И. В. ПРОСКУРЯКОВ

ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ

И. В. ПРОСКУРЯКОВ

ЧИСЛА и МНОГОЧЛЕНЫ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»

МОСКВА • 1965

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Числа и многочлены, на первый взгляд столь различные между собой, имеют, однако, много общего. Для тех и других определены действия сложения, вычитания, умножения и деления, обладающие одними и теми же свойствами. Как те, так и другие являются частными случаями общего понятия кольца, являющегося одним из основных понятий современной алгебры. Поэтому становится возможным изучение чисел и многочленов в рамках одной общей теории. Это позволяет яснее видеть взаимосвязь и значение различных их свойств и устраняет многократное и утомительное повторение одних и тех же рассуждений при построении различных числовых областей и многочленов.

Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями.

Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.

Книга рассчитана на преподавателей математики в старших классах средней школы, но не касается вопросов методики преподавания. Ее можно рекомендовать также студентам педагогических и учительских институтов, а также школьникам старших классов, интересующимся обоснованием понятий числа и многочлена.

В первых двух главах вводятся общие понятия, необходимые для понимания всей книги. В последующих главах строятся натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа, многочлены и алгебраические дроби. Эти главы можно читать в любом порядке,так как свойства чисел, которые там доказываются, известны из школы.

Примеры, иллюстрирующие новые понятия, используют свойства чисел, доказательство которых часто дается лишь дальше, но которые читателю известны.

При работе над книгой я использовал ряд ценных указаний С. А. Яновской, А. Н. Колмогорова, П. С. Александрова, А. Я. Хинчина и И. Р. Шафаревича.

Всем им я выражаю свою сердечную благодарность. Москва, 25 октября 1948 г. И. Проскуряков

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

За пятнадцать лет, прошедших со времени первого издания, я получил ряд положительных отзывов об этой книге. Надеюсь, что она и в дальнейшем будет содействовать привлечению молодежи к работе в области математики.

Настоящее издание выходит без существенных изменений. Добавлены лишь отдельные замечания и изменены ссылки на литературу в связи с выходом новых изданий указанных книг.

И. Проскуряков

Москва, 15 июня 1964 г.

ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ

Глава первая

МНОЖЕСТВА

§ 1. Понятие о множестве

Любая область математики изучает те или иные объекты не каждый в отдельности, а в их связи между собой. Объекты, обладающие теми или иными общими свойствами, объединяются вместе в одну совокупность и изучаются совместно. Так, в арифметике не изучаются порознь числа 3 и 5, но рассматривается совокупность всех простых чисел, обладающих общим свойством не делиться ни на какое другое (натуральное) число, кроме самого себя и единицы.

Совокупность всех натуральных чисел включается в более широкую совокупность целых чисел. Расширяя уже полученную числовую область, мы приходим далее к рациональным, действительными, наконец, комплексным числам. В алгебре рассматриваются такие совокупности, как многочлены и алгебраические дроби. В геометрии, изучая свойства треугольника, отвлекаются от его положения на плоскости или даже от его размеров, получая теоремы, справедливые для всех равных или же всех подобных треугольников, рассматриваются совокупности точек, обладающих тем или иным общим свойством (геометрические места), и т. д.

Бессмертной заслугой Кантора* является создание общей теории таких совокупностей, носящей название теории множеств и лежащей теперь в основе всей математики.

Мы ограничимся здесь лишь начальными сведениями из этой теории, отсылая читателя, желающего детально с ней ознакомиться, к книге Ф. Хаусдорфа «Теория множеств», перевод с немецкого Н. Б. Веденисова, ГОНТИ, 1937.

Множество — это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Эти слова не следует принимать за определение

* Георг Кантор, 1845-1918.

понятия множества, ибо чем слово «совокупность» лучше слова «множество»? Понятие множества принимается за основное, т. е. несводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом а и содержащим его множеством А обозначается так: а £ Л (словами: а есть элемент множества Л, а принадлежит Л, А содержит а). Если а не является элементом множества Л, то пишут а £ А (словами: а не входит в Л, Л не содержит а). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем употребляются фигурные скобки. Так, {а, Ь, с} обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Но, конечно, значение точек должно быть дополнительно разъяснено. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем многоточие имеет уже иной смысл.

Два множества Л и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества Л принадлежит множеству В и, обратно, каждый элемент множества В принадлежит множеству Л. Тогда пишут Л = В. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, fc, с допускает 6 видов записи:

Из соображений формального удобства к числу множеств относят еще одно-единственное множество, не содержащее ни одного элемента. Оно называется пустым множеством и обозначается символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).

Если каждый элемент множества Л входит в множество Ву то Л называется подмножеством В; тогда В называется надмножеством Л. Пишут Л ^ В, В ^ Л (словами: Л входит в В или Л содержится в В, В содержит Л). Очевидно, что если А^ВиВ^А, то А = В. Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.

Если каждый элемент множества Л входит в множество В> но множество В содержит хотя бы один элемент, не входящий в Л, т. е. если А ^ В и А≠В, то Л называется собственным подмножеством множества В, В — собственным надмножеством множества Л. Тогда пишут Л с В, В Z) Л. Например, запись Л≠ и Л Z) 0 означает одно и то же, именно, что множество Л непусто.

Заметим еще, что надо различать элемент а и множество {а}> содержащее а в качестве единственного элемента. Помимо того, что такое различие диктуется уже смыслом основного отношения элемента и множества, играющих при этом неодинаковую роль

(отношение a Ç Л не симметрично, т. е. если а £ Л, то не имеет смысла запись Л 6 а), такое смешение ведет к противоречию. Так, пусть множество Л = {а, Ь) содержит два элемента. Рассмотрим множество {А} у содержащее своим единственным элементом множество А. Тогда А содержит два элемента, тогда как {А} лишь один элемент, и поэтому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому мы не будем применять запись a cz А, сохраняя обозначение а £ А.

Примеры множеств. Понятно, что примеров множеств можно привести сколько угодно. Так, можно говорить о множестве всех букв данной книги, причем одна и та же буква на разных страницах или разных строках одной страницы считается за два различных элемента множества; о множестве всех людей на земном шаре, причем надо сделать гипотезу, что в рассматриваемый момент времени никто не рождается и не умирает; о множестве молекул воды в данном стакане и т. д. Все это — конечные множества. Кроме уже упоминавшихся выше бесконечных множеств натуральных чисел, четных натуральных чисел, рациональных чисел, действительных чисел и других, приведем еще некоторые.

Пусть а и b — два действительных числа, причем а < Ь. Множество всех действительных чисел х, для которых а <: х ^ 6, называется отрезком с концами а и Ъ и обозначается символом [а, Ь]. Множество (а, Ь) всех х, для которых а < X < 6, называется интервалом с концами а, Ь. |,алее, полуинтервалами называются множества |а, Ь) тех х, для которых а ^ X < 6, и (а, Ь] тех х, для которых а < х

Введем еще два символа: -f. оо (плюс бесконечность) и — оо (минус бесконечность). Они не считаются числами и вводятся лишь для удобства записи. Тем не менее для более легкого обращения с ними можно считать, что + оо больше, а — оо меньше любого действительного числа. Тогда можно ввести обозначения, аналогичные приведенным выше, для бесконечных полуинтервалов и интервалов. Именно: [а, + оо) есть множество элементов для которых а я, (— оо, Ь] — множество элементов х, для которых X ^ 6, (а, + оо) — множество х, для которых а < х, (— оо, 6) — множество xt для которых X < 6, (— оо, -f оо) — множество всех действительных чисел

§ 2. Операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих по крайней мере одному из данных множеств (т. е. либо Л, либо В, либо одновременно и Л и В). Пишут А V В и читают: А объединение В.

Пересечением множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих одновременно и А и В. Пишут А /\ В и читают: А пересечение В.

Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих Л и не принадлежащих В. Пишут Л\5 и читают: Л минус В*.

Примеры. 1. Пусть А есть отрезок [1, 3], Z? — отрезок [2, 4]. Тогда А у В есть отрезок |1, 4], A f\ В — отрезок (2, 3], А \В — полуинтервал [1, 2), В\А — полуинтервал (3, 4].

* Некоторые авторы применяют обозначения А + Вч AB, А — В, но в алгебре это неудобно из-за смешения с алгебраическими операциями.

2. Пусть А есть множество всех прямоугольников, а В — множество» всех ромбов на плоскости. Тогда А д В есть множество всех квадратов, А\В — множество прямоугольников с неравными сторонами, В\А — множество всех ромбов с неравными углами.

3. Пусть А и В — множества, для которых А с= В. Тогда

4. Пусть А — множество всех целых чисел, кратных числу /г, В — множество всех чисел, кратных числу /. Тогда А /\В есть множество чисел, кратных общему наименьшему кратному k и /.

Очевидно, что А /\В = О тогда и только тогда, когда А и В не имеют общих элементов, и А\В = О тогда и только тогда, когда А^В.

Операции объединения и пересечения множеств обладают многими свойствами сложения и умножения чисел. А именно:

I. Коммутативность объединения (переместительный закон):

II. Ассоциативность объединения (сочетательный закон):

III. Коммутативность пересечения:

IV. Ассоциативность пересечения:

V. Дистрибутивность пересечения относительно объединения (распределительный закон):

При употреблении скобок мы пользуемся теми же правилами,, как в случае чисел, т. е. при отсутствии скобок считаем, что операция пересечения предшествует операции объединения, скобки: же указывают на изменение этого порядка, как в свойстве V, или на расхождение порядка операций с порядком их записи, как в свойствах II и IV.

Кроме того, операции над множествами обладают еще одним свойством, не выполняющимся для чисел, а именно:

VI. Дистрибутивный закон объединения относительно пересечения:

Таким образом, объединение и пересечение множеств симметричны, т. е. играют в свойствах I — VI одинаковую роль. Иными

словами, переставив местами операции объединения и пересечения в системе свойств I — VI, мы получим опять ту же систему свойств (изменится лишь порядок этих свойств).

Мы докажем в качестве примера рассуждений подобного рода лишь свойство VI, предоставляя читателю доказательство остальных свойств в качестве упражнения. Согласно определению равенства множеств нужно доказать, что любой элемент х, принадлежащий левой части равенства, должен принадлежать правой его части и, наоборот, любой элемент х правой части должен принадлежать и левой части.

а) Пусть X g А V В Л С. По определению объединения либо X 6 Л, либо X еВ А С. Если X Ç Л, то из А ^ А \/ В, А А\/С находим х£А\/Въх£А\/С. Откуда х £(А V В) Л (А \/С). Если х £ В /\ С, то по определению пересечения х £ В ^ А \/ В и X 6 С <= А V С, т. е. снова х 6 (А V В) Л (А V О-

б) Пусть, обратно, ж 6 (Л V #) Л (А \/С). Тогда z 6 Л V В и X 6 А V С. Поэтому либо х £ Л S Л \/ В /\ С, либо s 6 Л; но так как х £ А \/ В и х £ А \/ С, то должно быть х £ 5, а: £ С и, следовательно, ж^ДС^^ у В /\ С.

Понятия объединения и пересечения множеств дословно переносятся на случай более двух и даже любого (конечного или бесконечного) множества множеств.

Для удобства речи будем называть системами такие множества, элементами которых служат другие множества. Тогда объединением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих по крайней мере одному множеству данной системы. Пересечением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, входящих во все множества данной системы.

Применяются следующие обозначения. В случае конечной системы множеств Ai, Л2, Ап объединение S и пересечение D обозначаются так:

В случае бесконечной последовательности множеств Au ^2>-«-» АП1 т. е. системы, множества которой занумерованы всеми натуральными числами, пишут:

Наконец, в случае произвольной системы {Ат} множеств Ат, индексы которых составляют некоторое множество М, пишут:

В иных случаях применяются обозначения, аналогичные указанным (см., например, задачу 1).

Задача 1. Пусть Ап есть множество точек плоскости, лежащих внутри круга радиуса 2п с центром в точке (9, причем п принимает все целые значения

Найти объединение и пересечение

Задача 2. Пусть А и В — любые множества, S = Ay В, D = А /\В. Доказать равенства 5\Л = B\D, S\Z? == A\D.

Задача 3. Пусть {А т] есть какая-нибудь система подмножеств множества /?, причем M есть множество индексов т. Доказать равенства

§ 3. Функция, отображение, мощность

Такую же существенную роль, как понятие множества, играет в математике понятие функции. Что же такое функция? Часто говорят, что функция есть переменная величина, зависящая от другой переменной величины (аргумента). В применении к обычным функциям, изучаемым в школе, как у = sin а:, это определение вполне подходит и может применяться в преподавании. Наша задача, однако, состоит в более точном уяснении сущности этого понятия и получении современного определения его. Прежде всего, если взять функцию у = sin2 х + + cos* X, то ее значение уже не зависит от значения х. Далее, под величинами принято понимать такие объекты которые можно сравнивать между собой, т. е. такие, между которыми существуют отношения больше и меньше. Между тем в математике рассматриваются функции, для которых эти отношения не установлены, как в случае комплексных чисел или вообще элементов некоторого множества. Внимательное рассмотрение показывает, что в понятии функции существенно не столько ее изменение с изменением аргумента, сколько сам закон соответствия, в силу которого по каждому значению аргумента однозначно определяется соответствующее ему значение функции. Так, функцию у = sin2 х + + cos2 Xможно определить просто, сказав, что каждому вещественному числу X она ставит в соответствие число 1. Соответствие есть закон, позволяющий для каждого элемента х некоторого множества X однозначно указать некоторый объект (соответствующий данному элементу). Эти слова лишь поясняют понятие соответствия, но не должны пониматься как его определение. Понятие соответствия, как и понятие множества, принимается за основное, не подлежащее определению. Тогда наиболее общее определение функции будет такое:

Определение 1. Функцией, заданной (или определен-

ной) на некотором множестве Ху называется соответствие, в силу которого любой элемент х множества X определяет некоторый (соответствующий ему) объект f(x). Множество X называется областью определения функции, а множество Y объектов, соответствующих всем элементам множества Х,— областью значений функции.

Примеры. 1. у = sin X. За область определения функции можно принять множество действительных чисел. Тогда областью значений функции будет отрезок [— 1, +1].

2. у = tg X. За область определения функции можно принять множество действительных чисел, отличных от чисел вида пл Н--^» где п пробегает все целые значения (ибо для этих значений х функция не определена). Тогда областью значений функции будет множество всех действительных чисел.

3. Функция Дирихле: / (х) = (0 при х рациональном, \ 1 при X иррациональном. Область определения функции — множество действительных чисел, область значений — множество {0, 1}, состоящее из двух элементов.

Весьма близким к понятию функции является понятие отображения.

Определение 2. Пусть даны два множества X и Y. Такое соответствие, при котором каждому элементу х £ X соответствует (единственный) элемент у £ F, называется отображением множества X в множество Y; в частности, если каждый элемент у Ç Y соответствует по крайней мере одному элементу X Ç X, то такое соответствие называется отображением множества X на Y. Если элементу х соответствует г/, то у называется образом X, ах — прообразом у. Пишут х ->- у или у = f (х). Множество А всех элементов х £ X, имеющих один и тот же образ у £ Y, называется полным прообразом элемента у.

Примеры. 1. Пусть D — множество действительных чисел. Соответствие х-> \х\ будет отображением множества D в себя же и отображением D на множество неотрицательных чисел. Прообразом числа 0 будет один О, число у > 0 имеет два прообраза -f у и — у.

2. Поставим в соответствие каждой точке квадрата ее ортогональную проекцию на основание. Получим отображение квадрата на отрезок. Полным прообразом каждой точки основания будет множество всех точек квадрата, лежащих на перпендикуляре к основанию, восставленном в данной его точке.

Эти примеры показывают, что при отображении множества X в У, с одной стороны, некоторые элементы из Y могут вовсе не иметь прообразов, а, с другой стороны, могут быть элементы, имеющие несколько (даже бесконечно много) прообразов. Если нет ни того, ни другого, то отображение называется взаимно однозначным. Таким образом, мы приходим к следующему определению:

Определение 3. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y (или отображением X на Y) назы-

вается соответствие (соответственно отображение), обладающее следующими тремя свойствами:

1) каждому элементу множества X соответствует один и только один элемент множества Y;

2) двум различным элементам множества X всегда соответствуют два различных элемента множества У;

3) всякий элемент множества Y соответствует хотя бы одному элементу множества X.

Заметим, что первые два свойства дают взаимно однозначные отображения множества X на некоторое подмножество множества Y. В этом случае говорят о взаимно однозначном отображении X в Y.

Если у = f(x) есть взаимно однозначное отображение X на F, то каждому элементу у Ç Y можно поставить в соответствие тот единственный элемент х Ç X, образом которого при отображении / является у. Это соответствие называется обратным отображением для отображения / и обозначается через /~\ В качестве легкого упражнения предлагается доказать, что f~l есть также взаимно однозначное отображение Y на X и что обратным для отображения /~! будет исходное отображение /.

Определение 4. Два множества X и У, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными, что обозначается символом X ^ Y. Об эквивалентных множествах говорят, что они имеют одинаковую мощность или что они равномощны. Пустое множество эквивалентно только самому себе.

Замечание. Мы сказали, когда два множества имеют одинаковую мощность, т. е. дали определение понятия равномощности, но не понятия мощности. Можно было бы сказать, что мощность есть то общее, что имеется у всех эквивалентных между собой множеств, однако это слишком неопределенно. Этой неопределенности можно избежать (хотя это покажется непривыкшему к абстракции весьма искусственным), назвав мощностью сам класс равномощных множеств. Впрочем, всюду достаточно понятия равномощности.

Соотношение эквивалентности обладает следующими тремя основными свойствами:

1) рефлексивностью:

2) симметрией:

3) транзитивностью:

Для доказательства, например, первого из них достаточно каждому элементу х £ X поставить в соответствие его же самого (тождественное отображение), что уже дает взаимно однозначное отображение множества X на себя. Доказательство остальных двух свойств предоставляется читателю*.

Мощность множества характеризует, так сказать, «количество» его элементов. Однако при этом может оказаться, что часть

* Подробнее о значении этих свойств будет сказано в главе IV, § 20.

будет равна целому, т. е. множество может иметь одинаковую мощность с его собственным подмножеством.

Примеры. 1. Функция у = Юг, где х — действительное число, дает эквивалентность отрезка [0, 1] и в 10 раз более длинного отрезка [0, 10). Таким образом, в смысле мощности количество точек обоих отрезков одинаково.

2. Более того, два любых отрезка [а, Ь] и [с, rf], a также два любых интервала (а, Ь) и (с, d) эквивалентны. Достаточно рассмотреть функцию

Во-первых, каждому действительному числу х однозначно соответствует у, причем легко видеть, что о—>■ с и b—*- d. Далее, пусть xj-*- yi% х2—>- у2 и х{ < х2. Согласно определению отрезка и интервала (конец § 1) а < b и с < d. Следовательно, ——— > 0. Поэтому у \ < у2>

Итак, если а <: х <:Ь (или а < х < Ь), то и с ^ у <:d (соответственно с < у < d). Значит, точкам отрезка [а, Ь] соответствуют точки отрезка [с, d], причем различные точки переходят в различные же (и то же верно в случае интервалов). Наконец, обратное отображение х = а -)—^—-^(у — с) обладает теми же свойствами, откуда следует, что каждому у из [с, б] найдется один (и даже только один) прообраз х из [а, Ь] (то же для интервалов). Этим доказано, что [a, b] ~ [с, d] (соответственно (а, Ь) ~ (с, d)).

3. Функция у = tgx дает эквивалентность интервала (--^ , + "g") множеству всех действительных чисел.

4. Считая соответствующими друг другу числа, стоящие одно под другим в следующих строках:

(рп — п-е простое число), заключаем, что множества всех натуральных чисел, четных чисел, нечетных чисел, степеней 10, простых чисел, все пмеют одну и ту же мощность, хотя первая из них является собственным надмножеством остальных.

5. Множество натуральных чисел эквивалентно множеству рациональных чисел. В самом деле, любое рациональное число, отличное от нуля, однозначно записывается в виде несократимой дроби — , где принято q>0 (т. е. знак отнесен к числителю).

Из возможных записей для нуля выберем одну, например -у- . Тогда запись вида— однозначно определена для всех рациональных чисел (в частности, при q = 1 получатся все целые числа).

Высотой числа — назовем натуральное число \р\ + д, где \р\ — абсолютная величина числа р. Тогда все рациональные числа можно расположить в одну последовательность в порядке возрастания высоты, а числа с одинаковой высотой — в порядке возрастания числителя. Таким образом, получим последовательность:

Так как чисел данной высоты п лишь конечное число (именно, не более 2 (п — 1), ибо числитель меняется от — (п — 1) до + (п — 1), исключая значение 0), то перед каждым данным числом в последовательности стоит лишь конечное число чисел. Поэтому, нумеруя числа последовательности по порядку натуральными числами, мы действительно занумеруем все рациональные числа, что и доказывает требуемую эквивалентность.

§ 4. Конечные и бесконечные множества

Все множества, эквивалентные собственным подмножествам, которые указаны в предыдущем параграфе, были бесконечны. Мы сейчас увидим, что это не случайно (см. ниже, теорема 1). Однако сначала необходимо дать строгое определение понятия конечного и бесконечного множества.

Замечание. Нам придется существенно использовать свойства натуральных чисел, строгое обоснование которых будет дано лишь в главе III. Читателю нужно убедиться, что в наших рассуждениях нет порочного круга. Для этого достаточно проверить, что при обосновании в главе III индуктивного доказательства, индуктивного определения и порядка натуральных чисел (которыми мы пользуемся в первых двух главах) мы нигде не пользуемся теоремами из глав I и II. Обоснование этих вопросов дано в § 11 — 15 главы III. Там будет указано (см. замечание в § 15), с какого момента применение первых двух глав к теории натуральных чисел уже законно, т. е. не ведет к порочному кругу.

Определение 1. Множество натуральных чисел, меньших или равных некоторому натуральному числу и, называется отрезком натурального ряда и обозначается символом |1, п\.

Определение 2. Множество, эквивалентное отрезку натурального ряда, а также пустое множество, называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Иными словами, конечное множество (если оно непусто) есть такое множество, элементы которого можно «пересчитать», т. е. перенумеровать так:

причем все элементы будут занумерованы, все числа от 1 до п будут использованы и различные элементы получат различные номера. Бесконечное же множество — такое, элементы которого так «пересчитать» нельзя.

Из свойств 2) и 3) эквивалентности, приведенных в предыдущем параграфе, следует, очевидно, что множество, эквивалентное конечному (или бесконечному) множеству, само будет конечным (соответственно бесконечным).

Теорема 1 (основная теорема о конечных множествах). Конечное множество не эквивалентно никакому его собственному подмножеству и собственному надмножеству.

Доказательство. Каждое из двух утверждений теоремы (о подмножестве и надмножестве) легко следует из другого,

так как если А ^ 5, то из конечности одного из множеств А и В, как было отмечено выше, следует конечность другого. Докажем, например, что конечное множество А не эквивалентно его собственному подмножеству. Для пустого множества А = 0 теорема верна, так как пустое множество вовсе не имеет собственных подмножеств. Пусть А≠0. Тогда по определению конечного множества А эквивалентно (по крайней мере одному) отрезку натурального ряда |1, п\. Докажем индукцией по числу п*, что А нельзя взаимно однозначно отобразить на его собственное подмножество В. Для п = 1 это очевидно, так как в этом случае А |1э 1| и содержит лишь один элемент. Единственным его собственным подмножеством будет В = 0, причем А не эквивалентно В.

Предположим, что теорема доказана для натурального числа п. Докажем ее для числа п + 1. Итак, пусть А ^ |1, и + и пусть / есть взаимно однозначное отображение А на В. Занумеровав элементы А соответствующими им числами, получим: А = {аи а2, an + i}- Для В = 0 утверждение справедливо. Если В≠0, то без ограничения общности можно предположить, что элемент ап+1 £ В. Иначе, берем элемент Ъ £ В и строим новое множество Ви полученное из В заменой элемента b на ап + ь и новое отображение /4, которое совпадает с / для всех элементов множества Л, кроме элемента а со свойством /(а) = Ь, причем для этого элемента а полагаем fi(a) =ап+{. Тогда /i будет взаимно однозначным отображением множества А на собственное подмножество Ви содержащее an+i. Далее, без ограничения общности можно считать, что f(an+i) =an + J. Иначе, пусть /(a.) =an + i и f(an + i) = a,j. Тогда строим новое отображение /ь совпадающее с / для всех элементов Л, кроме ai и ап + и причем полагаем fi(ai) = üj и /i(an+1) =an + i.

Итак, пусть an + i Ç В и f(an+i) =an+i. Рассмотрим множества А' = Л\{ап + 1} и В' = В\{ап + {}. Очевидно, отображение / устанавливает эквивалентность множеств А' и В'. Так как В — собственное подмножество множества Л, то существует элемент а £ Л\#, причем так как a,t + i 6 В, то а≠an + i. Поэтому a Ç А'\В'. Значит, В' есть собственное подмножество множества Л'. Но

Мы получили противоречие с предположением индукции, чем наше утверждение, а значит, и вся теорема доказана.

Теорема 2. Всякое непустое конечное множество эквивалентно одному и только одному отрезку натурального ряда.

Доказательство. По определению 2 непустое конечное множество А эквивалентно по крайней мере одному отрезку

* Заметим, что нельзя вести индукцию по числу элементов множества А, так как понятие о числе элементов вводится ниже с помощью теоремы 1.

натурального ряда. Если бы оно было эквивалентно двум различным отрезкам

то по свойствам эквивалентности будет: |1, т\ ^ |1, и|, что противоречит теореме 1, так как один из двух различных отрезков натурального ряда является собственным подмножеством другого.

Определение 3. Однозначно определенное для данного непустого конечного множества А натуральное число п такое, что А ~ |1, и|, называется числом элементов множества А. Числом элементов пустого множества называется число 0.

Из свойств эквивалентности следует, что два конечных множества тогда и только тогда эквивалентны, когда они имеют одно и то же число элементов. Поэтому число элементов можно принять за определение мощности конечного множества.

Теорема 3. Любое подмножество конечного множества само конечно. Любое надмножество бесконечного множества само бесконечно.

Доказательство. Каждое из двух утверждений теоремы следует из другого. Так, если первое утверждение верно, то верно и второе, так как если А бесконечно и A В, то и В бесконечно, ибо если бы В было конечно, то по первой половине теоремы и А было бы конечно. Достаточно поэтому доказать первое утверждение. Итак, пусть А конечно и В <=, А. Если А =0, то и 5 = 0 - теорема справедлива. Пусть A Z) 0. Тогда A -v. |1, п\ для некоторого натурального числа п. Применим индукцию относительно п. При п = 1 теорема верна, так как А содержит один элемент, и либо В = 0, либо В — А. Пусть утверждение верно для некоторого п. Докажем его для числа п + 1. Итак, пусть / — взаимно однозначное отображение А на отрезок |1, п + 1|. Если В = А, то В конечно. Пусть В с А. Тогда существует элемент a Ç А\В. Можно считать, что f(a) = п + 1. Иначе, f(a') = п + 1, где a Ç Л, а≠а. Если тогда f(a) = i, то строим новое отображение fu полагая /i (а) =п + 1, f\ (a) =i и /j = / для остальных элементов множества А. Итак, пусть f(a) = п + 1. Положим А' = А\{а). Тогда / определяет взаимно однозначное отображение множества А' на отрезок |1, п\, и В S Л'. Следовательно, по предположению индукции В конечно. Теорема доказана. Согласно теореме 3 понятие о числе элементов имеет смысл для любого подмножества данного конечного множества. При этом имеет место следующая теорема:

Теорема 4. Число элементов конечного множества А всегда больше числа элементов его собственного подмножества В.

Доказательство. Пусть m — число элементов множества А и п — число элементов множества В. Предположим, что n^z т. Так как A z> В, то А≠0, m > 0 и А ~ |1, т\. Также и п ^ m > 0, следовательно,

(1)

При взаимно однозначном отображении А на отрезок |1, т\ множество В отобразится также взаимно однозначно на некоторое собственное подмножество В' отрезка |1, т\; таким образом,

(2)

(3)

Но из (1) и (2) вытекает В' ^ |1, п\% что в силу (3) противоречит теореме 1, ибо отрезок |1, п\ оказывается эквивалентным своему собственному подмножеству В'. Теорема доказана.

До сих пор мы еще не доказали бесконечности какого-либо множества. Но из теоремы 1 следует:

Теорема 5. Множество N всех натуральных чисел, а также любое множество, содержащее подмножество, эквивалентное N, бесконечно.

Доказательство. Множество N бесконечно, ибо отображение f(n) = п + 1 для любого натурального числа п отображает взаимно однозначно множество N = {1, 2, 3,...} на его собственное подмножество N{ = {2, 3, 4, ...}. Значит, любое множество N', эквивалентное N, бесконечно, а по теореме 3 и любое множество, содержащее подмножество N', эквивалентное N, также бесконечно.

Примеры. 1. Множества действительных или комплексных чисел содержат множество N натуральных чисел и, следовательно, бесконечны. 2. Отрезок [0, 1] также есть бесконечное множество, так как он содержит множество N' чисел вида — (п = 1, 2, 3, ...), эквивалентное множеству N.

Определение 4. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным.

Иными словами, счетное множество — это такое множество, элементы которого можно «перенумеровать» при помощи натуральных чисел так, чтобы при этом все числа были использованы и различные элементы всегда имели бы различные номера. Таким образом, счетное множество А всегда можно записать в виде:

Как показывают примеры в конце предыдущего параграфа, множества четных или нечетных чисел, простых чисел, а также множество рациональных чисел счетны.

Определение 5. Множество, не являющееся конечным или счетным, называется несчетным.

Следующий пример показывает, что такие множества действительно существуют*.

* Существует даже бесконечно много различных мощностей, на чем мы останавливаться не будем, отсылая желающих к уже упомянутой выше книге Хаусдорфа «Теория множеств».

Множество всех действительных чисел несчетно. Заметим сначала, что из примеров 2 и 3 предыдущего параграфа следует эквивалентность этого множества интервалу (0,1). Достаточно поэтому доказать несчетность последнего. Мы будем считать известным, что каждое число интервала (0,1) записывается в виде конечной или бесконечной десятичной дроби вида:

при этом хотя бы одна из цифр ai отлична от нуля (ибо число 0 =0,000... не принадлежит интервалу (0,1). Далее, для чисел, имеющих запись в виде конечной десятичной дроби, существует и другая запись, где все цифры ау, начиная с некоторого места, равны 9. Например:

Остальные числа (т. е. иррациональные и те рациональные, которые разлагаются в периодическую дробь с периодом, не равным 9) имеют единственную запись. Из двух возможных записей для первых чисел мы выберем какую-нибудь одну, например в виде конечной десятичной дроби. Тогда все числа интервала (0,1) будут единственным образом записываться в виде:

где не все а{ равны 0 и никогда все цифры, начиная с некоторой, не могут равняться 9. Обратно, всякая такая десятичная дробь дает одно из чисел интервала (0, 1). Легко видеть, что интервал (0, 1) есть бесконечное множество, ибо он содержит множество

эквивалентное множеству натуральных чисел (см. теорему 5). Покажем, что (0,1) не является счетным множеством. Предположим обратное. Тогда все числа интервала можно занумеровать так:

Запишем каждое число десятичной дробью указанного вида:

(4)

Построим теперь число с = 0, Ьф2Ь3... следующим образом: берем цифру Ьи отличную от аи, 0 и 9; берем b2l отличную от

^22. О и 9; Ь3, отличную от а33, 0 и 9, берем Ъп, отличную от апп, О и 9, ... Наличие десяти цифр оставляет для такого выбора достаточно возможности (именно, каждый раз в нашем распоряжении остается еще семь цифр). Дробь О, Ь{Ь2Ь3... обладает нужными свойствами и даже в усиленной форме — она вовсе не имеет цифр 0 и 9. Значит, число с принадлежит интервалу (0,1). Но запись числа с отлична от записей всех чисел (4). В самом деле, запись с отличается от сь ибо≠aiU от с2, ибо ЬоФ о>22у и т. д. Но дробью нашего типа числа интервала записываются однозначно. Значит,

Оказалось, что число с не входит в множество чисел (4), тогда как мы предположили, что в (4) перенумерованы все числа интервала. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Среди всех бесконечных множеств счетные множества являются наименьшими в следующем смысле:

Теорема 6. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть M — бесконечное множество. Тогда М^О. Выберем какой-нибудь из его элементов и обозначим его через а^. Пусть в M уже выбраны п различных между собой элементов: alt а2, ап. Так как M бесконечно, то

и можно выбрать элемент

Он отличен от всех ранее выбранных элементов. По принципу индукции доказано, что для любого п существует в M подмножество из п элементов, причем множество An+i получается из Лп присоединением одного нового элемента an+i. Очевидно, что объединение

является счетным подмножеством М.

Теперь легко доказать, что свойство конечного множества не иметь эквивалентного с ним собственного подмножества (см. теорему 1) для бесконечных множеств никогда не выполняется. Именно имеет место следующая теорема:

Теорема 7. Всякое бесконечное множество M эквивалентно некоторому собственному подмножеству.

Доказательство. По теореме 6 множество M содержит счетное множество

Пусть М\А = В, В з 0. Определим отображение / множества M в себя следующим образом:

для любого b £ В. Очевидно, что / является взаимно однозначным отображением множества M на его собственное подмножество A/XfaJ, чем теорема доказана.

Дадим теперь другое определение понятий конечного и бесконечного множества.

Определение 2'. Множество, не имеющее эквивалентного с ним собственного подмножества, а также пустое множество, называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Из теорем 1 и 7 следует эквивалентность определения 2' прежнему определению 2. В самом деле, если множество конечно в смысле определения 2, то по теореме 1 оно конечно и в смысле определения 2'. Обратно, если множество конечно в смысле определения 2', то оно должно быть конечно в смысле определения 2, так как иначе оно было бы бесконечно в смысле определения 2 и по теореме 7 бесконечно также в смысле определения 2', что невозможно. Итак, оба определения конечных множеств эквивалентны. Отсюда (предположением от противного) сразу вытекает эквивалентность определений бесконечных множеств.

Отметим, что определение 2' имеет то (правда, лишь формальное) преимущество перед определением 2, что оно формулировано в терминах общей теории множеств, тогда как определение 2 предполагает известными свойства натурального ряда.

§ 5. Упорядоченные множества

До сих пор мы изучали лишь такие свойства множеств, которые были связаны с основным отношением, существующим между множеством и его элементами, или те свойства (как, например, эквивалентность) двух множеств, которые опять связаны с отношением этих множеств к их элементам. Мы не рассматривали никаких соотношений между элементами одного и того же множества; все они были для нас совершенно равноправны. Однако в математике такие, так сказать, «чистые» множества встречаются редко. Обычно изучаются множества, между элементами которых существуют те или иные отношения, та или иная зависимость. Так, в геометрии две прямые в одной плоскости могут пересекаться или быть параллельными. Между тремя точками прямой существует отношение, выражаемое словами: «одна из

трех точек лежит между двумя другими». В арифметике между числами существуют отношения а + b = с или ab = с и др. Одним из важнейших отношений, существующих между числами, является отношение порядка. Числа той или иной совокупности естественным образом располагаются в определенном порядке, именно в возрастающем порядке. Так, для множества натуральных чисел таким естественным порядком будет расположение

В настоящем параграфе рассматривается понятие порядка в самом общем виде, т. е. для любых множеств.

Определение 1. Множество M называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое отношение, выражаемое словами: «а предшествует 6», что будет записываться так: а <Ь*. Это отношение обладает следующими свойствами:

I. Между любыми двумя элементами а и b существует одно и только одно из трех соотношений: а = 6, а <Ь, b <а.

II. Для любых трех элементов а, b и с из a <Cb, b <Сс следует а <С с. Пустое множество по определению упорядочено.

Заметим, что знак « =» мы всегда понимаем в смысле тождества, совпадения элементов. Запись а = b просто означает, что буквами а и b обозначен один и тот же элемент множества М. Поэтому из свойства I следует, что между двумя различными элементами выполняется одно и только одно из двух соотношений a <Cb или b <а.

Если а предшествует fe, то говорят, что b следует за а, и пишут b > а.

Отношение а> b обладает, как легко проверить, свойствами, аналогичными свойствам I и II. Его можно принять за основное, определив тогда через него отношение а <6 (см. §9).

Если в упорядоченном множестве M поменять ролями отношения «<С» и О», т. е. вместо а <Ь писать а > b и наоборот, та получится новое упорядоченное множество М', порядок которого называется обратным относительно порядка М. Например, для приведенного выше порядка в множестве натуральных чисел обратным будет порядок:

Два упорядоченных множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, взятых в одном и том же порядке. Поэтому при записи упорядоченного множества через элементы необходимо отметить их порядок. Мы будем считать, что запись слева направо соответствует порядку элементов, и сохраним прежнее обозначение фигурными скобками. Одно и то же множество можно упорядочить различным образом (если

* Не следует смешивать смысла этой записи с неравенствами чисел.

оно содержит не менее двух элементов). Так, множество натуральных чисел можно упорядочить обычным образом или в обратном порядке, можно нечетные числа поставить впереди четных или наоборот, располагая те и другие в возрастающем или убывающем порядке. Получим упорядоченные множества:

(1)

(2) (3) (4) (5) (6)

Элемент, не имеющий предшествующего, называется первым, элемент, не имеющий следующего, — последним. Элементы а и b называются соседними, если не существует элемента с, для которого а <с <С 6 или b <С с <С а. Если а и b соседние и а <С Ь, то говорят, что а непосредственно предшествует b, a b непосредственно следует за а. Упорядоченное множество (1) имеет первый элемент и не имеет последнего, множество (2), наоборот, имеет последний элемент, но не имеет первого, множество (4) имеет как первый, так и последний, и (5) — ни первого, ни последнего элемента, множество (3) содержит два элемента, не имеющих непосредственно предшествующего, а (6) — два элемента, не имеющих непосредственно следующего. Во всех этих множествах каждый элемент имеет соседний. Множество рациональных чисел, расположенных по возрастанию, не имеет соседних элементов, так как между любыми числами а и b лежит число

Если а = b или а <С Ь, то пишут а ^ Ь, если а = b или а > 6, то пишут а ^ Ъ.

Из определения 1 легко вытекает справедливость следующих двух теорем:

Теорема 1. Если а ^ b и b ^ а, то а = Ь.

Теорема 2. Если а ^ b и b <; с, то а ^ с. Если а ^ b и b ^5 с, то а ^ с. При этом если, хотя бы в одном из данных неравенств, имеется строгое неравенство, то и в полученном неравенстве будет также строгое неравенство.

Определение 2. Два упорядоченных множества А и В называются подобными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов, т. е. такое, что из а{ -+Ьи а2 -*Ь2 и а^ <ia2 следует 6, <Ь2. Все множества, содержащие лишь один элемент, подобны. Пустое множество подобно лишь самому себе. О подобных множествах говорят, что они имеют один и тот же тип. Отношение подобия двух множеств А и В обозначается так: А ä В.

Читателю предоставляется доказать, что отношение подобия: обладает тремя основными свойствами:

1) Рефлексивностью: А ä А.

2) Симметрией: если А ä В, то В ä А.

3) Транзитивностью: если А « В и В « С, то А « С.

Сравнивая определение подобия с определением эквивалентности (§ 3, опр. 4), мы убеждаемся, что первое включает второе, т. е. верна следующая теорема:

Теорема 3. Подобные множества эквивалентны', из A œ В следует А ^ В.

Обратное утверждение неверно. Так, множества (1) и (2) эквивалентны (даже просто равны как неупорядоченные множества), но не подобны, так как (1) имеет первый элемент, а (2) его не имеет, тогда как при подобном соответствии первому элементу одного множества должен соответствовать первый элемент другого. Тем не менее для конечных множеств теорема, обратная теореме 3, также верна. А именно:

Теорема 4. Если конечные упорядоченные множества эквивалентны, то они подобны.

Эта теорема ввиду свойств 1) — 3) подобия является непосредственным следствием приведенной ниже теоремы 7. Для любых множеств в известной мере обратной теореме 3 является следующая теорема

Теорема 5. Любое множество А, эквивалентное упорядоченному множеству В, можно упорядочить, т. е. определить для его элементов отношение порядка, обладающее свойствами I и II*, и притом так, что полученное упорядоченное множество будет подобно В.

Доказательство. Если а^ и а2 — любые элементы множества А, Ь{ и Ь2 — соответствующие им при взаимно однозначном отображении А на В элементы множества В и 6j <Cb2, то положим ai <а2. Легко проверить, что определенное так отношение порядка в А обладает свойствами I и II и, очевидно, А подобно В.

Теорема 6. Любое непустое конечное упорядоченное множество А содержит первый и последний элемент.

Доказательство. Пусть А не имеет последнего элемента. Берем любой элемент ах £ А. Так как он не последний, то существует а2 Ç А такой, что аА <С а2, так как а2 — не последний, то существует аг Ç А такой, что а2 <а,. Если элемент ап построен, то существует ап fl 6 А такой, что ап <Can + i. По индукции элемент ап построен для любого п. Пусть N' = {аи а2, а9,...} —

* Справедлива даже теорема, что любое множество можно упорядочить (см.: Хаусдорф, Теория множеств, стр. 60), но ее доказательство выходит за рамки нашей книги.

множество всех построенных элементов. Очевидно, что из отношения i < k следует по свойству II: ai <Са^, откуда по свойству I 41.≠аь. Значит, N' эквивалентно множеству натуральных чисел. Поэтому множество А бесконечно (§ 4, теорема 5), что невозможно. Существование первого элемента доказывается аналогично.

Теорема 7. Любое конечное множество можно упорядочить. Все конечные упорядоченные множества с одним и тем же числом элементов п > О подобны отрезку |1, п\ натурального ряда и, значит, подобны между собой.

Доказательство. Пустое множество упорядочено по определению. Если А≠0 — конечное множество, то Л |1, п\. Отрезок |1, п\, очевидно, есть упорядоченное множество. По теореме 5 множество А можно упорядочить. Пусть теперь А — любое конечное упорядоченное множество с числом элементов п > 0. По теореме 6 А содержит первый элемент а4. Если N > 1, то по теореме 2 из § 4 множество

и снова содержит первый элемент аъ причем а{ <Са2. Пусть уже построен элемент аг Если i <; п, то по теореме 2 (§ 4) множество

и по теореме 6 оно содержит первый элемент а/ + 1, причем а1<й( + 1. Так мы построим элементы а{ для всех i ^ п. Множество

Множество А не эквивалентно собственному подмножеству (§ 4, теорема 1). Значит,

Очевидно, что из i <^k следует а{ <ah, т. е. А подобно отрезку 11, п\.

Из этой теоремы следует, что все п\ возможных расположений множества с п элементами имеют один и тот же тип.

Задача 1. Доказать, что все упорядоченные множества (1) — (6) имеют различные типы.

Задача 2. Доказать, что всякое подмножество А упорядоченного множества M само является упорядоченным при сохранении для его элементов отношений порядка, заданных во всем множестве М. Говорят, что этот порядок подмножества ^индуцирован данным порядком множества М.

Задача 3. Доказать, что всякое бесконечное упорядоченное множество содержит упорядоченное (в смысле индуцирования порядка) подмножество типа (1) или (2) (использовать понятия непосредственно предшествующего и непосредственно следующего элемента).

Глава вторая

КОЛЬЦО И ПОЛЕ

§ 6. Кольцо

Арифметика и алгебра изучают числа той или иной природы, многочлены и алгебраические дроби. При этом в первую очередь рассматриваются свойства основных четырех действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Свойства этих действий для различных областей объектов во многом оказываются одними и теми же. Вот почему вполне естественным и с точки зрения экономии мысли весьма целесообразным является построение в современной алгебре самых общих образований, обладающих тем не менее интересующими нас свойствами. В таком абстрактном виде легче выяснить значение и взаимозависимость данных свойств, так как в конкретной области чисел, многочленов и т. д. дело осложняется наличием ряда других свойств, помимо тех, которые мы желаем изучать.

В последующих главах будет дано построение основных числовых областей, а также многочленов и алгебраических дробей (точнее, рациональных функций). Чтобы лучше уяснить значение их различных свойств и одновременно избежать многократного повторения одних и тех же рассуждений в применении к каждой из указанных областей*, мы рассмотрим в настоящей главе основные понятия абстрактной алгебры. Читателю, желающему глубже изучить эти вопросы, рекомендуем замечательную по строгости и красоте изложения, хотя и не легко написанную книгу Б. Л. Ван-дер-Вардена «Современная алгебра», в двух частях, издание 2, 1947.

С точки зрения теории множеств любое из четырех основных действий есть некоторое отношение между тройками элементов данного множества (см. начало § 5). Эти отношения отличаются, однако, от других (как, скажем, отношение порядка, рассмотренное в § 5) тем, что во всех четырех случаях по двум элементам

* Примером такого повторения может служить построение различных числовых областей, данное в книге Э. Ландау, Основы анализа, Государственное издательство иностранной литературы, М., 1947.

находится третий (результат данного действия), дающий с двумя данными тройку элементов, находящихся в данном отношении. Отношения такого типа получили особое название, а именно: Определение 1. Такое соответствие, в силу которого каждой паре a, b элементов множества М, взятых в данном порядке, соответствует единственный третий элемент с того же множества Л/, называется алгебраической операцией, определенной в М.

Используя понятие функции (§ 3, опр. 1), можно сказать короче, что алгебраическая операция, определенная в множестве М, есть функция, определенная на множестве всех упорядоченных пар элементов M, значения которой принадлежат М.

Пусть дана операция, ставящая в соответствие паре элементов а% b из множества M элемент с. Те две операции, которые получатся из данной путем перемены в ней роли одного из элементов a, b и элемента с (одного из данных элементов с искомым), называются обратными для данной операции. Таким образом, первая обратная операция: паре с, b ставят в соответствие элемент a, a вторая — паре с, а ставят в соответствие элемент Ь. Как хорошо известно, обратные операции не всегда существуют. Так, для натуральных чисел определены операции сложения и умножения, но обратные операции — вычитание и деление — не всегда выполнимы. Операция называется коммутативной, если ее применение к парам a, b и Ь, а всегда дает один и тот же результат. Если для коммутативной операции существует одна из обратных операций, то существует и другая, и обе они совпадают между собой. Это, почти очевидное, положение легко доказать совершенно формально. Обозначим данную операцию символом / (а, Ь) = с. Пусть, например, существует первая обратная операция, т. е. для любых 6 и с существует единственный элемент a =fx{c, b) такой, что f(a, b) = с. Заменяя а его выражением, получим равенство j(fx(c,b),b) = с, верное для любых b и с. По коммутативности операции f(a, b) отсюда следует: f(b, /i (с, b)) = с. Наконец, меняя обозначение b на а, найдем /i (с» я)) =с Для любых а и с. Но это означает, что fi(c, а) есть такой элемент 6, который удовлетворяет равенству f(a, b)=c. Если бы для некоторых а и с существовал элемент Ь'≠Ь, для которого f(a,b') = с, то по коммутативности / (а, Ь) было бы также f(b\ а) = с, что невозможно, так как уже f(b,a) =с и существует только один элемент Ь, удовлетворяющий этому равенству при данных а и с, именно b = fi(c, а). Итак, для любых а и с существует единственный элемент b =fi(c, а), такой, что f(a, fi(c, а)) = с. Но это значит, что существует вторая обратная операция /2 (с, а) = b = fi (с, а), совпадающая с первой для любых а м с. Так, для целых чисел операция сложения коммутативна и имеет поэтому единственную обратную операцию — вычитание. Для положительных действительных чисел операция f(a,b)=ab некоммутативна, ибо аьФ Ьа для любых а, Ь. Обе

обратные операции существуют и различны. Именно:

Желая изучать общие свойства операций над целыми числами, рациональными числами, многочленами и т. д., мы приходим к одному из основных понятий абстрактной алгебры.

Определение 2. Непустое множество R называется кольцом, если в нем определены две алгебраические операции: сложение, ставящее в соответствие каждым двум элементам а и b элемент а + 6, называемый их суммой, и умножение, ставящее в соответствие каждым двум элементам а и Ь элемент ab, называемый их произведением, причем эти операции обладают следующими свойствами (напоминаем, что знак «=» всегда означает совпадение элементов):

I. Коммутативностью сложения: а + b = b + а.

II. Ассоциативностью сложения: а + (Ь + с) =(а + Ь) + с.

III. Обратимостью сложения: для любых а и b из R уравнение а + X = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент с £ R такой, что а + с = Ъ.

IV. Коммутативностью умножения*: ab = Ъа.

V. Ассоциативностью умножения: a (be) = ab(c).

VI. Дистрибутивностью умножения относительно сложения: (а -+ Ь) с = ас + be.

Свойства I — VI можно рассматривать как аксиомы, определяющие в совокупности понятие кольца.

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является:

1. Множество целых чисел.

2. Множество рациональных чисел.

3. Множество действительных чисел.

4. Множество комплексных чисел.

5. Множество, состоящее лишь из одного числа 0.

6. Множество четных чисел и вообще множество чисел, кратных некоторому числу п.

7. Множество комплексных чисел а + Ы с целыми а и b (так называемое кольцо целых гауссовских чисел).

8. Множество действительных чисел вида a -f b )^2, где а и b — целые числа.

Множество натуральных чисел, а также множество всех положительных рациональных чисел кольцом не являются, так как не выполняется свойство III.

9. Большую роль в алгебре играет кольцо многочленов с одним или несколькими неизвестными и коэффициентами из некоторого кольца R (точное определение будет дано в главе VIII). При этом за операции сложения и умножения принимаются обычные действия над многочленами, известные из школьной алгебры. Эти действия имеют смысл, так как они сводятся к

* В литературе термин кольцо применяется также к множествам с некоммутативным или даже неассоциативным умножением. Формулировка других свойств также меняется. Однако во всей книге нам нужно определенна кольца в приведенной здесь форме.

сложению и умножению коэффициентов многочленов, а последние принадлежат к кольцу Я, где действия определены.

10. Пары (а, Ь) целых чисел образуют кольцо, если операции определены по формулам:

Проверка справедливости свойств I — VI во всех этих примерах предоставляется читателю.

Следствия из свойств ассоциативности и коммутативности.

Ввиду полной аналогии свойств II и V для двух операций мы будем говорить лишь об умножении. Ассоциативность умножения позволяет говорить о произведении трех элементов а, & и с, понимая под этим любое из равных произведений a (be) и (ab) с, и писать abc без скобок. Можно, однако, и без свойства ассоциативности для любых п элементов аи а2, ап определить их произведение Па,-. Именно, дадим индуктивное определение произведения нескольких элементов кольца (обоснование законности такого определения дано в главе III, § 15): для п = 1, т. е. в случае одного сомножителя аь определяем

Если произведение любых п элементов уже определено, то произведение гс + 1 элементов определяем так:

Согласно этому определению произведение трех элементов равно (аха2) а8, произведение четырех элементов равно ((aia2)a3) а4, пяти — (((aia2)a3)ak) а5 и т. д.

Но также по индукции можно определить произведение п элементов с произвольным распределением скобок. Конечно, при этом требуется, чтобы система скобок удовлетворяла определенным условиям. Так, из двух пар скобок либо одна пара лежит внутри другой, либо обе пары лежат вне друг друга, так как скобки типа (ai[a2) а3] лишены логического смысла. Далее, одни и те же элементы никогда не заключаются в две пары скобок, один элемент и все данные элементы также не заключаются в скобки.

Произведение одного элемента по-прежнему равно этому элементу. Пусть произведения с любым распределением скобок определены для элементов кольца в числе ^ п. Требуется определить произведение любых п + 1 элементов аь а2, . . ., аЛ+1 с любым распределением скобок. Все п + 1 элементов распадаются на группы, каждая из которых состоит из элементов, заключенных в «наружные» скобки (не лежащие внутри других), или из одного элемента, лежащего вне скобок. Пусть

элементы последней такой группы. Число элементов всех групп, кроме последней, есть k <^п + 1, число элементов последней группы есть гс + 1 — k <.п + 1. Значит, эти два произведения согласно предположению индукции уже определены, т. е. дают два элемента кольца. Произведение этих двух элементов и принимается за произведение данных п + 1 элементов с данным распределением скобок.

Легко видеть, что в частном случае отсутствием скобок это определение совпадает с предыдущим определением произведения JJ а- (последняя группа элементов содержит тогда лишь один элемент). Отсутствие свойства ассоциативности означает существование трех элементов а, Ъ и с таких, что a (be)≠(аЪ)с, т. е. оба определения не совпадают уже для трех сомножителей. Мы докажем, что при наличии закона ассоциативности оба определения дают один результат для любого числа элементов.

Теорема 1. Произведение п элементов кольца (и аналогично — результат любой ассоциативной операции над элементами некоторого множества) с любым распределением скобок не зависит от распределения скобок, т. е. все произведения, получаемые при различных распределениях скобок, равны между собой.

Доказательство. Докажем по индукции, что любое такое произведение п элементов совпадает с

Для п = 1 существует по определению лишь одно произведение:

Пусть доказано, что при m ^ п любое произведение со скобками из m элементов равно ] J а(, и пусть дано произведение п + 1 элементов аи а2, . . an+i с некоторым распределением скобок. Обозначим его результат через а. По определению произведения со скобками элемент а равен произведению произведения элементов всех групп, кроме последней, на произведение элементов последней группы. Пусть последняя группа содержит элементы <zft + 1, ah+2i • • •» #n +i- Так как J<n и дг + 1 — k ^ п, то по предположению индукции произведение первых k элементов равно

а произведение последних п + 1 — k элементов равно

откуда

По определению произведения без скобок имеем:

Тогда по закону ассоциативности V:

Слова по предположению индукции:

Поэтому, применяя определение произведения без скобок, находим:

Теорема доказана.

Эта теорема позволяет вовсе не писать скобок в произведении и говорить просто о произведении данных элементов в данном порядке.

В случае суммы пишут:

Далее, из законов коммутативности I и IV следует теорема:

Теорема 2. Определенное согласно теореме 1 произведение (а также результат любой ассоциативной и коммутативной операции) любых п элементов кольца не зависит от порядка сомножителей.

Наметим лишь ход доказательства, предоставляя его детальное проведение читателю.

1) Пользуясь правом вводить или отбрасывать скобки и законом коммутативности, доказываем, что произведение не меняется от перестановки двух соседних множителей.

2) Перестановку двух любых множителей сводим к ряду перестановок соседних множителей.

3) Любую перестановку множителей сводим к ряду перестановок двух множителей.

Обе теоремы позволяют говорить просто о произведении конечного числа элементов кольца, независимо от наличия скобок и порядка сомножителей. То же справедливо для суммы.

Сумма п одинаковых слагаемых а называется п-кратным а и обозначается через па (предупреждаем читателя от смешения па с произведением элементов кольца — п может и не принадлежать

кольцу). Произведение п одинаковых сомножителей называется л-й степенью а и обозначается через ап.

Из теоремы 1 легко следуют обычные правила оперирования над кратным и степенями:

(2) (3) (4)

Далее, из теоремы 2 следуют соотношения:

(5) (6)

Здесь а и b — элементы кольца, a m и п — натуральные числа.

Следствия из закона обратимости сложения. Заметим, что свойство III еще не дает без дополнительных рассуждений наличия обратной операции для сложения, так как оно утверждает лишь существование, но не единственность элемента с. Чтобы убедиться в том, что из свойства III все-таки следует существование обратной операции, надо сначала ввести понятие нуля и противоположного элемента.

Определение 3. Нулем кольца Я называется такой элемент 0, который удовлетворяет условиям: а + О = = 0 + а = а для любого элемента а из R.

Теорема 3. Во всяком кольце существует нуль и притом только один.

Доказательство. Пусть а есть элемент кольца R. По свойству III существует элемент п такой, что а+п=а. Пусть b—любой элемент кольца Л. Из свойства III следует, что существует элемент с такой, что Ь = а+с. Тогда, используя свойства I и II, находим:

т. е b +п = Ь. Тогда (свойство I) n + b= b + n= b для любого 6\ Значит, элемент п является нулем кольца R. Пусть пх и п%—два нуля кольца R. Из того, что пг есть нуль, следует: л1-|-гг, = п1, а из того, что п1 есть нуль, получим: п1+пг = пг, значит, п1 = пг, чем доказана единственность нуля.

Определение 4. Для данного элемента а кольца противоположным элементом называется такой элемент — а, который удовлетворяет условию а + (—а) == (—а) + а = 0.

Теорема 4. Для любого элемента а кольца существует противоположный элемент и притом только один.

Доказательство. Из свойств III и I следует существование элемента —а такого, что а + (— а) =(— а) + а = 0.

Итак, —а есть элемент, противоположный а. Если i и с-два элемента, противоположные а, то

т. е. b = с, чем доказана единственность элемента, противоположного для а. Из равенств

следует, что а есть противоположный элемент для элемента —а, и по доказанной единственности противоположного элемента имеем:

(7)

Теорема 5. Если а + b = а + с, mo b = с, т. е. равные слагаемые в обеих частях равенства можно отбрасывать.

Доказательство. Прибавляя к обеим частям равенства а + b = а + с элемент — а, получим (— а) + а + b = = (— а) + а + с, 0 + b = 0 + с, b = с.

Наконец, из теоремы 5 получим следующую теорему:

Теорема 6. Сложение в кольце обладает единственной обратной операцией.

Доказательство. Согласно свойству III для любых а и с существует b такой, что а + b — с. Если а + &i = с и а+Ь2 =с, то а + 64 = а + 62 и (по теореме 5) Oi = b2. Таким образом, сложение обладает второй обратной операцией. Но из коммутативности сложения следует существование и первой обратной операции и ее совпадение со второй. Это было доказано выше для любой алгебраической операции. Повторим это доказательство для частного случая операции сложения.

Пусть а и с — любые элементы кольца. По доказанному существует единственный элемент b такой, что а + b = с. Из свойства I следует, что b + а =с. Если Ь^ + а = с и Ь2 + а = с, то также а + Ъ{ = с, а + о2 = с. Следовательно, öi = 62. Итак, существует единственный элемент b такой, что b + а = с, т. е. существует первая обратная операция, и ее результат b для любых элементов с и а совпадает с результатом второй обратной операции, т. е. обе обратные операции совпадают.

Определение 5. Обратная операция для сложения называется вычитанием, а ее результат для элементов а и b называется разностью элементов b и а и обозначается b — а.

Таким образом, согласно этому определению имеем:

(8)

Разность можно представить в виде суммы:

(9)

Действительно,

Элемент, противоположный сумме любого конечного числа слагаемых, равен сумме элементов, противоположных слагаемым, т. е.

(10)

В самом деле, для п = 1 обе части равенства (10) равны —аи как это следует из индуктивного определения суммы. Пусть формула (10) верна для числа п. Тогда

Таким образом, формула (10) верна для числа п + 1.

В частности, для п равных слагаемых из равенства (10) получим: —па =п(— а). Будем по определению считать каждый из равных элементов: — па и п(— а) за (— п) а. Далее, для числа 0 определим 0-а = 0 (0 слева означает число, а справа — нуль кольца). Тогда кратные па элемента а определены для любого целого п. Читателю предлагается проверить, что правила (1), (2), (5) верны для любых целых чисел.

Зная сложение и вычитание двух элементов кольца, мы можем вычислять такие выражения, как

и т. д., выполняя указанные действия в указанном порядке. Однако остается еще неясным смысл выражений

Назовем выражения, составленные из нескольких элементов, соединенных знаками «+» и «—» и с заданным распределением скобок, обобщенными суммами. Точное определение обобщенной суммы п элементов можно дать по индукции. Для п = 1, т. е. для одного элемента аи мы определяем: + ах = а{; — aif как и прежде, элемент, противоположный а^ Переход от п к п+1 совершается дословно, как выше в случае произведения. В частности, при отсутствии скобок получим такие выражения, как а + b — с, а — b — с + с? и т. п., которые мы назовем алгебраическими суммами. Для них определение обобщенной суммы дает (если знаком * обозначить один из знаков «+»

или «—», а алгебраическую сумму элементов alt . . ап со знаками

обозначить символом

Теорема 7. Алгебраическая сумма равна обычной сумме тех ее элементов, перед которыми стоит знак « + », и сумме противоположных для тех, перед которыми стоит знак «—», т.е.

(11)

Доказательство. Используем равенство (9) и применим индукцию по п. Для п =1 обе части (11) равны аь если *4 есть « + », и — а и если * в есть «—». Считая (11) верным для п и используя (9) в случае, когда есть «—», получим:

Например:

Из теоремы 7 вытекает, что элементы алгебраической суммы можно переставлять между собой вместе с их знаками и, значит, равные элементы, входящие с противоположными знаками, можно сокращать, т. е. отбрасывать.

Теперь легко доказать обычное правило раскрытия скобок.

Теорема 8. Скобки, заключающие алгебраическую сумму, как один элемент другой алгебраической суммы, можно отбросить, сохраняя знаки в скобках, если перед скобками стоял знак и меняя их на противоположные, если был знак «—». Если под *0 и *0< понимать знак « + » и при i > О под "V — знак, противоположный то имеем:

(12) (13)

Доказательство. В случае (12), используя равенство (11), находим:

В случае (13), используя еще (10), имеем:

Из этой теоремы вытекают, в частности, равенства:

Обобщенная сумма зависит, конечно, от распределения скобок. Так:

Значит, для обобщенных сумм теорема, аналогичная теореме 1, неверна. Тем не менее рассуждение, аналогичное доказательству теоремы 1 (которое мы из экономии места опустим), вместе с теоремой 8 дает известный результат. А именно:

Теорема 9. Обобщенная сумма элементов кольца всегда равна некоторой алгебраической сумме тех же элементов.

Следствия закона дистрибутивности. До сих пор мы рассматривали свойства каждой из двух операций кольца отдельно. Эти свойства сохраняются поэтому для множеств с одной операцией, удовлетворяющей соответствующим аксиомам. Перейдем теперь к изучению связи сложения и умножения для кольца. Эта связь определяется законом дистрибутивности VI.

Прежде всего из VI и IV легко следует вторая сторона закона дистрибутивности:

(14)

В самом деле,

Далее, обе стороны закона дистрибутивности оказываются верными также и для разности, т. е.

(15)

Для доказательства надо проверить, что элемент (а — Ь) с удовлетворяет определению разности элементов ас и 6с. Но, пользуясь свойством VI и равенством (8), имеем:

Второе из равенств (15) выводится аналогично из равенства (14) или же из первого равенства с помощью закона коммутативности IV.

Докажем теперь, что нуль кольца обладает обычным свойством при умножении.

Теорема 10. Если один из сомножителей равен нулю, то и все произведение равно нулю, т. е. для любого элемента а кольца

(16)

Докажем лишь первое из равенств, так как второе вытекает из первого при помощи свойства IV. По определению нуля и разности

для любого 6. Отсюда

Однако теорема, обратная теореме 10, верная для чисел, ужо не сохраняется для любых колец. Так, в приведенном выше примере 10 (стр. 29) кольца, составленного из пар (а, Ь) целых чисел, нулем является, очевидно, пара (0, 0). Если взять целые числа а≠0 и Ь≠0, то пары (а, 0) и (0, Ь) отличны от нуля кольца, но

Определение 6. Элементы а и b кольца, для которых а≠0, Ъ≠0, но ab =0, называются делителями нуля. Кольцо без делителей нуля называется также областью целостности.

Теорема 11. Из ab = ас следует b = с, если только афО и не является делителем нуля.

Доказательство. Из ab = ас следует ab — ас = 0 или а (Ь — с) =0. Но так как а≠0 и не делитель нуля, то b — с = 0, b =с.

В дальнейшем нам придется иметь дело исключительно с кольцами без делителей нуля. Для них из ab = ас и а≠0 следует b =с.

При умножении справедливы обычные правила знаков, а именно*:

(17)

Первое из этих равенств доказывается так:

* Заметим, что пе следует пользоваться терминами «положительный» и ♦отрицательный» элемент, как для чисел. Эти понятия для любых колец будут введены в § 9. Пока же элементы а и — а вполне равноправны, каждый из них является противоположным для другого, и если обозначить — а через Ъ, то а придется обозначить через — Ь.

откуда

Второе вытекает из первого:

Третье следует из первых двух:

По индукции законы дистрибутивности обобщаются на любое конечное число слагаемых, а затем и на произведение двух сумм. Справедливы, таким образом, равенства:

(18)

Из равенств (18) и (2) при совпадении слагаемых каждой суммы, т. е. при

следует далее:

(19)

Наконец, из равенств (17) и (18), ввиду того что по теореме 7 алгебраическую сумму можно представить в виде обычной суммы, следует, очевидно, справедливость обычного правила почленного умножения алгебраических сумм. Так, например:

Свойства разности. В главе IV нам понадобятся следующие свойства разности элементов кольца:

Теорема 12. В любом кольце разность элементов обладает следующими свойствами:

а) б) в) г)

Доказательство. Прибавляя Ь + d к обеим частям равенства а — b = с — d, получим а + d — b + с. Обратно, прибавляя (— b) + (— d) к обеим частям второго из этих равенств, получим первое. Этим доказано равенство а). Равенства б), в) и г) доказываются аналогично или, проще, следуют из правил оперирования с алгебраическими суммами, причем при доказательстве равенства г) применяются правила знаков при умножении (17).

Подкольцо. Определение 7. Подмножество M кольца R называется подкольцом, если оно само является кольцом при тех же операциях сложения и умножения, которые определены в кольце R.

Так, кольцо четных чисел является подкольцом кольца целых чисел, а последнее в свою очередь подкольцом кольца рациональных чисел.

При выяснении того, является ли данное подмножество кольца подкольцом, нет надобности проверять справедливость всех свойств кольца. Большинство из них автоматически переходит с кольца на любое его подмножество. Удобнее всего пользоваться для этого такой теоремой.

Теорема 13. Для того чтобы непустое подмножество M кольца R было его подкольцом, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность и произведение любых двух элементов из M снова принадлежали М.

Доказательство. Для доказательства необходимости этих условий предположим, что M является подкольцом R. Сложение в M совпадает со сложением в R. Но из единственности обратной операции следует, что и вычитание в M совпадает с вычитанием в R. Поэтому сумма, разность и произведение любых двух элементов из M (определенные в кольце R) должны принадлежать скова к M, так как иначе одна из этих операций для данных двух элементов M была бы невыполнима в M, что противоречит определению кольца (см. определение 2) и вытекающей из него выполнимости вычитания (см. теорему 6).

Для доказательства достаточности предположим, что множество M удовлетворяет условиям теоремы. Так как сумма и произведение (определенные в R) любых элементов из M снова принадлежат к М, то их можно принять за результат сложения и умножения в М. Этим в M будут определены сложение и умножение. Свойства I, II, IV, V и VI переносятся автоматически с кольца R на любое его подмножество и, значит, выполнены в M. Пусть а и b — элементы М. Тогда b — а = с также есть элемент М. Но по свойству разности в R имеем:

Таким образом, и свойство III выполнено в М, и M является подкольцом кольца R.

Возникает вопрос, нельзя ли одно из трех условий теоремы 13 отбросить без нарушения ее справедливости. Первое условие (сумма элементов M принадлежит М) действительно можно отбросить (см. задачу 3). Остальные два условия отбросить нельзя, как показывают следующие примеры:

1. R — кольцо рациональных чисел, M — множество целых чисел и чисел вида п+ — с целым п. Сумма и разность элементов M принадлежат к М, но произведение не всегда, например

2. R — кольцо целых чисел, M — множество натуральных чисел. Сумма и произведение элементов из M принадлежат к Л/, но разность не всегда, например 1 — 2 = — 1.

