Попов И. Г. Арифметика : учебник для 5 и 6 классов неполной средней и средней школы / под ред. проф. И. И. Чистякова. — 5-е изд. — М. : Учпедгиз, 1936. — 144 с.

И. ПОПОВ

АРИФМЕТИКА

УЧЕБНИК ДЛЯ НЕПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

УЧПЕДГИЗ

МОСКВА-1936

Цена 1 р. 15 к.

И. ПОПОВ

АРИФМЕТИКА

УЧЕБНИК ДЛЯ 5-го и 6-го КЛАССОВ НЕПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ПОД РЕДАКЦИЕЙ

проф. И. И. ЧИСТЯКОВА

Утверждено Наркомпросом РСФСР

ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА — 1936

П58

Ответственный редактор В. Т. Снигирев. Технич. редактор М. М. Хасина.

Наблюдала за переизданием редактор М. Таль. Подписано к печати с матриц 4/V 1936 г. Формат бумаги 81X110/32. Бумага фабрики им. Горького. Тираж 1600 + 150 т. 2-й. зав. 800 т. (401—1200). Изд. листов 9. Бум. лист. 2V*. 1810OJ зн. в бум. листе. Авт. листов 9,04. Учпедгиз /6 7848. Заказ 628. У-21. Цена 85 коп., картон, переплет 30 коп. Уполн, Главлита № Б—17737.

2-я типография .Печатный Двор" треста .Полиграфкнига*. Ленинград, Гатчинская, 2Ь\

I. ОБОЗНАЧЕНИЕ И ЧТЕНИЕ ЧИСЕЛ.

§ 1. Введение.

Арифметика есть наука о числах, их свойствах и действиях над ними.

Начало арифметике было положено тогда, когда люди научились считать, когда люди стали понимать, что такое единица как отдельный предмет счета. Изучая разные памятники, оставшиеся от людей, живших в древние времена, и надписи на этих памятниках, мы можем рассказать, как считали люди раньше, но мы не можем указать, какой из известных нам народов положил начало арифметике.

Слова „один", „единица" употребляются для обозначения одного какого-либо предмета. Когда мы хотим дать числовое обозначение совокупности предметов, то мы должны их сосчитать.

Для того чтобы сосчитать предметы, надо взять сперва один предмет, потом присоединить к нему еще один предмет, к этой совокупности предметов прибавить еще один предмет и т. д.; постепенно получаются: 1) один предмет, 2) один и один предмет; 3) один, один и один предмет, и т. д. Вместо выражения один и один употребляют слово два, вместо один, один и один — слово три и т. д. Получается последовательный ряд чисел: один,два,три, четыре... Наименьшее число в этом ряду — единица. Этот ряд можно по мере надобности продолжать как угодно далеко. Этот ряд не имеет последнего, самого большого числа, так как к последнему взятому числу этого ряда можно прибавить единицу и получить новое, еще большее число.

Счет нужен нам тогда, когда мы имеем совокупность предметов, собрание предметов. Число получается в результате счета. Целое число выражает собой совокупность нескольких единиц или одну единицу.

§ 2. Натуральный ряд чисел.

Счет облегчил человеку возможность различать понятия: равно, больше, меньше и привел к созданию натурального ряда чисел.

Натуральный ряд чисел: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12... Первым десяти числам даны названия: один, два, три, десять. С помощью этих десяти названий и еще нескольких составляются названия всех чисел.

Сначала каждый отдельный предмет изображался точкой или черточкой. Однако это было неудобно для тех случаев, когда число считаемых предметов было большое. Для собрания большого числа единиц были придуманы особые знаки. С течением времени числовые знаки меняли свою форму. Те знаки, которыми пользуемся мы, носят название арабских цифр, так как предполагают, что эти цифры были заимствованы европейцами у арабов.

Постепенно люди научились пользоваться небольшим числом знаков для обозначения всех чисел.

Будем составлять на счетах числа натурального ряда. Начнем с той проволоки, которая на рисунке 1 обозначена как первая (1). Считая отложенные косточки, будем продвигать их влево по одной: одна, две, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять.

Мы получили десять единиц первого разряда, или, как их еще называют, десять простых единиц. Эти десять простых единиц составляют один десяток простых единиц. Мы его будем называть просто десяток, или единица второго разряда. На счетах мы отодвигаем обратно десять косточек первой проволоки и заменяем их одной косточкой второй проволоки. Эта косточка обозначает единицу второго разряда. Прибавляя снова по единице, мы получаем числа: одиннадцать, двенадцать и т. д. до двадцати. Заменяя десяток еще одной косточкой на второй проволоке, мы получим две единицы второго разряда.

Продолжение счета приводит нас к числу сто, которому будут соответствовать десять косточек на второй проволоке. Мы получили сотню — единицу третьего разряда.

§ 3. Устный счет и десятичная система счисления.

Рис 1.

Десять косточек второй проволоки будут заменены на счетах одной косточкой третьей проволоки. При дальнейшем счете мы дойдем до десяти сотен, до тысячи.

Мы пересчитали все единицы так называемого первого класса. Мы видим, что десять единиц первого разряда составляют одну единицу второго разряда; десять единиц второго разряда — одну единицу третьего разряда; десять единиц третьего разряда составляют одну единицу четвертого разряда. Каждая единица следующего разряда содержит десять единиц предыдущего низшего разряда. Поэтому наша система называется десятичной системой счисления.

Первые три разряда составляют первый класс — класс единиц. Класс единиц состоит из трех разрядов: единиц, десятков и сотен.

Считая дальше, мы переходим к единицам второго класса: мы будем считать тысячами, десятками тысяч, сотнями тысяч. Тысячи, десятки тысяч и сотни тысяч образуют второй класс—класс тысяч.

Тысячу тысяч, или миллион, принимают за единицу третьего класса, который содержит также три разряда: миллионы (единицы миллионов), десятки миллионов, сотни миллионов.

Дальше пойдет класс миллиардов, или биллионов, — четвертый класс, класс триллионов — пятый класс и т. д. Таким образом, в десятичной системе счисления:

1) десять единиц каждого разряда составляют единицу следующего высшего разряда;

2) разряды соединены в классы; каждый класс состоит из единиц трех разрядов.

Порядок счета чисел соответствует следующей таблице:

5-й класс

4-й класс

3-й класс — миллионы

2-й класс — тысячи

1-й класс — единицы

Триллионы

Биллионы (миллиарды)

9-й разряд — сотни миллионов

1

8-й разряд — десятки миллионов

7-й разряд — единицы миллионов

6-й разряд — сотни тысяч

5-й разряд — десятки тысяч

4-й разряд— единицы тысяч

3-й разряд — сотни

2-й разряд — десятки

1-й разряд — единицы

§ 4. Нумерация.

Все числа записываются при помощи небольшого числа знаков. Знаки эти называются цифрами. Всех цифр десять — девять значащих цифр, а именно: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и десятая цифра 0—нуль.

Чтобы обозначить цифрами число, записывают числа каждого разряда одно за другим, начиная с высшего разряда, так. чтобы единицы высших разрядов стояли левее единиц низших разрядов. Если нет единиц какого-нибудь разряда или класса, то на месте этого разряда надо ставить нуль, на месте класса—три нуля.

1. Записано число: 3085. Это число составлено из единиц (5), десятков (8) и тысяч (3). Сотен нет. На месте третьего разряда — сотен — стоит нуль. Если бы не был поставлен нуль, то получилось бы число 385, которое читается: триста восемьдесят пять.

2. Записано число: 4 000236; в этом числе нет всех трех разрядов класса тысяч, другими словами — нет класса тысяч.

Для удобства чтения многозначных чисел при записи отделяют один класс от другого промежутками.

В числе 15 900 км класс тысяч отделен от класса единиц.

3. От перестановки цифр в числе меняется значение числа. Так, числа 15 900; 15090; 19 500; 51009 —различны: цифра 9 в первом числе означает 9 сотен; во втором числе— 9 десятков; в третьем — 9 тысяч; в четвертом — 9 единиц.

Записывание чисел основано на двух правилах:

1) Значение единиц, обозначенных цифрой, зависит от того места, на котором стоит эта цифра.

Цифра, стоящая на первом месте от правой руки к левой, обозначает единицы, на втором — десятки, на третьем — сотни первого класса; затем — единицы, десятки и сотни второго класса. Так же и для третьего, четвертого и других классов.

2) Если в классе нет единиц какого-нибудь разряда, то на месте этого разряда ставится нуль1).

Число, обозначенное одной цифрой, называется однозначным числом-, число, обозначенное двумя цифрами, называется двузначным числом и т. д. Числа двузначные, трехзначные и т. д. — числа многозначные.

Например: 9 — наибольшее однозначное число. 302 —число трехзначное. 5400 — число четырехзначное. 100 —наименьшее трехзначное число. 999 — наибольшее трехзначное число.

1) Нуль — по-арабски сифр.

При чтении записанных чисел читаются отдельно единицы каждого класса с прибавлением наименования класса, например: 917 тысяч, 459 миллионов.

К единицам первого класса названия класса не присоединяют, оно только подразумевается — вместо него ставят название считаемых предметов. Так, например, читают: 345 паровозов вместо того, чтобы читать 345 единиц паровозов. Число 40 239 м читается так: сорок тысяч двести тридцать девять метров.

§ 5. Римские цифры.

У римлян для обозначения чисел до тысячи существовали следующие основные цифры:

1—1; X —10; С—100; М —1000.

Кроме того имелись еще промежуточные цифры:

V —5; L — 50; D —500.

Если рядом были поставлены две или три одинаковые основные цифры, то это означало число, равное сумме этих единиц, например:

II —2; XXX —30; ММ —2000.

Когда единица низшего разряда помещалась справа от единицы высшего разряда, то это обозначало число, равное сумме обозначенных чисел, например:

VI —6; XXI —21; MD—1500.

Если же единица низшего разряда ставилась перед следующей за ней единицей высшего разряда, то это означало число, равное разности обозначенных чисел, например:

IV —4; IX —9; ХС —90; CD —400; СМ —900.

Изображение трехзначных и четырехзначных чисел при такой записи очень сложно. Поэтому в настоящее время римскими цифрами пользуются изредка: для обозначения глав книги, томов сочинения какого-нибудь автора, года сооружения на памятниках и др.

II. МЕРЫ. МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР.

§ 1. Величины и их измерение.

При математических вычислениях нам приходится иметь дело с величинами.

Определение. Величиной в математике называется все, что можно сравнить и измерить.

Длина, вес, объем, время являются величинами.

Для измерения величин надо иметь единицу меры.

Например: метр, сантиметр — единицы для измерения длины; килограмм, грамм—единицы веса; час, секунда — единицы времени.

Определения. I. Единицей меры называют такую величину, с которой при измерении сравнивают все величины, однородные с этой единицей.

II. Измерить величину — это значит сравнить измеряемую величину с величиной того же рода, принятой за единицу, т. е. узнать, из скольких единиц или долей ее состоит данная величина.

Основными единицами измерения считают: для длины -сантиметр, для веса — грамм, для времени — секунду.

В результате измерения получается число; например, вес предмета, который уравновешивается тремя килограммами, мы обозначаем числом 3.

§ 2. Метрическая система мер.

Совокупность единиц, которыми мы пользуемся для измерения всех величин, называют системой мер.

С развитием техники увеличивается потребность в точных измерениях и постоянных единицах для измерения.

Во все времена ставился вопрос о возможности получения постоянных единиц измерения из окружающей нас природы. Так были получены единицы времени: год, сутки. Эти единицы соответствуют определенным повторяющимся в природе годовому и суточному движениям земли. Принятая в науке единица длины — метр — связана с размерами земли.

Во Франции, во время Французской буржуазной революции, в 1795 г., за единицу длины была принята длина, равная одной десятимиллионной части четверти парижского меридиана.

Был изготовлен образец — метр, который и теперь хранится в Международном бюро мер и весов в Париже.

При точной проверке оказалось, что длина метра несколько короче действительной. Тем не менее этот образец метра международным соглашением принят за единицу длины. Два образца метра хранятся у нас: в Академии наук и в Главной палате мер и весов в Ленинграде.

Постановлением Совнаркома от 14 сентября 1918 г. метрическая система мер была введена в СССР для обязательного пользования. Метрическая система мер согласована с десятичной системой счисления. Так, например, метр содержит 10 дециметров, 100 сантиметров, 1000 миллиметров.

Подразделение на части, которые содержатся в единице меры 10, 100, 1000 и т. д. раз, очень удобно при вычислениях.

§ 3. Обозначение единиц.

Комитетом по стандартизации утверждены следующие сокращенные обозначения метрических единиц:

ТАБЛИЦА МЕР.

I. Меры длины.

II. Меры поверхности.

III. Меры объема.

IV. Меры веса.

V. Меры объема сыпучих и жидких тел.

VI. Связь между мерами объема и веса.

III. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

§ 1. Сложение.

При помощи счета можно производить сложение чисел.

1. Мальчик получил в школе 8 тетрадей. Его сестра получила 7 тетрадей. Сколько тетрадей получили они оба?

Для решения задачи надо сосчитать все полученные тетради; всего — 15 тетрадей.

Запись решения: 8 + 7=15 тетрадей.

В этом примере из двух данных чисел надо было составить новое число, показывающее, сколько всего единиц в данных числах. Такое действие называется сложением,

2. Можно складывать и несколько чисел:

28 + 38 + 17 + 40 = 123.

Число 123 называется суммой четырех чисел: 28; 38; 17 и 40.

Определение. Числа, которые складывают, называются слагаемыми; число, которое получается в результате сложения, называется суммой.

В задаче 1 по данным слагаемым (8 и 7) составлена сумма (15).

Для случая двух слагаемых (8 + 7=15) мы имели: Первое слагаемое + второе слагаемое = сумма.

Эту запись можно заменить более короткою на буквах: а + b = с, где первое слагаемое обозначено буквой а, второе слагаемое — буквой Ь, сумма — буквой с.

Суммой можно назвать как с, так и а + #.

§ 2. Задачи, решаемые сложением.

1. Колхоз имел следующие источники дохода:

От продажи государству зерна 65 703 руб. п п огородной продукции ............... 99 682 „

От продажи продуктов животноводства . . . 3319 „

„ других отраслей хозяйства. >....... 42416 „

Всего валового дохода колхоз имел.....211120 руб.

В данной задаче отдельные числа являются слагаемыми, а общий итог — сумма этих слагаемых. Решая задачу, мы находим сумму нескольких слагаемых, находим число, которое содержит столько же единиц, сколько их содержат все данные числа, взятые вместе.

2. Колхозник в первый год вступления в колхоз получил за трудодни 23 ц зерна. Через год он получил за год на 15 ц больше. Сколько центнеров он получил во второй год?

Решение. 23+ 15 = 38 ц.

Здесь мы имеем другую задачу, решаемую сложением: здесь надо увеличить число на некоторое число единиц (15).

И в этом случае числа (23 и 15), данные для сложения, называются слагаемыми, число 38 — результат сложения — суммой.

Сложением решаются те задачи, в которых надо:

1) найти число, равное всем данным числам, взятым вместе;

2) увеличить данное число на несколько единиц.

Примечание. Обе задачи всегда возможны, поэтому мы можем сказать, что сложение есть действие, всегда выполнимое.

§ 3. Законы сложения.

1. От нашего дома до одного конца переулка надо пройти 36 м, до другого конца 52 м. Найти длину переулка.

Решение. Общая длина будет: 36-{-52 = 88 ж. Та же длина получится, если мы возьмем числа в другом порядке: 52 -(-36 = 88 м. Мы видим, что сумма не зависит от перестановки слагаемых.

Переместительный закон сложения. От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Обозначая слагаемые буквами а и Ь, можно написать этот закон на буквах: а+£ = £ + а.

Закон остается справедливым для суммы трех и большего числа слагаемых.

2. Найти сумму:

43 + 65 + 28 = 28 + 65 + 43 = 65 + 43 + 28=136.

В этом примере сделанные нами перестановки трех слагаемых не меняют величины суммы.

Запись на буквах: a + 6 + c = ô + a + c = £ + a + ô = a + + с + Ь.

3. Кроме переместительного закона, при решении задач на сложение часто пользуются еще одним законом — сочетательным.

Сочетательный закон. Чтобы получить сумму нескольких слагаемых, можно эти слагаемые разбить на группы, найти сумму для каждой группы слагаемых отдельно и все эти суммы сложить.

Этот способ упрощает нахождение суммы большого числа слагаемых.

4. Сложить: 15 + 35 + 22 + 8 + 46 + 9.

Решение. Разобьем слагаемые на группы, которые в сумме дают удобные для сложения числа:

15 + 35 + 22+ 8 +46+ 9 = (15 + 35)+ (22+ 8)+ (46+ 9) = = 50 + 30 + 55 = 135.

Замечание. Скобки показывают, что сложение внутри скобок надо сделать раньше. Результаты складывают потом.

При вычислениях часто пользуются как переместительным законом, так и сочетательным,

5. Найти сумму 43 + 79 + 68; в результате получится 190. Но можно облегчить вычисление. Так как сумма (60 + 7 + 1) заменяет число 68, то, очевидно, справедливо и обратное: число 68 можно заменить суммой 60+7+1.

Разобьем число 68 на эти три слагаемых и подставим их в данное выражение:

43 + 79 + 68 = 43 + 79 + 60 + 1 +7.

Теперь сгруппируем все полученные слагаемые:

43 + 79 + 60+1 +7 = (43 + 7) + (79 + 1) + 60 = = 50 + 80 + 60=190.

Любое из слагаемых можно заменить при сложении несколькими слагаемыми, если они дают равную ему сумму.

§ 4. Как прибавить сумму.

Законы сложения позволяют прибавить сумму двух слагаемых, не вычисляя ее.

1. Колхоз сдавал зерно на элеватор партиями. Сперва он сдал 845 ц зерна, потом свез 30 ц и 75 ц. Сколько всего зерна сдал колхоз?

Решение. Эту задачу можно решить двумя способами.

1) Сложить все числа:

845 + 30 + 75 = 950 ц.

В этом случае мы находим сумму, прибавляя каждое слагаемое отдельно.

2) Можно отдельно подсчитать вес зерна, привезенного позже, и прибавить его к весу зерна, сданного вначале:

30 + 75 = 105 ц; 845 + 105 = 950 ц.

Получилась та же сумма. Запишем теперь равенство сумм при помощи скобок:

845 + (30 + 75) = 845 + 30 + 75 = 950.

Чтобы прибавить к какому-нибудь числу сумму чисел, можно прибавить к этому числу каждое слагаемое отдельно.

Запишем это правило на буквах: а + (£ + с) = а + £ + £.

Правило прибавления суммы остается справедливым и для суммы какого угодно числа слагаемых. 2. Найти сумму: 38 + (42 + 65 + 27 + 83).

Решение.

38 + (42 + 65 + 27 + 83) = 38 + 42+65 + 27 + 83 = 255.

Зная свойства суммы, мы можем дать объяснение тем приемам, которыми мы пользуемся при сложении целых чисел. 1. Сложение однозначных чисел, сумма которых не превосходит десяти, делается путем счета:

3 + 5 = 8.

2. Сложение однозначных чисел, сумма которых превосходит число десять, делается так:

8 + 7 = 8 + (2 + 5) = 8 + 2 + 5 = (8 + 2) + 5 = 10 + 5=15.

Здесь мы заменили второе слагаемое двумя слагаемыми и прибавили их сумму, пользуясь сочетательным законом. Одно слагаемое должно дополнить первое слагаемое до 10.

3. При сложении многозначных чисел мы пользуемся и переместительным и сочетательным законами:

§ 5. Сложение целых чисел.

Из этого примера видно, почему для нахождения суммы мы складываем отдельно единицы каждого разряда. Эту запись можно сократить:

Если полученная при сложении сумма единиц превосходит 10, то мы превращаем ее в единицы следующего высшего разряда и приписываем к этому разряду или замечаем их и прибавляем к сумме единиц следующего высшего разряда.

Чтобы сложить несколько чисел, пишут их одно под другим так, чтобы цифры, представляющие единицы одного и того же разряда, находились в одном столбце. Складывают единицы, стоящие в крайнем правом столбце, и подписывают под ним результат, если он меньше 10; если же он больше или равен 10, то подписывается только цифра единиц, а десятки приписывают к столбцу десятков; затем складывают десятки и поступают точно так же, как и при сложении цифр предыдущего столбца; так продолжают поступать, пока не будут исчерпаны все столбцы. Под последним столбцом подписывают весь результат, независимо от того, будет ли он больше или меньше 10. Полученное число и есть искомая сумма.

§ 6. Вычитание.

1. Машинно-тракторная станция имеет 36 тракторов. Она послала на перевозку грузов 17 тракторов. Сколько тракторов у нее осталось для других работ?

Решение. 36 — 17=19.

Это действие называется вычитанием. Если сложить 19 и 17, то в сумме получится 36:

19 + 17 = 36.

36 — сумма; 19 и 17 — слагаемые. Зная сумму (36) и одно слагаемое (17), мы вычитанием нашли другое слагаемое (19).

Определение. Вычитанием называется такое действие, посредством которого по сумме и одному известному слагаемому находят второе неизвестное слагаемое.

Когда мы производим вычитание, мы не называем числа суммой и слагаемыми, мы даем им другие названия:

I. То число, из которого вычитают, называется уменьшаемым.

II. То число, которое вычитают, называется вычитаемым.

III. То число, которое получается как результат вычитания, называется разностью, или остатком.

В задаче 1 мы нашли: 36—17=19; 36 — уменьшаемое; 17—вычитаемое; 19 — разность.

Уменьшаемое — вычитаемое = разность.

Буквенная запись вычитания: а — Ь = с. Здесь буквой а обозначено уменьшаемое, буквой b — вычитаемое, буквой с — разность. Разностью называют как с, так и а — Ь.

§ 7. Сложение и вычитание — действия взаимно обратные.

Сложение и вычитание — действия взаимно обратные.

340 + 250 = 590 и 590 — 250 = 340.

Запишем названия чисел, над которыми производятся действия:

При сложении

При вычитании

590

250

340

сумма

одно слагаемое

второе слагаемое

уменьшаемое

вычитаемое

разность

Следствия. 1. Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность. 2. Вычитаемое равно уменьшаемому минус разность.

Следствия 1 и 2 позволяют находить неизвестные уменьшаемое и вычитаемое.

1) л:—5 = 9.

Уменьшаемое х, вычитаемое 5, разность 9. Находим: х = 9 + 5; л: = 14.

2) 8 —* = 3.

Здесь X — вычитаемое, 8 — уменьшаемое, 3 — разность. Находим:

л: = 8 —3; х = 5.

3) Пассажирский поезд составлен из 14 вагонов. На узловой станции к поезду прицепили два вагона, идущих с другой линии, и отцепили два вагона, идущих до этой станции. Изменилось ли число вагонов в поезде?

Решение. 14-\-2 — 2 = 14 вагонов.

Прицепку и отцепку можно было бы произвести и в другом порядке. Можно было бы сперва отцепить два вагона, а потом прицепить другие два вагона. В этом случае запись решения имела бы вид: 14 — 2-}-2 = 14. Результат тот же.

Решение этой задачи позволяет указать на следующее свойство сложения и вычитания как обратных действий:

Если к какому-нибудь числу прибавить другое число, а потом отнять то же число, то получится прежнее число.

Таким образом, одно из двух взаимно обратных действий уничтожает результаты другого действия.

§ 8. Задачи, решаемые вычитанием.

1. Колхоз израсходовал всего 46 183 руб. Из этих денег 27 953 руб. пошли на хозяйственные расходы. Остальные деньги пошли на уплату долга банку. Сколько рублей уплатил колхоз банку?

Решение. 46183 — 27 953 = 18230 руб. В этой задаче сумма двух слагаемых 46183 и одно из них 27 953. Надо по сумме двух чисел и одному из них найти второе. Эта задача решается вычитанием. Найден остаток денег, который колхоз уплатил банку.

2. Паровой молот при выковке деталей дает около 40 бракованных деталей в день. Бригада, работающая у молота, постановила снизить число бракованных деталей на 15. Найти наибольшее число бракованных деталей, которое бригада считает допустимым.

Решение. 40 —15 = 25 деталей.

В этой задаче надо уменьшить число 40 на 15 единиц. Задача решается вычитанием.

3. Каменщики укладывали по 800 кирпичей в день каждый. Ударник увеличил число укладываемых в день кирпичей до 1300 штук. На сколько кирпичей ударник стал укладывать больше каждого из остальных каменщиков?

Решение. 1300 — 800 = 500 кирпичей.

В этой задаче сравниваются два числа: узнают, на сколько единиц одно число больше другого.

Эта задача также решается вычитанием.

Вычитание применяется, когда надо:

1) по сумме двух слагаемых и одному из них найти другое слагаемое;

2) уменьшить число на несколько единиц (отнять несколько единиц);

3) узнать, на сколько единиц одно число больше или меньше другого (сравнить два числа).

Примечание /. Вторая задача на вычитание не всегда возможна. Она не может быть решена, если мы хотим уменьшить число на число, которое больше уменьшаемого.

Примечание II. Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю. Пример: 8 — 8 = 0. Следствие. Если разность двух чисел равна нулю, то эти числа равны.

§ 9. Изменение суммы.

1. Кооператив строит дачи для рабочих. Жилая площадь дачи должна иметь 56 кв. м. Подсобная площадь 15 кв. м. При утверждении проекта решили увеличить жилую площадь на 12 кв. м. Какова была общая полезная площадь в первом проекте, и на сколько она изменилась во втором проекте?

Решение. По первоначальному проекту полезная площадь была равна:

56-1- 15 = 71 кв. м.

Увеличивая одно слагаемое на 12 кв. м, мы увеличиваем и всю сумму на 12 кв. м и получаем:

56 + 15 + 12 = 68+15 = 71 + 12 = 83 кв. м.

1. Если одно из слагаемых увеличить на какое-нибудь число, то и сумма увеличится на то же число.

2. Вес автомобиля 4200 кг. Вес груза 4800 кг. Сколько весит автомобиль с грузом? Как изменится полный вес нагруженного автомобиля, если груз уменьшится на 200 кг?

Решение. Вес автомобиля с грузом 4200 + 4800 = = 9000 кг. Если груз уменьшится на 200 кг, то вес груза будет 4800 — 200 = 4600 кг, а вес автомобиля с грузом

4200 + 4600 = 8800 кг, т. е. вес автомобиля с грузом тоже уменьшится на 200 кг.

Таким образом, при уменьшении одного слагаемого уменьшается и сумма.

II. Если одно из слагаемых уменьшить на какое-нибудь число, то и сумма уменьшится на то же число.

3. Автомобиль весит 4200 кг. На него можно наложить груз в 4800 кг. Как изменится вес автомобиля с грузом, если сделать автомобиль на 200 кг легче, но увеличить нагрузку на 200 кг?

Решение. Прежний вес автомобиля с грузом:

4200 + 4800 = 9000 кг.

Новый вес: 4200 — 200+4800 + 200=4000 +5000=9000кг.

Полный вес автомобиля с грузом не изменится. Таким образом, сумма не изменилась от того, что одно слагаемое уменьшили, другое увеличили на 200 кг.

III. Если к одному слагаемому прибавить какое-нибудь число, а от другого слагаемого отнять такое же число, то сумма остается без изменения.

§ 10. Изменение разности.

1. Кооперативу необходимо иметь запас муки в 32 ц; ему отпущено 24 ц. Какое количество муки должен еще получить кооператив?

Решение. 32 — 24 = 8 ц.

В данном примере число 32 — уменьшаемое, число 24 — вычитаемое, 8 — разность.

Как изменится это количество, если кооперативу необходимо сделать запас на 6 ц больше? На 6 ц меньше?

Когда уменьшаемое увеличится на б ц> то и разность увеличится на 6 ц. Понятно, что уменьшение уменьшаемого на 6 ц уменьшает и разность на 6 ц. Здесь мы имеем примеры уменьшения и увеличения уменьшаемого.

1. Если уменьшаемое увеличить на какое-нибудь число, то разность увеличится на то же число.

II. Если уменьшаемое уменьшить на какое-нибудь число, то разность уменьшится на то же число.

2. Как изменится то количество муки, которое остается получить кооперативу (предыдущий пример), если ему отпустят на 3 ц больше? На 3 ц меньше?

В первом случае вычитаемое увеличено на 3. Можно убедиться, что при этом разность уменьшится на 3 и составит 5 ц; во втором случае вычитаемое станет меньше на 3, а разность увеличится на 3 и составит 11 ц.

I. Если вычитаемое увеличить на какое-нибудь число, то разность уменьшится на то же число.

II. Если вычитаемое уменьшить на какое-нибудь число, то разность увеличится на то же число.

3. Найти разность 1200—800. Как будет изменяться разность, если мы будем одновременно увеличивать на одно и то же число вычитаемое и уменьшаемое? Разность от этого не изменится. Также не изменится она от уменьшения вычитаемого и уменьшаемого на одно и то же число единиц.

1200 — 800 = 1300 — 900 = 1000 — 600 = 400.

Здесь в первом случае оба числа увеличены на 100, а во втором оба уменьшены на 200.

Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (или уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится.

§ 11. Вычитание суммы. Прибавление и вычитание разности.

1. Из полученных 250 руб. уплачено за заем 25 руб. и сделано покупок на 50 руб. Сколько осталось денег?

Решение. Решение можно найти двумя способами:

1) вычесть из 250 руб. общую сумму расходов:

250 —(25+ 50) = 250 —75 = 175 руб.;

2) вычесть последовательно оба числа:

250 — 25 — 50=175 руб.

