С. М. НИКОЛЬСКИЙ

М.К. ПОТАПОВ

Н.Н. РЕШЕТНИКОВ

А. В. ШЕВКИН

АРИФМЕТИКА

С. М. НИКОЛЬСКИЙ

М. К. ПОТАПОВ

Н.Н. РЕШЕТНИКОВ

А.В. ШЕВКИН

АРИФМЕТИКА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1988

ББК 22.130 Н64

УДК 511.1(075.4)

Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Арифметика. Пособие для самообразования.—М.: Наука. Гл. ред. физ,-мат. лит., 1988.—384 с.

ISBN 5-02-013764-2

Школьный арифметический материал излагается в книге систематически, поэтому последовательность изложения отличается от принятой в известных учебниках по математике для 5—6 классов.

Приведены основные упражнения и задачи.

Для преподавателей математики и самообразования. Доступна школьникам 5—6 классов.

Ил. 115. Табл. 12.

Рецензенты

доктор физико-математических наук В. А. Скворцов

доктор физико-математических наук профессор А. Б. Шидловский

ISBN 5-02-013764-2

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1988

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.......................... 7

Глава I. Натуральные числа и нуль............. 11

§ 1. Натуральный ряд................ 11

§ 2. Строение натурального числа в десятичной системе счисления.................... 12

§ 3. Сравнение натуральных чисел .......... 15

§ 4. Законы сложения ............. 13

§ 5. Вычитание.................... 21

§ 6. Умножение. Законы умножения.......... 23

§ 7. Распределительный закон............. 27

§ 8. Сложение и вычитание чисел столбиком...... 30

§ 9. Вычисление произведений целых неотрицательных чисел...................... 33

§ 10. Степень с натуральным показателем........ 35

§11. Деление..................... 33

§ 12. Свойства делимости................ 40

§ 13. Признаки делимости............... 42

§ 14. Деление с остатком................ 47

§ 15. Числовые выражения............... 50

§ 16, Вычисления с помощью микрокалькулятора .... 53

§ 17. Представление натуральных чисел на координатной полуоси ....... .............. 57

§ 18. Исторические сведения.............. 59

Вопросы для повторения по материалу главы I....... 62

Глава II. Метрическая система мер ............ 65

§ 19. Измерение отрезков................ 65

§ 20. Величины. Исторические сведения......... 67

§ 21. Метр....................... 63

§ 22. Метрические единицы длины ....... 70

§ 23. Прямоугольник .................. 72

§ 24. Единицы площади.............. . 75

§ 25. Прямоугольный параллелепипед.......... 78

§ 26. Единицы объема................. 80

§ 27. Единицы массы.................. 82

§ 28. Единицы времени................. 83

Вопросы для повторения по материалу главы II....... 86

Глава III. Целые числа ................. 89

§ 29. Отрицательные целые числа............ 89

§ 30. Правила знаков. Модуль числа.......... 91

§ 31. Сравнение целых чисел.............. 93

§ 32. Сложение целых чисел.............. 94

§ 33. Законы сложения целых чисел........... 97

§ 34. Разность целых чисел............... 99

§ 35. Произведение и частное целых чисел........ 101

§ 36. Распределительный закон............. 104

§ 37. Раскрытие скобок и заключение в скобки..... 107

§ 38. Действия с суммами нескольких слагаемых..... 110

§ 39. Представление целых чисел на координатной оси . . 111

§ 40. Исторические сведения.............. 113

Вопросы для повторения по материалу главы III....., 115

Глава IV. Обыкновенные дроби.............. 116

§ 41. Простые и составные числа............ 116

§ 42. Делители натурального числа ........... 118

§ 43. Наибольший общий делитель........... 123

§ 44. Наименьшее общее кратное............ 125

§ 45. Понятие дроби.................. 128

§ 46. Равенство дробей................. 133

§ 47. Приведение дробей к общему знаменателю..... 139

§ 48. Сравнение дробей................. 143

§ 49. Сложение дробей................. 149

§ 50. Законы сложения ................ 154

§ 51. Вычитание дробей................. 158

§ 52. Смешанные дроби................. 162

§ 53. Сложение и вычитание смешанных дробей..... 166

§ 54. Умножение дробей................ 169

§ 55. Деление дробей.................. 174

§ 56. Законы умножения................ 178

§ 57. Решение задач.................. 183

§ 58. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда .................. 188

§ 59. Единицы измерения скорости........... 192

§ 60. Представление положительных дробей на координатной оси...................... 195

§ 61. Исторические сведения.............. 199

Вопросы для повторения по материалу главы IV....... 202

Глава V. Рациональные числа............... 203

§ 62. Отрицательные дроби............... 203

§ 63. Рациональные числа................ 206

§ 64. Сравнение дробей ................ 211

§ 65. Сложение и вычитание дробей........... 213

§ 66. Произведение и частное дробей.......... 216

§ 67. Переместительный и сочетательный законы сложения. Распределительный закон............. 221

§ 68. Переместительный и сочетательный законы умножения ....................... 225

§ 69. Представление рациональных чисел на координатной оси......................... 230

Вопросы для повторения по материалу главы V....... 234

Глава VI. Пропорции................... 238

§ 70. Буквенные выражения.............. 238

§ 71. Подобные слагаемые................ 244

§ 72. Уравнения.................... 248

§ 73. Решение задач с помощью уравнений....... 251

§ 74. Отношение и пропорция.............. 256

§ 75. Прямая и обратная пропорциональность...... 262

§ 76. Масштаб..................... 268

Вопросы для повторения по материалу главы VI....... 273

Глава VII. Десятичные дроби................ 275

§ 77. Понятие десятичной дроби............. 275

§ 78. Сравнение положительных десятичных дробей . . . 280

§ 79. Перенос запятой в десятичной дроби........ 284

§ 80. Сложение и вычитание положительных десятичных дробей...................... 287

§ 81. Умножение десятичных дробей........... 293

§ 82. Деление десятичных дробей............ 298

§ 83. Понятие о проценте................ 304

§ 84. Решение задачи на проценты............ 309

§ 85. Десятичные дроби произвольного знака....... 313

§ 86. Исторические сведения.............. 316

Вопросы для повторения по материалу главы VII...... 319

Глава VIII. Обыкновенные и десятичные дроби...... 320

§ 67. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь.................... 320

§ 88. Понятие периодической десятичной дроби...... 324

§ 89. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби ...................... 323

§ 90. Непериодические десятичные бесконечные дроби. Иррациональные числа ....... ....... 332

§ 91. Сравнение действительных чисел. Приближение числа 337

§ 92. Вычисления с помощью микрокалькулятора .... 345

§ 93. Округление при умножении и делении чисел .... 349

§ 94. Основные свойства действительных чисел ...... 352

Глава IХ. Система координат.............. 356

§ 95. Длина отрезка ................. 356

§ 96. Координатная ось............... 360

§ 97. Декартова система координат на плоскости . . . . 365

§ 98. Графики..................... 372

§ 99. Исторические сведения 377

Приложение............... 383

ВВЕДЕНИЕ

Данная книга представляет собой попытку систематически изложить арифметику в пределах программы V и VI классов. Таким образом, предполагается, что наш читатель знает математику в пределах начальной школы: умеет производить арифметические действия с натуральными числами и даже имеет некоторое представление о дробях.

Дроби изучаются практически с самого начала, но тот факт, что школьник имеет некоторое представление о дробях, освобождает нас от необходимости вводить много примеров, приводящих к понятию дроби. Мы имеем в виду такие важнейшие «физические» примеры, как, например: 1) три яблока разделить между пятью мальчиками; 2) убедиться в том, что две третьих части торта и и четыре шестых его части—это физически одно и тоже.

Первая задача приводит не только к понятию дроби 3/5, но и к тому, что ее надо рассматривать как частное 3:5. Вторая задача приводит к естественности формального равенства 2/3 = 4/6.

Перед авторами стояла задача все эти вещи формализовать, изложить компактно и доступно, но так, чтобы было видно, где в них логическое начало и где конец, где здесь «физика» и где логика. Логику тоже нельзя замазывать— она как раз дает основу для умения правильно вычислять.

Арифметика—логическая наука, на ней можно учиться логически мыслить—конечно, если излагать ее не «вверх ногами», как это иногда случается. Счастливым образом формализм арифметики имеет прикладное значение, потому что он дает правила вычислений. Но при-

кладной части тоже надо уделять внимание. Умножить 2/3 на 5/7 — это значит вычислить дробь 2∙5/3∙7; это надо твердо знать. Но также необходимо знать, что при этом мы решили и физическую задачу—взяли две третьих части от пяти седьмых (например, яблока) или вычислили площадь прямоугольника со сторонами 2/3 и 5/7.

Мы старались систематически изложить обе стороны указанных явлений—формальную и прикладную—их объединить и в некоторых случаях разъединить, потому что формализм арифметики необходим для практики вычислений. Конечно, должна быть еще и общая идея. Такой идеей яляется формирование понятия числа как длины отрезка, а еще точнее—как координаты произвольной точки прямой. В этом втором смысле понятие «число» объединяет в себе положительные и отрицательные числа.

Наконец, большую роль в этих вопросах играет и педагогика— надо изложить вопрос доходчиво и компактно. Мы очень часто слышим, что школьники доходят до старших классов и не знают арифметики. В старших классах это положение исправляют тем, что заставляют отстающих выполнять упражнения на повторение арифметики. Но это плохой выход. Прежде всего надо подумать об улучшении преподавания арифметики в то время, когда она изучается. Это возможно, если арифметику проходить в логическом порядке или, как мы говорим, систематически. Опыт такого систематического изложения мы предлагаем в этой книге. Избран следующий порядок изложения:

I. Натуральные числа и нуль.

II. Метрическая система мер.

III. Целые числа.

IV. Обыкновенные дроби.

V. Рациональные числа.

VI. Пропорции.

VII. Десятичные дроби.

VIII. Обыкновенные и десятичные дроби.

IХ. Система координат.

От натуральных чисел мы переходим к целым. Наблюдения показывают, что на главе «Натуральные числа» не надо долго задерживаться, потому что школьники и даже учителя считают, что все это уже проходилось в младших классах, и неохотно работают с этим материалом. Но на самом деле натренированность учеников в вычислениях с натуральными числами в это время еще недостаточна.

Мы вводим целые числа так рано потому, что идею отрицательного числа легче всего усвоить на целых числах, которые могут при этом служить новым интересным материалом для продолжения отработки навыков работы с натуральными числами. Получается экономия времени и сил.

В следующей главе («Обыкновенные дроби») отрицательные числа не нужны, но в упражнениях для повторения они рассматриваются. Свойства чисел любого знака (глава «Рациональные числа») сводятся к соответствующим свойствам целых чисел.

При желании главы III и IV можно переставить. Впрочем, в этом случае выражения типа 1—2 + 3 придется разъяснять после дробей—мы считаем это по крайней мере странным.

Десятичные дроби стоят у нас после обыкновенных дробей. Мы прямо скажем, что не можем согласиться с порядком изложения этих вопросов, предлагаемом в «Тематическом планировании» программы по математике для средней школы. По этому плану десятичным дробям предшествует малосущественный кусочек из обыкновенных дробей. Из него можно почерпнуть только понятие обыкновенной дроби, а также сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Основное свойство дроби, неизменность ее при сокращении (см. пример с тортом), предлагается рассматривать только через год. Но приведенных фактов о дробях недостаточно даже, чтобы обосновать, например, что 0,5=0,50.

Нельзя также согласиться с методом введения дробей любого знака (рациональных чисел), культивируемым в наших учебниках при полной поддержке методистов. Есть более простой способ—перспективный как с научной, так

и с педагогической точки зрения. Идея отрицательного числа вводится на целых числах, в дробном же случае она сводится к целым числам. Это естественно. Непонятно почему этот путь не используется. Наши читатели-учителя могут проверить этот вопрос на деле.

Мы употребляем буквы, но очень осторожно—только в той мере, когда кажется, что буква легче поясняет вопрос, чем пример с числом. В большей части рассуждений доказательства ведутся на характерных числовых примерах. Все же примеров, когда выгодно использование буквенных выражений, достаточно много, и, таким образом, книга вносит определенный алгебраический элемент в образование читателя.

Отметим, что вопросы, излагаемые в главах VIII и IX этой книги, предусмотрены школьной программой 7-го и следующих классов. Мы думаем, что при соответствующем элементарном изложений место этих вопросов должно находится на стыке 6-го и 7-го классов. Это даст истинную опору при изучении алгебры и геометрии. Кроме того, систематическое изложение арифметики предполагает определенную завершенность курса.

Мы выражаем благодарность учителю средней школы № 75 пос. Черноголовка Московской области Е. А. Веденеевой, обучавшей школьников по этой книге.

Высказанные выше идеи на практике проверены также одним из авторов книги А.В. Шевкиным при работе в школе № 679 г. Москвы.

Мы благодарны методической комиссии Математического Института АН СССР, которая положительно оценила материалы рукописи нашей книги, а также В. А. Скворцову и А. Б. Шидловскому за полезные советы.

Отметим, что данная книга может быть полезна тому, кто желает привести в порядок свои знания по арифметике, в частности при подготовке к вступительным экзаменам в техникумы и высшие учебные заведения.

Глава I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ

§ 1. Натуральный ряд

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... называются натуральными или целыми положительными числами.

Мы записали натуральные числа в порядке их возрастания. В таком виде они образуют натуральный ряд или ряд натуральных чисел.

Число 0 не считается натуральным.

Для записи натуральных чисел пользуются десятичной системой счисления, в основе которой лежат знаки

0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

называемые цифрами.

Натуральные числа записываются при помощи цифр. Например, число 37 записано цифрами 3 и 7, число 108 — цифрами 1, 0 и 8, а число 5—цифрой 5.

На первом месте в натуральном ряду стоит число 1, за ним следует 2, далее 3 и так до 9; после 9, согласно правилам десятичного счисления, следует 10, а за 10 следует 11 и так далее.

В натуральном ряду нет последнего числа—за каждым натуральным числом следует еще одно натуральное число, за которым следует другое натуральное число и так далее. Все натуральные числа записать невозможно. Поэтому при записи натурального ряда выписывают несколько первых натуральных чисел, после которых ставят многоточие.

Важную роль в десятичной системе счисления играет число 10. Десять единиц называются десятком, десять десятков—сотней, десять сотен—тысячей и так далее. Эти названия используются при чтении натуральных чисел в десятичной системе счисления:

1—единица 10—десять 100—сто 1 000—тысяча 10000—десять тысяч 100 000—сто тысяч 1 000 000—миллион 10000 000—десять миллионов 100 000 000 — сто миллионов 1 000 000 000—миллиард 10000 000 000—десять миллиардов 100 000 000 000—сто миллиардов

УПРАЖНЕНИЯ

1. Назовите первые десять натуральных чисел.

2. Сколько различных цифр используется для записи натуральных чисел в десятичной системе счисления?

3. Является ли число 0 натуральным числом?

4. Прочитайте следующие числа:

100, 10000, 1000 000, 10, 10000 000, 100000, 1000.

5. Как называется запись натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания (начиная с 1)?

6. Запишите следующие числа:

сто тысяч, миллион, сто, десять миллионов, десять тысяч, миллиард, тысяча, десять миллиардов, десять, сто миллиардов, сто миллионов.

§ 2. Строение натурального числа в десятичной системе счисления

В десятичной системе счисления один и тот же знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от того места (позиции), где он расположен.

В связи с этим для записи любых натуральных чисел необходимо только десять цифр для обозначения нуля и первых девяти натуральных чисел.

Если натуральное число записано одной цифрой, то оно называется однозначным, двумя цифрами—двузначным, тремя цифрами—трехзначным и так далее. Например,

1, 7, 9—однозначные числа,

11, 27, 99—двузначные числа,

320, 589 —трехзначные числа,

56 321 —пятизначное число.

Нуль считается однозначным числом.

Первая цифра справа в десятичной записи натурального числа называется цифрой первого разряда или разряда единиц, вторая цифра справа—цифрой второго разряда или разряда десятков, третья—цифрой третьего разряда или разряда сотен.

Как определяются натуральные числа по их записи, видно из следующих примеров:

Число 99 состоит из 9 десятков и 9 единиц:

99 = 9 десятков+ 9 единиц. Это можно записать так:

Число 3 278 состоит из 3 тысяч, 2 сотен, 7 десятков, 8 единиц: 3 278 = 3 тысячи + 2 сотни + 7 десятков + 8 единиц или

Вот еще примеры:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Приведите примеры:

1) двузначного числа; 2) трехзначного числа;

3) пятизначного числа; 4) семизначного числа.

2. В следующих числах укажите цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и так далее:

1) 123; 2) 102; 3) 4 387;

4) 12 530; 5) 13 287 905; 6) 2000 000006.

3. Является ли нуль однозначным числом?

4. Запишите число, состоящее из

1) одной тысячи, двух сотен, трех десятков и пяти единиц;

2) пяти десятков тысяч, девяти тысяч, семи сотен и четырех единиц;

3) восьми сотен, пяти десятков;

4) шести сотен тысяч и трех десятков.

5. Прочитайте следующие числа, запишите их в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 325 = 300 + 20 + 5.

1) 12638; 2) 138536; 3) 3 174643.

6. Прочитайте следующие числа, запишите их в виде суммы произведений цифр разрядов на один, десять, сто и так далее. Например, 325 = 3∙100 +2∙10 +5∙1.

1) 725; 2) 53 306; 3) 803 120.

7. Запишите числа:

1) восемьсот двадцать три тысячи триста семьдесят четыре;

2) семнадцать миллионов четыреста восемьдесят три тысячи пятьсот семь;

3) двести восемь тысяч пять;

4) тридцать две тысячи десять;

5) семьсот два миллиона семьдесят два.

8. Сколько цифр использовано для записи числа 18917? Сколько из них различных цифр?

9. Составьте все трехзначные числа, в записи которых используются цифры 0, 1, 2, без повторения одинаковых цифр в одном числе.

10. Какие цифры могут стоять в каждом разряде числа? Какие цифры могут стоять в высшем (наибольшем) разряде числа?

11. Сколько всего однозначных, двузначных, трехзначных натуральных чисел?

12. В книге пронумерованы все страницы с 1 по 148.

Сколько всего цифр потребовалось напечатать для нумерации страниц?

13. Для нумерации страниц в книге потребовалось напечатать 1989 цифр. Сколько страниц в книге?

14. Ученик токаря сделал 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей за смену изготовили токарь и ученик вместе?

15. Мальчик прочитал 42 страницы книги, и ему осталось прочитать на 2 страницы больше. Сколько страниц в книге?

§ 3. Сравнение натуральных чисел

Пусть а и b—натуральные числа. Число b считается большим числа а, если оно находится в ряду натуральных чисел

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

правее, чем число а. При этом пишут b > а и говорят «b больше а» или пишут а < b и говорят «а меньше b».

Пример. На рис. 1.1 изображен отрезок А В длиной 5 см и отрезок AD длиной 3 см.

Отрезок AD есть часть отрезка AB, поэтому мы говорим, что длина AB больше длины AD. Это соответствует тому, что 5 > 3, т. е. что в натуральном ряду число 5 находится правее числа 3.

Если а, b и с—натуральные числа и b в ряду натуральных чисел находится правее а, а с находится правее b, то из этого следует, что с находится правее а. То есть из b>аиc> b следует, что с > а.

Пишут также это в виде двойного неравенства а < b < с, говорят «b больше а, но меньше с».

Но натуральные числа можно сравнивать и по их записи. Правила сравнения заключаются в следующем:

1. Числа равны, если у них одинаковое число разрядов и цифры соответствующих разрядов одинаковые.

Рис. 1.1

Пример. 12345678 и 12345678 равны. В этом легко убедиться, записав одно число под другим.

2. Из двух чисел больше то, у которого число разрядов больше.

Пример. 3456> 987, потому что число 3 456 содержит на один разряд больше числа 987.

3. Из двух чисел с одинаковым числом разрядов больше то, у которого цифра высшего разряда больше.

Пример. 2801 < 3 322, потому что оба числа четырехзначные и цифра высшего (четвертого) разряда первого числа меньше цифры высшего (четвертого) разряда второго числа (2 < 3).

4. Если цифры высшего разряда двух чисел (с одинаковым числом разрядов) одинаковые, то для сравнения этих чисел надо обратиться к наибольшему разряду, для которого цифры данных чисел различны. То из чисел больше, у которого цифра этого разряда больше.

Пример. 2817< 2821, потому что оба числа четырехзначные, цифры их четвертых и третьих разрядов соответственно равны, а цифры второго разряда разные— у первого числа эта цифра меньше, чем у второго.

Каждое натуральное число а больше нуля. Это записывают так:

а>0.

Натуральные числа называют еще целыми положительными числами. Число 0 тоже целое, но не положительное число.

Числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... называют целыми неотрицательными числами. Это название оправдано тем, что кроме неотрицательных чисел есть еще и отрицательные числа, с которыми мы познакомимся позднее (в главе III).

Заметим, что выражение «цифра 2 меньше цифры 3» употреблялось нами для упрощения речи. На самом деле имелось в виду «число 2 меньше числа 3».

УПРАЖНЕНИЯ

1. Назовите число, которое следует в натуральном ряду за числом:

13, 276, 3590, 305 899, 999 999 999.

2. Назовите число, которое предшествует в натуральном ряду числу:

2, 74, 100, 3 050, 438 109, 1000 000 000.

3. У каждого ли натурального числа есть в натуральном ряду последующее и предшествующее (предыдущее) натуральные числа?

4. Запишите наименьшее однозначное, двузначное, трехзначное, четырехзначное натуральное число.

5. Запишите наибольшее однозначное, двузначное, трехзначное, четырехзначное натуральное число.

6. Существует ли наименьшее натуральное число? Существует ли наибольшее натуральное число?

7. Прочитайте запись:

8. Верно ли использованы знаки сравнения:

9. Поставьте между следующими числами знак сравнения

10. Сравните натуральные числа, заменяя знак «?» одним из знаков сравнения (=, <, >):

11. Прочитайте двойные неравенства:

Назовите все натуральные числа а, удовлетворяющие каждому из этих неравенств. 12. Запишите в виде двойного неравенства условия:

13. Существует ли целое число, меньшее любого натурального числа?

14. Запишите в виде равенства или неравенства следующие предложения:

1) число 12 988 больше 129;

2) число 33 005 меньше числа 33 066;

3) число 7 больше числа 0;

4) числа 15 и 15 равны.

15. Поставьте знак сравнения:

1) 20 к. и 15 к.; 2) 1 р. и 90 к.;

3) 120 к. и 1 р.; 4) 5 р. 25 к. и 526 к.

16. Книга стоит 45 к., а авторучка на 50 к. больше. Сколько стоят книга и авторучка вместе?

17. В магазине купили пакет молока за 32 к., батон хлеба за 18 к. и пачку масла, которая на 40 к. дороже пакета молока. Сколько стоит вся покупка?

18. Принимая участие в операции «Миллион — Родине», пионеры 4 «А» класса собрали 220 кг макулатуры, пионеры 4 «Б» — на 60 кг больше, а пионеры 4 «В» — на 10 кг меньше, чем пионеры 4 «А» и 4 «Б» вместе. Сколько килограммов макулатуры собрали пионеры трех классов вместе?

19. Старшеклассники помогали совхозу. За первый день они собрали 312 ящиков огурцов, за второй—на 120 ящиков больше, чем за первый. За третий день они собрали на 18 ящиков меньше, чем за первый и второй вместе. Сколько ящиков огурцов собрали старшеклассники за три дня?

§ 4. Законы сложения

Чтобы сложить числа 5 и 3, можно рассуждать следующим образом. Рассмотрим ряд натуральных чисел. Отметим в этом ряду число 5, отсчитаем от него вправо три числа. Получится число 8, называемое суммой чисел 5 и 3: 8 = 5 + 3.

Но можно отметить в натуральном ряду сначала число 3, а затем от него отсчитать вправо пять чисел. Получится снова число 8, называемое суммой чисел 3 и 5:

Таким образом, сумма не изменяется от перестановки слагаемых:

Точно так же для любых натуральных чисел а и b справедливо равенство

выражающее переместительный или коммутативный закон, сложения:

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Сложим теперь три числа 3, 2, 4. Для этого, применяя уже известный способ, отметим в натуральном ряду число 3, затем отсчитаем от него вправо 2 числа и 4 числа. Получится число 9.

Следовательно,

Отметим теперь в натуральном ряду число 3, отсчитаем от него 2 + 4 = 6 чисел. Получится тоже 9: 3 + (2+4) = 9.

Таким образом, мы получили равенство

показывающее, что вместо того, чтобы к (3 + 2) прибавить 4, можно к 3 прибавить (2 + 4), а результат будет тот же.

Точно так же для любых натуральных чисел а, b и с справедливо равенство

выражающее сочетательным или ассоциативный закон сложения:

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Отметим, что сумму трех слагаемых можно записать и без скобок:

Для любого натурального числа а справедливы равенства

В сумме нескольких слагаемых можно переставлять слагаемые и заключать их в скобки любым образом. Например, верны равенства

Докажем эти равенства, применяя на каждом этапе рассуждений переместительный или сочетательный закон сложения:

Рассмотренные законы сложения широко используют для упрощения вычислений.

Пример. 23+ 118+ 17 = (23+ 17)+ 118 = 40+ 118 = 158.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Поясните, как можно найти сумму чисел 4 и 3 с помощью натурального ряда.

2. Запишите переместительный закон сложения для чисел 5 и 8, 124 и 39, а и b.

3. Устно выполните действия:

4. Определите порядок выполнения действий при вычислении суммы:

Получатся ли в заданиях 1) и 2) одинаковые результаты? Почему?

5. Запишите сочетательный закон сложения для чисел 2, 3, 5 и a, b, с.

6. Примените законы сложения для упрощения вычислений и выполните сложение:

7. Найдите сумму:

8. При устном сложении натуральных чисел часто используют следующий прием:

Используя этот прием, выполните сложение чисел:

9. Вычислите сумму натуральных чисел от 1 до 100:

Постарайтесь выполнить задание устно.

10*. Можно ли среди первых ста натуральных чисел выбрать 50 чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100? Можно ли выбрать 52 числа с теми же условиями?

§ 5. Вычитание

Пусть а и b—неотрицательные целые числа и а больше или равно b (пишут а⩾b).

Разностью чисел а и b называется такое число, обозначаемое а—6, которое при сложении с b дает а, т. е.

Число а называется уменьшаемым, b—вычитаемым.

Пример. Из 9 вычесть 6.

Очевидно, что 9—6 = 3, так как 3 + 6 = 9.

Покажем это с помощью натурального ряда.

Отметим в натуральном ряду число 9 и отсчитаем от него влево 6 чисел. Получится число 3: 9—6 = 3.

Если к 3 прибавить 6, т. е. отсчитать от числа 3 вправо 6 чисел, то получится число 9:

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1) Какое число называется разностью чисел 5 и 3, 8 и 7, а и 2, а и b? Запишите в каждом случае разность, назовите уменьшаемое и вычитаемое. 2) Докажите, что 12—8 = 4.

2. Как называется неизвестное число х в следующих примерах? Объясните, как его найти.

3. Туристы планировали за три дня пройти 65 км. За первый день они прошли 24 км, за второй день — 22 км. Сколько километров им оставалось пройти после первого дня? Сколько километров им осталось пройти в третий день?

4. В вазе стоят гвоздики двух цветов — розовые и красные. Розовых 12, а красных на 3 меньше. Сколько всего гвоздик стоит в вазе?

5. В магазине заплатили за сыр 78 к., за молоко—на 6 к. меньше, чем за сыр, а за сахар на 26 к. больше, чем за сыр. Сколько стоит вся покупка?

6. В трех классах 44 девочки—это на 8 человек меньше, чем мальчиков. Сколько в трех классах мальчиков? Сколько всего учащихся в трех классах?

7. Мальчику 10 лет. Он на два года старше своего брата, а их отец в 5 раз старше младшего из мальчиков. Сколько лет отцу?

8. Доярки надоили за июль 300 тысяч литров молока, что на 4 тысячи литров больше, чем они надоили в июне, и на 6 тысяч литров меньше, чем надоили в августе. Сколько литров молока доярки надоили за летние месяцы?

9. Устно найдите разность чисел 46 и 22, прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по 1, по 2, по 3 и в каждом случае найдите разность. Сравните полученные результаты.

10. Докажите, что от прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяется, т. е. если а—b = с, то (а + n) — (b+n) = c.

11. Объясните способ вычитания, использованный в упражнениях 1)—3):

примените этот способ для вычисления разности:

12. Устно вычислите разность:

§ 6. Умножение. Законы умножения

Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4—это означает найти сумму трех слагаемых, каждое из которых есть 4. Таким образом,

Числа 3 и 4 называются множителями, а число 3 ⋅ 4 — их произведением.

Для любого числа а верно равенство 1⋅a = a. Вот еще примеры:

Для любых натуральных чисел а и b верно равенство

выражающее переместительный или коммутативный закон умножения:

От перестановки множителей произведение не изменяется.

Переместительный закон умножения легко проверяется при подсчете двумя способами числа квадратов на рис. 1.2.

Все квадраты можно расположить в 3 ряда по 4 квадрата— всего 3⋅4 квадрата (рис. 1.3). Но можно расположить все квадраты в 4 столбца по 3 квадрата—всего 4⋅3 квадрата. Так как число квадратов в обоих случаях одно и то же, то

3⋅4 = 4⋅3.

Для любых натуральных чисел а, b и с верно равенство

Рис. 1.2 Рис. 1.3

выражающее сочетательный или ассоциативный закон умножения:

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Сочетательный закон легко проверяется при подсчете числа кубиков на рис. 1.4. Все кубики можно расположить в два слоя — нижний и верхний—по 3⋅4 кубика в каждом—всего 2⋅(3⋅4) кубика (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Но можно расположить все кубики в 4 слоя по 2⋅3 кубика в каждом—всего 4⋅(2⋅3) = (2⋅3)⋅4 кубика. Так как число кубиков в обоих случаях одно и то же, то

Этим примером мы проиллюстрировали сочетательный закон умножения для натуральных чисел.

Отметим, что произведение трех (и более) чисел можно записать и без скобок:

Изученные нами законы умножения применяются для упрощения вычислений.

Пример. Вычислить произведение (5⋅48)⋅2.

Пользуясь принятым порядком действий, мы должны сначала умножить 5 на 48, а полученный результат умножить на 2.

Для упрощения вычислений применим переместительный и сочетательный законы умножения:

(5⋅48)⋅2= (48⋅5)⋅2 = 48⋅(5⋅2) = 48⋅10 = 480.

В произведении нескольких множителей можно переставлять множители и заключать их в скобки любым способом.

Пример. 3⋅4⋅5⋅6 = 6⋅5⋅4⋅3, 3⋅4⋅5⋅6 = (3⋅4)⋅(5⋅6). По определению считают, что для любого неотрицательного числа а

Тогда равенства а⋅b = b⋅а и (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) верны и для неотрицательных чисел.

Например, 5⋅0 = 0⋅5, (5⋅3)⋅0 = 5⋅(3⋅0).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Наташа купила 3 пакета молока по 32 к., а Коля купил 2 пирожных по 22 к. Какими двумя способами можно подсчитать стоимость каждой покупки?

2. Замените сумму произведением:

3. Вычислите сумму:

4. Запишите сумму в виде произведения:

5. Устно выполните умножение:

6. Запишите число в виде произведения двух множителей:

7. Запишите число в виде произведения двух равных множителей:

8. Запишите числа 15, 24, 36, 18, 27, 16, 20, 30, 40, 13, 14, 17 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами.

9. В школьную библиотеку привезли 20 пачек книг по 16 штук в каждой пачке. Сколько книг привезли в библиотеку? Нужно ли развязывать все пачки, чтобы пересчитать книги?

10. На овощную базу привезли помидоры на 6 машинах по 120 ящиков в каждой и еще на 8 машинах по 140 ящиков в каждой. Сформулируйте вопрос задачи и решите ее.

Замечание. В выражениях a + (b⋅c), а—(b⋅с), a + (b:c), а—(b:с) принято опускать скобки, но подразумевать их и сначала выполнять умножение и деление. Таким образом, а + (b⋅c)=a + b⋅c, a—(b⋅c) = a—b⋅c, а + (b:c) = a + b:c, a—(b:c)=a—b:c. Например, 2 + 3⋅5 = 2+ 15 = 17, 12—8:2=12—4 = 8.

11. В следующих примерах на вычисление определите порядок действий. Какое действие выполняется последним? Как называется результат последнего действия?

12. Какое действие в следующих выражениях выполняется последним? Как прочитать данные выражения?

13. Для упрощения вычислений полезно помнить, что

Устно вычислите произведение:

14. Выполните умножение:

15. Вычислите произведение:

16. Вычислите произведение:

17. Какой цифрой оканчивается произведение

18. Мастер за час обрабатывает 12 заготовок, а его ученик— 8 заготовок. Над выполнением порученного им задания сначала работал мастер 2 часа, а потом мастер и ученик вместе в течение 3 часов. Сколько заготовок они обработали вместе за 5 часов?

§ 7. Распределительный закон

Для любых натуральных чисел а, b и с верно равенство

выражающее распределительный закон:

Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Поясним это на примере. Подсчитаем двумя способами число квадратов на рис. 1.6.

I способ. В каждом ряду расположено 3 белых и 5 черных квадратов, а всего в каждом ряду (3 + 5) квадратов. В четырех же рядах всего 4⋅(3 + 5) квадратов.

Рис. 1.6

II способ. Белые квадраты расположены в четырех рядах по 3 квадрата в каждом, т. е. белых квадратов 4⋅3. Аналогично, черных квадратов 4⋅5, а всего квадратов 4⋅3 + 4.5.

Одно и то же число квадратов подсчитано двумя способами, поэтому

Отметим, что распределительный закон верен не только для двух, а для любого числа слагаемых. Например, верны равенства

Докажем первое из этих равенств, сводя рассуждения к уже известным нам сочетательному и распределительному законам для двух слагаемых:

Замечание. Любое из чисел в этих равенствах может быть нулем, поэтому можно сказать, что эти равенства верны для неотрицательных целых чисел.

Кроме того, если а > b, то верно также равенство

Например, верно равенство

потому что на основании распределительного закона для неотрицательных целых чисел

Переход от а⋅b + а⋅с к а⋅(b + с) и от а⋅b—а⋅с к а⋅(b—с) называют вынесением общего множителя за скобки. Вынесение общего множителя за скобки позволяет упрощать вычисления. Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Примените распределительный закон для раскрытия скобок:

2. Раскройте скобки:

3. Раскройте скобки:

4. Используя распределительный закон, запишите следующие суммы в виде произведения:

5. Используя распределительный закон, вынесите множитель за скобки:

6. Раскройте скобки:

7. Представьте следующие суммы и разности в виде произведения:

8. Вычислите сумму, используя распределительный закон:

9. Вычислите разность:

10. Вычислите суммы и разности, записав предварительно их в виде произведения:

11. В швейной мастерской было 12 кусков материи по 40 м в каждом и 8 кусков материи по 30 м в каждом куске. Сколько метров материи осталось после того, как израсходовали 340 м?

12. Вычислите:

13. Выполните действия:

14. Представьте числа в виде суммы разрядных слагаемых и найдите их сумму:

15. От Ленинграда до Петрозаводска 401 км, а от Петрозаводска до Мурманска на 643 км больше. Сколько километров от Ленинграда до Мурманска через Петрозаводск?

16. Длина прямоугольника 246 мм, а ширина прямоугольника на 95 мм меньше. Определите периметр (сумму длин всех сторон) прямоугольника.

17. Ширина прямоугольника 16 м, а его длина на 350 см больше. Определите периметр прямоугольника.

§ 8. Сложение и вычитание чисел столбиком

При сложении и вычитании однозначных чисел надо помнить таблицы сложения и вычитания. Сложение и вычитание многозначных чисел выполняют по разрядам, используя переместительный, сочетательный и распределительный законы. Обычно сложение и вычитание проводят столбиком, записывая числа одно под другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов были написаны друг под другом, и начинают действия с единиц.

Пример 1.

Пример 2.

Если сложение в каком-либо разряде дает в результате число, большее 10, то десять единиц этого разряда заменяют единицей следующего разряда.

Пример 3.

Пишут обычно короче, запоминая, что в разряд десятков добавляется один десяток:

Если в каком-либо разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то нужно «занять» одну единицу в следующем разряде уменьшаемого.

Пример 4.

Это записывают, отмечая точкой разряд, в котором «занята» единица:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Выполните сложение:

3. Прибавьте:

4. Увеличьте:

Вычислите:

Выполните вычитание:

10. Найдите разность чисел:

11. Вычтите:

12. Найдите неизвестное число х:

13. На доске были записаны верно выполненные примеры на сложение, потом некоторые цифры стерли и заменили их буквами. Перепишите примеры, заменяя буквы цифрами так, чтобы опять получились верные записи:

14*. Восстановите вычисления, считая, что одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы—разные цифры:

Выполните действия:

17. Самые высокие горы на территории СССР—Пик Коммунизма, Пик Победы и Пик Ленина. Пик Победы имеет высоту 7439 м, что на 305 м выше Пика Ленина и на 56 м ниже Пика Коммунизма. Определите высоту Пика Ленина и Пика Коммунизма.

18. На XXII Олимпийских Играх (Москва, 1980 год) советские спортсмены завоевали 195 медалей, из них 126 золотых и бронзовых, 149 золотых и серебряных. Сколько золотых, серебряных и бронзовых медалей в отдельности завоевали наши спортсмены?

§ 9. Вычисление произведений целых неотрицательных чисел

Произведения однозначных чисел составляют таблицу умножения. Вычисление же произведения однозначного числа на многозначное, тем более многозначного числа на многозначное, требует применения не только таблицы умножения, но и законов сложения и умножения целых неотрицательных чисел.

Надо помнить, что для любого неотрицательного числа

Пример. Вычислить произведение 327⋅8.

Решение.

Записать умножение столбиком можно подробно:

Сложение выполняют устно; при этом запоминают, сколько единиц нужно прибавить к следующему разряду. Пример. Вычислить произведение 329 ⋅ 24.

Решение.

Эти вычисления можно записать столбиком подробно:

Пример. Вычислить произведение 382 ⋅ 729.

Решение.

То есть при умножении столбиком нужно 9 единиц умножить на 382—получится 3438 единиц, 2 десятка умножить на 382—получится 764 десятка, 7 сотен умножить на 382—получится 2 674 сотни.

Полученные результаты записываем один под другим с учетом разрядов:

Пример. Вычислить произведение 324⋅203.

Решение. В этом примере при умножении 0 десятков на 324 получается 0 десятков. Поэтому вторую строку (второе слагаемое) не пишут.

Пример. Вычислить произведение 460 ⋅ 48.

Решение. Так как 460⋅48=46⋅10⋅48, то можно выполнить умножение 46 на 48 и умножить полученный результат на 10, т. е. приписать к нему справа 0.

Аналогично поступают и в других возможных случаях:

В последнем примере выполнено умножение 753 на 26 и к полученному результату справа приписано три нуля (10⋅100=1000).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Объясните—как получены результаты в следующих упражнениях:

Вычислите произведение:

8. Вычислите наиболее простым способом:

9. Вычислите:

10. Выполните действия:

11. Мальчик заметил, что удар грома послышался через 12 с после того, как блеснула молния. Определите,

на каком расстоянии от мальчика происходила гроза, если известно, что скорость звука в воздухе 330 м в секунду.

12. Пульс здорового человека примерно 75 ударов в минуту. Сколько ударов пульса произойдет за 1 час?

13*. Произведение четырех последовательных натуральных чисел равно 3 024. Найдите эти числа.

14*. На доске записали несколько примеров на умножение натуральных чисел, потом некоторые цифры стерли и вместо них поставили звездочки. Восстановите стертые цифры:

§ 10. Степень с натуральным показателем

Мы уже знаем, что сумму одинаковых слагаемых принято записывать короче—в виде произведения:

Произведение одинаковых чисел также записывают короче:

и называют степенью. Читают «пять в степени 4», «а в степени 3».

Например, запись 23—«два в степени три»—означает 2⋅2⋅2. При этом число 2 называют основанием степени, 3—показателем степени. Число 3 показывает, сколько раз нужно взять множителем основание—число 2:

Таким образом, степенью числа а с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Пример. Вычислить

Пример. Вычислить

Таким образом можно вычислить любую степень с натуральным показателем, большим единицы. Нам остается выяснить—что означает запись вида 21, т. е. степень с показателем, равным единице. Ведь не имеет смысла говорить о произведении одного множителя.

Принято считать, что 21 = 2, 51 = 5, 1001 = 100, т. е. первая степень любого числа равна самому числу:

Вторая степень числа называется также квадратом числа. Читают: 52—«пять в квадрате», a2—«а в квадрате».

Третья степень числа называется кубом числа. Читают: 53—«пять в кубе», a3—«а в кубе».

О происхождении этих названий мы расскажем в следующей главе.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Запишите в виде произведения:

2. Запишите в виде степени, назовите основание степени и ее показатель:

3. Прочитайте следующие записи, назовите основание и показатель степени: 105, 84, 76, 25, 8е, 510, 2100.

4. Используя специальные названия второй и третьей степеней, прочитайте следующие записи: 22, 23, 32, 33.

5. Вычислите:

6. Вычислите:

7. Составьте таблицу квадратов чисел от 0 до 15.

8. Составьте таблицу кубов чисел от 0 до 10.

9. Вычислите:

10. Вычислите степени числа 2 с показателями от 1 до 10.

11. Вычислите:

12. Запишите в виде степени с основанием 10 числа:

13. Запишите следующие числа в виде степени:

§ 11. Деление

Пусть а и b—натуральные числа и а больше или равно b (a⩾b). Говорят, что а делится на b нацело, если существует натуральное число с, произведение которого на b равно а:

а = с⋅b.

При этом пишут а:b = с и называют а делимым, b—делителем, с—частным. Таким образом, (a:b)⋅b = a, т. е. если а разделить на b и результат умножить на b, то получится а.

Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя:

а:1 = а, а:а= 1,

так как а⋅1=а, 1⋅а = а.

Например, 15 делится на 1 и 15, а также на 3 и 5, а 19 делится только на 1 и само на себя. Считают также, что 0:b = 0 для любого натурального числа b, так как 0⋅b = 0.

Но делить на 0 нельзя. Для любого натурального числа а не существует такого числа с, чтобы выполнялось равенство а:0 = с, так как с⋅0 = 0.

При делении 0 на 0 можно было бы считать, что 0:0 = с, потому что с⋅0 = 0. Но в этом случае частным

могло бы быть любое число с. Поэтому считают, что и 0 нельзя делить на 0.

Отметим, что частное неотрицательных чисел а и b (b≠0)—единственное число.

Отметим важное свойство частного: делимое и делитель можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число—частное от этого не изменится. Например, 48:24 = 2 и (48⋅2):(24⋅2) = 96:48 = 2.

Это свойство часто используют для упрощения вычислений:

Таким образом, верны формулы

где n—натуральное число и во второй формуле а и b делятся на n.

Докажем первую из них. Пусть а:b = с; тогда c⋅b = a, но тогда (а⋅n):(b⋅n) также равно с, потому что с⋅(bn) = (с⋅b)⋅n = an.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Какое число называют частным чисел 8 и 2, 20 и 4, а и 4?

2. Докажите, что: 8:2 = 4, 12:4 = 3, 0:5 = 0.

3. Запишите следующие числа в виде произведения двух множителей различными способами и укажите, на какие числа они делятся нацело:

4. Как называется неизвестное число х в следующих равенствах? Объясните, как его найти.

5. Устно найдите частное:

6. Вычислите частное:

7. При делении на 5 и 50 иногда бывает удобно умножить делимое и делитель на 2 и выполнить деление на 10 и 100.

Вычислить частное:

8. Устно разделите:

9. На руках одного человека 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках?

10. Число 12 увеличили в 3 раза, потом еще в 2 раза. Во сколько раз увеличили число 12 за два раза? Решите задачу двумя способами. Сделайте вывод.

11. Задумали число, увеличили его в 5 раз, потом в 6 раз. Во сколько раз увеличилось в итоге задуманное число?

12. Число 48 уменьшили в 4 раза, потом еще в 2 раза. Во сколько раз уменьшилось первоначальное число? Решите задачу двумя способами.

13. Перелетная саранча может пролететь без посадки 2 200 км, а летучая мышь—в 2 раза меньше. На сколько километров меньше может пролететь без посадки летучая мышь по сравнению с саранчой?

14. Ученик умножил число а на наибольшее трехзначное число и получил наибольшее шестизначное число. Найдите число а.

15. Число 297 243 равно произведению трех чисел, два из которых 27 и 109. Найдите третье число.

16. Число 522 500 равно произведению трех чисел, из которых первое 25, а второе на 75 больше первого. Найдите третье число.

17. Число 92 610 равно произведению трех чисел, из которых первое 147, а второе в 7 раз меньше первого. Найдите сумму этих трех чисел.

§ 12. Свойства делимости

Свойство 1. Если одно число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.

Например, 777 делится на 111, потому что 777 = 7⋅111, а 111 делится на 3, потому что 111=37⋅3. Из этого следует, что 777 делится на 3, потому что 777 = 7⋅111 = 7⋅(37⋅3) = (7⋅37)⋅3 = 259⋅3.

Свойство 2. Если каждое из двух чисел а и b делится на число с, то сумма а + b и разность а—b делятся на с.

Например, 100 делится на 4, потому что 100 = 25⋅4; 36 тоже делится на 4, потому что 36 = 9⋅4. Тогда 136 делится на 4, потому что 136= 100 +36 = 25⋅4 + 9⋅4 = (25 + 9)⋅4 = 34⋅4.

Можно также заключить, что число 64 делится на 4, потому что 64=100—36 = 25⋅4—9⋅4 = (25—9)⋅4= 16⋅4.

Свойство 3. Если одно из двух чисел а и b делится на с, а другое не делится на с, то сумма а + b и разность а—b не делятся на с.

Например, 148 делится на 37, потому что 148 = 4⋅37, а 11 не делится на 37.

Рассмотрим равенство (148+ 11)—148=11. Справа в нем находится число, не делящееся на 37. Если допустить, что сумма (148+11) делится на 37, то левая часть делится на 37 как разность чисел, делящихся на 37. Тогда и правая часть должна делиться на 37, а это неверно. Поэтому (148+11) не делится на 37.

Также можно доказать, что и разность (148—11) не делится на 37.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Покажите, что любое число, делящееся на 2, можно записать в виде 2⋅k (где k — натуральное число):

2. Покажите, что любое из следующих чисел: 15, 20, 25, 10, 5 можно записать в виде 5⋅k.

3. Объясните, почему

4. Запишите в виде произведения натуральное число, которое

5. Докажите, что если каждое из двух слагаемых делится на 2, то и сумма делится на 2.

6. Докажите, что если каждое из двух слагаемых делится на 5, то и сумма делится на 5.

7. Докажите, что если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3.

8. Объясните, почему

9. Докажите, что

10. Вычислите:

11. У двух мальчиков одинаковое число монет—у одного десятикопеечных, а у другого пятнадцатикопеечных. Всего же у них 1 р. 75 к. По скольку монет у каждого?

12. В кассе выдали 35 р. банкнотами по 3 р. и 5 р., причем трехрублевых было на 1 больше, чем пятирублевых. Сколько выдали банкнот по 3 р. и 5 р.?

13. Задача-шутка. У мальчика две монеты общей стоимостью 15 к. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

14. Первый рабочий за 1 ч делает 32 детали, а второй за 4 ч делает столько, сколько первый делает за 5 ч. За сколько часов, работая вместе, они сделают 216 деталей?

15. Одна машинистка печатает 10 страниц за час, а вторая за 5 ч отпечатывает столько же, сколько первая за 4 ч. Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч совместной работы?

§ 13. Признаки делимости

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Например, 4560 делится на 10, потому что 4560 =

= 456⋅10. Число 4561 не делится на 10, потому что 4561 = 4560+ 1—сумма числа 4560, делящегося на 10, и числа 1, не делящегося на 10 (свойство 3).

Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.

Например, число 2300 делится на 5, потому что 2300 = 230⋅10, а 10 делится на 5 (свойство 1). Число 2305 тоже делится на 5, потому что 2305 = 2300 + 5 — сумма чисел, делящихся на 5 (свойство 2). Число 2327 не делится на 5, потому что 2327 = 2320 + 7—сумма чисел 2320, делящегося на 5, и 7, не делящегося на 5 (свойство 3).

Если число оканчивается на цифры 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

Если число оканчивается на цифры 1, 3, 5, 7, 9, то оно не делится на 2.

Например, число 130 делится на 2, потому что 130=13⋅10, а 10 делится на 2 (свойство 1). Число 136 тоже делится на 2, потому что 136= 130 + 6—сумма чисел, делящихся на 2.

Число 137 не делится на 2, потому что 137= 130 + 7 — сумма числа 130, делящегося на 2, и числа 7, не делящегося на 2 (свойство 3).

Если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4.

Например, число 3700 делится на 4, потому что 3700 = 37⋅100, а 100 делится на 4 (свойство 1). Число 3732 делится на 4, потому что 3732 = 3700 + 32—сумма чисел 3700 и 32, делящихся на 4 (свойство 2). Число 3730 не делится на 4, потому что 3730 = 3700 + 30 — сумма чисел 3700, делящегося на 4, и 30, не делящегося на 4 (свойство 3).

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Например, сумма цифр числа 7245 делится на 9: 7 + 2 + 4 + 5=18. Число 7245 делится на 9, потому что его можно представить в виде 7⋅1000 +2⋅100 +4⋅10 +5 = 7⋅(999+1) + 2⋅(99+ 1) + 4⋅(9+ 1)+ 5 = (7⋅999+2⋅99+

+ 4⋅9) + (7 + 2+4 + 5), где сумма в первой скобке делится на 9, так как каждое слагаемое делится на 9. А во второй скобке стоит сумма цифр данного числа, делящаяся на 9.

Число 375 не делится на 9, так как сумма его цифр 3+7+5=15 не делится на 9. Это можно доказать следующим образом: 375=3⋅(99+1)+7⋅(9+1) +5 = (3⋅99 + 7⋅9) + (3 + 7+5), где сумма в первой скобке делится на 9, а во второй скобке стоит сумма цифр числа 375, не делящаяся на 9.

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Например, у числа 375 сумма цифр делится на 3 (3+7+5=15) и оно само делится на 3, потому что 375= (399 + 7⋅9) +(3+7 + 5), где сумма в первой скобке делится на 3, а во второй скобке стоит сумма цифр числа 375, тоже делящаяся на 3.

Число 679 не делится на 3, так как сумма цифр 6 + 7+9=22 не делится на 3. Это можно доказать так: 679 = 6⋅(99+1)+7⋅(9+1)+9 = (699 + 7⋅9) + (6+7+9), где сумма в первой скобке делится на 3, а во второй скобке стоит сумма цифр числа 679, не делящаяся на 3.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Из следующих чисел выпишите те, которые делятся на 2, на 5, на 10, на 2 и 5:

2. Запишите любые шесть чисел, которые делятся на:

3. Запишите все числа от 15 до 95, которые делятся на 10.

4. Запишите все числа от 23 до 46, которые делятся на 6.

5. Запишите все числа от 51 до 73, которые делятся на 2.

6. С помощью цифр 2, 7, 5, 3 (без повторения) запишите все четырехзначные числа, которые делятся на 2; делятся на 5.

7. Можно ли с помощью цифр 1, 2, 5, 6 составить трехзначное число, которое делилось бы на 2; на 5; на 10?

8. Натуральное число, которое делится на 2, называется четным. Назовите любые шесть четных чисел.

9. Покажите, что четные числа 18, 20, 48, 96 можно записать в виде 2k, где k—натуральное число.

10. Натуральное число, которое не делится на 2, называется нечетным. Назовите любые шесть нечетных чисел.

11. Покажите, что нечетные числа 7, 9, 5, 13 можно записать в виде 2⋅k+ 1, где k— натуральное число.

12. Докажите, что произведение четного числа на любое натуральное число есть число четное.

13. Докажите, что сумма двух четных чисел является четным числом.

14*. Докажите, что сумма двух нечетных чисел является четным числом.

15*. Докажите, что сумма четного числа нечетных слагаемых является четным числом.

16. Можно ли разменять 25 рублей десятью банкнотами по 1 р.; 3 р.; 5 р.? А десятью любыми банкнотами?

17. Ученик выполнял решение примеров:

Не проверяя промежуточных вычислений, учитель сразу сказал, что ученик ошибся при выполнении каждого примера. Как была обнаружена ошибка?

