ПОСОБИЯ ДЛЯ ТРУДОВОЙ ШКОЛЫ

К. Ф. ЛЕБЕДИНЦЕВ

СЧЕТ и МЕРА

АРИФМЕТИКА В СВЯЗИ С НАЧАТКАМИ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и II СТУПЕНИ

К. Ф. ЛЕБЕДИНЦЕВ

СЧЕТ И МЕРА

АРИФМЕТИКА В СВЯЗИ С НАЧАТКАМИ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ

НАУЧНО - ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИЕЙ ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧЕНОГО СОВЕТА ДОПУЩЕНО ДЛЯ ШКОЛ I СТУПЕНИ

31—50 тысяча

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА 1925 ЛЕНИНГРАД

Гиз № 9341. Главлит № 34864. Напеч. 20.000 экз.

1-я Образцовая тиография Госиздата. Москва, Пятницкая, 71.

ПРЕДИСЛОВИЕ К 1-МУ ИЗДАНИЮ.

Предлагаемая книга представляет собою руководство арифметики и начатков геометрии для трудовой школы, но может также служить пособием и для самостоятельного их изучения. В последнее время среди части педагогов распространено убеждение, будто учебники арифметики вообще не нужны для школы. Я не разделяю этого взгляда. Конечно, учебник неуместен в младших группах трудовой школы» где только закладываются основы арифметических познаний и нет еще достаточного навыка в сознательном чтении книги; но на дальнейшей ступени обучения — в средних и старших группах трудовой школы 1-ой ступени — возникает уже необходимость подвести итоги арифметическим познаниям и вычислительным навыкам детей, систематизировать их и углубить, и в этом отношении учебная книга может оказать, при умелом ее применении, существенную пользу; для этого нужно, однако, чтобы она не была орудием „задавания“ и „спрашивания“, а служила средством для лучшего усвоения и систематизации того, что уже хорошо разработано и сознательно воспринято учащимися в школе под руководством учителя.

Настоящая книга предназначается, таким образом, для учащихся, которые уже обучались счислению в младших группах трудовой школы и овладели в значительной степени техникой вычислений над целыми числами, а также имеют некоторые сведения о мерах и простейших дробях. Первая часть книги содержит учение о нумерации и действиях над целыми числами, сведения о важнейших приемах решения задач, а также учение о мерах и измерении в связи с начатками геометрии.

Как видно, настоящая книга отличается от традиционных учебников по своему содержанию и расположению материала, но эти изменения вызываются желанием придать курсу арифметики характер более конкретный и близкий к жизни и вообще поставить его на уровень современных методических требований.

С этой целью введен, напр., отдел о важнейших приемах решения задач, в котором, кроме общепринятых методов, указываются и графические приемы иллюстрации и решения задач (преимущественно на движение и на вычисление времени).

Затем, учение о мерах излагается не само по себе, а в связи с указаниями на способы измерений и на применение этих мер в окружающей жизни; сообщаются также некоторые исторические сведения о происхождении тех или иных мер и приемов измерений, при чем особое внимание уделено вопросу о календаре нового стиля и о метрических мерах, в виду последовавшего в последние годы введения нового календаря и новых мер в СССР. При этом метрические меры в значительной степени введены и в текст задач, рассматриваемых в книге; однако и старые меры не исключены совсем, так как в нашем жизненном обиходе они еще продолжают существовать, и полное их изъятие затруднило бы самый переход от старых мер к новым.

Далее учение об измерении площадей и объемов излагается в связи с необходимыми сведениями о свойствах геометрических тел, фигур и линий и таким образом расширяется до размеров небольшого курса начатков геометрии. Необходимость изучения наглядной геометрии в настоящее время общепризнана; мне думается, что ввести этот цикл сведений естественнее всего в связи с изучением мер площадей и объемов.

В учении о действиях главное внимание обращено не на формулировку подробных правил, а на отчетливое изложение смысла действий и сути основных законов и приемов вычислений; на ряду со способами письменных вычислений, излагаются и приемы устного счета, а также приемы упрощенных и сокращенных вычислений.

Учение об именованных числах сокращено до минимальных размеров и не выделено в особый отдел, а изложено параллельно с учением о действиях над отвлеченными числами. Сделано это потому, что составные именованные числа имеют весьма небольшое применение в практических вычислениях, и действия над ними достаточно ограничить простейшими случаями, выполняя их по соображению, а не по особым правилам.

Наконец, учение о действиях дополнено особым отделом, посвященным понятию о степени и корне и способам возвышения чисел и квадрат и извлечения квадратного корня; для нахождения последнего указан доступный детям способ, основанный на последовательном применении деления. Эти действия найдут себе приложение прежде всего при решении задач на вычисление площадей; но и впоследствии знакомство с указанными приемами окажет существенную пользу учащимся, когда им в курсе алгебры придется иметь дело с решением квадратных уравнений.

Что касается сведений о дробях, то они отнесены ко второй части книги, которая будет содержать вообще учение о дробях простых и десятичных, в связи с дальнейшим расширением сведений из геометрии; в третью часть предположено включить учение о пропорциональности с его геометрическими иллюстрациями, упрощенные способы решения задач на пропорциональные величины и процентные вычисления, простейшие сведения о приближенных вычислениях, а также начатки буквенного исчисления.

К. Лебединцев.

Настоящее третье издание заново пересмотрено, при чем в отделе III (о мерах и измерении) выдвинуты на первый план метрические меры и в связи с этим переработано изложение §§ 12 —15; условия задач в тексте книги переведены целиком на метрические меры и переработаны применительно к современным условиям жизни; вместе с тем исправлены и погрешности, допущенные во втором издании, выходившем без авторского просмотра.

К. Л.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.

ОТДЕЛ I.

Как называются и записываются числа.

§ 1. Как мы считаем. Пусть, например, мы набрали корзину огурцов и хотим сосчитать, сколько их всего в корзине; тогда мы будем отбирать огурцы из корзины один за другим и считать так:

один, два, три, четыре, пять, шесть, семь восемь, девять, десять.

Так мы набрали десять огурцов, или один десяток; дальше будем набирать опять по одному огурцу и считать так:

одиннадцать, двенадцать, тринадцать, четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать, семнадцать, восемнадцать, девятнадцать, двадцать.

Всего будет теперь двадцать огурцов или два десятка; дальше будем опять набирать по одному огурцу и считать так:

двадцать один, двадцать два, двадцать три, двадцать четыре, двадцать пять, двадцать шесть, двадцать семь, двадцать восемь, двадцать девять, тридцать.

Теперь у нас тридцать огурцов или три десятка; дальше будем считать попрежнему:

тридцать один, тридцать два, тридцать три.......тридцать девять, сорок.

Сорок огурцов или четыре десятка; дальше мы стали высчитать точно так же, пока не насчитали бы пятьдесят огурцов или пять десятков; потом насчитали бы шестьдесят или шесть десятков, семьдесят или семь десятков, восемьдесят или восемь десятков, девяносто или девять десятков и, наконец, сто или десять десятков, иначе — одну сотню.

Если у нас есть еще огурцы в корзине, считаем дальше попрежнему: сто один, сто два, сто три.....пока не наберется две сотни или двести огурцов и т. д.1). Пусть у нас всего набралось две сотни, пять десятков и еще четыре огурца; тогда у нас всего в корзине двести пятьдесят четыре огурца, что можно записать короче цифрами:

254 огурца.

Точно так же, если, напр., нам нужно сосчитать карандаши в ящике, мы будем отбирать их по одному и считать: один, два, три и т. д. до десяти, потом будем считать десятками, пока не наберется десять десятков или сотня карандашей; дальше будем считать сотнями, пока не наберется десять сотен или тысяча карандашей и т. д. Пусть у нас в ящике оказалось четыре тысячи, две сотни, восемь десятков и еще семь карандашей или иначе

четыре тысячи двести восемьдесят семь карандашей.

1) На самом деле считают иногда короче: один, два, три .... девять, десять; один два, три .... девять, двадцать; один, два, три..... девять, тридцать и т. д.; у нас показано, как пришлось бы считать, если бы называть одно за другим полные названия чисел.

Можно записать это короче, цифрами: 4 287 карандашей.

Если бы у нас были еще карандаши, то мы считали бы их дальше таким же образом — тысячами, пока не набрали бы десять тысяч или один десяток тысяч; потом стали бы считать десятками тысяч, пока не набрали бы десять десятков тысяч, т.-е. сто тысяч или одну сотню тысяч; дальше считали бы сотнями тысяч, пока не набрали бы десять сотен тысяч, т.-е. тысячу тысяч или миллион карандашей и т. д.

Пусть, напр., на фабрике есть запас карандашей в две сотни тысяч, шесть десятков тысяч, семь тысяч, девять сотен, четыре десятка и еще пять штук; это составит:

двести шестьдесят семь тысяч девятьсот сорок пять карандашей, что можно записать цифрами так:

267 945 карандашей.

Если нам нужно сосчитать свыше миллиона каких-нибудь предметов, напр., рублей, то мы будем считать их миллионами, пока не наберем десяток миллионов, потом десятками миллионов, пока не наберется сотня миллионов, потом сотнями миллионов, пока не составится тысяча миллионов или биллион, иначе миллиард рублей, и т. д. Так, напр., общий доход нашего государства на 1924 — 25 год исчислялся приблизительно в два миллиарда двести восемьдесят миллионов рублей, или, короче, цифрами:

2 280 000 000 рублей.

Дальше биллиона (или миллиарда) приходится считать редко: биллионами или миллиардами считают, напр., годовой доход или расход какого-нибудь большого государства, или все население земли (на всей земле считается немного менее двух биллионов людей); но, в случае надобности, можно считать биллионами, пока не наберется десяток биллионов, потом сотня биллионов, и, наконец, тысяча биллионов, или триллион, и так далее, сколько нужно.

Напр., расстояние от земли до ближайшей к нам звезды составляет приблизительно 40 триллионов километров.

§ 2. Разряды и классы единиц. Мы видели, что при счете предметов их считают сначала единицами, потом десятками, сотнями, тысячами, десятками тысяч и так далее и потом называют, сколько всего вышло тысяч, сотен, десятков и единиц

Единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и т. д. называются иначе разрядами числа, при чем

единицы составляют первый разряд, десятки „ второй „

сотни „ третий „

тысячи „ четвертый,,

десятки тысяч „ пятый „

сотни тысяч шестой „

миллионы „ седьмой

и т. д.

Напр., число 21 493,

т.-е. двадцать одна тысяча четыреста девяносто три — состоит из пяти разрядов и содержит три единицы, девять десятков, четыре сотни, одну тысячу и два десятка тысяч.

Называя число, мы, однако, не называем его разрядов отдельно —это было бы слишком длинно; если, напр., у нас есть восемь сотен, два десятка и еще пять рублей, мы говорим короче: восемьсот двадцать пять (825) руб. Если в городе насчитывают четыре сотни тысяч, восемь десятков тысяч, девять тысяч, три сотни, два десятка и еще семь жителей, то мы говорим короче — в городе четыреста восемьдесят девять тысяч триста двадцать семь (489 327) жителей.

Иначе говоря, называя число, мы соединяем его разряды по три вместе в классы, при чем:

простые единицы, десятки и сотни образуют первый класс — единиц;

тысячи, десятки и сотни тысяч образуют второй класс — тысяч;

миллионы, десятки и сотни миллионов образуют третий класс — миллионов;

биллионы, десятки и сотни биллионов образуют четвертый класс—биллионов и т. д.

Напр., число

3 415 896 257,

т.-е. три биллиона четыреста пятнадцать миллионов восемьсот девяносто шесть тысяч двести пятьдесят семь, содержит 257 единиц первого класса (простых), 896 единиц второго класса (тысяч), 415 единиц третьего класса (миллионов) и 3 единицы четвертого класса (биллионов). Последовательные разряды и классы этого числа можно представить наглядно при помощи такой таблицы:

4-й класс

3-й класс

2-й класс

1-й класс

Биллионы

Миллионы

Тысячи

Единицы

§ 3. Почему наш способ счета называется десятичной системой счисления. Как составляются названия чисел. Как мы видели, при счете десять единиц составляют десяток, десять десятков—сотню, десять сотен—тысячу, десять тысяч—один десяток тысяч и т. д.—вообще, десять единиц какого-нибудь разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда. Поэтому и наш способ счета называется десятичным способом или иначе — десятичной системой счисления.

Названия чисел, как мы могли заметить, составляются так. Числа первого десятка имеют отдельные названия: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять. Названия следующих чисел первой сотни составляются при помощи этих десяти слов: напр., тринадцать— это сокращенное слово вместо три на десять (в древности наши предки так и говорили — тринадесять); семнадцать — все равно, что семь на десять; двадцать— все равно, что два-десять, т.-е. два десятка (наши предки так и говорили в старину — „двадесять“ вместо „двадцать“); тридцать— все равно, что три-десять или три десятка (в народных сказках и сейчас встречается выражение „за тридесять земель“). Четыре десятка мы называем теперь сорок — это слово попало к нам из греческого языка (по-гречески четыре десятка называются „тессараконта“—отсюда и произошло наше слово „сорок“); но на древне-славянском языке четыре десятка так и назывались „четыредесять“. Девяносто — это испорченное слово „девятьдесят“; так назывались девять десятков на древне-славянском языке, и так говорили наши предки встарину.

Для обозначения десяти десятков нам уже нужно новое слово — сто; а дальше названия сотен составляются при помощи этого слова „сто“ и названий чисел первого десятка: двести (две сотни), триста, четыреста и т. д., пока мы не дойдем до десяти сотен, для которых есть опять новое название — тысяча.

При помощи этих двенадцати слов — названий чисел первого десятка — и затем ста и тысячи (если не считать лишнего в русском языке слова „сорок“) — мы можем уже составлять названия всех чисел до тысячи тысяч или миллиона; это название будет опять новым словом (тринадцатым), а дальше нам понадобятся новые имена только для тысячи миллионов — биллион, тысячи биллионов — триллион, и т. д.; новые названия придется вводить только для единиц каждого следующего класса.

Мы видим теперь, что наш способ счета и названия чисел достаточно удобен, так как при нем названия всех

чисел, с которыми обыкновенно приходится иметь дело при вычислениях, составляются с помощью немногих слов.

§ 4. Изображение чисел цифрами. Как ни просто составляются названия чисел при нашем способе счета, но при вычислениях пришлось бы тратить слишком много времени и места, если бы числа записывались только словами. Поэтому, как мы знаем, числа обозначаются при письме особыми знаками — цифрами: вместо двадцать семь мы пишем 27, вместо четыре тысячи восемьсот шестьдесят девять — 4 869 и т. д.

Всех цифр, как известно, десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — для обозначения первых девяти чисел, и 0 — для обозначения того, что единиц какого-нибудь разряда вовсе нет; напр., число триста семь изображается 307, и цифра 0 на втором месте показывает, что в этом числе нет десятков.

При изображении какого-либо числа цифрами соблюдается следующее правило о значении цифр по месту: первая цифра справа обозначает простые единицы, вторая — десятки, третья — сотни, и т. д.; вообще каждая следующая цифра влево от другой обозначает единицы следующего высшего разряда. Если единиц какого-нибудь разряда вовсе нет, то на этом месте ставится цифра 0.

При написании больших чисел следует помнить, что каждый класс (кроме, может быть, высшего) изображается тремя цифрами, считая в том числе и нули на месте недостающих разрядов, и потому удобно бывает писать числа так, чтобы цифры одного класса были отделены от цифр следующего класса некоторым промежутком.

Напр., число

сорок пять тысяч семьсот два будет изображено так:

45 702;

число

тридцать семь миллионов двадцать четыре тысячи двести выражается так:

37 024 200,

а число

пять биллионов четыреста восемьдесят один миллион сорок два — так:

5 481 000 042.

Такое изображение очень облегчает чтение числа, написанного цифрами, так как мы легко можем разобраться в том, из каких классов состоит данное число: первые три цифры справа обозначают, понятно, простые единицы, следующие три — тысячи, потом — миллионы и т. д.

Напр., число

87 205 079

обозначает

восемьдесят семь миллионов двести пять тысяч семьдесят девять.

Не мешает заметить, как изображается одна единица того или иного разряда или класса:

единица (простая).........1

десяток..............10

сотня...............100

тысяча.............1 000

десяток тысяч......... 10 000

сотня тысяч.......... 100 000

миллион........... 1 000 000

десяток миллионов...... 10 000 000

сотня миллионов...... 100 000 000

биллион........ 1 000 000 000 и т. д.

Полезно запомнить хотя бы то, что тысяча изображается единицей с 3 нулями, миллион — единицей с 6 нулями, биллион — единицей с 9 нулями и т. д.

Заметим еще, что числа от 1 до 9 включительно называются однозначными, так как изображаются каждое одной цифрой; числа, изображаемые двумя цифрами (от 10 до 99 включительно) — двузначными; изображаемые тремя цифрами (от 100 до 999 включительно) — трехзначными, и т. д.; а все вообще числа, изображаемые более чем одной цифрой, называются многозначными.

§ 5. Римские цифры. Те цифры, которые мы употребляем теперь для обозначения чисел, приняты и всеми другими образованными народами; их называют арабскими, потому что они перешли к европейским народам от арабов; но ученые историки говорят, что арабы не сами изобрели эти цифры, а заимствовали их у индусов или еще более древних народов.

Теперешние наши цифры — арабские — вошли в общее употребление потому, что они весьма удобны: при помощи этих десяти цифр мы можем очень просто изобразить какое угодно число. Но в прежние времена у разных народов были и другие цифры, которые не все еще вывелись из употребления и теперь. Так, у нас употребляются еще иногда на часах и в книгах для обозначения глав и отделов римские цифры, с которыми нам и надо познакомиться.

Римские цифры таковы:

Число 1 обозначается знаком I

5 V

10 „ „ X

50 L

100 „ „ С

500 „ „ D

1000 „ „ M

Остальные же числа изображаются с помощью этих семи цифр по следующему правилу: если две цифры написаны рядом, то это значит, что изображаемые ими числа надо сложить, кроме только того случая, когда цифра меньшего значения стоит перед цифрой большего значения; в таком случае соответственные числа надо вычесть.

Так, напр., первые десять чисел изображаются при помощи римских цифр следующим образом:

1 — I

2 — II, т.-е. один и один

3 — III, т.-е. один и один и один

4 — IV, т.-е. пять без одного: или иначе IIII

5 — V,

6 — VI, т.-е. пять и один

7 — VII, т.-е. пять и один и один

8 — VIII, т.-е. пять и один и один и один

9 — IX, т.-е. десять без одного; или иначе VIIII 10 — X.

Дальше числа изображаются так:

11 —XI (десять и один),

12 — XII.....20 —XX (два десятка), 30 —XXX, 40 —XL,

(т.-е. пятьдесят без десяти), 50 — L, 60 — LX, 70 — LXX, 80 —LXXX, 90 — ХС (сто без десяти), 100 —С и т. д.

Затем: 200 —СС (две сотни), 300 —ССС, 400 —CD (пятьсот без ста), 500 —D, 600 —DC, 700 — DCC, 800 —DCCC; 900 — СМ (тысяча без ста), 1000 — M и т. д.

Напр., число 864 придется изобразить так: DCCCLXIV, число 1918 — MCMXVIII.

Для изображения нескольких тысяч берутся те же цифры, но к ним присоединяется сбоку значек (буква) m, напр., 10 тысяч изображаются так: Хт.

Видим, что изображение чисел римскими цифрами не очень удобно, так как при этом часто приходится писать гораздо больше знаков, чем при обычном нашем обозначении; и действия над числами в римском обозначении гораздо труднее, чем при нашем.

Происхождение римских цифр ученые объясняют так. Римляне, как и другие древние народы, считали сначала по пальцам и знаки I, II, III и НИ обозначали у них один, два, три и четыре пальца. Для обозначения пяти рисовали всю руку с отогнутым в сторону большим пальцем, откуда и получился знак V; знак десяти (X) получился из двух пятерок, т.-е. изображал две руки. Знаки С и M — это первые буквы слов centum (центум) — сто и mille (милле)—тысяча; знак 50-ти (L) получился, как половина сотни, т.-е. знака С; знак же D для обозначения 500 образовался так: тысячу обозначали иначе (I), т.-е. в виде единицы в скобках; желая изобразить половину этого знака, брали единицу с одной скобкой: I), отсюда и получился знак D.

ОТДЕЛ II.

Как решаются задачи. Некоторые искусственные приемы решения задач.

§ 6. Простые и сложные задачи. Возьмем такую задачу:

В одной корзинке 50 яиц, а в другой 32; сколько яиц в обеих корзинках?

Чтобы найти это, нужно сложить 50 и 32, и мы найдем, что в обеих корзинках вместе 82 яйца. Наша задача решается, таким образом, одним действием, сложением. Такие задачи, решаемые одним действием, мы будем называть простыми. 3 ад а ч и же, для решения которых нужно два или более действий, называют сложными. Возьмем, напр., такую задачу:

Курица несет в неделю 5 яиц. Сколько яиц снесут 5 куриц за 3 недели?

Для решения этой задачи мы должны сначала найти, сколько яиц снесут 5 куриц в одну неделю:

а дальше нужно узнать, сколько яиц снесут все 5 куриц за 3 недели:

Эта задача — сложная, потому что для решения ее понадобилось два действия.

§ 7. Решение сложных задач. Запись решения по вопросам. Возьмем такую задачу.

В кооперативе закуплен запас карандашей: 35 пачек по 30 карандашей, 30 пачек по 25 карандашей и 28 пачек по 20 карандашей, да кроме того еще отдельно 340 карандашей. Все эти карандаши нужно распределить поровну между 36 школами. Сколько карандашей должна получить каждая школа?

Мы решаем эту задачу так:

Сначала узнаем, сколько будет всего карандашей в пачках первого сорта. В каждой пачке первого сорта 30 карандашей, а всех пачек 35, поэтому мы должны 30 карандашей взять 35 раз, или умножить 30 карандашей на 35:

Потом мы находим, сколько будет карандашей в пачках второго сорта:

Далее находим, сколько будет карандашей в пачках третьего сорта:

После этого вычисляем, сколько всего карандашей в кооперативе. В пачках первого сорта 1050 карандашей, второго— 750, третьего — 560, да еще отдельно 340 карандашей, поэтому мы должны сложить все эти числа:

Теперь мы можем уже найти, сколько карандашей должна получить каждая школа; для этого нужно 2700 карандашей разделить на 36:

Итак, каждая школа получит 75 карандашей.

Решение располагают обыкновенно так: пишут действие со всеми вычислениями в том порядке, в каком они производятся, и перед каждым действием записывают словами вопрос, показывающий, что именно найдено в задаче при помощи этого действия. Решение нашей задачи будет тогда записано таким образом:

1) Сколько всего карандашей в пачках первого сорта?

2) Сколько всего карандашей в пачках второго сорта?

3) Сколько всего карандашей в пачках третьего сорта?

4) Сколько всего карандашей в кооперативе?

5) Сколько карандашей получит каждая школа?

Ответ задачи: Каждая школа получит 75 карандашей.

Рассмотрим еще такую задачу:

На складе есть 39 000 килограммов каменного угля. Из него вывезли сначала 18 возов угля по 720 кг в каждом, а затем еще 14 возов, по 675 кг. Сколько еще нужно возов, чтобы вывезти оста-

ток угля со склада, если 3840 кг нужно оставить на складе для служащих, а каждый воз будет вывозить по 750 килограммов?

Решение этой задачи располагаем по вопросам так:

1) Сколько килограммов угля вывезли со склада первые 18 возов?

2) Сколько кг вывезли следующие 14 возов?

3) Сколько кг вывезли все возы вместе?

4) Сколько кг угля осталось еще на складе?

5) Сколько кг нужно вывезти еще за вычетом тех 3 840 кг, которые остаются на складе для служащих?

6) Сколько нужно возов, чтобы вывезти эти 12 750 кг, если каждый воз будет вывозить по 750 кг?

Ответ задачи 17 возов.

§ 8. Именованные и отвлеченные числа. Запись наименований при действиях над числами. Возьмем такую задачу: На железную дорогу сдано для перевозки 8 тюков шерсти весом 40 килограммов, 6 ящиков со свечами по 32 кг каждый и 4 жестянки с керосином по 24 кг. Сколько нужно заплатить за провоз всего этого груза, считая по 5 коп. (золотом) за килограмм?

Решаем эту задачу по вопросам так: 1) Сколько весит вся шерсть?

2) Сколько весят ящики со свечами?

3) Сколько весят все жестянки с керосином?

4) Сколько весит весь груз?

5) Сколько нужно заплатить за провоз всего груза?

Ответ задачи: 30 руб. 40 коп.

Заметим теперь следующее: В этой задаче при многих числах указано название их единиц: 40 килограммов, 5 копеек, 8 тюков, 6 ящиков и т. д. Такие числа мы будем называть именованными. Те же числа, при которых название их единиц не указано, называются отвлеченными, напр., числа 8, 6 и 608 в первом, втором и последнем действиях задачи — отвлеченные.

Иногда бывает, что два или несколько именованных чисел выражают вместе какую-либо одну величину; напр., в дан-

ной задаче 30 руб. 40 коп. — это стоимость провоза всего груза. Такие несколько именованных чисел, которые выражают вместе одну какую-либо величину, называются составными именованными числами.

Чтобы запись решения была ясной и точной и вместе с тем не содержала ничего лишнего, надо установить, когда следует и когда не следует писать при вычислениях наименования чисел, над которыми производятся действия.

Очевидно, что когда мы имеем дело с составными именованными числами, то необходимо писать при них наименования, потому что иначе запись действия будет непонятной. Напр., в пятом действии нашей задачи, где мы вычисляем стоимость провоза всего груза, мы должны записать вычисления со всеми наименованиями:

Иногда можно упростить запись названий при вычислениях с составными именованными числами — подписывать эти числа в столбец. Вот образцы такой записи:

Если же мы производим вычисления только с простыми именованными числами, то, как сейчас увидим, обозначение названия при числе уже не всегда необходимо. Например, в четвертом действии нашей задачи:

„Сколько весит весь груз?“

мы непременно должны были обозначить при вычислении наименование чисел:

потому что иначе было бы непонятно, сколько именно весит весь груз: 608 килограммов или иных мер. Но мы можем обозначить наименование числа в самом вопросе, а именно:

„Сколько килограммов весит весь груз?“,

и тогда, очевидно, можно записать действие вовсе без наименований:

Так же и в первом действии, если бы мы спросили „Сколько килограммов весит вся шерсть?“ — можно было бы записать вычисление просто:

При нашем же вопросе („сколько весит вся шерсть“) нужно было обозначить наименование в самом действии:

Поэтому, если в задаче мы имеем дело только С простыми именованными числами, то лучше всего обозначать в самом вопросе название числа, которое мы ищем, так как тогда нам уже не нужно писать наименований чисел в действии. Если же мы не обозначили этого наименования в вопросе, то приходится писать наименования при всех числах, входящих в данное действие, кроме тех, которые по существу являются отвлеченными.

Так, например, в предыдущей записи:

число 8 записано без наименования, потому что оно обозначает в этом действии не количество тюков, как и задаче

а только то, сколько раз мы берем по 40 кг (мы читаем эту запись так: „40 кг взять 8 раз —будет 320 кг“, или: „40 кг помножить на 8 —будет 320 кг“). И вообще число, на которое мы множим (множитель), записывается всегда без наименования, так как оно по существу отвлеченное и обозначает только то, сколько раз мы повторяем какое-либо другое число.

Такие же случаи бывают и при делении. Если, например, нам нужно разделить 70 рублей на 10 равных частей, то мы обозначаем действие так:

70 руб. : 10 = 7 руб.;

и число 10 остается тут без названия, так как оно обозначает только то, на сколько частей мы делим. Подобным же образом, если мы должны разделить 70 руб. по 10 руб., то мы записываем:

70 руб : 10 руб. = 7,

и тут остается без наименования полученное число 7, потому что оно обозначает, сколько раз 10 рублей содержатся в 70 рублях.

§ 9. План решения задачи. Прямой и обратный способ рассуждения при решении задач. Чтобы не запутаться при решении сложной задачи, полезно бывает не производить действия наобум, а прежде решения задачи рассудить, каким образом по данным числам найти искомое, или, как говорят, составить план решения задачи. Пусть, например, задана такая задача:

В детской столовой было заготовлено 3 936 банок сгущенного молока на 216 дней; но число детей, которых кормили, в столовой, увеличилось, и пришлось расходовать в день на 8 банок больше, чем предполагали. На сколько дней хватит заготовленного молока?

Рассуждаем так: мы знаем, что было заготовлено 3 936 банок молока на 246 дней; поэтому можно узнать, сколько банок молока предполагали расходовать в день (разделив 3 936 банок на 246). Узнав это и зная из условия задачи; что на самом деле расходовлли ежедневно на 8 банок

больше, мы можем узнать, сколько банок молока расходовали на самом деле (сложив полученное раньше число с 8). Зная же весь запас молока (3 936 банок) и узнав, по сколько банок расходовали в день, мы найдем, на сколько дней хватит всего молока (разделив 3 936 банок молока на число банок ежедневного расхода).

Итак, мы нашли, что задача может быть решена такими тремя вопросами:

1) Сколько банок предполагали расходовать ежедневно?

2) Сколько банок пришлось расходовать ежедневно на самом деле?

3) На сколько дней хватит всего молока?

Ответ задачи: на 164 дня.

При нашем рассуждении мы начинали от данных чисел и установили, какие действия надо постепенно производить над данными числами и над полученными в промежуточных вычислениях, чтобы дойти до искомого числа. Этот порядок рассуждения называется прямым. Но можно рассуждать, как сейчас увидим, и в обратном порядке.

Пусть дана такая задача:

Две артели плотников, работая за одинаковую поденную плату, получили за работу 14 140 червонных рублей. В пер-

вой артели было 35 человек, и работала она 64 дня, а во второй было 24 человека, и она работала 75 дней. Сколько денег придется получить каждой артели?

Рассуждаем так:

Чтобы найти, сколько получит каждая артель, мы должны знать поденную плату одного рабочего и число рабочих дней, за которое надо заплатить каждой артели.

Чтобы узнать поденную плату одного рабочего, надо знать, сколько было всего уплачено денег за работу, и за сколько рабочих дней был произведен расчет. Количество денег, уплаченных за всю работу, мы знаем из условия задачи (14 140 руб.); число же рабочих дней, за которое уплачена эта сумма, нам неизвестно, но мы узнаем его, если сложим число рабочих дней всей первой артели с числом рабочих дней всей второй артели. Эти числа нам также неизвестны, но мы можем узнать их прямо из условия задачи. Мы знаем, сколько дней работала первая артель (64) и сколько было в ней человек (35); чтобы узнать число рабочих дней первой артели, придется эти числа перемножить. Подобным же способом узнаем число рабочих дней и для второй артели; придется умножить число дней ее работы (75) на число людей в ней (24).

Таким образом мы узнаем и число рабочих дней каждой артели, и поденную плату одного рабочего; а тогда сможем ответить и на вопрос задачи—сколько денег получит каждая артель.

Мы соображали, что нужно знать для того, чтобы найти искомые числа, и выяснили, что все это мы узнать можем. Теперь нетрудно уже построить и самое решение задачи по вопросам; оно таково:

1) За сколько рабочих дней придется заплатить первой артели?

2) За сколько рабочих дней придется заплатить второй артели?

3) За сколько рабочих дней придется заплатить обеим артелям вместе?

4) Какова поденная плата каждого рабочего?

5) Сколько получит первая артель?

6) Сколько получит вторая артель?

(Разумеется, это число мы могли получить и иначе, вычитая заработок первой артели—7 840 руб.—из общей платы— 14 140 руб.)

Ответ задачи: Первая артель получит 7 840 руб., а вторая — 6 300 руб.

При этом способе рассуждения мы идем от искомого числа и устанавливаем, что нужно знать, чтобы определить искомое число, и какие для этого нужно выполнить действия над данными числами. Это —обратный способ рассуждения. Он несколько труднее прямого, но зато нередко помогает распутать задачу в тех случаях, когда прямой порядок рассуждения не сразу приходит на ум.

§ 10. Сокращенная запись решения задачи (формула). Порядок действий; скобки. Возьмем такую задачу:

Нужно сделать 12 тетрадей по 5 листов и 10 тетрадей по 4 листа. Сколько листов бумаги пойдет на все эти тетради?

Очевидно задача решается такими вопросами:

1) Сколько листов бумаги пойдет на все тетради большего размера?

2) Сколько листов пойдет на все тетради меньшего размера?

3) Сколько листов пойдет на все тетради вместе?

Как видно, мы производили вычисления так: сначала умножили 5 на 12, потом умножили 4 на 10 и полученные числа (60 и 40) сложили, получили 100. Можно записать все эти действия вместе таким образом:

Эта сокращенная запись решения называется формулой: по ней сразу видно, какие действия мы выполняли

над данными числами одно за другим, чтобы получить искомое число.

Если в формулу входят несколько действий, то необходимо точно условиться, в каком порядке их надо совершать, так как иначе и самый смысл формулы и получаемое в результате число может измениться.

Например, если в нашей формуле:

5X12 + 4X10

мы стали бы производить действия не так, как было указано, а подряд, то смысл ее был бы такой: 5 умножить на 12, к полученному числу (60) прибавить 4, и новор полученное число (64) умножить на 10; вышло бы 640.

Видим, что и смысл формулы и получаемое от ее вычисления число уже не то, что раньше.