Записав равенство обоих результатов, мы получаем правило вычитания суммы:

250 — (25 + 50) = 250 — 25 — 50 = 175.

1. Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму чисел, можно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое отдельно

Запись на буквах: а — (р + с) = а — Ъ — с.

Последнее правило упрощает вычитание, когда надо вычесть несколько чисел из одного и того же числа.

2. Вычесть: 420—103 — 65 — 42 — 17.

Решение. Мы будем вычитать сумму всех чисел, которые надо вычесть. Это действие заменит четыре последовательных вычитания:

420 — (103 + 65 -f 42 -f17) = 420 — 227 = 193.

Тот же результат получается при последовательном вычитании всех данных в примере чисел:

420 — 103 — 65 — 42 — 17 = 193.

3. Шофер получил 250 руб. зарплаты, 80 руб. премии, и у него вычли 25 руб. на заем. Сколько он получил на руки?

Решение. Можно дать два решения для этой задачи:

1) 250 + 80 — 25 = 305 руб.

2) 250+ (80 —25) = 250+ 55 = 305 руб.

В последнем решении мы сразу прибавили разность полученной премии и вычета. Результат получился прежний.

II. Чтобы прибавить к какому-нибудь числу разность двух чисел, можно прибавить к этому числу уменьшаемое и вычесть вычитаемое.

Запись на буквах: а + (£ — с) = а-\-Ь — с.

Если мы изменим задачу, то мы можем получить правило для вычитания разности.

4. Трактористу при расчете заплатили 250 руб. зарплаты, 40 руб. премии и зачли 60 руб. за выданные натурой продукты. Сколько тракторист получил на руки?

Решение. I способ: 250 —60 + 40 = 230 руб.

II способ: 250 —(60 —40) = 230 руб.

При втором решении мы сразу вычитаем разность полученной премии и удержания. Оба способа дают одинаковый результат:

250 — (60 — 40) = 250 — 60 + 40.

III. Чтобы вычесть из какого-нибудь числа разность двух чисел, можно вычесть из этого числа уменьшаемое и прибавить вычитаемое.

Запись на буквах: а — (р—с) = а — Ь-\-с*

§ 12. Вычитание целых чисел.

1. Вычитание любых чисел делают по правилам вычитания суммы:

Короче это записывают столбцом и сразу производят вычитание по разрядам:

Затруднение встречается только тогда, когда число единиц какого-нибудь разряда уменьшаемого меньше числа единиц того же разряда вычитаемого.

2. Вычесть: 6948 — 5173.

Здесь из 4 десятков уменьшаемого надо вычесть 7 десятков вычитаемого. Этого сделать нельзя. Тогда занимают одну единицу в соседнем высшем разряде уменьшаемого, в данном случае одну сотню, раздробляют ее в десятки и прибавляют к 4 десяткам уменьшаемого.

Получается: 10 + 4 = 14 десятков; вычитают: 14—7 = 7 десятков.

При записи действие это делают в уме, а затем отмечают точкой над цифрой того разряда, у которого занимали единицу. В дальнейшем придется вычесть одну сотню вычитаемого не из 9, а из 8 сотен уменьшаемого.

Запись такова:

Здесь в уме прибавили 10 десятков к 4 десяткам уменьшаемого и вычли 1 сотню из сотен уменьшаемого. Уменьшаемое при этом не изменилось.

Дадим еще примеры вычитания.

Здесь нам приходится прибавить одну тысячу, или 10 сотен, к сотням уменьшаемого и уменьшить на одну тысячу тысячи уменьшаемого.

Здесь мы занимаем от 4 десятков тысяч один десяток тысяч и из него одну тысячу, т. е. 10 сотен, прибавляем к сотням, а остальные 9 тысяч — к тысячам.

Чтобы произвести вычитание, подписывают вычитаемое под уменьшаемым, располагая друг под другом одинаковые разряды. Чтобы получить цифру единиц в разности, отнимают число единиц вычитаемого от числа единиц уменьшаемого. Если это вычитание невозможно, то к единицам уменьшаемого прибавляют 10 и уменьшают на 1 число единиц соседнего высшего разряда (десятков). Таким же образом ведут действие с десятками, сотнями и т. д. до конца.

§ 13. Проверка сложения.

Проверка сложения сложением. Для проверки сложения сложением пользуются переместительным законом сложения, а именно: складывают еще раз все слагаемые, но в другом порядке. Должна получиться прежняя сумма. Проверить сложение: 327 + 516 = 843.

Решение. Переставив слагаемые, получим:

516 + 327 = 843.

Мы получили ту же сумму 843; задача решена правильно. Чтобы проверить сложение сложением, надо, изменив порядок слагаемых, сделать сложение еще раз.

Проверка сложения вычитанием. Найти сумму и проверить решение: 3573 + 8949.

Решение. 3573 + 8949=12522.

Проверка. Мы знаем, что сложение и вычитание — действия взаимно обратные. Поэтому, вычитая из суммы одно слагаемое, мы должны получить второе слагаемое:

12 522 — 3573 = 8949.

Чтобы проверить сложение вычитанием, надо из суммы вычесть одно слагаемое, и должно получиться второе слагаемое.

§ 14. Проверка вычитания.

Рассматривая сложение и вычитание как взаимно обратные действия, мы находим простые способы проверки вычитания.

Проверка вычитания сложением. Найти разность и проверить правильность решения: 1080—935.

Решение. 1080 — 935 = 145.

Способ проверки основан на том, что уменьшаемое — это сумма, а вычитаемое и разность — слагаемые.

Сложив вычитаемое и разность, т. е. 935 и 145, должны получить уменьшаемое — сумму 1080:

935+145=1080.

Чтобы проверить вычитание сложением, надо сложить вычитаемое и разность, и должно получиться уменьшаемое.

Проверка вычитания вычитанием. Правильность вычитания можно проверить вычитанием же, пользуясь тем, что вычитаемое (одно слагаемое) равно уменьшаемому (сумма) минус разность (другое слагаемое). Последнее равенство и дает проверку вычитания вычитанием.

Чтобы проверить вычитание вычитанием, надо вычесть из уменьшаемого остаток, и должно получиться вычитаемое.

§ 15. Вычитание дополнением.

Вычитание дополнением основано на свойствах обратных действий. Им можно пользоваться при устном счете и при письменном вычитании каких угодно чисел.

Сделаем обычным способом вычитание и сложение:

Мы можем рассуждать так: сколько нужно прибавить единиц к 4 единицам, чтобы получить 9? Очевидно, 5. десятков к 1 десятку п „ 4? „ 3.

сотен к 5 сотням „ „ 8? „ 3.

Решение записывается как обычно.

Некоторое затруднение представит тот случай, когда число единиц какого-нибудь разряда вычитаемого больше числа того же разряда в уменьшаемом.

В этом случае вопрос ставится так: сколько надо прибавить к 8, чтобы получить ближайшее к 8 число, которое оканчивается на 3? Ответ: 5, так как 8 + 5=13. Пишут 5 на месте единиц, а полученный десяток замечают. В дальнейшем мы будем добавлять 3 десятка вычитаемого до 4, а не до 5.

Этот способ применяют и при вычитании нескольких чисел.

3. Дополнение всякого числа до одной единицы высшего разряда делается настолько просто, что результат можно писать от левой руки к правой: каждую цифру вычитаемого дополняют до 9, кроме последней значащей цифры, которую дополняют до 10.

Сделаем таким образом вычитания:

§ 16. Округление чисел.

Города СССР быстро растут. Так, например, в городе Баку насчитывали жителей в 1913 г. 333958 человек, в 1920 г.— 255566 человек, в 1926 г.—453333 человека, в 1931 г.—589634 человека. Определить, какой из указанных периодов дал наибольшую цифру роста населения в Баку.

Для решения задачи нет необходимости брать точные числа, которые даны в условии. Кроме того эти числа даже нельзя считать точными. Поэтому целесообразно произвести подсчет в тысячах, не обращая внимания на сотни, десятки и единицы, так как числа этих разрядов при исчислении населения такого большого города, как Баку, сильно колеблются со дня на день. Такой прием замены одного числа новым числом, с меньшим количеством значащих цифр, называется округлением.

Округлив числа задачи в тысячах, мы получим:

1913 г. —334000 человек, 1920 г. — 256000 человек, 1926 г. —453000 человек, 1931 г. —590000 человек.

За время с 1913 г. по 1926 г. население увеличилось на 119000 человек.

За время с 1926 г. по 1931 г. население увеличилось на 137 000 человек.

За последний период население росло быстрее, чем раньше.

В задачах с округленными числами всегда должно быть указано, в единицах какого разряда округлено число. Это указание иногда имеется в условиях задачи.

I. При округлении целых чисел в единицах какого-нибудь разряда цифры всех разрядов, стоящих правее округленного разряда, заменяют нулями.

Если при этом первая заменяемая нулем цифра больше 5 или равна 5, то стоящую от нее влево цифру увеличивают на единицу; если она меньше 5, то стоящая слева от нее цифра не меняется.

Например, число 437 926 после округления в тысячах имеет вид: 438000; число 284 631 после округления в сотнях имеет вид: 284 600; число 396 754 после округления в сотнях имеет вид: 396800.

Первое число округлено до разряда тысяч, второе и третье — до разряда сотен.

II. Если первая заменяемая нулем цифра равна 5, а других цифр за нею нет, то округляют так, чтобы стоящая слева от 5 цифра оставалась без изменения, если она четная, или была бы увеличена на единицу, если она нечетная.

Например, число 2485 после округления в десятках имеет вид: 2480.

Число 19635 после округления в десятках имеет вид: 19640.

Замечание. Чтобы показать приближенное равенство двух чисел или выражений, их соединяют знаком я^; например, л; œ 1800 читается так: х приблизительно равно 1800.

IV. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

§ 1. Умножение.

1. Автомобильный завод выпустил в первый рабочий день десятидневки 127 автомобилей и во второй 127 автомобилей и т. д. в течение 8 рабочих дней. Сколько автомобилей выпустил завод за эти 8 дней?

Решение. Чтобы решить эту задачу, надо число 127 повторить восемь раз слагаемым. Короче это записывается так:

127X8 = 1016,

т. е. 127 умножается на 8.

Такое действие, сокращающее сложение, называется умножением.

Число 127 называется множимым, число 8 — множителем и число 1016—произведением.

Определение. Умножить данное число на какое-нибудь целое число—значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько во множителе содержится единиц, и вычислить полученную сумму.

Знаками для умножения служат:

1) косой крест: 42X3 = 126 и 2) точка: 16-7=112.

Знак умножения можно не ставить перед буквенным сомножителем.

Пишут: 1) ab вместо а • Ь\ 2) 5л: вместо 5 • х.

Определение. Множимым называют то число, которое умножают. Множителем называют то число, на которое умножают. Произведением называют то число, которое получается в результате умножения.

Примечание. Множимое и множитель называют также сомножителями. Запись умножения на буквах: а • b = q.

Буквами а и b обозначены сомножители, а буквой q обозначено произведение.

2. Вычислить произведения: а) Ь8; б) 7-1; в) Ы; г) 0*7.

Решение, а) 1 -8 = 8; б) 7-1 =7; в) Ы = 1; г) 0-7 = 0.

Решения позволяют сделать такие выводы: Произведение единицы на какое-нибудь число, а также и произведение любого числа на единицу равно этому числу.

Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю.

Вычислить объем комнаты, если длина комнаты 8 м, ширина 3 м, высота 4 м.

Решение. Для нахождения объема в этом случае надо умножить длину на ширину и на высоту:

(8-3-4) куб. м.

Для нахождения произведения данных трех сомножителей надо сперва найти произведение 8-3 = 24, а затем найти произведение 24-4 = 96. Тогда получим:

8-3-4 = 96 куб. м.

Определение. Произведением трех чисел называют число, которое получится, если умножить произведение двух чисел на третье.

§ 2. Задачи, решаемые умножением.

1. Свеклу в колхозе убрали в 26 дней, каждый день в среднем убирали по 4 га. Сколько гектаров свеклы было убрано?

Решение. 4 -26 = 104 га. Задача решается умножением. Здесь умножение заменяет сложение равных слагаемых.

2. В колхоз вступило 120 хозяйств. Через год число вошедших в колхоз хозяйств увеличилось втрое. Сколько хозяйств стало в колхозе?

И эта задача решается умножением: 120 • 3 = 360 хозяйств. Здесь мы увеличили число в несколько раз. Посредством умножения на целое число решаются задачи, в которых надо: 1) найти сумму нескольких одинаковых слагаемых, 2) увеличить число в несколько раз.

§ 3. Законы умножения.

1. Переместительный закон. Умножить: 1) 3-5; 2) 2-3-7.

Если вычислить произведение, переставляя сомножители всеми способами, и сравнить результаты, то получится:

1) 3-5 = 5-3 = 15.

От перестановки двух сомножителей произведение не изменяется.

Запись на буквах: а • b=b • а.

Подобным свойством обладает и произведение большего числа сомножителей:

2) 2-3.7 = 2.7.3 = 7.3.2=3.2-7 = 7.2.3 = 3.7.2 = 42.

Запись на буквах: a»b<c = a*c*b = b»a*c = b*с»а = с*а»Ь — — с»Ь-а.

2. Сочетательный закон. Сколько литров керосина вмещает прямоугольной формы бак длиной в 4 м, шириной 3 м и высотой в 2 м?

Для нахождения вместимости бака надо вычислить произведение 4-3*2. Найдем сначала произведение 4*3 и умножим его затем на 2. Получим:

(4 • 3) • 2 = 24 куб. м = 24 000 куб. дм = 24 000 л.

Сделаем теперь умножение тех же чисел в другом порядке:

2-(3-4) = 24 иуб.м.

Результат получается один и тот же. Произведение нескольких сомножителей не изменится, если при умножении соединять сомножители в какие угодно группы. Запись на буквах: а • Ь • с = а • {Ь * с) = (а • Ь) • с.

3. Следующий пример показывает, насколько это свойство произведения упрощает иногда вычисления.

2-2- 2-3.5.5=?

Решение. Если сделать умножение в том порядке, как оно показано, получится 600. Сделаем то же вычисление в другом порядке:

(2 - 5) - (2 . 5) - (2 - 3) = 10 • 10 - 6 = 600.

Результат тот же, но вычисления облегчены.

4. Распределительный закон. Сколько килограммов железа требуется, чтобы покрыть крышу сарая, состоящую из трех скатов: 2 кв. м\ 12 кв. м и 2 кв. м (1 кв. м кровельного железа весит 5л:г)?

Решение. Общая площадь крыши: 2+ 12 + 2= 16 кв. м. Для нахождения веса железа надо умножить вес 1 кв. м железа на общее число квадратных метров: 5 -16 = 80 кг.

Задачу можно решить и другим способом: узнать сначала вес железа, необходимого для каждого ската, и затем сложить полученные числа. Будем иметь:

2 .5 + 12.5 + 2.5=10 + 60+10 = 80 кг.

Результат тот же.

5. Сделаем умножение (27 + 13 + 4). 5 двумя способами:

1) сложим все слагаемые внутри скобки и сумму помножим на 5;

2) помножим каждое слагаемое отдельно на 5 и сложим полученные произведения. В обоих случаях получаем один и тот же результат: 220.

Чтобы умножить сумму на какое-нибудь число, достаточно умножить каждое слагаемое отдельно на это число и полученные произведения сложить.

Запись на буквах: (а + Ь) • с = ас + be.

§ 4. Умножение на произведение и умножение произведения.

1. Найти вес кирпича в кладке, если размеры кладки 5 м, 8 м и 2 м и вес 1 куб. м кирпича 18 ц.

Решение. Для решения надо помножить вес 1 куб. м кладки на число кубических метров объема:

18 . 5 - 8 - 2 = 90 . 8 - 2 = 720 • 2 = 1440 ц.

Решение этой задачи можно записать иначе: найдем сначала объем кладки: 5 • 8 • 2 = 80 куб. м, затем вес кладки: 18 • 80 = 1440 ^.

Результаты равны: 18 • 5 • 8 • 2 = 18 • 80, где 80 есть произведение чисел 5-8-2.

Чтобы умножить число на произведение нескольких чисел, достаточно приписать множимое в качестве сомножителя к произведению и в дальнейшем умножать по правилу нахождения произведения нескольких сомножителей.

Замечание. Выписывая решение задачи, мы получили произведение 18 • 5 • 8 • 2 = 1440. Произведением называется как правая, так и левая часть равенства.

2. Найти произведение (3 • 5 • 6) • 8.

Замечание. Скобки показывают, что действия внутри скобок надо сделать раньше прочих действий.

Решение. Это умножение можно записать так: (3 - 5 • 6) • 8 = 3 - 5 - (6 • 8) = 3 - (5 - 8) - 6 = (3 • 8) - 5 - 6 = 720.

Произведения во всех этих случаях будут равны.

Чтобы умножить произведение нескольких чисел на какое-нибудь число, достаточно умножить на это число один из сомножителей, оставив без изменения все остальные сомножители.

§ 5. Умножение суммы и разности.

При изучении свойств действий нам приходилось уже записывать сумму, разность и произведение, не доводя вычислений до конца.

1. Записать: сумму двух чисел 23 и 15 надо умножить на 6.

Решение. (23 +15)• 6 = 38• 6 = 228.

Пользуясь распределительным законом умножения, можно дать и такое решение:

(23+15). 6 = 23-6 +15-6 = 138 + 90 = 228.

2. Записать: разность чисел 37 и 14 помножить на 9.

Решение. (37—14) • 9 = 23• 9 = 207.

Замечание. Выражения (23 -f-15) и (37 —14) мы называем суммой и разностью. Поэтому выражение (23 + 15) • 6 можно назвать произведением суммы на число 6, а выражение (37—14)-9 — произведением разности на число 9.

3. Покажем, как умножить разность на какое-нибудь число:

(7 —4).9 = 3-9 = 27,

или:

(7 —4). 9 = 7-9 —4-9 = 63 —36 = 27.

Сравнивая решения, можно записать: (7—4) -9 = 7« 9—4 « 9.

Чтобы умножить разность двух чисел на какое-нибудь число, достаточно умножить на это число отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

Запись на буквах: (а — Ь)*с = ас — ос.

4. (6 + 8-9).4 = 5-4 = 20;

(6 + 8 —9). 4 = 6-4 + 8-4 —9-4 = 24 + 32—36 = 20.

§ 6. Изменение произведения при изменении сомножителей.

Для плотничных работ требуется 12 досок; в первый раз выданы доски размером 4 мX 25 смХ 3 см и во второй раз доски размером 4 м X 25 см X 6 см. Во сколько раз увеличилось количество выданного материала во второй раз по сравнению с первым?

Решение. Объем одной доски из первой партии:

400 X 25 X 3 = 30 000 куб. см.

Объем одной доски из второй партии:

400 X 25 X 6 = 60 000 куб. см.

Мы видим, что от увеличения одного сомножителя в 2 раза произведение также увеличилось в 2 раза.

Если мы вместо объема 400 X 25 X 6 = 60 000 куб. см возьмем объем 400 X 25 X 3 = 30000 куб. см, то увидим, что от уменьшения одного сомножителя в 2 раза все произведение также уменьшается в 2 раза.

I. Если один из сомножителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то во столько же раз увеличится или уменьшится произведение.

Если вместо доски из первой партии брать короткие брусья, которые короче доски в два раза и толще ее в два раза, то объем бруса будет равен объему доски.

Вместо 400 X 25 X 3 = 30 000 куб. см получили бы тот же объем 200 X 25 X 6 = 30 000 куб. см.

II. Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.

§ 7. Умножение на числа с одной значащей цифрой.

1. Умножение однозначных чисел делают по таблице умножения.

2. Покажем, как производится умножение на число, выражаемое единицей с нулями.

Пример. Технической атмосферой называется давление в 1 кг на квадратный сантиметр. Давление в котле равно 35 атмосферам. Сколько это составит килограммов на квадратный метр?

По ходу задачи надо умножить 35 на 10000. Для нахождения произведения сначала умножим 35 на 10. Это значит, что каждая единица нашего числа будет повторена 10 раз и станет десятком, каждый десяток станет сотней, и мы получим 35 десятков, что равняется 350.

По внешнему виду произведение отличается от множимого только одним лишним нулем на конце. Легко видеть, что при умножении на 100 надо для получения произведения приписать на конце множимого два нуля, при умножении на 1000 — три нуля и т. д.

В нашем примере получим: 35-10000 = 350000 кг на 1 кв. м, Чтобы умножить целое число на 10, 100, 1000, надо приписать к множимому в конце его справа столько нулей, сколько их во множителе.

Умножение многозначного числа на однозначное мы делаем так:

Здесь мы заменяем множимое суммой слагаемых и находим произведение суммы на множитель.

Умножение начинают с низших разрядов и запись ведут таким образом.

Сперва умножают 7 на 6; получается 42 единицы; цифру 2 пишут, 4 десятка запоминают, чтобы потом прибавить их к произведению десятков. Умножают 3 десятка на 6, получают 18. Приба-

вляют 4 десятка — получается 22 десятка. Цифру 2 пишут на месте десятков, 2 сотни запоминают. Умножают 4 сотни на 6. Получается 24. Прибавляют 2 замеченные сотни. Получается 26 сотен; 6 сотен пишут на месте сотен, 2 тысячи запоминают. Умножают 2 тысячи на 6 и к произведению прибавляют замеченные в уме 2 тысячи. Получается 14 тысяч. Пишут их на месте тысяч. Получается 14 622.

§ 8. Умножение чисел, оканчивающихся нулями.

1. Найти произведение 353 • 800. Запишем:

Число 800 представлено как произведение двух сомножителей. Для умножения на произведение 8 • 100 можно сперва умножить на 8, а затем на 100. 2. Перемножить: 1900 • 7000.

Решение. 1900 • 7000 = (19 • 100) . (7 .1000) =

= 19- 100-7. 1000 =(19-7). (100-1000) = = 133 - 100 000 = 13 300 000.

§ 9. Умножение многозначных чисел.

1. Произвести умножение 718 • 243.

Решение. На основании распределительного закона запишем это действие так:

Для сокращения запись ведут столбцом: 2154 есть произведение числа 718 на 3; 28 720 есть произведение 718 на 40; 143 600 есть произведение 718 на 200. Их называют частными произведениями. Второе частное произведение есть произведение 718 на десятки.

Это частное произведение всегда имеет нуль на конце, поэтому 0 не пишут, а подписывают частное произведение так, чтобы последняя значащая цифра была под десятками. Запись будет такова:

Умножая на сотни, мы получаем 718*200. Число 1436 будет числом сотен, а потому пишем его так, чтобы его последняя значащая цифра была под сотнями.

Нули на конце частных произведений опускают.

2. Вычислить: 307 • 428.

Решение. Так как в первом числе меньше значащих цифр, то мы пишем его множителем. Во множителе нет десятков, поэтому нет и второго частного произведения. Следующее частное произведение пишут, отступая на два разряда влево.

Чтобы умножить многозначное число на многозначное, надо множимое умножить отдельно на единицы, десятки, сотни множителя и полученные произведения сложить.

3. Найти произведение 18 • 2756.

Решение. Надо умножить 18 на 2756. Но, зная, что произведение не меняется при перестановке сомножителей, множат 2756 на 18. Это удобнее:

2756-18 = 49608.

Если сомножители имеют неодинаковое число значащих цифр, то множителем лучше брать число, имеющее меньшее число значащих цифр.

§ 10. Понятие о степени.

При умножении одинаковых сомножителей возможно некоторое упрощение записи.

1. Даны произведения:

1) 3-3; 2) 2-2-2; 3) 3-3-3-3; 4) 5.5-5-5; 5) 10* Ю-10

Для таких произведений существует особый способ записи:

1) 3-3 = 3* = 9; 2) 2-2.2 = 23=8; 3) 3.3-3.3 = 34 = 81; 4) 5.5-5-5 = 54 = 625; 5) 10.10-10= 103 = 1000.

Умножение одинаковых сомножителей есть новое (пятое) действие — возведение в степень. В приведенном примере З2 читается так: три возвести во вторую степень, или найти произведение двух сомножителей, каждый из которых равен 3; 23 = 2*2«2 читается так: число 2 возвести в третью степень, или вычислить произведение трех сомножителей, каждый из которых равен 2.

2. Если вычислить 25; З4; 43; 73, то должно получиться: 32; 81; 64; 343.

В выражении 25 = 32 число 2 называется основанием степени; число 5 — показателем степени.

Определения. I. Основанием степени называют то число, которое надо возвести в степень.

II. Показателем степени называют то число, которое обозначает, сколько раз основание надо взять сомножителем.

Часто для сокращения записи числа с нулями на конце записывают при помощи показателя степени числа 10;

§ 11. Деление.

Делением называется действие, обратное умножению.

1. Колхоз засеял 800 га свеклы и собрал урожай по 425 ц с гектара. Сколько всего свеклы собрал колхоз?

Решение. 425 • 800 = 340 000 ц. Эта задача решается умножением. Решим обратную задачу.

2. Колхоз засеял 800 га свеклы и собрал всего 340 000 ц. Каков был средний урожай на 1 га свекловичного поля в колхозе?

Решение. 340000:800 = 425.

В обратной задаче мы находим один неизвестный сомножитель (425) по данному произведению двух сомножителей (340000) и второму сомножителю (800).

Для решения второй задачи мы пользуемся делением.

Определение. Делением называется действие, при помощи которого находят один из сомножителей, когда известны произведение и второй сомножитель.

Данные и полученные при делении числа имеют свои особые названия:

1) данное произведение двух множителей называется делимый;

2) данный множитель называется делителем;

3) искомый множитель называется частным.

Чтобы найти частное, мы делим делимое на делитель.

Определение. Делимым называется то число, которое делят. Делителем называется то число, на которое делят. Частным называется то число, которое получается как результат деления.

Знаком деления служит знак (:) две точки или черта дроби.

3. Пример. 12 разделить на 4. Записываем так:

Если обозначить делимое буквой а, делитель — буквой Ь, частное — буквой q, то можно записать деление на буквах:

где левую часть (а : Ь) и правую (q) одинаково называют частным.

§ 12. Умножение и деление — взаимно обратные действия.

Из определения деления видно, что деление чисел связано с умножением. Поэтому при делении двузначных и однозначных чисел на однозначное применяют таблицу умножения.

1. Надо разделить 36 на 9.

Решение. 36:9 = 4, так как из таблицы умножения известно, что 4-9 = 36.

Деление и умножение—действия взаимно обратные. 2. Кооператив доставил на станцию две партии товара, каждая по 160 мест. Этот товар погрузили в два вагона поровну. Сколько мест погрузили в каждый вагон?

Решение. 160-2 = 320 мест, 320:2=160 мест. При помощи скобок мы запишем решение так:

(160-2) :2=160 мест.

Можно для записи воспользоваться и другим знаком деления— чертой:

—— = 160 мест.

Число 160 не изменилось, когда произвели над ним два взаимно обратных действия — сначала умножили на 2, а потом полученное произведение разделили на 2.

Последовательно произведенные умножение и деление на 2 не изменяют первоначального числа, и в результате получается 160, независимо от того, будем ли мы сперва 160 умножать на 2, потом делить на 2 или наоборот.

Если данное число умножить на какое-нибудь число и затем полученное произведение разделить на то же число, то в результате опять получится данное число.

Запишем это свойство на числах и буквах:

§ 13. Действия разных ступеней.

Четыре основных арифметических действия попарно обратны одно другому: вычитание обратно сложению, деление — умножению.

Кроме разделения действий на взаимно обратные, различают еще действия разных ступеней:

I ступень — сложение и вычитание;

II ступень — умножение и деление;

III ступень — возведение в степень.

В простейшем своем виде действие высшей ступени есть упрощение действия предшествующей низшей ступени. Так, умножение 3-5= 15 можно записать более длинно сложением.

3 + 3 + 3+3 + 3 = 15.

Можно также узнать, сколько раз 5 содержится в 15, т. е. 15:5 = 3, вычитанием: 15 — 5 — 5 — 5 = 0, т. е. 3 раза отнять по 5.

Другими словами, умножение на целое число есть сложение одинаковых слагаемых, а деление на целое число есть последовательное вычитание одного и того же числа. Умножение и деление можно заменить сложением и вычитанием. Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, а умножение и деление — действиями второй ступени.

Подобным образом заменяют длинную запись умножения одинаковых сомножителей более короткой записью действия возведения в степень. Возведение в степень будет в этом случае упрощением умножения:

2 . 2 . 2 - 2 . 2 = 25 = 32.

Умножение—действие второй ступени, возведение в степень— действие третьей ступени.

§ 14. Задачи, решаемые делением.

Мы знаем, что деление есть действие, обратное умножению. Поэтому основной задачей из тех, которые решают делением, будет задача нахождения неизвестного сомножителя, когда даны произведение и один из сомножителей.

1. Произведение 645, один из сомножителей 15, найти другой сомножитель.

Решение. -^- = 43.

Задача решена делением.

2. В сентябре 1929 г. в Америке было выплавлено чугуна 3561 тыс. т; через два года, к сентябрю 1931 г., выплавка

уменьшилась в 3 раза. Сколько было получено в Америке чугуна в сентябре 1931 г.?

Решение. Чтобы решить задачу, надо уменьшить в 3 раза число 3561:

3561: 3 = 1187 тыс. т.

Это второй тип задачи, решаемой делением.

3. Колхоз должен оплатить 4525 трудодней, для чего выделено 36 200 кг хлеба. Какова оплата трудодня?

Решение. Так как каждый трудодень оплачивается одинаково, то для решения задачи следует 36 200 кг разделить на 4525 равных частей:

36 200:4525 = 8 кг.

Эта задача также решается делением.

