Никитин Н. Н., Маслова Г. Г. Сборник задач по геометрии : для 6—8 классов : утв. М-вом просвещения РСФСР. — Изд. 15-е. — М. : Просвещение, 1971. — 160 с.

Н. Н. НИКИТИН, Г. Г. МАСЛОВА

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

ДЛЯ 6-8 КЛАССОВ

Н. Н. НИКИТИН, Г. Г. МАСЛОВА

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

ДЛЯ 6-8 КЛАССОВ

издание 15-е

Утверждён Министерством просвещения РСФСР

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»

Москва 1971

613(075) H 62

Согласно решению Министерства просвещения РСФСР в 13-е издание «Сборника задач по геометрии» включено дополнение (150 задач). В дополнении в основном помещены задачи повышенной трудности, а также задачи, которые отличаются необычностью подхода к отысканию решения. Следует заметить, что в ряде случаев решение этих задач упрощается при использовании геометрических преобразований.

Эти задачи могут быть использованы при изучении программного материала и на факультативных занятиях.

ГЛАВА I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§ 1. Прямая. Луч. Отрезок. Ломаная линия.

1. 1) Через произвольно взятую точку провести различные прямые. Сколько прямых можно провести через одну точку?

2) Через две данные точки провести прямую. Сколько прямых можно провести через две точки? Сколько кривых линий можно провести через две точки?

3) Через две данные точки проведены две различные линии. Могут ли обе линии быть прямыми? Почему?

2. 1) Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести прямые. Сколько таких прямых можно провести?

Черт. 1.

2) На чертеже 1 даны четыре точки. Через каждую пару точек провести прямые. Сколько всего будет проведено прямых?

3. 1) Сколько общих точек имеют две пересекающиеся прямые?

2) Могут ли две различные прямые иметь две общие точки? Почему?

4. 1) Из одной точки провести три различных луча. Сколько лучей можно провести, начало которых находится в данной точке?

Черт. 2.

Черт. 3.

2) Назвать все лучи, образовавшиеся при пересечении двух прямых AB и CD (точку пересечения прямых обозначить буквой О). 5. Сколько всего отрезков изображено на чертеже 2? Назвать их.

6. На чертеже 3 изображены две ломаные линии. Из скольких отрезков состоит каждая ломаная линия? Назвать их.

Черт. 4.

7. Сравнить на глаз отрезки а и Ь, данные на чертеже 4, и проверить результат при помощи циркуля или масштабной линейки.

§ 2. Действия над отрезками.

Сложение, вычитание отрезков, умножение отрезков на целое число.

8. Начертить отрезок, равный отрезку а (черт. 5).

9. 1) Начертить отрезок, равный сумме отрезков а, бис (черт. 5).

2) Построить отрезок, равный сумме отрезков ломаной, данной на чертеже 3,а.

10. Начертить отрезок, равный разности отрезков а и с (черт. 5).

11. На чертеже 5 даны три отрезка а, Ь и с. Построить отрезки: а) а — Ь + с; б) а + b — с.

12. Начертить отрезок, равный: а) удвоенному отрезку b (черт. 5); б) утроенному отрезку с (черт. 5).

Черт. 5.

Черт. 6.

13. При помощи циркуля путём проб разделить приближённо отрезок а (черт. 5) на две равные части.

14. Найти отрезки а и b по их сумме и разности (черт. 6).

15. Даны три отрезка a, b и с (черт. 5). Построить отрезки: а) 2 (а + Ь)\ б) 3 (а — Ь); в) Зс—

Измерение отрезков. Упражнения на все действия над отрезками.

16. Начертить два отрезка и измерить их длину в миллиметрах. Выразить результат в сантиметрах.

17. Начертить отрезки длиной: а) 6 см\ 18 мм\ 1,1 дм\ 0,08 м\ б) 32 мм; 7,4 см; 1,2 дм; 0,05 м;

18. Начертить на глаз отрезки длиной 50 мм и 80 мм. Проверить масштабной линейкой правильность построения.

19. Сравнить на глаз расстояния между точками А и В и между точками D и С (черт. 7), затем измерить эти расстояния и сравнить результаты глазомерной оценки и измерения.

Черт. 7.

20. Начертить ломаную, составленную из четырёх отрезков, измерить длину каждого её звена.

21. Измерить длину и ширину обложки ученической тетради.

22. Найти, пользуясь численным масштабом, расстояния между точками: а) А и 5; б) А и С; в) А и D; г) Л и £; д) Л и F черт. 8).

Черт. 8.

23. Найти по плану расстояния (в шагах) по прямой от пункта А до пунктов Ву С и D (черт. 9).

24. По данному численному масштабу 1 : 5000 найти расстояние DE (черт. 10).

Черт. 9.

25. Найти, пользуясь масштабом, длину изгороди участка, план которого дан на чертеже 10. Решение этой задачи может быть выполнено двумя способами. Укажите их.

26. По плану здания (черт. 11) найти: а) длину и ширину здания; б) длину и ширину комнаты (1).

27. Построить отрезок, равный сумме двух данных отрезков а и Ь, если а = 36 мм и Ь = 54 мм.

Черт. 10.

Черт. 11.

28. 1) На чертеже 2. AB = CD, AC = 6 см. Найти BD.

2) На чертеже 2, AB = CD. Как убедиться, что АС = 5D?

29. Построить отрезок, равный разности двух отрезков а и Ь, если а = 7 си и 6 = 3 см.

30. Для измерения толщины дна металлического стакана произвели два измерения, как указано на чертеже 12. Чему равна толщина дна стакана?

31. 1) На чертеже 2 АС = BD, АС = 10 см у CD =4 см. Вычислить длину отрезка ВС.

2) На чертеже 2 АС = BD. Как убедиться, что AB = CD?

32. I) Перечертить в тетрадь по клеточкам ломаную ABC и измерить расстояние между серединами отрезков AB и ВС (черт. 13).

2) Перечертить в тетрадь по клеточкам треугольник MNP (черт. 13), соединить середины его сторон, точкиО,/;,/7—отрезками прямых. При помощи измерений определить, какую часть периметра треугольника MNP составляет периметр треугольника DEF.

Черт. 12.

Черт. 13.

33. Найти толщину листа учебника.

34. 1) На данном отрезке AB найти точку С, удалённую от точки В на расстояние, в два раза большее, чем от точки А.

2) На данном отрезке AB найти точку С, удалённую от точки А на расстояние, в пять раз большее, чем от точки В.

35. На прямой отложены последовательно три отрезка: AB, ВС и CD так, что AB = 3 см; ВС = 5 см, CD = 4 см. Найти расстояние между серединами отрезков AB и CD.

36. 1) От точки Л, взятой на некоторой прямой, отложены на ней в одном направлении два отрезка и АС, причём AB = 60 .ш*.

AC = 100 мм. Вычислить: а) длину отрезка ВС; б) расстояние от точки А до середины К отрезка ВС; в) расстояние между серединами отрезков AB и АС (точками M и N).

2) От точки Л, взятой на некоторой прямой, отложены на ней в противоположных направлениях два отрезка AB и АС, причём AB = 6 см, АС = 5 см. Вычислить: а) длину отрезка ВС; б) расстояние от точки А до середины К отрезка ВС; в) расстояние между серединами отрезков AB и АС (точками M и N).

Черт. 14. Черт. 15.

37. 1) Доказать, что ломаная ABDF (черт. 14) короче ломаной ACF.

2) На чертеже 15 изображены два многоугольника ABCD и ABFGD. Периметр которого из этих многоугольников больше? Почему?

38. Даны прямая MN и точки А и ß, лежащие по разные стороны этой прямой. На прямой MN найти такую точку С, чтобы сумма расстояний АС и СБ была наименьшей.

Измерение расстояний в классе и на местности,

39. При помощи рулетки или мерной верёвки построить на местности отрезок, равный 10 м (20 м, 100 м).

40. Оценить на глаз расстояние между какими-нибудь двумя точками на местности и измерить его мерной цепью, рулеткой или полевым циркулем. Сравнить результаты глазомерной оценки и измерений.

41. Назовите известные вам приборы и инструменты для измерения отрезков, которыми пользуются при выполнении чертежей в мастерских, на производстве, при выполнении измерительных работ на местности.

§ 3. Угол. Действия над углами.

42. Прочесть все углы, изображённые на чертеже 16.

43. Построить угол, равный сумме двух данных углов (черт. 17)1.

1 Построение углов выполняется при помощи малки или транспортира.

44. Построить угол, равный разности двух данных углов (черт. 17)1.

45. Построить угол, равный утроенному углу EFG (черт. 17)1.

46. 1) Вырезать из бумаги несколько углов и найти их биссектрисы, разделив углы пополам (перегибая бумагу).

2) Вырезать из бумаги угол и разделить его (перегибая бумагу) на четыре равные части.

Черт. 16. Черт.. 17.

47. 1) На чертеже 16 Z.AOB =Z_ COD. Убедиться, что Z. АОС = Z. BOD.

2) На чертеже 16 Z. AOC=Z. BOD. Убедиться, что Z. АОВ = Z. COD.

48. 1) ОС—биссектриса угла АОВ (черт. 18), Z. A OD = Z_ FOB. Убедиться, что луч ОС является биссектрисой угла DOF.

2) A. DOB = Z_ AOF, Z-DOC=Z-COF (черт. 18). Убедиться, что луч ОС является биссектрисой угла АОВ.

Черт. 18.

§ 4. Прямой угол. Смежные и вертикальные углы.

Прямой угол.

49. Из листа бумаги, согнув его соответствующим образом, сделать модель прямого угла.

50. Найти острые, прямые и тупые углы на окружающих предметах.

51. Проверить при помощи чертёжного треугольника углы ученической тетради.

52. На чертеже 18 изображено несколько углов. Указать, какие из этих углов прямые. Назвать тупые углы.

53. Начертить на глаз несколько прямых углов в различных положениях и проверить их чертежным треугольником.

1 Построение углов выполняется при помощи малки или транспортира.

54. При помощи линейки построить прямой угол с вершиной, совпадающей с вершиной данного прямого угла. Сколько таких прямых углов можно построить?

55. На сторонах прямого угла расположены две точки. Одна из них — на расстоянии 30 мм от вершины, другая — на расстоянии 40 мм. Построить эти точки и измерить расстояние между ними.

56. 1) Вычислить величину каждого из двух углов, полученных при делении угла, равного 0,6 d, его биссектрисой.

2) Решить задачу 56 (1), если данный угол равен: а) 1 б) 1~d.

Смежные углы.

57. Начертить два неравных смежных угла так, чтобы их общая сторона была: а) вертикальной; б) горизонтальной; в) наклонной. 58. Среди углов, данных на чертеже 19, указать смежные углы. Объяснить, почему углы на чертеже 19, в нельзя назвать смежными.

Черт. 19.

59. Всегда ли верно, что: а) если два угла смежные, то их сумма равна двум прямым углам; б) если сумма двух углов равна двум прямым, то углы смежные? Привести примеры.

60. 1) Построить для данного угла (острого или тупого) угол, дополняющий его до развёрнутого.

2) Сколько можно построить углов, смежных данному? Доказать, что эти углы равны.

61. Один из смежных углов тупой (острый). Каким является другой угол?.

62. Один из смежных углов равен: а) 0,9 d; б) — d. Найти величину другого угла.

63. Один из смежных углов больше другого на: a) — d; б) d. Найти величину каждого из этих углов.

64. 1) Один из смежных углов в три раза больше другого. Найти величину каждого из этих углов.

2) Один из смежных углов составляет 20% другого. Найти величину каждого из этих углов.

65. Угол ABC равен: а) 0,8 d; б) 1 — d. Продолжить стороны этого угла за вершину и вычислить величину каждого из образовавшихся углов, меньших развернутого.

66. Найти величину угла, образованного биссектрисами двух смежных углов.

67. Из точки С, взятой на прямой AB, проведены два луча СМ и CN так, что они образуют с прямой AB равные острые углы (черт. 20), Z, 1 = Z. 2. Объяснить, почему Z_ 3 = Z. 4.

Черт. 20 Черт. 21. Черт. 22.

68. 1) Из точки, взятой на прямой, по одну сторону этой прямой проведены два луча (черт. 21) так, что Z. 1 = 0,5 d, Z. 2 « L d. Найти величину третьего угла.

2) На прямой дана точка, из которой по одну сторону прямой проведены два луча (черт. 22) так, что Z. 1 => d, Z. 2 составляет половину первого угла. Найти величину третьего угла.

69. 1) Через вершину угла, равного —d, вне его проведена прямая, образующая с одной из его сторон угол, равный —. Найти величину угла, образованного прямой с другой стороной данного угла.

2) Через вершину угла, равного — d, проведена прямая, делящая угол на два угла, один из которых равен —. Найти каждый из образовавшихся углов, меньших развёрнутого.

70. 1) Два луча, проведённые по одну сторону прямой из взятой на ней точки, образуют между собой и с прямой равные острые углы. Найти величину каждого из этих углов.

2) Решить эту же задачу для случая: а) трёх лучей, б) четырёх лучей.

Вертикальные углы.

71. Дан угол. Построить для него смежный и вертикальный углы.

72. При помощи линейки построить угол, равный данному и имеющий с ним общую вершину.

73. Один из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, равен d. Чему равны остальные углы?

74. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равен 0,6 d. Чему равны остальные углы?

75. Сумма двух вертикальных углов, образованных двумя прямыми, равна ^ d. Найти величину каждого из полученных четырёх углов.

76. Найти величину каждого из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, если сумма трёх из них равна 2,5 d.

77. Какой угол образуют биссектрисы двух вертикальных углов?

78. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке (черт. 23). Доказать, что Z.1+Z. 2 + Z. 3 = 2d. Вычислить сумму Z. 1+Z.3, если Z_ 2 = —.

Черт. 23. Черт. 24.

Сумма углов, имеющих общую вершину.

79. Четыре луча, проведённые из одной точки (черт. 24), образуют следующие углы: . Найти величину четвёртого угла.

80. Из одной точки проведены пять лучей так, что углы, образованные каждыми двумя соседними лучами, равны между собой. Найти эти углы.

81. 1) Из одной точки проведены четыре луча. Могут ли все углы, образованные смежными лучами, быть одновременно: а) тупыми; б) острыми?

2) Задачу 81 (1) решить для случая трёх лучей.

82. На чертеже 25 указать, не измеряя углов, ошибки, допущенные при простановке их величин.

Перпендикуляр к прямой.

83. 1) Начертить прямую и вне её взять некоторую точку (черт. 26, а). Через эту точку при помощи чертёжного треугольника провести перпендикуляр к прямой. Измерить (по перпендикуляру) расстояние от точки до прямой.

2) Выполнить то же задание при другом положении точки и прямой (черт. 26, б).

84. Через данную точку О провести перпендикуляры к трём данным прямым (черт. 27).

85. При помощи эккера построить на поверхности земли (или в классной комнате) прямой угол.

Черт. 25.

86. 1) При помощи эккера построить на поверхности земли (или в классной комнате) прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через данную на ней точку.

Черт. 26. Черт. 27.

2) Как при помощи эккера построить прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку, не лежащую на данной прямой?

87. 1) Через вершину угла ABC, равного \,2d, проведена прямая MN, перпендикулярная его биссектрисе. Вычислить углы, которые образует прямая MN со сторонами угла ABC.

2) Через вершину данного угла провести прямую, образующую с его сторонами равные углы.

§ 5. Окружность.

88. Построить окружности, радиусы которых равны 3 см, 12 мм, 2,8 см.

89. 1) Сколько хорд можно провести через точку, взятую на окружности?

2) Сколько хорд можно провести через точку, взятую внутри окружности?

3) Сколько диаметров можно провести через центр окружности?

4) Сколько прямых, проходящих через центр окружности, можно провести через точку, взятую внутри или на окружности?

Черт. 28. Черт. 29.

90. 1) Радиус окружности равен: а) 78 мм; б) 4 см; в) 0,2 дм. Найти длину наибольшей хорды.

2) Найти диаметр окружности, если известно, что радиус её на 55 мм меньше диаметра.

91. Измерить диаметры окружностей, данных на чертеже 28.

Черт. 30.

92. Сравнить на глаз диаметры внутренних кругов (черт. 29) и проверить результат циркулем или масштабной линейкой.

93. Прочесть все дуги, изображённые на чертеже 30, и записать их.

94. 1) На чертеже 30 дана дуга ABCD некоторой окружности, AB = CD. Доказать, что w АС = w BD.

2) На чертеже 30 дана дуга AD некоторой окружности, и ЛС= и BD. Доказать, что w AB = \у CD.

§ 6. Центральный угол. Измерение дуг и углов.

Центральный угол.

95. Дуга АтВ (черт. 31) окружности с центром в точке О равна 300°. Чему равен меньший из центральных углов АОВ?

96. 1) В окружности с центром в точке О w AB = \j CD (черт. 32). Доказать, что Z. АОС = Z. BOD.

2) Дуги ABC и BCD окружности с центром в точке О равны (черт. 32). Доказать, что Z. АОВ = jL COD.

97. В окружности с центром в точке О (черт. 33) проведены три диаметра A A i9 BBt и CCt так, что куАВ = куВС. Доказать, что Z.1=Z_2.

Черт. 31.

98. В окружности с центром в точке О (черт. 33) проведены три диаметра AAif BBi и CCt так, что Z. 1 = Zi 2. Доказать, что ^ AB = Kj ВС.

Черт. 32. Черт. 33.

Градусное измерение углов.

99. Начертить острый и тупой углы и измерить их транспортиром.

100. При помощи транспортира построить перпендикуляр к данной прямой через точку, данную на этой прямой.

101. Сколько градусов содержит дуга, равная: а) ~ окружности; б) -г окружности; в) — окружности; г) — окружности?

102. Какую часть окружности составляют дуги, равные 27°; 135°?

103. Сколько градусов содержит угол, равный: a) d; б) — d; в) jd; г) 0,8 d?

104. Какую часть прямого угла составляют углы, равные: а) 45°; б) 30°; в) 10°; г) 18°; д) 72°; е) 150°?

105. Найти наименьший угол, который образуют между собой: а) кронштейны люстры (черт. 34); б) оси двух смежных спиц колеса (черт. 35).

106. 1) На сколько градусов повернётся минутная стрелка за: а) 20 мин.; б) 10 мин.?

2) На сколько градусов повернётся часовая стрелка за: а) 2 часа; б) 15 мин.; в) 30 сек.?

Черт. 34. Черт. 35.

107. Колесо делает 15 оборотов в минуту. На какой угол оно повернётся за 1 секунду?

108. Построить при помощи транспортира углы, равные 30°, 85*, 72°, 60э, 170°.

109. Начертить две прямые, пересекающиеся: а) под углом 62°; б) под углом 154°.

110. 1) Построить угол, равный половине угла ABC (черт. 17).

2) Построить угол, равный -g угла ABC (черт. 17).

111. 1) Точки А и В находятся на сторонах угла, равного 48°; на расстоянии 40 мм п 50 мм от его вершины. Построить эту фигуру и измерить расстояние между точками А и В.

2) Точки M и N находятся на сторонах угла, равного 164°, на расстоянии 28 мм и 39 мм от его вершины. Построить эту фигуру и измерить расстояние между точками M и N.

112. Вычислить величину угла, если смежный с ним угол равен: а) 72°; б) 65°28'; в) 171°28'20".

113. Сумма трёх углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 306°. Найти эти углы.

114. Может ли сумма трёх углов, образовавшихся при переселении двух прямых, быть равной 150°. Обосновать ответ.

115. Найти величину угла, образованного биссектрисами двух пар вертикальных углов, имеющих общие стороны.

116. 1) Построить на местности углы, равные: 90°, 60° и 130°.

2) Измерить угол, под которым видно какое-нибудь здание (в вертикальной плоскости).

117. Назовите все известные вам приборы для построения и измерения углов, используемые при выполнении чертежей в мастерских, на производстве, при выполнении измерительных работ на местности.

ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 7. Понятие о многоугольнике. Треугольник и его элементы.

Многоугольник.

118. Начертить выпуклые четырёхугольник и пятиугольник и провести в них все диагонали. Сколько диагоналей имеет каждый из этих многоугольников?

119. 1) На сколько треугольников делится выпуклый пятиугольник диагоналями, проведёнными из одной его вершины? Решить эту задачу для семиугольника и восьмиугольника.

2) Выразить в общем виде число треугольников, на которые делится выпуклый n-угольник диагоналями, проведёнными из одной его вершины.

120. Доказать, что два внешних угла многоугольника, построенные при одной из его вершин, равны.

Черт. 36. Черт. 37.

Треугольник и его элементы.

121. Перечислить все треугольники, изображённые на чертежах 36 и 37.

122. На чертеже 38 изображены восемь треугольников. Укажите вид каждого треугольника.

123. 1) Перечертить в тетрадь по клеточкам треугольник ABC (черт. 39) и провести в нём все высоты. Измерить их.

Черт. 38.

2) Перечертить в тетрадь по клеточкам треугольник ABC (черт. 39), провести в нём все медианы и измерить их.

3) Перечертить в тетрадь по клеточкам треугольник ABC (черт. 39), провести в нём все биссектрисы и измерить их.

124. 1) Начертить треугольник с прямым углом и провести в нём из вершины острого угла высоту, медиану и биссектрису.

Черт. 39.

2) Начертить треугольник с тупым углом и провести в нём из вершины острого угла высоту, медиану и биссектрису.

125*. Вершина Л остроугольного треугольника ЛВС находится вне чертежа. Найти основание высоты треугольника ABC, проходящей через вершину Л1.

126. Перечертить в тетрадь отрезок AB и точку М, данные на чертеже 40.

Построить треугольник ABC, считая отрезок Л В стороной искомого треугольника, а точку М: а) точкой пересечения его высот, б) точкой пересечения его биссектрис.

127, Доказать, что медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два треугольника, периметры которых равны.

128. Через вершину равнобедренного треугольника, основание и боковая сторона которого соответственно равны 10 см и 13 см, проведена медиана. Найти её длину, если известно, что периметр одного из образовавшихся треугольников равен 30 см.

Черт. 40.

§ 8. Симметрия относительно прямой.

129. Построить: а) точку, симметричную данной точке относительно данной оси (черт. 41); б) отрезок, симметричный данному отрезку относительно данной оси (черт. 41).

Черт. 41. Черт. 42.

130. Построить: а) треугольник, симметричный данному треугольнику относительно данной оси; б) четырёхугольник, симметричный данному четырёхугольнику относительно прямой / (черт. 42).

1 Задачи, отмеченные звёздочкой, повышенной трудности.

131. Построить ломаную, симметричную ломаной ABCDE относительно данной оси / (черт. 43).

132. Вырезать из бумаги квадрат, прямоугольник и круг и, перегибая бумагу, установить, сколько осей симметрии имеет каждая из этих фигур.

Черт. 43.

Черт. 44.

Черт. 45.

133. Сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, данных на чертежах 44 и 45?

134*. 1) Построить луч, симметричный данному относительно данной оси.

2) Построить прямую, симметричную данной относительно данной оси.

3) Построить угол, симметричный данному относительно данной оси.

135. 1) Построить ось симметрии данного отрезка. 2) Построить ось симметрии двух данных точек.

136. Перечертить в тетрадь фигуры, данные на чертежах 46 и 47, и провести все их оси симметрии.

137. 1) Отрезок Л С перпендикулярен прямой / и делится в точке пересечения с этой прямой пополам. Точка В находится на прямой I. Доказать, что точка В находится на одинаковом расстоянии от точек А и С.

2) На чертеже 48 точки А и Ai симметричны относительно прямой /, точки В и В< находятся на отрезке АА{ и AB = Aß» точка С находится на прямой /. Доказать* что отрезки СВ и СВ{ равны.

138. 1) Точки В и ßlf симметричные относительно прямой /, соединены отрезками прямых с точками Л и С, лежащими на этой прямой. Доказать, что: a) Z. ВАС = Z. ВХАС\ б) Z. ВСА = = Z. BtCA\ в) Z. ABC = Z- ABfi.

Черт. 46. Черт. 47.

2) Точки В и ßlf симметричные относительно прямой /, соединены с точками А и С, лежащими на этой прямой. Доказать, что треугольник ABC равен треугольнику АВ{С.

139. Дана прямая / и точки M и N, расположенные по одну сторону от неё. На прямой / найти такую точку С, чтобы сумма отрезков MC и CN была наименьшей.

Указание. Свести задачу к задаче 38.

140. Дана прямая AB и точки M и N, расположенные по одну сторону от неё. На прямой AB найти такую точку С, чтобы Z. АСМ = Z. NCB.

141. В окружности проведена хорда CD, перпендикулярная диаметру AB, и концы хорды CD соединены с концами диаметра AB. Доказать равенство хорд Л С и AD и равенство хорд ВС и BD.

142. 1) В окружности проведены диаметр AB и хорды АС и ЛЛ, образующие с диаметром равные углы. Доказать, что точки С и D симметричны относительно диаметра AB и хорды АС и AD равны.

2) В окружности проведены диаметр AB и хорды АС и AD, образующие с диаметром равные углы. Провести хорды ВС и BD и доказать, что треугольник ABC равен треугольнику ABD.

Черт. 48.

Свойства равнобедренного треугольника.

143. 1) На чертеже 49 AB = ВС. Доказать, что Z. 1= Z.2.

2) В треугольнике ABC AB = ВС, стороны АС и ВС продолжены, как указано на чертеже 50. Доказать, что Z_ 1 = Z. 2.

144. В треугольнике ABC, в котором Z. Л = 38°, Z. В = 110°, Z. С = 32°, проведены два отрезка ßD и ߣ так, что BD = AD, BE = ЕС (черт. 51). Найти Z-DBE.

145. На чертеже 52 AB = = ßC; CD = D£. Доказать, что Z. ВЛС = Z_ C£D.

146. Медиана равнобедренного треугольника делит его периметр на части, равные 12 см и 9 сл*. Найти стороны треугольника (два решения).

147. Построить треугольник, провести в нём медиану и измерить медиану и стороны треугольника. На основании полученных дан-

Черт. 49. Черт. 50.

Черт. 51. Черт. 52.

ных проверить, что: а) медиана треугольника меньше его полупериметра; б) каждая сторона треугольника меньше его полупериметра.

§ 9. Равенство треугольников.

Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

148. 1) Построить треугольник по двум его сторонам, равным 6,4 см и 4,6 см, и углу между ними, равному 68°. Из вершины угла в 68° провести высоту треугольника и измерить её. 2) Построить треугольник по двум сторонам, равным 62 мм и 54 мм, и углу между ними, равному 154°. Из вершины меньшего угла треугольника провести высоту и измерить её.

149. На сторонах угла ВАС отложены равные отрезки AM и AN (черт. 53); произвольная точка D биссектрисы этого угла соединена с точками M и N. Доказать, что DM = DN.

Черт. 53. Черт. 54. Черт. 55.

150. 1) В равнобедренном треугольнике ABC на основании ВС отложены равные отрезки ВМ и NC (черт. 54). Доказать, что вершина А одинаково удалена от точек M и N.

2) В треугольнике ABC (черт. 54) AB = ЛС, ВМ = NC. Доказать, что Z. AMN = Z. ANM.

151 В четырёхугольнике ABCD (черт. 55) АС и BD — диагонали, АО = OB и DO = ОС. Доказать равенство сторон AD и ВС.

152. Доказать, что равнобедренные треугольники равны, если боковая сторона и угол при вершине одного треугольника равны боковой стороне и углу при вершине другого треугольника.

153. Медиана AD треугольника ABC продолжена за основание ВС на отрезок DE, равный отрезку ЛО, и точка Е соединена с точкой С отрезком прямой. Найти величину угла АСЕ, если Z. ACD » 56° и Z- ABD - 40°.

154. 1) Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.

2) На сторонах равнобедренного треугольника ABC от его вершины ß отложены равные отрезки ВМ и BN (черт. 56). Доказать, что отрезки СМ и AN равны.

155. Доказать, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

156. 1) На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены, как указано на чертеже 57, равные отрезки AD, CF и BE и точки D, Е и F соединены отрезками прямых. Доказать, что треугольник DEF равносторонний.

Черт. 56

Черт. 57.

Черт. 58.

2) Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как указано на чертеже 58, и на их продолжениях отложены равные отрезки AD, СЕ и BF. Доказать, что точки D, F и Е являются вершинами равностороннего треугольника.

157. На чертеже 59 AB = Л С, AE=AD. Доказать, что BD=CE.

Черт 59. Черт. 60.

158. На чертеже 60 AB = ВС, BD - BF, ^ 1 «- /1 2. Найти на этом чертеже равные треугольники.

159. Построить четырёхугольник, равный данному, использовав признак равенства треугольников по двум сторонами углу, заключённому между ними.

Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

160. 1) Построить треугольник по стороне, равной 5,2 см, и прилежащим к ней углам, равным 30° и 125°.

2) Построить равнобедренный треугольник по основанию, равному 57 мм, и прилежащему к нему углу, равному 48°.

161. На чертеже 61 дана фигура, у которой AD = CF, Z. ВАС = = Z- EDF, ZL 1 = Z. 2. Доказать, что Д ABC - Л DEF.

162. Лучи AD и ВС пересекаются в точке О (черт. 62), Z. 1 = = Z. 2, ОС = OD. Доказать, что Z. Л = Z. 5.

Черт. 61.

Черт. 62.

Черт. 63.

163. 1) В треугольнике ABC AB = ACuZ-\ = Z.2(4epT. 63). Доказать, что Z. 3 = Z. 4.

2) На чертеже 64 AD = Л£, Z_ C4D = ZL ВЛ E. Доказать, что BD = CE.

164. 1) Доказать, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

2) Доказать, что в равных треугольниниках биссектрисы равных углов равны.

165. Доказать, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

166. В четырёхугольнике A BCD (черт. 55) Z-DAB = /-CBA и диагонали АС и BD образуют со стороной AB равные углы. Доказать, что диагонали четырёхугольника равны.

167. На чертеже 65 Z. 1 = Z-2, Z_5 = ^6. Доказать, 4toZL3=Z_4.

Черт. 64.

Черт. 65. Черт. 66.

168. Треугольник ABC и А{В{С{ равны (черт. 66). Отрезки CD и CJDX образуют со сторонами СВ и CiBl равные углы BCD и B{CiDv Доказать, что AD = Aßt.

169. 1) Доказать, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, отсекает на его сторонах равные отрезки.

2) Через данную точку, лежащую внутри данного угла, провести прямую, отсекающую от сторон данного угла равные отрезки.

Равенство треугольников по трём сторонам.

170. 1) Построить треугольник, равный данному (черт. 67).

2) Построить треугольник по трём сторонам Ь% à и е (черт. 68).

3) Построить треугольник со сторонами, равными 4,5 см, 7,2 см, 6,5 см.

171. 1) Построить равнобедренный треугольник по сторонам, равным 65 мм и 20 мм, и провести в нём ось симметрии.

2) Построить равносторонний треугольник со стороной, равной 10 см, и провести в нём все оси симметрии.

172. 1) Построить треугольник, стороны которого равны 80 мм, 72 мм и 95 лш, провести все его высоты и измерить их.

2) Построить треугольник по сторонам AB = 12 см, ВС=6 см, АС=8 см. Из вершины С провести биссектрису и медиану, измерить их.

173. Могут ли быть треугольники со сторонами: а) 15 м, 18 м, 17 м; б) 24 м, 3 м, 14 м; в) 0,8 м, 1,6 м, 0,2 м\ г) 35 см, 5 м, 1 дм?

174. 1) На чертеже 68 даны пять отрезков а, Ь, с, d и е. Могут ли быть сторонами треугольника отрезки: а) а, & и с, б) а, с и е\ в) Ь, d и с; г) b, d и е?

Черт. 67.

Черт 68

2) Начертить три произвольных отрезка и построить треугольник, стороны которого были бы равны этим отрезкам. Какому условию должны удовлетворять длины отрезков?

175. 1) Может ли быть треугольник со стороной, равной 52 мм, и периметром, равным 100 мм?

2) Одна из сторон треугольника равна 24 см, другая сторона равна 40 см. Найти третью сторону треугольника, если известно, что она в два раза меньше одной из данных сторон.

176. Две стороны равнобедренного треугольника равны: а) 2 см и 6 см\ б) 15 см и 14 см\ в) 8 см и 1 дм\ г) 3 дм и 10 см. Какие из этих сторон могут быть основанием равнобедренного треугольника?

177. Длины двух сторон равнобедренного треугольника относятся, как 3 : 8. Найти все стороны треугольника, если его периметр равен 38 см.

Черт. 69. Черт. 70. Черт. 71«

178. 1) Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Найти его стороны, если известно, что одна из сторон равна 7 см. Сколько решений имеет задача?

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см, одна из его сторон в два раза больше другой. Найти стороны треугольника.

179. Построить треугольник по двум сторонам а и & и медиане та, проведённой к стороне а.

180. На чертеже 69 AB = AD и DC = ВС. Доказать, что: a) Z_ ADC = Z- ABC; б) отрезок АС является биссектрисой угла BAD.

181. На чертеже 70 AD = CF, AB = EF, ВС = DE. Доказать, что Z. 1 = Z. 2.

182. Две окружности с центрами в точках О и Ot пересекаются в двух точках А и В (черт. 71). Доказать, что Z- ОВ01 = /-ОАО{.

183. Построить четырёхугольник, равный данному, использовав признак равенства треугольников по трём сторонам.

Построение и признаки равенства прямоугольных треугольников.

184. Построить прямоугольный треугольник: а) по двум катетам, равным 4,7 см и 6,5 см\ б) по катету, равному 48 мм, и прилежащему углу, равному 54°.

185. Построить прямоугольный треугольник: а) по двум катетам а и Ь\ б) по катету а и прилежащему углу, равному а.

186. 1) Построить равнобедренный треугольник по основанию а и высоте h.

2) Построить равнобедренный треугольник по высоте и углу при вершине.

187. В равнобедренном треугольнике ABC точки D и Е взяты на основании АС так, что AD = СЕ. Из точек D и £ к основанию проведены перпендикуляры до пересечения с боковыми сторонами треугольника соответственно в точках M и N. Доказать, что DM = EN.

188. На чертеже 72 AB _L DB и DC Л. DB, DE = BE. Доказать, что расстояние AB равно длине отрезка DC.

Черт. 72.

Черт. 73.

189. Доказать, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведённые из одной вершины: а) высота и медиана; б) биссектриса и высота.

190. 1) На чертеже 73 BD = BF, DE _L ВС, FK -L AB. Доказать, что DE = FK. 2) На чертеже 74 AD = DB =BF= FC, DE JL AB, F К -L ВС. Доказать, что DE = FK.

191. Укажите несколько способов определения расстояния между двумя точками, если его нельзя измерить непосредственно.

Черт. 74.

192. Точка F, взятая на высоте CD равнобедренного треугольника ABC (АС = ВС), соединена с его вершинами при основании. Доказать, что AF — BF.

193. Построить прямоугольный треугольник по катету а и гипотенузе с.

Свойство перпендикуляра, проведённого к отрезку через его середину.

194. В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, AB = AD. Доказать, что ВС = CD.

195. В треугольнике ABC (черт. 75) AB = ВС = = 14 см. Перпендикуляр, проведённый к боковой стороне AB через её середину (точку D), пересекает основание треугольника в точке Е. Точка Е соединена с точкой В. Найти основание АС треугольника АБС, если периметр треугольника ВЕС равен 40 см.

196*. В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС= 18 см. Из точки D, середины стороны AB, проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной ВС (черт.76). Полученная точка Е соединена с точкой Л. Периметр треугольника АЕС равен 27 см. Определить длину АС.

197. 1) Начертить прямые, расположенные, как указано на чертеже 26, и через заданную точку провести к прямой перпендикуляр1.

2) Начертить отрезок и разделить его при помощи циркуля и линейки на две равные части (на четыре равные части; на восемь равных частей).

3) При помощи циркуля и линейки найти ~ отрезка а, данного на чертеже 5.

Черт. 75.

Черт. 76

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

198. 1) В треугольнике ABC AB = 4 см, ВС = 5 см, АС=6 см. Сравнить углы А, В и С этого треугольника.

2) В треугольнике ABC ВО АО AB. Какой из углов больше: а) угол В или угол А\ б) угол С или угол Л? Почему? 199, Какой вид имеет треугольник, если известно, что: а) два его угла равны между собой; б) три его угла равны между собой?

1 Задачу решить при помощи циркуля и линейки.

Проекция отрезка на прямую. Перпендикуляр и наклонные.

200. Построить проекции равных отрезков, расположив их так, как это указано на чертеже 77. В каком случае проекция отрезка будет наименьшей? В каком случае проекция отрезка будет наибольшей (без доказательства)?

201. Из точки, взятой на расстоянии 4 см от прямой, проведены к ней две наклонные, образующие с этой прямой углы, равные 50°. Выполнить построение и измерить:

Черт. 77.

а) длины наклонных; б) расстояние между основаниями наклонных.

Как найти проекцию одной из наклонных, если известно расстояние между основаниями наклонных?

202. Из точки, взятой на расстоянии 6,5 см от прямой, провести к ней две наклонные длиной 9 см и 7,5 см. Измерить расстояние между основаниями наклонных для двух случаев расположения наклонных.

Деление угла пополам.

203. 1) Начертить произвольный угол. Найти построением: а) —; б) — этого угла.

2) Построить треугольник, один из углов которого был бы равен данному, а другой — его половине.

204. При помощи циркуля и линейки построить углы, равные 90°, 45°, 135°, 22°30'.

ГЛАВА III.

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ.

§ 10. Признаки параллельности.

205. На чертеже 78 показан приём построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Откуда следует, что прямые AB и CD параллельны?

206. При изготовлении в мастерской прямоугольной рамки ученик проверил угольником, как это указано на чертеже 79,

углы рамки. Они оказались прямыми. Как доказать, что противоположные стороны рамки параллельны?

Черт. 78.

Черт. 79.

Углы, образованные двумя прямыми и секущей.

207. Начертить две прямые и их секущую. Пронумеровать полученные углы и указать, какие из них будут соответственными, внутренними накрест лежащими, внешними накрест лежащими, внутренними и внешними односторонними.

208. На чертеже 80 и чертеже 81 даны величины двух углов. Вычислить все остальные углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых третьей прямой.

Черт. 80. Черт. 81.

Признаки параллельности.

209. На чертежах 82—84 показаны приёмы построения параллельных прямых при помощи рейсшины, чертёжного треугольника и линейки, столярного угольника. Почему во всех случаях прямые a, ft и с будут параллельны?

210. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой: а) при помощи чертёжного треугольника и линейки; б) при помощи транспортира и линейки.

211. Прямые MN и ОР пересечены третьей прямой (черт. 85), Z1 = Z2. Параллельны ли прямые MN и ОР?

212. На чертеже 86 Z. 1 = 72°, Z. 2 в 1,5 раза меньше смежного с ним. Доказать, что прямые AB и CD параллельны.

213. 1) На чертеже 87 Z. АОЕ = 100°, разность углов DKF и FKC составляет 20°. Доказать, что прямые AB и CD параллельны.

2) Две прямые AB и CD пересечены третьей прямой EFy при этом Z. CKF = 72°, Z. ВОК = 108° (черт. 87). Доказать, что прямые AB и CD параллельны.

3) На чертеже 87 <L ВОК + ^ FKC = 2d. Доказать, что прямые AB и CD параллельны.

214*. 1) Доказать, что две различные прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Черт. 82.

Черт. 83.

Указание. Провести прямую, пересекающую три данные прямые.

2) Доказать, что данные на чертеже 88 прямые AB н CD параллельны.

Указание. Использовать условие задачи 214 (1). 215*. Доказать, что биссектрисы двух внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, составляют прямой угол.

Черт. 84.

Черт. 85. Черт. 86. Черт. 87.

216. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О, причём АО = ОС и ВО = OD. Доказать, что противоположные стороны четырёхугольника параллельны.

217 В четырёхугольнике ABCD диагональ АС составляет равные углы со всеми его сторонами. Доказать, что противоположные стороны четырёхугольника параллельны.

218. На чертеже 52 отрезки BD и АЕ пересекаются в точке С, AB = BCt CD = DE. Доказать, что AB || DE.

Черт. 88

§ 11. Свойства углов, образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей.

219. Параллельные прямые AB и CD пересечены прямой EF. Один из полученных углов равен 58°. Вычислить остальные семь углов.

220. Найти величину углов х (черт. 89).

Черт. 89.

221. 1) Найти все углы четырёхугольника ABCD, если А В || CD, Z ABC = 138°, Z. CDA = 52°.

2) На чертеже 90 Z. 1 + Z. 2 = 2d. Доказать, что Z_ 3 + + Z. 4 — 2d.

222. Стороны угла MNK соответственно параллельны сторонам угла ABC (черт. 91). Угол ABC равен 145°. Найти величину угла MNK.

Черт. 90. Черт. 91.

Указание. Провести через точки В и N прямую и рассмотреть полученные углы.

223. Доказать, что биссектрисы двух соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, параллельны.

224. 1) Доказать, что прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная его третьей стороне, отсекает от него

треугольник, углы которого соответственно равны углам данного треугольника.

2) В треугольнике ABC Z_ А = 42°, Z_ В = 48°, Z. С = 90°. Треугольник пересечён прямой, параллельной стороне АС. Определить углы образовавшегося треугольника.

225 В треугольнике ABC Z_ А = 42°, Z. ß = 67°. Определить величину угла С.

Указание. Через вершину угла С провести прямую, параллельную стороне AB.

226. В четырёхугольнике A BCD стороны ВС и AD параллельны и равны. Сторона AB равна 10 см и Z. ß^D равен 65°. Найти сторону CD и угол ßCD.

227. Отрезки АС и ßD в точке пересечения делятся пополам. Соединить последовательно отрезками прямых точки Л, ß, С и D и доказать, что: а) отрезки /Iß и CD параллельны и равны; б) отрезки ВС и AD параллельны и равны.

Черт. 92. Черт. 93.

228. На чертеже 92 АС = ВС и МЛГ || AB. Доказать, что треугольник MNC равнобедренный.

229. На чертеже 93 отрезки AF и BD пересекаются так, что АС = Cß, отрезки AB u DF параллельны. Доказать, что BD = AF.

§ 12. Сумма внутренних углов треугольника. Свойство внешнего угла треугольника.

Сумма внутренних углов треугольника.

230. 1) Может ли треугольник иметь: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) один угол прямой, а другой острый? 2) Какому условию должна удовлетворять сумма острого и тупого углов тупоугольного треугольника?

231. 1) Можно ли построить треугольник, чтобы каждый его угол был: а) меньше 60°, б) больше 60°?

2) Может ли треугольник иметь такие внутренние углы: а) 78°, 56°, 63°, б) 42°, 89°, 49°?

232. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен: а) 48°; б) 17°18'; в) 63°4'28". Вычислить другой острый угол.

233. В треугольнике два угла равны 47° и 56°. Вычислить третий угол.

234. Точка D, взятая внутри треугольника ЛВС, соединена с вершинами Л и С. Доказать, что угол ADC больше угла ABC.

235. Какой вид имеет треугольник, если:

а) один из его углов равен сумме двух других углов;

б) один из его углов больше суммы двух других углов?

236. В остроугольном треугольнике ABC Z_ В = 70°. Из вершины угла Л проведена высота AD. Найти углы образовавшегося треугольника ABD.

237. В треугольнике ABC Z_ Л = 65°, Z_ В = 73°. Определить углы, которые образует высота треугольника, проведённая из вершины С, со сторонами АС и ВС.

238. На чертеже 94 отрезки ЕС и BD пересекаются в точке Л, Z. D = Z. С. Доказать, что Z. В = Z. £.

239. В треугольнике ЛВС (черт. 95) проведён отрезок MN так, что Z. 1 = Z. 2. Доказать, что Z. 3 = Z. 4.

Черт. 94. Черт. 95. Черт. 96

240. На чертеже 96 Z. 2 = Z. 3. Доказать, что Z. 1 = Z. 4.

241. Из точки, взятой вне прямой, проведены к ней две наклонные, образующие между собой угол, равный 60°. Длина каждой наклонной равна 18 см. Найти проекции наклонных на эту прямую.

242. Из точки, взятой вне прямой, проведены к ней две наклонные, образующие с ней углы, равные 60°. Расстояние между основаниями наклонных равно 16 см. Найти длины наклонных.

243. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен: а) 72°; б) 16°48'. Вычислить угол при его основании.

244. Один из углов при основании равнобедренного треугольника равен: а) 17°; б) 46°7'. Вычислить угол при его вершине.

245. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника составляет с боковой стороной угол, равный 15°24'. Найти все внутренние углы треугольника.

246. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, в два раза меньше этого основания. Найти углы треугольника.

247. На чертеже 97 изображена фигура, состоящая из квадрата и равностороннего треугольника. Найти величину углов 1, 2, 3 и 4.

248. Доказать, что треугольник будет прямоугольным, если медиана треугольника, проведённая: к большей его стороне, равна её половине.

249. В треугольнике ABC А.А = = 35°, Z_ß =68°. Через вершину В проведён отрезок BD (точка D лежит на стороне АС) так, что ßC=CD. Найти меньший из углов, вершины которых находятся в точке D.

250. В треугольнике ABC (черт. 98) Z. 1 = 55°, Z. 2 = 84°. Прямая DE пересекает треугольник ABC так, что Z. 3 = 140°. Определить углы треугольников BDF и CDE.

251. В треугольнике ABC/- А = 65°, Z. ß= 73°. Биссектриса CD угла С делит треугольник на два треугольника — CBD и ACD. Определить, углы этих треугольников.

252. В треугольнике два угла равны соответственно 65° и 42°. Найти, под каким углом пересекаются биссектрисы этих углов.

253. В треугольнике ABC/L А =44°, Z. В = 57°. Определить, под каким углом пересекаются биссектрисы углов Л и С.

254. 1) Острый угол прямоугольного треугольника равен 24°. Найти углы, образованные биссектрисами этого и прямого углов треугольника.

2) Найти углы между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

255. 1) Найти, под каким углом пересекаются биссектрисы двух углов треугольника, если третий угол равен 28°.

2) Найти, под каким углом пересекаются биссектрисы острых углов тупоугольного треугольника, если тупой угол равен 135°.

256. В треугольнике ABC /L А = 42°, Z_ В = 86°. Через вершины А и В проведены прямые, параллельные противоположным сторонам треугольника. Найти меньший из углов, образованных этими прямыми.

Черт. 97.

Черт. 98.

257. 1) В треугольнике ABC Z- А = 60°, Z. С = 72°. Определить меньший угол между высотами, проведёнными через вершины углов А и С.

2) Найти меньший угол между двумя высотами равностороннего треугольника.

258. Построить прямоугольный треугольник:

а) по катету, равному 6,2 сму и противолежащему углу, равному 65°; б) по гипотенузе, равной 6,5 см, и острому углу, равному 42°.

259. Построить прямоугольный треугольник: а) по катету а и противолежащему углу а; б) по гипотенузе с и острому углу а.

260. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по его гипотенузе.

261. Доказать, что равнобедренные треугольники равны, если у них равны основания и углы при вершине.

262. Измерить длины всех высот прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 6 сму а острый угол равен 40°.

263. Два отрезка AB и CD пересекаются в точке О и делятся в этой точке пополам. Точки Л и D и точки С и В соединены отрезками прямых. Доказать, что точка О одинаково удалена от отрезков AD и СВ.

264. В треугольнике ABC через вершину С проведена медиана CD. Доказать, что высоты треугольников DBC и DACt проведённые из вершин В и А у равны.

265. Даны точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Через точку В провести прямую так, чтобы отрезки перпендикуляров, проведённых из точек С и Л к этой прямой до пересечения с ней (расстояния от точек С и Л до прямой), были бы равны между собой.

Свойство внешнего угла треугольника.

266. Один из внешних углов треугольника равен 95°. Чему равна сумма двух внутренних углов, с ним не смежных?

267. 1) В треугольнике ABC Z. С = 35°, внешний угол треугольника при вершине В равен 72°. Определить все внутренние углы треугольника ABC.

2) Внешний угол прямоугольного треугольника равен 128°. Найти его острые углы. Задача эта может быть решена двумя способами. Укажите их.

268. 1) Какое соотношение существует между внутренним углом при основании равнобедренного треугольника и его внешним углом при вершине?

2) Может ли внешний угол при основании равнобедренного треугольника быть: прямым, острым, тупым?

3) Если один из внешних углов треугольника острый, то какими являются остальные внешние углы треугольника? Почему?

269. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию треугольника.

270. 1) Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 68°. Найти углы при основании треугольника.

2) Внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 162°. Найти внешний угол при основании треугольника.

271. В треугольнике ABC Z. А = 48°, Z. В = 56°. На продолжении АС отложены отрезки СЕ и AD (черт. 99) так, что ВС=СЕ и AD = AB. Найти углы треугольника BDE.

272. Две прямые образуют с третьей прямой углы, равные 48° и 63°. Вычислить величину меньшего угла, образованного этими прямыми. Сколько решений имеет задача? Выполнить для каждого случая чертёж.

273. Внешний угол треугольника равен 90°. Найти величину каждого из внутренних углов, не смежных с ним, если они относятся, как 3 : 5.

274. 1) Два внутренних угла треугольника равны 62° и 105°. Вычислить сумму их внешних углов.

2) Сумма двух внешних углов треугольника равна 258°. Чему равен внутренний угол треугольника, не смежный ни с одним из них?

275. 1) На чертеже 100 AB \\ CD, отрезки AD и СВ пересекаются в точке О. Найти угол BOD.

Черт. 99.

Черт. 100. Черт. 101.

2) Доказать, что Z. 3 = Z_ 1 + Z. 2, если AB \\ CD (черт. 101).

276. В треугольнике ABC Z_ В = 110°, Z_ С = 50°, AD — высота треугольника. Доказать, что Z.Di4C = 2Z. DAB.

277. В равнобедренном треугольнике сумма внутренних углов вместе с одним внешним составляет 310°. Определить внутренние углы треугольника (два решения).

278. В треугольнике ABC (черт. 102) проведён отрезок BD так, что AB = AD. Внешний угол при вершине А равен 140°, а угол С равен 35°. Доказать, что BD = DC.

Черт. 102. Черт. 103.

279. Пользуясь чертежом 103, доказать, что AD = AB, если DC \\АВ.

Свойство катета, лежащего против угла в 30°.

280. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника образует с его стороной угол в 60°. Определить высоту треугольника, если его боковая сторона равна 25 см.

281. Найти неизвестные размеры отрезков на чертежах 104 и 105.

282. 1) В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 45 см. Найти длину гипотенузы.

Черт. 104.

Черт. 105.

2) Построить прямоугольный треугольник, если один из его углов равен 60°, а гипотенуза на 5,5 см больше его меньшего катета.

283. Отрезок длиной 15 см образует с некоторой прямой угол в 60°. Найти проекцию этого отрезка на эту прямую.

284. Из точки, взятой на расстоянии 10 см от прямой, проведены к прямой две наклонные, длины которых относятся, как 1 : 2. Меньшая наклонная образует с прямой угол, равный 30°. Определить длины наклонных.

285. Построить равносторонний треугольник по его высоте.

§ 13. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами.

Углы с соответственно параллельными сторонами.

286. При помощи чертёжного треугольника и линейки построить: а) угол с вершиной в данной точке, равный данному; б) угол с вершиной в данной точке, дополняющий данный до 180°.

287. Построить два угла с соответственно параллельными сторонами так, чтобы: а) эти углы были равны; б) один из углов был острый, а другой тупой.

288. Даны два угла с соответственно параллельными сторонами. Найти эти углы, если: а) один из них в четыре раза меньше другого; б) один из них больше другого на 35°.

289. Два угла с соответственно параллельными сторонами относятся, как 2 : 7. Определить эти углы.

290. 1) Как найти величину угла между двумя непараллельными прямыми, точка пересечения которых находится вне чертежа?

2) Как найти величины углов треугольника, если на чертеже дамы лишь направления сторон, а вершины треугольника находятся вне чертежа?

291. 1) Две прямые образуют углы, один из которых равен 82°. Через точку, взятую внутри большего угла, проведены прямые, параллельные данным прямым. Определить меньший из углов, образованных проведёнными прямыми.

2) Внутри угла, равного 56°, взята точка и через неё проведены прямые, параллельные сторонам этого угла. Найти углы полученного четырёхугольника.

292. В треугольниках ABC и MNP — три пары соответственно параллельных сторон (черт. 106). Найти углы треугольника MNP по данным углам треугольника ABC.

Черт. 106.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

293. 1) Построить угол с вершиной в данной точке, равный данному.

2) Построить угол с вершиной в данной точке, дополняющий данный угол до 180°.

294. Построить два угла с соответственно перпендикулярными сторонами так, чтобы: а) эти углы были равны; б) один из этих углов был острый, а другой тупой.

295. Дан угол ABC, равный 40°. Из вершины угла проведены лучи ВМ и BN, перпендикулярные сторонам данного угла (черт. 107). Найти величины углов NBM, АВМ и CBN.

296. Даны два угла с соответственно перпендикулярными сторонами. Определить эти углы, если: а) один из них больше другого в пять раз; б) один из них меньше другого на 24°.

Черт. 107.

Черт. 108.

297. Два угла с соответственно перпендикулярными сторонами относятся, как 17 : 19. Определить эти углы.

298. Две прямые образуют углы, один из которых равен 36°. Через точку, взятую внутри меньшего угла, проведены прямые, перпендикулярные данным прямым. Определить меньший из углов, образованных проведёнными прямыми.

299. На чертеже 108 даны изображения двух положений эклиметра, сделанного из обычного классного транспортира (OD — отвес). Доказать, что Z. 1 = Z_ 2.

300. Точки А и В, лежащие на сторонах прямого угла С, соединены отрезком прямой. Из вершины прямого угла С к отрезку AB проведён перпендикуляр CD (точка D лежит на отрезке AB). Какие из полученных углов составлены соответственно перпендикулярными прямыми?

Черт. 109.

Черт. 110.

301. 1) Отрезки BD и CF являются высотами треугольника ABC (черт. 109). Доказать, что Z. 1 = Z. 2.

2) AD и CD — прямые, перпендикулярные сторонам ВС и AB треугольника ABC (черт. 110). Доказать, что Z. 1 + Z. 2 = 180°.

ГЛАВА IV.

ПОВТОРЕНИЕ.

302. Написать Есе соотношения между указанными на чертеже 111 углами треугольника.

303. Построить прямоугольный треугольник по катету, равному 6 см, и биссектрисе его прямого угла, равной 4 см.

304. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, проведённой к боковой стороне.

305. Построить треугольник по стороне, медиане, проведённой к другой стороне, и углу, который образует эта медиана с данной стороной.

306*. Через данную точку M провести прямую, проходящую через лежащую вне чертежа точку пересечения данных прямых а и Ь (черт. 112).

307*. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке, и точка А, лежащая на одной из них. Построить треугольник с вершиной в точке А так, чтобы его высоты лежали на трёх данных прямых.

308*. Даны три прямые, пересекающие ся в одной точке, и точка А на одной из них. Построить треугольник с вершиной в точке А так, чтобы его биссектрисы лежали на трёх данных прямых.

Указание. Биссектрисы углов треугольника являются осями симметрии соответствующих углов. Следовательно, точка, симметричная вершине треугольника относительно какой-либо биссектрисы, лежит на соответствующей стороне угла или на её продолжении.

309. Построить проекции сторон AB и ВС треугольника ABC на сторону АС (или на её продолжение). Рассмотреть случаи, когда: а) треугольник ABC — остроугольный; б) угол В — прямой; в) угол С — прямой; г) угол С — тупой.

310. Две вешки установлены строго по отвесу. Можно ли утверждать, что они параллельны?

311. Даны две параллельные и их секущая. Биссектриса одного из внутренних углов составляет с другой параллельной прямой угол в 42°. Найти все углы, образованные при пересечении этих прямых данной секущей.

312. На чертеже 113 AB \\CD. Найти угол х.

Черт. 111.

Черт. 112

313. Доказать, что прямая, пересекающая равнобедренный треугольник и параллельная одной из его сторон, отсекает от него равнобедренный треугольник.