Чтобы не было недоразумений, принято такое правило насчет порядка действий:

Если записано подряд несколько чисел со знаками действий между ними, то это значит, что надо сначала выполнить по порядку записи умножение и деление, а потом (над полученными числами) сложение и вычитание.

Пусть, например, дана такая запись:

Это значит, что мы сначала должны выполнить умножение и деление:

а над полученными числами — сложение и вычитание: сначала от 24 отнять 2, а к полученному числу (22) прибавить 10:

Если же нужно выразить, что порядок действий отличается от только что указанного, то для этого употребляются скобки.

Так, например, если мы хотим показать, что надо сложить 12 и 8, полученное число разделить на 5, то запишем это так:

(12 +8): 5.

Если хотим записать, что надо 5 умножить на 12, к полученному числу прибавить 4 и все полученное умножить еще на 10, то это изображается так:

(5 X 12 + 4) x10.

Скобки, таким образом, показывают, что надо сначала вычислить то, что записано внутри скобок, а потом над полученными числами произвести действия в обыкновенном порядке.

Возьмем, например, еще раз нашу первую формулу

5Х12 + 4x10.

Как мы видели, ее смысл таков: сначала надо умножить 5 на 12 и 4 на 10, а потом полученные числа сложить.

Мы видели также, как изменился ее смысл от постановки скобок:

(5Х12 + 4)x10;

это значит, что надо вычислить сперва то, что написано в скобках, и затем полученное число умножить на 10. Поставим теперь скобки еще иначе:

5X02 + 4X10).

Это значит, что надо сначала вычислить то, что в скобках: умножить 4 на 10 и полученное число (40) прибавить к 12: а затем на все полученное число (52) умножить 5; будем иметь 260.

Наконец, поставим скобки еще так:

5Х(12 + 4)x10.

Теперь смысл записи таков: надо сложить 12 и 4, на полученное число (16) умножить 5, а полученное число (80) умножить на 10; находим 800.

Иногда записанное в скобках приходится заключать в новые скобки; тогда, кроме круглых скобок () и для отличия от них употребляются скобки квадратные

и фигурные

например:

Это значит: 2 умножить на 12, из полученного числа (24) отнять 6, все полученное разделить на 3 и к тому, что получится (6), прибавить 5; весь этот результат (11) умножить на 2, из найденного числа (22) вычесть 7, и все полученное (15) разделить на 5; находим в конце концов 3.

Заметим еще, что в записи формул знак деления заменяется иногда чертой, и эта черта имеет такое же значение для порядка действий, как и скобки; например, вместо записи (12-|-8) : 5 можно писать:

§ 11. Некоторые особые приемы решения задач.

Иногда бывает трудно или даже невозможно сразу сообразить, какие именно надо произвести действия над данными числами в задаче, чтобы получить искомое число. В этих случаях нередко помогают делу особые приемы решения, с которыми и надо ознакомиться.

I. Наглядное изображение чертежом.

1) Задачи на движение. Возьмем такую задачу:

Два брата, Андрей и Борис, вышли одновременно навстречу друг другу из двух деревень, Mякинина и Орехова, расстояние между которыми 45 километров. Андрей проходит в каждый час по 5 километров, а Борис по 4 километра. Через сколько часов они встретятся?

Для ясности изобразим условие нашей задачи чертежом:

Черт. 1.

Пусть точка M (черт. 1) изображает деревню Мякинино О—Орехово; расстояние между ними 45 километров. Спустя час, Андрей пройдет 5 километров по направлению от Ж к О (как показывает стрелка на чертеже) и придет в место, отмеченное на чертеже точкой А. Борис пройдет за это время 4 километра от О до Б. Расстояние между ними сначала было МО, теперь А Б: оно уменьшилось за один час на 5 километров с одной стороны и на 4 километра — с другой, а всего на 9 километров. Посмотрим, что будет спустя еще один час. Андрей пройдет по своей дороге еще 5 километров и придет из А в а; а Борис пройдет ему навстречу еще 4 километра из Б в б. Расстояние между ними было раньше АБ, теперь аб\ оно уменьшилось опять на 5 километров с одной стороны и на 4 километра — с другой, а всего на 9 километров. Ясно, что так будет и дальше; расстояние между пешеходами уменьшается в каждый час на 9 километров. Значит, они будут итти навстречу друг другу столько часов, сколько раз можно от 45 километров отнимать по 9 километров или сколько раз 9 километров содержится в 45 километрах. Это узнаем делением: 45:9 = 5; значит, братья будут итти до встречи 5 часов.

Итак, мы видим, что наша задача решается двумя вопросами:

1) На сколько километров уменьшается расстояние между пешеходами в каждый час?

5 + 4 = 9.

2) Через сколько часов они встретятся?

45:9 = 5. Ответ задачи: через 5 часов.

Проверим задачу:

Через 5 часов Андрей пройдет 5X5, т.-е. 25 километров, и придет в место, изображенное на черт. 2 точкой В (встреча). А Борис через 5 часов пройдет 4X5, т.-е. 20 километров, и придет из О в то же самое место В\ тут они и встретятся.

После этого нетрудно будет решить задачу посложнее:

Расстояние по железной дороге от Москвы до Ленинграда 651 километр. Из Москвы вышел почтовый поезд со скоростью 30 километров в час, а спустя 3 часа после его отхода навстречу ему из Ленинграда вышел товарный поезд со скоростью 21 километра в час. Сколько часов будет итти товарный поезд до встречи с почтовым?

Пусть точка M (черт. 3) изображает Москву, Л — Ленинград. Узнаем сначала, на каком расстоянии от Москвы будет почтовый поезд через 3 часа своего пути (т.-е. ко времени отхода товарного поезда из Ленинграда):

Пусть точка п на черт. 3 изображает то место, где будет почтовый поезд во время выхода товарного. Найдем, каково будет тогда расстояние между поездами:

Черт. 2.

Черт. 3.

Теперь видим, что задача стала совсем похожа на предыдущую. Ясно, что надо найти, на сколько приближаются друг к другу поезда в каждый час:

30 км+ 21 км = 51 км, и сколько часов они будут итти навстречу друг другу: 551 км:Ъ\ км = Н.

Итак, поезда встретятся через 11 часов после выхода товарного поезда из Ленинграда.

Проверим задачу: товарный поезд отойдет от Ленинграда за 11 часов на 21 X Н* т--е. 231 километр, а почтовый, который вышел из Москвы на 3 часа раньше, будет итти до встречи 14 часов и отойдет от Москвы на 30 X 14, т.-е. на 420 километров. Расстояние его от Ленинграда будет тогда 651 —420, или тоже 231 километр, значит, в это время поезда действительно встретятся.

Подобным же образом решаются задачи, где один пешеход, поезд и т. п. догоняет другого. Возьмем такую задачу:

По шоссе едут два велосипедиста в одну и ту же сторону. Расстояние между ними 20 километров; первый едет со скоростью 12 километров в час, а второй догоняет его со скоростью 16 километров в час. Через сколько времени второй догонит первого?

Изобразим и здесь условие задачи чертежом. Пусть первый велосипедист находится в месте Л, второй в Б (черт. 4); через час первый проедет 12 километров вперед и приедет в место а; а второй проедет 16 километров и попадает в б. Расстояние между ними было раньше БА = 20 километров, а теперь будет ба.

Черт. 4.

Сообразим, насколько это расстояние меньше прежнего. Если бы первый ездок оставался на месте в Д то расстояние между ними через час было бы 6А, т.-е. уменьшилось бы на 16 километров; но первый ездок за это время уедет вперед на 12 километров (до места а), и поэтому второй успеет приблизиться к первому не на 16 километров, а только на 16 — 12, т.-е. на 4 километра. Спустя еще час второй ездок продвинется еще на 16 километров, но первый уйдет от него вперед на 12 километров и расстояние между ними уменьшится опять на 4 километра. И вообще, в каждый следующий час расстояние между ними будет уменьшаться на 4 километра; значит, второй догонит первого через столько часов, сколько раз можно от 20 километров отнимать по 4 километра, или сколько раз 4 километра содержатся в 20 километрах. Это узнаем делением: 20:4 = 5, т.-е. второй ездок догонит первого через 5 часов.

Итак, наша задача решается следующими двумя вопросами:

1) На сколько километров приближается второй велосипедист к первому в каждый час?

16—12 = 4.

2) Сколько часов должен ехать второй велосипедист, чтобы догнать первого?

20: 4 = 5.

Не трудно убедиться, что задача решена верно: за 5 часов второй ездок проедет 16X5, т.-е. 80 километров от £, и приедет в место, обозначенное точкою В на черт. 4, а первый за это время проедет 12X5, т.е. 69 километров в ту же сторону от Л, и приедет как раз в то же место В, что и второй.

Подобным же образом решается и более сложная задача:

Со станции вышел товарный поезд со скоростью 16 километров в час. Спустя 3 часа с другой станции, находящейся позади первой на 52 километра отправлен в ту же сторону пассажирский поезд со скоростью 36 километров

в час. Сколько часов надо будет идти пассажирскому поезду, чтобы догнать товарный?

Пусть первая станция, с которой отошел товарный поезд, обозначена на чертеже 5 буквою Л, а вторая находящаяся позади ее в 52 километрах,—буквою Б. Найдем прежде всего сколько километров пройдет товарный поезд за первые 3 часа своего пути:

Пусть то место, в котором окажется товарный поезд после трех часов пути, отмечено на чертеже буквою 7'; найдем, каково будет в это время расстояние между ним и пассажирским поездом, который выходит со станции Б:

Теперь ясно, что задача решается дальше подобно предыдущей: найдем, на сколько километров пассажирский поезд приближается к товарному в каждый час:

и сколько часов понадобится пассажирскому поезду, чтобы нагнать товарный.

Проверим задачу. Пусть точка В (черт. 5) обозначает ту станцию, куда придет товарный поезд через 5 часов; эта станция отстоит от места Т на 16X5, т.-е. на 80 километров, от станции Б точка В отстоит на 100-]-80, т.-е. на 180 километров. Но пассажирский поезд за 5 часов пройдет 36 X 5, т.-е. как раз 180 километров: значит, он окажется на станции В одновременно с товарным.

Черт. 5.

2) Задачи на вычисление промежутков времени. Пусть дана такая задача: Я лег спать в 10 часов вечера, а проснулся в половине седьмого утра: сколько времени я спал?

Изобразим время в виде прямой линии (черт. 6) и отметим на ней точками время начала моего сна—10 часов вечера и время пробуждения — 6 часов 30 минут, утра, а в промежутке полночь— 12 часов ночи. Ясно, что сперва надо сосчитать, сколько часов прошло от начала моего сна до полуночи — 2 часа; а потом — сколько прошло от полуночи до половины седьмого утра — 6 часов 30 минут. Полученные числа надо сложить, и найдем, что я спал всего 8 часов 30 минут.

Подобным же образом решается задача:

Поезд вышел из Ленинграда в среду в 8 часов 30 минут вечера, а прибыл в Киев в пятницу в 3 часа 50 минут дня. Сколько времени он был в пути?

Изобразим опять время в виде прямой линии (черт. 7) и отметим на ней время отхода поезда из Ленинграда (среда 8 часов 30 минут вечера) и время прибытия его в Киев (пятница 3 часа 50 минут дня), а в промежутке—начало четверга (т.-е. полночь со среды на четверг) и начало пятницы (полночь с четверга на пятницу).

Черт. 6.

Черт. 7.

Из чертежа ясно, что поезд был в пути часть среды от 8 часов 30 минут вечера до полуночи, потом весь четверг и еще часть пятницы от начала суток до 3 часов 59 минут дня. Высчитав эти промежутки времени, сложим их и найдем сколько времени поезд был в пути:

Возьмем теперь такую задачу:

Пароход отошел из Киева в Чернигов 6 августа в 7 часов вечера. Когда он должен притти в Чернигов, если всего пути считается 20 часов?

Черт. 8.

Ясно, что от 7 часов вечера до полуночи того же дня пройдет 5 часов, и пароходу останется плыть еще 15 часов. Эти 15 часов его пути придутся на 7 августа —12 часов до полудня и 3 часа после полудня. Значит, он придет в Чернигов 7 августа в 3 часа дня.

Пусть нам дана еще такая задача:

Поезд пришел из Москвы в Одессу в воскресенье в 11 часов утра. Когда он вышел из Москвы, если пробыл в пути всего 38 часов 20 минут?

Начертим прямую линию, изображающую время (черт. 9), и отметим на ней время прихода поезда в Одессу—11 часов утра воскресенья. Отсчитав затем назад 11 часов, найдем начало воскресенья; до этого времени поезд находился в пути

не 38 часов 20 минут, а на 11 часов меньше, т.-е. 27 часов 20 минут. Отсчитаем назад еще сутки — 2 4 часа, и найдем начало субботы; до этого времени поезд был в пути еще на 24 часа меньше, т.-е. 3 часа 20 минут.

Теперь ясно, что поезд вышел из Москвы в пятницу после полудня, и если до конца пятницы оставалось еще 3 часа 20 минут, то от полудня прошло 12 часов без 3 часов 20 минут, т.-е. 8 часов 40 минут. Итак, поезд вышел в пятницу в 8 часов 40 минут вечера, что и видно на чертеже.

II. Приведение к единице.

Пусть дана такая задача:

За 7 селедок заплачено 1 рубль 5 коп. Сколько придется заплатить за 26 таких селедок?

Сразу это найти трудно; поэтому найдем сперва, сколько стоит одна селедка:

1 руб. 5 коп.: 1— 105 коп.: 7 = 15 коп,, а теперь можно найти, сколько будут стоить 26 селедок: 15 коп. X 26 = 390 коп. = 3 руб. 90 коп.

Еще пример:

15 рабочих выстроили сарай в 10 дней. Во сколько дней могли бы выстроить этот сарай 25 рабочих?

И здесь трудно сразу найти ответ: поэтому узнаем сперва, сколько дней понадобилось бы на постройку этого сарая одному рабочему. Если 15 рабочих окончили постройку

Черт. У.

сарая в 10 дней, то одному рабочему на постройку того же сарая понадобится времени в 15 раз больше, т.-е.

10 дней X 15= 150 дней,

а 25 рабочим на постройку того же сарая понадобится времени в 25 раз меньше, т.-е.

150 дней: 25 = 6 дней.

В этих задачах мы ставили вспомогательный вопрос о стоимости одной селедки, о продолжительности работы одного рабочего и т. п., почему и самый способ решения называется приведением к единице. Но иногда бывает удобно ставить вспомогательный вопрос не об одной единице, а о группе в несколько единиц. Возьмем, напр., такую задачу:

35 огурцов стоят 1 рубль 50 коп. Сколько нужно заплатить за 56 огурцов?

Здесь неудобно узнавать, сколько стоит один огурец, потому что 1 рубль 50 коп. не разделятся без остатка на 35; но мы замечаем, что 35 — это 5 раз по 7-ми, а 56 — это 8 раз по 7-ми, и для решения задачи удобно сначала узнать, сколько будут стоить 7 огурцов. Если 35 огурцов стоят 1 рубль 50 коп., то 7 огурцов будут стоить в 5 раз меньше:

1 руб. 50 коп.-.5 = 150:5 = 30 коп.

Столько стоят 7 огурцов: а 56 огурцов будут стоить в 8 раз больше этого:

30 коп. X 8 = 240 коп. = 2 руб. 40 коп.

Видим, что при решении этой задачи „единица“ у нас получилась сложная: за „единицу“ нам пришлось принять стоимость 7-ми огурцов.

III. Задачи, решаемые предположениями. Пусть дана такая задача:

Веревку в 37 метров длины надо разрезать на такие две части, чтобы первая часть была на 5 метров больше второй. Какой длины будет каждая часть?

Будем рассуждать так. Предположим, что первая часть одинакова со второй; тогда во всей веревке было бы не 37 метров, а на 5 метров меньше, т.-е. 32 метра, а длина каждой части была бы 32:2, т.-е. 16 метров. Такой длины и должна быть вторая, меньше часть веревки; а длина большей части получится, если мы к 16 метрам прибавим еще 5 метров, т.-е. она равна 21 метру.

Итак, наша задача решается следующими тремя вопросами:

1) Какова была бы длина всей веревки, если мы предположим, что первая часть одинакова со второй?

2) Как велика длина второй (меньшей) части веревки?

3) Как велика длина первой (большей) части?

При решении этой задачи мы предположили, что первая часть веревки одинакова со второй; но можно было бы предположить, что вторая часть (меньшая) одинакова с первой; тогда во всей веревке было бы не 37 метров, а на 5 метров больше, т.-е. 42 метра, а разделив эту длину пополам, мы нашли бы, что первая часть (большая) содержит 21 метр, а затем высчитали бы, что в меньшей 16 метров.

Возьмем теперь такую задачу:

Две машинистки переписали рукопись и получили за работу 92 руб.; из этих денег вторая должна получить в 3 раза больше первой. Сколько денег должна получить каждая из них за свою работу?

Предположим, что первая машинистка заработала 1 рубль; тогда вторая должна была бы получить в 3 раза больше, т.-е. 3 рубля; а обе вместе получили бы 1+3, т.-е. 4 рубля. Далее, пусть первая машинистка получит еще 1 рубль; тогда вторая должна получить еще 3 рубля, а обе вместе — еще 4 рубля и т. д. И вообще, сколько раз первая

получит по 1 рублю, столько раз вторая должна получить по 3 рубля, и столько же раз в их общем заработке должно содержаться по 4 руб. Но мы знаем, что на самом деле они получили за свою работу 92 рубля; мы можем найти, сколько раз в этой сумме содержится по 4 рубля:

92 руб. :4 руб. = 23

Столько же раз должна первая машинистка получить по 1 рублю, а вторая по 3 рубля; значит, первая машинистка получит

а вторая

Решение всей задачи можно записать по вопросам так

1) Сколько рублей заработали бы обе машинистки, если мы предположим, что первая получит 1 рубль?

2) Во сколько раз больше они заработали на самом деле?

3) Сколько рублей должна получить первая машинистка?

4) Сколько рублей должна получить вторая?

Можно было бы рассуждать еще и так. Вторая машинистка должна получить в 3 раза больше первой; значит, доля второй — все равно, что 3 доли первой, а во всем их заработке (92 руб.) доля первой содержится 1+3, т.-е. 4 раза. Поэтому доля первой получится, если мы разделим 92 руб. на 4 равных части, и будет равна

а доля второй будет в 3 раза больше, т.-е.

При этом способе рассуждения задача решается тремя вопросами:

1) Сколько раз содержится доля первой машинистки в их общем заработке?

1+3 = 4.

2) Сколько рублей должна получить первая машинистка?

92; 4 = 23.

3) Сколько рублей должна получить вторая?

23X3 = 69 (или: 92 — 23 = 69). Решим теперь задачу посложнее:

Кооператив приобрел 215 килограммов макарон и 160 килограммов сахару за 246 руб. 50 коп.; при чем килограмм макарон стоил дороже килограмма сахару на 10 коп. Сколько стоит килограмм того и другого товара?

Предположим, что вместо макарон было куплено столько же сахару; так как один килограмм сахару дешевле килограмма макарон на 10 коп., то за весь товар пришлось бы заплатить меньше на

10 коп. X 215 = 21 руб. 50 коп.,

и вся покупка обошлась бы в

246 руб. 50 коп. —21 руб. 50 коп. = 225 руб.

При этом весь товар состоял из сахару, и его было бы

215 кг + 160 кг = 375 кг.

Следовательно, один килограмм сахару стоил

225 руб. : 375 = 22500 коп.: 375 = 60 коп,

а один килограмм макарон

60 коп.+ 10 коп. = 70 коп.

Подобным же способом решается такая задача:

Фабрика продала 18 самоваров и 38 кофейников за 660 рублей, при чем самовар стоил в 4 раза дороже кофейника. Почем продавался каждый самовар и каждый кофейник?

Предположим, что вместо всех самоваров куплены кофейники на ту же сумму денег; вместо одного самовара можно купить 4 кофейника, а вместо 18 самоваров — 4 X 18 или 72 кофейника. Значит, за все деньги (660 рублей) можно купить всего 72+38, т.-е. 110 кофейников, и один кофейник будет стоить:

660 руб. : 110 = 6 руб.,

а, значит, один самовар будет стоить

6 руб. X 4 = 24 руб.

Вот еще более сложная задача, решаемая предположением.

На пароходе было продано 80 билетов первого и второго класса всего на 632 рубля. Билет первого класса стоит 10 руб., а второго 7 руб.. Сколько было продано билетов каждого класса в отдельности?

Предположим, что все билеты были только первого класса, тогда за них было бы выручено

10 руб. X 80 = 800 руб.

Но на самом деле было выручено за все билеты 632 руб., т.-е. меньше на

800 руб.- 632 руб. = 168 руб.

Это произошло оттого, что в числе проданных билетов были и билеты второго класса, каждый из которых стоит дешевле билета первого класса на

10 руб. — 7 руб. = 3 руб.

Теперь рассуждаем так: если в числе всех билетов заменить один билет первого класса билетом второго класса, то общая выручка уменьшается от этого на 3 руб.; на самом же деле общая выручка оказывается на 168 руб. меньше, чем при нашем предположении. Значит, билетов второго класса было столько, сколько раз надо взять по 3 руб., чтобы набрать 168 руб., а это узнаем делением:

Итак, билетов второго класса было 56; а первого -80 — 56, т.-е. 24.

Можно было предположить наоборот, что все билеты были только второго класса; тогда задача решается подобными же вопросами:

1) Сколько рублей выручили бы за все билеты, если бы они все были второго класса?

7X80 — 560.

2) На сколько рублей действительная выручка более предполагаемой?

632 — 560 — 72.

3) На сколько рублей увеличивается выручка, если вместо одного билета второго класса продается билет первого класса?

10 — 7 = 3.

4) Сколько продано билетов первого класса?

72:3 = 24.

5) Сколько было продано билетов второго класса?

80 — 24 = 56.

Вот еще задача в таком же роде:

Извозчик обязался перевезти 48 стульев, при чем за каждый стул, доставленный в целости, ему платили по 40 коп., а за каждый попорченный вычитали с него по 3 руб. Сколько он доставил целых стульев, если известно, что при расчете ему было уплачно 12 руб. 40 коп.?

Предположим, что извозчик доставил бы все стулья целыми; тогда ему пришлось бы получить за них

40 X 48= 19 руб. 20 коп.

Но на самом деле он получил за доставку 12 руб. 40 коп. т.-е. меньше на

Значит, среди доставленных стульев некоторые оказались попорченными. Найдем, на сколько уменьшается выручка извозчика от каждого попорченного стула. При этом он не только платит 3 руб. за попорченный стул, но и теряет 40 коп. за его доставку; значит, всего он теряет

3 руб. + 40 коп. = 3 руб. 40 коп.

Мы нашли раньше, что выручка его уменьшилась на 6 руб. 80 коп., а за каждый попорченный стул он теряет 3 руб. 40 коп.; поэтому попорченных стульев было столько, сколько раз 3 руб. 40 коп. содержатся в 6 руб. 80 коп., т.-е-

680:340 = 2.

А в целости было доставлено 48 — 2, или 46 стульев.

ОТДЕЛ III.

Меры и измерение.

§ 12. Почему у нас введены новые (метрические) меры. Измерение длины. До революции 1917 г. у нас были в употреблении старые русские меры; так, напр., длину комнаты мы измеряли аршинами, длину двора — саженямии, расстояние от одного города до другого — верстами; вес куска мыла мерили фунтами, вес мешка картофеля — пудами, и т. д. Однако вычисления с этими мерами были очень сложны и запутаны; чтобы выполнять над ними различные действия, нужно было помнить, что в версте 500 сажен» в сажени 3 аршина, в аршине 16 вершков, в пуде 40 фунтов и т. д., и приходилось производить немало дополнительных вычислений для обращения одних мер в другие. Кроме того, у других народов, с которыми приходилось вести сношения— немцев, французов, англичан и т. д. — были свои меры, и для перевода их мер в наши и наоборот требовались всякий раз новые расчеты и вычисления. Поэтому еще в 1918 году Советское правительство издало распоряжение о том, чтобы в течение ближайших лет у нас были введены новые метрические меры, принятые теперь почти всеми образованными народами.

За единицу длины в этих мерах принимается метр-длина одной десятимиллионной части четверти земного меридиана; в старых русских мерах метр составляет приблизительно 22]/2 вершка или один и четыре десятых аршина. Кроме того, вся метрическая система мер — десятичная, т.-е. каждая высшая мера состоит из 10 предыдущих низших мер.

Таким образом, составляются следующие меры, большие метра:

1 декаметр --=10 метрам,

1 гектометр =10 декаметрам = 100 метрам, 1 километр = 10 гектометрам = 1 000 „ 1 мириаметр =10 километрам = 10 000 „

Из этих мер, кроме основной единицы длины —метра, особенно употребителен километр (1 000 метров); в русских мерах он составляет немного менее версты версты)

Названия этих мер составлены из слова метр и греческих слов дека — десять, гектон — сто, хилиой — тысяча и мюриой — десять тысяч и обозначают, таким образом, сколько метров содержит каждая из этих мер.

Для измерения небольших длин метр разделяется на более мелкие меры, а именно:

1 метр =10 дециметрам,

1 дециметр =10 сантиметрам (или центиметрам),

1 сантиметр = 10 миллиметрам.

Черт. 10.

На черт 10 представлен дециметр, разделенный на сантиметры, и сантиметр, разделенный на милиметры Названия этих мер образованы из того же слова метр и латинских слов децем — десять, центум — сто и милле —тысяча, и обозначают, сколько этих мер содержится в метре. Важнейшие из метрических мер длины мы можем представить наглядно; так, напр., дециметр — это ширина ладони взрослого человека (с плотно прижатыми цальцами); спичка имеет в длину 5 сантиметров, а длина метра приблизительно равна расстоянию от концов пальцев вытянутой руки до противоположного плеча.

Какую именно из мер длины взять для того или иного измерения — это зависит от размеров измеряемой длины.

Если, напр., нам нужно измерить длину комнаты, то мы возьмем метр и отложим его по длине комнаты подряд столько раз, сколько поместится; пусть, напр., метр уложился в длине комнаты ровно 6 раз; тогда мы говорим, что длина комнаты — 6 метров. Если же при измерении длины комнаты метром останется остаток меньший, чем один метр, то этот остаток мы меряем сантиметрами; пусть, напр., в длине комнаты метр уложился 6 раз, и еще остался остаток, в котором сантиметр укладывается 20 раз; мы говорим тогда, что длина комнаты будет 6 метров 20 сантиметров.

Вообще, небольшие длины мы меряем сантиметрами, напр., сантиметрами измеряем длину кирпича, листа бумаги; несколько большую длину, как напр., длину доски, стола, комнаты, куска материи, мы измеряем метрами; а расстояние между двумя городами измеряем в километрах.

Чтобы наши измерения были правильны, необходимо, конечно, чтобы все образцы мер, при помощи которых производятся измерения, были одинаковы по величине. Для этого точная величина мер устанавливается законом, а точные образцы их, сделанные из прочного материала (платины), хранятся в особом государственном учреждении, а по этим образцам изготовляются точно такие же меры для общего употребления. Таким особым учреждением у нас в СССР является Главная Палата мер и весов, находящаяся в Ленинграде.

§ 13. Измерение и меры веса. За единицу веса принимается грамм, это — вес воды в объеме одного кубического сантиметра (т.-е. такого кубика, у которого длина, ширина и вышина равны одному сантиметру), при чем вода берется при температуре в 4 градуса по термометру Цельсия. В русских мерах грамм составляет 22.1 доли, или почти четверть золотника. Остальные же меры веса составляются из грамма совершенно так же, как меры длины из метра, а именно:

Из этих мер в обыденной жизни особенно употребителен килограмм (1000 граммов), который для краткости называют иногда просто кило; в старых русских мерах он равен приблизительно 2 ф. 42у зол., т.-е. немного менее 2у фунтов.

Так, напр., килограммами мы можем измерять вес тех вещей, которые покупаем или продаем в повседневной жизни: чая, сахара, мыла и т. п.; в килограммах же выражается вес грузов, принимаемых для перевозки по железной дороге, почтовых посылок и т. п. Для измерения очень больших грузов употребляется метрическая тонна, которая равна 1000 килограммов (или 61 пуду в старых русских мерах). Граммы употребляются для взвешивания небольших вещей, напр., писем на почте или лекарств в аптеках; для взвешивания очень малых грузов грамм разделяется на более мелкие меры, а именно:

1 грамм =10 дециграммам, 1 дециграмм =10 сантиграммам, 1 сантиграмм = 10 миллиграммам.

Наглядное представление о граммах мы можем себе составить по весу монет: так, серебряный полтинник весит 10 граммов.

§ 14. Меры сыпучих тел, жидкостей и бумаги. Для измерения жидкостей и сыпучих тел служит литр; это — вместимость одного кубического дециметра (т.-е. такого куба, у которого длина, ширина и вышина равны одному дециметру); в старых русских мерах литр составляет немного более, чем полторы бутылки. Употребительны и большие меры: декалитр=10 литрам и гектолитр = 10 декалитрам =100 литрам (гектолитр — немного более 8 ведер).

Меры бумаги остались до сих пор старые; бумагу (писчую) продают и покупают листами, которые обычно имеют определенную величину (лист бумаги, сложенный вдвое, имеет такие размеры: длина — 8 вершков, или 36 сантиметров, а ширина — 5 вершков, или 22 сантиметра); 24 листа бумаги составляют десть, а 20 дестей - стопу.

§ 15. Происхождение метрической системы. Перевод наших старых мер в новые. Метрическую систему придумали французские ученые в конце 18-го века (после французской революции 1789 г.), взамен старой французской системы мер, которая у них была такая же сложная и запутанная, как и наша. Главное удобство метрической системы заключается в том, что она десятичная: каждая высшая мера содержит 10 ближайших низших мер; поэтому в ней все вычисления с мерами гораздо проще, чем в нашей и в других старых системах. Вследствие такого удобства и простоты метрической системы мер она была в течение 19 века принята почти всеми европейскими народами. У нас в России она была разрешена к употреблению с 1901 г. и понемногу стала проникать в обыденную жизнь; но введение ее, как государственной, состоялось, как сказано выше, лишь после Октябрьской революции, по декрету (распоряжению) Советского правительства от 14 сентября 1918 г. По этому декрету предполагалось закончить введение метрических мер во всеобщее употребление к 1924 году; но вследствие затруднений в изготовлении необходимого количества новых образцов мер окончательное введение метрической системы несколько отсрочено (до 1 января 1927 года); с указанного же срока метрические меры должны стать у нас единственной законной системой мер.

Для перевода наших старых мер в новые — метрические и наоборот—полезно заметить следующее.

1 метр — это 22т,- вершка (полтора аршина без полутора вершков).

Соотношение между метром и аршином представлено на чертеже 11. Если мы от угла стола отложим по одному аршину и соединим по прямому направлению их концы, то получим один метр.

Черт. 11.

Конечно, эти соотношения — приблизительные, но для обиходных расчетов они дают достаточную точность (для более точных расчетов пользуются особыми таблицами, или производят вычисления в десятичных дробях).

Пусть, напр., нам нужно перевести 33 аршина в метры.

Рассуждаем так: каждые 7 аршин равны 5 метрам, значит 35 аршин составили бы 25 метров; но здесь мы взяли

лишних 2 аршина, или 142 сантиметра, т.-е. почти полтора метра; значит 33 аршина составляют 25 метров без 1у метров, т.-е. 23^ метра.

Еще вопрос: 85 километров обратить в версты. Вычисляем так: 16 километров составляют 15 верст; значит 80 километров будет 15X5, или 75 верст; да еще 5 километров — все равно, что 5 верст без 5 пятнадцатых, или почти 5 верст; значит 85 километров равны почти 80 верстам.

Обратим еще в килограммы 4 пуда 6 фунтов. Рассуждаем так: пуд без фунта — это 16 килограммов; 4 пуда без 4 фунтов составили бы 64 килограмма; но у нас здесь не только полных 4 пуда, но еще лишних 6 фунтов, значит всего имеем еще 10 фунтов; это составляет 4 килограмма (с лишним), значит всего имеем 68 килограммов. Итак 4 пуда 6 фунтов равны 68 килограммам.

§ 16. Меры стоимости. Деньги. Когда мы покупаем или продаем какие-либо вещи или товар, то платим за них или получаем деньги; цена товара выражается обыкновенно в рублях (и копейках; рубль содержит 100 копеек).

Деньги бывают вообще либо металлические — золотые, серебряные и медные монеты, либо бумажные — денежные знаки государственного казначейства.

Металлические деньги есть у нас сейчас в обороте (в феврале 1925 г.) такие:

серебряные — в 1 руб., 50 коп., 20 коп., 15 коп. и 10 коп. медные — в 5 коп., 3 коп., 2 коп. и 1 коп. Кроме того, предполагается выпуск в обращение и золотой монеты.