Задача 1. Пользуясь лишь определением вычитания как обратной операции для сложения и не используя понятия алгебраической суммы и правил раскрытия скобок, доказать справедливость следующих равенств:

а) б) в) г) д) е)

Задача 2. Если задано натуральное число и, то все целые числа можно разбить на классы, относя к одному и тому же классу Кг все числа, дающие при делении на п один и тот же остаток г (напомним, что остаток г должен удовлетворять условию 0 <; г < п). Доказать, что полученные таким образом п классов: К0, Kiy Кп_± образуют кольцо, если операции над классами определить через операции над их представителями, т. е. взять число а из класса b из класса К у и назвать суммой этих классов класс, содержащий число а + Ь, и произведением — класс, содержащий число ab.

Это кольцо играет большую роль в теории чисел и называется кольцом вычетов по модулю п. Доказать, далее, что кольцо вычетов по модулю п тогда и только тогда не имеет делителей нуля, когда п — число простое.

Задача 3. Пользуясь теоремой 13, доказать, что если непустое подмножество M кольца R содержит разность и произведение любых своих элементов, то M есть подкольцо R (доказать последовательно, что M содержит нуль, вместе с а содержит и —а и вместе с а и б содержит а + b).

Задача 4. Образуют ли кольцо все подмножества данного множества Л/, если за сложение и умножение принять соответственно объединение и пересечение множеств, определенные в § 2?

§ 7. Поле

Примеры колец, приведенные в предыдущем параграфе, показывают, что в отношении обратной операции для умножения (в отличие от сложения) различные кольца обладают совершенно различными свойствами. Так, в кольце целых чисел деление выполняется лишь в исключительных случаях, причем все элементы кольца делятся только на +1 и — 1. В кольце же рациональных чисел деление всегда возможно (кроме деления на 0). Желая изучать свойства обратной операции для умножения, мы приходим к важнейшему частному случаю кольца — полю.

Определение 1. Полем называется кольцо Р% обладающее следующими свойствами:

VII. Обратимость умножения: для любых а и Ъ из Р, где я≠0, уравнение ах = Ъ имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент q Ç Р такой, что aq = b.

VIII. Р содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Примеры полей. Из примеров 1 — 10 колец, приведенных в предыдущем параграфе, только примеры 2, 3 и 4, т. е. рациональные, действительные комплексные числа, являются полями. В примере 5 аксиома VII выполнена, так как вообще нет элемента а≠0, но не выполнена аксиома VIII. В остальных примерах не выполняется аксиома VII. Приведем еще следующие примеры полей.

1. Множество комплексных чисел a + Ы с любыми рациональными а, Ъ (так называемое поле гауссовских чисел. Ср. с примером 7 из § 6).

2. Множество действительных чисел вида а + b Y~2 с любыми рациональными а и b (ср. с примером 8 из § 6).

3. Множество всех алгебраических дробей с одним пли несколькими неизвестными (точное определение будет дано в главе VIII) с коэффициентами из некоторого кольца без делителей нуля. При этом сложение и умножение дробей определяются по обычным правилам школьной алгебры.

4. Множество из двух элементов, которые мы обозначим через 0 и 1, при следующем определении операций:

Проверку свойств I — VIII мы предоставляем читателю.

Все теоремы из параграфа 6, выведенные для колец, остаются верными, в частности, для полей. Кроме того, из свойства VII вытекают теоремы, аналогичные тем, которые были выведены в § 6 из свойства III.

Определение 2. Единицей кольца (в частности, поля) называется такой элемент 1, который удовлетворяет условиям: а • 1 = 1 • а = а для любого элемента а.

Теорема 1. Во всяком поле существует единица и притом только одна. При этом 1≠0.

Доказательство. Согласно свойству VIII существует элемент поля а≠0. Тогда в силу свойства VII существует элемент е такой, что ае = а. Пусть Ь — любой элемент поля. Существует элемент q такой, что b = aq. Тогда

а, значит, по свойству IV и еЪ = be = b. Итак, е является единицей. Если е{ и е2 — две единицы, то ei = е^е2 = е2, чем доказана единственность единицы. Если предположить е = 0, то, помножая обе части этого равенства на с, получим с = 0 для любого элемента с, что противоречит свойству VIII.

Заметим, что при доказательстве единственности единицы свойства VII и VIII не используются. Отсюда следует, что утверждение об единственности единицы справедливо для любых колец. Итак, если кольцо содержит хотя бы одну единицу, то она будет единственной единицей*. Однако существуют кольца

* Для колец с некоммутативным умножением это уже неверно. Они могут обладать многими левыми или правыми единицами.

без единицы. Примером может служить кольцо четных чисел или вообще кольцо целых чисел, кратных данному числу п > 1.

Определение 3. Обратным элементом для данного элемента а поля (или вообще кольца с единицей) называется такой элемент а"1, который удовлетворяет условиям аа -1 = а"1 а = 1.

Теорема 2. Для любого элемента а≠0 поля существует обратный элемент и притом только один.

Доказательство. Из свойств VII и IV следует существование элемента а"1 такого, что аа'1 = а~*а = 1. Итак, а-1 есть элемент, обратный а. Если бис — два обратных а элемента, то

т. e. b = с, чем доказана единственность элемента, обратного для я.

Заметим, что доказательство единственности не использует свойств VII и VIII и потому остается верным для любых колец. Итак, если в кольце с единицей элемент а имеет хотя бы один обратный элемент, то он будет единственным. Однако для любых колец с единицей теорема 2 не верна, как это видно хотя бы на примере кольца целых чисел.

Из равенств аа"1 = а"1 а=1 следует, что а есть обратный элемент для а"1, и по доказанной единственности обратного элемента имеем: (а"1)"1 = а.

Теорема 3. Если в поле ab = ас и а≠0, то b = с, т. е. равные сомножители в обеих частях равенства можно отбрасывать (сокращать), если только они отличны от 0.

Доказательство. Умножив обе части равенства на а~\ получим: а"1 ab = a~lac, 1 • b = I • с, b = с.

Отсюда, как в § 6 для сложения, получим теорему:

Теорема 4. Умножение в поле обладает единственной обратной операцией, определенной для любой пары элементов, в которой второй элемент отличен от 0; иными словами, уравнения ах = b и уа = b при а≠0 имеют единственное решение.

Доказательство. Из свойства VII следует разрешимость уравнения ах = Ь. Если qi и q2— два решения, то aq^ = = b s= aq2 и по теореме 3 q{ = q2. Следовательно, существует единственное решение q. Из свойства IV тогда получим, что уравнение уа == b имеет q своим единственным решением. Значит, обе обратные операции определены и совпадают для любой пары b, а элементов, если только а≠0.

Определение 4. Обратная операция для умножения называется делением, а ее результат для элементов b и а называется частным этих элементов и обозначается через b i а или —.

Таким образом, имеем:

(1)

для любых а, Ь, причем а≠0.

Из предыдущего видно, какое существенное значение для свойств поля имеет добавочное требование а≠0, входящее в аксиому VII. Оно нарушает к тому же симметрию свойств I, II, III для сложения и IV, V, VII для умножения, ввиду чего доказательства свойств умножения, вытекающих из VII, не вполне сходны с доказательствами соответствующих свойств сложения; отбросить это требование (и тем восстановить полную симметрию сложения и умножения в отношении указанных аксиом) оказывается, однако, невозможным. Это показывает следующая теорема:

Теорема 5. Во всяком кольце, содержащем более одного элемента (и, в частности, во всяком поле), уравнение ах = b не имеет решения при а = 0 и любом b≠0.

Доказательство. Если q есть решение, то b = aq = = 0 • g = 0, что невозможно.

Отсюда вытекает, что в кольце, содержащем более одного элемента (и значит, в поле), деление на 0 невозможно в том смысле, что не существует частного ^ при b≠0. Если же b = 0, то частным будет любой элемент q, так как из 0- q = 0 следует q = ^j- Правда, здесь деление приходится понимать несколько в ином смысле, чем в определении 4, так как обратной операции как однозначной функции пары элементов уже не существует.

Требование а≠0 в аксиоме VII можно отбросить лишь в одном (совершенно неинтересном) частном случае нулевого кольца (см. § 6, пример 5), где единственное уравнение Ох = 0 имеет единственное решение х = 0.

Из теоремы 2 далее следует:

Теорема 6. Поле не имеет делителей нуля. Другими словами, если ab = 0, то либо а = 0, либо 6=0, или, иначе, если а≠0 и b≠0, то также ab≠0.

Доказательство. Если ab = 0 и а≠0, то, умножая обе части равенства на а"1, найдем 1 • b = а~х 0, т. е. b = 0.

Итак, поле является кольцом без делителей нуля. Утверждение, обратное этому, вообще неверно: существуют кольца без делителей нуля (например, кольцо целых чисел), не являющиеся полями. Однако для конечных колец обратная теорема также верна.

Теорема 7. Всякое конечное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.

Доказательство. Достаточно проверить свойство VII. Пусть а≠0. Каждому элементу х кольца поставим в соответствие элемент у = ах. Если Х{Фх2, то также ухфуч, ибо, иначе, ах1 =ах2 и по теореме 11 из § 6 я. =х2. Значит, х -+у есть взаимно однозначное отображение всего кольца R на некоторое его подмножество M, т. е. R ^ М. Но по теореме 1 из § 4 конечное множество R не эквивалентно своему собственному подмножеству. Поэтому R — M, т. е. для любого элемента Ь Çi? существует в R элемент q такой, что q -+Ь, т. е. aq = Ь, что и доказывает свойство VII.

Ввиду полной аналогии доказательства ряда свойств умножения в поле и соответствующих свойств сложения в кольце мы ограничимся формулировкой таких свойств и ссылкой на соответствующие свойства сложения.

Частное в поле можно представить в виде произведения по формуле (см. § 6, (9)):

(2)

Элемент, обратный произведению конечного числа элементов поля, отличных от 0, равен произведению элементов, обратных сомножителям (см. § 6 (10)), т. е.

(3)

В частности, для равных сомножителей из (3) получим:

Будем по определению считать этот элемент за а~п. Далее, для п = 0 определяем а0 = 1 (0 слева — число, 1 справа — элемент поля). Тогда степени ап элемента а≠0 определены для любого целого показателя п. Можно проверить, что правила оперирования со степенями (3), (4) и (6) из § 6 остаются верными для любых целых чисел.

Можно было бы для результата ряда умножений и делений для конечного числа элементов поля ввести понятия, аналогичные понятиям обобщенной и алгебраической суммы, и доказать теоремы, аналогичные теоремам 7, 8 и 9 предыдущего параграфа, но, поскольку эти понятия и теоремы не получили такого общего распространения, как в случае сложения, например правила раскрытия скобок, мы считаем достаточным указать читателю на эту аналогию.

Свойства частного. Для частных элементов любого поля верны те же правила оперирования, что и для обыкновенных дробей. В главе V нам понадобятся следующие свойства частного:

Теорема 8. а) Если b≠0, афО, то == ^- тогда и только тогда, когда ad = be.

Доказательство. Помножая обе части равенства ^ = ^ na bd, получим ad = be. Если, обратно, дано равенство ad = be, где b≠ и d≠, то, полагая = ^ = 2Л получим согласно (1) bdx = arf, 6с?г/ = be, откуда bdx = fccfy. Но по теореме 6 М^О и по теореме 3 х= у, т. е. | = ~. Этим утверждение а) доказано.

Утверждения б) и #) доказываются аналогично второй части доказательства утверждения а). Наконец, для доказательства утверждения г) достаточно убедиться, что

Но это равенство следует, очевидно, из в) и а). Теорема доказана.

Характеристика поля. Так как нам придется сейчас иметь дело как с элементами поля, так и с числами, то во избежание путаницы единицу поля будем обозначать через е.

Существуют поля, содержащие элементы а≠0 такие, что па = 0 при целом п, отличном от нуля. Так, в поле из двух элементов 0 и е (см. пример 4 в начале этого параграфа) имеем:

Теорема 9. Для любого поля Р имеет место один из двух случаев:

а) для любого элемента а≠0 и любого целого числа п≠ кратное па также отлично от 0;

б) существует единственное простое* число р и притом такое, что ра = 0 для любого элемента а.

Доказательство. Пусть случай а) не имеет места. Докажем, что тогда имеет место случай б). Существуют элемент поля а≠0 и целое число п≠0, для которых па = 0. Для любого b£P существует q такое, что aq — b. Тогда согласно равенству (19) из § 6

* Под простым числом понимается натуральное число, отличное от 1 и не делящееся ни на какое натуральное число, кроме 1 и самого себя.

Достаточно поэтому доказать, что случай б) имеет место для какого-нибудь одного элемента а≠, например для единицы е. По доказанному ne = 0, значит, и (— п) е = — ne = 0. Одно из чисел пи — п положительно. Существуют, следовательно, натуральные числа k такие, что ke = 0. Пусть р будет наименьшее из чисел k с этим свойством*. Покажем, что р — числа простое, р≠1, так как 1-е = е≠0 и ре = 0. Если р делится на q, где 1 <.q <р, то р = qr и также 1 <г <р. Тогда по (19) из § 6

и ввиду отсутствия делителей нуля (теорема 6) либо qe — 0, либо re = 0, что невозможно, ибо р — наименьшее натуральное число, обладающее этим свойством. Пусть k — любое натуральное число такое, что ke = 0; деля k на р, найдем k = pq + г, где остаток г удовлетворяет условию 0^г <р. Тогда из (1) и (19) (§ 6) следует:

ke — (pq + г) е = (pq) е + re = q (ре) + re = 0 + re = re = 0. Значит, должно быть г = 0, так как г > 0 противоречит выбору р. Итак, £ = pq, т. е. /г делится на р, и если k отлично от р, то оно не может быть простым. Значит, р — единственное простое число, для которого ре = 0.

Эта теорема позволяет дать следующее определение:

Определение 5. Характеристикой поля Р называется число 0, если па≠0 для любого элемента а≠0 и любого целого числа п≠0, или простое число р такое, что ра=0 для любого элемента а, в противном случае.

Так как для числа 1 и любого целого п будет п -1 =п, то все числовые поля имеют характеристику 0.

Примером поля характеристики р (для любого простого р) может служить кольцо вычетов по модулю р (см. задачу 2 в конце § 6). В самом деле, это кольцо Р не имеет делителей нуля, ибо если произведение классов К и L равно пулю, то это значит, что произведение чисел k из К и I из L делится на р. Но так как р — простое число, то либо k, либо I делится на р, т. е. либо К — 0, либо L = 0. Значит, в силу теоремы 7 кольцо Р будет полем. Класс рК содержит число pk, делящееся на р. Поэтому р/С = 0 для любого класса К поля Р.

Подполе. Простое поле. Определение 6. Множество M поля Р называется подполем Р, если оно само является полем при тех же операциях сложения и умножения, которые заданы в поле Р. Тогда Р называется надполем или расширением поля М.

Так, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, а последнее — подполем поля комплексных чисел.

* Что всякое непустое множество натуральных чисел содержит наименьшее число, будет доказано в § 14.

Теорема 10. Для того чтобы множество M поля Р, содержащее не менее двух элементов, было подполем, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное (если только оно существует в Р) любых элементов из M снова принадлежали к М.

Доказательство вполне аналогично проведенному для соответствующей теоремы о кольцах (см. § 6, теорема 13), и мы его приводить не будем.

Можно доказать, что требования, касающиеся суммы и произведения в теореме 10, можно отбросить (см. ниже задачу 3). Два других требования являются существенными, как показывают следующие примеры:

а) Множество M целых чисел в поле Р рациональных чисел. Сумма, разность и произведение элементов M принадлежат к М, но частное не всегда. M — подкольцо, но не подполе поля Р.

б) M — множество положительных чисел в поле Р рациональных чисел. Сумма, произведение и частное элементов M принадлежит к M, но разность не всегда. M не является подполем поля Р.

Всякое подполе M поля Р содержит 0 как разность а — а, где а £ М, и единицу как частное где a G M, а ф0.

Теорема 11. Пересечение [в смысле пересечения множеств (см. § 2)] любого множества подполей поля Р опять является подполем поля Р. (Соответствующая теорема верна и для колец, т. е. пересечения любого множества подколец кольца R есть подкольцо кольца R. Доказательство вполне аналогично данному ниже для полей с заменой теоремы 10 на теорему 13 из § 6 и предоставляется читателю.)

Доказательство. Пусть {Ms} есть некоторое множество подполей, где индексы s образуют множество S,vlD =/\ Ms есть пересечения всех подполей Ms данного множества. 0 и 1 входят в каждое подполе Ms и, значит, в D. Итак, D содержит не менее двух элементов. Если а и b — элементы D, то они входят в каждое Ms и по теореме 10 а + b, а — b, ab Иу при &^0 также входят в Ms, а значит, и в D. Из теоремы 10 следует, что D — подполе поля Р.

Определение 7. Поле, не имеющее подполей, отличных от него самого, называется простым.

Примерами простых полей могут служить поле рациональных чисел и поля вычетов по простому модулю р.

Любое подполе M поля Р рациональных чисел содержит число 1, а значит, и все его кратные п Л —п, т. е. все целые числа, а значит, и все их частные, т. е. все рациональные числа. Итак, M = Р, Р — простое поле. Точно так же любое подполе M

поля Р вычетов по простому модулю р содержит класс Ки служащий единицей поля Р, а значит, любой класс Кг, как г-кратное класса Кх. Итак, M = Р. Отсюда следует, что Р — простое поле.

Можно доказать, что этими полями в некотором смысле исчерпываются все простые поля (см. § 8, задача 2).

Теорема 12. Любое поле содержит простое подполе и притом только одно.

Доказательство. Поле Р вообще содержит подполя (например, само Р). Пусть D есть пересечение всех подполей поля Р. По теореме 11 пересечение D является подполем поля Р и по самому определению входит в любое подполе. Пусть M — подполе Z), отличное от D. Из определения 6 следует, очевидно, что M будет подполем и для поля Р, и D не входит в М, что невозможно. Итак, D — простое подполе поля Р. Если/)' — также простое подполе поля Р, то пересечение D" =D /\ D' будет опять подполем поля Р, причем D" ^ D и D" ç= D'. Но из определения 6 следует, что в таком случае D" будет подполем как для Z), так и для D\ а так как D и D' — простые подполя, то D =D" =D\ чем доказана единственность простого подполя.

Задача 1. Доказать, что в кольце с единицей нуль и любой делитель нуля не имеют обратного элемента.

Задача 2. Доказать, что всякое поле характеристики 0 бесконечно и, значит, любое конечное поле имеет характеристику р≠0.

Задача 3. Пользуясь теоремой 10, доказать, что подмножество Л/, содержащее не менее двух элементов и вместе с любыми своими элементами содержащее их разность и частное, является подполем поля Р (см. задачу 3 из § 6).

§ 8. Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм

Каждая математическая теория изучает множества с теми или иными отношениями элементов, обладающими теми или иными свойствами. Содержание теории заключается в определении одних отношений (или понятий) через другие и в доказательстве одних свойств этих отношений (или понятий) на основании других свойств. Так, в теории упорядоченных множеств одно из отношений «больше» и «меньше» определяется через другое, с их помощью определяется понятие «первый элемент» и т. д. (§ 5); в теории колец отношение «а — b = с» и понятие «нуль» определяются через отношение «а + b = с». Принципиальной разницы между отношениями и понятиями нет. Сами отношения можно также считать понятиями, и мы будем употреблять термин «отношение», желая лишь подчеркнуть, что это понятие выражает связь между элементами множества.

Ясно, что определить все понятия и отношения и доказать все их свойства невозможно по причинам чисто логического характера: ведь каждое определение лишь сводит данное понятие

к другим, а каждое доказательство лишь выводит данное свойство из других. Приходится поэтому некоторые отношения (или понятия) оставлять без определения. Они называются основными отношениями или понятиями. Точно так же приходится некоторые свойства этих основных отношений оставлять без доказательства. Эти свойства называются основными свойствами или аксиомами^ Список основных понятий и аксиом и составляет фундамент данной теории, на котором вся она строится уже чисто логическими средствами.

Основной особенностью, придающей современному построению математических наук абстрактный характер, является изучение свойств интересующих нас понятий и отношений в применении к любым множествам, в которых данные понятия и отношения определены. При этом конкретный смысл элементов множеств и все их конкретные свойства (помимо изучаемых в данной математической теории) для данной теории совершенно безразличны. Так именно было, например, в двух последних параграфах при определении кольца и поля как множеств элементов с данными отношениями (операциями сложения и умножения), обладающими данными основными свойствами (I — VI для кольца и I — VIII для поля), так обстоит дело и при аксиоматическом построении геометрии*, где точки, прямые и плоскости — объекты, природа которых для построения геометрии совершенно безразлична, лишь бы между ними были определены основные отношения («точка лежит на прямой» и т. п.), удовлетворяющие основным условиям (аксиомам геометрии).

Но если так, можно думать, что существует не одна, а много теорий колец и полей, не одна, а много различных геометрий в зависимости от того, какое конкретное множество положено в основу данной теории. Выход из этого затруднения следует, однако, уже из сказанного выше и заключается в точном определении содержания данной математической теории. Ведь данная теория, как было указано, изучает не все свойства элементов множества, а лишь те из них, которые относятся к основным отношениям, заданным для этих элементов, и которые вытекают из основных свойств (аксиом), которым подчиняются основные отношения. Все остальные свойства (сами по себе, может быть, весьма важные) просто не являются предметом изучения в данной теории. Она абстрагируется от этих свойств. Поэтому все множества, для элементов которых определены (для каждого множества по-своему, на основе конкретных свойств его элементов) основные отношения и у которых все свойства этих отношений одинаковы, с точки зрения данной теории неразличимы между собой.

* См. классическую книгу Д. Гильберта «Основания геометрии», перевод с немецкого, Гостехиздат, 1948.

Но так как основные отношения определяются для каждого множества, исходя из конкретных свойств его элементов, то, изучая в абстрактной форме свойства основных отношений, данная теория изучает, таким образом, некоторые конкретные свойства целого класса конкретных множеств. Это диалектическое единство абстрактного и конкретного свойственно всякой науке, но в математике оно проявляется наиболее ярко. Вот почему, несмотря на абстрактный характер построения современной математики, для нее остается в силе определение, данное Энгельсом: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира »*.

Понятие множеств, имеющих одинаковые свойства отношений между их элементами и потому неразличимых в рамках данной аксиоматической теории, получает точное выражение в следующем общем понятии изоморфизма:

Определение 1. Два множества M и М', в каждом из которых определены отношения элементов, образующие некоторую систему отношений S, называются изоморфными (в символах M ^ М') относительно данной системы отношений (короче, просто изоморфными), если между ними существует взаимнооднозначное соответствие, сохраняющее все отношения системы S, т. е. такое, что если любые элементы множества M находятся в любом из отношений системы S, то соответствующие им элементы множества М' находятся в том же отношении, и обратно.

Можно сказать, что аксиоматическая теория изучает множества лишь с точностью до изоморфизма относительно системы основных отношений данной теории.

Понятие изоморфизма обладает, очевидно, тремя основными свойствами:

Например, в случае отсутствия каких-либо отношений (в случае, когда система отношений S есть пустое множество) определение 1 обращается в определение эквивалентности (§3), а в случае одного отношения «а предшествует Ь» при выполнении соответствующих аксиом — в отношение подобия (§ 5).

То, что понятие изоморфизма действительно выражает одинаковость всех рассматриваемых свойств множеств, можно формулировать в виде следующего общего положения:

Теорема 1. (Основная теорема об изоморфизме.) Если множества M и М' изоморфны относительно некоторой системы отношений S, то любое свойство множества М, формулированное

* Ф. Энгельс, Анти-Дюрииг, Госполитиздат, 1957, стр. 37.

в терминах отношений системы S (а значит, и отношений, определяемых через отношения системы S), переносится на множество М\ и обратно.

Доказательство. Любое свойство множества M указанного типа сводится, в конце концов, к ряду утверждений одного из двух типов. Пусть А — непустое подмножество множества M и s — отношение, определяемое через отношения системы S. Тогда для данного отношения s а) существует или б) не существует множество Л, элементы которого находятся в отношении 5. Надо доказать, что эти утверждения а) и б) верны в М\ если они были верны в М. Пусть А' — подмножество М\ соответствующее А при изоморфном отображении. В случае а) из сохранения отношения s при изоморфном отображении M на М' следует, что элементы А' находятся в отношении s. В случае б) предположим противное, т. е. что существует множество Л'^М', элементы которого находятся в отношении s. Так как s сохраняется также отображением М' на М, то элементы А также находятся в отношении s, что противоречит условию б).

Чтобы облегчить понимание читателю, не привыкшему к рассуждениям в такой общей форме, разберем эту теорему на конкретном примере.

Пусть в множествах M и М' определено отношение «больше», и они изоморфны относительно этого отношения; тогда если M упорядочено, то и М' упорядочено, т. е. если в M выполнены свойства I и II из § 5, то они выполнены и в М'.

Докажем свойство I. Пусть а' и Ъ' — элементы М\ а и b — соответствующие элементы М. В силу I в M выполнено одно из соотношений а = 6, а > fe, b > а. Отображение M на М' сохраняет отношение «больше». Значит, выполнено одно из соотношений а = Ь', а' > Ь', V > а'. Если бы в М' выполнялось более одного из них, то из сохранения отношения «больше» при отображении М' на M следовало бы выполнение более одного отношения для а и 6, что противоречит I.

Докажем свойство II. Если а > Ь' и Ь' > с , то также а> b и b > с. По свойству II в M должно быть а> с. Значит, а > с .

Займемся теперь изоморфизмом колец и полей. Ввиду того что здесь отношения а -г b — с и ab = с удовлетворяют дополнительным требованиям, что для любых а и b существует одно и только одно с, для которого а + b = с или ab = с (эти два требования являются по существу двумя дополнительными аксиомами, причем эти требования предполагаются выполненными как в М, так и в М'), определение изоморфизма колец и полей можно упростить по сравнению с определением 1, а именно потребовать сохранения основных отношений лишь при переходе от M к M'.

Определение 2. Кольцо (или поле) R называется изоморфным кольцу (соответственно полю) R', в символах R s* если существует взаимно однозначное отображение R

на R', при котором сумме и произведению любых элементов R соответствуют сумма и произведение соответствующих элементов R'.

Покажем, что это определение является частным случаем общего определения 1. Для этого надо лишь убедиться, что обратное отображение R' на R также сохраняет сумму и произведение. Пусть в R' имеем а + Ъ' = с , и элементам а , Ь', с' при обратном отображении соответствуют а, Ь, с из R. Надо доказать, что а + b = с. Но если а + b = d≠с, то из определения 2 следовало бы а + Ь' — d!≠с, что противоречит однозначности операции сложения в R'.

В последнем рассуждении мы не пользовались аксиомами кольца I — IV. Поэтому определение 2 дословно переносится на любые множества, в каждом из которых заданы две алгебраические операции — сложение и умножение.

Теорема 2. Пусть R и R' — множества, в каждом из которых определены операции сложения и умножения. Пусть R изоморфно R' (в смысле определения 2). Тогда если R есть кольцо (или поле), то и R' будет кольцом (соответственно полем).

Доказательство. Достаточно убедиться в справедливости для R' аксиом I — VI (или I — VIII). Во всех случаях (кроме аксиомы VIII, где доказательство очевидно) рассуждения совершенно одинаковы. Докажем, например, аксиому III. Пусть а и b' — элементы R', а и b — их прообразы в R. Так как в R аксиома III выполнена, то существует элемент с Ç R такой, что а+с = Ь. Если с -*-с\ то в силу изоморфизма также а' + с' т. е. с' есть решение уравнения а'+х'=Ь'. Значит, R' также обладает свойством III. Читателю рекомендуется доказать справедливость в R' остальных аксиом.

Вместе с основными свойствами при изоморфизме сохраняются и все другие свойства, являющиеся следствиями основных. Так, при изоморфизме колец R и R' нулю кольца R соответствует нуль кольца R', и если R содержит единицу, то и R' содержит единицу, причем она соответствует единице из R. В самом деле, изатО=авй следует а' + 0' = а' в R' и из а 1 = а в R следует а Л' = а в R' для любого элемента а' из R'.

Большое значение при построении числовых полей будет иметь следующая, почти очевидная, теорема:

Теорема 3. Пусть R — подкольцо кольца S и R' — кольцо, изоморфное R и не имеющее общих элементов с S. Тогда для любого данного изоморфного отображения f кольца R на R' существует кольцо S', содержащее в качестве подкольца R' и изоморфное кольцу S, причем существует изоморфное отображение g кольца S на S', совпадающее на R с данным отображением /, т. е. такое, что g (а) — f (а) для любого элемента а из R. Если S — поле, то и S' будет полем. Если R — подполе S, то и R' — подполе S'.

Доказательство. Пусть S' — множество, полученное из S путем замены элементов R на элементы Л', т. е. S' =* = (S\R) V R'- Строим такое отображение g множества S на S': если a£S\R, то положим g (а) = а; если а £ Л, то положим g (а) =/(а), где f(a) — элемент Л', соответствующий а при данном изоморфизме /. Так как / — взаимно однозначное отображение R на Л', g — взаимно однозначное отображение £\Л на себя и множества S и R' не имеют общих элементов (достаточно даже, чтобы ^ХЛ и R' не имели общих элементов), то g является взаимно однозначным отображением S на S'.

Операции сложения и умножения в S' определим через те же операции в S путем перенесения их в S' с помощью отображения g, т. е. положим:

(1)

для любых элементов а и b из S. Так как в силу взаимной однозначности отображения g для любого а из S' существует один и только один элемент а из S, такой, что g (а) = а, то g (а) и g(b) — любые элементы S', и равенства (1) действительно определяют алгебраические операции в S'.

Одновременно равенства (1) показывают, что относительно сложения и умножения S' изоморфно S и по предыдущей теореме S' — кольцо. Если S — поле, то и S' — поле.

Покажем, что операции в S' для элементов R' совпадают с операциями, заданными в кольце R'. Так как / — изоморфное отображение R на R\ то справедливы равенства:

(2)

для любых а и b из R.

Но если в равенствах (1) g (а) и g (b) принадлежат /?', то а, Ь, а + b и ab принадлежат R, и по построению отображения g равенства (1) совпадают с равенствами (2), где сложение и умножение в левых частях означают операции, заданные в кольце R'. Этим указанное совпадение операций доказано. Значит, R' — подкольцо S'. Если R — подполе поля S, то по предыдущей теореме R' — также поле, т. е. подполе поля S'. Теорема доказана.

Задача 1« Доказать, что при изоморфном отображении колец из о—> а' следует — а—> — а' и если существует единица и а"1, то а-1—> а/_1, если а — делитель пуля, то и а' — делитель нуля.

Задача 2. Доказать, что всякое простое поле характеристики 0 изоморфно полю рациональных чисел, а всякое простое поле характеристики р≠0 изоморфно полю вычетов* по модулю р (изоморфное соответствие установить, отправляясь от соответствия единиц).

Задача 3. Единственное изоморфное отображение простого поля на себя есть тождественное, при котором каждому элементу соответствует он сам.

* См. задачу 2, § 6.

Задача 4. Поле комплексных чисел а + Ы допускает лишь два изоморфных отображения на себя, сохраняющие на месте действительные числа, именно тождественное и отображение а + Ы-*~ а — Ы, переводящее каждое число в сопряженное с ним (разобрать, в какое число может перейти число {)•

§ 9. Расположенные кольца и поля

До сих пор мы рассматривали либо множества без всяких отношений между элементами (§ 1—4), либо множества с одним отношением порядка (§ 5), либо множества с двумя алгебраическими операциями (§ 6—8). Однако важнейшую роль в математике играют числовые множества, где существуют одновременно и отношения порядка, и операции. Поэтому интересно выяснить, в какой связи находятся эти отношения между собой в случае числовых множеств. По соображениям, о которых шла речь в начале этой главы, мы опять будем ставить вопрос в самом общем виде, но при условии сохранения интересующих нас свойств числовых множеств. Именно, мы рассмотрим упорядоченные кольца и поля с целесообразной связью порядка и операций.

С отношением порядка в кольце связаны понятия положительности, отрицательности и абсолютной величины элементов (см. ниже определения 1 и 3). Легко видеть, что эти понятия и тем более порядок элементов нельзя определить чисто алгебраически, т. е. они не определяются однозначно заданиями алгебраических операций кольца. В самом деле, если бы эти понятия определялись операциями кольца, то они должны были бы сохраняться при переходе от данного кольца к кольцу, с ним изоморфному относительно алгебраических операций. Но пусть R — кольцо действительных чисел вида а + 6]/2 с целыми а и b (см. § 6, пример 8) с обычным заданием операций и порядка. Соответствие

является, очевидно, алгебраически изоморфным отображением упорядоченного кольца R на себя. Однако положительному числу 1 + Y 2 с абсолютной величиной > 1 соответствует отрицательное число 1 — Y 2 с абсолютной величиной <1.

Тем не менее наличие операций позволяет несколько упростить введение порядка в кольце. Оказывается достаточным задать лишь порядок всех элементов относительно нуля. Далее, для сохранения обычных свойств чисел приходится наложить дополнительные требования на связь порядка с операциями. Именно:

Определение 1. Кольцо (в частности, поле) R называется расположенным, если для его элементов определено свойство быть положительным, удовлетворяющее следующим требованиям;

IX. Для любого элемента aÇ/? имеет место одно и только одно из трех соотношений а = О, а положителен, — а положителен.

X. Если а и b положительны, то а + b и ab также положительны.

Если — а положителен, то а называется отрицательным.

Теорема 1. Если в расположенном кольце R определить порядок, считая а > b тогда и только тогда, когда а — b положителен, то R будет упорядоченным множеством (в смысле § 5), причем нуль будет меньше всех положительных и больше всех отрицательных элементов.

Доказательство. Пусть а ж b — элементы R. Если а — b = 0, то а = Ъ, если а — b положителен, то а> Ь, если — (а — Ь) = b — а положителен, то b > а. Из IX следует, что имеет место один и только один из этих трех случаев (§ 5, свойство 1). Далее, если a > i и I) > с, то a — b и b — с положительны. Согласно X тогда и (а — Ь) + (Ь — с) = а — с положителен, т. е. а> с (§ 5, свойство II). Итак, R — упорядоченное множество.

Если а положителен, то из а = а — 0 следует а > 0, если а отрицателен, то из — а = 0 — а следует 0 > а, а <с0.

Эта теорема показывает, что условия IX и X достаточны для введения порядка в R, причем условие X дает обычную для чисел связь порядка с операциями кольца. Возникает вопрос, не является ли одно из этих условий излишним, т. е. не вытекает ли одно из них из другого и остальных аксиом кольца I — VI. Легко показать на примерах, что оба условия IX и X действительно необходимы.

1) Берем любое расположенное кольцо, содержащее более одного элемента (например, кольцо целых чисел), и меняем порядок его элементов, считая 0 предшествующим любому элементу и сохраняя прежним порядок элементов, отличных от 0. Получим упорядоченное кольцо, где выполнено условие X (все элементы, кроме 0, положительны), но не выполнено условие IX (если а≠0, то а и — а оба положительны).

2) Берем кольцо целых чисел и в отношениях порядка меняем ролями + 1 и — 1, т. е. считаем

сохраняя остальные отношения прежними. Получим упорядоченное кольцо, где выполнено условие IX, но не выполнено условие X, так как

Так как расположенное кольцо упорядочено, то для него верны теоремы 9 и 10 из § 5.

Теорема 2. (Законы монотонности для сложения и умножения.) Для любых элементов а, 6, с расположенного кольца R из соотношений

Доказательство.

Если с <0, то — с > 0, и по правилу знаков при умножении [§ 6 (17)] имеем:

Итак, оба первых случая в) и г) доказаны. Остальные случаи вытекают из первых дословно, как при доказательстве б). Справедливы также обратные теоремы, а именно:

Теорема 3. Из а + с > b + с, а + с = b + с, а + с<.Ь+с следует соответственно а> b, а = Ь, а <Ь. Из ас > be, ас = 6с, ас <Cbc следует при с > 0 соответственно а >> b, а = b, а <6, а при с <0 — соответственно a <Cb, а = Ь, а> Ь.

Доказательство. В теореме 2 посылки а) обладают тем свойством, что одна из них (и только одна, что сейчас неважно), наверно, имеет место, а следствия (в каждом случае б), в), г) отдельно) обладают тем свойством, что они взаимно исключают друг друга. Для теорем такого рода обратные теоремы всегда верны, причем их можно доказать методом «от противного». Докажем, например, что из ас = be следует а = b при с > 0. Предположим противное, что афЬ. Тогда имеет место какая-то из других посылок а) теоремы 2. Но если а > Ь, то по теореме 2 ас > be, если же а < Ь, то ас < be, что невозможно ввиду условия: ас = be, чем исключаются неравенства ас > be и ас <Ьс.

Следствие 1. В расположенном кольце из условия

а) а — Ь=с — d следует соответственно условие б) а + d=b + с и обратно.

В самом деле, прибавляя к обеим частям соотношения а) сумму b + d, получим б). Обратные теоремы верны, так как в а) и б) исчерпаны все случаи, и они исключают друг друга.

Следствие 2. В расположенном поле при bd> О из соотношения а) ~ = следует соответственно соотношение б) ad= be b < а < w обратно.

Доказательство аналогично предыдущему.

Из теоремы 2 вытекают обычные для чисел правила действий с неравенствами. Л именно:

Теорема 4. Из а> b и с > d следует а + с > b + d, и если все элементы а, Ь, с, d положительны, то ас >> bd, если же все они отрицательны, то ас << bd. Верна также теорема, получающаяся из данной, если знаки > и <i поменять местами.

Доказательство. По теореме 2 из а > b следует а+с> > b + с, из с > а7 следует Ь + с >> 6 + d, откуда а + с > Точно так же доказывается, что при положительных а, Ь, с, d будет ас >> bd. Пусть а, Ь, с, d отрицательны. Тогда из а > b следует ас <ibc и из с > d следует be <<bd, откуда ас < bd.

Как следствие из теоремы 3 получаем следующую теорему:

Теорема 5. Расположенное кольцо не имеет делителей нуля (опр. 6, § 6).

Доказательство. Пусть ab = 0. Тогда ab = а-0 и по теореме 3 при а≠0, т. е. при а > 0, или а < 0, должно быть

Теорема 6. Характеристика (см. § 7, опр. 5) расположенного поля Р равна нулю.

Доказательство. Пусть а≠0, a Ç Р. Если а > 0, то по свойству X для любого натурального п также па > 0, а так как (— п) а = — гса, то гса 0 при любом целом гс. Если а <<0, то — а >> 0 и гс (— а)≠0 при любом целом гс. Значит, гса 0, если а≠0 и п≠0.

Теорема 7. Сумма квадратов (и, в частности, всякий квадрат) конечного числа элементов расположенного кольца больше или равна нулю, причем равенство может иметь место лишь в том случае, когда все данные элементы равны нулю.

Доказательство. Для одного элемента, если ах == 0, то а\ = 0. Если же ai≠0, то или а{ > 0, или — аА > 0, и тогда

Для гс = 1 теорема верна. Пусть она верна для гс элементов. Тогда

как сумма неотрицательных слагаемых (см. X). Если одно из двух слагаемых больше нуля, то и сумма их больше нуля. Значит, в случае равенства нулю оба слагаемых равны нулю, т. е.

Отсюда по доказанному an+i = 0 и по предположению индукции ßi = а2 = . . . = ап = 0.

Определение 2. Абсолютной величиной элемента а расположенного кольца (и, в частности, поля) называется неотрицательный из элементов а и — а. Абсолютная величина элемента а обозначается через \а\. Другими словами, \а\ = а, если а ^ 0, и \а\ = — а, если а <С0.

Согласно этому |0| = 0 и при а≠0 всегда \а\ > 0.

Теорема 8. Абсолютная величина суммы конечного числа элементов меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых. При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда все слагаемые не положительны или все не отрицательны. Абсолютная величина произведения конечного числа элементов равна произведению абсолютных величин сомножителей.

Доказательство. Ограничимся случаем двух элементов, так как проведение индукции не представляет затруднений. Итак, надо доказать:

(1)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо

(2)

Итак, в этих двух случаях (1) имеет место при знаке «=». По симметрии а и b в (1) из двух оставшихся случаев а > 0, Ь<0 и а<<0, Ь>0 достаточно разобрать лишь первый. По теореме 2, прибавляя а к неравенству b <С — Ь, получим а + b << <ia + (— b) = \а\ + |6|. Точно так же прибавляя — b к неравенству — а <С а, получим — (а + Ь) = (— а) + (— Ь) < а + + (— Ь) = \а\ + \Ь\. Но ведь \а + Ь\ совпадает либо с а + Ь, либо с — (а + Ь). Поэтому

Итак, в этих двух случаях (1) имеет место при знаке «<». Равенство (2), очевидно, выполнено, если хотя бы один из элементов a, b равен нулю. Остается разобрать три случая.

1)

2)

3)

Из неравенства (1) следует:

(3)

для любых элементов а и b расположенного кольца R. В самом деле, так как а + b = а — (— Ь) и |Ь| = |— 6|, то достаточно доказать (3) для случая разности а — Ь. Но из а =(а — b) + b и b =(b — а) + а по (1) найдем:

откуда

поэтому

Замечание. Точно так же известные школьные правила сравнения и действий для положительных и отрицательных чисел через сравнение и действия над их абсолютными величинами остаются справедливыми для любого расположенного кольца Я. Именно, положительный элемент кольца R больше отрицательного, что ясно из сравнения с нулем. Из двух положительных элементов тот больше, абсолютная величина которого больше, ибо положительные элементы совпадают с их абсолютными величинами. Из двух отрицательных элементов тот больше, абсолютная величина которого меньше. В самом деле, если а и b — отрицательны, то а — 6 = (— b) — — (— а) = I b \ — I а |, и потому а > b тогда и только тогда, когда | а /<| b |.

Если по симметрии с обозначением элемента, противоположного а, через — а обозначить сам элемент а через -f а, то каждый элемент можно выразить через его абсолютную величину, так, а = ± /а|, где знак «+» берется для положительного и «—» для отрицательного элемента а. В этом смысле можно говорить о знаке данного элемента. Тогда имеют место следующие правила действий.

Чтобы сложить два элемента одного знака, надо сложить их абсолютные величины и поставить тот знак, который имели слагаемые. В самом деле, если а > 0 и b > 0, то это очевидно; если же а < 0 и b < 0, то

[§ 6, равенство (10)].

Чтобы сложить два элемента разных знаков, надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую (при равенстве абсолютных величин сумма равна нулю) и поставить знак того слагаемого, у которого абсолютная ве-

личина больше. Пусть

Если же

Чтобы из одного элемента вычесть другой, надо к первому элементу прибавить элемент, противоположный второму. Это верно даже для любых колец 1§ 6, (9)1.

Чтобы умножить (разделить) один элемент на другой, надо абсолютную величину первого элемента умножить (разделить) на абсолютную величину второго и поставить знак «+», если знаки данных элементов одинаковы, и знак «—», если они различны. Для умножения это следует из правила знаков в любом кольце [§ б, (17)], ибо

а для деления (если оно выполнимо) выводится отсюда так: если

то а = ос,

откуда

При умножении на положительный элемент знак сохраняется, а при умножении на отрицательный — меняется. Поэтому из а = Ьс следует, что при одинаковых знаках элементов а и b частное с положительно, а при разных знаках — отрицательно.

Мы видим, таким образом, что обычные правила оперирования с неравенствами и абсолютными величинами верны не только для чисел, но и для элементов любых расположенных колец. Эти правила являются следствием аксиом I — VI, IX и X.

Есть, однако, одно важное свойство чисел, которое уже не переносится на любые расположенные кольца. Это — выполнение так называемой аксиомы Архимеда, согласно которой, складывая само с собой любое данное положительное число (как бы мало оно ни было) достаточное число раз, мы можем получить число, превосходящее любое (сколь угодно большое) данное число. Поэтому кольца, обладающие аналогичным свойством, нуждаются в особом определении.

Определение 3. Кольцо (в частности, поле) называется архимедовски расположенным, если оно обладает свойством:

XI. (Аксиома Архимеда.) Для любых элементов а и Ь кольца, где Ь > О, существует натуральное число п такое, что nb > а.

В случае поля достаточно выполнение этого условия лишь для единицы поля е, т. е. свойство XI эквивалентно свойству:

ХГ. Для любого элемента а поля существует натуральное число п такое, что ne >> а.

Действительно, если b > 0, то существует натуральное число п, для которого пе> и, умножая на b > О, получим nb > а.

Примеры. 1. Кольцо целых, поле рациональных и поле действительных чисел архимедовски расположены (доказательства даны в соответствующих главах).

2. Пусть R есть кольцо многочленов с рациональными коэффициентами (при обычных операциях сложения и умножения). Будем считать многочлен / (х) положительным, если его старший коэффициент ап положителен. Легко видеть, что аксиомы IX и X определения (1) выполняются, т. е. R — расположенное кольцо. Но, хотя 1 > О, пЛ = п < X при любом натуральном (даже при любом рациональном) п, так как х — п > 0. Значит, R — неархимедовски расположенное кольцо.

/ (х)

Алгебраические дроби вида где / (х) и g (я)—многочлены кольца Л, образуют поле Р. Читателю предлагается доказать, что поле Р будет расположенным, если дробь считать положительной, когда / (х) и g (х) имеют одинаковые знаки при расположенном Я. Так как снова п-1 < х, то Р — неархимедовски расположенное поле.

Дискретность и плотность. Порядок элементов расположенного кольца может отличаться той или иной «плотностью» расположения элементов. Это различие видно хотя бы на примерах кольца целых и поля рациональных чисел. Для точной характеристики этих свойств расположения дадим такое определение.

Определение 4. Расположенное кольцо называется дискретным, если для любого его элемента а существует соседний с а и следующий за а элемент b и соседний с а и предшествующий а элемент с (§5). Расположенное кольцо называется плотным, если для любых двух различных элементов а и b существует элемент с, лежащий между а и Ь, т. е. такой, что или а <с <Ь, или b <с <а*.

Теорема 9. Для того чтобы расположенное кольцо R было дискретно, необходимо и достаточно, чтобы множество его положительных элементов имело первый элемент, а для того чтобы оно было плотно, необходимо и достаточно, чтобы множество его положительных элементов не имело первого элемента. Таким образом, любое расположенное кольцо либо дискретно, либо плотно.

Доказательство. Заметим сначала, что из а <сЬ следует — а > — Ь. В самом деле, если а <Ь, то

Если множество положительных элементов имеет первый элемент Ь, то множество отрицательных элементов имеет последний элемент — Ь, так как из — b <с <0 следовало бы b > — с > 0,

* Это определение сохраняет смысл для любых упорядоченных множеств.

что невозможно. Теперь из — b <0 для любого а следует а — b <а <Са + b (теорема 2), причем а— b и а + b — соседние элементы с а, так как, например, из а <Сс <а + b следовало бы 0 <Сс — а <С&» что невозможно. Значит, кольцо Л дискретно.

Если множество положительных элементов кольца R не имеет первого элемента, то для любых двух элементов а и Ь, где, например, а <сЬ, будем иметь 0 — а. Существует положительный элемент с, предшествующий элементу b — а, т. е. удовлетворяющий неравенству 0 <с <С& — а. Прибавляя а ко всем частям этого неравенства, найдем а <Са + с <ib. Значит, кольцо R плотно.

Так как свойства дискретности и плотности, очевидно, взаимно исключают друг друга, а посылки двух только что доказанных утверждений исчерпывают все возможности, то обратные утверждения также верны и доказываются методом «от противного», чем теорема доказана.

Примерами дискретного и плотного колец могут служить кольцо целых и поле рациональных чисел.

Примером плотного кольца, не являющегося, однако, полем, служит кольцо R всех двоично рациональных чисел, т. е. рациональных чисел, знаменатели которых суть степени числа 2. В самом деле, сумма, разность и произведение чисел множества R снова принадлежат Л. Значит, R является кольцом. Если а и b — числа из Л, причем

то также принадлежит Л, Значит, кольцо Л плотно. Числа принадлежат Л, но их частное не принадлежит Л.

Значит, кольцо Л не является полем.

Все расположенные поля, приведенные выше, были плотны. Покажем, что дискретных расположенных полей не бывает.

Теорема 10. Всякое расположенное поле Р плотно.

Доказательство. Пусть а и b — два элемента поля Р, причем а < & и е — единица поля Р. Тогда е =ее>0к пе> 0 для любого натурального числа п. Значит, по правилу знаков при делении также—> 0. Далее, для любого элемента с имеем — = с, ибо (ne) с = пс. Теперь, применяя теорему 2, находим:

откуда, умножая на

получим:

Теорема доказана.

Задача 1. Доказать, что в расположенном кольце R с единицей всегда 1 > 0. Если еще и а и b имеют в R обратные элементы, то из а > b для а и b одного знака следует:

рассмотреть произведение ab

Задача 2. Кольцо целых чисел может быть расположено только одним образом (т. е. обычным).

Задача 3. В поле комплексных чисел нельзя ввести такой порядок элементов, при котором оно будет расположенным (разобрать случаи i > 0, КО).

Глава третья

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 10. Число и счет

Что такое число*?

Многие математики предпочитают вовсе не отвечать на этот вопрос; другие отвечают на него в идеалистическом духе, говоря, что числа — это символы, свободно созданные нашим духом. Так, один из крупнейших современных французских математиков Лебег пишет: «... числа суть символы, для которых установлены две операции — сложение и умножение»**.

Такой взгляд, помимо отрыва от той тесной связи, которую имеют числа с практической деятельностью человека, имеет большой недостаток, чисто формального характера. Ведь для обозначения чисел применяются различные символы; помимо обычных арабских цифр, существуют римские цифры, существуют, далее, помимо десятичной, также другие системы счисления; так, например, один и тот же символ 101 означает в двоичной системе уже совсем другое число (число пять), чем в десятичной. Правда, Лебег указывает, что различные системы счисления эквивалентны и что существует перевод с языка одной системы на язык другой, но это уже означает отказ от определения чисел как символов.

Числа возникли из потребностей счета и измерения и претерпели длительный путь исторического развития, в ходе которого менялись и запас чисел, и их названия, и обозначения. Лишь постепенно человечество достигло современного понятия о числах как бесконечно продолжаемой совокупности и современной системы обозначения чисел по десятичной системе. Мы не ставим своей задачей изложить исторический путь развития понятия числа, отсылая читателя к специальной литературе***.

Укажем только, что, как показывает изучение понятия числа у диких народов, число служит, прежде всего, целям счета и

* Под числом в этой главе мы всегда будем понимать натуральное число.

** См.: А. Лебег, Об измерении величин, Учпедгиз, М., 1960, стр. 24.

*** См., например: проф. А. В. Васильев, Целое число, 1922. Много интересных фактов можно найти также в книге В. Белюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики», Учпедгиз, 1940.

развивается в зависимости от усложнения задач счета. Так, одно из диких племен (каирири) считает только по пальцам одной руки и знает числа от одного до пяти, некоторые племена Бразилии считают по суставам пальцев и знают только числа 1, 2, 3. Все, что больше 3, они называют общим словом «много». В роли чисел в первом случае выступают пальцы руки, а во втором — суставы одного пальца. Счет в обоих случаях состоит в сравнении совокупности считаемых предметов с раз навсегда выбранной стандартной совокупностью чисел (пальцев или суставов).

Разберем подробнее сущность счета. Когда ребенок считает свои камешки, он перекладывает в другое место один из них и говорит «раз», перекладывает один из оставшихся и говорит «два» и т. д., пока не переложит все. Последнее названное число и есть результат счета. Само перекладывание к сущности счета не относится, а лишь облегчает его. Можно просто указывать на считаемые предметы или отмечать их каким-либо образом. Важно, однако, соблюдать при счете следующие требования: 1) первому отмеченному предмету ставится в соответствие число 1, 2) каждый раз отмечается предмет, еще не отмеченный раньше, и ему ставится в соответствие число, следующее за последним из уже названных. Ясно, что после окончания счета каждому из сосчитанных предметов будет поставлено в соответствие одно число, двум различным предметам будут соответствовать различные числа, и числа, использованные при счете, следуют одно за другим без пропусков, т. е. образуют некоторый отрезок натурального ряда. Итак, сущность счета заключается в установлении взаимного однозначного соответствия между множеством, подлежащим счету, и некоторым отрезком натурального ряда. Процесс счета закончится тогда и только тогда, если считаемое множество конечно. Результат счета не зависит от порядка пересчитывания, так как по теореме 2, § 4, данное конечное множество эквивалентно лишь одному отрезку натурального ряда. Описанный процесс счета дает, очевидно, тот же результат, что и формальное определение 3 из § 4.

Таким образом, для того чтобы считать, необходимо заранее иметь достаточный запас чисел. Числа (будь то пальцы, суставы или другие системы) должны обладать известными свойствами, чтобы служить орудием счета. Они должны располагаться в определенном, раз навсегда установленном порядке, причем должно существовать первое число и т.д. Полный перечень, этих свойств будет дан в следующем параграфе в виде аксиом натурального ряда.

Итак, числа — это элементы определенного для данного места и времени стандартного множества, служащего для счета (путем установления взаимно однозначного соответствия между пересчитываемым множеством и определенным подмножеством данного стандартного множества).

Современное понятие натуральных чисел будет дано в следующем параграфе. Оно существенно опирается на общее понятие изоморфизма (опр. 1, §8) и, как все понятия современной математики, носит абстрактный характер. Это не мешает ему быть одним из основных понятий всей математики и служить незаменимым орудием в нашей практической деятельности.

§ 11. Аксиомы натуральных чисел

Аксиоматическое построение данной теории начинается (см. § 8) с перечисления основных отношений (принимаемых без определения) и основных свойств или аксиом (принимаемых без доказательства), которым удовлетворяют данные отношения. При аксиоматическом построении натуральных чисел вводится одно основное отношение и четыре аксиомы.

Определение 1. Натуральными числами называются элементы всякого непустого множества N, в котором для некоторых элементов а и b существует отношение: «6 следует за а» или «Ь есть число, следующее за числом а» (число, следующее за я, будет обозначаться через а'), удовлетворяющее следующим аксиомам:

I. Существует число 1, не следующее ни за каким числом, т. е. а≠1 для любого числа а*.

II. Для любого числа а существует следующее за ним число а и притом только одно, т. е. из a — b следует а = Ь\

III. Любое число следует не более чем за одним числом, т. е. из а =Ь' следует а == Ь.

IV. (Аксиома индукции.) Любое подмножество M множества N натуральных чисел, обладающее свойствами:

А) 1 принадлежит М,

Б) если число а принадлежит М, то следующее число а' также принадлежит М,

содержит все натуральные числа, т. е. совпадает с N.

Приведенная здесь аксиоматика натуральных чисел представляет собой лишь несущественное изменение системы аксиом, предложенной в конце прошлого века итальянским математиком и логиком Пеано**.

Может показаться, что наше определение натуральных чисел плохо тем, что согласно ему натуральными числами называются элементы всякого множества N, обладающего перечисленными свойствами. Как будто существует не одно, а много различных множеств натуральных чисел. Какие же именно из них являются фундаментом математики и применяются нами на каждом шагу?

* Как всегда, знак «=» обозначает совпадение, а знак «^» различие элементов множества.

** G. Peano, Sul concetto di numéro, в туринском журнале «Rivista di matematice», т. I, 1891.

Смогут ли люди понимать друг друга, если будут пользоваться разными множествами в качестве натуральных чисел? Поспешим успокоить понятное волнение читателя. Да, возможны различные множества, удовлетворяющие определению 1, но все они изоморфны относительно основного отношения: «Ь следует за а» (см. определение 1 из § 8) — и поэтому обладают совершенно одинаковыми свойствами, касающимися этого отношения, если только эти свойства вытекают из аксиом I —IV. Но мы собираемся из этих аксиом получить всю арифметику натуральных чисел, а иные свойства чисел, например их обозначение, форма и цвет шрифта при их записи и т. д., принципиального значения не имеют и могут играть известкую роль в науке и практике лишь с точки зрения большего или меньшего удобства при оперировании с числами. Так, считать по пальцам руки удобнее, чем по суставам одного пальца, и еще неизмеримо удобнее принятое всеми культурными народами обозначение чисел по десятичной системе счисления, позволяющее записывать все практически встречающиеся числа, а если сделать гипотезу (правда, уже абстрагирующуюся, как все научные гипотезы, от реальной действительности) о неограниченности запаса бумаги, чернил и времени, то и все вообще натуральные числа. Отложив до конца главы (§ 18) доказательство упомянутого изоморфизма и другие вопросы, касающиеся самой системы аксиом, займемся теми следствиями, которые из нее проистекают.

Поясним, прежде всего, смысл аксиомы индукции. Обычное доказательство по индукции состоит в следующем. Пусть надо доказать некоторую теорему, в формулировке которой участвует натуральное число п (как, например, в формуле бинома Ньютона). Тогда доказывают эту теорему, во-первых, для п = 1 и, во-вторых, для числа п + 1, предполагая, что она верна для числа п. После этого теорема считается доказанной для любого числа п. То, что теорема действительно доказана для любого гс, обычно обосновывается так: теорема верна для 1, а значит, и для 2; раз она верна для 2, значит, верна и для 3; раз для 3, значит, и для 4 и т. д. Но что значит это «и т. д.»? Можем ли мы, рассуждая так, дойти до любого натурального числа? Разумеется, нет, так как мы располагаем ограниченным запасом времени, а натуральных чисел бесконечно много. Вот почему только что приведенное обоснование, вполне пригодное для школьного преподавания, является все же нестрогим. Аксиома индукции IV и служит как раз формальным выражением этого рассуждения. Приняв эту аксиому, мы можем строго доказать, что упомянутая теорема верна для любого числа п (и притом не прибегая вовсе к приведенному выше рассуждению о ее справедливости для чисел 2, 3 и т. д.). А именно верна такая теорема:

Теорема 1. (Теорема о законности индуктивных доказательств.) Если некоторая теорема Т, формулировка которой

содержит натуральное число п, доказана для числа 1 и в предположении, что она верна для числа п, доказана для следующего числа п*, то эта теорема верна для любого числа п.

Доказательство. Пусть M есть множество тех натуральных чисел, для которых верна рассматриваемая теорема Т. Тогда:

А) Число 1 входит в М, так как для 1 теорема Т доказана.

Б) Пусть число п принадлежит М; это значит, что для числа п теорема Т верна. Но в таком случае теорема Т доказана, т. е. также верна и для следующего числа п , а это значит, что число п также принадлежит М. Итак, множество M обладает свойствами А) и Б) из аксиомы IV. В силу этой аксиомы оно должно содержать все натуральные числа, что означает (по самому определению множества М), что теорема Т верна для любого натурального числа п. Этим теорема 1 доказана.

Определение 2. Если b следует за а, то говорят, что а есть число, предшествующее числу Ь, или что а предшествует Ь.

Согласно аксиоме 1 число 1 не имеет предшествующего. Но это единственное число с таким свойством.

Теорема 2. Любое число а≠1 имеет предшествующее число и притом только одно.

Доказательство. Пусть M — множество, содержащее 1 и все числа, имеющие хотя бы одно предшествующее число.

А) 1 принадлежит М, Б) если а принадлежит М, то и а также принадлежит М, ибо а имеет предшествующее число а (предположение, что а принадлежит М, здесь даже излишне). По аксиоме IV множество M содержит все числа. Значит, любое число а≠1 имеет по крайней мере одно предшествующее. Единственность предшествующего числа следует из аксиомы III, согласно которой любое число имеет не более одного предшествующего.

Теорема 3. Если числа, следующие за данными числами, различны, то и данные числа различны, т. е. из а≠Ь' следует аф Ъ.

Доказательство. По аксиоме II из а = b следует* а = Ь'.

Теорема 4. Если данные числа различны, то и следующие за ними различны, т. е. из а≠b следует а ФЬ'.

Доказательство. По аксиоме III из а = Ь' следует а =Ь.

* Для того чтобы считать п' = п -(- 1» надо еще определить сложение натуральных чисел.

Теорема 5. Любое число отлично от следующего за ним числа, т. е. а≠а для любого а.

Доказательство. Пусть M — множество чисел, для которых теорема верна. А) По аксиоме 1:1'≠1,1 принадлежит М.

Б) Если а принадлежит M, то а'≠а. Значит, по теореме 4 также (а)'≠а , т. е. а принадлежит М. По аксиоме IV M содержит все числа, т. е. а≠а для любого а.

§ 12. Сложение

Определение. Сложением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждым натуральным числам а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число а + b и обладает следующими свойствами:

1) а + 1 = а для любого а,

2) а + Ъ' =(а + b)' для любых а и Ь.

Числа а и b называются слагаемыми, а число а + b — их суммой*.

Сразу возникает вопрос, существует ли такое соответствие и если да, то будет ли оно единственным. Определение это является первым случаем так называемого индуктивного определения, с которым мы встречаемся. Пусть выбрано определенное число а. Тогда условия 1) и 2) определяют число а + 1 и число а + Ъ\ если уже определено число а + Ь. Поэтому на основании аксиомы индукции IV можно, казалось бы, считать число а + b определенным для любого 6, а так как а выбиралось произвольно, то и для любых а и Ъ. Так полагали автор аксиоматики натуральных чисел Пеано и его ученики. Такое изложение принято в большинстве литературных источников. Однако в этом рассуждении имеется ошибка. В самом деле, каждый раз, применяя аксиому индукции, мы должны вполне точным образом определить то множество М, для которого надо доказать свойства А) и Б). В доказанной выше теореме 1 (§11) множество M состоит из тех натуральных чисел, для которых верна некоторая теорема Т о натуральном числе п. Нам удалось доказать, что это множество обладает свойствами А) и Б), что и доказывало теорему Т. Этим снимается то возражение, что при доказательстве теоремы Т для п + 1 мы предполагаем ее уже доказанной для п, хотя она ведь еще только доказывается. Мы пока и не пользуемся тем, что теорема Т верна для п, а доказываем лишь предложение в условной форме: «Если теорема Т верна для п, то верна и для п + 1», что соответствует условной форме свойства Б). Попробуем теперь выяснить, к какому множеству M надо применить аксиому IV в случае индуктивного определения сложения?

* Сложение является, таким образом, частным случаем более общего понятия алгебраической операции (см. § 6, опр. 1) или еще более общего понятия функции (см. § 3, опр. 1).

Можно ли сказать, что при выбранном а множество M состоит из тех Ь, для которых число a + b определено? Нельзя, потому что мы еще только хотим доказать, что число а + b определено свойствами 1) и 2). В этом и состоит как раз отличие индуктивного определения от индуктивного доказательства, где множество M чисел, для которых теорема Т верна, имеет вполне определенный смысл независимо от того, доказана эта теорема Т или нет. Слова «при данном а число а + b со свойствами 1) и 2) определено» имеют лишь такой точный смысл: «при данном а существует соответствие, сопоставляющее числу b число а + b и обладающее свойствами 1) и 2)»; но это утверждение касается не одного, а сразу всех чисел Ъ, и потому его нельзя доказать индукцией по b простой ссылкой на свойства 1) и 2). Зато это утверждение касается одного определенного числа а, и можно пытаться доказать его индукцией по b (что и будет сделано ниже). Заметим, что мы утверждаем ошибочность доказательства индукцией по b того, что условия 1) и 2) определяют число а + Ь, но отнюдь не ошибочность самого этого утверждения. Индуктивные определения законны, это можно доказать, только опираясь на понятие порядка натуральных чисел (см. § 15). Понятие же порядка будет нами введено (см. § 14) на основе сложения. Таким образом, вопрос о существовании сложения приходится решать иным путем*.

Теорема 1. Сложение натуральных чисел существует и притом только одно, т. е. существует одно и только одно соответствие, сопоставляющее любым числам а и b число а + b так, что

1) а + 1 = а! для любого а,

2) а + Ь' =(а + b)' для любых а и Ь. Иными словами, сложение всегда выполнимо и однозначно.

Доказательство, а) Сначала докажем, что при данном а существует не более чем одно соответствие, сопоставляющее каждому числу b число хь и обладающее свойствами:

для любого Ь.

Пусть yh — любое соответствие с теми же свойствами, т. е.

для любого Ь.

Пусть M — множество тех чисел Ъ, для которых хь = уъ. А) хх = а = ух, i принадлежит М.

Б) Если b принадлежит М, то хь = г/ь» значит, по аксиоме II (хьу =(уьу, значит, хь> =(хьУ = (уьУ = Уъ*> Ь' принадлежит М. По аксиоме IV множество M содержит все натуральные числа,

* Мы приводим доказательство, данное в книге Э. Ландау «Основы анализа», упомянутой в начале § 6.

т. е. xb = yb для любого b. Единственность сложения доказана при данном а. Но по произвольности а она доказана для любых а и Ь.

б) Покажем теперь, что при данном а существует (и согласно а) только одно) соответствие, сопоставляющее каждому b число а + b и обладающее свойствами а + 1 = а', а + Ъ' — (а + Ь)' для любого b (при данном а).

Пусть M — множество тех чисел а, для которых такое соответствие существует (и согласно а) только одно).

А) при а = 1 положим для любого 6, что а + b =6'. Это соответствие обладает нужными свойствами, так как

Значит, 1 принадлежит М.

Б) Если а принадлежит ЛГ, то а + b определено и обладает свойствами а + 1 = а', а + Ь' = (а + Ь)\ Числу b поставим в соответствие число а' + b —(а + &)'. Это соответствие обладает нужными свойствами для а\ так как

Значит, число а принадлежит M. По аксиоме IV множество M содержит все натуральные числа, т. е. для любого а существует соответствие, сопоставляющее каждому числу b число а + b и обладающее свойствами:

для данного а и любого Ь. Но число а является произвольным. Значит, доказано существование и единственность соответствия, сопоставляющего любым а и b число а + b и обладающего свойствами 1) и 2) (см. стр. 69). Теорема доказана.

Теорема 2. (Закон ассоциативности сложения.)

Доказательство. Пусть выбраны числа а и b и M — множество тех чисел с, для которых равенство справедливо.

Б) Если с принадлежит Л/, то откуда

с' принадлежит М. По аксиоме IV равенство (а + Ь) + с = а + + (Ь + с) справедливо для любых a, b и с.

Теорема 3. (Закон коммутативности сложения.)

Доказательство, а) Докажем индукцией по а, что я + 1 = 1 + a, M — множество тех а, для которых это верно. А) 1, очевидно, принадлежит М. Б) Если а принадлежит M, то а + 1 = 1 + а. Тогда а принадлежит М. По аксиоме IV доказано, что а + 1 = 1 + а.

б) Докажем индукцией по Ь, что а + b = 6 + а. Пусть M — множество тех Ь, для которых это верно при данном а.

А) По доказанному в а) 1 принадлежит М.

Б) Если b принадлежит M, то а + 6 = 6 + а. Тогда, используя теорему 2, находим:

è' принадлежит М. По аксиоме IV теорема доказана.

Теорема 4.

Доказательство. Теорема верна для 6=1, ибо а + 1 = а' 1 по аксиоме 1. Если а + b≠6, то по теореме 4 из §11 также

Теорема 5. Для любых чисел а и b имеет место один и только один из случаев:

1) а =Ь.

