Поисковые задачи по математике

4-5 классы

Поисковые задачи по математике

(4—5 классы)

Пособие для учителей

Под редакцией Ю. М. Колягина

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1979

74.262 П47

А. Я. КРЫСИН, В. Н. РУДЕНКО, В. И. САДКОВА, А. В. СОКОЛОВА, А. С. ШЕПЕТОВ, Ю. М. КОЛЯГИН

Поисковые задачи по математике (4—5 классы): Пособие для учителей/Крысин А. Я., Руденко В. Н., Садкова В. И., Соколова А. В., Шепетов А. С, Колягин Ю. М.— М.: Просвещение, 1979, 95 с, ил.

в книге представлены нестандартные задачи по каждому пункту теоретического материала курса математики 4—5 классов. Задания могут быть использованы на уроке, на кружковых занятиях, а также для индивидуальной работы с лучшими учащимися. Задачи сопровождаются методическими указаниями, решениями и ответами.

ББК 74.262 51(07)

© Издательство «Просвещение», 1979 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Успешность изучения обновленного школьного курса математики в значительной мере зависит от того, какими средствами и методами ведется обучение. Опыт показывает, что идеи, заложенные в действующей программе и учебниках, не усваиваются учащимися с должной глубиной, если само обучение математике не строится на основе возбуждения познавательной активности школьников, а ведется по старинке: пусть даже при весьма активной деятельности учителя, но пассивной деятельности учащихся.

Одним из важнейших средств интенсификации обучения математике является эффективная организация и управление поисковой деятельностью школьников в процессе решения различных математических задач и упражнений.

Важно то, что при решении задач в процессе обучения математике возможно самым естественным образом формировать у школьников творческую активность наряду с реализацией одной из основных целей обучения математике — формированием той системы математических знаний, умений и навыков, которая предусмотрена программой и отражена в учебниках математики.

Если термин «задача» понимать достаточно широко (в частности, включить в число задач и любое вычислительное упражнение, и любую теорему, способ доказательства которой предстоит установить и изучить, установление тех или иных признаков изучаемого математического понятия и отбор среди них тех, которые характеризуют это понятие, и т. п.), то можно утверждать, что изучение математики осуществляется в процессе решения задач. Между тем умение решать математические задачи проявляется в настоящее время недостаточно, хотя именно это умение наиболее ярко характеризует состояние математических знаний учащихся и уровень их математического развития. Во многом это происходит потому, что школьные математические задачи, которые предлагаются учебниками, как правило, ограничены одной темой, требуют для своего ре-

шения определенных знаний, умений или навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала, не предусматривают широких связей между разделами курса математики. Роль и значение таких задач исчерпываются в течение того непродолжительного периода, который отводится на изучение этого вопроса программы. При этом функция таких задач в изучении теоретического материала не является секретом ни для учащихся, ни для учителя: иллюстрировать изучаемый теоретический вопрос, разъяснить его смысл, помочь усвоить изучаемый факт через простейшие упражнения, выполняемые по образцу, продиктованному теорией, и т. п.

Естественно, что в системе задач школьного курса математики необходимы задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения, задачи, связанные с отработкой того или иного математического навыка, т. е. те задачи, которые являются обычными для школьного курса. Однако место, которое они должны занимать в обучении математике, должно быть четко определено, а время, затрачиваемое на их решение, должно быть соразмерно с планируемым результатом обучения и его значимостью во всей системе математической подготовки учащихся. То учебное время и та «учебная энергия» школьников, которые могут высвободиться в результате должного ограничения числа традиционных задач и упражнений, могут быть использованы с большей пользой на другие цели, в частности на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Понятно, что для этого необходима постановка учебных математических задач проблемного характера, обучение учащихся общим приемам решения задач (деятельности поискового характера) на разнообразном конкретном материале, использование задач для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, овладения ими методами научного познания явлений реальной действительности.

Задачи указанной целевой направленности могут быть весьма разнообразны (по форме, в которой они поставлены; по той дидактической цели, которой они служат; по месту в процессе обучения). Постановка конкретной задачи, возникшей либо в самой математике, либо в других науках или в трудовой практике, для решения которой недостаточно известных учащимся знаний, вызовет естественный интерес к новой теме, сознание необходимости ее изучения и настрой к преодолению предстоящих трудностей.

Особое внимание со стороны учителей математики и учащихся должно быть направлено на осознание ими того факта, что всякая математическая задача школьного курса математики является учебной. Всякая задача, которая предлагается учащимся, должна научить их чему-либо, связанному с изучаемым: ими программным материалом или с общенаучной математической деятельностью; решение каждой задачи должно быть шагом вперед в их обучении, обогащать их знания и опыт и учить их ориентироваться в различных задачных ситуациях.

Информация различного рода, получаемая учащимися в процессе решения задач, должна быть критически оценена не только учителем, но и учащимися. Из нее следует выделить наиболее важное и полезное. Школьников нужно научить отдавать себе отчет, чему они научились, решая ту или иную задачу, что имеет смысл сохранить в памяти, а о чем можно забыть.

В материалах XXV съезда КПСС прямо указывается на необходимость в процессе школьного обучения «... прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации»*. Одним из путей реализации этого указания является приобщение школьников к самостоятельной творческой работе в процессе решения задач, направленных на усвоение программного материала.

Настоящий сборник задач по математике для IV и V классов подготовлен сотрудниками сектора обучения математике НИИ школ МП РСФСР. Перед тем как выйти в свет в настоящем виде, он прошел экспериментальную проверку во многих школах РСФСР. Основное назначение сборника — предоставить в распоряжение учителя задачный материал нестандартного характера, который можно использовать в рамках действующей программы, дополнительно с задачами из учебных пособий.

В сборнике представлены разнообразные задачи, связанные с учебным материалом по математике для IV—V классов.

Многие задачи сборника предназначены для внеклассных занятий, для математического кружка IV—V классов, для индивидуальной работы с лучшими учащимися. Часть задач сборника может быть использована и на самом уроке.

Не претендуя здесь на классификацию учебных математических задач, мы считаем нестандартной (поисковой) ту задачу, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение. Иными словами, учащиеся в ходе решения таких задач должны провести поиск плана решения задачи, установить, какой теоретический материал дает ключ к тому или иному решению. В отличие от поисковых, мы считаем задачу стандартной, если ее решение требует от учащихся применить тот или иной известный им алгоритм или воспользоваться тем выводом по аналогии, который в практике обучения называется решением по образцу.

Задачи, представленные здесь, как правило, нестандартные. Они могут использоваться для введения изучения новой темы, для самостоятельного установления школьниками какого-либо факта, подлежащего изучению, для иллюстрации этого факта, для более глубокого усвоения теоретического материала, для выработки некоторых необходимых умений и навыков в целях контроля и самоконтроля, для возбуждения и развития интереса к математике, для приобщения учащихся к деятельности творческого характера,

* Материалы XXV съезда КПСС. М., Политиздат, 1976, с. 77.

развития у школьников математического мышления, а также в целях воспитания. В сборник включены как отдельные задачи, так и серии задач (обозначенные обычно одним номером). Каждая задача (или серия задач) сопровождается решением и методическими замечаниями, помещенными во второй части книги. В этих замечаниях наряду с характеристикой роли и места данной задачи в соответствии с программой и учебником математики приводятся ориентировочные указания о том, как она может быть использована. Однако окончательное суждение о полезности, месте и времени использования той или иной задачи в обучении математике в IV—V классах, естественно, может сделать лишь учитель, использующий этот сборник.

В сборнике имеется ряд задач, по типу, идее или содержанию которых учитель (или ученик) может составить аналогичные, если это представится ему полезным. В ряде случаев авторы оговорили это в методических замечаниях.

Представленные в сборнике задачи можно предлагать для решения в любом порядке; понятно, что все задачи, идущие под рубрикой «IV класс», можно решать ив V классе (особенно задачи последнего раздела). Заметим сразу, что некоторые задачи посильны лишь отдельным школьникам. Это, однако, не должно исключать возможности попытаться предложить их другим учащимся. Большая часть задач сборника предназначена средним (и даже слабым) учащимся. Учителю предстоит самому убедиться, насколько правы авторы сборника и в этом предположении. Зная, как загружено основное время учащихся IV—V классов изучением программного материала, решением задач и упражнений из учебника математики, авторы еще раз напоминают, что основное назначение сборника — помочь учителю в проведении внеклассных (кружковых и индивидуальных) занятий.

Заметим также, что при использовании данного сборника задач в практике, учителю следует учесть коррективы, внесенные в программу по математике для IV—V классов (см. ж. «Математика в школе», 1979, № 3, с. 22).

Ю. М. Колягин

Отзывы и предложения просим направлять по адресу: 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Издательство «Просвещение», редакция математики или 109044, Москва, Крутицкий вал, 24, НИИ школ МП РСФСР, сектор обучения математике.

4 класс

§ 1. ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА

Задание 1

1. Имеется ли самое малое натуральное число, самое большое?

2. Назовите самое большое трехзначное число, самое маленькое трехзначное число? Сколько всего трехзначных чисел?

3. В 1971 г. было выпущено 1142 тыс. автомобилей, в 1975 г.— 1964 тыс. автомобилей, а в 1980 г.— намечено выпустить 2100 тыс. автомобилей.

Запишите данные о выпуске автомобилей цифрами и прочитайте получившиеся числа.

Задание 2

1. Запишите с помощью дробей различные части прямоугольников abcd и abnp, изображенных на рисунке 1.

2. а) Для каждой дроби, выражающей часть прямоугольника abcd (см. рис. 1), составленного из квадратов, найдите равную ей дробь, выражающую часть прямоугольника abnp. б) Верно ли, что площади abcd равна -^-площади abnp?

3. Запишите дроби, которые показывают, какую часть составляет заштрихованная фигура от треугольника abc (рис. 2), от четырехугольника авес и от четырехугольника abed. Какая из дробей наибольшая?

4. Какой части километра равна часть метра?

5. Равны ли по массе: а) — часть

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

центнера и часть тонны? б) часть центнера и часть тонны?

Задание 3

1. Сколько можно построить отрезков одной и той же длины?

2. На рисунке 3 изображен прямоугольник: а) найдите \ав\, если \cd \ = ~y см; б) найдите длину L4D], если \ad \ = 2

Задание 4

Серединой отрезка называется точка, которая делит его на два отрезка равной длины.

Можно ли утверждать, что точка в всегда является серединой отрезка ас, если \ав\ = \вс[?

Задание 5

1. Изобразите на рисунке прямую и точки а, в, с на ней так, чтобы \ав \ = 2 см, \вс\ = 1 см.

2. На рисунке 4 изображен луч, на котором числа указывают расстояния точки от начала луча. Запишите длины отрезков ab, ас и cd (в единицах масштаба).

Задание 6

Начертите окружность с центром О. Отметьте внутри окружности точку М. Докажите, что через точку M можно провести только один радиус этой окружности.

Задание 7

1. Как называются две различные прямые одной плоскости, которые не имеют общих точек?

2. Отрезки ае и ck на плоскости не имеют общих точек. Можно ли утверждать, что [ае] \\ [С/(]?

3. Докажите, что два параллельных друг другу отрезка не имеют общих точек.

4. Какой отрезок называется параллельным некоторой прямой?

Рис. 4

Задание 8

1. Запишите все различные лучи, отрезки и прямые, изображенные на рисунке 5.

Рис. 5

2. Используя рисунок, назовите и покажите фигуру, которая является общей частью: а) лучей АХ и AY\ б) лучей ВХ и АУ\ в) луча AY и отрезка АВ\ г) луча AY и луча BY\ д) луча АХ и прямой XY\ е) отрезка AB и прямой XY.

Задание 9

1. Что значит сравнить два числа?

2. Сравните числа 222 222 222 222 222 и 1 111 111 111 111 111. Как проще выполнить сравнение?

3. Запишите множество цифр, с помощью которых записаны числа:

а) 14 507; б) 223 001; в) 2301.

4. Всегда ли равны числа, записанные с помощью одного и того же множества цифр?

5. {1, 0, 7, 3} — множество цифр числа Л; {1, 0, 7, 3, 4} — множество цифр числа В. Можно ли утверждать, что число А меньше числа ß?

Задание 10

1. Запишите с помощью фигурных скобок множества:

а) однозначных нечетных чисел;

б) двузначных четных чисел, меньших 20;

в) однозначных четных чисел;

г) двузначных нечетных чисел, больших 10 и меньших 20.

Каким общим свойством обладают все числа, принадлежащие всем этим множествам?

2. Каким общим свойством обладают все числа, заключенные в фигурных скобках:

3. Какое множество образуют числа 10, 11, 12, 13, 14, 15?

Задание 11

1. Что общего между множествами букв в слове «воля», сторон прямоугольника, углов в классной комнате, сторон горизонта?

2. Сколько элементов в множестве: а) цифр; б) сторон треугольника; в) букв в алфавите русского языка; г) цифр в слове «число»?

3. Какую роль играет число нуль при счете предметов? Какую роль играет цифра 0 при записи натуральных чисел?

Задание 12

1. В чем состоит различие между числом и цифрой? Назовите известные вам цифры.

2. Почему для записи любого как угодно большого натурального числа достаточно 10 цифр?

Задание 13

Проведите окружность с центром О. Отметьте на окружности две точки А и В так, чтобы отрезок AB не проходил через центр. Отметьте на отрезке AB произвольно еще три точки С, D, Е, а на окружности точки К и Т.

1. Назовите, какие из отмеченных вами точек: а) лежат на окружности; б) принадлежат кругу; в) принадлежат отрезку AB и окружности; г) принадлежат отрезку AB и кругу; д) принадлежат отрезку А В или окружности.

2. а) Принадлежит ли кругу его центр О? Принадлежит ли окружности ее центр?

§ 2. РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА

Задание 14

Начертите две окружности различных радиусов с общим центром в точке О. Проведите через точку О прямую. Обозначьте точки пересечения прямой с окружностями последовательно буквами Л, By С, D. Докажите, что отрезок AB конгруэнтен отрезку CD и отрезок АС конгруэнтен отрезку BD.

Задание 15

Дан прямоугольник ABCD, такой, что ИВ|< \ВС\. На стороне ВС отложен отрезок ß/W, конгруэнтный отрезку AB, а на стороне AD — отрезок DN, конгруэнтный ICD]. Докажите, что 1Л1СЫ ~ [АЛП.

Задание 16

Можно ли вместо звездочек поставить такие цифры, чтобы получились истинные высказывания: а) 92 * > ♦ 29; б) * 11 > 99; в) ♦ ♦ * > * * *; г) 7 • 2 > 7 * 6? (Звездочки означают неизвестные цифры, которые могут быть и одинаковыми между собой, и разными, но не могут быть цифрой 0.) Ответ объясните.

Задание 17

1. Расположите дроби -j-, — в порядке возрастания.

2. а и b — натуральные числа, причем а > 5, Ь < 5. Сравните числа аиЬ. Назовите какие-нибудь соответствующие значения а и Ь.

3. Пусть X 6 iV и t 6 iV. Верно ли:

а) если X < 7, то 7 < х;

б) если X < 10 и / > 10, то х < О

Задание 18

Покупка стоит а руб. Сколько сдачи может получить покупатель из кассы с четырех купюр (по 3 руб. каждая) и какие значения возможны для а?

§ 3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Задание 19

Составьте числовые выражения из четырех двоек и знаков арифметических действий так, чтобы значения этих выражений были равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Задание 20

Укажите, от сложения каких двух натуральных чисел могут получаться числа 2, 3, 4, 5, 6, 2л. Сколько для каждого из этих значений существует пар чисел, дающих в сумме 2, 3, 4, 5, 6, 2/1?

Задание 21

Нужно отремонтировать три шоссейные дороги длиной 80 км, 95 км и 115 км. Определите затраты на ремонт каждой дороги, если расходы на ремонт 1 км пути одинаковы и если на ремонт первой дороги отпущено на 1800 руб. меньше, чем на ремонт второй. Составьте числовое выражение для решения задачи. Решите ее также и с помощью уравнения.

Задание 22

Заполните таблицу:

(выбирая для переменной х все значения, которые принадлежат множеству 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, и находя соответствующие им значения данных выражений).

Пользуясь заполненной таблицей, найдите:

1. Корни уравнений: а) 80 — Зх = 62; б) 56 + Ъх = 61; в) 80 — Зх = 56 + Ъх.

2. Натуральные решения неравенств: а) 80 — Зх > 62; б) 61< 56 + Ъх < 81; в) 80 — Зх > 56 + Ъх.

Задание 23

Найдите корень уравнения z : 4 = 6604 : 4, не выполняя арифметических действий.

Задание 24

Найдите сторону такого квадрата, у которого периметр и площадь выражаются одним и тем же числом единиц.

Задание 25

Напишите множество натуральных значений а, при которых истинно неравенство:

Луч является продолжением стороны ОС прямоугольника О ABC у смежные стороны которого равны «Ь» см и «Л» см, где Ь > h (рис. 6). Найдите на луче точку х, такую, чтобы: а) заштрихованная часть была квадратом; б) незаштрихованная часть была квадратом; в) площадь заштрихованной части составляла половину площади данного прямоугольника.

Задание 26

Задание 27

Проведите необходимые вычисления и узнайте, возможно ли на квадратной площадке со стороной 30 км поместить все население мира, если на одном квадратном метре помещаются 4 человека.

Рис. 6

Задание 28

Разбейте прямоугольник на три таких треугольника, чтобы площадь одного из них равнялась сумме площадей двух других.

Задание 29

Для однодневного похода пионеры закупили булочки по 12 коп. за штуку и две буханки хлеба по 18 коп. за каждую, а) Какое наибольшее число булочек они могли купить, если на хлеб было намечено израсходовать не более 2 руб.? б) Какое число булочек они могли купить?

Задание 30

Сколько имеется чисел, которые могут быть записаны не более чем двумя цифрами (одинаковыми или различными); более чем двумя цифрами?

Задание 31

Докажите, что число ^ меньше числа

Задание 32

Сооружение состоит из кубиков, поставленных один на другой. Из скольких кубиков оно может состоять, если судить об этом по рисункам 7а, 76?

Задание 33

В классе 20 парт, за каждой из которых сидит не более двух школьников. Сколько может быть учеников в классе, если свободных парт нет, а свободные места имеются?

Задание 34

1. Запишите выражение объема прямоугольного параллелепипеда, измерения которого х см, у дм, г м.

2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда при условии, что все грани его конгруэнтны между собой, а их общая площадь равна 24 м2.

3. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда,

Рис. 7

если его длину увеличить в 6 раз, ширину уменьшить в 3 раза, высоту уменьшить в 2 раза?

4. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если две его грани площадью 45 см2 и 54 см2 имеют общее ребро длиной 9 см.

5. На рисунке 8 изображена фигура, составленная из прямоугольных параллелепипедов Напишите выражение объема этой фигуры.

6. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если длина его ребра увеличится в 3 раза?

Задание 35

Найдите длину ребра куба, площадь поверхности и объем которого выражаются одним и тем же числом единиц.

Задание 36

Длины ребер прямоугольного параллелепипеда 10 см, 20 см и р см Назовите все натуральные значения р, при которых объем прямоугольного параллелепипеда не превышает 1 дм3.

Задание 37

Если измерять толщину (х) пятикопеечной монеты с помощью линейки, разделенной на миллиметры, то получим в результате 1 мм < X < 2 мм. Запишите возможные результаты измерения толщины 10 пятаков, положенных на столе друг на друга (столбиком), с помощью той же линейки с точностью до 1 мм.

Рис. 8

§ 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Задание 38

1. Какая фигура может служить пересечением двух кругов (ответ иллюстрируйте рисунком)?

2. Какое заключение можно сделать об отношении между фигурами, расположенными так, что их пересечением и их объединением служит одна из них?

Задание 39

В вершинах треугольника (рис. 9) поставлены числа 30, 52, 68. На сторонах треугольника в скобках записаны суммы чисел, поставленных у концов этих сторон. Если сложить число у вершины с противоположным числом на стороне, то суммы окажутся равными: 30 + 120 = 52 + 98=68+ + 82. Почему эти суммы всегда равны при любых числах у вершин треугольника?

Задание 40

Вычислите наиболее рациональным способом:

1) 123 + 349 + 877 + 651 + 1200;

2) 6427 — 197;

3) 2789 — 499.

Задание 41

1. Возьмите самое большое четырехзначное число, сложите его с самым маленьким натуральным числом, к результату прибавьте самое маленькое трехзначное число. Во сколько раз полученный результат больше 100? На сколько этот результат меньше 11 000?

