МГЗПИ

В. А. ПЕТРОВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАДАЧАХ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

В. А. Петров

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАДАЧАХ

Учебное пособие для студентов заочных отделений физико-математических факультетов пединститутов

Рекомендовано Главным управлением высших и средних педагогических учебных заведений Министерства народного образования РСФСР

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1990

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор Н. М. Матвеев; кандидат физико-математических наук, доцент А. С. Симонов; кандидат физико-математических наук, доцент Т. Н. Конюшихина

Редактор МГЗПИ В. А. Козлова

Петров В. А.

Математический анализ в производственных задачах: Учеб. пособие для студентов заоч. отд-ний физ.-мат. фак. пединститутов / Моск. гос. заоч. пед. ин-т.— М.: Просвещение, 1990.— 64 с: ил.

В пособии рассматриваются задачи из реальной практики, при решении которых применяется аппарат математического анализа.

© Московский государственный заочный педагогический институт (МГЗПИ), 1990

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основные направления реформы школы требуют теснее увязывать программы педагогических вузов с требованиями жизни, предусмотреть изучение студентами основ современного производства. В связи с этим необходимо расширить анализ современного производственного процесса при изучении всех предметов в педвузах.

В настоящем пособии приводятся задачи из реальной практики, при решении которых применяется аппарат математического анализа. Эти задачи можно использовать в качестве иллюстрации на лекциях, как задания для практических занятий, как материалы для курсовых работ и других форм учебно-исследовательской деятельности студентов.

Все задачи составлены автором на основе специальной технической литературы. Вероятно, у читателя возникнет необходимость более обстоятельно ознакомиться с производственной ситуацией, о которой говорится в той или иной задаче. Это можно сделать с помощью литературы, список которой приведен в конце пособия. Ссылки на литературу указываются в квадратных скобках.

Мы не приводим задач на применение теории дифференциальных уравнений, поскольку такие задачи хорошо представлены в существующей литературе [28, 39].

Условия ряда задач с математической точки зрения содержат некоторую неопределенность, что типично для практики. Достаточно четкая математизация производственной ситуации завершается лишь в процессе решения. Поэтому мы даем краткие решения почти ко всем задачам. Для сокращения времени при вычислениях рекомендуется использовать калькуляторы.

В пособии отражен опыт работы автора в Смоленском педагогическом институте.

§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1.1. На какой максимальной скорости (в км/ч) может убирать урожай комбайн «Нива» при урожайности х центнеров зерна с 1 га (отношение массы зерна к массе соломы 1:1,5), если ширина захвата жатки 4,1 м, а пропускная способность молотилки 5 кг растительной массы в секунду [16]?

Решение. Пусть комбайн работает со скоростью у (в км/ч). Тогда за 1 ч скашивается прямоугольный участок площадью 0,41 у га, с которого в молотилку поступает 2,5-0,41 -ху центнеров растительной массы. При максимальной скорости это должно равняться пропускной способности молотилки 180 ц/ч.

Ответ:

1.2. В производственной практике часто используется понятие влажности (сена, зерна и т. д.). Точное определение влажности материала производят в лаборатории, высушивая материал в специальных шкафах при определенных условиях до так называемого абсолютного сухого состояния. При этом под влажностью иногда понимают относительную влажность, а иногда абсолютную [7].

Пусть M — масса некоторого материала до сушки, а m — масса того же материала после сушки до абсолютного сухого состояния (в таком случае М — т — масса влаги). Относительную влажность материала (в процентах) находят по формуле

а абсолютную влажность — по формуле

Выразите: а) относительную влажность материала как функцию его абсолютной влажности; б) абсолютную влажность материала как функцию его относительной влажности. Найдите области определения и множества значений полученных функций.

Ответ:

1.3. Оптимальную скорость (в м/с) вращения молотильного барабана кукурузомолотилки определяют по формуле

Рис. 1

где X — влажность зерна в процентах [10]. Найдите у (20) и у (24). Какова область определения функции? Является ли эта функция линейной на всей области определения; на какой-нибудь ее части? Постройте график функции. Как изменяется скорость барабана с увеличением влажности зерна?

1.4. Зона защиты одиночного стержневого грозоотвода представляет собой [21] объединение двух конусов. На рисунке 1 изображено сечение зоны защиты плоскостью, проходящей через грозоотвод OA. Чтобы узнать, весь ли защищаемый объект попадает в зону защиты грозоотвода, необходимо знать радиус у зоны защиты на высоте ху т. е. радиус круга, представляющего собой горизонтальное сечение зоны защиты на высоте х. Выразите величину у как функцию высоты х. Высота одиночного грозоотвода Я.

Решение. Обозначим через Л высоту линии пересечения конусов, образующих зону защиты. Пусть 00' = х^А. Тогда из подобия треугольников BOD и BO'D' вытекает, что

Пусть 00'=x^h. В этом случае из подобия ДЛОС и дЛО"С

y = f (Н-х).

Радиус защиты у (Л) может быть найден по любой из полученных формул. Это обстоятельство позволяет найти А из соответствующего уравнения. Окончательно имеем:

1.5. Существует много различных эмпирических формул, выражающих высоту дерева через его возраст. Одна из них имеет следующий вид:

где Л — высота дерева (в м) в возрасте х лет, п — число лет начального периода жизни (в течение которого древесный ствол еще не сформировался), а (0<а< 1) — постоянный коэффициент (зависящий от породы дерева), H — наибольшая возможная высота для данной породы в определенных условиях [3]. Исследуйте данную функцию и постройте схематический график. Найдите по данной формуле высоту сосны (произрастающей в хороших условиях) в возрасте 100 лет, приняв к сведению, что в этом случае Я = 38,5 м, л = 5 лет, а = 0,985.

1.6. Установлено [3], что средний рост сосняков Московской области изменяется по формуле

где Л — высота (в м), / — возраст (в десятках лет). Исследуйте данную функцию и постройте ее график.

1.7. При строительстве прудов необходимо учитывать количество воды, которое будет поступать в пруд во время весеннего паводка. Оно прямо пропорционально величине /(*)= 1 —0,6 lg (1

где x = a + 0,2ß, а и ß — соответственно процент озерности и заболоченности местности. Значения величины f (х) обычно находят по имеющемуся в справочниках графику функции [25]. Решите неравенство 0^^(х)<1, постройте соответствующую часть графика функции f, выбрав по оси абсцисс масштаб 1:10, а по оси ординат 1:0,1.

1.8. Вертикальный износ железнодорожных стрелок А (в мм) в зависимости от прошедшего по ним тоннажа х (в млн. т) характеризуется функцией у = ахт [37]. Найдите параметры а и m для стрелки определенного типа, если экспериментально установлено, что у(80) = 6, £/ (130) = 8.

Ответ: у = 0,45х059.

1.9. Изучая спринтерский бег, биомеханики [12] пришли к выводу, что скорость спортсмена при таком беге изменяется по закону

где a, k — положительные константы. Изобразите схематический график этой функции и опишите ее основные свойства.

1.10. На топографических картах изображают не только плановое положение объектов местности, но и рельеф [14]. Рельеф изображается горизонталями — замкнутыми кривыми линиями, проходящими через точки земной поверхности с одинаковой высотой (рис. 2, а). Разность высот двух соседних горизонталей А постоянна для данной карты, она называется высотой сечения рельефа. Горизонталями изображаются только плавные по форме склоны, более крутые участки изображаются специальными знаками.

Для определения крутизны линий (например, участка дороги

Рис. 2

ab) на картах за рамкой печатается специальный график (рис. 2, б). Отложив на оси абсцисс длину х отрезка ab (измеренную в мм по карте), на оси ординат прочитаем его крутизну. Укажите функцию, график которой изображен на рисунке 2, б, если известно, что он скопирован с карты масштабом 1:50 000 при высоте сечения рельефа А= 10 м.

Решение. Отрезок ab — горизонтальная проекция участка дороги AB. Проведем через AB вертикальную плоскость, а в этой плоскости — горизонтальную прямую АС и вертикальную прямую ВС. Получим треугольник ABC (рис. 2, в), в котором ВАС — искомый угол у. АС = аЬ = 50 000 jc, ßC = A = 10 000 мм. Отсюда находим, что

На рисунке изображен график этой функции (со своеобразным масштабом на оси ординат). Для отрезка ab (х = 6 мм) по графику находим крутизну в 2°. То же значение получаем (с помощью калькулятора) и по формуле # = arcctg 5*6.

1.11. Измерение твердости металлов (по Виккерсу) осуществляется в ремонтных мастерских с помощью специального приспособления — твердомера [8] вдавливанием правильной четырехугольной алмазной пирамиды с углом между противоположными гранями при вершине <х=136° в испытуемый образец под действием нагрузки Р в течение определенного времени. Число твердости H у определяется как отношение нагрузки Р к площади S боковой поверхности полученного пирамидального отпечатка. Выразите Hv через величины Р и d, где d — диагональ основания отпечатка.

Решение. Площадь основания пирамиды равна —. Оно является вертикальной проекцией боковых граней пирамиды. Так как угол наклона граней к основанию (угол ОАЕ на рис. 3) равен

22°, то по известной зависимости между площадями многоугольника и его проекции получаем:

1.12. При определении твердости металлов (по Бринеллю) в испытуемый образец под нагрузкой Р в течение определенного времени вдавливают стальной шарик диаметра D и измеряют диаметр d основания полученного отпечатка. Вывести формулу для определения числа твердости Я, если за него принимают отношение нагрузки Р к площади поверхности полученного отпечатка [8].

Решение. Отпечаток представляет собой шаровой сегмент. Его площадь S = nDh, где А — высота сегмента, которую легко найти с помощью теоремы Пифагора.

Ответ:

1. 13. Водопойные желоба для овец сбивают из двух одинаковых досок. Под каким углом следует сбивать доски, чтобы получить желоб наибольшего объема?

Решение. Пусть доски имеют ширину а и сбиты под углом а (0°<а< 180°). Объем желоба пропорционален площади треугольника

Поскольку sin 1 при любом а, то объем поилки будет наибольшим при а = 90°.

1.14. Один из основных видов вспашки — так называемый взмет пласта — заключается в том, что вырезанный пласт оборачивается и приваливается к откосу предыдущего. При этом оборот пласта корпусом плуга (без предплужника) при вспашке можно условно представить как последовательное перемещение прямоугольника ;4iß|CiDi (рис. 4), предполагая при этом, что пласт не деформируется и его основные размеры В\С\=а (глубина вспашки) и А\В\=Ь (ширина захвата плуга) не изменяются. Отрезанный пласт ;4ißiCiDi под действием плуга сначала поворачивает-

Рис. 3 Рис. 4

ся вокруг вершины А\ до вертикального положения Л^гСгО, а затем вокруг вершины D до соприкосновения с ранее отваленным пластом. При этом площадь пашни считается пропорциональной длине / ломаной BCF.

При каком отношении k глубины вспашки к ширине захвата плуга площадь поверхности пашни будет наибольшей?

Решение. Легко заметить, что ВС = ЕН, CF = DE, DH = = A\B\ = b. Обозначим через х величину угла EDH. Получим:

Замечаем, что / принимает наибольшее значение при *=-j- • В таком случае из треугольника DEH находим, что

Этот наиболее неблагоприятный случай — выветривание пашни максимально — требует принятия специальных мер [17].

§ 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ

2.1. Для наиболее рационального использования леса необходимо знать закономерности увеличения древесной массы в дереве с течением времени. В лесоведении различают два вида прироста: средний и текущий. Текущим приростом в возрасте п лет называют величину

где Vn, Vn_x — объем дерева соответственно в возрасте п и п—1 лет. Средним приростом в возрасте п лет называют величину

При нормальных условиях средний прирост в первый период жизни возрастает (у хвойных до 50—60 лет), а затем убывает. Докажите, что в период возрастания среднего прироста его величина меньше величины текущего прироста, а затем больше [3].

Доказательство. Справедливость утверждения вытекает из следующего соотношения:

zn-tn=Vn-Vn_x-tn=ntn-{n-

2.2. Бревна и дрова на складах лесоматериалов укладывают в штабеля (штабель с дровами обычно называют поленницей) различной формы. Учет уложенных в штабеля лесоматериалов ведется [27] с помощью коэффициента полнодревесности штабеля, под которым понимается отношение объема древесины в штабеле к геометрическому объему штабеля (первый меньше из-за имеющихся пустот).

