ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ

К. ЛЕБЕДИНЦЕВ

СЧЕТ и МЕРА

АРИФМЕТИКА В СВЯЗИ С НАЧАТКАМИ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ II

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА.

Пособия для трудовой школы.

МАТЕМАТИКА.

Аржеников, К. П. Сборник задач по математике. Часть I. Ц. 35 к. Часть II. Ц. 35 к.

Астряб, А. М. Наглядная геометрия. Цена 1 р. 20 к.

Его же. Курс опытной геометрии, в 4 частях. Ц. 2 р.

Бем, Д. А., Волков, А. А., и Струве, Р. Э. Сокращенный сборник упражнений и задач по элементарному курсу алгебры. Часть I. Ц. 1 р. Часть II. Ц. 1 р. Часть III. Ц. 1 р.

Борисов, Ф. и Сатаров, В. Наглядный сборник арифметических задач и примеров. Год первый. Ц. 60 к.

Их же. Сборик арифметических задач. Часть I. Ц. 50 к.

Их же. Сборник задач и примеров. Цена 30 к.

Волковский, Д. Л. Детский мир в числах. Первый год обучения. Ц. 50 к. Второй год обучения. Ц. 25 к. Третий год обучения. Ц. 30 к.

Его же. Числа первого десятка. Ц. 25 к.

Вольф, Ф. X. Практическая геометрия. Вып. I. Ц. 25 к.

Воронец, А. Геометрия. Часть I. Планиметрия. Печатается.

Его же. Конспект школьного курса математики. Ц. 40 к.

Его же. Справочник по математике. 1923 г. Ц. 1 р. 50 к.

Бульф и Цингер. Элементарная алгебра. Печатается.

Герхер, Б. Учебник элементарной геометрии. Выпуск I. Ц. 50 к. Выпуск II. Ц. 50 к.

Глазенап, С. Народный задачник. Часть I. Ц. 80 к. Часть II. Ц. 80 к. Часть III. Ц. 70 к.

Его же. Тригонометрия Часть I. Ц. 1 р. Часть II. Ц. 1 р. Часть III. Печатается.

Горбунова-Посадова, Е и Цунзер, И. Живые числа, живые мысли. Книга 1. Ц. 75 к.

Горячев, Д. Н. Основания анализа бесконечно малых. Ц. 60 к.

Гюнтер, Н. М. Краткий курс тригонометрии. Ц. 1 р. 10 к.

Давидов А. Начальная алгебра. Ц. 2 р.

Его же. Элементарная геометрия Ц. 2 р.

Егоров, В. В., Жуков, Н. И. и др. Сборник арифметических задач. Ц. в папке 90 к.

Зверев, Н. К. Элементарная геометрия.

Часть I. Планиметрия. Выпуск I. Ц. 75 к.

Часть II. Планиметрия. Выпуск II. Ц. 75 к. Часть II. Стереометрия. Ц. 40 к.

Звягинцев, Е., Бернашевский, А. и Васильев, Г. Живой счет. Часть 1. Для сельской школы. Ц. 30 к. Часть II. Для сельской школы. Ц. 35 к. Выпуск III. Для городской школы. Ц. 35 к.

Зенченко, С. В. и др. Жизнь и знание в числах. Второй год. Ц. 20 к. Третий год. Ц. 50 к. Четвертый год. Ц. 60 к.

Игнатьев, Е. И. В царство смекалки или арифметика для всех. Книга I. Ц. 1 р. 80 к. Книга II. Ц. 2 р. Книга III. Ц. 2 р. 25 к.

Извольский, Н. Геометрия в пространстве. (Стереометрия). Ц. 1 р. 30 к.

Его же. Геометрия на плоскости. (Планиметрия). Ц. 2 р.

Иовлев, М. Н. Математика в школах для взрослых. Часть I. Ц. 20 к.

Кавун, И. Н. Начальный курс геометрии. Часть I. Ц. 70 к. Часть II. Ц. 70 к.

Казаров, А. Сборник геометрических задач на вычисление. Ц. 90 к.

Его же. Сборник задач по аналитической геометрии на плоскости. Ц. 50 к.

Каменьщиков, Н. Самодельная логарифмическая линейка, Ц. 5 к.

Его же. Трехзначные логарифмы. Ц. 6 к.

Его же. Четырехзначные логарифмы чисел и тригонометрических функций. Ц. 10 к.

Его же. Начальный счет. Ц. 25 к.

Карасев, П. А. Элементы геометрии. Ц. 50 к.

Киселев, А. Графическое изображение некоторых функций, рассматриваемых в элементарной алгебре. Ц. 50 к.

Его же. Элементарная алгебра. Ц. 2 р. 50 к.

Его же. Элементарная геометрия. Ц. 2 р. 50 к.

Клазен и Бах. Сборник геометрических задач. Часть I. Ц. 25 к.

Кобелева, Е. Н. Сборник задач по геометрии. Ц. 80 к.

Комаров, А Ф. Арифметический задачник.

Выпуск I. Ц. 20 к. Выпуск II. Ц. — к.

Выпуск III. Ц. 25 к. Крогиус, В. А. Прямолинейная тригонометрия. Ц. 50 к.

Кулишер. А. Р. Учебник геометрии. Ц. 1 р.

Ланков, А. В. Арифметический задачник на основе естествоведения. Первый год обучения. Ц. 90 к. Второй год обучения. Ц. 75 к.

Лабединцев, К. Ф. Руководство алгебры, Часть I. Ц. 80 к. Часть II. Ц. 1 р.

ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ

К. ЛЕБЕДИНЦЕВ

СЧЕТ И МЕРА

АРИФМЕТИКА В СВЯЗИ С НАЧАТКАМИ ГЕОМЕТРИИ

ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ И САМООБУЧЕНИЯ

ЧАСТЬ II

НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИЕЙ ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧЕНОГО СОВЕТА ДОПУЩЕНО, КАК ПОСОБИЕ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ

21-35 ТЫСЯЧА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКВА — 1924

Гиз № 7193. Ленинградский Гублит № 8698.__15.000 экз.

Типо-Литография „Красный Печатник“, Ленинград, Международный, 75.

ОТ АВТОРА.

Эта часть „Счета и меры“ содержит сведения о простых и десятичных дробях, в связи с расширением сведений из геометрии. Педагогические соображения вызвали и здесь значительные изменения в содержании и изложении материала сравнительно с традиционным методом.

Прежде всего, все учение о дробях изложено концентрически: сначала излагаются те вычисления с простыми и десятичными дробями, которые не требуют расширения понятий о действиях (т.-е. которые можно выполнять без введения понятия об умножении и делении на дробь), а затем уже все действия над простыми и десятичными дробями.

Далее, значительное место в курсе уделено десятичным дробям, соответственно с огромным значением их для практических и технических вычислений, и даже в первом концентре действия с десятичными дробями изложены достаточно подробно. Во втором же концентре действия с десятичными дробями не отделяются от курса простых дробей, а излагаются параллельно, так как при этом можно гораздо проще уяснить смысл и технику умножения и деления на десятичную дробь.

Учение о делимости чисел сокращено до минимума и ограничено только теми сведениями, которые безусловно необходимы для сокращения дробей и приведения их к общему знаменателю (нахождение общего наибольшего делителя исключено совсем).

Также совершенно исключены сведения о периодических дробях и действия с дробными именованными числами, как остаток схоластики прежнего времени.

Зато введены основные сведения об отношении чисел, о проценте и простейших процентных вычислениях, которые

можно очень просто и естественно связать с вычислениями над дробями. Также дается понятие о приближенном отношении или частном; более же подробные сведения о приближенных вычислениях будут даны в третьей части „Счета и меры“, которая готовится к печати и выйдет в скором времени.

Из области геометрии даются сведения об измерении углов, о правильных многоугольниках, об измерении поверхностей и объемов, длины окружности и площади круга — эти сведения необходимы не только для дальнейшего целесообразного ознакомления с фигурами и телами, но и для надобностей природоведения и географии.

К. Лебединцев,

ОТДЕЛ VII.

Предварительные сведения о дробях. Устные вычисления над простейшими дробными числами.

§ 70. Доли единицы. Дроби. Пусть нам нужно разделить лист бумаги поровну между двумя мальчиками; мы разрежем тогда этот лист бумаги на две одинаковых части, и каждый мальчик получит одну такую часть или половину целого листа.

Точно так же, если нужно разделить кусок ленты поровну трем девочкам, мы разрежем эту ленту на три одинаковых части, и каждой девочке достанется одна такая часть, или треть целого куска.

Или, напр., если нужно разделить фунт чаю поровну четырем покупателям, то мы должны рассыпать этот чай на четыре одинаковых части, и каждый покупатель получит тогда одну из этих частей, т.-е. четверть фунта чаю, и т. п.

Половина, треть, четверть, пятая, шестая доля, десятая и т. п.—это особые числа, называемые долями единицы; мы можем их считать и присчитывать одну к другой совершенно так же, как и обыкновенные, целые единицы. Напр., если мы разделили фунт чаю на четыре одинаковых части и взяли потом таких частей три, то у нас будет три четверти фунта чаю; если мы линию в один метр разделили на десять равных частей и потом отмерили семь таких частей, то у нас получится линия в семь десятых метра, и т. п.

Числа: три четверти, семь десятых, пятнадцать сотых и т. п., а равно и доли единицы, из которых они составлены — четверть, десятая доля и т. п. — называются дробными числами или, короче дробями.

Как мы знаем, не всякую величину можно выражать дробными числами. Так, напр., длину можно выражать как целыми метрами, так и долями метра — половинами, четвертями и т. д.; вес можно выражать как целыми фунтами, так и их долями—половинами, четвертями, восьмыми и т. п.; но количество людей или выстрелов из ружья мы можем выражать только целыми единицами.

§ 71. Изображение дроби. Числитель и знаменатель. Как известно, дробные числа записываются таким образом:

одна половина.........-5-

одна треть -g-

две трети............~

одна четверть.........-j-

три четверти.........--г-

пять шестых..........—

семь десятых..........—0

и т. д.

Мы видим, что каждая дробь изображается с помощью двух целых чисел, разделяемых чертою; напр. дробь семь восьмых надо записать так:

Здесь первое число (7) показывает, сколько долей в данной дроби; оно называется числителем дроби. А второе число (8) показывает, сколько таких долей в целой единице; оно называется знаменателем дроби.

Можно, конечно, записывать дробь и иначе, наподобие того, как записываются целые именованные числа, напр. вместо -g- записать: „7 восьмых“. Но принятый способ записи, как увидим дальше, более удобен для выполнения действий над дробями.

§ 72. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями. Пусть, напр., водной пачке — фунта табаку, а в другой -g- фунта; ясно, что во второй пачке больше табаку, потому что одна и та же мера — восьмая часть фунта— содержится в первой пачке 3 раза, а во второй 5 раз.

Точно так же, если одна веревка имеет длину в ~ метра, а другая—— метра, то первая веревка длиннее второй, потому что одна и та же мера —десятая часть метра (дециметр) — содержится в первой веревке 7 раз, а во второй— только 3 раза.

Поэтому мы считаем, что дробь -'-Q- больше, чем -у ; дробь -jjj- больше, чем и т. п.; вообще из двух дробей с одинаковым знаменателем та больше, у которой числитель больше.

§ 73. Дробь правильная и неправильная. Обращение неправильной дроби в целое или смешанное число и наоборот. Пусть у нас есть ведро молока и мы разлили его поровну в 4 бутыли; тогда в каждой бутыли будет четверть ведра молока. Предположим, что нам нужно все это молоко перелить опять в одно место; тогда у нас будет там 4 четверти или целое ведро молока. Мы видим, таким образом, что 4 четверти—все равно, что целое, или же:

Подобным же образом, пусть у нас есть фунт сахару и мы рассыпали его поровну в 8 пачек; тогда в каждой пачке будет одна восьмая фунта сахару. Если мы опять ссыпем весь этот сахар в сахарницу, то в ней будет всего 8 восьмых или один фунт сахару. Значит, дробь 8 восьмых обозначает то же, что 1, т.-е.

Итак, мы видим, что . вообще дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковы, равна единице.

Возьмем теперь дробь -j-. Ясно, что она меньше единицы, потому что единица—все равно, что 4 четверти. Подобным же образом и дробь -|- меньше единицы, потому что в единице 8 восьмых; -у^ меньше единицы, потому что в единице 10 десятых, и т. п. Вообще, дробь, у которой числитель меньше знаменателя, будет меньше единицы; такая дробь называется правильной.

Наоборот, дробь -рг- больше единицы, потому что в единице только 5 пятых; точно так же дробь -у- больше единицы, потому что в единице только б шестых. И вообще дробь, у которой числитель больше знаменателя, будет больше единицы; такая дробь, а равно и дробь, равная единице, называется неправильной.

Рассмотрим неправильную дробь Она обозначает, что некоторая единица была разделена на 5 равных частей (пятых долей), и таких частей взято 10. Но каждые 5 пятых долей, по предыдущему, все равно, что 1 единица; значит 10 пятых все равно, что 2 единицы, т.-е.

Возьмем еще дробь -g-. Она обозначает, что единица была разделена на 6 равных частей и такая часть (шестая доля) взята 30 раз. Но при этом каждые 6 шестых долей образуют одну единицу, значит 30 шестых долей составляют столько целых единиц, сколько раз в 30 содержится 6, т.-е. 5-

Итак:

Подобным же образом найдем, что = 3, =10 и т. п., вообще, если числитель дроби делится без остатка на знаменателя, то дробь равна целому числу, получаемому от этого деления.

Рассмотрим теперь дробь -у-. Она имеет такой смысл:

некоторая единица была разделена на 5 равных долей и таких долей взято 13. Но каждые 5 пятых долей составляют одну целую единицу; значит 13 пятых долей составляют 2 целых единицы и еще 3 пятых доли. Это записывается так:

Подобным же образом рассмотрим дробь Ее смысл таков: целая единица была разделена на 6 равных долей и таких долей взято 47. Но каждые 6 шестых долей образуют целую единицу; значит 47 шестых составят столько целых единиц, сколько раз в 47 содержится 6, т.-е. 7 единиц и еще 5 шестых долей. Итак мы имеем:

Таким же образом мы нашли бы, что , вообще: если числитель дроби делится на знаменателя с остатком, то дробь равняется целому числу, получаемому от этого деления, да еще со столькими долями, сколько единиц в остатке; такое целое число с дробью называют смешанным числом.

Иногда нужно бывает, наоборот, обратить целое или смешанное число в неправильную дробь, напр., узнать, сколько в 4 целых единицах будет пятых долей. Тогда рассуждаем так: в одной единице 5 пятых, а в 4 единицах их будет 4 раза по 5, т.-е. 20, значит находим:

Подобным же образом, если нам нужно обратить 5у в восьмые доли, то вычисляем так : в одной единице 8 восьмых, а в 5 единицах их будет 8x5, т.-е. 40; да еще 3 восьмых, всего 43 восьмых; значит:

На основании таких примеров мы заключаем, что обращение целого числа в неправильную дробь производится при помощи умножения целого на знаменателя дроби; а если требуется обратить смешанное число, то поступают так же и к полученному произведению прибавляют числителя дроби.

Заметим еще, что обращение целого или смешанного числа в неправильную дробь весьма похоже на раздробление именованных чисел (обращение более крупных мер в более мелкие), а обращение неправильной дроби в целое или смешанное число — на превращение именованных чисел (обращение более мелких мер в более крупные).

Сравним, например такие два вопроса:

1) Число 4^ обратить в неправильную дробь.

Вычисляем так: в одной единице 3 трети, а в 4-х единицах их будет в 4 раза больше, т.-е. 12, —да еще 2 трети, всего 14 третей, значит:

4 целых. 2 трети = 14 третям, или иначе: 4-^- = -g--

2) Обратить 4 саж. 2 арш. в аршины.

Вычисляем так: в одной сажени 3 арш., в 4-х саженях их будет в 4 раза больше, т.-е. 12, — да еще 2 арш., всего 14 аршин; значит:

4 саж. 2 арш. = 14 арш.

Видим, что рассуждения и вычисления совершенно одинаковы. То же самое заметим, сравнивая еще такие вопросы :

1) Дробь обратить в целое или смешанное число.

Рассуждаем так: в одной единице 10 десятых, значит в 37 десятых будет столько единиц, сколько раз в 37 содержится 10, — т.-е. 3 единицы и еще 7 десятых.

2) 37 дециметров обратить в метры.

Рассуждаем так: в одном метре—10 дециметров, значит в 37 дециметрах будет столько метров, сколько раз в 37 содержится 10, т.-е. 3 метра и еще 7 дециметров.

Итак:

37 десятых = 3 целым 7 десятым, или:

Итак:

37 дециметров = 3 метрам 17 дм.

§ 74. Сложение дробей с одинаковым знаменателем.

Возьмем такую задачу:

Водной коробке у фунта чаю, а в другой Y ф. Сколько чаю в обеих вместе?

В обеих коробках вместе вот сколько: 5 восьмых да еще 3 восьмых, а всего 8 восьмых, или целый фунт. Это мы записываем так:

Пусть еще надо сложить у и у. Это будет вот сколько: 3 седьмых да еще 2 седьмых, а всего 5 седьмых; значит:

Рассматривая эти примеры, мы видим, что сложение дробей с одинаковым знаменателем имеет такой же смысл, как и сложение целых именованных чисел одного названия, и выполняется оно так: нужно сложить одних числителей, а знаменатель остается прежний.

Так, напр., будем иметь:

Подобным же образом рассуждаем и тогда, когда одно или оба слагаемых — смешанные числа. Пусть, напр., мы должны к 2у прибавить у. Ясно, что у нас есть 2 целых единицы, а сверх того 7 восьмых да еще 3 восьмых, т.-е.

10 восьмых, или же целая единица и 2 восьмых; всего, значит, имеем 3 единицы и 2 восьмых:

Пусть еще нам надо сложить 5-^ и 3-^-. Видим, что целых единиц у нас будет 5 да 3, т.-е. 8, а шестнадцатых долей 9 и 11, т.-е. 20; эти 20 шестнадцатых составят еще 1 единицу и 4 шестнадцатых, а всего получим 9 единиц и 4 шестнадцатых. Значит:

Сложение смешанных чисел очень похоже на сложение составных именованных чисел; сравним, напр., с последним вычислением сложение 5 арш. 9 верш, и 3 арш. 11 верш. Мы рассуждаем совершенно так же: аршин у нас будет 5 да 3, т.-е. 8, а вершков 9 да 11, т.-е. 20; эти 20 вершков составят еще 1 аршин и 4 вершка, значит всего имеем: 9 арш. 4 вершка.

Подобным же образом нашли бы:

— т.-е. при сложении смешанных чисел мы складываем сначала целые единицы и дроби отдельно, а потом полученные числа между собою.

§ 75. Вычитание дробей с одинаковым знаменателем.

Рассмотрим такую задачу:

В коробке было у фунта чаю; из этого запаса израсходовано у ф. Сколько чаю осталось в коробке?

Чаю осталось вот сколько: 5 восьмых без 3 восьмых, т.-е. 2 восьмых. Запишем это так:

Пусть еще надо из у вычесть у. Это все равно, что 6 седьмых без 2 седьмых, т.-е. 4 седьмых:

Видим теперь, что вычитание дробей с одинаковыми знаменателями имеет такой же смысл, как и вычитание целых именованных чисел одного названия, и делается так: из числителя первой дроби нужно вычесть числителя второй, а знаменатель остается прежний.

Подобным же образом рассуждаем и тогда, когда одно из чисел, данных для вычитания, будет целым или смешанным. Пусть, напр., мы должны из 2-|- отнять Число 4- обозначает 2 целых единицы и 5 шестых; если мы отсюда отнимаем 4 шестых, то останется 2 целых и 1 шестая, т.-е.:

Пусть теперь из 8 нужно вычесть 2-^- Рассуждаем так: из 8 единиц отнимаем сначала 2, остается 6 единиц; теперь отсюда нужно еще отнять 3 четверти. Берем для этого одну целую единицу и обращаем ее в четверти; будет 4 четверти, а всего 5 целых и 4 четверти. Отсюда отнимаем 3 четверти и находим в остатке 5 целых и 1 четверть.

Таким образом, мы нашли, что:

Пусть еще нужно из 10у вычесть Зу. Отнимаем из 10т сначала 3, получаем 7^-; отсюда надо отнять еще

Так как от у нельзя отнять у, то берем одну целую единицу и обращаем ее в седьмые доли, — будет у, да еще у, всего у; а с целыми единицами 6у. Отсюда теперь отнимаем -=- и имеем окончательно 6^:

Итак, при вычитании смешанных чисел мы отнимаем сначала целое число, а потом дробь (или наоборот),— совершенно также, как поступаем при вычитании составных именованных чисел : напр., если нам нужно из 10 саж. 2 фут. вычесть 3 саж. 5 фут., то мы отнимаем сперва 3 сажени и получаем 7 саж. 2 фут. ; отсюда нужно отнять еще 5 фут.; но из 2 футов нельзя вычесть 5 фут., поэтому берем 1 сажень, обращаем ее в футы, к полученным 7 футам добавляем еще 2 фута и имеем теперь 6 саж. 9 фут.; отсюда можно уже сразу отнять 5 футов и получаем 6 саж. 4 фут.

§ 76. Умножение дроби на целое число.

Возьмем задачу: Рабочий получает ежедневно ~ фунта хлеба; сколько хлеба получит он за неделю?

Очевидно, рабочий получит в понедельник ~ ф., да еще во вторник — ф., в среду 4 ф. и т. д., а всего за 7 дней недели вот сколько:

Мы видим, что здесь нам пришлось число -j- взять 7 раз, а это можно записать короче — при помощи знака умножения:

Подобным же образом умножить ^ на 5 все равно, что £ взять 5 раз, и мы получим —, или 1-к-:

Из подобных примеров видим, что умножение дроби на целое имеет такой же смысл, как и умножение целого числа на целое, а выполняется оно так: нужно умножить числителя дроби на данное целое число, а знаменатель остается прежний.

Например:

Следует обратить особое внимание на случай, когда множитель равен знаменателю дроби. Пусть, напр., нам нужно умножить j на 8; очевидно, что:

Умножим теперь на 8. Это можно выполнить проще всего так: возьмем одну восьмую и повторим ее 8 раз, будем иметь 1 целую единицу; потом возьмем вторую восьмую и повторим ее 8 раз, — получим еще 1 единицу; и наконец возьмем третью восьмую и повторим ее 8 раз,— найдем еще 1 единицу. Всего получим, таким образом, 3 целых единицы:

Пусть еще нужно умножить -|- на 6. Возьмем сначала одну шестую и повторим ее 6 раз — будет 1 единица; потом возьмем вторую шестую и повторим ее 6 раз — будет еще 1 единица; третью шестую возьмем 6 раз — будет еще 1 единица, и т. д.; всего наберем столько единиц, сколько раньше было шестых, т.-е. 5. Итак:

Подобным же образом нашли бы, что:

— вообще, если дробь умножить на ее знаменателя, то от этого получается столько целых, сколько единиц в числителе дроби.

Разумеется, мы могли бы притти к такому же выводу, если бы в этих случаях делали умножение и по общему правилу, например:

но наш предыдущий прием вычисления был проще. Подобным же образом рассуждаем и при умножении смешанного числа на целое. Возьмем такую задачу:

Красноармеец получает в день 1-^-ф. хлеба; сколько хлеба получит он в неделю?

Ясно, что для ответа на наш вопрос мы должны ф. взять 7 раз или умножить ф. на 7. Вычисляем это так:

1 фунт взять 7 раз — будет 7 фунтов, да еще -у- ф. взять 7 раз —будет — или З-^-фунта; а всего красноармеец получает 7 ф. + З-^ф., т.-е. 10— фунтов. Итак, мы нашли, что

Пусть теперь нужно умножить 6-|- на 5. Для этого сначала б берем 5 раз, — получаем 30; потом еще — берем 5 раз, — получаем ^ или З-^-, а всего имеем 33~i-:

Видим, что при умножении смешанного числа на целое мы множим целое и дробь отдельно на данное число и складываем полученные произведения. Это умножение весьма похоже на умножение составного именованного числа ; напр., если нам нужно умножить 6 саж. 2 арш. на 5, то мы вычисляем совершенно так же, как и в последнем примере: берем 6 саж. 5 раз, потом 2 арш. 5 раз и складываем полученные числа:

§ 77. Деление дроби на целое число. Деление целого или смешанного числа на целое. Возьмем задачу :

Веревку, длиною в метра, нужно разрезать на 3 равные части. Какой длины будет каждая часть?

Ясно, что каждая часть будет длиной в — метра, потому что, взяв 3 десятых 3 раза, мы получаем 9 десятых. Значит, мы можем записать, что

Подобным же образом, если нам нужно разделить ~ на 5, то мы получим потому что, взяв 3 шестнадцатых 5 раз, мы нашли бы 15 шестнадцатых. Итак:

Из этих примеров видно, что деление дроби на целое имеет такой же смысл, как и деление целого числа на несколько равных частей, и делается оно так: нужно разделить числителя на целое число, а знаменатель остается прежний.

Например:

Разумеется, этот прием деления годится только для тех случаев, когда числитель делится на данное целое число; как поступать в других случаях — будет указано дальше (см. § 81).

Пусть теперь нам нужно разделить 1 на 4. Это значит найти такое число, которое надо взять 4 раза, чтобы получить 1 единицу; ясно, что такое число есть потому что -1-Х 4=1. Таким образом, мы нашли, что

Разделим теперь 3 на 7. Это значит найти такое число, которое надо умножить на 7, чтобы получить 3; очевидно, таким числом будет дробь -у-, потому что — X 7 = 3.

Итак;

Подобным же образом мы могли бы найти, что :

— вообще, от деления целого числа на целое получается дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю.

Обратно, всякую дробь можно считать за частное от деления ее числителя на знаменателя : напр. дробь -у- можно рассматривать, как частное от деления 1 на 7, потому что -у-, взятая 7 раз, дает 1 ; дробь ^т- можно считать за частное от деления 3 на 5, потому что

Рассмотрим еще деление смешанного числа на целое.

Пусть, напр., нужно разделить 3— на 5. Ясно, что здесь на каждую часть не придется по целой единице; поэтому обра-

щаем 3— в четвертые доли, и полученную дробь — можно уже разделить на 5, как это делали раньше. Таким образом, имеем:

Разделим еще 16-с- на 7. Делим сначала 16 на 7 и видим, что на каждую часть придется по 2 целых единицы и останутся еще неразделенными 2 целых и 5 восьмых. Обращаем 2-7Г- в восьмые доли, находим делим это на 7 и видим, что на каждую часть придется по 3 восьмых. Итак окончательно имеем:

Замечаем, что деление смешанного числа на целое очень похоже на деление составного именованного числа на несколько равных частей; напр. если мы делим 18 саж. 1 арш. на 5, то сначала делим 18 саж. на 5; получим на каждую часть по 3 саж. и в остатке 3 саж. 1 арш. Обращаем этот остаток в аршины, получаем 10 арш.; делим это на 5 равных частей и находим 2 арш. ; окончательно имеем 18 саж. 1 арш. : 5 = 3 саж. 2 арш.

§ 78. Деление дробей с одинаковыми знаменателями.

Возьмем задачу:

Ленту в -jg- метра нужно разрезать на части по -j^-метра в каждой. Сколько выйдет таких частей?

Очевидно, мы найдем это путем деления: таких частей будет столько, сколько раз надо взять 3 десятых, чтобы получилось 9 десятых, — т.-е. 3 части. Записываем это так:

Разделим еще -г^- на •ТБ-. Это значит найти, сколько раз надо взять 3 шестнадцатых, чтобы получилось 15 шестнадцатых; делим для этого 15 на 3 и имеем 5. Итак:

Видим теперь, что при делении дробей с одинаковыми знаменателями достаточно разделить друг на друга одних только числителей (а знаменатели уничтожаются); и вообще это деление весьма похоже на деление (по содержанию) целых именованных чисел одного названия; напр. разделить ^ на цю значит наити, сколько раз 3 сотых содержатся в 21 сотой, подобно тому, как разделить 21 см на 3 см значит найти, сколько раз 3 сантиметра содержится в 21 сантиметре; и мы имеем в одном и в другом случае в частном 7.

Подобным же образом выполняется и деление целого или смешанного числа на дробь или на смешанное число.

Пусть, напр., нужно разделить 17-у на 2*-. Обратим делимое и делителя во вторые доли; найдем -у и Таким образом разделить 17-у- на 2-^-все равно, что узнать, сколько раз в 35 половинах содержится 5 половин, а для этого делим 35 на 5 и получаем 7. Итак:

Разделим еще 15 на Обратим делимое и делителя в одинаковые доли, т.-е. в четверти, — найдем —- и —. Видим теперь, что разделить 15 на 1-~- все равно, что узнать, сколько раз в 60 четвертях содержится 5 четвертей, а для этого надо разделить 60 на 5; имеем 12. Итак:

Подобным же образом мы нашли бы, что:

§ 79. Решение задач, в которых требуется найти от данного числа некоторую его часть или наоборот. Возьмем такую задачу:

Поезд проходит 36 километров в час; какое расстояние пройдет он за —- часа?

Узнаем сначала, сколько километров пройдет поезд за ^-часа: если в 1 час он проходит 36 километров, то в-^- часа пройдет в 4 раза меньше, т.-е. 9 км; ав j часа в 3 раза больше последнего числа, т.-е. 27 км.

Решение этой задачи можно записать двумя способами: во 1-х, обычным способом — по вопросам:

1) Сколько километров пройдет поезд за

2) Сколько километров пройдет поезд за

— во вторых, — строчками таким образом:

Подобным же образом решается задача:

Килограмм какао стоит 840 руб. Сколько нужно заплатить за -g- кг. этого какао?

Выполняем решение строчками таким образом: 1 кг какао стоит....... 840 руб.,

4 » » » ...... 840 РУб. : 8-105 руб.

4-11 » » ......105 РУб. X 5 =525 руб.

Видим, что решение этих задач напоминает нам способ приведения к единице, которым решались подобные задачи в целых числах. Пусть напр. нам дана задача: 8 кг какао стоят 840 руб.; сколько стоят 5 кг этого какао? Мы решали бы эту задачу совершенно подобным же рассуждением:

8 кг какао стоят........ 840 руб.,

1 „ „ ....... 840 руб. : 8 = 105 руб.

5 „ п » .......105 руб. X 5 = 525 руб.

Разница только в том, что в задаче с дробными числами „единица“ у нас не целая, а дробная кг).

Этот же способ пригоден и для решения обратных вопросов— когда нам известна некоторая часть числа, а требуется найти все это число. Возьмем, напр., такую задачу;

За — часа велосипедист проехал 15 километров. Какое расстояние мог бы он проехать в час?

Узнаем сначала, какое расстояние проедет велосипедист за -j- часа: если в — часа он проезжает 15 км, то в — часа проедет в 3 раза меньше, т.-е. 5 км; а в целый час — в 4 раза больше последнего числа, т.-е. 20 км.

Все решение можно записать так:

1) Сколько километров проедет велосипедист за -*-часа?

15:3 = 5.

2) Сколько километров проедет он за целый час?

5X4 = 20,

— или строчками: за часа велосипедист проезжает ... 15 км.

я ^ п » fi ... 15 км : 3= 5 км.

„ 1 » » „ ... 5 км X 4 = 20 км.

Решим еще такую задачу:

За -g- фунта чаю заплачено 270 руб. Сколько стоит 1 фунт этого чаю?

Выполняем решение строчками так:

-g- фунта чаю стоят .... 270 р.

4 - » » .... 270 р. : 3= 90 р., 1 * „ и .... 90 p. X 8 = 720 р.

Для сравнения возьмем и здесь соответствующую задачу в целых числах: 3 фунта чаю стоят 270 ру б.; сколько нужно заплатить за 8 фунтов этого чаю?

Мы решили бы ее совершенно такими же рассуждениями, посредством приведения к единице:

3 фунта чаю стоят..... 270 руб.,

1 п * „..... 270 „ : 3 = 90 р.,

8 * „ „.....90 „ X 8 = 720 „

Разница лишь в том, что в предыдущем случае „единица“ у нас была не целая, а дробная (-^- фунта).

§ 80. Сравнение дробей с разными знаменателями. Пусть, напр., у нас есть две веревки, и одна из них имеет в длину 5 сажен, а другая 14 аршин; если нам нужно узнать, которая больше, то мы должны выразить их длину в одинаковых мерах, напр. в аршинах; так как в одной сажени 3 аршина, то в 5 саженях—15 аршин, и ясно, что первая веревка длиннее, так как вторая содержит только 14 аршин.

Пусть теперь у нас есть две пачки чаю, и в одной из них фунта, а в другой фунта. Чтобы узнать, в какой из них больше чаю, мы должны выразить их вес в одинаковых долях фунта, напр. в восьмых. Рассуждаем при этом так: в целом фунте или в 4 четвертях будет 8 восьмых, значит в одной четверти 2 восьмых, а в 3 четвертях — 6 восьмых; таким образом, в первой пачке -g- фунта чаю, а во второй только и ясно, что больше чаю в первой пачке.

Здесь мы нашли, что:

Мы можем изобразить это наглядно на рисунке следующим образом:

На черт. 1 изображен слева прямоугольник, разделенный вертикальными линиями на 4 малых прямоугольника (четверти) и в то же время на 8 квадратов (восьмые).

Из чертежа ясно, что малый прямоугольник состоит из двух квадратов, т.-е. четверть содержит 2 восьмых, а 3 четверти — 6 восьмых. Это же самое видно и на круге, изображенном справа: этот круг разделен двумя диаметрами (горизонтальным и вертикальным) на 4 четверти, а промежуточными диаметрами—на 8 восьмых, и мы видим, что -—= —, а

Пусть теперь нам нужно сравнить дроби . Постараемся для этого обратить -g- в двенадцатые доли.

Рассуждаем так: одна единица содержит 3 трети и в то же время 12 двенадцатых, значит:

3 трети составляют 12 двенадцатых,

1 треть „ 12:3, или 4 двенадцатых,

2 трети „ 4X2, или 8 двенадцатых.

Черт. 1.

Итак,= , и очевидно, что из двух данных нам дробей и ~j первая—больше.

То же самое мы можем найти, если изобразим целую единицу наглядно в виде прямоугольника, разделенного на 12-е доли (легче всего сделать это на клетчатой бумаге, если взять прямоугольник в 12 клеток, имеющий в длину 4 единицы, а в ширину— три (черт. 2). Мы видим, что весь прямоугольник состоит из 12 клеток, значит каждая клетка будет двенадцатой его долей; в то же время прямоугольник этот состоит из 3 полос по 4 клетки, значит каждая полоса будет третьей частью прямоугольника и содержит 4 двенадцатых, а 2 трети составят 8 двенадцатых.

Сравним еще дроби -g- и ^ • Обращаем для этого -g- в двадцатые доли; так как одна единица содержит 5 пятых и в то же время 20 двадцатых, то имеем:

5 пятых составляют 20 двадцатых, 1 пятая „ 20 : 5, или 4 двадцатых, 3 пятых „ 4x3, или 12 двадцатых,—

Теперь ясно, что из двух данных нам дробей -g- и ^ вторая дробь больше, так как первая содержит только 12 двадцатых.

Черт. 2.

На рисунке это изображается так. Берем прямоугольник из 20 клеток, изображающий нам целую единицу (черт. 3 слева — для этого рисуем на клетчатой бумаге прямоугольник, имеющий 4 единицы в длину и 5—в ширину); ясно, что он состоит из 5 полос по 4 клетки в каждой, и каждая полоса составляет пятую часть прямоугольника и в то же время 4 двадцатых; а 3 таких полосы изображают 3 пятых и содержат 12 двадцатых; справа же имеем фигуру, изображающую 17 двадцатых.