2. Шесть одинаковых бочек вмещают 28 ведер воды. Сколько ведер воды могут вместить 15 таких же бочек?

3. Может ли сумма двух чисел быть равной одному из слагаемых?

4. Может ли сумма трех чисел быть равной сумме двух из них?

Задание 42

1. Как изменится сумма, если одно из слагаемых увеличить на 2 единицы; в 2 раза? Каждое из слагаемых увеличить на 2 единицы; в 2 раза? Ответы обоснуйте.

2. Сумма двух чисел на 5 единиц больше первого слагаемого. Чему равно второе слагаемое?

Задание 43

На рисунке 10 изображены два угла ABC и DEF и отмечены точки В, £, M, N, К, Р, 7\ L, Д.

Какие из отмеченных точек принадлежат: а) углу АВС\ б) углу DEF\ в) углу ABC и углу DEF\ г) углу ABC или углу DEF?

Рис. 9

Рис. 10

Задание 44

Рассмотрите рисунок 11. Отметьте точки М, N, Р, которые принадлежали бы только углу ABC, затем точки К и Т, принадлежащие только углу CBD, и точки X и Y у принадлежащие пересечению этих углов. Какому углу принадлежат все отмеченные точки?

Задание 45

На рисунке 12 изображен треугольник АБС и отмечены его углы. Какому из углов треугольника принадлежит: а) точка N; б) точка М\ в) точка /С?

Задание 46

1. а) Может ли разность быть равной уменьшаемому? б) Вычитаемому?

2. Как изменится разность, если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить на одно и то же число? Приведите примеры, подтверждающие ответ. А как это объяснить?

3. Укажите: а) от вычитания каких натуральных чисел может получиться число 6? Сколько пар таких чисел? б) От вычитания каких натуральных чисел может получиться число О?

Задание 47

Известно, что zj ZJ2 (рис. 13). Докажите, что Z.2 < Z-BCA.

Задание 48

На рисунке изображен квадрат A BCD (рис. 14).

а) Найдите конгруэнтные углы.

б) Как практически убедиться, что ZJ Z-2?

в) Как можно назвать луч Л С по отношению к углу BAD?

г) Найдите пересечение /_1 и ZJ?.

д) Какую фигуру представляет объединение Z./ и Z_2?

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 14

§ 5. УМНОЖЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА

Задание 49

1. Произведение двух множителей в 7 раз больше одного из них. Чему равен другой множитель?

2. Обобщите результат, полученный в первом задании. Сформулируйте соответствующий закон умножения.

Задание 50

Восстановите вычисление:

Задание 51

1, Обоснуйте следующий интересный способ умножения:

2. Вычислите по указанному способу произведения: 1) 23-16; 2) 45Ь8; 3) 9Ы2; 4) 10Ы5.

3. Как можно изменить множители, чтобы произведение двух чисел не изменилось?

Задание 52

1. Может ли произведение двух чисел оказаться равным одному из них? Каждому из них? Приведите примеры.

2. Как объяснить, почему 1-5 = 5; 5-1=5; 0-5 » 0 и 5-0 = 0?

Задание 53

1. Найдите значение переменной, при котором истинны равенства:

а) а-2 = 2; б) а-2 = 0; в) а-1 = 1; г) а-1 = а; д) а-а = а; е) а-2 — 3 - 7; ж) (а — 3)-2 — 7 = 13.

2. Приведите к более простому виду выражения с переменными:

а) а-1 — а; б) b-1 — Ь-0; в) а-0 + 6-0 + с-0;

г) (а-0 + 6-1 + с-0)-0; д) (1-0 + 0-Ь —0-fc —а + 1)-0.

Задание 54

Какое из произведений больше (и почему), если х — любое натуральное число или нуль:

а) х-15 или 15-х?

б) х-2 или х-4?

в) х-0 или х-1?

Задание 55

1. Существуют ли такие два угла, чтобы их пересечением мог служить развернутый угол?

2. Изобразите такие два угла, чтобы их объединением являлся развернутый угол, а пересечением некоторый угол. Покажите это расположение рисунком.

Задание 56

Как изменится произведение двух чисел, если один из множителей увеличить на 1? На 2?

Задание 57

1. В каком порядке можно выполнять действия, чтобы найти значение выражения 27-15 + 25-85?

2. В каком порядке рациональнее выполнять действия для нахождения значения выражения 27-15 + 27-85?

3. Докажите, что при любых значениях переменной истинно равенство:

а) 49а + а = 50а.

б) X + X + X + X + X = 5х.

§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Задание 58

1. Кроме десятичной системы счисления, применяются и другие системы. В пятеричной системе счисления при перестановке цифры в записи числа влево на один знак ее значение увеличивается в пять раз. Например, в записи «23» по пятеричной системе счисления

имеется в виду число, содержащее 3 единицы и 2 пятерки (всего 13 единиц). А в записи числа «204» по пятеричной системе предусматривается число, содержащее 2 раза по 25 единиц, ноль пятерок и 4 единицы.

Учитывая сказанное, ответьте на вопросы, выполните задание:

а) Сколько всего единиц в числе «143», записанном по пятеричной системе?

б) Сколько нужно иметь цифр для записи чисел в пятеричной системе?

в) Аркадию исполнилось 11 лет, а его дедушке 68. Запишите эти возрасты в пятеричной системе. На сколько лет дедушка старше своего внука?

2. Почему применяющаяся в математике система записей чисел называется позиционной? В чем ее суть? Какова роль нуля при записи чисел в позиционной системе?

Задание 59

Как обосновать способ умножения двузначного числа на однозначное столбиком?

Задание 60

Докажите, что равенство а + х + IIa« 12 = 133a 4- х истинно при любых значениях переменной. Сформулируйте законы действий, на основании которых проводится доказательство.

Задание 61

Докажите, что если дважды перегнуть лист бумаги так, чтобы при вторичном перегибании одна часть первой линии сгиба совпала с другой своей частью, то образуется прямой угол.

§ 7. ДЕЛЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА

Задание 62

Как изменится частное, если делимое и делитель умножить на одно и то же число? Какие допустимы изменения одновременно делимого и делителя, при которых частное не меняется?

Задание 63

1. Как изменится частное, если: а) не изменяя делителя, делимое увеличить в 2 раза (в с раз); б) делитель увеличить в 2 раза (с раз), не изменяя делимого?

2. Можно ли разделить на нуль число, отличное от нуля?

3. Можно ли нуль разделить на число, отличное от нуля?

4. Восстановите верное вычисление: а) *43 : *9 = 7; б) ***:**1=9.

(Звездочки поставлены вместо стертых цифр.)

Задание 64

Установите устно, истинны ли следующие равенства: 2 794 558 : 6=46 672; 12 640 ООО: : 632 = 2 ООО; 723 415 : 45 = =. 1676.

Рис. 15

Рис. 16

Задание 65

Треугольники ABC и KLM такие (рис. 15), что из них можно составить прямоугольник ALBC с диагональю АВ(КМ) и сторонами ВС и АС. Найдите прямые углы; пары углов, принадлежащих разным треугольникам, объединения которых при составлении прямоугольника образуют прямые углы.

Задание 66

На рисунке 16 изображен треугольник АБС. Известно, что Z./^ =^Z_2. Докажите, что Z.3 ^ АА.

Задание 67

1. При делении некоторого натурального числа на 15 получили остаток, который в 2 раза меньше частного. Найдите делимое, если оно не превышает 100.

2. При делении некоторого числа на 15 получили остаток, в 2 раза больший частного. Найдите делимое.

Задание 68

1. Подтвердите примерами следующее свойство суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма этих слагаемых разделится на это число.

2. Докажите свойство, сформулированное в предыдущем задании, в общем виде.

3. Может ли сумма нескольких слагаемых делиться на некоторое число, если каждое слагаемое не делится на это число?

Задание 69

1. Составьте сумму из двузначного, трехзначного, четырехзначного чисел, записанных с помощью одной и той же цифры. Почему эта сумма делится на 3?

2. Сколько двузначных чисел делится без остатка на 11?

3. Только 8 двузначных чисел делится без остатка на х. Найдите

Задание 70

Найдите такие натуральные значения а, чтобы результаты деления 20 : а и а : 20 выражались: а) натуральным числом; б) неправильной дробью; в) правильной дробью.

Задание 71

Подберите натуральные значения х, при которых истинны неравенства, и левые части неравенств — неправильные дроби:

Задание 72

1. Решите уравнения:

а) (х— 12) : 2 = 10;

б) (х + 12) : 2 = 10;

в) X • 12 — 2 = 10;

г) X : 12 + 2 = 10.

2. Упростите выражения (а не равно 0):

а) а : 1 + 0 : а\

б) а • 1 — а : 1;

в) а : 1 — 0;

г) (1 ♦ 1 — а) • 0.

3. По данным медицины, смертность от болезней сердца среди курильщиков примерно в 5 раз, а от рака легких — в 20 раз чаще, чем среди некурящих. Сколько приблизительно курящих и некурящих среди 1000 умерших от болезни сердца или от рака легких?

§ 8. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ И МЕР

Задание 73

1. Какая из двух неравных между собой десятичных дробей, меньших единицы, на луче расположена ближе к единице?

2. Вместо звездочек поставьте одну и ту же цифру, чтобы получилось истинное равенство 0,*3 = 0,3*.

3. Напишите множество цифр, которые можно подставить вместо звездочки, чтобы получилось истинное неравенство:

Рис. 17

Задание 74

1. Запишите число 125, 803 в виде суммы разрядных единиц.

2. Сколько десятичных знаков имеет каждая из дробей:

0,15; 1,223; 4,5081; 12,00012? Сколько нулей имеет знаменатель каждой дроби? На каком месте от запятой стоят тысячные доли? Какие доли стоят на пятом месте справа от запятой?

3. Найдите два решения неравенства: 0,01 < х < 0,011.

Задание 75

В прямоугольнике A BCD проведены биссектрисы AN и СМ углов BAD и BCD. Докажите, что Z./ ^ ZJ2 (рис. 17).

§ 9. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Задание 76

1. Вычислите длину забора, обнесенного вокруг школьного опытного участка, имеющего форму прямоугольника, если ширина его 27,8 м, а длина на 35,5 м больше ширины.

2. Площадь Ладожского озера составляет 17,7 тыс. км2, Онежского на 8,09 тыс. км2 меньше, а площадь озера Байкал на 3,19 тыс. км2 больше, чем площадь Ладожского и Онежского озер, вместе взятых. Вычислите площадь озера Байкал.

3. Волга имеет длину 3,69 тыс. км., Днепр — 2,28 тыс. км, а Амур на 1,62 тыс. км короче, чем Волга и Днепр вместе. Какова длина Амура?

4. Угол а больше прямого угла на 20,5°, а угол в меньше угла а на 20°. Каким будет угол в: прямым, острым или тупым?

Задание 77

Какие из данных чисел могут быть точными и округленными:

а) в школьной библиотеке 2000 книг;

б) расстояние между Москвой и Ленинградом 700 км;

в) в классе 36 учащихся;

г) длина классной комнаты 8,2 м;

д) в коробке 6 карандашей?

Задание 78

Имеется 4 куска мягкой проволоки. Каждый кусок длиной 1 м. Как, не разрезая проволоки, сделать каркас прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 0,5 м; 0,3 м; 0,2 м?

§ 10. УМНОЖЕНИЕ

Задание 79

1. На примере умножения 15 на 8,2 покажите, что умножение числа на десятичную дробь сводится к действиям над натуральными числами.

2. Не производя вычислений:

а) сравните выражения: 15-0,27 и (15-27) : 100; 410-0,09 и (410-9) : 10;

б) найдите корень уравнения: х-0,93 = (8-93) : 100;

у. 1,7 - (25-17) : 100; (37-0 : 10 = 3,7-8.

Задание 80

1. Волос за сутки вырастает на 0,4 мм. Подсчитайте, на сколько удлиняются ваши волосы за 3 летних месяца. (Ответ округлите до десятых долей сантиметра.)

2. Запишите выражение: произведение суммы чисел 3,13 и 2,87 на разность этих чисел. Найдите значение этого выражения.

3. Может ли произведение двух чисел оказаться меньше одного из множителей?

Задание 81

1. Известно, что при умножении натурального числа на 10, 100, 1000, ... достаточно приписать справа нуль, два нуля и т. д. Объясните, почему при этом получается верный ответ.

2. Сформулируйте правило умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000, ... и объясните его.

3. Из 1 кг молока можно получить до 0,15 кг сливок, а из 1 кг сливок — 0,3 кг сливочного масла. Сколько сливочного масла можно получить из 100 кг молока?

4. Почему приписывание нуля справа у десятичной дроби не изменяет ее значения?

Задание 82

1. Начертите два несмежных угла, объединением которых является развернутый угол.

2. Если объединением двух данных углов является развернутый угол, то можно ли утверждать, что эти углы смежные?

Задание 83

В прямоугольнике abcd (рис. 18) указаны величины трех углов. Найдите величины углов треугольника cod. Объясните, почему в треугольнике получились два конгруэнтных угла.

Рис 18

§ 11. ДЕЛЕНИЕ

Задание 84

1. Покажите на примере 12,4 : 0,5 , что деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число.

2. Не выполняя вычислений, решите уравнения:

а) (/: 0,5 = (12,4-10): 5;

б) X : 7,5 = 85 : 75;

в) 38,1 : t = 0,381 : 0,03.

3. Во сколько раз «великан» среди микробов, имеющий размер 0,1 мм, превышает наиболее мелкий вирус размером 16 миллимикрон (ммк)?

Задание 85

Обозначим буквами х и у какие-то десятичные дроби и пусть X + у = а, X — у = by Х'у = с и х : у = d. Могут ли числа a, ft, с, d оказаться натуральными?

§ 12. ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ

Задание 86

1. На расстоянии 1 км от каждого из двух сел а и в (рис. 19) решено построить железнодорожную станцию. Установите на данном плане (M 1 : 50 000) положение этой станции.

2. На расстоянии 0,5 км от развилки шоссе ab (рис. 20) на равном расстоянии от его «рукавов» вс и bd расположена лесная сторожка. Найдите ее положение на данном плане (M 1 : 600 000).

3. Параллельно участку шоссе, длина которого 2 км, решено проложить телеграфную линию. Сколько потребуется телеграфных столбов, если интервал между двумя соседними столбами равен 50 м?

4. Для детской карусели взята круговая станина длиной 30 м. Решено установить сидения с интервалом 1 м. Сколько потребуется сидений для этой карусели?

Задание 87

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

1. Вычислите сумму первых десяти нечетных чисел и сумму первых десяти четных чисел. Сравните эти суммы.

2. Заметим, что при представлении чисел в виде точек сумму первых трех нечетных чисел можно представить рисунком 21,а, который показывает, что эта сумма совпадает со значением площади квадрата со стороной, равной трем. На основе этого наблюдения выполните задания:

а) площадь какого квадрата численно равна сумме первых четырех нечетных чисел?

б) Сумма первых пяти нечетных чисел?

в) По какой формуле можно вычислить сумму первых п нечетных чисел?

3. Изображая числа в виде точек, можно представить сумму первых четырех четных чисел рисунком 21, б.

Площадь такого четырехугольника можно вычислить по формуле а • h (а и Ъ — основания, h — высота). Пользуясь формулой:

а) укажите правило для вычисления суммы первых четырех четных чисел.

б) По какой формуле можно вычислить сумму первых п четных чисел?

Задание 88

1. Найдите сумму первых двадцати натуральных чисел. Составьте числовую формулу решения.

2, Найдите сумму первых ста натуральных чисел.

Задание 89

Вычислите площади заштрихованных фигур, изображенных на рисунке 22.

Рис. 22

Задание 90

1. Начертите прямоугольник ABCD (рис. 23). Проведите биссектрису угла BCD, которая пересекает сторону AD в точке М. Найдите величину угла А МК.

2. В прямоугольнике ABCD (рис. 24) проведен луч АК- Величина угла АКС равна 140°. Докажите, что луч АК не является биссектрисой угла BAD данного прямоугольника.

3. Дан треугольник ABC, в котором сторона АС продолжена за точку Л (рис. 25). Докажите, что ВЛ/( =В + С.

4. Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника перпендикулярны (рис. 26).

5. Биссектриса угла А прямоугольника ABCD пересекает сторону ВС в точке К- Вычислите величины углов треугольника АВК и четырехугольника AKCD (рис. 27).

6. В треугольнике ABC В = 70°. Из вершины Л и С проведены биссектрисы углов треугольника, пересекающиеся в точке О. Найдите величину угла АОС треугольника АОС (рис. 28).

Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25

7. Докажите, что биссектрисы двух углов треугольника не могут пересекаться под прямым углом.

§ 13. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Задание 91

1. Сколько треугольников изображено на рисунке (рис. 29)?

2. Сколько квадратов изображено на рисунке (рис. 30)?

Задание 92

Дрожжевые грибки при благоприятных условиях размножаются с большой скоростью, увеличиваясь в объеме в два раза за каждую минуту. В колбу поместили один грибок, который заполнил ее за 30 мин. А за сколько минут заполнят колбу помещенные в нее два таких грибка?

Задание 93

Сколько элементов в множестве чисел, не меньших и не больших 10?

Задание 94

Расположите на прямой различные точки Л, в, С, d так, чтобы высказывания а 6 [bd), d б [ab] и с е (ad) были истинны для найденного расположения точек.

Задание 95

Смежные стороны прямоугольника 4 см и 7 см. Найдите площадь заштрихованной части прямоугольника (рис. 31).

Задание 96

Найдите площадь заштрихованной части квадрата, если его сторона равна 8 см (рис. 32).

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Рис. 30

Задание 97

Из села в в райцентр р можно проехать по трем маршрутам, а из р в областной город d есть четыре пути. Сколькими способами можно составить маршрут из в в d?

Задание 98

На рисунке 33 изображена таблица умножения двузначных чисел от 11 до 15. Сколько понадобится различных чисел, чтобы заполнить пустые клетки таблицы? (Таблицу не заполняйте.)

Задание 99

Поставьте в запись числа 4*651 вместо* такую цифру, чтобы получилось число, которое при делении на 3 дает в остатке 1.

Задание 100

Делится ли значение выражения lb21-31-41.51 — 111 на 10 нацело?

Задание 101

Полный бидон с молоком весит 34 кг; бидон, заполненный наполовину, весит 17,75 кг. Какова масса пустого бидона?

Задание 102

Сначала цена товара повысилась на 10% от своей цены, а затем новая цена понизилась на 10% от новой цены. Как изменилась цена товара по отношению к первоначальной цене? Какой ответ из следующих верен: а) увеличилась; б) уменьшилась; в) не изменилась?

Задание 103

Найдите площадь пересечения треугольника АБС и прямоугольника BFCK, если \BF\ = 0,5 дм, \FC\ = 0,62 дм (рис. 34).

Рис. 31

Рис. 32

Рис. 33

Задание 104

Ребят вывозили в пионерский лагерь в пяти одинаковых автобусах. В 1-й автобус посадили 40 человек, во 2-й — 42 человека, в 3-й — 39 человек, в 4-й — 41 человек, в 5-й — 40 человек. Можно ли было разместить пионеров в автобусы поровну?

Задание 105

Рис. 34

Решая задачу: «На плоскости отмечено 7 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?», ученик рассуждал так: «Через каждую из 7 точек и 6 остальных можно провести по прямой, следовательно, всего прямых можно провести 6-7 = 42». Прав ли ученик?

Задание 106

1. Современный рабочий должен иметь среднее или специальное образование, так как на производстве растет доля умственного труда. Подсчитано, что у сталеваров на электропечах умственный труд занимает 72% рабочего времени. Сколько это составит часов за 7-часовой рабочий день?

2. В нашей стране значительно увеличивается число ПТУ, в которых наряду со специальностью учащиеся получают аттестат о среднем образовании.

В 1975 г. в ПТУ со средним образованием обучалось 28% всех учащихся ПТУ, а в 1980 г. таких учащихся будет 80%. Сколько квалифицированных рабочих со средним образованием получит страна в 1980 г. при ежегодном выпуске 3 млн. человек?

Задание 107*

Точки Л, ß, С, D, Е расположены на координатном луче так, что \АВ\ = \ВС\ = \CD\ = \DE \ (рис. 35). а) Запишите координаты двух каких-нибудь точек, принадлежащих отрезку DE. б) Какое множество чисел координатной прямой принадлежит отрезку DE?