Докажите, что значения коэффициента полнодревесности поленницы треугольного профиля, составленной из одинаковых цилиндрических чурок, не выходят из интервала ]0,60; 0,91[.

Доказательство. Рассматриваемая поленница (рис. 5) представляет собой «лежащую на боку» правильную треугольную призму. Если в первом ряду поленницы уложено п чурок, то во втором ряду их п — 1, в третьем л —2, в последнем 1. Общее количество чурок в поленнице

Коэффициент полнодревесности поленницы

где / — длина, г — радиус чурки, S — площадь поперечного сечения поленницы, т. е. площадь треугольника ABC. Так как АВ = =AD + DE + BE, то АВ = 2г (п— 1 + У3). Следовательно,

Таким образом, коэффициент полнодревесности поленницы не зависит от радиуса укладываемых чурок, но зависит от их количества, определяемого числом п чурок в первом ряду. Обозначим коэффициент полнодревесности, соответствующий данному я, через Дп и покажем, что последовательность (Дп) возрастающая. В самом деле,

откуда и вытекает, что An+i;>An.

Для возрастающей последовательности верно соотношение A„>Ai. У нас Ai = ^5>0,60. Итак, мы получили для коэффициента полнодревесности оценку снизу: А > 0,60.

Для получения оценки сверху заметим, что предел а воз-

Рис. 5

растающей последовательности больше любого члена последовательности: Д,,<а. В нашем случае

§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

3.1. Формулу А/ (jto)«f (хо)- Ах принято использовать в приближенных вычислениях при оценке погрешностей, в частности при определении твердости металлов [8]. При определении твердости по Виккерсу (задача 1.11) измерения показали, что диагональ отпечатка равна 3,76 мм, причем максимально возможная при этом погрешность измерения находится в пределах ±0,01 мм. Оцените относительную погрешность, допускаемую при вычислении числа твердости.

Решение. Имеем функцию #=-у-, где k — величина, не зависящая от х\ jc0 = 3,76, Ах =±0,01. Поэтому

или применительно к конкретным данным

т. е. относительная погрешность будет около 0,53%.

3.2. Оцените относительную погрешность Щ, возможную при определении числа твердости H по Бринеллю (задача 1.12), по известной относительной погрешности —, возможной при измерении диаметра отпечатка х [8].

Решение. Имеем функцию

Так как

то

Рис. 6 Рис. 7

3.3. Автомобиль, проходящий поворот, занимает на проезжей части большую ширину, чем на прямолинейном участке дороги. Найдите необходимое уширение однополосной дороги на повороте радиуса г (г — радиус внешнего края дороги) для автомобиля, продольная база (расстояние между осями) которого равна /.

Решение. На повороте все четыре колеса автомобиля катятся по дугам концентрических окружностей (рис. 6), причем заднее внутреннее колесо D описывает окружность наименьшего, а переднее наружное В — наибольшего радиуса. Поэтому ширина дорожной полосы на повороте h = OB — OD, а искомое уширение

Величина —довольно мала при больших г. Поэтому для вычисления значения

можно воспользоваться формулой

Получим формулу

которая используется на практике [33].

3.4. В машинах и установках широко применяются ременные передачи. Поэтому представляют интерес формулы [29], позволяющие правильно подобрать ремни или определить расстояние между шкивами по известной длине стандартных ремней. Найдите длину / ремня, туго натянутого на два шкива с радиусами г и /?, если расстояние между шкивами равно с (рис. 7).

Решение. Ремень сбегает с большего шкива и набегает на меньший шкив по касательным к окружностям шкивов. Пусть а — радианная мера равных углов СОВ и LDO. Тогда

Так как на практике величина /? — г очень мала по сравнению с с, то можно воспользоваться приближенными формулами

Окончательно получаем:

§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

4.1. У деревьев, выросших в густом лесу, стволы похожи на тела вращения. Для разработки схем рационального раскроя древесины необходимо знать уравнение образующей ствола. Лесоводами было обнаружено, что на разных участках ствола образующая достаточно хорошо аппроксимируется уравнением у = ахт (у — радиус поперечного сечения, х — расстояние от этого сечения до вершины дерева, а — положительная константа) при различных m^m=l, ~y или -|-^ [3]. При каком m заданное уравнение характеризует комлевую и при каком среднюю часть дерева, если принято считать, что средняя часть ствола выпукла вверх, а комлевая — выпукла вниз?

4.2. Лесоводы обнаружили [36], что образующая ствола европейской сосны достаточно хорошо аппроксимируется уравнением

где (х< 1), у — радиус поперечного сечения ствола, / — расстояние от этого сечения до комля, H — высота ствола, а — радиус ствола в его середине. Исследуйте функцию у (х) и убедитесь, что ее свойства соответствуют нашим наглядным представлениям о древесном стволе (функция убывает, вначале выпукла вниз, затем вверх). Постройте схематический график функции.

4.3. Во многих случаях скорость v ферментативной реакции выражается через концентрацию субстрата х с помощью функций

где a, ft, с — положительные константы [19]. При этом биохимики существенно используют свойства этих функций (наличие экстремумов, перегибов, асимптот) и их графики (график второй функции они называют колоколообразной кривой). Исследуйте эти функции и изобразите схематически их графики.

4.4. Объем бревна. Круглым деловым лесом называют бревна правильной формы без дефектов древесины с относительно небольшой разницей ^~<2^ диаметров толстого (D) и тонкого (d) концов. При определении объемов круглого делового леса обычно применяют упрощенную формулу V = IS, где / — длина бревна, S — площадь его среднего сечения [3]. Выясните, завышается или занижается при этом реальный объем; оцените относительную погрешность.

Решение. Форма круглого делового леса близка к усеченному конусу. Пусть R — радиус большего, г — меньшего конца бревна. Тогда его почти точный объем (объем усеченного конуса) можно, как известно, найти по формуле V=-j-nl{r2 + R2 + rR).

Пусть V\ — значение объема, вычисленное по упрощенной формуле. Тогда

т. е. V>V\. Значит, упрощенная формула дает занижение величины объема. Положим теперь

Отсюда видно, что относительная погрешность не зависит от длины бревна, а определяется отношением -у. Поскольку /' (х)>0 при х> 1, то функция / возрастает на промежутке ] 1; 2]. Поэтотому

а значит, относительная погрешность не превосходит 3,7%.

В практике лесоведения такая погрешность считается вполне допустимой. С большей точностью практически невозможно измерить ни диаметры торцов (ведь они несколько отличаются от кругов), ни длину бревна, поскольку измеряют не высоту, а образующую конуса (длина бревна в десятки раз больше диаметра, и это не приводит к большим погрешностям). Таким образом, на первый взгляд неправильная, но более простая формула для объема усеченного конуса в реальной ситуации оказывается вполне правомерной. Многократно проводившиеся с помощью специальных методов проверки показали, что при массовом учете делового

леса относительная погрешность при использовании рассматриваемой формулы не превосходит 4%.

4.5. При определении объемов ям, траншей, ведер и других емкостей, имеющих форму усеченного конуса, в сельскохозяйственной практике иногда пользуются [6] упрощенной формулой

где h — высота, s и S — площади оснований конуса. Выясните, завышается или занижается при этом реальный объем, оцените относительную погрешность при естественном для практики условии: —<2(/? и г — радиусы оснований, R>r).

Решение. Обозначив через V истинное значение объема усеченного конуса, а через V\ значение, вычисленное по упрощенной формуле, получим:

т. е. Vi > V. Значит, упрощенная формула дает завышение величины объема.

Повторив далее решение задачи 4.4, найдем, что относительная погрешность будет не больше 6,7%. Вероятно, такая точность допустима при нормировании землеройных работ — ведь ямы не будут идеальными конусами, да и соответствующие параметры в реальных условиях замеряют весьма грубо.

4.6. В специальной литературе [4] для определения угла ß поворота шпинделя фрезерного станка при фрезеровании муфт с х зубьями выводится формула

где а=-^-. Так как эта формула сложна, то рекомендуется отбросить ее знаменатель и пользоваться упрощенной формулой

При каких X (х — целое число, 8^x^50) можно пользоваться этой формулой, если при определении угла ß допускается погрешность в 309

Решение. Точную формулу после несложных тождественных преобразований можно привести к виду

Поэтому при использовании приближенной формулы допускается абсолютная погрешность Ô {х)= \у (х)|, где

Исследуем функцию у (х) на отрезке [8; 50]. При этом 0,06< <-^-<0,40, т. е. угол -2- принадлежит первой четверти. Имеем:

Заметим, что */'(*) <0 на рассматриваемом промежутке, а значит, функция у(х) на этом промежутке убывает. Поскольку далее у (50)> 1,5080— 1,5078>0, то у (х)>0 при всех рассматриваемых X. Значит, 6(х) = у(х).

Так как 30'«0,0087 радиан, то достаточно решить неравенство у (х)<0,009. Решая это неравенство подбором, находим, что у (12) ж 0,0095, у( 13) ж 0,0073. В силу того что функция у (х) убывает, следует, ^то х^13.

4.7. Пусть некоторый прибор измеряет величину входного сигнала X через величину выходного сигнала у, связанного с х зависимостью у = \ (х). Чувствительностью такого прибора (при выбранном значении х) называется предел отношения приращения Ду, соответствующего приращению Дх, к Дх при Ах 0, т. е. производная функции / (х). Рассмотрим примеры на определение чувствительности некоторых приборов [38].

а) Жидкостный термометр измеряет температуру х с помощью длины у столба жидкости, поднявшейся из шарика по узкой трубке за счет объемного расширения. Определите чувствительность термометра.

Решение. Пусть объем шарика с жидкостью К, радиус трубки г, коэффициент объемного температурного расширения жидкости ß. Тогда, как известно из школьного курса физики, выполняется соотношение

V+nr2y=V(l+V).

Отсюда находим зависимость между выходными и входными сигналами:

а значит, чувствительность прибора y' = ^L2, т. е. чувствительность тем больше, чем больше объем шарика, коэффициент ß и чем тоньше трубка.

б) Ареометр (закрытая стеклянная трубка с делениями и грузом внизу, рис. 8) измеряет плотность жидкости х с помощью длины у непотопленной части трубки. Определите чувствительность ареометра.

Решение. Пусть V — объем груза ареометра (он всегда затоплен), А — длина, г — радиус трубки, Р— вес ареометра в воздухе. Согласно известному из школьного курса физики закону плавания имеем P = gx(V + nr2 (А — у)). Отсюда выражаем у и находим чувствительность прибора

Рис. 8

§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЗАДАЧАХ НА ОПТИМИЗАЦИЮ

СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО

5.1. Полевые дороги. Поля севооборота обычно проектируют в форме прямоугольников, что обеспечивает наиболее производительное и правильное выполнение механизированных работ. В соответствии с этим полевые дороги также целесообразно проектировать в виде сетки прямоугольников, совмещая их стороны со сторонами полей севооборота [33]. Рассмотрим одну из задач, возникающих при определении рационального соотношения сторон прямоугольников, являющихся основой сети полевых дорог.

Если прямоугольное поле окаймлено полевой дорогой, то урожай с любой точки поля транспортируется сначала по кратчайшему пути к дороге, а затем по дороге к фиксированной вершине прямоугольника. Известно (задача 13. 2), что грузовая работа по вывозке урожая с поля в таком случае вычисляется по формуле A = k (9a2b + 6ab2 — а3), где а — ширина, Ь — длина поля, k — некоторый коэффициент, зависящий от урожайности. Из всех прямоугольников данной площади S требуется выбрать такой, для которого грузовая работа А будет наименьшей.

Решение. Пусть х — ширина поля (можно считать, что 0<x^yS). Тогда его длина —, а грузовая работа

Требуется найти наименьшее значение функции А (х) на промежутке / = ]0; V^]. Найдем производную

Рис. 9 Рис. 10

Так как Л' (х)<0 на интервале ]0; /$[. то функция А на промежутке / убывает. Поэтому она достигает наименьшего значения при jt = yS, т. е тогда, когда прямоугольник является квадратом.