Сравним теперь дроби 4~ и 4“- Если бы мы попытались обратить в пятые доли, то убедились бы, что этого сделать нельзя, так как в единице 5 пятых, и это число не делится на 3 без остатка. Поэтому посмотрим, нельзя ли будет раздробить обе данные части — одну треть и одну пятую — в какие-либо более мелкие одинаковые доли.

Дробь можно раздробить в 6-е доли, 9-е, 12-е, 15-е,.....вообще в такие, число которых в единице делится на 3. Точно так же дробь -i- можно раздробить в 10-е доли, 15-е, 20-е,.....вообще в такие, число которых в единице делится на 5. Отсюда видно, что обе наши дроби можно раздробить в 15-е доли; так как в целой единице 15 пят-

Черт. 3.

надцатых, то в одной трети будет 5 пятнадцатых, а в одной пятой—3 пятнадцатых:

и ясно, что больше, чем

На рисунке это можно изобразить так. Возьмем прямоугольник из 15 клеток, имеющий 5 единиц в длину и 3 в ширину (черт. 4); ясно, что он состоит из 3 полос по 5 клеток и в то же время из 5 столбиков по 3 клетки. Каждая полоса представляет, таким образом, одну треть целого и состоит из пяти клеток, т.-е. 5 пятнадцатых; а каждый столбец представляет одну пятую и содержит три клетки, т.-е. 3 пятнадцатых.

Сравним еще дроби ~ и —. Шестые доли можно раздробить в 12-е, 18-е, 24-е,.....вообще в такие доли, число которых в единице делится на 6. Восьмые же доли можно раздробить в 16-е, 24-е, 32-е,.....вообще в такие, число которых в единице делится на 8. Очевидно, наши дроби нужно раздробить в такие доли, число которых в единице делилось бы и на 6, и на 8; из предыдущего видно, что такими долями будут 24-е. Теперь рассуждаем, как и раньше: так как одна единица содержит 6 шестых и в то же время 24 двадцать-четвертых, то:

Черт. 4.

6 шестых составят 24 двадцать-четвертых,

1 шестая т 24:6, или 4 двадцать-четвертых, 5 шестых „ 4X5, или 20 двадцать-четвертых.

Подобным же образом:

8 восьмых составят 24 двадцать-четвертых,

1 восьмая п 24:8, или 3 двадцать-четвертых,

7 восьмых к 3x7, или 21 двадцать-четвертую.

Итак, мы имеем:

и видим, что вторая дробь—более первой.

Можно изобразить это на рисунке так. Возьмем прямоугольник из 24 клеток, который имел бы в длину 6 единиц, а в ширину 4 (черт. 5). Мы видим, что он состоит из 6 столбцов по 4 клетки, значит каждый столбец представляет одну шестую долю и содержит 4 двадцать - четвертых, а 5 шестых составят 20 двадцать - четвертых. Вместе с тем этот прямоугольник состоит из 4 полос по 6 клеток, значит каждая полоса представляет четвертую его долю, а половина ее — восьмую долю, и состоит из 3 клеток; 7 же таких частей (восьмых) составят 21 двадцать - четвертую.

Из этих примеров мы видим, что для сравнения двух дробей с разными знаменателями мы должны выразить их в одинаковых долях, или, как говорят, привести их к одному знаменателю;

Черт. 5.

а для этого приходится или прямо обращать одни доли в другие, или же найти такие доли, в которые можно было бы обратить обе дроби; для этого нужно подобрать такие доли, число которых в единице делилось бы на обоих знаменателей.

§ 81. Действия над дробями, выполняемые при помощи приведения дробей к одному знаменателю. Умея приводить дроби к одному знаменателю, мы можем складывать и вычитать какие угодно дроби; для этого достаточно сначала выразить их в одинаковых долях, т.-е. привести к одному знаменателю, а затем сложить или вычесть по известным нам правилам.

Пусть, напр., надо сложить и ~; обращаем ту и другую дробь в шестые доли: имеем — = -^-, — = -g-> следовательно:

Точно так же если от нужно отнять , обращаем обе дроби в двенадцатые доли; имеем

следовательно:

Подобным же образом мы можем выполнять и деление дробных чисел (по содержанию), выражая их для этого в одинаковых долях. Пусть, напр., нам нужно разделить ~ на -Q-; выразим в восьмых долях — будем иметь -0-; следовательно:

Если нужно разделить 7- на то обратим сначала в неправильную дробь; получим у. Чтобы можно было

разделить дробь на обратим ее в четвертые доли; получим Теперь делим — на — и находим в частном 10.

Таким образом:

Пусть еще нужно разделить 13у на 2--. Обращаем для этого оба данных числа в неправильные дроби — имеем ^ и Теперь обращаем еще у в четвертые доли; получаем — ; эту дробь делим на — и находим в частном 6.

Итак :

§ 82. Деление дроби на целое при помощи раздробления долей. Мы видели выше, что при делении дроби на целое число нужно разделить числителя дроби на это целое, а знаменателя оставить без изменения, — напр.: -j- : 3 = —. Но как быть, если числитель не делится на данное число частей, напр., если нужно разделить Y на 3? Мы увидим сейчас, что это можно сделать с помощью раздробления долей.

Разделить ~- на 3 значит найти такую долю, которую нужно взять три раза, чтобы получить половину; но если таких долей в половине 3, то в целой единице их будет 6,—значит это будут шестые доли. Итак имеем:

Это деление можно изобразить наглядно. На черт. 6 больший прямоугольник изображает нам целую единицу, а меньший (обведенный более широкой каймой) — половину, разделенную на три части; и мы видим, что таких частей во всей единице 6, т.-е. -~-:6 — -^.

Черт. 6

Подобным же образом разделим — на 5. Это значит найти такую долю, которую нужно взять 5 раз, чтобы получить у; но если таких долей в одной трети 5, то в целой единице их 15, —значит это будут пятнадцатые доли. Итак:

И это можно изобразить наглядно. На рис. 7 окаймленный прямоугольник составляет одну треть целого (единицы]; он разделен на 5 одинаковых частей (квадратов), которых во всем прямоугольнике 15; значит 3 : 5=Т^

Из подобных примеров можем вывести заключение, что любую долю единицы можно в свою очередь разделить на несколько равных частей; для этого достаточно умножить знаменателя данной доли на это число.

Зная это, мы сможем делить на целое число не только долю единицы, но и любую дробь. Пусть, напр., нужно разделить j на 5; разделим сначала — на 5, — получим Но если от деления каждой четверти на 5 получается 1 двадцатая, то от деления 3 четвертей на 5 наберется уже 3 двадцатых, т. - е. :

Подобным же образом, чтобы разделить на 3, мы должны разделить сначала на 3; получим А от деления 7 десятых на 3 получим уже 7 тридцатых, т.-е.:

Черт. 7.

Таким образом видим, что если нужно разделить дробь на целое, а числитель дроби не делится на него, то достаточно умножить знаменателя дроби на это целое число, а числителя оставить без изменения.

§ 83. Сокращение дробей. Основное свойство дроби. Мы видели выше (§ 81), что всякую дробь можно раздроблять в более мелкие доли, не изменяя ее величины; напр.:

Сейчас увидим, что бывают случаи, когда можно, наоборот, превратить данную дробь в более крупные доли. Возьмем, напр., дробь ^ и посмотрим, не составляет ли она какой-либо доли единицы: в целой единице 10 десятых, значит дробь 5 десятых содержится в единице ровно 2 раза, т.-е. равна одной половине:

Это можно показать наглядно на чертеже (см. черт. 8); мы видим, что окаймленный прямоугольник составляет целого и в то же время половину его; ясно, что уд^-тр 1 таким образом превратили дробь ~ в более крупные доли, не изменив ее величины (подобно тому, как в свое время превращали именованные числа в более крупные меры); это превращение называется сокращением дроби.

Черт. 8.

Пусть теперь нам дают дробь Эта дробь не составляет какой-либо доли единицы, потому что 9 двенадцатых не содержатся в целой единице (в 12 двенадцатых) целого числа раз. Но мы замечаем, что 3 двенадцатых равны 1 четверти, так как в целой единице (в 12 двенадцатых) они содержатся 4 раза; если же 3 двенадцатых равны 1 четверти, то 9 двенадцатых составят 3 четверти (см. черт. 9):

Черт. 9.

Точно так же мы могли бы найти, что;

Очевидно, после сокращения дроби ее числитель и знаменатель выражаются меньшими числами, поэтому можем сказать, что сократить дробь—значит представить ее в более простом виде, не изменяя ее величины. Сейчас увидим, как проще всего производится сокращение дробей.

Обратим внимание на то, что делается с числителем и знаменателем дроби, когда мы выражаем ее в более мелких или более крупных долях, не изменяя ее величины. Мы видели, напр., что:

ясно, что здесь числитель и знаменатель данной дроби увеличены в 2 раза,—т.-е. помножены на 2. Точно так же мы имели, что:

Здесь числитель и знаменатель данной дроби увеличены в 4 раза, — т.-е. помножены на 4.

Наоборот, при сокращении дробей мы видели, что:

Здесь числитель и знаменатель данной дроби уменьшены в 3 раза, т.-е. разделены на 3. Точно так же у нас было, что:

тут числитель и знаменатель первой дроби уменьшены в 2 раза, т.-е. разделены на 2.

На основании подобных примеров мы можем вывести такое заключение: если числителя и знаменателя данной дроби одновременно умножить или разделить на одинаковые числа, то величина дроби не меняется. Нетрудно и видеть, почему это так; если имеем, напр., дробь и умножим ее числителя и знаменателя на 5, то в полученной дроби ^ число долей (15) стало в 5 раз больше прежнего (3); но величина каждой доли (20-й) стала в 5 раз меньше прежней (4-й), потому что в 1 четверти 5 двадцатых; и поэтому величина всей дроби осталась прежняя:

Точно так же, если мы имеем дробь ^ и разделим ее числителя и знаменателя на 2, то в полученной дроби — число долей (3) стало в 2 раза меньше прежнего (6), но каждая доля (5-я) в 2 раза больше прежней (10-й), потому что 1 пятая содержит 2 десятых; и таким образом величина всей дроби не изменяется:

Это свойство дроби, которое мы только что установили, называется основным свойством дроби. Пользуясь

им, мы можем очень просто сокращать дроби, как сейчас увидим.

Возьмем, напр., дробь видим, что числителя и знаменателя ее можно разделить одновременно на 3, и после этого получается дробь равная данной:

Точно так же в дроби ^ можно разделить числителя и знаменателя на 4, и после этого получаем дробь равную данной:

Теперь ясно, что для сокращения дроби достаточно разделить ее числителя и знаменателя на одинаковые числа. Если желаем обозначить, на какое именно число мы сокращаем числителя и знаменателя, то записываем это число в скобочке, так:

§ 84. Задачи, в которых требуется найти, какую часть одного числа составляет другое. Понятие об отношении двух чисел. Рассмотрим такую задачу:

Почтальону нужно проехать 20 километров; он проехал уже 15 километров. Какую часть всего пути он сделал?

Рассуждаем так: всего почтальону нужно проехать 20 км, значит каждый километр составляет ^ часть его пути; а 15 км составят ~ всего пути, или, после сокращения, |- его.

Вот еще задача:

От веревки длиною в 24 метра отрезали 9 метров. Какую часть всей веревки отрезали?

Если бы отрезали 1 метр, то это была бы, очевидно, ^ часть всей веревки; а 9 метров составляют ^всей веревки, или иначе -|.

Возьмем еще такую задачу:

В лечебнице было 40 граммов хинина, из этого запаса израсходовали 17 граммов. Какая часть всего хинина израсходована?

Так как всего хинина было 40 г, то каждый г составляет ~ часть всего хинина, а 17 г составляет^, т.-е. израсходовано ^ всего хинина.

Посмотрим теперь, нельзя ли в подобных случаях находить результат покороче. Сопоставим для этого полученные нами ответы:

Здесь во всех задачах спрашивалось, какую часть составляет одно число от другого, и мы видим, что ответ на этот вопрос получается очень просто: достаточно написать дробь, в которой первое число было бы числителем, а второе — знаменателем. Так напр.:

Наш вывод можно выразить и иначе. Мы видели выше (§ 77), что всякую дробь можно считать за частное от деле-

ния ее числителя на знаменателя; напр. ^= 17: 40; Ц = 30:36, и т. д. Поэтому ясно, что вопрос, какую часть составляет одно число от другого, можно решить просто делением первого числа на второе.

Подобные вопросы нередко приходится решать в задачах, но не всегда это бывает прямо выражено в условии. Вот, напр., задача:

Пароход проплывает 12 километров в час; сколько времени ему понадобится, чтобы проплыть 9 километров?

Рассуждаем так: если пароход проплывает 12 км в час, то на 1 км ему понадобится времени в 12 раз меньше, т.-е. ^ часа; а на 9 км. — в 9 раз больше, чем на один, т.-е. ~ ( или {-) часа.

Замечаем, что и в этой задаче ответ ^ мы могли бы сразу получить из данных чисел при помощи деления (9 : 12 = и ясно, почему: если пароход в час делает 12 км, то на проезд 9 км ему понадобится не целый час, а такая часть часа, какую составляют 9 км от 12-ти — т -е. —.

Возьмем еще задачу:

Фунт масла стоит 80 рублей; сколько масла можно купить за 50 рублей?

Мы можем рассудить так: если фунт масла стоит 80 рублей, то за 1 рубль можно купить ^ фунта этого масла, а за 50 рублей — ^ , или ~ фунта.

Но можно сообразить и иначе : за 50 рублей, очевидно, нельзя купить целого фунта масла, а только часть его, и конечно такую, какую составляют 50 руб. от 80 руб. т.-е. 50 : 80 = U = |-. Таким образом и здесь мы могли бы сразу решить нашу задачу, разделивши данные числа.

Заметим, что с задачами такого содержания мы встречались и раньше, когда изучали целые числа и решали их именно делением. В самом деле, возьмем снова первую из только что решенных задач, только с измененными числами:

Пароход проплывает 12 километров в час; сколько времени ему понадобится, чтобы проплыть 60 километров?

Ясно, что пароходу понадобится для этого столько часов, сколько раз в 60 км содержится 12 км, т.-е. 60:12 = 5. Изменим подобным же образом числа и во второй задаче:

Фунт масла стоит 80 рублей; сколько масла можно купить за 240 рублей?

Очевидно, можно купить столько фунтов масла, сколько раз в 240 руб. содержатся 80 руб., т.-е. 240 : 80 = 3.

Зная это, мы можем впредь решать подобные задачи делением, независимо от того, получится ли в частном целое или дробное число. Напр., еслибы в первой задаче пароход должен был проплыть 42 км, то число часов, которое понадобится ему на переезд, будет

Если бы во второй задаче мы хотели узнать, сколько фунтов масла можно купить за 180 руб., то нашли бы

Очевидно, в подобных задачах мы находим одно из двух : или сколько раз в одном данном числе содержится другое, или какую часть составляет одно число от другого. Число, которое это показывает, мы называем отношением двух данных чисел (именованных или отвлеченных) ; и как мы видели, оно находится при помощи деления первого числа на второе, т.-е. будет, другими словами, частным данных чисел.

Так, например, отношение 96 км к 12 км равно 96:12, т.-е. 8; оно показывает, что в 96 километрах 12 километров содержатся ровно 8 раз.

Отношение 66 км к 12 км равно 66:12, т.-е. 5 4; оно показывает, что в 66 километрах 12 километров содержится 5y раз (т.-е. 5 раз с остатком, равным половине 12-ти).

Наконец отношение 2 км к 12 км равно 2:12, т.-е. ^ или оно показывает, что 2 километра составляют -î- часть от 12 километров.

Теперь мы можем уяснить себе, каково значение дробных чисел в арифметике: они дают возможность, во-первых, измерять разные величины не только целыми единицами меры, но и любыми их частями; во-вторых, при введении дробных чисел становится всегда возможным деление двух целых чисел — как в случае деления на части, так и в случае нахождения отношения.

ОТДЕЛ VIII.

Десятичные дроби и простейшие действия над ними.

§ 85. Понятие о десятичной дроби. Обозначение десятичных дробей с помощью запятой. При знакомстве с метрическими мерами мы видели, что основная единица длины—метр — делится на 10 равных частей— дециметров, каждый дециметр — также на 10 равных частей — сантиметров, а каждый сантиметр в свою очередь на 10 равных частей — миллиметров; таким образом дециметр есть одна десятая доля метра, сантиметр — одна сотая миллиметр— одна тысячная.

Подобным же образом и сажень в технических рассчетах делят чаще всего не на аршины и вершки, а на десятые и сотые доли; такие деления отмечаются, напр., на измерительной ленте рулетки.

В денежных расчетах мы делим также рубль на десятые доли—гривенники, и сотые доли — копенки, ведро, как мера жидкостей, делится также на десятые и сотые доли, и т. п. Одним словом, в измерениях и расчетах нередко приходится делить единицу на 10, 100, 1000 и т. д. долей, и составлять дроби из этих долей — десятых, сотых; тысячных и т. п.; напр., длина в 5 метров и 3 дециметра составляет, другими словами, 5 целых и 3 десятых (5 ^) метра; длина в 1 метр и 87 сантиметров составляет, иначе говоря, 1 целый и 87 сотых 0 ш) метра.

Дроби, составленные из десятых, сотых, тысячных и т. д. долей, называются десятичными. Мы увидим сейчас, что десятичные дроби можно изображать упрощенным способом, наподобие целых чисел.

Возьмем какое-нибудь многозначное целое число, напр., 4263; в нем первая цифра обозначает, как известно, тысячи, вторая— сотни, третья — десятки, четвертая — единицы, — вообще, каждая следующая цифра вправо обозначает разряд в 10 раз меньший, чем предыдущая.

Посмотрим, нельзя ли распространить это самое правило и на запись десятичных дробей. В таком случае вправо от целых единиц нам придется обозначить те доли, которые в 10 раз меньше целых, т.-е. десятые доли; вправо от десятых те доли, которые в 10 раз меньше десятых, т.-е. сотые; вправо от сотых — те доли, что в 10 раз меньше сотых, т.-е. тысячные, и т. д. При этом целые единицы отделяются от дробных долей запятой1), напр. 5 целых и 3 десятых обозначается так:

5,3.

Чтобы изобразить 1 целую и 87 сотых, соображаем, что 10 сотых составляют 1 десятую, а 80 сотых — всё равно, что 8 десятых; значит в нашем числе всего 1 целая, 8 десятых и 7 сотых, и это придется записать так:

1,87.

Если целых единиц вовсе нет, то на месте их ставится нуль; напр., 7 десятых придется изобразить так:

0,7

и читается это так: „нуль целых и семь десятых“, или же просто „семь десятых“. Точно также ставится нуль там, где вовсе нет долей какого-нибудь разряда; запишем, напр., дробь 45 тысячных; здесь будет 5 тысячных и еще 40 тысячных, или же 4 сотых, а десятых и целых нет; значит придется написать 0 целых, потом 0 десятых, 4 сотых и 5 тысячных, а именно:

0,045.

1) Иногда вместо запятой ставят в запаси десятичной дроби точку, напр. вместо 5,3 пишут 5.3 (подобно тому, как в комерческих рассчетах вместо 18 руб. 33 коп. пишут: Руб. 18.33); но это обозначение менее удобно, так как точку можно принять за знак умножения.

Чтобы научиться как следует записывать десятичную дробь, мы должны уметь рассчитывать, сколько в этой дроби будет целых, десятых, сотых, тысячных и т. д. долей, а для этого нужно хорошо помнить, что каждая из этих долей состоит из 10 долей следующего разряда, а именно:

1 целая единица—все равно, что 10 десятых,

1 десятая „ „ „10 сотых,

1 сотая „ „ „10 тысячных,

1 тысячная „ „ „ 10 десятитысячных,

1 десятитысячная „ „ „10 стотысячных,

1 стотысячная „ „ „10 миллионных, и т. д.

Кроме того, нужно помнить, на каком месте после запятой ставятся те или иные доли; очевидно, десятые доли ставятся на первом месте после запятой,

сотые „ „ на втором,

тысячные „ „ на третьем, десятитысячные „ на четвертом, стотысячные „ „ на пятом, миллионные „ „ на шестом, и т. д.

Пусть, напр., мы должны написать 327 тысячных. Так как 10 тысячных составляют одну сотую, то здесь будет 32 сотых и 7 тысячных; а в свою очередь 10 сотых составляют одну десятую, значит у нас всего 3 десятых, 2 сотых и 7 тысячных, а целых нет,—и это придётся записать так:

0,327.

Напишем теперь 2538 стотысячных. Так как 10 стотысячных составляют одну десятитысячную, то у нас будет всего 253 десятитысячных и 8 стотысячных; а так как каждые 10 десятитысячных составляют одну тысячную, то в 253 десятитысячных будет 25 тысячных и 3 десятитысячных. В свою очередь 25 тысячных составят, очевидно, 2 сотых и 5 тысячных, и мы имеем окончательно 2 сотых, 5 тысячных, 3 десятитысячных и 8 стотысячных. Целых единиц и десятых долей тут нет, значит нашу дробь придется изобразить так:

Напишем еще 542 сотых. Каждые 10 сотых составляют одну десятую, значит здесь 54 десятых и 2 сотых; в свою очередь 10 десятых составляют одну целую, значит мы имеем всего 5 целых, 4 десятых и 2 сотых. Это запишется так:

5,42.

Посмотрим теперь, нельзя ли на основании этих примеров установить возможно более краткое правило записывания десятичных дробей. Сопоставим для этого рассмотренные нами дроби:

327 тысячных......0,327

2538 стотысячных .... 0,02538 542 сотых.......5,42.

Очевидно, запись числителя остается каждый раз без изменения, а знаменатель обозначается при помощи постановки запятой : в первом примере у нас даны тысячные доли и последняя цифра числа стоит на третьем месте после запятой; во втором примере стотысячные доли и последняя цифра на пятом месте после запятой; в третьем примере— сотые доли, и последняя цифра — на втором месте. Ясно, что всякий раз мы записываем числителя данной дроби, как целое число, а потом ставим запятую так, чтобы последняя цифра дроби выражала доли, указанные знаменателем; при этом недостающие места заполняем, в случае надобности, нулями.

Напр., пусть нужно написать 208 десятитысячных. Десятитысячные доли пишутся на четвертом месте после запятой, поэтому мы должны написать числителя 208 и поставить запятую так, чтобы после нее оказалось четыре цифры; для этого перед числом 208 придется поставить нуль, а перед ним запятую да еще перед нею обозначить 0 целых, и мы получим:

0,0208.

Подобным же образом записали бы:

1594 стотысячных.....0,01594

37 миллионных..... 0,000037,

и т. д.

Не мешает заметить, как записываются доли последовательных десятичных разрядов, а именно:

Подобным же образом мы рассуждаем и при чтении десятичных дробей. Напр., чтобы прочесть дробь

0,43,

соображаем, что здесь целых нет, а дальше написано 4 десятых и 3 сотых, или всего 43 сотых ; значит дробь читается так:

0 целых 43 сотых, или же просто—43 сотых. Если написано

0,388,

то соображаем, что здесь 0 целых, 3 десятых, 8 сотых и 8 тысячных; но в одной десятой 10 сотых, значит в 3 десятых— 30 сотых, а всего имеем 38 сотых; в каждой сотой 10 тысячных, поэтому в 38 сотых будет 380 тысячных да еще 8 —всего 388 тысячных. Таким образом, нашу дробь 0,388 надо прочесть так:

388 тысячных. Подобным же образом число

2,209

придется прочитать так:

2 целых 209 тысячных, или же в виде неправильной дроби— 2209 тысячных; 0,00012 прочитаем так:

12 стотысячных,

и т. д.

Очевидно, при чтении десятичной дроби мы просто прочитываем данное число так, как будто бы оно было целым, а потом только называем, какие это у нас обозначены доли.

Мы видим, таким образом, что десятичную дробь приходится записывать и читать почти так же, как и целое число; поэтому десятичную дробь, особенно неправильную, называют иногда просто десятичным числом.

§ 86. Сравнение десятичных дробей по величине; приведение к общему знаменателю и сокращение. Основное свойство десятичной дроби. Пусть нам нужно сравнить такие дроби:

Видим, что целых единиц в них нет, а десятых во всех поровну — по 7; а сверх того сотых долей в первой дроби 9, во второй 8 слишком, но менее 9, а в третьей 4 слишком, но в всяком случае менее 5. Ясно, поэтому, что первая дробь больше второй, а вторая больше третьей.

Таким образом видно, что мы можем сравнивать по величине десятичные дроби и не приводя их к одному знаменателю, как это делали с простыми; мы только сравниваем, сколько в каждой из них будет долей самого крупного разряда; где этих долей больше, та дробь и будет больше. Если долей самого крупного разряда поровну, то сравниваем доли следующего разряда, и т. д.

Возьмем теперь дробь 0,3 и припишем к ней с правой стороны нуль; получим 0,30. Сравним эти дроби. В них целых нет, а десятых поровну— по 3; сотых же и каких-либо других долей тоже нет; ясно, что обе дроби по величине одинаковы:

Это можно уяснить себе и иначе: одна десятая содержит 10 сотых, значит 3 десятых — все равно, что 30 сотых.

Припишем к нашей дроби справа еще один нуль; получим 0,300. Сравим теперь дроби 0,3 и 0,300; как и раньше, в них целых нет, десятых поровну — по 3, а сотых и других долей нет; значит и эти дроби по величине одинаковы:

И это видно иначе, из такого рассчета: одна десятая содержит десять сотых или 100 тысячных, поэтому 3 десятых равны 300 тысячным.

Таким образом мы можем найти, что:

0,3 = 0,30 = 0,300=0,3000 ......

0,76 = 0,760 = 0,7600=0,76000 ....

т.-е. величина десятичной дроби не меняется, если мы припишем к ней справа один или несколько нулей.

Легко убедиться, что иначе и быть не может: если напр., мы имеем дробь 0,43 и приписываем к ней справа два нуля, то в полученной дроби 0,4300 и числитель, и знаменатель больше прежних в одинаковое число раз (в 100 раз), а потому величина дроби не меняется.

Зная это свойство десятичных дробей, мы можем очень просто приводить их, в случае надобности, к одному знаменателю. Пусть, напр., у нас есть дроби 0,52 и 0, 512. Первая дробь выражена в сотых долях, вторая—в тысячных; но мы можем к первой приписать нуль и она будет выражена тоже в тысячных долях: 0,520.

Подобным же образом, имея дроби 0,34 и 0.3813, мы можем привести их к общему знаменателю, приписывая к первой два нуля; будем иметь 0,3400 и 0,3813. Обе дроби выражены теперь в одинаковых долях—десятитысячных.

Ясно, что для приведения десятичных дробей к общему знаменателю достаточно только уравнять у них число цифр после запятой, приписывая на недостающих местах нули.

Мы нашли выше, что к десятичной дроби можно приписать справа один или несколько нулей, не меняя ее величины. Но если так, то мы можем и наоборот, откидывать у десятичной дроби нули, стоящие с правой стороны; напр., 0,50 все равно, что 0,5, потому что в каждой из этих дробей по 5 десятых, а других долей нет. Это можно проверить и иначе: когда мы у данной дроби 0,50 откинули с правой стороны нуль, то в полученной дроби 0,5 и числитель, и знаменатель меньше прежних

в одинаковое число раз (в 10 раз), а потому величина дроби не меняется.

Подобным же образом имеем:

0,4200 = 0,42, 0,7000 = 0,7 и т. п.

Но с другой стороны, заменяя, напр., дробь 0,4200 равной ей дробью 0,42, мы выражаем ее в более крупных долях (сотых), не меняя ее величины; иначе говоря, мы сокращаем дробь 0,4200, откидывая нули, стоящие с правой стороны. Таким образом, если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то мы можем сократить ее, откидывая эти нули.

Обратим еще внимание на следующее. Мы установили здесь, что величина десятичной дроби не мененяется, если к ней справа приписать один или несколько нулей, или, наоборот, откинуть нули, стоящие с правой стороны, и видели, что происходит это потому, что числитель и знаменатель дроби при этом увеличиваются или уменьшаются в одинаковое число раз. Таким образом, ясно, что это свойство есть частный случай основного свойства дроби, рассмотренного нами выше (§ 83); мы называем его поэтому основным свойством десятичной дроби.

§ 87. Сложение десятичных чисел. 1) Устное сложение. Пусть нам нужно к 0,7 прибавить 0,38; мы вычисляем это так: 7 десятых да 3 десятых — будет 10 десятых, или 1 целая; да еще 8 сотых —всего 1 целая и 8 сотых; таким образом имеем:

0,7+0,38 = 1,08.

Еще пример: пусть надо сложить 0,52 и 0,27. Вычисляем так: 52 сотых и 20 сотых — 72 сотых; да еще 7 сотых—79 сотых, т.-е.

0,52-|-0,27 = 0,79.

В последнем примере можно вычислять, конечно, и иначе: 5 десятых и 2 десятых—7 десятых; 2 сотых и 7 сотых—9сотых; всего 7 десятых и 9 сотых, или 0,79.

Видим, что устное сложение десятичных дробей выполняется так, как и устное сложение целых чисел: мы прибавляем второе слагаемое по частям (чаще всего по десятичным разрядам), начиная сложение с долей высшего разряда.

2)Письменноесложение. Пусть, напр., мы должны сложить 5,283 и 2,844. Мы можем и здесь выполнить сложение так, как складывали целые многозначные числа: подпишем наши слагаемые одно под другим так, чтобы доли одинаковых разрядов стояли в одном столбце:

и будем складывать данные числа по разрядам, начиная с долей низшего разряда — с тысячных. Вычисляем так: 4 тысячных и 3 тысячных — 7 тысячных; дальше складываем сотые: 4 да 8—12 сотых, или 2 сотых и 1 десятая; подписываем под сотыми 2, а 1 десятую прибавляем к десятым: 1 десятая да 8 — 9, да еще 2 — 11 десятых, или 1 десятая и 1 целая. Пишем под десятыми 1, а 1 целую единицу прибавляем к целым: 1 и 2—3, да еще 5 — всего 8. Пишем эти 8 под целыми и имеем окончательно сумму 8,127.

Таким же способом вычисляем и сумму нескольких слагаемых, напр.,

Складываем сначала тысячные доли и получаем 10 тытячных или одну сотую; пишем иод тысячными 0, а 1 сотую прибавляем к сотым; получаем всего 30 сотых или 3 десятых без сотых; пишем под сотыми 0, а 3 десятых прибавляем к десятым; находим в сумме 16 десятых, или же 6 де-

сятых и 1 целую. Пишем под десятыми 6, а 1 целую прибавляем к целым; всего имеем 10 целых, и записываем под целыми 0, а на следующем месте налево — 1 десяток. Таким образом находим сумму 10,600 или, после сокращения 10,6.

Заметим, что мы могли бы и с самого начала не писать нулей на месте тысячных и сотых, так как от пропуска этих нулей величина результата не меняется; мы получили бы тогда сразу сокращенную сумму 10,6.

На основании последнего примера мы видим, что при сложении десятичных дробей нет надобности приводить их к общему знаменателю—достаточно только подписать их так, чтобы доли одинаковых разрядов приходились друг под другом в одном столбце, и складывать затем по разрядам. Но иногда бывает полезно все же привести слагаемые к одному знаменателю, дописывая, где нужно, недостающие нули; это делается тогда, когда слагаемых довольно много и приведение их к одному знаменателю может облегчить правильное подписывание разрядов, напр.:

§ 88. Вычитание десятичных чисел. 1) Устное вычитание. Пусть, напр., нам нужно от 0,83 отнять 0,35; мы вычислим это так: 83 сотых без 30 сотых — 53 сотых, да еще без 5 — 48 сотых, т.-е.

0,83 — 0,35 = 0,48.

Подобным же образом, если от 1 нужно отнять 0,24, мы рассуждаем так: одна целая без 2 десятых—8 десятых, да еще без 4 сотых — останется 7 десятых и 6 сотых, т.-е.

1 —0,24 = 0,76.

В последнем примере можно вычислять и иначе: 1 целая — все равно, что 100 сотых; отнимем отсюда 20 со-

гых — будет 80 сотых ; отсюда отнимаем еще 4 сотых и получаем 76 сотых, т.-е. 0,76.

Очевидно, что устное вычитание десятичных дробей выполняется совершенно так же, как и устное вычитание целых чисел : мы отнимаем вычитаемое по частям, разбивая его при этом на такие части, чтобы можно было произвести вычитание возможно короче и проще; по большей части мы отнимаем вычитаемое по его десятичным разрядам, начиная с высших.

Заметим, что и способ дополнения, с которым мы познакомились при устном вычитании целых чисел, является здесь вполне пригодным; напр. если нам нужно от 1,2 отнять 0,94, то мы можем вместо этого искать, сколько нужно прибавить к 94 сотым, чтобы получить 1 целую и 2 десятых; рассуждаем так: чтобы иметь 1 целую единицу, нужно прибавить 6 сотых, а сверх того нужно иметь еще 2 десятых; всего, значит, нужно прибавить 2 десятых и 6 сотых, или 0,26. Таким образом имеем

2) Письменное вычитание. Пусть, напр., нам нужно от 8,044 отнять 3,782. Подпишем, как и при вычитании целых многозначных чисел, вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы доли одинаковых разрядов приходились в одном столбце:

и отнимаем вычитаемое по разрядам, начиная с долей низшего разряда — с тысячных. Вычисляем так: 4 тысячных без 2 тысячных — 2 тысячных; пишем под тысячными 2. Далее от 4 сотых отнять 8 сотых нельзя; следовало бы взять в уменьшаемом 1 десятую и придать к 4 сотым, а потом отнять 8 сотых; но десятых в данном числе вовсе нет, поэтому берем 1 целую единицу (обозначаем это точкой над цифрою 8), раздробляем ее в десятые доли — будет 10 десятых; из этих 10 десятых оставляем 9, а одну десятую берем (обозначаем это точкой над 0 на месте десятых) и

раздробляем в сотые, — будет 10 сотых; да еще 4 сотых,— всего 14 сотых. Отсюда отнимаем 8 сотых вычитаемого, получаем 6 сотых, которые и пишем под сотыми. Далее отнимаем 7 десятых от тех 9 десятых уменьшаемого, которые остались у нас после раздробления целой единицы; получаем 2 десятых и подписываем их под десятыми. Наконец, отнимем 3 целых от 7 целых, оставшихся в уменьшаемому получаем 4 целых. Таким образом находим разность 4,262.

В предыдущем примере у нас были в уменьшаемом и вычитаемом доли одинаковых разрядов; но совершенно так же можно производить вычитание и тогда, когда данные числа выражены в различных долях. Пусть, напр., нам нужно от 2,76 отнять 0,744:

Подписав данные числа так, чтобы доли одинаковых разрядов стояли в одном столбце, мы видим, что в уменьшаемом тысячных нет, а отнять нужно 4 тысячных; поэтому берем в уменьшаемом одну сотую (ставим точку над 6 сотыми) и раздробляем ее в тысячные—имеем 10 тысячных. Отсюда отнимаем 4 тысячных и получаем 6 тысячных; далее отнимаем от оставшихся 5 сотых уменьшаемого 4 сотых, получаем 1 сотую; от 7 десятых уменьшаемого отнимаем 7 десятых и получаем 0 десятых; и наконец от 2 целых не приходится отнимать ничего, — пишем 2 на месте целых, и окончательно находим разность 2,016.