4. На каждый автомобиль можно посадить 25 человек. Сколько надо таких автомобилей для 300 человек? Здесь надо узнать, сколько раз число 25 содержится в числе 300. Это узнают делением.

Решение. 300:25 = 12 автомобилей.

5. Две партии рабочих работают по разгрузке кирпича. Одна партия дает 24 штуки брака на тысячу кирпича, другая дает 12 штук брака на тысячу. У какой партии брак больше и во сколько раз?

Решение. Для решения надо разделить число 24 на 12, получится 24:12=2, т. е. у первой партии брака в 2 раза больше, или у второй партии брака в 2 раза меньше.

В этой задаче сравниваются два числа посредством деления. Итак:

Делением решаются задачи, когда надо:

1) по произведению и одному известному сомножителю найти второй, неизвестный сомножитель;

2) уменьшить число в несколько раз;

3) разделить число на равные части;

4) сравнить два числа: узнать, сколько раз одно число содержится в другом (во сколько раз одно число больше или меньше другого).

Замечание I. Задачи на деление не всегда возможно решить так, чтобы в результате получилось целое число.

6. Уменьшить число 15 в 7 раз. Решение этой задачи не может быть выражено целым числом.

Также нельзя 15 разделить на 7 равных частей, изображаемых целым числом, или, сравнив 15 и 7 посредством деления, выразить результат сравнения целым числом.

Замечание II. Посредством сложения и умножения на целое мы увеличивали число. Вычитание и деление на целое служили для уменьшения числа. Однако есть разница в самом характере этого увеличения и этого уменьшения, на которую надо обратить особое внимание.

Посредством сложения увеличивают число на несколько единиц.

Умножение на число, которое больше единицы, позволяет увеличить число в несколько раз.

Вычитание позволяет уменьшить число на несколько единиц.

Деление на число, которое больше единицы, позволяет уменьшить число в несколько раз.

§ 15. Зависимость между данными и результатам» при умножении и делении.

1. Завод запасных частей для тракторов может выпустить в среднем ежедневной продукции на 11 200 руб. Какова стоимость продукции завода за 15 дней?

Решение. 11 200• 15= 168000 руб. Перейдем к обратной задаче.

2. За 15 дней завод выпустил запасных частей для тракторов на сумму 168000 руб. Надо определить на основании этих данных стоимость продукции за 1 день.

Решение. 168000: 15=11200 руб.

Рассмотрев решение этих двух задач, мы видим, что, зная произведение —168000 руб. и один сомножитель—15, можно найти другой сомножитель по следующему правилу:

I. Один из двух сомножителей равен их произведению, деленному на второй сомножитель.

Запишем этот вывод на буквах:

Если a - b = q (I), то а = -|- (II), или b = ^ (III).

Равенство (I) показывает, что делимое q равно произведению делителя и частного (а и Ь).

Проверим на следующем примере справедливость выведенной зависимости.

3. Надо разделить и проверить деление: т^.

Решение. -24-= 15.

Проверка. 360 должно равняться 24» 15, где 360 — делимое, 24—делитель, 15 — частное. Действительно:

360 = 24-15.

II. Делимое равно делителю, умноженному на частное.

Можно проверку сделать иначе—делением:

360:15 = 24.

Деля делимое на частное, получают делитель. III. Делитель равен делимому, деленному на частное.

Сделанные выводы позволяют находить неизвестный сомножитель, неизвестное делимое или делитель.

В помещенных ниже примерах надо найти неизвестное число, которое обозначено буквой х.

1. 40;с = 280.

Решение. В этом примере неизвестен один сомножитель. Даны произведение и другой сомножитель. По первому правилу:

х = ™-7

2. х - 70 = 350.

Решение. Этот пример отличается от предыдущего только тем, что неизвестный сомножитель помещен на первое место. Решение такое же:

х — 70 — о.

3. ^=12, или л::16=12. lb

Решение. Этот пример можно решить, пользуясь вторым свойством: л: —делимое, 16 — делитель, 12 — частное:

х= 12- 16 = 192.

4. 187: лг= 11, или ~^=11.

Решение. В этом примере надо найти неизвестный делитель по известному делимому и частному. Третье свойство дает такое решение:

И = х; х=\7.

Другое объяснение решения этого примера можно привести, рассматривая х и 11 как сомножители, а 187 — как их произведение. Перестановка сомножителей не меняет величины произведения и величины самих сомножителей.

ll*.v = 187; можно найти неизвестный сомножитель:

§ 16. Проверка умножения и деления.

Правила предыдущего параграфа дают простые способы проверки умножения и деления:

1. Надо сделать проверку умножения: 406-78 = 31 668.

Проверка. 31668:406 = 78.

1. Чтобы сделать проверку умножения, можно разделить произведение на один из сомножителей, в результате должен получиться второй сомножитель.

2. Надо сделать проверку деления 16050:642 = 25. Проверка. 1) 642-25 = 16050, или 2) 16050:25 = 642.

II. Чтобы сделать проверку деления (без остатка), можно:

1) умножить частное на делитель, должно получиться делимое;

2) разделить делимое на частное, должен получиться делитель.

§ 17. Изменение частного.

1. Сколько надо платформ для перевозки 16 тыс. m чугуна, если каждая платформа вмещает 16 /я?

Решение. 16 000 : 16 = 1000 платформ.

2. Сколько надо платформ той же вместимости для перевозки 48 тыс. m чугуна?

Решение. 48000:16 = 3000 платформ.

Сравнивая решение этой задачи с решением первой задачи, видим, что при увеличении груза в 3 раза число платформ тоже увеличилось в 3 раза. Делимое и частное изменились: оба увеличились в 3 раза.

I. Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное увеличится или уменьшится во столько же раз.

Правило уменьшения будет понятно, если задачи 1 и 2 поменять местами и тогда сравнить их решения.

3. Сколько надо иметь больших платформ для перевозки 48 тыс. m чугуна, если каждая большая платформа вмещает 48 m чугуна?

Решение. 48000:48 = 1000 платформ. Сравним эту задачу с задачей 2.

В этом случае нагрузка на одну платформу увеличена в 3 раза, и число платформ уменьшилось в 3 раза.

Делитель изменился, от этого изменилось частное.

II. Если делитель увеличить в несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз; если делитель уменьшить в несколько раз, то частное увеличится во столько же раз.

4. Сколько надо платформ для перевозки 144 тыс. m груза, если каждая платформа вмещает 48 т?

Решение. 144 000 : 48 = 3000 платформ.

Сравнивая задачи 4 и 2, мы видим, что увеличение делимого в 3 раза увеличило частное в 3 раза, в то же время благодаря увеличению делителя в 3 раза частное уменьшилось в 3 раза и, в конце концов, осталось прежним.

III. Если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одинаковое число раз, то частное не изменится.

То же правило можно выразить другими словами.

1. Если делимое и делитель умножить на одно и то же число, то частное при этом не изменится.

2. Если делимое и делитель разделить на одно и то же число, то частное при этом не изменится.

§ 18. Деление произведения и суммы.

Деление произведения. 1. Надо разделить пополам 10 л бензина и найти вес каждой половины, 1 л бензина весит 700 г.

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

1-е решение. Найдем вес всего бензина и затем вес половины:

700 ■10=7000 г; 7000 :2 = 3500 г.

2-е решение. Разделим количество бензина пополам и найдем вес половины:

700 • (10 :2) = 700 • 5 = 3500 г.

Результат получается один и тот же в первом и во втором случае:

(700 - 10) : 2 = 700 - (10 :2) = 3500.

В первом случае мы сперва находим произведение двух сомножителей, а потом делим его на 2; во втором случае мы делим на 2 один из сомножителей, потом находим произведение результата на второй сомножитель.

Чтобы разделить произведение двух сомножителей на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число один из сомножителей и частное умножить на другой сомножитель.

Запись на буквах: (а • Ь) : т = — • b = а • —.

Правило остается справедливым и для большего числа сомножителей.

2. Надо произведение чисел 3, 12 и 8 разделить на 2.

Во втором способе мы делим на 2 один из сомножителей (12 • 8), вместо того чтобы делить их произведение.

Деление суммы. 3. Тракторист получил за первую половину месяца 84 руб., а за вторую — 91 руб. Сколько рабочих дней имел тракторист в этом месяце, если каждый рабочий день он зарабатывал 7 руб.?

Решение. Задачу можно решить двумя способами. Можно сложить все полученные деньги и разделить их на 7 или можно вычислить отдельно число проработанных дней за первую и вторую половину месяца:

(84 + 91): 7=175:7 = 25 дней,

или:

84:7 + 91 :7 = 12 + 13 = 25 дней.

Сравнивая результаты, можно записать равенство:

(84 + 91) :7 = 84 :7 + 91 :7= 12+ 13 = 25.

Чтобы разделить сумму двух чисел на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и сложить полученные частные.

Запись на буквах: а - = — + —.

Правило остается справедливым и для суммы трех, четырех и вообще любого числа слагаемых. 4. Разделим (140 + 280 + 360): 10:

или:

Запись на буквах:

Существует подобное правило и для деления разности. Деление разности. 5. Разность двух чисел 375 и 255 разделить на 15.

Решение. 1) (375 —255) : 15 = ^ = 8, или

2) (375 —255): 15 = (375:15) —(255 :15) = 25—17 = 8.

Результаты одинаковы.

Чтобы разделить разность двух чисел на какое-нибудь число, достаточно разделить отдельно уменьшаемое и вычитаемое на это число и из первого частного вычесть второе.

Запись на буквах:

Замечание. Деление суммы и разности на какое-нибудь целое число только тогда удобно производить этим способом, когда слагаемые или уменьшаемое и вычитаемое делятся на это число нацело.

§ 19. Деление на число, выраженное единицею с нулями.

Если сравнить числа 541 и 5410, то видно, что второе число больше первого в 10 раз, что число сотен первого числа является тысячами второго числа, десятки — сотнями, единицы — десятками, или что первое число надо умножить на 10, чтобы получить второе.

Если написать эти числа в обратном порядке — в порядке убывания их величин: 5410; 541, то теперь последующее число меньше предыдущего, предыдущее число надо делить на 10, чтобы получить последующее; при делении на 10 целого числа с нулем на конце (при уменьшении его в 10 раз) пришлось откинуть один нуль.

При делении числа на 100 надо делить его на 10 и полученное частное делить еще раз на 10 (откинуть два нуля на конце). Так же при делении на 1000, 10000... на всякое число, обозначенное единицею с нулями на конце, т. е. на степень числа 10, мы будем последовательно делить на 10:

1) 4 513 000:100 = (4 513 000:10) : 10 = 451 300 :10 = 45 130;

2) 356 000 :1000 = (356 000:10) : 10 :10 = (35 600 :10) : 10 = = 3560:10 = 356.

В данных примерах делимое оканчивается нулями, а делитель есть число, изображенное единицею с нулями. При делении можно было в делимом сразу зачеркнуть столько нулей, сколько их имеется в делителе. Деление можно было выполнить нацело потому, что в делимом на конце имеется столько нулей, сколько в делителе, или больше.

Чтобы разделить число, оканчивающееся нулями, на число, выраженное единицею с нулями на конце, надо зачеркнуть в делимом столько нулей, сколько их имеется в делителе.

§ 20. Деление чисел, оканчивающихся нулями.

Стоимость ежедневной продукции завода оценивается в 128 000 руб. Завод дает 400 m чугуна. Найти среднюю стоимость 1 m чугуна.

Решение. Здесь нам надо произвести деление 128000:400. Но мы мо-

жем упростить решение, уменьшив делимое и делитель во 100 раз. От этого частное не изменится:

128000:400=1280:4 = 320 руб.

Для того чтобы получить частное в том случае, когда делимое и делитель оканчиваются нулями, можно зачеркнуть в делимом и делителе одинаковое число нулей на конце. Частное от этого не изменится.

§ 21. Деление в случае однозначного частного.

1. Найти частное: 651:217.

Решение. Мы делим только те числа, которые можно разделить по таблице умножения. Поэтому мы берем единицы высшего разряда делимого и делим их на единицы высшего разряда делителя. В нашем примере мы делим 6 на 2; получаем 6:2 = 3. Тогда 651:217 = 3.

Проверяем правильность результата, умножая делитель на частное:

217-3 = 651.

Если первая цифра делимого обозначает число, меньшее числа, обозначенного первой цифрой делителя, то приходится брать число, обозначенное двумя первыми цифрами делимого, и делить его на число, обозначенное первой цифрой делителя.

2. 20595:4119 = 5.

Здесь мы делим 20 на 4. Если проверка дает произведение, которое больше делимого, то в частном надо взять одной единицей меньше и снова проверить деление. Так поступают до тех пор, пока в частном не получится число, которое при умножении на делитель дает произведение, меньшее делимого или равное ему. Применяемый способ деления для получения однозначного частного требует, чтобы делимое имело столько же цифр, сколько их имеет делитель (если первая цифра делимого обозначает число большее, чем число, обозначенное первой цифрой делителя), или на одну больше (если число, обозначенное первой цифрой делимого, меньше, чем в делителе).

Существует еще один способ, который позволяет определить те случаи деления, когда в частном получается число однозначное.

Даны два числа: делимое и делитель. Приписываем к делителю нуль на конце его с правой стороны. Мы получаем новое число, большее делителя в 10 раз. Если это новое

число будет больше делимого, то частное от деления двух данных чисел будет однозначное, если меньше—многозначное.

Примеры этого параграфа давали нам однозначное частное, так как:

2170>651 и 41190>20595.

Для получения однозначного частного надо взять в делимом число, обозначенное первой цифрой делимого, и делить его на число, обозначенное первой цифрой делителя. После этого надо умножить делитель на полученное однозначное число. Полученное произведение должно равняться делимому. Если это произведение больше делимого, следует уменьшить частное на единицу. Так поступают до тех пор, пока получаемое произведение не будет равно делимому. Если при делении получается остаток, то этот остаток должен быть меньше делителя.

В тех случаях, когда первая цифра делимого обозначает число, меньшее числа, обозначенного первой цифрой делителя, в делимом берут число, изображенное двумя первыми цифрами делимого.

§ 22. Деление с остатком.

Не всегда можно сделать деление нацело.

1. Отец послал сына купить электрические лампочки и дал ему 2 руб. В магазине оказались только лампочки, стоившие 75 коп. каждая. Сколько лампочек мог купить мальчик и сколько денег у него осталось после покупки?

Решение. Разделив 200 на 75, мы получим в частном число 2 и останется 50 коп. неизрасходованных денег. Мальчик мог купить две лампочки и ему дали 50 коп. сдачи. Это будет остаток от деления 200 на 75.

Определение. Если делимое не делится нацело на делитель, то разность между делимым и произведением делителя на частное называется остатком.

Замечания. 1. Остаток всегда должен быть меньше делителя. 2. Можно сказать, что остаток равен нулю, если делимое делится нацело на делитель.

Проверим решение первой задачи: за две лампочки заплатили 1 р. 50 к.; если прибавить остаток 50 коп., то получится 2 руб.

Проверку мы запишем короче:

75 - 2 + 50 = 200 коп. = 2 руб.

Здесь 200 — делимое, 75 — делитель, 2 — частное, 50 — остаток.

Для всех случаев деления с остатком получаем:

Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток.

Буквенная запись: a — bq-\-c; а — делимое, b — делитель, q — частное, с—остаток.

То же правило иногда читают иначе.

Делимое без остатка равно делителю, умноженному на частное.

Буквенная запись: а — c = bq, где а — делимое, b — делитель, q — частное и с—остаток.

2..-J2 Дает в частном 11 и остаток 3, или (135 — 3) = 12-11.

Очень легко найти частное и остаток в случае деления какого-нибудь числа на число, выраженное единицею с нулями.

3. Найти частное и остаток:

1) 87 536 :1000; 2) 127531 :10000.

Решение. 1) 87536 = 87-1000 + 536. Мы получили частное 87 и остаток 536. Тот же результат мы получим, отделив чертой или запятой тысячи от единиц низших разрядов:

87536 = 87*536.

Слева мы получаем частное 87, справа — остаток 536. Во втором примере мы делим на 10000. Для нахождения частного надо отделить в делимом десятки тысяч:

127531 = 127531. Частное 12 и остаток 7531.

Чтобы найти частное и остаток при делении числа на число, выраженное единицею с нулями, надо отделить в делимом справа столько цифр, сколько делитель имеет на конце нулей. Число, обозначенное оставшимися цифрами, показывает частное, а отделенные цифры обозначают остаток.

§ 23. Изменение остатка.

Посмотрим, что делается с остатком при изменении делимого и делителя.

Завод ассигновал на покупку автомобилей 48 700 руб. При покупке каждый автомобиль обошелся в 8000 руб. Сколько было куплено автомобилей и сколько осталось денег?

Решение. Надо разделить 48 700 на 8000; получится частное 6 и остаток 700.

Но для упрощения можно зачеркнуть в делимом и делителе одинаковое число нулей. Частное не изменится, если делимое и делитель уменьшить во 100 раз, получится 487: 80;

частное — снова 6, но остаток будет 7. Он уменьшился во 100 раз.

Решение примера поясняет такое правило:

При умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число остаток умножается или делится на это число. Частное при этом не изменяется.

§ 24. Деление в случае многозначного частного.

В этом случае деление сводится к нескольким отдельным делениям, в которых делителем будет одно и то же число, получаемое частное — однозначное. Знаком деления служит J__(прямой угол).

1. Разделить "21 828 на 642. Запись деления:

Дадим еще один пример деления.

2. Разделить 37943 491:943.

Решение.

В этом примере мы, приписав к первому остатку—22—одну цифру делимого, получили число 223, которое не делится на 943. В таких случаях следует в частном поставить нуль, что мы и сделали, и только тогда сносить к остатку следующую цифру делимого.

Чтобы разделить одно число на другое, в делимом отделяют, начиная от первой цифры слева, такое количество цифр, которое составило бы число, дающее при делении на делитель однозначное частное; к полученному первому остатку приписывают справа следующую цифру делимого, или, как обыкновенно говорят, сносят следующую цифру делимого, и таким способом образуют второе делимое. Если разделить это второе делимое на делитель, то частное представит вторую цифру искомого частного, а остаток — второй

остаток; с этим остатком поступают точно так же, как и с первым, и так далее, пока не будут исчерпаны все цифры делимого. Последний остаток составит остаток от деления.

V. ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ. СКОБКИ.

§ 1. Порядок действий одной ступени.

Математические знаки указывают, какие действия и в каком порядке надо производить над данными числами. Запись при помощи математических знаков должна быть простой, ясной и определенной. Особенно важно, чтобы запись не позволяла произвольно толковать порядок действий.

1. Действия одной и той же ступени выполняются в том порядке, в каком они записаны:

1) 63 — 18+15 — 40 + 8+1=29; 2) 80:2-5:4:10 = 5.

Сделаем вычисления, изменив порядок действий:

1) 63 — 18+15 — 40 + 8 + 1=29 2) 80:2-5:4:10 = 5

63+ 15 — 40 + 8 — 18 + 1=29 80: 2 - 5:10: 4 = 5

63 — 40 + 8 — 18+15 + 1=29 80:2:10-5:4 = 5

63 + 1 + 15 — 18 — 40 + 8 = 29 80:10 :2 - 5 : 4 = 5

63—18 — 40 + 1 + 15 + 8 = 29 80:10-5:2:4 = 5

Результат во всех случаях получается один и тот же.

2. Бывают, однако, случаи, когда при выполнении действий одной ступени хотят изменить порядок действий:

1) 72 — 45—13=14, но 2) 72 —(45 —13) = 40.

В первом примере сначала вычитали 45, а потом вычитали 13. Во втором — сначала из 45 вычли 13, затем результат вычли из 72. В таких случаях при указании на порядок действий, кроме знаков, пользуются скобками.

Скобки бывают трех видов: 1) простые (15 — 7) • 7; 2) прямоугольные, или квадратные [5 + 5 • (12 — 3)] • 2; 3) фигурные {(8 + 7). [(5 + 3). 2-4]}-5.

При вычислениях со скобками надо постепенно раскрывать скобки, т. е. производить действия, указанные внутри скобок, и на место каждой скобки ставить полученный результат.

Замечание. При раскрытии скобок рекомендуется начинать с внутренних скобок.

3. Записать и вычислить: от 43 отнять сумму чисел 13 и 8.

Решение. 43 —(13 + 8) = 43 —21 =22.

Здесь запись без скобок исказила бы смысл задачи, а именно: получили бы 43 —13-}- 8 = 38.

При действиях одной ступени пользование скобками обязательно в тех случаях, когда прибавляют или отнимают результаты показанных действий, не производя самих действий.

4. Записать и вычислить:

1) К 15 прибавить сумму чисел 7, 13 и 8:

15+ (7+13 +8) = 15 +28 = 43.

2) От 40 отнять разность двух чисел 19 и 12:

40 —(19—12) = 40 —7 = 33.

3) К 8 прибавить разность чисел 71 и 62:

§ 2. Порядок действий разных ступеней.

8 + (71 — 62) = 8 + 9=17.

Правило порядка действий одной ступени не распространяется на действия разных ступеней. Для этих действий введено следующее правило:

Действия высших ступеней производятся ранее действий низших ступеней.

1. Вычислить: 72 — 8 • 3. Если делать действия в том порядке, как они записаны, то пришлось бы от 72 отнять 8 и результат умножить на 3. Но по правилу порядка действий в тех случаях, когда имеются действия различных ступеней, действия высших ступеней делают в первую очередь. Это избавляет от необходимости писать скобки при умножении и делении.

Не пишут: 72 —(8-3), а пишут: 72 — 8-3 = 48.

В тех случаях, когда условия о порядке действий разных ступеней могут быть истолкованы неправильно, пользуются скобками. Здесь, как и при действиях одной ступени, в скобки заключают результаты показанных, но не доведенных до конца вычислений.

2. Показать и вычислить: сумму произведений числа 5 на 6 и на 3 надо разделить на разность этих произведений: (5 -6 +5-3): (5-6 — 5-3) = (30+15): (30—15) = 45: 15 = 3.

Запись без скобок дала бы другой неправильный результат:

5 - 6 + 5 - 3:5-6 —5 - 3 = 30 + 18 — 15 = 48 —15 = 33.

Замечание. Знак деления можно заменить чертой дроби. Эта черта заменяет также и скобку.

3. Разделить: (15+ 25): 5; задание можно записать иначе: (15 -f- 25) : 5 = —Ï— = -=- = 8.

VI. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

§ 1. Делимость чисел.

Если одно целое число делится на другое без остатка, то первое число называется кратным второго числа, а второе число называется делителем первого числа.

Число 1424—кратное числа 4. Число 4 — делитель числа 1424.

Замечание. Когда мы в дальнейшем в этой главе будем говорить, что одно число делится на какое-нибудь другое число, то во всех случаях мы будем иметь в виду деление нацело, без остатка.

Напишем ряд целых чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12... Известно, что такой ряд чисел называют натуральным рядом чисел.

Все числа натурального ряда делятся на единицу. Делятся они также на число, равное самому делимому.

Все числа натурального ряда можно делить нацело на число, равное самому числу, и на единицу.

Среди чисел натурального ряда имеются такие числа, которые делятся не только на единицу и на число, равное самому делимому, но и на некоторые другие числа. Например, число 15 делится на 1, на 15, на 3 и на 5; 15:1 = 15; 15:15=1; 15:3 = 5; 15:5 = 3.

§ 2. Свойство суммы, на котором основаны выводы признаков делимости.

Способы, по которым можно узнать, не производя деления, является ли одно число делителем другого, называются признаками делимости.

Вывод признаков делимости основан на следующих свойствах суммы.

I. Если каждое слагаемое делится нацело на какое-нибудь число, то вся сумма разделится на это число.

II. Если все слагаемые, кроме одного, делятся на какое-нибудь число, а это одно слагаемое не делится на то же число, то и вся сумма не разделится на это число.

1. 20+ 30+ 700+ 50 = 800. В этом случае все слагаемые делятся на 10, и сумма делится на 10.

2. 20 + 30 + 700 4-49 = 799. В этом случае слагаемые делятся на 10, только одно слагаемое — 49 — не делится на 10, и сумма не делится на 10.

§ 3. Признаки делимости на 10, на 100, на 1000.

Из правила деления на 10, 100 и на 1000 чисел, оканчивающихся нулями, видно, что число, которое делится на 10 без остатка, должно иметь на конце по крайней мере один нуль, так как в этом случае оно будет составлено из целых десятков. Числа 10; 50; 90; 100; 400; 1000; 3500 делятся на 10. Числа 7; 23; 108; 51 916 не делятся на 10. На 10 делятся те числа, которые оканчиваются нулем. Числа 200; 800; 15000 делятся на 100, а числа 270; 420; 1730 не делятся на 100.

На 100 делятся те числа, которые оканчиваются двумя нулями. Точно так же:

На 1000 делятся те числа, которые оканчиваются тремя нулями.

§ 4. Признаки делимости на 2 и на 5.

Определение. Все числа, кратные 2, называются четными числами. Все остальные числа— нечетные.

Десять делится на 2 и делится на 5: 10:2 = 5; 10:5 = 2.

Значит, всякое число, составленное из десятков, должно делиться на 2 и на 5. А так как числа, составленные из десятков, имеют на конце нуль, то присутствие нуля на конце числа показывает, что число делится на 2 и на 5:

1) 470:2 = 235; 5800:5=1160.

Если число не оканчивается нулем, то, чтобы узнать, делится ли оно на 2 или на 5, разбивают его на два слагаемых. При этом первое слагаемое должно состоять из десятков, т. е. оканчиваться нулем и делиться на 2 и на 5:

2) 3S5 : 5 = (380 + 5) : 5 = 330: 5 + 5 : 5; 385 делится на 5.

3) 748:2 = (740 + 8):2 = 740:2 + 8:2; 748 „ „ 2.

4) 928:5 = (920 + 8):5 = 920:5 + 8:5; 928 не делится на 5, потому что второе слагаемое 8 не делится на 5.

5) 67:2 = (60 + 7):2 = 60:2 + 7:2; 67 не делится на 2. Решение зависит от последней цифры числа.

Таким образом получаются признаки делимости числа на 2 и на 5.

На 2 делятся числа, оканчивающиеся нулем или четной цифрой (2, 4, 6, 8).

На 5 делятся числа, оканчивающиеся нулем или пятью.

§ 5. Признаки делимости на 4 и на 25.

100 делится на 4 и на 25. Значит, всякое число, составленное из сотен, не имеющее десятков и единиц и поэтому оканчивающееся двумя нулями, должно делиться на 4 и на 25,

1) 100:4 = 25; 100:25 = 4; 6200:4 = 1550; 1700:25 = 68.

2) 3868 : 4 = (3800 + 68) : 4 = 3800 : 4 + 68 : 4; 3868 делится на 4.

Разложив число 3868 подобно тому, как мы это делали в предыдущем параграфе, мы можем представить его в виде суммы двух слагаемых, из которых одно будет оканчиваться двумя нулями и поэтому делиться на 4 и на 25. От того, делится ли второе слагаемое на 4 и 25, зависит, будет ли делиться все число на 4 и 25.

3) 875 :25 = (800 + 75) : 25 = 800: 25 + 75 : 25; 875 делится на 25.

4) 917:4 = (900+17):4 = 900:4+17:4; 917 не делится на 4, потому что второе слагаемое 17 не делится на 4.

5) 1343: 25 = (1300 + 43): 25 =1300: 25 + 43: 25; 1343 не делится на 25.

Признаки делимости на 4 и на 25:

На 4 делятся числа, оканчивающиеся двумя нулями, а также числа, у которых две последние цифры обозначают число, делящееся на 4.

На 25 делятся числа, оканчивающиеся двумя нулями, а также числа, у которых две последние цифры обозначают число, делящееся на 25, т. е. числа, оканчивающиеся на 25, 50 или 75.

§ 6. Признаки делимости на 8.

Всякое число, оканчивающееся тремя нулями, составлено из тысяч.

Но 1000 = 8 X 125 и делится на 8 и 125, а потому сумма нескольких тысяч делится на 8 и 125, например: 25 000:8 = 3125.

1) Разделится ли 45328 на 8?

Разложим это число на сумму чисел: 45000 + 328; 45000 делится на 8; 328:8 = 41, а потому 45328 делится на 8.

2) 16 242:8; 16 242=16 000 4-242. Но второе слагаемое 242 не делится на 8, а потому 16242 не делится на 8.

На 8 делятся числа, оканчивающиеся тремя нулями, а также числа, у которых три последние цифры обозначают число, делящееся на 8.

§ 7. Признаки делимости на 9 и на 3.

1. Числа 9; 99; 999 и т. д., обозначаемые цифрой 9, делятся нацело на 9 и на 3.

Числа 10, 100, 1000, 10000 мы можем разбить на слагаемые и получить следующую таблицу:

Эта таблица показывает, что число, обозначенное единицею с нулями на конце, при делении на 9 дает в остатке 1.

2. Надо узнать, делится ли 4332 на 9.

Разложим число 4332 на отдельные единицы различных разрядов; получим:

Представим каждую тысячу как 999 + 1, каждую сотню как 99+1, каждый десяток как 9 + 1; получим:

Слагаемые 999; 99; 9 делятся на 9 и на 3; значит, делимость данного числа на 9 и на 3 зависит от того, разделится ли на 9 и на 3 число, выражаемое суммой чисел единиц всех разрядов: 4 + 3 + 3 + 2 = 12. В данном примере это число делится на 3, а потому и все число разделится на 3. На 9 число 12 не делится, а потому и число 4332 не делится на 9.

3. Делится ли 3510 на 9 и на 3?

Число 3 + 5 + 1=9 делится на 9 и на 3, а потому и 3510 делится на 9 и на 3.

