РУКОВОДСТВО ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРИГОНОМЕТРІИ

для

ГИМНАЗІЙ И РЕАЛЬНЫХЪ УЧИЛИЩЪ.

Составилъ А. Малининъ.

ИЗДАНІЕ СЕМНАДЦАТОЕ.

Цѣна 60 коп.

ИЗДАНІЕ КНИЖНАГО МАГАЗИНА В. В. ДУМНОВА,

ПОДЪ ФИРМОЮ

„Наслѣдники бр. Салаевыхъ“.

Из Сергиевского Отделения Публичной Библиотеки Союза ССР имени В. И. Ленина.

МОСКВА.

Типо-литографія Русскаго Товарищества печатн. и издательск. дѣла. Чистые пруды, Мыльниковъ пер., соб. домъ.

1906.

ВВЕДЕНІЕ.

Предметъ тригонометріи есть рѣшеніе треугольниковъ. Рѣшить треуг. значитъ по достаточному числу данныхъ его частей опредѣлить остальныя; такъ, зная длины трехъ сторонъ треуг., найти углы его; по данному периметру и угламъ опредѣлить стороны треугольника—и т. под. задачи относятся къ рѣшенію треугольниковъ. Необходимо, чтобы въ числѣ данныхъ находилась по крайней мѣрѣ одна сторона или линія, находящаяся въ зависимости отъ сторонъ треуг.; напр., высота, радіусъ вписаннаго или описаннаго круга и т. под.; три угла еще не опредѣляютъ треуг., потому что можно представить себѣ безчисленное множество треуг., имѣющихъ соотвѣтственно равные углы; такіе треуг. подобны, и длина сторонъ ихъ остается совершенно произвольною. Треугольники могутъ быть начерчены на плоскости и имѣть сторонами прямыя линіи, или на поверхности шара, при чемъ сторонами ихъ будутъ дуги круговъ; поэтому и тригонометрія раздѣляется на прямолинейную или плоскую и сферическую. Въ предлагаемомъ руководствѣ изложена только прямолинейная тригонометрія.

Всякій вопросъ, относящійся къ рѣшенію треуг., можетъ быть рѣшенъ двумя способами: геометрически—построеніемъ и аналитически—вычисленіемъ. Графическій или геометрическій способъ не даетъ точныхъ результатовъ. Положимъ, напр., что въ треуг. извѣстна сторона = 357,36 сажен. и два прилегающіе угла 57*38'42" и 64*18'57", и требуется опредѣлить остальныя двѣ стороны и уголъ. Въ такомъ случаѣ, какъ извѣстно изъ геометріи, должно на произвольной прямой отложить линію, равную (по принятому масштабу) 357,36 саж., потомъ при концахъ ея построить углы въ 57*38’42" и 64*18'57", и треугольникъ опредѣлится. Измѣривъ остальныя двѣ стороны тѣмъ же масштабомъ, найдемъ длины ихъ въ тѣхъ единицахъ, въ какихъ дана первая сторона. Рѣшеніе, какъ видно, очень простое, но вмѣстѣ съ тѣмъ весьма неточное. Дѣйствительно, если принять въ масштабѣ сажень за линію, т.-е. за ‘/І0 дюйма, то пришлось бы отложить на бумагѣ 357,36 линіи, что составитъ почти 3 фута. Но сотыя части линіи нельзя отличить на бумагѣ, поэтому уже при отложеніи стороны мы дѣлаемъ ошибку; углы откладываются по транспортиру; но ни на одномъ транспортирѣ нѣтъ не только секундъ, но большей частью и минутъ; слѣд., опять будутъ ошибки; наконецъ, при измѣреніи другихъ сторонъ посредствомъ

масштаба также впадемъ въ погрѣшности. Притомъ, если бы мы при измѣреніи масштабомъ стороны треуг. сдѣлали ошибку, напр., въ одну линію, то въ дѣйствительности ошибка будетъ въ одну сажень, такъ какъ мы принимали сажень за линію. Поэтому ошибка въ окончательномъ результатѣ возрастаетъ пропорціонально тому масштабу, который избранъ для черченія; при томъ нельзя знать, меледу какими предѣлами заключаются погрѣшности, такъ какъ эти послѣднія зависятъ и отъ качества употребляемыхъ инструментовъ, и отъ искусства того, кто дѣлаетъ чертежъ. Такимъ образомъ, графическій способъ даетъ результаты весьма неточные, и, рѣшая треуг. по этому способу, мы не удовлетворимъ главному требованію при рѣшеніи каждой задачи, требованію, состоящему въ томъ, что если искомыя величины опредѣляются не точно, а приближенно, то во всякомъ случаѣ необходимо должна быть извѣстна степень приближенія. Для опредѣленія искомыхъ частей треуг. съ желаемой степенью точности, должно связать данныя съ неизвѣстными посредствомъ вычисленія, путемъ аналитическимъ; нужно вывести уравненія, которыя показывали бы, какія соотношенія существуютъ между сторонами и углами треуг. Въ геометріи уже были показаны нѣкоторыя соотношенія между сторонами треуг. или между его углами; такъ, напр., извѣстно, что квадратъ гипотенузы равенъ суммѣ квадратовъ катетовъ; извѣстно, чему равенъ квадратъ стороны, лежащей противъ остраго или тупого угла треуг.; извѣстна сумма угловъ треуг., и т. под. Что касается того, въ какой зависимости находятся углы отъ сторонъ треуг. и обратно, то изъ геометріи извѣстно только, что противъ равныхъ сторонъ лежатъ равные углы; что съ увеличеніемъ угла увеличивается и противолежащая сторона—и обратно; но мы не можемъ сказать, во сколько разъ увеличится уголъ, если противолежащая ему сторона увеличится въ 2,3... раза. Чтобы опредѣлить, какія именно соотношенія существуютъ между сторонами и углами треуг—ка, нужно вывести уравненія, которыя бы связывали ихъ между собою и выражали ихъ взаимную зависимость; а такія уравненія не могли быть выведены въ геометріи, потому что углы и стороны суть количества разнородныя; поэтому, чтобъ вывести ихъ, нужно углы и стороны треуг. привести къ одной единицѣ; иначе говоря, нужно показать способъ измѣрять углы не дугами, какъ было показано въ геометріи, а прямыми линіями. Для этого служатъ особыя линіи, наз. тригонометрическими, которыя мы теперь и будемъ разсматривать.

ГЛАВА I.

Тригонометрическія величины и ихъ взаимныя отношенія.

1. Возьмемъ произвольный уголъ ВАС (чер. 1) и назовемъ его а; изъ вершины его А радіусомъ, равнымъ какой-нибудь линейной единицѣ, опишемъ дугу СВ; перпендикуляръ BD, опущенный изъ конца В этой дуги па радіусъ, проходящій черезъ ея начало С, наз. синусомъ угла а или дуги ВС; а отрѣзокъ AD или разстояніе конца синуса отъ центра наз. косинусомъ угла а. Если изъ точки С возставимъ перпендикуляръ къ радіусу АС, то онъ будетъ, какъ извѣстно, касательной къ дугѣ ВС, и отрѣзокъ его СЕ между началомъ дуги и продолженнымъ радіусомъ есть тангенсъ угла а. Линія АЕ, или радіусъ, продолженный до встрѣчи съ тангенсомъ, наз. секансомъ угла а.

Возставимъ перпендикуляръ изъ А къ линіи АС, получимъ уголъ ВАЯ==90°— —а; продолжимъ дугу СВ до пересѣченія съ АН и проведемъ тригонометрическія линіи угла BÄH', линія BG, или синусъ угла BAU, равна, какъ видно по чертежу, AD, или косинусу угла а; и обратно AG, косинусъ BAH=BD, т.-е. синусу угла а. Линія НМ, или тангенсъ угла ВАН, наз. котангенсомъ а; AM, секансъ дополнительнаго угла, наз. косекансомъ а. Такимъ образомъ мы имѣемъ шесть тригонометрическихъ линій: синусъ, косинусъ, тангенсъ, секансъ, косекансъ. Онѣ обозначаются слѣдующимъ образомъ:

Чер. 1.

2. Каждая изъ тригонометрическихъ линій опредѣляетъ уголъ. Положимъ, напр., что sna= 2/3; чтобы построить уголъ а, проводимъ произвольную прямую и изъ какой-нибудь ея точки А (чер. 2) радіусомъ ЛВ=1 опишемъ дугу; изъ В возставимъ перпендикуляръ ВС= г/3АВ; проведя изъ С прямую CD И AB и соединивъ точку D съ А, получимъ ут. DAB, котораго sn=2/3.

Если бы хотѣли построить уг. по данному косинусу, то, описавши дугу радіусомъ=единицѣ, должно отъ центра А отложить на радіусѣ часть AG, равную данному косинусу, и изъ G провести синусъ; соединивъ точку D съ центромъ, получимъ требуемый уголъ.

Чтобъ построить уг. по данному tg, должно изъ В (чер. 3) возставить перпендикуляръ къ радіусу, отложить на немъ часть, равную величинѣ tg и соединить конецъ С тангенса съ центромъ.

По данному sc уголъ строится слѣдующимъ образомъ: пусть, напр., sca=173; описавъ изъ А (чер. 3) дугу радіусомъ = единицѣ, проводимъ изъ В перпендикуляръ къ AB; потомъ изъ А радіусомъ 1 */3 опишемъ дугу; соединивъ точку С съ центромъ, получимъ уголъ, котораго sc = 1 •

Учащіеся сами найдутъ способы построенія угла по данному ctg и по данному csc.

3. Такимъ образомъ, зная длину sn, cs, tg... при радіусѣ= 1, мы можемъ опредѣлить уг.; но если бы длина радіуса была произвольная, то однимъ sn, cs... мы не могли бы опредѣлить уг., потому что, принимая вершину угла за центръ, можно описать множество дугъ и, слѣд., провести множество sn, tg и т. д., какъ это и видно на чер. 4 и 5; такъ что если, напр., скажутъ, что sn угла равенъ 2 фут., то мы не можемъ опредѣлить, какому углу принадлежитъ этотъ синусъ. Точно также нельзя опредѣлить

Чер. 2. Чер. 3.

уг., котораго tg=3 арш., потому что можно представить себѣ безчисленное множество уг., которые, при различныхъ радіусахъ, будутъ имѣть такой tg. Но если, кромѣ длины какой-нибудь тригон. линіи, будетъ извѣстна еще и длина радіуса, то этого будетъ уже слишкомъ много для опредѣленія угла, потому что тогда опредѣлится не только уг., но и цѣлый треуг.; для опредѣленія угла достаточно знать только отношеніе какой-нибудь тригон. линіи къ радіусу. Дѣйствительно, изъ подобія треуг. ABD, ABlB1, AB2D2... (чер. 4) и AMN, AM1Nl, AM2N2... (чер. 5) имѣемъ:

т.-е. каждый sn, tg и т. д. относится къ своему радіусу такъ, какъ другой, третій и т. д. sn, tg... относятся къ своимъ радіусамъ; иначе говоря, отношеніе каждой тригон. линіи къ радіусу есть для каждаго угла величина постоянная, и этимъ-то отношеніемъ мы и можемъ опредѣлить величину угла. Такъ, впослѣдствіи увидимъ, что если отношеніе sn къ радіусу = ‘/2 (иначе говоря, если sn=*/2 радіус.), то уг.=30в; въ уг. 45° отношеніе tg къ радіусу = 1,т.-е. tg —радіусу, и т. п. Обыкновенно полагаютъ радіусъ = единицѣ; тогда величины тригон. линій выразятся отвлеченными числами; но очевидно, что, зная отношеніе тригон. линіи къ радіусу, равному единицѣ, легко опредѣлить длину ея при какой-нибудь другой длинѣ радіуса; такъ, уг. 30° при радіусѣ 10 фут. будетъ имѣть синусъ =5 фут.; если csa= 2/3, то при г = 27 дюйм. онъ будетъ = 18 дюйм. и т. под. Вообще, чтобъ узнать длину тригон. линіи даннаго уг. при данномъ радіусѣ, должно ея отношеніе къ радіусу или число, показывающее ея длину при г—1, помпожить на число, выражающее длину радіуса; а какъ опредѣлить это отношеніе — объ этомъ будетъ сказано впослѣдствіи.

Чер. 4. Чер. 5.

Замѣтимъ, что иногда самыя тригон. линіи, т.-е. синусы, косинусы и т. п., наз. тригонометрическими величинами дуги, а отношенія ихъ къ радіусу — тригон. величинами угла или натуральными синусами, косинусами и т. д. Мы однако не будемъ различать этихъ названій, а, говоря sn, cs., будемъ всегда понимать ихъ, какъ отношенія этихъ линій къ радіусу, или какъ длины ихъ при радіусѣ = единицѣ, называя ихъ безразлично sn, cs... угла или дуги, такъ какъ уголъ измѣряется дугою.

Такимъ образомъ, видимъ, что при радіусѣ = единицѣ, величина угла находится въ зависимости отъ величины его тригон. линій, и мы можемъ поэтому вводить въ вычисленіе углы, употребляя такую же единицу, какъ и для прямыхъ линій, а эту именно цѣль мы и имѣли въ виду.

4. Уравненія «/ = snx, ^ = tga:... опредѣляютъ sn, tg... дуги .т; наоборотъ, если хотятъ выразить дугу по sn, tg...., то пишутъ æ=arcsn«/ (rr=arcos sinus у), æ=arctg^, т.-е. х есть дуга, которой синусъ равенъ у или которой тангенсъ есть г.

5. Разсмотримъ теперь взаимныя соотношенія тригонометр. величинъ одной и той же дуги. Изъ прямоуг. треуг. ABD (чер. 6) имѣемъ: ВВ2 + АІ)2 = AB2, или sn2« -J- cs’a = 1... (1), полагая г= 1.

Изъ подобія треуг. ABD и АЕС имѣемъ:

откуда

(2);

(3)

Изъ треуг. АЕС имѣемъ АЕ2 = АС2 4- СЕ2,

(4).

Изъ подобія треуг. АМН AB G находимъ:

откуда

(5);

(6)

Чер. 6.

Изъ треуг. АМН имѣемъ

(7);

Перемноживъ ур. (2) и (5), найдемъ

откуда

(8).

6. Предыдущіе 8 уравн. даютъ зависимость между тригон. величинами одной и той же дуги; помощью этихъ уравн. можно черезъ одну какую-нибудь тригон. величину опредѣлить всѣ прочія. Такъ, напр., слѣдующія формулы опредѣляютъ всѣ тригон. величины по sn.

Положимъ еще, что

и опредѣлимъ всѣ тригонометрическія величины дуги Ъ черезъ п. Имѣемъ:

7. Задачи. 1) Построить уголъ, котораго sn=1/2? 2/3? 1? О? І1/^?

2) Построить уг., котораго cs=1/4? О? 1? 2?

3) Построить arctg 3/4? О? 1? 3?

4) Построить arcsc 13/4? 1? 72?

5) Построить arccsc 12/5? arcctg 3/5?

6) Построить уг., котораго cs=1/2 его sn? sn=2/3tg? sn=cs?

7) Показать, что въ каждомъ углѣ sc больше tg? csc больше ctg?

8) Сколько градусовъ въ углѣ, котораго sn равенъ 1/2 стороны прав. п—угольника, вписаннаго въ кругъ рад. 1?

9) Вычислить snx, csx..., полагая tgx=3/4?

Опредѣлить всѣ триг. величины: 10) черезъ cs? 11) черезъ ctg?

12) черезъ sc? 13) черезъ csc? 14) черезъ tg?

15) Опредѣлить всѣ триг. величины угла, котораго sn=0,21?

16) Данъ уг. а; построить arcsn 2sna? arctg 3tga?

17) Найти sn, tg, ctg угла x, котораго cs=3/4?

18) Опредѣлить csc arctg2?

19) Найти tg угла, котораго sn==|/0,2?

20) Опредѣлить csx изъ урав. 5snx~ 3tgx?

21) Опредѣлить snx изъ урав. tgx+5ctgx=6?

26) Опредѣлить snx изъ урав. snx . csx=m?

27) Полагая tgx+ctgxzzznî, опредѣлить тригон. велич. x?

28) Произведеніе танг. двухъ уг.=1; одинъ уг.=а; найти другой?

29) впЗО0:^1//, опредѣлить тригон. велич. 30° при рад.=100?

30) Показать посредствомъ чертежа справедливость формулъ:

Опредѣлить триг. величины:

31) Опредѣлить csx изъ урав. acsx4-bsnx—x?

32) Найти триг. величины arctg 0,02?

33) Опредѣлить snx и csx изъ урав. snx=msnx и tgx=ntgx?

34) Опредѣлить tgx изъ урав. cscx—snxz=:m и scx—csx=n?

35) Найти, чему равно acsx-1-bsnx, если tgx=ba—х?

36) Исключить x изъ урав. cscx—snx=m и scx—csx=n? Показать справедливость формулъ:

44) Опредѣлить съ точностью до 0,01 триг. величины arctg 1,4?

Найти триг. величины:

48) Опредѣлить cscx изъ урав. snxcsx=72?

49) Опредѣлить триг. величины дуги x, если tgx-|" ctgx=2?

50) Опредѣлить csx изъ ур. 4csx+3snx=3?

51) Опредѣлить tgx изъ ур. acsx+bsnx=ja2_|_2?

52) Опредѣлить csx изъ yp.^ ï"-—|—Д-;—2=.О?

53) Найти величину snxcsx, полагая tgx=2?

54) Найти величину (sea—csa) . tga, полагая etgazzz1/^?

55) Опредѣлить csx изъ ур. tgx+snx=4; tgx—snx=3? Выразить черезъ snx слѣдующія формулы:

61) Вычислить

выразить черезъ csx?

63) Опредѣлить snrcsxtgxctgx, полагая

Выразить черезъ tg:

Выразить черезъ sc:

70) Опредѣлить

71) Вычислить триг. величины arecs 3/5?

72) Опредѣлить съ точностью до 0,01 триг. величины arctg5/4?

73) Вычислить

74) Показать, что если

75) Опредѣлить tgx изъ урав.

76) Опредѣлить snx изъ урав.

77) Упростить

78) Упростить выраженіе:

Выразить черезъ csc:

Вычислить триг. величины уг. x, для котораго:

86) Опредѣлить sn и cs угла, для котораго отнош. ихъ=

87) Опредѣлить snx, если tgx=1/< etgx?

Показать справедливость формулъ:

Опредѣлить snx изъ урав.:

Опредѣлить tgx изъ урав.:

Опредѣлить snx и snx изъ уравненій:

Опредѣлить snx, sn?/, snx изъ уравненій:

125) Опредѣлить snx, sny, snx, sn£ изъ уравненій:

126) Данъ уг. а\ построить уг. Ъ такъ, чтобы

127) Опредѣлить помощью триг. величинъ сторону прав. п—угольника и 2п—угол., впис. и опис. около круга, котораго рад.—1?

128) Опредѣлить триг. величины arccsc

129) Опредѣлить триг. величины уг. x если

130) Опредѣлить snx и csx изъ урав.

131) Опредѣлить триг. величины x, если

132) Опредѣлить snx изъ урав.

133) Опредѣлить триг. велич. уг. x, если

134) Опредѣлить tgx и tgx изъ уравн. :

135) Сумма синусовъ двухъ угловъ=11/2, отношеніе синусовъ=2; построить сумму этихъ угловъ?

136) Построить уг., котораго

137) Какова должна быть зависимость между т и п, чтобы были совмѣстны урав. tgx-[-snx=zn; tgx—snx=n?

138) Доказать, что если въ прямоугольномъ треуг—кѣ одинъ острый у г. вдвое меньше другого, то меньшій катетъ=1/2 гипотенузы, и на основаніи этого опредѣлить всѣ тригон. величины 30° и 60°?

139) Зная, что sna=cs(90°—а), опредѣлить всѣ тригон. величины 45°?

ГЛАВА II.

Измѣненіе тригонометрическихъ величинъ при измѣненіи дуги отъ 0° до 360° и далѣе.

8. Возьмемъ окружность, описанную радіусомъ, равнымъ единицѣ, и принявъ какую-нибудь ея точку В (чер. 7) за начало дугъ, проведемъ черезъ В діаметръ, построимъ произвольный уголъ САВ = а и проведемъ его синусъ и тангенсъ; CD = sna, AD—csa, BG = tga. Если уголъ а будемъ уменьшать, приближая точку С къ В, то синусъ и тангенсъ его будутъ уменьшаться, а косинусъ увеличиваться; наконецъ, когда уголъ а и дуга СВ обратятся въ нуль, точка С совпадетъ съ В, и, слѣд., линіи CD и GB также обратятся въ нуль, а линія AD обратится въ AB. Итакъ sn0° = 0; csO°=l; tgO°= 0.

Обратно—при увеличеніи уг. а, его sn и tg увеличиваются, а cs уменьшается, такъ что когда а обратится въ прямой уг., то линія CD сольется съ радіусомъ АЕ, который, будучи перпендикуляромъ къ AB, и будетъ sn прямого угла; cs обратится

Чер. 7. Чер. 8.

въ нуль, такъ какъ cs есть, какъ извѣстно, разстояніе между вершиной угла и концомъ sn, а въ данномъ случаѣ эти двѣ точки совпадаютъ. Поэтому sn9O°=l; cs90°=0; tg90° = ^ = co. И дѣйствительно, tg есть отрѣзокъ касательной, заключающійся между началомъ дуги и продолженнымъ радіусомъ; но въ случаѣ прямого угла тангенсъ параллеленъ радіусу AB (чер. 8) и не можетъ съ нимъ пересѣчься.

Положимъ, что дуга будетъ еще увеличиваться, такъ что точка Е перейдетъ въ II; если уг. НАМ=а, то БЛЛ=180°—а. Проведемъ sn этой дуги; для этого должно изъ конца ея И опустить перпендикуляръ HN на продолженіе радіуса; HN и будетъ sn(180° — а), а J.7V=cs(18O0—а); по чертежу видно, что HN=sna, AN=csa; слѣд., sn(180° — a)=sna; cs(180 — — a) = csa. При этомъ представляется вопросъ: какимъ образомъ отличить уг. а отъ уг. 180°—а, острый уг. отъ тупого, служащаго ему дополненіемъ до двухъ прямыхъ, если sn и cs ихъ одинаковы? Для этого должно обратить вниманіе не только на величину sn и cs, но и на геометрическое положеніе этихъ линій. Геометрическое положеніе линій выражается ихъ знаками.

Возьмемъ какую-нибудь прямую ВС (чер. 9) и на ней двѣ точки А и В, разстояніе которыхъ AB пусть будетъ равно d; положимъ, что извѣстно разстояніе т точки А отъ какой-нибудь точки Е линіи ВС, и мы хотимъ найти разстояніе точки В отъ той же точки Е. Если означить это разстояніе черезъ X, то очевидно, что х — d 4- т или x = d — т, смотря по тому, въ какую сторону отъ А находится точка Е. Такимъ образомъ, для опредѣленія искомаго разстоянія х надобно бы употребить двѣ различныя формулы; но и одной формулы будетъ достаточно, если только разстояніямъ, которыя имѣютъ противоположное другъ другу направленіе относительно точки А, придать различные знаки, то есть считать одно положительнымъ, а другое отрицательнымъ. Въ самомъ дѣлѣ, если въ формулѣ x = d т положить т—+ АЕ, то она будетъ выражать разстояніе В отъ точки Е, лежащей вправо отъ А; а взявши т отрицательнымъ, положивъ т=—АЕ, найдемъ разстояніе В отъ Е въ томъ случаѣ, когда Е лежитъ влѣво отъ А.

Чер. 9.

Такимъ образомъ, первая формула x=d+m опредѣляетъ искомое разстояніе при всякомъ положеніи точки Е, и слѣд. вторая формула x = d— т дѣлается лишнею. Можно бы также считать т положительнымъ влѣво, а отрицательнымъ вправо отъ Л; тогда нужно будетъ оставить только вторую формулу.

Сказаннаго достаточно, чтобы понять слѣдующее правило, предложенное Декартомъ: если будемъ разсматривать на какой-нибудь линіи, прямой или кривой, различныя разстоянія отъ какой-нибудь постоянной точки, находящейся на той же линіи и принимаемой за общее начало, то разстоянія, находящіяся по одну сторону начала, должно брать въ вычисленіяхъ со знакомъ +, а по другую сторону его со знакомъ —. Въ какую именно сторону брать положительныя разстоянія—это остается совершенно произвольнымъ; но уже разъ выбравши извѣстную сторону, отрицательныя разстоянія необходимо откладывать въ сторону, противоположную положительнымъ; такъ, если условимся считать положительными разстоянія вверхъ или вправо отъ начала, то внизъ или влѣво они должны быть отрицательными: если т означаетъ линію въ т какихъ-нибудь линейныхъ единицъ, отложенную вправо отъ начала, то—т будетъ означать такую же линію, отложенную влѣво отъ начала.

