А. Е. Малых, М. И. Глухова

ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный педагогический университет»

Кафедра геометрии

А.Е. МАЛЫХ, М.И. ГЛУХОВА

ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Рекомендовано УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона в качестве учебного пособия для студентов педагогических направлений подготовки высших и средних учебных заведений

Пермь ПГПУ 2011

УДК 514 ББК В 151 М 205

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, декан механико-математического факультета Пермского государственного университета В. И. Яковлев;

кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и естественнонаучных дисциплин Пермского института железнодорожного транспорта (филиал УрГУПС) В.И. Карпова

М 205 Малых, А.Е. Площади геометрических фигур : учеб. пособие / А.Е. Малых, М.И. Глухова; Перм. гос. пед. ун-т. — Пермь, 2011.-108 с.

ISBN 978-5-85218-537-2

Цель учебного пособия — систематизация знаний, полученных учащимися среднего звена общеобразовательной школы при изучении курса геометрии; выделение методов и приемов измерения площадей геометрических фигур; демонстрация техники решения простых и сложных планиметрических задач. В пособие включены опорные задачи и теоремы, задания, предназначенные для самостоятельного решения, а также для подготовки к ЕГЭ.

Адресовано преподавателям и студентам педагогических вузов, средних учебных заведений, учителям математики, а также всем, кто интересуется геометрией.

УДК 514 ББК В 151

Печатается по решению учебно-методического совета Пермского государственного педагогического университета

ISBN 978-5-85218-537-2

© Малых А.Е., Глухова М.И., 2011

© ФГБОУ ВПО «Пермский государственный педагогический университет», 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ............................................................................. 5

ГЛАВА I. РАВНОВЕЛИКОСТЬ И РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ ФИГУР................................................................ 6

1.1. Историческая справка........................................... 6

1.2. Задачи с решениями.............................................. 11

1.3. Задачи для самостоятельного решения..................... 16

ГЛАВА II. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЕГО ЧАСТЕЙ.......... 21

2.1. Аналитическое решение задач................................... 21

2.2. Задачи с решениями............................................... 25

2.3. Задачи для самостоятельного решения....................... 29

2.4. Метод площадей при решении геометрических задач................................................................... 33

2.4.1.Задачи с решениями......................................... 34

2.4.2. Задачи для самостоятельного решения............... 40

ГЛАВА III. ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ...................... 42

3.1. Историческая справка............................................ 42

3.2. Задачи с решениями.............................................. 46

3.3. Задачи для самостоятельного решения....................... 53

ГЛАВА IV. ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ......................... 58

4.1. Историческая справка............................................ 58

4.2. Задачи с решениями............................................... 63

4.3. Задачи для самостоятельного решения........................ 69

ГЛАВА V. ПЛОЩАДИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР.................... 71

5.1. Историческая справка............................................ 71

5.2. Задачи с решениями............................................... 73

5.3. Задачи для самостоятельного решения........................ 78

ГЛАВА VI. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ.................. 80

6.1. Тренировочные тесты............................................ 80

6.2. Решение заданий части 3........................................ 85

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................... 92

ПРИЛОЖЕНИЯ....................................................................... 94

ВВЕДЕНИЕ

Решение разных видов задач по геометрии представляет наибольшую трудность для школьников при сдаче единого государственного экзамена. В связи с этим целью разработки учебного пособия явились систематизация знаний, полученных учащимися при изучении геометрии в среднем звене школьного курса, выделение методов и приемов измерения площадей геометрических фигур, демонстрация техники решения простых и сложных планиметрических задач.

Несмотря на то, что в пособии рассматриваются вопросы измерения площадей, представленный материал охватывает почти все учебные разделы школьного курса планиметрии. Кроме того, исчерпывающим образом раскрыты опорные задачи и теоремы, а также задания для подготовки к ЕГЭ, что позволяет служить данному пособию методическим руководством для учителей.

Учебное пособие содержит шесть глав, включающих историческую справку, опорные задачи, задачи, предназначенные для самостоятельной работы, с указаниями и решениями. В этих главах помещены: 31 теорема, 80 задач с развернутыми решениями и 115 заданий на вычисление площадей прямолинейных и криволинейных фигур. Некоторые из них включают рекомендации к решениям. В шести приложениях представлены тесты с заданиями трех уровней сложности, а также ответы к играм «Танграм», «Волшебный круг», «Колумбово яйцо», задания для нахождения площадей криволинейных фигур в квадрате. Кроме того, пособие содержит 178 рисунков.

Издание адресовано учителям математики общеобразовательных и профильных школ, студентам педагогических вузов и средних учебных заведений, а также всем, кто интересуется геометрией.

ГЛАВА I

РАВНОВЕЛИКОСТЬ И РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ ФИГУР

1.1. Историческая справка

Первыми математическими понятиями были число и геометрическая фигура. Они формировались вместе с развитием человеческого общества. Уже в глубокой древности изготавливались скребки и ножи в виде знаков, треугольников, ромбов и сегментов, круглые сосуды. Поля, как правило, имели форму прямоугольника, а здания — конуса, цилиндра и прямоугольного параллелепипеда. Большинство общепринятых названий геометрических фигур обозначают различные предметы, с которыми люди сталкивались в своей практической деятельности. Г.Галилей писал: «Природа говорит языком математики: буквы этого языка — круги, треугольники и другие математические фигуры». Так, термин «γεωμετρία» — греческого происхождения и означает землемерие (γεω —Земля, μετρειν — измерять); χυβοξ — куб, игральная кость; ρομβοξ — ромб, бубен; τραπεξιον — трапеция (ср. трапеза), столик; πρίσμα — призма, отпиленная. С циркулем связано слово центр — χεντρον — это палка с заостренным концом, которым подгоняли коров. Свои величественные сооружения египтяне называли ритта — пирамида. «Линия» происходит от linum — льняная нить; «точка» —от punktum, т.е. результат мгновенного укола (ср.: медицинский термин «пункция» — иглоукалывание).

Планиметрические знания древних египтян и вавилонян относились к измерению площадей и объемов простых геометрических фигур, встречавшихся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве плотин, каналов и др. Сохранились планы земельных участков, разделенных на треугольники, прямоугольники, трапеции. Их площади вычислялись как по точным правилам, так и приближенно.

Исторически сложилось так, что наметились два подхода к решению геометрических задач, относящихся к вычислению площадей прямолинейных фигур.

Один связан с понятием равновеликости и равносоставленности, а другой —аналитический — с формулами для вычисления площади.

Измерение площадей многоугольников проводится аналогично измерению длин отрезков. У всех народов единицей измерения площади была площадь квадрата со стороной, равной единице длины. Лишь в Древнем Китае такой единицей служил прямоугольник со сторонами 13 бу и 16 бу (1 бу — около 1 2/3 м).

Измерить площадь многоугольника — значит узнать, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике. Это число принимается за площадь многоугольной фигуры. В дальнейшем площадь фигуры F будем обозначать s(f) или Sf .

Площадь фигуры обладает следующими свойствами:

1. Равные фигуры имеют равные площади: если F1 = F2, то s(f1) = s(f2).

2. Если фигура состоит из нескольких частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей: если F = F, = F2 = .. = Fk, то S(f) = S(f1) = S(f2) = ... = S(fk).

Две геометрические фигуры F1 и f2 называются равносоставленными, если, разрезав определенным образом F1 на конечное число частей, можно, располагая их иначе, составить f2. Например, фигуры, изображенные на рис. 1 (б, в), являются равносоставленными, так как составлены из одинаковых фигур А и В (рис. 1 а). Фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади. Очевидно, равносоставленные многоугольники

Рис. 1

равновелики. Обратное не верно. Так, два равновеликих многоугольника (рис. 1 б, в) не являются равными.

На понятии равносоставленности основан простой способ вычисления площадей, называемый методом разложения (разбиения). Он был известен уже в Древней Греции и Древнем Китае и заключался в том, что для вычисления площади пытались разбить фигуру на конечное число частей так, чтобы из них можно было составить более простую, площадь которой известна.

Архимедом (289 — 212 гг. до н.э.) была изобретена игра «Стомахион». В переводе с греческого термин означает «то, что вызывает злость», видимо, указывая на трудность, необходимость приложить терпение при составлении любой геометрической фигуры. Суть головоломки состоит в следующем: прямоугольник, длины сторон которого относятся как 1:2, разрезается на 14 частей (рис. 2), из которых составляются различные фигуры (напр. рис. 3, 4).

Другой головоломкой является не менее известная игра «Танграм» («чи тау ту»), появившаяся в Древнем Китае во II в. до н.э. Из квадрата, который определенным образом разрезается на семь частей (рис. 5), составляются разнообразные многоугольники (рис. 6, 7; прил. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Рис.4

Из курса планиметрии известны теоремы о равносоставленности некоторых видов многоугольников с прямоугольником, площадь которого равна произведению его смежных сторон: S = ab. Они дают возможность находить площади прямолинейных фигур. Сформулируем некоторые из таких теорем.

Теорема 1.1. Всякий параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, одна из сторон которого равна одной из сторон параллелограмма, а другая — его высоте, проведенной к данной стороне.

Доказательство. Параллелограмм ABCD равносоставлен с прямоугольником AB1C1В, у которого длина стороны АB1 равна высоте параллелограмма (рис. 8). Отсюда следует, что площадь параллелограмма равна произведению основания на длину соответствующей высоты:

Рис.5

Рис. 6. Кенгуру

Рис. 7. Кошка

Рис. 8

Теорема 1.2. Треугольник равносоставлен с параллелограммом, одна из сторон которого равна одной из сторон треугольника, а высота, проведенная к этой стороне, равна половине высоты треугольника, опущенной к выбранной стороне.

Теорему иллюстрирует для разных видов треугольников рис. 9.

Отсюда следует, что

Теорема 1.3. Ромб равносоставлен с прямоугольником, одна из сторон которого равна одной из диагоналей ромба, а другая — половине второй диагонали.

На рис. 10 ромб ABCD равносоставлен с прямоугольником KACL, у которого

Отсюда следует, что

Теорема 1.4. Трапеция равносоставлена с параллелограммом, одна из сторон которого равна средней линии трапеции, а высота, проведенная к этой стороне, равна высоте трапеции.

На рис. 11 трапеция равносоставлена с параллелограммом ABKL, у которого AL равна средней линии трапеции. А потому площадь трапеции равна

где a, b — основания, h — высота трапеции.

Рис.9

Рис.10

В Древней Греции средствами геометрической алгебры преобразовывали прямолинейные геометрические фигуры в равновеликие им треугольник или квадрат. При этом опирались на теорему, которую примем в качестве опорной.

Теорема 1.5. В треугольнике ABС через вершину В проведена прямая b, параллельная АС Тогда любой треугольник с основанием АС и третьей вершиной, расположенной на прямой b, равновелик △АВС

В качестве иллюстрации рассмотрим два треугольника ABС и АB1С. У них одно и то же основание АС, а также равные высоты, заключенные между параллельными прямыми а и b (рис. 12).

1.2. Задачи с решениями

Задача 1. Покажите, что всякий треугольник равносоставлен с прямоугольником, одна из сторон которого равна одной из сторон треугольника, а другая — половине его высоты, проведенной к выбранной стороне.

На рис. 13 пунктирными линиями показаны средние линии

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

и половины высот, разбивающие треугольник трех видов на части, из которых можно получить прямоугольник.

Задача 2. Покажите, что всякая трапеция равносоставлена с прямоугольником, одна из сторон которого равна средней линии трапеции, а другая — ее высоте.

На рис. 14 пунктирными линиями также отмечены средние линии и половины высот, разбивающие трапецию трех видов на части, из которых можно составить указанный прямоугольник. Какая формула для вычисления площади трапеции отсюда следует? Ответ: Sтрап = m/2 h, где m — средняя линия, h — высота трапеции.

Задача 3. Преобразуйте выпуклый четырехугольник в равновеликий ему треугольник.

Решение. Через вершину С четырехугольника ABCD проведем прямую m, параллельную диагонали BD и пересекающую прямую а в точке Е (рис. 15). Соединим отрезком Е и С. Рассмотрим треугольники DEC и BCD. Они равновелики по теореме 1.5. Поэтому

Замечание. Аналогичному преобразованию могут быть подвергнуты и невыпуклые многоугольники (рис. 16).

Задача 4. Вычислите неизвестную площадь х (рис. 17), где S — данная площадь.

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

В качестве примера рассмотрим один случай (рис. 17 г). Выполним дополнительные построения (пунктирные линии). Рассмотрим △A1B1C1 и △АB1C1. Они равновелики, так как имеют равные основания (АA1 = A1C1) и высоту h, опущенную из B1 на АC1. Значит

Треугольники АA1B1 и АB1В также равновелики. Аналогично и

Следовательно,

Задача 5. Через точку К, лежащую на стороне AB треугольника ABС, проведите прямую так, чтобы она разделила площадь треугольника пополам (рис. 18).

Построение. Проведем медиану BD △АВС. Тогда треугольники ABD и DBC равновелики. Соединим отрезком точки К и D. В четырехугольнике DKBC нужно отыскать треугольник, площадь которого равна S△KBD. С опорой на теорему 1.5 проведем через точку В прямую, параллельную KD. Она пересечет АС в точке Е. Соединим точки К и E,

Рис. 17

Рис. 18

получим треугольник КВЕ. Он равновелик AKBD. Следовательно, прямая КЕ делит треугольник ABС на равновеликие треугольник АКЕ и четырехугольник КВСЕ.

