Крейн С. Г., Ушакова В. Н. Математический анализ элементарных функций. — М. : Физматгиз, 1963. — 168 с.

С.Г.КРЕЙН, В.Н.УШАКОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

С. Г. КРЕЙН. В. Н. УШАКОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1963

517.2 К 79

Селам Григорьевич Крейн, Валентина Николаевна Ушакова,

Математический анализ элементарных функций.

М., Физматгиз, 1963 г., 168стр. с илл.

Редактор А. Н. Копылова. Техн. редактор И. Ш. Аксельрод. Корректор И. Б. Демьяновская.

Сдано в набор 8/1Х 1962 г. Подписано к печати 11/1 1963 г. Бумага 84xl08'/32. Физ. печ. л. 5,25. Условн. печ. л. 8,61. Уч.-изд. л. 7,81 Тираж 40 000 экз. Т-01508. Цена книги 33 коп. Заказ № 701.

Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.

Типография N 2 им. Евг. Соколовой УЦБ и ПП Ленсовнархоза. Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................ 8

Глава I ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 1. Понятие функции................... 11

1. Определение функции по Лобачевскому (11). 2. Система координат (12). 3. График функции и уравнение кривой (13).

4. Однозначные и многозначные функции (16). 5. Область определения функции (16).

§ 2. Линейная функция y = kx + b............ 18

1. График линейной функции у = kx (18). 2. График общей линейной функции (20). 3. Приращение линейной функции (22). 4. Возрастание и убывание линейной функции (23).

5. Задачи на построение линейной функции (24).

§ 3. Геометрические задачи для двух линейных функций . 26

1. Параллельность графиков линейных функций (26).

2. Точка пересечения графиков линейных функций (26).

3. Угол между графиками линейных функций (27). 4. Перпендикулярность графиков линейных функций (28).

§ 4. Линейная интерполяция................ 29

§ 5. Квадратичная функция................ 30

1. Симметрия графика функции у = х2 (31). 2. Исследование функции на возрастание и убывание (31). 3. Экстремум функции у = х2 (32). 4. Исследование графика функции у = х2 на выпуклость и вогнутость (34). 5. Функция у = ах2 (35). 6. Уравнение параболы с вершиной в заданной точке (36). 7. Исследование общей квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с (37). 8. Примеры зависимостей, выражающихся квадратичной функцией (38).

§ 6. Кубическая функция................. 4°

1. Исследование функции у = хг (40). 2. Исследование функции у =* хг + kx (42). 3. Исследование функции у = х^ -f- kx -f- ft (46). 4. Исследование общей кубической функции у = й0*3 + а{х2 + + Аз (48). 5. Пример зависимости» выражающейся кубической функцией (48).

§ 7. Многочлены...................... 49

1. Сравнение графиков степенных функций у = хп при четных и нечетных показателях (49). 2. Многочлен. Корни многочлена. Разложение на множители (50). 3. Поведение многочлена у = Рп(х) на бесконечности (52). 4. Примеры графиков многочленов (52).

§ 8. Обратно-пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция.................... 53

1. Исследование функции у=-~(53). 2. Гипербола с центром в заданной точке (56). 3. Дробно-линейная функция (57).

§ 9. Дробно-рациональная функция........... 58

1. Отрицательные степени х (58). 2. Дробно-рациональная функция (61). 3. Асимптоты графика дробно-рациональной функции (62). 4. Разложение на простейшие дроби (64). 5. Графики простейших дробей (66). 6. Пример зависимости, выражающейся дробно-рациональной функцией (70).

§ 10. Показательная функция............... 71

§ 11. Тригонометрические функции............ 72

1. Исследование функции у = sin х (73). 2. Исследование функции у sa sin ©je (75). 3. Уравнение простого гармонического колебания (76). 4. Приведение функции у = A cos ых -f- В sin iùx к виду простого гармонического колебания (77). 5. Примеры зависимостей, выражающихся тригонометрическими функциями (79).

§ 12. Взаимно-обратные функции............. 80

1. Понятие обратной функции (80). 2. График обратной функции (81). 3. Свойства обратной функции (82). 4. Логарифмическая функция у = \ogQ х (83). 5. Обратные тригонометрические функции и их главные значения (84).

§ 13. Линеаризация алгебраических функций....... 86

1. Линеаризация рациональных функций вблизи нуля (86).

2. Линеаризация иррациональных функций (88). 3. Линеаризация вблизи данного значения аргумента (щ.

Глава II ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Предел функции в точке............... 91

1. Понятие бесконечно малой (91). 2. Свойства бесконечно малых (92). 3. Понятие предела функции (93). 4. Свойства пределов (93). 5. Понятие непрерывной функции (97).

§ 2. Предел функции на бесконечности ......... 99

1. Понятие функции, бесконечно малой на бесконечности (99). 2. Предел функции на бесконечности (99). 3. Нахождение наклонных асимптот графика функции (100).

§ 3. Задача о касательной ................103

1. Касательная к параболе у = х2 в начале координат (105).

2. Касательная к параболе у = У х (106). 3. Касательная к синусоиде у = sin х в начале координат. Первый замечательный предел (106). 4. Касательная к косинусоиде у =* cos X в точке ее пересечения с осью ординат (109). 5. Касательная к тангенсоиде у = tg х в начале координат (110). 6. Касательные к графикам обратных тригонометрических функций (111). 7. Касательная к графику обратной функции (112). 8. Касательная к графику показательной функции в точке его пересечения с осью ординат (113). 9. Касательная к графику логарифмической функции в точке пересечения с осью Ох (116). 10. Число е как предел (117).

§ 4. Гиперболические функции..............117

Глава III

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Сравнение бесконечно малых функций .......120

1. Свойства бесконечно малых более высокого порядка малости, чем данная (121). 2. Основная теорема об эквивалентных бесконечно малых (121).

§ 2. Линеаризация вблизи нуля .............122

1. Линеаризация функции у = (1-|~^)л (123). 2. Линеаризация функции у = -г—— (123). 3. Линеаризация функ-_ * ~т х

ции у =*У~\ -\-X (124). 4. Линеаризация функции у = sin л" (124). 5. Линеаризация функции у = cos х (124). 6. Линеаризация функций у = е* и у ±= а* (125). 7. Линеаризация функции у = loga (1 + х) (125). 8. Формулы линеаризации вблизи нуля (125). 9. Примеры применения линеаризации (126).

§ 3. Линеаризация функции вблизи данной точки .... 126

1. Производная и дифференциал линейной функции в данной точке (128).

§ 4. Формулы линеаризации основных элементарных функций. Производные................129

1. Линеаризация степенной функции f(x) = хп при целом положительном п (129). 2. Линеаризация функции f(x) = — (130). 3. Линеаризация функции f(x) = Vx (130).

4. Линеаризация функции f(x) = sïnx (131). 5. Линеаризация функции /(-k) = cos* (131). 6. Линеаризация показательной функции f(x) = ax (131). 7. Линеаризация логарифмической функции f(x) = \ogax (131).

§ 5. Общие свойства производных............132

1. Производная суммы (132). 2. Производная произведения (133). 3. Производная дроби (133). 4. Производная и дифференциал сложной функции (135). 5. Производная степенной функции при любом показателе степени (137). 6. Производные обратных функций (137). 7. Производные обратных тригонометрических функций (138).

§ 6. Геометрический смысл производной и дифференциала 138

1. Геометрический смысл производной (138). 2. Уравнение касательной к кривой у = f(x) в точке (jc0, у0) (139). 3. Геометрический смысл дифференциала (140).

§ 7. Понятие о производных и дифференциалах высшего порядка........................140

§ 8. Механический смысл производной..........141

Глава IV ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

§ 1. Поведение функции вблизи данной точки......143

1. Условие возрастания и убывания функции в точке (143).

2. Точки экстремума (144). 3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (146).

§ 2. Теорема Лагранжа и ее применения........148

1. Теорема Лагранжа (148). 2. Возрастание и убывание функции на отрезке (150). 3. Классификация изолированных стационарных точек (151). 4. Достаточное условие экстремума по второй производной (153). 5. Выпуклость и вогнутость дуги кривой (154). 6. Пример. Исследование функции у = 6х2е~х7 (157).

§ 3. Применение производных к вычислению пределов . 158

1. Теорема Коши (158). 2. Правило Лопиталя (159). 3. Сравнение поведения на бесконечности степенной, показательной и логарифмической функций: хп% ext ïnx (160).

§ 4. Представление функции по формуле Тейлора ....

1. Формула Тейлора (161). 2. Геометрический смысл формулы Тейлора при п = 2 (164).

§ 5. Представление элементарных функций по формуле Тейлора вблизи нуля.................164

1. Представление многочлена (164). 2. Представление функции (1 + х^т- Бином Ньютона (165). 3. Представление функции ~z—"г-— (166). 4. Представление функции V 1 + X (166). 5. Представление функций sin х и cos х (167). 6. Представление функций е* и ах (167). 7. Представление функций 1п(1+лг) и loga(\+x) (167). 8. Таблица простейших представлений основных элементарных функций по формуле Тейлора (168).

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга написана на основе лекций по курсу высшей математики, которые читались одним из авторов в течение ряда лет в Криворожском горнорудном и в Воронежском лесотехническом институтах.

Общеизвестно, что при изучении курса высшей математики учащийся встречает ряд трудностей. Особенно трудно усваивается первая часть математического анализа, содержащая теорию пределов и дифференциальное исчисление Эти трудности, с одной стороны, объясняются обилием новых понятий и методов, с другой, по нашему мнению,— недостатками в построении курса. Главным из них мы считаем отсутствие ясности в том, что является основным объектом исследования. Создается впечатление, что наиболее важным является изучение логической взаимосвязи между различными новыми понятиями.

Нам кажется, что основное содержание любого курса определяется не общностью понятий и теорем, которые в нем вводятся, а запасом примеров и приложений, которые рассматриваются в самом курсе, на практических занятиях и в смежных курсах. Можно применять все более и более общий подход к изложению понятий числа, функции, предела и т. п., однако, если при этом не изменится круг задач, решаемых на лекциях, практических занятиях и в смежных курсах, то это только приведет к отрыву метода изложения от объекта исследования.

Авторы считают, что основным объектом исследования в курсе математического анализа во ВТУЗе являются функциональные зависимости между величинами, выражающиеся точно или приближенно с помощью элементарных функций. Те небольшие выходы за рамки класса элементарных функций, которые имеются в теории интегралов, рядов и диф-

ференциальных уравнений, еще больше подчеркивают основное содержание курса. Если подготовка инженера требует большего, то вводят такие дополнительные разделы или курсы, как «Специальные функции», «Аналитические функции» и т. п.

Точка зрения авторов отразилась в названии и содержании книги. В ней излагается не математический анализ вообще, а математический анализ элементарных функций.

Изучение математического анализа в ВУЗе осложняется тем, что выпускники средней школы имеют чрезвычайно скудный запас сведений об элементарных функциях. С целью пополнить этот запас в книгу введена большая глава «Элементарные функции», в которой приводится детальное исследование основных элементарных функций методами «школьной математики» (даже без использования бинома Ньютона). При этом рассматриваются уже все основные характеристики функций и их графиков, изучаемые в курсе анализа (область определения, участки возрастания и убывания, точки экстремума, участки выпуклости и вогнутости графиков, точки перегиба, асимптоты и т. д.). Все свойства и соответствующие им понятия вводятся не «про запас», а по мере их обнаружения при изучении той или иной функции. В конце первой главы затрагивается вопрос о линеаризации простейших алгебраических функций. Линеаризации функции путем отбрасывания степеней малой величины выше первой авторы придают важное значение, так как именно таким образом она производится большей частью в прикладных задачах.

Во второй главе изложены основы теории пределов. Вычисление наиболее важных пределов привязано к задаче о нахождении касательной к графикам основных элементарных функций. Так, число е вводится как основание показательной функции, угловой коэффициент касательной к графику которой в точке пересечения с осью ординат равен единице.

В третьей главе («Линеаризация элементарных функций») на базе вычисленных пределов получаются формулы для линеаризации основных элементарных функций вблизи нуля, а затем и для линеаризации вблизи любой точки. Производные получаются как коэффициенты при кх в формулах линеаризации. Вывод всех формул для производных одно-

типен и основан на применении «теоремы сложения» и формулы линеаризации вблизи нуля для соответствующей функции. Широко используются понятия эквивалентных бесконечно малых и порядка одной бесконечно малой относительно другой.

Четвертая глава — «Применение производных к исследованию функций» — написана сжато. Основные задачи на исследование функций уже поставлены в первой главе и быстро решаются с помощью теоремы Лагранжа. Формула Тейлора выводится как дальнейшее естественное развитие формулы линеаризации и применяется к разложению основных элементарных функций.

Изложение иллюстрируется небольшим числом примеров физического характера.

Уровень строгости изложения разный в разных главах. Если в первой главе используется только интуитивное понятие предела функции, то во второй главе оно вводится строго. Свойства непрерывных функций и непрерывность основных элементарных функций используются без их доказательства.

Авторы еще раз подчеркивают, что они пытались построить изложение так, чтобы максимально сузить разрыв между построением аппарата математического анализа и основным объектом, к которому он применяется, — элементарными функциями. Насколько им удалось это, будет судить читатель.

С. Г. Крейн В. Н. Ушакова

ГЛАВА I

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 1. Понятие функции

При изучении различных явлений природы приходится иметь дело с самыми разнообразными величинами: температурой, объемом, массой, весом, длиной и др. При этом в каждом рассматриваемом случае одни из этих величин остаются неизменными, другие изменяются.

Величина называется переменной, если она принимает различные численные значения.

Известно, что отношение длины окружности к ее диаметру остается неизменным, равным те, какую бы окружность мы ни рассматривали, в то время как площадь круга и длина окружности могут принимать разные значения.

Заметим, что одна и та же величина при одних условиях может рассматриваться как постоянная, при других — как переменная. Так, при грубом измерении длину металлического стержня можно считать неизменной. Но при точном измерении оказывается, что она изменяется при тепловом воздействии.

Среди переменных величин различают независимые и зависимые. В вышеприведенном примере независимой переменной можно считать температуру, зависимой — длину стержня.

1. Определение функции по Лобачевскому. Величина у называется функцией величины х, если каждому значению х соответствует одно или несколько определенных значений у.

Величину X при этом называют аргументом.

Если величина у есть функция величины ху то условимся это записывать так: y = f (х) и читать: игрек есть эф от икс. Для каждой конкретной функции знак / определенным образом расшифровывается.

Чаще всего функция задается уравнением, из которого при каждом значении х находится соответствующее значение у. В таком случае говорят, что функция задана аналитически. Если при этом уравнение, задающее функцию, разрешено относительно у, то говорят, что функция задана явно.

Например,

При явном задании функции y — f(x) значок / указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть произведены над х, чтобы получить у.