Рис. 35

* В условиях задачи использованы термины «координатный луч» и «координата точки», смысловое значение которых рекомендуется сообщить учащимся четвертых классов.

Задание 108

1. В 1971 г. в СССР производилось 800 млрд. квт. ч. электроэнергии, что составляло примерно 82% электроэнергии, производимой в 1974 г. Сколько электроэнергии будет производиться в 1980 г., если известно, что по сравнению с 1974 г. ее производство должно увеличиться в 1,4 раза?

2. За 1974 и 1975 гг. в СССР было выпущено 185,9 тыс. зерноуборочных комбайнов, причем в 1975 г. было выпущено на 9,1 тыс. комбайнов больше, чем в 1974 г.

Сколько зерноуборочных комбайнов планируется выпустить к концу X пятилетки, если известно, что намечено выпустить их на 28,2% больше, чем в 1975 г.?

5 класс

§ 1. ДЕЙСТВИЯ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Задание 1

1. Пусть истинно высказывание: любые значения х, которые принадлежат множеству M, принадлежат также и множеству Р. На основе этого условия отметьте в следующей таблице истинные высказывания 1, а ложные 0:

2. Каким свойством должно обладать множество м, чтобы оно являлось подмножеством множества Р?

Задание 2

M — множество значений выражения 3 + 8* при любых неотрицательных значениях z.

Е — множество значений этого выражения при z 6 {0; 1}.

R — множество любых неотрицательных чисел. Какие из следующих высказываний истинны:

Задание 3

Пусть m — множество значений выражения 3,5 + 9а при а £ {0,5; 1}. Запишите все подмножества м.

Задание 4

Относительно некоторых множеств Л, В, M высказываются два условия:

а) все элементы множества m принадлежат множеству Л и множеству в\

б) все общие элементы множества Л и в принадлежат м.

1. Придумайте три множества, для которых выполняются условия а) и б).

2. Придумайте три множества, для которых выполняется условие а), но не выполняется условие б).

3. Если выполняются оба условия, то как называется множество m по отношению к множествам Л и Ö?

4. Какие из следующих высказываний истинны, если выполняются оба условия:

Задание 5

1. Запишите и изобразите рисунком пересечения фигур:

а) [ab] П 1ав]\

б) [ab) П (ав)\

в) [ab] П (ab).

2. Из каких элементов состоит множество С, если известно, что Л = {учащиеся вашего класса}, в = {учащиеся вашей школы} и с = Л П в.

3. Чем похожи задания 1 и 2?

Задание 6

Из 40 учащихся V класса 32 выписывают газету «Пионерская правда», 21 —журнал «Пионер», 15 учащихся — и газету, и журнал. Сколько учащихся не выписывают ни журнала, ни газеты?

Задание 7

Пусть Л — множество прямоугольных треугольников; В — множество треугольников, у каждого из которых есть два острых угла. Какое из следующих высказываний истинно: А 6 В, А а В, ВаА?

Задание 8

1. Имеются две прямые. Как проверить с помощью угольника, параллельны ли они?

2. На основе решения задачи 1 сформулируйте признак параллельности прямых.

Задание 9

Являются ли классификациями следующие разбиения:

1) множества треугольников на равносторонние, равнобедренные и разносторонние;

2) множества целых чисел на положительные и отрицательные числа;

3) множество треугольников на прямоугольные и равносторонние;

4) множества точек плоскости по отношению к данной окружности на внутренние, внешние и точки окружности?

Задание 10

Составьте выражение периметра треугольника, имеющего длины сторон 5 см, 7 см и х см. Считая х наибольшей стороной треугольника, назовите:

а) три значения х, при которых треугольник построить нельзя;

б) три значения х, при которых треугольник построить можно.

Задание 11

Ученик верно доказал, что ломаная AMD длиннее ломаной ABCD (рис. 36). Свои рассуждения он записал в виде ряда неравенств, затем стер знаки неравенства и поставил вместо них звездочки:

Восстановите эти знаки и ход рассуждений ученика.

Рис. 36

Задание 12

1. Возможен ли треугольник, у которого периметр равен 24 см, а сумма длин двух сторон 10 см?

2. Докажите, что не может быть треугольника, в котором длина первой стороны вдвое больше длины второй и вдвое меньше длины третьей.

3. Если длина одной стороны треугольника в 2 раза больше длины второй, то каким условиям должна удовлетворять третья сторона?

§ 2. НАПРАВЛЕНИЯ И ЧИСЛА

Задание 13

Пусть А = {—4; —3; —2; —1; 0; 1; 2}; В = {4; 3; 2; 1; 0; -1; -2}; С = {-4; -3; ... 3; 4}. Запишите множества: А [) ß, А П ß, А [} С, А П С, В {) С, В flZ , (А П В) П АГ, Л U В [} Z, N П Z.

Задание 14

1. Сформулируйте определение модуля числа с помощью переменной.

2. Докажите истинность равенства |—5| = 5.

3. Запишите равенство выражений с одной переменной, которое становится истинным при любых отрицательных значениях переменной и ложным при любых положительных значениях переменной.

Задание 15

1. Запишите неравенство, решением которого служит множество 1-3; 31.

2. Какой отрезок координатной прямой является решением неравенства —3 < X < 3?

3. Найдите 1—4; 4] U 1—2; 51.

4. Найдите [—4; 41 П [—2; 5].

Задание 16

Начертите прямоугольный треугольник с длинами катетов \АС\ = 2 см, \ВС\ = 3 см. Выполните параллельный перенос этого треугольника:

1) в направлении от точки С к точке А на длину отрезка, которая равна половине \АС\\

2) в направлении от точки А к точке В на длину отрезка, которая равна половине |i4ß|.

Задание 17

Множеством решений каких неравенств являются: а) абсциссы точек прямоугольника ABCD\ б) ординаты точек прямоугольника ABCD (рис. 37)?

§ 3. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Задание 18

Рис. 37

25 октября температура воздуха в Новосибирске утром была равна 5°С, в последующие дни она изменялась на п градусов. Какая температура была в каждый из последующих пяти дней, если значение п соответственно равнялось: —2; —5; —7; 1; —8?

Задание 19

Представьте число —24 в виде суммы двух слагаемых с разными знаками так, чтобы:

а) оба слагаемых были целыми числами;

б) одно слагаемое являлось десятичной дробью, меньшей единицы;

в) одно слагаемое было выражено обыкновенной дробью.

Задание 20

Запишите правило сложения двух рациональных чисел в общем виде (с помощью переменных), если: а) оба числа отрицательны; б) одно число отрицательное, другое положительное.

Задание 21

Проверьте на нескольких примерах истинность следующего неравенства: \а + Ь\ ^ \а\ + \Ь\. В каком случае \а + Ь\ = - \а\ + |Ы?

Задание 22

Начертите треугольник ABC со сторонами 5 см, 4 см и 3 см. Внутри треугольника возьмите точку M и проведите прямую AM. Постройте треугольник А&Сц симметричный треугольнику ABC относительно прямой AM.

Задание 23

Может ли разность двух чисел быть больше их суммы?

Задание 24

Докажите, что равенство 1 — (Ь — —а + с) = а — (с + Ь — 1) верно при любых значениях а и Ь.

Задание 25

Рис. 38

Дано: точки К и Е принадлежат прямой /, а точки А и В симметричны относительно /.

а) Найдите \АК\9 если \ВК\ = 4 см.

б) Обоснуйте свой ответ на задание «а».

в) Конгруэнтны ли треугольники АКЕ и ВКЕ? Почему?

Задание 26

Известно, что прямая m является осью симметрии точек А и В и что точка Р не принадлежит прямой m (рис. 38). Докажите, что \РА\>\РВ\.

Задание 27

а) Установите: является ли диагональ квадрата осью симметрии двух его противоположных вершин? б) Тот же вопрос относительно прямоугольника, не являющегося квадратом.

§ 4. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ

Задание 28

Подберите такие значения а и Ь, чтобы выражение—20 (а + Ь) равнялось:

а) -40; б) 20; в) 0; г) -0,2; д) 1.

Задание 29

Докажите, что (—а): (—6) > 0, если а-Ь > 0.

Задание 30

Докажите, что равенство \а-Ь\ = |а|*|6| верно при любых соответствующих значениях переменных.

Задание 31

1. Докажите, что для любых чисел а, Ь, с равенство (а-Ь)-с = Ь-(с-а) истинно.

2. Введем новое действие, обозначенное знаком (символом) 0, такое, что для любых чисел а и Ь aQb = jqry- Подчиняется ли это действие переместительному закону?

Задание 32

Пятиклассник Валерий, листая учебник по математике старшего брата, заметил показавшееся ему странным выражение «13!», которое, как он понял, обозначало произведение

1-2-3. ... -12.13.

— Почему здесь стоит восклицательный знак? — спросил Валерий брата.

— Это не восклицательный знак, а знак, который в математике называется факториалом. А что он обозначает, ты догадался? — спросил старший брат. Попробуй догадаться и обосновать: какими двумя цифрами оканчивается число «13!»?

Задание 33

Прочитайте текст п. 31 учебника (Математика-5) и ответьте: что значит «вынести за скобки общий множитель «а» выражения ab + ас — ad»?

Задание 34

Начертите два отрезка AB и CD разной длины. Постройте с помощью циркуля и линейки отрезок, длина которого — среднее арифметическое длин этих двух отрезков.

Задание 35

1. В учебнике (п. 34) написано: «Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки». Слова «можно» и «переносить» в этом предложении имеют особый смысл. Что они означают?

2. При решении уравнения неизвестные слагаемые переносят в одну часть, а известные в другую. Для какой цели это делается?

3. Не находя корней уравнений 12,7х — 8,3 + х = 0,7х + + X — 1,7 и 1 \х — 6,6 = 0, докажите, что эти уравнения имеют равные корни.

Задание 36

Даны точки А (а; I) и В (Ь; /). Найдите выражения координат точек С и D, если \АС\ = |СХ>| = \DB\ и ординаты точек В и С равны / (рис. 39).

Рис. 40

Задание 37

1. Какое свойство оси симметрии применяется при построении перпендикуляра к прямой с помощью циркуля и линейки?

2. При каком соотношении между длинами отрезков ЛС и ВС, AD и BD (рис. 40) отрезок CD перпендикулярен отрезку AB?

Задание 38

1. В СССР неуклонно растет урожайность и производство продуктов земледелия. Сбор зерна за период с 1965 по 1971 г. в СССР составил в среднем за год 128,1 млн. т при средней урожайности 10,3 ц с 1 га, а за период с 1971 по 1977 г.— 189,6 млн. т зерна при урожайности 15,1 ц с 1 га. На сколько процентов увеличился общий сбор зерна и на сколько процентов увеличилась урожайность?

2. Экономический эффект от улучшения условий труда исключительно велик. Например, кондиционирование воздуха (поддержание нормальных показателей температуры, влажности, состава и т. д.) повышает производительность труда на 5% и сокращает брак на 8%. На сколько деталей увеличится их выпуск после указанного улучшения условий труда на каждые 10 ООО деталей, если до этого число бракованных изделий составило 1% от сделанных?

3. Снижение шума на производстве позволяет увеличить выработку примерно на 5—6%, улучшение освещенности — на 10— 15%, эффективная вентиляция — на 5—10%, спокойная окраска помещений — на 2—4%. На сколько процентов увеличится выработка от применения всех этих усовершенствований?

§ 5. РАВНЫЕ ДРОБИ

Задание 39

При каком значении переменной равны следующие дроби:

Задание 40

Какая из точек, M (--^-) или К (--^-), на координатной прямой расположена правее?

Задание 41

Выразите дробь как разность двух правильных дробей со знаменателями: а) 9; б) 18; в) 45; г) 90.

Задание 42

Найдите натуральные значения х, при которых истинно неравенство:

Рис. 41

Задание 43

1. Проверьте, истинно ли, что, если 2 < п ^ 15, где п — составное число, то п представимо в виде произведения не более чем трех простых множителей.

2. Разложите число я, где п — составное число и 16 ^ п < < 31, на простые множители. Истинно ли для данного п утверждение предыдущей задачи? Какое утверждение будет истинным?

Задание 44

Три пионерских лагеря расположились в трех пунктах Л, в и С (рис. 41). В каком месте удобно выбрать площадку для проведения общего пионерского костра, чтобы расстояние от него до пунктов Л, в и С было одинаковым?

§ 6. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ

Задание 45

Говорят, что в XIX в. каждый десятый мужчина на Руси был Иван, а каждай двадцатый — Петр. Если это верно, то кого на Руси было больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?

Задание 46

Найдите произведение дробей — и -g-, затем найдите произведение дробей, обратных по отношению к данным. Подметьте и сформулируйте общее свойство. Запишите и докажите это свойство в общем виде.

Задание 47

1. Запишите числа, обратные числам

2. Во сколько раз каждое из данных чисел меньше числа, которое для него является обратным?

3. Придумайте число, которое меньше своего обратного числа в 4 раза.

4. Найдите в общем виде зависимость между а и Ь, при которой меньше в 4 раза.

Задание 48

Ученик должен был разделить число на 4 и к результату прибавить 15, а он умножил на 4 и из результата вычел 15. Ответ получился правильным. Какое число было задано этому ученику?

Задание 49

Даны два угла АО В и COD, такие, что AJCOA её /LBOD (рис. 42). Постройте биссектрисы углов АОВ и COD. Что можно сказать о взаимном расположении этих биссектрис?

Задание 50

Найдите значение а, при котором истинна пропорция:

Задание 51

1. Какие из следующих выражений являются степенью с показателем, большим 1:

2. Найдите пятую степень числа 2.

3. Найдите основание степени, если степень равна 25, а показатель степени равен 2.

Задание 52

Рассмотрите числовые выражения: (0,7)3; (-0,8)*; I1*; 24; (-2,1)3; 82; (0,9)*; 5*; '—0,8)2. Запишите:

Рис. 42

1. в порядке возрастании их значений:

а) выражения, являющиеся степенями;

б) основания этих степеней;

2. показатели соответствующих степеней.

Задание 53

Расставьте целые неотрицательные числа 0, 1,2, 3, 4, 5 по кругу следующим образом (рис. 43). Сложите их. Сумма этих чисел равна 25, т. е. 5-5. Убедитесь, что аналогичный результат получится и для чисел от 1 до 7, от 1 до 8, от 1 до п. Докажите, что составленная таким образом сумма натуральных чисел от 1 до п будет равна я2.

Рис. 43

Задание 54

1. Число дней в невисокосном году равно 365. Это число имеет интересные свойства. Оно равно сумме квадратов чисел 10, 11, 12, а также сумме квадратов чисел 13 и 14. Проверьте это.

2. Вычислите и представьте в виде суммы квадратов некоторых чисел следующие суммы: З2 + 42; б2 + 82; 92 + 122. Запишите в общем виде правило быстрого нахождения результата вычислений в виде суммы квадратов чисел. Примените это правило для случая 122 + 162.

3. Вычислите и представьте в виде квадрата некоторого числа следующие суммы: 52 + L22; 102 + 242. Как узнать, не производя письменных вычислений, квадрату какого числа равна сумма 152 + 362?

4. Представьте в виде квадрата некоторого числа следующие суммы: З2 + 152; 162 + 302. Как узнать, не производя письменных вычислений, квадрату какого числа равна сумма 242 + 452?

5. Известно, что если к произведению четырех последовательных натуральных чисел прибавить 1, то в результате получится квадрат натурального числа, например:

1.2.3-4 + 1 шт 52,

2.3.4.5 + 1 = 112, З.4.5.6+ 1 - 19а.

Выведите правило быстрой записи результата на основании рассмотренных выше примеров.

§ 7. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Задание 55

1. Числитель дроби есть единица, а знаменатель — произведение двух последовательных натуральных чисел. Представьте эту дробь в виде разности двух дробей с числителями, равными единице.

2. Найдите сумму данных дробей:

не приводя их к общему знаменателю (см. предыдущую задачу).

3. С помощью только устных вычислений найдите, чему будет равна сумма ста тысяч таких дробей?

Задание 56

После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились вдвое. На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла?

Задание 57

За купленную вещь нужно уплатить 19 руб. У покупателя только «трехрублевки», а у кассира только «десятирублевки». Можно ли расплатиться покупателю за покупку? А если у кассира только «пятирублевки»?

Задание 58

Миша ходит в бассейн один раз в 3 дня, Вася — в 4 дня, а Коля — в 5 дней. Они встретились в бассейне в этот понедельник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся снова?

Задание 59

В легенде рассказывается, что, когда один из помощников Магомета—мудрец Хозрат Али садился на коня, подошедший человек спросил его:

— Какое число делится без остатка на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Мудрец ответил:

— Умножь число дней в неделе на число дней в нужном месяце и на число месяцев в году (считая, что в месяце 30 дней).

Проверьте, прав ли Хозрат Али. Почему так получается?

§ 8. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА

Задание 60

Минутная стрелка часов на здании Московского университета имеет длину 4,13 м, а часовая стрелка — 3,70 м. Какой путь пройдет конец каждой из этих стрелок в течение суток? (Примите я « 3,14 и ответы округлите до единиц.)

Задание 61

Если сторона квадрата равна 4, то периметр и площадь этого квадрата выражаются одним и тем же числом. Существует ли такой круг, чтобы его площадь и длина его окружности выражались одним и тем же числом?

Задание 62

Во сколько раз увеличится площадь круга, если радиус круга увеличится в 4 раза?

Задание 63

1. Обратите — в десятичную дробь, не производя деления.

2. Обратите -у в десятичную дробь.

3. Почему не удается -у- обратить в конечную десятичную дробь?

§ 9. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Задание 64

Велосипедист проехал от села до города со скоростью 15 км в час, а возвращался со скоростью 10 км в час. Какова средняя скорость велосипедиста?

Задание 65

Две семьи выехали каждая на машине «Жигули» на прогулку одновременно из одного места. Обе семьи проехали на машинах одинаковые расстояния и вернулись домой в одно и то же время. В пути они отдыхали. Первая семья была в пути вдвое больше времени, чем отдыхала вторая; вторая была в пути втрое больше времени, чем отдыхала первая. Какая из этих семей двигалась на машине быстрее?

Задание 66

Делятся ли все числа вида 276 276, 130 130, 291 291 и т. п. на 13?

Задание 67

Премировано а участников областной, b участников городской и с участников школьной математических олимпиад, всего менее 100 школьников. Найти число награжденных участников каждой олимпиады, если известно, что число участников каждой олимпиады является простым числом и неравные между собой числа а, Ь, с связаны соотношением b (b + с) = а + 8.

Задание 68

1. В какую область мишени нужно попасть и сколько выстрелов нужно сделать, чтобы выбить ровно 100 очков? (Рис. 44.)

2. В какую область мишени нужно попасть и сколько выстрелов нужно сделать, чтобы выбить 50 очков; 90 очков?

3. Какое максимальное число очков, делящееся на 17, можно выбить за пять выстрелов? Посоревнуйтесь с товарищами, кто быстрее сумеет найти ответ на этот вопрос.

4. Какое минимальное число очков, делящееся на 13, можно выбить за три выстрела? Посоревнуйтесь с товарищами в скорости нахождения ответа на этот вопрос. Попробуйте указать план наиболее быстрого поиска ответа на этот вопрос.

5. Двое метких стрелков соревнуются в стрельбе по этой мишени. Каждый должен сделать три выстрела и выбить 80 очков, но он не может стрелять в ту область мишени, которая выбита противником. Как выиграть в этом соревновании? Можно ли свести результат к ничьей?

Задание 69

1. Рассмотрим два числовых множества: а = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, В-{1,2, 3}.

Какие дроби можно составить, если в числитель взять число из множества Л, а в знаменатель — из множества ß? Сколько всего дробей можно составить, если использовать по назначению все числа

Рис. 44

из множества А и множества В? Выпишите эти дроби. Сколько различных дробных чисел содержится среди этих дробей? Выпишите их.

2. При изготовлении авторучки данной модели корпус и колпачок ручки имеют одинаковый или разный цвет. На фабрике использовали пластмассу четырех цветов: белую, зеленую, красную и синюю.

Обозначим через А множество цветов корпуса ручки, а через В — множество цветов колпачка.

Какие возможны сочетания цветов корпуса и колпачка ручки? Сколько таких сочетаний? Выпишите их.

3. При решении задач 1 и 2 мы имели дело с двумя множествами А и Ву из элементов которых составлялось новое множество С — множество всевозможных пар, в которых первый член пары брался из множества А, а второй — из множества В.

