К. ПЕТРОВ

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

К. ПЕТРОВ

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

КНИГА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

МОСКВА • ПРОСВЕЩЕНИЕ • 1995

ББК 22.132 П30

Рецензент:

учитель математики школы № 856 Москвы Е. С. Смирнова

Петров К.

П30 Квадратичная функция и ее применение: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1995.— 96 с: ил.— ISBN 5-09-004627-1.

Книга на примерах решения конкретных задач раскрывает содержание одной из ведущих тем школьного курса математики «Квадратичная функция». Может быть полезна учащимся 8—11 классов как обычных школ, так и лицеев, специализированных школ и классов с углубленным изучением математики.

ББК 22.132

ISBN 5-09-004627-1

© Петров К., 1995

ПРЕДИСЛОВИЕ

Уважаемый читатель!

Школьный курс математики построен так, что квадратичную функцию вы изучаете на протяжении ряда лет на уроках алгебры и в старших классах на уроках алгебры и начал анализа. Ваши знания по математике год от года углубляются и расширяются, что наглядно можно проследить на примере изучения свойств, графика и применения квадратичной функции. Данная книга может быть полезна ученикам 8—11 классов, как обычных школ, так и классов с углубленным изучением математики, лицеев и специализированных школ. Каждый ученик может найти в ней полезные для него примеры и задачи.

Начинается книга с краткого изложения теории, ее непосредственного применения. Основная же часть содержит множество разнообразных задач с решениями. Большинство задач по своему содержанию отличаются от тех, которые рассмотрены в школьных учебниках, решения их не стандартны. В книге много графиков, иллюстрирующих те или иные свойства квадратичной функции. Многие рисунки помогают решить упражнения. Ряд разделов отражает внутрипредметные связи. Это связь квадратичной функции с показательной, степенной, логарифмической, тригонометрическими функциями. Последовательность упражнений такова, что дает возможность использовать одни и те же рисунки, а также ранее решенные упражнения при решении новых примеров.

Автор надеется, что внимательная работа с данной книгой поможет вам хорошо усвоить одно из ведущих понятий школьной математики.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Функция вида

(1)

где афО, b и с — постоянные, а переменная х принадлежит множеству R действительных чисел, называется квадратичной функцией.

Из определения ясно, что квадратичной является и каждая из функций / {х)=ах2 + Ьх (где ЬфО, с=0), у=ах2+с (где 6=0, сфО) и у = ах2 (где Ь = с=0). Здесь для краткости область определения функции не указана, но мы имеем в виду, что D=R. (Далее, если особо не указана область определения соответствующей функции, будем считать, что область определения есть /?.)

В дальнейшем тексте в качестве синонима будем употреблять термины: наименьшее или наибольшее значение функции, абсолютный минимум или абсолютный максимум (обобщенно: абсолютный экстремум) и глобальный минимум или глобальный максимум (обобщенно: глобальный экстремум) функции.

Утверждение 1.1. Если афО, то

(2)

Это тождество легко доказать преобразованием правой части. Немного труднее доказательство преобразованием левой части путем выделения точного квадрата. Используя это утверждение и равенство (1), можно записать такую схему:

На основании равенства (2) легко доказать следующее утверждение:

Утверждение 1.2. Квадратичная функция при:

а) а>0 имеет глобальный минимум у0 = 4ас~ь при хо = '>

б) а<0 имеет глобальный максимум у0 = 4ас~ь при xq = —.

Ясно, что в каждом из двух случаев соответствующий экстремум является единственным и совпадает с наибольшим или наименьшим значением функции на R.

Утверждение 1.2 можем толковать и в связи с графиком квадратичной функции: при традиционном расположении координатной системы на плоскости точка ( —4ш74~6 ) при а>0 является самой нижней точкой графика функции, а при а<0 — самой верхней точкой графика.

После того как вы познакомились с понятиями возрастающей и убывающей функций, можем сформулировать еще одно утверждение:

Утверждение 1.3. Квадратичная функция при:

а) а>0 убывает на промежутке Di=^ — со; —--^-J и возрастает на промежутке Z)2=£— —\ оо^ ;

б) а<0 возрастает на промежутке D\ и убывает на промежутке D2.

Доказательство. Если вы не изучали начал анализа, то можете рассуждать, например, следующим образом: докажем, что при а>0 на интервале Di функция убывает. Дадим произвольные различные значения х\ и Х2 переменной, и для определенности пусть

(3)

Обозначим

через

через / (хг). Тогда достаточно доказать, что

На основании (3) последовательно находим

откуда

т. e. f(x\)>f(x2). Следовательно, на интервале Di квадратичная функция убывает.

К этому выводу короче можно прийти следующими рассуждениями:

откуда f(x\)>f(x2).

Аналогичным образом рассматриваем и остальные случаи.

При помощи производной функции утверждение 1.3 можем доказать, используя необходимое и достаточное условие убывания или возрастания функции. Утверждение 1.2 доказывается с использованием производной функции, точнее, с помощью достаточного условия существования локального экстремума.

Далее, предварительно вспомнив определение графика функции, можем приступить к изучению свойств графика квадратичной функции с рассмотрения еще одного утверждения.

Утверждение 1.4. График квадратичной функции f (х) = ах2 + +bx+c симметричен относительно прямой go, которая проходит через точку \ о) и параллельна оси ординат (или совпадает с ней).

Чтобы доказать это утверждение, даем два произвольных значения Х\ и х2 переменной, симметричных относительно точки jco = и, используя равенство (2), находим, что соответствующие значения функции равны. Можем также дать произвольное значение хз переменной, получив точку Р (лс3; / (*3)) графика функции, и показываем, что точка Q, симметричная точке Р относительно прямой go, тоже принадлежит графику.

График квадратичной функции является кривой линией, которая называется параболой. Прямая go и точка называются соответственно осью и вершиной параболы.

Известно, что ось абсцисс содержит те и только те точки, ординаты которых равны 0. Значит, чтобы установить, при каких значениях аргумента х квадратичная функция принимает значение, равное 0, нужно проверить, имеет ли парабола (график функции) хотя бы одну общую точку с осью абсцисс. Если а>0, то парабола имеет хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины ас~ ^0, т. е. когда

Ь2 — 4ас^0. Число б2 — 4ас обозначается через D и называется дискриминантом как квадратичной функции, так и квадратного уравнения

ax2 + bx + c=0. (4)

Следовательно, если а>0, то:

при D>0 уравнение (4) имеет различные действительные корни Х\ И Х2\

при D=О уравнение (4) имеет один (двукратный) действительный, корень;

при D<0 уравнение (4) не имеет действительных корней.

Если а<0, парабола имеет хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины 4ас —fr2^Q^ т е когда 4ас — Ь2^.0 или когда D^O. Таким образом, снова получаем тот же вывод.

Из этих рассуждений и утверждений 1.2 и 1.3 следует, что при а>0 возможны такие случаи:

а) при £>>0 и Х[ <лг2 функция принимает значения, равные О, для значений переменной х\ и х2, положительные значения для каждого — оо; х\)[)(х2; со), отрицательные значения для каждого x£(xi; х2)\

б) при D=0 функция принимает значение, равное 0, только для значений переменной х\ =х2 = — , положительные значения для каждого хф— -~\

в) при D<0 функция принимает положительное значение для каждого значения переменной.

Аналогично,если а<0, то:

а) при D>0 и х\<х2 функция принимает значение, равное 0, для значений переменной Х\ и х2у отрицательные значения для каждого *6(— °°\ х\)\](х2\ со), положительные значения для каждого х£(х\\ х2)\

б) при D=0 функция принимает значение, равное 0, только для значения переменной х\=х2=— —, отрицательные значения для каждого хФ — ;

в) при D<0 функция принимает отрицательные значения для каждого значения переменной.

Можно особо отметить, что если D<0, то для каждого значения переменной знак значения функции совпадает со знаком коэффициента а.

Рис. 1

Все эти свойства, содержащиеся в утверждениях 1.1—1.3, могут быть отражены в схеме, изображенной на рисунке 1 (на каждом из чертежей ось ординат не показана, потому что это обычно не имеет существенного значения при рассмотрении указанных свойств).

Часто в применениях теории используется точка пересечения параболы с осью ординат — она имеет абсциссу 0 и ординату /(0) = с. Ясно, что если одновременно а>0 и D<!0, то с^О; если одновременно а<0 и D<^0, то с^О. Если D>0, то с может быть положительным, равным 0 или отрицательным числом.

Изложенный материал полезен для дальнейшей работы с квадратными неравенствами (по одному возможному способу при помощи графика квадратичной функции) и до некоторой степени с квадратными уравнениями. Для определенной полноты теории и для некоторых ее приложений можно предложить три утверждения, обратные уже рассмотренным. Для краткости мы их только сформулируем.

Утверждение 1.5. Если квадратичная функция f(x) = ax2 + + + c имеет:

а) глобальный минимум, то а>0;

б) глобальный максимум, то а<0.

Утверждение 1.6. Если квадратичная функция f (х) = ах2 + + Ьс + с:

а) убывает на

и возрастает на

б) возрастает на Di и убывает на D2, то а<0.

Отметим, что как каждое из утверждений 1.2 и 1.3 можем доказать при помощи другого, то и каждое из утверждений 1.5 и 1.6 можем вывести из другого. Отметим еще, что если квадратичная функция рассматриваемого вида принимает только положительные (отрицательные) значения, то а>0 (а<0).

Утверждение 1.7. Если квадратное уравнение алг2+ ftjt-f-с = 0:

а) имеет два действительных различных корня, то его дискриминант D>0;

б) имеет один (двукратный) действительный корень, то D = 0;

в) не имеет действительных корней, то D<0.

Задача 1.1. Найти множество M значений квадратичной функции

Решение. Каждому действительному значению переменной x соответствует точно одно действительное значение пере-

менной у. Это означает, что для каждого значения хо переменной x в уравнении

ах* + Ьх+с = у (5)

существует точно одно значение у (это уо=/(*о)), которое ему удовлетворяет А получается ли для каждого у из (5) хотя бы одно действительное значение х? Ясно, что получаем хотя бы одно действительное значение х тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения (5) является неотрицательным, т. е. Ь2 4а (с у)>0. Отсюда

(6)

Если а>0, то из (6) находим

Следовательно, при а>0 множеством M значений функции является промежуток Г4ас~~b , оо\ , a при а<0 — промежуток

Как непосредственное следствие из полученных результатов можем рассматривать утверждение 1.2, которое, как уже показали, является и следствием из утверждения 1.3. Обратно, если имеем утверждение 1.2, то можем решить задачу 1.1 и следующим способом: из утверждения 1.2 следует, что если а>0, то МаМ\ = = ———; ooj, a если а<0, то Af czA72 = [ — оо; ———I.

Предстоит доказать, что и М\ czM, и соответственно M2C1M. Предположим, что а>0 и у — произвольное число из Mi. В таком случае если -^( — b+^Jb2 — 4а{с— у\)=х\9 Tof(x\)=y\. Это означает, что у\ СМ. Отсюда М\ сУИ, и поэтому М\ =М. При а<0 аналогично устанавливаем, что Мч = М. Следовательно, между утверждением 1.2 и задачей 1.1 существует эквивалентность.

Чтобы найти другим способом значение переменной ^ —, при котором функция принимает глобальный экстремум, достаточно в (1) или короче в (2) подставить вместо у выражение

Задача 1.2. Найти множество G значений функции

Если обозначим f(x"=y и будем рассуждать, как в задаче 1.1

(использовать дискриминант соответствующего квадратного уравнения), то найдем, что -|-^у^7, т. е. G=£-|-; 7J .

Задача 1.3. Найти:

а) глобальный минимум функции ср (х) = —gp^-foj^— и соответствующее значение переменной х\

б) глобальный максимум функции / (х)= ^J+ix+b и соответствующее значение переменной х.

Возможно ли найти глобальный максимум функции ф (х) и глобальный минимум функции f(x), как и соответствующие значения переменной?

Глобальный минимум ф (jc) находим легко, имея в виду, что

а глобальный максимум / (ле), если покажем, что

Эти значения соответственно

Остальные два экстремальных значения находим, например, при помощи производной функции, устанавливая, что полученные локальные экстремумы являются и глобальными. Если, однако, рассуждаем, как в задаче 1.1, непосредственно устанавливаем, что

Получаем, что глобальный максимум первой функции равен 2, а глобальный минимум второй функции равен 3.

Как приложение полученных результатов можем доказать, что уравнение

не имеет решения.

Далее можно приступить к задаче: «Пусть афО, Ъ и с — данные постоянные. Найти число действительных корней уравнения ах2 + Ьх+с = т в зависимости от значений действительного параметра m». Эта задача имеет непосредственную связь с задачей 1.1.

В утверждении 1.4 мы говорили о симметрии графика квадратичной функции. Этот факт здесь можем установить следующим

образом, для графика рассматриваемой функции у = ах2 +bx+c (7) строим на координатной плоскости произвольную прямую g, которая параллельна оси абсцисс или совпадает с этой осью. Другими словами, на плоскости прямая g представляется уравнением у = т (8), где m — действительный параметр. Координаты общих точек прямой и параболы — графика функции (7) — это решения системы уравнений (7) и (8), а абсциссы этих точек — это корни х\ и х2 уравнения ах2 + Ьх+с = т. И так как ^(х\+х2) = —7£=const (9), в каждой паре общих точек такой прямой g и параболы точки симметричны относительно прямой go, проходящей через точку А ^ — ^ ; 0^ и параллельной оси ординат или совпадающей с этой осью. И так как g — произвольная прямая, параллельная оси абсцисс или совпадающая с этой осью, то парабола состоит из пар точек таким образом, что в каждой паре точки симметричны относительной прямой go. Это означает, что парабола симметрична относительно прямой go.

Равенство (9) получаем, если применим формулу корней квадратного уравнения, выраженных через коэффициенты уравнения. Это равенство можем получить и с использованием одной из формул Виета для корней квадратного уравнения. Это обстоятельство имеет место и в следующей задаче:

Задача 1.4. Доказать, что если график квадратичной функции пересечен параллельными прямыми g\ и g2 с точками пересечения соответственно Л, В и С, D, то середины отрезков AB и CD лежат на прямой, параллельной оси параболы или совпадающей с этой осью.

Решение. Так как по условию каждая из прямых g\ и #2 имеет с параболой две общие точки, то каждая из них пересекает ось ординат. Поэтому каждая из них имеет уравнение вида y = kx+m (10). Чтобы найти абсциссы точек пересечения, например, первой из прямых с параболой (графиком квадратичной функции), рассматриваем систему уравнений (1) и (10). Это означает, что ищем корни квадратного уравнения ax2 + (b — k) х + с — га = 0. Отсюда для абсциссы середины отрезка AB получаем

Та же абсцисса получается и для середины отрезка CD. Следовательно, эти середины лежат на прямой, параллельной оси параболы (графика квадратичной функции) или совпадающей с этой осью.

Ясно, что если прямые gi и #2 параллельны оси абсцисс или одна из них совпадает с этой осью, то получаем ситуацию, в которой снова доказывается утверждение 1.4.

В действительности, в этой части мы используем понятие хорды параболы. С другой стороны, это понятие связано с понятиями гармонической четверки точек и полярности их относительно параболы.

В школах с углубленным изучением математики возможно продолжение изучения квадратичной функции и получение других сведений о графике функции. Например, можно рассмотреть систему уравнений, составленную из уравнений параболы и произвольной прямой плоскости. И так как эта система второй степени, то она может иметь точно 2, 1 или 0 решений. Это означает, что у параболы нет складок и изгибов.

Можем рассмотреть и вопрос о получении графика произвольной квадратичной функции из графика специальной квадратичной функции.

Могут быть полезными еще дополнительные задачи.

Задача 1.5. При каком условии для коэффициентов a, ft, с квадратичная функция f (х)=ах2+Ьх + с является четной? (Ответ: 6=0.)

Задача 1.6. Доказать, что квадратичная функция f (х) = ах? + Ьх+с не является периодической.

Утверждение можно доказать, если покажете, что не существует постоянное число 1ф0, такое, что для каждого х выполнено равенство

2. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

На основе изложенной теории можно решить несколько задач.

Задача 2.1. График квадратичной функции / (х) = ах*+Ьх+с не пересекает ось абсцисс, и свободный член с является: а) отрицательным числом; б) положительным числом. Определить знак коэффициента а в каждом случае.