Металлические деньги вошли в употребление вот каким образом. До последнего времени — да и сейчас — вся торговля и все народное хозяйство основываются на том, что всякий человек за свой товар или за труд получает деньги, а за эти деньги может, в свою очередь, купить то, что ему нужно. Но это не всегда было так. В древности (да и теперь у диких народов) люди выменивали друг у друга товар на товар; напр., если у одного был лишний хлеб, а у другого шерсть, то первый в обмен на свой хлеб брал

некоторое количество шерсти, по взаимному уговору. Но это не всегда было удобно: если, напр., у кого-нибудь был лишний хлеб, и он хотел достать себе, положим, топор, то он должен был искать человека, у которого были бы лишние топоры, и которому был бы нужен именно хлеб; а если продавец топора не нуждался в хлебе, то и нельзя было выменять у него на хлеб топора. Поэтому впоследствии люди, имевшие лишние вещи, стали выменивать их на такой товар, который был бы нужен всем или вообще принимался бы охотно всеми в данной местности; таким товаром были у одних народов раковины, у других — шкуры зверей, у третьих — куски металла: золота, серебра, меди. Потом люди убедились, что металлы, как золото, серебро, медь, пригоднее и удобнее всего в этом отношении, так как они могут долго сохраняться и их нетрудно унести с собой в случае надобности. Но в первое время куски золота, серебра и меди, служившие средством обмена, ценились прямо по весу, и в случае надобности от данного куска рубили часть, чтобы отвесить кусок нужной величины. Потом люди догадались, что проще изготовлять заранее такие кусочки золота, серебра или меди, которые имели бы нужный вес, и ставить на этих кусках металла клеймо с обозначением, сколько именно здесь данного металла. Такое клеймо, если оно было государственным, удостоверяло также, что вес данного куска правилен.

Так произошли и наши деньги; название рубль и указывает на то, что в старину мерой стоимости служили куски серебра, которые в случае надобности рубили на части; а копейка получила свое название от того, что на древних русских монетах было изображение царя (Ивана Грозного) на коне с копьем в руке; отсюда и самые деньги назывались копейными деньгами, или копейками.

Впоследствии, когда торговля и торговые сношения расширились, многие государства стали выпускать на-ряду с металлическими деньгами и бумажные. Собственно говоря, бумажные деньги — это расписки, по которым государство обязуется выдать их владельцам то или иное количество металлической монеты; например, если кто предъявляет в Го.

сударственный Банк казначейский билет в пять рублей, то имеет право получить вместо него пять рублей металлической монетой. Бумажные деньги выпускаются в обращение потому, что государству трудно бывает отчеканивать столько металлической монеты, сколько ее нужно для торговых и других текущих платежей казны и частных лиц; да, кроме того, для больших выплат удобнее иметь при себе бумажные деньги: чтобы уплатить, напр., тысячу рублей, проще взять с собой один денежный знак в тысячу рублей или два по пятисот рублей, чем целую сотню десятирублевых золотых монет или тысячу серебряных рублей.

До революции 1917 года у нас были в употреблении кредитные билеты в 1 руб., в 3, 5,10,25,50,100 и 500 рублей. Во время войны 1914—17 годов нашему государству понадобилось выпускать очень много бумажных денег, и поэтому, кроме кредитных билетов старого образца, было выпущено з оборот много других бумажных денег — кредитные билеты в 250 и 1 000 руб., денежные знаки государственного казначейства в 20 и 40 руб. и разменные марки взамен мелкой монеты.

После Октябрьской революции 1917 г. стали выпускаться в оборот бумажные деньги новых образцов—денежные знаки Российской Социалистической Федеративной Советской Республики, сначала прежней ценности, а потом и более крупные в 5 000, 10 000, 25 000, 50000 100000 рублей (и обязательства государственного казначейства в 1, 5 и 10 миллионов рублей). Кроме этих общегосударственных денег, в отдельных областях выпускались во время гражданской войны 1917—20 гг. еще и свои местные деньги. Так, на Украине были выпущены бумажные деньги, стоимость которых выражалась не в рублях, а в гривнах (гривна была равна половине рубля; название „гривна“—старинное: так назывались монеты первых киевских князей в X и XI веках).

Долговременная война вызвала, в конце концов, сильное возрастание цен на все предметы житейского обихода; рост дороговизны продолжался и после окончания революционных войн и привел в 1922 году к тому, что цена на все общеупотребительные предметы стала выражаться огромными

числами (напр., фунт хлеба—140000 руб., фунт масла — 1800000 руб., сапоги —25000000 руб. и т. п.), а денежные расчеты государственных учреждений приходилось вести уже на миллиарды и триллионы. Поэтому в 1922 г. у нас были выпущены новые денежные знаки РСФСР в новых рублях, каждый из которых равен 10000 старых рублей, а в 1923 г.—еще новые деньги, при чем 1 рубль 1923 года равен 1000000 руб. старых выпусков, или 100 рублям выпуска 1922 г.

Бумажные деньги 1922 и 1923 года были ценностью, в 1, 3, 5, 10, 25, 50, 100, 500, 1000, 5000 и 10000 рублей. С выпуском этим новых денежных знаков, все прежние, выпущенные до 1922 г., были изъяты из обращения, и денежные расчеты сильно упростились.

Ввиду постоянной перемены стоимости бумажных денег государственные и кооперативные учреждения стали переходить к расчетам на золотой рубль; это дало возможность составлять сметы и договоры в устойчивых денежных суммах.

В настоящее время (с начала 1924 г.) бумажные деньги 1922 — 23 г. также изъяты из обращения, и расчет ведется на червонцы (червонец равен 10 золотым рублям). Пока выпущены в оборот банковые билеты (Государственного Банка), стоимостью в 1, 3, 5 и 10 червонцев, обеспеченные в полной мере золотом и прочими ценностями, принадлежащими Госбанку; они расцениваются по стоимости золотого рубля, а с выпуском золотой монеты будут размениваться и на золото. Кроме того, выпущены и разменные казначейские билеты СССР стоимостью в 1, 3 и 5 рублей золотом, а также серебряная монета в 1 руб., 50 коп. и мелкая серебряная и медная разменная монета. Таким образом, мы имеем теперь уже вполне устойчивые денежные знаки, и это позволяет нам правильно поставить все наше народное хозяйство.

§ 17. Измерение и меры времени. Пусть, напр., нам нужно узнать, сколько времени у нас уходит на дорогу из дома до школы; тогда мы берем с собой часы и замечаем, где стоит большая (минутная) стрелка во время нашего выхода из дому, а потом смотрим, на сколько минут она пере-

двинется, пока мы придем в школу. Если, напр., она передвинулась вперед на сорок делений, то мы затратили на дорогу 40 минут.

Большие промежутки времени мы измеряем в часах (60 минут составляют час). Для счета часов служит меньшая (часовая) стрелка; пусть, напр., нам надо узнать, сколько времени мы проводим на занятиях в школе; тогда мы заметим, где стоит часовая стрелка при начале занятий, и на сколько часовых делений она продвинется до конца занятий. Если, напр., она передвинулась ровно на 5 делений, то, значит, мы провели в школе 5 часов; если же часовая стрелка передвинулась на несколько делений с лишним, то этот лишний промежуток времени надо считать в минутах.

Если измеряемый промежуток времени меньше минуты, то его выражают в секундах (в минуте — 60 секунд). Для счета секунд на некоторых часах есть особая маленькая стрелка, обходящая полный круг в одну минуту; по движению ее конца и отсчитываются секунды.

По часам мы отсчитываем время в течение суток — от полуночи до полудня и от полудня опять до полуночи; при этом по часовой стрелке мы отсчитываем, сколько прошло полных часов от полуночи или полудня, а по минутной — сколько еще сверх того прошло минут. Напр., на черт. 12 левые часы показывают ровно 11 часов, а правые—1 час 45 минут (иначе: три четверти второго, или без четверти два).

Сутки (день и ночь) составляют всего 24 часа; начало суток считается в полночь, и в это время часы показы-

Черт. 12.

вают 12 часов ночи —обе стрелки (часовая и минутная) совпадают и направлены к цифре 12. Дальше мы считаем: 1 час пополуночи, 2, 3, 4 . . . 11 часов пополуночи (или проще: 1 час н о ч и, 2, 3 4, 5 часов ночи, 6, 7 . . . 11 часов утра) и, наконец, 12 часов дня или полдень; в это время обе стрелки часов опять совпадают и направлены к цифре 12. Время полудня можно определить довольно точно и без часов, если только день солнечный: в это время солнце стоит выше всего на небе, и тени от предметов бывают самые короткие. После полудня счет часов возобновляется опять сначала: 1 час пополудни, 2, 3, 4. ..11 часов пополудни (или проще: 1 час дня, 2, 3, 4, 5 часов дня 6 часов вечера и т. д. до 11 часов вечера) и, наконец, снова 12 часов ночи, т.-е. полночь.

Так считают время в обыденной жизни; на железных же дорогах и на телеграфах ведется прямо 24-часовой счет: в полночь считают 0 часов (начало суток), потом считают 1, 2, 3 ... 11 часов, 12 часов (полдень), а далее вместо 1 часа дня и т. д. считают 13 часов, 14 часов ... 23 часа и опять 0 часов следующих суток (полночь). Этот счет удобнее в том отношении, что не приходится к обозначению часов прибавлять, какие это будут часы — утра или вечера; если напр., в расписании указано, что поезд идет в 6 час. 30 мин., то это значит—6 час. 30 мин. утра; в 6 час. 30 мин. вечера — выйдет по этому счету 18 час. 30 мин.

В последние годы (1919—1923) в весенние и летние месяцы у нас производилась перемена в счете часов, а именно -отдавалось распоряжение правительства о переводе стрелки часов вперед на 1 час (а летом даже на 2 и 3 часа). При этом счет часов дня и ночи оставался таким же, как и был, только тот момент, когда по солнцу бывает полночь, и когда раньше считали .,12 час. ночи“ — теперь считали уже 1 час ночи, потом вместо 1 часа ночи по солнцу — 2 часа и т. д.; таким образом, вся работа на фабриках, железных дорогах, в государственных учреждениях и т. д. начиналась и заканчивалась без всяких изменений в расписании на 1 час раньше прежнего (так как, напр., 10 час. утра соответствовали 9 часам по солнцу), и это давало

возможность производить всю необходимую работу в часы дневного света, без лишних затрат электричества или керосина.

Промежутки времени в несколько суток выражают, когда нужно, в неделях, месяцах и годах.

Неделя — это 7 суток; дни недели носят, как известно, особые названия:

1-й день недели — воскресенье.

2-й „ „ —понедельник,

3-й „ „ —вторник.

4-й „ „ —среда,

5-й „ „ — четверг,

6-й „ „ —пятница,

7-й „ „ —суббота.

Первый день недели был назван воскресеньем оттого, что наши предки, приняв христианскую веру, праздновали в этот день воскресение Христа; но в старину воскресенье называлось просто неделею (т.-е. днем, когда люди не делают своих обычных дел, а отдыхают); поэтому следующий после него день получил название—понедельник. Вторник— значит второй день после воскресенья; среда - средний день недели (середина); четверг, пятница — четвертый и пятый дни после воскресенья, суббота — название праздничного (седьмого) дня недели у евреев, от которых и был заимствован христианами счет времени по неделям (слово „суббота“ обозначает покой, отдых).

Месяц составляет круглым числом 30 суток, а год — 365 (либо 366) суток, или 12 месяцев. Месяцы в году носят особые названия и содержат не поровну дней, а именно:

Названия месяцев перешли к нам с латинского языка, так как разделение года на месяцы и календарь были заимствованы у древних римлян. Названия же месяцев у римлян составлялись по большей части в честь их богов или знаменитых людей: январь получил название в честь бога времени— Януса; февраль—по имени праздника „фебруалии“ который совершался в этом месяце; март — в честь бога войны — Марса; апрель — в знак того, что в этом месяце открывались почки, растений; май — в честь богини весны и цветов — Майи; июнь — в честь богини Юноны, супруги главного бога — Юпитера; июль — в честь Юлия Цезаря, знаменитого полководца и правителя; август—в честь императора Октавия Августа; названия же прочих месяцев — сентябрь, октябрь, ноябрь и декабрь — обозначают, собственно говоря, их порядковые номера: это были седьмой, восьмой, девятый и десятый месяцы древнейшего римского календаря, в котором год начинается с марта.

Счет времени по годам разные народы вели от какого-нибудь важного для них события; так, древние римляне вели счет времени от основания Рима; христианские народы Европы — от рождения Христа, и этот счет времени перешел затем и к нам.

Чтобы не ошибаться в счете дней, месяцев и лет, мы должны всегда знать, который в данное время идет год и месяц и какой день месяца. От начала нашего летосчисления сейчас у нас идет 1925 год. Кроме того, мы должны помнить, какой месяц за каким следует в году и сколько дней в каждом; тогда мы будем знать точно, когда оканчивается тот или иной месяц или год и начинается следующий. Если, напр., мы говорим: „сегодня 20-е августа 1925 года“, то мы помним, что из настоящего года — 1925-го — прошло уже семь месяцев: январь, февраль, март, апрель, май, июнь,

и июль, и теперь идет восьмой месяц — август; из него прошло уже 19 дней, а сегодня идет 20-й день.

Простой год у нас считается в 365 суток; каждый же четвертый по порядку год бывает високосный в 365 суток; в таком году февраль имеет не 28, а 29 дней. Последний високосный год был у нас 1924-й; следующие затем—1925-й, 1926-й и 1927-й —простые, а 1928-й год опять високосный. Почему год не всегда содержит одинаковое число дней — об этом подробнее сказано дальше (в следующем параграфе)-

Промежуток времени в 100 лет называется веком; напр., мы живем сейчас в XX веке.

§ 18. Календарь. Старый и новый стиль. Счет времени по месяцам, неделям и годам установился еще в глубокой древности, так как люди уже давно стали определять время по движению луны и солнца. От полнолуния до полнолуния или от новолуния до новолуния проходит 2972 суток; отсюда произошел счет времени по месяцам приблизительно в 29—30 дней. Вместе с тем, люди заметили, что новолуние, конец первой четверти луны, полнолуние и начало последней четверти следуют друг за другом спустя почти одинаковые промежутки времени — приблизительно 7 суток; отсюда и установился счет времени по неделям1).

Счет же времени по годам установился по движению солнца; когда уже люди умели считать время по лунным месяцам, они заметали, что от одной весны до другой проходит каждый раз одинаковое время, несколько более 12 лунных месяцев. Начало года считалось тогда вместе с началом весны, в день весеннего равноденствия, т.-е. когда день становился равным ночи; так как от одного весеннего равноденствия до следующего за ним проходит 365 с лишним суток, а 12 лунных месяцев составляют только 354 дня, то

1) Некоторые ученые думают, что счет времени по неделям установился на религиозной основе. Древние народы (напр., вавилоняне) считали солнце, луну и звезды за божества, которые имеют непосредственное влияние на повседневную жизнь людей, и посвящали каждый день к кому-либо из этих богов. Важнейших из этих божеств у них было семь: солнце, луна и пять ярких планет, которые были известны еще в древности (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн); отсюда и возник счет времени по неделям из 7 дней.

приходилось прибавлять лишние дни в конце года, чтобы уравнять счет времени по луне с солнечным годом. Впоследствии эти лишние дни стали присоединять не в конце года, а к отдельным месяцам, таким образом и получились наши месяцы по 30 и 31 дню.

Как было уже упомянуто, солнечный год, или промежуток времени между двумя весенними равноденствиями, содержит не ровно 365 суток, а несколько больше. Ученые нашли, что величина его такова: 365 суток 5 часов 48 минут 46 секунд. Если бы считать каждый год ровно в 365 суток, то выходило бы, что, когда мы считаем начало следующего нового года, на самом деле оставалось бы еще почти 6 часов старого года, и мы считали бы начало нового года почти на 6 часов раньше, чем следует. Спустя еще год, мы считали бы начало года уже почти на 12 часов раньше, чем нужно; через 4 года ошибка в счете была бы почти в целые сутки, а через 100 лет — 24 дня с лишним, т.-е. мы считали бы начало нового года чуть не на месяц раньше, чем нужно; напр., мы считали бы по календарю начало весны (весеннее равноденствие), тогда как на самом деле оставалось бы еще около месяца зимы.

Так и было в свое время у древних римлян, которым приходилось всячески поправлять календарь, чтобы привести счет времени в соответствие с солнечным годом. Сначала этим делом занимались духовные лица — жрецы; но с течением времени поправлять календарь становилось все труднее, и жрецы не могли уже успешно справиться с этой задачей. Поэтому в 45 году до начала нашего летосчисления римский правитель Юлий Цезарь обратился к лучшим ученым того времени, чтобы они поправили календарь и указали, как исправлять его и на будущее время. И вот греческий ученый Созиген (живший и работавший в городе Александрии, в Египте) предложил то правило, которым у нас пользуются и до последнего времени: так как год содержит 365 суток и почти 6 часов, и через четыре года эти лишние часы дают избыток почти в одни сутки, то и надо к каждому четвертому году присоединять лишний день, чтобы не было ошибки в счете. Этот лишний день присо-

единяется у нас теперь к февралю, который и содержит тогда 29 дней, а не 28; но в римском календаре это присоединение лишнего дня делалось следующим образом. Римляне называли первое число каждого месяца — календами (отсюда и название — календарь), девятое — нонами, а пятнадцатое число (середину)--и да ми; остальные же дни называли — такой-то день перед календами, нонами или идами: напр., 1-е мая называлось „майские календы“, 30-е апреля—„первый день перед майскими календами“, 29-е апреля— „второй день перед майскими календами'' и т. д. Добавочный же день вставлялся так: после „шестого дня перед мартовскими календами“ (24 февраля) считали еще „шестой день перед мартовскими календами“, так что в таком году перед мартовскими календами (в феврале) оказывалось два шестых числа, и год назывался дважды-шестым — по-латыни биссекстилис; отсюда и произошло и наше название — високосный год.

По имени тогдашнего римского правителя Юлия Цезаря этот календарь получил название юлианского, и затем от древних римлян перешел и к христианским народам Европы. Так как год, с которого начинается наш счет времени, оказался високосным, то следующие затем високосные годы были 4-й, 8-й, 12-й и т. д.; и вообще теперь оказывается високосным по юлианскому календарю всякий год, номер которого делится на 4.

Юлианский календарь внес значительную правильность в счет времени; но все же он не был совершенно точным, так как в нем год считается равным 365 суткам и 6 часам, т.-е. на 11 мин. 14 сек. больше надлежащего. Поэтому когда проходит четыре года (три простых и один високосный, к которому мы присоединили добавочный день), и мы считаем начало нового года, то на самом дело новый год уже наступил раньше на 11 мин. 14 сек. Х4, т.-е. на 44 мин. 56 сек., или почти на три четверти часа. За 400 лет эта ошибка будет еще в сто раз больше — около 75 часов или немного более 3 суток, т.-е. мы будем считать начало нового года тогда, когда на самом деле от него уже трое суток прошло, или на трое суток позже истинного.

В 325 году происходил первый церковный вселенский собор (в городе Никее, в Малой Азии), который и исправил в календаре ошибку, накопившуюся до той поры. Но на будущее время не было дано правил, как исправлять календарь, и прошло больше тысячи лет, пока в него была внесена поправка.

За исправление календаря взялся римский папа1) Григорий XIII с помощью немецкого ученого Клавиуса в 1582 г. К этому сроку со времени первого вселенского собора прошло уже 1257 лет, и запоздание календаря достигло почти 10 суток (точнее, 9 сут. 19 час. с лишним, в чем нетрудно убедиться, умножив 11 мин. 14 сек. на 1257). Поэтому папа Григорий XIII издал распоряжение, чтобы после 4 октября 1582 года считали не 5-е, а сразу 15-е октября. Этим была исправлена накопившаяся к тому времени ошибка; но, кроме того, он дал правило, как исправлять календарь и на будущее время. Мы видели, что в 400 лет юлианский календарь отстает от истинного счета времени на трое суток; поэтому для исправления его нужно в каждые 400 лет исключать три лишних дня, или три високосных года делать простыми. Это делается так: берутся годы столетий — 1600-й, 1700-й, 1800-й, 1900-й и т. д.; по юлианскому календарю они все должны быть високосными; по исправленному же летосчислению из них остается високосным только 1600-й, а следующие три—1700-й, 1800-й, 1900-й—делаются простыми; затем 2000-й год будет опять високосным, а следующие три — 2100-й, 2200-й и 2300-й—простыми; 2400-й опять високосным и т. д. Таким образом из годов столетий остаются високосными лишь те, у которых число сотен делится на 4, а остальные делаются простыми. Это и дает возможность в каждые 400 лет исключать лишние три дня.

Этот календарь по имени папы Григория XIII называется григорианским; иначе называют юлианский календарь старым стилем, а григорианский — новым стилем. Новый стиль был принят сначала только в католических странах, но затем к нему присоединились постепенно и остальные европейские государства.

1) Римский папа — главное духовное лицо римско-католической церкви.

В России старый стиль существовал до 1918 года. К этому времени разница в счете дней между новым и старым стилем еще увеличилась: дело в том, что 1700-й год по старому стилю был високосным, а по новому—простым, и 19-е февраля старого стиля считалось по-новому уже не 29-м февраля, а 1-м марта; поэтому далее 29-е февраля старого стиля оказалось 11-м марта, а 1-е марта — 12-м, и, таким образом, разница обоих календарей стала уже не 10, а 11 дней. В 1800 году эта разница возросла таким же образом до 12 дней, а в 1900 году — до 13 дней, так что 1-е февраля 1918 г. старого стиля было уже 14-м февраля по новому. С этого дня у нас, согласно распоряжению Советского правительства, и был введен новый стиль; вместо 1-го февраля стали сразу считать 14-е.

Новый стиль, или григорианский календарь, разумеется, точнее старого июлианского; но и он дает небольшую погрешность, которая достигнет 3 суток приблизительно в 10000 лет. Наиболее точная поправка календаря была предложена в XIX веке русским ученым Медлером; она состоит в том, чтобы на каждые 128 юлианских лет делать один високосный год простым. При таком счете времени ошибка календаря достигнет 1 суток приблизительно в 75 000 лет.

§ 19. Решение задач на календарный счет времени.

Рассмотрим такие задачи:

1) Октябрьская революция 1917 года началось 25 октября по старому стилю. Какой это был день по новому стилю?

По новому стилю мы считаем теперь все числа на 13 дней вперед: вместо 1-го октября—14-е, вместо 2-го—15-е и т. д.; поэтому мы должны к данному числу (25) прибавить 13; будем иметь 38. Но в октябре только 31 день; поэтому октябрь нового стиля кончился уже весь, и еще оставалось 38—31 или 7 дней на ноябрь; итак, день Октябрьской революции приходится по новому стилю на 7-е ноября.

2) Тарас Шевченко умер 26 февраля 1861 г. по старому стилю. Какой это был день по новому?

Это было в прошлом столетии (XIX в.), когда новый стиль был впереди старого только на 12 дней. Поэтому мы должны к 26 прибавить 12, и имеем 38. Видим, что февраль, который

в 1861 г, имел только 28 дней, уже кончился, и еще оставалось 10 дней на март; значит, смерть Тараса Шевченко приходилось на 10-е марта нового стиля.

3) Новый год празднуется теперь 1 января. Какое число старого стиля считается в день Нового года нового стиля?

Чтобы найти нужное нам число старого стиля, мы должны от данного числа отсчитать 13 дней назад; но из 1 нельзя вычесть 13; поэтому переводим счет дней на предыдущий месяц—декабрь; припоминаем, что в декабре 31 день, значит 1-е января будет от начала декабря 32-м числом. Отняв теперь от 32-х 13, получим 19; следовательно, искомое число будет 19-е декабря по старому стилю.

4) Служащий получил по болезни отпуск на 6 недель, считая с 28 июня. Когда должен он вернуться на службу?

6 недель — это 42 дня; поэтому мы должны к данному числу июня (28) прибавить 42; получим 70. Таким образом искомый день будет от начала июня 70-м; но в июне только 30 дней, поэтому мы должны перевести счет дней на следующий месяц — июль: отнимаем 30 от 70-ти и находим, что искомый день будет от начала июля 40-м. Но так как в июле только 31 день, то приходится перевести счет дней уже на август, и для этого от 40 отнять еще 31; получаем 9—т.-е. служащий должен вернуться на службу 9 августа.

5) Работница вернулась на фабрику 16-го апреля 1923 г., пробывши в отпуску 8 недель. С какого дня начался ее отпуск?

8 недель — это 56 дней; но из 16 нельзя отнять 56; потому переводим счет времени на март; в марте 31 день, следовательно, 16-е апреля будет от начала марта 47-м числом (47= 16 + 31). От 47 тоже нельзя отнять 56; поэтому переводим счет дней на февраль; в феврале этого года (1923-го) 28 дней, и, таким образом, 16-е апреля будет от начала февраля уже 75-м числом (75 = 47 -f- 28). Отнимая теперь от 75-ти 56, мы получаем 19; значит, отпуск этой работницы 19-е февраля.

6) Ученик приехал из города к своим родным в деревню 27 мая, а уехал обратно в город 7 августа. Сколько дней он прожил в деревне?

Чтобы решить эту задачу, рассуждаем так. Сначала найдем, сколько дней жил в деревне ученик в мае месяце, считая и день приезда; в мае всего 31 день, а до его приезда (до 27 мая) прошло 26 дней, в течение которых он еще не был в деревне: значит, он был в деревне в мае 31—26, или 5 дней. Затем он прожил в деревне полностью месяцы июнь и июль, т.-е. 30 дней и еще 31 день, а в августе жил, не считая дня отъезда, только 6 дней; значит, всего он прожил в деревне 5 + 30 + 31+6, т.-е. 72 дня.

Но можно решать эту задачу и еще иначе. Узнаем сначала, сколько прошло дней от начала мая до дня отъезда ученика из деревни, т.-е. до 7 августа. Всего в мае, июне и июле будет 31+30 + 31, т.-е. 92 дня; да еще в августе до дня его отъезда прошло 6 дней; итого, от начала мая до дня отъезда ученика прошло 92 + 6, или 98 дней. Но теперь отсюда надо отнять то время, которое прошло от начала мая до дня его приезда (27 мая), т.-е. 26 дней; получим 98 — 26 = 72, т.-е. он пробыл в деревне всего 72 дня.

7) Учебный год в школе начинается 25 августа, а оканчивается 20 июня. Сколько дней продолжается учебный год в этой школе?

Считаем так. В августе всего 31 день, но из них надо сбросить со счета те дни, которые пройдут до начала ученья, т.-е. первые 24 дня, остается 7 дней. Потом учебный год занимает полностью месяцы: сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь, январь, февраль, март, апрель и май—всего 9 месяцев. Если бы эти месяцы были все по 30 дней, то это составило бы 30X9, т.-е. 270 дней; но в этих месяцах есть по одному лишнему дню в октябре, декабре, январе, марте и мае — всего 5 дней, да в феврале нехватает 2 дней, если год простой; значит, всего лишних дней будет 5—2 = 3; наконец, еще в июне 20 учебных дней. Всех дней в учебном году окажется:

7 + 270 + 3 + 20 = 300.

Столько дней содержит учебный год, если календарный год будет простым; в високосным же году прибавится лишний день в феврале, значит, всего дней будет 301.

Вместо того, чтобы прямо высчитывать продолжительность учебного года, можно сначала найти число дней летнего отдыха с 21 июня по 24 августа. Это будет 10 дней июня, весь июль— 31 день, да еще первые 24 дня августа, всего 10-j-314-24 или 65 дней. А так как весь год содержит 365 дней, то на учебный год остается 365— 65, или 300 дней, а в високосным году — 301 день.

До сих пор мы разбирали такие задачи на календарный счет времени, в которых приходилось выполнять вычисления в пределах одного года. Но подобным же образом можно решать и более сложные задачи. Возьмем, например, такую задачу:

8) Владимир Ильич Ленин родился 22 апреля 1870 года, а умер 21 января 1924 года. Сколько времени он жил?

Рассуждаем так: найдем сперва, сколько лет, месяцев и дней прошло от начала нашего летоисчисления до дня смерти Ленина. Если в это время шел 1924 год, то полных лет прошло 1923; да еще сверх того прошло до 21 января 20 дней. Итого, от начала летосчисления до дня смерти Ленина прошло всего

1923 года 20 дней.

Теперь найдем, сколько времени прошло от начала летосчисления до дня рождения Ленина, т.-е. до 22 апреля 1870 г.; так как в это время шел 1870 год, то полных лет окончилось 1869, да сверх того от начала 1870 года до 22 апреля (апрель — четвертый месяц) прошло 3 месяца и 21 день. Следовательно, всего времени от начала летосчисления до дня рождения Ленина прошло:

1869 лет 3 месяца 21 день.

Чтобы теперь найти, сколько времени жил Ленин, надо эти числа вычесть одно из другого:

При этом вычитании имеем в виду, что в гражданских расчетах месяц считается круглым числом

в 30 дней: поэтому, желая вычесть 21 день из 20 дней, мы должны будем занять 1 месяц и считать его состоящим из 30 дней; сразу занять 1 месяц мы не можем, поэтому занимаем 1 год и считаем его состоящим из 12 месяцев, а из них занимаем 1 месяц, или 30 дней, и имеем теперь всего 50 дней; отнять отсюда 21 день, находим в остатке 29 дней.

Далее отнимаем 3 мес. из оставшихся 11 месяцев, получаем 8 месяцев; и, наконец, отнимаем 1869 лет из оставшихся 1922 лет и получаем 53 года. Таким образом находим, что Ленин жил всего 53 года 8 месяцев и 29 дней.

Мы видим, таким образом, что в задачах подобного рода вся суть в том, чтобы уметь по данному календарному числу выражать тот промежуток времени, который прошел до данного дня от начала нашего летосчисления, и, наоборот, по данному промежутку времени от начала нашего летосчисления до некоторого дня находить соответствующее календарное число. В последних задачах мы имеем дело с гражданским расчетом, при котором месяц считается круглым числом в 30 дней (а год — в 12 месяцев, или 360 дней); так делается обычно при расчете времени службы, сроков платежей и т. д. Но иногда нужно бывает знать точно промежуток времени между двумя событиями или время наступления какого-либо события; в таком случае делают расчет по годам и дням, считая в каждом месяце столько дней, сколько есть на самом деле. Возьмем, напр., такую задачу:

9) В России было видно полное солнечное затмение 17 апреля 1912 года (по новому стилю), а затем 21 августа 1914 года. Сколько времени прошло между этими затмениями?

Рассуждаем проще всего так. От 17 апреля 1912 года до 17 апреля 1914 года пройдет ровно 2 года; останется теперь найти, сколько пройдет дней от 17 апреля 1914 года до 21 августа того же года. Это будут дни апреля, не считая первых 16-ти дней, т.-е. всего 14 дней; потом весь май — 31 день, весь июнь—30 дней, весь июль—31 день и, наконец, дни августа до 21 числа — 20 дней. Складывая эти числа, найдем:

Значит, всего времени прошло между этими затмениями 2 года 126 дней.

Для полной точности выразим наш промежуток времени в днях. В наших 2-х годах нет добавочных дней (хотя 1912 год и високосный, но его добавочный день—29 февраля— не приходится на высчитываемый промежуток времени), поэтому каждый из них равен 365 дням, и всего будет иметь 365X2 4-126, или 856 дней.

ОТДЕЛ IV.

Сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел отвлеченных и именованных.

§ 20. Смысл сложения. Пусть нам дана задача:

На одной тарелке лежит 8 яблок, на другой 5; сколько всего яблок на обеих тарелках?

На обеих тарелках вместе будет вот сколько яблок: 8 да еще 5. Мы вычисляем это так: „8 да 2 будет 10, да еще 3 — 13“. Мы решили нашу задачу сложением; но если бы даже мы не умели делать сложения, то все-таки могли бы решить эту задачу, присчитывая к 8 яблокам первой тарелки по порядку все остальные 5; мы считали бы так: „8 яблок да еще одно — 9, да второе —10, да третье—11, да четвертое—12, да пятое—13“.

Пусть дана еще задача:

В школе было 47 учеников, а поступило в нее еще 26; сколько всего учеников стало в школе?

И эту задачу мы решаем сложением — к 47 ученикам прибавляем 26 и вычисляем. „47 да 20—67, да 3—70, да еще 3—73м. Но, разумеется, если бы мы и не знали сложения, то могли бы решить эту задачу, присчитывая к 47 ученикам по порядку еще 26; мы считали бы так: „47 учеников да еще один —48, да второй — 49, да третий —50...“ и т. д., пока не присчитали бы всех 26. Конечно, так считать было бы долго, и, зная сложение, мы вычисляем ответ сокращенно, но и прямым присчитыванием мы получили бы, в конце

концов, то же самое. Мы видим теперь, что сложить 8 и 5 все равно, что к 8 сокращенно присчитать 5 единиц; сложить 47 и 26 все равно, что к 47 сокращенно присчитать 26 единиц; мы можем теперь сообразить, в чем вообще смысл сложения: сложить два числа все равно, что к первому из них сокращенно присчитать все единицы другого ч и с л а.

Сложить несколько чисел, очевидно, все равно, что к первому из них сокращенно присчитать все единицы второго числа, потом к полученному — все единицы третьего числа и т. д.

Числа, данные для сложения, называются слагаемыми, а то, которое получается от сложения, — суммой.

Сложение, как известно, обозначается в записи знаком -f-, напр., вместо:

8 да 5 будет 13 мы пишем сокращенно:

8 + 5=13.

§ 21. Какие вопросы решаются с помощью сложения.

Рассмотрим такие задачи:

1) В трех корзинках лежат яйца: в первой 25 яиц, во второй 20, в третьей 15. Сколько яиц во всех корзинках вместе?

Всех яиц будет вот сколько: 25 и еще 20, и еще 15. Если бы мы не умели вычислять, а только считать, то мы стали бы присчитывать к 25 яйцам еще 20 по одному, а потом еще 15 яиц также по одному. Но вместо присчитывания мы делаем сложение — прибавляем к 25 яйцам 20 и еще 15 и находим, что всех яиц будет 60.

