Адам Плоцки

ВЕРОЯТНОСТЬ В ЗАДАЧАХ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

< Просвещение >

Адам Плоцки

ВЕРОЯТНОСТЬ В ЗАДАЧАХ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

Книга для учащихся

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1996

УДК 51 ББК 22.1 П39

Рецензент:

зав. кафедрой математики экспериментальной гимназии № 710 Российской академии образования Москвы, вице-президент РАУМ Е. Бунимович

Плоцки А.

П39 Вероятность в задачах для школьников: Кн. для учащихся. — М.: Просвещение, 1996. — 191 с: ил. — ISBN 5-09-006570-5.

В книге через вероятностные задачи автор учит читателя принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оценивать степень риска, показывает также модели рационального поведения человека, знакомит с убедительными средствами аргументации.

Необходимые теоретические сведения даются как инструмент решения этих задач.

Книга адресована также учителям и всем любителям математики.

Уточн. план выпуска 1995 г., № 131 ББК 22.1

ISBN 5-09-006570-5

© Издательство «Просвещение», 1996

Все права защищены

От автора

Вероятностные понятия и основанные на них статистические методы в настоящее время находят все более широкое применение в разных областях науки и в практической деятельности человека.

Соединение элементов теории вероятностей и математической статистики называют стохастикой.

Стохастика — это тот раздел математики, который возник и развивался в тесной связи с практической деятельностью человека. Жизнь, в том числе и развлечения, ставили и ставят перед человеком разные проблемы. Некоторые из них решены и решаются, при этом открывая новые математические понятия.

Сегодня элементы стохастики входят в математику для всех, становятся новым, важным аспектом математического и общего образования современного человека.

Цель этой книги — сделать доступными и понятными тебе стохастические понятия и методы. Решая предложенные в ней задачи, ты почувствуешь себя первооткрывателем этих идей. В этой книге тебе предлагают другую форму математических задач, отличную от тех, которые ты до сих пор решал в школе. Нам хочется, чтобы ты, изучая эту книгу, почувствовал себя и автором многих математических задач. Стохастические понятия и методы являются в этих задачах новым математическим инструментом решения конкретных проблем.

В типичных задачах по теории вероятностей подсчитываются вероятности разных событий, связанных в большинстве случаев с бросанием монеты, бросанием кубика или со случайным выбором шаров из урны. Обычно в этих задачах не указывается, кто и с какой целью их сформулировал.

Многие задачи, которые содержатся в книге, — это вовсе не математические задачи. Их суть сводится к тому, чтобы решить, является ли право первенства в данной ситуации некоторой привилегией, справедлива ли данная игра и что это значит, можно ли принять некоторое приглашение, купить ли замок, закрывающийся с помощью шифра (а не ключом), или нет, есть ли основания для того, чтобы подозревать кого-то в доносительстве, является ли данный факт результатом знаний, таланта или догадки,

а значит, случая, как справедливо выбрать одного человека из группы, чтобы он выполнил поручение, которое никому выполнять не хочется, как поступить, если тебе нужна игральная кость, но она куда-то пропала, и т. д.

Твоя роль сводится к тому, чтобы перевести эти внематематические проблемы на язык математики, а в дальнейшем подобрать (известные уже тебе или еще нет) математические средства решения этих теперь уже математических задач.

Таким образом, рассматриваемые в этой книге стохастические задачи должны стать твоими задачами, так как ты их сам сформулировал. Такой подход к задачам должен повлиять на твое отношение к стохастике.

В книге предлагаются простые способы решения также и сложных стохастических задач. Формулировку, подход к решению и само решение этих задач автор хотел тебе показать как пример особой математической деятельности. Во многих задачах дело не сводится к подсчетам, так как математическая деятельность— это не только дедукция и расчеты. Это также формулировка выводов с помощью аналогий, это построение рациональных способов поведения, это подбор убедительных средств аргументации (как, например, рисунок), это кодировка и декодировка информации и т. п.

Ничего, что предлагаемые проблемы в основном касаются игр, а значит, могут показаться маловажной областью жизни человека. Следует помнить, что человеческая жизнь — это постоянный процесс принятия решений, а стратегически случайная игра хорошо отражает и иллюстрирует суть этого процесса. Стохастика показывает модели рационального поведения человека в разных обстоятельствах, описывает, как в некоторых ситуациях оценивать, какое из решений оптимально.

Многие задачи в этой книге иллюстрируют, как можно оптимизировать свое поведение, как с помощью математики можно уменьшить свои усилия.

Идея этой книги зарождалась на протяжении многих лет учебной и педагогической деятельности автора и является попыткой дойти со стохастическими идеями до всех школьников — до тех, кто любит и даже не любит математику.

Итак, стохастика — это особый раздел математики. Попробуй поверить в свои возможности в усвоении математических идей, решая задачи, предложенные в этой книге.

Автор желает тебе успехов.

Книга рассчитана также на учителя математики, перед которым жизнь ставит в наше время новую нелегкую задачу сделать доступными стохастические понятия и методы для всех учеников.

Помещенные в конце книги указания для учителя должны дать ему возможность понять, сколь огромную роль могут выполнять стохастические задачи как в математическом образовании, так и в образовании с помощью математики.

1. Случайное испытание как объект окружающего нас мира

Среди явлений и экспериментов выделяются те, исход которых зависит от случая. Будем их называть случайными испытаниями. В этой книге они будут объектами математической обработки. В жизни очень много таких случайных испытаний.

1. Футбольный матч судья начинает бросанием монеты. Нас интересует, какой стороной монета упадет вверх. Если это сторона с орлом, то говорят, что выпал орел, если противоположная сторона — говорят, что выпала решка. Бросание монеты — это случайное испытание.

2. Реквизитом во многих играх является игральная кость, т. е. кубик с очками на гранях (развертка этого кубика показана на рисунке 1.1). Бросая эту кость, мы наблюдаем (фиксируем) число выпавших очков. Если выпадут, например, 2 очка, то говорят, что выпала двойка, если выпадет 6 очков, то говорят, что выпала шестерка, и т. д. Бросание игральной кости — это случайное испытание.

Очки на игральной кости расположены таким образом, что сумма чисел очков на противоположных гранях кубика равна 7.

На рисунке 1.2 изображено игровое поле для очень популярной в Польше, Германии и Чехии игры ЧЕЛОВЕК, ТЫ НЕ СЕРДИСЬ. В игре принимают участие два, три или четыре игрока. У каждого 4 пешки одинакового цвета, но цвета пешек у разных играющих разные.

Играющий бросает кубик и в зависимости от числа выпавших очков перемещает одну из своих пешек по игровому полю на столько шагов (по часовой стрелке), сколько очков выпало. Побеждает тот, кто первым доведет все свои пешки на четыре свои конечных поля.

Рис. 1.1. Развертка игральной кости

Рис. 1.2. Игровое поле для игры ЧЕЛОВЕК, ТЫ НЕ СЕРДИСЬ

3. Различные игры, в которых бросаются кости, были известны уже в древнем мире (рис. 1.3 а и б. Рисунки 1.4 а и б изображают популярную в средневековой Испании игру, в которой бросались три кости и подсчитывалась сумма выброшенных очков. (Рисунки взяты из рукописного описания игр кастильского короля Альфонса X Мудрого (1283 г.).)

Рис. 1.3 а. Римлянки, играющие в кости

Теория вероятностей развивалась как раздел математики, между прочим, в результате решения (многие столетия назад) различных задач, возникших в связи с такими играми.

Рис. 1.3 б. Гречанки, играющие в кости. Жан-Гоноре Фрагонар (1732—1806 гг.)

Рис. 1.4 а.

Игра в три кости в средневековой Испании. Миниатюра (гравюра) из рукописи об играх короля Кастылии Альфонса X Мудрого (1283 г.)

Рис. 1.4 б

4. Вышеупомянутая игра ЧЕЛОВЕК, ТЫ НЕ СЕРДИСЬ состоит из вводного этапа. Каждый игрок для каждой своей пешки должен получить право поставить ее на стартовом поле. Для этого он бросает кубик (по очереди) до тех пор, пока не выпадет шестерка. Если выпадет шестерка, то он ставит свою пешку на стартовом поле, если выпадет иное число очков, он передает кость

другому игроку и ждет своей очереди, чтобы бросание кубика опять повторить. Если, бросая кубик второй раз, игрок получит шестерку, то он ставит свою пешку на стартовое поле; если получит другое число очков, то он передает кость другому игроку и т. д. О том, сколько раз надо бросить кубик, чтобы дождаться шестерки, решает случай. Для каждого игрока вводный этап игры состоит, таким образом, из некоторого случайного испытания.

5. В польской игре ЛОТТО (TOTO — LOTEK) особая машина (рис. 1.5) случайно выбирает 6 раз шар из набора 49 занумерованных шаров. Два раза в неделю (по средам и субботам) транслируется по телевидению этот многократный случайный выбор шара. Выбранный шар не возвращается в ящик этой машины. Мы говорим здесь о шестикратном случайном выборе шара без возвращения.

По понедельникам и вторникам или по четвергам и пятницам каждой недели, т. е. прежде чем будет проведено такое случайное испытание, играющий заполняет бланк, вычеркивая на нем 6 чисел (рис. 1.6) и оставляет его в киоске, оплатив за участие в игре. Затем играющий в ЛОТТО ждет, какие числа будут у случайно выбранных шаров, а значит, какой будет результат

Рис. 1.5. Машина, которая случайно выбирает 6 чисел (и одно дополнительное) из набора 49 чисел в числовой игре ЛОТТО

Рис. 1.6. Заполненный бланк в игре ЛОТТО. Играющий сделал ставку на числа: 1, 12, 13, 24, 48, 49

Рис. 1.7

данного случайного испытания. Выигрыш игрока зависит от того, какие числа он вычеркнул на бланке и какие числа были затем случайно выбраны.

Заполняя бланк в понедельник или во вторник, играющий в ЛОТТО как будто пытается угадать, какие числа в среду случайно выберет машина. Если ему удастся угадать все эти числа, т. е. если случайно выбранные числа в среду будут те же, которые он вычеркнул на бланке в понедельник или во вторник, то он выигрывает большие деньги.

В киосках, в которых продаются и принимаются бланки ЛОТТО, можно купить различные приборы для осуществления случайного выбора шести чисел из 49 (рис. 1.7). Они должны помочь играющему в ЛОТТО принять решение, какие числа зачеркивать на бланке.

Шариковая ручка на рисунке завершается трубкой с контейнером, в котором свободно может перемещаться 49 шариков.

Встряхнув контейнером и перевернув ручку вертикально, можно загнать шарики в трубку. О том, который шарик попадает в трубку первым, который следующим и так далее, решает случай. В трубке один за другим помещается точно 6 шариков. Описанный прибор служит для шестикратного случайного выбора без возвращения шара из урны с 49 занумерованными шарами.

Круглая коробка на том же рисунке служит также для имитации случайного выбора шести из 49 номеров ЛОТТО. Следует быстрым круговым движением потрясти коробкой, чтобы шарики стали в ней перемещаться. Затем коробку надо поставить на стол и ударить пальцем в верхнее стекло. Шарики случайно окажутся на определенных занумерованных сегментах. Номера этих сегментов толкуются как случайно выбранные числа.

Много игр, которые ты встретишь дальше в этой книге, напоминают такое ЛОТТО.

Ящик данной машины с занумерованными шарами, коробка или мешок с разноцветными шарами, неразличимыми на ощупь, называется урной.

6. Вышеописанную игру ЛОТТО ты не путай с известной в России игрой ЛОТО. В эту игру входят 24 карты (каждая разделена на 27 частей, среди которых 15 обозначаются числами), 90 фишек-бочоночков, занумерованных числами от 1 до 90 и неразличимых на ощупь, а также заставки (рис. 1.8). В игру могут играть сразу несколько человек. Карточки раздаются поровну. Ведущий случайно выбирает из мешка бочоночек и называет его номер. Если у игрока на карточке есть такой номер, то играющий закрывает его на этой карточке. Выигрывает тот, кто первым закроет горизонтальный ряд на одной из своих карточек. Выбранный из мешка бочоночек в мешок не возвращается.

Мешок с бочоночками — это как бы урна с шарами. В игре

Рис. 1.8. Аксессуары в игре РУССКОЕ ЛОТО

Рис. 1.9

ЛОТО проводится, таким образом, случайное испытание. Это многократный случайный выбор (без возвращения) бочоночка из мешка. В Западной Европе русское ЛОТО очень популярно, оно существует там под названием БИНГО (BINGO).

7. В польском ЛОТТО доказательством оплаты за участие в игре является наклеенная на заполненный бланк полоса с номером, который состоит из двух букв и семи цифр (рис. 1.9). Последние пять цифр этого номера (это так называемая «концовка бандероли») составляют число, которое затем принимает участие в отдельной жеребьевке. Из состава десяти шаров, обозначенных цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью особого устройства случайно выбирается 5 раз шар. После каждого выбора вынутый шар возвращается обратно в ящик с шарами. Такой пятикратный случайный выбор шара из урны с возвращением — пример случайного испытания.

Номер очередного выбранного шара является очередной цифрой случайно выбранного таким образом числа. Если у игрока на бланке такой номер, какой случайным путем установлен во время вышеописанного случайного испытания, то игрок получает премию.

«Концовки бандероли» на заполненных бланках на рисунке 1.9 — это: 73644 и 77027.

Бросание монеты, бросание игральной кости, случайный выбор шара из урны — это одноэтапные случайные испытания. Шестикратный случайный выбор шара из урны с возвращением или без возвращения — это многоэтапное случайное испытание.

8. Иногда шары заменяются другими предметами. Например, роль вышеупомянутой машины выполняет человек, глаза которого завязаны платком. Он выбирает наугад один или не-

сколько этих предметов. Таким образом, выбранный предмет является результатом случайного испытания.

9. В Польше каждый фант в вещевой лотерее представляется одинаковым на вид бумажным свертком, т. е. лотерейным билетом. Покупка такого лотерейного билета — это случайный выбор.

Монеты, игральные кубики, мешки (урны) с шарами — это предметы, типичные для мира случайностей. С их помощью проводятся некоторые случайные испытания, известные из многих задач по теории вероятностей. Есть и другие предметы из мира случайностей, которые мы встретим в дальнейшем. К ним принадлежит колода из 52 карт как реквизит в игре бридж.

Одна сторона у всех карт одинакова. Это так называемая рубашка (рис. 1.10). С этой стороны все карты неразличимы по внешнему виду. На второй, главной строне каждой карты находится или число, или буква с изображением женщины или мужчины (эти знаки обозначают значение карты), а также красная или черная фигура (она изображает так называемую масть карты).

В колоде находится 13 карт с красным сердечком (рис. 1.11). Это карты масти червей.

Карты с другой красной фигурой — это карты масти бубей (рис. 1.12).

Карты масти червей и карты масти бубей — это красные карты.

Рис. 1.10

Рис. 1.11. Карты масти червей

Рис. 1.12. Карты масти бубей

Есть в колоде 13 карт с черным листочком березы. Это карты масти пик (рис. 1.13).

Есть в колоде 13 карт с черным листочком клевера. Это карты масти треф (рис. 1.14).

Карты масти пик и карты масти треф — это черные карты.

В состав тринадцати карт каждой масти входят: карта с буквой Т (или А) — это туз (ее значение: 1), карта с числом 2 — это двойка (ее значение : 2), карта с числом 3 — это тройка (ее значение : 3), карта с числом 4 — это четверка (ее значение : 4) и т. д., карта с числом 10 — это десятка (ее значение: 10), карта с изображением молодого мужчины с буквой В (или W) — это валет (ее значение: 11), карта с изображением красивой женщины с буквой Д (или Q) — это дама (ее значение : 12), карта с изображением короля с буквой К — это король (ее значение : 13):

Рис. 1.13. Карты масти пик

Рис. 1.14. Карты масти треф

Рис. 1.15

10. Игра бридж начинается растасовкой колоды карт. Во время этой процедуры все карты перемешиваются. Выкладывание на стол одной карты после их растасовки является случайным испытанием. Оно напоминает случайный выбор шара из урны с 52 шарами. Легко заметить, что если принимать во внимание только цвет карты, то колода карт является как бы урной с 26 черными шарами (13 карт пик + 13 карт треф) и 26 красными шарами (13 карт червей + 13 карт бубей). Если рассматривать только масть карты, то колода карт является урной с шарами четырех видов. Если принимать во внимание значение карты, то колода карт напоминает урну с: четырьмя шарами номер 1 (4 туза), четырьмя шарами номер 2 (четыре двойки) и т. д., четырьмя шарами номер 11 (4 валета), четырьмя шарами номер 12 (4 дамы) и четырьмя шарами номер 13 (4 короля). Если принимать во внимание и масть карты, и ее значение, то колода карт является урной с 52 занумерованными шарами.

11. Выкладывание на стол некоторого числа карт после растасовки колоды при раскладывании пасьянса — это случайное испытание. О том, какие карты выкладываются и на какое место какая из них попадет, решает только лишь случай. В пасьянсе «малое фортепиано» после перетасовки 52 карт выкладываются на стол 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, т. е. 28 карт, так,как показано на рисунке 1.16:

12. Раздача карт в игре бридж после перетасовки колоды из 52 карт (они раздаются поровну четырем игрокам) — это случайное испытание. О том, какие карты получит каждый из четырех игроков, решает случай. Раздача карт в игре бридж — это

Рис. 1.16

случайное разделение полной колоды карт на четыре равномощных* подмножества.

13. Многие детские игры начинаются считалкой. С помощью такой считалки случайным образом ребята назначают начинающего игру в догонялку или в прятки.

14. Иногда для случайного выбора одного из двух лиц (одной из двух возможностей) используется любой маленький предмет (например, камешек), который одно из этих лиц зажимает в кулаке. Другой угадывает кулак, в котором спрятан этот предмет. Если ему удается угадать, то он считается выбранным, если нет, то выбранным считается лицо, которое прячет предмет.

15. «Матросским» называется в Польше способ случайного выбора одного из многих лиц. В определенный момент все присутствующие «выбрасывают» любое число пальцев правой руки. Все «выброшенные» пальцы суммируются. Начинают считать с любого человека (как в детской считалке) до числа, которое было суммой «выброшенных» пальцев. Человек, на котором закончится счет, считается случайно выбранным**.

16. На ярмарках, народных гуляньях в Польше часто встречается игра с названием РУЛЕТКА. Вокруг круглой площадки стола вращается стрелка. Круг стола разделяется радиусами на секторы, на которых стоят различные предметы. Игрок, уплативший за участие в игре, получает право закрутить эту стрелку. На каком секторе она остановится, решает случай. Этот сектор выбирается случайным образом. Предмет, находящийся в выбранном таким образом секторе, становится собственностью игрока. Этот предмет выбирается, таким образом, с помощью некоторого случайного испытания.

Не все секторы в этой игре равны, но и предметы, которые на них находятся, имеют разную ценность. Более дорогие предметы находятся на маленьких секторах, дешевые — на больших. Ты смог бы объяснить, почему они раскладываются именно так?

17. В популярной в России игре ПОЛЕ ЧУДЕС проводится случайное испытание с помощью прибора, который напоминает вышеупомянутый круглый стол с вращающейся стрелкой. В игре РУЛЕТКА крутилась стрелка вокруг стола. В игре ПОЛЕ ЧУДЕС вращается круглая площадка вокруг стрелки. В обеих играх случай решает, какой сектор будет выбранным (рис. 1.17).

Круглую площадку, вокруг которой крутится стрелка или которая вращается вокруг неподвижной стрелки, мы будем называть рулеткой. Диск рулетки на рисунке 1.18 разделен на шесть равных секторов. Теперь легко заметить, что с помощью такой рулетки можно имитировать бросание игральной кости.

* Два конечных множества называют равномощными, если у обоих равные количества элементов.

** В России этот способ называется «по-морскому».

18. С XVIII века популярна в Западной Европе азартная ИГРА В РУЛЕТУ. В этой игре (она подробно описана в § 5) проводится некоторое случайное испытание с помощью так называемой рулеты. Это по сути дела круглый диск, разбитый на 37 равных секторов, занумерованных числами от 0 до 36 (рис. 1.19). После приведения в движение диска в противоположном по отношению к его движению направлении в рулету бросается металлический шарик. Сектор, на котором остановится шарик после окончания движения рулеты и шарика, является случайно выбранным. По соответствующим правилам его номер считается выигрывающим числом.

Рис. 1.17. Диск рулетки в игре ПОЛЕ ЧУДЕС

Рис. 1.18. Диск рулетки, которая имитирует бросание кубика

Рис. 1.19. Рулета

19. Рисунок 1.20 изображает вращающиеся волчки. Такой волчок состоит из диска, которым является правильный многоугольник, и перпендикулярной ему оси. Такой волчок, приведенный во вращательное движение, падает на одну из сторон многоугольника. То, какая это будет сторона, решает случай.

С помощью вращающегося волчка проводится, таким образом, некоторое случайное испытание. Легко заметить, что с помощью второго волчка на рисунке 1.20 можно имитировать бросание кубика.

20. Стреляющий в мишень прицеливается в ее центр, но то, в какой пункт круга мишени попадет пуля, решает случай. Пункт, в который попала пуля, является, таким образом, результатом случайного испытания.

Описанные выше случайные испытания придумал человек. Встречающиеся в природе многие явления также можно назвать случайными испытаниями. Приведем примеры.

21. Пол родившегося ребенка является результатом испытания, которое можно считать случайным.

22. Результатом случайного испытания является также число детей, появившихся на свет при одних родах. Демографы заметили, что близнецы рождаются в среднем один раз в 80 родов, что тройня приходит в этот мир в среднем раз в 802 родов, четверо близнецов — один раз в 803 родов и т. д.

Рис. 1.20. Вращающиеся волчки

23. Число кур и петухов, которые вылупятся из s яиц, высиживаемых наседкой, — это результат испытания, которое следует считать случайным.

24. День рождения (число и месяц) каждого ученика твоего класса есть случайное число. Если принимать во внимание день рождения учеников класса, то твой класс является результатом некоторого случайного испытания.

25. Знак зодиака, под которым родился каждый из людей, находящихся в данный момент в трамвае, — это результат случайного испытания.

Играющие в кости и карты. Гравюра Корнелиса Тойниссена (1540 г.).

26. Случайное размещение изюминок в полученных кусочках теста при его вымешивании и делении является случайным испытанием. Сколько изюминок попадает в каждую часть теста, решает случай.

27. Число рыб, пойманных каждым из нескольких рыболовов в определенное время, — это тоже результат случайного испытания.

28. В сосуде находится жидкость (прививка), в которую попали бактерии. После встряхивания сосуда жидкость разливается в пробирки. Бактерии случайно распределяются по отдельным пробиркам.

29. Из-за границы возвращается группа туристов, среди которых находятся несколько нарушителей таможенных правил (но не все), чего по их внешнему виду и поведению нельзя угадать. На границе таможенник приглашает на личный досмотр нескольких туристов. Если предположить, что никто не донес, то только случай решил, кто попал на личный досмотр. Автобус с этими туристами напоминает в данной ситуации урну с черными (это контрабандисты) и белыми (это настоящие туристы) шарами.

Мы привели несколько примеров случайных испытаний, однако вовсе не все испытания бывают случайными. Испытание, результат которого определен однозначно, называют детерминированным испытанием.

Результат соединения химических элементов однозначно определен. Он не зависит от случая. Соединения химических элементов, о которых ты слышишь на уроках химии, — это не случайные испытания. Это детерминированные испытания.

Много стохастических проблем касается игр, в которых проводятся случайные испытания и в которых выигрыш рассчитывается в деньгах. В этой книге будем использовать особые деньги, которые назовем стохастическими рублями (в книге — рубли) и стохастическими копейками (в книге — копейки), 1 стохастический рубль = 100 стохастическим копейкам.

2. Вероятностная модель случайного испытания как средство рационализации участия в игре

Для каждого случайного испытания (как объекта реального мира) мы будем строить его вероятностную (а значит, математическую) модель. Мы покажем, как строится эта модель, для чего и кому она может понадобиться.

Установив цель наблюдения за ходом случайного испытания, определим множество всех его возможных исходов. Например, при бросании монеты мы наблюдаем сторону, которой монета падает вверх. Здесь возможны два результата бросания монеты. Обозначим буквами:

о — результат выпал орел,

r — результат выпала решка.

После такого договора {о, r} — это множество всех возможных результатов бросания монеты.

Рассмотрим теперь случайный выбор шара из мешка, содержащего один черный шар и пять белых. Все шары в мешке неразличимые на ощупь. Случайно выбирая шар, мы наблюдаем его цвет. Таким образом, у нас только два возможных результата:

b — выбранный шар будет белым,

с — выбранный шар будет черным.

В отличие от детерминированных испытаний множество всех результатов случайного испытания по меньшей мере двухэлементное. Это множество мы будем обозначать греческой буквой Ω (читай: омега). В дальнейшем мы ограничимся испытаниями, для которых множество Ω конечно.

Каким из возможных результатов окончится случайное испытание, точно предсказать невозможно, здесь решает случай. Но часто для каждого результата мы можем оценить шанс, что именно им окончится случайное испытание.

Вернемся к бросанию монеты. Нет никаких оснований утверждать, что шансы результата выпадет орел больше шансов результата выпадет решка. Это вытекает из симметрий монеты. Говорят: результаты бросания монеты одинаково вероятны. Шансы результата — это иначе вероятность, что им окончится испытание. Упомянутые шансы, а значит, вероятность результа-

та, мы можем здесь оценить как 1 : 2. Число 1/2 — это оценка вероятности результата выпадет решка. Скажем, что вероятность получить решку при бросании монеты равна 1/2, или, короче, принимая во внимание наш договор: вероятность результата r равна 1/2.

Шансы результатов случайного выбора шара из вышеописанной урны не являются одинаковыми. Так как белых шаров в 5 раз больше, чем черных, то шансы получить белый шар в 5 раз больше, чем шансы второго результата. Результаты этого испытания не являются одинаково вероятными. Шансы получить белый шар можно оценить как 5:6. Число 5/6 — это вероятность результата b. Случайный выбор шара из данной урны окончится результатом с (вынутый шар будет черным) с вероятностью 1/6.

Для каждого результата случайного испытания будем в дальнейшем определять вероятность, с которой испытание может окончиться именно этим результатом. Смысл этого понятия указан выше.

Мир математической абстракции — это на самом деле наш реальный мир, на который мы смотрим как бы через особые математические очки. Через эти очки футбольный мяч и земной шар представляются шарами, помещение твоего класса — кубом, страничка тетради — прямоугольником, а большой город (если его рассматривать на глобусе) — точкой на плоскости.

На различные случайные испытания как объекты нашего реального мира, а прежде всего на приборы, с помощью которых проводятся эти испытания, мы будем также смотреть, надев эти математические очки. Через эти очки копеечная или рублевая монеты выглядят как идеально симметричные фигуры (круги), игральная кость — как куб, с которым ты имеешь дело на уроках геометрии, и т. д.

Есть игры, в которых шансы на успех у плохо успевающего по математике ученика в классе и учителя математики одинаковы. Такой игрой является, например, описанное в § 1 ЛОТТО. Но есть игры, в которых математика помогает игроку достичь успеха.

Начнем с простой игры. В ней бросается два одинаковых игральных кубика и наблюдается, сколько совместно выпало очков. Результат такого испытания — это число совместно выпавших очков. Но прежде чем произойдет это случайное испытание, ты должен предсказать, каким результатом оно закончится. Если тебе удалось — получаешь очко. В такой игре ты делаешь ставку на результат данного испытания и получаешь очко, если ставка окажется правильной.

2.1 Известна ли тебе игра такого типа? Есть ли среди возможных результатов бросания двух кубиков такой, на который стоит сделать ставку? Чем характерен такой результат?

Если посмотреть на ЛОТТО (в России спортлото) через упомянутые математические очки, то оно является игрой, подобной вышеописанной. Перед случайным выбором номеров (например, 6 из набора 49), а значит, прежде чем произойдет некоторое случайное испытание, игрок заполняет бланк. Он, по сути дела, делает ставку на то, каков будет результат этого испытания. Если ставка окажется правильной, игрок получает деньги как выигрыш. Итак, в обеих играх, прежде чем произойдет некоторое случайное испытание, игрок делает ставку на его результат. Ответ на первый вопрос, таким образом, готов. Наша игра напоминает ЛОТТО. Назовем ее ЛОТТО С ДВУМЯ КУБИКАМИ.

На что же можно делать ставку в этой игре? Каковы возможные результаты бросания двух кубиков? Чтобы ответить на эти вопросы, надо определить множество всех возможных результатов данного испытания. Математик называет такое множество пространством элементарных событий, мы будем его называть пространством результатов. У нас это множество

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

На рисунке 2.1 изображен бланк игры ЛОТТО С ДВУМЯ КУБИКАМИ. Ставку на результат испытания можно сделать, если перед бросанием кубиков вычеркнуть число на этом бланке.

Если все возможные результаты испытания одинаково возможны (одинаково вероятны), то безразлично, на какой из них будет сделана ставка. Если какой-то результат очень маловероятен, то очевидно, что на него не стоит делать ставку. Из двух неодинаково вероятных результатов целесообразно сделать ставку на более вероятный результат. Если результаты испытания не одинаково вероятны, то ставку следует делать на наиболее вероятный результат.

Поставленные вопросы касаются выбора удачной стратегии в игре. Чтобы участвовать в игре рациональным (разумным) образом, надо для каждого результата оценить шанс, что именно им окончится случайное испытание.

Итак, вопрос о рациональном участии в игре сводится к вычислению (или к оценке) вероятности каждого из возможных результатов испытания.

Для каждого результата испытания будем определять число, выражающее степень уверенности (а значит, шанс), что испыта-

Рис. 2.1. Заполненный бланк игры ЛОТТО С ДВУМЯ КУБИКАМИ. Ставка сделана на результат 8 (совместно выпадет восемь очков)

ние окончится именно этим результатом. Математик выскажет это так:

на множестве Ω всех возможных результатов случайного испытания надо определить некоторую функцию р, значения которой принадлежат множеству действительных чисел. Если ω — результат испытания, то число р(ω) — вероятность этого результата.

Но как это осуществить?

Возьмем сначала другой, более простой вариант данной игры. Предположим, что в игре бросается один кубик. Прежде чем это произойдет, ты делаешь ставку на то, сколько выпадет очков. Если ставка окажется правильной, ты получаешь очко. Назовем эту игру ЛОТТО С ОДНИМ КУБИКОМ.

Есть 6 возможных результатов испытания, проводимого в этой игре:

Если посмотреть на игральную кость через математические очки, то это по сути дела геометрическое тело. Из его симметрий вытекает — нет оснований утверждать, что, допустим, шестерка менее вероятна, чем двойка. Все возможные результаты бросания игральной кости надо считать с этих позиций одинаково вероятными.

Шанс, что бросание кубика окончится результатом 1 (выпадает одно очко), можно оценить как 1:6. Вероятность получить результат 1 (короче говоря: вероятность результата 1) равна 1/6.

И такая же вероятность каждого из остальных результатов бросания кубика. Функция р, которая каждому результату бросания игральной кости присоединяет его вероятность, следующая:

Результат бросания

ω

1

2

3

4

5

6

Его вероятность

р(ω)

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

В игре ЛОТТО С ОДНИМ КУБИКОМ все равно, на какой результат будет сделана ставка. В этой игре нет рациональной стратегии. Это так называемая случайная игра.

Обрати внимание на один важный факт:

Вернемся к игре ЛОТТО С ДВУМЯ КУБИКАМИ. Автор этой книги много раз бросал два одинаковых кубика (как он это де-

лал, будет выявлено позже, ты сможешь сам проверить истинность данных, собранных автором). После каждого броска автор поставил в таблице черточку под числом совместно выпавших очков, а значит, под тем результатом, которым закончилось испытание. Вот как странно заполнилась эта таблица:

Рис. 2.2

2.2 Принимая во внимание статистические данные, собранные в этой таблице, ты мог бы считать результаты бросания двух кубиков одинаково вероятными? Почему?

В таблице можно заметить явную симметрию, если обращать внимание на количество черточек под отдельными результатами. Возникает, таким образом, вопрос:

2.3 Почему так произошло? Возможно ли было предсказать это ранее? Сможет ли математика объяснить этот удивительный факт?

Еще раз вернемся к бросанию двух кубиков. Предположим, что кубики разных цветов, один — белый, другой — красный. Бросая такие кубики, мы наблюдаем число очков, выпавших на белом кубике, и число очков, выпавших на красном кубике. Если x— число очков, выпавших на белом, а у— на красном кубике, то результат этого нового испытания — пара чисел (х, у). Так как x и у — однозначные числа, мы можем пару (x, у) записать

в виде 10х + у. Таким образом, если на белом кубике выпадет шестерка (x = 6), а на красном два очка (y = 2), то такой результат бросания двух разных кубиков мы зафиксируем числом 62. Первая цифра так возникшего числа — это число очков, выпавших на белом кубике, вторая — число очков, выпавших на красном кубике. Все эти результаты одинаково вероятны. На рисунке 2.3 они упорядочены в форме некоторой матрицы:

С помощью этой матрицы мы найдем теперь вероятности отдельных результатов бросания двух одинаковых кубиков.

Рис. 2.3

Среди 36 возможных и одинаково возможных (одинаково вероятных) случаев только один ведет к сумме 2. Шанс, что, бросая два кубика, мы получим совместно 2 очка, можно оценить как 1 : 36. Вероятность получить совместно 2 очка при бросании двух одинаковых кубиков равна 1/36. Вероятность получить совместно 3 очка равна 2/36, так как только 2 случая среди 36 одинаково вероятных случаев дают сумму 3. Вероятность получить совместно 4 очка равна 3/36 и т. д.

Полученные таким способом вероятности результатов бросания двух одинаковых кубиков показаны в таблице:

Результат бросания

ω

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Вероятность этого результата

р(ω)

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

В таблице определена упомянутая выше функция р. Заметим, что:

т. е.

сумма значений функции р для всех результатов испытания равна единице.

Мы обнаруживаем здесь некоторое свойство функции р.

Теперь стало ясно, почему именно так распределились черточки под отдельными результатами в таблице на с. 25. Бросание двух кубиков редко кончалось результатом 2, так как этот результат маловероятен. Результат 3 более вероятен, чем результат 2. Поэтому чаще, чем результатом 2, испытание кончалось результатом 3. Результат 7 наиболее вероятен, поэтому чаще всего бросание кончалось результатом 7. Мы объяснили тем самым с помощью математики некоторые удивительные и неожиданные факты, обнаруженные в статистических данных, собранных и упорядоченных в таблице на с. 25.

Из статистических данных вытекает, что результаты бросания двух одинаковых кубиков нельзя считать одинаково вероятными, так как очень редко бросание кончалось, например, результатом 2 и очень часто — результатом 7.

Итак, мы ответили на второй и третий вопросы.

ЛОТТО С ДВУМЯ КУБИКАМИ — это игра, в которой можно повлиять на свои шансы успеха. Среди возможных результа-

тов есть такой, на который больше всего стоит делать ставку. Это результат 7, так как он наиболее вероятен. В игре не стоит делать ставки на результаты 2 и 12. Они маловероятны. Таким образом, мы обнаружили рациональную стратегию в игре ЛОТТО С ДВУМЯ КУБИКАМИ — это стратегически случайная игра. Рассмотрим теперь аналогичные игры, но с другими реквизитами.

В Польше очень популярна игра ОРЕЛ ИЛИ РЕШКА. Один игрок бросает монету, другой угадывает, какой будет результат этого испытания. Если угадал правильно — он становится победителем, если нет — побеждает бросающий монету. Для игрока, который угадывал, — это игра типа ЛОТТО. Легко заметить, что в этой игре нет рациональной стратегии, так как оба возможных результата бросания монеты одинаково вероятны.

2.4 В игре бросаются две одинаковые монеты. Но прежде ты можешь сделать ставку на число выпавших решек. Какое ты примешь решение, участвуя в таком ЛОТТО С ДВУМЯ МОНЕТАМИ?

Обратимся к рисунку 2.4. Каждый отрезок изображает один одинаково вероятный случай. У нас четыре одинаково вероятных случая. Число рядом с отрезком — это число выпавших решек. Два из этих случаев дают результат одна решка. Шансы результата выпадет одна решка можно оценить как 2:4. Только один из этих четырех случаев дает результат две решки. Шансы результата две решки равны 1/4. Если результат бросания двух монет обозначить числом выпавших решек, то из рисунка 2.4 видно, что:

Рис. 2.4

В контексте последней задачи рассмотрим такую ситуацию: Три брата: Андрей, Борис и Володя — моют ежедневно посуду. Было принято решение, что моющий посуду в данный день будет выбран случайным образом накануне. Дедушка предложил следующий способ выбора: в мешке 3 белых и 2 красных шара. Из этого мешка дедушка случайно выберет 2 шара. Результат выбора зафиксируем числом красных шаров среди двух, случайно вынутых из мешка. Есть три возможных результата:

0 — оба шара белые,

1 — один — белый, другой — красный,

2 — оба шара красные.