В конкретных задачах зависимая и независимая переменные могут обозначаться другими буквами. Например, в уравнении s = vt, определяющем зависимость длимы пути s от времени t при равномерном движении, независимая переменная обозначена через t, а зависимая — через s.

2. Система координат. Для определения положения точки на плоскости выберем на плоскости прямоугольную систему координат, т. е. две взаимно перпендикулярные прямые с указанными на них направлениями отсчета. Точку пересечения прямых примем за начало отсчета на каждой из них (рис. 1). Одну из прямых (чаще горизонтальную) называют осью абсцисс (ось Ох), Другую (вертикальную) — осью ординат (ось Oy). Точка пересечения осей — начало координат.

Рис. 1.

Пусть на плоскости имеется некоторая точка М. Опустим из этой точки на ось абсцисс перпендикуляр MN. Абсциссой х0 точки M называется длина отрезка ON, если точка N лежит правее точки О (т. е. расположена от точки О в сторону заданного направления отсчета). Если же точка N лежит левее точки О, то абсциссой точки M называется длина отрезка 0/V, взятая со знаком минус.

Ординатой у0 точки M называется длина отрезка MN, если точка M лежит выше оси абсцисс. В противном случае ордината точки M — длина отрезка MN, взятая со знаком минус.

Отметим, что точки, лежащие на оси абсцисс, имеют ординаты, равные нулю, а точки, лежащие на оси ординат — равные нулю абсциссы.

Два числа, абсцисса лг0 и ордината у0, называются координатами точки M и это принято записывать так: М(х0, у0).

Рис. 2.

На рис. 2 указано, какие знаки имеют координаты точек в каждом из четырех координатных углов, называемых четвертями.

3. График функции и уравнение кривой. Если задана функция у = f (jc), то каждому значению х соответствует значение у — значение функции в точке х. По двум числам хну можно построить точку М(х, у). Совокупность всех таких точек образует график функции. Этот график обычно представляет собой одну или несколько кривых.

Если задается кривая, а по ней восстанавливается функция, то полученное уравнение y — f(x) называют уравнением кривой.

Итак, всякая функция имеет свой график и, наоборот, всякая линия имеет свое уравнение. Вместо линий можно рассматривать уравнения, исследовать их и полученные результаты переводить на язык геометрии. Наука, решающая задачи геометрии алгебраическими методами, называется аналитической геометрией.

Приведем примеры геометрических задач, решаемых алгебраически.

Задача 1. Пусть даны уравнение кривой y = f(x) и точка M(xQt у0). Требуется узнать, лежит ли точка M на данной кривой.

Вычислим значение y = f(x), при х = xQ сравним полученное значение у = f (х0) с у0. Если / (х0) будет больше у0, то точка M лежит ниже кривой, если f (х0) меньше у0, то точка M лежит выше кривой. Равенство у0 = /(л;0) является условием того, что точка лежит на данной кривой.

Итак, для того чтобы узнать, лежит ли точка М(х0, у0) на кривой у = f (х), нужно в уравнение кривой подставить координаты точки М. Если координаты удовлетворяют уравнению кривой, то точка лежит на кривой, если не удовлетворяют, то не лежит.

Пример. Дано уравнение кривой у = х3 + 5*2 — 1. Требуется проверить, лежат ли на этой кривой точки Мг(2, 3) и Ж2(1, 5). Абсцисса точки Мх равна 2. При х0 = 2 будет y=8-f-20— 1 =27. Точка Мх лежит ниже кривой. При #0=1 будет у = 1 —(— 5—1=5. Точка М2 лежит на кривой.

Задача 2. Найти точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат.

Пусть кривая y = f(x) пересекает ось Oy в точке A(xv уг), ось Ох — в точке В(х2, у2) (рис 3). Так как точка А лежит на оси Oy, то абсцисса ее равна нулю: лг1 = 0, но точка А лежит и на кривой, поэтому ординату ее мы можем найти из уравнения кривой. Для этого подставим в него вместо х нуль и вычислим соответствующее значение у: у1 = /(д:1) = /(0).

Точка В лежит на оси Олг, поэтому ордината ее равна нулю: у2 = 0. Так как точка В лежит и на кривой, то,

подставляя х2 вместо х в уравнение у = /(#), мы должны получить нуль: f(x2) = Q. Следовательно, абсцисса х2 точки В является корнем (действительным) уравнения /(jç) = 0.

Рис. 3.

Итак, для того чтобы найти точки пересечения кривой с осью Ох, нужно в уравнение кривой вместо у подставить нуль и решить полученное уравнение. Действительные корни уравнения дадут абсциссы точек пересечения кривой с осью Ох.

Пример. Найти точки пересечения кривой у = — X2 — 2х — 3 с осями координат.

Точки пересечения с осью Oy: X = 0, у = — 3.

Точки пересечения с осью Ох: у = О, X2 — 2х — 3 = 0, откуда х1 = — 1,

Не строя графика функции, мы нашли точки пересечения графика с осями координат: Л(0, —3), В(—1, 0), С(3, 0); график изображен на рис. 4.

Иногда применяют обратный процесс: для решения уравнения f(x) = 0 строят график функции y = f(x) и находят точки пересечения его с осью Ох. Координаты этих точек дают действительные корни уравнения.

Рис. 4.

4. Однозначные и многозначные функции. Определение. Функция называется однозначной, если каждому значению аргумента соответствует одно значение функции. Функция называется многозначной, если некоторым значениям аргумента соответствует несколько значений функции.

Рис. 5.

В примере, изображенном на рис. 5, значению аргумента л:0 соответствуют три значения функции. Геометрически это означает, что прямая, параллельная оси Oy, пересекает график функции в трех точках.

График однозначной функции (рис. 6) пересекается каждой прямой, параллельной оси Oy, только в одной точке.

6. Область определения функции. Определение. Совокупность всех значений аргумента, которым соответствуют определенные действительные значения функции, называется областью определения функции.

Пример 1. Найти область определения функции у — у 1 — X, т. е. те значения х, которым соответствуют действительные значения у. Очевидно, подкоренное выражение для этих X не должно быть отрицательным:

Рис. 6.

Итак, функция у=у\—х определена для всех значений лг, меньших или равных единице:

— со < X < 1.

Область определения функции у = |Л — х изображена на рис. 7.

Рис. 7.

График функции будет располагаться слева от прямой, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку х — 1.

Пример 2. Найти область определения функции y = \g(x2 —4). Так как при положительном основании отрицательные числа не имеют действительных логарифмов, необходимо, чтобы выражение, стоящее под знаком логарифма, было положительным:

X2 — 4 > 0, или лг2>4. Это неравенство будет выполнено, если х > 2 или х < — 2.

Рис. 8.

Область определения исследуемой функции состоит из двух частей: — со < * < — 2 и 2 < jc < со (рис. 8), а график имеет две ветви, которые располагаются слева от прямой X = — 2 и справа от прямой х = 2.

§ 2. Линейная функция y = kx + b

Уравнение у — kx-\-b задает линейную функцию, здесь k и b— действительные числа. Так как при этих условиях функция y — kx-\-b действительна для всех действительных X, то, следовательно, область ее определения — вся числовая прямая:

— СО < X < со.

1. График линейной функции y = kx. Покажем, что графиком функции yz=kx является прямая, проходящая через начало координат (рис. 9). Дадим X произвольное значение хх и вычислим соответствующее значение у:

yx = kxv

Через начало координат и точку Аг(хг, у{) проведем прямую. Обозначим через ах угол, образованный этой прямой с положительным направлением оси Ох и отсчитываемый от оси Ох против часовой стрелки. Из прямоугольного треугольника ОА{В находим

Рис. 9.

При этом мы воспользовались тем, что yl=kx1.

Дадим теперь х новое значение х2, вычислим соответствующее значение у: y2 = kx2 и покажем, что точка А2(х2, у2). лежит на той же прямой. Для доказательства проведем через начало координат и точку А2(х2* у2) прямую. Тангенс угла, образованного этой прямой с осью Ох9 найдем из треугольника ОА2С:

Следовательно, tg <х2 = tg av т. е. а{ = а2 или аг = ± тс. Это значит, что точка Л2 лежит на прямой, проходящей через точки 0(0, 0) и Ax(X\t ух), что и требовалось доказать.

Таким образом, графиком функции y = kx является прямая, проходящая через начало координат и образующая с положительным направлением оси Ох угол а, тангенс которого равен k (рис. 10).

Проведем теперь через начало координат прямую, не совпадающую с осью Oy, и покажем, что уравнение ее имеет вид у = kx.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х, у). Опустим из нее перпендикуляр на ось Ох, Из прямоугольного треугольника OMN найдем y = ^tga. Если обозначить tga = &, то y — kx.

Рис. 10. Рис. 11.

Для прямой, совпадающей с осью Ох, <х = 0, tga = 0, k = 0 и уравнение ее у = 0.

Итак, уравнение всякой прямой, проходящей через начало координат и не совпадающей с осью Oy, имеет вид y = kx, где коэффициент k— тангенс угла, образуемого прямой с положительным направлением оси Ох.

По знаку k можно установить, какой угол образует прямая с осью Ох: если k < 0, т. е. tga<0, то угол тупой; если k > 0, — острый (рис. 11, 10). Число k называется угловым коэффициентом.

Если прямая совпадает с осью Oy, то ее уравнение не может быть написано в виде у = kx. Для всех точек этой оси х = 0, и это уравнение можно рассматривать как

уравнение оси Oy. Уравнение прямой, параллельной оси Oy, имеет вид х = а, где а — расстояние прямой от оси Oy.

2. График общей линейной функции. Рассмотрим функции y = kx и у — kx -\-Ь. При одном и том же значении х значения этих функций отличаются на Ь, причем значения второй функции больше соответствующих значений первой, если Ь > 0, и меньше, если Ь < 0. В частности, если х = 0, то для первой функции у = 0, а для второй у = Ь. Следовательно, чтобы построить график функции у = kx-\-b, нужно прямую у — kx поднять вверх параллельно самой себе на если о > 0, и опустить вниз, если b < 0 (рис. 12).

Итак, графиком всякой линейной функции является прямая линия. Коэффициент k представляет собой тангенс угла наклона этой прямой к оси Ох. Абсолютная величина коэффициента b дает длину отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy, а знак b указывает на расположение этого отрезка: при £>0 отрезок расположен выше оси Ох; при £<0 — ниже.

Рис. 12. Рис. 13.

Справедливо и обратное утверждение: всякая прямая, не параллельная оси Oy, имеет уравнение у = kx -f- b. Доказательство предоставляем читателю.

Укажем частный случай, когда k — 0. Тогда функция имеет вид у — Ь. Ее графиком является прямая, параллельная оси Ох (рис. 13).

Приведем примеры линейных зависимостей.

а) При равномерно-ускоренном движении с нулевой начальной скоростью скорость движения прямо пропорцио-

нальна времени. Зависимость скорости от времени выражается в этом случае линейной функцией

v — at,

где у — скорость, а — ускорение, t — время.

Графически эта зависимость изображается прямой, проходящей через начало координат, причем рассматривать нужно ту часть прямой, которая располагается над положительной частью оси абсцисс: 0</ < оо (рис. 14).

Рис. 14.

Рис. 15.

б) В физике изучается зависимость объема газа v от температуры t. Эта зависимость выражается линейной функцией

f=*o(i-H/)f

где v0 — объем газа при / = 0°, ß—коэффициент объемного теплового расширения. Графически (рис. 15) эта зависимость изображается прямой, отсекающей от положительной части оси ординат отрезок, равный v0.

в) Аналогичная зависимость существует между длиной стержня L и температурой t:

i = io(l+a/),

где L0 — длина стержня при £ = 0°, а—коэффициент линейного теплового расширения.

Понятие приращения функции и его геометрический смысл.

Определение. Приращением функции называется величина, на которую изменяется значение функции при переходе от одного значения аргумента к другому.

Пусть х0 и хх — два значения аргумента, y0 = f(xo) и у{ = f(xx)— соответствующие значения функции, тогда приращением аргумента назовем разность

xi — *о»

а приращением функции — разность

Л — Уо = /(^1) — /(*<>)•

Для различных и л:0 значение ylt вообще говоря, отличается от у0, поэтому удобно ввести обозначения

Рис. 16.

Теперь приращение функции примет вид

Ду = /(*о + А*) — /(*о).

где Ах = — л:0 — приращение аргумента.

На рис. 16 изображен график некоторой функции у = / (лг) и на нем точки М0(х0> у0) и Мх (xv ух). Приращение функции Ду = ух — у0 представляет собой разность ординат этих двух точек кривой.

Заметим, что приращение функции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

3. Приращение линейной функции. Вычислим приращение линейной функции

у = kx-\-b.

Имеем

Вычитая из второго равенства первое, получаем Ду = kxQ -f- k Да: + b — kxQ — b = k hx.

Это равенство показывает, что приращение линейной функции пропорционально приращению аргумента, причем

коэффициент пропорциональности равен угловому коэффициенту /г.

Понятие возрастающей и убывающей функции. Их графики.

Определение. Функция называется возрастающей, если с увеличением аргумента увеличивается значение функции, и убывающей, если с увеличением аргумента значение функции уменьшается.

Пусть дана некоторая функция / (лг) и два произвольных значения аргумента х1 и х2, причем х2 > Х\. Соответствующие значения функции f\xx) и / (х2)- Функция возрастает, если f (хх) < f (х2), и убывает, если f(xx)>f(x2).

Из определения возрастающей функции следует, что при движении вправо график ее поднимается (рис. 17, 18). Если функция убывает, то при движении вправо график опускается (рис. 19).

Рис. 17.

Рис. 18.

Рис. 19.

4. Возрастание и убывание линейной функции. Пусть х2> хх, тогда f (хх) = kxx-}-b, f(x2) = kx2-\-b. Вычислим разность f (х2) — f(xx) = k(x2— хх) и установим ее знак. Так как х2 > xv то х2 — хх > 0, и знак разности f(x2)— / (хх) зависит от знака k. Если k > О, то f (х2) — /(л:1)>0, т. е. /(х2)> f (хх), и функция будет возрастающей. Если k < О,

то / (х2) — / (х{)< О, т. е. /(*2)</C*t). и функция убывающая.

Итак, если угловой коэффициент k больше нуля, то линейная функция возрастает. Если угловой коэффициент k меньше нуля, то линейная функция убывает. При k = О линейная функция постоянна, и графиком ее является прямая, параллельная оси Ох.

5. Задачи на построение линейной функции. Под термином «построение линейной функции» мы будем понимать отыскание уравнения у = kx-{- Ь, задающего эту функцию. Для составления этого уравнения необходимо знать два коэффициента k и Ь. Эти коэффициенты могут быть определены из двух заданных условий, которым должна удовлетворять функция.

Рассмотрим три наиболее распространенные задачи.