На 3 делятся такие числа, у которых сумма цифр делится на 3. На 9 делятся такие числа, у которых сумма цифр делится на 9.

4. Делятся ли на 9 и на 3 числа: 1) 14382; 2) 2760; 3) 1345?

1) 14382 — сумма цифр будет 18. Число 14382 делится на 3 и на 9.

2) 2760 — сумма цифр будет 15. Число 2760 не делится на 9, но делится на 3.

3) 1345 — сумма цифр будет 13. Число 1345 не делится ни на 3, ни на 9.

При определении делимости на 3 можно в сумме цифр отбросить все те числа, которые делятся на 3, а также суммы, делящиеся на 3.

При определении делимости на 9 отбрасывают числа и суммы, делящиеся на 9.

5. Делится ли на 3 число 865417?

Находим сумму 8 -f- 6 -J— 5 -f- 4 -j- 1 7. При сложении отбросим число 6, как заведомо делящееся на 3. Можно отбросить суммы 8+1 и 4 + 5. Остается 7. Число 7 не делится на 3, значит, и число 865 417 не делится на 3.

6. Делится ли на 9 число 63 729135? Найдем сумму 6 + 3 + 7 + 2 + 9 + 1+3 + 5, При сложении опустим 9 и суммы 6 + 3 и 7 + 2. Остается 1+3 + 5 = 9. Число делится на 9.

§ 8. Числа простые и составные.

Числа натурального ряда мы делим на две группы: 1) числа простые и 2) числа составные.

Числа простые делятся только на единицу и на само число. Числа составные делятся не только на единицу и на число, равное самому делимому, но и еще на какое-нибудь число.

Признаки делимости позволяют нам выбрать простые числа среди чисел натурального ряда.

Напишем таблицу натурального ряда чисел от 1 до 100.

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8: 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18;...; 95; 96; 97; 98; 99; 100.

Вычеркнем все четные числа, начиная с 4. При этохм придется вычеркивать числа через одно.

Вычеркнем числа, делящиеся на 3, кроме самого числа 3. Тут мы вычеркиваем каждое третье число в ряду натуральных чисел. Так же постепенно вычеркнем все составные числа, которые делятся на 5,7,11 и на другие простые числа, оставшиеся в таблице незачеркнутыми.

Оставшиеся числа и образуют таблицу простых чисел. Останутся только такие числа: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Таблицу простых чисел можно продолжать как угодно далеко.

§ 9. Разложение чисел на простые множители.

Всякое составное число можно представить в виде произведения чисел, иначе говоря, разложить его на множители.

1. Разложим на множители число 36.

Решение. 36 = 2-18 = 3.12 = 4-9 = = 6.6 = 2.2.9 = 4.3.3 = 2.2.3.3.

Разложение числа на множители можно производить разными способами-. Последнее разложение (36 = 2-2-3.3) отличается от остальных разложений тем, что все множители в нем простые числа.

Каждое число можно представить в виде произведения простых чисел только одним единственным способом.

2. Разложим на простые сомножители числа 30 и 42.

Решение. 1) 30 = 2-3-5; 2)42 = 2.3-7.

Замечание. В каждом произведении возможны перестановки сомножителей. Разложения числа, не отличающиеся сомножителями, а только расположением сомножителей, мы считаем одинаковыми.

3. Разложим число 30 на простые сомножители.

Решение. 30 = 2 - 5 • 3 = 5 • 3 • 2 = 2 • 3 • 5.

Все это разные записи одного разложения. Число 30 имеет простые сомножители: 2; 3; 5.

По правилам деления произведения можно разделить число 30 и на 2, и на 3, и на 5. Поэтому сомножители 2; 3; 5 можно назвать также делителями числа 30. Иногда говорят „разложить число на простые делители" вместо „разложить число на простые множители".

4. При разложении чисел на простые множители без записи, в уме, сначала разлагают числа на те множители, которые покажутся удобными, и потом уже каждый множитель разлагают на простые числа. Например: 90 = 9«10 = 3-3-2-5.

5. Разложим на простые множители число 546. Действие располагают так:

6. Разложим на простые множители числа 1764; 5600.

При разложении на множители больших чисел мы примем определенный порядок записи:

1. Множители выбирают по таблице простых чисел, применяя признаки делимости.

2. Множители записывают в порядке их возрастающей величины.

3. При записи пользуются показателем степени.

4. В числах, оканчивающихся нулями, разложение начинают с 10, 100 и т. п., что дает нам множителями столько двоек и пятерок, сколько мы имеем нулей на конце числа.

§ 10. Общий наибольший делитель.

1. Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое все данные числа делятся нацело. Разные числа могут иметь общие делители, но могут и не иметь их. Делитель 1 при этом во внимание не принимают, так как всякое целое число делится на единицу без остатка.

Числа 6 и 10 имеют общим делителем число 2; числа 15 и 24 имеют общим делителем число 3; числа 180 и 300 имеют общим делителем число 60 и всякое число, на которое делится 60.

Числа 5 и 7; 25 и 42 не имеют общего делителя. Определение. Числа, не имеющие общих делителей, кроме единицы, называются взаимно простыми.

Таковы числа 5 и 7; 25 и 42, хотя одно или даже оба из пары чисел — составные.

2. Число 20 будет общим делителем для чисел 1000; 2000; 25G0; 3000. Но кроме делителя 20, те же числа имеют и другие общие делители: 50; 100; 500. Наибольшим из этих делителей будет число 500.

Определение. Общим наибольшим делителем нескольких чисел называется наибольшее число, на которое делятся все данные числа.

3. Если мы возьмем числа 8 и 15, то увидим, что эти числа имеют свои делители: число 8 имеет делителями: 2; 4; 8; число 15 имеет делителями: 3; 5; 15.

Кроме того, как известно, каждое число делится на единицу. Числа 8 и 15, хотя и составные, но эти числа взаимно простые, и они не имеют общих делителей, кроме единицы. Единица будет для них наибольшим общим делителем.

Два взаимно простых числа имеют общим наибольшим делителем единицу.

4. 1) Найти общий наибольший делитель для чисел 40; 80; 96.

Решение. Разложим данные числа на простые делители, или сомножители, сравним разложение и выберем общие множители:

Произведение из подчеркнутых общих для всех чисел делителей дает общий наибольший делитель.

Числа 80; 40 и 96 имеют общий наибольший делитель 23 = 2-2-2 = 8.

2) Найти общий наибольший делитель для чисел 1800; 500 и 700.

Решение. В данных числах легко выделить общий делитель 100, не разлагая его на простые делители. Получим:

1800 = 2 .3-3 - КЮ; 500 = 5 - Ш0; 700 = 7-100.

Общий наибольший делитель чисел 1800, 500 и 700 будет 100.

5. Возьмем числа 75 и 25. Эти числа имеют общие делители 1; 5; 25.

Общим наибольшим делителем будет число 25, Таким образом, меньшее из двух данных чисел будет общим наибольшим делителем обоих чисел.

I. Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то это меньшее число есть общий наибольший делитель обоих данных чисел.

II. Если меньшее число не будет общим наибольшим делителем данных чисел, то, разложив числа на простые сомножители и выбрав множители, общие всем данным числам, получают общий наибольший делитель как произведение этих сомножителей.

§ 11. Понятие о наименьшем кратном.

Определение. 1. Число, которое делится нацело на данное число, называется кратным данного числа.

2. На рисунке 2 проведена прямая. На этой прямой мы можем изображать числа. Для этого надо выбрать единицу масштаба. На этом рисунке единица изображена отрезком в 2 мм длины. Отложив от точки О единицу масштаба, мы отметим конец отрезка длиной 2 мм числом 1. Конец отрезка длиной 4 мм мы отмечаем числом 2. Продолжая так же ставить отметки и дальше, мы получим точки с отметками 3; 4; 5; 6.... Мы можем на прямой откладывать все нужные нам числа. Такая прямая называется числовой осью.

Среди чисел на числовой оси помещаются числа, кратные 5. Это будут числа 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40...; 60....

На той же оси можно отыскать и числа, кратные 4: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40...; 60....

Выберем из этих двух рядов те числа, которые будут одновременно кратными 5 и 4. Такими числами будут числа 20; 40; 60.

Найдем наименьшее из этих чисел. Это будет число 20. Оно будет наименьшее кратное для чисел 4 и 5.

Определение. Наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на все данные числа, называется наименьшим кратным данных чисел.

Наименьшее кратное чисел можно найти и путем вычислений.

3. Найдем наименьшее кратное 4 и 6. Оно должно делиться на 4 и на 6. Число 4 имеет множителей 2 • 2. Число 6 имеет множителей 2 и 3. Значит, и число, кратное 4 и 6, должно содержать множителями два раза 2 и один раз 3. Наименьшее кратное, очевидно, будет содержать только множителей 2-2*3. Оно равно 12.

Рис. 2.

§ 12. Три случая нахождения наименьшего кратного.

Мы можем встретить три случая нахождения наименьшего кратного нескольких чисел.

I. Одно из чисел делится на все другие.

1. Даны числа 6; 5; 30. Надо найти их наименьшее кратное.

Решение. Наименьшее кратное равно 30, так как 30 делится на 6; 5 и 30.

Замечание. При нахождении наименьшего кратного всегда следует испытать, не будет ли наибольшее из данных чисел делиться на все остальные. Если наибольшее число делится на все остальные, то оно и будет наименьшим кратным всех данных чисел.

II. Все данные числа не имеют общих множителей.

2. Наименьшее кратное чисел 2; 3 и 5 равно 2-3-5 = 30.

3. Найдем наименьшее кратное чисел 3; 25; 14. Разложим числа на простые множители: 3 = 3; 25=5-5;

14 = 2-7. Мы видим, что данные числа не имеют общих простых делителей, хотя и разлагаются на простые делители (сомножители). Очевидно, что наименьшим кратным будет такое число, которое делится на все простые сомножители данных чисел; таким числом является произведение всех данных чисел: 3 • 25 • 14= 1050.

III. Общий случай. 4. Надо найти наименьшее кратное чисел 40; 90; 75.

Решение. Разложим эти числа на простые множители: 40 = 2-2-2.5 = 23-5; 90 = 2.3-3.5 = 2-3*.5; 75 = 3.5.5 = 3-5*.

Для нахождения кратного мы выписываем все множители одного из чисел (лучше наибольшего): 2-3-3-5; затем приписываем из второго числа (40) все множители, которых нет в первом, т. е. 2-2, и, наконец, к этому произведению приписываем множители третьего числа (75), которых нет в этом произведении, т. е. 5.

Произведение 2-3-3-5-2-2-5 = 23-32-53= 1800 и есть кратное трех чисел, потому что оно содержит все множители (делители) всех данных чисел. Оно и есть наименьшее кратное, ибо, если мы опустим хотя бы один из множителей, то полученное число уже не будет кратным, не разделится хотя бы на одно из данных чисел.

Замечание. Наименьшее кратное двух или нескольких чисел должно содержать все сомножители (делители) данных чисел в наивысшей степени.

Для нахождения наименьшего кратного в последнем случае нет нужды всякий раз перемножать все полученные сомножители. Достаточно взять наибольшее из чисел, данных в задаче, и добавить к нему сомножители, которые входят в наименьшее кратное, но не входят в это число.

5. Найдем наименьшее кратное чисел: 360; 600; 720.

Решение. 360=2*.3*.5; 600 = 23.3-5*; 720 = 24-3*-5.

Наименьшее кратное будет: 2*-3*-5*=720-5 = 3600. Для вычисления взято наибольшее число 24-3*-5 и умножено на 5, потому что множитель 5 в наибольшем из чисел задачи взят в первой степени, а в кратное он должен входить во второй степени, иначе оно не будет делиться на число 600. Поэтому мы нашли кратное, умножая наибольшее число 720 на этот недостающий множитель 5.

§ 13. Признаки делимости на составные числа.

Свойства наименьшего кратного, с которыми мы познакомились, позволяют отметить такое вполне понятное свойство деления:

Если число делится на несколько взаимно простых чисел, то оно делится и на любое произведение, полученное от соединения этих сомножителей в группы.

Это же свойство дает возможность узнать, делится ли делимое на составное число, которое можно разложить на 2; 4; 8; 3; 9; 5, и на числа, им кратные, т. е. на такие числа, к которым мы применяем известные нам признаки делимости.

1. Узнаем, делятся ли на 36 числа 120; 180; 240; 360.

Решение. Разложим число 36 на два взаимно простых сомножителя:

36 = 4-9.

По признакам делимости мы находим, что на 4 делятся все данные числа: 120; 180; 240 и 360. Но на 9 делятся только 180 и 360. Это означает, что только 180 и 360 одновременно делятся и на 4 и на 9, т. е. делятся на (4-9) = 36.

Замечание. Для определения делимости надо делитель разлагать на такие сомножители, которые будут взаимно простыми.

2. Делятся ли на 12 числа 30; 40; 60; 80?

Решение. Разложим число 12 на два взаимно простых сомножителя: 12 = 3-4. Только одно из чисел примера делится и на 3 и на 4. Это будет число 60. Числа 40 и 80 делятся на 4, но не делятся на 3, число 30 не делится на 4. Было бы ошибкой разложить число 12 иначе. Например: разложение 12 = 2-6 не дает нам правильного ответа (2 и 6 — не взаимно простые числа), так как хотя на 6 и на 2 делятся числа 30 и 60, но 30 не делится на 12.

3. Укажем признаки делимости на некоторые часто встречающиеся составные числа:

На 6 делятся числа, делящиеся на 2 и на 3.

На 12 делятся числа, делящиеся на 3 и на 4.

На 15 делятся числа, делящиеся на 3 и на 5.

На 18 делятся числа, делящиеся на 2 и на 9.

VII. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ.

§ 1. Части единицы. Дробные числа.

Чтобы измерить какую-нибудь длину, мы пользуемся „единицей длины". Назовем ее просто единицей. При измерении длины этой единицей может встретиться такой случай, что единица уложится по длине несколько раз, и еще останется некоторый отрезок, длина которого меньше единицы длины. Измеренную таким образом длину нельзя обозначить целым числом, приходится вводить новые числа — дробные.

Пусть надо разделить кусок веревки поровну между тремя лицами. Разрежем веревку на 3 равные части. В результате деления получим одну третью часть всего куска. Чтобы разделить поровну 1 кг сахарного песку на четверых, надо разделить сахар на 4 одинаковые части. Каждая часть составит одну четвертую часть всего имеющегося сахара.

Всякое целое число и единицу можно изобразить в виде отрезка прямой. На рисунке 3 отложен отрезок, который принят за единицу. Рядом с ним отложены отрезки, которые получаются делением единицы на две, на три, на четыре, на пять равных частей. Эти части носят название: одна вторая часть единицы, или половина, одна третья часть единицы, одна четвертая, одна пятая часть единицы. Для обозначения этих частей вводят новые числа — дробные числа, потому что целые числа пригодны только для обозначения целых единиц и не годятся для обозначения частей единицы.

Рис. а.

Полученные дробные числа обозначают так:

одна вторая часть: у ; одна третья часть: ;

одна четвертая часть: ; одна пятая часть: у.

Равные части, на которые разделена единица, иногда называют долями единицы.

Доли единицы изображаются двумя числами, разделенными горизонтальной чертой. Число, стоящее ниже черты, всегда показывает, на сколько равных частей разделена единица; выше черты стоит единица. Число, составленное из нескольких равных долей единицы, тоже называют дробным числом. Так, например, разделив 1 кг сахарного песку на 4 равные части и взяв 3 такие части, мы берем три четверти всего сахара; три четверти килограмма сахару — три четверти единицы. Это число записывается так: (три четверти).

Как видно из записи, цифра над чертой показывает число взятых частей. Цифра под чертой показывает, на сколько равных частей была разделена единица.

Но то же самое число — три четверти — можно получить иначе. Возьмем шнур или кусок веревки. Отрежем от него один метр и еще отдельно три метра. Большой кусок веревки разделим на четыре части. Мы разделили 3 метра на 4 части.

Длина полученного отрезка будет 75 сантиметров. Теперь возьмем меньший отрезок, длина которого равна одному метру и, разделив его на 4 части, отложим 3 такие части.

Длина одной части будет 25 см. 3 части имеют длину 75 см.

Отрезок такой длины составит метра.

Разделив 3 метра на 4 части и взяв от одного метра, мы получили одинаковые результаты. Мы можем записать 3:4=^. Мы получили дробное число. Это дробное число -у будет результатом деления целого числа 3 на целое число 4 (рис. 4). В этой записи 4 показывает, на сколько равных долей разделена единица; 3 показывает, сколько взято полученных долей.

Рис. 4.

Так же можно получить кг сахарного песку, разделив 3 кг сахару на четыре части.

Делим сперва один килограмм на 4 части, получаем ~ кг. Затем делим второй и третий килограммы и каждый раз получаем -j кг. В результате три раза повторенного деления мы получаем трижды по ~ килограмма. Всего мы получим четыре части по -|- кг в каждой.

До знакомства с дробями не всякое деление можно было сделать, делить мы могли только большее число на меньшее. Действительно, целое частное можно получить, только деля большее число на меньшее или деля равные числа. Но когда

введены дробные числа, то оказывается возможным всякое деление, даже деление меньшего числа на большее. Результатом деления будет дробное число. Таким образом, дробное число есть результат деления двух целых чисел. Поэтому дробные числа обозначают двумя числами, между которыми проводят горизонтальную черту—знак деления.

Число, стоящее над чертой, называется числителем дроби; число, стоящее под чертой, называется знаменателем дроби.

Определение. I. Знаменателем дробного числа называется целое число, показывающее, на сколько равных частей разделена единица.

II. Числителем дробного числа называется целое число, показывающее, сколько частей единицы содержит дробь.

Числитель от знаменателя отделяют чертой. При чтении сперва называют числитель, потом знаменатель дроби.

Замечание. Дробное число сокращенно обозначают словом „дробь".

Так как дробь есть результат деления, то мы можем называть ее и составляющие ее числа двумя способами:

§ 2. Дробь — отношение двух чисел.

1. Одна бригада колхоза засеяла 75 га. Другая бригада засеяла 150 га. Надо сравнить, какая бригада сделала больше и во сколько раз.

Решение. Эта задача решается делением.

150:75 = — = 2. Вторая бригада сделала в 2 раза больше.

Определение. Результат сравнения двух чисел посредством деления называется отношением двух чисел.

Делимое называется предыдущим членом отношения, делитель— последующим членом отношения.

В данной задаче отношение будет ^ = 2. Предыдущий член 150, последующий 75.

2. Колхоз имеет 851 га пашни. По плану 320 га будут обработаны машинно-конными бригадами, а остальное — тракторами. Какую часть всей работы сделают конные бригады?

Здесь придется сравнивать посредством деления работу конных бригад с той работой, которую надо проделать по всему колхозу:

В этом примере отношение нельзя изобразить целым числом; получается дробное число: ^, которое показывает, какую часть всей работы сделают конные бригады.

Эту дробь можно назвать отношением, но можно назвать ее и частным от деления. Одна и та же величина ggy будет иметь названия:

делимое

1) частное: делитель

предыдущий член отношения

отношение

последующий член отношения

числитель

3) дробь: знаменатель

Знаки < и > служат для обозначения того, что одно число меньше и больше другого.

читается так: одна вторая меньше единицы.

читается так: единица больше одной третьей.

Знак < острием всегда направлен к меньшему числу.

§ 3. Дроби правильные и неправильные.

Смешанное число.

1. На рисунке 3 (стр. 59) единица и ее части изображены в виде отрезков прямой. Каждая часть меньше единицы. Мы можем записать:

4<1; |<1; \<\\ i<l.

Дроби, обозначающие одну какую-нибудь часть целого, меньше единицы.

Также будут меньше единицы и такие числа:

T<!i ï<1' i<u

Дробь (обозначающая несколько частей единицы) будет меньше единицы в том случае, когда число взятых частей меньше числа, показывающего, на сколько равных частей была разделена единица.

Дроби, которые меньше единицы, называются правильными дробями. У правильных дробей числитель всегда меньше знаменателя.

2. Сравнивая части единицы и целую единицу (рис. 3), можно также сказать, что

1—1—1—1—1

1— 2 — 3 — 4 — 5'

Дробь равна единице в том случае, когда число взятых частей и число частей, на которые единица разделена, равны, В этом случае числитель дроби всегда равен знаменателю. Такая дробь называется неправильной дробью.

3. Остается рассмотреть случай, когда число взятых частей будет больше числа частей, на которые единица была разделена:

5^1, 5^А>

Все эти числа больше единицы. Но так как они составлены из частей единицы, то они будут дробными числами. Их также называют неправильными дробями. У неправильных дробей последнего типа числитель больше знаменателя.

Определение. Дробь называется правильной, когда она меньше единицы. Дробь называется неправильной, когда она равна единице или больше единицы.

Мы видим, что если дробь:

1) меньше единицы, то ее числитель меньше знаменателя;

2) больше единицы, то ее числитель больше знаменателя;

3) равна единице, то ее числитель равен знаменателю.

Среди дробей: т; п; ß; ^; й; ^; ^

неправильные дроби: ^; у^; ^; ^;

правильные дроби: ^; ^.

4. Существует еще один вид числа. Это — число, составленное из целого числа и дробного числа. Такое число называют смешанным числом. Дробная часть в смешанном числе обыкновенно имеет вид правильной дроби.

Смешанные числа записывают сокращенно:

1 + y = 1 2"' 3 + у = 3 у ; 8 + -4 = 8 -у.

При записи знак плюс опускают. Числа: 1у; Зу; 8-|- — смешанные числа.

§ 4. Обращение целого и смешанного числа в неправильную дробь.

Определение. Число, изображающее сумму целого числа и дробного числа, называется смешанным числом.

1. Разделив отрезок, принятый за единицу, на 2, 4 и 8 равных частей, мы можем записать, что каждая часть равна

В единице отложатся две половины, четыре четверти и восемь восьмых долей:

1 — 2 _ А _ А

1 — 2 — 4 — 8 '

Легко найти, сколько половин, четвертей, восьмых долей содержат две единицы, три единицы... :

Z — 2 — 4 — 8 ' ö~ ~2~ 4 ~ "8 '

Все эти дроби будут неправильными дробями.

2. Обратить в пятнадцатые и двадцатые доли целые числа: 5; 10; 8.

Решение. 5 = ^ = ^; 10 = ^ = ^; 8 = ^ = ^0 .

3. Подобным образом изображают в виде дробей всякие целые числа. Знаменателем дроби можно брать любое число.

Например: ll=-g- = ^-; 6 = у = .

4. Умея обращать в неправильную дробь целое число, мы можем обращать в неправильную дробь и смешанное число.

Обратить в неправильную дробь смешанные числа:

1) 2-|; 2)6-5-; 3)2!"-3 11

Решение. 1) 2-j- = -^, потому что единица содержит четыре четвертых, две единицы содержат (4-2) восемь четвертых; если прибавить три четвертые доли, то всего будет одиннадцать четвертых: 2-|- = 2-f-f-> и ~ составляют ~;

Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, надо знаменатель дроби смешанного числа помножить на целое число и прибавить числитель дроби. Это дает числитель результата. Знаменатель остается прежний.

§ 5. Выделение целой части из неправильной дроби.

Обращение целого числа с дробью в неправильную дробь делается при помощи умножения и сложения.

Деление, при помощи которого мы получаем в частном смешанное число, дает нам возможность решить обратную задачу:

выделить целое число из неправильной дроби.

Определение. Выделить целую часть из дроби—это значит узнать, сколько целых единиц содержит в себе неправильная дробь.

Разделив остаток 1 на число 8, мы получим

Следовательно:

Чтобы выделить целое число из дроби, надо разделить числитель дроби на ее знаменатель; полученное частное дает целую часть смешанного числа, остаток будет числителем дробной части числа, делитель—знаменателем дробной части.

§ 6. Сравнение величины дробей с одинаковыми числителями или с одинаковыми знаменателями.

Мы научились сравнивать дроби с единицей, но мы можем сравнивать дроби и друг с другом.

I. Дроби с одинаковыми числителями.

1. Возьмем метр в виде ленты и разделим его на 2; 4; 5; 10; 50 частей. Определив, сколько миллиметров содержат части:

и сравнив длины этих частей, мы можем сравнить дробные числа, обозначающие эти части. Расположим дроби по порядку возрастания их величин.

Мы получим ряд: ^; ^; -g ; у; т; у.

Мы видим, что с увеличением числа частей, на которые разделена единица, уменьшается часть, полученная в результате деления, а следовательно, и то число, которым эта часть обозначена.

Сравним целые числа: 20; 17; 13; 11; 10; 9; 8; 3; 2 и дроби: 20; 1?; 13; и; 10; 9; 8; 3; 2«

Мы получаем такие неравенства для обозначения сравнительной величины этих чисел:

Выделить целую часть из дроби -g-.

Решение. Так как -g- составляют единицу, то у содержат столько единиц, сколько раз 33 содержит 8. Делим. Если мы будем делить 33 на 8 по правилу деления целых чисел, то получим целое частное 4 и еще остаток:

Числа первого ряда показывают число частей единицы. Числа второго ряда показывают, чему равна каждая часть.

Если мы делим единицу на части, то величина каждой части тем меньше, чем больше число частей, на которое разделена единица.

Это правило позволяет сравнивать дроби, у которых числитель равен единице.

Умея сравнивать такие дроби, легко перейти к сравнению дробей более сложного вида.

2. Сравнить по величине дроби:

a' 3 ' 5 ' 6 ' 7 5 °' 3 5 5 6 » 7 B' 3 ' 5 ' 6 ' 7 '

У всех дробей в каждом примере одинаковый числитель; дроби расположены в порядке убывания их величины. Из дробей с одинаковыми числителями та больше, у которой знаменатель меньше. Справедливо также и такое правило:

С увеличением знаменателя при постоянном числителе дробь уменьшается.

И. Дроби с одинаковыми знаменателями.

3. Сравнить по величине дроби: ^ и j; IT и ~5 ' У и Т •

Решение. з->з-; "5>у'> Т>Т-

4. Сравнить дроби: уу; !Т; ^; п; П'

Из дробей с одинаковыми знаменателями та больше, у которой числитель больше, так как с увеличением числителя увеличивается число частей, поэтому:

С увеличением числителя при постоянном знаменателе дробь увеличивается.

§ 7. Изменение дроби с изменением ее числителя и знаменателя.

1. Если взять метр в виде ленты, принять его за единицу и разделить на 20 частей, то получится отрезок, который составит ï~ часть всей единицы.

Взяв пять таких частей, мы получим ^q.

Числитель дроби ^ в пять раз больше числителя дроби

Очевидно, что и дробь ^ в пять Раз больше, чем Это можно проверить измерением.

Таким же образом мы можем получить у единицы и составить числа |и|-. Это будут отрезки длиною в у м и у л*.

Сравнивая длину у и у, мы видим, что у в два раза больше, чем у. Числитель дроби у больше числителя дроби у в 2 раза, и само число у больше числа у в 2 раза.

Возьмем ряд дробей: ^; ^\ ^; сравним последующие дроби с первой дробью ряда и мы увидим, что числитель каждой последующей дроби больше числителя первой дроби в 3, 4, 5 и 7 раз. Во столько же раз величина каждой дроби больше величины первой дроби.

Чтобы получить каждую из последующих дробей, надо числитель первой дроби увеличить в 3, 4, 5 и 7 раз.

1. Чтобы увеличить дробь в несколько раз, надо во столько же раз увеличить числитель дроби, не изменяя ее знаменателя.

Мы можем проверить вывод на основании свойств частного, считая числитель делимым, а знаменатель делителем.

2. Надо уменьшить дроби: у; у^; у в 5 раз.

В этих дробных числах числитель делится на 5. Уменьшая числители в 5 раз, мы получим: у; yj; у.

Каждое из этих чисел соответственно в 5 раз меньше чисел, данных в примере.

II. Чтобы уменьшить дробь в несколько раз, надо уменьшить, если это возможно, ее числитель во столько же раз.

3. Покажем теперь, как можно уменьшить дробь в несколько раз другим способом.

Сравнивая дроби |и|, мы можем сказать, что вторая дробь меньше первой в 2 раза, потому что число долей, на которые разделена единица во втором случае, вдвое больше; значит, каждая доля вдвое меньше. Знаменатель меньшей дроби при этом в 2 раза больше знаменателя большей дроби.

Подобным же образом мы заключаем, что у вдвое меньше, чем И здесь знаменатель дроби у вдвое больше знаменателя дроби Справедливость сказанного легко проверить при помощи метровой ленты, приняв метр за единицу.

Если мы сравним дроби: -g-; у^; то мы увидим, что уменьшение дроби в два раза сопровождается увеличением ее знаменателя в 2 раза. При уменьшении дроби в 4 раза и знаменатель увеличивается в 4 раза. Это свойство дробных чисел можно выразить так:

III. Чтобы уменьшить дробь в несколько раз, надо увеличить знаменатель дроби во столько же раз.

Можно увеличить дробь, уменьшая ее знаменатель.

4. Увеличить дроби: а) ^; ^; ^ в 3 раза; б)^; ^ в 5 раз.

Решение. а)-^| -^; б) у; у.

IV. Чтобы увеличить дробь в несколько раз, надо уменьшить, если это возможно, ее знаменатель во столько же раз.

§ 8. Главное свойство дроби.

Возьмем метр, разделенный на сантиметры. Примем его за единицу и отложим сперва -g- этой единицы, а потом ^ и сравним полученные отрезки; мы увидим, что эти отрезки равны. Значит, будут равны и соответствующие числа:

Числитель и знаменатель второй дроби можно получить умножением числителя и знаменателя первой дроби на число 10.