2) Существует число k такое, что а = b + А.

3) Существует число I такое, что b = а + Z.

Доказательство. Из теоремы 4 следует, что имеет место не более чем один из этих случаев, так как, очевидно, случаи 1) и 2), а также 1) и 3) не могут иметь место одновременно. Если бы одновременно имели место случаи 2) и 3), то а = b -f* + k =(а + I) + k = a + (I + k), что снова противоречит теореме 4. Докажем, что хотя бы один из этих случаев всегда имеет место.

Пусть выбрано число а и M — множество тех Ь, для каждого из которых при данном а имеет место случай 1), 2) или 3).

А) Если а = 1, то имеем случай 1) для b = 1. Если а≠1, то по теореме 2 из § 11

т. е. имеем случай 2) для b — 1. Значит, 1 принадлежит М. Б) Пусть b принадлежит М, Тогда,

или а = Ь, значит, Ь' =6 + 1 = а + 1, т. е. случай 3) для Ь', или а = b + k, и если k = 1, то а = 6 + 1 = 6', т. е. случай 1) для 6\ если k≠1, то k = m' и a=6 + m' = & + (m + 1) = Ь + (1 + m) =(6 + l) + m = = 6; + /7г, т. е. случай 2) для Ь\

или b = а + I и

т. е. случай 3) для Ь'. Во всех случаях b' принадлежит М. Теорема доказана.

Пользуясь этой теоремой, можно было бы уже теперь дать определение порядка и доказать основные его свойства (см. § 14), но мы сначала рассмотрим свойства умножения, чтобы уже сразу рассмотреть связь понятия порядка с обеими основными операциями.

Задача. Определив натуральные числа

доказать на основании определения суммы, что

§ 13. Умножение

Определение. Умножением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждым натуральным числам а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число ab (или ab или axb) и обладает следующими свойствами:

1) а-1 = а для любого а,

2) ab' = ab + а для любых а и Ь.

Число а называется множимым, a b — множителем, оба числа а и b называются также сомножителями, а число ab — произведением.

На первый взгляд может показаться странным, зачем давать это индуктивное определение, вместо того чтобы остаться при всем известном школьном определении произведения ab как суммы b слагаемых, каждое из которых равно множимому а. Но что означает выражение «6 слагаемых», где b выступает в роли количественного числительного? Количество слагаемых имеет лишь один точный смысл, именно это— мощность некоторого множества (см. § 3, определение 4). Правда, для конечных множеств (с которыми как раз мы и имеем дело при определении умножения) мы дали другое определение «числа элементов» (см. § 4, определение 3) и доказали, что оно совместимо с понятием числа элементов как мощности множества, но мы существенно использовали при этом понятие отрезка |1, п\ натурального ряда как множества натуральных чисел, не превосходящих п. Это понятие предполагает уже установленным порядок в множестве натуральных чисел. Правда, мы могли бы определить порядок до умножения и установить с помощью определения 3 из § 4 соответствие, позволяющее отождествить натуральные числа с мощностями конечных множеств. Это дало бы натураль-

ным числам количественный характер. Однако арифметика натуральных чисел в этом не нуждается. Всю ее можно построить, не используя понятия мощности, а лишь на основе данного выше определения. Построенные таким путем натуральные числа не способны отвечать на вопрос «сколько», а лишь на вопрос «который» (1 — первое число, следующее за 1 число 1' =2 — второе и т. д.). Поэтому их называют порядковыми числами в отличие от мощностей, называемых количественными числами. Конечно, чтобы теория натуральных чисел не осталась пустой логической игрой, а стала тем основным орудием практической деятельности человека, которым она на самом деле является, необходимо установить соответствие между мощностями конечных множеств и независимо от них построенными порядковыми натуральными числами, придав им тем самым количественный смысл. В этом и состоит значение приведенных в § 4 определения 3 и теоремы 2, на которой оно основано.

Относительно определения умножения сохраняют силу все замечания, которые были сделаны в предыдущем параграфе по поводу определения сложения. В частности, из него еще неясно, что соответствие с данными в определении свойствами существует. Поэтому большое принципиальное значение имеет следующая теорема, аналогичная теореме 1 из § 12:

Теорема 1. Умножение натуральных чисел существует и притом только одно. Иными словами, умножение всегда выполнимо и однозначно.

Доказательство (вполне аналогично доказательству теоремы 1, § 12):

а) Сначала докажем, что при данном а существует не более чем одно соответствие, сопоставляющее каждому числу b число хь и обладающее свойствами: хх = а, Хъ' = хь + а для любого Ь.

Пусть уъ — любое соответствие с теми же свойствами и M — множество тех чисел Ь, для которых хь =уь-

А) хх = а = ух\ 1 принадлежит М.

Б) Если b принадлежит M, то

Ъ' принадлежит М.

По аксиоме IV Хь = уь Для любого Ъ. Единственность умножения доказана при данном a, a по произвольности а она доказана для любых а и 6.

б) Покажем теперь, что при даняом а существует [и согласно а) только одно] соответствие, сопоставляющее каждому числу b число ab и обладающее свойствами а Л = а, ab' = ab + а для любого b (при данном а).

Пусть M — множество тех чисел а, для которых такое соответствие существует [и по а) только одно].

А) При а — 1 положим для любого 6, что ab = b. Это соответствие обладает нужными свойствами, так как

1 принадлежит М.

Б) Если а принадлежит М, то любому b соответствует ab, причем al — a, ab' = ab + а. Для а' строим такое соответствие: числу b соответствует число ab = ab + b. Оно обладает нужными свойствами, так как

а' принадлежит М.

Соответствие с нужными свойствами построено при любом а для каждого 6, т. е. для любых а и 6. Теорема доказана.

Теорема 2. (Правый закон дистрибутивности.)

Доказательство. Для данных а и b применим индукцию по с.

А) (а + 6)-1 = а + b = а-1 + 6-1. Для с = 1 теорема верна. Б) Если теорема верна для с, то (а + 6) с = ас + 6с Используя ассоциативность и коммутативность сложения, находим:

т. е. теорема верна и для с .

По аксиоме IV теорема доказана.

Теорема 3. (Закон коммутативности умножения.)

ab = ba.

Доказательство, а) Индукцией по b докажем теорему при а =1, т. е. 1-6 = 6-1. M — множество чисел b с этим свойством.

А) 1, очевидно, принадлежит М. Б) Если 16 = 6-1, то

6' принадлежит М.

б) Индукцией по а докажем, что ab = ba при данном 6. M — множество чисел а с ab = ba.

А) Согласно а) 1 принадлежит М.

Б) Если а принадлежит М, то ab = ba. Тогда, используя предыдущую теорему, найдем:

а принадлежит M. Теорема доказана.

Теорема 4. (Левый закон дистрибутивности.)

Доказательство. Следует из теорем 2 и 3.

Теорема 5. (Закон ассоциативности умножения.)

Доказательство. Пусть даны а и b. M *— множество тех чисел с, для которых равенство имеет место.

А) {ab) Л = ab =а(6-1), 1 принадлежит М.

Б) Если с принадлежит М% то (ab) с = a (be). Тогда, используя теорему 4, найдем:

с принадлежит М. Теорема доказана.

Задача 1. Определив по-прежнему 2=1', 3=2', 4=3', . • , . доказать равенство 2-2=4, 3-2=6.

Задача 2. Доказать, что для любого натурального числа а имеем:

§ 14. Порядок

При определении натуральных чисел (§ 11, опр. 1) мы исходили из одного основного отношения: «о следует за а». Уже сам выбор слова «следует» указывает на связь этого основного отношения с понятием порядка, введенным в § 5 для любых множеств. Правда, аксиомы II и III (§ 11) показывают, что отношение «следует» для чисел отличается от одноименного отношения порядка. Оно связывает каждый элемент лишь с двумя «соседними», так как по аксиоме II за каждым числом следует только одно, а по аксиоме III каждое число следует не более чем за одним числом. Но можно определить отношение порядка для любых натуральных чисел, совпадающее с уже заданным отношением «следует» между а и а. Для этого нового отношения мы будем пользоваться словом «больше».

Определение. Если для данных чисел а и b существует число k такое, что а = b + то говорят, что а больше 6, b меньше а, и пишут а >> b, b <С а. Если а> b или а = 6, то пишут а ^ Ь. Если а <,Ь или а = 6, то пишут а ^Ь.

Теорема 1. а) Для любых чисел а и b имеет место одно и только одно из трех соотношений; а = fc, а > 6, b > а.

б) Из a> b, b > с следует а> с. Иными словами, множество N натуральных чисел с только что определенным отношением «больше» является упорядоченным множеством в смысле § 5, определение 1 (то, что в § 5 основное отношение обозначалось знаком <С, значения не имеет).

Доказательство. Утверждение а) является лишь перефразировкой теоремы 5 из § 12. Утверждение б) доказывается так. Если

откуда

Определенный порядок совпадает в частном случае соседних чисел с отношением «следует», так как а = а + 1, т. е. а > а.

Что касается связи порядка с операциями сложения и умножения, то для натуральных чисел сохраняют силу многие из теорем, доказанных в § 9 для упорядоченных колец. Так как, однако, натуральные числа, как мы увидим, кольца не образуют, то эти теоремы (если только они опирались на свойства кольца) приходится доказывать заново.

Теорема 2. (Законы монотонности сложения и умножения. Ср. с теоремой 2 из § 9). Из а) а = b следует соответственно:

Доказательство.

Справедливы утверждения, обратные теореме 2.

Теорема 3. (Ср. с теоремой 3 из § 9.)

Доказательство. Так как посылки и следствия в теореме 2 исчерпывают все возможности и взаимно исключают друг друга, то обратные теоремы также верны (см. доказательство теоремы 3 из § 9).

Из теоремы 2 уже дословным повторением доказательства теоремы 4 из § 9 получаются известные правила оперирования с неравенствами.

Теорема 4.

Теорема 5. Единица — наименьшее из натуральных чисел, т. е. а ^ 1 для любого а.

Доказательство. Если а≠1, то (по теореме 2, § 11)

Теорема 6. В множестве натуральных чисел выполнена аксиома Архимеда (§ 9, опр. 3), т. е. для любых а и b существует с, для которого Ьс > а.

Доказательство. Достаточно взять с > а, так как из b ^ 1 ввиду теорем 2 и 4 следует Ьс > а Л = а.

Теорема 7. При установленном порядке натуральных чисел числа au а + 1 являются соседними (§ 5), т. е. не существует числа b такого, что а + 1 > i > û и, значит, из 6 > а следует b ^ а + 1 и из b < а + 1 следует b <; а.

Доказательство. Если Ъ> а, то b = а + k. По теореме 5 k ^ 1. По теореме 2 а + + 1, т. е. б^а+l.

По теореме 1 этим исключается соотношение а + 1 > b. Теорема доказана.

Очень часто применяется следующая теорема:

Теорема 8. Любое непустое множество А натуральных чисел содержит наименьшее число, т. е. число, меньшее всех других чисел данного множества.

Доказательство. Пусть M — множество тех чисел а, которые не превосходят ни одного из чисел множества А. По теореме 5 1 принадлежит M. Не все числа принадлежат М, так как если b принадлежит множеству А, то число Ь' =6 + 1 > & и не принадлежит М. Поэтому множество M должно содержать число а такое, что число а + 1 не принадлежит M (иначе по аксиоме IV M содержало бы все числа). Так как а принадлежит М, то для любого b из А должно быть а ^ Ь. Число а принадлежит А, так как иначе для любого b из А будет а <6 и по теореме 7 а + 1 ^ Ь, т. е. а + 1 принадлежит М, что противоречит выбору числа а.

На этой теореме основана вторая форма индуктивного доказательства.

Теорема 9. (Ср. с теоремой 1 § 11.) Если некоторая теорема Т доказана для числа i и в предположении, что она верна для всех чисел, меньших числа п, где п > 1, доказана для п, то она верна для любого натурального числа.

Доказательство. Если теорема Т верна не для всех чисел, то множество M чисел, для которых она неверна, непусто. По теореме 8 множество M содержит наименьшее число п. Раз п принадлежит М, то для п теорема Т неверна и п > 1. Но п — наименьшее число множества М; значит, теорема Т верна для всех чисел, меньших п, и должна быть верна для п, что невозможно.

После введения порядка для натуральных чисел первая форма индуктивного доказательства, т. е. теорема 1 из § 11, допускает следующие видоизменения.

Теорема 10. Если некоторая теорема Т доказана для какого-либо натурального числа k и если в предположении, что она верна для числа п ^ k, она доказана для числа п + 1, то эта теорема Т верна для любого натурального числа п ^ k.

Доказательство. Предположим, что теорема Т верна не для всех чисел п ^ k. Тогда множество А тех чисел п ^ k, для которых теорема Т неверна, непусто и по теореме 8 содержит наименьшее число I, где / ^ k, и для I теорема Т неверна. Поэтому I > k. По теореме 5 число /^=1 и потому имеет предшествующее число п (§11, теорема 2), т. е. число п, для которого п = п + 1 = I. Число п ^ k, ибо если п <.k, то по теореме 7 I = п + 1 ^ k. Из I = п + 1 следует п < /. Поэтому п не принадлежит множеству Л, т. е. для п теорема Т верна. Но тогда она верна и для числа п + 1 = I. Полученное противоречие доказывает нашу теорему.

Аналогичное видоизменение допускает и вторая форма индуктивного доказательства (т. е. теорема 9), а именно:

Теорема 11. Если некоторая теорема Т, касающаяся натурального числа, доказана для числа k и в предположении, что она верна для всех чисел а с условием k <; а <п, доказана для числа п, то эта теорема Т верна для любого числа п ^ k.

Доказательство аналогично теореме 10 и предоставляется читателю.

Справедливо еще следующее положение, дополняющее теорему 8.

Теорема 12. Любое непустое и ограниченное сверху множество А натуральных чисел содержит наибольшее число (при этом под множеством, ограниченным сверху, понимается множество, все числа которого меньше одного и того же натурального числа k).

Доказательство. Пусть В есть множество натуральных чисел, больших или равных всем числам множества А. Так как множество А ограничено сверху, то В непусто. По теореме 8

множество В содержит наименьшее число Ь. По определению В имеем b ^ а для любого а из множества А. Покажем, что число b принадлежит А и, следовательно, является наибольшим числом в А. Если b не принадлежит А, то b > а для любого а из множества А. Тогда по теореме 7 имеем b — 1 ^ а для любого а из множества Л. Значит, число b — 1 принадлежит В, но так как b — 1 < 6, то это противоречит выбору числа 6.

§ 15. Индуктивные определения. Сумма и произведение нескольких чисел

С индуктивными определениями мы уже имели дело при определении сложения и умножения. В обоих случаях, если выбрать определенное значение а, дело шло о построении некоторой функции f(b) числа 6, значение которой — натуральные числа и которая обладает двумя свойствами: 1) известно значение функции для b = 1 [в случае сложения /(1) = а', в случае умножения /(1) = а]. 2) Дано рекуррентное соотношение, однозначно определяющее значение функции для любого числа, отличного от 1, через ее значение для предыдущего числа [в случае сложения f(b') =[/(6)]', в случае умножения f(b') = /(&) + а]. По поводу определения сложения мы уже указывали (§ 12), что такое определение еще не доказывает (простым применением аксиомы индукции IV) существование и единственность функции /(&) с указанными свойствами 1) и 2). Это, однако, было доказано иным путем как для сложения, так и для умножения. После определения порядка натуральных чисел можно доказать законность индуктивных определений и притом более общего типа, чем в случае сложения и умножения.

Определение 1. Индуктивным определением (или построением) функции f(a) на множестве всех натуральных чисел называется ее определение по следующим двум свойствам:

1) задано значение функции /(1) = х1 для числа 1;

2) значение функции /(а) для натурального числа а > 1 однозначно выражено через ее значение f(b) для натуральных чисел b <а при помощи данной системы S рекуррентных соотношений.

Отметим, что значения определяемой индуктивно функции f(a) вовсе не обязаны быть натуральными числами. Они могут быть элементами некоторого кольца или вообще некоторого множества Л, между элементами которого определены отношения, при которых имеют смысл рекуррентные соотношения системы S.

Что индуктивное определение действительно определяет (и притом однозначно) функцию / (а), показывает следующая теорема:

Теорема 1. (Теорема о законности индуктивного определения.) При данной системе S рекуррентных соотношений существует одна и только одна функция / (а), заданная на множестве

всех натуральных чисел и обладающая свойствами 1) ц 2), указанными в определении 1.

Доказательство. Отрезком натурального ряда (согласно определению 1, § 4) называется множество |1, п\ натуральных чисел а ^ п. Докажем сначала такую лемму.

Лемма. Пусть даны:

а) натуральное число пу

б) элемент х{ некоторого множества Л,

в) при п > 1 система S рекуррентных соотношений, которая для любого натурального числа а (где 1 < а ^ п) и любых эле~ ментов хь (где b <а) множества А однозначно определяет элемент ха того же множества А*.

Тогда существует одна и только одна функция fn (а), заданная на отрезке |1, м|, значения которой принадлежат множеству А и которая обладает свойствами:

2п) при п >> 1 и I <а ^ п значение fn (а) связано со значениями fn(b) (где b <я) рекуррентными соотношениями данной системы S.

Доказательство леммы. Пусть M — множество тех п, для которых лемма верна. А) Для п = 1 условие б) и свойство 2П) отпадают. Очевидно, /(1) = хА будет тогда единственной функцией, заданной на отрезке |1, 1| и обладающей свойством 1). 1 принадлежит множеству М. Б) Если п принадлежит М, то для п лемма верна. Пусть условия леммы а), б), в) выполнены для числа п + 1. Тогда эти условия выполняются также и для числа п [при той же системе S рекуррентных соотношений в пункте в) и при том же хх в пункте б)]. Значит, существует одна и только одна функция fn{a), заданная на отрезке |1, п\ и обладающая свойствами 1) и 2П). Мы строим тогда функцию fn + i(a) следующим образом: для любого а ^ п полагаем fn +1 (а) = fn (а). Значение же fn+i(n + 1) определяем по значениям fn+i(a) для а <С п + 1 из рекуррентных соотношений данной системы S, что возможно, так как условие в) выполнено для числа п + 1. Тогда функция fn + i(a) задана на отрезке |1, п + 1| и обладает свойствами 1) и 2п+1). Если g (а) — любая функция, заданная на отрезке |1, п + 1| и обладающая свойствами 1) и 2n + i), то эта функция g (а) задана также на отрезке |1, п\ и обладает свойствами 1) и 2П). В силу единственности такой функции (для п лемма верна) должно быть g (а) = fn (а) для а ^ п. Но g (а) обладает свойством 2д + 1). Значит, значение g(n + 1) однозначно определяется значениями g (а) для а <п + 1. Но для а <п + 1,

* При этом для а > п рекуррентные соотношения могут вообще не задаваться.

Поэтому также

Итак, на всем отрезке |1, п + 1| функция g (а) совпадает с In +1 (a)i чем доказана единственность функции fn +1 (а).

Лемма доказана для числа гс + 1. Число гс + 1 принадлежит множеству М. По аксиоме IV множество M содержит все натуральные числа, т. е. лемма верна для любого натурального числа гс.

Переходим к доказательству теоремы 1. Условия 1) в определении 1 и лемме совпадают. Из условия 2) определения 1 следует, что условие в) леммы выполнено при любом гс > 1. Согласно лемме для любого гс существует одна и только одна функция заданная на отрезке |1, гс| и обладающая свойствами 1) и 2т). Если m <С гс, то функция fn (а) задана на отрезке |1, т\ как части отрезка |1, гс| и обладает свойствами 1) и 2т). По единственности такой функции fn (а) — fm(a) для а ^ т. Итак, все функции определенные для числа а (т. е. при гс ^ а), имеют для этого а одно и то же значение. Значение всех fn (а) при гс ^2 а и примем за значение f(a) искомой функции для числа а. /(1) совпадает с fn (1), а так как fn (а) обладает свойством 1), то и /(а) обладает свойством 1). Если а> 1 и гс ^ а, то / (а) —fn (а) и, значит, /(а) также удовлетворяет рекуррентным соотношениям, т. е. функция f(a) обладает и свойством 2). Если g (а) — любая функция, заданная на множестве натуральных чисел и обладающая свойствами 1) и 2), то она задана на любом отрезке |1, гс| и обладает там теми же свойствами. По единственности такой функции g (a) =fn(a) =/(а) при гс ^ а. Значит, g (a) =f{a) для любого а. Этим единственность функции /(а), обладающая требуемыми свойствами, доказана.

Натуральный ряд. Простейшим примером индуктивного построения является построение так называемого натурального ряда. Берем первое число 1, затем следующее 1' =2, затем 2' = 3, 3' = 4 и т. д. Спрашивается, получим ли мы таким путем все натуральные числа? Ряд чисел, получаемый указанным образом, называется натуральным рядом. Итак, содержит ли натуральный ряд все числа? Точное описание построения натурального ряда состоит в том, что мы ищем функцию /(а), значение которой суть натуральные числа и которая удовлетворяет условиям /(1) =1, f(a) —\f(a)Y. Эти условия того же типа, что 1) и 2) к определении 1. Поэтому по предыдущей теореме функция с этими свойствами существует и только одна. Ее значения и будут по определению числами натурального ряда. Но по индукции получается, что /(а) =а (ибо /(1) = 1 и, если /(а) = а, то /(а') в» [/(а)]' = а'). Значит, любое число а входит в натураль-

ный ряд и притом лишь один раз, так как из а4≠а2 следует, конечно, /(аО≠f(a2).

На лемме из доказательства теоремы 1 основано введение суммы и произведения нескольких натуральных чисел.

Определение 2. Пусть даны натуральные числа* #i, a2l . . ., ап, где п — также натуральное число**. Суммой этих чисел называется число, которое обозначается через

и определяется условиями:

(2)

для любого числа k <С п.

Произведением этих чисел называется число, которое обозначается через

и определяется условиями:

(3) (4)

для любого числа k < я.

В этом определении условия (1) и (3) определяют значения данных функций числа k для k = 1, а условия (2) и (4) играют роль рекуррентных соотношений в пункте в) леммы. По лемме существуют единственные функции

заданные на отрезке |1, п\ и обладающие соответственно свойствами (1), (2) и (3), (4). Поэтому определение 2 имеет точный смысл.

Аналогичное обоснование можно дать определению суммы и произведения нескольких элементов с любым распределением скобок (см. § 6). Однако выводить это из общей леммы, как мы делали в случае определения 2, неудобно, так как соответствующая лемма формулируется и доказывается слишком гро-

* Это определение и все результаты данного параграфа дословно переносятся на любые кольца и вообще на любые множества, в которых определены операции сложения и умножения, подчиненные законам коммутативности и ассоциативности.

** Строго говоря, на отрезке |1, п\ задана функция / (Ь) = а^.

моздко. Мы ограничимся поэтому обоснованием индуктивного определения произведения конечного множества элементов с любым распределением скобок. Разумеется, все сказанное для произведения верно для суммы и вообще для любой алгебраической операции (см. § 6, опр. 1).

Определение 3. Пусть в множестве R определено умножение (не обязательно коммутативное или ассоциативное), т. е. любой упорядоченной паре a, b элементов из R однозначно соответствует элемент ab = с также из R. Пусть дано натуральное число гс. Через Лд, где k ^ гс, обозначим упорядоченное множество k элементов из Я с любым распределением скобок, удовлетворяющим обычным требованиям, т. е. множества элементов, заключенных в две различные пары скобок, либо не имеют общих элементов, либо одно из них является собственным подмножеством другого. Под обобщенным произведением или произведением с любым распределением скобок мы будем понимать функцию /(Лд), определенную на всех множествах Ah для k ^ п и удовлетворяющую условиям:

1) /(Л,) — ах для любого множества Ах ={а{} из одного элемента множества R (скобки, заключающие один элемент, можно опускать).

2п) Если 1 <£^гс, At есть множество элементов из Аъ. (с тем же порядком и теми же скобками), не заключенных в общие скобки с последним элементом а* множества Ah (исключая скобки, заключающие, быть может, все множество Лд), и Лд., — множество остальных элементов с прежним порядком и прежними скобками, то

Теорема 2. Функция /(Лд), удовлетворяющая определению 3 для любого натурального числа гс, существует и притом только одна.

Доказательство. Пусть M есть множество тех натуральных чисел, для которых теорема верна.

А) Для гс = 1 условие 2п отпадает, и по условию 1) f(Al)=al существует и единственна. Для гс = 1 теорема верна. 1 принадлежит множеству М.

Б) Пусть число гс принадлежит множеству М. Тогда существует единственная функция /(Лд), где k ^ гс, удовлетворяющая условиям 1) и 2п) определения 3. Определим нашу функцию еще на всех множествах An+i с любым распределением скобок. Если множество An+i разбивается по способу, указанному в определении 3, на At и Лп+и,, то Z <; гс пгс + 1 — Z^rc. Значит, значения функции i{AL) и /(Л„+!_,) даны. Мы полагаем тогда

Полученная функция f(Ah), где k ^ п + 1, обладает свойствами 1) и 2Л+1). Остается доказать единственность такой функции. Пусть g(Ak), где k ^ п + 1,— любая функция со свойствами 1) и 2п+1). Тогда она обладает и свойством 2П), и по единственности функции /(Лд)» & < я, с этими свойствами должно быть:

Но так как функция g{Ak) обладает свойством 2п+1) и произведение двух элементов из R определено однозначно, то должно быть также

Этим единственность функции f(Ak) для k ^ п + 1, а значит, и теорема 2 для числа п + 1 доказаны. п+\ принадлежит М. По аксиоме индукции IV (§ И) M содержит все натуральные числа, т. е. теорема 2 верна для любого гс.

Заметим, что из этой теоремы получается существование и единственность функции f(An), заданной на множестве всех конечных упорядоченных множеств элементов из множества R с любым распределением скобок и со свойствами 1), и f(An) = = f(Al)-f(An_l). Доказательство вполне аналогично проведенному для теоремы 1 при помощи приведенной леммы, и мы его предоставляем читателю.

Замечание. До сих пор при построении арифметики натуральных чисел (начиная с § И) мы нигде не пользовались теоремами первых двух глав, с другой стороны, в этих двух главах использовались лишь те понятия и факты из теории натуральных чисел (а именно, понятие отрезка натурального ряда, индуктивное доказательство и индуктивное определение), которые нами уже изложены. Поэтому, не делая порочного круга, мы можем в дальнейшем построении теории натуральных чисел опираться на факты из первых двух глав. В частности, для натуральных чисел сохраняют смысл определения суммы и произведения с любым распределением скобок (см. § 6 обобщенные произведения, определенные в следствиях законов ассоциативности и коммутативности) и теоремы о том, что эти произведения не зависят от расположения скобок и порядка сомножителей. Отсюда вытекают основные свойства суммы и произведения*:

(5) (6)

* Эти свойства можно получить и не используя понятий суммы и произведения с любым распределением скобок. См. ниже задачу 1.

При совпадающих слагаемых или сомножителях сумма и произведение по определению дают кратное и соответственно степень натурального числа а. Итак, определением кратного и степени числа а служат равенства:

(7) (8)

Но обозначение an в равенстве (7) имело уже раньше другой смысл. Так обозначалось произведение натуральных чисел а и п. Нужно доказать, что оба истолкования записи an совпадают. Когда это будет доказано, то, придав натуральному числу п количественное значение (как мощности множества), мы придем к школьному определению произведения an как суммы п слагаемых, равных а, и степени ап как произведения п сомножителей, равных а. Итак, докажем следующую теорему:

Теорема 3. Для любых натуральных чисел а и п справедливо равенство:

(9)

где an означает произведение чисел а и п (в смысле определения § 13). В частности,

т. е. любое натуральное число п равно сумме п единиц*.

Доказательство. Для п = 1 согласно свойству 1) определения § 13 и свойству (1) суммы имеем:

Если

то по свойству 2) определения § 13 и свойству (2) суммы имеем:

По аксиоме IV теорема доказана.

* Эта теорема не сохраняется для любых колец, так как там не определено произведение элемента а на натуральное число п. Однако она верна для всех числовых колец и вообще для множеств, где существует произведение а>п элемента а на натуральное число л, обладающее свойствами 1) и 2) определения § 13.

Задача 1. Доказать свойства (5) и (6) суммы и произведения, не пользуясь результатами § 6, непосредственно индукцией по числу п.

Задача 2. Пользуясь свойствами произведения (5) и (6), доказать следующие свойства степени:

(10)

Нуждаются ли в доказательстве соответствующие свойства кратных?

§ 16. Вычитание и деление

Основные вопросы арифметики натуральных чисел, обоснование которых содержит трудности, связанные с аксиоматическим построением, нами уже изложены. Дальнейшее развитие идет по известному в школе пути. Мы изложим некоторые из оставшихся вопросов более кратко.

Определение 1. Вычитанием натуральных чисел называется действие, обратное сложению, т. е. соответствие, которое числам а и b сопоставляет число а — b (называемое разностью а и Ь) такое, что

(1)

Отсюда в связи с определением и теоремой 3, § 14, находим:

Теорема 1. Разность а — b существует тогда и только тогда, когда а > Ь. Если разность существует, то она единственна.

Из (1), далее, имеем:

(2)

Здесь и ниже предполагается (если нет других указаний), что все встречающиеся разности существуют:

(3)

ибо

Далее, из (1) и (3) следует:

а) а — b = с — d (4)

тогда и только тогда, когда

Теорема 2. Из соотношения

следует соответственно

б)

и обратно.

Доказательство. Докажем, что из б) следует а). Прибавив к обеим частям б) сумму 6 + с, получим (§ 14, теорема 2):

откуда (§ 14, теорема 3)

Отсюда заключаем, что из б) следует а).

Определение 2. Делением называется действие, обратное умножению, т. е. соответствие, сопоставляющее числам а и b число =в а : Ь (называемое частным чисел а и Ь) такое, что

(5)

Из 1 ^ b следует:

(6)

причем знак «=» имеет место лишь для 6=1. Отсюда и из равенства (5) следует:

(7)

со знаком «=» лишь при 6=1.

Как и в случае вычитания, здесь и ниже предполагается, что все написанные частные существуют.

Теорема 3.

Доказательство аналогично данному для теоремы 2.

Для частных справедливы правила сравнения и оперирования:

(8)

тогда и только тогда, когда ad = be.

Доказываются они на основе теоремы 3, § 14, дословно, как соответствующие свойства частного в любом поле (§ 7, теорема 8). При этом в пунктах б), в) и г) из существования частных в левой части вытекает их существование в правой части.

Далее, из условия (6) и теоремы 3, §14, получим следующую теорему:

Теорема 4. Для того чтобы существовало частное ~ , необходимо (но, как сейчас увидим, недостаточно), чтобы было а ^ Ь. Если частное существует, то оно единственно.

Что из а ^ Ъ еще не следует существование частного показывают простые примеры. Так, определяя числа

убеждаемся, что не существует числа а, для которого 2а = 3. Из условия (6) должно быть а <3, т. е. или а = 1, или а = 2, но 2 1 =2 и 22 =4.

Это обстоятельство обусловливает коренное различие свойств вычитания и деления и приводит к ряду свойств чисел, составляющему так называемую теорию делимости. К изложению основ этой теории мы и переходим.

§ 17. Теория делимости натуральных чисел

Определение 1. Если для натуральных чисел а и Ъ существует натуральное число q такое, что а = bq (т. е. существует частное ^~ ), то говорят, что а делится на b или что b делит а и пишут b I а. Число а называется кратными, Ь — делителем а. Если такого числа q не существует, то говорят, что а не делится на b или b не делит а и пишут: Ь\а.

Теорема 1. Из условия b \ а следует а ^ Ъ, т. е. никакое число не делится на большее число. В частности, 1 не делится ни на какое число, кроме самого себя.

Это следует из условия (6), § 16.

Далее, легко проверить справедливость такой теоремы:

Теорема 2.

в) из а \ Ъ следует а \ be для любого с\

г) из а \ b следует ас \ be для любого с и обратно]

д) из а I Ь, с I d следует ас \ bd;

е) из а I b и а \ с следует а \ b + с и вообще а \ bbl + сс1 для любых ftp сх% а также а \ b — с и а \ bbx — ссх для любых bx, сх> для которых существует последняя разность.

Основное значение для дальнейшего имеет следующая теорема:

Теорема 3. (Алгорифм деления с остатком.) Если а> b и а не делится на Ь, то существует одна и только одна пара чисел q и г такая, что

(2)

Число q называется частным, а г — остатком при делении а на Ь.

Доказательство. 1) Докажем сначала существование чисел g и г со свойствами (1) и (2). Из а > b по теореме 1, § 16, следует существование разности а — Ь. Из равенства

ясно, что числа g = 1, г = а — b удовлетворяют условию (1). Итак, пары чисел q, г, удовлетворяющие условию (1), существуют. По теореме 8 (§ 14) существует число г, наименьшее из тех, для которых при подходящих q справедливо (1). Если г > 6,

что невозможно, так как г — наименьшее из удовлетворяющих равенству (1). Если г = 6, то

т. е. ft I а, что противоречит условию. Значит, г <Cb, т. е. верно равенство (2)*.

2) Докажем единственность пары чисел q, г. Если qx и г. — другая пара, то либо qx≠q, либо г,≠г. Но согласно равенству(1)

(3)

* Чаще рассуждают иначе: вычитаем b из а, пока остаток не будет меньше Ь. Так как числа а — b, а — 26, ... убывают, то по теореме 8 из § 14 среди них будет наименьшее: а — qb. Аналогично прежнему доказывается, что а — qb = г < Ь. Так как процесс вычисления заканчивается на q-м шаге, то это дает метод фактического разыскания чисел q л г.

Из r, > г следует bqx <ftg, qx <g (теоремы 2, 3 из §16) и обратно, из qx <q следует bqx <bq, rx > г. Значит, все написанные ниже разности существуют. Из обеих частей равенства (3) вычтем bqx + г. Получим г, — г = 6я — bqx = b(q — qx). Число rx — г делится на 6, но по теореме 2 из § 16 г, — г <г, <Ь, что противоречит теореме 1. В случае г, <г, ql> q рассуждение аналогично.

Определение 2. Наименьшее из чисел, делящихся на каждое из чисел а, 6, называется наименьшим общим кратным (НОК) чисел а и 6. Наибольшее из чисел, делящих каждое из чисел а, Ь, называется наибольшим общим делителем (НОД) чисел а и b и обозначается через (а, &).

Теорема 4. Для любых натуральных чисел а, & существуют единственное НОК /г и единственный НОД с?, причем

dk = а&. (4)

Любое OK чисел а, & делится на k. Любой ОД чисел а, ft делит d.

Доказательство. Пусть даны а и ft. Общие кратные для а и b существуют, например произведение ab. Значит, существует и НОК k (§ 14, теорема 8). Если kx — также НОК чисел а, ft, то

т. е. НОК единственно. Пусть kx — любое OK чисел а, ft, отличное от k. Тогда kx > k. Если kx не делится на fe, то по теореме 3 (алгорифм деления с остатком) kx = kq + г, г < k. Но тогда г = kx — kq делится как на а, так и на 6 (теорема 2, с)), т. е. г — также OK чисел а и 6, что ввиду условия г < £ невозможно. Значит, &j делится на е. В частности, ab делится на k. Положим ^ = d. Число d удовлетворяет равенству (4). Докажем, что d есть НОД чисел а и 6. Так как [см. § 16, (8)]

то d — ОД чисел а, Ь.

Пусть dx — любой ОД чисел а и &. Тогда число kx = ^ будет, очевидно, OK чисел а и ft. Значит, £t делится на Но [см. §16, (8)]

откуда d делится на d. и d ^ б?.. Значит, с? — НОД чисел а и Ь,

Единственность НОД доказывается так же, как и в случае НОК.

Алгорифм Евклида. Предыдущая теорема доказывает существование НОД и НОК, но не дает удобного способа их вычисления (можно, конечно, искать НОД, испытывая все числа от единицы до меньшего из чисел а и 6, а затем определять НОК из равенства (4), но это неудобно). Еще Евклиду* принадлежит метод отыскания НОД (дающий также и доказательство существования НОД, не зависящее от теоремы 4), известный под названием способа последовательного деления, или алгорифма Евклида. Пусть даны числа а и Ь, причем а ^ Ь. Если Ь\а, то по теореме 3 a =bqx + т., гх <Ъ. Если rx\by то также Ъ = rxq2 +> г2, г2 <г,. Если уже найдено rh и rh\rk+x, то =rkqk+i + Га Га+1 <га. Если бы для любого k число Га., не делилось на гд, то индуктивное построение согласно теореме 1 (§ 15) дало бы числа г& для всех k, причем b > г, > > Г2 > . • м что невозможно, потому что множество чисел не имело бы наименьшего числа (§ 14, теорема 8). Значит, существует п такое, что rn | гп-1. Таким образом, построение обрывается после конечного числа шагов (именно на п-м шаге). Мы получим систему равенств:

(5)

Утверждается, что последний делитель гп и есть НОД чисел а и 6. В самом деле, последнее равенство показывает, что гп\гп_хУ тогда второе снизу равенство дает гЛ|гп_2, третье — rn\гп_г и т. д., второе сверху — гп \ 6, наконец, первое —- гп \ а. гп — ОД чисел а и Ь. Если di — любой ОД чисел а и Ь, то первое из равенств (5), переписанное в виде:

дает dx\rx, второе — dx\r2 и т. д., предпоследнее — dx\rn. По теореме 4, § 16, будет гп ^ dv т. е. rn = d —- НОД чисел а и о.

Доказательство единственности остается прежним, т. е. если d, — любой НОД чисел а и 6, то d ^ dx и ^ с?, откуда d = dx.

Простые числа. Любое натуральное число делится на 1 и на самого себя. Существуют числа, не имеющие других делителей. Таким числом является, конечно, 1, а также 2, так как вообще нет числа, меньшего 2, кроме 1 (см. теорему 7, § 14), 3, так как единственное число а, для которого 1 <Са <3, есть 2 и 2^3 и т.д.

* «Начала» Евклида, книга 7, тт. I, II.

Определение 3. Натуральное число р называется простым, если оно отлично от 1 и не имеет делителей, кроме р и 1, Число, отличное от 1 и не простое, называется составным. 1 не причисляется ни к простым, ни к составным числам.

Примерами составных чисел могут служить любые произведения простых. Этими примерами исчерпываются, впрочем, все составные числа, так как любое составное число есть произведение простых (см. ниже, теорема 8).

Теорема 5. Любое натуральное число гс > 1 обладает хотя бы одним простым делителем р.

Доказательство. Пусть р —- наименьшее из делителей гс, отличных от 1. Если q | р, 1 <С q <Ср, то также g | гс, что невозможно. Значит, р — простое число.

Ряд простых чисел начинается числами 2, 3, 5, 7, 11, ... До сих пор не найдено ни формулы, дающей выражение гс-го по порядку простого числа рп через его номер гс, ни рекуррентного соотношения, позволяющего находить простое число рП1 если даны все меньшие простые числа. Тем более замечательна следующая теорема, доказанная еще Евклидом*.

Теорема 6. Для каждого простого числа р существует простое число, большее р (таким образом, ряд простых чисел 2, 3, ... бесконечен).

Доказательство. Пусть рх, р2, . . ., рп = р — все простые числа ^ р. Образуем число

Это число не делится ни на одно из чисел pIf р2, . . рп> н<> по теореме 5 оно должно делиться на некоторое простое число q. Значит, q> р.

Заметим, что число гс указанного вида само не обязано быть простым. Хотя

простые числа, но уже

Теорема 7. Если произведение ab делится на простое число р, то по крайней мере одно из чисел а и b делится на р.

* «Начала», книга 9.

Доказательство. Пусть k — НОК чисел р и а. Но ab есть OK чисел р и а и по теореме 4 /г|а&, т. е.

(6)

Согласно (4) число d =у есть ОД чисел р и а (то. что это НОД здесь неважно). Но простое число р имеет делителями лишь р и 1. Если d — р, то /? |а, если d = 1, то ^ == 1. Л = pan [см. (6)]

откуда, сокращая на а, найдем: 6 = ph, т. е.

Следствие. Если произведение нескольких чисел делится на простое число р, то один из сомножителей делится на р.

В самом деле, для произведения с одним сомножителем (равного этому сомножителю) это ясно. Если утверждение верно для п сомножителей, то из условия

по предыдущей теореме следует, что или p\an+i, или

и потому p\ai для некоторого i ^ п.

Из этого следствия вытекает основная теорема теории делимости.

Теорема 8. Любое натуральное число, отличное от 1, разлагается в произведение простых чисел и притом единственным образом до порядка сомножителей*.

Доказательство. 1) Докажем существование разложения числа п≠1 на простые множители. Для п = 2 это ясно, так как число 2 само простое. Пусть п > 2 и пусть все числа, меньшие п, но > 1, разложимы на простые множители. Если п — число простое, то для него утверждение верно. Если составное, то существует число пр делящее /г, п = пхп2, причем п1ф11 пх≠п. Тогда также п2≠1, и по § 16 (6)

Числа пх и п2 разлагаются на простые множители, значит, то же верно и для п = пхп2. По индукции (в форме теоремы 11, §14) утверждение верно для любого п ^ 2.

2) Теперь докажем единственность разложения, где и будет использована теорема 7. Пусть одно и то же число обладает двумя разложениями на простые множители, т. е.

(7)

* При этом, как всегда, отдельное число также считается произведением (с числом сомножителей, равным единице).

где все числа р{ и простые. Надо доказать, что оба разложения могут отличаться лишь порядком сомножителей, т. е. что г = 5 и при подходящей нумерации pi = q{, i = 1, 2, . . ., r (кроме того, может быть также р[ = qh при i≠/с, так как среди сомножителей могут быть равные). Применим снова индукцию по п. Для гс = 2 теорема очевидна, так как простое число 2 не разлагается в произведении нескольких простых чисел. Пусть теорема верна для чисел, меньших гс, где гс > 2. Левая, а значит, и правая часть равенства (7) делится на простое число рх. По следствию из теоремы 7 одно из чисел qv q2j qs делится на рх. Изменяя, если нужно, нумерацию сомножителей правой части (7), можно считать, что p%\qv а так как рх≠1 и qx — число простое, то рх = qv Сокращая все части равенства (7) на pt (теорема 3, § 14), получим:

(8)

Если г > 1 (случай г = 1, гс = рх аналогичен с уже разобранным гс — 2), то 2 <; пх < гс. Значит, для пх утверждение верно. Поэтому г — 1 =5—1, откуда г = s и при подходящей нумерации Pi=qL, i = 2, 3, г.

Определение 4. Числа а и 6 называются взаимно простыми, если их НОД равен единице.

Из теоремы 7 следуют также часто применяемые теоремы о взаимно простых числах. А именно:

Теорема 9. Если а взаимно просто с Ь и с, то а взаимно просто с произведением Ьс.

Доказательство. Иначе НОД (а, Ьс) = d> 1. По теореме 5 число d делится на простое число р. Тогда также р\а и d\bc и по теореме 7 либо р\Ь, либо р|с, поэтому либо (а, Ъ) ^ р, либо (а, с) ^ р, что противоречит условию.

Теорема 10. Если а\Ъс и (а, Ь) 1, /тсо а|с.

Доказательство. Эту теорему можно доказать на основе предыдущей, минуя тем самым теорему 8; проще, однако, следующее рассуждение, являющееся к тому же примером применения теоремы об однозначности разложения на простые множители. Из а\Ьс следует Ьс = aq. Пусть а = аха2. . -ah, b = bxb2. . . разложения этих чисел на простые множители. Тогда

(9)

По теореме 8 каждое а{ встречается также и в левой части равенства (9). Но а{ не может равняться никакому Ъг так как тогда а{\а и а(\Ь, откуда (а, Ь) > а{ > 1, что противоречит условию. Значит, все ai встречаются среди cJt откуда а\с.

Теорема 11. Если с делится на каждое из чисел а и b и а и b взаимно просты, то с делится на их произведение ab.

Доказательство, с = bq, а\с, т. е. a\bq, и (а, Ь) — 1. Значит, по предыдущей теореме a\q, q = аг откуда с = bq = bar, т. е. ab\c.

Натуральные числа сами кольца не образуют, так как не всегда выполнимо вычитание и, значит, нарушается аксиома III из определения кольца (§ 6, опр. 2). В следующей главе будет показано, что натуральные числа можно включить в кольцо (а именно, в кольцо целых чисел). Для колец возможен другой путь развития теории делимости, при котором теорема 10 доказывается независимо от теоремы 7. Тогда, напротив, теорема 7 получается как следствие теоремы 10, а затем по-прежнему доказывается основная теорема 8.

Изложенного выше достаточно для построения всей школьной арифметики натуральных чисел. Так, пользуясь определением сложения и умножения из § 12 и 13, можно составить таблицы сложения и умножения чисел от 1 до 9 и затем, применяя законы этих операций и обозначение чисел по десятичной системе счисления, обосновать школьные правила выполнения четырех арифметических действий.

Задача. Пользуясь теоремой 8, обосновать даваемые в школе правила отыскания НОД и НОК с помощью разложения данных чисел на простые множители.

§ 18. Замечания о системе аксиом натуральных чисел

Отправляясь от системы аксиом I — IV (§ 11), мы построили всю арифметику натуральных чисел. Вернемся теперь снова к вопросам аксиоматического обоснования этой теории.

Заметим сначала, что данная нами теория не является вполне абстрактной, или, как говорят, формальной. Правда, под натуральными числами мы понимали элементы любого множества с данными свойствами, абстрагируясь от привычного нам неформального, или, как говорят, содержательного, их понимания. Но правила логики мы понимали не формально, а содержательно. Мы считали всем известным и понятным смысл слов: «из утверждения а следует утверждение 6» или «утверждение а противоречит (несовместимо, исключает) утверждение Ь». Так мы будем поступать и дальше. Отметим лишь, что формальная логика построена и с ее помощью изложены некоторые отделы математики*.

Но подобное изложение весьма громоздко и, в конце концов, не достигает цели, так как оперировать с логическими форму-

* Рекомендуем интересующимся фундаментальную книгу D. Hilbert und Р. Bernays «Grundlagen der Mathematic», 1. Band, Berlin, 1934, где дано, между прочим, построение натуральных чисел на основе формальной логики.

лами можно, лишь соблюдая указанные правила, которые надо принимать уже содержательно, в определенном смысле. Построения такого рода имеют, однако, интерес с точки зрения точного выяснения взаимозависимости законов логики. Впрочем, это верно не только для формальной логики, но и для аксиоматики, математики вообще. Ведь, не зная заранее свойств натуральных чисел, мы не смогли бы построить и их формализации. Можно поэтому сказать, что в математике «формальное» не заменяет, а лишь уточняет «содержательное».

При оценке системы аксиом всякой аксиоматической теории приходится решать три основных вопроса (правда, неодинаковой трудности и значения), это вопросы о непротиворечивости, полноте и независимости аксиом.

Непротиворечивость. Для приемлемости любой системы аксиом нужно, прежде всего, убедиться, что построенная на ее основе теория не содержит противоречий, т. е. что с помощью этих аксиом нельзя доказать двух взаимно исключающих друг друга положений. Как же можно доказать непротиворечивость аксиом данной системы в этом смысле? Разберем этот вопрос на примере плоской геометрии. При ее аксиоматике точки и прямые, а также и основные отношения между ними («точка лежит на прямой», «одна точка прямой лежит между двумя другими» и т. д.) понимаются формально (абстрактно). Эти понятия связаны данной системой аксиом. С другой стороны, имеется другая аксиоматическая теория — поле действительных чисел. В аналитической геометрии устанавливается, что точкам плоскости соответствуют пары чисел (координаты точки), а прямым — уравнения (уравнения прямых). Отношениям между точками и прямыми соответствуют известные числовые отношения этих пар чисел и уравнений, причем аксиомам геометрии соответствуют предложения (теоремы), которые можно доказать на основе аксиом и свойств чисел. Таким образом, одна аксиоматическая теория (геометрия плоскости) включается как часть в другую (теорию действительного числа). Если бы геометрия содержала противоречие в указанном выше смысле, то и для действительных чисел можно было бы найти противоречие (доказать на основе аксиом чисел два взаимно исключающих положения). Если аксиоматика чисел непротиворечива, то то же верно и для аксиоматики геометрии. В этом смысле непротиворечивость аксиом геометрии доказана. Только в этом смысле и можно доказать непротиворечивость любой аксиоматической теории; доказать непротиворечивость данной аксиоматической теории без ее включения в более широкую теорию нельзя.

С натуральными числами в этом отношении дело сложнее. Ведь они лежат в основе всей математики. В рамки какой же более общей теории можно включить аксиоматику натуральных чисел? Мы ограничимся поэтому другим определением непротиворечивости. Представляя точки и прямые (и их отношения) через

числа, мы, приняв заранее теорию чисел известной, истолковывали эти понятия (и отношения) уже не формально, а содержательно (координаты и коэффициенты уравнений— определенные числа). Введем определение.

Определение 1. Любое (конкретное) множество, для элементов которого определены основные отношения и выполнены аксиомы данной аксиоматической теории, называется интерпретацией этой теории.

Определение 2. Система аксиом называется непротиворечивой, если для нее существует хотя бы одна интерпретация.

Существует ли интерпретация аксиоматической теории натуральных чисел? Любая бесконечная последовательность элементов, для которой выполнены аксиомы I — IV из § 11, является такой интерпретацией. Вот примеры таких интерпретаций:

1. Символы 1, 2, 3, 4, 5, . . ., обозначающие числа при десятичной системе счисления.

2. Символы 1, 2, 10, 11, 12, . . ., обозначающие те же числа при троичной системе счисления.

3. На данной прямой AB от данной ее точки О в данном направлении откладываем равные отрезки ОЛ,, AXAV Л2Л,, . . . Их концы, т. е. точки Av Л2, Л,, . . ., дают интерпретацию натуральных чисел.

4. Последовательность годовых оборотов Земли вокруг Солнца, если оборот настоящего года принять за единицу.

Таким образом, система аксиом натуральных чисел непротиворечива.

Полнота. Далее, возникает вопрос: насколько хорошо описывает система аксиом данную теорию? Можно ли с помощью данной системы аксиом доказать или опровергнуть любое предположение, высказанное в терминах данной теории? Существует доказательство, что для ряда теорий, в том числе и для аксиоматической теории натуральных чисел, полнота в этом смысле отсутствует, т. е. существуют неразрешимые данными средствами предложения. Мы будем считать систему полной в ином смысле, именно, если она вполне определяет, т. е. до изоморфизма однозначно описывает данное множество.

Определение 3. Система аксиом называется полной, если две любые ее интерпретации изоморфны (§ 8, опр. 1).

Примером неполной системы аксиом может служить система свойств I — VI, определяющая понятие кольца (§ 6). Ведь существуют неизоморфные кольца (хотя бы конечные и бесконечные). Более того, основной интерес теории колец и лежит в описании всех типов колец.

Докажем, что система аксиом I — IV натуральных чисел полна. Пусть Nx и N2 — две интерпретации этой системы. Числа в этих интерпретациях будем отличать индексами 1 и 2. Строим по индукции (§ 15, опр. 1) функцию /(Zj), заданную на всем мно-

жестве Nv значения которой принадлежат N2i и такую, что

По теореме 1 из § 15 такая функция существует и только одна. Покажем, что соответствие f(ax) = а2 является изоморфизмом Nt и N2. Если а≠1 , то а = Ь\ и

Итак, 12 имеет единственный прообраз в Nv именно 1,. Пусть а2 имеет единственный прообраз аг Тогда

Значит, а2 имеет хотя бы один прообраз. Если Ь1 — любой прообраз для а'2, то по условию 1) будет:

По аксиоме III следует:

А так как ах — единственный прообраз а2, то сх =ах и по аксиоме II

Значит, ах — единственный прообраз для а2. По аксиоме индукции IV любой элемент в N2 имеет один и только один прообраз в Nx. Значит, соответствие /(а,) = а2 взаимно однозначно. Из условия 2) следует, что отображение f(ax) = а2 множества ЛГ, на N2 сохраняет основное отношение «следует». Остается доказать это для обратного отображения:

Но из

следует

т. е. и обратное отображение сохраняет отношение «следует».

Таким образом, система аксиом I — IV натуральных чисел полна. О значении этого факта уже говорилось в § 11. Только благодаря полноте системы аксиом I — IV мы можем с равным успехом пользоваться любой интерпретацией натуральных чисел (применяются ли римские или арабские цифры, десятичная или двоичная система счисления).

Независимость. Более простым и имеющим скорее практическое, чем принципиальное, значение является вопрос о независимости аксиом. При выборе той или иной системы аксиом для данной теории желательно достичь минимума положений, прини-

маемых за аксиомы. Если, например, одна из аксиом в действительности является теоремой, т. е. ее можно доказать с помощью остальных аксиом, то нет надобности сохранять ее в списке аксиом.

Определение 4. Система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом не является следствием остальных.

Доказательство независимости системы аксиом проводится так. Для каждой аксиомы строится интерпретация, где выполнены все остальные аксиомы, тогда как данная аксиома не выполняется. Если бы эта аксиома была следствием остальных, то такая интерпретация была бы, очевидно, невозможна.

Докажем независимость системы аксиом I — IV натурального ряда. Заметим, что доказательство независимости аксиомы I имеет ту особенность, что если аксиома I не выполнена, то аксиома IV выполняется всегда и притом чисто формально, так как множество M со свойством А) (1 принадлежит М) вообще не существует. Множество таких множеств пусто, а для пустого множества верны любые высказывания (также и то, что все такие множества M содержат все натуральные числа). Можно, однако, избежать рассуждений с пустым множеством, если немного изменить формулировку аксиомы IV. Именно заменить ее следующей:

IV. Любое непустое множество M натуральных чисел, обладающее свойствами:

А) если существует число 1, не следующее ни за каким другим числом, то оно принадлежит ЛТ,

Б) если число а принадлежит ЛТ, то и следующее за ним число а принадлежит Л/, содержит все натуральные числа.

Очевидно, что система аксиом I — III, IV эквивалентна системе I — III, IV, т. е. из первой системы следуют аксиомы второй и обратно (достаточно убедиться, что из I — III, IV следует IV и из I — III, IV следует IV). Если одна из эквивалентных систем непротиворечива или полна, то то же верно и для другой. Итак, система аксиом I — III, IV также непротиворечива и полна. Докажем ее независимость.

1. Независимость аксиомы I. Пусть N — множество трех элементов а, 6, с с таким определением отношения «следует»:

Так как всякий элемент следует за другим, то аксиома I не выполнена, аксиомы II, III, IV выполнены. Если M≠0 и, например, bÇM, то по условию 2) также b' =с Ç M и с = a Ç М, т. е. M = N.

Так как при наличии аксиомы I, аксиомы IV и IV, очевидно, эквивалентны, то остальные пункты доказательства для обеих систем I — III, IV и I — III, IV одинаковы.

* Можно взять любое конечное множество с числом элементов ^ 2, расположенных в круговом порядке.

2. Независимость аксиомы II. Пусть N — множество из двух элементов а и Ь, причем а = Ъ. Тогда а будет единицей. Аксиома II не выполнена, так как Ь не имеет следующего. Прочие аксиомы выполнены.

3. Независимость аксиомы III. Пусть N — множество четырех элементов а, 6, с, с?, причем а = 6, Ь' = с, с' = d, d' = fe. Аксиома III не выполнена, так как b следует за а и d, из а' = d'не следует а = d. Остальные аксиомы выполнены, причем а играет роль единицы.

4. Независимость аксиомы IV (или также IV). Пусть N — множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, . . ., дг, . . . и всех чисел вида п +-i- с любым целым дг, причем для натуральных чисел отношение «следует» имеет прежний смысл и

Аксиома IV не выполнена. В самом деле, роль единицы играет само число 1 (только оно не следует ни за каким другим. Множество M всех натуральных чисел обладает свойствами А') и Б) (или А) и Б) при аксиоме IV), но не содержит всех элементов множества N.

Таким образом, система аксиом I — III, IV натуральных чисел независима.

Мы видим, что доказательство всех трех основных свойств системы аксиом (непротиворечивости, полноты и независимости) основано на понятии интерпретации этой системы. Интерпретация же — это конкретное множество, в котором основные отношения интерпретируемой системы определяются, а ее аксиомы доказываются не формально, а содержательно. Это показывает основное значение наших конкретных представлений, взятых из реальной действительности, даже в исследованиях чисто аксиоматического характера.

Глава четвертая

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

§ 19. Принцип расширения в арифметике и алгебре

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития. Натуральные числа как средство счета известны человеку на самых ранних ступенях развития. Древнегреческие математики пользовались как натуральными, так и дробными положительными числами, но не знали отрицательных чисел. Употребление положительных и отрицательных чисел (толкуемых как «имущество» и «долг») впервые появилось в средние века у индусов (Арьябхатта, род. 476 г.; Брамагупта, род. 598 г.; Бхаскара, род. 1114 г.).

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел знаками «+» и «—» введено в конце XV в. немецким математиком Видманом. Однако еще в XVI в. многие математики не признавали отрицательных чисел. Так, французский математик Виет (1540—1603) при выводе названных по его имени соотношений между корнями и коэффициентами квадратного уравнения ограничился случаем положительных корней. Полное признание отрицательные числа получили лишь в XVII в.

Таким образом, дробные числа появились в математике намного раньше отрицательных.

Отступая от исторического пути развития по соображениям большей логической простоты, мы введем сначала все целые числа, а затем уже числа дробные.

Натуральные числа служат фундаментом, на котором уже чисто конструктивным путем можно построить все другие числовые множества, а также многочлены и алгебраические дроби. Мы последовательно определим целые, рациональные, действительные и комплексные числа. Каждое из перечисленных числовых множеств содержит предыдущее. При этом мы стремимся построить расширение, обладающее известными свойствами по отношению к расширяемому множеству. Простое «механическое» расширение не представляет, конечно, никакого интереса. Если множество А расширяется до множества В, то эти свойства сводятся к следующему:

1) Л есть подмножество множества В.

2) Интересующие нас операции или вообще отношения элементов множества Л определены также и для элементов множества В, причем их смысл для элементов Л, рассматриваемых уже как элементы В, должен совпадать с тем, какой они имели до расширения в множестве Л.

3) В множестве В должна быть выполнима операция, которая в Л была невыполнима или не всегда выполнима.

Это требование служит основной целью, для достижения которой строится расширение. Разберем его на примерах. Для натуральных чисел не всегда выполнимо вычитание. В области целых чисел оно всегда выполнимо. Для целых чисел не всегда выполнимо деление. Для рациональных чисел оно выполнимо всегда (кроме деления на 0, что вообще невозможно). Для рациональных чисел не всегда выполнима операция перехода к пределу. Для действительных чисел она всегда выполнима (см. главу 6, § 29, определение 1). Для действительных чисел не всегда выполнима операция извлечения корня. Для комплексных чисел она уже всегда выполнима. Тем же принципом руководятся и в алгебре, когда расширяют одно поле, где данный многочлен не имеет корней, до поля, в котором он уже имеет корень, т. е. выполнима операция решения данного уравнения*.

Наконец, требование логической завершенности диктует еще одно условие.

4) Расширение В должно быть минимальным из всех расширений данного Л, обладающих свойствами 1) — 3), и должно определяться данным Л однозначно с точностью до изоморфизма.

Так, мы расширяем множество натуральных чисел до целых, а не сразу до действительных или комплексных чисел.

Целые числа делятся на положительные (или натуральные), отрицательные и число 0. Идея отрицательного числа (все равно целого, рационального или вообще действительного) связана с измерением величины, имеющей два противоположных смысла или направления. Таковы, например, длины отрезков, откладываемых на прямой направо или налево от данной точки, показания термометра вверх и вниз до точки 0 и т. д. Тогда уславливаются величины одного смысла или направления измерять при помощи обычных чисел, называемых теперь положительными, а величины другого, противоположного смысла — теми же числами, но снабженными особым знаком «—», для отличия их от чисел, служащих для выражения величин первого смысла. Затем формально вводится число 0, отделяющее положительные числа от отрицательных. Не останавливаясь на деталях такого введения относительных чисел, заметим, что это построение наиболее естественно, так как связано с их возникновением и может быть

* Последний вопрос связан с общей теорией полей, на которой в этой небольшой книге мы останавливаться не можем, отсылая к уже упоминавшейся книге Ван-дер-Вардена.

проведено строго формально. Так, для построения целых относительных чисел можно формально натуральным числам а, 6, ... поставить во взаимно однозначное соответствие новые объекты в, 5", ... и ввести еще один объект 0. Затем определить сумму, произведение и отношение «больше» по известным школьным правилам и доказать (путем проверки всех случаев) справедливость всех законов действий и порядка.

Руководствуясь, однако, единством идеи, мы примем другое построение. Дело в том, что, желая при расширении сделать выполнимой в множестве В некоторую операцию, не всегда выполнимую в Л, мы можем ввести формально в В те же правила оперирования, которые для данной операции имели место в А в тех случаях, когда она была там выполнима. Это формальное перенесение старых правил на новое множество и приводит к конструкции желаемого расширения. Так, разность а — Ь для натуральных чисел вполне определяется парой чисел а, Ь. Такую пару мы и примем за исходный пункт определения целого числа, сохраняя правила оперирования, справедливые для разностей а — b натуральных чисел. Та же идея лежит в основе конструкции рациональных и комплексных чисел, а также алгебраических дробей. Эта конструктивная идея носит название теории пар. Заметим, что во всех указанных случаях конструкция приводит не сразу к желаемому расширению В для области Л, а лишь к области В', изоморфной области В и содержащей подмножество А', изоморфное А. Искомое расширение В получится из В' заменой в нем А' на А. Но до проведения такого построения целых чисел необходимо сделать некоторые замечания, связанные с основными свойствами равенства.

§ 20. Эквивалентность и разбиение на классы

Равенство а = b элементов некоторого множества мы всегда понимаем как отношение между элементами, заключающееся в их совпадении или тождестве*.

Отсюда по чисто логическим основаниям вытекают следующие основные свойства равенства: а) а = а (рефлексивность, или закон тождества); б) если а = 6, то b = а (симметрия); в) если а = b и b = с, то а = с (транзитивность).

Но теми же свойствами обладают, как мы видели, и другие отношения, именно: эквивалентность А ~ В (§ 3), подобие А » В (§ 5), изоморфизм А ^ В (§ 8).

Для всех таких отношений мы докажем следующую общую теорему:

* Многие авторы считают равенство некоторым понятием, подлежащим определению или аксиоматическому описанию.

Теорема. Если для элементов множества M определено отношение эквивалентности а ^ Ъ (словами: а эквивалентно Ь), обладающее следующими свойствами:

то этим однозначно определено разбиение множества M на попарно не пересекающиеся подмножества, обладающие тем свойством, что любые элементы одного и того же подмножества эквивалентны и любые элементы различных подмножеств неэквивалентны (разбиение на классы эквивалентных элементов). Обратно, для любого разбиения множества M на непересекающиеся подмножества можно так определить отношения эквивалентности, что данное разбиение M будет разбиением на классы эквивалентных элементов.

Доказательство, а) Пусть дано отношение эквивалентности. Для каждого a Ç M обозначим через Ма множество всех элементов х, для которых х ^ а. Из свойства 1) следует: а 6 Ма, т. е. любой элемент множества M принадлежит некоторому из этих подмножеств. Пусть b£Ma и с£Ма. Тогда b ^ а, с ->~ а, a также а ^ с и b с [см. свойства 2) и 3)]. Значит, два элемента из множества Ма эквивалентны. Если а ->~ Ь, то Ма = Мь. В самом деле, если Ма, то с ^ а и а ^ Ь, значит, по 3) с ^ Ь, т. е. с Ç Mь. Если же с Ç Мъ, то с ^ b и а Ь; по 2) b ^ а и по 3) с а, т. е. с Ç Ма. Отсюда также имеем: если b Ç Mö, то Л/ь = Ма, т. е. все элементы множества Ма равноправны при определении этого множества. Если множества Ма и Мь имеют общий элемент с, то Мс= Ма, МС=МЬ, откуда Ма=Мь. Значит, два различных множества не могут иметь общих или эквивалентных элементов. Элементы различных множеств не эквивалентны.

б) Пусть дано разбиение множества M на непересекающиеся множества. Определим отношение эквивалентности элементов M так: а ^ Ь, если а и b принадлежат одному и тому же множеству данного разбиения. Очевидно, что тогда разбиение на классы эквивалентных элементов и будет как раз данным разбиением.

Эта совершенно тривиальная теорема найдет в будущем неоднократное применение, позволяя опускать приведенное рассуждение в каждом конкретном случае.

§ 21. Определение кольца целых чисел

Для натуральных чисел не всегда выполнима операция, обратная сложению, т. е. вычитание (§ 16, теорема 1). Поставим задачу расширить множество N натуральных чисел до такого множества С, где были бы заданы операции сложения и умножения, обладающие теми же свойствами, какими они обладают для натуральных чисел, причем вычитание было бы всегда воз-

можно. Это значит, что С должно быть кольцом (§ 6, опр. 2). Будем искать минимальное из таких расширений в смысле следующего определения:

Определение 1. Кольцом целых чисел называется минимальное кольцо С, содержащее множество N всех натуральных чисел, т. е. множество, обладающее свойствами:

1) С содержит N\

2) С есть кольцо;

3) сложение и умножение натуральных чисел совпадают с одноименными операциями над этими числами в кольце С;

4) кольцо С не содержит отличного от него подкольца, содержащего множество N. Элементы кольца С называются целыми числами.

Из этого определения еще неясно, существует ли такое кольцо С и будет ли оно единственным. Отложив пока вопрос о существовании кольца целых чисел, покажем, что если оно существует, то будет единственным с точностью до изоморфизма.

Теорема 1. Кольцо С, содержащее множество N натуральных чисел*, тогда и только тогда будет кольцом целых чисел (т. е. минимальным), когда каждый его элемент равен разности натуральных чисел.

Доказательство, а) Если кольцо С содержит N и каждый элемент С равен разности натуральных чисел, то С минимально, так как любое подкольцо, содержащее N, содержит и все разности натуральных чисел (§ 6, теорема 13) и, значит, совпадает с С.

б) Пусть, обратно, кольцо С минимально. Во всяком кольце разность элемента обладает следующими свойствами (§ 6, теорема 12):

(1)

Пусть R — множество всех элементов С, каждый из которых равен разности натуральных чисел. Из равенств (1) следует, что сумма, разность и произведение двух элементов множества R снова принадлежат R. Значит, R — подкольцо С. Любое натуральное число равно, конечно, разности натуральных чисел, например а —(а + Ь) — 6, где b — также натуральное число. Так как операции в N и С совпадают, то R содержит N и, в силу

* Здесь и ниже, говоря, что кольцо содержит натуральные числа или что одно кольцо содержит другое, мы всегда будем подразумевать, что операции в меньшем множестве совпадают с соответствующими операциями в большем множестве.

минимальности С, R = С. Это значит, что любое целое число равно разности натуральных чисел.

Теорема 2. Все минимальные кольца, содержащие натуральные числа, изоморфны, т. е. кольцо целых чисел единственно до изоморфизма.

Пусть Ci и С2 — два таких кольца. По предыдущей теореме любой элемент в Ct и С2 равен разности натуральных чисел. Строим такое отображение / кольца Ci на С2: если с{ Ç С\ и Ci = а — b в Ci, где а и b — натуральные числа, то в С2 будет а — b = с2*.