Задача 2.2. График функции /(х) = ах2 +bx+c не пересекает ось абсцисс. Определить знак свободного члена с, если: а) а — Ь + с>0\ б) 4а —2ft + c<0.

Задача 2.3. На рисунке 2 построено 18 парабол, каждая из которых есть график квадратичной функции вида /(^ = 0^ + +bx-\~c. Для каждой из функций определить знаки коэффициентов а, Ь и с или равенство нулю коэффициентов Ь и с.

Замечание. На рисунке 2 даны также ответы для каждого из 18 случаев.

Задача 2.4. Найти значения действительного параметра k, при которых функция

/(*)=(*+ 5) л:2 —2 (fe + 1) Аг + 2/г —4

принимает положительное значение при любых значениях переменной.

Решение. Если k= — 5, то функция имеет вид / (х)=8х — — 14, т. е. является линейной. В этом случае она принимает положительное значение только при х>—. Это показывает, что k= — 5 не является решением задачи. Если кф — 5, то рассматриваемая функция является квадратичной. В этом случае она принимает положительное значение для каждого и только такого значения параметра, для которого одновременно коэффициент перед X2 — положительное число, а дискриминант квадратичной функции — отрицательное число. Составив соответствующие неравенства и решив систему, получим kÇ(3; со).

Задача 2.5. Найти наименьшее и наибольшее целые значения

Рис. 2

действительного параметра А, при которых функция f(x)=(k+2)x2 + 2kx+\ принимает положительное значение при любых значениях переменной.

Рассуждая, как в решении задачи 2.4, получим, что искомыми значениями параметра являются числа 0 и 1. (Заметим, что *6(—1; 2).)

Задача 2.6. Найти наибольшее целое значение действительного параметра ky для которого функция

принимает отрицательное значение при всех значениях переменной.

Решение. Так как коэффициент перед второй степенью переменной отрицательный, то достаточно того, чтобы дискриминант функции был отрицательным. Отсюда

k3-k2-k-2<0,

или

(k-2) (k2 + k+l)<0.

Но квадратичная функция cp(ß)=Ä2 + & + l имеет положительный коэффициент перед второй степенью переменой k, а ее дискриминант — отрицательное число. Это означает, что функция ср(&) принимает только положительные значения. Тогда k—2<0, откуда k<2. Это означает, что искомое наибольшее целое значение k — это число 1.

Задача 2.7. Найти расстояние между вершинами парабол, которые являются графиками квадратичных функций

/, (х)=х2 — 4х — 5 и f2 (*)=— *2+2*+3.

Вершиной параболы — графика квадратичной функции f(x)= =ax2+bx+c является точка ^ —«4ас^Ь ) . Отсюда находим, что вершинами парабол являются соответственно точки V\ (2; —9) и l/2 (1; 4). Применяя формулу для расстояния между двумя точками с заданными координатами

получаем ответ: V1V2 =Vl70.

Задача 2.8. Найти значения действительного параметра k, при которых расстояние между вершиной параболы

/ (х)=х2- 4k2 X + 4kA + k2 +1

и началом координат равно 2 -yß.

Решение. По формулам задачи 2.7 координаты вершины 2k2 и k2+1. Расстояние между вершиной параболы и началом координат — это длина радиус-вектора вершины. Из формулы длины вектора (или расстояния между двумя точками) получаем биквадратное уравнение

5£4 + 2£2-7 = 0,

откуда k=±\.

Задача 2.9. Доказать, что если m, q и / — длины сторон треугольника, то парабола

не пересекает ось абсцисс.

Решение. Так как т2>0, то чтобы доказать утверждение, достаточно установить, что дискриминант функции — отрицательное число. Находим:

D={rn2 + q2-t2)2-\m2q2 = =(m + q + t) (m-q + t)(m + q-t) {m-q-t).

По условию существует треугольник, длины сторон которого равны m, q и t. Тогда

m + q + t>0, m — q + t>0, m + q — t>Q и m — q — t<0.

Это показывает, что D<0, т. е. парабола не пересекает оси абсцисс.

Задача 2.10. Доказать, что если действительные числа m, q и t различны, то парабола

f(x)=(m2 + q2 + t2)x2+2(m + q + t)x + 3

не пересекает ось абсцисс.

Решение. Можем рассуждать, как в задаче 2.9. В таком случае после преобразований получим:

D= -4 ((rn-q)2+{q-t)2+(t--mf)<0.

Задача 2.11. Доказать, что если действительные положительные числа m, q и t такие, что m=t=2q и m2 + 4ç2 = 8/2, то парабола

f(x)=x2 — 4^/tx + m + 2q

пересекает ось абсцисс.

Решение. Достаточно установить, что вершина параболы имеет отрицательную ординату (или что дискриминант положительный). Это эквивалентно неравенству 4t>m+2q. И так как обе части этого неравенства — положительные числа, достаточно доказать, что 2 (8t2)>m2+4mq+4q2. По условию m2 + 4ç2=8/2, поэтому достаточно показать, что (m — 2q) >0. Однако это неравенство безусловно выполнено, так как по условию m=£2q.

Задача 2.12. Доказать, что если действительные положительные числа m, q и t такие, что 3m=^=q и 9m2+q2= 18/2, то функция / (х)= — х2+12 -Jïx — 3m — q принимает хотя бы одно положительное значение.

Решение задачи аналогично решению задачи 2.11.

Задача 2.13. Найти координаты пар точек, одна из которых лежит на прямой у=— *+9, а другая — на параболе у=г — — Ах — 5 и симметричных друг другу относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат. Существует ли хотя бы одна пара точек, лежащих соответственно на прямой и параболе и симметричных относительно начала координат?

Решение, а) Обозначим данную в условии прямую через g. Координаты хо и уо точки Р (одной из искомой пары точек) найдем, если используем, что Р одновременно лежит на параболе и на прямой gi, симметричной прямой g относительно оси абсцисс. Прямая g\ имеет уравнение у=х—9. Поэтому пара чисел (хо\ уо) является решением системы уравнений

откуда находим точки Р\(1; —8) и Рг(4; —5). Ясно, что точки Pi и Р2 лежат на параболе, а симметричными им точками относительно оси абсцисс являются Q\ (1; 8) и Q2 (4; 5).

Задачу можно решить короче и без использования прямой gi следующим способом: пара точек Л, ß, симметричных относительно оси абсцисс, имеет координаты (jtoî уо) и (*0; —Уо;). Одна из них лежит на прямой g, а другая — на параболе. По этой причине соответствующая числовая пара удовлетворяет соответственным уравнениям и снова приходим к этой же системе уравнений.

Отвечая на последний вопрос задачи, можно сказать, что пара точек с указанным свойством не существует.

3. КАСАТЕЛЬНАЯ К ПАРАБОЛЕ. ПРОИЗВОДНАЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

Прямая, которая имеет только одну общую точку А с параболой, а остальные точки параболы находятся в одной и той же полуплоскости относительно этой прямой, называется касательной к параболе в точке А.

Известно, что число k называется угловым коэффициентом прямой y = kx + m и он равен tg а, где а — направленный (ориентированный) угол между осью абсцисс и рассматриваемой прямой. Число m есть ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Задача 3.1. Найти координаты точки, лежащей на параболе-графике квадратичной функции, касательная в которой к параболе проходит через начало координат, если:

а) f (*) = Зл;2+6л:+12; б) / {х) = ах2 + Ьх + с.

Решение, а) Искомая касательная t имеет уравнение вида y = kx + m. И так как точка О(0; 0) лежит на t, то 0 = fe-0 + m. Отсюда т=0. Это означает, что в рассматриваемом случае прямая t имеет уравнение y = kx, т. е. достаточно найти коэффициент k. Но так как парабола и прямая t касаются, система из их уравнений имеет только одно решение. Тогда квадратное уравнение kx = 3x2 + 6х+12 имеет только один корень. Поэтому его дискриминант равен 0. Отсюда (6 — /г)2 — 122=0, k\ = — 6, &2=18. Следовательно, через начало координат проходят две прямые, каждая из которых — касательная к параболе. Они имеют уравнения у= —6х и у= 18*. Абсциссу каждой из искомых точек находим из уравнения &л: = Зл;2+6х+ 12, и она равна соответственно числам — 2 и 2. Подставив эти значения в уравнения, находим, что решения задачи — это точки (—2; 12) и (2; 36).

б) Рассуждаем, как в а), и получаем: если ас<0, задача не имеет решений; если ас>0, задача имеет два решения — это точки ( -*yfL; to-b-ypL) и(-^-; 2c + b^fL) ; если с=0, задача имеет одно решение — это точка (0; 0).

Задача 3.2. Найти уравнения общих касательных двух парабол

При каких целых значениях параметров k и m прямая y = kx+m не имеет общих точек ни с одной из этих парабол?

Решение. Если существует общая касательная к двум параболам, то ее уравнение имеет вид y=kx+m, т. е. нам нужно найти коэффициенты k и т. И так как эта прямая имеет с каждой из парабол только одну общую точку, то каждая из систем уравнений

имеет только одно решение. Поэтому из предположения, что каждый из двух дискриминантов равен 0, находим

k\ = 0, т\ = — I и k2= 18, т2= — 46.

Тогда общие касательные к двум параболам имеют уравнения у= — 1 и у=\8х — 46. Прямая y=kx + m не имеет общих точек ни с одной из парабол при всех и только при таких целых значениях параметров k и m, при которых оба дискриминанта отрицательны.

Задача 3.3. Найти угловые коэффициенты касательных к параболе / (х)=х2—4дг—5 в точках ее пересечения с осью абсцисс.

Решение. На основании геометрического смысла производной функции угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой хо равен значению производной функции в точке Хо (конечно, точка х0 должна быть внутренней точкой области определения функции). Абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс являются значениями переменной, при которых функция равна 0.

Тогда

откуда И так как

Задача 3.4. Найти квадратичную функцию вида f (х) = ах2 + Ьх + с, если известно, что точки пересечения ее графика с осью абсцисс имеют абсциссы — 1 и 5, а касательная к графику в точке с абсциссой — образует с осью абсцисс угол ^р..

Решение. Парабола проходит через точки А (— 1; 0) и В (5; 0). Это означает, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют зависимости у = ах2+Ьх+с. Отсюда а —Ь + с=0 и 25а + 5о+с=0. Кроме того, f (x)=2ax+by и, если используем последнюю часть условия, находим — 1=За + Ь. Рассматриваем систему уравнений ( а—Ь+с=0

из которой находим

Тогда искомая функция имеет вид

Задача 3.5. График функции / (х)=х2—4х — 5 пересекает ось абсцисс в точках А и ß, а ось ординат — в точке С. Найти площадь треугольника, полученного при пересечении осей координат с касательной к графику функции, построенной к параболе в точке: а) А (или В); б) С.

Решение, а) Найдем уравнение касательной t к параболе в точке А. Из задачи 3.4 знаем, что А имеет координаты (—1; 0). Касательная / имеет уравнение y = kx+my и так как А лежит на ty то 0= —Л + т. Отсюда m = k. Тогда / имеет уравнение у = = kx+k и достаточно найти k. Но из предыдущей задачи знаем, что /г ( —1)=2-( — 1) — 4 = — 6, т. е. k= — 6, и по этой причине для уравнения / окончательно находим у=— 6х—-6. Эта прямая пересекает ось ординат в точке Р(0; —6), а площадь прямоугольного треугольника ОАР есть 5=—•1«6=3.

Задача 3.6. Доказать, что функция

где V — действительный параметр, возрастает на всей области определения.

Решение. Имея в виду известное необходимое и достаточное условие возрастания функции, заключаем, что для доказательства утверждения достаточно показать, что производная функции принимает положительное значение для каждого значения переменной. Найдем производную

Для каждой из функций

первый коэффициент положительный, а дискриминант каждой из

них отрицательный. Это гарантирует, что каждая из этих функций принимает положительные значения при любом значении переменной. Так, в правой части равенства

f'{x)=X2 (5х2 - 4х+5)+(х2 - 4*+7)

получаем сумму двух слагаемых, одно из которых неотрицательное, а другое — положительное, откуда следует, что для каждого значения переменной производная данной функции принимает положительное значение. Это показывает, что функция является возрастающей.

Можно преобразовать производную иначе:

/' (х)=х4 + (х*+1)(2х-\)2 + х2 + 6.

Правая часть равенства здесь является суммой трех неотрицательных слагаемых и одного положительного. Отсюда снова вытекает, что для каждого значения переменной производная принимает положительное значение, т. е. функция возрастает. Эта задача позволяет нам решить следующую:

Задача 3.7. Доказать, что каждая касательная к графику функции

/ (х)=X5 - X4+2хъ - 2х2+7х+и,

где V — действительный параметр, образует острый угол с осью абсцисс.

Приняв во внимание геометрический смысл производной, достаточно показать, что для произвольного значения переменной производная функции принимает положительное значение. Этим задачу сводим к предыдущей.

Задача 3.8. Доказать, что функция

ср(*)= — *5 —*4—х3 + 2х2—4x + v,

где V — действительный параметр, убывает на всей области определения.

Можем поступить, как в задаче 3.6. Для этого производную можем написать, например, в виде

ер' (jc)= -*2 (5х2+4*+2)-(*-2)2.

Задача 3.9. Доказать, что каждая касательная к графику функ-ции

ф(х)= — х — X — X +2х — 4х-j-V,

где V — действительный параметр, образует тупой угол с осью абсцисс.

Так же как задачу 3.7 свели к задаче 3.6, эту задачу можем свести к задаче 3.8.

Изменение функции с точки зрения знака ее производной будем использовать и дальше. Сейчас рассмотрим разные типы

неравенств, уравнений и систем уравнений. В некоторых из них знаки значений конкретной квадратичной функции играют существенную роль.

Способ решения задач 3.6 и 3.8 позволяет нам легко решить неравенства в задаче 3.10.

Задача 3.10. Решить каждое из неравенств:

Решение, а) Неравенство запишем в виде

и, приняв во внимание то, что функция

принимает положительные значения при всех значениях переменной, заключаем, что решением неравенства является любое (действительное) значение переменной.

б) Неравенство эквивалентно неравенству

и каждая из функций

принимает положительное значение при всех значениях переменной.

в) Неравенство эквивалентно, например, неравенству

и можно рассуждать аналогично.

Задача 3.11. Доказать,что для всех действительных р и q выполнено неравенство

Решение.

I способ. Функция ф (p)=p2 + 4pq+ (5q2 — bq + 7) квадратичная с положительным первым коэффициентом при переменной р. Поэтому, для того чтобы доказать утверждение, достаточно показать, что дискриминант этой функции принимает отрицательные значения при всех значениях переменной. Но дискриминант является функцией q и D=f {q)= — q2 + 5q — 7. С другой стороны, нужно доказать, что функция f(q) принимает отрицательные значения при любом значении переменной q. И так как коэффициент перед второй степенью переменной отрицательный, достаточно установить, что дискриминайт этой функции тоже принимает отрицательное значение для каждого значения перемен-

ной. Но дискриминант / (q) равен — 3<0. Тем самым утверждение доказано.

Аналогично можем рассуждать, если левую часть данного неравенства рассмотреть как квадратичную функцию переменной q.

II способ. Утверждение следует непосредственно, если данное неравенство напишем в виде

(р + 2<7)2+(<72-5<7+7)>0. Тем же способом или короче можем решить и задачу 3.12,

Задача 3.12. Доказать, что для всех действительных р и q выполнено неравенство

р2 + 2q2-2pq-3q+4>0.

Задача 3.13. Доказать, что при любых действительных рФО и qФ0 выполнено неравенство

Когда выполнено равенство в этом нестрогом неравенстве?

Решение. Если положим

и данное неравенство примет вид х — 5х+7^0. Ясно, что квадратный трехчлен в левой части всегда положителен, а равенство никогда не выполняется.

Хотя несколько длиннее, можем рассуждать, полагая -^-=и.

Аналогично можем подходить к решению следующей задачи.

Задача 3.14. Доказать, что для всех действительных рФО и qФ0 выполнено неравенство

Когда выполняется равенство в этом нестрогом неравенстве?

Ответ на этот вопрос такой: равенство выполняется тогда и только тогда, когда или p = 2qf или 2p = q.

Задача 3.15. Доказать, что для всех действительных рфО и qФ0 выполнено неравенство

Когда выполняется равенство в этом нестрогом неравенстве?

Решение. Если положим

Тогда данное неравенство примет вид (Зл: — 8)2 ^ 0, что справедливо для каждого х. Равенство в данном нестрогом неравенстве выполняется тогда и только тогда, когда или p = 3q, или q = — Зр.

