, а следующий — номер 0, дальше 1,2 и т.д. Я взглянул на номер своего вагончика. Он оказался равным 66. Проехал ли я половину пути? При встрече с каким вагончиком я проеду половину пути?

2.84. Гастролер.

Однажды первый вторник месяца я провел в Иркутске, а первый вторник после первого понедельника — в Риге. В следующем месяце я первый вторник провел в Кишиневе, а первый вторник после первого понедельника — в Минске. Какого числа и какого месяца я был в каждом из этих городов.

2.85. Рассеянные гости.

Десять человек пришли в гости в галошах. Уходили они по одному, и каждый надевал произвольную пару галош, в которую он мог влезть (т.е. не меньшего размера, чем его собственная). Какое наибольшее число людей не смогло надеть галоши?

2.86.

Детективная история.

Милиционер Степан Степанов обернулся на звук бьющегося стекла и увидел четырех подростков, убегающих от разбитой витрины. Через 5 мин их уже допрашивали в отделении милиции. Андрей заявил, что стекло разбил Виктор, Виктор же утверждал, что виноват Сергей. Сергей заверял, что Виктор лжет, а Юрий твердил, что это сделал не он. Из дальнейшего разговора выяснилось, что лишь один из ребят говорил правду. Кто разбил стекло?

2.87.

Удивительное свойство.

Число 6116 обладает удивительным свойством: какую бы пару цифр ни взять, последняя цифра их суммы равняется последней цифре суммы двух оставшихся цифр. Сколько существует чисел с таким свойством?

2.88. Цена блокнота.

«Николай Иванович, — спросил Вадик у знакомого продавца магазина, — сколько стоит блокнот?» «16 блокнотов стоят столько же рублей, сколько блокнотов можно купить на 1 рубль», — с улыбкой ответил продавец. Сколько же стоит один блокнот?

2.89. Числа на доске.

На доске было написано два одинаковых числа. Степа приписал к одному из них впереди 100, а ко второму сзади 1. Оказалось, что первое число стало ровно в 37 раз больше второго. Какие числа были написаны на доске?

2.90. Квадраты в квадрате.

В клетках квадрата расставьте цифры 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, Этак, чтобы 5чисел, десятичная запись которых получается на горизонтальных прямых, были бы квадратами целых чисел.

2.91. Числа на карточках.

Взяв у сестренки по одной карточке с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Гена разложил их по две на столе и вдруг увидел, что полученные двузначные числа относятся, как 1:2:3:4:5. Когда вечером он захотел показать этот интересный результат отцу, то обнаружил, что отсутствует карточка с цифрой 0. Однако, подумав, он из оставшихся карточек сложил пять чисел, отношение которых вновь было равно 1 : 2 : 3 : 4: 5. Как он раскладывал карточки в первый и во второй раз?

2.92. Бегуны на бульваре.

По 10 дорожкам парка бегают спортсмены. Направления их движения указаны на рисунке стрелками. Каждую из дорожек каждый спортсмен пробегает за 1 мин, причем по первой дорожке каждую минуту пробегает один спортсмен, по второй — 2, по третьей — 3 и т.д., по десятой — 10 спортсменов. Расставьте на рисунке номера дорожек.

2.93. Трудная головоломка.

Если головоломка, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, была труднее, чем головоломка, которую вы разгадали после того, как вы разгадали головоломку, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, то была ли головоломка, которую вы разгадали перед тем, как разгадали эту, труднее, чем эта?

2.94. Номера квартир.

Лева и Паша живут в одном доме. Номера их квартир — двузначные числа с такой особенностью: если к сумме цифр номера прибавить квадрат их разности, то снова получится этот номер. Найдите номера квартир Паши и Левы.

2.95. Оркестр.

Огромный оркестр демонстрировал свое искусство на площади. Сначала музыканты построились в виде квадрата, а затем перестроились в пятиугольник, причем количество шеренг увеличилось на 5. Сколько было музыкантов в оркестре?

2.96. В киоске.

Коля купил 1 тетрадь, 2 карандаша и резинку, заплатив за все это 12 коп. Саша за 2 тетради, 3 карандаша и 3 резинки заплатил 27 коп. Сколько нужно заплатить Антону за 2 тетради, 5 карандашей и 1 резинку?

2.97. Дележ бензина.

В бочке осталось 18 л бензина. Имеется 2 ведра объемом по 7 л, в которые нужно налить по 6 л бензина. Кроме того, есть черпак объемом 4 л. Как осуществить разлив?

2.98. Простые кучки из домино.

Разложите все 28 косточек домино на 4 кучки так, чтобы суммы очков в кучках были последовательными простыми числами.

2.99. Шарики на весах.

Имеется по два шарика красного, синего, зеленого и белого цвета. На одну чашку весов положили несколько разноцветных шариков, а на вторую — вторые шарики этих цветов. Перевесила левая чашка, однако было замечено, что если поменять местами любые два шарика одинакового цвета, то весы либо окажутся в равновесии, либо перетянет правая чашка. При каком количестве шариков на весах это может быть?

Решения задач

Глава II

Задачи посложнее

2.00. Заметим, что количество бананов нечетно и после срывания пары плодов оно остается нечетным. Поэтому единственный оставшийся плод может быть только бананом.

2.01. Единственным таким номером является номер 50-50, поскольку в случае, если последняя цифра каждого двузначного числа не является 0, то при их сумме, равной 100, сумма цифр одного двузначного числа будет четной, а второго — нечетной, что противоречит второму условию.

2.02. Возьмем 2 кувшина разной формы. Если у них и расцветка разная, то это — требуемые кувшины. Если у них расцветка одинаковая, то возьмем третий кувшин, отличающийся от этих двух расцветкой. Ясно, что его форма отличается от формы хотя бы одного из этих кувшинов. Взяв третий кувшин и тот из первых двух, от которого он отличается формой, получаем нужную пару кувшинов.

2.03. Несложно проверить общий факт, что прибавление к группе чисел их среднего арифметического приводит к группе с тем же средним арифметическим, поэтому все стрелки, начиная с третьего, выбили по 70 очков.

2.04. Из рисунка видно, что площадь закрытой части листка больше площади открытой на величину заштрихованного прямоугольника.

2.05. 763 • 852 • 941 = 611721516

2.06. Число 92565 раскладывается на простые множители следующим образом: 3-3-5-11-11-17. Если некоторое число делится на 3, то и зеркальное к нему делится на 3. То же с делимостью на 11 (докажите). Поэтому то число, которое делится на 17, должно иметь множителями еще числа 3 и 11. Других множителей оно иметь не может, так как тогда второе число будет двузначным. Итак получаем, что одно из чисел равно 3-11-17 = 561, а второе равно 3 • 5 • 11 = 165, оно зеркально первому.

2.07. Пусть это числах, у, z, причем z = X3 - у3. Тогда z = (X - у) (х2 + ху + /). Чтобы число z было простым, необходимо, чтобы X - у = 1, а это, при условии простоты чисел х и у, возможно лишь при х=3,у=2. Отсюда z= 19.

2.08. Если обозначить через v объем воды в озере, через w — объем воды, вытекающей в сутки из родников, и черезZ—количество воды, выпиваемой в сутки одним слоном, то условия задачи запишутся в виде двух уравнений:

v+w= 183z, w+ 5w= 5 • 37z Вычитая из второго уравнения первое, получим, что 4w= 2z или z = 2ил Подставив это соотношение в первое уравнение, получим, что v = 365ил Пусть один слон выпивает озеро за х дней, тогда v+ xw = xz. Подставляя z = 2w, получаем v = xw, или х= v/w. Но мы знаем, что v=365w, поэтому слон осушит озеро за 365 дней, после чего понадобятся еще два года, чтобы озеро вновь наполнилось из родников.

2.09. Соединим соседние вершины звезды, например, А и Е (см. рис). Так как у треугольников АМЕ и BMD углы при вершине M равны, то сумма углов при вершинах В и D равна сумме углов при вершинах А и Е треугольника АМЕ, но тогда сумма углов при вершинах звезды равна сумме углов треугольника АСЕ, т.е. 180е.

2.10. Наименьшая сумма равна 102. Она достигается в трех расположениях, изображенных на рисунке.

2.11. Если заменить каждую цифру «счастливого» билета на ее дополнение до 9, т.е. 0 на 9,1 на 8, и т.д., то полученный билет снова будет «счастливым», причем, если это был билет из первой катушки, то полученный билет будет из второй катушки. Отсюда следует, что в каждой катушке одинаковое число «счастливых» билетов.

2.12. Положим на левую чашку весов монету в 5 коп., а не правую 2 и 3 коп. Если весы будут в равновесии, то фальшивая монета в 1 коп. Если перевесит одна из чашек, то положим на левую чашку монету в 3 коп, а на правую — 1 и 2 коп. Если сейчас весы окажутся в равновесии, то бракованная монета — пятак. Если при втором взвешивании будет легче та же чашка, что и при первом, то фальшивая монета — 2 коп. в противном случае — монета в 3 коп.

2.13. Так как обе шкалы равномерные, то можно записать связь между температурами по Фаренгейту — Гф и по Цельсию — Гс в виде Гф = АТС + ß. Подставив Гс = 0, получим ß = 32, а при Гс = 100 получается 212 = 100Л + 32, откуда А = 1,8. Теперь найдем искомую температуру Г из уравнения Г= 1,8Г+ 32, Г= -40е.

2.14. Для 7 агентов схема слежки такова: 1 —5 —2 —6 —3 — 7 —4—1. Проще всего ее получить, нумеруя через один вершины правильного семиугольника. Если же мы подобным образом будем нумеровать вершины правильного восьмиугольника, то получим, что первые 4 агента соответствуют вершинам квадрата, а между ними стоят остальные 4. Но в этом случае получаем, что за агентом 001 следит тот агент, за которым следит 004, а по условию за ним должен следить тот, за кем следит 008. Получим противоречие с условием, значит, такая схема неосуществима.

2.15. Для доказательства утверждения задачи проделаем следующие алгебраические преобразования:

2.16. Точку D следует поставить так, чтобы отрезок CD был равен 1/5 отрезка АС, тогда площадь треугольника DBC будет равна 1/5 площади треугольника ABC. Аналогично, точка Е ставится так, чтобы BE = АВ/4, точка F так, чтобы FD = ДО/3, и точка 6так,чтобы GE=AE/2.

2.17. Если число не оканчивается на 9, то сумма цифр следующего за ним числа больше его суммы цифр на 1, поэтому такое число не может быть искомым. Если число оканчивается на 9 (но не 99), то сумма цифр следующего за ним числа меньше его суммы цифр на 8, что опять не соответствует условию задачи. Если же число оканчивается на 99 (но не на 999), то сумма цифр у следующего за ним числа будет меньше суммы цифр рассматриваемого на 17. Отсюда следует, что если сумма цифр нашего числа делится на 17, то и сумма цифр следующего за ним числа тоже делится на 17, и оно оканчивается на 00. Найдем наименьшее число с суммой цифр 17, оканчивающееся на 00. Очевидно, что это 8900. Поэтому искомое число есть 8899.

2.18. Ответ изображен на рисунке.

2.19. Пусть бак вмещает х литров воды. Из того, что х/3 равняется 2/3 объема второго бака, следует, что х делится на 2, а из того, что х/3 равняется 3/4объема третьего бака, следует, что х делится на 9. Итак, X делится на 18. Наименьшим числом, делящимся на 18, есть оно само. Итак, бак вмещает 18 л, первый бидон — 12 л, второй бидон — 9 л и третий—8 л.

2.20. Предположим, что такая расстановка существует. Найдем сумму всех поставленных чисел. Всего квадратиков 24, а сумма числа в квадратике и его четырех соседей равняется 13, поэтому упятеренная сумма всех чисел равна 24 ■ 13 = 312. Но это число не делится на 5, следовательно, указанная расстановка невозможна.

2.21. Из первого условия следует, что дерево, которое у Вити было первым, у Коли было 14-м, а последнее — 13-м. Отсюда следует, что разность между 94-м и последним деревом (по счету Вити) такая же, как и разность между 7-м и 13-м по счету Коли.

Значит, последнее дерево имеет номер 94+13 — 7=100.

2.22. Нет. Действительно, если игра не кончилась после того, как все 5 игроков сделали по одному ходу, то в этот момент у каждого игрока имеется 2 шашки одинакового цвета — у двоих по 2 черные, а у троих по 2 белые и передается шашка черного цвета.

Если ее берет игрок, имеющий 2 шашки белого цвета, то он передает ее следующему, а когда она попадает к игроку с двумя шашками черного цвета, игра заканчивается и второй игрок с двумя шашками черного цвета не сможет сделать второго хода.

2.23. Можно. Ввиду того, что потерявшиеся куски бумаги выпуклы, ни один из них не мог примыкать к восьмиугольнику по двум его сторонам. Отсюда следует, что 3 (а на самом деле 4) стороны восьмиугольника лежат на сторонах квадрата. Таким образом, квадрат однозначно восстанавливается. Само разрезание могло быть, например, таким, как на рисунке.

2.24. Такими числами являются также числа 2, 6 и 5, т.к. 2,6 • 5 = 13 = 2 + 6 + 5.

2.25. Такой многоугольник изображен на рисунке. Перебором случаев нетрудно показать, что многоугольника из 6 или меньшего числа клеток, удовлетворяющего условиям задачи, не существует. Стратегия выигрыша начинающего для указанной доски довольно очевидна: он ставит крестик в клетку 1, а затем, если второй ставит нолик на горизонтальную прямую, то в клетку 2, а если на вертикальную прямую, то в клетку 3. В результате второй не сможет помешать первому поставить 3 крестика подряд.

2.26. Воспользуемся выражениями высот через стороны треугольника и его площадь: —= \—— . Подставляя эти выражения в заданное соотношение для высот, получаем, что c = *Jäb . В нашем случае с = VêT~3 = л/24 , но в треугольнике должно выполняться неравенство с > (а - в), в то время, как V24<5 = 8-3. Следовательно, такого треугольника не существует.

2.27. Так как число 234х2у0 содержит целое число часов, то оно должно делиться на 3600, следовательно, Y = 0 и это число делится на 9, откуда 2 + 3 + 4 + Х+ 2 должно делиться на 9, что возможно только при Х= 7. Итак, было записано число 2347200.

2.28. Пусть в треугольнике ABC (см.рис.) угол А равен 75* и BN = АС/2. Покажем, что АС = ВС. Если ВС > АС, то В < 75е и О 30е, но тогда BN> ВС/2 и АС/2 > ВС/2, т.е. ВС < АС, что противоречит предположению. Если предположить, что ВС < АС, то В > 75е, С <30в и ВЛ/< ВС/2, откуда АС< ВС. Опять противоречие с предположением, следовательно, вс=лс.

2.29. Пусть а — сторона квадрата, а г — радиус данного круга, тогда равенство их площадей запишется в виде: а2 = п г2. Радиус круга, вписанного в квадрат, равен а/2, а сторона квадрата, вписанного в круг, равна г V2. Таким образом, площади вписанных фигур равны соответственно

Заменяя получаем для площадей значения

Но я2 больше 8 поскольку я больше 3, поэтому —— больше, чем 2а2, т.е. площадь вписанного круга больше площади вписанного квадрата.

2.30. Рассмотрим 3 квадратика, примыкающих к одной из вершин кубика. Очевидно, что все они обязаны иметь разные цвета. Из этого замечания и следует утверждение задачи.

2.31. Первые два действия над числом можно заменить умножением его на 21, а всю процедуру — умножением на число 21- 481 = 10101. Ясно, что приумножении любого двузначного числа на 10101 получается шестизначное число, изображающееся , как троекратное повторение первоначального числа.

2.32. На первом месте цифра 2 бывает в течение 4 ч от 20.00 до 00.00. В остальные 20 ч она бывает 2 ч на втором месте — от 02.00 до 03.00 и от 12.00 до 13.00. В оставшиеся 18 ч цифра 2 бывает на третьем месте по 10 мин каждый из часов, в остальные 50 мин часа еще по 5 мин на четвертом месте. Итого, по 15 мин в каждый из 18 ч, т.е. 4 ч 30 мин. Всего получаем 4 + 2 + 4,5 = 10,5 ч. Для цифр 0 и 1 аналогично получаем 16 ч, для цифры 3 — 8,25 ч, для цифр 4 и 5 — по 7,5 ч, для остальных — по 4,2 ч.

2.33. Из условия задачи следует, что длина тропинки равна либо 4,9 км, либо 3,1 км в зависимости от того, в какую сторону проехал Саша 900 м. Но, если бы длина тропинки была 4,9 км, то Гриша потратил бы на проезд в одну сторону 0,49 ч, что больше 24 мин. Значит, длина тропинки равна 3,1 км и время движения по ней равно 0,31 ч, т.е. 18 мин 36 с. Следовательно, время разговора равно 24 мин -18 мин 36 с = 5 мин 24 с.

2.34. Пусть первое число 10а + b, а второе— 10с + с/. Тогда Д = 100 ас =10 (ad + be) + bef, а В = 100 bd + 10(ad + + be) + ас. Число Л - В = 99(ас - bd).

2.35. Из рисунка видно, что окрашенная часть звезды равносоставлена с оставшейся ее частью.

2.36. Если обозначить шестизначное число через Л, а его первую цифру через х, то число, получающееся перестановкой этой цифры в конец числа, запишется так: 10(А -10ООООх) + х или 1OA - 999999Х. Но число 999999 = 7-11 ■ 13* Х37-27, поэтому если число Л делилось на какой-либо из этих сомножителей, то на него будет делиться и новое число.

2.37. Если планета, не вращаясь, делает один оборот по орбите, то на ней происходит один раз смена дня и ночи. Поэтому один обход по орбите добавляет одну смену дня и ночи к числу таких смен для неподвижной вращающейся планеты, если вращение планеты по орбите противоположно ее вращению вокруг оси, и уменьшает на единицу, если эти направления совпадают. Поэтому, если бы Земля начала вращаться в противоположную сторону, то число смен дня и ночи уменьшилось на 2, т.е. каждые сутки удлинились бы на 2/365 части от нынешних дневных суток, что составляет около 8 мин.

2.38. В данной последовательности каждое число, начиная со второго, равно сумме удвоенного числа десятков и утроенного числа единиц предыдущего числа, поэтому вместо знака * следует поставить число 5. Заметим, что возможно указать и другие закономерности, в этих случаях число * может быть и другим.

2.39. Для решения задачи достаточно рассмотреть числа, являющиеся кубами и не превосходящие 1000, поскольку квартир с большими номерами не бывает, т.е. рассмотреть кубы чисел от 1 до 10. Будем искать среди них такие числа, которые, будучи уменьшены на 20, станут полными квадратами. Этому условию удовлетворяет лишь число 6, поскольку б3 - 10 = 206 = 142 + 10. Итак, номер квартиры — 206.

2.40. Зашифрована фраза: «Сколько граней у неочиненного шестигранного карандаша?» Заметим, что ответом на этот вопрос является число 8, поскольку карандаш — это шестигранная призма, обладающая верхней и нижней гранью.

2.41. Обозначим количество купленных авторучек через х, портфелей — через у и микрокалькуляторов — через z. Из условий задачи составляем систему уравнений^ у+z= 100, х + 10y + 50z = 500. Отсюда 9у = 400 - 49z. Число z неотрицательно, но меньше. Единственное значение z в этом диапазоне, при котором 400 - 49z делится на 9, равно 1. При этом у=39,х = 60.

2.42. Запишем уравнение, соответствующее условию задачи, для этого обозначим вес бриллианта через х, вес

отколовшейся части через у и коэффициент пропорциональности между весом и стоимостью бриллианта через /с. Получаем: /0^68/100 = к(х - у)2 + /су2. Теперь обозначим через р долю отколовшейся части, т.е. р = у/х. Разделив уравнение нах2и сократив обе части на к, получаем: 2р2 - 2р + 32/100 = 0. Решая это уравнение, получаем р\ = 1/5, р2 = 4/5.