Разстоянія, считаемыя отъ одного начала, но въ разныя стороны, находятся въ такомъ же отношеніи другъ къ другу, какъ въ алгебрѣ положительныя и отрицательныя количества. Такъ, извѣстно, что сумма двухъ количествъ, имѣющихъ одинакую числовую величину, но разные знаки, равна нулю; напр., + т + (—т)=+т— m = Q\ точно также, отложивъ вправо отъ какого-нибудь начала А (чер. 10) линію АВ = т и отъ точки В влѣво линію ВА = — т, придемъ опять въ точку Л, и такимъ образомъ результатъ сложенія линій 4- т и —т есть нуль. Если бы требовалось отложить отъ А линію, равную т — п, то отложивъ вправо отъ А линію АВ=т, должно изъ AB вычесть и; для этого влѣво отъ В откладываемъ п; разстояніе отъ А до конца линіи п (считая В ея началомъ) и будетъ т — п-, при этомъ, если пст, то конецъ п будетъ находиться между А и В, а линія т — п вправо отъ А, и тогда разность т — п будетъ положительная, наоборотъ, если

Чер. 10.

п>т, то т — п будетъ количество отрицательное, и искомая линія будетъ лежать влѣво отъ А.

Обращаясь теперь къ cs тупого угла 2?AÆ=180°—а (чер.7), видимъ, что хотя линія AN = AD, но положеніе имѣетъ обратное, и потому, если AD=csa, то — csa. Линія AD = csa есть разность двухъ линій AB и DB, изъ которыхъ вторая при измѣненіи угла а измѣняется въ томъ же смыслѣ (т.-е. съ увеличеніемъ угла увеличивается — и обратно), а первая — радіусъ — остается постоянною; пока a<90°, DB<радіуса, слѣд., csa есть величина положительная; при а =90°, DB обращается въ радіусъ, а csa въ нуль; если a>90°, то DB>радіуса (напр., для угла ВАН онъ равенъ BN), вычитаемое болѣе уменьшаемаго, и разность, или cs(180°—a), дѣлается отрицательною.

Такимъ образомъ,

слѣд.,

И дѣйствительно, чтобъ провести тангенсъ угла 180° — а, должно (чер. 11) въ точкѣ В провести касательную до встрѣчи съ продолженнымъ радіусомъ СА; эта касательная должна быть проведена внизъ, иначе она не встрѣтится съ радіусомъ, и слѣд., линія DB = tg(180°—а) имѣетъ положеніе обратное тому, какое имѣетъ tg въ уг. a (чер. 7), и потому величину tg(180° — a) должно считать отрицательною.

Положимъ, что дуга продолжаетъ увеличиваться и обращается въ 180° (чер. 12); тогда sn и tg ея обращаются въ нуль, а cs въ радіусъ; но косинусъ имѣетъ положеніе обратное, и потому

Продолживъ линію СА (чер. 7) до точки Р, получимъ дугу ВЕР=180°+4-а, синусъ ея (чер. 13) будетъ PN, а косинусъ AN, т.-е. такіе же, какъ въ углѣ а; но такъ какъ синусъ теперь имѣетъ положеніе, обратное тому, какое онъ имѣлъ въ углѣ ВАС (чер. 7), а косинусъ былъ уже отрицательный, то

По чер. 13 видно, что tg и долженъ быть положительнымъ, потому что имѣетъ прямое положеніе, т.-е. такое, какъ въ углѣ а.

Чер. 11.

При дальнѣйшемъ увеличеніи дуги получимъ дугу въ 270°; sn270’=J.O=—1; cs обращается въ нуль; но какъ косинусы въ третьей четверти окружности отрицательные, то cs270° = — 0; tg270°= —-]- со, что и должно быть, потому что перпендикуляръ, возстановленный изъ точки В (чер. 14), не встрѣтится съ продолженнымъ радіусомъ; притомъ въ третьей четверти тангенсы положительные, слѣд. и tg2 70’долженъ быть положительный.

Переходя въ послѣднюю четверть окружности, продолжимъ линію НА до S (чер. 7); получимъ дугу BMS= 360’ — а;

Если точка b при движеніи совпадаетъ съ В, то дуга обратится въ окружность; синусъ и тангенсъ ея обратятся въ нуль, а косинусъ въ радіусъ, такъ что sn360’=0;cs360’=l; tg360*=0.

Наконецъ, когда точка В перейдетъ въ С (чер. 7), то дуга обратится въ 36О’-]-а; ея тригонометрическія величины будутъ тѣ же, что и для дуги а; т.-е.

Чер. 12. Чер. 13.

Чер. 14. Чер. 15.

= csa; tg(360° 4~ a) = tga. Вообще, если къ дугѣ а придать сколько угодно окружностей или, что то же, четное число полуокружностей, то тригонометрическія величины ея не измѣняются, такъ что

Отсюда легко видѣть, что если придать къ дугѣ нечетное число полуокружностей, то тригонометрическія величины ея будутъ тѣ же, какъ для дуги 180° 4~ а. Дѣйствительно:

Точно также найдемъ, что

9. Если принявши въ окружности точку В (чер. 16) за начало дугъ, отложимъ по обѣ стороны ея равныя дуги ВС и BD, построимъ углы САВ и BAD и положимъ САВ = а, то уг. BAD, какъ равный САВ, но имѣющій обратное положеніе, будетъ=—а; проведя синусы и тангенсы обоихъ угловъ, видимъ, что они попарно равны, но имѣютъ обратное положеніе относительно другъ друга; косинусъ же обоихъ угловъ общій; поэтому sn( — а) = — sna;

10. При разсмотрѣніи измѣненій тригонометрическихъ величинъ въ окружности мы пропустили величины sn, cs, tg для дугъ 90° 4-а, потому что эти дуги могутъ быть приведены къ виду такъ,

Подобнымъ образомъ опредѣляется cs и tg.

11. Измѣненія ctg, sc, csc учащіеся выведутъ сами по формуламъ

Чер. 16.

Всѣ эти измѣненія помѣщены въ слѣдующей таблицѣ:

12. На основаніи предыдущаго, легко показать, что тригонометрическія величины всякой дуги можно выразить посредствомъ тригон. величинъ дуги, заключающейся между 0° и 45°. Возьмемъ, напр., дугу въ 2047°; раздѣливъ 2047 на 360, найдемъ, что дуга въ 2047°= 5 окружностямъ 4-247°; слѣд.:

Подобнымъ образомъ:

13. Каждая дуга имѣетъ только одинъ sn, cs...; такимъ образомъ, если имѣемъ урав. y=snæ, z=csx, n=tgx...-, гдѣ х, положимъ, извѣстно, то каждое изъ этихъ уравн. имѣетъ только одно рѣшеніе; напротивъ, одинъ и тотъ же sn, cs.., можетъ принадлежать множеству дугъ, такъ что уравн.

имѣютъ множество рѣшеній. Такъ если

Если csx=—1, то х можетъ быть равно одной, тремъ..., вообще нечетному числу полуокружностей, такъ что общій видъ дуги x, удовлетворяющій уравненію csx=—1, или arccs(—1)=(2и+1)180°.

Изъ геометріи извѣстно, что длина окружности=2тиг; а если радіусъ=4, то длина окружности=2л; слѣд. тг выражаетъ длину полуокружности при рад.=1 ; и потому общій видъ дуги, которой cs равенъ—1, можно представить еще слѣдующимъ образомъ: arccs(— 1)=(2п4“1)тг.

14. Задачи. 1) Опредѣлить sn, cs, tg слѣдующихъ дугъ:

2) Опредѣлить sn, cs, tg дуги

3) Опредѣлить х изъ уравн.

4) Опредѣлить х изъ уравн.

5) Опредѣлить arcsn(ztzl)?

6) Опредѣлить arcsn(—Va), зная, что

7) Опредѣлить общій видъ дуги, которой

8) Показать справедливость формулъ:

9) Опредѣлить х изъ уравн.

10) Показать справедливость формулы

11) Опредѣлить sn, cs, tg, sc, csc слѣдующихъ дугъ:

Вычислить выраженія:

14) Слѣдующія выраженія замѣнить такими, которыя содержали бы углы менѣе 45°:

Вычислить выраженія:

Упростить выраженія:

Показать справедливость формулъ:

40) У г. а на столько меньше 45°, на сколько уг. Ъ больше 45°;

42) Уг. я, на столько больше 45°, на сколько меньше 90°, sna=csb; чему равенъ уг. Ь?

44) Опредѣлить всѣ триг. величины

44) Опредѣлить всѣ триг. величины

45) Опредѣлить всѣ триг. величины

46) Опредѣлить всѣ триг. величины Показать справедливость формулъ:

51) Зная sn 15° =

опредѣлить триг. вел. 105°?

54) Построить дугу x, если

55) Опредѣлить наименьшее положительное значеніе x, при которомъ snx=—sn40°? snx=—cs26°? ctgx=—tg38°?

56) Зная, что tg45°=l, опредѣлить sn315°4-2cs315°?

57) Зная, что sn30°=72> опредѣлить 3cs240°—2tg240°?

58) Дуга x<180° и удовлетворяетъ уравн. sn2x4“3snx—2,8125—0; построить дугу x?

59) Построить дугу x, удовлетворяющую уравн. 6cs2x4”^csx=—1, полагая x<3/2тт?

60) Построить, въ предѣлахъ 0° и 360°, дуги х и x, удовлетворяющія уравн. 9tgx-[~tg?/=4; 2ctgx-|“4ctg?/=l?

61) Можетъ ли быть такой прямоугольный треугольникъ, чтобы одинъ изъ угловъ его х удовлетворялъ уравн. cs2x-[-csx-]“3/i6=О?

62) Дуги 7<7Г? а и 7і271 составляютъ ариѳметическую прогрессію; опредѣлить дугу, которой cs равенъ sn«?

63) Уг. а острый, и sn«=0,28; опредѣлить tg(90°+«)?

64) Дуга cs«=—52/173; вычислить tg«—sc«?

65) Въ треуг. АВС данъ уг. А и ctg Л=—2; вычислить sn угла, равнаго суммѣ остальныхъ угловъ тр—ка?

ГЛАВА III.

Тригонометрическія величины суммы и разности дугъ, кратныхъ и дробныхъ дугъ.

15. Положимъ, что имѣемъ двѣ дуги а и Ъ, которыхъ sn, cs, tg извѣстны; опредѣлимъ sn, cs, tg суммы и разности ихъ,

Выводъ формулы sn(a±b) основывается на слѣдующей леммѣ: всякая хорда въ окружности есть двойной синусъ угла, на нее опирающагося и имѣющаго вершину на окружности. Для доказательства построимъ при центрѣ круга (чер. 17) два равныхъ угла АСВ и BCD; ихъ синусы АЕ и ED равны между собою, слѣд., J.D=2sn АСВ; но

ACB=AHD=AMD..., такъ какъ AHD, AMD... измѣряются половиною дуги AD-, слѣд., AD=2snAHD=2snAMD==...

16. Возьмемъ окружность (чер. 18), проведемъ діаметръ AB и построимъ на немъ углы а и b; соединивъ точки А, С, В, D прямыми, получимъ четыреугольникъ ACBD,въ которомъ уг. С и D прямые, уг. СВЛ=90°—а, ABD=90<‘—Ъ. Изъ геометріи извѣстно, что во всякомъ четыреугольникѣ, вписанномъ въ кругъ, произведеніе діагоналей равно суммѣ произведеній противолежащихъ сторонъ; слѣд., AB . CD=GB . AD+AC.BD.

Но АВ=2г, и по предыдущей леммѣ:

или, положивъ г=1

и сокративъ на 2.2, найдемъ:

(П).

Вставивъ—Ъ вмѣсто Ъ въ формулу (11), получимъ:

Но (§ 9)

слѣд.,

(12).

Извѣстно, что

слѣд.,

Полагая

по форм. (12) получимъ:

(13).

Измѣнивъ b въ—Ь, получимъ:

(14).

Раздѣливъ выраженіе (11) па 13), находимъ:

раздѣливъ каждый членъ числителя и знаменателя этой дроби на csacsb, получимъ:

(15).

Взявши Ъ отрицательнымъ и замѣтивъ, что tg(—b) = — tgb, получимъ:

(16).

17. Выраженіе sn(ß—6) и cs(a±b) можно также вывести геометрически. Возьмемъ окружность (чер. 19), проведемъ діаметръ, построимъ на немъ уг. САВ—а^ и полагая Ъ<^ау отложимъ ВАВ~Ъ\ проведя .ВС, СВ, ВВ, имѣемъ: Но

Для вывода cs(æ Ь) чертимъ (чер. 20) углы а и Ъ при концахъ діаметра А и В, и проведя прямыя AB, ВС, СВ) имѣемъ: AC. BD—

Чер. 19. Чер. 20.

Чер. 21.

Наконецъ, чтобъ опредѣлить cs(a—b), отложимъ уголъ Ъ внизъ отъ діаметра (чер. 21); тотда, слѣлавъ то же построеніе, найдемъ:

18. Выраженіе sn(a+b) и cs(a±b) можно вывести еще слѣдующимъ способомъ.

1) Возьмемъ произвольный острый уголъ ВАС и изъ вершины его А (чер. 22) радіусомъ АВ=А опишемъ дугу ВС\ на дугѣ ВС возьмемъ какую-нибудь точку D и соединимъ JD съ Л; положимъ, что уг. JDAB = a^ уг. DAG= Ъ\ тогда уг. ВАС=а+Ъ. Построимъ sn и cs угловъ а. Ь и а+Ъ.

Проведя еще MN\ÄB и MB I СЕ, видимъ по чертежу, что,

Но треуг. AMNc^ADH, ибо MN || DH, и треуг. СМР со ADH, ибо стороны ихъ взаимно-перпендикулярны; поэтому:

откуда

А потому cs(a-(-b)zzz21A—MF=csacsb—snasnb.

2) Отложимъ въ углѣ САВ = а (чер. 23) часть CAD =. тогда уг.

проведемъ

тогда

По чертежу видно, что:

Величины MN, MP, AN, PD опредѣлимъ изъ подобія треугольниковъ AMN и А CE, MDP и АСЕ.

Такъ какъ

Чер. 22.

Чер. 23.

19. При выводѣ формулъ sn(a±6) и cs(«zt6) мы полагали а и Ъ менѣе 90°; докажемъ справедливость этихъ формулъ и въ томъ случаѣ, когда одна изъ дугъ или обѣ будутъ болѣе 90°. Пусть,напр., а>90°; тогда можно положить «=180° — я,гдѣ же 90°; слѣд., а -4-6=180°— х-4- 6=180° — (х—b); sn(a4-

слѣдов.

Если а>90° и Ъ>90®, то

а потому

Точно такъ же докажется справедливость формулъ

20 Легко также вывести выраженія sn, cs, tg суммы трехъ, четырехъ и болѣе дугъ. Такъ:

Поставивъ вмѣсто sn(a + b), cs(a -ф- b), ^ё(а + b) ихъ выраженія и сдѣлавъ сокращеніе, найдемъ

Подобнымъ образомъ можно вывести выраженія

21. По формуламъ sn, cs, tg суммы двухъ дугъ легко опредѣлить sn, cs, tg двойной, тройной и т. д., вообще кратныхъ дугъ.

Полагая въ форм. (11), (13) и (15) Ь=а, получимъ выраженія sn, cs, tg двойной дуги:

(17) ;

(18) ;

(19).

Изъ форм. (17) видно, что sn2a<2sna, потому что 2sna должно помножить на csa, т.-е. на число, меньшее единицы, чтобы получить sn2a; это же видно и на чер. 24, гдѣ sn2a есть BD, а 2sna есть ВС; а ВІ)<ВС.

22. Положивъ Ь = 2а въ формул. (11) и (13). найдемъ

23. Возьмемъ уравн. (1) и (18):

Складывая и вычитая ихъ, найдемъ

(20).

(21), откуда

Подставивъ въ послѣднія два выраженія а вмѣсто 2а и, слѣд.,

вмѣсто а, найдемъ

(22);

(23).

Раздѣливъ ур. (23) и (22), получимъ

помноживъ числителя и знаменателя подкоренной величины на

найдемъ

(24). Формулы (23), (22) и (24) опредѣляютъ sn, cs, tg половинной дуги.

Замѣтимъ, что если въ выраженіи

умножимъ

Чер. 24.

числит. и знаменателя подкоренной величины на знаменателя, то получимъ

Легко доказать, что это выраженіе тождественно съ формуя. (24).

24. Если хотимъ опредѣлимъ sn1/^, то возьмемъ выраженіе sn3a подставимъ а вмѣсто За и, слѣд., І/За вмѣсто а; найдемъ snazr^Ssn^a—4sn73a; полагая sna = m, sn х/3 a = x, получимъ кубическоеуравн. т — Зх—4x3, или х3—1/1т = 0. Если бы мы могли построить это уравн., то мы бы нашли графически sn1^ угла и слѣд., раздѣлили бы уголъ на три равныя части; но извѣстно, что по способамъ начальной геометріи нельзя построить уравн. 3-й степени; поэтому и задача о дѣленіи угла на 3 равныя части по способамъ начальной геометріи, т.-е. помощью циркуля и линейки, не можетъ быть рѣшена, кромѣ нѣкоторыхъ частныхъ случаевъ.

Опредѣленіе тригонометр. величинъ для приводится къ рѣшенію уравн. 4-й, 5-й... степеней.

25. Задачи. 1) Опредѣлить

2) Опредѣлить

3) Опредѣлить

4) Опредѣлить

5) Опредѣлить

6) Опредѣлить

7) Опредѣлить

8) Рѣшить уравн.

9) Опредѣлить snx и snx изъ урав.

10) Опредѣлить tgx изъ уравн.

11) Опредѣлить csx изъ уравн.

12) Опредѣлить tgx и tgx изъ уравн.

13) Вывести выраженіе

14) Выразить

15) Выразить

16) Вывести уравн. опредѣляющее

17) Показать, что если

Показать справедливость формулъ:

24) Полагая snx=3/4, вычислить sn, cs, tg 2x и 1/2x?

25) Полагая вычислить sn, cs, tg 2x и i/\x7

26) Опредѣлить x изъ урави. sn(x—«)z=cs(x-f-«)?

27) Полагая snx=3/5, csz/=2/5, опредѣлить съ точностью до 0,01 величины sn(x—у) и cs(x+?/)?

28) Найти tg(«z±6), полагая tg« = 2, tgb = 3?

29) Полагая csx=n, sn^=m, опредѣлить tg(x±?/)?

30) Опредѣлить sn2x и cs2x, если csx равенъ отношенію геометрическаго средняго между числами т и п къ ариѳметической срединѣ тѣхъ же чиселъ?

31) Опредѣлить cs2x, полагая snx=0,6?

32) Опредѣлить sn3« и cs3«,

33) Полагая

34) Показать, что

35) Показать, что

36) Показать, что

37) Показать, что

38) Опредѣлить csx и ctgx, зная, что

39) Опредѣлить

изъ уравн.

40) Показать, что

41) Показать посредствомъ чертежа:

Вычислить триг. величины а+Ъ и а—Ь, полагая:

51) Опредѣлить sn, cs, tg, ctg, sc, csc 5« чрезъ sn, cs...«?

52) Опредѣлить x изъ уравн.

Показать справедливость формулъ:

73) Опредѣлить tgx изъ уравн.

74) Опредѣлить tgx изъ уравн.

76) Показать, что если

77) При какомъ условіи

78) Показать, что

Показать справедливость формулъ:

82) Показать, что если

83) Вычислить съ точностью до 0,01 величины

84) Опредѣлить

85) Опредѣлить

93) Исключить x изъ урав.

94) Исключить X и у изъ уравненій:

95) Исключить X изъ уравн.

96) Выразить snx и csx черезъ

97) Выразить sny2a и csl/2a черезъ tga?

98) Опредѣлить csx изъ ур.

Рѣшить уравненія:

105) Зная, что

106) Зная, что

107) Полагая

108) Полагая

опредѣлить

109) Полагая

опредѣлить

110) Основываясь на томъ, что

111) Изъ уравн.

112) Опредѣлить

113) Опредѣлить

Исключить X изъ уравн.:

116) Доказать, что если

117) Числовая величина sn дуги x, большей 8/2тс и меньшей 2к,

равна

118) Въ окружности, которой центръ О, а рад. = 1, проведенъ діаметръ AB\ на діаметрѣ взята точка М и изъ нея возставленъ къ діаметру перпендикуляръ ЛГР до пересѣченія съ окружи.; точка Р соединена съ центромъ О; уг. РОА=а. Доказать на этомъ чертежѣ, что

Зная что tg45°=l, доказать что:

ГЛАВА IV.

Приведеніе формулъ къ виду, удобному для логариѳмическихъ вычисленій.

26. Извѣстно, что всѣ многосложныя вычисленія чрезвычайно облегчаются при употребленіи логариѳмовъ; но такъ какъ логариѳма нельзя взять отъ суммы и разности, то должно умѣть сумму и разность тригонометрическихъ величинъ замѣнять произведеніемъ и частнымъ. Покажемъ наиболѣе употребительныя изъ такихъ преобразованій.

Возьмемъ

Складывая и вычитая, получимъ:

(А)

Положимъ теперь а+Ъ=т, а—Ъ=п: отсюда складывая и вычитая эти уравн., найдемъ

Подставляя въ формулы (А) вмѣсто а+Ъ, а—Ъ, а и Ь ихъ величины, найдемъ:

(25)

(26)

(27)

(28)

Раздѣливъ урав. (25) на (26), получимъ:

(29)

27. Способъ введенія вспомогательнаго угла. Чтобы показать общій способъ замѣнять сумму или разность двухъ количествъ произведеніемъ или частнымъ, возьмемъ выраженіе а?=А-]-В, гдѣ А и В какія угодно величины; помноживъ и раздѣливъ вторую часть выраженія на А, имѣемъ

положимъ теперь, что

это можно сдѣлать, потому что тангенсъ имѣетъ всѣ возможныя величины отъ О до±со, слѣд., всегда можно найти дугу, которой

тогда наше выра-

женіе приметъ видъ

удобный для вычисленія по логариѳмамъ.

Если x=А—В, гдѣ В<^А, то представивши А—В въ видѣ

можемъ положить

а синусъ имѣетъ всѣ величины отъ 0 до=±1; тогда

Если наконецъ В>А, то x = А — В можно написать въ видѣ

полагая

получимъ результатъ, подобный предыдущему.

Показанный способъ замѣны суммы или разности произведеніемъ и частнымъ называется способомъ введенія вспомогательнаго угла.

Возьмемъ нѣсколько примѣровъ.

1) Чтобы сдѣлать логариѳмической форм.

представимъ ее въ видѣ

и положимъ

тогда

2) Если дано

то это выраженіе можно представить въ видѣ

полагая

получимъ

3)

Формулу эту представимъ въ видѣ:

и положимъ

тогда

Но cs45° = sn45°, слѣд.

Уголъ

будетъ извѣстенъ, такъ какъ ср опредѣляется изъ того условія, что

28. Рѣшеніе квадратнаго уравненія. Изъ алгебры извѣстно, что общій видъ квадратнаго уравненія есть x2-|~22x+^=О, и что x=1/2р±'|/1/4292—q-Посредствомъ вспомогательнаго угла можно сдѣлать эту формулу логариѳмическою и тѣмъ облегчить вычисленіе корней въ томъ случаѣ, когда коэффиціенты р и q выражены большими числами. Положимъ, что q есть величина положительная и что уравн. имѣетъ дѣйствительные корни, т.-е. что q<Zx!iP2-

Выраженіе х можно представить въ такомъ видѣ:

Такъ какъ мы положили, что

поэтому можно положить, что

тогда

поэтому

слѣд.

Дуга і/2^ будетъ извѣстна, ибо ср можно опредѣлить изъ того условія, что

Если q будетъ величина отрицательная и=—то изъ уравн.

которое при этомъ условіи имѣетъ корни дѣйствительные, каковы бы ни были абсолютныя величины р и qY получимъ

Полагая

найдемъ

29. Мы выразили корни уравненія черезъ вспомогательный у г. и коэффиціентъ р\ но ихъ можно выразить также черезъ <р и q. Дѣйствительно, для того случая, когда q положительное и < Ѵ.р2, мы имѣли

А такъ какъ по § 23-му

Если q будетъ отрицательное и=—qx , то какъ мы видѣли:

поэтому

Выраженіямъ и x2 можно, по предыдущему, дать такой видъ:

30. Задачи. Сдѣлать логариѳмическими выраженія:

14) Показать, что если величины дугъ а, Ъ. с составляютъ ариѳметическую прогрессію, то

Показать справедливость формулъ:

26) Логариѳмировать

27) Показать, что

28) Логариѳмировать

29) Зная, что

логарифмировать выраженіе

30) Зная, что

привести къ одночленному виду и упростить выраженіе

31) Замѣнить произведеніемъ выраженіе lztsna? Привести къ одночленному виду и упростить:

36) Доказать, что

37) Доказать, что

38) Зная, что

показать, что

ГЛАВА V.