Задача 3.16. Найти все значения действительного параметра для которых неравенство

выполняется при всех действительных рФО и q=£0.

Решение. Имея в виду идею решения трех последних задач, положим

Тогда

В таком случае для решения задачи необходимо найти те значения параметра при которых для каждого х выполнено неравенство

x2 + kx + 9>0.

И так как функция

f(x)=x* + kx + 9

квадратичная и имеет положительный первый коэффициент, необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным. Отсюда

Задача 3.17. Найти все значения действительного параметра k, для которых неравенство

выполняется при всех действительных рфО и q^O.

Можем рассуждать, как в предыдущей задаче. Тогда получим, что k£[—2 V5; 2 V5].

Задача 3.18. Найти все значения действительного параметра ky для которых неравенство

выполняется при всех действительных рФО и q=£0.

Полагая теперь —---—=х> можем рассуждать, как в задачах 3.16 и 3.17.

Задача 3.19. Доказать, что:

а) если р><7>0, то р3 + 5р^2>6^3;

б) если р>2<7>0, то p*+pq2— 10?3>0;

в) если р>3<7>0, то р3 — 4р<72>15<73.

Решение, б) Рассуждения для решения задачи можем построить по-разному. Можно рассуждать следующим образом: если положим ^ = х> то из данного условия заключаем, что х>2.

Неравенство можем написать в виде

Поэтому достаточно установить, что

Но

Из того, что *>2, следует

С другой стороны, функция

тоже принимает положительные значения для каждого значения переменной. Тогда получаем, что для каждого значения переменной /(#)>0, т. е. утверждение задачи доказано.

Можем поступить таким же способом и в задаче 3.19 (а, в). Например в в) можем использовать то, что —4л: —15 = =(*-3)(*2 + Зх + 5).

Задача 3.20. Доказать, что если действительные числа р, q и г такие, что p+q+r = 3 и pq+qr+rp = Q, то каждое из этих чисел принадлежит отрезку [—1; 3].

Решение. Из первого равенства находим r = 3—p — q. Тогда второе равенство можно записать в виде q2—(3— p)ç + +р2 — 3р = 0 и можем рассматривать его как квадратное уравнение относительно q. И так как по условию q — действительное число, дискриминант последнего уравнения должен быть неотрицательным числом. Преобразовав этот дискриминант, находим р2 — 2р — 3<0. Отсюда р6[— 1; 3]. И так как в данных в условии задачи двух равенствах числа р, q и г играют одинаковую роль, можно сделать вывод, что каждое из них принадлежит отрезку [-1;3].

Задача 3.21. Доказать, что если действительные числа р, q и г такие, что p + q + r = 3 и pq + qr + rp= —9, то каждое из этих чисел принадлежит отрезку [ — 3; 5].

Можем рассуждать буквально тем же способом, что и в предыдущей задаче.

Задача 3.22. Доказать, что если k — действительный параметр и уравнение

xî-±kx+4k2 + k-2 = 0 (1)

имеет различные действительные корни, то уравнение

л:2 —4^лг —5Ä;3+ 15Ä2 —3fe + 2 = 0 (2)

не имеет действительных корней, и обратно.

Решение. Пусть уравнение (1) имеет различные действительные корни. Тогда его дискриминант Di>0, откуда k£F = =( — оо; 2). В таком случае, чтобы доказать утверждение, достаточно установить, что дискриминант D2 уравнения (2) отрицателен при всех kÇF. Но D2 = (k — 2) (5А2 — £ +1). И так как квадратичная функция / (k) = 5k2 — k+1 имеет положительный первый коэффициент и отрицательный дискриминант, то для каждого значения параметра k£F она положительна. В таком случае заключаем, что дискриминант D2 принимает отрицательные значения при всех а это означает, что уравнение (2) не имеет действительных корней.

Используя указанное представление D2i легко получаем обратное утверждение.

Задача 3.23. Доказать, что если k — действительный параметр и уравнение

x2 + 2kx + k2-k + 3 = 0

не имеет действительных корней, то уравнение

xi-4kx + k3 + 4k-3 = 0

имеет различные действительные корни, и обратно. В этом случае D\=k — 3, D2=(3 — k)(k2 — k+\).

Задача 3.24. Доказать, что если k — действительный параметр и уравнение

x2 + 4kx + 2k3 + 5k2 + k-l=0

не имеет действительных корней, то уравнение

x2-2kx + k2-2k+\=0

имеет различные действительные корни, и обратно. Теперь Di = -(2£-l)(fc2 + £ + l), D2 = 2k-\.

Задача 3.25. Доказать, что в каждой паре уравнений:

x2 — 4kx — 3ft3 + 3ft2 — 7k+ 6 = 0 при одних и тех же значениях действительного параметра ft уравнения: а) имеют различные действительные корни; б) имеют двукратные (равные) действительные корни; в) не имеют действительных корней. Найти соответствующие значения параметра.

Решение. 1) В первом случае дискриминанты уравнений соответственно равны

D, = (ft + 2) (2ft2 - ft + 1 ), D2=(k + 2) (3k2 - 2k +1 ).

И так как каждая из функций cpi (ft) = 2ft2 — ft + 1 и (p2(ft) = 3ft2-— —-2ft + 1 принимает положительные значения при любом значении параметра, из ft + 2>0 находим, что: а) если ft£( —2; со), то данные уравнения имеют различные действительные корни; б) если ft =—2, то каждое из них имеет один (двукратный) действительный корень; в) если ft£( — со; —2), то они не имеют действительных корней.

2) Во втором случае дискриминанты соответственно равны D{=(3k — 2)(k2 + k + 2) и D2=(3k — 2)(ft2 + ft + 3) и можем рассуждать аналогично.

Задача 3.26. Решить каждое из уравнений:

Решение, а) Уравнение определено при любом значении переменной, удовлетворяющей условию

или

Но квадратичная функция

принимает положительное значение при любом значении переменной, так как

Тогда получаем, что

Другими словами, исходное уравнение определено при всех *6[1; 00 )• Далее, обозначив

и подставив в исходное уравнение, получим

откуда

Затем решаем уравнение

Для любого со) обе части последнего уравнения неотрицательны, т. е. это уравнение равносильно уравнению

откуда или

В этом уравнении в левой части второй множитель снова принимает положительные значения для каждого значения переменной *Ç[1; со). Тогда лг = 5£[1; со). Итак, окончательно получаем, что данное уравнение имеет, и при этом только один, корень — число 5. б) Ответ. 3.

Задача 3.27. Доказать, что уравнение

имеет, и притом только один, положительный корень. Найти этот корень.

Решение. Рассматриваем уравнение на множестве положительных чисел. По этой причине допустимым является каждое положительное значение переменной, при котором

или

Рассмотрим функцию

И так как

то для каждого положительного значения переменной функция cp(jt) возрастает (точка графика функции с абсциссой, равной 1, является критической). Имея в виду, что ф(0) = 2, заключаем, что для неотрицательных значений переменной функция ф (х) возрастающая и ф(лг)!>2. Это означает, что хъ — Зл:2 + 3* + 2^0 для всех х^О. Дальше, положив ^2х4 — б*3 + 6х2 + 4х = т. е.

/Ç[0; оо), данное уравнение запишем в виде t2+t — 6=0 с корнями /,== —3(f[0; оо), /г = 26[0; оо). Таким образом, получаем уравнение равносильное уравнению х — Зх3 + 3х2 + 2х — 8 = 0, откуда (* —2) (я3 — х2 + л: + 4) = 0. Функция г|) (jc)=jc3—jc2+jc + 4 имеет производную г|/ (x) = 3x2 —2л;+1, которая принимает только положительное значение для каждого значения переменной, т. е. г|) (х) — возрастающая функция. Так как г|)(0) = 4, второй множитель в левой части уравнения (je — 2) (*3—х2+* + 4) = 0 принимает положительное значение для каждого положительного значения неизвестного, т. е. равен нулю лишь второй множитель, поэтому х = 2>0. Следовательно, данное уравнение имеет, и при этом только один, положительный корень, и это — число 2.

Задача 3.28. Доказать, что если uwv — произвольные постоянные, то функция y=f(x)y x£Ry имеет, и притом только один, локальный экстремум, если:

а) f(x)=x4 — 6x3 + 24x2 + ux + v;

б) f(x)= — хА + х3—х2 — ux + v.

Каков вид этого экстремума? Глобальный ли этот экстремум? Решение, a) f (х)=4х3 — 18*2 + 48* + w, /"(*)= 12 — Зх + 4). И так как для каждого значения переменной /" (х)>0, функция /' (х) возрастающая. Ясно, что эта непрерывная функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Тогда существует, и при этом только одно, значение лго переменной, при котором функция /' (х) принимает значение, равное 0. И так как /" (х0)ф0, заключаем, что данная функция обладает точно одним локальным экстремумом. Но /" (лго) > 0, поэтому локальный экстремум является минимумом. Этот локальный экстремум является и глобальным.

В случае б) можем рассуждать, как в а). Экстремум (локальный и глобальный) в этом случае является максимумом.

4. ГРАФИК КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

Говорят, что график функции */=/(*), это множество M точек Р(х\ у) плоскости, таких, что М={Р(х\ y)\x£D, y=f(x)).

С другой стороны, известно, что парабола — график квадратичной функции / (x)=ax2 + bx + c, x£R — симметрична относительно прямой /, проходящей через точку — о) и параллельной оси ординат (в частности, совпадающей с этой осью). Это показывает, что для построения параболы достаточно построить только одну из ее ветвей, а затем отразить ее симметрично относительно прямой t. Имея это в виду, на наш взгляд, уместно при построении графика квадратичной функции придерживаться следующего алгоритма:

1. Строим вершину V(xq; уо) параболы, где

2. Строим несколько точек параболы, абсциссы которых только меньшие или только большие абсциссы вершины.

3. Полученные точки соединяем плавной кривой С\.

4. Строим образ с\ кривой С\ при симметрии относительно прямой /, уравнение которой х=——.

Объединением кривых С\ и с\ является искомая парабола — график рассматриваемой квадратичной функции.

Для удобства обычно результаты вычислений заносят в таблицу.

Задача 4.1. Построить график каждой из функций:

а) / (*)=*2—4х — 5;

б) /(x)=-*2 + 2a: + 3.

Решение, а) Координаты вершины V параболы равны Хо= —-^-=2, yo=f (*о)=/ (2)=4ас~Ь — —9. Рассматриваем точки параболы с абсциссами — 1, 0 и 1, которые находятся левее хо=2. Составим таблицу:

Рис. 3

Рис. 4

Далее строим по координатам эти точки и им симметричные относительно прямой х=2. График функции изображен на рисунке 3.

б) Аналогично строим график функции (рис 4), предварительно составив таблицу:

Задача 4.2, Построить график функции у=f (х), проходящей через точку Л, если:

а) f (x)=x2 — k2x+4k — l3, A (I; -8);

б) f (х)= —x2 + kx + k2 — 6k+ll, А (1; 4).

Решение, а) Так как график проходит через точку Л, координаты этой точки удовлетворяют функциональной зависимости, т. е. — 8 = 1 —&2+4£ —13. Отсюда (* —2)2=0, т. е. k=2. Тогда находим аналитическое выражение функции: f(x)=x? — — 4а:— 5. Таким образом задачу сводим к задаче 4.1.

б) Аналогично предыдущему примеру &i=2, k2 = 3, т. е. /(*)=— х2+2х+3 или /(*)=-Jt2 + 3*+2.

Аналогично задаче 4.2 можем составить задачу с двумя неизвестными параметрами, если известно, что график соответствующей функции проходит через две данные точки (или задать какие-либо два других свойства рассматриваемой функции).

Задача 4.3. Построить график квадратичной функции вида f (je) = ах2 + Ьх + с, если известно, что этот график проходит через:

а) точки PI— 1; 0), Q(l; -8) и #(4; -5);

б) точки /((3; —8) и L (5; 0) и функция обладает глобальным экстремумом, равным —9;

в) точку S (2; 3) и имеет вершину в точке V (I; 4).

Решение. Необходимо предварительно найти коэффициенты а, Ь и с. В каждом из случаев, использовав три данных условия, находим систему уравнений для коэффициентов и решаем эту систему. Так, в случаях а) —б) получаем

f (х)=х2 — 4х — 5,

а в случае в) получаем

f (х)=—х2 + 2х+3.

Таким образом снова каждый из трех случаев сводим к задаче 4.1 (а) или задаче 4.1 (б).

Можно сформулировать задачу, аналогичную задаче 4.3, в которой для нахождения функции указанного вида необходимы три условия, которые можем задать, например, при помощи чертежей: на каждом из них построена парабола — график искомой функции, на котором отмечены данные точки и их координаты. Требуется найти координаты каждой из отмеченных точек при помощи графика. Потом рассуждения продолжаются, как в задаче 4.3.

Задача 4.4. Построить график каждой из функций:

Решение, а) Для каждого хф\ функция принимает вид f (х)=х2 — 4х — 5. Другими словами, эту задачу снова сводим к задаче 4.1 (а).

Ответ, а) График функции — это парабола, изображенная на рисунке 3 без точки А этой параболы.

б) График — это та же парабола без ее вершины V.

в) График — это та же парабола без ее точек В и М.

Задача 4.5. Решить графически:

а) уравнение х2 = 4х+5;

б) неравенство 4х<Сх2 — 5.

Решение, а) Уравнение можно решить графически, построив точки пересечения двух линий, тремя способами с помощью графиков функций: 1) обратной пропорциональности /(*)=-5~|-4 и линейной ф(х) = х\ 2) квадратичной f(x) = x* и линейной <р(*) = =4*+5; 3) квадратичной / (х)=х2—4х—5 и линейной ф(х)=0. Последний случай показан на рисунке 3, где абсциссы точки пересечения параболы и оси абсцисс — числа — 1 и 5 — являются

решениями данного квадратного уравнения. Если рассуждать таким способом, эта задача непосредственно связана с задачей 4.1 (а).

б) В этом случае можем поступить следующим образом: рассмотрим функции ==4лг и гр2 (л:)=л:2 — 5. Так как первая линейная, ее график — прямая. Вторая — квадратичная, и поэтому ее график — парабола (рис. 5). Тогда если данное неравенство имеет решения, то это все те и только те значения переменной, которые обладают свойством: если хо — произвольное из них, то ipi (лго)<г|?2 (хо). Из рисунка 5 видно, что это все те и только те числа, которые принадлежат множеству М=(— оо; _1)и(5; оо). Конечно, если данное неравенство напишем в виде ле2—-4л: — 5>0, то можно использовать параболу на рисунке 3, откуда получаем, что данное неравенство имеет решения и все они — это числа, принадлежащие множеству М.

Что общего между двумя способами рассуждений при решении этой задачи? Как уже говорили, данное неравенство имеет вид ty\ (jc)<i|)2 (*), где функции рассматриваются на одном и том же множестве чисел. И если неравенство обладает по крайней мере одним решением, то все его решения такие и только такие числа из области определения неравенства, для которых при одном и том же значении х0 значение первой функции меньше значения второй функции. Именно это — общее для указанных двух способов решения задачи.

Рассмотрим еще шесть задач, первые две из которых очень простые. Прежде чем их сформулируем, отметим: рассуждения немного изменятся, если неравенство будет иметь, например, вид

Рис. 5

Задача 4.6. Найти все значения переменной, при которых значение функции г|?1 (х) = 2 (х2 — х — 2) больше, чем значение функции г|,2 (*)=(*+1)2.

Решение. Условие задачи можно записать в виде неравенства 2 (х2 —х-2)>(*+1)2. Чтобы решить это неравенство, можем построить на одном и том же чертеже графики двух функций (это параболы) и при помощи чертежа (как на рисунке 5) искать все те и только те значения переменной jc0, для которых

число тр 1 (хо) больше числа ур2 {хо\ Но если запишем это неравенство после преобразования в виде х~ — 4х — 5>0у то можем использовать рисунок 3.

Ответ: М—(— оо; —1)U(5; оо).

В этой задаче по существу дела указаны два способа нахождения множества решений с использованием графиков двух функций — двух парабол или параболы и оси абсцисс. Конечно, задача может быть решена и алгебраическими средствами без применения графиков.