Тогда положим f(cx) = с2. Число с2 не зависит от выбора чисел а и Ь. В самом деле, если также с4 = с — с?, то а — b = c—d, и по условию (1) а) а + d = b + с, значит, и в С2 также а — b = = с — d. Если Ci =7^ö?i, то по условию (1) а) также /(ct) Любой элемент ct £ Ci равен разности натуральных чисел и то же верно для С2. Значит, / — взаимно однозначное отображение СА на С2. Из (1) б), г) следует, что

и

для любых Ci, di из Ci, т. е. / — изоморфизм колец С\ и С2 (§ 8, опр. 2). Разберем, например, первое из этих равенств. Если в Ci имеем: с4 = а — b, di = с — d, то в С2 будет:

значит,

но в Cil Ci + di =(а + с) —(6 + cf), т. е. элементы Ci-i-d^Ci и + f{dx) 6 С2 равны разности одних и тех же натуральных чисел а + с и & +

Это по определению / и означает, что

Аналогично доказывается и второе соотношение. Теорема доказана.

Замечание. Изоморфное отображение / обладает еще тем свойством, что на множестве N оно является тождественным, т. е. при этом отображении С{ на С2 каждое натуральное число

* Из Ci — а — b и с2 = а — b не следует сх = с2, так как вычитание в С{ и С2 может иметь разный смысл. Конечно, при а > b ct = c2l ибо тогда а — b существует в N и по совпадению операций cj и с2 равны одному и тому же натуральному числу а — Ь.

** Здесь опять используется совпадение операций в N с операциями в Ci и С2. Иначе а + с и b + d могли бы оказаться различными элементами в Ci и в С2.

отображается само на себя. В самом деле, при ct = а — b в Сх и с2 = « — b в С2 элементы с« и с2 тогда и только тогда будут сами натуральными числами, когда а > Ь. При этом с2 = f(ct) = = а — b = Ci.

Теорема 3. Любое кольцо R, содержащее множество натуральных чисел N, содержит и кольцо целых чисел.

Доказательство. Пересечение всех подколец кольца Я, содержащих N, есть опять подкольцо (§ 7, теорема 11), содержащее Nj и при этом минимальное, так как оно входит в любое подкольцо, содержащее N. Согласно определению 1 это подкольцо будет кольцом целых чисел.

Мы еще не доказали пока существование кольца целых чисел, так как не построили ни одного примера (ни одной интерпретации) этого понятия. Перейдем теперь к построению такого примера.

Конструкция одного из изоморфных колец целых чисел подсказывается теоремой 1. Ведь если С — кольцо целых чисел, то элементами С будут разности натуральных чисел. Можно было бы за элементы искомого кольца принять самые символы этих разностей а — 6, но, во-первых, два таких символа, различные между собой, согласно (1) а) должны были бы считаться при некоторых условиях равными (а — b = с — d, если а + d — b + с), что не согласуется с нашим условием понимать под равенством элементов любого множества их совпадение, а во-вторых, мы желаем сохранить обозначение а — b за операцией вычитания в искомом кольце.

За исходный элемент конструкции примем пару a, b натуральных чисел, взятых в данном порядке. Пусть M — множество всех таких пар. Определим отношение эквивалентности пар так, чтобы разности чисел эквивалентных и только эквивалентных пар были равны одному и тому же элементу искомого кольца. Согласно (1) а) определяем эквивалентность так:

(2)

тогда и только тогда, когда

Далее, определяем сложение и умножение пар так, чтобы в искомом кольце этим операциям соответствовали сложение и умножение разностей чисел, образующих данные пары. Согласно (1) б) и г) мы поэтому определяем:

(3)

(4)

Теорема 4. Сложение и умножение пар коммутативны, ассоциативны и связаны законом дистрибутивности.

Доказательство. Эти свойства вытекают из соответствующих свойств натуральных чисел и доказываются непосредственной проверкой. Докажем, например, ассоциативность умножения:

Пары, получившиеся в итоге, равны, т. е.

Отношения эквивалентности пар (2) обладают свойствами 1) — 3) из теоремы § 20. Действительно,

1)

2)

3)

получим

откуда

(§14, теорема 3).

Значит, отношение эквивалентности определяет разбиение множества M всех пар на классы эквивалентных пар. Будем обозначать эти классы малыми греческими буквами: а, ß, у» о\ ...

Определение 2. Пусть С0 есть множество всех классов эквивалентных пар множества M. Суммой (произведением) двух классов а и ß назовем тот класс а + ß (соответственно aß), который содержит сумму (произведение) пары класса a и пары класса ß.

Как всегда, при определении операций над классами через операции над представителями этих классов надо показать, что результат операции не зависит от выбора представителей. Это следует, очевидно, из следующей теоремы:

Теорема 5. Если

то

Доказательство. Докажем, что из

для любой пары (с, d) следует:

и

В самом деле,

откуда т. е.

Умножая обе части равенства а, + Ь2 = Ьх + а2 на с и после перемены левой и правой его части на с?, получим:

Складывая, находим:

откуда

Применяя дважды только что доказанное и законы коммутативности сложения и умножения пар, найдем:

Итак, определение 2 действительно вводит в множестве С0 классов эквивалентных пар однозначно определенные операции сложения и умножения.

Теорема 6. Множество С0 с операциями, указанными в определении 2, есть кольцо.

Доказательство. Нужно проверить выполнение в С0 аксиом I — VI (§ 6, опр. 2). Так как операции в С0 определены для классов через представителей этих классов, то выполнение аксиом I, II, IV, V и VI следует из теоремы 4.

Займемся аксиомой III. Пусть даны две пары (а, Ь) и (с, d). Если бы существовала пара (я, у), для которой

то

т. е. а <с, b <.d. Поэтому, если имеет место хотя бы одно из условий а ^ с, b ^ d, такой пары (х, у) не существует. Значит, вычитание пар не всегда возможно, т. е. сами пары кольца не образуют. Тем не менее С0 будет кольцом. Пусть аир - два класса С0, причем а содержит пару (а, Ь) и ß — пару (с, d). Надо найти класс у такой, что а + у — ß. Если (х, у) — пара искомого класса у, то вовсе не нужно, чтобы выполнялось равенство

а достаточно лишь эквивалентности

Предположим сначала, что пара (я, у) с этим свойством существует. Тогда

откуда или

По определению эквивалентности (2) тогда

По теореме 5 достаточно проверить, что хотя бы одна пара (х, у) с этим условием обладает требуемым свойством, т. е. удовлетворяет соотношению

Но сама пара (Ь + с, а + d) обладает нужным свойством. Действительно,

Этим доказано существование класса у» для которого а + у = ß-Теорема доказана.

Из существования класса у со свойством а + у = ß согласно общей теории колец вытекает его единственность (§ 6, теорема 6). Заметим, что единственность класса у легко получить непосредственно, используя то, что пара (х, у) класса у эквивалентна паре (Ь + с, а + d) и что по теореме 6 при замене пар (а, Ь) и (с, d) на эквивалентные пара (Ь + с, а + d) также заменяется на эквивалентную.

Выясним, какой смысл имеют в кольце С0 нуль и противоположный элемент.

Нуль по его определению (§ 6, определение 3) — такой класс О, что а + 0 = а для любого класса а. Если а содержит пару (а, Ь) и 0 — пару (я, у), то должно быть

Отсюда, как в доказательстве последней теоремы с заменой (с, d) на (а, 6), получим:

По условию (2) любая такая пара действительно удовлетворяет условию

Итак, нулем кольца С0 является класс 0, содержащий все пары с равными элементами.

Противоположный элемент для класса а (§ 6, определение 4) — это такой класс —а, для которого а + ( —а) = 0. Если а содержит

(a, b) и —а содержит (х, у), то (а, Ъ) + (х, у) = (ft, ft). Здесь можно писать не «->-», а « =», так как по условию (2) пара, эквивалентная паре (ft, ft), сама имеет равные элементы. Значит, а + х = = Ь + г/, откуда (я, у) -ч. (6, а). Но сама пара (6, а) обладает нужным свойством, ибо (а, 6) + (6, а) =(а + Ь, b + а) принадлежит классу 0. Назовем пару (6, а) противоположной (а, 6). При замене пары (а, 6) эквивалентной противоположная пара также заменяется на эквивалентную, и любая пара класса —а противоположна некоторой паре класса а.

Итак, класс —а, противоположный классу а, состоит из пар, противоположных парам класса а.

Теперь независимо от доказательства теоремы 6 легко получить пару, принадлежащую разности ß — а двух классов. В самом деле, если а содержит (а, 6), ß содержит (с, с?), то ß — а = ß + + ( —а) содержит (с, d) + (6, а) =(Ь + с, а + d).

Построенное нами кольцо С0 окажется изоморфным кольцу целых чисел. Если строить целые числа лишь с точностью до произвольного изоморфизма, то само С0 можно считать кольцом целых чисел. Однако при расширении данной системы чисел до новой мы будем считать эту данную систему определенной вполне однозначно, т. е. из всех ее интерпретаций выбираем какую-нибудь одну. При этом условии кольцо С0 не удовлетворяет определению 1, так как С0 не содержит натуральных чисел, ибо его элементы — классы эквивалентных пар натуральных чисел.

Так как натуральные числа сами еще не являются элементами кольца С0, то для получения из С0 кольца целых чисел (опр. 1) надо включить в С0 множество натуральных чисел N.

Сначала найдем в кольце С0 множество, изоморфное множеству натуральных чисел. Любой класс а кольца С0, отличный от нуля, состоит из пар (а, 6), где афЬ. Назовем класс а классом первого рода, если а 5> Ь, и второго рода, если a <Cb. Это определение не зависит от выбора пары (а, Ь) в классе а, так как если (а, Ь)

(с, d), то а + d = b + с. Поэтому из а> Ъ следует (§ 16, теорема 2)d<c, c>rf и из а <5 следует также с <d. Пусть Nx и N2 — соответственно множества классов первого и второго рода. Покажем, что множество ЛГ. классов первого рода изоморфно множеству N натуральных чисел относительно операций сложения и умножения. Построим взаимно однозначное отображение / множества Ni на N. Если класс а из N\ содержит пару (а, 6), то а >> Ь, значит, существует натуральное число k такое, что а = 6+é (§ 14). Мы положим / (а) = k. Число k не зависит от выбора пары класса а, ибо из (а, b) ^ (с, d), т. е. а + d = b + с при a =b+k следует: b + k + d= b+c; откуда также с = d + k. Разным классам соответствуют разные числа, так как если а содержит (а, 6), a ß содержит (с, d), причем / (а) = /(ß) = ft, то а = b + ft, с = d + ft и, складывая крест накрест, найдем:

Любое число k является образом некоторого класса а, именно, содержащего пару (а + а). Этим доказано, что отображение / взаимно однозначно (§ 3, опр. 3).

Покажем, что отображение / изоморфно относительно сложения и умножения, определенных в Nt и N, т. е. покажем справедливость равенств:

(5)

В самом деле, если а содержит пару

Значит,

aß содержит пару:

где с

Значит,

Построим теперь искомое кольцо целых чисел С. Рассуждения будут аналогичными с доказательством соответствующей теоремы о кольцах (§ 8, теорема 3). Пусть С — множество, полученное из кольца С0 путем замены всех классов первого рода натуральными числами, соответствующими этим классам при отображении /. Если дополним определение отображения /, полагая / (а) = а для любого класса a второго рода и a = 0, то получим взаимно однозначное отображение С0 на С. Определим сложение и умножение в множестве С следующими равенствами:

(5').

Здесь anß — любые классы кольца С0. Так как / — взаимно однозначное отображение С0 на С, то /(а) и /(ß) — любые элементы С. Далее, сумма a + ß и произведение aß определены в С0 однозначно. Значит, равенства (5') действительно определяют операции сложения и умножения для любых элементов множества С.

Итак, С — множество с двумя операциями. Одновременно равенства (5') показывают, что множество С с так определенными операциями изоморфно кольцу С0 и, значит, само является кольцом (§ 8, теорема 2)**.

* Для изоморфизма относительно алгебраических операций достаточно выполнение этих свойств для отображения в одну сторону. Отсюда вытекают те же свойства и для обратного отображения (см. § 8, определение 2) и ниже).

** Возникает вопрос, нельзя ли получить кольцо С заменой натуральными числами класса не первого, а второго рода. Отображение N2 на 7V, аналогичное /, можно определить, полагая / (а) = £, если класс a содержит пару (a, а + /г). Это отображение будет взаимно однозначно, но не будет изоморфизмом, так как произведение класса второго рода будет классом первого рода.

Теорема 7. Кольцо С, построенное выше, есть кольцо целых чисел.

Доказательство. Надо доказать, что С обладает свойствами 1) — 4), указанными в определении 1 в начале этого параграфа.

Мы уже знаем, что

1) С содержит множество N натуральных чисел и

2) С есть кольцо.

Если k = / (а) и I = /(ß) — натуральные числа, то а и ß — классы первого рода. Тогда равенства (5'), определяющие в кольце С сумму k + / и произведение kl, совпадают соответственно с равенствами (5), где сложение и умножение в левых частях являются операциями, определенными для натуральных чисел в § 12 и 13. Итак,

3) сложение и умножение натуральных чисел совпадают с одноименными операциями для этих чисел в кольце С.

Покажем, что любой элемент кольца С равен разности натуральных чисел. Любой элемент С имеет вид /(а), где а — класс кольца с0 и / — построенное выше изоморфное отображение с0 на С. Пусть а содержит пару (k, /), причем k =/(ß). I =/(y)-По определению отображения / класс ß состоит из пар вида (Ь + k, b) и у — из паР вида (с + Z, с). Значит, класс а + у содержит пару (k, I) + (с + h о) = (k + с + /, I + с), принадлежащую ß. Откуда а + у = ß. Значит, по определению сложения в кольце у, т. е. по (5')*:

т. е.

Любое подкольцо кольца с, содержащее натуральные числа, должно содержать все их разности и, значит, совпадает с С. Итак,

4) кольцо С не содержит никакого подкольца, содержащего N и отличного от самого С.

Итак, одно из изоморфных колец целых чисел нами построено. Его элементами (т. е. целыми числами) являются: во-первых, все натуральные числа, во-вторых, число 0, т. е. класс всех пар натуральных чисел с равными элементами, в-третьих, все классы второго рода, т. е. классы эквивалентных пар (а, Ь) натуральных чисел с условием а <.Ь. Этим решен вопрос о существовании кольца целых чисел.

Пока читателю трудно узнать в построенном выше кольце С так хорошо известное ему кольцо целых чисел. В следующем параграфе мы рассмотрим простейшие свойства этого кольца и

* Заметим, что нельзя применить (5), так как класс а не обязательно первого рода.

** Для класса второго рода и 0, содержащихся в С, доказанное означает, что класс, содержащий пару (k, /), равен разности k — /.

увидим, что оно ничем не отличается от всем известной совокупности целых чисел.

В связи с приведенной конструкцией кольца с0 возникает вопрос: получим ли мы какое-то новое кольцо, если к кольцу С0 еще раз применим ту же конструкцию, т. е. рассмотрим кольцо Си построенное так же, как С0, но на основе пар элементов кольца с? Насколько исчерпали мы возможности данного метода построения колец? Оказывается, что мы полностью исчерпали эти возможности. Ничего существенно нового мы уже не получим. Точнее, кольцо с4 будет изоморфно кольцу С0 (элементы их, конечно, неодинаковы). Это следует из такой более общей теоремы.

Теорема 8. Если R — любое кольцо, то кольцо Ru построенное аналогично кольцу С0 (опр. 2) с той разницей, что рассматриваются пары элементов кольца R (вместо натуральных чисел), изоморфно исходному кольцу R.

Доказательство. Классу а, являющемуся элементом кольца Ri и содержащему пару (а, Ь) элементов R, поставим в соответствие элемент /(а) — а — b кольца R. Из условия (1) а) равенства разностей и условия (2) эквивалентности пар ясно, что элемент / (а) не зависит от выбора пары (а, Ъ) в классе а и что отображение / взаимно однозначно. Из правил (1) б), г) сложения и умножения разностей и правил (3), (4) сложения и умножения пар следует, что отображение / изоморфно (рассуждения здесь аналогичны с доказательством теоремы 1).

Задача 1. Доказать, что кольцо С0 будет расположенным (§ 9, опр. 1), если классы первого рода считать положительными. При этом если (а, &)£а, (с, d) £ß, то а = ß тогда и только тогда, когда соответственно а + d = b + с.

Задача 2. Доказать, что кольцо С0 является областью целостности с единицей (§ 6, опр. 6).

§ 22. Свойства целых чисел

Замечание 1. Для целых чисел, как для элементов кольца, верны все правила оперирования, доказанные в § 6. Так, сумма и произведение любого конечного числа сомножителей не зависят от распределения скобок и порядка сомножителей (§ 6, теоремы 1, 2), любую алгебраическую сумму можно представить в виде обычной суммы (§ 6, теорема 7), верны правила знаков при раскрытии скобок (§ 6, теорема 8) и при умножении [§ 6, (17)] и т. д.

Теорема 1. Натуральными числами 1, 2, 3, . . ., числом О и числами — 1, — 2, — 3, . . ., противоположными натуральным, исчерпывается все кольцо целых чисел С, т. е. для любого элемента

а 6 С имеет место один и только один из трех случаев: а — натуральное число, а = О,—а — натуральное число.

Доказательство. Пусть а = f (а), где а —- класс кольца С0*.

Выше было доказано, что а либо первого рода, либо 0, либо второго рода. Эти случаи несовместимы, так как если (&, I) — пара класса а, то соотношения k> I, k = l, k <Ll несовместимы {§ 14, теорема 1). Если а — второго рода, то k < I. Тогда противоположный класс —а содержит пару (/, k), где I > ß, т. е. он первого рода. При изоморфизме / свойство элементов быть противоположными друг другу сохраняется (§ 8, задача 1), т. е. /(—а) = — / (а) = — а. Если а первого рода, то а = / (а) —• натуральное число по определению /, если а = 0, то а = а = О, если а — второго рода, то —а — первого рода и — а = — / (а) =: = /(— а) — натуральное число.

Теорема 2. Кольцо целых чисел есть область целостности (§ 6, опр. 6) с единицей, причем единицей служит натуральное число 1.

Доказательство. Будем, как в § 6, вместо а писать, если нужно, также + а. Покажем, что произведение ab целых чисел лишь тогда равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Пусть а≠ и Ь≠0. По предыдущей теореме а = ± с и b = ± d, где end— натуральные числа. Тогда ab = ± cd, где берем знак «+» при одинаковых знаках a, b и знак «—» при разных. сафО, ибо произведение натуральных чисел — снова натуральное число, значит, ab≠0.

Покажем, что аЛ =а для любого а. Если а — натуральное число, то это верно по определению умножения (см. опр. § 13).

Если а = 0, то

Если а — — Ь, где b — натуральное число, то

Теорема доказана.

Перейдем к понятиям о положительном и отрицательном числе и сравнению целых чисел по величине.

Теорема 3. Кольцо целых чисел С может быть расположено (§ 9, опр. 1) и притом единственным образом. При этом расположении все натуральные числа положительны, а все противоположные им числа — 1, — 2, — 3, ... — отрицательны.

* Мы применяем, таким образом, для чисел, отличных от натуральных, обозначения как греческими, так и латинскими буквами, считая а = а.

Доказательство. Если считать натуральные числа и только их за положительные, то кольцо С будет расположено. В самом деле, по теореме 1 для любого числа а либо а положительно, либо а = 0, либо —а положительно. Значит, аксиома IX (§ 9) выполнена. Так как сумма и произведение натуральных чисел — числа натуральные, то выполнена и аксиома X. Раз натуральные числа положительны, то по самому определению противоположные им числа отрицательны. Покажем, что данное расположение — единственно возможное. Пусть кольцо С расположено каким угодно образом. По аксиоме IX одно из чисел + 1 и — 1 положительно. Тогда по аксиоме X число 1 = 1 ♦ 1 = (— 1) х х(— 1), как произведение положительных, само положительно. Тогда так же по аксиоме X и любое натуральное число п, как сумма п единиц (§ 15, теорема 3), положительно. Значит, противоположное число —п по аксиоме IX неположительно. По теореме 1 числа 0 и ± п, где п — натуральное число, исчерпывает С. Значит, в С положительны натуральные числа и только они. Итак, любое расположение С совпадает с расположением, указанным в начале доказательства.

Замечание 2. Целые числа обладают всеми свойствами элементов любого расположенного кольца, приведенными в § 9. Так, считая а > Ь, если а — b — положительно, мы вводим порядок, при котором 0 меньше всех положительных и больше всех отрицательных чисел (§ 9, теорема 1). Для этого порядка верны законы монотонности и правила оперирования с неравенствами (§ 9, теоремы 2—4). Определяя абсолютную величину \а\ числа а, как неотрицательное из чисел а (см. § 9, опр. 2), получим обычные ее свойства и обычные правила сравнения и правила действий над числами через сравнение и действия над их абсолютными величинами (§ 9, теорема 8 и следующее за ней замечание).

Теорема 4. Порядок натуральных чисел (§ 14) совпадает с их порядком в кольце целых чисел.

Доказательство. Если а и b — целые числа и а > fc, то а — b = k, где k — число положительное, т. е. натуральное, тогда а = b + k. Для натуральных а и b это означает, что а > b в смысле определения § 14.

Так как среди целых чисел нет наименьшего, то теорема 8 из § 14 для них уже неверна. Для справедливости утверждений такого рода необходимы дополнительные условия. Дадим определение.

Определение. Множество Л целых чисел называется ограниченным сверху (соответственно снизу или просто ограниченным), если существует целое число k такое, что k > х (соответственно k <ix или существуют два числа k и I такие, что k <х </) для любого числа а: из Л. Пустое множество ограничено.

Теорема 5. Любое непустое и ограниченное сверху (соответственно снизу или просто ограниченное) множество целых чисел А содержит наибольшее (соответственно наименьшее или как наибольшее, так и наименьшее) число.

Доказательство. Пусть А ограничено сверху. Если А содержит хотя бы одно натуральное число, то множество натуральных чисел, входящих в Л, непусто и содержит наибольшее число а (§ 14, теорема 12). Число а, очевидно, будет наибольшим и в Л. Если Л не содержит натуральных чисел, но содержит число 0, то 0 и будет наибольшим в Л. Если Л содержит лишь отрицательные числа, то множество В, содержащее числа, противоположные числам из Л, состоит из натуральных чисел и содержит наименьший элемент Ь. Число b ^ у для любого у из В. Умножая на — 1, найдем (§ 9, теорема 2): — b ^ — у или, полагая а = — b и X = — у, а ^ X для любого я из Л. Если Л ограничено снизу, то определенное выше В ограничено сверху и по доказанному В содержит наибольшее число Ъ. Тогда число а = — b будет наименьшим в Л. Наконец, если Л ограничено, то оно ограничено и сверху и снизу и по доказанному содержит как наибольшее, так и наименьшее число.

На этой теореме основаны различные формы односторонней или двухсторонней индукции. Например:

Теорема 6. Если некоторая теорема Т, касающаяся целого числа, верна для целого числа а и

а) если из того, что теорема Т верна для числа х ^ а, следует, что она верна для числа х + 1, то она верна для любого числа b ^ а;

б) если из того, что теорема Т верна для числа х <; а, следует, что она верна для числа х — 1, то она верна для любого числа b < а;

в) если из того, что теорема Т верна для любого числа х, удовлетворяющего неравенству xY <ix <ix2, где х{ ^ а ^ х2, следует, что она верна для чисел х{ и х2, то она верна для любого целого числа Ь.

Доказательство. Все подобные утверждения доказываются одинаково. Докажем, например, утверждение Ь). Если теорема Т верна не для всех целых чисел, то существует целое число Ь, для которого она неверна. Пусть b > а (в случае b <а рассуждение аналогично) и пусть Л есть множество тех целых чисел х> А, для которых Т неверна. Множество Л ограничено снизу числом а и непусто, ибо содержит число Ь. По предыдущей теореме это множество содержит наименьшее число х2. Если положим хх равно а — 1, то теорема Т верна для любого числа х> такого, что

Значит, теорема Т верна и для чисел и х2. Но число х2 принадлежит множеству Л, т. е. для х2 теорема Т верна. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения Ь).

Теорема 7. Кольцо целых чисел архимедовски расположено (§ 9, опр. 3).

Доказательство. Пусть а и b — целые числа и b > 0. Если а ^ 0, то \ b = Ь> а. Если а > 0, то а и 6—натуральные числа. Значит, для них аксиома Архимеда выполнена (§.14, теорема 6). Поэтому существует натуральное число п такое, что nb > а.

Что касается плотности расположения целых чисел, то имеет место следующая теорема:

Теорема 8. Для любого целого числа а, числа а — 1 и а + 1 являются соседними с а, причем а — 1 <а <Д + 1. Таким образом, кольцо целых чисел дискретно (§ 9, опр. 4).

Доказательство. Так как а =(а — 1) + 1, то достаточно лишь доказать, что числа а и а + 1 соседние и а <а + 1. Из 0 < 1 следует а = а + 0 <.а + 1 (§9, теорема 2). Если а и а + 1 не соседние, то существует целое число &, для которого а <& <я + 1. Добавляя ко всем частям число —а, получим О <Ь — а <1. Целое число b — а положительно и, значит, является натуральным. Но порядок натуральных чисел сохраняется при расположении целых чисел (теорема 4). Поэтому соотношение b — а < 1 противоречит теореме 5 из § 14. Значит, числа а и а + 1 соседние.

§ 23. Теория делимости целых чисел

Свойства делимости целых чисел во многом совпадают с теми же свойствами для натуральных чисел. Основное различие заключается в том, что число делителей каждого числа теперь удваивается, вместе с положительными появляются отрицательные делители. Затем то, что целые числа образуют кольцо, упрощает некоторые формулировки и делает возможным другой порядок изложения, о котором шла речь в конце § 17. Ниже дано именно это изложение. Под числом мы всегда будем понимать в этом параграфе целое число.

Определение 1. Если для чисел а и b существует число q такое, что a =bq, то говорят, что а делится на b или b делит а, и пишут Ь\а. Число а называется кратным числу 6, b — делителем а. Если такого q не существует (разумеется, в кольце целых чисел), то говорят, что а не делится на b, b не делит а, и пишут Ь\а.

Заметим, что это определение даже для натуральных чисел по виду не совпадает с определением 1 из § 17, ибо теперь q — целое

число. Однако легко видеть, что оба определения для этого случая эквивалентны. Если Ь\а в смысле § 17, то а = bq с натуральным, а значит, и с целым q. Обратно, если а и b — натуральные числа и а = bq с целым q, то по правилу знаков при делении q положительно, т. е. Ь\а в смысле § 17.

Теорема 1. Если Ь\а и а≠0, то \а\ ^ |Ь|, т. е. никакое число, кроме нуля, не делится на число с большей абсолютной величиной. В частности, + i и — I не делятся ни на какие другие числа (ср. § 17, теорему 1).

Доказательство. Если а = bq, то \а\ = \Ь\• \q\ (§ 9, теорема 8). Из а≠0 следует 6^0 и g =^= 0. Их абсолютные величины — числа натуральные. Значит, \а\ ^ |Ь| (§ 17, теорема 1).

Теорема 2. (Ср. § 17, теорема 2.) а) Для любого а≠ имеем: 0 \ а, а\0, ± 1 |а, ± а|а, аз Ь|а следует ± bli а;

Доказательство. Пункты б) — е) вполне аналогичны случаю натуральных чисел. Разберем лишь пункт а). Условие афО существенно, так как никакое число b≠0 не делится на 0 в силу 0 q = 0≠b для любого q (§ 6, теорема 10). Из 0 = а-0 следует а|0. Из а = а-1 — (— а) (— 1) следует ± 1 |а и ± а\а. Если 6|а, то а — bq =(— b) - (— g) и — а = — bq = (— 6)17 = 6 (— g), т. е. ± Ь|± а-

Замечание. Так как из а|6 следует ± а|± Ь, то элементы а и —а во всей теории делимости целых чисел равноправны. Все отношения делимости верны с точностью до знака, т. е. до множителей ± 1. Числа ± 1 являются по теореме 1 единственными делителями 1 и именно в силу этого свойства играют в теории делимости особую роль.

Основная теорема о делении с остатком формулируется для целых чисел значительно проще, чем для натуральных. Именно:

Теорема 3. (Алгорифм деления.) Для любых целых чисел а и Ъ, где b≠0, существует одна и только одна пара целых чисел q, г такая, что

(1)

(2)

(ср. § 17, теорема 3).

Доказательство, а) Докажем существование пары чисел g и г, удовлетворяющих соотношениям (1) и (2). Пусть сначала b > 0. По аксиоме Архимеда (§ 22, теорема 7) существует

натуральное (и, значит, целое) число п такое, что rib > а, откуда О <с nb — а. Пусть M — множество всех натуральных чисел д\ которые имеют вид: х =Ьп — а при заданных числах а и Ъ и некотором целом числе п. Согласно только что доказанному это множество непусто. Значит, оно содержит наименьшее число (§ 14, теорема 8). Пусть это наименьшее натуральное число будет х0 = Ьп0 — а. Если х0 > 6, то х0 — b —b (п0 — 1) — а принадлежит множеству M и х0 — b <xQ [§ 16, (2)], что противоречит определению х0. Итак, 0 <.bnQ — a^b. Вычитая 6, найдем:

или, после умножения на — 1,

Положим: Тогда

Значит, числа q и г удовлетворяют условиям (1) и (2). Если b <0, то — b > 0. По доказанному существуют числа ql% г, для которых

Полагая q = — qiy получим:

Числа g, г удовлетворяют условиям (1) и (2)*.

б) Докажем единственность пары чисел q, г. Пусть а = bgt++ г,= bq2 + г2, где гА и г2 удовлетворяют равенствам (2). Если г, = г2, то bqi = 6g2 и так как b≠0, то qx = g2, что и нужно. Если г, =т^= г2, то г\ — г2 = 6(^2 — gt). Значит, fc[г4 — г2. Если, например, г, > г2, то

или

Это противоречит теореме 1. Теорема доказана.

Так как делители целых чисел встречаются всегда попарно, различаясь на множители ± 1, то естественно говорить о наибольшем по абсолютной величине общем делителе и наименьшем по абсолютной величине общем кратном. Дадим поэтому несколько иное по сравнению с натуральными числами определение, останавливаясь лишь на наибольшем общем делителе.

* Практически числа q и г ищутся путем прибавления или вычитания (смотря по знакам чисел а и Ь) числа b из а до тех пор, пока не получится число г, для которого О ^ г < \Ъ\. Это всегда наступит после конечного числа (именно числа \q\) шагов.

Определение 2. (Ср. § 17, опр. 2.) Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел а и Ь называется число d = (а, Ь), которое а) является общим делителем а и b и б) делится на любой общий делитель чисел а и Ь.

Отсюда по теореме 1 получаем, что НОД (а, Ь) имеет наибольшую абсолютную величину среди всех ОД чисел а и Ь. Для натуральных чисел по теореме 1 (§17) это определение эквивалентно прежнему.

Теорема 4. Для любых целых чисел а и Ъ, из которых хотя бы одно отлично от нуля, существует НОД и притом с точностью до множителей ± 1 только один.

Доказательство. Можно было бы свести дело к натуральным числам, беря вместо а и b их абсолютные величины (случай а = О или b = 0 тривиален). Мы дадим новое доказательство, которое в главе VIII будет перенесено на кольца, обладающие известными свойствами (так называемые кольца главных идеалов).

Пусть Л — множество целых чисел вида ах + by, где х и у —» любые целые числа. Множество А обладает свойствами:

3) Сумма и разность двух любых чисел множества А снова принадлежит множеству А; произведение любого числа множества А на любое целое число снова является числом множества А.

4) Данные числа а и b принадлежат множеству А. В самом деле,

и

Этим свойство 3) доказано.

Из а = аЛ +60 и b = а0 + 6-1 следует, что а и b принадлежат множеству Л, т. е. и свойство 4) доказано. В силу свойства 4) множество Л содержит числа, отличные от нуля (по условию а≠0 или b≠0). По свойству 3), если с входит в Л, то и — с = с- (— 1) входит в Л. Одно из чисел ± с положительно.

Пусть d будет наименьшее положительное число множества Л (такое существует по теореме 8, § 14). Покажем, что любое число с множества Л делится на d. По теореме 3 существуют целые числа g и г такие, что

Отсюда

Согласно свойству 3) число г принадлежит Л. Но d — наименьшее положительное число множества Л и 0 < г < Значит,

Поэтому из свойства 4) находим:

(3)

Но так как d принадлежит Л, то существуют целые числа аА и bi такие, что

(4)

Из равенств (3) и (4) наша теорема следует немедленно. В самом деле, равенства (3) показывают, что d — общий делитель чисел а и Ь. Если dx — также общий делитель чисел а и Ь, то di\a, d{\b и по теореме 2, е) из равенства (4) следует, что di\d.

Докажем единственность НОД чисел а, Ь. Если di и d2 — два НОД чисел а и Ь, то каждый из них делится на другой, т. е.

Подставляя d2 из второго равенства в первое, найдем:

Но di≠ по его определению [теорема 2, а)]. Сокращая на du найдем 1 = с{с2, т. е. ct — делитель 1. По теореме 1 câ = ± 1, значит, d2 = ± di. Теорема доказана.

Замечание. Изложенное доказательство не дает способа для фактического вычисления d = (а, 6). Для этой цели служит алгорифм Евклида, дающий вместе с тем и другое доказательство существования НОД (а, Ь), Так как алгорифм Евклида для целых чисел совершенно аналогичен тому же. методу, изложенному для натуральных чисел в § 17 (нужно только вместо теоремы 3 из § 17 применять теорему 3 данного параграфа), то мы на нем останавливаться не будем. Заметим только, что, выражая каждый остаток через предыдущие из равенств, аналогичных равенствам (3) § 17, мы можем фактически выразить d через данные числа а и Ь, т. е. найти целые числа а{ и &!, удовлетворяющие равенству (4).

Определение 3. Числа а и b называются взаимно простыми, если (а, Ь) = 1.

Теорема 5. Числа а и b тогда и только тогда взаимно просты, когда существуют числа ai и Ьх такие, что

(5)

Доказательство. Если (а, Ь) =1, то равенство (5) совпадает с (4), где d =(а, Ь). Обратно, если существуют числа аг и Ъх, удовлетворяющие равенству (5), то всякий общий делитель чисел а и b будет делителем 1 [теорема 2, е)\, значит, (а, Ь) = 1.

Теорема 6. (Ср. § 17, теорема 9.) Если а взаимно просто с b и с, то оно взаимно просто и с произведением be.

Доказательство. По предыдущей теореме а ах -+-+ ЬЬ0 = 1 и аха2 + сс0 = 1, где ах, а2, Ь0 и с0 — целые числа. Перемножая эти два равенства, найдем:

Отсюда на основании предыдущей теоремы а взаимно просто с be.

Теорема 7. (Ср. § 17, теорема 10.) Если а\Ъс и (а, 6) = 1, то а\с.

Доказательство. По теореме 5 имеем:

Умножая на с, найдем:

В левой части оба слагаемых делятся на а. Значит, а\с [теорема 2, е)].

Теорема 8. (Ср. §17, теорема 11.) Если с делится на каждое из чисел а и b и (а, Ь) =1, то с делится на ab.

Доказательство (дословное повторение случая натуральных чисел), с = bq, а\с, т. е. a\bq и (а, Ь) =1. По предыдущей теореме a\q, q — аг, с = bq = bar, ab\c.

Неразложимые целые числа. По теореме 2, а) любое число а имеет делителями числа ± 1 и ± а. Существуют числа, не имеющие других делителей. Сохраняя название «простые числа» за натуральными числами 2, 3, 5, . . ., дадим определение.

Определение 4. (Ср. § 17, опр. 3.) Целое число р, отличное от 0 и ± 1, называется неразложимым, если оно не имеет делителей, кроме ± 1 и ± р. Прочие числа, отличные от О и ± 1, называются разложимыми. Число 0 и ± 1 (т. е. 0 и делители 1) не причисляются ни к тем, ни к другим.

Теорема 9. Неразложимыми целыми числами являются натуральные простые числа, числа, им противоположные, и только эти числа.

Иначе говоря, число р тогда и только тогда неразложимо, когда \р\ — простое число.

Доказательство. Если р разложимо, то р = qr, где Я≠± 1. Я¥= ± р- Значит, \р\ = \q\- \г\, где \q\≠1, \q\≠\р\. Отсюда |р| — составное число. Обратно, если |р| составное, то \р\ = qr, где g и г — натуральные числа и q≠1, q≠\р\. Если Р = ± \р\у т0 р = <?(± г), где q≠± 1, q≠± р. Следовательно, р — разложимо.

Теорема 10. Если число а не делится на неразложимое число р, то числа а и р взаимно просты, и обратно, т. е. р\а тогда и только тогда, когда (а, р) = 1.

Доказательство. Если р\а и (а, р) = d, то d≠± р, d\p. Из неразложимости р следует, что d = 1 (из двух делителей разных знаков мы берем положительный). Обратно, если (a, p)=lt то р\а, так как иначе (а, р) = \р\ > 1.

Теорема 11. (Ср. § 17, теорема 7.) Если произведение ab делится на неразложимое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на р.

Доказательство. Если р\а, то по предыдущей теореме (а, р) = 1 и по теореме 7 р\Ь.

Следствие. Если произведение п чисел: аха2 . . . ап делится на неразложимое число р, то хотя бы один из сомножителей л,-(1 ^ i ^ п) делится на р.

Проведение доказательства индукцией по п предоставляется читателю.

Теперь мы можем доказать основную теорему теории делимости целых чисел.

Теорема 12. (Ср. § 17, теорема 8.) Любое целое число, отличное от нуля и ± 1, разлагается в произведение неразложимых множителей и притом единственным образом до порядка сомножителей и до множителей ± 1.

Доказательство. 1) Докажем существование разложения числа а (а≠0, а≠± 1) на неразложимые множители. Применим индукцию по числу \а\. Если \а\ = 2, то теорема верна, ибо числа ± 2 неразложимы. Пусть \а\ > 2 и теорема верна для всех Ь, для которых 2 ^ |6| «< |а|. Если а неразложимо, то теорема верна. Если разложимо, то а = bxb2, где 6, ^ ± 1 и ЬхФ-^а. Тогда \а\ = |bj-|bil. где \ЬХ\≠1 и \ЬХ\ф \а\. Значит, 2 < |6J< < |a| и потому также [§ 16 (6)] 2 ^ |Ь2| < Для чисел Ьх и Ь2 теорема верна, т. е. они, а значит, и число а разлагаются в произведения неразложимых множителей.

2) Докажем единственность разложения. Пусть одно и то же число а разлагается в произведение неразложимых множителей двумя способами:

(6)

где все числа р{ и q} неразложимы. Докажем, что г = s и при подходящей нумерации сомножителей р{ = ± qi (i = 1, 2, . . .,s).

Применим снова индукцию по \а\. Для \а\ = 2 теорема верна, так как числа ± 2 неразложимы. Пусть \а\ > 2 и для чисел Ь, для которых 2 ^ \Ь\ << \а\, теорема верна. Обе части равенства (6) делятся на неразложимое число pt. По следствию из предыдущей теоремы одно из чисел qx, q2, . . ., qs делится на рг. Меняя, если нужно, нумерацию, можно считать, что pjçi. Но рх≠± 1 и qx неразложимо. Значит, рх = ± qx. Сокращая равенство (6) нар4, получим:

Если г > 1 (случай г =1, a =р, разбирается легко, как выше при а = ± 2), то 2 ^ |aj < |a|. Для числа аА теорема верна.

Поэтому r — 1 =5—1, откуда г = s и при подходящей нумерации

Теорема доказана.

Замечание 1. Если считать все р,- и q{ в равенстве (6) положительными, то впереди каждого произведения появится еще множитель ± 1. Такое разложение числа а будет уже вполне однозначно.

Замечание 2. Заменяя целое число а натуральным \а\, легко доказать теорему 12, пользуясь соответствующей теоремой для натуральных чисел. Однако такое доказательство опиралось бы на иной путь развития теории делимости для натуральных чисел (см. § 17, теорема 4).

Задача. Провести указанное в замечании 2 доказательство теоремы 12, используя теорему 8 из § 17.

§ 24. Полукольцо

Приведенное в § 21 построение кольца целых чисел почти дословно переносится на любые множества с двумя операциями, обладающими надлежащими свойствами. Пока мы не располагаем общим понятием, частным случаем которого является множество натуральных чисел (ведь натуральные числа не образуют ни кольца, ни, тем более, поля).

Введем теперь такое понятие.

Определение 1. Непустое множество M называется полукольцом, если в нем заданы две алгебраические операции — сложение и умножение, обе коммутативные, ассоциативные и связанные между собой законом дистрибутивности, причем в тех случаях, когда операция, обратная сложению, выполнима, она однозначна, т. е. выполнено следующее свойство:

НГ (однозначность обратимости сложения). Из а + с = b + с следует а = b для любых элементов а, Ь, с из М.

Полукольцо обладает, таким образом, свойствами 1,11, IV, V и VI кольца (§ 6, опр. 2), а вместо свойства III в случае кольца выполняется свойство IIГ. Так как в кольце однозначность вычитания ИГ следует из существования III (§6, теорема 5), то имеем следующую теорему:

Теорема 1. Любое кольцо, а также любое множество M элементов кольца такое, что сумма и произведение любых двух элементов M снова принадлежат М, есть полукольцо.

Примерами полуколец могут служить все кольца, а также следующие множества, не являющиеся кольцами:

1. Множество N натуральных чисел. Выполнение аксиомы НГ следует из теоремы 3, § 14.

2. Множество натуральных чисел и число 0.

3. Множество натуральных чисел, больших данного натурального числа п.

4. Множество чисел вида а + b V~2, где а и b — любые натуральные числа.

Теорема 2*. Если полукольцо M содержит элемент 0 такой, что для данного элемента с выполнено равенство с + 0 = с, то и для любого элемента а будет а -)- 0 = а, причем элемент 0 с этим свойством будет единственным. Он называется нулем полукольца. (Конечно, полукольцо может и вовсе не иметь нуля.)

* Эта теорема для более общих алгебраических образований, а именно для полугрупп, была доказана Диксоном. Теорема 3 и другие свойства полуколец также переносятся на полугруппу. См. книгу проф. А. К. Сушкевича «Теория обобщенных групп», Гостехиздат Украины, 1937, § 39.

Доказательство. Если с + 0 = с, то для любого а имеем:

откуда по свойству IIГ имеем а + 0 = а. Если еще а + 0' = а, то a + 0 = = а + 0', и снова по ПГ получим 0 = 0'.

Также из ПГ следует, что если для данного элемента а полукольца существует элемент х такой, что a -f х = 0, то он будет единственным. Он называется противоположным для а и обозначается через — а.

Аналогично тому, что множество N натуральных чисел включается в кольцо С целых чисел, причем С до изоморфизма однозначно определяется по N, любое полукольцо M включается в кольцо Ä, однозначно определяемое по М.

Определение 2. (Ср. § 21, опр. 1.) Минимальным кольцом, содержащим данное полукольцо М, называется множество Я, обладающее свойствами:

1) R содержит М;

2) R является кольцом;

3) операции в M совпадают с одноименными операциями над элементами Л/, определенными в Я;

4) R не содержит никакого подкольца, содержащего M и отличного от самого кольца R.

Теорема 3. Для любого полукольца M существует минимальное кольцо Я, содержащее Л/, и до изоморфизма только одно.

Доказательство, а) Доказательство единственности кольца R проходит дословно так же, как в случае натуральных чисел. Именно, сначала доказывается, что кольцо R, содержащее полукольцо М, будет минимальным тогда и только тогда, когда любой элемент его равен разности элементов полукольца M (см. § 21, теорема 1). Затем, как и для натуральных чисел, доказывается изоморфизм всех минимальных колец, содержащих данное полукольцо M (см. § 21, теорема 2).

б) Существование кольца R доказывается тем же путем, как и в случае натуральных чисел. Берутся пары (а, Ь) элементов полукольца Л/, их эквивалентность и операции над ними определяются теми же равенствами (2), (3) и (4) из § 21. Строится кольцо классов эквивалентных пар S (§21, опр. 2. теоремы 5, 6), При выделении в кольце S множества Л/0, изоморфного Af. имеется лишь то отличие по сравнению со случаем натуральных чисел, что теперь в M нет отношения порядка. Нельзя поэтому к М0 отнести те классы, для пар (а, Ь) которых а > Ь. Но легко понять, что и в случае натуральных чисел отношения порядка использованы не по существу. Важно лишь, что для каждого натурального числа k найдется пара вида (a -f k,a)*. Но то же верно для любого полукольца M. В самом деле, для любого k £ M строим пару (a + k,a) с произвольным а^М. Из определения эквивалентности (2) легко получаем, что все такие пары с данным k эквивалентны. Обратно, если (с, d) — (а + /г,а), то c + a = d + a+ /г, откуда по свойству IIГ с = d + /г, т. е. пара (с, d) = (d + k, d) имеет тот же вид. Классу а всех таких пар поставим в соответствие элемент k = / (а) полукольца М. Дословно, как в § 21, доказывается, что / является изоморфным отображением множества М0 классов, содержащих пары вида (a + /г, а), на полукольцо M. Также дословным повторением доказывается, что в кольце S множество М0 можно заменить изоморфным ему множеством Л/, причем получится кольцо /?, содержащее M л изоморфное S. Наконец, доказывается, что любой элемент кольца R равен разности элементов из М, откуда вытекает минимальность R (см. § 21, теорема 7).

* Порядок натуральных чисел используется, однако, по существу ниже, именно в теореме 1, § 22, где важно, что из трех случаев a>b,a = b,a<b имеет место один и только один (см. ниже, замечание 2).

Ввиду полной аналогии случая любого полукольца с рассмотренным в §21 случаем натуральных чисел, мы ограничимся лишь этими указаниями и предлагаем читателю, перечитав § 21, убедиться, что все изложенное там верно для любых полуколец.

Замечание 1. Отображение /, сопоставляющее классу а пар вида {а -|- 6, а) элемент /г, тогда и только тогда будет изоморфным отображением всего кольца S на данное полукольцо Л/, когда каждый класс а из S состоит из пар вида (а + /г, а), т. е. когда любая пара (6, а) элементов M имеет вид (о + Л, а), т. е. когда для любых элементов а и b из M существует в M элемент k такой, что а + k = b. Но это означает, что в M выполнена аксиома III, т. е. M — кольцо. Итак, S тогда и только тогда изоморфно Л/, когда полукольцо M само является кольцом. Этим снова доказана теорема 8 из § 21.

Замечание 2. Теорема 1 из § 22 уже не обобщается на любые полукольца. Существуют полукольца (см. ниже задачу 1), для которых минимальное кольцо J?, кроме нуля, элементов из M и противоположных элементов, содержит еще другие элементы. Это объясняется тем, что теорема 1 из § 22 использует свойство натуральных чисел, неверное для любых полуколец, а именно то, что для любых натуральных чисел а и b имеет место один и только один из трех случаев: a = b,a=b+k,b = a+k (см. § 12, теорема 5).

Задача 1. Доказать, что для полукольца M натуральных чисел, больших данного натурального числа п, минимальным кольцом будет кольцо С целых чисел. Показать, что здесь кольцо С содержит, кроме нуля, элементов M и им противоположных, также другие (а именно, все целые числа а, для которых I а I ^ п).

Задача 2. Доказать, что для полукольца M четных натуральных чисел минимальным будет кольцо четных целых чисел.

Глава пятая

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

§ 25. Определение поля рациональных чисел

В настоящей главе будут построены рациональные числа, положительные, отрицательные и число нуль. Заметим, что принятый нами порядок изложения отличается от школьного тем, что мы сначала определяем целые отрицательные числа, а затем все рациональные числа, тогда как в школе относительные числа появляются уже после дробных. Такое построение нами принято с целью получить по аналогии с включением целых чисел в рациональные важную для дальнейшего (см. гл. VIII) общую теорему о включении кольца в поле (§ 27). Укажем, однако, на то, что без каких-либо существенных изменений в рассуждениях можно было бы переставить местами построения относительных чисел из § 21 и рациональных чисел из данного параграфа. Тем самым будет сохранен обычный для школы порядок изложения*. Разумеется, при таком порядке построения рациональные числа, построенные из натуральных чисел, еще не образуют поля, а относительные числа будут образовывать не кольцо, как в § 21 для целых чисел, а поле, именно поле всех рациональных чисел.

Расширение множества целых чисел до множества чисел рациональных производится по общему плану, указанному в § 19 для любого расширения, и рассуждения при этом аналогичны проведенным в § 21 при расширении натуральных чисел до целых. Все отличие состоит в том, что тогда речь шла о свойствах сложения, а теперь — о свойствах умножения.

В множестве целых чисел не всегда выполнима операция, обратная умножению, т. е. деление, даже при условии, что делитель отличен от нуля (см. § 23, теорема 1). Поставим задачу расширить кольцо С целых чисел до такого множества Г, где были бы заданы операции сложения и умножения, обладающие теми же свойствами, какими они обладали для целых чисел, причем деление на элементы множества, отличные от нуля кольца С,

* Такой порядок принят, например, в книге Э. Ландау «Основы анализа», упомянутой в § 6.

было бы всегда возможно. Это означает, что множество Г должно быть полем (§ 7, опр. 1). Будем искать минимальное из таких расширений в смысле следующего определения:

Определение 1. Полем рациональных чисел называется минимальное поле Г, содержащее кольцо С целых чисел, т. е. множество, обладающее свойствами:

1) Г содержит С)

2) Г является полем;

3) сложение и умножение целых чисел совпадают с одноименными операциями над этими числами в поле Г;

4) поле Г не содержит отличного от него самого подполя, содержащего С.

Элементы поля Г называются рациональными числами.

Из этого определения еще не ясно, существует ли такое поле и будет ли оно единственным. Покажем, сначала, что поле рациональных чисел определено однозначно до изоморфизма.

Теорема 1. (Ср. §21, теорема 1.) Поле Г, содержащее кольцо С целых чисел*, тогда и только тогда будет полем рациональных чисел (т. е. минимальным), когда каждый его элемент равен частному целых чисел.

Доказательство. 1) Если поле Г содержит кольцо С и каждый элемент Г равен частному целых чисел, то Г минимально, так как любое подполе, содержащее Г, содержит и все частные целых чисел (§ 7, теорема 10) и, значит, совпадает с Г.

2) Пусть, обратно, поле Г минимально. Во всяком поле частное элементов обладает следующими свойствами (§ 7, теорема 8):

(1)

Пусть M — множество всех элементов поля Г, каждый из которых равен частному целых чисел. Из (1) следует, что сумма, разность, произведение и частное (если делитель отличен от нуля) любых двух элементов множества M снова принадлежат к

* Здесь и ниже подразумевается, что операции над элементами меньшего множества совпадают с одноименными операциями над теми же элементами в большом множестве.

Значит, M — подполе поля Г (§7, теорема 10). Любое целое число равно, конечно, частному целых чисел, например а =« — , где b — целое число, отличное от нуля. Из совпадения операций в С и Г следует поэтому, что M содержит Сив силу минимальности Г M = Г. Это значит, что любое рациональное число равно частному целых чисел.

Теорема 2. (Ср. § 21, теорема 2.) Все минимальные поля, содержащие кольцо С целых чисел, изоморфны, т. е. поле рациональных чисел единственно до изоморфизма.

Доказательство. Пусть Г{ и Г2 — два таких поля. По предыдущей теореме любой элемент Г4 и Г2 равен частному целых чисел.

Строим отображение / поля Tj на Г2 так:

если Ci 6 Гь Ci = в Г*!, где а и b —• целые числа, с2 =4" в Г2, то положим /(Ci) = с2.

Ввиду полной аналогии дальнейших рассуждений с доказательством теоремы 2 из § 21 ограничимся лишь указанием, что взаимная однозначность этого отображения следует из (1) а). Далее, из (1) б) следует:

и из (1) в) следует:

для любых Ci и di из Tj, что и доказывает изоморфизм полей Г. и Г,.

Замечание. Изоморфное отображение / обладает еще тем свойством, что на множестве С оно является тождественным, т. е. при этом отображении Г4 на Г2 каждое целое число отображается само на себя. В самом деле, пусть Ci = -^-в Г, и с2 = 4- в Г2. Элементы Ci и с2 тогда и только тогда будут сами целыми числами, когда а делится на 6 в С Из совпадения операций в С с операциями в и Г2 следует тогда:

Теорема 3. (Ср. § 21, теорема 3.) Любое поле Р, содержащее кольцо целых чисел С, содержит и поле рациональных чисел.

Доказательство. Пересечение всех подполей поля Р, содержащих С, будет опять подполем (§ 7, теорема 11), содержащим С, и при этом минимальным, так как оно входит в любое подполе, содержащее С. Согласно определению 1 это подполе будет полем рациональных чисел.

Переходим к доказательству существования поля рациональных чисел. Как и в случае кольца целых чисел, это доказательство проводится путем построения примера (интерпретации) поля, удовлетворяющего определению 1.

Конструкция одного из изоморфных полей рациональных чисел подсказывается теоремой 1. Ведь если Г — поле рациональных чисел, то элементами Г будут частные целых чисел. Правила сравнения и операции сложения и умножения для этих частных задаются формулами (1).

За исходный элемент построения поля рациональных чисел принимаем опять пару (а, Ь) целых чисел, взятых в данном порядке, причем второе число пары b отлично от нуля. Пусть M — множество всех таких пар. Определяем отношение эквивалентности, сложения и умножения пар так, чтобы им соответствовали равенства, сложение и умножение частных чисел этих пар в искомом поле. Именно, согласно формулам (1) определяем:

(2)

тогда и только тогда, когда

(3) (4)

Отметим, что пары в правых частях равенств (3) и (4) снова принадлежат множеству Л/, так как изЬфОиафО следует bd≠ для любых целых чисел b и d (§ 22, теорема 2).

Теорема 4. Сложение и умножение пар коммутативны и ассоциативны, а вместо закона дистрибутивности верна эквивалентность:

(5)

Доказательство. Все эти свойства доказываются непосредственной проверкой с использованием свойств целых чисел, как элементов кольца С (§ 21, опр. 1). Проверим, например, эквивалентность (5). Преобразуем левую и правую часть отдельно:

Но из определения эквивалентности (2) следует, что получившиеся в итоге пары эквивалентны.

Отношение эквивалентности пар (2) обладает тремя основными свойствами равенства (§ 20), а именно:

умножая равенство ad = be на / и равенство cf = de на b, находим: adf = bef = bde, т. e. adf = bde, откуда af = be, так как аф 0.

Значит, это отношение определяет разбиение множества Л/ на классы эквивалентных пар. Будем обозначать эти классы малыми греческими буквами а, ß, у» Ô, . . .

Определение 2. Пусть Г0 есть множество всех классов эквивалентных пар множества М. Суммой (произведением) двух классов а и ß назовем тот класс а + ß (соответственно aß), который содержит сумму (произведение) пары класса a и пары класса ß.

Как и в предыдущей главе, независимость суммы и произведения классов от выбора их представителей вытекает из такой теоремы.

Теорема 5.

Доказательство. Как и прежде (§ 21, теорема 5), достаточно доказать, что для любой пары (с, d) будет:

По условию эквивалентности (2) имеем:

Умножим обе части на d. Найдем: atb2d = a2b{d. Прибавив к обеим частям b{cb2, получим:

Умножив обе части снова на о? и вынеся общие множители за скобки, найдем:

отсюда

Умножим равенство а{Ь2 = а2Ь{ на cd. Найдем:

откуда

Итак, определение 2 действительно вводит в множестве Г0 классов эквивалентных пар однозначно определенные операции сложения и умножения.

Теорема 6. Множество Г0 с операциями,) указанными в определении 2, является полем.

Доказательство. Нужно проверить выполнение в Г0 аксиом I — VI (§ 6, опр. 2) и VII, VIII (§ 7, опр. 1). Так как операции в Г0 определены для классов через их представителей, то выполнение аксиом I, II, IV, V и VI следует из теоремы 4. Так как, очевидно, множество Г0 содержит более одного элемента, то выполнена аксиома VIII. Выполнение аксиомы III следует из того, что если класс а содержит пару (а, Ь), класс ß — пару (с, d), то из

следует, что класс у, содержащий пару (be — ad, bd), удовлетворяет условию а + у = ß«

Итак, доказано, что Г0 является кольцом. Выясним, какой смысл имеют в этом кольце нуль и противоположный элемент. Все пары вида (О, Ь) эквивалентны между собой. Обратно, любая пара (х, у), эквивалентная паре (О, Ъ), сама имеет тот же вид, так как из xb = у-0 и b≠ следует х = 0. Таким образом, все пары вида (0, Ь) образуют один класс, который, очевидно, является нулем кольца Г0. Далее, очевидно, что противоположным для класса а, содержащего пару (а, Ь), является класс, содержащий пару (— а, Ь). Будем его обозначать через —а.

Проверим теперь выполнение аксиомы VII. Пусть даны классы а и ß, причем класс а отличен от нуля. Если а содержит пару (а, Ь) и ß — (с, d), то а≠0. Существует поэтому пара (be, ad). Пусть у — класс, содержащий эту пару. Из

следует а/у = ß, что и доказывает аксиому VII. Теорема доказана.

Выясним еще, какой смысл имеют в поле Г0 единица и обратный элемент. Если ае = а, где а отлично от нуля, а содержит (а, Ь), где а≠0, е содержит (х, у), то (а, Ь) (х, у) ^ (а, Ь), откуда аЬх == аЬу, х = у. Очевидно, что, обратно, пара вида (х, х), хфО, удовлетворяет условию (а, Ь) (х, х) ^ (а, Ь). Все пары этого вида составляют один класс, играющий, очевидно, роль единицы в поле Г0.

Обратным для класса а, содержащего пару (а, 6), а≠0, будет класс, содержащий пару (&, а), так как (а, Ь) (&, а) =(ab, ab) принадлежит единичному классу.

Построенное поле Г0 окажется изоморфным полю рациональных чисел. Само поле Г0 не удовлетворяет определению 1, так как не содержит среди своих элементов целых чисел.

Займемся теперь включением в поле Г0 кольца целых чисел. Сначала найдем в поле Г0 множество, изоморфное кольцу целых чисел С. Пусть класс а содержит пару (&, с), где b делится на с, т. е. b = ас. Очевидно, что две пары вида (aciy ct) и (асг, с2) эквивалентны. Обратно, всякая пара, эквивалентная паре (ас, с), сама будет вида (acu ct). В самом деле, из (Ьь сt) ^ (ас, с) следует Ьхс = с^ас, откуда 6А = асА. Итак, класс а состоит из пар вида

(ас, с) с данным а и любым с≠0. Пусть С — множество всех классов пар (Ь, с), где b делится на с. Каждому классу а из С поставим в соответствие число а такое, что пара (ас, с) принадлежит этому классу а. Так как (аси Ci) ^-(лс2, с2), то этим определено однозначное отображение а =/(а) множества классов С" в множество целых чисел С. Двум разным классам соответствуют разные числа и любое число а соответствует некоторому классу, именно классу, содержащему пару (ас, с). Таким образом, / есть взаимно однозначное отображение С на С. Покажем, что / будет изоморфным отображением множества С с операциями над классами на кольцо целых чисел. Достаточно проверить сохранение операций при отображении в одну сторону, от С' к С, т. е. доказать равенства:

(6)

Но если класс а содержит пару (ас, с) и класс ß — пару (Ьс, с), то а + ß содержит пару

и класс aß — пару

откуда и

Построим теперь искомое поле рациональных чисел Г. Пусть Г — множество, полученное из поля Г0 путем замены каждого класса множества С соответствующим ему при отображении / целым числом. Для определения операций в Г дополним определение отображения /, положив /(а) = а для любого класса из Г0, не входящего в С". Тогда / будет взаимно однозначным отображением Г0 на Г. Сложение и умножение в Г определяем равенствами:

(7)

Здесь a и ß — любые элементы Г0, значит, / (а) и / (ß) — любые элементы Г. Поэтому равенствами (7) действительно определены операции в множестве Г.

Теорема 7. Множество Г с операциями, определенными равенствами (7), является полем рациональных чисел.

Доказательство. Надо показать, что множество Г обладает свойствами 1) — 4) из определения 1.

1) Г содержит кольцо целых чисел С по построению.

2) Г является полем, так как равенства (7), определяющие сложение и умножение в Г, вместе с тем показывают, что множество Г относительно этих операций изоморфно полю Г0. Но множество с двумя операциями, изоморфное полю, само является полем (§ 8, теорема 2).

3) Сложение и умножение целых чисел совпадают с одноименными операциями над этими числами в поле Г. В самом деле, при отображении / целые числа являются образами элементов множества С из поля Г. Но если а и ß — классы из С", то для них равенства (7) совпадают с равенствами (6), где сложение и умножение в левых частях равенств означают операции над целыми числами, определенные в § 21.

4) Поле Г не содержит отличного от него самого подполя, содержащего С. Чтобы в этом убедиться, покажем, что любой элемент поля Г равен частному целых чисел. Любой элемент из Г имеет вид / (а), где а — некоторый класс поля Г0.

Пусть класс а содержит пару (é, I) целых чисел, причем I≠0. Тогда k =/(ß), l =/(y). По определению отображения класс ß состоит из пар вида (kc, с) и у — из пар вида (1с, с). Значит, класс ay содержит пару

Отсюда сгу = ß. Согласно определению умножения в Г [второе из равенств (7)1 отсюда находим:

откуда

Любое подполе поля Г, содержащее все целые числа, должно содержать и все их частные, т. е. по доказанному все поле Г, чем и завершается доказательство теоремы.

Итак, одно из изоморфных полей рациональных чисел нами построено. Его элементами являются, во-первых, все целые числа и, во-вторых, классы эквивалентных пар целых чисел вида (а, Ь), где b≠0 и а не делится на Ь. Этим решен вопрос о существовании поля рациональных чисел, т. е. поля, удовлетворяющего определению 1. Остается ввести для рациональных чисел обычные обозначения с помощью дробей и показать, что эти числа обладают обычными, всем известными свойствами.

Но прежде разберем вопрос о том, что получится, если к построенному выше полю Г0 снова применить ту же конструкцию, т. е. рассмотреть поле Г4, построенное так же, как Г0, но на основе пар элементов поля Г0? Как и в случае кольца целых чисел (§21, теорема 8), легко показать, что поле Г4 будет изоморфно полю Г0, и в этом смысле возможности приведенной конструкции новых полей нами уже исчерпаны. Это следует из такой более общей теоремы.

Теорема 8. Если К — любое поле, то поле Ki% построенное аналогично полю Г0 (опр. 2) с той разницей, что рассматривается пара элементов поля К (вместо целых чисел), изоморфно исходному полю К.

Доказательство. Классу а, являющемуся элементом поля Ki и содержащему пару (a, b), b≠ элементов поля К, поставим в соответствие элемент /(а) = у поля К. Из условия (1) а) равенство частных и условия (2) эквивалентности пар ясно, что элемент /(а) не зависит от выбора пары (а, Ь) в классе а и что отображение / взаимно однозначно. Из правил (1) б) в) сложения и умножения частных и правил (3) и (4) сложения и умножения пар следует, что отображение / изоморфно.

§ 26. Свойства рациональных чисел

Введем для рациональных чисел, рассматриваемых как элементы построенного в предыдущем параграфе поля Г, обычные обозначения с помощью дробей. Каждое рациональное число а является образом некоторого класса а поля Г0, т. е. а = /(а). Класс а однозначно определяется любой входящей в него парой (k, I) целых чисел, где I≠0. Таким образом, любое рациональное число а однозначно, определяется парой (k, I) из класса а.

Будем обозначать это число а через у , и символы у-, где k и I — целые числа и I≠0, будем называть дробями*.

Но ведь тот же символ -у в поле Г обозначает частное от деления k на I; это не ведет, однако, к противоречию, так как по доказанному в конце предыдущего параграфа, если a =f(a) и класс а содержит пару (k, I), то действительно а = ~ , где -— частное от деления k на Z.

Все дроби, составленные из пар одного класса а, обозначают одно и то же рациональное число а =/(а). Таким образом, по определению эквивалентности пар (2) § 25 имеем:

(1)

тогда и только тогда, когда ad = be.

* Таким образом, в отличие от молчаливо принимаемого обычно понимания дробей как чисел особой категории мы считаем дроби не числами, а лишь символами для обозначения чисел. В самом деле, различные дроби могут обозначать одно и то же число. Так,

Отсюда, в частности, вытекает основное свойство дроби, т. е. равенство:

(2)

для любого с≠0. На этом свойстве основаны, как известно, сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю. Заметим, что целые числа и только они обозначаются дробями, соответствующими парам классов множества С , т. е. а — — будет целым при условии, что k делится на L Но — обозначает

в то же время частное от деления ft на / в поле Г. Значит, целое число равно частному от деления его числителя на знаменатель.

Простейшим обозначением целого числа а дробью будет дробь у .

Для целых чисел мы будем применять наряду с дробями также и прежние обозначения. Так:

Так как дробь у обозначает рациональное число, равное частному от деления k на I в поле Г, то для действий сложения, вычитания, умножения и деления над числами, обозначенными дробями, верны правила (1) б), в), г), т. е. обычные правила оперирования с дробями.

Рациональные числа, не являющиеся целыми, будем называть дробными (таким образом, мы будем различать термины «дробь» и «дробное число»). Итак, целые и дробные числа вместе составляют все рациональные числа.

Замечание 1. Для рациональных чисел, как элементов поля Г, верны все теоремы, доказанные для любых колец и полей в § 6 и 7. Так, произведение нескольких сомножителей не зависит от распределения скобок и порядка сомножителей (§6, теоремы 1,2), любую алгебраическую сумму можно представить в виде обычной суммы (§ 6, теорема 7), верны правила знаков при раскрытии скобок (§ 6, теорема 8) и при умножении [§ 6, (17)], существует единица, причем она равна числу 1, соответствующему единичному классу поля Г0 при изоморфном отображении / (ибо этот класс состоит из пар вида (с,, с) =(с«1, с), где с≠0), любое число у≠0 имеет обратное, причем это будет число ~, отсутствуют делители нуля (§ 7, теорема 6) и т. д.

Переходим к свойствам расположения поля рациональных чисел.

Теорема 1. Поле Г рациональных чисел может быть расположено (§ 9, опр. 1) и притом единственным образом. При

этом число а = у положительно, если целое число kl положительно.

Это расположение, в частном случае целых чисел, совпадает с расположением целых чисел, определенном ранее (§ 22, теорема 3).

Доказательство. Будем считать рациональное число а= у, где k≠, положительным, если целые числа k и I одного знака, т. е. или оба положительны, или оба отрицательны, иначе говоря, а — — положительно (в символах а > 0), если kl>0 в смысле расположения целых чисел. Это определение положительности числа а не зависит от его записи в виде дроби. В самом деле, если

то, умножая на положительное целое число

получим:

Следовательно,

(§ 9, теорема 3).

Покажем, что данное определение положительных чисел удовлетворяет аксиомам IX и X из § 9. Пусть а = -. Так как для целых чисел аксиома IX выполнена, то выполнено одно и только одно из трех соотношений:

Итак, аксиома IX справедлива и для рациональных чисел. Если

то ибо

Также и

ибо

Значит, и аксиома X для рациональных чисел выполнена. Поле Г расположено.