Задача 6. Площадь треугольника ABC равна 36. Найдите площадь треугольника, одна вершина которого расположена в основании высоты данного треугольника, а две другие — в серединах сторон, заключающих высоту.

Решение. Пусть треугольник MPN —искомый (рис. 19). PN — средняя линия треугольника ABC — равна 1/2 BM (т. Фалеса). Тогда

Задача 7. Точки D и Е, К и L, M и N делят соответственно стороны АС, СВ и ВА треугольника ABC на три равные части. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного при пересечении прямых BD, BE, KN и LM, равна 1/9 площади треугольника ABC(рис. 20).

Доказательство. Рассмотрим три трапеции: MPSN, PQRS, QLKR. Их площади равны;

(*).

В ASBR PQ — средняя линия. Поэтому

(**).

Из того, что

правые части в (*) и (**) одинаковы, то равны площади треугольника MPL

Рис. 19

Рис. 20

и четырехугольника SPQR. Следовательно:

где hb — высота △ABC, опущенная из вершины В. Таким образом,

Используя геометрическую алгебру, пифагорейцы преобразовывали фигуры в равновеликие им. Результат любого измерения они выражали не числом, а отношением, т.е. сравнивали площади различных многоугольников между собой.

В одной из книг «Начала» решается задача о построении квадрата, равновеликого данному многоугольнику. Действительно, умея вычислять площадь квадрата или треугольника, всегда можно найти площадь любого равновеликого им многоугольника.

Задача 8. Преобразуйте пятиугольник ABCDE в равновеликий ему треугольник.

Решение. Проведем прямую MB параллельно диагонали АС (рис. 21). Тогда треугольники AMC и ABC равновелики. Аналогично, DH||CE и

Тогда

Задача 9. Дан прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с. На каждом из его сторон построили квадраты. Сравните площадь квадрата, построенного на гипотенузе, с суммой площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 22).

Решение: Прямоугольник, изображенный на рис. 22, состоит из 10 данных прямоугольных

Рис.21

Рис. 22

треугольников и трех квадратов со сторонами а, b, с. Стороны прямоугольника равны (a + 2b) и (b + 2а). Тогда площадь прямоугольника, с одной стороны, равна

После упрощения выражений получим:

Задача 10. Из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Докажите.

Доказательство. Пусть даны квадрат со стороной а и прямоугольник со сторонами b и с, причем b > а > с и Рпр = Ркв. Докажем, что Sкв. > Snp. (рис. 23).

Так как периметры квадрата и прямоугольника равны, то 2(b + с) = 4а, откуда

(*).

Наложим квадрат на прямоугольник и получим:

Таким образом, имеем

1.3. Задачи для самостоятельного решения

1. Определите площадь равностороннего треугольника со стороной а.

Указание: воспользуйтесь результатом задачи 9.

2. Выразите длину стороны правильного треугольника через значение его площади Q.

3. ABCD — четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Найдите такой способ вычисления его площади, при котором достаточно измерить только диагонали четырехугольника.

Указание: вычислите площади прямоугольных треугольников и сложите результаты.

4. «Перекроите» фигуру в прямоугольник, а затем найдите ее площадь, производя необходимые измерения (рис. 24 а, б).

5. Найдите площадь многоугольника ABCDE (рис. 25), разбив его на фигуры, для которых известны формулы вычисления площадей, и произведя необходимые измерения. Разбейте пятиугольник другим способом и снова найдите его площадь. Существенно ли отличаются результаты?

6. Пусть ABCD — квадрат, точки К, L, M и N — середины сторон AD, ВА, СВ и DC соответственно. Какую часть от площади квадрата составляют площади фигур: а) АКСМ; б) объединение четырехугольников АКСМ и BLDN; в) пересечения четырехугольников АКСМ и BLDN?

7. В △АВС AB = АС На сторонах AB и АС от вершины А отложены равные отрезки АК и AL, где Р — точка пересечения CK и BL. Сравните площади треугольников: a) ABL и АКС; б) КВР и LPC; в) KBL и KCL.

(Во всех случаях равны)

8. Докажите равновеликость:

а) треугольника и прямоугольника;

б) прямоугольника и параллелограмма (рис. 26 а, б, в).

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 26

9. На стороне ВС прямоугольника ABCD взяты точки К и Р. Докажите, что SAKD = SAPD.

Указание: проведите высоты из точек К и Р на AD.

10. На продолжении стороны ВС прямоугольника ABCD взята точка К, а на стороне ВС — точка Р. Докажите, что треугольники AKD и APD равновелики.

Указание: проведите высоты из точек К и Р на прямую AD.

11. Дан прямоугольник ABCD. На стороне ВС взята точка К. Докажите, что SABCD = 2SAKD.

Указание: проведите высоту из точки К на AD.

12. «Перекроите» в равновеликий треугольник: а) прямоугольник; б) трапецию; в) параллелограмм.

13. Преобразуйте в равновеликий треугольник: а) произвольный выпуклый четырехугольник; б) выпуклый шестиугольник; в) невыпуклый четырехугольник (рис. 27).

14. На отрезке AD построен параллелограмм ABCD и треугольник AKD, причем точка В принадлежит отрезку KD. Докажите, что

15. Преобразуйте прямоугольник в равновеликий ему квадрат.

16. На гипотенузе равнобедренного прямоугольного △АВС построили квадрат. Квадрат построили и на его катете. Докажите, что площадь первого квадрата в два раза больше площади второго.

Указание: рис. 28.

Рис. 27

Рис. 28

17. В комментариях к «Трактату о Чжоу-би» Чжан Цюнь-цинь (II—III вв.) привел задачу, связанную с теоремой Пифагора: квадрат, построенный на сумме длин катетов а и b (а > b) треугольника, разбивают на восемь треугольников, равных исходному, и внутренний квадрат со стороной, равной разности длин катетов. Докажите теорему Пифагора (рис. 29).

18. Выразите площадь равностороннего треугольника через длину его высоты h.

19. Выразите через х площадь закрашенной фигуры (рис. 30).

20. Докажите, что из всех прямоугольников с данной площадью наименьший периметр имеет квадрат.

Указание: проведите доказательство аналогично задаче 15 (рис. 31).

21. Точка Р находится на продолжении AB △АВС за точку В так, что |ВР| = 2 |АВ| ; Q находится на продолжении стороны ВС ААВС за точку С, |CQ| = 3|BC|; R лежит на продолжении

Рис. 29

Рис. 30

Рис.31

стороны АС треугольника ABC за точку А и |AR| = 4|BC|. Найдите отношение площадей треугольников PQR и ABC (13:1)

22. Площадь прямоугольного треугольника равна S. Из середины медианы, проведенной к гипотенузе треугольника, опущены перпендикуляры на его стороны. Найдите площадь треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

23. Точка N — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Площадь треугольника ABN равна 1. Найдите площадь трапеции. (2)

24. На сторонах AB, ВС и CA взяты точки К, M и Р так, что АК.АВ = ВМ:ВС = СР:СА = 1:3. Докажите, что площадь треугольника, ограниченного прямыми AM, BP и CK, составляет 1/7 площади ААВС.

25. В треугольнике А ВС прямая, параллельная ВС, пересекает AB и АС соответственно в точках B1 и C1. Найдите площадь ААВС, если площади треугольников ABC и AB1C1 равны соответственно р и q.

26. На отрезке, соединяющем середины оснований AD и ВС трапеции ABCD, взята точка M Докажите, что △АМВ и △CMD равновелики.

27. Имеется △АВС. Найдите геометрическое место точек M таких, что △АВM равновелик △АСM.

Указание. ГМТ состоит из двух прямых, проходящих через точку А. Одна из них проходит через середину ВС, а другая и — параллельна ВС (сделайте рисунок).

28. Имеется ААВС. Найдите геометрическое место точек M таких, что треугольники АВМ и ABC равновелики.

Указание. ГМТ состоит из двух прямых, параллельных AB и симметричных относительно AВ. Одна из них проходит через точку С (сделайте рисунок).

ГЛАВА II

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЕГО ЧАСТЕЙ

2.1. Аналитическое решение задач

Другой подход к вычислению площадей — аналитический. Ниже приведены формулы для нахождения площади треугольника по заданным его элементам. В табл. к ним отнесены: а, b, с — длины сторон, ha, hb, hc; ma, mb, mc — высоты и медианы, опущенные на соответствующие стороны; А, В, С — внутренние углы треугольника; r, R — радиусы вписанной в треугольник окружности и описанной около него соответственно; р — его полупериметр; ra, rb, rc — радиусы вневписанных окружностей.

Таблица

№ п/п

Элементы треугольника

Формула площади треугольника

№ п/п

Элементы треугольника

Формула площади треугольника

Докажем некоторые формулы.

Теорема 2.1. Докажите формулу S = рr.

Доказательство. Пусть в △ABC точка L — центр вписанной окружности (рис. 32). Соединим L с вершинами A, В и С. Получим три треугольника ABL, BLC и ALС. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников:

Теорема 2.2. Докажите формулу

Доказательство. Используя формулу 2 из табл. и обобщенную теорему синусов, получим: откуда

Подставим значения для а и b в формулу площади треугольника:

Теорема 2.3. Найдите площадь треугольника по трем его элементам mа, mb, mс (рис. 33).

Доказательство. Продолжим ОА1 за а, на отрезок, равный ему. Получим ОА1 = А1В' и рассмотрим △ОСВ'. В нем:

Применим к треугольнику ОСВ' формулу Герона:

Предыдущее соотношение примет вид:

Каждая сторона треугольника ОСВ' составляет — медианы треугольника ABC. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных

Рис. 32

Рис. 33

сторон и

откуда

Теорема 2.4. Вычислите площадь треугольника, зная его высоты.

Доказательство. Пусть ha, hh, hc — высоты треугольника. Используем формулу из таблицы:

Имеем

откуда

Подставим значения а, b, с и р в формулу Герона:

Сократив обе части на S, получим:

откуда

Теорема 2.5. Докажите справедливость равенства 4RS = abc.

Доказательство. По теореме синусов

Умножим числитель и знаменатель правой части на bc. Получим

Напомним некоторые положения о площадях.

1. Треугольники с равными основаниями и равными высотами имеют равные площади.

2. Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как длины их оснований.

3. Площади треугольников с равными основаниями, но разными высотами, относятся как длины их высот.

4. Треугольники с равными площадями и равными высотами имеют равные основания.

5. Треугольники, имеющие равные площади и равные основания, имеют равные высоты.

6. Если площади треугольников равны, а основание одного треугольника больше основания другого, то высота первого треугольника меньше высоты другого.

7. Если площади треугольников равны, а высота первого треугольника больше высоты второго, то основание первого треугольника меньше основания другого.

8. Если угол одного треугольника равен углу другого, то площади треугольников относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

9. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных линейных элементов.

2.2. Задачи с решениями

Приведенные выше формулы и перечисленные положения определяют несколько опорных задач, некоторые из них также являются опорными. Выделим их как теоремы.

Теорема 2.6. Если точка C1 расположена на прямой АС, то отношение площадей треугольников АВC1 и ABC равно отношению длин сторон

(рис. 34).

Рис. 34

Доказательство. Используем формулу 2 из табл. для рассматриваемых треугольников:

откуда

Ниже этот факт обобщен:

Теорема 2.7. Пусть точка B1 расположена на прямой AB, а C1 — на прямой АС. Тогда отношение площадей треугольников АB1C1 и ABC равно отношению длин сторон, содержащих вершину А (рис. 35).

Доказательство основано на формуле 2 из табл., так как синусы углов с вершиной A в треугольниках АB1C1 и ABC равны, а сами углы или равны (рис. 35), или в сумме составляют 180° (рис. 36). Таким образом, имеем

Задача 1. Найдите площадь треугольника со сторонами 5, 6 и √7.

Решение. Пусть а = 5, b = 6, с = √7 . Если использовать формулу Герона, то выкладки будут громоздкими. Воспользуемся теоремой косинусов:

Задача 2. Две стороны треугольника равны 3 и 4, площадь его Найдите длину третьей стороны.

Решение. Из формулы 2 из табл. определим

тогда

По теореме косинусов найдем длину стороны с:

Задача 3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если длины его сторон равны 2, 3 и 4.

Рис. 35

Рис. 36

Решение. Найдем полупериметр треугольника:

По формуле Герона вычислим площадь треугольника:

Тогда радиус вписанной окружности равен

Задача 4. Площадь треугольника равна 5, две стороны — 3 и 4. Найдите площади треугольников, на которые он делится биссектрисой угла между данными сторонами.

Решение. Пусть AB = 3, ВС = 4 (рис. 37).

По свойству биссектрисы имеем

По свойству площадей — . Из этих равенств находим SABD, а потому

Задача 5. На сторонах AB, ВС и CA треугольника ABC взяты точки К, L и M так, что АК = 2KB, 2BL = 3LC, 3СМ = 4МА. Площадь треугольника ABC

равна 35. Найдите площади треугольников АКМ, BKL, CLM, KLM (рис. 38).

Решение. Воспользуемся теоремой 2.

Рис. 37

Рис. 38

Задача 6. Докажите, что площадь треугольника, одна из вершин которого расположена в основании его высоты, а две другие — в серединах сторон, заключающих высоту, в 4 раза меньше площади данного треугольника.

Доказательство. Пусть ВM⊥AC (рис. 39), K и L — середины AB и ВС соответственно. Докажем, что . KL — средняя линия треугольника ABС. В треугольнике KLM:

Поэтому

Задача 7. Стороны треугольника равны 5, 6 и 1. Найдите площадь треугольника с вершинами в основаниях биссектрис данного треугольника.