2) На одной полке стоит 5 кастрюль, а на другой — на 3 больше; сколько кастрюль на второй полке?

На 3 больше—это значит: на второй полке столько же кастрюль, сколько и на первой, да еще 3; ясно, что мы должны к 5 кастрюлям прибавить 3, и находим, что на второй полке 8 кастрюль.

3) Сестре 12 лет, а брат на 5 лет старше ее. Сколько лет брату?

На 5 лет старше —это значит: брату столько же лет, сколько и сестре, да еще 5 лет; поэтому придется к 12 годам прибавить еще 5, и выходит, что брату 17 лет.

Точно так же решаются другие подобные задачи, где искомое число на сколько-нибудь больше другого (в условиях задач вместо слова больше встречаются и другие слова, имеющие тот же смысл: выше, длиннее, шире, глубже, дальше, тяжелее, дороже, старше ит. д.).

Мы видим таким образом, что сложением решаются все вопросы, по смыслу которых приходится или прямо присоединять (прибавлять, присчитывать) к одному числу другое, или увеличивать одно число на сколько-нибудь.

§ 22. Основные свойства сложения. 1) Перестановка слагаемых. Возьмем какие-либо два числа, напр., 9 и 5, и сложим их

9 + 5=14.

Возьмем теперь те же числа в обратном порядке: 5 и 9 и сложим их снова:

5 + 9=14.

Мы видим, что получились оба раза одинаковые суммы, т.-е.:

9 + 5 = 5 + 9.

То же самое будет, если возьмем какие угодно другие два числа, напр., 78 и 14; будем иметь:

78 + 14 = 92 и 14 + 78 = 92, т.-е. 78 + 14=14 + 78.

И вообще, если мы имеем какие-либо два числа и сложим их, а потом сложим те же числа в обратном порядке, то получим то же самое число, что и раньше; другими словами — от перемены порядка слагаемых сумма не меняется.

Это свойство суммы мы можем изобразить наглядно. Если мы будем рассматривать клетки на черт. 13 слева направо, то увидим, что он изображает нам сумму 7 4-3; если же рассматривать его справа налево, то он представит нам сумму 3 + 7; и ясно, что общее число клеток, в обоих случаях одно и то же (10). Черт. 14 дает нам другое изображение того же свойства суммы. Рассматривая кружки слева направо, видим, что чертеж представляет сумму 8 + 4, а если рассматривать их справа налево, то получаем сумму 4-J-8; очевидно, обе суммы выражают одно и то же число кружков (12).

То же самое будет, если мы имеем сумму трех или какого угодно числа слагаемых, например:

Видим, что каждый раз получается от сложения одно и то же число; и мы знаем, что так бывает всегда, какие бы числа мы ни складывали.

Этим свойством суммы мы часто пользуемся, чтобы упростить сложение двух или нескольких чисел. Если, напр., нам нужно к 6 прибавить 85, то мы соображаем, что проще будет к 85 прибавить 6, и вычисляем: „85 и 5 — 90, и еще 1—91м. Или, напр., пусть задано сложить числа:

8 + 43 + 992.

Мы замечаем, что проще всего сложить сначала 992 и 8, а к полученному числу (1 000) прибавить 43, после чего находим в сумме 1 043.

2) Прибавление суммы. Пусть, напр., нужно сложить 36 и 7; мы выполняем сложение так; „36 да 4 — 40, да еще 3—43м. Иначе говоря, вместо того, чтобы сразу к 36 приба-

Черт. 13.

Черт. 14.

вить 7, мы выполняем сложение постепенно — по частям: мы представляем мысленно 7, как сумму двух слагаемых (4 -{- 3), и прибавляем к 36 сначала первое слагаемое 4, а потом к полученному числу (40) второе слагаемое 3.

Подобным же образом, складывая 50 и 14, мы вычисляем так: „50 и 10 — 60 и еще 4 — 64“. И здесь мы представляем себе 14, как сумму двух слагаемых (10+4), и прибавляем к 50 эту сумму по частям: сначала первое слагаемое 10, а потом к полученному числу второе слагаемое 4.

Еще пример. Складывая числа 400 и 237, мы вычисляем так: „400 и 200 — 600 и еще 30 — 630, и 7 — 637“, т.-е. мы представляем второе число 237, как сумму трех слагаемых (200 + 30 -f- 7), и прибавляем к 400 эту сумму постепенно — по частям: сначала первое слагаемое 200, потом второе — 30 и наконец третье — 7.

И вообще, если мы прибавляем число, которое можно представить в виде суммы двух или нескольких слагаемых, то мы можем прибавить эту сумму по частям — сначала первое слагаемое, потом к полученному числу второе, к новому полученному числу третье и т. д. Короче говоря, вместо того, чтобы прибавить сумму нескольких чисел сразу — можно прибавить постепенно каждое слагаемое этой суммы.

И это свойство суммы мы можем представить наглядно.

Рассматривая чертеж 15 подряд слева направо, мы видим, что он представляет сумму 7 + 5; но в то же время он представляет и сумму 7 + 3-f-2; значит, обе суммы должны давать одно и то же число:

Подобным же образом и на черт. 16 видно, что одна и та же группа кружков представляет нам как сумму 8 + 6,

Черт. 15. Черт. 16.

так и сумму 8-1-2 + 4, следовательно, обе эти суммы должны давать одно и то же число:

Этим свойством суммы мы пользуемся нередко при сложении для упрощения вычислений. Напр., складывая 495 и 37; мы замечаем, что удобнее всего к 495 прибавить 5, а потом к полученному числу (500) еще 32, и находим 532, т.-е. мы мысленно представляем себе 37, как сумму 5 + 32, и прибавляем к 495 постепенно 5 и 32.

§ 23. Сложение однозначных чисел. Таблица сложения. Если нас спросят, сколько будет 5 да 3, то мы сразу говорим — 8; подобным же образом на вопрос, сколько будет 9 и 6, мы сразу отвечаем—15.

Мы знаем это просто потому, что помним наизусть суммы всех однозначных чисел; но если бы мы почему-либо забылл требуемую сумму, то нетрудно было бы найти ее простым присчитыванием—напр., отыскивая сумму 5 + 3, мы нашли бы ее так: „5 да 1—6, да еще 1—7, да еще 1—8а; или же мы нашли бы искомую сумму, прибавляя второе слагаемое по частям, напр., при сложении 9 и б мы вычисляли бы: „9 и 1 —10, и еще 5—15“. Так мы и поступали в свое время, когда учились складывать однозначные числа, пока, наконец, от постоянного упражнения не запомнили наизусть все суммы однозначных чисел между собою или так называемую таблицу сложения.

Вот эта таблица:

Нам необходимо помнить наизусть все суммы однозначных чисел затем, чтобы уметь быстро и безошибочно выполнять сложение многозначных чисел, которое сводится к сложению чисел однозначных. При этом нетрудно видеть, что запомнить приходится, собственно говоря, только часть таблицы сложения (находящуюся влево от ломаной черты); остальные же суммы запоминаются сами собой, если мы заметим, что 4+6 = 6 + 4 = 10, 5 + 7 — 7 + 5=12 и т. д., вообще, что от перемены порядка слагаемых сумма не меняется.

§ 24. Сложение многозначных чисел. 1) Устное сложение. Пусть, напр., нам дано сложить 70 и 24; мы вычисляем так: „70 да 20 — 90, да еще 4 — 94й. Подобным же образом, складывая 78 и 24, мы можем вычислять так: „78 да 20 — 98, да 2 — 100, да еще 2—102“. Здесь мы находим сумму, прикладывая второе слагаемое по частям и разбивая его на такие именно части, чтобы выполнить сложение как можно проще и удобнее. Но мы можем сложить 78 и 24 еще следующим образом: „70 да 20—90: 8 да 4—12; 90 да 12—102“. Здесь мы разбиваем оба слагаемых на части по разрядам и складываем десятки с десятками и единицы с единицами, а потом полученные числа между собою.

Так или иначе, при устном сложении мы складываем данные числа по разрядам (или иначе по частям, если это удобнее) и начинаем при этом сложение с высших разрядов.

2) Письменное сложение. Пусть нам дано сложить 5 637 и 7 428. Мы подписываем слагаемые одно под другим так, чтобы цифры одного и того же разряда стояли друг под другом:

и складываем данные числа по разрядам, начиная при этом с низших. Вычисляем так: 8 да 7—15; это составит 5 единиц и 1 десяток; записываем 5 единиц под

единицами, а 1 десяток прибавляем к десяткам: 1 десяток да 2 — 3, да еще 3 — б десятков. Пишем под десятками 6 и складываем дальше сотни: 4 сотни да 6—10 сотен; это составит 1 тысячу, а отдельных сотен нет. Пишем под сотнями 0, а 1 тысячу прибавляем к тысячам: 1 тысяча да 7 — 8 да еще 5 —13; это составит 3 тысячи и еще 1 десяток тысяч. Пишем под тысячами 3, а на следующем месте влево 1 десяток тысяч: мы получили, таким образом, в сумме 13 065.

Подобным же образом мы поступаем и при сложении нескольких слагаемых, напр.:

Складывая единицы, находим 29, т.-е. 2 десятка в 9 единицах; записываем под единицами 9, а 2 десятка прибавляем к десяткам. Получается 24 десятка, т.-е. 2 сотни и 4 десятка; пишем под десятками 4, а 2 сотни прибавляем к сотням. Сотен выходит 15; это составит 5 сотен и 1 тысячу; пишем 5 под сотнями, а 1 тысячу прибавляем к тысячам. Получаем 37 тысяч, т.-е. 3 десятка тысяч и 7 тысяч; пишем 7 под тысячами, а 3 десятка тысяч рядом налево и таким образом находим окончательную сумму 37 549.

Мы начинаем письменное сложение обыкновенно с низших разрядов слагаемых. Но мы могли бы начинать его и с высших разрядов, напр.:

Можно вычислить эту сумму и так: 4 тысячи и еще 2 — 6 тысяч; пишем под тысячами 6; сотен всего 8 — пишем 8 под сотнями; 5 десятков и еще 4 — 9 десятков; пишем под десятками 9; наконец, 3 единицы и 1 —4 единицы; итого 6 894.

В этом примере одинаково удобно начинать сложение как с низших, так и с высших разрядов, но, разумеется, только потому, что в данном случае от сложения единиц одного и того же разряда нигде не получается более 9. Если же от сложения единиц какого-либо разряда получается более 9, то складывать слева (с высших разрядов) не так удобно, как справа (с низших), потому что пришлось бы иногда поправлять уже написанную цифру; и поэтому обычно начинают письменное сложение справа, т.-е. с низших разрядов.

§ 25. Сложение составных именованных чисел.

1) Устное сложение. Пусть нам нужно сложить 5 метров 70 сантиметров и 3 метра 40 сантиметров. Вычисляем так: 5 метров и 3 метра — всего 8 метров; 70 сантиметров и 40 сантиметров—-110 сантиметров или 1 метр 10 сантиметров; всего вместе — 9 метров 10 сантиметров.

Видим, что здесь, как и при сложении отвлеченных чисел, приходится складывать друг с другом меры одного названия, начиная с высших; затем полученное составное именованное число приводится к простейшему виду.

2) Письменное сложение. Пусть нам дано сложить 4 килограмма 760 граммов и 6 килограммов 380 граммов.

Подписываем слагаемые одно под другим так, чтобы меры одного названия стояли друг под другом:

Начинаем сложение с низших мер, т.-е. с граммов; сложив 380 граммов и 760 граммов, получаем 1140 граммов; сложив затем 4 килограмма и 6 килограммов, получаем 10 килограммов; итак сумма равна 10 килограммам 1140 граммам; но 1140 граммов более килограмма и составят 1 килограмм 140 граммов; поэтому записываем в окончательном ответе 140 граммов, а 1 килограмм прибавляем к 10 килограммам и получаем всего 11 килограммов 140 граммов.

Вычисляем так; 45 минут и 30 минут—75 минут, или 1 час 15 минут; пишем 15 минут под минутами, а 1 час прибавляем к часам: 1 час да 3 часа, да еще 4 часа—8 час, всего 8 часов 15 минут.

При такой сокращенной записи, очевидно, удобнее начинать сложение с низших мер, чтобы не приходилось переделывать записанных чисел. Если же писать промежуточную сумму без превращения низших мер в высшие, то безразлично, с какого конца начинать, но обыкновенно начинают действие с низших мер, по сходству со сложением отвлеченных чисел.

§ 26. Смысл вычитания.

Возьмем такую задачу:

От города до деревни 17 километров. Пешеход идет из города в деревню и прошел уже 12 километров. Сколько ему осталось еще итти?

Разумеется, нашему пешеходу осталось итти 17 километров без 12. Мы вычисляем это так: „17 без 10 — 7, да еще без 2 — 5й, т.-е. пешеходу осталось итти еще 5 километров. Мы решили нашу задачу вычитанием; но если бы даже мы не умели вычитать, то нашли бы ответ просто отсчитыванием по единице: „17 без 1—16, еще без 1—15...“ и т. д., пока не отсчитали бы всех 12 километров; получили бы, конечно, также 5 километров.

Обратим теперь внимание на следующее. Если к этим оставшимся 5 километрам присчитать (прибавить) обратно пройденные пешеходом 12 километров, то мы, разумеется, должны получить все данное расстояние от города до деревни—17 километров. Значит, мы искали—и нашли—такое число (5), которое, будучи сложено со вторым из данных чисел (12), дает в сумме первое (17).

Можно записывать действие короче, если превращение низших мер в высшие выполнять в уме, напр.:

Возьмем еще задачу:

В корзинке было 80 огурцов: из нее взяли 27 огурцов. Сколько еще остается огурцов в корзинке?

И эту задачу мы решаем вычитанием: от 80 огурцов отнимаем 27 и узнаем, что остается еще 53 огурца. Мы вычисляем это так: „80 без 20—60, да еще без 7—53“, но если бы мы и не умели вычитать, то могли бы найти ответ на наш вопрос, отсчитывая от 80 огурцов все взятые огурцы по одному: „80 без 1—79, еще без 1—78...“ и т. д., пока не отсчитали бы всех 27 огурцов; получили бы попрежнему 53 огурца.

И здесь, если к оставшимся 53 огурцам прибавить обратно взятые 27 огурцов, то мы, очевидно, должны получить прежнее число огурцов (80). Значит, и здесь мы узнавали такое число (53), которое, будучи сложено со вторым из данных чисел (27), дает в результате первое (80).

В этом и смысл вычитания: вычесть из одного числа другое—значит найти такое новое число, которое, будучи сложено со вторым из данных чисел, дает в результате первое.

Такое число мы можем найти и не умея выполнять вычитание,—если отсчитаем от первого данного числа последовательно все единицы второго.

Числа, данные для вычитания, называются уменьшаемое и вычитаемое, а то, которое получается,— разность (или остаток).

В первой задаче у нас было уменьшаемое 17, вычитаемое 12 и разность 5; во второй—уменьшаемое 80, вычитаемое 27 и разность 53.

Вычитание, как известно, обозначается в записи знаком — напр., вместо 17 без 12 будет 5 мы пишем сокращенно

§ 27. Какие вопросы решаются вычитанием. Рассмотрим такие задачи:

1) У меня есть с собой 50 рублей; я должен заплатить за сапоги 18 рублей. Сколько у меня останется денег после уплаты за сапоги?

Очевидно, что после покупки сапог у меня останется 50 рублей без 18 рублей, т.-е. мы должны из 50 рублей вычесть 18. Вычитаем так: „50 без 10 — 40, да еще без 8—32“, и таким образом узнаем, что после покупки у меня останется 32 рубля.

2) Длина двора 25 метров, а ширина на 3 метра меньше. Какова ширина двора?

На 3 метра меньше — это значит, что ширина содержит столько же метров, сколько и длина, но без 3 метров, т.-е. ширина найдется, если мы от 25 метров отнимем 3 метра; получим 22 метра.

3) Яйца первого сорта стоят 35 коп. десяток, а второго—на 3 коп. дешевле. Сколько стоит десяток яиц второго сорта?

На 3 коп. дешевле —это значит: столько же, как и первый сорт, но без 3 коп.; поэтому мы должны от 35 коп. отнять 3 коп. и найдем, что второй сорт яиц стоит 32 коп. десяток.

Подобным же образом решаются и другие задачи, где ищется число, которое было бы на сколько-нибудь меньше другого (в условиях задач вместо слова меньше встречаются иногда и другие слова того же смысла: ниже, короче, уже, мельче, ближе, легче, дешевле, моложе и т. д.).

4) У старшего брата 10 рублей, у младшего 7 рублей; на сколько у старшего больше денег, кем у младшего?

Узнать, на сколько у старшего брата больше денег, чем у младшего,—значит найти, сколько надо прибавить к деньгам младшего брата (7 руб.), чтобы получить столько же денег, как и у старшего (10 руб.). А для этого надо из

10 руб. вычесть 7 руб., и найдем 3 рубля — на столько у старшего брата больше денег.

Мы видим теперь, что вычитанием решаются все вопросы, по смыслу которых приходится или прямо отнимать (отсчитывать) одно число от другого, или уменьшать одно число на сколько-нибудь, или узнавать, на сколько одно число больше или меньше другого.

§ 28. Основное свойство вычитания (вычитание суммы). В первой из задач, рассмотренных нами в § 26, нам приходилось из 17 вычитать 12; мы вычисляли это так: „17 без 10 — 7, да еще без 2 — 5“. Таким образом, вместо того, чтобы сразу вычесть из 17-ти 12, мы представляли себе вычитаемое 12, как сумму двух чисел: 10 + 2, и производили вычитание по частям: отнимали от 17 сперва 10, а затем от полученного числа (7) еще 2.

Во второй задаче мы вычитали из 80-ти 27 и вычисляли так: „80 без 20 — 60, да еще без 7 — 53“. И здесь мы представляли себе вычитаемое 27, как сумму двух чисел: 20 + 7, и отнимали эту сумму по частям: сначала от 80 отнимали 20t а затем от полученного числа (60) еще 7.

Еще пример: пусть нам задано от 1 000 отнять 293. Мы вычисляем так: „1 000 без 200 — 800, еще без 90 — 710, да еще без 3 — 707“. Здесь мы представляем себе вычитаемое 293, как сумму трех чисел (200 + 90 + 3), и отнимаем эту сумму по частям: сначала 200, потом 90, а потом еще 3.

И, вообще, если мы отнимаем число, которое можно представить в виде суммы двух или нескольких слагаемых, то мы можем отнять это число постепенно — по частям: сначала первое слагаемое, потом из полученного числа второе, из нового полученного числа третье и т. д. Короче говоря, вместо того, чтобы отнять сумму нескольких чисел сразу—можно отнимать постепенно каждое слагаемое этой суммы.

Этим свойством вычитания мы пользуемся нередко для упрощения вычислений. Напр., если нужно от 212 отнять 62, то мы сперва от 212 отнимаем 12, а затем от оставшихся 200 еще 50 и находим 150, т.-е. мы представляем

себе вычитаемое 62, как сумму 12-J-50, и отнимаем от 212 постепенно 12 и 50.

§ 29. Таблица вычитания. Если нас спросят, сколько будет 9 без 3, то мы сразу скажем — 6; точно так же, если нам нужно от 13 отнять 5, то мы сразу говорим ответ — 8. Мы знаем это просто по памяти, мы помним наизусть все те разности, которые получаются при вычитании однозначных чисел или однозначных из двузначных (когда разность—однозначное число). Если мы бы забыли какую-нибудь из этих разностей, то мы нашли бы ее вычитанием по частям или отсчитыванием по единице: напр., отнимая от 9-ти 3, считали бы так: „9 без 1 — 8, еще без 1 — 7, еще без 1 — 6“, а отнимая от 13-ти 5, вычисляли бы: „13 без 3—10, да еще без 2 — 8“. Так мы и считали в свое время, когда учились вычитанию в первом и втором десятке, пока незаметно не запомнили наизусть все эти разности, составляющие так называемую таблицу вычитания.

Вот эта таблица:

Эта таблица, очевидно, получается прямо из таблицы сложения: мы помним наизусть все эти разности затем, чтобы уметь легко и безошибочно выполнять вычитание многозначных чисел, которое сводится, собственно говоря, к вычитанию однозначных чисел из однозначных или двузначных.

§ 30. Вычитание многозначных чисел. 1) Устное вычитание. Пусть нам нужно от 60 отнять 23: как мы видели уже, всего удобнее выполнить такое вычитание по частям: 60 без 20 — 40, да еще без 3 — 37. Подобным же образом, отнимая 27 от 75, мы можем вычислять так:

75 без 20 — 55, еще без 5 — 50, и еще без 2 — 48. Во всех этих случаях мы отнимаем вычитаемое по частям, разбивая его на такие именно части, чтобы можно было выполнять действие как можно проще и удобнее.

В некоторых случаях проще бывает находить разность при помощи другого приема. Пусть, напр., нужно от 50 отнять 47; проще всего прямо сообразить, сколько надо прибавить к 47, чтобы вышло 50; очевидно, надо прибавить 3, значит 50 — 47 = 3. Или пусть нужно от 100 отнять 84; считаем, сколько не хватает у 84 до 100: до 90 не хватает 6, от 90 до 100 еще 10: итого не хватает 16, значит 100 — 84 = 16. Этот прием называется дополнением вычитаемого до уменьшаемого и особенно пригоден тогда, когда вычитаемое близко к уменьшаемому; первый же прием — отнимание по частям — особенно пригоден в тех случаях» когда вычитаемое невелико сравнительно с уменьшаемым.

Заметим, что при устном вычитании по частям мы начинаем действие с высших разрядов, а при дополнении— с низших.

2) Письменное вычитание. Пусть нам нужно от 3 248 отнять 856. Мы подписываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы цифры одного и того же разряда стояли друг под другом:

и вычитаем по разрядам, начиная с низших. Рассуждаем так: 6 единиц отнять из 8, будет 2; пишем 2 под единицами. Дальше 5 десятков от 4 десятков отнять нельзя; берем от сотен одну сотню (отмечаем это точкой над цифрою 2 в уменьшаемом) и присоединяем ее к десяткам: одна сотня—10 десятков, да еще 4 десятка — всего 14 десятков; теперь отнимаем 5 десятков от 14 десятков, остается 9 десятков. Пишем под десятками 9 и вычисляем дальше: 8 сотен из 1 сотни (оставшейся вместо 2 сотен) вычесть нельзя; занимаем одну тысячу (опять отмечаем это точкой над

цифрою 3 тысячи) и присоединяем ее к сотням: одна тысяча—10 сотен да еще 1 сотня —11 сотен; 8 сотен отнять из 11 сотен — будет 3 сотни; пишем под сотнями 3. Теперь остается еще 2 тысячи, из которых ничего не нужно вычитать; записываем их на месте тысяч и получаем разность 2 392.

Еще пример: от 8 034 отнять 2 743.

Рассуждаем так: 3 единицы из 4-х — будет 1; подписываем 1 под единицами; дальше: 4 десятка из 3 десятков вычесть нельзя — надо занять одну сотню и приложить ее к 3 десяткам, а потом вычесть 4 десятка; но сотен в уменьшаемом нет, приходится занять одну тысячу (ставим точку над 8 тысячами); обращаем эту тысячу в сотни — будет 10 сотен; из них 9 сотен оставляем пока в стороне на месте сотен, а одну сотню занимаем (ставим при этом точку над цифрою 0) и обращаем ее в десятки; будет 10 десятков, да еще 3 десятка — всего 13 десятков; отнимаем отсюда 4 десятка, остается 9 десятков, которые и записываем под десятками. Дальше отнимаем 7 сотен вычитаемого из тех 9 сотен уменьшаемого, которые мы оставили было в стороне (об этих 9 сотнях нам должна напоминать точка над цифрою 0); получаем 2 сотни, которые и подписываем под сотнями. Наконец, вычитаем 2 тысячи из оставшихся 7 тысяч уменьшаемого: получаем 5 тысяч — и окончательный ответ:

5 291.

Пусть, наконец, задано от 10 000 отнять 1 767:

Рассуждаем так: 7 единиц вычесть неоткуда, так как в уменьшаемом единиц нет; нужно занять один десяток, но

и десятков нет; переходим к сотням, но и их нет; тысяч тоже нет, а есть 1 десяток тысяч, который мы и занимаем (ставим точку над цифрой 1). Обращаем 1 десяток тысяч в тысячи получаем 10 тысяч; из них 9 тысяч оставляем (обозначаем это точкой над 0 в разряде тысяч), а 1 тысячу обращаем в сотни, — получается 10 сотен; из них 9 сотен снова оставляем (ставим опять точку над 0 в разряде сотен), а 1 сотню обращаем в десятки; выходит 10 десятков; из них снова 9 десятков оставляем (отмечаем это опять точкой над 9 в разряде десятков), а 1 десяток обращаем в единицы— будет 10 единиц. Теперь можно отнять 7 единиц от 10 — останется 3, которые мы и подписываем под единицами. Дальше надо отнять 6 десятков от 9 десятков (отмеченных цифрою 0 с точкой); получим 3 десятка, которые подписываем под десятками. Затем отнимаем 7 сотен от 9 сотен (отмеченных также цифрою 0 с точкой в разряде сотен); получаем 2 сотни и подписываем их под сотнями. Наконец, отнимаем 1 тысячу из 9, подразумеваемых в уменьшаемом на месте тысяч, и получаем 8 тысяч, которые подписываем под тысячами. Таким образом, находим искомую разность 8 233.

Замечаем при этом, что вычитание приходится производить по разрядам, начиная с низших,— единицы отнимаем от единиц, десятки от десятков и т. д.; если при этом в уменьшаемом оказывается меньше единиц какого-нибудь разряда, чем в вычитаемом, то занимаем одну единицу ближайшего высшего разряда, присоединяем ее к данному разряду и продолжаем вычитание по предыдущему. Занятие одной единицы высшего разряда обозначается точкой над цифрой этого разряда; такая цифра с точкой обозначает тогда число на единицу меньшее, чем на самом деле (а 0 с точкой обозначает, как мы видели, 9 единиц того же разряда).

Мы начинаем письменное вычитание обыкновенно с низших разрядов, но можно начинать его и с высших, напр.:

Вычисляем так: 3 тысячи из 8—5 тысяч (пишем под тысячами 5); 2 сотни из 9 — 7 сотен (пишем 7); 1 десяток из 4 — 3 десятка (пишем 3); наконец, 7 единиц из 8—1 единица (пишем 1); итого получаем 5 731.

В данном примере, конечно, все равно, с какого конца начать вычисление, потому что во всех разрядах вычитаемого меньше единиц, чем в таких же разрядах уменьшаемого; но обыкновенно так не бывает, и потому удобнее начинать письменное вычитание с низших разрядов, чтобы не приходилось потом менять уже написанных цифр разности.

Можно находить разность многозначных чисел и путем дополнения. Пусть, например, нужно из 7 926 отнять 5 874:

Рассуждаем так: от 4 до 6 нехватает 2 единиц — пишем под единицами 2; далее, 7 десятков до 2 десятков дополнить нельзя — занимаем 1 сотню (ставим точку на 9), обращаем эту сотню в десятки и присоединяем к 2 десяткам; получается 12 десятков. Теперь видим, что к 7 десяткам до 12 нехватает 5 десятков; пишем под десятками 5. Затем 8 сотен нужно дополнить до 8 сотен уменьшаемого: для этого к 8 сотням вычитаемого не нужно дополнять нечего — пишем под сотнями 0. Наконец, 5 тыс. до 7 тыс. нехватает 2 тысяч; пишем под тысячами 2 и получаем разность 2 052.

§ 31. Вычитание составных именованных чисел.

1) Устное вычитание. Пусть нужно от 10 метров отнять 3 метра 8 сантиметров; рассуждаем так: 10 метров без 3 метров—7 метров; отсюда надо отнять еще 8 сантиметров; для этого берем 1 метр и обращаем его в сантиметры — будет 100 сантиметров; отнимаем отсюда 8 сантиметров и получаем 92 сантиметра, да еще осталось 6 метров, следовательно, вся разность будет 6 метров 92 сантиметра.

Видим, что здесь, как и при вычитании отвлеченных чисел, приходится отнимать вычитаемое по частям, начиная с мер высшего разряда.

Удобен также при устном вычитании и способ дополнения. Пусть, например, нужно от 5 руб. отнять 1 руб. 83 коп.; соображаем, сколько надо добавить к 1 руб. 83 коп., чтобы получить 5 рублей; добавим к 1 руб. 83 коп. сначала 7 коп. — будет 1 руб. 90 коп.; да еще 10 коп. — будет 2 рубля; да еще 3 рубля — будет 5 рублей. Мы добавили всего вот сколько: 7 коп. и еще 10 коп. и еще 3 рубля, т.-е. 3 руб. 17 коп. — это и есть искомая разность. Как видно» дополнение надо начинать с мер низшего разряда, при чем всякий раз мы должны соображать, сколько нехватает этих мер до ближайшего высшего разряда.

2) Письменное вычитание. Пусть нам нужно от 8 километров 120 метров отнять 3 километра 400 метров. Подписываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы меры одного названия стояли друг под другом

Начинаем вычисление с низших мер. Видим, что 400 метров от 120 метров отнять нельзя; берем тогда 1 километр (ставим при этом точку над километрами), обращаем этот километр в метры, будет 1000 метров; да еше 120 метров, всего 1120 метров. Теперь отсюда отнимаем 400 метров, остается 720 метров, которые и подписываем под метрами, а 3 километра вычитаем из оставшихся 7 километров, получаем 4 километра, и окончательный ответ — 4 километра 720 метров.

Еще пример: от 10 часов отнять 8 часов 45 минут 40 секунд.

Так как секунд и минут вычитать не из чего, то занимаем 1 час (ставим точку над 10 часами); обращаем этот

час в минуты, будет 60 минут; отсюда занимаем еще 1 минуту (ставим точку над 60 минутами) и обращаем эту минуту в секунды, будет 60 секунд. Теперь вычитаем из 60 секунд 40 секунд; остается 20 секунд, которые и подписываем под секундами. Дальше вычитаем 45 минут из оставшихся в уменьшаемом 59 минут, получаем 14 минут и, наконец, вычитаем 8 часов из оставшихся (вместо 10 часов) 9 часов, получаем 1 час; окончательно имеем в остатке 1 час 14 минут 20 секунд.

§ 32. Изменения суммы и разности. Упрощенные способы прибавления и отнимания закруглимых чисел. Возьмем сумму каких-либо двух слагаемых, например 40 и 23; будем увеличивать одно из слагаемых на какое-нибудь число и посмотрим, как будет от этого изменяться сумма.

Мы имеем сумму:

40 + 23 = 63. Увеличим, например, второе слагаемое на 3: 40 + 26 = 66.

Видим, что и сумма увеличилась тоже на 3. Возьмем теперь опять прежнюю сумму

40 + 23 = 63

и увеличим второе слагаемое на 7; будем иметь

40 + 30 = 70,

значит, и сумма увеличилась при этом тоже на 7. Возьмем снова прежнюю сумму

40 + 23 = 63

и увеличим первое слагаемое на 10; найдем

50 + 23 = 73,

т.-е. и сумма увеличилась тоже на 10.

Какие бы числа мы ни брали для сложения и на сколько бы ни увеличивали одно из слагаемых, мы замечаем следующее: если одно из слагаемых увеличить на какое-нибудь число, то и сумма увеличится на

такое же число. И это будет справедливой тогда, когда слагаемых будет не два, а больше.

Этим свойством суммы мы пользуемся для упрощения вычислений, если нам нужно прибавить какое-нибудь легко закруглимое число. Например, складывая 523 и 98, мы рассуждаем так: прибавим к 523 не 98, а 100; получим 623; но мы при этом прибавили 2 единицы лишних (увеличили второе слагаемое на 2); поэтому и найденная сумма на 2 единицы больше истинной: откинем теперь эти 2 лишних единицы от 623 и найдем, что искомая сумма есть 621.

Возьмем теперь прежнюю сумму

40 + 23 = 63

и будем уменьшать одно из слагаемых на несколько единиц; уменьшив, например, второе слагаемое на 3, получим

40 + 20 = 60,

т.-е. и сумма уменьшилась на столько же единиц.

Если бы мы уменьшили второе слагаемое не на 3} а на 5, то нашли бы

40+ 18 = 58,

т.-е. и сумма уменьшилась бы тоже на 5. Уменьшая в первой сумме

40 + 23 = 63 первое слагаемое на 8, найдем

32 + 23 = 55

и видим, что и сумма уменьшилась тоже на 8.

Итак, если одно из слагаемых уменьшить на какое-нибудь число, то и сумма уменьшится на то же число.

Легко теперь сообразить, что будет с суммой, если одно из слагаемых мы увеличим на несколько единиц, а другое уменьшим на столько же единиц. И сумма тогда сначала увеличится на это число единиц

а потом уменьшится на столько же; значит, она останется без изменения. Например, если в нашей сумме

40 + 23 = 63

мы увеличим первое слагаемое на 3, а второе уменьшим на 3, то получим

43 + 20 = 63,

т.-е. прежнюю сумму.

Этим выводом мы можем иногда пользоваться для упрощения сложения; например, пусть нам дано сложить:

23-f- 1 007-;-45-;--993.

Соображаем, что сумма не изменится, если второе слагаемое (1 007) уменьшить на 7 единиц и прибавить их к последнему слагаемому (993). Тогда каждое из этих двух слагаемых будет равно 1 000. и не трудно устно высчитать, что вся сумма равна 2 000 да 23, да еще 45, т.-е. 2 068.