5.2. Сила тяги плуга. Снижения затрат энергии на пахоту прицепным плугом можно в определенной степени достичь правильным выбором направления силы тяги плуга в продольно-вертикальной плоскости. Такое снижение будет наибольшим [31] в том случае, когда направление силы тяги совпадает с направлением (будем называть его оптимальным) наименьшей по модулю силы (приложенной к плугу), достаточной для того, чтобы сдвинуть стоящий на земле плуг, преодолевая силу трения. Найдите оптимальное направление силы тяги прицепного плуга, считая, что коэффициент трения стали о почву р,=0,5.

Решение. Пусть к плугу (рис. 9) приложена сила тяги F, образующая с горизонтальной плоскостью угол х. Из курса физики известно, что

IF^ |=р,|#|,

где Ft —сила трения, a N — сила давления плуга на почву, причем

Сила F сдвинет плуг, если модуль ее горизонтальной составляющей будет больше \F I, т. е. если будет выполняться соотношение

где ô>0. Отсюда находим, что

Модуль силы F будет наименьшим при таком х из промежутка J 0; -у J , при котором знаменатель / (jc) = cos x + \i sin х примет наибольшее значение. Найдем производную функции

Замечаем, что производная обращается в нуль только в одной точке JCo = arctgp, из рассматриваемого промежутка, причем производная слева от точки х0 положительна, а справа отрицательна.

Значит, функция / достигает наибольшего, a |F| наименьшего значения при jc0 = arctg ц = arctg -^г- « »26°30'.

Заметим, что конструкция прицепа тракторного плуга не позволяет обеспечить оптимальное направление силы тяги (под углом 26°30'), но все же на практике рекомендуется по возможности приближаться к этому направлению.

5.3. Поилка для коров. Под каким углом а (рис. 10) следует сбить три одинаковые доски, чтобы получить водопойный желоб наибольшей вместимости?

Решение. Наибольшую вместимость будет иметь желоб с наибольшим поперечным сечением. Поперечное сечение желоба— равнобочная трапеция. Если ширина досок а (АВ = ВС = = CD = a), а /-BAD = xy то площадь трапеции

Рис. 11

Найдем производную функции S:

Так как производная на интервале lu; -£-Г обращается в нуль лишь при

то

наибольшее значение S принимает при *=-j- или а=120°.

5.4. Пчелиный сот (его пчелы строят из воска) состоит из двух рядов ячеек с общей перегородкой, образуемой их донышками. Каждая ячейка представляет собой открытую сверху шестиугольную призму с хитроумно устроенным дном. Такую конструкцию можно получить с помощью следующего геометрического построения.

Рассмотрим (рис. 11) правильную шестиугольную призму. Выберем на ее оси симметрии точку H и проведем плоскость через точки Л, H и В. Отбросим от призмы отсекаемую этой плоскостью пирамиду FABD и добавим к призме пирамиду НАВО. Так как в правильном шестиугольнике OD-LAB и DC = CO, то рассматриваемые пирамиды симметричны относительно прямой АВУ и значит, они равны.

Если через точку H провести еще плоскости НВЕ и ПАЕ и выполнить операции, аналогичные описанным выше, то получится многогранник, весьма похожий на пчелиную ячейку, поставленную дном вверх. Объем, полученного многогранника такой же (в силу равенства пристраиваемых и отбрасываемых пирамид), как

и у исходной призмы. Но площадь поверхности у него другая. При каком значении ОН площадь построенного многогранника будет наименьшей?

Решение. Пусть KL = ay AK = b (а<6), ОН = х. Площадь трапеции AFKL равна -^-а(2Ь — х)у а потому площадь всей боковой поверхности ячейки равна За (26— х).

Фигура ABFH — ромб (докажите это!). Так как CF = ^\Jx2 + то площадь дна ячейки (площадь трех ромбов) равна 3ût^3x2+^-. Площадь поверхности всей ячейки S =

Найдем теперь, при каком значении х функция S принимает наименьшее значение. Найдем производную:

Замечаем, что на отрезке [0; Ь] имеется единственная критическая точка х0=^, причем S' (*)<0 при 0<х<х0 и S' (х)>0 при х>х0. Значит, функция S достигает в точке х0 наименьшего значения.

Найдем, чему равен при х = х0 тупой угол a ромба AFBH. Имеем ЛВ = ал/3, СЯ=!^| Поэтому tg -у = л/2, а» 110°. Это значение несущественно отличается от данных, полученных при измерении реальных пчелиных сот (чаще всего а=107°, а = 3,5 мм, Ь=12 мм [34]). Пчелы—удивительно грамотные архитекторы!

ДЕРЕВООБРАБОТКА

Очищенный от сучьев ствол спиленного дерева (хлыст) лесозаготовители делят по длине на части (кряжи или бревна). Эта операция называется раскряжевкой хлыстов. В дальнейшем из качественных бревен на лесопильных рамах с помощью продольного пиления (распиловки) получают брусы и доски. От того, насколько рационально проводится раскрой (раскряжевка и распиловка), зависит экономичность использования древесины. Оптимальный раскрой древесины — довольно сложная задача, зависящая не только от качества сырья, но также и от требований заказчиков пиломатериалов и установленных стандартов [24].

5.5. При определении длины бревен, на которые следует распилить хлыст, существенную роль играет величина так называемого сбега (утоньшения от комля к вершине), определяемая от-

ношением вершинного диаметра бревна к комлевому. При этом исходят из положения о том, что бревна должны иметь наибольший «цилиндрический объем», т. е. объем цилиндра, вписанного в бревно (основанием цилиндра служит вершинный торец бревна), должен быть как можно большим. Естественность этого требования понятна — ведь выпиливаемые из бревна доски должны иметь прямоугольную форму. Докажите, что из всех бревен, которые можно отпилить от хлыста, наибольший «цилиндрический объем» будет иметь бревно с величиной сбега ^.

Решение. Рассмотрим рисунок 12, на котором изображено осевое сечение хлыста и система координат. В различных расчетах полагают, что продольное сечение хлыста ограничено параболой. Значит, линия АО — часть параболы х = ру2, где р — некоторый коэффициент.

Отпилим от хлыста бревно распилом по прямой MN. Обозначив величину сбега отпиленного бревна через /, а комлевой радиус бревна через /?, получим:

MN = tRy OB = pR\ ON = pt2R2,

а значит, «цилиндрический объем» отпиленного бревна

V = ii-MN2.NB = npR\t2-14).

С помощью производной легко находим, что функция V на промежутке ]0; 1[ достигает наибольшего значения при f=-y.

5.6. Край боковой доски, полученной в результате распиловки бревна по линиям AB и CD (рис. 13, где штриховой линией изображен верхний торец бревна), по своей форме близок к параболе. На сколько следует укорачивать такую доску, чтобы выпиливаемая из оставшейся части прямоугольная доска (см. рис. 12) имела наибольшую площадь?

Решение. Уравнение линии OA : y = p^Jx. Пусть длина доски /. Отпилим от доски часть длиной ON = x. Тогда из оставшейся части выпиливается прямоугольная доска длиной / — х и шириной 2MN = 2p^jx . Ее площадь S (х) = 2р (/ — jc) V* (0

Дальнейшее решение ясно.

Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14

Ответ: доску следует укорачивать на — своей длины.

5.7. Чтобы выпилить из цилиндрического бревна наименее прогибающуюся прямоугольную балку, на торце бревна проводят диаметр AB (рис. 14), делят его на три равные части и из точек деления С и D проводят перпендикуляры к диаметру. Прямоугольник AEBF (почему это прямоугольник?) принимают за основание искомой балки. Докажите правомерность такого способа, приняв к сведению, что сопротивление изгибу прямо пропорционально произведению ширины на квадрат высоты сечения балки.

Решение. Пусть d — диаметр бревна, х — ширина, А — высота выпиленной из бревна прямоугольной балки. Так как при любых X и h

h2=d2-x\

то сопротивление данной балки изгибу равно: F (jc) = kx (d2-x2) (0<*<d). С помощью производной легко находим, что функция F наибольшее значение на [0; d] принимает при

Итак, наименее прогибающаяся балка должна иметь ширину х = -^р\\ высоту Л=-yjd'2 — x2 =^ф-, т. е. ее высота должна быть в -yß раз больше ширины. Но именно к такому отношению размеров и приводит описанный выше практический способ. Действительно, воспользовавшись тем, что катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, получим:

откуда следует, что

5.8. На лесопильных рамах (они предназначены для продольного пиления) бревна часто распиливают на квадратный брус и четыре доски (рис. 15) с максимально возможной площадью поперечного сечения. Какой толщины доски получатся при такой распиловке из бревна диаметром d?

Решение. Выберем систему координат так, как показано на рисунке. Пусть точка M определяет ребро доски. Если Z-MOL = <x, то у точки M такие координаты: Jt = rcosa, y = rsina,

где г = \- Ширина доски MN = 2y, ее толщина PN = x — OL = x—^, а значит, площадь поперечного сечения доски

Рис. 15

Найдем производную:

Производная обращается на 0; -j- в нуль только в такой точке а0, где cos а0 = 0,906, причем S(a0)>0,

Значит,

функция S достигает наибольшего значения в точке a0, а потому толщина досок при данном раскрое

Найденное соотношение важно для практики. Оно позволяет до распиловки определить, будут ли полученные доски отвечать установленным стандартам, т. е. приемлем ли для данного бревна такой раскрой. При положительном ответе на первый вопрос предварительное знание толщины досок еще необходимо и для подходящей установки пил.

СТРОИТЕЛЬСТВО

При монтаже зданий небольшой высоты широко используются автомобильные краны. Для правильного выбора крана необходимо знать многие исходные данные о сооружаемом объекте. В частности, габаритные данные объекта позволяют заранее определить требуемую длину стрелы крана. Рассмотрим эту задачу.

5.9. Выведите формулу для определения длины стрелы автомобильного крана, с помощью которого можно построить здание высотой H и шириной 21 с плоской крышей.

Решение. Так как автомобильный кран может перемещаться вокруг всего здания, то крюк крана достанет до любой точки здания, если достанет (рис. 16) до середины крыши (имеется в виду середина по ширине).

Рассмотрим кран, который, находясь в точке О, подает деталь на середину крыши. Пусть угол наклона стрелы при этом составляет х. Тогда

где h=AO — высота подвеса стрелы крана. В таком случае длина стрелы крана

Из последней формулы видно, что для совершения указанной работы кра-

Рис. 16

ном, установленным в другой точке (ближе к зданию или дальше от него), потребуется кран с другой длиной стрелы, поскольку при таком перемещении меняется угол х. Определим наивыгоднейшее место установки крана, т. е. такое место, с которого заданная работа может быть выполнена краном с наименьшей длиной стрелы. Для этого, очевидно, достаточно определить, при каком X из промежутка JO; -~|^ функция L принимает наименьшее значение. Найдем производную:

Теперь легко обнаружить, что функция L достигает наименьшего значения при

Найдя из этой формулы значение х и подставив его в формулу для L, мы и получим наименьшее возможное значение длины стрелы. Эти формулы и используются на практике [2].

МЕЛИОРАЦИЯ

Площадь F поперечного сечения канала (мы рассматриваем для простоты каналы, целиком заполненные водой) называют его живым сечением, а длину Р границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [20], что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.

В мелиоративной практике часто сооружаются каналы или лотки с поперечным сечением в форме прямоугольника, треугольника, трапеции и сегмента круга. Поэтому представляет интерес расчет гидравлически наивыгоднейшего профиля для каналов такой формы.

5.10. При каком отношении глубины к ширине канал прямоугольного сечения имеет гидравлически наивыгоднейший профиль? Решение. Пусть х — ширина канала, F — его живое сечение. Тогда глубина канала — , а его смоченный периметр

Требуется найти наименьшее значение функции Р на промежутке 10; +оо[. Найдем производную:

Рис. 17 Рис- 18

Так как

то функция Р в точке i/2F достигает наименьшего значения.

Итак, ширина канала в рассматриваемом случае должна быть -yJ2F, глубина -р=, а искомое отношение равно

5.11. Сечение канала — равнобедренная трапеция (рис. 17) с углом откоса а, таким, что ctg а = т. При каком отношении ширины дна к глубине канал имеет гидравлически наивыгоднейший профиль?