Решение. Пусть AB = 5, ВС = 6, АС = 1 (рис. 39). По свойству биссектрисы найдем длины отрезков А К, KB, BL, LC, AM и MC.

Используя свойства площадей, найдем площади треугольников АКМ, BKL, MLС. Прежде вычислим по формуле Герона площадь треугольника ABC:

Далее:

Рис. 39

Задача 8. На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка D и из нее проведены прямые DE||AC и DF||BС. Найдите площадь треугольника CEF, если площади треугольников ADF и BDE соответственно равны S1 и S2 (рис. 40).

Решение. Пусть sacef = sx, Из подобия треугольников ADF и DBE (каждый из них подобен данному △АВС) получим:

(*).

Высоты треугольников ADF и FEC, проведенные к сторонам AF и FC, равны между собой, так как DE||AС. Тогда Sx/S = FC/AF (**). Сопоставив (*) и (**), получим

откуда

2.3. Задачи для самостоятельного решения

1. В △АВС основаниями биссектрис являются точки D, Е, F. Найдите отношение площадей △АВС и △DBF.

2. В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90° ) вписан равносторонний треугольник так, что его сторона лежит на гипотенузе, а вершина

Рис. 40

совпадает с вершиной прямого угла. Найдите отношение площадей вписанного треугольника к площади прямоугольного треугольника.

3. На сторонах AB и АС треугольника ABC взяты точки M и N, а на прямой ВС — точка Р так, что

Докажите, что площадь треугольника ВРС в два раза больше площади треугольника AMN.

4. В треугольнике ABC проведены высоты BD и СЕ. Докажите, что

5. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите длину гипотенузы, если площадь треугольника равна S.

6. В равнобедренном треугольнике MNQ с основанием MQ высоты пересекаются в точке С, причем MC = 15, АС = 12. Найдите площадь треугольника MNC. (270)

7. В равнобедренном треугольнике MNR с основанием MR высоты MA и NB пересекаются в точке С, лежащей внутри треугольника MNR. Найдите площадь треугольника MNC, если MN = 17, a S△MNR = 68. (31,875)

8. В треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны р и q. Найдите его площадь.

9. Отрезок AD — биссектриса прямоугольного треугольника (∠C = 90°). Окружность, радиус которой √15, проходит через точки А, С, D и пересекает сторону AB в точке Е так, что АЕ:АВ = 3:5. Найдите S△ABC. (32)

10. Через точку К, взятую внутри треугольника ABC, проведены три прямые, параллельные соответствующим сторонам треугольника. Площади трех получившихся треугольников равны соответственно S1, S2, S3. Найдите площадь треугольника А ВС. ((S1 + S2 + S3)2)

11. В треугольнике ABC прямая, параллельная ВС, пересекает AB и АС соответственно в точках B1 и C1. Найдите площадь △АВC1, если площади △АВС и △АB1C1 равны соответственно р и q. (√pq)

12. Площадь фигуры F равна 1. Найдите площадь закрашенной фигуры (рис. 41), если: 1) F = △АМК, АР = PK (рис. 41 а); 2) F = △АВС, ВM = МК = КС (рис. 41 б); 3) F = △АВС, CK, ВМ, АН — медианы (рис. 41 в); 4) F = △АВС, CK и ВМ медианы (рис. 41 г); 5) F = △АВС, К — середина АС, Р — середина ВК (рис. 41 д); 6) F = △АВС, BP:PC = 1:2, К — середина АР (рис. 41 е).

Рис. 41

13. Разделите данный треугольник на две равновеликие части прямой, исходящей из вершины.

Указание: проведите одну из медиан треугольника.

14. Разделите данный треугольник на: а) три равновеликие части прямыми, исходящими из одной вершины; б) обобщите результат.

Указание: а) разделите основание треугольника на три равные части и соедините точки деления с противоположной вершиной; б) разделите основание на n равных частей и соедините точки деления с противоположной вершиной.

15. Найдите отношение площади исходной фигуры к площади закрашенной, если: 1 ) ВТ:ТА = 1:2, СК:КТ = 3:1 (рис. 42 а); 2) МН:НК = 1:2, RP = PL = LK (рис. 42 б); 3) AM = MP = PK, AS = SF = FT (рис. 42 в).

Рис. 42

16. Докажите, что если О — точка пересечения диагоналей АС и BD трапеции ABCD, то треугольники АОВ и COD равновелики (рис. 43).

Рис. 43

Указание:

17. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О, лежащей внутри ABCD.

1) Найдите неизвестную площадь треугольника x, если:

2) Найдите зависимость между этими площадями в общем случае, когда площади частей равны S1, S2, S3, S4.

(1) 1) 1;2) 1;3) не хватает данных; 4) 1.2) 51—53 = 52—54)

18. В треугольнике FKL точки N и Т лежат на стороне FL так, что FN = 4, TL = 10. При этом площадь треугольника KTL равна 5√3. Чему равна площадь треугольника FNK?

Указание: сравните высоты треугольников.

19. В четырехугольнике ABCD, О — точка пересечения его диагоналей АС и BD. Докажите, что

20. В треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и ВС соответственно, причем M делит AB в отношении 2:3, считая от А; N делит CB в отношении 3:1, считая от С. В каком отношении прямая MN делит площадь треугольника ABC? (3:17)

21. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4 дм, боковая сторона — 5 дм, диагональ — 7 дм. Найдите ее площадь. (10√6 дм2 )

22. В прямоугольном треугольнике ABC угол С прямой, CD — высота треугольника, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках ACD и BCD проведены биссектрисы DK и DP соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если KP = 4. (18)

23. Одна сторона треугольника равна 8, а два его угла — 30° и 45°. Найдите всевозможные значения площади треугольника.

2.4. Метод площадей при решении геометрических задач

При решении многих задач можно с успехом использовать понятие площади, даже если в условии о ней ничего не сказано. В этом случае площадь данной фигуры выражают несколькими способами и, выполнив некоторые

Рис.44

преобразования, получают результат, не содержащий площадь. Такой подход к решению задач называют методом площадей. Ниже предлагаются задачи на его применение.

2.4.1. Задачи с решениями

Задача 1. Если треугольники MAB и NAB равновелики, то прямые MN и AB параллельны; справедливо и обратное (рис. 44). Докажите.

Доказательство утверждения очевидно. Так как треугольники MAB и NAB имеют равные площади и общее основание AB, то высоты, проведенные из Ми N на AB, равны, т.е. вершины M и N равноудалены от прямой AВ. Таким образом, MN||AB.

Обратное утверждение доказывается аналогично. Пусть MN || AB, тогда расстояния от точек Ми N до прямой AB одинаковы. Так как AB —общее основание, то площади треугольников равны.

Задача 2. Медиана треугольника делит его на две равновеликие части. Докажите.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 45). Проведем в нем медиану BD, тогда AD = DС. Треугольники ABD и BCD имеют общую высоту, обозначим ее h. Выразим площади этих треугольников через h:

Значит

Задача 3. Докажите, что вершины А и С треугольника ABC равноудалены от прямой, содержащей медиану BD.

Доказатечьство. Так как BD — медиана △АВС, то треугольники ABD и BCD равновелики (у них одинаковые основания AD, DC и общая высота — расстояние от В до прямой АС) (рис. 46). С другой стороны, рассматриваемые

Рис. 45

Рис. 46

треугольники имеют общую сторону BD, тогда:

где АК и СF — расстояния от А и С до прямой BD соответственно. Таким образом, АК = CF, т.е. вершины А и С равноудалены от прямой BD.

Задача 4. Если точка M лежит на медиане BD треугольника ABC, то треугольники АВМ и ВМС равновелики (рис. 47). Докажите.

Доказательство. Действительно, пусть BD — медиана △ABC, тогда h = d .

Следовательно,

т.е. треугольники АВМ и ВСМ равновелики.

Задача 5. Если точка М, лежащая внутри треугольника ABC, такова, что треугольники АВМ и ВМС равновелики, то: 1) вершины А и С равноудалены от прямой ВМ; 2) M лежит на медиане BD (рис. 41). Докажите.

Доказательство. 1) Рассмотрим △АВМ и △ВМС. Так как SABM = SBMC, ВМ — общая сторона, то h = d , где h и d — высоты треугольников АВМ и ВМС, проведенные к прямой ВМ из А и С. Поэтому А и С равноудалены от ВМ.

2) Пусть ВМ пересекает АС в точке D, h = d . Тогда S△ABD = S△BDC, а значит BD — медиана △АВС.

Задача 6. Если прямая а, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает его стороны AB и СВ в точках F и К соответственно, a BD — медиана △АВС, то треугольники BFD и BKD равновелики (рис. 48). Докажите.

Рис. 47

Рис. 48

Доказательство. Так как FK||AC , то F и К равноудалены от АС; BD — медиана, значит AD = CD. Следовательно, SAFD = SCKD(*); BD — медиана △АВС, тогда SABD = SBDC (**). Из условий (*) и (**), следует, что SFBD = SBDK .

Следствие. Точки F и К равноудалены от медианы BD. В самом деле, SFBn = SRDK, то h1 = h2, где h1 и h2 высоты треугольников FBD и BKD, опущенные на сторону BD соответственно.

Задача 7. Точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины ее оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Докажите.

Доказательство. Пусть в трапеции ABCD продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке К, M — середина нижнего основания AD (рис. 43). Проведем прямую через К и М. Докажем, что: а) КМ пересекает верхнее основание в его середине; 6) КМ проходит через точку пересечения диагоналей ABCD.

а) Рассмотрим △AKD. Пусть КМ пересекает ВС в точке N. По условию КМ — медиана △AKD, тогда SAKM = SDKM , SABM = SCMD. Треугольники АКМ и КСМ имеют равные площади и общее основание КМ, а это значит, что точки В и С равноудалены от прямой КМ. Отсюда следует, что площади треугольников BKN и CKN равны. Кроме того, они имеют общую высоту, проведенную из вершина К. Следовательно соответствующие основания BN и CN тоже равны. Поэтому N — середина ВС.

б) Пусть диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О (рис. 43). Покажем, что КМ проходит через О. Так как N и М — середины оснований ВС и AD соответственно, то ABNM и MNCD равновелики. Кроме того, равновелики пары треугольников АМО и DOM, BON и CON, ABO и CDО. Проведем прямую КМ. Тогда возможны два случая: О лежит или не лежит на КМ. В первом SABNM = S△AMO + S△ABO + S△BON — S△MON, SNCDM = S△DOM + S△DOC + S△CON + S△MON. При вычитании обеих частей этих равенств получим, SMON = 0, чего не может быть.

Следовательно, этот случай не удовлетворяет решению задачи. Остается второй: О лежит на КМ, что и требовалось доказать.

Задача 8. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Дан △АВС, а AK, BF и CD — его медианы.

Докажем, что они пересекаются в точке О (рис. 49). Пусть BF и CD пересекаются в точке О (медианы BF и CD не могут быть параллельны, потому что сумма углов, которые они образуют со стороной ВС, меньше развернутого). Соединим точки О и А.

Так как О — лежит на медиане CD, то SACBO = S△ACO. С другой стороны, О лежит на медиане BF, тогда S△CBO = S△ABO, а значит S△ACC = S△ABO, поэтому А и В равноудалены от прямой ОС, и точка О лежит на третьей медиане CК. Таким образом, утверждение доказано.

Задача 9. Докажите, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих частей.

Доказательство. Пусть медианы AK, BF и CD треугольника ABC пересекаются в точке О (рис. 49). Тогда OF — медиана △АОС, значит S△AOF = S△COF = S1; OK — медиана △ВОС, тогда S△Bok = s△cok = S2 Так как OD — медиана △ВОА, то SAOD = SBOD = S3. Точка О принадлежит BF, тогда имеем S△Aob = S△COB.⋅2⋅S3 = 2⋅S2, откуда S3 = S2 (*). Так как О ∈ CD, то S△AOC = S△BOC, 2⋅S1 = 2⋅S2, откуда S1 = S2 (**). Из (*) и (**) следует, что S1 = S2 = S3.

Задача 10. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Докажите.

Рис. 49

Доказательство: Пусть ABC — данный треугольник (рис. 49); AK, BF и CD — его медианы, пересекающиеся в точке О. Известно, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих частей, тогда

С другой стороны, = —. Следовательно, — = —. Аналогично доказывается, что BO:OF = 2:1 и CO:OD = 2:1.

Задача 11. В треугольнике ABC точка D лежит на продолжении стороны ВА за точкой А так, что AD = AC; К лежит на луче ВС за С, а М — на луче AD за D, причем площади треугольников BDM и ВКС равны; угол ВАС равен а. Найдите угол ВКМ (рис. 50).

Решение. SBDM = SBKC (по условию), BDFC — их общая часть, тогда SKDF = SCMF, откуда DC||KM и ∠BKM = ∠ADC. △DAC — равнобедренный (AD = AC по условию), значит ∠ADC = ∠ACD. Угол ВАС — внешний угол △ADC, тогда a = ∠BAC = ∠ADC + ∠ACD, значит ∠ADC = α/2. Откуда ∠ВКМ = ZADС = α/2.

Задача 12. Треугольника CQF, ВТЕ, TLQ и ALD равновелики (рис. 51). Докажите, что четырехугольники CQTE, BDLT и ALQF также равновелики.