2.43- Следует заметить, что если мы рвем кусок бумаги на 8 частей, то прибавляется 7 кусков, а если на 12 частей, то прибавляется 11 кусков. Таким образом, если мы л раз рвали куски бумаги на 8 частей и m раз на 12 частей, то в результате получили 7л + 11т + 1 частей. Покажем, что при целых неотрицательных n и m это выражение не может равняться 60. Предположим противное, т.е. что 7л + 11 m + 1 = 60, или 59 -11 m = 7 л. Ясно, что m может изменяться от 0 до 5. При подстановке этих значений для m мы получаем слева: 59, 48, 37, 26, 15, 4. Но ни одно из них не делится на 7, поэтому наше предположение о существовании соответствующих значений лит оказалось неверным. Покажем, что для любого числа, большего 60, такие значения лит существуют. Выпишем такие разложения для чисел от61 до 67:61 = 1-11 +7-7+ 1; 62 = = 3-11+4.7+ 1,63 = 5-11 + 1 - 7+ 1,64 = = 0-11+ 9-7 +1,65 = 2-11+ 6-7 +1,66 = = 4-11 + 3-7+1,67 = 6.11 +0-7+1. Если теперь к этим числам мы добавим по 7, то получим числа от 68 до 74, еще добавив по 7, получим числа от 75 до 81 и т.д. прибавляя по 7, мы сможем добраться до любого числа.

2.44. Задача основана на том, что число 1 не простое и не составное. Выпишем первые 20 натуральных чисел и подчеркнем снизу простые числа: 1, 2, 4,5, 6, 7, 8,9,10,11,12,13, 14,15,16,12,18,19, 20. Проанализировав эту последовательность и отметив, что дальше простые числа встречаются реже, чем составные, нетрудно установить, что чунгийская энциклопедия могла содержать 2, 4, 6 или 8 томов, а чангийская — 10, 12 или 14 томов. В любом случае в «Большой чангийской энциклопедии» томов больше, чем в чунгийской.

2.45. Пусть сестренке X лет, и я старше ее в л раз, тогда мне лх лет, а деду л2х лет, следовательно, по условию задачи, пх+п2х = хп(п + 1 ) = 84 = 2 - 2 ■ 3 - 7. Но из написанных множителей можно составить лишь два последовательных числа 2 и 3, а также 6 и 7, поэтому в первом случае получаем х= 14, п = 2, а во втором случае х = 2, л = 6. Первый случай отпадает, поскольку сестренке меньше 7 лет, а во втором случае ей 2 года, мне 12 лет, деду —72 года.

2.46. Дарья Андреева, Софья Борисова, Мария Васильева, Анна Груздева.

2.47. Выпало 352 страницы. Чтобы получить этот результат, следует заметить, что номер последней выпавшей страницы должен быть четным и большим, чем 387, следовательно это 738.

2.48. Сумма возрастов 11 футболистов по условию равна 11 • 22 = 242 года, а сумма возрастов оставшихся 10 футболистов равна 10 - 21 = 210 лет. Следовательно ушедшему футболисту 242 - 210= = 32 года.

2.49. Такой выбор можно произвести не всегда. Например, он невозможен, если платья двух фасонов имеют все одну и ту же расцветку, а платья третьего фасона имеют две другие расцветки.

2.50. Обозначим через Л сумму баллов, полученных испытуемым за все тесты, кроме последнего, и через л количество тестов. Тогда можно записать 2 уравнения: А + 97 = 90л, А + 73 = 87л. Вычитая из первого уравнения второе, получаем 24 = 3л,т.е. л = 8.

2.51. Пусть х — цена книги в копейках, тогда по условию задачи 9х < 1000 и 10х> 1100, или 110 < х< 111,11..., следовательно, х= 111, т.е. 1 руб. 11 коп.

2.52. Поскольку делимое в 6 раз больше числителя, то частное равно 6, а так как делитель в 6 раз больше частного, то делитель равен 36, а делимое еще в 6 раз больше, т.е. 216.

2.53. Обозначим искомые числа через х и у и запишем условия задачи в виде уравнений: х + у = ху, ху = х/у. Второе уравнение удовлетворяется либо при X = 0, либо при у2 = 1. В первом случае из первого уравнения следует, что и у = 0, что противоречит второму уравнению, а во втором случае у может равняться 1 или -1. Если у = 1, то первое уравнение не имеет решения: х + 1 = х. При у - - 1 получаем X -1 = -х, откуда х= 1/2. Итак, х=1/2,у=-1.

2.54. Пусть было х обезьян и каждая собрала по у орехов, из них каждая бросила по одному ореху в остальных, т.е. бросила (х -1 ) орех. Таким образом Маугли получил х(у - X + 1 ) = 33 орехов. Поскольку оба множителя в левой части — целые числа и второй по условию больше 1, то X может равняться 3 или 11. В первом случае из уравнения получаем, что у = 13 и во втором случае получаем, что у= 13.

2.55. Заметим, что а

Отсюда dacb.

2.56. Одним из способов получить из 458 число 14 является такой: 458 - 45 - 9 -18-36-72-144- 14.

2.57. Пусть в каждой делегации по л человек, тогда, если за первое название хотят голосовать х делегатов «Зеленого фронта», то за второе — (л -х) делегатов этой группы их делегатов от «Эко». Если за второе предложение голосуют у делегатов от «Искателей истины» и все делегаты от «Красного патруля», то общее их число равно 2л + у, но у = (2л + у)/3, откуда у = л, что противоречит условию у < л. Следовательно, делегаты «Красного патруля» голосуют за первое название и за него голосуют Зл - у делегатов, а за второе предложение голосуют л + у делегатов. Первое число больше, чем 2л, а второе — меньше 2л. Значит, большинство за первое название.

2.58. Указанное равенство следует из того, что

2.59. Задача имеет три решения: (2, 2, 3, 3), (1,3,3,3), (1,1,3,5), (1,2,2,5) и (1, 1,5, 5), (1,3, 3,5), (2, 2, 3,5), (3,3, 3,3) и (1,1, 1,5), (1,1, 3,3), (1,2, 2,3), (2, 2, 2, 2). В первом случае в копилке 40 коп., во втором — 48, в третьем — 32 коп.

2.60. Ответ: 29 + 36 = 65. Для нахождения ответа полезно разбить цифры группы так, чтобы числа в одной группе имели одинаковое число отрезков в написании, а затем установить внутри каждой группы, какие цифры переходят в другие при перекладывании отрезка.

2.61. За 70 км показания счетчика увеличились на 131558 - 131460 = 98, следовательно, за 10 км на 14. За все время пути показания счетчика изменились на 132713 - 131313 = 1400, значит, пройденный путь равен 1000 км.

2.62. 22 оборота.

2.63. Так как ( 10а + b)2 = 100 а2 + 20 ab + + b2, то предпоследняя цифра этого числа будет нечетной, только если число десятков числа b2 будет нечетным, что имеет место лишь для чисел 16 и 36. Поэтому последней цифрой указанного числа может быть только 6.

2.64. Пусть в турнире участвовало X студентов, тогда всего было х+ 2 участника и разыгрывалось (х + 2)(х + 1)/2 очков. Каждый студент получил [(х+ 2)(х + 1)/2 - 6,5] : X очков. После преобразований получаем 0,5 (х + 3 - 11/х) очков. Это число будет целым или половиной целого числа лишь в том случае, если х = 11.

2.65. Такое случиться может, например, для водоемов, имеющих форму, изображенную на рисунке, при соответствующих радиусах и высотах его цилиндрических частей.

2.66. Обозначим стоимость стакана чая через X, стоимость калача через у и стоимость бублика через z, тогда стоимость, уплаченная Фомой, равна Зх + 4у + 5z, а Еремой — 9х + у + 4z. Число ЗЗх + 11z очевидно делится на 11, поэтому, если и Зх + 4у + 5z делится на 11, то и их сумма тоже делится на 11, но эта сумма равна 36х + 4у + 16z, т.е. учетверенной сумме, потраченной Еремой, следовательно, и эта сумма делится на 11.

2.67. Номера автобусов: 169, 196, 961, т.е. 132, 142и312.

2.68. Если площадь квартиры равна х2, а площадь квадратной комнаты — у2, то х2 = у2 + 7, или (х-у)(х + у) = 7. Очевидно, что X - у = 1, ах + у=7, откуда х = 4 и площадь квартиры 16 м2.

2. 69. В игре участвовало 8 шахматистов.

2.70. Если в первом кошельке лежит одна монета в 50 коп. и 48 монет по

1 коп., то эти деньги, очевидно, нельзя разделить на 2 равные части. Деньги из второго кошелька разделить на 2 равные части всегда можно. Нарисуем окружность и разделим ее на 98 равных частей. Затем отметим красным цветом некоторые точки деления так, чтобы полученные отрезки соответствовали набору монет. Так как монет 50, то и точек будет поставлено 50, а 48 точек останутся черными. Нетрудно показать, что найдутся 2 диаметрально противоположные красные точки. Эти точки определяют деление монет на 2 равные части.

2.71. Если в первый день отсутствовало х учеников, то присутствовало 8х, а всего в классе 9х учеников. Во второй день отсутствовало х+ 2 ученика, что составило 1/5 от присутствующих, т.е. от 8х - 2. Таким образом, 5(х+ 2) = 8х - 2, откуда X = 4, а в классе 36 учеников.

2.72. Обозначим число значков у Алеши через X, а у Вити — через у, тогда Зх > у и у - 4 > X + 4, т.е. Зх > у >х + 8. Так как X + у < 20, то и X + X + 8 < 20, кроме того из предыдущего неравенства следует, что Зх > X + 8. Из этих двух неравенств получаем, что 4 < х< 6, следовательно, х = 5, а для у получаем неравенство: 15> у > 13, значит, у= 14.

2.73. Если в середину двузначного числа 10х+у вставить ноль, что получится число 10Ох + у. Если при этом число увеличивается в 6 раз, то получаем уравнение 100х+у=6(10х + у), откуда у= 8х, и исходное число есть 18. Если при указанной операции число увеличилось в 7 раз, то из уравнения 10Ох+ у = 7( 10х+у) получаем, что у = 5х, значит, исходное число равно 15. При увеличении в 9 раз получаем уравнение 100х+ у = 9( 10х+у), откуда 4у = 5х, и искомое число есть 45.

2.74. Единственное такое число 27. Действительно, однозначным оно быть не может, за исключением числа 0, которое очевидно. Для двузначных чисел 10х+у=Зх+ Зу, имеем 7х= 2у, т.е. число 27, а трехзначным и более многозначным оно, очевидно, также не может быть.

2.75. Пусть продавец до продажи последнего персика выручил А коп., тогда А + 230 = 245 л, где л — количество проданных персиков, а А + 158 = 242л. Вычитая из первого уравнения второе, получаем, что 72 = Зл, т.е. л = 24.

2.76. Количество учеников, решивших задачу, равно количеству девочек, ее не решивших, плюс количество девочек, ее решивших, т.е. общему количеству девочек.

2.77. Двузначных чисел, являющихся четвертыми степенями, всего два: 16 и 81, а трехзначных, являющихся кубами, пять — это 125, 216, 343, 512,729. Отсюда следует, что число оканчивается на 216. Существует лишь одно число, оканчивающееся на 216 и являющееся полным квадратом, это 9216 = 962.

2.78. Бим был в красном, так как, кроме него, по условию никто не мог быть в красных туфлях. Значит, Бам был в синей рубашке и зеленых туфлях, а Бом — в зеленой рубашке и синих туфлях.

2.79. Не играли. Докажем это. Заметим, что в турнире с 7-ю участниками играется 21 партия, с 8-ю участниками — 28 партий, с 9-ю участниками — 36 партий. Так как было сыграно больше 21 партии, то число участников больше 7, а так как было сыграно меньше 28 партий, то число участников, закончивших турнир, меньше 8, а всего участников меньше 10. Значит, в турнире участвовало 8 или 9 шахматистов. В обоих случаях остались несыгранными нечетное число партий (5 или 13), а если бы Женя и Саша уже сыграли между собой, то несыгранных партий было бы четное число — поровну у Жени и у Саши.

2.80. Так как после 18-го зажигания желтого света загорелся зеленый, то он горел после каждого четного зажигания желтого света, а красный — после нечетного, поэтому между 18 зажиганиями -желтого света было 9 зажиганий красного и зеленого. Если обозначить через х время в минутах горения желтого света, то красный горит 4х мин, а зеленый — 6х мин. Осталось записать и решить уравнение: 18х + 9 • 4х + 8 • 6х =17 или 102 X = 17, X = 1/6. Итак, желтый свет горит 10 с.

2.81. Достаточно 8 монет, например, 1 + 2 + 2+5+10+10 + 20 + 50 или 1+2 + 3 + 5+10 + 20 + 20+50.

2.82. Достаточно перевернуть содержимое сковородки как единое целое.

2.83. Очевидно, что я окажусь посередине пути канатной дороги в тот момент, когда количество вагончиков впереди и сзади будет одинаковым. Поскольку всего 96 вагончиков, искомый номер встречного вагончика равен 66 - 48 = 18.

2.84. Я находился 1 февраля в Иркутске, 8 февраля — в Риге, 1 марта — в Кишиневе и 8 марта — в Минске.

2.85. Таких гостей не больше 5-ти, поскольку, если осталось не меньше 6-ти гостей, то только у 4-х или у меньшего количества из них будут унесены их галоши. Пять гостей получается в том случае, если первыми уходят 5 гостей, пришедших в самых маленьких галошах, а надевших самые большие

2.86. Сергей и Виктор не могут лгать одновременно, значит, один из них говорит правду. Из этого следует, что лжет Юрий, утверждая, что не он разбил стекло.

2.87. Пусть цифры числа аДх и у. Тогда числа а + b- х- уиа + х- b- у оканчиваются 0, а значит, их сумма 2(а - у ) и разность 2(х - b) тоже оканчиваются 0. Следовательно, любые две цифры числа либо равны, либо отличаются на 5. Более того, либо все цифры равны, либо имеются две пары равных цифр. Пар цифр, отличающихся на 5, всего пять: 0 и 5, 1 и 6, 2 и 7, 3 и 8, 4 и 9. Из каждой пары, кроме первой, можно составить 6 различных четырехзначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, например, из пары 1 и 6 — также 1166, 1616, 1661, 6116, 6611. В паре 0 и 5 нуль не может стоять на первом месте, поэтому из этой пары можно составить только 3 нужных числа: 5005, 5050 и 5500. Таким

образом, мы имеем 9 чисел из одинаковых цифр и 4 • 6 + 3 = 27 чисел, у которых по 2 равные цифры. Всего 36 чисел.

2.88- Если обозначить цену блокнота через X, то можно записать уравнение: 16х= 1/х, откуда х2= 1/16, х= 1/4 руб., т.е. 25 коп.

2.89. Нам дано, что число 1ООаЬ.. .х в 37 раз больше числа аЬ...х1. Начнем делить первое число на 37. Первая цифра частного — 2, значит, а = 2. Учитывая это, делим дальше и узнаем, что вторая цифра частного — 7, следовательно, b = 7, следующая цифра частного — 1, причем деление произведено нацело. Здесь можно остановиться, получив ответ 27, а можно продолжить деление и получать остальные решения: 2710027, 271002710027 и т.д.

2.90. Ответ изображен на рисунке.

2.91. В первый раз Гена получил числа 18, 36, 54, 72 и 90, а во второй — 9, 18, 27, 36, 45.

2.92. Номера указаны на рисунке.

2.93. Да, была.

2.94. Пусть цифры номера квартиры одного из друзей х и у, тогда условие задачи запишется в виде: х + у + х- у = 10х + у. Отсюда следует, что (х - у)2= 9х. Значит, X— полный квадрат. Проверив значения х, равные 1,4 и 9, получаем два решения: 14 и 90.

2.95. Пусть сторона квадрата содержит л музыкантов, а после перестроения количество музыкантов в шеренге уменьшилось на X, тогда имеем соотношение л2 = (л - х)(л + 5). Отсюда получаем, что л = 5х(5 - х). При положительных значениях X это выражение будет целым лишь при X = 4, откуда л = 20, а количество музыкантов 400.

2.96. Коля, Антон и Саша купили вместе 5 тетрадей, 10 карандашей и 5 резинок, что в 5 раз больше того, что купил Коля, следовательно, за все было заплачено 12 • 5 = 60 коп., из них Коля с Сашей заплатили 12 + 27 = 39 коп., следовательно, покупка обошлась Антону в 60 -39 = 21 коп.

2.97. Можно сначала налить 1 ведро по схеме:

бочка 18 14 14 10 10 17 17 13 13 9 9 16 16 12 12 черпак 04041 1040422 040 ведро 0044701 15570 226

А затем налить второе ведро, при этом цифры в верхней строчке будут меньше на 6, чем в записанной таблице.

2.98- Сумма всех очков домино равна 168. В среднем, в кучках по 42 очка. Теперь нетрудно подобрать нужные значения: 37, 41, 43, 47.

2-99- Во-первых, заметим, что каждый шарик на левой чашке тяжелее, чем шарик того же цвета на правой, в противном случае при их перемене положение весов не изменилось бы. Если шариков на каждой чашке не меньше 3-х, то, если поменять пару шариков с наименьшей разницей в весе, положение весов не изменится. Значит, шариков на весах не более, чем по два. Может, конечно, лежать и по одному шарику, а если лежит по 2, то разности их весов должны быть одинаковы.

Глава 3

ТРУДНЫЕ ЗАДАЧИ

3.00. Первые цифры степеней.

Алеше подарили микрокалькулятор. Возводя числа 2 и 5 в одинаковые степени, он обнаружил, что 25 = 32 и 55 = 3125 начинаются с одной и той же цифры 3. Могут ли одинаковые степени чисел 2 и 5 начинаться на другую, но одну и ту же для обоих чисел цифру?

3.01. Делимость на 10.

Некоторое целое число А возведено в куб. Покажите, что по крайней мере одно из чисел А3 - А или А3+А делится на 10.

3.02. Дома на хуторе.

На хуторе Семидворье семь домов. Любопытно, что какие бы три дома мы ни выбрали, расстояние хотя бы между одной парой из них равняется 50 м. Начертите план расположения домов на хуторе.

3.03. На равные кучки.

Из набора гирек с массами в 1 г, 2г,... 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на 2 кучки по 50 штук в каждой, чтобы веса кучек были одинаковы?

3.04. Любопытное число.

Мне удалось, взяв по 2 раза цифры 1, 2, 3 и 4, написать восьмизначное число, у которого между единицами стоит 1 цифра, между двойками — 2, между тройками — 3 и между четверками — 4 цифры. Попробуйте проделать это сами.

3.05. Поровну цифр.

Может ли какая-нибудь степень двойки содержать в своей записи поровну нулей, единиц, двоек, ... девяток?

3.06. Загадочная фраза.

Во фразе, взятой в кавычки, подставьте вместо многоточий числа так, чтобы она оказалась верной. «В этой фразе участвуют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, причем

цифра 0 —... раз, цифра 1 — ... раз, цифра 2 — ... раз, цифра 3 —... раз, цифра 4—... раз, цифра 5 — ... раз, цифра 6 — ... раз, цифра 7 —... раз, цифра 8 — ... раз, цифра 9 — ... раз».

3.07. Какое же верное?

Однажды на лестнице я нашел странную тетрадь. В ней было написано 100 следующих утверждений: «В этой тетради ровно 1 неверное утверждение». «В этой тетради ровно 2 неверных утверждения».

«В этой тетради ровно 100 неверных утверждений». Какие из этих утверждений верные?

3.08. Салфетки в кафе.

В детском кафе стояли круглые и квадратные столы, которые покрывались круглыми и квадратными салфетками. Было замечено, что круглый стол можно полностью покрыть четырьмя квадратными салфетками, а квадратный — четырьмя круглыми салфетками. Покажите, что диаметр круглой салфетки не меньше половины диагонали квадратного стола, а сторона квадратной салфетки не меньше радиуса круглого стола.

3.09. Максимальная сумма.

Произведение миллиарда натуральных чисел равно миллиарду. Какое наибольшее значение может принять сумма всех этих чисел?

3.10. В какой системе?

«У тебя ошибка», — сказала Таня своему соседу по парте Антону, глядя на запись в его тетради: 132= 171. «Нет, — ответил Антон, — просто мне надоела десятичная система и я теперь считаю в системе счисления с другим основанием». «С каким?», спросила Таня. «А ты попробуй сама определить по этому примеру».

3.11. Бумаги и булавка.

На стол положили несколько одинаковых листов бумаги прямоугольной формы. Оказалось, что верхний лист покрывает больше половины каждого из остальных листов. Можно ли в таком случае воткнуть булавку так, чтобы она проколола все листы?

3.12. Равенство площадей.