Эта операция над множествами А и В называется произведением множеств и обозначается знаком « х »: А х В = С. Учитывая вышесказанное, ответьте на следующие вопросы:

а) Почему множество С назвали произведением множества А на множество ß?

б) Как узнать число элементов множества С = А х В, не выписывая всех пар множества С?

4. Приведите свои примеры применения в жизненной практике операции произведения множеств.

Задание 70

1. На рисунке 45 изображены квадрат ABCD, квадрат A1B1C1Dl9 полученный из данного квадрата ABCD с помощью параллельного переноса, а также фигура F. Постройте фигуру F1$ в которую преобразуется фигура F при этом параллельном переносе.

2. На рисунке 46 изображены квадрат ABCD, квадрат A\BiCJ)x% полученный из данного квадрата с помощью осевой симметрии, а также фигура F. Постройте фигуру Fx, в которую преобразуется фигура F при помощи этой же симметрии.

Рис 45

Рис. 46

Задание 71

Окружность касается извне квадрата и «катится» по нему без скольжения. Сколько полных оборотов сделает эта окружность около своего центра и какой длины путь пройдет центр окружности к моменту возвращения в исходную точку, если длина стороны квадрата равна длине окружности и радиус окружности равен а см? Те же вопросы, если окружность «катится» по сторонам равностороннего треугольника.

Задание 72

Нетрудно проверить, что 5 + = 5--^- ; 3,5 + 1,4 = 3,5 • 1,4;

3+1,5 = 3-1,5. Найдите другие пары чисел, обладающие этим же свойством. (Каким?) Запишите это свойство в общем виде.

Задание 73

Из 38 учащихся V класса 28 посещают хоровой кружок и 17 лыжную секцию. Сколько лыжников посещает хоровой кружок, если в классе нет учащихся, которые не посещают хоровой кружок или лыжную секцию?

Задание 74

Из 38 учащихся V класса 28 посещают хоровой кружок и 17 лыжную секцию. Сколько лыжников посещает хоровой кружок?

Задание 75

Радиоприемник стоит 27 руб. Какова была стоимость радиоприемника до снижения, если первоначально ее снизили на 25%, а затем еще на 20% новой стоимости?

Задание 76

В среднем за десятую пятилетку в нашей стране заработная плата рабочих и служащих повышается на 18%. Какова будет заработная плата в 1980 г., если в 1975 г. она составляла 120 руб.?

Задание 77

Учитывая равномерный прирост за каждую пятилетку, найдите, сколько стали (в млн. т) будет выплавляться в нашей стране к 1980 г., если известно, что за три пятилетки (с 1960 по 1975 г.) наша страна получила 348 млн. т стали. Причем в 1975 г. было выплавлено на 25 млн. т больше, чем в 1970 г., а в 1965 г. — на 50 млн. т меньше, чем в 1975 г.

Задание 78

Три изыскательных отряда работали на различных объектах, расположенных вокруг поселка А. Первый находился в 60 км к юго-западу от поселка, второй — в 60 км к северо-западу, а третий отряд — в 50 км на север от поселка. Который из отрядов находился ближе к городу В, если поселок А находился в 90 км к востоку от города В?

Задание 79

Для сбора сосновой смолы изготавливают сосуды из жести в форме воронки и прикрепляют их к дереву. Сколько квадратных метров жести пойдет на 500 таких воронок, если каждую «свертывают» из полукруга, а длина окружности края получившейся воронки 31,4 см

Задание 80

На практике расстояние между двумя точками земной поверхности определяют с помощью карты, зная ее масштаб.

Великий русский математик Чебышев П. Л. (1821—1894) предложил следующий способ определения приближенного расстояния между двумя точками земной поверхности:

1. Взять разность широт и долгот двух мест и выразить их в минутах.

2. Удвоить разность широт.

3. Большее из полученных чисел (удвоенной разности широт и разности долгот) умножить на 7, а меньшее на 3.

4. Полученные произведения сложить.

5. Разделив полученную сумму на 8, найти расстояние между двумя точками земной поверхности в километрах.

Рассмотрим это на примере. Пусть координаты двух точек на Земле таковы: 59°56' с. ш. и 30°20' в. д.; 55°42' с. ш. и 36°40' в. д. Найдем расстояние между этими точками.

1) разность широт равна 252', разность долгот — 380';

2) удвоенная разность широт 504';

3) а) удвоенная разность широт, умноженная на 7, равна 3528', б) разность долгот, умноженная на 3, равна 1140';

4) сумма произведений — 4668';

5) искомое расстояние равно 583,5 км.

Используя способ, предложенный Чебышевым, решите следующие задачи.

1. Известно, что в 1962 г. летчики-космонавты А. Г. Николаев и П. Р. Попович приземлились в разных точках земной поверхности. Координаты первого были 48°02' с. ш. и 75°45' в. д., а второго 48°10' с. ш. и 75*51 ' в. д. На каком расстоянии находились летчики-космонавты в момент приземления?

2. Самолет, летевший из Англии в Америку, упал в море на 30° с. ш, и 70° з. д. Летчик в резиновой лодке долго плыл и лишь на 36° с. ш. и 50° з. д. был подобран на корабль. В каком направлении плыл летчик и яа каком расстоянии он был подобран на корабль от места катастрофы?

Задание 81

В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных было на 80 штук больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных. Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов? Сколько и каких цветов было в каждом букете?

Задание 82

Сосуд имеет форму параллелепипеда. Как, не имея никаких других емкостей и не делая никаких измерений, наполнить водой ровно половину объема этого сосуда?

Задание 83

В следующей таблице приведены данные о числе лиц со средним и высшим образованием, приходящихся на одну тысячу работающих граждан СССР.

Годы

1939

1959

1970

1977

Имеют высшее и среднее образование ...............

123

433

653

780

Имеют высшее образование . . . .

13

33

65

90

В каким году доля лиц с высшим образованием была наибольшей?

Задание 84

В 1977 г. в СССР насчитывалось 126,1 млн. человек, имеющих высшее и среднее образование. Используя таблицу из условия предыдущей задачи, найдите число лиц с высшим образованием в 1977 г.

Ответы и решения

4 КЛАСС

Задание 1. 1. Самое малое натуральное число — 1. Самого большого натурального числа нет; последовательность натуральных чисел бесконечна, так как к любому сколь угодно большому числу можно прибавить 1 и получить число еще большее.

2. Самое большое трехзначное число — 999. Самое малое трехзначное число — 100. Всего трехзначных чисел 999 — 99 = 900.

Задание 2.

5. а) Нет; б) да.

Задание 3. 1. Сколько угодно. Все они конгруэнтны. 2. а) \АВ\ = -§- см; б) \AD\ = 3 см.

Задание 4. Нет, так как отсутствует условие В £ [АС]. Полезно предложить учащимся построить чертеж, соответствующий условию, когда точка В не является серединой отрезка Л С, и сформулировать условие задачи, если В не середина отрезка АС (рис. 47).

Задание 5. 1. Важно, чтобы учащиеся умели находить все решения. В данном случае условию задачи соответствует несколько расположений точек на прямой: два случая, когда С лежит между А и S, и два, когда В лежит между А и С.

Задание 6. Доказательство основано на свойстве: через две точки можно провести только одну прямую линию.

Задание 7. 1. Параллельными.

2. Для доказательства отрицания достаточно привести хотя бы один опровергающий пример (один из возможных изображен на рисунке 48).

3. Если бы два параллельных отрезка имели общую точку, то это означало бы, что прямые, на которых лежат эти отрезки, пересекаются, что противоречит определению параллельных прямых.

4. Отрезок называется параллельным некоторой прямой, если он лежит (принадлежит) на прямой, параллельной данной.

Задание 8. 1. Лучи ЛХ, AY, ßX, BY\ отрезок AB или ВА\ прямая XY.

2) а) Точка А\ б) [AB]; в) [АВ]\ г) [BY); д) L4X); е) [ABl

Задание 9. 1. Сравнить два числа — это значит установить, равны ли эти числа, а если не равны, то какое из них больше.

2. Число, записанное с помощью 1, больше, так как в нем 16 цифр (против 15 в другом числе), следовательно, его старший разряд старше, чем старший разряд другого числа.

3. а) {1, 4, 5, 0, 7}; б) {2, 3, 0, 1}; в) {2, 3, 0, 1}.

4. Нет, так как при записи числа некоторые цифры могут повторяться, в множество же цифр такие повторяющиеся цифры входят только одним элементом. Например, числа 223 001 и 2301 записаны с помощью одного и того же множества цифр, но с помощью различных последовательностей цифр.

5. Нет. См. ответ на предыдущий вопрос.

Задание 10. 1. а) {1; 3; 5; 7; 9}; б) (10; 12; 14; 16; 18};

в) {0; 2; 4; 6; 8}; г) {11; 13; 15; 17; 19}. Все числа, принадлежащие этим множествам, меньше 20.

2. а) Данные числа обладают многими общими свойствами. Например, все они двузначны, все меньше 20, все больше 10 и т. п.

б) Данные числа являются дробями со знаменателем 5, являются правильными дробями и т. п.

3. Это множество двузначных чисел, меньших 16. Задание направлено на знакомство с понятием характеристического множества.

Задание 11. 1. В каждом из этих множеств одно и то же число элементов.

2. а) 10; б) 3; в) 33; г) 0.

3. Нуль — это число, соответствующее множеству, в котором нет элементов (пустому множеству). При записи числа цифра нуль обозначает отсутствие единиц в разряде числа. Если бы не было такой цифры, то для записи чисел 10, 100 и некоторых других надо

Рис. 47

Рис. 48

было бы придумывать новые цифры (как, например, в римской системе записи чисел).

Задание 12. 1. Цифра — это знак, применяемый для записи чисел. Число же указывает на то, сколько элементов содержится в каком-либо конечном множестве.

В десятичной системе счисления 10 цифр (знаков): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. Используемая нами нумерация является позиционной. В зависимости от того, какое место занимает та или иная цифра в записи числа, меняется и значимость этой цифры, и само число. Даже с помощью одной цифры можно записать как угодно много чисел (например, 2; 22; 222; 2222 и т. д.). С помощью же 10 цифр можно записать все множество натуральных чисел.

Задание 13. 1. а) На окружности лежат точки Л, К, ß, Т. б) Кругу принадлежат все отмеченные на чертеже точки, в том числе и центр О. в) Точки А и В принадлежат и окружности, и отрезку AB. г) Точки А, С, D, £, В принадлежат отрезку AB и кругу, д) Все точки, кроме О.

2. а) Центр О кругу принадлежит, б) Центр О окружности не принадлежит.

Задание 14. Решение основано на применении основного признака конгруэнтности отрезков (равновеликие отрезки всегда конгруэнтны) и свойств сложения и вычитания (если от равных отнять равные части, то равенство не нарушается); полезно обратить внимание учащихся на то, что конгруэнтность отрезков можно установить либо с помощью практического измерения, либо с помощью рассуждений (т. е. теоретически).

Задание 15. Эта задача по способу решения аналогична предыдущей. Рассмотрев ее, целесообразно поставить перед учащимися вопрос о признаках конгруэнтности отрезков. (Отрезки конгруэнтны, если они являются: а) радиусами одной окружности; б) сторонами квадрата; в) противоположными сторонами прямоугольника; г) если они имеют равные длины.)

Задание 16. а) Если в записи второго числа звездочка означает цифру 9, а в записи первого — любую другую цифру (кроме 9), то первое число меньше второго (единиц в нем меньше, а десятков и сотен столько же, сколько во втором числе). Если в записи и первого и второго числа вместо * стоит цифра 9, то первое число равно второму. В остальных случаях первое число больше.

В случаях б), в), г) рассуждения аналогичны.

Задание 17. 1. "5"<—<— (используется транзитивность отношения «меньше»).

2. На примерах и с помощью луча убеждаемся, что а> Ь.

3. а) Нет; б) да.

Задание 18. Сдача равна 12 — а. а>9 (иначе покупатель не стал бы давать в кассу четыре купюры по 3 руб. каждая) и а ^ 12. Таким образом, 9 < а ^ 12.

Сюжет задачи можно использовать для других данных: покупатель может давать в кассу две купюры по 5 руб. и одну трехрублевую; одну пятирублевую, две трехрублевых и один рубль и т. д.

Задание 19. Решений много. Приведем по одному примеру возможного решения:

Задание 20.

Задание 21.

I способ.

II способ.

Составим выражение, значение которого отвечает на вопрос задачи:

1800 : (95— 80).80; 1800 : (95 — 80).95; 1800 : (95 — 80). 115. Выражение получится гораздо компактнее, если применить распределительный закон умножения.

III способ.

Пусть к (руб.) затратили на ремонт 1 км пути. Имеем уравнение 95л; — 80х = 1800, откуда 15л: = 1800 и х = 120 и т. д.

Задание 22. 1. а) 6; б) 1; в) 3.

2. а) {5;4;3;2; 1}; б) {2; 3; 4}; в) {1; 2}.

Задание 23. Решение задачи опирается на представление учащихся о единственности результатов (и компонентов) арифметических действий и на определение корня уравнения как значения переменного, обращающего уравнение в истинное равенство.

(При z = 6604 равенство истинно, следовательно, 6604 — корень уравнения. Других корней нет, так как не может быть более одного делимого при данных частном и делителе.)

Подобные уравнения нетрудно составить и в связи с другими арифметическими действиями, например: х— 812 = 1 000 036 — — 812, 34 707.у = 103-34 707 и т. п.

Признаком уравнений указанного типа является наличие в левой и правой частях уравнения равных компонентов какого-нибудь определенного арифметического действия. От простейших уравнений типа х * b = с * b можно перейти к более сложным, при решении которых необходимо выполнить некоторые арифметические действия, чтобы свести данное уравнение к уравнению типа

Задание 24. Если длину стороны квадрата обозначить через X (см), то 4-х = Х'Х. Данное равенство истинно при х = 4 и при X = 0, но условию задачи удовлетворяет лишь х = 4.

Задание 25. На основе понятия обыкновенной дроби и решения соответствующих неравенств получаем для значений а следующие множества:

а) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; б) {1, 2, 3}; в) 0;

г) {1, 2, 3, 4}; д) {6}; е) ~ = 70 (иллюстрируется отрезком).

Решение сводится к нахождению а, при котором —, т. е. к случаю «г»; a g {1, 2, 8, 9}*.

Задание 26. Задача решается с помощью составления уравнений.

а) X = ft;

б) b — X = h & X = b — h;

в) x-h - (b-h) : 2; x-h - (b : 2).ft; x = b : 2.

При повторении курса задачу можно усложнить, например, предложив учащимся найти такое значение х, чтобы площадь незаштрихованной части составляла -g- площади прямоугольника. При этом

получим решение:

Задание 27. Да, возможно. Если округленно принять, что население мира 3320 млн. человек и на одном квадратном метре помеща-

* Здесь и в дальнейшем символика, неизвестная учащимся, предназначается для учителя.

Выражение а 6 {1, 2, 8, 9} условно обозначает, что переменная а может принимать любое из значений 1, 2, 8, 9.

ется 4 человека, то потребуется площадь в 830 млн. м2. Площадь квадрата со стороной в 30 км равна 900 км2 = 900 млн. м2.

Для решения задачи необходимо знать число людей, населяющих земной шар. Пусть каждый ученик сам отыщет его в каком-либо источнике.

Полезно эту задачу задать на дом и непременно проверить решение.

Самостоятельное составление учащимися подобных задач может в дальнейшем явиться полезной формой дополнительных домашних заданий.

Задание 28. Диагональ прямоугольника разбивает его на два конгруэнтных треугольника, а конгруэнтные фигуры имеют равные площади. Разбив один из треугольников на два, получим одно из возможных решений задачи (рис. 49, а), где S^abc = Saacd =S^akd + S&KDC. Возможно и другое разбиение (показано на рисунке 49, б), где S&akd = = S&abk + Sakcd» так как S^akm = S&abk* Samkd =S^c/<:d.

Задание 29. Если п — число булочек, то решением задачи является наибольшее натуральное я, удовлетворяющее неравенству 12/2 + 36 <1 200, откуда методом подбора можно найти, что п = 13.

Если исключить «наибольшее», то решением будет натуральное п < 13.

Задание 30. Чисел, которые могут быть записаны не более чем двумя цифрами, 100, а именно: 0, 1, 2, 3, 10, И, 99.

Чисел, которые могут быть записаны более чем двумя цифрами, бесконечное множество.

Задание 31. Решение задачи опирается на интуитивное применение транзитивности отношения «меньше». Учащиеся должны знать в соответствии с программой, что правильная дробь меньше единицы, а неправильная больше единицы:

По свойству транзитивности имеем: ^ < j^. В связи с заданием полезно указать учащимся на общее свойство «транзитивность отношения», рассмотреть с ними примеры транзитивных и нетранзитивных отношений (например, отношение «X — отец Y» не транзитивно, а «X живет в одном доме с Y» транзитивно).

Задание 32. Большинство школьников не смогут обойтись без пространственного изображения. На рисунке 50 воспроизведена фигура с максимальным числом кубиков, которые нетрудно подсчитать (не забывая о тех, которые не видны). Отсюда максимальное число кубиков 25, минимальное 13 (13 ^ х ^ 25, где х — искомое число кубиков).

Рис. 49

Задание 33. Если обозначить число учащихся в классе буквой X, то из условия следует, что X ^ 20 (так как за каждой партой сидит хотя бы один ученик) и X < 40 (поскольку за каждой партой не более двух учеников и есть свободные места). Следовательно, 20 ^ X < 40, т. е. X 6 {20, 21, 38, 39}.

Задание 34. 1. Учащиеся должны знать, что известная им формула объема прямоугольного параллелепипеда получена при условии, что измерения выражены в одних единицах длины, а при нарушении этого условия формула меняет вид. В данном случае V = = 1000 xyz см3 = xyz дм3.

2. Рассматривая модель прямоугольного параллелепипеда с учетом конгруэнтности его граней, можно доказать, что каждая грань — квадрат, площадь которого равна 4 ма, а сторона — 2 м. Объем 8 м3.

3. Обычно решение этой задачи не вызывает затруднений. Оформить его в виде краткой записи можно так:

При увеличении (или уменьшении) одного измерения в несколько раз объем V увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Поэтому

ух = ((У-6) : 3) : 2 = (|Л2) : 2 = V.

4. Целесообразно предложить эту задачу при условии, что школьники не должны пользоваться физической моделью, а лишь изображением. Можно предложить три решения (первое менее рациональное):

а) 45 : 9 = 5 (см), 54 : 9 = 6 (см), V = 5-6-9 = 270 (см3);

б) 45 : 9 = 5 (см), V = 54-5 = 270 (см3); в) 54 : 9 = 6 (см), V = 45-6 = 270 (см3).

5. Объем фигуры рационально определять как разность объемов двух прямоугольных параллелепипедов: V = 15 ab — (а — -(4 +с))-8ft.

6. Пусть ребро куба равно а (лин. ед.): Sx = 6 (а-а) (кв. ед.), S2 = б-(За-За) = 6-(9-а-а) = 54 (а-а) (ед.2). S2 больше Sx в9 раз.

Задание 35. Такой куб существует. Для нахождения поверхности необходимо перемножить числовую длину ребра на себя и на 6, а для нахождения объема куба числовую длину ребра надо взять сомножителем три раза. Произведение трех одинаковых сомножителей равно произведению двух таких же сомножителей и 6 в том случае, если каждый из сомножителей равен 6 или нулю (равенство é-x-x = х-х-х истинно при х = 6 или при х = 0). Условию задачи удовлетворяет числовое значение длины ребра 6 ед.

Задание 36. Значение р должно удовлетворять неравенству 20 х

Рис. 50

X 10-р ^ 1000, откуда р ^ 5; поэтому при любом р из множества {1, 2, 3, 4, 5} объем прямоугольного параллелепипеда не превышает 1000 см3. (Значения р, удовлетворяющие неравенству 200р < 1000, находятся подбором.)

Задание 37. Точность измерительного прибора остается неизменной, поэтому возможен один из следующих результатов (в мм):

10<х< 11; 11<х< 12, 19<х<20.

Решение задачи наталкивает на один из общих приемов повышения точности измерения. В данном случае, чтобы поточнее найти толщину одного пятака, нужно измерить толщину 10 пятаков и результат разделить на 10.