Решение. Пусть ширина дна канала Ьу его глубина Л, а живое сечение F. Тогда ВС = А ctg oc = mft, AC = h^J\ +m2. Значит, F = bh + mfi2 и

Из выражения для F получаем

а значит,

С помощью производной находим, что функция Р достигает наименьшего значения на промежутке ]0; + оо[ при

Искомое соотношение:

5.12. Сечение канала — сегмент круга (рис. 18). Каким должен быть центральный угол а (0<а^л), чтобы канал имел гидравлически наивыгоднейший профиль?

Решение. Пусть R — радиус круга. Живое сечение канала найдем как разность площадей сектора и треугольника:

Отсюда получаем, что

и, значит, смоченный периметр канала

Исследуем более простую функцию / (а) = ^in • При 0< <а<л имеем:

Так как sin а<а и -|- < tg -у- на рассматриваемом интервале, то производная на ]0; л[ определена и отрицательна. Поэтому функция а значит, и Р убывают на ]0; л[. В силу непрерывности функции Р на промежутке ]0; л] заключаем, что Р убывает и на таком промежутке. Следовательно, функция Р достигает наименьшего значения при а = л. В сечении канала должен быть полукруг.

5.13. Как известно из курса физики, механическая энергия единицы массы воды, протекающей в единицу времени через живое сечение потока, вычисляется по формуле

где g — ускорение свободного падения; А — глубина; v — скорость потока; Q — количество воды, протекающее через поперечное сечение потока в единицу времени (расход воды); F — живое сечение потока (Q = Fv).

Один и тот же расход Q в зависимости от условий движения (уклон, шероховатость) может протекать в данном поперечном сечении открытого русла с различной скоростью и, следовательно, с различной глубиной. Глубина потока А0, при которой его энергия Е (h) для заданного расхода Q достигает наименьшего значения, называется критической глубиной. Определение критической глубины необходимо для оценки состояния потока (при Л<Ао оно бурное, при h>h0 спокойное), а также для выполнения ряда гидравлических расчетов.

Найдем критические глубины потоков для некоторых встречающихся на практике каналов [1].

а) Найдите критическую глубину канала прямоугольного сечения шириной Ь с расходом воды Q.

Решение. Пусть глубина канала h. Тогда его живое сечение F = bh, а механическая энергия

Требуется узнать, при каком значении переменной h(h>0) функция Е (h) принимает наименьшее значение. Найдем производную:

Замечаем, что £'(А)=0 при А = А0 = у^> причем £'(А)<0 при А<Л0 и £'(А)>0 при h>h0. Значит, в точке А0 функция £ (А) достигает наименьшего значения.

Ответ:

б) Найдите критическую глубину канала с расходом воды Q, сечение которого — равнобедренный треугольник с коэффициентом заложения откосов m (m = ctg а, где а — угол при основании треугольника).

Ответ:

в) Найдите критическую глубину канала с расходом воды Q, сечение которого — парабола У = т^ (см. рис. 25).

Решение. Пусть глубина канала ОС = Л, ширина АВ = Ь. Тогда, как будет доказано в задаче 7.1, его живое сечение F=—bh. Выразим Ь через Л, воспользовавшись уравнением параболы и координатами точки tij . Получим:

Ответ:

ТРАНСПОРТ

Примыкание подъездных путей. При проектировании дорог сельскохозяйственного района часто возникает необходимость соединить подъездным путем тот или иной объект с автомагистралью. Различные экономические соображения в таких случаях обычно показывают, что подъездной путь должен пойти не перпендикулярно к магистрали, а под некоторым острым углом, называемым углом примыкания подъездного пути к магистрали [33].

5.14. Центральная усадьба совхоза С (рис. 19) расположена в 50 км от рай-

Рис. 19

центра Л и в 30 км от магистрали, проходящей через райцентр. Под каким углом к магистрали следует провести подъездной путь из С, чтобы стоимость перевозок груза из С в Л и из Л вС была наименьшей, если известно, что перевозка по магистрали будет обходиться совхозу в 2 раза дешевле, чем по подъездному пути?

Решение. Пусть DE = x. Тогда С£ = л/900+ х2, AE = AD — — x = 40 — x. Обозначив стоимость перевозки 1 т груза на 1 км по магистрали через р, найдем стоимость перевозки 1т груза от А до С (или в обратном направлении):

Требуется найти наименьшее значение функции Т на отрезке [0; 40]. Найдем производную:

Замечаем, что на рассматриваемом отрезке у функции Т одна критическая точка х0= lO^ß, причем Т (jc0)=(40+30 -yß) р, в то время как Т (0) = Т (40)= 100р. Значит, в точке х0 функция принимает наименьшее значение. Теперь легко найти угол примыкания:

5.15. Определите, каким должен быть угол примыкания х (см. рис. 19) подъездного пути СЕ к магистрали АВУ чтобы суммарный годовой пробег автомобилей из С в А и В был как можно меньше, если известно, что движение между С и А будет в 2 раза интенсивнее, чем между С и Ву а АВ= 100 км, АС = 50 км, CD = 30 км.

Решение. Пусть m — количество рейсов, которое планируется в среднем в течение года из С в В. Тогда суммарный годовой пробег автотранспорта из С в А и В можно подсчитать по формуле

S (x) = 2m (AE + EC) + m(EC + BE) = m (ЗЕС + АЕ + АВ).

Из этой формулы видно, что точку примыкания Е не имеет смысла выбирать правее D, так как в таком случае CE>CDy AE>AD и значение S будет больше, чем при E = D. Значит, х принадлежит отрезку /=[а; -у J , где а= Z.CAB.

Выразив из прямоугольного треугольника CDE длины сторон СЕ и DE через CD и ху получим:

Находим производную:

Так как производная существует в каждой точке,отрезка / и обращается на нем в нуль только при x0 = arccos -y-, то х0 — единственная критическая точка функции S, причем S' (х) при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс. Значит, при х = х0 функция S достигает наименьшего значения.

5.16. Найдите оптимальный угол примыкания для ситуации, описанной в предыдущей задаче, изменив расстояние между А и С с 50 на 31 км.

Решение. В данном случае S' (х) нигде на отрезке / =£а; -|-J не обращается в нуль. Действительно, поскольку косинус на отрезке / убывает, то при любом х из / и потому уравнение cos *=4~ на / решений не имеет. Одновременно мы показали, что S' (jc)> 0 на отрезке /, а потому S (х) на этом отрезке возрастает. Значит, функция S достигает наименьшего значения при х = а, и потому в рассматриваемом случае подъездной путь следует вести прямо к пункту А.

5.17. Определите, каким должен быть угол примыкания х подъездного пути из пункта С (см. рис. 19) к магистрали, чтобы суммарная стоимость перевозок из С в А и В (ив обратном направлении) была наименьшей, если известно, что годовой грузооборот между А и С составляет а, между В и С — Ь тонн (a>b), a стоимость перевозки груза (1 т на 1 км) по магистрали равна m, по подъездному пути — р копеек (т<р).

Решение. Введем обозначения: CD = A, AD = s, AB = ty т(а —6) = г, р (a-{-b) = q. Тогда суммарная стоимость годового грузооборота для пункта С такова:

T(x) = am-AE + ap-CE + bm.(AB — АЕ) + Ьр-СЕ = = r.AE + q-CE + bm.AB.

Из найденного выражения видно, что точку примыкания Е не имеет смысла брать правее точки D. Значит, х принадлежит отрезку /=£а; -|-J , где а= Z.CAB,

Найдем производную:

Производная существует всюду на /. Поскольку числа г и q положительны и r<Zq, то

а потому уравнение

имеет в промежутке Jo; -j| единственное решение х0. Возможны два случая:

1. х0>а. Тогда функция Т имеет на отрезке / единственную критическую точку, причем слева от точки хо производная отрицательна, а справа положительна. Значит, в точке хо функция Т достигает наименьшего значения.

2. *о^а. В этом случае у функции Г нет критических точек и cosjc<-~ на /, т. е. Т' (х)>0 на рассматриваемом промежутке. Значит, Т возрастает на /, а потому наименьшего значения функция достигает в точке а.

Ответ: для определения оптимального угла примыкания следует найти решение х0 уравнения

принадлежащее J0; у^, и сравнить его с а= АСАВ. Если *о>а, то угол примыкания следует брать равным хо\ если же хо^ау то подъездной путь нужно вести прямо к пункту А.

Рассмотренное решение показывает, что оптимальный угол примыкания не зависит от расстояний между пунктами Л, В и С, а определяется эксплуатационными характеристиками a, by m, р и в некоторой степени величиной угла CAB.

5.18. Сообщение между селами и центральной усадьбой А (см. рис. 19), расположенной около автомагистрали AB совхоза осуществляется по дорогам, состоящим из двух взаимно перпендикулярных отрезков. Докажите, что постройка прямой дороги от любого села С до села А не может сократить путь из С в Л более чем на 30%.

Решение. Пусть AD = ay CD = x. Тогда в результате спрямления путь от С до Л уменьшится на величину

что составит часть Ô (х) от прежнего пути:

Найдя производную функции Ô, замечаем, что она равна нулю только при дг = а, причем при переходе через точку а знак меняется с плюса на минус. Значит, функция ô имеет на проме-

жутке ] 0; + 00 [ наибольшее значение при х = а. Следовательно, экономия пути не превзойдет величины ô(a)=l—что меньше 0,3, или 30%, существующего пути.

5.19. Видимость на подъеме. На рисунке 20 ломаная ЛОВ изображает продольный профиль автомобильной дороги с углом перелома а. Водитель автомобиля, находящегося в точке С (С — положение глаз водителя), видит на участке OB лишь такие препятствия, которые по своей высоте выступают за пределы угла РОВ. При каком максимальном сближении друг с другом водители легковых автомобилей на данном участке дороги могут еще не видеть встречной машины?

Решение. Момент начала видимости встречных машин характеризуется их расположением в таких точках С и D, что линия COD' представляет собой прямую. При изменении положения точки С изменяется и положение точки D, а значит, меняется и расстояние r = OC + OD между машинами в момент начала видимости. Нас интересует вопрос, при каком положении точки С величина г принимает наименьшее значение.

Положение точки С вполне определяется величиной угла СОС. Пусть АСОС' = ху CC' = DD' = d. Тогда

При малых а и x tgjc«jc, tg(oc — jc)«ot — х (а и х — радианные меры углов). Поэтому для г(х) автодорожники принимают более простую приближенную формулу

Функция г определена на интервале ]0; а[. Найдя производную функции г и исследовав ее знак слева и справа от единственной критической точки устанавливаем, что г имеет наименьшее значение при *=— и равно —.

Итак, водители встречных легковых автомобилей (а это наиболее неблагоприятный случай, поскольку остальной транспорт выше) на подъеме с углом перелома а могут не видеть друг друга до тех пор, пока не сблизятся на расстояние где d=l,2 м. Найденный результат учитывается [5] в практике проектирования дорог. Если угол перелома профиля таков, что — меньше допустимой (для данной категории дороги) величины, то профиль дороги скругляют, срыв вершину.

Рис. 20

§ 6. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ. КРИВИЗНА КРИВОЙ

ЦИКЛОИДЫ

6.1. Режущий аппарат так называемой ротационной косилки представляет собой [32] горизонтальный диск с укрепленными по его ободу ножами (примером ротационной косилки служит газонная косилка). Во время работы точка ножа совершает сложное движение: поступательное вместе с косилкой и вращательное вместе с диском.

Сделайте графическое построение прокоса, оставляемого точкой ножа ротационной косилки при условии, что линейная скорость вращения точки больше скорости поступательного движения самой косилки (именно таков рабочий режим).

Решение. Ясно, что достаточно изобразить часть прокоса, соответствующую времени полного оборота ножа по своей окружности, так как в дальнейшем форма прокоса будет повторяться.