В прямоугольнике произвольным образом взяты точки А и Б, они соединены отрезками со всеми вершинами, как это показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей красных частей равняется сумме площадей синих частей.

3.13. Еще одно равенство.

На соседних сторонах прямоугольника выбрано по точке, которые соединили с вершинами прямоугольника. Покажите, что сумма площадей частей, окрашенных красным цветом, равняется площади части, окрашенной синим цветом.

3.14. Одно наверняка.

Докажите, что из 18 последовательных трехзначных чисел хотя бы одно делится на сумму своих цифр.

3.15. В два слоя.

Поверхность кубика 1x1x1 нельзя оклеить целиком полоской бумаги 1 х 6, не допуская разрывов. Можно ли такой кубик оклеить в 2 слоя полоской бумаги 1x12?

3.16. Чертова дюжина.

Найдите все числа, которые в 13 раз больше суммы своих цифр.

3.17. Точки в квадрате.

Квадрат разрезан на прямоугольники так, что никакая точка квадрата не является вершиной сразу 4-х из этих прямоугольников. Докажите, что число точек квадрата, являющихся вершинами этих прямоугольников, является четным числом.

3.18. Замечательная последовательность.

Какое число нужно поставить вместо знака * в последовательности: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24,31, 100, *, 10000?

3.19. Длина последовательности.

Какое наибольшее количество чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых 17 последовательных из них была четна, а сумма 18 любых последовательных чисел была нечетна?

3.20. По росту.

Восьмиклассники построены в шеренгу, а перед ними стоит шеренга семиклассников, причем каждый семиклассник ниже ростом стоящего за ним восьмиклассника. Покажите, что если шеренги семиклассников и восьмиклассников построить по росту, то по-прежнему каждый семиклассник будет ниже стоящего за ним восьмиклассника.

3.21. Уникальный язык.

В языке племени Ододо всего два звука: «Д» и «О». Два слова означают одно и то же, если одно получается из другого при помощи следующих операций: исключения идущих подряд звуков ДО или ООДД и добавления в любое место сочетания ОД. Означают ли слова ОДД и ДОО одно и то же?

3.22. По пять пятниц.

Какое наибольшее количество месяцев одного года может иметь по пять пятниц?

3.23. Незадача грабителей.

Три гангстера украли из сейфа 10 бриллиантов стоимостью 4000000 долларов. При этом они рассчитывали разделить бриллианты так, чтобы каждому досталось не меньше 1000000 долларов. При погоне они потеряли один из бриллиантов стоимостью 600000 долларов, и такой раздел стал невозможен. Мог ли он быть возможен вначале, или гангстеры аведомо ошибались?

3.24. Всеобщий мир.

В некотором государстве каждые двое — либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые 3 человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в государстве могут стать друзьями.

3.25. Президентский обед.

По случаю избрания Мирафлореса президентом Анчурии был устроен роскошный обед. За огромный круглый стол сели 666 гостей, большинство из которых были лысыми. Назовем двоих, сидящих по обе стороны от каждого гостя, его соседями, двоих, сидящих через одного от него по обе стороны, — его вторыми соседями и т.д. Мирафлорес заметил, что для каждого лысого ровно один из его вторых и один из его четвертых соседей — лысые. Сколько лысых было на обеде?

3.26. Ромашка.

Две девочки играют в такую игру: они по очереди отрывают лепестки у ромашки. За один ход можно оторвать либо один лепесток, либо два соседних (с самого начала) лепестка. Выигрывает девочка, сорвавшая последний лепесток. Докажите, что девочка, делающая ход второй, всегда может выиграть (у ромашки больше двух лепестков).

3.27. Население страны.

В сказочной стране Перра-Терра среди прочих обитателей проживают карабасы и барабасы. Каждый карабас знаком с 6-ю карабасами и 9-ю барабасами. Каждый барабас знаком с 10-ю карабасами и 7-ю барабасами. Кого в этой стране больше — карабасов или барабасов?

3.28. Пять дуг.

Пять равных дуг окружности расположены так, что точки их пересечения разбивают каждую дугу на 3 равных части. Сколько градусов содержит каждая дуга?

3.29. Домино на шахматной доске.

Шахматную доску покрыли 32 костяшками домино, каждая из которых покрывает ровно 2 клетки. 8 костяшек покрывают 8 клеток одной из диагоналей доски, при этом одни костяшки покрывают еще одну клетку выше диагонали, а другие — еще одну клетку ниже диагонали. Докажите, что при любом покрытии доски тех и других костяшек будет поровну.

3.30. Признак делимости на 13.

Покажите, что число делится на 13 в том и только в том случае, если сумма цифр числа, полученного отбрасыванием последней цифры и прибавлением к получившемуся числу учетверенной этой последней цифры, делится на 13.

3.31. Коты в мешке.

Два приятеля пришли на базар. Они остановились около веселого молодца, который продавал 20 котов по цене от 12 до 15 руб. и 20 мешков по цене от 30 коп. до 1 руб. При этом цены всех котов и всех мешков попарно различны. Покажите, что каждый из друзей может купить по коту в мешке так, что они заплатят одинаковую сумму денег.

3.32. Фигуры на доске.

На шахматной доске расставлено 15 фигур так, что в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду стоит хотя бы одна фигура. Докажите, что с доски можно так убрать одну фигуру, что оставшиеся фигуры будут вновь удовлетворять тому же требованию: в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду стоит хотя бы одна фигура.

3.33. Инфляция.

Месяц назад я купил на базаре 1 кг картошки, 1 л молока и 10 яиц. В прошлое воскресенье картошка стала дороже в 3 раза, молоко — в 4, яйца — в 5 раз, и мне пришлось заплатить за ту же покупку 60 руб. Сегодня картошка стоит уже в 6 раз дороже, чем месяц назад, молоко — в 5 раз, а яйца лишь в 4 раза, и я заплатил за туже покупку 66 руб. Сколько денег я уплатил в первый раз?

3.34. Полный словарь.

В языке некоторого племени любое сочетание восьми различных букв И, А, С, Т, Н, О, К является словом, и других слов нет. Вождь племени, узнав о существовании словарей, поручил своему придворному Лингвисту составить аналогичный словарь из всех слов племени. Лингвист выписал буквы в указанном выше порядке и стал упорядочивать слова в соответствии с этим алфавитом. Он дошел до слова СКОАТНИ. Какое слово он должен написать следующим? А какое слово будет последним?

3.35. Новый учитель.

В середине учебного года в классе Степы Мошкина сменился преподаватель-милиционер, который вел занятия по правилам дорожного движения. Дотошный Степа выяснил, что год рождения первого преподавателя равен сумме номеров страниц «Правил дорожного движения», которые он изучил под его руководством, а год рождения второго преподавателя равняется сумме номеров оставшихся страниц. На сколько лет один преподаватель старше другого?

3.36. Цена туфель.

Цена на туфли ежемесячно увеличивалась в одно и то же число раз. Полгода назад они стоили не меньше 150 руб. Сейчас они стоят пока еще меньше 500 руб. А сколько они стоят?

3.37. Новые номера.

Жильцы всех квартир, выходивших на одну лестничную площадку, решили прикрепить к своим дверям новые номера квартир. Мастер, к которому они обратились с просьбой изготовить необходимые 7 цифр, объявил, что он берет за изготовление каждой цифры столько рублей, какова эта цифра (например, нули изготавливаются бесплатно). Жильцы собрали по 3 руб. с каждой квартиры, и этого им хватило. Какие цифры были заказаны?

3.38. Охота Мюнхгаузена.

Вот уже много лет барон Мюнхгаузен ежедневно ходит к озеру охотиться на уток. Начиная с 1 августа 1991 г. он каждый день говорит своему повару: «Сегодня я подбил уток больше, чем два дня назад, но меньше, чем неделю назад». Какое наибольшее число дней барон может произносить эту фразу? (Не забывайте, что Мюнхгаузен никогда не врет.)

3.39. За одно посещение.

В одной комнате находятся 3 выключателя, а в другой — 3 лампочки. Каждый выключатель обслуживает одну лампочку. Как узнать, какой выключатель обслуживает какую лампочку, если в комнату с лампочками можно войти лишь один раз?

3.40. Что за числа?

Одно четырехзначное число составлено из последовательных цифр, расположенных в порядке возрастания, второе число составлено из тех же цифр, но в порядке убывания, третье четырехзначное также составлено из этих 4-х цифр. Что это за числа, если их сумма равна 12300?

3.41. Номера домов.

Школа находится на одной улице с моим домом. Однажды по дороге в школу я стал считать на моей стороне улицы сумму номеров домов, мимо которых я проходил. Когда сумма номеров стала равной 99, я перешел через поперечную улицу. После этого я начал считать снова и насчитал 117. Затем перешел еще одну поперечную улицу, и в следующем квартале вновь сосчитал сумму номеров домов. Там она оказалась равной 235, включая и номер дома школы, которая стоит последней в этом квартале. В доме с каким номером я живу? Какой номер дома имеет школа?

3.42. Монеты Лапутии.

Гулливер во время пребывания в Лапутии интересовался денежной системой этой страны. Ему рассказали,что в стране используются монеты в 1, 2 и 4 лапти, сделанные из чистого золота. Монеты круглые, причем если положить монету в 1 лаптю на монету в 2 лапти так, чтобы ее край проходил через центр двухлаптевой монеты, то точки пересечения краев монет лежат на диаметре однолаптевой монеты. Такое же соотношение размеров у монет в 2 и 4 лапти. Веса монет пропорциональны их номиналам. Толщина однолаптевой монеты — 1 мм. Каковы толщины остальных монет?

3.43. На дискотеке.

На дискотеку собрался почти весь класс — 22 человека. Рената танцевала с 7-ю мальчиками, Ширинат — с 8-ю, Вера —в 9-ю и так далее до Ирины, которая танцевала со всеми мальчиками. Сколько мальчиков было на дискотеке?

3.44. Делимость на 92.

В клетки прямоугольника 3x4 впишите цифры так, чтобы в каждом горизонтальном ряду стояло четырехзначное число, делящееся на 92, а в каждом вертикальном ряду — трехзначное число, тоже делящееся на 92.

3.45. Точки на окружности.

На окружности расположены точки: 1977 белых и одна красная. Рассмотрим всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких среди них будет больше: с красной вершиной или без нее?

3.46. Лгуны и правдивые.

В комнате находятся 12 человек. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Один из них. сказал: «Здесь нет ни одного честного человека», второй: «Здесь не более 1 честного человека», третий: «Здесь не более 2 честных людей» и т.д., 12-й: «Здесь не более 11 честных людей». Сколько в комнате честных людей?

3.47. Странная последовательность.

Продолжите последовательность чисел: 1, 11, 21, 1112,3112, 211213,312213, 212223, 114213,...

3.48. Волейбол.

Когда закончился волейбольный турнир (в один круг), оказалось, что каждая команда выиграла столько же матчей, сколько и все побежденные ею команды. Сколько команд участвовало в турнире?

3.49. Рыбный день.

Гавиал, бегемот, пеликан и кашалот съели в общей сложности 37 рыб, причем кашалот съел во столько же раз больше пеликана, во сколько пеликан съел больше гавиала. Сколько съел каждый?

3.50. Удивительное число.

Из 10 различных цифр составьте десятизначное число, такое, что число из его первых 2-х цифр делится на 2, из 3-х первых цифр — на 3 и т.д. до того, что само число делится на 10.

3.51. Делимость на 1993.

Докажите, что число 1 • 3 • 5 • 7 ....1989.1991 — 2-4-6-8-.... 1992 делится на 1993.

3.52. Продажа книг.

В три магазина привезли 1990 книг. В первые три дня первый магазин продал соответственно 1 /37,1/11,1/2 полученных книг, второй магазин 1/57, 1/9 и 1/3 полученных книг, третий магазин 1/25, 1/30, 1/10 полученных книг. Сколько книг получил каждый магазин?

3.53. Кругом 56.

Найдите наименьшее натуральное число, которое оканчивается на 56, делится на 56 и имеет сумму цифр, равную 56. А существует ли аналогичное число, в котором вместо числа 56 фигурирует 11?

3.54. Ровно по одной.

На шахматной доске расставлены фигуры так, что на каждой горизонтали и вертикали стоит не меньше двух фигур. Всегда ли можно снять с доски несколько фигур так, чтобы на каждой горизонтали и вертикали осталось ровно по одной фигуре? Исследуйте тот же вопрос, если на каждой горизонтали и вертикали стоит по две фигуры.

3.55. Магический квадрат.

В клетки квадрата 3x3 поставлено 9 чисел. Квадрат называется магическим, если сумма чисел на каждой горизонтали, на каждой вертикали и на каждой из двух диагоналей будет одна и та же. Докажите, что у магического квадрата сумма квадратов чисел верхней строки равняется сумме квадратов чисел нижней строки.

3.56. Два килограмма крупы.

Имеется 9 кг крупы и чашечные весы с двумя гирями в 50 г и 200 г. Попробуйте за 3 взвешивания отвесить 2 кг крупы. Можно ли это сделать, если имеется лишь гиря в 200 г?

3.57. Стороны прямоугольного треугольника.

Если длины сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то хотя бы одна из них делится на 2 и хотя бы одна делится на 3.

3.58. Факториалы.

Факториалом числа (обозначается !) называется произведение всех натуральных чисел от 1 до л. Например, 3! = 1-2-3 = 6; 5!=1 2-3-4-5 = 120. Найдите два семизначных числа, такие, что их сумма является факториалом некоторого числа, их разность и сумма цифр одного из этих чисел также являются факториалами.

3.59. У лифта.

У лифта на первом этаже 18-этажного дома собрались 17 школьников, которым нужно подняться наверх, причем на разные этажи. Лифтер же согласен сделать лишь один рейс на любой этаж, а дальше пусть они идут пешком. Лифт способен вместить всех школьников. Известно, что все школьники с одинаковым неудовольствием спускаются вниз на один этаж и с двойным неудовольствием поднимаются пешком вверх на один этаж. Какой этаж нужно выбрать, чтобы суммарное неудовольствие было наименьшим?

3.60. Расставьте скобки.

Расставьте скобки в левой части равенства так, чтобы оно было верным. 1 :2:3:4:5:6:7:8:9: 10 = 7.

3.61. Укладка домино.

Существуют шахматные доски, снабженные бортиком для того, чтобы фигуры не падали с доски при игре в поезде. Попробуйте разместить на такой доске комплект из 28 костей домино, каждая кость которого занимает ровно 2 клетки, так, чтобы ни одну из костей нельзя было сдвинуть в плоскости доски.

3.62. Разборка гангстеров.

50 гангстеров стреляют одновременно. Каждый стреляет в ближайшего к нему гангстера (в одного из ближайших, если несколько человек находятся на одинаковом расстоянии от него) и убивает его наповал. Найти наименьшее число убитых. (Гангстеры — различные точки плоскости.)

3.63. Угол в 45°.

В прямоугольном треугольнике ABC на катетах AB и ВС взяты точки M и N так, что АМ=СВ\лМВ = CN. Докажите, что угол между отрезками AN и СМ равен 45°.

3.64. За круглым столом.

12 собеседников совещались за круглым столом. После перерыва они вновь сели за этот стол, но в другом порядке. Докажите, что между ними найдутся такие два собеседника, между которыми (считая от первого ко второму по часовой стрелке) во второй раз окажется столько же собеседников, что и в первый.

3.65. Странные часы.

Один чудаковатый часовщик смастерил странные часы. От полуночи до часу ночи они шли нормально, показывая верное время, но затем часовая стрелка начинала идти со скоростью минутной, а минутная — со скоростью часовой. Через час стрелки вновь менялись скоростями, и так каждый час. Укажите все моменты времени, когда часы показывают верное время.

3.66. Награда калифа.

Калиф Гарун-аль-Рашид одарил троих придворных астрологов десятью кошельками. Мудрецы, сев подсчитывать доход, обнаружили, что один кошелек пуст, во втором лежит одна таньга, в третьем — две и так далее, до десятого, в котором оказалось девять таньга. Гуссейн Гуслия взял себе два кошелька. Абдурахман ибн Хоттаб и его брат Омар Юсуф разделили оставшиеся кошельки так, что более заслуженный и умудренный годами Абдурахман получил большую сумму денег. По дороге домой на Омара Юсуфа напали разбойники и отняли 4 кошелька, так что от подарка калифа у него осталось лишь 10 таньга. Какие кошельки достались Гуссейну Гуслия?

3.67. Снова 45е.

На полосу положили квадрат, сторона которого равна ширине полосы, притом так, что его граница пересекла границу полосы в четырех точках (см.рис.). Докажите, что две прямые, проходящие накрест через эти точки, пересекаются под углом 45е.

3.68. Куча денег.

Имеется неограниченный запас монет в 1, 2, 5, 10, 20, 50 коп. и в 1 руб. Известно, что сумму в А копеек можно уплатить В монетами. Докажите, что сумму в В рублей можно уплатить А монетами.

3.69. Футбольный турнир.

В футбольном турнире участвовали 15 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Могло ли случиться, что число побед у каждой команды оказалось равным числу ее ничьих? Какой будет ответ, если участвовали 16 команд, 17 команд?

3.70. Поле Чудес.

Если вечером на Поле Чудес закопать золотые монеты, то к утру на их месте вырастут деревья с золотыми монетами на ветвях. Буратино пришел на Поле Чудес в понедельник, имея 5 золотых монет. Он хочет получить не меньше 1992 монет. Вырастив первые деревья, он понял, что сможет добиться своего не раньше среды, но не позже пятницы. Сумеет ли он оказаться владельцем ровно 1992 монет?

3.71. Квадрат на куб.

Целые числа а, b и с таковы, что ab + bс + са = 0. Докажите, что число abc может быть представлено в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа.

3.72.Телесериал.

В 1988 г. телевидение Анчурии начало демонстрацию телесериала «По колено в слезах», причем в каждом году начиная с 1989 г. было показано либо на 40% больше, либо на 40% меньше серий, чем в предыдущем. Чтобы не наносить большого ущерба экономике страны, ежедневно показывали не больше двух серий. При просмотре 1230-й серии зрители были опечалены ссорой главных героев, но ровно через 2 года, в 1992 г., порадовались их счастливому примирению в последней серии. Сколько серий содержал этот телефильм?

3.73. На экскурсию.

Таксомоторный парк решил устроить ученикам подшефной школы экскурсию. Когда к дверям школы подъехала колонна микроавтобусов и «Волг», ребята быстро расселись по 12 человек в каждом «Рафике» и по 7 человек в каждой «Волге». Когда приехали еще 3 машины, то школьники пересели так, что в каждой «Волге» стало 6 человек, а в каждом «Рафике» — 11. Можно ли заказать еще несколько машин так, чтобы в каждой «Волге» было по 5 школьников, а в каждом «Рафике» — по 10?

3.74. Тетрадный лист.

Можно ли на тетрадном листе в клетку размером 33 • 41 разместить в клетках числа от 1 до 1353 так, чтобы сумма 4-х чисел в каждом квадрате 2 - 2 была одна и та же?

3.75. Новые крестики-нолики.

Двое играют в крестики-ноли ки на доске 3 х 3 по следующим правилам: каждый в свою очередь может поставить любой значок — крестик или нолик. Выигрывает тот, при ходе которого образуются 3 подряд стоящих одинаковых значка. Кто выигрывает в эту игру — начинающий или ходящий вторым?

3.76. Другая последовательность.

Если выписать цифры от 1 до 9 подряд 1, 2, 9, то сумма пар соседних чисел: 3, 5, 7, 17 увеличивается в этой последовательности на 2. Расположите эти цифры в такой последовательности, чтобы суммы соседних чисел увеличивались на 1.

3.77. Кубический корень.

У какого числа количество его тысяч равняется кубическому корню из этого числа?

3.78. Сумма цепочных чисел.

Все двузначные числа, не оканчивающиеся нулем, выписывают друг за другом так, что каждое следующее начинается с той цифры, на которую оканчивается предыдущее. Получается многозначное число. Из всех многозначных чисел, которые можно получить таким образом, выбирают наибольшее и наименьшее. Найдите их сумму.

3.79. Странное уравнение.

Решите уравнение:

3.80. Интересное множество.

Дан равносторонний треугольник АВС. Найдите множество точек М, таких, чтобы треугольники АВМ и АСМ были оба равнобедренные.

3.81. Дорога в поле.