18. Саша купил в магазине 20 тетрадей, 2 альбома для рисования, авторучку за 90 к., несколько карандашей по 4 к. и несколько обложек для книг по 20 к. Продавец сказал, что нужно уплатить в кассу 3 р. 57 к. Саша попросил пересчитать стоимость покупки, и ошибка была исправлена. Как он определил, что была допущена ошибка?

19. Какие из следующих чисел делятся на 4:

20. Из следующих чисел выпишите те, которые делятся на 3; на 2; на 6; на 9:

21. С помощью цифр 1, 2, 3 запишите шесть различных трехзначных чисел (без повторения цифр в одном

числе). Будут ли полученные числа делиться на 3; на 6; на 9?

22. Как, не выполняя деления, определить, делится ли число

111 111 111 111 111 111 111

на 3; на 9?

23. Какую цифру нужно поставить вместо звездочки, чтобы число делилось на 9:

24. Известно, что число 12345*678910 делится на 9. Какую цифру заменили звездочкой?

25. Не вычисляя суммы цифр, докажите, что число 369999633 делится на 3, а число 963366992 не делится на 3.

26. Обязательно ли вычислять сумму всех цифр, чтобы доказать, что число:

27. Назовите наибольшее и наименьшее шестизначные числа, которые делятся на

1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 9; 5) 10.

28*. Сколько чисел от 1 до 1000 не делятся ни на 2, ни на 3?

29*. Какими двумя цифрами оканчивается число 1⋅2⋅3⋅....⋅13?

30*. Какими тремя цифрами оканчивается число 1⋅2⋅3⋅...⋅15?

31*. На сколько нулей оканчивается число 1⋅2⋅3..... 100?

32. Разгадайте секрет фокуса. Если в одной руке кто-нибудь спрячет трехкопеечную монету, а в другой — двухкопеечную, то я могу легко определить, в какой руке спрятана двухкопеечная монета. Для этого я попрошу умножить число копеек в правой руке на 4, а в левой — на 5 и результаты сложить. Не называя мне сумму, нужно лишь сказать—четная она или нет. Если получилась четная сумма, то двухкопеечная монета в левой руке, а если нечетная, то в правой.

33. Если задача № 32 вызвала затруднение, то можно добавить, что для фокуса подойдут и другие монеты: 1 к. и 2 к.; 10 к. и 15 к., но не подойдут монеты 10 к. и 20 к.

Умножать можно на 2 и 3, на 3 и 4, но нельзя на 3 и 5. Научитесь выполнять этот фокус с различными монетами.

§ 14. Деление с остатком

Число 14 не делится нацело на 3, так как нет натурального числа, произведение которого на 3 равно 14.

В самом деле, будем перемножать последовательно числа натурального ряда на 3. Получим числа, расположенные в возрастающем порядке: 1⋅3 = 3, 2⋅3 = 6, 3⋅3 = 9, 4⋅3=12, 5⋅3=15, ...

Первое из этих чисел есть 3, второе больше первого на 3, третье больше второго тоже на 3 и т. д. Среди этих чисел нет числа 14. Однако среди них есть наибольшее число, меньшее 14, это число 12 = 4⋅3. Чтобы получить 14, надо прибавить к 12 число 2, которое меньше 3.

Итак, справедливо равенство 14 = 4⋅3 + 2, где 4 — наибольшее число, произведение которого на 3 меньше 14. Это число называют неполным частным от деления 14 на 3, а число 2—остатком. Остаток меньше делителя.

Результат деления 14 на 3 записывают так:

Вот еще пример: 37 = 7⋅5 + 2, где 2<5. Здесь 7 — неполное частное от деления 37 на 5, а 2—остаток. Поэтому можно записать: 37:5 = 7 (ост. 2).

Если одно число делится нацело на другое, то иногда считают, что оно делится с остатком, равным нулю.

Разделить число а на число b—это значит найти частное а:b, если а делится нацело на b, или найти неполное частное и остаток, если а не делится нацело на b.

Для малых чисел деление производят в уме, а для больших—уголком. Рассмотрим несколько примеров.

Пример. Разделить 42 на 3.

Пример. Разделить 356 на 4.

Такое деление записывают обычно коротко—уголком:

Аналогично выполняют деление уголком на двузначное, трехзначное и т. д. числа.

Пример. Разделить 14 688 на 36.

14 тысяч не делится на 36 нацело. Будем делить на 36 число сотен—146 сотен. 146:36 = 4 (ост. 2). Теперь необходимо разделить остаток от деления сотен—2 сотни и 8 десятков, т. е. 28 десятков, на 36. 28:36 = 0 (ост. 28). Остается разделить остаток от деления десятков—28 десятков и 8 единиц, т. е. 288 единиц, на 36. 288:36 = 8. Таким образом, 14 688:36 = 408. Пример. Разделить 1409 на 7.

Делим на 7 число сотен—14 сотен. 14:7 = 2 (ост. 0). Делим на 7 число десятков—0 десятков. 0:7 = 0. Делим на 7 число единиц—9 единиц. 9:7=1 (ост. 2). Таким образом, 1409:7 = 201 (ост. 2).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Выполните деление с остатком:

2. Какой остаток может получиться при делении натурального числа на 2; на 3; на 4; на 7?

3. Ученик выполнил деление: 148:15 = 8 (ост. 24). В чем заключается его ошибка? Выполните деление верно.

4. На доске написано несколько примеров на деление с остатком. Делимые стерли и вместо них написали буквы. Как найти делимые?

5. Определите делители:

6. Определите неполное частное:

7. Какой остаток получится от деления числа

1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10+1

на 2; на 3; на 4; на 5; на 6; на 7; на 8; на 9; на 10? Какой остаток получится при делении этого числа на 100?

8. В вазе лежат яблоки. Их надо разделить поровну между двумя, тремя, четырьмя детьми, дав каждому наибольшее возможное число яблок. Сколько яблок может остаться в вазе в каждом случае?

9. Какой наибольший остаток может получиться, если число разделить на 2, 3, 4, 5?

Какой наименьший остаток может получиться во всех случаях? 10. Выполните действия:

1) 6324:102+ 11285:305;

2) 2628:36 + 972:36.

11*. Семь девочек играли в прятки. Они решили, что первой будет водить та из них, которая окажется 25-й при счете по кругу. Вера начала счет от себя: 1, 2, 3, ... Катя, не дожидаясь окончания счета, сказала: «Я вожу». Как она догадалась? Какой номер был у Кати в начале счета?

12*. Найдите наименьшее число, которое при делении на 3, 5 и 7 дает в остатке: 1) 1; 2) 2; 3) 0.

13*. Найдите наименьшее число, которое при делении на 3, 4, 5, 6, 7 дает в остатке 1.

14. Объясните, как выполнено деление:

15. Выполните деление:

16. Вычислите:

17. Вычислите частное:

19. Произведение четырех чисел равно 23 625. Три первых числа равны друг другу, и их сумма равна 45. Найдите четвертое число.

20. Вычислите:

§ 15. Числовые выражения

Число 4 можно записать в виде суммы (3+ 1), разности (9—5), произведения (2⋅2), частного (12:3), степени (22) или более сложными способами:

и т. д.

Запись, в которой используются только числа, знаки арифметических действий и скобки, называется числовым выражением. Числовые выражения могут быть довольно сложными. Их упрощение, т. е. постепенное выполнение действий и приведение числового выражения к наиболее простой форме—числу, нередко требует серьезных усилий.

Для правильного упрощения числовых выражений мало знать правила вычисления результатов отдельных действий. Нужно еще знать порядок выполнения этих действий.

Если в числовом выражении требуется выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то эти действия выполняют по порядку слева направо:

Если в числовом выражении требуется выполнить умножение и деление, а также сложение и вычитание, то сначала выполняются умножение и деление, а потом—сложение и вычитание, так как при записи умножения и деления скобки не пишут, но подразумевают их (см. замечание на с. 26):

Если в числовом выражении есть степень с натуральным показателем, то сначала требуется вычислить ее и только после этого приступать к выполнению действий:

Если в числовом выражении есть скобки, то сначала выполняются все действия в скобках, а потом за скобками:

Изменять принятый порядок действий можно только в тех случаях, когда это позволяют законы сложения и умножения:

Мы уже знаем, почему нельзя число делить на нуль. Про числовые выражения, которые содержат деление на нуль, говорят, что они не имеют смысла, например,

Выражения

не имеют смысла.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Упростите выражение:

2. Определите порядок действий и упростите числовое выражение:

3. Упростите числовое выражение:

4. Вычислите:

5. Прочитайте выражения, используя названия «сумма», «разность», «произведение», «частное», «квадрат (числа, суммы, разности и т. д.)»:

6. Прочитайте выражение:

7. Запишите и вычислите:

1) сумму чисел 49 и 54; сумму чисел 145 и 73;

2) разность чисел: а) 59 и 44; б) 145 и 73;

3) сумму квадратов чисел: а) 5 и 4; б) 7 и 3;

4) квадрат суммы чисел: а) 5 и 4; б) 10 и 6;

5) разность квадратов чисел: а) 5 и 3; б) 10 и 6;

6) квадрат разности чисел: а) 5 и 3; б) 10 и 6;

7) сумму кубов чисел: а) 4 и 3; б) 5 и 4;

8) куб суммы чисел: а) 4 и 3; б) 5 и 4;

9) разность кубов чисел: а) 5 и 4; б) 4 и 2;

10) куб разности чисел: а) 5 и 4; б) 4 и 2.

8. Вычислите:

9. В двух комнатах было 56 человек. Когда в первую пришли еще 12 человек, а во вторую—8 человек, то

в комнатах стало поровну человек. Сколько человек было в комнатах первоначально?

10. В двух комнатах было 56 человек. Когда из первой вышли 8 человек, а из второй—12, то в комнатах осталось одинаковое число человек. Сколько человек было в каждой комнате первоначально?

11. На двух полках 48 книг. Когда с первой полки сняли 10 книг, а на вторую поставили 12 книг, то на полках оказалось одинаковое число книг. Сколько книг стояло на полках первоначально?

12. В трех вазах стояло 36 гвоздик. Когда из первой вазы во вторую переставили 3 цветка, то во всех вазах гвоздик стало поровну. Сколько гвоздик было в каждой вазе первоначально?

§ 16. Вычисления с помощью микрокалькулятора

В настоящее время широкое распространение для ручных вычислений получили микрокалькуляторы. Они позволяют практически мгновенно выполнять арифметические операции.

Ввод данных и команд в микрокалькулятор осуществляется нажатием клавиш. Мы будем пользоваться клавишами

для ввода чисел,

для ввода знаков действия,

для вывода на экран результата действия,

для сброса (очистки экрана).

Заметим, что вывести результат операции на экран можно нажатием любой клавиши

вместо клавиши

Этим пользуются при вычислении с несколькими числами. В случае ошибки нажмите клавишу

и повторите все действия сначала.

О назначении некоторых других клавиш мы расскажем позже.

1. Вычислим сумму 12345 + 67890.

Нажмите клавиши в следующем порядке:

На экране по мере нажатия клавиш мы увидим первое слагаемое 1 2 3 4 5, потом второе слагаемое 6 7 890, потом сумму 8 0 2 3 5.

Итак, 12345 + 67890 = 80235.

Аналогично выполняются и другие арифметические операции. Запишем их кратко.

При выполнении нужных операций клавишу

нажимают в конце, а промежуточные результаты вычислений выводятся на экран после нажатия клавиш

Заметим, что микрокалькулятор выполняет и действия, невыполнимые для натуральных чисел.

При этом рядом с числом 2 на экране появляется минус. Смысл этой операции мы объясним в главе III.

На экране появляется запись 1.5, показывающая, что при делении с остатком неполное частное равно 1. Значение цифры 5 и запятой мы поясним позже.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Проверьте с помощью микрокалькулятора, что

2. Вычислите сумму. Сделайте проверку вычитанием:

3. Вычислите разность. Сделайте проверку сложением:

4. Вычислите произведение. Сделайте проверку делением:

5. Вычислите частное. Сделайте проверку умножением:

6. С помощью микрокалькулятора проверьте равенства

7. Вычислите степень с помощью микрокалькулятора:

8. У многих микрокалькуляторов предусмотрено упрощение вычислений при возведении в степень. Например, «Электроника БЗ-30» позволяет вычислять степень числа 2 так: 22 = 2х2.

Для получения 23 надо еще раз нажать клавишу Получите таким способом

9. Вычислите 310; 335.

10. Вычислите с помощью микрокалькулятора неполное частное и остаток от деления:

1) 48 на 5.

Решение

На экране получим 9,6—неполное частное 9. Вычислим остаток:

§ 17. Представление натуральных чисел на координатной полуоси

Отрезок, длину которого принимают за единицу, называют единичным отрезком. При помощи данного единичного отрезка измеряют длины других отрезков.

Зададим луч, выходящий из точки О в направлении, отмеченном стрелкой, и единичный отрезок. На луче от начальной точки О отложим один за другим несколько отрезков единичной длины. Полученные точки обозначим числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Мы построили координатную полуось. С помощью координатной полуоси натуральные числа и нуль изображаются точками.

Начальную точку О называют еще нулевой точкой или точкой 0 (нуль). Говорят еще, что точка О имеет координату 0 (пишут: O(0)). Следующие точки называют соответственно: точка 1, точка 2, и т. д.

Координатная полуось напоминает нам линейку, на которой отмечены числа 0, 1, 2, 3, 4 и т. д., с той лишь разницей, что любая линейка ограничена (конечна), а координатная полуось неограничена (бесконечна).

Мы не можем полностью изобразить бесконечную координатную полуось, но можем себе ее представить (вообразить).

Произвольное натуральное число n изображается на координатной полуоси точкой, расстояние от которой до нулевой точки равно n. Эту точку называют точкой n или точкой с координатой n.

Например, на рис. 1.7. отмечена точка А с координатой 5. Пишут: A(5). Длина отрезка OA равна 5. Пишут: OA = 5.

Обычно координатную полуось изображают слева направо. В этом случае точка, имеющая большую координату на координатной полуоси, расположена правее.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Дана координатная полуось. Некоторые ее точки обозначили буквами (рис. 1.8). Укажите координаты точек A, B, С, D, Е. Найдите расстояние от этих точек до нулевой точки. Например, A (2), OA = 2.

2. Постройте координатную полуось с единичным отрезком 1 см (2 клетки тетради). Отметьте точки 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. Обозначьте некоторые точки буквами так, чтобы получилось A (5), B(3), С(1).

3. Какая из точек A (7), 5(100), С (56) расположена на координатной полуоси правее других?

4. Назовите три точки, расположенные левее, и три точки, расположенные правее точки:

1) 7; 2) 13; 3) 100; 4) 998.

5. Сколько точек на координатной полуоси отмечено между точками:

1) 0 и 9; 2) 4 и 14; 3) 90 и 120?

6. На координатной полуоси отметьте точки 0, 1, 2, 3, 12. Выделите цветом точки, соответствующие четным числам. Какие точки не выделены цветом?

7. Кузнечик прыгает вдоль координатной полуоси попеременно на 5 единичных отрезков вправо и на 3 единичных отрезка влево. Сможет ли он за несколько прыжков из точки 0 попасть в точку 6?

8. На рис. 1.9 изображена часть координатной полуоси. Назовите изображенные на ней точки.

Рис. 1.8

Рис. 1.9

9. Улитка за день поднимается на 4 м, а за ночь опускается на 2 м. За сколько дней она поднимется на вершину столба высотой 8 м?

§ 18. Исторические сведения

Способ обозначения чисел называется системой счисления. Исторически у разных народов в разное время употреблялись различные системы счисления. У первобытных народов не существовало развитой системы счисления. Еще в 19-м веке у многих племен Австралии и Полинезии было только два обозначения—для числа «один» и числа «два». Эти обозначения они комбинировали в пределах шести. Число «три» они называли два да один, число «четыре»—два да два, число «пять»—два, два и один, число «шесть»—два, два и еще два. А числа, большие шести, они не различали и называли словом «много».

Египтяне за 3000 лет до нашей эры применяли, в сущности, десятичную систему счисления. Число 345 записывалось так:

Десятичная система, которой широко пользуются в настоящее время во всем мире, более совершенна. Вместо палочек (|), взятых от одной до девяти, используют цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения десятков, сотен и т. д. не нужны новые значки, так как те же цифры используют и для записи десятков, сотен и т. д. Одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от места (позиции), где она записана. Благодаря этому свойству современную десятичную систему счисления называют позиционной. Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа.

Народы пришли к этой системе постепенно. Она зародилась в Индии в 5-м веке. В 9-м веке ею уже вла-

дели арабы, в 10-м веке она дошла до Испании, а в 12-м веке появилась и в других странах Европы, но широкое распространение получила лишь в 16-м веке.

Долгое время развитие позиционной системы тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль. Только после введения в математику нуля система стала совершенной.

В России десятичная система счисления начала распространяться в 17-м веке. До этого времени числа записывались буквами славянского алфавита. Числа от 1 до 9 записывали так:

Для чисел ставили особый знак ~ (титло), чтобы отличать их от слов:

Интересно, что числа от 11 (один—на десять) до 19 (девять— на десять) записывали так же, как и говорили, т. е. «цифру» единиц ставили до «цифры» десятков. Если число не содержало десятков, то «цифру» десятков не писали.

В других странах имелись системы счисления с другими основаниями — 5, 12, 20, 60. Например, древневавилонская система счисления была шестидесятиричная. Следы этой системы сохранились и сейчас в единицах измерения времени и величины угла (1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с).

Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская система. В ней числа от 1 до 20 обозначают так:

Однако для записи больших чисел требуются новые обозначения:

Запишем в римской системе число 1917: МСМXVII или MDCCCC XVII.

Если меньшая цифра стоит после большей, то она прибавляется к большей: MD= 1500, XVII = 17; если меньшая цифра стоит перед большей, то она вычитается: СМ—900, IV—4. Римскую запись чисел используют и сейчас для обозначения веков, глав в книгах и т. д.

Современные электронно-вычислительные машины приспособлены к вычислению в двоичной системе счисления, основанной на обозначении чисел двумя цифрами 0 и 1. Для примера запишем в двух системах числа от 1 до 9:

Таблицы сложения и умножения однозначных чисел в двоичной системе очень просты:

Поэтому и выполнение действий с числами, записанными в двоичной системе счисления, не представляет больших трудностей:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Используя древнеегипетскую систему счисления: 1) прочитайте запись числа

2) запишите номер этой страницы.

2. Используя римскую систему счисления:

а) прочитайте: первый печатный учебник по математике (Арифметика Л. Ф. Магницкого) был выпущен в России в начале XVIII века;

б) запишите год своего рождения и текущий год.

3. Запишите числа от 11 до 29 в старой русской системе счисления. Чем объясняется различный порядок написания «цифр» в числах 23 и 13?

4. В двоичной системе счисления запишите числа от 10 до 20.

5. Выполните действия в двоичной системе счисления:

6. На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасаде которых обозначена дата их постройки:

1) MDCCCCV; 2) MDCCCLXXXXIX.

В каком году построен каждый дом?

7. Упростите запись чисел в римской системе счисления (упр. 6), учитывая, что четыре одинаковые цифры подряд обычно не пишут.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ I

1. Какие числа называются натуральными? Является ли нуль натуральным числом?

2. Существует ли наименьшее натуральное число? Существует ли наибольшее натуральное число?

3. Почему известная нам десятичная система счисления называется позиционной?

4. Скольких цифр достаточно для записи любого натурального числа в десятичной системе счисления?

5. Сформулируйте правила сравнения натуральных чисел.

6. Какие числа называются целыми неотрицательными?

7. Сформулируйте переместительный закон сложения, запишите его для чисел а и b.

8. Сформулируйте сочетательный закон сложения, запишите его для чисел a, b и с.

9. Что значит из числа а вычесть число b?

10. Как найти неизвестное слагаемое?

11. Как найти неизвестное уменьшаемое?

12. Как найти неизвестное вычитаемое?

13. Сформулируйте переместительный закон умножения, запишите его для чисел а и b.

14. Сформулируйте сочетательный закон умножения, запишите его для чисел а, b и с.

15. Сформулируйте распределительный закон, запишите его для чисел а, b и с.

16. Что значит число а разделить на число b?

17. Как найти неизвестный множитель?

18. Как найти неизвестное делимое?

19. Как найти неизвестный делитель?

20. Сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10.

21. Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.

22. Сформулируйте правила порядка действий.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите:

2. Вычислите:

3. Сколько раз используется цифра 9 в записи первых ста натуральных чисел?

4*. В строку записали числа 1, 2, 3, 4, 5, 97, 98, 99. Потом запятые стерли и получили огромное число. Сколько в нем цифр? Сколько раз в его записи используется цифра 3? Найдите сумму цифр этого числа?

5. Вычислите:

6. Запишите число 4 двумя двойками (3 способами).

7. Запишите двумя одинаковыми цифрами число: 1) 4; 2) 1; 3) 27; 4) 256.

8. Вычислите степени числа 10 с показателями от 1 до 6. Запишите без вычислений степени числа 10 с показателями от 7 до 10.

9. Используя четыре цифры 3, знаки арифметических действий и скобки, можно получить любое число от 0 до 10. Например,

Найдите другие решения для 0 и 1, а также решения для остальных чисел от 2 до 10.

10. Используя четыре цифры 8, составьте числовое выражение, равное:

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 6; 6) 7; 7) 8.

11. С помощью четырех восьмерок составьте числовое выражение равное; 1) 9; 2) 10.

12. Вычислите:

13. Запишите следующие числа в виде степени: 27; 125; 243.

14. Сколько чисел в натуральном ряду от 1 до 125; от 1 до 99; от 100 до 125? Сколько чисел в натуральном ряду между числами 294 и 451?

15. У колхозника было несколько поросят и несколько ягнят одинакового веса. Пионер спросил, сколько весит один поросенок и один ягненок. Колхозник сказал, что три поросенка и два ягненка весят 22 кг, а два поросенка и три ягненка весят 23 кг. Сколько весит один поросенок и один ягненок отдельно?

16. (Старинная задача.) Крестьянин принес лукошко яиц. Его спросили: «Много ли яиц у тебя в лукошке?» И крестьянин ответил: «Когда я перекладывал яйца в лукошко парами, то одно яйцо было в остатке. Когда я перекладывал их по три, по четыре, по пять, по шесть — всегда оставалось одно яйцо. А когда я перекладывал по семь яиц, то остатка не было.» Сколько яиц было в лукошке?

17. Четвероклассник увидел в тетради старшего брата число 5!

— Что означает восклицательный знак?—спросил он.

— Это не восклицательный знак. Запись n! (читается: эн — факториал) означает произведение натуральных чисел от 1 до n. Например, 5! = 1⋅2⋅3⋅4.5=120.

Вычислите 2!, 3!, 4!, 6!, 7!.

18. С помощью микрокалькулятора вычислите

8!, 9!, 10!, 11!, 12!, 13!.

19. Старший брат выписал из справочника число 15!, но случайно поставил кляксу на одну цифру.

Какая эта цифра? Обязательно ли для поиска ответа вычислять произведение 1⋅2⋅3⋅.....⋅14⋅15? А если бы клякса закрыла две цифры?

20*. Докажите признак делимости на 4:

Если сумма последней цифры и удвоенной предпоследней цифры числа делится на 4, то и число делится на 4.

Глава II. МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР

§ 19. Измерение отрезков

Ученик IV класса и его сестра—десятиклассница решили подсчитать число шагов от дома до школы. Получилось, что одно и то же расстояние равно 300 шагам брата и 200 шагам сестры. Очевидно, что разные результаты получились из-за того, что сестра измеряла расстояние большими шагами, чем брат.

В таких случаях говорят, что были использованы различные единицы измерения.

Возьмем в качестве единичного отрезок длины 1 см. Тогда измерение удобно производить при помощи сантиметровой линейки.

Пусть задан отрезок AB, который надо измерить. Приложим к нему шкалу сантиметровой линейки, совместив ее нулевую точку О с точкой А отрезка. Если при этом окажется, что точка В совпадает с некоторым делением шкалы, например, с отметкой 5, то говорят, что длина отрезка AB равна 5 см, и пишут AВ = 5 см (рис. 2.1). Если нет, то можно указать два деления, между которыми находится точка B, например, 5 и 6 (рис. 2.2).

Точная длина AB нам осталась неизвестной. Однако мы видим, что величины 5 см и 6 см отличаются от длины

Рис. 2.1 Рис. 2.2

AB не более чем на 1 см. Их называют «приближениями» или «приближенными значениями длины AB с точностью до 1 см», записывают

и говорят, что длина AB приближенно равна 5 см или 6 см с точностью до 1 см.

Так как 5 см < AB < 6 см, то еще говорят, что 5 см и 6 см приближают AB с точностью до 1 см соответственно с «недостатком» и «избытком».

На практике широко пользуются также понятием приближения с «округлением». Поясним его на данном примере.

То из делений шкалы 5 см и 6 см, которое расположено ближе к B, называется «приближением длины AB с точностью до 1 см с округлением», а если В находится посредине между этими делениями, то приближением длины AB с точностью до 1 см с округлением принято называть большее из указанных делений, т. е. 6 см. Например, на рис. 2.2 AB ≈ 6 см с округлением, а на рис. 2.3 АВ ≈ 5 см с округлением.

Пример 1. Длина отрезка AB равна 275 см. Найти его приближение с точностью до 1 дм (10 см) с недостатком, избытком и округлением.

Решение. AB = 275 см ≈ 27 дм с недостатком; AB = 275 см ≈ 28 дм с избытком и округлением.

Пример 2. Расстояние между двумя городами равно 628 км. Найти его приближение с точностью до ста километров с недостатком, избытком и округлением.

Решение. 628 км ≈ 600 км с недостатком и округлением;

УПРАЖНЕНИЯ

1. С помощью сантиметровой линейки измерьте (рис. 2.4) длины отрезков АВ, CD, KP с недостатком и избытком с точностью до 1 см. Определите для каждого отрезка его длину (с точностью до 1 см) приближенно.

2. Начертите в тетради три произвольных отрезка. С помощью сантиметровой линейки определите приближенно их длину (с точностью до 1 см).

3. Расстояние от Москвы до Владивостока 9302 км. Найдите его приближение с точностью до 1000 км с недостатком, избытком и округлением.

§ 20. Величины. Исторические сведения

Такие понятия, как длина, площадь, объем, вес, называются величинами. Величина есть результат измерения, она определяется числом, выраженным в определенных единицах. Для обозначения величины пишут это число, а рядом—название единицы. Например,

5 см, 10 кг, 12 км, 4 т, 5 мин.

Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами. Например,

5 см = 50 мм, 1 ч = 60 мин, 2 кг = 2000 г.

В древней Руси пользовались такими единицами длины:

пядь—расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами руки; это расстояние колеблется от 18 до 23 см;

локоть—расстояние от конца среднего пальца руки до локтя; это расстояние колеблется от 38 до 46 см;

сажень—различали «простую» (примерно 152 см или 4 локтя), «маховую» (примерно 176 см) и «косую» (примерно 213 см) сажени.

В XVI—XVII веках появились новые единицы длины: верста, аршин, четверть и вершок: 1 верста = 500 саженям ≈ 1067 м. 1 сажень = 3 аршинам ≈ 2 м, 1 аршин = 4 четвертям ≈ 71 см, 1 четверть = 4 вершкам ≈ 18 см.

§ 21. Метр

В СССР и в большинстве стран мира за основную единицу длины принимается метр.

В городе Севре (Франция) в Международном бюро мер и весов в специальном помещении, где поддерживается постоянно температура 0°С, на специальных подставках лежит стержень, сделанный из весьма твердого сплава платины и иридия. На нем имеются две отметки. Расстояние между ними по международному соглашению и принято считать основной единицей измерения длин и называть метром. Этот стержень и считается эталоном (образцом) метра.

Во многих странах мира в соответствующих помещениях находятся тщательно изготовленные копии указанного эталона. У нас в стране эта копия хранится во Всесоюзном исследовательском институте метрологии имени Д. И. Менделеева.

История метра такова. В 1792 году Парижская академия наук решила по возможности точно измерить длину земного меридиана, проходящего через Париж. Отдельные части этого меридиана были фактически измерены, а длина других частей была вычислена на основе этих измерений теоретически. В результате большой работы, которая продолжалась 7 лет, была найдена длина Парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах длины—туазах.

Парижской академией наук было решено ввести новую единицу длины—метр, равную одной десятимиллионной доли четверти Парижского меридиана, найденного указанным путем. Решено было также изготовить эталон

метра, который и хранится теперь в городе Севре. Была введена также так называемая метрическая система мер, в основу которой положен метр. Она оказалась очень удобной, хорошо приспособленной к десятичной системе счисления. В дальнейшем и другие страны мира стали использовать метр и вообще метрическую систему мер.

Наша Советская страна перешла на метрическую систему сразу же после Октябрьской революции. Старые аршины, версты, сажени окончательно забыты и представляют теперь только исторический интерес.

Итак, метр есть одна десятимиллионная часть четверти Парижского меридиана. Это не совсем точно—на самом деле метр есть одна десятимиллионная часть приближенной длины, которая получилась как результат измерений четверти Парижского меридиана, проведенных Парижской академией наук в конце XVIII века.

В настоящее время существуют и другие эталоны длины, более надежные, чем металлический стержень. Об этих эталонах вы узнаете в старших классах на уроках физики.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Веревку разрезали на части. При этом сделали 6 разрезов. Сколько частей получилось?

2. Вдоль дорожки парка через равные промежутки посажены деревья. Володя насчитал от первого до второго дерева ровно 5 шагов. Сколько шагов от первого до третьего дерева; от второго до четвертого; от третьего до десятого?

3. Вдоль дороги от дома до школы посажено 20 деревьев. Расстояние между деревьями по 2 м. Миша вычислил расстояние от первого до последнего дерева так: 20⋅2 = 40 (м). В чем ошибка? Решите задачу правильно.

4. От первого этажа до второго 18 ступеней. Сколько ступеней от первого до пятого этажа?

5*. Имеются бревна длиной 4 м и 5 м. Сколько бревен по 4 м и по 5 м надо распилить, чтобы получить 42 бревна по 1 м и сделать наименьшее число распилов?

§ 22. Метрические единицы длины

Метр состоит из 10 дециметров, т. е. 1 дециметр есть одна десятая часть метра.

Дециметр состоит из 10 сантиметров, т. е. 1 сантиметр есть одна десятая часть дециметра или одна сотая часть метра.

Сантиметр состоит из 10 миллиметров, т. е. 1 миллиметр есть одна десятая часть сантиметра, одна сотая часть дециметра и одна тысячная часть метра.

Записывают: 1 м=10 дм, 1 дм=10 см, 1 см=10мм, 1 м= 10 дм = 100 см = 1000 мм.

Пример.

2358 мм = 2 м 3 дм 5 см 8 мм = 2 м 35 см 8 мм, 15 м 48 см 4 мм = 15 м 4 дм 8 см 4 мм = 15484 мм. Для измерения больших длин введена единица длины 1 километр, равная 1000 метрам. Пишут: 1 км = 1000 м.

Очень большие расстояния—астрономические—выражают в виде степеней 10 или в виде произведения некоторого числа, большего 1, но меньшего 10 на определенную степень 10. Например,

20000 000 000000 000 000 м = 2⋅1019 м = 2⋅1016 км,

так как 1 км = 103 м.

Очень малые длины измеряют микронами и микромикронами:

1 мм =1000 микронов,

1 микрон = 1000 микромикронов.

В науке приходится иметь дело с еще меньшими расстояниями. Чтобы выразить их, указывают, какую часть микрона они составляют.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Заполните пропуски:

6. Выполните действия с величинами:

7. Одна сторона треугольника равна 5 см, вторая в 2 раза больше, а третья на 3 см больше первой. Найдите периметр (сумму длин сторон) треугольника.

8. Одна сторона треугольника равна 18 см, вторая в 3 раза меньше, а третья на 5 см меньше, чем первая. Найдите периметр треугольника.

9. Две стороны треугольника имеют длины 6 дм и 8 дм. Найдите третью сторону, если известно, что периметр этого треугольника равен 24 дм.

10. Периметр треугольника равен 46 м. Одна сторона треугольника равна 11 м, вторая на 4 м больше. Найдите третью сторону треугольника.

11. После того как велосипедист проехал 5 км 360 м, ему осталось проехать на 3 км 420 м больше, чем он уже проехал. Какой путь проедет велосипедист?

12. Найдите периметр треугольника АBС, у которого

1) AB =12 см 4 мм, ВС на 2 см 9 мм больше AB, а АС на 1 см 8 мм меньше АВ;

2) AB = 3 дм, ВС на 12 см меньше AB, а АС на 110 мм больше AB.

13. Из города в противоположных направлениях выехали велосипедист и легковая машина. Какое расстояние будет между ними, если

1) велосипедист проехал 12 км, а машина—64 км; 2) велосипедист проехал 15 км 600 м, а машина — 70 км 800 м?

§ 23. Прямоугольник

Четырехугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

На рис. 2.5 изображен прямоугольник ABCD. Верхняя и нижняя его стороны называются основаниями. Они равны между собой.

Принято считать, что слово «основание» обозначает не только отрезок, но и его длину.

Боковые стороны прямоугольника называют высотами. Они равны между собой. Длины их также называются высотами. Стороны прямоугольника называют еще длиной и шириной прямоугольника.

Точки, в которых пересекаются стороны прямоугольника, называются вершинами.

Если все стороны прямоугольника равны между собой, то такой четырехугольник называется квадратом. Квадрат называется единичным, если длина его стороны равна единице. Про единичный квадрат говорят, что он имеет площадь, равную одной квадратной единице. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 кв. см или 1 см2. Читается: «один квадратный сантиметр».

Если прямоугольник можно разрезать на S единичных квадратов, то говорят, что он имеет площадь, равную S квадратным единицам.

Например, на рис. 2.6 изображен прямоугольник с основанием а = 3 см и высотой b = 5 см. Его можно разрезать на 3⋅5=15 единичных квадратов со стороной 1 см. Следовательно, его площадь S = 3 см ⋅5 см= 15 см2. Пишут

Рис. 2.5 Рис. 2.6

еще: S = 3⋅5 = 15 (см2) и читают: «15 квадратных сантиметров».

Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту:

где а и b—длины сторон, выраженные натуральными числами.

Замечание. Вторую степень числа называют квадратом числа. Это название связывают с тем, что площадь квадрата есть вторая степень длины его стороны.

УПРАЖНЕНИЯ

1. С помощью чертежного треугольника проверьте, является ли угол прямым (рис. 2.7).

2. С помощью чертежного треугольника постройте прямоугольник, стороны которого равны 3 см и 2 см.

3. Какой из четырехугольников, изображенных на рис. 2.8, является прямоугольником; квадратом?

4. Какой четырехугольник называется прямоугольником? Какой прямоугольник называется квадратом?

5. Постройте прямоугольник ABCD со сторонами: AB = 3 см, AD = 4 см. Какова длина CD? Какова длина ВС? Определите площадь ABCD.

6. На рис. 2.9 изображено 9 прямоугольников, из них 5 квадратов. Сколько прямоугольников изображено на рис. 2.10? Сколько из них квадратов?

Рис. 2.7

Рис. 2.8

7. Девочка начертила на асфальте прямоугольник для игры в «классики» и разбила его на 8 квадратов (рис. 2.11). На самом деле квадратов получилось несколько больше. Сколько всего получилось квадратов? Сколько всего получилось прямоугольников?

8. Какой квадрат называется единичным? Чему равна площадь квадрата со стороной 1 км; 1 см?

9. Определите площадь прямоугольника ABCD, если 1) AB = 6 см, BС = 5см; 2) BС = 3 м, CD= 12 м;

3) AD = 8 мм, ВA = 4 мм; 4) СВ=10км, CD = 5 км.

10. Найдите площадь квадрата со сторонами:

1) 1см; 2) 2 см; 3) 3 см; 4) 5 см; 5) 10 см.

11. Найдите площади фигур, изображенных на рис. 2.12.

12. Расстояние между городами равно 36 км. Два путника вышли из этих городов навстречу друг другу. Какое расстояние будет между ними, если

1) первый прошел 12 км, а второй—15 км;

2) первый прошел 16 км, а второй — 20 км;

3) первый прошел 20 км, а второй—25 км?

13. Три села A, В и С связывает грунтовая дорога (рис. 2.13). Расстояние между A и В равно 6 км,

Рис. 2.9 Рис. 2.10 Рис. 2.11

Рис. 2.12

Рис. 2.13

а между В и С—20 км. Из сел А и В вышли путники и отправились в село С. Какое расстояние будет между ними, если

1) первый путник (идущий из А) прошел 5 км, а второй путник (идущий из В) прошел 3 км;

2) первый прошел 10 км, а второй—6 км;

3) первый прошел 15 км, а второй—9 км?

§ 24. Единицы площади

Площадь квадрата равна второй степени длины его стороны. Площади различных фигур измеряют в квадратных единицах.

Мы знаем следующие единицы длины—их еще называют линейными единицами: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км. Рассматривая квадраты, стороны которых имеют перечисленные длины, мы получим следующие единицы площади:

1 мм2—квадратный миллиметр,

1 см2 — квадратный сантиметр,

1 дм2 — квадратный дециметр,

1 м2—квадратный метр,

1 км2—квадратный километр.

Так как 1 см = 10 мм, то 1 см2 = 10 мм⋅10 мм = 100 мм2. Аналогично,

Используя степень числа 10, квадратный километр можно записать так:

Для измерения небольших земельных участков оказалось удобным ввести специальную квадратную единицу — 1 ар. Пишут: 1 а. Это площадь квадрата со стороной 10 м. Так как 10 м⋅10 м= 100 м2, то эту единицу площади часто называют соткой.

Для измерения более крупных земельных участков ввели еще одну квадратную единицу—1 гектар. Пишут:

1 га. Это площадь квадрата со стороной 100 м, т.е. 1 га = 100м⋅100м=10000м2=104 м2; 1 га =100 а.

На практике, измеряя площади, мы чаще всего пользуемся приближенными значениями величин. Например, пусть требуется найти площадь S прямоугольника ABCD (рис. 2.14). Измерив его стороны AB и AD, мы получили AB ≈ 22 см, AD ≈ 34 см с недостатком (с точностью до 1 см).

Так как длины сторон измерены с недостатком, значит, площадь S прямоугольника ABCD больше, чем 22⋅34 = 748 (см2), т. е. S > 748 см2.

Если мы возьмем длины сторон с избытком: АВ ≈ 23 см, AD ≈ 35 см, то площадь S прямоугольника ABCD будет меньше, чем 23⋅35 = 805 (см2), т.е. S < 805 см2.

Получается, что площадь S прямоугольника ABCD больше 748 см2 и меньше 805 см2. Это можно записать так:

Точность измерения площади в нашем случае:

Рис. 2.14

УПРАЖНЕНИЯ

1. Чему равна площадь квадрата со стороной: 1) 1 см; 2) 1 м; 3) 10 м; 4) 100 м?

2. Сколько квадратов со стороной 1 см содержится в квадрате со стороной:

1) 1 дм; 2) 1 м; 3) 10 м; 4) 1 км?

3. Во сколько раз

1) 1 см2 больше, чем 1 мм2; 2) 1 дм2 больше, чем 1 см2; 3) 1 м2 больше, чем 1 дм2; 4) 1 а больше, чем 1 м2?

4. Во сколько раз

1) 1 дм2 больше, чем 1 мм2; 2) 1 м2 больше, чем 1 см2; 3) 1 а больше, чем 1 дм2; 4) 1 га больше, чем 1 м2?

5. Сколько квадратных сантиметров содержится в 1) 1 дм2; 2) 1 м2; 3) 1 а; 4) 1 га; 5) 1 км2?

6. Во сколько раз увеличится площадь прямоугольника,

если одну его сторону увеличить в два раза; в три раза?

7. Во сколько раз увеличится площадь прямоугольника, если одну его сторону увеличить в два раза, а другую—в три раза?

8. Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в два; в три; в пять раз?

9. Во сколько раз

1) 1 м2 меньше, чем 1 а; 2) 1 см2 меньше, чем 1 дм2; 3) 1 а меньше, чем 1 га; 4) 1 га меньше, чем 1 км2? 10. Заполните пропуски:

12. Сколько квадратных метров содержит 1 ар? Как по-другому называется 1 ар?

Сколько квадратных метров содержат 2 гектара? Сколько аров содержит 1 квадратный километр?

13. Колхозный сад имеет форму прямоугольника со сторонами 1500 м и 400 м. Выразите площадь сада в квадратных метрах; в арах; в гектарах.

14. Сложите величины:

15. Каждая клетка шахматной доски является квадратом со стороной 3 см. Определите площадь всех клеток шахматной доски. Какую площадь занимают все черные клетки шахматной доски?

16. Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами:

17. Составьте выражение для вычисления периметра прямоугольника со сторонами:

18. Прямоугольник имеет стороны 3 см и 5 см. Найдите сторону квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.

19. Прямоугольник имеет стороны 5 дм и 7 дм. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру данного прямоугольника.

20. Даны прямоугольник со сторонами 24 см и 18 см и квадрат со стороной 12 см. Во сколько раз площадь квадрата меньше площади прямоугольника?

21. Колхозное поле имеет площадь 18 га, а огород около дома колхозника—8 соток. Во сколько раз колхозное поле больше огорода?

22. Основание прямоугольника равно 8 см, а высота на 2 см больше. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

23. Даны площадь прямоугольника и одна из его сторон. Найдите другую сторону:

24. На плане земельного участка показаны дом, огород и сад (рис. 2.15). Подсчитайте двумя способами площадь, занятую под сад и огород вместе.

§ 25. Прямоугольный параллелепипед

Обычная комната, коробка конфет или кирпич могут дать представление о прямоугольном параллелепипеде.

На рис. 2.16 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDAA1B1C1D1. Снизу, сверху и с боков он ограничен гранями. Каждая грань есть часть плоскости — прямоугольник. Нижняя и верхняя грани называются основаниями прямоугольного параллелепипеда, остальные четыре грани называются боковыми гранями. Всего граней 6.

Грани пересекаются по отрезкам—ребрам прямоугольного параллелепипеда. Всего 12 ребер. Их можно разделить на три группы. В каждую группу входят четыре ребра, равные между собой.

Рис. 2.15

Рис. 2.16

Точки, в которых пересекаются ребра, называются вершинами прямоугольного параллелепипеда. Всего вершин 8.

На рис. 2.16 ребра AD, AB, АA1 принадлежат различным граням, длины их называются соответственно шириной, длиной и высотой прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Назовите предметы из окружающей обстановки, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда.

2. На рис. 2.17 изображен прямоугольный параллелепипед. Назовите его грани, ребра, вершины, основания, боковые грани, ширину, длину, высоту.

Сколько у прямоугольного параллелепипеда вершин, ребер, граней?

3. Постройте в тетради прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см. Обозначьте его вершины, начиная с левой нижней по часовой стрелке: А, A1, D1, D. Отступив от каждой вершины на три клетки вправо и на две клетки вверх, постройте четыре точки. Обозначьте их соответственно В, B1, C1, С. Достройте полученный чертеж до прямоугольного параллелепипеда. Назовите его вершины, ребра, грани, основания, боковые грани, ширину, высоту, длину.

4. Какой прямоугольный параллелепипед называется кубом?

б. Перечертите развертку куба на бумагу, вырежьте по сплошной линии (пунктиром показаны линии сгиба). Места склеек на рис. 2.18 заштрихованы. Склейте куб.

Рис. 2.17 Рис. 2.18

§ 26. Единицы объема

Куб с ребром, имеющим единицу длины, называется единичным кубом.

За единицу объема принимается объем единичного куба.

Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на К единичных кубов, то говорят, что его объем равен К кубическим единицам.

На рис. 2.19 изображен прямоугольный параллелепипед, у которого ширина 3, длина 4, а высота 2 линейные единицы. Мы видим, что прямоугольный параллелепипед можно разрезать на 2 слоя, в каждом из которых 3⋅4=12 единичных кубов. Всего прямоугольный параллелепипед содержит

единичных кубов.

Заметим, что если ширина а, длина b и высота с прямоугольного параллелепипеда выражены натуральными числами в одной единице измерения, то вычисление объема сводится к нахождению их произведения;

Но а⋅b есть площадь основания, поэтому объем прямоугольного параллелепипеда может быть вычислен как произведение площади основания на высоту:

где S—площадь основания.

Рис. 2.19

Объем куба с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см8.

Аналогично определяются другие кубические единицы:

1 дм3 называют еще литром: 1 л = 1 дм3.

Замечание. Так как объем единичного куба, по существу, есть произведение трех одинаковых множителей, то слово «куб» стали использовать для обозначения третьей степени числа.

УПРАЖНЕНИЯ

1. На рис. 2.20 изображена кладка кирпичей. Подсчитайте число кирпичей в кладке.

2. На сколько единичных кубов может быть разделен прямоугольный параллелепипед, изображенный на рис. 2.21? Каков его объем?

3. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, длина, ширина и высота которого соответственно равны:

1) 1 м, 2 м, 3 м; 2) 20 дм, 3 м, 100 см; 3) 15 см, 2 дм, 1 м; 4) 16 дм, 3 м, 20 см.

4. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, ширина которого 30 см, длина 45 см, высота 25 см. Сколько раз придется наполнять водой трехлитровую банку, чтобы с ее помощью наполнить аквариум на 20 см в высоту?

5. Сколько кубических сантиметров содержится в 1 дм3; в 1 м3; в 1 км3?

Рис. 2.20 Рис. 2.21

6. Во сколько раз увеличивается объем куба при увеличении его ребра: в два раза; в три раза; в десять раз?

7. Заполните пропуски:

8. Площадь пола в комнате 14 м3, а высота комнаты 3 м. Какой объем занимает комната?

9. Комната занимает объем 45 м3 и имеет площадь пола 15 м2. Какова высота комнаты?

10. Комната занимает объем 48 м3, а ее высота равна 3 м. Какую площадь имеет пол в комнате? Какова длина и ширина комнаты, если пол имеет форму квадрата?

11. Вычислите объемы фигур, изображенных на рис. 2.22. Размеры указаны в сантиметрах.

12. Окрашенный куб с ребром в 10 см распилили на кубики с ребром в 1 см. Сколько среди них окажется кубиков: с одной окрашенной гранью; с двумя окрашенными гранями, с тремя окрашенными гранями?

§ 27. Единицы массы

Основная единица массы*) — грамм. По предложению Парижской академии наук за 1 грамм принята масса 1 см3 воды при температуре 4°С.

Тысяча граммов называется килограммом: 1 кг =1000 г.

Таким образом, масса 1 дм3 воды (1000 см3) составляет 1 кг.

Рис. 2.22

*) В обиходе массу называют весом и говорят, например, «вес 1 грамм» вместо «масса 1 грамма

Тысяча килограммов называется тонной: 1 т =1000 кг.

Масса 1 м3 воды составляет 1 т.

На практике часто используют еще одну единицу массы—центнер:

1 ц = 100 кг.

Парижская академия наук организовала взвешивание 1 дм3 воды при 4°С. Была изготовлена из металла гиря, имеющая массу, весьма точно равную массе 1 дм3 воды. Эта гиря хранится вместе с эталоном метра в г. Севре. По ней, как по эталону, изготовлены точные ее копии, которые хранятся во всех странах мира. У нас эта копия вместе с другими эталонами хранится в Институте метрологии имени Д. И. Менделеева.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Сколько кубических дециметров содержит 1 л; 3 л?

2. Какой объем воды при температуре 4°С надо взять, чтобы получить 1 кг воды; 3 кг воды?

3. Какой объем занимает 10 кг воды? Сколько килограммов воды можно поместить в бак объемом 1 м3?

4. Какой объем занимает 1 т воды при температуре 4 °С?

5. Перепишите, заполняя пропуски:

1) 1 кг=... г; 2) 2 т 525 кг=... кг; 3) 1 т= ... кг; 4) 3 т 700 кг =... г; 5) 3 т=... г; 6) 12 т 50кг =... кг.

6. Во сколько раз

1) 2 ц больше, чем 2 кг; 2) 2 кг больше, чем 4 г; 3) 5 т больше, чем 500 кг; 4) 750 ц больше, чем 15 г?

7. Известно, что 1 г—масса 1 см3 воды, 1 кг—масса 1 дм3 воды, 1 т—масса 1 м3 воды. Объясните, почему 1 т= 1000 кг, 1 кг=1000 г?

8. Что тяжелее—1 кг железа или 1 кг ваты?

§ 28. Единицы времени

Любые процессы и движения происходят во времени. Время одного движения можно измерять при помощи времени другого движения, например, вращения Земли вокруг ее оси.

Время, в течение которого Земля совершает полный оборот вокруг своей оси, называется сутками. Сутки — единица времени. Одни сутки содержат 24 часа: 1 сутки = 24 ч.

Один час равен 60 минутам, а минута равна 60 секундам:

1 ч = 60 мин, 1мин = 60с, 1ч = 3600с.

В науке основной единицей времени считается секунда. Даже очень большие промежутки времени выражаются в секундах с помощью степени числа 10.

Приходится иметь дело и с долями секунды. В современных спортивных соревнованиях различные достижения (например, в беге, плавании и т. д.) измеряются в десятых и даже в сотых долях секунды.

В обыденной жизни, в том числе в хозяйственной деятельности наших государственных предприятий и учреждений, пользуются такими единицами времени, как год, месяц, неделя (эти названия вам знакомы) и еще квартал и декада.

Год есть время обращения Земли вокруг Солнца с точностью до 5—6 минут. 1 год—365 суток и 6 часов.

По действующему во всем мире календарю считается, что если номер года делится на 4 (например, 1988), то этот год содержит 366 суток. Такие годы называются високосными. А невисокосные годы содержат по 365 суток. Указанная выше прибавка в 6 ч за четыре года составляет 24 часа, т. е. целые сутки, которые и приписывают к високосному году.

Год делится на 12 месяцев. Так как 365 и 366 не делится на 12, то пришлось распределить дни года между месяцами неравномерно:

по 31 дню—январь, март, май, июль, август, октябрь, декабрь;

по 30 дней—апрель, июнь, сентябрь, ноябрь; февраль в зависимости от года содержит 28 или 29 дней.

Квартал содержит 3 месяца, декада—10 дней, неделя — 7 суток.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Сколько минут содержат:

1) 2 ч; 2) 3 ч; 3) 5 ч; 4) сутки?

2. Сколько секунд содержат:

1) 2 ч; 2) 3 ч; 3) сутки; 4) неделя?

3. Вычислите сумму величин:

1) 3 ч 15 мин и 2 ч 12 мин;

2) 3 ч 20 мин и 1 ч 40 мин;

3) 7 ч 43 мин и 2 ч 25 мин;

4) 2 ч 53 мин и 3 ч 48 мин.

4. 1) 3 мин 12 с и 1 мин 3 с;

2) 2 мин 10 с и 50 с;

3) 4 мин 42 с и 7 мин 53 с;

4) 8 мин 42 с и 6 мин 49 с. Вычислите разность величин:

5. 1) 6 мин 20 с и 3 мин 15 с; 2) 9 мин 15 с и 4 мин 45 с;

6. 1) 6 мин и 3 мин 18 с; 2) 4 мин 28 с и 2 мин 56 с.

7. Самолет поднялся в воздух в 12 ч 35 мин и находился в полете 2 ч 40 мин. Когда приземлился самолет?

8. Самолет поднялся в воздух в 14 ч 45 мин, а приземлился в другом городе в 17 ч 10 мин. Сколько времени продолжался полет?

9. Сколько месяцев в году имеют по 30 дней?

Может ли в феврале быть 5 понедельников? Может ли в феврале быть 5 понедельников и 5 вторников? А в январе?

10. Увеличьте:

1) 3 ч 15 мин в 3 раза; 2) 1 ч 20 мин в 4 раза; 3) 5 ч 24 мин в 3 раза; 4) 2 ч 12 мин в 7 раз.

11. Уменьшите:

1) 3 ч 15 мин в 3 раза; 2) 4 ч 48 мин в 4 раза; 3) 6 ч 56 мин в 2 раза; 4) 5 ч 55 мин в 5 раз.

12. Требуется распилить бревно на 6 частей. Каждый распил занимает 1 мин 30 с. Сколько потребуется времени на работу?

13. Комбинат бумажных изделий установил новую машину, которая за 1 мин выпускает 1050 м бумаги. На сколько метров бумаги в час новая машина выпускает больше, чем старая, которая выпускала 750 м в минуту?