Задача 1. Построить линейную функцию по угловому коэффициенту и значению ее в некоторой точке.

Пусть даны угловой коэффициент k искомой функции и значение у0 функции в точке х0 : у0 = f (х0). Чтобы найти линейную функцию y = kx-\-b, необходимо найти b (k нам известно). Для этого воспользуемся вторым условием, т. е. тем, что у0 = kx0-\-b. Отсюда b = yQ — kx0.

Подставляя это в уравнение, задающее функцию, получим у =zz kx-\-yç — kxQ, или

У — Уо = * (* — х0).

Геометрический смысл этой задачи таков: требуется найти прямую, проходящую через заданную точку и образующую с осью Ох заданный угол. Действительно, нам известны координаты (х0, у0) и известен тангенс k угла прямой с осью Ох.

Пример 1. Найти линейную функцию, угловой коэффициент которой равен 2 и которая при х0— 1 принимает значение у0=3. Подставляя данные в уравнение, получаем

у — 3 = 2 . (х - 1) или у — 2х+\.

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (lt 2) и образующей с осью Ох угол 45е. По условию fc = tg45°=l, х0 = 1, у0 = 2. Поэтому

Задача 2. Построить линейную функцию по двум ее значениям, принимаемым в двух заданных точках.

Пусть даны значения функции у0 и у1 в двух точках дг0 и хх: Уо = /(*о)' У\ — /(х\)* и пусть y~kx-\-b — искомая линейная функция. Подставляя вместо х значения л:0 и х1% получаем

у{ — kxx-\~b.

Вычитая первое равенство из второго, имеем

У1 — Уо = * (*i — *о)«

Отсюда находим угловой коэффициент k:

Х\ — х0

Зная значение функции в точке х0 и угловой коэффициент, можем подставить их в уравнение у — у0 = k (х — л;0). Тогда получим

Разделив обе части уравнения на ух — у0, запишем уравнение в симметричной форме

Геометрический смысл задачи состоит в том, что мы находим прямую, проходящую через две данные точки.

Рис. 20.

Формула k = ——— для вычисления углового коэффициента имеет простой геометрический смысл. На рис. 20 видно, что отношение у* является отношением катетов в прямоугольном треугольнике ЛВС и, следовательно, равно тангенсу угла а, т. е. угловому коэффициенту.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки (2, 3) и (1, 0).

§ 3. Геометрические задачи для двух линейных функций

1. Параллельность графиков линейных функций. Если графики двух линейных функций у = klx-\-bl и y = k2x-\-b2 параллельны (рис. 21), то соответствующие прямые образуют

с осью Ох равные углы. Следовательно, тангенсы этих углов, т. е. угловые коэффициенты кх и &2, также равны:

*i = tg ax = tg a2 = k2.

Итак, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: ki = k2.

2. Точка пересечения графиков линейных функций. Пусть заданы две линейные функции

y = klx-\-bl и y — k2x-\-b2t

графики которых пересекаются в точке Л. Требуется найти координаты х0 и у0 этой точки (рис. 22).

Так как точка А лежит на графиках обеих функций, то при X = xQ обе эти функции принимают одинаковые значения:

Рис. 21.

Рис. 22.

Приравнивая правые части, получаем

откуда

Зная дг0, находим

Итак, для отыскания точки пересечения графиков линейных функций следует решить совместно уравнения, задающие эти функции.

Если &1 = &2, то графики параллельны, точки пересечения не существует, что подтверждается найденными формулами.

3. Угол между графиками линейных функций. Пусть даны линейные функции y = kxx-\-bX9 y = k2x-\-b2. Требуется найти угол ср между прямыми, являющимися графиками этих функций. Обозначим через ах и а2 углы, образованные соответственно первой и второй прямой с осью Ох (рис. 23).

При определении угла ср воспользуемся свойством внешнего к треугольнику угла а2, равного сумме внутренних, не смежных с ним: а2 = у-\-а1, откуда ср = — а|.

Так как из уравнений у = = kxx-\- bx и у — k2x -f- b2 известны не сами углы ах и ос2, а их тангенсы tgax = kx и ig а2 = k2% то находят не угол ср, а тангенс этого угла. Тогда

Рис. 23.

По этой формуле вычисляется тангенс угла, отсчитываемого против хода часовой стрелки от графика функции у = kxx -f- bx до графика функции y = k2x-\-b2.

Пример. Найти угол между графиками функций

у = 2х-\~Ъ и y = jc+l.

Предварительно построим графики, для чего найдем их точки пересечения с осями координат (рис. 24). Прямая у = 2л: + 3 пересекает ось Oy в точке 3, а ось Ох — в точке — .

Прямая у — X -\-\ пересекает ось Oy в точке 1, а ось Ох — в точке —1.

Рис. 24.

Построив найденные точки, проведем прямые. Будем искать острый угол между прямыми. Он отсчитывается против хода часовой стрелки от прямой у = х~\-\ к прямой у —2л; + 3. Поэтому, так как kx=\t k2 = 2y получаем 2-1 1

4. Перпендикулярность графиков линейных функций.

Если графики функций yz=kïx-[-bl и y — k2x~\-b2 перпендикулярны ^ср=^, то котангенс угла между ними равен нулю: ctgcp = 0. Из формулы для tgcp находим

Отсюда следует, что при перпендикулярности графиков

Итак, если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

§ 4. Линейная интерполяция

Пусть y = f(x) — некоторая функция, вид которой нам неизвестен, но известны два значения этой функции в точках х0 и хх:

Уо = /(*о) и Ух — f потребуется найти значение функции в точке х, находящейся между л:0 и хх. Это значение может быть найдено приближенно, если неизвестную нам функцию мы заменим линейной, принимающей в точках д:0 и хх те же значения у0 и ух.

Пусть X = xQ-\-Да:, а искомое значение функции у — = y0-f-Ay (рис. 25). Для того чтобы найти значение функции в точке X, достаточно найти Ау. Если приближенно заменить функцию линейной, то приращение последней мы можем легко вычислить. Оно пропорционально приращению аргумента:

Рис. 25.

Ранее было доказано, что для линейной функции Тогда

Вычисляя приближенное значение функции, получаем

или

Замена функции на отрезке линейной функцией, принимающей те же значения на концах отрезка, называется линейной интерполяцией. Она применяется для приближенного вычисления промежуточных значений функции.

Пример. Вычислить значение функции y = \gx при * = 4,537, если известны lg 4,53 = 0,6561 и Ig 4,54 = 0,6571.

В этом примере а:0 = 4,53, у0 = 0,6561, хг = 4,54, yl=z = 0,6571, Да: = х-х0 = 4,537 — 4,53 = 0,007. Подставляя

в формулу у«у0+—— у0) значения xQ, хх, у0, у{ и Да:, получаем

§ 5. Квадратичная функция

Функция вида у = ах2-\-Ьх-\-с называется квадратичной. Она определена для всех х(—со < х < со), так как любые действительные числа можно возводить в квадрат, перемножать и складывать, и при этом получаются определенные действительные числа.

Изучение квадратичной функции начнем с наиболее простого случая: а=1, Ь — 0, с = 0, т. е. с функции у = х2. График этой функции проходит через начало координат, так как при а: = 0 из уравнения следует, что у = 0.

Понятие четной и нечетной функции.

Определение. Функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не изменяется (рис. 26), и нечетной, если при изменении знака аргумента значение функции изменяет только знак (рис. 27).

Это определение можно записать так: функция f (х) четна, если /(—х) = f (х), и нечетна, если /(—л;)=*—/ (х).

Рис. 26.

На графике функции у = f(x) построим точки А и В с координатами (х, /(#)) и (—л:, /(—л;)). Если /(лг) = = /(—х), то точки А п В будут расположены симметрично относительно оси Oy. Если /(—д:) = — /(*)» то точка В будет симметрична точке А относительно начала координат.

Рис. 27.

Итак, график четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

1. Симметрия графика функции у = х2. Изучаемая функция f(x) = x2 четная, так как /(—х) = (—x)2 — x2 — f{x). Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси Oy.

2. Исследование функции на возрастание и убывание. Возьмем два значения аргумента хх и х2(х2 > х{), вычислим соответствующие значения функции f (х1) = Х\, f (л;2) = х\ и найдем разность / (х^ — / (л^) = х\ — х\.

Как известно, если /(лг2)> f (Х\), то функция возрастает, если / (лг2) < / (х{), то функция убывает. Для определения знака разности f(x2) — f(xi) = xl— х\ заметим, чт0 х\— х\ — (х2-\- хх)(х2— х{у Так как х2 > xlt то второй сомножитель положителен, х2—хг> О, и, следовательно, знак произведения зависит от знака сомножителя х2~\-х{.

Знак суммы х2 —{— хх при всевозможных значениях х непостоянен. Поэтому рассмотрим функцию отдельно при отрицательных и положительных значениях х.

1) Если хх > О и ^2>0, то х2-{-хх> О и f (х2)— /(*i)>0. т- е- функция возрастает при положительных значениях аргумента.

2) Если хх < 0 и х2 < 0, то х2-\-хг<0 и f (х2) — / (лгх) < 0, т.е. функция убывает при отрицательных значениях аргумента.

Итак, функция f(x) = x2 возрастает при х > 0 и убывает при х < 0.

Понятие минимума и максимума функции.

Определение. Функция в данной точке имеет максамум, если ее значение в этой точке больше всех других ее значений, принимаемых вблизи данной точки. Функция в данной точке имеет минимум, если ее значение в этой точке меньше всех других ее значений, принимаемых вблизи данной точки. Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Функция, график которой изображен на рис. 28, имеет в точке X = хх максимум, в точке X — х2 — минимум.

3. Экстремум функции у = X2. При л; —0 функция имеет значение у = 0. При X < 0 функция убывает до нуля, а при х > 0 возрастает от нуля, поэтому в точке л; = 0 она имеет минимум (рис 29).

Рис. 28.

Рис. 29.

Понятие выпуклости и вогнутости дуги кривой.

Определение. Кривая называется выпуклой, если любая дуга кривой лежит над стягивающей ее хордой (рис. 30).

Рис. 30.

Рис. 31.

Кривая называется вогнутой, если любая дуга кривой лежит под стягивающей ее хордой (рис. 31).

Условие выпуклости и вогнутости.

Пусть дана некоторая вогнутая кривая, уравнение которой у = / (х). Возьмем на этой кривой любые две точки и проведем через них хорду. Кривая будет лежать ниже этой хорды.

Выведем аналитическое условие того, что кривая лежит ниже хорды, т. е. условие вогнутости кривой. Пусть хх и х2 — абсциссы точек кривой (рис. 32), / (хг) и / (х2) — их ординаты, точка С — середина отрезка [xv х2]. Восставим из точки С перпендикуляр и обозначим через В и А точки его пересечения с кривой и хордой. Если кривая вогнута, то имеет место следующее неравенство: АС > ВС.

Вычислим длины отрезков АС н ВС. АС есть средняя линия трапеции, длина ее равна полусумме оснований:

Рис. 32.

Точка С делит отрезок [д^, лг2] пополам. Длина этого отрезка равна х2— xv Поэтому абсцисса ОС = хх-\-\- х%ТХх = ЛГ|"ГХ*-. Абсцисса точки В также равна Xl ~^*2- Ее ордината ВС может быть найдена из уравнения кривой:

Тогда неравенство АС > ВС можно записать в виде:

Итак, если дуга кривой вогнута, то

если дуга кривой выпукла, то

Справедливо и обратное утверждение: если при всех х{ и х2

то дуга кривой вогнута (соответственно выпукла).

4. Исследование графика функции у = х2 на выпуклость и вогнутость. Вычислим значения функции у — х2 в произвольных точках хх% х2 и в точке *х ** :

Определим знак разности

Следовательно,

и график вогнут.

5. Функция у = ах2. Повторяя те же рассуждения, которые были проведены при исследовании функции у = х2, можно прийти к выводу, что график функции у — ах2 проходит через начало координат, симметричен относительно оси ординат, вогнут. Функция имеет минимум при л; = 0.

Рассмотрим, например, функцию у = ~х2. Ординаты точек графика этой функции будут вдвое меньше ординат соответствующих точек графика функции у = х2 (рис. 33).

Рис. 33.

Рис. 34.

Пусть теперь а < 0, например, у =— х2. График функции у = — X2 симметричен графику функции у — х2 относительно оси Ох. Кривая у = — х2 проходит через начало координат, симметрична относительно оси Oy, ветви ее направлены вниз. При X < 0 функция возрастает, при х > О убывает, а при л; = 0 имеет максимум. График функции у — —X2 выпуклый (рис. 34).

Кривая, являющаяся графиком функции у — ах2, называется параболой.

Знак коэффициента а указывает на то, как направлены ветви параболы: вверх или вниз. Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, кривая вогнутая. Если а < 0, от ветви направлены вниз, кривая выпуклая.

Функция у = ах2 в точке л; = 0 имеет минимум при û>0 и максимум при а < 0. Эта точка (л: = 0, у = 0) называется вершиной параболы.

Параллельный перенос системы координат.

Выберем на плоскости систему координат х'Оху\ начало которой находится в точке Ох(х0, y0)t а оси Oxxf и Оху' параллельны осям Ох и Oy.

Рис. 35.

Найдем координаты любой точки А в системе х'Охуг. На рис. 35 видно, что

х' — X — д:0, У' = У — Ус

где X, у — координаты точки А в системе хОу, а х', у' — координаты точки А в системе х'Оху'.

Эти формулы называются формулами преобразования координат при параллельном переносе системы координат.

6. Уравнение параболы с вершиной в заданной точке. Пусть вершина параболы находится в некоторой точке Ох% координаты которой jc0, у0 (рис. 36). Требуется найти вид уравнения, этой параболы.

Выберем вспомогательную систему координат с началом в вершине Ох параболы. Тогда в этой системе координат парабола будет иметь уравнение

у = ах' .

Уравнение в исходной системе получаем, подставляя вместо хг и у' их выражения через х и у, т. е.

В этом уравнении xQt у0— координаты вершины параболы, коэффициент а определяет «размах» ветвей параболы и их направление.

Рис. 36.

7. Исследование общей квадратичной функции у — ах2-\-Ьх-\-с. Преобразуем правую часть уравнения методом выделения полного квадрата

или

Если ввести обозначение л;0~— -^,у0=х ———, то уравнение примет вид: у ~ у0 = а (х — xQf.

Как мы показали выше, это уравнение параболы с вершиной в точке (л:0, у0).

Итак, графиком общей квадратичной функции у = ах2-\--\-Ьх-{-с является парабола, вершина которой находится в точке х0 ——у0 =--ц—. Ось симметрии параболы параллельна оси Oy, ветви направлены вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. В первом случае функция имеет в точке х = — у- минимум, во втором — максимум.

Пример. у = — Зх2+6л: + 2 (рис. 37).

1. Графиком этой квадратичной функции является парабола.