При изучении десятичных дробей целесообразно предложить учащимся найти толщину листа бумаги, на которой напечатан их учебник. (Для этого необходимо иметь книжку, которая еще не была в употреблении.)

Задание 38. \. Здесь возможны 4 случая: пересечение пусто (не содержит точек); точка; фигура, ограниченная двумя дугами; круг.

2. Пусть Ф1 П Ф2 = ф1- Тогда либо Фх — часть Ф2, либо Фх конгруэнтна Ф2. Но первое исключается, так как по условию Ф\ П Фа = Q>v Следовательно, Ф1 конгруэнтна Ф2. (Символы U и f| применены здесь только для учителя в целях сокращения записи.)

Задание 39. Каждая из сумм представляет сумму трех чисел, записанных у вершин треугольника: 30 + 120 = 30 + (52 + 68); 52 + 98 = 52 + (30 + 68); 68 + 82 = 68 + (30 + 52).

Правые части этих равенств равны согласно сочетательному и переместительному законам сложения.

Например: 30 + (52 + 68) = (30 + 52) + 68=68 + (30 + 52).

Задание 40. 1. 123 + 349 + 877 + 651 + 1200 = (123 + 877) + + (349 + 651) + 1200 = 3200.

2. 6427 — 197 = (6427 + 3) — (197 + 3) = 6430 — 200 = 6230.

3. 2789 — 499 = (2789 + 1) — (499 + 1) = 2790 — 500 = 2290.

Задание 41. 1. В 101 раз; на 900.

2. Эту задачу можно решать различными способами. 1-й способ — используя действия с дробными числами. 2-й способ — используя основное свойство пропорции.

3-й способ — не выходя из области натуральных чисел: 15 бочек можно представить как 6 бочек + 6 бочек + 3 бочки. 6 бочек вмещают 28 ведер воды. Тогда 3 бочки вмещают 14 ведер воды. Следовательно, 15 бочек вмещают 70 ведер воды.

3. Может, если число складывать с 0. Например, 21 +0 = 21, или в общем виде а + 0 = а.

4. Может, если одно из слагаемых равно 0.

Задание 42. 1. а + Ь — данная сумма,

(а + 2) + Ь = а + 2 + Ь = (а + Ь) + 2,

а-2 + Ь « а + а + Ь = (а + Ь) + а,

(а + 2) + (Ь + 2) = (а + Ь) + ( 2 + 2) - (а + Ь) + 4,

а-2 + ft-2 = (а + b)*2 (распределительный закон).

Указанные равенства вполне обосновываются известными законами действий.

Таким образом, если одно из слагаемых (каждое из двух) увеличить на 2 единицы, то сумма увеличится на 2 (на 4) единицы. Если одно из слагаемых (каждое) увеличить в 2 раза, то сумма увеличится на это слагаемое (в 2 раза).

2. По смыслу термина «на столько больше» сумма двух слагаемых всегда больше одного из слагаемых на величину другого слагаемого: а + Ь больше а на Ъ. Ответ: 5 ед.

Задание 43. а) Углу ABC принадлежат точки В, 7\ М, Р, /С, N, R.

б) Углу DEF принадлежат точки Е, L, N, Р, К, Т.

в) Углу ABC и углу DEF принадлежат точки Т, Р, К, N.

г) Все указанные точки.

Задание 44. Множество точек M, N, Р, К, Т, X, У принадлежат углу A BD, который содержит луч ВС.

Задание 45. а) N принадлежит каждому из углов треугольника; б) M принадлежит Z.BAC треугольника; в) К не принадлежит углам треугольника.

Целесообразно выяснить понимание учащимися соответствующего материала с помощью дополнительных вопросов: укажите два угла, образовавшиеся при проведении лучей AB и АС. Какому из этих углов принадлежит треугольник ABC? (Тот же вопрос относительно лучей CA и СВ, ВА и ВС.)

Задание 46. 1. а) Да, если вычитаемое равно 0. Например, 7 — 0 — 7. В общем виде: а — Ь — а<=> Ь = а — а = 0.

б) Да. Если вычитаемое в 2 раза меньше уменьшаемого, например: 12 — 6 = 6.

а — b = b*=*a — b + b а = 2b.

2. а) Если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить на одно и то же число, то разность не изменится, например:

23 — 5 = 18.

(23 + 3) — (5 + 3) = 26 — 8 = 18 и т. д.

В общем виде:

(а + т) — (Ь + т) = х& а + т = (Ь + т) + х<=*а + т = = (Ь-\-х) + т<^а + т — т = Ь + х<^>а = Ь + х^х = а — Ь.

3. а) Пар натуральных чисел, при вычитании которых получается 6, сколько угодно много: а — & = 6<=*a = 6 + 6, при этом «/?» принимает любые натуральные значения.

б) Если числа равны между собой, то разность их всегда равна 0: а = а<=>а = а + 0& а — а = 0.

Задание 47. Угол / меньше угла ВС А, так как он составляет часть угла АСВ', но ZJ2 ^ Z./, следовательно, угол 2 меньше угла ВС А.

Задание 48. а) /_А êë Z-B ^ z.c ^ z_D; Z.BAC ^ Z.CAD ^ ^ Z-ACD £ё Z^ACB; б) перегибанием; в) биссектрисой; г) луч АС; д) /LBAD.

Задание 49. 1. Смысл условного выражения «в 7 раз больше» означает: для того чтобы данное число «а» увеличить в 7 раз, надо (т. е. необходимо и достаточно) найти произведение его на 7. Следовательно, второй множитель равен 7.

2. Если произведение двух множителей в п раз больше одного из них, то другой множитель равен п.

Задание 50. В отличие от других заданий подобного рода в условии не дано ни одной цифры результата промежуточных действий умножения, а также и окончательного результата. Необходимо догадаться, что второй множитель 11, ибо при других цифрах в записи множителя в промежуточных результатах получилось бы трехзначное число. Можно считать также, что второй множитель равен 10, но при этом необходимо заметить, что обычно умножение на число, выраженное единицей с нулями, не записывается столбиком.

Задание 51. 1. Этот способ умножения основан на свойстве произведения а-Ь = (а-т)-(Ь : т).

Доказательство его можно провести так:

(а»т)'(Ь : т) = (сочетательное свойство умножения)

= а»(т.(Ь : т)) = (переместительное свойство умножения)

= а-((Ь : т).т) =

= а*Ь, так как (Ь : т)-т = b по определению деления: разделить «6» на m—значит найти такое число (b : m), которое при умножении на m дает Ь.

3. Произведение не изменится, если один из множителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить в это же число раз.

Задание 52. 1. Например, 27-1 = 27; Ы = 1; 5-0 = 0.

(определение умножения на натуральное число, не равное 0; 1).

(определение умножения натурального числа на Г).

(определение умножения натурального числа на 0).

Последние два принятых определения могут быть мотивированы следующими рассуждениями:

Задание 53. 1. а) а = 1; б) а = 0; в) а = 1; г) а — любое число; д) а = 0 или а = 1; е) а = 5; ж) а = 13.

2. а) аЛ — а = а — а = 0; б) ЬЛ — Ь-0 = b — 0 = b\

в) а-0 + fe.O + с-0 = 0 + 0 + 0 = 0; г) 0; д) 0.

Задание 54. 1. Если х — натуральное, то:

а) jc'15= 15'х (переместительный закон умножения).

б) х-2 < х-4 (х + X < X + X + к + je, свойство умножения на натуральное число).

в) je - 0 < х-1 (л-0 = 0 опр.; х-1 = х опр.).

Рис. 51

2. Если X = О, то:

а) л>15 = 15-х, так как 0-15 = О и 15-0 = 0.

б) х-2 = х-4, так как 0-2 = 0 и 0-4 = 0.

в) л>0 = х-1, так как 0-0 = 0 и 0-1 = 0.

Задание 55. 1. Существование доказывается нахождением хотя бы одной пары таких углов. Существует три случая: либо оба угла развернутые; либо один развернутый и другой больше развернутого (рис. 51, а); либо оба больше развернутого (рис. 51, б).

2. Это задание направлено против возможного ошибочного представления учащихся, что в этом случае всегда пересечением служит луч. Рисунок 51, в опровергает ошибочное представление.

Задание 56. Рассмотрим решение на примере.

В общем виде:

Словесный вывод: если один множитель увеличить на 1, то произведение увеличится на другой множитель.

Задание 57. \—2. Во втором случае обычный порядок может быть изменен на основании распределительного закона умножения, так как имеются равные множители.

3. Согласно распределительному закону умножения (который верен при любых значениях переменной) 49а + а = (49 + 1) а = = 50а.

4. В данном случае нет необходимости обращаться к распределительному закону умножения, так как можно воспользоваться определением умножения на натуральное число: х + х + х + х-\~ + X = х-5; л:-5 = Ъх (на основе переместительного закона умножения, верного для любых значений переменной).

Задание 58. 1. а) «143» = Ь25 + 4-5 + 3 = 48.

б) Пять цифр, равнозначные арабским 0, 1,2, 3, 4.

в) Внуку «21», а дедушке «233» года. Он старше внука на 57 лет — в десятичной системе, или на «212» лет — в пятеричной системе.

2. См. учебник, п. 39. Можно рекомендовать книгу И. К. Андронова и А. Н. Окунева «Арифметика рациональных чисел», § 24, с 100 (М., изд-во «Просвещение», 1971).

Задание 59. Обозначим буквами а, Ь, с цифры, с помощью которых записаны множители (эти цифры могут быть и одинаковыми). Тогда двузначное число может быть представлено выражением а* 10 + à, однозначное — с: (а-10 + Ь)-с = ас-10 + Ь-с (распределительный закон умножения). При умножении столбиком мы делаем то же самое: к произведению be прибавляем произведение ас, сдвинутое влево на одну цифру, т. е. умноженное на 10.

Соответствующее рассуждение приведено в учебнике (см. п. 39, с. 108) на числовом примере, но в тексте учебника, к сожалению, нет ссылки на закон умножения.

Задание 60. Одно из рациональных преобразований состоит в применении законов (сочетательного — умножения и переместительного — умножения и сложения) в левой части равенства: (а + X) + (Iba). 12 = (a + х) + (a-11). 12 = (a + х) + а(1Ы2)= = a-132 + (a + x) = 132a + a + x - (132a + a)+x = 133a + x.

Задание 61. При однократном перегибании листа бумаги линия перегиба — прямая линия. Этот факт проверяется опытным путем. Следовательно, любая точка линии сгиба — вершина развернутого угла. Поскольку при вторичном перегибании одна часть первой линии сгиба совпадает с другой своей частью, то новая линия сгиба делит развернутый угол на два конгруэнтных между собой угла, так что каждый из них представляет половину развернутого, т. е. прямой угол.

Задание 62. Рассмотрим решение на примерах:

а) 24 : 8 = 3, б) 32 : 16 = 2, (24-4) : (8-4) = 3; (32 : 2) : (16 : 2) = 2.

Вывод: частное не изменится, если делимое и делитель уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз.

Решения в общем виде: а) требуется доказать, что (a-m) : (b X X m) = а : b. Обозначим: (a-m) : (b-m) = x. По определению деления a-m = x-(b-m)y или a-m = {b-m) xy a-m = (bx) m; сопоставляя левую и правую части, на основе однозначности множителя имеем: a = bx; следовательно, х = a : b (по определению деления).

б) Обозначим: (а : т) : ф : т) = х. По определению деления а : m = x-(b : m), или а : m = (x-b) : m, a = xb (однозначность делителя), отсюда x = a : b.

Не следует, конечно, рассчитывать, что учащиеся смогут самостоятельно построить общие рассуждения. Достаточно, если они представят решение на частных примерах, а учитель на доске покажет общий вид решения. Полезными представляются рассуждения, опирающиеся на определения.

Задание 63. Задание рассчитано на индуктивные выводы на основе частных примеров. Учитель может на кружке показать, как следует рассуждать в общем виде.

1. а) Обозначим: а : Ь » k (1) и (а*с) : b = х (2).

По определению деления а = bk. Подставим это значение в (2): (bk-c) : b = x, тогда fcéc = xb> (kc) b = xfc, Ас « x. Отсюда g учетом (1) X ~ kc = (a : b) с.

Вывод: (a-c) : b = (a : b)-c, т. е. частное увеличится в с раз.

б) Обозначим: а : (Ь-с) = х. По определению деления х (be) = а, тогда (хс) Ь*=*аъхс*=а:Ь. Отсюда X = (а : Ь) : с.

Вывод: а : (Ь*с) = (а : Ь) : с, т. е. частное уменьшается в с раз.

Словесный вывод:

а) Если делимое увеличить в с раз, то и частное увеличится в с раз.

б) Если делитель увеличить в с раз, то частное уменьшится в с раз.

2. Нельзя, так как не существует числа, произведение которого на нуль не равно нулю. Действительно, по определению деления разделить на 0 — это значит найти такое число с, которое при умножении на 0 дает а, но с-0 = 0, в то время как а Ф 0 по условию.

Точнее можно сказать так: определение деления одного числа на другое исключает случай, когда делитель равен нулю.

3. Можно. Частное при этом всегда равно нулю. Пусть с Ф 0, 0 : с = 0, так как с«0 = 0.

4. По определению деления:

В таком виде задача легко решается:

Задание 64. Все равенства неверны. В этом можно убедиться проверкой — умножением в разряде единиц, а во втором и третьем случаях — по недостающей цифре в частном.

Задачу можно предложить и в другой форме: докажите, что данные равенства неистинны. Вот еще несколько подобных заданий:

а) Истинно ли неравенство 48-97 << 5000?

(48-97 < 50-100 = 5000.) ^ б) Истинно ли равенство 2-1000 + 7-100 + 8-10 + 1 = 2781? (Слева записано число 2781 в виде суммы разрядных единиц.)

в) Верно ли выполнено вычитание?

Если учесть, что из самого старшего разряда в процессе вычислений «занимать» не понадобится, то первая слева цифра разности неверна.

Задание 65. Так как четырехугольник ALBC — прямоугольник, то и Z.Z прямые, а объединения углов АБС и LKM> ВАС и KML образуют прямые углы.

Задание 66. Рассмотрение тем «Сравнение углов», «Развернутый угол», «Прямой угол» в IV классе позволяет установить путем дедуктивных рассуждений результат сравнения углов. Для решения данной задачи учащиеся должны знать, что все развернутые углы конгруэнтны, все прямые углы конгруэнтны, конгруэнтные углы имеют равные величины; если от равных величин отнять равные, то останутся равные величины.

mac = acn — величины развернутых углов. /li ZJ? (по условию); следовательно, 1=2, 3 = 180° — 1, 4 = 180° — 2.

Значит, 3 = 4, откуда следует, что /_3 ^ Z_4.

Задание 67. Пусть делимое а, остаток 6, тогда а = 15-2Ь + Ь, а = Ш + Ь, а = 31Ь, причем 316 < 100.

Задавая значения ft, получим значения а:

6=1, а = 31; ft = 2, а = 62; 6 = 3, а = 93.

2. Учащиеся должны сами ввести ограничения: остаток меньше делителя, а поэтому

а = 15£ + 2£, где 2£ < 15. а - 17* и 2* < 15.

(Л принимает значения из множества {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

а принимает значения из множества {17; 34; 51; 68; 85; 102; 119}.)

Задание 68. 2. Пусть а кратно л, следовательно, а : п = где k — натуральное число. Отсюда а = kn. Если и «Ь» кратно п, то b = рл.

а + b = &n + p/î = (k + р) л (по распределительному свойству умножения).

(k + р) -п кратно л, так как (k + р)-п : п = £ + р (по определению деления).

3. Нетрудно подобрать хотя бы один пример, когда сумма при данном условии делится.

Рассмотренные свойства делимости суммы имеют определенное значение в теории делимости. Целесообразно использование их в связи с признаками делимости. Пример:

а) Делится ли сумма 189 026 + 111 на 3?

б) Делится ли сумма 27 005 + 10 000 + 8910 на 5?

Задание 69. X. 1) 11 + 111 + 1111;

2) 22 + 222 + 2222;

3) 33 + 333 + 3333;

9) 99 + 999 + 9999. Первая сумма равна числу 1233, которое делится на 3 по признаку делимости на 3: 1233 = 411-3.

Вторая сумма в два раза больше первой, т. е. число (411-3)-2= = (411-2)-3, которое кратно 3, и т. д.

2. Числа, кратные 11, имеют общий вид 11£, где k Ç N, причем Ilk <1 99. \\k = 99 при k = 9. Следовательно, k принимает значения от 1 до 9 (включительно), и таких значений 9.

3. X не может быть однозначным числом, иначе двузначных чисел, кратных ху было бы больше 8. Если х = 10, то чисел вида 10/г, где \0k ^ 99 и k Ç Ny будет 9. Если х = 11, то двузначных чисел, кратных 11, будет 9. При X « 12 получаем соответствие условию: 12-8< <99, но 12-9 > 99. При х = 13 13-. 8 > 99.

Следовательно, условию удовлетворяет лишь число 12.

Задание 70. Для 20 : а: Для а : 20:

а) а — 1; 2; 4; 5; 10; 20; a) а = 20, 40, 60, 80,

б) а < 20; б) а > 20;

в) а > 20. в) а < 20.

Следует обратить внимание учащихся на то, что в зависимости от формы записи результат деления иногда называется по-разному: неправильной дробью (-Щ-, -—j-, ...) или натуральным числом (1, 2, ...).

Задание 71. а) х принимает значения из множества {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

б) X принимает значения из множества {1; 2}.

в) 0.

Задание 72.1. а) х = 32; б) х = 8; в) х = 1; т)х = 96. Полезно обратить внимание учащихся на интересную запись уравнений: все они имеют одинаковые числа, записанные в одном и том же порядке: Ху 12, 2, 10. Но так как над этими числами заданы различные операции, то и ответ в каждом из уравнений получается отличный от других.

2. а)а:1+0:а = а + 0 = а;

б) а« 1— а : 1 = а — а = 0;

в) а : 1 — 0 = а;

г) (1-1 — а)-0 = (1 — а-0 = 1-0 —а-0 = 0 —0 = 0.

3. Задачу можно решить с помощью уравнения. Если х — число некурящих, Ъх — число курящих: х + Ъх = 1000.

Ответы (округленно): 830 и 170, 950 и 50.

Задание 73. 1. Большая.

2. о 33 = 0 33.

3. {4, 5, 6, 7, 8, 9}; {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 0; {8, 9}.

Задание 74. 1. 125, 803 = 100 + 20 + 5 + 0,8 + 0,003.

2. Два; три; четыре; пять. Столько же и нулей. На третьем. Стотысячные. 3. 0,0101, 0,0102 и др.

Задание 75. Так как биссектриса делит угол на две конгруэнтные части, то 2 «= 45° и 1 = 45°; 1 = 2; значит, /_1 ^ Z.2.

Задание 76. I. 182,2 м.

2. 30,5 тыс. и2.

3. 4,35 тыс. км.

4. Тупым.

Задание 77. а) Может быть как точным, так и округленным числом;

б) округленное;

в) точное;

г) округленное;

д) точное.

Задание 78. Заметим, что 0,5 + 0,3 + 0,2=» = 1; получим решение (см. рисунок 52).

Задание 79. Все решения основаны на правиле умножения на десятичную дробь.

1. 15-8,2 = (15-82) : 10.

2. а) 15-0,27- (15-27) : 100;

410-0,09 ф (410-9) : 10; 410-0,09 > (410-9) : 10; б) 8; 2,5; 8.

Задание 80. 1. 3,7 см.

2. (3,13 + 2,87)-(3,13 — 2,87) = 1,56.

3. При умножении числа а на дробь, меньшую единицы, произведение всегда меньше а, так как процесс умножения на дробь (например, на 0,23) можно представить как последовательность двух действий — умножения на натуральное число (23) и деления найденного произведения на другое натуральное число (100); причем поскольку дробь меньше 1, то второе натуральное число (это либо 10, либо 100, либо 1000 и т. д.) всегда больше первого.

Задание 81. 1. В результате приписывания в натуральном числе нуля справа получается новое число, в котором все цифры оказываются переставленными по сравнению с прежним положением на одно место влево, а следовательно, по соглашению о поместном значении цифры значение каждой цифры, а значит, и всего числа увеличивается при этом в 10 раз.

Если приписывается два нуля, то число увеличивается в 10 и еще раз в 10 раз, т. е. в 100 раз, и т. д.

2. Аналогично предыдущему при перенесении запятой вправо значение каждой цифры десятичной дроби увеличивается в 10 раз (десятые доли становятся целыми единицами, сотые доли — десятыми и т. д.).