По полю проходит прямолинейная дорога. Человек, стоящий на дороге в точке А, может двигаться по полю со скоростью не более 3 км/ч и по дороге со скоростью не более 6 км/ч. Найдите множество точек, в которые он может попасть за 1 ч.

3.82. Биллиард.

Из точки M квадратного биллиарда пускается шарик параллельно одной из его диагоналей. Найдите множество точек Р на биллиарде, таких, что шарик, выпущенный из точки Р одновременно с первым шариком и со скоростью, равной (по величине и направлению) скорости первого, столкнется с ним.

3.83. Делимость на 10.

Докажите, что при любом целом п число делится на 10.

3.84. Середины ломаных.

На окружности зафиксированы точки А и В, К— переменная точка той же окружности. На каждой ломаной АКВ отметим ее середину, т.е. точку М, расстояния от которой по ломаной до точек Л и Б равны. Найдите множество точек М.

3.85. Точка на диаметре.

Через точку M на диаметре окружности проводится секущая под углом 45е к диаметру. Точки С и D — точки ее пересечения с окружностью. Докажите, что число СМ2 + DM не зависит от положения точки M на диаметре.

3.86. Развертка параллелепипеда.

Из шести одинаковых квадратов легко составляется развертка куба. Можно ли из пяти одинаковых прямоугольников составить развертку параллелепипеда?

3.87. Игра в 3 фишки.

На трех крайних справа полях доски 1 • п стоят фишки. Двое играют в следующую игру: каждый по очереди берет одну из фишек и переставляет ее влево на одно из свободных полей. Проигрывает тот, кому в свою очередь невозможно сделать ход (т.е. фишки уже стоят на трех крайних слева полях). Кто выигрывает в этой игре — начинающий или делающий ход вторым?

3.88. Пишем число.

Двое пишут 2р-значное число, употребляя только цифры 6, 7, 8 и 9. Первую цифру пишет первый, затем вторую пишет второй, за ним третью цифру пишет первый и т.д. При каких значениях р второй может добиться того, что полученное число будет делиться на 9?

3.89. ВосьмитомникЖ.Верна.

На книжной полке стоит восьмитомник Жюля Верна. Разрешается вытащить том, стоящий либо третьим, либо восьмым, считая слева направо, и поставить его первым. Докажите, что после нескольких таких операций можно поставить тома в правильном порядке, независимо от того, как они стояли первоначально.

3.90. Знакомства.

В математическом кружке принимают участие 100 школьников. Известно, что среди любых четырех участников кружка всегда найдется по меньшей мере один, знакомый с остальными тремя. Докажите, что существует участник кружка, знакомый со всеми остальными 99 школьниками. Каким может быть число школьников, знакомых со всеми остальными?

3.91. По шпалам.

Человек идет по шпалам железной дороги. Максимальная длина его шага 0,8 м. Шпалы уложены так, что на любом отрезке в 100 м ровно 200 шпал. Расстояния между шпалами не меньше 0,3 м и не больше 0,6 м и могут меняться от шпалы к шпале в этих пределах. При какой укладке шпал человек сделает максимальное число шагов на 1 км пути, а при какой минимальное?

3.92. Пробежки.

На уроке физкультуры учитель расставил школьников на прямой тропинке. По сигналу учителя дети бегут к тому из школьников, на которого покажет учитель, а потом на свои места. Докажите, что после нескольких таких пробежек наибольшее расстояние пробежит один из крайних школьников.

3.93. Канал и плот.

Канал имеет прямоугольный поворот. Какой максимальной площади плот, имеющий форму прямоугольника, может пройти по этому каналу?

3.94. Волшебный замок.

Волшебный замок имеет в плане вид, изображенный на рисунке. Известно, что 3 его двери открыты, а 3 закрыты. Если человек или волшебник проходит через любую из дверей, то тут же открытые двери закрываются, а закрытые — открываются. Хоттабыч хочет войти в замок, побывать во всех комнатах по одному разу и выйти из замка. Если он вырывает волосок из своей бороды, то все открытые двери закрываются, а закрытые — открываются. Покажите, что Хоттабыч всегда сможет выполнить свою задачу, независимо от того, какие именно двери первоначально открыты, затратив не более 2-х волосков из своей бороды?

3.95. Космическое многоборье.

Космонавты К, Е и Ф соревнуются в космическом многоборье. В каждом виде соревнований победитель получает А очков, занявший второе место — В очков, последний — С очков. А, В, С — натуральные числа. После окончания всех соревнований К получил 22 очка, Е и Ф по 9 очков. Соревнование на быстроту реакции выиграл Е. Кто был первым в соревнованиях на выносливость?

3.96. Привидения.

В замке поселились два привидения. Одно из них поет, другое хохочет. В течение каждой минуты каждое из них либо звучит, либо молчит. Поведение же их в последующую минуту зависит от событий предыдущей минуты следующим образом: Пение в последующую минуту ведет себя так же, как и в предыдущую, если только в предыдущую минуту не было игры на органе при молчащем Смехе. В противном случае оно меняет свое поведение на противоположное. Если в предыдущую минуту горела свеча, то Смех будет звучать или молчать в зависимости от того, звучало или молчало Пение. Если свеча не горела, то Смех будет делать противоположное тому, что делало Пение. В настоящий момент Смех и Пение оба звучат. Какие действия со свечой и органом нужно совершить, чтобы установить и поддерживать тишину в замке?

3.97. Али-Баба и бочка.

Али-Баба хочет попасть в пещеру с сокровищами. Перед пещерой стоит бочка, в крышке которой имеются 4 отверстия, образующие квадрат с центром в центре крышки. Под отверстиями находится по кувшину, в каждом из которых торчит селедка хвостом вверх или вниз. Али-Баба может просунуть руки в любые 2 отверстия, определить положение расположенных под ним селедок и повернуть одну или обе по своему усмотрению. Если хвосты всех селедок окажутся направленными в одну сторону, то дверь в пещеру откроется. После того, как Али-Баба вытащит руки из отверстий, бочка быстро поворачивается и останавливается, причем Али-Баба не в состоянии определить новое положение бочки по отношению к предыдущему. Существует ли способ действий, позволяющий Али-Бабе за несколько попыток открыть дверь?

3.98.

Маляры и монтажники.

10 рабочих должны изготовить 50 изделий. Каждое изделие должно быть вначале окрашено, а затем смонтировано. Время окраски —10 мин, время монтажа — 20 мин. После окраски изделие должно 5 мин сохнуть. Как разбить рабочих на маляров и монтажников, чтобы выполнить работу в кратчайшее время?

3.99.

Безобидный результат.

Когда закончился шахматный турнир, выяснилось, что каждый его участник выиграл белыми фигурами столько же партий, сколько все остальные участники выиграли черными. Докажите, что все участники одержали по одинаковому числу побед.

Решения задач

Глава III

Трудные задачи

3.00. Кроме цифры 3, другой быть не может. Ключом к решению этой задачи служит простое замечание, что 2П • 5П = 10п, т.е. число, начинающееся с цифр 10Ô... Рассмотрим последовательно все возможные начальные цифры. Если 2 и 5 начинаются с цифры 1, то первая цифра их произведения может быть единицей, но все остальные не могут при этом быть 0. Если первая цифра 2, то первой цифрой произведения может быть только 4, 5, 6, 7 или 8. Если первая цифра 4, то хотя произведение может начинаться на 1, но вторая цифра не может быть 0. При первой цифре 5 первая цифра произведения будет 2 или 3, при первой цифре 6 первая цифра произведения будет 3 или 4. Если первая цифра 7, то первая цифра произведения будет 4, 5 или 6. Для восьмерки первая цифра произведения может быть шестеркой, семеркой или восьмеркой, а для девятки — лишь восьмеркой или девяткой.

3.01. Последняя цифра числа А3 зависит только от последней цифры числа А. Выпишем эти цифры в таблицу:

А 0123456789

А3 0187656329

Из этой таблицы видна справедливость утверждения задачи.

3.02. План расположения домов изображен на рисунке.

3.03. Да, можно. Например, так: рассмотрим 18 пар гирек, равноотстоящих от концов 1 + 101, 2 + 100, .... 18 + 84. Остальные 64 тоже разобьем на 32 пары одинакового суммарного веса: 20 + 83, 21 + 82, ... 51 + 52. Взяв 9 пар гирек из первого набора и 16 пар из второго набора произвольным образом, мы получим требуемое разбиение.

3.04. Таких чисел два — 41312432 и 23421314. Они симметричны друг другу.

3.05. Сумма цифр у числа, содержащего поровну всех цифр, кратна сумме О + 1 + 2 + ...+ 9 = 45. Следовательно, такое число должно делиться на 9, а 2 в любой целой степени на 9 не делится, поэтому указанная ситуация невозможна.

3.06. Вместо многоточий следует поставить последовательно цифры: 2, 2, 8, 4,3,2,2,2,3,2.

3.07. Сначала отметим, что написано не более одного верного утверждения, поскольку любые два друг другу противоречат и, следовательно, не могут быть одновременно верными. Все утверждения не могут быть неверными, поскольку тогда последнее утверждение окажется верным вопреки сделанному нами предположению. Итак, верно лишь одно утверждение, а именно, 99-е, которое утверждает, что неверно 99 утверждений, а верно одно — оно само.

3.08. Рассмотрим случай квадратного стола и круглых салфеток. Отметим на столе 5 точек: 4 угла и центр. Так как салфеток — 4, то хотя бы одна покрывает одновременно сразу 2 из этих точек. Из попарных расстояний между этими точками наименьшее — половина диагонали, соединяющей центр с одним из углов, поэтому диаметр круглой салфетки не меньше этого расстояния (см. рис.) Квадратные салфетки, покрывающие круглый стол, покрывают и его край — окружность. Среди 4-х салфеток найдется такая, которая покрывает не меньше четверти этой окружности, но на этой дуге найдутся две точки, отстоящие не менее, чем на R лГ2, где R — радиус указанной окружности, а расстояние между точками салфетки не превосходит a V2, где а — сторона квадратной салфетки, отсюда а > Я.

3.09. Максимальная сумма будет в том случае, если одно из чисел равно миллиарду, а остальные — единице. Она будет равна 1999999999. Докажем это. Сначала отметим, что для любых двух чисел а и b, больших единицы, из неравенства (а — 1 )(Ь -1 ) > 0 следует, что ab + 1 > а + fo. Пусть среди миллиарда чисел, дающих в произведении миллиард и имеющих наибольшую сумму, имеются 2 числа, большие единицы: а и b. Заменив их на числа 1 и ab, получим набор из миллиарда чисел с тем же произведением и большей суммой, поскольку ab + 1 > а + b, как мы заметили выше. Утверждение доказано.

3.10. Пусть основание системы счисления, в которой считает Антон, есть а. Тогда запись в его тетради означает следующее: (а + 3)2 = а2 + 7а + 1. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем а =8.

3.11. Нетрудно увидеть, что если некоторая полуплоскость не содержит центра прямоугольного листа бумаги, то она покрывает меньше половины его площади. Действительно, такую же площадь листа покрывает и симметричная ей относительно центра листа полуплоскость. Эти полуплоскости не пересекаются, более того, между ними имеется непокрытая полоска листа, содержащая его центр. Отсюда следует, что если лист бумаги покрывает больше половины другого листа, то центр первого находится внутри второго. Теперь становится очевидным, что если мы воткнем булавку в центр верхнего листа, то проткнем и все остальные листы.

3.12. Заметим, что сумма площадей 4-х треугольников CAF, DAE, CBF и DBE равна площади прямоугольника CDEF, поскольку сумма площадей первых 2-х треугольников, как и сумма площадей следующих 2-хтреугольников, равна половине площади прямоугольника. С другой стороны, эта сумма равна удвоенной красной части прямоугольника плюс его белая часть. Аналогично, сумма площадей 4-х треугольников CAD, FAE, CBD и ГБЕ равняется площади прямоугольника и в то же время площади белой части плюс удвоенная площадь синей части. Отсюда следует утверждение задачи.

3.13. Нетрудно заметить, что сумма красной и черной частей прямоугольника составляет половину его площади. Также сумма синих и черных частей составляет половину площади прямоугольника. Из этого и следует равенство площадей его красной и синей частей.

3.14. Среди 18-ти последовательных чисел одно обязательно делится на 18. Рассмотрим его. Его сумма цифр должна делиться на 9, а поэтому может быть равна только 9 или 18, так как сумму цифр 27 имеет единственное трехзначное число 999, которое не делится на 18, а большая сумма цифр невозможна. Итак, выбранное число делится на 18 и имеет сумму цифр 9 или 18, следовательно, делится на свою сумму цифр.

3.15. Такую оклейку сделать можно. Для этого сначала перегибаем полоску по всем пунктирным линиям, изображенным на рисунке, в результате получаем двойную зигзагообразную полоску, которой нетрудно оклеить кубик, как показано на рисунке.

3.16. Ясно, что эти числа не могут быть однозначными. Они не могут быть и двузначными, так как из условия следует, что для двузначного числа с цифрами а и b должно выполняться соотношение: 10а + b = 13(а + b) или За + 12b = 0. Для трехзначных чисел из уравнения 100а + 10b + с = 13(а + b + с),т. е. 29а = b + 4с получаем три решения: 195, 156, 117. Нетрудно заметить, что для чисел с четырьмя и более знаками указанное свойство не может выполняться, поскольку для многозначных чисел сумма их цифр много меньше самого числа.

3.17. Подсчитаем количество вершин прямоугольников двумя способами. Если прямоугольников л, то вершин 4л. Пусть m — количество точек квадрата, являющихся вершинами прямоугольников. В это число входят вершины самого квадрата — 4 точки и m — 4 точки, в которых соединяются по 2 вершины прямоугольников, всего получаем 4 + 2 (га - 4) вершин прямоугольников. Приравнивая это выражение к 4, получаем для га выражение га = 2(л + 1 ), из которого видна четность числа га.

3.18. В этой последовательности записаны представления числа 16 сначала в 16-ричной системе счисления, потом в 15-ричной, 14-ричной и т.д.

3.19. Для того, чтобы сумма 17 чисел была четна, среди них должно оказаться хотя бы одно четное число. Рассмотрим первые 17 чисел последовательности и отметим среди них четное число. Так как сумма первых 18-ти чисел нечетна, то 18-е число нечетно, но сумма чисел со 2-го по 18-е четна, поэтому первое число должно иметь ту же четность, что и 18-е, т.е. быть нечетным. Точно такое же рассмотрение последовательности, начиная со второго числа, показывает, что при выполнении условий задачи и второе число будет нечетным. Продолжать дальше таким же образом мы сможем до тех пор, пока не дойдем до четного числа. Ясно, что длина последовательности будет наибольшей в том случае, если из первых 17-ти ее членов четное число будет последним. В результате получаем последовательность из 33 членов, в которой среднее число четно, а остальные нечетны.

3.20. Рассмотрим самого высокого из восьмиклассников, перед которым встал семиклассник, больший его по росту, после перестраивания. Если в шеренгах рост уменьшается слева направо, то этот семиклассник не мог стоять ни перед одним из восьмиклассников, которые стоят справа от него, тем более перед ними не могли стоять семиклассники, стоящие сейчас слева от рассмотренного. Значит, перед ними стояли семиклассники, которые стоят после перестроения. Таким образом, мы не можем указать для выбранного восьмиклассника того семиклассника, который стоял перед ним первоначально.

3.21. Слова ОДД и ДОО означают разные понятия. Чтобы показать это, достаточно заметить, что ни одна из операций не меняет разности между количеством букв Д и О в слове, а в словах ОДД и ДОО эта разность равна + 1 и -1.

3.22. Чтобы ответить на этот вопрос, проще всего взять 2 календарика на обычный год и на високосный и посмотреть, сколько раз каждый из дней недели бывает по 5 раз в месяц. Так, в календаре на 1994 г. лишь суббота была по 5 раз в 5 месяцах, а остальные дни недели бывали по 5 раз лишь в 4-х месяцах. В високосный год, например в 1992, уже 2 дня недели — среда и четверг были по 5 раз в 5-ти месяцах, а остальные — в 4-х месяцах. Отсюда нетрудно вывести, что 5 пятниц может иметь не более 5-ти месяцев в году. Этот результат можно получить гораздо проще, если заметить, что в месяце по 5 раз встречаются только те дни недели, которыми начинается и заканчивается месяц. В месяцах с 30-ю днями — это первые 2 дня, они же и последние, в месяцах с 31 -м днем это последние и первые 3 дня. В феврале таких дней нет в обычном году, а в високосном — 1. В году таких дней будет 7 • 3 + 4 • 2 = 29, если год обычный, и 30, если год високосный. Но сколько среди них будет понедельников, пятниц? Любопытно, что они идут подряд, а именно, если в некотором месяце, скажем, было по 5 понедельников, вторников и сред, то в следующем будет по 5 четвергов и пятниц. Объясняется это уже отмеченным фактом расположения таких дней недели в начале и конце месяца. Теперь

нетрудно понять, что в том случае, если год начинается пятницей, то он и кончается пятницей и 5 его месяцев имеют по 5 пятниц. Это касается обычного года, а в високосном году 5 месяцев с 5-ю пятницами будет и в том случае, если год начинается с пятницы и если он начинается с четверга.

3.23. Указанная ситуация возможна, если, например, среди 10 бриллиантов были два бриллианта по 1500000 долларов, один в 600000 долларов и 7 общей стоимостью в 400000 долларов.

3.24. Из условия следует, что если А и В — друзья, то любой из остальных либо их общий друг, либо общий враг, иначе им троим не примириться. Возьмем всех друзей человека А. Из сказанного следует, что все они дружны между собой и враждуют с остальными. Пусть теперь А и его друзья по очереди ссорятся с друзьями и мирятся с врагами. После этого все окажутся друзьями. Действительно, пусть А первым поссорился с друзьями и помирился с врагами, но тогда каждый из его бывших друзей помирится с ним, а бывшие враги станут друзьями А и, следовательно, друзьями между собой.

3.25. Отметим одного из лысых гостей и его лысого второго соседа, другой его второй сосед будет волосатым и будет четвертым соседом для второго лысого, следовательно, другой четвертый сосед для него должен быть лысым (см. рис.).

Продолжая дальше эти рассуждения, получаем, что среди гостей, сидящих на нечетных местах, 2/3 — лысые. Тот же результат, очевидно, и для гостей, сидящих на четных местах, поэтому всего 444 лысых за столом.

3.26. Выигрышная стратегия второй девочки такова: своим первым ходом она отрывает 1 или 2 лепестка, противоположных оторванным первой девочкой, так, чтобы лепестки ромашки разделились на две симметричные половины. При следующих ходах первой девочки вторая отрывает лепестки, симметричные оторванным первой.

3.27. Подсчитаем количество пар друзей, один из которых карабас, а другой — барабас. Если обозначить через К количество карабасов и через ß количество барабасов, то, с одной стороны, таких друзей 9К, а с другой — 10ß, значит 9К = 10Б, откуда К> В.

3.28. Обозначим концы одной из дуг буквами А и D, а точки ее деления — буквами В и С, через О — точку пересечения прямых ЛБ и DC. Очевидно, что угол AOD равен 360в/5, длины дуг AB, ВС и CD обозначим черезх. Поскольку величина угла равна полуразности высекаемых им дуг окружности, то 72° равняется (360е - Зх - х)/2 = 180е - 2х, откуда х = 54е, а вся дуга— 162°.

3.29. Пусть по рассмотренной диагонали располагаются черные клетки доски, тогда с каждой из сторон от нее будет по 32 белые и по 28 черных клеток, следовательно, белых клеток на 4 больше, чем черных, и они должны покрываться доминошками, пересекающимися с диагональю.

3.30. Если в исходном числе а десятков и b единиц, то исходное число запишется как 10а + о, а полученное число в виде а + ЛЬ. Вычтем из удесятеренного полученного числа исходное число. Получим 39b — число, делящееся на 13, значит, если полученное число делится на 13, то и исходное делится на 13.

3.31. Количество вариантов покупки кота и мешка равняется 20 • 20 = 400, а количество вариантов цены меняется от 12 руб. 30 коп. до 16 руб., т.е. равно 371. Значит, найдутся две покупки, имеющие одинаковую цену. Осталось заметить, что эти покупки не могут включать в себя одного и того же кота или один и тот же мешок.