Черт. 113.

314. В треугольнике ABC через точку пересечения биссектрис углов В и С провести прямую, параллельную стороне ВС (черт. 114). Доказать, что MN = ВМ + CN.

315. В треугольнике ABC Z^A = = 46°, Z. В = 58°. Прямая MN, проходящая через вершину А вне треугольника, образует со стороной AB угол, равный 24°. Найти острые углы, которые образует прямая MN со стороной АС и продолжением стороны ВС.

316. 1) В треугольнике ABC Z_ А = 72°, Z. В = 48°. Через вершины А и С треугольника проведены прямые, параллельные его противоположным сторонам. Найти углы образовавшегося треугольника.

2) В треугольнике ABC Z. А = 42°, Z. В = 86°. Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные его противоположным сторонам. Найти углы наибольшего из полученных треугольников.

317. В треугольнике ABC проведена биссектриса угла В, пересекающая сторону АС в точке D. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая сторону AB в точке F. Доказать, что DF = BF.

318. Доказать, что равносторонние треугольники равны, если они имеют по равной высоте.

319. На продолжении диаметра AB окружности с центром в точке О (черт. 115) взята точка С, через которую проведена прямая, пересекающая окружность в точках D и Е. Доказать, что если отрезок CD равен радиусу окружности, то угол ВОЕ втрое больше угла DO А.

Черт. 114.

320. Концы двух равных отрезков, лежащих на двух параллельных прямых, соединены отрезками прямых. Доказать, что эти отрезки: а) равны, если они не имеют общей точки; б) делятся, если они пересекаются, в точке пересечения пополам.

Черт 115. Черт 116.

321. На чертеже 116 AD = CF, AB = EF, ВС = DE. Доказать, что точки В и Е находятся на одинаковом расстоянии от отрезка AF.

322. Стороны четырёхугольника MNPQ параллельны сторонам четырёхугольника ABCD (черт. 117). Зная углы четырёхугольника A BCD, найти углы четырёхугольника MNPQ.

323. 1) Внешний угол равнобедренного треугольника равен 110°. Найти его внутренние углы (два решения).

2) Внешний угол равнобедренного треугольника в три раза больше смежного с ним угла. Найти внутренние углы треугольника (два решения).

324. Дан угол, равный 48°. Через точку, не лежащую на сторонах угла, проведена прямая, параллельная одной из сторон угла, и прямая, перпендикулярная другой стороне угла. Найти меньший угол, образованный этими прямыми.

325. Из точки, лежащей внутри угла, равного 40°, проведены два луча параллельные и два луча перпендикулярные сторонам данного угла (черт. 118). Найти величины углов 1, 2 и 3.

326. Две прямые образуют с третьей прямой углы, равные 75° и 138°. Какой наименьший угол они образуют между собой? Сколько решений имеет задача?

327. Треугольники ABC и BCD сложены своими равными сторонами ВС так, как указано на чертеже 119. В треугольнике ABC угол А равен 25°, угол ABC равен 30°, в тре-

Черт. 117.

Черт. 118

угольнике BDC угол D равен 63°, угол DBC равен 62°. Будут ли стороны АС и CD лежать на одной прямой?

328. Чему равен угол, образованный линиями насечек у напильников, схематично изображённых на чертеже 120?

329. На чертеже 121 AB \\ CD, BF =BD, AD — отрезок прямой. Найти величину угла ABF.

330. Прямая, пересекающая две параллельные прямые, образует с одной из них угол в 150°. Найти длину отрезка секущей, заключённого между этими прямыми, если расстояние между двумя параллельными прямыми равно 46 мм.

Примечание. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина отрезка перпендикуляра к этим прямым, заключённого между ними.

Черт. 119.

Черт. 120.

331*. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из вершины острого угла, не совпадают.

332*. 1) На данной прямой I найти точку, удалённую от данной точки А на расстояние а.

Рассмотреть случаи, когда точка А лежит на данной прямой / и когда точка А находится вне прямой /.

2) Найти точку, удалённую от одной из данных точек на расстояние а, а от другой точки — на расстояние Ь.

333*. 1) На данной окружности найти точку, удалённую от данной точки на расстояние d.

2) На данной прямой найти точку, одинаково удалённую от концов данного отрезка.

3) На данной прямой найти точку, находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон данного угла.

334. Дан угол ABC и точки M и N на его сторонах. Найти точку, одинаково удалённую от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Черт. 121.

ГЛАВА V.

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.

§ 14. Сумма внутренних углов четырёхугольника.

335. Вычислить величину четвёртого угла четырёхугольника, если три его внутренних угла соответственно равны: а) 89°, 92°, 97°; б) 72° 15', 89°36', 92° 17'.

336. Могут ли у четырёхугольника быть: а) два угла острыми; б) два угла прямыми; в) три угла острыми; г) три угла тупыми?

337. В четырёхугольнике ABCD A.D = 100°, Z. А = Z. В = = Z_ С. Вычислить все углы четырёхугольника.

338. 1) Внутри угла, равного 40°, взята точка и через неё проведены перпендикуляры к сторонам угла. Определить углы образовавшегося четырёхугольника.

2) Решить предыдущую задачу, если точка расположена внутри угла, равного 90°.

339. 1) Вычислить внешние углы четырёхугольника, если три его внутренних угла соответственно равны 38°, 158°, 44°.

2) Найти сумму внешних углов четырёхугольника.

340. В четырёхугольнике ABCD Z. А = Z. С = 90°. Доказать, что биссектрисы двух других углов параллельны или совпадают.

§ 15. Параллелограмм, его свойства и признаки.

Свойства параллелограмма.

341, Сумма двух углов параллелограмма равна 168°. Найти его углы.

342. Вычислить все углы параллелограмма, если: а) один из углов параллелограмма равен 78° 15'; б) один угол параллелограмма на 42° больше другого.

343. Вычислить все углы параллелограмма, если: а) один угол параллелограмма в четыре раза больше другого; б) углы параллелограмма относятся, как 3 : 7.

344. Периметр параллелограмма равен 152 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найти длины всех сторон параллелограмма.

345. 1) Периметр параллелограмма равен 72 см. Найти его стороны, если две из его сторон относятся, как: а) 5:3; б) 0,17:0,13.

2) Из куска проволоки длиной 84 см надо изготовить параллелограмм, стороны которого относятся, как 3 : 4. Найти длины сторон этого параллелограмма.

346. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD (черт. 122) проведён отрезок MN (точки M и N лежат на сторонах параллелограмма). Доказать, что AM = CN.

347. 1) В параллелограмме ABCD диагональ BD образует со стороной CD угол, равный 68°. ZI ABC = 84°. Найти Z_ ADB и Z_ BCD.

2) В параллелограмме ABCD диагональ АС образует со стороной DC угол, равный 40°. Найти Z_ ADC и Z_ ВАС, если Z. АБС = 110°.

348. На чертеже 123 изображены параллелограммы. Найдите, не производя измерений, на каких чертежах допущены ошибки при простановке размеров.

349. 1) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:1, считая от вершины острого угла. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 60 см.

2) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 2:1, считая от вершины тупого угла. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 60 см.

Черт. 122.

Черт. 123.

350. В параллелограмме острый угол равен 60°. Высота параллелограмма, проведённая из вершины тупого угла, делит сторону параллелограмма пополам. Найти меньшую диагональ параллелограмма, если его периметр равен 24 см.

351. Один из углов параллелограмма в три раза больше другого. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит про-

тивоположную сторону на две части, равные 2 см и 4 см. Найти высоту параллелограмма (два решения).

352. Можно ли построить параллелограмм:

а) по двум сторонам, равным 20 см и 34 см, и диагонали, равной 52 см;

б) по стороне, равной 8 см, и двум диагоналям, равным 6 см и 10 см;

в) по диагонали, равной 6 см, и сторонам, равным 20 см и 38 см?

Признаки параллелограмма.

353. На клетчатой бумаге отмечены точки А, В9 С и D (черт. 124). Доказать, что прямые AB и CD параллельны.

354. 1) На продолжении противоположных сторон параллелограмма ABCD отложены равные отрезки АК и CL (черт. 125) и отрезками прямых соединены точки В и L и точки К и D. Доказать, что полученный четырёхугольник LBKD —параллелограмм.

2) На чертеже 126 четырёхугольник ABCD — параллелограмм, АК = CL. Доказать, что точки Л, К, С и L являются вершинами параллелограмма.

355. На сторонах параллелограмма отложены, как указано на чертеже 127, две пары равных отрезков BQ, ВМ, DN и PD: ВМ = PD и BQ = DN. Доказать, что точки Q, M, N и Р являются вершинами параллелограмма.

Черт. 124.

Черт. 125. Черт 126.

356. 1) На чертеже 128 дан схематический чертёж весов. AD = = ßC, AB = CD. На вертикальном стержне KL подвижно закреплены в точках К и L стержни AD и ВС (АК = KD, BL = LC).

Пояснить, почему при вертикальном положении стержня KL стержни AB и CD также занимают вертикальное положение.

Черт. 127. Черт. 128.

2) Почему ось KL лампы, изображённой на чертеже 129, всегда параллельна стержню AB?

3) Объяснить действие линейки для вычерчивания параллельных прямых (черт. 130).

Черт. 129. Черт. 130.

Построение параллелограммов.

357. Построить параллелограмм по двум его сторонам, равным 6 см и 5 см, и углу между ними, равному 130°.

358. Построить параллелограмм: а) по двум сторонам, равным 4 см и 5 см, и диагонали, равной 6 см\

б) по стороне, равной 45 мм, диагонали, равной 45 мм, и углу между ними в 72°;

в) по стороне, равной 4 см, и двум диагоналям, равным 6,8 см и 4,5 см;

г) по двум диагоналям, равным 6,5 см и 4,7 см, и углу между ними в 165°;

д) по стороне, равной 4,3 см, углу, равному 152°, и диагонали, лежащей против этого угла и равной 7,2 см,

359. Построить параллелограмм:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по двум сторонам и диагонали;

в) по стороне, диагонали и углу между ними,

г) по стороне и двум диагоналям;

д) по двум диагоналям и углу между ними;

е) по стороне, диагонали и углу, лежащему против диагонали.

Центральная симметрия.

360. Построить фигуры, симметричные данным относительно данного центра О симметрии (см. черт. 131).

361. 1) Построить треугольник, симметричный данному прямоугольному треугольнику относительно: а) вершины прямого угла; б) середины гипотенузы.

Черт. 131.

2) Построить треугольник, симметричный произвольному треугольнику относительно середины его какой-либо стороны. Определить вид фигуры, образованной данным треугольником и построенной ему симметричной фигурой.

362. 1) На какой наименьший угол нужно повернуть параллелограмм относительно его центра симметрии, чтобы фигуры в новом и прежнем положениях совпали?

2) На какой наименьший угол нужно повернуть фигуры, данные на чертеже 132, относительно их центров симметрии, чтобы фигуры в новом и прежнем положениях совпали?

363. 1) Доказать, что прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллелограмма, пересекает его стороны в точках, центрально-симметричных относительно точки О.

2) На основании свойств центрально-симметричных фигур доказать равенство отрезков AM и NC на чертеже 122 (задача 346).

3) В параллелограмме ABCD отрезок MN проходит через точку О пересечения его диагоналей (черт. 122). Доказать, что фигура AMND после поворота её на 180° вокруг точки О совместится с фигурой CNMB.

Черт. 132.

364. На чертеже 133 указать фигуры, имеющие оси симметрии и центры симметрии.

Черт. 133.

365. Указать, где находятся центры симметрии: а) отрезка; б) окружности; в*) прямой линии; г*) пересекающихся прямых линий; д*) двух параллельных прямых.

366. 1) Привести примеры центрально-симметричных фигур, которые вы наблюдали в природе, в мастерских, на производстве, в быту.

2) Начертить какие-либо три фигуры, имеющие центр симметрии.

Разные задачи на параллелограмм.

367. Назовите примеры использования свойств параллелограмма на практике.

368. Сколько различных параллелограммов можно составить из двух равных треугольников, если они: а) разносторонние; б) равнобедренные; в) равносторонние?

369. Доказать, что в параллелограмме ABCD противоположные вершины В и D находятся на одинаковом расстоянии от диагонали АС.

370. 1) Доказать, что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или совпадают. В каком случае биссектрисы противоположных углов параллелограмма совпадают?

2) Доказать, что биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

371. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов В и D пересекают диагональ АС в точках M и N (черт. 134). Доказать, что точки В, N9 D и M являются вершинами параллелограмма.

Черт. 134.

372. Биссектрисы углов параллелограмма пересекают его стороны в точках M, N, Р и Q (черт. 135). Провести отрезки MQ и NP и определить вид полученного четырёхугольника MNPQ.

373*. В параллелограмме против большего угла лежит большая диагональ; Доказать.

374*. 1) Доказать, что в параллелограмме угол между высотами, проведёнными из вершины его тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

2) Доказать, что в параллелограмме угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

375. Два угла параллелограмма относятся, как 1 : 3. Найти угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины: а) тупого угла; б) острого угла.

376. Через данную внутри угла точку провести прямую так, чтобы отрезок её, заключённый между сторонами угла, делился в этой точке пополам.

377. Построить треугольник, если известны две его стороны а и b и медиана тс, проведённая к третьей стороне.

378. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих её сторон.

Указание. Продолжить медиану за сторону, к которой она проведена, на отрезок, равный самой медиане, и соединить конец полученного отрезка с вершинами треугольника.

379. Доказать, что два треугольника равны, если две стороны и медиана, заключённая между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, заключенной между ними, другого треугольника.

Указание. Достроить треугольники до параллелограммов.

380. Если через точку пересечения диагоналей параллелограмма провести две прямые и соединить последовательно точки пересечения этих прямых со сторонами параллелограмма, то полученный четырёхугольник будет параллелограммом. Доказать.

Черт. 135.

Черт. 136. Черт. 137.

381. Треугольник ЛВС равен треугольнику A(черт. 136). ACi= 20см\ A fi = \2см. Найти расстояние между точками В и Вх.

382. На чертеже 137 ABCD и ABEF — параллелограммы. Доказать, что четырёхугольник DCEF — параллелограмм.

383. Доказать, что четырёхугольник ABCD, у которого сумма уголов А и В равна 180° и Z Л = ^С, является параллелограммом.

384. 1) В параллелограмме ABCD перпендикуляры, проведённые через вершины тупых углов к диагонали АС, пересекают её в точках M и N (черт. 138). Доказать, что BN = DM.

Черт. 138.

Черт. 139.

2) Точки Е и F — середины сторон AB и CD параллелограмма ABCD (черт. 139). Доказать, что BF = DE.

385. В четырёхугольнике ABCD АС — диагональ, AB || DC, AB = DC, FD = BG (черт. 140). Доказать, что отрезок FG делится в точке пересечения его с диагональю АС пополам.

386. 1) Даны две пересекающиеся прямые и лежащая вне их точка. Построить параллелограмм, две стороны которого находились бы на данных прямых, а одна из вершин — в данной точке.

2) Дан отрезок AB и точка М, не лежащая на прямой AB. Построить параллелограмм так, чтобы одной из его сторон был отрезок AB, а точка M являлась точкой пересечения диагоналей.

3) Дан отрезок AB и точка М, не лежащая на прямой AB. Построить параллелограмм, одна из сторон которого совпала бы с отрезком AB, а другая делилась бы в точке M пополам (три решения).

387. Середины (точки F и Е) параллельных сторон ВС и AD параллелограмма ABCD соединены с вершинами D и В отрезками прямых (черт. 141). Доказать, что эти отрезки делят диагональ на три равные части.

Черт. 140.

Черт. 141.

§ 16. Частные виды параллелограмма.

Прямоугольник.

388. В прямоугольнике перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам, соответственно равны 4 см и 6 см. Определить периметр этого прямоугольника.

389. В прямоугольнике диагонали образуют угол, равный 50°. Определить углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

390. Перпендикуляр, проведённый из вершины прямого угла прямоугольника к его диагонали, делит прямой угол в отношении 2 : 3. Определить: а) углы, образованные диагоналями со сторонами прямоугольника; б) угол, образованный проведённым перпендикуляром со второй диагональю.

391. Построить прямоугольник:

а) по двум его смежным сторонам;

б) по диагонали и углу, образованному диагональю со стороной;

в) по стороне и диагонали;

г) по диагонали и углу между диагоналями.

392. 1) Если в четырёхугольнике три внутренних угла прямые, то его противоположные стороны параллельны. Доказать.

2*) Доказать, что если в четырёхугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является прямоугольником.

393. Биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник. Доказать.

394. Из четырёх попарно равных планок связана рамка прямоугольной формы. Достаточно ли для проверки правильности изготовления рамки проверить равенство её диагоналей?

Разные задачи.

395. 1) Для определения расстояния AB, которое нельзя измерить непосредственно, на местности построили прямые углы BAD и ABC с вершинами в точках А и В (черт. 142) и на сторонах углов отложили равные отрезки AD и ВС. Доказать, что . расстояние между точками А и В равно расстоянию между точками D и С.

2) Как на местности измерить расстояние между точками А и В, используя свойство сторон параллелограмма? Приведите примеры.

396. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Черт. 142.

397. 1) Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника, равной 6 см, проведены прямые, параллельные его катетам. Определить вид полученного четырёхугольника и найти его диагонали.

2) В треугольнике ABC Z. С = 90°, АС = ВС = 5 см; через точку Ку взятую на стороне AB, проведены прямые, параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося четырёхугольника.

3) В прямоугольном треугольнике А ВС Z. С = 90° и CD J_ AB, из точки D (черт. 143) проведены отрезки DL и DK, перпендикулярные катетам треугольника. Доказать, что расстояния между точками С и D и точками К и L равны.

398. Между сторонами острого угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он был перпендикулярен к одной из сторон данного угла.

399. 1) Найти точку, которая была бы удалена на расстояние а от данной точки и от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

2) Найти точку, одинаково удалённую от сторон данного угла и находящуюся на расстоянии а от данной прямой.

400. Провести биссектрису угла, вершина которого находится вне чертежа.

401. 1) Построить треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из них.

2) Построить треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и углу, который образует с этой стороной высота, проведённая к другой стороне.

3) Построить треугольник по углу и двум высотам, проведённым к сторонам этого угла.

402. 1) Построить параллелограмм по высоте, равной 4 см, стороне, равной 5 см, и диагонали, равной 6 см.

2) Построить треугольник по стороне, равной 5 см, высоте, равной 4 см, проведённой к этой стороне, и медиане, равной 6 см, проведённой к другой стороне.

3) Построить параллелограмм по двум диагоналям и высоте.

Черт. 143.

Ромб.

403. 1) Из каких двух равных треугольников можно сложить ромб?

2) Из каких четырех равных треугольников можно сложить ромб?

404. В ромбе одна из диагоналей равна его стороне.

а) Чему равны углы ромба?

б) Найти углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.

405. Углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами, относятся, как 2 : 3. Определить углы ромба.

406. 1) Высоты, проведённые из вершины ромба, образуют угол в 30*. Найти: а) углы ромба; б) углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.

2) Высоты, проведённые из вершины ромба, образуют угол в 120°. Найти: а) углы ромба; б) углы, образованные диагоналями ромба с его сторонами.

407. В ромбе высота, проведённая из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найти: а) углы ромба; б) периметр ромба, если меньшая его диагональ равна 20 мм.

408. Достаточно ли для проверки того, что данный четырёхугольный кусок материи имеет форму ромба, проверить совпадение краёв куска при сгибании его по каждой диагонали?

409. 1) Доказать, что всякий параллелограмм, у которого одна из диагоналей делит его угол пополам, есть ромб.

2) Если в четырёхугольнике ABCD диагонали являются биссектрисами всех его углов, то этот четырёхугольник — ромб. Доказать.

Указание. Сначала рассмотреть треугольники ABC и CD А, а затем треугольники BCD и ABD.

410. Построить ромб:

а) по стороне и диагонали;

б) по двум диагоналям;

в) по стороне и прилежащему углу;

г) по высоте и диагонали;

д) по углу и диагонали, проходящей через вершину этого угла;

е) по диагонали и противолежащему ей углу.

411. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120е, а боковая сторона равна 14 см. Построить треугольник, симметричный данному относительно середины его основания, и определить периметр и меньшую диагональ полученного четырёхугольника.

Черт. 144.

412. Пользуясь только линейкой с параллельными краями, провести перпендикуляр к отрезку через его середину (длина отрезка больше ширины линейки).

Указание. Пользуясь только двусторонней линейкой, построить ромб, одной из диагоналей которого является данный отрезок, а высота равна ширине линейки (черт. 144).

413. Пользуясь только линейкой с параллельными краями, провести перпендикуляр к прямой через данную на ней точку.

Указание. Построить ромб, диагональ которого лежит на данной, прямой и делится в данной точке пополам.

414*. По схемам раздвижного кронштейна и раздвижной решётки, данным на чертеже 145, объяснить, почему точки Л, В, С, D всегда располагаются на одной прямой.

Черт. 145.

415. Из каких двух равных треугольников можно сложить квадрат? Из каких четырёх равных треугольников можно сложить квадрат (два решения)?

416. Достаточно ли для проверки того, что данный четырёхугольник — квадрат, проверить равенство и перпендикулярность его диагоналей? Приведите пример.

417. Доказать, что всякий ромб, у которого диагонали равны, есть квадрат.

418. Середины сторон квадрата последовательно соединены. Определить вид полученной фигуры.

419. Построить квадрат: а) по данной его стороне а\ б) по данной его диагонали Ь.

420. Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены, как указано на чертеже 146, равные отрезки ЛЛ,, ВВи СС, и DD,; точки Л, ,ßb С, и D, последовательно соединены. Доказать, что полученный четырёхугольник Л ,0,(7,0, является квадратом.

421. Диагональ квадрата равна 12 см. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определить вид и периметр полученного четырёхугольника.

422. Дан квадрат, сторона которого равна 1 м\ его диагональ служит стороной другого квадрата. Найти диагональ второго квадрата.

Черт. 146.

423. Диагональ квадрата равна 6 м. Его сторона служит диагональю второго квадрата. Определить сторону второго квадрата

424. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найти периметр квадрата, если катет треугольника равен а.

425*. Доказать, что если диагонали четырёхугольника равны, делят его углы пополам и взаимно перпендикулярны, то такой четырёхугольник есть квадрат.

Какое условие является лишним?

Свойство отрезков, отсекаемых параллельны ми прямыми.

426. В треугольнике ЛВС АВ = \2см1 АС=24см. Сторона ВС разделена на 4 равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне AB. Найти отрезки этих прямых, заключённые внутри треугольника, и отрезки, полученные на стороне АС.

427. Используя свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на прямых, решить задачу 387.

428. Для того чтобы разделить полосу шириной AB на несколько, например на пять, одинаковых полос, масштабную линейку расположили так, как это указано на чертеже 147, и отметили точки, соответствующие сантиметровым делениям. Затем через отмеченные точки провели прямые, параллельные краю полосы. Почему отрезок AB разделился этими параллельными прямыми на пять равных частей?

Черт 147.

Средняя линия треугольника.

429. Раствор AB полевого циркуля (черт. 148) обычно равен 1 м или 2 м. Найти длину распорки MN, придающей ему жёсткость, если она соединяет середины ножек циркуля.

430. 1) Стороны треугольника относятся, как 3:4:5, периметр его равен 60 см. Найти периметр и стороны треугольника, вершины которого находятся в серединах сторон данного треугольника.

2) Стороны треугольника относятся, как 7:8:9. Периметр треугольника, вершинами которого служат середины его сторон, равен 24 см.

Найти стороны данного треугольника.

431. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см. Каждая диагональ параллелограмма разделена на четыре равные части и точки, делящие диагонали в отношении 1 :3 и 3:1, последовательно соединены (черт. 149). Найти вид полученного четырёхугольника и вычислить его периметр.

432. Середины сторон произвольного четырёхугольника соединены так, как это показано на чертеже 150. Найти длины этих отрезков, если не пересекающая их диагональ равна 24 см.

Черт. 148.

433. В четырёхугольнике ABCD AB = ВС и CD = AD. Середины сторон четырёхугольника последовательно соединены. Доказать, что полученный четырёхугольник является прямоугольником.

434. 1) Прямые, проведённые через вершины А, В и С треугольника ABC параллельно противолежащим сторонам, образуют треугольник АхВхСи стороны которого делятся точками А, В и G пополам. Доказать.

Черт. 149.

Черт. 150.

2) Найти стороны треугольника, построенного, как указано в предыдущей задаче, если AB = 6 см, ВС = 12 см, АС = 15 см.

435. Через точку М, данную внутри угла ABC, провести прямую, отрезок которой, заключённый между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

436. Через вершину угла С треугольника ABC проведена вне его прямая (черт. 151); проекции сторон АС и ВС на проведённую прямую равны 10 см и 6 см. Найти проекции на эту прямую всех медиан треугольника.

437. Объяснить, как, пользуясь свойством средней линии треугольника, можно определить расстояние между двумя точками А и ß, одна из которых недоступна (черт. 152).

Черт. 151.

Черт. 152.

Как должна быть выбрана третья точка (точка С)? Обязательно ли угол А должен быть прямым?

438. В прямоугольнике меньшая сторона равна 20 см и образует с диагональю угол, равный 60°. Середины сторон прямоугольника

последовательно соединены. Определить вид и периметр полученного четырёхугольника.

439. В треугольнике ABC ММ — средняя линия (черт. 153). Через точку В проведён отрезок BD до пересечения с продолжением стороны AG (точка D). На какие части делится отрезок BD продолжением средней линии MN?

Черт. 153. Черт. 154.

440*. На чертеже 154 BD — высота треугольника ABC, ВК = *= KD, AL = LC, MN H АС. Доказать, что отрезок PQ, параллельный высоте BDy делится отрезком KL пополам. Какое условие является лишним?

§ 17. Трапеция.

441. Указать, какими многоугольниками составлен рисунок паркета (черт. 155).

442. 1) Углы при основании трапеции равны 68° и 74°. Определить остальные углы трапеции.

Черт. 155

2) Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, относиться, как: а) 6:3:4:2; б) 8:7:13:12?

443. Диагональ трапеции перпендикулярна к боковой стороне, острый угол, лежащий против этой диагонали, равен 40°. Найти

остальные углы трапеции, если меньшее основание равно другой боковой стороне.

444. В трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 4 см. Через вершину В проведена прямая, параллельная боковой стороне. Периметр образовавшегося треугольника равен 12 см. Найти периметр трапеции.

445. 1) В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 24 см, а сумма оснований равна 43 см. Найти основания трапеции.

2) Найти периметр равнобедренной трапеции, если известно, что её острый угол равен 60°, а основания равны 15 см и 49 см.

446. Доказать, что если боковая сторона трапеции равна меньшему основанию, то диагональ, соединяющая их концы, является биссектрисой угла, прилежащего к большей стороне.

Сформулировать обратные теоремы.

447. В трапеции боковые стороны равны меньшему основанию, диагональ составляет с основанием угол, равный 30°. Найти все углы трапеции.

Средняя линия трапеции.

448. Концы отрезка, расположенного по одну сторону прямой, удалены от неё на 8 см и 15 см. На каком расстоянии от прямой находится середина отрезка?

449. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол пополам. Периметр трапеции равен 132 см, а основания относятся, как 2 : 5. Определить среднюю линию трапеции.

450. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся, как — : — . Найти меньшую боковую сторону трапеции.

451. Боковая сторона трапеции разделена на 4 равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найти длины отрезков этих параллельных прямых, заключённых между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 23 см и 15 см.

452. 1) В трапеции ABCD (AB || CD) диагональ BD делит среднюю линию на части, равные 6 см и 21 см. Найти основания трапеции.

2) Диагональ трапеции делит среднюю линию трапеции на два отрезка, относящиеся, как 3 : 8. Найти основания трапеции, если разность этих отрезков равна 10 см.

453. Отрезок любой прямой, заключённый между основаниями трапеции, делится средней линией трапеции пополам. Доказать.

454. Середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба. Доказать.