Но прежде чем дедушка случайно выберет 2 шара, каждый из братьев выбирает один из этих трех возможных результатов. Так как Андрей — самый старший из братьев, он получает право выбрать один из этих результатов первым и, если этим результатом окончится выбор двух шаров из мешка, то Андрей моет посуду. Борис (так как он моложе Андрея и старше Володи) имеет право выбирать следующим. Если же испытание окончится этим результатом, то посуду моет Борис. Когда испытание окончится оставшимся результатом, посуду моет Володя.

В данной ситуации мы можем сформулировать следующую задачу:

2.5 Какое решение должен принять в данной ситуации Андрей? Как должен поступить Борис? Каковы в описанной ситуации шансы у Володи?

Мытье посуды — это (особенно для мальчика) не совсем приятное занятие. Андрей должен выбрать (как будто сделать ставку на ...) результат наименее вероятный. Среди оставшихся двух результатов Борис должен выбрать менее вероятный.

Множество результатов случайного испытания, о котором идет речь, — это множество Ω = {0, 1, 2}. Чтобы принять рациональное решение, Андрей и Володя должны найти вероятности этих результатов.

Чтобы найти эти вероятности, мы будем считать, что шары одного цвета, но как-то отличаются друг от друга. В такой ситуации у нас десять одинаково вероятных возможностей. Каждую изображает на рисунке 2.5 отрезок. Одна из них дает результат 2, три — результат 0 и шесть — результат 1, так что:

Рис. 2.5

Таким образом, Андрей должен выбрать результат 2, а Борис — результат 0.

Рассмотрим опять игру типа ЛОТТО. Случайным испытанием в игре является случайный выбор двух шаров из мешка с тремя белыми и двумя красными шарами. Прежде чем будут выбраны 2 шара, игрок делает ставку на число красных шаров среди двух шаров, вынутых из мешка. Предположим, что игрок заполняет бланк

| 0 | 1 | 2 |,

вычеркивая на нем определенное число. Если число красных шаров среди двух вынутых равно числу, вычеркнутому на бланке, то игрок получает очко.

Из решения последней задачи вытекает, что такое ЛОТТО С ТРЕМЯ БЕЛЫМИ И ДВУМЯ КРАСНЫМИ ШАРАМИ также является стратегически случайной игрой. В таком ЛОТТО стоит делать ставку на результат 1 (среди вынутых из мешка шаров будет один красный). Это наиболее вероятный результат. Не стоит делать ставки на результат 2 (оба вынутых шара красные), так как это наименее вероятный результат.

Итак, чтобы ответить на вопрос, как рационально участвовать в игре, надо сначала построить множество всех возможных результатов проведенного в игре случайного испытания, а затем определить на этом множестве некоторую функцию. Эта функция ставит в соответствие каждому результату случайного испытания вероятность, с которой испытание может окончиться этим результатом.

Заметим, что в каждом случае эта функция удовлетворяет системе:

(*)

Каждую функцию р, определенную на конечном множестве Ω, значениями которой являются вещественные числа и которая удовлетворяет системе (*), математик называет распределением вероятности на множестве Ω. Число р(ω), где ω∈Ω, — это вероятность результата со. Пара (Ω, р) — это так называемое вероятностное пространство или вероятностная модель.

Вероятностная модель — это уже объект мира математической абстракции, это — математическое понятие. Приведенные выше примеры объясняют, как строится эта модель для различных случайных испытаний.

2.6 Рассмотрим еще один вариант ЛОТТО. Ты вычеркиваешь одно число на бланке ЛОТТО С ПЯТЬЮ МОНЕТАМИ:

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |.

Затем бросаешь пять одинаковых монет. Если число выпавших решек равно числу, которое ты вычеркнул, то получаешь очко. Есть ли в таком ЛОТТО С ПЯТЬЮ МОНЕТАМИ какая-то рациональная стратегия?

Случайное испытание — это бросание пяти одинаковых монет. Результат такого испытания — это число выброшенных решек.

Решение задачи можно найти статистическим путем, наблюдая, как часто испытание заканчивается каждым из возможных результатов.

Автор собрал результаты многих повторений данного испытания (как он это получил, будет выявлено позже). После каждого бросания пяти монет автор поставил в таблице черточку под тем результатом, которым окончилось бросание:

Бланк для игры ЛОТТО С ПЯТЬЮ МОНЕТАМИ

Рис. 2.6

Заметим, что бросание крайне редко заканчивалось результатом 0. Также крайне редко это бросание заканчивалось результатом 5. Значительно чаще, чем результатом 0, бросание заканчивалось результатом 1. И более часто, чем результатом 5, бро-

сание заканчивалось результатом 4. Чаще всего бросание заканчивалось результатами 2 и 3. Эти статистические данные дают возможность прогнозировать будущее на основании того, что и как часто происходило в прошлом. Результат 0 маловероятен. Также маловероятен результат 5. Результат 1 является более вероятным, чем результат 0, результат 4 более вероятен, чем результат 5. Если р — искомое распределение вероятности на множестве результатов бросания пяти монет, т. е. на множестве Ω = (0, 1, 2, 3, 4, 5}, то из статистических данных вытекает, что (вероятнее всего):

Другими словами, из статистических данных вытекает, что в данной игре стоит делать ставку на результаты 2 и 3, не стоит— на результаты 0, 1, 4, 5. Таким образом, статистическими методами мы обнаружили рациональную стратегию в игре.

2.7 А что ты думаешь о вероятности результатов 0 и 5, о вероятности результатов 1 и 4, 2 и 3 и т. д.? Ты сумел бы определить точные значения вероятности каждого результата бросания пяти монет?

Несколько раз мы делали выводы с помощью статистических данных. Выводы касались оценки вероятности отдельных результатов случайного испытания. Чтобы эти оценки были достоверны, надо располагать относительно большим количеством данных. Это означает, что случайное испытание надо повторить очень много раз.

Скорее всего, большое количество статистических данных собрал бы весь твой класс. Достаточно, чтобы каждый ученик повторил данное случайное испытание 10 раз. Это позволит собрать результаты нескольких сотен повторений данного испытания. А это уже достоверный источник информации о шансах отдельных результатов. Твой класс является тем самым хорошим «стохастическим арифмометром».

Обрати внимание, что выводы на тему будущего формулируются здесь на основании того, что и как часто случалось в прошлом.

Обрати внимание и на то, что в повседневной жизни оценка вероятности, что что-то произойдет в будущем, опирается на то, как часто это происходило в прошлом.

Каждый согласится, что очень мало вероятно, что 1 июля будущего года в Москве выпадет снег. Очень редко в прошлом в этот день года шел в Москве снег.

Очень вероятно, что у меня начинается грипп, так как второй

день у меня сильный насморк. В прошлом сильным насморком часто начинался грипп.

Сегодня вечером низко летают ласточки. Очень вероятно, что завтра будет дождь. Часто когда вечером ласточки летали низко, то на другой день шел дождь.

У кареглазых родителей, если среди их предков были голубоглазые, гораздо чаще рождаются кареглазые дети, чем голубоглазые. Поэтому можно сказать, что кареглазый ребенок у таких родителей вероятнее, чем голубоглазый.

Далее мы покажем, как можно разными путями строить вероятностные модели и как решение одной задачи может являться решением другой задачи.

За семью горами, за семью реками лежат два государства: Малостан и Великостан. В Малостане все маленькие, в Великостане — наоборот. В Малостане граждане делают покупки за малые кроны, в Великостане — за большие кроны. В обеих странах существует игра типа ЛОТТО.

2.8 В мешке пять шаров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5. Каждое воскресенье в полдень диктор малостанского телевидения случайно выбирает два шара из этого мешка и объявляет всем, какова сумма номеров вынутых шаров. Но в субботу все граждане Малостана заполняют специальный бланк, вычеркивая одно и то же число в обеих строках (рис. 2.7). Одну часть (строку) бланка и одну малую крону (как оплату) гражданин оставляет в киоске. Таким образом гражданин делает ставку на то, какова завтра будет сумма случайно выбранных шаров. Если гражданин правильно угадал сумму, то получает 10 малых крон. Чем отличается лотто в Малостане от спортлото в России? Что бы ты посоветовал гражданам Малостана? Существует ли, по-твоему, число, которое стоит вычеркивать на бланке малостанского лотто?

Рис. 2.7. Заполненный бланк ЛОТТО в Малостане.

Гражданин сделал ставку на число 6, а значит, он утверждает, что сумма номеров шаров, вынутых в воскресенье, будет равна 6

2.9 В Великостане тоже существует лотто. Но там в полдень по воскресеньям диктор случайно выбирает три шара из упомянутого мешка и объявляет сумму номеров вынутых шаров. По субботам граждане Великостана делают ставку на эту сумму, заполняя и оплачивая (одной большой кроной) бланк (рис. 2.8).

Если ставка окажется правильной, гражданин получает 10 больших крон. Есть ли числа, на которые стоит делать ставку в этом великостанском лотто? Вытекает ли ответ на этот вопрос из решения последней задачи?

Если из мешка случайно выбраны два шара, то оставшиеся три шара в мешке тоже установлены случайным путем. Мы можем эти три шара считать случайно выбранными из мешка.

Предположим, что тираж лотто в Малостане транслируется по сателлитарному телевидению. Результаты тиража можно, таким образом, видеть в Великостане. Результат случайного выбора двух шаров в Малостане можно поэтому использовать для получения результата случайного выбора трех шаров в Великостане. Сумма номеров всех шаров в мешке равна 15. Если сумма двух случайно выбранных шаров малостанским диктором равна x, то это означает для граждан Великостана, что сумма трех случайно выбранных шаров равна 15 — х. Таким образом, вероятность получить сумму X в Малостане равна вероятности получить сумму 15 — X в Великостане.

Граждане Малостана не знают номеров вынутых из мешка шаров, а только их сумму. Таким образом, результат случайного выбора двух шаров из мешка — это для них упомянутая сумма. Пространство результатов случайного испытания, о котором здесь идет речь, это множество:

Чтобы найти вероятности отдельных результатов, рассмотрим рисунок 2.9.

Имеется десять одинаково возможных случаев. Каждый изображен на рисунке отрезком. Вершина пятиугольника изображает шар. Отрезок, соединяющий две вершины, изображает два вынутых шара. Один из этих случаев ведет к сумме 3 (дает сумму 3), а значит, вероятность получить сумму 3 равна 1/10:

Рис. 2.8. Заполненный бланк ЛОТТО в Великостане.

Гражданин сделал ставку на число 9, а значит, он утверждает, что сумма номеров шаров, вынутых в воскресенье, будет равна 9

Рис. 2.9

Так же один случай дает сумму 4, а значит:

Два из этих десяти одинаково возможных случаев дают сумму 5. Таким образом:

Вероятности отдельных сумм собраны в таблице:

Сумма (результат испытания)

3

4

5

6

7

8

9

Вероятность получить такую сумму (вероятность результата)

1/10

1/10

2/10

2/10

2/10

1/10

1/10

Таким образом, мы построили вероятностную модель случайного испытания, которое по воскресеньям проводит диктор малостанского телевидения. Вероятности отдельных результатов мы получили путем классификации одинаково возможных случаев, изображенных с помощью многоугольника. Этот метод мы уже применяли при решении задачи 2.4.

Лотто в Малостане — это стратегически случайная игра. В этом лотто лучше делать ставку на числа 5, 6 или 7, чем на числа 3, 4, 8 или 9.

Три оставшихся шара в мешке после случайного выбора двух шаров в Малостане можно толковать как три случайно выбранных шара в Великостане. Из этого вытекают ответы на вопросы, поставленные в задаче 2.9. Таким образом, решение одной задачи стало одновременно решением другой.

Число k-элементных подмножеств множества с n элементами обозначается в математике символом Сnk. Решая последние задачи, мы обнаружили, что

а значит, что число двухэлементных сочетаний пятиэлементного множества равно числу трехэлементных сочетаний этого множества.

Математическая деятельность — это, в частности, описанное обнаружение фактов и их использование с целью рационализации поведения.

2.10 В мешке четыре шара с номерами: 1, 2, 3, 4. Случайно выбирают два шара и смотрят, какова сумма номеров вынутых шаров. С какой вероятностью можно получить отдельные суммы? Найди эти вероятности с помощью многоугольника, а значит, путем классификации одинаково вероятных случаев.

Ответ:

Запомни:

Для каждого случайного испытания строится его вероятностная модель. Это пара (Ω, р), где Ω — множество всех возможных результатов испытания, а р — распределение вероятности на множестве Ω.

Если Ω — s-элементное множество и р(ω) = 1/s для каждого ω∈Ω, то функцию р назовем классическим распределением вероятности на множестве Ω, а пару (Ω, р)—классической вероятностной моделью.

Вероятностная модель случайного испытания классическая, если все возможные результаты испытания одинаково вероятны.

Вероятностная модель бросания монеты, а также бросания игральной кости — классическая.

Результаты бросания пяти монет не одинаково вероятны. Вероятностная модель этого испытания не является классической.

Выкладывание карты из растасованной колоды 52 карт — это случайное испытание. Если рассматривать только цвет выложенной карты, то имеются 2 равновероятных результата (красная карта, черная карта). Вероятностная модель этого испытания классическая. С помощью этого испытания можно имитировать бросание монеты. Объясни, как это делать.

Если рассматривать только масть выложенной карты, то имеются 4 одинаково вероятных результата. Вероятностная модель такого испытания изображена на рисунке 2. 10.

Рис. 2.10. Вероятностная модель для выкладывания карты из колоды карт, если рассматриваем масть выложенной карты

Если рассматривать только значение выложенной карты, то имеются 13 одинаково вероятных результатов. Их множество — это:

{Т, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К}.

Если принимать во внимание и масть, и значение выложенной карты, то имеются 52 одинаково вероятных результата.

Вероятностная модель случайного испытания зависит, таким образом, от того, что мы наблюдаем при этом испытании.

2.11 В Малостане существует игра типа русского ПОЛЯ ЧУДЕС. Барабан разделен на 8 секторов, как на рисунке 2.11. С какой вероятностью, крутя этот барабан, играющий попадет в определенные сектора барабана?

Рис. 2.11

С помощью барабана в игре повторяется много раз то же самое случайное испытание. Это случайный выбор сектора барабана. Пространством результатов этого испытания является множество

Надо определить распределение вероятности на этом множестве. Легко заметить, что вероятность попасть в данный сектор пропорциональна его площади.

Итак, например,

3. Стохастическое дерево. Как легко построить вероятностную модель многоэтапного случайного испытания и как решение одной задачи может стать решением других задач

3.1 Алеша, Борис, Витя, Гена и Дима нашли в зоопарке монету 1 р. и решили ее разыграть. Алеша предложил бросать ее по очереди, в алфавитном порядке, и отдать тому, у кого первого выпадет решка. Если решка не выпадет ни разу, то решено отдать эту монету в какой-то благотворительный фонд. Является ли предложенный Алешей способ справедливым? Должны ли остальные мальчики согласиться с его предложением?

Справедливость означает в этой ситуации, что шансы получить монету у каждого мальчика одинаковы.

Здесь идет речь о случайном испытании. Это многократное (но не более пяти раз) бросание монеты до тех пор, пока не выпадет решка. Поэтапное протекание этого испытания можно изобразить с помощью рисунка (рис. 3.1).

Мы получили так называемое дерево данного испытания. Оно состоит из точек, называемых узлами, и соединяющих их отрезков, называемых ребрами. На этом рисунке обозначена одна ветвь дерева. Она представляет результат решка выпадет пер-

Рис. 3.1. Результаты бросания монеты обозначены буквами: о — выпадет орел, r—выпадет решка

вый раз в четвертом броске. Его можно записать в форме последовательности ooоr (каждая буква — результат очередного этапа испытания). Множество возможных результатов испытания — это

Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, надо определить вероятности этих результатов. Как это сделать?

После первого броска с вероятностью 1/2 монета достанется Алеше. С (остальной) вероятностью 1 — 1/2, т. е. 1/2, монета достанется одному из оставшихся претендентов: кому именно, решат результаты очередных бросков. Как разделяются шансы после очередных бросаний монеты, показано на рисунке 3.2.

Окончательный результат испытания представляется ячейкой прямоугольной сети на квадрате площадью, равной 1. Вероятность результата является значением площади соответствующей ему ячейки. Это геометрическая интерпретация вероятностной модели.

Сопоставим это распределение шансов (вероятности) с деревом, записывая рядом с каждым его ребром вероятность соответствующего результата (рис. 3.3). Каждому ребру соответствует, таким образом, неотрицательное число. Видим, что сумма чисел, соответствующих ребрам с общим началом, равна 1. Такое дополненное числами дерево называется стохастическим.

Каждой ветви дерева, а значит, и конечному результату, который эта ветвь представляет, припишем произведение вероятностей, соответствующих ее очередным ребрам. Эту формулу умножения объясняет рисунок 3.3. Определенная этой формулой функция р (см. таблицу) является, что легко проверить, распределением вероятности на множестве

Рис. 3.2

Рис. 3.3. Стрелочный граф функции р

ω∈Ω

r

or

oor

ooоr

ooооr

ooооо

Р (ω)

1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

1/32

Заметим, что это в точности та же функция, которую мы получили по ходу конструирования сети на единичном квадрате.

Таким образом, вероятности результатов испытания, которое предложил Алеша, мы нашли двумя различными способами. Далее мы покажем, как еще можно получить эти вероятности и проверить решение статистическим методом.

Итак, Алеша предложил несправедливый способ разыгрывания монеты. Шансы Алеши выиграть эту монету самые большие, шансы Бориса в 2 раза меньше, чем Алеши, шансы Вити в 4 раза меньше, чем Алеши, и т. д.

Заметим, что данная задача касается некоторой жизненной ситуации. В ней идет речь о внематематической проблеме. Но мы эту задачу решили с помощью математики. Решение этой внематематической задачи началось с перевода проблемы на язык математики и с построения вероятностей, а значит, математической модели данной ситуации. Дальше мы вели в этой модели разные расчеты. Это была уже деятельность в мире математической абстракции. Но в конце мы опять вернулись к исходной реальной ситуации. Результаты расчетов мы толковали в контексте этой ситуации. Задача 3.1 иллюстрирует подлинный процесс применения математики.

Рис. 3.4. Дерево и пространство результатов двукратного бросания монеты

Обратите внимание, что большинство предложенных в этой книжке стохастических задач — это подлинные задачи на применение математики.

Итак, множество всех результатов многоэтапного случайного испытания (т. е. пространство его результатов) легко построить с помощью дерева. Рисунок 3.4 изображает такое дерево для двукратного бросания монеты.

Окончательный результат бросания монеты соответствует на дереве некоторой ветви. На рисунке 3.4 выделена ветвь, которой соответствует результат or (первый раз выпал орел и второй — решка). Под каждой ветвью дерева записан соответствующий результат двукратного бросания монеты. Окончательный результат двукратного бросания монеты является парой, значит, двучленной последовательностью. Первый член обозначает результат первого бросания, второй член — результат второго бросания. Таким образом, дерево позволило определить пространство результатов этого случайного испытания:

Возле каждого ребра дерева запишем вероятность соответствующего ему результата. Получим стохастическое дерево этого испытания (рис. 3.5).

3.2 Построй с помощью стохастического дерева множество результатов и найди вероятность каждого результата для:

а) трехкратного бросания монеты;

б) двукратного случайного выбора с возвращением шара из урны с тремя белыми шарами и одним красным;

в) двукратного случайного выбора шара (без возвращения) из данной урны.

Рисунок 3.6 изображет стохастическое дерево двукратного случайного выбора с возвращением шара из мешка с тремя белыми и двумя красными шарами. Рисунок 3.7—дерево двукратного случайного выбора шара из этого мешка без возвращения.

Рис. 3.5

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Буквой b обозначен результат — случайно выбранный шар белый, буквой с — выбранный шар красный.

Вероятность результата, соответствующего данной ветви дерева, является произведением вероятностей, присвоенных очередным ребрам этой ветви.

Запомни эту простую формулу умножения, позволяющую определять распределение вероятности на пространстве результатов многоэтапного испытания.

Обрати внимание, что все результаты двукратного бросания монеты одинаково вероятны. Результаты двукратного случайного выбора (с возвращением) шара из урны с тремя белыми шарами и двумя красными не являются одинаково вероятными.

Возможность использования стохастического дерева для создания вероятностной модели не равнозначна построению этого дерева. Например, при k-кратном бросании монеты (k — любое натуральное число) из симметрии стохастического дерева (равные длины ветвей, равные вероятности, соответствующие каждому ребру) вытекает сразу же, что модель этого испытания классическая. Всех возможных результатов 2k, вероятность каждого результата k-кратного бросания монеты равна (1/2)k.

Покажем еще один способ построения модели для описанного в задаче 3.1 испытания. Очевидно, что р(r) = 1/2. Результат or — один из четырех возможных и одинаково вероятных результатов двукратного бросания монеты, а значит, р(оr) = 1/4. Результат oor — один из восьми возможных и одинаково вероятных результатов трехкратного бросания монеты, а значит,

Таким образом, мы показали еще иначе, с помощью математики, что предложенный Алешей способ разыгрывания монеты несправедлив.

3.3 Какой способ случайного выбора ты предложил бы мальчикам в ситуации, описанной в задаче 3.1? Как ты показал бы им, что твой способ справедлив?

3.4 Возьмем мешок с пятью белыми шарами и одним черным. Ты случайно выбираешь без возвращения шар из этого мешка до тех пор, пока не достанешь черный шар, и получаешь столько очков, сколько вместе шаров ты достал из мешка. С какой вероятностью ты можешь в этой игре приобрести 1 очко, с какой — 2, а с какой — 3 и т. д.?

В этой игре проводится многоэтапное случайное испытание. Единичный этап — это случайный выбор шара из мешка. Число этапов зависит от случая. Рисунок 3.8 объясняет, как с помощью стохастического дерева этого испытания была построена его вероятностная модель.

3.5 Все результаты случайного испытания, о котором идет речь в задаче 3.4, одинаково вероятны. Их всего шесть. Тебе нужна игральная кость, но она куда-то пропала. У тебя есть мешок с пятью белыми и одним черным шаром. Может ли этот мешок заменить в данной ситуации игральную кость?

Жизнь часто ставит перед нами проблему случайного выбора k человек из s лиц. Задача состоит в том, чтобы выбор решался только случайно и у каждого были одинаковые шансы. Для этого часто берут s спичек и у k из них отламывают головки. Кто-нибудь посторонний перемешивает эти спички, а затем показывает участникам выбора оставшиеся целыми концы спичек таким образом, чтобы нельзя было определить, у каких спичек отломана головка. Каждый участник тянет одну из спичек. Случайно выбранными считаются те, которые вытянули спичку без головки. Теперь возникает проблема: все ли выбирающие имеют равные права?

3.6 Алеше, Борису, Володе, Грише, Диме и Егорке нужно случайным образом выбрать одного из них для дежурства, давая каждому равные шансы. Для этого они взяли шесть спичек.

Егорка сломал головку у одной спички, все спички перемешал и зажал в кулаке. Он спрятал те части, на которых находятся головки (в том числе и часть без головки). Мальчики решили в алфавитном порядке вытягивать спичку. Случайно выбранным будет тот, кто получит спичку без головки. Если спичка без головки останется в ладони Егорки, то он считается выбранным. У всех ли шансы одинаковы? Вытекает ли обоснование этого факта из решения одной из ранее рассмотренных задач? Какой? Объясни почему.

Заметь, что спичка без головки — это как бы черный шар, спички с головками — как бы белые шары. Выбор наугад спички из ладони Егорки последовательно мальчиками — это по сути дела случайный выбор без возвращения шара из урны с пятью белыми шарами и одним черным, пока не будет вынут черный шар.

Таким образом, решение задачи 3.4 дает ответ на вопрос, поставленный в задаче 3.6. Благодаря открытию некоторой аналогии можно решение одной задачи считать решением другой задачи. Надо только уметь находить такие аналогии и обосновывать их.

3.7 В мешке 3 белых и 2 черных шара. Ты случайно выбираешь без возвращения шар из этого мешка до тех пор, пока не получишь черный шар впервые. С какой вероятностью ты сможешь получить черный шар в первый раз, с какой — второй раз впервые, с какой — третий, а с какой — четвертый раз впервые?

Здесь надо построить вероятностную модель описанного случайного испытания. Это многоэтапное испытание, но число этапов зависит от случая (это случайное число). Упомянутую модель построй с помощью стохастического дерева.

4. Стохастическая имитация и таблицы случайных чисел. Как из трех или четырех шаров «построить» игральный кубик

В жизни мы часто сталкиваемся с проблемой выбора одного или нескольких элементов из заданного множества. Мы хотим, чтобы этот выбор был случайным и чтобы у каждого элемента были одинаковые шансы быть выбранным.

Ребята часто решают эту проблему с помощью спичек или с помощью считалок. В игре в догонялки с помощью считалки решается, кто начинает игру.

На фабрике производят некоторые изделия. Прежде чем они поступят в магазин, надо оценить число (или процент) дефектных изделий. Когда изделий много, а проверка качества одного изделия требует много затрат или времени, проверка всей партии изделий становится неэкономичной. Более того, во многих случаях такая проверка связана с уничтожением изделия. Так бывает, например, с консервами. Чтобы проверить качество консервов, надо открыть банку, но после этого она уже не может попасть на прилавок. Так бывает также с лекарствами, баллонами для сифонов и т. д. В таких случаях для контроля качества изделий применяют процедуру, состоящую в многократном случайном выборе одного из изделий данной партии с возвращением проверенного изделия в партию или без возвращения. Результат n-кратного повторения выбора — это есть так называемая выборка. Естественно, выбор следует производить таким образом, чтобы у каждого изделия были одинаковые шансы попасть в выборку.

Если при случайном выборе у каждого элемента одинаковые шансы быть выбранным, то будем говорить, что это справедливый выбор. Будем использовать разные предметы (кубики, монеты, мешки с шарами, игральные карты), с помощью которых можно реализовать справедливый выбор.

4.1 Является ли выбор с помощью считалки случайным и справедливым?

4.2 Для некоторой игры требуется игральная кость, а у тебя ее нет, она куда-то задевалась. Чем и каким образом ты смог бы заменить ее?

4.3 Непосредственно перед проведением тиража ЛОТТО произошла авария машины, которая случайно выбирает занумерованные шары. Чем и как заменить этот неисправный прибор?

4.4 В игре в фанты за допущенные ошибки участник отдает под залог какой-нибудь предмет (фант). «Выкупка» фантов происходит в конце игры. Сначала все участники определяют способ, как можно выкупить фант (владелец фанта споет песню, прочитает стихотворение и т. д.), потом случайно выбирается фант, который надо этим способом выкупить. Как поступить, чтобы у каждого фанта были одинаковые шансы? Удовлетворяет ли этим условиям выбор наугад одного фанта кем-нибудь с закрытыми глазами? Почему?

4.5 Вот-вот должен начаться футбольный матч. Судья уже на площадке, и вдруг оказывается, что у него с собой нет монеты. Что ты посоветуешь ему в такой ситуации? Можно ли монету заменить в данной ситуации считалкой?

4.6 На собрание пришло 6 человек, из которых случайным образом (и справедливо) надо выбрать секретаря. Никто не хочет писать протокол собрания добровольно. Как бы ты организовал такой выбор? Как организовать такой выбор, когда число лиц равно 10?

4.7 Предположим, что число лиц на собрании не больше 49. Через некоторое время по телевизору будет транслироваться тираж ЛОТТО, в котором случайно выбирают 6 чисел из 49. Можно ли использовать эту трансляцию для выбора секретаря?

4.8 Как строить выборку, когда имеется 100 изделий? Как, если в партии 13 изделий? Как, если их 137?

В § 9 мы обнаружим метод, позволяющий делать выводы о неизвестном количестве дефектных изделий на основании полученной выборки.

Поставим теперь проблему создания универсального прибора, позволяющего осуществлять выборку из любой конечной совокупности.

4.9 У тебя имеется только монета. Как выбрать справедливо случайным образом один из четырех фантов? Как, если фантов 8? Как, если их 7?

4.10 Как получить выборку из любой конечной совокупности, если имеется только игральный кубик?

Рис. 4.1. Развертка правильного двадцатигранника

Рис. 4.2

Среди правильных тел, кроме куба, в мире случайностей рассматривается также правильный двадцатигранник. Его развертка изображена на рисунке 4.1. Грани (стенки) такого двадцатигранника — это равносторонние треугольники. Обозначим две противоположные грани цифрой 0, две другие противоположные — цифрой 1 и т. д., оставшиеся две — цифрой 9 (рис. 4.2). Назовем этот прибор двадцатигранной костью. Бросая эту кость, мы будем наблюдать цифру на верхней стенке после падения кости на стол. Результат бросания — это выброшенная таким образом цифра.

Бросание двадцатигранной кости — это случайное испытание. Пространство его результатов — это

Из симметрии (кость — правильный многогранник, каждая цифра на двух его стенках) вытекает, что все эти результаты одинаково вероятны. Данная кость служит, таким образом, для справедливого выбора одного из десяти элементов. Чтобы случайно выбрать один элемент, хватит занумеровать их цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а затем бросить данную кость. Если на верхней стенке окажется цифра 0, то выбранным считаем элемент с номером 0, если цифра 1, то элемент с номером 1 и т. д.

На странице 190 находится «протокол» очень многих (1500) бросаний этой кости. Книга, состоящая из большого числа таких страниц, имеет большое практическое значение и называется таблицей случайных чисел*. Рисунок 4.3 изображает фрагмент третьей строки и седьмого столбца одной из страниц таблицы случайных чисел. Возникает вопрос: кому нужны такого типа странные книги?

Вышеприведенную кость мы можем заменить волчком, изображенным на рисунке 4.4 а, или рулеткой, изображенной на ри-

* В действительности такие «книги» строятся с помощью вычислительных машин. Двадцатигранная кость хорошо отражает сущность этой конструкции и этих таблиц.

Рис. 4.3

а) Десятиугольный волчок

б) Рулетка

в) Урна с шарами

Рис. 4.4

сунке 4.4 б, или мешком с десятью шарами, занумерованными цифрами от 0 до 9 (рис. 4.4, в). Каждый из этих приборов можно считать «автором» таблиц случайных чисел. В стохастике их называют генераторами упомянутых таблиц случайных чисел.

4.11 Таблицы случайных чисел закрыты. Ты выбираешь наугад страницу, номер строки и номер столбца на этой странице. Какова вероятность, что на таким образом выбранном месте окажется цифра 7?

4.12 Из десяти человек надо справедливо выбрать случайно одного. Ты мог бы это сделать с помощью двадцатигранной кости, но у тебя ее нет. Как это сделать с помощью таблиц случайных чисел?

4.13 Какова вероятность, что на месте, выбранном в задаче 4.11, и на следующем месте находится пара 69? Какова вероятность появления пары 33?

4.14 Начиная с выбранного наугад в таблицах места, ты читаешь три цифры:

а) справа налево;

б) снизу вверх;

в) сверху вниз.

Какова в каждом случае вероятность, что ты встретишь тройку 070?

4.15 Из ста человек надо случайным образом выбрать одного, давая каждому одинаковые шансы. Как это сделать, располагая таблицами случайных чисел?

4.16 Может ли судья начать футбольный матч с помощью таблиц случайных чисел? Каким способом он может заменить монету этими таблицами?

Чтобы ответить на последний вопрос задачи, нужно выяснить, можно ли бросанием двадцатигранной кости имитировать бросание монеты. На данной кости 10 стенок с четной цифрой (четные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8) и столько же стенок с нечетной цифрой. Таким образом, получить четную цифру при бросании этой кости так же вероятно, как получить нечетную цифру. Если при бросании этой кости выпадет четная цифра, будем говорить, что выпал орел, если выпадет нечетная цифра, скажем, что выпала решка. Вероятность получить в такой ситуации «орел» равна 10/20, а значит, 1/2. Это как и при бросании монеты.

Значит, одно бросание монеты можно заменить таблицей случайных чисел. Надо наугад выбрать номер страницы, номер строки и номер столбца на этой случайно выбранной странице. Если на таким образом выбранном месте находится четная цифра, то скажем, что выпал орел, если нечетная цифра — скажем, что выпала решка. Здесь орел и решка одинаково вероятны, как и при бросании монеты.

Чтобы получить результат бросания пяти монет, достаточно прочитать пять очередных цифр, начиная со случайно выбранного места в таблице случайных чисел. Число нечетных цифр среди этих прочитанных является и числом решек. Таким образом, собраны статистические данные для решения задачи 2.6. Цифры читают, начиная с первого столбца и первой строки.

4.17 Как с помощью таблиц случайных чисел имитировать бросание игрального кубика? Как имитировать бросание двух игральных кубиков?

Первый вопрос — это, по сути дела, вопрос, как с помощью двадцатигранной кости имитировать бросание кубика. Рассмотрим бросание двадцатигранной кости. Если выпадет цифра 1, то будем говорить, что выпало одно очко, если цифра 2, то скажем, что выпали два очка, и т. д., если выпадет цифра 6, то скажем, что выпала шестерка. Но если выпадет цифра 0 или цифра 7, или 8, или 9, то будем говорить, что бросание кубика нам не удалось. В такой ситуации бросание двадцатигранной кости надо повторить.

Чтобы имитировать бросание кубика с помощью таблицы случайных чисел, надо из этих таблиц устранить (например, вычеркнуть в них) цифры: 0, 7, 8 и 9. Но, чтобы не испортить таблицу (ведь она нам будет нужна для других целей), достаточно не обращать внимания на эти цифры. Таким образом, чтобы получить результат бросания игральной кости с помощью таблицы случайных чисел, надо, начиная с наугад выбранного места, читать цифры, например, слева направо, так долго, пока не получим цифру из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Статистические данные, собранные и упорядоченные на рисунке 2.2, получены путем такой имитации бросания кубика с помощью таблиц случайных чисел, помещенных в конце этой книги. Цифры читались начиная с первой строки и первого столбца слева направо (так, как читается текст). Таким образом, ты можешь проверить, что эти данные достоверны.

4.18 Два игрока попеременно бросают монету, и побеждает тот, у кого первого выпадет решка. Как в такой игре заменить монету таблицами случайных чисел?

4.19 Используя таблицу случайных чисел, повтори игру, описанную в задаче 4.18, сто раз и проверь, сколько процентов от этого числа составляют розыгрыши, в которых победил игрок, бросавший монету первым. Можешь ли ты объяснить, почему это число составляет около 67%?

В игре повторяется бросание монеты так долго, пока не выпадет решка. Это как будто ожидание решки при бросании монеты. Оно напоминает случайное испытание, которое предложил

Алеша в задаче 3.1 с целью разыграть найденную монету. Но там время этого ожидания (измеряемое числом бросков) было ограничено до пяти бросков. Если решка не выпадет ни в одном из пяти бросаний, то испытание кончилось. В описанной здесь игре нет такого ограничения времени.

Предположим, что играют Алеша и Борис и что Алеша получил право первого хода, а значит, он бросает первым.

Решка может появиться уже при первом бросании. Это один возможный результат ожидания решки. Обозначим его буквой г. Если испытание окончится этим результатом, то побеждает Алеша. Но первое бросание может закончиться результатом о (выпадет орел). В такой ситуации бросание надо повторить. Если выпадет решка, то испытание кончится. Такой результат ожидания решки обозначим or. Если им окончится испытание, то побеждает Борис. Но и первый, и второй раз может выпасть орел. В такой ситуации бросание монеты надо выполнить третий раз. Если при третьем бросании выпадет решка впервые — испытание кончится. Этот результат обозначим oor. Если таким результатом окончится ожидание решки, то игра кончится победой Алеши, и т. д. Множество результатов проведенного в игре случайного испытания — это:

Ω = {r, or, oor, ooоr, ooооr, ooоооr, ooооооr, ...}.

Оно бесконечно. Например, ooооооr — это результат: решка выпадает впервые при седьмом броске монеты.

Итак, если данное ожидание решки окончится после нечетного числа бросаний, то в игре побеждает Алеша, если после четного числа, то Борис.

Чтобы имитировать данное ожидание решки с помощью таблицы случайных чисел, надо выбрать наугад место в этой таблице. Пусть это будет страница, помещенная в конце этой книги, а на ней четвертая строка и пятый столбец. На этом месте находится цифра 4. Это четная цифра. Согласно договору, принятому в решении задачи 4.16, это значит, что выпал орел. Бросание монеты надо повторить. Для этого можно заново выбрать наугад место в таблице и прочитать находящуюся на нем цифру. Но можно это сделать проще, читая следующую цифру направо от цифры 4.