14. Лифт поднимает с первого этажа на третий за 6 с. За сколько секунд он поднимет с первого этажа на пятый этаж?

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ II

1. Объясните на примере, что называется приближенным значением длины отрезка с недостатком; с избытком; с округлением.

2. Какую часть метра называют дециметром; сантиметром; миллиметром? Что такое километр?

3. Какой четырехугольник называется прямоугольником?

4. Какой прямоугольник называется квадратом?

5. Какой квадрат называется единичным? Что такое ар; гектар; сотка; квадратный километр?

в. Какой прямоугольный параллелепипед называется кубом? Какой куб называется единичным?

7. Как вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его ширина, высота и длина? Как вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, если известны площадь его основания и высота?

8. Назовите единицы измерения длины в порядке их возрастания.

9. Назовите единицы измерения площади в порядке их возрастания.

10. Назовите единицы измерения объема и массы в порядке их возрастания.

11. Что такое центнер; литр?

12. Назовите единицы измерения времени. Сколько секунд содержит минута? Сколько минут содержит час? Сколько часов содержат сутки? Сколько суток содержит год?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Измерьте длины сторон треугольников на рис. 2.23. Найдите периметры треугольников.

Рис. 2.23

2. На прямой отметьте точки А, В и С так, чтобы

1) AB = 2 см, BС = 3 см; сколько решений имеет задача?

2) AB = 2 см, AС= 1 см; сколько решений имеет задача?

3. Отрезки AB, AC, AD, АК имеют общую точку А. Постройте эта отрезки. Сколько решений имеет задача?

4. Измерьте длины отрезков на рис. 2.24 с недостатком; с избытком; с округлением (с точностью до 1 см).

5. Запишите все отрезки, изображенные на рис. 2.25. Сколько отрезков изображено на рис. 2.26?

6. На глаз разделите отрезки AB и CD (рис. 2.27) на две равные части. Проверьте свой глазомер с помощью линейки.

7. Постройте в тетради три произвольных отрезка. Разделите каждый из них на три равные части. Проверьте свой глазомер с помощью линейки.

8. Число 48 увеличили в 4 раза. На сколько увеличили это число?

9. Число 48 уменьшили в 4 раза. На сколько уменьшили это число?

10. Число 48 увеличили в 2 раза, потом увеличили на 2. Полученное число уменьшили в 2 раза, потом уменьшили на 2. Получится ли в результате этих изменений число 48? Какое число получится?

11. Проверьте, верно ли равенство:

12. В 12 одинаковых коробках лежат 144 карандаша. Сколько карандашей в 13 таких же коробках?

13. За 3 ч автомат на кондитерской фабрике заворачивает 345 конфет. Сколько конфет завернет тот же автомат за 5 ч?

14. За 3 кг сахарного песку заплатили 2 р. 70 к. Сколько нужно заплатить за 2 кг сахарного песку?

15. Токарь может обточить 72 заготовки за 3 ч, а его ученику на выполнение этой работы требуется в два раза больше времени. За сколько часов они обточат 72 заготовки при совместной работе?

16. На первом станке можно отштамповать 480 деталей за 4 ч, а на втором станке на это потребуется в 3 раза больше времени. За какое время можно отштамповать 480 деталей при совместной работе двух станков?

Рис. 2.24

Рис. 2.25 Рис. 2.26

Рис. 2.27

17. Вычислите:

18. Может ли сумма цифр натурального числа быть равной сумме цифр квадрата этого числа?

19. Может ли сумма цифр натурального числа быть больше суммы цифр квадрата этого числа?

20. Какие цифры можно поставить вместо звездочек, если известно, что число:

1) 7*8* делится на 9; 2) 7*8* делится на 18?

21. Какие цифры можно поставить вместо звездочек, если известно, что число 52*2* делится на 36?

22. Докажите, что нельзя подобрать пять нечетных чисел, сумма которых равна 100.

23. Из двух портов навстречу друг другу вышли два теплохода. При встрече оказалось, что один из них прошел 512 км, а второй на 74 км больше. Каково расстояние между портами? В задаче не сказано, что движение начато одновременно — влияет ли это условие на результат?

24. Из села в противоположных направлениях выехали велосипедист и мотоциклист. Через некоторое время велосипедист был на расстоянии 18 км от села, а мотоциклист—35 км. На каком расстоянии друг от друга были они в этот момент? В задаче не сказано, что движение начато одновременно — влияет ли это условие на результат?

25. Какие величины нужно знать, чтобы найти: 1) пройденный путь; 2) скорость движения?

26. Найдите неизвестные величины:

Путь

Скорость

Время

1

200 км в час

6 мин

2

4 м в секунду

12 с

3

120 км

2 ч

4

18 км

3 мин

5

200 м

10 с

6

15 км

15 км в час

7

3000 м

500 м в минуту

8

480 м

12 м в секунду

27. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Поезд, идущий из A, имеет скорость 70 км в час, а поезд, идущий из В, имеет скорость 80 км в час. Поезда встретились в пункте С через 2 ч после начала движения. Найдите расстояние от А до С, от В до С, от А до В через С.

Глава III. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

§ 29. Отрицательные целые числа

Термометр, изображенный на рис. 3.1, показывает температуру 7° тепла. Если температура понизится на 4°, то термометр будет показывать 3° тепла. Уменьшению температуры соответствует действие с натуральными числами: 7—4 = 3.

Если температура понизится на 7°, то термометр покажет 0°: 7—7=0.

Если же температура понизится на 9°, то термометр покажет —2° (2° мороза). Но результат вычитания 7—9 не выражается целым неотрицательным числом, хотя он имеет реальный смысл.

Проиллюстрируем вычитание на ряде целых неотрицательных чисел.

1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:

2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:

Отсчитать же в ряду неотрицательных чисел от числа 7 влево 9 чисел нельзя. Чтобы действие 7—9 стало выпол-

Рис. 3.1

нимым, расширим ряд неотрицательных чисел. Для этого запишем влево от нуля по порядку числа 1, 2, 3, добавляя к каждому из них знак минус (—), который будет показывать, что число стоит слева от нуля. Эти числа читаются так: «минус один», «минус два», «минус три» и т. д.:

Справа от числа 0 расположены натуральные числа, которые еще называют целыми положительными числами.

Слева от числа 0 расположены целые отрицательные числа.

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.

Полученный нами ряд чисел называется рядом целых чисел. Таким образом, натуральные, целые отрицательные числа и нуль образуют ряд целых чисел. Вправо и влево этот ряд можно продолжать неограниченно.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Что означает запись: 5°, 0°, —4°, —7°?

2. Используя знак минус (—), запишите:

1) 3° мороза; 2) 6° мороза;

2) 4° ниже нуля; 4) 15° ниже нуля.

3. Установите на модели термометра: 5°, 6°, 0°, —1°, —7°.

4. С помощью модели термометра определите, какая температура получится, если она увеличится:

5. С помощью модели термометра определите, какая температура получится, если она уменьшится:

6. Устно определите, какая температура получится, если она:

1) повысится с 2° на 8°; 2) понизится с 5° на 6°; 3) уменьшится с 4° на 9°; 4) понизится с 0° на 3°.

7. Какое число в ряду целых чисел стоит ближе к числу 0:

8. Какие числа расположены в ряду целых чисел справа от нуля?

Какие числа расположены в ряду целых чисел слева от нуля? Являются ли число 0 положительным числом; отрицательным числом? Является ли число 0 целым числом?

9. Существует ли наибольшее целое число? Существует ли наименьшее целое число? Какие числа называют целыми?

§ 30. Правила знаков. Модуль числа

Считают, что если перед целым числом поставить знак плюс (+), то это не изменяет самого числа. Например; 5 = +5, -5 = +(-5).

Ряд целых чисел можно записать так:

Целые числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными. Например, 1 и —1, —5 и 5, 10 и —10 являются противоположными числами.

Если перед целым числом поставить знак минус (—), то получается число, ему противоположное: —(+1) = — 1, —(—2) = +2.

Единственным числом, которое не изменяется, если перед ним поставить знак «→, является число 0-. 0 = —0=+0. Нуль считается противоположным самому себе.

Число, противоположное числу а, обозначается —а. Заметим, что —а может быть положительным, отрицательным числом и нулем. Например, если а = +2, то —а=—2, так как —(+2) = —2; если а=—3, то —а = +3, так как — (-3) = +3; если a = 0, то—a = 0, так как —0 = 0.

Введем новое понятие—модуль числа.

Модулем положительного числа называется само это число. Например, модулем числа +3 является +3. Пишут:

Модулем числа 0 является число 0. Пишут:

Модулем отрицательного числа называется противоположное ему число. Например, модулем числа —4

является число +4. Пишут:

Таким образом, модуль целого числа—положительное число или нуль.

Модуль положительного или отрицательного числа показывает, на каком месте от нуля (справа или слева) стоит это число в ряду целых чисел. Противоположные числа имеют одинаковый модуль:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Прочитайте числа —5,+6,+8,—10,0, +4, —0. Какие из них являются целыми; целыми положительными; целыми отрицательными числами?

Перепишите эти числа, изменяя перед каждым из них знак на противоположный. Прочитайте полученные числа. Как изменились числа? Все ли числа изменились?

2. С 8 часов утра до 12 часов дня температура увеличилась на 5°. Определите температуру в 12 часов, если в 8 часов термометр показывал:

3. С 12 часов до 16 часов температура понизилась на 5°. Определите температуру в 16 часов, если в 12 часов термометр показывал:

4. Найдите модули чисел

5. Найдите два различных числа, модули которых равны.

Для следующих чисел: 2, 5, —3, 10, —17 укажите числа, имеющие те же модули.

6. Назовите противоположные числа, модули которых равны:

1) 2; 2) 7; 3) 0; 4) 8.

7. Заполните пропуски:

8. Вычислите:

9. Вычислите сумму:

10. Всегда ли модуль числа равен самому числу, т. е. | а | = а? Для каких чисел это равенство справедливо?

11. Всегда ли модуль числа равен противоположному ему числу, т. е. |а| =— а? Для каких чисел это верно?

12. Для какого числа выполняются оба условия |а|=а и |a| = — а?

§ 31. Сравнение целых чисел

Из двух целых чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее. Например,

Отсюда следует, что любое положительное число больше 0, а любое отрицательное число меньше 0; любое положительное число больше любого отрицательного.

Отрицательные числа удобно сравнивать с помощью их модулей. Так как в ряду целых чисел отрицательное число с большим модулем стоит левее, то из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Сравните числа:

2. Сформулируйте правила сравнения:

1) целых чисел с нулем;

2) положительных и отрицательных чисел;

3) отрицательных чисел.

3. Сравните числа и запишите сравнение с помощью знаков >, < и =:

4. Для каких чисел верно утверждение: если а > b, то |а|>|b|? Приведите примеры.

5. Для каких чисел верно утверждение: если а < b, то |а| > |b|? Приведите примеры.

6. Может ли быть так, чтобы а≠b, но |а| = |b|? Приведите примеры. Как называются числа а и b?

7. Какая может получиться температура (положительная или отрицательная), если она:

1) с 5° увеличится на несколько градусов;

2) с 10° уменьшится на несколько градусов?

Для каждого возможного случая приведите примеры.

8. Найдите разность:

9. Для какого числа —а = а?

10. Маша по ошибке считает, что —а означает запись отрицательного числа. Приведите примеры такого числа а, чтобы —а было: 1) положительным числом; 2) отрицательным числом; 3) нулем.

§ 32. Сложение целых чисел

Сумма целых чисел а и b есть число с, отстоящее в ряду целых чисел от а на |b| чисел вправо, если b>0, и влево, если b < 0.

Пример. Определить сумму 3 + 8. Так как 8 > 0, то от числа 3 в ряду целых чисел отсчитаем 8 чисел вправо:

Таким образом, 3 + 8=11.

Пример. Определить сумму (—3) + (—8). Так как —8 < 0 и I—8|=8, то от числа —3 в ряду целых чисел отсчитаем 8 чисел влево:

Таким образом, (—3) +(—8) = —(3 + 8) =—11. Рассмотренные примеры подтверждают правило:

Чтобы сложить числа одинаковых знаков, надо вы числить сумму их модулей и поставить перед суммой знак слагаемых.

Например, на основании указанного правила

Пример. Определить сумму 5+(—2). Так как —2 < 0 и |—2| = 2, то от числа 5 в ряду целых чисел отсчитаем влево 2 числа:

Таким образом,

Пример. Определить сумму 5+(—8). Так как —8 < 0 и |—8| = 8, то от числа 5 в ряду целых чисел отсчитаем влево 8 чисел:

Заметим, что |—8| > |5 | и сумма получилась меньше нуля:

Пример. Определить сумму (—7) + 3. Так как 3 > 0, то от числа —7 в ряду целых чисел отсчитаем вправо 3 числа:

Таким образом, (—7) + 3 = — (7—3) = —4. Заметим, что |—7|>|3| и сумма получилась меньше нуля. Рассмотренные примеры подтверждают правило: Чтобы сложить два числа разных знаков, надо из большего модуля вычесть меньший модуль и перед разностью поставить знак слагаемого, имеющего больший модуль.

Например,

Сумма противоположных чисел равна нулю: а+(— а)=0. Например, 5 + (—5) = 0. Для любого целого числа а: а + 0=0+а=а. Например, 0 + (—3) = (—3) + 0 = — 3.

УПРАЖНЕНИЯ

1. С помощью ряда целых чисел определите сумму:

2. Используя правило сложения, вычислите:

3. Устно найдите сумму:

4. Упростите числовое выражение:

Например,

5. С помощью ряда целых чисел определите сумму:

6. Используя правило сложения, вычислите:

7. Устно найдите сумму:

8. Вычислите:

Например,

§ 33. Законы сложения целых чисел

Для любых целых чисел а, b, с выполняются переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения:

Переместительный закон сложения следует из правил сложения. Ведь эти правила не зависят от порядка слагаемых в сумме.

Например:

Что же касается сочетательного закона, то его можно вывести из определения суммы при помощи ряда целых чисел. Например,

и

следовательно,

С помощью переместительного и сочетательного законов можно показать, что в сумме нескольких целых чисел можно переставлять слагаемые и заключать их в скобки любым образом.

Например, верно равенство

Докажем это:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите сумму:

3. Запишите и вычислите:

1) сумму 17 и —23; 2) сумму —20 и 4;

3) сумму числа, противоположного —13, и числа—25;

4) сумму числа —26 и числа, противоположного —12.

4. Заполните пропуски:

5. Упростите числовое выражение:

6. Можно ли выписать в строчку три числа так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

7. Можно ли выписать в строчку четыре числа так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех четырех чисел была отрицательна?

8. Можно ли выписать в строчку пять чисел так, чтобы сумма любых двух соседних была положительна, а сумма всех пяти чисел была отрицательна?

9. Можно ли расставить в клетках таблицы, состоящей из четырех строк и семи столбцов, целые числа так, чтобы сумма чисел:

1) в каждой строке была равной —14, а в каждом столбце—равной —8;

2) в каждой строке была равной —14, а в каждом столбце—равной 8?

10. Не вычисляя, прикиньте (с точностью до 1000) результат. Проверьте прикидку вычислением:

1) 8520 + 3910—9535; 2) 1573—9050 + 708.

11. 1) Как изменится сумма, если одно из слагаемых увеличить на 17?

2) Как изменится сумма, если одно из слагаемых уменьшить на 80?

3) Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на 7?

4) Как изменится разность, если вычитаемое уменьшить на 5?

б) Как изменится сумма, если одно слагаемое уменьшить на 3, а другое увеличить на 7?

6) Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 10, а другое увеличить на 5?

7) Как изменится разность, если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить на 9?

8) Как изменится разность, если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить на 50?

9) Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на 6, а вычитаемое уменьшить на 10?

12. В булочную привезли 654 кг ржаного и белого хлеба. После того как продали 215 кг ржаного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько было привезено в булочную белого и сколько ржаного хлеба?

13. В двух магазинах было 452 холодильника. После того как оба магазина продали поровну холодильников, в одном осталось 72, а в другом—84 холодильника. Сколько холодильников было в каждом магазине?

14. Сумма двух чисел равна 304, одно из чисел больше другого на 50. Найти оба числа.

§ 34. Разность целых чисел

Разностью целых чисел а и b называется такое число а—b, сумма которого с b равна а:

Покажем, что разность а—b есть сумма числа а и числа, противоположного b.

Чтобы доказать это, надо к а + (— b) прибавить число b:

Таким образом, чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Верно ли равенство:

2. Заполните пропуски:

3. Вычислите разность:

7. Используя равенство а—b=а+(—b), упростите запись:

Здесь и далее скобки у первого слагаемого можно опускать.

9. Вычислите:

10. 1) Разность числа 245 и числа, противоположного числу —18;

2) разность числа —14 и числа, противоположного числу +15;

3) разность числа 17 и числа —23;

4) разность числа —24 и числа —25.

11. Не вычисляя, прикиньте (с точностью до 100) результат. Проверьте прикидку вычислением:

1) 854—956 + 254; 2) 786 + 392 — 607.

12. Можно ли выписать в строчку шесть чисел так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была положительной, а сумма всех чисел была отрицательной?

13. Если а и b—натуральные числа, то можно ли утверждать, что их сумма и разность также являются натуральными числами?

14. Если а и b—целые числа, то можно ли утверждать, что их сумма и разность также являются целыми числами?

15. Какие из четырех арифметических действий не всегда выполняются для натуральных чисел а и b?

16. 1) Представьте в виде суммы следующие числовые выражения:

2) Представьте в виде разности следующие числовые выражения:

17. Найдите неизвестное число х, если

§ 35. Произведение и частное целых чисел

Произведением двух целых чисел называется произведение их модулей, взятое со знаком плюс (+), если эти числа одинаковых знаков, и со знаком минус (—), если они разных знаков.

Например,

Произведение целого числа а и нуля равно нулю:

Например,

Из определения произведения целых чисел и выполнимости переместительного и сочетательного законов умножения для натуральных чисел следует, что эти законы выполняются и для целых чисел:

Покажем это на примерах:

Если |а| делится на |b| нацело, то частное целых чисел а и b равно частному их модулей, взятому со знаком плюс (+), если эти числа одинаковых знаков, и со знаком минус (—), если они разных знаков.

Например,

Если частное а:b умножить на b, то получится а;

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Устно выполните действия:

2. Определите знак произведения:

3. 1) Сколько отрицательных множителей должно содержать произведение, чтобы оно было положительно?

2) Сколько отрицательных множителей должно содержать произведение, чтобы оно было отрицательно? 4. Вычислите:

Например,

5. Верно ли, что если

Объясните, почему данное утверждение верно, или приведите хотя бы один пример, показывающий, что утверждение неверно.

6. Произведение трех чисел положительно. Можно ли утверждать, что все три числа положительные? Приведите примеры.

7. Произведение двух чисел равно нулю. Докажите, что среди этих чисел есть хотя бы один нуль.

Устно выполните деление:

10. Сформулируйте свойства деления, которые выражаются следующими равенствами:

11. Вычислите:

Например

12. Вычислите:

13. Какое число больше:

14. Вычислите:

15. Запишите:

16. Вычислите, предварительно указав порядок действий:

17. Поезд проехал 240 км за 4 ч. Сколько времени он потратил бы на тот же путь, если его скорость:

1) увеличить на 20 км в ч; 2) уменьшить на 20 км в ч?

18. Первый покупатель купил 1 кг конфет и 1 кг печенья и заплатил за покупку 4 р. 80 к., а второй покупатель за 1 кг таких же конфет и 2 кг такого же печенья заплатил 6 р. Сколько стоит 1 кг конфет и сколько стоит 2 кг печенья?

19. Мальчик купил 3 общие тетради и 10 карандашей, а девочка купила 3 такие же тетради и 5 карандашей. Мальчик заплатил 69 к., а девочка—54 к. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит карандаш?

20. Мастер делает в час 18 деталей, а его ученик — на 6 деталей меньше. Сколько деталей сделают мастер и ученик вместе за 5 ч?

Что показывают выражения:

§ 36. Распределительный закон

Для любых целых чисел а, b, с выполняется распределительный закон:

Доказательство его сводится к распределительному закону для натуральных чисел. Например, [(—3)+(—2)]х

Распределительный закон верен и для нескольких слагаемых. Например,

Переход от (а + b)⋅с к а⋅с + b⋅с называют ракрытием скобок, а переход от а⋅с + b⋅с к (а + b)⋅с называют вынесением общего множителя за скобки.

Пример. Раскрыть скобки: (—48 + 35)(—2).

Каждое слагаемое умножим на (—2) и полученные результаты сложим:

Пример. Раскрыть скобки и вычислить сумму

Решение.

Пример. Вынести общий множитель за скобки:

Решение.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Запишите распределительный закон для чисел а, b, с. Убедитесь, что закон верен при

2. Верно ли равенство:

3. Раскройте скобки, определяя устно знак прозведения:

4. Упростите числовое выражение:

8. Докажите, что:

9. Вычислите:

10. Устно решите задачу: Мальчик заметил, что на путь по течению реки они с папой затратили меньше времени, чем на путь против течения. Чем это объяснить, если учесть, что мотор лодки работал одинаково хорошо в течение всей поездки?

11. Устно решите задачу: На путь по реке из пункта А в пункт В теплоход тратит 1 ч 40 мин, а на обратный путь — 2 ч. В каком направлении течет река?

12. Скорость катера по озеру (в стоячей воде) равна 18 км в ч. Какой путь пройдет катер за 3 ч?

13. Скорость течения реки равна 2 км в ч. На сколько колометров река относит любой предмет (щепку, плот, лодку) за 1 ч; 5 ч?

14. Скорость катера в стоячей воде равна 18 км в ч. Скорость течения реки 2 км в ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? С какой скоростью будет двигаться катер против течения реки?

15. Скорость катера в стоячей воде (ее обычно называют собственной скоростью) равна 12 км в ч, а скорость течения реки равна 3 км в ч.

1) Определите скорость катера по течению реки.

2) Определите скорость катера против течения реки.

3) Определите расстояние, которое пройдет катер за 3 ч, двигаясь против течения реки.

4) Определите расстояние, которое пройдет катер за 5 ч, двигаясь по течению реки.

16. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние

между ними равно 90 км, собственная скорость теплохода 27 км в ч, скорость течения реки 3 км в ч.

17. Собственная скорость моторной лодки 20 км в ч, а скорость течения реки 2 км в ч. Сколько времени потребуется для того, чтобы на этой лодке проплыть 72 км против течения?

18. Катер, имеющий собственную скорость 15 км в ч, проплыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние проплыл катер, если скорость течения реки 2 км в ч?

19. Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость моторной лодки 10 км в ч, а скорость течения реки 2 км в ч?

20. Расстояние между двумя причалами 36 км. Сколько времени потратит на путь от одного причала до другого и обратно катер, если его собственная скорость 15 км в ч, а скорость течения реки 3 км в ч?

§ 37. Раскрытие скобок и заключение в скобки

Такое выражение, как —3 + 6—1, называют суммой, потому что его можно записать в виде суммы (—3) + (+6) + (-1).

Мы знаем, что +а = а. Таким образом, например,

Эти же результаты можно получить, используя равенство

Например,

Таким образом, верно равенство

Говорят, что в левой части этого равенства слагаемые заключены в скобки, а в правой—скобки раскрыты.

Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак плюс (+), то при раскрытии скобок знаки слагаемых оставляют без изменений.

Например, +(—7 + 3—4) = —7 + 3—4.

Обратно, если сумма заключается в скобки, перед которыми ставят знак плюс (+), то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, оставляют без изменений.

Например,

Отметим, что верно равенство

Например,

Используя распределительный закон и равенство —а = — 1⋅а, можно раскрывать скобки, перед которыми стоит знак минус (—).

Например,

Если сумма заключена в скобки, перед которыми стоит знак минус (—), то при раскрытии скобок знаки слагаемых меняют на противоположные.

Например,

Обратно, если сумма заключается в скобки, перед которыми ставят знак минус (—), то знаки слагаемых, заключаемых в скобки, меняют на противоположные.

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Раскройте скобки, объясняя свои действия с помощью правил:

4. Раскройте скобки:

6. Раскройте скобки:

8. Раскройте скобки и вычислите сумму:

10. Перепишите, заполняя пропуски:

12. Заключите два первых слагаемых в скобки, перед скобками проставьте знак плюс (+):

13. В упр. 12 перед скобками поставьте знак минус (— ).

14. У мамы было 20 р. Она купила младшему сыну костюм за 10 р. и ботинки за 3 р. Сколько денег осталось у мамы после покупки? Решите задачу двумя способами.

15. У мальчика было 90 к. Он купил в магазине цветные карандаши за 69 к. и клей за 12 к. Сколько денег осталось у мальчика? Решите задачу двумя способами.

16. Вычислите:

19. Найдите неизвестное число х, если

§ 38. Действия с суммами нескольких слагаемых

В предыдущем параграфе мы научились раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс (+) или минус (—). Но встречаются числовые выражения, в которых стоящие перед скобками знаки плюс (+) и минус (—) обозначают действия сложения и вычитания. Оказывается, что и в этом случае применимы изученные нами правила, т. е.

Второе равенство доказывается так:

Например,

Рассмотрим сумму нескольких слагаемых: 78—89 + 32—11. Обычно складывают сначала положительные, потом отрицательные слагаемые и находят сумму полученных чисел. При этом используют законы сложения:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Раскройте скобки:

3. Раскройте скобки и вычислите:

5. Вычислите, раскрывая скобки только в тех случаях, когда это облегчает вычисления:

9. Заключите два последних слагаемых в скобки двумя способами — со знаком плюс (+) и со знаком ми0 нус (—) перед скобками:

10. Вычислите двумя способами:

11. Вычислите, выбирая удобный способ:

§ 39. Представление целых чисел на координатной оси

Зададим прямую, на которой определим (стрелкой) направление, называемое положительным, и еще точку 0, называемую начальной. Зададим единичный отрезок.

Этим задана координатная ось (рис. 3.2).

Обычно координатную ось рисуют в виде прямой, идущей слева направо.

Но бывает удобным направить ее иначе, например, снизу вверх.

Координатная ось делится точкой 0 на два луча. Один из них — положительный, идущий от 0 в положительном направлении (на рис. 3.2—вправо); его называют поло-

Рис. 3.2

жительной координатной полуосью. Другой—отрицательный (на рис. 3.2 слева от 0), называемый отрицательной координатной полуосью. С помощью координатной оси целые числа изображаются точками. Произвольное целое число n изображается точкой, расстояние которой до точки 0 равно модулю этого числа |п|; она находится на положительной полуоси, если n > 0, и на отрицательной, если n < 0. Эту точку называют точкой n или точкой с координатой n.

Например, на рис. 3. отмечена точка А с координатой 4: A (4) и точка В с координатой —2: В(—2).

Если m и n—целые числа и m>n, то

1) точка m расположена на координатной оси правее точки n;

2) расстояние между точками m и n равно m—n.

Например, на координатной оси отмечены точки А (7) и В(—4), 7> — 4, значит, А правее В, и

Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от начальной точки, но на разных полуосях.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Дана координатная ось (рис. 3.3), некоторые точки обозначены буквами A, B, С, D, Е. Укажите координаты этих точек.

Рис. 3.3

2. Найдите длину отрезка (рис. 3.3), соединяющего точки: 1) О и А; 2) О и В; 3) О и С; 4) О и D.

3. Вычислите длину отрезка (рис. 3.3): 1) АС; 2) АЕ; 3) ОЕ; 4) СВ; 5) DA.

4. Изобразите координатную ось с единичным отрезком 1 см (2 клетки тетради). Отметьте на ней точки А (—5), В (7), С (4), D(—4). Вычислите длину отрезка:

Результаты проверьте с помощью сантиметровой линейки.

Б. Даны точки А (7), B(3), С (12) на координатной оси. Какая из этих точек расположена правее других; левее других? Найдите длину отрезков: 1) OA; 2) ОВ; 3) ОС; 4) AB; 5) ВС.

6. Кузнечик прыгает вдоль координатной оси на 6 единичных отрезков вправо и на 4 единичных отрезка влево. Постройте координатную ось и отметьте цветом все точки, в которые может попасть кузнечик из точки 0. Сможет ли он попасть за несколько прыжков из точки О в точку 5? Сможет ли он за несколько прыжков из точки 1 попасть в точку 5?

7. На координатной оси отметили две точки (рис. 3.4). Назовите остальные точки.

8. Определите расстояние между точками m и n на координатной оси, если

Рис. 3.4

§ 40. Исторические сведения

Впервые отрицательные числа встречаются в одной из книг древнекитайского трактата «Математика в девяти главах» (Джан Цань—I век до нашей эры). Отрицательное число понималось как долг, а положительное—как имущество. Сложение и вычитание отрицательных чисел производились на основе рассуждений о долге. Например, правило сложения формулировалось так: «Если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получится долг, а не имущество». Знака минус тогда не было, а чтобы отличать положительные и отрицательные числа, Джан Цань писал их разными по цвету чернилами.

Идея отрицательных чисел с трудом завоевывала себе место в математике. Эти числа казались математикам древности непонятными и даже ложными, действия с ними— неясными и не имеющими реального смысла.

В VI—VII веках нашей эры индийские математики уже систематически пользовались отрицательными числами, по-прежнему понимая их как долг. Впервые все четыре арифметических действия с отрицательными числами приведены индийским математиком и астрономом Брахмагупта (598—660 гг.). Например, правило деления он формулировал так: «Положительное, деленное на положительное, или отрицательное, деленное на отрицательное, становится положительным. Но положительное, деленное на отрицательное, и отрицательное, деленное на положительное, остается отрицательным».

Независимо от индийцев к пониманию отрицательных чисел как противоположности положительных пришел итальянский математик Леонардо Фибоначчи Пизанский (XIII в.). Но понадобилось еще около 400 лет, прежде чем «абсурдные» (бессмысленные) отрицательные числа получили полное признание математиков, а отрицательные решения в задачах перестали отбрасываться как невозможные.

В 1544 году немецкий математик М. Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. «меньшие, чем ничто»), С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому.

Современное истолкование отрицательных чисел, основанное на откладывании единичных отрезков на числовой оси влево от нуля, было дано в XVII веке, в основном в работах голландского математика Жирара (1595—1634 гг.) и знаменитого французского математика и философа Р. Декарта (1596—1650 гг.).

Для того чтобы разработать этот понятный и естественный сейчас для нас подход, понадобились усилия многих ученых на протяжении восемнадцати веков от Джан Цаня до Декарта.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ III

1. Назовите несколько целых положительных чисел. Как еще называют эти числа?

2. Назовите несколько целых отрицательных чисел.

3. Является ли нуль целым числом; положительным числом; отрицательным числом?

4. Какие числа называются противоположными? Приведите примеры.

5. Сформулируйте правило знаков и примените это правило к числам + (+1), + (-2), — (+3), — (-4).

6. Назовите такое значение а, при котором число — а является положительным; отрицательным числом; нулем.

7. Что называется модулем числа?

8. Сформулируйте правила сравнения целых чисел.

9. Сформулируйте правила сложения целых чисел.

10. Всегда ли сумма целых чисел больше каждого слагаемого? В каких случаях это верно, в каких — нет? Приведите примеры.

11. Запишите для чисел а, b, с переместительный и сочетательный законы сложения целых чисел.

12. Что называется разностью целых чисел? Чему равна разность целых чисел?

13. Что называется произведением целых чисел?

14. Запишите для целых чисел а, b, с переместительный и сочетательный законы умножения.

15. Запишите для чисел а, b, с распределительный закон.

16. Сформулируйте правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс; знак минус.

17. Сформулируйте правила заключения в скобки.

18. Как вычислить расстояние между точками m и n координатной оси? Поясните свой ответ примерами.

Глава IV. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

§ 41. Простые и составные числа

Если при делении одного натурального числа на другое в частном получается натуральное число, то говорят, что первое число делится нацело на второе или что первое число кратно второму.

Например, 6 делится нацело на 3, т. е. 6 кратно 3;

7 не делится нацело на 3, т. е. 7 не кратно 3.

Каждое натуральное число делится на 1 и само на себя:

р:1=р, p:р=1,

где р—произвольное натуральное число.

Простым числом называется такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя.

Вот первые десять простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Не простые натуральные числа, большие единицы, называются составными. Каждое составное число делится на 1, само на себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Вот все составные числа, меньшие 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Принято считать, что единица не является ни простым, ни составным числом.

Таким образом, множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел, составных чисел и единицы.

УПРАЖНЕНИЯ

Ответьте на вопросы:

1. 1) Является ли число 0 натуральным числом?

2) Каким числом является сумма натуральных чисел?

3) Как называются компоненты и результат сложении?

4) С помощью координатной прямой покажите, что 3 + 5 = 8.

2. 1) Что значит умножить 4 на 5?

2) Какие числа получаются при умножении натуральных чисел?

3) Как называются компоненты и результат умножения?

3. 1) Что значит разделить 20 на 4?

2) Как называются компоненты и результат деления?

4. 1) Всегда ли выполнимо деление нацело одного натурального числа на другое?

Приведите примеры. На какие натуральные числа делится нацело произвольное натуральное число?

2) Делятся ли нацело на 7 числа 12, 27, 42, 126?

3) Кратны ли числу 15 числа 30, 105, 215, 360?

4) Назовите пять чисел, которые делятся нацело на 9.

5) Назовите пять чисел, кратных 12.

5. Верно ли, что

1) Все четные числа кратны 2?

2) Все нечетные числа кратны 3? Приведите пример нечетного числа, кратного 3; не кратного 3.

3) Все числа, оканчивающиеся на 5, делятся нацело на 5?

4) Все числа, сумма цифр которых кратна 3, делятся нацело на 3?

5) Все числа, сумма цифр которых кратна 9, делятся нацело на 9?

6. 1) Какие числа называют простыми? Приведите примеры.

2) Являются ли числа 9, 12, 14, 17, 28, 37 простыми?

3) Назовите все простые числа, большие 30, но меньшие 50.

7. 1) Какие числа называют составными? Приведите примеры.

2) Назовите составные числа, большие 10, но меньшие 40.

3) Является ли единица простым числом? Является ли единица составным числом?

4) Существует ли, кроме 2, четное простое число?

8. С помощью таблицы простых чисел (с. 383) опреде-

лите, является ли простым число: 47, 69, 127, 301, 447, 517, 673, 870? 9. С помощью таблицы простых чисел выпишите те из них, разность между которыми равна 2, Сколько таких пар простых чисел встречается от 1 до 1000? 10, Как проверить, является ли натуральное число простым? Являются ли простыми числа 998, 999, 1000? 11« Выполните деление:

12. Вычислите:

13. Определите частное чисел:

14. Ученик купил пять общих тетрадей и тридцать тетрадей по 3 к. Всего он уплатил за покупку 1 р. 60 к. Сколько стоит одна общая тетрадь?

15. За 5 кг конфет и 4 кг печенья уплатили 27 р. 80 к. Сколько стоит 1 кг конфет, если 1 кг печенья стоит 1р. 20 к.?

16. В автобусе было 25 пассажиров. На первой остановке вышло 8 и вошло 12 пассажиров, на второй вышло 7 и вошло 5 пассажиров. Сколько пассажиров стало в автобусе после второй остановки?

17. В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 7 и вошло 4, а на второй вышло 6 и вошло 13 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до первой остановки, если после второй остановки в автобусе находилось 38 пассажиров?

§ 42. Делители натурального числа

Делителем натурального числа называется натуральное число, на которое данное число делится нацело.

Из этого следует, что каждое простое число имеет только два делителя—единицу и само себя, а каждое составное число, кроме единицы и себя, имеет и другие делители.

Например, делителями числа 13 являются числа 1 и 13, делителями числа 4 являются числа 1, 2, 4, а делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12,

Если делитель—простое число, то он называется простым делителем.

Например, число 13 имеет один простой делитель—13, число 4—один простой делитель—2, а число 12—два простых делителя—2 и 3.

Каждое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей или их степеней.

Правые части полученных равенств называются разложениями на простые множители чисел 28, 22, 81 и 100. Разложить данное натуральное число на простые множители— это значит представить число в виде произведения различных его простых делителей или их степеней. Можно доказать, что такое разложение единственно для каждого натурального числа, т. е. что у этого числа нет других простых делителей, и что его простые делители нельзя записать в других степенях.

Например, покажем, как разлагают на простые множители 90.

1) 90 делится на простое число 2, поэтому 90 = 2⋅45.

2) 45 не делится на 2, но делится на простое число 3, поэтому 45 = 3⋅15.

3) 15 делится на 3, поэтому 15 = 3⋅5. Так как 5 — простое число, то процесс отыскания простых делителей закончен.

Итак, получаем равенство

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1) Что называется делителем натурального числа?

2) Что называется простым делителем натурального числа?

3) Что значит разложить число на простые множители?

Например,

2. Сформулируйте признаки делимости чисел на 2, 6, 10, 3, 9, 4.

3. Укажите все делители числа:

4. 1) Приведите примеры натуральных чисел, имеющих делителями:

2) Какие еще делители имеют выбранные числа, кроме указанных?

5. 1) Приведите примеры натуральных чисел, имеющих простыми делителями только числа:

2) Запишите пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме 2 и 5.

6. Определите все простые делители числа:

Указание. При разложении числа на простые множители обычно пользуются одним из двух способов нахождения простых делителей.

I способ. Устно проверяется кратность числа простым числам 2, 3, 5, 7, ... и решение записывается «в строчку». Например, 56=2⋅28=2⋅2⋅14=2⋅2⋅2⋅7 = 23⋅7.

II способ. Устно выполняют деление числа на подходящее простое число, записывая промежуточные результаты «в столбик». Например,

7. Разложите на простые множители число:

8. Представьте числовое выражение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1:

9. Запишите в порядке возрастания все делители числа: 1) 12; 2) 15; 3) 18; 4) 24.

10. Запишите число в виде произведения двух его делителей всеми возможными способами:

1) 32; 2) 62; 3) 51; 4) 100.

11. Запишите следующие числа сначала в виде степени числа 10, а затем в виде произведения степеней чисел 2 и 5:

1) 10; 2) 100; 3) 1000; 4) 10000; 5) 1000000; 6) 1000 000 000000 000; 7) число, записанное единицей с тридцатью нулями.

12. Запишите следующие числа в виде степени или произведения степеней простых чисел:

13. Ученик заметил, что делители числа 12 обладают интересным свойством:

Это наблюдение позволило ему сократить «перебор» делителей. После того, как найдены делители 1, 2, 3, остальные делители можно найти делением: 12:3, 12:2, 12:1. Примените этот способ поиска делителей для числа:

14. Если при поиске делителей какого-нибудь числа последовательно перебирать натуральные числа (начиная с 1), то на каком делителе можно остановиться (учитывая, что остальные можно получить делением):

15. Определите, является ли число простым или составным:

16. Определите порядок действий, прочитайте выражение, найдите его значение:

17. Проверьте справедливость равенства:

18. Используя равенства из упр. 17, вычислите:

19. Проверьте справедливость равенства:

20. Используя равенства из упр. 19, вычислите:

21. Сколько раз используется цифра 9 в записи натуральных чисел от 1 до 100?

22. 1) Какой цифрой не может оканчиваться квадрат натурального числа?

2) В каких случаях квадрат натурального числа является четным числом?

3) Какими цифрами оканчиваются кубы натуральных чисел? В каком порядке повторяются эти цифры (если рассматривать кубы последовательных натуральных чисел)?

23. Запишите какое-нибудь четырехзначное число, которое делится на 9. Переставьте в нем цифры произвольным образом. Будет ли новое число делиться на 9? Почему?

24. Замените звездочку (*) цифрой в записи чисел 375* и 2737* так, чтобы полученное число делилось на 1) 3; 2) 9; 3) 2; 4) 5; 5) 4; 6) 25. Всегда ли это возможно?

25. Два ученика по очереди пишут цифры 20-значного числа. Может ли второй ученик добиться того, чтобы это число делилось на 9, если первый ученик старается ему помешать? Может ли первый ученик добиться того, чтобы полученное число делилось на 9, если второй ученик старается ему помешать?

26. Решите задачу:

Прилетели галки, сели на палки. Если на каждой палке сядет по одной галке, то для одной галки не хватит палки.

Если же на каждой палке сядут по две галки, то одна из палок будет без галок. Сколько было галок? Сколько было палок?

§ 43. Наибольший общий делитель

Число 12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 6, 12. Число 54 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Мы видим, что числа 12 и 54 имеют общие делители 1, 2, 3, 6.

Если рассмотреть разложения чисел 12 и 54 на простые множители: 12 = 2⋅2⋅3, 54 = 2⋅3⋅3⋅3, можно заметить, что в эти разложения входит одинаковая группа множителей 2⋅3. С помощью этих множителей легко определить общие делители чисел 12 и 54: 1, 2, 3, 6 (6=2⋅3).

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6—произведение общих простых делителей этих чисел.

Наибольший общий делитель чисел а и b обозначается НОД (а, b). Например, НОД (12, 54) = 6.

Рассмотрим примеры нахождения наибольшего общего делителя.

1) Найдем НОД(180, 336). Решение.

2) Найдем НОД(56, 45). Решение.

56 и 45 не имеют общих простых делителей, поэтому НОД(56, 45)= 1. Ответ. 1.

Числа, не имеющие общих простых делителей, называются взаимно простыми числами. Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.

Два простых числа (например, 17 и 23), а также два соседних натуральных числа (например, 24, 25) являются взаимно простыми (докажите).

Найдем НОД (12, 4). Решение.

Ответ. 4.

Но можно выполнить это задание короче, если заметить, что 12 делится нацело на 4. Очевидно, что НОД (12, 4) = 4.

Таким образом, если одно из чисел делится нацело на другое, то наибольший общий делитель этих чисел равен меньшему из них.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите все делители числа 45 и числа 60. Найдите все общие делители этих чисел, их наибольший общий делитель.

2. Найдите:

4. Число 12321 делится на 111. Найдите НОД (12321, 111), не выполняя разложения данных чисел на простые множители.

5. Число а делится на b. Найдите НОД (а, b).

6. Найдите устно:

7. С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что числа:

1) 24 и 35; 2) 56 и 99; 3) 63 и 88; 4) 11 и 17; 5) 32 и 33; 6) 48 и 49 являются взаимно простыми.

8. Какие числа называются взаимно простыми? Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?

9. Найдите устно:

10. В каких случаях, не выполняя разложения чисел на

простые множители, можно утверждать, что они взаимно простые? Приведите примеры.

11. Что можно сказать про числа а и b, если НОД (а, b)=1? Придумайте пять пар таких чисел.

12. В каком случае НОД (а, b) = а?

Найдите:

15. Ученик вычислял НОД (33, 198) и получил 66. Не проверяя вычислений, учитель сказал, что допущена ошибка. Как он это определил?

16. Объясните, почему наибольший общий делитель двух чисел не может быть больше любого из этих чисел.

17. Для участия в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на равные (по числу участников) команды, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число человек может быть в каждой команде? Сколько команд получится в этом случае?

18. Для новогодних подарков приготовили 184 мандарина, 138 яблок и различные сладости. Какое наибольшее число подарков можно подготовить, чтобы в них было поровну мандаринов и поровну яблок?

§ 44. Наименьшее общее кратное

Числу 12 кратны числа 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 и т. д. Числу 18 кратны числа 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д. Мы видим, что есть числа, кратные одновременно и 12, и 18. Эти числа называются общими кратными 12 и 18. Таких чисел сколько угодно. Все они имеют вид 36⋅n, где n—какое-либо натуральное число.

Среди чисел 36⋅n есть наименьшее—при n=1. Это число 36. Его называют наименьшим общим кратным чисел 12 и 18.

Вообще наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называется наименьшее число, делящееся нацело и на а, и на b. Это число обозначается НОК (а, b). Аналогично определяется наименьшее общее кратное трех чисел.

Нахождение НОК (а, b) обычно выполняют одним из двух способов. Рассмотрим их. Найдем НОК (12, 18).

I способ. Будем выписывать числа, кратные 12, проверяя каждое из них—делится ли оно на 18:

12⋅1 = 12—не делится на 18, 12⋅2=24—не делится на 18, 12⋅3 = 36—делится на 18. НОК (12, 18) = 36.

II способ. Разложим числа 12 и 18 на простые множители:

12 = 2—2-3, 18 = 2⋅3⋅3.

НОК (12, 18) должно делиться и на 12, и на 18. Поэтому это число содержит все простые множители 12 (т. е. числа 2, 2, 3) и еще недостающие множители из разложения 18 (т. е. еще одно число 3). Поэтому НОК (12, 18) = 2⋅2⋅3⋅3 = 36.

Заметим, что взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению. Например, 24 и 25 — взаимно простые числа, поэтому НОК (24, 25) = 2⋅2⋅2⋅3⋅5⋅5 = 24⋅25 = 600.

Если одно из двух чисел делится нацело на второе, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них. Например, 120 делится нацело на 24, следовательно, НОК (120, 24)= 120.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите несколько кратных числа 10 и несколько кратных числа 15. Найдите несколько общих кратных этих чисел. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Найдите:

4. Число 123454321 делится на 11111. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел, не выполняя разложения на простые множители.

5. Известно, что число а делится на число b. Найдите НОК (а, b).

6. Найдите устно:

7. Являются ли числа:

1) 12 и 25; 2) 39 и 40; 3) 42 и 55; 4) 22 и 51; 5) 48 и 49; 6) 39 и 50 взаимно простыми? Найдите наименьшее общее кратное и произведение данных чисел в каждом случае. Сделайте вывод.

8. Найдите устно:

9. Придумайте пять пар таких чисел а и b, чтобы НОК (а, b)=a⋅b. Являются ли эти числа взаимно простыми? 10. В каком случае НОК (а, b) = а? Найдите:

13. Ученица вычисляла НОК (33, 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель сказал, что допущена ошибка. Как он это определил?

14. Объясните, почему наименьшее общее кратное данных чисел не может быть меньше любого из них.

15. Даны разложения чисел а и b. Найдите НОД (a, b) и НОК (а, b). Для решения задачи достаточно составить произведение множителей и не вычислять его:

16. Убедитесь, что НОД (36, 48)⋅НОК (36, 48) = 36⋅48. Выполняется ли это свойство и для других чисел?

17. Докажите, что НОД (а, b). НОК (а, b) = a⋅b 1) для взаимно простых чисел; 2*) для любых чисел.

18. Какой наименьшей длины должна быть веревка, чтобы ее можно было разрезать на куски: 1) по 4 или по 5 м; 2) по 4 или по 6 м?

19. Мальчик хочет купить несколько мороженых по 20 к. У него есть только монеты по 15 к, а у продавца

нет сдачи. Какое наименьшее число мороженых сможет купить мальчик? 20. Из двух сцепленных шестерен одна имеет 16, а другая—28 зубцов. До начала движения мелом отметили два соприкасающихся зубца. Через сколько оборотов каждой шестерни будет повторяться совпадение меток?

§ 45. Понятие дроби

Нам уже встречались дробные числа или дроби. Например, число есть дробь.

Если отрезок длиной 1 см разделить на две равные части, то каждая из них будет иметь длину см (рис. 4.1).

Если 1 кг сахара рассыпать поровну в два пакета, то каждый из них будет иметь массу 1/2 кг. Число 1/2 выражает половину некоторой единицы (миллиметра, килограмма, часа и т. д.). Число 1/3 —треть или одна третья — выражает третью часть единицы.

Такой же смысл имеют числа

Если q—натуральное число, то выражение 1/q означает дробь, которая читается так: «одна кутая».

Например, если 1 км разделить на q равных частей, то каждая часть будет иметь длину 1/q км.

Рассмотрим примеры более сложных дробей:

Рис. 4.1

Например, если буханку хлеба массой 1 кг разрезать на 3 равные части — каждая по 1/3 кг, то две такие части будут иметь массу 2/3 кг. Если же эту буханку разрезать на 4 равные части, то 3 такие части будут весить 3/4 кг.

Еще один пример: если на отрезке AB ровно три раза укладывается отрезок длины 1/4 дм (четверть дециметра), то длина AB равна 3/4 дм (трем четвертым дециметра).

Число, которое можно записать в виде p/q (читается «пэ кутых»), где р и q—натуральные числа, называется положительной дробью или положительным дробным числом.

В этой главе для простоты положительные дроби мы будем коротко называть дробями.

Число р, находящееся над чертой, называется числителем дроби.

Число q, находящееся под чертой, называется знаменателем дроби.

Чтобы получить число p/q из единицы, надо разделить единицу на q равных частей и взять р таких частей.

Любое натуральное число р считается дробью со знаменателем 1:

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1) Сколько минут в половине часа?

2) Сколько граммов в половине килограмма?

3) Сколько часов в одной трети суток?

4) Сколько килограммов в четверти тонны?

2. 1) Сколько минут составляет ч?

2) Сколько миллиметров составляет у см?

3) Сколько граммов составляет т?

3. 1) Какую часть часа составляет минута?

2) Какую часть сантиметра составляет миллиметр?

3) Какую часть 1 см2 составляет 1 мм2?

4) Какую часть 1 м8 составляет 1 см3?

4. В магазине купили 100 м рыболовной лески. Половину намотали на катушку удочки. Сколько метров лески осталось?

5. От мотка телефонного провода длины 12 м отрезали его четвертую часть. Сколько метров провода осталось в мотке?

6. Сколько копеек составляет:

7. Прочитайте дробь, назовите числитель, знаменатель:

8. Нарисуйте в тетради циферблат часов — окружность радиуса 3 см. Отметьте положение каждого часа, от 1 до 12, на окружности.

1) На сколько частей разделилась окружность?

2) Какую часть окружности отделяют стрелки часов (если считать от минутной стрелки к часовой по их ходу) в 6 ч 00 мин; в 3 ч 00 мин?

3) Какую часть окружности пройдет конец минутной стрелки за 30 мин; за 15 мин; за 20 мин; за 45 мин; за 40 мин?

4) Какую часть 1 ч составляет: 10 мин; 5 мин; 25 мин; 55 мин?

9. На рис. 4.2 изображена окружность, разделенная на 8 равных частей отрезками, проходящими через центр окружности.

1) Покажите на рисунке 1/2 круга. Сколько половинок в круге?

2) Покажите на рисунке 1/4 круга. Сколько четвертей в круге? Сколько четвертей в половине круга?

Рис. 4.2

3) Покажите на рисунке круга. Сколько восьмых в круге? Сколько восьмых в половине круга? Сколько восьмых в четверти круга?

10. Постройте в тетради отрезок длиной 8 см. Разделите

отрезок на 8 равных частей. Отметьте:

11. Постройте отрезок AB = 6 см. Постройте отрезок CD = 1/2 AВ. Постройте отрезок KP = 1/3 AВ. Определите длины CD и KP.

12. Постройте отрезок AB длиной 15 см. Отметьте точки С, D, М, К так, чтобы

13. Какую часть отрезка AB на рис. 4.3 составляет отрезок AD?

Рис. 4.3

14. Вычислите:

15. Какую часть 12 см составляет:

1) 6 см; 2) 4 см; 3) 3 см; 4) 1 см?

16. Отрез ткани длины 5 м разделили на 5 равных частей. Запишите в виде дроби, какую часть отреза составляет: одна часть; две части; три части; четыре части. Запишите длины получаемых при этом частей отреза.

17. Из пакета с картошкой, вес которого 3 кг, отсыпали 1 кг. Запишите в виде дроби, какая часть картошки осталась в пакете.

18. Запишите в виде дроби:

1) две трети; 2) три четверти;

3) четыре пятых; 4) семь десятых; 5) восемь восьмых; 6) двенадцать десятых.

19. Прочитайте дроби:

20. 1) Что называется дробью?

2) Как называются числа р и q в записи дроби p/q?

21. Назовите три дроби с числителем 3; три дроби со знаменателем 10.

22. 1) Запишите две дроби, у которых числитель на 2 больше знаменателя. 2) Запишите две дроби, у которых знаменатель на 4 больше числителя.

23. От каната длиной 100 м отрезали 3/4 его длины.

Сколько метров каната отрезали? Сколько метров каната осталось?

24. Сколько копеек составляет:

25. Вычислите:

26. Длина автобусного маршрута 24 км. Расстояние от начала маршрута до первой остановки составляет:

1) 1/24 всего маршрута. Определите это расстояние.

2) 5/24 всего маршрута. Определите длину остальной части маршрута.

3) 3/8 всего маршрута. Определите длину остальной части маршрута.

27. Два класса 5 «А» и 5 «Б» собрали вместе 768 кг макулатуры. 5 «А» собрал 11/24 всей макулатуры. Какой класс собрал больше макулатуры и на сколько килограммов?