455. В трапеции диагонали являются биссектрисами острых углов. Определить периметр трапеции, если диагональ делит среднюю линию на части, равные 10 см и 18 см.

456. 1) Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что средняя линия трапеции равна её высоте.

2*) Доказать, что диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, если средняя линия трапеции равна её высоте.

457. Прямоугольная трапеция делится диагональю на два треугольника — равносторонний со стороной а и прямоугольный. Найти длину средней линии трапеции.

458. Диагональ трапеции перпендикулярна к её основаниям; тупой угол, прилежащий к большему основанию, равен 120°, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 7 см; большее основание равно 12 см. Найти длину средней линии трапеции.

Построение трапеции.

459. 1) Построить трапецию по основанию, равному 6 см, прилежащему к нему углу в 70° и двум непараллельным сторонам, равным 3 см и 2 см. Сколько решений имеет задача?

2) Построить трапецию по двум основаниям, равным 6,8 см и 4,9 см, боковой стороне, равной 3,8 см, и углу в 50°, образованному этой стороной с большим основанием.

460. 1) Построить трапецию ABCD (AD || ВС), если AD = 6,2см, AB = 3,8 см, Z-A = 60°, Z. D = 50°.

2) Построить трапецию ABCD, если AD = 7,8 см, AB = 4,2 см, CD = 2,5 см, АС = 6,6 см. Сколько решений имеет задача?

461*. Построить трапецию по основанию, боковым сторонам и диагонали. Сколько решений может иметь задача?

462. Построить трапецию по разности оснований, двум боковым сторонам и одной диагонали.

463. Построить равнобедренную трапецию по основанию, высоте и боковой стороне. Сколько различных трапеций удовлетворяет условию задачи?

464. Построить равнобедренную трапецию ABCD (ВС \\ AD), если:

1) AB = 10 см, ВС = 4 см, АС = 12 см;

2) AD = 5 см, ВС = 4,2 см, Z. ADB = 30°;

3) AD = 10 см, AB =8 см, АС = 12 см;

4) AB = 3,2 см, ВС = 4,2 см, Z. В = 60°.

465. Построить прямоугольную трапецию ABCD (AD \\ ВС) с прямым углом А, если:

1) AB = 6 см, ВС = 4 см, Z. ABD = 30°;

2) AD = 3 см, АС = 5 см, ВС = 4 см;

3) AB = 6 см, AD =4 см, DC = 7 см.

466*. Построить трапецию по двум основаниям, равным 3,5 см и 11 см, и двум диагоналям, равным 6 см и 9,2 см.

Свойство медиан треугольников.

467. Дан отрезок AB и точка М, лежащая вне прямой AB. Построить треугольник, считая AB стороной искомого треугольника, а точку M— точкой пересечения его медиан.

468. Построить треугольник по стороне и двум медианам, проведённым к другим сторонам.

469. Через вершину А треугольника ABC вне его проведена прямая (черт. 156), проекции сторон АС и AB на эту прямую равны соответственно 2 см и 8 см. Найти расстояния между проекцией каждой вершины треугольника и проекцией точки пересечения медиан треугольника на эту прямую.

470. В равнобедренном треугольнике ABC (AB =ВС) медиана, проведённая из вершины Л, равна 30 см и образует угол, равный 30°, с основанием АС треугольника. Определить высоту треугольника ABC, проведённую из вершины В.

471. 1) Высота равностороннего треугольника равна 10 см. Определить, на каком расстоянии от его сторон находится точка пересечения его биссектрис.

2*) Из вершины ромба ABCD проведены отрезки ВМ и BN", делящие стороны AD и DC пополам (черт. 157). Точки пересечения этих отрезков с диагональю АС обозначены К и L. Найти отрезок KL, если диагональ Л С равна 15 см.

Указание. Провести диагональ BD и рассмотреть полученные треугольники ABD и BDC.

3) В ромбе ABCD угол В равен 120°. Определить отрезок диаго нали АС, заключённый между высотами ромба, проведёнными из вершины тупого угла, если АС = 21 см.

Черт. 156.

Черт. 157.

ГЛАВА VI

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

§ 18. Площадь многоугольника

Применение палетки.

472. Найти площади фигур, данных на чертеже 158, скопировав их на прозрачную бумагу и наложив её на квадратную сетку тетради.

Площадь прямоугольника.

473. Вычислить площадь прямоугольника, если две его стороны равны: а) 30 см и 2,9 см\ б) 34 см и 0,6 дм; в) 4 м и 1 м 4 дм.

474. Найти сторону прямоугольника, если его площадь и одна из сторон соответственно равны: а) 270 см2 и 15 см; б) 142 м2 и 35 м 50 см; в) 16 км2 и 4000 м; г) 0,096 км2 и 300 м.

Черт. 158.

475. 1) Площадь земельного участка равна 250 арам. Чему равна площадь этого участка в квадратных метрах, в квадратных километрах, в гектарах?

2) Площадь земельного участка равна 24 га. Чему равна площадь этого участка в квадратных километрах, в квадратных метрах, в арах?

3) Площадь земельного участка равна 350 000 м2. Выразить эту площадь в квадратных километрах, в арах, в гектарах.

476. Участок прямоугольной формы имеет площадь 400 га. Определить периметр участка, если: а) длина участка 10 км; б) участок имеет форму квадрата.

477. Давление воздуха равно 12 кГ/см2. Определить, с какой силой давит воздух на площадку прямоугольной формы размером 200 мм X 120 мм.

478. Сопротивление разрыву некоторого сорта стали равно 55 кГ1мм2. При какой нагрузке разорвётся стержень прямоугольного сечения со сторонами, равными 20 мм и 10 мм?

479. Площадь данного прямоугольника равна 400 см2. Как изменится его площадь, если:

а) не изменяя его высоты, увеличить в три раза его основание;

б) не изменяя его основания, уменьшить в два раза его высоту;

в) его основание и высоту увеличить в четыре раза;

г) его основание и высоту уменьшить в три раза;

д) его основание увеличить в четыре раза, а высоту уменьшить в три раза;

е) его основание увеличить в три раза, а высоту увеличить в два раза?

480. Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) не изменяя его высоты, увеличить в k раз его основание;

б) не изменяя его основания, уменьшить в п раз его высоту;

в) его основание увеличить в k раз, а высоту увеличить в п раз;

г) его основание уменьшить в k раз, а высоту увеличить в п раз?

481. Найти стороны прямоугольника, если они относятся, как 4 : 9, а площадь его равна 36 м2.

482. Найти периметр прямоугольника, если его площадь равна 144 см2, а отношение смежных сторон равно 1 : 2.

483. Площадь прямоугольника равна 48 см2, одна из его сторон равна 8 см. Прямоугольник разделён прямой, параллельной одной из его сторон, на две равные части. Определить периметр нового прямоугольника (два решения).

484. Основание и высота одного из двух прямоугольников соответственно равны 20 см и 60 см, площадь второго прямоугольника равна половине площади первого, и одна из его сторон равна 50 см. Найти периметр второго прямоугольника.

485. Найти площади фигур, данных на чертеже 159, разбив их сначала на прямоугольники и проведя необходимые измерения. Все углы фигур прямые.

486. Записать в общем виде формулы, по которым, зная размеры а, Ь, с и d, можно подсчитать площади фигур, данных на чертеже 160

Черт. 159.

Черт. 160.

487. Площади фигур (черт. 161) равны: а) 550 мм2, б) 1300 мм2. Определить размер х (размеры на чертеже даны в мм).

Черт. 161.

Площадь квадрата.

488. 1) Найти площадь квадрата, если измеренная его сторона равна: а) 2,5 см; б) 0,21 м; в) 1,5 дм. 2) Найти площади квадратов, данных на чертеже 162, предварительно измерив их стороны.

Черт. 162.

489. Площадь квадрата равна 16 см2. Какой станет площадь квадрата, если: а) все его стороны уменьшить в два раза; б) все его стороны уменьшить в три раза?

490. Как изменится площадь квадрата, если: а) все его стороны уменьшить в п раз; б) все его стороны увеличить в k раз?

491. Начертить фигуру, показывающую, что 1 дм2 содержит 100 см2.

492. Начертить фигуру, показывающую, что (За)2 = 9а2.

493. 1) Выразить площадь квадрата через площади его частей (черт. 163).

2) Начертить фигуру, показывающею что {а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2.

494. Сопротивление разрыву некоторого сорта стали составляет 60 кГ/мм2. Какую нагрузку может выдержать деталь, работающая на разрыв, если её наименьшее поперечное сечение представляет собой квадрат со стороной 120 мм?

495. Найти сторону квадрата, если его площадь равна: а) 256 см2; б) 76,8 м2; в) 14,6 мм2, г) 9,61 дм2,

Черт. 163.

496. Найти периметр квадрата, площадь которого равна 2,5 м2.

497*. Какие размеры должно иметь сечение стального стержня, чтобы он выдержал нагрузку до 1600 кГ, если сечение — квадрат и и если сопротивление разрыву для этого материала равно 40 кГ/мм2?

Равновеликие фигуры.

498. На чертеже 164 указать равновеликие фигуры.

499. Стороны прямоугольника равны 120 мм и 30 мм; начертить: а) равновеликий ему прямоугольник, сторона которого была бы равна 100 мм;

Черт. 164.

б) равновеликий ему прямоугольник, стороны которого относились бы, как 3 : 4;

в) равновеликий ему квадрат.

500. Начертить три прямоугольника, площади которых были бы равны 48 см2,у а стороны оснований — 5 см, 8 см, 10 см.

501. Площадь участка прямоугольной формы равна 20 га. Укажите, какой длины (в метрах) могут быть его стороны. Приведите 2—3 примера.

Площадь параллелограмма.

502. На чертеже 165 указать равновеликие параллелограммы.

503. По данным, приведённым в таблице, где а — основание параллелограмма, h — его высота, S— площадь, вычислить неизвестную величину:

Черт. 165.

1

2

3

4

а

60 см

250 м

0,25 м

?

h

0,5 м

?

100 см

2 м

S

?

200 м2

?

2000 см2

504. 1) Найти площадь параллелограмма, если его стороны равны 4 см и 6 еле, а угол между ними равен 30°.

2) Вычислить площадь ромба, если сторона его равна 10 см, а один из углов равен 150°.

505. 1) Стороны параллелограмма а и Ъ образуют угол в 30°. Чему равна площадь параллелограмма?

2) Найти площадь ромба, если его углы относятся, как 1 : 5, а сторона равна а.

506. Косоугольный параллелограмм и прямоугольник имеют соответственно равные стороны. Найти острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

507. Начертить прямоугольник и косоугольный параллелограмм с соответственно равными сторонами. Какая из фигур имеет большую площадь? Почему?

508. В параллелограмме высота, проведённая к одной из сторон, в 3 раза меньше этой стороны. Площадь параллелограмма равна 48 см2. Найти эту сторону и высоту.

509. 1) Площадь параллелограмма равна 24 см2. Найти расстояние между его сторонами, равными 6 см.

2) В параллелограмме, площадь которого равна 41 см2, стороны равны 5 см и 10 см. Найти обе высоты параллелограмма и построить этот параллелограмм.

510. В параллелограмме ABCD CF и СЕ — высоты (черт. 166). Доказать, что AB - FC = AD • CE.

511. Доказать, что в параллелограмме большая высота соответствует меньшей стороне.

512. В параллелограмме стороны равны 6 см и 4 см. Одна из высот равна 5 см.

Найти другую высоту. Сколько решений имеет задача?

513. Построить параллелограмм по данным его элементам и вычислить его площадь, проведя необходимые построения и измерения (площадь выразить в квадратных сантиметрах): а) стороны параллелограмма равны 4 см и 6 см и образуют угол в 125°; б) стороны параллелограмма равны 5 см и 3 см, а одна из диагоналей

Черт. 166.

равна 6 см; в) диагонали параллелограмма, равные 8 см и 12 см, образуют угол в 150°.

514. Как изменится площадь параллелограмма, если: а) не изменяя его высоты, увеличить в 3 раза его основание; б) не изменяя его основания, уменьшить в два раза его высоту; в) его основание уменьшить в 3 раза, а высоту увеличить в 2 раза?

Площадь треугольника.

515. По данным, приведенным в таблице, где а — основание треугольника, h — высота, проведённая к основанию, и S — площадь треугольника, определить неизвестную величину:

1

2

3

4

а

?

0,8 дм

1,2 м

?

h

20 см

?

2 дм

4,8 м

S

2 дм2

4 см2

?

9,6 м2

516. Указать на чертеже 167 равновеликие треугольники.

Черт. 167.

517. Две стороны треугольника равны 6 см и 5 см. Может ли его площадь быть равна: а) 10 сл*2; б) 15 см2; в) 20 см2?

518. Вычислить площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 7 см; б) 1,2 м и 35 дм.

519. Вычислить площади заштрихованных фигур (черт. 168), если четырёхугольники ABCD — прямоугольники.

520. Давление воздуха равно 1 кГ/см2. Вычислить силу, с которой воздух давит на треугольную площадку, основание которой равно 0,12 м9 а высота — 0,16 ж.

521. Площадь треугольника равна 48 см2. Найти высоту треугольника, проведённую к стороне, равной 32 см.

Черт. 168.

522. В треугольнике ABC AB = ЗАС. Чему равно отношение высот, проведённых из вершин С и В?

523. 1) В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8см, гипотенуза равна 10 см. Найти высоту, проведённую к гипотенузе.

2) Основание одного треугольника равно 10 см, высота — 4 см. Основание другого треугольника равно 20 см. Какова должна быть его высота, чтобы треугольники были равновеликими?

3) Стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см. Построить равновеликий ему треугольник с основанием, равным 7,4 см. Сколько решений имеет задача?

524. 1) В треугольнике высоты, проведённые к сторонам а и Ь, обозначены ha и hb. Доказать, что — = —.

2) Доказать, что если в треугольнике а > Ь, то hb> ha.

525. Построить треугольник по данным его элементам и, проведя необходимые построения и измерения, найти его площадь: а) сторона треугольника равна 6 см, углы, прилежащие к ней, равны 107° и 32°; б) стороны треугольника равны 4 см и 5,6 см, а угол между ними равен 88°; в) стороны треугольника равны 4 см, 6 см, 9 см.

526. Построить прямоугольный треугольник ABC (Z_ С = 90°), площадь которого равнялась бы 24 см2, если его катет АС равен 7 см. Какой угол больше: Z_ А или Z_ ß? Почему?

527. Построить треугольник, если: а) его площадь равна 15 см2; одна из сторон равна 5 см и угол, прилежащий к ней, равен 42°; измерить наибольший угол треугольника; б) площадь треугольника равна 15 см2, а стороны равны 5 см и 7 см; измерить меньший угол треугольника.

528. Как изменится площадь треугольника, если: а) не изменяя его высоты, увеличить в 3 раза его основание; б) не изменяя его основания, увеличить в 2 раза его высоту; в) его основание уменьшить в 5 раз, а высоту увеличить в 4 раза?

529. Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 3 см и 7 см, а угол между ними равен 30°.

530. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 30°. Найти боковую сторону треугольника, если его площадь равна 200 см2.

531. 1) Найти площади фигур, изображённых на чертеже 169.

Черт. 169.

2) Написать в общем виде формулу для определения площадей фигур, данных на чертеже 170.

Черт. 170.

532. Площадь фигуры, изображённой на чертеже 171, равна 805 см2. Найти неизвестный размер х (размеры на чертеже даны в сантиметрах).

Черт. 171.

Черт. 172.

533. В прямоугольный треугольник вписан квадрат CDFG (черт. 172). Найти площадь квадрата, если катеты треугольника равны 8 см и 4 см. (Ответ дать с тремя значащими цифрами.)

Указание. Провести отрезок CF и выразить площадь треугольника ABC, как сумму площадей треугольников СВР и CFA.

534. 1) В треугольнике ABC проведена медиана AD. Доказать, что треугольники ABD и ACD равновелики.

2) В треугольнике ABC точка F, середина медианы BD, соединена с вершинами А и С. Доказать, что треугольники AFD, CFD, BCF и ABF равновелики.

535. 1) В трапеции ABCD (AB || CD) проведены диагонали, точка их пересечения обозначена через О. Указать все пары равновеликих треугольников.

2) В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Какие из образовавшихся треугольников будут равновеликими?

536. Площадь треугольника ABC равна 18 см2, точка D взята на стороне АС так, что DC = 2AD. Найти площади треугольников ABD и DBC.

537. 1) Прямой, проходящей через вершину треугольника, разделить его на два равновеликих треугольника.

2) Разделить данный треугольник на три равновеликих треугольника двумя прямыми, проходящими через его вершину.

3) Прямой, проходящей через вершину треугольника, разделить его на два треугольника, площади которых относились бы, как 2:3.

538. В параллелограмме ABCD одна из его вершин соединена с серединами противоположных сторон и с противоположной вершиной. Доказать, что полученные таким образом четыре треугольника равновелики.

539. Вычислить площадь квадрата, если его диагональ равна 14 см.

540. 1) Найти площадь ромба, диагонали которого равны \2 см и 16 см.

2) Доказать, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

541. Середины сторон параллелограмма последовательно соединены. Найти площадь полученного четырёхугольника, если площадь параллелограмма равна 24 см2.

542. 1) Построить равнобедренный треугольник, равновеликий данному треугольнику, так, чтобы основание построенного треугольника было равно какой-либо стороне данного треугольника.

2) Построить треугольник, равновеликий данному треугольнику, так, чтобы основание построенного треугольника равнялось какой-либо стороне данного треугольника, а один из углов при основании был равен 45°.

543. Перечертить в тетрадь по клеточкам фигуры, данные на чертеже 173, указать несколько способов определения площадей заштрихованных частей этих фигур и вычислить указанные площади наиболее рациональным способом.

Черт. 173

Площадь трапеции.

544. По данным на чертеже 174 элементам трапеций построить трапеции и найти их площади, проведя необходимые построения и измерения.

Черт. 174.

545. По размерам, проставленным на чертеже 175, вычислить площади трапеций, вычислив предварительно необходимые для этого элементы.

Черт. 175

546. На чертеже 176 дано поперечное сечение траншеи. Вычислить площадь её поперечного сечения (размеры на чертеже даны в метрах).

547. Площади многоугольников (черт. 177) равны: а) 12 540лш2; б) 3375 мм2. Вычислить размер X (размеры даны в миллиметрах).

548. Основания трапеции равны 36 см и 12 см, боковая сторона, равная 7 см, образует с одним из оснований трапеции угол в 150°. Найти площадь трапеции.

549. Основания трапеции равны 10 см и 35 см, площадь её равна 225 см2. Найти высоту трапеции.

550. Основание трапеции равно 26 см, высота — 10 см, а площадь— 200 см2. Вычислить второе основание трапеции.

551. Высота трапеции равна 20 см, площадь её равна 400 см2. Найти среднюю линию трапеции.

552. Площадь трапеции равна 36 сл*2, высота равна 2 см. Найти основания трапеции, если они относятся, как 4 : 5.

Черт. 176

Черт. 177.

Черт. 178.

553. Найти площади треугольников, данных на чертеже 178, считая, что сторона одной клетки изображает отрезок в 1 см.

554. Середины оснований трапеции соединены отрезком прямой. Доказать, что полученные таким образом две трапеции равновелики.

555*. В треугольнике ЛВС через точку пересечения его медиан (точку О) проведены, как показано на чертеже 179, отрезки, параллельные сторонам треугольника. Доказать, что полученные три трапеции равновелики.

Черт. 179.

Площадь произвольного многоугольника.

556. Доказать, что площадь четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей.

557. Вычислить площадь участка, план которого дан на чертеже 180, если масштаб чертежа равен 1 : 200.

Черт. 180. Черт. 181.

558. Начертить пятиугольник по заданным его размерам (черт. 181) и найти его площадь.

Теорема Пифагора.

559. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника по данным его катетам: а) 3 см я 4 см; б) 0,5 см и 1,2 см.

560. Найти неизвестный катет прямоугольного треугольника по его катету и гипотенузе: а) 8 см и 10 см; б) 2 см и Зсм; в) 56 см и 10,1 дм.

561. Могут ли длины всех сторон прямоугольного треугольника выражаться нечётными числами?

562. На фигурах, приведённых на чертеже 182, найти неизвестные размеры.

563. Найти периметры фигур, изображённых на чертеже 183.

564. По размерам, данным на чертеже 184, найти расстояния между центрами окружностей (размеры даны в миллиметрах).

565. Стороны прямоугольника равны 12 см и 5 см. Найти его диагонали.

Черт. 182.

Черт. 183.

Черт. 184.

566. Найти стороны ромба, если его диагонали равны: а) \2см и 16 см\ б) 24,6 см и 56,7 см.

567. 1) Внутри прямого угла находится точка, удалённая от одной его стороны на 64 см и от другой стороны — на 54 см. Найти её расстояние от вершины угла.

2) Внутри прямого угла находится точка, удалённая от одной его стороны на m, а от другой стороны — на п (т и п выражены

в одних единицах). Записать формулу, по которой можно найти расстояние от данной точки до вершины угла.

568. Пролёт АС строительной фермы (черт. 185) равен 23,00 м, ноги её AB и СВ равны 12,00 м. Найти высоту BD фермы.

Черт. 185

569. Стороны параллелограмма равны 15 см и 12 см. Одна из диагоналей перпендикулярна к его стороне. Вычислить длину диагоналей.

570. Из точки, взятой вне прямой, проведены к ней две наклонные; одна из них имеет длину 13 мм, её проекция на прямую равна 12 мм. Найти длину второй наклонной, если она составляет с прямой угол в 30°.

571. Из точки, взятой вне прямой, проведены к прямой две наклонные. Одна из них имеет длину 17 см, и ее проекция на эту прямую равна 15 см. Найти проекцию второй наклонной, если она образует с прямой угол в 45°.

572. Из точки, взятой на расстоянии 6 м от прямой, проведены к ней две наклонные, одна из которых равна 13 м. Другая наклонная образует с прямой угол в 45°. Найти расстояние между основаниями наклонных (два решения).

573. На фигуре, данной на чертеже 186, найти расстояние между точками А и D.

574. Дан квадрат со стороной 5,5 см. Построить квадрат, площадь которого была бы: а) в два раза больше площади данного квадрата; б) в два раза меньше площади данного квадрата.

575. 1) Построить квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов.

2) Построить квадрат, площадь которого равна разности площадей двух данных квадратов.

576. 1) Построить квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух квадратов со сторонами 2,5 см и 3,5 см.

2) Построить квадрат, площадь которого равна разности площадей двух квадратов со сторонами 3,5 см и 5,5 см.

Черт. 186.

§ 19. Площадь поверхности прямой призмы1.

577. На модели прямоугольного параллелепипеда покажите: а) отрезки параллельных прямых; б) отрезки скрещивающихся прямых; в) перпендикуляр к плоскости основания; г) перпендикуляр к какой-либо боковой грани.

578. 1) На чертеже 187 изображён прямоугольный параллелепипед: а) назовите рёбра, параллельные ребру Dfi^ Сколько всего таких рёбер? б) Докажите, что ребро D{D перпендикулярно плоскости основания; в) докажите, что ребро DC перпендикулярно грани BBiCiC. Какой ещё грани перпендикулярно ребро DC? г) Перечислите все рёбра, перпендикулярные грани AAiBiB. Сколько всего таких рёбер?

2) Как проверить правильность установки вертикального шеста или столба?

579. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 10 см, 5 см и 15 см. Найти площадь основания и площади двух неравных боковых граней.

580. По размерам, данным на чертеже 188, найти поверхности прямоугольных параллелепипедов и прямых призм.

Черт. 187.

Черт, 188

1 В дальнейшем для сокращения вместо «площадь поверхности» мы будем говорить «поверхность».

Черт. 169.

581. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 12 см, 16 см и 7 см; приняв за основание большую грань, вычислить боковую поверхность параллелепипеда.

582. На чертеже 189 изображена прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм ABCD с острым углом А:

а) назовите все грани, являющиеся прямоугольниками;

б) докажите, что ребро DC не перпендикулярно грани AAJ)J).

583. Вычислить боковую поверхность прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм со сторонами 6 см и 15 см, если высота призмы равна 10 см.

Почему приведённых данных недостаточно для определения полной поверхности этой призмы?

Какова наибольшая полная поверхность прямой призмы, удовлетворяющей приведённым выше условиям?

584. Вычислить полную поверхность прямой призмы высотой 15 см, в основании которой находится ромб с острым углом в 30° и высотой 10 см.

585. Вычислить боковую и полную поверхности прямой призмы высотой 12 см, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза и катет которого равны соответственно 24 см и 14 см. (Результат выразить в целых кв. сантиметрах.)

586. Вычислить полную поверхность прямой призмы высотой 10 см, в основании которой лежит равнобедренная трапеция с основаниями, равными 10 см и 16 см, и боковой стороной, равной 5 см.

587. Длина комнаты 6,2 м, ширина 4,3 м, высота 2,8 м. Высота двери 2,0 м, высота каждого из трёх окон 1,8 м, ширина окон и двери по 1,2 м. Найти: а) площадь пола; б) площадь стен комнаты; в) отношение площади окон к площади пола.

§ 20. Объём прямой призмы.

Объём куба.

588. Найти объём куба, ребро которого равно: а) 2 см; б) 2,1 дм.

589. Найти ребро и объём куба, площадь основания которого равна: а) 16 дм2; б) 1,6 дм2.

590. Найти ребро и полную поверхность куба, если его объём равен: а) 27 см9; б) 64 см3; в) 0,125 ж3.

591. Вычислить объём куба, если его полная поверхность равна: а) 6 см2; б) 28 дм2.

692. По размерам, данным на чертеже 188 (а, б, г), определить объёмы прямых призм.

593. По размерам фигур, данных на чертеже 190, найти их объёмы, рассматривая фигуры как комбинации прямоугольных параллелепипедов.

Черт. 190

594. Найти неизвестные элементы прямоугольного параллелепипеда по данным, приведённым в таблице, где а и Ь — длина и ширина основания,/! — высота, S — полная поверхность, V — объём:

1

2

3

4

а

20 см

0,32 м

20 см

?

b

1,5 дм

0,21 м

?

0,3 м

h

30 дм

?

10 см

20 см

Sосн.

?

?

0,06 м2

?

S

?

?

?

?

V

?

6720 см3

?

0,06 м3

595. Бассейн для плавания имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 50 ж X 20 ж X 3 ж. Определить, за сколько времени бассейн наполнится водой на высоту 2,8 м, если за 1 мин в бассейн поступает 6,7 куб. м воды.

596. Найти вес каждого из трех кубиков из железа, меди и свинца, если ребро каждого кубика равно 2 см. Удельный вес железа, меди и свинца равен соответственно 7,8^; 8,9 11,3-^-.

597. На чертеже 191 изображены два прямоугольных параллелепипеда, в основании которых находятся квадраты. Произведя необходимые измерения на чертеже, определить, который из параллелепипедов имеет больший объём.

Черт. 191.

598. Как изменится объём прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольник, если:

а) не изменяя её основания, увеличить в три раза её высоту;

Черт. 192.

б) не изменяя ее высоты, увеличить в два раза каждую сторону её основания?

599. На чертеже 192 дана разdёртка прямоугольной коробки. По размерам, данным на чертеже, найти её объём и боковую поверхность.

600. Из листа прямоугольной формы длиной 0,60 м и шириной 0,35 м вырезали по углам равные квадраты со стороной 10 см, затем выступы согнули так, что получилась коробка. Найти её объём.

601. По размерам фигур, приведённых на чертеже 193, найти их объёмы, считая все параллелепипеды прямоугольными, а призмы — прямыми.

Черт. 193.

602. На чертеже 194 дан разрез земляной насыпи. Сколько кубических метров земли приходится на один погонный метр насыпи?

603. Русло реки в сечении имеет форму и размеры, указанные на чертеже 195. Скорость течения 2 —. Определить, какой объём воды проходит через это сечение за одну минуту.

Черт. 194. Черт. 195.

604. Сколько нужно времени одному человеку для того, чтобы вырыть траншею длиной 25 ж, поперечное сечение которой представляет прямоугольник со сторонами 0,8 м и 0,6 м, считая, что за час он может вынуть 0,75 куб. м грунта?