3. Ответ: 4,5 кг.

4. Если приписать нуль справа у десятичной дроби (например, 0,23), число долей увеличивается в 10 раз (было 23 доли, а стало 230), но и значение каждой доли уменьшается в 10 раз (вместо 23 сотых становится 230 тысячных), целая же часть числа не изменится, поэтому и значение десятичной дроби не изменится.

Задание 82. 1. В условии задачи отсутствует требование, чтобы пересечением этих углов был луч, но зато требуется, чтобы углы

Рис. 52

были несмежными. Условию удовлетворяют углы АО В и COD (рис. 53).

Z.AOB U /-COD = Z__BOD — развернутый угол, но пересечением является не луч, а А.АОС, поэтому углы АОВ и COD несмежные.

Подобного рода задачи полезны также при рассмотрении понятий, определяемых не одним, а несколькими характеристическими признаками. Например, начертите луч, который делит данный угол пополам, но не является его биссектрисой; напишите слагаемые, сумма которых не равна произведению одного из них на число слагаемых. (Значит, слагаемые не должны быть равными между собой.)

При анализе задания необходимо поставить перед школьниками важный вопрос: какое условие нужно добавить, чтобы углы были смежными? (Чтобы луч был биссектрисой? Чтобы сумма слагаемых равнялась произведению одного из них на число слагаемых?)

2. Это задание контролирует усвоение предыдущего.

Задание 83. 1. U)CB прямой. Значит, DCO = 90° — 31° = 59 . Аналогично можно найти величину угла CDO. DCO = CDO, так как они получились от вычитания угла в 31° из прямого угла.

2. COD = СОА — AOD = 180° — (180° — 62°) = 62°.

Задание 84. Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число. Для учителя это важно учесть с точки зрения методики обучения, для учащихся это необходимо для осознания правила. Кроме того, это хороший пример общего метода науки: сведение неизвестного (сложного) к известному (менее сложному).

1. 12,4 : 0,5 = (12,4-10) : 5.

2. а) 12,4; б) 8,5; в) 3.

3. Задача, конечно, не представляет трудностей, если знать соотношение между указанными единицами длины.

1 микрон = 0,001 мм, 1 миллимикрон = 0,001 : 1000 = = 0,000001 мм; 16 микрон = 16-0,000001 мм = 0,000016 мм.

0,1 : 0,000016 = 6250. Ответ: в 6250 раз.

Целесообразно предложить учащимся найти необходимые данные самостоятельно с помощью таблиц.

Задание 85. Для положительного ответа на вопрос достаточно указать хотя бы на один соответствующий частный случай. Вначале этот случай ученики находят методом проб, например: 0,82 + + 10,18 = 11. Затем естественно поставить вопрос: каким способом можно подбирать такие десятичные дроби, чтобы результатом арифметического действия над ними оказалось натуральное число? Для решения этой проблемной задачи ученики имеют уже усвоенный ими метод — метод уравнений. Однако существенно новым оказывается здесь то, что одно из неизвестных чисел х и у и результат действия

Рис. 53

можно задавать либо вообще произвольно (при сложении: 0,7 + + у = 4), либо «почти произвольно», учитывая некоторые необходимые условия: X ^ h, с Ф 0.

Тема, представленная в данной задаче, может быть продолжена в V классе на множествах целых чисел, обыкновенных дробей и простых чисел. Приведем несколько из возможных заданий на эту тему:

1) Может ли разность двух обыкновенных дробей быть целым числом?

2) Может ли сумма двух обыкновенных дробей быть целым числом?

3) Может ли произведение (частное) двух простых чисел быть простым числом? Надо заметить принципиальное отличие последнего задания от двух предыдущих. В последнем задании ответ (а он отрицателен) дается на основе следующего дедуктивного рассуждения: если бы произведение двух простых чисел было простым числом, то оно не имело бы других делителей, кроме нуля и единицы.

Задание 86. 1. 1 см плана соответствует 0,5 км на местности. Для решения задачи достаточно провести две окружности радиуса г — 2. Точки их пересечения укажут на возможные положения станции.

2. Для решения задачи по данному масштабу необходимо установить, скольким километрам местности соответствует 1 см на плане (6 км). Положение сторожки определяется точкой пересечения биссектрисы острого угла CBD и окружности с центром В радиусом, равным 3 см.

3—4. Решение этих задач довольно просто, но не столь очевидно, как кажется на первый взгляд. Школьники, пытаясь дать ответ быстро, часто ошибаются. Ответ: 21 столб; 30 сидений.

В процессе решения возможны интересные обобщения: установление зависимости для числа узлов и промежутков (точек и отрезков, точек и дуг) для незамкнутой и замкнутой линий. В первом случае имеем: у — п = 1, во втором: у — п = 0.

Задание 87. 1. 1+3 + 5 + 7 + 9+ 11 + 13+15+17+ 19=100, 2 + 4 + 6 + 8+10+12+14+16+18 + + 20 = 110, 100^=110.

Примечание. Если учесть, что каждое четное число 2k на единицу больше соответствующего нечетного числа 2k—1, то сумма четных чисел на 10 больше суммы нечетных.

Заметив, что 1 + 19 = 3 + 17 = 5 + 15 и т. д., нахождение сумм можно выполнить так:

(1 + 19) - 5 = 100, (2 + 20).5 = 110.

2. а) Со стороной, равной 4 единицам;

б) sb = 5-5 = 25;

в) sn = п-п = п2.

3. a) S4 = (2 + 8) - (8 : 2); б) sn = (2 + 2п) - (2л : 2).

Задание 88. 1. Можно предложить следующий способ: числа записываются в строчку и объединяются так: 1 + 20, 2 + 19 и т. д.

При этом образуется десять пар; сумма чисел в каждой из этих пар равна 21. Сумма находится по формуле (1 + 20) • 10.

2. Можно воспользоваться методом, полученным при решении задачи 1.

Задание 89. Задача решается с помощью использования формул площади прямоугольного треугольника и прямоугольника.

Следует обратить внимание на задание и): дан прямоугольный треугольник, делить который не следует.

Задание 90. 1. BCD = 90°, значит, MCD = 45°, CMD - 180° __45° _ 90° = 45°, тогда AMC = 180° — 45°= 135°, а А МК « = 180° — 135° = 45°.

2. Доказательство можно провести методом от противного независимо от предыдущего. Однако целесообразно воспользоваться решением предыдущей задачи, тогда доказательство сокращается: если допустить, что [АК) — биссектриса, то согласно предыдущему

Сопоставляя эти равенства, устанавливаем, что В + С = ВАК-

4. Если [АО) и [DO) — биссектрисы углов прямоугольника, то из треугольника AOD имеем:

AOD = 180° — 45° — 45° - 90°, (откуда Z.AOD — прямой. Следовательно, [АО) J_ [DO),

5. В = 90°, ВАК = 45°, BKA = 180° — (90° + 45°) = 45°.

в. Учащиеся должны использовать свойство: сумма половин двух слагаемых равна половине суммы этих слагаемых, а также свойство суммы величин углов треугольника.

7. Доказательство можно провести способом «от противного»: предположим, что АОС = 90 , тогда О АС + ОСА = 90 , откуда ВАС + ВСА = 180 , чего быть не может, так как в треугольнике сумма величин двух его углов оказалась равной 180° (см. рис. 28).

Задание 91. 1. 20 (12 маленьких, 6 побольше и 2 самых больших — они образуются из маленьких треугольников).

2. Всего квадратов 13.

Целесообразность задачи связывается с нахождением порядка подсчета квадратов и треугольников.

Задание 92. За 29 мин. Решение этой задачи получается с помощью таблицы:

Время

0 мин

1 мин

2 мин

3 мин

4 мин

29 мин

30 мин

Начальное количество грибков

1

2

4

8

16

...

Половина колбы

Полная колба

2

4

8

16

32

...

Полная колба

Задание 93. Заданием обращается внимание на термины «не меньше», «не больше», а также на значение конъюктивного союза «и». Ответ: один элемент.

Задание 94. Для решения вопроса о порядке точек на прямой достаточно обратить внимание на условие D 6 [АВ\> из которого следует, что D лежит между А и В. При этом условии указанные высказывания истинны независимо от положения С.

Задания 95, 96. Задания рассчитаны на интуицию, глазомер и умение выразить обыкновенной дробью часть целого.

Задание 97. Учащийся должен научиться иллюстрировать условие задачи соответствующим рисунком, который можно рассматривать в качестве модели данной ситуации, облегчающей поиск решения (рис. 54). Каждой дороге BP соответствуют 4 различных маршрута. Так как дорог BP три, то всех возможных маршрутов 12. Задачу можно использовать для пропедевтики понятия упорядоченной пары. Если обозначить дороги BP через alt а2,а3, дороги PD — через blt b2, fc3, fc4, то решением будет число пар вида (am&n), где m =* - 1; 2; 3; п = 1; 2; 3; 4.

Задание 98. Основная идея: необходимо применить переместительный закон умножения. Всего 25 клеток, из них диагональных — 5, причем 1 диагональная клетка уже заполнена. Недиагональных клеток 20, для их заполнения необходимо и достаточно 10 различных чисел, но одно из них уже известно. Следовательно, различных чисел нужно иметь 4 + 9 = 13.

Задание 99. Задание предусматривает синтез знаний о признаке делимости на 3 и о делении с остатком. Для выполнения задания учащийся должен самостоятельно построить цепочку умозаключений, ведущую к ответу: если число 4 * 651 при делении на 3 дает в остатке 1, то число 4 * 650 делится на 3 без остатка; следовательно, сумма цифр 4 + * + 6 + 5= 16 + х делится на 3, что возможно при X е {2; 5; 8}.

Задание 100. Прежде чем применить признак делимости на 10, учащийся должен определить, какой цифрой оканчивается значение выражения. Так как произведение заканчивается 1, разность оканчивается нулем. Кроме того, эта разность больше 10.

Рис. 54

Задание 101. Необходимо поставить вопрос, за счет чего полный бидон весит больше бидона, заполненного наполовину. Разница масс (34 — 17,75 = 16,25 кг) определяет массу молока, заполняющего половину бидона. Значит, пустой бидон весит 34 — 2 • 16,25 = = 34 — 32,5 = 1,5 (кг).

Задание 102. Верный ответ — уменьшилась. Его можно получить, исходя из примера. Пусть старая цена 1 руб., 10% от 1 руб. составляет 10 коп, значит, новая цена товара 110 коп. 10% от 110 коп. составляет 11 коп., значит, новая цена 99 коп., что меньше 1 руб. Этот результат можно получить также из следующего рассуждения: величина снижения была больше величины повышения, так как при снижении цены 10% берется от числа большего, чем при увеличении цены.

Решение в общем виде соответствует рассмотренному примеру. Если первоначально товар стоил а руб., то новая его цена а + 0,1а. Снижение равно 0,1 (а + 0,1а) = 0,1а + 0,01а. Значит, вторая новая цена есть разность а + 0,1а — 0,1а — 0,01 = а — 0,01 < а.

Задание 103. Учащийся должен применить свойство прямоугольника: \ВК\ = \FC\, \КС\ = \BF\.

Задание 104. Ответ отрицательный, так как среднее арифметическое не выражается натуральным числом.

Задание 105. Ученик не прав, так как не учел, что через две точки можно провести только одну прямую, он же каждую прямую посчитал дважды. Рассуждение иллюстрируется чертежом.

Задание 106. 1. (7 : 100) • 72 = 0,07-72 = 5,04 ч. « 5 ч.

2. (3 : 100) - 80 = 0,03-80 = 2,4 млн. человек.

Задание 107. Для решения задачи необходимо найти координаты точек D и Е. AB = —— = -у- = 7 (ед.). Координата D равна 29, координата Е — 36. Решению удовлетворяет любое число x, где 29 ^ х <1 36.

Задание 108. 1. 1366 млрд. кв. ч.

2. 125 тыс. комбайнов.

5 КЛАСС

Задание 1. 1. Верному решению соответствует последовательность 101010.

2. Это свойство указано условием, данным в предыдущем задании. Оно является необходимым и достаточным (т. е. определяет подмножество): (х Ç M х 6 Р) *=>М а Р.

Полезно записать учащимся определение подмножества полусимволически: если для всех л: из л: g M следует х Ç Р, то M cz P.

Задание 2. а) Решение можно оформить в виде таблицы, обозначив истинные высказывания «1», ложные — «0»:

Затруднения у пятиклассников может вызвать рассмотрение высказывания Rcz M. По-видимому, не следует ожидать доказательства от самих учащихся. Сам учитель должен подвести школьников к пониманию того, что если х 6 /?, то х 6 УИ. Например, 5 £ R\ покажем, что 5 6 AI. Для этого решим уравнение 3 + 82 = 5; корень этого уравнения равен 0,25. Значит, при z = 0,25 5 £ M. Полезно рассмотреть общее рассуждение. Пусть a Ç /?; покажем, что а 6 М: 3 + 8z = а, если z = (a — 3) : 8.

Верное высказывание б) равносильно включению Ecz M, верному высказыванию в) соответствует Mcz R. Чтобы убедиться в ложности высказывания г), достаточно привести хотя бы один опровергающий пример: 0 £ R> но 0 $ £, так как Е = 3 или Е = 11.

Задания б), в), г) можно рассматривать как пропедевтику строгого определения понятия «подмножества»:

А а В, если х 6 Л =>• х £ ß (для любого х Ç А). Это задание целесообразно рассмотреть на кружке.

Задание 3. Нахождение различных значений выражения с переменными целесообразно оформлять в виде таблицы:

Получим следующие подмножества:

{8; 12,5}; {8}; (12,5); 0.

При решении этой задачи особое внимание уделяется тому, что к подмножеству данного множества относятся как само множество, так и пустое множество.

Задачу можно усложнить, добавив еще одно значение (например, a = 0), затем поставить вопрос о числе подмножеств любого конечного множества. На математическом кружке, рассматривая различные примеры, можно индуктивно установить, что число подмножеств множества, имеющего п элементов, равно произведению 2-2-2-...-2 (п множителей), которое записывается 2п.

Задание 4. 1. А = {1; 2; 3; 4; 5}; В - {3; 4; 5; 6; 7}; M = {3; 4; 5}. Или пример: А> ß, M — множество делителей соответственно чисел 20, 30, 10.

2. При тех же А и В: M = {3; 4}.

3. м = А fi В.

4. 10 110.

Задание 5. 1. а) [ЛВ]; б) [ЛВ); в) [AB). 2. С = А 0 В = А.

3. Задание объединяет общее условие: одно из двух данных множеств является подмножеством другого. В этом случае пересечением двух множеств служит одно из них. Целесообразно предложить обратную задачу: назовите такие два множества, чтобы их пересечением служило одно из них.

Задание 6. Для решения задачи целесообразно воспользоваться кругами Эйлера (рис. 55). «Поместим» всех 40 учащихся в большой круг, в отдельные круги — учащихся, выписывающих журнал или газету. 15 учащихся, выписывающих и то и другое, изображаются общей частью двух пересекающихся кругов. Теперь нетрудно установить, что 17 выписывают только газету, 6 » » журнал, 15 » и то и другое.

Значит, 38 выписывают либо журнал, либо газету, либо то и другое вместе, и двое ничего не выписывают.

Задание 7. А а В истинно, так как у каждого прямоугольного треугольника есть два острых угла (а 6 А а £ В). В cz А ложно, так как есть непрямоугольные треугольники с двумя острыми углами. Истинным является высказывание А а В, ложным — А £ ß, В cz А (А 6 В ложно, так как А не является элементом множества ß).

Задание 8. 1. Это можно сделать так (рис. 56):

а) прикладываем угольник к прямой MN\

б) проводим (BD) J_(MN)\

в) проверяем с помощью угольника, является ли угол BDK прямым.

Если да, то (MN) параллельна (kl).

2. Если к двум прямым на плоскости можно провести общую перпендикулярную прямую, то эти прямые параллельны.

Задание 9. 1. Не является, поскольку равносторонние треугольники являются и равнобедренными.

2. Не является, так как число нуль не попало ни в одно подмножество.

Рис. 55

Рис. 56

3. Не является, так как существуют треугольники не прямоугольные и не равносторонние.

4. Является.

Рассмотрев ответы, необходимо предложить учащимся привести правильные классификации в случаях 1—3 и др.

Задание 10. Задание помогает усвоить, что длины отрезков, по которым строится треугольник, нельзя задавать произвольно. Допустимые значения х должны удовлетворять неравенству

7 <х< 12.

Например, если х = 7,5 см; 8 см; 10 см, то треугольник построить можно. Если же, например, х = 13 см; 13,8 см; 100 см, то треугольник построить нельзя.

Задание 11. Задача может быть рассмотрена на занятии математического кружка. Постановку знаков неравенства можно обосновать свойством: сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, а также положением: если обе части верного неравенства увеличить на одну и ту же величину, то неравенство остается верным.

Задание 12. 1. Нет, так как длина третьей стороны 24 — — 10 = 14 (см); 10 < 14 (сумма длин двух сторон не может быть меньше длины третьей стороны).

2. Пусть длина второй стороны х\ тогда длина первой стороны 2х\ длина третьей стороны Ах.

Но такое соотношение х + 2х < 4х противоречит основному свойству длин сторон треугольника.

3. Пусть длина одной стороны х> тогда длина второй — 2х. Значит, длина третьей стороны должна удовлетворять неравенству у <С Зх, кроме того, х + у > 2х, т. е. у>х. Таким образом,

3* > у > x.

Задание 13. При решении задачи полезно использовать координатную прямую. Приведем некоторые решения (рис. 57):

A U В = {—4, —3, 3, 4}, следовательно, A U В = С;

В U С = С; А П N = {1, 2};

A U N = {-4, -3, 0, 1,2,3,4, ...}.

N f) Z = N, (А П В) П ЛГ = {1, 2} и т. д.

Такие задания можно предложить учащимся на уроке в связи с изучением материала о пересечении и объединении множеств. Особенностью данной задачи является рассмотрение операций с

Рис. 57

Рис. 58

известными учащимся бесконечными множествами натуральных чисел (N) и целых чисел (Z).

При наличии определенных условий (например, если ведется кружок) данный в задаче набор упражнений возможно расширить. Целесообразно, например, найти, что А П (5 П N) = {1, 2} (ß П Л/ = = {4, 3, 2, 1}, А П {4, 3, 2, 1} = {1,2}). Установив равенство (A f| В) f| N = А (] П (В П ЛО Д^я данного случая, естественно поставить вопрос: имеет ли вообще место сочетательный закон для пересечения множеств? Последнее проще установить с помощью кругов Эйлера. Впрочем, отечественный и международный опыт изучения элементов теории множеств с детьми (даже более младшего возраста, чем пятиклассники) убеждает в том, что детям доступны и многие общие рассуждения, в частности обоснование эквивалентности (А П ß) fi С <=> А П (В П С).

Задание 14. 1. Ответ в учебнике (с. 36).

2. Доказательство основано на применении определения модуля числа к случаю отрицательного числа:

\а\ = —а, а = —5, |—5| = —(—5) = 5.

3. Указанному требованию удовлетворяет равенство, выражающее определение модуля отрицательного числа: \а\ = —а, либо видоизменения этого равенства: а = —|а|; а + \а\ = 0.

Задание 15. 1. Простейшее неравенство —3 ^ х ^ 3. Но существуют и другие, например: —2 х + 1 4 и т. п.

2. Никакой отрезок координатной прямой не может быть решением этого неравенства.

3. [—4; 5]; 4. [—2; 4].

Задание 16. Приступая к решению задачи, следует четко выяснить с учащимися: а) направление переноса; б) длину отрезка, на который осуществляется параллельный перенос. Затем, отвлекаясь от других деталей чертежа, выполнить параллельный перенос трех вершин данного треугольника в заданном направлении на длину данного отрезка.

В первом случае параллельный перенос осуществляется на отрезок CCV Получится треугольник AiBxCv Во втором случае параллельный перенос осуществляется на отрезок ßß2. В результате получается треугольник А2В2С2 (рис. 58).

Задание 17. а) —5 ^ х < 2;

б) — 2 < у < 8.

Задание 18. Учитывая, что понижение температуры обозначают отрицательным числом, а повышение положительным, получим следующие значения температуры после 25 октября: 3°С, 0° С, —2° С, 6°С, —3°С.

Задание 19. Задание допускает различные варианты решений, например: а) —24 —27 + 3;

Задание 20. а) х + у = — (\х \ + \у\).