Задача 4.7. Найти графически и алгебраически значения переменной, для каждого из которых значение функции f(x) = = 4лг2 — 4лг+ 1 не меньше значения функции

у(х) = 5х*-6х-2. Если на одном чертеже построить параболы — графики данных функций, то можем при помощи этого чертежа найти все те и только те значения переменной лго, для которых значения первой функции не больше значений второй функции. Так, находим, что множество решений задачи является М=[— 1; 3]. С другой стороны, алгебраическими преобразованиями задачу сводим к отысканию множества решений неравенства — х2+ 2х+3^0, откуда снова приходим к M (рис. 4).

Задача 4.8. Найти значения действительного параметра k, для каждого из которых значение функции

f(x)=4x2 + 3kx + k2-2k + 8

больше значения функции

ф(х) = 3*2-3£х-9/г2 + 2/г+13

при одних и тех же значениях переменной.

Решение. Решить эту задачу — значит найти значения параметра, такие, что неравенство / (*)>ф {х) справедливо при всех значениях переменной. Это неравенство равносильно неравенству х2 + 6&х+ I0k2 —4k — 5>0. С другой стороны, функция ty(x) = =*2+6&jt+ I0k2 —4k — 5 должна принимать положительное значение при любых значениях переменной. И так как первый коэффициент ее положительный, решением задачи являются те и только те значения параметра, для которых дискриминант функции отрицательный. Отсюда k2 — 4k — 5>0.

Ответ: k£{— оо; —1)U(5; оо).

Задача 4.9. Найти все значения действительного параметра k, при которых значение функции

f {х) = 4х2 + bkx + 6k2+6k+2 не меньше значения функции

при одних и тех же значениях переменной.

Решение. Можем рассуждать, как в задаче 4.8, переходя соответственно к неравенству — х2 + 8kx+ 15k2+2& + 3^0, к функции г|) (х) = — x2 + 8kx+ 15&2 + 2& + 3 и к дискриминанту этой функции k2—2k —3<0. Следовательно, 1; 3].

В задачах 4.5—4.9 мы сравнивали значения двух функций при одних и тех же значениях переменной. Эту идею продолжим в задачах 4.11—4.12, предварительно рассмотрев одну задачу несколько иного типа.

Задача 4.10. Доказать, что если афО, b и с — данные постоянные, то система из п (где п^2) уравнений с п неизвестными

а) не имеет решений, если (Ь — I)2—4ас<0;

б) имеет ровно одно решение, если (Ь — I)2-—4ас=0;

в) имеет по крайней мере два решения, если (Ь — I)2 — 4ас>0.

Решение. Если положим Х2 — Х\=уи х$—Х2=у2, хп — Хп-\=Уп-\> х1—Хп=Уп, то У1+У2 + ...+Ул=0. Используя эти новые неизвестные, систему можем написать в виде

Рассмотрим функцию г|? (х) = ах2+ (Ь — 1) х + с. Ее дискриминант D = (b — I)2 — 4ас.

а) Если D<0, то для каждого значения переменной знак значения этой функции совпадает со знаком коэффициента а. Тогда сумма левых частей уравнений последней системы не равна 0, так как при любых хи х2, хп знаки значений функции одинаковые со знаком а. С другой стороны, сумма правых частей, как уже отметили, равна 0. Значит, в этом случае система не имеет решений.

б) Если D=0, левые части каждого уравнения последней системы равны 0 тогда и только тогда, когда х\ =х2 = ...=хп = 1 ~6 . В этом же случае у\ =у2=уъ = %9%=уп% При любых дру-

гих значениях х\у х2> хп соответственные значения функции не равны 0 и имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком коэффициента а. Следовательно, в этом случае система имеет и притом только одно решение.

в) Если D>0, то непосредственной проверкой убеждаемся, что система имеет по крайней мере два различных решения:

х\ = х2 =... = *л =х\ И х\ =х2 = ... —хп =х2,

где х\,2=^(\ — b±-yJD) являются различными действительными корнями уравнения ax2+(b — 1) х + с=0.

На этом решение рассматриваемой задачи закончено.

Задача 4.11. Найти числа р и 9, если известно, что неравенство x2+px+q^2x'2 —-ле+4 имеет своим решением каждое значение х, удовлетворяющее условию jcç[—2; 5].

Решение. Неравенство эквивалентно х2—(р +1) * + 4 — — 9^0. Тогда функция ф (х)=х2 — (/? +1) л:+ 4 — q имеет положительный первый коэффициент. И так как полученное неравенство должно быть выполнено для каждого 2; 5], то парабола — график функции — должна пересекать ось абсцисс в точках L( —2; 0) и M (5; 0) (это показано на рисунке 6). По формулам Виета получаем ( —2) + 5=р+1 и ( —2)-5 = 4 — 9, откуда р = 2 и 9=14.

Конечно, можно использовать тот факт, что при значениях переменной —2 и 5 функция принимает значение, равное 0. Тогда ф( — 2) = 2р —9+10 = 0, ф(5)= — 5р — 9 + 24 = 0. Отсюда снова приходим к р = 2, 9=14.

Наконец, отметим, что для решения задачи можем составлять равенство х2 — (р +1) х + 4 — q = (x + 2) (х — 5). Это иная редакция уже проведенных рассуждений.

Задача 4.12. Найти числа р и 9, если известно, что неравенство —x2+px+q>2x — 3 имеет своими решениями те и только те, которые удовлетворяют условию jcç( — 1 ; 4).

Можем рассуждать, как в задаче 4.11, и получаем р = 5, 9=1.

Задача 4.13. Решить графически каждое из неравенств:

Решение, а) На одном и том же чертеже строим параболу ^) —график функции f(x)=x2+2x—3 — и параболу —график функции ф(х) = х2 — 8х+15 (рис. 7, а). При помощи этого чертежа находим все значения переменной, при которых функции f(x) и ф(*) принимают значения с различными знаками. Получаем, что искомые решения неравенства — это все

Рис. 6 Рис. 7

*6( —3; 1)11(3; 5). На рисунке 7, а это показано штриховкой. Для самоконтроля полезно сделать схему, указанную на рисунке 7, б. Эта схема позволяет еще раз внимательно оценить ситуацию и дать верный ответ на поставленный вопрос. Ясно, что на этой схеме линия отвечает параболе , а линия (2^ — параболе ©.

б) На рисунке 8, а построены параболы и —графики соответственных квадратичных функций. Штриховкой указано, что искомые решения данного неравенства — это 5; —1)U[1; 3). На рисунке 8,6 снова построена схема рассматриваемой ситуации для качественного самоконтроля в работе.

в) График числителя данной дроби — это парабола а график знаменателя — прямая (рис. 9). Числитель и знаменатель принимают значения одинаковых знаков при — со; — 1 ]U[3; 5), и снова штриховкой это указано на рисунке 9, а. Аналогичная схема для самоконтроля дана на рисунке 9, б.

В предыдущих задачах мы искали значения переменной, для каждого из которых или две функции принимают равные значения (задача 4.5 (а)), или значения одной функции больше или

Рис. 8 Рис. 9

меньше соответственных значений другой функции (задачи 4.5(a), 4.6, 4.7, 4.11 и 4.12). Прямое отношение к этой идее имеют задачи 4.8 и 4.9. В задаче 4.13 мы сравнивали знаки соответственных значений двух функций, стоящих в числителе и знаменателе данной дроби. Ясно, что если изменяем члены дроби, можем получать очень разнообразные аналогичные задачи.

Каждое из неравенств задачи 4.13 можем рекомендовать решить и алгебраически без применения графиков. Эта возможность тоже может быть средством самоконтроля. Со своей стороны, возможны применения этой же задачи для решения других.

Задача 4.14. Найти все значения переменной х, для которых имеет смысл каждое из выражений:

Ясно, что решение 4.14 (а) сводим к задаче 4.13 (б), задачи 4.14 (б) — к задаче 4.13 (в), а 4.14 (в) — к задаче 4.13 (а).

Задача 4.15. На координатной плоскости указать множество точек, координаты которых удовлетворяют каждому из условий:

Ответ: 1. Парабола, изображенная на рисунке 3. 2 (а, б). Плоскость без точек, лежащих на параболе, изображенной на рисунке4. 3 (а, б). Объединение парабол, изображенных на рисунках 3 и 4 (эти две параболы должны быть построены в одной системе координат). 4. Вся координатная плоскость без точек, принадлежащих множеству из задачи 3 (а, б). 5. Парабола, изображенная на рисунке 3, вместе со своей внутренней областью. 6. Вся координатная плоскость без точек, принадлежащих множеству из задачи 5. 7. Множество точек, каждая из которых является внешней для параболы, изображенной на рисунке 4. 8. Парабола, изображенная на рисунке 4, вместе со своей внутренней областью.

Как известно, задача 4.14 использует решение задачи 4.13. Теперь сформулируем задачи, для решения которых используются, например, некоторые из задач 4.15.

Задача 4.16. Построить график каждой из функций:

а) /, (*)=*2-4;с-4; б) /2 {х)=х2-4х\ в) /3 (х)=-(х2-4х-5) с помощью графика функции / (х)=х2 — 4х — 5.

Решение, а) Учитывая, что f\ (х)=(х2 — 4х — 5)+1, график функции получим из параболы, изображенной на рисунке 3, параллельным переносом на вектор Г(0; 1).

в) График функции симметричен параболе, изображенной на рисунке 3, относительно оси абсцисс.

Задача 4.17. Построить в одной системе координат графики функций f{ (х)=^(х4^6х2\ f2 (jt)=jt3-3*, h (*) = 3*2-3, f, (х)= 6х, f5(x) = 6 и /6(л:) = 0. Проследить зависимость графика каждой из первых пяти функций от графика ее производной. При помощи графиков функций /3 (*), /4 (х) и /5 (х) найти промежутки выпуклости, невыпуклости и критические точки функций /1 (*),

Рисунок 10 нам помогает сделать следующие выводы:

1. Так как (/5 (*))' =/е (х) = 09 то функция fs(x) постоянная.

2. На основании того, что (/4 (x))' = fs (х) = 6>0 и (/3 (*))" =

Рис. 10

=/5(х), следует, что /4 (х) возрастает, а /3 (х) является выпуклой.

3. Приняв во внимание то, что (/3 (x))'=f4 (х)=6х, (/2 (*))" = =\а(х) и f4(x) отрицательно при любом значении переменной из интервала Mi=(—сю; 0) и положительно при любом значении

переменной из интервала М2 = (0; со), заключаем, что /3 (*) убывает на Mi и возрастает на М2\ f2 (х) невыпуклая на М\ и выпуклая на М2\ х = 0 — критическая точка.

4. Так как (/2 (*))' =/з (х) = 3л:2 —3, (fx (х))" =h(x) и f4(x) принимает отрицательные значения при любых значениях переменной на интервале ЛТ3=( — 1 ; 1) и положительные значения — на множествах М4=( — со; —1), Af5=(l; со), получаем, что f2(x) убывает на Мз и возрастает на множествах М4 и Мъ\ f\ (х) невыпуклая на Мз и выпуклая на М4 и на Ms; х= — 1 и х= \ — критические точки.

5. Так как (f\ (x))'=f2(х)=х3 — Sx и f2(x) принимает отрицательные значения при любых значениях переменной из множеств Мб=(— со; —л/3), Мб=(0; -\ß) и положительное значение для каждого значения переменной из множеств М7 =(—УЗ; 0), М8=(л/3; оо), то /i (х) убывает на ( — со ; —--у/3] и [0; -yfô] и возрастает на [—л/3; 0] и на [л/3; оо).

Проследив изменение каждой из функций, можно определить локальные и глобальные экстремумы этих функций и соответствующие значения переменной. При построении графиков можем сократить работу, использовав тот факт, что f\ (лг), /з (х), /5 (х) и fe (х) — четные функции (т. е. график каждой из этих функций симметричен относительно оси ординат), a f2 (х) и /4 (х) — нечетные (т. е. график каждой функции симметричен относительно начала координат).

Заметим, что если область определения функции является множеством, симметричным относительно начала координат, и график функции симметричен относительно оси ординат (начала координат), то функция четная (нечетная).

5. ГРАФИКИ КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛИ

Сформулируем ряд задач, связанных с построением графиков конкретных функций или применением графиков функций при решении уравнений или неравенств; задач на отыскание некоторого множества точек координатной плоскости, координаты каждой из которых удовлетворяют функциональной зависимости, некоторых глобальных экстремумов, числа корней данного уравнения в зависимости от изменения некоторого действительного параметра и т. д.

Рассмотрим задачи на построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля. Напоминаем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Это позволяет нам приступить к рассмотрению конкретных задач.

Задача 5.1. Построить график каждой из функций:

а) /(*)=*2-4|*|-5; б) f (х)=(\х\ + 1)(|*|-5);

в) f(x)=-x>+2\x\+3; г) + 1)(3-|*|).

Решение. Каждая из этих функций четная, и поэтому достаточно построить часть с графика рассматриваемой функции, например, при значениях переменной из интервала [0; оо) (или (—оо; 0]). Затем построить с' — симметричный образ с относительно оси ординат.

а) Из параболы на рисунке 3 рассматриваем ту часть, которая находится справа от оси ординат, и для этой части находим симметричный образ относительно оси ординат. Объединение этих двух частей является графиком функции (рис. 11).

б) Функция тождественна функции в случае а), т. е. график ее совпадает с графиком, изображенным на рисунке 11.

в), г) Можем рассуждать, как в а), б). График указан на рисунке 12.

Задача 5.2. Указать множество точек координатной плоскости, координаты каждой из которых удовлетворяют условию

у+*2>2|*|+3.

Решение. График функции у= —*2+2|*| +3 (задача 5.1) изображен на рисунке 12. С его помощью можно сделать вывод о том, что искомое множество состоит из всех точек внешней

Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13

области изображенной кривой, включая все точки самой этой кривой (рис. 13).

До рассмотрения следующей задачи напомним, что из графика С\ данной функции y=f(x), jcÇD, можно получить график с2 функции y=\f(x)\, x£D. Очевидно, что для всех значений переменной ху при которых f(x)^0, соответствующая точка графика С\ является точкой и графика с2\ для значений переменной х, при которых f{x)<.0, соответствующей точке графика С\ нужно строить симметричную точку относительно оси абсцисс, получив точку графика с2. Другими словами, часть графика с\9 которая находится над осью абсцисс (включая точки, лежащие на этой же оси), является частью и графика с2\ часть графика с\9 находящаяся под осью абсцисс, отображается симметрично относительно этой оси вверх и дополняет график. Таким образом, окончательно получаем график с2.

Задача 5.3. Построить график каждой из функций:

Решение, а) Исходя из вышеизложенного, строим график с помощью параболы, изображенной на рисунке 4. Для этого ту ее часть, которая выше оси абсцисс, сохраняем, а нижнюю часть отображаем симметрично относительно этой оси вверх (рис. 14).

б), в) Эти функции тождественно равны функции из а).

г) — е) Графики этих (тождественно равных) функций можно построить с помощью параболы, изображенной на рисунке 3 (рис. 15).

Задача 5.4. Решить графически и алгебраически неравенство

Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16

Решение. Для графического решения неравенства на координатной плокости строим графики С\ и с2 соответственно функций / (jc)= \х2 — 2х — 3| (здесь применяем задачу 5.3 (б)) и /(х) = 5 (рис. 16). Решение данного неравенства — это те и только те значения переменной, при которых значение первой функции меньше соответствующего значения второй функции. При помощи чертежа находим значения ху для которых точка на первом графике находится ниже соответствующей точки второго графика. Отмечая абсциссы таких точек, находим, что множество решений данного неравенства — это интервал ( — 2; 4) (это указано на рисунке 16 штриховкой).

Алгебраическое решение предоставляет разные пути для рассуждений. Например, если возьмем во внимание, что неравенство равносильно двойному неравенству — Ь<х2 — 2х — 3<5, то найдем общее решение неравенства х2 — 2л: + 2>0 (которое выполнено для всех х) и неравенства х2 — 2х — 8<0. Множество решений данного неравенства: ( — 2; 4).

Если же преобразуем данное неравенство в равносильное неравенство (х2 — 2х — 3)2<52 (так как обе части данного неравенства принимают только неотрицательные значения), то приходим к неравенству (х2 — 2# + 2) (х2 — 2х — 8)<0. Это означает, что оба множителя в левой части неравенства имеют значения одинаковых знаков для каждого одного и того же значения переменной. Но функция ф (х) = х2 — 2х+2 = (х—-1)2+ 1 >0, т. е. принимает только положительные значения для каждого значения переменной. Так, снова приходим к решению неравенства х2— — 2х — 8<0, откуда —2; 4).