605. Толщина слоя снега на горизонтальной крыше равна 50 см. С какой силой давит снег на 1 м2 площади крыши? (Удельный вес снега принять равным 0,35 —.)

ГЛАВА VII.

ОКРУЖНОСТЬ.

§ 21. Окружность.

606. В окружности радиуса 2,8 см провести через взятую на ней точку хорду, равную 4 см. Сколько может быть проведено хорд, удовлетворяющих этому условию?

607. Окружность пересечена двумя прямыми, проходящими через её центр. Доказать, что хорды, соединяющие точки пересечения прямых с окружностью, попарно равны.

608. Концы двух взаимно перпендикулярных диаметров последовательно соединены. Определить вид полученного четырёхугольника.

609. Сколько градусов содержит дуга окружности, если радиус, проведённый в её конец, составляет с хордой, стягивающей, эту дугу, угол, равный 42°?

610. В окружности проведены две хорды СС{ и DDit перпендикулярные диаметру AB (точки С и D находятся по одну сторону диаметра AB). Доказать, что отрезок ЛШЬ соединяющий середины хорд CD и CiDi, перпендикулярен отрезку AB.

611. Хорда окружности пересекает её диаметр под углом 60° и делится им на части, равные 8 см и 3 см. Найти проекцию хорды на этот диаметр.

612. Хорда окружности пересекает её диаметр под углом, равным 30°, и делится им на части, равные 6 см и 12 см. Найти:

а) расстояние от концов хорды до диаметра; б) расстояние от середины хорды до диаметра.

613. Построить окружность, проходящую через две данные точки. Где находятся центры окружностей, проходящих через эти две точки? Чему равен радиус наименьшей из этих окружностей?

614. 1) На данной прямой найти центр окружности, проходящей через две данные точки. Когда задача не имеет решения?

2) Через две данные точки провести окружность с центром на данной окружности. Когда задача имеет одно решение; два решения? Когда задача не имеет решения?

615. Перечертить по клеточкам точки А, в и С (черт. 196). Через эти три точки провести окружность и измерить её радиус.

616. 1) Сторона равностороннего треугольника равна 60 мм. Описать около этого треугольника окружность и измерить её радиус.

2) Стороны треугольника равны 50 мм, 80 мм и 100 мм. Описать около этого треугольника окружность и измерить её диаметр.

617. Через вершины равнобедренного треугольника, у которого основание равно 6 см и один из углов равен 30°, провести окружность и измерить её диаметр (два решения).

618. Описать около прямоугольного треугольника окружность.

Указание. Использовать свойство медианы, проведённой к гипотенузе.

Черт. 196.

Зависимость между хордами и дугами в круге.

619. 1) Начертить окружность и отметить на ней точку С и дугу AB. На этой же окружности построить дугу, равную дуге AB, с началом в точке С.

2) Начертить окружность и отметить на ней дугу AB. На этой же окружности построить дугу, равную удвоенйой дуге AB. Измерить хорды, стягивающие дугу AB и удвоенную

дугу, и убедиться, что при увеличении дуги в два раза соответствующая ей хорда не увеличивается в два раза.

3) Построить окружность, обозначить на ней дугу AB и на этой окружности построить дугу, равную утроенной дуге AB.

620. 1) Циркулем (путём проб) разделить построенную произвольную окружность на пять равных частей.

2) Построить дугу окружности и циркулем (путём проб) разделить её на: а) две равные части; б) три равные части.

621. Вычертить в натуральную величину деталь по размерам, данным на чертеже 197 (размеры даны в миллиметрах).

Черт. 197.

Диаметр, перпендикулярный к хорде.

622. Хорда, равная 16 см, отсекает от окружности дугу в 90°. Найти расстояние от центра окружности до хорды.

623. Хорда, проведённая в окружности радиуса 15 см, отсекает от окружности дугу в 120°. Найти расстояние от центра окружности до хорды.

624. Доказать, что две параллельные хорды окружности, проведённые через концы одного и того же диаметра, равны.

625. В окружности проведены две параллельные хорды, отсекающие от неё дуги в 90°. Найти расстояние между хордами, если длина одной из хорд равна 12 см.

626. Хорда окружности, перпендикулярная к другой хорде той же окружности и проходящая через её середину, является диаметром этой окружности. Доказать.

627. 1) Разделить данную хорду окружности пополам. Указать несколько способов решения.

2) Через данную внутри окружности точку провести хорду, которая делилась бы в этой точке пополам.

628. В окружности через середину радиуса проведена перпендикулярная ему хорда. Доказать, что эта хорда видна из центра окружности под углом, равным 120°.

629. В окружности радиуса \0см проведена хорда, отсекающая от окружности дугу в 120°. Определить, на какие части делит хорда диаметр, проведённый через её середину.

630. В окружности через середину хорды AB, точку F, проведён диаметр CD. Найти длину отрезка АС, если AB = 10 см, CF = 12 см.

631. Из точки А, взятой на окружности, проведены две хорды AB и АС, равные радиусу окружности. Точки В и С соединены

отрезком прямой. Найти расстояние от центра окружности до хорды ВСУ если радиус окружности равен 10 см.

632. 1) Через вершины равнобедренной трапеции проведена окружность, основания трапеции отсекают от неё дуги в 120° и 20°. Определить дуги, отсекаемые боковыми сторонами (два решения).

2) Центр О окружности, описанной около равнобедренной трапеции ABCD (AB и CD — основания трапеции), соединён с вершинами трапеции. Доказать, что Z_ AOD = Z. ВОС.

633. Найти боковую сторону и высоту равнобедренного треугольника, угол при вершине которого равен 120°, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

§ 22. Взаимное положение прямой и окружности, взаимное положение двух окружностей.

Касательная к окружности.

634. Через точку, данную на дуге окружности, не определяя её центра, провести к окружности касательную.

635. Около круга радиуса 10 см описана равнобедренная трапеция с острым углом, равным 30°. Найти её боковую сторону.

636. Около круга радиуса R описан ромб. Найти его высоту.

637. Две окружности имеют общий центр. Доказать, что хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности, равны между собой.

638*. Провести касательную к данной окружности, параллельную данной прямой. Рассмотреть случаи, когда: а) центр окружности находится вне чертежа; б) центр окружности известен.

639. 1) К данной окружности провести две касательные, составляющие между собой данный угол.

2) К данной окружности провести касательную, составляющую с данной прямой данный угол а.

640. Данным радиусом описать окружность, которая касалась бы данной прямой в данной на ней точке.

641*. На практике часто для проведения касательной к данной окружности через данную вне её точку пользуются одной линейкой. Решить следующие задачи, используя только линейку: а) построить треугольник по стороне и высотам, проведённым к двум другим сторонам; б) построить треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне; в) построить равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведённой к боковой стороне.

642. Диаметр AB и хорда АС окружности с центром в точке О образуют угол, равный 30°. Касательная, проходящая через

точку С, пересекает прямую AB в точке D. Доказать, что ОС = 1 OD. 2

643*. Через точку 5, взятую на окружности с центром в точке О, проведены хорда AB (дуга AB меньше 90°) и касательная к окружности. Продолжение диаметра, перпендикулярного радиусу OA, пересекает касательную и продолжение хорды соответственно в точках С и D. Доказать, что отрезки ВС и CD равны.

644. В данный угол вписать окружность радиуса 4 см.

645. 1) Доказать, что две касательные, проведённые к одной окружности через одну точку, взятую вне окружности, равны.

2) Касательные к окружности образуют угол, равный 60°. Доказать, что: а) отрезок, соединяющий их точку пересечения с центром окружности, равен диаметру окружности; б) отрезок, соединяющий точки касания, равен длине касательной от точки пересечения касательных до точки касания.

646. Угол ВАС, образованный касательными AB и АС к одной окружности, равен 60°; длина ломаной линии ВАС равна 1 м. Определить расстояние между точками касания В и С.

647. Из точки, лежащей вне окружности радиуса /?, проведены к ней две взаимно перпендикулярные касательные. Найти длину каждой касательной.

Черт. 198 Черт. 199.

648. Доказать, что общие внутренние касательные AB и CD к двум окружностям равны (А, В% С, D — точки касания, черт. 198).

649. На чертеже 199 AB и CD — общие внешние касательные к двум окружностям (А, В, С и D — точки касания). Доказать, что AB = CD.

650. Через точку М, взятую вне окружности, проведены к ней касательные MA и MB (А и В — точки касания), и через произвольную точку С меньшей дуги AB проведена касательная KL к

окружности. Доказать, что периметр треугольника KML (черт. 200) не зависит от положения точки С.

Черт. 200 Черт. 201.

651. На чертеже 201 AB, CD, KL — касательные к окружности, AB параллельна CD. Доказать, что Z. KOL равен 90°.

Взаимное положение двух окружностей.

652. Как расположены друг относительно друга две окружности, если: а) расстояние между их центрами равно 15 см, а радиусы их равны 3 см и 8 см; б) расстояние между их центрами равно 200 мм, а диаметры их равны 320 мм и 80 мм;

в) расстояние между их центрами равно 8 см, а диаметры их равны 20 см и 2 см; г) расстояние между их центрами равно 200 мм, а радиусы их равны 420 мм и 260 мм?

653. Начертить окружности, расположенные друг относительно друга так, как это указано на чертеже 202, построить центр симметрии и оси симметрии для каждого случая расположения окружностей (окружности имеют равные радиусы).

Черт. 202.

654. Найти радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, если диаметр большей окружности делится меньшей окружностью на 3 части, равные 9 см, 12 см, 9 см.

655. 1) Радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, относятся, как 2 : 7. Найти диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна 24 см.

2) Найти диаметры двух окружностей, имеющих общий центр, если известно, что они относятся, как 2 : 5, а одна из трёх частей, на которые диаметр большей окружности делится меньшей окружностью, равна 9 см (два решения).

656. 1) Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей относятся, как 2 : 3. Найти диаметры окружностей, если расстояние между центрами окружностей равно 10 см.

2) Две окружности касаются внутренним образом. Определить радиусы этих окружностей, если они относятся, как 5 : 2, а расстояние между центрами равно 15 см.

657. 1) Две окружности расположены одна внутри другой. Диаметр большей окружности, проходящий через центр меньшей окружности, делится меньшей окружностью на три части, равные 2 см, 10 см и 6 см. Найти диаметры окружностей и расстояние между центрами окружностей.

2) Две окружности, радиусы которых относятся, как 2 : 5, расположены одна внутри другой. Диаметр большей окружности, проходящий через центр меньшей окружности, делится меньшей окружностью на три части, крайние из которых равны 10 см и 5 см. Найти радиусы этих окружностей и расстояние между их центрами.

658. Общая хорда двух равных пересекающихся окружностей, радиус которых равен R, видна из их центров под углом 120°. Сделать чертёж. Найти расстояние между центрами окружностей.

§ 23. Вписанные углы.

659. Определить углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в 24°5Г.

660. Хорда делит окружность на две части, отношение которых равно 4 : 5. Под каким углом видна хорда из точек окружности (рассмотреть точки, принадлежащие обеим дугам)?

661. Окружность разделена тремя точками на части, относящиеся, как 2:3:4, и точки деления соединены между собой. Определить углы полученного треугольника.

662. Данная хорда видна из некоторой точки окружности под углом 4Г15\ Найти дуги, на которые данная хорда делит окружность.

663. Окружность разделена на части в отношении 3:7:5:3. Определить внутренние углы многоугольника, полученного последовательным соединением точек деления, и углы, которые образует диагональ, проведённая из вершины большего угла многоугольника, с его сторонами.

664. 1) Как, пользуясь чертёжным треугольником, наметить точки окружности данного диаметра?

2) Как, пользуясь чертёжным треугольником, найти центр данной окружности?

3) При помощи эккера отметить на местности несколько точек окружности, диаметр которой обозначен двумя вешками.

665. Используя свойство вписанных углов, построить прямоугольный треугольник по катету, равному 6 см, и проекции его на гипотенузу, равной 4 см. Измерить гипотенузу.

666. Доказать, что всякая трапеция, вписанная в круг, является равнобедренной трапецией.

667. В окружность вписана трапеция, диагональ которой совпадает с биссектрисой угла при основании. Определить дуги, на которые делят окружность вершины трапеции, если один из углов трапеции равен 81°.

668. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 62°. Полуокружность, описанная на боковой стороне треугольника как на диаметре, делится другими сторонами треугольника на три дуги. Сколько градусов содержат эти дуги?

669*. Через точки M и N пересечения двух окружностей (черт. 203) проведены два параллельных отрезка AB и CD (точки А, В, С и D лежат на окружностях). Доказать, что эти отрезки равны.

Черт. 203.

Угол, составленный касательной и хордой.

670. Хорда AB стягивает дугу в 46°. Определить углы, которые образует хорда с касательными к окружности, проведёнными через её концы.

671. Секущая, проведённая через точку касания двух окружностей, делит их на четыре дуги.

Доказать, что пары дуг, расположенные по разные стороны секущей и принадлежащие разным окружностям, содержат одинаковые число градусов (случай внешнего касания окружностей).

672. В угол ABC вписана окружность, точки касания делят окружность на две части, относящиеся, как 5:4. Определить величину угла ABC.

673. Через концы хорды, делящей окружность в отношении 2 : 7, проведены две касательные. Определить углы полученного треугольника.

674. Окружность разделена точками А, В, С из дуги, относящиеся, как 11:3:4. Через точки А, В и С проведены касательные до их взаимного пересечения. Определить углы образовавшегося треугольника.

675*. К двум окружностям с центрами в точках О и Ох, касающимся извне в точке А, проведена общая касательная ВС (В и С — точки касания). Доказать, что угол ВАС — прямой.

§ 24. Длина окружности и площадь круга.

Длина окружности.

676. Найти длину окружности, если её радиус равен1: а) 18 см; б) 71,5 см; в) 0,22 м.

677. Вычислить диаметр окружности, если длина окружности равна1: а) 6,28 см; б) 45 см; в) 56,7 дм\ г) 0,89 м.

678. 1) Определить диаметр ствола дерева, если длина окружности его поперечного сечения равна 450 см1.

2) На чертеже 204 дан приём измерения диаметра поперечного сечения валика. Считая, что масштаб чертежа равен 1 : 2, найти диаметр валика.

Черт. 204.

679. Построить график для определения длины окружности по данному: а) радиусу окружности; б) диаметру окружности (масштаб выбрать по указанию учителя).

Пользуясь графиком, решить задачи 676 и 677.

680. Начертить окружность, длина которой была бы равна 157 мм.

681. Определить, сколько нужно столбов для установки забора вокруг площадки, имеющей форму круга, если расстояние между столбами (по дуге окружности) должно быть около полутора метров, а диаметр площадки равен 70 м.

682. Определить линейную скорость точки, находящейся на поверхности шкива диаметром 400 мм, если он делает 180 оборотов в минуту.

683. Диаметр ведущего колеса электровоза равен 2 м. Определить скорость электровоза, если ведущее колесо делает в минуту 100 оборотов.

684. Определить допустимое число оборотов в минуту точильного камня диаметром 200 мм, если максимально допустимая скорость точек на окружности камня равна 18—.

685. Груз поднимают при помощи блока, схематично пока-

1 Данные получены в результате измерения.

занного на чертеже 205. На сколько поднимется груз за 8 оборотов блока, если его диаметр равен 150 мм?

686. Как определить расстояние до воды в колодце, если можно измерить диаметр вала, на который намотана цепь для ведра?

687. Как изменится длина окружности, если: а) радиус её увеличить на 10 см; б) радиус её увеличить в 5 раз; в) диаметр её увеличить в 7 раз; г) диаметр её уменьшить в 9 раз?

688. Радиус окружности R увеличен на т. Показать, что увеличение длины окружности не зависит от величины R.

689. Определить диаметр трубы, которую можно изготовить из прямоугольного куска жести размером 425 мм X 250 мм (два решения). Расход материала на шов в расчёт не принимать.

Черт. 205.

Длина дуги.

690. 1) Радиус окружности равен R. Чему равна длина её дуги в Г? 2) Радиус окружности равен 25 см. Чему равна длина её дуги в: а) 1°; б) 48°; в) 12°; г) 10°?

691. 1) Сколько градусов содержит дуга окружности радиуса 4 см, если длина дуги равна: а) 8 см\ б) 6,2 см?

Черт. 206.

2) Сколько градусов содержит дуга окружности, длина которой равна радиусу?

692. Найти длину и радиус окружности, если длина её дуги, содержащей 36°, равна 45 см.

693. Рассчитать длину заготовки из пруткового материала для деталей, изображённых на чертеже 206.

694. Прямоугольной полосе жести нужно придать форму, сечение которой указано на

Черт. 207.

чертеже 207. Какой длины нужна полоса жести для изготовления из неё полосы указанной формы и длиной 500 мм?

Площадь круга.

695. Найти площадь круга, если: а) его радиус равен 3 см\ б) его диаметр равен 6,2 см.

696. Вычислить диаметр и площадь круга, если длина его окружности равна: а) 26 мм\

б) 142 см (данные приближённые).

697. Найти радиус круга, если известно, что его площадь равна: а) 48,7 см2; б) 6,45 м2\ в) 400 мм2 (данные приближённые).

698. 1) Найти диаметр круга, площадь которого равнялась бы сумме площадей двух кругов радиусов 3 см и 4 см.

2) Найти диаметр круга, площадь которого равнялась бы разности площадей двух кругов радиусов 10 см и 8 см.

699. Может ли стальная проволока диаметра 3 мм выдержать груз в 300 асГ, если предельно допустимая нагрузка при растяжении стальной проволоки равна 80 кПмм2?

700. Периметр квадрата больше длины окружности равновеликого ему круга. Доказать.

Площадь сектора.

701. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, если его центральный угол содержит: а) 180°; б) 90°; в) 45°; г) 20°; д) 18°; е) 22°30'?

702. Сколько градусов содержит центральный угол сектора, если площадь сектора составляет от площади круга:

Черт. 208.

703. Определить площадь сектора радиуса 6,7 см, если его центральный угол равен 36°.

704. Вычислить площади секторов, данных на чертеже 208, проведя необходимые измерения.

705. Найти радиус сектора, если его площадь равна 157 мм2, 8 центральный угол равен 72°.

706. Найти центральный угол сектора, если его площадь равна 56,8 см2, а радиус равен 6 см.

707. Найти площади заштрихованных фигур, данных на чертежах 209 и 210.

Черт. 209. Черт. 210.

§ 25. Цилиндр. Поверхность и объём цилиндра.

Поверхность цилиндра.

708. Вычислить боковую и полную поверхности цилиндров, данных на чертеже 211.

709. Зная, что R — радиус основания цилиндра, H — его высота, S0CH — площадь основания, S — полная поверхность, вычислить неизвестные величины:

Черт. 211.

1

2

3

4

R H

•^осн

s

10 см 2,0 дм } ?

2,0 дм ? ?

628 дм*

1,о' дм 600 см2 ?

? ?

320 см2 1640 см2

710. Построить развёртку цилиндра, площадь основания которого равна 50 еле2, а боковая поверхность равна 25 см2.

711. Боковая поверхность цилиндра равна 200 см2. Может ли длина окружности основания быть равной 400 см?

Объём цилиндра.

712. По данным на чертеже 211 размерам вычислить объёмы цилиндров.

713. Зная, что R — радиус основания цилиндра, H — его высота, V — его объём, вычислить по данным, приведённым в таблице, неизвестные величины:

1

2

3

R

12 дм

0,3 м

?

H

0,6 м

?

100 см

V

?

28 000 см3

12,56 дм*

714. Вычислить объём карандаша цилиндрической формы.

715. Вычислить объём чайного стакана, имеющего цилиндрическую форму. Результат выразить в литрах.

716. На чертеже 212 изображены два цилиндрических сосуда. Произведя необходимые измерения и 4 вычисления, определить, который из сосудов имеет больший объём.

Черт. 212. Черт. 213.

717. Изобразить два цилиндра одинакового объёма, у которых диаметры оснований относятся, как 1 : 2.

718. Как изменится объём цилиндра, если:

а) не изменяя его высоты, увеличить в два раза радиус его основания;

б) не изменяя его основания, уменьшить в два раза его высоту;

в) радиус его основания увеличить в три раза, а высоту уменьшить в четыре раза?

719. На чертеже 213 дана развёртка боковой поверхности цилиндра. Проведя необходимые измерения и вычисления, найти объём этого цилиндра (два решения.)

720. Построить развёртку цилиндра, площадь основания которого равна 50 см2, а объём равен 560 см*.

721. Определить вес стального цилиндра, диаметр которого равен 200 мм, а высота 120 мм; удельный вес стали принять равным 7,8 Г/см3.

722. Определить давление кирпичной цилиндрической колонны на фундамент, если высота колонны равна 2 м, диаметр основания равен 0,75 м. Вес одного кубического метра кирпича принять равным 1,8 т.

ГЛАВА VIII.

ПОВТОРЕНИЕ.

723. Доказать, что две прямые, перпендикулярные двум пересекающимся прямым, также пересекаются.

724. 1) Построить параллелограмм, три вершины которого находились бы в данных точках. Сколько решений имеет задача?

2) Построить параллелограмм так, чтобы середины трёх его сторон находились в данных точках. Сколько решений имеет задача?

725. 1) Доказать, что всякий параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, есть ромб.

2) Доказать, что если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны и в точке их пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник есть ромб.

726*. Даны три прямые, пересекающиеся в одной точке, и точка А на одной из них. Построить треугольник с вершиной в точке А так, чтобы его медианы лежали на трёх данных прямых.

727. Найти отрезок средней линии трапеции, заключённый между диагоналями трапеции, если её основания равны 54 см и 78 см.

728. В ромб с диагоналями, равными 10 см и 24 см, вписан четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба. Определить вид четырёхугольника и его периметр.

729. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 см и 4 см, проведены прямые, параллельные катетам. Определить периметр полученного прямоугольника.

730*. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из непараллельных сторон трапеции, пересекаются под прямым углом, и точка их пересечения находится на средней линии трапеции. Доказать.

731. Построить равнобедренную трапецию по средней линии, равной 6 см, высоте, равной 4 см, боковой стороне, равной 4, 8 см.

732. 1) В параллелограмме высоты относятся, как 2 : 3. Найти отношение смежных сторон.

2) Периметр параллелограмма равен 48 см, его высоты относятся, как 1 : 3. Найти стороны параллелограмма.

733. В треугольнике стороны относятся, как 4:5:6. Как относятся высоты треугольника?

734. В треугольнике ABC AB = 10 см, ВС = 20 см\ высота, проведённая из вершины А, равна 5 см. Найти высоту, проведённую из вершины С.

735. 1) Площадь треугольника равна 15 см2. Определить площадь треугольника с той же высотой, но с основанием в три раза большим, чем основание первого треугольника.

2) Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC. Как относятся отрезки AD и DB, если площадь треугольника ACD в три раза меньше площади треугольника ABC?

736. Площадь треугольника равна 15 дм2. Найти две его стороны, если известно, что они относятся, как 3 : 5, и угол между ними равен 30°.

737. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Треугольники DAO и DOC равновелики. Доказать, что треугольники ВАО и ВСО также равновелики.

738. Основания трапеции равны 3 см и 16 сж, боковая сторона, равная 3 см, составляет с основанием угол в 30°. Найти площадь трапеции.

739. В прямоугольной трапеции ABCD (AB || CD) AB = 16 см и CD = 10 см, меньшая боковая сторона равна 8 см. Найти периметр трапеции.

740. Через вершины вписанного в окружность прямоугольника проведены касательные к окружности. Определить вид полученного четырёхугольника.

741. Около круга радиуса R описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с. Найти периметр треугольника.

742. На чертеже 214 изображён кручёный стальной канат.

Сколько осей симметрии имеет фигура в сечении каната? Имеет ли эта фигура центр симметрии?

Черт 214. Черт. 215.

743. Через точку касания двух окружностей проведена к ним общая касательная. Доказать, что касательные, проведённые к этим окружностям из точки, взятой на их общей касательной, равны.

744. Найти размеры заготовки из листового материала по размерам, данным на чертеже 215. Припуск на опиловку краёв не учитывать.

745. 1) На сколько переместится рейка // при одном обороте шестерни /, если диаметр dH её начальной окружности равен 60 мм (черт. 216)?

2) На сколько переместится рейка // при повороте шестерни / на 35°, если диаметр dH её начальной окружности равен 100 мм (черт. 216).

746. На чертеже 217 точки Л, ß, С и D находятся на окружности, Z. ADC = 42°, АСВ = 58°. Вычислить величину угла CAB.

Черт. 216.

747. На окружности отмечены точки Л, ß, С и D так, что меньшие дуги АС и BD равны. Доказать, что треугольники ABC и BCD равны.

748. Точка С делит пополам дугу AB окружности (черт. 218). Доказать, что расстояния от точки С до хорды AB идо касательной, проходящей через точку Л, равны.

749. Пусть через три данные точки А, В и С надо провести дугу окружности, но центр этой окружности недоступен. Тогда находят несколько точек, лежащих на искомой дуге. Для этого поступают следующим образом: проводят биссектрису какого-нибудь из углов, например угла ВС А, и через середину отрезка AB проводят к

Черт. 217.

Черт. 218.

Черт. 219.

нему перпендикуляр. Доказать, что точка пересечения перпендикуляра и биссектрисы находится на окружности, проходящей через точки А, В и С.

Черт. 220. Черт. 221.

750*. Диаметр ведущего катка // фрикционной передачи (черт. 219) равен 150 мм. На сколько градусов повернётся ведомый диск / за один оборот ведущего катка //, если точка D, точка касания катка и диска, отстоит от центра О диска на 140 мм?

751. По данным на чертежах 220 и 221 размерам фигур вычислить их площади.

Черт. 222. Черт. 223.

752. По данным на чертежах 222 и 223 размерам фигур вычислить их полные поверхности и объёмы, считая все параллелепипеды прямоугольными, а призмы и цилиндр прямыми.

ГЛАВА IX.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. ПОДОБИЕ ФИГУР

§ 26. Пропорциональные отрезки.

Отношение отрезков.

753. Найти отношения отрезков а и 6, Ь и с, с и а (черт. 224)1.

754. В треугольнике ABC (черт. 225) найти отношения

Черт. 224. Черт. 225.

755. Может ли отношение катета к гипотенузе прямоугольного треугольника быть: а) меньше единицы; б) равно единице; в) больше единицы?

756. 1) Вычислить отношение катета к гипотенузе в равнобедренном прямоугольном треугольнике.

2) В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Найти отношение каждого его катета к гипотенузе.

3) Найти отношение высоты равностороннего треугольника к его стороне.

757. Построить прямоугольный треугольник с острым углом в 40° и найти отношение: а) меньшего катета к гипотенузе; б) меньшего катета к большему.

758. Отрезок AB длиной а разделён точкой С на отрезки AG и СВ, отношение которых равно m : п. Выразить длины отрезков АС и ВС через числа a, m и п.

759. Отрезок AB разделён точками С ио {АС< AD) на отрезки АС, CD и DB; их длины равны соответственно а, Ъ и с. Найти, какие части отрезка AB составляют отрезки AC, CD и AD.

760. Отрезок AB равен 6 см. Точки M и N лежат на прямой AB, точка M находится на отрезке AB, AM : MB = =2 : 3, точка N лежит вне отрезка AB и AN : NB = 4:3. Найти расстояние между точками M и N.

1 В этой и следующих задачах точность измерения выбирается учащимися самостоятельно.

761. На отрезке AB длиной 6 см на расстоянии 3,6 см от точки А дана точка С. На продолжении отрезка AB за точкой В построить такую точку D, чтобы расстояние её от точки А относилось к расстоянию её от точки В, как АС : СВ.

Пропорциональные отрезки.

762. Какое минимальное число разных отрезков должно быть для того, чтобы можно было поставить вопрос о пропорциональности этих отрезков?

763. Определить, пропорциональны ли пары отрезков а, Ь и с, d, если их длины равны:

а) а = 0,8 см, Ь = 0,3 см, с = 2,4 см, d = 0,9 см\

б) а = 50 мм, Ь = 6 см, с — 10 см, d = 18,5 см.