2. Ось симметрии параллельна оси Oy.

3. Ветви параболы направлены вниз, так как а = — 3 < 0.

4. Вершина параболы смещена, координаты ее находятся методом выделения полного квадрата.

Координаты вершины: л:0=1, у0 = 5.

Задача. Представить число 10 в виде суммы двух чисел так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Разобьем число 10 на два слагаемых: X и 10 — X, тогда сумма их квадратов у = л:2 + (10— л:)2, или у = 2л:2—20л:+100. Выделяем полный квадрат у = = 2(х — 5)2 + 50, откуда следует, что при л: = 5 функция имеет минимум (а = 2 > 0), равный 50.

Если 10 представить, например, в виде суммы 4 и б, то сумма квадратов этих чисел, равная 52, уже больше пятидесяти.

8. Примеры зависимостей, выражающихся квадратичной функцией, а) Количество тепла, выделяемого при прохождении тока в проводнике с сопротивлением R и силой тока /, выражается квадратичной функцией

q = /?/2.

Графически эта зависимость изображается правой ветвью параболы (/^>0), симметричной относительно оси ординат с вершиной в начале координат (рис. 38).

б) Бомба, сброшенная с самолета на высоте h с начальной скоростью vQt при своем падении описывает правую ветвь параболы

Рис. 37.

Вершина этой параболы находится на оси Oy в точке у = А, ветви параболы направлены вниз (рис. 39).

в) Во время работы сепарирующей центрифуги поверхность вращающейся жидкости принимает форму так называемого параболоида вращения. Если взять сечение, проходящее через ось цилиндра, то в сечении получается парабола. Уравнение этой параболы

где cd — угловая скорость, g — ускорение свободного падения.

Рис. 38.

Рис. 39.

Рис. 40,

Парабола симметрична относительно оси Oy, ветви направлены вверх, а вершина лежит на оси Oy в точке yQ (рис. 40).

г) Пусть тело брошено под углом а к горизонту с начальной скоростью v0. Полет тела будет происходить по кривой

Как было установлено ранее, эта кривая — парабола.

Рис. 41.

Ветви ее направлены вниз (рис. 41). Выделяя полный квадрат, находим, что вершина параболы имеет координаты:

Ордината у0 соответствует наибольшей высоте полета тела. Для того чтобы определить дальность полета, нужно найти вторую точку пересечения параболы с осью Ох:

§ 6. Кубическая функция

Кубической функцией называется функция вида у = ах3 -f bx2 + ex -f- d.

Рассмотрим простейший случай, когда a—l, b = 0t с — 0, d = 0:

у = л:3.

1. Исследование функции у — х3. Для вычисления у нужно величину х возвести в куб, и так как возводить

в куб можно любые числа, то функция у — хг определена при всех X. При лг = 0 также у = 0, поэтому график функции проходит через начало координат. Функция f(x) = л:3 нечетная, так как (—д:)3 = — je3, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Исследуем функцию у = х3 на возрастание и убывание. Возьмем два значения аргумента хх и х2(х2 > хх)> вычислим соответствующие значения функции / (хх) = jci, / (лг2) = x2t найдем их разность и установим ее знак.

Для этого разложим разность х\ — х\ на множители:

/ (*2) — / (*l) = *2 — х\ = (*2 — Хх) (х\ + Х2Х{ + х\).

Первый сомножитель х2 — хх положителен, так как х2>хх. Второй сомножитель х2-\- х2хх + х\ также положителен, так как произведение ххх2 по абсолютной величине не превосходит квадрата большей из абсолютных величин чисел хх и х2.

Итак, л?2 — х\ > 0, т. е. х\ > х\ и, следовательно, функция всюду возрастает.

Если функция всюду возрастает, то она не имеет ни максимума, ни минимума.

Исследуем выпуклость и вогнутость графика функции у = хг. Для этого проверим, выполняется ли для функции у = л:3 неравенство

являющееся условием вогнутости ее графика. Для функции / (х) — X3 имеем f(xx) = x\, f(x^ — x\9 /(^Цг^")в

Установим знак разности:

Знак полученного произведения зависит от знака сомножителя х2-\-хх. Рассмотрим функцию отдельно при отрицательных и положительных значениях х. Если хх > 0 и х2 > О,

то х2-\-хх> О и разность

график вогнутый. Если хх < 0 и х2 < 0, то разность

график выпуклый.

Итак, график функции у = л:3 выпуклый при х < О, вогнутый при X > 0.

Понятие точки перегиба.

Определение. Точка, которая отделяет участок выпуклости графика однозначной функции от участка вогнутости, называется точкой перегиба *).

При исследовании было установлено, что функция у = x3 всюду возрастает, в начале координат график ее имеет точку перегиба, так как при X > 0 график вогнутый, при X < 0 — выпуклый (рис. 42).

Располагается график этой функции в первой и третьей четвертях.

График функции у = х3 называется кубической параболой.

2. Исследование функции у = x3-\-kx. Рассмотрим сначала функцию у = х3-\- kx при k > 0.

Функция y=x3-\-kx определена при всех х. График ее проходит через начало координат, так как при д: = 0 у = 0. При у=0 имеем x3-±-kx = Q, откуда хх = 0, x2t 3 = ±у — k . Так как k > 0, то других (кроме начала координат) точек пересечения с осью Ох график не имеет. Функция y=x3-\-kx нечетная. Действительно, / (— х) = (— x)3-Ç~k (— х) = =— X3 — kx = — / (л:). График симметричен относительно начала координат.

Исследуемая функция y—x3-\-kx состоит из двух слагаемых X3 и kxy каждое из которых возрастает. Поэтому функция \} = x3A-kx также возрастает.

Рис. 42.

*) В дальнейшем это понятие будет уточнено.

Для исследования графика функции у = х3-{- kx на выпуклость и вогнутость составляем выражение

Все члены, содержащие #, уничтожаются, и поэтому выражение f^^^f^^--f ( Х{ j~ *2 ^ получается такое же, как и для функции у = л:3. Следовательно, при X < 0 график выпуклый, при X > 0 вогнутый. В начале координат график имеет точку перегиба (рис 43).

Заметим, что добавление к любой функции линейной kx-\-b не изменяет ни выпуклости, ни вогнутости графика.

Пусть теперь k < 0. Функция у = x3-\-kx определена при всех X, график ее проходит через начало координат и пересекает ось Ох в трех точках: хх = 0, x2=Y—*» х3 = —Y—График симметричен относительно начала координат, выпуклый при х < 0 и вогнутый при х > 0.

Исследование возрастания и убывания функции y=x3-{-kx при k < 0 будет более сложным. Первое слагаемое л:3 возрастает, второе kx (линейная функция) — убывает. При больших значениях величина \х\ъ будет значительно больше величины \кх\% поэтому можно предполагать, что при больших I je J функция y — xz-\~kx возрастает. При значениях хъ близких к нулю, наоборот, |д:|3 будет значительно меньше \kx\t поэтому следует ожидать, что функция y = xz-\-kx убывает.

Полученные данные позволяют нарисовать график функции y = x*-\-kx (рис 44).

Для уточнения вида кривой следует найти точки максимума и минимума. Возьмем на графике какую-нибудь точку

Рис. 43.

(х0% у0) (рис. 45) и посмотрим, имеются ли на графике еще точки с ординатой у0. Для этих точек f(x) = y0. Так как Уо= xl~\-kxQ> то уравнение запишется так:

или

Разлагая разность кубов на множители и вынося х — х0 за скобки, получаем

(х — х0) (х2 4- х0х + ДГо + k) = 0.

Если искать точки с ординатами yQ и абсциссами, не равными X, то нужно найти корни уравнения

(I)

Это квадратное уравнение может иметь действительные корни, что соответствует положению точки (х0, у0) на части кривой, обведенной жирной линией, или комплексные, что соответствует положению точки (д:0, у0) на остальных двух частях кривой.

Рис. 44.

Рис. 45.

Корни квадратного уравнения (I) будут действительными, когда дискриминант неотрицателен:

или

Таким образом, вся проведенная жирной линией часть кривой располагается по оси

Если

дискриминант уравнения (I) равен нулю и, следовательно, на кривой есть еще только одна точка с ординатой у0. Для нее

В этой точке функция у = х3-\-кх, очевидно, будет иметь максимум

Аналогично, при

будет минимум, равный

Функция у = х3+Алг (&<0) возрастает при

убывает при

и возрастает при

При X = имеет максимум, при х = минимум. График функции изображен на рис. 46.

Итак, при &>0 функция y = x*-{-kx возрастает и не имеет точек экстремума, при k < О имеет точку минимума и точку максимума. В обоих случаях в начале координат точка перегиба.

3. Исследование функции у = хг-\-кх-\-Ь. Рассмотрим теперь график функции у = л:3 + kx-\- b. Он отличается от графика ранее рассмотренной функции y = x3-\-kx тем, что ординаты всех его точек увеличены на Ь, т. е. график сдвинут по оси Oy на b (рис 47—49).

Абсциссы точек максимума, минимума и точки перегиба при этом не изменяются. Абсциссы точек пересечения с осью Ох изменяются. Более того, на рис 48 видно, что при больших b график пересекает ось Ох только в одной точке, причем ее абсцисса отрицательна. Аналогично, при большом по абсолютной величине, но отрицательном b график у = хг-{- kx -\- b имеет также только одну точку пересечения с осью Ох, но в ее положительной части. Очевидно, что график будет пересекать ось Ох в одной точке при тех значениях Ь, которые по абсолютной величине больше значений функции y — xz-\-kx в точках максимума и минимума, т. е.

Рис 47.

Рис. 48. Рис. 49.

Возводя в квадрат обе части этого неравенства, получаем

Итак, мы приходим к выводу: b2 k3

1. Если ~4_ + *27'> О» то график функции y — x3-\-kx-\~b пересекает ось Ох в одной точке, т. е. кубическое уравнение x3-\-kx-\-b = 0 имеет один действительный корень (рис. 48).

2. Если -J—b-jf- <0, то график функции у = х3 -f--}-&jc-f-£ пересекает ось Ох в трех точках, т. е. уравнение х3-\- kx -\-b = 0 имеет три действительных корня (рис. 49).

3. Если-^-4- 2т" = 0, то график функции у = х3-\-\-kx-\~b пересекает ось Ох в одной точке, в другой точке касается оси Ох. Уравнение х3-\-kx-\-b— 0 имеет три действительных корня, из которых два совпадают (рис. 50).

Величину D ==+ называют дискриминантом кубического уравнения.

Вопрос о самом нахождении точек пересечения с осью Ох или, что то же, корней уравнения лг3-|- kx + b = 0 является более сложным и требует применения комплексных чисел даже в случае, когда все три корня действительные. Сейчас можно только сказать, что при k < 0 и b > 0 имеется всегда один отрицательный корень, расположенный левее точки максимума х=—у —у. Если все три корня действительные и различны, то еще один корень расположен между точками максимума и минимума на интервале

и третий корень правее точки минимума

Рис. 50.

4. Исследование общей кубической функции у = а0х3 + +0i*2-T-02*+a3- Начнем с функции у = х3-\~а1х'2-{-а2х-\-а3.

Перенесем начало координат в точку д;0 = — , сохраняя направление осей координат, т. е. сделаем замену

Тогда

Раскрывая скобки, замечаем, что члены, содержащие л;'2, уничтожаются и уравнение принимает вид

Рис. 51.

Таким образом, график функции у sss хА-\-ахх2-\-~-\-а2х-\-аг имеет такой же вид, как и график функции у = x3-\-kx~\-bt но центр его симметрии смещен по оси Ох на — (рис. 51).

Наконец, график функции не будет качественно отличаться от предыдущего, если а0 > 0. При а0 < 0 можно изменить знаки у всех слагаемых, построить график получившейся после этого функции и тогда искомый график будет симметричным этому графику относительно оси Ох.

5. Пример зависимости, выражающейся кубической функцией. Если один конец балки жестко закреплен, а на свободном конце прикреплен груз, то под действием веса груза балка изгибается. Изогнутая ось балки принимает форму кривой, определяемой уравнением

где / — длина балки, р — действующая сила, / — момент инерции поперечного сечения балки, Е— коэффициент упругости балки.

График кубической функции У—^/(-^--проходит через начало координат, так как у = 0 при х = О, и пересекает ось Ох в точке х — Ы (рис. 52).

Рис. 52.

В точке jt = 0 функция имеет максимум, равный нулю, в точке х = 21 — минимум, равный —^gf-

При X =/ (на свободном конце балки) кривая имеет точку перегиба.

§ 7. Многочлены

1. Сравнение графиков степенных функций у « хп при четных и нечетных показателях. Функции у = х2т и у = лг2тИ определены при всех значениях х, графики их проходят через начало координат. Функция у = х2т четная, график ее симметричен относительно оси Oy (рис. 53). Функция у = х2тЛХ нечетная, график ее симметричен относительно начала координат (рис. 54)

Рис. 53. Рис. 54.

Функция у = х2т при X = 0 имеет минимум, функция y=x2m+l не имеет ни максимума, ни минимума. График функции у—х2т+\ ИМеет точку перегиба л; = 0.

График функции у = хп называется параболой п-го порядка.

2. Многочлен. Корни многочлена. Разложение на множители. Определение. Функция у = а0хп-\- аххп"1-\-... .. . -f- ап_хх -f- ап (а0 Ф 0), где п — целое положительное число, называется многочленом степени п.

Многочлен степени п сокращенно будем обозначать через Рп(х). В дальнейшем рассматриваются многочлены только с действительными коэффициентами.

Так как возводить в степень, перемножать и складывать можно любые действительные числа, то многочлен определен для всех значений х.

Если многочлен содержит только четные степени ху то он является четной функцией и график его симметричен относительно оси Oy. Если многочлен содержит только нечетные степени х% то он является нечетной функцией и график его симметричен относительно начала координат. В общем случае многочлен не является ни четной, ни нечетной функцией, и график не имеет симметрии.

График функции у = Рп(х) пересекает ось Oy в точке лг==0, у = ап. Для определения точек пересечения графика функции у = Рп(х) с осью Ох нужно найти действительные корни уравнения

Определение. Действительное или комплексное число а называется корнем многочлена Рп{х), если при подстановке а вместо х многочлен Рп(х) обращается в нуль: Л, (*) = 0.

Теорема. Всякий многочлен имеет хотя бы один корень.

Доказательство этой основной теоремы алгебры здесь не приводится.

Если известны корни многочлена, то его можно разложить на множители. Пусть ах — корень многочлена Рп(х):Рп(<хх)—0. Тогда по теореме Безу этот многочлен разделится без остатка на X — ад, причем частное в свою очередь будет многочле-

ном степени п— 1: т. е.

Рп(х) = (х — аг)Рп_1(х).