Изобразим окружность (рис. 21), на которой расположен нож косилки, и разобьем ее, например, на 12 равных частей. Пусть точка А — начальное положение ножа, а / — время, в течение которого нож пробегает -jy длины окружности. Пусть вектор V изображает перемещение косилки за время t. За время / нож А в результате вращения диска переходит в точку А\у которая в результате поступательного движения косилки за то же время переходит в такую точку В\ч что A\B\ = V (мы помним, что по условию \ V\<^>AA\). Значит, в результате сложного движения нож А займет положение точки В\.

За время 2/ нож А займет положение такой точки Вг, что A2B2 = 2V. Аналогично находим положение ножа через 3/, 12/. Оно определяется соответственно точками Вз, •-, ßi2. Соединив построенные точки плавной кривой, получим примерный вид прокоса.

Полученная кривая называется циклоидой. Циклоиды находят очень широкое применение в технике. Циклоидальную форму имеют профили зубьев шестерен, некоторых эксцентриков, кулачков и иных деталей машин.

6.2. Один из рабочих органов комбайна — мотовило [17] (рис. 22). Оно расположено спереди комбайна и предназначено для подвода растений к жатке, удержания их во время среза и подачи на транспортирующее устройство. Планка мотови-

Рис. 21

Рис. 22

ла совершает сложное движение: поступательное вместе с комбайном со скоростью v и вращательное с угловой скоростью со.

а) Запишите уравнения этого сложного движения.

Решение. Пусть ось х расположена на поверхности поля в направлении движения комбайна, ось у вертикальна, С — вал мотовила, А — начальное положение крайней точки планки мотовила, г = СА — радиус вращения, h = CO — высота установки вала. Через некоторое время t планка из точки А переместится в точку А\у такую, что CC\ = vty /LPC\A\ = (ùt. Значит, координаты точки А\ будут такими:

х = СС\ + С\А\ «cos (ùt = vt-\-r cos о>/, (1)

у = ОС — С\А 1 - sin (о/ = Л —rsin (ùt. (2)

б) Мотовило будет подводить растения к жатке лишь в том случае, если во время нахождения планки в стеблестое скорость горизонтального перемещения планки будет отрицательна. Каким должно быть соотношение между линейной скоростью вращения планки и скоростью движения комбайна?

Решение. Из уравнения (1) находим:

х' (/)<0*фф* v — riù sin (i)/<0o sin (о/>А,,

где k=j^. Полученное неравенство будет иметь решения только тогда, когда А,<1. Мы пришли к важному для практики выводу: линейная скорость вращения планки мотовила должна быть больше поступательной скорости движения комбайна. Одновременно замечаем, что траектория движения планки мотовила — циклоида.

в) Выведите формулу для определения высоты установки вала мотовила.

Решение. Из сказанного выше ясно, что в момент вхождения планки в стеблестой (в это время */ = /, где / — высота стеблестоя) должно выполняться условие: х' (0 = 0. Решив систему

уравнений х' (0=0, */(/) = /, получим формулу для определения высоты установки вала мотовила: А = /-|--^-, которая и применяется на практике [17].

ПЕРЕХОДНЫЕ КРИВЫЕ

На рисунке 23 ломаная ABC — трасса проектируемой автомобильной (или железной) дороги с углом поворота ß. Для плавного перехода с прямой AB на прямую ВС проектируют переходную кривую DEF. Казалось бы, что в качестве переходной кривой естественнее всего взять дугу окружности. Однако при переходе с прямой (кривизна k равна нулю) на окружность (кривизна k сразу становится равной резко возрастает центробежная сила F = mv2k, что небезопасно. Поэтому в качестве переходных кривых применяют ([13], [37]) линии, кривизна которых плавно увеличивается от начального значения k = 0.

Существуют различные схемы устройства переходных кривых. Одна из них изображена на рисунке 23. Здесь BD = BFt О — точка пересечения перпендикуляров к прямым AB и ВС, ОЕ — биссектриса угла DOF, DE и EF — симметричные относительно OB дуги некоторой кривой, линия ADEFC в каждой точке имеет касательную.

6.3. Докажите, что если угол поворота трассы ß<!48°, то (см. рис. 23) в качестве переходной кривой DE может быть взята дуга кубической параболы у = ахъ.

Решение. Найдем кривизну линии у = ах3 (х>0). Имеем:

Найдем производную функции k (х):

Рис. 23 Рис. 24

Замечаем, что кривизна k(x) — функция непрерывная, k(0) = 0 и k(x) возрастает на промежутке [0; х0], где jc0 = ^=j. На промежутке ]jc0; + 00 [ кривизна убывает, не обращаясь в нуль. Значит, техническому условию удовлетворяют дуги */ = адг (0<х^Ь)у где 6^*о, и только такие дуги кубической параболы.

Выясним технический смысл ограничения Ь^хъ. При рассматриваемой схеме закругления существует простая зависимость между абсциссой хЕ точки Е и углом поворота ß. Проведем касательную ET к переходной кривой в точке Е. Из условия симметрии вытекает, что ЕТ±ОЕ. Поэтому а= /.DOE. А так как ZDOF = ß, то ß = 2a = 2arctgi/'(x£).

В силу монотонности функции у' = 3ах2 и arctgjc замечаем, что функция ß(x£) на отрезке [0; *0] возрастает. Значит, при рассматриваемой схеме

Итак, полученное выше условие, что может применяться лишь дуга параболы у = ах3 (O^Jc^fc<jco), равносильно требованию, чтобы угол поворота не превышал 48°. Это одно из условий, ограничивающих практическое применение кубической параболы. Более распространены другие переходные кривые.

6.4. В качестве переходной кривой часто используется [13] лемниската Бернулли — линия, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:

Покажите, что эта линия удовлетворяет условиям, предъявляемым к переходным кривым. При каких углах поворота трассы может использоваться лемниската? Изобразите эту линию.

Решение. Вначале выясним форму кривой. Из уравнения видно, что полярный радиус г принимает действительные значения, когда sin2cp^0, т. е. при 0<!ф^-~ и л<!ф^^-. Это означает, что вся кривая расположена в первой и третьей четвертях. Так как г (ср-|- л) = г (<р), то кривая симметрична относительно полюса. Поскольку —ф) = г(-^-+ф) , то кривая симметрична относительно прямой ф=-^-. Заметив еще, что г (0) = 0, r(-j-) =с, можем изобразить кривую (рис. 24).

Воспользуемся формулой для вычисления кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах:

Имеем:

Из найденной формулы видно, что кривизна линии — непрерывная функция, значение которой в начале координат равно нулю, а затем возрастает до наибольшего, которое достигается при Фо = ^.

Найдем угол наклона а касательной к лемнискате. Для этого перейдем к параметрическим уравнениям

и воспользуемся правилом дифференцирования параметрически заданных функций. Имеем:

Получили простую зависимость: а = 3<р (угол наклона касательной к лемнискате в точке M равен утроенному полярному углу этой точки). Используя рассуждения из предыдущей задачи, получим оценку для угла поворота:

Это обстоятельство позволяет использовать лемнискату почти во всех случаях, которые могут встретиться на практике. В частности, лемниската в силу своей особой формы используется при устройстве транспортных развязок и разбивке «серпантин».

6.5. В практике проектирования железных и автомобильных дорог наибольшее распространение в качестве переходной кривой получила клотоида — линия, точки которой удовлетворяют соотношению £=-^-, где k — кривизна линии в точке M (х; у), s — длина дуги DM (см. рис. 23), с — положительная константа (ясно, что эта линия удовлетворяет требованиям, предъявляемым к переходным кривым, причем ее кривизна возрастает неограниченно). Для разбивки такой кривой на местности строят точки по их декартовым координатам, выраженным через параметр s. Запишите эти формулы.

Решение. По определению кривизны k=^y где а — угол наклона касательной к кривой в точке M к оси абсцисс. Для клотоиды имеем:

Так как в точке D величины s и а равны нулю, то ао = 0. Поэтому

Известно, что dx = cos а ds, dy = sin ads. Воспользовавшись приближенными формулами

и найденным значением ds, получим:

Отсюда находим (с учетом, что а = 0, у = 0 при а = 0):

Эти формулы и используются на практике [13].

§ 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1. Найдите площадь живого сечения (см. тему «Мелиорация») канала параболического профиля, наибольшая глубина которого А, а ширина (по верху воды) Ь [18].

Решение. Уравнение параболы АО В (рис. 25) у=рх2. Так как АВ = Ь, ОС = А, то Р=рг- Искомую площадь в силу симметрии фигуры можно найти как удвоенную разность площадей прямоугольника ОСВВх и криволинейной трапеции ОВВ\.

Ответ:

Рис. 25 Рис. 26

7.2. Нож (коса) сенокосилки совершает возвратно-поступательное движение, проходя туда и обратно некоторое расстояние s, называемое ходом ножа. За это время сама косилка передвигается вперед на некоторое расстояние 21 (величина / называется подачей) и один сегмент (зуб) ножа скашивает траву с участка поля, изображенного на рисунке 26. Площадь F этого участка называется площадью подачи косилки [17]. Найдите площадь подачи косилки, если известно, что уравнение линии ОАВ имеет вид:

Ответ: F = ls.

7.3. При защите почвы от водной эрозии в посадках картофеля на склонах между рядками с помощью специального культиватора устраивают борозды с перемычками (ширина борозды по верху 36 см, глубина 18 см). Найдите площадь поперечного сечения борозды (это необходимо для расчета водоудерживающей способности приема), если ее профиль — кубическая парабола у = а\х\ъ [23].

Ответ: 486 см2.

7.4. В лесной таксации установлено [3], что функции S (х) (площади поперечных сечений ствола дерева) достаточно точно выражаются через высоту сечения х с помощью многочлена. Ограничившись многочленами первой и второй степени, получают различные формулы для приближенного определения объема бревна. Выведите две из них (А— длина бревна):

(формула Госфельда),

(формула Ньютона — Рикке).

Решение. Пусть S (x) = ax + b. Тогда

Вторая формула получается в предположении, что S (х) = ах2 + + Ьх + с.

7.5. Рассмотрим поле, имеющее форму криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 0, y = f (х), х=а, х = Ь (у^О). Если урожай с этого поля вывозится кратчайшим путем к дороге — оси абсцисс, то грузовая работа по вывозке урожая с поля к дороге вычисляется по формуле (задача 13.1)

где k — некоторый коэффициент, зависящий от урожайности. Найдите грузовую работу по вывозке урожая с прямоугольного поля

Рис. 27 Рис. 28

шириной а и длиной Ь кратчайшим путем к краю поля [33].

Решение. Так как из данной точки поля урожай вывозится к ближайшей стороне прямоугольника, то поле делится (рис. 27) на 4 зоны Su S2, и S4, из которых машины идут соответственно к сторонам AB, ВС, CD и DA. Разобьем далее поле на 8 треугольников и 4 прямоугольника.

Найдем работу Ат по вывозке урожая с треугольника DEF. Ось абсцисс (дорога) в этом случае должна совпадать с прямой DC. За ось ординат примем прямую DA. Тогда DE — график функции / (jc) = je. Поэтому

Поскольку работа определяется формой поля и положением дороги, то она будет такой же и для каждого из остальных треугольников (относительно своей дороги — катета).

Найдем работу А для прямоугольника EFHG:

Такой же будет работа и для остальных прямоугольников (относительно своих дорог). Теперь можно найти ответ на вопрос задачи:

7.6. Для расчета мелиоративных машин, а также процесса дождевания важное значение имеют закономерности впитывания воды в почву. Известно [31], что скорость впитывания воды в почву (в первые 2—3 ч) изменяется по закону

где v\ (в см/мин) —скорость впитывания в конце первой минуты, а — коэффициент затухания скорости, зависящий от свойств рассматриваемой почвы (для большинства почв 0,3<а<0,8). Определите толщину слоя воды, который впитывается в почву за Т мин.

Решение. Согласно известной формуле для определения пути, пройденного точкой, по ее скорости

7.7. При вращении высевающей катушки (рис. 28) зерновой сеялки возникает поток, состоящий из семян, попавших в желобки катушки, и семян, располагающихся между катушкой и дном коробки (активный слой). Скорость движения семян в активном слое непостоянна по толщине слоя. Она изменяется по закону

где до — линейная скорость края катушки, с — ширина активного слоя, k — константа, зависящая от высеваемой культуры (например, для пшеницы fe = 2,6, для льна k= 1,7). При конструировании сеялки необходимо рассчитывать массу семян, выбрасываемых не только из желобков катушки, но и из активного слоя. Определите массу семян, выбрасываемых из активного слоя сеялки за единицу времени [32].