Вычисленіе тригонометрическихъ величинъ какой-нибудь дуги.

31. Достаточно показать, какимъ образомъ можно вычислить величину синуса какой-нибудь дуги, потому что, зная sn, легко вычислить cs, tg и пр. по формуламъ:

Возьмемъ два равныхъ угла а и а (чер. 25) и изъ общей вершины ихъ А радіусомъ=1 опишемъ дугу BCD', проведемъ хорду BD, а въ точкахъ В и D проведемъ къ дугѣ касательныя BE и DE; тогда BD=2sna, BED=2tga. Прямая BD меньше дуги BCD, а ломаная BED больше этой дуги; слѣд. 2sna<2a;

Мы знаемъ, что

а правильная дробь отъ возведенія въ квадратъ уменьшается; поэтому если sna>a.csa, то и подавно (а fortiori)

Мы видѣли, что

поэтому если мы во вторую часть неравенства

вмѣсто sn2a подставимъ а2, то мы увеличимъ вычитаемое, при чемъ разность уменьшится, и если

Чер. 25.

sna>a(l—sn2a), то и подавно sna>a(l—а2) или sna>a—а3. Такимъ образомъ, мы имѣемъ два предѣла, между которыми заключается величина синуса: snaca и sna>a—a8. Изъ второго неравенства находимъ sna—a> — a3; перемѣнивъ знаки у всѣхъ членовъ этого неравенства (при чемъ надо измѣнить и знакъ неравенства), получаемъ а—snaca3; отсюда видно, что, положивъ sna=a, мы дѣлаемъ ошибку, меньшую а8.

Вычислимъ, напр., sn10'. Для этого другу 10' нужно выразить въ частяхъ радіуса. Такъ какъ 360°=2лг, принимая радіусъ=1, то snl0=10=0,00290888, такъ какъ ошибка при этомъ будетъ менѣе трехъ стомилліонныхъ долей. Тѣмъ болѣе можемъ принять

Зная величину sn1", можно по формуламъ двойныхъ, тройныхъ и т. д. дугъ вычислить sn2", sn3*'...; впрочемъ для малыхъ угловъ можно принять, что синусы пропорціональны дугамъ, такъ что

32 Формулы Симсона. Англійскій геометръ Томасъ Симсонъ далъ формулы, помощію которыхъ выводъ послѣдовательныхъ рядовъ синусовъ и косинусовъ можетъ быть значительно упрощенъ. Извѣстно, что

Если положимъ въ этихъ формулахъ

и слѣд.,

Полагая Ъ—1' и давая послѣдовательно т величины

получимъ

33. По этимъ формуламъ достаточно вычислить sn и cs только для дугъ отъ 0° до 30°; величины же sn и cs для дугъ, превышающихъ 30°, опредѣляются весьма просто. Дѣйствительно, возьмемъ формулы

Но, какъ будетъ доказано ниже,

откуда

Давая Ъ различныя величины отъ 0° до 15°, мы легко опредѣлимъ sn и cs дугъ отъ 30° до 45°;

34. Вычисливъ тригонометрическія величины для дугъ отъ 0° до 45°, мы будемъ знать и тригонометр. величины всякихъ дугъ; дѣйствительно,

35. Разложеніе sn и cs въ ряды. Положимъ, что величины snncs дуги x, вычисленной въ частяхъ радіуса, разложены въ ряды по возрастающимъ степенямъ дуги x, x2, x3...., и при каждомъ членѣ находится числовой коэффиціентъ, независимый отъ x, такъ что

Полагая въ предыдущихъ выраженіяхъ x=0, найдемъ Л=0; AjZzlI, такъ какъ snO=O, csO=l, и слѣд.

(1)

(2).

Если въ этихъ двухъ рядахъ измѣнимъ х въ—x, то члены, содержащіе х въ нечетныхъ степеняхъ, сдѣлаются отрицательными, такъ что

(3)

(4)

По такъ какъ cs(—x)=csx, то рядъ (2) не долженъ измѣняться отъ перемѣны х на—x; поэтому онъ не можетъ содержать нечетныхъ степеней x, какъ не выдерживающихъ такой перемѣны; слѣдов. коэф. Вѵ Dv... равны нулю, и

Такъ какъ sn(—x)=—snx, то рядъ (1) при перемѣнѣ х на—х долженъ, сохраняя свою величину, измѣнить знакъ; поэтому онъ не можетъ содержать четныхъ степеней x, которыя остаются положительными при-]-x и—x: слѣд. (7=0 Е=0..,.. и

Раздѣливъ обѣ части послѣдняго выраженія на x, получимъ

Съ уменьшеніемъ дуги уменьшается и ея sn; для весьма малыхъ дугъ можно считать snx=x; поэтому

имѣетъ предѣломъ 1, т.-е.

при х=0 обращается въ 1; а рядъ (7) при x=0 обращается въ F; слѣд. В—1.

Такимъ образомъ ряды (1) и (2), выражающіе величины snx и csx, приводятся къ слѣдующимъ:

(8)

(9).

Чтобы опредѣлить величины коэф. а, Ъ, с...., т, п, р.„., возведемъ въ квадратъ оба ряда; получимъ:

(10)

(11).

Такъ какъ sn2x-]-cs2x=l, то сумма коэф. при одинакихъ степеняхъ x въ обоихъ рядахъ должна быть равна нулю; поэтому

(12)

(13)

(14)

Помноживъ на 2 рядъ (11), найдемъ

(15)

Вставивъ 2x вмѣсто x въ выраженіе (9), получимъ

(16)

Но 2cs2x=l+cs2x; слѣд., придавъ по 1 къ обѣимъ частямъ ряда (16), получимъ сумму=ряду (15), т. е.

Сравнивая коэфф. при одинакихъ степеняхъ х въ этомъ уравн., найдемъ

(17)

(18)

Изъ ур. (12) имѣемъ

изъ ур. (17)

изъ уравн. (18)

и т. д.

По этимъ величинамъ изъ уравн. (13) и (14) найдемъ

также опредѣлится

и т. д.

Такимъ образомъ ряды (8) и (9) обратятся въ

(19)

(20).

Такъ какъ для составленія тригонометрическихъ таблицъ нужно вычислить тригон. величины только для дугъ, меньшихъ 30° (см. §33), то въ рядахъ (19) и (20) можно полагать всегда x<1; ибо x=1, т.-е. дуга, равная радіусу, есть приблизительно 57°17'46". При условіи x<1 каждый членъ ряда (19) и (20) будетъ меньше предыдущаго, ибо онъ имѣетъ меньшаго числителя и большаго знаменателя сравнительно съ предыдущимъ членомъ. Найдя предѣлъ отношенія-=^±1, гдѣ 1 и

Тп+і и Тп суть два смежные члена, увидимъ, что ряды (19) и (20) будутъ сходящимися для всякой конечной величины x; а потому они и могутъ служить для вычисленія sn и cs съ желаемой степенью точности.

Для примѣра вычислимъ sn5°. Такъ какъ 360°=2тг, принимая радіусъ =1, то

Подставивъ это число вмѣсто х въ рядъ (19) и ограничиваясь только двумя членами ряда, найдемъ sn5°=0,087157, а слѣд. Igsn5°=8,94030, что находимъ и въ таблицахъ Лаланда.

36. Мы вывели въ § 31, что разность между дугой и ея синусомъ меньше куба дуги; но изъ ряда (19) можно видѣть, что, принявъ дугу за sn, мы дѣлаемъ ошибку меньше 1/6 куба дуги. Дѣйствительно, этотъ рядъ можно представить въ видѣ

37. Разложеніе въ рядъ дуги по степенямъ ея tg. Положимъ, что

Замѣтивъ, что

положимъ

(1)•

Вычитая второй рядъ изъ перваго и раздѣливъ на и—у, найдемъ

Мы положили

Если въ уравн. (2) положимъ и=ѵ, то вторая часть его обратится въ

Первая же часть уравн., равная, какъ мы видѣли,

при и=ѵ обратится въ cs2x, ибо и=ѵ даетъ x=x; а съ уменьше-

ніемъ дуги величина ея sn приближается къ величинѣ дуги, слѣд., предѣлъ

Такимъ образомъ при и=V ур. (2) приметъ видъ

Чрезъ непосредственное же дѣленіе имѣемъ

Отсюда, сравнивая коэффиціенты, находимъ:

а потому рядъ (1) приметъ видъ:

(3).

Этотъ рядъ будетъ сходящійся если и<1 или и—1, т.-е. для дугъ до 45° включительно.

38. Вычисленіе к. Положивъ въ рядѣ (3) предыд. § w=l и слѣд., arctgu=45°==,/4ir, будемъ имѣть »/4к=1—у,-}-....

Этотъ рядъ сходится не быстро, и для полученія величины тг съ достаточной точностью, надо вычислить слишкомъ много членовъ; поэтому выведемъ для вычисленія к еще двѣ строки, болѣе удобныя.

Разложивъ по предыдущему

найдемъ:

Это разложеніе принадлежитъ Эйлеру.

2) Вотъ еще болѣе удобный способъ:

Дѣйствительно,

Итакъ,

Разложивъ

получимъ

Вычисливъ 5 членовъ перваго изъ этихъ рядовъ и 2 члена второго, найдемъ тг=3,141593.

Вычисленіе 15 членовъ перваго и шести членовъ второго ряда даетъ величину я съ 20-ю десятичными знаками.

39. Для нѣкоторыхъ дугъ можно вычислить тригонометрическія величины на основаніи того, что (§ 15) хорда есть двойной синусъ угла, па нее опирающагося и имѣющаго вершину на окружности. Такъ хорда, стягивающая дугу въ 60°, есть 2sn30°; но какъ она есть вмѣстѣ съ тѣмъ и сторона правильнаго вписаннаго шестиугольника и равна г=1, то слѣд.

Хорда, стягивающая 90°, есть сторона вписаннаго квадрата и поэтому

Сторона правильнаго вписаннаго десятиугольника стягиваетъ дугу въ 36° и потому есть 2sn 18“; такъ какъ она равна большей части радіуса, раздѣленнаго въ крайнемъ и среднемъ отношеніи, то полагая г=1, ее можно опредѣлить изъ пропорщи:

По формуламъ для двойныхъ и половинныхъ дугъ легко найти sn,

40. Тригонометрическія таблицы. Вычисливъ тригонометрическія величины дугъ черезъ каждыя 10" или черезъ 1', то-есть для 0’0'10", 0°0'20''.... или 0°1', 0’2'..., составляютъ тригонометрическія таблицы.

Но такъ какъ вычисленія чрезвычайно облегчаются при употребленіи логариѳмовъ, то въ таблицахъ помѣщаютъ обыкновенно не самыя тригонометрическія величины, а ихъ логариемы; притомъ, такъ какъ синусъ и косинусъ всегда менѣе единицы (кромѣ 90° и 0°), тангенсы отъ 0° до 45°, а котангенсы отъ 45° до 90“, также суть правильныя дроби и слѣд. логариѳмы ихъ отрицательные, то для избѣжанія отрицательныхъ количествъ,

логариѳмы увеличиваютъ десятью единицами, такъ что всѣ они становятся положительными; такъ,

Логариѳмы секансовъ и косекансовъ не помѣщаются въ таблицахъ, потому что эти тригонометрическія величины рѣдко употребляются въ вычисленіяхъ; а если бы понадобились, то ихъ легко опредѣлить по формуламъ:

Лучшія изъ таблицъ—Каллета, изданныя въ Парижѣ Дидо, и таблицы Вега, изд. Бремикеромъ. Въ тѣхъ и другихъ помѣщены логариѳмы sn и tg отъ секунды до секунды для первыхъ 5 ’ (а слѣд. и логариѳмы косинусовъ, и котангенсовъ для 85°—90“) и логариѳмы синусовъ, косинусовъ, тангенсовъ и котангенсовъ отъ 10 до 10 секундъ для всѣхъ градусовъ первой четверти окружности, вычисленные съ семью десятичными знаками.

Мы объяснимъ расположеніе и употребленіе маленькихъ таблицъ, именно таблицъ Лаланда*); онѣ содержатъ логариѳмы sn, cs, tg и ctg для дугъ, возрастающихъ на одну минуту; логариѳмы эти вычислены съ пятью десятичными знаками.

41. Таблицы Лаланда. 1) Найти логориѳмъ sn, es tg, ctg даннаго угла?

Пусть требуется найти lgcs25°17'. Ищемъ сначала въ таблицахъ вверху страницъ уголъ 25°; потомъ въ первомъ столбцѣ съ лѣвой руки находимъ 17’; число 9,95627, стоящее въ одной горизонтальной строкѣ съ 17' и въ томъ вертикальномъ столбцѣ, надъ которымъ поставлено cs25°, и будетъ lgcs25°17'.

Положимъ еще, что нужно найти lgtg68°25'. Если по предыдущему, будемъ искать уголъ 68°вверху страницъ, то не найдемъ его, потому что таблицы идутъ непосредственно только до 45°; поэтому находимъ его внизу; потомъ въ послѣднемъ вертикальномъ столбцѣ, считая съ лѣвой руки, находимъ 25'; число 0,40275, стоящее въ одной горизонтальной строкѣ съ 25'и въ томъ вертикальномъ столбцѣ, подъ которымъ поставлено tg68“, и есть lgtg68°25'. Это же число будетъ lgctg21 °35’, такъ какъ

Если уголъ не находится въ таблицахъ, то 1g его sn, cs.... опредѣляется изъ табличныхъ логариѳмовъ помощью простого вычисленія. Пусть, напр., нужно найти lgsn55"8'27". Находимъ въ

*) Стереотипное изд. книжнаго магазина наслѣдн. бр. Салаевыхъ.

таблицахъ lgsn ближайшаго меньшаго угла, т.-е. угла въ 55 °8'; онъ есть 9,91407; потомъ разсуждаемъ такъ: данный уголъ болѣе 55°8' на 27", поэтому и lgsn его долженъ быть болѣе (такъ какъ синусы съ увеличеніемъ угловъ до 90° увеличиваются) и если разность между углами=1'=60", то разность между логариѳмами=О,00009 (число 9, стоящее въ предпослѣднемъ столбцѣ, считая слѣва, между lgsn55°8' и lgsn55°9' подъ буквою D— differentia); слѣд., для разности угловъ 27" разность логариѳмовъ х будетъ менѣе табличной разности 0,00009 во столько разъ, во сколько 27" менѣе 60", или х : 0,00009=27 : 60, откуда ж=0,00004; придавъ эту разность къ найденному логариѳму, найдемъ lgsn55°8'27"=9,91411.

Если бы требовалось найти lg cs или ctg, то нашедши разность, нужно было бы ее вычесть изъ найденнаго логариѳма ближайшаго меньшаго угла, такъ какъ cs и ctg съ увеличеніемъ дуги до 90° уменьшаются. Напр., найти lgcs49°40'50". Находимъ 49°40'=9,81106; разность на 60"=0,00015 (число 15, стоящее во второмъ столбцѣ подъ D); разность на 50" опредѣлится изъ пропорціи х : 0,00015=50 : 60, откуда ж=0,00012; вычтя ее изъ lgcs49°40', т.-е. изъ 9,81106, найдемъ lgcs49°40f50"=9,81094.

Изъ пропорцій, опредѣляющихъ разность, которую должно придать или вычесть изъ найденнаго логариѳма, видно, что для опредѣленія этой разности должно помножить табличную разность на данное число секундъ и произведеніе раздѣлить на 6 0; цѣлыя цыфры частнаго покажутъ разность, которую должно придать или вычесть изъ послѣднихъ цыфръ найденнаго логариѳма, такъ какъ найденныя цыфры частнаго выражаютъ стотысячныя доли разности. Если при этомъ цыфра, выражающая десятыя доли частнаго, которыя мы отбрасываемъ, будетъ болѣе 5, то предыдущую должно увеличить единицею; это потому, что если, напр., вмѣсто 45,7 взять 45, то ошибаемся на 0,7; а взявши 46, сдѣлаемъ ошибку только въ 0,3, т.-е. менѣе прежней. Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ, помноживъ 15 на 50 и раздѣливъ на 60, найдемъ 12, т.-е. æ=0,00012.

При нахожденіи lgcs или lgctg угла, не находящагося въ таблицахъ, можно также брать lgcs или lgctg ближайшаго большаго угла, и опредѣливши разность, придать ее къ найденному логариѳму. Замѣтимъ, что логариѳмы тангенсовъ и котангенсовъ имѣютъ одинакія разности; причина этого состоитъ въ томъ, что вообще tgrtctga=tgbctgb, потому что и то, и другое произведе-

ніе=1 (ур. 10), а слѣд. lgtga—lgtgb=lgctgZ>—lgctga. Эти общія разности помѣщены въ 5-мъ столбцѣ подъ буквами d. с. (differentia communis).

2) Найти уголъ, соотвѣтствующій данному логариѳму тригонометрической величины?

Пусть требуется найти arclgcs 9,55597, т.-е. найти уголъ г, lgcs котораго равенъ 9,55597. Такъ какъ второй и седьмой столбцы содержатъ lgcs, то ищемъ 9,55597 въ обоихъ столбцахъ и находимъ во второмъ; этотъ столбецъ имѣетъ заглавіе cs внизу, поэтому число градусовъ соотвѣтствующаго угла также должно искать внизу, а минутъ справа; находимъ £=68’55'.

Если данный логариѳмъ не находится въ таблицахъ, напр., lgtg£=0,34956, то находимъ ближайшій меньшій 0,34938; соотвѣтствующій ему уголъ есть 65*54'; такъ какъ данный логариѳмъ больше найденнаго на 0,00018, то и уголъ будетъ болѣе 65’54', и если разность между логариѳмами есть 0,00034, то разность между углами=60", а при разности логариѳмовъ 0,00018 разность угловъ, которую мы означимъ х, будетъ во столько разъ меньше 60", во сколько 0,00018 меньше 0,00034; т.-е. X : 60=0,00018 : 0,00034; умноживъ оба члена второго отношенія на 100000, получимъ:

X : 60"=18 : 34, откуда ж=32". Придавъ 32" къ найденному углу, получимъ £=65’54'32".

Если требуется найти уголъ, соотвѣтствующій данному lg cs или ctg, не находящемуся въ таблицахъ, то должно найденное число секундъ вычесть изъ угла, соотвѣтствующаго ближайшему меньшему логариѳму, или же пріискать уголъ, соотвѣтствующій ближайшему большему логариѳму, и придать къ нему найденное число секундъ.

Напр., lgcs£=9,88002; 9,87996=lgcs40’40'; разность между даннымъ логариѳмомъ п найденнымъ=6, а табличная=11 стотысячнымъ, слѣд. х: 60=6: 11, откуда æ=33" и £=40’39'27".

Если lgctg£ = 0,21230, то ближайшій большій логаpиѳмъ=O,2124O=lgctg31’31'; разность=10, табличная разность— 29, слѣд. ж=21"; придавъ величину х къ найденному углу, найдемъ £=31*31'21'.

42. При объясненіи способа нахожденія логариѳмовъ тригонометрическихъ величинъ для такого угла, который не содержится въ таблицахъ, и обратно нахожденія угла, соотвѣтствующаго логариѳму, не содержащемуся въ таблицахъ, мы предполагали, что разности между

углами пропорціональны соотвѣтствующимъ разностямъ логаривмовъ тригонометрическихъ величинъ; если бы это было дѣйствительно такъ, то равнымъ разностямъ между углами соотвѣтствовали бы равныя разности между логариѳмами, и слѣд., разность логариѳмовъ одной и той же тригонометрической величины на одну минуту была бы постоянная, но изъ таблицъ видно, что она измѣняется, впрочемъ, весьма медленно; поэтому при небольшой разности между углами, напр., въ нѣсколько секундъ, разности угловъ можно считать пропорціональными разностямъ логариѳмовъ.

Только въ началѣ таблицъ, т.-е. для угловъ весьма малыхъ (0°—2°) и для угловъ, близкихъ къ прямому (88°—90°), замѣчаемъ быстрое измѣненіе логариѳмовъ; поэтому къ такимъ угламъ нельзя примѣнять вышеизложеннаго правила о пропорціональности разностей между углами разностямъ логариѳмовъ тригонометрическихъ величинъ, такъ какъ при этомъ получились бы результаты, весьма неточные. При нахожденіи логариѳмовъ триг. величинъ для такихъ угловъ употребляется слѣдующій пріемъ.

Положимъ, что требуется опредѣлить lgsn2'20". Допуская, что синусы и тангенсы малыхъ дугъ пропорціональны дугамъ, составляемъ пропорцію sn2r20" : sn2r=2r20" : 2'=140" : 12О"=7 : 6; отсюда lgsn2'20=Igsn2'—|—lg7—lg6. Пріискавши въ таблицахъ lgsn2r и также lg7 и Ig6, получимъ lgsn2'20"=6,764764-0,84510-0,77815= =6,83171.

Въ болѣе полныхъ таблицахъ, напр., въ таблицахъ Бремикера, ограничиваясь пятью десятичными знаками, находимъ lgsn2'20"= =6,83170; если же опредѣлить этотъ lg по таблицамъ Лаланда посредствомъ табличной разности, какъ указано въ § 41, то получимъ 6,82345.

Подобнымъ образомъ для опредѣленія lgtg48" составляемъ пропорцію tg48" : tg60"=48" : 60"; отсюда находимъ lgtg48"=6,463734~ 4-1,68124—1,77815=6,36682.

Обратно—пусть требуется опредѣлить arclgtg6,56064. Находимъ въ таблицахъ ближайшій меньшій логариѳмъ—онъ есть 6,46373 и соотвѣтствуетъ дугѣ въ V или 60"; искомая же дуга x" будетъ во столько разъ больше 60", во сколько tgx больше tg60"; изъ пропорціи x: 60 = tgx" : tg60" находимъ lgx=lgtgx" 4~ lg60"—lgtg60"= =6,560644-1,77815—6,46373=1,87506. Пріискавъ въ таблицѣ логариѳмовъ чиселъ число, соотвѣтствующее этому логариѳму, получимъ x=75"=1Г15". Тотъ же уг. получимъ и по таблицамъ Бремикера.

Подобнымъ образомъ, для опредѣленія угла x,котораго lgsn=6,33879, составляемъ пропорцію x" : 60"=snx" : sn60"; отсюда lgx=l,778154-4-6,33879—6,46373=1,65321; слѣд. x=45".

Опредѣленіе lg cs, tg и ctg угла, близкаго къ прямому, а также ctg угла, близкаго къ нулю, приводится къ опредѣленію lg sn и lg tg малаго угла; дѣйствительно, напр.,

43. Разсмотримъ, съ какой точностью опредѣляются углы по таблицамъ Лаланда. Означимъ табличную разность логариѳмовъ синусовъ черезъ d\ такъ какъ эта разность соотвѣтствуетъ измѣненію угла на V или на 60", то на разность логариѳмовъ синусовъ въ 1 стотысячную придется разность дугъ въ секундъ; иначе говоря, увеличеніе lgsn на 0,00001 соотвѣтствуетъ увеличенія угла на секундъ;

слѣд., если два угла разнятся другъ отъ друга меньше, чѣмъ на секундъ, то пятизначные логариѳмы ихъ синусовъ будутъ одинаковы. Такимъ образомъ, ошибка при опредѣленіи угла по sn можетъ простираться до —=- секундъ и слѣд. будетъ тѣмъ меньше, чѣмъ больше d.

Слѣдя по таблицамъ за измѣненіемъ разности d, замѣчаемъ, что до 12° дробь— меньше 1", и потому углы, меньше 12°, опредѣляются по sn съ точностью одной секунды. Съ увеличеніемъ угла величина — возрастаетъ, доходя при 85° уже до одной минуты; при 84° одинъ и тотъ же логариѳмъ соотвѣтствуетъ тремъ послѣдовательнымъ угламъ, и такъ какъ мы можемъ взять каждый изъ нихъ, то ошибка можетъ дойти до Зг. Такимъ образомъ углы, близкіе къ прямому, неудобно опредѣлять по sn; малые же углы неудобно опредѣлять по cs. Тангенсы и котангенсы не представляютъ такого неудобства. Дѣйствительно, общая разность логариѳмовъ тангенсовъ и котангенсовъ имѣетъ наименьшую величину (25) при углѣ 45°; поэтому дробь

при 45° имѣетъ наибольшую величину

слѣд., опредѣляя уголъ по tg или ctg, мы всегда дѣлаемъ ошибку меньше, чѣмъ на 21/2".