Мы видим, таким образом, что при вычитании десятичных дробей, как и при сложении, приводить их к общему знаменателю необязательно; но если разница в числе разрядов довольно велика, то полезно бывает все же привести данные числа к общему знаменателю и для этого дописать, где следует, недостающие нули. Пусть, напр., нам нужно от 3 отнять 0,7694; нам удобнее всего выразить 3 целых в десятитысячных долях и записать это так:

§ 89. Умножение десятичного числа на целое.

1) Устное умножение. Пусть, напр., нам нужно помножить 0,48 на 3. Мы можем вычислить это так: 40 сотых на 3—120 сотых; 8 сотых на 3 — 24 сотых; а всего вместе 144 сотых, или 1 целая и 44 сотых. Таким образом имеем:

0,48 X 3 = 1,44.

Подобным же образом, умножая 0,225 на 4, рассуждаем так: 200 тысячных на 4 — 800 тысячных; 25 тысячных на 4— 100 тысячных; а всего вместе 900 тысячных или 9 десятых. Итак :

0,225 X 4 = 0,900 = 0,9.

Очевидно, в подобных случаях мы можем выполнить умножение по частям, как это делали при умножении целых чисел: мы разлагаем множимое на отдельные слагаемые— обыкновенно на его десятичные разряды (48 сотых = = 40 сотым + 8 сотых ; 225 тысячных = 200 тысячи. -\- 25 тысячи.), и множим каждое слагаемое отдельно, начиная с высших разрядов; потом складываем полученные результаты.

Заслуживают особого внимания те случаи умножения, когда множителем будет число 10, 100, 1000 и т. д., вообще число, обозначенное единицей с нулями. Пусть, напр., нам нужно умножить 0,073 на 10; мы рассуждаем так: умножим сначала 1 тысячную на 10 — будем иметь 10 тысячных или 1 сотую; поэтому, умножая 73 тысячных на 10, мы должны получить 73 сотых, т.-е.

Умножим теперь 0,073 на 100; умножая 1 тысячную на 10, мы получили бы 100 тысячных, или 1 десятую; поэтому от умножения 73 тысячных на 100 мы получим 73 десятых, или 7,3. Таким образом

Умножим еще 0,073 на 1000. Умножая 1 тысячную на 1000, мы получаем 1000 тысячных, или 1 целую; поэтому от умножения 73 тысячных на 1000 мы должны иметь 73 целых, т.-е.

Сравним теперь полученные результаты:

Видим, что во всех случаях остается без изменения данное число долей (73), а меняется только их наименование (знаменатель): в первом случае вместо тысячных долей получаем сотые, во втором—десятые, в третьем — целые; в записи же числа это изменение знаменателя выражается перемещением запятой вправо — на одну, две и три цифры.

Подобным же образом мы могли бы найти, что

На основании подобных вычислений можем вывести такое заключение: чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., достаточно переместить у нее запятую вправо через столько цифр, сколько нулей во множителе. Если при этом в данной дроби не хватило бы десятичных знаков, то недостающие места заполняем нулями: напр. 2,3 X 1000 = = 2,300 X 1000 = 2300.

Таким же способом можно множить десятичную дробь и на целое число, изображенное какою-либо цифрою с нулями, напр., на 30, на 600, на 8000 и т. п.

Пусть, напр., нам нужно умножить 0,14 на 30. Это все равно, что сначала умножить 0,14 на 3, а полученное число на 10:

0,14.3 = 0,42; 0,42.10 = 4,2; следовательно 0,14.30 = 4,2.

Подобным же образом, умножая 0,14 на 600, мы умножим данное число сначало на 6, а потом полученное число на 100:

Рассматривая еще подобные примеры, мы видим, что при умножении десятичной дроби на такое целое число (изображенное значащей цифрой с нулями) мы множим сначала на число, обозначенное первою цифрой множителя, а потом перемещаем запятую вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе. Разумеется, при желании мы можем и изменить порядок этого вычисления; напр., умножая 0,003 на 8000, можем сначала умножить данную дробь на 1000, а потом на 8:

2) Письменное умножение. Пусть, напр., нам нужно умножить 0,2966 на 7; как сейчас увидим, это умножение можно выполнить так, как мы делали в свое время умножение целых чисел — мы будем множить данное число по частям; начиная с долей низшего разряда и складывая получаемые при этом произведения:

Мы вычисляем так:

7 раз 6 десятитысячных — 42 десятитысячных, или 2 десятитысячных и 4 тысячных; пишем 2 под десятитысячными, а 4 тысячных запоминаем, чтобы потом прибавить к тысячным.

7 раз 6 тысячных — 42 тысячных; да еще 4 тысячных — 46 тысячных, или 6 тысячных и 4 сотых; пишем 6 под тысячными, а 4 сотых запоминаем.

7 раз 9 сотых — 63 сотых; да еще 4 сотых — 67 сотых, или 7 сотых и 6 десятых; пишем под сотыми 7, а 6 десятых запоминаем.

7 раз 2 десятых — 14 десятых; да еще 6 десятых — 20 десятых, т.-е. 2 целых и 0 десятых; пишем под десятыми 0, а рядом налево 2 целых и имеем окончательно 2,0762.

Подобным же образом поступаем и при умножении десятичной дроби на целое многозначное число. Пусть, напр., нужно умножить 0,392 на 28:

Вычисляем так: чтобы умножить 0,392 на 28, мы множим данное число сначала на единицы множителя (на 8), потом на десятки (на 20) и складываем полученные числа. Умножая 0,392 на 8, имеем 3,136; подписываем это число под множимым так, чтобы доли одинаковых разрядов стояли в одном столбце. Далее множим 0,392 на 2 десятка; получаем 7,84 и подписываем это произведение под предыдущим, при чем наблюдаем, чтобы его цифры пришлись под соответствующими долями предыдущих, т.-е. чтобы последняя его цифра стояла под сотыми долями. Складывая теперь частичные произведения, имеем окончательно 10,976.

Помножим еще 5,25 на 236:

Подобно предыдущему, множим сначала 5,25 на единицы множителя (на 6), получаем 31,50; потом на десятки (на 30), получаем 157,5; и наконец на сотни (по 200), находим 1050; складываем все эти частичные произведения и получаем окончательно 1239,00. т.-е. 1239 целых.

Можно рассуждать при подобном умножении и несколько иначе. Пусть нам дано умножить 0,335 на 216. Мы множим здесь 335 тысячных на 216; значит, в произведении

будут тысячные доли, а чтобы узнать, сколько именно их будет, надо умножить 335 на 216.

Перемножая эти числа, как целые, получаем 72660; но это число обозначает у нас тысячные доли, значит в нем нужно поставить запятую так, чтобы после нее было три цифры; находим 72,660, или, после сокращения,—72,66. При таком способе рассуждения мы не ставим запятых в промежуточных произведениях, а только в окончательном результате.

Заметим, что при умножении десятичной дроби на целое число применимы все те способы упрощенного умножения, которые мы установили для умножения целых многозначных чисел (ч. I, § 40). Пусть, напр., нужно умножить 0,544 на 135:

Соображаем, что в данном случае мы множим 544 тысячных на 135, а для этого придется просто умножить 544 на 135 и произведение считать тысячными долями. Множим 544 на 135, как целые числа, и пользуемся при этом сокращенной записью, так как первая цифра множителя есть 1; то получаем 73440. Столько у нас будет тысячных; значит, окончательное произведение равно 73,440, или, после сокращения, — 73,44.

Умножим еще 0,87 на 46. Здесь мы множим 87 сотых на 46; поэтому нам придется умножить 87 на 46 и произведение считать сотыми долями. Но умножение 87 на 46 мы можем выполнить сокращенно — „крестиком“; получаем

4002, — значит, окончательное произведение есть 4002 сотых, или 40,02.

§ 90. Деление десятичного (или целого) числа на целое.

1) Устное деление. Пусть, напр., нам нужно разделить 0,84 на 6. Мы можем вычислить это так: 60 сотых разделить на 6— будет 10 сотых; 24 сотых на 6 — 4 сотых; всего вместе 10 и 4 — 14 сотых, т.-е.

Подобным же образом, деля 0,235 на 5, мы рассуждаем так: 200 тысячных разделить на 5 — будет 40 тысячных; 35 тысячных на 5 — 7 тысячных; всего 40 и 7 — 47 тысячных, т.-е.

Видим, что в таких случаях мы можем выполнить деление по частям, как это делали и при делении целых чисел. Заметим, однако, что устное вычисление удобно лишь в тех случаях подобного деления, когда число долей (числитель дроби) делится без остатка на данное число; если этого нет, то удобнее письменное деление, о котором сказано ниже.

Далее, заслуживают особого внимания те случаи, когда приходится делить тысячную дробь (или целое число) на 10, 100, 1000 и т. д., вообще на число, обозначенное единицей с нулями. Пусть, напр., мы должны разделить 2,7 на 10. Рассуждаем так: если мы разделим 1 десятую на 10 равных частей, то получим 1 сотую; поэтому, деля 27 десятых на 10, мы будем иметь 27 сотых, т.-е.

2,7 : 10 = 0,27

Разделим теперь 2,7 на 100. Если мы разделим 1 десятую на 100 равных частей, то у нас получится 1 тысячная; поэтому от деления 27 десятых на 100 мы должны получить 27 тысячных, или

2,7 : 100 = 0,027.

Разделим еще 2,7 на 1000. Если мы разделим 1 десятую на 1000 равных частей, то получим 1 десятитысячную; поэтому от деления 27 десятых на 1000 мы должны получить 27 десятитысячных, т.-е.

Сравним теперь полученные результаты:

Видим, что во всех случаях число долей (27) остается без изменения, а меняется только их наименование (знаменатель): в первом случае вместо десятых долей имеем сотые, во втором — тысячные, в третьем — десятитысячные; в записи же дроби это изменение знаменателя выражается перемещением запятой влево — на одну, две и три цифры.

Подобным же образом мы могли бы найти, что:

На основании подобных вычислений можем вывести такое заключение: чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., достаточно переместить у нее запятую влево через столько цифр, сколько нулей в делителе; если при этом в данной дроби не хватает цифр, то недостающие места заполняются нулями: напр. 0,8: 1000 = 0,0008.

Подобным же образом мы рассуждаем и в том случае, если делимое будет не десятичной дробью, а целым числом. Так, напр.:

Видим, что и здесь мы можем поступать по прежнему правилу, если считать, что в данном целом числе запятая подразумевается после цифры целых единиц.

Зная это правило, мы можем в подходящих случаях делить десятичную дробь или целое число и на 20, 300, 5000...., вообще на число, изображенное какой-либо цифрой с нулями.

Пусть, напр., мы должны разделить 0,84 на 20. Это все равно, что сначала разделить данную дробь на 2, а полученное число на 10:

0,84 : 2 = 0,42; 0,42 : 10 = 0,042; след. 0,84 : 20 = 0,042:

Далее, если нам нужно разделить 3,6 на 300, то это все равно, что разделить 3,6 сначала на 3, а полученнное число на 100:

3,6 : 3=1,2; 1,2 : 100 = 0,012; след. 3,6 : 300 = 0,012.

Пусть наконец мы должны разделить 35 на 5000. Делим сначала 35 на 5, а затем полученное частное на 1000:

35 : 5 = 7; 7 : 1000 = 0,007; значит 35 : 5000 = 0,007.

Разумеется, и это вычисление выполняется легко лишь в том случае, если данное число долей или целых единиц делится на первую (значащую) цифру делителя; если же нет, то приходится прибегать к письменному делению.

2) Письменное деление. Пусть нам нужно разделить 0,3983 на 7; как сейчас убедимся, мы можем выполнить это деление так, как в свое время производили деление целых чисел — по частям, начиная с долей высшего разряда:

Рассуждаем так: в делимом целых единиц нет, значит и в частном будет 0 целых. Далее, если мы будем делить 3 десятых на 7 равных частей, то на каждую часть не придется ни по одной десятой, — поэтому пишем в частном 0 десятых.

Затем раздробляем 3 десятых в сотые доли, — будет 30 сотых; да еще в делимом 9 сотых, а всего 39 сотых; делим их на 7 равных частей и получаем в частном 5 сотых и в остатке 4 сотых. Этот остаток раздробляем в тысячные доли,— имеем 40 тысячных; да еще 8 тысячных делимого, а всего 48 тысячных; делим их на 7 равных частей и получаем в частном 6 тысячных и в остатке тоже 6 тысячных. Этот остаток раздробляем в десятитысячные доли; имеем 60 десятитысячных, а вместе с 3 десятитысячными, что в делимом — 63 десятитысячных. Делим эти 63 десятитысячных на 7 равных частей и получаем на каждую часть по 9 десятитысячных без остатка. Таким образом получаем окончательное частное 0,0569.

Пусть еще нам нужно разделить 5,7592 на 23:

Рассуждаем так: если делить 5 целых на 23 равных части, то на каждую часть не придется ни по одной целой; пишем в частном 0 целых и раздробляем 5 целых в десятые доли; получаем 50 десятых, да еще в делимом 7 десятых, а всего 57 десятых. Делим эти 57 десятых на 23 равных части и получаем на каждую часть по 2 десятых, и еще 11 десятых в остатке. Эти 11 десятых обращаем в сотые доли, — будет 110 сотых; да еще в делимом 5 сотых, а всего 115 сотых. Делим теперь эти 115 сотых на 23 равных части и находим в частном ровно 5 сотых. Дальше в делимом есть 9 тысячных; но если их делить на 23 равных части, то на каждую часть не придется ни по одной тысячной; поэтому пишем в частном 0 тысячных, а наши 9 тысячных обращаем в десятитысячные, — будет 90 десятитысячных; да еще 2 десятитысячных, всего вместе 92 десятитысячных. Делим их на 23 равных части и получаем на каждую часть по 4 десятитысячных без остатка; окончательно имеем частное 0,2504.

До сих пор мы рассматривали примеры, когда данное число долей (числитель дроби) делилось на делителя без остатка. Но это, конечно, не всегда бывает; посмотрим, как

поступать в тех случаях, когда от деления числителя данной дроби получается остаток.

Пусть, напр., нам нужно разделить 3,4 на 8:

Видим, что целых в частном будет 0; дальше делим 34 десятых на 8 и получаем в частном 4 десятых и в остатке 2 десятых. Эти 2 десятых обращаем в сотые доли, — будет 20 сотых; делим 20 сотых на 8 и получаем в частном 2 сотых и в остатке 4 сотых. Эти 4 десятых обращаем в тысячные доли, — имеем 40 тысячных; делим их на 8 и получаем в частном 5 тысячных без остатка. Таким образом мы находим полное частное 0,425.

Вот еще примеры:

В первом примере очевидно, что в частном нет ни целых, ни десятых, ни сотых долей; поэтому ставим в частном на соответствующих местах нули. Далее пробуем разделить 9 тысячных на 12; ясно, что в частном не будет и тысячных долей; пишем поэтому 0 тысячных, а 9 тысячных делимого обращаем в десятитысячные доли. Это будет 90 десятитысячных; деля их на 12, находим в частном 7 десятитысячных, а в остатке 6. Эти 6 десятитысячных обращаем в стотысячные,— будет 60 стотысячных; а после деления на 12 имеем 5 стотысячных без остатка. Итак, полное частное равно 0,00075.

Во втором примере делим 56 десятых на 14, получаем в частном ровно 4 десятых. Далее в делимом сотых нет, значит, их не будет и в частном — пишем 0 сотых; тысячных в делимом 7, значит, при делении их на 14 получим в частном также 0 тысячных; а дальше раздробляем эти 7 тысяч-

ных в десятитысячные доли, получаем 70 десятитысячных, и после деления их на 14 находим 5 десятитысячных без остатка. Итак, частное есть 0,4005.

Подобным же образом поступаем и при делении целого числа на целое, если желаем выразить их частное десятичной дробью.

Пусть нужно, напр., разделить 29 на 4.

Целых в частном будет 7 и еще 1 в остатке; обращаем 1 в десятые доли и имеем 10 десятых. Делим эти 10 десятых на 4 и имеем в частном 2 десятых и в остатке также 2 десятых; их раздробляем в сотые доли — получаем 20 сотых. Делим эти 20 сотых на 4 и находим в частном 5 сотых без остатка. Итак, имеем частное 7,25.

Разделим еще 17 на 250.

Очевидно, целых в частном не будет; обращаем 17 целых в десятые и имеем 170 десятых. Десятых в частном также не будет; пишем 0 на месте десятых и обращаем 170 десятых в сотые доли. Получаем 1700 сотых, делим их на 250 и имеем в частном 6 сотых и в остатке 200 сотых. Обращаем остаток в тысячные доли—это будет 2000 тысячных; делим их на 250 и имеем в частном 8 тысячных без остатка. Таким образом находим частное 0,068.

Рассуждение, которым мы пользовались в разобранных примерах, пригодно, конечно, для всякого случая деления десятичной дроби или целого числа на целое. Но, как сейчас увидим, далеко не во всех случаях мы можем получить желаемое десятичное частное.

Пусть, напр., нужно разделить 0,2 на 6.

В частном не будет ни целых, ни десятых; обращаем затем 2 десятых в сотые доли и полученные 20 сотых делим на 6; в частном имеем 3 сотых, а в остатке 2 сотых. Эти 2 сотых обращаем в тысячные доли—имеем 20 тысячных; делим их на 6 и находим в частном 3 тысячных и в остатке 2 тысячных. Остаток обращаем в десятитысячные доли—будет 20 десятитысячных; делим их на 6 и имеем в частном 3 десятитысячных и в остатке 2 десятитысячных. Мы можем, конечно, продолжать деление и дальше, обращая остаток в стотысячные доли, потом в миллионные и т. д., но уже ясно, что деление никогда не кончится, так как при каждой новой цифре частного мы будем получать тот же остаток 2.

Точки, поставленные при частном (после десятитысячных долей) и при остатке, и показывают, что деление не кончается и десятичного частного быть не может. Как находить в таких случаях частное в виде простой дроби—об этом будет сказано ниже (в отделе IX).

Пусть еще нужно разделить 8 на 11.

Целых в частном нет; раздробляем 8 в десятые доли и полученные 80 десятых делим на 11; имеем в частном 7 десятых и в остатке 3 десятых. Их обращаем в сотые доли—будет 30 сотых; делим 30 сотых на 11 и имеем в частном 2 сотых и в ос-

татке 8 сотых. Этот остаток обращаем в тысячные доли— имеем 80 тысячных; после деления на 11 получаем в частном 8 тысячных и в остатке 3 тысячных. Их обращаем в десятитысячные доли — будет 30 десятитысячных, а после деления на 11 имеем в частном 2 десятитысячных и в остатке снова 8. Ясно, что деление никогда не кончится, так как мы и дальше будем получать поочередно все те же остатки 8 и 3.

Однако мы можем, если пожелаем, найти в подобных случаях приближенное десятичное частное. Так, если мы в первом примере прекратим деление на сотых долях, то:

—будем иметь в частном 0,03 и в остатке 2 сотых; это частное, очевидно, менее истинного, но отличается от него меньше, чем на одну сотую долю (так как остаток 2 сотых при делении на 6 дает меньше одной сотой). Ясно, что если мы вместо истинного частного возьмем найденное число 0,03, то ошибка, которую мы при этом сделаем, будет меньше 1 сотой; поэтому 0,03 называется приближенным частным с точностью до 1 сотой доли. Мы записываем это так:

Еслибы мы прекратили деление на тысячных долях, то нашли бы в частном 0,033 и в остатке 2 тысячных:

Ясно, что это частное менее истинного и отличается от него меньше, чем на одну тысячную; оно называется приближенным частным с точностью до 1 тысячной доли, т.-е.

Во втором примере мы можем подобным же образом найти, что

Мы вычисляли здесь всюду приближенное частное с недостатком, т.-е. меньшее истинного. Но иногда для большей точности приходится брать приближенную величину с избытком; напр., вычисляя частное 8: 11 с точностью до 0,01, замечаем, что точнее взять 0,73, чем 0,72, так как откидываемый при этом остаток больше половины одной сотой доли, и истинное частное поэтому ближе к 0,73.

Когда бывает нужно находить приближенные числа и как выполнять действия над ними — с этим мы познакомимся дальше (в III части).

§ 91. Деление десятичной дроби или целого числа на десятичную дробь (по содержанию).

Пусть нужно разделить 0,72 на 0,12; это значит найти, сколько раз в 72 сотых содержатся 12 сотых, а для этого достаточно разделить 72 на 12; получаем 6. Итак:

Пусть теперь нужно разделить 5,508 на 0,018. Это значит найти, сколько раз в 5508 тысячных содержатся 18 тысячных, а для этого достаточно разделить 5508 на 18. Итак имеем:

В этих примерах нам приходилось делить десятичные дроби с одинаковыми знаменателями; мы видим, что при этом достаточно разделить их числителей или, иначе говоря, разделить данные числа, не обращая внимания на запятые, — как будто бы они были целыми.

Разумеется, частное не всегда при этом может быть целым, но для нас достаточно ограничиться пока простей-

шими случаями, когда делитель содержится в делимом целое число раз.

Пусть теперь нам нужно разделить 0,7 на 0,05. Это значит найти сколько раз в 7 десятых содержится 5 сотых, а для этого нужно сначала выразить обе данные дроби в одинаковых долях—в сотых. Так как 7 десятых все равно, что 70 сотых, то нам придется разделить 70 сотых на 5 сотых, или 70 на 5; получим 14. Итак:

Подобным же образом, если нам нужно разделить 2,4 на 0,006, мы сначала выражаем данные дроби в одинаковых долях —в тысячных, а потом делим по предыдущему:

И вообще, если нам даны для деления десятичные дроби с разными знаменателями, то мы сначала должны привести их к общему знаменателю, а затем поступить по предыдущему правилу,—отбросить запятые и разделить оставшиеся числа (т.-е. их числителей).

Правило это можно распространить и на тот случай, когда делимое будет целым числом. Пусть, напр., нужно разделить 8 на 0,16; это значит найти, сколько раз в 8 целых содержится 16 сотых; а для этого придется прежде всего обратить 8 целых в сотые доли, — получим 800 сотых. Теперь мы должны разделить 800 сотых на 16 сотых, или вместо этого 800 на 16; получим 50. Итак:

Подобным же образом могли бы найти, что:

Заметим, что и здесь мы брали только простейшие примеры, когда частное оказывается целым. Остальные случаи мы рассмотрим впоследствии (в отделе X).

§ 92. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обратно. Всякую десятичную дробь мы можем, в случае надобности, обратить в обыкновенную, т.-е.

записать не с помощью десятичной запятой, а с помощью черты и подписанного под нею знаменателя, напр.:

Полученную при этом дробь иногда можно бывает и сократить, напр.:

Спрашивается, нельзя ли и обратно: всякую обыкновенную дробь обратить в десятичную? Это во многих случаях давало бы возможность упрощать вычисления, потому что действия с десятичными дробями проще, чем с обыкновенными. Мы сейчас увидим, как разрешается этот вопрос.

Пусть мы желаем обратить в десятичную дробь^- Мы знаем, что всякую дробь можно считать за частное от деления ее числителя на знаменателя; поэтому и данную дробь-^

можно считать за частное от деления 7 на 40; а это частное мы умеем уже выразить в десятичных долях:

Подобным же образом нашли бы, что :

Но мы знаем уже из предыдущего (§ 90), что бывают случаи, когда подобное деление не кончается, а потому ясно, что не всякую простую дробь можно обратить в десятичную. В случае бесконечного деления мы можем, подобно предыдущему, найти приближенную величину данной дроби» с тою степенью точности, с какой пожелаем.

В каких случаях деление кончится и в каких нет — про это будет сказано далее (в § 105).

§ 93. Понятие о проценте. Вычисление процентного отношения двух чисел. Рассмотрим такую задачу:

Для выпечки хлеба взяли один раз 34 фунта муки и получили 12 фунтов припеку; а другой раз взяли 50 фунтов муки и имели 16 фунтов припеку. Которая мука дала сравнительно больший припек?

Чтобы решить этот вопрос, найдем сначала, какую часть всей взятой муки составляет припек при первой и при второй выпечке. В первый раз было получено 12 фунтов припеку на 34 фунта муки,—это составит всей взятой муки; во второй же раз имели 16 фунтов припеку на 50 фунтов муки, т.-е. припек составлял всей муки. Чтобы узнать, которая мука дала лучший припек, нужно сравнить две дроби: и -j^-, и найти, которая из них больше. Для этого следовало бы сначала привести их к общему знаменателю; но это вычисление довольно сложно, и мы поступим проще, так: обратим обе данные дроби в десятичные,

и найдем сколько сотых долей составляет припек в каждом случае:

Теперь видим, что в первом случае припек составлял 35 сотых (с лишним) от всей взятой муки, а во-втором—32 сотых. Ясно, что первая мука дала сравнительно больший припек.

Рассмотрим еще подобную задачу:

В одном городе было 65587 жителей, а в другом в то же самое время 42650; через несколько лет население первого города увеличилось на 9213 человек, а второго на 7677. В каком городе был за это время больший прирост населения?

И здесь мы сначала должны узнать, какую часть всего населения составляет прирост в первом городе и во втором, а потом сравнить полученные дроби. В первом городе прибавилось 9213 чел. на 65587, — это составит т^гг^ всего населения; а во втором прибавилось 7677 чел. на 42650, т.-е. -——: всего населения. Чтобы сравить эти дроби, пришлось бы привести их к общему знаменателю, но это, очевидно, очень трудно, и проще, как и в предыдущей задаче, обратить обе дроби в десятичные и найти, сколько сотых долей составляет прирост неселения для каждого города:

Видим, что в первом случае прирост равен 14 сотым (с лишним) от всего населения, а во-втором—18 сотым; таким образом, во втором городе был сравнительно больший прирост.

Заметим, что сотую долю числа принято иначе называть процентом, так что в данной задаче мы могли бы сказать: в первом городе прирост населения составляет 14 процентов (приблизительно), а во втором —18 процентов. Слово „процент“ обозначается сокращенно знаком %, так что вместо записи:

18 процентов

пишут короче:

18%.

Подобные расчеты приходится производить и в обыденной жизни, и в естественных науках весьма часто; при этом, если не получается точного числа процентов, то берут приближенное число (с недостатком или с избытком, смотря по тому, которое точнее).

Напр., если в классе всего 43 ученика, а из них было переведено в следующий класс 37, то успешность учащихся выражают так: находят, какую часть всего класса составляет число переведенных [-^) и вычисляют, сколько здесь процентов, т.-е. сотых долей:

Если в госпитале было 203 человека больных сыпным тифом, а умерло из них 47, то смертность от сыпного тифа выразилась так: находят, какую часть всех больных составляют умершие ^щ] и вычисляют, сколько здесь процентов:

Если, напр., в 150 граммах соляного раствора содержится 28 граммов соли, то крепость раствора вычисляется так: находят, какую часть всего раствора составляет соль (т™) и обращают эту часть в процент:

крепость раствора равна 19% (приблизительно; здесь взято приближенное число с избытком, потому что результат ближе к 19 сотым, чем к 18-ти).

Если, напр., кооператив закупил товару на 60 миллионов руб., а после продажи его выручил сверх затраченных денег лишних 9 миллионов, то прибыл ь на капитал вычисляется так: находят, какую часть затраченных денег составляет прибыль (-go) и обращают эту дробь в проценты :

прибыль равна 15% от затраченного капитала.

Иногда выполняют подобный расчет не в сотых, а в тысячных долях (тысячные доли при этом иначе называются промиллям и). Так, напр., в тысячных долях выражают пробу драгоценных металлов; если сказано, что золото 825-й пробы, то это значит, что в сплаве чистое золото составляет 825 тысячных (по весу) всего сплава. Тысячные доли, или промилли, обозначаются сокращенно знаком %о, так что 825 тысячных (или промиллей) мы запишем: 825%о.

Мы решали только что целый ряд вопросов, в которых требовалось найти, сколько процентов составляет одно число от другого. Покажем теперь, как можно вычислять это покороче.

Пусть нам дана такая задача:

В школе было 75 учащихся; за год выбыло из школы 6 человек. Сколько процентов от всего числа учащихся составляют выбывшие?

Найдем сначала, какую часть составляет 6 от 75; это будет Теперь нам нужно узнать, скольким процентам (или сотым долям) равна эта часть; для этого можем рассудить так: 1 целая единица — все равно, что 100 сотых или 100 процентов; поэтому ^ часть должна содержать не 100 процентов, а в 75 раз меньше, т.-е. проц., a в 6 раз больше этого числа, т.-е. или же 8 процентов. Можем записать это строчками так:

Таким образом мы нашли, что убыль учащихся составляет 8% от всего их числа.

Найдем еще, например, сколько процентов составляют 13 от 40. Ясно, что 13 от 40 составляют; теперь обращаем это в проценты, как в предыдущей задаче:

Легко заметить теперь, что число процентов, содержащихся в какой-либо дроби, в 100 раз больше этой дроби; поэтому весь ход вычисления можем выразить так: чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого, мы делим первое число на второе (т.-е. узнаем, какую часть составляет первое число от второго) и полученную дробь множим на 100, или же иначе—первое данное число множим на 100 и делим на второе число.

Так, например:

Заметим, что решение вопроса о том, сколько процентов составляет одно число от другого, сводится таким образом к вычислению того, какую часть составляет первое число от второго, т.-е. к нахождению отношения двух чисел. Поэтому вместо вопроса, сколько процентов составляет одно число от другого, говорят иногда, — найти процентное отношение данных двух чисел; напр., если даны числа 3 и 4, то отношение их есть ^, а процентное отношение75°/©.

Для дальнейших вычислений не мешает знать, скольким процентам равны наиболее употребительные дроби (и наоборот), а именно:

§ 94. Простейшие процентные вычисления.

1) Нахождение нескольких процентов от данного числа.

Возьмем такую задачу:

Служащий должен получить 2500 руб. жалованья; из этой суммы ему выдается деньгами 18%, а остальное продуктами. Сколько он получит деньгами?

Рассуждаем так: 18 процентов—все равно, что 18 сотых; значит мы должны вычислить 18 сотых от 2500 руб. Для этого сначала нужно найти от данного числа 1 сотую (1%), т.-е. разделить 2500 руб. на 100—будем иметь 25 руб.; а это число нужно, очевидно, умножить на 18, и найдем 450 руб. Все вычисление можно расположить строчками так: Все жалованье (100%) составляет 2500 руб.

Рассмотрим еще такую задачу:

Артель работников арендовала сад, с условием, что за работу она получает 55% урожая. Всего собрано в саду 240 пуд. яблок; сколько пудов яблок достанется артели?

Подобно предыдущему, вычисляем от данного числа (240 пуд.) сначала 1 сотую, а потом 55 сотых, и записываем это так :

Весь сбор (100%) составляет 240 пуд.

Очевидно, подобные задачи решаются по способу приведения к единице, как и вообще задачи, где требуется найти некоторую часть от данного числа.

При этом возможны нередко упрощения. Пусть, напр., нам нужно найти 25% от 344. По общему приему следовало бы сначала разделить 344 на 100 (найти 1% от данного числа), а полученное умножить на 25, но мы можем просто

сообразить, что 25% — это щ или 4; значит достаточно найти -г данного числа:

Найдем еще 12у% от 560. Вместо обычного приема мы можем вычислить это упрощенным способом так:

Все данное число (100» = 560 или же так: 12\ процентов есть, очевидно, половина 25 процентов, т.-е. половина четверти данного числа; а половина четверти есть восьмая доля; значит достаточно просто найти о- данного числа:

Подобным же образом решается и обратный вопрос:

2) Нахождение числа по данным нескольким его процентам.

Вот, например, задача:

На заводе работают 540 рабочих; это составляет 60% полного состава. Как велик полный состав рабочих этого завода?

И здесь найдем сначала 1% от полного состава—для этого придется разделить 540 на 60; получим 9. Полный же состав—это 100% (100 сотых); значит придется умножить 9 на 100, и имеем 900.

Решение можно написать строчками так:

Вот еще подобный вопрос:

Село внесло 255 пуд. ржи в счет продналога; это составляет 15% всего налога. Как велик весь налог, который должно было внести это село?

Подобно предыдущему, рассуждаем так:

И здесь возможны упрощения в вычислениях. Напр., пусть нам дано, что 20% некоторого числа равны 36, и нужно найти все это число; рассуждаем так: 20%— это все равно, что -^щ- или ^; а если ^ часть числа равна ЗЬ, то все число будет в 5 раз больше, т.-е. 36 X 5 = 180.

Вот еще вопрос: найти число, если 2~% его равны 22. Здесь можем рассуждать так: если 2у% искомого числа равны 22, то 5% его должны быть вдвое более, т.-е. 22 X 2 или 44; а все 100%—еще в 20 раз более, т.-е. 44x20 = 880. Записываем это так:

т.-е. искомое число есть 880.

ОТДЕЛ IX.

Простейшие сведения о делимости чисел и приложение их к преобразованию дробей.

§ 95. Случаи, когда нем необходимо знать, разделится ли данное число на другое или нет. Понятие о признаках делимости. Пусть нам нужно сократить дробь для этого, как мы знаем, необходимо подыскать такое число, на которое и числитель, и знаменатель дроби делились бы без остатка. Обращаем внимание на то, что знаменатель (600) состоит из 6 полных сотен, а число 6 делится, очевидно, на 2 и на 3 ; каждая же сотня делится, в свою очередь, на 4 и на 25. Мы и должны теперь испробовать, не разделится ли числитель на одно из этих чисел; легко видеть, что он должен разделиться на 25, так как полные сотни его разделятся на 25, а сверх полных 4 сотен в числителе есть еще как раз 25 единиц. Теперь видим, что нашу дробь можно сокращать на 25; вычисляем это так: в одной сотне 25 содержится 4 раза, в 4 сотнях — 16 раз, да сверх того в числителе есть еще 25 единиц, значит, во всем числителе число 25 содержится 17 раз; в знаменателе же 6 полных сотен, значит, в них 25 должно содержаться 4.6 или 24 раза. Таким образом имеем:

Вот еще вопрос: пусть нам нужно узнать, будет ли 1922-й год - високосным. Для этого, как мы знаем, достаточно разделить его номер (1922) на 4; если деление

будет без остатка, то год високосный; если же нет, то простой. Здесь нам даже не важно знать, сколько получится в частном; достаточно знать только, разделится ли данное число на 4 или нет. Это легко сообразить так: в данном числе 19 полных сотен и сверх того 22 единицы; каждая сотня делится на 4, значит и 19 сотен разделятся; но 22 не делится на 4, поэтому и все число 1922 на 4 не разделится: год простой.

Таким образом, при сокращении дробей, да и в других вопросах, нам необходимо бывает знать, разделится ли одно данное число на другое без остатка или нет. Иногда это трудно предвидеть наперед, и приходится пробовать делить наудачу; но нередко, как и в данных примерах, можно бывает сообразить, разделится ли число, даже не производя деления полностью. Мы увидим далее, что есть особые признаки, по которым можно судить, разделится ли одно данное -число на другое без остатка или нет; эти признаки называются признаками делимости чисел.

§ 96. Признаки делимости на 10, 2 и 5. Возьмем два числа: 270 и 273; ясно, что первое из них разделится на 10 без остатка, так как состоит только из одних десятков; второе же не разделится, потому что содержит, кроме 27 полных десятков, еще 3 единицы. И вообще, число разделится на 10, если не содержит простых единиц (т.-е. если его последняя цифра—нуль).

Попробуем разделить те же числа на 2. Так как 10 делится на 2, то все полные десятки числа, сколько бы их ни было, разделятся на 2, и таким образом число 270 должно делиться на 2 ; в числе же 273 десятки (27 десятков) разделятся на 2, но 3 единицы не разделятся, и все число, поэтому, также не разделится на 2. Если же мы возьмем, напр., число 278, то в нем разделятся на 2 не только десятки, но и единицы (8 делится на 2), и потому и все число разделится на 2.