Задача 5.5. Решить графически и алгебраически каждое из неравенств:

Решение. Построение на рисунке 15 графика функции f (х)= U2—- Ах — 5| подготовило графическое решение каждого из этих неравенств. На рисунках 17 и 18 штриховкой указано, что множества их решений соответственно:

а) Мх=[—2\ xi]U[*2i 6], где 0<Xi<l, *i«0,6; 3<x2<4, jt2«3,4 (рис. 17);

б) М2 = (-со; -3)U(7; со) (рис. 18).

Решая неравенства алгебраически, получим

М,=[-2; 2~V2]U[2+V2; 6], М2=(-оо; -3)U(7; оо).

Задача 5.6. Построить график каждой из функций:

Решение, а) Функция / (х) является четной. Поэтому сначала построим часть с ее графика, которая отвечает неотрицательным значениям переменной,— на рисунке 14 это часть графика, начинающаяся точкой (0; 3) и находящаяся справа от оси ординат. Этой части с строим симметричный образ с' относительно оси ординат. Объединение с и с' является графиком функции (рис. 19). Тот же график имеет функция б).

в) График функции получаем из графика функции в а), если

Рис. 17 Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

последний преобразуем при помощи параллельного переноса на вектор Г(0; —1).

г) Рассуждаем, как в а). Используя рисунок 15, получаем искомый график функции (рис. 20). Тот же график имеют и функции Д) не).

ж) График функции симметричен относительно оси абсцисс графику функции из г).

з) График функции получаем из графика функции из ж) параллельным переносом на вектор / (0; 3).

Задача 5.7. Решить графически и алгебраически каждое из уравнений:

Рис. 21

Рис. 22

Решение, а) В координатной плоскости строим графики функций / (л:) = I je2 — 41 je I — 5| и ц)(х) = х2-— 6л: + 5. Абсциссы общих точек двух графиков (рис. 21) являются искомыми решениями уравнения, это числа 0 и 5.

Алгебраические рассуждения: ясно, что если уравнение имеет по крайней мере одно решение, то это — такое значение переменной, при котором x2 — 6х + 5^>0. Числа х, удовлетворяющие этому неравенству,— это все числа из множества (—со; 1](J[5; со). Именно в этом множестве данное уравнение равносильно уравнению (х2 — 4\х\ — — 5)2 = (х2 — 6х + 5)2. Отсюда легко продолжить решение и найти ответ.

В б) и в) можем поступить таким же способом и получим соответственно ответы: б) 0 и 3; в) —4 и 0.

Задача 5.8. Решить графически каждое из неравенств:

а) |*2-2|х|-3|<5; б) \х2-2\х\-3| >х+ 1.

Решение. Рассуждая, например, как в задаче 5.4, с помощью штриховки на соответствующих рисунках, последовательно находим, что множества решений таковы:

а) (-4; 4) (рис. 22); б) (-со; 2)U(4; со) (рис. 23).

В задачах 5.1, 5.3 и 5.6 мы последовательно строили графики квадратичных функций соответственно вида y = f(\x\), y=\f(x)\ и y=\f(1*1)1. Эту идею можем продолжить. Теперь рассмотрим другие группы задач, начиная с двух троек задач, где в записи каждой функции будет участвовать трехчлен х2 — 4х — 5.

Задача 5.9. Построить график каждой из функций:

Решение.

График функции состоит из частей двух парабол (рис. 24) — первая из них до точки L (2; 0), а вторая — от точки L дальше, без точки U45; 18).

Рис. 23

График состоит из частей двух парабол (рис. 25) — первая до точки Г (5; —18), без самой точки Ту вторая от точки V (5; 18) дальше, без самой точки U.

Рис. 24 Рис. 25 Рис. 26

График состоит снова из частей двух парабол (рис. 26) — одна из них до точки /((—1; 0) и после точки U(5; 18), без самой точки U, другая — от точки К до точки Г (5; —18) без самих точек К и Т (в конечном счете точка К принадлежит, а точки Т и U не принадлежат графику рассматриваемой функции).

Задача 5.10. Построить график каждой из функций:

Решение.

График состоит из частей двух парабол (рис. 27) — одна из них до точки Я( —3; 0), без самой точки Я, а другая начинается с точки Я, включая Я, дальше, без точки ß(—1; —12).

График состоит из частей двух парабол (рис. 28) — одна из них до точки А ( — 1 ; 12), без самой точки Л, а другая начинается с точки ß( —-1; —12), без самой точки В.

График состоит из частей двух парабол (рис. 29) — одна из них до точки В (— 1 ; —12), без самой точки Ву и с точки M (5; 0) включая M, а другая начинается с точки Л (—1; 12) и кончается точкой М, без точки А.

Задача 5.11. Найти число действительных корней уравнения

(в зависимости от значений действительного параметра k).

Решение. Из рисунка 28 можно сделать вывод о том, что: а) если &6( — оо; —16), то уравнение имеет один корень; б) если k= —16, то уравнение имеет два корня; в) если&£(—16; —12), то уравнение имеет три корня; г) если ££[—12; 12], то уравнение имеет два корня; д) если &6(12; оо), то уравнение имеет один корень.

Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29

Задача 5.12. Доказать, что уравнение

имеет по крайней мере один действительный корень для каждого действительного значения параметра k.

Утверждение задачи вытекает непосредственно из решения задачи 5.11.

Задача 5.13. Найти число действительных корней уравнения

в зависимости от значений действительного параметра k.

Решение. Из рисунка 29 делаем вывод: при оо ; —12]

нет решений, при —12; 0) один корень, при k=0 два корня,

при &6(0; 12] три корня, при &Ç(12; 16) четыре корня, при 6 = 16 три корня, при /гÇ(16; оо) два корня.

Задача 5.14. Построить график функции / (х)= \х\х — 4х—5.

Решение.

Поэтому график состоит из частей двух парабол с общей точкой Р(0; —5) (рис. 30).

Задача 5.15. Решить графически уравнение \х\х—4х — 5= —5. Проверить полученные результаты, решив уравнение алгебраически.

Ответ: —4; 0; 4.

Задача 5.16. Найти точки глобальных экстремумов и значения функции в этих точках:

f (х)=\х\х—4х—5, *6[-1; 3].

Решение. Из рисунка 30 видим, что глобальный минимум /(2)=—9, глобальный максимум /(—1)=—2.

Задача 5.17. Найти все значения действительного параметра k, при которых уравнение |jc|jc—4л:—Ъ = к имеет ровно три корня.

Из рисунка 30 следует, что искомые значения параметра ft€(-9; -1).

Задача 5.18. Построить график функции

Рис. 30

Рис. 32

Рис. 33

Рис. 34

Решение.

Как и в задаче 5.14, график состоит из частей двух парабол с общей той же точкой Р(0; —5) (рис. 31).

Задача 5.19. Найти точки глобальных экстремумов и значения функции в этих точках:

Решение. Из рисунка 31 следует, что глобальный минимум /(—1)= —10, глобальный максимум /(0)=—-5.

Задача 5.20. Найти значения действительного параметра для каждого из которых уравнение \х\ (x — 4)—5 = k имеет ровно один корень.

Решение. Из рисунка 31 видно, что искомые значения параметра kÇ( — оо; —9)U( —5; оо).

Задача 5.21. Построить график функции /(jc)=|*+l| (*—5).

Решение.

График состоит из двух частей парабол с общей точкой /С(— 1, 0) (рис. 32).

Задача 5.22. Найти глобальные экстремумы функции

если:

Решение. Из рисунка 32 виден ответ: глобальные минимум и максимум соответственно таковы:

a) f (-2)—7 и /(-1)=0; б) /(1)=-8 и f (0)=-5.

Задача 5.23. Найти все значения действительного параметра при которых уравнение |* +11 (x — 5) = k имеет ровно два корня.

Решение. Из рисунка 32 видим, что искомых значений параметра только два: —9 и 0.

Задача 5.24. Построить график функции f{x)={x.+ l)\x-5\.

Решение.

График состоит из частей двух парабол с общей точкой M (5; 0) (рис. 33).

Задача 5.25. Найти точки глобальных экстремумов и значения функции в этих точках, если

/(*)=(*+1)1*-5|, х6[-2; 6].

Решение. Из рисунка 33 заключаем, что глобальный минимум /(—2)=—7 и глобальный максимум /(2)=9.

Задача 5.26. Доказать, что для каждого значения действительного параметра k уравнение

(х+1)|лг —5| =fe

имеет по крайней мере один действительный корень. Утверждение вытекает из задачи 5.24 (рис. 33).

Задача 5.27. Построить график функции

f (я)—*2—*—2—3|х+1|.

Решение. Имея в виду, что

находим: график состоит из двух частей парабол с общей точкой К{—1; 0) (рис. 34).

Задача 5.28. Найти все значения действительного параметра ky при которых уравнение

х2-х-2-3|х+1|=6

имеет по крайней мере один действительный корень.

Рис. 36

Рис. 37

По рисунку 34 видим, что искомыми значениями параметра являются 9; оо).

Задача 5.29. Построить график каждой из функций:

Решение.

Поэтому график состоит из двух частей парабол с общей точкой Q(4; -—5) (рис 35)

График состоит из частей двух парабол с общей точкой

(рис. 36).

График снова состоит из частей двух парабол с общей точкой

(рис. 37).

Задача 5.30. Найти все значения действительного параметра при которых каждое из уравнений имеет ровно три корня: a) x\x-4\=k+5; б) х2= \4х + 5\ +k.

Решение, а) Из рисунка 35 ясно, что искомые значения параметра — 5; —1); б) см. рис. 36.

Задача 5.31. Найти все значения действительного параметра k, при которых уравнение х2= |2jc + 5| +2х + & не имеет действительных корней.

Решение. Рисунок 37 помогает нам ответить, что искомые значения параметра оо; —9).

Задача 5.32. Построить график каждой из функций:

Решение.

График можно разбить на 3 части (рис. 38). На промежутках (—- сю ; — 1] и [2; оо) части одной из двух парабол, а на промежутке [—1; 2] часть другой параболы. Аналитическое задание этих парабол найти самостоятельно.

График состоит из частей двух парабол (рис. 39). Одна из частей графика принадлежит одной параболе, и первый ее участок заканчивается в точке Л' ( —-\ß; 2 -\/3), а второй начинается с точки А (-д/З; —2 УЗ). Другая часть графика принадлежит второй параболе и соединяет точки А' и А.

Ситуация, аналогичная той, что была в случае б). Только теперь ключевые точки D' (—л/5; 4 -\ß) и D (V5; —4-yß). И здесь указанные точки симметричны относительно начала координат (рис. 40).

Задача 5.33. Найти точки глобальных экстремумов и значения функции в этих точках:

f(x)=\x*-x-2\-3(x+l), *6[0; 3).

Решение. При помощи рисунка 38 находим, что глобальные минимум и максимум соответственно /(2)=—9 и /(0)=—-1.

Задача 5.34. Найти число действительных корней каждого из уравнений:

Рис. 39 Рис. 40

в зависимости от изменения действительного параметра k.

Решение. В обоих случаях ситуация аналогична. Используя, например, рисунки 39 и 40, соответственно находим:

а) если&£( — сю; — 2УЗ), то нет решений; если k= — 2 -fê, то один корень; если &Ç( — 2^ß; 2^3), то два корня; если k = 2^ß, то три корня; если &£(2-д/3; 4), то четыре корня; если £=4, то три корня; если &Ç(4; сю), то два корня;

б) если kÇ( — со; — 4 VS), то нет решений; если Ä= — 4 VS, то один корень; если /г Ç( — 4 ; 4-\/5), то два корня; если &=4-\/5, то три корня; если &£(4 -\ß\ 9), то четыре корня; если £=9, то три корня; если ££(9; сю), то два корня.

Задача 5.35. Построить график каждой из функций:

Решение.

График состоит из частей двух парабол (рис. 41): первая часть одной параболы заканчивается в точке Я(0; —5), а вторая начинается с точки Q(4; -—5); часть другой параболы соединяет точки Р и Q. (Для построения графика можем использовать график функции ф(х)= \х2 — 4х\.)

б), в) Функция четная. Поэтому достаточно построить график функции из а), т. е. части графика этой функции, которую на рисунке 41 можем указать как начинающуюся от точки Р и проходящую через точки Q и M и потом отобразить ее симметрично относительно оси ординат. Объединение графика и его образа будет искомым графиком функции (рис. 42). (Для построения графика можно использовать и график функции ф (лс)= U2 —41лг| |.)

Задача 5.36. Найти глобальный минимум функции

/(x)=U2-4*|-5, *€(-1; 4).

Решение. Используем, например, рисунок 41 и найдем, что глобальный минимум /(0)=— 5.

Задача 5.37. Решить графически уравнение U2 —4\х\ | —-3=0. Алгебраическими рассуждениями проверить полученные результаты.

Для графического решения можем применить параболу на рисунке 42. Можем предварительно построить и график функции <p(*)=U2-4U|| и при помощи этого графика решить уравнение.

В рассмотренных задачах 5.1—5.37 строятся или могут быть применимы графики функций, которые состоят из частей двух парабол — графиков конкретных квадратичных функций. Теперь рассмотрим несколько квадратичных функций, содержащих модули, график каждой из которых состоит из частей трех парабол.

Рис. 41 Рис. 42

Задача 5.38. Построить график каждой из функций:

Решение.

Части первых двух парабол имеют общую точку

(рис. 43), а части второй и третьей—общую точку

Первая и вторая параболы имеют части с общей точкой

(рис. 44), а вторая и третья имеют части с общей точкой V(2; —9).

Первые две параболы имеют части с общей точкой К(— 1; 0) (рис. 45), а вторая и третья имеют части с общей точкой Р (0; —5).

Рис. 43 Рис. 44 Рис. 45

Рис. 46 Рис. 47

Части первой и второй парабол имеют общую точку f(0; 5) (рис. 46), а части второй и третьей — общую точку D (^5; —4 -yjb).

Общие точки частей трех парабол те же самые, что и в примере г) (рис. 47).

Задача 5.39. Найти, если они существуют, глобальные экстремумы функции

f(j0=||x|*-5|-4xf лг6(2; 4).

Решение. Из рисунка 46 видно, что глобальный минимум существует: f (л/5) = — 4 -y/S. Функция не обладает глобальным максимумом.

Задача 5.40. Найти все значения действительного параметра k, при которых уравнение \\x\x—5\=4x+k не имеет действительных корней.

Решение. Из рисунка 46 находим, что искомые значения параметра таковы: &6(— оо; — 4-\ß).

Задача 5.41. Найти все значения действительного параметра k, при которых уравнение:

а) Ijc|je— |4jc + 5| =к имеет два действительных корня; три действительных корня;

б) х\х —2| — \2x+b\=k имеет два действительных корня; три действительных корня;

в) \х +11 (\х\ — b) = k имеет два действительных корня; три действительных корня; четыре действительных корня.

Решение. Рисунки 43—45 помогают нам найти значения параметра. Последовательные ответы таковы:

а) если —, то два корня; если ян —9; — —J , то три корня;

б) если k=— 9 или k =—5, то два корня; если — 9; —5), то три корня;

в) если Ä£( — 9; — 4)U(0; оо), то два корня; если k=— 4 или k = 0, то три корня; если &6( — 4; 0), то четыре корня.

В некоторых из следующих задач графики конкретных функций, содержащих модули, состоят из частей четырех, пяти или больше парабол.

Задача 5.42. Построить график каждой из функций:

Решение.

Участки первых двух парабол имеют общую точку S ( — 4; —5) (рис. 48), участки второй и третьей парабол — общую точку Р(0; —5), третьей и четвертой — точку Q (4; —5).

Участки первых двух парабол имеют общую точку М' ( — 5; 0) (рис. 49), второй и третьей — общую точку F (0; 5), третьей и четвертой — точку M (5; 0).

График состоит из частей пяти парабол. Участки первых двух парабол имеют общую точку Л ( — 2; —3) (рис. 50), второй и третьей — общую точку К 0), третьей и четвертой — общую точку ß(0; —1) и четвертой и пятой — точку V (2\ —9).

Рис. 48 Рис. 49

Ситуация, аналогичная предыдущей. Последовательные общие точки частей отдельных парабол таковы: ß(-2; -1), Р(0; -5) и С(2; -9) (рис. 51).

Задача 5.43. Решить графически каждое из уравнений:

Рис. 50 Рис. 51

Графические решения уравнений проверить алгебраическими рассуждениями.