Решение. Из активного слоя за единицу времени выбрасывается цилиндрический слой семян, поперечное сечение которого представляет собой заштрихованную криволинейную трапецию. Значит, искомая масса

где р — удельный вес семян, / — длина катушки, v0 = \ v0\.

ГИДРОТЕХНИКА

Для расчета гидротехнических сооружений необходимо знать центр давления (точка приложения равнодействующей всего давления) воды на вертикальную площадку, погруженную в воду. Известно [1], что расстояние d от центра давления фигуры F до поверхности воды вычисляется по формуле

где // — момент инерции, Si — статический момент фигуры относительно оси / — линии пересечения плоскости фигуры с плос-

Рис. 29 Рис. 30

костью поверхности воды. Рассмотрим наиболее важные для практики случаи.

7.8. Найдите центр давления воды на вертикальную трапецеидальную стенку, большее основание которой лежит на поверхности воды (трапеция равнобочная, ее большее основание 2ft, меньшее 2а, высота А).

Решение. Центр давления лежит на оси симметрии трапеции. Для определения величины d выберем систему координат так, как показано на рисунке 29. Зная координаты точек Л и В, запишем уравнение прямой AB:

Ось / совпадает с осью абсцисс. Имеем:

7.9. Найдите центр давления воды на погруженную в воду вертикальную круглую площадку радиуса г, центр которой отстоит от поверхности воды на расстоянии с (рис. 30).

Решение. Центр давления лежит на вертикальной прямой, проходящей через центр круга. Для определения величины d выберем систему координат (рис. 30). Тогда в силу известных формул

где S — площадь круга, \ — абсцисса центра тяжести круга. В таком случае

7.10. При различных расчетах, связанных с эксплуатацией водохранилищ, широко используется известная из достаточно полных курсов физики формула Торричелли: через малое отверстие в дне или стенке водохранилища при неизменности толщины h слоя воды над отверстием (напор воды) в единицу времени вытекает

Q = mS^j2gh куб. ед. воды (расход воды),

где S — площадь отверстия, g — ускорение свободного падения, m = 0,6. Рассмотрим примеры таких расчетов [1].

а) Определите время половинного опорожнения наполненной водой вертикальной цилиндрической цистерны диаметром D = 4 м и высотой Я = 6 м через круглое отверстие диаметром а=~-м в дне цистерны.

Решение. В данном случае высота слоя воды с течением времени изменяется, а потому меняется и расход воды. Задачу нельзя решить простым делением объема цистерны на расход.

Пусть ось X совпадает с осью цистерны (рис. 31). Разделим отрезок^-^; Я J на п равных частей точками х0, Хи хп и проведем через точки деления горизонтальные плоскости. Получится п цилиндров Pu Р2, .... Рп- Так как высота цилиндрического слоя воды Pk при достаточно большом п довольно мала, то можно считать, что за время его истечения напор не меняется и равен х*. Но в таком случае в это время постоянен и расход воды. Он равен:

Объем цилиндра Pk равен:

Рис. 31 Рис. 32

Время истечения цилиндрического слоя воды Рк приблизительно равно:

а время половинного опорожнения цистерны приблизительно равно:

Мы получили интегральную сумму для функции / (*)=— на отрезке Я J . Точное время, очевидно, можно найти так:

б) Определите время половинного опорожнения заполненной водой горизонтальной цилиндрической цистерны длиной / = 6 м и диаметром D = 4 м через круглое отверстие в дне диаметром а=4~ м.

Решение. Рассуждая так же, как в предыдущей задаче, получим тонкие слои воды Рк (рис. 32). В данном случае геометрически слой Рк близок к параллелепипеду с измерениями /, Ах*,

Время истечения этого слоя воды

Время половинного опорожнения цистерны

Полученные формулы для времени половинного опорожнения цистерны можно использовать и при истечении нефтепродуктов, взяв другое значение коэффициента т.

Рис. 33

7.11. Если русло канала перегородить вертикальной поперечной стенкой с выемкой, то уровень воды в канале поднимется и вода начнет переливаться через выемку. Такая перегородка называется водосливом. Определите количество воды, протекающее в единицу времени через водослив с выемкой в форме прямоугольного треугольника (рис. 33), если напор воды перед водосливом Л.

Решение. Истечение через водослив происходит при постоянном напоре А. Однако напор различен в различных точках отверстия (оно довольно велико), и потому непосредственно формулой Торричелли воспользоваться нельзя.

Выберем ось х так, как показано на рисунке, и разобьем отрезок [О; А] на п равных частей точками О = *о, Хи xn = h. Проложив через эти точки горизонтальные проволочки, разобьем треугольное отверстие на узкие трапецеидальные щели Я*. При большом п можно считать, что во всех точках щели Р* напор приблизительно равен А — x*, а площадь приблизительно равна площади прямоугольника с основанием AB — 2xk и высотой Дх*. Поэтому расход воды Q* через полоску р* приблизительно таков:

Значит, расход через данное отверстие (интеграл можно вычислить с помощью таблиц интегралов):

Полученная формула позволяет определить расход воды в канале на основе замера только одной величины А в водосливе. Треугольные водосливы широко применяются в качестве водомеров в ирригационных каналах.

§ 8. ДЛИНА ДУГИ

8. 1. При так называемом лущении деревянная цилиндрическая чурка совершает равномерное вращательное, а режущий инструмент — поступательное движение к оси вращения чурки. В результате получается тонкая и длинная лента древесины, называемая шпоном [24]. Докажите, что длина ленты шпона, которая получается при лущении цилиндрической чурки радиуса R\, равна

где /?2 — радиус чурки, остающейся после лущения; a=—, h — толщина ленты шпона.

Решение. Пусть M — точка на торце чурки, соприкасающаяся с резцом в момент времени /. Ее полярные координаты:

Р = /?1 — Vt, ф = (!)/,

где и — скорость перемещения резца, со — угловая скорость вращения чурки. Выразим <р через р:

Если р = /?1 — Л, то ф = 2я. Поэтому

Итак, задача свелась к отысканию длины дуги спирали ф = = *1^Р.(#2^р^#1). Имеем:

8.2. На рисунке 34 изображен железнодорожный поворот, на котором рельсовые нити переходят по некоторым кривым с одного прямолинейного направления в другое. Ясно, что внутренняя нить короче внешней. Величину этого укорочения необходимо знать перед укладкой рельсов с целью правильного выбора их типов. Докажите, что на повороте внутренняя рельсовая нить А2В2 короче внешней А\В\ на величину e = sß, где s — ширина колеи, ß — угол поворота, при любой форме переходной кривой [37].

Решение. Пусть линия А\В\ задана параметрически:

Рис. 34 Рис. 35

x = y(t\ y = ty(t\ где t — угол наклона касательной к кривой в точке (х\ у) Тогда длина этой кривой

(1)

Рассмотрим (рис. 35) произвольную точку М\(х\;у\) кривой А\В\, соответствующую фиксированному значению параметра t. Кривые А \В\ и А2В2 таковы, что любая нормаль к одной из них является нормалью и к другой, причем отрезок нормали, заключенный между кривыми, имеет одну и ту же длину s. Поэтому точка М2 (х2\ у2) кривой А2В2, соответствующая рассматриваемому значению параметра, лежит на нормали М\М к кривой А\В\ и M\M2 = s. Отсюда следует, что AM\M2Q = t, QM2 = scost, QM\=s sin /, а значит, jc2 = jci— s sin / и y2 = y\ + s cos

Итак, мы получили параметрические уравнения кривой А2В2: х = ф(/)—s sin t, 1/ = -ф (t) + s cos / (O^f^ß). Отсюда вытекает, что для этой кривой

(x't)2+(y't?=W (t))2+W (0)2-2s W (t) sin * + Ф' (t) cos t) + s2. (2)

Но с помощью формулы для производной параметрически заданной функции получаем, что

Значит,

а потому

Пусть /2 — длина кривой А2В2. Из формул (1) и (2) вытекает, что « а

8.3. Определите смоченный периметр (см. тему «Мелиорация») канала параболического сечения у2 = 2рху наибольшая глубина которого Л [1].

Решение. Требуется найти длину дуги параболы АОС (см. рис. 12), где OB = h. Имеем:

8.4. Определите, при каком отношении канал параболического сечения у2 = 2рх имеет гидравлически наивыгоднейший профиль (А— глубина канала) [1].

Решение. Смоченный периметр канала найден в предыдущей задаче, его живое сечение (см. 7. 1.)

Выразив р через F и подставив в формулу для /, получим:

где

Требуется узнать, при каком t функция / (t) достигает наименьшего значения. Найдем производную:

Нули функции /'(/) при />0 совпадают с нулями функции

где z = 2t. Найдем производную этой функции:

Видим, что при 2<-j- функция убывает, а так как ф(0) = 0, то ф(г)<0 при z<— . При 2^— рассматриваемая функция возрастает. Значит, ф (z) при z>0 может иметь не более одного нуля. Находя с помощью калькулятора ф(1), ф(2), ф(3), ф(4), замечаем, что ф (3)<0, а ф (4)>0. Все сказанное означает, что функция ф (z) имеет единственный нуль, который лежит на отрезке [3; 4]. Применяя метод хорд, находим:

Так как ф(г1) = 0,007, то с точностью до 0,1 найдено, что нуль функции ф(г) равен 3,8. Из рассмотренного выше ясно, что это

точка минимума и. одновременно точка наименьшего значения функции.

Ответ: /=1,9.

§ 9. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА

9.1. Рельсовая нить, уложенная на железнодорожном повороте радиуса /?, в процессе эксплуатации может изменить свое положение. Поэтому необходимо производить проверку правильности ее формы. Для этого иногда измеряют (рис. 36) стрелку CD сегмента, стягиваемого хордой AB длиной 2к и сравнивают ее с расчетной величиной А. При этом полагают [37], что

Выведите эту приближенную формулу для h и оцените погрешность, допускаемую при ее использовании в случае общепринятого значения Х=10 м и /?>100 м.

Решение. Из треугольника АСО находим:

Отсюда

Воспользуемся формулой Тейлора для функции f(x) = R — -фс при А = 2, а = /?2, x = R2 — k2 с остаточным членом в форме Лагранжа. Получим:

где R2 — X,2<g</?2. Отсюда и вытекает искомая формула, причем допускаемая погрешность

Рис. 36 Рис. 37

9.2. При топографических съемках широко используются проекции линий AB земной поверхности (рис. 37) на плоскость, касательную к земному шару в точке А. При этом считают [26], что истинное расстояние между точками А и В отличается от расстояния между их проекциями на величину

где 1=АВ\У R— радиус Земли. Объясните происхождение приближенной формулы и оцените допускаемую при ее использовании погрешность для /<100 км.

Решение. Заметим, что ^AB = Ray AB\ = R tg а. Так как a<tgoc, то ^АВ<АВ\У причем /\1=АВ\ — ^>AB = l — Ra = = / — R arctg-^-. Естественно предположить, что /</?. Поэтому функцию arctg -4" можно заменить ее разложением в ряд Тейлора и по степеням — . Ограничившись двумя членами этого ряда, мы и получим указанное приближенное значение для Д/.

Допускаемая погрешность не превосходит величины первого из отброшенных членов ряда, т. е. величины (в см)

§ 10. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

10.1. При сепарировании молока получают сливки и обрат. Найдите выход сливок (в %), если жирность молока pu сливок р2, обрата рз %.

Решение. Пусть просепарировали M кг молока и получили m кг сливок (и значит, М — т (кг) обрата). Имеем уравнение

р\М = р2т + рз (М — т).

Выразив из этого уравнения m и найдя процентное отношение m к М, получим искомую формулу [22] :

10.2. Между клубнями уложенного на хранение слоя картофеля имеются пустоты. Поэтому наряду с обычным понятием плотности вещества для картофеля рассматривают еще понятия объемной массы и скважности. Пусть картофель массой m уложен в слой объемом V, а суммарный объем всех клубней картофеля равен v. Тогда [9] плотность;

Найдите скважность картофеля, зная его плотность и объемную массу. Найдите возможные значения ky если 1,06^р^1,13 и 0,65<y<0,68 (в т/м3).