Так же будут равны дробные числа:

Л_±_ 8 — 20 — 40 5 — 10 — 20 — 50 — 100

или в обратном порядке:

40 _20_ 8 _ 4 _ 2 100 50 20 10 5 *

Сравнивая числители записанных дробей, мы видим, что числитель каждой последующей дроби получают из числителя предыдущей дроби умножением или делением на одно и то же число. То же можно сказать и про знаменатели этих дробей.

Если продолжать ряд равенств:

то легко заметить, что в первом ряду числитель и знаменатель увеличиваются в 3, 4... раза, во втором ряду уменьшаются в 2, 8, 100... раз. В этих примерах величина дроби не изменяется от умножения или деления числителя и знаменателя каждой дроби на одно и то же число.

Главное свойство дроби. Значение дроби не изменяется, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число.

Запишем это свойство на буквах: -у = Ш'1 ~ь~ ьЧп '

Главное свойство дроби можно объяснить еще и иначе.

Возьмем какую-нибудь дробь, например ^. Помножим числитель этой дроби на 5. Дробь увеличится в 5 раз. Помножим теперь знаменатель полученной дроби на 5. Дробь уменьшится в 5 раз. Во сколько раз дробь увеличилась, когда мы умножили числитель на 5, во столько же раз она и уменьшилась, когда мы умножили знаменатель на5; величина дробного числа при этом не изменилась,

То же произойдет, если мы и числитель и знаменатель будем делить на одно и то же число. Разделим числитель и знаменатель дроби |g на 5. Деля числитель, мы уменьшили дробь в 5 раз; деля знаменатель, мы увеличили ее в 5 раз. В окончательном результате величина дроби не изменилась:

§ 9. Сокращение дроби.

1. Главное свойство дроби позволяет нам производить так называемое сокращение дробей.

Определение. Сократить дробь — значит представить ее, не изменяя ее величины, в виде дроби с меньшим числителем и знаменателем.

Например: 3^ = ^ = у.

Величина дроби не изменилась, когда при переходе от первой дроби к третьей мы разделили на одно и то же число числитель и знаменатель дроби. А именно: разделили числитель и знаменатель дроби сперва на 100, потом на 12.

Чтобы сократить дробь, надо делить числитель и знаменатель дроби на их общие делители до тех пор, пока в числителе и знаменателе не получатся взаимно простые числа.

2. Представить в виде обыкновенной дроби следующие частные: 50:70; 20:25; 400: 900; 5000:8000 и сократить их.

Решение. 70 — ?-; 25—5> 900— 9 * 8000—8*

Замечание. Для сокращения дроби пользуются признаками делимости.

3. Сократить дробь: —.

Решение. _ = _ = т = т.

Мы сократили дробь в первый раз на 10. После первого сокращения в числителе и знаменателе получились числа 18 и 36, которые делятся на 9. После второго сокращения получаем дробь -j. Сокращая на 2, получим у.

Дадим пример более сложного сокращения.

4. Сократить дробь: i^jj.

Решение. По признакам делимости мы сокращаем числитель и знаменатель дроби на 10, получаем:

2310 _ 231 7700 — 770 •

Ни один из известных нам признаков делимости не дает указаний на возможность сокращать дальше. Тогда мы начинаем пробовать сокращать дробь на простые числа, пробуя эти простые числа подряд по таблице простых чисел. После двух, трех и пяти идет простое число 7. Сокращаем на 7:

231 _ гг_ 770 но •

Следующее простое число 11. Сокращаем на 11:

33 _ 3 110- 10#

Дальше сократить нельзя.

§ 10. Приведение дробей к общему знаменателю.

В § 6 этой главы мы научились сравнивать дроби в том случае, когда знаменатели у них одинаковые. Главное свойство дроби позволяет нам сравнивать дроби с разными знаменателями. Для этого мы заменяем дроби с разными знаменателями

равными им дробями, у которых знаменатели одинаковы. Это преобразование носит название: приведение дробей к общему знаменателю.

1. Привести к общему знаменателю дроби: ^ и 20 •

Эта задача имеет множество решений. Мы можем подобрать сколько угодно дробей, которые равны дроби у^. Так же можно найти бесчисленное множество дробей, равных дроби

Из дробей первого ряда и второго ряда можно будет подобрать пары дробей, имеющих одинаковые знаменатели. Число таких пар неограниченно. Так:

Чтобы избежать лишних действий при приведении дробей к общему знаменателю, подбирают такие дроби, у которых знаменателем будет наименьшее кратное чисел, стоящих в знаменателях сравниваемых нами дробей. Так, в нашем примере наименьшим кратным знаменателей будет число 60.

Замечание. Разделив 60 сперва на 12, потом на 20, мы получаем числа 5 и 3, показывающие, на какие числа надо умножить числитель и знаменатель первой и второй дроби, чтобы превратить данные дроби в дроби со знаменателем 60.

Число 5 мы назовем дополнительным множителем для первой дроби. Дополнительным множителем для второй дроби будет число 3.

Дополнительные множители в этих примерах отмечены числами, поставленными над числителем и отделенными снизу скобкой.

Чтобы привести две дроби к общему наименьшему знаменателю, надо:

1) Найти наименьшее кратное обоих знаменателей.

2) Найти для каждого знаменателя дополнительный множитель делением общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

2. Привести к общему знаменателю дроби:

Решение. Общее наименьшее кратное знаменателей, или общий знаменатель, будет 120.

§ 11. Изменение величины дроби от прибавления к числителю и знаменателю одинаковых слагаемых.

1. Возьмем дробь у и будем прибавлять к числителю и знаменателю дроби по единице.

Мы получим дроби: ; у ; ; ^ и т. д.

Дроби расположены в порядке их величины от меньшей дроби к большей. Эти дроби отличаются от единицы на , на -=-, на , т. е. на все меньшую величину, и чем ближе значение дроби к единице, тем дробь становится больше.

Проверив этот закон на другой дроби, например на дроби -g-, мы увидим, что и здесь он остается в силе: у ; ; ^ит.д,

Эти дроби приближаются к единице и отличаются от нее на у, на -g-, на уф, т. е. на все меньшую величину.

2. Возьмем неправильную дробь, например у, и будем увеличивать ее числитель и знаменатель на одно и то же число, например на единицу.

Сравним полученные дроби друг с другом и с единицей:

Эти дроби отличаются от единицы на у, на у, на на ^,

Здесь дробное число приближается к единице, уменьшаясь.

Прибавляя к числителю и знаменателю дроби, которая не равна единице, по одному и тому же числу, мы меняем величину дроби так, что значение дроби приближается к единице. При этом правильная дробь увеличивается, а неправильная дробь уменьшается.

3. Это свойство дроби позволяет нам сравнивать дроби, числители и знаменатели у которых отличаются на одинаковое число единиц.

Сравним следующие дроби по величине:

Решение. 1) ~ так как дробь 25 = 1—^»; последняя разность меньше.

2) у > ïj > так как у = 1 -j- у, а — = 1 — î последняя сумма меньше.

VIII. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ.

§ 1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

В курином яйце вес белка составляет g- веса всего яйца, вес желтка -g- веса всего яйца. Какую долю веса дает скорлупа яйца?

Решение, yf—g3^-- Это будет вес белка и желтка.

Найдем вес скорлупы: 1 — —"9 =~9""

Вес скорлупы составит веса всего яйца.

Здесь мы складывали и вычитали части одного наименования: девятые доли. В результате мы получили части того же наименования.

В этом случае знаменатели дробей не изменялись.

При сложении или вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются или вычитаются числители, а знаменатель остается тот же.

§ 2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

1. Кролику дали — кг жмыхов, сена и у кг моркови. Какое количество корма получил кролик?

Решение.

В этой задаче приходится складывать дроби с разными знаменателями. Этот случай сложения мы приводим к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого все дроби мы выражаем в сороковых долях, пользуясь правилом приведения дробей к общему знаменателю, и складываем эти сороковые доли.

При сложении или вычитании дробей с разными знаменателями надо привести дроби к общему знаменателю, сложить или вычесть числители и оставить тот же знаменатель.

Порядок записи сложения и вычитания показан на следующих примерах:

2. Сложить дроби: + •

Решение.

3. Произвести вычитание:

Решение.

I. В этих примерах знаменатели — числа, имеющие общие множители.

Для нахождения их общего знаменателя при сложении и вычитании пришлось найти наименьшее кратное знаменателей всех данных дробей по общему правилу.

II. Знаменатели дробей — числа взаимно простые.

4. Сложить: + -|- ~|- ^" •

Общий знаменатель 3-5«2 = 30. Он равен произведению всех знаменателей.

III. Один из знаменателей делится на все остальные. 5. Вычесть: ~ —

Общий знаменатель 40, так как 40 делится на 40 и на 8.

IV. При сложении и вычитании дробей иногда применяют упрощенные способы приведения дробей к общему знаменателю (не по общему правилу). Например:

Берем наибольший из знаменателей тех дробей, над которыми мы производим действие — сложение или вычитание, и, помножая его последовательно на 2, 3, 4, 5 и т. д., пробуем каждый раз,

не делится ли полученное произведение на числа, стоящие в знаменателе остальных дробей:

20-2 = 40 не делится на 12; 20-3 = 60 не делится на 8; 20-4 = 80 „ „ 12; 20 - 5 = 100 „ „ .12;

20-6 = 120 делится и на 12 и на 8. Число 120 будет общим знаменателем.

V. При сложении и вычитании дробей устно часто бывает проще находить общий знаменатель по тому способу, который мы применяем для взаимно простых чисел.

§ 3. Сложение и вычитание смешанных чисел.

На следующих примерах показаны сложение и вычитание смешанных чисел.

1. сложить, у i 12 96 — 96— 48— 24 *

Здесь одно слагаемое — смешанное число, другое — правильная дробь. При сложении прибавляют дробное слагаемое к дробной части смешанного числа.

2. 7у + 2у = 9 + у = 9т> потому, что при сложении дробей получается:

При сложении двух смешанных чисел складывают отдельно целые числа и отдельно дробные и берут их общую сумму.

Пример показывает, что сумма смешанных чисел может быть целым числом.

На этом примере видно, что если сумма дробных частей смешанных чисел будет неправильная дробь, то надо из этой дроби выделить целое число и прибавить его к сумме целых чисел.

На примере показано сложение смешанных чисел, дробные части у которых взяты с разными знаменателями.

6. 8П — 3П = 5П.

Здесь рассмотрен случай вычитания, когда и целое число и дробная часть уменьшаемого соответственно больше целого числа и дробной части вычитаемого.

7. 9-3^ = 8 + 1-3^ = 5^ где

В этом примере приходится занимать единицу в уменьшаемом и превращать ее в неправильную дробь. После этого производят вычитание, как раньше.

8. Найти разность: 6 у— 2-j.

Решение. 6± — 2^ = 6^ — 2^ = 5^ — 2-| = 3-j.

Здесь дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Чтобы сделать вычитание возможным, занимают одну единицу от целого числа в уменьшаемом, превращают ее в неправильную дробь и тогда производят вычитание.

При вычитании смешанных чисел отдельно находят разность для целых чисел и отдельно для дробных и берут их сумму.

IX. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ДАННОГО ЧИСЛА И ЧИСЛА ПО ДАННОЙ ЕГО ЧАСТИ.

§ 1. Нахождение части данного числа.

Для решения задач нахождения части числа и числа по данной его части достаточно знать свойства дробных чисел.

I. Нахождение одной какой-нибудь части числа. 1. Для нормального освещения требуется, чтобы площадь окон составляла -g- часть площади пола жилого помещения. Какова должна быть площадь окон в комнате с площадью пола 45 кв. м?

Решение. Надо найти ~ от 45. Для этого надо 45 разделить на 5:

-g- от 45 равна у = 9.

2. Найти: 1) ~ от 60; 2) у от 3.

Решение. 1) ^ от 60 равна у2 = 5;

2) у от 3 равна у.

3. Найти:

Решение. Чтобы найти у от числа, надо уменьшить число в 5 раз. Чтобы уменьшить дробь в 5 раз, надо ее знаменатель умножить на 5. Получим:

II. Нахождение части числа, выраженной какой угодно дробью. 4. Для 1 куб. м кирпичной кладки надо иметь 400 кирпичей и 280 л известкового раствора. Сколько надо материалов для -g- куб. м кирпичной кладки?

Решение. 1. Вычислим количество нужного кирпича. На 1 куб. м надо иметь 400 кирпичей. Сколько кирпичей надо для ~ куб. м кладки?

Надо иметь у всего количества кирпича.

Y от 400 равняется -g-.

Теперь надо найти -g- от 400; -g- будет в 5 раз больше, чем -g-. Увеличим дробь j в 5 раз. Для этого достаточна помножить числитель дроби на 5.

~ от 400 равняется 40°8* 5 = 50 * 5 = 250.

Надо 250 кирпичей.

2. Так же найдем у от 280 л, т. е. количество нужного раствора.

Чтобы найти часть от числа, надо данное число уменьшить во столько раз, сколько единиц содержит знаменатель дроби, обозначающей искомую часть целого. Полученный результат надо увеличить во столько раз, сколько единиц содержит числитель той же дроби.

§ 2. Нахождение числа по его части.

Мы научились решать задачу на нахождение части числа. Научимся решать обратную задачу — задачу нахождения целого по его части.

1. В состав специальной стали входит ~ часть никеля. Определить вес стали, для получения которой израсходовано 20 кг никеля.

Решение. Обозначим буквой х неизвестный вес стали.

Никель составляет ^ этого числа ^ от неизвестного х обозначим так: ^ х.

Запишем формулой условие задачи: 2§*=20 кг. Весь X, очевидно, будет в 25 раз больше, чем ^ х.

х = 25х килограммов; х = 20« 25 = 500 кг.

Более короткая запись решения будет:

gg X = 20; X а 20 . 25 = 500 кг.

В этой задаче известная часть была выражена в целых килограммах.

Решим другую задачу, в которой данная часть будет выражена дробным числом.

2. Железный прут длиною в у м весит -у кг. Сколько весит 1 м такого прута?

Решение.

§ 3. Нахождение числа, когда известна его часть, выраженная любой дробью.

1. Бригада колхозников вспахала 25 га поля, бывшего под паром. Это составило ^ планового задания. Какое задание по пахоте пара получила бригада?

Решение. Примем данное бригаде задание за искомое число. Выполненная работа составляет только часть задания. Надо, зная эту часть, найти неизвестное задание. Обозначим неизвестное нам задание через х и найдем одну часть этого неизвестного х. Записывать будем так:

от неизвестного х обозначим: 4лг;

Итак, ^ X составляют 25 га\ ^ х будет в 5 раз меньше, т. е. 5 га. Запишем: ^х=5га. Все задание для этой бригады, весь X, в 12 раз больше своей двенадцатой части. Найдем его:

х=5.12 = 60 га.

Запись решения следует делать короче:

2. Найти л:, если известно, что ^л;=у га.

Решение, ^л: в 3 раза меньше, чем у^х;

Чтобы найти целое, когда дано число, соответствующее части этого целого, и дана дробь, показывающая, какую часть целого составляет данное число, надо данное число уменьшить во столько раз, сколько единиц содержит числитель дроби, обозначающей часть целого. Полученный результат надо увеличить во столько раз, сколько единиц содержит знаменатель той же дроби.

X. УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ.

§ 1. Умножение дроби на целое число.

1. Автомобиль затрачивает -g- кг бензина на пробег в 1 км. Сколько потребуется ему бензина на 6 км ?

Решение. На 1 км пути надо -g- кг, на второй тоже у, также на третий, на четвертый, на пятый и на шестой километры надо по -g- кг.

Всего надо: у+т + у + Т + т +5 =т, или 4-g-K*.

Нам приходится дробное число у повторить 6 раз слагаемым, или, что то же самое, увеличить дробь у в б раз. Умножение сократит эту запись:

4 а 24 "5 '6 = у

Мы имеем случай умножения дроби на целое число.

Чтобы умножить дробь на целое число, надо умножить числитель на целое число и полученное произведение разделить на знаменатель.

Запишем правило на буквах: -|- • т=^—^-.

2. Решим примеры: 1) у • 7; 2) у • 7.

Решение. 1)у«7=1.

Это умножение не требует особых объяснений. Деля единицу на 7 частей, а потом повторяя каждую часть 7 раз, мы совершаем два взаимно обратных действия и снова получаем единицу.

2) |.7 = 4.

Деля 4 на 7 и помножая результат тоже на 7, мы опять получаем число 4.

Замечание. При умножении дробного числа на число, равное знаменателю дроби, в произведении получается число, равное числителю дроби. В подобных случаях следует указывать результат сразу.

3. Автомобиль проходит 10 у л* в секунду. Какое расстояние проходит он в минуту?

Для решения задачи надо умножить смешанное число на целое. Это умножение можно сделать двумя способами

Здесь мы умножали на 60 отдельно целое число и отдельно дробное.

2) 10~--60 = у -60 = 21 -30 = 630 м в минуту.

В последнем решении мы до умножения превратили смешанное число в неправильную дробь и умножали неправильную дробь на целое число.

4. Возьмем еще пример: 2ôe4 = -2Q-.

До получения окончательного результата в этом примере следует произвести сокращение, т. е, разделить числитель и знаменатель на 4:

§ 2. Какие задачи решают умножением на дробь.

Умножение на целое число есть упрощение сложения.

Умножая на целое число, мы увеличиваем данное число во столько раз, сколько единиц содержит множитель.

Посмотрим теперь, какой смысл имеет умножение на дробь.

1. Погонный метр полосового железа весит 12 кг. Сколько весит: 1) 2 м; 2) 5 м; 3) ~ м; 4) 2~ м?

Решение. Мы имели буквенную запись умножения: ab = q, где а и b— сомножители, q — произведение. Решим задачу, подставляя в эту запись вместо букв числа. В буквенной записи надо заменить сомножитель а числом, обозначающим вес 1 м железа; вместо b надо подставлять числа, показывающие, сколько метров имеет в длину полоса. Произведение дает вес полосы:

1) 12.6 = 12.2 = ; 2) 12-0=12.5=;

3) 12-6=12--^- = ; 4) 12- ô=12 -2у = .

Во всех случаях нам был дан вес целого метра, а мы искали вес такой полосы, длина которой отличается от целого метра. Эта длина может быть больше метра или составлять часть его.

Было бы нецелесообразно для одних случаев решения задачи 1 применять умножение, а для других случаев придумывать другое действие. Поэтому каждый раз, когда нам дано целое, а надо найти величину, которая больше целого в несколько раз или составляет часть этого целого, мы будем пользоваться умножением. Умножение на дробь, таким образом, приводит нас к нахождению частей целого.

Дадим решения задачи для всех вышеуказанных случаев:

1) 12-2 = 24; 2) 12-5 = 60. Эти решения не требуют объяснения.

3) Вес м составит ~ от 12 кг. Найдем -i- от 12 кг;

— от 12 кг составляет 3 кг. Выше было сказано, что задача решается умножением 12 на т. е. 12 • -^-==3.

4) Помножить 12 на 2у. Это значит 12 взять 2 раза и прибавить еще половину от 12.

Другой способ. Обратим 2у в неправильную дробь и умножим: 12 • у = = 30.

Умножением на дробь находят одну или несколько частей множимого.

§ 3. Умножение на дробь.

Так как умножение на дробное число мы делали так же, как нахождение части целого, то мы без особого труда можем вывести правило нахождения произведения при умножении на дробь.

I, Умножение дроби на дробь. 1. Надо помножить • у.

Решение. Найдем т оту,

Значит:

Чтобы перемножить две дроби, надо произведение числителей разделить на произведение знаменателей.

II. Один из сомножителей—целое или смешанное число.

2. Найти произведение Зу • 10.

Решение. Зу 10= • 10 = —g— = —^— = -^- = 31-^.

В этом случае мы превратили смешанное число в неправильную дробь и умножили эту дробь на целое. Можно было бы сделать это умножение иначе:

3. Сделать умножение:

Решение.

Здесь мы опять рассматриваем умножение на дробь как нахождение части от целого и потому умножаем целое число на числитель данной дроби и произведение делим на ее знаменатель.

Сравнивая это произведение с произведением

мы видим, что эти произведения равны, т. е. при перемножении целого числа и дроби порядок сомножителей можно изменить.

4. Перемножить

Решение.

III. Оба сомножителя — смешанные числа.

5. Перемножить

Решение.

До умножения смешанных чисел следует каждое из них обратить в неправильную дробь.

IV. Умножение дроби на число, равное знаменателю.

При умножении дроби на число, равное знаменателю, получается число, равное числителю.

Замечание. Сравним произведения:

Мы видим, что результат в первых двух примерах больше множимого, в третьем — равен множимому, а в остальных — меньше множимого.

Значит, при умножении на правильную дробь произведение получается меньше множимого. Поэтому нам теперь придется отказаться от мысли, что умножить — всегда значит увеличить: число увеличивается только при умножении на множитель, больший единицы, от умножения же на правильную дробь число уменьшается.

XI. ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ.

§ 1. Взаимно обратные числа.

Определение. Два числа называются взаимно обратными, если они в произведении дают единицу.

Найти числа, обратные

Решение. Число, обратное 7, будет у, т ак как

Число, обратное 2, будет у, так как

Если дано какое-нибудь число /г, то число, обратное ему, следует обозначить так: ~. Для дроби у обратное число будет ^.

§ 2. Деление на дробь.

Деление есть действие, обратное умножению. Делением мы по произведению двух сомножителей и одному сомножителю находим другой сомножитель.

Так, например, если дано произведение 80 и один сомножитель 40, то, пользуясь делением, мы находим, что второй сомножитель будет 2.

Подобным образом найдем при помощи деления второй сомножитель и тогда, когда первый сомножитель будет выражен дробью.

1. 9:4=?

Делимое (т. е. произведение) равно 9; один сомножитель (делитель) — другой сомножитель (частное) надо найти. Обозначим его через л; тогда:

9:| = *; 4* = 9; 1д = | = 3; 4* = 3-4 = 12.

Задача сводится к известной задаче — к нахождению целого по его части.

С другой стороны, этот же неизвестный сомножитель х есть частное от деления 9 на т. е. 9: . Значит, найдя число 12 по числам 9 и -j, мы нашли частное от деления 9 на 9:-у =12; другими словами, задача деления на дробь привела нас к нахождению целого по части. Дадим еще пример деления.

2. Найти неизвестный сомножитель по произведению и известному сомножителю. Произведение у. Известный сомножитель -g-.

Решение. Обозначим неизвестный сомножитель буквой х. Получим:

"9 *Х = Т-

Отыскивая по части целое, мы находим: y__?Z_о_7

Решая этот пример, мы опять выполнили деление, так как мы нашли неизвестный сомножитель х, когда известно произведение у и другой сомножитель g-.

Запись решения: у: -g- = y-g = ^ = 2^.

Отыскивая целое по его части, мы находим неизвестный сомножитель по произведению и известному дробному сомножителю, мы делаем действие, обратное умножению,— деление. В наших примерах это было деление на дробь.

3. Найти X, если ~^х = ~2 *

Решение. Для нахождения х надо сделать деление:

или, что то же, найти х по его части. Последнее действие дает:

л — 2 3 — îu.

Вместо того чтобы разделить у на ~, выполним умножение у '-ß-J умножение дает тот же результат:

Замечание. Деление на дробь и умножение на дробь, обратную делителю, дают одинаковые результаты.

4. Произвести деление у : у.

Решение. т:т = *; yX = T; -^ = 475-

Если заменить деление умножением на дробь, обратную делителю, то получится: • -^- = ^—^. Ответ тот же.

Чтобы разделить какое-нибудь число на дробь, надо это число помножить на число, обратное делителю.

Запись на буквах: = = ^-3-.

§ 3. Деление любых целых и дробных чисел.

1. Найти частное: ^у'

Решение. я : у = ffi. т=—= у.

2. Найти частное: -^•:6=-^«-^ = ^= ув

3. Найти частное: 6 : ^ = 6 • = 8.

4. Найти частное: 8-g-:l-^-.

Решение. Мы имеем случай деления смешанных чисел. Прежде чем начать деление, надо обратить делимое и делитель в неправильные дроби:

5. Разделить -g- Решение, у :~5 =5Тз = ~зв

В последнем примере мы делили дроби с одинаковыми знаменателями. Тот же результат можно получить непосредственным делением числителей, не принимая во внимание равных знаменателей дробей.

I. При делении смешанных чисел необходимо смешанные числа обратить в неправильные дроби.

II. При делении двух дробей с одинаковыми знаменателями следует делить только числители, отбросив знаменатели этих дробей.

III. При делении дроби на целое число надо помножить на целое число знаменатель дроби, оставив числитель неизмененным.

Замечание. До окончательного перемножения всегда следует производить сокращение в полученном дробном результате.

§ 4. Задачи, решаемые делением.

Нам приходилось неоднократно пользоваться делением для решения разных задач. Но только теперь, когда мы научились делить дроби, мы сможем указать все случаи, в которых для решения задач применяется деление.

Одной из основных задач, решаемых делением, будет задача нахождения того числа, которое принимают за целое, по данному числу, которое больше или меньше целого. Нахождение целого по данной его части решается делением. Перечислим теперь все задачи, которые мы решаем делением:

1. По произведению двух сомножителей и одному из них найти другой сомножитель.

2. Разделить число на несколько равных частей (деление на целое число).

3. Найти целое, когда даны его часть и число, показывающее, какая это часть целого.

4. Сравнить два числа. Узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого или какую часть одного числа составляет другое число (найти отношение чисел).

Остановимся еще на последнем вопросе.

1. Пусть надо узнать, какую часть составляет 5 от 30.

Задачу можно решать так: узнаем, сколько раз 5 содержится в 30, для чего делим 30 на 5 и получаем результат: 6 раз.

Заключаем отсюда, что 5 составляет -g- от 30.

Ту же задачу можно решить делением 5 на 30; получится:

5:30 = -^-.

2. Автомобиль может везти 1 ~ m груза. Он везет только 1 т. Какую долю полной нагрузки взял автомобиль?

Решение. Задача решается делением:

Следует сделать еще одно важное замечание по поводу решения задач при помощи деления. Но прежде рассмотрим два примера.

3. За 4у кг сахару заплатили 7-g-pyô. Сколько стоит 1 кг сахару?

Решение. 7^ :4Т = ¥ :т = у79=т= 1Т руб.

Здесь частное меньше делимого.

4. За м резиновой трубки заплатили ly руб. Сколько стоит 1 м трубки?

Решение. 1у :-|- = -|- : ^ = 2 руб.

Здесь частное больше делимого.

б. Сравним между собой следующие частные:

12:3 = 4 (частное меньше делимого),

12:1 = 12 (частное равно делимому),

12: y = 24 (частное больше делимого).

Замечание. При делении на правильную дробь частное получается больше делимого; при делении на целое число, которое больше единицы, или на неправильную дробь, — частное меньше делимого.

§ 5. Распространение законов сложения и умножения на случай дробных чисел.

Сложение и умножение дробных чисел сводятся, как мы уже видели, к сложению и умножению целых чисел. Вследствие этого основные законы сложения и умножения, справедливые для целых чисел, остаются такими же и для дробных чисел, что можно проверить на числовых примерах.

§ 6. Более сложный пример вычисления с дробными числами.

Пример. Произвести вычисление выражения, записанного на буквах:

Решение. Подставляем числовые значения вместо букв:

Заменяем смешанные числа неправильными дробями:

Переходим к вычислению.

Выписываем делимое: —g—. Деление этой дроби на все остальные мы заменяем умножением на обратные числа:

Производим сокращения:

Замечание. При вычислении всегда следует обходиться одной чертой дроби, заменяя выражения с дробями в числителе и знаменателе выражениями, которые содержат в числителе и знаменателе только целые числа.

XII. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.

§ 1. Чтение и записывание десятичных дробей.

Наш способ читать и записывать целые числа называется десятичной системой счисления, потому что каждая единица высшего разряда в этой системе содержит в себе 10 единиц соседнего низшего разряда: одна тысяча в 10 раз больше сотни, сотня в 10 раз больше десятка, десяток в 10 раз больше единицы, которую мы называем простой единицей. Этот способ образования единиц счета можно продолжить и на некоторые

дробные числа, меньшие единицы, — на так называемые десятичные дроби.

Определение. Десятичной дробью называется такое дробное число, у которого знаменатель есть число 10, или степень числа 10.

Дробные числа: ^; ш; jooö; Ш; ïôô представляют десятичные дроби, таким образом, десятичная дробь является частным случаем обыкновенной дроби.

Возьмем метр (рис. 5), разделенный на сантиметры. Примем метр за единицу.

Разделив единицу на 10 частей, мы получаем одну десятую долю единицы: разделив десятую долю на десять частей, мы получаем сотую долю единицы: у^. Мы видим, что десятичные дроби также относятся к десятичной системе счисления. Это навело людей на мысль, что и записывать их можно без знаменателя, причем значение и наименование каждой десятичной дроби определяются тем местом, которое занимает соответствующая цифра.

Из свойств десятичной системы вытекает, что десятые доли должны стоять рядом с единицей и справа от нее, так как одна десятая в 10 раз меньше единицы. Остается только отделить целую часть числа от дробной. Это делается при помощи запятой.

Запишем для примера по этому способу какое-нибудь дробное число, например четыре целых и восемь десятых:

Если бы мы захотели записать в десятичной системе число, содержащее сотые доли, то нам пришлось бы сотые доли ставить рядом и правее десятых. Таким образом, десятые доли будут занимать первое место справа после запятой, отделяющей разряды целых единиц от разрядов дробных единиц, а сотые—второе место справа от запятой. Например:

4^=4,83.