Доказательство. Выполним дополнительные построения: проведем отрезки BL, TD и QА. Далее рассуждаем следующим образом: STLQ = SDLA (по условию), значит S△QTA = S△QDА. Отсюда TD || QА. Следовательно QTDA — трапеция, где О = BLnTD, L точка пересечения отрезков

Рис. 50

Рис.51

ТА и QD. Тогда точка О — середина TD, S△BTL = S△BDL, S△BEL = S△BAL, L — середина EA,

Аналогичным образом проводится доказательство равновеликости третьего четырехугольника с уже рассмотренными.

Задача 13. Докажите формулу синуса двойного угла sin 2α = 2 sin α⋅cos α.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной 1 и углом при вершине В, равном 2α (рис. 52).

Проведем высоту BD, тогда из треугольника ABD следует, что BD = cosα, AD = sinα; в △BDC BD = cos α, DC- = sin α. S△ABC = 2S△ABD, значит

откуда sin 2α = 2 sin α⋅cos α.

Задача 14. Длину биссектрисы AL = l △АВС можно вычислить по формуле:

Докажите.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами а, b и с (рис. 53). Проведем биссектрису AL, обозначим через l ее длину. Выразим l через длины сторон △АВС.

(формула

Рис. 52

Рис. 53

Рис. 54

половинного угла), по теореме косинусов (**); подставим выражение (**) в (*) и после упрощения, получим доказываемое

Задача 15. Докажите, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

Доказательство. Пусть дан треугольник ABC, MN — средняя линия, где M лежит на AB, а N — на АС (рис. 54). Докажем, что MN = 1/2⋅ВС и MN || ВС. Так как в треугольниках AMN и ABC ∠A — общий, то

Аналогично

Таким образом,

по свойству средней линии ВК = КС,

поэтому точки m и n равноудалены от BC, т.е. MN || ВС. Отсюда следует, что расстояния от K до MN и от M до BK равны, MN = ВК (по свойству средней линии) и

2.4.2. Задачи для самостоятельного решения

1. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте треугольника, проведенной к боковой стороне.

2. Разность расстояний от любой точки, лежащей на продолжении основания равнобедренного треугольника, до прямых, содержащих его боковые стороны, равна высоте треугольника, проведенной к боковой стороне. Докажите.

3. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон, равна высоте треугольника.

4. Внутри треугольника ABC взята точка О; прямые АО, ВО и СО пересекают его стороны в точках M, N и К соответственно. Докажите, что

5. Внутри △ ABС взята точка О; прямые АО, ВО и СО пересекают его стороны в точках M, N и К соответственно. Докажите, что

6. Пусть в треугольнике ABC K∈AB, M∈ВС, Р∈ АС, причем АК:КВ = 2:3, ВМ:МС = 3:4, СР:РА = 4:5. КМ пересекает BP в точке О. Найдите ВО:ОР.

7. Докажите методом площадей теорему о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника.

ГЛАВА III

ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

3.1. Историческая справка

В средней школе изучаются четырехугольники специального вида.

Их классификация представлена на схеме.

Названия четырехугольников возникли в результате практической деятельности человека.

Так, трапеция по-гречески означает «столик» (сравните с «трапезой»); параллелограмм состоит из двух греческих слов: παραλληλογράμμου — параллелон и грамма, т.е. «параллельнолинейный»; квадрат — от латинского quadratus —четырехугольный; «ромб» —его происхождение объясняют по-разному: от греческого ρόμβος — бубен; ρομβ — «вращающееся тело», «веретено». В геометрию термин вошел, так как такую форму имеет сечение намотанного веретена.

Полезно запомнить несколько теорем, применяемых в курсе планиметрии. Они облегчают решение задач. Их будем считать опорными.

Теорема 3.1. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали d1 и d2, а угол между ними φ. Тогда его площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними (рис. 55).

Классификация четырехугольников

Доказательство. До некоторой степени теорема представляет обобщение формулы

Пусть О — точка пересечения диагоналей ABCD. Опустим на одну и ту же диагональ BD из противоположных вершин А и С высоты АК и CL. Рассмотрим △АОК и △COL:

для площади треугольника

При решении задач иногда полезно использование следующего свойства трапеции.

Теорема 3.2. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС, О —точка пересечения ее диагоналей. Тогда треугольники АВО и CDO равновелики (рис. 56). Справедливо и обратное: если в четырехугольнике ABCD, у которого диагонали пересекаются в точке О, треугольники АВО и CDO равновелики, то такой четырехугольник —трапеция.

Доказательство. Из того, что AD||BC, следует равновеликость треугольников ABD и ACD, откуда вытекает равновеликость АВО и DCO, так как каждый из треугольников ABD и ACD содержит один и тот же △AOD.

Обратное утверждение доказывается путем выполнения этой цепочки рассуждений в обратном порядке.

Замечание. В задачах на трапецию иногда полезно продолжить до пересечения ее боковые стороны. Полезным бывает и свойство параллелограмма,

Рис. 55

Рис. 56

следующее из формулы для выражения длины медианы через длины стороны треугольника:

Теорема 3.3. Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Доказательство. Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD (рис. 57). Тогда BO = 1/2 BD — медиана треугольника ABС. Используя формулу для нахождения длины медианы, получим

Теорема 3.4. Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны. Докажите.

Доказательство следует из рассмотрения сумм квадратов противоположных сторон, являющихся гипотенузами четырех прямоугольных треугольников: AB1 + CD2 = ВC2 + AD2 (рис. 58).

Встречаются задачи, в которых используется свойство произвольного четырехугольника. Следующая теорема — именная. Она связана с именем французского математика и механика Пьера Вариньона (1654—1722).

Теорема 3.5. Середины сторон произвольного четырехугольника ABCD служат вершинами параллелограмма MNFK, стороны которого соответственно параллельны диагоналям четырехугольника и равны половинам этих диагоналей (рис. 59). Такой параллелограмм называется параллелограммом Вариньона.

Доказательство основано на свойстве средней линии треугольника.

Рис. 57

Рис.58

Теорема 3.6. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Докажите.

Доказательство основано на свойстве средней линии треугольника: в треугольнике AСВ (рис. 59) Аналогично,

Рассмотрим сумму площадей:

Преобразовав левую часть равенства, получим

Выражение, стоящее в скобках, равно

Таким образом,

откуда следует доказательство утверждения теоремы.

Ниже приведены формулы для нахождения площадей различных видов четыреху гольников :

1. Площадь ромба равна: а) половине произведения длин его диагоналей

б) произведению высоты h на основание а:

2. Площадь квадрата равна: а) квадрату его стороны (S = a2 ); б) половине квадрата его диагонали

3. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на соответствующую высоту

4. Площадь трапеции равна: а) произведению полусуммы оснований на высоту

б) произведению средней линии на высоту

Рис. 59

3.2. Задачи с решениями

Задача 1. Вычислите неизвестную площадь фигуры (рис. 60), зная известные S1, S2, S3, S4.

Решение. Рассмотрим решение для рис. 60 д. Разделим ABCD на два треугольника двумя способами. Сначала проведем диагональ АС, каждую из площадей ABC и ACD обозначим через x1 и x2 (рис. 61 а). Получим S2 = 2x1 и S4 = 2х2, откуда

Затем проводим диагональ BD, разбивающую искомую площадь на две y1 и y2(рис. 61 б).

(**). Из (*) и (**) следует

Задача 2. Из квадрата, длина стороны которого равна 1, вырезана фигура площадью S. Выразите зависимость S от х (рис. 62).

Решение. Из рис. 62 д видно, что

Рис. 60

Рис. 61

После тождественных преобразований получим:

Задача 3. Основания равнобедренной трапеции ABCD равны а и b (а > b). Отрезки, соединяющие середины большего основания с концами меньшего основания, пересекают диагонали трапеции в точках M и N соответственно (рис. 63). Найдите MN.

Решение. Треугольники АМК и ВМС подобны, тогда

Треугольники MBК и KBD также подобны. Откуда

Задача 4. ABCD — параллелограмм. Точки Е и F — проекции вершины С на стороны AB и AD. Докажите, что

Доказательство. Из двух прямоугольных треугольников ACF и АСЕ по теореме Пифагора выражаем

Сложим обе части полученных равенств:

Преобразуем выражение, стоящее в правой части равенства:

Рис. 63

Рис. 64

Сгруппировав некоторые члены, получим:

После приведения подобных членов и сокращения обеих частей равенства на 2, придем к выражению АC2 = AB⋅АЕ + AD AF, что и требовалось доказать.

Задача 5. В трапеции ABCD меры углов при большем основании равны 30° и 60°. Найдите площадь трапеции, если длина средней линии MN равна 5, а отрезка KL, соединяющего середины оснований, — 3.

Решение. Продолжив боковые стороны трапеции до пересечения в точке Е (рис. 65), получим, что KL = 1/2(AD-BC) (*) (по свойству медианы, проведенной из вершины прямого угла). С другой стороны, средняя линия трапеции MN = 1/2(AD + BC) (**). Из условий (*) и (**) следует, что AD = 8, ВС = 2. Из прямоугольного △AED с углом 30° получаем, что АЕ = 4, а из △ВЕС находим ВЕ = 1. Тогда АВ = 3. Проведем высоту ВН.

Из △АВН вычисляем

. Следовательно,

Задача 6. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри трапеции, если эта прямая параллельная ее основаниям а и b и делит площадь трапеции на две равные части.

Решение. Пусть ABCD — трапеция, AD = b, ВС = a, а прямая MN (MN||AD и MN||BC) делит трапецию на равновеликие части (рис. 66). Проведем высоту ВН трапеции. Пусть ВН = h, ВЕ = х, тогда EH = h — х. SMBCN = SAMND по условию. Положив MN = y, выразим площади MBCN и AMND

Рис. 65

Рис. 66

через введенные и данные величины, после чего составим систему линейных уравнений:

Складывая почленно два уравнения системы, найдем х: Поставляя это значение в первое уравнение, найдем у:

Таким образом,

Рис. 67

Задача 7. В параллелограмме ABCD прямая, проходящая через вершину С, пересекает AB и AD в точках К и L соответственно. Кроме того, площадь треугольника КВС равна р, а треугольника CDL — q. Найдите площадь параллелограмма ABCD (рис. 67).

Решение. Треугольники КВС и CDL подобны. Отношение их площадей

по условию

Отсюда получаем (*). Из другой пары подобных треугольников, КВС и KAL, следует, что

Выразим отсюда SKAL, учитывая (*):

Наконец,

Задача 8. ABCD — прямоугольник, в котором АВ = 1, ВС = 2. На ВС и DA взяты точки M и N так, что BMDN — ромб. Найдите длину стороны ромба (рис. 68).

Решение. Пусть искомая сторона равна х, тогда в △АВС AB = 1, AM = 2 — х.

По теореме Пифагора

Задача 9. В квадрат ABCD вписан другой квадрат KLMN так, что его вершины лежат на сторонах первого квадрата, а стороны со сторонами первого квадрата образуют угол 30° (рис. 69). Какую часть площади данного квадрата составляет площадь вписанного квадрата?

Решение. Из прямоугольного △AKL имеем:

Но тогда

△AKL = △LMB = △MNC = △KDN по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AK = LB = MC = ND. Таким образом,

Задача 10. В ромбе ABCD точки M и N —середины сторон DA и DС. Найдите отношение площадей AMBN и ромба ABCD (рис. 70).

Решение. Пусть SABCD = S. Тогда

Так как MN — средняя линия треугольника ADC, то BH:BD = 3:4. Тогда

значит

Таким образом,

Задача 11. В треугольник с основанием 30 и высотой 10 вписан прямоугольник площади 63. Определите длины сторон этого прямоугольника.

Рис. 68

Рис. 69

Рис. 70

Решение. Пусть в треугольнике ABС АС = 30, ВН = 10. Прямоугольник KLMN вписан в △АВС и SKlMN = 63 (рис. 71). Обозначим LK = x, KN = у. Тогда BP = 10 — x, LM = у. Треугольники LBM и ABC подобны, откуда

Кроме того, по условию ху = 63. Решаем полученную систему уравнений:

откуда

Задача 12. Прямоугольная трапеция делится диагональю на два треугольника: равносторонний со стороной а и прямоугольный (рис. 72). Найдите площадь трапеции.

Решение.

Все величины легко находятся:

Задача 13. В прямоугольнике, площадь которого 36, на сторонах AB и AD выбраны соответственно точки Е и F так, что АЕ.ЕВ = 3:1; AF:FD = 1:2 (рис. 73). Найдите площадь треугольника FOD, где О — точка пересечения отрезков DE и CF.

Решение. Пусть АЕ = 2x, ВЕ = х, AF = у, FD = 2у, тогда CD = 4x, AD = 3у. △AED и △FKD подобны по двум углам, откуда KF = 2х. Площадь ABCD равна 4х3у = 12ху, по условию 12ху = 36, следовательно, ху = 3.

Рис.71

Рис. 72

Рис. 73

Проведем KF перпендикулярно AD, тогда треугольники KOF и COD подобны по двум углам с коэффициентом подобия 2.

Задача 14. Дан параллелограмм ABCD, в котором AB = 2, ВС = 3, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника ABOD.

Решение 1. Окружность вписана в угол с вершиной А (рис. 74). Треугольник ADF равнобедренный, но так как ∠A = 60°, то △ADF — равносторонний со стороной 3. Радиус r вписанной окружности равен:

Тогда

Решение 2. Окружность вписана в угол с вершиной С (рис. 75). Как было выяснено раньше, радиус окружности, вписанной в △ADF равен

Рис. 74

Рис. 75

3.3. Задачи для самостоятельного решения

1. Докажите, что площадь треугольника и трапеции можно вычислить по формуле S = d h, где d — средняя линия, a h — высота треугольника или трапеции.