44. Теперь мы должны показать, какимъ образомъ производятся логариѳмическія вычисленія съ тригонометрическими величинами; но такъ какъ величины sn и cs, а также tg отъ 0° до 45° и ctg отъ 45° до 90° меньше единицы, то прежде скажемъ, какъ вводятся въ вычисленіе логариѳмы всякихъ правильныхъ дробей.

Извѣстно, что lg дроби найдется, если lg знаменателя вычесть изъ lg числителя, п слѣд., lg правильной дроби есть величина отрицательная, такъ какъ въ этомъ случаѣ вычитаемое больше уменьшаемаго ; такъ 1 g3/5 =lg 3—lg5=0,47712 — 0,69897= =—0,22185. Чтобы избѣжать отрицательныхъ количествъ, придаютъ къ уменьшаемому 10, и lg3/5=10,47712 — 0,69897 —10= =9,77815—10; такимъ образомъ, вмѣсто отрицательнаго ло-

гариѳма, берется его ариѳметическое дополненіе, потому что

Подобнымъ образомъ

Отсюда видно, что логариѳмы десятичныхъ дробей, имѣющихъ одинакихъ числителей, отличаются одинъ отъ другого только характеристикой, что и должно быть, такъ какъ если одно число болѣе другого въ 10, 100, 1000.... разъ, то для полученія его логариѳма должно къ lg меньшаго числа придать lglO,lglOO... или 1,2...., отчего мантисса не измѣнится. Слѣд., чтобы найти логариѳмъ десятичной дроби, должно пріискать въ таблицахъ мантиссу, соотвѣтствующую числителю этой дроби, и поставить характеристикой 9, если первая значащая цыфра дроби стоитъ тотчасъ послѣ запятой, 8, если она стоитъ на второмъ мѣстѣ, 7—на третьемъ и т. д. Напр., IgO,000476 имѣетъ характеристику 6; IgO,00005=5,69897—10 и т. д.

Обратно, чтобы найти дробь, соотвѣтствующую данному логариѳму, напр., 8,41497—10, то, не обращая вниманія па характеристику, находимъ, что мантиссѣ соотвѣтствуетъ число 26; но какъ характеристика lg есть 8, то искомая дробь должна, по предыдущему, имѣть первую значащую цыфру на второмъ мѣстѣ послѣ запятой, и слѣд., будетъ 0,026; точно также Nlg(7,85114—10)=0,007098 и т. под. Вообще, найдя въ таблицахъ число, соотвѣтствующее мантиссѣ даннаго логариѳма, должно поставить слѣва его столько нулей, чтобъ число ихъ равнялось дополненію характеристики до 10, и первый нуль, считая слѣва, отдѣлить запятою. Замѣтимъ, что—10 обыкновенно не пишется, а только подразумѣвается.

Чтобы по логариѳмическимъ таблицамъ опредѣлить величину sn, cs, tg... какого-нибудь утла, слѣдуетъ въ таблицахъ логариѳмовъ тригонометрическихъ величинъ пріискать логариѳмъ требуемой тригонометрической величины и затѣмъ въ таблицѣ логариѳмовъ чиселъ найти число, соотвѣтствующее этому логариѳму, при чемъ не слѣдуетъ упускать изъ виду, что sn и cs каждаго угла, tg угла до 45°, а ctg угла выше 45°—меньше единицы. Такъ, чтобы найти sn 18’38', находимъ lgsn 18’38'= =9,50449, и по этому логариѳму въ таблицѣ логариѳмовъ чиселъ находимъ соотвѣтствующее ему число 0,31951, которое и есть

Точно также:

45. Складывая положительные логариѳмы дробей, мы съ тѣмъ вмѣстѣ складываемъ и подразумеваемые—10; но въ результатѣ десятки отъ характеристики отбрасываются и подразумѣвается попрежнему—10. Точно также скидываются десятки съ характеристики при умноженіи логариѳма на 2, 3, 4...,что приходится дѣлать возводя въ степень дробь; иначе нужно бы было подразумѣвать — 20,—30 Понятно, что результатъ, происшедшій отъ сложенія нѣсколькихъ логариѳмовъ дробей между собою или съ логариѳмами цѣлыхъ чиселъ, а также отъ помноженія логариѳма дроби на 2, 3.... будетъ менѣе наибольшаго изъ слагаемыхъ и менѣе множимаго, потому что сумма логариѳмовъ есть логариѳмъ произведенія чиселъ, а произведеніе дробей менѣе наибольшаго изъ множителей; помножая логариѳмъ, мы возводимъ число въ степень; а правильная дробь отъ возведенія въ степень уменьшается.

Такъ, напр.,

При вычитаніи логариѳма дроби разность будетъ больше уменьшаемаго, потому что разность логариѳма есть логариѳмъ частнаго, а отъ дѣленія на дробь число увеличится. Такъ

такъ далѣе.

Если нужно дѣлить логариѳмъ дроби на 2, 3...., что бываетъ при извлеченіи корня изъ дроби, то чтобы не дѣлить на 2, 3... подразумѣваемое—10, потому что тогда пришлось бы подразумѣвать—5—З1/,...., что неудобно, придаютъ къ характеристикѣ 10 при дѣленіи на 2, 20—при дѣленіи на 3...., словомъ, придаютъ столько десятковъ, чтобы послѣ дѣленія подразумѣвалось опять—10.

46. Если мы имѣемъ какой-нибудь Iga;, равный, напр., 7,85114, и не знаемъ, подразумѣвается ли при этомъ—10 или нѣтъ, то пріискавши въ таблицахъ число 7098, соотвѣтствующее мантиссѣ этого логариѳма, заключаемъ, что х можетъ быть или цѣлое число съ восьмью цыфрами (такъ какъ характеристика равна числу цѣлыхъ цыфръ безъ одной), т.-е. 70980000, или же по предыдущему, х можетъ быть дробь, которой первая значащая цыфра стоитъ на третьемъ мѣстѣ послѣ запятой, т.-е. х= =0,007098; точно также 9,301O3=lgO,2 и lg2000000000; Nlg5,86923=740000 и 0,000074. Вообще слѣд., по нашему условію всякому логариѳму соотвѣтствуютъ два числа; одно, въ которомъ число цѣлыхъ цыфръ единицею больше характеристики даннаго логариѳма, и другое—дробь, меньшая перваго числа въ 10000000000, или въ ІО10 разъ (такъ, въ приведенныхъ выше примѣрахъ 70980000 болѣе 0,007098, а также 740000 болѣе 0,000074 въ ІО10 разъ). Такъ какъ подразумѣваемыя при каждомъ логариѳмѣ дроби—10, вслѣдствіе нѣсколькихъ вычитаній въ окончательномъ результатѣ могутъ уничтожиться, такъ что получится логариѳмъ цѣлаго числа или неправильной дроби, то естественно представляется вопросъ: сумѣемъ ли мы, при сложныхъ вычисленіяхъ, отличить, дѣйствительно ли— 10 уничтожились, или же нужно подразумѣвать—10; иначе сказать, полученный въ окончательномъ результатѣ логариѳмъ принадлежитъ ли цѣлому числу или дроби, и такимъ образомъ нельзя ли при этомъ сдѣлать ошибку? Замѣтимъ на это, что ошибиться пришлось бы, какъ видно изъ предыдущаго, въ 1010 разъ, а такая грубая ошибка въ вычисленіи всегда можетъ быть устранена; такъ какъ всегда можно видѣть заранѣе, будетъ ли результатъ большое цѣлое число или очень малая дробь; впрочемъ, если бъ и явилось сомнѣніе, то стоитъ только ввести всюду, гдѣ нужно, подразумѣваемыя—10, и затрудненіе уничтожится само собою. Положимъ, напр., что нужно вычислить выраженіе

Логариѳмируя его, получимъ:

По логариѳмическимъ таблицамъ находимъ, что мантиссѣ 01042 соотвѣтствуетъ число 10243; но такъ какъ характеристика есть нуль, то въ числѣ должна быть одна цѣлая цыфра, и слѣд., ж=1,0243. Очевидно, что х не можетъ равняться дроби, у которой первая значащая цыфра стоитъ на десятомъ мѣстѣ послѣ запятой, потому что числитель представляетъ произведеніе дробей, а знаменатель произведеніе цѣлаго числа на дробь, слѣд., и безъ вычисленія можно было предвидѣть, что х должно быть или небольшое цѣлое, или дробь близкая къ единицѣ; впрочемъ, для повѣрки введемъ всюду, гдѣ нужно, подразумѣваемыя—10.

Такимъ образомъ видно, что въ результатѣ не должно подразумѣвать—10, и слѣд., х больше единицы.

47. При употребленіи логариѳмовъ всѣ вычисленія чрезвычайно упрощаются, такъ какъ умноженіе замѣняется сложеніемъ, дѣленіе—вычитаніемъ, возвышеніе въ степень и извлеченіе корней—умноженіемъ и дѣленіемъ на показателя. Можно еще болѣе упростить вычисленія, замѣняя и вычитаніе сложеніемъ; для этого, вмѣсто вычитанія какого-нибудь логариѳма придаютъ его ариѳметическое дополненіе, подразумѣвая въ результатѣ—10; такъ,

= 0,698974-9,09691 =9,79588 и т. п. Собственно говоря, находя ариѳм. дополненіе логариѳма мы также дѣлаемъ вычитаніе; но это вычитаніе очень легко, такъ какъ ариѳм. дополненіе получается, если всѣ цыфры логариѳма, начиная слѣва, вычесть изъ 9, кромѣ послѣдней, которая вычитается изъ 10; при этомъ дополненіе можно прямо писать изъ таблицъ, не выписывая самаго логариѳма, и потомъ уже постоянно дѣлать сложеніе, отчего, конечно, вычисленіе упрощается.

48. Примѣры. 1) Опредѣлить частное отъ дѣленія

Означивъ искомое частное черезъ х, имѣемъ

2) Опредѣлить дугу х, если

Возьмемъ lg этого выраженія, не обращая вниманія на знакъ—; но чтобы не забыть, что число, соотвѣтствующее этому логариѳму, есть отрицательное, ставимъ при логариѳмѣ букву п (negativus); слѣд.

Соотвѣтствующая дуга есть 6°23'24"; но такъ какъ snx отрицательный, а синусы отрицательны въ двухъ послѣднихъ чет-

вертяхъ окружности, то наименьшая положительная величина дуги

возвести въ степень, которой показательно,01? Опредѣлимъ сперва, сколько град., мин., сек. содержитъ дуга, которой длина при рад.=1 равна 2тг_ 1. Такъ какъ 2тг=360.60.60= =1296000", то число у секундъ, соотвѣтствующее дугѣ=2тг“'1, опредѣлится изъ пропорціи у\ 1296000=2тс~ 1: 2іг, откуда г/=1296000.7г~2; вычисливъ это выраженіе по логариѳмамъ при к=3,142, найдемъ

Теперь нужно вычислить логариѳмъ этого выраженія

Пріискавъ число, соотвѣтствующее этому lg, опредѣлимъ

Число это выражаетъ длину нѣкоторой дуги при рад.=1, и чтобы опредѣлить ctg этой дуги, нужно выразить ее въ град., мин., сек.; означая число секундъ дуги черезъ x, изъ пропорціи z : 1296000= =1,0263 : 2тг найдемъ x=58°47'50". Для возвышенія ctg этой дуги въ степень, которой показательно,01, надо Jgctg58°47'50" умножить на 0,01 или (что то же) раздѣлить на 100; получимъ =9,9978225. Отбросивъ въ этомъ послѣднемъ логариѳмѣ шестую и седьмую цыфру и пріискавъ число, котораго lg есть 9,99782, получимъ искомое выраженіе=0,995.

4) Рѣшить уравн.

По § 29 имѣемъ

Такъ какъ

то

Уголъ, соотвѣтствующій этому lg, есть

но такъ какъ синусы отрицательны въ третьей четверти окружности, то

Отсюда имѣемъ:

Для повѣрки рѣшимъ то же уравн. обычнымъ алгебраическ. пріемомъ:

5) Рѣшимъ еще уравн.

опредѣляя <р изъ условія

видимъ, что sn<p^>l, слѣд. (р есть величина невоз-

можная; это показываетъ, что уравн. не имѣетъ дѣйствительныхъ корней; въ самомъ дѣлѣ

и потому корни уравн. будутъ мнимые.,

49. Задачи. 1) Вычислить

2) Вычислить sn, cs, tg, 60°, 15°, 7°30r?

3) Вычислить snl8° и cs36°?

4) Показать что

5) Опредѣлить х изъ ур.

6) Опредѣлить х изъ урав.

7) Показать, что

8) Опредѣлить х

9) Показать, что

10) Опредѣлить х

11) Опредѣлить х

12) Показать, что

13) Показать, что

14) Вычислить тригон. величины для слѣдующихъ дугъ:

Найти логариѳмы sn, cs, tg, ctg слѣдующихъ дугъ:

Найти углы, соотвѣтствующіе логариѳмамъ триг. величинъ:

21) Найти логар. sc, csc слѣдующихъ дугъ:

22) Опредѣлить тригон. величины дугъ

25) Раздѣлить 60° на двѣ части, чтобъ отнош. син.=3/2?

26) Раздѣлить 60° на двѣ части, чтобъ отн. танг.=1,5?

27) Вичислить

28) Опредѣлить уголъ x, если

Вычислить:

31) Опредѣлить x, если

32) Опредѣлить x, если

33) У г. а на столько меньше 45°, на сколько уг. Ъ больше 45°:

35) Опредѣлить x, если

36) Опредѣлить x, если

37) Опредѣлить x, если

38) Опредѣлить сторону прав. 15—угол., впис. въ кругъ рад.=Г?

39) Опредѣлить sn, cs, tg 25° по ихъ логариѳмамъ?

40) Найти

41) Вычислить

42) Рѣшить уравн.

43) Вычислить x=

44) Рѣшить уравн.

45) Вычислить х=

46) Найти уголъ, і

47) Рѣшить уравн.

48) Вычислить

49) Опредѣлить величины

50) Вычислить

51) Найти x, если 8Пx=частному отъ дѣленія на корень 45-й степени изъ произведенія

52) Извлечь корень 30-й степени изъ

53) Опредѣлить х изъ ур.

54) Вычислить

55) Вычислить

56) Вычислить

полагая

57) cs2° возвысить въ степень, показатель которой=sn2 °?

58) Опредѣлить x,

59) Рѣшить уравн.

60) Рѣшить уравн.

61) Показать, что

62) Найти величину

63) Найти величину

64) Вычислить

65) Опредѣлить триг. величины дуги

Опредѣлить общій видъ дуги х удовлетворяющей уравн.:

Посредствомъ вспомогательнаго угла вычислить выраженія:

72) Тангенсъ угла А тр-ка АВС равенъ—]/0,1; отнош. угла В къ уг. С равно опредѣлить Б и С?

73) Опредѣлить уг. x, если lgcsx=—1/0,007?

74) Если cs71°37'17" возвести въ степень, которой показатель= =ctg75°57'5O", то получимъ sn тупого угла x. Опредѣлить x?

75) Опредѣлить, на сколько дуга 75°3Г больше ея sn и меньше tg?

76) Синусъ тупого угла х равенъ длинѣ дуги 30° при рад.=1; опредѣлить x?

77) Опредѣлить тупой уг. x,

79) Опредѣлить у г. x, если

Рѣшить посредствомъ вспомогательнаго угла уравн.:

ГЛАВА VI.

Соотношенія между сторонами и углами треугольника.

50. Прямоугольный треугольникъ. Возьмемъ треуг. АВС (чер. 26), прямоугольный при А, и условимся называть углы буквами А, В, С, стоящими при ихъ вершинахъ, а стороны буквами а, Ъ, с, соотвѣтствующими противолежащимъ угламъ, такъ что АВ=с, ВС=а, АС=Ь. Изъ точки С радіусомъ=1 опишемъ дугу DE и проведемъ ея синусъ и тангенсъ; изъ подобія треугольниковъ АВС и DGC имѣемъ

откуда c=a.snC...(30).

Чер. 26.

Ho 0=90*—В, слѣд. sn(b=csB, и потому c=a.csB...(31); т.-е. катетъ равенъ гипотенузѣ, умноженной на синусъ угла, противолежащаго ему, или на косинусъ прилежащаго.

Изъ подобія треуг. АВС и JETEC имѣемъ

откуда c=b.tgC...(32);

т.-е. катетъ равенъ другому катету, умноженному на тангенсъ угла, противолежащаго первому (или на котангенсъ угла, противолежащаго второму).

Прибавивъ сюда а2=Ь2-]-сі и В+С=9О0, получимъ всѣ соотношенія между сторонами и углами прямоугольнаго треугольника.

51. Косоугольные треугольники. Пусть ЛВС(чер. 27) будетъ остроугольный треугольникъ; проведя BD перпендикулярно къ АС, разобьемъ тр-къ ABСна два прямоугольныхъ треуг. ABD и BD С, изъ которыхъ по формулѣ (30) имѣемъ BD = AB.snA=c.snA\ BD=BC.snC=a.snC-, слѣд. c.snA=

(33); т.-е. стороны треугольника относятся между собою, какъ синусы противолежащихъ угловъ.

Тѣ же соотношенія существуютъ и для тупоугольнаго тр—ка. Дѣйствительно, если АВС (чер. 28) будетъ тупоугольный треуг., то проведя BD^_AC, изъ прямоуг. треуг. ABD и CBD имѣемъ BD=AB. snBAD-, BD=BC . snC; но snBAD=snBAC=snA, слѣд. BD=c.snA=a.snC, откуда

т.-е. формула (33) справедлива и для тупоугольныхъ треуг.

Изъ выведеннаго соотношенія слѣдуетъ, что отношеніе стороны тр—ка къ синусу противолежащаго угла для каждаго тр—ка есть величина постоянная. Дѣйствительно, переставивъ средніе члены въ пропорціи 33 и въ пропорціи

найдемъ, что

откуда

Чер. 27.

Чер. 28.

Это постоянное отношеніе по числовой величинѣ равно діаметру описаннаго круга. Изъ тр—ка ВСМ (чер. 29) имѣемъ ВС — BM.snBMC] но какъ уг. ВМС~-уг. ВАС, то, обозначивъ числовую величину діаметра ВМ черезъ Z), получимъ

Придавъ и вычтя изъ обѣихъ частей пропорціи 33-й по единицѣ, имѣемъ

раздѣливъ эти уравн. одно на другое, получимъ

; но по формулѣ 29 § 26 имѣемъ: слѣд.

(34);

т.-е. сумма двухъ сторонъ треугольника относится къ ихъ разности такъ, какъ тангенсъ полусуммы противолежащихъ угловъ относится къ тангенсу полуразности тѣхъ же угловъ.

52. Изъ геометріи извѣстно, что квадратъ стороны, лежащей противъ остраго угла треугольника, равенъ суммѣ квадратовъ двухъ другихъ сторонъ безъ удвоеннаго произведенія основанія на отрѣзокъ между вершиною остраго угла и высотою; слѣд., (чер. 27)

Но изъ треуг. ABD имѣемъ AD=AB.csA~c.esА, слѣд.,

Изъ геометріи извѣстно, что въ тупоугольн. треуг.

т.-е. формула (35) справедлива и для тупоуг. треуг.;

слѣд., квадратъ стороны косоугольнаго треугольника равенъ суммѣ квадратовъ двухъ прочихъ сторонъ безъ удвоеннаго произведенія тѣхъ же сторонъ на косинусъ угла между ними.

53. Задачи. 1) Доказать тригонометрически, что перпендикуляръ,

Чер. 29.

опущенный изъ вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорціональная между ея отрѣзками?

Означая черезъ а гипотенузу Ъ и с—катеты тр-ка, доказать справедливость формулъ:

8) Вывести соотношенія между сторонами и углами прямоугольнаго тр-ка изъ соотношеній сторонъ и угловъ косоугольнаго тр-ка?

9) Доказать, что во всякомъ тр-кѣ отношеніе каждой стороны къ sn противолежащаго угла равно діаметру описаннаго круга?

Означая черезъ а, fe, с стороны, А, В, С противолежащіе имъ углы косоугольнаго треуг. и основываясь на томъ, что стороны пропорціональны синусамъ противолежащихъ угловъ, вывести слѣдующія формулы:

13) Доказать, что линія, дѣлящая уголъ тр-ка пополамъ, разсѣкаетъ противолежащую сторону на части, обратно пропорціональныя синусамъ прилежащихъ угловъ?

14) Доказать, что высота тр-ка раздѣляетъ основаніе на части, обратно пропорціональныя тангенсамъ прилежащихъ угловъ?

15) Доказать, что если въ тр-кѣ квадратъ sn одного угла=суммѣ квадратовъ sn двухъ другихъ, то этотъ треуг. прямоугольный?

16) Доказать, что сумма tg угловъ тр-ка равна ихъ произведенію?

17) Доказать, что если стороны и углы тр-ка удовлетворяютъ

то этотъ треуг. правильный?

18) Доказать, что если углы тр-ка удовлетворяютъ условію

то тр-къ прямоугольный?

19) Доказать, что если углы тр-ка имѣютъ такое свойство, что 1—ctg(45°—В)=2 : (1-j-ctgA), притомъ площадь тр-ка=1/4с2 (ГДѢ с есть сторона, противолежащая углу С), то этотъ тр-къ прямоугольный и равнобедренный?

20) Доказать, что если въ тр-кѣ snA+csA=snB+cs5, то тр-къ прямоуг. и равнобедр.?

21) Вывести изъ чертежа формулу 34-ю § 51?

22) Доказать, что если csAcsBsnC=(snA+snB) : (scA-j-sc-B), то треуг. прямоугольный?

23) Вывести формулы зад. 12 § 53 изъ выраженія квадрата стороны тр-ка?

ГЛАВА VII.

Рѣшеніе треугольниковъ.

54. Прямоугольный треугольникъ. Мы уже говорили, что рѣшить треуг. значитъ по достаточному числу данныхъ частей его вычислить остальныя, и что въ числѣ данныхъ непремѣнно должна быть по крайней мѣрѣ одна сторона.

Въ прямоугольномъ треуг. всегда извѣстна одна часть—прямой уголъ; поэтому для рѣшенія его достаточно двухъ частей. При этомъ могутъ быть четыре случая:

1) По даннымъ катетамъ найти гипотенузу, острые углы и площадь треуг.?

Дано Ъ, с; найти а, В, С и площ. s?

Опредѣлимъ сперва углы В, и С. Изъ ур. (32) с=Ь. tgC найдемъ

слѣд., уг. С опредѣленъ; В=90°—С. Изъ ур. (30) найдемъ

Площадь

Замѣтимъ, что гипотенузу а можно опредѣлить по формулѣ а— но эта формула не логариѳмическая, и потому ее неудобно употреблять въ томъ случаѣ, когда b и с выражены большими числами; если же ее сдѣлать логариѳмической посредствомъ введенія вспомогательнаго угла (§ 27), то такимъ угломъ будетъ уг. В или уг. С; слѣд., вопросъ все-таки приведется къ тому, чтобы сперва вычислить одинъ изъ острыхъ уг. тр-ка.

Примѣръ:

Вычисленіе угла С: Вычисленіе гипотенузы а:

2) Рѣшить треугольникъ по даннымъ гипотенузѣ и катету?

Дано а, Ъ; найти с, В, С и площадь s?

Сторона

Если данный катетъ Ъ мало разнится отъ гипот. а, то дробь =sn7?=cs(7 будетъ близка къ 1; слѣд.,уг. В будетъ близокъ къ 90°, а уг. G близокъ къ нулю; такіе углы весьма неточно опредѣляются по sn и cs (§ 42) и для рѣшенія треугольника нужно въ этомъ случаѣ употребить другой пріемъ; именно возьмемъ

Найдя ‘/jC, опредѣлимъ и С.

Примѣръ: а=975,6 ар.; 6=394,1 ар.

Вычисленіе с: Вычисленіе В:

3) Рѣшить треуг. по даннымъ гипотенузѣ и острому углу?

Дано а, В; найти С, Ъ, с и s?

Примѣръ: «=298; В=37°25'; С=52°35'.

Вычисленіе Ъ: Вычисленіе с:

4) По даннымъ катету и острому углу рѣшить треугольникъ?

Дано Ъ, В; найти С, с, а?

Примѣръ: 6=85,3; В=56°30'. С=33°30'.

Вычисленіе с: Вычисленіе а:

Для вычисленія площ. s имѣемъ

55. На основаніи предыдущихъ формулъ рѣшенія прямоуг. треугольниковъ можно рѣшить слѣдующую практическую задачу:

Опредѣлить высоту вертикально стоящаго предмета AB (чер. 30), къ основанію котораго можно подойти?