Решение. k=\—При любых возможных значениях у и р имеем:

Поэтому 0,35 <*<0,43.

§ 11. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

11.1. Рассмотрим формулу для определения числа твердости металлов

(задача 1.12; обозначения заменены на более привычные: х = Р, y = Dy z = d). Если нагрузка и диаметр шарика имеют отклонения от стандартных значений х и у на величины Д* и Ду, то и диаметр отпечатка (предполагаем, что он измеряется без погрешностей) получает некоторую погрешность, так как для фиксированного металла он определяется значениями х и у по формуле

где а и п — некоторые константы. Выразите относительную погрешность ^ через относительные погрешности ^ и

Решение. При оценке погрешностей вычислений погрешность функции ДЯ принято заменять ее полным дифференциалом dH. Мы имеем сложную функцию H = f(x\ у\ где Н = и(х\ у\ z), z = z(x\ у). Поэтому

Найдя частные производные и упростив выражение, получим формулу

которая и используется на практике [8].

§ 12. НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

12.1. Рецептура изготовления сыров и их вкусовые качества в значительной степени определяются их формой. При этом сыроделы [11] считают, что при равном объеме сыры шаровой формы имеют меньшую площадь поверхности, чем сыры брусковой формы. Докажите, что это действительно так.

Решение. Докажем сначала, что из всех параллелепипедов данного объема V наименьшую площадь поверхности имеет куб. Для этого исследуем функцию (выражающую площадь поверхности параллелепипеда):

В рассматриваемой области функция S имеет единственную критическую точку jto=yo=V^-

При приближении точки (jc; у) к прямым jc = 0, у = 0, а также при удалении в бесконечность функция S (jc; у) неограниченно возрастает. Поэтому точку (jc0; уо) можно окружить таким прямоугольником /( = {(*; y)\a^x^by c^y^d], что вне его и на его границе S(jc; y)>S(x0\ уо). В замкнутой области К функция S (jc; у) имеет наименьшее значение, внутри К у нее единственная критическая точка (jc0; i/o), а на границе области S (jc; y)>S (jc0; уо). Отсюда следует, что S (jco; уо) — наименьшее значение функции в области /С, оно же будет наименьшим значением и для всей области определения функции. Итак, функция S (jc; у) имеет наименьшее значение при x = y = \[Vy т. е. в случае куба.

Пусть теперь имеются шар и куб одного и того же объема V. Сравним площади их поверхностей (причем для упрощения вычислений рассмотрим кубы площадей):

S* = 36*K2, Sî=63V2.

Задача решена.

12.2. Наиболее часто сооружаются каналы (а также оросительные и водосточные канавы) трапецеидальной формы (рис. 38, AB = CD) [20]. Найдите наивыгоднейший с точки зрения гидравлики профиль канала трапецеидальной формы (с. 24).

Решение. Пусть AB = CD = yy л — /_АВС = х, BC = z. Тогда

P = 2y + z, (1)

S = (z + y cos jc) y sin jc. (2)

Выразив из второй формулы z и подставив в первую, получим:

Рис. 38 Рис. 39

Требуется найти такую точку (хо\ у о) из области D = { (je; у) |0< <х<-^-, у>0}, в которой функция Р (х\ у) принимает наименьшее значение. Найдя частные производные функции Р (х; у) и приравняв их нулю, получим систему уравнений:

(у2 sin3x = S cos x, 2#2sin X — у2 sin X cos x = S.

Подставив вместо S в первое уравнение этой системы левую часть второго уравнения, получим cosxo=-t- или хо=-^-, а значит,

Рассмотрим значения функции на границе области D при

Имеем

Рассуждая теперь так же, как при решении предыдущей задачи, окружим точку (х0; уо) таким прямоугольником /( = {(*; у) |а<х<-^-, c^y^d}, что вне его и на его границе Р(х; у) > Р (х0; уо). Теперь ясно, что функция Р (х; у) в точке (х0; уо) достигает наименьшего значения. Из (2) находим:

20 = У0.

Ответ: АВ = ВС, /.АВС=120°.

Замечание. На практике крутизна откосов каналов зависит от характеристик грунта и редко когда может быть выполнена в найденном виде. Поэтому наиболее важен результат задачи 5.11.

12.3. На рисунке 39 изображена так называемая боковая доска, полученная в результате продольной распиловки бревна.

Из нее часто выпиливают [24] две прямоугольные заготовки наибольшей суммарной площади. Какую часть от длины доски составляют длины получающихся в таком случае заготовок?

Решение. Как уже отмечалось ранее, границу доски считают параболой. Пусть у = рх2 — уравнение границы, ОС = А, AB = mhy BC — kh. Так как ординаты точек D и £ равны соответственно А(1— k) и А(1 — £ — т)у то абсциссы этих точек равны

Теперь мы знаем длину и ширину выпиливаемых заготовок. Можно найти их суммарную площадь:

Требуется найти наибольшее значение функции f (k; m) =

в треугольнике T={(k; m)\k^Oy m^Ö, £ + m< 1}. Найдя частные производные, приходим к системе уравнений, определяющей критическую точку:

Из второго уравнения находим т=—(1— к). Вычтя из первого уравнения второе и подставив найденное значение m, получаем:

Оценим значение функции в критической точке (k0y то). Так как 1,7<УЗ<1,8, то 0,45<fc0<0,47, а значит, 0,35<т0<0,37. Поэтому

Исследуем функцию на границе области Т. При любом из граничных условий k = 0, m = 0, k + m=l наша функция совпадает с одной и той же функцией одного переменного f (x) = x^Jl —х , заданной на отрезке [0; 1]. С технической точки зрения все эти условия означают, что из доски выпиливается лишь одна заготовка. Функция f (х) достигает на [0; 1] наибольшего значения при jc = -|-, причем /^-|-^<0,4. Значит, все значения функции f (jc; у) на границе области Т не превосходят числа 0,4.

Итак, функция f (х; у) достигает в замкнутой области Т наибольшего значения при k = koy m = mo. Значит, длины выпиливаемых заготовок должны составлять примерно 0,46 и 0,36 длины доски, причем длиннее должна быть более широкая доска. Найден-

ные значения и позволяют сделать разметку доски для оптимального раскроя.

Заметим, что одновременно мы нашли оптимальную длину одной заготовки, выпиливаемой из боковой доски, а также убедились в том, что раскрой на две заготовки (если он приемлем по требованиям к пиломатериалам) выгоднее (меньше отходов), чем на одну.

§ 13. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

ГРУЗОВОЙ ТРАНСПОРТ

Пусть требуется перевезти грузы массами ть тп на расстояния г и •••> Гп соответственно. Величину А = 2 m*r* называют [30] грузовой работой, а величину — средней дальностью ездки. Эти величины служат технико-экономическими измерителями грузового транспортного процесса. Их можно естественным образом распространить и на случай груза, равномерно распределенного (или распределяемого) на некоторой площади. Так возникают понятия грузовой работы и средней дальности ездки при уборке сена или урожая зерна с некоторого поля, вывозке удобрений и других сельскохозяйственных транспортных процессов.

13.1. Выведите формулу для вычисления грузовой работы, которая приведена в условии задачи 7.5.

Решение. Считаем, что урожайность зерна на всем поле D одинакова и равна k (в кг/м ). Разобьем поле на участки с площадями AS/(/=l, я), с которых урожай вывозится за один рейс. Тогда грузовая работа

где у, — длина соответствующей ездки (ордината некоторой точки площадки AS,). Из этой формулы видно, что грузовая работа может быть приближенно вычислена следующим образом:

13.2. Выведите формулу для вычисления грузовой работы, которая приведена в условии задачи 5.1.

Решение. Пусть урожай вывозится в точку О (рис. 27). Разобьем поле на зоны Su S2, s3, S4 (задача 7.5). Пусть в машину загружается урожай с участка площадью AS в точке M (х\ у), принадлежащей Su С этим грузом машина пройдет путь МКАО

длиной 2a + jc — у. Поэтому грузовая работа А\ по вывозке урожая с поля S\ может быть найдена так:

Аналогично находим грузовую работу Л2, Л3, Л4 по вывозке урожая с полей S2, S3, 54 соответственно:

Сложив найденные величины, получаем искомую формулу.

13.3. Найдите среднюю дальность ездки при транспортировке сена с круглого поля D радиуса R к стогу, находящемуся в центре поля.

Решение. Считаем, что сено распределено равномерно по всему полю с плотностью к. Разобьем поле на участки с площадями AS/ я), с которых сено вывозится за один рейс. Тогда грузовая работа

где г,- — длина соответствующей ездки (расстояние от центра поля до некоторой точки рассматриваемого участка).

Из формулы замечаем, что грузовая работа может быть приближенно вычислена следующим образом:

Так как общая масса сена в данном случае m = knR , то средняя дальность ездки

Такая формула и приводится в литературе [15].

13.4. Найдите среднюю дальность ездки [15] при транспортировке зерна (от комбайна) с квадратного поля (сторона квадрата а) к дороге, совпадающей с одной из сторон квадрата.

Решение. Пусть оси координат — стороны квадрата, а дорога совпадает с осью абсцисс. Тогда из точки M (jc; у) поля зерно перевозится на расстояние у. Поэтому

13.5. Найдите среднюю дальность ездки [15] при транспортировке сена с квадратного участка (сторона квадрата 2а) к стогу, находящемуся в центре квадрата.

Решение. Выбрав систему координат так, как показано на рисунке 40, и рассуждая так же, как при решении задачи 13.3, получим, что грузовая работа

С помощью таблиц интегралов находим:

Поэтому

Рис 40

ПОЧВОЗАЩИТА

Участки пашни, расположенные на склонах холмов, сильно подвержены водной эрозии. Уменьшению смыва почвы способствуют специальные агротехнические мероприятия, в частности задержание осадков в искусственных углублениях на поверхности поля. Степень защиты в значительной мере зависит от объема осадков, которые могут вместить углубления. Поэтому для оценки эффективности того или иного приема рассчитывают его водоудерживающую способность. Рассмотрим некоторые примеры таких расчетов [23].

13.6. При одном из способов защиты почв от водной эрозии на склонах штампуют лунки в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Пусть такая лунка заполнена водой до предела (при этом дно лунки не видно). Какие параметры лунки достаточно измерить, чтобы определить объем удержанной воды? Как найти этот объем?

Решение. Пусть А — точка водослива (рис. 41). Требуется найти объем нижнего многогранника, отсекаемого от параллелепипеда плоскостью воды. Пусть а — сторона основания параллелепипеда, т и р — длины мокрых участков ребер, ближайших к точке водослива. Выберем систему координат так, как показано на рисунке, и обозначим через с высоту параллелепипеда. Тогда точки Л, Ву С имеют такие координаты: Л (0; 0; с), В (а; 0; m), С (0; а; р). Запишем уравнение плоскости ABC:

Рис. 41

Искомый объем

13.7. Наиболее эффективный способ защиты расположенного на склоне картофельного поля от водной эрозии — поделка в бороздах междурядий перемычек (рис. 42 — показан продольный разрез борозды) с помощью специального культиватора, идущего вслед за окучником. Степень защиты почвы зависит от количества осадков, которые могут вместить перегороженные борозды, и от формы профиля борозд. Экспериментально установлено, что наиболее приемлем профиль борозды в форме кубической параболы z = a\y\3 (рис. 43 — показан поперечный разрез борозды). Найдите максимальное количество воды, которое может удержать одна лунка (часть борозды между двумя перемычками) на склоне с углом наклона а=10°, если ZFGO = 90°, /LADO = ß = 36°, глубина лунки ЛО = Л=18 см, ширина поверху 36 см, длина ЛЯ = / = 80 см.

Решение. В момент наибольшего заполнения лунки линия уровня воды будет проходить через точку А (прямая AB горизонтальна, /-АЕО = а). В данном случае HB = l tg а= 14,1 < 18 = = НС. Поэтому дна лунки не видно и слой воды имеет в продольном сечении вид, изображенный на рисунке 42. Выберем систему координат так, как показано на рисунке (ось у перпендикулярна плоскости чертежа).