764. Среди отрезков а, Ъ, с, d и е выбрать пары пропорциональных отрезков, если а = 2 см, Ъ =17,5 см, с= 16 еле, d=35 см, е = 4 еле.

765. 1) Даны три отрезка a, b и с. Какова должна быть величина четвёртого отрезка d, чтобы эти четыре отрезка были пропорциональны, если а = 6 см, b = 3 см, с = 4 см, а отрезок d должен быть больше каждого из данных отрезков?

2) Даны три отрезка a, b и с. Какова должна быть величина четвёртого отрезка d, чтобы эти отрезки были пропорциональны, если а = 1, b = 2, с = 3. Сколько решений имеет задача?

766. Точка D взята на стороне AB треугольника ABC (АВ=6 см, ВС=9см) на расстоянии 2 см от вершины А. На какие части разделит сторону ВС прямая, проведённая через точку D параллельно стороне АС?

767. На чертеже 226 А В || CD || EF \\ KL, АС=25 мм, СЕ=40мм, ЕК = 20 мм.

Найти отрезки BD, DF, DL, если BL = 125 мм.

768. Стороны угла Л пересечены двумя параллельными прямыми ВС и DE (точки В и D находятся на одной стороне угла, точки С и £ — на другой).

Найти:

а) АЕ, если AB = 8 м, /D = 12 м, АС = 10 м;

б) AD, если ЛС : Л£ = - : 0,6 и BD = 12 дм;

в) AB, если + ЛЯ = 21 м, АС = 12 м и ЛЯ = 16 л*.

769. Через точку D, взятую на стороне AB треугольника ABC, проведён отрезок DF, параллельный стороне АС. Найти отрезок BF, если AD : DB = 5:6, ВС = 22 еле.

Черт. 226.

770. На сторонах угла ABC взяты четыре точки: К, L, M и N (точки M и JV — на одной стороне угла, точки К и L — на другой). Параллельны ли прямые LM и /(TV, если ВМ = MN, BL = L/C.

771. В треугольнике ABC сторона ВС разделена на четыре равные части и через полученные точки деления проведены прямые, параллельные стороне AB, равной 18 см.

Определить отрезки этих прямых, заключённые внутри треугольника.

772. Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна из боковых сторон разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Определить отрезки этих прямых, заключённые внутри трапеции.

773. На чертеже 227 AB \\ DC \\ KL, AD : DK : KF = 2 : 3 : 2, AB = 90 см, FC = 40 см. Найти отрезки ВС, CL, LF, DC и KL.

774. 1) Построить две окружности с центрами в точках Ох и Ov касающиеся между собой внешним образом, при условии, что отношение их радиусов равно у.

2) Построить две окружности с центрами в данных точках 04 и 02, касающиеся между собой внутренним образом, при условии, что отношение их радиусов равно —.

Черт. 227. Черт. 228.

775. Прямые а и b (черт. 228), имеющие общую точку О, пересечены двумя параллельными прямыми AB и CD, точки А, В, С и D находятся на прямых а и Ь. Доказать, что ^ —

776. Прямые а и Ь, имеющие общую точку О, пересечены двумя параллельными прямыми AB и CD (черт. 228); точки А, В, С и D лежат на прямых а и b. AD = 10 см, OB = 5 см, ОС = = 3 см. Найти отрезки АО и OD.

§ 27. Подобие треугольников.

Свойства подобных треугольников.

777. В подобных треугольниках ABC и AiBiCi (одинаковыми буквами названы вершины равных углов) AB = 8 см, ВС = 10 см, AiBi = = 5,6CMyÄfii = 10,5 еле. Определить ACiàBfi^.

778. Стороны треугольника относятся, как 5:3:7. Найти стороны ему подобного треугольника, у которого:

а) периметр равен 45 см; б) меньшая сторона равна 5 см; в) большая сторона равна 7 см; г) разность большей и меньшей сторон составляет 2 см.

779. Периметры подобных треугольников относятся, как 10 : 9; стороны одного треугольника относятся, как 6 : 7 : 8. Определить стороны обоих треугольников, если сумма меньших сторон треугольников равна 38 см1.

780. Если вершину треугольника перемещать параллельно противоположной стороне, то на каждой секущей, параллельной этой стороне, стороны всех образующихся треугольников отсекают равные отрезки. Доказать.

781. На чертеже 229 AB \\ ED. Написать пропорции, начинающиеся с отношений: а)^с'б)—; АС BD В) £D; Г) DC

782. В трапеции ABCD {АВ\\ CD) AB = 4 см, CD = 6 см, одна из боковых сторон равна 6 см. На сколько нужно её продолжить до встречи с продолжением другой стороны?

783. Продолжения боковых сторон AD и ВС трапеции ABCD пересекаются в точке F. Определить:

а) меньшее основание трапеции, если большее основание AB равно 25 см, AF = 10 сму AD = 4 см;

б) отрезок DFy если AF = 18 сму AB : DC = 4:5.

784. Найти среднюю линию трапеции ABCD (AB \\ CD), если отрезок AF (точка F — точка пересечения продолжения боковых сторон трепеции) равен 5 см, AD = 4 сму AB = 10 см (два решения).

785. В треугольнике ABC через точку D, взятую на стороне АВу проведём отрезок DF, параллельный стороне АС (точка F находится на стороне ВС). Найти:

а) сторону АС, если AD = 5 см; DB = 3 сму DF = 4 см;

б) сторону AB, если AD = 4 см; DF = 6 см, АС = 8 см.

Черт. 229.

1 Ответ дать с точностью до 0,05 см.

786. Две параллельные улицы пересекаются двумя улицами, выходящими из одного пункта А. Длины параллельных улиц, заключённые между лучевыми улицами, равны 0,75 км и 1,25 км. Трамвай идёт по одной из лучевых улиц от пункта А до первой из параллельных улиц 15 мин. Сколько времени он при такой же скорости будет идти по той же лучевой улице от первой до второй из параллельных улиц?

787. Стороны треугольника, заключающие угол, равный 120°, равны 6 см и 12 см. Найти биссектрису этого угла.

Указание. Через вершину одного из острых углов треугольника провести прямую, параллельную биссектрисе тупого угла, до пересечения её с продолжением противолежащей стороны.

788*. Даны две пересекающиеся прямые а и Ь. Построить несколько точек, для которых расстояние до прямой а в два раза меньше расстояния до прямой Ь.

Где находятся все точки, удовлетворяющие этому условию?

789*. В треугольнике ABC AB = 6 см, ВС = 7 см, АС = 8 см. Построить точку, для которой расстояния её от сторон AB, ВС и АС относятся, как 1 : 2 : 3.

Черт. 230.

Признаки подобия треугольников.

790. На фигурах, данных на чертеже 230, найти все подобные треугольники. (На черт, а и в подобие треугольников установить на глаз.)

791. Найти неизвестный размер изображённой на чертеже 231 фигуры.

Черт. 231.

792. Из вершины угла С треугольника ABC проведён отрезок СЕ так, 4toZ_ ABC = Z_ АСЕ (черт. 232). Определить отрезок АЕ, если AB = 34 см, АС =- 20 см.

793. Можно ли треугольник пересечь прямой, не параллельной основанию, так, чтобы отсечь от этого треугольника ему подобный треугольник? Когда задача не имеет решения?

794. Одна из диагоналей трапеции, равная 16 см, делит другую диагональ на части, равные 7 см и 5 см. Определить, на какие части делится точкой пересечения первая диагональ, и найти большее основание трапеции, если меньшее её основание равно 4 см.

795. Доказать, что равнобедренные треугольники подобны, если: а) равны их углы при вершине; б) равны их углы при основании.

796. В двух равнобедренных треугольниках углы при вершинах равны. Периметр первого треугольника равен 544 м. Определить его стороны, если две стороны второго треугольника относятся, как: а) 1 : 2, б) 10 : 12.

797. Доказать, что в подобных треугольниках биссектрисы сходственных углов пропорциональны сходственным сторонам.

798. Вершины вписанного в окружность треугольника делят окружность на дуги, относящиеся, как 5 : 7 : 12. Определить, подобен ли этот треугольник треугольнику, у которого два угла равны соответственно 40° и 24°.

799. Трапеция с основаниями 2 см и 5 см делится диагоналями на треугольники. Найти одну из высот каждого треугольника со стороной 2 см или 5 см, если расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до большего её основания равно 4 см.

800. 1) В треугольник ABC вписан параллелограмм ADEF, острый угол которого совпадает с углом треугольника А. Определить сторону АС, если известно, что стороны параллелограмма равны 6 см и 5 см, а сторона AB равна 17 см.

2) В треугольник вписан параллелограмм, острый угол которого совпадает с углом треугольника (черт. 233). Стороны параллелограмма относятся, как 3 : 1, а стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 24 см и 36 см. Определить стороны параллелограмма.

801. Доказать, что в подобных треугольниках сходственные высоты пропорциональны сходственным сторонам.

Черт. 232.

Черт. 233.

802. Найти высоту дерева, если длина его тени равна 8,2 м, а тень от вертикального столба высотой 3 м равна 4,2 м.

803. Высота дерева может быть определена по способу, указанному на чертеже 234. Обосновать этот способ. Какие измерения (при помощи каких инструментов) нужно провести для определения высоты дерева?

804. Определить расстояние до телеграфного столба, если на расстоянии вытянутой руки он закрывается: а) половиной спички; б) пятнадцатикопеечной монетой (см. черт. 235). Высота телеграфного столба равна 8 м.

805. На чертеже 236 дан один из приёмов определения высоты дерева с использованием шеста достаточно большой длины. Объяснить этот приём. Какие измерения (при помощи каких инструментов) нужно провести для того, чтобы определить высоту дерева?

806*. На плёнке изображение дерева, находящегося на расстоянии 90 м от объектива фотоаппарата, имеет высоту 10 мм (черт. 237). Чему равна высота дерева, если расстояние от объектива до изображения равно 50 мм?

Черт. 234.

Черт. 235.

Черт. 236.

Черт. 237.

807. Для определения расстояния АВУ которое нельзя измерить непосредственно, поступили следующим образом: отметив произвольную точку Л4, измерили расстояния AM и ВМ и Z. АМВ, а затем на бумаге построили треугольник А{М{Ви в котором А{М{ = 0,01/Ш, BjAlj = 0,01ßM и Z_ AiMßi = Z_ AMB.

Как найти расстояние AB? Обосновать этот приём.

808. Диаметр Солнца приближённо равен 1,4 млн. км, диаметр Луны приближённо равен 3,5 тыс. км. Можно считать, что видимый диаметр Солнца равен видимому диаметру Луны, т. е. Солнце и Луна видны под одним и тем же углом зрения. Определить отношение расстояний до Солнца и Луны. Чему равно среднее расстояние от Земли до Солнца, если среднее расстояние от Земли до Луны равно 380 тыс. км?

800. Найдите ошибку в приведённом ниже «доказательстве» того, что 64 = 65.

Квадрат со стороной 8 единиц, начерченный на клетчатой бумаге, разрезан на четыре части, как показано на чертеже 238, а), и из этих частей сложена фигура, данная на чертеже 238, б), площадь которой равна 65 кв. единицам. Так как площадь квадрата равна 64 кв. единицам, то 64 = 65.

Указание. Для отыскания ошибки можно сначала выполнить более точное построение этих фигур.

810. Доказать, что равнобедренные треугольники подобны, если равны отношения их сходственных высот и оснований.

811. Определить, подобны ли треугольники, если стороны их равны: а) 4 см, 6 см, 9 см и 12 см, 18 см, 8 см; б) 1,5 дм, 42 см, 20 см и 21 см, 10 см, 9 см; в) 55 см, 1,5 м, 140 см и 15 см, 14 см, 10,5 см.

812. Доказать, что равнобедренные треугольники подобны, если равны отношения их боковых сторон и оснований.

813. Построить треугольник, подобный данному (черт. 225), так, чтобы: а) стороны данного треугольника были в 2 раза меньше сторон построенного; б) меньшая сторона нового треугольника равнялась бы отрезку а (черт. 224); в) периметр треугольника равнялся бы 2с (черт. 224).

Черт. 238.

814. 1) Построить треугольник по отношению двух его сторон, равному 2 : 3, и углу, заключённому между ними, если одна из этих сторон равна 6 см.

2) Построить треугольник по отношению двух его сторон, равному 2 : 3, углу между ними и третьей стороне.

815. 1) Построить треугольник по отношению его сторон, равному 4:5:7, если меньшая из его сторон равна 15 мм.

2) Построить треугольник по отношению его сторон, равному 4:6:7, если одна из сторон треугольника равна а. Сколько решений имеет задача?

816. Построить треугольник АХВХСХ, подобный треугольнику ABC (черт. 225), так, чтобы: а) = !>3i б) Т7~ = О»9-

817. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному 2 : 3.

818. Построить ромб по стороне и отношению диагоналей, равному 3 : 5.

819. Построить параллелограмм по данному его острому углу, меньшей диагонали и отношению сторон, равному 1 : 3,

Разные задачи.

820. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке М, концы хорд последовательно соединены. Найти пары подобных треугольников.

821. На чертеже 239 диаметры AB и CD взаимно перпендикулярны. Доказать, что Л ABF оо Л ОАЕ.

822*. В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы всех его внешних углов. Сколько при этом образовалось подобных треугольников?

Черт 239. Черт. 240.

823*. Диагонали АС и BD прямоугольной трапеции ABCD взаимно перпендикулярны (черт. 240), основание AD равно 6 см, высота трапеции равна 4 см. Найти основание ВС и диагональ АС трапеции. Определить, на какие части диагональ АС делит диагональ BD (проверить решение графически).

824. Доказать, что треугольник, образованный средними линиями треугольника, ему подобен.

825. В треугольнике ABC проведены высоты АЕ и BD. Доказать, что точки С, D и £ являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

Рассмотреть случаи, когда треугольник ABC:

а) остроугольный;

б) тупоугольный (угол А — острый).

826. Из точки Р проведены секущая PC и касательная PB к окружности (черт. 241). Доказать, что хорда AB отсекает от треугольника ВСР подобный ему треугольник АВР.

827. Стороны параллелограмма равны 3 дм и 6 дм, расстояние между его большими сторонами равно 15 см. Определить расстояние между его меньшими сторонами. Какими способами может быть решена задача? Какой из них наиболее простой?

828. Периметр параллелограмма равен 70 см. Определить его стороны и площадь, если высоты параллелограмма равны 2 см и 5 см.

829. Основания трапеции равны 24 см и 48 см. Определить длину отрезка, заключённого внутри трапеции, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения её диагоналей.

830*. Боковая сторона AD трапеции ABCD разделена точкой Е так, что АЕ : ED = m : п, и через точку Е проведена прямая, параллельная основаниям. Доказать, что отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, равен

Черт. 241.

831. Биссектриса угла С треугольника ABC пересекает сторону AB в точке D, через точку D проведена прямая, параллельная стороне АС, пересекающая сторону ВС в точке Е. Определить отрезок DE, если ВС = а, АС = Ь.

832. 1) Две окружности касаются внешним образом. Секущая, проведённая через точку касания, образует хорды, длины которых относятся, как 8 : 3. Определить радиусы окружностей, если расстояние между центрами равно 22 см.

2) Решить предыдущую задачу, если окружности имеют внутреннее касание.

833. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, через середину его высоты проведена прямая, параллельная одной из его боковых сторон. Найти периметр образовавшегося треугольника.

834. В равнобедренный треугольник, основание которого равно 6 см, а боковая сторона равна 9 см, вписана окружность. Определить: а) в каком отношении делит боковую сторону треугольника точка касания её с окружностью; б) расстояние между точками касания окружности боковых сторон треугольника.

835. В окружность вписан остроугольный треугольник ЛВС (черт. 242). AD-L ВС, АК — диаметр окружности, точки С и К соединены отрезком прямой. Доказать, что A ADB оо А АС К.

836. В окружность радиуса 5 см вписан прямоугольный треугольник, один из катетов которого раЕен 8 см. Найти проекцию этого катета на гипотенузу.

837. В трапецию, основания которой равны 5 см и 10 см, вписаны две окружности, каждая из которых касается одного из оснований трапеции и обеих диагоналей. Радиус большей окружности равен 3 см. Найти радиус меньшей окружности.

838. Два равновеликих треугольника, равные основания которых расположены на одной прямой, пересечены прямой, параллельной их основаниям. Доказать, что отрезки этой прямой, заключённые внутри треугольников, равны.

839. В треугольник ABC помещены, как указано на чертеже 243, дЕа квадрата, стороны которых равны 5 см и 10 см. Найти сторону AB треугольника ABC и высоту, проведённую к этсй стороне.

840. В остроугольный треугольник вписать квадрат так, чтобы все его вершины лежали на сторонах треугольника. Сколько решений имеет задача?

Черт. 242.

Черт. 243.

§ 28. Подобие многоугольников.

841. Какие условия должны выполняться, чтобы были подобны: а) два прямоугольника; б) два ромба; в) два параллелограмма; г) две равнобедренные трапеции; д) две прямоугольные трапеции?

842. Будут ли подобны два четырёхугольника ABCD и AfifijD^ если будет выполнено только одно из следующих условий:

Начертить дьа четырёхугольника, у которых выполнялось бы только одно из приведённых выше условий.

843. На чертеже 244 изображены чертёжный треугольник, рамки прямоугольной и шестиугольной формы; у каждого шестиугольника рагны между собой все стороны и углы. Будут ли фигуры, образованные внутренними и внешними контурами, подобны? Почему?

844. 1) Стороны прямоугольника равны а и b (а > Ь). Середины больших его сторон соединены. Каково должно быть соотношение между а и b, чтобы полученные прямоугольники были подобны данному прямоугольнику?

2) Являются ли стандартные форматки, используемые в черчении, подобными многоугольниками?

845. На чертеже 245 изображена рамка. Каков должен быть размер X, чтобы внутренний четырёхугольник был подобен внешнему (ширина противоположных планок рамки одинакова)?

Черт. 244.

Черт. 245. Черт. 246.

846. На чертеже 246 изображён параллелограмм ABCD со сторонами AB = а и ВС = by от которого отсечён другой параллелограмм FBCEy подобный данному. Какова должна быть величина отрезка BF?

847. 1) Стороны четырёхугольника равны 14 сму 21 cMt 10 см и 42 см. Определить стороны подобного ему четырёхугольника, если известно, что его меньшая сторона равна 2 см.

2) Стороны четырёхугольника относятся, как 1 : у : — : 2, периметр ему подобного четырёхугольника равен 75 см. Найти его стороны.

848. Стороны одного четырёхугольника равны 10 дм, 15 дм, 20 дм и 25 дм, в подобном ему четырёхугольнике сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 28 дм. Найти стороны второго четырёхугольника.

849. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников равны 35 м и 14 м, а разность их периметров равна 60 м. Найти периметры каждого многоугольника.

Отношение площадей подобных фигур.

850. 1) Стороны квадратов относятся, как 2 : 3. Как относятся их площади? 2) Стороны равносторонних треугольников равны 6 и 7 см. Чему равно отношение их площадей?

851. На диагонали данного квадрата, как на стороне, построен другой квадрат. Как относятся площади этих квадратов?

852. Площади двух квадратов относятся, как 3 : 5. Чему равна сторона меньшего квадрата, если сторона большего квадрата равна 6 см?

853. 1) Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, отсечённого от него средней линией?

2) В треугольнике проведены все средние линии. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, образованного средними линиями?

854. Площадь данного многоугольника равна 45 см2, Чему равна площадь многоугольника, ему подобного, если сходственные стороны многоугольника равны 10 см и 15 см?

855 Прямая, параллельная стороне треугольника, делит его на две равновеликие части. В каком отношении делит эта прямая другие стороны треугольника? Чему равен периметр меньшего треугольника, если периметр данного треугольника равен 52 см?

856. План некоторого участка начерчен в масштабе 10 м в 1 см. Во сколько раз площадь участка больше площади плана?

857. На чертеже 247 дан план участка. Определить, проведя необходимые построения и измерения, его площадь. План вычерчен в масштабе 1 î 1000.

858. Построить четырёхугольник, подобный данному, площадь которого была бы больше площади данного многоугольника: а) в 4 раза; б) в 2 раза.

Черт. 247.

859. Пользуясь поперечным масштабом, измерить отрезки а, бис, данные на чертеже 224.

860*. Боковая сторона треугольника разделена в отношении 2:3:4 (считая от вершины), и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. В каком отношении разделилась площадь треугольника?

861*. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его боковую сторону в отношении 5 : 3 (считая от вершины), а площадь — на части, разность которых равна 56 см2. Определить площадь треугольника.

862*. Треугольник разделён двумя прямыми, параллельными основанию, на три равновеликие части. В каком отношении, считая от вершины, разделились его боковые стороны?

863. Сумма площадей трёх подобных многоугольников равна 232 см2, периметры их относятся, как 2:3:4. Определить площадь каждого многоугольника.

864. В прямоугольном треугольнике катеты относятся, как 3 : 4, высота делит площадь треугольника на части, разность которых равна 84 дм2. Определить площадь данного треугольника.

§ 29. Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника.

865. Определить углы пятиугольника, если они относятся, как 7:4:3:5:8.

866. При съёмке плана земельного участка, имеющего форму пятиугольника, были получены следующие величины углов (черт. 248): /_Л = 138°; А.В = 126° ;Z- С= = 132°; ^D = 167°;^£ = 109°. Докажите, что при замере углов была допущена ошибка.

867. 1) В данном десятиугольнике все внутренние углы равны между собой. Найти: а) величину его внешнего угла; б) величину его внутреннего угла.

2) Определить внутренние углы двадцатиугольника и шестидесятиугольника, если в каждом из них внутренние углы равны между собой.

868. Определить число сторон многоугольника, если сумма его внутренних углов равна: а) 1080°; б) 9С0°; в) 1260°.

869. Сумма внешних углов многоугольника в три раза меньше суммы внутренних углов. Найти число сторон этого многоугольника.

Черт. 248.

870. Сумма внешних углов многоугольника: а) на 180°; б) на 720° меньше суммы его внутренних углов. Найти число сторон каждого из многоугольников.

871. Как изменится сумма внутренних углов многоугольника, если число его сторон увеличить: а) на 1; б) на 2; в) на я?

ГЛАВА X.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА.

Определение тригонометрических функций.

872. В треугольнике MNP Z. M = 90°. Записать выражения для всех тригонометрических функций угла Р.

873. На чертеже 249 Z. KLM = Z_ KNL = 90°. Записать выражения для тригонометрических функций угла К через стороны треугольников KLM и LNK.

874. Начертить при помощи транспортира углы, равные: а) 24°; б) 40°; в) 75°, и найти синус, косинус, тангенс и котангенс этих углов (ответ дать с двумя значащими цифрами).

875. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти все тригонометрические функции его меньшего угла.

876. Высота равнобедренного треугольника равна 8 см, основание равно 12 см. Найти синус и косинус угла при основании треугольника.

877. Построить угол, если:

1) тангенс его равен: а) ~ б) у*, в) 0,6;

2) синус его равен: а) 0,5; б) "г; в) 0,26;

3) косинус его равен: а) 0,4; б) — в) 0,71.

878. Построить прямоугольный треугольник ABC (Z. С = 90°), если:

Черт. 249.

879. По таблицам тригонометрических функций найти числовые значения функций при данных значениях аргумента:

880. Найти угол по данному значению его тригонометрической функции:

881. Найти угол, дополнительный углу х, если:

§ 30. Решение прямоугольных треугольников.

882. По двум данным элементам прямоугольного треугольника определить остальные его элементы — стороны, углы и площадь:

1) даны гипотенуза и острый угол:

а) с = 9,35, А = 65°10';

б) с = 62,7, В = 23°30';

2) даны катет и острый угол:

а) а = 8,25, А = 4°30';

б) b = 129, А = 68°;

3) даны два катета:

а) а = 261, b = 380;

б) а = 24,7, b = 61,7;

4) даны гипотенуза и катет:

а) с = 67, а = 45;

б) b = 12,6, с = 64,6.

883. По двум заданным элементам равнобедренного треугольника ABC (AB = ßC, черт. 250) найти все его углы и площадь. Решение задач а), в) и д) проверить построением.

Черт. 250.

е) b = 925, h = 721 (h — высота, проведённая к стороне АС);

ж) b = 17,8, Л = 13,8 (Л — высота, проведённая к стороне АС);

з) Л = 65°, Л4 = 20 (А4 — высота, проведённая к стороне ВС);

и) b = 164, S = 189 кв. ед. (S — площадь треугольника);

к) а = 14 ом, S = 56 см2 (S — площадь треугольника);

л) В = 73°, S = 45,6 м2 (S — площадь треугольника);

м) S = 467 см2, а : b = 7 : 4 (S — площадь треугольника).

884. В прямоугольном треугольнике катет составляет 0,2 гипотенузы. Найти острые углы треугольника.

885. Считается, что лестница, прислонённая к вертикальной стене, занимает устойчивое положение, если расстояние от основания стены до основания лестницы будет составлять примерно одну четверть расстояния от основания стены до другого конца лестницы. Какой угол в этом случае образует лестница с горизонтальной плоскостью и плоскостью стены?

886. В прямоугольном треугольнике ABC Z. С = 90°; Z. А = 27°; катет а = 21 см. Найти: а) катет Ь; б) гипотенузу с; в) проекцию каждого катета на гипотенузу; г) площадь треугольника ABC.

887. Из точки, находящейся на расстоянии 1.5 см от прямой, проведены к этой прямой две наклонные, образующие с ней углы, равные 24° и 61°. Определить длины наклонных и их проекций на прямую.

888. Между двумя параллельными прямыми расположен отрезок длиной 18 см так, что его концы находятся на этих прямых. Определить расстояние между параллельными прямыми, если угол, образованный отрезком с одной из параллельных прямых, равен 27°.

889. Уклон пути не замечается, если высота подъёма менее ^ пройденного пути. Чему равен в этом случае угол наклона?

890. Угол наклона дороги равен 15°30'. На сколько поднимется пешеход, пройдя 200 ле?

891. Найти острый угол, составленный диагоналями прямоугольника, стороны которого равны 12 см и 8 см. Проверить решение построением.

892. В окружность радиуса 5 см вписан равнобедренный треугольник, угол при вершине которого равен 70°24'. Определить высоту сегмента, отсекаемого основанием треугольника.

893. В окружности проведена хорда, стягивающая дугу в 120°. Хорда разделена на 4 равные части и точки деления соединены с центром. Найти углы всех образовавшихся неравных треугольников.

894. В трапеции углы при большем основании равны 16° и 54°, высота трапеции равна 24 см, меньшее основание равно 18 см. Найти большее основание трапеции.

895. Доказать, что площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон и синуса его острого угла.

896. Доказать, что площадь треугольника равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус угла, заключённого между ними1.

897. В параллелограмме острый угол равен а, центр его симметрии находится на расстоянии а и b от его сторон. Найти площадь параллелограмма.

898. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 46°, площадь его равна 545 см2. Найти стороны прямоугольника.

899. Найти площадь ромба, если один из его углов равен 42°30', а расстояние между его противоположными сторонами равно 10 см.

900. Основания трапеции равны 15 еж и 20 еж,боковая сторона, равная 10 см} составляет с большим основанием угол в 48°. Найти площадь трапеции.

901. Длины касательных, проведённых из одной точки к окружности радиуса 45 см, равны 60 см. Определить угол, составленный касательными.

902. По данным на чертеже 251 размерам найти расстояние между пунктами А и В.

Черт. 251.

903. На чертежах 252 — 254 изображены схематически приёмы измерений недоступных расстояний. На основании данных, приведённых на чертежах, найти расстояния ЛБ.

Какие инструменты могут быть использованы для измерений?

Черт. 252.

1 Правильность вывода для тупоугольных треугольников обосновать геометрически.

Черт. 253.

Черт. 254.

904. Вертикальный луч прожектора пересекает облако. Как высока нижняя граница облачности, если наблюдатель, находящийся на земле на расстоянии 600 м от прожектора, видит место пересечения луча прожектора и облака под углом 75°?

ГЛАВА XI.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.

Вписанные и описанные треугольники.

905. 1) Около треугольника, стороны которого равны 5 см, 6 см и 7 см, описать окружность и измерить её радиус.