Предполагая, что поверхность земли представляетъ горизонтальную плоскость, измѣряемъ на ней возможно точно какую-нибудь прямую СВ, которая наз. базисомъ. Потомъ ставимъ въ С угломѣрный снарядъ и измѣряемъ уг. ADE, образуемый лучемъ зрѣнія DA съ горизонтальной линіей DE. Тогда АЕ= =DE.tgADE. Придавъ къ АЕ высоту угломѣрнаго снаряда DC=BE, опредѣлимъ искомую высоту AB.

56- Формулы прямоуг. тр—ка служатъ также для рѣшенія равнобедреннаго тр — ка, такъ какъ этотъ послѣдній перпендикуляромъ, опущеннымъ изъ его вершины на основаніе, раздѣляется на два равныхъ прямоуг. тр—ка. Возьмемъ нѣсколько задачъ.

1) По основанію Ъ равнобедр. тр—ка и углу В при вершинѣ опредѣлить сторону а, уг. А и площ. s тр—ка?

Такъ какъ 1l.b=a.sn1l„B, то а=--------~—; уг. Л = 90°—‘/„Б;

такъ какъ высота тр—ка равна i/ib. ctg72-B, то площадь s=72 ъ- 7» в= 7,^2ctg 7, в.

2) Рѣшить равнобедр. треуг. по сторонѣ а и углу В при вершинѣ?

Чер. 30.

.3) Рѣшить равнобедр. треуг. по основанію Ъ и высотѣ h.

4) Рѣшить равноб. треуг. по сторонѣ а и основ. Ъ?

5) Рѣшить равноб. треуг. по высотѣ h и углу А при основаніи? Сторону а опредѣлимъ изъ уравн. fc=a.snA; основ.

6) Рѣшить равноб. треуг., если высота, опущенная на основаніе Ъ, есть /г; а высота, опущенная на сторону а, есть Ä ?

ІІ2В, а потомъ и В. Затѣмъ легко опредѣлить основ. Ъ, сторону а и площ. s.

57. Кромѣ изложенныхъ въ § 54-мъ основныхъ задачъ на рѣшеніе прямоуг. треуг. могутъ быть и многія другія задачи, гдѣ не дается прямо величина сторонъ и угловъ, а извѣстна, напр., сумма или разность двухъ сторонъ и одинъ уг.; или высота и уголъ, и т. под.

Вотъ нѣкоторыя изъ такихъ задачъ:

1) Рѣшить треуг. по данному уг. В и суммѣ или разности гипотенузы а и одного изъ катетовъ с, т.-е. а-}-с—т или а—с~т?

Подобнымъ же образомъ рѣшается зад., если дано а—с=т.

2) Рѣшить треуг. по гипот. а и суммѣ или разности катетовъ Ъ и с, т.-е. Ъ-{-с=т или Ъ— с=т?

Изъ уравн. b=a.csC и с==а. csB находимъ

3) Рѣшить треуг. по уг. С и суммѣ или разности катетовъ Ь+с=т, или Ъ—с=т?

По предыдущей задачѣ имѣемъ-----r=tg(45°—С), откуда можно опредѣлить Ъ—с, если извѣстно б+с, и обратно; зная же Ь+с и b—с, легко опредѣлить бис; если, напр., дано, что Ь+с = т, и мы нашли, что Ъ — с = п, то 6=1/(m-}-w);

4) Рѣшить треуг. по периметру р и катету с?

5) Рѣшить треуг. по гипот. а и перпендикуляру h, опущенному на нее изъ вершины прямого угла?

Такъ какъ h = c.snB, а c=a.csB, то h~a.snBcsB= —а . 1/3sn2B; отсюда опредѣлимъ 2В, а потому и В; послѣ чего опредѣлимъ бис.

6) Рѣшить треуг. по периметру р и перпендикуляру h, опущенному изъ вершины прямого угла на гипотенузу?

Раздѣливъ обѣ части равенства на 2cs1/oI?.cs1/{» G и замѣтивъ, что

58. Задачи. Примѣч. Въ зад. 1—43 черезт» а означена гипотенуза, черезъ Ъ и с—катеты.

Рѣшить прямоуг. тр-къ по даннымъ:

Примѣч. Въ задачахъ 44—53 означено черезъ Ъ основаніе равнобедр. треуг., черезъ а каждая изъ равныхъ сторонъ, h—высота.

Рѣшить равнобедр. треуг. по даннымъ:

Примѣ ч. Въ задачахъ 54 — 74 означены: а гипот. , бис катеты, р—периметръ, h — перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прямого угла на гип., s—площ. прямоуг. тр-ка.

Рѣшить прямоуг. треуг. по даннымъ:

75) Опредѣлить углы равнобедр. тр-ка, если 1/2 его основанія равна сторонѣ прав. 10-ка, вписаннаго въ кругъ, котораго рад.=сторонѣ этого тр-ка?

76) Уг. при верш. равноб. тр-ка 8°11'30"; найти отношеніе стороны къ основанію?

77) Окружность=периметру равнобедр. тр-ка, котораго сторона= =18,169; а уг. при верш.=93°38г; опредѣлить радіусъ?

78) Опредѣлить углы равнобедр. тр-ка, котораго сторона есть геом. среднее между основаніемъ и высотою?

79) Опредѣлить углы прямоуг. тр-ка, котораго стороны составляютъ геом. прогрессію?

80) Опредѣлить уг. при верш. равноб. тр-ка, котораго основ.= =sn54°, а CTopoHa=sn72°?

81) Рѣшить прямоуг. тр-къ по площ. т2 и уг. С?

82) Рѣшить прямоуг. тр-къ по перим.=30 и рад. впис. круга=2?

83) Опредѣлить углы прямоуг. тр-ка, если рад. впис. круга= =J/4 катета?

84) Опредѣлить уг. при вершинѣ равнобедр. т-ка, если основ.= =csc30°.]/2, CTop.=ctg 30°?

85) Рѣшить прямоуг. тр-къ, если перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прям. уг. на гипот., дѣлитъ ее на части а1=15; а2=21?

86) Рѣшить прямоуг. тр-къ, если гипот. а=36, а разность отрѣзковъ ея, образованныхъ перпендикуляромъ, опущеннымъ не нее изъ вершины прямого угла, равна (7=6?

87) Опредѣлить уг. при вершинѣ равноб. тр-ка, если отнош. квадрата стороны къ квадрату основ.=650/813?

88) Рѣшить равнобедр. треуг., если высота его, опущенная на основ., равна 7,5; а высота, опущенная на сторону, равна 4,8?

89) Рѣшить безъ помощи логар. таблицъ прямоуг. треуг., въ которомъ одинъ катетъ=1, а отнош. острыхъ угл.=2?

90) Рѣшить предыд. задачу безъ помощи тригонометріи?

91) Перим. ромба=842,7; одна діаг.=92,355; опредѣлить уг.?

92) Діагонали ромба 0,52293 и 5,97714; найти уг. ромба?

93) Сумма діагон. ромба=26,4; уголъ=63°15г; опредѣлить сторону?

94) Опредѣлить площ. ромба по уг. т и діагонали d, проведенной изъ вершины этого угла?

95) Опредѣлить площ. прямоугольника по діагонали 21,633 и углу между діагоналями=33°41'24"?

96) Опредѣлить площ. прямоугольника по діагонали 325 и углу 25°42F между діагональю и стороной?

97) Полупериметръ прямоугольника=8811; разность сторонъ = =1063; опредѣлить уг. между діагоналями?

98) Площ. равнобедр. трапеціи=3,477; параллельныя стороны ея суть 5 и 3; опредѣлить углы ея?

99) Рад. круга=г; опредѣлить длину хорды, стягивающей дугу въ 6°?

100) Рад. круга=г; опредѣлить стороны и площ. впис. и опис. п—угольника?

101) Опредѣлить отнош. площ. прав. впис. и опис. 6—ка? квадрата? 10—ка?

102) Въ кругъ рад. 1 вписанъ прав. п—угольникъ; найти рад. такого круга, чтобы впис. въ него прав. т—къ имѣлъ площ. въ р разъ больше площ. перваго п—ка?

103) Рѣшить предыдущую зад. при п=4, тп=12, /)=6?

104) Опредѣлить стор. прав. 14-ка, впис. въ кругъ рад. 17,4?

105) Опредѣлить сторону прав. 10—ка, опис. около круга рад. 1?

106) Опредѣлить сторону прав. 7—ка, если площ. его=43,253?

107) Опредѣлить рад. круга, описаннаго около прав. 9—ка, котораго площ.=2891/4?

108) Опредѣлить центральный уг., опирающійся на хорду=2/3 діам.?

109) Опредѣлить длину хорды, если дуга=27°42'35", а рад.=4,176?

110) Опредѣлить централ. уг., опирающійся на хорду=0,74922 рад.?

111) Чему равна хорда, соотвѣтствующая дугѣ, равной радіусу?

112) Хорда=72 рад.; опредѣлить отнош. ея длины къ длинѣ соотвѣтствующей ей меньшей дуги?

113) Въ кругѣ рад. 9,904 хорда=9,8; найти длину соотвѣтствующей ей меньшей дуги?

114) Вписанный уг. въ 34° опирается на хорду=6,9892 дюйм.; опредѣлить рад. круга?

115) Въ кругѣ рад. г проведена хорда; опредѣлить площ. меньшаго изъ образуемыхъ ею сегментовъ, если хорда=а? если разстояніе хорды отъ центра=й? длина меньшей дуги=6? число градусовъ меньшей дуги=п?

116) Рѣшить предыдущую зад., если г=1, а=2/7 окружности?

117) Изъ точки на окружности рад. г=5 проведены двѣ хорды: а=2,868 и 6=7,098; опредѣлить уг. между ними?

118) Рѣшить предыдущую зад., если а=6=г?

119) Опредѣлить центральный уг., опирающійся на хорду=8,74 ф. въ кругѣ рад. 5,47 ф.?

120) На сколько центральный у г. прав. 7—ка разнится отъ центр. угла, опирающагося на хорду=*/2 стор. прав. впис. въ кругъ тр—ка?

121) Рад. круда=1,67 дюйм.; изъ точки, находящейся на разстояніи 4,66 дюйм. отъ центра, проведены къ кругу касательныя; какой уг. онѣ образуютъ?

122) Вершина описаннаго угла отстоитъ отъ окружи, на 0,5; рад.=4,59. Опредѣлить у г.?

123) Опредѣлить поверхн. и объемъ прямого конуса, котораго рад. осн.=г, а уголъ образующей съ плоскостью основ.=п°?

124) Опредѣлить поверхн. прямого конуса, котораго высота=24, а уголъ между образующими, проведеннымъ къ концамъ діаметра, равенъ 16°6f7"?

125) Прямой конусъ, котораго бок. пов.=$, а образующая=а, пересѣченъ плоскостью по оси; опредѣлити уг. при вершинѣ полученнаго сѣченія?

126) Опредѣлить рад. основ. прямого конуса, котораго образующая=32,4 ф.; а уголъ между образующими, проведенными къ концамъ діаметра, равенъ 32°17'?

127) Опредѣлить радіусъ параллельнаго круга, находящагося подъ широтой ср? Рад. земли=7?.

128) Опредѣлить поверхность земного пояса между широтами <р и полагая рад. земли=Іг миль?

129) Башня съ разстоянія 2,73 мет. видна подъ угломъ 88°37'35"; найти высоту башки?

130) Акробатъ хочетъ взойти по канату съ земли на вершину башни въ 10,5 метр. вышины; онъ можетъ итти по канату только тогда, если канатъ наклоненъ къ горизонту подъ у г. не болѣе 30°; длина кан.=19,6 метр.; можетъ ли акробатъ взойти на башню?

131) Башня въ 150 метр. бросаетъ тѣнь въ 75,3 метр. длины; опредѣлить высоту солнца (т.-е. уголъ, образуемый солнечными лучами съ горизонтомъ)?

132) Точка А лежитъ выше точки В, АВ=38 саж.; уг. AB съ горизонтомъ=32°17'. Опредѣлить вертикальное разстояніе А и _В?

133) Вертикальный предметъ въ 15,24 ф. высоты отбрасываетъ тѣнь въ 47,62 ф.; опредѣлить высоту солнца?

134) Опредѣлить радіусъ параллельнаго круга, соотвѣтствующаго широтѣ 60°? Рад. земли=858 георг. миль.

135) Въ какой широтѣ градусъ параллельнаго круга=1 верстѣ?

136) Найти разстояніе двухъ мѣстъ, лежащихъ въ широтѣ 55°45'.У, а долготы ихъ 36°22'О и 23°38г РГ? Рад. земли=858 геогр. миль.

137) Изъ центра солнца виденъ радіусъ земли подъ у г. 8",6; опредѣлить разстояніе солнца отъ земли?

138) Видимый діам. солн.=32'; опредѣлить величину солнца? Разст. солнца отъ земли=24000 зем. рад.

139) Изъ центра луны радіусъ земли представляется подъ уг. 57г18п; опредѣлить разстояніе луны отъ земли?

140) Опредѣлить величину луны, зная ея разстояніе отъ земли и видимый рад. ея 16г (см. зад. 139)?

141) Въ мѣстѣ А башня въ 73 ф. вышины въ полдень 9 марта отбрасываетъ тѣнь длиной въ 55 ф.; опредѣлить широту мѣста А?

142) Маякъ 27 метр. вышины виденъ съ корабля подъ у г. 4 °14'30"; опредѣлить разстояніе корабля отъ маяка?

143) На берегу рѣки проведена прямая АВ=42 саж.; на другомъ берегу взята точка (7, такъ что АС | АВ\ уг. АВ(7=25°27'; найти ширину рѣки?

144) Солнце находится на высотѣ 36°40' надъ горизонтомъ; какой длины тѣнь отбрасываетъ вертикальный шестъ въ 20 фут.?

145) Подъ какимъ угл. зрѣнія представляется шаръ рад. 36 дюйм. наблюдателю, находящемуся на разстояніи 7 фут. отъ центра шара?

146) Подъ какимъ угл. наклонена образующая конуса къ плоск. его основанія, если высота конуса=7, а рад. основ.=5?

147) Прямоуг. тр-къ равновеликъ кругу, построенному на его катетѣ а; опредѣлить углы тр—ка?

148) Опредѣлить стороны прямоуг. тр—ка, если катетъ б=положительному корню уравн. Зx2—2=5x, а snl?—cs2B=0,44?

149) Вычислить, сколько верстъ проходитъ въ 8 часовъ 45 мин. Москва отъ суточнаго вращенія земли? Широта Москвы=55°45'; рад. земли=858 георг. миль.

150) Рѣшить зад. 149 для Кіева, котораго шир.=50°27'?

151) Опредѣлить широту мѣста, которое отъ суточнаго вращенія земли проходитъ въ t секундъ такое же пространство, какое проходитъ въ V секундъ мѣсто, лежащее подъ широт. ср?

152) Опредѣлить разстояніе между двумя мѣстами, если широта ихъ 23°28', а долготы 46°18' W и 34°16']У? Рад. земли=858 георг. миль.

59) Косоугольные треугольники. При рѣшеніи косоугольныхъ треуг. могутъ быть слѣдующіе случаи:

1) Рѣшить треуг. по данной сторонѣ и двумъ угламъ? Дано а, А, В; найти С, Ъ, с и площадь s?

Уголъ (7=180°—(A-f-B); стороны бис опредѣлятся изъ пропорцій для опредѣленія площади тр—ка

примемъ за основаніе сторону его Ъ; тогда высота 1г=а . sn(7, слѣд. s=1/„аб.8п(7=половинѣ произведенія двухъ сторонъ на sn угла между ними;

Числовой примѣръ:

Вычисленіе стороны Ъ: Вычисленіе стороны с:

2) Рѣшить треуг. по даннымъ двумъ сторонамъ и углу между ними?

Дано а, Ъ, С\ опредѣлить углы А, В, сторону с и площ. s тр—ка?

Для опредѣленія угл. А и В возьмемъ формулу 34-ю:

Замѣтимъ, что при а=Ъ нельзя употребить форм. 34-ю; но въ этомъ случаѣ А=В, и, слѣд., каждый уголъ 90°—

Для опредѣленія площ. тр—ка служитъ формула s=1/a«6-snC', выведенная въ предыдущей задачѣ.

Числовой примѣръ: «=1295; 6=835,7; <7=74°25г.

Вычисленіе угла

Вычисленіе угловъ А и В:

Вычисленіе стороны с:

Вычисленіе площади:

3) Рѣшить треуг. по даннымъ двумъ сторонамъ и углу, противолежащему одной изъ нихъ?

Дано а, Ъ, А; найти В, С, с, s?

Для опредѣленія угла В возьмемъ пропорцію

откуда

опредѣливъ уг. В, найдемъ уг. (7=180°—(J.4-.B);

сторону с опредѣлимъ изъ пропорціи

затѣмъ опредѣлимъ и площ. s. Но такъ какъ уг. В опредѣляется по sn, а sn остраго и тупого угловъ, составляющихъ въ суммѣ 180°, одинъ и тотъ же, то должно разсмотрѣть, будетъ ли уг. В острый, или же онъ можетъ быть и тупымъ. Это зависитъ отъ относительной величины данныхъ сторонъ Ъ и а. Если бса, то i.snJ. и подавно меньше а, ибо

потому

есть правильная дробь, и всегда можно найти уг. В, котораго 8п=этой дроби; притомъ, такъ какъ при условіи Ъ«і уголъ В также меньше угла А, то уг. В будетъ непремѣнно острымъ, если бы даже А былъ и тупымъ, ибо двухъ тупыхъ угловъ въ тр—кѣ быть не можетъ; слѣд., если бса, то задача всегда возможна и имѣетъ только одно рѣшепіе.

Но если сторона Ъ больше а, то дробь

можетъ быть больше единицы, равна единицѣ и наконецъ меньше ея. Въ первомъ случаѣ задача невозможна, ибо дробь

можетъ быть >1. Во второмъ случаѣ уг. В будетъ прямой. Если

то уг. В можетъ быть и острый, и тупой, т.-е.

будетъ имѣть двѣ величины: одну, получаемую изъ таблицъ, и другую—дополненіе первой до 180°. Такимъ образомъ, въ этомъ случаѣ получаются два тр — ка, удовлетворяющіе требованіямъ задачи, и задача имѣетъ два рѣшенія.

Геометрическое рѣшеніе задачи о построеніи тр—ка по даннымъ двумъ сторонамъ и углу, противолежащему одной изъ нихъ, приводитъ къ тѣмъ же результатамъ, какіе мы вывели изъ тригонометрическаго рѣшенія. Дѣйствительно, чтобъ построить тр-къ по сторонамъ а, b и углу А, откладываемъ на сторонѣ угла А (чер. 31) часть АС=6; затѣмъ изъ точки С радіусомъ = а описываемъ дугу; если бГ>6, то а и подавно > перпендикуляра CD, который можно опустить изъ С на AB', поэтому дуга пересѣчетъ другую сторону угла А, и точки пересѣченія В и N будутъ лежать по разнымъ сторонамъ вершины А, такъ какъ прямая CN по условію больше СА и, слѣд., CN должна лежать дальше отъ перпендикуляра CD. Изъ полученныхъ тр — ковъ А СВ и ACN только АСВ удовлетворяетъ задачѣ, ибо ACN хотя и имѣетъ двѣ стороны, равныя даннымъ а и Ъ, но не имѣетъ даннаго угла А. Такимъ образомъ, если сС>Ъ, то задача всегда возможна и имѣетъ только одно рѣшеніе. Если же a<cb, то (чер. 32) дуга, описанная изъ точки С рад.=а, или пересѣчетъ сторону угла А въ точкахъ В и N, ле-

Чер. 31.

Чер. 32.

жащихъ по одну сторону отъ точки А, и тогда получатся два тр—ка АВС и ANC) удовлетворяющіе условіямъ задачи, или коснется стороны AB въ точкѣ D) при чемъ получится одинъ тр—къ АВС) прямоугольный при В) или наконецъ дуга не будетъ имѣть общихъ точекъ съ прямой AB—и тогда задача невозможна. Пересѣченіе дуги съ прямой AB произойдетъ тогда, когда сС> СВ\ касаніе—когда а=СВ\ дуга не будетъ имѣть общихъ точекъ съ AB) если a<z.CB) но изъ прямоуг. тр—ка АСВ имѣемъ СВ=Ь. snA; слѣд. задача имѣетъ два рѣшенія, если a>6.snA; одно рѣшеніе, если a=b.snA; она невозможна, если a<6.snA, что мы и видѣли при тригонометрическомъ рѣшеніи задачи.

Числовой примѣръ: а=58; 6=86; Л=41 °17'.

Вычисленіе угла В:

Первое рѣшеніе.

Второе рѣшеніе.

Вычисленіе стороны с:

Возьмемъ еще примѣръ: а=20; 6=23; Л=76°.

При вычисленіи найдемъ lgsnB=0,04760 и слѣд. snB>*l, т.-е. зад. невозможна.

4) Рѣшить треугольникъ по даннымъ сторонамъ его.

Дано а, Ъ) с\ найти углы Л, Д С и площадь s треугольника.

Изъ геометріи извѣстно, что площ. гдѣ р есть полупериметръ тр—ка. т.-е.

Для опредѣ-

ленія угла А возьмемъ формулу 3 5-ю §51 -го:

отсюда имѣемъ

Чтобы получить выраженіе логариѳмическое, вычтемъ обѣ части формулы изъ единицы; получимъ:

Полагая а+с-{-Ь=2р, найдемъ а+с=2р— Ъ, а+с—Ъ= —2р—2Ъ=2(р—Ь); точно также а—с+Ъ—2(р — с); и слѣд.,

Но

слѣдовательно

откуда

(36). Точно также найдемъ

Помощью этихъ формулъ можно опредѣлить ‘ДА, 4tB,lltC, а слѣд., и А, В, С. Хотя синусы остраго угла и тупого, служащаго ему дополненіемъ до 180°, равны между собою, но здѣсь углы 1/ІА, 1І2В, (7 должны быть острые, такъ какъ сумма всѣхъ ихъ—90°.

Можно также опредѣлить углы по cs или tg. Извѣстно, что

вставивъ сюда вмѣсто csA его величину изъ ур.

(35), получимъ

(37),

Точно такъ же найдемъ:

Изъ формулъ sn и cs получимъ

(38);

При вычисленіи угловъ тр — ка удобнѣе употреблять послѣднія три формулы, такъ какъ при этомъ нужно будетъ отыскать только четыре логариѳма, тогда какъ при вычисленіи по формуламъ sn и cs ихъ придется отыскивать шесть и семь. Сверхъ того, вычисленіе угловъ по тангенсамъ точнѣе, чѣмъ по sn или cs (§ 43).

Числовой примѣръ: а=3875, 6=8159, с=4698.

Вычисленіе угла А.

Вычтя 7,57486 изъ 5,88040, получимъ 8,30554; раздѣливъ этотъ lg на 2, найдемъ lgtg1/2J=9,15277; поэтому 72Л=8°5’27"; слѣд., А= 16°10'54".

Подобнымъ образомъ вычислимъ 5=144°4'16' ; С=19°44'50". Для провѣрки сложимъ углы А, В, С\ получимъ 180°. Еслибъ вычисляли углы по sn, то нашли бы Л=16°10'52"; Б=144°4'; С'=19°44,50"; и слѣд. Л+В-]-(7=179059'42'', т.-е. ошибка была бы=18".

Чтобы по тремъ даннымъ линіямъ а, Ъ, с построить треуг., должно, какъ извѣстно изъ геометріи, взять линію, равную одной изъ данныхъ, напр. а, и потомъ изъ концевъ ея описать дуги радіусами, равными другимъ линіямъ Ъ и с\ соединивъ точку пересѣченія дугъ съ концами первой линіи, получимъ треуг., котораго стороны а, 6, с. Но какъ условіе пересѣченія окружностей состоитъ въ томъ, чтобы разсостояніе центровъ было менѣе суммы радіусовъ и болѣе ихъ разности, то, чтобы треугольникъ былъ возможенъ, необходимо, чтобы было а<СЪ-{-с и а>Ъ—с. Эти же условія можно вывести аналитически изъ

формулы

Дѣйствительно, чтобы треугольникъ былъ возможенъ, величина cs^/^A должна быть дѣйствительная и<А. Чтобы корень былъ дѣйствительный, нужно, чтобы подкоренная величина была положительная, т.-е. р>а или a-f-6+c>2a, или Ь+с>а. Чтобы cs‘/jA былъ менѣе 1, нужно имѣть или (Ь—с)2<аі, Ъ—с<а; т.-е. каждая сторона должна быть менѣе суммы двухъ прочихъ, но болѣе ихъ разности.