Легко видеть, что аксиомы IX и X, выполненные для некоторого кольца или поля, остаются справедливыми для любого

его подкольца. Поэтому расположение поля Г рациональных чисел порождает некоторое расположение содержащегося в нем кольца С целых чисел. Но кольцо целых чисел допускает единственное расположение (§ 22, теорема 3). Поэтому любое расположение (в частности, определенное выше) поля рациональных чисел сохраняет расположение кольца целых чисел, определенное ранее (§22).

Покажем, что построенное расположение поля рациональных чисел является единственным. Пусть дано какое-то его расположение. Оно сохраняет неизменным расположение целых чисел.

Покажем, что рациональное число а = ~ тогда и только тогда положительно, когда целое число kl положительно. В самом деле, если -у> 0, то, умножая на I* > 0, найдем kl > 0. Если, обратно, kl > 0, то и -J > 0, так как иначе--- ^ 0, и, умножая на I1 > 0, найдем — kl ^ 0, что противоречит условию kl>0. Итак, любое расположение поля рациональных чисел совпадает с определенным в начале доказательства. Теорема доказана.

Замечание 2. Рациональные числа обладают всеми свойствами элементов любого расположенного поля, приведенными в § 9. Так, считая а > Ь, если а — b положительно, мы вводим порядок, при котором 0 меньше всех положительных и больше всех отрицательных чисел (§ 9, теорема 1). Для этого порядка верны законы монотонности и правила оперирования с неравенствами (§ 9, теоремы 2—4). Поле рациональных чисел имеет характеристику 0 (§9, теорема 6). Определяя абсолютную величину числа а, как неотрицательное из чисел ± а, получим обычные ее свойства, в том числе обычные правила сравнения двух чисел по величине и правила четырех арифметических действий через действия над абсолютными величинами (§ 9, теорема 8 и следующее за ней замечание). Поле рациональных чисел плотно, как всякое расположенное поле (§ 9, теорема 10).

Пусть Р — любое поле характеристики 0 (§ 7, опр. 5) и е — единица поля Р. Определим произведение ах любого элемента X поля Р на любое рациональное число а. Если а =-7- с целыми А, / и I≠0, то и le≠0, и мы положим:

Для целого а это определение совпадает с данным в § 6, ибо из

следует al = k и по § 6 (19)

т. е. произведение ах в новом смысле при целом а совпадает с произведением в смысле § 6.

Элементы ае при целом а называются целыми, а при рациональном а — рациональными элементами поля Р.

Теорема 2. Любое поле Q характеристики О содержит одно и только одно подполе П, изоморфное полю рациональных чисел Г. Это подполе П состоит из всех рациональных элементов ае поля Q, и существует только одно изоморфное отображение U на Ту а именно, переводящее элемент ае в число а. В частности, поле Г не имеет отличных от него самого подполей, т. е. является простым полем (§ 7, опр. 7), и допускает лишь одно изоморфное отображение на себя, а именно, тождественное. Поле Q изоморфно полю Р, содержащему в качестве подполя Г, причем любое изоморфное отображение Q на Р сохраняет указанное выше отображение П на Г. Если поле Q расположено, то и поле Р может быть расположено так, что изоморфизм Р и Q сохраняет отношение порядка.

Доказательство. Для любых целых чисел т и п имеем [§ 6, (1), (19)1:

откуда

Тогда

Так как характеристика поля Q равна нулю, то ne ФО для любого целого п≠0. Если m≠п, то m — п≠0 и те — ne — = (т — п) е≠0. Значит, соответствие п^-+пе между кольцом С целых чисел и множеством S целых элементов поля Q взаимно однозначно и в силу а) изоморфно. Точно так же из соотношений а) и правил сложения и умножения частных [§ 7, теорема 8, б), в)] имеем для любых рациональных

равенства:

б)

ибо

Если а = k≠0, то k≠0 и ае = —≠0. Отсюда, как выше,

если а фЬ, то ае≠be. Значит, отображение а <-+ ае поля Г на множество П взаимно однозначно и в силу б) изоморфно. Так

как Г — поле, то и П будет полем (§ 8, теорема 2). Пусть поле Г каким угодно образом отображено изоморфно на некоторое подполе П' поля Q. Числу 1 соответствует тогда единица е из Q, а потому по свойствам изоморфизма, для натурального п также п =1 + ... + 1<->£ + ... + е =пе и — п <—» — ne = (—n)ef О <-» 0 = Ое (О слева — число, а справа — элемент Q). Итак, п ne для любого целого п. А тогда для любого рационального а — — также а =—<-»— == ае. Хаким образом, 11 совпадает с 11, и любой изоморфизм между Г и П совпадает с изоморфизмом а<г+ае.

Так как поле Q содержит подполе П, изоморфное Г, то оно изоморфно полю Р, содержащему подполе Г и полученному из Q путем замены элементов П соответствующими им числами из Г (§ 8, теорема 3). При этом любой изоморфизм Р и Q должен сохранять данный изоморфизм Г и П, так как Г только одним способом изоморфно отображается в Р.

Если поле Q расположено и у = f{x) любое изоморфное отображение Р на Q, то, считая элемент х из Р положительным, если соответствующий ему элемент у =/(#) из Q положителен, получим, как легко видеть, расположение поля Р, причем изоморфизм / сохраняет отношения порядка. Теорема доказана.

Эта теорема показывает, что поле рациональных чисел в известном смысле является минимальным среди всех полей характеристики нуль. Именно, если изучать поля лишь с точностью до изоморфизма, то можно сказать, что любое поле характеристики нуль содержит в качестве подполя поле рациональных чисел.

Теорема 3. Поле Г рациональных чисел архимедовски расположено (при единственно возможном его расположении).

Доказательство. Для выполнения аксиомы Архимеда в Г, как и в любом расположенном поле, достаточно, чтобы для любого числа с существовало натуральное число и, большее с. В самом деле, тогда для любых а и 6, где b > 0, существует п > умножая на Ь, получим nb > а.

Пусть а — любое рациональное число. Если а ^ 0, то п > а для любого натурального п. Если а > 0, то его можно представить дробью: а = у, где k и I — натуральные числа, ибо по теореме 1 kl > 0, т. е. k и I одного знака, а по условию (2) знаки k и I можно менять одновременно. Тогда 1>1 и, умножая на а > 0, найдем k ^ а, откуда

п = k + 1 > а.

Теорема доказана.

Теория делимости для поля рациональных чисел, как и для всякого поля, бессодержательна и сводится к положению, что

любое число делится на любое другое число, отличное от нуля. Поэтому неразложимых чисел не существует, и все числа, отличные от нуля, являются делителями единицы.

Для применения математики в технике и других науках в известном смысле слова достаточно одних рациональных чисел и даже не всех рациональных чисел, а, например, чисел, выражаемых конечными десятичными дробями. В самом деле, во всех измерениях и вычислениях прикладного характера достаточно знать результат вычисления лишь с некоторой определенной степенью точности. При этом нужной точности можно достигнуть, используя лишь числа указанного рода. Для точного уяснения смысла этого утверждения введем такое понятие.

Определение. Пусть дано натуральное число п. п-ичнорациональными или я-рациональными называются все рациональные числа вида m п*, где m и ft — любые целые числа.

При п=2, 3, 10 получим двоично-рациональные, троично-рациональные, десятично-рациональные (т. е. десятичные дроби) числа.

При k=0 найдем, что все целые числа п рациональны для любого п.

Теорема 4. При сохранении операций сложения и умножения и отношений порядка, определенных в поле рациональных чисел Г, все п-рациональные числа образуют плотное, архимедовски расположенное кольцо Гп.

Доказательство. Согласно § 6, теорема 13, свойства кольца будут доказаны, если показать, что сумма, разность и произведение двух любых тг-рациональных чисел есть число п-рациональное.

Пусть даны два числа т^' и m2nk* с целыми тх и kv т2 и k2» Если, например, kx ^ k2, то

и

снова числа п-рациональные.

Свойства архимедовского расположения, очевидно, переходят с поля Г на его подкольцо Г„. Пусть а и Ь—два различных числа из Гп, причем, например, а <Ь. Тогда b — а > 0, значит, и

есть число из Гп. Из п > 1 следует

и умножением на

найдем

Если

то с — число и-рациональное и

Значит, кольцо Гд плотно.

То, что для всех приближенных вычислений рациональные числа можно заменить я-рациональными, вытекает из следующих двух положений.

Мы докажем их не для поля рациональных чисел Г, а в более общем виде, так как в этом виде они нам понадобятся в следующей главе.

Теорема 5. Пусть Р — архимедовски расположенное поле, содержащее поле рациональных чисел Г, а — элемент P и n — натуральное число, большее единицы. Тогда для любого целого числа k существует целое число m такое, что

Доказательство. Из п > 1 > 0 следует nk > 0. Так как поле Р архимедовски расположено, то существуют натуральные числа 1Х и 12 такие, что l^nk>a и l2-nk>—a, откуда (— l2) nk <С а. Значит, множество А целых чисел I, для которых lnk^a, содержит —12, т. е. непусто и ограничено сверху, так как из

следует I <Llx. Поэтому А содержит наибольшее число m (§22, теорема 5). Так как m принадлежит A, a m + 1 > m уже не принадлежит А, то по определению множества А имеем: mnk ^ а <(т + 1)пк, что и требовалось доказать.

Теорема 6. Пусть Р — архимедовски расположенное поле, содержащее поле рациональных чисел Г, п — натуральное число, большее единицы. Для любого положительного элемента а поля Р существует натуральное число k такое, что

Доказательство. Сначала докажем неравенство:

(3)

для любого натурального числа п > 1 и любого целого числа ft.

Так как nk > 0, то для k ^ 0 это неравенство выполнено. Для натурального k докажем его индукцией по числу k при данном п. По условию п, = п > 1, т. е. для £=» 1 неравенство верно. Если

т. е. неравенство верно и для числа k + 1. Так как а > О, то по аксиоме Архимеда найдется натуральное число ft, для которого 1 <С ft а. Тогда в силу соотношения (3) также 1 <пка. Умножая на п~к > 0, найдем n"k <а, что и требовалось доказать.

Заметим, что ввиду теоремы 2 последние две теоремы остаются верными для любого архимедовски расположенного поля Р с заменой в их формулировках рациональных чисел на соответствующие им элементы (т. е. числа г на элемент re, где е — единица поля Р).

Из теорем 5 и 6 вытекает, что для целей приближенных вычислений рациональные числа можно заменить м-рациональными при данном п. В частности, можно применять числа, изображаемые конечными десятичными дробями (п= 10), что и делают на практике. В самом деле, мы скажем, что результат вычисления найден при помощи рациональных чисел с точностью до данного рационального числа с > 0, если найдены два рациональных числа а и b (результаты вычисления по недостатку и по избытку) такие, что a <ib, b — a <ic и искомый результат вычисления заключен (в определенном смысле для данного вычисления) между а и 6. Но по теореме 6 существует целое ft такое, что п <<--Далее, по теореме 5 найдутся целые числа I и m такие, что ах = lnk ^ а <С(1 + 1) nk и (т — 1) nk ^ b << <^т nk =bj. Так как интервал (ах, Ьх) шире (а, Ъ), то естественно считать результат вычисления заключенным между ах и bt. Далее, оно верно для числа ft, то п* > ft, откуда

Таким образом, ах и Ьх служат приближениями по недостатку и по избытку с помощью л-рациональных чисел с тою же степенью точности с. Рассуждая аналогично, можно и число с заменить меньшим уже п-рациональным числом.

Однако для точного выражения результата вычисления не только гс-рациональных, но и всех рациональных чисел уже недостаточно.

Пусть, например, надо найти длину отрезка MN, если отрезок AB принят за единицу измерения. Искомая длина есть отношение отрезков MN и AB. Если отрезки AB и MN соизмеримы, то имеется их общая мера CD, содержащаяся р раз в MN и q раз в AB. Тогда MN : AB число рациональное. Обратно,

если отношение MN : AB = — — рационально, то делим отрезок AB на q частей (одна из них в MN уложится р раз), значит, MN и AB будут соизмеримы. Из геометрии известно, что существуют несоизмеримые отрезки. Так, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Значит, приняв сторону квадрата за единицу измерения отрезков, мы не можем выразить длину его диагонали никаким рациональным числом.

Рациональных чисел недостаточно также для извлечения корней из положительных рациональных чисел и даже из натуральных чисел. В самом деле, если, например, р — простое число, п — натуральное число, большее единицы, то у/р не может равняться рациональному числу. Иначе, ^/р = -у-с натуральными «7, г (если для четного п взять положительное значение корня).

Тогда

и, значит,

Если в разложении числа q на простые множители р встречается а раз, а в разложении числа г — Ь раз, то в левую часть равенства (4) р войдет п а + 1 раз, а в правую — nb раз. Но па + 1≠rib, так как второе число делится на п, а первое не делится. Таким образом, в разложении на простые множители левой и правой части равенства (4) простое число р входит неодинаковое число раз, что противоречит однозначности разложения натурального числа на простые множители (§ 17, теорема 8).

В следующей главе мы займемся расширением поля рациональных чисел до поля действительных чисел, в котором измерение отрезков и извлечение корня из положительного числа дает точный результат.

Задача 1. Множество рациональных чисел, ограниченное сверху, может не иметь наибольшего числа, т. е. аналог теоремы 5 из § 22 для рациональных чисел не имеет места. Доказать, что, например, множество всех рациональных чисел, меньших данного рационального числа а, не содержит наибольшего числа.

Задача 2. Доказать, что всякое рациональное число является л-рациональным при некотором натуральном числе п > 1.

Задача 3. Доказать, что кольцо Гп л-рациональных чисел (при заданном п) плотно не только па себе самом, но и на поле Г всех рациональных чисел, т. е. между любыми двумя различными рациональными числами найдется л-рациональное число.

§ 27. Поле отношений

Подобно тому как включение натуральных чисел в кольцо целых чисел было обобщено до включения любого полукольца в кольцо (§ 24), включение кольца целых чисел в поле рациональных чисел также обобщается до включения любого кольца

(правда, при одном ограничении общего характера) в поле. Приведенное в этом параграфе включение кольца в поле будет использовано в главе VIII для включения кольца многочленом в поле алгебраических дробей и в других случаях.

Рассуждения в общем случае остаются аналогичными случаю кольца целых чисел (§ 25). Однако для сохранения изложения, ставшего здесь традиционным, мы несколько изменим определение искомого поля по сравнению с определением поля рациональных чисел (§ 25, опр. 1).

Определение 1. Полем отношений данного кольца R называется множество Р со следующими свойствами:

1) Р содержит R;

2) Р является полем;

3) сложение и умножение в кольце R совпадают с одноименными операциями над теми же элементами в поле Р;

4) любой элемент поля Р равен частному элементов кольца R. Заметим, что изменение по сравнению с числовым случаем

касается лишь условия 4) и является несущественным, так как поле Р со свойствами 1)—3) тогда и только тогда обладает свойством 4), когда оно минимально, т. е. не содержит отличного от него подполя, содержащего R. Доказательство дословно переносится с числового случая (§ 25, теорема 1).

Не все кольца обладают полями отношений. Так, кольцо с делителями нуля (§ 6, опр. 6) не имеет поля отношений, так как оно вообще не может содержаться ни в каком поле, где делители нуля отсутствуют (§ 7, теорема 6). Таким образом, кольцо, обладающее полем отношений, должно быть областью целостности. Далее, для однозначности определяемого поля надо исключить область целостности, состоящую из одного нуля, для которой, очевидно, полем отношений будет всякое простое поле (§ 7, опр. 7). Этими исключениями можно ограничиться.

Теорема 1. Для любой области целостности R, содержащей более одного элемента, существует поле отношений Р и до изоморфизма только одно. Любое поле Р0, содержащее подкольцо R, содержит поле отношений Р кольца R и притом только одно.

Доказательство аналогично числовому случаю (§ 25, теоремы 1—7), и мы его повторять не будем. Отметим лишь, что вместо свойств целых чисел надо использовать соответствующие свойства элементов области целостности R. Так, если а≠ и Ь≠, то и ab≠0, ибо отсутствуют делители нуля, и если ab = ас и а≠, то b =с (§6, теорема 11).

Отметим, что аналогично числовому случаю (§ 26, теорема 1) свойства расположения переносятся с области целостности на ее поле отношений.

Теорема 2. Если область целостности R, содержащая более одного элемента, расположена, то ее поле отношений Р может быть расположено и притом единственным образом, так что расположение Р сохраняет данное расположение R. При этом элемент а поля Р тогда и только тогда положителен, когда а =у-, где k и I — элементы кольца R и произведение kl положительно в R.

Доказательство. Будем считать элемент а из Р положительным, если а =у» где k и I — элементы R и элемент kl положителен в Я. То, что это определение не зависит от выбора k и I и что оно определяет расположение поля Р, доказывается так же, как в числовом случае. То, что это расположение сохраняет данное расположение R, можно доказать так: если а — положительный элемент кольца R и а = j, где k и I — элементы R, то элемент I1 положителен в R. Значит, и произведение al1 — kl положительно в R, т. е. а положителен в смысле определенного расположения Р. Тем же путем доказывается и единственность расположения Р, сохраняющего данное расположение R. В самом деле, если дано любое расположение Р, сохраняющее расположение Я, и а положительно в Р, а = у, где k и I из R,

то I1 и al2 = kl положительны в Р, a значит, и в Л. Таким образом, заданное расположение Р совпадает с определенным в начале доказательства.

Глава шестая

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Еще в древней Греции было известно существование несоизмеримых отрезков. Стремление получить для их отношения точное числовое значение должно было бы привести к понятию иррационального числа. Однако строгое обоснование этого понятия оказалось не под силу ученым древности. Стремясь к строгости изложения математических положений, они придавали им геометрическую форму. Примером этой своеобразной геометрической алгебры могут служить «Начала» Евклида.

В средние века индусы пользовались иррациональными выражениями, не вдаваясь в вопросы их обоснования. С развитием анализа в XVII и XVIII веках действительные числа становятся основным объектом исследования. При этом с ними оперировали на основе наглядных представлений, изображая числа точками прямой линии. Ко второй половине XIX века потребность формального построения теории действительного числа назрела настолько, что в 70-х годах она была построена рядом математиков (Дедекинд, Кантор, Вейерштрасс). Все эти построения, по форме совершенно различные, равноправны в том смысле, что приводят к изоморфным числовым областям. Мы приведем ниже построение Кантора, как наиболее тесно связанное с понятием предела, рассмотренным в настоящем параграфе. В литературе чаще встречается построение Дедекинда*. Прекрасное изложение теории Дедекинда, богатое ценными методологическими указаниями, дано в книге А. Я. Хинчина «Восемь лекций по математическому анализу», Гостехиздат, 1948.

§ 28. Полные и непрерывные поля

Как было показано в конце § 26, отношение отрезков и корень из положительного рационального числа не всегда выражаются рациональными числами. Мы хотим теперь расширить поле рациональных чисел Г до поля действительных чисел Z), в ко-

* Дедекинд, Непрерывность и иррациональные числа, Одесса, 1923.

тором эти задачи (а также широкий класс других задач) были бы всегда разрешимы.

Чтобы понять, какие свойства чисел нужны для разрешимости этих задач, и прийти тем самым к целесообразному определению поля действительных чисел, разберем эти две задачи подробнее.

Пусть надо найти отношение отрезков AB и MN. Тогда мы откладываем на отрезке MN от точки M отрезок ММХ = AB, затем от Мх в том же направлении откладываем М{М2 = AB и т. д. По геометрической аксиоме Архимеда найдется натуральное число п такое, что, отложив таким образом п раз отрезок АВ, мы получим отрезок п-АВ > MN. Значит, множество тех целых чисел fe, для которых k-AB ^ MN, ограничено сверху и непусто, ибо число 0 ему принадлежит. Поэтому это множество содержит наибольшее число а0 (§ 22, теорема 5). Если а0 + 1 = Ь0, то а0-AB MN <b0AB. Естественно считать, что искомое отношение MN : AB лежит между а0 и 60. Далее, делим AB на 10 равных частей и для одной из них АхВх повторяем наше рассуждение. Получим целые числа:

для которых или, полагая

имеем:

Так как

то по максимальности aj будем иметь:

Значит, Отсюда

Повторяя те же рассуждения, получим две последовательности чисел ап и 6Л, удовлетворяющие условиям:

(1)

Искомое отношение отрезков MN и AB естественно считать лежащим между ап и Ьп. Числа каждой из этих последовательностей все более приближаются к этому отношению. Каково бы ни было данное положительное рациональное число б (эпсилон), можно найти такое натуральное число п0, что числа ап и Ьп различаются между собой (а значит, и от искомого отношения) меньше, чем на е при любом п > п0. В самом деле, существует п0, для которого jjr- < е (§ 26, теорема 6), а потому

Пусть надо найти ^/а, где а— положительное рациональное число и k > 1 — натуральное число. Будем говорить лишь о положительном значении корня. Берем любое целое число п ^ 0. Так как 10~" >0, то по аксиоме Архимеда существует натуральное число m такое, что т-10"п > а + 1. Для любого рационального b > 1 и любого натурального k > 1 имеем bk~l > 1 {§ 9, теорема 4), откуда bk > b. Поэтому

Значит, множество А тех целых чисел Z, для которых (/•10"")*^ а, ограничено сверху и непусто, так как содержит число 0. Поэтому оно содержит наибольшее число а\ Если

то

Естественно считать, что искомый корень \/а лежит между ап и Ьп. Далее, Ьп—ап =10~п. Так как числа вида т-10~* являются также числами вида

Так как

то

откуда и

Итак, мы снова получаем последовательности ап и Ьп с теми же свойствами (1). Мы принимаем, что искомый корень при любом п лежит между ап и Ьп. О приближении этих чисел к зна-

чению корня можно сказать точно то же самое, что было сказано в случае отношения отрезков.

Все дело заключается, однако, в том, что такого числа, к которому числа ап и Ъп приближались бы вышеописанным образом, среди рациональных чисел может не быть. Для того чтобы такое число нашлось для любых последовательностей рациональных чисел ап и Ъп со свойствами (1), приходится вводить новые (не рациональные) числа. Для их введения надо точно определить понятие последовательности и ее свойства.

Определение 1. Последовательностью элементов данного непустого множества M называется функция (§ 3, опр. 1) f(n)= аЛ, определенная на множестве N всех натуральных чисел, значения которой принадлежат множеству М. Иными словами, последовательностью называется всякое соответствие, сопоставляющее каждому натуральному числу п некоторый элемент ап множества М. Последовательность обозначается символами аи а2, а8, ... или {ап}. Элемент ап называется п-м членом последовательности {ап}.

Заметим, что члены последовательности не обязательно должны быть различными элементами множества М.

Примеры последовательностей.

1. Последовательность натуральных чисел: 1, 2, 3, ... = {п}.

6. 2, 3, 5, 7, ... {рп}, где рп — п-е простое число. Здесь мы не можем дать общей формулы для л-го члена последовательности рп. Тем не менее данная последовательность точно определена. Надо лишь воспользоваться индуктивным определением (§ 15, опр. 1), положив / (1) = 2, / (п) есть наименьшее простое число, большее числа / (п — 1). Эти условия определяют единственную функцию, заданную на множестве всех натуральных чисел (§ 15, теорема 1). Этот пример показывает, что функция не обязательно должна задаваться некоторой формулой, определяющей ее значение через эначение аргумента.

Нижеследующие понятия имеют смысл уже не в любом множестве, а лишь в упорядоченном множестве или даже расположенном кольце. Мы ограничимся, однако, только нужным для дальнейшего случаем расположенного поля, содержащего поле рациональных чисел.

Итак, во всем этом параграфе под Р следует понимать расположенное поле, содержащее в качестве подполя поле рациональных чисел Г. Все сказанное в этом параграфе о поле Р остается

справедливым (в силу изоморфизма, установленного в § 26, теорема 2) для любого расположенного поля Q с заменой рациональных чисел г на соответствующие им элементы re, где е — единица поля Q*.

Определение 2. Последовательность {ап} элементов поля Р называется ограниченной сверху (соответственно снизу), если существует элемент а поля Р такой, что ап <я (соответственно ап > а) для всех п. Она называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу или (что то же самое) если существует элемент а > 0 поля Р такой, что \ап\ <а для всех и.

Среди приведенных выше примеров последовательность 4 не ограничена ни сверху, ни снизу, остальные ограничены снизу, а последовательности 2, 3, 5 ограничены.

Следующее понятие является одним из основных понятий всей математики.

Определение 3. Элемент а поля Р называется пределом последовательности {ап} элементов Р, если для любого положительного элемента е из Р существует (зависящее от е) натуральное число п0 такое, что \ап — а\ < е для любого п > п0. Пишут а = У\т ап («предел ап при м, стремящемся к бесконечности») или просто а = lim ап («предел an»). Последовательность {an}, имеющая предел а, называется сходящейся к а или просто сходящейся. Последовательность, не имеющая предела в Р, называется расходящейся.

Из приведенных выше последовательностей только две сходятся: последовательность 2 к числу 0 и последовательность 5 к числу 2. В самом деле, для последовательности 2 имеем:

Для последовательности 5 также

Но по аксиоме Архимеда для поля рациональных чисел (§ 26, теорема 3) для любого рационального е > 0 существует натуральное

* Многие понятия и теоремы этого параграфа сохраняют значение для более широкого, чем расположенные поля, класса нормированных полей, включающего в себя не только поле действительных, но и поле комплексных чисел (см. книгу Ван-дер-Вардена «Современная алгебра», гл. 10).

Тогда

для любого п > п0.

Последовательность 3 расходится. Правда, для любого е > О и любого п0 найдется ri > п0 такое, что

и дг">я0 такое, что

но для б < 1 не существует такого п0, чтобы одно из указапных неравенств выполнялось для любого п > дг0. В самом деле, если, например,

то аЛ = 0. Значит, ап + 1=1 и

Понятие предела последовательности сходно с понятием алгебраической операции (§ 6, опр. 1). Там, упорядоченной паре элементов, а здесь упорядоченной по типу множества натуральных чисел {1, 2, 3, . . .} системе элементов соответствует некоторый элемент того же множества. Поэтому иногда говорят об «операции предельного перехода». Разумеется, это уже не алгебраическая операция в смысле определения 1 из § 6.

Возникает вопрос о выполнимости и однозначности операции предельного перехода, что не всякая последовательность имеет предел, мы уже видели на примере последовательности 3. Вопрос о единственности предела решается утвердительно.

Теорема 1. Если последовательность элементов поля Р имеет предел, то только один.

Доказательство. Пусть lim ап= а и b≠а. Покажем, что b уже не будет пределом нашей последовательности. Наглядное представление говорит, что элементы ап, приближаясь к а, отойдут для больших номеров от Ь. Формально это доказывается так.

Если также

то существуют натуральные числа п^ и п2 такие, что

при любом П > Hi и

при любом п > и2.

Если п0 — большее из чисел пх и п2, то при п > и0 получим:

т. е.

что невозможно.

Отложив пока вопрос об условиях существования предела, найдем некоторые свойства операции предельного перехода в случае ее выполнимости.

Теорема 2. а) Если одна из последовательностей {ап} и {Ьп} элементов поля Р сходится и если lim (ап — Ьп) = О, то и другая последовательность сходится, причем lim ап = lim bn. Обратно, если обе последовательности сходятся и если lim ап = = lim Ъп, то lim (ап— Ьп) = 0.

Далее, если последовательности {ап} и {Ьп} из Р сходятся, то:

Сходимость последовательностей в левых частях равенств б), в), г) не предполагается, а следует из сходимости последовательностей {ап} и {Ьп}.

б) Если

то существуют элемент г ]> 0 из Р и натуральное число п0 такие, что ап— Ьп> г при любом п > п0. Если существует натуральное п0 такое, что ап ^ Ьп при любом п > п0, то

Доказательство, а) Пусть, например, последовательность {ап} сходится, причем lim ап = а. Тогда для любого е > 0 из Р существуют натуральные числа п{ и п2 такие, что

При любом П > 71 i и при любом п > 7i2. Если п0 — большее из чисел nt и гс2, то

Значит,

Второе утверждение пункта а) следует из пункта б).

Пусть теперь последовательности {ап} и {Ьп} сходятся, причем lim ап= а и lim Ъп = Ъ.

б) Для любого е > О существуют натуральные п{ и п2 такие, что

Если /10 — большее из чисел «t и п2. то при любом п > п0 будет:

Следовательно,

в) Сначала покажем, что сходящаяся последовательность {ап} ограничена (см. опр. 2). Так как lim ап = л, то существует р такое, что

Тогда

при п>р. Среди конечной совокупности элементов laj, |а2|» . . ., |ар|, 1 + \а\ поля Р существует наибольший элемент а' (§5, теорема 6). Если положим с = а +1,тос^1>0и \ап\<£ для всех п.

Далее, берем любой элемент d> например d = + 1. Тогда, очевидно, d > 0. Так как lim ап = а и lim fen = 6, то для любого е > 0 из Р существуют натуральные числа ni и п2 такие, что

Если п0 — большее из чисел пх и дг2, то

при любом п > п0. Следовательно,

г) Сначала докажем, что при условии

существует натуральное число п{ такое, что

Существует натуральное число р такое, что

Если бы доказываемое утверждение было неверно, то для числа р нашлось бы число q > р такое, что Тогда

т. е. |Ь| < что невозможно. Последовательность {ап} сходится, а потому ограничена. Значит, существует элемент с > О из Р такой, что \ап\ <с при любом п.

Наконец, из lim ап = а и lim bn = b следует, что для любого е > 0 из Р существуют натуральные числа п2 и п% такие, что

(ибо для b≠0 всегда Ьг = |6|2 > 0). Пусть п0 — наибольшее из чисел пи п2 и п3. Тогда

при любом п > п0, значит,

д) Пусть а>Ь. Берем е = ——> 0. Существуют натуральные числа rii и п2 такие, что \ап — а\ <е при любом п > п{ и \Ьп — Ь\ <С е при любом п > п2. Пусть п0 — большее из чисел п{ и п2. Если при некотором п > п0 будет ап — Ьп ^ е, то для такого /2 найдем:

что невозможно. Значит, ап — Ьп > е при любом гг >> тг0.

Пусть, обратно, ап — Ъп ^ 0 при любом и>и0. Если бы было а <Ь, то по доказанному существовали бы е > 0 и п{ такие, что Ьп — <*>п > в > 0 при любом и > гг1в Беря любое и, большее чем п0 и и4, получим ап^ЬпшЪп> аП1 что невозможно. Значит, а ^ Ь. Теорема доказана.

Если последовательность имеет предел, то ее члены, приближаясь к этому пределу, должны сближаться между собой по мере роста их номеров. Дадим точное определение этого свойства последовательности.

Определение 4. Последовательность {ап} элементов, поля Р называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого элемента е > 0 из Р существует (зависящее от е) натуральное число п0 такое, что \ар — aq\ <8 для любых рид, больших п0.

Теорема 3. Всякая сходящаяся последовательность элементов поля Р является фундаментальной.

Доказательство. Пусть lim ап = а. Для любого е > 0 из Р существует натуральное число п0 такое, что \ап — a|<C-ô при любом п > п0. Если тогда р > nQ и q > п0, то по свойству абсолютных величин [§ 9 (3)] найдем:

Значит, последовательность {ап} фундаментальная.

Эта теорема дает необходимый признак сходимости: для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо, чтобы она была фундаментальной. Однако это условие не для любого поля Р является достаточным. Так, в поле рациональных чисел, как мы сейчас увидим, существуют фундаментальные последовательности, не имеющие (в этом поле) предела.

Вернемся еще раз к задачам об отношении отрезков и извлечении корня. Для каждой из них мы построили две последовательности рациональных (даже десятично-рациональных) чисел ап и Ъп со свойствами (1). Легко видеть, что каждая из них будет фундаментальной. Для любого рационального е существует натуральное п0 такое, что < е (§ 26, теорема 6). Тогда для любых рис, где, например, р ^ q > тг0, получим:

и аналогично этому

Если данная задача имеет решением рациональное число с, то с должно быть пределом обеих последовательностей {ап} и {Ьп}. В самом деле, в случае отрезков:

откуда Также откуда

В случае корней: откуда

так как из ап> с следует:

и из Ьп < с следует: что противоречит построению чисел ап и Ьп. Но из

следует, что для любого е > 0 существует п0 такое, что и тогда при п > п0 будет:

и аналогично т. е.

Итак, каждый раз, как задача имеет решение, она решается предельным переходом.

Обратно, если, например, последовательность {ап} имеет рациональный предел с, то и lim Ьп = с, причем число с решает данную задачу. В самом деле, из lim ап = с следует ап <: с ^ Ьп для любого п. Иначе, при некотором пх будет аП} > с и при любом п > п{ имеем:

или же при некотором п2 будет 6Па<си при любом п> п2 имеем:

что противоречит определению предела. Но из как выше мы видели, следует:

То, что число с решает поставленную задачу, будет для извлечения корня следовать из более общей теоремы и притом сразу для всех действительных чисел. Здесь мы докажем, что если построенные в начале параграфа для рационального числа а > О и натурального числа ft > 1 последовательности рациональных чисел {ап} и (Ьп) имеют рациональный предел с, то ск =а. Предположим, что с <а. Так как lim Ьп =с, то по теореме 2, в) также limfc£=c*. Значит, существует натуральное число п0 такое, что

при любом п>п0. Но из

следует: Поэтому

откуда Ъ^<С.а, что противоречит построению числа Ьп. Так же доказывается, что не имеет места неравенство ck>a. Значит,

Если рациональное число а>0 таково, что не существует рационального числа с, для которого ck=a (см. конец §26), то последовательности {ап} и {Ьп}, построенные для этих а и ft, не имеют предела в поле рациональных чисел, хотя являются фундаментальными.

В случае отношения отрезков надо доказать, что если построенные для отрезков AB и MN последовательности рациональных чисел {ап} и {Ьп} сходятся к рациональному числу с, то с и будет отношением этих отрезков, т. е. c-AB=MN. Пусть это не так, тогда, например, c-AB<MN. Значит, cAB^MNx, причем

отрезок MNi составляет часть отрезка MN. Как бы мал ни был отрезок NiNy по геометрической аксиоме Архимеда найдется натуральное k такое, что k- N ^>АВ. Но 10*>£ [§26, (3)],

и, значит,

откуда

Число ah определялось так, что где

Но из ah^c следует, что

что невозможно ввиду условия

Также придем к противоречию, предположив, что с-AB>MN9 значит, с-AB =MN.

Если отрезки AB и MN несоизмеримы, то их отношение не может выражаться рациональным числом, а потому построенные для отрезков последовательности рациональных чисел {ап\ и {Ьп} не имеют предела в поле рациональных чисел, хотя и являются фундаментальными.

Итак, в поле рациональных чисел существуют фундаментальные последовательности, не имеющие предела.

Определение 5. Расположенное поле называется полным, если оно обладает следующим свойством:

XII (аксиома полноты). Любая фундаментальная последовательность элементов данного поля сходится, т. е. имеет предел в этом поле.

Из сказанного выше следует такая теорема.

Теорема 4. Поле рациональных чисел Г не является полным.

Мы дали выше два доказательства этой теоремы, построив расходящиеся фундаментальные последовательности рациональных чисел для несоизмеримых отрезков и для рационального числа, не являющегося /е-й степенью никакого рационального числа. Доказательство с помощью отрезков опиралось на положения геометрии, которые здесь не обосновывались. Другое же доказательство опиралось лишь на доказанные нами свойства рациональных чисел и потому может считаться доведенным до конца.

Введенные выше понятия фундаментальной последовательности, ее предела и связанное с ними понятие полного поля имеют одно свойство, коренным образом отличающее их от введенных ранее понятий алгебраических операций, расположения и архимедовского расположения. Именно, пусть дано поле Р и его подполе Р'>

Если для элементов а, 6, с из подполя Р' имеет место соотношение а+Ь=с, то это соотношение по самому определению подполя (§7, опр. 6) сохраняется и в поле Р. Обратно, если а+Ь=с в поле Р, причем элементы а, 6, с входят и в Р', то и в Р' будет а+Ь=с. То же верно для отношения ab=c. Если поле Р расположено, то этим порождается расположение подполя Р'. Именно, считаем а>0 в Р' тогда и только тогда, когда а>0 в Р. Легко видеть, что свойства расположения IX и X (§ 9, опр. 1) будут в Р' выполнены, т. е. Р' будет расположенным полем. Также свойство расположения Р' быть архимедовским не зависит от того, рассматриваем ли мы Р' само по себе или как подполе поля Р. В самом деле, отношение пе>а для элементов е и а из Р' тогда и только тогда имеет место в Р', когда оно имеет место в Р (при условии совпадения порядка). В этом смысле понятия, введенные в главе II, являются абсолютными. Они не зависят от объемлющего поля. Понятия же данного параграфа, указанные выше, зависят от поля, в котором данные элементы рассматриваются, и в этом смысле эти понятия относительны. Так, отношение lim ап=а означает, что для любого элемента е>>0 из поля Р существует натуральное число п0 такое, что \ап—а|<е при любом п>п0. Определение фундаментальной последовательности также содержит упоминание любого элемента е>>0 поля Р. Но ведь запас этих элементов е зависит от выбора поля Р', значит, нет оснований ожидать, что если все элементы последовательности {ап} и а входят в подполе Р' поля Р, то смысл отношения lim ап =а и свойство фундаментальности последовательности {ап} в Р и в Р' будут совпадать. Ясно лишь, что из выполнения одного из условий в Р следует его выполнение в Р', ибо то, что верно для любого г>0 из Р и для данных элементов из Р', останется верным, в частности, и для любого г>0 из Р', но обратного заключить нельзя. Покажем на примере, что это действительно не так. Пусть Р — поле рациональных функций (т. е. алгебраических дробей) <——-, где f(x) и g (х) — многочлены с рациональными коэффициентами (точное определение будет дано в главе VIII). Считаем функцию f(x) положительной, если старшие коэффициенты многочленов f(x) и g(x) имеют одинаковые знаки; получим расположение поля Р. Оно не будет архимедовским, так как при любом натуральном п будет:

откуда пЛ<х. Итак, х больше всех рациональных чисел. Если а>0 рационально, то и а~!>0 рационально. Значит, а~1<.х.

Умножая на

найдем

Итак,

меньше всех положительных рациональных чисел. Поле Р содержит подполе Г

рациональных чисел. В Г последовательность <j— >, и=1, 2, 3, сходится к числу 0 и, значит, фундаментальна, но в поле Р будет:

при любом п. Значит, 0 уже не будет пределом этой последовательности. В Р она вообще не может иметь предела, так как не будет фундаментальной. В самом деле, при рфд, очевидно,

и рационально. Значит,

что в поле Р последовательность рациональных чисел {ап} фундаментальна тогда и только тогда, когда она становится стационарной, т. е. существует рациональное а и п0 такие, что ап=а при любом п>п0. Тогда, очевидно, lim ап =а. Таким образом, перенося операцию предельного перехода с поля Р на подполе Г, мы получим полное поле, хотя Г неполно в смысле данного выше определения 5.

Тем не менее в одном случае введенные в этом параграфе понятия остаются абсолютными.

Теорема 5. Для того чтобы понятия предела и фундаментальной последовательности в поле Р совпадали с теми же понятиями его подполя Р', необходимо и достаточно, чтобы расположение поля Р было архимедовским.

Доказательство. Если поле Р расположено неархимедовски, то существует элемент с такой, что п<С.с для любого натурального п. Так как поле рациональных чисел Г расположено архимедовски, то a<ic для любого рационального а. Тогда для а>0 и рационального, умножив обе части неравенства а<С.с на

найдем:

т. е.

где

любое рациональное положительное число. Тогда последовательность рациональных чисел в поле Г сходится к числу 0 и потому фундаментальна. Но та же последовательность в поле Р не является фундаментальной и потому не имеет предела. В самом деле, берем е=—>0. Тогда при

будет всегда

Это означает, что не существует числа п0 такого, что при любых рид, больших п0, выполняется условие

Необходимость доказана.

Пусть теперь поле Р архимедовски расположено. Покажем независимость свойства последовательности {ап} быть сходящейся или фундаментальной от подполя Р', содержащего элементы ап и (для случая сходимости) предел a=lim ап. Из выполнения этих свойств в поле Р следует их выполнение в Р'. Обратно, пусть, например, lim ап=а в Р'. Покажем, что то же будет и в Р. Берем любой элемент е>0 из Р. Так как Р архимедовски расположено, то существует натуральное

откуда

Число г>0 входит в любое подполе поля Р, а значит, и в Р\ Так как в Р' дано lim ап=а, то существует натуральное п0 такое, что |яд — а|<в'<е при любом п>п0. Это значит, что lim ап =а также и в поле Р. Теорема доказана.

Определение 6, Полное, архимедовски расположенное поле называется непрерывным.

В непрерывном поле задачи об отношении отрезков и извлечении корня из положительного элемента всегда разрешимы. К задаче об извлечении корня мы еще вернемся в § 30. Скажем несколько слов об отношении отрезков. Если бы нам удалось расширить поле рациональных чисел Г до непрерывного поля Р, то по последней теореме последовательности рациональных чисел {ап} и {Ьп}, построенные выше для данных отрезков AB и MN, были бы фундаментальными не только в Г, но и в Р. Так как поле Р полно, то они имели бы общий предел с [теорема 2, а)]. Элемент с по определению можно принять за отношение данных отрезков, т. е. считать, что MN : АВ=с или MN =с-AB. Это новое определение отношения в случае соизмеримых отрезков согласуется, как выше показано, с прежним определением (см. конец § 26). Но в то время как прежнее определение годилось лишь в этом случае, новое определение давало бы определенный элемент поля Р для любых отрезков независимо от их соизмеримости. В этом смысле задача об отношении отрезков разрешима в непрерывном поле Р. Мы рассмотрели эту задачу лишь для иллюстрации важности понятия непрерывного поля и не можем остановиться на этой геометрической задаче подробнее.

Заметим уже без доказательства, что определенное выше отношение отрезков обладает всеми нужными свойствами. Именно,

для любых отрезков AB и CD и любых элементов С>0 и d>0 непрерывного поля Р:

Далее, для любого отрезка AB и любого элемента £>0 из Р существует отрезок MN такой, что MN : AB =с.

К задаче о длине отрезка сводится задача о длине окружности. Мы строим две последовательности правильных многоугольников (вписанных и описанных) путем удвоения числа сторон. Зная отношение отрезков, мы можем найти периметры ап и Ъп п-то вписанного и и-го описанного многоугольников. Известными из школы рассуждениями можно показать, что a1<Cû2<C . . . и bi>b2>. . . . Далее, ап<Ьп и lim (bn — ап)=0. Отсюда легко вывести, что обе последовательности {ап} и {Ьп} элементов поля Р фундаментальны и в силу полноты поля Р имеют в нем общий предел с. Элемент с поля Р по определению принимается за длину окружности. Аналогично определяется длина дуги данной окружности. Можно показать, что длина дуги заключена между нулем и длиной окружности с и, обратно, для каждого элемента с' поля Р такого, что 0<^с <Сс, можно найти дугу данной окружности длины с . В этом смысле задача о длине дуги окружности также решается в непрерывном поле Р.

В следующем параграфе мы увидим, что непрерывное поле и будет полем действительных чисел.

Задача 1. Если последовательность {ап} элементов поля р сходится, причем а≠ при любом п и lim aR 0, то

Задача 2. Подпоследовательностью данной последовательности {а^} элементов множества m называется последовательность где {nk} является возрастающей последовательностью натуральных чисел, т. е. обладает свойством: если k < /, то пк < nL\ на языке функций это означает, что если данная последовательность есть функция / (п) = а , то подпоследовательность будет функцией h (k) = f lg(k)] = ag{ank\(k), где g (k) = nk — возрастающая функция натурального числа /г, значения которой также являются натуральными числами. При различном выборе функции g(k) = nk получим различные подпоследовательности данной последовательности. Доказать, что любая подпоследовательность сходящейся последовательности {ап} элементов поля р сама сходится и притом к тому же пределу, т. е.

§ 29. Определение поля действительных чисел

В поле рациональных чисел Г не всегда выполнима операция предельного перехода для фундаментальной последовательности, т. е. поле Г не является полным (§ 28, теорема 4). Следуя общему плану расширения числовых совокупностей, намеченному в

§ 19, мы расширим поле Г до нового поля Z), в котором было бы определено расположение и любая фундаментальная последовательность имела бы предел. При этом мы хотим, чтобы не всегда выполнимая в Г операция предельного перехода для фундаментальных последовательностей в новом поле D для тех же последовательностей из Г была бы уже выполнима. Значит, фундаментальные последовательности из Г должны оставаться фундаментальными же и в D. Это значит, что D должно быть полным и архимедовски расположенным полем (§ 28, теорема 5). Иными словами, поле D должно быть непрерывным. Как и в случае целых (§ 21) и рациональных (§ 25) чисел, мы ищем минимальное расширение с нужными свойствами. Однако окажется, что условие минимальности будет выполнено само собой, так как поле непрерывностью определено уже однозначно до изоморфизма. Поэтому требование минимальности включать в определение было бы излишним. Так мы приходим к определению.

Определение 1. Полем действительных чисел называется непрерывное поле D, содержащее в качестве подполя поле рациональных чисел Г. Элементы поля D называются действительными числами.

Доказательство существования и единственности поля D, удовлетворяющего этому определению, проходит аналогично случаю кольца целых чисел (§ 21) и поля рациональных чисел (§ 25). Начнем с доказательства единственности.

Теорема 1. Расположенное поле Р, содержащее поле рациональных чисел Г*, архимедовски расположено тогда и только тогда, когда каждый элемент поля Р равен пределу последовательности рациональных чисел.

Доказательство, а) Пусть элемент а поля Р равен пределу последовательности рациональных чисел {ап}. Тогда существует натуральное число k такое, что \ak — а|<1. Отсюда

Так как l+|aÄ| — рациональное число и поле рациональных чисел архимедовски расположено, то существует натуральное число п такое, что i+\ak\<.n. Тогда а<С.п, т. е. поле Р архимедовски расположено (§9, ХГ). Заметим, что мы не использовали здесь то, что lim ап =а в поле Р, а лишь то, что существует (хотя бы одно) натуральное k, для которого \ah — a|<Cl (или любого рационального е>>0), но не любого е>>0 из Р.

б) Пусть поле Р архимедовски расположено. Тогда для любого элемента а из Р и любого натурального числа п существуют натуральные числа т{ и т2 такие, что

* Условие р > Г можно здесь и ниже опустить, заменив рациональные числа на рациональные элементы поля р (§ 26, теорема 2).

Значит, множество А тех целых чисел /, для которых - ^ а„ ограничено сверху числом тх и непусто, ибо содержит целое число —т2. Поэтому множество А содержит наибольшее число m (§ 22, теорема 5). Тогда, очевидно,

Вычтя из всех частей неравенства число

найдем:

Положим

и покажем, что

Для любого е>>0 из Р существует натуральное п01> — , откуда

при любом п>п0. Это и значит, что lim ап=а в поле Р.

Заметим, что проще было бы применить теоремы 5 и 6 из § 26 и доказать даже, что любой элемент поля Р равен пределу /г-рациональных чисел, но мы не хотели использовать гс-рациональных чисел там, где они не нужны по существу дела.

Теорема 2. Все поля действительных чисел изоморфны, т. е. поле действительных чисел определено однозначно до изоморфизма.

Точнее, если Di и D2 — два поля действительных чисел, то существует только одно изоморфное отображение Di на D2, сохраняющее отношения порядка. При этом изоморфизме рациональные числа остаются на месте. В частности, существует только одно изоморфное отображение поля действительных чисел на себя, сохраняющее отношения порядка, а именно тождественное. (В силу теоремы 2 из § 26 данная теорема остается справедливой для любых непрерывных полей с заменой рациональных чисел рациональными элементами.)*

Доказательство. Строим отображение / поля Dx на поле D2 следующим образом. Пусть d\ — любой элемент поля Dх. Так как Di архимедовски расположено, то по теореме 1 имеем =lim ап с рациональными ап. Значит, последовательность {ап} фундаментальна bDj, а потому и в его подполе Г. Так как r<cD% и D2 архимедовски расположено, то последовательность {ап},

* В § 30 мы увидим, что ограничение изоморфизмами, сохраняющими отношения порядка, можно отбросить, так как поле действительных чисел допускает единственное расположение.

фундаментальная в Г, будет фундаментальной и в D2 (§28, теорема 5). Так как D2 полно, то lim an=d2 в D2.

Мы положим f(di)=d2. Покажем, что элемент d2 не зависит от выбора последовательности рациональных чисел {ап}. Если еще limbn=di с рациональными 6П, то lim ап =lim bny откуда lim (ап — Ьп) =0 [§28, теорема 2, а)] в ölt a следовательно, и в Г. Рассуждая, как выше, мы найдем, что в поле D2

Если di — рациональное число, то lim an=du где an=d{ при любом /г. Значит, f(di)=dii т. е. отображение / оставляет на месте рациональные числа.

Если

то

т. е.

Итак, отображение / является взаимно однозначным отображением поля Di в поле D2. Оно зависит от определения предела в Di и D2, а потому зависит от отношений порядка в этих полях.

Покажем, что / есть изоморфное отображение Dt в Z)2. Надо показать, что для любых элементов с{ и di ш D t будет:

Это легко следует из теоремы 2, б) и в) § 28. Именно, если

то, применяя определение отображения /, имеем:

Аналогично доказывается второе равенство.

Покажем, что отображение / сохраняет отношение порядка. Пусть Ci<ßi в поле bt и Ci=liman, di=lim&n. Тогда существует пп такое, что an<Jbn при любом п>пп [§28, теорема 2, д)] и, значит,

Но из Ci=£di следует

Значит,

Покажем, что / является единственным изоморфным отображением поля Di в поле D2, сохраняющим отношения порядка. Пусть g — другое отображение такого рода. При изоморфизме g поле рациональных чисел Г, содержащееся в Du отобразится изоморфно на поле рациональных элементов поля D2y причем

рациональное число г перейдет в элемент re, где е — единица поля D2 (§26, теорема 2). Но D2 содержит Г, т. е. е=1, re=r-l=r. Значит, g(r)=r для любого рационального г. Так как отображение g отлично от /, то существует элемент di из поля Di такой, что

Найдем рациональное число с, лежащее между а2 и Ь2. Пусть, например, а2<Ь2. Рассуждая, как в доказательстве теоремы 1, пункт б), найдем сначала натуральное п такое, что

а затем целое число m такое, что

Если

то получим:

Так как c=f(c) и /, по доказанному, сохраняет отношения порядка, то из f(di) =а2<С.с следует di<Cc. Так как g (с) =с и g также сохраняет порядок, то

что противоречит построению числа с.

До сих пор мы не использовали полноты поля Di. Значит, все доказанное выше верно для любого архимедовски расположенного поля Di. Нам осталось доказать, что построенное отображение / является отображением поля Di на все поле D2. Для этого нужна полнота поля D\. Надо для любого элемента d2 из D2 найти di из D{ такой, что f(di)=d2. Так как D2 архимедовски расположено, то по теореме 1 будет d2=\im ап с рациональными ап. Последовательность {ап}, фундаментальная в D2, будет фундаментальной в T<D2, а по-архимедовски Di — и в Di>t. Так как Di полно, то существует di =lim ап в Di. По определению / тогда f(di)=d2. Теорема доказана.

Теорема 3. Любое архимедовски расположенное поле Р изоморфно некоторому подполю поля действительных чисел D. Существует лишь одно изоморфное отображение Р в D, сохраняющее отношения порядка. В частности, поле Р только одним способом, а именно тождественно, может быть изоморфно и с сохранением порядка отображено само на себя*.

* В отличие от теоремы 2 условие о сохранении порядка здесь опустить нельзя. В самом деле, пусть Р — поле всех чисел вида a+bV^2 с рациональными а и Ь. Отображение а+Ъ >^2<->a—Ь У~2 изоморфно относительно сложения и умножения и отлично от тождественного. Но оно не сохраняет порядок, заданный в поле Р как подполе поля действительных чисел, ибо

Доказательство. Поле Р изоморфно и с сохранением порядка отображается на расположенное поле Q, содержащее поле действительных чисел. Так как Р архимедовски расположено, то то же верно для Q. Для поля Q теорема доказана попутно при доказательстве теоремы 2, если заменить там Dt на Q, так как везде, кроме последнего абзаца доказательства, мы не пользовались полнотой поля D{. В силу изоморфизма Р и Q теорема верна также для поля Р.

Итак, если поле действительных чисел D существует, то до изоморфизма только одно. Переходим к доказательству его существования. Как и в случае целых и рациональных чисел, достаточно построить одно поле (одну интерпретацию поля), удовлетворяющее определению 1. Существует несколько приемов построения такого поля. Мы приведем построение Кантора как наиболее естественно вытекающее из принятой нами формы определения непрерывного поля (§ 28, опр. 6). В литературе чаще встречается построение Дедекинда, пожалуй, более краткое*.

Конструкция одного из изоморфных полей действительных чисел подсказывается теоремой 1. Ведь если и D — искомое поле, то каждый элемент поля D равен пределу фундаментальной последовательности рациональных чисел и любая такая последовательность должна иметь предел в D в силу его непрерывности.

За исходный элемент построения поля действительных чисел D мы принимаем фундаментальную последовательность аи а2, ...={аЛ} рациональных чисел, т. е. последовательность, обладающую таким свойством: для любого рационального числа е>0 существует натуральное число п0 такое, что \ар—ад\<.е, при любых рид, больших п0 (§ 28, опр. 4).

Пусть M — множество всех таких последовательностей. Определяем отношение эквивалентности, сложение и умножение последовательностей из M так, чтобы им соответствовали равенство, сложение и умножение элементов искомого поля Z>, равных пределам этих последовательностей [§ 28, теорема 2, а), б), #)], a именно:

(1)

тогда и только тогда, когда

(2) (3)

Надо, конечно, доказать, что условия (2) и (3) действительно определяют операции в множестве М, т. е. что последовательности в правых частях этих равенств снова являются фундаментальными.

* Прекрасное изложение построения Дедекинда дано в книге А. Я. Хинчина «Восемь лекций по математическому анализу», Гостехиздат, 1943.

В случае сложения берем рациональное число е>0. Так как {ап} и {Ьп} фундаментальны, то существуют натуральные числа пi и п2 такие, что

при любых р, q>nx и

при любых р, q>n2. Если п0 — большее из чисел пх и тг2, то

при любых р, q>nQl т. е. последовательность {ап+Ьп} фундаментальная.

В случае умножения сначала докажем, что любая фундаментальная последовательность {сп} ограничена (§ 28, опр. 2). В самом деле, существует п0 такое, что

при любых р, q>nQ. Тогда

при любом п>п0. Беря рациональное число с, большее всех чисел

(например, сумму всех этих чисел плюс 1), получим \сп\<с при любом п.

Значит, существуют рациональные числа а и b такие, что

при любом п. Пусть дано рациональное число е>0. Существуют натуральные числа п{ и п2 такие, что

при любых p>rii и q>nx и

при любых р>п2 и q>n2. Если п0 — большее из чисел пх и п2> то

при любых р>п0 и q>n0. Значит, последовательность {апЬп} фундаментальная.

Последовательность {ап} из M назовем положительной, если существуют рациональное число е>0 и натуральное число п0 такие, что ап>г при любом п>п0.

Отношение эквивалентности последовательностей (1) обладает основными свойствами равенства (§ 20). Именно:

ибо если

то также [§ 28, теорема 2,6)1

По теореме из § 20 это отношение определяет разбиение множества M на классы эквивалентных последовательностей. Будем обозначать эти классы малыми греческими буквами а, ß, у» о» •••

Определение 2. Пусть D0 есть множество всех классов эквивалентных последовательностей множества М. Суммой (произведением) двух классов а и ß назовем тот класс a+ß (соответственно aß), который содержит сумму (произведение) последовательности класса a и последовательности класса ß. Класс a назовем положительным, если последовательность этого класса положительна.

Покажем, что сумма, произведение и свойство класса быть положительным не зависят от выбора представителей данных классов.

Пусть

Тогда откуда

Так как последовательность {сп} фундаментальна, то она ограничена. Поэтому существует рациональное число с>0 такое, что \сп\<с при любом п. Пусть теперь дано рациональное число е>0.

Существует п0 такое, что

при любом п>п0. Тогда

при любом ri>nQ. Значит,

т. е.

Применяя доказанное и очевидную коммутативность умножения последовательностей, находим:

Наконец, если последовательность {ап} положительна и {ап}^{Ьп}, то существуют рациональное е>>0 и натуральное nt такие, что {ап}>г при любом п>п{. Далее, для данного е существует п2 такое, что

при любом п>п2. Если п0 — большее из чисел дгь п2, то, применяя свойство абсолютных величин [§ 9, (3)], находим:

при любом п>п0. Значит, последовательность {Ьп} также положительна.

Итак, определение 2 действительно вводит в множестве Dq, операцию сложения и умножения, и положительность класса из DQ определяется любой из его последовательностей.

Теорема 4. Множество D0 при операциях сложения и умножения и определении положительности, указанных в определении 2, является непрерывным полем (§28, опр. 6).

Доказательство. Нужно проверить выполнение в Z)0 всех свойств I — XII (см. § 6, опр. 2; § 7, опр. 1; § 9, опр. 1 и 3; § 28, опр. 5). Так как операции (2) и (3) над последовательностями определены через операции над их элементами, то из выполнения свойств кольца I — VI для рациональных чисел следует их выполнение для множества M, а потому и для множества D0~ Итак, M и DQ — кольца.

Выясним, какой смысл имеют в кольце D0 нуль и противоположный элемент. Очевидно, что нулем в D0 будет класс, содержащий фундаментальную последовательность {0} — 0, 0, 0, ... Мы его обозначим через (0). Этот класс состоит из всех последовательностей {ад}, эквивалентных {0}, т. е. таких, для которых lim ап =0. Мы будем называть их нулевыми последовательностями. В самом деле, любая последовательность класса (0) эквивалентна {0} и потому нулевая. Обратно, любая нулевая последовательность как сходящаяся будет фундаментальной и эквивалентной {0}, а потому принадлежит классу (0).

Класс — а, противоположный классу а, содержащему последовательность {ап}, содержит, очевидно, последовательность {—ад}, противоположную {ад}, и все последовательности, эквивалентные {—ап). Из ап—Ъп =— [ (—ап)— (—Ьп)] легко следует, что если {ап}^{Ьп}, то {—ап}^{—Ьп} и обратно. Таким образом, класс —а состоит из всех последовательностей, противоположных последовательностям класса а.

Свойство VII поля уже не следует, как выше I — VI, прямо из аналогичного свойства чисел. В самом деле, если не все члены последовательности {ап} из M равны нулю, то последовательность {ап} отлична от последовательности {0}, являющейся нулем кольца М. Но если еще at=0, то уравнение {ап}• {хп} ={Ьп} при Ь^фО не разрешимо. Значит, кольцо M не является полем. Тем не менее кольцо D будет полем. Пусть а и ß — классы из D0, причем а=^(0). Берем {ап} из а, {Ьп} из ß. Существуют рациональное число а>0 и натуральное п{ такие, что |ап|>а при любом п>пх. В самом деле, иначе, используя фундаментальность {ап}, для любого е>0 найдем р такое, что

при любых п>р и q>р. Затем берем q>p такое, что Тогда получим:

при любом п>р. Отсюда

что невозможно, так как последовательность {ап} принадлежит классу аФ (0).

Без ограничения общности можно считать ап≠0 при любом п. В самом деле, в силу того что \ап\>а>0 при любом п > п t, лишь конечное число членов ап (при п^п^) может равняться нулю. Заменяя их любыми рациональными числами, отличными от нуля, получим, очевидно, последовательность, эквивалентную {ап}, т. е. принадлежащую классу а и не имеющую членов, равных нулю.

Покажем, что последовательность {сп} =<-?> является фундаментальной. Последовательность как фундаментальная, ограничена. Значит, существует рациональное число b такое, что \bn\<Cb при любом п. Пусть дано рациональное е>0. Так как последовательности {ап} и {Ьп} фундаментальны, то существуют натуральные п2 и nt такие, что

при любых р>п2 и q>n2 и

при любых р5>я8 и q>nt. Пусть л0—наибольшее из чисел пи п2 и ns. Тогда

при любых р>п0 и q>n0. Значит, последовательность {сп} = действительно фундаментальна.

Пусть у — класс, содержащий последовательность {сп}. Из

следует ay=ß» чем свойство VII доказано.

Свойство VIII выполнено, ибо D0 содержит, очевидно, более одного элемента.

Докажем выполнение в D0 свойства IX (§9, опр. 1). Надо показать, что для любого класса а имеет место один и только один из трех случаев: а положителен, —а положителен, а = (0). Пусть ни а, ни —а не положительны. Берем последовательность {ап} класса а и рациональное число е>0. В силу фундаментальности {ап} существует п0 такое, что

при любых р>п0 и q>n0. Так как класс а не положителен, то существует г > п0 такое, что ar^ -g-. Так как —а не положителен и содержит последовательность {-— ап}, то существует s > п0 такое, что ^огда иРи ЛК)б°м п > по будет одновременно:

Поэтому |а„|<е при любом п> л0, т.е. lim ап= О, откуда а = (0).

Итак, один из трех указанных выше случаев обязательно имеет место. Если класс а положителен, то существуют рациональное а > 0 и п0 такие, что ап> а, —ап<С—а при любом п> п0. Этим исключается, как lim ап=0, т. е. а = (0), так и положительность класса —а. Аналогично показывается, что положительность —а исключает два других случая. Этим уже доказано, что все три случая несовместимы, т. е. свойство IX выполнено.

Свойство X выполнено, так как сумма и произведение положительных последовательностей, очевидно, снова положительны.

Итак, доказано, что/)0 — расположенное поле. Значит, считая а> ß, если а — ß положительный класс, введем в D0 порядок, при котором положительные элементы и только они будут больше нуля (§ 9, теорема 1).

Легко видеть, что единицей поля D0 будет класс, содержащий последовательность {1} =1,1, 1, ... и все последовательности {ап}, ей эквивалентные, т. е. такие, для которых liman=l. Будем обозначать этот класс через (1).

Покажем, что в ö0 выполнена аксиома Архимеда XI (§ 9, опр. 3). Пусть класс а содержит последовательность {ап}. Выше мы показали, что фундаментальная последовательность ограничена. Поэтому существует рациональное число а такое, что \ап\<.а и потому а—ад> 0 при любом гг. Так как в поле рациональных чисел аксиома Архимеда выполнена (§ 26, теорема 3), то существует натуральное число k > а + 1.Тогда k — ап> 1 при любом п. Значит, класс fe« (1) — а положителен, т. е. k - (1) > а. Отсюда в поле D0 выполняется аксиома XI (см. § 9, опр. 3 и ниже).

Наконец, покажем, что в D0 выполнена аксиома полноты XII (§ 28, опр. 5). Заметим сначала, что если класс а содержит последовательность {ап}, где ап^ О при любом п, большем некоторого натурального числа лг0, то а ^(0), так как, очевидно, неравенство а <С(0) невозможно. Поэтому если а содержит {ап} и ß содержит {Ьп}, то из ап^ Ьп при любом п > п0 следует а ^ ß. Аналогично тому, как классы, содержащие последовательности {0} и {1}, мы обозначили через (0) и (1), мы теперь для любого рационального числа а обозначим через (а) класс, содержащий последовательность {а} = а, а, а, ... Такие последовательности, все члены которых равны, мы будем называть стационарными. Очевидно, что соответствие а -+(а) является изоморфным отображением поля Г рациональных чисел на множество Г' всех классов, содержащих стационарные последовательности. Значит, Г" также является полем (§ 8, теорема 2).

В поле Z)0, как в любом архимедовски расположенном поле, определены понятия предела и фундаментальной последовательности, не меняющие смысла при переходе к подполю (§ 28, опр. 3 и 4 и теорема 5).

Покажем, что если класс а содержит последовательность {ап}, то lim (ап) = а. Пусть е > (0) — элемент поля DQ1 содержащий

последовательность {еп}. Тогда существуют рациональное число е > 0 и натуральное m такие, что еп> е при любом п> т. Значит, е ^{е). Берем рациональное число е' такое, что е > г > О (например, г =-^-). Тогда (е')<С(е) ^е. Так как последовательность {ап} фундаментальна, то существует натуральное п0 такое, что \ар—ад\ <Се' при любых р> п0и q > п0. Поэтому для данного п > п0 будем иметь:

при любых р > п0 и q > п0". Переходя при данном п от последовательностей к содержащим их классам, по доказанному выше получим:

Откуда

при любом п > nQ, а это и означает, что

Мы доказали, что любая фундаментальная последовательность элементов (ап) подполя Г' имеет предел в D0. Отсюда уже не трудно вывести полноту поля D0. Пусть {ап} — любая фундаментальная последовательность элементов поля D0. Так как по доказанному каждый класс ап равен пределу классов из подполя Г\ то для данного п существует элемент (ап) из Г; такой, что

Покажем, что последовательность {(ап)} фундаментальна. Пусть е> (0) — любой элемент DQ. Как было показано выше, из аксиомы Архимеда вытекает, что существует рациональное число е > 0 такое, что (е) < е. Существует натуральное

Далее, в силу фундаментальности {ап} существует натуральное п2 такое, что

при любых р > п2 и q > п2. Если тг0 большее из чисел п{ и п2, то

Из изоморфизма полей Г и Г' (сохраняющего, очевидно, отношения порядка) следует, что последовательность {ап} рациональных чисел сама фундаментальна. Пусть а — класс из Z)0, содержащий {ап}. Выше доказано, что lim(an)=a. Но

В самом деле, для любого е > 0 из D0 берем рациональное е > О такое, что (е) <е, и натуральное п0 такое, что —<je. Тогда

при любом п > п0. Значит, последовательность {an} также сходится и притом

Этим доказано свойство XII, а значит, и теорема 4.

Поле D0 до изоморфизма и является полем действительных чисел. Однако оно не содержит поля рациональных чисел Г, от которого мы отправлялись при его построении. Ведь элементами поля D0 являются классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, но отнюдь не сами рациональные числа.

Но выше мы видели, что D0 содержит подполе Г' классов, содержащих стационарные последовательности, изоморфное Г. Поэтому существует поле Z), содержащее поле Г в качестве подполя и изоморфное (относительно сложения и умножения) полю D0 (§8, теорема 3). Перенесем отношения порядка с D0 на D при помощи данного изоморфного отображения / поля D на D0. Именно элемент с? поля D будем считать положительным, если соответствующий ему элемент f(d)=d0 поля D0 положителен. Тогда поле D будет расположено и данный изоморфизм / сохраняет отношения порядка. Порядок D порождает порядок его подполя Г, совпадающий с определенным прежде для рациональных чисел, ибо поле Г вообще допускает единственное расположение (§ 26, теорема 1). При изоморфизме полей D и D0 поле Г изоморфно отображается на некоторое подполе Г" из D0. Но так как Г изоморфно Г' и Г допускает единственное изоморфное отображение в DQ (§26, теорема 2), то Г"=Г" и при изоморфизме D и D0 рациональному числу a из Г соответствует класс (а) из Г'.