Подобным образом продолжают запись для тысячных, десятитысячных и других, более мелких десятичных частей единицы.

Рис. 5.

Для замещения места отсутствующих единиц мы пользуемся в десятичной системе нулем, поставленным на месте соответственного разряда. Так же мы пользуемся нулем и при записи десятичных дробей.

Например, при записи правильной дроби мы ставим нуль на месте целых единиц. Мы пишем 0,3 вместо дроби ^.

Дадим примеры пользования нулем при записи десятичных дробей:

Сведем в одно все правила обозначения десятичных дробей:

При записывании десятичных дробей отделяют запятой целую часть от дробной. Если целые единицы отсутствуют, то на их место стазят нуль; цифры для обозначения числа десятых долей ставят на перзом месте справа от запятой, сотых долей — на втором месте, тысячных—на третьем и т. д.

Умея записывать десятичные дроби, мы можем и читать их. Таким образом мы читаем:

0,1 — одна десятая; 0,01—одна сотая;

0,001—одна тысячная; 0,2 — две десятых; 0,03 — три сотых; 0,25 — двадцать пять сотых;

0,007 — семь тысячных; 0,023—двадцать три тысячных; 0,271—двести семьдесят одна тысячная; 52,325 — пятьдесят две целых и триста двадцать пять тысячных.

При чтении десятичной дроби число, стоящее после запятой, читается как числитель. В знаменателе читается число, выраженное единицей, со столькими нулями, сколько имеется цифр после запятой.

§ 2, Десятичная дробь как обыкновенная дробь.

Свойства десятичных дробей и принятые способы записи и чтения десятичных дробей заставляют в некоторых случаях отдавать предпочтение десятичным дробям пред обыкновенными. Так, например, при расчетах в метрической системе десятичные дроби упрощают запись. Вместо того чтобы писать 4 кг 287 г, мы пишем: 4,287 кг.

Изучая дроби, мы познакомимся и с другими случаями, при которых удобнее применять десятичные дроби вместо обыкновенных.

Однако встречаются и такие случаи, когда обыкновенные дроби бывают удобнее десятичных. У обыкновенных дробей есть одно свойство, которое только в ограниченной степени применимо для десятичных дробей, — они позволяют применять сокращение. Например, дробь 0,125, записанная в виде обыкновенной дроби, имеет очень простой вид:

Десятичную дробь, в случае необходимости, можно заменять обыкновенной дробью и обратно.

§ 3. Сравнение величины десятичных дробей и округление чисел, выраженных в десятичных дробях.

1. При работе на токарном станке приходится менять число оборотов шпинделя станка и скорость движения ремня. Скорость ремня показывает, на сколько метров в секунду передвигается ремень по шкиву.

Пусть, например, токарный станок имеет 4 скорости ремня: 7,32 м\ 5,5 м; 4,4 м и 4,2 м в секунду. Сравним эти числа. Какая скорость будет самой большой, какая— самой маленькой?

Расположим эти числа в порядке убывания их величины:

7,32 > 5,5 > 4,4 > 4,2.

Число 7,32 больше остальных чисел, потому что 7 единиц больше всякого из чисел, имеющих только 5 или 4 целых единицы, как бы много у этих чисел ни было других долей единицы. По той же причине 5,5 больше, чем 4,4 и 4,2.

Последние два числа предыдущей строки имеют одинаковое число целых единиц, но число 4,4 больше, чем 4,2, так как при равной целой части число десятых долей больше у первого из этих чисел.

Подобным образом сравнивают десятичные дроби и с большим числом знаков после запятой.

Итак, чтобы сравнить два числа, содержащие десятичные дроби, надо сравнить у них целые единицы. То из чисел больше, в котором целая часть больше. Если число целых единиц в сравниваемых числах одинаково, то надо сравнить десятые доли. То из чисел больше, у которого число десятых долей больше. Если и число десятых в сравниваемых числах одинаково, то сравнивают сотые доли и т. д.

2. Сравним числа: 0,2; 0,3; 0,5.

В этих дробях единиц нет. Больше будет та дробь, у которой больше десятых долей.

Расположим эти дроби по величине и запишем:

0,5 > 0,3 > 0,2.

3. Сравним числа: 0,531; 0,582; 0,594.

Мы видим, что в этих числах нет целых единиц, что все числа имеют одинаковое число десятых долей, что они отличаются сотыми долями. Очевидно, наибольшим числом будет то, которое имеет наибольшее число сотых долей:

0,594 > 0,582 > 0,531.

При сравнении чисел, выраженных в десятичных дробях, мы часто заменяем данные числа соответствующими им приближенно вычисленными или округленными числами.

Для округления десятичных дробей мы пользуемся теми способами, которые были нами приняты раньше для округления целых чисел (гл. III, § 16).

Дадим примеры округления.

Данное число. Приближенное число.

§ 4. Приведение десятичных дробей к общему знаменателю и сокращение десятичных дробей.

1. Надо выразить в долях километра длину 300 мм.

Решение. Известно, что 1 км — = 1000 м = (1000-1000) мм = 1000 000 мм. Для нахождения части, которую образуют 300 мм, если за целое принять 1000 000 мм, надо сделать деление. Запись в виде десятичной дроби даст такой ответ:

Если до записи в виде десятичной дроби мы, пользуясь главным свойством дроби, произведем сокращение обыкновенной дроби, то получим:

Дроби 0,000300 и 0,0003 равны.

0,000300 = 0,0003. Вторая десятичная дробь имеет более простой вид.

2. Сравним числа 2,8; 2,80; 2,800.

Эти числа имеют одинаковое число целых единиц и одинаковое число десятых. Других долей у них нет. Эти числа равны.

2,8 = 2,80 = 2,800.

Если представить эти десятичные дроби в виде обыкновенных, то получим:

о 8 _о 80 _о 800 . ^10 ^ 100 ^ 1000 '

дроби равны по главному свойству обыкновенных дробей.

Приписывая нули после запятой на конце десятичной дроби, мы меняем вид дроби, но не меняем ее величины. Справедливо и обратное: зачеркивая нули после запятой на конце десятичной дроби, мы не меняем величины дроби.

Благодаря этому можно выражать десятичные дроби дробями одного наименования, т. е. приводить десятичные дроби к общему знаменателю.

3. Привести к общему знаменателю дроби: 0,25; 0,1732; 3,154.

Решение.

0,25 = 0,2500; 0,1732 = 0,1732; 3,154 = 3,1540.

В этом примере мы все числа выразили в десятитысячных долях.

I. Чтобы привести несколько десятичных дробей к общему знаменателю, надо уравнять число знаков после запятой во всех данных дробях приписыванием нулей справа.

Главное свойство дроби, примененное к десятичной дроби, позволяет также сокращать десятичные дроби, если они имеют нули на конце после запятой. Значение дроби при этом не изменяется.

Упростим дробь 0,8700 м.

II. Если десятичная дробь имеет на конце нули, то эти нули можно отбросить. Величина дроби при этом не изменится.

Последнее преобразование можно назвать сокращением дроби.

§ 5. Сложение и вычитание десятичных дробей.

1. Сложим числа: 3,75 + 8 + 4,125. Решение можно записать двумя способами: 3,750 3,75

В первом случае мы привели все дроби к общему знаменателю, приписав на конце нули и выразив дроби в тысячных долях.

2. Сделаем вычитание: 4,875—2,37264.

Решение.

Сложение и вычитание десятичных дробей делают так же, как сложение и вычитание целых чисел.

Чтобы произвести сложение или вычитание десятичных дробей, надо:

1) подписать числа одно под другим так, чтобы целые были под целыми, десятые — под десятыми, сотые — под сотыми и т. д.;

2) произвести сложение или вычитание так, как это делалось в случаях сложения и вычитания целых чисел;

3) поставить в результате запятую на том же месте, где она стояла в данных для сложения или вычитания числах.

Замечание. Записывая дроби при сложении и вычитании, надо следить, чтобы все запятые стояли одна под другой.

Обратим внимание на такой случай вычитания:

3. 1—0,027564 = 0,972436.

Тут числа всех разрядов вычитаемого вычитают из 9, кроме последнего, которое вычитают из 10.

4. Часто при сложении и вычитании десятичных дробей приходится находить сумму и разность приближенно.

Найти сумму и разность с точностью до одной сотой: 1) 8,5434 + 2,271+3,186 + 2,05; 2) 12,3764 — 5,171.

Решение. Условие задачи означает, что мы должны округлить результат в сотых долях, отбросив все остальные

разряды справа:

Правила для округления десятичных дробей остаются те же, что и для целых чисел (см. стр. 23).

§ 6. Умножение десятичных дробей.

Умножение на 10 и на степень числа 10.

1. Если сравнить числа: 0,0001; 0,001; 0,01; 0,1; 1 или 0,00097; 0,0097; 0,097; 0,97; 9,7; 97, то видно, что каждое последующее число больше предыдущего в 10 раз или каждое предыдущее число, умноженное на 10, дает последующее число, и обратно — каждое последующее число, разделенное на 10, дает предыдущее.

Из сказанного видно, что для умножения десятичной дроби на 10 достаточно перенести запятую вправо через одну цифру:

2. 1) 84,72 -10 = 847,2; 2) 0,0271 . 10 = 0,271; 3) 3,2 -10 = 32; 4) 0,512 • 10 = 5,12.

Для деления десятичной дроби на 10 достаточно перенести запятую влево через одну цифру:

3. 1) 84,7 :10 = 8,47; 2) 3,45 :10 = 0,345; 3) 0,42 :10 = 0,042; 4) 0,056 :10 = 0,0056.

Умножение и деление на 100; 1000 и т. д. заменяют последовательными умножениями и делениями на 10. Например:

4. Перемножить числа: 4,273 • 100.

Решение. 4,273 • 100 = 4,273 -10.10 = 42,73 • 10 = 427,3.

5. Разделить: 35,68:100.

Решение. 35,68 :100 = 35,68 :10:10 = 3,568 :10 = 0,3568.

I. Чтобы умножить десятичную дробь на число, выраженное единицей с нулями, достаточно перенести запятую вправо через столько знаков, сколько имеется нулей во множителе.

И. Чтобы разделить десятичную дробь на число, выраженное единицей с нулями, достаточно перенести запятую влево через столько знаков, сколько имеется нулей в делителе.

Замечание. При перенесении запятой недостающие цифры, как в делении, так и в умножении, заменяются нулями. Приведем примеры:

6. 37,2-1000 = 37 200.

Здесь запятую надо перенести на три знака вправо. Недостает двух цифр. Мы поставили на их место нули.

7. 0,25: 100 = 0,0025.

Здесь мы переносим запятую на два знака влево. Недостает двух цифр. Мы поставили на их место нули.

Замечание. Перенося запятую вправо, мы увеличиваем десятичную дробь в 10; 100; 1000 и т. д. раз; перенося

запятую влево, мы уменьшаем десятичную дробь в 10; 100; 1000 раз, смотря по числу знаков, на которое эта запятая перенесена.

Умножение числа с десятичной дробью на целое.

Умножение десятичной дроби на целое число приводится к умножению значащей части числа на целое число. 8. Помножить: 4,18 • 7. Найдем произведение:

418-7 = 2926.

Полученное произведение отличается от искомого, так как мы, заменяя число 4,18 числом 418, увеличили множимое 4,18 в 100 раз. Произведение тоже увеличилось в 100 раз. Поэтому, чтобы найти искомое произведение, мы должны 2926 уменьшить в 100 раз, и мы получим: 4,18-7 = 29,26.

Чтобы помножить десятичную дробь на целое число, надо перемножить числа, не обращая внимания на запятую, и в полученном произведении отделить запятой с правой стороны столько цифр, сколько их было после запятой в дробном сомножителе.

Произведение 4,18-7 можно найти и другими способами: 1) умножим 4,18, как обыкновенную дробь:

2) заменим умножение сложением: 4,18-7 = 4,18 + 4,18 + 4,18 + 4,18 + 4,18 + 4,18 + 4,18 = 29,26.

Во множимом было два десятичных знака, во множителе не было десятичных знаков, в произведении также два десятичных знака.

Во множимом был один десятичный знак, множитель — число целое, и в произведении — один десятичный знак.

Дадим еще примеры умножения десятичной дроби и целого с десятичной дробью на целое число.

10. 0,283-25 = 7,075.

11. 0,00538-4307 = 23,17166.

12. 0,02854-3 = 0,08562.

13. 14,805-359 = 5314,995.

Умножение на целое число, оканчивающееся нулями.

14. Найдем произведение: 2,875 • 500.

2,875 - 500 = 2,875 • 5 • 100= 14,375 • 100= 1437,5.

Чтобы умножить десятичную дробь на число, оканчивающееся нулями, надо умножить множимое на значащую часть множителя, а потом переставить в результате запятую на столько знаков вправо, сколько нулей имел на конце множитель.

Умножение десятичной дроби на десятичную дробь.

15. Найдем произведение: 6,19-2,5. Дадим два решения: 1) Обратим оба числа в обыкновенные дроби:

2) Найдем результат умножения 6,19-2,5 иным способом: увеличим первый сомножитель в 100 раз, а второй сомножитель— в 10 раз, получим произведение: 619-25 = 15475.

Это произведение больше искомого в 1000 раз. Чтобы получить искомое произведение, надо полученный результат уменьшить в 1000 раз:

Сосчитав число знаков справа от запятой в сомножителях и в произведении, мы можем принять такое правило умножения десятичных дробей:

При умножении десятичной дроби на десятичную дробь следует перемножить данные числа как целые, не обращая внимания на запятые, и отделить запятой в полученном произведении от правой руки к левой столько знаков, сколько их имеется в обоих сомножителях.

Замечание. При перенесении запятой на место недостающих цифр ставят нули.

16. Пример. Умножить: 0,72 - 0,003.

Решение. 0,72 - 0,003 = 0,00216, где 72-3 = 216.

Замечание. При умножении десятичных дробей действие производится над значащими частями сомножителей.

§ 7. Деление десятичных дробей.

Деление десятичной дроби на целое число.

1. Разделить 164,32:52.

Решение. Деление десятичной дроби на целое число начинают так же, как деление целых чисел. В нашем примере надо разделить 164,32 на 52. Получаем:

164,32:52 = 3,16.

Решение записываем так:

Часто бывает, что, дойдя до последнего разряда делимого, получают еще остаток. Тогда можно раздробить этот остаток в доли следующего низшего разряда и продолжать деление.

2. 63,189:18:

Чтобы разделить десятичную дробь на целое число, надо разделить сперва целую часть, поставить в частном запятую, остаток присоединить к дробной части, обратить его в десятичные доли и продолжать деление дробной части.

Замечание. Если число полученных после запятой при делении знаков превышает то число знаков, которое нам нужно для решения задачи, то полученное частное округляют в единицах того разряда, который обеспечивает нам нужное число знаков частного.

Так, в примере 2 мы могли бы остановиться на частном 3,51, если бы нам в ответе нужно было иметь число только с сотыми долями.

Перейдем к делению на десятичную дробь.

Деление на десятичную дробь. 3. Разделить*.

Решение. 1) Увеличим делимое и делитель во столько раз, чтобы делитель стал целым числом. Для этого в данном случае оба числа надо помножить на 10. Частное от такого умножения не изменится:

1,61:0,5=16,1:5.

Для окончательного решения осталось произвести деление на целое число:

16,1:5 = 3,22.

Подобным образом мы делим и в тех случаях, когда дробная часть делителя содержит несколько десятичных знаков после запятой.

2) 0,1808:0,452 = 180,8:452 = 0,4.

В этом случае, для того чтобы делитель стал целым числом, а частное не изменилось, пришлось делимое и делитель увеличить в 1000 раз.

Для нахождения частного при делении на десятичную дробь следует предварительно увеличить делимое и делитель во столько раз, чтобы делитель стал целым числом. Для этого надо запятую в делимом и делителе перенести вправо через столько разрядов, сколько их имеется после запятой в делителе; частное при этом не изменится.

Таким образом, если мы имеем дело только с десятичными дробями, можно упростить деление десятичных дробей и свести деление десятичных дробей к делению на целое число.

Следует обратить внимание на некоторые случаи деления десятичных дробей.

4. Найдем частное 400,4:0,728.

Решение. 400,4:0,728 = 400 400:728 = 550.

Замечание. В тех случаях, когда число знаков после запятой в делимом меньше, чем в делителе, надо приписать к делимому нули на конце.

5. 1) 9:0,75 = 900 : 75 = 12; 2) 9,9:2,25 = 990:225 = 4,4.

6. Разделить 74,75:3,25.

Решение. 74,75:3,25 = 7475:325 = 23.

Замечание. Если делимое и делитель имеют одинаковое число знаков после запятой, то запятые отбрасывают, а деление сводится к делению целых чисел.

Покажем, как вести вычисления с десятичными дробями в тех случаях, когда приходится производить несколько умножений и делений одновременно.

Вычислим выражение: -о012 > 225-•

Десятичные дроби можно заменить целыми числами, увеличивая числитель и знаменатель в одинаковое число раз. Решение можно записать так:

XIII. СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ И ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ.

§ 1. Обращение десятичной дроби в обыкновенную.

Мы уже говорили, что любую десятичную дробь можно изобразить и в виде десятичной дроби и в виде обыкновенной: 0,07 записана в виде десятичной дроби, •^Ф в виде обыкновенной. Разница только в способе изображения дроби. Поэтому мы всякую десятичную дробь можем заменить обыкновенной дробью.

Получившуюся обыкновенную дробь, если она сократима, надо сокращать, например:

§ 2. Обращение обыкновенной дроби в десятичную.

1. Дробь, в знаменателе которой стоит единица с нулями на конце, прямо записывается в виде десятичной.

Например:

Для того чтобы обыкновенную дробь выразить в виде десятичной дроби в общем случае, когда в знаменателе не единица с нулями, а какое-нибудь другое число, надо выполнить деление.

2. Обратить -g- в десятичную дробь.

Мы знаем, что всякая обыкновенная дробь может рассматриваться как частное от деления ее числителя на ее знаменатель: 4- можно считать результатом деления 5 на 8.

Разделим 5 на 8, получаем:

5:8 = 0,625.

Для обращения обыкновенной дроби в десятичную нужно разделить ее числитель на знаменатель по правилу деления десятичных дробей.

§ 3. О бесконечных десятичных дробях.

При делении числителя дроби ка ее знаменатель не всегда получается конечный результат.

1. Обратить в десятичную дробь число

Делим 2 на И.

Начиная с третьего остатка, остатки, полученные при делении, повторяются, и поэтому, начиная с тысячных долей, мы получаем в частном тоже повторяющиеся цифры. Результат такого деления мы называем бесконечной десятичной дробью: д = 0,1818...

Это означает, что нет точной десятичной дроби, которая равна обыкновенной дроби ~. Такое частное обыкновенно округляют в единицах какого-нибудь разряда и получают значение дроби с точностью до единицы этого разряда. Так, например, говорят, что jy^0,18 с точностью до одной сотой. (Знак ^ обозначает приближенное равенство.)

0,182 с точностью до одной тысячной.

0,1818 „ n п десятитысячной и т.д.

В случаях деления с заданной точностью мы применяем некоторые упрощения.

2. Найти частное: 93:11 с точностью до одной десятой.

Решение.

Первая после запятой цифра частного 4. Но если мы продолжим деление, то следующие цифры частного будут 545. Это указывает, что точнее вместо 4 десятых следует взять 5 десятых.

Замечание. Нет надобности вычислять следующую цифру частного, достаточно сравнить остаток с делителем, и если он окажется большим половины делителя, то следующая цифра частного будет больше 5.

При получении последней цифры приближенного частного надо сравнить остаток с делителем и. если остаток равен половине делителя или больше его, увеличить на единицу последнюю цифру частного; если он меньше половины делителя, то отбросить его без изменения частного.

3. Американские станки рассчитаны на принятую в Америке английскую систему мер, в которой небольшие длины измеряются дюймами (1 дюйм = 25,4 мм).

Надо перевести в метрические меры длину в ~ дюйма.

В миллиметрах та же длина будет равна:

Обращая, -gj- в десятичную дробь, мы получаем 1,984375 мм.

Работа на станке допускает точность только до сотых долей миллиметра. Деля 127 на 64, мы должны поэтому остановиться, когда в частном получатся сотые доли и ответ задачи будет 1,98 мм.

Как видно из этого примера, число десятичных знаков дроби бывает определено техническими условиями. Даже и тогда, когда обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную, следует ограничивать число десятичных знаков согласно с условиями задачи.

Следует обратить внимание на особенности деления, дающего в частном бесконечную дробь. Бесконечное деление всегда дает повторяющиеся остатки. Действительно, при бесконечном делении не могут все время получаться разные остатки, так как каждый новый остаток должен быть меньше делителя, а число таких остатков ограничено.

В одном из примеров мы имеем 2:11 =0,1818...; так как делитель в этом примере 11, то мы могли бы получать в остатке числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 — всего десять разных остатков. Исчерпав при бесконечном делении эти остатки, мы непременно повторно встретились бы с одним из них, и с этого места все остальные остатки должны повторяться в прямом порядке.

В нашем примере повторение начинается с остатка 2.

Повторение остатка отражается на частном; в частном мы опять получаем те же цифры, которые имели раньше, и в той же последовательности. Если остатки повторяются несколько раз, то столько же раз периодически повторяются и цифры частного. Группа повторяющихся при бесконечном делении цифр частного называется периодом, а бесконечная

десятичная дробь, полученная в частном при этом делении,— периодической дробью.

В нашем частном ^ = 0,18... мы получаем периодическую дробь с периодом „18м. Этот период составлен из двух цифр.

Определение. Если в бесконечной десятичной дроби, начиная с некоторого десятичного знака, совокупность нескольких цифр повторяется неограниченное число раз в том же порядке, то такая десятичная дробь называется периодическою бесконечною дробью.

Периодическая дробь обозначается многоточием, поставленным после периода.

Так, 1) — = 0,1818...; периодом являются цифры 1 и 8 (число 18);

2) дробь ~ = 0,41666...

Дробь ~2 при обращении в десятичную выразилась бесконечной периодической дробью. Периодом является цифра 6.

Чтобы выяснить, какие обыкновенные дроби обращаются в конечную десятичную, какие — в бесконечную, мы рассмотрим еще один способ обращения обыкновенной дроби в десятичную. Этот способ основан на отыскании таких дополнительных множителей для числителя и знаменателя дроби, которые превращают знаменатель дроби в число, выраженное единицею с нулями.

Этот способ применяют только для несократимых дробей, т. е. для дробей, у которых сделаны все возможные сокращения и числитель и знаменатель — числа взаимно простые.

4. Обратить в десятичные дроби следующие обыкновенные дроби:

Решение.

Подобным образом находят дополнительные множители и для дробей: ~; ~; Ü.

Показанный способ превращения обыкновенной дроби в десятичную применим только тогда, когда знаменатель обыкновенной дроби представляет собой произведение чисел 2 и 5, взятых в любой степени.

Он не применим для других случаев. Покажем это на примере.

5. Обратить в десятичную дробь -g- и ^ •

Решение. 1) -§- = 0,666...; 2) - = 0,41666...

В этих примерах частное имеет вид периодической дроби.

Легко понять, почему не каждую обыкновенную дробь можно обратить в точную десятичную дробь.

Если в знаменателе несократимой дроби имеются какие-нибудь другие простые сомножители, кроме 2 и 5, то из такой дроби нельзя получить дробь со знаменателем 10; 100; 1000.

Дроби -g- и |2 нельзя превратить в точные десятичные дроби. Мы не можем подобрать конечное число, которое, по умножении на 3, даст нам 10; 100; 1000 и т. д.; то же самое мы видим у дроби ^ = 2^ = 2^5^3 = Ш^'

Здесь мы не можем подобрать нужный множитель для 3.

I. Если знаменатель несократимой дроби при разложении на простые множители дает произведение, составленное только из двоек и пятерок, то такая дробь может быть обращена в конечную десятичную дробь.

II. Если знаменатель несократимой дроби при разложении на простые множители дает произведение, не имеющее двоек и пятерок или такое, в которое, кроме двоек и пятерок, входят еще и другие множители, то дробь не может быть обращена в конечную десятичную дробь.

§ 4. Совместные вычисления с обыкновенными и десятичными дробями.

Вычисления, в которых мы пользуемся одновременно обыкновенными и десятичными дробями, особенно часто применяются при сложных расчетах. При этом можно все десятичные дроби обратить в обыкновенные и вести вычисления, как вычисления с обыкновенными дробями. Можно и иначе: все обыкновенные дроби обратить в десятичные и иметь дело только с десятичными дробями.

Однако на практике такие упрощения не всегда выгодны; иногда бывает выгоднее оставить обыкновенные и десятичные дроби, как они есть.

Примеры. 1) Перемножим

При решении мы оставили обыкновенную дробь. Обращение у в десятичную дробь ввело бы приближенные числа.

2) Найти частное ^ : 2,64.

Решение. Делим на 2,64 по правилу деления на целое число:

3) Перемножить

Умножаем по правилу умножения целого числа на дробь:

Здесь при умножении и делении мы поступаем с десятичной дробью, как с целым числом.

Обращение десятичных дробей в обыкновенные бывает выгодно тогда, когда мы умножаем или делим обыкновенные и десятичные дроби совместно.

В случаях же совместного сложения обыкновенной и десятичной дроби, а также и при их вычитании, только небольшие десятичные дроби обращают в обыкновенные. При более сложных случаях выгоднее обращать обыкновенную дробь в десятичную.

5) Вычислить:

Решение.

Чтобы упростить решение, можно умножить числитель и знаменатель на 2 и на 8, потому что множитель 2 при умножении на множитель 5 дает в знаменателе 10, а множитель 8, умноженный на 125, в знаменателе дает 1000.

Мы получили более удобное выражение, которое после сокращения дает такой результат:

Замечание. Если в знаменателе полученной дроби встречаются множители 5; 25; 125, то числитель и знаменатель полученной дроби надо соответственно умножать на 2, 4, 8.

Замечание I. Когда в вычислениях встречаются и обыкновенные и десятичные дроби, то при обращении обыкновенной дроби в десятичную и при округлении надо брать число десятичных знаков сообразно с числом знаков в данных десятичных дробях.

Замечание II. В случае сложения и вычитания приближенных чисел все слагаемые, уменьшаемое и вычитаемое должны иметь одинаковое число знаков после запятой.

Замечание III. При умножении и делении приближенных чисел все сомножители, произведение, делимое, делитель и частное должны иметь одинаковое число знаков в значащей части.

XIV. ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ.

§ 1. Два способа сравнения чисел.

Существуют два способа сравнивать числа.

Пример. Строительство уплатило кирпичному заводу за две партии кирпича 4800 руб. и 1200 руб. Сравнить эти числа.

Решение. Можно дать два ответа: 1) можно сказать, что за первую партию уплатили на 3600 руб. больше, чем за вторую; 2) можно сказать также, что за первую партию кирпича заплатили в 4 раза больше, чем за вторую. В обоих случаях имеем отношение двух однородных величин.

В первом случае числа сравнивали посредством вычитания, во втором случае — посредством деления. Первый результат называют разностным отношением, второй — кратным отношением.

Разностное отношение есть результат сравнения двух чисел по* средством вычитания. Например, 25 млн. т—10 млн. т=15 млн. т.

Кратное отношение есть результат сравнения двух чисел посредством деления. Этому отношению соответствует число, которое может быть целым или дробным.

Например: 1) ^ = 6; 2)^ = 2-^-«

В каждом отношении мы имеем два числа, которые мы сравниваем. Эти числа называют членами отношения. Первое число будет предыдущий член отношения. Второе число — последующий член отношения.

Запись разностного отношения на буквах: а — b = d.

Здесь а означает предыдущий член отношения, b — последующий; (а — Ь) и d одинаково обозначают величину разностного отношения.

Запись кратного отношения на буквах: a:b = q, или ~ = </.

В этой записи а также обозначает предыдущий, b последующий член отношения; -~ и g одинаково обозначают величину кратного отношения.

§ 2. Кратное отношение.

Пример. Кладка стен на одной постройке обошлась в 40000 руб. При уменьшении толщины стены в постройке облегченного типа кладка обошлась в 20000 руб. Во сколько раз уменьшилась стоимость кладки стен облегченного типа?

Решение. Надо узнать, во сколько раз затраты на постройку стены тяжелого типа обходятся дороже по сравнению с затратами на стену легкого типа.

Для решения этой задачи нам приходится сравнивать числа. При помощи деления мы найдем отношение:

40000 о ^

20000 = Ответ: в 2 разл.

Можно было бы поставить вопрос иначе: какую часть первоначально намеченной стоимости составляет стоимость облегченной стены?

При решении задачи в таком виде нам придется переставить члены отношения:

Ответ:—.

Второе отношение выражено числом, обратным предыдущему.

I. Отношение большего числа к меньшему показывает, во сколько раз первое число больше второго.

II. Отношение меньшего числа к большему показывает, какую часть большего числа составляет меньшее число.

III. При перестановке членов отношения получается новое отношение, обратное первому.

§ 3. Главное свойство кратного отношения.

В главе о свойствах дробей мы установили, что частное, дробь и отношение можно рассматривать как результат одного действия — деления. Поэтому свойства дроби и свойства частного можно перенести на отношение.

Перечислим эти свойства:

I. С увеличением в несколько раз предыдущего члена отношения отношение увеличивается во столько же раз; с уменьшением предыдущего члена отношение уменьшается во столько же раз.

II. С увеличением последующего члена отношения в несколько раз отношение уменьшается во столько же раз; с уменьшением последующего члена в несколько раз отношение увеличивается во столько же раз.