Решение. Из рисунка 50 ясно, что первое уравнение имеет два и только два корня — числа — 1 и 5, и простые алгебраические рассуждения подтверждают эти ответы. Рисунок 51 помогает нам установить тот факт, что второе уравнение имеет, и притом только один, корень — число 5. Для решения этих уравнений можно использовать задачи 5.42 (в) и 5.42 (г).

Задача 5.44. Решить каждое из неравенств:

Решение, а) Вспомнив задачу 5.42 (б) и рисунок 49, можем сказать, что на интервале [—2; 1] функция f(x) = =(*+1)1 \х\ — 5| возрастающая. И так как/(0) = 5, искомые решения неравенства #Ç[0; 1].

б) Из рисунка 49 видно, что рассмотренная в а) функция на интервале [2; 5] убывающая. Поэтому искомые решения данного неравенства (4; 5].

Задача 5.45. Построить график каждой из функций:

Решение.

Части первых двух парабол имеют общую точку V\ (—-2; —5) (рис. 52), второй и третьей — общую точку —|-; , а третьей и четвертой — общую точку Кг(2; —9).

Общие точки частей парабол (рис. 53) : D' ( —^5; —4 -^5), F (0; 5) и D{-\ß\ -—4^5). Так как функция четная, для построения ее графика достаточно вначале построить ту часть графика, которая, например, отвечает неотрицательным значениям переменной. Горизонтальная черта означает именно это: построить части парабол под (над) чертой и применить симметрию относительно оси ординат.

Рис. 52

Рис. 53

Рис. 54

Эта функция вновь четная. Поэтому достаточно вначале построить участки парабол под (над) чертой и потом отразить симметрично относительно оси ординат (рис. 54).

Задача 5.46. Решить графически каждое из уравнений:

а) (*+1)11*1-2|-3U+1|=0;

б) |*2-5|-4|*|=0.

Без использования графиков алгебраическими рассуждениями проверить результаты графического решения.

Решение, а) Из рисунка 50 видно, что решения — это числа — 1 и 5.

б) Из рисунка 53 видно, что решения — это числа ±1 и ±5.

Задача 5.47. В зависимости от изменения действительного параметра 6 найти число действительных корней каждого из уравнений:

Решение.

а) Из рисунка 41 следует, что при б£( — оо; —5) нет решений; при 6 = — 5 два корня; при 6£( — 5; —1) четыре корня; при 6= — 1 три корня; при б£( — 1; оо) два корня.

б) Из рисунка 42 ясно, что при б£( — оо; -—5) нет решений; при 6= — 5 три корня; при 6Ç( — 5; —1) шесть корней; при 6= — 1 четыре корня; при б£( — 1; оо) два корня.

в) Из рисунка 48 заключаем, что при 6Ç( — оо; —9) один корень; при 6 =—9 два корня; при 6Ç( — 9; —1) три корня; при 6= — 1 два корня; при 6Ç( —1; оо) один корень.

г) Из рисунка 52 находим, что при 6Ç( — оо; —9) нет решений; при 6= — 9 один корень; при б£( — 9; —5) два корня; при 6 =—5 три корня; при 6 6^—5; четыре корня; при 6=-^-три корня; при £Ç^-~-; °° ) два корня.

д) Из рисунка 49 получаем, что при 6Ç( — оо; —4) один корень; при 6 =—4 два корня; при 6Ç( — 4; 9) три корня; при 6 = 9 два корня; при 6 6 (9; оо) один корень.

е) Из рисунка 47 видно, что при 6Ç( — оо; — 4-\/5) нет корней; при 6=—4-\/5 один корень; при б£(—4^5; 1) два корня; при 6 = 1 три корня; при 66(1; 5) четыре корня; при 6=5 три корня; при 66(5; оо) два корня.

ж) Из рисунка 53 ясно, что при б£( — оо; —4-^5) нет решений; при 6 = —4-^5 два корня; при б£( — 4У5; 5) четыре корня; при 6 = 5 три корня; при 6£(5; оо) два корня.

з) Из рисунка 54 следует, что при со; —4 -\/5) нет решений; при k=— 4^ß два корня; при &6(—4->/5; 3) четыре корня; при & = 3 три корня; при k6(3; со) два корня.

Отметим, что такие задачи мы можем решить и без использования графиков функций — при помощи, так сказать, чисто алгебраических рассуждений. Однако, по нашему мнению, почти во всех таких задачах применение графиков соответствующих функций имеет бесспорные преимущества. Основание для такого мнения — это относительная (по сравнению с другими методами) краткость решения, обозримость ситуации, повышенная надежность при получении конечных результатов.

Задача 5.48. Построить график каждой из функций:

Решение.

Так как функция четная, достаточно предварительно построить часть с\ ее графика, соответствующую, например, неположительным значениям переменной, а потом найти симметричный образ С\ части С\ относительно оси ординат. Объединение частей С\ и с\ составляет график функции, и он показан на рисунке 55.

График состоит, во-первых, из двух частей одной и той же параболы (первая и последняя части графика), одна из которых заканчивается в точке /С ( — 1 ; 0) (рис. 56), а другая начинается в точке /?(5; 12); во-вторых, из участка параболы, который имеет концы в точках /((—1; 0) и Л (3; 8), и, в-третьих, из отрезка с концами в точках А и В.

Идею для построения и использования графиков квадратичных функций с модулем можно продолжить в разных направлениях. Так, например, в задаче 5.48 (б) функция имеет вид / (x) = <ç (х) + + \|) (х), где <р (х) и ур (х) — квадратичные функции с корнями (значениями переменной, которые обращают функцию в нуль) соответственно Х\9 х2 И *з, *4. При этом JCl = — 1, Х2 = 5, ЛГз= — 1, jc4 = 3, т. е. в порядке возрастания jc4, jci =л:з и *2. Можем построить графики ряда других модульных квадратичных функций, например, таких, корни которых в возрастающем порядке располо-

Рис. 55

Рис. 56

Рис. 57

жены на числовой оси (как указано на рисунке 57, а—в). Возможно еще много других случаев, когда некоторые корни совпадают, когда по крайней мере одна из этих функций не имеет действительных корней и (или) по крайней мере одна из функций есть квадратичный двучлен или одночлен. Иногда такие функции, на наш взгляд, недостаточно интересны, но это вполне возможные случаи для построения графиков некоторых квадратичных функций. Отметим, что основные применения уже построенных таких графиков — это графическое решение уравнений или неравенств, нахождение глобальных экстремумов определенного вида или множества точек в координатной плоскости с указанным свойством, которому удовлетворяют координаты каждой точки из соответственного множества, определение числа действительных корней данного уравнения в зависимости от изменения действительного параметра. Возможны и более трудные задачи указанных типов.

6. КВАДРАТИЧНАЯ И ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИИ

Как известно, линейная функция f (x) = kx + m: а) возрастает тогда и только тогда, когда &>0; б) убывает тогда и только тогда, когда &<0; в) является постоянной тогда и только тогда, когда & = 0. Это можно обосновать как с помощью производной, так и без нее. (В случаях кфО при использовании производной применяется необходимое и достаточное условие возрастания или убывания дифференцируемой функции.)

Известны утверждения, что сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, а сумма двух убывающих функций является убывающей функцией. Здесь естественно возникают два вопроса, сформулированные в следующих задачах.

Задача 6.1. Можно ли утверждать, что произведение двух возрастающих функций является возрастающей функцией?

Решение. Рассмотрим функции /ч (х)=х+1 и f2 (х)=х—5. Они линейные, и, так как их первые коэффициенты положительны, эти функции возрастающие. Их произведение — это функция f (х)=(х+1)(х — 5)=х2—4х—5=ах2 + Ьх+с, т. е. квадратичная. На основании утверждения 1.3: так как а= 1 >0, то квадратичная функция f (х) убывает на промежутке Di =( — сю ; 2] и возрастает на промежутке Ьг=[2; оо). Значит, нельзя утверждать, что произведение двух возрастающих функций есть возрастающая функция.

Задача 6.2. Можно ли утверждать, что произведение двух убывающих функций является убывающей функцией?

Можем рассуждать, как в задаче 6.1, рассмотрев, например, убывающие линейные функции <р{(х)=— х— 1 и ф2 (а:)= —л:+5. Их произведение снова является квадратичной функцией: f(x) = =х2—4л: —5, которая убывает на интервале Di и возрастает на интервале D2. Это показывает, что и здесь ответ на поставленный вопрос отрицательный, т. е. мы не можем утверждать, что произведение двух убывающих функций является убывающей функцией.

Для полноты рассуждений сформулируем еще одну задачу:

Задача 6.3. Является ли убывающей или возрастающей функцией произведение возрастающей и убывающей функций?

Если рассмотрим линейные функции \|>i (jc)=x+1 и ty2(x)= = — х + 3, одна из которых возрастает, а другая убывает, то их произведение а|) (х)= — х + 2* + 3 является квадратичной функцией. Она на основании утверждения 1.3 возрастает на интервале D'=(— сю; 1] и убывает на интервале D" = [l; сю). Следовательно, ответ на вопрос отрицательный.

7. КВАДРАТИЧНАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ. КВАДРАТИЧНАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ

Для решения некоторых задач на отыскание глобальных экстремумов квадратичной функции целесообразно в трехчлене выделить точный квадрат.

Задача 7.1. Найти глобальный экстремум и соответствующее ему значение переменной и для каждой из функций:

а) <p(w)=2.9"-36.3" + 157;

б) Ф(и)=3.4"2-4и-192.2"2-4"+3073;

в) ф(^)=-5.4^+5.21+^+3, и6[3; оо).

Решение. а)ф (и)=2 (3"—9)2 — 5^ —5, откуда следует, что функция обладает глобальным минимумом, равным —5 при и=2.

б) ф (и)=3 (2"2-4"—32)2+1 > 1. И в этом случае функция принимает глобальный минимум, который получаем при и2—4и=5, откуда u\ = — 1, и,2 = Ь. Тогда минимум равен ф(—1) = ф(5)= 1.

в) ф (и)= — 5 (2^-^— i)2-j-8<8. Функция принимает глобальный максимум, равный 8 при и=3.

Можно продолжить составление задач с дальнейшим усложнением аналитического вида функций. Кроме выделения точного квадрата, для решения некоторых задач иногда очень помогает знакомый учащимся график известной функции.

Задача 7.2. Найти глобальный экстремум и соответствующее ему значение переменной для каждой из функций:

а) ф(и)=16"-4"+1-5;

б) ф(ы) = 4^-2^+2-5, ие[0] оо).

Решение, а) Если положим 4"=jc, то на основании свойства показательной функции заключаем, что лг>0. Тогда у(и) = =f {х)=х2—Ах — 5, хС(0; оо). Используя участок CAVBDM параболы, изображенной на рисунке 3, находим, что функция принимает глобальный минимум, равный —9 при лг=2, т. е. при и=-|-.

б) Можем рассуждать таким же способом, но теперь 2~^=х и лс6[1; оо)- Поэтому с помощью части AVBDM параболы, изображенной на рисунке 3, получаем, что функция обладает глобальным минимумом, равным —9, при х=2, т. е. при и = 1.

Здесь уместно рекомендовать решить задачу 7.2 методом, используемым для решения задачи 7.1, и обратно — решить задачу 7.2 с помощью рассуждений, приведенных в решении задачи 7.1. Метод, выбранный для решения задачи 7.2, мы рассмотрим более подробно в задаче 7.3.

Задача 7.3. Сравнить значения функции / (*) = açW с числом 1, если:

Решение. Отметим, что каждая из четырех данных квадратичных функций при любом значении переменной принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения, что можно показать выделением точного квадрата.

а) Основание степени 2>1, а выделив в трехчлене <р(*) точный квадрат, получим

Тогда, использовав свойство степени с положительным основанием и действительным показателем и тот факт, что ф (х) принимает только положительные значения при всех значениях переменной, заключаем, что для каждого х верно неравенство 2**~*+|>1.

б) Для любого X выполнено

в) Для любого X выполнено

г) Так как

то по свойству степени с положительным основанием и действительным показателем для каждого х выполнено

В каждом из этих примеров участвует функция вида / (х)=а*(*\ где ф (х) — квадратичная функция вида ф (х)=а\Х2+Ь\Х+С\. В зависимости от положительной и отличной от 1 постоянной а, отличной от 0 постоянной а\ и дискриминанта D квадратичной функции ф(лс) вместо четырех можем сформулировать 12 видов задач (все возможности указаны на рисунке 58).

Рис. 58

Несформулированные 8 задач (по своему виду) включены в более общие задачи 7.5 (1—12). Но прежде этого рассмотрим некоторое продолжение задачи 7.3.

Задача 7.4. Сравнить между собой число 1 и значения каждой из функций

Решение. Так как

рассмотрим функции

Ясно, что для каждого значения переменной /i (х)^0. С другой стороны, на основании того, что

при любых значениях переменной функции f2 (х) и <pi (х) принимают положительные значения. Наконец, из того, что

на основании свойства степени с положительным основанием и действительным показателем при любом значении переменной f(x)^l. Далее, так как ^3>1, каждое значение функции cpi (х) положительно, на основании свойств степени с положительным ос-

нованием и действительным показателем заключаем, что если — оо; 1), то ф(*)<1; если дс=1, то ф(*)=1; если оо), то

ср(*)>1.

Отметим, что идею этой задачи можем продолжить и обогатить. Например, можно сохранить требования задачи, а менять основания степеней и функции в показателях.

Теперь переходим к двенадцати задачам, указанным на рисунке 58.

Задача 7.5. Для каждой из следующих функций сравнить ее значения с числом 1, исследовать ее изменение, найти глобальный экстремум:

Решение. 1) Основание степени 5>1. Рассмотрим функцию ф(*)=х2—4х—5=(х+1)(х — 5). Значения функции f(x)>\ тогда и только тогда, когда ф(х)>0, т. е. при *6(— оо; — 1)(J U(5; оо); /(х)=1 тогда и только тогда, когда ф(л;)=0, т. е. при х\ = — 1 или *2 = 5; / (*)< 1 тогда и только тогда, когда ф (х)<0, т. е. при *6(— 1; 5). Далее, так как основание степени больше 1, функция / (х) убывает тогда и только тогда, когда убывает функция ф (х), т. е. при оо ; 2]; / (л:) возрастает тогда и только тогда, когда возрастает ф(х), т. е. при дсС[2; оо). Следовательно, при значении переменной хо = 2 функция ф(х) имеет глобальный минимум, откуда заключаем, что и / (х) обладает глобальным минимумом /(2) = 5~9.

На остальные вопросы дадим ответы.

2) Уз>1; 4x2 + 4*+l=(2*+l)2>0. Если хф—To / (*)> 1; —^ = 1. Если — оо; —i-J , то функция убывает, а если х(^—~; оо ^ , то возрастает; функция обладает глобальным минимумом —i-^ =1 (это можем считать следствием того, что /(jc)^l для каждого х).

3) л>1; х2+2х+2=(*+1)2+1>1. Для каждого х верно /(х)>1. Если х6(— оо; —1], то функция убывает, а если *6[— 1; °°), то она возрастает; отсюда следует, что она имеет глобальный минимум /( — 1)=я (это можем считать следствием того, что f(x)^n для каждого ле).

4) 3>1; -х2 + 5х-6=-(*-2)(*-3). Если x6(-oo; 2)|J U(3; оо), то /(*)<1; если х=2 или * = 3, то f {х)=\\ если *6(2; 3), то / (х)> 1. Если — оо; -|-J , то функция возрастает, а если *б[-|- ; оо ^ , то она убывает, а это значит, что для значения переменной -|- она имеет глобальный максимум

5) V2>1; —25%2+ 10х-1 = —(5л:—1)2<0. Если хф±-, то f (*)<1; /^-|^=1. Если — оо; -g-] , то функция возрастает, а если *б[-|-; оо ) , она убывает; тогда она обладает глобальным максимумом /^-|-^ = 1 (это можем считать следствием того, что f(x)^l для каждого х).

6) Уб>1; -*2+*-3=-(*—1)2_А<_^.. Тогда / (*)< 1 для каждого х. Если *б( — оо ; -|-J , то функция возрастает, а если оо^ , то она убывает. Поэтому она имеет глобальный максимум f( 4А=—!—

7) ^-6(0; 1); х2-х-2=(х+1)(х-2). Если *е(-оо; -1)U U(2; оо), то /(jc)<1; если х= — 1 или х = 2, то \{х)=\\ если xÇ ( — 1 ; 2), то / (х) > 1. Если х б( — оо ; -i-J , то функция возрастает; если *б£-^-; оо ) , то она убывает; значит, функция обладает глобальным максимумом f(-^-\ =4 \/2.