60. Рѣшимъ еще двѣ практическихъ задачи.

1) Опредѣлить высоту AB (чер. 33) неприступнаго предмета (т.-е. такого предмета, къ основанію котораго нельзя подойти)? Полагая поверхность земли горизонтальною, измѣримъ базисъ CD=b и углы т и п, образуемые лучами зрѣнія ADi и А g съ горизонтальной линіей DlBl, наблюдая, чтобы высоты DDt и CCt угломѣрнаго снаряда были одинаковы.

Тогда

откуда

Для нахожденія AB остается придать къ ABt высоту угломѣрнаго снаряда.

2) Опредѣлить разстояніе AB (чер. 34) между двумя неприступными точками?

Измѣримъ базисъ CD и углы ADC, BDC, ACD и BCD; если точки А, В, С, D находятся въ одной плоскости, то уг. АСВ—BCD—ACD\ если же нѣтъ, то его должно измѣрить непосредственно. Въ треуг. ACD и BCD извѣстны сторона DC и прилежащіе къ ней углы; поэтому можно опредѣлить АС и ВС; тогда въ треуг. АВС будутъ извѣстны АС, ВС и уг. АСВ; поэтому можно опредѣлить и AB.

Чер. 33.

Чер. 34.

61. Возьмемъ нѣсколько болѣе сложныхъ задачъ на рѣшеніе треугольниковъ.

1) Рѣшить треуг. по данной сторонѣ б, противолежащему углу В и суммѣ остальныхъ сторонъ а+с=т?

Изъ пропорцій

найдемъ

откуда опредѣлится

а такъ какъ

А4-С'=180°—В, то легко опредѣлить А и С.

Такъ же найдемъ

откуда опредѣлится а—с. Зная a-j-c и а—с, найдемъ а и с.

2) Рѣшить треуг. по сторонѣ а, уг. В и b+c—m\

Такъ какъ

(см. форм. 3 § 59), то

Но

слѣд.,

отсюда опредѣлимъ

потомъ легко найти А, Ь, с и s.

3) Рѣшить треуг. по сторонѣ а, уг. В и b—с—т?

Раздѣливъ выраженіе

получимъ

Отсюда опредѣлимъ 1/2С, а потомъ найдемъ А, Ь, с и s.

4) Рѣшить треуг. по основанію Ъ, высотѣ h и углу В?

5) Рѣшить треуг. по А, Си а—с?

Въ зад. 1-й § 61 мы видѣли, что изъ перваго уравн. опредѣлимъ Ъ, а изъ второго (i-f-c; затѣмъ найдемъ а и с.

6) Рѣшить треуг. по периметру 2р и угламъ?

Въ § 59 мы вывели формулы (37):

Перемноживъ эти выраженія, получимъ

гдѣ s есть площадь тр—ка. Но

слѣд.

откуда

7) Рѣшить треуг. по площади s и угламъ?

62. Такъ какъ всякій многоугольникъ можно разбить на тр—ки, то формулы, служащія для рѣшенія тр—ковъ, даютъ

возможность по достаточному числу данныхъ рѣшать многоугольники. Изъ задачъ, сюда относящихся, рѣшимъ слѣдующія:

По даннымъ сторонамъ а, Ъ, с, d четыреугольника, вписаннаго въ кругъ (чер. 35), опредѣлить его діагонали х, у, углы и площадь s?

Такъ какъ уг. x>=180—В, то csD=—csB, и изъ треуг. АВС и ACD имѣемъ:

откуда

Чтобы преобразовать эту формулу въ логарифмическую, придадимъ и вычтемъ обѣ части ея изъ 1 ; получимъ:

Полагая a+b+c+d—2p, откуда c+d+a —б=2(р—Ь) ит.д.

найдемъ

откуда

выраженіе логарифмическое.

Подобнымъ образомъ найдемъ:

Углы С и В опредѣляются, какъ дополненія A и В до 180 .

Для опредѣленія діагоналей, изъ уравн.

опредѣлимъ

-и подставимъ въ ур.

найдемъ

откуда

Помноживъ х2 3 иа у2, найдемъ:

выраженіе, извѣстное изъ геометріи.

2) Опредѣлить площ. s четыреугольника по даннымъ діагоналямъ d, dt и углы т между ними?

Опредѣливъ площ. четырехъ треуг., на которые раздѣляется данный 4—къ діагоналями, по отрѣзкамъ діагоналей и углу т, найдемъ s=1/2cZ<Z1 snm.

3) Опредѣлить площ. параллелограмма по сторонамъ и углу? Если стороны будутъ а, Ъ, а одинъ изъ угл.=ж, то площ.= =aö.snm.

63. Задачи. Рѣшить треуг. по слѣдующимъ даннымъ:

61) Опредѣлить отнош. сторонъ тр - ка, если отнош. угловъ его= =1 : 2 :3? 3 : 4 : 5? 4 : 5 : 6?

62) Высота тр—ка=68,315 дюйм.; углы при основаніи равны 47°28'34,г и 62°19г25"; опредѣлить площ. тр—ка?

63) По данной сторонѣ параллелограмма п угламъ, образуемымъ ею съ діагоналями, опредѣлить другую сторону?

64) Опредѣлить стороны, углы и площ. параллелограмма, котораго діагонали равны каждая 18, а уг. между ними=28°?

65) Сторона параллелогр.=35 дюйм.; діаг.=63 дюйм.; уг. между діагоналями=21°36'30гг; опредѣлить другую стор. и діаг.?

66) Три круга касаются извнѣ; радіусы ихъ 0,82888; 0,86616 и 0,8988; опредѣлить углы, образуемые линіями центровъ?

67) Четыреугольникъ имѣетъ стороны 26,5; 17; 113; 98, 5 дюйм.; уг. между 1-й и 2-й сторонами=140°; опредѣлить площ. 4—ка?

68) Опредѣлить площ. трапеціи, которой параллельныя стороны а и Ь, а углы, прилежащіе къ 6, суть А и 5?

69) Опредѣлить площ. трап. по діаг. cZ, dA и уг. т между ними?

70) Опредѣлить стороны трапеціи, которой высота=2,52; большая изъ параллельныхъ сторонъ=6,84; углы, прилежащіе къ этой стор., суть 60° и 30 °?

71) Опредѣлить уг. А тр—ка, если a=2sn54ü. sc60°; 6=c=tg60°‘?

72) Площ. параллелогр.=668,11 кв. ф.; сторона=13,5 ф.; уг.= =36°36'10"; опредѣлить другую сторону?

73) Означая s площадь, а 2/;—периметръ треуг., показать, что

74) Опредѣлить рад. круга, описаннаго около треуг., котораго стороны а, b, b

75) Опредѣлить рад. г круга, вписаннаго въ треуг., котораго перим.=2т?, а площ.=5?

76) Рѣшить треуг. по угламъ и рад. г вписан. круга?

77) Опредѣлить площ. треуг. по высотѣ и угламъ?

78) Рѣшить треуг. по перим. уг. В и рад. г впис. круга?

79) Зная, что площ. тр—ка равна 1/2 произведенія двухъ сторонъ на sn угла между ними, вывести выраженіе площ. тр—ка по тремъ сторонамъ его?

Доказать, что площ. тр—ка равна:

82) Опредѣлить площ. тр—ка по угламъ его и высотѣ h, опущенной на стор. а?

83) Въ тр—кѣ сторона а=1,3782; 6=4,8063; соединивъ средины сторонъ тр—ка, получимъ ромбъ; опредѣлить углы тр—ка?

Рѣшить треуг. по даннымъ:

84) А=59°40'; Б=42059г48",3; рад. опис. круга=187,695?

85) Основан.=2,3;высота=1,79; уг. при верш.=105°Зг40п?

86) А=74°; В=49°30г; рад. впис. круга=3,6985?

87) а+6+с=37,954; А=70°; рад. впис. круга=1?

88) Рѣшить треуг., если В=44°; а прямая, дѣлящая уг. С пополамъ, разсѣкаетъ сторону с=10 фут. на части въ отн. 2:3?

89) Рѣшить треуг., если Л=68°40г35"; высота, опущенная изъ А, равна 9,4587; snD : snC=l,0909?

90) При какихъ условіяхъ возможна въ тр—кѣ АВС пропорція AB* .BC2=AD-.DC, если ВВ±АС?

91) Какое положеніе имѣетъ въ треуг. линія, проведенная изъ вершины какого-нибудь изъ его угловъ, если она дѣлитъ противолежащую сторону на части, пропорціональныя двумъ другумъ сторонамъ?

92) Въ треуг. даны стороны а, Ь и прямая т, дѣлящая пополамъ уг. между ними; опредѣлить этотъ уг.?

93) При какомъ условіи существуетъ для тр — ка уравненіе

94) Показать, что если а, 6, с будутъ стороны треугольника, а 2x, 3x, 4x—противолежащіе имъ углы, то

95) Показать, что если стороны а, б, с треугольника составляютъ ариѳметическую прогрессію, то cs1/2(— C) = 2sn1/2B и a.cs2i/2C+4-c.cs2i/24=3/2 б?

96) Котангенсы половинъ угловъ тр—ка выражаются тремя послѣдовательными цѣлыми числами; опредѣлить, какого вида этотъ треуг. и найти отношеніе его сторонъ?

97) Опредѣлить сторону и площ. прав. 40—угольника, впис. въ круг. рад. 5,16 фут.?

98) Опредѣлить сторону и площ. прав. 30—угольника, опис. около круга рад. 0,68 арш.?

99) Сторона прав. 60—ка равна 0,7 арш.; опредѣлить площ.?

100) Периметръ прав. 25—угольника равенъ 3,675 фут.; опредѣлить радіусъ и апоѳему?

101) Вычислить тг, принимая окружи, за перим. прав. 192—ка?

102) Перим. прав. 18—ка=102,96; опредѣлить площадь?

103) Діагоналъ прав. 5—ка=8; найти перим. и площ.?

104) Периметры правильныхъ 9—ка и 10 —ка равны между собою; опредѣлить отнош. площадей?

105) Правильные 11—къ и 12—къ имѣютъ одинакіе периметры; разность же площадей ихъ=294,55 кв. д.; опредѣлить стороны?

106) Площ. круга, описан. около правильнаго 11—ка; равна 23 кв. ф.; опредѣлить площ. 11—ка?

107) Сторона прав. впис. въ кругъ 12—ка равна 12 дюйм.; опредѣлить площ. прав. впис. въ тотъ же кругъ 10—ка?

108) Сторона прав. впис. 7—ка приблизительно=1/2 стороны впис. прав. 3—ка; опредѣлить ошибку въ центральномъ углѣ?

109) Площ. квадрата=316,64 кв. дюйм.; въ квадратъ вписанъ прав. треуг., котораго одна сторона=стор. квадрата; опредѣлить площ. тр—ка?

110) Въ квадратъ вписанъ прав. треуг., такъ что вершина его находится въ одной изъ вершинъ квадрата, а основаніе I діагонали; сторона тр—ка=150,48. Опредѣлить площ. квадрата?

111) Въ 4—кѣ ABCD даны стороны ЛВ=3, ВС—Ѣ, CD—8) DA=8 и уг. BJ.B=37°12'; провести изъ вершины В прямую BE до встрѣчи съ CD) такъ чтобы 4—къ AB CD раздѣлился на двѣ равновеликія части?

112) Стороны тр-ка суть а, б, с; углы его А, В, (7; стороны другого тр—ка суть a.csA, ô.csB, c.csC; доказать, что углы В15 Сх второго тр —ка суть дополненія до 180° угл. 2А, 2В, 2(7?

113) Доказать, что если тангенсы угл. А, В, С тр—ка составляютъ геометр. прогрессію, которой знамен. и, то sn2C=n.sn2A?

114) Опредѣлить діагон. прав. 5—ка, если сторона его=72 фут.?

115) Площ. прав. впис. 5—ка=3,3184; опредѣлить площ. прав. впис. въ тотъ же кругъ 20—ка?

116) Опредѣлить рад. круга, описан. около прав. 9—ка, котораго площ.=289 72 кв. дюйм.?

117) Найти площ. кругового сегмента, если хорда=рад.=100 ф.?

118) Опредѣлить высоту Л прав. тетраедра по площ. грани=т2?

119) Сторона а тр—ка раздѣлена на три равныя части, и точка дѣленія, ближайшая къ вершинѣ В, соединена съ вершиной А прямой линіей; опредѣлить длину этой прямой, если « = 30; 6=16, с=24?

120) Подъ какимъ угл. зрѣнія представляется предметъ въ 7 ф. длины наблюдателю, глазъ котораго отстоитъ отъ одного конца на 5, а отъ другого на 8 ф.?

121) При центрѣ круга построенъ прямой уголъ; одна сторона его=радіусу, а другая=діаметру; если концы сторонъ соединить прямой линіей, то получится хорда, которая будетъ приблизительно равна сторонѣ прав. впис. 7—ка. Опредѣлить разность между полученнымъ центральнымъ угл. и центр. угл. 7—ка?

122) Чтобы опредѣлить высоту SH башни, къ основанію которой Н нельзя подойти, измѣряютъ въ одной горизонтальной плоскости съ основаніемъ прямую AJ5=500 фут. въ направленіи къ Н и углы SL477=120°10'30" и $7?77=25°30'; найти высоту башни?

123) Чтобы опредѣлить разстояніе между точками А и В, измѣренъ базисъ 07)=2000 ф.; уголъ АО7)=96040'; J5CD=52°40'; AT) 0=57 °1'; 7?Т)О=87°15'; опредѣлить AB?

124) Молнія, имѣющая видъ прямой линіи, была видна изъ мѣста А подъ уг. 43°36'10"; черезъ 17 секундъ послѣдовалъ громъ, продолжавшійся 2х/з сек.; опредѣлить длину молніи, зная, что звукъ проходитъ 333 мет. въ секунду?

125) Отъ основанія А башни проведена прямая линія въ одной горизонтальной плоскости съ этимъ основаніемъ; на прямой отложена часть АВ=100 фут. и ВС=АВ\ съ вершины башни линія СВ видна подъ у г. 14°2'10". Опредѣлить высоту башни?

126) На какомъ разстояніи отъ глаза надо поставить кружокъ 1 дюйм. въ діам., чтобы онъ закрылъ солнце? Видимый діаметръ солнца—32'.

127) Дана прямая АВ=3784 фут. Двѣ точки С и D лежатъ въ одной плоскости съ AB) и положеніе ихъ относительно AB опредѣляется углами ВАО = 87°25'; BAD— 47°32'; А7?О = 46°34' и А7?7)=84035". Опредѣлить CD?

128) Чтобы опредѣлить разстояніе непріятельскаго лагеря А отъ крѣпости В) измѣрили прямую 7)0=322,55 саж. и углы АВС— =60°34' и А 07?=56°10'; вычислить длину AB?

129) Наблюдатель, находясь въ точкѣ А, лежащей на уровнѣ моря, видитъ на горизонтѣ вершину С горы ВС, которой высота=5000 фут.; поднявшись изъ А на аэростатѣ въ точку 7), лежащую вертикально надъ А въ 15000 фут., онъ видитъ вершину горы уже на высотѣ 1°53'30" надъ горизонтомъ. Опредѣлить радіусъ земли?

130) Наблюдатель изъ точки А видитъ вертикальную колонну подъ уг. 43°27' въ направленіи къ 050; въ полдень колонна бро

саетъ тѣнь въ 125 ф. длины, и конецъ тѣни лежитъ къ N О отъ наблюдателя. Опредѣлить высоту колонны?

131) На башнѣ AB въ 200 ф. вышины поставленъ шпиль ВС въ 1 ф. вышины; подъ какимъ уг. зрѣнія онъ представится наблюдателю, глазъ котораго находится въ точкѣ D, лежащей въ одной горизонтальной плоскости съ основаніемъ А башни и въ разстояніи 100 ф. отъ нея?

132) Аэростатъ отъ мѣста А виденъ по направленію къ NNO на высотѣ т°; въ то же время изъ В онъ виденъ на N0 на высотѣ п°, горизонтальная линія АВ=а саж.; на сколько саж. поднялся аэростатъ надъ землею?

133) Точки А и В находятся въ одной горизонтальной плоскости съ основаніемъ башни, имѣющей высоту 33,3 метра, и прямая AB проходитъ черезъ основаніе башни; углы, образуемые линіями, идущими отъ вершины башни къ точкамъ А и В, суть 42 °7' и 41°18г; найти длину AB?

134) Наблюдатель, находящійся на высотѣ h надъ уровнемъ озера, нашелъ, что лучъ зрѣнія, направленный къ облаку, составляетъ съ горизонтальной плоскостью уг. т; а лучъ зрѣнія, направленный къ изображенію этого облака въ озерѣ, составляетъ съ гориз. плоск. уголъ п. Опредѣлить высоту облака надъ поверхностью озера?

135) Діаметръ аэростата=25 метр. и виденъ подъ угломъ 30'; а лучъ зрѣнія, направленный къ аэростату, наклоненъ къ горизонту подъ уг. 15°. Опредѣлить разстояніе аэростата отъ наблюдателя?

136) Опредѣлить большій изъ угл. тр—ка, имѣющаго стороны а=п2+п~\Л, 6=2п-]-1) с=п2—1?

137) Показать, что если стороны треуг. пропорціональны выраженіямъ gh(k2+l2), kl{g2+li2} и (Jik+gl\hl—дк), то его площ. и тригон. величины угловъ будутъ выраженія раціональныя?

138) Въ кругѣ проведена хорда AJ?=140 дюйм. и соотвѣтствующая дугѣ=160°; точка С дуги соединена съ А и В, и отношеніе хордъ АС и ВС=3 : 4. Опредѣлить величины этихъ хордъ?

139) Въ треуг. двѣ стороны равны между собою; уг. между ними= =45°; опредѣлить третью сторону?

140) Сторона правильнаго треуг.=1; одинъ изъ угловъ его раздѣленъ въ отношеніи 4 : 5; опредѣлить величины отрѣзковъ противолежащей стороны?

141) Сторона AB треуг.=3648; уг. А=25°17'; уг. В=63°19г; уг. С раздѣленъ на три равныя части; опредѣлить отрѣзки стороны AB?

142) Отъ вершины уг.=41°7г движутся равномѣрно по сторонамъ его двѣ точки; одна проходитъ въ секунду 69, другая 73 дюйм.; опредѣлить разстояніе между этими точками черезъ 4 секунды послѣ начала движенія?

143) Одна изъ сторонъ правильнаго треуг. раздѣлена на 3 равныя части, и точки дѣленія соединены съ противолежащей вершиною; на какія части раздѣлился уголъ?

144) Изъ вершинъ квадрата проведены прямыя линіи такъ, что онѣ образуютъ со сторонами квадрата углы т, и пересѣченіями своими

образуютъ квадратъ; найти отнош. площ. этого квадр, къ площ. даннаго квадр.? Рѣшить зад. при т=30°? 40°? 60°? 90°?

145) Въ квадратъ вписанъ другой квадратъ такъ, что его вершины находятся на сторонахъ квадрата; отношеніе площадей квадратовъ=2; опредѣлить углы, образуемые сторонами одного квадрата со сторонами другого?

ГЛАВА VIII.

Разныя задачи.

Показать справедливость формулъ:

Опредѣлить безъ помощи таблицъ:

Опредѣлить:

Опредѣлить snx и sn?/ изъ уравн.:

Опредѣлить общій видъ дуги x, если:

74) Показать, что если

75) Показать, что если

76) Показать, что если

77) Показать, что если

78) Показать, что если

79) Показать, что если

80) Показать, что если.

81) Опредѣлить съ точностью до 0,001 тригонометрическія величины тупого угла x, котораго sn=0,75825?

83) Показать, что если А и В суть острые углы прямоуг. треуг., то

84) Показать, что если

то х есть среднее ариѳм. между а и 6?

85) Показять, что если

Рѣшить уравн.:

120) Найти площ. прав. 6 —ка, вписаннаго въ кругъ рад. 12 ф.?

121) Найти радіусы круговъ, вписаннаго и описаннаго около праильнаго п—угольника, котораго сторона=«?

122) Подъ какой широтой находится мѣсто, движущееся при суточномъ вращеніи земли вдвое медленнѣе Москвы? Шир. Москвы=55°45'.

123) По сторонѣ а прав. впис. п—угол. найти стор. опис.?

124) Вычислить периметръ правильнаго 18—угольника, вписаннаго въ кругъ радіуса 14,543 фут.?

125) Вычислить площадь правильнаго 36—угольника, вписаннаго въ кругъ, котораго радіусъ=1?

126) Доказать, что если стороны прямоуг. треуг. выражаются тремя послѣдов. цѣлыми числами, то sn(7(l—sn (7)-]—cs (7(1—csCT)=1/2csC?

127) Рѣшить безъ помощи триг. таблицъ прямоуг. треуг. по даннымъ: кат.=6; гипот.=12?

128) Площ. круга=2638; хорда=2/7 окружности; найти площ. меньшаго сегмента?

129) Къ рад. г круга проведена перпендикулярная хорда, дѣлящая окружи, на части въ отнош. 3:1; опредѣлить точку, въ которой возставленъ перпендикуляръ къ радіусу?

130) Сторона прав. 17—ка = 15,09: стор. прав. 19—ка= 16,52; найти отнош. ихъ площадей?

131) Доказать, что если тангенсы уг. треуг. относятся между собою какъ 1:2:3, то отношеніе сторонъ= j/~5 : |/ 8 : 3 ?

132) Найти наименьшую положительную величину x, удовлетворяю щую уравн. 32сзх~8ПЖ=2?

Опредѣлить величину:

Привести къ виду, удобному для вычисленія по логариѳмамъ:

142) Найти х и г/, если

143) Когда возможно урав.

144) Рѣшить ур.

145) При какомъ условіи возможно урав.

146) Опредѣлить число градусовъ дуги, которой хорда=а, рад.=г?

147) Вычислить

148) Найти а,

149) Опредѣлить уг. х изъ уравн.

150) Рѣшить уравн.

151) Найти уголъ, котораго tg вдвое больше ctg?

152) Вычислить x=sn96°4-sn35°?

153) Опредѣлить х изъ уравн. snx=3/4?csx?

Вычислить:

156) Опредѣлить острый уг. x, если

157) Вычислить съ точностію до 1 центиметра длину хорды, стягивающей дугу 12° въ кругѣ рад. 386,29 метр.?

158) Опредѣлить центральный уголъ, опирающійся на хорду=238,35 дюйм., въ кругѣ, котораго радіусъ=196,27 дюйм.?

159) Даны два угла я=38°24'36" и b=49019'43"; найти уголъ x, котораго tg былъ бы равенъ суммѣ тангенсовъ данныхъ угловъ?

160) Показать, что если x=22°30' или 20°, то csx=cs4x—cs7x?

Опредѣлить х изъ уравн.:

172) Опредѣлить площ. треуг. по стор. «=10 фут.,В=15°, С=45°?

173) Стороны треуг. 3, 5, 6 фут.; найти отношеніе радіусовъ круговъ вписаннаго и описаннаго?

174) Рѣшить треуг. по данной высотѣ 61,28 фут. и угламъ при основаніи ^=С'=41°31,25,Г?

175) Рѣшить безъ таблицъ треуг. по катету=4 и углу 60°?

176) Въ кругѣ радіуса 5,47 фут, опредѣлить величину центральнаго угла, который опирается на хорду=8,74 фут.?

177) Опредѣлить уг. А треуг. по сторонамъ «=sc60°,i=c=tg60°?

178) Исключить х изъ уравн.

179) Опредѣлить безъ помощи таблицъ площ. ромба, котораго сторона=8,3 фут., а уг.=30°?

180) Опредѣлить х и у и урвн.

181) Исключить х изъ уравн.

182) Опредѣлить а+Ь+с изъ уравн. і

183) Опредѣлить tgx, tg?/, tgx, если

184) Опредѣлить уг. x изъ уравн.

185) Раздѣлить уг. а на двѣ части, чтобы отнош. синусовъ=п?

186) Раздѣлить у г. а на двѣ части, чтобы отнош. тангенсонъ=п?

187) Радіусы круговъ 6,13 и 2,014; разстояніе центровъ=8,49; опредѣлить уг., образуемый внѣшними касательными?

188) Въ какомъ отношеніи дѣлится площадь прямоуг. равнобедр. треуг. линіей, дѣлящей пополамъ острый уголъ?

189) Непараллельныя стороны трапеціи=3,51 и 7,04; уголъ между ними=90°; опредѣлить углы трапеціи?