Возьмем теперь разность каких-либо двух чисел, хотя бы тех же 40 и 23; будем увеличивать (или уменьшать) сначала уменьшаемое и посмотрим, как будет от этого изменяться разность.

Мы имеем

40 — 23= 17.

Увеличим уменьшаемое (40) на 3; найдем

43 — 23 = 20,

т.-е. и разность увеличилась тоже на 3. Возьмем опять прежнюю разность

40 — 23= 17

и увеличим уменьшаемое на 8; найдем

48 — 23 = 25,

т.-е. и разность увеличилась на 8.

Рассматривая этот и другие подобные примеры, замечаем следующее: если уменьшаемое увеличить на какое-нибудь число, то и разность увеличится на то же число.

Подобным же образом можем убедиться и в том, что если уменьшаемое уменьшить на какое-нибудь число, то и разность уменьшится на то же число

Возьмем теперь опять прежнюю разность

40 — 23 = 17

и будем увеличивать вычитаемое; увеличим его, напр., на 5; получаем

40 — 28= 12.

Видим, что разность уменьшилась на 5. Возьмем теперь снова прежнюю разность

40 — 23= 17

и увеличим вычитаемое на 7; будем иметь

40 — 30=10,

т.-е. разность уменьшились на 7.

На основании подобных примеров замечается следующее если вычитаемое увеличить на какое-нибудь число, то разность уменьшится на то же число. Подобным же образом убедимся и в том, что если вычитаемое уменьшить на какое-нибудь число, то разность увеличится на то же число.

Нетрудно теперь сообразить, что сделается с разностью, если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить (или уменьшить) на одно и то же число: разность тогда сначала увеличится на это число, а потом уменьшится на столько же (или наоборот), а потому она останется без изменения. Напр., если в разности

40 — 23=17

мы увеличим уменьшаемое и вычитаемое на 10, то найдем

50 — 33=17;

если в той же разности

40 — 23 = 17

мы уменьшим уменьшаемое и вычитаемое на 3, то получим:

37 — 20=17

и видим, что в обоих случаях разность не изменяется.

Пользуясь указанными свойствами разности, мы можем иногда упрощать вычитание.

Пусть нам нужно вычесть какое-либо легкое закруглимое число, напр., от 523 отнять 98. Мы рассуждаем так: отнимем от 523 не 98, а 100; получим 423, но мы при этом отняли 2 лишних единицы (увеличили вычитаемое на 2), поэтому найденная разность 423 на 2 единицы меньше истинной; прибавим теперь эти недостающие 2 единицы к 423 и найдем, что искомая разность есть 425.

Можно рассудить и так: разность 523—98 не изменяется, если к уменьшаемому и вычитаемому одновременно прибавить по 2; тогда вместо разности 523 — 98 будем иметь 525 —100, а теперь нетрудно сообразить, что остается 425.

Пусть еще нужно от 317 отнять 67. Соображаем, что разность не изменится, если уменьшить оба данных числа на 17; тогда придется из 300 вычесть 50, и находим, что искомая разность будет 250.

§ 33. Проверка сложения и вычитания. Когда приходится делать много вычислений (напр., подсчитывать общий приход или расход за много дней), то и самый опытный и внимательный счетчик может сделать ошибку, и поэтому нужно уметь проверять всякое сделанное действие, чтобы в случае надобности иметь уверенность, что действие это выполнено верно.

1) Проверка сложения делается обыкновенно так: мы знаем, что от перемены порядка слагаемых сумма не должна меняться, поэтому для проверки сложения складываем те же слагаемые в другом порядке, и если получается прежняя сумма, то заключаем, что действие выполнено верно.

Пусть, напр., дано сложить:

Пусть мы складывали наши слагаемые по разрядам, начиная снизу; получим сумму 18 829; складываем их еще раз, начиная сверху, и получаем ту же сумму 18 829; поэтому заключаем, что вычисления, по всей вероятности, сделаны верно (трудно думать, чтобы мы оба раза сделали одну и ту же или похожую ошибку).

Можно еще поступать и так: пусть нам дано сложить:

Выполнив сложение, мы получили сумму 150 176, но мы знаем, что все равно — прибавить сумму нескольких чисел сразу или поочередно; поэтому для проверки сложения можно вычислить туже сумму по частям; сложим, напр., сначала отдельно первые четыре слагаемые, потом последние три, а потом сложим полученные числа:

Получили прежнюю сумму 150 176, следовательно можем рассчитывать, что сложение сделано верно.

Порядок и способ сложения по частям может быть, разумеется, очень разнообразен; употребляется, напр., и такой способ проверки: складывают данные числа по разрядам и записывают отдельно сумму единиц каждого разряда, одну под другой; потом складывают все эти суммы вновь. Напр., взяв еще раз прежние слагаемые, можем проверить сложение так:

Сложив единицы, получаем 36 и подписываем это число под чертой; потом сложим десятки, получаем 24 десятка, т.-е, 240, и подписываем это число под прежним; от сложения сотен получаем 29 сотен или 2 900 и т. д.; сложив затем все поразрядные суммы, находим снова прежнюю сумму 150 176.

Мы проверяли до сих пор сложение сложением, но можно проверить его и вычитанием. Это особенно просто в том случае, когда нам дано для сложения всего два числа.

Напр., пусть нам дано сложить числа 8 394 и 6 186:

Сложив данные числа, мы получили 14 580; если теперь вычтем из суммы 14 580 одно слагаемое, напр., 6 186, то должны получить другое слагаемое (потому что вычесть 6 186 из 14 580 значит найти такое число, которое, будучи сложено с 6 186, дает в сумме 14 580; а такое число и есть 8 394, как было дано в условии).

Проверим это:

После вычитания получаем действительно 8 394, следовательно, мы можем рассчитывать, что сложение сделано верно.

Подобным образом можно поступать и тогда, когда задано сложить несколько слагаемых, напр.:

Сложив данные числа, мы получаем 10 496; вычтем теперь из суммы одно слагаемое, напр., 3 537, а остальные два сложим; ясно, что оба раза мы должны получить одинаковые числа:

После вычисления получаем оба раза 6 959; поэтому заключаем, что сложение, по всей вероятности, сделано верно.

2) Проверка вычитания. Пусть нам дано выполнить такое вычитание:

Для проверки мы складываем полученную разность (4 025) с вычитанием (6 293) и должны получить уменьшаемое (10 318), потому что, по смыслу вычитания, разность 4 025 и есть такое число, которое, будучи сложено с вычитанием 6 293. дает в сумме уменьшаемое 10 318.

Выполним это сложение:

Видим, что получилось действительно уменьшаемое 10 318, следовательно, вычитание сделано, по всей вероятности, правильно.

Мы проверяли это вычитание сложением, но можно проверить его вычитанием. В самом деле, мы видим, что полученная нами разность 4 025 вместе с вычитаемым 6 293 дает в сумме уменьшаемое 10 318; отсюда заключаем, что если от уменьшаемого (10 318) отнять разность (4 025), то должно получиться вычитаемое (6 293).

Проверим это:

Получим действительно 6 293, следовательно, вычитание сделано верно.

Видим, что и сложение и вычитание можно проверять как темже самым действием, так и обратным.

§ 34. Смысл умножения. Пусть нам дана задача:

Тетрадь стоит 15 коп. Сколько нужно заплатить за 3 таких тетради?

Мы решили эту задачу умножением — берем 15 коп. 3 раза; вычисляем так: „3 раза 10 — 30, 3 раза 5 —15; 30 да 15 — 45; значит, за 3 тетради придется заплатить 45 коп.“. Но если бы мы и не умели делать умножения, то решили бы эту задачу просто сложением; мы рассуждали бы так: за первую тетрадь надо заплатить 15 коп., за вторую еще 15 коп. и за третью еще 15 коп., а всего 45 коп. Отсюда видно, что умножить 15 на 3 все равно, что сокращенно сложить 15, еще 15 и еще 15 или, как говорят, взять 15 слагаемым 3 раза:

Возьмем еще задачу:

На отопление квартиры уходит ежедневно по 24 полена дров. Сколько полен будет израсходовано в 12 дней?

И эту задачу мы решаем умножением — умножаем 24 на 12; вычисляем так: 24 взять 10 раз - 240; 24 взять

2 раза — 48; 240 и 48 — 288; всего будет израсходовано 288 полен. Если бы мы не знали умножения, то решали бы и эту задачу сложением; рассуждали бы так: в первый день пойдет на отопление 24 полена, во второй еще 24, в третий еще 24 и т. д., пока не высчитали бы весь расход за 12 дней; получим, 24, да 24 да 24 ... . при чем придется взять 24 слагаемым 12 раз. Конечно, так вычислять долго и неудобно, но и посредством сложения найдем то же, что и при помощи умножения.

Мы видим теперь, что умножить 24 на 12 — все равно, что повторить 24 слагаемым 12 раз:

И вообще: умножить одно число на другое — все равно, что взять первое число слагаемым столько раз, сколько во втором числе единиц.

Числа, данные для умножения, называются множимое и множитель, а то, которое получается от умножения — произведение. В последнем примере множимое— 24, множитель—12, а полученное число 288 — произведение.

Заметим, что множимое и множитель вместе иногда называются сомножителями.

Умножение, как мы знаем, обозначается в записи знаком X , напр., вместо записи:

15 умножить на 3 — будет 45,

или:

15 взять 3 раза — будет 45, мы пишем сокращенно:

Вместо знака X пишут и другой знак . (точку), напр.

§ 35. Какие вопросы решаются умножением. Рассмотрим такие задачи:

1) Больной должен принять лекарство 15 раз, каждый оаз по 2 пилюли. Сколько всего пилюль он должен принять?

Если бы мы не умели делать умножения, то решили бы эту задачу сложением; пришлось бы складывать: 2, да 2, да 2 и т. д., в общем 15 раз по 2; но мы вычисляем это сокращенно умножая 2 на 15 (считаем: 10 раз 2 — 20, 5 раз 2 —10, 20 и 10 — 30), и находим, что больной должен принять всего 30 пилюль.

2) Одно яйцо стоит 3 копейки; сколько будут стоить 14 таких яиц?

Рассуждаем так: за первое яйцо придется заплатить 3 коп., да за второе 3 коп., да за третье 3 коп. и т. д., в общем придется сложить 14 троек или повторить 3 слагаемым 14 раз. Мы выполняем это сокращенно — множим 3 на 14 и находим, что все яйца стоят 42 копейки.

3) Одна тетрадь стоит 5 копеек, а другая в 3 раза больше. Сколько стоит вторая тетрадь?

В 3 раза больше, чем 5 коп. — это значит: 5 коп. и еще столько же и еще столько же; поэтому мы должны 5 коп. повторить 3 раза, или умножить на 3. Таким образом вторая тетрадь стоит 15 копеек.

4) Кастрюля весит 3 килограмма, а котел в 12 раз тяжелее кастрюли. Сколько весит котел?

В 12 раз тяжелее, чем 3 килограмма — это значит, что котел весит вот сколько: 3 килограмма и еще столько же, и еще столько же, и т. д., всего 12 раз, т.-е. мы должны 3 килограмма взять слагаемым 12 раз или помножить 3 килограмма на 12; вычислив это, находим, что котел весит 36 килограммов.

Мы видим теперь, что посредством умножения решаются все вопросы, по смыслу которых нужно или прямо повторить одно число слагаемым несколько раз, или увеличить какое-либо число в несколько раз.

§ 36. Основные свойства умножения. 1) Перестановка сомножителей. Возьмем какие-либо два числа, напр., 7 и 5, и перемножим их:

7-5 = 35.

Потом возьмем те же числа и перемножим их в обратном порядке:

5- 7-«35.

Мы видим, что получились оба раза одинаковые произведения, т.-е.:

7 - 5 = 5 - 7.

То же самое будет, если возьмем какие угодно другие два числа, напр. 34 и 12; будем иметь

34 - 12 = 408 и 12 - 34 = 408,

следовательно

34.12 = 12-34.

И вообще, если мы имеем какие-либо два числа и перемножим их, а потом перемножим те же числа в обратном порядке, то получим то же самое число, что и раньше; другими словами—от перемены порядка сомножителей произведение не меняется.

Это свойство произведения мы можем изобразить наглядно. На черт. 17 представлена группа клеток — 3 полосы по 5 клеток; эта группа представляет нам произведение 5 • 3. Но эта же самая группа клеток состоит из 5 столбцов по 3 клетки; следовательно она представляет также произведение 3 • 5. Ясно, что оба произведения 5-3 и 3-5 представлены одной и той же группой клеток, а потому должны быть равны.

На черт. 18 мы имеем группу кружков — 3 ряда по 7 кружков; она изображает нам произведение 7 • 3. Но эта же самая группа кружков состоит из 7 столбцов по 3 кружка, следовательно, она представляет также произведение 3 • 7. Отсюда ясно, что 7.3 = 3.7, так как оба произведения изображены одной и той же группой кружков.

То же самое будет, если мы имеем произведение не двух, а большего числа сомножителей, напр.:

Видим, что всякий раз от умножения получается одно и то же число, и так будет всегда, какие бы числа мы ни перемножали.

Мы пользуемся этим свойством нередко, чтобы упростить умножение двух или нескольких чисел. Напр., если нам нужно умножить 6 на 75, то проще умножить вместо этого 75 на 6 (получаем 450). Или, напр., если задано перемножить числа:

4 - 47 - 25,

то мы замечаем, что проще всего сначала умножить 25 на 4, а полученное произведение (100) на 47, и находим окончательно 4 700.

2) Умножение на произведение. Пусть, напр., нам нужно умножить 15 на 6.

Вычисляя это обычным способом, мы рассуждаем так: 6 раз 10 — 60, 6 раз 5—30; 60 и 30 — 90; значит:

15 - 6 = 90.

Но мы можем найти это произведение еще и по-другому. В самом деле, умножить 15 на 6 — это значит взять 15 слагаемым 6 раз:

Четр. 18.

Представим эту последнюю сумму таким образом (черт. 19):

Черт. 19.

Отсюда видно, что мы можем сначала сложить числа одного столбца, т.-е. взять 15 слагаемым 2 раза, а затем полученное число (30) взять столько раз, сколько всех столбцов, т.-е. 3 раза; находим попрежнему 90.

Итак, мы нашли, что умножить 15 на 6 все равно, что умножить 15 сначала на 2, а потом полученное число (30) еще на 3:

15 - 6 = 15 - 2 - 3( = 90).

Еще пример: пусть нам нужно умножить 12 на 30. Мы выполняем это так: множим 12 сначала на 3, а потом полученное число (36) еще на 10 и находим 360. Значит, умножить 12 на 30 все равно, что умножить 12 сначала на 3, а затем полученное число еще на 10.

И это можно изобразить наглядно. Умножить 12 на 30 — все равно, что взять 12 слагаемым 30 раз; представим это таким образом (черт. 20):

Черт. 20.

Здесь 10 столбцов, а в каждом столбце число 12 повторяется слагаемым 3 раза; всего, значит, 12 берется слагаемым 30 раз. Ясно, что эту же сумму можно найти и так: сначала сложить числа одного столбца, т.-е. взять 12 слагаемым

3 раза, а затем полученное число взять 10 раз — по числу столбцов. Следовательно

Подобным же образом, умножая 21 на 400, мы множим 21 сначала на 4, а потом полученное число (84) на 100 и находим 8 400. Мы представляем себе здесь, как и в предыдущих примерах, число 400 в виде произведения двух сомножителей (4.100) и умножаем данное число 21 постепенно — сначала на первого сомножителя (4), а затем полученное число 84 на второго сомножителя (100).

И, вообще, если мы множим на число, которое можно представить как произведение двух или нескольких сомножителей, то мы можем выполнить это умножение не сразу, а постепенно: сначала умножить данное число на первого сомножителя, полученное число на второго, новое полученное число на третьего и т. д. Короче говоря, вместо того, чтобы умножить на произведение нескольких чисел сразу, можно умножать постепенно на каждого сомножителя этого произведения.

Этим свойством мы пользуемся при умножении нередко для упрощения вычислений, где можно: напр., умножая 25 на 12, множим 25 сначала на 4, а полученное число (100) еще на 3 — получаем 300; умножая 75 на 8, представляем себе 8, как произведение трех двоек (2-2-2) и множим 75 на 2, полученное число (150) еще на 2, а вновь полученное число (300) опять на 2, находим 600.

3) Умножение суммы. Есть еще одно важное свойство умножения, которым мы пользуемся постоянно при умножении многозначных чисел. Умножая, напр., 17 на 5, мы вычисляем так: 10 на 5 — 50, 7 на 5 — 35; 50 да 35 — 85, т.-е. мы мысленно разбиваем 17 на два слагаемых (10 + 7) и множим на 5 сначала первое слагаемое (10), потом второе (7) и складываем полученные числа.

Подобным же образом, умножая 132 на 3, мы представляем себе 132, как сумму трех слагаемых (100 + 30 + 2) и множим на 3 сначала первое слагаемое (100), потом второе

(30) и, наконец, третье (2) и складываем все полученные числа; находим в результате 396.

И вообще, если мы умножаем число, которое можно представить как сумму нескольких слагаемых, то мы можем выполнять это умножение не сразу, а по частям: сначала умножим первое слагаемое, потом второе, третье и т. д., и, наконец, сложим все полученные числа. Короче говоря, вместо того, чтобы умножить сумму нескольких чисел сразу, мы можем умножить каждое слагаемое отдельно и полученные числа сложить.

И это свойство умножения можно представить себе наглядно. Пусть, напр., нам надо уможить 28 на 5; это значит взять 28 слагаемым 5 раз:

Подпишем теперь все эти слагаемые друг под другом; видим, что придется сложить между собою все единицы, потом все десятки и, наконец, полученные числа между собою, т.-е. взять 8 единиц 5 раз слагаемым, затем 2 десятка 5 раз слагаемым и, наконец, сложив то и другое, получим 140. Итак мы нашли, что

Применяя это свойство при умножении многозначных чисел, мы разбиваем их обычно по разрядам, но можно разлагать множимое на части и иначе; напр., при умножении 65 на 4 удобно представить 65 как сумму 50 -f-15 и множить так: 50-4 = 200; 15-4 = 60; 200 + 60 = 260.

4) Умножение разности. Подобным же образом, иногда бывает удобно представить множимое не в виде суммы, а в виде разности двух чисел. Напр., умножая 98 на 3, мы рассуждаем так: вместо 98 умножим 100 на 3, получим 300, но при этом мы взяли 2 лишних единицы и повторили их 3 раза, значит всего мы взяли лишних 6 еди-

Черт. 21.

ниц; чтобы найти теперь верное произведение, мы должны от 300 отнять б и получаем 294.

Таким образом, мы представляем здесь множимое 98, как разность двух чисел (100 — 2): множим уменьшаемое (100) и вычитаемое (2) отдельно на (3) и полученные числа вычитаем — второе из первого.

На основании подобных примеров заключаем: вместо того, чтобы множить разность двух чисел сразу, мы можем множить её по частя м—с начала уменьшаемое, потом вычитаемое, и затем из первого полученного числа вычесть второе.

§ 37. Умножение однозначных чисел. Таблица умножения. Если нам нужно узнать, сколько будет 3 раза 8, то мы сразу говорим — 24; точно также, если нам нужно умножить 7 на 6, мы сразу говорим ответ: 42. Мы знаем это потому, что помним наизусть все произведения однозначных чисел между собою; но если бы мы забыли какое-нибудь из этих произведений, то могли бы найти его просто сложением, напр.

Так мы и вычисляли эти произведения, когда учились умножению в пределе сотни, покуда незаметно не усвоили наизусть все произведения однозначных чисел, или так называемую таблицу умножения.

Вот эта таблица.

Нам необходимо помнить все произведения однозначных чисел между собою, так как с этими произведениями приходится постоянно встречаться и при умножении многознач-

ных чисел. Заметим, что нахождение и запоминание этих произведений облегчается по двум причинам: во-первых, от перестановки сомножителей произведение не меняется, напр., 5.6 = 6-5 = 30, поэтому достаточно запомнить только произведения левой части таблицы; во-вторых, мы можем найти нужное нам произведение по частям или постепенно, напр., вычисляя произведение 7-8, мы возьмем 7 слагаемым сначала 5 раз, потом еще 3 раза и сложим полученные числа: 7-5 = 35, 7-3 = 21, 35 + 21 = 56; поэтому 7-8 = 56. Другой способ: вместо того, чтобы множить 7 на 8, умножим 7 сначала на 2, полученное число опять на 2 и новое полученное число еще на 2; найдем: 7-2=14, 14-2 = 28, 28-2 = 56; следовательно, 7-8 = 56.

§ 38. Умножение многозначного числа на однозначное.

1) Устное умножение. Пусть нам нужно умножить 56 на 4; мы вычисляем это так: 50 на 4 — 200, 6 на 4 — 24; 200 и 24 — 224. Подобным же образом, умножая 423 на 3, мы рассуждаем так: 400 на 3 —1 200, 20 на 3 — 60, 3 на 3 — 9; 1 200 да 60 да 9 — 1 269. Здесь мы выполняем умножение по частям: разбиваем множимое на разряды (56 = 50+6, 423 = 400 + 20--! 3) и множим единицы каждого разряда отдельно, начиная с высших, потом все полученные числа складываем.

2) Письменное умножение. Пусть нужно умножить 6 938 на 7. Записываем действие таким образом:

И здесь мы выполняем умножение по частям: разбиваем наше множимое мысленно на разряды и множим единицы каждого разряда отдельно, но начиная с низших; вычисляем так:

7 раз 8 — 56; пишем 6 под единицами, а 5 десятков запоминаем, чтобы потом придать к десяткам.

7 раз 3 десятка—-21 десяток; да еще 5 десятков—26 десятков, или 6 десятков и 2 сотни; 6 десятков записываем под десятками, а 2 сотни запоминаем.

7 раз 9 сотен — 63 сотни; да еще 2 сотни —65 сотен, или 5 сотен и 6 тысяч; 5 сотен подписываем под сотнями, а 6 тысяч запоминаем.

7 раз 6 тысяч—42 тысячи; да еще 6 тысяч — 48 тысяч; пишем под тысячами 8, а рядом слева 4 десятка тысяч, и получаем окончательно 48 566.

Раньше было принято записывать множителя под множимым, но удобнее записывать его рядом, так эта запись занимает меньше места.

§ 39. Умножение многозначных чисел.

1) Устное умножение. Заслуживает особого внимания случай, когда множителем будет число 10, 100, 1 000 и т. д., вообще число, изображаемое единицей с нулями. Напр., пусть нужно умножить 73 на 10; вычисляем так: 10 раз 7 десятков—будет 70 десятков, или 7 сотен; 10 раз 3 единицы=30 или 3 десятка; всего 7 сотен и 3 десятка, или 730; значит

73.10 = 730.

Подобным же образом, умножая 73 на 100, вычисляем 100 раз 7 десятков — 700 десятков, или 7 тысяч; 100 раз 3—300, или 3 сотни; всего 7 тысяч, т.-е. 7 300:

73.100 = 7 300.

Умножая таким же образом 73 на 1 000 найдем:

73.1 000 = 73 000 и т. д.

На основании таких вычислений заключаем, что при умножении числа на 10, 100, 1 000 и т. д. достаточно приписать к нему справа столько нулей, сколько их есть во множителе.

Подобным же образом умножаем и на число, изображенное какой-либо цифрой с последующими нулями, напр., на 20, на 600, на 3 000 и т. д.

Пусть, напр., нужно умножить 46 на 20. Соображаем, что умножить 46 на 20 все равно, что сначала умножить 46 на 2, а потом полученное число на 10, и вычисляем:

Умножая 14 на 600, мы будем множить 14 сначала на 6, а потом полученное число еще на 100; вычисляем:

14.6 = 84; 84.100 = 8 400; следовательно, 14.600 = 8 400.

Проделывая еще подобные примеры, мы замечаем, что при умножении на такие числа мы множим на число, обозначенное первой (значащей) цифрой, а потом приписываем столько нулей, сколько их было во множителе.

Иногда бывает нетрудно перемножить устно двузначные числа, если выполнять умножение по частям или постепенно.

Напр., умножая 15 на 12, мы можем вычислять так:

10 раз по 15 — 150, 2 раза по 15 — 30; 150 да 30 —180; значит 15.12= 180. Или же, вместо того, чтобы сразу умножить 15 на 12, мы представим себе 12 в виде произведения 4.3 и умножаем 15 сначала на 4, а потом полученное число (60) на 3; находим по-прежнему 180.

Заметим еще, что при устном умножении мы здесь, как и раньше, начинаем вычисление с высших разрядов.

2) Письменное умножение. Пусть нужно умножить 384 на 26. Записываем это таким образом.

Вычисляем так: чтобы умножить 384 на 26, будем умножать 384 сначала на единицы множителя (на 6), потом на десятки (на 20), и полученные числа сложим. Умножив 384 на 6, найдем 2 304; подписываем это число под множимым так, чтобы единицы одинаковых разрядов стояли друг под другом. Теперь множим 384 на 2 десятка, получаем 7 680, или 768 десятков. Подписываем это число под предыдущим, при чем для удобства можно не писать полностью всего числа с нулем на конце, а пишем только 768, но так, чтобы последняя цифра этого числа стояла под десятками. Складывая теперь все полученное, найдем окончательно 9 984.

Пусть еще нужно умножить 529 на 247. Записываем это так:

Как и в предыдущем примере, множим 529 сначала на единицы множителя (на 7), получаем 3 703; потом на десятки (на 4 дес), получаем 2 116 десятков; и, наконец, на сотни (на 2 сот.), получаем 1 058 сотен; складываем все полученные произведения и находим окончательно 130 663.

Следует обратить внимание на случаи, когда среди цифр множителя попадается нуль, напр.:

Здесь приходится обращать особенное внимание на то, чтобы верно подписывать частные произведения. Умножая, напр., в первом вычислении 385 на 2 единицы, получаем 770 единиц; потом множим 385 на 5 сотен и получаем 1 925 сотен; поэтому надо подписать это число так, чтобы последняя его цифра (5) пришлась под сотнями. Во втором примере умножаем сначала 2 116 на 7 единиц, получаем 14 812 единиц; потом множим 2 116 на 2 тысячи, получаем 4 232 тысячи, и надо подписывать это число так, чтобы последняя его цифра пришлась под тысячами.

При письменном умножении мы множим обыкновенно сначала на низшие разряды множителя, но можно вычислять и в обратном порядке, напр.,

Мы множим сначала 673 на 4 сотни, получаем 2 692 сотни и записываем это произведение так, чтобы последняя его цифра (2) стояла под сотнями множимого; потом множим 673 на 6 десятков, получаем 4 038 десятков и записываем это произведение так, чтобы его последняя цифра (8) приходилась под десятками, и т. д. до конца; складывая все полученные числа, получаем окончательно 312 945.

§ 40. Упрощенные приемы умножения многозначных чисел. Можно упростить запись умножения, если среди цифр множителя попадается цифра 1, напр.:

В первом примере последняя цифра множителя есть 1; поэтому начинаем умножение с низших разрядов, т.-е. с единиц; пришлось бы умножить 724 на 1, отчего получили бы 724, но вместо того, чтобы подписывать еще раз 724 под множимым, мы просто принимаем множимое 724 за запись первого частичного произведения и продолжаем вычисление дальше, пока не найдем окончательно произведение 312 044.

Во втором примере первая цифра множителя есть 1; поэтому начинаем умножение с высших разрядов, т.-е, с сотен; умножая 687 на одну сотню, получаем 687 сотен; вместо того, чтобы подписывать это частичное произведение под множимым, мы опять принимаем запись множимого (687) за первое частичное произведение, но считаем при этом, что оно будет обозначать 687 сотен. Потом под ним подписываем второе частичное произведение — 3 435 десятков, и третье—1 374 единицы, наблюдая при этом, чтобы единицы одинаковых разрядов стояли друг под другом и сложив все. находим 104 424.

Наконец, в третьем примере цифра 1 стоит посреди цифр множителя (и обозначает десятки); множим сначала 322 на 1 десяток, получаем 322 десятка и считаем, что запись множимого (322) будет выражать нам эти 322 десятка; дальше

множим 322 на 6 единиц и на 2 сотни и подписываем эти частичные произведения так, чтобы цифры, изображающие одинаковые разряды, стояли в одном столбце; после сложения находим окончательно 69 552.

Заметим еще следующий упрощенный способ умножения, особенно пригодный для перемножения двух двузначных чисел. Пусть нужно умножить 78 на 36; запишем это таким образом:

Вычисляем так: перемножаем единицы обоих сомножителей (8 X 6), получаем 48; подписываем под единицами 8, а 4 десятка запоминаем, чтобы прибавить их к десяткам. Затем соображаем, что десятки произведения получатся от умножения 7 десятков множимого на 6 единиц множителя, что даст 42 десятка, и еще от умножения 8 единиц множимого на 3 десятка множителя, что даст 24 десятка; всего будет 66 десятков, да еще 4 десятка, которые мы удержали в уме — итого 70 десятков (или 7 сотен); пишем под десятками 0, а 7 сотен запоминаем, чтобы прибавить их к сотням. Сотни же произведения получатся от умножения десятков сомножителей (7 дес. на 3 дес); получаем 21 сотню, да еще 7 сотен в уме — итого 28 сотен. Пишем 8 на месте сотен и 2 на месте тысяч и получаем окончательно 2 808.

Подобным же образом вычислим произведение 69 на 27.

Множим единицы — 9 на 7, получаем 63; 3 единицы пишем, а 6 десятков запоминаем; дальше вычисляем десятки произведения: 6X7 = 42, 2X9 = 18; 42 и 18 — 60, да еще 6 десятков в уме, всего 66 десятков; 6 десятков пишем, а 6 сотен запоминаем; теперь сотни: 6 X 2= 12, да еще 6 сотен в уме, всего 18 сотен; итого получается 1 863.

Этот способ вычисления и записи произведения называется — умножение крестиком, потому, что для вычисления среднего разряда — десятков—приходится перемножать цифры стоящих друг под другом сомножителей крест на крест.

Можно перемножать подобным же способом и трехзначные числа, только действие значительно сложнее, напр.:

Мы определяем здесь по порядку единицы произведения, десятки, сотни и т. д., соображая при этом от перемножения каких разрядов сомножителей получится данный разряд произведения.

Единицы получатся от перемножения единиц сомножителей: 4X8 = 32; 2 единицы пишем, а 3 десятка запоминаем.

Десятки получатся от перемножения десятков с единицами: 5X8 = 40, 3X4=12; 40 и 12 = 52, да еще 3 дес. в уме, всего 55 десятков; 5 дес. пишем, а 5 сотен запоминаем.

Сотни получаются от перемножения сотен с единицами и десятков между собою: 6X8 = 48, 2X4 = 8, 5x3=15; 48 и 8 и 15 = 71, да еще 5 сотен в уме, всего 76 сотен; 6 сотен пишем, а 7 тысяч запоминаем.

Тысячи получатся от перемножения сотен с десятками: 6X3=18, 2X5 = 10; 18 и 10 = 28, да еще 7 тыс. в уме, всего 35 тысяч; 5 тыс. пишем, а 3 десятка тысяч запоминаем. Наконец, десятки тысяч получатся от перемножения сотен: 6 X 2 = 12, да еще 3 дес. тыс. в уме, итого 15 дес. тыс.; пишем 5 на месте десятков тысяч, а 1 слева на месте сотен тысяч и получаем окончательно произведение 155 652.

§ 41. Раздробление именованных чисел. Пусть, напр., нам дана такая задача: В ящике 4 килограмма 200 граммов семян; все эти семена нужно разложить в пачки по 20 граммов в каждой; сколько выйдет таких пачек?

Очевидно, пачек будет столько, сколько раз 20 граммов содержатся в 4 килограммах 200 граммах: рассуждаем так: в килограмме 1 000 граммов, а в 4 килограммах — 4 раза

по 1 000, т.-е. 4 000 граммов, да еще 200 граммов — всего 4 200 граммов; чтобы узнать число пачек, делим 4 200 на 20; получаем 210; столько и будет всех пачек.

Пусть еще нужно узнать, сколько всего секунд в истинном году (год равен 365 сут. 5 час. 48 мин. 46 сек.).

Вычисление располагается таким образом:

Вычисляем так. Прежде всего найдем, сколько будет часов в 365 сутках. В одних сутках 24 часа, а в 365 сутках будет 365 раз по 24 часа, значит надо умножить 24 часа на 365 (для удобства мы множим 365 на 24). Получается 8 760 часов; прибавляем еще 5 часов и имеем всего 8 765 часов.

Теперь узнаем, сколько здесь всего минут. В одном часе 60 минут, а в 8 765 часах будет 8 765 раз по 60 минут — надо 60 минут умножить на 8 765 (для удобства опять множим 8 765 на 60). Получаем 515 900 минут; прибавляем сюда 48 минут и всего находим 515 948 минут.

Наконец, узнаем, сколько всего у нас секунд. В одной минуте 60 секунд, а в 515 948 минутах будет столько же раз по 60 секунд — надо 60 секунд умножить на 515 948 (или для удобства 515 948 на 60). После умножения получаем 30 956 880 секунд; прибавляем сюда еще 46 секунд, а всего имеем 30 956 926 секунд — столько и есть секунд в году.

В этих и других подобных примерах нам приходится обращать более крупные меры в более мелкие — такое вычисление называется раздроблением.

Видим, что раздробление именованных чисел выполняется посредством умножения.

В метрических мерах раздробление настолько просто делается, что может выполняться устно, напр., 4 метра 25 сантиметров = 425 сантиметров, 12 килограммов 70 граммов = 12 070 граммов и т. д.