Очевидно, число разделится на 2, если его простые единицы делятся на 2, или же их вовсе нет (т.-е., если последняя его цифра изображает число, делящееся на 2, или нуль).

Заметим, что числа, делящиеся на 2, называют иногда четными, а неделящиеся на 2 — нечетными; таким образом числа 270 и 278 — четные, а 273 — нечетное.

Возьмем снова числа 270 и 273 и посмотрим, будут ли они делиться на 5. Так как 10 делится на 5, то все полные десятки числа, сколько бы их ни было, разделятся на 5, и поэтому число 270 должно делиться на 5 ; в числе же 273 десятки разделятся на 5, но 3 единицы не разделятся, а потому и все число не разделится на 5. Если же мы возьмем число 275, то в нем разделятся на 5 не только десятки, но и единицы, а таким образом и все число разделится на 5.

Отсюда ясно, что число разделится на 5, если его простые единицы делятся на 5 или же их вовсе нет (т. - е. если его последняя цифра есть 5 или 0).

§ 97. Признаки делимости на 100, 4 и 25.

Возьмем числа 3400 и 3468; очевидно, первое из них разделится на 100 без остатка, потому что состоит только из одних сотен; второе же не разделится, так как содержит, кроме 34 полных сотен, еще 68 единиц. И вообще, число разделится на 100, если не содержит десятков и единиц (т. - е., если его последние две цифры — нули).

Будем теперь делить те же числа на 4. Так как 100 делится на 4, то все полные сотни числа, сколько бы их ни было, разделятся на 4, и таким образом число 3400 разделится на 4; число же 3468 содержит 34 сотни, которые во всяком случае разделятся на 4, и 68 единиц, которые тоже делятся на 4; значит и все число 3468 разделится на 4. Если же мы имели бы, напр., число 3475, то его сотни разделятся на 4, но десятки с единицами (75) не разделятся, а потому и все число 3475 не разделится на 4.

Итак, число разделится на 4, если его десятки с единицами разделятся на 4, или же их вовсе нет (т.-е, если последние две цифры числа изображают число, делящееся на 4, или же — нули).

Подобным же образом найдем и признак делимости на 25. Так как 100 делится на 25, то все полные сотни числа, сколько бы их ни было, разделятся на 25, и таким образом число 3400 разделится на 25; число 3475 также разделится, потому что кроме полных

сотен (34) содержит еще 75 единиц, а 75 делится на 25; число же 3468 кроме полных сотен содержит 68 единиц, а это число на 25 не делится, и потому 3468 не разделится на 25.

Очевидно, число разделится на 25, если его десятки с единицами разделятся на 25, или же их вовсе нет (т.-е., если его две последние цифры будут 25, 50, 75 или 00).

Рассуждая подобным же образом, мы могли бы установить признаки делимости на другие похожие числа, напр., 1000, 8 или 125. Очевидно, тут придется обращать внимание на последние три разряда заданного числа (сотни, десятки и единицы); если этих разрядов вовсе нет или они разделятся (на 8 или 125), то и все число делится на указанные числа, и т. п.

§ 98. Признаки делимости на 9 и на 3. Возьмем число 4257 и постараемся сообразить, разделится ли оно на 9. Для этого поищем сначала, нет ли такого разряда, который бы всегда делился на 9. Будем для этого делить на 9 последовательно единицы десятичных разрядов, т.-е. числа 10, 100, 1000 и т. д.; найдем:

Видим, что ни одна из единиц десятичных разрядов не делится на 9, и от деления каждой из них в остатке получается 1; это будет и дальше, потому что при переходе к единице следующего высшего разряда делимое увеличивается всякий раз на 9 предыдущих единиц, а частное на 1 такую единицу, остаток же 1 остается без изменения.

Теперь будем рассуждать так. В нашем числе 4257 содержится 4 тысячи, 2 сотни, 5 десятков и 7 единиц; если мы каждую тысячу отдельно разделим на 9, то всякий раз будем получать в остатке 1, а всего наберется таким образом 4 единицы. Далее, будем делить на 9 отдельно каждую сотню; каждый раз получим в остатке 1, а всего от деления сотен останется неразделенных 2 единицы. Потом будем де-

лить на 9 отдельно каждый десяток; от деления каждого десятка получим в остатке 1, а всего от деления десятков наберется не разделенных 5 единиц. Кроме того, в нашем числе есть еще 7 простых единиц; сосчитаем теперь, сколько всего единиц осталось у нас не разделенными:

4 + 2 + 5 + 7= 18.

Но 18 единиц можно разделить на 9 без остатка; поэтому и все наше число 4257 должно делиться на 9 без остатка. Действительно, после деления имеем:

4257 : 9 = 473.

Возьмем теперь число 63286 и проделаем с ним подобный же расчет. В нашем числе 6 десятков тысяч, 3 тысячи, 2 сотни, 8 десятков и 6 единиц; будем делить на 9 отдельно каждый десяток тысяч и найдем всякий раз в остатке 1, а всего останется не разделенных 6 единиц. Далее, разделим на 9 отдельно каждую тысячу; будем иметь в остатке по 1, а всего от деления тысяч останется не разделенных 3 единицы. Затем будем делить на 9 отдельно каждую сотню; будем иметь в остатке по 1, а всего от деления сотен наберется не разделенных 2 единицы. Подобным же образом при делении десятков останутся не разделенными 8 единиц, да еще в нашем числе есть 6 простых единиц; сосчитаем, сколько всего единиц осталось у нас не разделенными и будем иметь:

6 + 3 + 2 + 8 + 6 = 25.

Число 25 не делится на 9 (дает в остатке 7); поэтому и все наше число 63286 не разделится на 9 и должно дать тот же остаток 7. Действительно,

63286 : 9 = 7031 (ост. 7).

Рассмотрим теперь, нельзя ли проще сосчитать, сколько остается неразделенных единиц при таком делении числа на 9 по отдельным разрядам. Для этого обратим внимание на то, какие числа мы складывали каждый раз при этом подсчете:

Ясно, что каждый раз мы складывали подряд все числа, обозначенные отдельными цифрами данного числа, или, как короче говорят, находили сумму цифр данного числа, и эта сумма цифр и показывала, сколько останется всего неразделенных единиц при нашем делении; если она в свою очередь делится на 9, то делится и все данное число, и наоборот.

Теперь можем установить такой признак делимости на 9: число разделится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Так, напр., число 87093 дает сумму цифр 8 —{— 7-J— 0 —{— 9 —}— 3, т.-е. 27, и потому делится на 9; число 11151 дает сумму цифр 1 —|— 1 —f— 1 —J— 5 -|— 1 = 9, и тоже делится на 9; а число 4202 не разделится на 9, так как сумма его цифр равна 8.

Пусть теперь мы должны разделить число 4128 на 3. Подобно предыдущему, поищем, нет ли такого разряда, который бы всегда делился на 3; для этого будем делить на 3 числа 10, 100, 1000 и т. д.:

Видим, как и раньше, что ни одна из единиц десятичных разрядов не делится на 3, и от деления каждой из них в остатке получается 1; так будет и дальше, потому что делимое всякий раз возрастает на 9 единиц того же разряда, а частное — на 3 таких же единицы, остаток же 1 остается без изменения.

В нашем числе 4128 содержится 4 тысячи, 1 сотня, 2 десятка и 8 единиц; если мы будем, подобно предыдущему, делить на 3 отдельно каждую тысячу, сотню и т. д., и сосчитаем, сколько при этом останется неразделенных единиц, то получим:

Эти 15 единиц делятся на 3, значит и все данное число делится на 3. И в самом деле, 4128 : 3= 1376.

Ясно, что и здесь признак делимости будет тот же, что и при делении на 9: число разделится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Напр., число 705 делится на 3, потому что сумма его цифр есть 12; а число 4444 имеет сумму цифр 16, и на 3 не разделится.

§ 99. Признак делимости на произведение двух чисел. Возьмем число 366; оно делится на 2 и на 3 (последняя цифра его—6, а сумма цифр — 15); но вместе с тем оно явно делится и на 6:

366 : 6 = 61.

Возьмем еще какое-либо число, которое делилось бы на 2 и на 3, напр. 642, и попробуем разделить его на 6; увидим, что оно тоже разделится на 6:

642 : 6= 107.

Попробуем сообразить, должно ли это вообще быть так, т.-е. если какое либо число делится на 2 и на 3, то должно ли оно непременно разделиться и на 6. Мы можем рассудить так: если данное число делится на 3, то оно состоит из 3 равных частей (третей), и каждая треть его есть число целое. Вместе с тем данное число (все 3 трети) делится еще и на 2; но 2 трети его, очевидно, тоже делятся на 2; значит и последняя треть должна также разделиться на 2. Но разделивши 1 треть числа на 2, мы получим 1 шестую его; значит 1 шестая нашего числа есть число целое, т.-е. все число делится на 6.

Отсюда имеем такой признак делимости на 6: если число делится на 2 и на 3, то оно разделится и на 6. Так, напр., число 552 делится на 2 и на 3, поэтому оно должно разделиться и на 6.

Возьмем теперь число 615; оно делится на 3 и на 5 (сумма цифр его—12, а последняя цифра — 5), и вместе с тем явно делится и на 15:

615 : 15 = 41.

Возьмем какое-либо другое число, делящееся на 3 и на 5, напр. 795, и попробуем разделить его на 15; увидим, что оно тоже разделится:

Можно и вообще убедиться в том, что число, делящееся на 3 и на 5, должно непременно разделиться и на 15. В самом деле, если число делится на 5, то оно состоит из 5 равных частей (пятых), и каждая пятая его часть есть число целое. Вместе с тем данное число (все 5 пятых) делится еще и на 3; но 3 пятых его, очевидно, также разделятся на 3; значит и остальные 2 пятых тоже должны разделиться на 3. А если 3 пятых и 2 пятых нашего числа делятся на 3, то и разница их, т.-е. одна пятая нашего числа, делится тоже на 3. Разделивши же 1 пятую числа на 3, мы найдем 1 пятнадцатую его; значит 1 пятнадцатая нашего числа есть целое число, т.-е. все число делится на 15.

Итак имеем признак делимости на 15: если число делится на 3 и на 5, то оно разделится и на 15. Напр. число 555 делится на 3 и на 5, а потому разделится и на 15.

Подобным же образом можно установить и другие» похожие на эти, признаки делимости, напр.: если число делится на 2 и на 9, то оно разделится и на 18; если число делится на 3 и на 10, то оно разделится и на 30, и т. п.

Отсюда возникает вопрос: если число делится на какие-либо два числа порознь, то не разделится ли оно вследствие этого и на произведение этих чисел? Можно убедиться, что это будет не всегда; так, напр., число 612 явно делится на 4 и на 6, но на 24 не разделится:

612 : 24 = 25 (ост. 12).

Легко убедиться и в том, почему это так будет. Если число делится на 6, то оно состоит из 6 равных частей (шестых), и каждая шестая его часть есть число целое. Вместе с тем данное число (все 6 шестых) делится еще и на 4; но 4 шестых его, очевидно, тоже делятся на 4; значит и остальные 2 шестых тоже разделятся на 4, а для этого достаточно, чтобы 1 шестая нашего числа делилась на 2. Если же мы 1 шестую нашего числа разделим на 2, то получим 1 двенадцатую; значит мы можем утверждать, что 1 двенадцатая данного числа есть число целое, т. - е. все число, наверное, разделится на 12; а на 24 — не всегда, как мы в этом убедились на частном примере.

Итак мы видим, что если число делится на какие-либо два числа порознь, то на их произведение оно разделится

не всегда: число, делящееся на 2 и на 3, делится и на 6; число, делящееся на 3 и на 5, делится на 15; но число, делящееся на 4 и на 6, делится наверное только на 12, а не на 24. Чем же различается последняя пара чисел от предыдущих? А тем, что числа 4 и 6 имеют общего делителя (они оба делятся на 2), тогда как предыдущие пары чисел (2 и 3, 3 и 5, 3 и 10 и т. д.) общих делителей не имели.

Рассматривая еще подобные примеры, мы можем подметить следующее: если число делится порознь на два числа, не имеющие общих делителей, то оно разделится и на произведение этих чисел; напр., число разделится на 12, если оно делится на 3 и на 4 но из того, что число делится на 2 и на 6, еще нельзя заключить, что оно разделится на 12.

§ 100. Приложение признаков делимости к сокращению дробей. Понятие об общем наибольшем делителе. Пусть нам нужно сократить дробь -_-; для этого мы должны подыскать какое-либо число, на которое и числитель и знаменатель делились бы без остатка. Легко заметить, что числитель (135) делится на 5 и на 9 и знаменатель (360) также делится на эти числа; а если числитель и знаменатель делятся на 5 и на 9, то они разделятся и на произведение этих чисел, т.-е. на 45 (так как числа 5 и 9 общих делителей не имеют). Итак, мы можем сокращать нашу дробь или последовательно на 5 и на 9, или же сразу на 45:

Пусть еще нам нужно сократить дробь Очевидно, числитель (375) делится на 25 и на 3; и знаменатель (900) также делится на эти числа; а если числитель и знаменатель дроби делятся на 25 и на 3, то они должны разделиться и на произведение этих чисел, т.-е. на 75 (так как числа 25 и 3 общих делителей не имеют). Таким образом мы можем

сократить нашу дробь или последовательно на 25 и на 3, или сразу на 75:

Видим, что признаки делимости во многих случаях помогают нам сразу отыскать, на какое число делятся и числитель и знаменатель дроби без остатка, и следовательно, на какое число мы можем сокращать эту дробь. Заметим при этом, что число, на которое делятся и числитель и знаменатель дроби (или вообще два данных числа) без остатка, называется их общим делителем, а самое большое из подобных чисел — общим наибольшим делителем. Так, в первом примере, числитель 135 и знаменатель 360 имели общих делителей 5, 9 и 45, а общим наибольшим делителем их было число 45; во втором примере общими делителями (для чисел 375 и 900) были числа 25, 3 и 75, а общим наибольшим делителем — 75, и т. п.

§ 101. Числа первоначальные и составные.

Возьмем число 18 и рассмотрим, на какие числа оно делится. Легко заметить, что оно разделится на 2, 3, 6 и 9, а сверх того, конечно, на 1 и на самого себя—на 18.

Взяв число 21, мы замечаем, что оно делится на 3 и на 7, а кроме того, разумеется, на 1 и на самого себя—на 21.

Если же мы возьмем число 17 и будем пробовать, на какие числа оно делится, то увидим, что 17 делится только на 1 и на самого себя—на 17, а больше ни на какие числа не разделится.

Подобным же образом и число 7 делится только на 1 и на самого себя — на 7; вообще, рассматривая различные числа со стороны их делимости, мы замечаем, что есть числа которые не делятся ни на какое число, кроме единицы и самого себя (как 7, 17, 19, 23 и т. п.), а другие, кроме единицы и самого себя, делятся еще на некоторые числа (напр., 18, 21, 30, 48 и т. п.).

Числа, которые делятся только на единицу и на самого себя, называются первоначальными (или простыми). Числа же, которые, кроме единицы и самого себя, имеют еще и других делителей, называются составными.

При сокращении дробей нам нередко бывает полезно знать, первоначальное ли данное число или нет; если, напр., нам нужно сократить дробь , и мы знаем уже, что 17 есть число первоначальное, то мы должны пробовать сокращать ее только на 17, потому что другого общего делителя у чисел 17 и 102 быть не может; так как 102 делится на 17 и дает в частном 6, то наша дробь равна Подобным образом в дроби ^ числитель 7 есть число первоначальное

и поэтому она, если и сокращается, то только на 7; но знаменатель 60 не делится на 7, поэтому данная дробь -^—несократимая.

Покажем, как можно составить таблицу первоначальных чисел, напр., в пределе первой сотни. Выпишем для этого в таблицу подряд все числа от 1 до 100:

Написавши все числа от 1 до 100, мы будем поочередно вычеркивать из этой таблицы те числа, которые будут наверное составными; тогда в таблице, в конце концов, останутся одни первоначальные числа.

Первые три числа 1, 2, 3, очевидно, будут первоначальными; далее мы вычеркиваем из таблицы все числа, которые делятся на 2 (4, 6, 8, 10 и т. д.), потом все числа, которые делятся на 3 (9, 12, 15 и т. д., из этих чисел некоторые уже окажутся вычеркнутыми, как делящиеся и на 2). Следующее первоначальное число будет, очевидно, 5; мы вычеркнем теперь все числа, делящиеся на 5, при чем заметим, что это вычеркивание придется начинать только с числа 5.5 = 25, так как все числа, меньше 25 и делящиеся на 5, содержат менее 5 пятерок, а потому должны делиться кроме 5, еще и на какое либо меньшее число (2, 3 или 4) и в виду этого уже должны быть вычеркнуты раньше. Следующим после 5 первоначальным числом будет 7; мы должны теперь вычеркнуть все числа, делящиеся на 7, начиная с числа 7.7 = 49 (ясно и здесь, что числа, меньше 49 и делящиеся на 7, должны быть уж вычеркнуты раньше, так как они содержат менее 7 семерок и потому делятся, кроме 7, еще на какое либо меньшее число). Далее, следующее первоначальное число после 7 есть 11 ; но числа, делящиеся на 11, нам пришлось бы вычеркивать, по предыдущему, только начиная с числа 11.11 = 121; поэтому заключаем, что числа, оставшиеся у нас невычеркнутыми, будут уже наверное первоначальными. Итак, в границах первой сотни имеем такие первоначальные числа (кроме 1):

Подобным же образом можно продолжить вычисление, в случае надобности, и дальше. Покажем еще, как убедиться в том, будет ли первоначальным или нет какое-либо отдельное заданное число, напр., 211. По признакам делимости видно, что это число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5; пробуем делить его дальше на следующие первоначальные числа (7, 11 и т. д.):

Видим, что число 211 не делится ни на одно из чисел 7, 11, 13 и 17, и обращаем внимание на то, что при возрастании делителей частное все время уменьшается и, наконец (при делении на 17), становится уже меньше делителя. Если теперь мы будем пробовать делить 211 на первоначальные числа, большие 17 (на 19, 23 и т. д.), то частное будет становиться еще меньше прежнего (12-ти), и если бы число 211 разделилось без остатка на одно из этих чисел, больших 17-ти, то оно должно было бы делиться и на соответственное частное, т.-е. на число, меньшее 12-ти. Но мы видели, что число 211 ни на какое число, меньшее 12-ти, не делится, значит оно не может разделиться и на числа, большие 17-ти, и будет таким образом первоначальным числом. § 102. Разложение чисел на первоначальных множителей.

Возьмем какое-либо составное число, напр. 84; оно делится на 2 и дает в частном 42; поэтому имеем

В свою очередь 42 делится тоже на 2 и дает в частном 21; следовательно 42=2.21, а потому

Число 21 также составное—делится на 3 и дает в частном 7; значит 21=3.7, а потому

Мы представили, таким образом, данное число 84 в виде произведения первоначальных чисел, или, как иначе говорят, разложили его на первоначальных множителей. Как увидим дальше, разложение составного числа на первоначальных множителей приходится нередко выполнять при разыскании общего знаменателя дробей; поэтому укажем, как оно производится в простейших случаях.

Часто можно бывает, по признакам делимости, разложить число сначала на составных множителей, а затем уже этих составных множителей на первоначальных. Так, напр., имея число 360, соображаем, что оно делится на 10 и дает в частном 36, значит

В свою очередь 36 = 4.9 = 2. 2. 3. 3„ а 10=2. 5, след. имеем:

360 = 2. 2. 3. 3. 2. 5, или окончательно 360 = 2. 2. 2. 3. 3. 5.

Подобным же образом имеем:

Если же по признакам делимости или вообще по соображению разложить данное число не удается, то пробуем делить его подряд на известные нам первоначальные числа начиная с меньших. Так, напр., число 1001 явно не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5; пробуем делить его на 7 и находим 1001 = 7.143; число же 143 не делится на 7, поэтому пробуем делить его на 11 и находим 143 = 11.13; окончательно имеем:

Все вычисление располагают в подобных случаях так:

Небесполезно заметить, на каких множителей разлагаются числа 10, 100, 1000, и т. д., т.-е. единицы последовательных десятичных разрядов;

Короче можем записать это так:

вообще каждое из подобных чисел содержит только множителей 2 и 5, при чем каждый из них повторяется столько раз, сколько нулей в изображении чисел.

§ 103. Наименьшее кратное. Нахождение его при помощи разложения чисел на первоначальных множителей. Мы видели в свое время (§ 80), что при приведении дробей к общему знаменателю приходится подыскивать, в какие доли можно раздробить все данные дроби, а для этого надо найти число, которое делилась бы на знаменателей данных дробей, Так, напр., чтобы привести к общему знаменателю дроби и -~, мы должны знать, в какие доли можно раздробить 24-е и 18-е доли одновременно, а для этого мы должны подыскать число, которое делилось бы на 24 и на 18, и притом возможно меньшее. Мы можем найти это число так: из таблицы умножения нам известно что

т.-е., что в 24-х содержится 4 шестерки, а в 18-ти 3.

Поэтому ясно, что и число, делящееся на 24 и на 18, должно состоять из шестерок и должно включать их столько, чтобы их число делилось на 4 и на 3. Очевидно, наименьшее число, делящееся на 4 и на 3, есть 12; поэтому число, которое мы ищем (делящееся на 24 и на 18), должно вклю-

чать по меньшей мере 12 шестерок, т.-е. равно 6.12, или 72; данные доли придется обращать в 72-е.

Заметим, что число, делящееся без остатка на другое, мы называем кратным этого другого числа; так, вместо того, чтобы сказать: „12 делится без остатка на 4“, мы говорим: „12 есть кратное 4-х“. Если число делится одновременно на два или более чисел, то оно называется общим кратным этих чисел; так, 12 есть общее кратное чисел 4 и 3; 72 — общее кратное 24-х и 18-ти. Понятно, для двух или нескольких данных чисел мы можем найти не одно общее кратное: если, напр., 12 есть общее кратное 4 и 3, то, взявши число 12 два, три раза и т. д., мы можем получить сколько угодно чисел, кратных 4 и 3 (а именно 24, 36, 48 и т. д.); но среди всех этих чисел 12 будет самым меньшим, поэтому его мы называем общим наименьшим кратным данных чисел или просто наименьшим кратным.

Подобным же образом для чисел 24 и 18 общим кратным будет не только 72, но и числа 144, 216 и т. д.; но 72 будет из всех подобных чисел наименьшим, т.-е. оно будет наименьшим кратным для чисел 24 и 18.

Итак, общим наименьшим кратным двух или нескольких данных чисел мы называем самое меньшее число, которое разделится на все данные числа без остатка. Рассмотрим теперь, как можно отыскать наименьшее кратное в различных случаях.

Пусть нам нужно найти наименьшее кратное чисел 96, 32 и 12. Замечаем, что число 96 делится на остальные два данных числа (32 и 12); ясно, что оно и будет наименьшим кратным для всех данных чисел. И вообще, очевидно, если одно из данных чисел делится на все остальные, то оно и будет общим наименьшим кратным.

Найдем теперь общее наименьшее кратное чисел 5, 9 и 8. Числа 5 и 9 не имеют общих делителей, поэтому искомое наименьшее кратное должно делиться не только на 5 и 9, но и на их произведение — 45. Точно также числа 45 и и 8 не имеют общих делителей; значит искомое — наименьшее кратное должно разделиться не только на 45 и 8, но и на их произведение — 360. Наименьшим же числом, которое делится на 360, и будет это самое число 360; таким образом

общее наименьшее кратное 360 получилось здесь от перемножения всех данных чисел (360 — 5. 9. 8).

И вообще, очевидно, если среди данных чисел ни одна пара не имеет общих делителей, то наименьшее кратное их равно произведению всех данных чисел.

Возьмем теперь такие числа, которые имели бы общих делителей, но из которых ни одно не делилось бы на все остальные, напр., числа 75 и 90. Чтобы найти их наименьшее кратное, можем рассуждать так. По признакам делимости числа 75 и 90 делятся на 3 и на 5, значит они должны делиться и на 15; разделивши их на это число, находим, что 15 в 75 содержится 5 раз, а в 90—6 раз:

Отсюда ясно, что искомое наименьшее кратное должно также делиться на 15, и при этом должно содержать 15 столько раз, чтобы это число делилось и на 5 и на 6, т.-е. 30 раз. Таким образом искомое наименьшее кратное равно 15.30, или 450.

Но мы можем рассуждать и иначе. Разложим данные числа 75 и 90 на первоначальных множителей; мы будем иметь

Искомое наименьшее кратное должно делиться на 75, т.-е. должно получаться от умножения 75 на некоторое число. Поэтому ясно, что в состав его должны входить все первоначальные множители числа 75 и еще некоторые добавочные.

Вместе с тем искомое наименьшее кратное должно делиться и на 90, т.-е. должно быть равно произведению 90 на некоторое число; поэтому в его состав должны войти и все первоначальные множители числа 90. Теперь мы можем составить наше наименьшее кратное так: возьмем всех множителей числа 75, т.-е. 3.5.5 и припишем к ним недостающих множителей из числа 90, т.-е. 2 и 3; получим произведение

Это произведение должно делиться на 75, так как оно содержит в своем составе всех множителей числа 75 (3.5. 5) ; вместе с тем оно должно делиться и на 90, так как содержит в своем составе и всех множителей числа 90 (2. 3.3.5). При этом очевидно, что кроме множителей, которые необходимы для делимости на 75 и на 90, оно не содержит ни одного лишнего сомножителя; значит, оно будет не только кратным данных чисел 75 и 90, но и их наименьшим кратным.

Первый способ рассуждения проще, но он подходит главным образом для тех случаев, когда заданные числа не очень велики и легко отыскать их общих делителей и даже общего наибольшего делителя. Второй же способ (разложение на первоначальных множителей) пригоден и для больших чисел.

Найдем, напр., наименьшие кратные числа 36, 45 и 40. Разлагая их на первоначальных множителей, имеем

По предыдущему, искомое наименьшее кратное должно включать всех множителей числа 36, т.-е. 2. 2. 3. 3; из множителей числа 45 придется добавить 5, а из множителей числа 40 — еще 2, и получим произведение

которое и будет искомым наименьшим кратным, потому что включает в себе всех множителей каждого из данных чисел, и ни одного лишнего.

Мы видим таким образом, что в тех случаях, когда наименьшее кратное нельзя найти более просто по соображению, для отыскания его пригоден такой общий способ: нужно разложить данные числа на первоначальных множителей, взять всех множителей из одного данного числа, а из остальных добавить недостающих и найти произведение всех этих множителей; оно и будет искомым наименьшим кратным.

§ 104. Приведение дробей к общему знаменателю с помощью разыскивания наименьшего кратного. Пусть нам нужно привести к общему знаменателю дроби

Чтобы найти, в какие доли можно раздробить одновременно и 30-е доли, и 45-е, и 18-е, мы должны подыскать число, которое делилось бы на 30, 45 и 18, и притом возможно меньшее, т.-е. мы должны найти наименьшее кратное данных чисел 30, 45 и 18. Разложим их для этого на первоначальных множителей:

Чтобы составить наименьшее кратное, берем множителей числа 30, т.-е. 2, 3, 5, добавляем из следующего числа 45 недостающего множителя 3, а из последнего числа 18 тогда не придется брать ни одного множителя; произведение

и будет наименьшим кратным данных чисел.

Итак, все данные доли можно раздробить в 90-е, т.-е. общим знаменателем данных дробей будет число 90. Посмотрим теперь, что придется сделать с числителем и множителем каждой дроби, чтобы привести ее в 90-е доли, не изменяя ее величины.

Первая из наших дробей есть-^-; чтобы вместо 30-ти иметь в знаменателе 90, мы должны знаменателя 30 умножить на 3; но, чтобы при этом величина дроби не изменились, нам придется и числителя ее (7) умножить на 3, получим

Возьмем теперь вторую дробь . Чтобы иметь вместо 45 в знаменателе 90, мы должны умножить знаменателя 45 на 2; но чтобы при этом величина дроби не изменилась, мы должны и числителя дроби (11) умножить на 2, и будем иметь

Возьмем наконец третью дробь -г^- . Чтобы здесь иметь в знаменателе 90, нам придется умножить знаменателя 18 на 5; а чтобы величина дроби не изменилась, мы должны, конечно, и числителя дроби умножить на 5; получим

Итак мы нашли, что

Заметим, что числа, на которые мы множили числителя и знаменателя каждой дроби, чтобы обратить ее в 90-е доли, называются дополнительными множителями; так, у первой дроби (ç^qJ дополнительный множитель был 3, у второй (-^-) — 2, у третьей [-jg) — 5- Очевидно, дополнительный множитель — это число, на которое надо умножить знаменателя данной дроби, чтобы получить общего знаменателя, т.-е. его можно получить при помощи деления общего знаменателя на знаменателя данной дроби.

Возьмем еще пример; пусть нужно привести к общему знаменателю дроби

Чтобы найти общего знаменателя, отыскиваем наименьшее кратное чисел 28, 70 и 40; разлагая данные числа на множителей, имеем:

Чтобы составить наименьшее кратное, берем множителей последнего числа 40, т.-е. 2. 2. 2. 5, добавляем из первого числа (28) множителя 7, а из второго числа (70) добавлять уже нечего, и получаем наименьшее кратное:

Итак, общим знаменателем данных дробей должно быть число 280; теперь мы должны найти, на какое число нам нужно умножить числителя и знаменателя каждой дроби, чтобы выразить ее в 280-х долях, не изменяя ее величины. Очевидно, знаменателя первой дроби (28) мы должны умножить для этого на 10, знаменателя второй (70) — на 4, и знаменателя третьей (40) — на 7; на этих же дополнительных множителей мы умножим и числителей данных дробей, чтобы величина их не изменилась.

Таким образом мы найдем:

Таким образом, приведение дробей к общему знаменателю выполняется так: находим наименьшее кратное всех знаменателей; вычисляем, на какие числа нужно помножить знаменателя каждой дроби, чтобы получить это наименьшее кратное, и на полученных таким образом дополнительных множителей множим соответствующих числителей; в результате получаем числителей наших приведенных дробей, а знаменателем их будет найденное нами наименьшее кратное.

Вычисление упрощается, если можно упростить нахождение наименьшего кратного. Возьмем, напр., дроби:

Знаменатели их не имеют никаких общих множителей; поэтому их наименьшее кратное равно произведению 9.8.5 = 360, а дополнительными множителями будут: для первой дроби 8. 5 = 40, для второй 9. 5 = 45 и для третьей 9. 8 = 72. Поэтому имеем ;

Точно также, если имеем дроби:

то замечаем, что знаменатель третьей дроби (120) делится на первых двух знаменателей (40 и 15), а потому и будет их наименьшим кратным; дополнительным множителем первой дроби будет, очевидно, число 3, второй — 8 и третьей — 1, и мы найдем:

§ 105. Признак, по которому мы можем судить, обратится ли данная простая дробь в конечную десятичную или нет. В свое время мы убедились, что не всякую простую дробь можно обратить в конечную деся-

тичную; мы видели, напр. (§ 92), что — = 0,6625; g25 = 0,016 и т. п., а дробь — при обращении в десятичную дает бесконечную дробь 0,8333... Разумеется, в подобных случаях важно было бы знать наперед, обратится ли данная простая дробь в конечную десятичную или нет; как увидим сейчас, это можно определить на основании разложения на множителей знаменателя данной дроби.

Возьмем, напр., дробь — ; обратить ее в десятичную значит, собственно говоря, выразить ее в каких-либо десятичных долях— 10-х, 100-х, 1000-х и т. п. Очевидно, мы можем раздробить данные доли (40 - е) только в такие десятичные, знаменатель которых делится на 40; поэтому наша задача сводится к тому, чтобы среди единиц десятичных разрядов — 10, 100, 1000 и т. д. — найти число, делящееся на 40, и по возможности наименьшее.

Мы знаем из предыдущего (§ 102), что единицы десятичных разрядов—10, 100, 1000 и т. д. — разлагаются только на множители 2 и 5 (в равном числе):

Отсюда ясно, что подобные числа могут делиться только на 2, 5 и на другие числа, состоящие из множителей 2, 5. Посмотрим теперь, из каких первоначальных множителей состоит знаменатель данной дроби 40:

Видим, что 40 состоит только из множителей 2 и 5, значит, можно подыскать такую десятичную единицу, которая бы на него разделилась. Так как в разложение числа 40 входят три двойки, то мы должны взять ту из десятичных единиц, которая содержит три двойки и три пятерки, т.-е. 1000, и раздробить данную дробь — в 1000-е доли. Ясно, что при этом придется умножить ее знаменателя и числи-

теля на дополнительного множителя 5.5, т.-е. 25, и мы найдем, что:

Подобным образом, если нам нужно обратить в десятичную дробь —, мы должны найти, какая из единиц десятичных разрядов— 10, 100, 1000... — разделится на 16. Разлагая число 16 на первоначальных множителей, имеем:

Таким образом знаменатель данной дроби (16) состоит только из двоек, и ясно, что можно найти такую десятичную единицу, которая бы на него делилась: это будет та, в состав которой входят четыре двойки и четыре пятерки (2.2.2.2.5.5 5 5), т.-е. 10000. Значит, нам придется раздроблять данные доли (16-е) в 10000-е и при этом нужно будет умножить знаменателя и числителя дроби — на дополнительного множителя 5.5.5.5, т.-е. на 625; мы получим:

Если же мы возьмем дробь — и разложим на множителей ее знаменателя, то найдем:

Видим, что в составе знаменателя, кром двоек, есть множитель 3; ясно, что ни одна из единиц десятичных разрядов— 10, 100, 1000 и т. д. — не может разделиться на 12, потому что ни одна из них не содержит множителя 3; и таким образом дробь — не обратится в конечную десятичную.

Действительно, обращая ее в десятичную, мы получим бесконечную дробь 0,5833... Подобным же образом не может

обратиться в конечную десятичную и дробь —, знаменатель которой (21) состоит из множителей 3.7.

Из предыдущего мы можем заключить, что в конечную десятичную дробь обращается лишь такая простая, знаменатель которой имеет в своем составе только множитель 2 или 5 или обоих вместе, как, напр., и т. д. Однако, заметим, что мы рассматривали здесь только дроби несократимые и наш вывод справедлив лишь для несократимых дробей. Если же мы возьмем какую - либо сократимую дробь, напр. — то при решении вопроса о ее обратимости в десятичную мы должны или предварительно сократить ее (на 3), или не обращать внимания на тех множителей знаменателя, которые входят и в состав числителя и все равно могут быть сокращены. Так как 75 = 3.5.5, а множитель 3 все равно сокращается с числителем, то данная дробь должна обратиться в конечную десятичную: и в самом деле = 11 = 0,44. 25

Приняв это во внимание, мы можем окончательно установить такой признак обратимости простой дроби в конечную десятичную: если знаменатель дроби содержит в своем составе только множителей 2 и 5 (порознь или вместе), или таких множителей, которые входят и в состав числителя, то данная дробь обратится в конечную десятичную; в противном же случае у нас получится дробь бесконечная.

ОТДЕЛ X.

Все действия над простыми и десятичными дробями.

§ 106. Смысл сложения дробей. Пусть имеем задачу:

В одной пачке — фунта табаку, а в другой — ф.; сколько табаку в обеих вместе?

В обеих пачках вместе вот сколько табаку: — фунта да еще —. Мы вычисляем это так: „7 восьмых да 1 восьмая будет 8 восьмых, или целый фунт; да еще 2 восьмых— фунт и 2 восьмых, или фунт с четвертью“; или так: „7 восьмых да 3 восьмых будет 10 восьмых, или целый фунт и 2 восьмых, т.-е. фунт с четвертью“. Мы решили эту задачу сложением; но если бы мы и не умели делать сложения, то все же могли бы решить нашу задачу: мы присчитали бы к 7 восьмым фунта табаку первой пачки все остальные 3 восьмых так: „7 восьмых да еще одна — 8 восьмых, да еще одна — 9, и еще одна —10 восьмых“.