8) Aç(o; 1); 4*2-20* + 25=(2л:-5)2>0. Если хф\у то /(дс)<1; f^-|-^=l. Если *б( —°°; -у] > то функция возрастает; если *б[-§~; 00 ) » то она убывает; это значит, что функция принимает глобальный максимум /^-|^ = 1 (этот факт можем считать следствием того, что /(*)<1 Для каждого л:).

9) -—6(0; 1); я2—2x + 2=(x—1)2 + 1 >1. Тогда для каждого верно f(x)<\. Если х6(—оо; Ц то функция возрастает; если *6[1; то она убывает; следовательно, функция обладает глобальным максимумом /(1)=—=:.

10) -^-6(0; 1); 3 + 2JC—jc2= —(лг-Ь 1)(л:—3). Поэтому если *6(— °°; —1)11(3; оо), то f(x)>l; если х= — 1 или лс=3, то f(x)=l; еслил:6( —1; 3), то/(х)<1. Если*6(—оо; 1), то функция убывает; если х£[1; оо), то она возрастает; следовательно, функция принимает глобальный минимум /(1)=—.

11) -1,6(0; 1); 2jc—х2— 1 = — (х —1)2<0. Если хф\% то f(x)>l; f(l)=l. Если д:6(-—оо; 1], то функция убывает; если *6[1; о°)» то она возрастает; это значит, что функция имеет глобальный минимум / (1)=1 (это можем считать и следствием того, что f(x)^l для каждого х).

12) -|-е(0; 1); х-*2-2=-(л:-^-)2—1-< —L. В таком случае /(л:)>1 для каждого х. Если *б( — оо; -i-J , то функция убывает; а если *б[-|-; 00 ) , то она возрастает. Это показывает, что функция имеет глобальный минимум /^1^ = ^.5^4 (этот факт можем считать следствием того, что f (х)^(~^) 4 при любых х^ .

Задача 7.6. Исследовать каждую из следующих функций на монотонность, найти ее глобальный экстремум и соответствующее ему значение переменной:

Задача 7.7. Исследовать на монотонность и найти глобальные экстремумы (если такие существуют) каждой из следующих функций:

Решение, а) Так как —6(0; 1), то по свойству степени с положительным основанием и действительным показателем (см. задачу 5.15 и рис. 30) функция убывает на (—оо; —2] и на [2; оо) и возрастает на [—2; 2\ Функция имеет локальный минимум / (—2)=— и локальный максимум f(2)=l —) . Функция не обладает глобальным экстремумом.

б) Так как основание положительное, меньше 1, то по свойству степени с положительным основанием и действительным показателем (см. задачу 5.21 и рис. 32) ясно, что функция убывает на (—оо; —1] и на [2; оо) и возрастает на [—1; 2]. Следовательно, функция имеет локальный минимум / (— 1)= 1 и локальный максимум /(2)=^-|-^ . Она не имеет глобальных экстремумов.

в) Из задачи 5.29 (в) и рисунка 37 ясно, что на ( — оо ; 2] функция возрастает, а на [2; оо) она убывает. Значит, функция обладает локальным максимумом, который к тому же и глобальный:

г) Ситуация, аналогичная ситуации в задаче в).

е) -|-€(0; 1). Свойство степени с положительным основанием и действительным показателем (см. задачу 5.35 (б) и рис. 42) помогает нам показать, что функция возрастает на каждом из множеств (— оо ; —4], [—2; 01 [2; 4] и убывает на каждом из множеств [—4; —2], [0; 2J, [4; оо). Значит, она имеет локальный минимум /(—2)=/(2)=— и локальный (он же и глобальный) макси-мум/(-4)=/(0)=/(4)=(!-)5.

Задача 7.8. Найти глобальные экстремумы и соответствующие им значения переменной для каждой из функций:

в) /(*) = 2IUI*-5|-4UI, если: 1) *6[0; 4]; 2) *€[—5; — 1} Решение, а) Из задачи 5.29 (б) и рисунка 36 ясно, что глобальный минимум /(2)=2~9, а глобальный максимум /(—1)=1.

б) На основании задачи 5.32 (в) и рисунка 40 заключаем, что глобальный минимум / (У5) = 2~4л^, а глобальный максимум /(0) = 32.

в) Из задачи 5.38 (д) и рисунка 47 видно, что: 1) глобальный минимум f (-^/5)==2~4л^, а глобальный максимум /(0)=32; 2) глобальный минимум /( —2)=2, а глобальный максимум — 5)=210.

В задаче 7.5 мы сформулировали все возможные случаи в зависимости от основания а, коэффициента щ и дискриминанта D рассматриваемой там квадратичной функции. В задаче 7.6 указали только некоторые случаи, сохранив выражение 3*2_4*~5. В задаче 7.7 сохранили основание —6(0; 1), указали только некоторые вариации показателя степени. В задаче 7.8 снова основание постоянное: 2> 1, а несколько изменен показатель степени. В следующей задаче этого пункта мы даем только некоторые наброски, идеи, снова сохраняя, например, квадратный трехчлен лг —4дс—5.

Задача 7.9. Для каждой из функций сравнить значения функции с единицей, исследовать ее на монотонность, найти глобальный экстремум:

Решение, а) По свойству степени с положительным основанием и действительным показателем при каждом значении переменной функция ф (х) = 2х2~4х~5 принимает положительное значение. И так как 3> 1, то по другому свойству степени с положительным основанием и действительным показателем при любых значениях переменной /(*);> 1. Далее, функция g (х)=х2—4х—5 убывает на Di=(— оо; 2] и возрастает на D2=[2; оо). Приняв во внимание, что, кроме 3>1, и 2>1, заключаем, что ф(л:), а следовательно, и функция f(x) убывают на Z), и возрастают на D2. Это значит, что f (х) имеет глобальный минимум /(2) = 32

б) /(л:)=4 . По свойству степени с положительным основанием и действительным показателем для каждого значения переменной 3~x2+4jf+5>0. Отсюда f(x)>l для каждого х (на основании другого свойства указанной степени), так как 4>1. Функция я|э (х)= — х2+4л: + 5 возрастает на интервале D\ и убывает на интервале D2. С другой стороны, кроме 4>1, и 3>1. Следова-

тельно, f (х) возрастает на Di и убывает на D2, т. е. имеет глобальный максимум /(2)=439.

в) f (x)=(-\ß)~3 . Тогда 3*2_4jf~5>0 для каждого х, откуда — 3*2~4*~5<0. И так как iß> 1, то / (*)< 1 при любом х. Далее, функция g {х)=х2 —Ах — 5 убывает на Di и возрастает на D2. Тогда функция ф(л:)=— з*2-4*-5 возрастает на Di и убывает на D2, откуда из-за ^2 > 1 функция f (х) возрастает на Di и убывает на D2. Следовательно, f (х) принимает глобальный максимум f (2)= = (л/2)-3"9.

г) f(x)=4'2 *Ч4х+5. Значит, -2-*2+4х+5<0 при любых х. Но 4>1. Тогда /(*)<1 для каждого х. Кроме того, функция г|) (х)= — х2+4х+5 возрастает на Di и убывает на D2. В таком случае функция ф (х)= __2~"х2+4*+5 убывает на Di и возрастает на D2. И так как 4>1, то f (х) убывает на Di и возрастает на D2. Это показывает, что она имеет глобальный минимум f(2)=4~~2\

Задача 7.10. Существует ли хотя бы одно решение каждого из уравнений:

а) (±у=-х2 + 2х-2-, б) -2х+3=*2-2* + 3?

Решение, а) На основании свойства показательной функции левая часть уравнения принимает положительное значение при любом значении переменной. Правая же часть принимает отрицательное значение при любом х. Следовательно, уравнение не имеет решений.

б) Устанавливаем, например, выделением квадрата, что правая часть уравнения принимает положительное значение при любом X. Левая отрицательна при любом х. Поэтому уравнение снова не имеет решений.

Подумайте, возможно ли задачу б) свести к задаче а).

Задача 7.11. Решить каждое из уравнений:

Решение, а) 2~~х +2х+3=(х—3)2+17. Решим это уравнение путем сравнения глобальных экстремумов функций, находящихся в обеих его частях. Из задачи 4.1 (б) нам известно, что функция

принимает глобальный максимум

С другой стороны, 2>1, и поэтому функция

<р(х)=2-х'+2х+3

имеет глобальный максимум

Ф(1)=16.

Наконец, из уравнения функция

г|>(*)=(*-3)2 + 17.

Это значит, что г|? (х) имеет глобальный минимум

*<8)-17.

И так как 16<17, данное уравнение не имеет решений, б) Как и в а), устанавливаем, что

ф(*)=2-*,+2*+3<16

и глобальный максимум

Ф(0=16.

Далее, имея в виду, что

9 (х)=*2-4* + 20=(л;-2)2+16> 16,

функция 9 (х) имеет глобальный минимум

9 (2)= 16.

Оказалось, что глобальный максимум функции левой части уравнения равен глобальному минимуму функции правой части. Однако экстремумы получаем при различных значениях переменной. Следовательно, и это уравнение не имеет решений.

В) снова ф(*) = 2-*2+2*+3<16

и глобальный максимум

Ф(1)=16.

Функция

6 (х)=х2-2х+\7=(х-1)2 +16> 16,

поэтому ее глобальный минимум

6(1)=16.

Это показывает, что экстремумы равны и они получаются при одном и том же значении переменной х=1. Следовательно, это число является и единственным решением данного уравнения, г) Для левой части рассуждаем, как в а)—в). Функция

0(л:)=х4-2а:2+17=(х2-1)2 + 16>16.

Это означает, что функция 9 (х) обладает глобальным минимумом

9(±1)=16.

Итак

ф(1)=16=в(±1),

значит, данное уравнение имеет, и притом только одно, решение х= 1.

д) Из задачи 4.1 (б) уже знаем, что /(х)= — лс2+2л: + 3<4, откуда глобальный максимум /(1)=4. Для каждого ле последовательно находим \х—1|^0, 5U_1|^1, 45U~"^4, причем равенство в последних трех нестрогих неравенствах выполнено тогда_^ только тогда, когда х= 1. Это означает, что функция г|э (х)=45 * обладает глобальным минимумом г|) (1)==4=/(1). Следовательно, данное уравнение имеет, и притом только одно, решение х=\.

е) Как и в предыдущей задаче, устанавливаем, что для каждого значения переменной функция Fi (jc)=45,x ~"^4 и глобальный минимум F\ (±1)=4. С другой стороны, функция F2(x)=— х4 + 2х2 + 3= — (*2 —1)2+4<4. Отсюда эта функция имеет глобальный максимум /72(±1)=4=/г1 (±1). Это показывает, что уравнение имеет и притом точно два корня х\ = — 1, х2 = 1.

Задача 7.12. Доказать, что на множестве:

а) отрицательных чисел уравнение f-j-j = —х2+4х + 7 имеет, и притом только один, корень;

б) положительных чисел уравнение (л/3)*= — *2+2* + 3 имеет, и притом только один, корень.

Решение, а) Рассмотрим функции ^(д:)=^-1Л и М*) = —х2+4лг+7. На множестве отрицательных чисел первая функция убывает, а вторая возрастает. Это показывает, что если уравнение имеет корень, то он единственный. Проверкой устанавливаем, что — 1 — его корень. Это и есть искомый корень.

б) При помощи функций ф! (х)=(-^/3)х и ф2 (х)= — *2 + 2*+3 можем рассуждать, например, так: (pi (*)<ф2 (*) на промежутке (0; 1), а на промежутке [1; оо) первая функция возрастает, а вторая убывает. Значит, если уравнение имеет решение на [1; оо), то оно единственное. Проверкой устанавливаем, что число 2 является искомым корнем уравнения (это число принадлежит второму промежутку) .

8. КВАДРАТИЧНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

Задача 8.1. Найти глобальный экстремум и соответствующее ему значение переменной для каждой из функций:

а) (p(w)=log2W—41og2w — 5; б) <р(и)= — \og2^ и+2 log^ w+3;

в) y=Hog44*2-4jt-3)-log4(jt2-4*-3)-2.

Решение, а) Область определения функции D=(0; оо). Если положим log2 и=х, то получим (p(u)=f (х)=х2—4х—5. Например, выделением точного квадрата находим, что при значении переменной хо=2 функция f (х) имеет глобальный минимум, равный —9. В таком случае следует, что log2w=2. Отсюда w=4ÇD. Глобальный минимум функции ф(4)=— 9.

Для решения задачи можем использовать график функции из задачи 4.1 (а) (рис. 3).

б) Можем рассуждать, как в а), с использованием или без графика функции из задачи 4.1 (б) (рис. 4). Глобальный максимум

<P(V3) = 4.

в) Область определения D=( — оо; 2— ^7)\](2+л/7; оо). Если положим log4 (х2—4х — 3) = и, то данная функция имеет глобальный минимум у=—|-. Соответствующие значения переменной получаем из log4 {х2—4х—3)=-^-. Отсюда х2 — \х—5=0, xi = — ICD, a:2=56D.

Задача 8.2. Доказать, что при любом значении переменной функция:

Возможно ли в паре задач а) —б) (а также в) —г)) каждую из двух задач свести к другой?

Решение, а) Область определения совпадает с множеством действительных чисел. Так как основание 3> 1, то по свойству ло-

гарифмов достаточно показать, что х2 — #+2>1 для каждого Ху т. е. л:2 —*+l>0. Но квадратичная функция ф{х)=х2 — х+1 принимает только положительные значения. Это вытекает, например, из представления x——J +—• Каждую из задач а) и б) можем свести к другой. Для а) это видно из равенства / (*) = — log3 —2—1 -го - Следовательно, в определенном смысле слова эти две задачи эквивалентны.

Задача 8.3. В зависимости от изменения значений переменной определить знаки значения каждой из функций:

а) /(*) = log5(*2-2*+l); б) /M = logl(4*2-4*+l).

Решение, а) Функция определена при всех хф 1. Так как основание логарифма 5>1, то по свойству логарифмов функция принимает отрицательное значение при тех и только тех значениях переменной, при которых *2 —2х+1<1, т. е. при всех *€(0; 1)11(1; 2). Таким же образом устанавливаем, что функция принимает положительное значение при всех оо; 0)U(2; оо).

Ясно, что при #=0 и х = 2 функция принимает значение, равное 0.

б) Аналогичным образом устанавливаем, что функция принимает положительное значение при всех xÇ^O; "y)u(-£-; l) , отрицательное значение при всех — оо; 0)(J(1; °°) и значение, равное 0, при х=0 и х=\.

Теперь рассмотрим задачу на исследование функций вида f (x)=loga ф (*), где ф(дс) — квадратичная функция вида ф(#)= = a\X2 + b\x+Ci в зависимости от отличной от 1 положительной постоянной а, отличной от 0 постоянной щ и дискриминанта D квадратичной функции ф(дс). И здесь являются возможными 12 случаев (как указано на рисунке 58). В следующей задаче остановимся на 4 (из 12 возможных) парах примеров.

Задача 8.4. Для каждой из следующих функций определить знаки значений функции, исследовать ее изменение, включая нахождение глобального экстремума, если:

Решение, а) Функция определена для каждого значения переменной. При всех хф2 функция принимает положительное

значение, а при х = 2 значение функции равно 0. Она убывает на (—оо; 2] и возрастает на [2; оо). Это значит, что функция имеет глобальный минимум /(2) = 0.

б) Так как ср (х)=х2—4х + 8 = (х—-2)2 + 4^4, функция принимает положительное значение при всех значениях переменной. Она убывает и возрастает на тех же промежутках, что ива). Функция имеет глобальный минимум /(2) = 2.

в) Функция определена на (—1; 3). Функция возрастает на (— 1; 1] и убывает на [1; 3). Значит, она обладает глобальным максимумом /(l) = log->/34. Функция принимает отрицательное значение при всех *6( — 1; 1 — л/3)11(1 +л/3; 3) и положительное значение при всех xC^—yß, l+V^)- Если х=1±^, то она принимает значение, равное 0.

г) Область определения функции £> = (0; 6). Она возрастает на (0; 3] и убывает на [3; 6). По этой причине имеет глобальный максимум /(3) = log4 9 = 8.

д) Так как х2—-4х+ 13=(х—2)2+9^9, функция определена и принимает отрицательное значение при всех значениях переменной. Так как— Ç(0; 1), то она возрастает на ( — оо; 2] и убывает на [2; оо). Следовательно, функция обладает глобальным максимумом f (2)= log ! 9=—4.