2) Около треугольника, стороны которого, заключающие угол в 140°, равны 4 см и 3 см, описать окружность и найти её длину (измерив предварительно её радиус или диаметр).

906. Около треугольника описана окружность. В каком случае центр её будет находиться: а) внутри треугольника; б) на стороне треугольника; в) вне треугольника?

907. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 см и 12 см. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

908. Найти радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, сторона которого равна 6 см.

909. В окружность радиуса 10 см вписан равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным 120°. Найти стороны этого треугольника.

910. В прямоугольном треугольнике ABC Z_ С = 90°, Z, В = = 25°. Под каким углом видна каждая его сторона из центра окружности, описанной около треугольника?

911. В данную окружность вписать:

а) равносторонний треугольник;

б) равнобедренный треугольник с углом при вершине 130°;

в) равнобедренный треугольник с углом при основании 26°.

912. В треугольник, стороны которого равны 5 см, 6 см и 10 см, вписать круг и вычислить его площадь (предварительно измерив диаметр круга).

913. Высота равностороннего треугольника равна h. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

914. Найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, сторона которого равна а.

915. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза которого равна с.

916. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, один из катетов равен Ь. Найти радиус вписанной в него окружности.

917. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные (черт. 255), периметры отсечённых треугольников равны Ри Р2 и Р3. Найти периметр данного треугольника.

918. В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины. Найти периметр треугольника, если его основание равно 10 см.

919. Около данной окружности описать: а) равнобедренный прямоугольный треугольник; б) равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным 58°.

920. Около окружности радиуса 3 см описать равнобедренный треугольник с углом при вершине в 57°. Найти его площадь.

Черт. 255.

Вписанные и описанные четырёхугольники.

921. Можно ли описать около четырёхугольника окружность, если его углы, взятые в последовательном порядке, равны 85°, 130°, 95°, 50°?

922. Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся, как 2:3:4. Найти угол D, если около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

923. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 75° и 55°, Найти остальные два угла.

924. Указать, около каких четырёхугольников может быть описана окружность: квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба, равнобедренной трапеции, прямоугольной трапеции.

925. При каком условии можно описать окружность около четырёхугольника ABCD, если AB = AD, ВС = CD и AB Ф ВС?

926. Можно ли описать окружность около четырёхугольника, углы которого, взятые в последовательном порядке, относятся, как а) 2 : 4 : 5 : 3; б) 5 : 7 : 8 : 9?

927. Во вписанном четырёхугольнике ABCD диагональ АС перпендикулярна к диагонали BD и делит её пополам. Определить углы этого четырёхугольника, если Z_ BAD = 72°.

928. Меньшая сторона прямоугольника равна 10 см, угол между диагоналями равен 120°. Найти радиус описанной окружности.

929. В прямоугольнике диагональ образует с одной из сторон угол в 12°30'. На какие части делится вершинами этого прямоугольника окружность, описанная около него?

930. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию. При каком условии центр окружности, описанной около этой трапеции, будет лежать: а) внутри трапеции; б) на основании трапеции; в) вне трапеции?

931. 1) Три последовательные стороны четырёхугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найти периметр этого четырёхугольника.

2) В трапецию, периметр которой равен 0,42 м, вписана окружность. Три стороны трапеции, взятые в последовательном порядке, относятся, как 2 : 7 : 12. Найти все стороны трапеции.

932. Около круга описана трапеция, периметр которой равен 12 см. Определить среднюю линию этой трапеции.

933. Около круга описана равнобедренная трапеция с углом в 150°, её средняя линия равна 40 см. Определить площадь круга.

934. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 6 см. Какой угол образует боковая сторона трапеции с основанием, если средняя линия трапеции равна 16 см?

935. В равнобедренную трапецию с острым углом в 45° вписана окружность, радиус которой равен 10 см. Найти площадь трапеции.

936. Построить ромб по стороне и радиусу вписанной в него окружности.

937. Построить трапецию, описанную около круга диаметра 6 см, если её средняя линия равна 10 см.

§ 31. Правильные многоугольники.

938. Найти внешние и внутренние углы правильного я-угольника, если число его сторон равно: а) трём; б) пяти; в) шести; г) восьми; д) девяти.

939. 1) Записать в общем виде величину центрального угла правильного п-угольника. Определить центральные углы правильного многоугольника при п = 6, 8, 9, 10, 12.

2) Какой правильный многоугольник имеет центральный угол, равный 30°; 12°?

940. Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник; правильный шестиугольник?

941. 1) Середины сторон правильного многоугольника являются вершинами правильного многоугольника с тем же числом сторон. Доказать для случая правильного пятиугольника.

2) В правильном п-угольнике точки, делящие каждую его сторону в одном и том же отношении (при обходе контура в одном направлении), являются вершинами правильного многоугольника с тем же числом сторон. Доказать для случая правильного шестиугольника.

942. Если все стороны многоугольника, вписанного в некоторую окружность, касаются другой окружности, концентрической с первой, то этот многоугольник — правильный. Доказать.

943. В окружность радиуса 4 см вписать правильный семиугольник. Измерить сторону семиугольника и сравнись её длину с вычисленной по формуле (деление окружности выполнить приближённо).

944. Около окружности диаметра 6 см опи:ать правильный пятиугольник. Измерить его сторону и меньшую диагональ.

945. 1) В окружность вписан многоугольник, все стороны которого равны. Равны ли углы многоугольника?

2) В окружность вписан многоугольник, у которого все углы равны. Равны ли его стороны?

Черт. 256.

Черт. 257.

946. 1) Найти угол между двумя несмежными сторонами правильного шестиугольника (черт. 256).

2) Для проверки правильности опиловки граней прутка, имеющего в сечении форму правильного восьмиугольника, проверили

углы между его гранями, как это указано на чертеже 257. Чему должны быть равны эти углы?

Выражение стороны правильного многоугольника через радиус описан ной около него окружности.

947. Выразить апофемы правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника через: а) радиус описанной окружности; б) его сторону.

948. Составить формулы для выражения сторон правильного шестиугольника и треугольника через радиусы вписанных в них окружностей.

949. Доказать, что сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, делит пополам перпендикулярный ей радиус.

950. Правильный шестиугольник диагоналями, проведёнными из одной вершины, делится на четыре треугольника. Найти отношение их площадей.

951. Срезать у данного правильного треугольника углы так, чтобы образовался правильный шестиугольник.

952. Найти диаметры окружностей, описанной около правильного треугольника и вписанной в него, если разность этих диаметров равна 8 см.

953. Найти отношение диаметров окружностей, вписанной в квадрат и описанной около него.

954. Найти радиусы окружностей, описанной около правильного шестиугольника и вписанной в него, если разность этих радиусов равна 6 см.

955*. Около некоторой окружности описан и в неё вписан правильные /г-угольники. Определить радиус окружности, если разность сторон /г-угольников равна т.

956. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Определить расстояние между центрами окружностей (рассмотреть два возможных положения окружностей).

957. По данной стороне построить: а) правильный шестиугольник; б) правильный восьмиугольник.

Какие инструменты использовались для построения?

958. По данной апофеме построить: а) правильный треугольник; б) квадрат; в) правильный шестиугольник; г) правильный восьмиугольник.

Какие инструменты использовались для построения?

959. Построить квадрат по данной его диагонали.

960. Построить правильный шестиугольник, если: а) его большая диагональ равна 10 см; б) его меньшая диагональ равна 8 см.

Площадь правильного многоугольника.

961. Каков должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус квадратного сечения площадью 156 см2?

962. Каков должен быть наименьший диаметр круглого бревна, чтобы из него можно было изготовить брус, поперечное сечение которого представляет правильный треугольник площадью 571 см2?

963. Определить отношение площадей равностороннего треугольника, квадрата и шестиугольника, периметры которых равны.

964. Доказать, что периметр правильного шестиугольника меньше периметра равновеликого ему квадрата.

965. Вывести формулу для нахождения площади правильного «-угольника по его стороне.

966. Вывести формулу площади правильного я-угольника, зная радиус: а) описанной около него окружности; б) вписанной в него окружности.

967*. Площадь правильного шестиугольника, вписанного в некоторую окружность, равна площади правильного шестиугольника, описанного около той же окружности. Доказать.

968. Построить квадрат, равновеликий правильному шестиугольнику со стороной 5 см.

969. Площадь правильного шестиугольника равна 24 см2. Найти площадь круга, описанного около этого шестиугольника.

970. В правильный шестиугольник вписана окружность, в которую вписан правильный треугольник. Определить площадь этого треугольника, если сторона шестиугольника равна а.

ГЛАВА XII.

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЁМЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ.

Правильная призма.

971. 1) На модели правильной треугольной призмы укажите рёбра, лежащие на скрещивающихся прямых.

2) Такое же задание выполнить на модели правильной шестиугольной призмы.

972. Определить двугранные углы, составленные смежными боковыми гранями:

а) правильной четырёхугольной призмы;

б) правильной треугольной призмы;

в) правильной шестиугольной призмы.

973. На чертеже 258 изображена правильная шестиугольная призма. Укажите:

а) все рёбра, параллельные ребру

б) все рёбра, которые лежат на скрещивающихся прямых.

974. Вычислить боковую и полную поверхности правильных призм по размерам, данным на чертеже 259.

975. Вычислить объёмы правильных призм по их размерам (черт. 259).

976. По размерам, указанным на развёртках правильных призм (черт. 260), вычислить объёмы этих призм.

977. Бак имеет форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 200 мм. Найти диаметр основания цилиндра, имеющего тот же объём и высоту.

978. Определить вес каменной колонны, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, с размерами 0,30 м X 0,30 м X X 2,50 м. Удельный вес материала принять равным 2,2 Г/см*.

Черт. 258.

Черт. 259.

Черт. 260.

979. Какая часть воды выльется из бака, если его наклонить так, как указано на чертеже 261? Размеры даны в дециметрах.

Черт. 261.

980. Бак наклонён так, что вода заполняет лишь половину его объёма (черт. 262). Какой угол образует в этом случае боковое ребро бака с плоскостью основания?

Черт. 262.

981. Из правильных призм (черт. 263) изготовили цилиндры наибольших размеров. Какой процент материала пошёл в отход в каждом случае?

Черт. 263.

982. Площадь основания правильной призмы равна 200 см2. Может ли её объём равняться 1 см3?

Правильная пирамида.

983. На модели правильной пирамиды укажите несколько рёбер, лежащих на: а) пересекающихся прямых; б) скрещивающихся прямых.

984. На чертеже 264 изображена правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Указать все рёбра, лежащие на прямых, не пересекающих: а) ребро SC; б) ребро AB.

985. По размерам правильных пирамид, данных на чертеже 265, определить углы, которые составляют с плоскостью основания: боковое ребро пирамиды; апофему пирамиды; боковую грань пирамиды.

986. По размерам правильных пирамид (черт. 266 и 267) найти их боковую и полную поверхности.

987. Чему равен объём бункера, имеющего форму правильной усечённой пирамиды и размеры, данные на чертеже 268?

988. В треугольной пирамиде каждое ребро равно а. Доказать, что эта пирамида — правильная.

Черт. 264.

Черт. 265.

Черт 266

Черт 267.

989. Найти полную поверхность и объём правильной треугольной пирамиды, каждое ребро которой равно а.

990. Начертить развёртки правильных треугольной и четырёхугольной пирамид, у которых каждое ребро равно а, и найти отношение их объёмов.

Черт. 268.

Черт. 269.

991. На чертеже 269 даны развёртки правильных пирамид. Проведя необходимые построения и измерения, найти полные поверхности и объёмы пирамид.

992. Построить развёртку правильной треугольной пирамиды, если сторона её основания равна 30 мм, а апофема равна 40 мм.

993. Построить развёртку правильной четырёхугольной пирамиды, если диагональ её основания равна 3 см, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°.

994. Построить развёртку правильной пирамиды, объём которой равен 50 см2, если:

а) в основании её лежит квадрат со стороной 40 мм;

б) в основании её лежит правильный треугольник со стороной 50 мм.

995. Как изменится объём пирамиды, если:

а) её высоту увеличить в два раза;

б) площадь её основания уменьшить в два раза;

в) все стороны её основания уменьшить в два раза;

г) все стороны основания уменьшить в два раза, а высоту увеличить в два раза?

996. Найти высоту правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, если её объём равен объёму куба со стороной 4 см.

Конус.

997. По размерам, данным на чертеже 270, найти углы, которые составляют образующие конусов с плоскостями их оснований.

998. По размерам, данным на чертеже 270, найти боковые поверхности конусов.

Черт. 270.

999. Построить развёртки конусов, изображённых на чертеже 270, а и Ь.

1000. Длина окружности основания конуса равна 64 см, образующая его равна 70 см. Найти:

а) полную поверхность конуса;

б) угол, составленный образующей конуса с плоскостью его основания.

1001. Угол между образующей и осью конуса равен 30°, образующая равна 142 см. Определить полную поверхность конуса.

1002. Как изменится боковая поверхность конуса, если: а) радиус его основания увеличить в два раза;

б) его высоту увеличить в два раза;

в) радиус основания уменьшить в два раза, а высоту увеличить в 3 раза?

1003. Вычислить объёмы конусов по размерам, данным на чертеже 270.

Черт. 271. Черт. 272.

1004. Вычислить объём конуса по развёртке его боковой поверхности (черт. 271), предварительно измерив центральный угол развёртки.

1005. Вычислить объём тела по размерам, данным на чертеже 272.

Черт. 273

1006. Вычислить объёмы тел, размеры которых даны на чертеже 273, при а = 345 мм; b = 122 мм; d = 140 мм.

1007. Для изготовления указки (черт. 274) был взят брусок квадратного сечения размером 20 мм X 20 мм и длиной 500 мм. Найти, какой процент материала пошёл в отход.

Черт. 274.

1008. Как изменится объём конуса, если: а) радиус его основания увеличить в два раза; б) площадь его основания увеличить в три раза (как при этом изменится радиус основания?); в) его высоту уменьшить в два раза; г) площадь его основания уменьшить в четыре раза, а высоту увеличить в два раза?

Шар.

1009. Вычислить поверхность и объём шарг, диаметр которого равен 140 мм.

1010. Найти отношение поверхностей и объёмов двух шаров, радиусы которых равны 10 см и 12 см.

1011. Написать формулы, выражающие зависимость поверхности и объёма шара от его диаметра.

1012. Диаметр Марса приближённо равен половине диаметра Земли. Во сколько раз его поверхность и объём меньше поверхности и объёма Земли?

1013. Как относятся радиусы двух шаров, если их объёмы относятся, как 1 : 2?

1014. Как относятся радиусы двух шаров, если их поверхности относятся, как 5:1?

1015. Из куба с ребром 105 мм выточен шар диаметра 100 мм. Какой процент материала пошёл в отход?

1016. Чему равен вес деревянного шара диаметра 100 мм, если удельный вес дерева принять равным 0,50 Г/см3?

1017. Как относятся поверхности и объёмы куба и шара, если ребро куба равно диаметру шара?

1018. Куб и шар имеют равные поверхности. Как относятся их объёмы?

1019. Куб и шар имеют равные объёмы. Как относятся их поверхности?

1020. Определить объёмы тел, данных на чертеже 275.

1021. 1) Каков приближённо объём сферического аэростата диаметра 12 м?

2*) Какова подъёмная сила этого аэростата у земли, если оболочка аэростата наполнена техническим водородом и подъёмная сила технического водорода при температуре 15°С и давлении 760 мм ртутного столба принимается равной 1,1 кПм3?

Каков вес балласта, уравновешивающего подъёмную силу, если общий вес конструкции, оборудования, снаряжения и двух пилотов составляет 600 кГ?

Черт. 275.

1022. Найти вес полого чугунного шара, толщина стенок которого равна 7,0 мм, если его наружный диаметр равен 120 мм. Удельный вес чугуна принять равным 7,2 Г/см3.

ГЛАВА XIII.

ПОВТОРЕНИЕ.

1023. В треугольнике ABC АЕ А. ВС и BD ± АС (черт. 276). Доказать, что: а) Л ADF оо Л BFE\ б) Л АБС со A BDC. Записать все равные отношения отрезков.

1024. На чертежах 277—280 найти подобные треугольники. Написать пропорции, следующие из подобия треугольников.

1025. На чертеже 281 точка О—центр окружности, описанной около треугольника ABC, BD — высота треугольника ABC и OF _L ВС. Доказать, что AB • BF = ОС • BD.

1026. В прямоугольнике A BCD проведён отрезок АЕ (черт. 282) так, что Z- ACD = Z_ DAE. Назвать все подобные треугольники..

Черт. 276.

1027. Площади двух подобных многоугольников равны 466 см* и 598 см2. Одна из сторон меньшего многоугольника равна 15 см. Чему равна сходственная ей сторона большего многоугольника?

1028. Отношение площадей двух подобных многоугольников равно 1,3. Чему равна сторона многоугольника, сходственная стороне, равной 5 см, другого многоугольника (два решения)?

1029. Можно ли вписать в круг два подобных, но неравных треугольника?

Черт. 277. Черт. 278. Черт. 279. Черт. 280.

Черт. 281. Черт. 282.

1030. В данный треугольник вписать ромб с данным острым углом так, чтобы все вершины ромба лежали на сторонах треугольника.

1031. Показать без применения таблиц, что:

a) sin 30° = cos 60° = б) sin 45° = cos 45°= Jy-; *8 45° = 1.

1032. Длина тени от вертикального шеста высотой 1,5 м равна 2,5 м. Определить высоту солнца над горизонтом.

1033. Диагональ прямоугольника составляет с одной из его сторон угол в 66°, площадь прямоугольника равна 460 см2. Определить его стороны.

1034. Около окружности диаметра 10 см описан ромб с острым углом в 40°. Найти площадь ромба.

1035*. Построить два подобных, но неравных треугольника так, чтобы две стороны одного треугольника были равны двум сторонам другого треугольника.

Указание. Считать, что две стороны одного треугольника известны, стороны второго треугольника и третью сторону первого треугольника найти из пропорций, составленных на основании условия задач.

1036. Построить треугольник по углу в 25°, отношению заключающих его сторон, равному 3 : 2, и биссектрисе, проведённой из вершины угла и равной 3,5 см.

1037. Построить параллелограмм по отношению его диагоналей, равному 2 : 1,5, углу, образованному диагоналями, равному 55°, и высоте параллелограмма, равной 4 см.

1038. Построить параллелограмм по углу, отношению его сторон и диагонали.

Сколько решений имеет задача?

1039. Через точку М, данную внутри угла ABC, провести прямую так, чтобы отрезок её, заключённый внутри угла, делился в этой точке в отношении:

а) 1 : 2; б) m : п.

1040*. Найти площадь равнобедренной трапеции, диагональ которой, равная 250 мм, составляет со стороной основания угол, равный 35°.

1041. Площади правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны между собой. Как относятся стороны этих фигур?

1042. Для построения плана участка ABCD (черт. 283) были измерены отрезки АО, ВО, СО и DO и углы АОВ, ВОС и COD.

Вычислить площадь участка, если: АО = = 24 м, ВО = 36 м, СО= 19 м, DO= 14 м, Z. АОВ= 105°, Z. ВОС =120°, ZL COD = = 80°.

1043. В прокладке должно быть просверлено 10 отверстий, центры которых равномерно расположены на окружности диаметра 100 мм.

а) Каким образом может быть проведена разметка центров отверстий?

б) Вычислить расстояние между центрами двух соседних отверстий.

1044. 1) Найти ошибку, допускаемую при замене длины окружности радиуса R периметром правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность.

2) Найти ошибку, допускаемую при замене длины окружности радиуса R суммой 67? + h, где h — высота сегмента, отсекаемого от окружности радиуса R хордой, равной стороне вписанного в неё квадрата.

1045. В основании прямой призмы лежит ромб, меньшая диагональ которого равна его стороне. Найти объём призмы, если сторона ромба равна 5 см, а высота призмы равна 6 см.

Черт. 283.

1046. Сечение канала имеет размеры, данные на чертеже 284. Какое количество воды может пропустить канал за 1 минуту, если скорость воды равна 2 —?

1047. Вычислить, сколько тонн соломы находится в стоге (черт. 285 и 286), если считать, что 1 куб. м соломы весит 80 кГ (чертёж условный).

1048. Два металлических шара диаметром 14 см и 8 см сплавлены в один шар. Чему равен его диаметр?

Черт. 284.

Черт. 285. Черт 2Ç6.

1049. Кусок льда, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, размером 0,60 м X 0,40 м X 0,50 м помещён в цилиндрический сосуд диаметра 0,90 м. Какова будет высота слоя воды после того, как лёд растает? Удельный вес льда принять равным 0,92 Г'/см3.

1050. На чертеже 287 даны проекции правильной пирамиды на две взаимно перпендикулярные плоскости. По данным на чертеже размерам найти: а) угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости её основания; б) боковую поверхность пирамиды.

1051. На чертеже 288 даны проекции конуса на две взаимно перпендикулярные плоскости. По данным на чертеже размерам найти: а) угол наклона образующей конуса к плоскости основания; б) боковую поверхность конуса.

Черт. 287.

Черт. 288.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ

ГЛАВА II.

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 7. Понятие о многоугольнике. Треугольник и его элементы.

1. Доказать, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

2. Сумма расстояний некоторой точки, взятой в плоскости треугольника, до трёх его вершин больше полупериметра треугольника. Доказать.

Исследовать случаи, когда точка находится внутри треугольника, вне его, на стороне треугольника, в его вершине.

3. Постройте равносторонний треугольник и соедините любую точку, лежащую внутри его, с вершинами треугольника. Принимая эти отрезки за стороны нового треугольника, постройте его. Всегда ли можно выполнить построение? Докажите.

§ 8. Симметрия относительно прямой.

4. Для каждой из фигур, изображённой на чертеже 1, укажите все оси симметрии.

5. Дан отрезок AB и пересекающая его прямая. Построить треугольник ABC так, чтобы его биссектриса лежала на этой прямой. В каком случае задача не имеет решения?

Указание. Построить точку Biy симметричную точке В относительно данной прямой.

6. На биссектрисе внешнего угла С треугольника ABC взята точка D. Доказать, что АС + СБ < AD + DB.

Указание. Построить точку Ви симметричную точке В относительно биссектрисы внешнего угла С.

Черт. 1.

7. На биссектрисе угла С треугольника ABC (АС > ВС) взята точка М. Доказать, что разность сторон ЛС и СВ больше разности отрезков AM и MB.

§ 9. Равенство треугольников.

8. На одной стороне угла АОА\ отложены отрезки OA и OS, на другой стороне — отрезки ОАх и OBit OA = 0Ait OB = OBi. Доказать, что точка пересечения отрезков АВХ и AtB лежит на биссектрисе этого угла1.

9. Доказать, что прямая, проходящая через вершину равнобедренного треугольника и точку пересечения высот, проведённых к боковым сторонам, перпендикулярна к основанию треугольника1.

10. Через точку М, взятую на основании AB равнобедренного треугольника ABC, проведена прямая, пересекающая боковую сторону ВС и продолжение боковой стороны АС в точках Р и Q так, что отрезки MP и MQ оказываются равными. Доказать равенство отрезков AQ и PB.

1 Задача может быть решена с использованием свойств осевой симметрии.

ГЛАВА III.

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ.

§ 10—11. Признаки параллельности; свойства углов, образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей.

11. Через основание биссектрисы треугольника проведены прямые, параллельные его сторонам. Доказать, что отрезки этих прямых, заключённые между сторонами треугольника, равны1.

12. Через точку, взятую на биссектрисе треугольника, проведены прямые, параллельные его сторонам. Отрезки этих прямых, заключённые между сторонами треугольника, оказались равными. Доказать, что в этом случае треугольник равнобедренный.

13. Докажите (сделайте чертёж), что плоскость может быть заполнена без пробелов и перекрытий:

а) любыми равными треугольниками,

б) любыми равными четырёхугольниками (выпуклыми и невыпуклыми).

§ 12. Сумма внутренних углов треугольника.

14. В произвольном треугольнике ABC из точки А проведены две прямые, пересекающие сторону ВС или её продолжение в точках L и /С. Прямая AL образует со стороной AB угол LAB, равный углу С (черт. 2). Прямая АК образует со стороной АС угол КАС, равный углу В. Доказать, что треугольник ALK — равнобедренный.

Рассмотреть случаи, когда угол А: а) острый, б) прямой, в) тупой.

15. Во всяком треугольнике биссектриса одного из углов образует с высотой, проведённой из той же вершины, угол, равный полуразности двух других углов. Доказать.

16. Одна из биссектрис треугольника составляет угол в 100° с его стороной и равна одной из сторон, исходящих из той же вершины. Найти все углы треугольника.

17. В треугольнике ABC угол С = 30°. По другую сторону AB построен равносторонний треугольник ABD. Доказать, что треугольник, стороны которого равны AB, ВС и CA, — прямоугольный.

Черт. 2.

1 Задача может быть решена с использованием свойств осевой симметрии.

Рассмотрите случаи, когда один из углов, А или В: а) больше 120°; б) меньше 120°; в) равен 120°.

18. Построить прямоугольный треугольник: а) по гипотенузе и сумме двух катетов; б) по гипотенузе и разности катетов.

ГЛАВА V.

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.

§ 14. Сумма внутренних углов четырёхугольника.

19. В выпуклом четырёхугольнике биссектрисы двух углов, прилежащих к одной стороне, образуют угол, равный полусумме двух других углов. Доказать.

20. В выпуклом четырёхугольнике биссектрисы двух противолежащих углов образуют угол, составляющий с полуразностью двух других углов угол, равный 180°. Доказать.

Указание. Использовать свойство суммы внутренних углов четырёхугольника.

21. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

Указание. Использовать свойство суммы внешних углов многоугольника.

§ 15. Параллелограмм, его свойства и признаки.

22. Через середины сторон параллелограмма проведены прямые, перпендикулярные к ним. Определить вид четырёхугольника, образованного этими прямыми. Сравните углы данного параллелограмма и полученного четырёхугольника.

Что особенного вы заметили относительно взаимного расположения этих фигур?

23. Медиана треугольника, заключённая между двумя его неравными сторонами, образует с меньшей из этих сторон угол, больший, чем с другой. Доказать.

24. 1) Два параллелограмма, вершины одного из которых лежат на сторонах другого, имеют общий центр. Доказать.

2) Все параллелограммы, вершины каждого из которых лежат на сторонах другого параллелограмма, имеют общий центр. Доказать.

25. В шестиугольнике противоположные стороны равны и параллельны. Доказать, что диагонали шестиугольника, соединяющие его противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

26. Справедливо ли следующее предложение: четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие равны, — параллелограмм? Приведите пример.

27. Даны две точки К и L и отрезок А В постоянной длины, который может скользить по прямой / (черт. 3). При каком положении отрезка AB сумма отрезков К А, AB и BL будет минимальна?

Черт 3.

28. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD вне его построены равносторонние треугольники ВСМ и CDN. Доказать, что точки Л, M и N являются вершинами равностороннего треугольника. Решить задачу для случая, когда треугольники ВСМ и CDN будут построены по другие стороны относительно сторон ВС и CD.

§ 16. Частные виды параллелограмма.

29. Через центр квадрата проведена прямая. Доказать, что сумма расстояний от вершин квадрата, расположенных по одну сторону прямой, равна сумме расстояний от вершин квадрата, расположенных по другую сторону прямой.

30« Через три данные точки провести параллельные прямые так, чтобы две из них были бы одинаково удалены от третьей. Сколько решений имеет задача?

31. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Доказать, что их центры являются вершинами квадрата.

32. Доказать, что перпендикуляры, проведённые через середины сторон ромба к этим сторонам, образуют ромб. Каково взаимное расположение осей симметрии этих ромбов?

33*, Показать, что фигуры, у которых две оси симметрии пересекаются не под прямым углом, имеют и другие оси симметрии.

34, Какими способами могут быть совмещены со своим первоначальным положением фигуры, изображённые: а) на чертеже 1? б) на чертеже 15?

35* 1) Лист бумаги сложен вчетверо, как это показано на чертеже 4, и разрезан по отрезку AB. Определите, не разворачивая лист бумаги, какая фигура получится после разрезания. Как должна проходить линия разреза, чтобы в результате был бы лолучен квадрат?