б) Пусть X > 0 и # < 0. Рассмотрим два случая:

1. М> \у\ =>х + у = \х\ — \у\.

2. М< \у\ =>х + у = -(\у\ - \х\).

Данную задачу полезно предложить учащимся при изучении ими соответствующих правил действий. Правила должны иллюстрироваться примерами.

Более сильным учащимся, справляющимся с подобными заданиями, можно предложить обратную задачу; какое общее заключение можно сделать о числах а и ft, если равенство а + b = \а \ — \Ь\ при любых значениях переменной истинно? (Ответ: а > О, КОи |а|> \Ь\.)

Аналогичные задачи целесообразно предлагать учащимся и в связи с изучением других действий с положительными и отрицательными числами. Приведем еще несколько заданий для примера.

1) Запишите правило вычитания двух чисел в общем виде (ответ: х — у = х + (—у).

2) При каких значениях переменной истинны равенства:

а) 28 + z = — (И — 28) (г<Ои \z\ > 28),

б) 100 + (—z) = 100 — z (z — любое число).

3) Решение уравнения:

а) X — 183 = —(|jc| + 183) (х < 0);

б) 30-у - 30- \у\ (у>0).

Задание 21. Как известно, это неравенство весьма часто используется в математических рассуждениях. И хотя в курсе V класса оно не имеет непосредственного применения, его целесообразно рассмотреть в пропедевтическом плане. Ответ на второй вопрос задачи рассчитан на индуктивное обобщение конкретных примеров: \а -\- Ь\ = \а\ + |6|, если а и b имеют одинаковые знаки.

Задание 22. Существенным элементом задачи является построение точек, симметричных самим себе.

Задание 23. Да. Для обоснования такой возможности достаточно привести хотя бы один пример.

Например, разность чисел —3 и —7 равна (—3) — (—7) = 4, а их сумма —3 + (—7) = —10, 4 > —10.

Задание 24. Данная задача рассчитана на применение известного учащимся преобразования — раскрытия скобок — как средства для решения других заданий. Учащимся доступно выполнение следующих преобразований:

Поскольку правые части этих равенств представляют одно и то же выражение, то можно утверждать, что значения левых частей равенств равны при всех соответствующих значениях переменных. Ряд подобных упражнений можно обобщить следующим выводом: два выражения с переменными имеют равные значения при всех соответствующих значениях переменных, если каждое из них можно преобразовать в одно и то же выражение с помощью известных законов и правил действий и преобразований. Полезно добиться того, чтобы подобного рода обобщения делали сами школьники.

Уместно также поставить перед учащимися вопрос о других способах доказательства тождественности выражений с переменными. Например, для до ;азательства тождественности выражений \2х — (8у — бху) + 16 и бху — (8у — 16) + 12х достаточно выполнить следующие преобразования в первом из них: 12х — (8у — бху) + 16 = 12х — 8у + бху + 16 = 12х — 8у + + 16 + бху = Ьху — (8у — 16) + \2у.

Задание 25. а) [АК\ ~ \ВК\ => \АК\ = \ВК\ = 4 см.

б) 1АК\ = [ВЮ по свойству оси симметрии (см. учебник, с. 85).

в) Хотя признаки конгруэнтности треугольников еще не изучались, но из возможности (постулируемой негласно) построения по трем сторонам множества треугольников, различно расположенных на плоскости, следует, что àAKE ^ &КВЕ. Можно, кроме того, просто сослаться на постулируемое в учебнике (с. 65) положение о конгруэнтности симметричных фигур (а треугольники АКЕ и ВКЕ симметричны относительно прямой /).

Задание 26. При доказательстве используется известное для учащихся положение: если точка лежит на оси симметрии двух точек, то она одинаково удалена от этих точек. Поэтому можно рассуждать так: по свойству длин сторон треугольника запишем:

\РМ\+ \МВ\> \РВ\,но \МВ\ = |ЛМI, тогда \РМ\ + \АМ\> > \РВ\, откуда |ЛР|> \РВ\.

Задание 27. При обосновании решения задачи учащиеся должны воспользоваться соответствующим признаком оси симметрии двух других точек: если прямая проходит через две точки, равноудаленные от двух других точек, то она является осью симметрии этих (других) точек. В квадрате диагональ лежит на прямой, которая проходит через две его вершины. Две другие его вершины равноудалены от первых двух, значит, диагональ квадрата является осью симметрии последних. В прямоугольнике в отличие от квадрата диагонали не являются осями симметрии даух противоположных вершин, так как не выполняется условие равного удаления этих двух вершин от двух других.

Задание 28. —20 (а + Ь) = —40, если а + b = 2, а это возможно, если, например, а = 3, b = —1 или а = 4, b = —2 и т. д.

Аналогично решается задание в случаях б), в), г), д).

Задание 29. В условии а-Ь>0 учащиеся V класса должны усматривать, что а и b имеют одинаковые знаки, ибо при различных

знаках ab < 0. Отсюда (—а) и (—Ь) также имеют одинаковые знаки. А в этом случае по правилу деления рациональных чисел (—а) : :(—Ь) = \а\ : |ft|>0. Следует обратить внимание школьников на то, что из условия а-Ъ > 0 следует, что а Ф 0 и Ь Ф 0; поэтому деление возможно, и частное не равно нулю.

Рассмотренной теореме можно придать форму следующего высказывания: а-Ь>0=>(—а) : (—Ь) > 0 (для всех тех значений переменных, при которых ab > 0).

Задание 30. По общему правилу умножения положительных и отрицательных чисел имеем:

1) Если а и b имеют одинаковые знаки, т. е. ab > 0, то а-Ь = = |а|* |&| > 0; следовательно, а-Ь = |а£|. Поскольку ab = |а|- и ab = |а-&|, то |аЬ| = |а|- |Ь|.

2) Если а к b имеют противоположные знаки, т. е. ab < 0, то а-Ь = — \a\-\b\ и а-Ь = — \а-Ь\. Значит, — \а-Ь\ = —|а|* |ô| и |а-6|= |аИИ

3) Если а = 0 или ft = 0, то \аЪ\ = |а|- |Ь| = 0.

Приведенные дедуктивные доказательства, кроме правила умножения, используют также и определение модуля числа: х ^ 0=ф-=> л: = |х| и X < 0 =^ |х| = —X. Например, если ab < 0, то а-Ь = = —(а-Ь). На каком основании отсюда перейти к равенству (ab) = = —|а-Ь|? Оно будет следовать дедуктивно из общего положения X = —у & —X = у, которое можно рассматривать как одно из основных свойств, связанных с понятием отрицательного числа, устанавливаемых с помощью координатной прямой и конкретных примеров.

Задание 31. 1. Необходимо применить переместительный и сочетательный законы умножения: (а-Ь)-с = (Ь-а)-с = Ь-(а-с) = = Ь- (с-а).

2. Если бы подчинялось, то имело бы место равенство aQb = = bQa при любых значениях переменных. Но при а = 5 и b = 4 aQb Ф b 0 а. Вообще при афЬ указанное равенство неверно, так как вычитание свойством переместительности не обладает.

Задание 32. Решение опирается на понятие «коэффициент выражения» и на умение найти коэффициент произведения. Так как среди множителей имеются числа 2, 5, 10, то 13! оканчивается двумя нулями.

Задание 33. Предполагаемый ответ: вынести а из суммы ab + ас — ad за скобки — значит представить это выражение в виде произведения двух множителей, одним из которых является а.

Правильным будет и такой ответ: вынести общий множитель нескольких слагаемых за скобку — это значит применить к сумме распределительный закон умножения.

Одной из методических проблем обучения математике является овладение учащимися математическим языком, правильное понимание математической терминологии. Особого внимания заслуживают такие терминологические выражения, в которых встречаются обиходные слова, вроде «вынести». Вынести за скобки общий мно-

житель а из суммы ab + ас — ad — это значит представить эту сумму в виде произведения а (Ь + с — d). Причем здесь подразумевается, что ab + ас — ad = = а (Ь + с — d) при любых соответственных значениях переменных, так как преобразование основано на применении распределительного закона умножения.

Задание 34. Отрезок AD, длина которого равна сумме длин отрезков AB и CD, делим на две конгруэнтные части (рис. 59).

Решение опирается на интуитивно ясные положения: 1) если данные отрезки расположить на прямой один за другим так, чтобы конец одного совпал с началом другого, то получим отрезок, длина которого равна сумме длин данных отрезков; 2) длина половины отрезка (это ведь тоже отрезок) равна половине длины отрезка.

Существуют и другие решения. Например, если меньший отрезок AB отложить на большем CD и найти середину остатка BD — точку /(, то [АК] будет решением. Действительно, пусть \АВ \ =» а, \CD\ = b, \АК\ = а + (Ь — а) : 2 = 2а : 2 + (Ь — а) : 2 = (2а + + b — а) : 2 = (а + Ь) : 2 (рис. 59, а).

Задание 35. 1. Задание направлено на воспитание привычки доискиваться до смысла употребляемых терминов, нередко выраженных обыденными словами. «Переносить» слагаемые из одной части уравнения в другую — значит прибавлять к обеим частям уравнения эти слагаемые с измененными знаками. «Можно» означает, что после такого преобразования получается новое уравнение, имеющее те же корни, что и прежнее.

2. Это делается с целью привести подобные слагаемые с переменными в одной части уравнения и выполнить сложение или вычитание чисел в другой части уравнения, с тем чтобы привести в конечном счете уравнение к виду kx = b.

3. Если в первом уравнении все слагаемые правой части перенести в левую, то после упрощения получим второе уравнение.

Задание 36. Обозначим абсциссы точек С и D соответственно хх и х2. Тогда из условия следуют уравнения: хх — а = (Ь — а) : 3, хх = а + (Ь — а) : 3, х2 = а + 2 (Ь — а) : 3.

Задание 37. 1. Перпендикулярность следует из свойства оси симметрии: она перпендикулярна к отрезку, соединяющему симметричные точки.

2. Чтобы получить [CD] J_ [AB], достаточно, чтобы A =S(cd)(B). Это обеспечивается равенствами: \АС\ = \ВС\ и \AD\ = \BD\ (см. рис. 40).

При более строгом изучении курса геометрии V класса следовало бы сформулировать теорему, обратную к теореме о свойстве оси симметрии, рассмотренной на с. 85 учебника. Эта (обратная) теорема выражает признак симметричности точек А и В относительно прямой

Рис. 59

CD: если \AC\ = \BC\ и \AD\ = |5D|, то (CD) — ось симметрии для точек А и В (А = S<cd) (В).

Задание 38. 1. Если принять 128,1 за 100%, то 189,6 составит 148%, следовательно, разница составит 48%.

Урожайность повысилась на 48%.

2. До улучшения на каждую из 10 ООО сделанных деталей приходилось 100 бракованных, значит, выпускалось 9900 деталей. После улучшения условий труда стали выпускать 10 500 деталей, из которых бракованных не 1% , а 0,92, т. е. 92 детали. Значит, будет выпущено 10 408 деталей. Разница — 408 деталей.

3. На 22 — 35%.

Задание 39. а) По основному свойству дроби

б) X = 90; в) только при у = 5; г) t — любое натуральное число:

д) по основному свойству дроби — = и — = -^j-; -g- = —, если ab = 15, так как а и b натуральные, то решением служит любая из пар: а = 1 и b = 15; а = 3, b = 5; а = 5, b = 3; а = 15, b = 1.

Задание 40. Для сравнения обыкновенных дробей необходимо привести их к одинаковым знаменателям (или к одинаковым числителям), так как иных способов учащиеся не знают. Полезно рассмотреть вопрос, направленный на системность знаний: на каком свойстве дроби основано приведение дробей к одинаковым знаменателям или одинаковым числителям?

Задание 41. Приведем по одному примеру решения данного задания:

Задание 42.

Задание 43. Нужно обратить внимание учащихся на термин «не более трех множителей» — два или три множителя. Для решения необходимо пересмотреть все случаи... .

1. 1) 4 = 2-2; 5) 10 = 2-5;

2) 6 = 2-3; 6) 12 = 2-2-3;

3) 8 = 2-2.2; 7) 14 = 2-7;

4) 9 = 3-3; 8) 15 = 3-5. Утверждение задачи истинно.

2. 1) 16 = 2.2-2.2; 5) 22 = 2-11; 9) 27 = 3-3-3;

2) 18 = 2-3-3; 6) 24 = 2-2-2-3; 10) 28 = 2-2-7;

3) 20 = 2-2-5; 7) 25 = 5-5; 11) 30 = 2-3-5.

4) 21 = 3-7; 8) 26 = 2-13;

Утверждение предыдущей задачи для данного случая не является истинным.

Истинным будет следующее утверждение: если п — составное число и 16 п < 31, то п представимо в виде произведения не более чем четырех простых множителей.

Задание 44. Задача решается на основе свойства оси симметрии. Если А у В и С — расположение пионерских лагерей, то точка пересечения осей симметрии точек А и В и точек В и С будет искомой.

Задание 45. Задача предназначена для внеклассных занятий и решается с учащимися V класса в связи с изучением умножения обыкновенных дробей.

Согласно условию задачи число Иванов на Руси составляло -jo- часть всех мужчин. Их отцы тоже составляют всех мужчин, потому что у каждого Ивана один отец. Сколько же среди этих отцов насчитывается Петров? Согласно условию Петром назывался каждый 20-й мужчина, значит, среди мужчин, сыновья которых называются Иванами, насчитывается Петров. Итак, от общей численности мужского населения Иваны Петровичи составят х

Если таким же образом выяснить, какую часть мужского населения составят Петры Ивановичи, то получим • т. е. то же число.

Следовательно, число Иванов Петровичей и Петров Ивановичей одинаково.

Задание 46. Формулировка обнаруженного свойства представляет определенные речевые трудности: произведение двух дробей, обратных данным, есть дробь, обратная по отношению к произведению данных дробей.

Гораздо легче (как и зачастую в математике) выразить и обосновать это свойство в алгебраической форме:

следовательно, эти дроби взаимно обратны.

Задание 47. 4. На основе рассмотренных примеров можно предположить, что указанное условие обеспечивается, если b = 2а.

Обратная дробь

Задание 48. 1. Задачу можно решить с помощью уравнения

2. При решении этой задачи можно рассуждать и так: ученик вместо +15 взял —15; получил результат меньше на 30, чем было нужно; в то же время, вместо того чтобы взять числа он его учетверил, т. е. получил лишних 3-^-числа (4 ——). Эти две ошибки покрыли друг друга, значит, 3-^-числа составят как раз 30. Само число (по его части) составит 30 : 3-г- = 30 : -т- = 1С = 8.

Задание 49. Биссектрисы совпадут. В самом деле, проведем биссектрису OK угла АОВ\ тогда

(если к равным прибавим равные, то получим равные).

Следовательно,

и луч OK — биссектриса угла COD (рис. 60).

Рис. 60

Задание 50.

в) а-9 = 16-а; значений а, при которых истинна данная пропорция, не существует, так как а Ф 0.

д) а — любое число, кроме нуля.

Задание 51,

Задание 52. Выполнение задания целесообразно оформить в виде таблицы:

Можно рекомендовать следующий план рассуждений. Сначала выявить все отрицательные значения, установить, какое из них меньшее, рассмотреть положительные степени, у которых основание степени меньше единицы, затем остальные степени.

Целесообразно рассмотреть аналогичное задание с обыкновенными дробями:

Задание 53. Запишем сумму чисел:

Изменим порядок слагаемых во второй скобке и запишем сумму в две строки:

Сумма чисел в каждой паре «по вертикали» равна п> а всего таких пар п — 1. Значит, вся сумма равна п (п — 1) + п = п2— п +

Задание 54.

Правило быстрой записи результата может быть записано в общем виде так: если а2 + Ь2 = с2, то {па)2 + {пЬ)2 — (/гс)2. Зная, что

Мы видим, что здесь действует то же самое правило:

Применим то же самое правило:

2) Рассмотрим еще один пример:

Значит, x = 29. Заполняем пропуски в записи этого примера

Проверка.

Теперь нетрудно записать правило быстрых вычислений в общем виде:

Применим его к случаю п = 7.

Задание 55.

Задание 56. Мыла хватит только еще на одну стирку. В самом деле, после семи стирок объем оставшегося куска мыла составил -4- часть первоначального. Израсходовано мыла: 1--L = _L куска. Значит, за каждую стирку расходовалась часть куска.

А именно столько, сколько осталось. Значит, осталось мыла на одну стирку.

Задание 57. Для решения задачи необходимо найти такие пары чисел, разность между которыми составляет 19, причем уменьшаемое кратно 3, а вычитаемое кратно 10.

Рассмотрим задачу в пределах 100 руб.

Покупатель мог бы отдать кассиру сумму, большую 19 руб. трехрублевыми купюрами так: 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51; 54; 57; 60; 63; 66; 69; 72; 75; 78; 81; 84; 87; 90; 93; 96; 99.

Кассир мог бы дать сдачу так: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90. Из двух записанных числовых множеств достаточно выбрать элементы так, чтобы между парой выбранных элементов разность была 19 руб. Итак, имеем:

Покупатель кассиру

39

69

99

Кассир покупателю

20

50

80

Аналогично можно провести рассуждения для случая, когда у кассира только «пятирублевки».

Задание 58. Задача может быть поставлена на уроке или как дополнительное задание при изучении п. 55. Она илллюстрирует понятие наименьшего общего кратного чисел в ситуации жизненного характера. В самом деле, Миша бывает в бассейне через три дня после каждого посещения. Таким образом, число дней, прошедших с начала совместного посещения бассейна Мишей, делится на три, и потому его можно представить формулой Зп (где п — число Мишиных посещений бассейна). Например, после четвертого посещения бассейна Мишей пройдет 3-4 = 12 дней. Число дней, прошедших с начала совместного посещения бассейна, для Васи выражается формулой 4/г, а для Коли — формулой Ъп.

Число 12 наименьшее, которое делится и на 3, и на 4; значит, только через 12 дней после первого совместного посещения бассейна Миша снова встретится с Васей (но с Колей они не встретятся). Для их второй совместной встречи в бассейне необходимо, чтобы число дней, прошедших от первой встречи, делилось бы и на 3, и на 4, и на 5. Таких чисел бесконечное множество (каждое из них является общим кратным 3, 4 и 5). Однако вторая встреча произойдет тогда, когда со дня совместного посещения пройдет наименьшее число дней, делящееся на 3, 4 и 5. Поэтому для решения задачи достаточно найти К

(3, 4, 5) = 60 (дней). Теперь нетрудно рассчитать день недели, в который произойдет встреча: 60 : 7 = 8 (ост. 4). Ребята первый раз встретились в понедельник — первый день недели, а новая встреча произойдет в пятницу.

Задание 59. Мудрец прав.

К (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2520,

2520 = 7-30.12.

После проведенного решения с учащимися полезно выяснить, будет ли только одно число являться ответом на вопрос подошедшего к Хозрат Али человека. Оказывается, нет. Чисел, делящихся без остатка на 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, будет бесконечное множество, которое называется множеством общих кратных данных чисел. Среди них одно — 2520 — наименьшее. А есть ли наибольшее?

Можно предложить ученикам назвать из этого бесконечного множества еще два-три числа, удовлетворяющие условию задачи.

Задание 60. Lx = (2л R)- 2,

Lx = 6,28-4,13 = 25,9364 « 26 (м), L2 = (2 я/?).2,

L2 = 6,28-3,7 = 23,236 « 23 (м).

Задание 61. л R2 = 2 jiR\ л R-R = л Я-2, если R = 2.

Задание 62. л (AR)2 = л 16R2 = 16 л R2. 16 л R2 больше л R2-в 16 раз.

Задание 63.

(основное свойство дроби),

3. -у- не может равняться конечной десятичной дроби, так как нет такого числа, при умножении которого на 7 получится число вида 10п (п 6 N).

Задание 64. Данная задача способствует правильному усвоению понятия средней скорости движения; ее решение предупреждает часто встречающуюся ошибку учащихся, когда понятие средней скорости движения ассоциируется с понятием среднего арифметического скоростей движения на отдельных участках пути. Так как скорость в одном направлении и скорость в другом направлении постоянны, то для определения средней скорости движения туда и обратно можно рассмотреть путь в 2 км: 1 км в одном направлении и 1 км в другом. Тогда средняя скорость движения определится как частное от деления пути (2 км) на сумму времени движений на пути в 1 км в одном направлении и на пути в 1 км в другом направлении.