Так как Рп_1(х) — многочлен, то он имеет хотя бы один корень, который обозначим через о^. Тогда

откуда

ЯЛ_! (х) = (х— а2) Рп_2 (х).

Подставив найденное выражение для Рп_г (х) в исходный многочлен, получим

Рп (х) = (х — <хг) (X — (ц) Рп_2 (х).

Относительно Рп-2(х) можно повторить приведенные выше рассуждения.

После я-го шага получим

Рп (*) = (X — ai) (х — а2)...(х — ап) а0.

Числа <х2, а3, ..., ап являются корнями многочлена Рп(х), так как при подстановке <xk (ft = 2, 3, ...) вместо х многочлен Рп(х) обращается в нуль. Они могут быть как комплексными, так и действительными.

Итак, если употреблять комплексные числа, то многочлен степени п можно разложить на п линейных множителей вида X — aÄ, где ak— корни многочлена. Некоторые из этих множителей могут повторяться. Если некоторый множитель встречается один раз, то соответствующий корень называется простым. Если какой-нибудь множитель повторяется k раз, то соответствующий корень называется кратным, а число k — его кратностью. Заметим без доказательства, что если многочлен Рп(х) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень вида а-\-Ы, то он имеет и комплексно-сопряженный корень а — Ы.

Пусть с*! = а -f- Ы и 02 = а — Ы — корни многочлена. Рассмотрим произведение соответствующих линейных множи-

телей (л: — о^) • (х—а2) и преобразуем их так:

здесь

Пусть многочлен степени п имеет k пар комплексных корней, которые обозначим через (а1в а^аз, а4; . . ., <*>2k-v а2*)» и (п — 2k) действительных (обозначим их через oc2Ä+1, a2ft+2, . . <хя).

Тогда, объединяя в разложении многочлена попарно все комплексно-сопряженные множители, получаем

Если при разложении многочлена употреблять только действительные числа, то многочлен можно разложить на линейные и квадратные множители.

Отметим, что практически разложение многочлена на множители является столь же трудной задачей, как и нахождение его корней.

3. Поведение многочлена у = Рп(х) на бесконечности. Представим многочлен в виде

При больших значениях |jc| величина, стоящая в скобках, близка к единице, поэтому многочлен у = Рп(х) будет вести себя подобно степенной функции у = а0хп.

4. Примеры графиков многочленов. Рассмотрим многочлен у = (х—1)(х-\-\)(х — 2)(х-{-2). Этот многочлен является четной функцией, так как у = (х2 — 1 ) (л:2 — 4). График этого многочлена симметричен относительно оси Oy, пересекает ось Oy в точке с ординатой 4 и ось Ох в четырех точках с абсциссами —2, —1, 1, 2 (рис. 55).

График многочлена у = (х + 3) (л; — 1 ) (л: + 1 ) (х -4~ 2) не имеет симметрии ни относительно начала координат, ни относительно оси Oy, так как функция у—(х7— 1)Х X (х2 + 5х -J- 6) не является ни четной, ни нечетной. Он пересекает ось Oy в точке с ординатой —6 и ось Ох в четырех точках с абсциссами —3, —2, —1, 1 (рис. 56).

Рис. 55. Рис. 56.

§ 8. Обратно-пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция

1. Исследование функции

Так как делить можно на любое число, отличное от нуля, то функция у = — определена при всех л\ кроме х = 0:

— оо < л: < О, 0 < jt < ce.

Область определения состоит из двух частей и в соответствии с этим график функции имеет две ветви.

Функция у — — нечетная, так как 37^ = ^——. график ее симметричен относительно начала координат и не пересекает ни ось Ох, ни ось Oy.

Исследуем функцию на возрастание и убывание.

Пусть х2 > Xv Имеем

Рассмотрим разность

и установим ее знак в каждой части области определения. Числитель этой дроби х2 — хх положителен, так как х2 > xv Поэтому знак дроби зависит от знака знаменателя: если

и, следовательно,

Если

Итак,

мы пришли к выводу, что функция у = — убывает в обеих частях своей области определения.

Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость.

Вычислим значения функции в точках

и установим знак разности:

Так как (хх — х2)2 всегда больше нуля, то знак этой дроби определяется знаком знаменателя. Имеем

Итак, график функции вогнутый при х > 0 и выпуклый при X < 0.

При неограниченном возрастании л;(л;->оо) значение дроби — приближается к нулю. Это означает, что график функции у = — неограниченно приближается к оси Ох при удалении х в бесконечность.

Если X приближается к нулю, то дробь — неограниченно возрастает по абсолютной величине. При этом y->-f-oo, когда X приближается к нулю, оставаясь положительным, и у —> — сю, когда X приближается к нулю, оставаясь отрицательным.

График функции у= — имеет вид, изображенный на рис 57. Кривая называется гиперболой.

Понятие асимптоты.

Определение. Асимптотой кривой, имеющей бесконечные ветви, называется такая прямая, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю по мере удаления точки кривой в бесконечность. График функции у = — имеет две асимптоты: ось Ох и ось Oy.

Точка пересечения асимптот гиперболы называется центром гиперболы.

Рассмотрим теперь функцию у = — (рис. 58). График этой функции не будет существенно отличаться от графика функции у = — , Если k > О, то ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях. Правая ветвь кривой у=— располагается выше

Рис 57.

Рис. 58.

правой ветви кривой у = —, если Л>1, и ниже, если А<1.

Если k < О, то ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях (рис. 59).

Рис. 59.

Итак, графиком обратной пропорциональной зависимости является гипербола, центр которой находится в начале координат.

Приведем пример обратно-пропорциональной зависимости. При постоянной температуре произведение объема газа на давление есть величина постоянная для одной и той же массы газа (закон Бойля — Мариотта):

pv = с.

Графически эта зависимость р = — изображается правой ветвью гиперболы (рис. 60).

2. Гипербола с центром в заданной точке. Пусть центр гиперболы находится в точке Ох(х0, у0). Примем эту точку за начало новой системы координат с осями, параллельными осям Ох и Oy соответственно. В новой системе

Рис. 60.

координат кривая имеет уравнение у* = • Чтобы получить уравнение кривой в первоначальной системе, нужно вместо х' и у' подставить в уравнение их значения:

Уравнение гиперболы (рис. 61) с центром в точке Ог (х0, у0) (в системе хОу) будет

3. Дробно-линейная функция. Дробно-линейной функцией называется дробь, числитель и знаменатель которой линейные функции:

Преобразуем уравнение, задающее функцию, методом выделения целой части (в числителе выделим слагаемое, кратное знаменателю):

Введем обозначения

тогда

Рис. 62.

Итак, графиком дробно-линейной функции является гипербола с центром в точке х0 =--— $ у0 = -~, асимптоты которой параллельны осям координат.

Пример.

Здесь (рис. 62)

§ 9. Дробно-рациональная функция

1. Отрицательные степени х. Исследуем функции у — ^ и у = -^т, Функция у = \ определена при всех х> за

исключением х = 0. С осями координат график функции не пересекается, функция четная, график ее симметричен относительно оси Oy.

Исследуем функцию на возрастание и убывание. Пусть х2 > xv тогда

поэтому

Знак этой дроби зависит от знака числителя, точнее, от знака сомножителя х2-\-хх. Числитель будет положительным, если хх > 0 и л;2>0, тогда f (х2) — /(#i)<0, т. е. функция убывает. Если же хх < 0 и х2 < 0, то / (х2) — / (хх) > 0, т. е. функция возрастает.

Итак, функция у = -^- возрастает при х < 0 и убывает при X > 0.

Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Так как

Установим знак разности

так как л:2 -j- 4ххх2-^~х\ > 0, если хх и х2 имеют одинаковые знаки. Итак, обе ветви кривой вогнуты.

График функции имеет две асимптоты: вертикальную — ось Oy и горизонтальную — ось Ох (рис. 63).

Функция у = Л-. определена при всех х, кроме л: = 0, график ее состоит из двух ветвей и не пересекается с осями координат, функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

Рис. 63. Рис. 64.

Исследуем функцию на возрастание и убывание. Пусть *2 > xv тогда

поэтому

Если хх < 0 и х2 < 0 или хх > 0 и х2 > 0, то х\-\-х2хх + -j- х\ > 0 и х\х\ > 0, следовательно, / (jc2) < / (je.), т. е. функция убывает.

График функции у = выпуклый при х < 0 и вогнутый при X > 0. Читателю предлагается доказать это утверждение.

График функции имеет асимптотами оси координат (рис. 64).

2. Дробно-рациональная функция. Функция

у которой числитель и знаменатель многочлены, называется дробно-рациональной.

Дробь называется правильной, если степень числителя ниже степени знаменателя (п < т). Если же т^.п, то дробь называется неправильной.

Мы будем рассматривать только несократимые дроби.

Р (х)

Дробно-рациональная функция у = пп\ \ определена при всех х, за исключением тех xt при которых знаменатель обращается в нуль: Qm(x) = 0.

График дробно-рациональной функции пересекает ось Oy в точке у = и ось Ох в точках, абсциссы которых являются корнями уравнения Рп(х) = 0. Правильная дробь при неограниченном возрастании |д:| стремится к нулю. Действительно, если числитель и знаменатель дроби разделить на хт, то будем иметь

откуда видно, что при неограниченном возрастании \х\ числитель приближается к 0, а знаменатель к Ь0, т. е. дробь стремится к нулю. Следовательно, ось Ох является асимптотой графика такой функции.

Если дробно-рациональная функция представляет собой неправильную дробь, то ее можно представить в виде

где S(x) есть частное от деления Рп(х) на Qm(x), а R(x) — остаток. S(x) называется целой частью дробно-рациональной функции.

Пример. Выделить целую часть функции Разделим числитель на знаменатель

Итак, здесь

3. Асимптоты графика дробно-рациональной функции.

Определение вертикальных асимптот графика функции у=п, связано с определением действительных корней многочлена Qm(x). При приближении х к этим корням знаменатель приближается к нулю и дробь неограниченно возрастает. Если, например, знаменатель представляется в виде

где квадратный трехчлен не имеет действительных корней, то функция уд пЯ/*\ имеет 5 вертикальных асимптот: x = oi2r+li д;==а2г+2, ..х = ап (см. рис. 62 и 63).

При изучении поведения функции у = пп\ \ т) на бесконечности удобно воспользоваться тем, что эта функция может быть представлена в виде пп\ \ —S(x)-\-п \ \.

Так как при *->oo правильная дробь п у.\ стремится к нулю, то о поведении функции на бесконечности мы можем судить по поведению ее целой части S(x).

Если степени числителя и знаменателя равны, т. е.

то график функции у = qn^y имеет горизонтальную асимптоту. Действительно, если т = п, то целая часть

дробно-рациональная функция

прямая

является асимптотой графика функции.

Если степень числителя на единицу больше степени знаменателя, то график дробно-рациональной функции имеет наклонную асимптоту. Действительно, если п — т-\-\, то S(x) = kx-{-b и исследуемая функция будет вести себя при х->со как линейная функция. Прямая у — kx b есть наклонная асимптота графика функции у = qп ^ »

Рис. 65.

Если степень числителя больше степени знаменателя на два и больше, то график дробно-линейной функции не имеет асимптот при х->оо. В этом случае S(x) будет многочленом и дробь ^п 77л при будет вести себя как многочлен.

Пример 1. Рассмотрим дробно-рациональную функцию

График ее (рис. 65) имеет две вертикальные

асимптоты

так как

при этих значениях знаменатель обращается в нуль. Выделяя целую часть, получаем у = 1 -f" ^2^3^^. \ • Следовательно, график рассматриваемой функции имеет горизонтальную асимптоту у =1.

Пример 2. График (рис. 66) функции y==^rZTï имеет две вертикальные асимптоты, так как знаменатель дроби

имеет два действительных корня х — — 1 и х ~ 1. Выделяя целую часть, получаем у = х -f- "£TZZ \ ' Наклонной асимптотой является прямая у = л:.

4, Разложение на простейшие дроби. Простейшими дробями называют дроби, имеющие вид

При этом предполагается, что квадратный трехчлен х2~\- px~\-q не разлагается на действительные линейные множители.

Рис. 66.

Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

Пример. Разложить на простейшие дроби

Попытаемся представить эту дробь в виде суммы трех дробей со знаменателями х% х — 1, х-\-2. Числители этих дробей обозначим соответственно через А% В и С и определим их так, чтобы выполнялось равенство

Приведем правую часть этого равенства к общему знаменателю. Две дроби с равными знаменателями равны тогда и только тогда, когда равны их числители, поэтому, приравнивая числители, получаем

х* + 2х — 2 = А(х — l)(x + 2)-f ßx(jt-f 2)-\-Сх(х — 1).

В левой и правой частях стоят многочлены 2-й степени. Они будут равны, если будут равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем:

Решая эту систему, находим, что

и, следовательно.

Как видно на примере, для разложения дроби на сумму простейших дробей прежде всего нужно разложить знаменатель на множители. Оказывается, что каждому простому действительному корню знаменателя соответствует одна дробь 'х^—а 1 каждому кратному корню кратности k соответствует сумма k дробей

Аналогично, каждой паре простых комплексных корней

соответствует дробь

а паре кратности k соответствует сумма k дробей:

Итак, если

Если

Наконец, если

Возможность разложения дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей требует доказательства, которое мы не приводим.

6. Графики простейших дробей. Функция у = -т-—-д- (k > 0, 1) определена при всех х за исключением х = а.

График функции пересекает ось Oy в точке у = 7-уГ» имеет две асимптоты — вертикальную х = а и горизонталь-

ную у = 0. Если п четное, то функция принимает только положительные значения. Если п нечетное, то функция принимает положительные значения при х > а и отрицательные — при X < а. Если п= 1, т. е. у =-, то мы имеем гиперболу (рис. 67) с центром в точке (0, а). Графики функций y=(X!af (рис. 69) имеют такой же вид, как и графики У = -2 и у =-^т» только вертикальные асимптоты этих графиков смещены на а единиц от начала координат. Изучение графика дроби начнем с частных случаев:

Рис 67.

Рис. 68.

Рис. 69.

Функция у — v2 j_ „ определена при всех х (считаем q > 0), четная, график симметричен относительно оси Oy, пересекает ось Oy в точке У = ~- и имеет горизонтальную асимптоту у — 0.

Исследуем функцию на возрастание и убывание. Пусть хг и х2(х2> хх) — два значения аргумента, f(xx) и f(x2) — соответствующие значения функции. Установим знак разности

Он зависит от знака второго сомножителя в числителе. Если хх<0 и х2<0, то f{x2)~ f(xx)> 0, т. е. функция возрастает. Если je, >0 и лг2>0, то / (лг2) — / (atj) < 0, т. е. функция убывает. Итак, при х < 0 функция возрастает, а при X > 0 убывает, следовательно, точка х — 0 является точкой максимума функции (рис. 70).