28. Найдите число, если 3/4 этого числа равны 30.

29. Для компота купили 900 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши — 3 части, сливы — 2 части

общего веса сухофруктов. Сколько граммов яблок, груш и слив было в отдельности?

30. Яблоки составляют 7 частей, груши — 4 части, сливы — 5 частей веса сухофруктов для компота. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности содержится в 800 г сухофруктов?

31. Для варенья из китайских яблок рекомендуется брать на 2 части яблок 3 части сахара. Сколько сахара следует взять на 2 кг 600 г яблок?

32. Для варенья из малины на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько килограммов ягод было у мамы, если она взяла 4 кг 500 г сахара?

§ 46. Равенство дробей

Для любой дроби можно указать сколько угодно ей равных дробей.

Например,

Это можно объяснить так: если отрезок разделить пополам, а половину также пополам, то ясно, что половина отрезка равна двум его четвертям, т. е. 1/2 = 2/4. Также можно показать, что половина равна трем шестым и т. д. (рис. 4.4).

Можно еще сказать, что дроби 1/2 и 2/4 определяют одно и то же число, записанное в разных формах. Дроби 1/3 и 2/6 также определяют одно и то же число, записанное в разных формах, и т. д.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной, т. е. выполняется равенство

(1)

Рис. 4.4

Это свойство называют основным свойством дроби, С его помощью можно получать дроби, равные данной дроби.

Например,

Равенство (1) можно записать и в обратном порядке:

(2)

В таком виде левая часть равенства есть дробь, числитель и знаменатель которой имеют общий множитель n.

Если п> 1, то говорят, что можно дробь p⋅n/q⋅n сократить на n и получить дробь p/q. Говорят еще, что можно разделить числитель и знаменатель на общий множитель n.

Поэтому основное свойство дробей можно сформулировать по-другому:

Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, отличный от 1, то дробь можно сократить на этот множитель. При этом получится дробь, равная данной.

Пример. Сократить дроби

Решение.

Если р—натуральное число, то справедливо равенство

Действительно,

Дробь называется несократимой, если ее числитель и знаменатель не имеют общих простых делителей.

Например, дроби 1/2, 3/4, 5/7, 11/8 — несократимые дроби, так как числа 1 и 2, 3 и 4, 5 и 7, 11 и 8 не имеют общих простых делителей.

Для каждой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь.

Например,

Левые части равенств—данные дроби, а правые—равные им несократимые дроби.

Чтобы получить несократимую дробь, равную данной дроби, надо сократить данную дробь на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Часто наибольший общий делитель числителя и знаменателя указать трудно. В этом случае сокращение дроби выполняют постепенно.

Пример. Сократить дробь

Решение.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Объясните с помощью рис. 4.5, почему

2. В коробке лежат 16 кубиков.

1) Если взять 2 кубика, то какими дробями можно записать взятую часть кубиков?

2) Если взять 4 кубика, то какими дробями можно записать взятую часть кубиков?

3) Если взять 8 кубиков, то какими дробями можно записать оставшуюся часть кубиков?

3. Яблоко разрезали на 6 равных частей и поделили ломтики поровну между тремя девочками. Какими

Рис. 4.5

дробями можно записать часть яблока, полученную каждой девочкой?

4. Получится ли дробь, равная данной дроби, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число? Как называется это свойство дроби? Приведите пример на использование этого свойства дроби.

5. Докажите с помощью основного свойства дроби, что

6. Что значит сократить дробь? Приведите пример дроби, которую можно сократить на какое-нибудь число, назовите общий делитель числителя и знаменателя, сократите дробь.

7. Докажите с помощью основного свойства дроби, что

8. Сократите дробь:

Например,

9. Равна ли натуральному числу дробь:

10. Запишите натуральные числа 1, 2, 5 в виде дробей, знаменатели которых равны: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 10; 5) 100.

11. Запишите равенство, заменив букву х так, чтобы равенство было верным:

12. 1) Замените дробь 2/3 равной ей дробью со знаменателем 18.

2) Замените 1/9 равной ей дробью с числителем 17.

3) Можно ли заменить дробь 5/11 равной ей дробью со знаменателем 121?

4) Можно ли заменить дробь 35/48 равной ей дробью со знаменателем 144?

13. Сократите дробь:

14. Какую часть отрезка длиной 12 см составляет отрезок длиной:

1) 1 см; 2) 4 см; 3) 6 см; 4) 8 см?

15. Найдите от 12 см:

16. Определите, сколько минут составляет:

17. Какую часть часа составляет:

18. Укажите все общие делители и НОД чисел:

19. Определите НОД чисел:

Например; определите НОД (18, 81). Решение. 18 = 2⋅9 = 2⋅3⋅3,

20. Сократите дробь:

21. Определите, равны ли дроби, результат запишите с помощью знака равенства ⊂) или неравенства (≠).

22. Сколько сантиметров составляет:

23. Какую часть метра составляет:

24. Устно определите, какую часть составляет:

1) 2 от 4; 2) 3 от 9; 3) 4 от 16; 4) 6 от 36.

25. Какую часть составляет:

1) 1 мин от 1 ч; 2) 1 ч от 1 суток;

3) 2 с от 1 мин; 4) 6 мин от 1 ч;

5) 4 ч от 1 суток; 6) 36 с от 1 мин?

26. Устно определите длину отрезка, составляющего:

27. Выразите:

29. В классе 36 учеников. Во время субботника шестая часть всех учащихся занималась уборкой кабинета, четвертая часть работала на территории школы, а остальные ребята помогали подшефному детскому саду. Сколько учащихся работало в кабинете? Сколько учащихся работало на территории школы? Сколько учащихся помогало детскому саду?

30. Из 36 учеников одного класса контрольную работу по математике на «5» выполнили 6 человек, на «4» — 18 человек, на «2» не написал работу ни один человек. Какую часть класса составляют ученики, получившие отметку «5»? Какую часть составляют те, кто получил «4» или «5»? Сколько человек получили «3» и какую часть класса они составляют?

31. Из 1200 т овощей, собранных в совхозе за месяц, 800 т собрали старшеклассники. Какую часть работы на сборе овощей за этот месяц выполнили старшеклассники?

32. Урок длится 45 мин, а перемена—15 мин. Какую часть часа составляет продолжительность урока и продолжительность перемены?

33. Купили 60 тетрадей, причем в клетку тетрадей было в 2 раза больше, чем в линейку. Сколько купили тетрадей в клетку, а сколько в линейку?

34. Ученик купил тетрадей в клетку на 15 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько всего тетрадей он купил, если тетрадей в клетку было в 4 раза больше, чем в линейку?

35. При помоле ржи на каждые две части муки получается одна часть отходов. Сколько смололи ржи, если муки получилось на 35 ц больше, чем отходов?

36. Сплав содержит одну часть свинца и две части олова по массе. Сколько олова и сколько свинца содержит сплав, если его масса 1 кг 800 г? Во сколько раз олова больше, чем свинца?

37. В сплаве массой 3 кг 540 г олова в два раза больше, чем свинца. Сколько олова и сколько свинца в сплаве?

38. 1) Представьте число 8 в виде произведения нескольких чисел так, чтобы сумма этих множителей была равна 8.

2) Представьте число 35 в виде произведения нескольких чисел так, чтобы сумма этих множителей была равна 35.

§ 47. Приведение дробей к общему знаменателю

Дроби 7/25 и 13/25 имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель 25. Дроби 7/8 и 1/3 имеют разные знаменатели, но их можно привести к общему знаменателю с помощью основного свойства дробей. Для этого найдем число, которое делится на 8 и на 3, например, 24. Приведем дроби к знаменателю 24, для этого умножим числитель и знаменатель дроби 7/8 на дополнительный множитель 3. Дополнительный множитель обычно пишут слева над числителем:

Умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8:

Приведем дроби 3/8 и 5/12 к общему знаменателю. Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, который является наименьшим общим кратным знаменателей данных дробей. Так как НОК (8, 12) = 24, то дроби можно привести к знаменателю 24. Найдем дополнительные множители дробей: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Тогда

К общему знаменателю можно приводить несколько дробей.

Пример. Приведем дроби 2/25, 3/10 и 1/6 к общему знаменателю. Так как 25 = 52, 10 = 2⋅5, 6 = 2⋅3, то НОК (25, 10, 6) = 2⋅3⋅52= 150.

Найдем дополнительные множители дробей и приведем их к знаменателю 150:

УПРАЖНЕНИЯ

1. С помощью рис. 4.6 покажите, что

2. Постройте прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см.

С его помощью покажите, что

3. Сформулируйте основное свойство дробей.

4. Замените следующие дроби равными им дробями со знаменателем 12:

Рис. 4.6

5. 1) Дроби 1/2, 3/4, 5/8, 7/12 приведите к знаменателю 24.

2) Дроби 1/2, 1/3, 2/9, 5/18 приведите к знаменателю 36.

6. 1) Сколько четвертых содержится в 1/2?

2) Сколько двадцатых содержится в 1/2?

3) Сколько тридцатых содержится в 1/3?

7. Приведите дроби к общему знаменателю:

9. Назовите три числа, кратные 2 и 3; 2 и 5; 3 и 4.

10. Назовите три числа, кратные 2 и 4. Назовите наименьшее общее кратное чисел 2 и 4.

11. Назовите три числа, кратные 6 и 8. Назовите наименьшее общее кратное чисел 6 и 8.

12. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 4 и 6; 2) 4 и 12; 3) 4 и 22; 4) 4 и 34; 5) 10 и 15; 6) 10 и 25; 7) 10 и 8; 8) 10 и 45.

13. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

16. Выполните действия (устно):

17. Вычислите:

19. Однажды из порта вышли три теплохода. Известно, что первый теплоход совершает свой рейс один раз

в два дня, второй — один раз в три дня, третий — один раз в четыре дня. Через сколько дней эти теплоходы опять выйдут в рейс в один день?

20. Два пешехода вышли из двух населенных пунктов навстречу друг другу. Первый шел со скоростью 4 км в ч и через 3 ч встретил второго. Второй пешеход шел до встречи 2 ч. Какова скорость второго пешехода, если расстояние между населенными пунктами 22 км?

21. Сократите дробь:

23. Коробка из под конфет имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Ее длина равна 28 см, ширина составляет 1/2 длины, а высота — 1/7 ширины. Найдите объем коробки.

24. Длина строительного кирпича 250 мм, а ширина составляет 12/25 длины. Высота составляет 13/50 длины. Найдите объем кирпича в кубических сантиметрах.

25. Для городского парка привезли 684 саженца, причем 4/9 этого числа составляли липы и березы, а остальную часть—тополя. Сколько лип, берез и тополей привезли, если лип и берез было поровну?

26. При изготовлении кофейного напитка «Ячменный» на 4 части ячменя приходится 1 часть цикория. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 250 г, и на изготовление этой партии напитка затрачено ячменя на 36 кг больше, чем цикория?

27. При изготовлении кофейного напитка «Наша марка» на 7 частей кофе берут 6 частей цикория, 5 частей желудей и 2 части каштанов. Сколько пачек напитка изготовлено, если каждая пачка весит 200 г, и кофе и цикория вместе израсходовано 26 кг?

28. При печатании фотографий количество проявителя берут из расчета площади фотобумаги, которая будет проявлена. Сколько листов фотобумаги размером 10×15 см можно проявить в проявителе, которого хватает на 50 листов фотобумаги размером 9 × 12 см?

29. Приготовленного раствора фиксажа (его еще называют закрепителем) хватит для обработки 130 листов фотобумаги размером 9×12 см. Сколько листов фо-

тобумаги размером 13 × 18 см можно обработать в этом растворе?

30. Два пешехода идут навстречу друг другу со скоростями 5 км в ч и 4 км в ч. Сейчас расстояние между ними 18 км. Покажите на схеме, где будут пешеходы через 1 ч; 2 ч; 3 ч. Какова скорость сближения пешеходов до встречи? Какова скорость удаления пешеходов после встречи?

31. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 60 км в ч. 70 км в ч. С какой скоростью поезда сближаются?

32. Две автомашины едут в противоположных направлениях. Скорости автомашин 65 км в ч и 68 км в ч. С какой скоростью удаляются друг от друга автомашины?

33. Как с помощью нескольких гирь в 1 кг и 200 г за одно взвешивание на чашечных весах отвесить 2 кг 800 г муки?

34. Как с помощью гири в 1 кг и гири в 200 г отвесить на чашечных весах 3 кг 400 г? Можно ли это сделать за одно взвешивание?

35. Как с помощью одной гири в 100 г отвесить на чашечных весах 1 кг 500 г муки за 4 взвешивания?

36. Сократите дробь:

§ 48. Сравнение дробей

На рис. 4.7 изображен отрезок AB длины 1. Он разделен на 7 равных частей. Отрезок АС имеет длину 4/7, а отрезок AD имеет длину 6/7.

Длина отрезка AD больше длины отрезка AС, т. е. дробь 6/7 больше дроби 4/7 (6/7>4/7).

Из двух дробей с общим знаменателем больше та, у которой числитель больше, т. е.

Например,

Чтобы сравнить любые две дроби, их приводят к общему знаменателю, а затем применяют правило сравнения дробей с общим знаменателем.

Пример. Сравнить дроби

Решение. НОК (8, 14) = 56. Тогда

Так как

то

Если первая дробь меньше второй, а вторая меньше третьей, то первая меньше третьей.

Доказательство. Пусть даны три дроби. Приведем их к общему знаменателю. Пусть после этого они будут иметь вид r/q, s/q, t/q. Так как первая дробь меньше второй, то r < s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s<t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя.

Дробь называется неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Например, дроби 1/2, 2/3, 3/5, 17/24 — правильные, а дроби 2/1, 3/2, 5/3, 24/17, 8/8 — неправильные.

Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь больше или равна 1,

УПРАЖНЕНИЯ

1. С помощью рис. 4.8 объясните, почему

Рис. 4.8

2. Сравните дроби и запишите результат сравнения с помощью знаков > или <:

3. Запишите дроби

в порядке возрастания.

4. Запишите дроби

в порядке убывания.

5. Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей, но меньше другой. Полученные три дроби запишите с помощью двойного неравенства:

6. Сравните дроби:

8. Запишите дроби

в порядке возрастания.

9. Запишите дроби

в порядке убывания.

10.

Можно ли утверждать (без вычислений), что

11. Запишите дроби в порядке возрастания:

Например,

Решение.

12. Запишите дроби в порядке убывания:

13. Существуют ли дроби, для которых верно двойное неравенство 2/5 < p/q < 3/5? Если существуют, то приведите примеры.

14. Можно ли назвать 10 дробей, больших одной из данных дробей, но меньших другой:

Можно ли назвать 100, 1000, 10000 таких дробей?

15. Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей и меньше другой:

Например,

Решение.

16. Какие из следующих дробей являются правильными, а какие неправильными:

17. Среди дробей со знаменателем 10, 20, 30 назовите:

1) наименьшую правильную дробь;

2) наибольшую правильную дробь.

18. Можно ли среди дробей со знаменателем 10, 20, 30 назвать:

1) наименьшую неправильную дробь;

2) наибольшую неправильную дробь?

19. Можно ли указать:

1) все правильные дроби со знаменателем 7;

2) все неправильные дроби со знаменателем 13?

20*. Докажите, что

1) все правильные дроби меньше 1;

2) все неправильные дроби больше или равны 1.

21. С помощью знаков = или ≠ сравните числа:

22. 1) Купили 3/8 кг конфет и 7/20 кг печенья. Чего купили больше?

2) За тетради заплатили 7/25 р., а за карандаши — 3/20 р. За что заплатили меньше?

23. Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

24. Четным или нечетным является число:

25. Четной или нечетной является сумма:

26. Для сравнения дробей не обязательно вычислять знаменатель. Например, сравним дроби 2/35 и 1/17:

Сравните дроби:

27*. Докажите, что из двух дробей с равными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

28. При сравнении дробей бывает удобно сравнивать не сами дроби, а их «дополнения» до единицы. Например, сравним дроби 7/8 и 8/9 . Так как 7/8 до еди-

ницы дополняет 1/8, а 8/9 до единицы дополняет

до единицы дополняет

Сравните дроби:

39. Устно решите задачи:

1) Собственная скорость моторной лодки 12 км в ч, а скорость течения реки 2 км в ч. Найдите скорость моторной лодки по течению реки и против течения реки.

2) Скорость моторной лодки по течению реки 18 км в ч, а скорость течения реки 2 км в ч. Найдите собственную скорость моторной лодки и ее скорость против течения реки.

3) Пловец плывет против течения реки со скоростью 2 км в ч. Скорость течения реки 1 км в ч. Какова собственная скорость пловца и скорость пловца по течению реки?

4) Скорость катера по течению реки 36 км в ч. Скорость течения реки 3 км в ч. Какова скорость катера против течения реки?

5) Скорость теплохода против течения реки 48 км в ч. Скорость течения реки 3 км в ч. Какова скорость теплохода по течению реки?

6) Скорость теплохода по течению реки 48 км в ч, а против течения реки 44 км в ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

30. 1) Расстояние между двумя городами по реке теплоход прошел в одном направлении за 7 ч, а в обратном—за 6 ч. Какова собственная скорость теплохода и скорость течения реки, если расстояние между городами по реке равно 336 км? 2) Расстояние между двумя пристанями 72 км. От одной из них отправился катер, собственная скорость которого 24 км в ч. От другой пристани одновременно с ним отправили плот, Скорость течения реки 3 км в ч.

Через сколько часов катер встретит плот при движении навстречу?

Через сколько часов катер догонит плот при движении в одну сторону?

31*. Двенадцать солдат построили в колонну по 4 человека в ряду и 3 человека в шеренге. В каждом ряду выбрали самого высокого и из них выбрали самого низкого. В каждой шеренге выбрали самого низкого и из них выбрали самого высокого.

Кто выше ростом—самый низкий из высоких или самый высокий из низких?

Решите задачу в случаях, когда

1) оба солдата стоят в одном ряду;

2) оба солдата стоят в одной шеренге;

3) оба солдата стоят в разных рядах и шеренгах. Зависит ли ответ в задаче от числа солдат?

§ 49. Сложение дробей

Единичный отрезок AB разделен на 9 равных частей (рис. 4.9), причем AС = 2/9, CD = 3/9, AD=5/9. Длина AD равна сумме длин АС и CD: AD — AC + CD, т. е.

Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем и числителем, равным сумме числителей данных дробей;

(1)

Например,

Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю и полученные дроби сложить.

Например:

Рис. 4.9

Дроби с разными знаменателями можно складывать по формуле

(2)

Например, сложим дроби 7/48 и 13/96 по формуле (2):

Однако, найдя наименьший общий знаменатель этих дробей, можно намного упростить вычисления:

УПРАЖНЕНИЯ

1. С помощью рис. 4.10 объясните, почему

Рис. 4.10

2. Вычислите:

4. Устно вычислите:

7. Может ли сумма двух правильных дробей с общим знаменателем быть правильной дробью; неправильной дробью? Приведите примеры.

8. Сложите дроби, полученную дробь сократите:

Вычислите:

Например,

15. Устно определите, какие две дроби нужно сложить, чтобы получить:

16. Подберите дробь так, чтобы ее сумма с данной дробью была равна 1:

17. Два ученика решили пример на сложение дробей разными способами.

I способ.

II способ.

Какой способ проще?

18. Ученик не понял и не выучил правила сложения дробей, и сложил две дроби так:

В чем ошибка? Вычислите правильно.

19. 1) За завтраком съели 3/8 торта, а за обедом 5/8 торта. Весь ли торт съели за завтраком и обедом?

2) За первый день машинистка перепечатала 7/16 рукописи, а на следующий день — 1/2 рукописи. Закончила ли она перепечатку рукописи?

20. 1) Рабочий до обеда выполнил 1/2 задания, а после обеда — 6/12 задания. Выполнил ли он задание?

2) За первую неделю бригада выполнила 4/9 планового задания, а за вторую неделю — 4/9 планового задания. Был ли выполнен план за прошедшие две недели?

21. За первый час велосипедист проехал половину, а за второй час—третью часть пути. Какую часть пути он проехал за первые два часа?

22. 1) Какова длина троса, если от него отрезали три куска, длины которых 7/100 м, 13/1000 м, 9/100 м и еще осталось 31/1000 м?

2) Урок продолжается 3/4 ч, а перемена — 1/6 ч. Какую часть часа продолжаются урок и перемена? 23. Найдите число, которое на

24. 1) Длина прямоугольника 5/10 м, ширина на 1/5 м больше длины. Найдите периметр прямоугольника.

25. Какую часть составляют сутки от продолжительности января; февраля; марта; июля?

26. Некоторое задание можно выполнить за 1) 2 ч; 2) 3 ч; 3) 5 ч. Какую часть задания можно выполнить за 1 ч?

27. Расстояние между двумя городами можно проехать на легковой автомашине за 2 ч, а на грузовой—за 3 ч. Какую часть этого расстояния можно проехать за 1 ч на грузовой машине и какую часть —на легковой машине?

28. Заготовленного корма хватит корове на 60 дней, а овцам—на 90 дней. Какую часть корма съедает в день корова? Какую часть заготовленного корма съедают в день овцы?

29. Один рабочий может выполнить задание за 4 ч, а второй—за 6 ч. Какую часть задания выполнит за 1 ч каждый рабочий? Какую часть задания выполнят за 1 ч оба рабочих, если будут работать одновременно?

30. Первый пешеход может пройти расстояние между селами за 4 ч, а второй—за 3 ч. На какую часть этого расстояния сблизятся пешеходы за 1 ч, если одновременно выйдут из этих сел навстречу друг другу?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

31. Сформулируйте правило приведения дробей к общему знаменателю, если знаменатели дробей—взаимно простые числа.

32. Найдите десять чисел, которые больше 1/5 , но меньше 2/5.

33*. Найдите все дроби со знаменателем 10, которые больше 5/9, но меньше 7/9.

34. Сравните дроби 12/13 и 16/17, не приводя их к общему знаменателю.

35. Сумма длины и ширины прямоугольника 25 см. Длина на 5 см больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.

36. Периметр прямоугольника равен 46 см. Длина на 5 см больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.

37. Сумма длины и ширины прямоугольника 24 см. Длина в 3 раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника.

38. Периметр прямоугольника равен 36 см. Длина в 2 раза больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.

39. Первый цех завода железобетонных изделий расходует в день 25 т цемента. Сколько цемента расходует в день второй цех завода, если привезенных 870 т цемента хватит на 15 дней работы двум цехам?

§ 50. Законы сложения

Докажем, что

Действительно,

При доказательстве мы использовали переместительный закон сложения натуральных чисел.

Переместительный закон сложения справедлив и для любых дробей:

Сумма дробей не изменяется от перестановки слагаемых.

Пусть даны две дроби a/q и b/q. Мы рассматриваем дроби с общим знаменателем, так как любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Докажем, что

Для дробей справедлив и сочетательный закон сложения:

Сумма нескольких дробей не изменится, если любые рядом стоящие слагаемые заменить их суммой:

Докажем это:

Сочетательный закон сложения позволяет записывать сумму трех и более дробей без скобок:

На основании указанных свойств в сумме нескольких слагаемых можно переставлять местами и заключать в скобки слагаемые любым образом.

Этим пользуются для упрощения вычислений.

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. На рис. 4.11 изображен отрезок AB = 12 см; АС = 1/4 AB.

1) Найдите длины отрезков АС и СВ.

2) С помощью рис. 4.11 покажите,

Вычислите, используя законы сложения:

Рис. 4.11

5*. Для трех дробей a/n, b/n, c/n запишите переместительный и сочетательный законы сложения. Докажите справедливость этих законов, используя законы сложения натуральных чисел.

6. Устно сократите дробь:

7. Сократите дробь:

9. Вычислите:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

10. 80 деталей можно обработать на старом станке за 8 ч, а на новом станке—за 4 ч. Сколько деталей можно обработать на двух станках за 1 ч; за 2 ч?

11. Расстояние между двумя селами 4 км. Два пешехода вышли одновременно из этих сел в одном направлении (рис. 4.12). Через сколько часов второй догонит первого?

Рис. 4.12

12. Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада могла бы выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада могла бы выполнить эту работу?

13. В рукописи 42 страницы. Одна машинистка перепечатает рукопись за 3 ч, а вторая — за 6 ч. За сколько часов машинистки могут перепечатать 42 страницы при совместной работе? Сколько страниц при этом перепечатает вторая машинистка?

14. Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 мин, а через второй—за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана?

15. Прямоугольник разделили на 8 равных частей. Закрасили сначала 1/2 прямоугольника, потом 1/4, потом 1/8. Весь ли прямоугольник закрасили?

16. Круг разделили на 6 равных частей. Закрасили сначала 1/6, потом 1/2, потом 1/3. Весь ли круг закрасили?

17. Мальчик отпил 1/6 чашки черного кофе и долил молока, отпил 1/3 чашки—долил молока, отпил еще 1/2 чашки—долил молока. Наконец, мальчик допил кофе с молоком. Чего мальчик выпил больше—кофе или молока?

18. Можно ли разрезать квадрат на две части так, чтобы эти части составляли по площади:

29. Двум ученикам было поручено подклеить в библиотеке 30 книг. Когда работа была закончена, один из них сказал, что он выполнил 3/5 задания, а второй сказал, что он выполнил 2/3 задания. Библиотекарь сразу заметил, что они ошиблись в подсчете. Как он догадался?

20. На первой полке стояло в три раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояли 72 книги. Сколько книг стояло на каждой полке?

21. На первой полке стояло в четыре раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке?

22. В книге 276 страниц. Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать. Сколько страниц прочитала девочка?

§ 51. Вычитание дробей

Разностью двух дробей называется дробь, которая в сумме с вычитанием дает уменьшаемое.

Например,

(рис. 4.13).

Рис. 4.13

Пока мы будем рассматривать случай, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

Разность двух дробей с общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем и числителем, равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого:

(1)

Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями, надо сначала привести их к общему знаменателю и найти разность полученных дробей.

Например,

Дроби с разными знаменателями можно вычитать по формуле

(2)

7 13

Например, вычтем из дроби 7/48 дробь 13/96 по формуле (2):

Однако, найдя наименьший общий знаменатель этих дробей (равный 96), можно намного упростить вычисления:

Принято считать число 0 равным дроби вида 0/q, где q — натуральное число.

Например,

Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю.

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

Выполните вычитание:

5. Устно вычислите:

6. Найдите неизвестное число х:

7. Тракторист должен за день вспахать 2/5 поля. До обеда он вспахал 3/20 поля. Какую часть поля ему осталось вспахать?

8. За два часа турист прошел 1/2 намеченного пути. Причем за первый час он прошел 3/10 пути. Какую часть пути он прошел за второй час?

9. За самостоятельную работу 3/7 класса получила «3», а остальные «4» и «5». Какая часть класса получила «4» и «5»?

10. Придумайте две дроби, разность которых равна:

11. Площадь поверхности Земли составляет 510 млн. км2. 7/10 этой площади занимает Мировой океан. Составьте задачу по приведенным данным и решите ее.

12. Рабочий выполнил некоторое задание за 5 ч. Используя усовершенствованное оборудование, он стал выполнять это же задание за 4 ч. На какую часть задания в час рабочий стал выполнять больше?

13. Сон взрослого человека примерно 1/3 суток. Какую часть суток человек бодрствует?

14. Купили 9/10 кг печенья и конфет. Печенья было 3/10 кг. Сколько было конфет?

15. 1) Собственная скорость моторной лодки 1/5 км в мин, а скорость течения реки 1/30 км в мин. Найдите скорость лодки по течению и против течения.

2) Скорость моторной лодки по течению 3/10 км в мин, а скорость течения реки 1/30 км в мин. Найдите собственную скорость моторной лодки и ее скорость против течения реки.

16. Устно решите задачу:

1) Рабочий выполнил 4/5 сменного задания. Все ли задание он выполнил? Какую часть задания осталось выполнить?

2) Рабочий выполнил 5/4 сменного задания. Все ли задание он выполнил?

3) Завод перевыполнил задание на 7/100 части плана. Какую часть плана выполнил завод?

4) Водители автобазы выполнили 11/10 месячного плана. Какую часть плана составило его перевыполнение?

5) Передовой рабочий выполнил за смену 7/5 сменной нормы. Какую часть сменной нормы составляет перевыполнение?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

17. Вычислите:

18. Устно вычислите:

19. Для приготовления грузинских пряностей «Хмели сунели» берут 1 часть шафрана, 2 части сельдерея, 3 части фенхеля, по 4 части кориандра и петрушки и 6 частей пажитника голубого.

1) Сколько граммов каждого компонента нужно взять для приготовления 600 пачек пряностей по 100 г в каждой пачке?

2) Сколько граммов каждого компонента нужно взять для приготовления пряностей, если сельдерея и петрушки взяли вместе 3 кг?

3) Сколько граммов каждого компонента нужно взять для приготовления пряностей, если петрушки взяли на 3 кг больше, чем сельдерея?

20. В совхозе для производства 1 ц молока расходуют кормов на 10 р., что составляет половину всех расходов на производство молока. Определите себестоимость (т. е. стоимость всех расходов совхоза на производство 1 кг молока) молока в совхозе.

21. Мама дала брату с сестрой деньги на обед и завтрак в школе. Брат дал сестре 2/5 р., и у них денег стало поровну. На сколько рублей у брата денег было больше первоначально?

22*. Можно ли написать 45 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100?

23*. Можно ли написать 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100? Какое наибольшее число таких чисел можно выписать?

§ 52. Смешанные дроби

Сложение и вычитание неправильных дробей можно упростить. Как это делается, будет показано в следующем параграфе, а здесь мы подготовимся к его изучению.

Заметим, что если числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, то такая дробь равна натуральному числу.

Например,

(рис. 4.14).

Рис. 4.14

Если числитель неправильной дроби не делится нацело на знаменатель, то неправильную дробь можно записать в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Для этого в числителе выделим наибольшее натуральное число, делящееся нацело на знаменатель.

Например,

Сумму натурального числа и правильной дроби записывают сокращенно без знака плюс (+) и называют смешанной дробью.

Например,

смешанная дробь; читают:

«восемь целых одна вторая»;

смешанная дробь; читают: «две целых семь восьмых».

Если смешанная дробь получена сложением натурального числа и правильной дроби, то натуральное число называют целой частью, а правильную дробь —дробной частью смешанной дроби.

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанной, надо ее числитель разделить на знаменатель. Если деление выполняется нацело, то неправильная дробь равна натуральному числу. Чаще деление выполняется с остатком. Тогда неполное частное будет целой частью смешанной дроби, остаток—числителем, делитель—знаменателем дробной части.

Например,

Чтобы записать смешанную дробь в виде неправильной дроби, надо знаменатель дробной части умножить на целую часть, прибавить числитель и полученное число записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Используя рис. 4.15, восстановите равенство:

Рис. 4.15

2. Запишите дробь в виде целого числа:

3. Можно ли записать дробь в виде целого числа (ответ объясните):

4. Устно найдите целое число, равное дроби:

5. Запишите числа 3, 7, 11 в виде дробей, знаменатели которых равны числам 3, 7, 11.

6. Разделите с остатком:

1) 3 на 2; 2) 4 на 3; 3) 5 на 4;

4) 9 на 2; 5) 28 на 3; 6) 19 на 6; 7) 17 на 5; 8) 38 на 13; 9) 42 на 15.

7. Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби:

8. Запишите сумму в виде смешанной дроби:

9. Запишите смешанную дробь в виде суммы целого числа и дроби:

10. Упростите:

Сравните числа:

14. Преобразуйте смешанную дробь, уменьшив натуральное слагаемое на 1:

Вычислите сумму:

17. Запишите сумму в виде смешанной дроби, найдите целую и дробную части смешанной дроби:

Вычислите:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Вычислите:

22. Две работницы фасуют сахарный песок в пакеты по 1 кг. Первая фасует 4 пакета за минуту, а вторая — 3 пакета за минуту. За сколько минут совместной работы они расфасуют 140 кг сахарного песку?

23. Два автомата на кондитерской фабрике выпустили за 24 мин. совместной работы 24 000 карамелей. Первый автомат выпустил бы это количество карамелей за 40 мин. За сколько минут второй автомат смог бы выпустить 24 000 карамелей?

24. Книга дороже общей тетради в два раза. Книга с тетрадью стоят 1 р. 32 к. Сколько стоит книга?

25. Книга дороже общей тетради в три раза или на 28 к. Сколько стоит книга?

26. Скорость течения реки 2 км в ч. На сколько скорость лодки по течению больше скорости лодки против течения? Зависит ли ответ на вопрос задачи от скорости лодки?

27. Скорость лодки по течению реки больше скорости

лодки против течения на 6 км в ч. Какова скорость течения?

28. Два поезда движутся навстречу друг другу. Один идет со скоростью 80 км в ч, а другой—60 км в ч. На каком расстоянии друг от друга они будут за 1 ч до встречи? На каком расстоянии друг от друга они будут через 1 ч после встречи?

29*. Дано число 12345678910111213.. .979899. Делится ли это число на 3; на 9?

§ 53. Сложение и вычитание смешанных дробей

Сложение смешанных дробей выполняют с помощью законов сложения.

Например,

Однако на практике запись сложения упрощают:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить целые, затем дробные части и полученные результаты сложить:

Вычитание смешанных дробей также выполняют с пощью законов сложения и вычитания. При этом следует различать случаи:

1) дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, например,

2) дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, например, 7 3/10—3 9/10. В этом случае «зани-

мают единицу» у целой части уменьшаемого:

3) дробная часть уменьшаемого равна дробной части вычитаемого, например

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите сумму:

4. Устно вычислите сумму:

5. Вычислите:

7. По стволу упавшего дерева навстречу друг другу ползут две улитки. Скорость одной из них 7 см в мин, второй — 6 см в мин. Через сколько минут они встретятся, если сейчас между ними: 1) 39 см; 2) 52 см?

8. Навстречу друг другу со скоростями 10 1/2 м в мин и 8 1/2 м в мин ползут две черепахи. Через сколько минут они встретятся, если сейчас расстояние между ними: 1) 38 м; 2) 95 м?

9. Отрезок AB разделен точкой С на два отрезка. Причем отрезок АС равен 4 1/2 см, а ВС на 1 1/5 см больше, чем АС. Найдите длину AB.

10. Отрезок AB разделен точкой С на два отрезка. Причем отрезок AC = 7 3/10 дм, а BС на 2 1/10 дм больше, чем АС. Найдите длину AB.

11. Даны три числа. Первое 4 1/5, второе на 5 больше, чем первое, а третье на 3 1/5 больше, чем первое. Найдите их сумму.

12. Отрезок AB разделили на 3 части точками С и D; АС = 3 1/2 дм, CD = 5 1/4 дм, DB = 1 1/8 дм. Найдите длину отрезка AB.

13. Отрезок AB разделили на 3 части точками С и D; AС = 2 1/5 дм, CD на 1 1/2 дм больше AС, DB на 3 2/5 дм больше AС Найдите длину отрезка AB.

14. Сократите дробь:

15. Устно выполните действия:

16. Вычислите:

21. Подберите дробь, которая в сумме с данной дробью дает 1:

§ 54. Умножение дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей этих дробей:

Например,

Так как любое натуральное число можно представить в виде дроби, то справедливо равенство

Доказательство.

Чтобы умножить натуральное число на дробь, надо числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить без изменения.

Например,

Можно считать, что произведение натурального числа n на дробь p/q есть сумма n слагаемых, каждое из которых равно p/q.

Например,

Дробь p/q называется обратной для дроби q/p.

Дроби p/q и q/p называются взаимно обратными числами; здесь р и q—натуральные числа.

Произведение взаимно обратных чисел равно 1.

Например,

При умножении смешанных дробей удобно сначала записать их в виде неправильных дробей. Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Сократите дробь:

2. Вычислите произведение:

Вычислите:

8. Запишите произведение в виде суммы:

9. Запишите сумму в виде произведения:

10. Упростите числовое выражение:

11. Для следующих чисел укажите им обратные числа:

12. Числа а и b—взаимно обратные, а = 3. Определите b. Являются ли числа 2/7 и 63/18 взаимно обратными? Ответ поясните.

13. 1) Найдите произведение числа 1/2 и числа, обратного 3.

2) Найдите произведение числа 7 и числа, обратного 1/3.

3) Найдите произведение числа, обратного 5, и квадрата числа 3.

4) Найдите произведение числа, обратного 4, и числа, обратного 1/2.

14. Вычислите произведение:

16. Для чисел

укажите обратные им числа.

17. Найдите число, обратное 2/9; запишите его в виде смешанной дроби.

18. 1) Увеличьте 1/2 м в два раза;

19. Вычислите:

23. 1) Число 2 умножили на некоторую правильную дробь. Какое число получится в результате — больше 2 или меньше?

2) Может ли при умножении числа 3 на правильную дробь получиться число, меньшее 1? Приведите два примера.

3) Может ли при умножении числа 4 на правильную дробь получиться число, больше 1? Приведите два примера.

4) Верно ли, что при умножении натурального числа на правильную дробь получается меньшее число? Приведите два примера.

Вычислите:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

26. Работница магазина фасует конфеты по 2/5 кг в один пакет. Сколько килограммов конфет она расфасует: 1) в 2 пакета; 2) в 5 пакетов; 3) в 24 пакета; 4) в 35 пакетов?

27. 1 кг яблок стоит 3/5 р. Сколько нужно заплатить за 2 кг; 3 кг; 4 кг; 5 кг?

28. Сторона квадрата равна а. Вычислите периметр квадрата, если а равно:

29. На изготовление одной детали рабочий затрачивает 1/6 ч. Сколько времени рабочий затрачивает на изготовление:

1) 2 деталей; 2) 3 деталей;

3) 8 деталей; 4) 12 деталей?

30. Скорость грузовой машины 3/4 км в мин. Сколько километров проедет машина за 1 мин; 2 мин; 4 мин; 8 мин; 10 мин?

31. Скорость легковой машины 1 1/5 км в мин. Сколько километров проедет машина за 1 мин; 3 мин; 5 мин; 7 мин?

32. Сторона квадрата имеет длину а. Найдите периметр квадрата, если а равно:

33. В бочке было 40 ведер воды. Когда несколько ведер отлили из бочки, то осталось в 7 раз больше воды, чем отлили. Сколько ведер отлили?

34. Банка меда стоит 1 р. 40 к. Стоимость меда в 13 раз больше стоимости банки. Сколько стоит мед?

35. Поезд проходит путь от А до В за 12 ч. Какую часть пути ему останется пройти через 7 ч после начала движения от A?

36. Ученик токаря может выполнить задание за 5 ч, а токарь—за 3 ч. Какую часть задания им останется выполнить через 1 ч совместной работы?

37. Путь от А до В скорый поезд может пройти за 12 ч, а пассажирский—за 16 ч. Какую часть пути им останется пройти до встречи через 1 ч после того, как поезда выйдут одновременно из А и В навстречу друг другу?

§ 55. Деление дробей

Частное двух дробей равно дроби, которая при умножении на делитель дает делимое.

Частное двух дробей вычисляется по формуле

В самом деле,

Заметим, что -дробь, обратная делителю, т. е.

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю. Например:

При делении смешанных дробей удобно сначала записать их в виде неправильной дроби. Например:

Частное любых двух натуральных чисел равно дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель—делителю.

Например,

Таким образом, можно считать, что 2 делится на 3, но частное равно не натуральному числу, а дробному 2/3.

Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления числителя на знаминатель.

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Устно найдите частное и проверьте решение умножением:

2. Вычислите частное и проверьте решение умножением:

4. Назовите делимое и делитель; определите дробь, обратную делителю; замените деление умножением на число, обратное делителю; вычислите полученное произведение:

11. Найдите неизвестное число х:

12. Отрезок, длина которого равна 1 м, надо разделить на равные части длиной 1/10 м. Сколько частей получится?

13. 1 кг кофе рассыпали в несколько пакетов по 1) 1/4 кг в каждом пакете; 2) по 1/5 кг в каждом пакете. Сколько пакетов получилось?

14. Квадрат площадью 1 м2 разрезали на несколько квадратов равной площади. Сколько получилось квадратов, если площадь каждого из них составляет:

15. Веревку, длина которой равна 20 м, разрезали на 3 равные части. Найдите длину каждой части.

16. Рыболовную леску длиной 11 м разрезали на 4 равные части. Найдите длину каждой части.

17. Автомат фасует сливочное масло в пачки по 1/5 кг.

Сколько пачек получится: 1) из 4 кг масла; 2) из 12 кг масла;

3) из 8 кг масла; 4) из 15 кг масла?

18. Периметр квадрата равен: 1) 16 см; 2) 14 см; 3) 13 см;

4) 17 см. Найдите длину стороны квадрата.

19. Ленту нужно разрезать на части так, чтобы длина каждой части равнялась 1/5 м. Сколько таких частей получится из ленты, длина которой: 1) 1 м; 2) 3 м;

20. Уменьшите:

21. 1) Разделите числа 40, 50, 60 на 2; на

2) Разделите числа

22. Запишите в виде дроби:

Вычислите:

27. Решите устно. Токарь вытачивает за 1 ч 6 деталей. За сколько часов он выточит 72 детали?

28. Рабочий выполняет в день 1/5 задания. За сколько дней он выполнит все задание?

29. Машина за 1 ч проезжает 1/7 расстояния между двумя

городами. За сколько часов машина проедет все расстояние?

30. Плот за 1 ч проплывает 1/25 расстояния между двумя пристанями, а катер —1/2 этого расстояния. За сколько часов проплывает все расстояние между пристанями: 1) плот; 2) катер?

31. Вычислите:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

32. Скорость теплохода по течению реки 13 1/3 м в с, а против течения—12 2/9 м в с. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

33. Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй—за 30 мин. За сколько минут уберут класс оба ученика?

34. Мама может почистить картофель для обеда за 8 мин, а сын затратит на эту работу в 3 раза больше времени. За сколько минут мама с сыном почистят картофель вместе?

35. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям—на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит этого корма и уткам, и гусям.

36. Сколько всего существует различных двузначных чисел, все цифры которых нечетные? А сколько таких трехзначных чисел?

37. Каких чисел больше среди первой тысячи (от 0 до 999): тех, в записи которых встречается единица, или тех, в записи которых ее нет?

38. Задача-шутка. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла вниз и вверх с одинаковой скоростью, а вторая хоть и поднималась в два раза медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее ее. Какая из мух раньше приползет обратно?

39. В свободные клетки впишите числа 23, 41, 47, 65, 71 так, чтобы по всем строкам, столбцам и двум диа-

гоналям (отрезки, соединяющие углы прямоугольника) в сумме получалось одно и то же число.

40. Задача-шутка. Крышка стола имеет четыре угла. Если один из углов отпилить, сколько углов будет у крышки?

41. Сколькими способами можно уплатить 78 р., имея банкноты 3- и 5-рублевого достоинства?

42. На сколько частей можно разбить плоскость четырьмя прямыми? Рассмотрите все возможные случаи и для каждого случая сделайте чертеж.

§ 56. Законы умножения

Докажем, что

Действительно,

При доказательстве использовался переместительный закон умножения натуральных чисел. Таким образом, этот закон справедлив и для дробей:

От перестановки множителей произведение дробей не изменяется.

Для дробей справедлив и сочетательный закон умножения:

Произведение дробей не изменяется, если любые рядом стоящие множители заменить их произведением.

На основании переместительного и сочетательного законов умножения в произведении нескольких дробей

можно переставлять множители и заключить их в скобки любым образом. Например,

Для дробей a, b, с справедлив и распределительный закон умножения для суммы и разности.

Чтобы сумму дробей умножить на дробь, можно каждое слагаемое умножить на эту дробь и полученные произведения сложить.

Чтобы разность двух дробей умножить на дробь, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на эту дробь и из первого произведения вычесть второе.

Например:

Докажем распределительный закон:

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислите:

5. Объясните, как выполнено вычисление:

6. Докажите, что для любых натуральных чисел верно равенство (а + b):c — a:c+ b:с.

7. Вычислите:

8. Магазин получил 450 т яблок, которые будут проданы по 3/5 р. за 1 кг. Какую сумму выручит магазин от продажи яблок?

9. Магазин получил 320 кг лимонов, которые будут проданы по 2 1/2 р. за 1 кг. Какую сумму выручит магазин от продажи лимонов?

10. Стороны прямоугольника имеют длины 2 1/4 дм и 3 1/2 дм.

Найдите периметр прямоугольника двумя способами.

11. Сторона квадрата равна 3 3/4 дм. Найдите его периметр двумя способами.

12. 1 пакет печенья стоит 4/5 р. В каждую коробку пакуют по 24 пакета печенья. Сколько стоит печенье в пяти таких коробках? Решите задачу двумя способами.

13. Вычислите:

21. Вычислите устно:

22. Объясните и выполните действия:

23. Сформулируйте правило умножения числа на дробь, числитель которой равен единице.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

24. Вычислите произведение:

25. Вычислите:

27. Старинная задача. Один муж может выпить кадь питья в 14 дней, а с женою—в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь?

28. Мама дала сыну деньги на школьные завтраки на 24 учебных дня. Мальчик подсчитал, что этих денег ему хватило бы на школьные обеды на 12 дней. На сколько дней этих денег хватит мальчику, если он будет и завтракать, и обедать в школе?

29. Из села в город вышел пешеход. Одновременно с ним из города в село выехал велосипедист. Пешеход пришел в город через 6 ч, а велосипедист приехал в село через 3 ч. Через сколько часов после начала движения они встретились?

30. Легковая машина может проехать расстояние от А до В за 2 ч, а грузовая машина может проехать расстояние от В до А за 3 ч. Через сколько часов машины встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу из А и В?

31. Легковая машина может проехать расстояние от А до В за 6 ч, а грузовая машина может проехать расстояние от В до А за 9 ч. Через сколько часов машины встретятся, если одновременно выедут навстречу друг другу из А и В?

32. Имеющихся материалов хватит для бесперебойной работы первого цеха на 30 дней или второго цеха на 42 дня. Хватит ли этих материалов для бесперебойной работы двух цехов в течение 18 дней?

33. Передовая бригада решила выполнить пятилетнее задание за 4 года. Сколько годовых заданий выполнит бригада за пятилетку, если считать, что производительность труда бригады будет неизменной?

34. Имеются 9 палочек разной длины, от 1 см до 9 см. Квадраты с какими сторонами и сколькими способами можно составить из этих палочек? Способы составле-

ния квадрата считаются различными, если использованы разные палочки и не обязательно все.

Можно ли составить квадраты, длины сторон которых равны 1 см; 2 см; ...; 6 см? Почему? Можно ли составить квадрат, длина стороны которого равна 7 см? Как это сделать? Сколькими различными способами его можно составить? Рассмотрите дальше все возможные случаи. Можно ли составить квадрат, длина стороны которого равна 12 см и более? Почему?

35. Старинная задача. Двенадцать человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина—по половине хлеба, а ребенок—по четверти хлеба, причем в переносе участвуют все 12 человек. Сколько было мужчин, сколько женщин и сколько детей?

36. Можно ли поместить все население Земли на квадратной площадке со стороной 10 км; 100 км? Произведите расчеты при условии, что на одном квадратном метре могут поместиться 4 человека, а численность населения Земли для простоты расчетов примем 5000000000 человек.

§ 57. Решение задач

Задача 1. Нахождение дроби данного числа. Найдем, например, две трети числа 60. Будем считать, что число 60 состоит из трех третьих долей. Тогда одна треть в три раза меньше: 60/3. Две же трети в два раза больше:

Мы видим, что для решения задачи надо умножить на 60, так как

Примеры. Решение.

Решение.

3) Увеличим число 12 на 1/3 этого числа. Решение. Если число увеличить на 1/3 этого числа, то полученный результат будет составлять данного числа. Найдем 4/3 числа 12:

Ответ. 16.

4) Уменьшим число 7 1/5 на 1/6 этого числа.

Решение. Если число уменьшить на 1/6 этого числа, то полученный результат будет составлять 1 - 1/6 = 5/6 данного числа. Найдем 5/6 числа 7 1/5:

Ответ. 6.

Задача 2. Нахождение числа по его дроби.

Найдем, например, число, две трети которого равны 40. Будем считать, что искомое число состоит из трех третьих долей. По условию его две трети равны 40. Но тогда одна треть в два раза меньше: 40/2, а три трети в три раза больше: 40/2 3 = 60. Мы видим, что для решения задачи надо 40 разделить на

Ответ. 60.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите от числа 360:

1) одну вторую; 2) одну пятую; 3) одну десятую; 4) одну тысячную.

2. Найдите от числа 25:

1) две пятых; 2) три десятых;

3) четыре седьмых; 4) семь пятидесятых.

3. Найдите от числа

4. Космический корабль «Прогресс» при общей массе 7 т доставил на орбиту грузы, масса которых составляла 23/70 общей массы корабля. Сколько килограммов грузов доставил на орбиту космический корабль?

6. Выразите:

7. Выразите:

8. Найдите число, 1/3 которого равна:

9. Найдите число, 4/3 которого равны:

10. Найдите число, для которого 100 составляет:

11. Реактивный самолет может подниматься на высоту до 40 км, что составляет 2/15 высоты, на которую обычно запускают искусственные спутники Земли. На какой высоте летают искусственные спутники Земли?

12. 1) Найдите число, если известно, что 5/7 этого числа равны 155.

2) Найдите число, если известно, что 3/10 числа равны 354.

3) Найдите число, 31/1000 которого равна 6510.

13. На овощную базу доставили 2870 т помидоров, что составляет 7/12 плана. Сколько тонн помидоров было запланировано доставить на базу?

14. На приготовление домашнего задания по математике ученик затратил 35 мин, что составляет 7/16 всего времени, затраченного учеником на приготовление домашних заданий по всем предметам. Сколько минут ученик готовил все домашние задания?

15. 1) Ширина прямоугольника 8 см, что составляет 4/5 длины. Найдите периметр и площадь прямоугольника.

2) Сторона треугольника 12 см, что составляет 3/5 одной и 4/7 другой стороны этого треугольника. Найдите периметр треугольника.

16. Рабочий получил в середине месяца 102 р., что составило 2/5 его зарплаты за месяц. Какую часть зарплаты он получил в конце месяца? Какова зарплата рабочего за этот месяц?

17. 1 кг яблок стоит 3/5 р. Сколько нужно заплатить за

18. 1 кг лимонов стоит 3 1/2 р. Сколько нужно заплатить за

19. Число 75 увеличьте:

20. 1) В баке помещается 30 л воды. Его можно наполнить через кран за 6 мин. Сколько литров воды нальется в бак за 5 мин? 2) Бак можно наполнить водой через кран за 6 мин. Какая часть бака наполнится за 5 мин?

21. Некоторое задание можно выполнить на старом станке за 8 ч, а на новом станке—за 6 ч. Какую часть задания можно выполнить на двух станках вместе за 1 ч; за 2 ч; за 3 ч?

22. Ванну можно наполнить или из одного крана за 15 мин, или из другого крана за 10 мин. Какую часть ванны можно наполнить из двух кранов за 1 мин; за 5 мин? Наполнится ли ванна за 6 мин?

23. Одна машинистка может перепечатать некоторую рукопись за 6 ч, а другая — за 7 ч. Успеют ли машинистки вместе перепечатать рукопись за 3 ч; за 4 ч?

24. Использование 1 т макулатуры позволяет получить 7/10 т бумаги. На производство 1 т бумаги идет примерно 16 деревьев, которые росли 60—80 лет. Какое количество деревьев заменяют 20 т макулатуры, собранные учащимися вашей школы за год?

25. Число 45 увеличили:

26. Число увеличили:

27. Число увеличили:

На какую часть увеличилось число?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

28. За один день в нашей стране добывалось в 1970 г. 640 тыс. т железной руды, а в 1984 г. на 1/4 этого

количества больше. Сколько руды добывалось за один день в 1984 г.? 29. Сравните дроби:

30. Укажите все дроби со знаменателем 10, которые больше 4/13 но меньше 7/13.

31. Как изменится произведение двух чисел, если один множитель увеличить на 1/5 его часть, а другой множитель уменьшить на 1/5 его часть?

32. Делимое уменьшили на 1/10 его часть, а делитель увеличили на его часть. Как изменилось частное?

§ 58. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда

Если длина и ширина прямоугольника выражены в какой-либо одной единице длины натуральными числами а и b, то его площадь вычисляется как произведение а⋅b.

Формула S = a⋅b верна и при дробных а и b.