От села до города велосипедист проезжал 1 км за ^ ч, или за 4 мин; от города до села 1 км он проезжал за ч, или за 6 мин, т. е. указанные 2 км он проезжал за 10 мин, а скорость такого движения составляет 2 : 10 = 0,2 км/мин, или 0,2-50 км/ч = 12 км/ч.

Задачу можно решать и в целых числах. 30 км туда он проезжал за 2 ч, 30 км обратно — за 3 ч. 60 км велосипедист проезжал за 5 ч. Следовательно, искомая скорость равна 12 км/ч.

Задание 65.

Время Семья

Время (в часах) на езду

Время (в часах) на отдых

1-я семья

У

2-я семья

x

Итак, вторая семья отдыхала в два раза больше, чем первая, следовательно, вторая семья ехала на машине быстрее первой.

Задание 66. Общий вид такого типа чисел abcabc. Каждое число вида abcabc = abc • 1001, но 1001: 13, следовательно, abcabc, 13.

Данная задача интересна тем, что значительное облегчение ее решения достигается за счет обобщения. Формулируя более общую задачу, мы не только облегчаем решение данной конкретной задачи, но и имеем возможность усмотреть новые свойства изучаемых математических объектов. Так, например, решение этой задачи дает нам удобный способ умножения трехзначного числа на 1001, двухзначного на 101, однозначного на 11 и т. п. На основании решения этой и аналогичных задач учащиеся могут попытаться установить самостоятельно какой-либо из частных признаков делимости. Задача предназначена для занятий математического кружка; предварительно ее следует задать на дом, а на занятиях кружка обсудить решение.

Задание 67. Единственное четное простое число —2. Предположим, что аф2, тогда b (b + с) = 10 = 2-5. Но а, Ь, с — неравные числа, значит, аф2, т. е. а — нечетное простое число. Поэтому а + 8 — нечетное число, следовательно, b и (Ь + с) — нечетные числа, а тогда с должно быть четным, т. е. с = 2. Тогда имеем следующее равенство: b-(b + 2) = а + 8 или b-(b + 2) — 8 = а. Составим таблицу значений b и а:

b

3

5

7

11

а

7

27

55

135

Дальнейшие испытания не нужны, так как 135 > 100; если b = 3, то а = 3-(3 + 2) — 8 = 7; если b = 5, то а = 27 — составное число и т. д.

Итак, премировано 7 участников областной, 3 участника городской и 2 участника школьной математических олимпиад.

Задание 68. 1. Обозначим через х число очков в соответствующем круговом кольце мишени; тогда х-2 будет означать число очков, «выбитых» за 2 выстрела в данную область мишени, и т. п. Составим таблицу:

Только подчеркнутые числа в сумме своей составляют 100. Поэтому нужно сделать шесть выстрелов и попасть два раза в 16 и четыре раза в 17.

5. Вот все возможные способы выбить 80 очков:

Только в) и г) способы ведут к выигрышу. Рассмотрение этих способов подсказывает «стратегию» выигрыша в соревновании: следует сразу выбить 40 очков и начинать соревнование первым. Результат можно свести вничью, если противник, начав первым, не выбьет 40 очков.

Задание 69.

Рис. 62

2. а = {б, з, к, с}; в = {б, з, к, с};

(б, б); (б; з);(б, к); (б, с);(з,б); (з, з); (з, к); (з, с);

(к, б); (к, з); (к, к); (к, с); (с, б); (с, з); (с, к); (с,с). 16 сочетаний цветов.

3. а) Прямое произведение конечных множеств связано с умножением натуральных чисел.

б) Число элементов одного множества умножить на число элементов другого множества.

Задание 70. Решение задачи очевидно.

Задание 71. Решение задачи видно из рисунков 61, 62. В случае квадрата каждая точка окружности сделает 4 оборота около своего центра, Центр окружности совершает четверть оборота около каждой вершины квадрата. За один обход центр окружности совершает путь, равный 5-2 я а = 10 я а\ в случае треугольника — соответственно 3 оборота и 8 я а.

Задание 72. В каждом примере взяты два положительных числа, сумма которых равна их произведению.

В общем виде: а + b = а-Ь, причем а > 0 и b > 0.

Для подбора других пар чисел, обладающих указанным свойством, можно поступать так: выбирать произвольно одно число, а другое находить из полученного уравнения. При этом можно заметить, что если в качестве одного числа брать правильные дроби, то другое число будет отрицательным. Объяснить причину этого можно, если выразить одно число через другое:

(нахождение слагаемого по сумме и другому слагаемому); (распределительный закон умножения);

(нахождение множителя по произведению и другому множителю).

Из выражения видно, что при 0 < b < 1 а <0.

Это выражение удобно использовать для нахождения пар чисел, удовлетворяющих данному условию.

Можно его использовать и для нахождения пар, удовлетворяющих дополнительному условию. Например, если b — натуральное число и а — десятичная дробь, то b — 1 может принимать значения 2, 4, 5, 8, 10,2.10,4-10, 5.10,8-10,9.10, 10-10, 2-100 и т. д.

Задание 73. В задаче требуется найти пересечение двух множеств. Рассуждать можно так. Хоровой кружок не посещают 10 человек. Все они лыжники, иначе последняя часть условия не будет выполнена. Но лыжную секцию посещает всего 17 человек; значит, к 10 нужно добавить еще 7 человек. Но «взять» их можно только в хоровом кружке. Значит, 7 человек посещают и хор, и лыжную секцию.

Задание 74. Рассуждаем так. 10 человек не посещают хоровой кружок, но они не обязаны посещать и лыжную секцию. Так что все 17 лыжников могут быть и хористами. Значит, наибольшее число и лыжников, и хористов 17, и оно получается, когда наибольшее число не охваченных ни хоровым кружком, ни лыжами 10. Если все эти 10 станут лыжниками, то число хористов и лыжников будет наименьшим. Это 7 человек. Так что ответом будет число не больше 17, не меньше 7 или 7 ^ х ^ 17.

Задание 75. Пусть первоначально радиоприемник стоил х руб.

Тогда получим уравнение х —^-х — (х — т1Гх)"Тт = ^ Решая это уравнение, получим, что первоначально приемник стоил 45 руб. Ответ: Первоначальная стоимость радиоприемника равнялась 45 руб.

Задание 76. 18% от 120 руб. составляют 21 руб. 60 коп. Значит, средняя заработная плата рабочих и служащих нашей страны к 1980 г. будет составлять 141 руб. 60 коп.

Задание 77. Приняв за х количество стали, выплавляемой в 1965 г., придем к уравнению Ъх + 75 = 348. Откуда получим, что в 1965 г. в нашей стране выплавлялось 91 млн. т. стали, в 1970 г.— 116 млн. т, в 1975 г.— 141 млн. т. Следовательно, к 1980 г., учитывая равномерный прирост выплавки, наша страна должна получить 166 млн. т. стали.

Задание 78. Приняв координаты поселка за начало координатной плоскости, легко обнаружить, что третий отряд был ближе других к городу, тогда как два других отряда находились на одинаковом расстоянии от города.

Задание 79. Если 31,4 см — длина окружности края воронки, то в развертке эта длина равна длине полуокружности, т. е.

Тогда площадь полукруга равна:

Ответ: 7,85 м2.

Задание 80. 1. 16,25 км • 2. 555 км; на северо-восток.

Задание 81. Изобразим условие задачи схемой:

Приняв за X количество розовых гвоздик, составим уравнение Зх + 240 = 360. Решая это уравнение, получим, что розовых гвоздик было 40 штук. Тогда белых гвоздик будет 120 штук, а красных— 200 штук. Наибольший общий делитель чисел 40, 120 и 200 равен 40. Следовательно, из 360 гвоздик можно составить 40 букетов, причем таких, что каждый букет будет состоять из 1 розовой, 3 белых и 5 красных гвоздик.

Задание 82. Учащимся уже известны способы разбиения прямоугольника на два конгруэнтных треугольника. Используя эти знания, учащиеся легко решат предложенную задачу. Чтобы наполнить сосуд, имеющий форму параллелепипеда, в половину его объема, надо наклонить его так, чтобы уровень воды приходился на край сосуда и на верхнюю кромку дна.

Задание 83. Задание рассчитано на умение пользоваться таблицей для отбора нужных данных. Значения доли являются показателями качественных различий сравниваемых совокупностей. Задача сводится к определению случая, когда подмножество составляет наибольшую часть множества. Она решается делением, но нет необходимости выполнять его до конца.

1) 13 : 123 > 0,1; 2) 33 : 433 < 0,1; 3) 65 : 653 < 0,1; 4) 90 : 780 > >0,1.

Таким образом, остается сравнить лишь первое и четвертое частные. 13 : 123 = 0,113 ... < 0,114; 90 : 780 = 0,115 ...> 0,114.

Так как 90 : 780 > 13 : 123, то в 1977 г. доля лиц с высшим образованием была наиболее высокой.

Задание 84. В таблице даны средние величины. Если искомое число обозначить через х, то по определению среднего имеем 780 : : 90 = 126,1 : х. Применяя основное свойство пропорции, получим: 780-х = 90-126,1; х = 90-126,1 : 780; х = 14,5 (млн. чел.)

ПОСЛЕСЛОВИЕ

О НЕКОТОРЫХ МЕТОДИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМАХ ПРИМЕНЕНИЯ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Глубокое и прочное усвоение школьниками основ современного курса математики чрезвычайно важно для формирования их математической культуры. Вместе с тем формирование высокой математической культуры выпускников современной школы необходимо предполагает принципиально иную организацию собственной познавательной деятельности школьников, в процессе которой у них формируются умения изучать математику самостоятельно и творчески, а следовательно, создаются предпосылки к активному применению математических знаний в дальнейшем.

Активизация самостоятельной познавательной деятельности школьников при изучении курса математики способствует более эффективному использованию системы учебных задач, которые являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний и способов деятельности, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из эффективных средств их математического развития.

От эффективности использования задач в обучении математике во многом зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся средней школы, но и степень их практической подготовленности к последующей за обучением деятельности в любой сфере производства, народного хозяйства, культуры, личных и общественных взаимоотношений.

Изменение содержания обучения математике повлекло за собой, в основном, лишь изменение математического содержания учебных задач; их внутренняя структура, технология их постановки в обучении, практически реализуемые ими функции не унифицированы, не подвергались необходимым в этом плане существенным изменениям. По-прежнему отбор математических задач к изучению многих тем курса математики нередко носит субъек-

тивный характер; некоторые задачи школьного курса математики либо слишком тривиальны, либо излишне сложны; в изложении некоторых тем курса математики не удалось найти адекватного отражения реализуемым в них ведущим идеям в содержании и методике решения задач и т. д.

Между тем (как и ранее) в практике современного обучения математике на решение задач отводится большая часть учебного времени как на уроках, так и при выполнении школьниками домашних заданий. Неэффективность использования этого учебного времени отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом, на качестве подготовки учащихся к практической деятельности в условиях современного производства.

В связи с этим уместно напомнить высказывание известного педагога математики Д. Пойа:

«Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности.

Поэтому первая и самая главная обязанность курса математики средней школы состоит в подчеркивании методической стороны процесса решения задач»*.

Перечень актуальных вопросов методики применения задач в обучении математике, ответы на которые имеют большое практическое значение, достаточно обширен. Так, предстоит четко определить функции задач в обучении математике; выявить систему задач, реализующую идею развивающего и воспитывающего обучения математике; определить ориентировочный количественный и качественный минимум задач, необходимых для реализации через них той или иной конкретной цели обучения математике. Разрабатывая конкретную методику обучения школьников решению математических задач, следует установить основные мыслительные умения, которые могут и должны быть сформированы у учащихся в процессе решения задач; выделить общие приемы и методы решения задач, ознакомление школьников с которыми возможно и полезно; разработать должным образом методику обучения школьников применению к решению задач математических методов (метода уравнений, векторного и координатного методов, метода геометрических преобразований); определить параметры системы задач, контролирующих степень обученности, обучаемости и математического развития школьников на каждом этапе обучения математике; разработать методику обучения математике через задачи и т.д.

Выскажем некоторые общие соображения, которые, на наш взгляд, необходимо учитывать при разработке любого из названных выше аспектов данной проблемы.

* Пойа Д. Математическое открытие. М., «Наука», 1970, с. 16.

1. В практике обучения математике или конкретно-методических исследованиях, говоря о роли и месте задач в школьном обучении математике, как правило, подразумевают только обучающий аспект решения задач. Решение определенных типов математических задач либо выступает в качестве локальной цели обучения математике, либо рассматривается как средство сознательного усвоения школьниками программного материала. Лишь в отдельных случаях (в основном на внеклассных или факультативных занятиях; в школах и классах с углубленным изучением математики) задачи выступают в явном виде как средство целенаправленного математического развития учащихся, формирования у них познавательного интереса и самостоятельности, развития математических способностей, средство формирования диалектико-материалистического мировоззрения, воспитания нравственных качеств личности.

Таким образом, роли и месту математических задач в системе воспитания, в формировании математического развития учащихся в практике массового обучения математике придается второстепенное, вспомогательное значение. Последнее особенно ярко просматривается в процессе использования задач как средства контроля и оценки знаний. Задачи выступают в качестве ведущего средства контроля и оценки фактических математических знаний, умений и навыков и почти не используются для контроля других компонентов математического развития или элементов воспитания.

Система задач, представленная в действующих учебниках математики, также не обладает, на мой взгляд, должной полнотой и последовательностью, необходимыми для обеспечения, наряду с реализацией конкретных целей обучения математике, эффективной реализации целей воспитания и развития учащихся.

Между тем, значимость математических задач в школьном обучении может быть раскрыта по существу лишь тогда, когда будут выявлены роль и место задач во всей системе школьного математического образования в единстве реализуемых при этом целей обучения, воспитания и развития учащихся средней школы.

Проблема целенаправленного математического развития школьников правомерно оказалась в числе важных проблем современной педагогической психологии, дидактики и методики математики.

В опыте работы передовых учителей новизна в методах обучения математике (да и вообще — любому учебному предмету) проявляется прежде всего в том, что основной акцент ставится не на запоминание школьниками учебной информации, а на ее глубокое понимание, сознательное и активное усвоение, на формирование у школьников умения самостоятельно и творчески применять эту информацию в рамках учебной практики.

Именно эту мысль имел в виду один из известных советских специалистов по технической кибернетике А. А. Фельдбаум, го-

воря о том, что «накопление знаний играет в процессе обучения немалую, но отнюдь не решающую роль. Человек может забыть многие конкретные факты, на базе которых совершенствовались его качества. Но если они достигли высокого уровня, то человек справится со сложнейшими задачами, а это и означает, что он достиг высокого уровня культуры (мышления.— Ю. К.)»*.

Эффективность развивающего обучения математике, в свою очередь, во многом зависит от его связи с воспитанием школьников.

Важность существенного повышения качества воспитания учащихся в процессе школьного обучения отмечена в материалах XXV съезда КПСС. Поэтому очевидна необходимость более эффективного использования процесса решения учебных задач для реализации целей воспитания учащихся через изучение математики в самых широких его аспектах: прикладной направленности обучения, его мировоззренческой направленности, воспитания интереса, творческих задатков, нравственных качеств личности и т. д.

Выявление роли и места задач в современном обучении математике диктует целесообразность разработки дидактически направленной характеристики важнейших компонентов математического развития учащихся, которые должны формироваться в процессе школьного обучения, выявления основных функций задач в системе развивающего и воспитывающего обучения математике; характеристики самого понятия учебной задачи и психолого-дидактических особенностей процесса ее решения и т.д.; то есть целесообразность специального исследования целого комплекса вопросов, возникающих на пути решения поставленной проблемы.

Вот почему в системе современных методов и форм обучения математике задачам отводится важнейшая роль.

Характерная для настоящего времени тенденция к повышению роли проблемного обучения свидетельствует о том, что решение задач правомерно занимает все более ведущее место в обучении математике, нередко определяя его формы и методы, в которых основной аспект ставится на самостоятельное и творческое усвоение школьниками учебного материала, на формирование их математического развития.

2. Задачи призваны играть большую роль в реализации через обучение математике важнейших воспитательных целей. Элементы воспитания школьников, осуществляемые через решение задач, также должны быть определенным образом запрограммированы учителем (и учебником); в процессе решения задач должно быть обеспечено их выявление и осознание самими школьниками (по возможности — самостоятельно).

* Фельдбаум А. А. Процессы обучения людей и автоматов. Сб. «Методы оптимизации автоматических систем». М., «Энергия», 1972, с. 113.

В практике обучения математике воспитывающие функции задач редко выступают в качестве ведущих (в отличие от функций обучающих, развивающих или контролирующих). Однако тот или иной элемент воспитания может и должен обязательно иметь место (и быть осуществлен) в каждой задаче: либо в ней самой (например, через фабулу), либо при ее постановке, либо в процессе ее решения, либо в процессе изучения результата решения.

К числу важнейших воспитывающих функций задач относятся формирование у школьников диалектико-материалистического мировоззрения, познавательного интереса и творческих задатков, воспитание чувства патриотизма, эстетическое воспитание и т. д.

Говоря о воспитании диалектико-материалистического мировоззрения, в процессе решения задач удается наиболее ярко продемонстрировать учащимся политехнический характер математики, прикладную направленность математических абстракций. Иллюстрируя, в частности, процесс применения математики к решению любой практической задачи, можно показать школьникам, что математика, отражая явления реальной действительности, является мощным средством ее познания.

Предлагая учащимся задачу с избыточной или неполной информацией, мы воспитываем у них готовность к практической деятельности. Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи, мы способствуем эстетическому воспитанию школьников.

Реализация воспитывающих функций способствует также решению задач, фабула которых связана с планированием развития народного хозяйства на пятилетку, с достижениями отечественной науки, техники и культуры. Полезна в этом отношении и постановка задач «с исторической фабулой» и т. п.

Формирование у школьников интереса к решению задач является важнейшим средством формирования у них интереса к математике и к ее изучению и вместе с тем эффективным средством приобщения школьников к учебной математической деятельности творческого характера. Имеется возможность и существует необходимость проведения такой работы не только во внеурочное время, но и в ходе непосредственного изучения школьниками программного материала. Для этого в процессе обучения математике необходимо систематически ставить определенные задачи (или серии задач), которые легко конструируются на базе задач, помещенных в учебниках математики. Использование задач, разбивающих творческие способности учащихся, является важным условием повышения качества математической подготовки школьников.

Ю. М. Колягин

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ......................... 3

4 класс

§ 1. Числа и множества...................... 7

§ 2. Равенства и неравенства................... 10

§ 3. Уравнения и неравенства................... 11

§ 4. Сложение и вычитание.................... 14

§ 5. Умножение и его свойства.................. 17

§ 6. Применение законов сложения и умножения.......... 18

§ 7. Деление и его свойства.................... 19

§ 8. Десятичная система счисления и мер............. 21

§ 9. Сложение и вычитание.................... 22

§ 10. Умножение.......................... 23

§11. Деление........................... 24

§ 12. Вычисления и построения................... —

§ 13. Разные задачи........................ 27

5 класс

§ 1. Действия над множествами .................. 31

§ 2. Направление и числа ..................... 34

§ 3. Сложение и вычитание .................... 35

§ 4, Умножение и деление..................... 36

§ 5. Равные дроби......................... 38

§ 6. Умножение и деление..................... 39

§ 7. Сложение и вычитание.................... 42

§ 8. Длина окружности и площадь круга ............. 43

§ 9. Разные задачи ........................ 49

Ответы и решения......................... "

4 класс ........................... —

5 класс........................... 69

Послесловие......................... 90

Александр Яковлевич Крысин Валентина Николаевна Руденко Вера Ивановна Садкова Ангелина Викторовна Соколова Александр Степанович Шепетов Юрий Михайлович Колягин

ПОИСКОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

(4—5 классы)

Редактор Э. К. Викулина

Художник обложки Б. Л. Николаев

Художественный редактор Е. Н. Карасик

Технический редактор М. М. Широкова

Корректор Г. М. Махова

ИБ № 3921

Подписано к печати с матриц 28.12 79. 60X90'/i6. Бумага типограф, № 2. Литер, гарн. Высокая печать. Условн. печ. л. 6. Уч.-изд. л. 5,24. Тираж 255 000 (80 001—255 000) экз. Заказ Nt 107. Цена 15 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41

Полиграфкомбинат им. Я. Коласа Госкомиздата БССР 220827, г. Минск, ул. Красная, 23