3.32. Если для какой-нибудь фигуры найдется еще одна фигура, стоящая на той же горизонтали, и фигура, стоящая на той же вертикали, то, очевидно, такую фигуру можно снять с доски с соблюдением условий задачи. Предположим, что такой фигуры нет, тогда для каждой из фигур найдется либо горизонталь, на которой она стоит одна, либо вертикаль. Поскольку фигур 15, то и линий будет 15, следовательно, среди них будут или все горизонтали, или все вертикали. Но такого быть не может, потому что в этом случае фигур будет лишь 8 — по одной на каждой линии. Следовательно, наше предположение неверно. Заметим, что 14 фигур уже можно так расставить, что ни одну из них нельзя снять с доски без нарушения условия, а именно, выберем одну горизонталь и одну вертикаль, а потом расставим на них фигуры во всех клетках, кроме их общей клетки.

3.33. Пусть в первый день картошка стоила х рублей за 1 кг, молоко — у руб. за 1 л и яйца — z рублей десяток. Тогда вся покупка в первый день стоила х + у + z руб., во второй день Зх+ 4у+ 5z=60 руб., а в третий день 6х + 5у + 4z = 66 руб. Сложив полученные уравнения, получим 9(x + y+z) = 126 рублей, откуда x + y+z= 14 рублей.

3.34. За словом СКОАТНИ в словаре будет следовать слово СКОТИНА, а последним будет слово ОСТАНКИ.

3.35. Обозначим через х количество страниц, пройденных Степой с первым преподавателем. Сумма номеров х страниц равна х(х+ 1 )/2, а год рождения каждого из милиционеров, очевидно, не меньше 1900 и не больше 1972. Единственным значением для х, удовлетворяющим этим условиям, является 62. При этом первый преподаватель родился в 1953 г. Если в книге было у страниц, то год рождения второго милиционера равняется у(у + 1 )/2 — 1953. Единственное значение у, удовлетворяющее условиям задачи, есть число 88. При этом год рождения второго милиционера 1963.

3.36. Обозначим через А цену туфель полгода назад и через к коэффициент месячного увеличения цены, тогда сейчас туфли стоят А/с6. Число к нетрудно

оценить: оно не больше, чем корень шестой степени из отношения 500/150= 10/3. Этот корень равен 1,22... поэтому к < 1,23. Теперь заметим, что число /с обязано быть рациональным, так как иррациональных цен не бывает (в прямом смысле). Если к = p/q, то число А — цена туфель, выраженная в копейках, должна делиться на g6, поэтому А >д6. Теперь посмотрим, чему равны шестые степени первых чисел: 26 = 64, З6 = 729, 46 = 4096, 56 = 15625, б6 = 46456, 76 = 117649. Ясно, что g < 6. Осталось проверить значения к со знаменателем, меньшим 7, которые больше 1, но меньше, чем 1,23. Знаменатели 2, 3 и 4 отпадают. Остаются для исследования значения к=6/5 и к= 7/6. Но в последнем случае А> 2 -46456 и Аке>2- 117649> 15000. Остается случай к =6/5, в этом случае А = 15625 коп., т.е. 156 руб. 25 коп., а последняя цена туфель 466 руб. 56 коп.

3.37. Небольшим перебором вариантов устанавливаем, что на лестничную площадку выходят квартиры с номерами 9, 10, 11 и 12. Были заказаны цифры 0, 1,1, 1, 1, 2 и 6. Цифру 6 прикрепили в перевернутом виде на дверь квартиры № 9. Выплачено было 1 + 1 + 1 + 1+ 2 + 6 = =12 руб.

3.38. Ответ: 6 дней. Чтобы показать, что семи дней не может быть, нанесем на прямой точки, соответствующие рассматриваемым дням, и соединим стрелками те дни, про которые известно, что в один из этих дней (там стрелка начинается) Мюнхгаузен убил меньше уток, чем в другой (там стрелка заканчивается). Получим то, что изображено на рисунке. Поскольку цепочка стрелочек замкнулась, то предположение о том, что Мюнхгаузен мог говорить свою фразу 7 дней, привело к противоречию. Если рассмотреть лишь 6 дней, откинув на рисунке красные стрелки, то легко построить график результатов охоты барона, удовлетворяющий условиям задачи: 31 июля была убита 1 утка, 2 августа — 2,4 августа — 3,6 августа — 4, 30 июля — 5, 1 августа — 6, 3 августа — 7 и 5 августа — 8, а во все дни, предшествующие 30 июля, Мюнхгаузен убивал, скажем, по 1991 утке.

3.39. Нужно включить один выключатель, подождать некоторое время, затем его выключить и включить второй выключатель, после этого пойти в комнату с лампочками. Горящая лампочка связана со вторым выключателем, из потушенных — еще не остывшая связана с первым, а холодная — с третьим выключателем.

3.40. Первое число равно 2345, так как если оно больше, то сумма трех чисел больше 12300, а если меньше, то сумма меньше 12300. Отсюда второе число равно 5432, а третье — 4523.

3.41. Поскольку в сумме получались нечетные числа, я шел по нечетной стороне улицы и каждый раз складывал нечетное

число номеров домов. При этом нетрудно найти номер среднего дома в группе — он равен соответствующей сумме, деленной на количество домов в группе. Число 235 раскладывается на множители двумя способами: 235 = 5-47 и 235 = 1 • 235. Отсюда следует, что в этом квартале либо 5 домов и средний имеет номер 47, либо 1 дом с номером 235. Но из условия видно, что ни один из соседних домов не может иметь номер 233 или 237, поэтому так: 5 домов с номерами 43, 45, 47 и 51. Так как 117 = 3-39, то в этом квартале дома 37,39,41, а в первой группе находятся дома 31,33,35. Итак, я живу в доме № 31, а школа находится в доме № 51.

3.42. Рассмотрим рисунок. Треугольник АОВ — равнобедренный прямоугольный, поэтому радиус двухлаптевой монеты равен радиусу однолаптевой, умноженному на V2, а площадь большей монеты в 2 раза больше площади меньшей. Чтобы веса монет относились, как 1:2, толщина каждой монеты в 1 и 2 лапти должна быть одинаковой, т.е. равной 1 мм. То же рассуждение справедливо и относительно пары монет в 2 и 4 лапти.

3.43. Пусть девочек было х, тогда Ирина танцевала сх+ 6 мальчиками, следовательно, х+ (х + 6) = 22. Отсюда получаем, что девочек было 8, а мальчиков 14.

3.44. Требуемое заполнение таблицы указано на рисунке.

2

3

5

7

6

3

7

5

3

4

6

8

3.45. Многоугольников с красной вершиной больше. Действительно, каждому многоугольнику без красной вершины сопоставим многоугольник, у которого добавлена красная вершина к его вершинам, кроме того, имеются треугольники с красной вершиной, которым не соответствует ни один многоугольник без красных вершин.

3.46. Заметим, что первый сказал ложь, а последний — правду. Кроме того, если один из говоривших сказал правду, то и следующий также сказал правду, поскольку высказывание не противоречит сказанному предыдущим. Утверждение к-го из говоривших «Здесь не более (к - 1)честного человека» эквивалентно тому, что имеется не менее (13 - к) лгунов. Чтобы говорившему не попасть р их число, должно выполняться соотношение: к > (13 - к), откуда к > 6. Следовательно, правдивых не больше шести и седьмой из говоривших сказал правду, как еще 5 человек, говоривших после него. Остальные — лжецы.

3.47. Каждое следующее число последовательности описывает состав предыдущего, а именно, 2-е число указывает, что 1 -е число состоит из одной единицы, 3-е число говорит о том, что 2-е состоит из двух единиц, а 4-е — о

том, что 3-е число состоит из одной единицы и одной двойки, и т.д.

3.48. Пусть было л команд и команда, набравшая наибольшее число очков, победила к команд. Эти команды, играя между собой, провели к(к -1 )/2 игр, при этом было столько же побед. Некоторые из них могли выиграть и у других команд, поэтому общее число их побед не меньше указанного числа, следовательно, к > к (к - 1 )/2, откуда к2 - Зк < 0. Поэтому к< 3. При к = 3 рассмотренная команда и все три побежденные ею должны проиграть остальным командам, т.е. те имеют не меньше, чем по 4 победы, что противоречит предположению о первоначальной команде. Следовательно, случай к = 3 может осуществиться лишь в турнире четырех команд, когда одна команда выиграла у остальных, вторая — у третьей, третья — у четвертой и четвертая — у второй. При к = 2 команд не больше пяти, причем в случае пяти команд они все должны набрать по 2 очка, но тогда команды, побежденные фиксированной командой, набирают в сумме 4 очка. Противоречие. При четырех командах команда, не входящая в состав группы их выбранной команды и 2-х, побежденных ею, набирает не меньше 2-х очков. Такая ситуация реализуется, если первая команда выиграла у третьей и четвертой, вторая — у первой и четвертой, третья — у второй и четвертой, т.е. четвертая команда проиграла всем. При к = 1 команд не больше трех, и для трех команд этот случай реализуется в турнире из второй, третьей и четвертой команд, рассмотренный в ситуации п = 4, к = 3. Меньше трех команд, а именно 2 команды быть не может, так как побежденная команда не набирает ни одного очка.

3.49. Гавиал — разновидность крокодила, был выбран для того, чтобы отвлечь ваше внимание от бегемота. Дело в том, что бегемот — травоядное животное и рыбы не ест. Меньше всех съел гавиал, обозначим это число рыб через х. Если пеликан съел в к раз больше, т.е. кх рыб, то кашалот съел к?х, а вместе х(1 +К+К2) = 37. Поскольку числах и/сх — целые, то их отношение — число /с, должно быть рационально. Обозначим к = р/д, где рид — взаимно простые числа, тогда выведенное уравнение перепишется в виде:

Так как второй множитель больше единицы, а 37 — простое число, то х = g2, а р2 + рд + q2 = 37, поскольку р > g, то Зд2 < 37, откуда g < 4, следовательно, нужно рассмотреть лишь 3 случая: g = 1, g = 2 и g = 3. Уравнения р2 + р + 1 = 37, и р2 + 2р + 4 = 37 не имеют целых корней, а уравнение р2 + Зр + 9 = 37 своим положительным корнем имеет число 4. Таким образом к = 4/3, х = 9, кх = 12, к?х = 16. Итак, гавиал съел 9 рыб, пеликан — 12 и кашалот — 16, а бегемот — 0 рыб.

3.50. Сначала заметим, что это число должно оканчиваться на 0, на четных местах должны стоять четные цифры, а на нечетных — нечетные (счет ведем с начала числа). На пятом месте должно стоять число 5. Отметим важный для нас факт, что если число делится на 4, а предпоследняя цифра нечетная, то последняя цифра либо 2, либо 6. Отсюда следует, что на четвертом и восьмом местах могут стоять только цифры 2 и 6. Суммируя сказанное, получаем два

предварительных варианта для искомого числа: ***25*6*0 и ***65**2*0. Теперь обратимся к признаку делимости на 3. Из него следует, что в условиях нашей задачи сумма первых трех цифр делится на 3, сумма следующих трех цифр также делится на 3, как и сумма цифр третьей тройки. Теперь заметим, что во второй тройке нам неизвестно лишь одно число в каждом варианте и оно четно. Очевидно, что в первой тройке — это 8, а во второй — 4. Осталось незанятым лишь одно четное место в каждом варианте и оно должно заняться последней оставшейся цифрой. Наши варианты приобретают вид: *4*258*6*0 и *8*654*2*0. Из десяти цифр мы уже расставили шесть, остались четыре нечетные цифры: 1,3,7 и 9. Чтобы в первом варианте сумма трех первых цифр делилась на 3, на первом и третьем местах должны стоять цифры 1 и 7. Тогда на седьмом и десятом местах будут стоять цифры 3 и 9. Осталось воспользоваться признаком делимости на 8: число, составленное из трех последних цифр, должно делиться на 8, чтобы само число делилось на 8. В первом варианте это приводит к тому, что 7-я цифра 3, а во втором, что 7-я цифра 3 или 7. Таким образом в первом варианте остаются для дальнейшего рассмотрения случаи: 1472589630 и 7412589630. Во втором варианте случаев больше — их 8: 1836547290, 3816547290, 1896547230, 9816547230, 1896543270, 9816543270, 7986543210 и 987654321. Осталось проверить у этих десяти чисел делимость на 7 числа, образованного семью первыми цифрами. Эту проверку выдерживает только одно из них — 3816547290.

3.51. Представим второе слагаемое в виде (1993 - 1)(1993 - 2) •.........• (1993 - 1990)(1993 - 1991). Раскроем скобки.

Среди полученных слагаемых л ишь одно не делится на 1993. Это число 1 • 3 • 5 •.... • 1991, совпадающее с первым слагаемым первоначальной суммы. Поэтому разность делится на 1993.

3.52. Из условия следует, что количество книг, полученных первым магазином, делится на 37, на 11 и на 2, т.е. на 814. Аналогично, количество книг, полученных вторым магазином, делится на 333, а третьим — на 150. Поэтому естественно обозначить количество книг, полученных первым магазином, через 814х, вторым — через ЗЗЗу и третьим — через 150z. Тогда814х+ 171у+ 150z= 1990. Из четырех членов этого уравнения 3 — четные, следовательно, четно и число 171 у, т.е. у— четное число. Нетрудно заметить, что число х не может быть больше 1. Следовательно, X = 1. Два последних члена уравнения делятся на 10; чтобы сумма первых двух членов делилась на 10, число у должно равняться 6, тогда z = 1. Получаем в итоге, что первый магазин получил 814 книг, второй — 171 -6=1026 книг и третий — 150 книг.

3.53. Если уменьшить искомое число на 56, что получится число, делящееся на 56, с суммой цифр 45 и оканчивающееся на 00. Так как 56 = 7 • 8, то третья цифра с конца этого числа должна быть четной. Наименьшее такое число 19999800, но оно не делится на 7, следующее — 28999800, уже делится на 7. Итак, искомое число: 29899856.

3.54. На рисунке дан пример расстановки фигур, при которой нельзя снять несколько, оставив на каждой вертикали и горизонтали ровно по одной фигуре. Если же первоначально на каждой гори-

зонтали и вертикали стояло ровно по 2 фигуры, то такую процедуру уже можно совершить. А именно, отметим одну из фигур 01, снимем фигуру Ф2, стоящую с ней на одной горизонтали, затем отметим фигуру Фз, стоящую с Фг на одной вертикали, снимем фигуру Ф4, стоящую с Фз на одной горизонтали и т.д. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока мы не вернемся к фигуре Фь чтобы ее отметить. При этом либо мы оставим на всех горизонталях и вертикалях по одной фигуре, либо останутся горизонтали и вертикали с двумя фигурами. В последнем случае мы продолжим процесс, начав с одной из фигур, у которой на ее горизонтали стоит еще одна фигура. Повторяя процесс необходимое число раз, получим искомую расстановку.

3.55. Пусть сумма в каждой из указанных строк равна S. Сложив числа, стоящие на средней горизонтали, средней вертикали и обоих диагоналях, получим 4S. Но эта сумма равна сумме чисел на трех горизонталях и утроенного числа а, стоящего в центре квадрата. Отсюда 4S = 3S + За и а = S/3 или S = За. Обозначим числа в верхней строке через а + X, а + у, а + z, тогдаx + y + z = 0, а в нижней строке будут стоять числа а - z, а - у, а - X. Здесь использовалось то, что в среднем столбце и по диагоналям суммы равны по За. Сумма квадратов чисел верхней строки равна За2 + х2 + у2* + z2 + 2а (x + y + z), а в нижней За2+х2 + у2 + z2 - 2а (x + y + z). Но так как x + y + z= О, то эти суммы равны.

3.56. Сначала разделим крупу на две равные части по 4 кг 500 г (первое взвешивание), затем одну из частей вновь на две равные части по 2 кг 250 г (второе взвешивание) и третьим взвешиванием забираем из такой части 250 г., воспользовавшись гирями, оставив требуемые 2 кг. Если же есть лишь гиря в 200 г, то при первом взвешивании положим ее на одну из чашек весов, тогда после уравновешивания на ней окажется 4 кг 400 г, а на другой — 4 кг 600 г. Разделив вторым взвешиванием часть с 4,4 кг крупы пополам, получим 2 части по 2,2 кг, после чего третьим взвешиванием убираем из одной части лишние 200 г, второй раз использовав гирю.

3.57. Пусть стороны треугольника имеют длины a, b и с, причем с — длина гипотенузы, тогда по теореме Пифагора b2 = с2 -а2 = (с- а) (с + а). Если предположить, что оба числа а и с нечетны, то получим, что число b четно. Если числа а и с оба не делятся на 3, то их остатки при делении на 3 равны ±1. Если эти остатки равны, то на 3 делится первая скобка, а если разные, то вторая скобка делится на 3, в обоих случаях получаем, что число b делится на 3.

3.58. Заметим, что единственным семизначным числом, являющимся факториалом, будет число 10! = 3628800.

Число 11! = 39916800 уже восьмизначно и не может быть суммой двух семизначных чисел. Если обозначить искомые числа через х и у, то из уравнений х + у = 3628800, X - у = к\ получаем, что

Осталось найти, при каком значении к сумма цифр одного из этих чисел будет факториалом. Составим таблицу значений хи у и сумм цифр этих чисел для всех /с, начиная с 2 до 9.

к

к\

X

У

Sx

Sy

2

2

1814401

1814399

19

35

3

6

1814403

1814397

21

33

4

24

1814412

1814388

21

33

5

120

1814460

1814340

24

21

6

720

1814760

1814040

27

18

7

5040

1816920

1811880

27

27

8

40320

1834560

1794240

27

27

9

362880

1995840

1632960

36

27

Из таблицы видим, что единственным значением /с, для которого сумма цифр одного из чисел будет факториалом, есть к = 5. В этом случае х = 1814460 с суммой цифр 24 = 4!, а у = 1814340.

3.59. Эта задача имеет подвох. Не все обратят внимание на то, что ребята, живущие на нижних этажах, могут подниматься к себе, не пользуясь лифтом. Правильный ответ таков: лифтер поднимает 13 школьников на 14 этаж, и один из них уже дома. Четверо ребят, живущих на этажах с 15-го по 18-й, поднимаются дальше уже по лестнице, а 8 спускаются к себе на этажи с 6-го по 13-й. Четыре же оставшихся школьника, чьи квартиры находятся на этажах с 2-го по 5-й, поднимаются пешком, вообще не пользуясь лифтом. При этом суммарное неудовольствие равно 0 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) +4( 1+2 + 3 +4) = 76.

3.60. Заметим, что при любой расстановке скобок, после представления полученного числа в виде дроби, число 1 окажется в числителе, а число 2 — в знаменателе. Отсюда получаем 3 возможных выражения числа 7:

Этим выражениям соответствуют следующие расстановки скобок:

3.61. Такая укладка возможна. Пример укладки показан на рисунке.

3.62. Заметим, во-первых, что в каждом убитом может находиться не более 6 пуль, а ровно 6 пуль может быть лишь в случае, когда его убийцы расположены в вершинах правильного шестиугольника и убитый находится в его центре. Убитый гангстер, назовем его Л, и сам стреляет в одного из этих 6-ти убийц, назовем его b. Нетрудно показать, что если в а 6 пуль,

то в b не больше 4-х. Поскольку было выпущено 50 пуль, а в каждом убитом не более 6 пуль, то убито не менее 9 гангстеров. Если убито ровно 9 гангстеров, то не меньше пяти из них убито шестью пулями. Но тогда должно быть еще 5 убитых гангстеров, что противоречит предположению, что всего 9 убитых. Следовательно, убитых не меньше 10. Ситуация, в которой оказывается ровно 10 убитых гангстеров, изображена на рисунке. Гангстеры разбиваются на 5 групп по 10 человек, и в каждой группе оказывается двое убитых.

3.63. Рассмотрим прямоугольник ЛВСО (см. рис.) и в нем отрезок ЛЕ параллельный отрезку СМ (точка Ележит на стороне CD), если соединить отрезком точки Е и Л/, То полученный прямоугольный треугольник ECN будет равен треугольнику ADE (по катетам). Следовательно, равны их гипотенузы АЕ и E/V. Углы DE4 и CEN в сумме составляют прямой угол, следовательно, угол AEN—прямой и треугольник AEN—равнобедренный, прямоугольный. Значит, угол EAN равен 45е и равен углу между отрезками AN и СМ.