Из сохранения отношений порядка при изоморфизме D и D0 следует сохранение всех свойств расположения, в частности, выполнение аксиомы Архимеда, фундаментальности и сходимости последовательностей и полноты. Значит, из непрерывности поля D0 следует непрерывность поля D.

Итак, поле действительных чисел D построено. Его элементами, т. е. действительными числами, являются, во-первых, все рациональные числа и, во-вторых, классы эквивалентных и не

имеющих рационального предела фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Из свойств поля D0 вытекает, что любая фундаментальная последовательность {ап} рациональных чисел имеет своим пределом в D либо рациональное число, либо тот класс, которому принадлежит данная последовательность {ап}.

Возникает вопрос о том, насколько мы исчерпали возможности построения новых полей данным методом. В частности, что получится, если к полю D вновь применить конструкцию Кантора? Оказывается, что новое поле будет уже изоморфно полю D, т. е. само будет полем действительных чисел. В этом смысле возможности указанного метода исчерпаны до конца. Это следует из такой общей теоремы.

Теорема 5. Если к любому архимедовски расположенному полю Р применить построение нового поля с помощью фундаментальных последовательностей элементов поля Р (вместо поля рациональных чисел), то получится поле Q, изоморфное полю действительных чисел D.

Доказательство. При доказательстве теоремы 4 мы пользовались только тем, что поле рациональных чисел Г архимедовски расположено. Значит, все доказательство проходит дословно также и для поля Р. Поэтому полученное таким путем поле Q непрерывно и по теореме 2 из § 26 изоморфно (относительно операций и порядка) расположенному полю Ö, содержащему в качестве подполя поле рациональных чисел Г. В силу изоморфизма полей Q и D поле D также непрерывно и, значит, является полем действительных чисел. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает, что поле действительных чисел D можно получить той же конструкцией не только из поля рациональных чисел, но из любого подполя поля Z).

Задача. Доказать, что архимедовски расположенное поле Р, содержащее поле рациональных чисел Г, будет полным тогда и только тогда, когда каждая фундаментальная последовательность из Г имеет предел в р.

§ 30. Свойства действительных чисел

Поле действительных чисел благодаря его непрерывности служит фундаментом для всего математического анализа и для приложений математики в технике.

Поле действительных чисел D обладает всеми свойствами расположенных полей, доказанными в главе II. Так, сумма и произведение нескольких действительных чисел не зависят от распределения скобок и порядка этих чисел (§6, теоремы 1, 2). Любую алгебраическую сумму можно представить в виде обычной суммы (§ 6, теорема 7). Верны обычные правила законов при раскрытии скобок (§6, теорема 8) и при умножении [§6,(17)1. Отсутствуют делители нуля, т. е. произведение тогда и только тогда равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю (§ 6, опр. 6,

теорема 10; § 7, теорема 6). Имеют смысл понятия положительного и отрицательного числа (§ 9, опр. 1) и вводится порядок, при котором нуль меньше всех положительных и больше всех отрицательных чисел (§ 9, теорема 1). Справедливы закон монотонности и обычные правила оперирования с неравенствами (§ 9, теоремы 2—4). Квадрат любого числа, кроме нуля, положителен (§ 9, теорема 7). Имеет смысл понятие абсолютной величины (§ 9, опр. 2), причем абсолютная величина обладает обычными свойствами и верны обычные правила сравнения и оперирования над числами через сравнение и оперирование над их абсолютными величинами (§ 9, теорема 8 и следующие за ней замечания).

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Переходим к задаче об извлечении корня из любого действительного числа. Решение этой задачи мы получим, рассмотрев гораздо более общую задачу о нахождении значения аргумента, при котором непрерывная функция принимает данное значение. Понятие о непрерывной функции, связанное с понятием предела последовательности, играет основную роль во всем математическом анализе.

Общее понятие функции нам уже известно (§ 3, опр. 1). Здесь мы будем рассматривать лишь функции, связанные с полем действительных чисел.

Определение 1. Действительной функцией (или функцией действительного переменного y=f(x), заданной на множестве X действительных чисел, называется соответствие, сопоставляющее каждому числу х множества X одно определенное действительное число y=f(x). Число X называется значением аргумента, а у — значением функции при данном значении аргумента х.

Всюду в этом параграфе под функциями мы, не оговаривая этого, будем понимать действительные функции.

Определение 2. Функция у —j(x), заданная на множестве действительных чисел X, называется непрерывной в точке х0 множества X, если для любого действительного числа е>0 существует действительное число 6>0 такое, что из \x—x0\<cà следует \f(x) — /(х0)|<е для любого числа х множества X. Функция y=f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой его точке (т. е. для любого числа х0 из X)*.

Связь понятия непрерывности функции с понятием предела определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Функция /, заданная на множестве X, тогда и только тогда непрерывна в точке х0 из X, когда из условия

* Это определение сохраняет смысл для функции, заданной на множестве элементов расположенного поля, значения которой также принадлежат расположенному полю.

следует

для любой последовательности {хп} множества X. Функция f(x) тогда и только тогда непрерывна на множестве X, если из условия

следует

для любого числа х0 из X и любой последовательности {хп} чисел множества X.

Доказательство. Достаточно, очевидно, доказать часть теоремы, относящуюся к непрерывности в точке.

а) Пусть f(x) непрерывна в точке х0 и lim хп =х0. Берем любое число е>0. По определению непрерывности существует число ô>0 такое, что из \х—х0\<6 следует

для любого а: из X. По определению предела (§ 28, опр. 3) для этого числа ô существует натуральное число п0 такое, что \хп— —х0\<6 при любом п>п0. По выбору числа ô отсюда следует, что

при любом п>п0. По определению предела это значит, что

б) Пусть

для любой последовательности {хп} из X. Если функция f(x) не является непрерывной в точке хи, то существует число е>>0, для которого нельзя найти числа ô с требуемым в определении 1 свойством. Иными словами, при выбранном таким образом е для любого числа ô>0 существует число х множества X такое, что

Поэтому для любого натурального числа п существует число хп из X такое, что

(1)

(2)

при любом п.

Так как поле действительных чисел по определению архимедовски расположено (§ 29, опр. 1), то для любого действительного числа е0>0 существует натуральное п0>~. Тогда из (1)

находим:

при любом п>п0, т. е. По условию тогда также

что, очевидно, противоречит условию (2). Значит, f(x) непрерывна в точке х0.

Определим сумму, разность, произведение и частное двух функций f\(x) и /2(2;), заданных на множестве X, как функцию, сопоставляющую каждому числу х из X соответственно сумму, разность, произведение и частное значений данных функций в точке X, т. е. f(x) равно соответственно:

для любого числа х из X (в случае частного предполагается, что f2(z)¥=0 для любого X из X).

Из теоремы 1 и свойств предела [§ 28, теорема 2, б), в), г)] непосредственно следует:

Теорема 2. Сумма, разность и произведение двух функций /j и /2 непрерывных на множестве X, также непрерывны на множестве X'. Частное функций f{ и /2, непрерывных на множестве X, есть функция, непрерывная на множестве X' тех чисел х из Xf для которых /2 (х)фО.

Примеры непрерывных функций.

1. Функция f (х) — хк для любого целого числа k ^0 определена и непрерывна на множестве всех действительных чисел. В самом деле, при k = 0 / (х) = 1 при любом X и непрерывна, как любая константа, ибо |/ (х) — f (х0)\ = 0. Очевидно, непрерывна и функция / (х) = х. Применяя теорему 2, легко доказать непрерывность функции xk индукцией по k.

2. Из примера 1 и теоремы 3 индукцией по числу членов получаем непрерывность на множестве всех действительных чисел функции, заданной многочленом / (х) — а0 + а^х + ... + а>пхп с действительными коэффициентами а0, а4, а . Отсюда опять по теореме 2 получается непрерывность функции, заданной алгебраической дробью , где / (х) и g (х) — многочлены с действительными коэффициентами и притом на множестве X всех чисел X, для которых g {х)≠0. Обычно сами эти функции называются многочленами или алгебраическими дробями. В главе VIII мы придадим этим терминам другой смысл.

3. Функции sin X и cos х непрерывны на множестве всех действительных чисел. Функция tg х непрерывна во всех точках, где она определена, т. е. где cos X≠0. Функция ctg х непрерывна во всех точках, где sin z≠0. Чтобы доказать это, надо дать точное определение указанных функций. Любой угол а, как геометрическая фигура, определяет дугу круга радиуса г = 1. Так как поле действительных чисел непрерывно, то в нем существует число X, равное длине данной дуги. Это число х называется радианной мерой

угла а. Обратно, для данного числа х можно построить дугу длины х, а для нее центральный угол а. Тогда угол а будет иметь радианную меру х. Если ввести углы, большие 360°, и отрицательные углы, как это обычно делается, то можно установить взаимно однозначное соответствие между всеми действительными числами и всеми углами, при котором числу х соответствует угол а с радианной мерой х. Поэтому обычно под углом и понимают не геометрическую фигуру, а число, равное радианной мере угла. Тогда sin х определяется как функция, сопоставляющая любому действительному числу

X действительное число, равное отношению линии синусов к радиусу круга, при известном из школы соглашении о знаках. Так же определяются другие тригонометрические функции. Подчеркнем еще раз, что трудность принципиального характера при таком определении тригонометрических функций лежит в задаче об измерении дуг окружности, которая разрешима в поле действительных чисел, благодаря его непрерывности*.

Отметим, что соответствие между углами и их радианными мерами таково, что сумме углов а + ß соответствует сумма х + у их радианных мер и произведению act угла a на число а соответствует произведение ах радианной меры X угла a на то же число а. Отсюда можно вывести, что все тригонометрические формулы, доказанные для функций углов, остаются верными для функций от радианных мер этих углов.

Для доказательства непрерывности sin х убедимся, что

при любом действительном х. Так как

то достаточно рассмотреть числа х ^ 0, а так как

то достаточно рассмотреть числа х, для которых

Эти углы лежат в первой четверти. Очевидно, линия синусов равна половине хорды MN, стягивающей дугу MAN = 2 х (черт. 1). Но все ломаные, вписанные в дугу MAN, длиннее хорды MN. А потому длина 2х дуги MAN, как предел последовательности длин, вписанных хорд, не меньше длины хорды MN. Итак,

т. е.

Но X ^ 0 и sin X ^ 0. Поэтому

Черт. 1

* В курсах математического анализа дается другое определение этих функций (с помощью бесконечных рядов), не опирающееся на измерение дуг и на геометрию вообще.

Пусть дано действительное число е > 0. Положим Ô =—. Тогда, применяя формулу

и неравенство |cos а/ <: 1, находим, что из следует:

что и доказывает непрерывность функции sin х.

Непрерывность cos х доказывается аналогично или, проще, выводится из соотношения

Из непрерывности синуса и косинуса по теореме 2 следует непрерывность тангенса и котангенса во всех точках х, где они определены.

Из этих примеров видно, насколько широким является класс непрерывных функций. Для всех таких функций мы докажем следующее положение:

Теорема 3 (теорема о промежуточном значении). Пусть f(z) — функция, заданная и непрерывная на отрезке [а, Ь] (т. е. на множестве действительных чисел х, для которых а^х^Ь см. конец § 1). Пусть, далее, f(a)=a и /(6)=ß. Тогда для любого числа у, принадлежащего отрезку [а, ß] (при a^ß) или отрезку [ß, a] (при ß=^a), существует число с на отрезке [а, Ь] такое, что f(c)=y. Иными словами, функция, заданная и непрерывная на некотором отрезке, принимает на этом отрезке все значения, промежуточные по отношению к ее значениям в концах отрезка.

Доказательство. Если a = ß, то a = у = ß и можно положить с — а или с = Ъ.

Пусть a<ß (в случае ß<a доказательство аналогично). Если Y=ß, то можно положить с =Ь. Итак, пусть a^y<ß« Применим весьма распространенный метод деления отрезка пополам. Строим две последовательности действительных чисел {ап} и {Ьп}г принадлежащие отрезку [а, Ь] и обладающие свойствами:

(3)

(4)

(5)

для любого натурального числа п.

Положим aY=a, by=b. Если уже определены числа ап и Ьп отрезка la, b], то число

также принадлежит отрезку [а, 6],

и, значит, для этого числа функция / определена. Если

то положим: Если же то положим:

Этими условиями последовательности {ап} и {Ьп} однозначно определены (§ 15, теорема 1). Покажем, что выполнены свойства (3), (4), (5). Выполнение условия (4) непосредственно следует из определения чисел an+i и bn + i. Выполнение свойств (3) и (5) докажем индукцией по п. Так как a^y<ß> то эти условия выполнены при п=1. Пусть они выполнены для числа п, т. е.

Тогда по определению ап+1 и bn+i очевидно:

и

Из (4) вытекает, что если р<#, то ар^ад. Покажем, что {ап} есть фундаментальная последовательность. Так как поле действительных чисел архимедовски расположено, то для любого числа е>0 существует натуральное число п0 такое, что т^т^ ^- (§ 26, теорема 6), и, значит,

Тогда если р^д, то

при любых р>п0 и q>n0.

В силу полноты поля действительных чисел последовательность {ап} имеет предел с. Из (5) (снова применяя теорему 6 из ^ 26) легко находим, что lim (ап—&п) =0, а потому последовательность {Ьп} также сходится, причем lim ап =lim bn =с [§28, теорема 2, а)].

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то па теореме 1 находим:

Но из (3) получаем:

[§ 28, теорема 2, д)]. Значит,

что и требовалось доказать.

Из многочисленных приложений этой теоремы укажем лишь на извлечение корня и определение угла по значению синуса, что будет использовано в следующей главе.

Теорема 4. Для любого действительного числа а^>0 и любого натурального числа п существует одно и только одно действительное число Ь>0 такое, что Ъп= а. Иными словами,

а имеет одно и только одно положительное значение Ь. Если п четно, то этот корень имеет еще одно и только одно отрицательное значение —b с той же абсолютной величиной. Если а = О, то единственное значение корня будет {/а=0. Если а<0, то при нечетном п существует одно и только одно действительное значение корня и притом отрицательное, а при четном п в поле действительных чисел \/а значений не имеет.

Доказательство. Функция f(x) =х" задана и непрерывна на множестве всех действительных чисел, а значит, и на любом отрезке. Пусть а>0. Берем число с=а+1. Из с>1>0 следует сп~1^1 (знак «=» получим лишь при лг =1) и, значит, сп^ с > а. Применим теорему о промежуточном значении функции хп к отрезку [0, с]. Так как Оп<а<сп, то существует число b отрезка [0, с], для которого

Очевидно, Ь>0. Если также Ь'>0и Ь'фЬ, то при Ь''<& будет b'n<bn, а при Ъ'>Ъ будет Ъ'п>Ъп (§9, теорема 4), т. е. Ь'пфаг чем доказана единственность положительного значения у а. При четном п также

т. е. —Ь — другое значение корня. Если &'<;0 и Ь'ф—Ь, то при

откуда

Аналогично при — &<СЬ'<0 будет Ъ'п<а. Этим доказана единственность отрицательного значения —Ъ = \/а.

Если п нечетно, то у/ а отрицательных значений не имеет, ибо из 6'<;0 следует 6'"<сО<Са.

Если а=0, то ап=0=а. Других значений у/0 не имеет, ибо из Ъп =0 следует Ь =0, так как поле не имеет делителей нуля (§ 6, опр. 6; § 7, теорема 6).

Если а<с0 и п нечетно, то по доказанному выше существует одно и только одно число b и притом положительное, для которого Ьп = — а. Тогда

Если Ъ'ф — Ъ, то, как и выше, убедимся, что

Значит, Y а имеет единственное значение —Ъ.

Наконец, если а<0 и п четно, ю\/а не имеет значений в поле действительных чисел. В самом деле, так как поле действительных чисел является расположенным полем (§ 9, опр. 1), то для любого числа b должно быть Ь2^0 (§ 9, теорема 7). Поэтому Ьп =(Ьгу^0, т. е. Ьпфа.

Остановимся на разыскании угла по значению его синуса. Рассуждая, как выше, в примере 3, можно определить обратные круговые функции. Так, в случае aresin х можно для любого числа X (при условии —l^x^l) построить угол а (как геометрическую фигуру), для которого sin а=х. Угол а имеет определенную радианную меру у. Мы и считаем, что у ^aresin х, ибо s'my=x. Однако в курсах анализа доказывается, что обратную функцию для данной непрерывной функции при известных условиях можно построить всегда. В частности, обратные круговые функции можно определить, уже не обращаясь к геометрии. Мы не будем решать вопроса об определении обратной функции, а разберем лишь задачу об отыскании угла по значению его синуса.

Теорема 5. Для любого числа а отрезка [0,1] существует одно и только одно число b отрезка

такое, что a =sin 6.

Доказательство. Функция f(x) =sin х задана и непрерывна на множестве всех действительных чисел, а значит, на отрезке

Так как

то по теореме о промежуточном значении существует число отрезка

, для которого sin b =а. Для доказательства единственности числа b нам нужно то свойство синуса, что он возрастает с ростом угла от нуля до —. вто известно из тригонометрии и доказывается так: если

то большему углу соответствует и большая дуга, но

и для таких дуг большая дуга стягивается большей хордой. Половина хорды, стягивающей дугу длины 2я, является линией синусов угла х. Отсюда ясно, что sin Zt^sin х2. Если теперь Ъ'фЬ — другое число отрезка

то при b<J)' будет sin b<sin а при b' <Cb получим sin &'<Csin b. Значит, sin Ь'фа* Рассмотрим в заключение этого параграфа некоторые свойства поля действительных чисел, как непрерывно расположенного* поля.

Теорема 6. Поле действительных чисел D может быть расположено лишь одним способом (при сохранении операций сложения и умножения) и допускает лишь одно изоморфное (относительно сложения и умножения) отображение в себя, а именно: тождественное отображение на самого себя.

Доказательство. Пусть D — поле действительных чисел, расположенное обычным образом (§ 29, опр. 2 и ниже), и D' — поле, совпадающее с D по составу элементов и по операциям сложения и умножения, но расположенное произвольным образом. Из совпадения сложения следует, что нуль поля D будет нулем ив/)'. Далее, если а>0 в D, то по теореме 4 существует число b такое, что а=Ь2 в Z), а по совпадению умножения — и в С. Так как D' — расположенное поле, то его элемент а, как квадрат элемента Ь, положителен (§ 9, теорема 7), ибо афО, т. е. а > 0 во'. Если а <0 в D, то —а >0 во, а потому и в D\ т. е. а <0 также во'. Отсюда следует, что если а>0 в D',to а>0 и в /), ибо исключено а^О в D. Таким образом, а тогда и только тогда положительно в Z)', когда оно положительно в Ö, т. е. расположенное поле D' совпадает с D; поле D допускает лишь одно расположение.

Пусть X =f(x) — любое изоморфное (относительно сложения и умножения) отображение поля действительных чисел D на некоторое его подполе Р. Если число а>0, то а =Ь2, где 6=^=0. В силу свойств изоморфизма тогда

т. е. при изоморфизме / положительное число переходит в положительное.

Между двумя различными действительными числами а и b всегда лежит рациональное число с. В самом деле, пусть а <Ь» b — а>0. По аксиоме Архимеда существует натуральное число

тогда

Далее, существуют натуральные числа тх и m2l для которых

т. е.

Поэтому множество А тех целых чисел для которых k—>a, непусто (ибо содержит rat) и ограничено снизу числом — т2. Значит, оно содержит наименьшее число m (§ 22, теорема 5). Тогда

откуда

т. е. рациональное число — лежит между а и Ь.

При изоморфном отображении / поля D в себя поле рациональных чисел тождественно отображается на себя (§ 26, теорема 2). Если бы отображение / не было тождественным отображением поля D на себя, то существовало бы действительное число а такое, что ^(а)—Ьфа. Пусть, например, a <Cb. По доказанному существует рациональное число с такое, что a <Lc <&, откуда

Но

т. е. число с—а>0 перешло в число с—6<с0, что невозможно.

Кольцо целых чисел С мы определяли как минимальное кольцо, содержащее множество N натуральных чисел (§ 21, опр. 1). Поле рациональных чисел Г определялось как минимальное поле, содержащее кольцо целых чисел С (§ 25, опр. 1). Поле действительных чисел D можно было бы определить как минимальное непрерывное поле, содержащее поле рациональных чисел 1\

но в этом случае условие минимальности оказывается лишним, так как с точностью до изоморфизма существует вообще только одно непрерывное поле (§ 29, теорема 2). Тем не менее поле D обладает в некотором ином смысле свойством минимальности (а также и максимальности). Именно имеет место следующая теорема:

Теорема 7. Поле действительных чисел D является минимальным полным полем в том смысле, что любое его подполе, отличное от него самого, при сохранении расположения, данного в поле D, уже не является полным. Поле D является максимальным архимедовски расположенным полем в том смысле, что любое его надполе (§ 7, опр. 6), отличное от него самого, уже не может быть архимедовски расположено.

Доказательство. Пусть Р — полное подполе поля D (при совпадении отношений порядка для чисел из Р с их отношениями порядка в D). Берем любое число а из D. Существует последовательность {ап} рациональных чисел, сходящаяся к а (§ 29, теорема 1). Значит, последовательность {ап} фундаментальна в D, а так как Р содержит поле рациональных чисел Г (§ 26, теорема 2), то и в Р (§ 28, теорема 5). В силу полноты Р последовательность {ап} имеет предел b в Р. Но предел может быть только один (§28, теорема 1). Значит, а = Ь, т. е. а содержится в Р. Поэтому Р совпадает с D.

Пусть Р — архимедовски расположенное надполе поля D. Если считать число а из D положительным тогда и только тогда, когда оно положительно в Р, то получим некоторое расположение поля D. Но поле D можно расположить единственным образом (теорема 6). Значит, расположение поля D сохраняется при расширении его до поля Р. Пусть а — любой элемент из Р. Так как Р архимедовски расположено, то существует последовательность рациональных чисел {ап}, сходящаяся к а (§ 29, теорема 1). Значит, эта последовательность фундаментальна в Р, а потому и в D (§ 28, теорема 5). В силу полноты D последовательность {ап} имеет предел b в D. По единственности предела а = Ь, т. е. а принадлежит D. Таким образом, Р совпадает с D. Теорема доказана.

§ 31. Запись чисел десятичными дробями

Оперировать действительными числами как классами эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел (в случае иррациональных чисел) практически неудобно ввиду громоздкости такого изображения. На практике обычно применяется более простая и наглядная запись действительных

чисел по десятичной системе счисления, на которой мы остановимся подробнее*.

Всем известную запись чисел по десятичной системе счисления формально можно определить так (если объединить запись целых чисел с конечными десятичными дробями и отбросить сократимые десятичные дроби):

конечной десятичной дробью называется запись

где р и q — целые числа, причем р^О^д, и все также целые числа, удовлетворяющие условиям:

При этом запятая после а0 ставится лишь в случае, когда за а0 еще следуют числа, т. е. когда q> 0. Условие б) исключает лишние нули перед целой частью, а условие в) — лишние нули после дробной части записи.

Говорят, что данной дробью записывается (или изображается) число

Бесконечной десятичной дробью называется последовательность целых чисел а^, записанная в виде

где числа ah удовлетворяют условиям а) для любого целого k^p и б), а вместо в) условию:

в') для любого натурального числа п0существует п>п0 такое, что апф0.

Если существует предел

то говорят, что данная бесконечная дробь записывает (или изображает) число ±а, и пишут также

Таким образом, положительное число, записанное бесконечной дробью, равно пределу чисел, записываемых конечными дробями.

* Все сказанное ниже о десятичной системе остается верным для и-ичной системы счисления, где п > 1 — любое натуральное число. Разница лишь в том, что вместо десятично-рациональных чисел надо применять числа п-рациональные (см. опр. в § 2(3).

То же легко доказать для отрицательного числа. Именно, если

то

Это следует из общего свойства предела lim (—сп)=—lim сп, которое мы и докажем. Положим dn=—1. Тогда и limdn=—1, и мы получаем:

[§ 28, теорема 2, в)].

Бесконечная десятичная дробь

называется периодической, если существуют целое число п0 и натуральное число / такие, что ап =ап +1цля любого п>п0.

Теорема. Десятично-рациональные числа (т. е. числа вида т-10п с целыми тип, см. опр. § 26) и только они записываются конечными десятичными дробями и притом единственным образом. Любое действительное число, отличное от нуля, записывается бесконечной десятичной дробью и притом единственным образом. Обратно, любая бесконечная десятичная дробь записывает некоторое действительное число. Таким образом, сопоставляя каждому числу, отличному от нуля, его запись бесконечной десятичной дробью, мы получим взаимно однозначное отображение множества всех действительных чисел, не равных нулю, на множество всех бесконечных десятичных дробей. Рациональные числа, отличные от нуля, и только они записываются периодическими дробями.

Доказательство. Так как из записи числа а конечной или бесконечной дробью получается запись числа —а простым изменением знака, стоящего перед дробью, то достаточно доказать теорему лишь для неотрицательных чисел.

Сначала докажем существование указанной в теореме записи чисел десятичными дробями. Для числа 0 запись конечной десятичной дробью будет просто 0. Эта запись получается из данного выше определения при р = q = а0 = 0.

Пусть дано действительное число а>0. Так как поле действительных чисел D по определению архимедовски расположено и содержит поле рациональных чисел Г, то к нему применимы теоремы 5 и 6 из § 26 об дг-рациональных числах. Берем и =10. Тогда для любого целого числа k существует целое число mk такое, что

(мы применяем теорему 5 из § 26 для числа —k). Положим:

Тогда bh и ch будут десятично-рациональными числами со следующими свойствами:

(2)

для любого целого числа k. Из k<S следует:

(3)

В самом деле, если

то ввиду 10 *>0 должно быть mk<0, а так как тд — целое число, то

что противоречит (1). Значит, bk^0. Но тогда (2) следует из (1). Пусть для данного целого числа k множество всех чисел вида m-10""* будет А д. Если k<l, то Ak содержится в Аг В самом деле, любое число из имеет вид:

и должно принадлежать множеству Ап так как I — k > 0 и тЛ01~к — целое число. Очевидно, что есть наибольшее число множества не превосходящее а. Также — наименьшее число из Л а, превосходящее а. Поэтому из k<il ввиду Ahcz.At следует (3). Действительно, bh^a и принадлежит Аг Но bt — наибольшее число в Ап не превосходящее а. Значит, bh^br Аналогично показывается, что ch^cr

Для любого действительного числа е>>0 существует натуральное число kQ такое, что 10"*°<е (§ 26, теорема 6), и, значит,

и аналогично

(4)

где последовательности и {ck} можно начинать с любого целого числа ибо прибавление или отбрасывание конечного числа членов последовательности не влияет, очевидно, на ее сходимость и величину предела.

Для любого целого числа k теперь положим;

Тогда ak — целое число, причем

(5)

для любого целого /г.

Покажем, что числа ак удовлетворяют условию а) в определении десятичной дроби. Из (3) и (5) следует, что ah^ О при. любом k. Далее, из (2) и (3) следует:

откуда, сокращая на 10~*>0, найдем ah<lO, и, значит, ak^9.

Существует целое число г такое, что агФ0, но ак=0 при любом k<r. В самом деле, так как — >0, то существует I такое, что 10~'<—, откуда 101>а. Из (1) тогда находим т,-10'<; а ^а<сЮ', откуда m_l<i 1, а так как m_L— целое число, то т_1^0 и Ь_^0. В силу (2) b_t=0 и в силу (3) 6^=0 при любом k<i—l. Точно так же существует натуральное V такое, что \0~r<ia, откуда т/,>1 и 6^>0. Пусть А — множество целых чисел для которых bk>0. А непусто, ибо содержит V и ограничено снизу, так как из Ьк>0 следует k>—I. Поэтому А содержит наименьшее число г (§22, теорема 5). Тогда br>0 и 6А = 0 при любом &<г. Значит, ar=br—br_1>0 и ад =0 при любом £<Сг.

Если г^О, то положим р =г, а если г>>0, то положим р =0. Тогда р^О и удовлетворяет условию б), так как из р<С.О следует ар=агф0.

Числа ah и bh связаны соотношением

(6)

при любом п^р.

Это получается в силу Ьр_{=0 путем сложения равенств (5> для всех k от р до п.

Поэтому равенства (4) можно переписать так:

(7)

Это значит, что число а записывается в виде конечной или бесконечной дроби:

Покажем, что число а тогда и только тогда можно записать конечной десятичной дробью, когда оно десятично-рационально. Пусть а записывается конечной десятичной дробью. Тогда

число десятично-рациональное, так как число в скобках целое. Пусть, обратно, а=т-10п — десятично-рационально. Так как

то m =т_п и а =Ь_ п. Тогда для любого k > —п из (2) и (3) найдем b_n^bh^a, т. е. Ь_п =bk, откуда ak=0 при любом k>— га.

Поэтому множество тех целых чисел й, для которых ak>0, ограничено сверху. Оно не пусто, ибо было доказано, что аг>0. Пусть s — наибольшее число этого множества. Если s^O, то положим q =5, а если s <<0, то положим q = 0. Тогда д^О и удовлетворяет условию в), ибо при q>0 будет ад=а£фО. Так как aÄ=0 при любом ki>q, то вместо равенства (7) получим:

Это значит, что число а записывается конечной десятичной дробью:

(8)

Если число а не является десятично-рациональным, то построенные выше числа ah удовлетворяют условию в). Иначе, нашлось бы натуральное число п0 такое, что ah=0 при любом k > n0J и тогда, как мы видели, число а записывалось бы конечной десятичной дробью и, значит, было бы десятично-рациональным.

Потому равенство (7) означает, что число а, не являющееся десятично-рациональным, записывается бесконечной десятичной дробью:

(9)

Однако любое десятично-рациональное число а>0 также можно записать бесконечной десятичной дробью. Для того чтобы убедиться в этом, удобно использовать формулу суммы бесконечно убывающей прогрессии, которую мы и выведем. Бесконечно убывающей прогрессией называется, как известно, последовательность (или ряд) чисел {aqn~*} =а, где а и g — действительные числа и |?|<1. Если существует предел

то он называется суммой данной прогрессии и обозначается через

Покажем, что при условии |д|<1 этот предел всегда существует и находится по формуле:

(10)

Индукцией по п докажем, что

(11)

для любого натурального п и любого Ь >0. Для /г = 1 это очевидно. Если уже

то

Далее, докажем:

(12)

и, значит,

Берем любое число е>0.

По аксиоме Архимеда (§ 9, опр. 3) существует натуральное п0 такое, что п0Ь > — . Тогда

при любом п>п0. Этим формула (12) доказана.

Из (12) и свойств предела (§ 28, теорема 2) сразу следует формула (10). В самом деле, применяя известную из школы формулу суммы п членов геометрической прогрессии, получим:

Применяя (10), найдем:

и вообще

(13)

для любого целого т.

Пусть теперь а > 0 десятично-рационально. Тогда а записывается конечной десятичной дробью вида (8). Так кака>0, то не все числа ак равны нулю. Пусть, как выше, а5>0и а^ = 0 при любом k > s. Тогда, отбрасывая нулевые слагаемые при

и применяя свойства предела

[§ 28, теорема 2, б)], находим:

при любом g, для которого |д|<1.

Для q=0 это очевидно. Пусть 0<:|д|<1. Тогда

где a'h = аь для p^k^s — 1, as = as— 1 и a{ = 9 для любого k > s. Так как as > 0, то а, = as — 1 ^ 0. Это значит, что число а записывается бесконечной десятичной дробью:

(14)

где ап =9 при любом п> s. Например,

Для числа 0 указанное преобразование невыполнимо, так как его запись конечной десятичной дробью 0 = 0 содержит лишь число а0=0 и не содержит as> 0.

Мы доказали существование требуемой в теореме записи чисел десятичными дробями. Переходим к доказательству единственности такой записи.

Покажем, что для любого целого числа m и любой последовательности {сд}, k^m, целых чисел, удовлетворяющих условию |сА|^9 при любом к^т, существует предел

причем этот предел равен нулю тогда и только тогда, когда имеет место один из трех случаев:

1) Ch=0 при любом k^zrn,

2) существует целое число t^m такое, что с^—0 для m^k<Ct, ct =1, ch =—9 при любом k>t,

3) существует целое число t^m такое, что сь =0 для m^k<t, ct =—1, ch=9 при любом k>t.

Положим для краткости

для любого целого п^т. Тогда

(по формуле суммы геометрической прогрессии). Здесь имеет место знак « = » тогда и только тогда, когда все одного знака и |сьI =9, т. е. либо cÄ=9, либо сА=—9 (§ 9, теорема 8). Так как

(15)

причем знак « = » имеет место тогда и только тогда, когда либо cÄ=9 для m^k^n, либо сд=—9 для тех же k.

Пусть дано любое е>0. Берем натуральное число п0^т такое, что 10"п°<е (§ 26, теорема 6). Тогда для любых р>п0

и q>n0, где, например, p^q, находим:

Значит, последовательность {sn} — фундаментальная, и в силу полноты поля действительных чисел должна иметь предел:

Отсюда следует, что любая (конечная или бесконечная) десятичная дробь записывает некоторое действительное число.

Переходя к пределу при п оо в неравенстве (15) [§28, теорема 2, д)], находим:

(16)

для любого целого числа m и любых чисел ck, для которых |сА|<;9 при любом k^m.

Покажем, что в неравенстве (16) имеет место знак « = » тогда и только тогда, когда либо ch=9 при любом k^m, либо ck=—9 при любом k^zm. В самом деле, в каждом из этих случаев по формуле (13) найдем:

Если ни один из этих случаев не имеет места, то существуют п и п"^т такие, что сп>ф9 и сп»ф — 9. Если п — наибольшее из чисел п и п", то из неравенства (15) будет следовать:

и из (16) также

Значит, в (16) знак « = » не имеет места.

Если числа ch удовлетворяют одному из условий 1) — 3), то с=0. В самом деле, в случае 1) это очевидно. В случае 2) имеем в силу (13):

Аналогично и в случае 3) с=0.

Пусть, обратно, с=0. Если случай 1) не имеет места, то множество тех k^m, для которых с^ф О, непусто и содержит

наименьшее число t. Тогда ck=0 при m^k<it, ct=£0. Пусть, например, ct>0, т. е. ct^l. Тогда

Отсюда в силу (16) должно быть ^ = 1 и

Но тогда ck——9 при любом k>t.

Аналогично доказывается, что при ct<cO должно быть ct=—1 и cÄ=9 при любом k> t.

Таким образом, при с=0 имеет место один из случаев 1), 2), 3).

Если

то случаи 2) и 3) не имеют места, а потому ak=0 при любом k^p. Это значит, что число 0 нельзя записать бесконечной десятичной дробью и можно записать конечной десятичной дробью единственным образом, именно: в виде 0 = 0.

Пусть даны две записи числа а конечными или бесконечными десятичными дробями:

где все ап или а п, начиная с некоторого, могут равняться нулю. Пусть, например, р^р'. Если положим a'k=0 для p^k<Cp\ то

Вычитая почленно и пользуясь свойством предела

[§ 28, теорема 2, 6)1, найдем:

Из О^Дй^Э, 0==^а'^9 следует (после вычитания из одного неравенства перевернутого другого), что

По доказанному выше для чисел ck=ah—a'h должен иметь место один из случаев 1) — 3). В случае 1): ah—a'k=0 при любом k^p, т. е. обе записи числа а совпадают. В случае 2): ah—a'k=0 для p^k<7, at—at = l и ah—ah =—9 для k> t. Тогда ak=ak для k<t, at = a't +1 и ah = 0, а'й = 9для k>t. В этом случае первая запись конечна, а вторая бесконечна и получается из первой приемом, указанным выше для десятично-рационального числа а. В случае 3), напротив, вторая запись конечна, а первая получается из нее тем же приемом.

Итак, для десятично-рациональных чисел возможны лишь две записи: одна конечной, а другая бесконечной дробью, для остальных же чисел возможна лишь одна запись, именно бесконечной дробью. Этим единственность записи, требуемая теоремой, доказана.

Остается доказать утверждение теоремы, относящееся к периодическим дробям. По существу надо обосновать известное из школы правило превращения простой дроби в конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь и, обратно, превращения периодической дроби в простую.

Пусть а>0— рациональное число, причем а=^-> где р и я — натуральные числа. Пусть

запись числа а десятичной дробью, причем в случае десятично-рационального а берем запись конечной дробью. Тогда 0^аА^9 для любого k^z т. Если существует t такое, что а,<<9, но аА=9 при k > t, то для а нашли бы конечную запись

Также если ah = 9 при любом k^m, то

В обоих случаях а десятично-рационально и для него берем запись конечной дробью. Значит, числа а& в записи а обладают еще тем свойством, что для любого целого п найдется k>n такое, что aÄ<9. Поэтому в силу доказанного выше о неравенстве (16) должно быть:

(17)

для любого п~^т.

Согласно алгорифму деления для целых чисел (§ 22, теорема 3) для любого целого числа Ь существует одна и только одна пара целых чисел с, г такая, что b=cq+r, где 0^r<iq. Последовательным делением строим два ряда чисел сп и гл, п^О таких, что

(18)

где

для любого П ^5 0.

Применяя индуктивное определение (§ 15, опр. 1 и теорема 1), заключаем, что соотношения (18) и (19) однозначно определяют две последовательности целых чисел {сп} и {гп}, п^О.

Покажем, что c0=amam + i . . . a_ta0 и сп=ап для любого п ^ 1. Это значит, что с0 есть целая часть, а при п ^ 1 сп — гс-й десятичный знак в записи числа а десятичной дробью.

Так как число а записывается десятичной дробью ат . . . a0l

Так как т<:0, то первое слагаемое — число целое, значит, и второе слагаемое целое. Положим для краткости:

Из (17) находим 0 ^ 50<с1» откуда 0 ^ qs0<q. Ввиду однозначности частного и остатка должно быть:

Индукцией по п докажем, что

(20)

для любого натурального числа п.

Умножая равенство r0=qs0 на 10, найдем:

Так как 10г0 и а{ — числа целые, то и I0qs{ целое. Из (17) следует:

откуда

По однозначности частного и остатка должно быть:

Итак, для п=\ равенства (20) доказаны. Пусть (20) верно для некоторого n^sl. Умножая равенство rn=10nqsn на 10, находим:

Как выше, заключаем, что второе слагаемое должно быть целым числом, причем

Значит,

Итак, (20) доказано. В частности, доказано, что сп = ап для любого п^1.

Отметим, что если а — число десятично-рациональное, то существует п0 ^ 0 такое, что ап = 0 при любом п > 0. Тогда для тех же п также sn=0 и по (20) также сп = гп = 0, т. е. процесс нахождения десятичных знаков числа а путем делений на q после конечного числа шагов будет давать сплошные нули. Обратно, если при некотором п0^0 получим деление без остатка, т. е. гПо = 0, то, очевидно, гДо + 1 = 0 и по индукции (§14, теорема 10) тогда гп = 0 для любого п ^ п0. Но из гп =0 следует, очевидно, что и частное сп +1 = 0, т. е. по (20) будет ап = 0 для любого п > п0. Значит, число а десятично-рационально. Поэтому если а не является десятично-рациональным, то деление всегда происходит с остатком, т. е. гпф0 для любого гс^О, и мы получаем все новые и новые десятичные знаки для числа а. Если мы оборвем процесс определения десятичных знаков числа а на некотором ап (безразлично, будет ли а десятично-рациональным или нет), то получим приближенное значение для а по недостатку с ошибкой менее 10"", ибо по (17)

Значит, увеличив последнее число ап на единицу, мы получим приближенное значение числа а по избытку с той же точностью до 10"п.

Ввиду (19) остатки гп могут принимать лишь q значений О, 1, 2, . . ., q — 1. Поэтому среди q -f 1 чисел г0, ги . . . , rq необходимо должны быть равные*.

Пусть п0^0 и /^1 — наименьшие среди чисел 0, 1, 2, ... g, для которых гПо—гПо+г По единственности частного и остатка тогда rno + l=rno+l + l и cno + l=cno + t + l и вообще rn=-rn+l и сп=сп+1 для любого п ^ п0. Тогда по (20) также ап = ап +( для любого п>п0^0. Значит, число а записывается периодической дробью.

Отметим, что период начинается с аПо + 1 и содержит I чисел {I — длина периода), причем 1^ rc0+l^ n0+l^q. Откуда l^l^q.

Таким образом, если гПо^=0, то для числа а = — рационального, но не десятично-рационального получаем запись периодической десятичной дроби.

Десятично-рациональное число а, как мы уже видели, также записывается периодической дробью (если, конечно, а^=0), именно, тогда 1 = 1 и в периоде стоит число 9.

* Формально это доказывается так: если бы было т\Ф rk для любых i≠к, где 0 i ^ с, 0 ^ k ^ qy то отображение я—*- г , 0 ^ я < q было бы взаимно однозначным, т. е. эквивалентным отображением конечного множества {0, 1, 2, у} на некоторое подмножество множества {0, 1, 2, q— 1}, т. е. на собственное подмножество, что невозможно (§ 4, теорема 1).

Пусть, обратно, некоторое действительное число а записывается периодической дробью а=ат . . . о0, а{а2 . . . аПо(аПо + 1 . . . аПо+/), где скобками, как обычно, обозначен период. Тогда сумму 2 ahlO~k можно разбить на сумму последовательных групп слагаемых по / в каждой группе. Сумма s таких групп равна сумме Is слагаемых. В самом деле, по закону ассоциативности сложения слагаемые конечной суммы можно суммировать по группам (§ 6, теорема 1). Откуда

Положим для краткости:

Так как в силу условия периодичности

то слагаемые суммы в правой части равенства отличаются от с лишь множителем I0'l(l~l). Вынося с, как общий множитель, за скобки, т. е. за знак внешней суммы, найдем:

Предел левой части равенства при s оо существует и равен:

Значит, тому же равен и предел правой части. Но по формуле (10) для суммы бесконечной убывающей прогрессии находим:

Откуда

Это выражение показывает, что а — число рациональное. Вставляя сюда выражение для с, находим:

Или, объединяя первую и последнюю сумму в числителе, заменяя скобку в знаменателе числом, содержащим I девяток, и внося все множители под знаки сумм, получим окончательно:

Это выражение доказывает известное школьное правило обращения периодической дроби в простую: число а равно дроби, числитель которой равен разности числа, стоящего до второго периода, и числа, стоящего до первого периода, а знаменатель равен числу, «состоящему» из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр от запятой до первого периода. При я0=0 период начинается с числа а{, т. е. мы имеем чистую периодическую дробь.

Теорема доказана полностью.

Эта теорема позволяет представлять действительные числа в виде десятичных дробей, что дает новую интерпретацию (т. е. конкретный пример) поля действительных чисел. На выяснении смысла операций сложения и умножения и отношений порядка в этой интерпретации мы останавливаться не будем. В случае конечных дробей здесь применяются известные школьные правила оперирования с десятичными дробями. Для практических вычислений все действительные числа с любой степенью точности можно записать конечными десятичными дробями и оперировать с ними по вышеупомянутым школьным правилам. При этом надо лишь учитывать величину погрешности получаемого числа по сравнению с точным значением. Эти вопросы относятся к теории приближенных вычислений.

§ 32. Аксиоматическое определение действительных чисел

Совокупность натуральных чисел мы определили при помощи основного отношения «следует», подчиненного системе аксиом Пеано (§11, опр. 1). Такое построение математической теории называется аксиоматическим. Далее, с помощью натуральных чисел мы последовательно определили целые, рациональные и действительные числа. Во всех этих трех случаях новая числовая область определялась через старую при помощи наложения дополнительных требований, обеспечивающих однозначное до изоморфизма определение новой области. Каждый раз мы строили интерпретацию (конкретный пример) определяемой области. Ввиду изоморфизма всех множеств, удовлетворяющих данному определению, мы могли бы в каждом случае саму интерпретацию принять за определение данной области. Такое определение числовых областей называется конструктивным. Возникает вопрос:

можно ли определить каждую из упомянутых областей аксиоматически?

Расширяя числовую область, мы каждый раз налагали новые требования (возможность вычитания, деления и, наконец, непрерывность) при условии минимальности расширения. В отношении действительных чисел требование минимальности оказалось уже излишним. Это означает, что совокупность свойств, предъявленных к множеству действительных чисел, характеризует это множество уже однозначно до изоморфизма. Тем самым эта совокупность свойств дает аксиоматическое определение действительных чисел. Таким образом, определение действительных чисел как непрерывного расположенного поля является их аксиоматическим определением. Собирая вместе все свойства, включенные в это понятие, приходим к такому определению.

Определение 1. Полем действительных чисел называется множество D, в котором двум любым элементам а и b соответствуют элемент а+Ь, называемый их суммой, и элемент аЬу называемый их произведением, и определено свойство элемента быть положительным, причем выполнены условия:

I. (Коммутативность сложения)

II. (Ассоциативность сложения)

III. (Обратимость сложения.) Для любых элементов а и b множества D существует элемент с из D такой, что а+с=Ь.

IV. (Коммутативность умножения)

V. (Ассоциативность умножения)

VI. (Дистрибутивность умножения относительно сложения)

Эти свойства означают, что D есть кольцо (если D непусто). Значит, определено умножение элементов D на натуральные числа, существует единственный элемент 0 такой, что а+0 = =0+а=а для любого а из D, для данного а единственный противоположный элемент —а такой, что а+ (—а) = (—a)+a=Of и для данных а и b единственный элемент b—а, называемый их разностью, такой, что а+ (b—a) = (b—a)+a=b (§6, теоремы Зг 4, 6). Далее:

VII. (Обратимость умножения.) Для любых элементов а и b множества Z>, где а=фО, существует элемент q из D такой, что aq=b.

VIII. (Аксиома мощности.) Множество D содержит по крайней мере два различных элемента (и, значит, непусто).

Условия I —- VIII означают, что D — поле (§ 7, опр. 1). Значит, определено понятие подполя поля D (§ 7, опр. 6).

IX. Для любого элемента а множества D имеет место один и только один из трех случаев: а положителен, а=0, —а положителен.

X. Сумма и произведение положительных элементов положительны.

Условия 1-Х означают, что D — расположенное поле. Значит, определяя а>Ъ% если элемент а—b положителен, превратим D в упорядоченное множество (§ 9, теорема 1).

XI. (Аксиома Архимеда.) Для любых элементов а и b множества D, где Ь>0, существует натуральное число п такое, что nb>a.

Условия I — XI означают, что/) — архимедовски расположенное поле. Значит, в D определены понятия предела последовательности и фундаментальной последовательности, не меняющиеся при замене D любым его подполем, содержащим все рассматриваемые элементы (§ 28, теорема 5).

XII. (Аксиома полноты.) Любая фундаментальная последовательность элементов множества D имеет предел в этом множестве.

Условия I — XI означают, что D — непрерывное поле (§ 28, опр. 6).

Отметим, что это определение предполагает уже построенные натуральные числа. Иначе аксиома Архимеда XI теряет смысл. Ниже мы приведем другую систему аксиом, не опирающуюся на понятие натурального числа.

Возникает вопрос о непротиворечивости, полноте и независимости системы аксиом I — XII.

Для доказательства непротиворечивости системы аксиом I—XII достаточно найти для нее хотя бы одну интерпретацию (§ 18, опр. 1, 2). Но поле DQy построенное в § 29 (опр. 2, теорема 4), дает такую интерпретацию. Правда, построение поля D0 опирается на поле рациональных чисел, но беря конструктивное определение его, т. е. поле Г0 (§ 25, опр. 2), где за кольцо целых чисел принято его конструктивное определение с0 (§ 21, опр. 2), мы сводим построение поля D0 к натуральным числам. Этим непротиворечивость системы аксиом I — XII сведена к непротиворечивости (в смысле существования интерпретации) системы аксиом Пеано для натуральных чисел.

Для доказательства полноты системы аксиом I—XII достаточно показать, что две любые интерпретации этой системы изоморфны (§ 18, опр. 3). Но это, по сути дела, нами уже доказано. В самом деле, если Pt и Р2 — две интерпретации системы аксиом I — XII (т. е. два непрерывных поля), то для одной и той же интерпретации Г поля рациональных чисел существуют поля D{ и/)2, содержащие в качестве подполя поле Г и изоморфные (относительно сложения, умножения и расположения) соответственно РА и Р2 (§ 26, теорема 2). В силу этого изоморфизма поля Dt и D2 сами непрерывны и, значит, изоморфны относительно обеих операций и порядка (§ 29, теорема 2). Но тогда по свойствам изоморфизма поля Pi и Р-2 изоморфны между собой (также относительно сложения, умножения и расположения). Этим полнота системы аксиом I — XII доказана.

Поскол ьку непротиворечивость и полнота системы аксиом I—XII доказаны, эта система точно определяет поле действительных чисел

и является фундаментом для построения теории действительного числа. Такое построение было в известных пределах выполнено нами в § 30 и 31.

Вопрос о независимости системы аксиом I — XII (§18, опр. 4) не имеет такого принципиального значения, и мы им заниматься не будем. Ограничимся лишь доказательством независимости каждой из аксиом XI и XII от остальных. Эти две аксиомы вместе составляют свойство непрерывности поля D и ввиду возможности другого аксиоматического выражения этого свойства имеют особый интерес.

Теорема 1. Каждая из аксиом XI и XII независима от остальных аксиом I — XII.

Доказательство. Надо построить интерпретацию, где были бы выполнены все аксиомы, кроме XI или XII.

Независимость аксиомы XII доказывает поле рациональных чисел, так как оно архимедовски расположено (§ 26, теорема 3), но неполно (§ 28, теорема 4).

Сложнее доказать независимость аксиомы Архимеда. Надо построить полное, но не архимедовски расположенное поле.

Пример полного не архимедовски расположенного поля*. Пусть Р есть множество всех функций / (п), заданных на множестве С всех целых чисел, значения которых — действительные числа и которые обладают таким свойством: для каждой функции / (п) существует целое число п0 такое, что / (п) = О при любом п < п0. Сумму, произведение и положительность в множестве Р определяем так: суммой функций / и g называется функция s, значения которой определяются равенством: s (n) = f (n) -f g (п) для любого целого числа п. Это сложение совпадает с обычным сложением функций (§ 30). Поэтому мы по-прежнему обозначим сумму через / + g.

Произведением функций / и g называется функция р, значения которой определяются равенством:

(1)

Здесь суммирование берется по всем целым для которых / (k) g (n — к)ф0. Таких чисел k конечное число, и потому сумма всегда имеет смысл. Именно, если / (п) = 0 при любом п < п{ и g (п) = 0 при любом п < л2, то / (k) g (n — k) = 0 при любом k < Hj и любом k> n — п2. Отсюда также находим, что р (п) = 0 для любого п < + я2, ибо тогда п — п2 < п{ и любое число k либо < пи либо > п — п2у т. е. в сумме (1) все слагаемые равны нулю. Произведение функций / и g в новом смысле обозначим через

Функцию / назовем положительной, если / (п) > 0, где п — наименьшее число множества А тех чисел m, для которых / (т)≠0. Такое число существует, если / — нетождественный нуль, ибо тогда множество А непусто и ограничено снизу (§ 22, теорема 5).

Надо проверить выполнение в P аксиом I — X, XII и показать нарушение XI.

Аксиомы I — III выполнены, ибо сложение функций сводится к сложению действительных чисел.

Аксиома IV выполнена, ибо если / x g = р и g x / = pit то из (1) ясно, что р {п) и pj(/i) равны суммам одних и тех же чисел, но в обратном порядке.

* Этот пример взят мною из лекций академика А. Н. Колмогорова по курсу математического анализа, читавшемуся на механико-математическом факультете Московского университета в 1947/48 уч. г.

Проверяем аксиому V. Пусть даны три функции /, g, h. Тогда

В конце мы внесли h (п — k) под знак внутренней суммы, ибо это число не зависит от индекса суммирования /. С другой стороны, находим:

Так как все суммы здесь конечны, то можно изменить порядок суммирования. Положим, далее, k = t, I = s — t, откуда k -f / = s, и заметим, что при данном t суммирование по / = s — t в пределах от — оо до оо равносильно суммированию по s в тех же пределах. Поэтому

Но это выражение отличается лишь обозначением индексов суммирования от выражения, полученного для [(/ х g) X h] (п). Значит, (/ х g) х h = = / X (g X h), что и доказывает выполнение аксиомы V. Проверяем аксиому VI.

Значит,

Итак, р — кольцо. Нулем этого кольца будет, очевидно, функция, тождественно равная нулю. Мы ее обозначим снова через 0.

Проверяем аксиому VII. Пусть даны / и Л, где /≠0. Надо найти g, для которой / X g = h. Если h == 0, то g = 0 будет искомой функцией. Пусть

h≠ и пусть / (/)≠, но / (ri) = О при п < s и также h (t) = О, но Л (п) = О при и < /. Положим g (п) = 0 при любом п < t — s. Функцию g (* — s) находим из равенства / (s) g (t — s) = h (/). Пусть g (k) уже найдено для / — 5< < / -- s -f и, где n > 0. Тогда определяем g (/ — 5 4- ri) иа равенства:

или:

Это возможно в силу / (s)≠0. По индукции (§ 15, теорема 1) g(t — s + n) определено для любого п > 0, т. е. g (k) определено для любого целого /г. Очевидно, что / х g = h.

Аксиома VIII, очевидно, выполнена.

Проверяем аксиому IX. Очевидно, (— /) (ri) = — / (л). Поэтому аксиома IX для Р следует из аналогичного свойства для действительных чисел.

Проверяем аксиому X. Сумма положительных функций, очевидно, положительна. Если / (s) > 0 и g (t) > 0 — первые отличные от нуля значения / и g, то первым отличным от нуля значением / х g будет:

Значит, аксиома X выполняется.

Аксиома Архимеда XI в Р не выполнена. В самом деле, если / (0) = \у / (п) = 0 при любом п≠0, g (1) as 1, g (n) = 0 при любом п≠1, та / — kg > 0, kg < f при любом натуральном /г, ибо (/ — kg) (0) = 1 > 0 и (/ — kg) (ri) = 0 при любом w < 0.

Проверяем аксиому XII. Пусть дана фундаментальная последовательность {/д} элементов поля Р. Строим функцию / следующим образом. Пусть дано любое целое число п. Берем функцию е„, для которой е (п + 1) = 1, е (&)=(> при любом k≠п + 1. Так как еп > 0, то по определению фундаментальной последовательности (§ 28, опр. 4) существует натуральное число kn такое* нто |/р — fq\ < гп при любых р, q > kn.

Покажем, что

(2)

при любом m ^ п и любых р, q > k .

Если это неверно, то пусть s ^ п — первое число, для которого fp(s) ф. Если, например, fp(s) > fq(s),

то

ибо

при любом m < s. В частности, 1р(п) = fq(ri) при любых р, q > k , т. е. значения всех функций /А для данного n совпадают при k > k . Это общее значение мы и примем за значение f(ri) определяемой функции /. Итак, положим

(3)

для любого целого п.

Покажем, что

Пусть е > 0 — любая функция поля Pun

первое целое число, для которого е (п)≠0. Из е > 0 следует, что г(п) > 0. Покажем, что | fh — / | < е при любом k > k . Для любого m ^ п берем I > kn, I > km. Тогда при k > k в силу (2)п

а в силу (3)

Значит, т. е.

при любом m п. Отсюда в силу е (п) > 0 и следует, что \fk — /| < е при любом k > k . Это означает, что

Аксиома XII доказана.

Мы определили непрерывность расположенного поля при помощи двух аксиом Архимеда и полноты (§ 28, опр. 6). Существует много других форм аксиом непрерывности. Приведем две из них. Чтобы их сформулировать, нужно ввести некоторые новые понятия.

Сечением упорядоченного множества (и в частности, расположенного поля) Р называется пара непустых подмножеств X, Y множества Р, не имеющих общих элементов, объединение которых (§ 2) равно Р, т. е. X/\Y = О, X\jY = Р, причем х < у для любых элементов х£Х, уСУ'. Если элемент а является наибольшим элементом в X, причем Y не имеет наименьшего элемента, или же а является наименьшим элементом К, причем X не имеет наибольшего элемента, то элемент а называется рубежом данного сечения.

Элемент b упорядоченного множества Р называется предельным элементом множества Л, если для любых элементов Ь{ и Ь2 таких, что < Ь < &2» существует бесконечное множество элементов а из Л, для которых < а < Ь2.

Легко убедиться, что для расположенного поля Р это определение эквивалентно следующему.

Элемент b называется предельным для множества Л, если для любого элемента е > 0 из Р существует бесконечное множество элементов а из А, для которых \а — Ь\ < е.

Подмножество А упорядоченного множества (и в частности, расположенного поля) Р называется ограниченным, если существуют элементы 6j и 62 из Р такие, что 64 < а < Ь2 для любого элемента а множества А.

Теорема 2. Следующие три свойства расположенного поля Р эквивалентны:

а) в поле Р выполнены аксиомы XI и XII;

б) (Дедекинд) любое сечение поля Р имеет рубеж]

в) (Вейерштрасс) любое бесконечное ограниченное множество элементов поля Р имеет предельный элемент.

Доказательство будем вести по схеме а)—>- б)-> в)—>• а).

а)—*- б). Пусть дано сечение X, Y поля Р. Берем элементы я0£ЛГ, y0ÇY* Так как Р архимедовски расположено, то для любого натурального числа п существуют целые числа т^ и т2 такие, нто

Очевидно, что

Значит, множество m тех целых чисел m, для которых

принадлежит X, непусто и ограничено сверху. Значит, оно содержит наибольшее число тп (§ 22, теорема 5).

Положим

Тогда число

принадлежит Y.

* Мы предполагаем здесь и ниже, что поле Р уже содержит поле рациональных чисел (§ 26, теорема 2).

Если Ап — множество всех чисел вида

с любым целым m, то Ьп — наибольшее число из чисел множества Ап, входящее в Ху а сп — наименьшее число того же множества А п, входящее в У'. Так как при k < / всегда Ak t-Al% то из k < I следует:

(4)

Далее,

(5)

при любом п.

Последовательность {Ьп} фундаментальная, ибо для любого е > 0 из Р существует натуральное п0 такое, что \0~по < е, и тогда \Ьр — bq\ < сПо — — Ьп0 < б при любых р, g > п0. По аксиоме XII эта последовательность имеет предел а в Р. Покажем, что а — рубеж сечения X, У. В силу (5)

и, значит, [§ 28, теорема 2,а] имеем:

(6)

Кроме того,

при любом п. В самом деле, если ЬПо > а, то из (4) Ьп ^ ЬПо при любом п>п0, откуда

[§ 28, теорема 2,5], что невозможно. Так же доказывается, что а <^сп.

Пусть х^Х, причем х > а. Берем п такое, что 10~Л < х — а. Тогда из (5) и (6) находим:

что противоречит определению сечения. Значит, х ^ а при любом х£Х. Так же доказывается, что у ^ а при любом yÇY. Если а принадлежит X, то а — наибольший элемент X. Тогда У не может иметь наименьшего элемента. В самом деле, если b — наименьший элемент К, то а < Ъ. Так как расположенное поле Р плотно (§ 9, теорема 10), то существует элемент с такой, что

Из с > а следует, что с не принадлежит X, пз с < b следует, что с не принадлежит К, что невозможно, ибо X V У = Р- Так же доказывается, что если а принадлежит У, то X не имеет наибольшего элемента. Значит, а — рубеж сечения X, У. Заметим, что, полагая

легко получить запись числа а десятичной дробью [§ 31, (5)].

6)-> в). Пусть А — ограниченное подмножество поля Р, причем Ь{<а< <Ь2 для любого элемента а из А. Обозначим через X множество всех элементов X из Р таких, что существует бесконечное множество элементов а > х из А у и через У — множество остальных элементов Р. Так как Ь£Х и 62ÇK, то X и У непусты. Очевидно, что X\jY=.P,X/\Y = 0. Если х£Х, yÇY, то X < у j ибо, иначе, х ^ у и существует бесконечно много элементов я > X из A t т. е. у£Ху что невозможно. Значит, X, Y — сечение в Р. В силу б) это сечение имеет рубеж Ь. Покажем, что b — предельный элемент множества А. Пусть Cj и с2 — любые элементы P такие, что Cj < b < с2. Элемент с4 принадлежит к X, так как если ci принадлежит К, то и b принадлежит У, но не является наименьшим элементом в К, т. е. не является рубежом. Так же доказывается, что с2 принадлежит Y. Если At — множество всех а из А, для которых с1<а<с2иЛ2 — множество всех а из А, для которых а ^ с2, то из с£Х следует, что множество А^А2 бесконечно, a из c2ÇY следует, что множество А2 конечно. Так как объединение конечных множеств

конечно*, то множество At бесконечно. Это и значит, что b предельный элемент для А.

а). Докажем, что в поле Р выполнена аксиома Архимеда XI Предположим, что она не выполнена. Тогда существуют элементы а и 6, где &>0, такие, что п-Ь < а при любом натуральном п. Множество А всех элементов вида nb ограничено, так как 0 < nb < а и бесконечно, ибо из п < m следует nb < тЬ. В силу в) это множество имеет предельный элемент с. Покажем, что пЪ < с при любом п. Иначе, существует п0 такое, что п0 b ^ с, тогда nb > с при любом п > п0. Значит, существует лишь конечное число элементов nb таких, что

где

Но это противоречит определению предельного элемента. Так как nb < с при любом п и с — предельный элемент множества Л, то существует п такое, что с — с < nb < с. Но тогда

что невозможно. Итак, поле Р архимедовски расположено.

Теперь докажем аксиому полноты XII. Пусть {ап} фундаментальная последовательность поля Р. Пусть А есть множество всех элементов а из Р, для каждого из которых существует п такое, что ап = а. Обозначим через Na множество всех п таких, что ап — а. Очевидно, что множество N всех натуральных чисел является объединением множеств Na, где а — любой элемент из А. Если множество А конечно, то существует а из Л, для которого множество Na бесконечно (иначе 7V, как объединение конечного множества конечных множеств, было бы конечно). Покажем, что lim ап = а. Пусть дано е > 0. Из фундаментальности (а\ следует, что существует п0 такое, что

Так как множество Na бесконечно, то существует р > п0 такое, что ар = а. Тогда

при любом q > п0. Значит,

Пусть множество А бесконечно. Фундаментальная последовательность {а } ограничена. В самом деле, существует m такое, что \ар — aq\ < 1 при любых р > m и q > т. Откуда

Если b больше всех элементов

то — Ь < а < b при любом п. Значит, множество А ограничено. В силу в) А имеет предельный элемент а. Покажем, что lim ап = а. Для любого е>0 существует п0 такое, что

при любых р > п0 и q > и0. Так как а предельный элемент А, то множество

элементов а' из А таких, что

бесконечно. Поэтому сущест-

* Пользуясь определением 2 конечного множества, данным в § 4, легко доказать, что если А{ — |lt m|, А2 — |1, я/, то ЛА V Л 2 эквивалентно подмножеству отрезка /1, m -j- п\ и, значит, конечно.

вует р > п0 такое, что

Тогда

при любом q > п0. Значит, lim aR = а.

Итак, свойства а), б), в) эквивалентны. Поле действительных чисел аксиоматически можно определить свойствами I — X и любым из свойств а), б), в).

Заметим, что часто применяющаяся теорема о том, что любая последовательность вложенных отрезков, длина которых неограниченно убывает, имеет одну и только одну общую точку, выражает не непрерывность, а лишь полноту расположенного поля. Именно, мы докажем следующую теорему:

Теорема 3. Свойство полноты XII расположенного поля р эквивалентно такому:

ХII'. Для любой последовательности отрезков [а^, 6^], п = 1, 2, ... поля р* со свойствами:

(7) (8)

существует один и только один элемент с, принадлежащий всем отрезкам этой последовательности, т. е. такой, что

(9)

Доказательство. Пусть поле р полпо. Докажем выполнение Х1Г. В силу (8) для любого в > О из р существует п0 такое, что b — а <е при любом п > п0. Тогда при р ^ q находим:

при любых р > п0 и q > п0. Значит, последовательность {а } фундаментальна и в силу XII имеет в р предел с. Рассуждая, как в доказательстве теоремы 2[а)-> б)], легко доказать, что lim ап = с = lim bR, а затем и соотношение (9).

Если бы существовал еще элемент с^ф с со свойством (9), то должно было бы выполняться соотношение

что противоречит (8).

Итак, в поле р выполнено свойство Х1Г.

Пусть, обратно, в р выполнено Х1Г. Докажем выполнение XII. Пусть дана фундаментальная последовательность {с } поля Р. Имеет место одно из двух:

1) из lim еп = 0 следует существование натурального п0 такого, что е =0 при любом п > п0**. п 2) Существует последовательность {е^} со свойствами:

(10)

при любом п.

* Отрезком расположенного поля (или вообще упорядоченного множества) р с концами а и 6, где а 6, называется множество [а, Ь] всех элементов с из р, для которых а <; с <; Ь.

** Построение примеров расположенных полей с этим свойством требует трансфинитной индукции и выходит за рамки настоящей книги.

В самом деле, если 1) не имеет места, то существует последовательность {ед} такая, что lim eÄ = 0 и для любого k0 найдется k > k0l для которого се 0. Берем такое, что еА1≠0, затем k2 > &j такое, что eh2≠0, и т. д. По индукции построена последовательность {е^}, п = 1, 2, ... Положим е'п = ± eÄn, где знак берется так, чтобы было г' > 0. Из kR ^ п легко следует, что lim е'п = 0. Из фундаментальности последовательности легко следует, что lim (с — cn+i) = 0. В случае 1) существует п0 такое, что сп — cn+i = 0, т. е. сп = cn + i = с при любом п > п0. Тогда, очевидно, lim сп = с.

В случае 2) берем последовательность со свойствами (10). Переходя, если нужно, к полю, изоморфному с Р, можем считать, что р содержит рациональные числа и потому имеет смысл деление элементов р на целые числа (§ 26, теорема 2). Тогда можно считать, что

(11)

В самом доле, положим = 1. Из lim е =0 следует, что существует

Полагая е'п = е„, получим последовательность с требуемым свойством.

Из фундаментальности {с^} следует существование kn со свойством

(12)

при любом k ^ k

для любого п. Положим

Тогда Ьп — ап = ед и, значит, lim (bn — ап) = 0, т. е. выполнено (8). Далее, из (11) и (12) следует:

Так же доказывается, что

Итак, последовательность отрезков [а^, Ьп \ обладает свойствами (7) и (8) и по XIГ существует точка с, общая всем этим отрезкам, т. е. удовлетворяющая условию (9). Легко видеть, что lim с = с. В самом деле, для любого 8 > 0 найдется ед < е. Но из (9) и (12) следует, что все числа с и ск при k^kn принадлежат отрезку [ад, bn\. А потому

при любом k > kn.

Итак, в р выполнена аксиома полноты XII. Теорема доказана.

Поле рациональных чисел аксиоматически можно определить как простое поле характеристики нуль. В самом деле, любое такое поле совпадает со своим подполем рациональных элементов и, значит, изоморфно полю рациональных чисел Г (§26, теорема 2).

Кольцо целых чисел аксиоматически можно определить как кольцо Л с единицей е, не содержащее отличного от него подкольца с единицей и обладающее тем свойством, что ne≠0 для любого натурального числа п.

В самом деле, легко показать, что множество всех элементов вида изоморфно множеству N натуральных чисел относительно сложения и умножения. Значит, кольцо R содержит подкольцо R0, изоморфное кольцу целых чисел С (§21, теорема 3). Но так как R0 содержит единицу, то оно совпадает с R. Значит, R изоморфно кольцу целых чисел.