Таким образом, мы получаем пару 40. Это значит, что также и второй раз выпал орел. Бросание монеты надо опять повторить, а значит, надо прочитать следующую цифру. Цифры надо читать так долго, пока не встретится нечетная цифра. Рисунок 4.5 иллюстрирует метод имитации ожидания решки.

Чтобы повторить игру, надо повторить ожидание решки. Можно заново случайно выбрать место в таблицах случайных чисел, но можно читать цифры дальше, начиная со следующей цифры после последней, прочитанной раньше. У нас это цифры 45, а значит, второй раз испытание окончилось результатом or

Рис. 4.5

(решка выпала впервые при втором бросании). Теперь победил Борис.

4.20 Как с помощью таблиц случайных чисел провести тираж ЛОТТО, описанный в § 1?

Предположим, что в ЛОТТО случайно выбирается 5 из 49 чисел. Некоторые из этих 49 чисел однозначные, остальные двузначные. Но число 1 мы можем рассматривать как пару 01, число 2 — как пару O2 и т. д., число 9 — как пару. 09. Таким образом, все числа в ЛОТТО — это пары цифр. Цифры в таблице случайных чисел будем читать парами, но не принимая во внимание пары: 00, 50, 51, 52, 98, 99. Таким образом, из ста всех возможных и одинаково вероятных пар цифр мы рассматриваем только 49. Они все также одинаково вероятны. Для каждой из 49 рассматриваемых пар цифр вероятность встретить ее на двух наугад выбранных местах в таблице случайных чисел равна 1/49.

Итак, чтобы случайно выбрать одно число в ЛОТТО, надо выбрать наугад место в таблице случайных чисел и, начиная с него, прочитать две цифры. Если эти цифры дают пару 00 или пару 50, или 51, ... , или пару 99, то читаем следующие две цифры, пока не получим одну из рассматриваемых пар. Чтобы случайно выбрать второе число в ЛОТТО, надо прочитать две дальнейшие цифры. При этом теперь надо также пропустить пару, уже полученную раньше (так как в ЛОТТО числа выбираются без возвращения). Рисунок 4.6 является «протоколом» имитации данного тиража ЛОТТО с помощью фрагмента таблицы случайных чисел. Цифры читались парами (но вычеркивались упомянутые пары 00, 50, 51, ... , 98, 99), начиная с шестой строки и первого столбца. Чтобы получить пять различных чисел, достаточно прочитать 24 числа в этой шестой строке.

Рис. 4.6

4.21 Заполненный бланк ЛОТТО имеет свой номер (см. рис. 1.9). В польском варианте ЛОТТО путем случайного выбора устанавливаются билеты, которые независимо от того, есть ли в них угаданные числа, будут премироваться. Из набора десяти шаров, обозначенных цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, машина случайно выбирает несколько раз один шар с возвращением. Номер поочередно выбранного шара составляет очередную цифру номера премируемого билета. Как имитировать этот случайный выбор с помощью таблицы случайных чисел?

4.22 Можно ли, пользуясь трансляциями тиража СПОРТЛОТО, построить таблицу случайных чисел? Почему? Можно ли это сделать, наблюдая очередные цифры при случайном выборе счастливых номеров билетов спортлото?

4.23 Для случайно встреченного (незнакомого) человека каждый день года может с равной вероятностью быть его днем рождения. Алеша решил самостоятельно построить таблицы случайных чисел. Он намерен узнать день и месяц (год не всегда удобно спрашивать) рождения выходящих с вокзала людей. Например, рожденного 5 января Алеша зарегистрирует парой 51, рожденного 14 апреля — тройкой 144, рожденного 22 октября — четверкой 2210. Построит ли Алеша таблицы случайных чисел, о которых речь шла выше? Как бы ты убедил или разубедил его в этом?

Нет оснований утверждать, что какая-то цифра в таблицах случайных чисел появляется чаще, чем другая. Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, надо для каждой цифры оценить шанс, что Алеша ее получит. Сравни число возможных случаев получения, например, цифры 1 и цифры 9.

4.24 После перетасовки четырех тузов из колоды карт берутся два из них. Как с помощью этих тузов имитировать бросание кубика (который у тебя куда-то пропал)?

Ответ дает рисунок 4.7. Каждый отрезок изображает результат случайного выбора двух карт из набора четырех тузов.

Очевидно, что вместо четырех тузов можно взять четыре шара разного цвета. Рисунок 4.8 объясняет, как можно «сделать» кубик из четырех разноцветных шаров (как с помощью этих шаров можно имитировать бросание кубика). Из набора четырех шаров (например, белого, красного, зеленого и черного) надо случайно выбрать

Рис. 4.7

Рис. 4.8

Рис. 4.9

два и посмотреть на рисунок 4.8, чтобы узнать, какое число очков соответствует полученному результату.

4.25 Можно ли вместо четырех разноцветных шаров взять шары, обозначенные числами так, чтобы сумма номеров двух случайно выбранных шаров могла восприниматься как число очков, выпавших на кубике?

Решение этой задачи изображено на рисунке 4.9.

Решение задачи 3.4 подсказывает возможность использования для имитации бросания кубика пяти белых шаров и одного черного. Число шаров, вынутых из урны в процессе случайного выбора без возвращения вплоть до получения черного шара, можно воспринимать как число выпавших очков. Это решение изображает рисунок 3.8.

Раскладывание в ряд трех заранее перетасованных карт: валета, дамы и короля — это испытание с шестью одинаково вероятными результатами (рис. 4.10). Присвоив каждому определенный номер (от 1 до 6), мы получим как бы «словарь» для перевода результата размещения трех карт на трех местах на «язык» бросания кубика.

Заметим, что последний этап данного размещения карт уже определен. Вместо карт можно взять три разноцветных шара. Двукратный случайный выбор шара без возвращения из состава трех разноцветных шаров — это случайное испытание с шестью одинаково вероятными результатами. На рисунке 4.11 каждый результат изображает стрелка. В ее начале шар, выбранный первый раз, в ее конце — шар, выбранный второй раз.

4.26 После перетасовки четырех карт — двух пиковых (черные карты) и двух червонных (красные карты) — выкладываются в ряд три. Если интересоваться только мастью карт, мы получаем испытание с шестью одинаково вероятными результатами. Эти четыре карты могут, таким образом, выполнять роль игральной кости. Построив стохастическое дерево данного случайного испытания, проверь, что это есть правильное решение проблемы. Как провести бросание игральной кости с помощью четырех карт — двух красных и двух черных?

Рис. 4.10

4.27 В задаче 4.21 описывался случайный выбор номера лотерейного билета с помощью урны с десятью шарами, обозначенными цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. У тебя пять шаров, все разных цветов. Можно ли с их помощью случайно выбирать очередные цифры номера счастливого билета?

Ответ дает рисунок 4.12. Можно ли, как и в задаче 4.25, рационализировать это решение?

Рис. 4.11

Рис. 4.12

Рис. 4.13

4.28 Можно ли взять (как в задаче 4.25) вместо разноцветных шаров пять шаров, занумерованных числами так, чтобы сумма номеров двух выбранных шаров могла восприниматься как случайно выбранная цифра из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?

4.29 Рисунок 4.13 изображает коробку, служащую прибором для случайного выбора шести из 49 чисел. Коробка содержит 43 черных и 6 белых шариков, которые после встряхивания коробки случайно размещаются на 49 занумерованных местах. Выбранные числа — это номера тех мест, на которых оказались белые шарики. Имитирует ли это размещение случайный выбор шести чисел из урны с 49 занумерованными шарами? Как объяснить это с помощью стохастики?

Этот прибор позволяет быстро накапливать статистические данные, которые показывают, в частности, как удивительно часто при таком выборе встречаются соседние числа.

4.30 Мама Алеши замесила тесто с изюмом и сделала из него большой пирог и булочку. Но перед тем как пирог и булочка были поставлены в духовку, оказалось, что одна изюминка осталась и не попала в тесто. Что в этой ситуации Алеша должен был посоветовать маме?

Ну да! Можно эту изюминку съесть! Очевидно, что здесь дело не в этом. Такой ответ Алеши никак не может удовлетворить его маму.

4.31 Сестра Алеши посоветовала смешать обе части теста, добавить к нему оставшуюся изюминку, опять замесить тесто и заново сделать пирог и булочку. Что ты думаешь об этом?

Правильное решение задачи 4.30 ты, наверно, получишь, решая следующую задачу:

4.32 Предположим теперь, что из теста сделаны два одинаковых пирога. Что в этой ситуации сделать, чтобы оставшаяся изюминка попала в тесто, уже разделенное на две части?

Если бы изюминка не осталась, то вопрос о ее попадании в ту или иную часть теста решил бы случай, давая каждому пирогу (благодаря равенству их масс) одинаковые шансы. Это действительно жизненное испытание, возникающее при замешивании и делении теста с изюминкой на две равные части, можно имитировать бросанием монеты.

4.33 Заметь, что судья может заменить отсутствующую монету кусочком теста с изюминкой. Расскажи, как бросание монеты можно было бы имитировать с помощью кусочка теста и одной изюминкой.

Для оценки вероятности попадания изюминки в пирог (булочку) можно использовать массу. Итак,

Исходную проблему мы можем решить с помощью рулетки, диск которой разделен на секторы пропорционально массам обеих частей теста (рис. 4.15):

Если стрелка выберет белый сектор диска, то изюминку надо положить в пирог, если черный, то в булочку.

Рис. 4.14

Рис. 4.15. Если стрелка выберет белый сектор диска, то изюминку надо положить в пирог, если черный, то в булочку

5. Событие и его вероятность. Кому, в каких обстоятельствах и почему они нужны

Мы часто говорим, что произошло то или иное событие. О некоторых событиях говорят, что они очень маловероятны. Снег в авгутсе — это для москвичей событие очень маловероятное. Угадать все номера в ЛОТТО — это тоже событие очень маловероятное. Если наступает событие очень маловероятное, все говорят об исключительной неудаче или о необыкновенном счастье. Об игроке, который в ПОЛЕ ЧУДЕС попал на поле БАНКРОТ, говорят: «Ему не повезло». О других событиях говорят, что они очень вероятны. Дождь в мае — это для москвичей событие очень вероятное. Иногда два события мы считаем одинаково вероятными. Для родителей, ожидающих ребенка, появление на свет мальчика так же вероятно, как и девочки.

Можно сказать, что вероятность является некоторой количественной оценкой события. Вероятность события — это как бы некоторое число, «присоединенное» к этому событию.

События в различных высказываниях бывают достоверные и невозможные. «Невозможно, чтобы человек прыгнул в высоту на 10 метров», — говорят спортсмены. «Достоверно, что сегодня зайдет солнце», — говорят метеорологи.

Будем заниматься событиями, связанными со случайными испытаниями. Среди них есть и достоверные, и невозможные события, и такие, наступление которых не является ни достоверным, ни невозможным. Эти события называют случайными. Получение четного числа очков при бросании кубика — это случайное событие. Достоверные, невозможные и случайные события будем дальше называть коротко событиями. На событие и его вероятность будем смотреть через математические очки.

5.1 Алеша предложил Борису игру. «Я брошу три монеты, — сказал Алеша. — Если выпадут только орлы или только решки— ты побеждаешь, если выпадут два орла или две решки — я побеждаю». Какое решение, касающееся участия в этой игре, должен принять в этой ситуации Борис? Как это обосновать с помощью математики?

5.2 Важно ли то, что монеты бросает Алеша? А может, вначале надо случайно выбрать бросающего монеты?

Борис должен сам себе ответить на вопрос: «Справедлива ли эта игра или выгодна для меня?» Короче говоря, он должен оценить свои шансы на победу в данной игре.

В игре проводится случайное испытание. Это бросание трех монет. Результат бросания можно обозначить числом выпавших решек.

Итак, Ω = {0, 1, 2, 3}.

В правилах игры речь идет о двух событиях, связанных с бросанием трех монет. Обозначим их большими буквами латинского алфавита. Они описаны на словах так:

А = {выпадут два орла или две решки},

В = {выпадут три орла или три решки}.

Если произойдет событие А, то побеждает Алеша. Если наступит событие B, то побеждает Борис. Заметь, что, сколько раз наступит событие А, столько не произойдет событие B, и наоборот. И всегда по ходу бросания трех монет наступит или событие А, или событие В.

Оценить свои шансы в игре означает для Бориса оценить шансы, а значит, вероятности событий A и В.

Если бросание трех монет окончится результатом, изображенным на рисунке 5.1, то произошло событие Л. Скажем, что этот результат благоприятствует событию Л. Заметь, что у нас каждый результат бросания благоприятствует либо событию A, либо событию В.

Начнем с построения вероятностной модели для бросания трех монет. Допустим, что монеты — это 1 копейка, 2 копейки и 5 копеек. В такой ситуации (монеты различаются) у нас восемь одинаково вероятных случаев (рис. 5.2):

Рис. 5.1. Результат бросания трех монет выпал один орел и две решки. Такой результат обозначим числом 2

Рис. 5.2

Стрелочный граф на рисунке 5.2 дает классификацию этих одинаково вероятных случаев. В этой классификации принято во внимание число выпавших решек. Из рисунка видно, что:

вероятность получить 3 орла и 0 решек равна 1/8,

вероятность получить 2 орла и 1 решку равна 3/8,

вероятность получить 1 орла и 2 решки равна 3/8,

вероятность получить 0 орлов и 3 решки равна 1/8.

Если р—распределение вероятности на пространстве результатов бросания трех монет, то

Итак, вероятностную модель для бросания трех монет мы получили опять путем классификации одинаково вероятных случаев.

Событие A наступит, если бросание трех монет окончится результатом 1 или результатом 2; {1, 2} — это множество всех результатов испытания, благоприятствующих событию А. Теперь описанное на словах событие А будем считать таким множеством. Этот факт запишем: A = {1, 2}. Событие (связанное с данным испытанием) будем с этих пор отождествлять с множеством благоприятствующих ему результатов (этого испытания).

В нашем примере B = {0, 3}.

Каждое событие мы рассматриваем в вероятностной модели испытания, с которым связано это событие. В этой модели событие является подмножеством пространства результатов этого испытания.

Для каждого события мы будем определять шансы, что оно наступит, а значит, его вероятность. Функцию, которая соотносит событию его вероятность, обозначим буквой Р. Эту функцию Р не надо путать с функцией р, которая результату испытания сопоставляет его вероятность. Функцию р мы назвали распределением вероятности. Функцию Р мы назовем вероятностью, а ее значение для события A, т. е. число Р (A), — вероятностью события A.

В задаче 5.1 Борис должен подсчитать вероятности событий А и В.

Очевидно, что шансы события — это сумма шансов благоприятствующих ему результатов. Итак,

Шансы Бориса в 3 раза меньше, чем шансы Алеши. Борис не должен принимать участия в такой игре. Она не является справедливой игрой, она для Бориса невыгодна.

Решая задачу 5.1, мы сформировали понятия события и его вероятности. Они оказались средством решения, является ли данная игра справедливой или нет.

Результаты случайного испытания — это как бы кирпичики, из которых мы составляем события, связанные с этим испытанием. Вероятность результата ω, т. е. число р(ω), — это как бы масса кирпичика ω. Масса всех кирпичиков равна 1. Если все результаты испытания одинаково вероятны, то у всех кирпичиков одинакова масса. Событие — это словно постройка, сделанная из кирпичиков, изображающих результаты, благоприятствующие данному событию. Вероятность события A, т. е. число Р (А), — это сумма масс всех кирпичиков, составляющих данную постройку, а значит, масса данной постройки.

Во время пребывания в спортивном лагере Борис написал три письма: дедушке, тете и школьному товарищу, положил их в конверты, заклеил, на каждом конверте написал адрес, наклеил марки и опустил письма в почтовый ящик. Вечером он спохватился, что не проверил, совпадет ли данное письмо с адресом на данном конверте.

Вопрос, по какому адресу было отправлено каждое письмо, решил случай. Рассмотрим в этой ситуации следующие события:

A0 = {ни одно письмо не будет отправлено по правильному адресу},

A1 = {одно письмо будет отправлено по правильному адресу},

A2 = {точно два письма будут отправлены по правильному адресу},

A3 = {точно три письма будут отправлены по правильному адресу}.

Рассмотрим еще событие:

В = {хотя бы одно письмо попадет по правильному адресу}.

Это события, связанные с некоторым случайным испытанием, какое по рассеянности провел Борис. В описанной ситуации Борис пытается оценить, насколько вероятно каждое из этих событий.

Нетрудно понять, что событие A2 произойти не может, так как тогда и третье письмо будет направлено по правильному адресу. Наступление события A2 невозможно — это так называемое невозможное событие. Остальные события не являются ни невозможными, ни достоверными. Это так называемые случайные события.

Чтобы оценить вероятность каждого из вышеприведенных событий, можно было бы сначала использовать статистические данные. Только каким образом их собрать?

Рассмотрим предложение взять три одинаковых конверта и три листа бумаги, на каждом написать имя адресата (тетя, де-

душка, друг), листы положить в конверты и, перемешав их, написать имена на конверте. Чтобы повторить n раз это испытание, понадобилось бы Зп конвертов. Можно ли поступить в этой ситуации как-нибудь более рационально?

Вместо того чтобы писать имена на конвертах, можно эти конверты (перемешав их заранее) разместить на трех местах, обозначенных именами адресатов (или первыми буквами, что еще проще). Вместо того чтобы листы вкладывать в конверты, их можно перевернуть и, перемешав, разместить на тех же местах. Вместо листов можно, наконец, взять три карты: валет (это как бы письмо другу), даму (письмо тете) и короля (письмо дедушке). Перемешав эти карты, можно их разместить на трех местах, обозначенных, как на рисунке 5.3, буквами: К (адрес дедушки), Д (адрес тети) и В (адрес друга). Если, например, валет попал на соответствующее место (т. е. место, обозначенное буквой В), это означает, что письмо к другу пошло по правильному адресу. Если j карт попало на соответствующие места (при одном таком случайном размещении трех карт на трех обозначенных местах), это значит, что j писем пошло по правильному адресу (j = 0, 1, 3).

Таким образом, мы построили способ имитации некоторого случайного испытания с помощью трех игральных карт. Построение способа имитации данного испытания другим испытанием — это типичная для стохастики задача. И это также математическая задача, хотя при ее решении никаких расчетов нет.

На процедуре сбора статистических данных мы пока останавливаться не будем. Оценку вероятности данных событий мы попытаемся сделать без ссылки на статистические данные.

Обрати внимание, что теперь все равно, будем ли мы заниматься испытанием, которое по рассеянности провел Борис, или же испытанием, которое точно его копирует, а значит, случайным размещением трех растасованных карт на трех, раньше обозначенных местах.

Примем во внимание следующие события, связанные с вышеприведенным случайным размещением карт:

C0 = {ни одна карта не попадет на свое место},

C1 = {точно одна карта попадет на соответствующее место},

C2 = {точно две карты попадут на соответствующие места},

C3 = {точно три карты попадут на соответствующие места},

D = {хотя бы одна карта попадет на соответствующее место}.

Рис. 5.3

Легко заметить, что событие A0 так же вероятно, как событие C0, что событие A, так же вероятно, как событие С, и что событие A3 так же вероятно, как событие C3, и событие В так же вероятно, как и событие D. Это вытекает из некоторых аналогий, основанием для которых является факт, что одно случайное испытание можно заменить (можно имитировать) другим.

Запомни:

решение каждой стохастической задачи происходит в соответствующей вероятностной модели. Мы будем теперь строить такую модель для данного испытания, с которым связаны данные события, «погрузим» в этой модели рассматриваемые события, а затем (также в этой модели!) будем считать их вероятности.

Вероятностную модель построим с помощью стохастического дерева (рис. 5.4).

Из симметрии этого дерева вытекает, что каждый результат одинаково вероятен. Следовательно, вероятностная модель испытания, которое по своей рассеянности провел Борис, является классической.

Если размещение карт окончилось результатом КВД, то на подходящее место попала только одна карта (это король, см. рис. 5.3), а значит, тогда произошло событие C1. О результате КВД скажем, что он благоприятствует событию C1.

Для каждого события, связанного с данным испытанием, мы построим теперь множество благоприятствующих ему результатов этого испытания. Это множество рассматривается как мате-

Рис. 5.4

матическое изображение события, которое до сих пор формулировалось на словах. На языке математики это:

Легко заметить, что множество, представляющее событие А— это объединение (сумма) множеств, представляющих события C1 и C3, т. е. D = C1∪C3. Событие D называется суммой событий C1 и C3.

Множества, представляющие событие C1 и C3, не пересекаются: C1⋂C3 = o. Нет результата, который благоприятствует одновременно событию C1 и событию C3. Одновременное наступление событий A1 и A3 невозможно. Такие события называются несовместными.

Два события несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого.

События C0 и D — это тоже несовместные события, C0⋂D = o.

Рассмотрим событие C0∪D. Ему благоприятствует каждый результат испытания. Наступление события C0∪D достоверно, C0∪D — это достоверное событие.

Каждый результат испытания благоприятствует либо событию C0, либо событию D. Ни один из возможных результатов испытания не благоприятствует одновременно обоим этим событиям. Событие C0 — это событие, противоположное событию D. Событие, противоположное событию D, обозначим D', C0 = D'. Событие D противоположно событию C0: D = C0. События C0 и D — это противоположные события.

Множество, представляющее событие C2, пустое, поэтому событие C2 — невозможное событие.

Для математика каждое событие, связанное с тем же самым испытанием, — это подмножество пространства результатов этого испытания. Множество всех подмножеств пространства результатов, как семейство событий, связанных с тем же испытанием, будем обозначать буквой S.

Очевидно, что

Заметь:

Вероятность невозможного события равна 0.

Вероятность события, которому благоприятствует только один результат испытания, равна вероятности этого результата.

Вероятность события, которому благоприятствуют два или больше результатов, равна сумме вероятностей этих результатов.

Итак, мы определяем вероятность события следующим образом:

А—событие в вероятностной модели (Ω, р), значит, А⊂Ω. Тогда

Эту формулу вычисления вероятности события можно записать проще:

вероятность события является суммой вероятностей благоприятствующих ему результатов испытания.

Эта формула сложения является пока основным орудием подсчета вероятности события. Чтобы применять формулу, надо построить вероятностную модель случайного испытания, с которым связано данное событие.

Из вышеприведенной формулы сложения вытекает теорема:

Если все результаты испытания одинаково вероятны, то верояность события = —.

Это так называемая классическая теорема. Она является удобным орудием вычисления вероятности события, связанного с испытанием, вероятностная модель которого классическая.

Вероятностная модель рассмотренного выше размещения трех карт на трех местах — классическая. Из классической теоремы вытекает, что:

Из обнаруженных раньше аналогий вытекает, что для событий, связанных с испытанием, которое провел Борис, имеем:

Итак, имеются два шанса из трех, что хотя бы одно письмо, написанное Борисом, попадет по правильному адресу.

Если событие C0 противоположно событию D (C0 = D'), то Р(C0) + Р (D) = 1, а, значит, Р(C0) = 1-Р (D).

Легко проверить, что

в каждой вероятностной модели, если В — событие, противоположное событию A, то

Р(В) = 1 — Р(А).

5.3 Маша и Миша решили случайно выбирать того из них, кто будет мыть посуду в данный день. Миша предложил попеременно бросать монету, но не больше пяти раз. Посуду моет тот, кто первый выбросит решку. Миша сказал при этом: «Я, как мальчик, буду джентльменом, даю тебе, Маша, право на первый ход. Причем, если решка не выпадет ни разу в этих пяти бросках, то я мою посуду». Должна ли Маша согласиться на это предложение Миши? Является ли в такой ситуации Миша настоящим джентльменом? Как это обосновать с помощью математики?

Заметь, что здесь не важно, кто бросает монету, а важно, кому соответствует очередной бросок. Миша предложил провести случайное испытание. Это ожидание решки, но ограниченное до пяти бросаний. Вероятностная модель этого испытания была построена при решении задачи 3.1 (см. рис. 3.3):

Ω = {r, or, oor, ooоr, ooооr, ooооо}.

Рассмотрим два события:

А = {посуду будет мыть Маша},

В = {посуду будет мыть Миша}.

Если, например, испытание закончится результатом oor, то наступит событие A (Маша выбросила впервые решку). Результат oor благоприятствует событию A.

В данной вероятностной модели

5.4 Миша утверждает, что такой случайный выбор справедлив. Он сказал: «Столько же результатов благоприятствует событию A, сколько и событию В, а значит, события А и В одинаково вероятны». Прав ли Миша? Почему?

Распределение вероятности на множестве Ω изображено в таблице на с. 40. У нас:

Машины шансы мыть посуду почти в 2 раза больше Мишиных. Мытье посуды — это не совсем приятное занятие. Таким образом, Маша не должна была согласиться на Мишино предложение.

Вывод Миши, о котором идет речь в задаче 5.3, неправильный, так как все возможные результаты испытания не являются одинаково вероятными.

Обрати внимание, что каждый из возможных результатов благоприятствует либо событию А, либо событию В. Нет результата, который благоприятствует одновременно обоим событиям: А⋂В = 0; А и В — это несовместные события, с другой стороны, A∪B = Ω, A∪В — это достоверное событие. События A и В, как несовместные события, сумма которых является достоверным событием, — противоположные события.

5.5 Вот несколько событий, связанных с двукратным бросанием кубика:

А = {в обоих бросаниях выпадет одинаковое число очков},

В = {вместе выпадет 5 очков},

С = {вместе выпадет 7 очков},

D = {вместе выпадет 12 очков},

Е = {число выпавших очков будет делиться на 13},

F = {в каждом бросании выпадет нечетное число очков},

G = {в каждом бросании выпадет четное число очков},

H = {сумма выпавших очков будет четным числом},

J = {шестерка не выпадет ни разу},

К = {шестерка выпадет хотя бы раз},

L = {сумма выброшенных очков будет делиться на 3},

М = {сумма выброшенных очков будет делиться на 6}.

Найди в соответствующей вероятностной модели двукратного бросания кубика вероятности этих событий.

Не рисуя дерева (так как у него 36 ветвей), мы устанавливаем, что каждая ветвь дерева состоит из двух ребер и что каждому ребру соответствует число 1/6. Таким образом, вероятность каждого результата двукратного бросания кубика равна 1/6 ∙ 1/6, а значит, 1/36. Все результаты этого испытания одинаково вероятны.

Множество Ω, а значит, пространство результатов данного испытания и некоторые события, как подмножества этого пространства, изображены на рисунке 5.5.

Событию А благоприятствует 6 из всех 36 одинаково вероятных результатов, а значит, Р (А) = 6/36.. Легко проверить, что:

Заметь, что Е — невозможное событие: Е = 0. Таким образом, Р(Е) = 0. Событие H является суммой несовместных событий F и С; H = F∪G и F⋂G = 0. А значит,

Так как J и К — противоположные события (K = J'), то

Событие M — это произведение событий H и L:

5.6 Тебя пригласили играть. После перетасовки трех карт, двух пиковых (черные карты) и одной червонной (красная карта), выкладываются на стол две из них. Эти карты могут ока-

Рис. 5.5

Рис. 5.6

заться одного цвета (это событие A) или разного цвета (это событие В). Перед проведением этого случайного испытания ты делаешь ставку на одно из событий А или В. Если твоя ставка окажется правильной, получаешь очко. Какое решение ты примешь в этой ситуации?

Рисунок 5.6 изображает классическую модель испытания, о котором идет речь в задаче. Каждый отрезок, скобка или стрелка — в зависимости от того, принимается во внимание или нет очередность выкладывания карт, — изображает свой, одинаково вероятный с другими результат этого испытания. Из этого рисунка вытекает, что событие В (в 2 раза) более вероятно, чем событие Л.

То же решение можно обосновать иначе. Рассмотрим цвет оставшейся на руках карты после того, как были выложены две. Если она красная, тогда обе выложенные карты того же цвета (а значит, произошло событие A). Если она черная, тогда выложенные карты разных цветов (а значит, произошло событие В). Черных карт в 2 раза больше, чем красных, а значит, событие В в 2 раза более вероятно, чем событие Л.

Вероятность события стала здесь математическим средством выбора оптимальной стратегии в игре.

5.7 Я приглашаю тебя играть: случайно выберу два шара из мешка с двумя белыми шарами и одним красным. Если шары будут одного цвета, ты будешь победителем, если разного цвета, то победителем буду я. Ты согласен участвовать в такой игре? Почему?

Ответ вытекает сразу из решения предыдущей задачи. Игра является несправедливой, так как шансы игроков (т. е. вероятности победы) неодинаковы. Игра была бы справедливой, если события

А = {два случайно выбранных шара будут одинакового цвета}, и

В = {каждый из выбранных шаров будет другого цвета?

были бы одинаково вероятны.

В этой ситуации возникает новая проблема.

5.8 Можно ли сделать что-нибудь, чтобы игра, описанная в задаче 5.7, стала справедливой? Какой шар ты предлагаешь добавить: красный или белый, чтобы игра, которую я тебе раньше предлагал, стала справедливой?

Все без колебаний отвечают, что надо добавить красный шар, и каждый почти уверен в своей правоте. Ты можешь в этом убедиться, предлагая последний вопрос кому-нибудь из твоих знакомых. Только помни, что надо хорошо объяснить правила игры. Правильный ли этот ответ?

Прежде чем мы попытаемся обосновать свое мнение с помощью математики, мы можем сослаться на статистические (а значит, эмпирические) данные. Если ты много раз повторишь случайный выбор двух шаров из набора четырех шаров — двух белых и двух красных, то заметишь, что два шара разного цвета выбираются чаще (почти в 2 раза), чем шары одного цвета. Это дает основания для того, чтобы подвергнуть сомнению правильность принятого решения.

Средством аргументации может теперь стать рисунок 5.7.

Вытекающий из рисунка 5.7 вывод для всех является явно неожиданным и заставляет серьезно задуматься — как легко ошибиться, поспешно формулируя суждения.

К нашему нескрываемому удивлению, при наборе трех белых шаров и одного красного события

А = {оба вынутых шара одного цвета} и

В = {вынутые шары разного цвета?

являются одинаково вероятными. Это вытекает из рисунка 5.8.

5.9 Коля обосновал свое решение (надо добавить белый шар) по-другому. Коля сказал, что равенство вероятностей событий А и В — в случае трех белых шаров и одного красного — вытекает из следующего факта: сколько раз два вынутых шара одного цвета, столько же раз остальные шары разных цветов, и наоборот. Коля добавил к этому выводу рисунок 5.9. Ты согласен с таким выводом Коли?

Для случайного выбора одного из нескольких лиц мальчики используют описанный в § 1 «матросский» способ.

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Рис. 5.9

5.10 Как можно было бы сократить отсчет при таком выборе, если число показанных пальцев больше, чем мальчиков? Важно ли, с кого начинается счет и в каком направлении?

5.11 Алеша и Борис хотят таким «матросским» способом решить, кто сегодня прогуливает собаку. Счет решили начать с Алеши. Равны ли их шансы? Нужно ли в этой ситуации (только два мальчика) пересчитывать играющих?

Результат испытания, которое проводят Алеша и Борис, — это число всех указанных ими пальцев:

Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Вероятность отдельных результатов найдем путем классификации одинаково вероятных случаев. Каждая клетка с числом на рисунке 5.10 — это другой, одинаково вероятный случай. К числу 5 указанных пальцев ведут 4 из этих 25 случаев, а значит, вероятность получить число 5 пальцев равна 4/25.

Вероятности отдельных результатов собраны в таблице:

Рис. 5.10

Итак, таблица задает функцию р, т. е. распределение вероятности на множестве Ω. Пара (Ω, р) — это вероятностная модель испытания, которое проводят Алеша и Борис. В этой модели мы решим данную задачу.

Алеша и Борис имеют в виду два события:

А = {общее число указанных пальцев будет нечетное},

В = {общее число указанных пальцев будет четное}.

Вероятность, что с собакой пойдет гулять Алеша, — это вероятность события A, вероятность, что прогуливать собаку пойдет Борис, — это вероятность события В.

В модели A = {3, 5, 7, 9} и B = {2, 4, 6, 8, 10}, а значит:

Шансы Бориса чуть больше, чем шансы Алеши.

5.12 Маша и Миша хотят таким «матросским» способом решить, кто сегодня будет мыть посуду. Но вместо выбрасывания пальцев они решили, что каждый будет бросать игральный кубик. Отсчет решили начать с Маши. Но Миша решил, что тогда его шансы мыть посуду будут больше. Он рассуждал таким образом:

— Ты, Маша, будешь мыть посуду, если общее число очков, выпавших на двух кубиках, будет нечетным. Таких случаев пять:

3, 5, 7, 9, 11. Я буду мыть посуду, если это число будет четное. Таких случаев шесть: 2, 4, 6, 8, 10, 12, т. е. больше. Прав ли Миша?

Очевидно, что Миша ошибается. Из несовпадения чисел результатов, благоприятствующих событиям, не вытекает, что они не одинаково вероятны. Миша основывает свой вывод на классической теореме, но он не учел, что не выполнены ее условия.

Для Миши результат бросания двух кубиков — это число совместно выпавших очков

Рис. 5.11

Эти результаты не одинаково вероятны. Из рисунка 5.11 вытекает, что:

Вероятность того, что посуду будет мыть Маша, равна:

Вероятность того, что посуду будет мыть Миша равна:

5.13 Андрей пригласил Бориса играть. Каждый из нас, сказал Андрей Борису, бросит игральный кубик. Мы оба будем считать, сколько совместно выпало очков. Если это число будет четным — ты побеждаешь, если нечетным — я побеждаю. Является ли эта игра справедливой? Объясни, что, по-твоему, обозначает здесь справедливая игра. О какой математической задаче здесь идет речь?

Ответы на эти вопросы вытекают из решения предыдущей задачи.

5.14 Володя и Гена играют. Каждый бросает монету. Если на обеих монетах выпадает одно и то же, то побеждает Володя, если разное — побеждает Гена. Справедлива ли эта игра?

Ответ вытекает из рисунка 5.12.

Рис. 5.12

Вернемся к упомянутой в § 1 ИГРЕ В РУЛЕТУ. Аксессуары этой игры: вращающийся диск, который разбит на секторы, занумерованные числами от 0 до 36 (см. рис. 5.13, также рис. 1.19), металлический шарик, жетоны и панель (изображена на рисунке 5.14). На панели обозначены поля отдельными числами, а также другие поля: поле IMPAIR представляет собой все нечетные числа на диске, поле PAIR — четные числа на диске, поле MANQUE — числа от 1 до 18, поле PASSE — числа от 19 до 36, поле 12р — числа от 1 до 12 (первая дюжина), поле 12м — числа от 13 до 24 (вторая дюжина), поле 12D —числа от 25 до 36 (третья дюжина). Есть на диске «черные» числа. Это числа: 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35. Все эти «черные» числа представляет на панели поле с черным ромбом (внизу слева).

Рис. 5.13

Рис. 5.14. Панель с полями. На полях этой панели игрок кладет свои жетоны

Есть на диске «красные» числа. Это числа: 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36. Все эти числа представляет на панели поле с красным ромбом (внизу справа).

На рисунке 5.15 изображена иная форма панели с полями.

Игру ведет крупье, который продает жетоны, крутит рулету, бросает на нее шарик и платит выигрыши.

Игрок покупает у крупье жетоны. После команды «игра начинается» игрок кладет свои жетоны на выбранные им поля панели. Затем рулету начинают вращать. На вращающуюся рулету бросают шарик. Номер сектора рулеты, на котором останавливается шарик, является случайно выбранным (и заодно «выигрывающим») числом. Величина выигрыша игрока за один жетон зависит от того, на какое поле он положил этот жетон и какое число будет затем выбрано с помощью рулеты.

Рис. 5.15

Если, например, игрок положил жетон на поле PAIR, то он делает ставку на четное число. Он как будто угадывает, что выбранное с помощью рулеты (за несколько секунд) число будет четным. Если выбранное число четное, то игрок выигрывает некоторую сумму денег. Об этом подробно пойдет речь ниже.

Предположим, что один жетон стоит 1 р. Если игрок делает ставку на конкретное число, а значит, он кладет свой жетон на поле с этим числом и это число окажется выбранным, то игрок получает 35 р. Приведем некоторые другие выигрыши:

если игрок поставил жетон на поле:

... и выбранное рулетой число принадлежит этому полю, то...

выигрыш равен

четные (PAIR)................. 1р.

нечетные (IMPAIR)............... 1р.

первая дюжина (12р).............. 2 р.

вторая дюжина (12м).............. 2 р.

третья дюжина (12д).............. 2 р.

четыре начальных числа (0, 1, 2, 3)........ 8 р.

столбец (напр., 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34) 2 р.

черные................... 1р.