Найдем объем тела AOD. Оно ограничено параболическим цилиндром z = a|(/|3^a = -jp), плоскостью AD(z = kx + hy k = — tg ß) и плоскостью zOy. Его проекция Р на плоскость zOy ограничена линией z = a\y\3 и прямой z = h. Поэтому

Рис. 42 Рис. 43

Аналогично находим объемы тел АОЕ и ВСЕ:

Тогда искомый объем

13.8. При одном из способов защиты почв от водной эрозии на склонах с помощью лущильника копают лунки. По своей форме они близки к эллиптическому параболоиду. Определите, сколько воды может удержать такая лунка на склоне с углом наклона а, если ее длина поверху а, ширина 6, глубина А, причем лунка расположена на поле так, как показано на рисунке 44 (ОР = Л, AF = b).

Решение. При наибольшем заполнении лунки водой плоскость поверхности воды будет проходить через точку водослива А. Требуется найти объем V тела, ограниченного параболоидом и секущей плоскостью (рис. 45). Его можно найти как разность объемов цилиндрических тел, ограниченных плоскостью (V\) и параболоидом (Кг).

Так как сечение параболоида плоскостью представляет собой эллипс, то проекция D рассматриваемых тел на плоскость хОу также является эллипсом. Найдем оси этого эллипса.

Уравнение параболоида

(1)

а уравнение секущей плоскости

Рис. 44 Рис. 45

(2)

С помощью этих уравнений находим абсциссы точек А и В (1,-0):

Такие же абсциссы у вершин эллипса А\ и В\. Значит, полуось эллипса D

(3)

Одновременно находим абсциссу центра эллипса:

Это позволяет найти ординаты двух других вершин эллипса и, следовательно, его вторую полуось:

(4)

Переходим к определению объемов V\ и К2. Если через центр M эллипса, ограничивающего сверху тело АА\В\В, провести горизонтальную плоскость и отсеченную ею часть тела повернуть вокруг оси СЕ эллипса на 180°, то получится цилиндр. Его высоту ММ\ можно найти из уравнения плоскости (2), вспомнив, что абсцисса точки M равна рс. Получим:

1/, = л/|/2 (pc2 + d).

Для определения объема цилиндрического тела, ограниченного сверху параболоидом, перенесем начало координат в центр эллипса основания. Тогда уравнение параболоида примет вид:

а уравнение эллипса, ограничивающего основание тела, будет таким:

Объем тела

Для вычисления этого интеграла перейдем к обобщенным полярным координатам: x = l\ г cos ф, (/ = /2 г sin ф. Получим:

Подставив теперь в формулу V=V\—-К2 найденные значения V\, V2 и заменив в них Л, /2 их значениями из формул (3) и (4), получим:

Заменим величины р, q, с, d их значениями по формулам (1), (2). Будем иметь:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В учебной работе по математическому анализу не следует ограничиваться только решением производственных задач. Полезно привлекать студентов и к поиску таких задач. Поиски содержательных применений математики в специальной технической литературе — хорошая форма учебно-исследовательской работы, которая позволяет проверить эрудицию и прочность знаний, развивает методические способности. Однако, как показывает опыт, подобные попытки вызывают у студентов большие трудности. Объясняется это тем, что математические фрагменты в технической литературе по своему стилю существенно отличаются

от учебных или научных книг по математике. Предостережем читателя от некоторых распространенных ошибок.

Считается, что математику применять не только полезно, но и модно. Поэтому нередко встречается излишнее и неоправданное увлечение ею. Например, на с. 103—104 книги [17] с помощью довольно красивых математических выкладок (неизвестно для чего!) находится минимальный радиус катка, обеспечивающий защемление круглого (?!) комка земли. Полученное соотношение сразу же забыто, а содержательная информация о размерах катков дана без всяких комментариев. Вызывает большое сомнение и целесообразность вывода четырехстрочной системы уравнений (с. 150 там же), определяющей условия равновесия зубовой бороны. В книге ничего не сказано о необходимости этой системы ни для сельского инженера, ни даже для инженера-конструктора, а содержательная информация соответствующего пункта никак не связана с изложенной теорией.

При чтении подобных фрагментов вспоминается популярная книга Я. Хургина «Ну и что?» (М., 1967), в которой говорится (с. 7), что, применяя математику, следует своевременно ставить вопросы: «Ну и что? На какой вопрос вы хотите ответить? Какую задачу вы хотите решить?»

Распространено и противоположное явление, когда авторы упускают совершенно естественные и необходимые в логическом отношении случаи математизации специальных ситуаций, что приводит к нечеткости и незавершенности изложения. Например, во многих книгах по эксплуатации машинно-тракторного парка и проектированию автомобильных дорог встречается понятие «средняя дальность ездки». Определения этого понятия нам не удалось найти ни в одной книге даже посредством обращения к авторам, оперировавшим этим понятием. Оно употребляется либо без всяких определений, либо с невразумительным пояснением, а потому соответствующие формулы приводятся без выводов. Вместе с тем корректное определение легко сформулировать, если привлечь аппарат интегрального исчисления (задача 13.3).

Методикой решения прикладных задач, отработанной в курсах математики, в технической литературе порой пренебрегают. При этом допускается нечеткость в использовании математического аппарата. Студент, не забывший курс математики, не сможет понять соответствующие «доказательства», а забывший — усвоит ненаучный метод, который рано или поздно обязательно приведет его к ошибкам. Да это случается и с самими авторами. Например, в книге [31] читаем (с. 479): «Тело с силой тяжести G будет двигаться по плоскости под действием силы тяги Р при условии /(С — Я sin ô)<Pcosô. Исследуем это уравнение на минимум:

или

Отсюда следует, что для перемещения тела по плоскости с трением минимальная сила тяги Р потребуется в том случае, когда она направлена к горизонту под углом Ô, равным или большим угла трения ф».

Удивительная коллекция ошибок! Во-первых, не уравнение, а неравенство; во-вторых, ни то, ни другое исследовать на минимум невозможно; в-третьих, автор ничего на минимум не исследует, а просто дифференцирует неравенство, что делать нельзя; в-четвертых, при умножении на (—1) знак неравенства изменится на противоположный; в-пятых, утверждение вообще неверно — минимальная сила тяги потребуется лишь при о = ф (задача 5.2).

Второй пример приведем из книги [33]. На с. 247 исследование на экстремум функции Rn = qka - (где а = "^-^-; f, q, k — константы) проведено только с помощью необходимого условия ^^- = о) . В результате точка максимума функции (х=1) принята за точку минимума и дана неправильная (в общем случае) рекомендация о рациональном соотношении сторон прямоугольного поля.

Заметим кстати, что в технической литературе обычно нет даже малейшего намека на то, что максимум функции и ее наибольшее значение на области определения не одно и то же. Обычно, судя по методу решения, находят локальный максимум и без всяких сомнений принимают за наибольшее значение на промежутке, не упоминая даже этого промежутка.

В специальной литературе получил распространение своеобразный математический жаргон, который затрудняет восприятие. Например, нередко встречаются бессмысленные с точки зрения математики выражения: равенство нулю уравнения, минимизируем функцию, площадь фигуры ограничена линиями, объем между поверхностями, решим выражение, решим интеграл и т. д.

Повышать значимость математики в условиях научно-технического прогресса нужно за счет не только расширения применения математики, но и повышения культуры ее применения!

ЛИТЕРАТУРА

1. Агроскин И. И. и др. Гидравлика.— М.; Л., 1964.

2. Аммосов Н. Г. Монтаж строительных конструкций.— М., 1974.

3. Анучин Н. П. Лесная таксация.— М., 1971.

4. Барбашов Ф. А. Фрезерное дело.— М., 1973.

5. Бируля А. К. Проектирование автомобильных дорог.— М., 1961.— Ч. I.

6. Богорад Л. М. и др. Справочник бригадира-садовода.— Л., 1968.

7. Болотов И. Н. и др. Комплексная механизация льноводства.— М.; Л., 1962.

8. Варнелло В. В. Измерение твердости металлов.— М., 1965.

9. Волосов Ю. Хранение картофеля.— М., 1970.

10. Голик М. Г. и др. Научные основы обработки зерна в потоке.— М., 1972.

11. Диланян З. Х. Основы сыроделия.— М., 1980.

12. Донской Д. Д., Зациорский В. М. Биомеханика.—М., 1975.

13. Замахаев М. С. Переходные кривые на автомобильных дорогах.— М., 1965.

14. Иваньков П. А. Основы геодезии, топографии и картографии.—М., 1972.

15. Иофинов С. А. Эксплуатация машинно-тракторного парка.— М., 1974.

16. Карелин Г. А. Справочник агронома Нечерноземной зоны.— М., 1973.

17. Кленин Н. И., Сакун В. А. Сельскохозяйственные и мелиоративные машины.— М., 1980.

18. Колпаков В. В., Сухарев И. П. Сельскохозяйственные мелиорации.—М., 1981.

19. Корниш-Боудэн Э. Основы математики для биохимиков.— М., 1983.

20. Курганов А. М, Федоров Н. Ф. Справочник по гидравлическим расчетам водоснабжения и канализации.— Л., 1978.

21. Ларионов В. П. Защита жилых домов и производственных сооружений от молнии.— М., 1974.

22. Липатов Н. Н. Сепарирование в молочной промышленности.— М., 1971.

23. Механизация защиты почв от водной эрозии в Нечерноземной полосе / Под ред. А. Т. Вагина.— М., 1976.

24. Михайлов В. Н. и др. Технология механической обработки древесины.— М., 1964.

25. Орлова З. П., Голубева З. С. Гидротехнические сооружения в рыбоводных прудовых хозяйствах.— М., 1963.

26. Орлов П. М. Курс геодезии.— М., 1962.

27. Парамонов К. М. Машины и механизмы лесоразработок.— Минск, 1969.

28. Пономарев К. К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач.— М., 1962.

29. Применение электрической энергии в сельскохозяйственном производстве / Под ред. П. Н. Листова.— М., 1974.

30. Романенко И. А. Технико-экономические основы проектирования сетей автомобильных дорог.— М., 1975.

31. Сельскохозяйственные и мелиоративные машины / Под ред. Г. Е. Листопада.— М., 1976.

32. Сельскохозяйственные машины / Под ред. Б. Г. Турбина.— Л., 1967.

33. Славуцкий А. К. Проектирование, строительство, содержание и ремонт сельскохозяйственных дорог.— М., 1972.

34. Словарь-справочник пчеловода.— М., 1955.

35. Спиридонов А. Л. Сельскохозяйственные постройки и водоснабжение.— М., 1957.

36. Червинский В. А. Раскрой древесных стволов.— Воронеж, 1982.

37. Шахунянц Г. М. Железнодорожный путь.— М., 1961.

38. Бурсиан Э. В. Физические приборы.— М., 1984.

39. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях.— М., 1987.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.................. 3

§ 1. Элементарное исследование функций одного переменного .... 4

§ 2. Числовые последовательности и их пределы........ 9

§ 3. Применение производной к приближенным вычислениям .... 11

§ 4. Исследование функций с помощью производной....... 13

§ 5. Применение производной в задачах на оптимизацию..... 17

§ 6. Кривые на плоскости. Кривизна кривой......... 32

§ 7. Определенный интеграл............. 37

§ 8. Длина дуги................. 44

§ 9. Формула и ряд Тейлора............. 48

§ 10. Понятие функции нескольких переменных........ 49

§11. Полный дифференциал.............. 50

§ 12. Наибольшие и наименьшие значения функции нескольких переменных 51

§ 13. Двойной интеграл............... 54

Заключение................... 60

Литература................... 63

Учебное издание

Петров Виктор Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗАДАЧАХ

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова

Редактор Т. Ю. Акимова Художник Е. П. Титков Художественный редактор Е. Р. Дашук Технический редактор Н. А. Битюкова

Корректор И. Н. Панкова

Н/К

Сдано в набор 24.02.89. Подписано к печати 31.10.89. Формат 60X90'/i6. Бум. офс. № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,0. Усл.

кр.-отт. 4,25. Уч.-изд. л. 3,59. Тираж 25 000 экз. Заказ 505. Заказное. Цена 10 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

10 к.