190) Изъ точки, находящейся на сторонѣ у г. 50°, опущенъ перпендикуляръ на другую сторону; изъ основанія этого перпенд. опущенъ перпенд. на первую сторону и т. д.; опредѣлить сумму всѣхъ этихъ перпенд., если длина перваго=1,7411?

191) Уг. при вершинѣ равноб. треуг.=120°; изъ верш. проведены линіи, дѣлящія этотъ уг. на 3 равныя части; найти отнош. средняго отрѣзка основанія къ крайнимъ?

192) Высота солнца надъ горизонтомъ въ полдень длиннѣшаго дня=90°—<р4“2301/25 а въ полдень кратчайшаго дня=90°—ср—2301/2, гдѣ <р есть широта мѣста; опредѣлить днину тѣни, отбрасываемой въ полдень каждаго изъ этихъ дней въ Москвѣ вертикальнымъ шестомъ въ 10 фут. вышины? Шир. Москвы=55°45г.

193) Какую часть земной поверхности можно обозрѣть, поднявшись на 1 версту надъ землей? Рад. земли=6000 вер.

194) Какой параллельный кругъ дѣлитъ земную ось въ отн. 4: 5?

195) Опредѣлить степень освѣщенія плоскости лучами, падающими отъ солнца подъ уг. 23°34'41", принимая освѣщеніе перпендикулярными лучами за единицу?

196) Опредѣлить площ. прав. 11—ка, если площ. опис. круга=23?

197) Опредѣлить площ. сегмента по дугѣ 50° и рад. 2,7?

198) Если уголъ зрѣнія меньше 40", то мы уже не можемъ видѣть предмета; какъ длинна должна быть аллея, чтобы, ставши въ срединѣ ея, видѣть ее на обоихъ концахъ сливающейся?

199) Въ тр—кѣ двѣ стороны равны между собою; уг. между ними= =60°; опредѣлить третью сторону?

200) Вывести посредствомъ тригонометріи теорему объ отношеніи площадей треуг., имѣющихъ по одному равному углу?

201) Изъ всѣхъ треуг., имѣющихъ по двѣ данныя стороны а и б, какой будетъ имѣть наибольшую площадь?

202) Рѣшить треуг. по высотѣ=2 и уг. при основ. 35° и 43°?

203) Рѣшить прямоуг. треуг. по периметру=30 дюйм. и радуіусу вписаннаго круга=20 линіямъ?

204) Въ кругѣ проведенъ діаметръ АВ=4,568 и хорда А (7=3,456; затѣмъ вписанъ кругъ такъ, что онъ касается перваго круга въ точкѣ В и касается хорды А (7; опредѣлить разстояніе точки А отъ точки Р, въ которой второй кругъ пересѣкаетъ діаметръ перваго?

205) Рѣшить равнобедр. треуг. АВС по высотѣ АР==5,678 и прямой x£=7,84, соединяющей вершину В съ срединой бока АС?

206) Шаръ въ 1 пудъ 10 ф. удерживается на наклон. плоск. горизонтальной силой въ 30 ф. Опредѣлить у г. плоск. съ горизонтомъ?

207) Какое пространство пройдетъ въ 7,8 секунды тѣло, падающее по плоскости, наклоненной къ горизонту подъ уг. 36°, если ^=32,2 ф.?

208) Изъ точки А проведены къ плоск. Р двѣ наклонныя А x=30 и 4(7=12; отнош. угл., образуемыхъ ими съ Р, равно 3; опредѣлить разстояніе А отъ Р?

209) Опредѣлить углы равноб. тр—ка, котораго основ. есть среди, пропорц. между обѣими высотами?

210) Опредѣлить рад. круга равновеликаго тр—ку, котораго стороны а и b наклонены другъ къ другу подъ у г. 45°?

211) Стороны прямоуг. тр—ка составляютъ непрерывн. геом. пропорцію; опредѣлить углы?

212) Рѣшить прямоуг. тр—къ, котораго гипот. = положительному корню уравн. 10x2—289x—29=0, а sn одного изъ угл.=20/29?

213) Двѣ силы уравновѣшены третьей; равнодѣйствующая обра

зуетъ съ одной изъ составляющихъ прямой уг. и равна половинѣ другой; опредѣлить уголъ между составляющими?

214) Опредѣлить площ. прав. 7—угольника, котораго периметръ= окружи, круга, имѣющаго площ. 5 кв. ф.?

215) Сумма сторонъ а и Ъ тр—ка равна 16 фут., а отнош. ихъ=3; площ. тр—ка=245 кв. ф. Опредѣлить у г. между а и 6?

216) Площ. тр—ка=84; высота, опущенная на сторону 6, равна 6=11,2; высота, опущенная на а, равна \ =12; опредѣлить сторону с?

217) Площ. круга, построеннаго на сторонѣ равнобедр. тр-ка равна 1/2 площ. квадрата, построеннаго на основаніи; опредѣлить углы тр—ка?

218) Въ треуг. даны: сторона а, разность угловъ В—С=к и отнош. сторонъ Ь : с=ш. Рѣшить треуг.?

219) Логариѳмировать

220) Въ окружности проведенъ діаметръ AB и хорда AM', опредѣлить рад. круга, касательнаго къ діаметру и къ окружности въ точкѣ М, если рад. даннаго круга=3,48, а хорда 2Ю=5,84?

221) На сторонѣ АС угла AL4C=44°llr взяты точки Б и С; ZM=4,002; (L4=7,03; опредѣлить рад. круга, который проходилъ бы черезъ D и С и касался стороны AM въ точкѣ В?

222) Два круга, которыхъ радіусы 7,12 и 4,56, касаются третьяго круга въ точкахъ С и D; прямая С7)=9,4; радіусъ 3-го круга= 10,28; опредѣлить разстояніе центровъ первыхъ круговъ?

223) Изъ вершины С прямого угла описана дуга рад.=8; дуга пересѣкаетъ стороны угла въ А и В; затѣмъ описанъ кругъ, касательный къ дугѣ и сторонамъ угла; опредѣлить рад. этого круга?

224) Стороны прямоугольника=1,3782 и 4,8063; опредѣлить уголъ ромба, образуемаго чрезъ соединеніе срединъ сторонъ прямоуг.?

225) Изъ конца гипотенузы проведена прямая, дѣлящая площ. тр—ка пополамъ; на какія части она дѣлитъ уг. тр—ка, равный 60°?

226) Два тѣла начали падать въ одно время—одно вертикально, а другое по плоскости, наклоненной къ горизонту подъ уг. 9°51'; опредѣлить разстояніе между этими тѣлами черезъ 3 секунды послѣ начала движенія, полагая g=32,2 ф.

227) Разложить силу въ 5 фунт. на двѣ такъ, чтобы онѣ составляли между собой уг. въ 90°, а у г. одной изъ нихъ съ данной силою равнялся бы 36°52'11"?

228) Въ кругѣ рад. 57,296 дюйм. проведены двѣ параллельныя хорды въ 105,48 и 111,65 дюйм.; опредѣлить число градусовъ каждой дуги, заключенной между этими хордами, и величину части площади круга, заключенной между хордами?

229) Площадь прав. 7—ка равна 43,253; опредѣлить его сторону?

230) Стороны AB, ВС СА треуг. АВС раздѣлены въ точкахъ В, Е, F такъ, что АВ\ ВВ=ВЕ-.EC=CF'. FA=1 :4; опредѣлить отношеніе площ. треуг. BEF къ площ. 5 треуг. АВС?

231) Данъ равносторонній треуг., котораго сторона=а; на высотѣ

его строимъ другой равностор. треуг.; на высотѣ другого третій и т. д.; опредѣлить сумму площ. всѣхъ этихъ треуг.?

232) На вертикальномъ шестѣ AB находится кольцо, плоскость котораго совпадаетъ съ вертикальной плоскостью, проходящей черезъ солнце; граница D тѣни кольца на горизонтальной плоскости отстоитъ отъ основанія шеста на разстояніе=высотѣ шеста; высота шеста въ 8 разъ больше радіуса кольца. Опредѣлить высоту солнца?

233) Чтобы опредѣлить длину стѣны AB, наблюдатель помѣстился къ югу отъ одного конца ея, потомъ къ западу отъ другого, и стѣна въ обоихъ случаяхъ представлялась ему подъ угл. 30°; разстояніе между станціями=100 саж. Какъ велика длина стѣны?

234) На точку дѣйствуютъ подъ уг. 40° двй силы, по 124 фунт. каждая; найти величину равнодѣйствующей?

235) На концы рычага дѣйствуютъ силы 123,4 и 186,5 фунт. подъ уг. 60° и 30°; опредѣлить точку опоры при равновѣсіи?

236) Точка опоры рычага въ срединѣ его; на одно плечо дѣйствуетъ сила въ 143,4 ф. подъ уг. 49°50'. Какой грузъ надо повѣсить на другое плечо для равновѣсія?

237) Сравнить углы, подъ которыми дѣйствуютъ силы въ 13,43 и 67,15 ф., уравновѣшивающіяся на рычагѣ, если отнош. плечъ=5?

238) Имѣемъ горизонтальную доску, которая можетъ выдержать давленіе груза не болѣе 100 пуд.; поставивъ эту доску подъ уг. 45°, положили на нее 115 пуд. ч удерживаютъ грузъ силой, параллельной плоскости; можетъ ли доска сдержать грузъ?

239) Катетъ равнобедр. прямоуг. треуг. раздѣленъ на три равныя части, и точки дѣленія соединены съ вершиной противолещаго угла; на какія части радѣли лея этотъ уг.?

240) Означая А и В площади правил. описан. и вписан. п—угольниковъ, а а и Ъ площ. прав. опис. и впис. въ тотъ же кругъ 2н—ковъ, доказать, что предѣлъ отношенія А—В къ а—Ъ равенъ 4?

241) Аэростатъ радіуса 1 саж. поднялся съ мѣста А перпендикулярно къ горизонту, и изъ мѣста В) отстоящаго отъ А на 800 саж., былъ виденъ подъ уг. зрѣнія 4'34". Опредѣлить высоту поднятія?

242) На какое разстояніе надо удалиться отъ земли, чтобъ видѣть часть земли, равную повернхости жаркаго пояса? Рад. земли=6000 вер.; широта тропиковъ=23°28г?

243) Въ равнобедр. треуг., котораго бокъ=40,281 дюйм., а уг. при верш.=27°2Ог, проведена прямая || основанію; она равна суммѣ нижнихъ отрѣзовъ сторонъ треуг.; опредѣлить длину ея?

244) Изъ каждой вершины ромба, котораго сторона=«, а острый у г. П) описаны круги радіусомъ=1/2«; опредѣлить площадь части ромба, ограниченной четырьмя дугами?

245) Найти въ предѣлахъ 0°—90° дугу x, если cs4x=csx+csx7x?

246) Въ тр—кѣ АВС уг. А=100°25'; отнош. snB къ snC равно суммѣ членовъ безконечной геом. прогр., которой первый членъ есть 11/2, а знам.=sn7°. Опредѣлить В и С?

247) Опредѣлить углы тр—ка, котораго стороны удовлетворяютъ уравн. «+b+^=49; «: 6=11:18; с=20/29(«+6)?

248) Черезъ ребро основанія куба проведена плоск. подъ угл. п къ основанію; опредѣлить отнош. объемовъ частей, на которыя раздѣлился кубъ?

249) Рѣшить уравн. tg3x-}~tg2x——3 = 0, которое удовлетворяется при tgx=—1?

250) Въ равнобедр. тр—кѣ АВС прямая AB есть основаніе; AD\BC\ BD=è\ DC—4. Опредѣлить углы тр—ка?

251) Рѣшить треуг., если его стороны удовлетворяютъ уравн-а—Ъ=Ъ—с=1, а площ.=0,6 площ. прав. тр—ка, котораго сторона=1/з(«+b+с)?

252) Опредѣлить объемъ шарового сектора, котораго рад. г, а соотвѣтствующій центральный уг.=п?

253) Рѣшить треуг., если стор. а=39, 6=25; А : В=2?

254) Уг. при основ. равнобедр. тр—ка равенъ п; изъ вершины его опущенъ перпенд. на сторону тр—ка; перпенд. этотъ=Л; на какіе отрѣзки раздѣлилась сторона?

255) Опредѣлить углы равнобедр. тр—ка, котораго сторона есть среди, пропорц. между основ. и высотой?

256) Опредѣлить стороны b и с тр —ка АВС, если уг. В=40°3'22", уг. <7=60°58'48''; 71666...?

257) Наблюдатель, находившійся на нѣкоторомъ разстояніи отъ башни, нашелъ, что лучъ зрѣнія, направленный къ вершинѣ ея, составляетъ съ горизонтомъ уг. 22°2О'. Когда же наблюдатель придвинулся къ башнѣ, пройдя отъ перваго мѣста наблюденія 162 ф., то лучъ зрѣнія, направленный къ вершинѣ, составлялъ съ горизонтомъ уг. 48°10'. Глазъ наблюдателя въ обоихъ случаяхъ отстоялъ отъ поверхности земли на 5, 625 фут. Опредѣлить высоту башни?

258) Опредѣлить длину веревки, которая, не скрещиваясь, огибаетъ два блока, имѣющіе рад. 3 и 1 дюйм., если разст. ихъ центровъ=6 д.?

259) Опредѣлить площадь, содержащуюся между периметрами двухъ прав. 27—угольниковъ, изъ которыхъ одинъ вписанъ въ кругъ рад. г, а другой описанъ около этого круга?

260) Двѣ хорды пересѣкаются подъ уг. т; одна изъ нихъ дѣлится въ точкѣ пересѣченія пополамъ; части же другой суть корни уравн. х—а=]/x—а. Опредѣлить радіусъ круга?

261) Точка В окружности рад. 2 соединена съ центромъ О, и рад. OB продолженъ за окружность на разст. АВ=3; подъ какимъ угл. къ AB надо провести изъ А сѣкущую AMN, чтобы часть ея MN внутри окружности была=АВ?

262) Полукругъ BAD вращается около діаметра BD и поверхность сегмента, образуемая дугой ВА, равна площ. полукруга; опредѣлить дугу ВА?

263) На сторонахъ прав. треуг. АВС взяты точки £, В, F такъ, что, соединивъ ихъ между собою, получаемъ прав. треуг.; опредѣлить величины отрѣзковъ сторонъ треуг. АВС, если АВ=5,44; ED= =4,08 дюйм.?

264) На прямой AB—12,44 дюйм. дана точка С, находящаяся отъ

1 въ 5 дюйм.; подъ какими углами къ AB надо провести изъ А и В прямыя линіи, чтобы онѣ пересѣкались подъ угл. 60°, и чтобы прямая, соединяющая точку М пересѣченія линій съ точкою С, дѣлила уголъ АМВ пополамъ?

265) ABGBE есть прав. 5—къ; концы А и В стороны AB соединены съ вершиной D; доказать, что отнош. площ. 5—ка къ площ. треуг. АВВ равно |/ 5?

266) Опредѣлить наибольшій уг. и площ. тр—ка, котораго стороны удовлетворяютъ уравн. а(а+6)=420; а—Ъ=2(с2—а)=2?

267) Въ тр—кѣ даны стороны а и 6; кромѣ того извѣстно, что уг. 0=72^; опредѣлить С?

268) Рѣшить уравн. x+z—SW', snx-}-csx=tgx?

269) Изъ одной точки проведены къ окружн. касательная и сѣкущая; опредѣлить уг. между ними, если сѣкущая проходитъ черезъ центръ и внѣшній ея отрѣзокъ=1/3 внутренняго?

271) Опредѣлить объемъ конуса, если бок. пов. его развертывается въ секторъ, котораго дуга=108°30г, а ея хорда=12 дюйм.?

272) Точки А и В лежатъ по одну сторону плоскости Р въ разст. 3,5 и 5,25 отъ нея; длина проекціи прямой AB на плоскости Р=4 дюйм.; опредѣлить длину AB и уголъ, образуемый AB съ плоск. Р?

273) Въ одной горизонт. плоскости съ основаніемъ башни, которой высота=120 фут., находится основаніе колонны; углы, составляемые съ горизонтомъ прямыми, проведенными изъ вершины башни къ вершинѣ и основ. колонны, суть 30° и 60°. Опредѣлить (безъ помощи таблицъ) высоту колонны?

274) Опредѣлить (безъ помощи таблицъ) углы равнобедр. тр—ка, если его основаніе=бблыпему отрѣзку стороны, раздѣленной въ крайнемъ и среднемъ отнош.?

275) Если 2/5 возвысить въ степень, которой показатель=суммѣ членовъ безконечной геом. прогр., которой первый членъ есть 1, а знам.=snx, то получимъ 0,3; вычислить дугу х въ предѣлѣ 0°—90°?

276) Перпендикулярно къ діаметру круга проведена хорда, дѣлящая окружность въ отн. 3:1; опредѣлить отнош. частей діам.?

277) Периметръ прав. 18—ка=102,96 ар.; опредѣлить площ.?

278) Квадратъ основанія прямоугольника — удвоенному квадрату высоты; опредѣлить уголъ между діагоналями?

279) На сторонѣ квадрата взята точка, дѣлящая эту сторону въ отношеніи 603:965; въ квадратъ вписанъ другой квадратъ, такъ что его вершины лежатъ на сторонахъ перваго квадрата и одна изъ вершинъ находится въ данной точкѣ; опредѣлить углы, образуемые діагоналями второго квадрата со сторонами перваго?

280) Въ полдень 9-го марта вертикальный шестъ въ 1,58 саж. бросаетъ тѣнь въ 1,9995 саж. длины; опредѣлить широту мѣста?

281) Вертикальный шестъ въ 13,5 арш. освѣщенъ свѣтящимся тѣломъ; лучи, падающіе на вершину шеста изъ верхней точки тѣла, наклонены къ горизонту подъ уг. 27°35'; а изъ нижней точки—подъ уг. 18°40'30". Опредѣлить длину полутѣни, отбрасываемой шестомъ?

282) Корабль движется равномѣрно со скоростью 5 метр. въ секунду; на немъ поставлено орудіе, такъ что направленіе движенія ядра перпендикулярно къ направленію движенія корабля; на какой уголъ надо отклонить орудіе, чтобы ядро попало въ цѣль, находящуюся въ разстояніи 400 метр.? Ядро проходитъ 400 метр. въ секунду.

283) Прямая линія А7?=79 дюйм. наклонена къ неограниченной прямой MN подъ уг. 56°37', и конечная точка В первой линіи, находящіяся ближе къ линіи MN, отстоитъ отъ этой послѣдней на 28 дюйм.; опредѣлить площадь трапеціи, ограниченной прямой AB, частью прямой MN и перпендикулярами, опущенными изъ А и В на MN?

284) Опредѣлить площ. 5-ка ABODE, если стороны АВ=21, 7X7=13, С7)=11, ВВ=14, АБ=15, діаг. АС=20, А7)=13?

285) По данной хордѣ «, соотвѣтствующей дугѣ въ м°, опредѣлить хорду x, соотвѣтствующую въ томъ же кругѣ дугѣ ѴзП0 и сравнить тригонометрическое рѣшеніе этой задачи съ геометрическимъ?

286) На башнѣ въ 412/Зметр. вышины поставленъ шпиль, и изъ точки, находящейся въ одной горизонтальной плоскости съ основаніемъ башни и въ 662/3 метр. отъ этого основанія, шпиль виденъ подъ уг. зрѣнія 50'. Опредѣлить высоту шпиля?

287) Изъ мѣста А видно на SW облако на высотѣ 43°35'8" надъ горизонтомъ; мѣсто В лежитъ на 2526 метр. къ 5 отъ А, и облако изъ В видно на ТѴЖ. На какой высотѣ надъ горизонтомъ В видно облако и въ какомъ оно разстояніи отъ земли?

288) Тѣло удерживается на наклонной плоскости силою въ 96,57 фунт., параллельной плоскости, а производитъ на плоскость давленіе въ 21 /2 пуда. Опредѣлить вѣсъ тѣла и уг. накл. плоск.?

289) Плечи рычага=2 и 5 фут.; на первое подъуг. 40° дѣйствуетъ сила въ 83 килогр., подъ какимъ угломъ должна дѣйствовать на другое плечо сила въ 50 килогр., чтобы было равновѣсіе?

290) Отъ вершины уг. АВС по сторонамъ его движутся равномѣрно двѣ точки; одна проходитъ въ секунду а ф.; опредѣлить скор. другой точки, если она находится постоянно на концѣ перпенд., опущеннаго изъ первой точки на противоположную стор. угла?

291) Въ полукругѣ проведенъ діаметръ AI); точка движется по окружности, начиная отъ А, со скоростью а фут. въ секунду; черезъ сколько секундъ она будетъ въ разстояніи Ъ фут. отъ А? Радіусъ=г фут.

292) Желѣзная дорога идетъ въ гору, и наклонъ ея=т?°/0; опредѣлить уголъ, образуемый дорогой съ горизонтальной плоскостью?

293) Два треуг. имѣютъ по двѣ стороны равныя; а углы, заключенные между этими сторонами, служатъ одинъ другому дополненіемъ до 180°; чему равна сумма квадратовъ третьихъ сторонъ?

294) Опредѣлить отношеніе отрѣзковъ основанія равносторон. треуг., образуемыхъ линіей, дѣлящей уг. при вершинѣ въ отнош. 4 : 5?

295) Bi, равнобедр. треуг. уг. при вершинѣ=110°50' и раздѣленъ въ отношеніи 2 :3; отрѣзокъ прямой, дѣлящей этотъ уголъ, между вершиной и основаніемъ равенъ 5,784; опредѣлить стороны треуг.?

296) Въ треуг. AB С сторона В (7=31,25; уг. В=42°13'; <7=80°28'; между сторонами AB и АС проведена прямая Л/Л’ЦВС, такъ что BM—MN) опредѣлить M.N?

297) Въ треуг. АВС сторона ВС—80; АВ=52; В=29°28г; между ВС и AB проведена прямая MN, такъ что уг. B4fjV=47°56r и площ. треуг. BMN—^I^ площ. треуг. ABС. Опредѣлить

298) Въ кругѣ рад. г проведена хорда СВ=а и продолжена за точку В на ВА=Ь) изъ А проведена къ кругу сѣкущая AMN, такъ что дуга ВМ=1І2 дуги CN\ опредѣлить уг. CAN?

299) Изъ точки внѣ круга проведены касательная и сѣкущая; онѣ образуютъ уг. 68°18'50"; внутренній отрѣзокъ сѣкущей=5,6612; внѣшній=2,8425; опредѣлить рад. круга и хорду, соединяющую конецъ сѣкущей съ точкой прикосновенія касательной?

300) Изъ концовъ А и В прямой АВ=283 дюйм. движутся равномѣрно по направленію къ точкѣ С два тѣла со скоростями 3,4 и 2,3 въ секунду; черезъ 40 секундъ они пришли въ С; подъ какими углами пути ихъ наклонены къ AB?

301) Опредѣлить боков. поверхн. и объемъ конуса, который въ сѣченіи по оси даетъ равноб. треуг. съ угл. п при вершинѣ и площадью s?

302) Изъ точки А окружности рад. 7,3 дюйм. проведены по одну сторону центра хорды АВ=12 и А(7=сторонѣ впис. въ этотъ кругъ прав. тр—ка; опредѣлить уг. ВА(7?

303) Опредѣлить площ. ромба, если острый уг. его=п, а площ. впис. въ ромбъ круга=$?

304) Опредѣлить углы прямоуг. тр—ка, котораго площ. вдвое меньше площ. прав. тр—ка, построеннаго на гипотенузѣ?

305) Опредѣлить объемъ параллелепипеда, котораго основ. есть ромбъ, имѣющій сторону а и уголъ п, а ребро Ъ наклонено къ основ. подъ угл. т?

306) Въ тр—кѣ уг. А=90°; snB : sn(7=l,7; опредѣлить В и С?

307) Опредѣлить рад. круга, если разность между стор. впис. прав. 16—ка и 24—ка равна 3,245?

308) На гипотенузѣ прямоуг. тр—ка описанъ кругъ, котораго площадь и окружность имѣютъ одну и ту же числовую величину; одинъ изъ угл. тр—ка=36°52г11"; опредѣлить стороны тр—ка?

309) Мѣста А и В лежатъ подъ одной долготой; широты ихъ 48° 8г2О"£7 и 20°4'43"S; въ обоихъ мѣстахъ наблюдали прохожденіе луны черезъ мередіанъ и нашли зенитныя разстоянія центра луны=44°18' и 25°. Опредѣлить разстояніе луны отъ земли, принимая рад. земли=1?