Если рулета выберет число 0, то выиграет 35 р. тот, кто поставил жетон на поле 0. Выигрывает тоже (8 р.) тот, кто сделал ставку на четыре начальных числа. Все остальные ставки проигрывают.

Выбор числа с помощью рулеты — это случайное испытание:

Каждый результат одинаково вероятен. Для каждого результата ω из множества Ω имеем р (ω) = 1/37. Вероятностная модель данного ипытания классическая.

Предположим, что игрок G купил два жетона и один положил на поле PAIR, второй — на поле «черные». Этот игрок сделал ставку, таким образом, на два события, связанные с вышеупомянутым испытанием:

А = {выбранное рулетой число будет четным},

В = {выбранное рулетой число будет черным}.

В вероятностной модели A = {2, 4, 6, 8, 34, 36}.

Событие В в этой модели является множеством «черных» чисел, а значит,

В = (2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35}.

Событию A благоприятствует 18 из 37 всех возможных и одинаково вероятных результатов испытания (классическая модель), а значит, Р(А) = 18/37. Аналогично Р(В) = 18/37.

Игрок G сделал ставку на два события А и В. Если наступит событие А, то он получит 1 р. Если наступит событие В, то он также получит 1 р.

5.15 Игрок G принимает во внимание еще другие события, как, например:

С = {предусмотрение обоих типов числа будет удачным*},

D = {предусмотрена хотя бы одного типа числа будет удачным},

Е = {предусмотрение точно одного типа числа будет удачным},

F = {предусмотрение ни одного типа числа не будет удачным}.

«Погрузи» эти события в вероятностную модель, а значит, представь эти события как подмножества пространства результатов и найди их вероятности.

Старая рулета (1780—1790 гг.). Юго-Западная Германия.

* Предусмотрение данного типа числа будет удачным, если игрок поставил жетон на поле, соответствующее этому типу, и выбранное число является числом этого типа.

Стол для игры в рулету (вид сверху). С обеих сторон помещены игровые поля, в центре — рулета. В середине стола (с обеих сторон) и на его концах четыре крупье.

Предусмотрение обоих типов числа будет удачным, а значит, наступит событие С, если выбранное рулетой число будет одновременно четным и «черным»: С = {2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, 26, 28}. Легко заметить, что

5.16 Алеша утверждает, что вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий. Прав ли Алеша? Как ты убедишь его в этом, принимая во внимание события A, В и D, о которых идет речь в задаче 5.15?

Легко проверить, что для упомянутых событий A, В и D имеем:

а значит, Алеша не прав.

5.17 Игрок H купил два жетона. Один жетон он поставил на поле 12, другой — на число 13 (которое он особенно любит). Найди вероятности событий:

А = {предусмотрение числа типа 12м будет удачным} = {выбранное рулетой число будет принадлежать числам типа 12м},

В = {рулета выберет число 13}.

В данной вероятностной модели найди Р (А) и Р (В). С какой вероятностью игрок H получит выигрыш за оба жетона? С какой — только за один жетон? С какой вероятностью игрок И ничего не получит за эти жетоны в данной ситуации?

5.18 Мать Алеши и Бориса замесила тесто, в которое положила 6 маленьких орешков. Замесив его, она сделала 6 одинаковых булочек к послеобеденному десерту. Алеша утверждает, что очень вероятно, что в каждую булочку попадет один орешек. Борис уверен, что это маловероятно. Кто из них прав?

В задаче идет речь об оценке вероятности события А = {в каждую булочку попадет орешек}. Это событие связано со случайным размещением шести орешков в 6 одинаковых кусочках теста.

Эту вероятность мы можем сначала оценить статистическим путем. Но возникает вопрос, как собирать статистические данные.

Если бы орешки не попали в уже сформированные булочки, то с целью их случайного размещения следовало бы для каждого орешка случайно выбрать булку, в которую он попадет (давая каждой булочке одинаковые шансы). Это можно сделать с помощью игрального кубика, заранее пронумеровав булочки цифрами от 1 до 6. Можно это сделать проще. Вместо того чтобы 6 раз бросать кубик, можно было бы бросать 1 раз 6 кубиков и положить столько орешков в булочку номер 1, на скольких кубиках выпала «единица», столько в булочку номер 2, на скольких кубиках выпала «двойка», и т. д. В каждую булочку попадет орешек тогда и только тогда, когда при бросании шести кубиков выпадут все числа очков. Другими словами, нам следует установить, в какой степени вероятно событие

С = {при бросании шести кубиков выпадут все числа очков}.

Рассмотрим другое событие. D = {при бросании шести кубиков одно из чисел не выпадет ни на одном кубике}.

Возьми шесть кубиков и повтори много раз их бросание. Ты сразу заметишь, как очень редко происходит событие С. Если рассматривать ситуацию перед бросанием (т. е. если пытаться предсказывать будущее), то наступление события С надо было бы считать очень маловероятным.

Заметь, что каждый раз, когда не произошло событие D, произошло событие С, и наоборот; С и D — это противоположные события.

Событие D происходит очень часто. Событие D, таким образом, — очень вероятно.

Полученные выводы мы можем теперь перенести на ситуацию с тестом и орешками. Очень маловероятно, что в каждую булку попадет орешек. Этот вывод мы делаем на основании аналогий, опираясь на обнаруженный факт, что случайное размещение орешков в булочках можно имитировать бросанием шести кубиков.

Лотерея ЗДЕСЬ КАЖДЫЙ БРОСОК ПОБЕЖДАЕТ (Франция, конец XVIII в.)

Событие С очень маловероятно. Приступая к бросанию шести кубиков, можно быть практически (почти) уверенным, что оно не произойдет и что произойдет событие D.

Среди маловероятных событий выделяются те, наступление которых мы решаем считать почти (практически) невозможными. Событие будем называть практически (почти) невозможным, если его вероятность меньше 0,05, и практически (почти) достоверным, если его вероятность больше 0,95. Далее мы используем события этих типов для иллюстрации применения стохастических методов.

5.19 Случайно встретились 12 человек. Дай оценку, насколько вероятны события (подсчитай их вероятности):

А = {все из этих людей родились под разными знаками зодиака},

В = {хотя бы двое из них родились под одним знаком зодиака}.

Факт, что A — событие практически невозможное, а В — практически достоверное, ты можешь обнаружить с помощью статистических данных. Как с помощью игральных карт можно имитировать данную встречу?

Заметь, что теперь некоторой оценкой вероятности события является его частота при многих повторениях испытания, с которым связано это событие.

Частота события A в n повторениях испытания — это дробь

Частота fn(А) является некоторой оценкой вероятности Р(А). Смысл этой оценки следующий:

если n достаточно велико, то практически достоверно (т. е. с вероятностью, близкой к 1), что числа fn(A) и Р (A) отличаются незначительно. Это содержание так называемого закона больших чисел Бернулли.

5.20 В овощном супе, сваренном в турпоходе, находится 100 горошин. Суп разливается в 10 тарелок. Как имитировать эту раздачу супа, чтобы оценить, в какой степени вероятно, что в твою тарелку не попадет ни одна горошина? Построй вероятностную модель случайного испытания, каким является эта раздача, и подсчитай в этой модели вероятность данного события.

В задаче надо вычислить вероятность события: А = {в данную тарелку не попадет ни одна горошина}.

5.21 Случайно встретились 7 человек. Что более вероятно:

А = {все они родились в разные дни недели} или

В = {хотя бы двое родились в один и тот же день недели}?

Как решить этот вопрос с помощью статистических данных? Подсчитай в соответствующей вероятностной модели вероятности событий А и В.

5.22 Андрей и Володя ловили рыбу на одинаковую приманку. Вместе они поймали 7 рыб, но не сказали, кто сколько рыб поймал. В какой степени вероятно событие Aj = {Андрей поймал j рыб} для j = 0, 1, 2, 6, 7? Найди эти вероятности.

6. Число карт, попавших на свое место, число писем, направленных по правильному адресу, выигрыш в игре как случайные величины

В ЛОТТО выбирают несколько (5 или 6) чисел из нескольких десятков. Игрок, который заполнил один бланк ЛОТТО, связывает каждый из результатов случайного выбора шаров (этот выбор только произойдет) с числом правильно угаданных чисел. На пространстве результатов случайного выбора шаров из данной урны определена тем самым некоторая функция. Два по-разному заполненных бланка приводят к двум разным таким функциям. Мы обратим теперь внимание на такого рода функции и подвергнем как бы математической обработке игру ЛОТТО и ситуацию игрока, который уже заполнил бланк, но случайный выбор шаров еще не произошел.

Так как большое число шаров может усложнить нам такую обработку, вспомним о Малостане (§ 2). Допустим, что в этом малом государстве действует малое ЛОТТО, причем несколько иное, чем ЛОТТО, описанное в задаче 2.3, зато совсем похожее на наше СПОРТЛОТО.

Каждое воскресенье в полдень дикторша малостанского телевидения случайно выбирает два шара из мешка с пятью шарами, занумерованными числами 1, 2, 3, 4, 5, и объявляет всем их номера. Но в субботу каждый гражданин Малостана делает ставку на то, какие будут завтра номера этих вынутых шаров. Каждый гражданин заполняет бланк (рис. 6.1), вычеркивая в каждой строке одинаковые два числа. Одну заполненную часть бланка и две малые кроны (как оплату) гражданин оставляет в субботу в киоске.

Если гражданин правильно угадал оба числа, то получает 10 малых крон, если только одно, то получает 2 малые кроны. Если ему не удалось угадать ни одного числа, то он не получает никаких денег.

В этой игре проводится некоторое случайное испытание. Это случайный выбор двух шаров из

Рис. 6.1. Заполненный бланк ЛОТТО в Малостане. Игрок сделал ставку на числа 3 и 4, а значит, он утверждает, что завтра будут вынуты из мешка шары с номерами 3 и 4

Рис. 6.2

данного мешка. Вероятностная модель этого испытания изображена на рисунке 6.2. Каждый отрезок изображает отдельный результат испытания. Числа, которые он соединяет, — это номера двух шаров, вынутых из мешка.

Всех результатов 10, и все они одинаково вероятны. Модель испытания классическая. Таким образом, все равно, на какой результат игрок сделает ставку, а значит, какие два числа он в субботу вычеркнет на бланке.

Предположим, что в субботу утром игрок G заполнил бланк так, как на рисунке 6.1, и оставил его в киоске. Рассмотрим ситуацию этого игрока в субботу вечером, т. е. когда он уже сдал заполненный бланк в киоск, но случайное испытание еще не произошло.

Каждый результат испытания игрок G связывает в данный момент с числом крон, которые он бы получил, если бы в воскресенье испытание окончилось этим результатом.

Результат 2—3 игрок G ассоциирует с числом 2. Если этим результатом окончится испытание в воскресенье, то игрок G получит 2 кроны. Если испытание окончится результатом 3—4, то игрок G получит 10 крон. Этот результат он ассоциирует, таким образом, с числом 10.

В субботу вечером игрок G определяет и рассматривает (принимает во внимание) некоторую функцию X на множестве Ω всех результатов испытания (рис. 6.3). Значение функции X зависит от результата случайного испытания, а значит, от случая. Другими словами, то, каким будет значение этой функции, решает случай.

В теории вероятностей такая функция Х, заданная на пространстве результатов случайного испытания, значениями которой являются действительные числа, называется случайной величиной.

Вышеприведенная функция X — это выигрыш игрока G, но рассматриваемый до случайного выбора шаров и одновременно после того, как игрок заполнил и сдал в киоске бланк. После выбора шаров (например, в воскресенье вечером) выигрыш игрока G — это уже конкретное число.

Обрати внимание, что в наших рассуждениях время играет особую роль. В зависимости от времени, в которое мы рассматриваем ситуацию игрока, его выигрыш является либо случайной величиной (т. е. функцией), либо числом. Спрашивая о вероятности результата или события, мы принимаем во внимание будущее время.

Выигрыш игрока G, т. е. случайная величина X, принимает три значения: 0, 2 и 10.

До момента выбора двух шаров из мешка игрок G думает о своих шансах в игре. Дело в оценке вероятности событий:

А = {игрок G выиграет 10 крон},

В = {игрок G выиграет 2 кроны},

С = {игрок G ничего не получит}.

Событие A произойдет тогда и только тогда, когда испытание окончится результатом 3—4. Этому и только этому результату случайная величина X сопоставляет число 10. Событию A благоприятствует только один результат: A = {3 — 4}. Событие A — это простое событие. Так как все результаты испытания одинаково вероятны, то Р (А) = 1/10.

Событию В благоприятствуют все те результаты, для которых случайная величина X принимает значение 2, а значит, от которых на рисунке 6.3 ведет стрелка к числу 2. Таких результатов 6, а значит, Р (В) = 6/10 = 3/5.

Событию С благоприятствуют результаты, которым случайная величина X сопоставляет число 0. Есть три таких результата, а значит, Р (С) = 3/10.

Рис. 6.3. Рассматриваемый в субботу выигрыш игрока Q в малостанском ЛОТТО как случайная величина, т. е. как особая функция X

В данном контексте А — это событие:

{случайная величина X примет значение 10}.

Обозначим это событие через (Х = 10}, а его вероятность через Р (Х = 10). Число Р (Х = 10) — это вероятность, с какой случайная величина принимает значение 10:

В — это событие:

{случайная величина X примет значение 2},

а значит, В = (Х = 2} и Р(X = 2) = 3/5. Случайная величина X принимает значение 2 с вероятностью 3/5.

С — это событие:

{случайная величина X примет значение 0},

а значит, С = (Х = 0} и Р(Х = 0) = 3/10. Случайная величина X принимает значение 0 с вероятностью 0,3.

Каждому значению случайной величины X мы сопоставляем число, равное вероятности, с которой она принимает это значение. Таким образом, на множестве {0, 2, 10}, т. е. на множестве значений случайной величины X, мы определили функцию. Обозначим ее символом рХ. Зададим ее таблицей:

Множество значений случайной величины X будем обозначать через ΩХ. У нас ΩX = {0, 2, 10}. Легко заметить, что функция рX является распределением вероятности на множестве ΩX.

В теории вероятностей функцию рX называют распределением случайной величины X.

Число pX(xj) для xj = 0, 2, 10 можно рассматривать как массу, сосредоточенную в точке xj на числовой оси. Функция рX представлена на рисунке 6.4 как распределение единичной массы в точках 0, 2 и 10 на числовой оси.

Рис. 6.4

6.1 Другой гражданин Малостана сделал ставку на результат 1—5. В субботу он вычеркнул на бланке ЛОТТО числа 1 и 5. До воскресенья в полдень его выигрыш является случайной величиной Y. Определи функцию pY с помощью стрелочного графа (см. рис. 6.3). С какой вероятностью данный гражданин приобретет 10 крон, с какой 2 кроны, а с какой 0 крон?

Обрати внимание на то, что вопрос касается построения функции рY, т. е. распределения случайной величины Y. Проверь, что pY = pX.

Выигрыш в ЛОТТО зависит от результата случайного выбора шаров из некоторой урны. Этот выигрыш, если его рассматривать до тиража номеров ЛОТТО, является случайной величиной.

Заметь, что каждому результату размещения трех карт, о котором шла речь в разделе 5, соответствует число карт, попавших на свое (нужное) место. Каждому результату размещения трех адресов на трех конвертах с письмами или, что все равно, трех писем по трем адресам мы сопоставляем число писем, направленных по правильному адресу. Другими словами, здесь опять появляются функции, определенные на пространстве результатов случайного испытания, а значит, случайные величины.

Случайные величины будем обозначать латинскими буквами

X, Y, Z, V, Q.

На рисунке 6.5 изображена с помощью стрелочного графа случайная величина У, которая результату случайного размещения трех карт на трех местах сопоставляет число карт, попавших на свое (нужное) место (см. рис. 5.3).

Если размещение карт окончилось результатом ВДК, то на свое место попала только одна карта. Это дама. Таким образом, у нас Y (ВДК) = 1. Аналогично: Y (ДВК) = 0, Y (КДВ) = 3 и т. д.

Случайная величина — это число писем, направленных Борисом по правильному адресу, если это число рассматривать вначале, значит, до вписания адресов на конвертах. Эту случайную величину обозначим буквой Z. Обе эти случайные величины принимают только три значения: 0, 1 и 3.

В задаче 3.4 описана игра. В ней проводится некоторое случайное испытание. Выигрыш зависит от результата этого испытания. Он является, таким образом, случайной величиной X.

Рис. 6.5

6.2 На рисунке 3.8 построена вероятностная модель испытания, которое проводится в игре, описанной в задаче 3.4. Определи распределение выигрыша в этой игре.

Случайная величина — это функция, определенная на пространстве результатов некоторого случайного испытания. Случайную величину мы будем, таким образом, рассматривать всегда в вероятностной модели этого испытания.

Для каждого значения случайной величины будем рассматривать множество тех результатов, для которых случайная величина принимает это значение.

Рассмотрим опять случайную величину У, которая является числом карт, попавших на свое место.

Число P(Y = j) обозначает вероятность, с которой случайная величина Y принимает значение j (у нас j = 0, 1, 3). Речь идет о вероятности события {ω∈Ω: Y(ω) = j}, которое кратко мы обозначаем через {Y = j}. Тогда

P(Y = j) = P(Cj) (см. с. 65),

а значит,

Распределение случайной величины Y задана таблицей

Заметь, что распределение случайной величины Y является распределением вероятности на множестве ΩY = {0, 1, 3}, т. е. на множестве значений функции Y. Пара (ΩY, pY)— это новая вероятностная модель.

Число писем, которые будут направлены по правильному адресу (§ 5), является случайной величиной с таким же распределением, как выше приведенное распределение pY случайной величины Y, которая результату размещения трех карт сопоставляет число карт, попавших на свое место.

Число pY(j), т. е. число Р (Y = j), можно рассматривать как массу, сосредоточенную в точке j на числовой оси. Функция pY в этой интерпретации представлена на рисунке 6.6 как распределение единичной массы в точках 0, 1 и 3 на оси.

Рис. 6.6

6.3 Еще древними римлянами использовался для принятия решений жребий с помощью пальцев. И сегодня очень популярна в Италии игра МОРРА. Два игрока быстрым движением одновременно показывают один или больше пальцев правой руки и в то же время каждый называет некоторое число. Побеждает тот, кто назвал суммарное число показанных (обоими) пальцев. Можно ли говорить о какой-либо рациональной стратегии в такой игре?

В игре оба игрока проводят некоторое случайное испытание. Можно принять, что для каждого из чисел 1, 2, 3, 4, 5 одинаково вероятно, что игрок покажет такое число пальцев и что этот факт касается каждого из игроков.

Результатом проведенного в игре испытания является пара чисел показанных пальцев. На рисунке 6.7, б клетка, расположенная в j-м столбце и k-й строке, изображает результат (j, k), когда первый игрок показал j пальцев, а второй — k пальцев. Эта таблица представляет классическую вероятностную модель данного случайного испытания.

Два Эроса, играющие в игру МОРРА (фрагмент вазы, Руво, ок. 420 г. до и. э.). Государственный музей, Мюнхен

Рис. 6.7

Таблица на рисунке 6.7, в представляет функцию Х, которая каждому результату испытания сопоставляет суммарное число показанных игроками пальцев. Функция X — это случайная величина.

Таким образом, мы получили следующее распределение рассматриваемой случайной величины X:

Число 6 является наиболее вероятным значением случайной величины Х. Такое наиболее вероятное значение случайной величины называют модой.

Названное игроком число и является тем значением случайной величины X, на которое игрок «делает ставку». Ставку стоит делать на наиболее вероятное значение.

6.4 Из 28 костей ДОМИНО выбираешь наугад одну. Число очков на этой кости — это случайная величина. Найди ее распределение.

6.5 Случайная величина X результату десятикратного броска монеты сопоставляет число выброшенных решек. С какой вероятностью она принимает значение 9, 10?

6.6 В урне 3 белых и 2 красных шара. Ты выбираешь случайно (без возвращения) шар до тех пор пока не получишь черный шар. Т — это число вынутых шаров в таком случайном испытании. С помощью стохастического дерева найди распределение случайной величины T?

Женщины, играющие в игру МОРРА (фрагмент аттики, Нола, ок. 420 г. до н. э.), коллекция Дзиалыньских, Париж

6.7 Аксессуар в игре — это четыре туза из колоды карт. После их перетасовки игрок выкладывает на стол две карты и получает столько рублей, сколько черных карт среди выложенных на стол. Сколько рублей можно приобрести в такой игре и с какой вероятностью?

До того, как игрок выложит 2 карты, его выигрыш является случайной величиной W. Из рисунка 6.8 имеем:

Рис. 6.8

Гуляя по Москве, автор купил в магазине «Детский мир» две интересные (с точки зрения математика) игрушки. Это две вроде бы рулетки: ФОРТУНА и CASINO (рис. 6.9 и 6.11).

Если в правом нижнем углу освободить напряженный рычаг, то в трех окошках наверху быстро вертятся три ролика. Каждый ролик делится на четыре части. На каждой нарисован некоторый знак (число, буква или картинка). Если нажать кнопку

Рис. 6.9

Рис. 6.11

Рис. 6.10. Секторы на трех роликах рулетки CASINO

Рис. 6.12. Секторы на трех роликах рулетки ФОРТУНА

STOP в левом нижнем углу, то все ролики тут же останавливаются. В каждом окошке появляется какой-то знак. О том, что появится, решает, конечно, случай. Таким образом, речь идет о случайном испытании. Его результат — это тройка знаков, появившихся в трех окошках. Таблица на коробке объявляет, сколько очков получает игрок за данный результат испытания.

6.8 Рассмотрим игрушку CASINO (типа рулетки) (рис. 6.9).

У каждого ролика четыре сектора: один с месяцем, один с буквой Б, один с шаром и один с числом 7 (рис. 6.10). За каждую семерку игрок получает 15 очков, за месяц— 10 очков, за шар — 5 очков. За букву Б не получает ничего. Через минуту ты приведешь в движение эту рулетку. В этот момент твой выигрыш (т. е. число приобретенных очков) зависит от результата случайного испытания. В данный момент твой выигрыш является случайной величиной Х. Найди множество ее значений. Для каждого значения подсчитай вероятность, с которой случайная величина X примет это значение.

Задача касается построения распределения случайной величины Х. На рисунке 6.9 изображен результат Б77. За такой результат получают 0 + 15 + 15, а значит, 30 очков: Х(Б77) = 30.

Если испытание окончится результатом 777, то игрок получает максимальную сумму очков: X(777) = 45. Для результата БББ выигрыш равен нулю: X(БББ) = 0.

Всех возможных результатов у нас 4×4×4, т. е. 64. И все они одинаково вероятны.

На рисунке 6.11 изображена игрушка — рулетка ФОРТУНА. Секторы на ее роликах показаны на рисунке 6.12. Таблица (рис. 6.13) содержит определение выигрыша. За результат грибок-грибок-грибок игрок получает 8 очков. За результат колокольчик-яблоко-лимон игрок получает только одно очко.

6.9 Перед запуском рулетки ФОРТУНА число очков, которые будут набраны, является случайной величиной Y. Построй ее распределение, т. е. функцию pY.

Здесь опять 64 одинаково вероятных результата. Только два из них дает, например, выигрыш 8 очков. Случайная величина Y принимает значение 8 с вероятностью 2/64.

Рис. 6.13 Выигрыш в игре ФОРТУНА

Рис. 6.14

Рис. 6.15

«Рулетка» на рисунке 6.14 служит для случайного размещения шариков на 16 местах, обозначенных числами. С помощью волчка шарики разбрасываются и попадают в отверстия на краю диска. За результат такого случайного испытания игрок получает столько очков, какова сумма номеров отверстий, в которые попали шарики.

6.10 Возьмем только два шарика. Число очков, полученных за результат случайного размещения двух шариков в 16 отверстиях, а значит, выигрыш — это случайная величина. Найди ее распределение.

7. Как в некоторых ситуациях вероятность оценивает риск

Нередко мы слышим об авиационных катастрофах. Создается впечатление, что эти катастрофы происходят довольно часто. Но это не так. Если учесть огромное количество всех рейсов, то число рейсов, кончающихся трагически, относительно небольшое. Авиационные катастрофы происходят все же крайне редко. И хотя все недавно читали об очередной авиационной катастрофе, у касс, продающих билеты на самолеты, почти всегда очередь. Каждый из стоящих в ней принял решение полететь на самолете, так как практически уверен, что он долетит благополучно. Каждый из них думает примерно так: «Я могу быть практически уверенным, что с самолетом, на котором я полечу, ничего не случится, так как катастрофы происходят крайне редко (катастрофа моего самолета очень маловероятна)».

Катастрофу самолета, на котором этот человек собирается полететь, он считает очень маловероятной. Он никогда не может быть уверен в том, что обязательно благополучно долетит к цели. Но он может быть в этом почти уверен (и он уверен).

Ежедневно мы часто принимаем решения, обосновывая их похожим образом. Рассуждение опирается на так называемый принцип практической уверенности:

Если событие очень маловероятно (если оно почти, а значит, практически невозможно), то можно быть почти (практически) уверенным, что оно не произойдет.

Нельзя быть уверенным в этом, но можно быть почти уверенным.

Только что это обозначает; что событие А практически, т. е. почти, невозможно? Как очень маловероятное событие мы были бы в состоянии считать почти, т. е. практически, невозможным?

В этом отношении решение мы должны принять сами. Если в мешке 1 черный шар и 99 белых, то получение путем случайного выбора черного шара из такого мешка можно смело

считать событием очень маловероятным. Пожалуй, ты согласишься, что это событие можно назвать почти, т. е. практически, невозможным? Но оно не является невозможным событием. Это событие почти, или, иначе, практически, невозможно. Перед случайным выбором шара можно быть почти уверенным, что данное событие не произойдет.

7.1 Тебе предложили приобрести электронные часы за 1 р. В мешке 1 черный шар и 99 белых. Ты платишь 1 р., а затем случайно выбираешь шар из этого мешка. Если вынутый шар окажется черным, часы твои. Предложение кажется манящим (привлекательным). Так ли на самом деле? Как ты оцениваешь свои шансы приобрести эти часы? Каков риск, что человек, который предложил тебе такую продажу, потеряет свои часы?

Твои шансы ничтожны. Случайно попасть на черный шар так маловероятно, что этот человек может быть практически уверенным, что он не потеряет часов, а приобретет немного денег.

7.2 У тебя какой-то ценный предмет (например, электронные часы). Тебе нужны деньги. Ты принял бы решение предложить такой вариант продажи с целью приобрести немного денег? Почему?

Принято считать событие практически, т. е. почти, невозможным, если его вероятность меньше 0,05. Ты согласишься, что это реально?

Согласно вышеупомянутому принципу практической уверенности действуют различные салоны азартных игр, а также СПОРТЛОТО. Часто организуются различные мероприятия, игры или лотереи, прибыль от которых предназначается в дальнейшем на какую-то благотворительную цель.

Твой класс должен подготовить такое мероприятие. Ученики собрали много более или менее ценных предметов для лотереи. Кто-то принес старинную чашку. Ее стоимость не так мала. Чтобы благодаря ей собрать больше денег, было решено организовать игру.

7.3 В мешке 10 шаров, занумерованных цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Игрок записывает на бумаге число меньше 1000, оплачивая 10 р., и тем самым получает право 3 раза случайно выбирать (с возвращением) шар из данного мешка. Если из номеров поочередно выбранных шаров сложится число, которое вначале предложил игрок, то чашка становится его собственностью. Позволит ли, по-твоему, такая лотерея собрать определенную сумму на благотворительную цель? Как ты обосновал бы свой ответ?

Замечание. Если поочередно попадались шары с номерами 0, 2, 0, то получилось число 20, если шары с номерами 0, 0, 7,

то число 7, если шары с номерами 9, 0, 3, то число 903, и т. д.

Заметь, что имеется 1000 возможных и одинаково вероятных результатов трехкратного случайного выбора (с возвращением) шара из данного мешка. Только один из них ведет к выигрышу.

Вероятность получить чашку равна 1/1000. Шанс приобретения чашки весьма мал.

7.4 Как изменится ситуация, если шары выбираются без возвращения? Каковы были бы в этой ситуации шансы выиграть чашку? Твои родители решили сыграть. Папа предложил сделать ставку на его излюбленное (и, по его мнению, счастливое для него) число 7. Как ты принял бы такое решение своего отца?

В последнее время все чаще люди используют для защиты вещей от кражи различные устройства. Действие многих из них опирается на вышеприведенный принцип практической уверенности.

Защите велосипеда от кражи служат, например, блокировки, которые закрываются на ключик. Но такой ключик можно потерять.

7.5 Тебе посоветовали купить для защиты велосипеда блокировку, закрываемую на замок с шифром. Блокировка состоит из металлического троса, концы которого можно соединить и закрыть на замок. Такой замок состоит из трех дисков, каждый разделен на 10 секторов, обозначенных цифрами от 0 до 9. Вокруг каждого диска вращается ручка (рис. 7.1). Блокировка отключается, если каждая ручка устанавливается на соответствующем сегменте. Номера этих сегментов составляют шифр. Ты узнаешь этот шифр, покупая блокировку. Ты купил бы такую блокировку для защиты твоего велосипеда? Как ты обоснуешь свое решение?

Рис. 7.1

Здесь следует ответить на вопрос, хорошо ли выполняет свою роль эта блокировка. Вопрос касается оценки риска, что вор, подбирая цифры наугад на каждом диске, откроет блокировку. Оценить этот риск означает оценить вероятность случайного попадания на трехзначный номер, открывающий блокировку. Эта вероятность равна, как легко установить, 1/1000. Риск, что кто-либо посторонний откроет блокировку, хотя и существует, но весьма мал. Этот факт дает основания утверждать, что блокировка достаточно хорошо выполняет свою роль. Последние замечания касаются одной попытки освободить блокировку вором.

7.6 Предположим, что вор установил ручки на трех секторах, но блокировка не открылась. Он решил еще раз попытаться открыть блокировку. Какой теперь шанс, что блокировка откроется? Какой риск после трех неудачных попыток? Какой — после десяти?

После неудачной попытки шанс открыть блокировку возрастает, но очень незначительно. Освобождение блокировки после двух, трех и даже десяти неудачных попыток продолжает оставаться почти невозможным. Заметь, что после нескольких неудачных попыток вор, вероятно, оставит свои намерения украсть велосипед. Дольше возиться с этим велосипедом, вероятно, станет подозрительным для прохожих.

7.7 Однажды в магазине я увидел другую велосипедную блокировку. Ее замок состоит из четырех колес-дисков, каждый разделен на шесть сегментов, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 (рис. 7.2). Блокировка открывается (освобождается), когда каждый из дисков остановится на соответствующем сегменте. Какая из вышеописанных блокировок лучше защищает велосипед от воров и почему?

Рис. 7.2

Заметь, что здесь нужно ответить на вопрос: какое из чисел — 103 и 64 — больше?

7.8 Рисунок 7.3 изображает копилку «сейф», закрываемую на замок с шифром. Ее дверь открывается одновременно с установкой трех ручек на трех соответствующих цифрах, которые образуют шифр. Эти цифры известны только собственнику копилки. Хорошо ли сохраняет эта копилка деньги от кражи? Каков шанс, что, не зная шифра и подбирая наугад выбранные цифры, ты откроешь этот «сейф»?

Хотя механизм здесь другой, чем в случае велосипедной блокировки, но принцип тот же.

До недавнего времени встречающиеся на вокзалах камеры для хранения ручного багажа закрывались на ключик. Опустив монету или жетон, можно было открыть дверцу. Положив багаж, надо было закрыть дверцу на ключик, взять его с собой, и можно было спокойно отправиться в город. Все же такой ключик можно потерять. Вдобавок кто-нибудь, кто раньше использовал эту камеру, мог скопировать ключик и сегодня выкрадет из него наш багаж. Возможно, по этим причинам такие камеры в последнее время заменяют другими секциями, закрываемыми на замок с шифром.

Рис. 7.3

Рис. 7.4

7.9 Шифр секции для ручного багажа состоит из буквы и трех цифр, которые устанавливает сам владелец багажа и которые известны только ему (рис. 7.4). После набора шифра владелец багажа опускает монету (или жетон) в отверстие, закрывает дверь, крутит гайку, чтобы сбить шифр, запоминает этот шифр, а также номер секции и уходит в город. Почему, несмотря на некоторый риск, люди оставляют в этих секциях свой багаж? Как велик этот риск? Ты хотел бы воспользоваться такой формой хранения багажа? Почему?

Обрати внимание: чтобы принять правильное решение, тебе помогает математика.

7.10 В последнее время популярными становятся портфели, закрываемые на один или два замка с шифром. Шифр каждого состоит из трех или четырех цифр, которые выбирает владелец (рис. 7.5). Оцени риск открытия портфеля с одним и портфеля с двумя замками посторонним человеком.

Рис. 7.5

7.11 Алеша утверждает, что вероятность открыть портфель с двумя замками (наугад выбранными цифрами в обоих замках) составляет 1/1000 ∙ 1/1000. Борис утверждает, что она равна сумме 1/1000 + 1/1000 Кто из них прав и почему?

Господин Иванов живет на десятом этаже. Возвращаясь с дачи на машине, он оставляет в подвале разные вещи. И тогда ему следует подняться наверх за ключиком от замка, на который закрывается дверь в его подвале. В магазинах появились замки с шифром. Такой замок был бы для господина Иванова более удобным. Но при условии, что такой замок хорошо охраняет дверь.

7.12;

На рисунке 7.6 изображены два разных замка. Каждый имеет свой шифр. Шифр первого замка состоит из четырех чисел. Каждая цифра устанавливается с помощью гайки. Шифр второго замка устанавливается путем подбора четырех цифр с помощью четырех вращающихся колец. На каждом кольце 10 секторов, обозначенных цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Покупая замок, ты получаешь информацию о шифре. Какой из этих замков ты предложил бы господину Иванову? Как ты убедил бы его, что стоит купить именно этот замок? Сколько существует возможных способов установить шифр для каждого из этих замков?

7.13 На чердаке, среди рухляди, Алеша нашел старый замок, снабженный шифром (рис. 7.7). В отличие от замка, описанного в задаче 7.12, здесь вместо четырех колец шесть колец. Замок закрыт, многие годы он не использовался, значит, никто уже не помнит его шифра. После скольких попыток и каким образом провести эти попытки, чтобы замок открыть? Если для каждой попытки требуется 10 с, то сколько времени нужно Алеше для проверки всех возможных шифров этого замка? Как, зная шифр такого замка, ты оценил бы возможность (а значит, риск), что кто-нибудь, не знающий этого шифра, откроет данный замок?

Рис. 7.6

7.14 Если бы ты знал шифр замка, о котором идет речь в последней задаче, то какой из всех трех вышеописанных замков ты бы предпочел?

7.15 На рисунке 7.8 изображен еще один замок. Его шифр состоит из четырех различных цифр. Чтобы открыть этот замок, следует нажать кнопки, обозначенные цифрами шифра. Шифр замка следует запомнить, но лучше всего его записать где-нибудь в своем блокноте. Каковы шансы открыть этот замок, не зная шифра, т. е. выбирая наугад четыре из десяти цифр? Который из четырех вышеописанных замков самый лучший и почему?

Чаще всего двери гаражей, подъездов жилых домов или магазинов снабжаются замками с более сложными шифрами.

На рисунке 7.9 изображена накладка, предназначенная для улучшения охранных свойств цилиндрического замка. Эта накладка устанавливается с наружной стороны двери. Она перекрывает свободный доступ ключа к отверстию. Накладка имеет вращающийся диск с ключевым пазом и четыре поворотные кодонаборные ручки. На каждой ручке есть выступ в виде стрелки. Принимая во внимание положение этой стрелки, каждая ручка имеет 6 позиций. Их можно условно обозначить цифрами так, как на рисунке 7.10.

Рис. 7.7

Рис. 7.8

В исходном положении накладки ключевой паз поворотного диска находится в горизонтальном положении, а значит, ключ невозможно вставить в отверстие. Для того чтобы вставить ключ в замок, надо повернуть диск накладки до совпадения его паза с ключевым пазом замка (он в вертикальном положении). Поворот диска осуществляется только после правильного набора четырехзначного кода накладки. Код набирается при помощи четырех вышеупомянутых кодонаборных ручек. На рисунке 7.9 ручки установлены в позициях: 1—2—3—4 (по часовой стрелке). Если код накладки 1234, то диск освобожден и его можно вращать. После того как дверь закрыта, необходимо вынуть ключ и повернуть в исходное (горизонтальное) положение. Изменив позиции ручек, нужно сбить код.

7.16 Какая вероятность, что, случайно выбирая позиции каждой ручки, тебе удастся попасть на код вышеописанной накладки? Хорошо ли исполняет эта накладка свою роль надежно защищать помещение от вора? Решение какой задачи сразу же дает ответ на эти вопросы? Почему?