Задача 1. Доказать, что система аксиом I — X расположенного поля Р эквивалентна другой системе, где вместо свойства положительности в Р задано отношение «больше» (в символах а > 6), причем аксиомы I — VIII сохраняются, а аксиомы IX и X заменяются на свойства упорядоченного множества (§ 5, опр. 1) и законы монотонности сложения и умножения (§ 9, теорема 2), а именно:

(а) Для любых двух элементов а и b из Р имеет место одно и только одно из трех отношений а = b, а > 6, b > а.

(б) Из а > b и b > с следует а > с.

(в) Из а > b следует а + с > Ь + с,

(г) Из а > b и с > 0 следует ас > Ьс.

Таким образом, поле действительных чисел можно определить также системой аксиом I — VIII, (а) — (г), XI и XII.

Задача 2. Множество А расположенного поля Р называется ограниченным сверху, если существует элемент m из Р такой, что а < m для любого а из А. Элемент с называется верхней гранью множества А, если

1) а <с для любого а из А,

2) для любого 8 > 0 из Р существует элемент а из А такой, что а > с — е. Аналогично определяются множество, ограниченное снизу, и нижняя грань.

Доказать, что приведенные в теореме 2 формы а), б) и в) аксиомы непрерывности эквивалентны каждому из следующих свойств:

(dt) любое ограниченное сверху множество поля Р имеет верхнюю грань;

(д2) любое ограниченное снизу множество поля Р имеет нижнюю грань.

Таким образом, поле действительных чисел можно определить также системой аксиом I — X и одной из аксиом (dt) или (д2).

Глава седьмая

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Уже в древности при решении задач, выражаемых на современном языке квадратными уравнениями, встречались случаи, связанные с комплексными корнями уравнений. В таких случаях считали задачу неразрешимой. Однако решение в радикалах кубичного уравнения, найденное итальянскими математиками в 1-й половине XVI века (формулы Кардано), приводило к выражению действительных корней уравнения с действительными коэффициентами через квадратные корни из отрицательных чисел. Это заставило математиков того времени оперировать новыми числами, которые назывались «мнимыми», «невозможными», «воображаемыми» и т. д., применяя для них те же правила действий, которым подчинялись действительные числа. Однако смысл новых чисел оставался неясным, что и нашло свое отражение в терминологии. Так, Кардано называет новые числа «ложными», «поистине софистическими числами». Первое формальное обоснование действий с комплексными числами дано в «Алгебре» итальянского математика Бомбелли (1572 г.). Однако наглядное геометрическое изображение этих чисел (как точек или векторов на плоскости) было дано только двумя столетиями позже. После этого изучение комплексных чисел пошло очень быстро, и в настоящее время теория функций комплексного переменного является основной частью математического анализа. Эта теория находит приложения в самых разнообразных областях науки, в том числе сугубо практического характера(например, в аэродинамике). Комплексные числа не содержат в себе ничего более мистического, чем, скажем, числа рациональные или действительные, построенные в предыдущих главах.

§ 33. Определение поля комплексных чисел

В поле действительных чисел операция извлечения корня не всегда выполнима. Именно, корень четной степени из отрицательного числа не имеет действительных значений, т. е. при действительном a<fi и четном натуральном п не существует действительного 6, для которого Ьп=а (§30, теорема 4). Следуя общему

плану расширения числовых областей, намеченному в § 19, мы расширим теперь поле действительных чисел D до поля комплексных чисел К, в котором операция извлечения корня уже всегда выполнима. При этом получается существенно новый результат и для тех случаев, когда эта операция была выполнима в поле D. Именно, в новом поле К операция а при любом афО и любом натуральном п будет иметь ровно п значений*.

Как мы увидим, достаточно расширить поле D до такого поля, где V—1 имеет хотя бы одно значение, т. е. существует элемент i, для которого i2 =—1. Мы будем искать минимальное расширение такого рода в смысле следующего определения.

Определение 1. Полем комплексных чисел называется минимальное поле К, содержащее поле действительных чисел/) и элемент i со свойством i2 =—1, т. е. множество К, обладающее следующими свойствами:

1) К является полем, содержащим в качестве подполя поле действительных чисел D и элемент i со свойством i2 =—1.

2) Поле К не содержит никакого подполя, отличного от него самого и обладающего теми же свойствами. Элементы поля К называются комплексными числами.

Сначала докажем единственность (как всегда, с точностью до изоморфизма) определенного таким образом поля К.

Теорема 1. Поле К, содержащее поле действительных чисел D** и элемент i со свойством i2 ——1, будет минимальным, т. е. полем комплексных чисел, тогда и только тогда, когда каждый элемент х из К можно представить в виде

(1)

где а и b — действительные числа. При этом такое представление единственно, т. е. для данного элемента х из К существует лишь одна пара действительных чисел a, b (взятых в данном порядке), удовлетворяющих равенству (1).

Доказательство. I. Пусть каждый элемент х поля К может быть представлен в виде (1) с действительными а и b и пусть Р — любое подполе поля К, содержащее поле действитель-

* Значения j/a являются, очевидно, корнями уравнения хп— а = 0. Уравнения такого вида называются двучленными. Таким образом, в поле комплексных чисел К разрешимы все двучленные уравнения. Справедливо более сильное утверждение, что в поле К разрешимы все алгебраические уравнения, т. е. уравнения вида / (х) = 0, где / (х) — любой многочлен степени п ^ 1 с любыми комплексными коэффициентами. Доказательство этой теоремы выходит, однако, за рамки этой книги (см., например, книгу А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, Физматгиз, 1963, стр. 147).

** Как всегда, говоря, что одно поле содержит другое, мы подразумеваем, что операции в меньшем поле совпадают с одноименными операциями в большем поле.

ных чисел D и некоторый элемент / со свойством /* =—1. Так как i2=/2=—1, то

Но поле К не имеет делителей нуля (§ 7, теорема 6), значит, либо i-f~/=0, либо i—/=0, откуда /=±i. Для любого х из К тогда

т. е. X принадлежит Р, Р совпадает с К. Этим доказана минимальность поля К.

II. Пусть, обратно, поле К минимально. Покажем, что любой элемент х из К можно представить в виде (1). Пусть M есть множество всех элементов поля К, представимых в виде (1). Покажем, что сравнение и действия над элементами вида (1) обладают свойствами:

тогда и только тогда, когда

(2)

В самом деле, если а=с и b=d, то из однозначности суммы и произведения в поле К (§ 6, опр. 1) следует, что

Обратно, если

то из b=d следует bi=di, а потому а=с. Если же Ъфа, то

т. е. i принадлежит полю действительных чисел, что невозможно, ибо i2=—1<0, а квадрат действительного числа не отрицателен (§ 9, теорема 7). Значит,

b=d и а =с,

чем доказано утверждение а).

Так как из свойств нуля очевидно, что 0+0-£=0, то из а), в частности, следует, что a+bi=0 тогда и только тогда, когда а=Ь=0.

Равенства б) и в) следуют непосредственно из свойств сложения и умножения в пиле К.

Если с+сИфО, то либо сфО, либо афО и по доказанному выше также с—сИфО. В этом случае также c2+d2>0 (§ 9, теорема 7). Умножая делимое и делитель в левой части равенства г) на с—û^V=0, мы не изменим частного и легко приведем его к выражению, стоящему в правой части равенства.

Из а) следует однозначность представления элемента х в виде (1).

Из б), в) и г) следует, что сумма, разность, произведение и частное (если делитель отличен от нуля) двух элементов множества M снова принадлежит М. Значит, M — подполе поля Р (§7, теорема 10). Так как a=a+0-i и i=0+l-i принадлежат М, К — минимально, то К=М, т. е. любой элемент из К представим в виде (1).

Теорема 2. Все поля комплексных чисел изоморфны между собой, т. е. поле комплексных чисел определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Доказательство. Пусть Kin К2 — два поля комплексных чисел; причем Ki содержит элемент iu а К2 — элемент i2 со свойством &J=î*=—1. ц0 предыдущей теореме все элементы Ki записываются в виде а+Ы^ и все элементы из К2 — в виде а+Ы2 с действительными а и 6, причем однозначно. Отсюда легко вывести, что соответствие / (а+Ы^) =а+Ы2 является взаимно однозначным отображением Ki на К2. Из равенств (2) б), в) следует, что сложение и умножение элементов из Ki и К2 сводится к одним и тем же действиям над действительными числами. Отсюда легко вывести, что отображение / изоморфно. Надо доказать, что

для любых хх и ух из Ki. Проверим лишь первое из этих соотношений, так как для второго рассуждения аналогичны. Пусть

Тогда Значит,

Теорема доказана.

Замечание. При изоморфизме / любое действительное число а отображается само на себя, а элемент ii переходит в i2.

Теорема 3. Любое поле Р, содержащее поле действительных чисел D и элемент i со свойством i2 =—1, содержит поле комплексных чисел.

Доказательство. Пусть К — множество всех элементов поля Р, представимых в виде а+Ы с действительными а и Ь.

Как в доказательстве теоремы 1 [п. б)], убеждаемся, что К — подполе поля Р. Поле К содержит поле действительных чисел D и элемент i. Так как любой элемент из К имеет вид а+Ы, то по теореме 1 поле К минимально в смысле определения 1. Значит, К — поле комплексных чисел.

Теперь докажем существование поля комплексных чисел. Как и в случае целых, рациональных и действительных чисел, достаточно построить интерпретацию (конкретный пример) поля, удовлетворяющего определению 1. Можно было бы элементами этого поля просто считать символы а+Ы, где а и b — действительные числа, а i — символ, подчиненный условию iz=—1. Но тогда надо показать, что в это поле можно включить действительные числа так, что символ а+Ы в новом поле будет совпадать с суммой а и произведения b на U Такое построение ввиду неясности смысла, придаваемого символу i, может показаться слишком формальным. Поэтому мы поступим несколько иначе. По идее приведенное ниже построение очень близко к упомянутому выше, но все применяемые в нем символы имеют вполне конкретный смысл.

Конструкция одного из изоморфных полей комплексных чисел подсказывается теоремой 1. Ведь каждый элемент искомого поля должен иметь вид а+Ы, т. е. определяется парой действительных чисел a, Ъ, причем разным парам соответствуют и разные элементы. Таким образом, в данном случае нам не нужно определять эквивалентность пар и переходить к классам эквивалентных пар, как в случае целых или рациональных чисел.

Определение 2. Пусть К0 есть множество всех пар вида (а, 6), где а и b — действительные числа, порядок которых существен. Сложение и умножение в множестве К0 определяем по формулам:

(3) (4)

Операции в К0 определены так, чтобы им соответствовали те же операции в искомом поле, которые должны удовлетворять равенствам (2), б), в).

Теорема 4. Множество К0 с операциями, определенными по формулам (3) и (4), является полем.

Доказательство. Надо проверить выполнение в Kü свойств I — VIII (§ 6, опр. 2 и § 7, опр. 1).

Так как сложение пар сводится к сложению соответствующих элементов, то свойства I — III для пар непосредственно вытекают из соответствующих свойств действительных чисел.

Свойства IV — VI проверяются непосредственно. Проверим, например, дистрибутивность умножения относительно cлoжeния VI:

и

Обе окончательно полученные пары совпадают, чем и доказано VI.

Итак, К0 является кольцом. Легко видеть, что нулем этого кольца является пара (0, 0), а противоположная пара и разность пар определяются равенствами:

Проверяем обратимость умножения VII. Пусть (а, Ь) и (с, d) — две любые пары, причем (а, 6)^(0, 0). Последнее означает, что либо афО, либо ЪфО*.

Так как а и Ъ — действительные числа, то а*+Ьг>0 (§ 9, теорема 7). Надо найти пару (я, у), удовлетворяющую уравнению

(5)

Предположим сначала, что такая пара существует. Тогда

откуда

Решая эту систему уравнений относительно х и у, найдем:

Этим доказано, что если пара (х, у), удовлетворяющая уравнению (5), существует, то только одна, именно та, где х и у определяются из написанных для них выражений. Легко проверить, что такая пара действительно удовлетворяет равенству (5). В самом деле,

Этим VII доказано.

* Равенство и неравенство пар, как и элементов любых множеств, мы понимаем просто, как тождество или различие. Таким образом, (х, у) = = (z, t) тогда и только тогда, когда х = z, у — t.

Так как К0 содержит более одного элемента, то свойство VIII выполнено. Теорема доказана.

Отметим, что единицей поля К0 является пара (1, 0), так как

Мы увидим, что поле К0 до изоморфизма и является полем комплексных чисел. Это поле не удовлетворяет определению 1, ибо оно не содержит действительных чисел.

Займемся включением в поле К0 поля действительных чисел D. Пусть D' — множество всех пар поля К0 вида (а, 0). Из формул (3) и (4), определяющих сложение и умножение пар, легко следует, что отображение а->(а, 0) является изоморфным отображением поля D на множество D'. Значит, D' само является полем (§ 8, теорема 2). Далее, существует поле К, содержащее в качестве подполя D и отображающееся на К0 изоморфно так, что каждое число а из D отображается при этом на соответствующую ему пару (а, 0) из Ö' (§ 8, теорема 3).

Теорема 5. Поле К является полем комплексных чисел.

Доказательство. По построению поле К содержит поле D. Далее, поле К содержит пару (0, 1). Обозначим эту пару через iy т. е. положим £ = (0, 1). В поле К0 мы имеем:

Но при построенном выше изоморфном отображении К0 на К элементу (—1,0) из К0 соответствует число —1 из К. Значит, в К должно быть i2 =—1. Итак, поле К обладает свойством 1) из определения 1.

Остается доказать минимальность поля К. По теореме 1 для этого достаточно показать, что любой элемент х из К представим в виде х=а+Ы с действительными а и 6. Пусть при упомянутом изоморфизме К и К0 элементу х из К соответствует пара (а, Ь) из К0. Легко проверить справедливость равенства в К0. Отсюда в силу нашего изоморфизма между К0 и К находим:

Теорема доказана.

Как и раньше, при построении целых, рациональных и действительных чисел возникает вопрос о том, насколько исчерпали мы возможности данной конструкции. Что получится, если ту же конструкцию применить к самому полю комплексных чисел К? Заметим, что при доказательстве теоремы 4 (а именно, при доказательстве обратимости умножения VII) мы пользовались тем, что из (а, Ь)ф (0, 0) следует а2+Ь2Ф0. Но для пар комплексных чисел это уже не так. Например, (1, 1)Ф (0, 0), хотя l2-fi2=0.

Значит, множество L0, заданное определением 2, для пар комплексных чисел может оказаться лишь кольцом, но не полем. L0 действительно не будет полем, так как равенство (1, i)(x, у) .-= = (1, 0) приводится к несовместной системе уравнений:

Можно, однако, несколько видоизменить данную конструкцию так, чтобы она снова приводила к полю и совпадала с конструкцией поля комплексных чисел для ее применения к полю действительных чисел. Наметим лишь идею такой конструкции. В поле комплексных чисел число а+Ы допускает уже много записей того же вида. Так, для любых комплексных чисел a, fc, с имеем:

Две пары комплексных чисел (а, Ъ) и (с, d) будем считать эквивалентными, если

Это условие для пар с действительными элементами совпадает € равенством пар. В случае же поля комплексных чисел оно приводит к разбиению множества всех пар на классы эквивалентных пар. Рассуждая, как в доказательстве теоремы 4, нетрудно показать, что это множество классов будет полем, изоморфным полю комплексных чисел. В этом смысле данная конструкция в применении к полю комплексных чисел ничего нового не дает.

§ 34. Свойства комплексных чисел

Поле комплексных чисел обладает всеми свойствами колец и полей, рассмотренными в § 6 и 7.

Так как поле комплексных чисел содержит поле рациональных чисел, то его характеристика равна нулю.

Так как в любом расположенном поле а2^0 для любого элемента а (§ 9, теорема 7), а в поле комплексных чисел i2 = = —1, то поле комплексных чисел не может быть расположено.

Геометрическое представление комплексных чисел. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые: горизонтальную ось Ох и вертикальную ось Ог/, пересекающиеся в точке О (черт. 2). Далее, выберем некоторый отрезок MN за единицу измерения отрезков. Тогда все комплексные числа можно изобразить точками плоскости хОу. Именно, для числа z=a+bi

Черт. 2

откладываем на оси Ох от точки О отрезок OA длины |я| и притом вправо, если а>0, и влево, если а<сО. На оси Oy откладываем отрезок OB длины \Ь\ и притом вверх, еслп fc>0, и вниз, если Ь<0. Через точку А проводим прямую, параллельную оси Oy, а через В — прямую, параллельную оси Ох. Точка Z пересечения этих прямых и принимается за изображение числа z. Легко убедиться, что любая точка нашей плоскости является изображением некоторого комплексного числа и что данное соответствие между комплексными числами и точками плоскости хОу взаимно однозначно. Читатель, знакомый с понятием координат, может считать, что число z=aJrbi изображается точкой Z (а, Ь) с прямоугольными декартовыми координатами а и Ь.

Действительные числа и только они изображаются точками прямой Ох. Числа вида Ы, называемые чисто мнимыми, и только они изображаются точками прямой Oy. Поэтому прямая Ох называется действительной, а Oy — мнимой осью. Направления вправо по оси Ох и вверх по оси Oy называются положительными, а влево по оси Ох и вниз по оси Oy — отрицательными. Точка О называется началом координат, а прямые Ох и Oy — осями координат.

Во всем дальнейшем мы не будем пользоваться геометрическим представлением комплексных чисел для доказательства каких-либо их свойств и ввели его лишь для того, чтобы читатель имел наглядное представление об этих свойствах.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Определение 1. Тригонометрической формой комплексного числа z называется его запись в виде

где гиа — числа действительные, причем г^О. Число г называется модулем, а а — аргументом комплексного числа z.

Теорема 1. Любое комплексное число z можно записать в тригонометрической форме. При этом модуль z определен однозначно и равен нулю тогда и только тогда, когда z=0; аргумент для z=0 может быть произвольным числом, а для ъф§ определен, с точностью до слагаемого, кратного 2л.

Доказательство. Если z=0, то

при любом а будет тригонометрической формой числа z. Обратно, если

то из

следует, что

и, значит, г=0. Этим все утверждения теоремы, касающиеся случая z=0, доказаны. Пусть

Тогда числа а и b не равны нулю одновременно и, значит,

В поле действительных чисел |Л**+&* имеет два значения: положительное и отрицательное (§ 30, теорема 4). Пусть г — положительное значение этого корня. Так как

Существует число а0 такое, что

(§ 30, теорема 5). Так как

то

Если cos ао* то положим а0 =я—сц. Если ^ ——sin аь то

положим (*!=—а. Тогда получим число а такое, что

и, значит,

Итак, z записано в тригонометрической форме. Очевидно, что, прибавляя к а число 2kn с любым целым k, мы получим тригонометрическую форму того же числа z.

Покажем единственность модуля. Пусть

Тогда

Возводя эти равенства в квадрат и складывая, находим:

Мы берем положительное значение корня, ибо г>0. Этим единственность г доказана.

Наконец, если даны две тригонометрические формы числа z

то при гфО также гфО, откуда

и, как известно из тригонометрии, тогда

с целым k. Теорема доказана.

Выясним геометрический смысл модуля и аргумента. Пусть числу z=r- (cos a + i sin а) соответствует точка Z плоскости хОу (черт. 3). Соединим эту точку отрезком прямой с началом координат О и опустим из точки Z на действительную ось Ох перпендикуляр ZP. Если z=a+bi, то длина отрезка ОР равна |a|, а длина ZP равна \Ь\.

Поэтому

откуда r=OZ. Итак, модуль числа г равен расстоянию точки Z от начала координат. E^nß — радианная мера угла, образуемого лучом OZ с положительным направлением действительной оси, отсчитываемой от этой оси до OZ в направлении, совпадающем с кратчайшим поворотом от положительного направления действительной оси до положительного направления мнимой оси, то, проведя окружность радиуса г с центром О, мы видим, что а и b по абсолютной величине и по знаку совпадают с линией косинуса и линией синуса угла ß. Значит, в силу равенств (1) должно быть

откуда

Итак, аргумент числа z с точностью до слагаемого, кратного 2я, равен углу луча OZ с положительным направлением действительной оси.

Читателю, знакомому с полярными координатами, достаточно было бы указать, что модуль и аргумент числа z являются полярными координатами соответствующей точки Z в системе полярных координат, у которой полюс лежит в начале координат О, а полярная ось совпадает с положительным направлением действительной оси Ох.

Черт. 3

Умножение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, выглядит особенно просто.

Теорема 2. При умножении любого конечного числа комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство. Ограничимся случаем двух сомножителей, так как проведение индукции не представляет затруднений. Итак, надо доказать, что

(2)

Но

Отсюда непосредственно вытекает формула (2). Так как из г^О, ^2^0 следует г{г2^0, то г{г2 — модуль п а{ + а2 — аргумент произведения данных чисел, чем теорема в случае двух сомножителей доказана.

Теорема 3. При делении комплексных чисел модули их делятся, а аргументы вычитаются, точнее:

(3)

Доказательство. Частное, как и любое комплексное число, можно записать в тригонометрической форме. Пусть эта запись будет

По определению частного тогда

Откуда, включая в а0 слагаемое, кратное 2л, находим:

т. е.

чем теорема доказана.

При совпадении сомножителей из теоремы 2 получается так называемая формула Муавра:

(4)

Теперь легко решается вопрос об извлечении корня из комплексного числа.

Теорема 4. Пусть z — комплексное un — натуральное число. В поле комплексных чисел у/~^ имеет при z =0 единственное

значение О, а при гфО имеет п значений. Если

то эти значения находятся по формуле

(5)

Доказательство. 0п =0 и из хп =0 в силу отсутствия делителей нуля в поле К (§7, теорема 6) следует 2=0. Значит, при z=0 единственное значение Y~z есть 0.

Пусть

Тогда г=7^0 и аргумент а определен с точностью до кратного 2л.

Предположим, что имеет значение х в поле комплексных чисел. Это значит, что хп = z. По теореме 1 число х можно записать в тригонометрической форме:

Тогда по формуле Муавра (4) находим:

откуда и, значит,

Можно считать, что целое число k удовлетворяет условию O^k^n— 1. В самом деле, деля k на гс, находим k=nq+ku где q и ki — целые числа и O^ki^n — 1 (§ 23, теорема 3). Тогда

Но так как аргумент числа х определен лишь с точностью до

кратного 2я, можно считать, что он равен Итак,

Мы доказали, что если существует значение \/z, то оно совпадает с одним из п чисел zÄ, определяемых равенством (5).

Легко показать, что все числа z^, определяемые из равенства (5), действительно являются значениями у/zu притом даже

при любом целом k. В самом деле,

Наконец, покажем, что все п чисел zk при k =0, 1,2,..., п—1 различны между собой. Если кф1, то по теореме 1 из гфО и zh=zl следует:

с целым га; откуда

Но из

и так как га — целое, то га = 0, следовательно, k=l, что невозможно. Теорема доказана.

Из равенств (5) ясно, какой геометрический смысл имеют значения z при z^O. Так как модуль у всех чисел z^ общий, то точки, изображающие эти числа, лежат на окружности радиуса \/г с центром в начале координат. Аргументы соседних чисел Zb и Zh + i отличаются на —, и, значит, точки, изображающие числа zh, лежат в вершинах правильного я-угольника, вписанного в упомянутую окружность, причем одна из вершин изображает число z0 с аргументом чем однозначно определяется положение остальных вершин.

После выяснения геометрического смысла значений z найденные прежде (§ 30, теорема 4) свойства корней из действительных чисел получают наглядное истолкование.

Пусть надо найти действительные значения z из действительного числа z=^0. Эти значения изобразятся вершинами указанного выше правильного п-угольника, лежащими на действительной оси. Отсюда сразу ясно, что действительных значений может быть не более двух и если их два, то они равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Если О>0, то его аргумент а=0 и вершина, изображающая число z0, лежит на положительной действительной полуоси. При четном п противоположная вершина также попадает на действительную ось, и мы получим два действительных значения корня; при нечетном же п другой вершины на действительную ось попасть не может, и мы получаем одно действительное значение. Если z<0, то а=л. Число Zb будет действительным, если его аргумент кратен я. При нечетном п аргумент будет кра-

тен л при k = —x—, и мы получим одно действительное значение корня с аргументом я, т. е. отрицательное, а при четном и аргумент л--не может быть кратным л, и мы вовсе не получим действительных значений корня.

Свойства модуля. Модуль комплексного числа z обозначается через \z\. Совпадение этого обозначения с обозначением абсолютной величины в случае действительного z не ведет к противоречию, ибо если z=aJrbi — действительное число, то 6=0 и для модуля z находим:

т. е. модуль действительного числа совпадает с его абсолютной величиной.

Комплексные числа

называют сопряженными. Очевидно, что сопряженные числа имеют одинаковый модуль. Далее, произведение сопряженных чисел равно квадрату их модуля:

Отсюда

(6)

Модуль комплексного числа обладает свойствами, аналогичными свойствам абсолютной величины элемента, расположенного поля (§ 9, теорема 8), а именно:

(7) (8)

для любых комплексных чисел х и у.

В самом деле, равенство (7) содержится в теореме 2. Если же не использовать тригонометрическую форму чисел, а принять за определение модуля \z\ равенство (6), то равенство (7) можно доказать так:

Для доказательства формулы (8) сначала докажем равенство:

(9)

Пусть

Тогда

* Полагая х = a -f» Ы% у = с -f di, легко проверить, что ху — х у.

Откуда

т. е. (9) доказано.

Теперь докажем (8). Для х=0 равенство (8), очевидно, выполнено. Если хфО, то

что и требовалось доказать.

Определение 2. Поле Р называется нормированным (или метризованным), если существует расположенное поле Q и функция /(а), заданная на всем поле Р, значения которой принадлежат полю Q и которая обладает свойствами:

(10)

(11)

(12)

Любое поле Р допускает тривиальное нормирование. Достаточно принять за Q поле рациональных чисел и положить ДО) =0, f(a)—l для любого афО из Р. Прочие нормирования называются нетривиальными. Любое расположенное поле Р допускает нетривиальное нормирование, а именно, f(a)=\a\ (§9, теорема 8).

Определения предела последовательности, фундаментальной последовательности и полноты поля (§ 28, опр. 3—5) используют лишь понятие абсолютной величины элементов, а доказательства свойств этих понятий (§ 28, теоремы 1—3) используют лишь свойства абсолютной величины, доказанные в теореме 8 из § 9, т. е.

Поэтому указанные понятия и теоремы сохраняют значение не только для расположенных, но и для любых нормированных полей. В случае тривиального нормирования поля Р, как легко видеть, из lim ап —а следует существование натурального п0 такого, что ап=а при любом п>п0. Аналогично этому для любой фундаментальной последовательности {ап} из Р существует натуральное п0 такое, что / (ар—ад) =0 и, значит, ap=aç1 для любых р, д>п0. Поэтому поле Р с тривиальным нормированием всегда является полным.

Свойства модуля (7) и (8) показывают, что функция f(z)=\z\ дает нетривиальное нормирование поля комплексных чисел.

Теорема 5. При нормировании поля комплексных чисел при помощи функции f(z)=\z\ это поле является полным.

Доказательство. Пусть дана фундаментальная последовательность {zn} комплексных чисел, т. е. для любого дейст-

вительного числа е>0 существует натуральное п0 такое, что» \zp—z \ <Се при любых р, q>nQ. Если

то

откуда и, значит,

при любых р, q>n0. Поэтому последовательности действительных чисел {ап} и {Ьп} являются фундаментальными и в силу полноты поля действительных чисел должны сходиться. Пусть

Положим

и покажем, что

Для данного действительного числа е>>0 существуют натуральные числа ni и п2 такие, что

при любом гО>пх и

при любом гО>п2. Если п0 —-большее из чисел и п2, то

и, значит,

Теорема доказана.

Заметим, что понятие непрерывной функции и основные свойства непрерывных функций (§ 30, опр. 2 и теоремы 1, 2) дословно сохраняются для функций, заданных на множестве комплексных чисел и принимающих комплексные значения (так называемых функций комплексного переменного). Эта аналогия распространяется и на ряд других свойств функций, изучение которых выходит за пределы данной книги*.

Задача 1. Доказать теоремы 1 и 2 из § 30 для случая функций комплексного переменного.

* А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций, Гостехиздат, 1950,

Задача 2. Доказать, что если комплексные числа х и у сопряжены X и у, то числа

сопряжены соответственно числам

где {у≠0).

Задача 3. Пользуясь формулой Муавра (4) и возвышением в степень по формуле бинома Ньютона, выразить cosmx и sin/га через cosa и si па, п — любое натуральное число.

Задача 4. Доказать, что все значения л/z получатся, если любое из них умножить на все значения

Глава восьмая

КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ И ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 35. Определения и простейшие свойства

Понятия многочлена и алгебраической дроби известны каждому школьнику. Однако строгое их обоснование встречает трудности не только того же характера, как обоснование понятия числа, но и совсем иного свойства. В самом деле, какой смысл имеет, например, выражение х2+у2? В каком смысле следует понимать здесь операции сложения и умножения? Можно понимать эти операции как действия над числами, которые подразумеваются под символами X и у. Если мы хотим рассматривать многочлен х2+у2 в этом смысле, например в области действительных чисел, то под х2+у2 надо понимать функцию двух «переменных», заданную в поле действительных чисел, т. е. такое соответствие, которое каждой упорядоченной паре действительных чисел х и у сопоставляет число х2+у2. Такая «функциональная» точка зрения на многочлены характерна для математического анализа. Однако в алгебре такое понимание многочленов неудобно и даже не всегда возможно. Многочлены играют важную роль в общей теории колец и полей, но существуют кольца и поля с конечным числом элементов. Возьмем, например, уже известное читателю поле Р из двух элементов 0 и 1 (§ 7, пример 4) и рассмотрим в этом поле функцию х2+х. Она равна нулю на всем поле Р (ибо 1 + 1=0). Значит, для функций справедливо равенство

Отсюда

и т. д. Мы получаем правила оперирования с многочленами, совершенно отличные от обычных.

Так будет для любого конечного кольца. Действительно, функция от п переменных хи х2, . . хп вполне определяется ее значениями для всевозможных значений аргументов. Но так как значения функции, заданной многочленом от хи х2, хп в конечном кольце, сами принадлежат этому кольцу, то всех таких

функций лишь конечное число, и, значит, даже среди многочленов .г, я2, я3, ... должны быть такие, которые задают одну и ту же функцию, т. е. xk=xl при кф1.

Еще хуже дело обстоит с алгебраическими дробями. Их без дополнительных условий нельзя рассматривать как функции даже в поле действительных чисел. Ведь точное определение всякой функции (§ 3, опр. 1) включает в себя ее область задания. Так, / (х) =1 для х^О и g (х) =1 для любого действительного х, это две разные функции. В § 30 мы определили действия над функциями, заданными на одном и том же множестве. Таким образом,

где правая часть задана лишь для хфО, тогда как

где правая часть задана лишь для хф\.

Значит, Также

если в правой части, как обычно, понимать под х+1 функцию, заданную для всех действительных х. Мы видим, что определение алгебраических дробей как функций и операций над ними как операций над функциями противоречит школьным правилам оперирования с алгебраическими дробями. Разумеется, алгебраические дроби в таком понимании сложения и умножения функций не образуют ни поля, ни кольца, ибо для функций, заданных на разных множествах

операции вообще не определены.

Вот почему при определении многочленов, алгебраических дробей и действий над ними удобнее отказаться от их понимания как функций и принять совершенно иное их определение. После алгебраического их определения можно дать и их истолкование как функций, причем операции над этими функциями будут определены так, что функции, изображаемые многочленами, образуют кольцо, а функции, изображаемые алгебраическими дробями,— поле, и сохраняются все обычные правила оперирования над ними.

Точное определение многочленов и алгебраических дробей (точнее, рациональных функций) по идее очень близко к их школьному определению как выражений определенного вида, содержащих числа и буквы, действия над которыми совершаются по заданным правилам. Так, многочлены от одного неизвестного х с коэффициентами, скажем, из поля действительных чисел точно можно было бы определить как выражения вида а0+а{х+-}-а2х2+. . .+апхп, где п — не отрицательное целое число, а0, . . ., ап — действительные числа и знаки « + » и степеней, как

и сам х, являются символами, смысл которых никак не определяется. Далее, можно определить сложение и умножение таких выражений по известным школьным правилам и показать, что символы хп совпадают со степенями я, а символы самих многочленов — с суммами произведений этих степеней на действительные числа.

Однако такое определение многочленов, являясь по идее наиболее близким к школьному определению, может показаться слишком формальным, так как символ х не получает при этом никакого конкретного истолкования. Мы приведем поэтому другое определение, охватывающее как частный случай, и определение, указанное выше. Это определение связано с важным само по себе свойством элементов кольца по отношению к его подкольцу, которое мы сейчас рассмотрим.

Определение 1. Пусть кольцо R является подкольцом кольца S. Элемент b кольца S называется алгебраическим над R (или относительно Я), если в R существуют элементы а0, аи . . ап, не все равные нулю и удовлетворяющие условию

(1)

Элемент b из не являющийся алгебраическим над /?, называется трансцендентным над R. Иными словами, b трансцендентен над Я, если из справедливости равенства (1) для элементов а0, аи . . ап из R следует: a0=ai=. . ,=ап=0*.

Теперь можно дать индуктивное определение кольца многочленов с п неизвестными.

Определение 2. Пусть дано кольцо R. Кольцом многочленов с одним неизвестным х над R называется кольцо, которое обозначается через R[x] и обладает свойствами:

1) R[x] содержит R в качестве подкольца.

2) Rix] содержит элемент х, трансцендентный над /?.

3) Rix] минимально в том смысле, что никакое его подкольцо, отличное от него самого, не может содержать как Л, так их**.

Элементы кольца Rix] называются многочленами с одним неизвестным х над R.

Кольцом многочленов с п неизвестными хи х2, . . ., хп (п>1) над Я называется кольцо, которое обозначается через R[xux2,...,xn]

* Если понятие многочлена с одним неизвестным считать данным, то можно назвать элемент b из S алгебраическим над Ä, если он является корнем алгебраического уравнения с коэффициентами из Л, т. е. уравнения вида / (х) = О, где / (х) — многочлен с коэффициентами из Ä, не все из которых равны нулю. В важнейшем частном случае, когда R — поле рациональных и S — поле комплексных чисел, числа алгебраические и трансцендентные над R называются просто алгебраическими и трансцендентными.

** Это условие минимальности не исключает того, нто R[x] может содержать подкольца, содержащие R и трансцендентные над R элементы, отличные от X. Так, кольцо С[х] всех многочленов с целыми коэффициентами содержит подкольцо С[х2] многочленов, содержащих лишь четные степени х, причем из трансцендентности х над С следует, очевидно, трансцендентность X2 над С,

и является кольцом многочленов с неизвестным хп над кольцом многочленов с неизвестными

(2)

(дг>1). Его элементы называются многочленами с п неизвестными Х\, . . хп над кольцом R. Кольцо R называется областью коэффициентов кольца многочленов Rlxt, х2, . . хп].

Из этого определения еще неясно, существует ли кольцо многочленов с одним или несколькими неизвестными, определено ли оно однозначно до изоморфизма. Переходим к решению этих вопросов.

Если R — нулевое кольцо, состоящее из одного элемента О, то все элементы любого более широкого кольца, включая и сам элемент 0, будут трансцендентны над R. Поэтому само R является кольцом многочленов с одним неизвестным 0 над R. Но над тем же кольцом R кольцами многочленов будут также кольца многочленов С[х] и Pix], где С — кольцо целых чисел и Р — простое поле характеристики р (см. § 7, опр. 7 и следующие затем примеры). Так, например, если е — единица поля Р, то Pix] содержит вместе с е и х и их произведение ex, а значит, для любого целого п и пех, где ne — любой элемент поля Р; отсюда вытекает минимальность поля Pix]. Для Clx] рассуждения аналогичны. Значит, для нулевого кольца R кольцо Rix] определено неоднозначно. Поэтому всюду ниже без особых оговорок мы будем исключать из рассмотрения нулевое кольцо.

Теорема 1. Кольцо S, содержащее подкольцо R с единицей \ф0 и элемент х, трансцендентный над R, тогда и только тогда является кольцом многочленов с одним неизвестным х над R, когда каждый элемент а из кольца S представляется в виде

(3)

где все элементы а0, аи а2, . . ап принадлежат R. Такое представление единственно, если не считать слагаемых, равных нулю.

Замечание. Эта теорема показывает, что определение 2 приводит к понятию многочлена, известному из средней школы.

Доказательство. 1) Пусть любой элемент а из S представляется в виде (3). Тогда любое подкольцо кольца S, содержащее R и X, содержит также а и, значит, совпадает с S; S — минимально, т. е. является кольцом многочленов с одним неизвестным X над R. 2) Пусть S — кольцо многочленов с одним неизвестным X над R и M — множество всех элементов а из кольца S, представимых в виде (3), где все элементы а0, а{, . . ., ап принадлежат R. Справедливы следующие правила сравнения и оперирования над

элементами множества M:

а)

тогда и только тогда, когда при т^п будет ak=bk, k = 0, 1, 2, . . m и bh=0 при . . ., п.

б) Если т^п, то

(4)

где положено ak=0 при &=m+l, . . ., п.

в)

где положено а,-=0 при i>m и Ьу.=0 при />>аг.

В самом деле, если т^п и ah=bh при k^m, ЬА=0при k>m7 то равенство а) выполняется. Равенство б) легко доказывается индукцией по п на основе свойств сложения и умножения кольца S. Точно так же равенство в) доказывается индукцией по числу т+п. Остается доказать вторую половину утверждения а). Если т^п и

то, полагая ah=0 при ß=m+l, . . ., n, получим на основании б);

откуда по трансцендентности элемента х следует: ah—bh=0, ah=bh при £=0, 1, . . п. В частности, bh=^0 при k =m+lt . . п.

Из а) следует однозначность представления элементов из M в виде (3). Далее, из б) и в) вытекает, что сумма, разность и произведение двух элементов множества M снова принадлежат к М. Значит, M — подкольцо кольца S (§ 6, теорема 13).

Если в (3) а/==0 при С>0, то a=a0£R.

Если же a0=ü2=as = . . . =ап =0, но а4 =1, то а~х. Значит» подкольцо M содержит R и х. В силу минимальности кольца многочленов S=R[x] должно быть M=S, т. е. любой элемент кольца S представим в виде (3). Теорема доказана.

Замечание. Для колец без единицы эта теорема неверна. Так, если R — кольцо четных чисел, то Rix], как кольцо, содержащее х, содержит пх=х+х+ . . . +х для любого натурального n, а значит, и пх для любого целого п. Поэтому Rix] содержит nx*xk~l =nxk для любого целого п и любого натурального k. Так как Rix] содержит еще R, то оно содержит все суммы вида

а0+а1х+а2х2+ . . . + anxn с четным a0 и любыми целыми аь û2, . . ., аП' Но легко видеть, что сумма, разность и произведение таких сумм имеют тот же вид, т. е. эти суммы образуют подкольцо S кольца С[х] многочленов с целыми коэффициентами. Так как S содержит R и х и, очевидно, минимально, то S и будет кольцом R [х]. Но не все элементы этого кольца представляются в виде (3), ибо не все многочлены из S имеют четные коэффициенты. В качестве упражнения читателю предлагается доказать, что многочлены с четными коэффициентами образуют кольцо, которое не является кольцом многочленов с неизвестным х (или с другим неизвестным) над каким-то другим кольцом (в смысле опр. 2). Для нулевого кольца R теорема 1 также неверна, ибо кольцо многочленов С[х] над кольцом С целых чисел будет также кольцом многочленов R [х] над нулевым кольцом R.

Теорема 2. Для любого кольца R с единицей* и любого натурального числа п кольцо многочленов Rlx{, . . ., хп] существует и до изоморфизма только одно. Точнее, если кольца R и S изоморфны, то и кольца Rixи . . ., хп] uSly{, . . ., уп] изоморфны, причем существует изоморфизм этих колец, сохраняющий заданный изоморфизм колец R и S и переводящий х{ в у( для i =1, 2, . . ., п.

Доказательство. 1) Сначала докажем единственность кольца Rlxi, . . ., хп]. Пусть / — изоморфное отображение R на S. Строим отображение /А кольца Rix] на кольцо Sly]. Если дан многочлен

из кольца Rix] и /(аА)=&А, k=0, 1, . . п, то положим

Так как по теореме 1 любой многочлен из Rix] однозначно представляется в виде

и то же верно для выражения элементов из Sly] через г/, то ji — взаимно однозначное отображение Rix] на Sly]. Очевидно, что для элементов из кольца R отображение fi совпадает с / и что fi(x)=y. Далее, из равенств (4) б), в) легко следует, что отображение /t является изоморфным. Итак, для многочленов с одним неизвестным однозначность доказана. Если она доказана для п — 1 неизвестных, то существует изоморфное отобра-

* Путем включения любого кольца в кольцо с единицей эта теорема переносится на любые кольца.

жение /п_! кольца Rlx{l . . ., хп_{] на S[yu . . ., yn_i], совпадающее с / на кольце R и переводящее х{ в уп î=l, 2, . . ., п—1. Так как

и аналогично для . . ., уп], то по доказанному для случая одного неизвестного существует изоморфное отображение fn кольца R[xu . . ., хп] на . . ., уп], совпадающее с /п_4 на Rlxi, . . хп_л] и переводящее яп в Очевидно, что /Л и будет искомым изоморфизмом колец R[xu . . ., хп] и S[yu . . ., По индукции однозначность кольца многочленов доказана для любого числа неизвестных.

2) Теперь докажем существование кольца R[xu . . ., хп]. Рассмотрим сначала случай одного неизвестного х.

Для доказательства существования кольца Rix] достаточно построить пример кольца, удовлетворяющего определению 2 при данном R. Конструкция одного из таких колец подсказывается теоремой 1. Ведь каждый элемент искомого кольца однозначно определяется упорядоченной системой элементов а0, аь . . ., ап из /?, определяемой представлением этого элемента в виде (3). Операции над элементами кольца R[x] сводятся к операциям над элементами из кольца R согласно правилам (4), б), в). Для удобства мы отнесем элементам искомого кольца не конечные системы, а бесконечные последовательности (а0, аи а2, . . .)={ап} элементов из Л, в каждой из которых все элементы, начиная с некоторого номера, равны нулю. Пусть £0 — множество всех таких последовательностей. В соответствии с равенствами (4) б), в) сложение и умножение в S0 определяем так:

(5) (6)

Последовательности в правых частях снова принадлежат к S0, ибо все их члены, начиная с некоторого, становятся равными нулю. Именно, если ап =0 при п>р, Ьп =0 при n>q и p^q, то ап+Ьп=0 при п>р и

Множество 6*0 с операциями, заданными равенствами (5) и (6), является кольцом. Чтобы это показать, надо проверить выполнение свойств кольца I — VI (§ 6, опр. 2). Это легко выполнить путем непосредственных вычислений. Так как это было уже сделано выше для другого случая (см. пример в § 32), то мы их повторять не будем.

Нулем кольца S0 является, очевидно, последовательность (0, 0, 0, . . .), все члены которой равны нулю.

Кольцо SQ1 как мы увидим, изоморфно кольцу Rix], Само S0 еще не содержит элементов из R. Остается включить R в S0.

Последовательности из кольца S0 вида (а0, 0, О, . . .), где все члены, начиная с аи равны нулю, образуют, очевидно, подкольцо R' кольца S0, изоморфное кольцу /?, причем изоморфным отображением R на R' будет f(a0) = (a0, 0, 0, . . .). Существует, следовательно, кольцо iS, содержащее R и изоморфное SQi причем изоморфное отображение g кольца S на S0 совпадает на Я с отображением / (§ 8, теорема 3).

Покажем, что кольцо S и будет кольцом многочленов Rix], Кольцо S содержит R. Пусть х — элемент из S, соответствующий последовательности (0, 1, 0, 0, . . .) из S (если S получено из S0 путем замены R' на /?, то х прямо совпадает с этой последовательностью) при изоморфизме g. Непосредственно из (5) и (6) следует:

где 1 стоит на (/г+1)-м месте,

(ап,0,0, . . .)• (0,0, . . .,0, 1,0, . . .) = (0, 0, . . ., 0, аП9 0, . . .), где 1 слева и ап справа стоят на (га+1)-м месте, (а0, аи а2 . . .) = (а0, 0, 0, . . .)+ (0, аи 0, . . .)+ (0, 0, а2, 0, ...) + ... для любой последовательности из iS0, наконец, из предыдущих равенств вытекает:

для любой последовательности (а0, аи а2, . . ап, . . .) из S0, где ад =0 при k>n. Из этого равенства в силу изоморфного отображения SQ на S, обратного отображению g, находим:

(7)

где а0, а4, а2, . . ап — элементы из Л и а — любой элемент из S. Если

то в силу изоморфизма g также (а0, аи а2, . . .) =0 (в £0),т. е. все члены равны нулю. Значит, элемент х трансцендентен над R. В силу того, что любой элемент а из S представим в виде (7), мы заключаем по теореме 1, что S является кольцом R[x\ многочленов с неизвестным х над R.

Если существование кольца Rlxiy . . ., хп_х] доказано, то в силу индуктивного определения (2) доказано и существование кольца R[хи . . ., хп]. Применяя индуктивное определение (§ 15, опр. 1), можем считать кольцо R[xif . . ., хп] построенным для любого натурального числа п. Теорема доказана.

До сих пор неизвестные zi% х2, . . хп в кольце R[x{, х2, хп] играли неодинаковую роль, ибо равенство (2), определяющее

это кольцо, не симметрично относительно неизвестных. Так, каждое xh трансцендентно относительно кольца R[xu . . ., а значит, и относительно его подкольца R[xu . . ., xt\, где i<k. Отсюда следует, что имеет смысл кольцо R[x{i , хч , . . ., xik ], где ii <^2<. • . <OV Однако еще неясно, существует ли это кольцо для любых различных между собой чисел ii% i2, . . ., i^. Так, пока неясно, существует ли кольцо R[x2, х{] =R[x2][xx]y ибо неизвестно, будет ли х{ трансцендентно над кольцом R[z2], Мы покажем теперь, что все неизвестные равноправны при определении кольца R[xiy . . ., хп\, и попутно получим обычное представление многочленов с п неизвестными в виде сумм и обычные правила сравнения и оперирования для этих сумм.

Теорема 3. Если R — кольцо с единицей, то любой элемент а кольца R\x^, . . ., хп] можно представить в виде

(8)

где все ki, k2, . . ., kn — целые неотрицательные числа и все aktfk2,...,kn принадлежат кольцу R, причем лишь конечное число их отлично от нуля и сумма считается взятой по тем значениям ku k2, . . ., kn, для которых

Обратно, любое выражение вида (8) принадлежит кольцу

(9)

тогда и только тогда, когда

при любых значениях ku k2, . . ., kn. Иными словами, представление элемента а в виде (8) единственно.

Любое неизвестное xi трансцендентно над кольцом остальных неизвестных R[xi, . . х(_{1 xi + iy . . ., хп]. Для любой перестановки iu i2, . . in чисел 1, 2, ..п кольцо R [xil, xÏ2, . . ., Xin] существует и совпадает с R[xx, х2, ., хп].

Доказательство. То, что любой элемент кольца R[xu . . хп] обладает представлением вида (8), доказывается индукцией по числу п. Для п=1 это доказано в теореме 1. Если это верно для R[xu . . ., хп_1], то любой элемент из R[x{1 . . . , хп] по теореме 1 представляется в виде (3), где а0, а4, . . ., ап принадлежат кольцу R[Xi, . . ., xn_i] и, значит, представляются в виде (8). Раскрывая скобки, получим представление данного элемента из Rlxi, .. ., хп] в виде (8). Обратно, кольцо R[xu . . ., хп] содержит R и хи . . ., хп, а потому и все выражения вида (8).

Равенства (9) б), в) доказываются индукцией по п с помощью соответствующих равенств для одного неизвестного, т. е. (4) б), в).

В силу равенства (9) б) для доказательства (9) а) достаточно убедиться в единственности представления вида (8) для нуля, т. е. доказать, что из равенства

(10)

следует:

(11)

для любых . . ., kn (обратное очевидно).

Докажем, это индукцией по п. Для п=1 это следует из трансцендентности хх над R. Если утверждение уже доказано для п — 1 неизвестных, то, вынося за скобки каждую степень хп в левой части (10), получим:

где все а^ принадлежат кольцу R[xu . . ., xn_x] и лишь конечное число их отлично от нуля. По трансцендентности хп над R[xu . . ., xn_i\ все ak равны нулю. Но каждый элемент ah представлен в виде (8), причем все элементы akn . . ., kfi этого представления принадлежат представлению (10) и обратно. По предположению индукции все akl, • . ., kn равны нулю, что и доказывает (11).

Покажем, что х- трансцендентно над кольцом

Если

где а0, аь . . ., ар принадлежат кольцу R[xu . . ., х(_и xi + l, . . . . . м хп], то, заменяя все а* их выражениями вида (8), мы придем

к равенству вида (10). Но тогда выполняются равенства (11), откуда a0=ai=. . . =ар =0.

Пусть iu i2, . . in — данная перестановка чисел 1,2,.. ., п. Так как xix трансцендентно над Д, то R[xi:] существует. Пусть уже существует кольцо i?[xit, . . ., xik\, причем оно совпадает с кольцом Rlxj^ . . ., xjk], где ju . . ., jk — перестановка чисел iL, . . ., ih при /i</2<. . .</*• По доказанному выше xik + i трансцендентно над RlxJt , . . xJJ=R[xil, . . ., xik\. Значит, кольцо R[xit, . . ., Х{к+1] существует. Все его элементы выражаются в виде (8) через х-1х , . . xik + {. Расположив числа iu • • i^+i в возрастающем порядке, получим перестановку 1и . . ., lk + i-Тогда кольцо R[xlt , . . ., х1к + 1] также существует, причем состоит из выражений вида (8) через xtl% . . ., xtk+l, т. е. через те же , . . ., Xik+t% но в ином порядке. Но из коммутативности умножения следует, что выражения вида (8) при изменении порядка неизвестных не изменяются. Значит,

По индукции доказано, что кольцо R[xii , . . ., xin] существует и совпадает с R[xu . . ., хп). Теорема доказана.

Определение 3. Выражение вида (8) данного многочлена с п неизвестными хи . • ., хп (однозначно определенное согласно последней теореме) называется нормальным видом данного многочлена. Отдельные слагаемые

нормального вида многочлена называются членами многочлена. Элементы а*,, . . ., &п исходного кольца R называются коэффициентами многочлена (а также соответствующих членов многочлена). Сумма + . . . +kn показателей неизвестных в данном члене называется степенью данного члена. Наивысшая степень членов многочлена, имеющих отличные от нуля коэффициенты, называется степенью многочлена. Многочлену, равному нулю, не приписывается никакой степени.

Обычно при записи многочлена в нормальном виде сохраняют лишь члены с неравными нулю коэффициентами, а под нормальным видом многочлена, равного нулю, понимают сам нуль. Разумеется, в случае нужды можно вводить слагаемые с нулевыми коэффициентами.

Так как в нормальном виде многочлена (8) все показатели степени ku k2l . . -, kn не отрицательны и для многочлена, отличного от нуля, не все коэффициенты равны нулю, то ясно, что для любого отличного от нуля многочлена степень однозначно определена и является целым неотрицательным числом. Многочленами нулевой степени являются, очевидно, элементы из Я, не равные нулю, и только они.

Согласно определению степени многочлена для многочлена

с одним неизвестным х степенью будет наибольший номер коэффициента, отличного от нуля, т. е. целое число и^О, для которого апфО и dk=0 при любом k>n. Член апхп называется старшим членом данного многочлена. Аналогично определяются старшие члены многочлена с несколькими неизвестными, причем их может быть несколько.

Для включения кольца многочленов в поле рациональных функций необходимо, чтобы это кольцо было областью целостности, т. е. не имело делителей нуля (§ 6, опр. 6), ибо поле не имеет делителей нуля (§ 7, теорема 6).

Теорема 4. Если R — область целостности с единицей, то и R[xu . . ., хп] — область целостности с единицей.

Доказательство. Применим индукцию по п. Пусть

есть два многочлена кольца R [х], отличные от нуля, причем атФ0 и ЬпфО. Из равенства (4) в), определяющего произведение многочленов / и g, находим, что gf имеет степень не выше т+п*. Причем коэффициент при хт+п будет:

ибо ah=0 при k>m и bk=0 при k>n. Так как атфО, ЪпфО и кольцо R не имеет делителей нуля, то атЪп≠ и, значит, fg≠0. R[x] — область целостности с единицей. В силу доказанного и индуктивного определения (2) кольца R[xu . . ., хп], если Rlxi, . . ., xn_i] — область целостности с единицей, то это верно и для R[xu . . ., хп], чем теорема доказана.

Определение 4. Многочлен с п неизвестными, все члены которого (имеющие отличные от нуля коэффициенты) обладают одной и той же степенью р, называется однородным или формой степени р. Формы первой степени называются линейными, второй — квадратичными, третьей — кубичными.

* Здесь и ниже для краткости мы говорим, что степень многочлена не выше (или ниже) некоторого числа, не исключая при этом случая, когда этот многочлен равен нулю, т. е. не имеет степени.

Теорема 5. Если R — область целостности с единицей, то степень произведения двух отличных от нуля многочленов кольца R[xu . . хп\ равна сумме степеней сомножителей.

Доказательство. Сначала индукцией по п докажем теорему для произведения форм. Так как форма с одним неизвестным содержит лишь один член, и при умножении одночленов, очевидно, степени их складываются (если R не имеет делителей нуля), то для /г=1 утверждение верно. Пусть оно верно для п — 1, и пусть f и g — отличные от нуля формы кольца R[x{, . . ., хп], причем р — степень /ид — степень g. Располагая их по степеням хПУ найдем:

где принято агфО и ^=7^0 (т. е. г — степень / и s — степень g относительно хп). Так как из равенства (9) в), определяющего произведение многочленов, ясно, что при умножении многочлена на одночлен степени складываются, то аг — форма степени р—г и bs — форма степени q — s из кольца R[xiy . . ., xn_J. По предположению индукции тогда arbs форма степени (р —r)+ (q — s).

По сделанному замечанию о произведении одночлена на многочлен произведение arbsxrn+s— форма степени p + q. Все другие члены произведения fg не могут сократиться с членами формы arbsxrn+s, ибо в них хп входит в степенях, меньших г + s. Значит, fg¥=0 и имеет степень p + q. Этим теорема 5 для форм доказана.

Пусть теперь / и g — любые, отличные от нуля многочлены кольца R[xu . . ., хп]. Совокупность старших членов многочлена / является формой fu а для многочлена g — формой gt. Если р — степень /А и q — степень g4, то по доказанному flgi имеет степень p + q. Но f=fi+f2, g=gi+g2, где степень /2 меньше р и степень g2 — меньше q. Так как из (9) б) следует, что сумма двух многочленов неравной степени имеет степень, равную большей из степеней слагаемых, а из (9) в) — что степень произведения не больше суммы степеней сомножителей, то из равенства

следует, что степень fg равна степени ftgu т. е. p + q. Теорема доказана.

Из теоремы 5 снова вытекает теорема 4, но доказательство последней, приведенное выше, является более простым, так как не использует понятия формы.

Включение кольца многочленов R[xu . . ., хп] над областью целостности с единицей R в поле рациональных функций производится вполне аналогично включению кольца целых чисел в поле чисел рациональных (§ 25). В обоих случаях мы имеем дело с

частным видом общей конструкции поля отношений для данной области целостности (§ 27, опр. 1). Именно, дадим определение.

Определение 5. Полем рациональных функций сп неизвестными хи . . ., хп над полем Р (или с коэффициентами из Р) называется поле отношений кольца многочленов Р[хи . . ., хп]. Оно обозначается через Р[хи . . ., хп\. Его элементы называются рациональными функциями от п неизвестных хи . . хп с коэффициентами из поля Р*.

Теорема 6. Для любого поля Р и любого натурального числа п поле рациональных функций с п неизвестными над полем Р существует и до изоморфизма только одно.

Доказательство. Так как поле Р является областью целостности с единицей, то по теореме 2 кольцо многочленов Р[хи . . ., хп] существует и определено до изоморфизма однозначно. По теореме 4 оно является областью целостности. Поэтому для него существует поле отношений и до изоморфизма только одно (§ 27, теорема 1).

Замечание. Доказательство теоремы 6 сохраняется, если заменить поле Р любой областью целостности R с единицей, 1=7^0. Мы ограничились в определении 5 случаем поля, ибо легко видеть, что рассмотрение любой области целостности R ничего нового не дает. Именно, если Р — поле отношений области целостности R с единицей, 1=^=0, то поля R(xu . . ., хп) и Р(хи . . ., хп) изоморфны. В самом деле, ограничившись для простоты случаем одного неизвестного, можно сказать, что элементами поля отношений Р (х) являются все многочлены кольца Р[х] и классы эквивалентных пар (/, g) многочленов из Pix], где g=£0 и не делит /. При этом эквивалентность (/, g)-^ (fu g*) означает, что fgi=fig. Аналогично представляется поле R(x). Берем нормальный вид многочленов / и g из Р[х]. Каждый коэффициент f и g равен частному ^- элементов из R. Пусть с — произведение всех 6, встречающихся в / и g. Тогда (с/, cg)-^ ^ (/, g)y причем многочлены cf и eg принадлежат кольцу Rix]. Итак, каждый класс из Р (х) содержит некоторый класс из R (х). Также любому многочлену из Р(х) соответствует класс из R(x) или же этот многочлен сам принадлежит кольцу Rix], Легко убедиться, что этим определено изоморфное отображение Р (х)

* Мы сохраняем общепринятый термин «рациональная функция», хотя он неудачен ввиду возможного смешения с функциями в смысле анализа (§ 3, опр. 1). Хотя каждой рациональной функции можно отнести некоторую функцию в смысле анализа, но это соответствие не всегда взаимно однозначно. По той же причине мы не использовали термин «целая рациональная функция», применяемый многими авторами наравне с термином «многочлен».

на R(x). Итак, поля рациональных функций с целыми и рациональными коэффициентами изоморфны.

Каждая рациональная функция определяется парой многочленов (/, g) из Р(х). Эти пары, записанные в обычном виде —, называются алгебраическими дробями. Итак, каждая рациональная функция записывается в виде алгебраической дроби, причем многими способами.

Обозначение рациональных функций дробями не противоречит смыслу записи —, как частного от деления / на#. В самом деле, аналогично тому, как это было доказано для рациональных чисел (§ 25), можно показать, что в поле рациональных функций Р(х{, . . ., хп) функция, обозначенная дробью —, равна частному от деления числителя дроби / на знаменатель g.

Понимая под равенством, суммой, разностью, произведением и частным алгебраических дробей соответствующее отношение между обозначенными этими дробями рациональными функциями в поле P(xi4 . . ., хп) и применяя свойства частного, верные в любом поле (§ 7, теорема 8), мы получаем обычные правила оперирования над алгебраическими дробями. А именно:

(12)

При этом предполагается, что все многочлены, встречающиеся в знаменателе, отличны от нуля. В частности, из (12) а) следует:

(13)

для любых многочленов f, g я h, где g^O, кфО. Из этого равенства вытекают школьные правила сокращения дробей и приведения их к общему знаменателю. После этого из (12) б) легко получить обычные правила сложения и вычитания дробей путем приведения их к общему знаменателю.

Заметим, наконец, что для многочленов сохраняются все свойства элементов любых колец, полученные в § 6, а для рациональных функций — все свойства элементов любых полей, полученные в § 7. Так, имеют смысл сумма и произведение любого конечного числа многочленов или рациональных функций с любым распределением скобок, причем они не зависят от распределения скобок и порядка сомножителей (§6, теоремы 1, 2); верны обычные правила знаков при раскрытии скобок (§ 6, теорема 8); если R — область целостности, то обе части равенства можно сокращать на множитель, отличный от нуля (§ 6, теорема 11) и т. д.

§ 36. Алгорифм деления. Свойства корней. Обоснование функциональной точки зрения на многочлены и рациональные функции

Большое значение при изучении многочленов имеют их свойства делимости, особенно понятие неприводимого (т. е. неразложимого на множители) многочлена и теорема об однозначной разложимости на неприводимые множители. С вопросом о разложении на неприводимые множители мы встречаемся по существу уже в школьной алгебре при сокращении дробей и приведении их к общему знаменателю. Понятие неприводимого многочлена играет основную роль при более глубоком изучении свойств корней многочленов, в частности при решении вопроса о существовании корней и разрешимости алгебраического уравнения в радикалах*.

Теория делимости для многочленов развивается вполне аналогично случаю целых чисел, разобранному в § 23. Многие понятия и факты теории делимости целых чисел сохраняют значение и для кольца многочленов R[x{, . . ., хп] с п неизвестными над любой областью целостности R с единицей, однако полностью вся теория переносится лишь на кольцо Р (х) многочленов с одним неизвестным над полем Р. Ввиду полной аналогии свойств делимости в кольце Pix] и в кольце целых чисел С мы не станем повторять рассуждений в § 23 для случая кольца Р[х], но разовьем в следующем параграфе теорию делимости сразу для широкого класса колец, включающего в себя и кольцо целых чисел, и кольцо многочленов Pix]. Здесь же мы приведем лишь те свойства делимости многочленов, которые требуют нового доказательства по сравнению с соответствующими свойствами целых чисел.

Определение 1. Если для двух многочленов / и g кольца RlXi, . . хп] существует многочлен q того же кольца такой, что f=gq, то говорят, что / делится на g или g делит /, и

* Мы пе можем здесь касаться этих вопросов и отсылаем читателя к книге Б. Л. Ван-дер-Вардена «Современная алгебра», ч. 1, 5—7 главы.

пишут g\f. Многочлен / называется кратным g, g — делителем /. Если такого многочлена q не существует, то говорят, что / не делится на g, g не делит /, и пишут g\f.

Теорема 1. (Ср. § 23, теорема 1.) Пусть R — область целостности с единицей и f, g — многочлены кольца RixtJ . . ., хп]. Тогда если /^0 и g\f, то £=й=0 и степень f больше или равна степени g у т. е. никакой отличный от нуля многочлен не делится на многочлен более высокой степени. В частности, многочлены нулевой степени, т. е. элементы из г, отличные от нуля, не делятся на многочлены положительной степени.

Доказательство. Так как g\f, то существует многочлен q такой, что f=gq. Из /=^=0 следует g=£0 и д=И=0, ибо если один из сомножителей кольца равен нулю, то и все произведение равно нулю (§ 6, теорема 10). Так как степени /, g и q неотрицательны и степень произведения равна сумме степеней сомножителей (§ 35, теорема 5), то

В теории делимости целых чисел основную роль играла возможность деления с остатком. Кольцо многочленов с числом неизвестных более одного уже не обладает аналогичным свойством. Важно, однако, что для кольца Р[х] многочленов с одним неизвестным указанное свойство сохраняется, причем роль абсолютной величины целых чисел играет теперь степень многочлена.

Теорема 2. (Алгорифм деления. Ср. § 23, теорема 3.) Для любых многочленов fug, где g=^0, кольца Pix] многочленов с одним неизвестным х над полем Р существует одна и только одна пара многочленов q и г из Pix] такая, что

(1)

(2)

Доказательство. Дело сводится по существу к применению известного из школы правила деления многочленов.

1) Доказываем существование многочленов q и г, удовлетворяющих условиям (1) и (2). Если ст. /<ст. g (или /=0), то из равенства f=g-0+f ясно, что д=0, r=f удовлетворяют условиям (1) и (2).

Пусть ст. /^ст. g и апхп, Ьтхт — старшие члены многочленов fug. Так как g=^=0, то Ьтф0 и п — т^О. Поэтому в

* Аналогичное утверждение справедливо и для кольца Rix], где R — область целостности с единицей, если только старший коэффициент многочлена g равен единице.

кольце Pix] существует многочлен

Положим /—qig=fl. Старший член произведения q{g равен ^ •хп~т-Ьтхт = апхп, т. е. совпадает со старшим членом многочлена /. Значит, в разность / — q^g член с хп не войдет, т. е. или /i=0, или ст. fi=nv<ji- Если дг^т, то, повторяя для Д рассуждение, проведенное для /, получим fi—q2g =/2, где или /2=0, или ст. f2=n2<ni. Пусть уже построен многочлен fk, причем ст. fk=nk^m. Тогда, рассуждая, как выше, найдем многочлены + 1 и qh + u Для которых

где или

Если бы все степени nh были больше или равны га, то, применяя индуктивное определение (§ 15, опр. 1), мы построили бы бесконечную последовательность целых чисел:

где п>п£>тп для любого k. Мы пишем nh>m, ибо nk> >rik + ^rn- Значит, все числа являются натуральными. Но в силу того что nfc>7ift + 1, множество этих чисел не содержит наименьшего числа, что невозможно (§ 14, теорема 8). Значит, после конечного числа шагов мы получим многочлен fs степени п^тп и такой, что наше построение, примененное к fs, дает два многочлена fs+i и qs+x, причем fs — qs+lg=fs+l и либо fs + i=Q, либо

Итак, имеем ряд равенств:

Складывая эти равенства почленно, сокращая в обеих частях слагаемые /ь /2, . . .» fs и полагая

получим /=gg+r, где или г=0, или ст. г<ст. g. Таким образом, многочлены q и г удовлетворяют условиям (1) и (2). Этим существование многочленов g и г с нужными свойствами доказано.

2) Теперь докажем единственность пары многочленов q, г, удовлетворяющих условиям (1) и (2). Пусть f=gqi+ru где г{=0 или ст. Г!<ст. g и f=gq2+r2, где г2=0 или ст. г2<ст. g. Тогда gqi+ri=gq2+r2 или g(gj— g2) = г2—гь где г2—г1==0 или ст. (r2—ri) <ст. g. Но г2 — ri делится на g, и если г2—-г^О, то по теореме 1 должно быть ст. (г2—г^^ст. g. Поэтому предположение r2—ri=^=0 ведет к противоречию. Итак. г2—Г!=0. Тогда из g (qi—q2) =0 и g^O в силу отсутствия делителей нуля в кольце Р[х] (§ 35, теорема 4) следует дА—д2=0. Поэтому rt=r2, qx=q2, чем доказана единственность пары многочленов д, г со свойствами (1) и (2).

Определение 2. Однозначно определенные по теореме 2 для данных многочленов /, g, где g¥=0, многочлены q и г, обладающие свойствами (1) и (2), называются частным и остатком от деления / на g.

Очевидно, что / тогда и только тогда делится на g≠, когда остаток г равен нулю.

Переходим к понятию корня и простейшим свойствам корней. Предварительно отметим важное для дальнейшего свойство многочленов.

Пусть R — кольцо с единицей (в частности, поле) и / — многочлен из R[xu . . ., хп]. Если возьмем многочлен / в нормальном виде (§ 35, опр. 3)

то, заменяя неизвестные xi% . . ., хп любыми элементами си сп кольца R (или более широкого кольца S), получим определенный элемент f(cu . . сп) из R (или из S). В частности, принимая за си . . ., сп элементы хи . . хп кольца R[xu . . ., хп], получим сам многочлен /, т. е. f=f(xu . . ., хп). Этим каждому многочлену / кольца R\xu . . ., хп] поставлена в соответствие функция от п переменных, заданная в кольце R (или более широком кольце S). Мы обозначим эту функцию снова через f(xi% хп) или через /, причем здесь хи . . ., хп уже не являются неизвестными кольца R[xu . . ., хп], а обозначают аргументы функции, так же как f=f(xu . . хп) — уже не многочлен, а функция.