§ 42. Умножение составного именованного числа (на отвлеченное).

1) Устное умножение. Пусть нам надо умножить 2 килограмма 250 граммов на 8. Выполняем это умножение по частям, начиная с высших мер: 8 раз 2 килограмма — 16 килограммов; 8 раз 250 граммов — 2 000 граммов, или 2 килограмма; всего 16 килограммов да еще 2 килограмма — 18 килограммов. Итак мы нашли, что

2 кило 250 граммов X 8= 18 килограммам.

Можно выполнить такое умножение и постепенно, а именно: умножим 2 килограмма 250 граммов сначала на 4, получим 8 килограммов 1 000 граммов, или же 9 килограммов; теперь это число придется умножить еще на 2, и найдем: 9 килограммов X 2 = 18 килограммам.

2) Письменное умножение. Пусть нам дана задача:

На пальто идет 3 метра 40 сантиметров сукна; сколько нужно сукна на 28 таких пальто?

Для решения этой задачи надо, очевидно, умножить 3 метра 40 сантиметров на 28. Записываем это таким образом:

Выполняем и здесь умножение по частям: множим на 28 сначала 40 сантиметров, потом 3 метра, и подписываем полученные числа под мерами того же названия. Потом приводим полученное составное именованное число (84 метра 1 120 сантиметров) к простейшему виду: узнаем, сколько в 1 120 сантиметрах будет метров; так как в одном метре 100 сантиметров, то в 1120 сантиметрах будет 11 метров

и 20 сантиметров; пишем полсантиметрами эти 20 сантиметров, а 11 метров прибавляем к 84 метрам, и находим окончательно 95 метров 20 сантиметров; столько сукна пойдет на все пальто.

Еще пример: 3 минуты 20 секунд умножить на 288. Пишем так:

Умножим сначала 3 минуты 20 секунд на 288 по частям, начиная с низших мер; получаем 864 минуты 5 760 секунд. Затем узнаем, сколько в 5 760 секундах минут; делим 5 760 на 60 и узнаем, что здесь всего 96 минут. Это число прибавляем к 864 минутам и находим всего 960 минут. Дальше обращаем эти 960 минут в часы; делим 960 на 60 и находим окончательно, что здесь 16 часов.

Мы видим, таким образом, что умножение составного именованного числа совершается обычно по частям, начиная с высших мер при устном умножении, и с низших — при письменном (можно, конечно, и при письменном умножении начинать с высших мер, но по сходству с умножением отвлеченных чисел принято начинать действие с низших мер); после умножения стараемся привести полученное составное именованное число к простейшему виду, обращая, по возможности, более мелкие меры в более крупные.

§ 43. Смысл деления. Пусть нам дана такая задача:

Нужно разложить 36 яблок поровну на 3 тарелки; сколько яблок придется положить на каждую?

Чтобы решить эту задачу, мы должны разделить 36 яблок на 3 равные части. Вычисляем это так: „30 разделить на 3=10; 6 разделить на 3 = 2; 10 да 2 = 12“; значит на каждую часть придется по 12 яблок. Мы

решили эту задачу делением, но если бы и не знали деления, то могли бы найти ответ так: взяли бы из 36 яблок 3 яблока и положили бы их по одному на каждую тарелку, потом взяли бы из оставшихся (33) яблок еще 3 яблока и положили бы на каждую тарелку по второму яблоку; из остальных яблок взяли бы еще 3 и положили бы на каждую тарелку по третьему яблоку и т. д., пока не разложили бы всех 36 яблок; и нашли бы, конечно, что на каждую тарелку придется по 12 яблок.

Если бы теперь нам пришлось обратно найти, сколько яблок лежит на всех тарелках, то мы должны были бы 12 яблок взять 3 раза, и, разумеется, полечили бы прежние 36 яблок. Значит мы искали и нашли здесь такое число (12), которое надо умножить на 3, чтобы получить 36.

Возьмем еще такую задачу:

Из 75 метров полотна нужно изготовить рубашки; на каждую рубашку идет, по 3 метра. Сколько выйдет всего рубашек?

Чтобы решить эту задачу, мы должны разделить 75 метров по 3 метра; это значит узнать, сколько раз в 75 метрах содержатся 3 метра, или: сколько раз надо взять по 3 метра, чтобы вышло 75 метров. Мы вычисляем это так: „3 метра в 60 метрах содержатся 20 раз, да еще в 15 5 раз, а всего в 75-ти 25 раз“; значит, выйдет 25 рубашек. Но если бы мы и не знали деления, то могли бы найти ответ так: отняли бы от 75 метров 3 метра на одну рубашку, затем от оставшихся еще 3 метра на вторую рубашку и т. д., до тех пор, пока ничего не останется; нашли бы тоже, что отнимать от 75 метров по 3 метра можно 25 раз — столько и будет рубашек.

Мы узнавали здесь, сколько раз надо взять по 3 метра, чтобы вышло всего 75 метров, т.-е. мы искали такое число (25), на которое надо умножить 3, чтобы получить 75.

Видим, что смысл деления в обеих этих задачах не совсем одинаков: в первой задаче приходилось делить 36 на 3 рав-

ные части, т.-е. узнавать какое число надо умножить на 3, чтобы получить 36, а во второй задаче нужно было узнать, сколько раз в 75 содержится 3, т.-е. на какое число надо умножить 3, чтобы вышло 75. Но ясно, что и в том и другом случае разделить одно число на другое значит найти такое новое число, которое, будучи перемножено со вторым из данных чисел, дает в результате первое.

Числа, данные для деления, называются: делимое и делитель, а то, которое получаете я—частное. Напр., в первой задаче 36 — делимое, 3 — делитель, а частное—12; во второй—делимое 75, делитель 3 и частное 25.

Деление обозначается в записи знаком : (две точки), напр.: вместо записи 36 разделить на 3=12, пишем сокращенно

36:3=12.

Вместо знака : употребляем и другой знак деления |_,

напр.,

В некоторых книгах знаки |__и : применяются для того, чтобы различить два случая деления, при чем |_ обозначает деление на данное число частей, а знак : деление по содержанию; напр., 75 | 3 обозначает: „75 разделить на 3 равные части“, а 75:3 имеет смысл: „75 разделить по 3“.

Принято также писать и черту в виде знака деления, напр., вместо 8:2 пишут,

Деление, как мы знаем, не всегда возможно; напр., нельзя разделить 72 на 5, потому что нет такого (целого) числа, которое, будучи перемножено с 5-ю, давало бы 72. В таком случае за частное мы принимаем то число, которое, будучи перемножено с делителем, дает в результате число, возможно более близкое к делимому, но не превышающее его; напр.,

в данном случае частным от деления 72 на 5 будет число 14, потому что 14X5 = 70 (а если бы умножили 15 на 5, то получили бы уже 75, т.-е. больше 72). Лишние 2 единицы называются тогда остатком от деления, и мы записываем действие так:

72:5=14 (ост. 2),

или просто:

72:5 = 14 (2)

§ 44. Какие вопросы решаются посредством деления.

Рассмотрим такие задачи:

1) За 6 селедок уплачено 90 копеек. Сколько стоит одна селедка?

Если бы мы знали, сколько стоит 1 селедка, и взяли бы это число 6 раз, то получили бы стоимость всех селедок, т.-е. 90 коп. Значит мы ищем такое число, которое надо умножить на 6, чтобы получить 90; для этого надо 90 коп. разделить на 6 равных частей. Вычисляем так: „60 разделить на 6 = 10; 30 разделить на 6 = 5; 10 и 5=15“; значит селедка стоит 15 коп.

2) Пешеходу надо пройти 48 километров; в каждый час он проходит по 4 километра. Сколько часов ему понадобится на всю дорогу?

Пешеход будет итти столько часов, сколько раз 4 километра содержатся в 48 километрах, т.-е. мы должны найти, сколько раз надо взять по 4, чтобы вышло 48. Вычисляем так: „4 в 40 содержится 10 раз, в 8 — 2 раза, 10 да 2— 12“; значит на всю дорогу пешеходу понадобится 12 часов.

3) Высота одной сосны 39 метров, а другой в 3 раза меньше. Какова высота второй сосны?

В 3 раза меньше — это значит: высота второй сосны такова, что если взять ее 3 раза, то она была бы одинаковой высоты с первой. Значит, чтобы найти высоту второй сосны, нужно разделить высоту первой—39 метров — на 3 равные части. Вычисляем: „30 разделить на 3=10, 9 разделить на 3 = 3; 10 и 3=13“. Итак, высота второй сосны = 13 метров.

4) Пешеход идет от деревни до города 12 часов, а верховой проезжает ту же дорогу в 2 раза скорее. Сколько часов нужно верховому на этот путь?

В 2 раза скорее — это значит, что на ту же дорогу верховой затрачивает в 2 раза меньше времени, чем пешеход. По предыдущему, надо, значит, разделить 12 час. на 2, и найдем, что всадник затрачивает на всю дорогу 6 часов.

5) В одном куске полотна 45 метров, а в другом 15. Во сколько раз первый кусок больше второго?

Узнать, во сколько раз первый кусок больше второго — это значит найти, сколько раз надо взять число метров второго куска (15), чтобы вышло столько же метров полотна, как и в первом (45). Для этого мы должны разделить 45 на 15, будет 3 раза; значит первый кусок в 3 раза больше второго (а второй—в 3 раза меньше первого).

Видим, что при помощи деления решаются все вопросы, по смыслу которых нужно разделить (разложить) данное число на несколько равных частей, или уменьшить число в несколько раз, или узнать, сколько раз одно число содержится в другом, или, наконец, найти, во сколько раз одно число больше или меньше другого.

§ 45. Основные свойства деления. 1) Деление суммы. Пусть, напр., нам нужно разделить 52 на 4. Мы вычисляем это так: „49 разделить на 4 = 10; 12 разделить на 4 = 3; 10 да 3=13“; значит 52:4 = 13. Мы представляем себе здесь 52 как сумму двух слагаемых, и делим на 4 сначала первое слагаемое (40), потом второе (12), a затем складываем полученные числа.

Пусть еще дано разделить 936 на 3. Мы вычисляем это так: „900 разделить на 3 = 300; 30 разделить на 3 = 10; 6 разделить на 3=2; 300 да 10 да 2=312“; значит 936:3 = 312. И здесь мы представляем себе 936 как сумму трех слагаемых (900 + 304-6), делим на 3 каждое слагаемое отдельно и полученные числа складываем.

И вообще, если мы делим число, которое можно представить в виде суммы нескольких слагаемых, то мы можем выполнить это деление по частям: разделить сначала первое слагаемое, потом второе и т. д., и, наконец, сложить все полученные числа. Короче: вместо того, чтобы делить сумму нескольких чисел сразу, мы можем разделить каждое слагаемое отдельно, а потом полученные числа сложить.

Этим свойством деления мы пользуемся постоянно при делении многозначных чисел, как устном, так и письменном.

2) Деление разности. Пусть надо разделить 792 на 4. Мы можем вычислить это так: вместо того, чтобы делить 792 на 4, разделим 800 на 4; получим 200. Но при этом мы взяли для деления лишних 8 единиц (800—792); эти лишние 8 единиц мы тоже разделили вместе с другими на 4 части, значит на каждую часть пришлось по 2 лишних единицы. Чтобы найти правильный ответ, нужно теперь эти 2 лишние единицы отнять от 200; получим 198. Значит

792:4=198.

Мы представили здесь делимое 792 как разность двух чисел: 800 — 8 и делили отдельно уменьшаемое 800 и вычитаемое 8 на 4, а затем из первого полученного числа вычли второе.

На основании таких примеров заключаем следующее вместо того, чтобы делить разность двух чисел сразу, мы можем разделить отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом полученные числа вычесть.

3) Деление произведения. Пусть нам дано разделить 360 на 3. Мы рассуждаем так: 360 все равно, что 36 десятков; разделим 36 десятков на 3, получим 12 десятков, или 120; значит 360:3 = 120.

Каков смысл этого приема? Мы представили здесь делимое 360 как 36 десятков, или как произведение чисел 36 и 10:

360 = 36-10,

разделили затем первого сомножителя 36 на 3 и полученное число (12) умножили на 10; вышло 120.

Разделим еще 6 500 на 5. Очевидно, 6 500 все равно что 65 сотен: разделив 65 сотен на 5, имеем 13 сотен, или 1 300; значит 6 500:5=1 300.

И здесь мы представили себе 6 500 как произведение двух сомножителей: 65 и 100; разделили первого сомножителя 65 на 5, полученное число (13) ужножили на 100; получили 1 300.

На основании таких вычислений можем заключить следующее: вместо того, чтобы сразу разделить произведение на какое-либо число, мы можем разделить на это число одного из сомножителей, а затем полученное число умножить на другого сомножителя (или постепенно на всех других, если их несколько).

4) Деление на произведение. Возьмем такой пример: разделить 180 на 12. Будем делить это число не сразу, а постепенно: разделим сначала 180 на 3 чя.сти, получим 60, потом разделим 60 еще на 4 части, получим 15. Но если мы разделим данное число (180) сначала на 3 равных части, а потом каждую из этих частей еще на 4 части, то всего мы разделим данное число на 12 частей, и значит 180:12 = 15.

Мы представили себе здесь делителя 12 как произведение 3.4 и разделили данное число 180 сначала на первого сомножителя 3, а полученное число на второго сомножителя 4.

Разделим еще 736 на 8. Можем вычислить это так: разделим данное число 736 сначала на 2, потом полученное число (368) еще на 2, и, наконец, новое полученное число (184) опять на 2; найдем после этого 92, значит 736:8 = 92.

И здесь мы представили делителя 8 как произведение 2.2.2 и делили данное число постепенно на всех сомножителей.

И вообще заключаем следующее: вместо того, чтобы делить какое-либо число сразу на произведение нескольких чисел, мы можем разделить его постепенно: сначала на первого сомножителя, потом полученное число на второго сомножителя, новое полученное число на третьего и т. д.

§ 46. Таблица деления. Если нас спросят, сколько будет 9:3 или 56:8, то мы сразу говорим ответ—в первом случае 3, а во втором 7. Мы знаем это потому, что помним наизусть все те случаи деления, когда от деления двух однозначных чисел или двузначного на однозначное получается однозначное число без остатка. Если бы мы забыли какое-нибудь из этих частных, то нашли бы его или по соображению (непосредственным отниманием) или делением постепенным, либо по частям. Напр., деля 9 на 3, рассуждали бы так: надо узнать, сколько троек в 9; две тройки составят 6, а три тройки — 9, значит 9:3 = 3. Вычисляя 56:8, разделили бы 56 сначала на 2, полученное число (28) снова на 2, и вновь полученное число (14) еще на 2, и нашли бы, что 56:8 = 7. Наконец, вычисляя 42:6, могли бы рассуждать так: 30 разделить на 6 = 5, 12 разделить на 6 = 2; 5 да 2 = 7, значит 42:6 = 7. Так мы и вычисляли в свое время, когда учились делению в пределах первой сотни, пока не запомнили незаметно наизусть все эти частные, составляющие так называемую таблицу деления.

Вот эта таблица:

Эта таблица, очевидно, получается прямо из таблицы умножения. Мы помним наизусть все эти частные затем, чтобы с помощью их легко и безошибочно выполнять деление многозначных чисел, как это будет видно в дальнейшем.

§ 47. Деление многозначного числа на однозначное. 1) Устное деление. В большинстве случаев мы делим устно с помощью деления по частям, начиная действие с высших разрядов. Напр., если нужно разделить 96

на 3, вычисляем так: 90 разделить на 3 = 30, 6 разделить на 3 = 2; 30 и 2 = 32; значит 96:3 = 32.

Подобным же образом делим 852 на 4: „800 разделить на 4 = 200, 40 на 4=10, 12 на 4 = 3; 200 да 10 да 3 = 213“; значит 852:4 = 213.

Еще пример: разделим 100 на 7. Вычисляем так: „70 разделить на 7 = 10, 30 разделить на 7 = 4 и в остатке 2“; значит 100:7=14 (ост. 2).

Если делимое кончается нулями, то нередко бывает удобно представлять его себе в виде произведения; например, деля 4 200 на 7, мы делим 42 на 7 и полученное частное 6 умножаем на 100; имеем 4 200:7 = 600.

Иногда бывает удобно применить и постепенное деление, например, при делении на 4, 6 или 8; наконец, иногда частное определяется просто подысканием по таблице умножения; например, вычисляя частное 60:8, ищем, сколько раз надо взять 8, чтобы вышло 60 или около того; припоминаем, что 7 раз 8 = 56, значит 60:8 = 7 (ост. 4).

2) Письменное деление. Пусть нужно разделить 8 561 на 7. Записываем это так:

Выполняем деление по частям, начиная с высших разрядов (как и при устном делении). Рассуждаем так: если 8 тысяч разделить на 7 равных частей, то на каждую часть придется по 1 тысяче, и еще 1 тысяча останется неразделенной. Пишем в частном 1 (тысячу), а оставшуюся 1 тысячу подписываем под делимым — под цифрою тысяч. Узнаем теперь, сколько еще сотен придется на каждую часть; у нас осталась 1 тысяча, т.-е. 10 сотен, да еще 5 сотен, — всего 15 сотен (списываем из делимого цифру сотен 5 к оставшейся 1 тысяча); если 15 сотен разделить на 7 равных частей, то на каждую часть придется по 2 сотни, и еще 1 сотня останется неразделенной. Пишем в частном 2 (сотни),

а оставшуюся 1 сотню подписываем под делимым — под цифрою сотен. Теперь надо узнать, сколько еще десятков придется на каждую часть; у нас осталась 1 сотня, т.-е. 10 десятков, да еще есть 6 десятков, итого 16 десятков (списываем из делимого цифру 6 к остатку 1); если эти 16 десятков разделим на 7 равных частей, то на каждую часть придется по 2 десятка, и еще 2 десятка останутся неразделенными. Пишем в частном 2 (десятка), а оставшиеся 2 десятка подписываем под делимым — под цифрою десятков. Теперь остается еще узнать, сколько придется единиц на каждую часть: у нас остались 2 десятка, да еще в делимом есть 1 единица, всего 21 единица (списываем цифру 1 к остатку 2); делим эти 21 единицу на 7 равных частей, получаем на каждую часть ровно по 3 единицы; пишем эти 3 единицы в частном и получаем полное частное 1 223.

Еще пример: пусть дано разделить 58 667 на 9.

Рассуждаем так: если делить 5 десятков тысяч на 9 равных частей, то на каждую часть не придется ни одного десятка тысяч; поэтому будем узнавать, сколько на каждую часть придется тысяч. Делим 58 тысяч на 9 равных частей; придется на каждую часть по 6 тысяч, и еще 4 тысячи останутся неразделенными. Пишем в частном 6 (тысяч), а оставшиеся 4 тысячи подписываем под делимым. Обращаем эти 4 тысячи в сотни,—будет 40 сотен, да еще 6 сотен в делимом, итого 46 сотен (списываем из делимого 6 сотен к 4 тысячам). Делим эти 46 сотен на 9 равных частей, получаем на каждую часть по 5 сотен, и еще 1 сотню в остатке. Пишем в частном 5 (сотен), а оставшуюся 1 сотню — под делимым; эта сотня составит 10 десятков, да еще 6 десятков в делимом, итого 16 десятков (списываем из делимого цифру 6 к остатку). Если эти 16 десятков разде-

лить на 9 одинаковых частей, то придется на каждую часть по 1 десятку, и еще 7 десятков в остатке; пишем в частном 1 (десяток), а остаток 7 (десятков) под делимым. Эти 7 десятков вместе с 7 единицами делимого дают 77 единиц; делим эти 77 единиц на 9 равных частей, получаем в каждой части 8 единиц и еще остаток 5. Пишем эти 8 единиц в частном и находим окончательно частное 6 518 с остатком 5.

Заслуживают особого внимания случаи, когда в частном не оказывается вовсе единиц какого-нибудь разряда; тогда на соответствующем месте надо ставить 0.

Пусть, например, нам дано разделить 4 214 на 7

Делим 42 сотни на 7 равных частей, получаем 6 сотен; потом приходится делить 1 десяток на 7 равных частей, и видим, что на каждую часть не придется ни одного десятка: поэтому пишем в частном на месте десятков 0, а оставшийся десяток обращаем в единицы и присоединяем к нему еще 4 единицы из делимого; получаем 14 единиц, делим их на 7 равных частей и видим, что на каждую часть придется по 2 единицы без остатка; таким образом, получаем частное 602.

Еще пример: разделим 5 202 на 8.

Делим 52 сотни на 8 равных частей, находим 6 сотен и 4 сотни в остатке; это будет 40 десятков. Делим их на 8 равных частей, получаем 5 десятков. Остаются еще 2 единицы, и видим, что при делении их на 8 равных частей на каждую часть не придется ни одной единицы; поэтому в частном на месте единиц надо написать 0, и имеем частное 650 с остатком 2.

Обращаем внимание на то, что деление, в отличие от других действий, мы начинаем как при устном, так и при письменном вычислении с высших разрядов.

§ 48. Деление многозначного числа на многозначное.

1) Устное деление. Рассмотрим сначала случаи, когда делителем будет число 10, 100, 1000 и т. д., вообще число, изображаемое единицей с нулями.

Пусть нам нужно разделить 130 на 10; это все равно, что найти, сколько раз надо взять 1 десяток, чтобы вышло 13 десятков; ясно, что получим 13.

Разделим теперь 4 700 на 100. Это все равно, что найти, сколько раз надо взять 1 сотню, чтобы вышло 47 сотен получаем, конечно, 47.

Пусть еще дано разделить 675 на 100. Это значит — найти, сколько раз надо взять 1 сотню, чтобы получить 6 сотен с лишним; ясно, что надо 1 сотню взять 6 раз, а лишнее, т.-е. 75 единиц, будет остатком.

Еще пример: разделим 23 034 на 1 000. Мы должны здесь узнать, сколько раз 1 тысяча содержится в 23 тысячах с лишним, — очевидно, 23 раза; а лишние, т.-е. 34 единицы, будут остатком.

Выпишем теперь полученные результаты под ряд:

Видим отсюда, что при делении числа на 10, 100, 1 000 и т. д. достаточно сообразить, сколько в данном числе единиц того разряда, на который мы делим; это число и будет частным, а если, сверх того, есть излишек, то он останется в остатке.

Подобным же образом можем рассуждать и при делении на 20, 300, 5 000,... вообще на число, изображаемое одной (значащей) цифрой с последующими нулями.

Пусть, например, нужно разделить 840 на 20; это все равно, что узнать, сколько раз 2 десятка содержатся в 84 десятках, а для этого надо разделить 84 на 2; получим 42

Таким образом, мы нашли, что

840:20 = 42.

Чтобы яснее показать, что мы здесь делили, собственно говоря, десятки на десятки, записывают это так:

84,0:2'0 = 42.

Пусть нужно разделить 2 400 на 300; это все равно, что узнать, сколько раз 3 сотни содержатся в 24 сотнях: получаем 8:

24'00:3'00 = 8.

Пусть теперь надо разделить 1 543 на 300. Это все равно, что узнать, сколько раз надо взять 3 сотни, чтобы вышло 15 сотен с лишним; очевидно, придется взять 3 сотни 5 раз, и выйдет ровно 15 сотен, а лишнее — 43 единицы будет остатком. Таким образом, имеем:

Разделим еще 32 076 на 5 000. Это все равно, что узнать, сколько раз 5 тысяч содержатся в 32 тысячах с лишним; очевидно, это будет 6 раз, а 2 тысячи с лишним, т.-е. 2076, останутся в остатке. Итак мы получаем:

2) Письменное деление. Пусть дано разделить 576 на 72. Нетрудно сообразить, что частное должно быть однозначным, т. е. меньше 10 (так как 10 раз 72 будет уже 720); постараемся теперь найти, сколько раз надо взять 72, чтобы вышло 576.

Соображаем это так: 72 — это 7 десятков с лишним, а 576 — 57 десятков с лишним; значит 72 содержится в 576 приблизительно столько же раз, сколько 7 десятков содержатся в 57 десятках. Это будет 8 раз (так как 7X8 = 56);

остается теперь проверить, действительно ли это число будет искомым частным.

Для этого надо делителя 72 взять 8 раз и посмотреть, выйдет ли 576; умножаем 72 на 8 и находим действительно 576 (подписываем это проверочное произведение под делимым); значит 576:72 = 8.

Разделим еще 4 887 на 693. И здесь частное должно быть однозначным (так как 10 раз 693 будет 6 930, а это больше делимого). Значит надо теперь сообразить, сколько раз взять 693, чтобы вышло 4 887. Соображаем, что 693 — это почти 7 сотен, а 4 887 — около 49 сотен; значит 693 содержится в 4 887 приблизительно столько же раз, как 7 сотен в 49 сотнях, т.-е. 7 раз.

Проверим это: если взять 7 раз 693, то получаем 4 851; значит от деления будет остаток; его найдем, вычитая 4 851 из 4 887, получим 36. Таким образом имеем 4 887:693 = 7 (ост. 36).

До сих пор мы брали такие случаи, когда делитель был близок к круглому числу (72 — это 7 десятков с небольшим, или приблизительно 7 десятков; 693 — почти 7 сотен); обратимся теперь к случаям, когда это будет иначе.

Разделим 210 на 35.

Видим, что в делимом 21 десяток, а в делителе — между 3 и 4 десятками; в 21 десятке 3 десятка содержались бы 7 раз, а 4 десятка — 5 раз (с остатком). Поэтому можем думать, что делитель 35 содержится в 210 меньше 7 раз, но

больше 5 раз, — т.-е. 6 раз. Проверяем это: взяв 6 раз 35, находим как раз 210; значит 210:35 = 6. Еще пример: разделим 1 000 на 146.

Видим, что в делимом 10 сотен, а в делителе — между 1 и 2 сотнями; в 10 сотнях 1 сотня содержалась бы 10 раз, а 2 сотни — 5 раз. Значит, по всей вероятности, делитель 146 содержится в делимом 1 000 меньше 10 раз, но больше 5 раз. Возьмем число 7, приблизительно среднее между 10 и 5; проверим, не будет ли 7 искомым частным. Умножив 146 на 7, получаем 1 022; это слишком много, значит предположенное нами частное 7 слишком велико, и надо испробовать число 6 (неподходящее частное 7 и произведение 1 022 заключаем для ясности в скобки). Умножив 146 на 6, находим 876 и в остатке 124; значит 1 000:146 = 6 (ост. 124).

Рассмотрим теперь случаи, когда в частном будет более одной цифры; разделим, напр., 7 634 на 22.

Частное более 10 (так как 10 раз 22 было бы 220); поэтому деление надо выполнять по частям.

Если бы мы стали делить 7 тысяч на 22 равных части, то на каждую часть не придется ни одной тысячи; поэтому надо взять сотни нашего числа (76 сотен) и их делить на 22 равных части. От деления 76 сотен на 22 выйдет приблизительно столько же сотен, как и от деления 7 на 2, т.-е. 3; пишем в частном 3 сотни и умножаем их на 22, чтобы узнать, сколько всего мы разделили сотен; получим 66. Отнимем эти 66 сотен из 76 сотен делимого, найдем в остатке

10 сотен; их обращаем в десятки и присоединяем еще 3 десятка из делимого; всего выходит 103 десятка. Делим эти 103 десятка на 22 равных части; получим приблизительно столько же десятков, как и от деления 10 на 2, т.-е. 5; но если взять на каждую из 22 частей по 5 десятков, то нужно было бы иметь 5-22, т.-е. 110 десятков; это слишком много, значит на каждую часть придется по 4 десятка (пишем 4 десятка в частном), а на все части вместе — 88 десятков; остаток будет 15 десятков, а вместе с 4 единицами делимого— 154 единицы. Делим их на 22 равных части, получим на каждую часть приблизительно столько же единиц, как и от деления 15 на 2, т.-е. 7; умножаем 7 единиц на 22, выходит 154; значит остатка нет, и 7634:22 = 347.

Разделим еще 4 300 886 на 5 837.

Делим сначала 43 008 сотен на 5 837 равных частей; должны получить приблизительно столько сотен, как и от деления 43 на 6, т.-е. 7; множим 7 сотен на 5 837, получаем 40 859 сотен и вычитаем их из делимого; остаток 2 149 сотен обращаем в десятки и присоединяем к ним 8 десятков из делимого. Полученные 21 498 десятков делим на 5 837 равных частей (или вместо того приблизительно 21 на 6), находим в частном 3 десятка; умножаем 3 десятка на 5 837, будет 17 511 десятков, и вычитаем их из делимого. Остаток 3 987 десятков обращаем в единицы, присоединяем 6 единиц из делимого и делим 39 876 единиц на 5 837 равных частей (или вместо того приблизительно 40 на 6). Получается на каждую часть 6 единиц и в остатке 4 854. Итак имеем:

Если в частном не окажется единиц какого-нибудь разряда, то нужно следить за тем, чтобы на этом месте была написана цифра 0. Например, пусть нужно разделить 63 101 на 89.

Делим сначала 631 сотню на 89, получаем 7 сотен на каждую часть и в остатке 8 сотен; затем придется делить 80 десятков на 89, и видим, что на каждую из частей не придется ни одного десятка; пишем поэтому в частном на месте десятков 0; потом делим 801 единицу на 89, получаем ровно 9 единиц; искомое частное = 709.

Еще пример: разделим 126 007 на 434.

В этом примере получаем в частном сначала 2 сотни, потом 9 десятков; остается еще 14 десятков, которые вместе с 7 единицами делимого дают 147 единиц; эти 147 единиц мы должны разделить на 434 части и видим, что на каждую часть не придется ни одной единицы; поэтому пишем в частном на месте единиц 0 и получаем частное 290:

126 007:434 = 290 (ост. 147).

§ 49. Превращение именованных чисел. Пусть нам надо узнать сколько суток в 2 039 040 секундах. Вычисляем так:

Сначала узнаем, сколько будет в 2 039 040 секундах минут; их будет столько, сколько раз 60 секунд содержатся в 2 039 040 секундах; выполнив деление, находим 33 984 (минуты). Это число минут обращаем в часы—узнаем, сколько раз в 33984 минутах содержатся 60 минут. После деления получаем 566 (часов); чтобы обратить их в сутки, узнаем, сколько раз здесь содержатся 24 часа; находим всего 23 суток и 14 часов, и окончательно имеем, что 2 039 040 секунд равны 23 суткам 14 часам 24 минутам.

В этих вычислениях мы обращали меры низшего разряда в высшие; такое вычисление наз. превращением. Видим, что превращение именованных чисел выполняется при помощи деления.

В метрических мерах превращение может выполняться устно; напр., чтобы узнать, сколько километров в 23 340 метрах, достаточно сообразить, сколько в указанном числе тысяч, и мы получаем 23 километра 340 метров. Подобным же образом узнаем, сколько гектолитров в 8 670 литрах; для этого достаточно сообразить, сколько в указанном числе сотен, и мы имеем 86 гектолитров 70 литров.

§ 50. Деление именованных чисел.

1) Устное деление. Решим такую задачу:

В неделю часы ушла вперед на 10 минут 30 секунд; на сколько они уходят вперед ежедневно?

Ясно, что для решения этой задачи придется разделить 10 минут 30 секунд на 7. Выполняем это деление по частям, начиная с высших мер: делим 10 минут на 7, получаем на каждую часть 1 минуту и в остатке 3 минуты; эти 3 минуты все равно, что 180 секунд, да еще у нас есть 30 се-

кунд,— всего 210 секунд; разделив их на 7, находим 30 секунд; значит, всего получится в частном 1 минута 30 секунд. Итак мы получаем:

10 минут 30 секунд:7=1 минута 30 секунд.

Решим другой вопрос: На детскую кофточку идет 1 метр 70 сантиметров ситца. Сколько выйдет таких кофточек из 17 метров?

Очевидно, кофточек выйдет столько, сколько раз 1 метр 70 сантиметров содержатся в 17 метрах, т.-е. нужно разделить 17 метров на 1 метр 70 сантиметров. Для ответа на этот вопрос мы должны сначала выразить оба числа в одинаковых мерах — в сантиметрах: 17 метров — это 1 700 сантиметров, а 1 метр 70 сантиметров —170 сантиметров. Теперь видим, что в 1 700 сантиметрах 170 сантиметров содержатся 10 раз, значит, кофточек выйдет всего 10. Записывается это деление так:

17 м: 1 м 70 см=1 700 см:\70 см= 10.

Иногда можно в подобных случаях определить частное по догадке, не обращая обоих заданных чисел в одинаковые меры. Пусть, напр., нужно разделить 10 метров 10 сантиметров на 2 метра 2 сантиметра; здесь очевидно, что делитель содержится в делимом ровно 5 раз; значит: 10 м 10 см:2 м 2 см = 5.

2) Письменное деление. Здесь мы имеем дело с теми же двумя случаями, что и при устном делении, и способ выполнения письменного деления не различается от устного. Рассмотрим соответствующие задачи.

Из 208 метров сукна сделали 64 одинаковых пальто. Сколько сукна идет на каждое пальто?

Вычисляем так: делим 208 метров на 64, получаем 3 метра на каждую часть и в остатке 16 метров; эти 16 метров обращаем в сантиметры и получаем 1 600 сантиметров; их делим снова на

64, получается на каждую часть 25 сантиметров без остатка. Значит, на каждое пальто пошло 3 метра 25 сантиметров.

Еще пример: 5 часов 35 минут 45 секунд разделить на 79.