Рис. 7.9

Рис. 7.10. Условное обозначение позиций кода (ручка показывает цифру 3)

Рис. 7.11

Для запирания дверей различных помещений, имеющих наружные скобы, предназначен цифровый замок, изображенный на рисунке 7.11. Чтобы открыть такой замок, надо совместить цифры шифра замка (вращая четыре подвижных кольца) с сектором на неподвижном корпусе, обозначенном буквой шифра. Такой замок автор купил в Москве. Его шифр 2384В. На рисунке кольца находятся в позиции, при которой запорный палец можно вынуть из корпуса, а значит, открыть замок.

7.17 Сколько возможностей установить шифр замка такого типа? Какой риск, что случайным путем можно при одной попытке открыть такой замок?

7.18 Входные двери во многих зданиях Москвы, Санкт-Петербурга и других городов России закрываются на замок с шифром, видимая часть которого состоит из доски с десятью занумерованными кнопками (рис. 7.12). Чтобы открыть дверь, надо нажать три кнопки, обозначающие цифры кода.

1) Какова вероятность, что (не зная кода), нажав наугад выбранные кнопки, ты сможешь открыть дверь?

2) Хорош ли, по-твоему, такой способ защиты дома от незваных гостей? Почему?

Прими во внимание, что замок простой, следовательно, относительно дешевый.

Поинтересуйся имеющимися в продаже шифрованными замками для дверей. Попробуй оценить шансы, что ты сумеешь их открыть, не зная шифра. Дело в оценке некоторого риска.

7.19 На рисунке 7.13 изображена крышка для бензобака автомобиля, которая закрывается на замок с шифром. Код является комбинацией из двух чисел от 1 до 12. Первое число кода устанавливают, вращая диск с числами так, чтобы упомянутое число оказалось возле отрезка, обозначенного снаружи. Второе число устанавливают, поворачивая стрелку так, чтобы она указывала на это число. Закрывать ключиком крышку бака для топлива в некоторых машинах немного затруднительно. Порекомендовал бы ты мне эту крышку с шифром?

Хорошо ли, по-твоему, такого типа крышка обеспечивает надежную защиту бензобака? Как ты убедишь меня, что стоит ее купить?

Рис. 7.12. Видимая часть шифрованного замка двери

7.20 На уроке химии учитель предложил короткую контрольную работу. На доске он выписал 10 химических соединений*. Среди них только 2 альдегида. Если ученик правильно укажет, какие из этих соединений являются альдегидами, то он получает положительную оценку. Правильно ли, по-твоему, он получает такую оценку?

Рис. 7.13

*1. Этаналь 3. Этан 5. Пропин 7. Ацетилен 9. Пропилен 2. Метаналь 4. Метанол 6. Этанол 8. Пропан 10. Метан

Рис. 7.14. Вероятность того, что, случайно выбирая два шара из мешка с двумя черными шарами и одним белым, мы получим оба черных шара, равна 1/3, т. е. около 0,33

Существует возможность, а значит, шанс, что наугад можно попасть на два альдегида. Попробуем оценить этот шанс.

Если предположить, что ученик не готовился к уроку, то соединения он выбирает наугад. Для него контрольная работа напоминает случайный выбор двух шаров из мешка с двумя черными шарами (это два альдегида) и восемью белыми (это остальные химические соединения в упомянутом списке). В данной ситуации шансы получить положительную оценку равны вероятности попасть на два черных шара. Как быстро подсчитать эту вероятность?

Решим сначала подобную задачу в случае, когда учитель химии вместо десяти химических соединений выписал только 3, среди которых 2 альдегида (рис. 7.14). Вероятность получить положительную оценку путем догадки равна 1/3. Она не мала. Относительно вероятно получение положительной оценки путем обычной догадки. В данной ситуации положительная оценка не достоверна.

Если бы на такой контрольной работе по химии учитель выписал 4 соединения, из которых только 2 альдегида, то риск, что кто-нибудь несправедливо получит положительную оценку равен 1/6. Этот риск просто является вероятностью, что, случайно выбирая два шара из мешка с двумя черными шарами и двумя белыми, мы получим оба черных шара (рис. 7.15).

В данной ситуации шансы получить положительную оценку путем догадки также относительно велики (1/6 — это около 0,167).

А что с достоверностью оценки в случае, если учитель выписал бы 5 химических соединений, из которых только 2 альдегида? Как теперь оценить упомянутый риск? Для этого достаточно нарисовать пятиугольник, в каждой его вершине поместить одно химическое соединение (или — что равнозначно — один шар из пяти шаров — двух черных и трех белых) и каждую вершину соединить отрезком с каждой из остальных. Теперь надо подсчитать, сколько всего таких отрезков.

Из каждой вершины пятиугольника можно провести 4 отрезка. Всего вершин 5, а значит, всех отрезков было бы 5—4. Только

таким образом мы каждый отрезок считаем дважды. В действительности у нас отрезков 54/2, т. е. 10.

Итак, в случае пяти химических соединений в списке вероятность попасть (путем догадки) на 2 альдегида и получить положительную оценку равна 1/10. Она тоже не мала. Оценку по такой контрольной работе мы не должны считать достоверной.

Вернемся к задаче 7.20. Вероятность попасть на два правильных соединения путем догадки в случае, когда в списке 10 химических соединений (в том числе только два альдегида), равна

Когда список содержит 10 химических соединений, случайно попасть на два правильных почти невозможно. Риск, что оценка по такой контрольной работе не будет достоверной, существует, но он ничтожен. Можно быть практически уверенным, что если кто-то получил положительную оценку, то он ее достоин.

7.21 На уроке родного языка каждый ученик получил отрывки из четырех литературных произведений четырех разных писателей, а также (отдельно) фамилии этих писателей. Ученик должен указать автора каждого текста. Ученик правильно соединил все эти четыре текста с авторами. Можно ли ему поставить положительную оценку?

Очевидно, что, наугад подбирая автора к тексту, можно правильно соединить все эти четыре текста с их авторами. Следует ответить на вопрос, насколько это вероятно. Если вероятность получить такой результат путем догадки очень мала, точнее, если практически невозможно получить такой результат случайным путем, то можно судить о наличии определенных знаний по литературе. Тогда можно быть практически уверенным, что этот результат получен благодаря знаниям, и тогда ученик заслуживает положительную оценку.

Предположим, что у ученика нет никаких знаний по литературе. В такой ситуации он соединяет автора с наугад выбранным текстом. Подбор авторов к текстам в этой ситуации являет-

Рис. 7.15. Имеется 6 возможных и одинаково вероятных результатов случайного выбора двух шаров из урны с двумя черными и двумя белыми шарами

ся случайным испытанием. Построим его вероятностную модель следующим образом.

Четырех авторов могут «изображать» четыре карты: валет, дама, король и туз. Четыре их произведения — четыре рамочки (места), обозначенные буквами: В, Д, К и Т. Рамочка, обозначенная буквой В, — это как бы текст автора, которого изображает валет. Это подходящее место для валета. Место, обозначенное буквой Д, — это как бы текст автора, которого изображает дама. Это подходящее место для дамы и т. д. (рис. 7.16).

Решение задачи в описанной ситуации (у ученика нет никаких знаний по литературе, он наугад соединяет автора с текстом) является как бы случайным размещением четырех карт: валета, дамы, короля и туза на четырех местах, обозначенных буквами: В, Д, К, Т. Рисунок 7.16 изображает один результат такого размещения.

Описанное здесь случайное размещение четырех карт на четырех местах имитирует решение контрольной работы (если у ученика нет никаких знаний по литературе). Вероятностная модель этого случайного испытания является и моделью испытания, связанного с контрольной работой.

Вероятность получить положительную отметку путем догадки равна вероятности результата ВДКТ (валет попал на первое место, дама — на второе место, король — на третье место и туз — на четвертое место), а значит, равна 1/24. Это число меньше 0,05. Вероятность соединить правильно все тексты с авторами путем догадки очень мала. Если ученик правильно соединил все четыре текста с авторами, то можно быть практически уверенным, что он это сделал благодаря знаниям по литературе.

Рис. 7.16. Четыре рамочки для текстов четырех авторов

8. Является ли привилегией право первого хода в данной ситуации? Вероятность как средство решения этого вопроса

В жизни часто встречается такая комическая ситуация. Мужчина, направляющийся к входной двери, пропускает вперед идущую туда же женщину. Та со словами: «Ну, вы, джентльмен» — надрывается над тяжелой дверью, чтобы ее открыть. Мужчина, названный джентльменом, входит затем через эту открытую дверь, не преодолевая трудностей, которые выпали на долю женщины, получившей первенство. Было ли данное право первенства привилегией для этой женщины? А значит, заслужил ли этот мужчина право называться джентльменом в данной ситуации?

8.1 После перетасовки 52 карт два игрока по очереди из колоды берут карту (не возвращая взятой карты). Побеждает тот, кто вынет туз пик. Приглашая Бориса играть, Алеша сказал: «Я буду джентльменом, даю тебе право на первый ход». Является ли это право для Бориса привилегией? Можно ли в данной ситуации называть Алешу джентльменом? Почему?

8.2 Борис, приглашая Алешу играть, сказал: «Будем попеременно бросать монету, побеждает тот, кто первый получит решку. Я буду джентльменом, даю тебе право на первый ход». Кто из мальчиков имеет право называть себе джентльменом, принимая во внимание предложение Алеши, описанное в предыдущей задаче, и предложение Бориса, о котором идет речь в этой задаче? Решение какой задачи сразу же дает ответ на этот вопрос?

Описанную в задаче игру мы уже встречали в § 4 (задачи 4.18 и 4.19). Там решение упомянутой проблемы мы искали с помощью статистических данных.

Чтобы решить задачу 8.2 с помощью математики, мы должны построить вероятностную модель для описанного в игре случайного испытания. В игре повторяется бросание монеты до тех пор, пока не выпадет решка. Пусть ωk обозначает результат: пешка выпадает впервые в k-м броске (k = 1, 2, 3,

Пространство результатов данного испытания — это бесконечное множество

Легко заметить (опираясь, например, на стохастическое дерево), что:

Если ты уже изучал в школе геометрическую прогрессию, то легко проверишь, что:

Здесь речь идет о сумме всех членов некоторой геометрической прогрессии.

Функцию р, определенную на множестве Ω формулой (*), можно, таким образом, называть распределением вероятности на этом множестве, а пару (Ω, р) — вероятностной моделью. Это бесконечная вероятностная модель.

В задаче надо найти вероятность двух событий:

А = {решка выпадет впервые в нечетном броске},

В = {решка выпадет впервые в четном броске}.

Алеша победит, когда произойдет событие A, Борис — когда произойдет событие В.

В вероятностной модели (Ω, р) события А и В — это следующие множества:

а значит:

Так как Р (А) > Р (В), право первенства является в данной ситуации некоторой привилегией. Борис имеет право называть себе джентльменом.

Заметь, что мы получили тем самым ответ на второй вопрос, поставленный в задаче 4.19.

В разделе 12 мы покажем, как проще можно решить задачу 8.2 (см. решение задачи 12.16).

В Польше издавна существует обычай 6 декабря (день святого Николая) анонимно делать друг другу мелкие подарки. В каждом классе накануне готовятся бумажки с фамилиями учеников данного класса и каждый ученик случайно выбирает из коробки свернутую бумажку. Таким образом, он узнает (втайне от остальных), кому он должен преподнести подарок. Днем, когда также друг другу делают подарки, является первый день Нового года.

8.3 По случаю Нового года ученики твоего класса решили подготовить друг для друга подарки. Путем случайного выбора (как это описано выше) они устанавливают, кто для кого подготовит подарок. У тебя в классе есть «симпатия», и ты хотел бы, чтобы твои шансы вытащить бумажку с ее фамилией были больше всех. Когда, по-твоему, лучше выбирать сверток: первым, позже или это не имеет значения?

8.4 Справедлив ли случайный выбор с помощью спичек?

8.5 Класс, насчитывающий 25 учеников, получил один билет на интересное мероприятие. Решение, кто получит этот билет, будет принято с помощью 25 спичек. Ты — один из учеников этого класса, и тебе хотелось бы получить этот билет. Ты можешь записаться в очередь, по которой вы будете тянуть спички. Важно ли, на каком месте списка ты окажешься?

8.6 Алеша утверждает, что в такой ситуации он предпочитал бы тянуть спичку первым. У него тогда есть шансы, что он попадет на спичку без головки. Борис ему возражает и говорит: «Лучше тянуть спичку позже, так как если передо мной уже вытянут спички с головками, то мои шансы попасть на спичку без головки будут больше». Валя утверждает, что место в очереди не влияет на эти шансы. Кто из них прав? Почему? Почему остальные не правы?

Решение некоторых сформулированных выше задач вытекает непосредственно из решения следующей задачи:

8.7 В урне находятся с черных и b белых шаров и b + c = s. Случайно вынимается s раз шар без возвращения. Рассмотрим события:

C1 = {вынутый в первый раз шар будет черным},

C2 = {вынутый во второй раз шар будет черным},

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Сs = (вынутый в s-й раз шар будет черным).

Найди вероятности этих событий.

Это типичная задача по теории вероятностей. Ее решение сводится к простым вычислениям, опирающимся на комбинаторные формулы. Мы покажем, что

Р(C1) = Р(C2) = ... = P(Cs) = c/s,

а значит, что вероятность события Сj (j = 1, 2, ..., s) не зависит от j.

Занумеруем черные шары числами от 1 до с, а белые шары — числами от c + 1 до с + b (рис. 8.1).

Рис. 8.1

Обозначим через К множество номеров всех шаров, а значит, множество

Выбираемые по очереди шары из урны мы можем класть (располагать, размещать) в ряд, один за другим. Таким образом, шар, случайно выбранный в первый раз, попадает на первое место, шар, вынутый во второй раз, попадает на второе место и т. д. Возникшую таким образом последовательность шаров можно рассматривать (можно кодировать) как числовую последовательность, очередной член которой является номером по очереди вынутого шара. Данная последовательность — это как будто протокол случайного выбора шаров. Она также является результатом данного случайного испытания.

По ходу поэтапного случайного выбора шара в множестве шаров или, что равнозначно, в множестве К их номеров был введен порядок, ибо шары были расположены в последовательности. Автором этого порядка является, конечно, случай.

Каждая расстановка элементов конечного множества в последовательность в математике называется перестановкой этого множества.

Любой результат случайного испытания, о котором идет речь в задаче 8.7, является перестановкой множества К. Если построение множества Ω всех результатов данного испытания соотнести со стохастическим деревом, то легко заметить, что всех воз-

можных результатов s(s — 1)(s— 2)∙...∙3∙2∙1. Такое произведение s последовательных натуральных чисел обозначают в математике s! (факториал числа s). Заметь, что s! = s(s—1)!.

Из симметрий стохастического дерева вытекает, что каждый результат испытания одинаково вероятен. Если белые и черные шары в данной урне занумеровать и если, кроме цвета, нас интересует также номер вынутого шара, то 5-кратный случайный выбор (без возвращения) шара из данной урны является испытанием с классической вероятностной моделью. Рассмотрим события C1, C2, ..., Cs в этой вероятностной модели.

Событию С, благоприятствуют те перестановки множества K (те результаты испытания), первый член которых является номером черного шара, а значит, одним из чисел: 1, 2, ..., с. Можно с способами получить в первый раз черный шар. Остальные s—1 шаров можно разместить на s—1 местах (s—1)! способами.

Итак, событию С, благоприятствует с (s—1)! результатов испытания. Так как все возможные результаты одинаково вероятны и всех их s!, значит:

Это можно было предвидеть, так как P(C1)— это вероятность получить черный шар в случайном выборе шара из урны с с черными и b белыми шарами, а она равна дроби:

Событию C2 благоприятствуют те перестановки множества К (те результаты испытания), второй член которых является номером черного шара, а значит, одним из чисел 1, 2, с. Можно с способами положить на втором месте черный шар. Остальные s—1 шаров можно разместить на s—1 местах (s—1)! способами.

Итак, событию C2 благоприятствует столько же результатов, сколько и событию C1. События C1 и C2 одинаково вероятны:

Аналогично оказывается, что

Результат весьма неожиданный.

Набор спичек в ситуации, о которой речь в задаче 8.4, является именно урной, описанной в задаче 8.7. Спички без головки — это черные шары, остальные спички — это белые шары.

Таким образом, безразлично, каким по счету ты будешь в очереди для выбора спички. Выбор с помощью спичек справедлив. Право первенства здесь не является привилегией. Конкретную проблему мы опять решили здесь с помощью математики. Рассмотрим еще задачу.

8.8 В урне s шаров, один черный, все остальные белые. Случайным образом из этой урны вынимается (без возвращения) шар до тех пор, пока не попадется черный шар. Вероятность получить черный шар сразу же на первом этапе равна 1/s. Какова вероятность события

D2 = {черный шар будет вынут впервые на втором этапе}?

Какова вероятность события

D3 = {черный шар будет вынут впервые на третьем этапе}?

И т. д.

Легко показать, что вероятность события

Dj = {черный шар будет вынут впервые на j-м этапе}

не зависит от j и P(Dj) = 1/s (j = 1, 2, ..., s).

Колода карт в ситуации, описанной в задаче 8.1, является урной с одним черным шаром (это туз пик) и 51 белыми (это остальные карты). В игре выбирают случайно без возвращения шар из этой урны до тех пор, пока не появится черный шар. Мы имеем 52 возможных и одинаково вероятных результата, что вытекает из решения задачи 8.8. Половина из них благоприятствует событию

А = {победит Алеша},

половина — событию

В = {победит Борис}.

Следовательно,

Р(А) = Р(В).

Право первенства не является в этой ситуации привилегией, так что у Алеши нет права называть себя джентльменом.

Приведем еще одно решение задачи 8.1. После перетасовки колоды карт можно их раскладывать в ряд до тех пор, пока не появится туз пик. Если он лежит на четном месте, побеждает Алеша, если на нечетном — Борис. Само раскладывание карт можно продолжать вплоть до размещения в ряду всех карт. Множество всех 52 карт разбивается на два класса: один состоит из карт, лежащих на нечетных местах, другой — из карт, лежащих на четных местах. Число карт четное, и поэтому классы содержат одинаковое число карт. Из этой симметрии вытекает, что попадание туза пик в один класс так же вероятно, как и в другой класс.

8.9 Является ли право первенства привилегией, если в игре, описанной в задаче 8.1, участвует только набор пиковых карт (13 штук)?

8.10 Равны ли шансы игроков в случае набора из 26 черных карт из колоды (13 пиковых и 13 трефовых), используемых в игре, описанной в задаче 8.1 (побеждает тот, кто первый вынет туз пик)?

Кроме симметрий и аналогий, важным средством аргументации в стохастике является рисунок, сокращающий или полностью заменяющий сложные расчеты.

8.11 В урне три белых шара и один черный. Алеша и Борис вынимают по очереди шары из этой урны, а побеждает тот, кому первым попался черный шар. Алеша имеет право вынимать шар первым и решать, будут ли шары выбираться с возвращением или без возвращения. Какое решение ты принял бы на месте Алеши?

Кажется, что выбор без возвращения делает право первого хода привилегией, но игра будет справедлива (т. е. это право не будет привилегией), если шары выбираются с возвращением (об этом свидетельствуют равные шансы победы на каждом этапе).

Заштрихованная часть квадрата на рисунке 8.2 изображает событие

А = {победит Алеша},

оставшаяся часть — событие

В = {победит Борис}.

Если площадь квадрата равна 1, то вероятность событий является площадями соответствующих частей квадрата. Нам надо теперь вычислить площади этих сегментов. Легко проверить, что здесь

Р(А) = Р(В).

В случае выбора шара с возвращением мы имеем дело с бесконечным множеством результатов. Подсчеты, основанные на этой геометрической интерпретации, связаны с числовыми рядами. В этой ситуации право первого хода является привилегией.

8.12 Вечером 30 ноября (день святого Андрея) в Польше гадают на ближайший год. Девушки, например, кладут под одинаковые, поставленные вверх дном кружки разные предметы: кольцо

Рис. 8.2

(оно предсказывает в ближайшем году замужество), ветку мирта (девушка останется старой девой), монету (она обещает богатство) и т. д. Кружек и предметов набирают столько, сколько девушек участвует в игре. После перестановки кружек каждая девушка выбирает одну из них. Спрятанный под ней предмет предсказывает определенное будущее. Среди девушек вспыхнула ссора о том, в какой очередности им выбирать кружки. Обоснован ли этот конфликт? Как ты разрешил бы его, используя математические аргументы?

8.13 Предположим, что конфликт возник среди трех девушек — Ани, Божены и Вари. Был принят алфавитный порядок выбора кружки. Одинакова ли вероятность выбора данного предмета (мирт, монета, кольцо) каждой из девушек?

Заметь, что случайное распределение трех предметов между тремя девушками можно имитировать случайным размещением трех карт: валета (замужество), дамы (старая дева) и короля (богатство) на трех местах, обозначенных буквами: А (Аня), Б (Божена) и В (Варя). Вероятностная модель этого размещения (мы ее уже раньше построили) является одновременно моделью исходной ситуации.

8.14 Была объявлена вещевая лотерея, в которой среди прочего можно выиграть автомашину. Лотерейные билеты поступят в продажу завтра. Лучше ли сразу бежать покупать лотерейные билеты или безразлично, когда ты купишь лотерейный билет? Как это обосновать математически?

Эта задача решается с помощью аналогий. Набор билетов с одним особенным (на который выпадет машина) — это урна с одним черным шаром и остальными белыми (в вопросе рассматриваются только шансы выиграть машину). Время, когда мы приобретаем билет, для величины шансов на выигрыш машины безразлично. Так бывает, если эти шансы оцениваются перед началом продажи билетов, но ситуация останется такой же и по ходу лотереи, если только неизвестно, какие билеты уже куплены: даже человек, покупающий последний билет, все еще может утверждать, что его шансы выиграть машину такие же, как шансы его предшественников, — ведь неизвестно, повезло ли им в этой лотерее или нет.

Для лучшего функционирования лотереи номера счастливых билетов можно было бы объявлять только после покупки всех билетов, но обязательно установить (но, конечно, не объявлять) эти номера перед покупкой первого билета.

8.15 У одного из двух игроков имеется право выбрать один из трех треугольных волчков (рис. 8.3; о том, как использовать такой вращающийся волчок, шла речь в § 1). Второй игрок выби-

рает один из двух оставшихся волчков. Каждый игрок крутит свой волчок. Побеждает тот, у кого волчок выбрал большее число. Является ли в данной ситуации право первенства какой-то привилегией для игрока? Как с помощью математики ответить на данный вопрос?

8.16 Предположим, что Андрей выбрал волчок w1, тогда как Борис — волчок w2. Оцени для каждого игрока шансы на победу.

Каждая клетка на рисунке 8.4 представляет собой некоторый, равновероятный с другими, результат случайного выбора двух чисел с помощью волчков w1 и w2. Выбранные числа — это как бы координаты клетки. Вероятностная модель случайного испытания, которое проводят в игре Андрей и Борис, классическая.

Заштрихованная часть квадрата на рисунке 8.4 изображает событие

А = {в игре победит Андрей}.

Оставшаяся, незаштрихованная часть изображает событие

В = {в этой игре победит Борис}.

Рис. 8.3

Рис. 8.4

Шансы Андрея — это вероятность события А, шансы Бориса — это вероятность события В. У нас

Назовем один из двух волчков лучшим, когда шансы игрока, который случайно выбирает число с помощью этого волчка, больше, чем шансы игрока, который выбирает число с помощью другого волчка.

Шансы Андрея в игре, описанной в задаче 8.16, больше, чем шансы Бориса. Волчок w1 лучше волчка w2.

8.17 Докажи, что волчок w2 лучше, чем волчок w3.

Волчок w1, лучше волчка w2 и волчок w2 лучше волчка w3. Кажется, что волчок w1 лучше волчка w3, а значит, волчок w1 — самый лучший.

8.18 Докажи, что волчок w3 лучше волчка w1, а значит, среди этих волчков нет самого лучшего.

Решение задачи 8.18 является некоторым парадоксом. Как его выяснить с помощью математики? К этому вопросу мы вернемся в § 15.

8.19 Предположим, что Андрей получил право на первый ход в игре, описанной в задаче 8.15. Значит, он может выбрать один волчок из трех, изображенных на рисунке 8.3. Из оставшихся двух волчков Борис выбирает один. Является ли это право первенства какой-то привилегией для Андрея?

Из решения предыдущих задач вытекает, что для каждого волчка существует среди оставшихся двух волчков лучший, а значит, Борис имеет возможность выбрать лучший волчок, чем выбранный Андреем. Право первенства не является в этой ситуации не только никакой привилегией, но наоборот. Это право здесь как будто антипривилегия. Ситуация игрока, который получил право первенства, хуже, чем его противника.

8.20 Ты заполнил (по-разному) два бланка ЛОТТО (зачеркивая на каждом 6 чисел из 49), мечтая о главном выигрыше за 6 попаданий (далее мы будем называть его премией). Или оба бланка примут участие (ты оплатишь и отправишь их) в ближайшем тираже, или один — в ближайшем, другой — в следующем. Какое решение лучше?

Всем кажется, что второе решение дает больше шансов на премию. Чтобы проверить это интуитивное суждение, решим подобную проблему, но в контексте описанного в начале § 6 малого ЛОТТО в Малостане.

8.21 Гражданин Малостана заполнил по-разному два бланка (см. рис. 6.1), зачеркивая на каждом два числа. Он мечтает о премии—10 крон хотя бы за одну ставку и встает перед дилеммой: или оба бланка отправить в ближайшее воскресенье, или один — в ближайшее, а другой — в следующее. Какое из этих решений, по-твоему, лучше? Какую вероятностную задачу надо здесь решить?

Так как все результаты случайного выбора двух шаров (из урны с пятью занумерованными шарами) одинаково вероятны, все равно, какие числа игрок зачеркивает. Предположим, что он зачеркнул на одном бланке числа 1 и 3, на втором — числа 3 и 4. У нас 5∙4/2, т. е. 10 одинаково вероятных результатов случайного выбора двух из пяти чисел. Обозначим события:

А = {случайно выбранные числа — это 1 и 3},

В = {случайно выбранные числа — это 3 и 4}.

Имеем:

В задаче речь идет о вероятности того, что хотя бы за один бланк игрок получит премию 10 крон, а значит, о вероятности события А∪В:

1°. Если оба бланка принимают участие в этом тираже, то А⋂В — это невозможное событие, а значит,

таким образом,

2°. Предположим, что каждый бланк принимает участие в другом тираже. Теперь

а значит,

Таким образом, первое решение лучше.

9. Сколько шаров в урне, рыб в озере и дефектных изделий в партии товара? Статистические идеи отыскания оценки

Иногда в жизни встречаются ситуации, когда число элементов данного множества нам известно, но мы не знаем, сколько в этом множестве имеется особых элементов. Если на фабрике произведено s изделий, то в общем неизвестно, сколько среди них бракованных изделий.

Если посмотреть на такие ситуации через «математические очки», то данное множество является как бы урной с шарами, среди которых, кроме других шаров, есть и черные (это особые элементы множества). Мы знаем, сколько всех шаров в урне, но нам неизвестно число черных шаров. Во многих ситуациях посмотреть в урну с целью подсчитать число черных шаров невозможно. В случае множества изделий подсчет бракованных изделий (значит, как бы черных шаров) связан с подробным исследованием качества каждого, а это — как уже было замечено в § 4 — или неэкономно (отнимает много времени и дорого), или портит исследуемое изделие (как в случае лекарства или консервов).

Допустим, что очень много раз случайно выбирался шар из данной урны с возвращением и что всего лишь несколько раз (значит, крайне редко) попадался черный шар. Из этого факта следует некоторый деловой итог, касающийся содержания шаров в урне. Смело можно утверждать, что, вероятнее всего, в урне не много черных шаров по отношению к числу остальных шаров. Если было бы иначе, то черный шар попадался бы чуть чаще. Если бы в почти половине случаев выбранный шар был черным, то можно утверждать, что почти половину шаров в урне составляют черные. Нельзя быть в этом уверенным! Но если число выборов относительно велико, то можно быть в этом почти уверенным. Математика (точнее, стохастика) сумеет это доказать.

Речь идет здесь о некоторых умозаключениях, касающихся данного множества на основании выборки, т. е. результатов многократного случайного выбора (с возвращением) элементов из этого множества. Эти результаты являются просто статистическими данными. Этого типа оценкой неизвестных величин, опирающейся на статистические данные, занимается математическая статистика.

Математическую статистику нельзя путать с другой, так называемой описательной статистикой, которая занимается обработкой математическими сред-

ствами (с помощью диаграмм, гистограмм, таблиц и т. д.) числовых данных, касающихся массовых явлений (объем производства, добыча угля, предложения и спрос, демографические явления и т. д.).

9.1 В урне шесть шаров. Нам известно, что это белые и черные шары, но мы не знаем, сколько в урне белых и сколько черных шаров. Случайно выбирая 24 раза шар с возвращением, мы точно 8 раз попали на черный шар. При каком составе шаров в урне вероятность события, которое произошло, самая большая?

Обозначим буквой С событие, о наступлении которого речь идет в задаче 9.1, буквой с — неизвестное число черных шаров в данной урне. Вероятностную модель для двадцатичетырехкратного случайного выбора шара определим с помощью стохастического дерева. Согласно правилу умножения (§ 3) вероятность каждого результата, благоприятствующего событию С, является произведением, в котором 24 множителя, причем: 8 множителей этого произведения, равных (вероятность получить черный шар на одном этапе), и 24—8, т. е. 16 множителей, равных 1—c/6 (вероятность получить белый шар на одном этапе).

Для каждого результата ω, благоприятствующего событию С,

Все результаты, благоприятствующие событию С, одинаково вероятны. Если а — число результатов, благоприятствующих событию С, то

Заметим, что не обязательно находить число а. Нам ведь интересно только лишь, для какого с вероятность события С самая большая.

Число а положительно и не зависит от с, а значит, Р (С) максимально для того значения с, для которого максимально произведение . Во внимание принимаются только с = 1, с = 2, с = 3, с = 4 и с = 5.

Итак, стоит подсчитать пять произведений и проверить, какое из них самое большое.

Для с = 1 данное произведение равно

для с = 2 данное произведение равно для с = 3 данное произведение равно

для с = 4 данное произведение равно

для с = 5 данное произведение равно

Данное произведение самое большое для с = 2. Событие С наиболее вероятно при составе шаров: 2 черных и 4 белых. Число с = 2 кажется наиболее достоверным кандидатом на оценку неизвестного числа черных шаров в урне.

Мы покажем, как подобная задача поможет нам обнаружить идею отыскания оценки методом наибольшей достоверности (идею максимального правдоподобия).

9.2 В урне с черных и s —с белых шаров. Случайно выбираем шар n раз с возвращением. Через Ск обозначим событие: (ровно k раз выберем черный шар).

Вычисли вероятность события Ck для k = 0, 1,..., n.

В этой задаче надо подсчитать вероятность события. Но неизвестно, кто и при каких обстоятельствах мог сформулировать такую задачу, кому и для чего нужно ее решение.

Изменим эту задачу, поставив вопрос иначе.

9.3 Предположим, что мы знаем общее число шаров s, но не знаем числа с черных шаров в урне. При каком с вероятность события Сk (k = 1, 2, ..., n—1) наибольшая?

Приведем и еще одну формулировку задачи.

9.4 Мы знаем s, но не знаем с. Случайно выбирая n раз шар (с возвращением), точно k раз мы попали на черный шар (k = 1, 2, ..., n — 1), т. е. произошло событие Ck. Значит, число Р (Ck) (вероятнее всего) не слишком мало, иначе событие CÄ, вероятнее всего, не произошло бы. При каком с событие Ck наиболее вероятно? Как можно использовать полученный результат, чтобы оценить неизвестное число с?

Решение последней задачи сводится к вычислению экстремума некоторой функции.

где (n k) — число всех k-элементных подмножеств n-элементного множества,

В предположении, что k ≠ 0 и k ≠ n, возникает вопрос, для какого с произведение в правой части последнего равенства достигает максимума. Так как (n k) — положительная постоянная и 0 < c/s < 1, то мы должны найти наибольшее значение функции

Можно показать, что вероятность P(Ck) является наибольшей при значении с, удовлетворяющем условию

(*)

При данных k, n и s число с, которое удовлетворяет условию (*), можно считать наиболее вероятным (наиболее достоверным) числом черных шаров в урне.

На основе математики было установлено, таким образом, что проведение случайной выборки делает очень достоверным ее сходство с совокупностью (урной), если говорится о количестве черных шаров (и в выборке, и в популяции — урне).

9.5 Число s всех шаров в урне неизвестно. Известно, что в ней с черных шаров и что там имеются не только черные шары. Случайно выбирая шар n раз с возвращением, мы k раз попали на черный шар и k ≠ 0 и k ≠ n. Каково наиболее вероятное число s всех шаров в этой урне?

9.6 На фабрике была произведена партия из s изделий. Некоторые из этих изделий имеют дефект. Как, не проверяя всех изделий, оценить неизвестное число бракованных изделий в этой партии?

Метод оценки числа бракованных изделий подсказывает решение задачи 9.4. Эта задача была решена в предположении, что 0 < c < s. Нам необходимо быть уверенными, что в наблюдаемой партии товара есть изделия как хорошие, так и бракованные. Для этого надо добавить вначале в упомянутую партию одно хорошее и одно бракованное изделие.

9.7 В озере плавают рыбы. Их количество нам неизвестно. Что сделать, чтобы оценить, сколько рыб в этом озере?

9.8 В ящике находится неизвестное количество шаров, одинаковых на ощупь. В ящик нельзя заглянуть. Известно, что в нем нет черных шаров. Как бы ты поступил в этой ситуации, чтобы оценить количество шаров в этом ящике?

Обе задачи касаются вопроса: как поступить, чтобы данные совокупности (множество рыб в озере или множество шаров в урне) стали урнами с двумя видами шаров? Озеро станет такой «урной», когда мы достанем из него, например, с + 1 рыб, с из них как-то явно пометим и опять всех отпустим в озеро. В случае ящика достаточно в него положить с черных шаров.

10. Есть ли основание подозревать кого-нибудь в доносе? Является ли данный факт результатом таланта, знаний или случая? О проверке некоторых гипотез статистическими методами

10.1 Из-за границы возвращается группа, состоящая из пяти туристов, среди которых находятся два контрабандиста, ничем не выделяющиеся из остальных. На границе таможенник приглашает на личный досмотр двоих из группы, и оба они оказываются контрабандистами. Есть ли в этой ситуации основание подозревать, что кто-то на них донес?

Чтобы решить возникшую проблему с помощью математики, мы должны построить математическую модель данной ситуации. Предположим, что никто не донес. Эту гипотезу обозначим через Н. Предположим также, что внешний вид и поведение туриста никак не указывало на то, что он контрабандист. Мы предполагаем тем самым, что только случай решил, кто попал на личный таможенный досмотр, а значит, таможенник случайно выбирал туристов для контроля. Таким образом, на границе произошло некоторое случайное испытание. Математическая модель исходной ситуации — это вероятностная модель данного испытания. Мы покажем, как вероятность события может стать средством проверки гипотезы H (никто не донес).

Рассмотрим теперь игру, в которой перед случайным выбором двух шаров из урны Un с двумя черными и n — 2 белыми шарами игрок отгадывает, какие это будут шары, точнее говоря,

будут ли они одного цвета (событие An),

или разного (событие Bn),

или оба будут черные (событие Сn),

или же оба белые (событие Dn).

Очко получает тот, кому повезло. Участие в игре связано с принятием решения (за какое событие высказаться).

Рассмотрим в этом контексте серию следующих задач:

10.2 На встречу явилось 17 человек. Каждый приветствовал каждого. Сколько было рукопожатий?

10.3 На плоскости имеется n точек. Никакие три не лежат на прямой. Сколько прямых ты можешь провести через три такие точки? Сколько через четыре? Сколько через n?

10.4 У каждого из n государств в другом государстве посол. Сколько всего послов?

10.5 Надо составить таблицу расстояний (по шоссе) между каждыми двумя городами, если имеется n городов. Сколько чисел, выражающих эти расстояния, достаточно поместить в этой таблице и каким образом?

10.6 В спортивных состязаниях принимает участие n команд. В четвертьфинальных встречах каждая команда должна сыграть матч с каждой другой. Сколько будет матчей?

10.7 Сколько всего отрезков, соединяющих вершины выпуклого n-угольника?

Как нетрудно заметить, везде речь идет об одной и той же, ранее решенной задаче:

10.8 Сколько двухэлементных подмножеств (сочетаний) имеет n-элементное множество?