Возьмем еще такую задачу:

Одна веревка имеет длину в 0,57 метра, другая 0,36 м. Какую длину занимают они обе вместе?

И эту задачу мы решаем сложением: к 57 сотым метра, мы прибавляем 36, и вычисляем так: „57 сотых и 30 — 87, а еще 6 — 93 сотых“, т. - е. длина обеих веревок вместе

0,93 метра. Но, конечно, и здесь, если бы мы не знали сложения, то могли бы решить эту задачу, присчитывая к 57 сотым по одной все остальные 36 сотых; мы считали бы: „57 сотых и еще одна — 58, и еще одна —59, и еще одна — 60...а и т. д., пока не присчитали бы всех 36 сотых.

Так считать было бы, конечно, очень затруднительно, и при помощи сложения мы сокращенно находим искомое число; но и простым присчитыванием долей мы, в конце концов, получили бы то же самое числе

Пусть, наконец, у нас есть еще задача:

Водном куске 5 аршин сукна, в другом—8 3/4. Сколько сукна в обоих кусках?

И эту задачу мы решаем также сложением: „5 аршин да еще 8—13 аршин, да еще 3 четверти — всего 13 аршин и 3 четверти“. И здесь, если бы мы не знали сложения, то решали бы задачу присчитыванием: к 5 аршинам присчитали бы по одному сначала 8 целых аршин, а затем еще 3 четверти.

Мы видим теперь, что сложить — и — это все равно, что к 7 восьмым сокращенно присчитать 3 восьмых; сложить 0,57 и 0,36 — все равно, что к 57 сотым сокращенно присчитать 36 сотых; наконец, сложить 5 и 8— все равно, что к 5 целым единицам сокращенно присчитать 8 единиц, а к полученному числу еще 3 четверти. Поэтому ясно, что сложение дробных чисел имеет по существу почти тот же смысл, что и сложение целых чисел: сложить два числа — это значит к первому из них сокращенно присчитать все единицы или доли другого числа.

Мы установили смысл сложения дробей для того случая, когда они выражены в одинаковых долях, т.-е. имеют одного и того же знаменателя ; сложить же две дроби с различными знаменателями — это, очевидно, все равно, что сложить соответственно равные им дроби, только приведенные к общему знаменателю: так, напр., сложить — и — —это все

равно, что сложить — и —. т.-е. к 9 двенадцатым сокращенно присчитать 8 двенадцатых.

Как мы видели, при сложении простых дробей их приходится приводить к общему знаменателю; при сложении же десятичных дробей это необязательно, так как мы можем складывать их по десятичным разрядам на подобие целых чисел, напр.:

§ 107. Основные свойства сложения.

1) Перестановка слагаемых. Рассматривая сложение целых чисел, мы установили, что от перестановки слагаемых сумма не меняется. Нетрудно убедиться при помощи проверки на частных примерах, что это свойство остается в силе и при сложении дробных чисел, какие бы числа мы ни брали для сложения; так, напр.:

Этим свойством сложения мы пользуемся, как и при сложении целых чисел, для упрощения вычислений; напр., вместо того, чтобы к —прибавить—, мы к — прибавляем j и находим сумму

или, если задано сложить

то мы легко догадываемся, что всего удобнее будет сложить сначала второе и третье слагаемое (0,993 и 0,007), а к их сумме (1) придать первое слагаемое, после чего получаем окончательно 1,016.

2) Прибавление суммы. Пусть, напр., нам нужно к 8 прибавить 5—; мы вычисляем это так: „8 да 5 — 13.

Таким образом, вместо того, чтобы сразу прибавить данное число 5 —, мы представляем себе его как сумму двух чисел ( 5 -f- j и прибавляем сначала первое слагаемое (5), а к полученному числу второе

Еще пример. Если нам нужно сложить 4 и 3,28, то мы вычисляем это так: „4 и 3 — 7, и еще 28 сотых — 7 целых и 28 сотых“. И здесь, вместо того, чтобы сразу прибавить сумму данных двух чисел (3 целых и 28 сотых), мы прибавляем сначала первое слагаемое (3), а к полученному числу второе (28 сотых).

И вообще, как и при сложении целых чисел, вместо того, чтобы сразу прибавить сумму нескольких чисел, мы можем прибавлять одно за другим все слагаемые этой суммы.

И этим свойством сложения мы пользуемся когда нужно, для того, чтобы упростить вычисления; напр., если к 3,96 нам нужно прибавить 0,36, то удобнее всего к 3,96 прибавить О,04, а к полученному числу (4) еще 0,32, и мы получаем окончательно 4,32; таким образом мы представляем себе второе слагаемое 0,36 как сумму 0,04 -|- 0>32 и прибавляем к 3,96 последовательно 0,04 и 0,32.

§ 108. Смысл вычитания дробей. Пусть имеем задачу:

Нужно перемолоть 16 килограммов кофе; перемолото уже кг; сколько кофе еще остается смолоть?

Остается, конечно, перемолоть 16 кг без lOj, и мы вычисляем это так: „16 без 10 — 6, да еще без

т.-е. еще нужно смолоть

Мы решили нашу задачу вычитанием; обратим теперь внимание на следующее. Если мы к тем 10 — кг, которые уже смолоты, прибавим 5— кг, которые еще надо смолоть — то, разумеется, получим в сумме прежние 16 кг.

Таким образом, мы искали и нашли то число

которое надо прибавить ко второму из данных чисел

чтобы получить первое (16).

Пусть еще мы должны из 0,75 вычесть 0,33; произведя вычитание, мы найдем 0,42, а если теперь обратно к 0,33 прибавим найденную разность 0,42, то получим снова 0,75. Таким образом и здесь мы отыскивали и нашли такое число (0,42), которое, будучи сложено со вторым из данных чисел (0,33), даст в результате первое (0,75).

Ясно, что смысл вычитания дробей по существу остается тот же, что и для целых чисел : вычесть из одного числа другое — это значит найти такое новое число, которое надо прибавить ко второму из данных чисел, чтобы получить первое.

Заметим, что при вычитании простых дробей с разными знаменателями их, конечно, приходится, как и при сложение приводить к общему знаменателю; для десятичных же дробей это, как мы знаем, не обязательно.

§ 109. Основное свойство вычитания (отнимание суммы). Рассматривая вычитание целых чисел, мы подметили такое основное свойство вычитания: вместо того, чтобы отнять сумму нескольких чисел сразу, мы можем отнимать последовательно каждое слагаемое этой суммы.

Мы можем убедиться при помощи проверки на частных примерах, что это свойство остается в силе и для дробей, какие бы числа мы ни брали для вычитания. Так, напр., в предыдущем параграфе мы от 16 отнимали 10 — и вы-

числяли это так: „Без 10 — 6, да еще без — — 5— т.-е. вместо того, чтобы сразу отнять от 16-ти 10~^~, мы представляли себе вычитаемое 10~^~ как сумму двух чисел 110-}-—I и отнимали от 16-ти сначала первое слагаемое 10, а от полученного числа второе слагаемое ~.

В другом примере, отнимая от 0,75 дробь 0,33, мы вычисляли бы так: „75 сотых без 30 сотых — 45 сотых, да еще без 3 сотых — 42 сотых“, т.-е. мы представили бы себе число 0,33 в виде суммы двух слагаемых (0,30 -f- 0,03) и отнимали бы от данного числа 0,75 сначала первое слагаемое 0,30, а затем и второе 0,03.

§ 110. Упрощенные приемы сложения и вычитания, основанные на изменениях суммы и разности.

В свое время (ч. I, § 32) мы подметили и установили для целых чисел ряд правил об изменении суммы и разности, а именно:

если одно из слагаемых мы увеличим на какое-либо число, то и сумма увеличится на это число;

если мы увеличим уменьшаемое на какое-либо число, то и разность увеличится на это число;

если мы увеличим вычитаемое на какое-либо число, то разность уменьшится на это число;

сумма двух (или нескольких) чисел не изменится, если мы одно из слагаемых увеличим на какое-либо число, а другое уменьшим на то же самое число;

разность двух чисел не изменится, если мы уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличим (или уменьшим) на одинаковые числа, и т. д.

Все эти свойства суммы и разности остаются в силе и для дробных чисел, как можно убедиться при помощи проверки на любых числах.

Пользуясь этими свойствами суммы и разности, мы можем, как и при действиях над целыми числами, упрощать вычисления, особенно в тех случаях, когда нам приходится прибавлять или отнимать легко закруглимое число.

Так, напр., если нужно к 25 придать 9—, то мы вместо того к 25 прибавляем 10 и получаем 35; но здесь мы прибавили лишнюю — I мы увеличили второе слагаемое на — поэтому найденная нами сумма 35 будет также на — больше истинной; отнимая же от 35 эту лишнюю —, мы получим истинную сумму 34 —.

Подобным же образом, если нужно от 25 отнять 9— $ то мы вместо того отнимаем от 25-ти 10 и находим 15; но так как мы здесь отняли лишнюю — ( мы увеличили вычитаемое на —I, то наша разность 15 на — меньше истинной; прибавляем поэтому к 15 эту — и находим истинную разность 15—.

Еще пример: пусть нам дано сложить числа:

Нетрудно видеть, что сумма не изменится, если мы второе слагаемое увеличим на 8 тысячных (0,008), а последнее уменьшим на столько же; но тогда каждое из этих слагаемых обратится в 1, а вся сумма будет, очевидно, равна 2 целым да 31 сотой да еще 16 сотым, т.-е. 2,47.

Пусть еще нам надо найти разность:

Эта разность, очевидно, не изменится, если мы к уменьшаемому и вычитаемому прибавим по девять сотых (0,09); а тогда вместо данной разности 5,41 — 0,91 будем иметь 5,5— 1, или 4,5.

Можно рассуждать и так: данная разность не изменится и тогда, если мы уменьшим оба данные числа на 0,41; а в этом случае вместо данной разности 5,41—0,91 получим 5 — 0,5, т.-е. попрежнему 4,5.

§ 111. Совместное сложение или вычитание простых и десятичных дробей. Пусть нам нужно сложить такие числа:

Чтобы выполнить это действие, нам придется, очевидно, обратить все дроби либо в простые, либо в десятичные и потом уже произвести вычисление. В данном случае нетрудно обратить все дроби в десятичные и мы получим сумму:

Можно, конечно, обратить все данные дроби в простые, но вычисление будет сложнее. Так как 0,35 = щ = ~9 а 0,055 = ^ = то нам придется сложить дроби:

и для нахождения суммы обратить их все в 200-е доли:

Очевидно, выгоднее обращать в подобных случаях все дроби в десятичные ; но, как мы знаем, это не всегда можно сделать. Пусть, например, мы должны сложить числа:

Если мы здесь попробовали бы обратить простые дроби ~ и j2 в десятичные, то увидели бы, что этого сделать нельзя, так как соответствующее деление не кончается:

Поэтому мы можем здесь сделать одно из двух. Если мы должны вычислить точную сумму, то придется все вычисление произвести в простых дробях. Так как 0,55 = Tf^ =

то имеем сумму:

для выяснения которой придется все дроби обращать в 180-е доли:

Если же нам нет надобности знать непременно точный результат, а можно ограничиться приближенным, то мы можем обратить данные дроби |- и ^ в десятичные и взять их приблизительные величины с точностью, например, до 0.01 доли:

Тогда, вместо данной суммы, оудем иметь такую приближенную:

Так обычно и поступают в практических расчетах, когда, в сущности, все данные величины приходится считать приближенными. Как вычислять в подобных случаях точность результата — об этом будет сказано далее, в главе о приближенных вычислениях (ч. III).

Иногда, конечно, можно бывает избегнуть приближенных вычислений при помощи упрощенных приемов сложения или вычитания. Пусть, например, мы должны найти сумму:

Мы складываем отдельно первое слагаемое с последним:

и второе с третьим:

а теперь складываем оба полученных числа и имеем:

Или, например, пусть нам нужно вычислить разность:

Складываем сначала оба вычитаемых

и теперь вычитаем этот результат из 0,85:

§ 112. Смысл умноженя на дробь. До сих пор мы рассматривали только умножение дробного или смешанного числа на целое; мы видели (§§ 76 и 89), что смысл умножения в этих случаях тот же, что и в случае умножения целого на целое: так, например, умножить ~ на 5 — это значит число j взять слагаемым 5 раз:

умножить 2^ на 4 — это значит число 2^- взять слагаемым 4 раза:

вообще умножить какое угодно число (целое или дробное) на целое—это значит первое данное число взять слагаемым столько раз, сколько единиц во втором числе.

Чтобы установить теперь смысл умножения на дробь, рассмотрим такую задачу:

Пешеход проходит 5 километров в час; какое расстояние пройдет он за -| часа?

Чтобы решить эту задачу, мы вычисляем сначала, сколько километров пройдет пешеход в — часа:

а затем узнаем, сколько км он должен пройти за — часа :

Обратим теперь внимание на то, какую часть данного расстояния (5 км) мы вычисляли в каждом из двух вопросов задачи и каким именно действием. Очевидно, мы сначала нашли j от 5-ти, и для этого делили данное число (5) на 4, т.-е. на знаменателя данной дроби; а затем умно-

жили полученное число на 3, т.-е. на числителя данной дроби, и таким образом нашли -т от 5-ти.

Итак, в этой задаче мы находили некоторую часть [~\ от данного числа (5, и выполняли это двумя действиями: делили данное число (5^ на знаменателя дроби (4) и полученное число множили на числителя дроби (на 3).

На основании этого, мы можем записать решение нашей задачи короче, а именно:

Но и в таком виде запись решения нашей задачи все еще недостаточно удобна, так как начало ее записано словами, а не знаками от 5J. Поэтому является вопрос: нельзя ли считать нахождение у от 5 за какое-либо особое действие над данными числами |5 и j), чтобы можно было заменить словесную запись „— от 5“ знаком этого действия?

Чтобы выяснить это, рассмотрим, как решалась бы наша задача, если в условии ее мы заменим дробное число целым :

Пешеход проходит 5 километров в час; какое расстояние он пройдет за 3 часа?

Очевидно, эта задача решается умножением: искомое число километров будет

Если мы теперь присмотримся к условиям обеих задач, то заметим, что они по существу одинаковы: в обеих задачах нам дается скорость пешехода в час (5 км), и требуется узнать, какое расстояние пройдет пешеход за некоторое число часов (~ часа или 3 часа).

Ясно, что нам было бы удобно, чтобы одинаковые по смыслу задачи и решались одинаковыми действиями; поэтому условимся называть нахождение у от 5-ти умножением

5-ти на -J, и тогда решение первой задачи можно будет записать так:

Итак, умножить 5 на ^—значит найти j от 5, или подробнее: найти от 5-ти 1 четверть и взять ее слагаемым 3 раза. Подобным же образом умножить 10 на ^ — все равно, что найти - от 10, или иначе: найти от 10-ти -g- и взять ее слагаемым 7 раз:

Или,например,умножить 12на^ — значит от 12-ти найти т.-е. найти от 12-ти и повторить ее слагаемым 5 раз:

И, вообще, умножить какое-либо число на дробь — значит от данного числа найти такую долю, которая указана знаменателем этой дроби, и взять ее слагаемым столько раз, сколько единиц в числителе дроби.

Определение это распространяется и на тот случай, когда множителем будет просто какая - либо доля единицы;

например; умножить 5 на ~—значит найти^ от 5-ти:

Вводя указанное определение умножения на дробь, мы достигаем двоякой цели. Во-1-х, задачи на нахождение части от целого решаются одним действием вместо двух; так напр., в предыдущей задаче вместо записи:

мы пишем просто:

Во 2-х, одинаковые по смыслу задачи решаются одинаковыми действиями, какие бы числа ни были в них заданы— целые или дробные.

В самом деле, рассмотрим такие задачи:

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Пешеход проходит 5 км в час. Сколько км он пройдет за 3 часа? 5 . 3 = 15.

Пешеход проходит 5 км в час. Сколько км он пройдет за т часа?

Пешеход проходит 5 км в час. Сколько км он пройдет за -j часа?

Все эти задачи решаются теперь одним и тем же действием—умножением.

Теперь нам нетрудно будет установить и смысл умножения на смешанное число. Возьмем для этого такую задачу:

Пешеход проходит 5 км в час; какое расстояние он пройдет за 2— часа?

Очевидно, мы должны сначала вычислить, сколько км пройдет пешеход за 2 часа:

а далее должны узнать, сколько км он пройдет еще за и, наконец, складывая полученные числа, найдем, сколько км должен пройти пешеход за 2~ часа:

Чтобы получить это число, мы повторили данное числе (5) сначала 2 раза, а потом к полученному прибавили еще — от 5-ти, и, таким образом, для решения нашей задачи нам понадобилось в общем три действия. Если же мы желаем, по возможности, упростить запись решения задачи, то условимся все проделанное нами вычисление (повторение данного числа 2 раза и прибавление к полученному еще — данного числа) называть умножением на 2—\ тогда вся задача окажется записанной в одном действии:

Мы видим также, что при введенном нами определении эта задача, одинаковая по смыслу с тремя предыдущими, будет решаться тем же действием, что и они все, а именно умножением.

Подобным же образом, умножить 6 на 3— — это значит данное число 6 взять слагаемым 3 раза и к полученному прибавить еще ~ от 6-ти:

И, вообще, умножить на смешанное число — это значит данное число повторить слагаемым несколько раз (столько, сколько в данном смешанном числе целых единиц) и к результату прибавить еще некоторую часть данного числа (такую, какая обозначена дробью при смешанном числе).

Заметим, что умножение на смешанное число можно, очевидно, заменять умножением на ту неправильную дробь, в которую обращается данное смешанное число, например, умножить 5 на 2~— все равно, что умножить 5 на “4 :

умножить 6 на 3— все равно, что умножить 6 на—:

но на практике проще вычислять произведение по частям, как мы это делали раньше.

§ 113. Какие задачи мы решаем умножением на дробь или на смешанное число. Рассмотрим такие задачи:

1) От веревки в 60 метров нужно отрезать — ее. Сколько это выйдет метров

Если бы мы не знали еще умножения на дробь, то решали бы эту задачу двумя действиями: сначала нашли бы, сколько метров будет в -г- части всей веревки (60:5 = 12), а потом — сколько метров в— всей веревки (12 . 4 = 48).

Теперь же рассуждаем так: найти — от 60 метров — все равно, что умножить 60 м на — или пятую часть 60-ти взять 4 раза:

т.-е. в отрезанной части веревки будет 48 метров.

2) Килограмм мыльного порошка стоит 120 руб.; сколько руб. нужно заплатить за — кг этого порошка?

И здесь, если бы мы не знали умножения на дробь, то вычисляли бы отдельно, сколько рублей стоит — кг, мыльного порошка (120 : 8 = 15), а затем — сколько придется заплатить за — кг порошка (15.5 = 75); теперь же рассуждаем так: цена — кг порошка, очевидно, составляет — от цены одного кг, т.-е. от 120 руб.; значит, мы должны

умножить 120 руб. на —, или же восьмую часть от 120 взять 5 раз:

3) Сколько вершков в — сажени?

Раньше мы решили бы эту задачу так: сначала нашли бы, сколько вершков в — сажени (48: 10 = 4,8), а лотом — сколько их в — сажени (4,8.3= 14,4). Теперь же рассуждаем короче: в одной сажени 48 вершков; а чтобы найти сколько вершков в — сажени, нужно взять—от 48 вершков, т.-е. умножить 48 вершков на — (или иначе: десятую часть 48 взять 3 раза):

Итак, в — сажени 14,4 вершка.

4) Поезд проходит в час 42 километра. Какое расстояние он пройдет за 2— часа?

Чтобы это узнать, мы должны, очевидно, взять 42 км 2 раза, да к полученному добавить еще от 42, или короче: умножить 42 на 2-—:

Поезд пройдет за указанное время

5) Ведро воды весит 30 фунтов. Сколько весило бы ведро ртути, если известно, что ртуть в 13,6 раза тяжеле воды?

В 13,6 раза тяжеле—это значит, что ведро ртути весит столько же, сколько 13,6 ведра воды; чтобы это вычислить, мы должны 30 фунтов повторить 13 раз и к полученному прибавить еще 6 десятых от 30-ти, или иначе — помножить 30 фунтов на 13,6:

Итак, ведро ртути весило бы 408 фунтов, т.-е. 10 пудов 8 фунтов.

6) Длина прямоугольника 5 дециметров, ширина его — дцм. Сколько кв. дециметров содержит его площадь?

Чтобы найти это, нарисуем сначала вспомогательный прямоугольник длиною в 5 дм и шириною в 1 дм, разделенный на отдельные квадратные дециметры (см. прямоугольник AM H Г на черт. 10, представляющий это в уменьшенном размере), а затем делим его на 4 одинаковых полосы длиною в 5 дм и шириною в — дм.

Три таких полосы образуют искомый прямоугольник АБВГ, имеющий длину в 5 дм и ширину в — дм.

Чтобы вычислить его площадь, мы рассуждали бы раньше так. Весь прямоугольник АМН Г состоит, очевидно, из 5 клеток по 1 кв. дм, значит его площадь равна 5 кв. дм. Каждая полоса составляет четвертую часть всего прямоугольника, поэтому ее площадь равна 5 : 4, или — кв. дм. Искомый же прямоугольник А Б В Г состоит из 3 та-

Черт. 10.

ких полос, значит его площадь равна —.3, т.-е. — или 3-~-кв. дм.

Теперь рассуждаем короче: так как прямоугольник АБВ Г составляет — прямоугольника АМН Г, а площадь последнего 5 кв. дм, то площадь искомого прямоугольника АБВГ равна -~- от 5 кв. дм.; ясно, что мы должны теперь умножить 5 на —■, или одну четверть 5-ти взять 3 раза:

т.-е. площадь прямоугольника АБВГ равна 3-^- кв. дм.

7) Длина прямоугольника 0,7 вершка, ширина 0,3 вершка. Как велика его площадь?

Нарисуем данный прямоугольник АБВГ, длина которого 0,7 вершка, а ширина 0,3 вершка (черт. 11), и еще вспомогательный квадрат АКЛМ, имеющий в длину и ширину по 1 вершку. Разделим теперь все стороны квадрата АКЛМ на десятые доли вершка и соединим противоположные точки прямыми линиями; тогда видно, что наш прямоугольник АБВГ содержит 7.3, т.-е. 21 квадратную клетку, а весь квадрат АКЛМ содержит 10.10, т.-е. 100 таких же клеток. Каждая клетка составляет, таким образом, ^ долю кв. вершка, значит прямоугольник АБВГ равен — (или 0,21) кв. вершка.

Спрашивается, нельзя ли было бы и здесь получить это число непосредственно из данных чисел, выражающих длину и ширину прямоугольника? Рассмотрим для этого еще

Черт. 11.

вспомогательный прямоугольник AK H Г, состоящий из 7 столбцов (по 10 клеток); ясно, что он составляет — целого квадрата АКЛМ, т.-е. площадь его равна 0,7 кв. вершка. Прямоугольник же АБВГ составляет — прямоугольника АКНГ; значит, его площадь равна 0,3 от 0,7 кв. вершка, а найти 0,3 от 0,7 кв. вершка—все равно, что помножить 0,7 кв. вершка на 0,3, или же одну десятую от 0,7 взять 3 раза. Выполняя это, имеем:

т.-е. площадь прямоугольника АБВГ = 0,21 кв. вершка.

Рассматривая данные задачи, мы видим, что умножением на дробь или на смешанное число решаются те задачи, в которых приходится или находить часть от данного целого, или повторять данное число несколько раз слагаемым, с прибавлением к полученному еще некоторой части данного числа, — вообще те задачи, в которых при замене данных дробей целыми числами пришлось бы выполнять умножение.

Кроме того, из последних двух задач (6-й и 7-й) мы делаем еще вывод, что правило вычисления площади прямоугольника, установленное нами для целых чисел (перемножить числа, выражающие длину и ширину), остается в силе и тогда, когда длина и ширина прямоугольника выражены дробными числами.

§ 114. Приемы умножения целого числа или дроои на дробь.

1) Устное умножение. Пусть нам нужно умножить 20 на—; это все равно, что пятую часть 20-ти взять 3 раза; поэтому вычисляем так: от 20-ти —4, а в 3 раза больше— 12й, и записываем:

Пусть еще нам нужно умножить -у на ~. Это все равно, что найти пятую часть от -у- и потом взять ее 3 раза ; вычисляем так: »$от—=~, a j в 3 раза больше —^“ и имеем:

или, по сокращении, ^.

Видим, что при устном умножении на дробь мы выполняем действие в таком порядке, как это требуется по самому смыслу умножения на дробь: мы делим данное множимое на знаменателя дроби, а полученное умножаем на числителя. Очевидно, устное умножение по этому приему пригодно, главным образом, в тех случаях, когда данное множимое (или его числитель) делится на знаменателя той дроби, на которую мы умножаем.

2) Письменное умножение. Пусть нужно умножить 7 на -g-. Рассуждаем так: это значит от 7 найти одну восьмую и взять ее 5 раз; чтобы найти от 7 одну восьмую, мы делим 7 на 8 и имеем -g-; эту дробь мы должны теперь умножить на 5, а для этого множим ее числителя (7) на 5, оставляя без изменения знаменателя, и получаем - или 4-, Все это можно записать так:

Обратим теперь внимание на то, как получается произведение — из данных чисел. Ясно, что числитель произведения (35) получился от умножения данного целого числа (7) на числителя данной дроби (5); а знаменатель тот же, что и был у данной дроби (8); отсюда получается такое правило: чтобы умножить целое на дробь, достаточно умножить это целое на числителя дроби и полученное разделить на знаменателя дроби. Мы видим, что порядок вычисления здесь обратный тому» который применяется в устном вычислении, но от этого результат, очевидно, не меняется ^например:

Получаемый после такого умножения результат иногда можно бывает сократить, например:

Заметим, однако, что это сокращение проще выполнять до окончательного умножения; например, умножая 20 на мы должны умножить 15 на числителя дроби 7, а полученное произведение разделить на знаменателя 30; обозначим эти действия, не выполняя их сразу; тогда получим:

Мы видим теперь, что числитель дроби (20.7) делится на 10, потому что первый его множитель 20 делится на 10, и знаменатель (30) также делится на 10; поэтому мы можем сократить полученную дробь на 10 и найдем сразу:

как и прежде.

Все вычисление и сокращение записывается обычно в таком порядке:

подобным же образом:

Рассмотрим теперь случай умножения дроби на дробь, например:

Это значит от ~ найти третью долю и повторить ее затем 2 раза; но найти третью долю от все равно, что разделить ^ на 3, а для этого деления мы должны будем умножить знаменателя данной дроби ^ на 3, и получим-^-; эту дробь теперь нужно умножить на 2, при чем мы, конечно, должны умножить ее числителя на 2, и получим Все действие можем теперь записать так:

Рассмотрим теперь, как получилось произведение из данных дробей (~ и —j. Ясно, что числитель полученной дроби (8) получился от перемножения числителей данных дробей (4 и 2), а знаменатель (15) от перемножения их знаменателей (5 и 3); поэтому можем установить такое правило: чтобы умножить дробь на дробь, достаточно перемножить их числителей и знаменателей отдельно, и первое произведение разделить на второе.

Так, например:

И здесь нередко можно бывает сократить получаемую дробь, при чем, как и в предыдущем случае, следует выполнять это сокращение до окончательного умножения ; например, если нужно умножить на то числитель получаемой дроби будет равен произведению числителей (5 на 4), а зна-

менатель — произведению знаменателей (8 на 15), и если мы обозначим эти действия, не выполняя их сразу, то получим:

Теперь видно, что полученную дробь можно сократить на 5, потому что в числителе есть множитель 5, а в знаменателе множитель 15 делится на 5; точно также эту дробь можно сократить и на 4, потому что в числителе есть множитель 4, а в знаменателе множитель 8 делится на 4. Сокращая же полученную дробь на 5 и на 4, мы найдем:

Подобным же образом нашли бы:

Обратим теперь внимание еще на одну особенность умножения на дробь, отличающую его от умножения на целое число.

Рассмотрим какие угодно случаи умножения на целое число, например:

Мы видим, что во всех этих случаях произведение больше множимого (15 более 5, 70 более 7 и т. д.); да так оно и должно быть, потому что, умножая на целое число, мы повторяем данное нам число слагаемым несколько раз. Итак, от умножения на целое число данное множимое увеличивается (кроме, конечно, случая умножения на 1, когда оно остается без изменения;.

Посмотрим теперь, как обстоит дело при умножении на дробь:

Видим, что здесь во всех случаях произведение меньше 15 менее 20-ти, 22-менее 35-ти, - менее, чем и ясно, почему так должно быть: мы здесь множим на правильную дробь, и для этого находим некоторую долю множимого (такую, какая указана знаменателем), а затем берем несколько таких долей, но всякий раз меньше, чем нх было во всем множимом; поэтому мы и должны получить меньше, чем у нас было. Таким образом, от умножения на правильную дробь данное число уменьшается.

Рассмотрим теперь случаи умножения на неправильную дробь:

Здесь произведение попрежнему больше множимого ^18 более 8; 39 более 15; более -^-j, и тоже понятно, почему: при умножении на неправильную дробь мы находим некоторую долю множимого (такую, какая указана знаменателем), а затем берем несколько таких долей, и притом больше, чем их было во всем множимом, поэтому и получаем больше, чем было. Итак, от умножения на неправильную дробь число увеличивается (кроме, конечно, случая умножения на дробь, равную единице, например, -g- или -у^-, когда она остается без изменения),

§ 115. Умножение смешанных чисел. Собственно говоря, во всех случаях умножения, где у нас встречаются

смешанные числа, мы можем заменять их неправильными дробями и выполнять действие по правилам, выведенным для дробей. Однако, во многих случаях бывает удобнее не делать этого, а множить смешанное число или на смешанное число непосредственно, как будет сейчас указано.

1) Устное умножение. Пусть нам нужно умножить 6 на 3-^-. Мы вычисляем это так: „6 на 3 — 18, да еще ~- от 6=3; всего 18 и 3 = 21“. И, если нужно умножить 4г- на З-i-, то мы рассуждаем точно так же: г-|- на 3 = -у , да еще -у от -у- будет — ; всего и — будет -у, или 3 целых“. Наконец, и 2у на Зу мы можем умножить подобным же образом:

Мы видим, таким образом, что при устном умножении на смешанное число мы множим по частям — отдельно на целое и на дробь, и потом складываем полученные числа. Так бывает особенно удобно вычислять тогда, когда умножаемое целое число или числитель дроби делится на знаменателя дроби при смешанном числе, как это было в рассмотренных нами примерах.

2) Письменное умножение. Если только мы множим целое число на смешанное (или наоборот), то удобнее всего поступать так, как и при устном умножении, т.-е. множить по частям, отдельно на целую и на дробную часть смешанного числа. Например, умножая 27 на 35-|-, мы будем вычислять так:

таким образом,

Если же мы множим дробь или смешанное число на смешанное, то обычно приходится обращать смешанные числа в неправильные дроби, например:

Однако, иногда бывает удобно множить и тут по частям; например, если задано умножить — На 25 — то мы вычисляем это так:

Или при умножении 4 ~ на 5— поступаем так:

§ 116. Умножение десятичных дробей. Умножение на десятичную дробь имеет, понятно, такой же смысл, как и умножение на простую дробь; так, например, умножить 6 на 0,3, значит найти 3 десятых от 6-ти, или же одну десятую долю от 6-ти взять слагаемым 3 раза. Поэтому умножение десятичных дробей выполняется по тем же правилам, как и умножение простых, с упрощениями в некоторых случаях

1) Устное умножение. Пусть, напр., нужно умножить 6 на 0,3. Мы вычисляем это так: 0,01 от 6 = 0,6, а 0,3 в 3 раза больше —1,8% т.-е.

Умножим еще 2,5 на 0,04. Это значит —от 2,5 найти сотую долю и взять ее потом 4 раза; вычисляем это так: 0,01 от 2,5-0,025, а 0,04 в 4 раза больше— 0,1000, или 0,1 т.-е.

Видим, что и здесь мы выполняем устное умножение на дробь в таком же порядке, как и при умножении на простую дробь, т.-е. делим данное множимое на знаменателя дроби, а полученное умножаем на числителя.

2) Письменное умножение. Пусть нам нужно умножить 17 на 0,036.

По правилу умножения на простую дробь мы должны умножить 17 на числителя данной дроби, т.-е. на 36, и разделить полученное число (612) на знаменателя дроби (1000); находим окончательно:

Умножим теперь 3,4 на 0,12. Будем рассматривать множимое 3,4 как неправильную дробь ~, тогда можем перемножать данные числа, как простые дроби : множим числителей обеих дробей (34 на 12):

и узнаем, сколько у нас получится всего долей (408), а чтобы узнать, какие это будут доли, перемножаем знаменателей данных дробей (10.100= 1000); окончательно имеем 408 тысячных или 0,408.

Наконец умножим 0,237 на 0,96:

Числители этих дробей — 237 и 96; перемножая их, имеем 22752, столько у нас будет всего долей, а какие—это узнаем, перемножая знаменателей (1000.100= 100000); итак мы имеем 22752 стотысячных, или 0,22752.

Таким образом, мы перемножаем десятичные дроби (и вообще десятичные числа) по правилу умножения простых дробей; мы можем несколько упростить действие, если обратим внимание на то, сколько будет в произведении десятичных знаков (т.-е. цифр после запятой). Мы замечаем, что в первом примере (17.0,036) во множимом нет десятичных знаков, во множителе их 3 и в произведении 3; во втором примере (3,4.0,12) во множимом 1 десятичный знак, во множителе—2, а в произведении—3; в третьем (0,236.0,97) — во множимом 3 десятичных знака, во множителе—2, а в произведении — 5. Отсюда ясно, что в произведении должно быть столько десятичных знаков, сколько их есть во множимом и множителе вместе; поэтому, при желании мы можем, вместо перемножения знаменателей, высчитать наперед, сколько должно быть десятичных знаков в произведении и отделить нужное число цифр запятой.

Однако еще лучше вместо этого применять такой способ подписывания сомножителей, при котором запятая произведения сама собой оказалась бы на нужном месте. Пусть, напр., нам нужно умножить 1,85 на 2,24. Запишем множителя под множимым так, чтобы цифра, обозначающая целые единицы, приходилась под последней цифрой множимого:

Ясно, что, умножая данное множимое 1,85 на единицы множителя, мы должны получить сотые доли; при умножении на следующую цифру множителя (на десятые доли) получим тысячные доли, и от умножения на последнюю цифру — десятитысячные доли. Поэтому, если мы подпишем первое произведение (370) под последней цифрой множимого (под сотыми долями), то запятая, отделяющая целые единицы от дробной части, должна приттись в нем, а вместе с тем и в окончательном результате, на том же месте, что и во множимом; то же самое будет, если мы начнем умножение с последней цифры множителя и будем подписывать соответствующее произведение (740) под последней цифрой множителя (это будет соответствовать десятитысячным долям множимого).

Еще пример:

Если начать умножение с последней цифры множителя и подписать под нею полученное произведение (стотысячные доли), то оно окажется как раз на должном месте после запятой множимого (на пятом). Значит, и в окончательном результате придется поставить запятую там же, где и во множимом.