Рассуждаем так: если 5 часов делить на 79 равных частей, то на каждую часть не придется ни одного часа; поэтому обращаем 5 часов в минуты (множим 60 минут на 5) и к полученным 300 минутам прибавляется 35 минут из делимого; получаем 335 минут, которые и делим на 79; придется на каждую часть по 4 минуты и еще останутся неразделенными 19 минут; обращаем их в секунды, имеем 1 140 секунд, и еще 45 секунд в делимом, всего 1 185 секунд; делим эти 1 185 секунд на 79 и получаем 15 секунд без остатка; следовательно, искомое частное равно 4 минуты 15 секунд.

Возьмем теперь такую задачу:

Длина окружности колеса 2 метра 25 сантиметров. Сколько раз оно может обернуться на протяжении 9 километров?

Здесь нужно узнать, сколько раз 2 метра 25 сантиметров содержатся в 9 километрах, а для этого придется сперва обратить 9 километров и 2 метра 25 сантиметров в одинаковые меры, именно в сантиметры, и разделить полученные числа друг на друга. Очевидно, 9 километров равны 9 000 метров, или 900 000 сантиметров; а 2 метра 25 сантиметров = 225 сантиметрам; поэтому имеем:

Таким образом колесо обернется на данном протяжении 4 000 раз.

Итак видим, что деление именованного числа может иметь двоякий смысл: либо мы делим именованное число на несколько равных частей (на отвлеченное число) и тогда выполняем это деление по частям, начиная с высших мер; либо мы делим два именованных числа друг на друга, т.-е. узнаем, сколько раз одно число содержится в другом, и при этом почти всегда приходится обращать данные числа в одинаковые меры и потом соображать, сколько раз надо взять второе число, чтобы получить первое.

§ 51. Изменения произведения и частного. Упрощенные приемы умножения и деления. Возьмем произведение каких-либо двух сомножителей, напр., 15 и 6; будем увеличивать одного из сомножителей в несколько раз и посмотрим, как будет от этого изменяться произведение.

Мы имеем произведение

15.6 = 90.

Увеличим первого сомножителя в 2 раза, получим

30.6=180.

Видим, что и произведение увеличилось при этом тоже в 2 раза. Теперь возьмем прежнее произведение

15.6 = 90

и увеличим первого сомножителя в 6 раз; будем иметь

90.6 = 540,

т.-е. и произведение увеличилось при этом в 6 раз. Возьмем снова прежнее произведение

15.6 = 90

и увеличим второго сомножителя в 5 раз; найдем

15.30 = 450,

т.-е. и произведение увеличилось при этом в 5 раз.

Какие бы числа мы ни брали для умножения, и во сколько бы раз ни увеличивали одного из сомножителей, мы можем заметить следующее: если одного из сомножителей

увеличить во сколько-нибудь раз, то и произведение увеличится во столько же раз. И это будет справедливо и тогда, когда сомножителей будет не два, а больше.

Этим свойством произведения мы можем пользоваться для упрощения вычислений, напр., при умножении на 5 и 25.

Пусть, напр., нужно умножить 42 на 5; умножаем вместо этого 42 на 10, получаем 420; но при этом мы увеличили сомножителя 5 в 2 раза, значит и все произведение увеличилось тоже в 2 раза; для того, чтобы получить верное произведение, нужно полученное число 420 уменьшить в 2 раза и найдем 210.

Подобным же образом, умножая 44 на 25, умножим вместо того 44 на 100; это будет 4 400. Но мы увеличили здесь второго сомножителя 25 в 4 раза; значит и произведение получилось в 4 раза больше истинного; чтобы найти истинное произведение, надо 4 400 уменьшить в 4 раза, и получим 1 100.

Возьмем теперь прежний пример умножения

15.6 = 90

и будем уменьшать одного из сомножителей в несколько раз, напр., уменьшим первого сомножителя в 3 раза; получим

5.6 = 30,

т.-е. и все произведение уменьшилось при этом в 3 раза.

Если мы уменьшим второго сомножителя в 2 раза, то вместо прежнего произведения

15.6 = 90

будем иметь

15.3 = 45,

т.-е. и все произведение уменьшится в 2 раза.

Итак, если одного из сомножителей уменьшить в несколько раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.

Легко теперь сообразить, что будет с произведением, если мы одного из сомножителей увеличим в несколько раз, а другого уменьшим во столько же раз. И произведение тогда сначала увеличится в это число раз, а потом уменьшится во столько же раз; значит, оно останется без изменения.

Напр., если в нашем произведении

15.6 = 90

мы увеличим первого сомножителя в 3 раза, а второго уменьшим в 3 раза, то найдем

45.2 = 90,

т.-е. произведение не изменяется.

Этим выводом мы пользуемся иногда для упрощения умножения; пусть, напр., нам задано перемножить

16.6.25;

мы знаем, что произведение не изменится, если мы первого сомножителя (16) уменьшим в 4 раза, а последнего (25) увеличим в 4 раза; тогда мы будем иметь вместо нашего произведения такое:

4.6.100,

и теперь нетрудно высчитать, что оно равно 2 400. Возьмем теперь частное каких-либо двух чисел, напр.

72:6=12,

будем увеличивать (или уменьшать) делимое в несколько раз и посмотрим, как будет от этого изменяться частное. Увеличим делимое 72 в 2 раза; получим

144:6 = 24,

значит и частное увеличилось в 2 раза. Возьмем теперь прежнее частное

72:6=12

и увеличим делимое в 5 раз; найдем

360:6 = 60,

т.-е. и частное увеличилось тоже в 5 раз.

На основании подобных примеров заключаем следующее: если делимое увеличить в несколько раз, то и частное увеличится во столько же раз.

Подобным же образом можно убедиться и в том, что если делимое уменьшить в несколько раз, то и частное уменьшится во столько же раз.

Возьмем теперь снова прежнее частное

72:6=12

и будем изменять делителя; увеличим его в 2 раза:

72:12 = 6.

Видим, что частное уменьшилось при этом в 2 раза. Возьмем опять прежнее частное

72:6 = 12

и увеличим делителя в 3 раза; будем иметь

72:18 = 4,

следовательно частное уменьшилось тоже в 3 раза.

На основании таких вычислений заключаем, что если делителя увеличить в несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз.

Подобным же образом установим и то, что если делителя уменьшить в несколько раз, то частное увеличится во столько же раз.

Нетрудно видеть теперь, что сделается с частным, если делимое и делителя одновременно увеличить (или уменьшить) в одинаковое число раз; частное тогда сначала увеличится в это число раз, а потом уменьшится во столько же раз (или наоборот), значит, оно останется без изменения.

Напр., если мы возьмем наше частное

72:6=12

и увеличим делимое и делителя в 10 раз, то получим

если в том же примере

72:6= 12

мы уменьшим делимое и делителя в 3 раза, то будем иметь

24:2 = 12

и видим, что частное в обоих случаях не изменилось.

Пользуясь найденными свойствами частного, мы можем нередко упрощать вычисления, напр., при делении на 5 и 25.

Пусть нужно разделить 310 на 5. Разделим вместо этого 310 на 10, будем иметь 31. Но мы увеличили здесь делителя в 2 раза, значит, и это частное в 2 раза меньше истинного, и чтобы найти верное частное, надо умножить 31 на 2; получаем 62.

Пусть дано разделить 1 900 на 25. Разделим вместо того 1 900 на 100; найдем 19. Но мы увеличили здесь делителя в 4 раза; значит, и частное 19 в 4 раза меньше истинного, и чтобы получить верное частное, мы должны увеличить 19 в 4 раза; получим 76.

Свойство же неизменяемости частного применяется нередко при делении чисел, оканчивающихся нулями. Пусть, напр., нужно разделить 9 000 на 600; частное не изменится, если делимое и делителя уменьшить в 100 раз, а тогда нам придется разделить 90 на 6, и получим 15. Итак

9 000:600 = 90:6= 15.

Можно записать это и так:

90'00:6,00= 15.

Еще подобный пример: разделим 56 000 на 7 000. Уменьшаем делимое и делителя в 1 000 раз и делим 56 на 7 (от этого частное не изменится); получаем 8:

56 000:7 000 = 56:7 = 8. Можно записать это и так:

Из таких примеров выводим следующее заключение: если делимое и делитель оканчиваются нулями, то можно откинуть у них поровну нулей, и частное при этом не изменится, потому что и делимое и делитель уменьшатся в одинаковое число раз.

Следует иметь в виду при этом, что все наши выводы об изменениях частного установлены только для того случая, когда деление совершается без остатка, а если остаток есть, то выводы не всегда остаются в силе. Например, при делении 11 на 5 имеем частное 2 и остаток 1; если же мы увеличим делимое в 10 раз, то от деления 110 на 5 будем иметь в частном не 20, а 22 (без остатка).

§ 52. Проверка умножения и деления. 1) Проверка умножения делается обыкновенно так: мы знаем, что от перемены порядка сомножителей произведение не меняется, поэтому для проверки умножения перемножаем тех же сомножителей в другом порядке, и, если получается прежнее произведение, то заключаем, что действие сделано верно.

Пусть, например, нам дано перемножить 874 и 653:

Умножая 874 на 653, мы получаем 570 722; для проверки умножаем еще 653 на 874, получаем то же самое произведение; значит, вычисление, по всей вероятности, сделано верно. Точно так же мы можем поступать и при перемножении нескольких сомножителей.

Мы указали, как проверяется умножение умножением, но можно проверять его и делением. Если, напр., разделить полученное нами произведение 570 722 на одного из сомножителей, хотя бы на 653, то мы должны получить другого сомножителя 874 (потому что мы нашли, что 874, будучи умножено на 653, дает 570 722).

Проверим это:

После деления на одного сомножителя получаем действительно другого сомножителя; поэтому можем заключить, что вычисление сделано верно.

2) Проверка деления. Рассмотрим сначала деление без остатка. Пусть нам дано разделить 39 498 на 87.

Выполнив деление, мы получили 454, но по смыслу деления мы искали такое число, которое, будучи умножено на 87, давало бы 39 498; поэтому, если только действие сделано верно, то перемножив 454 и 87, мы должны получить 39 498.

Так как после умножения получили действительно 39 498, то деление, надо думать, сделано верно.

Итак, для проверки деления мы перемножаем частное с делителем и должны получить делимое.

Мы проверяли деление умножением, но можно проверять его и делением. В самом деле, мы видели, что, перемножая частное (454) и делителя (87), получим делимое (39 498); отсюда ясно, что если делимое (39 498) разделить на частное (454), то мы должны получить делителя (87):

Так оно и будет (см. вычисление); поэтому заключаем, что мы разделили верно. Видим, что и умножение и деление можно проверять как тем же самым действием, так и обратным.

Если при делении получается остаток, то проверка несколько сложнее.

Пусть, напр., нам дано разделить 100 000 на 774:

Мы получили в частном 129 и в остатке 154. Это значит что после деления на 774 остаются от делимого еще лишние, неразделенные единицы; если их откинуть от делимого, то полученное число делилось бы уже на 774 без остатка и давало бы в частном 129. Поэтому для проверки деления с остатком мы можем выбрать одно из двух: во-первых, перемножить делитель (774) и частное (129) и к полученному числу прибавить остаток (154), после чего должны получить делимое (100000): или, во-вторых, из делимого отнять остаток и полу-

ченное число разделить на делителя (или на частное); должно получиться прежнее частное (или делитель).

Проверяем это:

Очевидно, вычисления верны.

ОТДЕЛ V.

Измерение площадей и объемов в связи с необходимыми сведениями из геометрии.

§ 53. Как мы сравниваем площади и объемы. Пусть, напр., у нас есть два листа бумаги или два куска обоев, и нам нужно узнать, какой из них больше, а какой меньше; мы тогда накладываем их один на другой, и если они в точности покрывают друг друга, то говорим, что они равны;

если же один из них целиком помещается на другом или внутри другого, то первый будет меньше, а второй больше.

Черт. 22.

Черт. 23.

Напр., на черт. 22 мы видим два равных куска бумаги А и Б, а на черт. 23 кусок Б, очевидно, меньше куска А. потому что он целиком может поместиться на куске А.

Но бывают случаи, когда ни один из кусков не умещается на другом, и мы не можем тогда их прямо сравнить между собой, как, напр., куски Л и £ на черт. 24. В таком случае мы все же можем сравнить их, если измерим их площадь одной и той же мерой. На черт. 25 те же куски разграфлены на одинаковые клетки, и мы видим, что каждый из них содержит по 12 клеток, значит площади их равны, хотя куски эти и не покрывают друг друга при накладывании.

Точно так же, если нам нужно сравнить площади двух крыш или двух участков земли, мы не можем сравнить их прямо между собою, потому что не можем накладывать их друг на друга, и должны уметь измерять их площади одинаковой мерой, чтобы сказать, какая площадь больше, а какая меньше.

Нередко нам также бывает нужно сравнить объемы (вместимости) двух сосудов, ящиков, комнат и т. д. Иногда

Черт. 24.

Черт. 25.

можно бывает сравнить два объема непосредственно, напр., наполнить водой бутылку и перелить ее в ковш, и таким образом прямо убедиться, что вмещает больше воды, ковш или бутылка. Или, напр., насыпаем песку в один ящик и пересыпаем его в другой, чтобы убедиться, равны ли их вместимости или нет. Но часто бывает, что прямо сравнить объемы или вместимости нельзя (напр., если нужно сравнить вместимости двух сараев или больших ям), и тогда необходимо уметь измерить эти объемы какой-либо одинаковой мерой, чтобы судить об их величине.

Как измерять поверхности и объемы — об этом и будет речь в данном отделе; но прежде надо ознакомиться с необходимыми сведениями о геометрических телах, поверхностях и линиях и их свойствах.

§ 54. Куб и прямоугольная призма. На черт. 26 изображены: слева — куб, справа — прямоугольная призма. Можно изготовить образцы куба и призмы по выкройкам фиг. 1 и 2 (см. черт. 75 в конце книги).

Мы видим, что и у куба, и у прямоугольной призмы есть по 6 граней, а именно: четыре боковых гранки (стенки), да еще два основания—нижнее и верхнее (дно и крышка). Все грани у куба и призмы — плоские: края граней называются ребрами. Видим, что всех ребер у куба и призмы 12 — по четыре боковых, нижних и верхних.

Нарисуем одну из граней куба на бумаге; для этого достаточно поставить куб на бумагу и обрисовать его нижнюю грань карандашом (остро очинённым). Получим четыре-

Черт. 26.

угольник в роде изображенного слева на черт. 27; такой четыреугольник называется квадратом. Можно убедиться, что грани куба все одинаковые между собой, для этого достаточно обрисовать одну из них на бумаге, как сказано выше, и затем прикладывать поочередно к рисунку все остальные.

Если таким же способом изобразить на бумаге одну из граней прямоугольной призмы, то получим четыреугольник в роде того, который изображен справо на черт. 27; такой четыреугольник наз. прямоугольником. Если мы будем сравнивать между собой грани прямоугольной призмы, то увидим, что противоположные из них равны друг другу, а соседние — обыкновенно не равны.

Ребра куба все равны друг другу; в этом можно убедиться, если смерить их ниткой или линейкой, или же начертить одно из них на бумаге и к полученной черте прикладывать все остальные. В призме, же, обыкновенно, не все ребра равны между собою, а только противоположные.

Рассмотрим еще отдельно квадрат и прямоугольник (черт. 27). Видим, что у каждого из них 4стороны (нижняя и верхняя, правая и левая), стороны квадрата все равны между собою, а в прямоугольнике равны друг другу только противоположные стороны.

Мы знаем множество предметов, которые похожи на прямоугольную призму и куб или на их грани; напр., вид прямоугольной призмы имеют: кирпич, ящик, коробка, шкаф, комната и т. д.; куб хорошо знают и дети по своим кубикам или по кубикам арифметического ящика; лист бумаги

Черт. 27.

или конверт для письма имеет вид прямоугольника или квадрата и т. д.1).

§ 55. Пирамида. На черт. 28 изображены пирамиды; мы можем изготовить образцы их по выкройкам фиг. 3, 4 и 5 (черт. 75 в конце книги).

Мы видим, что у каждой пирамиды есть основание (внизу) и несколько боковых граней, сходящихся в одной точке — вершине пирамиды. Все грани у пирамиды плоские (как основание, так и боковые грани); края граней, как и у призмы, называются ребрами.

Нарисуем отдельно основание каждой пирамиды; это будет треугольник, четыреугольник, пятиугольник вроде изображенных на черт. 29, или вообще какой-либо многоугольник. Боковые же грани пирамиды суть треугольники; они бывают иногда равны между собой, иногда — нет.

Черт. 28.

Черт. 29.

1) Собственно говоря, лист бумаги представляет собою тоже прямоугольную призму, с очень малой толщиной. Каждая из ее сторон есть прямоугольник.

§ 56. Цилиндр, конус, шар. Круг, окружность. На черт. 30 представлены: слева — цилиндр, справа — конус; образцы их можно изготовить по выкройкам фиг. 6 и 7.

У цилиндра есть два основания (вверху и внизу) и боковая поверхность: у конуса — одно основание (внизу) и боковая поверхность; наверху у конуса есть точка, называемая вершиной.

Основания у цилиндра и конуса — плоские, а боковые поверхности -кривы е.

Обрисуем основание цилиндра отдельно на бумаге; это будет круг, вроде изображенного на черт. 31. Если к нашему рисунку приложим другое основание цилиндра, то убедимся, что оба основания равны. Основание конуса также есть круг.

Черт. 30.

Черт. 31. Черт. 32.

Мы знаем много предметов, похожих на цилиндр или конус— напр., ведро, стакан, кружка, карандаш, фабричная труба имеют вид цилиндра; сахарная голова похожа на конус, точно так же в виде конуса свертывают в лавке фунтик из бумаги, когда отсыпают немного сахарного песку, конопляного семени или подсолнухов.

На черт. 32 изображеа шар. Форма шара хорошо нам известна: мячик или капля воды имеют вид шара, точно так же яблоко, апельсин, арбуз похожи на шар.

Поверхность шара — кривая поверхность; если разрезать шар, то разрез, как мы знаем, имеет вид круга.

Граница круга называется окружностью. Мы можем изготовить из бумаги круг1) любой величины, если сумеем очертить его окружность. Для этого употребляется особый прибор — циркуль (см. черт. 33); чтобы вычертить циркулем окружность, ставят одну его ножку неподвижно, другую (в которую вставлен карандаш) поворачивают вокруг первой до тех пор, пока конец карандаша не вычертит полной окружности.

Если у нас нет циркуля, то можно вычертить окружность таким же образом и при помощи булавки и нитки; для этого нужно воткнуть булавку в бумагу и при вязать к ней нитку, а к другому концу нитки — карандаш; затем поворачивать карандаш вокруг булавки, держа его так, чтобы нитка была все время натянута; конец карандаша и вычертит окружность.

§ 57. Тело, поверхность, линия, точка. Всякий существующий в природе предмет называется телом; рассмотренные нами куб, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар — тоже тела.

Черт. 33.

1) Собственно говоря, круг, вырезанный из бумаги, представляет собой цилиндр, толщина которого очень мала, и потому мы называем его просто кругом.

Граница (грань) тела называется поверхностью; поверхности бывают, как мы знаем, плоские и кривые. Так, напр., грани куба, призмы, пирамиды—плоские, поверхности стола, скамьи, книги — тоже плоские; боковые же поверхности цилиндра и конуса, поверхности шара или яйца — кривые.

Чтобы проверить, будет ли данная поверхность плоская или нет, поступают так: прикладывают к данной поверхности в разных местах край линейки или вязальную спицу, и если этот край линейки или спица везде прилегают к данной поверхности плотно, без просветов, то эта поверхность — плоская; если же нет, то она кривая. Напр., к цилиндру мы можем приложить вязальную спицу вдоль его боковой поверхности, но не можем приложить ее поперек той же поверхности; к шару мы никак не можем приложить спицы так, чтобы она прилегала к его поверхности сплошь; к грани же куба или призмы мы можем приложить спицу как угодно— во всех направлениях.

Граница (край) поверхности называется линией, линии бывают прямые и кривые. Напр., ребро куба или призмы есть прямая линия; натянутая нить или телеграфная проволока имеет вид прямой линии. Граница же круга (окружность) есть кривая линия.

Граница (конец) линии называется точкой.

Мы знаем, что между всякими двумя точками можно провести только одну прямую линию, и эта прямая линия будет короче всякой другой линии, соединяющей те же две точки. Напр., на черт. 34 между точками А и Б изображены: прямая линия АБ, две кривых и

еще ломаная линия (состоящая из нескольких прямых); из них прямая короче всех других.

§ 58. Горизонтальные и вертикальные прямые и плоскости. Если налить воды в стакан или в ведро, то поверхность ее принимает вид плоскости (кроме краев стакана, где поверхность воды несколько приподнимается, так как

Черт. 34.

вода прилипает к стенкам); такая плоскость называется го ризонтальной (черт. 35).

Всякая плоскость, имеющая такое же положение, как спокойная поверхность воды в стакане или ведре, называется тоже горизонтальной; напр., поверхность пола, стола или скамьи, крышка коробки, верхнее (или нижнее) основание куба, призмы или цилиндра, стоящих на столе, — горизонтальны. Всякая линия, проведенная на горизонтальной плоскости, называется также горизонтальной.

Если подвесить на нитке какой-нибудь предмет, напр.

ключ или гайку, то нитка натягивается и принимает вид прямой линии; такой предмет, подвешенный на нитке, называется отвесом (черт. 36), а прямая линия, имеющая такое же положение, как эта нитка, называется отвесной или вертикальной прямой линией. Если плоскость имеет такое положение, как отвесная линия, то она тоже называется отвесной, или вертикальной плоскостью. Напр., ножки стола вертикальны; стены дома, стенки шкафа или коробки, стоящей на столе, вертикальны; боковые грани и ребра куба или призмы, поставленных на стол, также вертикальны.

Мы можем проверить вертикальность граней и ребер куба или призмы, если придвинем их к краю стола и приложим к ним вплотную отвес. Горизонтальность же какой-либо поверхности проверяется особым прибором — уровнем (черт. 37). Уровень — это стеклянная, чуть изогнутая, трубка на плоской подставке, наполненная водой и имеющая внутри пузырек воздуха. Если поверхность, на которую поставили уровень, горизонтальна, то пузырек воздуха стоит как раз по середине трубки; если нет, то он подвигается в сторону— вправо или влево.

Черт. 35.

Черт. 36.

Черт. 37.

§ 59. Углы. Перпендикулярные и наклонные прямые линии. Если две прямые линии пересекаются, то между ними образуется угол. На черт. 38 мы видим угол АКБ, образуемый линиями АК и КБ, которые пересекаются в точке К. Линии, образующие угол, называются его сторонами, а точка их пересечения — вершиной угла. У нашего угла вершина К, а стороны КА и КБ.

Чтобы сравнить два угла по величине, их накладывают друг на друга так, чтобы их вершины совместились и чтобы одна сторона второго угла пошла по стороне первого угла. Если при этом и другие две стороны наших углов пойдут

Черт. 38. Черт. 39.

Черт. 40.

друг по другу, то такие два угла равны (хотя бы стороны одного были короче сторон другого). Напр., углы АКБ и ВМГ, изображенные на черт. 39, равны между собой (они представлены на чертеже сперва отдельно, а потом наложенными друг на друга).

Если же при наложении углов друг на друга вторые их стороны не пойдут одна по другой, то углы не равны, и тот угол, чья вторая сторона приходится снаружи, будет больше, а тот, вторая сторона которого внутри,— меньше. Напр., на черт. 40 угол ВМГ меньше угла АКБ, потому что после наложения их друг на друга вторая сторона угла ВМГ идет внутри угла АКБ.

Очень важное значение имеет угол между горизонтальной и вертикальной линией; такой угол или всякий другой, ему равный, называется прямым углом. Напр., угол АОБ на черт. 41 будет прямым; точно так же будет прямым и угол БОГ, потому что, если мы повернем его так, чтобы одна его сторона стала вертикальной, то другая окажется горизонтальной.

Прямой угол можно очень просто получить сгибанием бумаги; если согнуть кусок бумаги по прямой линии, а потом этот сложенный кусок согнуть еще раз так, чтобы края первого сгиба наложились друг на друга, и затем развернуть бумагу, то между сгибами получатся прямые углы, как это изображено на черт. 42.

Для черчения прямого угла употребляется наугольник (черт. 43). Это просто треугольная линейка с прямым углом.

Черт. 41.

Чтобы при помощи его начертить прямой угол при данной точке К на прямой линии АБ (черт. 44), прикладывают наугольник одной стороной прямого угла к данной прямой линии так, чтобы вершина наугольника была в данной точке А“, а по другой стороне прямого угла наугольника чертят линию; таким образом получается прямой угол.

Прямая линия, которая пересекает другую прямую линию под прямым углом, называется перпендикулярной линией, или просто перпендикуляром. Напр., на черт. 41 прямая линия АО перпендикулярна к линии ОБ и, наоборот, прямая ОБ перпендикулярна к АО; линии ВО и ОГ также перпендикулярны друг к другу.

Нередко бывает нужно начертить прямую линию так, чтобы она проходила через данную точку и была перпендикулярна к данной прямой линии или, как говорят, опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую.

Черт. 42.

Черт. 43. Черт. 44.

Это выполняется при помощи наугольника; пусть, напр., нужно опустить перпендикуляр из точки К (черт. 45 слева) на прямую АБ. Прикладываем наугольник одной стороной прямого угла к данной прямой АБ, и передвигаем его по этой прямой до тех пор, пока другая сторона прямого угла наугольника не пройдет через данную точку К. Тогда чертим по ней прямую линию (КМ); это и есть нужный нам перпендикуляр.

Иногда бывает, что данная нам прямая линия слишком коротка; если, напр., нам нужно опустить из точки О перпендикуляр на линию АБ (черт. 45 справа), то, приложив к ней наугольник и подвигая его вдоль этой прямой до самого конца, увидим, что другая сторона наугольника еще не достигнет точки О. Тогда продолжаем нашу прямую линию АБ и подвигаем наугольник дальше по ее продолжению, пока, наконец, вторая сторона наугольника не пройдет через точку О, тогда и чертим по ней нужный нам перпендикуляр ОМ.

Прямая линия, которая пересекает другую не под прямым углом, называется наклонной к ней. Угол между двумя наклонными линиями будет или меньше, или больше прямого угла; если он меньше прямого, то он называется острым (черт. 46 слева), если

Черт. 45.

же он больше прямого, то называется тупым (черт. 46 справа).

В треугольнике два угла бывают всегда острыми, а третий может быть и острым, и тупым (черт. 47). Треугольник с тремя острыми углами так и называется остроугольным; если же у него есть прямой угол, то треугольник называется прямоугольным, а если есть тупой угол — тупоугольным.

В многоугольниках бывают и острые, и тупые, и прямые углы; в квадрате и прямоугольнике (см. черт. 27) все углы прямые. Вообще прямоугольник — это такой четыреугольник, у которого все углы прямые, а квадрат — такой четыреугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы прямые.

Если из одной точки проведены к прямой линии перпендикуляр и несколько наклонных, то перпендикуляр короче всех наклонных (черт. 48); в этом можем убедиться простым измерением. Поэтому перпендикуляр принимается за расстояние данной точки (О) от прямой линии (КМ).

Черт. 46.

Черт. 47.

§ 60. Параллельные прямые линии. Возьмем на плоскости две прямые линии АБ и ВГ (черт. 49); найдем расстояния нескольких точек второй прямой от первой; для этого опустим из точек 5, Лу Г перпендикуляр ВК, ЛМ, ГН на прямую линию АБ. Видим, что эти перпендикуляры не равны между собой, т.-е. точки прямой ВГ лежат на неодинаковых расстояниях от прямой АБ.

Продолжим наши прямые линии АБ и ВГ в ту сторону, где они сближаются между собой; видим, что они при дальнейшем продолжении пересекаются в точке О и образуют угол АОВ.

Рассмотрим теперь новую пару прямых (черт. 50). Возьмем на плоскости прямую АБ, проведем к ней в двух точках в одну и ту же сторону перпендикуляры (KB и НГ) одинаковой длины и соединим концы этих перпендикуляров прямой линией ВГ. Теперь можем убедиться, что все точки

Черт. 48.

Черт. 49.

полученной прямой ВГ лежат на одинаковых расстояниях от АБ: где бы мы ни проводили перпендикуляры из какой-нибудь точки прямой ВГ на линию АБ (или наоборот), все эти перпендикуляры будут такой же длины, как ВК или ГН.

Такие две прямые линии, у которых все точки одной одинаково удалены от другой, называются параллельными. Очевидно, параллельные линии не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали.

Параллельные линии мы можем нередко видеть вокруг себя; напр., линейки в тетради, телеграфные проволоки, рельсы железных дорог параллельны между собою; также параллельны друг другу противоположные стороны всякого квадрата или прямоугольника (см. черт. 27).

Параллельными могут быть не только прямые линии, но и кривые; напр., в географии мы говорим о параллельных кругах на поверхности земли (черт. 51); это такие круги, у которых все точки одного одинаково удалены от другого (считая расстояние по поверхности земли по меридиану).

Черт. 50.

Черт. 51.

§ 61. Центр, радиус и диаметр круга. Вычертим циркулем окружность (черт. 52); ясно, что все ее точки одинаково отстоят от той точки, где находился конец неподвижной ножки циркуля. Эта точка называется центром круга, а расстояние от нее до какой-нибудь, точки окружности — радиусом. На черт. 52 точка О есть центр круга, а линия OA или OB — радиус.

Продолжим радиус АО до встречи с окружностью в противоположной точке Б. Линия АБ называется диаметром, или поперечником, круга; вообще диаметр — это прямая линия, соединяющая две точки окружности и проходящая через центр. Очевидно, что диаметр круга вдвое больше радиуса.

Если мы перегнем круг по диаметру, то убедимся, что диаметр делит круг как раз пополам. Этим свойством круга мы пользуемся, когда нам нужно отыскать его центр; мы сгибаем круг пополам и получаем диаметр, а потом перегибаем пополам диаметр и находим его середину, т.-е. центр круга.

§ 62. Измерение площади прямоугольника и квадрата. Измерить площадь данного прямоугольника или другой фигуры— значит найти, сколько раз в данной фигуре помещается какая-нибудь другая, принятая за единицу; напр., прямоугольники, изображенные на черт. 27, мы мерим одинаковыми квадратными клетками. За единицу (меру) площади принимается такой квадрат, у которого сторона равна единице длины: метру, сантиметру и т. д.

На черт. 53 изображен квадратный сантиметр;

это такой квадрат, у которого каждая сторона равна сантиметру. Этой мерой измеряют небольшие площади (напр., листа бумаги); площадь пола в комнате измерять в квадратных метрах, площадь участка земли в кв. метрах и кв. километрах.

Возьмем прямоугольник, у которого длина 5 сантиметров, а ширина — 3 сантиметра (черт. 54). Разделим его стороны

Черт. 52.

Черт. 53.

на отдельные сантиметры и соединим противоположные точки деления прямыми линиями; тогда весь прямоугольник окажется разделенным на квадраты, имеющие длину и ширину в один сантиметр,— т.-е. на квадратные сантиметры. Остается сосчитать их число. Видно, что весь прямоугольник состоит из 3 полос, а в каждой полосе по 5 квадратов, значит, всего квадратов будет в нашем прямоугольнике 5-3, или 15. Иначе говоря, площадь нашего прямоугольника равна 15 кв. сантиметрам.

Возьмем еще прямоугольник, имеющий длину в 7 сантиметров, а ширину в 4 сантиметра (черт. 55).

Разграфим его на квадратные сантиметры—таким же способом, как и предъидущий — и определим их число. Видим, что во всем прямоугольнике 4 полосы, а в каждой полосе по 7 квадратов; значит, всего квадратов будет в данном прямоугольнике 7.4, или 28, и площадь нашего прямоугольника равна 28 кв. сантиметрам.

Рассматривая эти примеры, замечаем следующее: число квадратных единиц, выражающее площадь прямоугольника, получается от перемножения чисел, выражающих длину и ширину прямоугольника в линейных мерах того же названия. И так должно быть всегда, потому что после разделения прямоугольника на квадратные единицы в нем получится столько полос, сколько линейных единиц в ширине, а в каждой полосе столько клеток, сколько таких же единиц в длине прямоугольника.

Поэтому можно установить такое правило для определения площади прямоугольника по его длине и ширине:

Черт. 54.

Черт. 55.

чтобы найти площадь прямоугольника в квадратных мерах, надо измерить его длину и ширину в соответствующих линейных мерах и полученные числа перемножить. Это правило дает возможность вычислить площадь прямоугольника, не разделяя его на самом деле на квадраты.

Заметим, что длина прямоугольника иначе называется его основанием, а ширина — высотой.

Подобным же образом определяется и площадь квадрата. Возьмем квадрат со стороною в 5 сантиметров (черт. 56); этот квадрат мы можем считать за прямоугольник, длина и ширина которого одинаковы и равны 5 сантиметрам; значит, площадь его должна быть равна 5.5, т.-е. 25 квадратным сантиметрам. Это видно и на чертеже: если разграфить наш квадрат на квадратные сантиметры, то получим всего 5 полос по 5 кв. сантиметров в каждой, а всего 25 кв. сантиметров.

Очевидно, чтобы найти площадь квадрата в квадратных мерах, надо измерить его сторону в соответствующих линейных мерах и полученное число умножить само на себя.

Зная это, мы можем определять, сколько меньших квадратных мер содержится в какой-нибудь большей, напр., сколько в квадратном километре квадратных метров, в кв. метре — кв. сантиметров и т. д..