Для изучения функции У — x^-^px + q В знаменателе дроби выделим полный квадрат: у — -,--тЛ--rg*

Если перенести начало координат в точку ^—~, 0^, т. е. сделать замену х' — х + 1 у' = у. то в новой системе уравнение запишется так: у' = —^—-, где q' = q — ~ > 0, так как знаменатель х2-\- px + q не имеет действительных корней.

Рис. 70.

Теперь можно построить график исследуемой функции относительно преобразованной системы координат, а следовательно, и относительно первоначальной.

Функция у = y2J ^ , имеет максимум в точке

(рис. 71).

Рис. 71.

Перейдем теперь к общему случаю

Для определенности будем считать, что а > О, b > 0.

График функции y^z—~^—■ пересекает ось Ох в точке X — — — и ось Oy в точке у — -у, имеет горизонтальную асимптоту у —0, так как степень знаменателя выше степени числителя. График не имеет симметрии ни относительно начала координат, ни относительно оси Oy. Знак функции совпадает со знаком числителя, так как зна-

Рис. 72.

менатель х*-\-px-\-q> 0. График функции у = ^^ti^'A имеет вид, изображенный на рис. 72.

6« Пример зависимости, выражающейся дробно-рациональной функцией. При более точных исследованиях зависимости между объемом и давлением при постоянной температуре применяют не закон Бойля — Мариотта, а закон Ван-дер-Ваальса: р = -—г--?» где я, Ь и R — постоянные. Из этого закона следует, что р как функция от V

Рис 74.

является дробно-рациональной функцией, представленной в виде двух простейших дробей: v___b- и ^5-, График этой функции имеет три асимптоты: горизонтальную — ось абсцисс и две вертикальные — ось ординат v = О и v = Ъ (рис. 73,74).

§ 10. Показательная функция

Функция у — ах, где а — действительное положительное число, называется показательной.

Так как положительное число а можно возводить в любую степень, то функция у = ах определена при всех х: — оо < X < со. График этой функции располагается над всей осью Ох.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Если д; = 0, то у = а°=:1, т. е. график пересекает ось Oy в точке у=1. С осью Ох кривая у —а* не пересекается, так как ни при каком значении х величина у не обращается в нуль.

Выясним, имеет ли график функции симметрию:

т. е. функция ах при изменении знака аргумента сохраняет знак, но изменяет величину, поэтому функция у = ах не является ни четной, ни нечетной. График функции не имеет симметрии ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

Исследуем функцию на возрастание и убывание. Вычислим ее значение в точках хх и х2 (х2 > хх) : f (хх) — а**, f (х2) = а**, найдем разность ах* — ах* = aXl (а**~* — 1) и определим ее знак. Так как ах* всегда больше нуля, то знак произведения будет зависеть от знака второго сомножителя. Имеем х2 — хг > 0 и, следовательно, aJC*-jr«>l, если а> 1, и ах*~х* < 1, если а< 1. Отсюда следует, что

Если а > 1, то функция у = ах возрастает, и если д< 1, то функция у = а убывает.

Для того чтобы выяснить, является ли график выпуклым или вогнутым, установим знак разности

Значения функции в точках х[щ лг2, ' ' ^ * таковы:

Поэтому

Следовательно, график функции у — ах вогнут (рис. 75, 76), Найдем асимптоты графика. Если а>1 и х-> — оо, то ах уменьшается, приближаясь к нулю. Это означает, что ось Ох является асимптотой графика. Если д< 1, то при возрастании х число, меньшее единицы, возводится все в большую степень и значение функции уменьшается: х—>оо, у->0. Ось Ох и в этом случае является асимптотой.

§ 11. Тригонометрические функции

Понятие периодической функции.

Определение. Функция называется периодической с периодом Г, если при значениях аргумента, отличающихся друг от друга на Г, она принимает равные значения.

Рис. 75.

Рис. 76.

Итак, если при определенном Т выполнено тождество / (л:) = / (х + Т)*), то функция y — f (х) является периодической с периодом Т.

Изучив периодическую функцию на отрезке, длина которого равна периоду, мы тем самым будем знать ее свойства во всей области определения.

1. Исследование функции у — sin х. Функция у = sin х периодическая, так как для этой функции имеет место тождество sin (х-J-2тс) === sin х. Период этой функции 7=2тс. Функция у = sin X определена при всех х: — оо < х < оо.

Для определения точек пересечения графика функции у = sin X с осью Ох решим уравнение sinx = 0, находим лг = 0, ±tc, ±2гс, ±ятс, ... График функции у = sin х проходит через начало координат.

Функция у = sin X нечетная, так как sin (— je) = — sin х, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Как известно из тригонометрии, функция sin х возрастает, если угол X находится в первой или четвертой четвертях, т. е. при 0 < X < при y 15 < х < 2тс, и убывает во второй и третьей четвертях, т. е. при ~ < х < ic, поэтому точка х — -т£ является точкой максимума, а точка yir— точкой минимума. Так как функция у = sin х периодическая, то точками максимума будут также точки х = -g—Ь (k=±l9 ±2,...), а точками минимума — также точки jc = .|ic+2äic (k= ±1, ±2, ...).

Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость. Для этого установим знак разности

*) Знак = означает, что равенство справедливо при всех значениях аргумента х, т. е. является тождеством.

Заметим, что сомножитель cos либо отрицателен, либо равен нулю, так как |cos^|<;i. Кроме того, если углы хх и х2 находятся в одной четверти, то их полусумма Xl + *2 будет также находиться в этой четверти. Таким образом,

т. е. в первой и второй четвертях, при 0 < х < тс график выпуклый, а в третьей и четвертой, т. е. при я < х < 2п график вогнут. Точка х = п является точкой перегиба графика функции.

Пользуясь периодичностью функции sin л:, можно показать, что точки 0, —те, ±2те, ±ftic, ... будут также точками перегиба графика функции.

Используя полученные результаты, можно построить график функции у = sin х. Этот график называется синусоидой (рис. 77).

Понятие ограниченной функции.

Функция y — f(x) называется ограниченной, если все ее значения по абсолютной величине не превосходят некоторого положительного числа:

Рис. 77.

Функция у = sin X ограниченная, так как

2. Исследование функции у = sin tox. Найдем точки пересечения графика этой функции с осью Ох. Полагая у = О, получаем sin(ojc = 0, (ûx = mzt или х —^-(п = Ъ, ± 1, ± 2, ...)• Пусть, например, y = sin2.x:. Тогда х — -^* т. е. расстояния между соседними точками пересечения с осью Ох графика функции у — sin 2х вдвое меньше соответствующих расстояний для графика функции у = sin х (рис 78). Изменится и период функции. Если для sin* он равен 2тс, то для sin 2х он будет в два раза меньше:

Покажем, что период Т функции sinwjç равен —, т. е. что в точках х и * + ~" функция sincox принимает равные значения. Действительно,

Рис. 78.

Максимумы функция у = sin мх имеет в точках х — -g— -f-, а минимумы — в точках х — H—— * Из проведенных рассуждений следует, что график функции у = sin их может быть получен из графика функции у = sin х

сжатием (со>1) или растяжением (со < 1) вдоль оси Ох. Коэффициент (о называется частотой. Как было показано, период связан с частотой соотношением

Рассмотрим теперь функцию y = Asmmx, например, у = = 2sin<üje. Точки пересечения графика этой функции останутся такими же, как и у графика sin o>jc, но значения функции в точках максимума и минимума увеличатся по абсолютной величине вдвое (рис. 79).

Наличие коэффициента А приводит к растяжению или сжатию кривой вдоль оси Oy. Этот коэффициент определяет максимальное отклонение кривой от оси Ох и называется амплитудой. На рис. 80 изображен график функции

Рис. 79.

Рис. 80.

3. Уравнение простого гармонического колебания. Уравнением простого гармонического колебания называется уравнение вида у = A sin (их + ср).

Преобразуем его так: у = A sin (сол: + ср)=A sin <о ^лг+ Обозначим £ = — х0. Тогда у = A sin со (х — л:0). Отсюда видно, что кривая у = A sin (сох -f- ср) получается из кривой у=== A sin (юх смещением по оси Ох на лгп —— —. Заметим, что если Î- > 0, то сдвиг происходит влево, если ~ < 0,

то вправо (рис. 81). Коэффициент ср называется начальной фазой.

Итак, коэффициенты в уравнении

у = A sin (cdjc -f- ср)

называются: А — амплитуда, cd — частота, ср — начальная фаза.

4. Приведение функции у = Acoswat + ä sin юлгк виду простого гармонического колебания. Рассмотрим уравнение у= Л cos юл:-f-sin юл: и попытаемся его представить в виде уравнения простого гармонического колебания у = Ах sin (ü)jc -f- ср). Для этого нужно, чтобы было

Л cos iuX-\-B sin сод; = Ах sin (cdjc -f- ср).

Применим к правой части формулу sin(a-f-ß) = = sin ос cos ß -f-cosasinß. Тогда получим

A cos со* -J- В sin (üjc — sin ср cos cojc -f- >4j cos cp sin ©jc.

Приравнивая слева и справа соответствующие коэффициенты при cos сох и sin юл:, получаем

А = Ах sin ср, В = Ах cos ср.

При выполнении этих равенств уравнение у = A cos озх -f~ -f-ßsinwx будет совпадать с уравнением простого гармонического колебания

у = Ах sin (сох + ср).

Покажем теперь, как вычисляются амплитуда Ах и начальная фаза ср, если известны А и В. Возведем в квадрат

Рис. 81.

обе части равенств Axsin<p = A и А1со$у = В и сложим их. Тогда А2 sin2 ср + А2 cos2 9 = А2 В2 или Л2 = Л2+Б2. т. е. Аг = УЖрЖ.

Из равенства Axcosy = В найдем coscp:

откуда

Пример. Привести уравнение у = cos 2л;-f- |/^3sin2jc к виду простого гармонического колебания.

Рис. 82.

Амплитуда Ах= Yl + 3, начальная фаза y=arccôs IjL« = 30° = . Частота ш==2.

Уравнение принимает вид

Период этой функции Т= = тс. Сдвиг графика (рис. 82)

Предлагаем читателю самому исследовать функции у = cos X и y = tgx и убедиться в том, что график функции y=*cos# — синусоида, сдвинутая влево на -g-(рис. 83), а график функции y=x\gx имеет вид, изображенный на рис. 84.

Рис. 83.

Рис. 84.

5. Примеры зависимостей, выражающихся тригонометрическими функциями, а) Если на тонкий прямоугольный стержень действует сила, сжимающая его вдоль оси Ох, то стержень деформируется. Когда сила достигает определенного значения, стержень изгибается и принимает форму

половины волны синусоиды у = A sin — X (рис. 85). б) В цепи переменного тока зависимость между силой тока / и временем t выражается формулой /=/msin(urf+a). Графически эта зависимость изображается синусоидой, сдвинутой от начала координат на величину —~ (рис. 86).

Рис. 85.

Рис. 86.

§ 12. Взаимно-обратные функции

1. Понятие обратной функции. Пусть функциональная зависимость между величинами хну задана уравнением y = f(x\. Если в этом уравнении поменять местами хну, то получим функциональную зависимость x = f(y)t которая называется обратной к исходной. Чтобы привести эту зависимость к привычной форме, решим уравнение x — f(y) относительно у. Тогда получим у = f_х(х). Функция f„\(x) называется обратной к функции /(*)• Для того чтобы найти функцию, обратную к данной, нужно в уравнении, задающем данную функцию, поменять местами х и у и полученное уравнение решить относительно у.

Пример 1. Пусть

у = X2.

Меняя местами х и у, получаем х = у2. Решим это уравнение относительно у :

_y=±Vx.

Таким образом, ±]Ле является обратной функцией к х2.

Пример 2. Пусть y = sin2jt. Меняя местами х и у, Получаем х = sin 2у, откуда 2у = Aresin или у = ~ Arcsin х.

Функции sin2x и -i- Arcsin х взаимно-обратные.

2. График обратной функции. Перемена местами х и у в уравнении соответствует изменению обозначений координатных осей. График данной функции имеет вид, изображенный на рис. 87. График обратной функции изображен на рис 88,

Рис 87.

Рис. 88.

Для того чтобы привести оси координат в привычное положение, повернем плоскость хОу на 180° вокруг биссектрисы первого и третьего координатных углов. Тогда график примет вид, изображенный на рис 89. Если поместить графики рис 87 и 89 на одном рис 90, то сразу видно, что

Рис. 89.

Рис. 90.

графики прямой и обратной функций располагаются симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Возвратимся к примеру функции у = х29 графиком которой является парабола, симметричная относительно оси Oy с вершиной в начале координат. Графиком обратной функции у = ± ух также является парабола с вершиной в начале координат, но симметричная относительно оси Ох (рис. 91).

3. Свойства обратной функции. Укажем некоторые свойства графиков взаимно-обратных функций, вытекающие из их симметрии.

1) Точки пересечения с осью Oy графика функции переходят в точки пересечения с осью Ох графика обратной функции, и наоборот.

2) Если функция возрастает (убывает), то и обратная функция также возрастает (убывает) (рис. 92).

Рис. 91.

Рис. 92.

Рис. 93.

3) Пусть функция имеет минимум (максимум). График этой функции пересекается прямой /, параллельной оси Ох, в двух точках, поэтому график обратной функции будет

пересекаться в двух точках соответствующей прямой 1г, параллельной оси Oy, т. е. каждому значению х соответствует два различных значения у. Обратная функция получилась двузначной (рис. 93).

Итак, если функция имеет минимумы или максимумы, то обратная функция будет многозначной.

4) Если график функции вогнут, то график обратной функции может быть как выпуклым, так и вогнутым (рис. 94).

Если функция убывает, то свойство выпуклости или вогнутости ее графика при переходе к обратной функции сохраняется. Если же функция возрастает, то эти свойства меняются на противоположные.

Рис. 94.

Рис. 95.

Рис. 96.

5) Если график функции имеет вертикальные асимптоты, то график обратной функции имеет горизонтальные асимптоты.

4. Логарифмическая функция y — \ogax. Функции f(x) = ax и /_г(х) = \ogax взаимно-обратные. Зная свойства y = a*t укажем свойства функции y = logax. Так как график функции у = ах пересекает ось Oy в точке у=1,

то график y — \ogax пересекает ось Ох в точке х=\. Далее, при а > 1 функция у == ах возрастает, график ее вогнут и имеет горизонтальную асимптоту у = 0. Обратная функция возрастает, график ее выпуклый и имеет вертикальную асимптоту л; = 0.

5. Обратные тригонометрические функции и их главные значения. Пусть / (л:) = sin je, тогда обратная функция (х) — Aresin х.

Рис. 97. Рис. 98.

При изучении функции у = sin х было установлено, что график ее пересекает ось Ох в точках 0, ± тс, ± 2тс, ... , ± ятс, имеет максимумы в точках ~-\-2т и минимумы в точках ^-тс-)-2тся, кроме того, он заключен между двумя прямыми у=1 и у =— 1 (рис 97).