2. Диагонали трапеции перпендикулярны и их длины равны m и n. Найдите ее площадь.

Указание: преобразуйте трапецию в равновеликий треугольник.

3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой:

а) основания равны а и b, а угол при основании равен 45° ; б) основания равны а и b, а диагонали взаимно перпендикулярны.

4. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, а высота трапеции равна h. Найдите площадь трапеции. (h2)

5. Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, делит ее на две равновеликие части (рис. 76).

6. Разделите трапецию на 3 и 4 равновеликих части разными способами (рис. 77, 78). Обобщите результат.

7. На прямой, соединяющей середины оснований трапеции, взята точка и соединена со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики (рис. 79).

8. Если в трапеции середину M боковой стороны AB соединить с концами другой

Рис. 76

Рис. 77

Рис. 78

Рис. 79

боковой стороны CD, то площадь полученного треугольника CMD составит половину трапеции (рис. 80). Докажите.

9. Длина боковой стороны трапеции а, расстояние до нее от середины противоположной стороны — b. Найдите площадь трапеции. (ab)

10. На боковых ребрах пирамиды PABCD, у которой в основании лежит квадрат со стороной а, все боковые грани —правильные треугольники, от вершины Р отложены отрезки РA1, PB1, PC1, РA1, равные 1/3 AP (рис. 81). Найдите площадь сечения AA1C1C.

11. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна ее боковой стороне. Определите площадь трапеции, если ее диагональ и боковая сторона соответственно равны

12. Точки К и Р делят большее основание AD трапеции ABCD на три равные части. Площадь треугольника ABC равна 2. Найдите площадь трапеции, если AD в 3 раза длиннее ВС (8)

13. В трапеции ABCD проведена хорда KL (К ∈ AB, L ∈ CD), которая параллельна основаниям трапеции и делит ее площадь, равную 6, пополам. Найдите длину этого отрезка, если: а) высота трапеции делится хордой KL на отрезки с длинами 2 и 1 ; 6) основания трапеции равны 1 и 7. (2,5; 5)

14. Как разделить данный параллелограмм прямыми, исходящими из одной вершины, на: а) три (пять) равновеликих частей; б) четыре (шесть) равновеликих частей; в) обобщите результат.

15. Длины сторон параллелограмма равны m и n, а высоты связаны соотношением hm > hn. Сравните m и n. (m < n)

Рис. 80

Рис. 81

16. ABCD — параллелограмм. По рис. 82 найдите площадь закрашенной фигуры, если: а) К — середина AD (рис. 82 а); б) M, К и Р — середины AB, AC и СВ соответственно (рис. 82 б); в) К, Н, М и Р середины сторон AB, ВС, CD и AD соответственно (рис. 82 в). (25, 25, 5)

17. В параллелограмме ABCD К — середина AB, M — середина CD. CK и ВМ пересекаются в точке Р, AM и DK пересекаются в точке N. Найдите площадь четырехугольника KPMN, если площадь треугольника ВСР равна 5.

Указание: используется свойство медиан треугольника. (25)

18. Дан ромб с острым углом 60°. Какую часть от площади равностороннего треугольника, сторона которого равна большей диагонали ромба,составляет площадь ромба. (2/3)

19. В трапеции ABCD проведены ее средняя линия MN (M∈AB, N∈CD), отрезок CK, параллельный AB, и отрезок NL, параллельный AB (К u L лежат на прямой AD). 1. Сравните площади S1 и S2 параллелограммов АВСК и AMNL, если: a) AD = 4, ВС = 1, высота трапеции равна 2; б) AD = 4, ВС = 2, высота трапеции равна 2. 2. Сравните эти площади в общем случае.

(S1 < S2; S1 > S2)

20. Найдите площадь параллелограмма по его периметру Р и двум высотам h1, h2.

21. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что если SAOB = SCOD, то BC||AD). Верно ли обратное утверждение?

22. ABCD — параллелограмм. Р, Q, R, Т — середины сторон AB, ВС, CD, DA соответственно. Прямые AQ, CT, BR, DP при взаимном пересечении образуют

Рис. 82

параллелограмм MNKL. Найдите отношение sMNKL : Sabcd (рис. 83).

23. Пусть а и b — основания трапеции ABCD. Найдите длину отрезка, соединяющего середины ее диагоналей.

24. Меньшее основание CD трапеции ABCD равно b, большее ее основание AB = а. На продолжении CD определите точку M такую, чтобы прямая AM разделила трапецию на две равновеликие части (рис. 84).

25. Дан квадрат ABCD, причем BE = ЕС, CF⊥DE (рис. 85). Докажите, что площадь треугольника DCF в пять раз меньше площади данного квадрата.

26. Докажите, что во всяком четырехугольнике сумма квадратов диагоналей вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Указание: середины сторон четырехугольника соедините дополнительно к условию еще и последовательно.

27. Дана прямоугольная трапеция. 1) Докажите, что разность квадратов ее диагоналей равна разности квадратов длин оснований.

Рис. 83

Рис. 84

Рис. 85

2) Определите большую диагональ трапеции, если наклонная боковая сторона равна а, меньшее основание — b, а меньшая диагональ равна большей боковой стороне.

28. Определите острый угол ромба, в котором сторона является средней пропорциональной между диагоналями. (300 )

29. Докажите, что в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату боковой стороны, сложенному с произведением оснований.

30. Докажите, что во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

31. В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Определите площадь этого квадрата. (mn)

32. Из точки, взятой на гипотенузе, опущены перпендикуляры на оба катета. Определите площадь прямоугольника, образованного этими перпендикулярами, если отрезки катетов при гипотенузе равны m и n. (mn)

33. Окружность касается сторон MN, МК прямоугольника MNPK и проходит через вершину Р. Сторону PK она пересекает в точке А. Найдите площадь трапеции MNAK, если MN = 9, NK = √45. (40)

34. Основания трапеции ABCD равны 12 и 18, диагонали ее взаимно перпендикулярны, а тангенс угла между боковыми сторонами равен 1/3, Найдите площадь трапеции. (180)

35. Площадь параллелограмма ABCD равна 25√3, угол А равен 30°, а сторона ВС составляет 5√3. Найдите диагональ BD. (5)

36. Вне квадрата ABCD дана точка О. Найдите площадь квадрата, если известно, что OA = OB = 5, DO = √13. (36 или 2)

37. Найдите площадь квадрата, вписанного в ромб со стороной 6 и углом 30° (сторона квадрата параллельна диагонали ромба). (4,5)

ГЛАВА IV

ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

4.1. Историческая справка

Термин «многоугольник» (полигон) произошел от греческого πολυγωνον (многоугольный) и состоит из двух слов: πολυ (многочисленный) и γωνία (угол). Названия этих геометрических фигур встречаются у Евклида (III в. до н.э.), Паппа Александрийского (IV в.) и других ученых Древней Греции.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его внутренние углы равны и все его стороны также равны. Правильными являются равносторонний треугольник и квадрат.

Теорема 4.1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

Теорема 4.2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Теорема 4.3. Каково бы ни было натуральное число n больше двух, существует правильный n-угольник.

Теорема 4.4. Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.

Уже древние умели по длине стороны или радиусу описанного круга строить циркулем и линейкой правильные 3- и 6-угольники (Вавилон, XVII в. до н.э.). В школе Пифагора (VI—V вв. до н.э.) значительно продвинулось изучение и построение таких многоугольников для n, равных 3 2m, 4 2m, 5· 2m, 3·5 2m, где n∈ N∪{0}.

К.Ф. Гаусс (1801) доказал, что можно построить циркулем и линейкой правильные n-угольники с n = 2m · p1р2р3...рк, где p1, p2, ..., pk — различные гауссовы простые числа, т.е. числа вида ρ = 22s + 1. До сих пор известны пять таких значений р: 3; 5; 17; 257; 65337. С опорой на теорию Галуа доказано, что никаких других многоугольников, кроме отмеченных выше и указанных

К.Ф. Гауссом, нельзя построить классическими средствами. В частности, невозможно построить многоугольники при n = 7,9,11, 13, 14, 18, 19, 21, ...

Замечание. В трехмерном пространстве геометрической фигурой, аналогичной правильному выпуклому многоугольнику, является правильный выпуклый многогранник, у которого все грани — правильные, равные между собой многоугольники, и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. Примером такого тела является правильный гексаэдр — куб.

Следует заметить, что в отличие от правильных многоугольников, которые могут иметь любое n число сторон, больше 2, существует лишь 5 видов правильных выпуклых многогранников: четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (гексаэдр, или куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр), двадцатигранник (икосаэдр). Этот факт доказал еще Евклид в своих «Началах», а изучали их еще пифагорейцы.

В дальнейшем понадобятся следующие утверждения.

Теорема 4.5. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180° (n — 2), где n — число его сторон; сумма внешних его углов — 360°.

Теорема 4.6. Величина каждого внутреннего угла правильного выпуклого n-угольника равна

Теорема 4.7. Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R равна

Теорема 4.8. Формула удвоения числа сторон имеет вид:

Доказательство. Рассмотрим правильный n-угольник со стороной AB = an, вписанный в окружность радиуса R (рис. 86). После удвоения числа сторон, получим правильный 2n-угольник со стороной АК = a2n. Радиус OK пересекает AB в его середине F. Тогда из △AFK

Рис. 86

по теореме Пифагора следует

или

Теорема 4.9. Длина стороны правильного описанного n-угольника выражается через длину стороны an правильного вписанного многоугольника радиуса R по формуле b,

Доказательство. Пусть в окружность радиуса R вписан правильный n-угольник со стороной AB = an, и около нее описан правильный n-угольник со стороной FK = bn (в качестве многоугольника рассмотрим пятиугольник) (рис. 87). Тогда H — точка касания стороны FК с окружностью — лежит на середине FK, а С — точка пересечения AB и ОН — середина AB.

Имеем

Таким образом,

Начиная с пятиугольника существуют также невыпуклые (самопересекающиеся, звездчатые) правильные многоугольники. У них длины всех сторон равны, а каждая последующая повернута в одном и том же направлении на один и тот же угол по отношению к предыдущей. Все вершины таких многоугольников также лежат на одной окружности. На рис. 88 приведены все правильные (выпуклые и невыпуклые) n-угольники, где n = 3;8.

Рис. 87

Имеются специальные таблицы, в которых длины сторон и площади правильных многоугольников выражаются через радиусы описанных и вписанных окружностей. Одна из них приведена в прил. 1.

Понятие правильного многоугольника допускает различные обобщения. Рассмотрим так называемые полуправильные многоугольники.

Определение. Выпуклый многоугольник с четным числом вершин называется равноугольно-полуправильным, если длины всех его сторон, взятых через одну, равны, и все его углы также равны. Правильные многоугольники с четным числом вершин относятся к числу равноугольно-полуправильных. Одним из примеров такого многоугольника является прямоугольник, отличный от квадрата. Шестиугольник, представленный на рис. 89, также является равноугольно-полуправильным.

Теорема 4.10. Около любого равноугольно-полуправильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство. Докажем существование искомой окружности. Рассмотрим равноугольно-полуправильный многоугольник ABCDE...F (рис. 90). Опишем около треугольника ABC окружность ω с центром О. Докажем, что все остальные вершины данного многоугольника лежат на этой окружности.

Рис. 88

Рис. 89

Опишем около треугольника BCD другую окружность ω1 с центром О1 и докажем, что окружности ω и ω1 совпадают. Треугольники ABC и BCD равны по двум сторонам и углу между ними (AB = CD, ВС —общая, ∠В = ∠C). Поэтому радиусы окружностей ω и ω1 равны. Центры этих окружностей лежат на серединном перпендикуляре к стороне ВС по одну сторону от прямой ВС, поэтому точка О совпадает О1. Таким образом, окружности ω и ω1 совпадают, а значит вершина D лежит на окружности ω. Аналогично доказывается, что все остальные вершины лежат на окружности ω.

Докажем единственность окружности ω. Через точки А, В, С проходит только одна окружность — ω. Поэтому любая окружность, описанная около многоугольника ABCDE...F должна совпадать с ω.

Не в любой равноугольно-полуправильный многоугольник можно вписать окружность. Например, ее нельзя вписать в прямоугольник, отличный от квадрата (рис. 91).

Определение. Выпуклый многоугольник с четным числом вершин называется равносторонне-полуправильным, если его углы, взятые через один, равны, и все его стороны равны между собой. Правильные многоугольники с четным числом вершин относятся к числу равносторонне-полуправильных. Наиболее простым примером такого многоугольника является ромб, отличный от квадрата. На рис. 92 представлен равносторонне-полуправильный шестиугольник.

Рис. 90

Рис.91

Рис. 92

Теорема 4.11. В любой равносторонне-полуправильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство. 1. Докажем существование такой окружности. Рассмотрим три последовательные стороны многоугольника ABCDEF...Р: AB, ВС, CD. Пусть К — точка пересечения прямых AB и ВС (рис. 93). Тогда вневписанная окружность со треугольника ВСК касается продолжений сторон AB, ВС и CD данного многоугольника. Ее центр О лежит на пересечении биссектрис углов ABC и BCD, а радиус

(формула 16 табл.), где р — полупериметр △BCК. Пусть M — точка пересечения прямых BC и DE. Тогда вневписанная окружность ω1 треугольника CDT касается сторон BC, CD и DE данного многоугольника. Ее центр О, лежит на пересечении биссектрис углов BCD и CDE, а радиус

где р — полупериметр △CDТ. Треугольники вск и CDT равны по стороне и двум углам (BC = CD, ∠KBC = ∠CDT = 180°-ß, ∠BCK = ∠DCT — как вертикальные). Тогда и радиусы rBC и rCD равны, а, следовательно, центры О и О1, лежащие на биссектрисе угла BCD, равноудалены от CD и значит совпадают.