3.64. Предположим, что все расстояния между собеседниками изменились, пусть собеседники поднялись со своих мест и пошли по часовой стрелке к своим новым местам. Тогда общий пройденный ими путь равен целому числу полных обходов вокруг стола. Действительно, пусть первый прошел свой путь и сел на новое место, сидевший там также прошел свой путь и т. д., пока очередной собеседник не займет место первого, завершив целое число оборотов. Если при этом рассмотрены не все собеседники, то продолжим рассмотрение, начав с одного из нерассмотренных. С другой стороны, по предположению, все собеседники прошли разные длины путей, что возможно, если один собеседник остался на месте, второй прошел 1/12 полного обхода, третий 2/12 полного обхода и т.д., последний 11/12 полного обхода. Сумма этих путей равна 66/12 или 3,5 полного обхода. Это противоречит доказанному утверждению, что было сделано целое количество полных обходов. Следовательно, предположение о том, что все собеседники прошли разные расстояния, а, значит, и все расстояния изменились, — неверно.

3.65. Отметим показания часов через каждый час после полуночи: 0 ч 00 мин, 1 ч 00 мин, 1 ч 05 мин, 2 ч 05 мин, 2 ч 10 мин и т.д. Таким образом, начало нечетного часа 2к -1 будет показано, как (к - 1)ч5(/с-1) мин, а начало четного часа 2к будет показано как к часов 5(к -1 ) мин. Через 24 ч обе стрелки совпадут на цифре 12. Первый час часы показывают верное время, затем каждый нечетный час они идут с правильными скоростями стрелок из неправильного положения и поэтому не могут показывать верное

время. Рассмотрим положения стрелок во время четного часа. Через* мин часовая стрелка будет показывать к + х/5, а минутная — 5(к -1 ) + х/12. На «нормальных» часах в это время часовая стрелка будет показывать 2к - 1 + х/60, а минутная X минут. Если «сумасшедшие» часы показывают верное время, то к + х/5 = =2/с-1 +х/60и 5(/с-1) +х/12 = х. Как это ни странно, но оба уравнения дают одно и то же решение: х = 60(/с - 1 )/11. Таким образом, «сумасшедшие» часы показывают верное время в течение часа с 0 ч 00мин и еще в 10 моментов времени: 3 ч 60/11 мин, 5 ч 120/11 мин.......... 21 ч/600/11 мин.

3.66. Гуссейну Гуслия достались кошельки с 5 и 7 монетами.

3.67. Передвинем квадрат параллельно одной из его сторон так, чтобы он коснулся своей вершиной полосы (см. рис.). Тогда углы между отрезками, указанными в задаче, у этих двух квадратов равны, так как один из лих останется на месте, а второй параллельно передвинется. Проведем высоту полосы из вершины сдвинутого квадрата. Тогда часть квадрата внутри полосы разобьется высотой и ранее проведенными отрезками на две пары равных треугольников. Сумма углов этих треугольников при рассматриваемой вершине равна 90е, поэтому угол между проведенными отрезками равен 45е. Отсюда следует, что и в первоначальном квадрате угол между проведенными отрезками равен 45е.

3.68. Пусть было уплачено А коп. В монетами, причем среди них былох 1 однокопеечных, Х2 двухкопеечных, хз — пятаков, Х4 — гривенников ( 10 коп. ), Х5 — двугривенных, Хб — полтинников и х7 — руб., т.е. А =Х1 + 2х2 + 5хз+ 10x4+20xs + 50Хб + 1 00X7 И В = Х\ + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Хб + xj. Возьмем теперь следующий набор монет: 100x7 однокопеечных, 50хб двухкопеечных, 20х5 пятаков, 10х4 гривенников, 5хз двугривенных, 2x2 полтинников и х\ руб. Нетрудно увидеть, что количество монет равно А, а соответствующая сумма равна 100Б коп., т.е. В руб.

3.69. Когда играют 15 команд, такое может случиться. Приведем соответствующий пример. Разделим команды на 5 троек и пусть в каждой тройке первая и вторая команда сыграют между собой вничью и выиграют у третьей команды. Во встречах команд из разных троек первые, вторые и третьи команды сыграют между собой вничью, первые команды выиграют у вторых, но проиграют третьим, вторые проиграют первым и выиграют у третьих, а третьи выиграют у первых, но проиграют вторым.

Если в турнире участвуют 16 команд, то такой результат также возможен. Расставим команды по кругу, и пусть каждая команда выиграет у 5-ти команд, идущих за ней по часовой стрелке, сыграет вничью с 5-ю следующими командами и проиграет 5-ти остальным командам. В случае 17-ти команд такой результат невозможен. Действительно, всего сыграно 17-16:2=136 матчей и набрано 272 очка. Каждая команда набрала количество очков, кратное 3, поэтому и общая сумма очков должна делиться на 3, но число 272 на 3 не делится.

3.70. Пусть на каждом дереве вырастает N монет, тогда во вторник Буратино будет иметь, как максимум 5N монет, в среду 5Л/2, а в пятницу не более 5Л/4 монет, следовательно, 5N < 1992 < 5/V4 откуда 5<Л/<398. В результате взращивания одного дерева число монет у Буратино увеличивается на к = N -1, так как одну монету приходится закапывать. Имеем, что4</с<397. Если Буратино закопал M монет (и получил при этом M деревьев), то у него стало 5 + кМ монет. Приравняв это число к 1992, получим, что Ш = 1987. Но число 1987 — простое и его делители 1 и 1987 не удовлетворяют неравенству 4</с<397. Итак, Буратино не может получить ровно 1992 монеты.

3.71. Пусть сначала числа а, b, с взаимно просты. Покажем, что в этом случае число abc является полным квадратом. Пусть р — простое число и с делится на рп, тогда из равенства - ab = с(а + b) следует, что одно из чисел а и b делится на pn, а второе не делится на р, значит abc делится на р2п. Аналогично рассуждая про делители чисел а и b, получаем, что любое простое число входит в произведение abc в четной степени. Если у чисел a, b и с есть общий делитель, то он входит в произведение в кубе.

3.72. Пусть N— количество серий, показанных в 1988 г. Заметим, что в каждом году показывалось не более 730 серий, поэтому N <730. С другой стороны, количество серий, показанных в 1989 году, равно Л/а/5, где а равно 3 или 7, в 1990 г. Nab/25, в 1991 г. /Vabc/125 и в 1992 г. Nabcd/625, причем числа b, с и с/принимают значения 3 или 7. Значит, N делится на 625 и, поскольку оно меньше 730, то равно 625. Число а не может равняться 7, так как в этом случае в 1989 году было бы показано 875 серий, что больше 730. Значит, а = 3 и в 1989 г. было показано 375 серий. Число b не может равняться 3, так как тогда в 1990 г. было бы показано 225 серий, а всего за 3 года — 1225 серий, следовательно, в 1990 г. не могла бы быть показана 1230-я серия. Итак, b = 7 и в 1990 г. было показано 525 серий. Нетрудно подсчитать, что 1230-я серия была показана не раньше, чем на 115-й день, и не позже, чем на 218 день этого года. Число с не может равняться 7, так как в этом случае количество серий в 1991 г. превысит 730. Значит, с = 3 и в 1991 г. было показано 315 серий. Итак, в 1992 г. было показано либо 315-3/5=189, либо 315-7/5 = 441. Но вспомним, что последняя серия была показана ровно через год после 1230-й, т.е. не раньше, чем через 115 дней, и не позже, чем через 218 дней после начала года, а на показ 441 серии понадобится не меньше 221 дня, поэтому в 1992 г. было показано 189 серий, а всего 625 + 375 + 525 + 315 + 189 = 2029 серий.

3.73. Пусть в первый раз приехало х «Волг» и у микроавтобусов, тогда общее количество школьников выразится как 7х+ 12у. После того, как приехали еще 3 машины, из которых z — «Волги», количество школьников выразится в виде 6(х + z) + 11 (у + 3 - z). Приравнивая эти выражения, получаем, что х + у= 33 - 5z. Заметим, что 7*+ 12у= 5(х+ 2у) + 2(х+у) = 5(х + 2у) -10 + 66, т.е. не делится на 5, а если бы можно было рассадить школьников по 5 в «Волгу» и по 10 в «Рафик», их

число делилось бы на 5. Следовательно, выполнить требование невозможно.

3.74. Такое заполнение возможно, например, если раскрасить клетки в шахматном порядке, в белых клетках вписывать слева направо числа 1,2,3,... а в черных 1353,1352,1351,... Нетрудно убедиться, что при такой процедуре сумма 4-х чисел в каждом квадрате 2 • 2 будет равна 2709.

3.75. Выигрывает начинающий, ставя крестик на центральное поле. Второй вынужден ставить нолик, поскольку в противном случае первый выигрывает уже следующим ходом. Если второй ставит нолик, то первый отвечает ноликом в клетку, симметричную относительно центра. Если нолик был поставлен в угловую клетку, то независимо от следующего хода второго создается ситуация, в которой первый может образовывать своим ходом 3 одинаковых знака на одной прямой. Игра окажется более продолжительной, если второй поставит нолик на середину стороны, ответ первого такой же, как и раньше. Поставив нолик на середину второй стороны, и получив ответ нулем в симметричную клетку, второй вынужден поставить нолик в угловую клетку и проигрывает, поскольку начинающий своим ходом вновь образует 3 нуля на одной прямой.

3.76. Это последовательность 0, 5,1, 6, 2,7,3,8,4, 9.

3.77. Пусть х—искомое число. По условию задачи

Полагая

получим

Следовательно, у = 32, а х = 32768.

3.78. Сначала нужно показать, что числа действительно можно расположить указанным образом (хотя бы одним способом), а затем заметить, что сумма цифр, стоящих в одинаковых разрядах наибольшего и наименьшего чисел, равна 10. Следовательно, искомое число равно 111 ... 110, здесь 162 единицы.

3.79. Рассмотрим простейший случай этого уравнения: 1 + — = х. Это уравнение имеет корни xi,2 = ( 1 ±V5 )/2. Следующий случай уравнения 1 +—^— = х.

Заметим, что если заменить знаменатель на X, воспользовавшись первым уравнением, то вновь получится первое уравнение. Следовательно, это уравнение имеет те же корни. Продолжая дальше такие же рассуждения или воспользовавшись методом математической индукции, нетрудно показать, что любое такое уравнение имеет те же корни, что и первое.

3.80. Для треугольника АВМ возможны 3 варианта его равнобедренности:

1. AB = AM] 2. AB = ВМ. 3. AM = ВМ. Рассмотрим 3 множества точек, соответствующих этим вариантам. Точки M в первом случае располагаются по окружности радиуса AB с центром в точке В, во

втором — по окружности того же радиуса, но с центром в точке Б, в третьем случае — по прямой, проведенной через середину стороны AB перпендикулярно к ней. Аналогично, получаем для треугольника АСМ, что он будет равнобедренным, если точка M лежит либо на одной из окружностей радиуса АС (заметим, что АС = AB) с центром в точке А или С, либо на перпендикуляре к середине стороны АС.

Рассмотрим совокупность точек, принадлежащих одновременно обоим множествам. Это будет окружность О радиуса AB с центром в точке А и еще 6 точек: Mi, М2, М3, М4, М5, Мб (см. рис.). Заметим, что если точка M совпадает с точкой В или с точкой С, то один из треугольников АВМ или АСМ будет вырожденным. Вырождение одного из этих треугольников будет еще в двух случаях: если точка M совпадает с точкой пересечения окружности О с продолжением стороны AB или АС.

3.81. Искомое множество изображено на рисунке: фигура, ограниченная дугами окружности радиуса 3 и касательными к этой окружности, из точек прямой, отстоящих от центра этой окружности на расстояние 6. Для доказательства этого факта достаточно показать, что окружность с центром в точке M на прямой, отстоящей на расстояние хот указанной выше окружности и с радиусом (6 - х) : 2 касается указанных касательных прямых, что проверяется непосредственно.

3.82. Искомым множеством является совокупность точек двух отрезков, проходящих через точку Р, параллельных одной из сторон квадрата и с концами на другой его паре сторон (см.рис.) и отрезка, проходящего через точку Р\ симметричную точке Р относительно выбранной диагонали. Этот отрезок параллелен указанной диагонали АК.

3.83. Сначала убедимся, что пятые степени чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 оканчиваются вновь на 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Отсюда следует, что то же свойство имеют девятые степени, тринадцатые степени и вообще 4/с+ 1 степени чисел,

не только однозначных, но и многозначных. Поскольку 1993 = 4 • 498 +1, то для любого натурального числа m число m оканчивается на ту же цифру, что и число т. Теперь заметим, что

По доказанному, каждое число в квадратных скобках делится на 10, следовательно, и все число делится на 10.

3.84. Пусть из отрезков АК и ВК более длинным будет отрезок АК. Продолжим его на величину ВК(см. рис.) до точки С. В треугольнике ВСК сумма равных углов С и Б равна углу К треугольника АВК, а значит, угол С равен половине угла К и при движении точки К по окружности. Угол Kt а следовательно, и угол С сохраняются. Итак, точка С движется по окружности, проходящей через точки Д и Б, поэтому середина хорды АС — точка М, движется по окружности вдвое меньшего радиуса, проходящей через точку А и середину отрезка AB. Остальные три куска «восьмерки», изображенной на рисунке, рассматриваются аналогично.

3.85. Рассмотрим точку С1, симметричную точке С относительно диаметра AB (см. рис.). Заметим, что угол СМС1 прямой,поэтому СМ2 + DM2 = С1 M2 + DM2 = C1D2. Заметим далее, что угол C1CD равен 45е, следовательно дуга C1D равна 90е, а значит, стягивающая ее хорда C1D имеет постоянную длину, равную

3.86. Возьмем 5 прямоугольников 1-2 и сложим из них фигуру, изображенную на рисунке. Нетрудно видеть, что это развертка параллелепипеда 1-1-2.

3.87. Выигрывает начинающий. Опишем его стратегию. Пронумеруем поля доски слева направо. Первым ходом начинающий передвигает одну из фишек на поле 1, причем, если п четно, то он передвигает фишку, стоящую на поле л, а если нечетно, то фишку, стоящую на поле с номером п - 2. Опишем полученную позицию: одна фишка стоит на поле 1, остальные рядом, причем левая — на поле с четным номером. Осталось заметить, что такую позицию нельзя получить из подобной ей, а из любой другой можно, при условии, что одна фишка стоит на поле 1. Позиция, из которой невозможно сделать ход, также принадлежит к описанному классу позиций, поэтому начинающий сможет привести игру к такой позиции, придерживаясь указанного правила.

3.88. Если число р делится на 3, то выигрывает второй, а если нет, то первый. Если р делится на 3, то стратегия второго игрока, приводящая к выигрышу, такова: после хода первого игрока второй пишет цифру, которая в сумме с цифрой, написанной перед этим первым игроком давала бы число, имеющее остаток 6 при делении на 9: после 6 второй пишет цифру 9, после 7 — цифру 8, после 8 — цифру 7, после 9 — цифру 6.

Если число р имеет при делении на 3 в остатке 1, то первый своим ходом ставит цифру, отличную от 9, а дальше придерживается вышеописанной стратегии: пишет цифру, которая в сумме с цифрой, поставленной перед вторым игроком, дает в остатке 6. При такой игре сумма всех цифр, кроме первой и последней, делится на 9, но первая цифра отлична от 9, поэтому из имеющихся в распоряжении цифр нельзя поставить такую, чтобы число делилось на 9. Если число при делении на 3 имеет в остатке 2, то своим первым ходом начинающий ставит 9. После каждого хода второго игрока, кроме последнего своего хода, он играет так же, как и в предыдущем случае. Если своим предпоследним ходом второй ставит 9, то первый вслед за этим ставит цифру, отличную от 9, а если второй ставит цифру, отличную от 9, то первый ставит 9. При такой игре первого сумма всех цифр, кроме трех последних, делится на 9. Среди трех последних цифр найдется обязательно одна 9 и одна цифра, отличная от 9, значит, все число не делится на 9.

3.89. Рассмотрим следующую процедуру: отметим один из томов и начнем переставлять тома из конца в начало до тех пор, пока отмеченный том не окажется на 3-м месте, после этого поставим его на 1-е место и вновь дважды переставим тома из конца в начало, чтобы отмеченный том оказался на 3-м месте, вновь его переставим в начало, и т.д. Легко проверить, что при продолжении этой процедуры он последовательно побывает за каждым из остальных томов. Таким образом, мы можем поставить 2-й том за 1 -м, потом 3-й за 2-м, не меняя последовательности 1-го и 2-го томов, и так все 8 томов. Осталось лишь переставлять тома из конца в начало до тех пор, пока на первом месте не окажется 1-й том.

3.90. Возьмем произвольного участника А. Если А знаком со всеми остальными 99 школьниками, то утверждение дока-

зано. Будем поэтому считать, что А не знаком с некоторым участником ß. Рассмотрим некоторого школьника С. Если С знаком со всеми участниками кружка, то утверждение доказано. Поэтому будем считать, что С не знаком с некоторым участником кружка. Пусть С не знаком со школьником D. Тогда среди четырех участников А, В, С и D кружка ни один не знаком со всеми остальными тремя. Получили противоречие. Если же С не знаком с одним из школьников Л или ß, для определенности с А, то из доказанного выше следует, что С знаком со всеми остальными участниками кружка и любые двое из школьников, исключая А и ß, знакомы друг с другом. Возьмем школьника D. В четверке Л, ß, С и D один знаком с остальными тремя, но А, ß и С таким свойством не обладают, значит, это школьник D. Поскольку таких школьников 97, то значит, что всегда найдутся 97 школьников, знакомых со всеми остальными. С другой стороны ясно, что таких школьников может быть 97. Итак, наименьшее количество школьников, знакомых со всеми остальными, равно 97.

3.91. Уложим шпалы так, чтобы расстояние между любыми соседними шпалами равнялось 0,5 м. При такой укладке человек будет ступать на каждую шпалу, поэтому сделает максимальное количество шагов, а именно 2000. Уложим теперь шпалы следующим образом: на участке длиной 40 м уложим их через 0,4 м, а на следующем участке длиной 60 м через 0,6 м и т.д. Покажем, что при такой укладке шпал число шагов будет минимальным. Пусть п — число шагов на 100-метровом участке пути, длина которых больше 0,6 м. При любой укладке шпал на 100-метровом участке п не больше 50, поскольку в противном случае этот участок содержал бы более 200 шпал. Итак, на 1 км пути приходится не более 500 шагов, длина которых больше 0,6 (человек перешагивает через шпалу), остальные делаются со шпалы на шпалу.

При нашей укладке достигается этот минимум шагов: на 100 м 50 шагов по 0,8 и 100 шагов по 0, 6 м, всего 150, а на 1 км пути 1500 шагов.

3.92. Предположим противное, пусть наибольшее расстояние пробежал мальчик Л, а его соседи справа и слева ß и С пробежали меньше. Если А бегал п раз налево, m раз направо и к раз оставался на месте, то В пробежал на (m - п - к)1 меньшее, здесь / — расстояние между А и В, а С пробежал на (т - п - к) d меньше, чем А, где d — расстояние между А и С. Значит, т-п-к >0 и п - m - к > 0, но их сумма равна ( -2/с), что невозможно. Полученное противоречие показывает, что у А может быть сосед только с одной стороны.

3.93. Будем различать 2 случая: первый — все стороны плота не больше Н, ширины канала, второй — одна пара сторон больше Н. Ясно, что обе пары сторон не могут быть больше Я. В первом случае площадь плота не превосходит Н2. Квадратный плот можно провести через прямоугольный поворот, совершив 2 параллельных переноса. Во втором случае плот нужно повернуть на 90°. В некоторый момент его стороны образуют угол в 45е с берегами (см. рис.). При этом он должен

уместиться в равнобедренном треугольнике. Легко усмотреть, что плот максимальной площади должен одной из сторон лежать на гипотенузе, а вершины, лежащие на другой стороне, должны находиться на катетах треугольника, длины которых равны по 2R Если обозначить через х высоту плота, то его основание равно - 2х , поскольку гипотенуза треугольника равна 2 HV2 Площадь плота равна

Это выражение максимально прих = H/v 2, и в этом случае мы вновь получаем в качестве наибольшей площади Н2. Такой плот может быть проведен через поворот следующим образом: установим его у поворота так, чтобы одна из больших его сторон упиралась своей серединой в вершину выступающего угла канала, и повернем плот вокруг вершин на 90е. Это можно сделать, поскольку расстояние любой его точки от середины большой стороны не превосходит расстояния от середины стороны до вершины противоположной стороны, которое равно Н.