Обратим внимание на формулировку задачи 10.3. Она, по сравнению с остальными, наилучшим образом подсказывает, как прийти к общему решению. Легко заметить, что каждому числу n точек (как числу человек или государств, или команд) соответствует число ln намеченных ими прямых или соединяющих эти точки отрезков (как число рукопожатий или послов, или матчей). Таким образом, речь идет о некоторой функции. Мы должны задать эту функцию. Рисунок 10.1 показывает, что

Обоснованием этой формулы может быть замечание: через каждую вершину n-угольника можно провести n — 1 прямых, соединяющих ее с остальными вершинами. Всех прямых было бы n(n—1), но каждая считается, таким образом, дважды.

Итак, мы определили функцию:

Из рисунка 10.2, основанного на идее рисунка 10.1, вытекает, что:

Событие Cn введено по двум причинам. Первая связана с некоторыми аналогиями между ситуацией в этой игре и ситуацией на границе. Вторая — возможность открытия монотонности вероятности (т. е. функции Р) как ее существенного свойства. У нас Cn⊂An, значит, Р(Cn) ⩽ Р(An), так как, сколько раз произойдет событие Сn, столько же раз наверняка произойдет событие Ап. Из двух событий An и Cn на An больше стоит делать ставку, так как An не менее вероятно, чем Cn.

Вернемся к ситуации на границе. Заметь, что вопрос: «В какой степени вероятно, что таможенник, не зная о контрабандистах, выявил обоих?» — является вопросом о вероятности события C5. Из рисунка 10.2 вытекает, что

Событие C5 (то же событие, которое произошло на границе, если учесть, что гипотеза H истинна) не является маловероятным. Выявление обоих контрабандистов случайным путем отно-

Рис. 10.2

сительно вероятно. Если таможенник попал на контрабандистов, то этому можно не слишком удивляться. Нет оснований подозревать кого-нибудь в доносе (т. е. отвергать гипотезу H).

Рассмотрим три следующие ситуации:

1°. В печати сообщалось, что управление гастрономических предприятий ищет сотрудника для проверки, правильно ли берут плату за кофе, предлагаемый в кафе этого предприятия. Кофе предлагается двух сортов. В управление приходит женщина, которая утверждает, что она одарена умением различать на вкус, какой сорт кофе ей подали. Что следует сделать, чтобы ответить на вопрос, действительно ли у женщины есть такая способность?

2°. В начале футбольного матча одна из команд подвергла сомнению «симметрию» монеты, которую бросал судья. Что следовало бы сделать, чтобы проверить гипотезу, что данная монета практически симметрична?

3°. Все более популярны тестовые экзамены. Предположим, что на экзамене ученик получает билет с десятью вопросами. Каждый вопрос сопровождается тремя ответами, из которых лишь один правильный. Ученик должен подчеркнуть правильный, по его мнению, ответ. Как решить, начиная с какого числа подчеркнутых правильных ответов можно поставить положительную оценку?

Чтобы убедиться в правоте женщины, определяющей сорт кофе, надо подвергнуть ее тесту. Попытаемся построить этот тест.

Женщине следует подавать кофе в двух чашках, в каждой из них — разного сорта. Одна такая попытка (законченная положительно или нет) не может решить данной проблемы. Этот эксперимент следует провести много раз.

Предположим, что женщина оценивала n раз соответствующий сорт кофе. Когда менее чем в половине испытаний она правильно определила сорт кофе, в ее умении следует усомниться. Если все попытки окончились успехом, не следует сомневаться в ее способности. Если успехов n— 1, то также следует склоняться к тому, что она права. Возникает проблема: при каком количестве правильных оценок (успехов) следовало бы усомниться в ее способности, при каком — для этого нет оснований?

Мы имеем здесь дело с двумя гипотезами:

H : у женщины нет таланта — она просто угадывает,

H': у женщины есть талант.

Обозначим через и вероятность правильной оценки сорта кофе. Гипотеза H утверждает, что u = 1/2, гипотеза Н'—что u > 1/2.

Чтобы решить эту проблему с помощью математики, надо для конкретной ситуации подобрать соответствующую математическую модель. Погружение данной ситуации в мир математики становится простым, если предположить, что женщина угадывает. Пусть правильна гипотеза Н. Единичное испытание (попытка оценить сорт кофе) — это как бы бросок монеты, а число успехов в n испытаниях — число решек, выпавших при n-кратном бросании.

Предположим, что в n = 20 испытаниях женщина 16 раз правильно определила сорт кофе. Можно подсчитать, с какой вероятностью женщина, угадывая, правильно определит сорт не менее чем 16 раз. Эта вероятность равна 0,0059. Если бы гипотеза H была справедлива, то угадать не менее 16 раз практически невозможно. Число 16 успехов говорит в пользу отклонения гипотезы Н.

Такое большое число успехов дает основания для опровержения того, что это число является результатом угадывания.

Пусть Sn — число успехов при n-кратном повторении определения сорта кофе. Можно показать, что

Последний вывод подсказывает идею выделить в множестве {0, 1, 2, ..., n}, т. е. в множестве значений случайной величины Sn, те числа возможных успехов, которые говорят в пользу опровержения гипотезы Н.

Множество этих чисел составляет так называемую критическую область. Возникает теперь проблема, как определить и как построить эту область.

Практически невозможным мы уже называли каждое событие A, для которого Р (А) < 0,05. Можно показать, что получение хотя бы 15 решек при двадцатикратном бросании монеты — это событие практически невозможное, но получение хотя бы

14 решек при этом уже таковым не является. Критическая область при проверке гипотезы H множество U0,05 = (15, 16, 20}. Оно зависит, конечно, от принятого при определении практически невозможного события числа а = 0,05. Сколько раз число успехов принадлежит к этому множеству, столько раз гипотезу H надо отклонить (можно в таком случае согласиться с тем, что у женщины есть способность). Если же число успехов не принадлежит к этой критической области, нет оснований опровергать гипотезу Н.

Ситуация 2° приводит к проверке гипотезы

H: вероятность получения решки при броске данной монеты равна 1/2.

Проверка гипотезы опирается на результаты n-кратного бросания этой монеты. В множестве возможных чисел выпавших решек надо выделить критическую область. Построение этой области является здесь стохастической задачей.

Чтобы решить проблему 3° математическими средствами, следует предположить, что у ученика нет никаких знаний. Тогда он подчеркивает ответы наугад. С вероятностью u = 1/3 он попадет на правильный для данного вопроса ответ. Следует решить, начиная с какого числа правильных ответов можно быть практически уверенным, что это результат не угадывания (везения), а знаний.

10.9 Во время контрольной работы по родному языку ученик получает фрагменты n произведений n разных авторов, фамилии которых даны отдельно. Ученик должен ответить, кто является автором данного фрагмента.

а) Во всех случаях ученик правильно подобрал фамилию автора. Какова вероятность, что он попал случайно, если n = 10?

б) Пусть n = 4. При каком числе верных соединений (автор — текст) можно в этой ситуации поставить положительную оценку?

В вопросе б) дело касается исключения таких ситуаций, которые при значительной вероятности могут быть результатом случая (ср. задачу 7.20).

10.10 Будущих детективов отбирают с помощью такого теста: им дают n фотографий разных лиц и n образов почерка тех же лиц. Необходимо определить, какой почерк у каждого из данных лиц. Начиная с какого количества верных ответов можно говорить об умении обнаружить по почерку характерные черты личности? Реши эту задачу для n = 4.

10.11 Человек, который желает получить работу графолога в суде, утверждает, что он способен угадать черты характера данного человека по его почерку. Чтобы проверить, что он прав, ему

дали описания черт характера четырех лиц и на отдельных листках отрывки почерка каждого из них. Он в двух случаях правильно соединил почерк с чертами характера. Как отнестись в такой ситуации к оценке вышеупомянутых способностей?

10.12 В газете на последней странице помещены фотографии известных лиц (например, кинозвезд) и n фотографий этих же лиц в детстве. Читатель должен угадать, где чья детская фотография. Начиная со скольких верных догадок стоит давать приз? Реши эту проблему для n = 3 и n = 4.

Последние задачи иллюстрируют идею решения вопроса: можно ли говорить в некоторых ситуациях о знаниях, таланте, умениях, обладании некоторой информацией или о счастье и неудаче, т. е. что данный факт — это дело лишь случая? Здесь проверялась гипотеза, предполагающая незнание (например, по литературе родного языка), отсутствие таланта (например, способности оценивать черты характера по почерку), отсутствие информации (например, что кто-то донес), а значит, сплошную случайность.

10.13 (Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки: а, а, а, е, к, и, м, м, т, т. Какова вероятность, что при случайном расположении букв в ряду он получит слово «математика»?

Эту задачу можно встретить почти в каждом сборнике задач по теории вероятностей. Надо в ней подсчитать вероятность странного события. Но не очень ясно, кто мог сформулировать такую задачу и зачем.

Рассмотрим в этом контексте другую задачу.

10.14 (Ребенок, играя десятью кубиками, на которых написаны буквы а, а, а, е, и, к, м, м, т, т, сложил слово «математика». Можно ли считать, что ребенок грамотный?

Эта задача касается внематематической проблемы: является ли данный факт (ребенок сложил толковое слово) результатом знаний, таланта, умений (читать и писать) или случая.

Чтобы решить вторую задачу, надо подсчитать вероятность события, о котором идет речь в первой задаче. Математическая проблема в обеих задачах одинакова. Но вторая задача охватывает не только расчеты, но и выводы для практики, которые зависят от того, как велика вероятность. Данная вероятность равна 1/15120 = 0,0000661, а значит, практически невозможно, чтобы неграмотный ребенок, подбирая буквы наугад, сложил толковое слово. Данный факт, вероятнее всего, это результат умений, а не случая.

11. Справедлив ли данный случайный выбор или нет?

11.1 Мытье посуды в семье Ковалевых — обязанность трех дочерей: Анны, Беаты и Варвары. Кому из сестер мыть посуду в данный день, определяют накануне путем справедливого случайного выбора. Как поступить в этом случае? Можно ли этот выбор провести с помощью монеты?

11.2 Анна предложила бросать две монеты. Если выпадут два орла, посуду моет Анна, если один орел и одна решка — Беата, если две решки — Варя. Справедлив ли этот выбор?

Средством решения последней задачи может быть рисунок 11.1.

Рис. 11.1

11.3 Беата предложила выбор с помощью двукратного бросания одной монеты. Свой способ она представила таблицей:

орел

решка

Первое бросание

Анна

Беата

Второе бросание

та, на которую указал результат первого бросания

Варя

Справедливо ли предложение Беаты? Смотря на таблицу, Анна заметила, что у Вари самые маленькие шансы, так как в таблице она (в отличие от Анны и Беаты) не может выступить 2 раза. Права ли Анна?

Способ выбора, предложенный Беатой, так же выделяет Варю, как предыдущий выделял Беату. Проверь это с помощью рисунка.

11.4 Варя придумала еще один способ выбора и изобразила его на рисунке 11.2. Справедлив ли этот случайный выбор? Как обосновать твой ответ?

Рис. 11.2

11.5 Бабушка, которая любит раскладывать пасьянсы, решила взять 4 туза из колоды карт и после перетасовки выложить на стол две карты. Если обе окажутся черными — посуду моет Анна, если одна черная и одна красная — Беата, если же обе красные — Варя. Справедлив ли этот способ выбора? Как должны отнестись к этой идее по очереди Анна, Беата и Варя?

11.6 А вот идея дедушки: у Анны две карты, туз пик и туз червей, у Беаты — туз треф и туз бубей. В определенный момент каждая из них выкладывает наугад выбранную карту. Если обе выложенные карты будут красными, то посуду моет Анна, если одна красная и одна черная, то Беата, если же обе черные — Варя. Бабушка решила, что эта идея такая же, как ее (в обоих случаях выбираются две карты из четырех, двух черных и двух красных — так подытожила бабушка). Права ли бабушка?

Рисунок 11.3 объясняет, почему бабушка не права. Принимая во внимание аналогию между рисунками 11.4 и 11.3, легко заметить, что идея бабушки ничем не отличается от идеи Анны из задачи 11.2.

Рис. 11.3

Рис. 11.4

11.7 Папа предложил взять из колоды три карты: валета, даму и короля пик. После перетасовки карты раскладываются в ряду рубашками вверх. Итак, карты лежат закрытыми. Девочки подходят по очереди и берут карту. Посуду моет та, которая попала на даму. Справедлив ли этот способ случайного выбора? Не зависят ли шансы девочек от очередности, в какой они берут карты?

11.8 Алеша вложил в ряд (после перетасовки) три карты: валета, даму и короля пик. Карты лежат на столе, рубашками вверх (значит, они закрыты). Но Алеша должен был разложить четыре карты. Он забыл про туза пик. Что ты посоветуешь сделать с этим тузом, чтобы, не собирая уже разложенных карт, получить результат размещения в ряду четырех карт?

11.9 В мешке b белых и с черных шаров. Чтобы решить, кто будет прогуливать собаку — Алеша или Борис, случайно выбираются два шара; если они будут одного цвета, собаку прогуливает Алеша; если разного цвета — Борис. При каких b и с такой случайный выбор будет справедливым? Как тебе кажется?

11.10 Борис решил, что с четырьмя черными шарами и одним белым случайный выбор, описанный в задаче 11.9, справедлив. По его мнению, это объясняет рисунок 11.5. Прав ли Борис?

Рис. 11.5

11.11 В урне b белых и с черных шаров. Числа b и с тебе неизвестны. Из этой урны вынимаются наугад два шара. При многократном повторении этого испытания два шара одного цвета (событие А) вынимались почти так же часто, как и два шара разных цветов (событие В). Какой вывод, касающийся чисел b и с, ты можешь сделать в этой ситуации?

11.12 Известно, что события A и B, о которых идет речь в задаче 11.11, одинаково вероятны. Какой вывод вытекает из этой информации относительно чисел b и с? Рассмотрим два решения этой задачи:

1°. Пусть b — число белых, с — число черных шаров. Будем выбирать одновременно два шара. Тогда всех возможных (и одинаково вероятных) результатов:

Событию А = {выбранные шары одного цвета?

благоприятствует (b 2) + (c 2) этих результатов,

событию В = {выбранные шары разных цветов}

благоприятствует bc этих результатов. По условию Р (А) = Р (В), а значит,

откуда получаем равенство

(*)

Очевидно, что b ≠ с. Предположим, что b > с. Пусть b — c = k (k — это натуральное число). Из равенства (*) вытекает, что

Одна серия решения уравнения (*) — это пары (с; b), где

Пусть

Тогда

Таким образом,

Ответ:

Заметим интересное расположение чисел с и b в треугольнике Паскаля (рис. 11.6).

2°. Пусть n — общее число шаров в урне, и мы случайно выбираем из урны два раза шар (без возвращения). Тогда

По условию задачи а значит,

Легко доказать, что:

Число n всех шаров в урне является квадратом натурального числа, а значит, n = 4, n = 9, n = 16 и т. д. Получаем, таким образом, решение:

11.13 Чтобы начать футбольный матч, судья вынимает наугад два шара из мешка с тремя белыми шарами и шестью черными. Если шары окажутся одного цвета, судья крикнет: «орел», если разного — «решка». Правильно ли эта жеребьевка подражает бросанию монеты?

В Западной Европе популярна игра «камень — ножницы — бумага». Два игрока поднимают правую руку и одновременно показывают или всю ладонь (бумага), или два пальца (ножницы), или зажатую ладонь (камень) (рис. 11.7). Если показаны «ножницы» и «бумага», побеждает игрок, который показал «ножницы». Короче говоря, побеждают «ножницы» (ножницы режут бумагу). В случае «ножниц» и «камня» побеждает «камень» (камень разбивает ножницы). В случае «камня» и «бумаги» побеждает «бумага» (камень можно завернуть в бумагу). Если оба игрока покажут одну и ту же фигуру, игра кончается вничью.

Рис. 11.6

Рис. 11.7

11.14

Есть ли в игре «камень — ножницы — бумага» такая фигура, которая чаще приводит к победе? Случайная ли эта игра или стратегически случайная?

Решение этой задачи показано на рисунке 11.8.

Рис. 11.8

11.15

Принял ли бы ты приглашение участвовать в игре, в которой ты и твой противник попеременно и случайно выбираете (без возвращения) шар из урны с 2k— 1 белыми шарами и одним черным? Побеждает тот, кто первым выбрал черный шар. А если у тебя будет право первым выбирать шар? Является ли это право для тебя привилегией?

Пусть 2k = n. Через pn обозначим вероятность победы игрока, у которого право первого выбора. Мы покажем, что pn = 1/2 для каждого четного n.

1°. p2 = 1/2 — это сразу вытекает из рисунка 11.9, а.

2°. Примем

для четного n и подсчитаем pn + 2-Из рисунка 11.9,б вытекает, что:

Рис. 11.9

11.16 Дима предложил потерянный игральный кубик из задачи 7.3 заменить правильной шестиугольной пирамидой, которую он как раз склеил для урока геометрии (рис. 11.10). В чем заключается идея Димы? Какой известный прибор напоминает по принципу действия эта пирамида?

Таким образом, геометрическое тело, даже не столь правильной формы, как кубик, также может быть использовано в качестве генератора классического распределения вероятности на множестве 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Рис. 11.10

11.17

Вскоре состоится классное собрание. Надо выделить секретаря, но никто не хочет стать им добровольно. Было решено провести выбор секретаря случайным образом так, чтобы у всех были одинаковые шансы. Как это сделать?

11.18 В игре в фанты (задача 4.4) после сбора некоторого количества фантов следует основная часть игры, т. е. их «выкуп».

В традиционном варианте игры кто-нибудь с завязанными глазами смешивает фанты, спрятанные в мешке, и, держа наугад выбранный фант, но не показывая его, спрашивает: «Что мы сделаем с тем фантом, который я держу в руке?», а остальные участники игры решают, как выкупить этот фант. Является ли такой выбор фанта действительно случайным? Как организовать настоящий случайный выбор фанта?

12. Как некоторые ассоциации, аналогии и симметрии позволяют облегчать решение стохастических задач

Важной формой математической деятельности является рационализация поведения, основанная на умозаключениях с помощью аналогий. Основой этих аналогий в стохастике может стать, например, факт, что одно случайное испытание можно имитировать другим.

Решения нижеприведенных задач сразу же вытекают тут же из упомянутых аналогий.

12.1 Борис случайно вынимает по очереди три раза (без возвращений) шар из мешка с тремя занумерованными шарами. В момент, когда Борис первый раз вынимает шар, Алеша говорит «один». Если 1 является номером вынутого шара, то этот шар берет Алеша, если нет — его берет Борис. В момент, когда Борис во второй раз вынимает шар, Алеша говорит «два». Если у этого шара номер 2, то его берет Алеша, если нет — его берет Борис. Если у вынутого в третий раз шара номер 3, то его берет Алеша, если другой — его берет Борис. Побеждает тот, кто собрал больше шаров. Справедлива ли эта игра?

Справедливость игры означает, как и всегда, что шансы на победу у обоих игроков одинаковы. Следовательно, вероятность является здесь инструментом решения вопроса о справедливости случайной игры.

12.2 У каждого из игроков, Алеши и Бориса, имеется бутылка с тремя шарами: красным, белым и черным (диаметр шара чуть меньше сечения отверстия бутылки, длина горлышка равна трем диаметрам шара). После встряхивания бутылки по команде оба игрока быстро поворачивают ее вверх дном, наблюдая, какой шар оказался внизу, какой шар над ним, а какой наверху. На столе лежат три жетона. Алеша берет со стола столько жетонов, в скольких случаях на одном уровне в горлышках обеих бутылок оказались шары одинакового цвета (рис. 12.1), а Борис — остальные жетоны. Победителем становится тот, кто получил больше жетонов. На месте какого из игроков ты предпочел бы быть и почему?

Рис. 12.1

12.3

На столе лежат 3 жетона. Борис раскладывает в ряд 3 заранее перемешанные карты — валет, даму и король пик. Перед этим Алеша записывает, какая карта попадает, по его мнению, на первое, какая — на второе, а какая — на третье место. После раскладки карт Алеша берет со стола столько жетонов, сколько раз он угадал (рис. 12.2), остальные жетоны берет Борис. Побеждает тот, кто получил больше жетонов. Что ты думаешь об этой игре? Справедлива ли она? Найди вероятность победы каждого из игроков.

Если результат раскладки карт таков:

а Алеша предсказывал В Д К, то Алеша получает 1 жетон, Борис —2 жетона.

Рис. 12.2

12.4 Борис предложил Алеше следующую игру. Алеша раскладывает в ряд три заранее перемешанные карты — двойку, тройку и четверку червей, а затем в ряду напротив раскладывает свои, также заранее перемешанные карты — двойку, тройку и четверку червей — Борис. Алеша получает столько из трех жетонов, лежащих на столе, в скольких случаях напротив друг друга оказались одинаковые карты, остальные жетоны берет Борис. Побеждает тот, у кого больше жетонов. Будучи на месте Алеши, стал бы ты играть в эту игру (рис. 12.3)?

12.5 Катина мама посеяла на трех одинаковых грядках морковку, петрушку и укроп. В каждую грядку она поставила табличку с информацией, что здесь растет. На другой день ветер сорвал эти таблички и унес их далеко от грядок. Катя, которая не

Рис. 12.3

помогала маме при посеве, опять поставила таблички. Насколько вероятно, что все таблички правильно показывают, что растет на данной грядке? Насколько вероятно, что хотя бы одна информация правильна?

На последний вопрос можно сформулировать ответ так: «То, что все таблички несут правильную информацию, так же вероятно, как получение шестерки при однократном бросании кубика».

12.6 Во время контрольной работы по географии были даны названия четырех мало известных африканских государств, а рядом — четыре их столицы. Ученик получает очко, если правильно укажет столицу каждого государства. Какова вероятность получения очка за такое задание путем случайного угадывания? Что ты думаешь о таком способе проверки знаний? Достоверен ли он?

12.7 Три (четыре) гражданина: Абрикосов, Борисов, Власов (и Герасимов) пришли на прием в шляпах, которые различаются только деталями, неразличимыми на ощупь (например, цветом). В момент, когда они покидали прием, погас свет. В прихожей каждый из них взял одну шляпу. С какой вероятностью:

а) ни один из этих граждан не взял своей шляпы;

б) каждый из них взял свою шляпу?

6 декабря (день святого Николая) в Польше каждый делает и каждый получает какой-нибудь подарок. Об этом шла уже речь в § 8.

12.8 Три (четыре) девочки: Аня, Божена, Валя (и Галя) решили установить с помощью случайного выбора, кто для кого подготовит подарок к 6 декабря. Накануне они подготовили бумажки с тремя (четырьмя) фамилиями девочек. Каждая случайно будет выбирать свернутую бумажку, чтобы узнать (втайне от остальных), кому она должна преподнести подарок. С какой вероятностью:

а) Вале придется сделать подарок самой себе;

б) каждая девочка сделает подарок для другой?

В задачах, рассмотренных выше, предлагаемые игры основывались на совпадении некоторых объектов; в таких случаях используют термин ассоциация. Будем говорить об ассоциации, когда:

1) письмо попадает по правильному адресу (в случае испытания с письмами, § 5),

2) карта попадает на свое (нужное) место (в случае раскладывания трех карт на обозначенных местах, § 5),

3) номер шара совпадает с номером этапа, на котором он был вынут (испытание, описанное в задаче 12.1),

4) в обоих горлышках у бутылок на одном уровне оказываются шары того же цвета (игра из задачи 12.2),

5) Алеша угадает место карты в игре из задачи 12.3,

6) напротив друг друга окажутся одинаковые карты в игре из задачи 12.4,

7) на грядке окажется правильная табличка (задача 12.5),

8) при отсутствии соответствующих знаний ученик правильно сопоставит государство с его столицей (задача 12.6),

9) гражданин взял свою шляпу (в ситуации из задачи 12.7),

10) девочка случайно подготовила подарок сама себе (задача 12.8).

Число ассоциаций в каждом из этих случаев (при трех государствах в задаче 12.6, трех гражданах в задаче 12.7 и трех девочках в задаче 12.8) является случайной величиной Y с распределением рy, представленным в таблице на с. 88. В играх, описанных в задачах 12.1—12.4, случайная величина Y — число ассоциаций является выигрышем Алеши, а выигрыш его соперника Бориса — случайная величина X = 3—Y. Следовательно, в каждой из игр, описанных в задачах 12.1—12.4:

В каждой из этих игр шансы Алеши в 5 раз меньше, чем шансы Бориса, что для всех оказывается весьма неожиданным.

12.9 Рассмотрим события:

А = {при бросании кубика выпадет шестерка} и

В = {при бросании двух кубиков на обоих выпадет одно и то же число очков}.

Является ли событие А более, менее или одинаково вероятным, как событие В?

12.10 В мешке имеется n занумерованных шаров. Рассмотрим события:

С = {случайно выбирая шар из мешка, мы попадем на шар номер 1},

D = (случайно выбирая два раза (с возвращением) шар из мешка, мы вынем оба раза один и тот же шар}.

Является ли событие С менее, более или одинаково вероятным, как событие D? Как обосновать ответ?

12.11 Рассматриваются события:

Е = {день рождения случайно встреченного человека тот же, что у тебя},

F = {случайно встреченный человек отмечает свой день рождения 31 декабря},

G = {y двух случайно встреченных человек день рождения в один и тот же день},

Является ли событие Е (F) более, менее или одинаково вероятным, как событие G? Можно ли получить ответ из решения какой-либо из вышеприведенных задач? Почему?

Эти задачи легко решить с помощью умозаключений, опирающихся на аналогии, основанием которых является факт, что одно из рассматриваемых случайных испытаний можно имитировать другим. Так, устанавливая день и месяц рождения случайно встретившегося человека, мы имеем дело как бы со случайным выбором шара из урны с 365 шарами. Из факта, что события А и В (С и D) одинаково вероятны, и из некоторых аналогий вытекает, что одинаково вероятны события Е, F и G, хотя многим кажется, что событие G менее вероятно, чем Е.

12.12 Из урны, содержащей n белых и n черных шаров, случайным образом вынимаются два шара. Кто-то заметил, что события

А = {оба вынутых шара одного цвета} и

В = {вынутые шары разных цветов?

одинаково вероятны. Ты с ним согласен?

12.13 Из множества, содержащего n положительных и n отрицательных чисел, случайным образом выбираются два числа. Рассматриваются события:

С = {произведение выбранных чисел будет положительным} и

D = {такое произведение будет отрицательным}.

Случайно выбирая два раза (без возвращения) по одному числу, мы получим четыре одинаково вероятных возможности:

Знак числа, выбранного в первый раз

+

+

Знак числа, выбранного во второй раз

+

+

Знак произведения

+

+

Две из этих возможностей благоприятствуют событию С и две — событию D, а значит, Р (С) = Р (D). Верно ли рассуждение?

Из некоторых аналогий (цвет шара — знак числа) вытекает, что для событий из задач 12.12 и 12.13:

но

а значит,

12.14 Бросаем 15 раз монету. Какова вероятность события A = {выпадает больше орлов, чем решек}?

Всех результатов пятнадцатикратного бросания монеты 215, т. е. 32 768. И все они одинаково вероятные. Вероятность события А можно, таким образом, найти с помощью классической теоремы. Надо только подсчитать, сколько результатов благоприятствует событию А. Но это достаточно сложные расчеты. Надо ли считать это число? Рассмотрим следующую задачу:

12.15 Алеша пригласил Бориса к игре. «Будем 15 раз бросать монету. Если выпадет больше орлов, чем решек, — ты побеждаешь, если выпадет больше решек, чем орлов, — я побеждаю», — сказал Алеша. Справедлива ли эта игра?

Борис победит, если наступит событие A, описанное в задаче 12.14. Алеша победит, если наступит событие

В = {выпадет больше решек, чем орлов}.

Из очевидных симметрий вытекает, что

Р(А) = Р(В).

Р (В) = 1—Р (А)— ибо события А и В противоположные, а значит,

Последние задачи подсказывают, что бросание монеты можно бы имитировать с помощью нечетного числа монет. Например, с помощью трех монет. Если при бросании трех монет выпадет больше решек, чем орлов, мы можем говорить, что выпала решка. Если выпадет больше орлов, чем решек, можем сказать, что выпал орел.

Вернемся к игре, описанной в задаче 4.18.

12.16 Алеша и Борис попеременно бросают монету, и побеждает тот, у кого первого выпадает решка. Алеша получил право первого хода. Справедлива ли эта игра? Какую математическую задачу надо здесь решить?

В игре повторяется бросание монеты до тех пор, пока не выпадет решка. В задаче надо вычислить (подсчитать) вероятность двух событий, связанных с этим случайным испытанием:

А = {решка выпадет впервые в нечетном броске (победит Алеша)},

В = {решка выпадет впервые в четном броске (победит Борис)}.

Задача 4.19 касалась оценки вероятности этих событий с помощью статистических данных. Решая задачу 4.19, ты решил одновременно задачу 12.16 статистическим методом. Прочитай еще раз решение задачи 4.19. Вероятности событий А и В в соответствующей вероятностной модели мы уже нашли, решая задачу 8.2.

Теперь мы покажем, как можно это сделать проще. Граф на рисунке 12.4 изображает поле для данной игры. Поставим вначале фишку (например, пуговицу) в вершину s (это стартовое поле).

После очередного бросания монеты будем перемещать фишку вдоль того ребра графа, которому приписан полученный результат бросания. Буква «о» обозначает результат: выпал орел, буква «г» — результат: выпала решка. Если фишка попадет в вершину а, то произошло событие

А = {решку впервые выбросил Алеша}.

Рис. 12.4

Если фишка попадет в вершину 6, то произошло событие В—{решку впервые выбросил Борис}.

Вершины а и 6 — это так называемые финиши графа. Поставь пуговицу на стартовом поле графа. Бросай монету так долго, пока не выпадет решка, и после каждого бросания перемещай пуговицу вдоль соответствующего ребра по графу. Одновременно регистрируй, кому принадлежит очередное бросание, Алеше или Борису. В какую вершину-финиш попала пуговица? Кто победил?

Повтори несколько раз эту процедуру, чтобы ты хорошо понял, как можно играть с помощью этого графа, монеты и пуговицы.

Обозначим буквой х вероятность попадания фишки в вершину а при таком ее случайном блуждании по графу на рисунке 12.4. В вершину а фишка может попасть сразу же после первого броска. Это произойдет, когда в первом же броске выпадет решка. Вероятность этого равна 1/2. Если в первом и во втором бросаниях выпадет орел (это наступит с вероятностью 1/2⋅1/2), фишка возвратится в стартовое поле, а значит, ситуация опять такая, как в начале игры. Таким образом,

Так как А и В — это противоположные события, то Р(В) = 1 — Р (А) = 1 — 2/3 = 1/3. Вероятность события В мы можем найти так же, как мы нашли вероятность события А. Пусть у — вероятность попадания фишки со стартового поля в вершину — финиш 6, у нас у = Р(В). Из графа на рисунке 12.4 мы получаем равенство:

Так как Р (А) ≠ Р (В), то игра не является справедливой. Р (А) = 2Р (В), а значит, шансы Алеши в 2 раза больше шансов Бориса.

12.17 Два игрока бросают попеременно кубик так долго, пока не выпадет шестерка. Побеждает тот, у кого первого выпадет шестерка. Каковы шансы на победу у игрока, который первым бросает кубик, а значит, с какой вероятностью он станет победителем?

Пусть x—вероятность победы игрока, который бросает первым. Из рисунка 12.5 видно, что

Рис. 12.5

В данной ситуации есть только два результата бросания кубика:

ω1: выпадет шестерка и

ω0: выпадет иное число очков,

На рисунке 12.5 вместо результата бросания кубика рядом с ребром графа вписана вероятность этого результата.

12.18 Три игрока: Алеша, Борис и Володя — бросают попеременно монету (по очереди: Алеша — Борис — Володя — Алеша — Борис — и т. д.). Побеждает тот, кто первый выбросит решку. Каковы шансы у каждого игрока на победу в такой игре?

Рассмотрим три события:

А = {победит Алеша}, В = {победит Борис}, С = {победит Володя}.

Они связаны с бросанием монеты так долго, пока не выпадет решка. В задаче надо подсчитать вероятности этих событий. Ты можешь найти эти вероятности в вероятностной модели, построенной при решении задачи 8.2. Сейчас мы найдем эти вероятности проще.

Рис. 12.6

Астецкий бог цветов и игр наблюдает за астецкой игрой ПАТОЛЛ И. У каждого из двух игроков по шесть камешков и по две игральные кости. Игроки, сопровождаемые двумя судьями, должны в двух направлениях пройти все 104 «домика». Поскольку 52 года составляют основной цикл астецкого календаря, то эта случайная игра служила религиозным целям.

Данную игру мы можем толковать как случайное блуждание фишки (например, пуговицы) по графу на рисунке 12.6. Он как бы игровое поле. Событие А наступит тогда и только тогда, когда фишка попадет в вершину а, событие В — когда она попадет в вершину б, событие С — когда в вершину в. Пусть: x — вероятность того, что фишка попадет в вершину а, у — вероятность того, что фишка попадет в вершину б, z — вероятность того, что фишка попадет в вершину в. У нас х = Р(А), у = Р(В) и z = P(C). Из графа на рисунке 12.6 мы получаем:

Таким образом,

Заметь, что граф, а значит, рисунок стал здесь удобным средством аргументации.

13. Математическое ожидание случайной величины как средство решения вопроса о справедливости случайной игры

13.1 Уплатив за вход в игровой салон, ты имеешь право три раза бросить кубик. После бросания (как бы за его результат) ты получаешь столько рублей, сколько чисел очков не выпало ни разу. Например, если выпали числа 6, 3, 3, то четыре числа — 1, 2, 4, 5 — не выпали ни разу и ты получаешь 4 рубля. При какой стоимости входной оплаты данная игра будет справедливой?

Возникает вопрос: как справедливость игры следует понимать в данном случае, как ее определить с помощью математики?

— Если я уплачу за вход 4 рубля и выиграю 4 рубля, то назову игру справедливой, — сказал Андрей, но тут же Борис возражает:

— Ну да! Но я, уплатив 4 рубля, могу выиграть только 3 рубля (что относительно вероятно). А значит, мне следует назвать эту игру несправедливой.

Выигрыш в этой игре является случайной величиной X в классической вероятностной модели (Ω, р).

Это модель для трехкратного бросания кубика. Результат броска — это тройка чисел очков, выпавших при очередном бросании.

Предположим, что вход стоит m копеек. Выигрыш в одной, двух, трех, десяти играх не может решить, справедлива ли эта игра. Но если общий выигрыш и общие потери при очень многих повторениях этой игры не будут существенно отличаться друг от друга, то не будет оснований возражать против справедливости игры.

В одной игре можно выиграть 3, 4 или 5 рублей. Сыграем n раз. Произведение пт является суммой, затраченной на плату за вход, т. е. потерей игрока.

Пусть {X = j} — событие: в одной игре игрок приобретает j копеек; P(X = j) — его вероятность, ln(X = j) — число наступлений события {X = j} в n играх, fn(x = j) — его частота, т. е.

Общая прибыль игрока в n играх есть сумма:

Игру мы сможем считать справедливой, если:

т. е. если

(1)

Правая часть в равенстве (1) является средним арифметическим значением случайной величины X при n повторениях испытания, проведенного в игре. Обозначим его через xn.

Заметим, что приближенное равенство (1) можно записать в виде

(2)

Сумма в правой части равенства (2) является случайной величиной, поскольку она зависит от результатов эксперимента.

Если снова сыграть n раз, вероятнее всего, мы получили бы другое значение этой суммы. Но если n достаточно велико, то, вероятнее всего, эти две суммы будут отличаться незначительно. При достаточно большом n частота fn(X = j) является оценкой числа P(X — j) для j = 3, 4, 5. Так рождается идея перехода от среднего арифметического (правая часть в (2)) к сумме, не зависящей от результатов эксперимента (т. е. от случая), заменяя fn(X = j), на P(X = j) для j = 3, 4, 5.

Итак, окончательно мы сможем считать игру справедливой, если

(3)

Сумма в правой части равенств (3) является как бы теоретическим значением среднего арифметического выигрышей в играх, в том же смысле, что вероятность события является соответствующим теоретическим значением его частоты.

Математическим ожиданием случайной величины X, которая принимает значения x1, x2, ..., xt, называется число:

а значит, число:

где рX—это распределение данной случайной величины. Таким образом,

игра справедлива, когда плата за вход равна математическому ожиданию выигрыша.

Тем самым получен критерий определения справедливости некоторой игры.

Чтобы ответить на поставленный в задаче 13.1 вопрос, надо в упомянутой вероятностной модели (Ω, р) подсчитать вероятности Р(Х = 3), Р(Х = 4) и Р(Х = 5).

Легко убедиться, что

У нас:

а значит:

Если за вход игрок тратит 4 рубля, то в среднем 53 копейки с одной игры остаются в кассе салона.