2) Лист бумаги сложен так, как это показано на чертеже 5, а, и разрезан по отрезку AB. Какая фигура окажется вырезанной? Можно ли таким образом получить: а) равнобедренный треугольник? б) правильный треугольник? в) квадрат?

3) Ответить на вопросы задачи 2) для случая, когда лист согнут так, как указано на чертеже 5, б.

Черт. 4.

Черт. 5

Средняя линия треугольника.

36, Провести прямую, находящуюся на равных расстояниях от трёх заданных точек. Сколько решений имеет задача?

37. Построить точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон треугольника. Доказать, что эти точки являются вершинами треугольника, равного данному.

38. Точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма. Доказать.

Указание. См. задачу № 432 основного задачника.

39. Середина F стороны DC квадрата ABCD соединена с вершиной ß. Из вершины А проведён перпендикуляр к отрезку BF, пересекающий этот отрезок в точке /С. Доказать равенство отрезков AD и DK.

Проверить, справедливо ли аналогичное равенство, если: a) ABCD — косоугольный параллелограмм; б) ABCD — произвольный четырёхугольник.

40. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Доказать, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, исходящих из одной вершины (черт. 6), в два раза больше медианы треугольника, приведённой из той же вершины.

Черт. 6. Черт. 7.

Указание. Повернуть треугольник DBE относительно вершины В на угол 90° против часовой стрелки.

41. Даны два квадрата, имеющие общую вершину (черт. 7). Доказать, что медиана BN треугольника ABL перпендикулярна отрезку CF.

Указание. Повернуть треугольник ABL относительно точки В на 90° по часовой стрелке.

§ 17. Трапеция.

42. Доказать, что трапеция, у которой диагонали равны, — равнобедренная.

43. Основания трапеции равны а и Ь, сумма углов при основании а равна 90°. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований.

44. Разделить данный отрезок на три равные части, пользуясь только односторонней линейкой и циркулем и не проводя параллельных прямых.

ГЛАВА VI.

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

§ 18. Площадь многоугольника.

45. 1) Каждая вершина квадрата соединена с серединой одной из сторон так, как это показано на чертеже 8. Доказать, что площадь квадрата, образованного этими отрезками, равна — площади данного квадрата.

2) Разрезать квадрат по четырём прямым так, чтобы из полученных частей можно было бы составить 5 равных квадратов.

46* Через точку, взятую на диагонали параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. При этом образуются четыре параллелограмма. Доказать, что параллелограммы, не пересекаемые этой диагональю, равновелики.

47. Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма ABCD.

Если точка О находится внутри параллелограмма, то сумма площадей треугольников ОАВ и OCD равна сумме площадей треугольников ОВС и ODA. Доказать.

Сохранится ли это равенство, если точка О находится на стороне или в вершине параллелограмма? Вне параллелограмма?

48. Через каждую вершину произвольного четырёхугольника проведены прямые, параллельные его диагоналям, не проходящим

Черт. 8.

через эту вершину. Показать, что площадь полученного таким образом параллелограмма в два раза больше площади данного четырёхугольника.

49. Середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника последовательно соединены. Площадь полученного параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. Доказать.

Верно ли это предложение для невыпуклого четырёхугольника?

50. Через точку, взятую на стороне треугольника, провести прямую, делящую треугольник на две равновеликие части.

51. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = ВС) и точка M внутри него. Найти геометрическое место точек М, таких, что площади треугольников АМВ и ВМС будут равны.

52*. Каждая сторона треугольника разделена на три равные части и точки деления соединены так, как это показано на чертеже 9. Найти отношение площадей данного треугольника и треугольника, образованного проведёнными отрезками.

Черт. 9. Черт 10

53. Середины сторон ВС и AD, точки M и N, четырёхугольника ABCD соединены с его вершинами (черт. 10). Доказать, что площадь треугольника AMD равна сумме площадей треугольников АВМ и NCD.

54. Два равных квадрата со стороной а расположены так, что вершина одного находится в центре другого. Найти площадь их общей части.

55. Диагонали делят некоторый четырёхугольник на 4 треугольника. Площади трёх из этих треугольников равны 1 см2, 2 см2, 3 см2. Какова площадь четырёхугольника?

56. Два четырёхугольника имеют общие середины сторон. Доказать, что эти четырёхугольники равновелики.

Теорема Пифагора.

57. 1) Сумма стороны и высоты равностороннего треугольника равна fe. Выразить площадь треугольника через k.

2) Разность стороны равностороннего треугольника и его высоты равна /. Выразить площадь этого треугольника через /.

58. В треугольнике ABC AB = AC = ВС 1^5"= а. Выразите площадь треугольника ABC через а.

59. Вычислить площадь треугольника, медианы которого взаимно перпендикулярны и равны та и ть.

60. Сторона а равностороннего треугольника разделена в отношении 2:1, и из этой точки проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

61. Через центр О квадрата ABCD со стороной а проведена произвольная прямая. Найти сумму расстояний вершин квадрата до этой прямой, если отрезок прямой, заключённый внутри квадрата, равен Ъ.

Указание. Сравнить выражения для площади треугольника АОВ.

62. Отрезок AB разделён точками С и D на три равные части: АС = CD = СВ. На этих отрезках как на сторонах, по одну сторону от отрезка AB, построены равносторонний треугольник АСЕ, квадрат CDGF и прямоугольный треугольник DBH, в котором ВН — 0,5 DB. Точки Е и F и точки G и H соединены отрезками. Вычислить площадь многоугольника AEFGHB, если AB = 36.

63. Диагональ АС равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне ВС. АС = 4а, AD = За. Выразить площадь трапеции через а.

64. В шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы равны, AB = CD = EF = 4а, ВС = DE = FA = За. Вычислить площадь шестиугольника.

§ 19. Поверхность прямой призмы.

65. Найти кратчайшее расстояние по поверхности куба ABCDAlBiCiDi между его вершинами А и С4.

66. Найти кратчайшее расстояние по поверхности куба ABCDAlBiCiDi между точками M и N, лежащими на рёбрах AB и CtDif соответственно, если AM = 0,25 AB и NC = 0,25 Dfi^

ГЛАВА VII.

ОКРУЖНОСТЬ.

§ 21. Окружность.

67. Расстояния от точки пересечения двух равных хорд (или их продолжений) одной окружности до ближайших концов этих хорд равны. Доказать.

68. Найти геометрическое место таких точек, чтобы отрезок касательной к данной окружности радиуса г от этой точки до точки касания равнялся бы заданному отрезку а.

§ 22. Взаимное положение прямой и окружности, взаимное положение двух окружностей.

69. Через точку пересечения двух окружностей провести их секущую так, чтобы отрезок, заключённый между этими окружностями, был бы наибольшей длины.

70. Две окружности касаются внешним образом. Доказать, что их общая внутренняя касательная делит внешнюю касательную на два равных отрезка.

71. Найти геометрическое место точек касания двух окружностей, касающихся друг друга внешним образом и касающихся данной прямой в заданных точках.

72. Даны две концентрические окружности Ct и С радиуса а и 2а соответственно с центром в точке О; точка Р лежит между этими окружностями. Из точки Р как из центра радиусом ОР проведена окружность, пересекающая С в точке М. Перпендикуляр, проведённый через точку Р к прямой ОМ, пересекает окружность С в точках Е и F.

а) Доказать, что прямая EF касается окружности С4;

б) доказать, что касательные к окружности С{, проведенные через точки Е и F, пересекаются в точке, лежащей на окружности С (точка G);

в) определить вид треугольника EFG.

§ 23. Вписанные углы.

73. Какой из треугольников, имеющих по равной стороне и противоположному углу, имеет наибольшую площадь? Доказать1.

74. В прямоугольном треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из вершины прямого угла, образуют угол 10°. Найти углы треугольника.

75. Некоторая прямая пересекает окружность с центром О в двух точках, одна из которых не помещается на чертеже. Построить огрезок диаметра, проходящего через эту точку.

76. В полуокружность AD с центром О вписана ломаная ABCD: AB = ВС = a, CD = b. Доказать, что OB \\ CD.

77. Даны две концентрические окружности. Через точку Р, лежащую на внутренней окружности, проведены две взаимно перпендикулярные хорды PD и РА. Прямая PD пересекает внешнюю окружность в точках С и В (CP < PB).

1 Для решения этой задачи нужно знать геометрическое место точек, из которых данный сегмент виден под данным углом.

а) Построить геометрическое место точек, являющихся серединами отрезка ВС, для произвольного положения точки Л на внутренней окружности С1.

б) Доказать, что положение центра тяжести треугольника APD не зависит от положения точки А на окружности.

в) Доказать, что средняя линия ML треугольника АОС (точка M находится на стороне АС, точка L — на стороне АО) сохраняет длину при любом положении точки Л.

78. Найти углы треугольника, в котором высота, биссектриса и медиана, проведённые из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части.

Указание. Описать около треугольника окружность и продолжить биссектрису до её пересечения с окружностью.

79. По сторонам прямого угла скользят концы гипотенузы прямоугольного треугольника (черт. 11). Найти линию, которую описывает вершина прямого угла.

80. Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между его диагоналями1.

81. Построить параллелограмм по двум диагоналям и углу между его сторонами1.

82. Если через каждую точку пересечения двух окружностей провести произвольную секущую, то хорды, соединяющие точки пересечения этих прямых с окружностями, будут параллельны. Доказать.

83. Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведена прямая, пересекающая обе окружности. Доказать, что дуги, отсекаемые этой прямой на окружностях, лежащие по разные стороны секущей, содержат одно и то же число градусов.

84. Две окружности касаются внешним или внутренним образом. Через точку касания проведена прямая, пересекающая обе окружности в некоторых точках Л и В. Доказать, что касательные к окружностям, проведённые через эти точки, параллельны.

85. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая — между продолжением сторон. Доказать.

§ 24. Длина окружности и площадь круга.

86. Точка M делит диаметр AB круга на два отрезка AM и MB. На этих отрезках как на диаметрах построены два круга. Сравните длину окружности данного круга с суммой длин окружностей двух малых кругов.

Черт. 11

1 Для решения этой задачи нужно знать геометрическое место точек, из которых данный сегмент виден под данным углом.

87. Из вершин прямоугольного треугольника как из центров радиусами, равными соответствующим его сторонам, проведены дуги окружностей (черт. 12). Выразить периметр и площадь полученной фигуры через катеты а и ft.

88. Площадь кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями, равна площади круга, диаметр которого равен хорде большей окружности, касающейся меньшей окружности. Доказать.

89. Точки С и D лежат на дуге AB окружности, содержащей 90°, и находятся на одинаковом расстоянии от концов дуги. Через точки С и D проведены перпендикуляры к радиусу OB, пересекающие его в точках Е и F соответственно. Доказать, что криволинейная трапеция FDCE равновелика сектору OCD.

90. На катете равнобедренного прямоугольного треугольника как на диаметре построена полуокружность так, как это указано на чертеже 13, и из точки А как из центра проведена дуга окружности радиуса AB, пересекающая гипотенузу АС в точке Е. Вычислить площади фигур St, S2, S3 54.

Черт. 12.

Черт. 13.

Черт. 14.

91. На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности (черт. 14). Доказать, что сумма полощадей двух лунок, заключённых между меньшими полуокружностями и большей полуокружностью, равны площади треугольника.

92. 1) Вычислить периметры и площади заштрихованных фигур, изображённых на чертеже 15.

2) Сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, изображённых на чертеже 15?

3) Какими способами может быть совмещена со своим первоначальным положением каждая из фигур, изображённых на чертежах: 15, 18 и 19?

93. На сторонах прямоугольного треугольника вне его построены равнобедренные прямоугольные треугольники. Из вершин прямых углов треугольников, построенных на катетах, проведены дуги окружностей так, как это показано на чертеже 16. Вычислить площадь заштрихованной фигуры, если катеты треугольника равны а и о.

Черт. 15.

Черт. 16 Черт. 17.

94. Выразить площадь заштрихованной фигуры, ограниченной дугами полуокружностей (черт. 17), через KL.

95, 1) Диаметр AB окружности разделён на 4 равные части, и на отрезках диаметра построены полуокружности, как это показано на чертеже 18. Вычислите площадь каждой из заштрихованных фигур. Какой вывод вы можете сделать?

2) Решите эту же задачу для случая, когда отрезок разделён на П равных частей. Какой вывод вы можете сделать?

Черт. 18. Черт. 19.

96. Окружность радиуса R проходит через центр другой окружности. Точки пересечения этих окружностей лежат на диаметре первой окружности. Выразите через R площадь их общей части.

97. Найти периметр и площадь четырёхугольника, вершины которого совпадают с вершинами заштрихованной фигуры (черт. 19).

ГЛАВА IX.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 26—27. Пропорциональные отрезки. Подобие треугольников.

98. Доказать, что в любом треугольнике высоты относятся как обратные величины сторон, к которым они проведены.

99. Гипотенуза АС прямоугольного треугольника ABC касается в точке Е полуокружности с центром, лежащим на стороне ВС, и проходящей через вершину В. Точка Е делит гипотенузу в отношении а : ft, В каком отношении делится центром этой полуокружности и вторым концом её диаметра сторона ЕС?

100. 1) В треугольнике ABC Z. С - 120°, CD — биссектриса угла треугольника. Докажите, что

2) Общее сопротивление двух потребителей тока равно R, сопротивление каждого из них — R{ и R2 определяется по формуле

или по номограмме, представленной на чертеже 20 (при помощц линейки). Пользуясь результатом первого способа, докажите правомерность использования этой номограммы.

101. Если медиана и высота, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части, то треугольник прямоугольный. Доказать.

102. На стороне треугольника от его вершин отложены два равных отрезка. Через полученные точки проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Доказать, что эти прямые пересекаются на медиане треугольника, проведённой к стороне, на которой отложены отрезки.

103. Биссектриса AD внешнего угла треугольника ABC делит продолжение противоположной стороны ВС на части CD и DB, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Доказать.

Указание. Провести прямую BE, параллельную биссектрисе AD.

104. Биссектрисы внешнего и внутреннего углов треугольника ABC, проведённые из вершины А, пересекают прямую ВС в точках D и Dt соответственно. Доказать, что ^-g =

105. В окружность вписаны два угла, опирающиеся на одну и ту же дугу. Доказать, что образовавшиеся при этом треугольники подобны.

106. Сторона а равностороннего треугольника разделена в отношении m : п (т и п — целые числа), и через точку деления проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Определить периметр образовавшегося четырёхугольника.

Сравните с результатом задачи № 60. Сделайте вывод.

107. Прямая проведена параллельно основаниям трапеции. Доказать, что отрезок этой прямой, заключённый между одной боковой стороной и одной диагональю (или их продолжениями), равен отрезку этой же прямой, заключённому между второй боковой стороной и второй диагональю (или их продолжениями).

108. Если отрезок, заключённый между противоположными сторонами четырёхугольника и проведённый через точку пересечения

Черт. 20.

его диагоналей параллельно одной из двух других сторон, делится этой точкой пополам, то четырёхугольник — трапеция.

109. Доказать, что высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

110. Построить треугольник по двум его медианам, образующим прямой угол. При каких условиях треугольник окажется прямоугольным?

Черт. 21.

111. На чертеже 21 диаметры AD, DC и АС полуокружностей лежат на одной прямой. Диаметр BD круга перпендикулярен отрезку АС. Точка В лежит на пересечении двух окружностей. Доказать, что площадь заштрихованной части равна площади круга диаметра BD.

112. Две окружности с центрами О и 04 пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены две секущие, CCif и DDif точки С и D находятся на окружности О и точки С{ и D{ — на окружности 0|. Эти точки соединены с точкой В.

а) Сравните углы CBD и CßDi.

б) Сравните треугольники CBCt и DBDt.

в) Укажите геометрическое место середин хорд CAf С{А при переменном положении секущей ССА.

113. Две окружности с центрами в точках О и 0А и радиусами R и г касаются внешним образом в точке С. Их общая внешняя касательная (точки M и Mt — точки касания) пересекается с линией центров в точке S. Их общая внутренняя касательная пересекает внешнюю касательную в точке Р. Точка Т — середина отрезка 00А.

Доказать, что треугольник с вершинами в точках О, Р, Ot прямоугольный. Выразить длины отрезков ТС, SC через R и г.

114*. В полуокружность вписана ломаная ABCD, AB = ВС = = 2а, CD = 2b. Выразить радиус полуокружности через а и Ь.

115. Обратная величина квадрата высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна сумме обратных величин его катетов. Доказать.

116. В равнобедренном треугольнике ABC из середины основания ВС проведён перпендикуляр КН к боковой стороне АС, точка

Я лежит на стороне АС. Точка О —- середина отрезка КН. Доказать, что прямые АО и ВН перпендикулярны.

117. Через две противоположные вершины параллелограмма проведено по одной прямой. Каждая из этих прямых пересекает две другие стороны (или их продолжения) в точках M и N и в точках К и L. Доказать, что полученные точки являются вершинами трапеции или параллелограмма.

118. Через точку D, взятую на стороне AB треугольника ABC, проведена прямая, параллельная стороне АС. Через точку Е, пересечения этой прямой со стороной ВС, проведена прямая, параллельная стороне AB, до пересечения со стороной АС. Через точку F, пересечения этой прямой со стороной АС, проведена прямая, параллельная стороне ВС, до пересечения со стороной А В (точка G, черт. 22). Продолжая построение, получим точку H на стороне ВС, точку / на стороне ЛС и т. д. Пусть AB = 6, ВС = 5, АС = 8.

Черт. 22.

а) Вычислить AG и CI, если BD = 2; 3; 5.

б) На основе предыдущего упражнения сделайте общий вывод.

в) В каком случае точки G и D совпадут?

119*. На сторонах AB, АС и ВС треугольника ABC как на основаниях построены три равнобедренных подобных треугольника АВР, ACQ, BCR\ два первых треугольника расположены вне данного треугольника, третий — по ту же сторону от ВС, что и треугольник ABC. Докажите, что четырёхугольник APRQ — параллелограмм.

§ 30. Решение прямоугольных треугольников.

120. В треугольнике ABC AB = 5, AC = "[/""б, cos А =-Д- Вычислить с точностью до 0,01 площадь треугольника.

121. В треугольнике ABC AB = 4а, АС = 6а, cos А = Найти площадь треугольника, сторону ВС и высоту, проведённую к этой стороне.

122. В треугольнике ЛВС высота АН = h, /-В = 72°, Z_ С =« = 45°. Выразить через h:

а) стороны треугольника;

б) его площадь;

в) высоты треугольника.

123. В трапеции abcd ab \\ cd, ab = 4а, вс » a, ad = 2а, Z. /3 = 72°. Вычислить площадь трапеции.

124. Сторона ромба является средним пропорциональным между его диагоналями. Найдите величину острого угла ромба.

ГЛАВА XI.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.

Вписанные и описанные треугольники.

125. Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

126. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности. Доказать.

127. Из вершины прямого угла треугольника проведены лучи через центры вписанной в треугольник и описанной около него окружностей. Угол между этими лучами равен 7°. Вычислить острые углы треугольника.

128. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника abc (Z. с = 90°), равен /?, радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен г.

а) выразить R + r, R — r, Rr через катеты а и Ъ треугольника;

б) построить прямоугольный треугольник по заданным R я г. Указание. Выразить через R и г гипотенузу треугольника и сумму его катетов. Далее смотри задачу № 18 дополнительного материала.

129. Вершина а остроугольного треугольника abc соединена отрезком с центром о описанного около треугольника круга.

Из вершины а проведена высота ad. Доказать, что Z. bad =»

130. Точка m — переменная точка отрезка ab, середина которого обозначена о. На отрезках am и mb как на гипотенузах построены равнобедренные прямоугольные треугольники ас m и mdb.

а) Найдите геометрическое место точек С и D и точку пересечения этих геометрических мест — точку р.

б) Докажите, что прямая рм делит отрезок cd пополам.

в) Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольника amc.

Вписанные и описанные многоугольники.

131. Биссектрисы углов любого четырёхугольника образуют четырёхугольник, около которого можно описать окружность. Доказать.

132. Через середину дуги AB окружности проходят две произвольные прямые, пересекающие окружность в точках F и С и хорду AB в точках D и Е соответственно. Доказать, что точки F, С, D и Е лежат на одной окружности1.

133. В треугольнике ABC проведены высоты BBt и СС4. Точка их пересечения обозначена К- Доказать, что точки Л, Ви К, СХ лежат на одной окружности.

134. Во всяком треугольнике точки, симметричные точке пересечения высот относительно трёх сторон треугольника, лежат на окружности, описанной около этого треугольника. Доказать.

135. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, квадрат высоты равен произведению её оснований. Доказать.

§ 31. Правильные многоугольники.

138. Заполнить без пробелов и перекрытий равными правильными многоугольниками плоскость. Определить, для каких правильных многоугольников это возможно.

137. Найдите отношения сторон следующих многоугольников, с тем чтобы ими можно было покрыть без пробелов и перекрытий всю плоскость:

а) квадрат и треугольник;

б) шестиугольник, квадрат и треугольник;

в) шестиугольник и треугольник;

г) восьмиугольник и квадрат;

д) двенадцатиугольник и треугольник. Для каждого случая сделайте чертеж. Составьте сами несколько аналогичных задач.

138. Через середину В радиуса OA некоторой окружности к нему проведён перпендикуляр, пересекающий окружность в точке К- Отрезок ВК может быть принят приближённо равным стороне правильного семиугольника, вписанного в эту окружность. Найдите допускаемую при этом погрешность.

139. Около круга описан многоугольник, все стороны которого равны. Будет ли этот многоугольник правильным?

140. Около круга описан многоугольник, все внутренние углы которого равны. Будет ли этот многоугольник правильным?

141. Продолжения сторон FE и CD правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке М. Выразите периметр и площадь четырёхугольника МСВЕ через радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

1 См. задачу № 85 дополнительного материала.

142. Продолжения сторон FE и CD правильного шестиугольника ABCDEF пересекаются в точке М. Центр окружности, описанной около шестиугольника, обозначен через О. Прямая ВМ пересекает прямые ED, OD и ОС в точках L, /С, и H соответственно. Выразите через сторону шестиугольника длины отрезков EL, ОН, О/С, а также площадь треугольника О/СЯ.

143. Из вершин квадрата ABCD со стороной а радиусом, равным половине его диагонали, проведены окружности. Точки пересечения этих окружностей со сторонами квадрата последовательно соединены. Определить вид полученного восьмиугольника и вычислить его стороны.

144. Внутри квадрата ABCD взята точка M так, что Z_ MAD = = Z_ MD А = 15°. Доказать, что треугольник ВСМ равносторонний.

Указание. На стороне AD квадрата вне его построить равносторонний треугольник.

145. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах вне его построены полуокружности, к этим полуокружностям проведены касательные, параллельные катетам треугольника и не пересекающие фигуру. Доказать, что полученный таким образом четырёхугольник является квадратом.

146*. Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом (черт. 23) так, что узел стал плоским. Доказать, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

Черт. 23. Черт. 24.

147. На чертеже 24 изображён правильный звёздчатый пятиугольник, вырезанный из бумаги. Как нужно сложить лист бумаги и как должна быть расположена линия разреза для получения этой фигуры? Как должна проходить линия разреза, чтобы вырезанным оказался правильный пятиугольник?

Черт. 25.

148*. Правильный шестиугольник можно получить из двух бумажных лент одинаковой ширины так, как это указано на чертеже 25. Докажите, что шестиугольник будет правильным.

149. Длина окружности радиуса R может быть приближённо заменена длиной отрезка, равного сумме утроенного диаметра окружности и т стороны квадрата, вписанного в эту окружность. Найти абсолютную и относительную погрешности такой замены.

150. Через конец диаметра АА{ окружности радиуса R с центром О проведена касательная к окружности (черт. 26), AB — сторона правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, ОС— прямая, проходящая через середину хорды AB. Точка С лежит на прямой MN. Длина отрезка CD равна трём радиусам окружности. Показать, что длина отрезка AJ) приближённо равна ziR.

Черт. 26.

ОТВЕТЫ.

Глава I.

Глава II.

1 Ко всем задачам практического характера ответы даны приближённые. В задачах на измерение ответы у учащихся могут несколько отклоняться от приведённых в задачнике в связи с неточностью школьных измерительных инструментов и различной точностью выполняемых измерений.

На чертежах, если это специально не оговорено, размеры даны в миллиметрах.

Глава III.

Глава IV.

Глава V1.

1 Там, где это не следует из условия задачи, данные считаются точными. В тех случаях, когда даётся приближённый ответ, точность его определяется точностью используемых таблиц (четырёхзначных).

2 Первые два ответа могут быть получены аналитически, а последний ответ, приближённый только графически.

Глава VI.

Глава VII.

Глава VIII.

Глава IX1.

1 При решении задач этой и последующих глав пользуются логарифмической линейкой и четырёхзначными таблицами. Ответы даны с точностью, допускаемой линейкой со шкалой длиной 250 лш.

Глава X.

Глава XI.

Глава XII.

Глава XIII.

Дополнительный материал.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Глава I. Основные понятая 3

§ 1. Прямая. Луч. Отрезок. Ломаная линия ... —

§ 2. Действия над отрезками 4

§ 3. Угол. Действия над углами ........8

§ 4. Прямой угол. Смежные и вертикальные углы . . 9

§ 5. Окружность .....13

§ 6. Центральный угол. Измерение дуг и углов ... 14

Глава II. Треугольники . . 16

§ 7. Понятие о многоугольнике. Треугольник и его элементы .....—

§ 8. Симметрия относительно прямой.......18

§ 9. Равенство треугольников 21

Глава III. Параллельность 28

§ 10. Признаки параллельности —

§ 11. Свойства углов, образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей 31

§ 12. Сумма внутренних углов треугольника. Свойство внешнего угла треугольника ... 32

§ 13. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами .......38

Глава IV. Повторение . . 40

Глава V. Четырёхугольники 44

§ 14. Сумма внутренних углов четырёхугольника —

§ 15. Параллелограмм, его свойства и признаки —

§ 16. Частные виды параллелограмма ..... 52

§ 17. Трапеция ......68

Глава VI. Площадь многоугольника. Площадь поверхности и объём прямой призмы .....61

§ 18. Площадь многоугольника ........ 61

§ 19. Площадь поверхности прямой призмы .... 76

§ 20. Объём прямой призмы . . 77

Глава VII. Окружность 80

§ 21. Окружность .....—

§ 22. Взаимное положение прямой и окружности, взаимное положение двух окружностей . . 83

§ 23. Вписанные углы ... 86

§ 24. Длина окружности и площадь круга .... 88

§ 25. Цилиндр. Поверхность и объём цилиндра ... 91

Глава VIII. Повторение 93

Глава IX. Пропорциональные отрезки. Подобие фигур 97

§ 26. Пропорциональные отрезки ........—

§ 27. Подобие треугольников 100

§ 28. Подобие многоугольников .........107

§ 29. Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника 110

Глава X. Тригонометрические функции острого угла 111

§ 30. Решение прямоугольных треугольников . . 112

Глава XI. Вписанные и описанные многоугольники ........115

§ 31. Правильные многоугольники .....118

Глава XII. Площади поверхностей и объёмы геометрических тел . .120

Глава XIII. Повторение 128

Дополнительный материал 132

Ответы ..........153

Николай Никифорович Никитин, Галина Герасимовна Маслова.

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Редактор Л. А. Сидорова. Обложка художника Р. Г. Алеева. Технический редактор М- И. Смирнова. Художественный редактор Е. Н. Карасик, Корректор JI, П» Михеева.

* * *

Сдано в набор 22/V 1970 г. Подписано к печати 19/1". 1971 г. бОХЭО^в- Бумага типографская № Зг Печ. л. 10« Уч.-изд. л. 8,76. Тираж 1000 тыс. (1 000 001-2 000 000) экз.

Издательство «Просвещение» Комитета по

печати при Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров РСФСР. Саратов, ул. Чернышевского, 59. Заказ 593.

Цена без переплета 11 коп., переплёт 8 коп.