Итак, наш способ записи сводится к следующему: мы подписываем множителя под множимым так, чтобы цифра его единиц приходилась под последней цифрой множимого, и множим данные числа, как целые, подписывая каждое произведение под соответствующей цифрой множителя; тогда в окончательном результате запятая приходится на том же месте, что и во множимом, — потому что окончательное произведение при данном способе записи, очевидно, имеет столько десятичных знаков, сколько их есть во множимом и во множителе вместе.

§ 117. Основные свойства умножения.

1) Перестановка сомножителей. При изучении умножения целых чисел мы видели, что от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Нетрудно видеть, при помощи проверки на частных примерах, что это свойство остается в силе и при умножении дробных чисел, какие бы числа мы ни брали для умножения, например:

и т. д.

Этим свойством умножения мы пользуемся, как и при умножении целых чисел, для упрощения вычислений; например, если нам нужно умножить 100 на 0,035, то мы вместо этого множим 0,035 на 100 и получаем сразу (при помощи перестановки запятой) произведение 3,5; или, например, если задано перемножить дроби:

то ясно, что всего проще будет перемножить первую дробь с третьей [—'—), а их произведение (1) на вторую дробь 3 —, после чего видно, что окончательное произведение равно второй дроби 3 —.

2) Умножение на произведение. При умножении целых чисел мы установили такое правило: вместо того, чтобы множить число на произведение двух (или нескольких) чисел сразу, можно множить его последовательно на каждого из сомножителей. Это правило остается в силе и для дробных чисел, как можно убедиться при помощи проверки на частных примерах, например:

И это правило может быть пригодно для упрощения вычислений; например,умножая— на 24, мы можем умножить

— сначала на 6, а полученное произведение (5) на 4, и найдем окончательно 20; умножая 0,17 на 600, мы умножим сначала 0,17 на 100, а полученное число (17) еще на 6, и найдем 102, и т. п.

3) Умножение суммы. Пусть мы должны умножить 5 — на 6. Мы вычисляем это так: „5 на 6 = 30; — на 6 = 4; 30 и 4 = 34tt, т.-е. мы представляем себе множимое 5 как сумму двух чисел ^ 5 -|—jj-j и множим на 6 сначала первое слагаемое (5), потом второе f“~“V и наконец складываем оба полученных числа.

Точно так же, умножая 3,25 на 8, мы вычисляем так: „3 на 8 = 24; 25 сотых на 8 — 200 сотых, или 2 целых; всего 24 и 2 = 26а, т.-е. и здесь мы представляем себе множимое 3,25, как сумму двух слагаемых (3-f-0,25) и множим на 8 сначала первое слагаемое (3), потом второе (0,25) и, наконец, складываем полученные числа.

Мы можем таким образом убедиться, что для дробных чисел остается в силе то же правило умножения суммы, что и для целых: вместо того, чтобы множить сумму двух (или нескольких) чисел сразу на какое-либо число, мы можем помножить на это число каждое слагаемое отдельно и потом сложить все полученные числа. Правило это, как мы видели, применяется и здесь для упрощения умножения, особенно при умножении смешаных чисел, которые мы считаем тогда за сумму целого и дробного числа.

4) Умножение разности. Пусть нам нужно умножить 9— на 16. Мы вычисляем это проще всего так: вместо 9— умножим 10 на 16, получим 160; но тут мы взяли лишнюю — и повторили ее 16 раз, значит всего у нас будет лишних—.16, или 4 целых единицы; отнимая их от 160, мы найдем окончательно 156.

Таким образом, мы представляли себе множителя 9 — как разность двух чисел ^10--—множили отдельно уменьшаемое (10) и вычитаемое ^—j на 16 и отнимали из первого произведения второе.

Подобным же образом, умножая 19,8 на 5, мы множим, вместо того, 20 на 5, получаем 100, из этого числа отнимаем произведение 0,2 на 5, или 1, и окончательно имеем 99; т.-е. мы и здесь представляем себе данное число 19,8, как разность двух чисел (20 — 0,2), множим отдельно уменьшаемое (20) и вычитаемое (0,2) на 5 и отнимаем из первого произведения второе.

На основании подобных примеров мы можем убедиться, что для дробных чисел, как и для целых, справедливо такое правило умножения разности: вместо того, чтобы множить разность двух чисел на какое-либо число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно, а затем от первого произведения отнять второе. Этим правилом, как мы видели, следует пользоваться при умножении чисел, которые легко закругляются и могут быть представлены, как разность двух чисел.

§ 118. Смысл деления на целое и на дробь. Рассматривая деление целых чисем, мы установили такой смысл этого действия: разделить одно число на другое, значит найти такое новое число, которое нужно перемножить со вторым из данных чисел, чтобы получить первое (ч. I, § 43). Посмотрим теперь, сохраняет ли данное действие тот же самый смысл и в случае деления дробных чисел.

Нетрудно убедиться, что оно будет так в случае деления на целое число, который мы уже рассматривали: выше (§§ 77 и 84). Так, например, в § 77 мы имели задачу „веревку, длиной в — метра, нужно разрезать на 3 равные части; какой длины будет каждая часть?“ Мы решали эту задачу делением:

и ясно, что мы искали здесь и нашли такое число которое нужно помножить на 3, чтобы получить

Подобным же образом в § 84 мы рассматривали задачу: „пароход должен проплыть 9 км; сколько времени ему на это понадобится, если в час он проплывает 12 км?“ И эту задачу мы решали делением: на проезд 9 км пароходу понадобится не целый час, а такая часть часа, какую составляют 9 км от 12-ти, т.-е.:

Проверим теперь найденное решение, — вычислим, сколько км проплывет пароход за — часа, если в час он проплывает 12 км; для этого нам придется умножить 12 на — и мы получим 9. Итак, и здесь мы искали и нашли такое число ^~), на которое нужно умножить второе из данных чисел (12), чтобы получить первое (9).

Перейдем теперь к делению на дробь. Некоторые случаи деления на дробь мы уже рассматривали (§§ 70 и 91); так, например, пусть нам дана задача:

У шляпной мастерицы есть 6 арш. ленты; на сколько шляп хватит ей этой ленты, если на отделку каждой идет арш.?

Очевидно, ленты хватит на столько шляп, сколько раз -г- арш. содержится в 6-ти или в — ; это мы узнаем делением:

Проверим задачу: если на одну шляпу идет - арш. ленты, то на 8 шляп пойдет j . 8, т.-е. 6 арш. Ясно, что мы нашли здесь такое число (8), на которое надо

умножить jt чтобы получить 6, т.-е. смысл деления остается тут тем же, что и при делении целых чисел (по содержанию).

Но этим не исчерпываются еще все возможные случаи деления на дробь. Рассмотрим, например, такую задачу:

Верховой проехал 5 км за -|часа; сколько верст проедет он за час?

Эту задачу мы решаем так: сначала вычисляем, сколько км проедет верховой за ^ часа:

а затем узнаем, сколько км он должен проехать за целый час:

Данное число 5 км (расстояние, которое проехал верховой за - часа) составляет, очевидно, -j искомого расстояния, которое он проезжает за час. Таким образом, в нашей задаче по данной части искомого числа мы отыскивали все это число, и выполняли это двумя действиями: делили данное число (5) на числителя дроби (на 3) и полученное число множили на знаменателя дроби (на 4).

Сейчас увидим, что это вычисление можно выполнить и в одном действии, как это мы делали в задачах, где нужно было найти часть от данного целого. В самом деле, проверим нашу задачу, т.-е. решим вопрос, сколько километров проехал бы верховой за — часа, если в час он проезжает

Для этого мы должны будем умножить

Мы получили прежнее число — 5 км, таким образом, видно, что в данной задаче мы нашли такое число 6^), которое при умножении на второе из данных чисел (|^) дает в резульутате первое (5).

Будем называть, как и до сих пор, то действие, при помощи которого мы находим подобное число,—делением данных чисел (б на ^j; тогда решение нашей задачи можно будет записать в одном действии так:

Итак, видим, что разделить какое-либо число на дробь, значит найти такое новое число, которое нужно перемножить со вторым из данных чисел, чтобы получить первое (как и в случае деления на целое число); при этом деление может быть двоякого рода: иногда разделить на дробь, значит найти число, часть которого равна данному числу (как в последней задаче), иногда же это значит найти, сколько раз одно число содержится в другом, или какую часть одного числа составляет другое (как в предыдущей задаче).

Определение это, понятно, распространяется и на тот случай, когда делителем будет просто какая-либо доля единицы: так, разделить 5 на -j, значит найти число, i которого есть 5:

или же это значит найти, сколько раз j содержится в 5-ти:

Вводя такое понимание деления на дробь, мы достигаем, как и при умножении на дробь, двоякой цели. Во 1-х, задачи на нахождение числа по данной его части, как и задачи на деление по содержанию, решаются в одном действии

вместо двух; так, например, в последней задаче, вместо двух действий;

мы пишем просто:

Также и в предыдущей задаче, где нужно было найти, сколько раз -| содержится в 6-ти, мы делали, собственно говоря, два действия:

4 . 6 = 24 (столько четвертей в 6 целых) 24 : 3 = 8 (столько раз 3 четверти содержатся в 24 четвертях),

но введя деление на дробь, пишем просто:

Во-2-х, одинаковые по смыслу задачи решаются одинаковыми действиями, какие бы ни были заданы в них числа—целые или дробные.

Рассмотрим, например, такие задачи:

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Верховой проехал 5 км за 2 часа. Сколько км проехал бы он за час?

Верховой проехал 5 км за т часа. Сколько км проехал бы он за час?

Верховой проехал 5 км за - часа.

Сколько км проехал бы он за час?

Все эти задачи мы решаем теперь одним и тем же действием—делением.

То же самое будет и в задачах на деление по содержанию, например:

Задача 4.

Задача 5.

Задача 6.

У шляпной мастерицы было 6 арш. ленты. На сколько шляп хватит ей этой ленты, если на отделку одной шляпы идет 2 арш?

6:2 = 3.

У шляпной мастерицы было 6 арш. ленты. На сколько шляп хватит ей этой ленты, если на отделку одной шляпы идет т арш.?

У шляпной мастерицы было 6 арш. ленты. На сколько шляп хватит ей этой ленты, если на отделку одной шляпы идет -J арш.?

Рассмотрим еще деление на смешанное число и покажем, что смысл деления и тут будет тот же, что и раньше. Возьмем, например, такую задачу:

Поезд прошел 66 км за 2-^- часа; сколько км проходит он в час?

Заменим 2— часа соответствующей неправильной дробью — будем иметь теперь видим, что в часа поезд прошел 66 км, значит за часа он должен пройти 66:11, или 6 км, а за час — 6.4, т.-е. 24 км. Проверим теперь задачу: для этого придется умножить 24 км на 2^-, и мы будем иметь 24 . 2— = 24 . 2

Итак, мы нашли здесь такое число, которое после умножения на 2-^ дает 66, т.-е. наша задача решается делением 66 на 2-^-. сокращенно записываем ее решение так:

Еще пример:

У портнихи есть 24^- метра ситца; сколько кофточек может она сделать из этого ситца, если на каждую идет 3-^- метра?

Очевидно, кофточек можно сделать столько, сколько раз в 24-^- м содержится 3-^- м, т.-е. задача решается делением:

Итак, всего можно сделать 7 кофточек; проверяя теперь задачу, мы умножим 3-^- м. на 7, и получим 24-^-. Таким образом, и здесь смысл деления прежний — мы нашли такое число (7), на которое надо умножить 3-^-, чтобы получить 24-^-.

§ 119. Какие задачи мы решаем делением на дробь или на смешанное число. Рассмотрим такие задачи:

1) От веревки отрезали -у её, и это составило 27 метров. Какой длины была вся веревка?

Если бы мы не знали еще деления на дробь, то решали бы эту задачу двумя действиями: сначала нашли бы, сколько метров будет в всей веревки (27 : 3 = 9), а затем—сколько метров во всей веревке (9.5 = 45). Теперь же можем рассуждать так: 4~ всей веревки равны 27 м; это значит — во всей веревке столько метров, что помножив это число на —, мы должны получить 27 м.; поэтому мы узнаем длину всей веревки, если разделим 27 метров на —:

Во всей веревке 45 метров.

2) 3 а -|- кг кофе заплачено 450 р у б.; сколько стоит один к и л о грамм этого кофе?

И здесь, если бы мы не знали деления на дробь, мы вычисляли бы отдельно, сколько рублей стоит 4~ кг

(450 : 5 = 90), и сколько придется заплатить за целый кг (90 . 8 = 720); теперь же рассуждаем так: если бы мы знали, сколько стоит кг кофе, то,взявши от этого числа -|- (т. - е. умножив его на -g•), мы получили бы 450 руб.; значит, цену килограмма кофе мы можем найти, разделивши 450 руб. на -g-;

Килограмм кофе стоит, таким образом, 720 руб.

3) Из 7-у метров проволоки нужно сделать прутики для счетов, длиною каждый по -^-метра. Сколько выйдет таких прутиков?

Очевидно прутиков выйдет столько, сколько раз ~ м содержится в 7-^ м., т.-е. мы должны разделить 7-^- на — :

Из всей проволоки выйдет 10 прутиков.

4) Сколько можно сшить рубашек из 76 арш. полотна, если на каждую рубашку идет 4-^- арш.? Всех рубашек выйдет столько, сколько раз в 76 арш. содержится A-J- арш.; это мы узнаем делением:

Итак, из всего полотна можно сшить 16 рубашек.

5) 3а 2-|- пуда ржаной муки дают 1 пуд пшеничной (высшего сорта). Сколько пшеничной муки можно получить за 1 пуд ржаной?

За 1 пуд ржаной муки дадут, очевидно, не целый пуд пшеничной, а часть его, притом такую часть, какую составляет 1 от 2-^-. Это мы узнаем делением 1 на 2-^-, или у на -s-; рассуждаем при этом так: 2 половины от 5 половин составляют такую же часть, как и 2 целых от 5 целых,

Итак, за 1 пуд. ржаной муки можно получить пшеничной -g- пуда, или 16 фунтов.

6) Медный шарик весит 258грам м о в. Сколько должна весить вода в объеме этого шарика, если медь тяжеле воды в 8,6 раза?

Медь тяжеле воды в 8,6 раза — значит вода весит столько, что, умноживши это число на 8,6 (т.-е. найдя от него 86 десятых), мы должны получить 258 граммов. Следовательно, мы должны разделить 258 г на 8,6 или на 86 десятых; ясно, что 1 десятая искомого веса будет 258 : 86, т.-е. 3 г, а вся вода весит 3 . 10, т.-е. 30 г. Записываем это так:

Рассматривая данные задачи, мы видим, что делением на дробь или на смешанное число решаются те задачи, в которых приходится или по данной части числа находить все число, или узнавать, сколько раз одно число содержится в другом, или какую часть одно число составляет от другого,— вообще, отыскивать число, которое после перемножения со вторым из данных чисел даст в результате первое.

Короче говоря, при помощи деления на дробь приходится решать задачи, в которых при замене данных дробей целыми числами пришлось бы выполнять деление.

§ 120. Приемы деления целого числа или дроби на дробь.

1) Устное деление. Пусть, например, мы должны разделить 15 на -gj это все равно, что найти число, -g- которого равны 15. Вычисляем так: искомого числа = 5, а все число в 8 раз больше—40“, и записываем

Подобным же образом разделить на g —это все равно, что найти число, g которого равны —, и мы вычисляем так: „-^ искомого числа = -, а все число в 8 раз больше--или 10 целых“, и записываем это так:

Видим, что в этих случаях устного деления мы поступаем так: делим данное число на числителя дроби, а полученное умножаем на знаменателя. Очевидно, этот прием пригоден тогда, когда данное делимое (или числитель его) делится на числителя той дроби, которая является делителем.

Другой прием устного деления пригоден тогда, когда данные числа легко привести к одному знаменателю. Мы рассматривали уже (§ 78) случаи, когда для деления даны дроби с одинаковыми знаменателями; мы видели, что в этих случаях достаточно разделить одни числители, например:

так как разделить данные числа все равно, что найти, сколько раз в -g- содержится ^, а для этого достаточно разделить 15 на 3.

Заметим, что правило это остается в силе и тогда, когда первый числитель меньше второго (или вообще не делится на второй). Пусть, напр., нужно разделить на

-jq-; это все равно, что найти, какую часть составляет jqOt-j^-; очевидно -jö0TIö составляет у • а То составят у, т. е. как и раньше.

Пусть теперь нам дано разделить 4 на ^.

Сообоажаем так: 4 целых — все равно, что 12 третей, значит:

Итак, если данные дроби легко привести к одному знаменателю, то мы делаем это и затем делим одних числителей — безразлично, делится ли первый из них на второй без остатка или нет.

2) Письменное деление. Пусть нам нужно разделить 7 на -g. Рассуждаем так: это значит найти число, -g- которого равны 7; тогда искомого числа будет 7 : 5, или \, а все число—в 8 раз больше, т.-е. ^- или 11-^. Все вычисление можно записать так:

Можно, однако, рассуждать и по иному: разделить 7 на g, значит узнать, сколько раз в 7 содержится -g-; так как 7 целых—все равно, что -g-, то имеем

Обратим теперь внимание на то, как получается частное ~ из данных чисел. Очевидно, что числитель частного (56) получился от умножения данного целого числа (7) на знаменателя данной дроби (8); а знаменателем его стал числитель данной дроби; отсюда ясно правило: чтобы разделить целое на дробь, достаточно умножить это целое на знаменателя дроби и полученное разделить на числителя дроби. Как видно, порядок вычисления здесь обратный тому, который был установлен для устного вычисления, но от этого результат, очевидно, не меняется (например, 7 : -g- = -у = — и

Получаемый после деления результат иногда можно бывает сократить, например:

Заметим, однако, что это сокращение лучше выполнять (как и приумножении) до окончательного вычисления; например, при делении 15 на-g- мы должны умножить 15 на знаменателя дроби 8, а полученное произведение разделить на ее числителя 25; обозначим эти действия, не выполняя их сразу, а потом произведем сокращение; будем иметь сразу:

как и прежде.

Подобным же образом:

Заслуживает особого внимания случай, когда делимым будет число 1; так, например:

Из подобных примеров видно, что от деления 1 на какую-либо дробь мы получаем дробь обратную (т.-е. такую, числителем которой будет прежний знаменатель, а знаменателем—прежний числитель).

Рассмотрим теперь случай деления дроби на дробь, например:

Это значит — найти число,— которого равны —; в таком случае — искомого числа должна быть равна — : 2, или — ? а все число—в 3 раза больше, т.-е.—. Все вычисление можно записать так:

Рассмотрим теперь, как получилось частное ^—j из данных дробей [— и —^. Ясно, что числитель найденной дроби (15) получился от перемножения 5 на 3, т.-е. числителя первой из данных дробей на знаменателя второй; а знаменатель ее (16) —от перемножения 8 на 2, т.-е. знаменателя первой дроби на числителя второй; таким образом, мы можем установить такое правило: чтобы разделить дробь на дробь, достаточно помножить числителя первой дроби на знаменателя второй, а знаменателя первой на числителя второй и первое произведение разделить на второе.

Тот же вывод мы можем сделать, рассуждая и иначе.

Разделить— на -2-, значит также найти, сколько раз в —

содержатся-^-, или какую часть составляют — от —; для этого достаточно привести данные дроби к общему знаменателю и потом разделить их числителей:

Мы получили, как видно, прежнее частное; ясно, что правило деления, которое можно отсюда вывести, будет таким же, как было сейчас установлено.

На основании этого правила получаем, например:

И здесь часто можно бывает сократить получаемую дробь, причем, как мы видели и выше, следует выполнять это сокращение до окончательного вычисления; например, если нужно разделить — на —, то мы сначала только обозначим производимые действия, а затем сократим полученную дробь:

Подобным же образом нашли бы:

Рассмотрим теперь, что есть общего в приемах деления целого числа и дроби на дробь. Мы видели, что при делении целого на дробь мы множим данное число

на знаменателя дроби и делим полученное на числителя ее (или наоборот); так:

Но ясно, что дробь можно рассматривать, как получившуюся от умножения 7 на дробь — ; таким образом: т.-е. разделить данное число (7) на дробь—— все равно, что умножить это число на обратную дробь —.

Возьмем теперь случай деления дроби на дробь, например: — на —.

По предыдущему мы имеем:

Рассмотрим, как получилась эта дробь из данного делимого —. Ясно, что и здесь мы можем умножить данное число ^—\ на знаменателя дроби (8), а полученное число (—j разделить на числителя дроби (на 5) будет -1-; с другой стороны, полученную дробь мы можем рассматривать, как произведение данной дроби— на дробь —, т.-е. и таким образом и здесь разделить данное число на --все равно, что умножить его на обратную дробь 4-.

Итак, мы видим, что во всех случаях деления на дробь сущность приема деления одна и та же — мы множим данное число на знаменателя дроби и делим полученное на ее числителя, и притом разделить какое-либо число на дробь — все равно, что умножить его на дробь обратную.

Мы рассмотрели таким образом все возможные случаи деления и можем заметить, что в дробных числах деление всегда возможно не только при делении двух целых чисел, как это мы видели в §§ 77 и 84, но и в любом случае деления на целое или на дробь.

Обратим теперь внимание еще на одну особенность деления на дробь, отличающую его от деления на целое число. Рассмотрим какие угодно случаи деления на целое число:

Мы видим, что во всех этих случаях частное меньше делимого (10 менее 30,— менее 5, — менее — и т. д.); да так оно и должно быть, потому что мы получаем делимое, помноживши частное на делителя, т.-е. увеличивая его в несколько раз. Итак от деления на целое число данное делимое уменьшается (кроме, конечно, случая деления на 1, когда оно остается без изменения). Посмотрим теперь, что будет при делении на дробь:

Мы видим, что здесь во всех случаях частное больше делителя (24 более 18; 7— более 5 ит. д.), и ясно, почему

так должно быть: мы делим здесь на правильную дробь, а это все равно, что множить данное число на обратную дробь, т.-е. на неправильную; от умножения же на неправильную дробь получается, как мы видели в свое время, число, большее данного. Таким образом, от деления на правильную дробь данное число увеличивается.

Теперь возьмем случаи деления на неправильную дробь:

Частное здесь всюду меньше делимого, и ясно, почему: разделить на неправильную дробь—все равно, что умножить на дробь обратную, т.-е. правильную, а от этого число уменьшается.

Итак от деления на неправильную дробь данное число уменьшается (кроме, конечно, случая деления на дробь, равную единице, как, например: — или —у когда оно остается без изменения).

§ 121. Деление смешанных чисел. Собственно говоря, во всех случаях деления, где у нас встречаются смешанные числа, мы можем заменять их неправильными дробями и выполнять действие по правилам, выведенным для дробей. Но бывают случаи, когда проще бывает найти результат иными приемами, как увидим ниже.

1) Устное деление. Рассматривая деление смешанного числа на целое, мы видели (§ 77), что часто бывает удобно выполнять это деление по частям, например, деля 47 — на 7, мы вычисляем так: „42 на 7 = 6, 5 — на 7 или — на 7 = —; всего 6 —Подобным же образом можно поступать иногда и в других случаях деления смешанных чисел. Пусть,

напр., мы должны разделить 6 — на—; мы можем рассуждать здесь так: „— в целой единице содержится 4 раза, а в 6 единицах — 4. 6, т.-е. 24 раза, да в 1 половине —2 раза, а во всем числе — 26 раз“, т.-е.

Точно так же, если нужно разделить 22 i на 1 i то мы можем рассуждать так: „l-j в 2^ содержится 2 раза, значит в 10-ти оно будет содержаться 8 раз, в 20-ти —16 раз, а в

2) Письменное деление. При делении смешанного числа на целое, как мы уже упоминали, лучше всего бывает (если только делимое больше делителя) выполнять действие по частям, например:

При делении же смешанного числа на дробь иногда полезно бывает воспользоваться общим приемом деления на дробь, т.-е. умножить данное число на знаменателя дроби и полученное разделить на ее числителя. Так, например, при делении 232^- на j мы можем сначала умножить 232- на 4, а полученное произведение разделить на 3:

При делении же дроби или смешанного числа на смешанное обыкновенно приходится обращать данные смешанные числа в неправильные дроби и затем поступать по правилам деления дробей. Некоторые упрощенные приемы вычисления будут указаны еще дальше, в § 123.

§ 122. Деление десятичных дробей. Деление на десятичную дробь имеет, понятно, такой же смысл, как и деление на простую дробь; например, разделить 6 на 0,3, значит найти число, 3 десятых которого равны 6, или найти, сколько раз 3 десятых содержатся в 6 целых, — вообще найти, какое число нужно перемножить с дробью 0,3, чтобы получить в результате 6. Поэтому деление десятичных дробей выполняется по тем же правилам, как и деление простых, с упрощениями в некоторых случаях.

1) Устное деление. Пусть мы должны разделить 6 на 0,3. Это значит — найти число, 0,3 которого равны 6; но в таком случае 0,1 искомого числа есть 2, а все число в 10 раз больше — 20. Итак:

Подобным же образом разделить 0,98 на 0,7 — это все равно, что найти число, 0,7 которого равны 0,98, и мы вычисляем так: „0,1 искомого числа будет 0,14, а все число в 10 раз больше, т.-е. 1,4“. Записываем это так:

Видим, что в этих случаях устного деления на десятичную дробь мы поступаем так же, как и при делении на простую дробь : делим данное число на числителя дроби, а полученное умножаем на ее знаменателя; ясно, что этот прием пригоден по преимуществу тогда, когда данное делимое (или его числитель) делится на числителя той дроби, которая является делителем.

Но мы можем рассуждать и иначе, как это уже делали раньше (в § 91). Разделить 6 на 0,3 значит также найти, сколько раз в 6 целых содержатся 3 десятых; но 6 целых— все равно, что 60 десятых, а в 60-ти 3 содержатся 20 раз. Таким образом:

Точно так же, разделить 9,8 на 0,07 значит найти, сколько раз 7 сотых содержатся в 98 десятых, или в 980 сотых; чтобы это узнать, делим 980 на 7 и получаем 140. Это можно записать так:

Итак, видим, что при делении на десятичную дробь можно пользоваться и таким приемом : привести данные числа к общему знаменателю и затем разделить одних числителей — как это мы установили и раньше и как делали и при делении на простую дробь.

2) Письменное деление. Пусть нам дано разделить 6 на 0,016. Применим здесь правило деления на простую дробь:

согласно ему, мы должны данное число 6 умножить на знаменателя дроби (на 1000) и полученное число (6000) разделить на числителя дроби (на 16); после деления имеем 375, так что 6 : 0,016 = 375.

Подобным же образом, разделяя 2,03 на 0,7, мы умножаем делимое 2,03 на знаменателя дроби (на 10), а полученное число (20,3) делим на числителя дроби (на 7); окончательно находим 2,9.

Разделим еще 0,009 на 2,25.

Будем рассматривать здесь делителя 2,25, как неправильную дробь (225 сотых), и умножим сначала данное число (0,009) на знаменателя дроби (на 100), а затем полученное число

(0,9) разделим на числителя дроби (на 225); получаем окончательно 0,004.

Итак, видим, что письменное деление на десятичную дробь можно выполнять по тому же правилу, как и деление на простую дробь, а именно: умножить данное число на знаменателя дроби и полученное разделить на ее числителя. Этим приемом мы заменяем деление на дробь делением на целое число.

Но, конечно, мы можем пользоваться и другим приемом, указанным при устном делении, т.-е. приведением данных чисел к общему знаменателю. Пусть например, мы должны разделить 323 на 0,19:

мы обращаем 323 в сотые доли и имеем 323,00; так как теперь у данных дробей знаменатель одинаковый, то мы можем разделить одних числителей — 32300 на 19; выполняем это деление и имеем окончательно 1700.

Подобным же образом нашли бы, что:

Этот прием, подобно первому, приводит к замене деления дробей делением целых чисел. Следует, однако, заметить, что и здесь, как и при делении десятичной дроби на целое число, деление не всегда кончается.

Так, например, пусть нам нужно разделить 3,05 на 0,6; мы множим данное число 3,05 на знаменателя дроби — на 10, а полученное число 30,5 делим на ее числителя — на 6, и видим, что деление это не окончится — при делении долей каждого разряда, начиная с сотых, будет повторяться остаток:

В таком случае нам остается или найти приближенное частное (например, в данном случае имеем приближенное частное 5,08 с точностью до 0,01), или же выразить частное в виде простой дроби, а именно:

Для разыскания частного в виде простой дроби еще удобнее было бы сразу выполнить наше деление по второму способу (приведение данных дробей к общему знаменателю):

Подобным же образом можно поступать и при делении десятичной дроби на целое число, если деление не кончается и мы хотим получить частное в виде простой дроби. Так, например, в § 90 мы делили 0,2 на 6 и нашли в частном бесконечную дробь:

если же мы желаем получить частное в виде простой дроби, то применяем сразу второй способ деления и имеем:

Заметим, однако, что при делении десятичных дробей мы можем предвидеть, кончится ли данное деление или нет, подобно тому, как мы умеем это предвидеть при обращении простой дроби в десятичную, т.-е. при делении одного целого числа на другое (§ 104).

Пусть, например, мы должны разделить 1,8 на 0,25. Приведя данные дроби к общему знаменателю, имеем частное

1,80 : 0,25; а для нахождения его мы должны будем разделить числителей данных дробей, т.-е. 180:25; теперь ясно, что деление это кончится, потому что делитель 25 (числитель второй дроби) состоит только из пятерок (25 = 5.5); мы получаем таким образом:

1,8 : 0,25 = 1,80 : 0,25 = 180 : 25 = 7,2.

Пусть теперь нужно разделить 0,91 на 1,4. Приведя данные дроби к общему знаменателю, мы находим, подобно предыдущему, что 0,91 : 1,4 = 0,91 : 1,40 = 91 : 140. Здесь делитель 140 = 14.10, т.-е. получился от умножения на 10 числителя второй дроби (14); множитель 10, очевидно, не может помешать делению закончиться; множитель же 14 равен 2.7, но семерка не может в данном случае помешать делению, так как 91 делится на 7. Итак, деление должно закончиться; в самом деле:

0,91 : 1,4 = 0,91 : 1,40 = 91 : 140 = 0,65.

Разделим теперь 0,025 на 0,6. Подобно предыдущему, мы находим, что 0,025 : 0,6 = 0,025 : 0,600 : 25 = 600; но делитель 600 =6.100, т.-е. получился от умножения на 100 числителя второй дроби (6); ясно, что множитель 100 не мешает делению закончиться (так как состоит только из двоек и пятерок); множитель же 6 = 2.3, и при этом делимое 25 не делится на 3, следовательно, и деление не может кончиться. Поэтому выражаем частное в виде простой дроби, и имеем,

Пусть еще нужно разделить 2,5 на 15. Подобно предыдущему, приводим данные числа к общему знаменателю и находим, что 2,5 : 15 = 2,5 : 15 0 = 25 : 150; здесь делитель 150 получился от умножения на 10 данного делителя (15); множитель 10, конечно, не мешает делению, а 15 = 3.5, и так как делимое 25 не делится на 3, то деление не закончится. Поэтому вычисляем частное в виде простой дроби:

Мы видим теперь, что возможность окончания деления зависит здесь, как и раньше, от делителя (в частности, от его числителя). Так, в первом случае числитель делителя 25

состоял только из пятерок, и деление заканчивалось; во втором случае числитель делителя 14, кроме двойки, содержал постороннего множителя (7), но этот множитель входил и в делимое (в состав его числителя), и деление также заканчивалось; в остальных же случаях делитель содержал, кроме двоек или пятерок, еще посторонних множителей, которые в делимое не входили, и деление при этом не заканчивалось.

Таким обрезом, мы можем установить такой признак конечного деления: если делитель (или его числитель) содержит только множителей 2 и 5, или таких, которые входят и в состав делимого (или его числителя), то деление окончится; в противном же случае деление не заканчивается, и если мы желаем иметь точное частное, то должны выражать его простой дробью.

Сопоставляя теперь различные случаи деления десятичных дробей, которые мы рассмотрели здесь, мы можем притти к такому заключению: первый способ деления — по правилу деления на простую дробь — более удобен тогда, когда мы хотим получить частное, точное или приближенное, непременно в виде десятичной дроби, или когда знаем наверное, что деление кончится; если же мы не знаем наверное, кончится ли деление, а желаем получить непременно точное частное, хотя бы в виде простой дроби, то следует прибегать ко второму способу деления — с приведением данных чисел к общему знаменателю; то же самое справедливо и относительно деления десятичной дроби на целое число.

§ 123. Основные свойства деления.

1) Деление суммы. Пусть, например, мы должны разделить 93— на 3, Мы вычисляем это так: ,90 на 3 = 30; 3 на 3=1; ~ на 3 = -г, всего 30 и 1 и -^- = 31 4-в; мы таким образом представляем себе делимое 93—, как сумму трех слагаемых ^90 -J- 3 -}- -j-j , и делим на 3 сначала первое слагаемое (90), потом второе (3) и третье ^ j и складываем полученные частные.

Подобным же образом, деля 40,8 на 4, мы вычисляем так: „40 на 4 = 10; 0,8 на 4 = 0,2; всего 10 целых и 4 десятых — 10,4“, т.-е. и тут мы представляем себе делимое 40,8, как сумму двух слагаемых (40 + 0,8), делим на 4 в отдельности каждое слагаемое и складываем полученные частные.

Мы убеждаемся, таким образом, что для дробных чисел остается в силе то же правило деления суммы, что и для целых: вместо того, чтобы делить сумму нескольких чисел сразу на какое-либо число, мы можем разделить на это число каждое слагаемое отдельно и потом сложить все полученные числа. Это правило применяется чаще всего, как мы видели, при делении смешанного числа.

2) Деление разности. Пусть нужно разделить 99,2 на 4. Мы выполняем это так: вместо данного числа 99,2, делим 100 на 4 части — получаем 25; но мы взяли тут для деления лишних 0,8, значит, на каждую часть пришлось лишнего по 0,2; этот излишек нужно теперь отнять от 25, и мы находим частное 24,8. Таким образом, мы представляли себе данное делимое 99,2 как разность двух чисел (100 — 0,8), делили на 4 отдельно уменьшаемое (100) и вычитаемое (0,8) и отнимали от первого частного второе.

На основании подобных примеров можем убедиться, что для дробных чисел остается в силе то же правило деления разности, что и для целых, а именно: вместо того, чтобы делить разность двух чисел сразу на какое-либо число, мы можем разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно, и от первого частного отнять второе. Этим правилом, как мы видели, следует пользоваться при делении чисел, легко закруглимых, которые можно представить в виде разности двух чисел.

3) Деление произведения. Пусть нам нужно разделить 2500 на 6-^-; мы можем рассуждать при этом так:

w6-i- в 25-ти содержится 4 раза, а 25 в 2500 содержится 100 раз; значит, 6-*- в 2500 должно содержаться 100 раз по 4,

т.-е. 400 раз“. Очевидно, мы представляем себе здесь данное делимое 2500, как произведение двух чисел (25.100), делим на 6-^- одного из этих сомножителей (25) и полученное частное (4) умножаем на другого сомножителя.

На основании подобных примеров мы заключаем, что и здесь остается в силе прежнее правило деления произведения : вместо того, чтобы сразу разделить произведение двух или нескольких чисел на какое-либо число, можно разделить на это число одного из сомножителей, а полученное помножить на другого сомножителя (или по порядку на всех других, если сомножителей более двух).

4) Деление па произведение. Пусть нужно разделить 8,4 на 600. Мы вычисляем это так: делим сначала 8,4 на 6— получаем 1,4; теперь это число делим еще на 100 (перенося запятую) и имеем 0,014. Мы представляем себе тут делителя 600, как произведение 6 на 100, и делим данное число сначала на первого сомножителя (6), а потом полученное на второго сомножителя (100).