На рис. 4.16 изображен прямоугольник со сторонами а = 3/4 дм и b = 2/3 дм. Покажем, что его площадь равна

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной 1 дм. Одну сторону квадрата разделим на 4 равные части; три из них составляют длину прямоугольника. Другую сторону квадрата разделим на 3 равные части; две из них составляют ширину прямоугольника.

Квадрат разделен на 4⋅3 равных частей, площадь каждой из которых равна 1/4⋅3 дм2.

Прямоугольник состоит из 3⋅2 равных частей, поэтому его площадь равна

Итак,

Площадь прямоугольника со сторонами а и b вычисляется по формуле

Если длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда выражены в какой-либо одной единице длины натуральными числами a, b и с, то его объем вычисляется как произведение a⋅b⋅с.

Формула V = a⋅b⋅c верна и при дробных а, b, с.

На рис. 4.17 изображен прямоугольный параллелепипед с ребрами

Покажем, что его объем равен

Достроим параллелепипед до куба с ребром 1 дм. Одно его ребро разделим на 5 равных частей; две из них составляют ширину параллелепипеда. Другое ребро куба разделим на 2 равные части; одна из них составляет длину параллелепипеда. Третье ребро разделим на 3 равные части; две из них составляют высоту параллелепипеда.

Куб разделен на 5⋅2⋅3 = 30 равных частей, объем каждой из которых равен

Прямоугольный параллелепипед состоит из 2⋅1⋅2 = 4 таких частей. Поэтому его объем равен

Рис. 4.16 Рис. 4.17

Итак,

Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, b, с вычисляется по формуле

Примеры. 1) Стороны прямоугольника равны

Его площадь равна

2) Ребра прямоугольного параллелепипеда равны

. Его объем равен

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите площадь прямоугольника, длина и ширина которого равны:

2. Площадь прямоугольника равна 4 дм2. Вычислите длину прямоугольника, если его ширина равна:

3. Вычислите площадь и периметр прямоугольника, длина и ширина которого равны:

4. Вычислите площадь и периметр квадрата, сторона которого равна:

5. Сколько потребуется банок краски, чтобы покрасить крышу дома, если крыша имеет размеры, указанные на рис. 4.18, и содержимого одной банки хватает на окраску 10 м2 поверхности?

6. Требуется покрыть кафельной плиткой пол, имеющий форму прямоугольника со сторонами 4 м и 2 м 50 см. Плитки имеют форму квадрата, сторона которого

равна 12 см. Сколько ящиков плитки потребуется, если в каждом ящике 50 плиток? 7. Вычислите объем куба, ребро которого равно:

8. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны:

9. Вычислите площадь всех граней куба, ребро которого равно:

10. Вычислите площадь всех граней прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны:

11. Вычислите объем классной комнаты, если ее ширина 6 м, длина 8 м, высота 3 1/4 м. Сколько литров воздуха приходится на каждого ученика класса, в котором 40 человек?

Составьте и решите задачу, учитывая размеры своей классной комнаты и количество учеников в своем классе.

12. В магазине продаются два аквариума. Размеры одного из них 42 см, 1/3 м, 2 1/2 дм, а другого 54 см, 1/4м, 1/5 м. Объем какого аквариума больше?

13. Вычислите объем, который занимает пачка сахара-рафинада. Размеры в сантиметрах указаны на рис. 4.19.

15. 3 кг конфет и 1 1/2 кг печенья стоят 10 1/2- р., а 5 кг тех

Рис. 4.18 Рис. 4.19

же конфет и 1 1/2 кг того же печенья стоят 15 1/2 р. Сколько стоит 1 кг конфет и сколько стоит 1 кг печенья?

16. Чтобы узнать, является ли число 2503 простым, его стали делить на 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... На каком простом числе можно прекратить испытание?

17. Разность двух нечетных чисел равна 8. Докажите, что эти числа взаимно простые.

18. Докажите, что если в трехзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число кратно 11.

19. Может ли наибольший общий делитель двух чисел быть больше их разности?

§ 59. Единицы измерения скорости

При решении задач на равномерное движение пользуются формулой

где s—путь, V—скорость, t — время движения.

Единицами измерения длины (пройденного пути) являются: 1 мм, 1 см, 1 дм, 1м, 1км.

Единицами измерения времени являются: 1 с, 1 мин, 1 ч.

Единицами измерения скорости являются: 1 мм в с, 1 мм в мин, 1 мм в ч, 1 см в с, ... На практике часто используют для измерения скорости следующие единицы: 1 м в с, 1 км в ч.

Чтобы определить скорость равномерного движения, надо путь разделить на время движения:

Так как s:t = s/t, то для единиц скорости приняты обозначения:

Чтобы определить время равномерного движения, надо путь разделить на скорость движения:

При решении задач на движение необходимо согласовывать единицы измерения пути и времени с единицами измерения скорости.

Пример. Найдем скорость v, взяв за единицу измерения 1 км/ч, если путь s равен 6 м, а время t равно 3 с Решение.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите пройденный путь, если известны скорость движения и время движения:

2. Найдите скорость движения v, если известны пройденный путь s и время движения t:

3. Скорость пешехода 5 1/5 км/ч. Найдите путь, пройденный пешеходом:

4. Расстояние в 1 1/2 км пешеход прошел за 20 мин.

Найдите скорость движения пешехода. Ответ запишите в следующих единицах:

5. Скорость легковой автомашины

Какой путь она пройдет:

6. Скорость легковой автомашины 1200 м/мин. За сколько часов машина пройдет:

7. Найдите скорость автомашины, если 80 км она проезжает:

8. Два конькобежца стартовали на дистанцию 10 000 м по замкнутой дорожке, длина которой равна 400 м.

Скорость одного из них 20 км/ч, а скорость второго — 22 км/ч. Обгонит ли второй конькобежец первого на круг до конца дистанции? А на два круга?

9. 15 июля 1923 г. из Москвы в Нижний Новгород (г. Горький) вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км. Аэроплан шел на высоте 250 м и преодолел все расстояние за 3 ч. 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какое условие в задаче является лишним?

10*. 1) Поезд проходит мимо столба за 2 мин. За сколько минут он проедет через мост, длина которого в 2 раза больше длины поезда? 2) Поезд проходит мимо столба за 40 с. За сколько секунд он проедет туннель длиной 1 км, если длина поезда 800 м?

11. Замечательные русские изобретатели-самоучки отец и сын Черепановы построили первый паровоз в 1834 г. Он проезжал 500 м за 2 мин. Какова скорость паровоза в метрах в минуту и километрах в час?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

12. Вычислите:

13. Сложите

15. Найдите число, три четверти которого равны четырем пятым числа 80.

16. Из пункта А в пункт В по реке отправили плот. Одновременно с ним из В в А вышел катер, который

прибыл в А через 5 ч. Через сколько часов катер встретил плот, если плот прибыл в В через 20 ч. после начала движения?

17. Токарь и его ученик выполнили задание за 1 ч 40 мин. Токарь мог бы выполнить это задание за 2 ч 30 мин. Сколько времени затратил бы ученик на выполнение этого же задания?

18. Два тракториста вспахали поле за 2 ч. Первый тракторист выполнил бы эту работу за 3 ч 20 мин. За сколько часов второй тракторист мог бы вспахать это поле?

19. Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Одновременно с ней из В в А выехала легковая машина. Грузовая машина через 1 ч встретила легковую и еще через 1 ч 30 мин прибыла в пункт В. Сколько времени потратила легковая машина на путь из В в A?

20. Из пункта А в пункт В вышел катер. Одновременно с ним из В в А отправили плот. Катер встретил плот через 3 ч 20 мин, а еще через 20 мин. прибыл в пункт В. Сколько времени плыл из В в А плот?

§ 60. Представление положительных дробей на координатной оси

На координатной оси (рис. 4.20) можно изобразить любые положительные дроби p/q. Для этого надо 1/q часть единичного отрезка отложить р раз на координатной оси от точки О в положительном направлении.

Точку, изображающую на координатной оси дробь p/q, называют точкой p/q или точкой с координатой p/q.

Рис. 4.20

Например, точка А (рис. 4.21) имеет координату у. Пишут: А (1/3), говорят: точка А с координатой 1/3 или точка

Положительные дроби называют еще положительными рациональными числами, а точки, изображающие их на оси, называют рациональными точками.

Если а и b—два положительных рациональных числа и b > а, то

1) точка b на координатной оси находится правее точки а;

2) расстояние между точками а и b равно b—а;

3) точка a+b/2 является серединой отрезка, соединяющего точки а и b (рис. 4.22).

В самом деле, чтобы вычислить координату точки С— середины отрезка AB, надо к числу а прибавить половину длины отрезка AB:

Пример. Найдем длину отрезка, соединяющего точки а = 3/5 и b=1, и координату середины этого отрезка. Очевидно, что у < 1, поэтому точка 1 находится на координатной оси правее точки 3/5, а длина отрезка, соединяющего точки 3/5 и 1, равна b—а = 1—3/5 = 2/5. Середина этого отрезка имеет координату

Рис. 4.21 Рис. 4.22

Таким образом, можно вычислить координату середины отрезка, соединяющего любые две рациональные точки. Отсюда следует, что между любыми двумя рациональными точками находится еще хотя бы одна рациональная точка.

Число называется средним арифметическим чисел а и b.

Например, среднее арифметическое чисел 3 и 5 равно 3+5/2= 4, а среднее арифметическое чисел 2/3 и 1/6 равно

Вообще, средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Например, для чисел 1, 3, 7 среднее арифметическое равно

для чисел 1, 2, 3, 4 среднее арифметическое равно

УПРАЖНЕНИЯ

1. Изобразите на координатной оси (ед. отр. 6 см) точки

Где на этой оси находятся точки

2. Выберите удобный единичный отрезок и отметьте на координатной оси точки:

3. Изобразите на координатной оси точки

Найдите длину отрезков AB, ВС, АС.

4. Найдите координату середины отрезка, соединяющего точки:

Б. Даны точки А (2) и В(2 1/2). Найдите координаты точки С—середины отрезка AB, точки D—середины отрезка СБ, точки Е—середины отрезка CD. Изобразите эти точки на координатной оси. 6. Найдите координату точки В по координатам точки А и точки С—середины отрезка AB:

7. Найдите координаты точек, делящих отрезок AB на три равные части:

8. Найдите среднее арифметическое чисел:

9. На рис. 4.23 указаны координаты точек А и В, найдите координаты остальных точек.

10. Найдите среднее арифметическое чисел:

1) 3, 5, 7; 2) 12, 15, 18; 3) 100, 200, 300; 4) 1, 2, 10; 5) 1, 2, 5, 12; 6) 3, 4, 5, 6, 7.

11. Среднее арифметическое двух чисел равно пяти. Найдите сумму этих чисел.

12. Среднее арифметическое пяти чисел равно двум. Найдите сумму этих чисел.

13. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 21 год. Во время матча один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал равен 20 4/5 года. Сколько лет игроку, получившему травму?

14. Дети спросили своего учителя математики:

— Сколько Вам лет?

— Если подсчитать средний возраст 32 учеников нашего класса, то получится 10 1/2 года; если же при этом учесть и мой возраст, то получится 11 лет. Сколько лет учителю?

Рис. 4.23

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

16. Выразите в

17. Выразите в

18. Плот плывет от А до В 40 ч, а катер—4, Сколько часов плывет катер от B до A?

19. Плот плывет из А в В 24 ч, а моторная лодка—3 ч. Сколько часов моторная лодка плывет из B в A?

20. Кто проедет большее расстояние—велосипедист со скоростью 3 1/3 м/с за 5/6 мин или автомобиль со скоростью 1 1/3 км/ч за 3 с?

§ 61. Исторические сведения

Люди в своей практической деятельности пришли к понятию дробного числа очень давно, в связи с потребностью измерять различные величины. Сохранились египетские папирусы со времени 2000—1600 лет до нашей эры с записями арифметических действий над дробями. Древние вавилоняне тоже оставили после себя памятники с письменами, содержащими вычисления с дробями. Сначала для вычислений употребляли только дроби с числителем, равным 1 (1/2, 1/3, 1/60, ... ). Например, в египетском папирусе, написанном около 1600 лет до нашей эры, записано решение такой задачи: «Если прибавить к некоторой величине ее седьмую часть, то получится 19.

Найдите эту величину». После сложных вычислений там записан ответ, который в современных обозначениях можно записать так: 16 1/2 + 1/8. Из этого примера видно, что египтяне в то время еще не умели выразить одной дробью 5/8 сумму 1/2 + 1/8, и это затрудняло вычисления.

Индийцы записывали дроби так, как мы это делаем сейчас: числитель писали над знаменателем, но черту дроби не писали. Дроби отделяли друг от друга вертикальными и горизонтальными линиями. Например, дробь 1/2 записывалась так:

Знака плюс (+) для записи суммы не существовало, и сумму 1/2 + 2/3 + 4/5 записывали так:

В Древнем Вавилоне (2000 лет до н. э.) основу системы мер веса и денег составлял 1 талант; его делили на 60 мин, а 1 мину—на 60 шекелей.

В соответствии с этим основные расчеты производились с дробями, знаменатель которых равен степени шестидесяти:

и т. д. Для упрощения громоздких записей применялись специальные обозначения и названия:

и т. д. Это позволяло записывать дроби без знаменателя, например, запись означала

Следы этой системы счисления дробей сохранились до наших дней в единицах измерения времени и углов. Так,

Одним из примеров практического применения дробей может служить нотная запись в музыке. Здесь фактически используется понятие дроби и даже сложение дробей. Так, длительности половинные, четвертные, восьмые соответствуют дробям 1/2, 1/4, 1/8, а схема длительностей (рис. 4.24) соответствует суммам

Обозначение J. (нота с точкой) используется для увеличения длительности на половину. Например,

что соответствует сумме

Дробью фактически обозначается и размер, так как нижняя цифра обозначает длительность доли—на рис. 4.25 — четвертная, а верхняя цифра—количество долей в такте— две доли. Отличие заключается в том, что черту дроби не пишут и дробь не сокращают. Хотя две четвертные длительности составляют одну половинную.

Рис. 4.24

Рис. 4.25

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ IV

1. Какое натуральное число называется простым, составным? Является ли 1 простым или составным числом?

2. Какое число называется кратным данного числа?

3. Какое число называется делителем данного числа?

4. Что называется положительной дробью? Приведите примеры. Назовите числитель и знаменатель каждой дроби.

5. Сформулируйте основное свойство дробей. Приведите примеры равных дробей.

6. Какая дробь называется несократимой? Приведите примеры.

7. Сформулируйте правила сравнения дробей.

8. Какая дробь называется правильной, неправильной?

9. Сформулируйте правило сложения дробей.

10. Сформулируйте переместительный и сочетательный законы сложения.

11. Сформулируйте правило вычитания дробей.

12. Сформулируйте правило умножения дробей.

13. Какие дроби называются взаимно обратными? Приведите примеры.

14. Сформулируйте правило деления дробей.

15. Сформулируйте законы умножения.

16. Как вычислить расстояние между двумя рациональными точками на координатной оси?

17. Как вычислить координату середины отрезка?

18. Что называют средним арифметическим чисел а и b?

19. Что называют средним арифметическим нескольких чисел?

Глава V. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 62. Отрицательные дроби

До сих пор мы изучали положительные дробные числа—их еще называют положительными дробями.

Например, числа 1/2, 2/3, 3/4, 8/7, 6/6, 7/1 есть положительные дроби.

Если перед положительной дробью поставить знак плюс (+), то получится то же самое число, т. е.:

Если перед положительной дробью поставить знак минус (—), то получится новое число, которое называется отрицательным дробным числом или отрицательной дробью.

Например, числа — 1/2, — 8/7 , —7/1 —отрицательные дроби.

Дроби, отличающиеся только знаком, называются противоположными.

Например, дроби + 1/2 и —1/2—противоположные.

Одно из двух противоположных чисел положительно, другое отрицательно. Исключением является число нуль— нуль противоположен самому себе: 0= + 0/n = — 0/n, где n — любое натуральное число.

Введем понятие абсолютной величины или модуля дроби. Модулем положительной дроби называется сама эта дробь. Например, модуль 5/8 равен 5/8, что записывают так: |5/8| = 5/8.

Модулем отрицательной дроби называется противоположная ей (положительная) дробь. Например, модуль — 5/8 равен 5/8, что записывают так: |—5/8| =5/8.

Модуль нуля равен нулю: |0| = 0.

Модули противоположных чисел равны. Например,

Иногда знак минус (—), стоящий перед дробью, удобно записывать в числителе дроби. Например, верны равенства:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Приведите три примера отрицательной дроби.

2. Какие из следующих дробей являются положительными, какие отрицательными:

3. Для следующих дробей назовите противоположные им дроби:

4. Существует ли число, противоположное самому себе?

5. Что называется модулем:

1) положительной дроби;

2) отрицательной дроби;

3) нуля?

6. Упростите запись:

8. Запишите:

1) три положительные дроби и дроби им противоположные; 2) три отрицательные дроби, как можно записать эти дроби по-другому?

9. Равны ли дроби:

10. Запишите дроби:

так, чтобы знак (—) стоял в числителе дроби.

11. Запишите дроби:

так, чтобы знак (—)

стоял перед дробью.

12. Упростите запись:

13. Найдите модуль числа:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

14. Сократите дроби:

15. Приведите дроби к знаменателю 48:

16. Вычислите:

18. Велотурист в течение 10 дней проезжал по 36 км. Сколько километров в день ему необходимо проезжать, чтобы вернуться обратно за 9 дней?

19. Велотурист в течение 10 дней проезжал по 21 км. За сколько дней он сможет вернуться обратно, если будет проезжать в день по 35 км?

20. На 2 p. 40 к, купили тетради—поровну, стоимостью 2 к. и 3 к. Сколько было куплено тетрадей каждого вида?

21. Купили одинаковое число карандашей стоимостью 10 к. и 3 к. Сколько купили карандашей каждого вида, если карандаши за 10 к. вместе стоили на 91 к. больше, чем карандаши за 3 к.?

22. Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из городов, расстояние между которыми 420 км. Через какое время расстояние между поездами будет 60 км, если скорость одного поезда 33 км/ч, а второго 27 км/ч?

23. Два поезда, расстояние между которыми 884 км, движутся навстречу друг другу. Скорость первого поезда 64 км/ч, а второго 46 км/ч. Через какое время расстояние между поездами будет равно 84 км?

§ 63. Рациональные числа

Число, которое может быть записано в виде p/q, где р и q—целые числа и q≠0, называется рациональным числом или дробью. Например, числа

есть рациональные числа.

Число р называется числителем, а число q—знаменателем дроби p/q.

Некоторые дроби считают равными. Равенство дробей устанавливают при помощи основного свойства дробей:

если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же целое число n (n≠0), то получится равная ей дробь

(1)

где р, q, n—целые числа, q≠0, n≠0.

Например:

Переход от дроби к дроби в равенстве (1) называют приведением дроби к новому знаменателю, а обратный переход называют сокращением дроби:

(2)

Равенство (2) означает, что если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель n, то дробь можно сократить на n. При этом получится дробь, равная данной.

Например:

Рациональное число есть:

а) положительная дробь, если р и q одного знака;

б) отрицательная дробь, если р и q разных знаков;

в) число нуль, если p = 0.

Покажем это на примерах: а) 3/5 —положительная дробь, так как ее числитель и знаменатель—натуральные числа;

Для любого целого числа р верно равенство:

Оно означает, что любое целое число является рациональным числом.

Это равенство для положительных дробей было определено в главе IV. Если р отрицательное число, например,

Пользуясь основным свойством дроби, можно любую дробь привести к положительному знаменателю.

Например:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Что называется рациональным числом? Приведите пример рационального числа.

2. Являются ли рациональными числами:

1) натуральные числа; 2) положительные дроби; 3) целые отрицательные числа?

3. Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите пример использования основного свойства дроби для приведения дроби к новому знаменателю.

4. В каком случае дробь можно сократить? На основании какого свойства сокращают дробь?

б. Приведите дробь к положительному знаменателю:

6. Сократите дробь; результат запишите в виде дроби с положительным знаменателем:

7. Запишите дробь в виде целого числа:

8. Равны ли рациональные числа:

9. Упростите запись рационального числа:

10. Найдите три дроби с положительным знаменателем, равные числу:

11. Упростите выражение:

12. Какие из следующих рациональных чисел равны целым числам, какие—натуральным числам:

13. Выпишите рациональные числа, равные между собой:

14. Упростите:

15. Найдите число х:

16. Приведите дроби 1/2 и 1/4 к знаменателю:

17. Приведите к знаменателю 60 дроби:

18. Сравните с нулем дробь:

19. При каких m и n верно равенство:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

20. Вычислите:

22. 1) Известно, что число а делится на 9. Простым или составным является это число? Ответ обосновать.

2) Верно ли утверждение: любое натуральное число является простым или составным? Ответ обосновать.

3) Сколько существует простых четных чисел? Ответ обосновать.

4) Простым или составным числом является произведение двух простых чисел? Ответ обосновать.

23. 1) На координатном луче отмечены числа 1 и а.

Отметьте на координатном луче точкой число a + 3 (рис. 5.1).

2) На координатном луче отмечены числа а и 4. Отметьте на координатном луче число а + 4 (рис.5.2). 24. 1) Известно, что 9—х — у. Отметьте на координатном луче точкой число х + у (рис. 5.3).

2) Для чисел а и b выполняется равенство а—3 = b. На координатном луче отмечено точкой число b. Отметьте точкой число а (рис. 5.4).

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Рис. 5.3 Рис. 5.4

§ 64. Сравнение дробей

Любые две дроби можно привести к общему положительному знаменателю.

Например, приведем дроби 2/-7 и -3/5 к общему положительному знаменателю

Для сравнения двух дробей их надо привести к общему положительному знаменателю и сравнить их числители.

Из двух дробей с общим положительным знаменателем больше та, у которой числитель больше.

Таким образом, сравнение дробей сводится к сравнению целых чисел.

Пример. Сравним дроби

Решение.

Из общего правила следует, что положительная дробь больше отрицательной и больше нуля, отрицательная дробь меньше нуля.

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Приведите дроби к наименьшему общему положительному знаменателю:

2. Сравните дроби:

8. Сравните дроби с нулем:

4. Сравните дроби:

5. Вычислите:

6. 1) Делитель равен 12, частное 8, остаток 5. Найдите делимое.

2) Делитель равен 27, частное 15, остаток 10. Найдите делимое.

7. 1) Делимое равно 576, частное 62. Найдите делитель.

2) Частное равно 301, делимое 1204. Найдите делитель.

8. Вычислите:

9. 1) Найдите число, 2/11 которого равны 5.

2) Найдите число, 7/9 которого равны 6.

10. Решите устно:

1) Рабочий выполнил 3/4 работы за 1 ч 15 мин. За сколько часов он выполнит оставшуюся часть работы?

2) За 1 ч 20 мин поезд прошел 8/9 расстояния между двумя станциями. За какое время он пройдет все расстояние, если все время будет двигаться с одной и той же скоростью?

11. Найдите число, 1/3 которого, уменьшенная на его 1/6, равна 2 2/5.

12. Если к 9/10 числа прибавить 3/5 этого же числа, то получится 7 1/5. Найдите это число.

13. В состав Московского городского совета народных депутатов в 1985 г. избрано 1000 человек.

1) 7/10 числа избранных депутатов имеют возраст свыше 30 лет, а 14/125 имеют возраст до 24 лет. Сколько депутатов моложе 24 лет, сколько имеют возраст от 24 лет до 30 лет и сколько старше 30 лет? 127

2) 127/250 часть депутатов имеют высшее образование, 13 человек—неполное среднее образование. Сколько человек в составе городского совета имеют высшее образование и сколько законченное среднее образование?

§ 65. Сложение и вычитание дробей

Сумма дробей, имеющих общий знаменатель, равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей.

Например:

Отметим, что сумма противоположных дробей равна нулю.

Например,

Разность двух дробей, имеющих общий знаменатель, равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным разности числителей уменьшаемого и вычитаемого.

Например:

Чтобы вычислить сумму или разность произвольных дробей, их приводят к общему положительному знаменателю, а затем применяют правило сложения или вычитания дробей.

Например:

Разность дробей а и b равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому:

В самом деле, приведем дроби к общему знаменателю:

Этими правилами пользуются для упрощения вычислений.

Например,

Можно еще сказать, что разность дробей а и b есть такое число а—b, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое: (а—b) + b = а.

Доказательство. В самом деле, приведем дроби

к общему знаменателю:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите:

7. Найдите х из равенства:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

10. Вычислите:

11. Существует ли несократимая дробь, числитель которой в три раза меньше знаменателя?

12. 1) Как разменять 59 к. пятнадцатью монетами по 3 к. и 5 к.? 2) Можно ли разменять 59 к. шестнадцатью монетами по 3 к. и 5 к.?

13. Скорый поезд проходит расстояние между двумя городами за 8 ч 15 мин, а пассажирский—за 6 ч 36 мин. Через сколько часов встретятся эти поезда, если они выйдут из обоих городов одновременно навстречу друг другу?

14. Пароход проходит некоторое расстояние по течению за 10 ч, а против течения—за 20 ч. За какое время проплывет это расстояние плот?

15. Расстояние между двумя пешеходами, движущимися равномерно в одном направлении, равно 2 км 500 м. Первый пешеход проходит за 2 ч 8 км, а второй проходит 1км за 12 мин. Через сколько часов второй пешеход догонит первого?

16. Чтобы определить глубину подземной полости в пещере, спелеолог бросил вниз камень. Найдите глубину полости, если известно, что в первую секунду камень пролетает 4 9/10 м, а в каждую следующую на 9 4/5 м больше, чем в предыдущую, и известно, что камень коснулся дна полости через 3 с.

17. Расстояние между двумя городами 400 км. Из этих городов навстречу друг другу одновременно выехали две машины и через 5 ч встретились. Определите скорости машин, если одна из них проезжала в час на 12 км больше второй.

18. От Москвы до Курска 537 км. Из Москвы в Курск вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Через 6 ч, в 20ч 55мин, на промежуточной станции первый поезд встретился с поездом, вышедшим из Курска в Москву в 17 ч 55 мин. Определите, с какой скоростью двигался до встречи второй поезд.

19. Пассажир, едущий в железнодорожном вагоне, заметил, что встречный состав прошел мимо окна за 9 с. Определите длину встречного состава, если оба поезда двигались со скоростью 50 км/ч.

§ 66. Произведение и частное дробей

Произвольные дроби перемножаются и делятся по следующим правилам:

т. е. по тем же правилам, что и положительные дроби.

Например:

Отметим равенство, которое легко получается на основании правила деления:

Доказательство.

Таким образом, дробь p/q можно рассматривать как частное от деления ее числителя на знаменатель.

Например:

Чтобы умножить дробь на целое число, надо ее числитель умножить на это число, оставив без изменения знаменатель.

Доказательство.

Например:

Эти вычисления обычно записывают короче:

Чтобы разделить дробь на целое число (не равное нулю), надо умножить ее знаменатель на это число, оставив без изменения числитель.

Доказательство.

Например,

или, короче,

Дроби p/q и q/p, где р и q не равны нулю, называются взаимно обратными. Их произведение равно единице.

Доказательство.

Например, дроби взаимно обратны.

Чтобы разделить одно число на другое, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Например,

Докажем, что для любой дроби

верно равенство

Доказательство. В самом деле, так как

то

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите:

7. Используя равенства

выполните умножение:

10. Докажите, что

11. Запишите частное в виде дроби с положительным знаменателем:

12. Назовите и запишите число, обратное данной дроби:

13. 1) Могут ли взаимно обратные числа быть: а) положительными; б) отрицательными; в) разных знаков? Приведите примеры.

2) Имеет ли 0 обратное число?

3) Докажите свойство взаимно обратных чисел.

14. Представьте смешанную дробь в виде —p/q:

16. Выполните деление:

16. Вычислите:

19. Упростите:

21. Задача-шутка. В записи

первое число означает: +1—«мне нравится», —1 — «мне не нравится»; второе число означает: +1—«хороший поступок», —1—«плохой поступок»; третье число означает: +1—«это хорошо», —1—«это плохо». Мальчик прочитал первое предложение так: «Мне нравится хороший поступок—это хорошо». Прочитайте остальные предложения.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

22. Вычислите:

27. При делении числа а на 14 ученик получил в остатке 15. Правильно ли он выполнил деление? Ответ обосновать.

28. При делении числа на 7 ученик получил остаток 7, а приближенное частное 87. Правильно ли выполнено деление? Ответ обосновать. Можно ли определить делимое?

29. При делении числа а на 7 получили остаток 3, а приближенное частное 10. Какое это число? Ответ обосновать.

30. Остаток от деления числа а на 5 равен 4. Делится ли число а+ 1 на 5?

31. Остаток от деления числа а на 5 равен 1. Делится ли число а—1 на 5?

32. На координатном луче отмечены точками числа а и b. Отметьте на координатном луче число а + b (рис. 5.5).

33. На координатном луче отмечены точками числа а и b. Отметьте на координатном луче число а—b (рис. 5.6).

§ 67. Переместительный и сочетательный законы сложения. Распределительный закон

Дроби а, b, с подчиняются законам:

(2)

Доказательство. Докажем законы (1), (2), (3), опираясь на соответствующие законы для целых чисел.

Пусть a = p/q, b = r/q, c = s/q - данные дроби, имеющие общий положительный знаменатель. Тогда:

Так как разность можно рассматривать как сумму уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому, то распределительный закон верен и для разности.

Рис. 5.5 Рис. 5.6

Например:

или, короче,

Так же, как для целых чисел, для дробей с помощью указанных законов можно доказать правило:

В сумме любого числа слагаемых можно слагаемые переставляв и заключать в скобки любым образом.

Верны также следующие правила:

Если перед скобками стоит знак плюс (+), то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых, заключенных в скобках.

Если перед скобками стоит знак минус (—), то скобки можно опустить, изменив знаки слагаемых, заключенных в скобках, на противоположные.

Например:

В самом деле, если заменить знак плюс (+) на множитель + 1, а знак минус (—) на множитель —1 и применить распределительный закон, то справедливость правил становится очевидной:

Эти правила позволяют упрощать выражения.

Например:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите удобным способом:

2. Запишите выражение в виде суммы:

3. Назовите каждое слагаемое суммы; вычислите:

4. Вычислите удобным способом:

5. Упростите выражение:

6. Примените для вычислений распределительный закон:

7. Вычислите:

8. Найдите х из равенства:

11. Вычислите:

12. 1) Найдите число, 3/7 которого равны 35. 2) Найдите число, 1 1/2 которого равна 2 1/2.

13. 1) Из числа, 3/8 которого равны 1, вычтите число, 4/5 которого равны 2.

2) К числу, 1 1/3 которого равна 3/4, прибавьте число, 3/10 которого равны 3 2/3.

14. За 12 тетрадей и несколько альбомов, число которых составляло 1/3 числа тетрадей, заплатили 1 р. 44 к. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит альбом, если тетрадь дешевле альбома на 28 к.?

15. Для школы-интерната купили 425 комплектов ученической формы для мальчиков и 376 комплектов для девочек на сумму 18491 3/5 р. Сколько стоил один комплект формы для мальчиков и сколько для девочек, если комплект для мальчиков на 2 р. 80 к. дороже, чем для девочек?

16. Докажите, что (a + b):c = a:c + b:c, где а, b, c — произвольные рациональные числа (с≠0).

17. Докажите, что (а—b):с=а:с—b:с, где а, b, с — произвольные рациональные числа (с≠0).

18. От автобусной станции в 7 ч утра по разным маршрутам выходят три автобуса. Первый возвращается на станцию через 3 ч, второй—через 4 ч, а третий — через 6 ч. В котором часу все три автобуса встретятся на станции, если движение будет выполняться строго по графику?

19. По дорожке стадиона бегут четыре спортсмена. Один из них пробегает ее за 20 мин, второй—за 15 мин, третий—за 12 мин, а четвертый—за 10 мин. Если бы они стартовали одновременно, то через сколько минут они снова одновременно пробежали бы мимо линии старта? Сколько раз пробежал бы всю дорожку стадиона каждый из них за это время?

§ 68. Переместительный и сочетательный законы умножения

Произведение дробей подчиняется переместительному или коммутативному закону умножения:

а также сочетательному или ассоциативному закону умножения:

Доказательство. Пусть даны дроби

тогда

Выполнимость переместительного и сочетательного законов умножения для дробей следует из выполнимости этих законов для целых чисел (любых знаков).

На основании переместительного и сочетательного законов можно заключить, что в произведении нескольких дробей можно переставлять множители и заключать их в скобки любым образом. Этими законами широко пользуются для упрощения вычислений.

Например:

Знак произведения зависит от знаков множителей и определяется по тем же правилам, как и для целых чисел:

Модуль произведения, как и для целых чисел, находится умножением модулей множителей. Таким образом, рациональные числа можно умножать по следующим правилам:

Произведение двух чисел одинаковых знаков есть число положительное, равное произведению их модулей.

Произведение двух чисел разных знаков есть число отрицательное, противоположное произведению их модулей.

Например:

Произведение нескольких множителей вычисляют так же: сначала определяют знак произведения, потом перемножают модули множителей.

Например:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Устно выполните действия:

2. Определите знак произведения:

3. Определите знак произведения. Вычислите произведение:

4. 1) Сколько отрицательных множителей должно содержать произведение, чтобы оно было положительным? 2) Сколько отрицательных множителей должно содержать произведение, чтобы оно было отрицательным? Вычислите:

8. 1) Произведение пяти множителей положительно. Можно ли утверждать, что все множители положительны?

2) Произведение четырех множителей положительно. Можно ли утверждать, что все множители положительны?

9. Сформулируйте свойства деления, которые выражаются следующими равенствами: 1) a:b = (a-n):(b-n); 2) а:b = (а:n):(b:n).

10. Вычислите степень, предварительно назвав основание и показатель степени:

11. Запишите:

12. Вычислите, предварительно указав порядок действий:

13. Вычислите:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

15. Вычислите:

16. 1) Какое число надо разделить на —12, чтобы получить 14?

2) Какое число надо разделить на 18, чтобы получить —15?

17. 1) На какое число надо разделить —798, чтобы получить 19?

2) На какое число надо разделить 1081, чтобы получить —23?

18. 1) Какое число надо умножить на —18, чтобы получить —1134?

2) На какое число надо умножить 29, чтобы получить —2639?

19. Вычислите:

21. 1) Пешеход проходит 1 км за 12 1/2 мин. За сколькоминут он пройдет 2/5 км?

2) Часы отстают за сутки на 3 3/5 мин. На сколько они отстанут за 2/3 суток?

22. 1) 1 м ткани стоит 12 1/2 р. Сколько метров ткани можно купить за а) 10 р.; б) 16 р.; в) 20 р.?

2) Пешеход проходит в час 4 2/3 км. За сколько часов он может пройти 32 2/3 км?

23. 1) Для выполнения 3/5 работы необходим 1 ч. Сколько времени нужно для выполнения всей работы?

2) Геолог прошел 7/10 маршрута, а осталось ему пройти 2 1/2 км. Какова длина маршрута?

24. Трое рабочих взяли обязательство изготовить определенное число деталей. Первый рабочий изготовил 3/10 всех деталей, второй — 3/5 остатка, а третий — остальные 84 детали. Сколько деталей изготовил первый рабочий и сколько второй?

25. Три завода получили заказ на изготовление моторов для лифтов нового жилого массива. Первый завод выполнил 13/25 всего заказа, второй — 5/8 остатка, а тре-

ткй—остальные 180 моторов. Сколько моторов изготовили первый и второй заводы отдельно?

26. На кормление 300 голов молодняка и коров, число которых составляет 5/6 общего числа, ежедневно расходуют 5950 кг сена. Сколько сена расходуют в день на одну корову и на одну голову молодняка, если на корову расходуют на 9 1/2 кг больше, чем на одну голову молодняка?

27. За 25 столов и 40 стульев заплатили вместе 504 р. Сколько стоят все столы и сколько все стулья, если стол дороже стула на 10 р. 15 к.?

28. Представить в виде произведения степеней простых чисел 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅...⋅14⋅15.

§ 69. Представление рациональных чисел на координатной оси

На координатной оси можно изображать не только целые числа и положительные дроби, но и отрицательные дроби.

Для того чтобы изобразить на координатной оси отрицательную дробь —p/q (р > 0, q > 0), надо отложить 1/q часть единичного отрезка р раз влево от нулевой точки — в отрицательном направлении.

На рис. 5.7 изображена координатная ось, на которой отмечены точки

и другие точки.

Таким образом, отрицательные дроби изображаются точками на отрицательной полуоси, а положительные дроби— на положительной полуоси.

Точка, изображающая на координатной оси рациональное число я, называется тонкой а или тонкой с координатой а.

Рис. 5.7

Если а и b—рациональные числа и а<b, то

1) точка b находится на координатной оси правее точки а;

2) расстояние между точками а и b равно b—а;

3) точка a+b/2 есть середина отрезка, соединяющего точки а и b (рис. 5.8).

В самом деле, чтобы вычислить координату точки С — середины отрезка AB, надо к числу а прибавить половину длины отрезка AB:

Например, для точек

значит, точка В находится правее точки А на координатной оси.

3) Середина отрезка AB имеет координату;

Точка, изображающая на координатной оси рациональное число, называется рациональной точкой.

Так как для любых рациональных чисел а и b число a+b/2 тоже рациональное, то между любыми рациональными точками на оси существует еще хотя бы одна рациональная точка.

Число a+b/2 называется средним арифметическим чисел а и b. Вообще, средним арифметическим n чисел называется число, равное сумме этих чисел, деленной на n.

В дальнейшем мы узнаем, что кроме рациональных точек на координатной оси есть и другие точки.

Рис. 5.8

УПРАЖНЕНИЯ

1. Изобразите на координатной оси с единичным отрезком, равным 4 см, точки:

2. Выберите удобный для работы единичный отрезок и изобразите на координатной оси точки:

3. На координатной оси изобразите точки:

4. Определите расстояние между точками:

5. Найдите среднее арифметическое чисел:

6. Определите координату середины отрезка AB, если

7. Точка С—середина отрезка AВ. Определите координату точки В, если

8. Найдите среднее арифметическое чисел:

9. Определите координаты точек, делящих отрезок AB на четыре равные части:

10. 1) Среднее арифметическое 4 1/3 и числа а равно 2 1/2.

Найдите число а. 2) Среднее арифметическое числа а и —1/3 равно 5/6. Найдите число а.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

11. Вычислите:

12. 1) Число 4 3/5 увеличили в 2 1/2 раза. На сколько увеличили число 4 3/5?

2) Число 5 7/12 увеличили на 11 1/6. Во сколько раз увеличили число 5 7/12?

13. 1) Число 17 5/9 уменьшили в 4 7/18 раза. На сколько уменьшили число 17 5/9 ?

2) Число 13 1/4 уменьшили на 6 4/7. Во сколько раз уменьшили число 13 1/7?

14. Найдите два числа, сумма которых равна 4, а разность 2/3.

15. Найдите два числа, сумма которых равна 5 3/5, а разность 1 1/5.

16. 1) Одно число в 2 раза больше другого, а их сумма равна 6 3/10. Найдите эти числа.

2) Одно число в 3 раза больше другого, а их разность равна 3 1/7. Найдите эти числа.

17. 1) Найдите три числа, из которых второе больше первого в 2 раза, а третье больше первого в 3 раза.

Сумма трех чисел равна 7 1/5.

2) Найдите три числа, из которых второе больше первого в 2 раза, а третье больше второго в 3 раза.

Сумма трех чисел равна 7 1/5.

18. Найдите х из равенства:

19. Устно сравните число с нулем, а затем упростите:

20. Определите, какое из выражений больше (постарайтесь выполнить задание, не выполняя вычислений):

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ V

1. Сформулируйте основное свойство дроби.

2. Являются ли целые числа рациональными?

3. Являются ли натуральные числа и число нуль рациональными?

4. Любое ли рациональное число является целым?

5. Какие дроби называются положительными?

6. Какие дроби называются отрицательными?

7. Имеются ли дроби не положительные и не отрицательные?

8. Какие дроби называются противоположными?

9. Какая дробь противоположна сама себе?

10. Что называется модулем дроби?

11. Сформулируйте правило сравнения двух дробей с общим знаменателем. Какое ограничение накладывается на знаменатель в этом правиле?

12. Объясните, как сложить, вычесть дроби с равными знаменателями.

13. Объясните, как сложить, вычесть дроби с разными знаменателями.

14. По какому правилу умножают дроби?

15. Как умножить дробь на целое число?

16. По какому правилу делят дроби?

17. Как разделить дробь на целое число?

18. Какие дроби называются взаимно обратными? Каким свойством обладают взаимно обратные дроби?

19. Сформулируйте правило деления дробей.

20. Запишите переместительный, сочетательный законы сложения и распределительный закон для дробей a, b и с.

21. Сформулируйте переместительный и сочетательный законы умножения и запишите их для дробей a, b и с.

22. Как определить расстояние между рациональными точками на координатной оси, если координаты точек известны?

23. Как вычислить координату середины отрезка, если известны координаты концов отрезка?

24. Сколько на координатной оси существует рациональных точек, расположенных между любыми двумя рациональными точками?

25. Что называется средним арифметическим двух чисел? Приведите примеры.

26. Что называется средним арифметическим n чисел? Приведите примеры для n = 3, n = 4.

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1) Какое число надо умножить на —7/8, чтобы получить

2) Какое число надо умножить на 28, чтобы получить

2. 1) Какое число надо разделить на 6/11, чтобы получить 2) Какое число надо разделить на —12, чтобы получить

3. 1) Какое число надо умножить на -2 1/4, чтобы получить

2) Какое число надо разделить на —7 1/5, чтобы получить

4. Докажите, что

5. Вычислите:

7. Наибольшее количество соли, которое растворяется в воде, составляет 9/25 веса воды. Сколько килограммов соли растворится в 2/3 ведра воды, если ведро воды весит 12 кг?

8. Рабочий за час выполнил 3/8 порученной работы. За сколько часов он может выполнить всю работу?

9. Бассейн наполняется за час до 5/17 объема. За какое время он наполнится весь?

10. Окружность колеса 14 2/3 дм, а его диаметр (отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр) равен 4 2/3 дм. Во сколько раз окружность длиннее диаметра?

11. В 1975 г. всеми видами городского транспорта г. Москвы за 1 день перевозилось 14 1/2 млн. пассажиров, а в 1984 г. за 1 день в 1 3/29 раза больше. Сколько пассажиров перевозил городской транспорт г. Москвы за 1 день в 1984 г.?

12*. Три швейные мастерские получили ткань одинакового качества. Первая мастерская получила 1/3 всего количества ткани, отпущенного трем мастерским. Вторая мастерская получила в 1 1/3 раза больше ткани, чем третья мастерская. Первая мастерская получила на 20 м ткани больше, чем третья. Первая мастерская сшила из полученной ткани 14 рубашек и 28 платьев. На одно платье пошло на 4/5 м больше, чем на одну рубашку. Сколько метров ткани пошло на 1 рубашку и 1 платье в отдельности?

13*. Производительность самоходной косилки при работе на первой скорости 3 га в час, на второй 4 7/10 га в час, на третьей 6 3/10 га в час. Определите площадь, скошенную косилкой за 10 ч. работы, если время ее работы на второй скорости составило времени 4/5 работы на первой, а на третьей 1/4 того, что на второй.

14. Головоломка. Вырежьте из цветной бумаги четырех цветов по 4 равных квадрата каждого цвета. Сложите из этих квадратов квадрат 4×4 так, чтобы одинаковый цвет не повторялся:

1) ни в строчках, ни в столбцах;

2) ни в строчках, ни в столбцах, ни в диагоналях.

15. Пронумеруйте квадраты каждого цвета (упр. 14) числами 1, 2, 3, 4. Сложите квадрат 4×4 так, чтобы и цифры, и цвета не повторялись ни в строчках, ни в столбцах, ни в диагоналях.

16. В коробке лежат пять пилоток—две синие и три красные. Учитель вызывает к доске трех учеников, которые становятся лицом к классу и закрывают глаза. Учитель надевает каждому на голову одну пилотку, а остальные убирает в коробку. Ученики открывают глаза, каждый видит пилотки своих товарищей, но не видит своей. Может ли кто-нибудь из них верно определить цвет своей пилотки? Рассмотрите три случая:

1) надеты 2 синие и 1 красная пилотка;

2) надеты 1 синяя и 2 красные пилотки;

3) надеты 3 красные пилотки.

17. В первенстве по футболу принимают участие 8 команд, каждая с каждой играют по одному разу. За выигрыш присуждают 2 очка, за ничью 1 очко, за проигрыш 0 очков. Места определяются по числу очков. Какая может быть наименьшая разница очков между первым и последним местом, если первое место заняла одна команда и последнее место заняла одна команда?

18. Четыре ученика: Витя, Петя, Юра и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы: а) Петя —второе, Витя— третье; б) Сергей —второе, Петя —первое; в) Юра—второе, Витя — четвертое. Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.

Глава VI. ПРОПОРЦИИ

§ 70. Буквенные выражения

Если в числовом выражении некоторые (или все) числа заменить буквами (разные числа—разными буквами), то получится буквенное выражение.

Мы уже пользовались буквенными выражениями. Произвольные натуральные числа мы обозначали буквами а, b,..., произвольное рациональное число мы обозначали p/q, где р и q—целые числа (q≠0).

Приведем примеры других буквенных выражений:

1) любое четное положительное число можно записать в виде буквенного выражения 2 -п, где n—натуральное число;

2) любое нечетное положительное число можно записать в виде буквенного выражения 2-п—1, где n—натуральное число.

Если в буквенном выражении 3⋅а—7 вместо а подставить число, например, 3, то получится числовое выражение 3⋅3—7, равное числу 2. Это число называется значением буквенного выражения 3⋅а—7 при а = 3.

Пример. Найдем значение буквенного выражения

Решение.

В буквенных выражениях обычно не пишут знак умножения (⋅) между числами и буквами. Поэтому считают, например, что 8⋅у=8у.

Буквенные выражения широко применяют для записи формул. Формула—это запись математических и других 8аконов с помощью чисел, букв и специальных знаков. Некоторыми формулами мы уже пользовались. Например:

1) Р = 2(а + b)—формула периметра прямоугольника, где а и b—стороны прямоугольника;

2) S = ab—формула площади прямоугольника, где а и b—стороны прямоугольника;

3)V = abc—формула объема прямоугольного параллелепипеда, где a, b и с—его стороны (длина, ширина, высота);

4) s = vt—формула пути равномерного движения по прямой, где V—скорость, t—время движения;

5) S = a2 и Р = 4а—формулы площади и периметра квадрата, где а—сторона квадрата.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите число, равное числовому выражению:

2. В числовом выражении

замените число 5 буквой а. Запишите полученное буквенное выражение.

3. Приведите два примера буквенных выражений.

4. Подставьте вместо буквы а в буквенное выражение а + 3 числа:

5. Устно найдите значение буквенного выражения 7 + х при x, равном:

6. Выражение а+ 2 представляет собой сумму чисел а и 2, выражение 3—х—разность чисел 3 и х. Прочитайте буквенное выражение:

1) 5 + а; 2) 7—а; 3) 4-х;

4) а+ 12; 5) 2а; 6) 7b;

7) — 3а; 8) —г, 9) а+ (— 3).

7. В произведении 3x: число 3 называют числовым множителем или коэффициентом, а число х—буквенным

множителем. Назовите коэффициент и буквенный множитель в произведении:

8. Вычислите значение буквенного выражения.

Пример. 10—4х при х =— 5. Решение.

11. Не перенося в тетрадь таблицу, найдите значение каждого буквенного выражения при всех х, указанных в первой строке таблицы:

12. Верно ли, что значение буквенного выражения (—а) отрицательно при любом а?

13. При каких а и b верно равенство:

1) а + b = 0; 2) a⋅b=1;3) а⋅b = а; 4) a⋅b = —1?

14. Что означает запись 2х и x2? Как можно записать эти буквенные выражения по-другому? Как можно назвать (прочитать) эти буквенные выражения?

15. Вычислите значение x2 при х, равном:

1) 2; 2) 5; 3) —1; 4) —2; 5) —5; 6) 7.

16. Перенесите таблицу в тетрадь и заполните ее:

17. Вычислите объем куба, ребро которого равно:

18. Стороны прямоугольника а и b. Запишите формулу периметра прямоугольника. Вычислите периметр при

19. Стороны прямоугольника а и b. Запишите формулу площади прямоугольника. Вычислите площадь при

20. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда а, b и с. Запишите формулу объема прямоугольного параллелепипеда. Вычислите объем при

21. Сторона квадрата а. Запишите формулу периметра квадрата, формулу площади квадрата. Вычислите периметр и площадь при

Составьте буквенное выражение по условию задачи (№ 22—29):

22. На одной полке х книг, на другой на 15 книг больше. Каким буквенным выражением можно обозначить число книг на второй полке? Каким буквенным выражением можно обозначить число книг на двух полках вместе?

23. В одной пачке х тетрадей, а в другой на 11 тетрадей меньше. Сколько тетрадей в двух пачках вместе (каким буквенным выражением можно обозначить это число)?

24. Сестра нашла х белых грибов, а брат в 3 раза больше. Сколько белых грибов нашел брат? Сколько белых грибов нашли брат и сестра вместе?

25. Одно число в четыре раза больше другого. Обозначив одно из чисел (какое лучше?) буквой и выразив с помощью этой буквы другое число, найдите сумму и разность этих чисел.

26. В вазе лежало 15 яблок. Маша угостила трех подружек, дав каждой одинаковое число яблок (будем считать по x яблок). Сколько яблок осталось в вазе?

27. Одна сторона прямоугольника равна 5 см, а другая неизвестна. Запишите формулу для вычисления:

1) периметра прямоугольника;

2) площади прямоугольника.

28. Пешеход идет со скоростью 4 км/ч. Какой путь он пройдет за х часов? Вычислите путь при равном 1, 2, 3, 4.

29. Расстояние между селами 15 км. Пешеход идет со скоростью 4 км/ч. Сколько километров ему останется пройти через х часов? Вычислите значение полученного выражения при х, равном 1, 2, 3.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

30. Вычислите:

31. 1) Может ли дробь, у которой числитель меньше знаменателя, быть равной дроби, у которой числитель больше знаменателя? 2) Может ли дробь, у которой числитель больше знаменателя, быть меньше 1?

32. Задача-шутка (решите устно).

1) Почтовая карета, запряженная тройкой лошадей, проехала 30 верст. Сколько верст проскакала каждая лошадь?

2) Каждое колесо четырехколесного автомобиля проехало 200 км. Какой путь проехал автомобиль?

33. Автотурист отправился в путешествие на четырехколесном автомобиле с одним запасным колесом. По дороге он менял колеса с таким расчетом, чтобы они изнашивались равномерно. В итоге каждое колесо проехало один и тот же путь.

Определите:

1) сколько километров проехало каждое колесо, если автомобиль проехал 4000 км;

2) сколько километров проехал автомобиль, если каждое из пяти колес проехало 4000 км?

34. Один автолюбитель рассказывал: «Я отправился путешествовать на «Москвиче», имея одно запасное колесо. Время от времени я заменял колеса, и оказалось, что 1-е колесо проехало 1000 км, 2-е—900 км, 3-е—800 км, 4-е—700 км и 5-е (запасное)—600 км». Сколько километров проехал автомобилист?

35. Может ли автомобилист так проводить замену колес, чтобы после поездки оказалось, что 1-е колесо проехало 600 км, 2-е—800 км, 3-е— 1000 км, 4-е—1200 км и 5-е (запасное) —1400 км?

§ 71. Подобные слагаемые

В буквенных выражениях буквы обозначают числа. Поэтому для буквенных выражений справедливы равенства:

С помощью этих равенств можно упрощать буквенные выражения. Например, 7х+3х—5x=(7 + 3—5)x = 5x.

Слагаемые 7х, 3x, —5х отличаются только числовыми множителями. Такие слагаемые называются подобными. Пользуясь распределительным законом, можно упрощать выражения, содержащие подобные слагаемые. Например, упростим выражения:

Такое упрощение выражений называется приведением подобных слагаемых.

В простых случаях промежуточные вычисления опускают, например, пишут:

При приведении нескольких (больше двух) подобных слагаемых полезно сначала сгруппировать отдельно те, перед которыми стоит знак плюс (+), и отдельно те, перед которыми стоит знак минус (—). Например, упростим выражение 2а—4а—а+11а—6а—8а + 3а:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Запишите все произведения, которые получаются изменением порядка множителей:

2. Упростите запись буквенного выражения:

3. Запишите число, противоположное:

4. Запишите сумму в виде произведения:

5. Запишите произведение в виде степени; назовите основание и показатель степени:

6. Устно укажите коэффициенты в произведении:

7. Запишите:

1) произведение чисел а и 3;

2) произведение чисел х и у;

3) квадрат числа t; 4) удвоенное число b.