Например, увеличивая предыдущий член отношения ^ = 4 в 3 раза, мы получим новое отношение: -^ö"= 12, которое будет в 3 раза больше прежнего; увеличивая последующий член того же отношения в 2 раза, мы получим отношение:

4q = 2, которое в 2 раза меньше первоначального.

Так же остается справедливым для отношений и главное свойство дроби. Мы назовем его главным свойством отношения.

III. При одновременном умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число меняется только вид отношения, числовое же значение отношения остается неизменным.

Например, отношение:

Отметим и еще одно свойство отношения.

Возьмем отношение: -^=3.

Выразим предыдущий член отношения через последующий и через величину отношения по закону: делимое равно делителю, умноженному на частное.

Здесь мы получим предыдущий член отношения, зная величину отношения и его последующий; записав это, мы получаем:

предыдущий чл. = последующий чл. X вел. отношения. То же свойство, выраженное словами, будет читаться так: IV. Предыдущий член кратного отношения равен последующему, умноженному на величину отношения.

§ 4. Нахождение неизвестного члена отношения.

Свойства отношения позволяют нам найти неизвестный член отношения, если известны другой член отношения и величина отношения.

1. ~з=5. Здесь неизвестное — предыдущий член отношения, он же — делимое. Находим:

х = 3-5=15.

2.—= 4. Здесь неизвестное — делитель, он же последующий член отношения. Находим: х = х = 18.

§ 5. Сокращения при вычислении отношений и замена отношения дробных чисел отношением целых чисел.

I. Сокращения в отношениях. Главное свойство отношения позволяет нам упрощать отношения и сокращать члены отношения.

1. Найти отношение чисел: 17 200 и 1290.

Решение.

Делением мы сократили предыдущий и последующий члены отношения сперва на 10, а потом на 43.

Если предыдущий и последующий члены кратного отношения имеют общий множитель, то можно оба члена отношения сократить на этот множитель.

II. Замена дробных чисел в отношениях.

2. Найти отношение чисел: 1) 40,5:15,3; 2) 2 у: -7-,

Решение.

В этих примерах мы, деля и сокращая дроби, заменяем отношение дробных чисел отношением целых чисел.

Чтобы найти отношение дробных чисел, надо привести числа к общему знаменателю, отбросить этот знаменатель и взять отношение числителей.

1) Отношение 5,9:4,7 = 59:47;

2) отношение 4,13:2,5 = 413:250.

§ 6. Понятие о пропорции.

Определение. Два равных кратных отношения, соединенные знаком равенства, составляют кратную пропорцию.

Замечание. Мы будем называть кратную пропорцию просто „пропорцией".

Задача. Почтовый поезд прошел за 6 часов 180 км. Двигаясь дальше, он прошел 90 км за 3 часа. Изменилась ли скорость поезда?

Решение. Первую часть пути поезд шел со скоростью ~ = 30 км в час. Также и по второй части пути он проходил у = 30 км в час. Скорость поезда не менялась. В этой задаче отношение-^- = 30 и отношение "з=30 равны. Равенство отношении -g- = -g- образует пропорцию.

Эта пропорция читается так: 1) 180 относится к 6, как 90 относится к 3; или: 2) отношение 180 к 6 равно отношению 90 к 3; или: 3) 180 во столько раз больше, чем б, во сколько раз 90 больше, чем 3.

Буквенная запись пропорции будет: a:b = c:d, или у = -^-.

Каждый член пропорции имеет свое название: and — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.

Числа, из которых можно составить пропорцию, называют пропорциональными числами.

§ 7. Основное свойство пропорции.

1. Куплено 10 м ткани по 20 руб. за метр. Сколько метров ткани можно купить за те же деньги по цене 5 руб. за метр?

Решение. 10-20 = 200 руб.; 200:5 = 40 м.

На 200 руб. можно купить АО м по 5 руб. Если мы сравним числа метров и стоимость в обоих случаях, то мы получим пропорцию у^ = у, так как отношения чисел равны. Эти числа образуют пропорцию. В то же время произведения (израсходовать надо было одну и ту же сумму), т. е. 40-5 и 20-10, тоже равны.

Это основное свойство пропорции:

В пропорции произведение средних членов равно произведению крайних.

2. Составим пропорцию из чисел 20; 4; 15; 3 и проверим основное свойство пропорции.

Решение. Составим равные отношения:^=5;у = 5. Пропорция:~ = ~ ; 20»3=15-4.

Основное свойство пропорции можно выразить и доказать на буквах.

Пусть: — = — ; тогда, умножая каждое из этих отношений на bd, получим: ^ = ~ или, по сокращении, ad —be.

§ 8. Составление пропорции из данных чисел.

1. Составить пропорцию из чисел 20; 12; 10; 6 и проверить, возможно ли решение задачи.

Решение. 1) Для решения расположим числа в порядке их величины:20; 12; 10; 6.

Составим пропорцию:

20:12 = 10:6. Оба отношения равны

2) Проверим эту пропорцию, применяя основное свойство:

20-6 = 12. 10.

Произведение крайних членов равно произведению средних и равно 120. Пропорция верна. Числа 20; 12; 10; 6 — пропорциональны.

3) Можно ли составить пропорцию из чисел 25; 10; 8; 4? Если написать отношение 25 :10 и отношение 8 : 4, то между ними нельзя написать знака равенства, и произведение крайних членов 25-4 неравно произведению средних членов 10*8.

Числа 25; 10; 8 и 4 не будут пропорциональными. Дадим условие, при котором из четырех данных чисел можно составить пропорцию, и правило составления пропорций.

I. Если произведение двух чисел равно произведению двух других чисел, то эти четыре числа пропорциональны.

II. При составлении пропорции числа одного произведения надо сделать крайними членами пропорции, числа другого — средними.

2. Составить пропорцию из четырех чисел: 8 и 5; 2 и 20. Произведения этих чисел попарно равны:

Пропорция будет такая:

Члены 8 и 5 —средние члены. Члены 2 и 20 —крайние члены.

§ 9. Перестановка членов пропорции.

I. В пропорции можно поменять местами первое и второе отношения.

Имеем пропорции:

Вторая пропорция получена из первой перестановкой отношений; равенство при этом, очевидно, сохранится.

Проверка перемножением крайних и средних членов пропорции также показывает, что эти пропорции составлены правильно:

II. В пропорции можно делать перестановку крайних или перестановку средних членов.

Проверим правильность пропорции:

1) 20:16 = 5:4; 2) 20:5=16:4; 3) 4:16 = 5:20.

Вторая пропорция получена из первой перестановкой средних членов: 5 поставлено на месте 16, а 16 — на месте 5. Третья пропорция получена из первой перестановкой крайних членов: 4 поставлено на месте 20, а 20 — на месте 4.

Произведения крайних и средних членов во всех этих пропорциях не менялись и оставались равными. Пропорции составлены правильно.

III. Отношения пропорции можно заменить обратными отношениями.

Очевидно, и в этом случае равенство не нарушится. Так, например, пропорцию 20:16 = 5:4 можно заменить другой, полученной от перестановки предыдущих и последующих членов каждого отношения: 16 :20 = 4 : 5. Произведения средних и крайних членов в обеих пропорциях равны. Обе пропорции составлены правильно. Отношения во второй пропорции будут обратны отношениям первой пропорции. Средние члены первой пропорции стали крайними во второй, и наоборот: крайние члены первой пропорции стали средними во второй.

Чтобы узнать, сколько пропорций можно составить из четырех чисел и сколько перестановок допускает пропорция,

надо изменить места членов пропорции, применяя все указанные выше приемы перемены мест членов пропорции.

Дана пропорция 60:40 = 3:2. Сделаем в пропорции всевозможные перестановки так, чтобы всегда было соблюдено равенство: 60-2 = 3*40.

Переставим средние члены пропорции.

Получим:

1) 60:40 = 3:2; 2) 60:3 = 40:2.

Заменим в первой и второй пропорциях оба отношения обратными отношениями. Получим:

3) 40 : 60 = 2 :3; 4) 3:60 = 2 : 40.

Переставим второе отношение во всех пропорциях на место первого и первое — на место второго. Получим всего восемь пропорций:

Замечание: Во всех этих пропорциях произведение крайних и произведение средних равны одному и тому же числу: 120 = = 60 • 2 = 40 • 3. Это произведение является основной приметой правильности составления всех пропорций, образованных из данных четырех чисел: 60; 40; 3; 2. На буквах мы получим:

§ 10. Нахождение неизвестного члена пропорции.

Пользуясь главным свойством пропорции, всегда можно найти неизвестный четвертый член пропорции, зная три ее члена.

1. Надо найти х из пропорций:

Во всех случаях мы имеем одно решение: Зх = 15*4, откуда

Неизвестный член пропорции находят так, как находят неизвестный множитель, когда известны произведение и один из сомножителей.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних разделить на известный средний. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение средних разделить на известный крайний.

Пользуясь этим правилом, можно записать решение так: 2. Найти X из пропорции 12:л; = 6:5.

§ 11. Нахождение четвертого пропорционального.

Часто дают три числа и к ним надо подобрать четвертое число так, чтобы это число и три прежних составили пропорцию.

Пример. К числам 8; 10; 5 подобрать четвертое пропорциональное.

Решение. Задача допускает несколько решений.

Расположим числа по порядку их величины: 10; 8; 5.

Теперь будем впереди, позади и между этими числами ставить число х и записывать полученные пропорции. Таким образом мы получим 4 пропорции. В этих пропорциях неизвестное число стоит то на месте одного из крайних членов, то на месте другого, то на месте одного из средних членов.

Второй и третий случаи дают одинаковые ответы: остаются три решения: д:=16; х = 6^; х=4.

XV. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ. ПОНЯТИЕ О СРЕДНЕМ АРИФМЕТИЧЕСКОМ.

§ 1. О величинах постоянных и переменных.

При математическом исследовании явления мы отыскиваем в явлении такие свойства, которые можно оценить и измерить, и производим вычисления над результатом измерений. При этом мы всегда изучаем зависимость между двумя или большим числом величин.

Величины, изучаемые в математике, можно разбить на две группы: I — величины постоянные, II — величины переменные. Примером постоянных величин могут служить единицы, при помощи которых мы производим измерения: метр, килограмм, секунда, год. Эти величины не изменяются. Существуют и другие постоянные величины, например величина прямого угла.

Определения. I. Постоянной величиной называется такая величина, которая не меняет своего значения.

II. Переменная величина—такая величина, которая меняет свои значения.

Переменные величины встречаются нам на каждом шагу: народонаселение города меняется с годами; меняется вес и рост человека с его возрастом; меняется длина металлического стержня при нагревании.

Народонаселение, длина, вес будут в этих случаях переменными величинами. Переменные величины находятся в зависимости от других переменных величин.

На нижеследующей таблице дан пример зависимости переменных величин.

ТАБЛИЦА ПЛОЩАДЕЙ КВАДРАТОВ.

Сторона квадрата (сантиметры) . . .

3

4

11

20

24

Площадь квадрата (квадратные сантиметры)..............

9

16

121

400

576

В этой таблице две строки. В первой помещены значения длины сторон разных квадратов: в 3 см, в 4 см и т. д. Во второй — значения соответствующей площади, т. е. площади квадратов со сторонами 3 см, 4 см и т. д. Сторона квадрата в данном случае есть одна переменная величина. Она задана. Площадь квадрата — другая переменная величина. Она зависит от стороны.

Определения. I. Та переменная, значение которой мы можем менять по произволу, называется независимой переменной величиной.

II. Переменная, значение которой меняется в зависимости от другой переменной, называется зависимой переменной.

§ 2. Величины прямо пропорциональные.

Изучая зависимость между переменными величинами, можно в некоторых случаях установить закон изменения величины зависимой переменной от изменения величины независимой переменной.

Изучим свойства зависимости, которая носит название прямой пропорциональности.

Вес 1 куб. дм стали равен 7,8 кг. Найдем вес стальных отливок, объем которых будет равен: 5; 10; 50; 100; 150; 200 куб. дм.

Решение запишем в виде таблицы:

Р—вес отливки в килограммах ......

7,8

39

78

390

780

1170

1560

V — объем отливки в кубических дециметрах ..........

1

5

10

50

100

150

200

Возьмем из таблицы вес какой-нибудь отливки и найдем отношение этого веса к весу другой отливки. Например:

Найдем отношение объемов тех же отливок: у^=5.

Эти отношения равны, и числа 390; 78; 50 и 10 образуют пропорцию -yg- = yq > или "5Q- = ïq • Тот же результат мы получим, сравнивая по таблице веса и объемы двух других отливок. Когда из четырех чисел двух столбцов таблицы можно составить пропорцию, мы имеем пропорциональную зависимость.

Мы говорим, что вес Р стальной отливки пропорционален объему V отливки.

Буквенная запись решения будет такова:

или в виде пропорций:

Pj и Р2 — веса двух отливок, Vt и Va — объемы тех же отливок.

Изучая таблицу, мы можем установить следующие свойства пропорциональной зависимости:

I. Таблица содержит значения двух переменных величии.

II. Одна из этих величин будет независимая переменная, другая — зависимая переменная.

III. Каждому значению одной величины соответствует одно определенное значение другой величины.

Примем за независимую переменную объем. Тогда вес будет зависимая переменная.

Мы видим, что каждому объему соответствует свой вес, так как с изменением объема изменяется и вес. Не может быть двух равных по объему отливок с разными весами или двух отливок, равных по весу, но разного объема. Значит, если объемы равны, то веса равны.

IV. С увеличением значений одной величины во сколько-нибудь раз соответствующее значение другой величины увеличивается во столько же раз.

V. Отношения двух значений одной величины и двух соответствующих им значений другой величины равны и составляют пропорцию.

Эти свойства легко проверить по рассматриваемой таблице.

Возьмем две отливки: в 10 куб. дм и в 100 куб. дм. Объем второй увеличен по сравнению с объемом первой, но, очевидно, при этом возрастет и вес Объем увеличен в 10 раз—и вес увеличен в 10 раз: вместо 78 кг он будет уже 780 кг.

Отношение равно числу 10, и отношение-^g-тоже равно числу 10. Эти отношения равны.

Числа 780; 78; 1G0 и 10 образуют пропорцию: ^ = ^.

VI. Отношение числового значения зависимой переменной к соответствующему числовому значению независимой переменной равно всегда одному и тому же числу.

Например: ^ = Ш=Ш=7^

То же условие в буквенной записи имеет вид: -у=К> где К = 7',8. Числа 7,8 и К носят название коэфициентов пропорциональности.

Зависимость, которая обладает этими свойствами, носит название прямой пропорциональности.

Переменные величины, связанные этой зависимостью, называются величинами прямо пропорциональными.

Если две величины находятся в такой зависимости, что с увеличением одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, то говорят, что величины находятся в прямо про-

порциональной зависимости, или что они прямо пропорциональны друг другу.

В нашем примере вес и объем отливки — величины прямо пропорциональные, или просто пропорциональные.

Буквенная запись закона прямой пропорциональности будет

~ = К, или P = KV.

§ 3. Приложение пропорции к решению задач.

Подробное изучение зависимости веса от объема показало, что вес и объем предметов, сделанных из одного материала, будут величины прямо пропорциональные.

Теперь мы можем расширить нашу задачу. Мы можем, пользуясь свойствами прямо пропорциональных величин, найти нужные значения величин, не составляя таблицы.

1. Поезд за 2 часа прошел 60 км. Найти: 1) путь, который тот же поезд может пройти в 3 часа, и 2) время, которое он должен затратить на прохождение 180 км пути, если он идет все время с одинаковой скоростью.

Для решения задачи мы воспользуемся свойством пропорциональных величин и составим пропорцию. Обозначим одну искомую величину буквой х, другую у. Пропорцию составляют так, чтобы в нее входили три известных значения величин и одно неизвестное. Нет нужды каждый раз выписывать для решения задачи таблицу значений пропорциональных величин. Достаточно иметь две пары значений, включая и ту пару, которая содержит одну неизвестную переменную, предварительно удостоверившись в том, что величины будут пропорциональны.

Чтобы удобнее было разобраться в задаче, мы располагаем данные и неизвестные числа в два столбца, причем в каждом столбце записываем значения одной и той же величины. Соответствующие значения обеих величин окажутся тогда в одной строке.

1) Для отыскания пути имеем:

2) Для отыскания времени:

При такой записи каждое отношение составлено из значений одной и той же величины.

Замечание. Перед решением обязательно следует проверить, будут ли данные величины пропорциональны.

2. Человек 40 лет от роду весит 60 кг. Сколько весит мальчик 10 лет?

Решение. На вопрос задачи нельзя найти ответ вычислением, так как лета и вес человека нельзя считать, как показывает опыт, величинами пропорциональными.

§ 4. Величины обратно пропорциональные.

Не всегда пропорциональные величины удовлетворяют зависимости прямой пропорциональности. Часто встречается и другая зависимость, которая носит название обратной пропорциональности.

Пример. Дана таблица зависимости между числом оборотов в минуту того предмета, который обтачивают на токарном станке, и диаметром предмета.

п — число оборотов в минуту ........

10

16

20

50

80

100

160

D — диаметр в миллиметрах .........

200

125

100

40

25

20

12,5

Примем за независимую переменную диаметр D. Число оборотов п будет зависеть от переменной D. Выясняя закон зависимости, мы замечаем, что таблица значений не удовлетворяет условиям прямой пропорциональности, так как:

1. С увеличением диаметра число оборотов не увеличивается, а уменьшается.

2. Отношение зависимой переменной к независимой не дает постоянного числа.

Свойства таблицы будут следующие:

I. Таблица содержит два ряда значений переменных величин.

II. Одна из этих величин будет независимая переменная, другая — зависимая переменная.

III. Каждому значению величины одного ряда соответствует одно определенное значение величины другого ряда.

IV. С увеличением значений величины одного ряда во сколько-нибудь раз значения величины другого ряда уменьшаются во столько же раз.

V. Отношение двух значений величин одного ряда и обратное отношение двух соответствующих им значений другого ряда равны и составляют пропорцию.

VI. Произведение числового значения зависимой переменной на соответствующее числовое значение независимой переменной равно всегда одному и тому же числу.

Эти свойства легко проверить на примере данной таблицы, подобно тому как мы проверяли свойства прямой пропорциональности.

Зависимость с такими свойствами называют обратной пропорциональностью.

Если две величины находятся в такой зависимости, что с увеличением одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз, то говорят, что величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, или что они обратно пропорциональны друг ДРУГУ.

Если сравним свойства прямой и обратной пропорциональности, то мы увидим, что различие будет только в IV, V и VI свойствах; IV свойство настолько понятно, что не требует особых объяснений.

Рассмотрим свойство V, как в случае прямой пропорциональности. Там и здесь пропорциональность наблюдается. Разница только в расстановке членов пропорции. Поясним это на примере. Возьмем из таблицы число оборотов для диаметров 200 мм и 40 мм.

Диаметр 200.....40;

Число оборотов 10.....50;

В случае обратной пропорциональности, как видно на этом примере, отношение двух значений одной величины (чисел одной строки) равно обратному отношению соответствующих значений другой величины (двух чисел второй строки), произведение же соответствующих значений обеих величин одинаково.

Буквенная запись пропорций и отношений обратной пропорциональности будет такова:

или

Здесь Да и £), обозначают числовые значения диаметров, а л2 и л,—соответствующие им числа оборотов. Буквенная запись VI свойства имеет вид:

В нашем случае ä'=2000. Числа 2000 и К носят название коэфициента пропорциональности.

Сравним решения двух задач. В одной данные и искомая величина будут прямо пропорциональны, в другой — обратно пропорциональны.

Задача 1. Автомобиль прошел за 2 часа 120 км. В какой срок может автомобиль при таких же условиях пройти 300 км?

Решение. Мы знаем, что путь и время при равномерном движении связаны законом прямой пропорциональности.

Записываем условия:

2 часа—120 км X п —300 „

Составляем пропорцию: 2:^=120:300, или х:2=300; 120» откуда

2 . 300 -X— 120 =5 часов.

Задача 2. Для разгрузки вручную вагонов надо 6 рабочим потратить 8 часов рабочего времени. Сколько надо рабочих, чтобы выгрузить тот же груз в 3 часа?

Решение. При решении таких задач средняя работоспособность одного рабочего считается неизменной.

С увеличением числа рабочих время выгрузки пропорционально уменьшается. В этой задаче мы имеем дело с обратной пропорциональностью величин. Записываем условия задачи:

6 рабочих — 8 часов X „ 3 п

Берем отношения и записываем пропорцию: 3:8 = 6: л:, или х : 6 = 8:3.

Отсюда находим:

§5. Решение задач приведением к единице.

Значение одной из величин в случаях прямой и обратной пропорциональности можно найти по способу приведения к единице.

Задача 1. На 28 рабочих при одинаковой средней ставке расходуют 4200 руб. в месяц. Каковы будут расходы по зарплате на 50 рабочих, оплачиваемых по той же средней ставке?

Решение. Для 28 рабочих зарплата составит 4200 руб.

Какова зарплата одного рабочего? Один рабочий получает в 28 раз меньше. Запишем это. Каждая рабочая единица 4200 . получит -cjg- руб.

Какова зарплата 50 рабочих? Зарплата 50 рабочих в 50 раз больше зарплаты одного рабочего. Она составит:

Полная запись решения будет иметь такой вид: Для 28 рабочих зарплата 4200 руб.

Задача 2. Кладку фундамента 20 рабочих закончат в 15 дней. Во сколько дней закончат эту работу 25 рабочих при той же производительности труда?

Решение. На производство всей кладки нужна работа 20 рабочих в течение 15 дней. Сколько человекодней понадобится на эту работу? На эту работу предположено затратить (20 • 15) человекодней.

Во сколько дней закончат эту же работу 25 человек?

25 человек закончат эту работу в 25 раз быстрее. Им понадобится в 25 раз меньше дней. Запишем

Решение.

Для 20 рабочих надо 15 дней работы.

, 1 рабочего „ 20 • 15 дней работы. „ 25 рабочих „ 25 =12 дней работы.

§ 6. Пропорциональное деление.

Задача 1. Обработка машинной части потребовала 2~ часа рабочего времени и работы 3 токарей. Первый токарь работал 40 минут, второй 50 минут и третий остальное время. За всю работу заплатили 12 руб. Сколько заработал каждый из токарей?

Эту задачу можно решить, пользуясь обычными арифметическими способами расчетов. Но мы, зная свойства отношений, сможем решить эту задачу наиболее коротким способом—способом пропорционального деления.

Чем больше рабочий работал, тем большую сумму денег он должен получить. Оплата труда пропорциональна времени. Здесь имеет место прямая пропорциональность.

Обозначим буквами плату за работу: первому рабочему хи второму л;2, третьему лг3. Запишем, что плата пропорциональна времени, т. е. хх : хг : хъ = 40 :50 :60.

Сумма частей 40 + 50 + 60=150. Оплата за одну часть к 1200 о гл работы составляет --^- = 8 коп. Оплата каждого рабочего:

первого 8 • 40 = 320 коп., второго 8 • 50 = 400 коп., третьего 8-60 = 480 коп.

Замечание. Отношения можно записать так: хх: х^: хъ — — 40 : 50 :60 = 4 : 5 : 6. Всего частей 15. Подсчитав, убедимся, что оплата труда будет та же.

Задача 2. Разделить 855 пропорционально числам:

1. А. А. А.

3 ' 4 > 6 ; 5 #

D _40 45 50 36

Решение. xt : х% : хъ : хк — gö : 60 : gô : 60#

Отношения не изменятся, если мы предыдущий и последующий члены в каждом отношении помножим на 60. Преобразуя отношения, окончательно будем иметь:

хх : х,г : xz : xk = 40: 45 :50 :36.

Сумма частей 40+45+50+36=171. Одна часть -yff- = 5.

Теперь найдем хи л:2, хд, л:4; получим 200, 225, 250, 180.

В сумме они должны составить 855.

Замечание. Отношение дробных чисел всегда надо заменять отношением целых чисел. Для этого дроби приводятся к общему знаменателю, и берется отношение числителей.

Задача 3. Разделить 1380 пропорционально числам: 0,4; 0,5; 0,32; 0,16.

Решение. Для решения этой задачи запишем отношения хх :л:2 : хд :xk = 0,4:0,5:0,32: 0,16 = 40:50:32:16 = 20: 25:16 :8. Сумма частей 20+ 25 + 16 + 8=69. Величина каждой части равна: ^- = 20 и лг4 = 400; ^=500; лг3 = 320; л:А = 160.

Чтобы разделить данное число пропорционально нескольким числам, надо: 1) заменить отношение дробных чисел отношением целых чисел; 2) сложить полученные числа, чтобы узнать число частей, на которое надо делить данное число; 3) разделить данное число на число частей, чтобы узнать, чему равна одна часть; 4) множить найденную величину одной части на целые числа отношений.

Иногда встречаются более сложные случаи пропорционального деления.

Задача 4. Для приготовления бетона смешивают сухой цемент, песок и щебень. Отношение объемов входящих в состав бетона материалов будет 2:6:9.

Сколько надо взять песку и щебня для приготовления раствора, имея 900 куб. дм сухого цемента? Сколько получится бетона, если объем щебня составляет 0,9 объема получаемого бетона?

Решение. Вся смесь содержит 2 + 6 + 9= 17 частей. Сюда входят 2 части цемента. У нас имеется 900 куб. дм цемента. Значит, на одну часть раствора приходится ~2~ = 450 куб. дм цемента.

Теперь найдем состав бетона.

Материалов потребуется:

цемента 2 части ..... 450 • 2 = 900 куб. дм

песку 6 частей..... 450-6 = 2700 n »

щебня 9 „ ..... 450-9 = 4050 „

Бетона получится 4050 :0,9 = 4500 куб. дм = 4,5 куб. м.

В этой задаче даны отношения объемов составных частей и число, показывающее объем одного из веществ. Разделив это число на соответствующее число частей, мы узнали, чему равна одна часть смеси. Умножением мы нашли, сколько надо взять каждого вещества.

Задача 5. Четыре колхозника работали на отведенном им участке. Числа трудодней, выработанных каждым, относились так: 12:15:18:20. На второго и третьего из них записали 66 трудодней. Сколько трудодней выработал каждый?

Обозначим числа трудодней через хи х^ хг> xg.

Решение. Как всегда, мы должны определить, скольким дням соответствует одна часть. На долю второго и третьего колхозников приходится 15 + 18 = 33 части, что составило 66 дней. Одна часть составляет Ц = 2дня. Определяем число трудодней для каждого колхозника:

х1 = 2 -12 = 24 дня; л;3 = 2-18 = 36 дней; л:2 = 2-15 = 30 дней; д:4 = 2-20 = 40 дней.

В этой задаче нам была дана сумма не всех частей., а только некоторых, поэтому для решения задачи мы складывали эти части.

Иногда бывает, что в задаче дается не сумма двух каких-нибудь частей, а их разность.

Задача 6. Четверо рабочих, работая вместе, должны были разделить заработанные деньги пропорционально числу изготовленных деталей. Один из них сдал 5, другой — 8, третий— 6 и четвертый — 6 деталей. При расчете второй рабочий получил больше третьего на 10 руб. Сколько заработал каждый?

Решение. Весь заработок придется делить в таком отношении:

Ху : хг : хг : л:4 = 5 :8:6 :6.

Число частейу второго рабочего больше, чем у третьего. Найдем разность: 8 — 6 = 2 части. За две части второй рабочий получил 10 руб. Значит, одна часть составляла 5 руб.

1-й получит л?! = 5-5 = 25 руб. 2-й „ ^==5-8 = 40 „

3-й „ х3 = 5-6 = 30 „

4-й „ лг4 = 5.6 = 30 „

В некоторых задачах приходится делить число на части, обратно пропорциональные данным числам. Приведем примеры решения таких задач.

Задача 7. Надо составить смесь из двух сортов чая. Килограмм первого сорта чая стоит 15 руб.; второго 6 руб.; количество чая того и другого сорта, взятое для смеси, обратно пропорционально стоимости чая.

Сколько надо взять чая первого и второго сорта для составления 105 кг смеси?

Решение. Если вес обратно пропорционален стоимости чая, то это значит, что отношение весов равно отношению чисел, обратных стоимости чая.

— JL. _L xi: хъ — !5 '• g •

Заменяя отношение дробных чисел отношением целых, мы получаем:

х* :** = зб : з5 = 2:^*

I сорта надо взять 2 части,

II » п » 5 частей. Всего 2 -f- 5 = 7 частей.

г\ 105 «, с

Одна часть составляет -у- = 15 лгг.

I сорта надо взять 15 «2 = 30 кг H „ „ „ 15-5 = 75 .

Задача 8. Разделить число 1440 обратно пропорционально числам 5; 7.

Решение. Возьмем числа, обратные данным. Запишем условия задачи в виде отношений этих чисел:

Заменим отношение дробных чисел отношением целых:

Найдем число частей:

Найдем значение одной части:

Найдем искомые числа:

Так же мы решаем задачи в тех случаях, когда надо разделить число обратно пропорционально трем, четырем и т. д. числам.

§ 7. Среднее арифметическое.

При сортировке яиц сорт их определяется взвешиванием.

Яйцами первого сорта считаются яйца, имеющие вес 7,78 кг на 120 штук; второго сорта — вес 6,96 кг на 120 штук; третьего сорта — вес 5,32 кг на 120 штук. В колхозе, сортируя яйца, получили следующие веса:

Взвешивание

Вес (в килограммах)

Число яиц

Вес одного яйца (в килограммах)

Вес 120 яиц (в килограммах)

1

2,581

40

0,0645

7,740

2

3,321

50

0,0664

7,968

3

1,286

20

0,0643

7,716

4

6,511

100

0,0651

7,812

5

7,849

120

0,0654

7,849

21,548

330

Чтобы найти, к какому сорту принадлежат эти яйца, надо определить средний вес одного яйца и средний вес 120 яиц.