Таким образом, окружность ω1 совпадает с ω. Аналогично доказывается, что все остальные стороны касаются окружности ω.

2. Докажем единственность окружности ω. Так как окружность ω для △BCK существует одна, а любая окружность, вписанная в многоугольник, совпадает с ω, a потому ω — единственная.

4.2. Задачи с решениями

Задача 1. Два равных прямоугольника ABCD и MNKP расположены так, что вершиной одного из них является точка пересечения диагоналей другого,

Рис. 93

и наоборот. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек данных прямоугольников, если длины сторон ABCD равны 4 и 6.

Решение. Площадь фигуры ABCQKPMF равна удвоенной площади ABCD без площади прямоугольника NQDF, составляющей 0,25 площади ABCD (рис. 94):

Задача 2. В равноугольно-полуправильном шестиугольнике АВCDEF известно, что AB = CD = ЕЕ = а; BC = DE = FA = b. Вычислите площадь этого шестиугольника (рис. 95).

Решение. По определению равноугольно-полуправильного шестиугольника все его углы равны, поэтому величина каждого из них

Проведем диагональ BE и рассмотрим четырехугольники BCDE и ABEF. Они являются равнобедренными трапециями с меньшими основаниями а и b, боковыми сторонами b и а соответственно, а также тупыми углами в 120° при меньших основаниях. Большее основание BE у трапеций общее. Для его нахождения в трапеции ВСDE опустим из С и D на BE перпендикуляры СМ и DN. В △ВСМ ∠ВСM = 30°. Тогда по свойству прямоугольного треугольника с углом 30° ВМ = b/2, аналогично NE = b/2, M = а.

Поэтому

Высота СМ трапеции равна

Следовательно,

Рассматривая аналогичным образом трапецию ABEF, найдем ее высоту

Поэтому

Рис. 94

Рис. 95

Искомая площадь шестиугольника равна сумме площадей двух рассмотренных выше трапеций:

Задача 3. Каждая вершина параллелограмма соединена с серединами двух противоположных сторон. Какую часть площади параллелограмма составляет площадь фигуры, ограниченной проведенными линиями?

Решение. Пусть в параллелограмме ABCD каждая вершина соединена соответственно с серединами M, N, Q, R противоположных сторон (рис. 96).

Параллелограмм ABCD составлен из восьми треугольников, равновеликих △AON, где О — точка пересечения его диагоналей АС и BD. Искомая фигура, полученная в результате указанного построения, является восьмиугольником. Она состоит из восьми треугольников, каждый из которых равновелик треугольнику EOF, так как ОЕ = 1/3 OA (по свойству медиан ADAB) и

Поэтому

Следовательно, искомое отношение

Задача 4. Дан квадрат, длина стороны которого равна а. Каждые его две его противоположные вершины служат вершинами двух равных ромбов. Найдите площадь общей части ромбов, если площадь каждого из них равна половине площади квадрата.

Рис. 96

Рис. 97

Решение. Пусть искомой фигурой, полученной в процессе указанного построения, является восьмиугольник MEFLPQTK (рис. 97). Он состоит из восьми треугольников, каждый из них равновелик △OEF. Из рисунка видно, что каждая из внешних частей двух ромбов равновелика △EOF, например, S△Bef = S△oef, так как у этих треугольников высота, проведенная из вершины F, одна и та же, а основания BE и ЕО равны между собой. По условию площадь ромба KBLD равна половине площади квадрата, т.е. a2/2. Обозначим через х площадь △EOF. Тогда ромб KBLD имеет площадь 12х. Поэтому 12х = a2/2, откуда х = a2/24. Но в искомом восьмиугольнике имеется восемь равновеликих треугольников площади x. Поэтому площадь общей части ромбов равна 8x, т.е.

Задача 5. Дан квадрат со стороной а. Если на двух его противоположных сторонах построить внутри него два правильных треугольника, то боковые стороны треугольников пересекутся и образуют четырехугольник. Установите вид четырехугольника, найдите его углы, стороны и площадь.

Решение. Пусть четырехугольник ЕМFN построен в соответствии с условием задачи (рис. 98). Так как треугольники ANB и DMC по условию правильные, то ∠ЕМF = ∠ENF = 60°. В △BFC и △AED углы при основаниях ВС и AD равны по 60°. Тогда △BFC = ∠AED = 120°.

Таким образом, противоположные углы NEFM равны по 30° и 120° соответственно, а диагонали пересекаются под прямым углом. Смежные стороны попарно равны. А потому NEFM — ромб.

Рассмотрим ADMС. В нем

△ЕМF — равносторонний, т.е. ЕМ = MF = EF. В

Рис. 98

нем

Поэтому

Сторона ромба равна его меньшей диагонали (EF = ЕМ). Следовательно,

Подставляя значения EF и MN в последнее равенство, получим:

Задача 6. Окружность радиуса R разделена на 8 равных частей, и точки деления соединены через одну. Определите площадь полученной восьмиконечной звезды (рис. 99).

Решение. Искомая площадь состоит из суммы площади квадрата ACEG и четырех прямоугольных равнобедренных треугольников. Рассмотрим один из них, например, △MBN. Вначале найдем длину стороны квадрата. В △АОС АС = R√2, а потому SАСEG = 2R2. Найдем площадь AMBN. Так как KB = МК, то MN =

Теперь найдем

Площадь восьмиконечной звезды

Рис. 99

Рис. 100

Задача 7. Найдите длину стороны правильного восьмиугольника АВCDEFGH, если (рис. 100).

Решение. Пусть AB = a8. В равнобедренной трапеции BCDE BC = CD = DE =

Выразим большее основание ее через a8.

△АВЕ — прямоугольный (AB — вписанный, опирающийся на диаметр). Его площадь равна 1/2 AB⋅BЕ. Поэтому

Задача 8. Найдите радиус окружности, описанной около правильного девятиугольника ABCDEFGHK, если известно, что S△ADG равна 48√3

Решение. Треугольник ADG — правильный, так как его стороны стягиваются равными дугами (рис. 101).

Площадь его

где а — длина стороны. Поэтому

откуда

Используя формулу

получим R

Задача 9. На сторонах равностороннего треугольника построены квадраты, а их свободные вершины

Рис. 101

Рис. 102

соединены. Определите площадь полученного шестиугольника, если сторона данного треугольника равна а (рис. 102).

Решение. Для нахождения площади искомого шестиугольника DEFKLM следует сложить площадь △АВС, площади трех равных между собой квадратов и трех равных друг другу тупоугольных треугольников. Три площади квадратов равны 3а2. Рассмотрим треугольник DBЕ. В нем, как видно из рисунка,

Поэтому площадь шестиугольника

Задача 10. Квадрат со стороной а срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник (рис. 103). Определите его площадь.

Решение. Пусть ВС = х, а AB = CD = DF = у. Тогда из прямоугольного треугольника CDF по теореме Пифагора имеем

4.3. Задачи для самостоятельного решения

1. Два равных квадрата ABCD и МРКТ расположены так, что точка Р делит диагональ BD в отношении BP:PD = 2:1, а точка D лежит на диагонали РТ. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек данных квадратов, если длина стороны каждого квадрата равна 3. (17)

2. Два равных прямоугольных треугольника с площадью 12 расположены так, что вершина прямого угла одного из них лежит на гипотенузе другого, и они имеют общую биссектрису прямого угла, длиной 3. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек данных треугольников. (19,5)

Рис. 103

3. Площадь пятиугольника ABCDE равна 68 26/27 см2. Если из вершины A провести диагонали, то площади треугольников ABC, ACD, ADE составят геометрическую прогрессию. Если на стороне DE взять точку F так, чтобы EF = 369/625 FD, то площади треугольников ABC, ACD, AEF будут составлять арифметическую прогрессию. Найдите площадь каждого треугольника.

4. Найдите отношение площади правильного пятиугольника к площади треугольника, образованного стороной пятиугольника и двумя его диагоналями, выходящими из концов этой стороны.

5. По длине стороны правильного пятиугольника, равной а, определить его площадь.

6. Найдите длину стороны правильного восьмиугольника ABCDEFGH, если площадь четырехугольника BCFG равна 81(√2 + 1). (9)

7. Площадь AADG правильного восьмиугольника ABCDEFGH равна 4 + 3√2. Найдите сторону восьмиугольника. (2)

8. Равные прямоугольные треугольники ABC и ADB находятся по одну сторону от общей гипотенузы AB; при этом AD = ВС = 12 см и АС = BD = 16. Определите площадь общей части данных треугольников. (75)

9. Окружность радиуса R разделена на шесть равных частей, и точки деления соединены через одну. Определите площадь полученной шестиконечной звезды.

ГЛАВА V

ПЛОЩАДИ КРИВОЛИНЕНЙНЫХ ФИГУР

5.1. Историческая справка

В данном разделе рассмотрены методы измерения площадей криволинейных фигур. Вычисление площадей непрямолинейных фигур производили еще за много веков до н.э. В древнем и средневековом Китае аналогом термина «геометрия» было выражение фан тянъ — «измерение полей». Иероглиф тянь изображал поле, а в математических текстах обозначал плоскую фигуру и ее площадь. Самый древний текст, связанный с вычислениями площадей, повествовал о том, что участок земли делили главным образом на произвольные четырехугольники и треугольники, причем первые практически не отличались от прямоугольников, а вторые — от прямоугольных треугольников. Площади таких полей вычисляли по приближенной формуле, аналитическая запись которой выражала произведение средних арифметических противоположных сторон четырехугольника (для треугольника длина отсутствующей четвертой стороны равна нулю). Кроме того, китайцы знали точные формулы для нахождения площадей прямоугольника, треугольника и трапеции. Правила, которыми они пользовались, не отличаются от современных.

В древнем и средневековом Китае существовали правила и для вычисления площадей криволинейных фигур. Так для нахождения площади круга существовало четыре формулы, в которых фигурировали диаметр d и длина окружности с:

Площадь сектора определялась как четверть произведения диаметра на длину соответствующей дуги. Площадь кругового кольца находилась как произведение полусуммы внутренней и внешней длин окружностей на полуразность длин диаметров. При вычислении площади сегмента последний заменяли трапецией с тем же нижним основанием, что у сегмента, а также равными высотой и верхним основанием; аналитическая запись правила имеет вид

, где l — длина хорды, h — высота стрелки.

У китайцев существовали также приближенные приемы для нахождения площадей других криволинейных фигур: «поля» в виде рога, серпа, месяца, барабанов с выпуклыми и вогнутыми «боками» (рис. 104). Площади всех их находили как произведение длины (AB) на ширину («талию»). Некоторые геометрические фигуры задавались тремя значениями «ширины»: двумя основаниями и средней линией («талией»). В этом случае шириной являлось среднее арифметическое трех измерений.

Древнегреческий математик Гиппократ Хиосский (V в. до н.э.) изучал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружностей. С его именем в геометрии связаны фигуры особого вида — луночки, называемые луночками Гиппократа. Ученый пытался решить квадратуру круга, т.е. построить с помощью циркуля и линейки круг, равновеликий данному квадрату. Они относились к трем знаменитым задачам древности. Ему не удалось решить ее классическими средствами, но ученый все же сумел построить четыре луночки, ограниченные дугами окружностей, площадь которых выражалась в рациональных числах.

Прежде чем рассмотреть задачи Гиппократа, вспомним несколько теорем.

Теорема 5.1. Площадь S круга радиусом R выражается формулой

Рис. 104

Теорема 5.2. Площадь сектора с центральным углом α° круга радиуса R вычисляется по формуле (рис. 105).

Теорема 5.3. Площадь сегмента равна разности площадей соответствующих сектора и треугольника (рис. 106).

5.2. Задачи с решениями

Задача 1. На сторонах вписанного в круг квадрата ABCD во внешнюю сторону построены полукруги (рис. 107). Докажите, что сумма площадей образовавшихся луночек BmCn, CdDf, DkAh и AcBl равна площади квадрата ABCD.

Решение. Пусть сторона квадрата равна а. Тогда площадь описанного круга равна

Найдем площадь всех полукругов S1 и площадь всех сегментов S2:

Тогда площади луночек найдутся как разности площадей соответствующих полукругов и сегментов:

Что и требовалось доказать.

Рис. 105

Рис. 106

Рис. 107

Задача 2. Докажите, что площадь трапеции ABCD, вписанной в окружность с центром О, равна сумме площадей луночек 1, 2 и 3 и полукруга 4 (рис. 108).

Решение. Рассмотрим трапецию ABCD. Пусть длины верхнего основания и боковых сторон равны 2r. У такой трапеции высота равна r√3, а площадь SABCD =

Вычислим площадь большого полукруга радиуса 2r, в который вписана трапеция:

Тогда сумма площадей секторов 5, 6 и 7 составит

Найдем площадь полукруга 4:

а сумма площадей полукругов, построенных на сторонах трапеции с радиусом r равна:

Сумма площадей луночек 1, 2 и 3 равна разности площадей большого полукруга и секторов:

Что и требовалось доказать.

Задача 3. Докажите, что сумма площадей луночек 1 и 2 равна площади прямоугольного треугольника ABC (∠C — прямой) (рис. 109).