8. Укажите слагаемые, отличающиеся только коэффициентом. Как называются такие слагаемые?

9. Укажите подобные слагаемые и приведите их. Например,

15. Упростите буквенное выражение и найдите его значение:

16. Упростите буквенное выражение:

19. Приведите подобные слагаемые:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

22. Вычислите:

23. В классе х мальчиков. Запишите буквенное выражение, показывающее, что в классе девочек на 7 больше, чем мальчиков.

24. Миша прочитал несколько страниц книги. Ему осталось прочитать в три раза больше, чем он уже прочитал. Запишите с помощью буквенного выражения, сколько страниц в книге, если число прочитанных страниц обозначить буквой х.

25. Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой. Обозначив одну из сторон буквой, выразите периметр прямоугольника буквенным выражением.

26. Одна сторона прямоугольника в 3 раза больше другой. Обозначив одну из сторон буквой (какую лучше?),

выразите периметр прямоугольника буквенным выражением.

27. Одно число в 5 раз меньше другого. На сколько это число меньше другого? Какова сумма этих чисел? В качестве ответа на вопрос задачи приведите буквенные выражения, в которых буквой обозначено одно из чисел (какое удобнее?).

28. Ученик задумал число—обозначим его буквой увеличил задуманное число на 5, результат увеличил в 4 раза. Каким буквенным выражением можно записать полученное число?

29. Если любое число умножить на 5, прибавить к результату 3, полученное число увеличить в 2 раза и из результата вычесть 6, то полученное число в 10 раз больше первоначального. Разгадайте секрет этого числового фокуса.

30. Старинная задача. Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались подмоченными и купец продал их на 2 рубля дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 рубля дороже за 1 фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца.

31. Скорость моторной лодки 15 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. На сколько скорость лодки по течению реки больше скорости лодки против течения реки? Какое условие в задаче лишнее?

32. Докажите, что

33. Докажите, что

34. Докажите, что сумма двух четных чисел есть число четное. Для доказательства используйте формулу четного числа.

35. 1) Докажите, что сумма двух нечетных чисел есть число четное.

2) Докажите, что сумма четного и нечетного числа есть число нечетное.

36. Записано четыре числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 одинаковых числа?

87. Можно ли представить единицу в виде суммы

где а, b, с, d—нечетные натуральные числа?

§ 72. Уравнения

Если известно, что х+5 равно 8, и требуется узнать, какое число обозначено буквой х, то говорят, что надо решить уравнение x+5 = 8.

Неизвестное число, обращающее уравнение в числовое равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение—значит найти его корни. Поэтому корень уравнения иногда называют решением уравнения.

Решим уравнение x+5 = 8. Слева записано число x+5, а справа—равное ему число 8. Чтобы равенство не изменилось, уменьшим на 5 не только левую, но и правую часть уравнения, тогда х = 8—5, т. е. х = 3.

Обычно, вместо того чтобы говорить «уменьшим обе части уравнения на число», говорят «перенесем число с противоположным знаком в другую часть уравнения».

Пример. Решить уравнение х—2 = 5.

Решение. Перенесем —2 с противоположным знаком в правую часть уравнения: x = 5 + 2, х = 7.

Ответ. 7.

Этим приемом пользуются, когда в какой-либо части уравнения есть сумма или разность числа и буквы (буквенного выражения). Можно сформулировать этот прием так: «перенесем слагаемые, содержащие неизвестное число, в одну часть уравнения, а все известные числа — в другую часть уравнения».

Пример. Решить уравнение 3х=4.

Решение. Произведение 3 и х равно 4, значит,

Ответ.

Это рассуждение помогает решать уравнения, в одной части которых произведение числа и буквы (буквенного множителя), а в другой части уравнений известные числа.

В сложных случаях, когда в частях уравнения много слагаемых, следует сначала перенести слагаемые с неизвестным числом в одну часть, а известные числа—в другую. После этого останется упростить обе части и решить получившееся уже несложное уравнение.

Пример. Решить уравнение

Решение.

1) Перенесем 3 с противоположным знаком в другую часть уравнения:

2) Так как произведение —1/2 и x равно 2, то

Ответ. —4.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Что называется корнем уравнения?

2. Является ли число 2 корнем уравнения:

3. Решите уравнение:

8. Решите уравнение. Пример. Решение.

Ответ.

12. Решите уравнение. Пример.

Решение.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

16. Вычислите:

17. Подряд записаны 6 натуральных чисел так, что любые 3 соседних числа имеют четную сумму. Докажите, что сумма 6 чисел тоже четная.

18. Докажите, что если взять 7 натуральных чисел таких, что любые 3 соседних числа имеют сумму четную, то сумма всех 7 чисел может быть как четным, так и нечетным числом.

19. Сколькими различными способами могут чередоваться четные и нечетные числа в задаче № 17? Для краткости записи можно обозначить четные числа буквой «ч», а нечетные — буквой «н».

§ 73. Решение задач с помощью уравнений

С помощью уравнений можно решать многие задачи. Для этого нужно:

1) неизвестную величину обозначить буквой;

2) используя условия задачи, составить уравнение:

3) решить полученное уравнение, т. е. найти неизвестную величину;

4) ответить на вопрос задачи.

Пример. Ученик задумал число, увеличил его в 2 раза, прибавил 3 и получил 7. Какое число задумал ученик?

Решение. Пусть ученик задумал число х. Тогда 2x + 3 = 7, 2x = 7—3, 2х = 4, х = 4:2, х=2. Ученик задумал число 2.

Ответ. 2.

Пример. В классе 87 учеников, причем мальчиков на 5 больше, чем девочек. Сколько девочек в классе?

Решение. Пусть в классе х девочек. Тогда мальчиков x+5. Так как в классе 37 учеников, то х+(х+5)=37, х + x + 5 = 37, 2x = 37 — 5, 2х = 32, х = 32:2= 16. В классе 16 девочек.

Ответ. 16.

Пример. Петя и Таня имели поровну денег на покупку ручек. Петя купил 2 ручки, и у него осталось 18 к., а Таня купила 3 ручки, и у нее осталось 3 к. Сколько стоит одна ручка?

Решение. Пусть стоимость ручки х копеек. Тогда у Пети было 2х+ 18 копеек, а у Тани 3x+3 копеек. Так как у ребят по условию задачи было поровну денег, можно

составить уравнение:

Ответ. 15 к.

Пример. Найти число, 4/7 которого равны 5. Решение. Пусть неизвестное число х. Тогда

Ответ.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Обозначив неизвестное число буквой, составьте уравнение по условию задачи:

1) Задумали число, прибавили к нему 8 и получили 33.

2) Задумали число, умножили его на 4 и получили 52.

3) Задумали число, умножили его на 7, прибавили к произведению 12 и получили 26.

4) Задумали число, вычли из него 4, умножили разность на 5 и получили 15.

2. 1) Одно число на 6 больше другого, а их сумма равна 18. Составьте по условию задачи уравнение, обозначив буквой: а) первое число; б) второе число. 2) Одно число на 4 меньше другого, а их сумма равна 12. Составьте уравнение по условию задачи, обозначив буквой:

а) первое число; б) второе число.

3. Составьте уравнение по условию задачи и решите его:

1) Одно число в 5 раз меньше другого, а их сумма равна 42. Какое число, первое или второе, удобнее обозначить буквой? Почему?

2) Одно число в 3 раза больше другого, а их сумма равна 28. Какое число, первое или второе, удобнее обозначить буквой? Почему?

4. 1) Одно число в 4 раза больше другого, а их разность равна 39. Найдите эти числа. 2) Одно число в 8 раз меньше другого, а их разность равна 54. Найдите эти числа.

5. 1) На двух полках стоят 93 книги, причем на одной в два раза меньше книг, чем на другой. Сколько книг на каждой полке? 2) Брат нашел в 3 раза больше белых грибов, чем сестра. Всего они нашли 24 белых гриба. Сколько нашел каждый?

6. 1) В одной пачке тетрадей на 11 тетрадей больше, чем во второй, а всего в двух пачках 73 тетради. Сколько тетрадей в каждой пачке?

2) Одна автомашина за рейс перевезла на 1 1/2 т груза меньше, чем другая. Обе машины за рейс перевезли 7 т груза. Сколько тонн груза перевезла каждая автомашина за рейс?

7. Отрезок длиной 12 см разделили на 2 части так, что один из получившихся отрезков больше другого:

1) в 2 раза; 2) в 3 раза.

Найдите длину каждого из получившихся отрезков.

8. Второе звено собрало в 3 раза больше макулатуры, чем первое. Всего оба звена собрали 72 кг макулатуры. Сколько собрало каждое звено?

9. Первая глава книги содержит в 3 раза меньше страниц, чем две другие вместе. Всего в книге 276 страниц. Сколько страниц содержит первая глава?

10. Ученик задумал число, увеличил его в 2 раза, к результату прибавил 7 и получил 121. Какое число он задумал?

11. Одно число в 4 раза больше другого. Найдите эти числа, если

1) их сумма равна 45;

2) их разность равна 45.

12. Число увеличили в 3 раза; при этом оно увеличилось на 30. Найдите это число.

13. В бидоне было 3 л кваса. Из него отлили в 5 раз меньше, чем осталось. Сколько литров кваса отлили и сколько осталось в бидоне?

14. На трех полках было 87 книг. На первой полке на 5 книг больше, чем на второй, а на третьей на 13 книг больше, чем на второй. Сколько книг было на каждой полке?

15. За кресло, стул и диван заплатили 390 руб. Сколько стоит каждая вещь, если кресло вчетверо дешевле дивана, а стул в пять раз дешевле кресла?

16. В двух пробирках налито по 45 см3 уксусной кислоты. Необходимо распределить эту кислоту так, чтобы в одной пробирке было в 2 раза меньше кислоты, чем в другой. Сколько кислоты нужно перелить для этого из одной пробирки в другую?

17. Мост длиной 324 м имеет четыре пролета, из которых два в два раза короче двух других, равных между собой. Определите длины пролетов моста.

18. В кассе магазина оказалось 100 трехрублевых и пятирублевых банкнот—всего на сумму 445 р. Сколько было трехрублевых банкнот в кассе?

19. Натуралист собрал в коробку пауков и жуков — всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всего ног в коробке, то окажется 54 ноги. Сколько в коробке пауков и сколько жуков? (У жука 6 ног, у паука 8 ног.)

20. Вычислите устно:

21. Найдите наименьшее число, которое делится на

22. Найдите наименьшее число, которое при делении

23. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, а при делении на 3 дает в остатке 2. Найдите 5 таких чисел.

24. Определите по рис. 6.1 массу 1 пакета муки.

Рис. 6.1

25. Кирпич весит столько же, сколько весят полкирпича и гиря в 1 кг. Сколько весит кирпич (рис. 6.2)?

Рис. 6.2

26. Рыба весит 5 кг и еще полрыбы. Сколько весит рыба?

27. Книга стоит 1 р. и еще половину стоимости книги. Сколько стоит книга?

28. За выполненную работу члены бригады получила поровну—по 120 р. Если бы в бригаде было на 2 че-

ловека меньше, то каждый получил бы на 40 р. больше. Сколько человек в бригаде?

29. Пешеход прошел расстояние между двумя селами со скоростью 4 км/ч. Если бы он проходил в час на 1 км больше, то ему потребовалось бы на тот же путь на 1 ч меньше. Сколько времени шел пешеход и какой путь он прошел?

30. Поезд проехал расстояние между двумя городами со скоростью 80 км/ч. Если бы скорость была на 20 км/ч меньше, то потребовалось бы на эту поездку на 1 ч больше. Найдите расстояние между городами.

81. Головку сыра требуется разрезать на 8 равных частей. Какое самое маленькое число прямых разрезов необходимо сделать для этого, если перекладывать части между разрезами не разрешается (рис. 6.3)?

32. Если распилить куб с ребром 1 м на кубики с ребром 1 дм и сложить их в ряд, то какой длины будет этот ряд?

33. Если распилить куб с ребром 1 м на кубики с ребром 1 см и сложить их в ряд, то какой длины будет этот ряд?

34. На рис. 6.4 изображены треугольники и четырехугольники—всего 15. У них 53 угла. Сколько треугольников и сколько четырехугольников на рисунке?

35. Один человек спросил своего приятеля:

— Сколько лет твоему сыну?

— Если к возрасту моего сына прибавить столько же, да еще половину, то будет 10 лет.

Сколько лет сыну?

36. Одного человека спросили:

— Сколько Вам лет? На что он ответил:

— Когда я проживу еще половину, да треть, да четверть моих теперешних лет, тогда мне будет 100 лет. Сколько лет этому человеку?

Рис. 6.3 Рис. 6.4

37. Старинная задача. Летит стая гусей и навстречу ей один гусь.

— Здравствуйте, сто гусей!—сказал гусь.

— Нас не сто, — ответил вожак стаи. — Вот если бы нас было еще столько, да полстолько, да четверть столько, да еще один гусь—вот тогда бы нас было сто гусей.

Сколько гусей было в стае?

§ 74. Отношение и пропорция

Частное двух не равных нулю чисел а и b называют еще отношением а к b. Числа а и b называют членами отношения. Например, 8:2 или 8/2 есть отношение 8 к 2.

Равенство двух отношений называется пропорцией. Пропорцию

читают так: «отношение а к b равно отношению с к d» или «а относится к b, как с относится к d».

Числа a и d называют крайними членами пропорции (рис. 6.5), а числа b и с—средними членами пропорции:

Эти названия условны—достаточно записать пропорцию по-другому (справа налево): c:d = a:b, и крайние члены станут средними, а средние — крайними. Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

Рис. 6.5

В самом деле, умножим равенство a/b = c/d на b⋅d, получим

Верно и обратное рассуждение: если разделить равенство

то получим равенство

Если один из членов пропорции неизвестен и необходимо его определить, то говорят, что нужно решить пропорцию.

Пример. Решить пропорцию

Решение. Умножим равенство на 12; получим

Ответ. 21.

Пример. Решить пропорцию

Решение. Заменим пропорцию

на пропорцию

Умножим равенство на 30; получим

Ответ.

*) Из пропорции a/b = c/d следует пропорция b/a=d/c, потому что если две дроби равны, то и обратные им дроби равны.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Используя слово «отношение», прочитайте запись:

2. Запишите отношение:

1) 7 к 3; 2) 5 к 9); 3) 12 к 4; 4) 10 к 1000.

3. Найдите отношение:

4. Запишите в виде пропорции:

1) 2 относится к 3, как 10 относится к 15;

2) 1/3 относится к 6, как 1 относится к 18;

3) 3 во столько же раз больше 2, во сколько раз 6 больше 4;

5. Можно ли составить пропорцию из отношений:

6. Верно ли равенство:

7. Можно ли составить пропорцию из следующих чисел:

8. К данной тройке чисел подберите такое четвертое число, чтобы эти числа могли образовать пропорцию. Сколько решений имеет задача?

9. Останется ли верной пропорция, если

1) оба крайних члена умножить на одно и то же число;

2) оба средних члена умножить на одно и то же число;

3) оба крайних члена разделить на одно и то же число, а оба средних члена умножить на одно и то же число?

10. Замените отношение дробных чисел равным ему отношением целых чисел:

11. Равенство произведений замените пропорцией:

12. Из данной пропорции получите новую, поменяв местами крайние члены; средние члены:

13. Решите пропорцию:

19. Докажите, что если

то

20. Докажите, что если

то

21. Решите пропорцию:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

23. Вычислите наиболее простым способом:

24. Сумма и произведение четырех натуральных чисел равны 8. Что это за числа?

25. Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение этих чисел тоже было равно 203?

26. Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя им дважды по одной и той же линии, нарисуйте изображенную на рис. 6.6 фигуру.

Рис. 6.6

27. В совхозе под картофель занята площадь, в 4 раза большая, чем под капусту. Под капусту занято на 36 га меньше, чем под картофель. Какая площадь занята под картофель?

28. Длина реки в 3 раза больше, чем длина ее притока. Приток короче реки на 178 км. Какова длина притока и реки?

29. Слон в 5 раз тяжелее белого медведя. Белый медведь на 3 т 600 кг легче слона. Сколько весит каждое животное?

30. Известно, что скорость белого медведя составляет 2/7 скорости слона. Слон может бежать со скоростью, на 25 км/ч большей, чем белый медведь. С какой скоростью может бежать белый медведь и с какой скоростью может бежать слон?

31. Чтобы выполнить план, цех должен был ежедневно изготовлять 30 приборов. Повысив производительность труда, рабочие цеха стали изготовлять по 34 прибора ежедневно и поэтому выполнили план на 2 дня раньше срока. Сколько приборов нужно было изготовить по плану и за сколько дней?

32. Проехав половину всего пути, пассажир заснул. Когда он проснулся, то оказалось, что ему осталось проехать половину того расстояния, которое он проехал спящим. Какую часть всего пути пассажир проехал спящим?

33. Стороны прямоугольника 3 см и 5 см. Увеличим их в 2 раза — площадь увеличится в 4 раза: S = 3⋅5 = 15 (см2), S1 = (2 ⋅ 3). (2 ⋅ 5) = 4 ⋅ (3 ⋅ 5)=4 S. Верно ли для любого прямоугольника, что если стороны его увеличить в 2 раза, то площадь увеличится в 4 раза?

34. Папа решил выложить на кухне часть стены (на рис. 6.7 она отмечена штриховкой) керамической плиткой. Внимательно рассмотрите рисунок и определите, сколько понадобится плиток, если они имеют форму квадрата со стороной 15 см.

35. Завод получил заказ на изготовление некоторого числа машин к определенному сроку. Если завод будет выпускать ежедневно по 250 машин, то к сроку будет изготовлено на 1000 машин меньше, чем заказано. Если же завод будет ежедневно выпускать по 320 машин, то к сроку будет изготовлено на 400 машин больше, чем заказано. Сколько заказано машин и каков срок выполнения заказа?

36. Поезд выходит из города А и через 10 ч 40 мин приходит в город В. Если бы поезд проходил в час на 10 км меньше, то прибыл бы в город В на 2 ч 8 мин позже. Определите расстояние между городами А и В и скорость поезда.

37. Переднее колесо кареты в одном из залов музея имеет в окружности 35 дм, а заднее—44 дм. На расстоянии в некоторое число километров переднее колесо кареты

Рис. 6.7

сделало бы на 387 оборотов больше, чем заднее. На каком именно расстоянии?

38. Мальчику через 2 года будет вдвое больше лет, чем ему было два года назад. Девочка через три года будет втрое старше, чем три года назад. Кто из них старше?

39. В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставьте числа от 1 до 9 так, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом вертикальном столбце, в каждом горизонтальном ряду, а также по двум диагоналям (отрезкам, соединяющим вершины квадрата, не принадлежащие одной стороне), были равны.

§ 75. Прямая и обратная пропорциональность

Частное двух величин также называется отношением. Отношение величин одного наименования (длин, скоростей, стоимостей и т. д.) есть число.

Например,

Отношение величин разных наименований (путь и скорость, стоимость и количество товара и т. д.) определяет новую величину.

Например,

Величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Пример. Пройденный путь и время движения прямо пропорциональны при постоянной скорости движения. Если машина, двигаясь равномерно, за 2 ч проедет 120 км, то за 6 ч она проедет 360 км—6 ч во столько раз больше 2 ч, во сколько раз 360 км больше 120 км. Поэтому можно записать пропорцию:

Величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Пример. Скорость и время равномерного движения обратно пропорциональны на одном участке пути. Если

участок пути машина проедет со скоростью 50 км/ч за 4 ч, то со скоростью 25 км/ч — за 8 ч, так как уменьшение скорости в два раза влечет увеличение времени прохождения пути в два раза.

Задача 1. Какой путь проедет поезд, двигаясь равномерно, за 15 с, если 60 м он проехал за 2 с?

Решение. 1) Пусть x—путь, который проехал поезд за 15 с. Тогда

2) Составим и решим пропорцию:

Ответ. 450 м.

Одинаково направленными стрелками мы отметили, что величины прямо пропорциональны: чем больше время движения, тем больше пройденный путь.

Задача 2. За 7ч работы токарь изготовил 252 детали. Сколько деталей изготавливал токарь за 15 мин, если производительность его труда была постоянной?

Решение. 1) Выразим время работы в одних единицах измерения:

2) Пусть x—количество деталей, которые токарь изготавливал каждые 15 мин. Тогда

3) Составим и решим пропорцию:

Ответ. 9 деталей.

При решении мы выразили величины одного наименования— время с помощью одной единицы измерения—часа. В ответе записано число деталей, которое изготавливал токарь каждые 15 мин.

Задача 3. Пассажирский поезд, скорость которого 45 км/ч, затратил на некоторый участок пути 4 ч. За сколько часов пройдет этот же участок пути товарный поезд, если его скорость 40 км/ч?

Решение. 1) Пусть х ч— время, за которое товарный поезд пройдет участок пути. Тогда

2) Составим и решим пропорцию:

Записывая коротко условия задачи, противоположно направленными стрелками мы отметили, что величины обратно пропорциональны: чем меньше скорость, тем больше время движения.

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1) Объясните, почему при равномерном движении со скоростью 5 км/ч путь и время движения прямо пропорциональны. 2) Объясните, почему при движении на определенном участке пути скорость и время равномерного движения обратно пропорциональны.

2. Какая зависимость существует между скоростью и расстоянием, если время движения постоянно?

3. При равномерном движении поезд за 2 с проехал 60 м.

1) За какое время поезд проедет 100 м?

2) Сколько метров проедет поезд за 15 с?

4. За 4 м ткани заплатили 18 р.

1) Сколько стоят 14 м этой ткани?

2) Сколько метров ткани можно купить на 27 р.?

5. Из 5 кг яблок получается 4 кг яблочного пюре.

1) Сколько пюре получится из 13 кг яблок?

2) Сколько килограммов яблок следует взять для получения 15 кг пюре?

6. Чтобы покрасить стены дома за 2 дня, требуется 20 маляров.

1) За сколько дней эту работу выполнят 4 маляра?

2) Сколько маляров потребуется, чтобы покрасить стены дома за 5 дней?

7. Ширина прямоугольника 15 см, а его площадь 300 см2. Какова длина прямоугольника?

Какова ширина второго прямоугольника, имеющего ту же длину, но площадь которого равна 400 см2?

8. Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого 20 см, а второго 25 см. Ширина первого 10 см. Найдите ширину второго прямоугольника.

9. При равномерном движении поезд прошел 200 км за 3 ч.

1) За сколько часов поезд пройдет 300 км?

2) Какой путь пройдет поезд за 5 ч?

10. Поезд прошел участок пути со скоростью 80 за 3 ч. За сколько часов поезд пройдет этот же участок пути, если будет двигаться со скоростью 100 км/ч?

11. 1) 8 м ткани стоят 42 р. 40 к. Сколько стоят 9 м ткани?

2) 3 м ткани стоят 25 р. 20 к. Сколько стоят 7 м ткани?

12. 1) Годовая подписка на газету «Пионерская правда» стоит 1 р. 68 к. Сколько стоит подписка на 10 месяцев?

2) Годовая подписка на журнал «Моделист-конструктор» стоит 4 р. 20 к. Сколько стоит подписка на 4 месяца?

13. Находятся ли в прямой пропорциональной зависимости следующие величины? Если ответ положительный, то (введя необходимые буквы) запишите эти зависимости с помощью формул.

1) Количество проданных в автобусе билетов и выручка кассы.

2) Количество оборотов колеса и скорость автомашины.

3) Количество оборотов колеса и пройденный ею путь.

4) Число книг в библиотеке и количество читателей библиотеки.

5) Норма выработки деталей за смену и время изготовления детали.

14. 1) Известно, что норма выработки деталей за смену— 80 штук. Определите норму выработки за месяц (25 смен).

2) Самолет поднялся на высоту 8 км за 20 мин. Можно ли указать высоту, на которую поднимется самолет за 4 ч?

15. 1) Мальчик за 2 ч поймал 6 карасей. Сколько карасей он поймает за 4 ч? 2) Два петуха разбудили 5 человек. Сколько человек могут разбудить 4 петуха?

16. 1) 1 кг металлолома заменяет 2 1/2 кг богатой железной руды. Ученики V класса собрали 4 т металлолома. Сколько руды сберегли ученики? 2) В 1 кг морской воды содержится 40 г соли. Сколько соли содержится в 650 г морской воды?

17. Число 40 представьте в виде двух слагаемых, отношение которых равно: 1) 1:3. Решение. х+3x = 40, 4x = 40, х= 10, 3х = 30.

Ответ. 10 и 30.

2) 3:5; 3) 1:4; 4) 7:3.

18. Число 100 представьте в виде суммы двух слагаемых, отношение которых равно:

1) 4:1; 2) 37:13; 3) 71:29.

19. Отрезок длиной 60 см разделили на две части. Найдите длины полученных отрезков, если их отношение равно: 1) 3, т. е. 3:1; 2) 2; 3) 1; 4) 6; 5) 12.

20. Суточное потребление топлива на заводе составило 3 3/5 т, а годовой расход на топливо—6000 р. После проведенной реконструкции суточный расход топлива снизился на 3/5 т. На сколько снизился годовой расход на топливо?

21. За 1 ч бригада маляров покрасила половину стены дома. Оставшуюся часть стены покрасил 1 человек за 4 ч. Сколько маляров в бригаде?

22. Бригада за полдня выполнила 4/5 своего задания.

Оставшуюся часть задания выполнил 1 человек за полдня. Сколько человек в бригаде?

23. Бригада плотников выполнила 3/5 задания за полдня, половина бригады работала еще полдня. Оставшуюся часть задания выполнил один плотник за день. Сколько плотников в бригаде?

24. Задача Л. Н. Толстого. Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом луге и к вечеру его докосила, а другая — перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?

25. Мальчик катается на велосипеде, переднее колесо которого за один оборот проезжает 1 м, а два задних — по 60 см.

1) Сколько метров проехал мальчик, если задние колеса сделали по 25 оборотов?

2) Сколько метров проехал мальчик, если переднее колесо сделало 25 оборотов?

3) Сколько оборотов сделает переднее колесо, если задние колеса сделают по 35 оборотов?

4) Сколько оборотов сделает каждое колесо, если мальчик проедет по прямой 12 м? Какое колесо сделает меньше оборотов и почему? Важно ли, что движение совершалось по прямой?

5) Сколько метров проехал мальчик, если первое колесо сделало на 20 оборотов больше, чем задние?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

26. Вычислите:

27. Найдите шесть натуральных чисел, имеющих нечетное число делителей.

28. Является ли простым числом число:

29. Докажите, что если а + с = b + d, то abcd делится на 11.

30. Найдите число abcd, для которого а + с≠b + d, но оно делится на 11.

31. Сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел от 1 до 35?

32. Сколько необходимо сделать разрезов, чтобы разделить куб на 27 кубиков?

33. Один мальчик на гранях куба написал натуральные числа от 1 до 6. Другой мальчик этот куб не видел, но утверждает, что у него имеются две соседние грани, на которых написаны два соседних в натуральном ряду числа. Прав ли он?

34. Кузнечик прыгает по прямой большими прыжками по 12 см и малыми прыжками по 7 см. Сможет ли кузнечик из одной точки прямой попасть в другую, если расстояние между точками 3 см?

35. В двадцатиэтажном доме испорчен лифт: он может либо подняться на 13 этажей вверх, либо спуститься на 8 этажей вниз. Докажите, что, пользуясь таким лифтом, нельзя попасть с 4-го этажа на 5-й этаж.

36. В одной коробке лежат два белых шара, в другой — два черных, в третьей — один белый и один черный. На каждой коробке висела табличка, указывающая ее состав: бб, бч, чч. Какой-то шутник перевесил все таблички так, что каждая из них указывает состав неправильно. Из какой коробки, не глядя, надо вынуть один шар, чтобы можно было определить содержимое каждой коробки?

37. Определите на глаз, во сколько раз длина отрезка ВС больше длины отрезка AВ. Результат сравнения проверьте с помощью линейки (рис. 6.8). Во сколько раз длина отрезка АС больше длины отрезка AB?

§ 76. Масштаб

Рисуя на бумаге изображения различных предметов, мы вынуждены изменять их настоящие размеры. Чтобы изображения поместились на листе бумаги, большие предметы приходится изображать в уменьшенном виде, а ма-

Рис. 6.8

ленькие—увеличивать. Но рисунок, а особенно чертеж или план (географическая карта), должен давать представления о настоящих размерах предметов. На рисунках можно изображать какой-нибудь предмет, размеры которого хорошо известны. На чертежах и планах приходится поступать по-другому—делать специальную запись, показывающую отношение длины какого-нибудь отрезка на чертеже к его настоящей длине.

Пример. На плане комнаты отрезком в 2 см изображается отрезок, настоящая длина которого 1 м. В этом случае пишут: 1 м в 2 см, или 2 см:1 м, или 2 см: 100 см, или «уменьшено в 50 раз», или 2 см/1 м.

Отношение длины линии на чертеже или плане к длине соответствующей линии в натуре называется масштабом.

При одинаковых единицах измерения предметов и их изображений масштаб выражается числом.

Например,

Масштаб, выраженный числом, называется числовым масштабом. Для географических карт числовой масштаб выражают дробью, числитель которой равен 1, а знаменатель есть число, показывающее, во сколько раз любое

Рис. 6.9

расстояние на карте меньше соответствующего расстояния на местности.

Пример. Запись 1/25 000 000 или 1: 25 000 000 означает, что 1 см на карте соответствует 25 000 000 см на местности.

На картах используют еще и линейный масштаб. Линейный масштаб—это отрезок, разделенный на равные части, причем у каждой точки деления записывается число, указывающее длины соответствующих им отрезков в натуре (рис. 6.9).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Определите числовой масштаб, если извесно, что 1 см на плане изображает отрезок в натуре длиной:

2. Определите числовой масштаб, если известно, что 1 см на плане (географической карте) изображает отрезок в натуре длиной:

1) 100 м; 2) 1 км; 3) 6 км; 4) 10 км.

3. Расстояние между двумя городами равно 200 км. Определите расстояние между изображениями этих городов на карте, если числовой масштаб карты равен:

4. Числовой масштаб карты равен 1/50 000. Определите расстояние на местности, если на карте оно равно:

5. План комнаты имеет вид прямоугольника со сторонами 4 см и 31 мм. Определите размеры (длину и ширину) комнаты, если числовой масштаб плана

6. Огород имеет вид прямоугольника, длина которого 340 м, а ширина 220 м. Какие размеры будет иметь изображение этого огорода на плане, выполненном в масштабе 1:500?

7. Прямоугольник со сторонами 1 дм 2 см и 60 мм изображает на плане угодий колхоза поле, занятое под

овес. Определите масштаб плана, если большая сторона поля имеет длину 480 м. Определите меньшую сторону поля. 8. Используя план местности, определите:

1) расстояние от А до В;

2) расстояние от А и от В до моста через реку;

3) расстояние от В до леса;

4) площадь поля (рис. 6.10).

9. За сколько часов туристы преодолеют расстояние от А до В, если будут двигаться со скоростью 4 (рис. 6.11)?

10. Прямоугольник со сторонами 18 см и 54 см изображает на плане строительную площадку. Определите масштаб плана, если известно, что площадь строительной площадки 97 200 м2.

11. Определите масштаб плана, если поле площадью 32 га изображено на этом плане в виде прямоугольника со сторонами 32 см и 16 см.

12. Начертите план класса в масштабе 1:100.

13. Начертите план своей комнаты в масштабе 1:50.

14. Начертите план школьного здания в масштабе 1:250.

15. Можно ли начертить план здания (прямоугольной формы в основании) длиной 50 м и шириной 20 м на странице тетради, если использовать масштаб 1:50? Какой масштаб следует использовать, чтобы план поместился на странице тетради?

Рис. 6.10 Рис. 6.11

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

16. Решите уравнения:

20. Заполните пропуски:

24. Во сколько раз происходит увеличение величин в каждой строке таблицы при чтении слева направо?

25. Заполните пропуски:

27. Мама дала дочери и сыну всего 65 к. — дочери на 15 к. больше, чем сыну. Сколько денег она дала каждому?

28. Саша собрал на 5 кг меньше макулатуры, чем Коля, а вместе они собрали 23 кг макулатуры. Сколько собрал каждый?

29. Одно число в 3 раза больше другого, а их сумма равна 348. Найдите эти числа.

30. Одно число в 4 раза меньше другого, а их разность равна 800. Найдите эти числа.

31. За уборку 60 кг моркови совхоз платит 3 р. 15 к. Старшеклассники за день убрали 1 т 140 кг моркови. Сколько денег они заработали?

32. Старинная задача. За 3/4 аршина сукна заплатили 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна? Учтите, что 1 алтын = 6 денег = 3 копейки.

33. Один прохожий догнал другого и спросил:

— Как далеко до деревни, которая у нас впереди?

— Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями. А если ты пройдешь еще два километра, то будешь ровно посередине между деревнями.

Сколько километров осталось пройти до деревни первому прохожему?

34. Два поля имеют форму прямоугольника. Один прямоугольник со сторонами 200 м и 400 м, а другой — 400 м и 800 м. Во сколько раз больше удобрений (при одинаковом расходе на единицу площади) нужно внести на второе поле, чем на первое?

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ VI

1. Приведите примеры подобных слагаемых.

2. Что называется корнем уравнения?

3. Что называется отношением двух чисел а и b?

4. Что называется пропорцией?

5. Сформулируйте основное свойство пропорции.

6. Какие величины называются прямо пропорциональными?

7. Какие величины называются обратно пропорциональными?

8. Что называется масштабом? Для чего применяется масштаб?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Сумма числителя и знаменателя дроби равна 32, а числитель на 2 меньше знаменателя. Найдите эту дробь.

2. Числитель на 8 больше знаменателя, а сумма числителя и знаменателя равна 34. Найдите эту дробь.

3. Знаменатель дроби на 17 больше числителя, а их сумма равна 15. Найдите эту дробь.

4. Числитель на 13 больше знаменателя, а их сумма равна —3. Найдите эту дробь.

Б. Дедушка говорит своим внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на две части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась большей части, уменьшенной в 3 раза». Как нужно разделить орехи?

6. Два мальчика ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне две сливы, тогда у нас будет поровну слив», — на что другой ответил: «Нет, лучше ты дай мне две сливы, тогда у меня будет в 2 раза больше, чем у тебя». Сколько слив было у каждого?

7. В трех пачках 99 тетрадей. В первой пачке на 6 тетрадей больше, чем в третьей, а во второй на 3 тетради больше, чем в третьей. Сколько тетрадей в каждой пачке?

8. В трех классах 102 ученика. В I классе на 1 ученика меньше, чем во II классе, а в III классе на 4 ученика больше, чем ео II классе. Сколько учеников в каждом классе?

9. Два велосипедиста выехали одновременно из двух деревень навстречу друг другу. Один из них может проехать все расстояние между деревнями за 6 ч, а другой —за 4 ч. Через сколько часов после выезда встретятся велосипедисты? Каково расстояние между деревнями, если скорость одного из велосипедистов больше скорости второго на 3 км/ч ?

10. Из двух поселков навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость первого 13 1/3 км/ч, второго 12 км/ч. Первый велосипедист проехал расстояние между поселками на 2/3 ч быстрее второго. Определите расстояние между поселками.

11*. Из города А в город В вышли два поезда. Первый вышел в 8 ч 2 мин и идет со скоростью 63 км/ч, а второй вышел на 1 ч позже и идет со скоростью 55 км/ч. Когда первый поезд пришел в город В, второй находился от него на расстоянии 165 км. В каком часу первый поезд пришел в В и каково расстояние между А и В? В каком часу второй поезд пришел в В?

Глава VII. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

§ 77. Понятие десятичной дроби

Дроби, у которых знаменатель является степенью числа 10, часто записывают в более простой форме, без знаменателя, отделяя целую и дробные части друг от друга запятой (считают при этом, что целая часть правильной дроби равна 0).

Например,

Записанные в такой форме дроби называются десятичными дробями. Так что 2 7/10 и 2,7—разные формы записи одного и того же числа: первая — в виде обыкновенной дроби, вторая — в виде десятичной дроби. Пока мы будем рассматривать только положительные десятичные дроби.

Десятичная форма записи дробей позволяет записывать их, сравнивать и выполнять с ними арифметические действия по правилам, очень похожим на правила записи, сравнения и действий с натуральными числами.

Напомним, что в десятичной системе счисления значение каждой цифры зависит от разряда (позиции), в котором она записана. При этом единицы соседних разрядов отличаются в 10 раз. Например, десяток в 10 раз меньше сотни, единица в 10 раз меньше десятка.

Первый разряд после запятой называют разрядом десятых.

Например, число 2,7 состоит из 2 целых и семи десятых— читают «две целых семь десятых».

Второй разряд после запятой называют разрядом сотых.

Например, число 0,35 состоит из 0 целых, 3 десятых и 5 сотых — читают «нуль целых тридцать пять сотых».

Чтобы лучше понять правила записи и чтения десятичных дробей, рассмотрим таблицу разрядов и приведенные в ней примеры записи чисел.

Для записи числа 19/10 000 в десятичной форме нужно учесть, что

Так что запись числа 19/10 000 содержит 1 тысячную и 9 десятитысячных и не содержит целых единиц, десятых, сотых — в десятичной дроби в соответствующих разрядах пишут нули.

Нужно помнить, что после запятой в записи десятичной дроби должно быть столько цифр, сколько нулей содержит знаменатель этой дроби.

Например:

УПРАЖНЕНИЯ

1. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных и прочитайте полученную запись:

2. Прочитайте дроби:

3. Запишите десятичные дроби, приведенные в упр. 2, в виде обыкновенных дробей.

4. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных и прочитайте полученную запись:

5. Прочитайте дроби:

6. Прочитайте дроби. Сколько целых, десятых, сотых, тысячных и т. д. содержат данные дроби:

7. Запишите в виде десятичной дроби:

8. Запишите в виде десятичной дроби:

9. Запишите в виде десятичной дроби:

10. Запишите величины, используя десятичные дроби:

11. Запишите в виде неправильной дроби:

12. Выполните действия, предварительно записав десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

13. Устно вычислите:

14. Решите уравнение:

16. 1) Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 ч.

Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы? 2) 10 насосов за 10 мин выкачивают 10 т воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?

17. Старинная задача. Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?

18. Расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км. Скорость света 300 тыс. км/с. За сколько минут луч Солнца достигает Земли?

19. В кастрюлю налили 5 л воды, отлили 1 л и налили 1 л сока. Тщательно перемешали и отлили 1 л смеси, еще раз долили 1 л сока. Какую часть воды отливали каждый раз? Какая часть воды остается? Сколько воды осталось в кастрюле?

20. Пять карандашей и две тетради стоят 16 к., а один карандаш и 4 тетради стоят 14 к. Сколько стоят 6 карандашей и 6 тетрадей? Сколько стоят 1 карандаш и 1 тетрадь вместе? Сколько стоит карандаш?

21. В трех маленьких и четырех больших коробках 150 цветных карандашей, а в четырех маленьких и трех больших 144 цветных карандаша. Сколько каранда-

шей в семи больших и семи маленьких коробках вместе? Сколько карандашей в одной большой и одной маленькой коробке вместе? Сколько карандашей в большой коробке?

§ 78. Сравнение положительных десятичных дробей

Натуральное число можно представить в виде десятичной дроби.

Например,

К любой десятичной дроби можно приписать справа нули (в дробной части)—получится дробь, равная данной.

Например,

Если у десятичной дроби имеются справа нули (в дробной части), то их можно отбросить—получится дробь, равная данной.

Например,

На практике нули справа приписывают в тех случаях, когда нужно подчеркнуть точность, с которой производились измерения.

Например, если в результате вычисления, которые производились с точностью до копейки, получилось 3 р., то пишут 3,00 р.

Из двух десятичных положительных дробей больше та, у которой целая часть больше; при равенстве целых частей—та дробь больше, у которой цифра разряда десятых больше; при равенстве целых частей и цифр разряда десятых—та дробь больше, у которой цифра разряда сотых больше и т. д.

Например: 1) 3,5 > 2,5, так как целая часть первой дроби больше целой части второй дроби;

УПРАЖНЕНИЯ

1. Уравняйте число цифр после запятой у следующих дробей:

2. Сколько десятых, сотых, тысячных содержит дробь:

3. Какая из дробей содержит больше целых, десятых, сотых:

4. Используя знаки = и ≠, сравните дроби:

5. Используя знаки > и <, сравните дроби:

8. Укажите одно число, расположенное между числами (т. е. большее одного из данных чисел, но меньшее другого):

11. Расположите дроби в порядке возрастания:

12. Расположите дроби в порядке убывания:

13. Изобразите на координатной прямой числа:

14. В каком порядке (слева направо) на координатной прямой расположены точки:

15. Запишите величины с помощью десятичных дробей и сравните их:

16. Запишите в рублях и копейках:

17. Запишите в тоннах и килограммах:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

18. Вычислите:

19. Решите уравнение:

20. Определите на глаз, во сколько раз угол АОВ больше угла ВОС (рис. 7.1). Результаты сравнения проверьте с помощью транспортира. Во сколько раз угол АОС больше угла ВОС?

21. Внутри угла в 90° провели луч так, что он разделил угол на два угла, один из которых на 15° больше другого. Найдите величины полученных углов.

22. Из вершины угла в 54° провели луч, делящий его на два угла, один из которых на 16° меньше другого. Найдите величины получившихся углов.

23. Внутри прямого угла провели луч, делящий его на два угла, один из которых в 5 раз больше другого. Найдите величины получившихся углов.

24. Из вершины угла в 120° провели луч, делящий его на два угла, один из которых в 3 раза меньше другого. Найдите величины получившихся углов.

25. Запись трехзначного числа оканчивается нулем. Если этот нуль отбросить, то число уменьшится на 432. Найдите это число.

26. Сумма двух натуральных чисел 352. Если к меньшему приписать справа нуль, то получится большее число. Найдите эти числа.

27. Велотуристы пользовались картой, числовой масштаб которой 1:1000000. Сколько потребуется времени, чтобы проехать на велосипеде из одного города в другой со скоростью 12 если на карте расстояние между этими городами равно 0,6 дм?

28. Старинная задача. Хозяин нанял работника на год и обещал ему дать за работу 12 р. и кафтан. Но работник, проработав 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 р. Сколько стоит кафтан?

29. Два человека вышли одновременно в одном направлении из одного места и пошли вокруг леса. Один из них идет со скоростью 5 км/ч, а второй — 3 1/3 км/ч.

Длина дороги вокруг леса 15 км. Через сколько часов первый догонит второго? Сколько каждому придется пройти?

Рис. 7.1

§ 79. Перенос запятой в десятичной дроби

Если в десятичной дроби перенести запятую вправо на k цифр (приписав при необходимости нули справа), то получится десятичная дробь, большая данной в 10k раз.

Например: 1) Перенесем запятую в дроби 35,783 на одну цифру вправо—получим дробь 357,83. Так как

мы видим, что перенос запятой на одну цифру вправо увеличил дробь в 101 раз.

2) Перенесем запятую в дроби 35,783 на две цифры вправо—получим дробь 3578,3. Эта дробь в 100 раз (100= 102) больше данной дроби 35,783, так как 35,783 =

3) Если учесть, что 35,783 = 35,78300, можно перенести запятую в дроби 35,783 на пять цифр вправо — получим число 3578300, которое в 106 раз больше данной дроби.

Таким образом, перенося запятую в записи дроби на одну, две и т. д. цифры вправо, мы увеличиваем эту дробь в 10, 100 и т. д. раз.

Если в десятичной дроби перенести запятую на k цифр влево (приписав при необходимости нули слева), то получится десятичная дробь, в 10k раз меньшая данной.

Например: 1) Перенесем запятую в дроби 35,783 на одну цифру влево—получим дробь 3,5783. Эта дробь в 10 раз меньше данной (покажите самостоятельно).

2) Если в данной дроби 35,783 приписать слева нуль (получим равную ей дробь), то можно перенести запятую на две цифры влево—получим дробь 0,35783. Эта дробь в 100 раз (100= 102) меньше данной (покажите самостоятельно).

Таким образом, перенося запятую в записи десятичной дроби на одну, две и т. д. цифры влево, мы уменьшаем эту дробь в 10, 100 и т. д. раз.

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1) Как изменится дробь, если в ее десятичной записи запятую перенести на 3 цифры вправо? 2) Как изменится дробь, если в ее десятичной записи запятую перенести на 3 цифры влево?

2. Как изменится дробь, если

1) запятую в ее десятичной записи перенести сначала на 2 цифры вправо, а затем на 3 цифры влево;

2) запятую в ее десятичной записи перенести сначала на 3 цифры влево, а затем на 2 цифры вправо?

3. Как изменится десятичная запись дроби, если эту дробь

1) сначала увеличить в 10 раз, потом в 1000 раз;

2) сначала увеличить в 10 раз, а потом уменьшить в 100 раз;

3) уменьшить в 10 и еще в 100 раз;

4) уменьшить в 10 и увеличить в 100 раз?

4. Какое число больше и во сколько раз:

5. Какое число меньше и во сколько раз:

6. Увеличьте следующие дроби в 10, 100, 1000 раз:

7. Выразите в сантиметрах:

8. Выразите в дециметрах:

9. Выразите в метрах:

10. Выразите в килограммах:

13. Выразите в км2:

14. Выразите в см2:

15. Выразите в м3:

16. Выразите в мм3:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

17. Устно вычислите:

18. Вычислите:

19. Приведите дроби 8/10, 9/10, 5 7/10 к знаменателям:

а) 100; б) 1000; в) 10000. Запишите полученные дроби в виде десятичных дробей.

20. Масса 1 семени рапса составляет 0,0041 г. Определите массу 1000 семян.

21. Решите уравнение:

23. Лев, олень и верблюд весят вместе 1100 кг. Олень и верблюд весят вместе 875 кг, а верблюд и лез вместе весят 390 кг. Сколько весит каждое животное?

24. Пассажирский самолет летит со скоростью 450 км/ч.

Выразите его скорость в м/мин; м/с.

25. Скорость разгона лыжников при прыжках с трамплина достигает 35 м/с. Выразите эту скорость в км/ч .

26. Лыжник движется со скоростью 18 км/ч. Выразите эту скорость в м/мин; м/с.

27. Спринтер (бегун на короткие дистанции) пробежал 100 м за 10 с. Какова его скорость в км/ч?

28. Конькобежец пробежал 500 м за 40 с. Какова его скорость в км/ч.

29. В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 4 см, а сторона AD равна 7 см. Как изменится площадь прямоугольника, если сторону AB увеличить в 6 раз?

30. В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 56 см, а сторона AD равна 3 см. Как изменится площадь прямоугольника, если сторону AB уменьшить в 7 раз?

31. Стороны прямоугольника равны 3/4 см и 4/5 см. Одну из сторон увеличили в 2 раза. Как изменится площадь прямоугольника? Сколько решений имеет задача?

32. Стороны прямоугольника равны 9/5 дм и 5/3 дм. Одну из сторон уменьшили в 3 раза. Как изменится площадь прямоугольника?

33. Лист тетради, разлинованной в клетку, дает нам представление о том, как может быть покрыта плоскость равными квадратами. Как по-другому могут быть расположены равные квадраты, чтобы ими можно было покрыть плоскость?

34. Придумайте несколько способов покрытия плоскости равными прямоугольниками. Приведите примеры, где используются такие разбиения плоскости.

§ 80. Сложение и вычитание положительных десятичных дробей

Сложение положительных десятичных дробей производится так же, как и сложение натуральных чисел. Покажем это на примерах.

Пример 1. Сложим числа 2,35 и 7,561.

Решение. Учитывая, что 2,35 = 2,350, сложим данные числа столбиком, подписывая цифры соответствующих разрядов друг под другом:

Рассуждаем следующим образом: 0 тысячных+1 тысячная =1 тысячная. Пишем (под чертой) в разряде тысячных цифру 1.

5 сотых + 6 сотых = 11 сотых = 1 десятая + 1 сотая. Пишем в разряде сотых цифру 1 и запоминаем 1 десятую.

1 десятая+ 3 десятых+ 5 десятых = 9 десятых. Пишем в разряде десятых цифру 9.

2 единицы + 7 единиц = 9 единиц. Пишем в разряде единиц цифру 9.

Вычитание десятичных дробей производится так же, как и вычитание натуральных чисел. Пока мы рассматриваем вычитание из большего положительного числа меньшего.

Пример 2. Вычислим разность

Решение.

Из 0 тысячных вычесть 7 тысячных (чтобы получить положительное число) нельзя. Занимаем в уменьшаемом одну сотую и раздробляем ее в 10 тысячных. Тогда 10 тысячных — 7 тысячных = 3 тысячных. Пишем в разряде тысячных цифру 3.

Из 0 сотых вычесть 8 сотых (чтобы получилось положительное число) нельзя. Занимаем в уменьшаемом одну десятую и раздробляем ее в 10 сотых. Тогда 10 сотых— 8 сотых = 2 сотых. Пишем в разряде сотых цифру 2.

Из 4 десятых вычесть 9 десятых (чтобы получить положительное число) нельзя. Занимаем в уменьшаемом одну единицу и раздробляем ее в 10 десятых. Тогда 14 десятых — 9 десятых = 5 десятых. Пишем в разряде десятых цифру 5.

2 единицы—2 единицы = 0 единиц. Пишем в разряде единиц цифру 0.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите:

4. Вычислите, используя группировку слагаемых:

6. Заменив десятичную дробь обыкновенной, вычислите:

7. Заменив обыкновенную дробь десятичной, вычислите:

8. Вычислите периметр прямоугольника, если

1) ширина прямоугольника равна 2,3 см, а длина на 1,9 см больше;

2) ширина прямоугольника равна 2,48 дм, а длина на 1,6 дм больше;

3) длина прямоугольника равна 12,1 см, а его ширина на 4,8 см меньше;

4) длина прямоугольника равна 18 дм, а его ширина на 4,7 дм меньше.

9. Вычислите:

10. Вычислите периметр треугольника, имеющего стороны:

11. В квартире две жилые комнаты. Одна комната имеет площадь 16,3 м2, а вторая на 1,9 м2 меньше. Какова площадь двух комнат?

12. В квартире 3 комнаты общей площадью 44,8 м2. Одна комната имеет площадь 11,3 м2, вторая на 3,5 м2 больше. Найдите площадь третьей комнаты.

13. Вычислите наиболее простым способом:

14. Троллейбусный парк нашей страны увеличился с 1960 г. на 20,7 тыс. троллейбусов и насчитывал к концу 1984 г. 26,1 тыс. троллейбусов. Сколько троллейбусов было у нас в 1960 г.?

15. В таблице приведены расходы нашего государства на образование и здравоохранение (в млрд. р.) по годам. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните ее.

1980 г.

1981 г.

1982 г.

1983 г.

Образование

31,6

32,5

34,0

34,7

Здравоохранение и физическая культура

17,2

17,8

18,6

19,2

Итого

16. В таблице приведены сведения о производстве важнейших видов пищевых продуктов. На сколько увеличилось производство мяса, молока, яиц, колбасных изделий и животного масла за отмеченные в таблице годы?

1970 г.

1984 г.

Прирост

Мясо (млн. т)

12,3

16,7

Молоко (млн. т)

83,0

97,6

Яйца (млрд. шт.)

40,7

76,0

Колбасные изделия (млн. т)

2,28

3,3

Животное масло (млн. т)

0,9

1,5

17. Численность рабочих, служащих и колхозников в СССР составляла в 1970 г. 106,8 млн. чел. Это на 23 млн. чел. больше, чем в 1960 г., и на 22,7 млн. чел. меньше, чем в 1984 г. Какова была численность рабочих, служащих и колхозников в нашей стране в 1960 и 1984 гг.?

18. Решите уравнение:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

21. Решите уравнение:

23. Скорость лодки в стоячей воде 6,2 км/ч, а скорость течения реки 1,7 км/ч. С какой скоростью лодка может плыть по течению реки и с какой против течения реки?

24. У брата было в 3 раза больше денег, чем у сестры. Когда они купили по мороженому стоимостью по 20 к., у брата стало в 4 раза больше денег, чем у сестры. Сколько денег было у каждого?