310) Чтобъ вписать въ кругъ приближенно правил. п—къ, проводятъ діаметръ AB, строятъ на немъ равносторонній треуг., дѣлятъ AB на п равныхъ частей и соединяютъ вершину С треуг. со второй точкой дѣленія В; если продолжить прямую CD до пересѣченія съ окружностью въ точкѣ Е) то дуга АЕ и будетъ приблизительно равна

п=ой части окружности. Опредѣлить ошибку въ центральномъ углѣ построеннаго этимъ способомъ 9—ка? Доказать, что этотъ способъ совершенно точенъ для 3—ка, 4—ка и 8—ка?

311) Точка D дѣлитъ гипотенузу а треуг. АВС въ отношеніи т : п; изъ D возстановленъ къ гипотенузѣ перпендикуляръ, который пересѣкаетъ большій катетъ с въ точкѣ Е. Опредѣлить т : п, чтобы прямая DE дѣлила треуг. пополамъ?

312) Опредѣлить углы x, у, z тр—ка изъ уравн. tgx.tgx=2; tgz/. tgx=18?

313) Рѣшить уравн. sc21 /2x+csc21/2x=16ctgx?

314) Въ кругъ рад. г вписанъ 4—угольникъ; вершины его дѣлятъ окружи, въ отн. 1: 2 : 3 : 4; опредѣлить площ. 4—ка?

315) Дана одна изъ сторонъ тр—ка; тангенсы прилежащихъ къ ней угловъ относятся какъ р : q, а косинусы какъ г : s. Рѣшить треуг.?

316) Опредѣл. площ. сегмента по дугѣ 51 °27г6" и рад. 9,54625 дюйм.?

317) Рѣшить треуг. по площ. 564,13 и уг. 65°18'12" и 58°22f18"?

318) Въ треуг. сторона а=542,27; 6=676,12; линія т, дѣлящая пополамъ уг. С, равна 508,395. Опредѣлить уг. С изъ сравненія площ. цѣлаго треуг. съ площадями тр—ковъ, на которые данный треуг. раздѣленъ прямой т?

319) Опредѣлить площ. прав. мног—ка, котораго сторона=2,167 и который имѣетъ всего 54 діагон.?

320) Площ. круга, впис. въ прямоуг. треуг., одинъ изъ угл. котораго=15°25г10", равна 154 кв. дюйм.; опредѣлить стороны?

321) Рѣшить уравн. 58пх+38пя=4; 3.5snx—2.38П*=5?

322) Рѣшить уравн. x+?/=1/4~; 2s nx=snz/?

323) Въ какомъ остромъ углѣ котангенсъ равенъ синусу?

324) Дугу въ 30° раздѣлить на двѣ части, чтобы отн. sn ихъ=2?

325) Опредѣлить объемъ прав. п—угольной призмы, которой высота=6, а сторона основ.=а?

326) Опредѣлить объемъ прав. п—угольной пирам., которой высота=6, а сторона основанія=я?

327) Опредѣлить острый уг. х изъ уравн. 2cs2x=(csx—snx)(l-4-\/3)?

328) Съ вершины башни въ 33,3 саж. вышины видна аллея, направленіе которой лежитъ въ одной вертикальной плоскости съ осью башни; лучи зрѣнія, идущіе къ концамъ аллеи, составляютъ съ вертикальной линіей углы въ 52°7' и 51°18г. Опредѣлить длину аллеи?

329) Опредѣлить полную поверхн. и объемъ прав. пятиугольной пирам., которой высота=20,(285714) фут., а уголъ высоты съ боковымъ ребромъ=20°15'25"?

330) Поверхность прав. тетраедра=4т2; опредѣлить высоту его и уголъ, образуемый ею съ ребромъ?

331) Подъ какимъ угломъ пересѣкаются діагонали куба?

332) Изъ вершины уг. А начинаютъ одновременно двигаться равномѣрно по сторонамъ его двѣ точки со скоростями с и ct въ секунду; опредѣлить разстояніе между точками черезъ t секундъ послѣ начала движенія?

333) Прямые цилиндръ и конусъ имѣютъ равныя высоты; отнош. бок. пов. цил. къ бок. пов. конуса=4/3; образующая конуса составляетъ съ плоскостью его основанія уг. т, опредѣлить отнош. объема цил. къ об. конуса?

334) Треуг., котораго углы А, В, С, вращается послѣдовательно около каждой изъ сторонъ; опредѣлить отнош. объемовъ полученныхъ тѣлъ?

335) Окружность рад. 1 раздѣлена на 8 равныхъ частей, и одна изъ точекъ дѣленія А соединена съ прочими; полученныя такимъ образомъ хорды по величинѣ и направленію выражаютъ силы, дѣйствующія на Aj опредѣлить равнодѣйствующую?

336) Въ тр—кѣ стороны а и Ъ равны между собою; сторона с вдвое больше меньшаго отрѣзка стороны «, раздѣленной въ крайнемъ и среднемъ отношеніи. Опредѣлить углы тр—ка?

337) Въ кругѣ проведенъ рад. СА и въ точкахъ В, D раздѣленъ на три равныя части; изъ В и D возставлены къ рад. СА по одну его сторону перпендикуляры до пересѣченія съ окружи, въ Е и F. Опредѣлить дугу ЕЕ?

338) Опредѣлить площ. сектора, котораго хорда=5, рад.=3?

339) Опредѣлить площ. прав. впис. въ кругъ тр—ка, если касательныя, проведенныя къ этому кругу изъ точки, находящейся въ разст. d отъ его центра, образуютъ между собой уг. п?

340) Равнобедр. тр—къ равновеликъ полукругу, построенному на его основаніи; опредѣлить уг. при вершинѣ?

341) Опредѣлить площ. ромба, котораго остр. угл.=п и который описанъ около круга рад. г?

342) Треуг. АВС, въ которомъ даны стороны АС=Ъ, АВ=с и уг. между ними А, вращается около линіи, проведенной черезъ точку А перпендикулярно къ АВ\ опредѣлить объемъ происходящаго отъ этого тѣла?

343) Острый уг. ромба=п; площ. ромба=$; опредѣлить объемъ тѣла, образующагося отъ вращенія ромба около стороны?

344) Какой уголъ образуетъ ребро прав. тетраедра съ плоскостью основанія и подъ какимъ угломъ наклонены другъ къ другу его грани?

345) Параллелограммъ ABCD, въ которомъ сторона AB—а, AD= —Ъ, уг. BAD-п, вращается около АВ\ опредѣлить объемъ полученнаго тѣла?

346) Опредѣлить уголъ между боковой гранью и основаніемъ прав. треугольн. пирам., если площ. ея основанія въ п разъ больше площ. боковой грани?

347) Площ. основ. правильн. треуг. призмы=1/4«2}/3; черезъ одну изъ сторонъ основанія проведена плоскость подъ угл. п къ плоскости основанія. Опредѣлить площадь сѣченія?

348) Изъ вершины А тр—ка АВС, въ которомъ уг. В тупой, опущенъ на ВС перпенд., пересѣкающій продолженіе CD въ D\ AD=№8 метр., BAD=15°18', CAZ>=27°18', опредѣлить ВС?

349) Изъ вершины А тр—ка АВС, котораго стороны «=13, 6=15, с=14, описать дугу такъ, чтобы она раздѣлила площ. тр—ка пополамъ?

350) Вершины правильнаго тр—ка лежатъ на трехъ параллельныхъ прямыхъ; разстоянія средней параллели отъ каждой изъ крайнихъ суть а и 6; опредѣлить сторону тр—ка?

351) Веревка перекинута черезъ гвоздь, вбитый въ стѣну; за одинъ конецъ ея тянутъ съ силой 50 фунт., за другой—съ силой 86,6 ф.; давленіе веревки на гвоздь=21/2 пуд. Опредѣлить уг. между вѣтвями веревки?

352) Двѣ равныя силы, дѣйствуя на точку подъ уг. п, даютъ равнодѣйств. г; если же онѣ будутъ дѣйствовать подъ уг. 180°—п, то равнод. = 73г |/ 3. Опредѣлить у г. п?

353) Силы р и р, будучи приложены къ точкѣ сперва подъ уг. п, потомъ подъ уг. 90°—п, даютъ равнодѣйств. г и гѵ Опредѣлить отнош. г КЪ Zj?

354) Силы р и q, дѣйствуя на точку подъ уг. п, даютъ равнод. г; опредѣлить равнод. силъ (p+q)^l2n и (р—g)snx/2n, дѣйствующихъ на точку подъ уг. 90 °?

355) Скорость теченія рѣки=65 дюйм. въ секунду; лодкѣ сообщено движеніе со скор. 97 дюйм. въ сек.; каково должно быть направленіе этой скорости, чтобы лодка шла прямо поперекъ рѣки?

356) Двѣ накл. плоск. прислонены одна къ другой; уг. при ихъ общей вершинѣ=110°. На одной изъ плоск. лежитъ грузъ въ 38, а на другой —въ 63 золоти.; грузы соединены нитью, перекинутой черезъ блокъ, утвержденный въ вершинѣ плоскостей, и обѣ нити параллельны плоскостямъ; грузы уравновѣшиваютъ другъ друга. Опредѣлить углы, образуемые плоскостями съ горизонтомъ?

357) Тѣло, падая по накл. плоск. отъ дѣйствія тяжести, проходитъ въ двѣ сек. 10 метр.; опредѣлить уг. плоскости съ горизонтомъ? £/=9,8 метр.

358) Два тѣла начинаютъ одновременно движеніе изъ точекъ, находящихся на высотѣ 100 метр. надъ горизонтомъ; одно падаетъ свободно, другое движется по накл. плоск. съ начальной скор. 30 метр.; оба тѣла достигаютъ горизонта въ одно время. Опредѣлить у г. накл. плоск.? <7=9,8 метр.

359) Тѣло, положенное на накл. плоск., будучи уравновѣшено силой, параллельной плоск., производитъ на плоск. давленіе въ р фунт.; если же это тѣло уравновѣсить силой горизонтальной, то давленіе на плоск. будетъ=р1 фунт. Опредѣлить вѣсъ тѣла?

360) Въ опрокинутый конусъ, котораго уг. при вершинѣ=п, опущенъ шаръ; опредѣлить отнош. объема части конуса, заключающейся между нижней поверхн. шара и вершиной конуса, къ объему шара?

361) Сторона а тр —ка АВС равна 1 фут.; соотвѣтствующая ей высота 6=2 дюйм.; уг. А=124°58,33"; рѣшить треуг.?

362) Изъ концовъ А и В прямой А2?=10 возставлены къ AB по одну сторону ея перпендикуляры А (7=4 и BD=b\) на AB, между А и В, взята точка М и проведены прямыя MC и MD', snCMA: snDMB=3'A. Опредѣлить AM?

363) Шаръ пересѣченъ плоскостью; уголъ образуемый радіусами

шара, проведенными къ концамъ діаметра круга сѣченія, равенъ п\ опредѣлить отнош. объема меньшаго сегмента къ объему шара?

364) Изъ точки А окружности рад.= 18,125 проведены хорды АВ=25 и А 67=36; опредѣлить уг. между ними?

365) Точка А окружности соединена съ концами діаметра ВС; разность хордъ AB и АС равна 5,53; а разность дугъ AB и АС равна 65°35'52". Опредѣлить радіусъ?

366) Въ кругѣ, котораго рад.=25, проведены двѣ параллельныя хорды, равныя 15 и 17; опредѣлить площ. между ними?

367) Окружность=100 дюйм.; на какомъ разстояніи отъ центра надо провести хорду, чтобы окружи, раздѣлилась въ отн. 3:5?

368) Изъ концовъ А и В прямой АВ=11 дюйм., возставлены по одну сторону ея перпендикуляры А (7=1 и BD=8 дюйм.; на AB, между А и В, взята точка М такъ, что уг. DMB вдвое больше уг. CM А. Опредѣлить АТИ?

369) Рад. круга, описаннаго около тр—ка AB (7, равенъ 41,25; уг. А=67°22г50"; В=59°29'23"; изъ вершинъ угл. тр—ка описаны дуги, касающіяся другъ друга; опредѣлить ихъ радіусы?

370) Рѣшить равнобедр. тр—къ по основан. =9 и рад. впис. круга=3,6?

371) Разстояніе центровъ двухъ круговъ=(7; внѣшнія касательныя образуютъ между собой уг. т, а внутреннія—уг. п; опредѣлить радіусы круговъ?

372) Чтобы приблизительно построить прав. 9—къ по данной его сторонѣ а, надо на а построить прав. тр—къ AB(7, провести его высоту ВВ, продолжить BD за В и отложить ВЕ=В^а\ если изъ Е рад. ЕА описать окружи., то а и уложится по ней приблизительно 9 разъ. Опредѣлить ошибку въ центр. углѣ?

373) Точки А и В окружности суть смежныя вершины прав. впис. 6—ка; изъ А проведена черезъ центръ прямая АВ=12 рад.; D соединена съ В прямой, пересѣкающей окружность въ В, опредѣлить разность между дугой BF и 1/7 окружности?

374) Опредѣлить отнош. площадей прав. 9—ка и 12—ка, которыхъ периметры равны?

375) Въ кругъ рад. г вписанъ прав. 11—къ и площ. 11—ка вдвое больше площ. прав. 9—ка, описаннаго около круга рад. 63,37. Опредѣлить г?

376) Стороны тр—ка равны 73, 55 и 48; меньшая раздѣлена на 3 равныя части и точки дѣленія соединены съ вершиной противолежащаго угла; на какія части раздѣлился этотъ уг.?

377) Рѣшить прямоуг. тр—къ по площ. и разности квадратовъ катетовъ?

378) Рѣшить прамоуг. тр—къ, если разность катетовъ=ж; а разность отрѣзковъ гипотенузы, образуемыхъ высотою, равна п?

379) Рѣшить прямоуг. тр—къ по площ. и рад. впис. круга?

380) Кругъ касается въ В и С сторонъ уг. ВА(7=36°,АВ=15,4; опредѣлить площ., заключенную между сторонами угла и окружностью?

ОТВѢТЫ и РѢШЕНІЯ.

§ 7 (стр. 9).

26. Поставить вмѣсто csx его выраженіе черезъ snx; возвести въ квадратъ; найдемъ

36. Приведя уравн. къ виду sn2x-]~msnx—1=о и sn4x-J-w2sn2x—п2=0, опредѣлимъ изъ перваго snx, и возведя въ квадратъ, приравняемъ величинѣ sn2x, выведенной изъ второго уровн. Освободивъ полученныя выраженія отъ радикаловъ, получимъ условное уравненіе

55. Уравн. несовмѣстны.

138. Провести высоту въ равностороннемъ треуг.

§ 14 (стр. 20).

17. Вставить въ уравн. величину с=180°—(«+b) и сдѣлать показанныя дѣйствія.

93. Опредѣливъ изъ перваго урав. sn2x и cs2x и подставивъ во второе, получимъ

§ 30 (стр. 35).

§ 49 (стр. 54).

§ 53 (стр. 58).

5. Равенство «4-6-]-^::=«(l+snCr-4-csC') возвести въ квадратъ.

7. sc2B=—sc2Cr, и вторая часть формулы = опредѣлить csC и snC, черезъ стороны. 9. Описавъ кругъ около треуг. АВС) проведемъ діам. BD\ изъ треуг. BDC имѣемъ ВС~ =BD.snBDC=BI).sx\A 10. snA=sn(B 4-С); отсюда

17. Изъ перваго уравн. находимъ

18. Замѣнивъ эту сумму sn и cs произведеніемъ, найдемъ tg^A-j-4-jB)=snC; отсюда и изъ ур. A-f-D-f- 0=180° найдемъ 0=90°.

19. Первое условіе даетъ В+А=900; если —ѵІ2аЬ, то а—Ь.

20. Замѣнить сумму произведеніемъ.

21. Отложивъ на ВС (чер. 36) часть ВЕ= —ВВ—АВ, по форм. 33 § 51 выразимъ

послѣ этого получимъ:

такъ какъ x-\~z=^0Q.

Черт. 36.

§ 58 (стр. 65).

141. Широта=дополненію полуденной высоты солнца до 90°=36°59'44" 142. 364,05.

§ 63. (стр. 80).

73. Взявъ изъ форм. 36, 37, 38 § 59 величины snl/2A; csl/2 А... и произведя показанныя дѣйствія, сравнить съ выраженіемъ площ. тр—ка по его сторонамъ.

77. Проведя высоту и опредѣливъ изъ прямоуг. тр—ковъ отрѣзки основанія, найдемъ основаніе

поэтому

78. Въ зад. 76-й имѣемъ р—Ь=г. ctg1/2В, откуда опредѣлится 6, а, слѣд., и а+с] задача сводится на зад. 1-ю § 61.

80. Проведя въ треуг. АВС прямую CD I AB, опредѣлить площ. CBD по а и В\ а площ. CAD по Ъ и А.

88. Невозм.

89. Изъ отнош. синусовъ найдемъ по tg1/2(B—С) углы В и С\ потомъ изъ прямоуг. тр—ковъ опредѣлимъ СА) CD, BD] наконецъ, найдемъ стороны тр—ка 13, 12, 11.

91. Означивъ х и x«.углы, образуемые линіей со сторонами угла, изъ вершины котораго она проведена, и опредѣливъ изъ двухъ тр—ковъ snx и snx, найдемъ x=x.

94. Такъ какъ (зад. 1 § 61)

95. Такъ какъ (зад. 1 § 61)

111. Проведя діагональ BD, изъ треуг. ABD опредѣлимъ BD=. =5,896; потомъ найдемъ площ. ABD=7,2551; пл. DC7)=13,49;

112. Изъ условій задачи имѣемъ

откуда найдемъ

возвысивъ въ квадратъ это уравн. и сложивъ съ квадратомъ уравненія

получаемаго изъ первой пропорціи найдемъ:

послѣ преобразованій получимъ:

откуда Ci=1800—26.

113. Такъ какъ tgA=??tgB=n2tgC', то tgA=—ntg(A-]“C); замѣнивъ tg черезъ sn и cs, получимъ nsnC=—(n-f-l^sfA-j-QsUxl; а изъ уравн. tgJ3=ntg(7 получимъ snA=—(n-4-l)sndcs(A-[- О). Раздѣливъ zzsnC на snA, получимъ zzsn2C=sn2A; а по положенію ctgC=?z2ctgA. Изъ двухъ послѣднихъ уравн. найдемъ sn2C=n.sn2A.

115. 4,3128. 116. 10. 117. 906 кв. ф.

118. а—ребро; г—рад. круга, описаннаго около основ. тетраедра; г=1/3а|/ 3;Ä=j/a2—г2=а/2/3;я опредѣлимъ изъ уравн. m2=^a2sx\ë№)

119. 16,412. 120. 60°.

122. 196,97. 123. 2656 ф. 124. 4550,9.

125. 341,42; 58,58. 126. 107,43 д. 127. 3257,4 ф.

128. 300. 130. Линія АО представляетъ направленіе В — основаніе колонны; С = конецъ тѣни; ВАО = 22°ЗОг; ОАО— =45°; ВС_А0; AB—h. ctg 43°27r, гдѣ h высота колонны; треуг. АВС равнобедрен., и AB=2BC'.sn22°30f; изъ ур. h. ctg43°27'= =2.125sn22°30f найдемъ ä=90,63.

131. tgx=tg(CBA—ВВА)=1/502; я=6'51".

132. S—положеніе аэростата, Н—точка на землѣ, лежащая вертикально подъ S;SH=BHX^n=AH.^m; изъ этой проп., зная АВН+ ВАЯ = 157°30г, опредѣлимъ углы АВНуВАН) а, слѣд., ВН и SH.

133. 11,997. 134. 135. 2760,6 метр.

136. 2arccs1/2- 137. Положивъ стороны треуг. а =mgh(k2+l2)) b — mkl(g2+h2\ c=m(hk^gl)(M—gk) и опредѣливъ площ. треуг., найдемъ ee==m2ghkl(gl-]-kh)(lh—дк\ далѣе, опредѣливъ snVnA и csV2A, найдемъ snA= csA=7V7-^.

138. Проведя изъ С прямую, дѣлящую уг., С пополамъ, найдемъ отрѣзки данной хорды АВ=60 и ВВ=80; зная уг. С изъ отнош. AD : BD=snB : snA опредѣлимъ Х/2(А— В), а потомъ А (7=77,767; СВ=103,69. 140. 0,44956. 141. 2000. 142. 200.

143. 19°6'24". 144. 1 : (T-sn2m). 145. 45°.

Глава VIII (стр. 86).

28. См. предыд. зад. 29. Замѣнить разность произведеніемъ.

30. Подставивъ въ І-ю часть вмѣсто sc выраженіе ихъ черезъ CS, произведя вычитаніе, замѣнивъ разность cs произведеніемъ, получимъ 2.

74. Исключить snx и csx изъ первыхъ двухъ уравн.

75. Подставить въ выраженіе

85. Подставивъ вмѣсто sn и cs суммы и разности ихъ выраженія, раздѣлить обѣ части на snasnbsncsnä.

161. По формулѣ tg тройн. дуги имѣемъ

что приводится къ виду

откуда

169. Взявъ два члена разложенія cs въ рядъ найдемъ х— =|/ 3—1=0,73205=приблизительно 42°.

178. Умноживъ 1-е ур. на snx и замѣнивъ во 2-мъ csc черезъ tg,

203. 13; 12; 5; 67°22'48". 204. Соединивъ В съ С и центръ О впис. круга съ точкой К касанія круга къ хордѣ, опредѣлить уг. САВ изъ треуг. САВ] тогда въ треуг. АОК будутъ извѣстны АО-^-~ +OÆ=4,568 и ѵг. А] найдемъ АІ)=0.95586.

215. Невозм.

220. Пусть искомый кругъ касается AB въ Е] центръ его К] центръ даннаго круга О. Изъ М опустимъ на AB перпенд. MB] проведемъ прямыя МКО, КЕ и МЕ\ изъ равноб. треуг. АОМ опредѣлимъ sn^AOM; затѣмъ найдемъ уг. EOÄ=65°55' и уг. ЕМК] изъ треуг. ОВМ найдемъ MB] изъ треуг. МЕК найдемъ 2ИЕ=1,6608. 221. О—центръ круга; изъ О опускаемъ перпенд. ON на 1C и продолжаемъ его до встрѣчи съ AM въ Е] проводимъ ВО] прямая AN—AB+xj2(AC — AB)] изъ АВ2= —AB. АС опредѣлимъ AB: изъ треуг. А EN найдемъ АЕ, потомъ BE] изъ ВЕО опредѣлимъ 2)0=2,4566. 222. 14,916.

223. Пусть О—центръ круга, О—точка касанія съ дугою; Е и Г—точки касанія со сторонами угла; проведя прямыя BE, ВОС,

232. Проведя изъ D касательную DE къ верхней части кольца, радіусъ СЕ и прямую CD, найдемъ AC=9r, CD=rj 145, BD=12r; опредѣливъ tgADC и ï^CDE, найдемъ ADI?=ai’ctg4/3.

233. Если точки, въ которыхъ находился наблюдатель, означимъ С и D, то CD=100; уг. ВСА=уг. BDA', продолживъ СВ и DA до пересѣченія въ Е, получимъ уг. CÆdD=900; около 4 —ка AB CD можно описать кругъ; діам. этого круга=

откуда

237. Равны. 238. Можетъ.

гдѣ г радіусъ полукруга; а h высота сегмента; 2тиг6=1/2тгг2; csx=3/4.

263. Рѣшить треуг. AEF по сторонѣ, углу и суммѣ прочихъ сторонъ; АЕ=0,96424.

264. Изъ треуг. АСМ и СМВ находимъ А С : CB=snB : snA; отсюда, зная 1!2(А+В'), опредѣлимъ tg1//А—В), а потомъ А= =78°45'50".

270. Замѣнить произведеніемъ.

327. x=45° и 30°; для полученія второго изъ этихъ рѣшеній надо привести уравн. къ виду

Чер. 37.

350. На чер. 37-мъ ш+п=600: a=x.snm; 6=x.snn; отсюда найдемъ

ОГЛАВЛЕНIЕ.

Стр.

Введеніе....................................................... 3

Гл. I. Тригонометрическія величины и ихъ взаимное отношеніе. . . 5

Гл. II. Измѣненіе тригонометрическихъ величинъ при измѣненіи дуги отъ 0° до 360° и далѣе........................................ 13

Гл. III. Тригонометрическія величины суммы и разности дугъ, кратныхъ и дробныхъ дугъ.......................................... 22

Гл. IV. Приведеніе формулъ къ виду, удобному для логариѳмическихъ вычисленій................................................. 32

Гл. V. Вычисленіе тригонометрическихъ величинъ какой-нибудь дуги . 36

Гл. VI. Соотношенія между сторонами и углами треугольника .... 56

Гл. VII. Рѣшеніе треугольниковъ............................ 60

Гл. VIII. Разныя задачи.................................... 86

Отвѣты и рѣшенія...........................................102