В некоторых ситуациях мы будем оценивать (т. е. приближать) число Е (X) с помощью xn.

13.2 Предположим, что в игре CASINO в описанной задаче 6.8, вместо очков игрок получает рубли. Докажи, что если плата за вход 25 рублей, то в среднем 2 р. 50 коп. с одной игры остается в кассе салона.

13.3 На рынке продаются яйца. В корзине находится s яиц, а обязательная на рынке цена их килограмма составляет z рублей. Яйца продают поштучно, но взвешивать и оценивать стоимость каждого яйца в отдельности неудобно. Масса выбранного наугад из корзины яйца является случайной, т. е. эта масса есть случайная величина. Как установить цену одного яйца, чтобы полученная при продаже сумма была равна настоящей стоимости этих яиц? Как эта цена связана с упомянутой случайной величиной?

Если s яиц весят вместе с килограммов, то цена одного яйца должна составлять cz/s рублей. Одно яйцо в среднем весит c/s кг.

Проанализируем установленную таким образом цену яйца.

Предположим, что среди s яиц имеется s1 яиц массой в c1, s2 яиц массой в c2, ..., sk яиц массой в ck, s1 + s2 + ... + sk = s. Стоимость xj = cjz является настоящей стоимостью одного яйца массой в cj, так что настоящая стоимость яиц в корзине составляет

и при установленной цене m рублей за одно яйцо эта сумма должна быть равна sm, так что должно выполняться равенство

Пусть X — настоящая стоимость купленного (случайно выбранного из корзины) яйца. Р(X = xj) = sj/s для j = 1, 2, ..., k, так что m = Е(Х). Таким образом, средняя цена одного яйца — это математическое ожидание случайной величины Х. Этот пример

представляет понятие математического ожидания в новой интерпретации.

Распределение рX мы ранее уже истолковывали как распределение единичной массы на числовой оси. Число Е (X) является при этом истолковании центром тяжести этой системы масс. Если числовую ось «подпереть» в точке Е(Х), то система будет оставаться в равновесии. Эта физическая интерпретация помогает нам обнаружить некоторые свойства математического ожидания.

1. Центр тяжести находится между наименьшим и наибольшим значениями. Следовательно,

min ΩX ⩽ Е(X) ⩽ max ΩX.

2. Если распределение массы на оси обладает центром симметрии, то этот центр является одновременно центром тяжести. Следовательно, если график функции рX симметричен относительно прямой х = т, то Е(Х) = m.

В частности, если X — число очков, выпавших при бросании кубика, то из этих симметрий вытекает, что Е (Х) = 1 + 6/2 = 3,5.

Если Y — сумма очков, полученных при бросании двух кубиков, то Е(Y) = 2 + 12/2 = 7 (см. рис. 2.3).

Распределение рX, где X — общее число показанных пальцев (задача 6.3), обладает центром симметрии в точке 6, и поэтому Е(Х) = 6.

Параллельное перемещение системы масс на оси на данный вектор приводит к переносу центра тяжести на тот же вектор. Следовательно,

3. Если X — случайная величина, Е (X) = m, а с — любое вещественное число, то Е (Х + с) = т + с = Е (Х) + с.

Математическое ожидание является важным орудием в процессе принятия решения (точнее, в построении стохастической модели этого процесса).

Человеческая деятельность — это непрерывный процесс принятия решений. Математика создает свои инструменты для установления критериев оптимальности решения в ситуациях, когда мы имеем дело с так называемой неуверенностью относительно состояний внешнего мира, если эти состояния являются результатами случайного явления (испытания) с вероятностной моделью, поддающейся определению или оценке.

В каждом процессе принятия решения мы имеем дело с не менее чем двухэлементным множеством D возможных решений. Будем считать, что это множество конечно. Человек принимает решение в момент, когда состояния внешнего мира еще неизвестны и он не может определить, какое из возможных решений оптимально.

Играющие в кости

Результатом принятия данного решения является выгода (потеря), выраженная числом. Выгода (потеря) зависит от принятого решения и от состояния внешнего мира. Если (Ω, р) является вероятностной моделью упомянутого явления (испытания), то выгода (потеря) будет функцией W двух переменных, определенной на множестве DXΩ. Пусть

Обозначим wjk = W(dj, ωk) для dj∈D и ωk∈Ω. Функцию W мы можем задать таблицей

Эту таблицу мы будем еще дополнять сверху строкой с вероятностями соответствующих состояний внешнего мира. Такую таблицу мы можем считать формой представления стохастической модели процесса принятия решения.

При фиксированном решении dl выгода W как функция только состояний внешнего мира — случайная величина Wj. Проблема состоит в установлении критериев оптимальности решения.

Кажется, что оптимальное решение — это то, которому соответствует максимальная выгода. Однако этот критерий не учитывает состояния внешнего мира (точнее, вероятности этого состояния), при котором можно получить эту максимальную выгоду. Малая вероятность этого состояния может сделать практически невозможным получение этой максимальной выгоды. Такую ситуацию иллюстрирует модель, представленная в таблице:

Решение d1 дает возможность получить максимальную выгоду (100), но эта возможность весьма невелика (так маловероятна, что практически невозможна). Поэтому предложенный критерий неправилен.

Каждое решение dj характеризуется средней выгодой, т. е. числом E(Wj). Оптимальным надо считать то решение, которому соответствует максимальная средняя выгода. Теперь мы будем дополнять таблицу функции W столбцом этих средних выгод. Если решений о максимальной средней выгоде больше (см. таблицу выше), то для выбора оптимального решения мы применим добавочные критерии. В представленной в этой таблице модели из двух решений d3 и d4 лучше решение d3, так как при решении d4 возможна отрицательная выгода, т. е. потеря.

В играх, описанных в § 2, перед проведением случайного испытания игрок предсказывал, каким результатом оно окончится, получая очко, если ему повезло. Если вероятностная модель (Ω, р) этого испытания не классическая, то игра является стратегически случайной. Эта игра хорошо иллюстрирует процесс принятия решения.

Множество Ω рассматривается здесь как множество состояний внешнего мира, число полученных в такой игре очков (0 или

1) — выгода. Пусть dj означает решение: делаю ставку на результат ωj, и функция Wj — выгода, соответствующая решению dj. Тогда Wj — случайная величина в модели (Ω, р), и для ω∈Ω

и, следовательно, E(Wj) = р(ωj). Ставка на наиболее вероятный результат — это и есть принятие решения, которому соответствует максимальное значение средней выгоды.

13.4 Господин Q является владельцем павильона, в котором продаются бутерброды «хот-дог» (горячая булка с сосиской и горчицей внутри). Булками его снабжает пекарня. Он платит ей а рублей за штуку. Для приготовления «хот-дога» булку следует разогреть и проделать в ней отверстие для сосиски. Из-за этой работы булка, из которой сделан «хот-дог», продается по b рублей за штуку (b > а) без учета цены сосиски и горчицы. Непроданные булки по цене с рублей за штуку (c < a) скупает булочная, которая перерабатывает их в сухари. Спрос в данный день является случайной величиной X с распределением рX:

Число желающих купить «хот-дог» (спрос)

10

20

30

40

50

Вероятность, что в данный день будет столько желающих

1/10

1/10

3/10

3/10

2/10

Возьмем а = 2, b = 3 и с = 1. На какое число покупаемых ежедневно булок должен решиться господин Q?

13.5 Господин Q должен покупать ежедневно столько булок, чтобы средняя прибыль после их продажи была максимальной. Прибыль — это новая случайная величина.

Обозначим через Zn прибыль господина Q в случае, когда в день он решил закупить n булок. Тогда Е (Zn) — это средняя прибыль при покупке n булок. Чтобы принять правильное решение, надо установить, для какого n число E(Zn) максимально.

Если n = 20, то господин Q платит за булки 40 рублей. Если спрос равен 10, то Q продаст 10 булок по 3 рубля, получив за них 30 рублей, а остальные 10 булок он вернет завтра в пекарню, получив 10 рублей. Прибыль составит тогда 0 рублей. Если спрос будет 20, то прибыль составит 20 рублей. Такая же прибыль будет при спросе на 30, 40 и 50. Легко показать, что Е(Z20) = 18; если бы Q решился покупать ежедневно 20 булок, то в среднем он заработал бы 18 рублей.

Фортуна. Аллегорическая гравюра (XVI в.). Польша

13.6 Предлагается участие в следующей игре. Вначале можно купить любое число жетонов по 2 рубля за штуку. Затем участник бросает две кости и считает сумму выпавших очков. Если выпало j очков, то за у жетонов он получает 3 рубля за штуку, а за остальные по 1 рублю. Ты принял решение участвовать в такой игре. Сколько жетонов ты купишь у входа?

13.7 Надежностью прибора называется вероятность его безотказной работы в течение определенного промежутка времени. Для увеличения надежности прибор дублируется n—1 такими же приборами, надежность каждого из которых 9/10. Найди надежность этой системы из n приборов, считая, что отказ одного из приборов не отражается на работе остальных. Для какого наименьшего n надежность системы будет больше 0,95? Что можно сказать об этом числе, учитывая интересы практики?

13.8 Чтобы некоторое устройство действовало надежно, надо в его цепь подключить предохранитель. Надежность данного типа предохранителей равна 4/5, а цена одного предохранителя равна 10 р. Для повышения надежности устройства в его цепь подключается параллельно несколько таких предохранителей так, чтобы отказ одного из предохранителей не отражался на работе остальных. Другими словами, если один из приборов отказывает, то второй тут же берет на себя все его функции. Устройство прекращает действие тогда и только тогда, когда все предохранители в его цепи перегорают. Такой перерыв в действии устройства ведет к потерям стоимостью 1000 рублей. Сколько предохранителей следует купить и подключить в цепь вышеупомянутого устройства, чтобы потери были в среднем как можно меньше?

Потери, о которых здесь идет речь, — это расходы на покупку предохранителей, а также потери от возможного перерыва в работе устройства.

Предположим, что было принято решение купить и подключить в цепь устройства n предохранителей. Пусть Xn обозначает величину нанесенных потерь по ходу эксплуатации устройства за упомянутый период. Xn — это случайная величина. Надо вычислить, для какого n математическое ожидание нанесенных потерь самое маленькое. На такое число n предохранителей надо решиться.

13.91 Докажи, что Е (Х) = 1000 (4/5)n + 10n. Обозначим через an математическое ожидание случайной величины Xn. Какой член последовательности (an) наименьший?

14. Метод Монте Карло

Задача 5.18 о шести булках и шести орешках была решена в § 5 эмпирическим путем, без помощи математики. Ответ был получен с помощью статистических данных. Сами эти данные, в свою очередь, были получены путем имитации случайного размещения шести орешков в шести булках с помощью бросания шести кубиков. В то же время для накопления этих данных можно было использовать таблицы случайных чисел. Методы, о которых теперь пойдет речь, касаются решения математических проблем на основе статистических данных, собранных с помощью таблиц случайных чисел.

Вернемся к задаче 13.1. Вычисление вероятностей Р(Х = 3), Р(Х = А) и Р(Х = 5) опирается на комбинаторные формулы. Незнание этих формул приводит к идее использовать для оценки этих вероятностей статистические методы. Другими словами, следовало бы много раз провести трехкратное бросание кубика. Однако мы можем использовать таблицы случайных чисел.

Мы будем читать цифры, допустим, с одиннадцатой строки, слева направо (как читают текст). Проведем 100 раз «трехкратное бросание», читая на самом деле 100 очередных троек цифр, пропуская цифры 0, 7, 8 и 9, которые не могут выпасть на кубике. Под каждым результатом «трехкратного бросания» запишем стоимость выигрыша, т. е. значение случайной величины X для этого результата.

Вот таким образом обработанные данные:

Теперь построим таблицу

Событие

{X = 3}

{Х = 4}

{Х = 3}

Число его наступлений

59

40

1

Частота этого события

0,59

0,40

0,01

так, что

Следовательно, ответ на поставленный вопрос можно сформулировать следующим образом: игра справедлива, когда плата за вход составляет около 3,42 р.

Метод, с помощью которого мы оценили математическое ожидание Е(X), носит название метода Монте Карло.

В классической вероятностной модели (Ω, р) для трехкратного бросания кубика

Полученную оценку этих значений методом Монте Карло можно считать удовлетворительной.

Заметим, что одновременно решена следующая задача:

14.1 В охоте принимают участие три охотника, которые никогда не промахиваются. Когда появилась стая из шести уток, каждый прицелился в одну из них. Пусть Аj обозначает событие: в охоте спасется j уток (j = 3, 4, 5). Оцени, какое из этих событий наиболее и какое наименее вероятно.

14.2 Алеша и Борис стреляют в тире в один и тот же круг, имея всего 8 патронов. Для обоих вероятность попадания равна 1/2. Они стреляют по очереди, начинает Алеша.

1°. Каковы шансы у каждого из мальчиков попасть в круг первым?

2°. Сколько в среднем патронов понадобится в этом состязании?

Без предположения об ограниченном количестве патронов решение задачи с помощью математики требует знания теории рядов. Однако обе задачи можно решить методом Монте Карло.

Первый этап решения состоит в построении способа имитации данного испытания с помощью монет, кубиков, мешков с шарами и т. д. Случайные испытания, проведенные с помощью этих приборов, легко подвергаются имитации чтением цифр на таблицах случайных чисел.

В данной задаче мы имеем дело по существу с бросанием монеты до тех пор, пока не выпадет решка (попадание в круг), но не более восьми раз.

Четную цифру в таблице будем интерпретировать как «орел» (промах), нечетную цифру — как «решку» (попадание). Состязание в тире имитируется чтением (начиная со случайно выбранного места) очередных цифр до тех пор, пока не встретится нечетная цифра, причем учитывается не более 8 цифр. Число прочитанных цифр — это и есть число затраченных патронов. Если оно нечетное, то в круг попал Алеша.

Ниже приводятся обработанные статистические данные (цифры читались начиная с 18-й строки и 5-го столбца). Под каждым результатом ожидания меткого выстрела вписывается число выстреленных патронов. Это число является значением случайной величины Т. Вопрос 1) касается вероятности, с какой эта величина примет нечетное значение (в круг попадет Алеша). Вопрос 2) касается математического ожидания этой случайной величины.

Рассмотрим события: А = (победит Алеша (решка выпадет при нечетном бросании)}, В = (победит Борис (решка выпадет при четном бросании)}.

У нас

а значит,

Пусть ln(T = j) — число наступлений события {T = j} в n экспериментах. Тогда

и, следовательно,

Можно показать, что в вероятностной модели для вышеупомянутого ожидания первого успеха (меткого выстрела, решки)

так что оценки, полученные здесь методом Монте Карло, вполне удовлетворительны.

14.3 Три игрока: Алеша, Борис и Володя — бросают по очереди монету, а побеждает тот, у кого первого выпадет решка. Начинает Алеша, затем монету бросает Борис, затем Володя, затем Алеша и т. д. Оцени методом Монте Карло шансы каждого в этой игре.

14.4 Чтобы увеличить привлекательность своих продуктов, фирма, выпускающая жвачку, кладет в каждую пачку жвачки картинку с изображением одного из шести героев известных сказок. Число выбрасываемых на рынок пачек жвачки практически не ограничено. Каждый из шести сказочных персонажей представлен в таком же количестве. Тот, кто соберет картинки всех шести героев, получает право на специальную премию. Предположим дополнительно, что любые 20 собранных картинок также дают право на премию*. Сколько в среднем пачек жвачки надо купить, чтобы получить премию?

14.5 В банке содержалось 100 мл сыворотки для скота, в которую попало 100 вирусов. Эту сыворотку разлили в 100 одинаковых пробирок-шприцев. Занумеруем их.

1°. С какой вероятностью в шприц номер 1 попадает хотя бы один вирус?

2°. Если в шприце имеется хотя бы один вирус, то после инъекции животное испытывает некоторое недомогание. Насколько вероятно, что:

а) все животные, получившие инъекцию, будут испытывать недомогания;

б) данное животное не будет испытывать недомогания? Оцени эти вероятности методом Монте Карло.

14.6 В булочной появилось объявление: СЕГОДНЯ В ПРОДАЖЕ 100 ПИРОЖКОВ, ИСПЕЧЕННЫХ ИЗ ДРОЖЖЕВОГО ТЕСТА, В КОТОРОЕ ПОЛОЖИЛИ 100 ИЗЮМИНОК. Ты первым входишь в магазин, чтобы приобрести такой пирожок на второй завтрак. Каковы твои шансы получить пирожок хотя бы с одной изюминкой? Что ты можешь сделать, чтобы оценить эти шансы? Как решить эту проблему методом Монте Карло?

Рассмотрим следующее случайное испытание: Имеется комод с s занумерованными ящиками и коробка с k шарами (можно считать, что они также занумерованы). Для очередного шара, вынутого из коробки, случайно выбирается ящик,

* Без этого предположения число купленных жвачек, дающее право на премию, является случайной величиной с бесконечным множеством значений.

в который кладут этот шар. У каждого ящика одинаковые шансы, что он будет выбранным для данного шара.

Чтобы случайно выбрать ящик для любого шара из коробки, можно взять урну с s занумерованными шарами, случайно выбрать из нее шар и номер этого шара считать номером ящика, в который кладется шар из коробки. Перед выбором ящика для следующего шара из коробки шар, вынутый из урны, надо вернуть в эту урну. Заметь, что нельзя здесь путать коробку (с шарами) с урной!

Описанное случайное размещение k шаров в s ящиках — это по сути дела k-кратный случайный выбор шара (с возвращением) из урны с s занумерованными шарами. Номер шара, выбранного на j-м этапе, интерпретируется как номер ящика, в который попадает шар номер j из коробки.

Много случайных явлений и испытаний, которые встречаем вокруг нас, — это по сути дела указанные выше случайные размещения шаров в ящиках.

Результатом такого размещения можно считать:

1) выпечку s пирожков (ящики) из теста с k изюминками (шары);

2) класс, насчитывающий k учеников: если интересоваться днем рождения данного человека, то ученик — это шар, а его день рождения — ящик, в который он случайно попал (s = 365);

3) рыбная ловля с одинаковой приманкой s рыболовами (ящики) до тех пор, пока они не поймают вместе k рыб (шары);

4) раздача супа с горошинками (шары) на тарелки (ящики).

Купленный в булочной пирожок, выбранный наугад день (года) в случае класса можно считать выбранным наугад ящиком после размещения шаров.

Некоторые из рассмотренных выше испытаний — это случайное размещение 100 шаров в 100 ящиках. В задаче 14.5 мы спрашиваем, с какой вероятностью ящик, выбранный наугад после размещения, будет пустым (вопрос б). Решение задачи 14.6 сводится к оценке вероятности, что такой ящик не будет пустым.

Эти задачи ориентированы на учеников восьмого класса.

Рис. 14.1

Каждый из учеников дома размещает с помощью таблиц случайных чисел 100 шаров в 100 ящиках, расположенных и занумерованных, как на рисунке 14.1. Начиная со случайно выбранного в таблицах места, цифры читаются парами. Очередная пара — это номер ящика, в который попадает очередной шар, т. е. пара его координат в прямоугольной системе. Шар, который попал в ящик с координатами (j, k), регистрируется точкой в ячейке с этими координатами. Каждый из учеников обрабатывает свой результат в таблице, подсчитывая, сколько он получил пустых ящиков, сколько — с одним шаром, сколько — с двумя и т. д.

В нижеприведенной таблице таким образом обработаны три результата, изображенные на рисунке 14.1. Первый был получен в результате чтения цифр с начала помещенной в конце книги таблицы случайных чисел. Второй результат был получен в результате чтения, начиная с пятого столбца, парами, сверху вниз, до конца страницы, а потом снизу вверх и т. д. Третий — в результате чтения вверх парами, начиная с сорок четвертого и сорок пятого столбцов, потом налево парами сверху вниз.

Результат

ω1

ω2

ω3

Пустых ящиков

39

36

37

Ящиков с одним шаром

35

38

35

Ящиков с двумя шарами

15

17

18

Ящиков с тремя шарами

9

7

5

Ящиков с четырьмя шарами

2

2

3

Ящиков с большим числом шаров

0

0

0

Эта таблица наводит на некоторые размышления. Что касается количества ящиков с данным числом шаров, все результаты оказываются близкими, и возникают вопросы:

1°. Как этот факт объяснить с помощью математики?

2°. Как его использовать для решения задач 14.3 и 14.4?

Пусть X — число шаров в случайно выбранном ящике после размещения. Близость результатов, обнаруженная нами, дает возможность использования для оценки вероятности того, что в выбранном наугад ящике находится у шаров. В каждом из этих результатов около 37 ящиков пустых и почти столько же с одним шаром, а значит,

Около семнадцати ящиков содержат точно по 2 шара, а значит,

Около семи ящиков содержат точно по 3 шара, откуда вытекает, что

Около двух ящиков содержат по 4 шара, а значит,

Таким образом, методом Монте Карло мы оценили распределение случайной величины Х. Можно показать, что

Для достаточно больших k и s (k = s = 100 можно считать таковыми) распределение случайной величины X поддается приближению так называемым распределением Пуассона, т. е. распределением pz, где

Можно подсчитать, что

и таким образом мы получили математическое обоснование открытого эмпирического факта.

Следовательно, вероятность того, что в пробирку не попадет ни один вирус (задача 14.4), приближенно равна 0,37. Вероятность того, что в купленном в булочной пирожке будет хотя бы одна изюминка (задача 16.5), приближенно равна 1—0,37, т. е. около 0,63.

Заметим, что по сути дела речь шла о решении некоторых математических проблем (в задачах оценивались распределения некоторых случайных величин, например так называемое время ожидания первого успеха) путем конструирования испытания, поддающегося имитации с помощью таблицы случайных чисел.

15. Стохастические неожиданности. Умеешь ли ты удивляться?

Алеша бегает быстрее Бориса, а Борис бегает быстрее Володи. Очевидно, что Алеша бегает быстрее Володи.

Автомобиль «Волга» дороже автомобиля «Жигули», «Жигули» дороже «Москвича». Очевидно, что «Волга» дороже «Москвича».

Гена лучше успевает по математике, чем Дима, Дима лучше, чем Егор. Очевидно, что Гена успевает по математике лучше, чем Егор.

Всегда ли существует такая транзитивность? Казалось бы, что да.

На рисунке 15.1 изображены развертки трех кубиков. Игра проводится любыми двумя из них. Каждый из двух игроков бросает свой кубик, и побеждает тот, кто выбросил больше очков. Назовем кубик ki лучшим, чем кубик ki, если шансы игрока, бросающего кубик ki, больше шансов противника, бросающего кубик kj (i, j = 1, 2, 3 и i ≠ j).

Кажется очевидным, что если один кубик лучше второго, а второй лучше третьего, то этот первый лучше третьего. Таким образом, этот первый кубик самый лучший. Решая нижеследующие задачи, мы покажем, что среди этих кубиков нет самого хорошего.

15.1 Тебе предложили играть. Ты можешь выбрать один из кубиков k1, k2 или k3, второй (из остальных) кубик выбирает твой противник. Каждый из вас бросит свой кубик, а победит тот, кто выбросил больше очков. Будет ли право первым выбрать кубик в такой ситуации привилегией?

Рис. 15.1

15.2 Алеша бросает кубик k1, а Борис — кубик k2. Побеждает тот, кто выбросил больше очков. Справедлива ли эта игра?

15.3 Алеша бросает кубик k1, а Володя — кубик k3. Правила игры такие же, как выше. Каковы шансы каждого из игроков?

15.4 У Бориса кубик k2. Он предлагает тебе участвовать в вышеописанной игре, передав тебе кубик k3. Согласишься ли ты с этим предложением?

15.5 Есть ли среди этих кубиков самый хороший? Как обосновать ответ?

Средством аргументации здесь может оказаться рисунок. Каждая клетка квадрата на рисунке 15.2. представляет собой некоторый равновероятный с другими результат одновременного бросания кубиков k1 и k2 (задача 15.2). Заштрихованная часть квадрата изображает событие: в игре, описанной в задаче 15.2, победит Алеша. Оставшаяся незаштрихованная часть изображает событие: в этой игре победит Борис. Шансы Алеши измеряются площадью заштрихованной части, шансы Бориса — площадью белого сегмента.

Следовательно,

Данная игра несправедлива. Кубик k1 лучше, чем кубик k2. Обнаруживаемые таким образом отношения между кубиками изображает рисунок 15.3. Среди этих кубиков нет самого хорошего.

15.6 Было предложено следующее решение задачи 15.2: пусть Xj число очков, выпавших на кубике kj, j = 1,2.

Рис. 15.2

Рис. 15.3

Рис. 15.4

Это значит, что среднее число выброшенных очков для каждого из игроков одинаково, т. е. игра справедлива. Этот ответ противоречит результату, полученному с помощью рисунка 15.2. Почему он неправильный?

Аксессуарами в игре являются три набора игральных карт:

туз, шестерка и восьмерка черв (множество A), тройка, пятерка и семерка пик (множество В), двойка, четверка и девятка треф (множество С).

Карты каждого из этих множеств отдельно тасуются и выкладываются на столе в три строки рубашками вверх. Ты предлагаешь своему другу выбрать одно из этих множеств, а затем вытянуть из него одну карту. Из оставшихся множеств ты выбираешь одно, а затем вытягиваешь из него карту. Выигрывает тот, чья карта окажется старше*.

* Десятка старше девятки, девятка старше восьмерки, восьмерка старше семерки и т. д., двойка старше туза.

Рис. 15.5

15.7 Докажи, что независимо от того, из какого множества вытянет карту твой друг, ты можешь выбрать множество, позволяющее тебе выиграть с большей вероятностью, чем вероятность победы твоего друга.

Предположим, что есть три игрока: Алеша, Володя и Сережа — и что Алеша выбрал множество A, Володя — множество В и Сережа множество С. Сначала играют Алеша и Володя, потом Володя и Сережа, а затем Сережа и Алеша.

Из рисунка 15.5 видно, что шансы Алеши в игре с Володей равны 5/9, шансы Володи в игре с Алешей равны 4/9. Каждая клетка на данном рисунке изображает другой результат испытания, которое в игре проводят вместе Алеша и Володя. Это выбор карты из множества А и выбор карты из множества В. Так как карты выбираются случайно, все результаты одинаково вероятны. Их всего 9. Заштрихованный сектор на рисунке изображает событие А = {победит Алеша}. Этому событию благоприятствуют 5 из 9 всех возможных и одинаково вероятных результатов испытания, а значит, вероятность события А равна 5/9.

Из двух множеств А и В множество А лучше. Оно дает игроку больше шансов на выигрыш.

15.8 Докажи, что среди множеств А, В и С нет самого лучшего, а значит, что множество В лучше множества С и что множество С лучше множества А.

Решение последней задачи кажется парадоксом. Заметь, что оно является одновременно решением задачи 15.7.

На рисунке 15.6 изображена рулетка-волчок. Нижняя часть этого волчка неподвижна, верхняя вращается. Три стрелки на этой части обозначены буквами. Каждый из двух игроков выбирает свою стрелку. Волчок запускается в любом направлении, и тот, чья стрелка укажет на сектор с большим числом, выигрывает.

Рис. 15.6

15.9 Предположим, что играют Алеша и Володя и что Алеша выбрал стрелку а, Володя — стрелку b. Докажи, что шансы Алеши в два раза больше, чем шансы Володи.

Пусть X обозначает число сектора, указанного стрелкой а, у — число сектора, указанного стрелкой b. Пара (x, у) является результатом случайного испытания, проведенного с помощью этого волчка.

Ω = ((3, 2), (2, 1), (1, 3)}.

Событию

А = (победит Алеша)

благоприятствуют результаты (3, 2) и (2, 1):

А = {(3, 2), (2, 1)}.

Все результаты одинаково вероятны, а значит, вероятность события А равна 2/3. Событию

В = {выиграет Володя}

благоприятствует только результат (1, 3):

В = {(1, 3)}.

Вероятность события В равна, таким образом, 1/3.

Скажем, что в данной ситуации стрелка а лучше стрелки 6, так как она дает игроку большие (в 2 раза) шансы на победу, чем стрелка b. Обозначим этот факт через а→b.

15.10 Докажи, что стрелка b лучше стрелки с и что стрелка с лучше стрелки a, a значит, что b→с и с→а.

Есть а → b → с → а. Среди стрелок а, b и с нет самой лучшей. Этот факт является некоторым парадоксом. В описанной ситуации рулетку-волчок назовем нетранзитивной.

15.11 Игра ДВА ЦВЕТА И ТРИ КРУЖКА. Реквизитом в игре являются три кружка: бело-белый (т. е. белый с обеих сторон), бело-черный (т. е. белый с одной и черный с другой стороны) и черно-черный. Один из игроков, закрыв глаза, вынимает кружок и кладет его на стол. Каждый из игроков пытается угадать, какого цвета нижняя сторона кружка. Угадывающий получает очко. Существует ли в этой игре оптимальная стратегия?

Белый и черный цвет нижней стороны кружка представляется равновероятным, что, казалось бы, вытекает из симметрии (кружок выбирается при равных шансах каждого, белых сторон столько же, сколько черных). Поэтому никакая из возможных стратегий не кажется лучше других.

Прежде чем решать эту задачу с помощью математики, можно использовать статистические данные, которые показывают, что ставка на цвет верхней стороны положенного кружка почти в два раза чаще кончается успехом, чем ставка на противоположный цвет.

Приведем обоснование этого эмпирического и несколько неожиданного факта. Предположим, что верхняя сторона кружка белая. В этой ситуации при угадывании надо исключить черно-черный кружок, т. е. учитывают три равновероятные возможности, две из которых дают белый цвет и только одна — черный. Следовательно, в два раза более вероятно, что кружок снизу белый, чем черный. Итак, ставить на такой цвет, какой виден сверху, — это оптимальная стратегия.

15.12 Игра РЕШКА И ДВА ОРЛА — ДВА ОРЛА И РЕШКА. Ежедневной обязанностью двух братьев Антона и Бориса является мытье посуды. Борис предложил брату бросать монету до тех пор, пока:

1°. После решки выпадут два орла подряд, и тогда мыть будет Антон или

2°. После двух орлов выпадет решка, и тогда мыть будет Борис.

Должен ли Антон согласиться на эти условия?

Из симметрии в роли орла и решки в выигрышных последовательностях бросаний (ооr и гоо одинаково вероятны) равенство шансов обоих братьев кажется очевидным.

В действительности описанное пари — это случайная игра. Рассмотрим ее подробнее. Граф на рисунке 15.7 является полем для этой игры. После очередного бросания монеты будем перемещать фишку по соответствующему ребру (рядом с ребром написан результат бросания монеты, в зависимости от которого надо переместиться вдоль этого ребра). Решение о мытье посуды будет принято, когда фишка попадет в вершину 6 (и тогда моет Борис) или если попадет в вершину а (тогда будет мыть Антон).

Рис. 15.7

Рис. 15.8

Вероятности достижения фишкой каждой из этих вершин-финишей можно подсчитать с помощью правил теории вероятностей. Но мы это сделаем проще.

Заметь, что одновременно с попаданием фишки в вершину d результат игры уже предрешен (из вершины d с вероятностью 1 пешка раньше или позже попадет в вершину а). Аналогично в случае, если пешка попадет в вершину е (в дальнейшем она может попасть только в вершину 6). Граф на рисунке 15.7 можно заменить более простым графом на рисунке 15.8.

Вероятность того, что посуду мыть будет Антон, является поэтому вероятностью попадания в вершину d и равна: 1/2 + 1/2⋅1/2, т. е. 3/4. Вероятность того, что мыть будет Борис, — это вероятность попадания в вершину е. Она равна 1/2⋅1/2, т. е. 1/4. Ты смог бы объяснить, почему так считаются эти вероятности?

Поэтому шансы братьев не равны. Обратите внимание, что рисунок стал в данной ситуации удобным средством аргументации и некоторой рационализации умственных усилий, так как он значительно сократил расчеты.

Последняя задача опять указывает, как мы часто ошибаемся, формулируя выводы поспешно.

15.13 Случайно встретились k лиц (k ⩽ 365). Нас интересуеn день, когда они отмечают свой день рождения. Рассмотрим событие

Аk = {хотя бы два из этих лиц отмечают день рождения одновременно}.

а) Школьный класс является группой лиц, которые, если принять во внимание их дни рождения, встретились совсем случайно. Твой класс — это результат, благоприятствующий событию Ak или нет? Здесь k— это число учеников твоего класса.

б) Предположим, что A = 25. Как тебе кажется, каковы шансы, что среди 25 случайно встретившихся людей есть хотя бы два, которые отмечают свой день рождения одновременно? Здесь вопрос касается оценки вероятности события A25.

в) Проверь, в скольких классах твоей школы произошло событие A25. Ты должен принимать во внимание не весь класс, а только первых по списку в журнале 25 учеников. Если в данном классе меньше чем 25 учеников, то ты можешь к ним присоединить учителя, кого-нибудь из родителей и т. д. Можно ли с помощью математики объяснить факт, что почти в половине классов оказалось хотя бы по два ученика, у которых тот же самый день рождения?

Сослаться на математику для решения вопроса, касающегося действительности, значит построить для этой действительности

соответствующую математическую модель и сопоставить результаты расчетов в этой модели с фактами данной действительности. У нас дело в построении вероятностной модели для случайной встречи k лиц. С математической точки зрения группа k лиц является результатом как будто k-кратного случайного выбора шара (с возвращением) из урны с 365 пронумерованными шарами (шары — это дни года). В задаче 15.13 речь идет, таким образом, о событии

Ak = {в данном случайном выборе тот же шар будет выбран хотя бы два раза}.

В данной ниже таблице приводятся значения вероятности события Ak для некоторых k.

k

5

10

20

23

30

40

50

Р(Ak)

0,027

0,117

0,411

0,507

0,706

0,891

0,994

Эти значения являются внезапностью. В группе из пятидесяти лиц почти наверняка (а то с вероятностью больше 0,95) окажутся лица, совместно отмечающие день рождения.

15.14 Из колоды в 52 карты откладываются в сторону 4 короля. Каждый из четырех игроков получает 12 карт одной масти и после их перетасовки выкладывает на стол одну. Игроки с красными картами образуют команду «красных», игроки с черными картами — команду «черных». Далее важно только значение карты. Если среди выложенных карт окажутся хотя бы две одинаковые карты (событие А), то побеждает команда «черных», если такое не произойдет, побеждает команда «красных». Как ты оцениваешь шансы обеих команд?

Кажется очевидным, что шансы «красных» намного больше. Чтобы проверить это интуитивное суждение, можно сначала сослаться на статистические (т. е. эмпирические) данные. В группах по четыре человека вы можете повторять эту игру. К вашему удивлению, почти в половине состязаний побеждает команда «черных». Этот неожиданный факт нуждается, таким образом, в объяснении математическими средствами.

Можно показать, что

Мы имеем здесь опять дело с особым видом мотивации, состоящим в желании понять то, что для нас показалось неожиданным. Мы опять обнаружили неожиданные расхождения между тем, что получается на практике и что в дальнейшем подтверждает математика.

15.15 Случайно встретились четыре человека. Какова вероятность того, что хотя бы два человека родились под тем же знаком зодиака? Скажи сначала, как тебе кажется.

В этих задачах речь идет об умозаключениях с помощью аналогий. Они вытекают из факта, что с помощью двенадцати карт можно имитировать знак зодиака для случайно встреченного человека.

15.16 В классе 25 учеников. Этот класс получил два билета на интересный спектакль. Было решено с помощью случайного выбора решить, кто получит эти билеты. Андрей, который учитывался при этом выборе, опоздал в школу, и ему неизвестен результат выбора. Когда Андрей вошел в класс, сказал учителю: «Скажите мне, оказался ли я среди выбранных или нет. Очевидно, что хотя бы один из моих товарищей выбран. Назовите мне, пожалуйста, его фамилию». Влияет ли, по-твоему, информация, кто этот товарищ, на вероятность того, что и Алеша среди выбранных?

Кажется очевидным, что эта информация здесь ни при чем, что она несущественна при оценке шансов Андрея.

Предположим, что Андрей услышал, что среди выбранных находится Борис. Андрей получил, таким образом, информацию, что наступило событие:

В = {Борис находится среди выбранных}.

Рассмотрим событие:

А = {среди выбранных находится Андрей}.

Вероятность, что среди двух случайно выбранных учеников находится Андрей, мы можем подсчитать в вероятностной модели для случайного выбора двух шаров из урны, в которой есть один черный шар (это Андрей) и 24 белых, но занумерованных шара (это остальные ученики). Нарисуем выпуклый двадцатипятиугольник. В каждой вершине поместим один шар. Каждый результат случайного выбора двух учеников изображается, таким образом, с помощью отрезка, соединяющего две вершины. Итак, всех возможных результатов 25⋅24/2, т. е. 25⋅12. И все они одинаково вероятны. Событию А благоприятствуют результаты, изображенные отрезками с концом в вершине с черным шаром. Таких отрезков 24. Вероятностная модель классическая, а значит,

Предположим, что нам известно, что среди выбранных находится Борис. Значит, известно, что наступило событие В. Спрашивается: какова в этой ситуации вероятность события Л?