Теорема 3. Сумме многочленов кольца R[xu . . ., хп] соответствует сумма, а произведению многочленов — произведение соответствующих функций, заданных в R (или более широком кольце S), т. е.

(3)

для любых элементов си . . ., сп из R (или S). Более того, если многочлен f получен из многочленов /4, . . ., fh при помощи ко-

печного числа операций сложения, вычитания и умножения, то это верно и для соответствующих функций.

Доказательство. Последнее утверждение при помощи индукции по числу операций в выражении / через /ь . . ., fk сводится к случаю одной операции. Сложение, вычитание и умножение многочленов в нормальном виде выполняется согласно равенствам (9) б), в) из § 35. Доказательство этих равенств, намеченное в § 35, не использовало трансцендентности элементов х{, хп над R, а опиралось лишь на свойства сложения и умножения в кольце R[xu . . ., хп]. Поэтому это доказательство останется в силе, если неизвестные хи . . ., хп заменить на элементы си сп кольца S, где сложение и умножение обладают нужными для этого свойствами. Это значит, что равенства (9) б), в) из § 35 останутся справедливыми, если в них неизвестные Х\% . . ., хп заменить элементами ciy . . ., сп из S. Если обозначим многочлены в левой части равенства (9) б), в) через / и g, то в правой части будут многочлены, равные /+#, / — g, j-g. Поэтому возможность замены хи . . ., хп на с1у . . ., сп доказывает утверждение теоремы для одной операции и, в частности, равенства (3). Теорема доказана.

Определение 3. Корнем многочлена / из кольца многочленов с одним неизвестным х над кольцом R с единицей называется такой элемент а кольца R или более широкого кольца S, для которого f(a)=0, где /(а) — элемент, полученный при замене в многочлене / нормального вида неизвестного х на элемент а.

Очевидно, что многочлен, равный нулю, имеет корнем любой элемент кольца R (и любого расширения Я), а многочлен нулевой степени (т. е. элемент из /?, не равный нулю) вообще не имеет корней в R (и в любом расширении R).

Теорема 4. Элемент а поля Р тогда и только тогда является корнем многочлена f(x) из кольца Pix], когда f(x) делится на X — а*.

Доказательство. Если f(x) делится на х — а, то существует многочлен q(x) такой, что f(x) = (x — a) q(x). Заменяя здесь X на а, получим в силу теоремы 3:

а — корень f(x).

Обратное следует из теоремы Безу, согласно которой остаток от деления многочлена f(x) на х — а равен /(а). В самом деле, X — афО, ибо его старший коэффициент 1^=0. В силу теоремы 2 тогда

* Теорема остается верной при замене поля P областью целостности с единицей.

где либо

т. е. ст. г(х)=0.

г(х) — элемент поля Р. Поэтому г(х)=г(а), откуда

что и нужно. Если а — корень

Значит, f(x) делится на х — а.

Доказательство переносится на случай, когда элемент а принадлежит не Р, а более широкому полю Q. Именно, если х и Q содержатся в некотором кольце S и х трансцендентен над Q, то надо вместо кольца Р[х] рассматривать кольцо Q[x]; в противном случае строим кольцо Qly] с новым неизвестным^ и вместо f(x) их — а рассматриваем многочлены / (у) и у — ас теми же коэффициентами. Тогда элемент а уже принадлежит новой области коэффициентов Q, т. е. мы получаем прежнюю формулировку теоремы с заменой Р на Q.

Теорема 5. Число различных корней многочлена f(x) из кольца многочленов Pix] над полем Р в любом более широком поле Q не более его степени.

Доказательство. Переходя, если нужно, к кольцу Qly], придем к случаю, когда поле коэффициентов содержит все рассматриваемые корни. Итак, пусть аи а2, . . #л — различные корни многочлена f(x) степени и, лежащие в поле Р. По предыдущей теореме f(x) делится на х - аи т. е.

Полагая x=a2j по теореме 3 найдем:

т. е.

Но а2—ai=7^0. Значит,

делится на х — а2, т. е.

откуда

при х=аг получим, как выше,

откуда /2 (а,) =0 и, значит, /2 (х) делится на х—аг. Через k шагов получим:

Так как ст. + i (я) =т^0 и степень произведения равна сумме степеней сомножителей (§ 35, теорема 5), то

что и требовалось доказать.

Как мы видели выше, каждому многочлену / кольца R[xu . . ., хп] можно отнести функцию f(xu . . ., хп) от п переменных х{, . . ., хп, заданную в R, причем это соответствие сохраняет (в одну сторону) операции сложения и умножения (теорема 3). Но уже в начале § 35 было показано, что в случае конечного кольца R это соответствие не может быть взаимно однозначным. Сейчас мы покажем, что для бесконечного R указанное соответствие всегда взаимно однозначно, если R — поле.

Теорема 6. Если fug— два различных многочлена кольца Р[хи . . ., хп] многочленов над бесконечным полем Р, то соответствующие им функции f(xu . . ., хп) и g(xu . . ., хп), заданные в Р, также различны. Функции, соответствующие всевозможным многочленам кольца Plxi, . . ., хп], сами образуют кольцо относительно сложения и умножения функций, изоморфное кольцо многочленов Р[хх, . . хп]. Более того, если многочлены /i, . . ., fs кольца Р[хи . . ., хп] различны, то и соответствующие им функции различны, т. е. существуют элементы с{, . . ., сп из Р такие, что все элементы fl(Ci, . . ., сп), . . ., fs(ci, . . ., сп) поля Р различны*.

Доказательство. Положим:

т. е. многочлен / равен произведению всевозможных разностей многочленов /ь . . ., fs. Так как все эти многочлены различны и Р[хи . . ., хп] — область целостности (§35, теорема 4), то /=7^=0. В силу теоремы 3

для любых сх, . . ., сп из Р. Значит, достаточно найти си . . ., сп в Р такие, что f(cu . . ., сп)Ф0. Применим индукцию по п. При п=1 многочлен f(x) не может иметь в поле Р больше различных корней, чем его степень. Так как поле Р бесконечно, то в нем существует элемент с, отличный от всех этих корней, т. е. /(с)^0. Пусть утверждение доказано для кольца Р[хх, . . ., xn_i\

* Эта теорема справедлива также для любой области целостности с единицей вместо поля р.

и }фО — многочлен кольца Р\хи . . ., хп]. Расположим многочлен / по степеням хп:

где m — степень / относительно хп и ghi^u • • •» — многочлены кольца Р[а?ь . . ., x^_J, не все равные нулю, ибо }ф0. Если многочлен gh{^u • • ^n-i^O» то по предположению индукции существуют си . . ., сп_{ из Р такие, что gh(cu • • •» сп_1)ФО. Значит, многочлен

из кольца Р\хп] отличен от нуля. Применяя уже доказанное утверждение для одного неизвестного, найдем элемент сп в Р такой, что

В частности, двум различным многочленам кольца Р[х1у хп] соответствуют две различные функции, т. е. отображение кольца многочленов на совокупность соответствующих им функций взаимно однозначно. Так как согласно (3) это отображение изоморфно относительно сложения и умножения многочленов и функций, то эта совокупность функций сама будет кольцом (§ 8, теорема 2) и притом изоморфным кольцу многочленов Р[х{1 . . ., хп\. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает, что в случае бесконечной области коэффициентов многочлены с п неизвестными можно понимать как функции от п переменных, чем оправдывается для этого случая функциональная точка зрения на многочлены.

Переходим к обоснованию функциональной точки зрения на рациональные функции. Так как поле рациональных функций Р(хи . . ., хп) над полем Р является полем отношений кольца многочленов Р[хи . . ., хп] (§35, опр. 5), то каждая рациональная функция / равна частному многочленов /="^> где ЬфО. Такое представление / не единственно. Именно, ~ = ~ тогда и только тогда, когда gih2=g2fri. Предполагая сразу поле Р бесконечным, построим функцию f(xu . . ., хп) от п переменных хи . . ., хп, соответствующую /. Если для элементов си . . ., сп из Р существует представление

то положим:

Значение /(с4, . . ., сп) не зависит от записи / в виде дроби, ибо если

где

то £1^2 =#2^1 и по теореме 3

откуда

[§ 7, теорема 8, а)]. Из /=+, ЬФО по теореме 6 следует, что h(ciy . . *, сп)фО для некоторых си . . ., сп из Р. Значит, функция f(xu . . ., хп) определена для некоторых значений переменных. Она не определена лишь для тех си . . ., сЛ, для которых при любом представлении /=-ц- будет h(cu . . ., сп) =0. Используя однозначность разложения многочленов на неразложимые множители, доказанную в следующем параграфе, нетрудно показать, что / обладает единственной (до множителей из Р) записью

в виде несократимой дроби Тогда проще можно определить

для всех Ci, . • ., сп из Р таких, что

Построенное соответствие взаимно однозначно. В самом деле, если /!=й=/2 и

По теореме 6 существуют си . . ., сп из Р, для которых

причем

Значит, /i(C|, . . ., сп) и /г(сь . . ., сп) определены и различны.

Пользуясь этой взаимной однозначностью, определим сложение и умножение функций через сложение и умножение соответствующих рациональных функций поля Р (хи . . ., хп). Тогда, очевидно, множество функций, соответствующих всем рациональным функ-

циям поля Р(хи . . ., хп), будет изоморфно последнему относительно так определенных в нем сложения и умножения и потому само это множество функций будет полем (§ 8, теорема 2). Обычно входящие в это поле функции также называются рациональными функциями, хотя их нужно отличать от рациональных функций в алгебраическом смысле, как элементов поля

Отметим, что сложение и умножение в поле функций, определенные только что, отличаются от обычных операций над функциями. Так, в новом смысле — -х2=х, где х—функция, заданная на всем поле Р, хотя функция — не определена для .т=0.

Зато введенные так операции над функциями обладают всеми школьными свойствами сложения и умножения алгебраических дробей, что, как мы видели в начале § 35, неверно для сложения и умножения функций, определяемых через те же действия над их значениями.

Отметим, наконец, что расхождение операций над рациональными функциями в обоих указанных выше смыслах, так сказать, не очень велико. Именно, значение суммы и произведения в обоих случаях совпадают для всех тех с1в . . ., сп из Р, для которых знаменатели сомножителей или слагаемых отличны от нуля. Действительно, если

то

откуда

и аналогично:

§ 37. Теория делимости для евклидовых колец и колец главных идеалов. Примеры колец с нарушением однозначной разложимости на простые множители

Пользуясь алгорифмом деления (§ 36, теорема 2), можно развить теорию делимости в кольце многочленов Pix] с одним неизвестным над полем Р, вполне аналогичную случаю целых чисел,

рассмотренному в § 23. Так как эта аналогия распространяется и на другие кольца определенного вида (см., например, целые гауссовые числа в следующем параграфе), то мы построим эту теорию сразу для всех таких колец.

Пусть, пока не оговорено противного, R — область целостности с единицей е.

Определение 1. Если для элементов а и Ь из R существует в R элемент с такой, что а—Ьс, то говорят, что а делится на fe, Ь делит а, и пишут Ь\а. Элемент Ь называется делителем а, а — кратным Ь. Если такого с в R не существует, то говорят, что а не делится на 6, b не делит а, и пишут Ь\а.

Теорема 1. Понятие делимости в R обладает следующими свойствами:

Доказательство весьма просто, и в виду аналогии случаю целых чисел (§ 23, теорема 2) мы его опускаем.

Особую роль в теории делимости играют делители единицы, т. е. элементы а со свойствами а\е. Все отношения делимости, как мы увидим, можно рассматривать лишь с точностью до делителей единицы. Если R — поле, то все элементы Л, кроме нуля, будут делителями единицы. Поэтому теория делимости для поля бессодержательна. В кольце целых чисел С делителями единицы будут лишь +1 и —1, ибо 1 не делится на числа, отличные от ±1 (§ 23, теорема 1). В кольце многочленов R[x{, . . ., хп] делители единицы принадлежат Я, так как еу как многочлен нулевой степени, может делиться лишь на элементы из R (§ 36, теорема 1). Значит, кольца R и /?[хь . . ., хп] имеют одни и те же делители единицы. В частности, делителями единицы кольца многочленов Р[хи . . ., хп] над полем Р будут все элементы поля Р, отличные от нуля.

Если а\е, то е=аЪ, где b — элемент R. Тогда также Ь\е> причем &=—==а~\ Обратно, если для а в R существует обратный элемент а"1, то е=а-а~\ т. е. а\е. Итак, делителями единицы являются те элементы из /?, которые в R обладают обратными элементами, причем если а — делитель единицы, то и а"1 — делитель единицы.

Определение 2. Элементы а и b из R называются ассоциированными, если а=Ьс, где с\е.

Легко видеть, что кольцо R разбивается на классы ассоциированных между собой элементов. По теореме § 20 достаточно показать, что отношение ассоциированности, которое мы для краткости обозначим через а-^Ь, обладает тремя основными свойствами равенства 1) — 3) из § 20:

1) а-^а, ибо а=ае;

2) если a-^b, то а=Ьс, где с\е. Тогда Ь=ас~\ где с~1\е. Значит, Ь^а;

3) если а ^ Ь, b ^ с, то а =bf, где f\e и b=cg, где g\e. Откуда a=c(gf)- Но из g\e, f\e следует gf\ee=e [теорема 1, г)]. Значит,

а -V- с.

Теорема 2. Отношение делимости не нарушается, если данные элементы заменить любыми другими, с ними ассоциированными, т. е. если а\Ь^и с, d— делители единицы, то ac\bd.

Доказательство. Так как с\е и e\d, то c\d и ac\bd [теорема 1, а), в), г)].

В этом смысле мы и говорили, что отношения делимости можно рассматривать с точностью до делителей единицы. Все элементы одного класса ассоциированных элементов в теории делимости равноправны.

Теорема 3. Элементы а и b из R тогда и только тогда ассоциированы, когда а\Ь и Ь\а.

Доказательство. Если а=Ъс, с\е, то в R существует элемент с'1 и Ь=ас~1. Значит, а\Ъ и Ь\а. Обратно, если а\Ь и 6 Ja, то либо а =6=^0 и а ассоциирован с Ь, либо афОфЬ, а=Ъс> b=ad. Откуда a=adc и, сокращая на афО (что возможно, ибо R — область целостности), найдем cd=e, с\е, d\e. Значит, снова а и b ассоциированы.

Определение 3. Элемент b называется собственным делителем а, если Ь\а, но не ассоциирован с а, т. е. если а=Ьс, где с\е. Если афО, то все делители единицы и все элементы, ассоциированные с а, называются тривиальными делителями а. Элемент р из R называется простым, если он отличен от нуля и делителей единицы и обладает только тривиальными делителями. Элемент, отличный от нуля и делителя единицы и не являющийся простым (т. е. имеющий нетривиальные делители), называется разложимым. Нуль и делители единицы не причисляются ни к простым, ни к разложимым элементам.

Таким образом, если р — простой элемент и p=ab, то либо а, либо b будет делителем единицы; если же р разложим, то существует его нетривиальный делитель а, и тогда р =ab, где ни а, ни b не будут делителями единицы.

Существуют кольца, не имеющие ни простых, ни разложимых элементов. Таково, очевидно, любое поле. Ниже мы укажем

примеры колец, содержащих разложимые элементы, но не содержащих простых, а также колец, содержащих простые элементы, но в которых неверна теорема об однозначной разложимости на простые множители. Поэтому для сохранения в кольце R теории делимости, аналогичной той, которая верна в кольце целых чисел, необходимо наложить на R дополнительные ограничения.

Вся теория делимости целых чисел опиралась на алгорифм деления с остатком (§ 23, теорема 3). Так как подобный алгорифм имеется также для кольца многочленов Pix] над полем Р (§ 36, теорема 2) и для ряда других колец, то мы рассмотрим любые кольца с аналогичным свойством.

Определение 4. Евклидовым кольцом называется область целостности /?, в которой каждому элементу а, отличному от нуля, поставлено в соответствие неотрицательное целое число /(а), причем выполнено такое условие: для любых элементов а и b из /?, где 6^=0, существуют в R элементы g и г такие, что

(1)

и либо г=0, либо /(г)</(6).

Если принять за f(a) в кольце целых чисел С абсолютную величину \а\ числа а, а в кольце Pix] многочленов над полем Р — степень многочлена а, то из наличия алгорифма деления в этих кольцах (§ 23, теорема 3 и § 36, теорема 2) следует, что оба эти кольца являются евклидовыми. Любое поле при любом выборе функции f(a) является евклидовым кольцом, так как (1) всегда удовлетворяется при г=0.

При доказательстве существования общего наибольшего делителя двух целых чисел (§ 23, теорема 4) мы рассмотрели множество А, обладающее такими свойствами: сумма и разность двух чисел из Л и произведение числа из А на любое целое число снова принадлежат к А [§ 23, (3)]. Множество А с этими свойствами будет подкольцом кольца целых чисел. Такие подкольца играют основную роль в теории делимости и всей теории колец. Введем теперь соответствующие понятия.

Определение 5. Подкольцо А кольца R называется идеалом, если для любого а из А и любого г из R произведение аг снова принадлежит А. Если идеал А содержит элемент а, на который делятся все элементы из А, то А называется главным идеалом, порожденным элементом а, и обозначается через (а). Область целостности, в которой любой идеал является главным, называется кольцом главных идеалов.

Из условий, определяющих подкольцо (§ 6, теорема 13), вытекает, что непустое подмножество А кольца R тогда и только тогда будет идеалом, когда сумма и разность двух элементов из Л и произведение элемента из А на любой элемент из R снова принадлежат к А.

Примеры. 1. В кольце целых чисел множество всех чисел, кратных числу л, является идеалом и притом главным идеалом (л), порожденным п.

2. Также в кольце многочленов Р[х\ над полем Р все многочлены, кратные данному многочлену /, образуют главный идеал (/).

3. В любом кольце R кратные га элемента а образуют идеал. Если R содержит единицу е, то все эти идеалы — главные, ибо сам элемент а = еа принадлежит тогда идеалу элементов вида га.

4. Поле Р содержит лишь два идеала (0) и Р = (е) и является поэтому кольцом главных идеалов.

5. Кольцо Р[х{, . . ., X ] многочленов с числом неизвестных п > 1 над полем Р (и тем более над любой областью целостности с единицей) не является кольцом главных идеалов. Так, например, все многочлены без свободного члена, т. е. не содержащие членов нулевой степени (включая и нуль), образуют идеал Л, не являющийся главным. В самом деле, если А = (а), то а ус 0, ибо А ^{0}. Все многочлены из А и, в частности, хх и х2 должны делиться на а. Рассматривая xi и х2 как многочлены с одним неизвестным над кольцом многочленов остальных неизвестных, заключаем, что многочлен а должен иметь нулевую степень по каждому неизвестному ajj, . . ., X (§36, теорема 1), т. е. должен быть многочленом нулевой степени кольца P\xit . .., X ]. Но тогда он не может принадлежать к идеалу А. Полученное противоречие доказывает, что идеал А не является главным.

Теорема 4. Кольцо главных идеалов R обладает единицей.

Доказательство. Само кольцо как идеал из Я, является главным идеалом. Пусть R = (a). Так как в нулевом кольце единицей будет сам нуль, то можно считать еф{0}. Тогда афО. Все элементы из R делятся на а. В частности, а делится на я, т. е. а = ае. Любой элемент b и R делится на я, т. е. Ъ=са, откуда be=cae=ca=b. Итак, е — единица кольца /?. Если е — любая единица, то е = ее' =е'. Значит, е — единственная единица кольца R.

Теорема 5. Евклидово кольцо R является кольцом главных идеалов*.

Доказательство. Пусть А — идеал R. Если А содержит лишь 0 кольца /?, то Л=(0) — главный идеал. Пусть А содержит элементы, отличные от нуля. Так как кольцо R — евклидово, то существует функция f(x), принимающая для всех хфО из R целые неотрицательные значения и обладающая свойством (1). Так как любое множество натуральных чисел (и, быть может, числа 0) содержит наименьшее число (§ 14, теорема 8),

* Обратная теорема не верна. Существуют кольца главных идеалов, ее являющиеся евклидовыми.

В. Лемлейн показал, что кольцо Г(у^—19), полученное присоединением ^—19 к полю Г рациональных чисел, является кольцом главных идеалов, но не является евклидовым кольцом и притом не только при целых неотрицательных значениях функции f(x), но при значениях f(x) из любого вполне упорядоченного кольца. См. В. Лемлейн, О евклидовых кольцах и кольцах главных идеалов. Доклады АН СССР, т. XCVII, № 4, 1954, стр. 585-587.

то среди элементов х идеала Л, не равных нулю, должен существовать по крайней мере один элемент а с наименьшим значением /, т. е. такой, что

(2)

для любого хфО из А.

Покажем, что любой элемент Ь из А делится на а. По свойству (1) функции f(x) для b и афО существуют в Я элементы q и г такие, что b=aq+r и либо г=0, либо /(г)</(а). Но r=b—aq принадлежит идеалу Л, ибо а и b принадлежат А. Поэтому если гфО, то /(г)<С/(а); но это неравенство противоречит минимальности /(а), т. е. условию (2). Значит, г=0, а\Ь. Согласно определению 5 А — главный идеал (а).

Таким образом, кольцо целых чисел С и кольцо Pix] многочленов с одним неизвестным над полем Р являются кольцами главных идеалов.

Теперь мы можем построить всю теорию делимости для колец главных идеалов. Всюду в этом параграфе, если не оговорено противного, будем под R подразумевать кольцо главных идеалов.

Определение 6, Наибольшим общим делителем (НОД) элементов аь а2, . . ап из R называется элемент d, отличный от нуля и обладающий свойствами:

а) d является общим делителем (ОД) для всех элементов ai, . . ., ап\

б) d делится на любой общий делитель элементов alt a2, ап. НОД элементов аи . . ., ап обозначается через (аи . . ., ап). Если НОД элементов аи . . ., ап равен единице е кольца Л, то эти элементы называются взаимно простыми.

Замечание. Для целых чисел и многочленов отсюда следует, что НОД будет наибольшим по абсолютной величине или степени среди всех ОД. Чтобы аналогичное свойство было верно для любых евклидовых колец по отношению к заданной там функции /(а), можно наложить на эту функцию дополнительное условие: f(ab)^f(a) для любых а и 6, отличных от нуля. Очевидно, для целых чисел и многочленов это условие выполнено.

Теорема 6. Для любых элементов öj, . . ., ап кольца главных идеалов Л, не все из которых равны нулю, НОД существует и с точностью до умножения на делители единицы только один. Элемент d тогда и только тогда будет НОД элементов а4, . . ., ап, когда

(3) (4)

при некоторых qit . • qn и г1э . . гп из Л. (Ср. § 23, теорема 4.)

Доказательство. Пусть Л — множество всех элементов а из /?, имеющих вид (4), где rlf г2, . . гп — любые элементы кольца R. Если

то

Значит, А — идеал кольца R. Но в R любой идеал — главный. Поэтому A=(d), т. е. все элементы из А делятся на элемент а\ также принадлежащий Л.

Покажем, что d = (al, . . ., ап).

Все данные элементы а{ принадлежат Л, ибо, положив в (4) r{=e, rk = 0 для кф1, получим элемент at. Значит, а{ делится на d, т. е. выполнено условие (3). Отсюда следует (ввиду того что не все а( равны нулю), что аф 0. Как элемент из Л, d имеет вид (4) для некоторых rlf*. . ., гп из R.

Любой элемент d, удовлетворяющий равенствам (3) и (4). является НОД для alf . . ап. В самом деле, равенство (3) означает, что d — ОД этих элементов. Если х — любой их ОД, то из равенства (4) следует, что x\d [теорема 1, е)\.

Если с — делитель единицы, то из равенства (3) найдем:

а из равенства (4)

т. е. элемент cd, ассоциированный с d, удовлетворяет условиям вида (3) и (4) и потому также будет НОД данных элементов. Но элементами, ассоциированными с d, исчерпываются все НОД, ибо если d' — любой НОД элементов аь . . ., ап, то d\d' и d'\d. Значит, по теореме 3, d и d' ассоциированы.

Доказанная теорема утверждает лишь существование НОД, но не дает способа его фактического разыскания. Если для данных а4, . . ., ап, где а{Ф0, положим dÄ = (ab а2, . . ., ak) для /5=1, 2, . . ., п, то легко доказать, что dft = (dÄ-1, aÄ), k = =2, 3, . . ., п.

Этим разыскание НОД для любого числа элементов сведено к разысканию НОД двух элементов. Для евклидова кольца R способ разыскания НОД двух элементов дает алгорифм Евклида (или способ последовательного деления).

Пусть надо найти НОД элементов а и 6. Если 6=0, то (а, Ъ) =а. Если ЬфО, то находим последовательно, применяя

формулу (1):

где для функции / (а), заданной в R, согласно условию (1) имеем:

Так как все /(г,) — целые неотрицательные числа, то после конечного числа делений должен получиться остаток rs + i—0. Тогда последний, отличный от нуля остаток rs=d и будет НОД элементов а и 6. В самом деле, рассматривая равенства (5) снизу вверх, находим:

Если же X — любой ОД элементов а и Ь, то, рассматривая те же равенства сверху вниз, находим:

Значит, d= (а, 6).

Теорема 7. Если а\Ьс и а и Ь взаимно просты, то а\с*

Доказательство. По теореме 6 имеем ar+bs=e. Умножая на с, получим а (гс)+s (be) =с. Оба слагаемых слева делятся на а. Значит, а\с.

Теорема 8. Если а — любой up — простой элементы из R, то р\а тогда и только тогда, когда аир взаимно просты. (Ср. §23, теорема 10.)

Доказательство. Если р\а и (а, р) =d, то d не ассоциирован с р, ибо иначе p\d и d\a, откуда р\а. Но d\p и р как простой элемент имеет делителями только элементы, ассоциированные с р, и делители единицы. Значит, d — делитель единицы и в силу равенства d—de элементы due ассоциированы. По теореме 6 элемент е также будет НОД для а и р, т. е. аир — взаимно просты.

Обратно, если (а, р)=е, то р\а, так как из р\а и р\р следует р\е, т. е. р — делитель единицы, что противоречит определению простого элемента.

Теорема 9. Если произведение элементов ах, а2, . . ., ап из R делится на простой элемент р, то хотя бы один из этих элементов делится на р.

Доказательство. Индукцией по п теорема сводится к случаю двух элементов и а2. Итак, пусть р\аха2. Если р\аи то по предыдущей теореме at и р взаимно просты и по теореме 7

На этой теореме основано доказательство единственности разложения на простые множители. Существование такого разложения для любого элемента, отличного от нуля и делителей единицы (и тем самым существование простых элементов), в кольце целых чисел доказывалось индукцией по абсолютной величине числа. Аналогично для кольца многочленов Р[х] это можно доказать индукцией по степени многочлена. Аналогичное рассуждение проходит для любых евклидовых колец, в которых функция f(a) удовлетворяет дополнительному условию f(ab)^f(a) для любых а и 6, отличных от 0. Тогда индукция ведется по значению /(а), причем сначала доказывается, что если b — собственный делитель а, то f(b)<if(a)*.

В кольце главных идеалов доказательство существования разложения на простые множители основывается на следующей теореме:

Теорема 10. Кольцо главных идеалов R не может содержать последовательности элементов {ап}, /г =1, 2, . . ., в которой каждый элемент, начиная со второго, является собственным делителем предыдущего (см. опр. 3).

Доказательство. Пусть дана последовательность {ап} элементов R такая, что

Покажем, что не все эти элементы (даже только конечное число из них) являются собственными делителями предыдущих. Из условия an + i\an следует, что все элементы главного идеала (ап) делятся на ап+1 и, значит, принадлежат главному идеалу (аЛ+1). Итак, (ап)^ (ап + 1), откуда вообще из k^l следует (ak)^ (at).

Пусть

объединение всех идеалов (ап) (в смысле,

указанном в §2). Если а и b — элементы из Л, то a£(aÄ) и 66 (at) при некоторых k и Z. Если m — большее из чисел k и /, то оба элемента а и b принадлежат (ат) и по свойству идеала (а )^А. Также из а£(ак) следует ar£(ak)^A при любом г из R. Значит, А — идеал кольца R. Но R — кольцо главных идеалов. Поэтому А=(а0) — главный идеал. Все элементы А делятся на а0. В частности, а0\ап при любом п.

Так как а0 принадлежит объединению А идеалов (ап), то он принадлежит одному из них, например (аПо). Откуда ащ\а0. Если п>п0, то ап\ащ, значит, ап\а0. Но а0|ап + 1, т. е. an\an+i.

* См. Б. Л. Ван-дер-Варден, Современная алгебра, ч. I, Гостехиздат, 1947, стр. 86.

В то же время an + i\an. Таким образом, ап и an+i ассоциированы (теорема 3), т. е. ап + 1 не является собственным делителем ап при любом п^п0. Теорема доказана.

Из двух последних теорем вытекает основная теорема теории делимости для колец главных идеалов.

Теорема 11. (Ср. §23, теорема 12.) Любой элемент а кольца главных идеалов R, отличный от нуля и делителей единицы, представляется в виде произведения простых элементов и притом единственным образом с точностью до порядка сомножителей и до умножения их на делителей единицы.

Доказательство. 1) Докажем существование требуемого представления. Если бы элемент а, отличный от нуля и делителей единицы, был неразложим в произведение простых множителей, то он сам не был бы простым (ибо простой элемент р равен произведению простых элементов с одним сомножителем р). Значит, элемент а разложим (опр. 3), т. е. a=biCi, где fe4 и с{ — собственные делители а. По крайней мере один из элементов Ь{, с{ неразложим в произведение простых множителей, так как иначе элемент а разлагался бы на простые множители. Если это—fei, то, как выше, для а найдем Ь^=Ь2с2, где fe2 и с2 — собственные делители элемента felt из которых хотя бы один, например fe2, не разлагается на простые множители. По индукции построим последовательность {fe^}, п=1, 2, . . ., где каждый элемент bn + i — собственный делитель предыдущего элемента Ъп. Так как по теореме 10 такой последовательности в кольце R не существует, то любой элемент из R должен разлагаться на простые множители.

2) Докажем единственность требуемого представления. Применим индукцию по числу простых множителей в одном из возможных разложений элементов из кольца R на простые множители. Если элемент а допускает представление в виде произведения из одного простого элемента, то а будет простым и не может равняться произведению более одного простого элемента, ибо все эти элементы не являются делителями единицы и будут нетривиальными делителями а, что невозможно. Итак, в этом случае требуемое разложение единственно.

Пусть единственность разложения доказана для всех элементов из кольца R, обладающих каждый хотя бы одним разложением с числом сомножителей, меньшим данного числа г>1, и пусть элемент а обладает разложением с г сомножителями. Беря это и любое разложение а на простые множители, получим:

(6)

где все р( и q< — простые элементы. Так как произведение qiq2 . . . qs делится на простой элемент рь то один из сомножителей qf делится на рх (см. теорему 9). Меняя, если нужно, нуме-

рацию сомножителей q^ можем считать, что р t |д1ж Так как qx обладает лишь тривиальными делителями и joj не является делителем единицы, то pi и q{ ассоциированы, т. е. С\=сф^ где Ci — делитель единицы. Заменяя в равенстве (6) q{ на CiPi и сокращая на ри найдем:

Таким образом, элемент b допускает разложение с числом сомножителей г — 1 и по предположению индукции для него утверждение о единственности верно. Значит, г—1 =s—1 и при подходящей нумерации Cig2=c2'p2, qj=cfpp /=3, . . ., г, где с2', с3, . . ., сг — делители единицы. Положим с~\ с'2=с2. Элемент с2— также делитель единицы. Тогда r=s и qi=cipi для 1=1, 2, . . ., г, чем наша теорема доказана.

Из этой теоремы легко получаются все другие свойства делимости, причем их доказательство проводится привычным читателю путем. Приведем некоторые из них. Так как отдельные из этих положений будут применяться в следующем параграфе к кольцам более общего вида, чем кольца главных идеалов, то мы и рассмотрим здесь такие кольца.

Назовем для краткости кольцом с разложением на множители любую область целостности с единицей, где каждый элемент, отличный от нуля и делителя единицы, представляется в виде произведения простых элементов и притом единственным образом.

Будем считать, что делители единицы также являются произведениями простых элементов с числом сомножителей, равным нулю, или пустым множеством простых множителей.

Теорема 12. Если а и b — отличные от нуля элементы кольца R с разложением на множители, то а\Ь тогда и только тогда, когда все простые множители элемента а являются также множителями b (при этом здесь и ниже каждый простой множитель считается столько раз, сколько он содержится в разложении данного элемента).

Доказательство. Если все простые множители элемента а содержатся в разложении 6, то, очевидно, а\Ь. Если а\Ь, то b—aq. Разлагая а и g на простые множители, мы получим разложение элемента 6. Значит, все простые множители элемента а входят в разложение Ь.

Понятия НОД и взаимно простых элементов (опр. 6) сохраняют смысл для любой области целостности с единицей. Введем еще обычное понятие наименьшего общего кратного (НОК) нескольких элементов, понимая под этим элемент 6, отличный от нуля, являющийся общим кратным (OK) данных элементов

и делящим любое их ОК. Тогда теорема 6 обобщается следующим образом:

Теорема 13. Для любых элементов аи . . ., ап (не все из которых равны нулю) кольца R с разложением на множители существуют НОД и НОК, определенные однозначно до умножения на делители единицы.

Доказательство. Пусть d — произведение всех простых множителей, входящих одновременно в разложения всех данных элементов ai (если таких нет, то полагаем d=e, где е — единица кольца R), и k — произведение всех простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного из данных элементов а{ (говоря подробнее, в d мы берем каждый простой элемент столько раз, сколько он содержится в разложении каждого а{, a в k — столько раз, сколько он встречается хотя бы в одном а(). По теореме 12 из того, что все множители d входят в разложение любого ai% следует, что d\aiy а из того, что все множители ai входят в k, следует, что a(\k. Если b — любой ОД всех а{, то все множители элемента b входят в каждый элемент ai и, значит, в d, откуда b\d. Если b — OK всех ai% то все множители любого ai входят в b и, значит, все множители элемента k входят в Ь, откуда k\b. Итак, d — НОД и k — НОК данных элементов. Если d' — любой НОД элементов а(, то d\d' и d'\d. По теореме 3d и d' ассоциированы, т. е. различаются лишь множителем, равным делителю единицы. Также доказывается однозначность НОК k.

Замечание. В отличие от колец главных идеалов для колец с разложением на множители НОД не всегда выражается через данные элементы в виде (4) (см. теорему 6). Так, в кольце Р\х, у] многочленов с двумя неизвестными над полем Р многочлены X и у являются простыми элементами и не имеют поэтому общих простых множителей. Значит, их НОД равен единице е. Но е нельзя представить в виде ах+Ьу, где а и b — многочлены из Pix, у], ибо все многочлены такого вида не имеют свободного члена. В следующем параграфе мы увидим, что Pix, у] — кольцо с разложением на множители.

Теорема 14. Если d — НОД элементов а4, . . ., ап кольца R с разложением на множители и a^db;, i=l, . . ., п, то элементы 6Ь . . Ьп — взаимно просты. Обратно, если bi, . . ., bn — взаимно просты и a^db^ i=l, . . ., п, то d — НОД элементов аь . . ., ап.

Доказательство. Если rft — НОД элементов bu . . ., bn, то из равенств ai=dbi ,bi=dici следует а(=аа{с(, т. е. cWila,., i=l, . . ., п. Тогда ddi\d, откуда di\e [теорема 1, д)], т. е. di — делитель единицы, и Ьи . • ., Ьп — взаимно просты.

Обратно, если Ьь . . ., Ьп — взаимно просты и а7' — любой ОД всех а0 то d'ldb^ По теореме 12 все простые множители d' входят в разложение dbj. Если бы не все они входили в d, то все Ь{ обладали бы общим простым множителем, что невозможно, ибо они взаимно просты. Итак, все множители d' входят в d. Откуда d'\d. Значит, d такой ОД всех а.., который делится на любой их ОД, т. е. d— НОД элементов аи . . ., ап.

Для рассматриваемого типа колец остается верной теорема 7, а именно:

Теорема 15. Если а, Ъ, с — элементы кольца R с разложением на множители, причем а\Ъс и a, b — взаимно просты, то а\с.

Доказательство. По теореме 12 все множители а входят в be. Ни один из них не входит в Ь, так как любой общий делитель элементов а и b будет делителем единицы. Значит, все множители а входят в с, откуда а\с.

Теорема 16. Если элемент а кольца R с разложением на множители делится на каждый из элементов bt, . . ., bn и эти последние попарно взаимно просты, то а делится на их произведение bi . . . bn.

Доказательство. Множители каждого элемента bt входят в а и два различных из элементов Ьь . . ., Ьп не имеют общих множителей. Поэтому все множители произведения Ьи • • ч Ьп входят в а, откуда Ь{ . . . Ьп\а.

Теорема 17. Если элемент а кольца R с разложением на множители взаимно прост с каждым из элементов blf . . ., bn, то а взаимно прост и с произведением Ьх . . . Ьп.

Доказательство. При условиях теоремы элемент а и произведение bi . . . Ъп не имеют общих множителей. Значит, они взаимно просты, ибо любой множитель их НОД является также их общим множителем.

До сих пор мы не привели ни одного примера кольца с нарушением теоремы об однозначном разложении на простые множители. Эта теорема может нарушаться в двух разных смыслах: или в кольце существуют элементы, отличные от нуля и делителей единицы, которые вообще не разлагаются на простые множители, или каждый такой элемент разлагается на простыв множители, но нарушается однозначность этого разложения, т. е. множители двух разложений одного элемента различаются не только порядком и делителями единицы. Приведем примеры на оба эти случая.

Пример 1. Кольцо с нарушением существования разложения на простые множители. Для любого рационального числа —, где п > О, под 2п будем подразумевать положительное значение корня у^2т- Это значение однозначно определено (§ 30, теорема 4). Пусть Л — множество всех действительных чисел, вида

где п — любое натуральное число, alt . . ., a — любые целые и х1э хп — любые неотрицательные двоично-рациональные числа, т. е. числа вида — k , где m и k — целые неотрицательные числа. Сумма, разность и произведение чисел такого вида имеют, очевидно, тот же вид. Значит, Л — кольцо. При п = 1 и xi = 0 получим с = а{ — любое целое число, т. е. Л содержит все целые числа, в частности единицу. Число 2 разлагается на множители в кольце Л следующим образом:

причем можно доказать (для чего нужны, однако, свойства многочленов, выходящие за рамки данной книги), что число 2 и вообще все числа вида

где /g — целое неотрицательное число, не являются делителями единицы в кольце Л. Таким образом, число 2 разложимо, но не разлагается в кольце Л на простые множители.

Пример 2. Кольцо с нарушением однозначности разложения на простые множители. Пусть Л — множество всех комплексных чисел, вида

где а и b — любые целые числа. При 6 = 0 получим, что Л содержит все целые числа. Назовем нормой N (z) числа z из Л квадрат его модуля, т. е.

Очевидно, что для любого z из Л норма N (z) — целое неотрицательное число, причем N (z) =0 тогда и только тогда, когда z = 0. Из свойств модуля 1§ 34(7)] вытекает, что норма произведения двух чисел из множества Л равна произведению их норм, откуда ясно, что если произведение двух чисел равно нулю, то одно из них также равно нулю. Значит, Л — область целостности с единицей. Из того, что N (1) = 1, получается, что если х —делитель единицы, т. е. ху =в 1, где хау — элементы множества Л, то N(x)-N(y) = 1. Но из N (х) ^1 и N(y)^i следует тогда, что N (х) = N (у) = 1. Если X = с + di - }/"з , то N (х) = с2 + ЭЙ2 = 1, что для целых cud возможно лишь при с = ^1,^ = 0,2 = ± 1. Итак, делителями единицы в Л являются только +1 и — 1. Любое число из Л, отличное от 0 и делителей единицы, имеет норму > 1. Поэтому если t — собственный делитель z, то N (t) < N (z). Отсюда индукцией по N (z) легко доказать разложимость на простые множители любого числа из Л, отличного от 0 и ± 1. Однако однозначность такого разложения в Л не имеет места.

В самом деле, 4 =2-2 = (1 + i|^3~)(l — *]/"з"). Очевидно, число 2 не ассоциировано ни с одним из чисел 1 ±i у% (ассоциированные числа в Л могут различаться только знаком). Покажем, что 2 и 1 ± i (^з"— простые элементы кольца Л. Если 2 = ху, то 4 = N (2) = N (х) -N (у). Но 4 разлагается на целые положительные множители лишь двумя способами: 4 = 2-2 = 1-4. Далее, N (х)≠2, ибо если х = с + di )/"$% то N (х) =

следовало бы

что невозможно. Значит, либо N (х) = 1, либо N {х) = 4 и тогда N (у) = 1. Одно из чисел X, у будет делителем единицы, т. е. число 2 обладает лишь тривиальными делителями и является простым. Так как N(l±iy^) = 4, то простота чисел 1±1}/"з доказывается совершенно также. Итак, в R число 4 обладает двумя существенно различными разложениями на простые множители.

§ 38. Приложение общей теории к целым числам, многочленам и целым гауссовым числам

1. Кольцо целых чисел. Так как кольцо целых чисел С является областью целостности с единицей (§ 22, теорема 2) и в нем существует алгорифм деления с остатком (§ 23, теорема 4), то оно является евклидовым кольцом, причем за целочисленную функцию элементов этого кольца (§ 37, опр. 4) можно принять абсолютную величину f(a)=\a\ (или вообще |а|+с, где с — любое, но одно и то же для всех а целое неотрицательное число). Значит, С — кольцо главных идеалов (§ 37, теорема 5). Поэтому вся теория делимости, развитая в § 23 для целых чисел, вновь получается как частный случай общей теории предыдущего параграфа. Заметим, что в общем случае свойства взаимно простых элементов (§ 37, теоремы 15—17) были выведены из основной теоремы разложения на простые множители, тогда как в случае целых чисел соответствующие свойства (§ 23, теоремы 6—8) получены непосредственно из свойств НОД двух чисел. Мы допустили такое различие, чтобы познакомить читателя с двумя возможными здесь путями развития теории. Порядок изложения, принятый для целых чисел, возможен и для любых колец главных идеалов.

2. Кольцо многочленов. Кольцо Pix] многочленов с одним неизвестным х над полем Р является областью целостности с единицей как и любое кольцо R[xi% . . ., хп] многочленов с п неизвестными над областью целостности R с единицей (§ 35, теорема 4). Далее, в кольце Р[х] определен алгорифм деления с остатком (§ 36, теорема 2). Значит, это кольцо также будет евклидовым, причем за функцию f(a) многочлена а можно принять его степень. Таким образом, Pix] — кольцо главных идеалов и для него опять справедлива вся теория делимости предыдущего параграфа.

Однако в элементарной алгебре при рассмотрении тождественных преобразований (в частности, при сокращении дробей и приведении их к общему знаменателю) приходится разлагать на множители (для отыскания НОД и НОК) многочлены, содержащие несколько различных букв, т. е. многочлены с несколькими неизвестными. Но кольцо Plxiy . . ., хп] многочленов с числом неизвестных п > 1 над любым полем уже не является кольцом главных идеалов (§ 37, пример 5). Отсюда вытекает, во-первых, что это кольцо не является евклидовым, т. е. для

него не существует целочисленной функции, относительно которой существовало бы деление с остатком, и, во-вторых, что доказательство основной теоремы теории делимости, данное в предыдущем параграфе (см. теорему 11), для этого кольца теряет силу. Ведь это доказательство основывалось, в конце концов, на теореме 6 предыдущего параграфа о существовании НОД данных элементов и о возможности его выражения через данные элементы в виде (4). Но в кольце Р[хи . . ., хп] НОД не всегда выражается через данные многочлены в виде (4) (см. § 37, замечание к теореме 13). Тем не менее теорема об однозначном разложении на простые множители для кольца Р[хи . . ., хп] верна, хотя и нуждается в новом обосновании. Переходим к изложению этого обоснования.

Пусть R — кольцо с разложением на множители, т. е. область целостности с единицей, где выполнена теорема об однозначном разложении на простые множители любого элемента, отличного от нуля и делителей единицы. Тогда в кольце R верны все следствия из основной теоремы (см. § 37, теоремы 12—17).

Определение 1. НОД d коэффициентов многочлена f(x) кольца Rix] называется содержанием этого многочлена. Многочлен называется примитивным, если его содержание равно единице, т. е. если его коэффициенты взаимно просты.

Теорема 1. Любой многочлен f(x) из Rix], отличный от нуля, можно представить в виде f(x) =d-fi (х), где d — элемент кольца R и f(x) — примитивный многочлен, и притом однозначно до делителей единицы. При этом d будет содержанием f(x).

Доказательство. Если d — содержание f(x), то, вынося его за скобки из всех членов, получим f(x) =d-fi (х), где коэффициенты многочлена f{ (х) уже взаимно просты (§ 37, теорема 14), т. е. f{ (х) примитивный многочлен. Итак, требуемое представление f(x) существует. Если f(x) =d-fi (х) — любое такое представление, то из взаимной простоты коэффициентов fi(x) следует, что d — НОД коэффициентов f(x) (§ 37, теорема 14) и, значит, определен однозначно до делителей единицы (§ 37, теорема 13). Поэтому и f{ (х) — определен однозначно до делителей единицы.

Теорема 2. Произведение нескольких многочленов из Rix] примитивно тогда и только тогда, когда каждый из данных многочленов примитивен.

Доказательство. Содержание каждого сомножителя будет, очевидно, делить все коэффициенты произведения. Поэтому если хотя бы один из перемножаемых многочленов непримитивен, то и произведение непримитивно; если произведение прими-

тивно, то это верно и для каждого сомножителя. Остается доказать, что произведение примитивных многочленов примитивно. Индукцией по числу сомножителей дело сводится к двум многочленам. Итак, надо доказать следующее утверждение, известное под названием леммы Гаусса:

Произведение двух примитивных многочленов из Rix] примитивно.

Пусть многочлены

примитивны и

Если h(x) непримитивен, то его содержание d не является делителем единицы и разлагается в кольце R на простые множители. Пусть р — один из этих множителей. Все с- делятся на р. Так как f(x) и g(x) примитивны, то не все их коэффициенты делятся на р. Пусть а{ — первый из коэффициентов f(x) и 6,— первый из коэффициентов g (я), не делящихся на р, т. е. р\а[у но p\ah при k<S и p\bj, но p\bh при k<CJ. Коэффициент ci+j при xl+J в многочлене h(x) выражается через коэффициенты f(x) и g(x) так:

где положено аь=0 при к>т пЬь=0 при &>>гс. Все члены этой суммы, кроме, быть может, a(bj, делятся на р. Но с/+уГ делится на р, значит, произведение a{bj делится на р. Но это невозможно, так как тогда простой элемент р входит в разложение aßj и должен войти в разложение хотя бы одного элемента а{ или bp т. е. должен делить один из этих элементов, что противоречит их выбору. Теорема доказана.

Для удобства изложения введем такое понятие: Определение 2. Многочлен /(х) из Rix] называется неприводимым в Rix], если он имеет положительную степень и не разлагается в Rix] на два множителя степени ниже, чем он сам. Если же такое разложение возможно, то многочлен называется приводимым в Rix].

Понятие неприводимого многочлена близко к понятию простого элемента кольца Rix]. Так, в кольце многочленов Pix] над полем Р оба эти понятия совпадают, ибо все многочлены нулевой степени являются делителями единицы в Pix] и обратно; отсюда любой разложимый элемент из Pix] будет приводимым многочленом, т. е. любой неприводимый многочлен будет простым элементом.

Однако в кольце Rix] над любой областью целостности R с единицей эти понятия надо различать. Так, в кольце С[х] целочисленных многочленов многочлен 2х+2 =2 (я+1) разложим, но неприводим, как всякий многочлен первой степени.

Заметим, что для примитивных многочленов из Rix] оба понятия совпадают, ибо разложение примитивного многочлена не может содержать множителей нулевой степени, отличных от делителей единицы.

Теорема 3. Пусть R — кольцо с однозначным разложением на простые множители и Р — поле отношений кольца R (см. опр. из §27). Тогда любой многочлен f(x) кольца многочленов Pix] представляется в виде f{x)=cfi{x), где с — элемент поля Р и fi(x) — примитивный многочлен кольца Rix], определенный однозначно до делителей единицы из R. Многочлен f(x) тогда и только тогда неприводим в Pix], когда соответствующий ему многочлен fi(x) неприводим в Rix].

Доказательство. Каждый элемент поля отношений Р по самому определению Р равен частному элементов кольца R. Для любой конечной системы элементов R существуют НОД и НОК (§ 37, теорема 13). Запишем все коэффициенты многочлена f(x) в виде частных элементов из кольца R и приведем их к общему знаменателю. Если b — их общий знаменатель (т. е. НОК всех знаменателей) и а — НОД всех числителей, то, полагая с=-т- и вынося с за скобку, получим:

где fi(x) — примитивный многочлен, ибо его коэффициенты взаимно просты (§ 37, теорема 14). Если даны два представления для f(x) такого рода:

элементы кольца

то, полагая

R, найдем:

По теореме 1 многочлены fi(x) и /г(#) могут различаться лишь делителями единицы. Если fi(x) приводим в R (х), то f(x) = =cfi(x) приводим в Pix), так как если

то

Обратно, если f(x) приводим в Pix], то

По доказанной части теоремы имеем:

где а и b принадлежат Р и gi(x) и hl(x) — примитивные многочлены. Поэтому

По теореме 2 произведение примитивных многочленов gi (х) » h{ (х) примитивно и по доказанной однозначности представления / (х) =cfi (х) многочлен fi(x) до делителей единицы из R совпадает с gi{x)hi(x), т. е.

где d — делитель единицы R. Значит, fi(x) приводим. Теперь можно доказать следующую основную теорему:

Теорема 4. Если R — область целостности с единицей и в R справедлива теорема об однозначном разложении на простые множители, то это верно также и для кольца многочленов Rix] над R.

Доказательство. 1) Доказываем существование разложения. Пусть f(x) — многочлен из кольца Rix], отличный от нуля и делителей единицы. По теореме 1 имеем f(x)=dg(x), где dJcR и g(x) — примитивный многочлен. По условию, наложенному на R, если d — не делитель единицы, то он разлагается в кольце R на простые множители. Пусть Р — поле отношений кольца R. В Р (х) справедлива теорема об однозначности разложения на простые множители. Пусть

разложение g(x) на простые множители в Pix]. Тогда все gt(x) неприводимы ъ Pix] и по теореме 3

где с£Р и (х) — неприводимый примитивный многочлен кольца. Rix], Получим:

По теореме 2 многочлен fi(x) . . . fr(x) примитивен и по теореме 3 отличается от g(x) лишь делителями единицы. Значит, g(x) разлагается на простые множители в кольце R[x\. Разложения dm g(x) дают разложение для f(x).

2) Доказываем единственность разложения. Пусть даны любые два разложения многочлена f(x) из кольца Rix] на простые множители:

где a,., bj —- простые элементы кольца R и gj(x) —» непри-

водимые примитивные многочлены из R[x], По теореме 2 произведения fi(z) . . . fr(x) и gi(x) . . . gs(x) примитивны и различаются лишь делителем единицы. По теореме 3 f((x) и gf(x) неприводимы, т. е. просты в Р[х]. Но в Р[х] разложение на простые множители единственно до множителей из Р. Значит. r=s и, при подходящей нумерации,

где с£Р. Если

где — элементы кольца Я, то

и по теореме 1 элементы к{ и lt совпадают до делителей единицы из R. Значит, с,- — делитель единицы в Д.

Далее, по теореме 1 произведения ai . . . ар и Ь4 . . . Ь совладают до делителей единицы в R. Но в R разложение на простые множители однозначно. Поэтому р = q и при подходящей нумерации а,.=йД-, i = 1, 2, . . ., р, где dt —• делители единицы в R. Теорема доказана.

Теорема 5. Если теорема об однозначной разложимости справедлива в области целостности с единицей Л, то она справедлива также в кольце многочленов R[xu . . ., хп] с п неизвестными над Л.

Доказательство. Применим индукцию по п. По теореме 4 теорема об однозначной разложимости на простые множители справедлива в R[x{], и если эта теорема справедлива в R[xiy . . xn_i], то она справедлива в

В частности, однозначное разложение на простые множители имеет место для многочленов с целыми коэффициентами и любым числом неизвестных, т. е. в кольце C[xiy . . ., #п], так как в кольце целых чисел С это выполнено. Школьная алгебра имеет дело главным образом с такими многочленами. Для них сохраняют силу теоремы 12—17 из § 37. В частности, для любых двух или нескольких многочленов существуют НОД и НОК, определенные однозначно, с точностью до знака (ибо делителями единицы кольца целых чисел являются лишь ±1). На этом основаны сокращения дробей и приведение их к общему знаменателю.

Выше мы доказали существование разложения на простые множители, но не дали способа его фактического выполнения. В кольце многочленов Р[х] над полем Р такой способ дает алгорифм Евклида, указанный в предыдущем параграфе. В кольце многочленов С[хи . . ., хп\ с целыми коэффициентами и любым числом неизвестных такой способ также существует. Именно, для целых чисел разложение на простые множители выполняется

известным из школы путем с помощью конечного числа испытаний (делений данного числа на меньшие по абсолютной величине положительные числа). Далее, справедливо утверждение: если разложение на простые множители в кольце R выполнимо при помощи конечного числа испытаний, то в кольце R[x] оно также выполнимо при помощи конечного числа испытаний. Отсюда вытекает, что и в кольце целочисленных многочленов С[хх, . . ., хп] разложение на простые множители выполнимо при помощи конечного числа испытаний. Однако ввиду громоздкости этого общего метода разложения на множители на практике пользоваться им неудобно. Поэтому мы его излагать не будем. Желающие могут найти его изложение в книге Б. Л. Ван-дер-Вардена «Современная алгебра», ч. 1, изд. 2, §25.

3. Кольцо целых гауссовых чисел. Рассмотрим еще одно применение общей теории делимости, построенной в предыдущем параграфе. Комплексные числа вида a+bi, где а и b — обыкновенные целые числа, называются целыми числами Гаусса. Очевидно, что сумма, разность и произведение двух целых чисел Гаусса будут снова целыми числами Гаусса. Поэтому все эти числа образуют кольцо R. Все целые числа входят в кольцо R (при 6=0). Так как в поле всех комплексных чисел нет делителей нуля, то их нет и в R. Итак, R — область целостности с единицей.

Нормой комплексного числа z=a+bi назовем квадрат его модуля, т. е.

Из свойств модуля [§ 34, (7)] ясно, что норма произведения двух любых комплексных чисел равна произведению их норм, т. е.

Для целых чисел Гаусса норма является целым неотрицательным числом, а для чисел, не равных нулю,— натуральным числом.

Выясним, каковы делители единицы кольца R. Покажем, что число z тогда и только тогда будет делителем единицы, когда его норма равна 1. В самом деле, если N(z)=l, то zz=i, где число z, сопряженное целому числу Гаусса z, само будет целым числом Гаусса. Значит, z\\. Обратно, если z|l, то l=zt, где t — целое число Гаусса. По свойству нормы

и так как N (z) и N (t) — натуральные числа, то N(z) = 1. Если z=a+bi — делитель единицы, то N (z) =аг+Ьг =\, что для целых а и b возможно лишь при а = ± 1, b = 0 или а = О, b=±i. Это дает четыре значения для z, именно ±1 и ±*-

Итак, в кольце R целых чисел Гаусса делителями единицы являются только четыре числа ±1 и ±i. Поэтому каждое число

ъфО из R имеет четыре ассоциированных с ним числа ±z и ±iz.

Покажем, что в кольце целых чисел Гаусса можно определить алгорифм деления с остатком относительно нормы N(z). Сначала введем дробные числа Гаусса. Пусть Р — совокупность всех комплексных чисел вида а+Ы, где а и b — рациональные числа. Легко проверить, что сумма, разность, произведение и частное (если делитель отличен от нуля) двух чисел из Р снова принадлежат Р. Значит, Р является полем. Числа из Р называются дробными числами Гаусса. Кольцо R содержится в поле Р, но само полем не является, ибо, например, частное чисел 1 и 2 из й, т. е. число у нельзя записать в виде а+Ы с целыми а и Ь, так как запись комплексных чисел в виде а+Ы с действительными а и b однозначна (см. § 33, теорема 1) и уже

Любое число поля из Р равно частному чисел из кольца R (достаточно в записи а+Ы числа из Р привести числа а и b к общему знаменателю:

Значит, Р — поле отношений кольца R.

Теорема 1. Для любого числа z существует по крайней мере одно число t из R такое, что N (z — t)<l (даже ^ -g-).

Доказательство. Пусть z=a+bi. Берем целое число с, ближайшее к рациональному числу а, и целое число d, ближайшее к 6. Тогда

Поэтому

Геометрический смысл этой теоремы весьма прост. Проведя на комплексной плоскости прямые, параллельные действительной и мнимой оси, на всех целочисленных расстояниях от последних разобьем всю плоскость на единичные квадраты. Целые числа Гаусса изображаются вершинами этих квадратов. Любая точка плоскости попадает в один из квадратов и отстоит от ближайшей его вершины не далее, чем его центр удален от вершин этого квадрата, т. е. не далее, чем на половину диагонали квадрата,

т. е. ~2~'- Расстояние между точками равно модулю разности соответствующих этим точкам комплексных чисел. Поэтому норма разности этих чисел, равная квадрату ее модуля, не превышает

Заметим, что для чисел вида a+biVS с целыми а и Ь, рассмотренных в конце предыдущего параграфа, эта теорема уже неверна. Так, для числа — + -—i ]/3 расстояние от ближайшего числа вида а+ЫУ'З с целыми а и Ь, например от нуля, равно

Геометрически это объясняется тем,что числа а+Ы^З с целыми а и b изображаются на плоскости вершинами прямоугольников с основанием, равным единице, и высотой, равной )/3. Пересечение диагоналей такого прямоугольника удалено от его вершин на расстояние, равное 1. Этим и объясняется, что доказательство однозначной разложимости на простые множители для целых чисел Гаусса не проходит для чисел видаа+Ьг|/3 с целыми а и 6. Выше мы видели, что для этих чисел однозначность указанного разложения действительно нарушается.

Из теоремы 1 сразу следует наличие в кольце R алгорифма деления.

Теорема 2. Для любых чисел zu t из R, где t=^0t существуют в R числа g и г такие, что z=tq+ru

Доказательство. По теореме 1 существует число q из R такое, что

Положим r=z — tq. Тогда г-— число из R, причем z=tq+r и

что и требовалось доказать.

Заметим, что в отличие от обыкновенных целых чисел и многочленов числа q и s определены вообще неоднозначно. Тем не менее их фактическое разыскание всегда возможно, и с помощью алгорифма Евклида можно фактически вычислять НОД двух данных целых чисел Гаусса.

Таким образом, приняв f(z)=N(z) за целочисленную функцию в кольце R, мы убеждаемся, что кольцо R является евклидовым кольцом (§ 37, опр. 4), а значит, и кольцом главных идеалов (§ 37, опр. 5). Поэтому для него справедлива вся теория делимости предыдущего параграфа. В частности, любое целое число Гаусса разлагается в произведение простых чисел Гаусса и притом единственным образом.

Выясним, каковы же простые числа Гаусса. Условимся, в отличие от простых чисел Гаусса, под простыми числами всегда понимать натуральные простые числа 2, 3, 5, . . . (§ 17), т. е. натуральные числа, отличные от 1 и не имеющие делителей (среди натуральных чисел), отличных от 1 и самого данного числа.

Теорема 3. Если норма целого числа Гаусса — простое число, то само это число будет простым числом Гаусса.

Доказательство. Пусть z — целое число Гаусса и N (z)=p — простое число. Если z=xy, где х и у — целые числа Гаусса, то р =N (z) =N (х)- N (у). Так как N (х) и N (у) — натуральные числа и р — число простое, то либо N(x)=i, либо N(y)=l, т. е. одно из чисел х или у является делителем единицы в R. Но это значит, что z — простое число Гаусса.

Теорема 4. Любое простое число Гаусса z является делителем одного и только одного простого числа.

Доказательство. Из N (z) =zz следует, что любое целое число Гаусса, кроме нуля, является делителем натурального числа, а именно его нормы. Пусть

разложение натурального числа N (z) на простые множители. Так как произведение N (z) делится на простое число Гаусса z, то один из сомножителей р{ делится на z (§ 37, теорема 9). Если простое число Гаусса z делит два различных простых числа р и q, то сопряженное с z число z также делит рид, ибо р и q совпадают с сопряженными им числами. Поэтому натуральное число N (z) —zz делит взаимно простые числа рг и q2. Таким образом, N(z)=i, z — делитель единицы. Однако простое число Гаусса z не является делителем единицы. Значит, z не может делить два различных простых числа.

Теорема 5. Норма простого числа Гаусса z является либо простым числом, либо квадратом простого числа.

Доказательство. По предыдущей теореме существует простое число р, делящееся в кольце R на z. Тогда р =zt, где t — целое число Гаусса. Переходя к нормам, получим;

Так как р2 делится лишь на натуральные числа 1, р, р* и N (г)Ф\, ибо z — не делитель единицы, то либо 7V(z)=p, либо N(z)=p*.

Простые числа Гаусса, нормы которых — простые числа, называются числами первого порядка, а те, нормы которых равны квадратам простых чисел,— числами второго порядка.

Если натуральное число п равно норме целого числа Гаусса z=a+bi1 то оно представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел, так как n=N (z) =a2+b*. Обратно, любое натуральное число п, равное сумме двух квадратов целых чисел, является нормой целого числа Гаусса, так как если п=аг~\-Ьг и z=a+bi, то n=N(z). Один из этих квадратов может отсутствовать (при а=0 или Ь=0). Но если Лг — число простое, то оба числа а и b отличны от нуля и можно считать их положительными. Итак, простое число р тогда и только тогда является нормой целого числа Гаусса, когда оно равно сумме двух квадратов натуральных чисел.

Теперь легко показать, что существуют простые числа Гаусса как первого, так и второго порядка. Прежде всего:

Значит,

т. е. 1-И — число первого порядка. По единственности разложения на простые множители 1-Н и числа, с ним ассоциированные, исчерпывают все простые числа Гаусса, норма которых равна 2. Посмотрим, какие нечетные простые числа являются нормами простых чисел Гаусса первого порядка. Любое нечетное простое число р является либо числом вида 4/г + 1, как 5, 13, 17, . . ., либо числом вида 4/г+З, как 3, 7, 11, . . ., где п — целое неотрицательное число. Простые числа вида р=4/г+3 не являются нормами простых чисел Гаусса, ибо не могут равняться суммам двух квадратов натуральных чисел. В самом деле, если р=4п++3=а2+й2, то из нечетности р следует, что одно из чисел а, b четно, другое нечетно. Если

то

т. е. дает при делении на 4 остаток 1, тогда как р=4/г+3 при делении на 4 дает остаток 3. Если р делится на простое число Гаусса z, то

Но N(z)=£p. Значит, 7V(z)=p2, N(t)=l, t — делитель единицы, z — число второго порядка, ассоциированное с р. Итак, все простые числа вида 4/г+З остаются простыми также в кольце чисел Гаусса и являются числами второго порядка.

Для простых чисел вида р=4л+1 находим, например:

Можно доказать, что любое простое число вида 4/i+l является нормой простого числа Гаусса первого порядка и потому представляется в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Однако для этого нужны совершенно иные методы (в частности, теория сравнений), которых мы касаться не можем. Весьма ценным дополнением к этой книге, содержащим простое изложение ряда интересных свойств чисел (в частности, свойств целых чисел Гаусса), является книга Р. О. Кузьмина и Д. К. Фадеева «Алгебра и арифметика комплексных чисел>>, Учпедгиз, 1939.

Нашей задачей было не ознакомпление читателя с новыми для него фактами, а выяснение точного смысла понятий числа и многочлена и строгое обоснование их свойств, уже известных читателю из средней школы.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие к первому изданию................. 3

Предисловие ко второму изданию .................. 4

Глава I. Множества

§ 1. Понятие о множестве..................... 5

§ 2. Операции над множествами.................. 7

§ 3. Функция, отображение, мощность.............. 10

§ 4. Конечные и бесконечные множества.............. 14

§ 5. Упорядоченные множества.................. 20

Глава II. Кольцо и поле

§ 6. Кольцо........................... 25

§ 7. Поле.............................. 39

§ 8. Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм...... 47

§ 9. Расположенные кольца и поля................ 53

Глава III. Натуральные числа

§ 10. Число и счет......................... 63

§ 11. Аксиомы натуральных чисел................. 65

§ 12. Сложение........................... 68

§ 13. Умножение.......................... 72

§ 14. Порядок........................... 75

§ 15. Индуктивные определения. Сумма и произведение нескольких чисел 79

§ 16. Вычитание и деление..................... 86

§ 17. Теория делимости натуральных чисел............. 88

§ 18. Замечания о системе аксиом натуральных чисел....... 95

Глава IV. Кольцо целых чисел

§ 19. Принцип расширения в арифметике и алгебре........ 101

§ 20. Эквивалентность и разбиение на классы............ 103

§ 21. Определение кольца целых чисел............... 104

§ 22. Свойства целых чисел..................... 114

§ 23. Теория делимости целых чисел................ 118

§ 24. Полукольцо......................... 125

Глава V. Поле рациональных чисел

§ 25. Определение поля рациональных чисел............128

§ 26. Свойства рациональных чисел................136

§ 27. Поле отношений.......................145

Глава VI. Поле действительных чисел

§ 28. Полные и непрерывные поля.................148

§ 29. Определение поля действительных чисел............164

§ 30. Свойства действительных чисел................178

§ 31. Запись чисел десятичными дробями..............189

§ 32. Аксиоматическое определение действительных чисел......203

Глава VII. Поле комплексных чисел

§ 33. Определение поля комплексных чисел............215

§ 34. Свойства комплексных чисел.................222

Глава VIII. Кольцо многочленов и поле рациональных функций

§ 35. Определения н простейшие свойства..............233

§ 36. Алгорифм деления. Свойства корней. Обоснование функциональной

точки зрения на многочлены и рациональные функции . . . .248

§ 37. Теория делимости для евклидовых колец и колец главных идеалов Примеры колец с нарушением однозначной разложимости на простые множители........................257

§ 38. Приложение общей теории к целым числам, многочленам и целым гауссовым числам......................271

Игорь Владимирович Проскуряков

ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ

Редактор В. Г. Долгополов Художник А. Г. Яковлев. Художественный редактор Б. Л. Николаев. Технический редактор В. Ф. Егорова. Корректор Т. Я. Смирнова.

Сдано в набор 24/VIII 1964 г. Подписано к печати 30/XI 1964 г. 60x90*/t«* Печ. л. 17,75. Уч.-изд. л. 17,15. Тираж 30000 экз. Пл. 1965 г. 225.

Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по печати Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41

Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати Москва, Ж-54, Валовая, 28. Заказ № 1866

Цена без переплета 46 к., переплет 10 к.