25. В одной коробке в 4 раза больше цветных карандашей, чем в другой. Когда из каждой коробки вынули по 3 карандаша, то в первой стало в 5 раз больше, чем во второй. Сколько карандашей было в каждой коробке?

26. Велосипедист за первые два часа проехал 25 км, а за следующие три часа—30 км. С какой постоянной скоростью велосипедист мог бы проехать тот же путь за то же время (5 ч)?

27. Можно ли покрыть фигуры (рис. 7.2) костями домино, если каждая кость покрывает точно две клетки? Ответ обосновать.

Рис. 7.2 Рис. 7.3

28. Докажите, что нельзя обойти все клетки доски с отрезанными углами (рис. 7.3) шахматным конем, побывав на каждой клетке только один раз.

29. Одну и ту же работу первая бригада выполняет за 6 дней, а вторая—за 8 дней. Какую часть работы выполняет каждая бригада ежедневно? Какую часть работы выполняют за день обе бригады, работая вместе?

30. Один рабочий обрабатывает деталь за 2 ч, а второй — за 3 ч. Какую часть работы выполняет каждый рабочий в час? Сколько деталей они изготовят за 6 ч?

31. Расстояние между двумя городами мотоциклист проезжает за 2 ч, а велосипедист—за 6 ч. Через сколько часов они встретятся, если выедут из этих городов одновременно навстречу друг другу?

32. Путешественник идет из одного города в другой 10 ч, а второй путешественник тот же путь проходит за 15 ч. Через сколько часов они встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

33. Если на разных участках пути происходит движение с разными скоростями, то средней скоростью на всем участке называют скорость, с которой можно тот же путь пройти за то же время. Какова средняя скорость велосипедиста в задаче 26? Вычислите среднюю скорость поезда, если он двигался:

3) как объяснить, что во втором случае средняя скорость выше?

34. Расстояние между двумя городами равно 70 км. Из этих городов навстречу друг другу одновременно выехал мотоциклист, скорость которого 30 км/ч, и вышел пешеход, скорость которого 5 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

35. Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода со скоростями 5 км/ч и 4 км/ч. Первый пришел в B, повернул назад и пошел с той же скоростью навстречу второму. Пешеходы встретились через 2 ч после выхода из А. Какое расстояние они прошли до встречи? Какое расстояние между А и В?

36. Из пункта А в пункт В вышли два пешехода со скоростями 5 км/ч и 4 км/ч. Первый пришел в В, повернул назад и пошел с той же скоростью навстречу второму. Через сколько часов они встретятся, если расстояние AB равно 18 км?

37. Расстояние между пунктами А и В равно 17 км. Из А в В выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

§ 81. Умножение десятичных дробей

Десятичная форма записи позволяет выполнять умножение дробей практически по тем же правилам, по которым умножают натуральные числа. Отличие заключается в том, что необходимо определять место запятой в полученном произведении. Поясним сказанное на примере; вычислим произведение 2,5⋅1,02.

Перенесем запятую в первом множителе на одну цифру вправо, а во втором—на две цифры вправо. Тем самым первый множитель увеличится в 10 раз, второй—в 102 = 100 раз, а произведение—в 10⋅100=1000 раз.

Определим произведение натуральных чисел 25 и 102:

Это число в 1000 раз больше, чем требуемое произведение. Поэтому необходимо число 2550 уменьшить в 1000= 103 раз, т. е. перенести в этом числе запятую влево на 3 цифры. Таким образом,

Можно рассуждать по-другому:

Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как натуральные числа, а затем в полученном произведении справа отделить запятой столько цифр, сколько их было после запятых в обоих множителях вместе.

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислите произведение:

7. Вычислите наиболее простым способом:

8. Вычислите:

13. Известно, что 8⋅125= 1000. Вычислите:

14. Стоимость перевозки 1 т груза от Москвы до Ленинграда по железной дороге 1,5 р., от Москвы до Ростова-на-Дону 2,8 р. Вычислите стоимость перевозки 40 т груза в обоих случаях.

15. Пешеход идет со скоростью 4, км/ч. Какой путь он пройдет:

16. Собственная скорость моторной лодки 12,6 км/ч, а скорость течения реки 1,8 км/ч. Какой путь пройдет лодка по течению и против течения:

17. Вычислите площадь прямоугольника со сторонами а и b:

18. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, длина, ширина, высота которого а, b, с:

19. 1 м3 воздуха весит 1,29 кг. Определите вес воздуха в вашем классе.

20. 1 см3 алюминия весит 2,7 г, 1 см3 свинца весит 11,3 г. Какой кубик больше весит—алюминиевый с ребром 3 см или свинцовый с ребром 2 см?

21. Использование 1 т макулатуры позволяет получить 0,7 т бумаги и заменить при этом 4,4 м3 древесины. Сколько бумаги можно получить из 7,5 т макулатуры? Сколько при этом экономится древесины?

22. За один день в нашей стране производилось в 1960 г. 6,4 тыс т бумаги. В 1984 г. производство бумаги

возросло по сравнению с 1960 г. в 2,5 раза. Сколько бумаги производилось за один день в 1984 г.?

23. Сумма нескольких чисел равна 1. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,1; меньше 0,01?

24. Две трети расходов на содержание жилого фонда наше государство берет на себя. Определите расходы государства за год на содержание одной квартиры площадью 50 м2, если плата за 1 м2 в месяц составляет 16,5 к.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

25. Вычислите устно:

27. Решите уравнение:

28. Решите уравнение:

29. Длина прямоугольника на 7 см больше ширины, а периметр равен 50 см. Найдите стороны прямоугольника.

30. Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а периметр равен 66 см. Найдите стороны и площадь прямоугольника.

31. Одна сторона прямоугольника в 3 раза больше другой, а периметр равен 1 м 6 дм 8 см. Найдите стороны и площадь прямоугольника.

Рис. 7.4

32. Одна сторона прямоугольника в 2 раза меньше другой, а периметр равен 1 м 44 см. Найдите площадь прямоугольника.

33. Нарисуйте, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, фигуры (рис. 7.4).

34. В упр. 33 некоторые фигуры построить не удалось. Обратите внимание в каждом случае на число «нечетных» узлов, в которых сходится нечетное число отрезков. В каком случае можно построить фигуру, а в каком — нельзя?

35. Можно ли нарисовать фигуру, у которой имеются три таких «нечетных» узла? Почему?

36. Какие из фигур, изображенных на рис. 7.5, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды?

Рис. 7.5

37. В шести коробочках лежат деньги. В первой—1 к., во второй—2 к., в третьей — 3 к. и т. д., в шестой — 6 к. За один ход разрешается в любые две коробочки добавить по 1 к. Можно ли за несколько ходов уравнять суммы в коробочках?

38. Найдите:

39. Старинная русская денежная единица 1 деньга содержала 2 полушки. Какую часть копейки составляли 1 деньга и 1 полушка отдельно, если 10 денег и 8 полушек составляли 7 копеек?

40. Собственная скорость моторной лодки 15 км/ч скорость течения реки 3 км/ч . Лодка проходит расстояние между двумя пристанями по течению на 1 ч быстрее, чем против течения. Каково расстояние между пристанями?

41. Пионерский отряд шел 3 ч со скоростью 5 км/ч, 2 ч со скоростью 4 км/ч и еще 2 ч со скоростью 4 1/2 км/ч. На привалы был затрачен 1 ч. С какой средней скоростью отряд прошел весь маршрут?

42. У Светы и Наташи было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько было у Светы. После этого у девочек оказалось равное число яблок. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки?

43. Имеются три монеты, из которых две настоящие — одинакового веса и одна фальшивая—легче настоящих. Как одним взвешиванием на весах без гирь определить фальшивую монету?

44. Можно ли решить задачу № 43, если неизвестно, какая из монет легче — настоящая или фальшивая?

45. Как изменится площадь прямоугольника, если одну сторону увеличить в 4 раза?

46. Как изменится площадь прямоугольника, если одну сторону уменьшить в 8 раз?

47. Первая бригада может выполнить задание за 28 ч, а вторая — за 56 ч. Мастер рассчитал, что работу можно организовать так, чтобы сначала первая бригада работала несколько полных дней (по 8 ч), а затем вторая бригада. При этом задание будет выполнено за 4 дня. Сколько дней должна работать каждая бригада?

§ 82. Деление десятичных дробей

Рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.

Пример. Вычислить 46,8:2.

Решение. 4 десятка делим на 2 — получаем цифру частного 2 (2 десятка).

6 единиц делим на 2—получаем цифру частного 3 (3 единицы).

Деление целой части закончено—отделяем в частном целую часть запятой.

8 десятых делим на 2 — получаем цифру частного 4 (4 десятых). Остаток равен 0—деление закончено.

Деление десятичной дроби на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число переносом запятых в делимом и делителе на столько цифр вправо, чтобы делитель стал натуральным числом.

Пример. Вычислить 4,42:0,2.

Решение. Так как в делителе одна цифра после запятой, то достаточно перенести запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо. Тем самым делимое и делитель увеличиваются в 10 раз, поэтому частное не изменится. При этом делитель будет натуральным числом.

Итак,

Дальше деление выполняется так, как показано в предыдущем примере.

Можно рассуждать и таким образом:

Но не всегда получается точный результат при делении десятичных дробей. Чаще приходится довольствоваться приближенным частным.

Пример. Найти частное 1,723:0,03.

Решение. Освободимся от запятой в делителе: 1,723:0,03= 172,3:3. Выполним деление.

Начиная с разряда сотых, цифра 3 в частном повторяется без конца, потому что остаток, начиная с третьего этапа процесса деления, все время равен одному и тому же числу 1.

В следующих параграфах мы подробно изучим это явление, а сейчас отметим лишь, что для практических целей деление в таком случае на некотором этапе обрывают и частное записывают приближенно.

Если оставить у частного первые две цифры после запятой, то получится приближенное равенство: 172,3:3 ≈ 57,43.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите:

5. Выполните действие и проверьте полученный результат:

6. Вычислите:

8. Как изменится частное, если

1) делимое увеличить в несколько раз;

2) делитель увеличить в несколько раз;

3) делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз?

9. Вычислите:

11. Выполните действие и проверьте полученный результат:

13. Вычислите:

18. Не выполняя вычислений, сравните произведения:

19. Вычислите устно:

20. На прямолинейном участке железнодорожного пути должны быть уложены рельсы длиной 12,5 м. Сколько рельсов будет укладываться на 1 км пути?

21. В таблице приведена грузоподъемность некоторых советских самосвалов:

Марка самосвала

Грузоподъемность

ГАЗ

3,5 т

ЗИЛ

4,5 т

КАМАЗ

7,0 т

МАЗ

8,0 т

КрАЗ

11,0 т

Во сколько раз грузоподъемность МАЗа больше грузоподъемности других самосвалов?

22. От продажи одной коробки яиц магазин получает 31,5 р. Сколько яиц в одной коробке, если десяток яиц стоит 1,05 р.?

23. Слон тяжелее бегемота на 0,7 т, а их общий вес 8,3 т. Сколько весит каждое животное?

24. Вычислите скорость движения пешехода, который

1) за 2,4 ч прошел 10,8 км;

2) за 1,8 ч прошел 9,9 км.

25. На производство 1 т бумаги расходуется 250 т воды. Это в 12,5 раза больше, чем расходуется на производство 1 т стали, и в 6 раз меньше, чем на производство 1 т аммиака. Сколько тонн воды расходуется на производство 1 т стали и 1 т аммиака?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

26. Вычислите:

28. Решите уравнение:

29. Купили конфет по 3 р. за 1 кг. Если бы купили конфеты на 0,6 р. за 1 кг дороже, то их было бы на 0,5 кг меньше. Сколько килограммов конфет купили?

30. На имеющуюся сумму денег можно купить 4 кг конфет одного сорта или 3 кг конфет другого сорта, стоимость которого за 1 кг на 1,5 р. больше. Сколько стоит 1 кг конфет каждого сорта? Какая сумма денег имеется?

31. Тракторист должен вспахать поле за 5 дней. Увеличив выработку на 2,5 га в день, он выполнил работу за 4 дня. Какова площадь поля?

32. Найдите:

33. Найдите число, 0,2 которого равны:

34. Найдите число, 0,15 которого равны:

35. Решите уравнение:

37. Длина прямоугольника составляет 3/4 ширины, а периметр равен 72 см. Найдите длину и ширину прямоугольника.

38. Одно число составляет 2/3 другого, а их сумма равна 20. Найдите эти числа.

39. Даны два числа. Одно составляет 2/7 второго, а их сумма равна 99. Найдите эти числа.

40. Если ученица будет только завтракать в школе, то имеющихся у нее денег хватит на 30 дней, а если она будет только обедать, то денег хватит на 15 дней. На сколько дней хватит денег, если ученица будет и завтракать, и обедать в школе?

41. Сережа шел 1 ч со скоростью 4 км/ч и 3 ч со скоростью 5 км/ч. Андрей шел 1 ч со скоростью 5 км/ч и 3 ч со скоростью 4 км/ч. Какой путь прошел каждый мальчик? С какой средней скоростью шел каждый из них? Почему средняя скорость Сергея была выше?

42. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза—за два месяца, овца — за три месяца. Какое время потребуется лошади, козе и овце, чтобы съесть вместе воз сена?

43. Смешали 12 кг чернослива по 2 р. за 1 кг, 10 кг сушеных яблок по 1,7 р. за 1 кг и 7 кг сушеных груш по 1,6 р. за 1 кг. Определите стоимость 1 кг смеси.

44. Смешали 6 кг чернослива по 2 р. за 1 кг, 6,6 кг сушеных яблок по 1,7 р. за 1 кг и 7,8 кг сушеных груш по 1,6 р. за 1 кг. Сколько стоит 1 кг полученной смеси?

45. Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая—за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?

46. Один экскаватор может вырыть траншею за 30 ч, другой—за 20 ч. Первый проработал 9 ч, а второй закончил работу. За сколько часов была выполнена работа?

47. К числителю и знаменателю дроби 3/7 прибавили одно и то же число и получили дробь, равную 0,5. Какое число прибавили к числителю и знаменателю дроби?

48. Имеются три монеты, из которых одна фальшивая, о которой неизвестно—легче или тяжелее эта монета, чем настоящая. Как за два взвешивания на рычажных весах определить фальшивую монету?

49. Из шести монет одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на рычажных весах без гирь определить фальшивую монету?

50. Решите задачу № 48 для 9 монет и трех взвешиваний.

51. Решите задачу № 48 для 27 монет и четырех взвешиваний.

§ 83. Понятие о проценте

В метрической системе мер, и вообще в десятичной системе счисления, широко используются сотые части.

Сотая часть называется процентом (от латинского pro cento—на сотню, из сотни, с сотни) и обозначается %. Поэтому пишут 1 %=0,01.

Например: 1) 1 % рубля = 0,01 рубля = 1 копейке;

2) 1 % метра = 0,01 метра = 1 сантиметру.

Запись «2 %» читается «два процента» или «две сотые». Вместо того чтобы говорить «тридцать девять сотых», говорят «тридцать девять процентов» и пишут «39 %».

Задача 1. Найти 25% от 36.

Решение. I способ. 1) Найдем 1 % от 36:

2) Найдем 25 % от 36. Это в 25 раз больше:

II способ. Так как 25%= 0,25, то задача сводится к нахождению 0,25 числа 36:

Ответ. 9.

Задача 2. Найти число, 30 % которого равны 7.

Решение. I способ. 1) Если 30% числа равны 7, то 1 % числа равен

2) Если 1 % числа равен 7/30, то само число в 100 раз больше:

II способ. Обозначим неизвестное число через х, тогда 0,30 x = 7,

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1) Что называется процентом?

2) Запишите в виде обыкновенной и десятичной дробей: 1%; 5%; 70%; 100%; 120%; 200%; 1020%. 2. Прочитайте предложение, выразите число процентов дробью и еще раз прочитайте предложение, которое получилось:

1) 25 составляет 25% от 100;

2) 20 составляет 50% от 40;

3) найдите 10% от 200;

4) число 500 увеличили на 10% и получили 550.

Выразите в процентах:

5. Найдите:

7. Члены профсоюза ежемесячно платят членские взносы в размере 1% месячного заработка. Сколько должен заплатить рабочий в профсоюз, если его зарплата за месяц составляет:

8. Сравните 35% от 40 и 40% от 35.

9. В бригаде 12 человек. 75% членов бригады составляют комсомольцы. Сколько комсомольцев в бригаде?

10. Сберегательные кассы в СССР не только хранят вклады трудящихся, но и выплачивают им ежегодно доходы в виде процентов от вклада. В конце каждого года к имеющемуся вкладу прибавляются 2% этого вклада (для простоты будем считать, что вклад в течение года не изменялся). Какой доход начислит кассир в конце года по вкладу:

11. При хранении денег в сберегательной кассе на срочном вкладе начисляются 3% годовых. Какой доход начислит кассир в конце года по срочному вкладу: 1) 100 р.; 2) 890 р.; 3) 1987 р.; 4) 2563 р.?

12. Какую часть числа составляет его

1) 1%; 2) 5%; 3) 10%; 4) 20%; 5) 25%; 6) 50%; 7) 75%; 8) 100%?

13. Устно вычислите:

1) 50% от 400; 2) 10% от 20; 3) 25% от 16.

14. Из сахарной свеклы получают сахар, вес которого составляет 18% веса свеклы. Сколько сахара получится при переработке:

1) 40 т свеклы; 2) 30 т свеклы; 3) 500 т свеклы?

15. Из семян конопли получают масло, вес которого составляет 15% веса семян. Сколько масла получается из

1) 44 кг семян; 2) 58 кг семян; 3) 80 кг семян?

16. Бригада шахтеров за сутки должна добывать на одном месторождении 500 т угля. План был выполнен на 130%. На сколько процентов перевыполнено задание? Сколько тонн угля добыто за сутки сверх плана?

17. Стоимость путевки в санаторий 180 р. Рабочий оплатил только 30% ее стоимости, остальную часть стоимости путевки оплатил профсоюз. Сколько рублей заплатил рабочий за путевку, а сколько профсоюз?

18. Увеличьте число:

1) 60 на 10%; 2) 80 на 25%; 3) 40 на 50%.

19. Уменьшите число:

1) 60 на 10%; 2) 80 на 25%; 3) 90 на 50%.

20. 1) Число 200 увеличили на 25%. Во сколько раз увеличилось число?

2) Число 300 увеличили на 13%. Во сколько раз увеличили число?

3) Число а увеличили на 35%. Во сколько раз увеличили число?

21. 1) Число 200 увеличили в 1,3 раза. На сколько процентов увеличили число?

2) Число 400 увеличили в 1,4 раза. На сколько процентов увеличили число?

3) Число а увеличили в 2,5 раза. На сколько процентов увеличили число?

22. Найдите число:

1) 1% которого равен 3; 2) 10% которого равны 40; 3) 15% которого равны 30; 4) 50% которого равны 250.

23. Магнитный железняк содержит 70% чистого железа. Сколько железа в 13 т железняка?

24. Сплав содержит 62% олова и 38% свинца. Сколько олова и сколько свинца в 40 г сплава?

25. Припой содержит 40% олова, 2% сурьмы, остальную часть составляет свинец. Сколько олова, свинца и сурьмы в 30 г припоя?

26. Завтрак детей и подростков должен составлять 25% дневного рациона, второй завтрак—15%, обед—40%. Сколько процентов дневного рациона должен составлять ужин?

27. Экономия 1 % горючих и смазочных материалов в сельском хозяйстве страны сберегает за год 1,5 млн. т горючего и 150 тыс. т смазочных материалов. Определите годовой расход горючего и смазочных материалов в сельском хозяйстве нашей страны.

28. Токарь до обеденного перерыва обработал 24 детали, что составляет 60% сменной нормы. Сколько деталей должен обработать токарь за смену?

29. Туристы прошли 75% маршрута, и им осталось пройти еще 5 км. Какова длина маршрута?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Вычислите:

33. Найдите 1,2 числа: 1) 200; 2) 350; 3) 45; 4) 5.

34. Найдите 0,12 числа: 1) 300; 2) 250; 3) 25; 4) 1,5.

35. 7,2 числа составляет: 1) 0,36; 2) 0,18; 3) 0,9 неизвестного числа. Найдите это число.

36. Сейчас отец в 4 раза старше сына. Через сколько лет он будет старше сына в 2 раза, если сейчас сыну 8 лет?

37. Сестре 6 лет, а брат в 2 раза старше. Через сколько лет он будет в 3 раза старше сестры? Как объяснить полученный результат?

38. Туристы наметили пройти маршрут за 3 дня. В первый день они проедут поездом 0,5 маршрута, во второй день—автобусом 0,5 оставшейся части маршрута, а в третий день они пройдут пешком оставшиеся 12 км. Какова длина маршрута?

39. Туристы наметили за три дня пройти и проехать маршрут длиной 198 км. В первый день они проедут

поездом некоторую часть маршрута, во второй—половину того пути, что проехали поездом, а в третий день пройдут оставшиеся 18 км пешком. Сколько километров туристы проедут поездом? 40. Расстояние от А до В первый пешеход пройдет за 2 ч, а второй — за 3 ч. Через сколько часов первый догонит второго, если они одновременно выйдут из А и В в одном направлении (рис. 7.6)?

41. Бак наполняется через первую трубу за 6 мин и опорожняется через вторую трубу за 9 мин. За сколько минут наполняется бак через первую трубу, если вторую трубу оставить открытой?

42. У хозяйки спросили: «Хорошо ли несутся Ваши куры?» «Считайте сами, — был ответ, — полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур». Сколько яиц несут куры в день?

43. На одном и том же расстоянии одно колесо делает 80 оборотов, а другое—70 оборотов. Длина окружности одного из колес на 2 см больше. Определите длины окружностей колес.

44. Шутка. Летели утки: одна впереди, две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего уток?

45. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 1 ч. Первый из них пришел в В через 1 ч 50 мин после начала движения. Сколько времени второй шел из В в А?

46. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 35 мин. Через 25 мин после встречи первый пришел в В. Через сколько минут после встречи второй пришел в A?

47. На рис. 7.7 показано, как можно покрыть плоскость равными шестиугольниками. Можно ли покрыть

Рис. 7.6

Рис. 7.7

плоскость равными пятиугольниками? Если можно, то как? Можно ли покрыть плоскость равными семиугольниками?

48. Требуется закрасить прямоугольники (рис. 7.8) так, чтобы каждый из них был одного цвета и чтобы прямоугольники, имеющие один цвет, не касались друг друга сторонами. Почему в случаях 2)— 6) нельзя обойтись двумя цветами? Какое наименьшее количество цветов потребуется для закрашивания всей плоскости? Выполните такое закрашивание.

Рис. 7.8

§ 84. Решение задач на проценты

С процентами связаны задачи трех основных типов:

— нахождение процентов данного числа;

— нахождение числа по его процентам;

— нахождение процентного отношения чисел.

Задачи первых двух типов уже рассмотрены в предыдущем параграфе. Для их решения достаточно знать, что процент—сотая часть. Задачи третьего типа связаны с выражением в процентах отношения двух чисел.

Пример. Из 300 учеников IV и V классов школы в различных кружках занимается 138. Сколько процентов учащихся IV и V классов занимается в кружках?

Решение. I способ. Вопрос задачи сводится к определению числа процентов, которое составляет 138 от 300. Примем 300 человек за 100%. Тогда 3 человека составляют 1 %, так как 300:100 = 3.

Определим, сколько процентов составляют 138 учеников:

138:3 = 46 (%).

II способ. Отношение 138 к 300 равно

Решение обычно записывают короче:

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100.

Все три типа задач на проценты можно решать с помощью одного приема как задачи на прямую пропорциональную зависимость.

Примеры. 1) Найдем 7 % от 35. Решение. Пусть х—искомое число; тогда

2) Найдем число, 12 % которого равны 3. Решение. Пусть х—искомое число; тогда

3) Найдем процентное отношение чисел 8 и 35. Решение. Пусть х—искомое число процентов; тогда

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1) Найдите 18 % числа 50.

2) Найдите число, 18 % которого равны 9.

3) Сколько процентов числа 50 составляет число 9?

2. 1) Найдите 15% числа 36.

2) Найдите число, 15% которого равны 36.

3) Сколько процентов числа 36 составляет число 27?

3. Какую часть от числа 100 составляет число: 1) 5; 2) 7; 3) 15; 4) 75?

Ответ выразите в процентах и дробью.

4. Сколько процентов от 200 составляет число: 1) 28; 2) 12; 3) 100; 4) 188?

5. В начале XX века в России из каждых 100 человек, занятых в хозяйстве, 9 человек работали в промышленности, 75 работали в сельском хозяйстве, 9 человек работали в торговле. Выразите в процентах долю работников, занятых в промышленности, сельском хозяйстве и в торговле, от общего числа занятых в хозяйстве.

6. Из 40 учеников класса 25 человек занимается в различных кружках. Сколько процентов учащихся класса занимается в кружках?

7. Сколько процентов составляет число: 1) 50 от 40; 2) 40 от 50?

8. На сколько процентов

1) 50 больше, чем 40; 2) 40 меньше, чем 50? Почему получились разные ответы в заданиях 1) и 2)? Поясните.

9. Увеличьте число 60 на 1) 5%; 2) 15%; 3) 50%.

10. Выразите дробь (отношение) в процентах:

11. Уменьшите число 60 на

1) 15%; 2) 20%; 3) 25%; 4) 75%.

12. Мясо при варке теряет 40% своего веса.

1) Сколько вареного мяса получится из 6 кг свежего?

2) Сколько свежего мяса нужно взять, чтобы получить 6 кг вареного?

13. Цену товара уменьшили на 10%, затем еще на 10%. На сколько процентов уменьшили цену за 2 раза?

14. Цену товара сначала повысили на 10%, а затем понизили на 10%. Как изменилась цена в результате?

15. Цену товара сначала понизили на 10%, а затем повысили на 10%. Как изменилась цена товара в результате?

16. Одну сторону прямоугольника увеличили на 10%, а другую—на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

17. Бригада шахтеров решила ежегодно увеличивать добычу угля на 5%. На сколько процентов за пятилетку увеличится добыча угля?

18. На сколько процентов увеличится вклад в 1000 р., при 3% годовых, за 1 год; за 2 года; за 3 года?

19. На сколько процентов 64 больше, чем 50?

20. Число 200 увеличили на 20%, полученный результат уменьшили на 20%. Получится ли число 200 в результате? Какое число получится?

21. Число а увеличили на 20%, потом еще на 20%. Во сколько раз увеличилось число а? На сколько процентов увеличилось число а за два раза?

22. В одном килограмме сыра содержится, в зависимости от сорта, от 200 до 250 г высокопитательного белка. Сколько процентов белка содержится в сыре?

23. Кофейный напиток «Дружба» состоит из кофе (20%), цикория (30%), ячменя (35%) и сои (15%). На изготовление напитка использовали на 3,5 кг ячменя больше, чем цикория. Сколько кофе использовали для изготовления напитка?

24. Сплав содержит 62% олова и 38% свинца. В куске такого сплава содержится олова на 7,2 г больше, чем свинца. Сколько граммов свинца в этом куске?

25. Припой содержит 40% олова, 2% сурьмы, остальную часть припоя составляет свинец. В куске такого припоя свинца на 3,2 г больше, чем олова. Определите вес куска припоя.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

26. Три доярки обслуживают на ферме 125 коров. Сколько доярок потребуется для обслуживания 625 коров?

27. Мама купила 200 г конфет и заплатила за них на 18 к. меньше, чем в прошлый раз, когда она купила 250 г таких же конфет. Сколько стоит 1 кг таких конфет?

28. Для приготовления кофе с молоком в кафетерии на 8 частей кофе берут 75 частей молока, 25 частей сахара и 92 части воды. Сколько граммов каждого компонента (молока, сахара, воды и кофе) взяли для приготовления 12,8 кг напитка?

29. Для узбекского плова на 10 частей баранины берут 7 частей жира, 15 частей риса, 5 частей лука, 1 часть моркови, а также соль и специи по вкусу. Сколько

лука и моркови надо взять для плова, если риса берут на 750 г больше, чем баранины?

30. Первую половину времени, затраченного на всю поездку, машина ехала со скоростью 55 км/ч вторую — со скоростью 66 км/ч. Какова средняя скорость движения?

31. Первую половину пути машина ехала со скоростью 55 км/ч, вторую—со скоростью 66 км/ч. Какова средняя скорость движения машины на всем участке пути?

32. Докажите, что на рычажных весах можно взвесить любой груз весом в целое число граммов, большее шести, имея гири по 3 и 4 г. Гири разрешается ставить только на одну чашу весов.

33. Можно ли любой груз весом в целое число граммов, большее семи, взвесить с помощью гирь по 4 и 5 г, если при этом разрешается ставить гири лишь на одну чашу весов?

34. Докажите, что любую сумму в целое число рублей, большую семи, можно уплатить трехрублевыми и пятирублевыми банкнотами. При этом расчет можно произвести без сдачи.

§ 85. Десятичные дроби произвольного знака

При работе с десятичными дробями надо помнить, что десятичная дробь—другая форма записи обыкновенных дробей.

Любое свойство обыкновенных дробей переносится на десятичные дроби.

В частности, если перед положительной десятичной дробью поставить знак плюс (+), то дробь не изменится, потому что если поставить знак плюс (+) перед равной ей обыкновенной дробью, то это не изменяет ее.

Например, 2,78 = +2,78; 3,99 = +3,99.

Если перед положительной десятичной дробью поставить знак минус (—), то получим другую—отрицательную дробь (меньшую нуля).

Например,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите:

8. Решите уравнение:

9. Вычислите:

10. Вес розового масла составляет 0,1% от веса переработанных розовых лепестков.

1) Сколько масла получится из 1 кг розовых лепестков?

2) Сколько масла получится из 1 т розовых лепестков?

3) Сколько килограммов розовых лепестков собрали школьники на плантации, если после переработки получили 8 кг масла?

11. Средневолокнистый хлопчатник сорта «Чимбай 3010» дает урожай хлопка-сырца до 40 ц с гектара. Выход волокна составляет до 37,5%. Урожайность сорта «Фархад» составляет 47 ц с гектара. Выход волокна из хлопка-сырца этого сорта достигает 32,8%. Какой сорт хлопчатника дает больше волокна с одного гектара?

12. Имеется 700 г молока жирности 6%. Сколько воды надо добавить в это молоко, чтобы получить молоко жирности 3,5%?

13. Кусок сплава весом 3 кг, содержащий 80% олова и 20% свинца, сплавили с куском олова весом 7 кг. Каким стало процентное содержание олова в сплаве?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

14. Некоторое число и 0,23 этого же числа в сумме дают 24,6. Найдите это число.

15. Некоторое число больше 0,42 этого же числа на 2,9. Найдите это число.

16. Число и 25% этого же числа в сумме равны 625. Найдите число.

17. Число и 20% этого же числа в сумме равны 36. Найдите число.

18. Число больше 25% этого же числа на 60. Найдите число.

19. 25% числа больше 12% этого же числа на 78. Найдите число.

20. 40% числа в сумме с числом 6 равны 66. Найдите число.

21. 3/5 числа и его 15% дают в сумме 90. Найдите число.

22. В первой бочке 48 ведер воды, а во второй 22 ведра. Из первой отлили в 2 раза больше ведер воды, чем из второй. По сколько ведер воды отлили из каждой бочки, если в первой осталось в 3 раза больше воды, чем во второй?

23. Даны три числа. Первое на 5 больше второго, а третье составляет второго. Их сумма равна 54. Найдите эти числа.

24. Даны три числа. Первое составляет 3/4 второго, а третье в 2 раза больше первого. Сумма трех чисел равна 91. Найдите эти числа.

25. 30% класса и еще 5 человек пошли в кино, а 3/8 класса и оставшиеся 8 человек — на экскурсию. Сколько человек в классе?

26. Смешали сорокапроцентный и десятипроцентный растворы кислоты и получили 600 г пятнадцатипроцентного раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора взяли?

27. Имеется молоко двух сортов — с жирностью 8% и 5%. Сколько килограммов молока каждого сорта нужно взять, чтобы при смешивании получить 60 кг молока с жирностью 6%?

28. В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставьте три единицы, три двойки и три тройки так, чтобы в каждом горизонтальном ряду (строке) и в каждом вертикальном ряду (столбце) любая из цифр 1, 2, 3 встречалась только один раз.

29. В каждой из 9 клеток квадрата поставьте одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также по диагонали, равнялось 6. Сколько решений имеет задача?

§ 86. Исторические сведения

Мы уже познакомились с вавилонским способом записи дробей без знаменателей. Например, запись 15°12'36"54'" соответствует сумме 15 + 12/60 + 36/602 + 54/603. Несмотря на громоздкие знаменатели, такая запись позволяла довольно быстро выполнять действия с дробями. Так, сумма

может быть вычислена коротко:

По аналогии с шестидесятеричными дробями позднее стали записывать и дроби со знаменателями 10, 100, 1000,

Потом такую запись упростили, стали отделять целую и дробную части друг от друга не кружком сверху, а запятой снизу; цифры десятых, сотых, тысячных и т. д. стали писать слитно:

В 1427 году самаркандский математик и астроном Джемшид ибн-Масуд аль-Каши впервые подробно описал систему десятичных дробей и действий над ними. В Европе десятичные дроби стали известны через 100 с лишним лет после этого, благодаря главным образом трудам фламандского инженера и ученого С. Стевина.

В русской литературе учение о десятичных дробях было впервые изложено в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого—первом русском печатном учебнике по математике (1703 г.). Л. Ф. Магницкий был преподавателем математики в московской школе математических и навигационных наук. Его книга сыграла большую роль в распространении математических знаний в России, по ней учился гениальный русский ученый М. В. Ломоносов.

Десятичные дроби, благодаря простой записи и сходным с натуральными числами правилам действий, получили широкое распространение в практических расчетах.

В некоторых странах, например в США, целую и дробную части десятичной дроби отделяют не запятой, а точкой. Вместо 1,2; 35,48; 2,008 пишут: 1.2; 35.48; 2.008.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Запишите в виде обыкновенной дроби шестидесятеричную дробь:

2. Запишите в виде шестидесятеричной дроби дробь:

3. Запишите в часах и минутах:

4. Выразите в часах, минутах и секундах:

6. Выразите в градусах и минутах:

7. Выразите в минутах и секундах:

8. Выразите в градусах, минутах и секундах:

9. Длину прямоугольника увеличили в 4/3 раза. На какую дробь нужно умножить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

10. Одну сторону прямоугольника уменьшили на 0,1 ее длины. Во сколько раз надо увеличить другую сторону, чтобы площадь прямоугольника не изменилась?

11. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

12. На некотором участке пути шофер уменьшил скорость автомашины на 25%. На сколько процентов увеличится время движения?

13. На некотором участке пути машинист увеличил скорость поезда на 25%. На сколько процентов уменьшится время движения на этом участке?

14. На клетчатой бумаге нарисовали квадрат 4×4. Его надо разрезать на две равные части, которые совпадают при наложении. Но резать разрешается только по горизонтальным и вертикальным линиям. Знайка нашел три решения этой задачи (рис. 7.9). Помогите Незнайке найти остальные три решения.

15. Разделите по тем же правилам на две равные части прямоугольник 3×4. Сколько решений имеет эта задача?

16. Велосипедист проехал от села до города со скоростью 15 км/ч, а возвращался со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость движения велосипедиста?

Решение. Пусть расстояние от села до города х км.

Рис. 7.9

Тогда велосипедист был в пути

и проехал х+х=2х км. Вычислим среднюю скорость:

17. Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, потом точно такое же время—со скоростью 10 км/ч, Какова средняя скорость движения велосипедиста?

18. Легковой автомобиль проехал расстояние от А до В по скоростной трассе со скоростью 110 км/ч, а обратно—со скоростью 90 км/ч, Определите среднюю скорость автомобиля на всем участке.

19. Автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч потом такое же время—со скоростью 90 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ПО МАТЕРИАЛУ ГЛАВЫ VII

1. Какие дроби называются десятичными?

2. Как из данной десятичной дроби получить равную ей десятичную дробь? Приведите примеры.

3. Как сравнить две десятичные дроби?

4. Как изменится десятичная дробь, если запятую перенести на k цифр вправо; влево? Приведите примеры.

5. Покажите на примере, как сложить, вычесть две десятичные дроби. Приведите примеры.

6. Сформулируйте правило умножения десятичных дробей.

7. Объясните на примере, как разделить десятичную дробь на натуральное число.

8. Как разделить одну десятичную дробь на другую?

9. Что называется процентом?

10. Как найти несколько процентов числа?

Глава VIII. ОБЫКНОВЕННЫЕ И ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

§ 87. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь

До сих пор мы рассматривали десятичные дроби, называемые конечными десятичными дробями. Их называют конечными, потому что после запятой у них стоит конечное число цифр.

В дальнейшем мы рассмотрим и бесконечные десятичные дроби. У них после запятой бесконечно много цифр.

Рассмотрим примеры:

Из этих примеров видно, что если конечную десятичную дробь записать в виде обыкновенной несократимой дроби p/q, то ее знаменатель q не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5.

Это утверждение можно доказать в общем случае. Верно и обратное утверждение:

Если знаменатель q несократимой дроби p/q не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь разлагается в конечную десятичную дробь.

Например,

В этом примере мы умножили знаменатель дроби на 2, в результате он превратился в степень числа 10. Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель умножить на 2.

Так же поступаем и в следующих примерах:

Для разложения в конечную десятичную дробь обыкновенной несократимой дроби, знаменатель которой не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, существуют два способа.

Один из них мы уже рассмотрели, он сводится к умножению числителя и знаменателя дроби p/q на степень 2 или на степень 5, чтобы в знаменателе получилось число 10 в некоторой степени.

Вторым способом является способ деления числителя на знаменатель уголком. Например, обратим этим способом дробь 3/40 в десятичную дробь:

Следовательно,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Может ли иметь простые делители, отличные от 2 и 5, знаменатель обыкновенной несократимой дроби, равной конечной десятичной дроби?

2. Каким свойством должен обладать знаменатель обыкновенной несократимой дроби, чтобы она разлагалась в конечную десятичную дробь?

3. Какими способами можно разложить обыкновенную дробь в десятичную дробь? Приведите пример.

4. Какие простые множители содержит знаменатель дроби:

5. Найдите несократимые дроби, равные данным:

6. Запишите в виде обыкновенных несократимых дробей:

7. Запишите дроби в виде дробей, у которых знаменатель является степенью 10:

8. Разложите обыкновенные дроби в десятичные двумя способами:

9. Разложите обыкновенные дроби в десятичные способом деления уголком:

12. Возможно ли разложение данных обыкновенных дробей в конечные десятичные дроби:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

13. Представьте числовые выражения в виде произведения возможно большего числа множителей (отличных от 1):

14. Определите, является ли данное число простым или составным:

15. Определите порядок действий; прочитайте данные выражения; найдите их значения:

16. Проверьте справедливость равенства:

17. Используя равенства упр. 16, вычислите:

18. Проверьте справедливость равенства:

19. Используя равенства упр. 18, вычислите:

20. Запишите в виде степени 10:

1) 10; 2) 100; 3) 1000; 4) 1000000;

5) число, записанное единицей с тридцатью нулями.

21. Запишите числа в виде произведения простых чисел:

23. Какой цифрой не может оканчиваться квадрат натурального числа?

24. В каких случаях квадрат натурального числа является четным числом?

25. Какими цифрами оканчиваются кубы последовательных натуральных чисел? В какой последовательности повторяются эти цифры?

§ 88. Понятие периодической десятичной дроби

Если знаменатель несократимой дроби p/q имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не разлагается в конечную десятичную дробь. Применив к ней правило деления уголком, мы не сможем получить конечную десятичную дробь.

Разложим в десятичную дробь число 7/9. Это несократимая дробь, и ее знаменатель имеет простой делитель 3, отличный от 2 и 5. Поэтому число 7/9 заведомо не разлагается в конечную десятичную дробь. Применим все же к этой дроби способ деления уголком числителя на знаменатель:

На каждом этапе вычислений получается один и тот же остаток 7, а в частном—одна и та же цифра 7.

Процесс этот бесконечен (не имеет конца). Он привел нас к выражению

где точки означают, что цифра 7 периодически повторяется бесконечно много раз.

Выражение 0,777... называют бесконечной периодической десятичной дробью или просто периодической дробью и записывают:

Читают это выражение так: «нуль целых и семь в периоде».

Говорят, что число 7/9 представлено в виде периоди-

ческой дроби 0,(7) или что число 7/9 разложено в периодическую дробь 0,(7). При этом пишут:

Выражения 7/9 и 0,(7) являются разными обозначениями одного и того же числа — в виде обыкновенной дроби 7/9 и в виде бесконечной периодической дроби 0,(7).

Пример. Дробь 2/99 несократимая, и ее знаменатель имеет простые делители, отличные от 2 и 5. Поэтому ее десятичное разложение не может быть конечным. В самом деле,

Процесс деления здесь бесконечный, он приводит к выражению

где точки означают, что группа цифр (02) периодически повторяется бесконечно много раз. Это выражение также называют периодической дробью и записывают: 0,(02). Читают это выражение так: «нуль целых и нуль два в периоде».

Говорят, что число представлено в виде периодической дроби или разложено в периодическую дробь. При этом пишут:

Пример.

Правая часть этого равенства читается так: «три целых, одна десятая и семь в периоде».

Приписывая к целому числу или к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы также превращаем их в бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 0. Например,

27 = 27,000... =27,(0); 0,354 = 0,354000... =0,354(0).

Следовательно, любое целое число и любую конечную десятичную дробь можно считать частным случаем бесконечной периодической дроби.

УПРАЖНЕНИЯ

1. В каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь?

2. Каким способом разлагается любая обыкновенная дробь в десятичную?

3. Какие десятичные дроби могут получиться при делении уголком числителя обыкновенной дроби на ее знаменатель?

4. Как узнать, в какую десятичную дробь разлагается обыкновенная дробь — в конечную или бесконечную? Приведите три примера.

5. Разложите обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель уголком:

Не выполняя деления, разложите обыкновенную дробь в десятичную:

6. Разложите обыкновенную дробь в десятичную делением числителя на знаменатель уголком:

Не выполняя деления, разложите обыкновенную дробь в десятичную:

7. Используя предыдущие задания, запишите периодическую дробь в виде обыкновенной дроби:

8. Решите уравнение:

9. Одно из двух равных чисел увеличили на 48, а другое— в 5 раз. И снова получили равные числа. Найдите данные числа.

10. Число увеличили на 44. При этом оно увеличилось в 5 раз. Найдите это число.

11. Одно число в 6 раз больше другого, а их сумма равна 357. Найдите эти числа.

12. Одно число в 10 раз больше другого, а их разность равна 144. Найдите большее число.

13. В треугольнике ABC АВ= 18 см, ВС на 3,5 см меньше AB, АС в 1,2 раза больше AВ. Найдите периметр треугольника ABC.

14. В треугольнике ABC АВ= 18 см. Это на 3,5 см меньше ВС и в 1,2 раза больше AС. Найдите периметр треугольника ABC.

15. Вычислите:

16. Как можно записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной десятичной дроби? Приведите два примера.

17. Запишите периодические дроби, равные следующим обыкновенным дробям:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

21. Числа 6, 18, 30, 42 представьте в виде суммы степеней числа 2.

22. Запишите числовые выражения в виде квадрата некоторого числа:

23. Почему при возведении в квадрат несократимой дроби (со знаменателем, отличным от 1) не может получиться целое число?

24. Почему при возведении в квадрат несократимой дроби не может получиться сократимая дробь?

§ 89. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби

Покажем, что если к несократимой дроби p/q применить способ деления уголком, то в частном получим либо конечное, либо бесконечное периодическое ее десятичное разложение.

Мы уже знаем, когда может получиться конечное десятичное разложение. Для этого q не должно иметь других простых делителей, кроме 2 и 5. В остальных случаях может быть только бесконечное десятичное разложение. Наша цель показать, что оно периодическое.

Рассмотрим сначала пример: найдем десятичное разложение дроби 8/7. Будем делить 8 на 7 по правилу уголка:

Получаемые при делении остатки заключены в квадратики. Мы видим, что остатки, отмеченные одной и двумя звездочками, равны между собой. Это показывает, что процесс деления носит периодический характер и приводит к бесконечной периодической дроби, т. е.

То, что десятичное разложение дроби 8/7 должно быть бесконечным периодическим, можно объяснить и без вычислений.

Данная дробь 8/7 несократимая, ее знаменатель содержит простой делитель, отличный от 2 и 5. Следовательно, десятичное разложение числа 8/7 не может быть конечным— возникающие при делении остатки положительны (не равны нулю) на любом этапе деления. В то же время каждый остаток меньше 7, т. е. он равен одному из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Но тогда, если мы будем рассматривать подряд остатки, начиная с отмеченного одной звездочкой, то среди первых 7 из них обязательно должны найтись два равных между собой, что и показывает, что мы должны получить в частном периодическую дробь.

Эти рассуждения проводятся для любой несократимой дроби p/q, знаменатель которой q имеет хотя бы один простой делитель, отличный от 2 и 5. Если делить р на q по правилу уголка, то наступит такой этап, когда все цифры делимого будут снесены. Если рассмотреть подряд все возникающие (начиная с этого момента) остатки, то среди первых q из них всегда окажутся два равных между собой. А это и показывает, что процесс деления бесконечный и периодический.

Итак, показано, что любое положительное рациональное число p/q разлагается в бесконечную периодическую дробь.

Напомним, что конечную десятичную дробь мы тоже называем периодической дробью (с периодом 0).

Любая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого положительного рационального числа.

Рассмотрим на примерах, как можно находить это число.

Пример 1*. Запишем периодическую дробь 0,(8) в виде обыкновенной дроби. Для этого обозначим искомую дробь через х. Тогда справедливо равенство

Умножая это равенство на 10, получим верное равенство

Вычитая первое равенство из второго, находим, что

откуда

Применив к дроби 8/9 способ деления уголком, получим, что эта дробь действительно равна периодической дроби 0, (8).

Пример 2*. Запишем периодическую дробь 2,35(7) в виде обыкновенной дроби. Для этого обозначим искомую дробь через х. Тогда справедливо равенство х = 2,35 (7).

Умножая это равенство на 100 и на 1000, получим, что верны равенства 100x=235, (7) и 1000x= 2357, (7).

Вычитая второе равенство из третьего, находим, что

откуда

Применив к дроби способ деления уголком, получим, что эта дробь действительно равна периодической дроби 2,35(7).

Можно заметить, что

Следовательно,

Также показывается, что любую периодическую дробь с периодом 9 всегда можно заменить соответствующей конечной десятичной дробью.

Замечание. Отметим, что при делении уголком десятичное разложение с периодом 9 не возникает. Поэтому в дальнейшем нет необходимости рассматривать периодические дроби с периодом 9.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Сколько цифр может быть в периоде десятичного разложения обыкновенной несократимой дроби со знаменателем 13?

2. Какие обыкновенные несократимые дроби разлагаются в периодические с периодом 0?

3. Можно ли произвольную периодическую дробь рассматривать как десятичное разложение некоторой обыкновенной дроби?

4. В каком случае разложение обыкновенной дроби в десятичную является конечным?

5. В каком случае десятичное разложение несократимой дроби будет бесконечным и периодическим?

6. Сформулируйте правило записи периодической дроби в виде обыкновенной. Приведите пример.

7. Покажите на примере, как периодическая дробь с периодом 9 превращается в конечную десятичную дробь.

8. Какое условие должно обязательно выполняться, чтобы обыкновенная дробь разлагалась в периодическую с периодом, отличным от 0?

9. Чем объясняется периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби?

10. Следующие периодические дроби запишите в виде обыкновенных дробей:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

13. Укажите на координатной оси числа:

14. Вычислите:

15. Найдите значение выражения:

16. Решите уравнение:

17. Решите пропорцию:

18. Запишите частное в виде обыкновенной дроби. Выразите эту дробь в виде конечной десятичной дроби (где это возможно):

20. Одно число на 34 больше другого. В то же время первое число в 3 раза больше второго. Найдите меньшее число.

21. Одно число больше другого на 39 и в 4 раза. Найдите большее число.

22. Сумма двух чисел равна 484. Если к одному из этих чисел приписать справа нуль, то получится второе число. Найдите эти числа.

23. Сумма двух чисел равна 473. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

24. Несколько ложек стоят 2 р., а столько же вилок стоят 1 р. 76 к. Сколько стоит 1 ложка, если она дешевле 50 к.?

§ 90. Непериодические десятичные бесконечные дроби. Иррациональные числа

До сих пор мы рассматривали периодические десятичные дроби, но возможны и бесконечные непериодические десятичные дроби. Выражение 0,10110111011110111110..., где после запятой стоят единица, нуль, две единицы, нуль, три единицы, нуль и т. д., может служить примером по-

ложительной бесконечной непериодической дроби. В ней никакая группа цифр не является периодом (нет периода сразу после запятой и после любой из цифр). Это показывает, что данная десятичная дробь не является десятичным разложением какого-либо рационального числа.

Эту бесконечную десятичную дробь принято считать десятичным разложением положительного иррационального (нерационального) числа.

Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным (нерациональным) числом.

Вот примеры иррациональных чисел: 0,01001000100001...; 17,12345678910111213...; 3,012345678910111213... У первого числа после запятой стоят нуль, единица, два нуля, единица, три нуля, единица и т. д.

У второго числа после запятой записаны в возрастающем порядке числа натурального ряда.

Если обозначить иррациональное число буквой, например,

0 = 0,10110111011110...,

то говорят, что правая часть этого равенства есть десятичное разложение числа а.

Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.

Любое действительное число представляется в виде бесконечной десятичной дроби. Если число рациональное, то дробь периодическая; если число иррациональное, то дробь непериодическая.

Число до запятой у положительной бесконечной десятичной дроби мы будем называть целой частью этой дроби.

Первую цифру после запятой у бесконечной десятичной дроби называют цифрой первого разряда после запятой, вторую цифру—цифрой второго разряда после запятой, третью—цифрой третьего разряда после запятой и т. д.

Для записи произвольной бесконечной десятичной дроби часто пользуются буквами. Положительная бесконечная

десятичная дробь может быть записана при помощи букв следующим образом:

Здесь α0—целая часть дроби. Таким образом, α0 есть нуль или натуральное число, α1 — цифра первого разряда после запятой, α2—цифра второго разряда после запятой и т. д.

При этом число α0 или хотя бы одно из чисел α2, ... отлично от нуля. Иначе число было бы нулем.

Поставив перед положительной десятичной дробью знак минус, получим отрицательную десятичную дробь

Числа (дроби) α0,α1α2α3 ... и —α0α1α2α3 ... называются противоположными числами. Если одно из противоположных чисел обозначить буквой а, то другое обозначают через —а.

Если а—положительное число, то —а—отрицательное число; если же а—отрицательное число, то —а—положительное число; если а = 0, то —а = 0.

Модуль (абсолютная величина) действительного числа а обозначается |а| и определяется следующим образом:

Мы определили действительные числа пока формально. Полное их определение получится, если дать правила их сравнения, а также правила их сложения, вычитания, умножения и деления.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Какое число называется рациональным, иррациональным, действительным числом?

2. Что называется целой частью бесконечной десятичной дроби?

3. Что называется цифрой третьего разряда бесконечной десятичной дроби? Приведите пример.

4. Какие числа называются противоположными? Приведите пример.

5. Как обозначается число, противоположное числу а?

6. Если число обозначено через —а, значит ли это, что оно отрицательно? Приведите пример.

7. Что называется модулем (абсолютной величиной) действительного числа? Приведите три примера.

8. Как при помощи букв записать положительную (отрицательную) бесконечную десятичную дробь?

9. В каком случае справедливо равенство:

10. Найдите модуль (абсолютную величину) чисел:

11. Придумайте какие-нибудь пять бесконечных непериодических дробей (иррациональных чисел).

12. Найдите число, противоположное:

13. Приведите примеры конечных десятичных дробей. Запишите их в виде несократимых обыкновенных дробей. Каким свойством обладают знаменатели полученных обыкновенных дробей?

14. Какие из следующих чисел являются рациональными и какие иррациональными:

1) 0,275; 2) 0,(2); 3) 1,32323232...;

4) 1,15(45); 5) 3,10110111011110...; 6) 0,1234567...?

15. Запишите четыре числа, являющиеся:

1) натуральными; 2) положительными;

3) отрицательными; 4) целыми;

5) рациональными; 6) иррациональными;

7) четными; 8) простыми;

9) нечетными; 10) составными;

11) кратными 3; 12) кратными 2 и 5.