Вес каждого яйца находят делением веса взвешиваемых яиц на число яиц. Из таблицы мы видим, что сотые доли при взвешивании одного яйца (и целые килограммы при взвешивании 120 яиц) во всех случаях взвешивания одинаковы. Разница только в тысячных долях. Это значит, что для веса одного яйца сотые доли килограмма определены верно, но тысячные и десятитысячные доли уже дают ошибку. При взвешивании 120 яиц мы получаем одинаковые числа для целых килограммов. Значит, для 120 яиц верно определены целые килограммы, и ошибка начинается с десятых долей. Мы говорим, что при взвешивании одного яйца числа тысячных и десятитысячных долей килограмма будут недостоверными числами. Очевидно, яйца отличаются в весе на тысячные доли килограмма. Так же можно сказать, что при взвешивании 120 яиц мы имели недостоверные числа для десятых долей килограмма.

Мы видим, что нельзя получить точные числа при измерении, нельзя получить точный вес яйца одним взвешиванием. Полученный при каждом взвешивании вес яйца будет приближенно вычисленный вес яйца.

Мы условимся: всегда, при всех измерениях и приближенных расчетах, брать только одну недостоверную цифру: все остальные недостоверные цифры мы будем отбрасывать, округляя полученное число.

Мы получим для веса одного яйца следующие числа: 0,064 кг; 0,066 кг; 0,064 кг; 0,065 кг; 0,065 кг. Для веса 120 яиц: 7,7 кг; 8,0 кг; 7,7 кг; 7,8 кг; 7,8 кг.

Мы возьмем среднее арифметическое всех весов, или, как говорят иногда, среднее значение веса. Это число мы и примем как точное.

Для нахождения среднего арифметического нескольких чисел надо сложить все данные числа и сумму разделить на число слагаемых.

Для одного яйца:

Для 120 яиц:

Итак, мы получили средний вес одного яйца 0,065 кг и для 120 яиц — 7,8 кг. Взвешиваемые яйца можно считать яйцами первого сорта по стандарту.

При большом числе взвешиваний мы получаем удовлетворительные средние результаты даже тогда, когда отдельные взвешивания были недостаточно точны.

Для нахождения среднего арифметического нескольких чисел надо сложить все данные числа и сумму разделить на число слагаемых.

XVI. ПРОЦЕНТЫ.

§ 1. Понятие о процентах.

Определение. Процентом называется сотая часть числа.

Первоначально слово процент применялось только тогда, когда заимодавец давал деньги в долг и требовал возвращения долга с прибавкой на сто.

Для обозначения процентов пользуются особым знаком %.

1% означает один процент, т. е. одну сотую часть числа; 3% означают три процента, т. е. три сотые части числа.

§ 2. Замена дробного выражения выражением в процентах.

При решении задач часто приходится процентное выражение числа переводить в сотые доли и обратно — сотые доли числа выражать в процентах.

1. Следующие десятичные дроби выразим в процентах:

Чтобы заменить числовое выражение соответствующим ему процентным выражением, надо данное числовое выражение умножить на сто, или перенести запятую на два знака вправо.

2. Следующие проценты запишем в виде десятичных дробей:

Чтобы заменить выражение в процентах десятичной дробью, надо разделить число, обозначающее проценты, на сто, или перенести запятую на два знака влево.

3. Процентное выражение заменим обыкновенной дробью:

4. Заменить следующие дроби процентным выражением:

§ 3. Нахождение процента от числа.

Нахождение процентов от числа сводится к нахождению одной или нескольких сотых частей целого и решается умножением.

1. Выдано 560 кг муки. Сколько получено хлеба, если припек составляет 13,5%?

Решение. Сперва надо вычислить, сколько килограммов составляет припек, т. е. надо найти 13,5%, или 0,135 от 560 кг.

13,5% от 560 кг составляет 560 • 0,135 = 75,6 кг. Хлеба получено 560 + 75,6 = 635,6 кг.

2. Найти:

Решение.

3. Найти:

Задачу нахождения процента от числа можно записать на буквах:

Здесь а — искомая часть от целого, К—целое, р — число процентов.

§ 4. Нахождение числа по его части, выраженной в процентах.

1. Заказав себе пальто, покупатель должен был внести в кооператив задаток в размере 40% стоимости пальто. Ему выдали квитанцию в получении 50 руб. Сколько стоит пальто?

Решение. Первоначальный взнос составил 40% = 0,40 ВСей стоимости и равен 50 руб.

Требуется найти число по его части; 0,40л: = 50 руб.;

X = -^=125 руб., где X — неизвестное число.

Нахождение числа по данной его части, выражаемой в процентах, сводится к нахождению числа по его части и решается делением.

Решение можно записать на буквах: К=а:~^9ши К=а^ . Здесь К—целое, а — данная часть от целого, р — проценты.

2. Найти число, если известно, что: 1) 53% от числа равны 26,5 кг; 2) 107% от числа равны 321 руб.

Решение.

При нахождении числа по его части, данной в процентах, имеют место три основные задачи:

I. Известна часть числа, выраженная в процентах (предыдущая задача).

II. Известно число (и его выражение в процентах), которое получится, если к искомому числу будет прибавлен определенный процент его.

III. Известно число (и его выражение в процентах), которое получится, если от искомого числа будет отнят определенный процент его.

Приведем примеры:

1) Кооператив берет ссуду на достройку дома. Банк выдал ссуду в размере 30% стоимости будущего дома, что составило 150000 руб. Определить стоимость достройки.

Здесь 30% числа (часть искомого числа) составляют сумму в 150000 руб.

Решение. Надо найти число по его известной части. 30% = 0,30; 0,3л: = 150 000 руб.

Искомое число.

X = 150 000 -.0,3 = 500000 руб.

2) Магазин, покупая ведра у кустарной артели, заплатил по 2 р. 40 к. за ведро, причем магазину была сделана скидка в 20%- Сколько стоит одно ведро без скидки?

Решение. После скидки в 20% за ведро платили только 100 — 20 = 80% его первоначальной цены. Значит, 2 р. 40 к. составляют 80% цены: 80% = 0,80; 0,8* = 2,4 руб.

Найдем число:

3) Плательщик просрочил уплату и должен был заплатить пени в размере 12% от первоначальной суммы, подлежавшей уплате. Всего он внес 56 руб. Какова была первоначальная сумма?

Решение. Плата вместе с пеней составила 100-f-12 = = 112% первоначальной суммы. Значит, 56 руб.—-это 112%. или 1,12 от искомого числа: 1,12л; = 56;

§ 5. Отношение двух чисел, выраженное в процентах.

1. В классе 32 учащихся; 2 ученика не пришли на занятия. Какой процент от всего числа учащихся в классе составляют ученики, не пришедшие в класс? пришедшие?

1) Какой процент составят ученики, не пришедшие в класс?

Решение. Сперва надо узнать, какую часть составляет 2 от 32. Отношение числа 2 к 32 узнается делением: 00 = 7* .

Затем надо выразить результат десятичной дробью и в процентах:

2) Какой процент всех учащихся составляют 30 учеников, явившихся на занятия?

Отношение 30 к 32 равно |^ = Ц. Выразив это отношение десятичной дробью и в процентах, имеем:

Проверка. 6,25% + ^3,75% = 100%.

2. Стада молочных ферм в колхозах и совхозах за вторую половину 1931 г. выросли с 400000 до 1 800000 голов.

1) Какой процент составляло стадо в начале полугодия по отношению к концу его?

Решение. За единицу, или 100%, надо принять 1 800000 голов, по отношению к которому 400000 голов составляют:

2) Сколько процентов составляет численность стада конца 1931 г. по отношению к началу полугодия?

Решение. За единицу, или 100%, надо принять 400000 голов, по отношению к которому возросшее число голов стада составляет:

3) На сколько процентов увеличилась численность стада за второе полугодие 1931 г.?

Решение. 450% — 100% = 350%.

При нахождении процентного отношения чисел надо найти их кратное отношение и выразить ответ в процентах.

Замечания. 1. При нахождении отношения чисел делителем берут то число, которое принимают за 100%.

2. При вычислении отношения в процентах результат следует округлить.

3. Какой процент составляют: 1) 111,8 от 1720; 2) 10 по отношению к 3; 3) 0,079 от 1?

Решение.

Решение можно записать на буквах: /7 = ^.100, где К—число, принятое за 100°/0> по отношению к которому надо выразить в процентах (р) данное число а.

Замечание. Дробь ~ показывает кратное отношение чисел, и путем умножения на 100 оно выражается в процентах.

§ 6. Задачи на денежные расчеты.

В задачах на денежные расчеты встречаются 4 числа: 1) начальная сумма, 2) число процентов, 3) время, 4) прибыль или убыток за определенный промежуток времени. Иногда в задачах вместо числа, выражающего прибыль или убыток, встречается число, показывающее, во что обращается начальная сумма вместе с наросшей прибылью, или та сумма, которая остается за вычетом убытка.

Три из названных четырех чисел даются в задаче; четвертое должно быть найдено. Таким образом, могут быть 4 основные задачи на денежные процентные расчеты.

I. а) Найти доход за 9 месяцев от вклада в 50 руб., положенного в сберкассу, если сберкасса платит 8% годовых.

Решение. Годовой доход составляет 8% от 50 руб., т. е. 50 - 0,08 = 4 руб.

Доход за Y2=4" года составляет 4Х j = 3 руб.

б) Во что обратится вклад в 50 руб. по истечении 9 месяцев, если сберкасса уплачивает 8°/0 годовых в год?

Решение. Выше подсчитано, что доход за 9 месяцев составляет 3 руб.; тогда вкладчик получит 50 + 3 = 53 руб.

В рассмотренных задачах—а) и б)— данные были: 1) начальная сумма, 2) число процентов, 3) время; требовалось вычислить прибыль (в задаче а) и наращенную сумму (в задаче б).

II. Через сколько времени 1350 руб. по 8% годовых дадут: а) дохода 477 руб.; б) обратятся в 1827 руб.?

Решение, а) Годовой доход с 1350 руб. по 8% составляет (1350 - 0,08) руб. = 108 руб.

Доход в 477 руб. получится за 477 :108 = 4щ = 4у?> года, т. е. за 4 года 5 месяцев.

б) Прежде надо узнать доход: 1827— 1350 = 477 руб.

Затем задача решается, как в п. а).

В рассмотренных задачах были даны: 1) начальная сумма, 2) число процентов, 3) прибыль, или наращенная сумма. Требовалось вычислить время.

III. Сколько процентов годовых платит сберкасса, если на вклад в 150 руб. по истечении 9 месяцев: а) было начислено 9 руб., б) было выплачено вкладчику 159 руб.?

Решение. В обеих задачах доход составляет 9 руб. Следовательно, годовой доход составляет:

9:^ = 12 руб.

12 рублей от вклада в 150 руб. составляют = 0,08 = 8%.

В этих задачах были даны: 1) начальная сумма, 2) время, 3) прибыль, или наращенная сумма; требовалось вычислить число процентов.

IV. а) Какая сумма, приносящая в год 7%, через 3 года даст дохода 420 руб.?

Решение. Годовой доход составляет 7% числа, т. е. 0,07 числа; доход за три года составляет 0,07 • 3 = 0,21 искомой суммы.

Если обозначить неизвестную сумму через х, то:

б) Какая сумма, приносящая в год 10%, через 3 года обратится в 520 руб.?

Решение. Годовая прибыль составляет 10% = 0,1 от неизвестной суммы. Прибыль за 3 года составляет 0,3 от неизвестной суммы, т. е. 1,3л: = 520 руб., где л: —неизвестная сумма.

В рассмотренных задачах —а) и б) — данными были: 1) время, 2) число процентов, 3) доход, или наращенная сумма; требовалось вычислить начальную сумму.

Замечание. Если при решении задач встречается время, выраженное в месяцах и днях, то при процентных вычислениях принято считать год в 360 дней, месяц — в 30 дней.

§ 7. График для вычисления процентов.

Задачи на проценты можно решать, пользуясь графиком.

На рисунке 6 построен такой график в виде линий, идущих от начала к точке с отметкой на крайней правой вертикальной линии. Надо найти по этому графику, чему равны 40% от 50 руб. Ответ: 20 руб. Решение показано стрелкой. Точно так же 50% от 80 руб. по графику определяется в 40 руб.

Подобным же образом находят 10%; 20% и т. д. до 100%. Для того чтобы наш график позволил делать вычисления с числами, которые больше 100, мы можем придавать разные значения единице масштаба.

На рисунке 7 показано, как можно, не проводя линии на графике, найти при помощи линейки 80% от 50.

Рис. 6. Рис. 7.

XVII. ФОРМУЛЫ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ.

§ 1. Формулы.

Нам приходилось пользоваться буквенными выражениями. Покажем, как пользуются буквенными выражениями в математике при решении задач.

1. Решить задачи:

1) 1 м материи стоит 10 руб. Найти стоимость 7 м

2) 1 „ „ « 5 „ п „ 7 „

3) 1 „ » „10 „ „ „ 8 „

4) 1 „ 6 „ „ 12 „

5) 1 кг сахару стоит 2 руб. „ „ 4 кг

6) 1 единица товара стоит а руб. „ „ b единиц.

Решение. 1) 10-7 = 70 руб.

2) 5-7 = 35 „

3) 10-8 = 80 „

4) 6-12=72 „

5) 2-4= 8 „

Решение задачи 6 запишем так:

а • b = с.

Здесь а обозначает стоимость единицы меры какого-нибудь товара, b — количество единиц и с — полную стоимость всего товара. Вместо а можно подставить 10; 5; 10; 6; 2; вместо Ь — 7; 7; 8; 12; 4; с будет равно 70; 35; 80; 72; 8.

В каждой арифметической задаче нам приходится различать: данные числа; искомые числа; зависимость между теми и другими, выраженную в условиях задачи. Искомые числа мы получаем, дав ответ на вопрос задачи.

Решая задачу, мы находим зависимость между величинами, между данными и искомыми числами и определяем характер этой зависимости. Зная, какова зависимость данных и результатов, мы знаем, какие действия и в каком порядке надо применять для решения задачи.

Все задачи примера 1 решаются одним способом, по одному правилу; во всех этих задачах мы пользуемся умножением и находим произведение числа, обозначающего цену единицы меры проданного товара на число единиц. В конце мы нашли одно общее правило для решения всех этих задач, обозначив данные и искомые буквами вместо числовых знаков. Мы решили общую задачу; мы, как говорят, составили формулу для решения всех таких задач.

Определение. Формулой называется выражение, показывающее, какие действия и в каком порядке надо выполнить для решения вопроса.

2. Записать решение формулой:

1) Поезд шел в течение 4 часов со скоростью 35 км в час и в течение 5 часов со скоростью 38 км в час; какова средняя скорость поезда за все время?

Решение.

Средняя скорость =--= —-g-— = 36^ км.

2) Если поезд шел в течение 3 часов со скоростью 30 км в час и в течение 4 часов со скоростью 35 км в час, то среднюю скорость поезда надо вычислить по формуле:

Средняя скорость =-ъТл— км*

3) Буквенная формула для решения всех таких задач:

где а — число километров, которое проходит поезд за час в течение первых ty часов; b — число километров, которое проходит поезд за час в течение последних t% часов, a v — средняя скорость.

§ 2. Буквенные обозначения. Порядок действий. Скобки.

1. Чтобы ввести однообразие в способы составления и записи формул, согласились обозначать числа буквами латинского (или французского) алфавита. Под этими буквами мы подразумеваем любое число, удовлетворяющее условиям задачи. Кроме букв для записи условий задачи и для ее решений пользуются знаками, принятыми в арифметике: сложение чисел обозначают знаком (+•); вычитание — знаком (—); умножение — знаком (X) или (•); деление — знаком (:) или чертой дроби. Знак умножения может быть опущен (см. гл. IV, § 1).

2. Условия о порядке действий остаются в силе и для буквенных выражений. Если в формуле встречаются действия только одной ступени, то их производят в порядке записи; если в формуле встречаются действия разных ступеней, то в первую очередь выполняют действия высших ступеней.

Всякие отступления от этих правил обозначают скобками. Если в формуле встречаются скобки, то сперва выполняются действия, указанные в скобках.

Формула (а+Ь)*т показывает, что надо сперва найти сумму чисел а и ô, а потом помножить ее на число т.

Если имеются скобки нескольких видов: () {} [], то обыкновенно сперва делают те действия, которые указаны во внутренних скобках. Вместо скобок в случае деления пользуются также чертой дроби. Формулы:

имеют одно и то же значение: они показывают, что сумму чисел а и b надо разделить на m и результат умножить на с.

Замечание. Следует запомнить, что умножение суммы и разности всегда обозначают при помощи скобок.

Выражения: (а-\-Ь)'Ш и (а — Ь)*т читаются так: сумму или разность двух чисел надо умножить на число т.

Если бы мы записали без скобки: а-\-Ьт и а — Ьт, то это обозначало бы, что к числу а надо прибавить или из него вычесть произведение чисел b и т.

§ 3. Коэфициент. Степень.

I. Определение. Числовой множитель в буквенном выражении называется коэфициентом.

Коэфициент записывают впереди других множителей.

Пример. 1) За?Ь; 2) у/тш; 3) 0,9аЬ.

Коэфициент может быть целый и дробный. Коэфициент показывает, как можно заменить сложение умножением.

Пример, я-f- а-\-а — Ъа.

Таким образом, коэфициент сокращает запись действий.

II. При умножении одинаковых сомножителей, как известно, возможно некоторое упрощение (см. § 10, гл. IV).

1) 5 • 5 • 5 • 5; 2) 10 -10 - 10.

Для таких произведений существует способ записи:

1) 5-5.5.5 = 54 = 625; 2) 10 • 10 • 10= 103 = 1000.

Умножение одинаковых сомножителей выделяют в особое действие, которое называется возведением в степень. При буквенной записи мы имеем формулу:

an = N.

В этой формуле а — основание, п — показатель степени числа а.

1) а5 = а • а • а • а* а; 2) (ab) • (ab) • (ab) = (ab)3; 3) ia + b)(a + b) = (a + b)\

Замечание. Знак умножения можно опускать перед скобкой или перед знаком, заменяющим скобку.

§ 4. Главнейшие формулы.

Часто встречаются такие буквенные выражения или формулы:

1. Формула суммы: m = a + ô.

2. Формула разности: п = а — Ь.

3. „ произведения: р =а • Ь> или p = ab.

4. „ частного: q = a:b = ~.

5. „ равенства: а = Ь.

6. „ неравенства: a^>b; Ь<^а.

Разные комбинации букв и знаков образуют другие, более сложные формулы.

7. Формула четного числа: k = 2n.

Вместо п можно подписать любое целое число, начиная с нуля. Получим ряд четных чисел: 0, 2, 4, 6...

8. Формула нечетного числа: 1 = 2п-\-\ или 1=2п—1.

9. „ числа, делящегося на п: х = п*а.

10. „ деления с остатком: ~ = q-\-^ .

11. „ двузначного числа: т = ]0а + Ь\ здесь а — число десятков, b — число единиц.

§ 5. Числовые значения формул.

Определение. Числовым значением формулы называют то число, которое будет получено, если подставить в формулу вместо букв соответствующие числа и произвести указанные в формуле действия в условленном порядке.

1. Возьмем формулу площади прямоугольника s = ah. В этой формуле 5 обозначает число квадратных единиц площади, а — число единиц длины основания, h — число единиц длины высоты.

Вычислим значение площади при а = Ъсм и h = 8 см. Получим:

5 = 5*8 = 40 кв. см. Также при а = 2,4 м и А = 0,8 ж получим: 5 = 2,4 • 0,8 = 1,92 кв. м.

2. Вычислить а2 + #* при а = 3; ô = 5.

Решение. а* +6* = 32 + 52 = 9 +25 = 34.

§ 6. Определение по формуле любой величины в зависимости от остальных.

Формула площади прямоугольника: s = ah.

По этой формуле можем решать такие задачи:

I. Найти площадь по данным основанию и высоте.

II. Найти высоту по данным основанию и площади.

III. Найти основание по данным высоте и площади.

Решение 1: s —ah. Решение II: h = -^-. Решение III: a = ~.

Второе и третье решения сводятся к нахождению делением одного из сомножителей, когда даны произведение и другой сомножитель.

Проверим это решение начислах. Пусть а=5; h=8 и s=40.

Таким же образом, пользуясь законами действий и зависимостью между данными и результатами действий, мы можем находить величину и по более сложным формулам.

§ 7. Составление формул по условиям задач.

При составлении формул для решения задач полезно держаться такого порядка:

I. Прочитать условие.

II. Дать буквенное обозначение данным и результатам решения задачи.

III. Разбить сложную задачу на простые.

IV. Определить, каким действием решается каждая простая задача.

V. Записать условия в принятых буквенных обозначениях.

VI. Определить по формуле искомую величину.

Замечание. Данные величины обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: а, Ь, с, d..., a искомые — последними буквами: x,y,z,t..

Решим один пример на составление формулы по условию задачи.

I. Один автомобиль проходит в сутки некоторый путь, другой автомобиль проходит в сутки путь, меньший на несколько километров. Найти путь, пройденный в течение суток вторым автомобилем.

Решение.

II. Обозначим путь первого автомобиля буквой а (данное).

„ (второго) п „ а: (искомое).

Первый автомобиль проходит на b километров больше, чем второй (Ь—данное).

III. Задача простая — решается в одно действие.

IV. Задача решается сложением.

V. Запишем условие: а = Ь-\-х.

VI. Найдем по формуле х. Величина х находится как неизвестное слагаемое, когда даны сумма а и другое слагаемое Ь:

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

I. Обозначение и чтение чисел.

§ 1, Введение........... 3

§ 2. Натуральный ряд чисел . . —

§ 3. Устный счет и десятичная система счисления...... 4

§ 4. Нумерация.......... 6

§ 5. Римские цифры....... 7

II. Меры. Метрическая система мер.

§ 1. Величины и их измерение 7

§ 2. Метрическая система мер. 8

§ 3. Обозначение единиц .... 9

III. Сложение и вычитание целых чисел.

§ 1. Сложение........... 9

§ 2. Задачи, решаемые сложением.............. 10

§ 3. Законы сложения...... 11

§ 4. Как прибавить сумму ... 12

§ 5. Сложение целых чисел ... 13

§ 6. Вычитание .......... 14

§ 7. Сложение и вычитание — действия взаимно обратные —

§ 8. Задачи, решаемые вычитанием.............. 15

§ 9. Изменение суммы...... 16

§ 10. Изменение разности..... 17

§11. Вычитание суммы. Прибавление и вычитание разности 18

§ 12. Вычитание целых чисел . . 19

§ 13. Проверка сложения..... 21

§ 14. Проверка вычитания .... —

§ 15. Вычитание дополнением . , 22

§ 16. Округление чисел...... —

IV. Умножение и деление целых чисел.

§ 1. Умножение.......... 24

§ 2. Задачи, решаемые умножением .............. 25

§ 3. Законы умножения..... —

Стр.

§ 4. Умножение на произведение и умножение произведения .............. 27

§ 5. Умножение суммы и разности .............. —

§ 6. Изменение произведения при изменении сомножителей .............. 28

§ 7. Умножение на числа с одной значащей цифрой ... 29

§ 8. Умножение чисел, оканчивающихся нулями....... 30

§ 9. Умножение многозначных чисел.............. —

§10. Понятие о степени..... 31

§ 11. Деление............ 32

§ 12. Умножение и деление — взаимно обратные действия 33

§ 13. Действия разных ступеней 34

§ 14. Задачи, решаемые делением .............. —

§ 15. Зависимость между данными и результатами при умножении и делении...... 36

§ 16. Проверка умножения и деления .............. 38

§ 17. Изменение частного..... —

§ 18. Деление произведения и суммы............. 39

§ 19. Деление на число, выраженное единицей с нулями . . 41

§ 20. Деление чисел, оканчивающихся нулями ........ —

§ 21. Деление в случае однозначного частного......... 42

§ 22. Деление с остатком..... 43

§ 23. Изменение остатка..... 44

§ 24. Деление в случае многозначного частного...... 45

V. Порядок действий. Скобки

§ 1. Порядок действий одной ступени ............

§ 2. Порядок действий разных ступеней ............

VIII. Сложение и вычитание дробей.

§ 1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями ............ 78

§ 2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями .............. —

§ 3. Сложение и вычитание смешанных чисел........ 75

IX. Нахождение части данного числа и числа по данной его части.

§ 1. Нахождение части данного числа.............. 76

§ 2. Нахождение числа по его части.............. 78

§ 3. Нахождение числа, когда известна его часть, выраженная любой дробью ... 79

X. Умножение обыкновенных дробей.

§ 1. Умножение дроби на целое число.............. 80

§ 2. Какие задачи решают умножением на дробь....... 81

§ 3. Умножение на дробь .... 82

XI. Деление обыкновенных дробей.

§ 1. Взаимно обратные числа,. 84

§ 2. Деление на дробь...... —

§ 3. Деление любых целых и

дробных чисел........ 86

§ 4. Задачи, решаемые делением 87

§ 5. Распространение законов сложения и умножения на случай дробных чисел ... 88

§ 6. Более сложный пример вычисления с дробными числами .............. 89

XII. Десятичные дроби.

§ 1. Чтение и записывание десятичных дробей...... 89

§ 2. Десятичная дробь как обыкновенная дробь........ 91

§ 3. Сравнение величины десятичных дробей и округление чисел, выраженных в десятичных дробях..... 92

VI. Делимость чисел.

§ 1. Делимость чисел....... 48

§ 2. Свойство суммы, на котором основаны выводы признаков делимости...... —

§ 3. Признаки делимости на 10, на 100, на 1000 ........ 49

§ 4. Признаки делимости на 2 и на 5............. —

§ 5. Признаки делимости на 4 и на 25............ 50

$ 6. Признаки делимости на 8 . —

§ 7. Признаки делимости на 9 и на 3............. —

§ 8. Числа простые и составные 52

§ 9. Разложение чисел на простые множители....... —

§ 10. Общий наибольший делитель ............... 54

§11. Понятие о наименьшем кратном............ 55

§ 12. Три случая нахождения наименьшего кратного..... 56

§ 13. Признаки делимости на составные числа........ 57

VII. Общие свойства обыкновенных дробей.

§ 1. Части единицы. Дробные числа.............. 58

§ 2. Дробь — отношение двух чисел.............. 61

§ 3. Дроби правильные и неправильные. Смешанное число 62

§ 4. Обращение целого и смешанного числа в неправильную дробь........ 63

§ 5. Выделение целой части из неправильной дроби .... 64

§ 6. Сравнение величины дробей с одинаковыми числителями или с одинаковыми знаменателями........ 65

§ 7. Изменение дроби с изменением ее числителя и знаменателя ............ 66

§ 8. Главное свойство дроби . . 68

§ 9. Сокращение дроби..... 69

§ 10. Приведение дробей к общему знаменателю..... 70

11. Изменение величины дроби от прибавления к числителю и знаменателю одинаковых слагаемых........... 72

§ 4. Приведение десятичных дробей к общему знаменателю и сокращение десятичных дробей........ 93

§ 5. Сложение и вычитание десятичных дробей....... 95

§ 6. Умножение десятичных дробей............... 96

§ 7. Деление десятичных дробей............... 99

XIII. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.

§ 1. Обращение десятичной дроби в обыкновенную.....101

§ 2. Обращение обыкновенной дроби в десятичную .... —

§ 3. О бесконечных десятичных дробях.............102

§ 4. Совместные вычисления с обыкновенными и десятичными дробями........105

XIV. Отношения и пропорции.

§ 1. Два способа сравнения чисел ...............107

§ 2. Кратное отношение.....108

§ 3. Главное свойство кратного отношения...........109

§ 4. Нахождение неизвестного члена отношения.......110

§ 5. Сокращения при вычислении отношений и замена отношения дробных чисел отношением целых чисел . —

§ 6. Понятие о пропорции .. . 111

§ 7. Основное свойство пропорции .............. —

§ 8. Составление пропорции из данных чисел.........112

§ 9. Перестановка членов в пропорции ........... . . 113

§ 10. Нахождение неизвестного члена пропорции......114

§11. Нахождение четвертого пропорционального.....115

XV. Прямая и обратная пропорциональность. Понятие о среднем арифметическом.

§ 1. О величинах постоянных и переменных..........115

§ 2. Величины прямо пропорциональные ............116

§ 3. Приложение пропорции к решению задач........119

§ 4. Величины обратно пропорциональные ..........120

§ 5. Решение задач приведением к единице...........122

§ 6. Пропорциональное деление 123

§ 7. Среднее арифметическое . 127

XVI. Проценты.

§ 1. Понятие о процентах .... 129

§ 2. Замена дробного выражения выражением в процентах ............... —

§ 3. Нахождение процента от числа..............130

§ 4. Нахождение числа по его части, выраженной в процентах .............131

§ 5. Отношение двух чисел, выраженное в процентах ... 132

§ 6. Задачи на денежные расчеты..............134

§ 7. График для вычисления процентов...........136

XVII. Формулы и вычисления по формулам.

§ 1. Формулы............136

§ 2. Буквенные обозначения. Порядок действий. Скобки 138

§ 3. Коэфициент. Степень.... 139

§ 4. Главнейшие формулы. ... —

§ 5. Числовые значения формул 140

§ 6. Определение по формуле любой величины в зависимости от остальных .... —

§ 7. Составление формул по условиям задач. ....... 141