Пусть еще нужно разделить 104-g- на 8. Мы можем вычислить это так: разделим данное число сначала на 2 — получим 52-^-; это число разделим снова на 2 — будем иметь 26-^-; и, наконец, последний результат разделим еще на 2, и найдем 13-^-. Мы, таким образом, и здесь рассматривали делителя 8, как произведение (2.2.2), и делили данное число последовательно на всех сомножителей.

Ясно, что правило деления на произведение остается и здесь прежним : вместо того, чтобы сразу делить какое-либо число на произведение, мы можем разделить его последовательно: сначала на первого сомножителя, потом полученный результат на второго и т. д.

§ 124. Упрощенные приемы умножения и деления, основанные на изменениях произведения

и частного. В свое время (ч. I, § 51) мы подметили и установили для целых чисел ряд правил относительно изменения произведения и частного, а именно:

если мы одного из сомножителей увеличим в несколько раз, той произведение увеличится во столько же раз;

если мы увеличим делимое в несколько раз, то и частное увеличится во столько же раз;

если мы увеличим делителя в несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз;

произведение двух (или нескольких) чисел не изменится, если мы одного из сомножителей увеличим в несколько раз, а другого уменьшим во столько же раз;

частное двух чисел не изменится, если мы делимое и делителя одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз, и т. п.

Нетрудно убедиться при помощи проверки на частных примерах, что все эти свойства произведения и частного остаются в силе и для дробных чисел.

Так, например, пусть имеем произведение

Увеличим первого сомножителя в 10 раз, а второго уменьшим в 10 раз; получим

125 0,4 = 50,0 = 50,

т.-е. произведение не изменилось.

Возьмем снова прежнее произведение

и уменьшим теперь первого сомножителя в 2 — раза (т.-е. разделим его на а второго увеличим в 2-^- раза (умножим на 2-i-); будем иметь

т.-е. произведение опять не изменилось, как это было и с целыми числами. Возьмем частное

и увеличим делимое и делителя в 4 раза; получим

— частное не изменилось.

Возьмем снова прежнее частное

и уменьшим делимое и делителя в 1— раза (разделим их на 1—, или умножим на-yj; будем иметь

т.-е. частное снова не изменилось, и т. п.

Заметим, что в дробных числах увеличить не всегда значит умножить, как и уменьшить не всегда означает разделить, а потому чаще выражают эти свойства в такой форме, чтобы ясно было указано, какое действие совершается с сомножителями или делимым и делителем, а именно:

если мы одного из сомножителей умножим на какое-либо число, то и произведение умножится на это число;

если мы делимое умножим на какое-либо число, то и частное умножится на это число;

если мы делителя умножим на какое-либо число, то частное разделится на это число;

произведение двух (или нескольких) чисел не изменится, если мы одного из сомножителей умножим на какое-либо число, а другой разделим на то же число;

частное двух чисел не изменится, если мы делимое и делителя одновременно умножим или разделим на одинаковые числа, и т. п.

На основании этих свойств произведения и частного мы можем, как и при действиях над целыми числами, упрощать вычисления во многих случаях.

Пусть, например, мы должны помножить 52 на 2~; мы множим, вместо этого, 52 на 10, и имеем 520, но при этом мы увеличили множителя 2-~- в 4 раза, значит и произведение возросло также в 4 раза; чтобы найти теперь истинное произведение, нужно полученное число 520 уменьшить в 4 раза, и мы будем иметь 130.

Пусть теперь мы должны разделить 85 на 33~; мы делим, вместо этого, 85 на 100 и имеем 0,85. Но при этом мы увеличили делителя 33-4- в 3 раза; значит частное 0,85 меньше истинного в 3 раза, и чтобы найти истинное частное, мы должны умножить 0,85 на 3; получаем 2,55. Пусть еще мы должны перемножить числа

300.4.0,12.

Легко видеть, что произведение это не изменится, если мы у первого сомножителя отбросим два нуля (уменьшим его в 100 раз), а у последнего откинем запятую (увеличим его в 100 раз); мы получим тогда

3.4.12,

и легко видеть, что произведение это равно 144.

Но особенно часто приходится пользоваться в подобных случаях свойством неизменяемости частного. Мы уже видели (§§ 78 и 91), что при делении дробей с одинаковыми знаменателями мы можем этих знаменателей отбросить и делить одних числителей, например:

Собственно говоря, отбрасывая здесь знаменателей, мы множим делимое и делителя в первом примере на 4, а во втором на 100, и частное, как видно, остается при этом без изменения.

Но и независимо от этого есть не мало случаев, когда мы можем упростить деление, умножая или деля делимое и делителя на одинаковые числа. Пусть, например, нам нужно разделить 525 на 700; уменьшая оба числа в 100 раз, имеем:

Или, например, пусть нужно разделить И2-2- на 1-^-; увеличивая оба данные числа в 8 раз, получаем:

Заметим, что, пользуясь этим приемом, мы можем вообще всегда заменить отношение двух дробных чисел (или целого и дробного) равным ему отношением двух целых чисел, или, как говорят, освободить данное отношение от дробей.

Пусть, например, мы имеем отношение 3 : 16-|-. Величина его не изменится, если мы делимое и делителя умножим на знаменателя данной дроби, т.-е. на 3; а тогда найдем

т.-е. наше отношение освобождено от дробей, и ясно, что оно равно -эд.

Пусть еще мы должны найти отношение 6-—- : 4~-. Чтобы освободить его от дробей, соображаем, что делимое и делителя придется помножить на число, которое делилось бы на обоих знаменателей (на 4 и на 6), и было бы по возможности наименьшим; такое число (наименьшее кратное 4 и 6) есть 12. Умножая же делимое и делителя на 12, мы имеем

Полученное отношение мы можем еще сократить, разделивши делимое и делителя на 25, и окончательно находим

§ 125. Совместное умножение и деление простых и десятичных дробей. Мы уже видели (§ 111), что в случае совместных действий над простыми и десятичными дробями мы можем или все данные дроби обратить в десятичные (если они обращаются в конечные дроби), или, наоборот, обратить все дроби в простые, и произвести действия по известным нам правилам. Однако, нередко можно бывает выполнить умножение или деление десятичной и простой дроби и без такого обращения, по непосредственным соображениям.

Пусть например, мы должны найти произведение

это значит — от числа 1,12 найти а для этого надо разделить 1,12 на 40 и полученное умножить на 7 или наоборот. Здесь удобнее выполнить действия именно в обратном порядке:

Подобным же образом, если нам нужно было бы найти частное тех же дробей

то мы рассуждали бы так. Разделить 1,12 на значит найти число, — которого равны 1,12; но в таком случае^искомого числа будет 1,12:7 = 0,14, а все число в 40 раз больше: 0,14.40 = 5,6. Итак, мы имеем:

В данных примерах все вычисления приводили к конечным десятичным дробям; но это, разумеется, не всегда бывает. Пусть, например, мы должны перемножить дроби:

По предыдущему мы должны умножить 0,26 на 7 и полученное разделить на 9, т.-е.:

и теперь нам придется или находить приближенное частное, например :

или выразить его в виде простой дроби:

§ 126. Поверка действий над дробными числами.

В свое время мы убедились (§§ 33 и 52), что каждое действие можно проверять двумя способами: при помощи того же самого действия и обратного ему. Это заключение, конечно, остается в силе и для проверки действий над дробными числами.

Пусть, например, мы имеем произведение:

Мы можем проверить сделанное действие, во-1-х, умножением — перемножая те же числа в обратном порядке:

Во-2-х, мы можем произвести проверку при помощи деления, разделив произведение на одного из сомножителей:

Видим, таким образом, что действие произведено верно. Пусть еще мы имеем частное:

Мы можем проверить это деление или умножением — перемножая частное с делителем:

или делением — разделяя делимое на частное:

Разумеется, все указанные способы проверки относятся к тем случаям, когда частное у нас точное, а не приближенное.

§ 127. Процентные вычисления. В §§ 93 — 94 мы познакомились с тем, как найти процентное отношение двух чисел и как производятся простейшие процентные вычисления; теперь мы рассмотрим те же вопросы для случаев, когда данные в задаче числа будут не только целыми, но и дробными.

1) Нахождение процентного отношения двух чисел. Рассмотрим такую задачу:

Для приготовления металлического сплава (томпака) взято 18 кг меди и 1 кг цинка. Сколько процентов всего сплава составляет медь?

Всего сплава будет вот сколько: 18^ кг да еще 1™ кг, т.-е. 20 кг. Теперь мы должны найти, сколько процентов составляет 18-j- от 20. Для этого мы найдем сначала, какую часть составляет 18-*- от 20:

а теперь узнаем, сколько в этой части содержится процентов, т.е. сотых долей; для этого нам придется дробь ~ разделить на г?:;?, или умножить на 100:

Итак, медь составляет 91-^-% всего сплава. Возьмем еще задачу:

Какой крепости будет спирт, если к 4-J- литрам чистого спирта прилить 2 литра воды?

Крепость спирта, разбавленного водой, выражают обычно в градусах, а градус, это — сотая часть, т.-е. тот же процент; значит, мы должны найти, сколько процентов от всей смеси составляет чистый спирт. Всей смеси будет здесь 4~-|-2, т. е. 6-^-литров; сначала мы найдем, конечно, какую часть составляет 4-4- от б—:

а потом узнаем, сколько в этой части процентов, т.-е. сотых долей; для этого разделим на или вместо того умножим на 100:

Крепость спирта будет, таким образом, 68 процентов, или иначе 68 градусов.

Рассматривая эти задачи, мы видим, что прием вычисления процентного отношения двух чисел остается прежний: мы делим первое число на второе (чтобы

узнать, какую часть составляет первое число от второго), и полученное множим на 100.

Порядок этих действий можно, конечно, как и раньше, изменить, т.-е. сначала множить первое из данных чисел на 100, а потом полученное делить на второе число; нередко это упрощает вычисления например, в первой задаче мы имели бы сразу:

или еще проще, производя сокращение:

Пусть еще нам нужно узнать, сколько процентов составляет 1-g- от 9-^-. По предыдущему мы будем иметь:

теперь мы можем выполнить это вычисление так: умножим делимое и делителя на 6 (чтобы освободить отношение от дробей); получим.

Подобным же образом решаются и другие вопросы, где отношение двух чисел нужно выразить не в процентах, а в промиллях (тысячных) или иных долях.

Пусть, например, нам дана такая задача:

Для сплава взято 10-—- граммов чистого золота и 1~ грамма меди. Какой пробы будет сплав?

Пробу вычисляют по десятичной системе в тысячных долях (промиллях); поэтому рассуждаем так:

Всего сплава будет у нас 10-i- -f- 1-у-» т.-е. 12 г; мы должны сначала найти, какую часть всего сплава (12 г) составит чистое золото а затем узнать, сколько в этой части тысячных долей ; для этого придется данную дробь разделить на ^щ, или умножить на 1000:

Таким образом, сплав будет 875 пробы по десятичной системе. По обычной же системе мы вычисляем пробы в 96-х долях (т.-е. узнаем, сколько было бы золотников чистого металла в фунте сплава); это можно вычислить подобным же способом. Чистое золото, как мы видели, составляет -g- сплава (10-у- : 12J; чтобы узнать, сколько здесь 96-х долей, мы должны разделить -Q-на-^, или умножить на 96:

т. е. сплав будет по обычной системе 84 пробы. Разумеется, и в этих задачах мы могли проделать вычисление сокращенно, изменив порядок действий. Так, например, в последнем вычислении мы могли, не выполняя окончательно деления 10 ^—на 12, а только обозначивши его:

умножить это отношение на 96, и имели бы сразу:

2) Нахождение нескольких процентов от данного числа Решим такую задачу:

Ведро молока весит 31 -i-ф. Сколько фунтов творога выйдет из этого молока, если обыкновенно получается творога 8% (по весу)?

Чтобы вычислить это, мы должны, очевидно, от 31-^- ф. найти 8%, или 8 сотых, а для этого достаточно разделить 31-i- на 100 (найти 1 процент) и полученное число умножить на 8; мы будем иметь:

т.-е. всего творогу выйдет 2-— фунта. Возьмем еще задачу:

Школа получает по ассигновке 72000 р., из них 37-^-% выдается на хозяйственные расходы. Сколько денег назначается на хозяйственные расходы?

Чтобы найти это, мы должны вычислить 37-у-% от 72000 руб., а для этого нужно, очевидно, разделить 72000 на 100 (найти 1 процент) и полученное число умножить на 37-^-; мы будем иметь:

т.-е. на хозяйственные нужды пойдет 27000 руб.

Рассматривая эти задачи мы видим, что для нахождения нескольких процентов от данного числа применяется

такой прием: данное число мы делим на 100 (находим 1 процент) и множим на число процентов, при чем, конечно, порядок этих двух действий можно и изменять.

Разумеется можно упрощать вычисления в отдельных случаях. Пусть, например, мы должны найти 33-~% от числа 115-^-; мы замечаем, что 33-~%—все равно,что -~- от данного числа (в самом деле, 32>-\ % = ^г%, т. е. получается от деления 100%, или целой единицы, на 3); поэтому имеем:

Пусть еще мы должны найти 42 *-% от 148. Мы можем вычислить это по частям, располагая действие такими строчками:

Вычислим еще 36 *-% от 288. Это можно найти также по частям таким образом:

3) Нахождение числа по данным нескольким его проиентам. Возьмем задачу:

Из молока получается, приблизительно, 3% масла (по весу). Сколько

нужно взять молока, чтобы получить из него 1 фунт масла?

Очевидно, 3-^-% искомого количества молока и равны 1 фунту; значит, 1%этого количества будет равен 1 : 3-^-, или -у ф. ; а все количество (100%) будет в 100 раз больше, т.-е.100, или 28-у ф. ^приблизительно 28 — ф. \ Сокращенно мы можем записать все вычисление так:

Вот еще подобная задача:

Рабочие одной фабрики отчислили на помощь голодающим 7^-% полученной ими муки, и это составило 11-j- пуда. Сколько муки они должны были бы получить без отчисления?

И здесь мы, очевидно, должны найти сначала 1% всей муки, и для этого разделить 11^- на 7—:

а затем найти и все 100%, т.-е. умножить полученное число на 100:

Таким образом, всей муки должно было быть 150 пудов.

Сокращенно мы это можем записать так:

Из рассмотрения подобных задач ясно, что для нахождения числа по нескольким его процентам пригоден такой прием : мы делим данное число на число процентов (находим 1%) и полученное множим на 100; конечно, порядок этих действий может быть и изменен, если это удобнее.

Так, например, пусть нам нужно найти число, 6у0/о которого равны 15; это число будет равно

В отдельных случаях мы можем упрощать вычисление. На пример, пусть нам сказано, что 14-^-% некоторого числа равны 16, и нужно найти все это число; мы соображаем, что 14^-%— все равно, что ^-%, или — искомого числа (так как -у-% получено от деления 100%, т.-е. всего числа, на 7); если же -~ искомого числа равна 16, то все число будет 16 . 7, или 112.

Пусть еще нужно найти число, 22~°'0 которого равны 117. Мы можем вычислить это по частям, такими строчками:

Итак, искомое число равно 520.

§ 128. Возвышение в степень дробных чисел. Пусть нам нужно возвести -j- во вторую степень; это значит умножить — на -J-, и мы получаем:

Пусть еще мы должны возвести -у в третью степень.

Это значит взять сомножителем 3 раза, т.-е. умножить ~Y на -3- и еще на -у-; мы будем иметь:

Подобным же образом

Рассматривая подобные примеры, мы замечаем, что везде числитель дроби получается от возвышения в степень числителя данной дроби, а знаменатель — от возвышения знаменателя; поэтому устанавливаем такое правила: чтобы возвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень ее числителя и знаменателя отдельно, и полученные числа разделить друг на друг.

Это правило можно применить, конечно, и к десятичным дробям; поэтому будем иметь, например:

Рассматривая теперь эти последние примеры, мы видим, что для десятичных дробей можно еще упростить правило возвышения в степень, а именно: достаточно возвести в указанную степень числителя, а число знаков после запятой увеличить во столько раз, какова степень (в два раза — при возвышении во вторую степень, в три раза — при возвышении в третью и т. д.).

§ 129. Извлечение квадратного корня из дробных чисел.

Пусть нам нужно найти квадратный корень из -щ. Это значит найти такое число, которое нужно возвести во вторую степень, чтобы получить Щ ; ясно, что искомое число не

может быть целым; если же существует такая дробь, квадрат которой равен то числитель ее при умножении на самого себя должен давать 25, а знаменатель—64, т.-е. числитель этой дроби должен быть равен 5, а знаменатель — 8, а самая дробь, очевидно, будет -g-. Итак, мы нашли, что квадр. корень из

потому что

Подобным же образом

квадр. корень из

потому что

На основании таких примеров, можем установить правило: чтобы извлечь квадратный корень из дроби, достаточно извлечь квадратный корень из ее числителя и знаменателя отдельно, и первое найденное число разделить на второе.

Это правило, конечно, можно применить и к десятичным дробям; поэтому можем найти, что:

Рассматривая эти результаты, видим, что квадратный корень из десятичной дроби можно получить и короче, а именно: достаточно извлечь квадратный корень из числителя данной дроби, а число цифр после запятой уменьшить вдвое.

§ 130. Нахождение приближенных корней. Ясно, что квадратный корень можно извлечь не из всякой дроби: так, например, мы не можем извлечь квадратного корня из — или ——, потому что в первом примере числитель (2), а во втором знаменатель (1000) не имеют точного квадратного корня.

В таких случаях мы можем вычислять, если нужно, приближенный корень с точностью до той или иной доли единицы. Мы покажем здесь, как находить прибли-

женный квадратный корень с какою-либо десятичной точностью из дробного или целого числа.

Пусть, например, мы должны найти квадратный корень из 0,19. Из знаменателя этой дроби (100) мы можем извлечь квадратный корень, — это будет 10; из числителя же (19) точного корня нет, и мы можем найти лишь приближенный целый корень: таким числом будет 4, потому что 42 менее 19, а 52 уже более 19. Теперь видно, что данное число 0,19 точного корня не имеет, но заключается между числами 0,43 =0,16 и 0,52 = 0,25, так что 0,4 будет наибольшее число, выраженное в десятых долях, квадрат которого не превышает данного числа 0,19; мы будем называть поэтому число 0,4 приближенным квадратным корнем из 0,19 с точностью до 1 десятой, с недостатком.

Подобным же образом, пусть нужно извлечь квадратный корень из 0,0053. Из знаменателя данной дроби (10000) можно извлечь квадратный корень, и получим 100; из числителя же (53) мы можем извлечь только приближенный корень, и это будет 7, так как 73 = 49, менее 53, а 82 = 64 уже более 53. Значит и число 0,0053 точного корня не имеет, но заключается между 0,072 = 0,0049 и 0,082 = 0,0064.

Таким образом, число 0,07 будет наибольшее число, выраженное в сотых долях, квадрат которого не превышает данного числа 0,0053; поэтому, мы будем называть число 0,07 приближенным квадратным корнем из 0,0053 с точностью до 1 с о т о й, с недостатком.

Покажем теперь, как вычисляются такие приближенные корни из любого числа. Пусть, например, мы должны найти квадратный корень из 3 с точностью до 1 десятой. Для этого обращаем данное число 3 в сотые доли; будем иметь 3,00. Корень из знаменателя будет теперь 10; найдем еще корень (приближенный) из числителя 300. Вычисляем это, как было указано в свое время (ч. I, § 69); ясно, что искомый корень более 10 (так как 102 = 100), но менее 20 (так как 202 = 400). Предполагаем, что корень равен среднему числу между 10 и 20, т.-е. 15, и для проверки делим 300 на 15; получим 20. Теперь предполагаем, что корень равен среднему числу между 15 и 20, т.-е. 17; делим 300 на

17 и имеем в частном 17 и в остатке 11. Итак, приближенный квадратный корень из 300 есть 17; поэтому, приближенный корень из 3,00 будет 1,7 с точностью до 1 десятой, с недостатком (в самом деле, число 3,00 заключается между 1,72 = 2,89 и 1,82 = 3,24).

Пусть теперь из того же числа 3 нужно найти квадратный корень с точностью до 1 сотой. Для этого нам придется обратить 3 уже в десятитысячные доли (так как 1002 = 10000); будем иметь 3,0000. Теперь корень из знаменателя равен 100, и нам остается извлечь корень из числителя 30000.

В этом числе 300 сотен, следовательно, искомый корень должен содержать столько десятков, чтобы их квадрат был равен приблизительно 300. Такое число мы уже нашли— это будет 17 (с недостатком); значит, искомый корень равен 17 десяткам с несколькими единицами, т.-е. какому-то числу между 170 и 180. Предполагаем, что он равен среднему между ними числу 175, и делим 30000 на 175; получаем частное 171 и остаток 75. Теперь остается предположить, что искомый корень есть среднее число между 175 и 171, т.-е. 173; делим 30000 на 173 и получаем в частном 173 и в остатке 71. Итак, искомый корень из 30000 есть 173; а из 3,0000 корень будет 1,73 с точностью до 0,01, с недостатком.

Ясно, что таким же путем мы могли бы найти приближенные корни из 3 с точностью до 1 тысячной, 1 десятисячной и т. д., вообще с любой точностью. Подобным же образом поступаем и тогда, когда нужно извлечь корень из дробного числа.

Пусть, например, нужно извлечь корень из 0,7 с точностью до 1 десятой. Для этого мы должны сначала обратить данное число в сотые доли; имеем 0,7 = 0,70. Теперь корень из знаменателя будет 10, как и требуется; а корень из

числителя 70 (приближенный) равен 8. Значит, приближенный корень из 0,7 есть 0,8 с точностью до 1 десятой, с недостатком.

Если мы желаем из того же числа 0,7 извлечь корень с точностью до 1 сотой, то должны обратить данное число в десятитысячные доли; будем иметь 0,7 = 0,7000. Корень из знаменателя будет теперь 100; а из числителя 7000 извлекаем приближенный целый корень; он равен 83, потому что число 7000 заключено между 833 и 84*. Отсюда видно, что корень из 0,7000 равен 0,83 с точностью до 0,01, с недостатком.

Из рассмотрения подобных примеров мы можем установить такое правило: чтобы найти приближенный квадратный корень из данного числа с точностью до какой-либо десятичной доли, нужно обратить данное число в такие доли, знаменатель которых равнялся бы квадрату знаменателя данного приближения, а затем извлечь приближенный целый корень из числителя и разделить его на знаменателя данного приближения.

Правило это можно прилагать и к тому случаю, когда мы извлекаем корень из простой дроби; например, если мы хотим найти корень из с точностью до 1 сотой, то мы должны обратить данную дробь в десятитысячные доли; обращая — в десятичную дробь, имеем 0,4166 с точностью до 0,0001 с недостатком. Теперь извлекаем приближенный целый корень из 4166 и находим, что он равен 64; значит, корень из 0,4166 будет 0,64, с точностью до 0,01. Следовательно, и искомый корень из есть 0,64 с точностью до 0,01, с недостатком.

ОТДЕЛ XI.

Измерение геометрических фигур и тел.

§ 131. Прямой угол, как мера углов. Мы установили в свое время (ч. I, § 59), как сравнивать углы при помощи наложения и какой угол при этом считается больше или меньше другого. Но, конечно, не всегда мы можем накладывать друг на друга углы двух фигур и вообще два угла, которые нужно сравнить один с другим; поэтому нам нужно уметь измерять углы какой - либо одинаковой мерой, чтобы можно было сравнить их величину.

Мы знаем один угол, который имеет неизменную величину, это — прямой угол. Поэтому различные углы мы меряем при помощи прямого угла и его частей; как это делается—будет изложено дальше.

§ 132. Понятие о сумме и разности углов. Развернутый и входящий угол. Возьмем угол АОБ (черт. 12) и приложим к нему другой угол БОК так, чтобы их вершины сошлись и приложенные одна к другой стороны также совпали; тогда две другие стороны данных углов (OA и OK) образуют угол АОК, который называется суммой данных углов (А ОБ и БОК).

Сложение углов обозначается в записи так же, как и сложение чисел; слово „угол“ заменяется при этом знаком так что в данном случае мы запишем:

Черт. 12.

Угол БОК, который мы прибавляем к углу АОБ, чтобы получить в сумме угол АО. называется разностью углов АОК и АОБ.

Заслуживает особого внимания случай, когда мы складываем два прямых или два тупых угла.

На черт. 13 слева имеем два прямых угла АОБ и БОВ; суммою их будет развернутый угол А ОБ (отмеченный на чертеже дугою внутри); с виду он не очень похож на угол и в геометрических фигурах такого угла не бывает, но, например, на такой угол поворачивается стрелка часов, когда сделает полоборота (минутная стрелка в каждые полчаса, а часовая—через шесть часов).

Справа на том же чертеже имеем два тупых угла АОК и КОЛ, приложенные друг к другу; суммою их будет входящий угол АОЛ (отмеченный дугою), который, очевидно, более двух прямых. Такие углы встречаются и в геометрических фигурах, но чаще приходится иметь с ними дело при изучении движений ; например, таков будет угол поворота минутной стрелки часов за сорок минут или три четверти часа.

§ 133. Смежные и противополжные углы. Возьмем кусок бумаги с прямолинейным краем AB (черт. 14) и перегнем его в какой либо точке О этого края — по линии ОБ, потом вновь разогнем бумажку; мы получим тогда два

Черт. 13.

угла АОБ и БОБ, у которых одна сторона (ОБ) общая, а две другие (АО и ОБ) составляют продолжение одна другой. Такие углы называются смежными.

Очевидно, угол БОБ приложен к углу А ОБ, так что при этом должен образоваться третий угол, составляющий их сумму. Чему же равен этот угол? Чтобы сообразить это, перегнем нашу бумажку еще раз в точке О так, чтобы OA пришелся по краю ОБ; линия, по которой согнется наша бумажка, обозначена на черт. 15 линиею ОД. Если мы теперь снова разогнем бумажку, то будем иметь два прямых угла А ОД и БОД; они образуют вместе развернутый угол АОБ; но тот же угол образуют вместе и наши смежные углы АОБ и БОБ; значит, сумма двух смежных углов равна двум прямым углам. Рассмотрим теперь углы АОБ, БОБ и БОГ, имеющие общую вершину (О) и крайние стороны которых (OA и ОГ) составляют продолжение одна другой (черт. 16). Очевидно, что и такие углы в сумме дают развернутый угол (АОГ), или два прямых (АОД и ДОГ).

Возьмем теперь снова кусок бумаги и перегнем его один раз по произвольной прямой AB, а затем, развернувши, перегнем снова по другой прямой БГ, пересекающей первую в точке О (черт. 17). Развернувши бумажку, мы получим четыре угла: АОБ, БОБ, БОГ и ГОА; из них углы АОБ и БОГ, а также и два другие — БОБ и ГОЛ, расположены так, что стороны одного из них составляют продолжения сторон другого; такие углы .называются противоположными.

Черт. 14. Черт. 15.

Легко видеть, что противоположные углы равны друг другу; в этом можно убедиться наложением, но еще проще рассудить так: угол АОБ смежный с углом БОВ, значит, их сумма равна двум прямым углам; точно также и угол БОГ смежный с углом БОВ, и их сумма тоже равна двум прямым углам; таким образом, ясно, что:

Если теперь от этих равных сумм отнять по одному и тому же углу БОВ, то остатки должны быть также равны, т.-е.

Нетрудно найти и сумму всех четырех углов А ОБ, БОВ, БОГ и ГОА. Очевидно, углы АОБ и БОВ смежные и дают

Черт. 16. Черт. 17.

Черт. 18.

Черт. 19.

в сумме два прямых, и углы БОГ и ГОА также смежные и дают в сумме два прямых; поэтому сумма всех четырех углов АОБ, ВОВ, ВОГ и ГОЛ равна четырем прямым (черт. 18).

Возьмем теперь несколько углов A OB, ВОВ, ВОГ, ГОД и ДО А (черт. 19), расположенных вокруг общей вершины О так, что крайние их стороны совпадают. Легко найти и сумму таких углов; в самом деле, если продолжим одну из сторон какого-либо угла, например, линию OA, то углы по одну сторону линии AM составляют вместе развернутый угол Л Oil/, или два прямых; а углы по другую сторону линии AM дают также развернутый угол МОА, или два прямых; значит, сумма всех углов, лежащих вокруг общей вершины О, равна четырем прямым углам-

§ 134. Сумма углов треугольника и многоугольника. Вырежем из бумаги произвольный треугольник ABB (черт. 20); проведем в нем при помощи перегибания высоту ВД, а затем найдем (также перегибанием) средины боковых сторон К и Л и среднюю линию КЛ, наконец, из точек К и Л проведем при помощи еще одного перегибания перпендикуляры КЗ/ и ЛИ к основанию AB. Теперь согнем треугольник по линиям KT, КМ и .III; мы увидим, что после этого все углы треугольника (А, Б и В) сойдутся вершинами в точке Д и образуют вместе развернутый угол ВДА. Таким образом, сумма углов треугольника равна двум прямым углам.

Заметим, что наше рассуждение можно повторить для любого треугольника; только если один из его углов тупой.

Черт. 20. Черт. 21.

(или прямой), то следует повернуть треугольник этим углом кверху.

В том же самом можно убедиться и иначе. Если мы просто оторвем все три угла треугольника и сложим их при общей вершине, то они образуют вместе развернутый угол (черт. 21) или два прямых.

Между прочим, теперь нам делается ясно, почему треугольник не может иметь более одного прямого или тупого угла: если бы в нем два угла были прямые или тупые, то сумма этих двух углов была бы уже равна двум прямым или более их, а, между тем, сумма всех трех углов треугольника должна быть равна двум прямым.

Ясно также, что в прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов должна равняться прямому углу, потому что вместе с прямым углом треугольника эти два острые должны составить в сумме два прямых угла.

В равностороннем треугольнике все углы, как знаем, равны между собою, а сумма их равна двум прямым углам; значит, каждый угол равностороннего треугольника равен двум третям прямого угла.

Рассмотрим теперь, чему равна сумма углов многоугольника. На черт. 22 мы имеем слева четырехугольник АБВГ; проведя в нем диагональ, мы разделим его на два треугольника (АБВ и АВГ)\ в каждом из них сумма углов равна двум прямым, а в обоих вместе, или во всем четырехугольнике АБВГ—четырем прямым.

Далее, посредине того же чертежа имеем пятиугольник АБВ Г Д. Если из одной его вершины (А) проведем все, ка-

Черт. 22.

кие можно, диагонали (AB и А Г), то он разделится на три треугольника ; сумма углов в каждом из них равна двум прямым, а во всех вместе—6 прямым.

С правой стороны на том же чертеже имеем шестиугольник АББГДЕ. Проведя в нем все возможные диагонали из одной вершины (А), мы разделим его на четыре треугольника (АБВ, АВГ, АБД и АДЕ); сумма углов в каждом из них равна двум прямым, а во всех вместе—8 прямым.

Точно так же мы можем поступить и с любым многоугольником; мы найдем таким образом, что:

4-угольник разбивается на 2 тр-ка и сумма его углов = 4 прям. 5-угольник „ „ 3 тр-ка „ „ = 6 „

6-угольник „ „4 тр-ка „ = 8 „

7-угольник „ „ 5тр.ков„ „ „ „ =10 „

и т. д.

На основании этого, мы можем сделать общий вывод, что всякий многоугольник можно разбить диагоналями на столько треугольников, сколько в нем сторон, без двух, а потому сумма углов многоугольника равна двум прямым углам, взятым столько раз, сколько в нем сторон без двух.

§ 135. Измерение углов градусами. Прямой угол во многих случаях является слишком крупной единицей для измерения углов; так, например, углы треугольника (которые чаще всего бывают острыми) приходится измерять частями прямого угла. Поэтому в практических измерениях чаще употребляют другую меру углов—градус; это часть прямого угла.

Чтобы знать, как измеряются углы градусами, нужно сначала уяснить себе некоторые сведения о зависимости между углами и дугами.

Возьмем окружность и начертим в ней при центре произвольный угол АОБ (черт. 23), этот угол (составленный двумя радиусами, с вершиною в центре) называется центральным углом. Вырежем теперь из круга фигуру А ОБ, приложим ее вершину к центру круга и обрисуем на ней второй центральный угол КОЛ, равный первому. Мы видим при

этом, что совпадают друг с другом не только центральные углы А ОБ и КОЛ, но и их дуги А Б и ЕЛ. Таким образом, мы убеждаемся, что равным центральным углам соответствуют равные дуги, и наоборот.

Возьмем теперь окружность и проведем в ней два взаимно-перпендикулярных диаметра АБ и ВГ (черт. 24;

для этого достаточно согнуть бумажный кружок пополам по диаметру, а полученную фигуру еще раз пополам). Так как при этом углы при центре все прямые, то им должны соответствовать равные дуги, т.-е. вся окружность разделится на четыре равные части. Таким образом, прямому центральному углу соответствует дуга в четверть окружности, и наоборот.

Покажем теперь, как разделить дугу прямого угла на три части (а, следовательно, всю окружность на 12 частей), как это делается на циферблате часов. Возьмем циркуль, раскроем его ножки на расстояние, равное радиусу OA, и, поставив его неподвижную ножку в точку А, опишем дугу до пересечения с дугою АБ; точку пересечения назовем М. Если теперь соединить точку M с точками О и А, то мы получим равносторонний треугольник АОМ (все его стороны равны радиусу OA), поэтому угол АОМ равен двум третям прямого угла, а угол ШОВ — одной трети. Но если угол MOB есть одна треть прямого угла АОБ, то и его дуга есть одна треть дуги прямого угла AB, или одна двенадцатая часть в сей окружности (чтобы разделить и дугу AM на

Черт. 23. Черт. 24.

такие же части, проще всего будет поставить неподвижную ножку циркуля в точку В и прежним радиусом описать дугу до пересечения с дугой AB — в точке Н\ дуга АН, а вместе с тем и дуга НМ будут, очевидно, третьими частями дуги AB).

Чтобы получить деление прямого угла на градусы, т.-е* на 90-е доли, нам нужно было бы разделить каждую из дуг ВМ, MR и НА еще на 30 частей, и все эти точки деления сое динить с центром. Тогда вся окружность разделится на 360 равных дуг, называемых дуговыми градусами, а каждый из четырех прямых углов при центре — на 90 равных углов, называемых угловыми градусами. При помощи такого деления окружности и ее дуг и устраивается инструмент для измерения углов — транспортир (черт. 25). Он представляет собою полуокружность, разделенную на 180 частей — градусов; чтобы измерить какой-либо угол транспортиром, приставляют центр транспортира к вершине угла и направляют край его, на котором поставлена цифра 0, по одной из сторон угла; затем смотрят, какое деление транспортира пересекает вторую сторону угла; столько градусов будет в дуге транспортира и в измеряемом угле (например, на черт. 25 угол АОБ равен 52 градусам).

Черт. 25.

Угловой градус, как видно, довольно мелкая мера; но для очень точных измерений употребляют и меры, еще более мелкие, именно градус делят на 60 минут, а минуту — на 60 секунд.

Дуговые градусы употребляются, между прочим, в географии для обозначения широты и долготы места на земной поверхности.

В записи градусы и их части (минуты и секунды) обозначаются особыми значками, поставленными при цифрах, а именно:

40° обозначает 40 градусов.

66°23'33“ обозначает 66 градусов 23 минуты 33 секунды и т. п.

При помощи транспортира мы можем не только измерить какой-либо угол, но и начертить на бумаге угол произвольной величины. Пусть, например, мы должны в точке О линии OA (черт. 25) построить угол в 117 градусов. Мы приставляем тогда транспортир к нашему чертежу так, чтобы его центр пришелся в данную точку Ö, а край с нулевым делением пошел по линии OA. Затем отмечаем точку (К), где приходится конец 117-го градуса дуги транспортира; снимаем транспортир и соединяем точки О и К прямой линией. Угол АОК и есть искомый: если бы мы вычертили по транспортиру его дугу, то она содержала бы 117 градусов; а потому угол АОК, как центральный, должен содержать столько же угловых градусов.