Решение. Площадь треугольника ABC равна:

Найдем площади секторов 3 и 4. Для этого из площади полукруга, в который вписан

Рис. 108

Рис. 109

треугольник, вычтем площадь треугольника ABC:

Зная площади секторов, найдем площади луночек 1 и 2: из суммы площадей полукругов, построенных на катетах △АВС, вычтем площади секторов 3 и 4.

Следующая задача связана с именем Архимеда (III в. до н.э.), великого математика и механика Древней Греции. Ученый рассмотрел спираль, позднее названную его именем, описываемую точкой, двигающейся по вращающемуся кругу; научился находить касательную и подкасательную к спирали (в то время как его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям); нашел площадь ее первого витка. Кроме того Архимед вычислил площади эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара (его частей) и сферического сегмента; доказал, что отношение объема шара к объему описанного вокруг него цилиндра равно 2:3. Ученый наиболее точно нашел отношение длины окружности к диаметру, вписав с этой целью в окружность правильный 96-угольник: 3 10/71 < π < 3 1/7.

Задача 4. Докажите, что площадь арбелона (фигура, ограниченная тремя полуокружностями с диаметрами AB, ВС и АС, расположенными по одну сторону от прямой АС) равна площади круга с диаметром ВК (рис. 110). Доказательство. Пусть

Радиус круга с диаметром, равным длине ВК, обозначим

Рис. 110

через r. Найдем площадь арбелона как разность площадей полукруга с диаметром А С и полукругов с диаметрами AB и ВС:

Теперь определим площадь круга радиуса r. Выразим r через r1 и r2 :

Тогда

Задача 5. Докажите, что площади лепестка ОтпК и криволинейного треугольника АВК равны (рис. 111).

Доказательство. Пусть ОТ — радиус окружности с диаметром OA = r. Выразим через r площади лепестка и криволинейного треугольника. Рассмотрим АОКТ: ТК = OТ = r, ∠КОТ = 45°. Тогда ∠ОТК — прямой. Найдем площадь сегмента ОтК:

откуда

Теперь найдем площадь криволинейного треугольника АВК:

Задача 6. Рассмотрим фигуру (рис. 112): в квадрате ABCD с длиной стороны 1 проведены дуги окружностей с центрами в вершинах квадрата и серединах его сторон. При этом квадрат разбивается на 24 криволинейные части, из которых по 4 фигуры вида 1, 2, 3, 5 и 8 фигур вида 4. Найдите площади каждой из частей.

Рис. 111

Рис. 112

Решение. Найдем площадь полукруга с центром, лежащем на стороне квадрата:

найдем площадь фигуры, составленной из частей 1, 3, 4, 4, 5:

площадь сектора DAC:

площадь лепестка, состоящего из частей 1 и 2:

площадь фигуры, составленной из частей 4, 3, 3, 3, 4:

Существует много головоломок на составление различных криволинейных фигур. Так, в приложениях 5 и 6 представлены игры «Волшебный круг» и «Колумбово яйцо». Составьте другие фигуры, отличные от предложенных.

Задача 7. Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите площадь круга, касающегося этой прямой и сторон угла.

Замечание. В условии не сказано, каким образом окружность касается (внешним или внутренним), поэтому следует рассмотреть два случая, когда окружности вписанные и вневписанные (рис. 113).

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

Радиус вневписанной окружности вычислим по формуле

Действительно, в четырехугольнике

и все углы прямые,

Рис.113

следовательно, он является квадратом. Тогда r = CK = CF, а значит

Решение 1. (метод площадей). Круг вписан в треугольник ABС. Пусть радиус круга равен r. Тогда

Отсюда

Тогда площадь круга равна π.

Решение 2. Окружность соответствующая кругу, является вневписанной для треугольника ABС. Тогда

откуда следует, что площадь круга равна 36π.

5.3. Задачи для самостоятельного решения

1. Две боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 1, а большее основание — √3. Дуга AD касается диагонали DB трапеции. Докажите, что площадь вписанной трапеции и площадь луночки ABCD равны (рис. 114).

2. Зная площади частей квадрата, найдите площади фигур, выделенных жирными линиями (прил. 4).

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трех попарно касающихся окружностей радиусов

4. Круги радиусов 1, 6, 14 касаются друг друга. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник с вершинами в центрах данных кругов. (4π)

5. В круговой сектор с углом 60° вписан круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площадей сектора и круга. (3:2)

Рис. 114

6. Найдите площадь фигуры, являющейся общей частью двух кругов радиуса R каждый, если расстояние между их центрами также R.

7. В △АВС вписана окружность; C1, B1 — точки ее касания со сторонами AB и АС соответственно. АC1 = 7; B1С = 8, ВC1 = 6. Найдите площади кругов вписанного и описанного около треугольника ABC.

8. В круге радиуса 1 проведена хорда длиной 1. Пусть S — площадь наименьшего из получившихся сегментов. Чему равен центральный угол сектора, имеющего площадь S?

9. В круге радиуса 1 проведены две непересекающиеся хорды длинами √2 и √3. Они разделили круг на три части. При этом площадь наибольшей части больше, чем 2,3. Найдите площадь наименьшей части.

10. Найдите площадь общей части четырех единичных кругов, центры которых находятся в вершинах единичного квадрата.

11. В треугольнике ABC угол В равен 140°, высота к стороне АС равна 1. Рассмотрим круг радиуса √2 с центром в точке В. Найдите площадь общей части треугольника и круга.

ГЛАВА VI

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ

6.1. Тренировочные тесты

Тренировочные тесты составлены по трем уровням сложности: части 1, 2 и 3. Часть 1 содержит 12 заданий. Сюда включены задачи, при решении которых учащийся действует по образцу, самостоятельно воспроизводит и применяет знания в типовых ситуациях. Задания этой части считаются выполненными, если школьник выбрал правильный ответ из предложенных.

Часть 2 состоит из 8 задач, при решении которых учащемуся необходимо применить 2—3 теоретических факта в измененной ситуации и 2 — 3 вычислительных действия. Таким образом, решая такую задачу, ученик должен в первую очередь проанализировать предложенную в условии конфигурацию и увидеть те свойства, которые необходимы для решения. Например, типичной можно считать задачу на вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Для учащихся основную трудность представляет то, что решение задач требует умения анализировать ситуацию, видеть знакомые свойства фигур в непривычном их расположении, составлять план решения задачи. Задания части 2 считаются выполненными, если школьник дал верный ответ.

В части 3 содержатся четыре теста, состоящие из четырех сложных задач. При их решении надо записать полное решение и ответ. Задания с развернутым ответом используются для проверки умения применять знания в новой ситуации. При их решении необходимо использовать умения анализировать ситуацию, разрабатывать математическую модель, самостоятельно находить способ решения, проводить рассуждения, показывать умения грамотно записывать решение задачи, проводя необходимые обоснования его шагов. Это задания, для выполнения которых требуется владение материалом на высоком уровне.

Часть 1

1. Найдите площадь равнобедренного треугольника ABС (AB = ВС), если AB = 5, АС = 8.

2. Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 4 и 7.

3. Вычислите площадь треугольника ABС, если AB = 2, ВС = 4, ∠В = 30°.

4. Найдите площадь прямоугольного треугольника с катетом 2,5 и гипотенузой √281/2.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если сторона треугольника равна 2√3.

6. Найдите площадь равностороннего треугольника ABС, если AB = 12.

7. Вокруг равностороннего треугольника описана окружность, радиус которой равен 3√3. Найдите площадь данного треугольника.

8. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 10.

9. Вычислите площадь треугольника со сторонами 1, 1 и √2.

10. Площадь треугольника 48. Вычислите его высоту, проведенную к стороне, равной 32.

11. Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием 24 и боковой стороной 13.

12. В равнобедренном треугольнике основание равно а, а противолежащий ему угол — 60°. Найдите площадь треугольника.

Часть 2

1. Катеты прямоугольного треугольника 6 и 8. Вычислите длину его высоты, проведенной к гипотенузе.

Ответ: h =_.

2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29. А его основание — 40. Найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника окружностей.

Ответ: r = _, R = _.

3. В окружность радиуса 10 вписан прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 16. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: S = _.

4. В треугольнике ABС проведена медиана AM, причем, ∠MAC = 45°. Найдите площадь треугольника ABC, если АС = 3√2, ВС = 10.

Ответ: S = _.

5. Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75° описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.

Ответ: R = _.

6. Площадь прямоугольного треугольника равна 150, а один из катетов —15. Найдите длину высоты, опущенной из вершины прямого угла.

Ответ: h = _.

7. В параллелограмме ABCD проведены диагонали АС и BD. Площадь треугольника ABD равна 72. Определите площадь треугольника A CD.

Ответ: S,CD = _.

8. Найдите площадь заштрихованной фигуры, если площадь круга равна 19, а площадь треугольника — 36 (рис. 115).

Ответ: S =_.

Часть 3

Вариант 1

1. В треугольнике ABC даны радиусы вписанной r и описанной R окружностей. Пусть A1, B1, С, — точки пересечения биссектрис треугольника ABC с описанной окружностью. Найдите отношение площадей треугольников ABC и A1B1C1.

2. Найдите площадь остроугольного треугольника ABC, если AB = с, ∠A = α, ∠B = ß.

3. Радиусы окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, равны 6 и 2 соответственно. Длины сторон треугольника являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите площадь треугольника.

Рис. 115

4. В треугольнике ABC высоты АA1 и ВB1 равны соответственно 3 и 5, а угол между прямыми, содержащими эти высоты, равен 60°. Найдите площадь треугольника ABС.

Вариант 2

1. В треугольнике ABC на сторонах AB и ВС выбраны соответственно точки D и Е. CD и АЕ пересекаются в точке О. SADO = SCEO = 8, SDOE = 4. Найдите площадь треугольника ABC.

2. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная к основанию и отрезок, соединяющий середины основания и боковой стороны, равны 12.

3. Точка Е — середина стороны AB треугольника ABC, а точки M и H делят сторону ВС на три равные части: BM = МН = НС. Найдите площадь треугольника ЕМН, если площадь треугольника А ВС равна S.

4. M — середина медианы AD треугольника ABC, имеющего площадь S. Прямая BM пересекает сторону АС в точке F. Найдите SAMF.

Вариант 3

1. В треугольнике ABC высоты СC1 и ВB1 равны соответственно 2√2 и 4, а угол между прямыми, содержащими эти высоты, равен 45°. Найдите площадь треугольника ABC.

2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен φ, длина основания — b. Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне, и площадь данного треугольника.

3. Через точку М, лежащую на стороне ВС треугольника ABC, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам; D и F — точки пересечения данных прямых со сторонами треугольника. Площади полученных треугольников DBM и FMС равны соответственно S1 и S2. Найдите площадь треугольника ABC.

4. В треугольнике ABC точка N лежит на стороне AC, AN = 2/5 АС, медиана AM перпендикулярна BN. Найдите площадь треугольника ABC, если AM = m и BN = n.

Вариант 4

1. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 8, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 4,8.

2. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 5 и 9, а медиана третьей стороны — 3.

3. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4 и 5.

4. В треугольнике ABC известны угол А и длины сторон AB = с, АС = b. Найдите биссектрису AD.

6.2. Решение заданий части 3

Вариант 1

1. Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой S = 2R2⋅sin А⋅sin В⋅sin С, где А, В и С — углы треугольника. Тогда площадь треугольника A1B1C1, где A1, B1 и C1 — точки пересечения биссектрис △АВС с описанной окружностью (рис. 116), равна:

Рис. 116

Рис. 117

Таким образом,

2. Так как сумма углов треугольника 180°, то ∠C = 180°- (α + ß) (рис. 117). Пусть АС = x, тогда по теореме синусов

откуда

Найдем площадь △АВС:

Итак,

3. Так как стороны △АВС — последовательные члены арифметической прогрессии, то пусть АС = x — d, ВС = x, AB = x + d.

Выразим через х и d полупериметр и площадь данного треугольника:

Так как

где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей (рис. 118), то получим систему уравнений:

Таким образом,

4. Пусть О — точка пересечения высот АA1 и ВB1, тогда ∠A1ОВ = 60° (рис. 119). Из △АОB1 следует, что ∠В = 90°, ∠O = 60°, откуда ∠A = 30°. В △AA1С: ∠A1 = 90°, ∠A = 30°, откуда ∠C = 60°. В △BB1C: АB1 = 90°, ∠C = 60°, откуда ∠В = 30°. Для того чтобы найти площадь треугольника ABC, достаточно знать одну из его сторон АС или ВС. Найдем ВС из △ВB1С: треугольник прямоугольный, ∠B = 30°, значит ВС = 2 B1С. Пусть B1С

Рис. 118

Рис. 119

тогда ВС = 2х. По теореме Пифагора:

Вариант 2

1. Из того, что

следует

(рис. 120).

тогда

△DOE ~ △АОС с коэффициентом подобия к = 1/2,

поэтому

△DBE ~ △АВС. Следовательно,

2. Пусть в треугольнике ABC AB = ВС, Ми К — середины сторон АС и ВС соответственно, ВМ = МК = 12 (рис. 121). Проведем KP перпендикулярно ВМ, а KP перпендикулярно АС, где Р и Е лежат на ВМ и MC соответственно. KP — средняя линия △ВСМ, тогда Р — середина ВМ. ВКМ —равносторонний со стороной 12. Откуда

3. Соединим точки Е и С, получим треугольник ECB (рис. 122).