16. Запишите два числа, одновременно являющиеся:

1) рациональными и отрицательными;

2) целыми и кратными 5;

3) целыми и положительными;

4) простыми и большими 30;

5) составными и четными;

6) нечетными и кратными 7.

17. Любое ли иррациональное число является действительным?

18. Каждое ли действительное число является иррациональным? Приведите пример.

19. Существует ли рациональное число, обращающееся в бесконечную непериодическую дробь?

20. Сравните по модулю действительные числа; поставьте между ними знак > или <; изобразите эти числа на координатной оси (в произвольном масштабе):

22. Верно ли, что каждому рациональному числу соответствует некоторая точка координатной оси? Верно ли обратное утверждение, что каждой точке координатной оси соответствует некоторое рациональное число?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

23. Изобразите на координатной оси числа:

24. Вычислите:

25. Найдите значение выражения:

26. Решите уравнение:

27. За одно и то же время токарь делает 6 деталей, а а его ученик—4 детали. Сколько деталей сделает ученик за то же время, за которое токарь сделает 27 деталей?

28. За одно и то же время мастер делает 6 деталей, а его ученик — 4 детали. Сколько времени потратит ученик на задание, которое мастер выполняет за 1 ч?

29. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км. Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км (если их скорости будут неизменными)?

30. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км. Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдет за 2 ч?

31. Пассажир поезда, идущего со скоростью 60 км/ч, заметил, что он проехал мост через реку за 0,4 мин. На обратном пути он проехал мост за 0,3 мин. Определите скорость поезда на обратном пути.

32. Автомобилист заметил, что на скорости 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель на скорости 50 км/ч?

33. Брат с сестрой принесли из леса 23 белых гриба. Брат помнит, что он нашел на 5 белых грибов больше, чем сестра. Сколько белых грибов нашел каждый из них?

34. В классе 36 учеников, причем девочек на 4 больше, чем мальчиков. Сколько в классе девочек и сколько мальчиков?

§ 91. Сравнение действительных чисел. Приближение числа

Бесконечные десятичные дроби (не имеющие периода 9) сравниваются по тем же правилам, как конечные десятичные дроби, на основе сравнения их модулей по цифрам разрядов.

Пример. Сравним числа —3,1 и —3,(1).

Действительно, модули этих чисел имеют одинаковые целые части и одинаковые цифры первого разряда после запятой, но цифра второго разряда после запятой первой дроби меньше цифры второго разряда второй дроби. Поэтому модуль первой дроби меньше модуля второй. Тогда по правилу сравнения отрицательных чисел получаем

Если число a1 мало отличается от числа а, то пишут:

и говорят, что число а приближенно равно числу а или что a1 есть приближение числа а. Знак ≈ есть знак приближенного равенства.

Если при этом a1 < a, то a1 называют приближением а с недостатком (или снизу). Если же a1 > а, то a1 называют приближением а с избытком (или сверху).

Если случится, что a1 = а, то a1 можно назвать как приближением а снизу, так и сверху.

Действительные числа, задаваемые бесконечными десятичными дробями или конечными с большим числом знаков, приближают конечными десятичными дробями. Сама конструкция десятичной дроби подсказывает, как эти приближения подбирать. Рассмотрим пример.

Пусть а = 2,3(28).

Оборвем эту дробь на цифре второго разряда после запятой. Получим число 2,32, меньшее, чем а.

Если у числа 2,32 увеличить цифру второго разряда после запятой на единицу, то получим число 2,33, уже большее, чем а. Таким образом,

поэтому 2,32 есть приближение числа а снизу, а 2,33 есть его же приближение сверху. Пишут при этом:

и говорят «2,32 есть приближение числа а с точностью до одной сотой с недостатком (снизу); 2,33 есть прибли-

жение числа а с точностью до одной сотой с избытком (сверху)».

Вместо слов «с точностью до одной сотой» говорят еще «с точностью до единицы второго разряда после запятой».

Так как третья цифра после запятой у числа больше 5, то оно ближе к 2,33, чем к 2,32. Поэтому говорят, что 2,33 есть приближение а с точностью до сотой с округлением.

Рассуждая аналогично, получим, что

где 2,328 есть приближение а с точностью до одной тысячной снизу и в то же время с округлением. Это следует из того, что цифра четвертого разряда после запятой меньше 5, поэтому а ближе к 2,328, чем к 2,329.

2,329 есть приближение а с точностью до 0,001 сверху.

Подобным образом для числа b =— 2,3(28) имеют место неравенства — 2,33 < b <—2,32, откуда b ≈ —2,33, b ≈ — 2,32, и при этом —2,33 есть приближение а с точностью до 0,01 снизу и в то же время с округлением; — 2,32 есть приближение с точностью до 0,01 сверху.

Сумма (разность, произведение, частное) двух чисел считается приближенно равной сумме (разности, произведению, частному) их приближенных значений.

Отметим, что чем с большим числом разрядов мы будем брать приближенные значения двух чисел, тем ближе будет сумма (разность, произведение, частное) этих приближенных значений к истинной сумме (разности, произведению, частному) этих чисел.

Пример. Даны числа

Округлить их с точностью до десятых и вычислить приближенно a + b, а—b, а⋅b, a/b, округлив результат до десятых.

Решение.

УПРАЖНЕНИЯ

1. В каком случае два действительных числа (не имеющие периода 9) равны между собой?

2. Когда не равны два действительных числа?

3. Как сравнить два действительных числа? Когда одно действительное число меньше другого? Приведите два примера.

4. Если |а| < |b|, то всегда ли верно неравенство а < b?

5. Пусть |а| = |b|. В каких случаях а = b и в каких случаях а≠b?

6. Поясните, как надо понимать записи:

7. Сравните действительные числа:

9. Запишите в убывающем порядке следующие действительные числа:

10. Запишите в возрастающем порядке следующие действительные числа:

11. Покажите справедливость неравенств:

12. Расположите числа в порядке возрастания:

13. Расположите числа в порядке убывания:

14. Покажите справедливость неравенств:

15. Верны ли неравенства:

16. Для чисел 2,(1) и 2,111 укажите хотя бы одно такое число, которое было бы больше одного из них и меньше другого.

17. Сравните модули чисел; поставьте между ними знак >, = или <; изобразите эти числа на координатной оси:

19. 1) Что показывает знак ≈? Как читается выражение а ≈ a1?

2) Какими числами приближают действительные числа?

3) Что называется приближением действительного числа? Приведите пример.

4) Как получить лучшие приближения действительного числа?

5) Как найти приближенно сумму, разность, произведение и частное двух действительных чисел? Покажите на примерах.

20. 1) Что называется приближением с недостатком (снизу)?

2) Что называется приближением с избытком (сверху)?

3) Что называется приближением с округлением? Приведите пример.

21. Найдите приближенное значение числа а с недостатком:

22. Найдите приближение числа а с избытком:

1) а = —0,(3) с точностью до единицы третьего разряда;

2) a=—1,2777... с точностью до единицы второго разряда;

3) а = —12,0(01) с точностью до единицы первого разряда.

23. Найдите приближение числа с точностью до одной сотой:

24. Округлите числа с точностью до 0,001:

25. Пусть а = 2,14(56), 6 = 0,78788788878888. Найдите приближенно a + b, а—b.

26. Пусть а = 2,13(1), 6 = 0,9(2).

27. Округлите числа с точностью до 0,01 и вычислите их сумму:

28. Округлите числа с точностью до 0,01 и вычислите их разность:

29. Округлите числа с точностью до 0,1 и вычислите их произведение с точностью до 0,1:

30. Округлите числа с точностью до 0,1 и вычислите их частное с точностью до 0,1:

31. Найдите приближенно сумму чисел, ограничившись двумя знаками после запятой:

32. Найдите приближенно разность чисел, ограничившись тремя знаками после запятой:

33. Найдите приближенно произведение чисел, ограничившись одним знаком после запятой:

34. Найдите приближенно частное чисел, ограничившись одним знаком после запятой:

35. Изобразите па координатной оси (удобно взять единичный отрезок длиной 10 см) несколько приближенных значений числа 0,(5), т. е. числа 0,5; 0,55; 0,555 и т. д.

36. Какими свойствами арифметических действий воспользовались при решении следующих примеров:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

37. Устно вычислите:

Вычислите:

40. Найдите значение выражения:

41. Решите уравнение:

42. Решите пропорцию:

43. 1) Какие виды десятичных дробей известны?

2) Приведите примеры конечных десятичных дробей. Запишите их в виде обыкновенных несократимых дробей. Каким свойством обладают знаменатели этих дробей?

3) Приведите примеры бесконечных периодических дробей.

4) Приведите примеры бесконечных непериодических дробей. Как называют такие числа?

5) Как называют числа, которые могут быть записаны в виде p/q , где р и q — целые, q ≠ 0 ?

6) Какие числа называют действительными?

44. 1) Сумма двух чисел равна 432, а их разность равна 18. Найдите эти числа. 2) Сумма двух чисел равна 537, а разность—131. Найдите эти числа.

45. Одна колхозная бригада собрала на 29 т винограда больше, чем другая, а вместе они собрали 523 т винограда. Сколько винограда собрала каждая бригада в отдельности?

46. 1) Собственная скорость теплохода 40,5 км/ч. Скорость течения реки 3,2 км/ч. Найдите скорость теплохода по течению и против течения реки. 2) Скорость катера против течения реки 20,4 км/ч, ско-

рость течения реки 2,8 км/ч. Найдите скорость катера по течению.

47. Скорость катера по течению 24,9 км/ч, скорость течения 2,7 км/ч. Найдите скорость катера против течения. Выразите эту скорость в м/мин.

48. Скорость лодки по течению 12,1 км/ч, против течения 161 2/3 м/мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения, выразив их в метрах в минуту.

49. Опытный рабочий может выполнить задание за 12 дней, его ученик — за 24 дня.

1) Какую часть задания выполнит каждый из них за 1 день?

2) Какую часть задания они выполнят при совместной работе за 1 день?

3) За сколько дней они выполнят совместно все задание?

4) Какую часть всего задания при совместном его выполнении выполнит ученик?

50. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали легковая и грузовая машины. Легковая проезжает расстояние между городами за 1 ч 5 мин, грузовая — за 1 ч 44 мин. Через сколько минут после начала движения произойдет их встреча?

§ 92. Вычисления с помощью микрокалькулятора

С помощью микрокалькулятора можно выполнять вычисления и с десятичными дробями. Для ввода запятой используют клавишу

Например, дробь 3,15 вводят так:

Дробь 0,135 можно ввести так:

или, короче,

При этом с нажатием клавиши

вводится и целая часть дроби (0).

Действия с десятичными дробями выполняются так же, как действия с натуральными числами.

Пример 1. Вычислим сумму

Пример 2. Вычислим разность

Пример 3. Вычислим произведение

Пример 4. Вычислим частное

Пример 5. Выразим дробь 561/374 в виде десятичной дроби.

Так как дробь 561/374 равна частному 561:374, то выполним вычисления по схеме:

Пример 6. Выразим дробь 1/3 в виде десятичной дроби.

На экране получится лишь приближенный результат 0,3333333.

Ответ. 0,3333333.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислите с помощью микрокалькулятора:

5. С помощью микрокалькулятора найдите приближения периодических дробей, равных обыкновенным дробям:

7. Используя результат упр. 5 и 6, не вычисляя, запишите периодические дроби, равные обыкновенным дробям:

8. Вычислите с помощью микрокалькулятора и без него:

9. Вычислите с помощью микрокалькулятора:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

10. Вычислите:

11. Найдите значение выражения:

12. Решите уравнение:

13. Решите пропорцию:

14. Запишите бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:

1) 0,(2); 2) 0,(4); 3) 0,(28); 4) 0,(15).

15. При изготовлении креветочного масла для бутербродов на 2 части пасты «Океан» берут 3 части сливочного масла. Сколько пасты и сливочного масла взяли, если

1) получилось 250 г креветочного масла;

2) сливочного масла взяли на 60 г больше, чем пасты «Океан»?

16. Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Оказалось, что груш и слив взяли 800 г. Сколько килограммов яблок было взято для компота? Сколько килограммов фруктов взяли для компота?

17. Одна бригада может выполнить задание за 12 дней, а вместе с другой бригадой—за 9 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить задание?

18. Привезенного на ферму корма хватит коровам на 8 дней, а коровам и телятам — на 7 дней. На сколько дней хватило бы этого корма телятам?

19. Если раздать детям по 3 яблока, то одного яблока не хватит. Если раздать по 2 яблока, то 8 яблок останутся лишними. Сколько было детей? Сколько было яблок?

20. Участники математического кружка сели по 2 человека за каждую парту, и 9 парт остались свободными. Если же они сядут по одному за каждую парту, то одному человеку не хватит парты. Сколько было участников кружка?

§ 93. Округление при умножении и делении чисел

Умножение и деление чисел связано с громоздкими вычислениями. На практике не всегда требуется точный результат—обычно достаточно вести расчеты приближенно. Поэтому при округлении чисел нужно следить за тем, чтобы не оперировать с цифрами, не влияющими на результат. С другой стороны, может оказаться, что отброшенная при округлении цифра как раз существенно влияет на результат.

Надо знать, какие цифры следует оставлять и какие отбрасывать, чтобы получить оптимальный (наилучший) результат, т. е. такой, чтобы приближение было по возможности точнее и вычисления были экономными. Точность вычисления находится в противоречии с простотой вычисления. Большая точность связана с употреблением большего количества цифр, меньшая требует употребления меньшего количества цифр, если вычисление производится правильно.

Чтобы правильно приближенно умножать и делить числа, надо правильно округлять их. Как это делать, мы поясним на примерах.

Введем понятие значащей цифры или значащего знака в десятичной дроби.

Значащей цифрой в десятичной дроби называется ее первая отличная от нуля, а также все следующие за ней цифры.

Например, в числе 235000 все цифры значащие, в числе 0,302 цифры, стоящие после запятой, значащие, в числе 0,003004 цифры, начиная с цифры 3, значащие.

Округлить число с точностью до третьей значащей цифры—это значит округлить его с точностью до того знака, где находится третья значащая цифра.

Например,

Сформулируем правило приближенного умножения и деления положительных чисел, заданных десятичными дробями.

Чтобы вычислить приближенно произведение или частное положительных чисел с точностью до третьей значащей цифры, надо округлить эти числа с указанной точностью, перемножить или разделить полученные приближения и результат округлить с точностью до третьей значащей цифры.

Пример. Пусть

Вычислить приближенно а⋅b, a/b, b/a с точностью до третьей значащей цифры.

Решение. а ≈ 136, b ≈ 0,00688. С помощью калькулятора вычислим

Ответ.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Укажите значащие цифры для следующих чисел:

4. Сформулируйте правило приближенного умножения положительных чисел, заданных десятичными дробями, с точностью до второй значащей цифры.

б. Сформулируйте правило приближенного деления положительных чисел, заданных десятичными дробями, с точностью до четвертой значащей цифры.

6. Пусть а = 2,4(3), b = 1,929229222...

Вычислите приближенно а⋅b с точностью до

1) второй значащей цифры; 2) третьей значащей цифры.

*) Для определения следующих цифр можно разделить 688 на 136: 688:136 = 5,05882... и в этом числе перенести запятую на 5 цифр влево.

7. Вычислите:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

8. Вычислите:

9. Найдите значение выражения:

10. Решите уравнение:

11. Старинная русская мера веса золотник составляет примерно 4,265542 г. Выразите золотник в граммах с точностью:

1) до единиц; 2) до десятых;

3) до сотых; 4) до тысячных;

5) до десятитысячных; 6) до стотысячных.

12. На монете 1 р. 1921 г. коллекционер прочитал: «чистого серебра 4 золотника 21 доля».

1) Определите, сколько граммов серебра содержит монета, если 1 доля = 1/96 золотника. Считайте, что 1 золотник ≈ 4,27 г. Ответ округлите до десятых.

2) Определите вес монеты, если серебра в ней 90%.

13. Двигатель автомобиля ЗИЛ-130 мощностью 150 л. с. расходует 29 л бензина на каждые 100 км пути. Специальное электронное устройство, подсоединенное к двигателю, позволяет экономить 6% топлива. Сколько литров топлива расходует двигатель с электронным устройством на каждые 100 км пути?

14. На ЗИЛе создан новый двигатель мощностью 185 л. с, который расходует на каждые 100 км пути 19 л дешевого дизельного топлива. Электронное устройство позволяет снизить расход топлива до 14 л. На сколько процентов снижает расход топлива электронное устройство?

§ 94. Основные свойства действительных чисел

1) Для любых двух действительных чисел а и b имеет место, и притом только одно из соотношений:

а = b, а<b, а > b.

2) Для любых действительных чисел а и b таких, что а < b, найдется такое действительное число с, что а < с и с < b, т. е. а <с<b.

3) Если а<b и b < с, то а<с—свойство транзитивности неравенств.

4) Если а < b, то а + с <b + с для любого действительного числа с.

5) Если а<b и с—положительное число, то а⋅с< < b⋅с.

Для любых действительных чисел а, b и с справедливы равенства

(1) (2) (3) (4) (5) (б) (7) (8) (9) (10)

(11)

(12) (13)

Подчеркнем еще раз, что делить на нуль нельзя, поэтому запись a/0 бессмысленна для любого действительного числа а, в том числе и для а = 0.

Замечание. Мы знаем, что эти свойства могут быть обоснованы для рациональных чисел а, b, с на основании соответствующих свойств целых чисел. Подобное обоснование можно выполнить и для действительных чисел а, b, с, пользуясь тем, что они приближаются десятичными дробями.

УПРАЖНЕНИЯ

1. 1) В чем заключено свойство транзитивности неравенств?

2) Что получится с неравенством, если к обеим его частям прибавить действительное число?

3) Что получится с неравенством, если обе его части умножить на положительное число?

4) Сохранится ли неравенство, если обе его части умножить на нуль или отрицательное число? Приведите примеры.

2. Сформулируйте:

1) переместительный закон сложения;

2) переместительный закон умножения;

3) сочетательный закон сложения;

4) сочетательный закон умножения;

5) распределительный закон.

3. 1) Что получится, если к числу прибавить 0?

2) Чему равна сумма противоположных чисел?

3) Можно ли разность а—b записать в виде суммы?

4) Что получится, если число умножить на 1?

5) Что получится, если число умножить на 0?

4. 1) Какое число называется обратным к числу а (а≠0)?

2) Какие числа называются взаимно обратными? Приведите примеры.

3) Чему равно произведение двух взаимно обратных чисел?

5. Докажите, пользуясь свойствами действительных чисел, что если

б, Какими свойствами арифметических действий воспользовались при решении следующих примеров:

7. Известно, что если a < b, то а + с<b + с для любого действительного числа с. Проиллюстрируйте это свойство действительных чисел на примере, взяв

a = 4, 7; b = 5, 25; с = 2, 3.

8. Устно вычислите:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

12. Каково наибольшее действительное число, меньшее 0,9, в запись которого не входит цифра 8?

13. Существует ли наименьшее число, большее 3,6, в десятичную запись которого не входят цифры 0, 1,2?

14. Определите порядок действий, прочитайте выражения и найдите их значения:

15. Расположите в порядке возрастания числа

16. Вычислите, предварительно указав порядок действий:

17. Вычислите:

18. При выпечке хлеба из пшеничной муки получается припек, составляющий 1/4 массы взятой муки.

1) Сколько хлеба получится из 2,5 т муки?

2) Сколько муки надо взять, чтобы получить 2,5 т хлеба?

19. При выпечке ржаного хлеба получается припек, составляющий 30% массы взятой муки.

1) Сколько хлеба получится из 3,9 т муки?

2) Сколько муки надо взять, чтобы получить 3,9 т хлеба?

20. Старинная задача (Франция, XVII в.). Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй—треть, а третий — оставшуюся часть. Сколько даст каждый?

21. Бассейн можно наполнить через одну трубу за 70 мин или через другую—за 2 ч 6 мин. За сколько минут можно наполнить бассейн через обе трубы?

22. Латунь представляет собой сплав меди — 3 части и цинка — 2 части.

1) Определите процентное содержание каждого металла в сплаве.

2) Сколько меди и цинка содержит кусок латуни, в котором меди на 80 г больше, чем цинка? Сколько весит этот кусок?

23. Мельхиор представляет собой сплав меди — 80% и никеля—20%.

1) Определите, сколько частей меди приходится на одну часть никеля.

2) Сколько граммов каждого металла содержится в куске мельхиора, в котором меди на 360 г больше, чем никеля? Сколько весит этот кусок?

Глава IX. СИСТЕМА КООРДИНАТ

§ 95. Длина отрезка

Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка. За единичный отрезок (единицу длины) возьмем 1дм (рис. 9.1).

Пример 1. Отрезок AB, изображенный на рис. 9.2, имеет длину 2 дм, т. е. в отрезке AB укладывается точно 2 дм.

Пример 2. На рис. 9.3 в отрезке AB укладывается 2 дм с некоторым остатком, меньшим 1 дм. В этом случае говорят, что длина AB приближенно равна 2 дм с точностью до 1 дм с недостатком, и пишут: AB ≈ 2 дм.

Пример 3. На рис. 9.4 в отрезке AB укладывается 2 дм с остатком, в котором укладывается точно 3 см. В этом случае .45 = 2,3 дм.

Пример 4. На рис. 9.5 в отрезке AB укладывается 2 дм с остатком, в котором укладывается 3 см с остатком, меньшим 1 см. В этом случае длина отрезка AB прибли-

Рис. 9.1 Рис. 9.2

Рис. 9.3

Рис. 9.4

женно равна 2,3 дм с точностью до 0,1 дм с недостатком: АВ ≈ 2,3 дм.

Пример 5. Если в примере 4 во втором остатке укладывается точно 4 мм, то AВ = 2,34дм.

Пример 6. Если в примере 4 во втором остатке укладывается 4 мм с остатком, меньшим 1 мм, то говорят, что длина AB приближенно равна 2,34 дм с точностью до 0,01 дм с недостатком: AB ≈ 2,34дм.

Так же, как в примерах 1—6, можно измерять длины отрезков любой другой единицей длины: 1 см, 1 м, 1 км, ...

Пример 7. Если АВ = 0,2305, то это значит, что длина отрезка AB меньше длины единичного отрезка (единицы длины); в AB укладывается 0,2 единицы с остатком, в котором укладывается 0,03 единицы с остатком, в котором укладывается точно 0,0005 единицы.

Пример 8. Если при измерении AB при помощи заданной единицы длины на любом этапе измерения возникает остаток, то длина AB при помощи конечной десятичной дроби может быть выражена только приближенно. Точно же длина AB выражается бесконечной десятичной дробью: AB = α0,α1α2α3α4 ...

Здесь α0—приближенная длина AB с точностью до 1 с недостатком,

α0,α1 — приближенная длина AB с точностью до 0,1 с недостатком,

α0,α1@2 —приближенная длина А В с точностью до 0,01 с недостатком и т. д.

Пример 9. Если AB = 3,(07) = 3,070707..., то

3—приближенная длина AB с точностью до 1 с недостатком,

3,0—приближенная длина AB с точностью до 0,1 с недостатком,

3,07 —приближенная длина AB с точностью до 0,01 с недостатком,

Рис. 9.5

8,070—приближенная длина AB с точностью до 0,001 с недостатком и т. д.

Отметим, что 3,(07) = 3 7/99. Поэтому это число можно рассматривать как длину отрезка, в котором укладывается 3 единицы (три единичных отрезка) и еще 7/99 единицы.

На практике, чтобы начертить отрезок AB, воспользовались бы его приближенной длиной, заданной десятичной дробью. Например, приняли бы, что AB ≈ 3,07.

Ведь обычные измерительные приборы (линейка и др.) приспособлены к десятичной системе счисления—единица длины делится на 10, 100, ... равных частей.

Замечание. Ранее вводилось уже понятие длины отрезка, но только в том случае, когда его длина выражается рациональным числом. В этом параграфе дано понятие длины произвольного отрезка, которая может выражаться как рациональным, так и иррациональным числом.

УПРАЖНЕНИЯ

1. На рис. 9.6 изображены отрезки ВС, AD, KP.

Определите на глаз длину каждого отрезка в сантиметрах. Проверьте свой глазомер с помощью линейки.

Рис. 9.6

2. Постройте в тетради три произвольных отрезка и повторите упр. 1.

3. Определите на глаз расстояние от своей парты до классной доски (в шагах), а на перемене проверьте верность прикидки.

4. Постройте в тетради отрезок длиной в 7, 10 и 13 клеток. Разделите на глаз каждый отрезок на 3 равные части. Проверьте свой глазомер с помощью линейки.

5. Постройте отрезок длиной в 17 клеток. Разделите этот отрезок на 5 равных частей; на 6 равных частей.

6. Определите на глаз длину и ширину страницы тетради (в сантиметрах). Найдите при помощи линейки приб-

лиженные значения длины и ширины страницы тетради (с недостатком) с точностью до 1; с точностью до 0,1, принимая за единицу измерения 1 см.

7. Можно ли измерить длину улицы, на которой расположена школа, с точностью до 0,001; 0,01; 0,1; 1; 10, принимая за единицу измерения 1 м?

8. Определите на глаз размеры крышки парты (стола) в сантиметрах. Проверьте свой глазомер, определив при помощи линейки приближенное значение (с недостатком) длины и ширины крышки парты (стола) с точностью до 1, приняв за единицу измерения 1 см.

9. На рис. 9.7 изображены отрезки AB и CD.

Приняв за единицу измерения отрезок CD, измерьте на глаз отрезок AB с точностью до 1 с недостатком.

Проверьте свой глазомер с помощью циркуля.

10. Длина отрезка AB выражена числом 5,375. Запишите приближенную длину отрезка AB с точностью до 1; до 0,1; до 0,01 с недостатком.

11. Длина отрезка KP равна:

Выразите длину отрезка десятичной дробью и найдите приближенную длину отрезка AB с точностью до 1; до 0,1; до 0,01 с недостатком.

12. Выразите длину отрезка AB (AB = 3 19/99) десятичной дробью и найдите приближенную длину отрезка AB с точностью до

1) 0,1; 2) 0,01; 3) 0,001; 4) 0,0001

с недостатком.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

13. Вычислите:

Рис. 9.7

14. Упростите выражение:

15. Решите уравнение:

16. Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу выехали всадник и велосипедист и встретились через 1,5 ч. Всадник на весь путь затратил 2 ч 20 мин. Сколько времени затратил на весь путь велосипедист?

17. Два пешехода вышли одновременно из двух сел навстречу друг другу. Один прошел все расстояние за 220 мин, другой—за 264 мин. Через сколько часов после начала движения они встретились?

18. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали две автомашины. Одна проехала весь путь за 4 ч, другая — за 336 мин. Через сколько минут после начала движения они встретились?

19. Старинная задача. Летела стая тетеревов, села на рощу деревьев: подвое на дерево сядут—одно дерево лишнее, по одному сядут—один тетерев лишний. Сколько тетеревов в стае?

20. Задача из трактата «Математика в девяти книгах» (Джан Цань, Китай, I в.). Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток равен 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

§ 96. Координатная ось

Зададим прямую, на которой выбрано направление, называемое положительным, и выбрана точка О, называемая начальной точкой. Зададим еще отрезок, длину которого примем за единицу — единичный отрезок.

Прямую, на которой выбрана начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.

На рис. 9.8 координатная ось нарисована горизонтально с положительным направлением, идущим вправо от точки О. Но, вообще говоря, координатная ось может быть расположена вертикально или еще как-нибудь и положительное направление на ней может быть выбрано так, как это может оказаться удобным.

Начальная точка О делит координатную ось на два луча. Один из них, идущий от точки О в положительном направлении, называется положительным, другой — отрицательным.

Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число х по следующему правилу:

начальной точке О поставим в соответствие число нуль (x = 0); точке A, если она находится на положительном луче, поставим в соответствие число x9 равное длине отрезка OA (х = 0А);

точке A, если она находится на отрицательном луче, поставим в соответствие отрицательное число xt равное длине отрезка ОA, взятой с отрицательным знаком (х = — ОА).

Определенную таким образом координатную ось называют координатной осью х, или, коротко, осью x.

Число х, согласно указанному правилу соответствующее произвольной точке оси x9 называют координатой этой точки.

Впрочем, в этих названиях буква х может быть заменена любой другой буквой, например буквами у, z, t, ..., и тогда говорят об оси y, оси z и т. д.

Согласно указанному правилу:

1) Каждой точке оси х соответствует действительное число—координата этой точки.

2) Две различные точки A, В оси х имеют разные координаты x1 и x2. При этом, если точка В расположена правее точки A, то x1 < x2.

Рис. 9.8

3) Каждое действительное число есть координата некоторой точки оси X.

Иначе говоря, установлено взаимно однозначное соответствие между точками оси х и действительными числами.

Точку О называют началом координатной оси х.

Положительный луч называется положительной координатной полуосью X, а отрицательный луч называется отрицательной координатной полуосью х.

Для краткости точку, имеющую координату х, называют точкой X.

Замечание. Ранее вводилось понятие координатной оси. Но там рассматривались только рациональные точки числовой прямой, т. е. точки, имеющие рациональные координаты X, и прямая была «дырявая»—без иррациональных точек. Однако координата х произвольной точки координатной оси есть, вообще говоря, действительное число, т. е. оно может быть рациональным или иррациональным. Этот вопрос и был выяснен нами на основании общего понятия длины отрезка, введенного в § 95. Теперь координатная ось перестала быть «дырявой» — каждой ее точке соответствует действительное число.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Что называется координатной осью?

2. Что называется координатой точки на координатной оси?

3. Отметьте на координатной оси х числа:

4. Отметьте на координатной оси х точки:

5. Как надо понимать утверждение: множество всех точек координатной оси находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех действительных чисел?

6. Начертите в тетради координатную ось, взяв единичный отрезок длиной в 2 клетки. Укажите на этой оси числа:

7. Начертите в тетради координатную ось с единичным отрезком 5 см. Укажите на оси числа:

6. Начертите координатную ось и укажите на ней следующие числа, выбрав удобный для работы единичный отрезок и положение начальной точки (начала координатной оси):

9. Что такое точка x = 5, точка х = — 3?

10. Что называется рациональной и иррациональной точками координатной оси?

11. Как изобразить на координатной оси точки с большими координатами (по абсолютной величине)? Например, укажите на координатной оси точки:

12. Как изобразить на координатной оси точки с мало различающимися координатами (или малыми по абсолютной величине)? Например, укажите на координатной оси точки:

13. Выделите на координатной оси числа, удовлетворяющие следующим условиям:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

14. Вычислите:

15. Упростите выражение:

16. Вычислите значение выражения:

17. Решите уравнение:

18. Решите пропорцию:

19. Кофе при жарении теряет 12% своего веса.

1) Сколько жареного кофе получится из 2,5 кг свежего кофе?

2) Сколько свежего кофе надо взять, чтобы получить 2,2 кг жареного?

20. Яблоки при сушке теряют 80% своего веса.

1) Сколько сухих яблок получится из 250 т свежих яблок?

2) Сколько свежих яблок надо взять, чтобы получить 250 т сухих яблок?

21. Тракторист должен за 7 дней вспахать поле. Но он

вспахивал в день на 2 га больше, чем было запланировано, и вспахал поле за 6 дней. Сколько гектаров в день должен был вспахивать тракторист? Какова площадь поля?

22. Механизатор должен за 7 дней посеять лен на колхозном поле. Но он засевал в день на 3 га больше, чем было запланировано, и закончил работу на 1 день раньше. Сколько гектаров в день засевал механизатор?

23. Лодка проплыла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на тот же путь:

1) по течению реки; 2) против течения реки?

24. Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за б ч, а по течению реки—за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?

25. Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот—за 72 ч. Сколько времени потратит катер на тот же путь по озеру?

26. В старом учебнике математики расстояние между Москвой и Петербургом (Ленинград) в одной задаче выражено в верстах: 609 верст. Выразите это расстояние в километрах, учитывая, что 1 верста ≈ 1,067 км. Ответ округлите до единиц.

§ 97. Декартова система координат на плоскости

Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом друг к другу (такие прямые называются взаимно перпендикулярными), — ось х и ось у— с точкой пересечения О, являющейся начальной точкой каждой из этих осей. Единичные отрезки осей возьмем равными друг другу.

Говорят, что этим на плоскости определена прямоугольная система координат хОу. Ее называют еще декартовой системой координат по имени французского математика и философа Декарта, введшего в математику это важное понятие.

Ось x называют еще осью абсцисс, а ось у—осью ординат. Точку О пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называют координатной плоскостью.

Обычно ось абсцисс рисуют в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат—в виде вертикальной прямой, направленной вверх (рис. 9.9).

Буквы ху у мы иногда будем заменять другими буквами z, t, s, u, ...

Пусть A — произвольная точка координатной плоскости. Проведем через точку A прямые, параллельные осям координат.

Прямая, параллельная оси у, пересечет ось х в точке A1, а прямая, параллельная оси х, пересечет ось у в точке A2. Координата точки A1 на оси х называется абсциссой точки А. Координата точки A2 на оси у называется ординатой точки А. Абсцисса х и ордината у точки А называются координатами точки А.

Координаты точки записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: А (х; y), причем на первом месте пишется абсцисса, а на втором месте—ордината. Например, точка A, изображенная на рис. 9.10,

Рис. 9.9

Рис. 9.10

имеет абсциссу х = 4 и ординату у = 3, поэтому пишут: А (4; 3).

На рис. 9.11 изображены прямоугольная система координат хОу и точки О(0; 0), А (2; 3), B(—1; 1), С(-3; -2), D(1; 0), E(2; -2), F(0; 4).

Прямоугольная система координат хОу разделяет плоскость на четыре части, называемые координатными углами или координатными четвертями.

Мы обозначим их римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 9.12).

Если исключить точки, лежащие на осях координат, то можно сказать, что

точки угла 1 имеют координаты (х; у) такие, что x>0, у>0;

точки угла II имеют координаты (х; у) такие, что x<0, у>0;

точки угла III имеют координаты (х; у) такие, что x < 0, у < 0;

точки угла IV имеют координаты (х; у) такие, что x>0, у<0.

Например, точка В(—1; 1) на рис. 9.11 принадлежит углу II; точка Е (2; —2) принадлежит углу IV. Легко видеть, что абсцисса точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси у; ордината точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси X.

Рис. 9.11 Рис. 9.12

Например, на рис. 9.13 точка Б лежит на оси g и имеет абсциссу х=0; точка F лежит на оси х и имеет ординату у = 0.

Напомним еще, что точка О—начало координат. Она имеет обе координаты, равные нулю.

Важно отметить, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке А плоскости приводится в соответствие пара чисел (х; у) — пара координат точки A, и в то же время произвольную пару чисел (х; у) можно рассматривать как пару координат некоторой точки А плоскости.

Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, поменяв эти числа местами, мы получим другую пару, определяющую другую точку плоскости.

Поэтому пару координат (x; у) точки А называют упорядоченной парой чисел. Абсциссу х точки А называют еще первой координатой, а ординату у—второй координатой.

Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат хОу, то

1) каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (пара координат точки);

2) разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;

3) каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой (одной в силу пункта 2) точке плоскости.

Замечание. Точки (х; у), где х и у—рациональные числа, называют рациональными точками координатной плоскости.

Рациональные точки полностью не заполняют плоскость, между рациональными точками на плоскости располагаются еще и точки с иррациональными координатами.

Рис. 9.13

УПРАЖНЕНИЯ

1) Что означают слова «на плоскости задана декартова система координат»?

2) Что называется координатной плоскостью?

3) Что называется началом системы координат?

4) Что называется абсциссой, ординатой и координатами точки на координатной плоскости?

Б) Как записывают координаты точки?

6) Что называется координатными углами?

7) Для каких точек абсцисса равна нулю?

8) Для каких точек ордината равна нулю?

9) Для каких точек абсцисса положительна?

10) Для каких точек ордината положительна?

11) Каким свойством обладают координаты точек I, II, III, IV четвертей?

12) Как надо понимать утверждение «между точками координатной плоскости и упорядоченными парами чисел имеет место взаимно однозначное соответствие»?

2. Определите координаты точек, изображенных на рис. 9.14.

Рис. 9.14

3. Постройте систему координат и отметьте в ней точки:

5. Назовите абсциссу и ординату точки; постройте точку в системе координат:

6. Постройте в системе координат точки (2; 1), (2; 5), (6; 5), (5; 4), (6; 3), (2; 3). Соедините отрезками первую точку со второй, вторую с третьей и т. д. Какая фигура получилась?

7. Постройте по данным точкам в системе координат фигуры, соединяя точки, как в упр. 6:

8. На рис. 9.15 изображены фигуры пентамино (об этой игре мы рассказывали в IV классе). Для фигуры 1 указаны координаты точек, по которым ее можно построить:

Укажите координаты точек для остальных фигур.

9. Постройте фигуру по точкам:

Рис. 9.15

Постройте отдельно две точки: (2; 4), (6; 4),

10. Постройте отрезки AB и CD, если A(—3; 4), 5(2; —1), С (—2; 0), D(4; 3). Найдите координаты точки пересечения отрезков AB и CD.

11. Постройте прямые AB и CD, если A (—1; 1), O(1; 2), С(—3; 0), D(2; 1). Найдите координаты точки пересечения прямых AB и CD.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

12. Вычислите:

13. Найдите значение выражения:

14. Решите уравнение:

15. Разрежьте произвольный прямоугольник на две части, из которых можно сложить треугольник. Сколько решений имеет задача, если разрез провести по прямой линии?

16. Разрежьте четырехугольник на две части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник (рис. 9.16).

Рис. 9.16

17. Разрежьте прямоугольник со сторонами 9 см и 4 см на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

18. Старинная задача (Древний Египет, папирус Райнда). Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания от полученной суммы ее трети получается 10.

19. Старинная задача («Всеобщая арифметика» Ньютона). Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог бы дать каждому по три, но он раздает лишь по два и у него остается три. Сколько было бедных?

20. Старинная задача (предложена Эйлером). Можно ли поочередно обойти все семь мостов города Кенигсберга (ныне г. Калининград), соединяющих районы этого города с островами на реке Прегель, проходя по каждому только один раз (рис. 9.17)?

Рис. 9.17

§ 98. Графики

В таблице указаны изменения температуры воздуха в течение суток.

Время, часы

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Температура, градусы

6

4

3

2

3

5

7

7

4

3

0

—2

-3

В системе координат tOT отмечены точки (t; T), а затем соединены плавной кривой. Получилась непрерыв-

ная линия, называемая графиком изменения температуры воздуха в течение суток (рис. 9.18).

По графику можно определить приближенно температуру Т в любой момент времени t суток, например при t=13 ч. Для этого надо через точку 13 оси t провести перпендикуляр к оси t до пересечения с графиком.

Для получения графика изменения температуры на метеорологических станциях часто пользуются прибором, называемым термографом. Термограф состоит из барабана, вращающегося вокруг своей оси при помощи часового механизма, изогнутой коробки (чувствительной к изменению температуры) и пишущего устройства. При повышении температуры она разгибается, а прикрепленное к ней перо поднимается вверх. При понижении температуры перо опускается. Таким образом, перо вычерчивает на движущейся бумажной ленте непрерывную линию—график изменения температуры воздуха в зависимости от времени.

Рассмотрим еще один пример. Поезд вышел в 0 часов из пункта А. Данные о его движении приведены в таблице.

t, часы

0

1

2

3

4

5

6

7

S, км

0

100

220

300

300

400

480

600

поезд стоит

Рис. 9.18

Здесь S—расстояние в километрах от поезда до пункта A в момент времени t.

Нанесем точки (t; S) на координатную плоскость и соединим их отрезками, считая, что единица длины на оси t соответствует часу, а единица длины на оси S соответствует 100 км (рис. 9.19).

Рис. 9.19

Полученная ломаная есть график движения поезда. С его помощью можно приближенно определить, где находился поезд в момент времени, например t=1/2 ч,

Так, в момент t = 1/2 ч поезд находился на расстоянии 50 км от пункта A, так как точка графика, имеющая абсциссу t = 1/2, имеет ординату S = 50.

Расстояния поезда от пункта A в другие моменты времени определите самостоятельно.

УПРАЖНЕНИЯ

1. В 6 ч утра из поселка на озеро, находящееся в 3 км от поселка, отправились рыбачить отец и сын. Туда они шли пешком, а обратно ехали на попутной машине. На рис. 9.20 изображен график их движения. Определите с помощью графика:

1) В какое время рыболовы пришли к озеру?

2) Что они делали с 7 ч до 8 ч 45 мин?

3) Сколько времени занял у них обратный путь?

4) С какой скоростью они шли пешком?

5) С какой скоростью ехала машина?

2. 1) Постройте систему координат (для выполнения задания достаточно рассмотреть первую четверть).

2) Постройте точки с координатами (1; 4), (2; 7), (3; 10). Эти точки лежат на одной прямой. Проведите эту прямую.

3) Отметьте на этой прямой еще две точки, обозначьте их буквами А и В и запишите их координаты.

4) Точка С (2,3; 7,9) также лежит на этой прямой. Покажите ее примерное положение,

5) Постройте точку D(1,5; 5,3).

6) Сколько точек отмечено на прямой?

7) Точка E(6; у) лежит на этой прямой. Чему равен у?

8) Точка К (х; 16) лежит на этой прямой. Чему равен x?

3. На рис. 9.21 приведен график изменения температуры воздуха в течение месяца. Измерения проводились один раз в день.

1) Какая температура была 4, 8. 12. 21, 27 числа?

2) В какие дни температура была выше 0°?

Рис. 9.20

Рис. 9.21.

3) В какие дни температура была ниже 0°?

4) Составьте таблицу температур за вторую неделю месяца.

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

т

—6

—5

—5

—2

0

1

0

2

4

5

1

0

—2

1

4. По данным, приведенным в таблице, постройте график изменений температуры воздуха в течение двух недель. Т—температура воздуха в градусах по Цельсию, t—дни.

1) Сколько дней температура была выше 0°?

2) Сколько дней температура была ниже 0°?

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

5. Вычислите:

6. Упростите выражение:

7. Найдите значение выражения:

8. Решите уравнение:

9. Решите пропорцию:

10. Прямоугольник задан его вершинами: (—2; —2), (—2; 2), (7; 2), (7; —2). Разрежьте прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

11. Четырехугольник задан своими вершинами: (—4; 1), (—2; 5), (7; 5), (5; 1). Разрежьте четырехугольник на две части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.

12. Прямоугольник ABCD задан вершинами: А (—3; 2), В(—3; 5), С(5; 5), D(5; 2). Как разрезать прямоугольник на две части так, чтобы из них можно было сложить треугольник? Найдите два способа решения задачи.

13. Старинная задача (Китай). В клетке находятся кролики и фазаны. У всех у них 100 ног и 36 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

14. Старинная задача (Индия). Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвертый—вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?

§ 99. Исторические сведения

Мы уже знаем, что за несколько тысяч лет до нашей эры натуральными числами пользовались для счета предметов и грубых измерений. Необходимость уточнения измерений привела к открытию дробных чисел.

Еще древние греки рассматривали число как длину отрезка, знали, что такое отрезок рациональной длины. Но, занимаясь геометрией, они обнаружили также отрезки, длины которых не выражаются рациональными числами. Например, длину диагонали квадрата (отрезка, соединяющего две его вершины, не принадлежащие одной стороне) нельзя выразить рациональным числом, если длина стороны квадрата равна 1. Об этом будет подробно рассказано в курсе алгебры средней школы.

Таким образом, при решении математических задач стали появляться иррациональные (нерациональные) числа. Такими, например, являются числа, квадраты которых равны соответственно 2; 3; 17. Такие числа знал, а может быть, впервые их открыл знаменитый греческий ма-

тематик VI века до н. э. Пифагор. Выдающийся итальянский математик Д. Кардано в XVI веке пользовался в своих исследованиях иррациональными числами, кубы которых равны целым числам.

Важную роль в математике играет число, равное отношению длины окружности к ее диаметру. Обозначение этого числа греческой буквой π (пи) получило широкое распространение после работ Леонарда Эйлера—академика Российской академии наук в XVIII веке. Ученые вычисляли значение π с разной точностью. Так, великий греческий математик и механик Архимед (III в. до н. э.) доказал, что л больше 3 10/71, но меньше 3 1/7:

Самаркандский математик Д. аль-Каши (XV в.) выразил приближенное значение числа я шестидесятиричной дробью: π ≈ 3°8'29"44'". Только в XVIII веке было доказано, что число π—иррациональное.

Список отдельных иррациональных чисел, которые возникали в исследованиях математиков более раннего времени, можно было бы продолжить, однако к точному определению действительного числа, выражающего длину произвольного отрезка, математики пришли сравнительно недавно—в прошлом столетии.

Это понятие вводится в нашей книге с помощью десятичных дробей. Длина отрезка выражается десятичной дробью, вообще говоря, бесконечной. Обратно, любая десятичная дробь есть длина некоторого отрезка. Длина отрезка тесно связана с понятием координатной оси и системы координат.

Мы знаем, что еще во II—I веках до н. э. китайские ученые использовали отрицательные числа для обозначения противоположных состояний: наличие—долг, приход— расход. Они сформулировали и правила действий с отрицательными числами, но широкое применение отрицательные числа получили лишь после того, как их использовали наряду с положительными числами для

обозначения противоположных направлений на прямой. Французский математик и философ Рене Декарт (1596—1659 гг.) первым применил систему координат для решения геометрических задач. В его честь прямоугольную систему координат называют декартовой системой координат.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Выразите десятичной дробью с точностью до тысячных значения числа я с недостатком и с избытком (по Архимеду).

2. Выразите десятичной дробью приближенное значение числа π по аль-Каши. Результат округлите до седьмого знака после запятой и сравните с полученным позднее значением π ≈ 3,1415926535897932...

3. Отношение длины окружности (С) к ее диаметру (4) обозначается буквой π.

Вычислите длину окружности, диаметр которой равен: 1) 3 см; 2) 5 см; 3) 10 см; 4) 21 дм, считая π ≈ 3,14. 4. С помощью нитки и линейки ученица измерила длину окружности и ее диаметр. Результаты нескольких измерений занесены в таблицу:

С

31,5 см

41 мм

88 мм

14 см

d

10 см

13 мм

28 мм

4,5 см

π

1) Вычислите приближенные значения числа π с точностью до сотых.

2) Найдите среднее арифметическое четырех приближенных значений числа π.

3) Проделайте такие же измерения, используя ободок стакана, банки и т. п.

5. Диаметр окружности (d) равен двум радиусам (R): d = 2R. Выразите с помощью формулы длину окружности:

1) через диаметр d; 2) через радиус R.

6. Вычислите длину окружности радиуса R, если:

1) R=10см; 2) R = 5дм;3) R = 2,5см;4) R = 3,5 м.

7. Площадь круга радиуса R выражается формулой S = πR2. Вычислите площадь круга, если:

1) R = 2дм; 2) R = 5см; 3) R = 3м; 4) R = 4см.

8. Выразите площадь круга через его диаметр d.

9. В Древнем Египте считали, что площадь круга равна площади квадрата, сторона которого равна 8/9 диаметра круга. Найдите по этим данным приближенное значение числа π с точностью до сотых.

10. Старинная задача (из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого). Вокруг некоторого города вырыт водный ров, имеющий внешнее окружение 440 аршин и ширину 14 аршин. Требуется узнать, сколько аршин имеет этот ров по внутреннему окружению.

11. Задача-шутка. Земной шар стянули по экватору обручем. Потом длину обруча увеличили на 1 м. По всему экватору образовался зазор. Пролезет ли в него кошка?

12. Кордовая авиамодель сделала в воздухе 10 кругов радиуса 16 м за 25 секунд. Определите скорость кордовой авиамодели в км/ч. Ответ округлите до десятых.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

13. Вычислите*):

14. Чтобы приготовить стекло, берут 10 частей поташу, 31 часть песку и 2 части мелу. Сколько нужно этих материалов на 86 пудов стекла?

15. Число 34 разделите на три таких части, чтобы первая относилась ко второй как 1:2, а вторая относилась к третьей как 3:4.

16. Число 72 разделите на три части так, чтобы первая относилась ко второй как 3:5, а вторая относилась к третьей как 7:8.

17. Сколько делителей имеет число:

1) 2⋅2⋅2⋅5⋅5⋅7; 2) 150; 3) 4000?

18. Для перевозки 25 зеркал нанят извозчик с условием заплатить ему по 1 р. 50 к. за доставку каждого зер-

*) Задания 13—20 — из «Собрания арифметических задач для гимназии», изд. 9-е, М., 1874; задачи 21—29 — из математических рукописей, «Арифметики» Л. Ф, Магницкого и «Курса чистой математики» Е. Войтяховского.

кала в целости и вычесть с него по 5 р. за каждое разбитое им зеркало. На дороге извозчик действительно разбил несколько зеркал и за перевозку получил только 18 р. Сколько зеркал он доставил в целости?

19. Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая из 30 человек в 45 дней. Какая артель работает лучше?

20. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько нужно еще нанять работников?

21. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей; сложившись без второго, — 85 рублей; сложившись без третьего, — 80 рублей; сложившись без четвертого, — 75 рублей. Сколько у кого денег?

22. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса?

23. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

24. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за год, второй—за два года, третий—за три года, четвертый—за четыре года. Спрашивается, за сколько лет они построят дом при совместной работе?

25. Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 10 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?

Примечание: 1 рубль—100 коп., 1 гривна — 10 коп., 1 алтын — 3 коп.

26. Купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяжды полтретьи гривны. Сколько следует уплатить за пол-девятажды полдевята аршина?

Примечание: в этой задаче «полторажды полтора» означает

«полтретьяжды полтретьи»

«полдевятажды полдевята»

27. Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще столько

учеников, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько учеников в классе?

28. На вопрос «Который час?» ответствовано: «2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3 остальных до полудня». Спрашивается число часов до того времени.

29. Капитан на вопрос «Сколько имеет в команде своей людей?» ответствовал, что 2/5 его команды в карауле, 2/7 в работе, 1/4 в лазарете, да 27 человек налицо.

Спрашивается число людей его команды.

30. Пекарня получила заказ на выпечку 1,4 т ржаного хлеба и 1,08 т пшеничного хлеба. Известно, что ржаная мука дает 40 % припека, пшеничная — 35 %. Какое количество муки каждого сорта потребуется для выполнения заказа?

31. Ученик рассчитал, что стоимость одной книги составляет 70 % имеющихся у него денег, стоимость другой—60 %. Если бы он имел еще 90 к., то смог бы купить обе книги. Сколько стоит каждая книга? Сколько денег было у ученика?

32. Лист бумаги разрезали на 3 части. Некоторые из них снова разрезали на 3 части и т. д. несколько раз. Может ли в результате получиться 1987; 1988; 1989 кусочков?

33. Решите задачу 32 при условии, что каждый лист разрезали на 5 частей.

34. Квадрат 3×3 (рис. 9.22) надо разрезать на 9 равных квадратов. При этом разрешается делать прямые разрезы без накладывания частей квадрата друг на друга. Какое число разрезов придется сделать? Можно ли его уменьшить?

Рис. 9.22

35. Доказать, что найдется натуральное число n такое, что запись числа 3n будет оканчиваться цифрами 01.

36. На дороге, соединяющей два аула, нет ровных участков. Автобус едет в гору со скоростью 15 км/ч, а под гору—со скоростью 30 км/ч. Найти расстояние между аулами, если путь туда и обратно без остановок автобус проезжает за 4 часа.

37. Вычислите

38. Дано число A = 1⋅2⋅3⋅4⋅...⋅99⋅100⋅101. Докажите, что числа A + 2, A+3, A + 4, ..., A + 101— составные.

Приложение

ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ (ДО 997)

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович

АРИФМЕТИКА

Редактор В. В. Абгарян. Художественный редактор Т. Н. Кольченко. Техня» ческий редактор С. Я. Шкляр. Корректоры Н. Б. Румянцева, Н. Д. Храико.

ИВ № 32378

Сдано в набор 12.06.87. Подписано к печати 22.02.88. Формат 84×1081/32. Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая, Усл. печ. л. 20.16. Усл. кр.-отт. 20,48. Уч.-изд. л. 20,42. Тираж 400 000 экз. (2-й завод 201.000—300.000 экз.). Заказ № 8244. Цена 80 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 117071, Москва 8-71, Ленинский проспект, 15.

Ордена Октябрьской Революции я ордена Трудового Красного Знамена МПО «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 113054, Москва, Валовая, 28.

Отпечатано в типографии издательства «Коммуна», г, Воронеж, пр. Революции, 39.