§ 136. Построение треугольника по заданным его частям. 1) Вычерчивание треугольника по трем данным сторонам. Пусть нам нужно начертить треугольник, стороны которого равнялись бы соответственно 6, 5 и 3 см.

Мы проводим тогда с помощью линейки одну из его сторон, например, в 6 см ; из ее концов А и Б циркулем описываем дуги, радиусы которых были бы соответственно равны двум другим сторонам — 5 и 3 см, и отмечаем их точку пересечения В. Если теперь соединить точку В с концами первой стороны А и Д то полученный треугольник АБВ, очевидно, будет иметь три данных стороны — 6, 5 и 3 см.

Мы видели в свое время (ч. I, § 64), что не из всяких трех отрезков можно составить треугольник, а только из

таких, больший из которых все же меньше суммы двух меньших. Это видно и при данном построении: если бы мы взяли для вычерчивания треугольника такие три отрезка, чтобы сумма двух меньших была менее третьего или равна ему, то дуги, которые мы проводим из концов большей стороны, очевидно, не пересекались бы, и треугольник нельзя было бы построить.

2) Вычерчивание треугольника по двум данным сторонам и углу между ними. Пусть мы должны начертить треугольник, у которого две стороны были бы равны 5 и 4 см, а угол между ними 65°. Мы проводим тогда с помощью линейки первую сторону AB = 5 см, при конце ее А строим по транспортиру угол в 65° и на другой его стороне откладываем отрезок AB = 4 см. Треугольник ABB и есть, очевидно, искомый.

3) Вычерчивание треугольника по данной его стороне и двум углам при ней. Пусть мы должны вычертить треугольник, одна сторона которого была бы равна 7 см, а углы при ней 40° и 72°. Мы проводим тогда по линейке линию AB = 7 см, а при

Черт. 26.

Черт. 27.

ее концах чертим при помощи транспортира углы А — 40° и Б — 72°; потом продолжаем стороны этих углов до пересечения в точке В. Треугольник АБВ, очевидно, и есть искомый.

§ 137. Правильные многоугольники. Вычисление их площади. Начертим на бумаге равносторонний треугольник АБВ (черт. 29 слева); в нем все стороны одинаковы и все углы также одинаковы (каждый из них, как мы видели, равен ч- прямого угла, или 60°). Рассмотрим далее квадрат ЕЛМН\ в нем все стороны одинаковы и все углы также одинаковы (каждый из них прямой, т.-е. равен 90°).

Вырежем теперь из бумаги шесть одинаковых равносторонних треугольников и сложим их вершинами вокруг

Черт. 28.

Черт. 29.

одной точки, как это сделано на черт. 30; мы увидим, что они образуют шестиугольник АБВГДЕ, в котором все стороны одинаковы и все углы также одинаковы — каждый из них (А, Б, Б ит. д.) равен двум углам равностороннего треугольника, т.-е. Q прямого угла или 120°.

Многоугольники, у которых все стороны одинаковы и все углы также одинаковы, называются правильными. Таким образом, шестиугольник АБВГДЕ, который мы только что рассматривали (черт. 30), будет правильным; точно так же равносторонний треугольник можно назвать правильным треугольником, а квадрат— правильным четырехугольником.

Рассмотрим, нельзя ли сложить из треугольников и какой-либо другой правильный многоугольник, например, пятиугольник. Для этого составим фигуру по образцу только что рассмотренного шестиугольника на черт. 30. Мы должны иметь пять таких одинаковых треугольников, которые своими углами при общей вершине заполнили бы плоскость вокруг точки. Сумма всех этих углов должна равняться четырем прямым, значит, каждый из них должен быть равен -у- прямого угла, или 72°. Остальные же два угла в каждом из этих треугольников должны быть равны между собой (потому что каждый из них должен составлять половину угла правильного многоугольника); значит, и лежащие против них стороны треугольника также равны между собою, т.-е. треугольник будет равнобедренный.

Итак, мы должны начертить какой-либо равнобедренный треугольник с углом между равными сторонами в 72° (вроде треугольника АОД на черт. 31), вырезать пять таких треугольников и сложить их вершинами вокруг одной точки как это сделано на черт. 31. Мы получим, таким образом, пятиугольник АБВГД, в котором все стороны одинаковы и все углы (А, Б, Б . . . ) также одинаковы, так как каждый

Черт. 30.

из них составлен из двух соответственно одинаковых частей. Таким образом, данный пятиугольник будет правильный; нетрудно вычислить, скольким градусам должен равняться каждый из его углов: в каждом из треугольников угол при вершине О равен 72°, а сумма всех трех углов равна двум прямым, или 180°; значит, два остальные угла равны 180—72, или 108 градусам, а каждый из них — половине этого числа, т.-е. 54°; угол же пятиугольника складывается из двух таких углов и равен поэтому 108°.

Составим еще по этому же образцу правильный восьмиугольник. Мы должны для этого иметь восемь одинаковых треугольников вокруг общей вершины; поэтому угол каждого из них при этой вершине должен равняться четырем прямым, деленным на 8, т.-е. ~ прямого угла, или 45°. Остальные же два угла каждого треугольника, подобно предыдущему, должны быть равны между собой; значит эти треугольники будут равнобедренными. Итак, мы должны вычертить равнобедренный треугольник с углом при вершине в 45°, вырезать восемь таких треугольников и сложить их вокруг общей вершины, и получим правильный восьмиугольник АБВГДЕЖЗ (черт. 32). Каждый из его углов А, Б, В, ... равен, очевидно, двум равным углам наших равнобедренных треугольников, т.-е. 180 — 45, или 135 градусам.

Правильные многоугольники часто встречаются в природе и в сооружениях. Так, напр., снежинки имеют вид пра-

Черт. 31. Черт. 32

вильных шестиугольников, венчик лесного колокольчика и других цветов имеет вид правильного пятиугольника; пчелиные соты в поперечном разрезе имеют вид правильных шестиугольников и т. д. При мощении улиц и дворов и при настилке паркетного пола употребляются нередко плитки в виде правильных треугольников, квадратов и шестиугольников, так как этими многоугольниками можно заполнить ту или иную площадь без просветов.

Обратим теперь внимание на следующее свойство правильных многоугольников. Если на черт. 30 или 31 поставить циркуль в общую вершину треугольников — точку 0, раздвинуть ножки циркуля на расстояние, равное боковой стороне какого-либо треугольника (напр. OA), и этим радиусом описать окружность, то она пройдет, очевидно, через все вершины многоугольника (черт. 33); такая окружность называется описанной около многоугольника, а центр ее О называется также центром многоугольника.

Зная это, мы можем установить такой способ вычерчивания правильных многоугольников. Пусть, напр., мы должны начертить правильный десятиугольник. Мы выбираем точку О, которая должна быть его центром; вокруг этой точки О мы должны начертить десять равных углов, заполняющих плоскость кругом точки; ясно, что каждый из них должен быть равен ^ части четырех прямых углов, т.-е. 36°. Строим

Черт. 33.

вокруг точки О с помощью транспортира десять таких углов и потом описываем из О, как из центра, окружность произвольным радиусом. Точки пересечения этой окружности со сторонами начерченных углов соединяем между собою и получаем правильный десятиугольник (все стороны его одинаковы, а каждый угол равен 180 — 36, т.-е. 144 градусам).

Возьмем теперь в каждом из рассмотренных многоугольников диаметр описанного круга, проходящий через одну из вершин многоугольника, напр. В (черт. 33); мы можем убедиться (при помощи перегибания чертежа), что этот диаметр делит многоугольник пополам, причем при четном числе сторон многоугольника он пройдет и через противоположную вершину многоугольника, а при нечетном — через средину противоположной стороны.

Этим выводом мы можем пользоваться, чтобы найти центр правильного многоугольника, если он нам не дан. Мы должны тогда дважды перегнуть многоугольник по диаметру описанного круга (т.-е. если число сторон его четное, то через две противоположные вершины; если же

Черт. 31.

Черт. 35.

число сторон нечетное, то через какую - либо вершину и средину противоположной стороны); точка пересечения этих диаметров и есть центр многоугольника. Таким путем можем найти, напр., центр квадрата или правильного треугольника (черт. 35).

Площадь правильного многоугольника мы можем найти, обративши внимание на то, что он разделяется на равные треугольники, если центр его соединить со всеми вершинами (черт. 33 и 34). Площадь одного из этих треугольников получится, если измерить его основание (т.-е. сторону правильного многоугольника) и высоту (т.-е. расстояние стороны многоугольника от его центра), и взять половину произведения полученных чисел; а для вычисления площади многоугольника придется только помножить полученный результат на число всех треугольников, т.-е. на число сторон многоугольника.

Но можно и непосредственно превратить многоугольник в косоугольник (параллелограмм) или прямоугольник. Для этого мы возьмем, напр., правильный шестиугольник,

Черт. 36.

Черт. 37.

или пятиугольник, которые мы складывали из отдельных треугольников (черт. 30 и 31), и переложим те же треугольники в один ряд, как это показано на черт. 36, или сложим их, разрезавши предварительно на высоте, как видно на рис. 37; мы получим тогда косоугольник или прямоугольник, у которого основание, очевидно, равно половине обвода многоугольника (половине суммы его сторон), а высота — высоте всех треугольников, т.-е. расстоянию стороны многоугольника от центра. Следовательно для вычисления площади многоугольника достаточно перемножить числа, выражающие длину полусуммы его сторон и расстояние стороны от центра.

§ 138. Измерение длины окружности и площади круга. Окружность какого нибудь круглого предмета, напр., ведра или дерева, мы можем измерить непосредственно сантиметровой лентой или с помощью веревки, длину которой потом измеряем отдельно. Но бывают случаи, когда непосредственно измерить длину окружности трудно, напр., если нам нужно найти длину внутренней окружности трубы или сосуда или просто длину окружности, начерченной на бумаге. Мы увидим, что в таких случаях можно вычислить длину окружности, если мы знаем длину ее диаметра или радиуса.

Чтобы уяснить себе, как это делается, возьмем сначала несколько круглых предметов, у которых можно было бы измерить непосредственно и окружности и диаметры, напр., ведро, таз, бочку, тарелку, стакан и т. п.; смеряем у каждого из них окружность и диаметр и потом вычислим, во сколько раз найденная длина окружности больше длины диаметра. Мы получим тогда ряд чисел вроде следующих:

Мы убеждаемся таким путем, что всякая окружность длиннее свое го диаметра в одно и то

же число раз, именно, приблизительно, в 3,14 раза (круглым числом в 3-i- раза); или, как иначе говорят, отношение длины окружности к длине диаметра одинаково для всех кругов.

Зная это, мы можем в необходимых случаях измерять вместо окружности ее диаметр и по нем уже вычислять длину окружности; например, если нам нужно знать длину внутренней окружности трубы, то мы смеряем ее диаметр и умножим полученное число на 3,14; или пусть нам нужно знать длину окружности, которую мы начертили на бумаге радиусом в 4 см (черт. 38); очевидно, диаметр этой окружности будет 8 см, а длина окружности 8 . 3,14, или 25,12 см.

Чтобы измерить площадь круга, будем рассуждать так.

Вырежем из бумаги круг и разрежем его на довольно большое число частей следующим образом: сначала пополам (по диаметру), потом каждую половину еще пополам, каждую четверть еще пополам и т. д., пока не разделим круг на 32 или даже на 64 части, имеющие вид зубцов (см. черт. 39

Черт. 38.

слева) ; потом сложим все эти части, как показано на правой половине того же чертежа, и получим фигуру, похожую на косоугольник. Длина этой фигуры (основание), приблизительно, равна длине полуокружности, а высота — приблизительно радиусу; если считать эту фигуру за косоугольник, то площадь ее должна содержать, приблизительно, столько квадратных единиц, сколько получится от умножения чисел, выражающих длину полуокружности и длину радиуса. Но длина всей окружности равна длине диаметра, умноженной на 3,14; значит, длина полуокружности равна длине радиуса, взятой 3,14 раза; если эту величину умножить еще раз на длину радиуса, то окончательно получим, что площадь круга равна квадрату длины радиуса, умноженному на 3,14,(Иначе говоря, площадь круга в 3,14 раза больше площади квадрата, стороны которого суть радиусы круга).

Например, площадь круга, изображенного на черт. 38 и имеющего радиус 4 см, будет равна 16 . 3,14, или 50,24 кв. см.

§ 139. Линия, перпендикулярная к плоскости.

Возьмем кусок бумаги или картона и прикрепим его на горизонтальной поверхности, напр., на доске (черт. 40); потом воткнем в него иглу (АО) так, чтобы она стояла вертикально. Проведем на нашем куске бумаги произвольные прямые линии через ту точку, где в бумагу воткнута игла; мы можем убедиться, что наша игла АО со всеми этими линиями образует прямые углы.

Таким образом, вертикальная линия будет перпендикулярна ко всем линиям, лежащим на горизонтальной пло-

Черт. 39.

скости и проходящим через точку ее пересечения с этой плоскостью; чтобы выразить это короче, мы говорим, что вертикальная линия перпендикулярна к данной плоскости (горизонтальной).

Возьмем теперь нашу доску с прикрепленным к ней листом бумаги и воткнутой иглой и приподнимем ее одной стороной, как это видно на черт. 41; тогда доска уже не будет горизонтальной, а игла—вертикальной, но все же игла Л О будет составлять прямые углы со всеми линиями (ОБ, ОБ, ОГ...), лежащими в данной плоскости и проходящими через точку ее пересечения с плоскостью, т.-е. попрежнему линия АО будет перпендикулярна к данной плоскости.

Теперь мы можем составить себе понятие о том, что такое линия, перпендикулярная к плоскости: это такая линия, которая образует прямой угол со всеми прямыми линиями, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку ее пересечения с этой плоскостью, или, как говорят короче, через ее основание.

Возьмем еще раз нашу горизонтальную доску с листом бумаги, начертим на ней произвольную линию ББ и воткнем в какой-либо ее точке (О) иглу так, чтобы она составляла

Черт. 40.

Черт. 41. Черт. 42.

прямые углы с линией БВ, но не стояла вертикально (например, ОМ на черт. 42).

Начертим на нашем листе бумаги еще какую-либо другую линию, проходящую через точку О, например, ОН; мы видим, что линия ОМ перпендикулярна к БВ, но не перпендикулярна к ОН. Таким образом, если линия перпендикулярна к одной из прямых, лежащих в плоскости и проходящих через ее основание, то из этого еще не следует, что она будет перпендикулярна и ко всей плоскости.

Попробуем теперь, сохраняя перпендикулярный наклон нашей иглы к линии ББ, поставить ее так, чтобы она была перпендикулярна и к линии ОН. Мы найдем, что это возможно только тогда, когда мы поставим ее вертикально — в положение АО на черт. 42, т.-е. она станет тогда перпендикулярною ко всей плоскости.

Таким образом, мы можем убедиться, что если линия перпендикулярна к двум прямым, лежащим па плоскости и проходящим через ее основание, то она будет перпендикулярна и ко всей плоскости.

§ 140. Прямая призма; измерение ее поверхности и объема. Возьмем кусок мыла или дерева в виде прямоугольной призмы (черт. 43, слева) и разрежем его пополам через два противоположных ребра; мы получим брусок вроде изображенного рядом на том же рисунке. Он отличается от предыдущего тем, что в основании имеет не прямоугольник, а треугольник; но боковые ребра его перпендикулярны к плоскости основания, как и у предыдущего бруска. Такое геометрическое тело мы называем прямой треугольной призмой.

Черт. 43.

Возьмем теперь карандаш, только не круглый, а граненый; он тоже имеет вид прямой призмы, но не треугольной, а шестиугольной, вроде изображенной на черт. 43 (вторая справа).

Справа на черт. 43 у нас изображена еще прямая косоугольная призма; она отличается от прямоугольной только тем, что основание у нее—не прямоугольник, а косоугольник (параллелограмм); боковые же ребра ее попрежнему перпендикулярны к плоскости основания.

Мы знаем много предметов, имеющих форму прямых призм; так, например, полено бывает похоже на треугольную призму, граненые стаканы, карандаши, коробки или колонны здания имеют вид шестиугольных призм; плитки для мощения мостовой бывают также в форме шестиугольных, треугольных и др. многоугольных призм. Прямые призмы мы можем вырезать из дерева или склеить из картона таким же способом, как и прямоугольную призму.

Рассматривая прямые призмы, мы видим, что каждая из них имеет два одинаковых основания—верхнее и нижнее, а боковые грани их — прямоугольники. Поэтому мы можем без труда вычислить боковую (и полную) поверхность прямой призмы.

Возьмем прямую призму и развернем ее боковые стенки на горизонтальной плоскости, или обрисуем на бумаге подряд все ее боковые грани, как это изображено на черт. 44; мы увидим, что боковая поверхность призмы превращается в прямоугольник, основание которого составилось из всех сторон основания призмы, а высота равна высоте призмы. Поэтому мы можем сделать такой вывод : чтобы выразить боковую поверхность призмы в ква-

Черт. 44.

дратных мерах, достаточно перемножить числа, выражающие обвод (сумму сторон) основание и высоту призмы.

Чтобы получить полную поверхность, достаточно, разумеется, к боковой придать сумму оснований (т.-е. удвоенную площадь одного из них).

Вычисление объема прямой призмы мы начнем с простейшего случая, именно, с той прямой треугольной призмы, которая получилась у нас после разрезания прямоугольной призмы через два противоположные ребра (черт. 45). Мы видим, что обе треугольные призмы, получаемые при таком разрезании, одинаковы; поэтому объем каждой из них равен половине объема прямоугольной призмы. Но объем прямоугольной призмы вычисляется при помощи умножения чисел, выражающих площадь ее основания (в квадратных мерах) и высоту (в линейных); значит, для получения объема треугольной призмы, достаточно взять половину той же площади (в квадратных мерах) и умножить ее на высоту. Половина же площади основания прямоугольной призмы, т.-е. прямоугольника АВВГ есть треугольник АБГ, т.-е. площадь основания треугольной призмы; значит, для вычисления объема нашейтреугольной призмы, достаточно перемножить числа, выражающие площадь ее основания и высоту.

Мы брали пока прямую треугольную призму с прямым углом у основания; но сейчас увидим, что тот же вывод справедлив и для любой треугольной прямой призмы.

Черт. 45. Черт. 46. Черт. 47,

Возьмем любую прямую треугольную призму (черт. 46); проведем высоты в ее обоих основаниях и соединим их концы, а затем разрежем призму по этим высотам. Тогда вся призма разобьется на такие две треугольные призмы, которые имеют в основании прямые углы; по предыдущему, объем левой призмы получится после умножения площади треугольника АБД на высоту призмы, а объем правой — от умножения площади треугольника Б ДБ на высоту призмы; значит, для получения объема всей призмы, мы должны взять площадь всего треугольника АБВ, т.-е. основания данной призмы, и помножить ее на высоту, как и раньше.

Этот вывод можно распространить и на любую многоугольную прямую призму (черт. 47). Если мы проведем в обоих основаниях из двух соответствующих вершин все, какие можно, диагонали, то эти диагонали разобьют каждое из оснований на треугольники; разрезая нашу призму по этим диагоналям, мы разобьем ее на отдельные треугольные призмы. Объем каждой из этих призм получается от умножения площади основания на высоту, поэтому объем 1-й треуг. призмы = площади 1-го тр-ка (АБВ), умнож. на высоту призмы, объем 2-й треуг. призмы = площади 2-го тр-ка (АВГ), умнож. на высоту призмы, объем 3-й треуг. призмы = площади 3-го тр-ка (АГД), умнож. на высоту призмы, и т. д.

Складывая объемы всех треугольных призм, мы найдем, что объем всей данной призмы = площади всех треугольников, умноженной на высоту, или иначе: площади основания призмы (АББГД), умноженной на высоту.

§ 141. Наклонная призма; ее поверхность и объем. На черт. 48 мы имеем наклонные призмы— треугольную, четырехугольную и пятиугольную; они отличаются от прямых тем, что боковые ребра их не перпендикулярны к плоскости основания.

Вырежем из дерева или мыла наклонную призму АБВГДЕ (черт. 49) и перережем ее плоскостью КЛМ, пер-

пендикулярною ко всем боковым ребрам; если мы теперь поставим нижнюю часть призмы на верхнюю, то получим прямую призму KJIMK1JI1MV — изображенную справа на том же чертеже.

Таким образом, наклонную призму можно превратить в прямую, у которой основанием будет перпендикулярное сечение наклонной призмы, а вы сотой—боковое ребро.

Боковая поверхность нашей наклонной призмы состоит, очевидно, из площадей косоугольников (АГЕБ, АГДБ и т. д.); площадь косоугольника, как известно, получается от умножения длины его основания на длину высоты, поэтому мы получаем, что площадь косоуг-ка АГДБ= боковому ребру (АГ), умнож. на высоту ЕЛ,

Черт. 48.

Черт. 49.

площадь косоуг-ка БДЕВ = боковому ребру {БД),

умнож. на высоту ЛМ, площадь косоуг-ка АГЕВ — боковому ребру {ЕВ),

умнож. на высоту КМ,

и т. д.

Боковая поверхность нашей призмы равна сумме площадей всех этих косоугольников, т.-е. боковому ребру призмы, умноженному на сумму высот КЛ, ЛМ, КМ, или на длину обвода перпендикулярного сечения КЛМ. Итак, боковая поверхность наклонной призмы равна длине обвода перпендикулярного сечения, умноженной на боковое ребро.

Полная поверхность призмы получится, очевидно, если мы к боковой прибавим сумму площадей обоих оснований призмы.

Чтобы получить объем нашей наклонной призмы, мы можем вычислить вместо того объем прямой призмы {КЛМ К^Л^Ми), в которую она превращается. Объем этой последней призмы равен площади ее основания {КЛМ), умноженной на длину высоты (KKJ; но основание это есть перпендикулярное сечение данной наклонной призмы, а высота равна ее боковому ребру; поэтому видим, что объем наклонной призмы равен площади ее перпендикулярного сечения, помноженной на боковое ребро.

§ 142. Измерение поверхности и объема цилиндра. Если боковую поверхность цилиндра развернуть на плоскости, то мы получим прямоугольник, основание которого равно выпрямленной окружности цилиндра, а высота— высоте цилиндра (черт. 50); отсюда ясно, что боко-

Черт. 50.

вая поверхность цилиндра равна длине окружности основания его, помноженной на высоту.

Для выяснения же полной поверхности, нужно придать к боковой еще площади обоих оснований.

Чтобы найти объем цилиндра, мы сравним его с прямой призмой такой же высоты, но имеющей в основании квадрат со сторонами, равными радиусу цилиндра.

Если мы возьмем модели цилиндра и такой призмы из жести и будем наполнять их водой или песком (или же картонные модели, которые можно наполнять песком), то убедимся, что количество воды или песку, которое поместится в цилиндре, будет, приблизительно, в 3,14 раза более того, что вмещается в призме. Но объем нашей призмы равен площади ее основания, умноженной на высоту; следовательно, объем цилиндра равен площади основания призмы, взятой 3,14 раза и еще умноженной на высоту. Если же мы площадь основания призмы (т. - е. квадрата со сторонами, равными радиусу цилиндра) возьмем 3,14 раза, то получим площадь круга, являющегося основанием цилиндра.

Поэтому видим, что объем цилиндра равен площади его основания, помноженной на высоту.

В том, что объем цилиндра в 3,14 раза больше объема указанной призмы, мы можем убедиться и иначе: возьмем для этого подобную призму и цилиндр из одинакового материала и взвесим их; мы увидим тогда, что вес цилиндра приблизительно, в 3,14 раза превышает вес призмы.

Черт. 51. Черт. 52.

§ 143. Измерение объемов тел неправильной формы. Умея измерять объем прямой призмы или цилиндра, мы можем измерять и объемы многих тел неправильной формы, как сейчас будет указано.

Пусть, например, нам нужно измерить объем куска железа неправильной формы; мы кладем его в стеклянный сосуд с водой, имеющий вид прямой призмы или цилиндра, и замечаем, на какую высоту поднимется при этом уровень. Очевидно, объем нашего куска железа равен объему вытесненной им воды; а объем этой воды нетрудно найти—он равен объему призмы (или цилиндра), основание которого равно основанию нашего сосуда (внутреннему), а высота—высоте, на которую поднялся уровень воды. Вычисливши это, будем знать и объем нашего куска железа.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ II.

ОТДЕЛ VII. стр.

Предварительные сведения о дробях. Устные вычисления над простейшими дробными числами.

§ 70. Доли единицы. Дроби.................... 5

§ 71. Изображение дроби. Числитель и знаменатель . . ..... 6

§ 72. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями....... 7

§ 73. Дробь правильная и неправильная. Обращение неправильной дроби в целое или смешанное число и наоборот..... 7

§ 74. Сложение дробей с одинаковым знаменателем........ 11

§ 75. Вычитание дробей с одинаковым знаменателем........ 12

§ 76. Умножение дроби на целое число.............. 14

§ 77. Деление дроби на целое число. Деление целого или смешанного числа на целое..................., 17

§ 78. Деление дробей с одинаковыми знаменателями....... 19

§ 79. Решение задач, в которых требуется найти от данного числа некоторую его часть или наоборот............ 20

§ 80. Сравнение дробей с разными знаменателями........ 23

§ 81 Действия над дробями, выполняемые при помощи приведения дробей к одному знаменателю............. 29

§ 82. Деление дроби на целое при помощи раздробления долей ... 30

§ 83. Сокращение дробей. Основное свойство дроби ........ 32

§ 84. Задачи, в которых требуется найти, какую часть одного числа составляет другое. Понятие об отношении двух чисел . . 35

ОТДЕЛ VIII. Десятичные дроби и простейшие действия над ними.

§ 85. Понятие о десятичной дроби. Обозначение десятичных дробей с помощью запятой.................. 40

§ 86 Сравнение десятичных дробей по величине; приведение к общему знаменателю и сокращение. Основное свойство десятичной дроби....................... 45

§ 87. Сложение десятичных чисел................. 47

$ 88. Вычитание десятичных чисел................ 49

§ 89. Умножение десятичного числа на целое........... 52

§ 90. Деление десятичного (или целого) числа на целое...... 57

§ 91. Деление десятичной дроби или целого числа на десятичную дробь (по содержанию)................ 65

§ 92. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обратно . . 66

§ 93. Понятие о проценте. Вычисление процентного отношения двух чисел....................... 68

§ 94. Простейшие процентные вычисления............ 74

ОТДЕЛ IX.

Простейшие сведения о делимости чисел гл приложение их к преобразованию дробей.

§ 95. Случаи, когда нам необходимо знать, разделится ли данное число на другое или нет. Понятие о признаках делимости........................ 77

§ 96. Признаки делимости на 10, 2 и 5.............. 78

§ 97. Признаки делимости на 100, 4 и 25............. 79

§ 98. Признаки делимости на 9 и на 3.............. 80

§ 99. Признак делимости на произведение двух чисел...... . 83

§ 100. Приложение признаков делимости к сокращению дробей. Понятие об общем наибольшем делителе......... 85

§ 101. Числа первоначальные и составные............ 86

§ 102. Разложение чисел на первоначальных множителей...... 89

§ 103. Наименьшее кратное. Нахождение его при помощи разложения чисел на первоначальных множителей......... 91

§ 104. Приведение дробей к общему знаменателю с помощью разыскания наименьшего кратного............. 95

§ 105. Признак, по которому мы можем судить, обратится ли данная простая дробь в конечную десятичную или нет..... 98

ОТДЕЛ X.

Все действия над простыми и десятичными дробями.

§ 106. Смысл сложения дробей...... ........... 102

§ 107. Основные свойства сложения................ 104

§ 108. Смысл вычитания дробей.................. 105

§ 109. Основное свойство вычитания (отнимание суммы)....... 106

§ 110. Упрощенные приемы сложения и вычитания, основанные на изменениях суммы и разности .... ........ 107

СТР.

§ 111. Совместное сложение или вычитание простых и десятичных дробей.....-.................. 109

§ 112. Смысл умножения на дробь................. 112

§ 113. Какие задачи мы решаем умножением на дробь или на смешанное число.................... 117

§ 114. Приемы умножения целого числа или дроби на дробь..... 121

§ 115. Умножение смешанных чисел................ 126

§ 116, Умножение десятичных дробей............... 128

§ 117. Основные свойства умножения.............. 131

§ 118. Смысл деления на целое и на дробь............. 134

§ 119. Какие задачи мы решаем делением на дробь или на смешанное число......................... 140

§ 120. Приемы деления целого числа или дроби на дробь...... 143

§ 121. Деление смешанных чисел................ 150

§ 122. Деление десятичных дробей................. 152

§ 123. Основные свойства деления............ .... 157

§ 124. Упрощенные приемы умножения и деления, основанные на изменениях произведения и частного........... 159

§ 125. Совместное умножение и деление простых и десятичных дробей. 164

§ 126. Проверка действий над дробными числами.......... 165

§ 127. Процентные вычисления.................. 166

§ 128. Возвышение в степень дробных чисел............ 173

§ 129. Извлечение квадратного корня из дробных чисел....... 174

§ 130. Нахождение приближенных корней............. 175

ОТДЕЛ XI.

Измерение геометрических фигур и тел.

§ 131. Прямой угол, как мера углов................ 179

§ 132. Понятие о сумме и разности углов. Развернутый и входящий угол......................... 179

§ 133. Смежные и противоположные углы............. 180

§ 134. Сумма углов треугольника и многоугольника......... 183

§ 135. Измерение углов градусами................ 185

§ 136. Построение треугольника по заданным его частям...... 188

§ 137. Правильные многоугольники................. 190

§ 138. Измерение длины окружности и площади круга....... 196

§ 139. Линия, перпендикулярная к плоскости . с......... 198

§ 140. Прямая призма, измерение ее поверхности и объема..... 200

§ 141. Наклонная призма; ее поверхность и объем......... 203

§ 142. Измерение поверхности и объема цилиндра......... 205

§ 143. Измерение объемов тел неправильной формы......... 207

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА.

Лебединцев, К. Ф. Счет и мера. Арифметика в связи с начатками геометрии. Часть I. Цена 1 р. 20 к. Часть II. Ц. 1 р. 30 к.

Масленников, М. Н. Задачник-руководство по математике для взрослых. Часть I. Ц. 30 к.

Мнкеельсар, Ф. Г. Учебник геометрии. Ц. 50 к.

Михайлов, А. Таблицы логарифмов с четырьмя десятичными знаками. Ц. 20 к

Никитин, А. И. Первая ступень из геометрии. Ц. 30 к. Вторая ступень из геометрии. Ц. 50 к.

Норрис, Э. Крэго, Р. Практическая математика для техников. Часть II. Ц. 1 р. 50 к.

Норрис, Э. и Смит, К. Практическая арифметика Ц. 1 р. 50 к.

Орлов, С. В. Трехзначные таблицы логарифмов и тригонометрических функций. Цена 20 к.

Пенионжкевич, К. Б. Основания аналитической геометрии. Ц. 75 к.

Перельман, Я. И. Новые и старые меры. Ц. 15 к.

Его же. Новый задачник по геометрии. Ц. 1 р. 50 к.

Его же. Практические занятия по геометрии. Ц. 80 к.

Пржевальский, Е. Прямолинейная тригонометрия и собрание тригонометрических вадач. Ц. 2 р. 50 к.

Его же. Пятизначные таблицы логарифмов чисел и тригонометрических величин. Ц. 90 к.

Рашевский, К. Н. Краткий курс арифметики. Ц. 50 к.

Его же. Систематический курс геометрии. Ц. 1 р. 75 к.

Рыбкин, Н. Сборник геометрических задач на вычисление. Часть I. Планиметрия. Ц. 75 к. Часть II. Стереометрия. Ц. 75 к.

Его же. Собрание стереометрических задач. Ц. 60 к.

Его же. Учебник прямолинейной тригонометрии. Ц. 1 р. 20 к.

Рывин, И. П. Краткое руководство по математике. Выпуск I. Арифметика. Ц. 10 к.

Сатаров, А. В. Арифметический задачник. Выпуск I. Ц. 45 к.

Сигов, И. А. Начальная математика. Цена 1 р. 80 к.

Его же. Практические занятия по геометрии. Ц. 12 к.

Его же. Проекционное черчение к курсу геометрии. Ц. 60 к.

Синцов, Д. И. Краткий курс аналитической геометрии на плоскости. Ц. 30 к.

Сумеркин. Е. Образцы упражнений по курсу математики. Ц. 15 к.

Тер—Степанов, И. С. Сборник задач по арифметике. Выпуск I. Ц. 1 р.

Уэнтузорт, Г. А. и Рид, Е. М. Первоначальная арифметика. Ц. 1 р. 50 к.

Фридман, В. Г. Концентрический сборник, алгебраических задач. Ц. 2 р.

Его же. Сокращенный концентрический учебник алгебры. Ц. 2 р.

Хвольсон. Метр, гектар, литр, грамм. Ц. 5 к.

Шалыт, Е. Математическая грамота. Ц. 80 к.

Его же.. Наглядная геометрия. Ц. 1 р. 25 к.

Шапошников, Н. А. Курс прямолинейной тригонометрии. Ц. 1 р.

ШапошникоЙ Н. А. и Вальцов, Н. К. Сборник алгебраических задач. Част I. Ц. 1 р. Часть II. Д. 1 р. 25 к.

ТОРГОВЫЙ СЕКТОР ГОСУДАРСТВЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВА

МОСКВА,

Ильинка, Биржевая пл., Богоявленский пер., № 4.

ЛЕНИНГРАД, Ленинградское Представительство Главн. Управл. Госиздата.

Моховая, 36. - Тел. 534-18 и 610-61.

ОТДЕЛЕНИИ:

Армавир—улица Троцкого, 99.

(Фил. Краснодарск. отд.) Вологда—Площадь Свободы.

Воронеж—Проспект Революции, 1-й дом Советов. Казань—Гостинодворская, Гостиный Двор. Киев—Крещатик, 38. Кострома—Советская, 11. Краснодар—Красная, 35. И.-Новгород—Б. Покровка, 12.

Одесса—улица Лассаля, 12. Пенза—Интернациональная, 39/43. Пятигорск—Советский пр., 48. Ростов-н/Д—улица Фридриха Энгельса, 106.

(Фил. Ростовск. отд.) Саратов—улица Республики, 42/30. Тамбов—Коммунальная, 14. Тифлис—проспект Руставели, 16. Харьков—Московская, 20.

Магазины в Москве:

Советская пл., под б. гост. „Дрезден“. Тел. 1-28-94. Моховая, 17. Тел. 1-31-50. Улица Герцена, 13. Тел. 2-64-95. Никольская, 3. Тел. 49-51.

Серпуховская площадь, 1/43. Тел. 3-79-65. Кузнецкий Мост, 12. Тел. 1-01-35. Покровка. Лялин пер., 11. Тел. 81-94. Мал. Харитоньевск, 4. Тел. 1-81-84.

Оптово-розничный магазин нри складе „ТЕПЛЫЕ РЯДЫ“, Ильинка, Богоявленский пер.,4. Тел.1-91-49.

Цена 1 руб.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА, Рождественка угол Софийки, 4.

ТОРГОВЫЙ СЕКТОР. МОСКВА. ИЛЬИНКА. БОГОЯВЛЕНСКИЙ, 4 ЛЕНИНГРАДСКОЕ ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВО. ЛЕНИНГРАД. МОХОВАЯ, 36