3.94. Для того, чтобы обойти все 3 комнаты замка и выйти из него, необходимо пройти 4 двери. Будем обозначать открытую дверь знаком +, а закрытую — знаком. Маршрут через 4 двери можно теперь записать в виде последовательности 4-х знаков, например, + - - +. Если первым стоит минус, то Хоттабычу понадобится 1 волосок и еще по волоску на каждые 2 стоящих подряд одинаковых знака. По условию, на любом маршруте не больше 3-х плюсов и не больше 3-х минусов. Поэтому, если маршрут начинается со знака плюс, то на нем есть хотя бы один минус, и поэтому не более двух пар соседних знаков. Значит, маршрут может быть пройден с соблюдением условий. Если маршрут оканчивается знаком плюс, то его можно пройти с соблюдением условий, но в обратном направлении. Если же маршрут начинается и оканчивается знаком минус, то в его середине стоит хотя бы один плюс, и, следовательно, будет 2 перемены знака, откуда будет не более одной пары соседних одинаковых знаков, и поэтому достаточно снова двух волосков.

3.95. Обозначим количество соревнований через п и через D сумму А + ß + С. Поскольку общее количество набранных очков равно 40, то nD = 40, числа п и D являются делителями числа 40, но D не меньше 6, поэтому D может принимать только значения 8, 10 и 20, соответственно п будет принимать значения 5,4 и 2.

Случай п = 2 невозможен, поскольку А не больше 9 и за 2 состязания Кие сможет получить 22 очка.

Пусть п = 4 и D = 10, тогда А < 7, а так как К получил в 4-х соревнованиях 22 очка, то А > 5. Если А= 7: то Еполучил не меньше, чем 7+1 + 1 + 1 = 10 очков. Получили противоречие. Если же А = 6, то В < 3 и К получил не более 6-3 + 1 -3 = 21 очков. Противоречие.

Остался случай п = 5, D = 8. Здесь А < 5, но так как К получил 22 очка, то А > 5, следовательно, А = 5, ß = 2, С = 1. В соревнованиях на быстроту реакции Е получил 5 очков, значит, в остальных соревнованиях он занял 3-е место. К в соревнованиях на быстроту реакции получил не более 2 очков, значит, в остальных соревнованиях он получил по 5 очков. Таким образом, Ф был третьим в этих соревнованиях и вторым во всех остальных, в частности и в соревнованиях на выносливость.

3.96. В первую минуту нужно играть на органе, не зажигая свечи. Тогда в течение второй минуты и Смех, и Пение будут молчать. Затем необходимо прекратить игру на органе, Тогда в замке установится тишина.

3.97. Такой способ существует. Можно действовать, например, так. Сначала руки вставляются в отверстия по какой-нибудь стороне квадрата и селедки там устанавливаются вверх головами. Затем руки вставляются в отверстия по диагонали и селедки там также устанавливаются вверх головами. В результате в трех кувшинах селедки находятся вверх головами. Если при этом дверь не открылась, значит в четвертом кувшине селедка находится вниз головой. Вновь просовываем руки в отверстия по диагонали. Если обнаруживаем селедку, лежащую вниз головой, то переворачиваем ее и открываем дверь. Если же обе окажутся головой вверх, то переворачиваем одну из них головой вниз. Теперь селедки расположены так: две в соседних вершинах квадрата головой вверх, а в других — головой вниз. Просунем еще раз руки по стороне квадрата. Если селедки там направлены в одну сторону, то переворачиваем их и открываем дверь, а если в разную, то тоже переворачиваем, и одинаково направленные селедки расположатся по диагоналям. Достаточно теперь просунуть руки, чтобы открыть дверь пещеры.

3.98. Ответ: 3 маляра и 6 монтажников, оставшегося рабочего можно поставить либо маляром, либо монтажником, либо вообще не использовать — от этого время выполнения работы — 195 мин — не изменится. Покажем, что при других расстановках время работы больше. Действительно, если маляров меньше 3-х, то время на окраску не меньше 250 мин, а если монтажников меньше 6, то время на монтаж не меньше 200 мин.

3.99. Рассмотрим некоторого участника. Общее число его побед равно числу побед черными и числу побед белыми, но белыми он одержал столько же побед, сколько остальные черными, значит, общее число его побед равно количеству партий турнира, в которых победили черные, т.е. одно и то же для всех игроков.

Закончились три первые главы.

Задачи этих глав внешне похожи на школьные, но их содержание и способы решения далеки от привычных стандартов. Следующие три главы содержат еще более оригинальные задачи, и путеводной нитью их решения вам будет служить все та же смекалка, которая помогала решать задачи первых глав.

Глава 4

ЗАДАЧИ В КАРТИНКАХ

4.00.

Кто первый?

Корреспондент классной стенгазеты Степа Мошкин опоздал к финишу легкоатлетического кросса Поэтому он обратился к группе болельщиков с просьбой рассказать о результатах кросса.

Сережа занял второе место, а Коля - третье.

Сережа занял второе место, а Ваня - четвертое.

Надя заняла третье место, А Толя -пятое.

Толя занял первое место, А Надя -второе.

Коля занял первое место, а Ваня -четвертое.

Но ведь такого не может быть!

В наказание за опоздание каждый из нас один раз сказал тебе правду, а один раз обманул.

Так какое же место занял каждый из пяти бегунов?

4.01.

Сколько денег в кошельке?

Мама послала Алешу в магазин за покупками, вручив ему кошелек с деньгами.

Половину денег Алеша уплатил за молоко и сыр.

Потом он поехал на автобусе в книжный магазин, уплатив за проезд 5 копеек.

Половину оставшихся денег и еще 10 копеек он уплатил за книгу.

На половину того, что осталось, Алеша купил тетрадей.

Выйдя из магазина, Алеша купил мороженое за 15 копеек.

В результате у него осталось 5 копеек, которые он уплатил за проезд домой в автобусе.

Сколько же денег было в кошельке?

4.02.

В чем фокус?

Я могу угадать возраст и размер обуви каждого из вас. Кто желает?

Умножь свой размер обуви на 5.

Теперь прибавь 13 и результат умножь на 20.

Отними год своего рождения.

Теперь прибавь 1729. Сколько получилось?

3412

У тебя 34-й размер обуви. Тебе в этом году исполнилось или исполнится 12 лет.

В чем секрет этого фокуса? Хочу заметить, что число 1729 годится лишь для 1989 года. А какое число нужно будет прибавлять в 1995 году?

4.03.

Королева и рыцари

Как гласит древняя легенда, чешская королева некогда обещала стать женой того из трех рыцарей, кто первым решит ее задачу.

Из своей корзины я положила в эту корзину половину всех слив и еще одну сливу.

В эту корзину я положила половину остатка и еще одну сливу.

А сюда я положила половину остатка и еще три сливы, чем полностью опорожнила свою корзину.

Теперь, не пересчитывая слив в корзинках, ответьте: сколько слив было в моей корзине?

4.04.

Три мушкетера

Однажды капитан де Тревиль наблюдал, как друзья-мушкетеры развлекались игрой в перетягивание каната.

Портос с д'Артаньяном легко перетянули Атоса с Арамисом.

Атос с Портосом с трудом победили Арамиса с д'Артаньяном.

Предлагаем ничью.

Как же распределяются по силе мои мушкетеры?

Что же будет, если поставить Портоса с Арамисом против Атоса с д'Артаньяном?

4.05.

Танцующие пары

На конкурсе бального танца города Долгопрудного три первых места заняли пары из танцевального коллектива МФТИ “Терпсихора”. Корреспондент институтской многотиражки Сережа Иванов захотел узнать, кто с кем в каждой из этих пар танцует. Он получил такие ответы.

Я - Светлана. Каждая девушка моложе своего партнера на 3 года.

А я - Игорь. Нам всем вместе 115 лет.

Меня зовут Юля. Мне вместе с Игорем 36 лет.

Я - Антон. Мне вместе с Юлей 40 лет.

Я - Максим. Самая молодая среди нас - Ира.

Ира -Это я.

Но все-таки кто с кем танцует?

4.06.

Четыре лилипута.

Однажды Гулливер подслушал разговор дежуривших около него четырех лилипутов.

Ты - лгун!

Сам ты лгун!

Оба они лгуны!

А я?

И ты тоже лгун!

Кто же из них говорит правду?

Я знаю, что одни лилипуты всегда говорят правду, а другие всегда лгут.

4.07.

Сколько стоит арбуз?

Однажды Ходжа Насреддин и его друг декханин Али, отдав последние деньги в уплату за землю и воду, поехали на бухарский базар продавать урожай арбузов.

У Али было 104 арбуза, у Насреддина - 17.

У городских ворот их остановили стражники и потребовали налог за ввоз арбузов в Бухару.

Узнав величину налога и цену на арбуз на бухарском рынке, Али отдал стражникам 19 арбузов, при этом переплатил 1 таньга.

С тебя еще 1 таньга!

Получите с меня три арбуза.

Я дам тебе гораздо больше! Я освобождаю тебя от долга в 1 таньга моему другу Али и беру его на себя. А что может быть лучше спокойной совести?

Так сколько же стоит 1 арбуз? Кувшин моих мыслей показывает дно.

4.08.

Три богатыря

Однажды князь Владимир призвал к себе трех богатырей.

Кто поймал Соловья-разбойника?

Негоже хвастать. Поэтому мы решили, что каждый будет трижды речь держать. Два раза скажет правду, а единожды слукавит. После этого сам решай, кто поймал Соловья-разбойника.

Это сделал Алеша Попович.

Я давно хотел совершить подвиг

Это сделал не я.

Много на Руси храбрых воинов

Это сделал не я.

Я был в это время в другом месте.

Я знаю, где жил Соловей-разбойник.

Илья в это время был в другом месте.

Это сделал Алеша Полович.

Трудна задача, но попробую ее решить.

4.09.

В баре

Ковбой Джо зашел в бар.

Бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, три пачки табаку и 9 коробок непромокаемых спичек!

С вас 11 долларов 80 центов!

Что?!!!

Как же он догадался, что я его хотел обсчитать?

Простите, я ошибся, сейчас пересчитаю!

Решения задач

Глава IV

Задачи в картинках

4.00. Первый — Сережа, вторая — Надя, третий — Коля, четвертый — Ваня, пятый — Толя.

4.01. До покупки мороженого у Алеши оставалось 20 коп., до покупки тетрадей у него было 40 коп., до покупки книги 100 коп,, а перед поездкой в автобусе 105 коп. Значит, с самого начала у него было 210 коп., т. е. 2 рубля 10 коп.

4.02. Пусть номер обуви девочки х, а ее возрасту. Тогда последовательно получаем

5х,

5х + 13, 100х+ 260,

100х+260-(1989-у)= 100х + у- 1729, 10Ох + у.

В 1995 г. прибавлять нужно будет число, большее на 6, т.е. 1735 (каждый год число увеличивается на единицу).

4.03. В первой корзине было 6 слив, во второй — 8 слив, в третьей — 16 слив. Всего 30 слив.

4.04. Самый сильный — Портос, затем Атос, д'Артаньян и Арамис.

4.05. Максиму 20 лет, его партнерше Юле — 17, Игорю 19 лет, его партнерше Ире — 16, Антону 23 года, его партнерше Светлане — 20 лет.

4.06. Второй и третий говорят правду, первый и четвертый лгут.

4.07. Обозначим через х цену арбуза, а через у — налог на арбуз. Казалось бы, что нужно решить систему уравнений: 19х=104у+1; Зх=17у-1, откудах=11, у = 2. Но Ходжа и Али не платили налог за арбузы, оставленные стражникам, поэтому правильная система уравнений выглядит так:

19х=(104у-19)у+1, Зх=(17-3)у-1, откудах=9, у =2.

4.08. Соловья-разбойника поймал Добрыня Никитич. Он и Алеша Попович слукавили в первый раз, а Илья Муромец в последний.

4.09. Суммарная стоимость покупок делится на 3, а бармен назвал сумму, не делящуюся на 3.

Глава 5

РЕБУСЫ

Числовые ребусы

В этих задачах вместо букв следует подставить цифры так, чтобы указанные равенства выполнялись. Одним и тем же буквам всегда должны соответствовать одинаковые цифры, разным - разные.

5.00. Политический

5.01. Песенный

5.02. Каникулярный

5.03. Семейный

5.04. Родственный

5.05. Текстильный

5.06. Валютный

5.07. Железнодорожный

5.08. Морской

5.09. Животноводческий

КОРОВА+ТРАВА+ДОЯРКА = МОЛОКО

* известно, что КОРОВА больше, чем ДОЯРКА

5.10. Стоматологический

5.11. Научный

5.12. Ботанический

5.13. Географический

5.14. Химический

5.15. Арифметический

5.16. Тригонометрический

5.17. Азербайджанский

5.18. Африканский

5.19. Швейцарский

5.20. Грузинский

Чему равно выражение:

5.21. Сербский

5.22. Английский

5.23. Американский

5.24. Японский

При каком основании системы счисления этот ребус имеет решение и какое? *Кито, Киото и Токио - крупные города Японии.

5.25. Кубинский

5.26. Московский

5.27. Саратовский

5.28. Городской

5.29. Чет - нечет

* Здесъ вместо букв ч нужно подставить четные цифры, вместо букв h - нечетные.

5.30. Немецкий

5.31. Сказочный

5.32. Казачий

5.33. Разговор

5.34. А и В

Пусть А и В разные цифры и А не равно 0. Покажите, что AB • AAA = ABA • АА не выполняется ни при каких А и В, соотношение AB • AAA = ABA • АА +1 выполняется лишь для одной пары А и В и соотношение AB • АААА = АВАВ • АА выполняется всегда.

5.35. В произведении только А

* Здесь А и В - различные цифры, а еще 7 цифр заменены звездочками.

5.36. Задачи из кусочков

5.37. Наивное равенство

5.38. Неравенство

5.39. Степенной

5.40. Двойки

5.41. Стая аистов

5. 41. Делимость на 101

Число БАОБАБ делится на 101

Чему равно это число?

5.43. Пятью пять

5.44. Семью семь

5.45. Тройки

5.46. Он и Она

* По английски не - он, she -она

5.47. Она и Они

5.48. Правопреемство

5.49. Еловый лесок

* Из какого наименьшего количества елок может состоять ЛЕСОК?

5.50. Что за звездочками

5.51. Мини-ребус

а+вв+а=ссс

5.52. Три буквы

5.53. Головоломка

Возможно ли решение задачи

если ни одна из цифр не равна 0

5.54. Боксерский

5.55. Футбольный

5.56. Шахматный

5.57. Треугольный

5.58. Улей

5.59. Всякая ерунда

Решения задач

Глава V

Числовые ребусы

5.00 Вначале заметим, что U = 9, так как при меньшем значении невозможно получить в сумме пятизначное число. Очевидно также, что Р = 1, а Е= 0. Поэтому А + R = 10. Теперь обратимся к цифре S. Если S больше 5, то из второго разряда единица переходит в третий, где стоит U = 9, и тогда получим, что S = А9 что запрещено. Следовательно, цифра S не больше 4, а так как 0 и 1 уже заняты другими буквами, то остаются лишь цифры 2,3 и 4. Если S = 2, то А = 1, т.е. А = Р, что невозможно. Если S = 3, то С = 7, А = 2 и R = 8. Таким образом, получаем решение: 932 + 9338 = 10270. Осталось проверить, подходит ли S = 4. Но в этом случае получаем, что С= 9, т.е. С= U. Это запрещено. Итак, решение единственно.

Эту задачу придумал в 1985 г. харьковский школьник Борис Кругликов. В большинстве других задач ход решения такой же, поэтому к ним мы даем лишь ответы.

5.01. 9453,5 + 9453,5 = 18907

5.02. 8947 + 9847 = 17894

5.03. 57= 78125

5.04. 497919 + 7843 = 505762

5.05. 15306+15306 = 30612

5.06. 10247 + 10247 + 10247 = 30741

5.07. 85679 + 85679= 171358

5.08. 2178. 4 = 8712

5.09. 540498 + 142058 +160898 = = 743454

5.10. 142857-5 = 714285

5.11. 28375 + 28375 + 28375 = 85125

5.12. 74325 + 74325 = 148470

5.13. 27= 128

5.14. 145826 + 948947 = 1094773 5.15.87172 5 = 535860

5.16. 58725 + 58725 + 3958725 = = 4076175

5.17.683 - 4 = 2732

5.18. Два решения: 496496 + 6195 = = 502691 и 498498 + 8395 = 506893

5.19. 12345678- 12325551 =20127.

5.20. Здесь использованы все 10 цифр, значит, среди них есть и нуль, но на нуль делить нельзя, поэтому он в числителе и вся дробь равна нулю.

5.21. Три решения: 1354 + 9274= 10628, 1792 + 8562 = 10354 и 1753 + 8493 = 10246. Еще 3 решения получаются, если в этих решениях поменять местами значения для букв Е и U.

5.22.4913= 173, 4 + 9+1 +3 = 17 5.23.986 -354 = 340170

5.24. Примем за основание-системы счисления число п. Из последнего столбца заключаем, что буква О равняется цифре 0. Теперь нетрудно установить, что будут переносы единиц из 2-го разряда в 3-й и из 4-го в 5-й. Получаем соотношения:

2Г=л + И, И+ 1 = К,

К+И = п,К+ 1 = 7".

Отсюда

л = 7, И=3, К=4,7=5. 5.25 . 529 = 232.

5.26. МОСКВА = 390625. Решение этой задачи, как задач 5.03, 5.13, 5.22, 5.25 и ряда других, основано на направленном переборе вариантов. В данной задаче 4-я степень суммы 6-ти различных однозначных чисел равна шестизначному числу. Заметим, что эта сумма не меньше, чем 0+1+2 + 3 + 4 + 5=15ине больше, чем 9 + 8 +7+ 6 + 5 + 4 = 39. С другой стороны, любое шестизначное число не меньше, чем 100000 и не больше, чем 999999. Корни 4-й степени из этих чисел равны, соответственно, 17, 78 и 31, 62, поэтому число, возводимое в 4-ю степень, не меньше 18 и не больше 31. Осталось проверить, какие из 14 чисел от 18 до 31 в 4-й степени имеют все цифры различными. При наличии микрокалькулятора эта проверка осуществляется меньше чем за минуту. Получаем 2 числа: 234 = 279841 и 254 = 390625. Суммы цифр у этих шестизначных чисел равны 31 и 25, поэтому первое число отпадает, а второе подходит. Отг метим, что при выводе нам не понадобится первый из полученных результатов: искомое число заключено между 15 и 39, так как следующий оказался более сильным. Но в других случаях первое рассуждение может оказаться более существенным, чем второе.

5.27 872 = 7569

5.28. 45203 + 45203 = 90406

5.29.285-39=11115

5.30. 1049 -5 = 5245

5.31. 94950 + 80850 + 74350 = 250150

5.32. 15451 - 6 = 92706

5.33.628780 - 5 = 3143750

5.34. В первом соотношении правая часть делится на 11, а левая — нет. Во втором — левая часть делится на А всегда, а правая только при А = 1. В этом случае получаем уравнение

(10 + Б) ■ 111 =(101 + 10Б) ■ 11 + 1,

из которого находим, что В = 2.

В третьем обе стороны соотношения

представляются в виде

AB . АА - 101.

5.35.4= 1,ß = 9

5.36.65983 • 3= 197949

5.37.6823 + 6823= 13646

5.38.H=0,A=1,ß = 2, 0 = 3,Е=4, К=5, 7=6, И = 7,А7=9

5.39. 144=1962 = 38416 5.40.6-3-1 = 6:3:1=2

5.41. 1354 ■ 4=5416

5.42. БАОБАБ = 910919

5.43. ПЯТЬ — это или 6284, или 6824

5.44. СЕМЬ = 3201 5.45.3128:23=136

5.46. 252 = 625

5.47. 50 + 50 + 50= 150

5.48. 7776 = б5

5.49. Двух елок не хватает, а для трех елок имеется 2 решения:

5162-3 = 15486 и

5124 -3=15372.

5.50. Второй множитель — 81 5.51.4 = 6,8 = 9,0=1 5.52.495 + 459 = 954

5.53. Сначала заметим, что цифры 5 и 7 должны стоять и слева, и справа, поэтому

А - Н=5 • 7.