Греческая ваза с рисунком играющих в кости (VI в.)

Предположим, что Борис — это в модели белый шар номер 1. Если известно, что наступило событие B, то в расчет принимаются только те результаты (из всех возможных и одинаково вероятных), которые изображены отрезками, соединяющими белый шар номер 1 с каким-нибудь другим шаром. Таких отрезков 24. Среди них только один соединяет этот шар с черным шаром. В данной ситуации среди 24 результатов только один благоприятствует событию A.

Если известно, что среди выбранных находится Борис, то шансы Андрея равны 1/24. Вероятность события A, если известно, что наступило событие В, равна 1/24. Инфор-

Ахиллес и Аякс играют в кости на барабане. Фрагмент вазы (Греция, VI в. до н. э.)

мация, что наступило событие B, влияет на вероятность события A, хотя всем казалось иначе. Этот факт кажется всем некоторым парадоксом.

В этих рассуждениях мы встретили новую, так называемую условную вероятность события A, т. е. вероятность события A в ситуации, когда известно, что наступило иное событие В. Данный парадокс объясняет суть этой условной вероятности.

Помещенные в этой главе задачи должны заставить тебя задуматься. Формулируя суждения, касающиеся шансов (а значит, вероятности) поспешно и торопливо, не задумываясь, мы уверены, что мы безусловно правы, но это не всегда так. Как показывают вышеприведенные примеры, зачастую эти интуитивные суждения и оценки шансов ошибочны. Математика помогает нам обнаруживать эти ошибки, объяснять их причины и источники.

Указания для учителя

Формулировка, подход к решению и решение задач по теории вероятностей как математическое творчество

Одной из основных проблем общей дидактики является роль задач в обучении и форма их предъявления учащимся.

Решение задач — это наиболее характерная сфера человеческой деятельности и основная деятельность обучающегося математике. Образ математики и отношение ученика к ней формируют прежде всего задачи, которые он решает.

Обучение математике как становление и открытие знаний заново.

Теория вероятностей в школе как математика в стадии созидания

Разработанный нами подход к стохастическим задачам для школьников основывается на определенном взгляде на математику, на обучение математике и на роль учителя в этом обучении. Говоря об обучении, математика понимается как специфическая интеллектуальная деятельность, обучение математике — как становление и открытие знаний заново под руководством учителя, который трактуется как «режиссер» и организатор процесса познания мира учениками. Учитель является умным помощником и одновременно инспектором, контролирующим учащихся.

Помещенные в этой книге задачи и способы их решения иллюстрируют определенную «философию» обучения теории вероятностей. Эта теория рассматривается не как готовый продукт, а как математика в стадии становления путем решения специфических проблем. Данная концепция обучения теории вероятностей трактует это обучение как процесс, при котором стохастические понятия и методы служат математическим аппаратом для решения конкретных проблем. При этом ученик, исследуя внематематическую проблему, формулирует различные вопросы и задачи, затем «переводит» их на язык математики, для того чтобы решить их математическими методами, а затем проинтерпретировать решение с учетом реальной проблемы, поставленной вначале. Решая эти проблемы и возникшие на их фоне математические задачи, можно вместе с учеником обнаруживать на уроке математики не только стохастические понятия, но и стохастические методы, причем как новые математические орудия (инструменты) решения конкретных проблем.

Теория вероятностей в обучении представлена в этой книге как математика in statu nascendi, т. е. как математика в стадии созидания и одновременно как новый, важный элемент математического и общего образования.

Стохастические задачи как новый элемент математического образования

Знаменательной чертой современных реформ в области преподавания математики является:

— перенос центра тяжести с освоения алгорифмов и формирования навыков вычислений на образование посредством математики

— отчетливое отделение расчетов от того, что в действительности называется математикой, а также

— более широкий взгляд на роль математики в формировании человеческого интеллекта (в формировании личности).

Перенос центра тяжести с обучения математике на образование с помощью математики на основе активизации математической деятельности учащихся, на гуманизацию обучения определяет новую роль математических задач.

Одновременно с включением стохастических идей в «математику для всех» возник вопрос о форме и содержании задач по теории вероятностей, а также их использовании в активизации математической деятельности ученика. Этот вопрос становится злободневным в связи с распространением неудачных (с точки зрения дидактики математики) образцов таких задач в различных сборниках задач по теории вероятностей (подготовленных для вузов и распространяемых среди школьников). Вот примеры таких задач:

1. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник А. С. Пушкина. Найди вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо.

2. За круглый стол рассаживаются в случайном порядке 2n гостей (n женщин и n мужчин). Какова вероятность того, что каждый мужчина окажется между двумя женщинами?

3. В зале кинотеатра в первых двух рядах, каждый из которых состоит из n кресел, сидит n человек. Найди вероятности следующих событий:

а) в первом ряду никакие два человека не сидят рядом;

б) в первом ряду каждый человек имеет ровно одного соседа.

4. На столе лежит десять карточек с буквами: М, М, А, А, А, Т, Т, Е, К, И. Какая вероятность, что ребенок (который еще не знает азбуки) сложит из них слово МАТЕМАТИКА?

Никто не объясняет, кто, каким образом и зачем сформулировал эти задачи, кто и зачем нуждается в их решении. Вышеупомянутые задачи касаются по сути дела комбинаторных вопросов.

Каждая задача по теории вероятностей решается в определенной вероятностной модели. Традиционные задачи решаются в классической вероятностной модели. Расчеты опираются, таким образом, на комбинаторные знания. Мир случайностей — это не только мир испытаний, все результаты которых одинаково вероятны. Предложенные в этой книге задачи касаются в большинстве неклассических моделей.

В книге предложены разные способы и средства построения таких моделей.

Помещенные в этой книге задачи являются как бы сырьем для открытия стохастических понятий и методов и стимулом различных форм активизации математической деятельности. Тем самым задачи являются элементом математического образования.

Обратим внимание на некоторые формы активизации математической деятельности, которые рождаются на фоне стохастических задач, предложенных в этой книге.

Формулировка математических проблем на фоне реальной, внематематической ситуации, рациональное конструирование вопросов

Источником многих задач, помещенных в этой книге, являются внематематические ситуации. Решение возникших на их фоне проблем начинается с их перевода на язык математики, а значит, с формулировки определенных математических задач.

Задачи § 2 касаются рационализации поведения (как рационально участвовать в игре?). Чтобы обнаружить рациональную стратегию в игре, надо построить вероятностную модель случайного испытания, которое в этой игре проводится (см. задачи: 2.1, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 2.9). Построение данной модели — это уже математическая задача.

Многие задачи из § 7 касаются процесса принятия решения (купить такое или иное устройство для защиты разных предметов и помещений от кражи) и вопроса, как обосновать это решение, а также оценки некоторого риска (проблема достоверности оценки некоторых классных работ). Решение этих внематематических вопросов сводится к их переводу на язык математики. Чтобы принять решение купить блокировку или нет, купить замок с шифром или нет, надо рассмотреть некоторое событие и подсчитать в определенной вероятностной модели его вероятность. Построение вероятностной модели возможно, если предположить, что вор не знает шифра, а значит, что он подбирает цифры шифра наугад.

В § 10 предложено много задач, касающихся ответа на вопрос, является ли данное событие, которое произошло, результатом знаний, таланта, способностей или случая (говорят: счастья или неудачи). Решение этих внематематических задач начинается с формулировки рациональных вопросов, а затем сводится к их переводу на язык математики.

Формулировка подлинной математической задачи является здесь первым и важным этапом решения предложенных внематематических проблем. Таким образом, автором многих подлинных стохастических задач является здесь ученик.

Схематизация и математизация, т. е. упорядочение математическими средствами некоторых фрагментов действительности, погружение объектов реального мира в мир математической абстракции, построение вероятностной модели заданной конкретной ситуации

Один из важных аспектов математической деятельности (и математического мышления) — это процесс построения математической модели, хорошо приспособленной к данному фрагменту действительности (процесс математизации).

Рациональная деятельность современного человека в реальном мире возмож-

на благодаря постоянному упрощению, пренебрежению несущественными аспектами ситуации, выделению из обилия информации ее элементов, существенных с данной точки зрения, и устранению второстепенных свойств и фактов, а значит, благодаря постоянной схематизации действительности.

Такие области математики, как геометрия, арифметика и теория вероятностей, возникали в процессе изучения действительности с помощью схем ее фрагментов.

Причины, по которым стохастическому моделированию подвергались в данной книге такие сложные испытания (нетипичные для традиционных подходов к школьной теории вероятностей), как:

— размещение изюминок и орешков в тесте,

— выбор с помощью спичек,

— проверка знаний (в некоторых условиях),

— покупка жвачки в магазине,

— охота или рыбная ловля и т. д.,

заключаются в том, что это моделирование указывает полнее, чем в случае урновых схем, как и зачем математизируется действительность, с чего начинается применение на практике стохастических выводов.

Случайные испытания, модели которых составляют предмет теории вероятностей, являются для ученика конкретными физическими экспериментами, т. е. объектами реального мира. Ребенок бросает конкретную монету, в играх пользуется пластмассовым кубиком, по телевизору видит в действии конкретную машину для проведения тиража числовой лотереи или случайного выбора в игре ПОЛЕ ЧУДЕС. Пути от этих испытаний к их вероятностным моделям различны. Каждый из них может вводить специфические элементы в математическую деятельность ученика и служить частью процесса формирования стохастических понятий и стохастической интуиции.

Приспособление вероятностной модели к реально совершаемому, действительному эксперименту является деятельностью, которая происходит на грани математики и не математики, но может стать и математической деятельностью.

Аналогично геометрическим понятиям понятие вероятностной модели мы используем в обучении как абстрактную схему реальной ситуации, создаваемую (при полном осознании ее упрощающего характера и роли для этой ситуации) на пути абстрагирования от конкретных аспектов, т. е. схематизации, обусловленной определенной уже с самого начала целью и заранее принятой точностью.

К формам математической деятельности, связанным с процессом схематизации и математизации, которые появились при решении предложенных в этой книге проблем, принадлежат:

— формулировка проблем на языке математики,

— измерения, их организация и обработка результатов,

— рационализация сбора эмпирических данных,

— выбор средств обработки статистических данных,

— рассмотрение различных альтернатив,

— выдвижение гипотез (модель правильна или нет),

— кодирование результатов случайного испытания, построение их множества,

— классификация множества с точки зрения определенных свойств его элементов (классификация одинаково вероятных случаев),

— подбор средств аргументации (почему мы можем определенные случаи рассматривать как одинаково возможные),

— построение способов имитации исходного случайного испытания с помощью кубиков, монет, игральных карт или урн.

Традиционные задачи по теории вероятностей в большинстве уже сформулированы в готовой, вероятностной модели. Важным шагом при решении задач, предложенных в этой книге, является построение этой модели. В § 2 предложены разные средства, с помощью которых строятся эти модели (стохастическое дерево, классификация одинаково вероятных случаев, статистические данные, рисунок, такие меры, как длина, масса и т. д.).

Решение задачи по теории вероятностей происходит всегда в определенной вероятностной модели. Не всегда эта модель классическая. Поэтому не всегда средством решения задачи на вычисление вероятности являются комбинаторные понятия и формулы (теоремы). Во многих задачах мы показали, как обосновывать, что модель случайного испытания классическая, и как это делать в противоположном случае. Подбор средств аргументации при построении вероятностных моделей отдельных испытаний является в этой книге формой математической деятельности.

Поиск источников информации о неизвестной модели и поиск способов приобретения этой информации

В задаче 2.6 надо построить вероятностную модель для бросания пяти монет (результат такого испытания — это число выпавших решек, так как все монеты одинаковые), чтобы принять рациональное решение (на какой результат этого испытания стоит сделать ставку в игре). Если у ученика нет определенных комбинаторных знаний, необходимых для этой конструкции, мы можем на уроке сослаться на статистические данные. В § 2 описано, как организовать сбор этих данных, чтобы они были достоверным источником информации о неизвестной модели. Рационализацию поведения надо здесь также присоединить к формам математической деятельности.

Средством решения проблемы, что сделать с изюминкой, которая заблудилась и не попала в тесто (задача 4.30), оказалась масса, а значит, некоторая мера.

Важным средством математизации является так называемая имитационная схема. Предложенное нами использование «математических очков» при построении вероятностных моделей помогает обнаружить в некоторых ситуацих способ имитации случайного испытания с помощью таких типичных для мира случайностей приборов, как монеты, кубики, урны с шарами, колода карт и т. д. Размещения изюминок в тесте во время смешивания и деления теста, о котором идет речь в задаче 4.32, можно имитировать с помощью монеты. Если тесто делится на шесть равных частей, то данное распределение изюминок в тесте можно имитировать с помощью игральных кубиков, каждый кубик соответствует другой изюминке. Число выброшенных очков — это как бы номер пирога, в который попадает данная изюминка. В этом случае вероятностная модель для бросания шести кубиков является одновременно вероятностной моделью для упомянутого размещения изюминок в пирогах. Покупка жвачки в ситуации, когда в каждую пачку жвачки положена картинка с изображением одного из шести героев известных

сказок (задача 14.4), можно имитировать с помощью игральной кости. Ожидание премии — это как бы бросание кубика так долго, пока «не соберутся» все шесть чисел очков на кубике.

Вернемся к происшествию на границе, описанному в задаче 10.1, а также к проблеме достоверности оценки, если на классной работе по химии ученик должен указать два альдегида (задача 7.20). Если принять некоторые гипотезы (никто не донес таможеннику, что среди туристов есть два контрабандиста; ученик не готовился к урокам химии, а значит, у него нет никаких знаний) и посмотреть на данное явление через «математические очки», то оно является случайным выбором двух шаров из мешка, в котором два черных шара (это два контрабандиста или два особых химических соединения) и несколько белых (это остальные туристы или остальные химические соединения). Вероятностная модель данного случайного выбора двух шаров из мешка является и моделью упомянутых явлений.

Важная роль предложенных здесь задач — это указание, что, как и зачем математизируется в теории вероятностей. Умение математизировать — это важный аспект математической культуры современного человека.

Объяснение с помощью математики обнаруженных и неожиданных эмпирических фактов (рефлексия апостериори)

Ответы на некоторые стохастические вопросы можно находить статистическим путем. Таким образом мы получили ответ на вопрос, касающийся рациональной стратегии в игре, описанной в задаче 2.1 (на какое число выпавших очков стоит сделать ставку в игре ЛОТТО С ДВУМЯ КУБИКАМИ?). В собранных и упорядоченных эмпирических данных (см. рис. 2.2) можно заметить резкие симметрии. Этот эмпирический факт наводит на размышления. Задача 2.3 касается проблемы объяснения с помощью математики этого интересного эмпирического факта. Такую же роль играют статистические данные, собранные на рисунке 2.6.

Вернемся к задаче 5.8. Нужно ответить на вопрос: какой шар (красный или белый) положить в мешок с двумя белыми шарами и одним красным, чтобы при случайном выборе двух шаров из этого мешка события:

А = {оба вынутых шара одинакого цвета},

В = {вытянутые шары разных цветов}

были одинаково вероятны?

Все сразу без колебаний отвечают, что надо добавить красный шар. В § 5 предлагается проверить с помощью статистических данных верность такого (интуитивного) ответа. Собрав результаты многих повторений случайного выбора двух шаров из набора четырех, двух белых и двух красных, мы заметим, что два шара разных цветов выбираются почти в два раза чаще, чем шары одинакового цвета. Этот удивительный эмпирический факт заставляет нас задуматься. Здесь идет речь о выявлении с помощью математики, почему так странно получилось.

Средством аргументации может стать здесь рисунок 5.9, который наглядно объясняет, почему наш интуитивный итог неправильный.

Подобную роль могут сыграть статистические данные в контексте задачи 15.12.

Рационализация поведения

Во многих ситуациях, описанных в этой книге, надо было найти способы рационализации поведения, в том числе и деятельности, касающейся сбора статистических данных, случайного выбора элемента из определенного множества. Предметом многих задач, помещенных в § 11, было открытие рациональных способов получения (построения) выборки с целью сформулировать некоторые стохастические итоги.

Данную форму математического творчества мы встретили также в § 4. Задача 4.30 касается рационализации поведения при решении проблемы, что сделать в ситуации, когда после сформирования пирога и булочки из теста с изюмом одна изюминка заблудилась и не попала в тесто. Ученики предлагают смешать тесто, добавить к нему упомянутую изюминку и заново месить и делить тесто. Построение более рационального способа поведения в такой ситуации является и математической деятельностью. Традиционные стохастические задачи не охватывают этой формы математического творчества.

Рационализации поведения касаются задачи, помещенные в § 2 (дело в обнаружении рациональной стратегии в игре, но тоже в принятии оптимального решения — задача 2.5). Много задач касается процесса принятия решения (задача 13.6, а также задачи 7.2, 7.5, 7.7, 7.9, 7.12 и т. д.). В § 12 предложены некоторые формы рационализации интеллектуальных усилий (благодаря некоторым аналогиям и симметриям можно сокращать расчеты).

Обнаружение, формирование и определение понятий как новых математических инструментов решения проблем

Решая задачи 2.1, 2.4, 2.6, 2.9, мы обнаруживаем понятие вероятностной модели, причем как математическое средство решения некоторых практических проблем (какое принять решение, является ли данная игра случайной или стратегически случайной?).

Задачи 5.7, 5.8, 5.9 являются содержанием урока, на котором обнаруживаются понятия события и его вероятности как математические средства решения таких проблем, как:

— является ли данная игра случайной или стратегически случайной,

— принять участие в игре или нет,

— является ли данная игра справедливой (и что это значит в данной ситуации),

— как заменить монету или игральную кость другими приборами в ситуации, когда монета или кость нужны, но они куда-то пропали.

Решая задачу 13.1, мы обнаружили понятие математического ожидания как математическое средство решения проблемы, является ли справедливой игра, в которой выигрыш — это случайная величина, а вход в игру надо оплатить.

Решая задачи, помещенные в § 7, мы обнаруживаем понятие вероятности как оценку некоторого риска, в том числе и как математическое средство проверки достоверности оценки результатов некоторых форм проверки знаний (задачи 7.20, 7.21, а также 10.9).

В § 10 вероятность события является средством проверки некоторых гипотез.

Упрощение рассуждений с помощью перехода к другой модели, сведение заданных проблем к уже решенным проблемам

Эту форму активизации математической деятельности мы встретили в § 12. Благодаря открытию факта, что одно случайное испытание можно имитировать другим (дело в изоморфизме их вероятностных моделей), решение задачи 12.1 является одновременно решением задач 12.2—12.8. Решение задачи 2.9 можно просто получить из решения задачи 2.8. Достаточно заметить, что, выбирая случайно два шара из мешка с пятью шарами, оставшиеся в мешке три шара также являются случайно выбранными.

Открытие методом естественной индукции, формулировка и доказательство теорем как свойств стохастических понятий

Решая многие задачи, помещенные в этой книге, можно обнаруживать основные свойства вероятности (формула сложения, классическая теорема, вероятность суммы событий, вероятность противоположного события и т. д.).

В задаче 5.17 нужно проверить, верна ли некоторая теорема (равна ли вероятность суммы двух событий сумме вероятностей этих событий).

Поиск недостатков или ошибок в рассуждениях

Задача 5.12 касается проверки решения некоторой проблемы, связанной со случайным выбором того из двух родственников, кто будет мыть посуду (дело в объяснении, почему Миша ошибается). Подобной проблемы поиска ошибки в рассуждениях касается задача 11.10 (рис. 11.5 дается как ошибочное решение некоторой задачи, выраженное в графической форме). Все задачи, помещенные в § 15, охватывают упомянутую форму математического творчества. Их решение сводится, между прочим, к выяснению причины, почему некоторые интуитивные итоги являются неверными и как это объяснить.

Интерпретация результатов дедукции и расчетов в реальном мире

Решение многих задач в этой книге содержало:

— переход от действительности к математике (этап построения вероятностной модели, фаза математизации),

— деятельность внутри этой модели (расчеты в готовой математической модели, фаза дедукции),

— возвращение к действительности (толкование результатов дедукции и расчетов, фаза интерпретации).

Дедукция и расчеты являются здесь только лишь промежуточной стадией в решении конкретной проблемы. Им предшествует фаза схематизации и математизации как фаза погружения фрагмента действительности в мир математики, а заканчивает решение фаза конкретизации, «фаза проекции» результатов дедукции на «плоскость действительности». В обучении слишком часто пренебрега-

ют действиями, связанными с этими фазами. Организация математического творчества, связанного с фазой математизации и фазой интерпретации, — дело сложное и требует немалой математической (в данном случае стохастической) культуры учителя.

Стохастические задачи и иллюстрация подлинного процесса применения математики

Одной из целей обучения математике является ознакомление ученика с подлинным процессом применения математики. Задачей прикладного характера (т. е. задачей, которая иллюстрирует подлинный процесс применения математики) мы будем называть задачу, которая возникла во внематематической ситуации и решение которой осуществляется в три этапа:

— формализация (построение математической модели, фаза математизации),

— решение внутримодельной математической задачи (фаза дедукции и расчетов),

— толкование полученного решения (фаза интерпретации).

Ценность стохастических задач определяется не столько тем аппаратом, который используется при их решении, сколько возможностями продемонстрировать процесс применения математики для решения внематематических проблем. Эти задачи должны знакомить учеников с реальными применениями стохастических идей и методов, а также помочь в организации специфической деятельности, необходимой в процессе применения математики. Стохастические проблемы могут стать простыми примерами подлинного процесса применения математики. Много задач, предложенных в этой книге, хорошо иллюстрирует такой процесс.

Вернемся опять к проблеме происшествия на границе (задача 10.1). Первый шаг при решении этой задачи — это фаза математизации. Затем, в соответствующей вероятностной модели, мы нашли вероятность некоторого события. Это была фаза дедукции и расчетов. Решение проблемы кончалось формулировкой итогов, касающихся исходной ситуации. Так как относительно вероятно попасть в данной ситуации на двух контрабандистов, нет оснований подозревать кого-нибудь в доносе. Это фаза интерпретации.

Пути, пройденные при решении задачи 10.1 между реальным миром и миром математической абстракции, показаны на рисунке 16.1.

Подробно мы проиллюстрировали подлинный процесс применения математики в § 10. Иллюстрацией процесса применения математики являются также задачи: 2.4, 2.5, 3.1 и все задачи из § 7, 8, 9.

Здесь надо вернуться к задаче 13.4. Требуется ответить на вопрос: на какое число покупаемых ежедневно булок должен решиться владелец павильона с бутербродами «хот-дог»? Казалось бы, что эта задача иллюстрирует процесс применения математики, так как вопрос касается реальной ситуации. Но это не так.

В задаче 13.4 задан a priori спрос, т. е. заданы вероятности, с какими в данный день будет такое или иное число желающих купить бутерброд в упомянутом павильоне. Возникает вопрос: кто и каким образом получил эту информацию о спросе, а значит, каким путем построена вероятностная модель, определенная

Мир математической абстракции

Рис. 16.1

Реальный мир

с помощью таблицы на с. 154? Задача 13.4 сформулирована тем самым уже в готовой, заданной a priori математической модели. Это математическая задача только сформулирована с помощью внематематических терминов (спрос, цена, выгода, потери и т. д.). Решение задачи 13.4 не охватывает фазы математизации, она не является, таким образом, задачей прикладного характера. Рассмотрим в этом контексте очень популярную задачу:

1. Два баскетболиста бросают мяч в корзину по 3 раза. Вероятности попадания для них равны 0,6 и 0,7 соответственно. Найди вероятность того, что они попадут в корзину равное число раз.

Такую задачу иногда называют близкой к жизни, жизненной, поскольку ее фабула связана с действительностью. Между тем задача совсем не прикладная и очень далекая от реальной жизни. При анализе этой задачи возникает вопрос: кто и каким образом определил, что «вероятность попадания в корзину для данного баскетболиста равна p»? Неясно, кто формализовал реальную ситуацию, как он это сделал, почему получил используемый в задаче факт.

С этих позиций задача 13.6 такого же характера, как упомянутая задача 1.

Рассмотрим следующую задачу:

2. В урне U1 имеется 6 черных и 4 белых шара, а в урне U2 — 7 черных и 3 белых. Из каждой урны по 3 раза выбирается шар с возвращением. Найди ве-

роятность того, что черный шар выберется из урны U1, столько же раз, сколько из урны U2.

С математической точки зрения задача 2 — это та же самая задача, как 1. Замена баскетболистов и корзин на шары и урны никак не влияет на методы решения задачи. С точки зрения дидактики математики, задача 2 лучшая, хотя, казалось бы, нежизненная.

Реальные задачи прикладного характера в школьной математике встречаются редко, поскольку этап формализации (построение математической модели внематематической ситуации) требует больших знаний и математической культуры. Поэтому возникла проблема подбора задач прикладного характера, которые могут использоваться в обучении. В дидактике математики принято объяснить суть применения математики для решения практических проблем на примерах задач, в которых моделируется подлинное применение математики. В качестве материала для дидактического моделирования задач прикладного характера можно использовать случайные игры. Участие в игре обычно связано с вопросами принятия решения, выбора оптимальной стратегии, проверки гипотез и т. д.

Реальную ситуацию, описанную в задаче 13.4, можно моделировать с помощью задачи 13.5. Решение задачи 13.6 включает в себя все три фазы процесса применения математики.

Рисунок как удобное средство математизации и аргументации при решении стохастических задач

Рисунок (как некоторая схема, подчеркивающая самые существенные черты) позволяет открывать многие геометрические утверждения (как свойства геометрических понятий). В то же время он является изображением многих геометрических операций. В обучении теории вероятностей рисунок также может стать важным звеном на пути от конкретной ситуации к математической абстракции.

В контексте решения проблем рисунок может оказаться или инструментом решения задачи (решение задачи с помощью графических форм), или формой изображения готового решения (решение задачи, выраженное в графической форме).

Рисунок 3.2 привел к открытию вероятностной модели в ее геометрической интерпретации. В § 3 стохастическое дерево было указано как удобное средство построения такой модели для поэтапного испытания. В § 2 рисунок стал естественным средством построения вероятностной модели для случайного выбора двух шаров из урны (рис. 2.5).

Рисунок 5.7 является средством обоснования математическими средствами, почему в процессе выбора двух шаров из четырех — двух белых и двух красных — шары разного цвета выбираются в два раза чаще, чем шары одного цвета.

Рисунки 15.7 и 15.8 являются удобным средством аргументации. Они объясняют, почему игра «решка и два орла — два орла и решка» не является справедливой, хотя всем кажется, что это справедливая игра.

Средством аргументации при решении задач 15.1—15.5 является также рисунок (рис. 15.2).

Таким образом, рисунок в этом подходе в обучении теории вероятностей является некоторым средством математизации и аргументации.

Статистические данные в задачах по теории вероятностей

При решении многих задач мы ссылались на статистические (а значит, эмпирические) данные. Они были:

— источником существенной информации о вероятностной модели (задача 2.6);

— средством проверки гипотез (во многих ситуациях результаты испытания или события считались одинаково вероятными, эмпирические данные становились инструментом проверки гипотезы, что модель испытания классическая или что два события одинаково вероятны; основой для опровержения этой гипотезы являлись существенные различия в частотах отдельных результатов — задача 2.2);

— средством обнаружения некоторых аналогий;

— стадией математического мышления (неожиданные закономерности в статистических данных, вопрос об их толковании и объяснении с помощью математики — задача 2.2).

Рефлексию a posteriori, о которой здесь идет речь, может стимулировать:

— открытый на уроке факт, что почти у половины классов данной школы оказались два ученика, у которых один и тот же день рождения (классные журналы как некоторое дидактическое средство в обучении теории вероятностей),

— частое появление соседних чисел среди вынутых в тираже игры ЛОТТО (задача 4.29),

— отчетливые различия в частотах побед двух игроков в игре «решка и два орла —два орла и решка» (задача 15.12), если пытаться сначала оценивать шансы игроков статистическим путем,

— очень редкое выпадение всех чисел очков при бросании шести кубиков (задача 5.19).

Вероятность события как синтез разных аспектов

Понятие вероятности должно формироваться в обучении стохастике (аналогично формированию понятия натурального числа в обучении арифметике) постепенно и многоаспектно. Первые оценки вероятности на уроке — это качественные оценки типа: «менее вероятно, чем...», «более вероятно, чем...», «маловероятно», «очень вероятно», «одинаково вероятно». Количественные оценки (вероятность как число) должны появиться в обучении позже.

Формирование понятия вероятности в университетском курсе теории вероятностей сводится к аксиоматической дефиниции, причем расчеты практически опираются на так называемое «классическое определение вероятности» («вероятность события определяется как отношение числа результатов, благоприятствующих событию, к общему числу всех результатов испытания при условии, что все

результаты одинаково возможны»). Это «определение» является неправильным, так как понятие вероятности определяется с помощью того же понятия («одинаково возможные» — это значит одинаково вероятны). Надо здесь подчеркнуть, что аксиоматическое определение вероятности для школьника трудновато.

Данная книга представляет собой совсем другой подход к формированию понятия вероятности. Вероятность события, связанного с некоторым случайным испытанием, трактуется здесь как сумма вероятностей результатов этого испытания, благоприятствующих данному событию. Таким образом, сначала определяется функция, которая каждому результату испытания присоединяет его вероятность. Множество Ω всех возможных результатов испытания и определенная на нем функция р составляют вероятностную модель случайного испытания. Вероятность события — это значение новой функции Р, определенной на подмножествах множества результатов формулой:

Такое определение вероятности события позволяет обнаружить на уроках математики основные свойства функции р. Задачи, помещенные в § 5, охватывают открытие классической теоремы, т. е. свойства функции Р в классической вероятностной модели (все результаты испытания одинаково вероятны). В традиционных подходах к обучению теории вероятностей эта теорема ошибочно называется (как уже упомянуто) «классическим определением вероятности». В нашем подходе к процессу формирования понятия вероятности мы избавились от этой ошибки в дефиниции вероятности события.

Понятие «вероятность события» формировалось в этой книге как синтез разных аспектов и в разных интерпретациях. Во многих задачах вероятность рассматривается в классическом аспекте (вероятность события как отношение числа результатов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных результатов). В то же время оценка вероятности конкретного события проводилась и на основе частоты события. В этом контексте вероятность была представлена в статистическом аспекте. В контексте теста с изюминками или разливания прививки с бактериями в пробирки (§ 1), или разливания в тарелки овощного супа (задача 5.20) вероятность события рассматривается в геометрическом аспекте. На рисунке 3.2 вероятность указана в так называемой геометрической интерпретации.

Задачи по теории вероятностей понимаются в данной работе как элемент математического образования. Эти задачи:

— стимулируют и мотивируют открытие стохастических понятий и методов как математического аппарата, способствующего решению многочисленных конкретных проблем,

— подчеркивают многоаспектный характер понятия вероятности,

— создают естественные возможности интеграции ряда разделов школьной математики (задачи: 9.4, 10.1—10.8, 11.12),

— учат открывать аналогии, обосновывать и использовать их для умозаключений (§ 12),

— учат решать проблемы на базе аналогичных и уже решенных проблем;

— ведут к постановке разного рода гипотез и постоянным поискам средств проверки правильности очередных шагов решения задачи,

— охватывают математическую обработку результатов конкретного действия, также рационализацию экспериментов, представление данных, кодирование и декодирование содержащейся в них информации, обоснование математическими средствами эмпирических фактов,

— знакомят с методологией математики и особым характером стохастических умозаключений, сталкивая ученика с проблемой погружения внематематических ситуаций в мир математической абстракции, с проверкой соответствия математической модели данной ситуации,

— помогают понять разницу между реальным миром и его объектами, с одной стороны (в этом мире ставились вопросы в задаче), и миром математики — с другой (на язык которого данный вопрос был переведен),

— охватывают различные способы аргументации и организации математических рассуждений различными средствами,

— учитывают проблематику поисков пробелов и ошибок в рассуждениях,

— развивают стохастическую интуицию, показывают, как часто наши оценки, касающиеся вероятности, формулируемые без надлежащих размышлений, ошибочны и какие неправильные выводы делаются в дальнейшем на основании этих оценок,

— дают возможность усилить межпредметные связи с помощью применения стохастических методов в различных областях знаний и практики.

Фрагмент таблицы случайных чисел

Литература

1. Barth F., Haller R. Stochastik.—München: Ehrenwirth Verlag, 1983.

2. Enge1 A. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band 1. — Stuttgart: Ernst Klett Verlag, 1980.

3. Гарднер М. Путешествие во времени. — М.: Мир, 1990.

4. Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. — М.: Просвещение, 1975.

5. Plocki A. Propedeutyka rachunku prawdopodobienstwa i statystyki matematycznej dla nauczycieli. — Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1992.

6. Freudenthal H. Mathematics as an Educational Task. — Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1973.

Содержание

От автора ....................... 3

1. Случайное испытание как объект окружающего нас мира .... 5

2. Вероятностная модель случайного испытания как средство рационализации участия в игре.................. 21

3. Стохастическое дерево. Как легко построить вероятностную модель многоэтапного случайного испытания и как решение одной задачи может стать решением других задач............. 38

4. Стохастическая имитация и таблицы случайных чисел. Как из трех или четырех шаров «построить» игральный кубик ........ 46

5. Событие и его вероятность. Кому, в каких обстоятельствах и почему они нужны 59

6. Число карт, попавших на свое место, число писем, направленных по правильному адресу, выигрыш в игре как случайные величины 83

7. Как в некоторых ситуациях вероятность оценивает риск .... 95

8. Является ли привилегией право первого хода в данной ситуации? Вероятность как средство решения этого вопроса........ 109

9. Сколько шаров в урне, рыб в озере и дефектных изделий в партии товара? Статистические идеи отыскания оценки ........ 120

10. Есть ли основание подозревать кого-нибудь в доносе? Является ли данный факт результатом таланта, знаний или случая? О проверке некоторых гипотез статистическими методами .......... 124

11. Справедлив ли данный случайный выбор или нет? ...... 131

12. Как некоторые ассоциации, аналогии и симметрии позволяют облегчать решение стохастических задач ............ 138

13. Математическое ожидание случайной величины как средство решения вопроса о справедливости случайной игры .......... 148

14. Метод Монте Карло .................. 157

15. Стохастические неожиданности. Умеешь ли ты удивляться? . . . 165

Указания для учителя ................. 176

Таблица случайных чисел ................ 190

Литература ..................... —

На первом форзаце:

Играющие в три кости. Рисунок из Carmina Burana. Государственная библиотека Баварии (XIII в.)

Играющие в карты. Гравюра. Франция (XV в.) Играющие в три кости. Гравюра. Франция (XVII в.)

На втором форзаце: Играющие в кости. Гравюра. Франция (XVII в.)

Композиция на тему «Игра в азарт» (худ. Ежи Скаржински, Польша)

Учебное издание

Плоцки Адам

ВЕРОЯТНОСТЬ В ЗАДАЧАХ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Туркестанская

Младшие редакторы Л. И. Заседателева, Н. Е. Терехина Художники М. М. Суворов, М. С. Серебряков, В. В. Костин

Художественный редактор Е. Р. Дашук

Технические редакторы Е. Н. Зелянина, Н. Т. Рудникова

Корректор Г. М. Махова

ИБ № 16000

Сдано в набор 19.12.95. Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции OK 005-93-953000. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.91. Подписано к печати 15.08.96. Формат 60Х901/16. Бумага офсетная № 1. Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,0 + 0,31 форзац. Усл. кр.-отт. 49,06. Уч.-изд. л. 11,2 + 0,45 форзац. Тираж 20 000 экз. Заказ № 1399.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

Издательство “Просвещение”

предлагает учебно-методическую и научно-познавательную литературу

Мы работаем на основе прямых договоров

Приглашаем к сотрудничеству республиканские, краевые и областные органы образования, книготоргующие организации и оптовых покупателей на взаимовыгодных условиях

мы предлагаем

книги со складов издательства,

контейнерную отгрузку во все регионы России и стран СНГ, розничным покупателям — книги из нашего книжного киоска, “Книгу — почтой”.

По всем вопросам обращайтесь по адресу: 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41

Телефоны: отдел реализации 289 44 44

289 60 26 отдел рекламы 289 52 84 книжный киоск 289 13 36 факс 200 42 66

“Книга-почтой”: 117571, Москва, пр.Вернадского, 88 АО “Учебная литература”. Телефон: 437 46 97

Книги “Просвещения” всегда нужны, интересны, познавательны, доступны.