График обратной функции у = Aresin X пересекает ось Oy в точках 0, ±тс, ±2тс, ±лтс, ... Обратная функция многозначная: каждому значению х соответствует бесконечно много значений функции (точки пересечения с прямой, параллельной оси Oy). График у = Aresin х заключен между прямыми х=1 н х = — 1 (рис 98). Из графика многозначной функции у = Aresin х можно выделить часть, которой соответствует уже однозначная

Рис 99.

функция. Удобнее всего взять часть графика, расположенную ближе к началу координат (рис. 99). Полученную таким образом функцию называют главным значением арксинуса и обозначают

у = arcsin X.

Эта функция определена при |д:|С 1» значения ее заключены между —у и ^:

Пусть f(x) = cosx (рис. 100), тогда /_j (*) = Arccos х (рис. 101).

График функции y = cosx пересекает ось Oy в точке у si, а ось Ох — в точках ±^-, iy^.....имеет максимумы в точках 0, ±2тс, ±3тс, ... и минимумы в точках ±тс, ±3тс, ...

График обратной функции у = Arccos X мы получим, если отобразим график y = cosjc симметрично относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. График обратной функции пересекает ось Ох в точке х — 1, а ось Oy — в точках ±-«2» —"о*9 Функция у = Arccosх многозначная. Однозначная часть графика arccos х выделена на рисунке жирной линией.

Рис. 100.

Рис. 101.

Главные значения функции заключены между 0 и те:

О <; arccos х те

Приведем графики функций y<=tgx и y = Arctg#.

Рис. 102. Рис. 103.

Заметим, что главные значения функции y = arctgx заключены между — ~ и ~ :

§ 13. Линеаризация алгебраических функций

Определение. Функция y = f(x) называется алгебраической, если для вычисления ее значений над аргументом производятся алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня и возвышение в степень.

1. Линеаризация рациональных функций вблизи нуля.

При изучении функции вблизи какой-либо точки, например вблизи нуля, часто бывает выгодно исследуемую функцию заменить другой функцией, более удобной для рассмотрений (например, линейной), делая при этом некоторую ошибку.

Например, пусть задана функция у= 1 +д: + 2л:4. Если х мало, то X4 значительно меньше, и поэтому последний член не будет оказывать существенного влияния на поведение

нашей функции при малых х. Отбросим член 2л:4, тогда функция заменится линейной:

Этот процесс замены функции линейной функцией называется линеаризацией.

Определение. Линеаризацией функции вблизи нуля называется замена функции линейной функцией путем отбрасывания всех степеней х выше первой.

Пример, у = а0-\-агх-\-а2х2-\- ... -{-апхп. Отбрасываем все члены, содержащие степень х выше первой, и получаем

y«a0-f-a^.

Эта линейная функция получена в результате линеаризации многочлена вблизи нуля.

В качестве важного примера рассмотрим линеаризацию вблизи нуля степени линейной функции. Пусть у = (kx-\-b)n.

Если п = 2у то

у = {kx + b? = b2 + 2bkx + k2x2 «J2+ 2bkx.

При n — 3 имеем y = (kx + ft)3 = ft3 -f 3b2kx -f 3bk2x2 + k*x3 äJ3+ 3b2kx.

Покажем, что при любом n

у = (kx + ft)" « ft" + nbn~lkx.

Эта формула справедлива при /1 = 2 и 3. Предположим, что она справедлива при п = т. Покажем, что она справедлива также при л = /и+1. Действительно,

Особо важен тот частный случай, когда k=\ и b—l. Тогда

у = (1 + лОл^1-г-лл:.

Рассмотрим пример. При нагревании твердого тела объем его увеличивается. Если тело имеет форму куба, то закон изменения объема v от температуры t выражается формулой

где vQ — первоначальный объем тела, а — коэффициент линейного расширения.

Величина dt весьма мала, поэтому, применяя формулу линеаризации при & = а и Ь—\% получаем закон в следующем виде:

*=^(14-ЗоО=*оО-Н').

Коэффициент ß = 3a называется коэффициентом объемного расширения.

Линеаризуем теперь в нуле дробно-рациональную функцию

у— b0 + bxx + b2x>+ ... +bmxm •

Отбросим в числителе и знаменателе все степени х выше первой, тогда исследуемая функция заменится дробно-линейной функцией

ц _ До ± gif

Остается получившуюся дробно-линейную функцию заменить линейной. Для этого умножим числитель и знаменатель на разность Ьл — Ьхх:

Пример (рис 104).

Геометрический смысл линеаризации функции вблизи нуля, как это будет выяснено в дальнейшем, состоит в том, что кривая, изображающая функцию вблизи ее точки пересечения с осью Oy, заменяется касательной прямой.

2. Линеаризация иррациональных функций. Заменим функцию y=V\-\-ax линейной y — kx-\-b:

Вычислим теперь k и Ь. Для этого возведем обе части равенства в квадрат:

1 -f- ах ~ (Jkx -\- Ь? = Ь2 + 2&*л; + k2x2 « ft2 + 2ft£*

и приравняем слева и справа коэффициенты при х и свободные члены:

a = 2bk, l=ft2.

Получаем b—lt a —2k или £ =

Теперь мы можем записать формулу линеаризации

Пример.

Повторяя рассуждения, приведенные выше, можно получить формулы линеаризации для корней третьей степени, четвертой и т. д.

В общем случае

Пусть

Приравнивая коэффициенты при равных степенях х, получаем bn=\, nkbn~l — a, откуда следует, что ft=l,

3. Линеаризация вблизи данного значения аргумента.

Пусть нам задана функция y = f(x). Требуется изучить эту функцию вблизи некоторой точки х0. Для точки ху близкой к jc0, рассмотрим малую величину ах — х — х0. Тогда X = х0-\-кх. Подставим вместо х в уравнение, задающее функцию, х0-\-кх и линеаризуем функцию, отбрасывая уже не степени х, а степени Ад: выше первой:

/ (х0 -f- Ajc) адо + £ Да: (•* — xq)-

Определение. Линеаризацией функции вблизи данной точки называется замена функции линейной функцией путем отбрасывания членов, содержащих степени Ддс выше первой.

Геометрический смысл линеаризации состоит в том, что вблизи данной точки кривая заменяется касательной.

Пример. Линеаризовать функцию у = 2-\-х— Зх2 вблизи точки х0 = 2.

Пусть х — 2-\-кх. Тогда, подставляя это выражение в функцию вместо х, получаем

Вблизи точки X = 2 функция у = 2-f- х — Зх2 заменяется линейной у =14 — \\х.

В этом параграфе мы показали, как можно производить линеаризацию алгебраических функций. Линеаризацию неалгебраических функций, например таких, как sinx, 2х и др., нельзя уже производить, пользуясь только средствами алгебры. Соответствующие формулы мы по;гучим ниже с помощью теории пределов.

ГЛАВА II

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Предел функции в точке

1. Понятие бесконечно малой. Определение. Функция a(jc) называется бесконечно малой вблизи точки xQy если ее значения по абсолютной величине становятся и продолжают оставаться меньше любого наперед заданного положительного числа, как только значения аргумента становятся достаточно близкими к х0.

Если функция бесконечно мала вблизи точки xQt то это означает, что при значениях аргумента, близких к д:0, значения функции близки к нулю, т. е. к точке х0 можно подойти так близко, что абсолютная величина значений функции окажется (и будет оставаться по мере приближения к д:0) меньше наперед заданного положительного числа. Такое положительное число принято обозначать через е (эпсилон). То, что значения функции по абсолютной величине меньше е, геометрически означает, что отрезок кривой вблизи точки xQ будет заключен в полосе [—е, ej (рис. 105).

Из определения бесконечно малой функции ясно, что если функция вблизи точки х0 постоянна, то она может быть бесконечно малой только в том случае, когда эта постоянная равна нулю. Функция a(jc) = 0 есть бесконечно малая.

Различие между бесконечно малой величиной и постоянной можно пояснить следующим примером. На льдине лежит

Рис. 105.

копейка, льдина попадает в теплое течение и начинает таять. Размеры монеты малы, но постоянны; льдина при таянии уменьшается и, наконец, вся растаивает в момент времени Т0. Размер тающей льдины, как функция времени 7\ и будет бесконечно малой величиной вблизи момента Т0.

2. Свойства бесконечно малых, Г. Сумма двух функций, бесконечно малых вблизи данной точки, есть функция бесконечно малая вблизи этой же точки.

Пусть а(х) и ß(jt) — две функции, бесконечно малые вблизи точки х0. Докажем, что a (jc) —|— ß (jc) будет также бесконечно малой функцией вблизи той же точки, т. е. что значения функции по абсолютной величине станут и будут оставаться меньше любого наперед заданного е.

Так как функции <х(лг) и ß(jc) бесконечно малы, то их значения становятся и продолжают оставаться по абсолютной величине меньше любого наперед заданного положительного числа, в частности меньше ~:

С того момента, когда абсолютные величины а (л:) и ß (х) становятся меньше ~, абсолютная величина их суммы будет меньше е:

Отсюда следует, что а (л;)-f-ß (*) бесконечно малая функция.

2\ Произведение постоянной на функцию бесконечно малую вблизи данной точки есть функция бесконечно малая вблизи этой точки.

Пусть а(х) бесконечно малая вблизи точки лг0, с — некоторая постоянная. Докажем, что сл(х) также бесконечно малая функция вблизи л:0.

Так как функция а (л;) бесконечно мала, то ее значения становятся и продолжают оставаться по абсолютной величине меньше любого наперед заданного положительного числа, в частности меньше -^j : |а(д:)| < jjj-' ^ этого момента

lea (jc)l sa |с||а(лг)| < |с|т^т = е, т. е. са(х) по абсолютной величине становится и продолжает оставаться меньше е. Следовательно, са(х) является бесконечно малой функцией.

3°. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую вблизи данной точки есть бесконечно малая функция вблизи этой точки.

Пусть ср(лг) — ограниченная функция: |<р(*)| М, а а(х) — бесконечно малая вблизи лг0. Докажем, что произведение ср (jt) а (х) бесконечно мало вблизи той же точки jt0. Так как а(х) бесконечно малая, то вблизи х0 \я(х)\ становится и продолжает оставаться меньше любого положительного числа, в частности меньше -jjr : |а(лг)| <-тг»

Тогда

т. е. ср(д:)а(л:) — бесконечно малая функция вблизи а:0.

Следствие. Произведение двух функций, бесконечно малых вблизи данной точки, есть функция бесконечно малая вблизи этой точки.

3. Понятие предела функции. Определение. Число А называется пределом функции f (х) в точке х0, если функция /(х) отличается от этого числа на функцию, бесконечно малую вблизи точки х0.

Это определение может быть записано следующим образом: число А есть предел f(x) в точке лг0, если f(x) — А-\-а(х), где а(х) — бесконечно малая вблизи л;0.

Для предела функции принято обозначение

А= lim f(x).

Иначе еще говорят, что функция f(x) стремится к А при х, стремящемся к х0, что короче записывается так:

/ (jc) -> А при X -> jc0.

4. Свойства пределов. 1°. Если функция в данной точке имеет предел, то она вблизи этой точки ограничена.

Пусть A «s Hm / (л;), т. е, / (х) — A -j- а (х).

Так как- а (х) — бесконечно малая функция, то ее значения вблизи х0 на абсолютной величине становятся и продолжают оставаться меньше любого положительного числа, в частности, меньше единицы. Поэтому

|/(JC)| = |Л + а(*)|<|Л| + |а(х)| < |Л| + 1.

Отсюда следует, что все значения функции вблизи точки х0 меньше + т. е. функция ограничена.

2°. Предел постоянной функции равен самой постоянной.

Пусть /(#)===£, тогда можно написать, что f(x)=c-\-<x(x), где а(л;) = 0, т. е. lim f(x) = c.

3°. Предел бесконечно малой функции равен нулю.

Пусть f (х) — а(х) — бесконечно малая функция. Она может быть представлена как сумма числа 0 и бесконечно малой функции а (х) : / (х) = 0 -f- а (л:), т. е. lim /(л;) = 0.

4°. Предел суммы двух функций в данной точке равен сумме ах пределов. Пусть

lim fx(x) = A и lim /2=

Покажем, что

Hm lfx(x)+f2(x)) = A+B.

Так как lim fx(x) = A> то fx(х) = А + а(х). Аналогично f2(x) = B-\-$(x). Отсюда

fx (*) + /2 (*) = Л + В + а (X) + ß (X).

Функция /г (х) + /2 (х) представлена в виде суммы числа Л + ß и бесконечно малой а (х)ß (х) (сумма двух бесконечно малых), т. е. она отличается от числа А + В на функцию бесконечно малую. Из определения предела следует, что

lim lfx(x) + f2(x)] = A + B,

или

lim lft(x)+f2(x)]= lim fi(x)+ lim f2(x).

5°. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

Пусть lim /г(х) = А и lim f2(x) = B. Покажем, что

Так как lim /1(х) = Л, то /j (а:) = А + a (jc). Аналогично /2 (л:) = В + ß (л:). Отсюда

fi (*) /2 (X) = А В + (X) + Ах (*) + а (X) ß (*).

Функции Аф(х) и Äx(jt) бесконечно малые как произведения постоянных величин на бесконечно малые, а(х)ф(х) также бесконечно малая функция как произведение двух бесконечно малых. Сумма их будет также бесконечно малой функцией.

Итак, функция fi(x)f2(x) отличается от числа AB на бесконечно малую, т. е. lim fx (х) f2 (х) = AB, или

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно, по доказанному предел произведения равен произведению пределов, поэтому

lim cfl(x)=\ïm с-Um fi(x) = c lim fx(x).

6°. Предел частного равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю.

Пусть lim fi(x) = A и lim f2(x) = B, причем В Ф 0.

Покажем, что

Мы имеем fi(x) — A-\-a(x), f2(x) = B-\-$(x). Разделим почленно первое равенство на второе и в правой части прибавим и вычтем -д-:

Множитель Bz(x)— Аф(х) бесконечно мал как разность бесконечно малых. Множитель Д2ц.дрдо ограничен, так как его знаменатель отличается от JS2 на бесконечно малую функцию, причем В Ф 0. Произведение бесконечно малой на ограниченную бесконечно мало.

Итак, функция ~ *f\ отличается от числа ~ на функцию бесконечно малую, т. е.

Пример. Вычислить

Воспользоваться непосредственно теоремой о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. Предварительно преобразуем функцию

К полученной функции уже можно применить теорему о пределе частного: предел знаменателя равен 3. Искомый предел равен ^.