Возьмем, напр., квадратный метр; это — квадрат, длина и ширина которого равны одному метру, или 10 дециметрам; значит, площадь этого квадрата должна быть равна 10.10, или 1С0 кв. дециметрам. Это видно на черт. 57, где большой квадрат изображает (в уменьшенном виде) квадратный метр, а маленькие квадратные дециметры.

Черт. 56.

Черт. 57.

Итак, квадратные меры у нас имеются следующие — кв. километр — 10-10 (=100) кв. гектометров, кв. гектометр— 10- 10 (=100) кв. декаметров, кв. декаметр — 10-10 (= 100) кв. метров, кв. метр — 10-10 (= 100) кв. дециметров, кв. дециметр — 10-10 (=100) кв. сантиметров, кв. сантиметр— 10* 10 (=100) кв. миллиметров.

За меру площади земельных участков принимается а р, или 1 кв. декаметр и гектар—100 аров, или 1 кв. гектометр. В старых русских мерах ар — почти 22 кв. сажени, а гектар — немного менее десятины (около 2 200 кв. сажен, точнее — 2197 кв. сажен).

Нетрудно установить важнейшие соотношения между нашими старыми и новыми метрическими квадратными мерами.

Так как один аршин равен 71 сантиметру, то квадратный аршин содержит 71-71, т.-е. 5041 кв. сантиметр, или круглым числом 5 000 кв. сантиметров, а квадратный метр

равен 10 000 кв. сантиметров, значит, квадратный метр равен (приблизительно) 2 кв. аршинам. Квадратная же сажень равна 9 кв. аршинам; значит, она содержит 4-i- кв. метра.

Квадратный аршин содержит, как мы нашли, 5 041 кв. сантиметр; но в то же время он равен 256 кв. вершкам; значит, на один квадратный вершок придется 5 041:256, или приблизительно 20 кв. сантиметров. Подобным же образом можно найти, что один квадратный дюйм равен 6-^- кв. см.

Чтобы найти соотношение между квадратным километром и квадратной верстой, припоминаем, что 16 километров составляют 15 верст; значит, если мы будем иметь квадрат, каждая сторона которого равна 16 километрам, то он будет содержать 16-16 = 256 квадратных километров и в то же время 15-15 = 225 кв. верст. Таким образом 256 кв. километров =225 кв. верстам; а если уменьшить каждую из этих величин в 32 раза, то найдем, что 8 кв. километров равны (приблизительно) 7 кв. верстам, или один кв. километр равен -g-к в. версты (т.-е. кв. версте без восьмой).

Нетрудно установить и простое соотношение между гектаром и десятиной. Десятина содержит 2 400, или 24 сотни кв. сажен, а гектар — 2 200, т.-е. 22 сотни кв. сажен. Отсюда ясно, что 22 десятины равны 24 гектарам (и та, и другая площадь содержит 24-22, т.-е. 528 сотен кв. сажен), или же 11 десятин равны 12 гектарам, или один гектар равен десятины (т.-е. равен десятине без двенадцатой ее части).

§ 63. Косоугольник (параллелограмм); измерение его площади. На черт. 58 изображен четыреугольнику которого противоположные стороны попарно параллельны (сторона БВ параллельна стороне АГ, а сторона А Б — стороне ВГ); такой четыреугольник называется косоугольником, или параллелограммом.

Смерив стороны косоугольника и сравнив их: между собой, мы можем убедиться, что в косоугольнике противоположные стороны равны. Точно так же можем убедиться, что и противоположные углы косоугольника равны; для этого достаточно обрисовывать угол косоугольника на бумаге и наложить этот косоугольник на этот чертеж противоположным углом.

Нижняя сторона косоугольника (АГ) называется его основанием, а перпендикуляр (БК), опущенный на основание из противоположной вершины, — высотой. Этот перпендикуляр выражает вместе с тем расстояние между противоположными сторонами косоугольника (БВ и АГ), так как стороны эти параллельны друг другу и отстоят одна от другой везде одинаково (если бы, напр.» мы взяли на стороне БВ произвольную точку M и из нее опустили перпендикуляр МИ на основание АГ, то этот перпендикуляр будет такой же длины, как и БК).

Чтобы измерить площадь косоугольника, постараемся превратить его в прямоугольник. Проведем в данном косоугольнике АБВГ (черт. 59) высоту БК (если косоугольник вырезать из бумаги, то высоту можно получить просто сгибанием); затем отрежем треугольник АБК и переложим его по другую сторону оставшейся части, чтобы он занял положение треугольника ГВМ. Мы видим, что косоугольник АБВГ превратился в прямоугольник БВМК, при чем высота у них одна и та же (БК), а основания (АГ и КМ) одинаковы, так как каждое из них состоит

Чсрг. 58.

Черт. 59.

из одних и тех же частей (часть КГ у них общая, а линия Г M—все равно, что АК).

Итак, косоугольник можно превратить в прямоугольник с таким же основанием и такой же высотой. Но чтобы вычислить площадь прямоугольника, мы должны перемножить числа, выражающие его основание и высоту в линейных мерах; поэтому и с косоугольником придется поступить так же: чтобы найти площадь косоугольника в квадратных мерах, надо измерить его основание и высоту в соответствующих линейных мерах и полученные числа перемножить.

В нашем примере основание косоугольника (и прямоугольника) равно 4 см, а высота 2 см, следовательно, площадь косоугольника (и прямоугольника) есть 8 кв. см. На черт. 60 это изображено наглядно; если переложить треугольник АБК на место треугольника ГВМ, то косоугольник превращается в прямоугольник, состоящий из 8 квадратных сантиметров.

Косоугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом (см. черт. 61). Площадь его определяется, как и площадь всякого косоугольника.

§ 64. Треугольник; измерение его площади. На черт. 62 изображены три треугольника: слева — треугольник с тремя равными сторонами, или равносторонний треугольник; посредине — треугольник с двумя равными сторонами (боковыми), или равнобедренный треугольник; справа треугольник с тремя различными сторонами, или разносторонний.

Черт. 60. Черт. 61.

Нетрудно убедиться наложением, что в равностороннем треугольнике все углы равны между собой (для этого достаточно обрисовать один угол равностороннего треугольника на бумаге и накладывать на этот рисунок остальные его углы). Подобным же образом убедимся, что в равнобедренном треугольнике равны друг другу углы, лежащие против равных сторон; а в разностороннем и углы различны по величине, но против большей стороны лежит и больший угол.

Рассмотрим еще один из треугольников на чертеже 62, напр., правый (разносторонний). Возьмем две из его вершин, напр., нижние; между ними проходит прямая линия — нижняя сторона, а две другие стороны мы можем рассматривать вместе как одну ломаную линию, соединяющую те же вершины. Но мы знаем уже, что прямая линия короче всякой другой линии, соединяющей те же точки; значит, одна сторона треугольника всегда меньше двух других, взятых вместе.

В этом можно убедиться и иначе, складывая треугольник из трех спиц или палочек; если мы возьмем такие три палочки, что одна из них будет больше двух других вместе или равна

Черт. 62.

Черт. 63.

им, то из этих трех палочек нельзя сложить треугольника; и только в том случае нам удастся сложить треугольник из трех палочек, если самая большая из них будет короче двух других, взятых вместе.

В треугольнике одна из сторон, обыкновенно нижняя, называется основанием, а перпендикуляр, опущенный на нее из противоположной вершины — высотой. На черт. 63 в левом треугольнике (остроугольном) сторона AB есть основание, а перпендикуляр БК — высота. В среднем треугольнике (прямоугольном) сторона AB есть основание, а сторона БВ, перпендикулярная к ней, служит высотой. В правом треугольнике (тупоугольном) сторона AB есть основание, а перпендикуляр БМ, опущенный на ее продолжение,— высота.

Чтобы определить площадь треугольника, постараемся сравнить его с прямоугольником, имеющим то же основание и высоту. Сначала возьмем прямоугольный треугольник (черт. 64). Вырежем из бумаги другой треугольник, такой же, как и данный, и приставим его к данному треугольнику Л так, чтобы он занял положение треугольника АМБ; видим, что из двух данных треугольников получился прямоугольник АМБВ, имеющий с ними одинаковое основание и высоту. Значит, наш треуголник составляет половину прямоугольника, имеющего с ним одинаковое основание и высоту.

Посмотрим, так ли будет с треугольниками другого вида. Возьмем косоугольный треугольник АБВ (черт. 65); он может быть и остроугольным, и тупоугольным; в последнем случае мы повернем его тупым углом (кверху). Проведем в нашем треугольнике высоту БК (это можно сделать перегибанием бумаги) и разобьем его таким образом на два прямоугольных

Черт. 64.

Черт. 65.

треугольника БКА и БКВ. Изготовим еще пару треугольников, один из которых был бы равен треугольнику БКА, а другой — треугольнику БКВ, и поместим первый из них в положение треугольника АМБ, а второй — в положение треугольника БНВ. Тогда увидим, что из всех наших треугольников образуется прямоугольник АМНВ, имеющий с данным треугольником АБВ одинаковое основание и высоту. Очевидно, что треугольник АБВ составляет опять половину полученного прямоугольника, так как он состоит из двух треугольников БКА и БКВ, а в прямоугольнике АМНВ, каждый из этих треугольников помещается по два раза.

Отсюда заключаем: тобы вычислить в квадратных мерах площадь треугольника, нужно измерить его основание и высоту в соответствующих линейных мерах, полученные числа перемножить и разделить произведение пополам.

Можно еще и другим способом превратить треугольник в равновеликий ему прямоугольник (равновеликий—значит, имеющий равную площадь). Возьмем треугольник АБВ (черт. 66), вырежем его из бумаги, проведем в нем высоту БД (сгибанием), потом найдем середины боковых сторон Ки Л (также перегибанием), а затем перегнем весь треугольник по средней линии КЛ. Отрежем теперь треугольник КБЛ, разрежем его по высоте ОБ и переложим треугольник БОК в положение треугольника АМК, а треугольник БОЛ в положение треугольника ВНЛ. Теперь видим, что из данного треугольника АБВ получился прямоугольник АМНВ; основание у этого прямоугольника AB то же, что у данного треугольника, а высота его (AM или ОД) составляет половину прежней высоты треугольника (БД).

Наконец, можем поступить еще и так. Возьмем наш треугольник АБВ (черт. 67), вырежем из бумаги его и другой.

Черт. 66.

равный ему, треугольник и приставим второй треугольник к первому в положение ВМБ. Видим, что из этих двух треугольников образовался косоугольник (параллелограм) АБМВ с тем же основанием (AB) и той же высотой (БД), что и у данного треугольника АБВ. Значит, каждый треугольник составляет половину косоугольника с тем же основанием и высотой; а так как косоугольник можно превратить в прямоугольник с таким же основанием и высотой, то ясно, что треугольник составляет половину прямоугольника с тем же основанием и высотой.

§ 65. Трапеция. Измерение ее площади. На черт. 68 изображен четыреугольник (АБВГ), у которого две стороны (АГ и БВ) параллельны, а две другие (АБ и ВГ) не параллельны; такой четыреугольник называется трапецией. Параллельные стороны (АГ и БВ) называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми

Черт. 67.

Черт. 68. Черт. 69.

сторонами, или боками; перпендикуляр же (БД), опущенный из какой-либо точки одного основания на другое, называется высотой трапеции.

Чтобы измерить площадь трапеции, постараемся превратить ее в равновеликий прямоугольник. Для этого поступаем так. Вырежем трапецию АБВГ (черт. 69) из бумаги, найдем перегибанием середины ее боковых сторон О и П и перегнем всю трапецию по линии 0/7, соединяющей середины боковых сторон (эта линия называется средней линией трапеции). Потом проведем (перегибанием) перпендикуляры ОМ и ПН, отрежем треугольники АОM и ГПН и переложим первый из них в положение треугольника ОКБ, а второй—в положение треугольника ВПЛ. После этого видим, что наша трапеция АБВГ превратилась в прямоугольник МКЛН, основание которого МН равно средней линии ОН, а высота (КМ или БД) одинакова с высотой трапеции.

Значит, для вычисления площади трапеции мы должны измерить ее среднюю линию и высоту в одинаковых линейных мерах и полученные числа перемножить; найдем число, выражающее площадь трапеции в соответствующих квадратных мерах.

§ 66. Измерение площади многоугольника. Площадь всякого многоугольника определяется так: соединяем одну из вершин многоугольника со всеми остальными (не соседними; проведенные нами линии называются диагоналями), и тогда весь многоугольник разбивается на треугольники (черт. 70 налево); площадь каждого треуголь-

Черт. 70.

ника определяем отдельно и полученные результаты складываем.

Можно разбить многоугольник на треугольники и иначе: взять внутри его точку и соединить ее со всеми вершинами многоугольника (черт. 70 направо). Затем попрежнему надо определить площадь каждого треугольника и сложить полученные числа.

§ 67. Измерение объемов прямоугольной призмы и куба. Кубические меры. Измерить объем данной призмы или другого тела — значит найти, сколько раз в данном теле помещается какое-нибудь другое принятое за единицу объема. Мы принимаем за единицу (меру) объема такой куб, у которого каждое ребро равно единице длины — метру, дециметру, сантиметру и т. д. (а каждая грань такого куба равна соответствующей квадратной единице).

На черт. 71 изображен кубический сантиметр; это — куб, каждое ребро которого равно сантиметру. Этими мерами измеряются небольшие объемы, напр., объем коробки; объем комнаты или сарая измеряют кубическими метрами, и т. д.

Возьмем теперь прямоугольную призму, у которой длина 5 сантиметров, ширина 3 сантиметра, а вышина 4 сантиметра (черт. 72). Разделим ее основание (нижнюю грань) на отдельные квадратные сантиметры; их будет, как мы знаем, 5-3, или 15. Представим себе затем, что на каждый из этих квадратных сантиметров мы поставим по одному кубическому сантиметру; тогда эти кубики обра-

Черт. 71.

Черт. 72.

зуют сплошной слой вышиною в один сантиметр. Поставим на этот слой кубиков еще другой, третий и т. д., пока не заполним весь объем нашей призмы; ясно, что таких слоев можно ставить один на другой столько, сколько сантиметров имеет высота призмы, т.-е. 4. Так как в каждом слое 15 кубиков, а всех слоев 4, то всего кубиков будет в нашей призме 15-4, или 60, и объем призмы равен 60 кубическим сантиметрам.

Заметим, что это число 60 получилось от умножения 15 на 4, т.-е. чисел, выражающих площадь основания в квадратных сантиметрах и высоту в линейных, или от умножения 5 на 3 и на 4, т.-е. от перемножения чисел, выражающих длину, ширину и вышину призмы в линейных сантиметрах.

Подобным же образом можем найти, что призма, длина которой 8 сантиметров, ширина 3 сантиметра и высота 2 сантиметра, будет иметь объем в 8-3-2, т.-е. 48 кубических сантиметров и т. д.

Рассматривая эти примеры, мы можем заметить следующее: чтобы найти число, выражающее объем прямоугольной призмы в кубических мерах, надо перемножить числа, выражающие ее длину, ширину и вышину в соответствующих линейных мерах, или иначе: перемножить числа, выражающие площадь основания и высоту в соответствующих квадратных и линейных мерах.

Подобным же образом определяется и объем куба. Возьмем куб с ребром в 4 сантиметра (черт. 73); этот куб мы можем считать за прямоугольную призму, у которой длина,

Черт. 73.

ширина и вышина одинаковы и равны 4 сантиметрам; значит, объем его должен содержать 4-4-4, или 64 куб. сантиметра. Это видно и на чертеже: если разделить наш куб на отдельные кубические сантиметры, то всего будем иметь 4 слоя по 16 куб. сантиметров в каждом, т.-е. 64 кубических сантиметра.

Очевидно, чтобы выразить объем куба в кубических мерах, надо измерить его ребро в соответствующих линейных мерах и это число умножить на самого себя и еще раз на самого себя.

Зная это, мы можем определить, сколько меньших кубических мер содержится в какой-нибудь большей, напр., сколько в кубическом метре кубических дециметров или литров, и т. д.

Возьмем, напр., кубический метр; это — куб, каждое ребро которого равно одному метру или 10 дециметрам, значит, объем этого куба должен быть равен 10.10.10, или 1 000 куб. дециметров. Это видно и на черт. 74, где большой куб изображает кубический метр, а малые — куб. дециметры. Таким образом, куб. метр содержит 1 000 литров, а 1 литр 10-10-10, или 1000 куб. сантиметров, и т. д.

Черт. 74.

Итак, кубические меры у нас имеются следующие:

Мерою дров и угля служит кубический метр, иначе стер.

Чтобы сообразить, сколько приблизительно вмещается кубических метров в кубической сажени, рассуждаем так. Вообразим себе, что мы поставили друг на друга десять кубических метров; такой столб из кубических метров будет представлять собою прямоугольную призму, основание которой—один квадратный метр, а высота—10 метров; но кв. метр равен 2 кв. аршинам, а 10 метров—14 аршинам; значит, объем такого столба будет 2-14, или 28 куб. аршин. Итак 10 куб. метров равны 28 куб. аршинам, или приблизительно 1 куб. сажени (куб. сажень содержит 27 куб. аршин).

ОТДЕЛ VI.

Краткие сведения о возведении в степень и извлечении корня.

§ 68. Возведение чисел в степень. Квадрат и куб. числа.

Пусть нам надо вычислить площадь квадрата, сторона которого 8 сантиметров, найдем 8-8, или 64 кв. сантиметра.

Подобным же образом объем куба, у которого ребро 8 сантиметров, будет 8-8-8, или 512 куб. сантиметров.

В этих вычислениях нам приходилось перемножать одинаковые числа: в первый раз мы перемножили две восьмерки, во второй раз — три восьмерки. Такие произведения одинаковых чисел мы будем называть степенями и записывать их короче так:

8-8 = 82 — вторая степень 8, или 8 во второй степени.

8-8-8 = 83 — третья степень 8 или 8 в третьей степени. Подобным же образом произведение

10-10-10

будет называться: третья степень 10, или 10 в третьей степени, и запишется сокращенно:

произведение

есть четвертая степень 2, или 2 в четвертой степени, и запишется:

Сделаем теперь несколько вычислений со степенями.

Пусть нужно найти 12 во второй степени, или, как говорят иначе, возвести 12 во вторую степень. Это значит умножить 12 на 12; найдем 144. Записывается это так:

Возведем теперь 10 в третью степень. Это значит найти произведение 10-10-10 (другими словами — взять 10 три раза сомножителем); получим 1 000. Запись такова:

Возведем еще 2 в четвертую степень. Это все равно, что взять 2 четыре раза сомножителем, или перемножить четыре двойки:

Наконец, возведем 3 в пятую степень. Это все равно, что взять 3 сомножителем пять раз, или перемножить пять троек:

Вообще возвести число в степень—значит взять его сомножителем столько раз, сколько указано; вычисляется это при помощи умножения.

В задачах на вычисление площадей и объемов нам нередко приходится возводить число во вторую и третью степень, и потому мы заметим следующий сокращенный прием для возведения во вторую степень двузначных чисел.

Пусть нам нужно возвести 23 во вторую степень. Для этого нужно умножить 23 на 23. Подпишем сомножителей друг под другом и будем перемножать их „крестиком“:

Чтобы получить единицы произведения, перемножаем единицы данных чисел; 3-3 = 9; пишем 9 под единицами.

Далее, десятки произведения получатся от перемножения 2 дес. множимого с 3 ед. множителя и 2 дес. множителя с 3 ед. множимого, т.-е. их будет 2-3 = 6, да еще 2-3 = 6, а всего 12; пишем 2 десятка, а 1 сотню запоминаем. Сотни произведения получаются от перемножения десятков сомножителей: 2-2 = 4, да еще 1 сотня в уме, всего 5. Пишем 5 под сотнями и находим 529.

Еще пример:

Вычисляем сначала единицы: 8-8 = 64, 4 единицы пишем, а 6 дес. запоминаем. Дальше вычисляем десятки: 8-5 = 40, да еще 8-5 = 40; 40 да 40- 80, да еще 6 дес. в уме, всего 86 десятков: пишем 6 десятков, а 8 сотен запоминаем. Теперь определяем сотни: 5«5 = 25, да еще 8 сотен в уме, всего 33 сотни; окончательно имеем 3 364.

Видим теперь, что в произведении единицы получаются от возведения во вторую степень единиц данного числа; десятки — от перемножения десятков на единицы и удвоения полученного числа; наконец, сотни — от возведения во вторую степень десятков нашего числа. Заметив это, можем вычислить короче: пусть, напр., нам надо найти 622.

Записываем так:

Вычисляем таким образом: 2 во второй степени — 4; пишем в единицах 4; 6-2 = 12, да вдвое — 24; пишем в десятках 4> а 2 сотни запоминаем;

6 во второй степени—36, да 2 — 38; пишем в сотнях 8 и в тысячах 3; итого 3 844.

Заметим еще, что вторая степень числа иначе называется квадратом этого числа, а третья—кубом; так 5* читают иначе: 5 в квадрате; 103 — 10 в кубе и т. д. Такие названия установлены, очевидно, потому, что возведение во вторую степень напоминает нам вычисление площади квадрата по

его стороне, а возведение в третью степень — вычисление объема куба по его ребру.

§ 69. Корень. Извлечение квадратного корня. Решим такую задачу: Площадь квадрата равна 49 кв. сантиметрам; какова длина его стороны?

Очевидно, длина стороны этого квадрата должна быть равна стольким сантиметрам, чтобы, умножив это число на самого себя, мы имели 49; такое число есть 7, потому что 7 -7 = 49; Значит, сторона искомого квадрата равняется 7 сантиметрам.

Решим еще такую задачу. В саду 100 деревьев; они посажены рядами, при чем всех рядов столько, сколько деревьев в каждом ряду. Найти число деревьев в ряду.

Число всех деревьев (100) получается от умножения числа деревьев в ряду на число рядов, или от умножения числа деревьев в ряду на самого себя. Значит, мы должны найти такое число, которое при умножении на самого себя давало бы 100; такое число есть 10, потому что 10-10=100. Итак, всех деревьев в ряду 10 и всех рядов тоже 10.

Обратим теперь внимание на следующее. В первой задаче мы искали такое число, которое будучи возведено во вторую степень, дает 49; такое число (7) называется корнем второй степени из 49.

Во второй задаче мы искали число, которое, будучи возведено во вторую степень, давало бы 100; такое число (10) будем называть корнем второй степени из 100.

Подобным же образом корень второй степени из 25 = 5, потому что 52 = 5-5 = 25; корень второй степени из 81=9, потому что 92 = 9-9 = 81, и т. д.

Возьмем еще такую задачу: Объем куба равен 27 куб. сантиметрам; какова длина его ребра?

Очевидно, длина ребра нашего куба 3 сантиметра, потому 4tq тогда объем его действительно равен 3-3-3, или 27 куб. сантиметрам. Мы нашли здесь такое число (3), которое, будучи возведено в третью степень, дает 27; такое число будем называть корнем третьей степени из 27.

Подобным же образом корень третьей степени из 1 000 — = 10, потому что 10-10-10=1 000 и т. д.

И вообще, корнем какой-нибудь степени из данного числа называется такое число, которое, будучи возведено в эту степень, дает указанное число; напр., корень четвертой степени из 16 = 2, потому что 24 = 2-2-2-2=16.

Заметим, что корень второй степени иначе называется квадратным корнем, а корень третьей степени—кубичным.

Укажем теперь способ вычисления квадратного корня.

Если данное число менее 100, то квадратный корень из него получается по догадке, с помощью таблицы умножения; например, квадратный корень из 36 есть 6, потому что 62 = 6-6 = 36. Заметим, однако, что не для всякого числа можно подыскать квадратный корень; например, у числа 52 нет квадратного корня, потому что 72 = 7-7 = 49, а 82 = 8-8 = 64. В таком случае мы определяем приближенный квадратный корень; это есть наибольшее (целое) число, которое, будучи возведено во вторую степень, не превышает данного числа; в нашем примере приближенным целым квадратным корнем из 52 будет 7.

Пусть теперь нужно извлечь квадратный корень из 4489. Определим, прежде всего, из каких разрядов должен состоять искомый корень. Так как 102 = 10 • 10= 100, а Ю02 = 100-100= 10000, то ясно, что искомый корень должен быть более 10 и менее 100, т.-е. состоит из десятков и единиц. Постараемся найти сначала число десятков корня. От перемножения десятков получаются сотни; в нашем числе 44 сотни, поэтому корень должен содержать столько десятков, чтобы квадрат десятков давал приблизительно 44 сотни. Следовательно, в корне должно быть 6 десятков, потому что 6 десятков в квадрате дает 36 сотен, а 7 десятков в квадрате— уже 49 сотен. Таким образом, наш корень содержит 6 десятков с несколькими единицами, т.-е. он находится между 60 и 70. Посмотрим, не равен ли он среднему числу между 60 и 70, т.-е. 65; для этого разделим 4489 на 65;

если наше предположение верно, то в частном должно получиться тоже 65.

После деления 4489 на 65 получим в частном 69 и в остатке 4; значит, 65 не будет искомым корнем; но нетрудно видеть, что корень, если он существует, должен лежать между 65 и 69. В самом деле, делимое 4489 равно произведению делителя 65 и частного 69, сложенному с остатком 4.

Ясно, что это число больше, чем 65-65 — значит, искомый корень больше 65, но оно меньше, чем 69-69 — следовательно, искомый корень меньше 69. Посмотрим опять не равен ли он среднему числу между 65 и 69, т.-е. 67; для проверки этого разделим 4489 на 67:

Мы получим, что 4489:67 = 67; следовательно, 67 и есть искомый корень, так как это число, будучи умножено на самого себя, дает 4489.

Постараемся найти еще квадратный корень из 7795. Подобно предыдущему, заключаем, что он должен состоять из десятков и единиц, и десятков должно быть столько, чтобы от возведения их в квадрат получались приблизительно сотни данного числа, т.-е. 77 сотен, Значит, в нашем корне должно быть 8 десятков, потому что 8 десятков в квадрате равны 64 сотням, а 9 десятков в квадрате дают уже 81 сотню. Итак, корень содержится между числами 80 и 90; посмотрим,

не равен ли он среднему между ними числу, т.-е. 85. Для этого разделим 7 795 на 85:

Получили в частном 91 и 60 в остатке; 85 не есть искомый корень, но корень должен заключаться между 85 и 91. В самом деле, мы имеем 7 795 = 85-91-1-60; это число более, чем 85-85, но менее, чем 91-91; поэтому корень более 85 и менее 91. Посмотрим, не равен ли он среднему числу между 85 и 91, т.-е. 88; для этого разделим 7 795 на 88:

Получаем, что 7 795 = 88-88 + 51; отсюда ясно, что наше число 7 795 более 882, но менее 892, и искомого корня нет, а число 88 будет приближенным целым корнем.

Подобным способом можно извлекать квадратные корни из любых чисел. Найдем, например, квадратный корень из числа 285156.

Данное число заключено между 1002= 10000 и 10002 = 1000030, значит, корень, из него более 103 и менее 1000, т.-е. состоит из трех разрядов — сотен, десятков и единиц. Сотни при возведении в квадрат дают десятки тысяч, а десятков тысяч в нашем числе 28; значит сотен в корне будет столько, что при умножении их числа на самого себя получится приблизительно 28. Так как 5 сотен в квадрате дают 25 десятков тысяч, а 6 сотен в квадрате — 36 десятков тысяч, то видим, что данное число заключено между 5002 и 6002, а корень из него — между 500 и 600. Посмотрим,

не равен ли он среднему между 500 и 600, т.-е. 550; для этого разделим данное число 285156 на 550:

Разделив 285156 на 550, получаем в частном 518 и в остатке 256; значит, 285156 = 550-518-[-256. Подобно предыдущему, замечаем, что данное число более 518-518, но менее 550-550, значит, искомый корень более 518, но менее 550. Посмотрим, не равен ли он среднему числу между 518 и 550; это среднее число будет 534 (чтобы его получить нужно к 518 прибавить половину избытка 550 над 518, т.-е., 16). Для проверки нужно теперь разделить 285156 на 534:

Мы получили 285156:534 = 534: искомый корень есть 534.

Объяснение к чертежу 75 на стр. 185.

Фигура 1 представляет выкройку куба, фиг. 2 — прямоугольной призмы; фиг. 3, 4 и 5 — выкройки пирамид; фиг. 6 и 7 — выкройки цилиндра и конуса. Чтобы склеить по ним тела, нужно изготовить такие выкройки из тонкого картона в увеличенном размере (напр., вместо каждого сантиметра взять дециметр), согнуть лишние края выкройки внутрь и смазать их синдетиконом или другим крепким клеем, а затем плотно и аккуратно приклеить друг к другу соответствующие грани.

Черт. 75.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

Предисловие........................ 3

ЧАСТЬ I. ОТДЕЛ I. Как называются и записываются числа.

§ 1. Как мы считаем....................... 7

§ 2. Разряды и классы единиц................... 10

§ 3. Почему наш способ счета называется десятичной системой счисления ......................... —

§ 4. Изображение чисел цифрами................. 13

§ 5. Римские цифры....................... 15

ОТДЕЛ II.

Как решаются задачи. Некоторые искусственные приемы решения задач.

§ 6. Простые и сложные задачи.................. 17

§ 7. Решение сложных задач. Запись решения по вопросам..... 18

§ 8. Именованные и отвлеченные числа. Запись наименований при действиях над числами................. 21

§ 9. План решения задачи. Прямой и обратный способ рассуждения при решении задач................... 24

§ 10. Сокращенная запись решения задачи (формула). Порядок действий, скобки..................... 28

§ 11. Некоторые особые приемы решения задач............ 31

ОТДЕЛ III.

Меры и измерение.

§ 12. Почему у нас введены новые (метрические) меры. Измерение длины 47

§ 13. Измерение и меры веса................... 49

§ 14. Меры сыпучих тел, жидкостей и бумаги............ 50

§ 15. Происхождение метрической системы. Перевод наших старых мер в новые........................ 51

Стр.

§ 16 Меры стоимости. Деньги................... 53

§ 17. Измерение и меры времени.................. 56

§ 18. Календарь. Старый и новый стиль............... 61

§ 19. Решение задач на календарный счет времени.......... 65

ОТДЕЛ IV.

Сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел, отвлеченных и именованных.

§ 20. Смысл сложения....................... 71

§ 21. Какие вопросы решаются с помощью сложения........ 72

§ 22. Основные свойства сложения................. 73

§ 23. Сложение однозначных чисел. Таблица сложения........ 76

§ 24. Сложение многозначных чисел................ 77

§ 25. Сложение составных именованных чисел............ 79

§ 26. Смысл вычитания....................... 80

§ 27. Какие вопросы решаются вычитанием............. 82

§ 28. Основное свойство вычитания................. 83

§ 29. Таблица вычитания...................... 84

§ 30. Вычитание многозначных чисел............... —

§ 31. Вычитание составных именованных чисел........... 88

§ 32. Изменения суммы и разности. Упрощенные способы прибавления и отнимания закругленных чисел............ 90

§ 33. Проверка сложения и вычитания............... 94

§ 34. Смысл умножения..................... 98

§ 35. Какие вопросы решаются умножением............. 100

§ 36. Основные свойства умножения................ 101

§ 37. Умножение однозначных чисел. Таблица умножения ...... 106

§ 33. Умножение многозначного числа на однозначное ....... 107

§ 39. Умножение многозначных чисел................ 108

§ 40. Упрощенные приемы умножения многозначных чисел...... 111

§ 41. Раздробление именованных чисел............... 113

§ 42. Умножение составного именованного числа (на отвлеченное) . . 115

§ 43. Смысл деления........................ 116

§ 44. Какие вопросы решаются посредством деления ...... . . 119

§ 45. Основные свойства деления.................. 120

§ 46. Таблица деления....................... 123

§ 47. Деление многозначного числа на однозначное......... —

§ 48. Деление многозначного числа на многозначное......... 127

§ 49. Превращение именованных чисел............... 132

§ 50. Деление именованны к чисел ................. 133

§ 51. Изменения произведения и частного. Упрощенные приемы умножения и деления.................... 136

§ 52. Проверка умножения и деления...............-141

Стр.

ОТДЕЛ V.

Измерение площадей и объемов в связи с необходимыми сведениями из геометрии.

§ 53. Как мы сравниваем площади и объемы............ 145

§ 54. Куб и прямоугольная призма................. 147

§ 55. Пирамида.......................... 149

§ 56. Цилиндр, конус, шар. Круг, окружность........... 150

§ 57. Тело, поверхность, линия, точка................ 151

§ 58. Горизонтальные и вертикальные прямые и плоскости...... 152

§ 59. Углы. Перпендикулярные и наклонные прямые линии..... 154

§ 60. Параллельные прямые линии................. 159

§ 61. Центр, радиус и диаметр круга................ 161

§ 62. Измерение площади прямоугольника и квадрата........ —

§ 63. Косоугольник (параллелограм); измерение его площади..... 165

§ 64. Треугольник; измерение его площади............. 167

§ 65. Трапеция. Измерение ее площади............... 171

§ 66. Измерение площади многоугольника.............. 172

§ 67. Измерение объемов прямоугольной призмы и куба. Кубические меры......................... 173

ОТДЕЛ VI.

Краткие сведения о возведении в степень и извлечении корня.

§ 68. Возведение чисел в степень. Квадрат и куб. числа....... 177

§ 69. Корень. Извлечение квадратного корня............ 180