Рис. 120

Рис. 121

Рис. 122

4. Проведем через точку D прямую, параллельную BF и пересекающую АС в точке К (рис. 123). Тогда по теореме Фалеса AF = FK = КС. Откуда

Вариант 3

1. Пусть О — точка пересечения высот ВB1 и СC1, тогда ∠B1ОС = 45° (или ∠C1OB = 45°), так как эти углы равны как вертикальные (рис. 124). Рассмотрим треугольники △B1ОС и △C1СA: в △B1ОС ∠B1 = 90°, ∠O = 45°, поэтому △B1ОС прямоугольный и равнобедренный; аналогично в △C1CA ∠C1 = 90°, ∠C = 45°, откуда следует, что ∠A = 45°, т.е. △C1CA — прямоугольный и равнобедренный, значит СC1 = C1А = 2√2. Найдем гипотенузу АС по теореме Пифагора:

2. Так как △АВС — равнобедренный, то ∠a = ∠C (рис. 125). Зная, что ∠B = φ, вычислим

Рис. 123

Рис. 124

Рис. 125

3. Пусть BM = х, MC = у, ВС = a, S — площадь △АВС (рис. 126). Так как △DBM ~ △АВС, то

Аналогично,

4. Пусть MD||BN (рис. 127). По теореме Фалеса ND = DC, поэтому

Отрезок ON параллелен стороне MD треугольника AMD, а по обобщенной теореме Фалеса имеем

Отсюда

Площадь △ABN составляет 2/5 площади △АВС, так

С другой стороны, площадь △АВС

Вариант 4

1. Если а — основание, b — боковая сторона, ha и hb —высоты, проведенные к этим сторонам (рис. 128), то

По условию, а = 8, hb = 4,8. Используем метод площадей: из равенства aha = bhb следует, что ha = 3/5b. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, поэтому DC = a/2. По теореме Пифагора из прямоугольного

Рис. 126

Рис. 127

Рис. 128

треугольника ABD получаем

Подставим в это равенство выражение

2. Пусть ВМ — медиана △АВС и ВМ = 3, AB = 5, ВС = 9 (рис. 129). Достроим ААВС до параллелограмма. Для этого на прямой ВМ отложим MD = ВМ и соединим D с точками A и С. Оказалось, что диагонали четырехугольника в точке M их пересечения делятся пополам. Поэтому по признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм. Так как прямые AD и ВС параллельны, то расстояния от точек А и D до прямой ВС равны, значит равны и высоты треугольников ABC и BDC, опущенные на ВС, а следовательно, и площади этих треугольников. В △BDC известны длины всех трех сторон: ВС = 9, DC = AB = 5, BD = 2BM = 6. По формуле Герона найдем его площадь:

3. Пусть О — точка пересечения медиан △АВС (рис. 130). Отложим на прямой BN отрезок ND = ON, тогда

Площадь △DOC найдем по формуле Герона:

равновелики, поэтому

Рис. 129

Рис. 130

4. Пусть AD = x, а площади треугольников ABC, ABD и ADC равны соответственно S, S1, S2. Тогда S = S1 + S2 (рис. 131).

Так как поэтому

Из этого равенства найдем х:

Рис. 131

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.Д. Геометрия: учеб. для 8—9 кл. с углубл. изучением математики / А.Д. Александров, А.А. Вернер, В.И. Рыжик. — М: Просвещение, 1991.

2. Атанасян Л.С. Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др. — М.: Вита — Пресс, 2002.

3. Атанасян Л.С. Геометрия. Доп. главы к учебнику 9 кл.: учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. — М: Вита — Пресс, 2002.

4. Великина П.Я. Сборник задач по геометрии: пособие для учителя / П.Я. Великина. — М.: Просвещение, 1971.

5. Володарский А.М. Очерки по истории средневековой индийской математике / А.И. Володарский. — М.: Наука, 1977.

6. Гальперин Г.А. Московские математические олимпиады / Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго. — М.: Просвещение, 1986.

7. Готман Э.Г. Задача одна — решения разные: геометрические задачи / Э.Г. Готман, З.А. Скопец. — М.: Просвещение, 2000.

8. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: пособие для учащихся / Э.Г. Готман. — М: Просвещение: Учебная литература, 1996.

9. Гусев В.А. Практикум по элементарной математике: Геометрия / В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. — М.: Просвещение, 1992.

10. Дышинский Е.А. Геометрия треугольника и окружности: факультативный курс по математике для учащихся X—XI классов / Е.А. Дышинский. —Пермь: ПГПИ, 1991.

11. Звавич Л.И. Геометрия. 8—11 классы: пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Л.И. Звавич, М.В. Чинкина, Л.Я. Шляпочник. — М.: Дрофа, 2000.

12. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии. 7—11 классы / Б.Г. Зив. — СПб.: ЧеРо-на-Неве, 2003.

13. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах / А.А. Колосов. — М.: Учпедгиз, 1963.

14. Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач по математике / Л.М. Лоповок. — М.: Просвещение, 1995.

15. Лурье М.В. Геометрия. Техника решения задач: учеб. пособие / М.В. Лурье. — Ростов н/Д: Феникс; М.: Издательский отдел УНЦДО, 2002.

16. Малых А.Е. История математики в задачах / А.Е. Малых. — Пермь: ПГПУ, 1993. Ч.1. Математика в древнем Египте и Вавилоне.

17. Потоскуев Е.В. Геометрия. 10 класс: задачник для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. — М.: Дрофа, 2003.

18. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии / В.В. Прасолов.- М.: Наука, 1991.-Ч.I.

19. Райк А.Е. Очерки по истории математики в древности / А.Е. Райк. —Саранск: Мордов. кн. изд-во, 1967.

20. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. — М.: Просвещение, 1995.

21. Скопец З.А. Геометрические миниатюры / З.А. Скопец. — М.: Просвещение, 1990.

22. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7—9 классы: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / И.Ф. Шарыгин. — М.: Дрофа, 2000.

23. Шарыгин И.Ф. Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в вузы (1987—1990) / И.Ф. Шарыгин // Квантор. — 1991. — № 5.

24. Шарыгин И.Ф. Математика. 2200 задач по геометрии для школьников и поступающих в вузы / И.Ф. Шарыгин. — М.: Дрофа, 1999.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

В приведенной ниже таблице указаны радиус описанной (R) и вписанной (r) окружностей, а также площадь S правильного n-угольника со стороной а.

Приложение 2

ВХОДНОЙ И ИТОГОВЫЙ ТЕСТЫ

ВХОДНОЙ ТЕСТ

1. Найдите меньший угол четырехугольника, если три угла его равны между собой, а четвертый меньше одного из них на 40°.

2. В параллелограмме ABCD ∠C = 40°. Точка Е лежит на стороне ВС, причем ∠BAE = 20° ,ЕС = 2 см, AB = 10. Найдите AD.

3. В параллелограмме ABCD сторона AB равна 10. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О и соответственно равны 14 и 10. Найдите периметр треугольника АОВ.

4. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD от вершин А и С отложены равные отрезки AF и СЕ. В четырехугольнике FBED ∠BFD = 50°. Найдите величину угла BED.

5. В четырехугольнике ABCD AB = CD, AB||CD. ∠CBD = 15°. Найдите величину угла BDA.

6. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. ∠COD = 60° ; CD = 10. Найдите длины диагоналей прямоугольника

7. Угол между высотами ромба, проведенными из одной из его вершин, равен 30°. Высота ромба равна 5. Найдите периметр ромба.

8. В квадрате сумма расстояний от его центра до его сторон равна 20. Найдите периметр квадрата.

9. В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основания) диагонали взаимно перпендикулярны; BE⊥AD, ED = 4. Найдите высоту трапеции.

10. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 45° (∠C = 90°). Е- середина AВ. Через точку Е проведена прямая, параллельная АС и пересекающая ВС в точке F; ЕF = 10. Найдите ВС.

11. В треугольнике ABC ∠В = 20°. Биссектрисы АA1 и СC1 пересекаются в точке О. Найдите величину угла АОС.

12. В трапеции ABCD (AD и BС — основания) АС — биссектриса угла А, AB = 6, AD = 10. Найдите среднюю линию трапеции.

13. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°), CD⊥AB, AD = 2, АB = 8. Найдите AC.

14. Угол AMB — вписанный в окружность с центром с О, ∠AMB = 30°. Радиус окружности равен 5. Найдите периметр треугольника AOB.

15. Из точки M, удаленной от центра окружности О на расстояние 10, проведены касательные MA и MB (А и В — точки касания), ∠AMB = 120°. Найдите МА + МВ.

16. Хорды и CD пересекаются в точке M, MD = 4, MC = 5, AM = 2. Найдите длину хорды AB.

17. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD равны 4 и 12. Найдите меньшую из сторон четырехугольника с вершинами в серединах сторон ABCD.

18. Углы, образованные стороной ромба с его диагоналями, относятся как 4:5. Найдите острый угол ромба.

19. Острый угол при основании равнобедренной трапеции равен 60°, а ее диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите острый угол между диагоналями трапеции.

20. Основания ВС и AD равнобедренной трапеции ABCD равны соответственно 3 и 5, а боковая сторона — 2. Найдите отношение, в котором биссектриса острого угла делит меньшее основание.

а) 3:1 6)3:2 в) 2:1 г) 1:1

Ответы к входному тесту

№ задания

1

2

3

4

5

6

1

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Код ответа

б

б

г

в

а

б

в

г

б

в

в

г

б

б

а

б

г

г

б

в

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ

1. Площадь треугольника ABС равна 18. Найдите площадь треугольника, одна вершина которого расположена в основании высоты данного треугольника, а две другие — в серединах сторон, заключающих высоту.

2. Найдите площадь равностороннего треугольника, если длина его высоты равна 7.

3. Сторона квадрата равна 4. На его диагонали построен новый квадрат. Найдите его площадь.

4. Стороны треугольника равны 7, 24 и 25. Найдите его площадь.

5. В треугольнике ABC AE и BD — высоты. АС = 10, BD = 8, ВС = 16. Найдите AE.

6. Основания треугольников равны, а высота одного из них в три раза больше высоты другого. Найдите отношение площадей этих треугольников.

7. В параллелограмме ABCD диагональ АС = 12, сторона AD = 10, ∠CAD = 30°. Найдите площадь параллелограмма.

8. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС и прямым углом CD А ВС = 2, AD = 6, AB = 10, ∠А = 30°. Найдите площадь трапеции.

9. В прямоугольнике диагональ равна 25, а одна из сторон — 15. Найдите катеты равновеликого ему равнобедренного треугольника.

10. В ромбе один из углов равен 60°. Меньшая диагональ равна √3. Найдите высоту ромба.

11. В треугольнике FKL точки N и Т лежат на стороне FL так, что FN = 4, TL = 10. При этом площадь треугольника KTL равна 5√3. Найдите площадь треугольника FNK.

12. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны a и b, a угол при основании равен 45°.

13. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 7:4, а ширина кольца равна 12. Найдите площадь кольца.

14. В прямой угол вписан круг. Хорда, соединяющая точки касания, равна

2. Найдите площадь круга.

15. Концы диаметра окружности удалены от касательной на расстояния 1,6 и 0,6. Найдите площадь круга.

16. Стороны треугольника ABС равны 5, 5 и 8. Найдите площадь заштрихованной фигуры (рис. 1 ).

17. На рис. 2 изображен полукруг с диаметром AD, дуги AB и CD равны по 45°. Площадь заштрихованной фигуры равна Q. Найдите площадь полукруга.

18. Дуга AB окружности равна 60°, а радиус — R. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рис. 3.

19. Две окружности, имеющие радиусы r и 3r, касаются друг друга внешним образом. AB — их общая касательная. Найдите площадь заштрихованной фигуры (рис. 4).

20. Радиусы двух концентрических окружностей равны 2 и 5. Найдите отношение площади кольца к площади большего круга?

Рис.1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Ответы к итоговому тесту

№ задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Код ответа

в

б

а

в

г

а

б

г

г

а

б

б

а

б

в

а

б

в

а

г

Приложение 3

ОТВЕТЫ К ИГРЕ «ТАНГРАМ»

Страус Заяц Свеча

Дама со свечой Дама Дама с платочком

Голубь Птеродактиль Лошадка

Сидящий человек Кораблик Лейка

Стоящий человек Человек с ножкой Человек без ножки

Человек Цапля

Гусь

Приложение 4

НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР В КВАДРАТЕ

Маска Заяц Бокал

Рыбка Китаец Гриб

Цветок Цветок Бабочка

Заяц Чаша Ежик

Песочные часы Птица

Приложение 5

СОСТАВЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР ИЗ «ВОЛШЕБНОГО КРУГА»

Волшебный круг Акула

Человек Цветок

Рыба

Приложение 6

СОСТАВЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР ИЗ «КОЛУМБОВА ЯЙЦА»

Колумбово яйцо Птица

Дракоша Летучая мышь

Человек Лошадка

Учебное издание

Малых Алла Ефимовна

Глухова Марина Ивановна

ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Учебное пособие

Редактор О. В. Вязова

ИБ № 448

Свидетельство о государственной аккредитации вуза № 1806 от 11.03.2009 г. Изд. лиц. ИД № 03857 от 30.01.2001 г. Подписано в печать 12.12.11. Формат 60×90 1/16 Бумага ксероксная. Печать на ризографе. Набор компьютерный Усл. печ. л. 6,75. Уч.-изд. л. 4,6 Тираж 100 экз. Заказ № 319

Редакционно-издательский отдел Пермского государственного педагогического университета 614990, г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 2, оф. 71, тел. (342) 238-63-12

Отпечатано в издательско-полиграфическом комплексе «ОТ и ДО» 614094, г. Пермь, ул. Овчинникова, 19, тел. (342) 224-47-47