Из того, что оставшиеся произведения равны, следует, что степени числа 2 в этих произведениях равны, но множитель 2 в произведении всех чисел от 1 до 9 входит в седьмой степени, поэтому он не может быть одинаковое число раз справа и слева. Если с одной из сторон в условии задачи добавить множитель 2, то она будет иметь решение. Найдите его.

5.54. 93989 + 7492 + 7492 = 108973

5.55. 4252= 180625

5.56. 48605 + 48605 = 97210

5.57. ДОКЛАД = 942389

5.58. 142857 • 7 = 999999

5.59. 468532 + 468532 = 937064

Глава 6

ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЕ

6.00. Мальтийский крест.

Разрежьте «Мальтийский крест» на 5 частей так, чтобы из них можно было сложить квадрат (см. рис.).

6.01. Из треугольника — ромб.

В равнобедренном треугольнике провели прямые, проходящие через середины боковых сторон, и их проекции на основание (см. рис.). Покажите, что из полученных частей можно сложить ромб.

6.02. Из четырехугольника — параллелограмм.

Разрежем выпуклый четырехугольник по двум прямым, соединяющим середины его сторон (см. рис.). Как из полученных четырех кусков сложить параллелограмм?

6.03. Ступеньки.

Сделайте один ступенчатый разрез «ступеньки» на две части, из которых можно сложить квадрат.

6.04. Что за камень?

На рисунке изображена часть крепостной стены. Один из камней имеет столь причудливую форму, что если его вытащить из стены и положить иначе, то стена станет ровной (см. рис.). Изобразите этот камень.

6.05. Лесенка.

Превратите «лесенку» в квадрат, разрезав ее на 3 части (см. рис.).

6.06. На 3 части.

Как разрезать фигуру, изображенную на рисунке, на 3 равных части?

6.07. Оклейка кубика.

Прямоугольный лист бумаги размером 1,2x5 разрежьте на 3 части так, чтобы ими можно было полностью оклеить кубик 1 х1 х1.

6.08. Флаги.

На рисунке изображены флаги Югославии и Франции. Разрежьте один из флагов на 4 части так, чтобы можно было сложить второй флаг.

6.09. Молочный пакет.

Пакет для молока (см. рис.) склеивается из бумажного кольца. Длина ребра полученной треугольной пирамиды равна полупериметру основания бумажного цилиндра. Предположим, что у этого пакета все грани — правильные треугольники. Как его разрезать в кольцо, высота которого равна половине ребра пирамиды?

6.10. Сложим квадрат.

Нетрудно разрезать прямоугольник 4x6, изображенный на рисунке, так, чтобы из него и квадрата 1x1 можно было сложить квадрат 5 х 5. Но попробуйте разрезать каждую из этих фигур на 2 равные части так, чтобы из них также можно было бы сложить квадрат 5x5.

6.11. Пополам.

Фигуру, изображенную на рисунке, разрежьте на две равные части.

6.12. Из трех — один.

Разрежьте большой квадрат на 3 части так, чтобы из них и двух других квадратов, изображенных на рисунке, можно было сложить один большой квадрат.

6.13. Из двух — одна.

Разрежьте каждую из двух фигур, изображенных на рисунке, на 4 части одинаковым образом так, чтобы из полученных 8 кусков можно было сложить подобную им фигуру вдвое большей площади.

6.14. Из квадрата — треугольник.

Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно сложить тупоугольный треугольник.

6.15. Из треугольника — шестиугольник.

Из треугольника с углом 60е и прилегающими к нему сторонами 2 и 3 сложите шестиугольник, разрезав треугольник на 3 части.

6.16. Елочка.

Разрежьте «елочку», изображенную на рисунке, на 4 части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

6.17. Зубчатый квадрат.

Превратите зубчатый квадрат в обыкновенный, разрезав его на 5 частей.

6.18. Из прямоугольника — кубик.

Прямоугольник 3x4 разрежьте так, чтобы он не распался на части, но им можно было бы оклеить кубик 1x1x1 в два слоя.

6.19. Квадрирование фигуры.

Изображенную фигуру разрежьте на 4 части, из которых можно сложить квадрат.

6.20. Дырявый зубчатый квадрат.

Разрежьте дырявый зубчатый квадрат на 5 частей так, чтобы из них можно было сложить обычный квадрат.

6.21 Продырявленный квадрат.

Разрежьте продырявленный квадрат на 8 частей, из которых можно сложить целый квадрат.

6.22. Два и один.

Два одинаковых выпуклых четырехугольника разрезали: один по одной диагонали, а другой — по второй диагонали. Покажите, что из этих четырех частей можно сложить параллелограмм.

6.23. Квадрат и пирамида.

Разделите квадрат на 4 части так, чтобы из них можно было сложить треугольную пирамиду, все ребра которой различны.

6.24. Прямоугольник с дыркой.

После того, как из прямоугольника вырезали меньший прямоугольник, образовалась фигура, изображенная на рисунке. Проведите прямую, которая делит площадь этой фигуры на 2 равные части.

6.25. По медианам.

Три одинаковых треугольника разрезали по медианам. Сложите из полученных кусков один треугольник (см.рис.).

6.26. Из коробки — квадрат.

Бумажную коробку — кубик без верхней грани — разрежьте на 3 части, из которых можно сложить квадрат.

6.27. Кораблик.

Бумажный «кораблик», изображенный на рисунке, разбейте на 2 части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

6.28. Число вершин.

Треугольник разрезали на 2 многоугольника прямолинейным разрезом. Один из полученных многоугольников вновь разрезали на 2 и т.д. Какое наименьшее количество разрезов следует произвести, чтобы общее количество вершин у полученных многоугольников равнялось 1989?

6.29. На 4 одинаковые части.

Фигуру, изображенную на рисунке, разрежьте на 4 одинаковые части.

Решения задач

Глава VI

Задачи на разрезание

6.00.

6.01.

6.02.

6.03.

6.04.

6.05.

6.06.

6.07.

6.08.

6.09.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

6.18.

6.20.

6.19.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

6.26.

6.27.

6.28. При разрезании многоугольника по прямой, проходящей через 2 его вершины, общее количество углов увеличивается на 2; если прямая проходит лишь через одну из вершин, то на 3, а если не проходит ни через одну из вершин, то на 4. Поэтому, т.к. 1989 = 3 + 496 х 4 + 2, то надо сделать не менее 497 разрезов.

6.29.

Оглавление

Глава I. Простые задачи 7

1.00. Где золотой ключик? 1.01. Бой курантов. 1.02. Домашние любимцы. 1.03. Блондины и голубоглазые. 8 1.04. Бочка и ведра. 1.05. После турнира. 1.06. Рыцарский щит. 1.07. Домой на метро. 9 1.08. Неправильные весы. 1.09. В гости. 1.10. Удастся ли распилить? 1.11. Дед и внуки. 1.12. Далеко ли от дома? 1 О 1.13. Кружочки на бумаге. 1.14. Как ее зовут? 1.15. Успел бы? 1.16. Всегда 2? 1.17. Во время затмения. 1 1 1.18.Точки на прямой. 1.19.Так сколько же? 1.20. Мгновенный ответ. 1.21. Возможно ли? 1.22. Счет на пальцах. 1 2 1.23. Что задумано? 1.24. В чем дело? 1.25. Передвижка. 1.26. Авиарейс. 1.27. Домино в коробке. 1 3 1.28. Два пирата. 1.29. Трехзначные числа.1.30. Семерку — в конец.1.31. Когда он родился? 1.32. Вес бревна. 1.33. В чем причина? 1.34. Возраст братьев. 1.35. Наименьшее число. 1.36. Сколько мне лет? 15 1.37. В овощном магазине. 1.38. Угол между стрелками. 1.39. Поход за грибами. 1.40. И так, и сяк — квадрат. 1.41. Примечательный возраст. 1 6 1.42. Математик и ГАИ. 1.43. Кубатура. 1.44. Поездка на каникулах. 1.45. Номер телефона. 1.46. Грибы в корзине. 1.47. Что за числа? 1.48. Сбор металлолома. 17 1.49. На лыжах. 1.51. Два простых. 1.52. Простой номер телефона. 1.53. Сколько бидонов? 1.54. Что поставить? 1.55. Старый шкаф. 1.56. Девятку — в конец. 1.57. Спички в коробке.. 1 8 1.58. Сколько номеров? 1.59. Супердомино. 1.60. Произведение цифр. 1.61. Двухкомнатная квартира. 19 1.62. Перегоревшие лампочки 1.63. Школьники. 1.64. Забытая авторучка. 1.65. Нитки. 1.66. Про Ивана-царевича. 21 1.67. Часы с боем. 1.68. На грибной охоте. 1.69. Стулья и табу-

ретки. 1.70. На автостоянке. 1.71. В метро. 1.72. А если пешком? 22 1.73. Кто в чем? 1.74. Старинные меры. 1.75. О тяжелых днях. 1.76. Портфели на весах. 1.77. Что в коробках? 1.78. Найди число. 23 1.79. В кафе-мороженом. 1.80. На вес 1.81. Детские весы. 1.82. Замечательное число. 24 1.83. На поляне. 1.84. Делимость на 5.1.85. Заработок лодыря. 1.86. Возраст правнучки. 1.87. Совсем простые. 1.88. Два путника. 25 1.89. Фехтовальщики. 1.90. Охота на мышей. 1.91. На рынке. 1.92. Привезли фрукты. 1.93. В день рождения бабушки. 1.94. Какое это слово? 27 1.95. Торт. 1.96. По проекту Остапа Бендера. 28 1.97. На весах. 1.98. Найди русское слово. 1.99. Ошибка Незнайки. 29

Решение задач главы I 30

Глава II. Задачи посложнее

41 2.00. Последний фрукт. 2.01. Счастливые номера. 2.02. В посудной лавке. 2.03. Средний результат. 42 2.04. Листок календаря. 2.05. Как можно больше. 2.06. Зеркальные числа. 2.07. Три простых числа. 43 2.08. Слоны и озеро. 2.09. Углы звезды. 2.10. Сложение с доминошками. 2.11. Счастливые билеты. 2.12. Фальшивая монета. 2.13. Одинаковые показания. 45 2.14. Слежка в ЦРУ. 2.15. Квадрат суммы квадратов. 2.16. Равноделящий зигзаг. 2.17. Два подряд. 2.18. Любопытная расстановка. 46 2.19. Три бидона. 2.20. Числа на кубике. 2.21. Прогулка по парку. 2.22. Игра за столом. 47 2.23. Размер квадрата. 2.24. Есть ли еще? 2.25. Крестики-нолики. 2.26. Невозможный треугольник? 2.27. Кляксы. 2.28. Равнобедренный треугольник. 2.29. Круги и квадраты. 48 2.30. Раскраска кубика. 2.31. Странное свойство. 2.32. Электронные часы. 2.33. На прогулке. 2.34. Два произведения. 49 2.35. Полплощадки. 2.36. Сохранение делимости. 2.37. А если

наоборот? 2.38. Странная последовательность. 2.39. Какая квартира? 2.40. Шифровка. 2.41. Возвращение. 50 2.42. Испорченный бриллиант. 2.43. Рваная бумага. 2.44. На диком Западе. 2.45. Узнай возраст. 2.46. В буфете. 2.47. Порванная книга. 2.48. На футбольном матче. 2.49. В универмаге. 51 2.50. Тестовая проверка. 2.51. Цена книги. 2.52. В 6 раз. 2.53. Удивительная пара. 2.54. В джунглях. 2.55. По порядку. 2.56. Трансформации. 52 2.57. На тусовке. 2.58. Проверка тождества. 2.59. Копилка. 2.60. На микрокалькуляторе. 2.61. Другой спидометр. 2.62. Вращение биссектрисы. 2.63. Последняя цифра квадрата. 53 2.64. Шахматный турнир. 2.65. Высыхающее море. 2.66. Фома и Ерема. 2.67. Номера автобусов. 2.68. Уютная квартира. 54 2.69. Игра навылет. 2.70. Два кошелька. 2.71. Эпидемия гриппа. 2.72. Коллекционеры. 2.73. Поправка в цене. 55 2.74. Утроенная сумма. 2.75. Червивый персик. 2.76. Кого больше? 2.77. В шторм. 2.78. В цирке. 2.79. Удалось ли сыграть? 2.80. У светофора. 57 2.81. Любая сумма без сдачи. 2.82. Кулинарная задача. 2.83. На фуникулере. 2.84. Гастролер. 2.85. Рассеянные гости. 582 .86. Детективная история. 2.87. Удивительное свойство. 2.88. Цена блокнота. 2.89. Числа на доске. 2.90. Квадраты в квадрате. 2.91. Числа на карточках. 59 2.92. Бегуны на бульваре. 2.93. Трудная головоломка. 2.94. Номера квартир. 2.95. Оркестр. 60 2.96. В киоске. 2.97. Дележ бензина. 2.98. Простые кучки доминошек. 2.99. Шарики на весах. 61

Решения задач главы II 62

Глава III.Трудные задачи 75

3.00. Первые цифры степеней. 3.01. Делимость на 10.3.02. Дома на хуторе. 3.03. На равные кучки. 3.04. Любопытное число. 3.05. Поровну цифр. 76

3.06. Загадочная цифра. 3.07. Какое же верное? 3.08. Салфетки в кафе. 3.09. Максимальная сумма. 3.10. В какой системе?773.11. Бумаги и булавка. 3.12. Равенство площадей. 3.13. Еще одно равенство. 3.14. Одно наверняка. 3.15. В два слоя. 78 3.16. Чертова дюжина. 3.17. Точки в квадрате. 3.18. Замечательная последовательность. 3.19. Длина последовательности. 3.20. По росту. 3.21. Уникальный язык. 3.22. По 5 пятниц. 79 3.23. Незадача грабителей. 3.24. Всеобщий мир. 3.25. Президентский обед. 80 3.26. Ромашка. 3.27. Население страны. 3.28. Пять дуг. 3.29. Домино на шахматной доске. 3.30. Признак делимости на 13.81 3.31. Коты в мешке. 3.32. Фигуры на доске. 3.33. Инфляция. 3.34. Полный словарь. 3.35. Новый учитель. 3.36. Цена туфель. 83 3.37. Новые номера. 3.38. Охота Мюнхгаузена. 3.39. За одно посещение. 3.40. Что за числа? 3.41. Номера домов. 84 3.42. Монеты Лапутии. 3.43. На дискотеке. 3.44. Делимость на 92. 3.45. Точки на окружности. 3.46. Лгуны и правдивые. 3.47. Странная последовательность. 85 3.48. Волейбол. 3.49. Рыбный день. 3.50. Удивительное число. 3.51. Делимость на 1993. 3.52. Продажа книг. 86 3.53. Кругом 56. 3.54. Ровно по одной. 3.55. Магический квадрат. 3.56. Два килограмма крупы. 3.57. Стороны прямоугольного треугольника. 87 з .58. Факториалы. 3.59. У лифта. 3.60. Расставьте скобки. 3.61. Укладка домино. 3.62. Разборка гангстеров. 3.63. Угол в 45*. 3.64. За круглым столом. 89 3.65. Странные часы. 3.66. Награда калифа. 3.67. Снова 45е. 3.68. Куча денег. 3.69. Футбольный турнир. 90 3.70. Поле Чудес. 3.71. Квадрат на куб. 3.72. Телесериал. 3.73. На экскурсию. 91 3.74. Тетрадный лист. 3.75. Новые крестики-нолики. 3.76. Другая последовательность. 3.77. Кубичный корень. 3.78. Сумма цепочных чисел. 3.79. Странное уравнение. 3.80. Интересное множество. 92 3.81. Дорога в поле. 3.82. Биллиард. 3.83. Делимость на 10.3.84. Се-

редины ломаных. 3.85. Точки на диаметре 93 3.86. Развертка параллелепипеда. 3.87. Игра в 3 фишки. 3.88. Пишем число. 3.89. Восьмитомник Ж.Верна. 3.90. Знакомства. 3.91. По шпалам. 94 3.92. Пробежки. 3.93. Канал и плот. 3.94. Волшебный замок. 95 3.95. Космическое многоборье. 3.96. Приведения. 3.97. Али-Баба и бочка. 96 з .98. Маляры и монтажники. 3.99. Безобидный результат. 97

Решения задач главы III 98

Глава IV. Задачи в картинках 121

4.00. Кто первый? 1 22 4.01. Сколько денег в кошельке. 123 4.02. В чем фокус? 124 4.03. Королева и рыцари. 125 4.04. Три мушкетера. 126 4.05. Кто с кем танцует? 127 4.06. Четыре лилипута. 128 4.07. Сколько стоит арбуз? 129 4.08. Три богатыря. 1 30 4.09. В баре. 131

Решения задач главы IV 132

Глава V. Числовые ребусы 133

5.00. Политический. 5.01. Песенный. 5.02. Каникулярный. 5.03. Семейный. 134 5.04. Родственный. 5.05. Текстильный. 5.06. Валютный. 5.07. Железнодорожный. 5.08. Морской. 135 5.09. Животноводческий. 5.10. Зубоврачебный. 5.11. Научный. 5.12. Ботанический. 5.13. Географический. 5.14. Химический. 136 5.15. Арифметический. 5.16. Тригонометрический. 5.17. Азербайджанский. 5.18. Африканский. 5.19. Швейцарский. 5.20. Грузинский. 138 5.21. Сербский. 5.22. Английский. 5.23. Американский. 5.24. Японский. 5.25. Кубинский. 139 5.26. Московский. 5.27. Саратовский. 5.28. Городской. 5.29. Чет-нечет. 5.30. Немецкий. 5.31. Сказочный. 5.32. Казачий. 140 5.33. Разговор. 5.34. А и В. 5.35. В произведении лишь

А. 5.36. Задача из кусочков. 5.37. Наивное равенство. 142 5.38. Неравенство. 5.39. Степенной. 5.40. Двойки. 5.41. Стая аистов. 5.42. Делимость на 101.5.43. Пятью-пять. 5.44. Семью-семь. 5.45. Тройки. 1435 .46. Он и она. 5.47. Она и они. 5.48. Правоприемство. 5.49. Еловый лесок. 1 44 5.50. Что за звездочками. 5.51. Мини-ребус. 5.52. Три буквы. 5.53. Головоломка. 5.54. Боксерский. 5.55. Футбольный. 145 5.56. Шахматный. 5.57. Треугольный. 5.58. Улей. 5.59. Всякая ерунда. 146 Решения задач главы V 147

Глава VI. Задачи на разрезание 151

6.00. Мальтийский крест. 6.01. Из треугольника — ромб. 6.02. Из четырехугольника — параллелограмм. 152 6.03. Ступеньки. 6.04. Что за камень? 6.05. Лесенка. 6.06. На три части. 6.07. Оклейка кубика. 153 6.08. Флаги. 6.09. Молочный пакет. 6.10. Сложим квадрат. 6.11. Пополам. 1 54 6.12. Из трех один. 6.13. Из двух — одна. 6.14. Из квадрата — треугольник. 6.15. Из треугольника — шестиугольник. 155 6.16. Елочка. 6.17. Две фигуры. 6.18. Квадрирование фигуры. 6.19. Продырявленный квадрат. 6.20. Зубчатый квадрат. 1 57 6.21. Дырявый зубчатый квадрат. 6.22. Два и один. 6.23. Квадрат и пирамида. 6.24. Прямоугольник с дыркой. 1 58 6.25. По медианам. 6.26. Число вершин. 6.27. Кораблик. 6.28. Из коробки — квадрат. 159 6.29. На четыре одинаковых части. 160 Решения главы VI 161

Савин Анатолий Павлович

Занимательные математические задачи

Ответственный редактор О.Г.Хинн

Художники: А.В.Кардашук, М.В.Колденкова, А.И.Савельев Макет М.В.Колденковой Художественный редактор Н.Н.Хотулева Чертежи A.O.Хоменко Младший редактор О.В.Алехина

ЛР № 060519 от 05.01.92. Подписано в печать с оригинал-макета 10.06.95. Формат 84ХЮ8'/|б. Бумага офсетная. Гарнитура Прогматика. Печать офсетная. Усл. печ. л. 18,48. Тираж 31 000 экз. Заказ 601.

ТКО «ACT»

143900, г. Балашиха Московской обл., ул. Фадеева, д. 8.

АООТ «Ярославский полиграфкомбинат». 150049, г. Ярославль, ул. Свободы, 97.