е) Функция определена при любых значениях переменной и принимает отрицательное значение при хф2 и значение, равное 0, при x = 0. Из того факта, что она возрастает на ( — оо ; 2] и убывает на [2; оо), получаем, что глобальный максимум /(2)=0.

ж) Множество ( — 2; 4) является областью определения функции. Так как основание логарифма меньше 1, она имеет положительное значение при любых #6( — 2; 1—2 -\/2)U(l +2 -ß\ 4) и отрицательное значение при х 6(1 -2 л/2; 1 +2 V2). Если х= 1 ±2л/2, то функция принимает значение, равное 0. Наконец, она убывает на (—2; 1] и возрастает на [1; 4), т. е. глобальный минимум /(1) = = log±9.

з) Функция определена на (0; 4), принимает положительное значение при *Ç(0; 2—^ß)\J(2+^; 4), отрицательное значение при jcÇ(2—i/З; 2+УЗ), значение, равное 0, при x=2±^ß. Функция убывает на (0; 2] и возрастает на [2; 4). Это показывает, что она обладает глобальным минимумом /(2)=log i 4=—4.

Задача 8.5. Исследовать изменение каждой из следующих функций (включая нахождение ее глобального экстремума и соответствующего значения переменной), если:

Используя задачу 8.4 (б), можем провести все необходимые рассуждения в каждом из случаев.

Задача 8.6. Исследовать на монотонность, найти локальные и глобальные экстремумы (если такие существуют) каждой из следующих функций:

Решение, а) Из рисунка 31 следует, что функция определена на множестве D=(5; оо). И так как 2>1, а на множестве D функция ф (х)= \х\(х — 4)—5 возрастает, то возрастает и функция f(x). Это значит, что эта функция не имеет ни локального, ни глобального экстремума.

б) Область определения D=(—1; 5)U(5; оо). Так как функция œ(*)=(*+1)U—5| возрастает (рис. 33) на (—1, 2] и на (5; оо) и убывает на [2; 5), а 2 > 1, то / (х) возрастает на ( — 1 ; 2] и на (5; оо) и убывает на [2; 5). Локальный максимум /(2) = log29, а глобальных экстремумов нет.

в) С помощью рисунка 42, используя симметричный образ графика указанной там функции, заключаем, что область определения рассматриваемой функции D=( — 5; 5). При этом функция Ф (лг) = 5— I je2 — 4|лг| I возрастает на ( — 5; —4], на [ — 2; 0] и на [2; 4] и убывает на [ — 4; —2], на [0; 2] и на [4; 5), т. е. f(x) возрастает и убывает на тех же промежутках. Значит, / (л:) обладает глобальным максимумом / ( — 4)=/(0)=/(4) = log2 5 и локальным минимумом /( — 2)=/(2)=0. Она не имеет глобальных минимумов.

г) При помощи рисунка 49 находим область определения функции £>=(-— 1; 5)U(5; оо). Функция ф(*)=(*+1)| |*| — 5| возрастает на (—1; 2] и на (5; оо) и убывает на [2; 5). Основание логарифма больше 1, т. е. функция f (х) возрастает и убывает на тех же промежутках. Функция имеет локальный максимум / (2) = log2 9. Не имеет других локальных, а также глобальных экстремумов.

Задача 8.7. Найти глобальные экстремумы функции

Решение. Из симметричного относительно оси абсцисс образа графика функции, изображенного на рисунке 51, ясно, что рассматриваемая функция (на указанном промежутке) убывает.

Значит, ее глобальный максимум —=1, ее глобальный минимум /( — 2)=0.

Задача 8.8. Для каждой из следующих функций сравнить с числом 0 значения функции, исследовать ее на монотонность, а также найти ее глобальный экстремум, если:

Решение, а) Так как 2 > 1 и -у2 > 1, по свойствам степени с положительным основанием и действительным показателем и логарифмов следует, что функция f (х) убывает вместе с убыванием функции ф (х)=х — 4х — 5 на (—-оо; 2] и возрастает вместе с возрастанием функции <р(х) на [2; оо). Следовательно, f (х) имеет глобальный экстремум

Те же промежутки используются и при исследовании остальных функций.

Задача 8.9. Исследовать на монотонность, найти глобальный экстремум каждой из функций:

Решение, а) Области определения и изменения функции / (х) зависят от областей определения и изменения функций

Каждая из этих двух функций определена для каждого значения переменной; убывает на Di =(—оо; 1] и возрастает на D2=[l; оо). Следовательно, и функция / (х) убывает на Di и возрастает на D2. Значит, она имеет глобальный минимум /(1)=0.

Можем сравнить значения рассматриваемой функции с числом 0. Но при этом, так же как и в проведенных рассуждениях,

надо иметь в виду, что основания двух логарифмов больше 1.

В задачи б) — г) включены остальные основные возможные случаи для оснований двух рассматриваемых логарифмов.

Задача 8.10. Существует ли по крайней мере одно решение каждого из уравнений:

Решение, а) Так как

то уравнение не имеет решении, б) Уравнение не имеет решений.

9. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Задача 9.1. Существуют ли действительные числа и и k, такие, что:

a) sin u = 9k2 — 6k + 2; б) cos u = k2 — 26 + 3? Если существуют, найти эти числа.

Задача 9.2. Найти глобальные экстремумы и соответствующие им значения переменной для каждой из функций:

Каждую из этих задач рекомендуем решить самостоятельно с использованием различных теоретических сведений. Однако применение производной функции ведет к громоздким выкладкам и поэтому невыгодно. Опыт показывает, что целесообразнее использовать выделение точного квадрата. Приведем одно из решений задачи 9.2.

Решение, а) Если положим s'm3u=x, то jcÇ[— 1 ; 1]. В таком случае можно считать, что эта задача непосредственно связана с задачей 4.1 (а), так как достаточно рассмотреть функцию ф (u) = f (х)=х2 — 4jc — 5, х£[— 1; 1]. Из рисунка 3 ясно, что эта функция (на этом промежутке) убывает. Поэтому глобальные максимум и минимум соответственно равны 0 и —8. Соответствующие значения переменной получаем как решения тригонометрических уравнений sin Зи = — 1 и sin Зи = 1. Эти решения соответственно

б) Если положим cos2 -^=х, то *6[0; 1]. В этом случае находим функцию / (х)=х2 — Ах — 5, *6[0; 1]. При помощи рисунка 3 снова заключаем, что функция убывает и имеет глобальный максимум и минимум соответственно —5 и —8. Соответственные значения

переменной — это

в) Теперь положим cos3 4nu=xt откуда 1; 1} В таком случае получаем функцию ф (u)=f (х)= — х2 + 2* + 3, л:С[— 1 ; 1]. Используя рисунок 4, заключаем, что последняя функция возрастает. Это значит, что она имеет глобальный минимум и глобальный максимум соответственно 0 и 4. Соответствующие значения

г) Положим J sin —^—I =х. Тогда *6[0; 1], и получаем функцию / (#)= —х2 + 2лг + 3, *6[0; 1]. При помощи рисунка 4 находим, что функция имеет глобальный минимум 3, а глобальный максимум 4. Соответствующие значения переменной:

Задача 9.3. Найти глобальные экстремумы и соответствующие им значения переменной для каждой из функций:

Решение. Можем рассуждать, как в предыдущих задачах.

а) Положим

и получим функцию

Снова можем использовать параболу на рисунке 3. Функция убывающая, ее глобальный максимум 4 -у2 — 3, а глобальный минимум —4V2 —3. Значения переменной получаем как решения тригонометрических уравнений

Они соответственно равны

б) Положим

отсюда лг£[—У2; -у2]. Теперь продолжаем рассуждения при помощи функции

Можно продолжать эту идею, если составим задачу для функции с переменной, например: х = |sin Зли±cos Зпи\, т. е. х£[0; -yJ2] и т. д.

Задача 9.4. Решить каждое из уравнений:

Решение, а) По свойству степени с положительным основанием и действительным показателем оба члена в левой части принимают положительные значения при всех значениях переменной. Обозначим функции левой и правой частей уравнения соответственно через f (х) и ф (х). Таким образом, если применим неравенство Коши в зависимости между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, для функции левой части получаем:

Причем равенство выполнимо тогда и только тогда, когда числа равны, т. е.

откуда

С другой стороны,

причем равенство получаем тогда и только тогда, когда

Отсюда и из равенства x = k окончательно находим, что глобальный минимум левой части равен глобальному максимуму правой части и это возможно только, если х = — 4. Следовательно, данное уравнение имеет, и притом только одно, решение х= — 4.

Итак, мы решили уравнение функциональными рассуждениями.

При решении оставшихся трех уравнений можем провести аналогичные рассуждения.

Ответы: б) —2; в) —6; г) —1.

Задача 9.5. Доказать, что графики функций

имеют только одну общую точку. Найти координаты этой точки.

Решение. Приравнивая аналитические выражения функций, получим уравнение. Для решения задачи достаточно установить, что это уравнение имеет, и притом только одно, решение. Рассуждая, как в задаче 9.4, находим х= — 5, т. е. ( — 5; 2) — точка касания.

Задача 9.6. Имеют ли общие точки графики функций

Решение. Если поступим, как в задаче 9.5, то находим, что полученное уравнение имеет, и притом только одно, решение лг= —10. Следовательно, графики рассматриваемых функций имеют только одну общую точку.

Задача 9.7. Решить каждое из уравнений:

Решение, а) Можем применить метод решения задачи 9.4 (а), т. е. рассмотрим функции f (х)=16 12+16 12 и <р(х)= = — Зх2— 18л:—19. Первая из них составлена из двух положительных слагаемых. На основании неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных (в данном случае) чисел, т. е. неравенства Коши, находим, что /(*)^2-\/Ï6 = 8, т. е. эта функция имеет глобальный минимум, равный 8. Он получается для тех и только тех значений переменной, для каждой из которых числа 16 и 16 равны или (что то же самое) когда sin2 ^|=cos2 ~|. Отсюда cos^=0 или х = =6k + 3, k 6 Z. С другой стороны, ф (х) = — 3 (х2+6х+ = -3(х + 3)2+8<8.

Это показывает, что функция имеет глобальный максимум 8, получающийся при значении переменной —3. Отсюда и из того, что х=6& + 3, заключаем, что при k= — 1 глобальные экстремумы обеих частей данного уравнения равны и получаются при одном и том же значении переменной jc= —3. Следовательно, уравнение имеет, и притом только одно, решение х=—3.

б) Можем рассуждать аналогичным образом. Уравнение имеет только одно решение х=4.

Задача 9.8. Доказать, что графики функций

имеют только одну общую точку. Найти координаты этой точки.

Решение. Приравнивая аналитические выражения функций, получаем уравнение. Его можем решить аналогично уравнению в задаче 9.7 (а). Единственное решение этого уравнения: 2, а М(—2; 1) — общая точка графиков данных функций.

Задача 9.9. Имеют ли общие точки графики функций

Решение. Можем поступить, как в предыдущей задаче. Полученное уравнение снова имеет одно решение: х = 6. Следовательно, графики данных функций имеют, и притом только одну, общую точку.

10. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФУНКЦИИ

Задача 10.1. Найти глобальные экстремумы каждой из функций:

Ответы: функция имеет глобальный: а) максимум /(1)= 1 ; б) максимум / (3)= 1; в) минимум / (2)= —2; г) минимум /(4)= —7.

Задача 10.2. Для каждой из функций найти глобальный экстремум и соответствующее ему значение переменной:

Решение. Так как

задачу сводим соответственно к задаче 10.1 (а) и задаче 10.1 (в). Так, находим, что первая функция имеет глобальный максимум f(l) = 4, а вторая — глобальный минимум ф (2) = 1.

Можно ответить на более общий вопрос: для каждой функции найти множество ее значений. С применением или без применения производной функции устанавливаем, что 3</(*)^4 и 1<<рМ<3.

Задача 10.3. Для каждой из функций найти глобальный экстремум и соответствующее ему значение переменной:

Решение, а) Функция имеет глобальный минимум — 1 при

б) Так как

положим

Тогда

Это значит, что функция имеет глобальный минимум, равный —9. Этот экстремум получаем тогда и только тогда, когда и=0, откуда х=—(7±л[Щ. Ясно, что можно

использовать в качестве вспомогательной переменной еще, например, v = x2 — 7х + 6.

Полезно ознакомиться со следующим утверждением:

Утверждение 10.1.

1) Если функция y=f (х) определена на интервале (а; Ь) и принимает только положительные значения, можно доказать, что:

а) функция y = (J(x)f изменяется таким же образом, как и функция у=f(x);

б) функция у=/ (х) изменяется таким же образом, как и функция y=(f(x)f.

2) Если функция у=/ (л:) дифференцируема на интервале (а; Ь) и функция:

а) y=f(x) имеет в точке Хо£(а; Ь) локальный экстремум определенного типа, то и функция y=(f(x))2 имеет в точке xq локальный экстремум того же типа;

б) y=(f (х))2 имеет в точке х\ Ç(a; b) локальный экстремум определенного типа, то и функция y=f (х) имеет в точке х\ локальный экстремум того же типа.

Доказательство этого утверждения использует определения понятий возрастающей или убывающей функции, локального экстремума функции определенного типа и алгебраическое утверждение о том, что если действительные числа тип неотрицательны, то эквивалентны соотношения тЩп и m Щп , k£N.

Эти утверждения можно применить, например, для решения еще двух задач.

Задача 10.4. Без применения производной функции исследовать на монотонность и найти глобальный экстремум каждой из функций:

Ясно, что можно свести задачу б) к задаче а), а задачу в) к задаче а).

Задача 10.5. Без применения производной функции исследовать на монотонность и найти глобальные экстремумы (если такие существуют) каждой из функций:

Отметим, что задачу в) можно решать и как не связанную с утверждением 10.1. Здесь же мы имеем в виду решение каждой задачи с применением именно утверждения 10.1. Однако возможен и иной путь (снова без использования производной функции): возведением в квадрат можно получить возможность рассуждать, как в задаче 1.9.

Задача 10.6. Используя графики функций f (х)=х2 — 4х—5 и / {х) = — х2 + 2х+Ъ (рис. 3 и 4), найти глобальные экстремумы (если такие существуют) каждой из функций:

Как и в некоторых предыдущих задачах, здесь имеем с функциями, например, типа ф (w)=(i|) (и))2—4 (г|э (и)) — 5, где i|)(w)ÇD. И если найдем множество D, то, вводя вспомогательную переменную х=г|) (и), из графика функции / (х)=х2—4* — 5 рассмотрим ту часть, которая соответствует значениям переменной в зависимости от множества D.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ............................. 3

1. Элементы теории.......................... 4

2. Непосредственное применение теории к решению задач........ 14

3. Касательная к параболе. Производная квадратичной функции..... 19

4. График квадратичной функции.................... 31

5. Графики квадратичных функций, содержащих модули......... 43

6. Квадратичная и линейная функции................. 68

7. Квадратичная и показательная функции. Квадратичная и степенная функции.............................. 69

8. Квадратичная и логарифмическая функции.............. 80

9. Квадратичная функция и некоторые элементы тригонометрии..... 86

10. Квадратичная функция и некоторые другие функции......... 91

В 1995 году издательство «ПРОСВЕЩЕНИЕ» планирует выпустить следующие книги для учащихся:

Гущев Ю. А. Экспресс — аренда.

Крейнин Я. Л. Функции. Пределы. Уравнения и неравенства с параметрами.

Лоповок Л. М. 1000 проблемных задач.

Смирнова И. М. В мире многогранников.

Ткачева М. В. Домашняя математика, 8 кл.

Шапиро А. Д. Зачем нужно решать задачи.

Грицаенко Н. П. Ну-ка, реши!

Мочалов Л. П. Головоломки.

Гусев В. А. и др. Справочник по математике.

Мадер В. В. Тайны ряда N.

Учебное издание

Константин Петров

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова

Редактор л. Н. Белоновская Младший редактор Н. Е. Терехина Художник В. В. Костин Художественный редактор Е. Р. Дашук Технический редактор С. С. Якушкина Корректор Г. И. Мосякина

ИБ № 14745

Сдано в набор 23.04.93. Лицензия ЛР № 010001 от 10.10.91. Подписано к печати 12.11.93. Формат 60 X 90Vi6- Бум. офсетная № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 6,0. Усл. кр.-отт. 6,25. Уч.-изд. л. 4,76. Тираж. 35 000 экз. Заказ 686.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной

рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.