7°. Теорема о пределе промежуточной функции. Пусть даны три функции fx(x), /2С*Х /зС*)» причем значения одной из них, например f2(x), заключены между значениями двух других:

fx W</2W</3(4

Если функции fi(x) и /з(аО имеют в некоторой точке одинаковые пределы, то и промежуточная функция f2(x) имеет в этой точке такой же предел.

Итак, lim fx(x) = At lim /3(jc) = >4. Надо показать, что lim f2(x) = A.

Вычтем из всех частей неравенства f\(x)^ AW^AW величину fi(x). Тогда получим

О < h (*) - /1 (*) < /з (*) - /1 (*)

Так как lim [/3 (х) — fx (х)\ = А — А = О, то функция /з(лг) — fi(x) является бесконечно малой. Из последнего неравенства тогда следует, что f2(x)— /1ОО также бесконечно малая функция, т. е. lim [f2(x)~fx(х)] = 0. Отсюда

Таким образом, lim f2(x) = A.

5. Понятие непрерывной функции. Определение. Функция у=л/(х) называется непрерывной в точке xQ, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim Ay = 0, или

lim [/(*0 + Д*)-/(*о)] = 0.

На рис. 106 изображена функция, непрерывная в точке лг0, а на рис. 107 — разрывная.

Пусть функция y = /(jc) непрерывна в точке х0, т. е.

НтДу= lim [f(xQ-{-bx) — f(x0)] = Q.

Так как f(x0) не зависит от Ал:, то

lim f(x0 + L\x)—f(x0) = 0.

Рис. 106с Рис. 107.

Отсюда следует, что

Итак, если функция непрерывна в точке х0, то предел функции при х->х0 равен ее значению при х — х0. Последнее равенство можно записать в виде

откуда следует, что для непрерывной функции знак функции и знак предела можно менять местами.

Пользуясь свойствами пределов, можно доказать, что сумма и произведение непрерывных функций являются непрерывными функциями. Частное двух непрерывных функций непрерывно за исключением того случая, когда знаменатель обращается в нуль.

В качестве примера докажем непрерывность функции у = X2. Вычислим ее приращение в некоторой точке х0:

Отсюда

Это равенство справедливо при любом х0. Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Функция у = х2 непрерывна при любом значении х.

Так же просто можно доказать непрерывность функции у = хп. Непрерывность других элементарных функций доказывается сложнее.

Оказывается, что функции sinjc, cos Jt, ах непрерывны при всех значениях jc, а все другие элементарные функции

непрерывны при всех х, принадлежащих их областям определения. Например, функция y = logax непрерывна при всех положительных значениях х.

§ 2. Предел функции на бесконечности

1. Понятие функции, бесконечно малой на бесконечности. Определение. Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если ее значения по абсолютной величине становятся и продолжают оставаться меньше любого наперед заданного положительного числа, как только значения аргумента становятся достаточно большими.

Если задать сколь угодно малое положительное число е, то график функции, бесконечно малой на бесконечности, при достаточно больших х будет заключен между прямыми у =— е и у = е. Следовательно, если функция бесконечно мала на бесконечности, то ее график имеет асимптоту у = О (ось Ох) (рис. 108).

2. Предел функции на бесконечности. Определение. Число А называется пределом функции у = f (х) на бесконечности, если функция f (х) отличается от этого числа на функцию, бесконечно малую на бесконечности.

Итак, если / (х) = А -\- а (л;), причем а (л:) бесконечно мала на бесконечности, то Л= lim f (х).

Геометрический смысл того, что функция имеет предел на бесконечности, состоит в том, что график такой функции имеет горизонтальную асимптоту у = А. Следовательно, чтобы найти горизонтальную асимптоту графика функции, нужно вычислить ее предел на бесконечности.

Из геометрического смысла предела на бесконечности ясно, что не всякая функция имеет предел на бесконечности. Если функция неограниченно возрастает на бесконечности, то она, естественно, не имеет предела на бесконечности.

Рис. 108.

Даже если функция ограничена, то она также может не иметь предела на бесконечности. Например, функция s\nx при х->оо периодически изменяется от —1 до 1 и ни к какому пределу не приближается.

Аналогично, функции могут не иметь предела в точке.

Так, функция -i неограниченно возрастает при х-+0 и поэтому не имеет предела в точке 0. Функция sin— при х->0 неограниченно колеблется между —1 и 1 и ни к какому пределу не приближается (рис. 109).

3. Нахождение наклонных асимптот графика функции. Пусть задана функция y = f (х). Предположим, что ее график имеет наклонную асимптоту y = kx-{-b. Задача о нахождении асимптоты сводится к определению коэффициентов k и b в ее уравнении.

То, что прямая у = kx-\-b является асимптотой графика функции, означает, что расстояние AB от точки А графика функции до этой прямой стремится к нулю, когда точка А (следовательно, и ее абсцисса х) уходит в бесконечность:

lim АВ = 0.

Если через а обозначить угол, образованный асимптотой с осью Ох, то

AB = AC cos а.

Отсюда видно, что AB и АС одновременно стремятся к нулю при X, стремящемся к бесконечности:

lim ЛС = 0.

На рис. ПО видно, что АС представляет собой разность ординат AD и CD соответственно точки А, лежащей на кривой, и точки С, лежащей на асимптоте:

AC = AD — CD = f (х) — (kx + b).

Рис. 109.

Следовательно, lim [/ (х) — kx — b] — 0.

Так как предел разности равен разности пределов, то

т. е.

Для нахождения k запишем равенство lim [f(x) —kx—b] =0 в несколько ином виде:

Предел произведения равен нулю, и так как первый множитель неограниченно растет, то предел второго множителя должен равняться нулю, т. е. lim Г/(*) ь_JH_0

Рис. 110.

Воспользовавшись свойством предела разности, получим

Так как lim — = 0, то из последнего равенства следует, что

Итак, мы доказали, что для прямой y = kx-\-bt являющейся асимптотой кривой у = /(*), коэффициенты k и b находятся по формулам:

Справедливо и обратное утверждение: прямая у — kx-\-b является асимптотой графика функции y = f(x)t если числа k и b связаны соотношением Ь= lim [f (х) — kx].

Действительно, если

Отсюда следует, что и

т. е. прямая y = kx-\-b есть асимптота графика функции у = f (х).

Заметим, что задача о нахождении асимптоты равносильна задаче о линеаризации функции для больших значений аргумента.

Пример. Найти наклонные асимптоты графика функции

Прямая у = д;4-у есть асимптота.

§ 3. Задача о касательной

Пусть дана функция у — f (х), график которой изображен на рис. 111, и точка А(х0, у0) на этом графике. Возьмем на кривой справа от точки А(х0, у0) точку В и проведем через эти точки прямую, которую назовем правой секущей.

Рис. 111.

Угловой коэффициент этой секущей найдем из треугольника ЛВС:

Если точка В перемещается по кривой, приближаясь к точке Л, то секущая поворачивается вокруг точки А.

Предположим, что она приближается к некоторому предельному положению.

Определение. Предельное положение правой секущей, когда ее переменная точка пересечения с кривой приближается к точке (jc0, у0), называется правой касательной в точке

(*о> Уо)-

Из определения правой касательной следует, что ее угловой коэффициент ^кас. пр равен

Возьмем теперь на графике функции y — f(x) точку Вх (xv уг) слева от точки А (х0, у0) (рис. 112) и проведем через

точки Л и ßi секущую, которую назовем левой секущей. Угловой коэффициент левой секущей есть

причем Да; < 0.

Определение. Предельное положение левой секущей, когда ее переменная точка пересечения с кривой приближается к точке (л:0, у0), называется левой касательной в точке (х0, у0).

Рис. 112.

По определению левой касательной ее угловой коэффициент

Теорема. Всякая выпуклая (вогнутая) кривая имеет в каждой точке правую и левую касательные.

Доказательство проведем для правой касательной.

Пусть график функции y = f(x) выпуклый. Проведем в точке A(x0l у0) правую секущую AB. При приближении точки В к А секущая вращается против часовой стрелки, при этом угол, образуемый ею с положительным направлением оси Ох, увеличивается и приближается к некоторому предельному значению. Этот угол и будет углом наклона касательной к оси Ох.

В наших рассуждениях мы использовали без доказательства тот факт, что если величина возрастает и ограничена

(в нашем случае угол наклона секущей), то она имеет предел.

Определение. Если в точке кривой правая и левая касательные сливаются в одну прямую, то эта прямая называется касательной.

В случае, когда в точке существует касательная, имеем

^кас. лев === ^шс. пр == ^кас*

Для вычисления углового коэффициента касательной к кривой y = f(x) в точке (д:0, у0) нужно вычислить угловые коэффициенты правой и левой касательных. Если они равны, то их общее значение будет угловым коэффициентом касательной.

Если в какой-нибудь точке угловые коэффициенты правой и левой касательных не совпадают, то кривая имеет в этой точке излом (см. рис. 113).

Рис. 113. Рис. 114.

1. Касательная к параболе у = х'2 в начале координат.

Так как график функции у = х2 всюду вогнут, то в каждой точке имеются правая и левая касательные (рис. 114).

Проведем в начале координат правую и левую секущие.

Угловой коэффициент правой секущей равен — = л*, угловой коэффициент правой касательной равен пределу при х, стремящемся к нулю, углового коэффициента правой секущей:

Для того чтобы вычислить угловой коэффициент левой касательной, проведем через начало координат левую секущую. Она пересечет график функции в точке, абсцисса которой отрицательна (обозначим ее через — х). Тогда утловой коэффициент левой секущей равен r^J. 888 — х и ^кас. лев — ^т ^сек. лев ^т ( «#) =s 0. Л*->0 дг-Ю

Так как угловые коэффициенты правой и левой касательных равны, то парабола y=ut2 имеет в начале координат касательную, совпадающую с осью Ох.

2. Касательная к параболе у = Ух. Функция у = Ух определена при х^О, поэтому можно говорить только о правой касательной в точке х = 0. Угловой коэффициент правой секущей в начале координат равен -—=—тогда при л*->0 угловой коэффициент правой секущей неограниченно возрастает: kctK пр = -i= °°- Это означает, что угол наклона секущей стремится к ~> т. е. касательная совпадает с осью Oy (рис 115).

Рис. 115. Рис. 116.

3. Касательная к синусоиде y = s\nx в начале координат. Первый замечательный предел. При исследовании функции у = sin X было установлено, что справа от начала координат график ее выпуклый, а слева — вогнутый. Применяя теорему, приходим к выводу, что в начале координат существуют правая и левая касательные к ее графику. Покажем, что эти касательные совпадают. Проведем через начало координат правую и левую секущие: OA и OAv Для угло-

вого коэффициента правой секущей имеем £Сек. пр = ~~> тогда для углового коэффициента правой касательной бyдt г *кас.пр = Чт-—^ (рис. 116).

Угловой коэффициент левой секущей равен ?1П ^ *) t угловой коэффициент левой касательной равен:

Итак,

следовательно,

Вычислим этот предел.

Первый замечательный предел: . При вычислении этого предела нельзя воспользоваться теоремой о пределе частного, так как предел знаменателя равен нулю. Воспользуемся геометрическими соображениями.

Возьмем круг единичного радиуса, построим острый угол X (в радианах), проведем линии тангенса ВС и синуса AD и соединим точки А и С прямой. Рассмотрим следующие фигуры: треугольник ОАС, сектор ОАС и треугольник ОВС. Так как эти фигуры вложены одна в другую, то для их площадей справедливы неравенства (рис. 117)

Вычисляя площади этих фигур, получаем

Рис. 117.

Напомним, что площадь кругового сектора с радиусом г и углом а вычисляется по формуле

(угол измеряется в радианах!). Для сектора ОАС получаем

Подставив найденные выражения для площадей в неравенства (1), получим

или

Разделив все части неравенств на sin х, получим

В этих неравенствах перейдем к обратным величинам. При этом знаки неравенств изменятся на противоположные:

Так как пределы левой и правой частей неравенства при X —> О равны единице, то на основании ранее доказанной теоремы о пределе промежуточной функции предел —— также равен единице:

Заметим, что в предыдущем рассуждении мы использовали то, что функция cos X непрерывна, и поэтому lim cos х = cosO= 1.

Возвращаясь к задаче о касательной к синусоиде, получаем, что

Итак, касательная к синусоиде в начале координат образует с положительным направлением оси Ох угол, равный -г. 4

4. Касательная к косинусоиде y = cosx в точке ее пересечения с осью ординат. График функции у = со$х при —~ < л* < y выпуклый, по доказанной теореме в каждой точке рассматриваемого промежутка он имеет правую и левую касательные (рис. 118).

Рис. 118.

Возьмем на кривой точки Л(0, 1), В(х, у) и Вх(— х, у) и проведем в точке А правую (AB) и левую (АВХ) секущие. Для углового коэффициента правой секущей имеем

тогда угловой коэффициент правой касательной &кас> по =

Вычислим этот предел, для чего и числитель и знаменатель умножим на cosJt+1:

Итак, kMCt пр = 0. Аналогично,

Так как угловые коэффициенты правой и левой касательных в точке Л (0, 1) равны, то существует касательная к косинусоиде в этой точке, и ее угловой коэффициент равен нулю. Касательная параллельна оси Ох.

б. Касательная к тангенсоиде y — tgx в начале координат. Проведем правую и левую секущие OA и OAi9

вычислим их угловые коэффициенты и угловые коэффициенты правой и левой касательных (рис. 119):

Рис. 119.

Касательная к тангенсоиде в начале координат образует с положительным направлением оси Ох угол, равный ~.

6. Касательные к графикам обратных тригонометрических функций. Рассмотрим функцию у = aresin л; и вычислим угловой коэффициент правой касательной к ее графику в начале координат:

Обозначим aresin х через ос, тогда х — sin а и

Вычислим угловой коэффициент левой касательной:

Итак, касательная к графику функции у = aresin х в начале координат существует и образует с осью Ох угол, равный ~ (рис. 120).

Рис. 120.

Рассмотрим функцию y=arctgjc и вычислим угловой коэффициент правой касательной к ее графику в начале координат;

Обозначим arctgAT через а, тогда x = ïga и

Угловой коэффициент левой касательной:

Итак, касательная к графику функции y = arctg.s существует и образует с осью Ох угол а = -д (Р"с- 121),

Рис. 121.

7. Касательная к графику обратной функции. Как мы уже знаем, график обратной функции получается из графика данной функции путем симметричного отображения относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 122).

Пусть касательная к графику данной функции образует с осью Ох угол а. Геометрически ясно, что касательная

Рис. 122.

к графику обратной функции в соответствующей точке будет образовывать с осью Ох угол ~ — а. Поэтому

Итак, угловой коэффициент касательной к графику обратной функции в некоторой точке есть обратная величина к угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в соответствующей точке.

Применим это соображение к рассмотренным нами функциям. Функции X2 и ух взаимно обратны. Касательная к графику у = х2 в начале координат совпадает с осью Ох, касательная же к графику у = Ух совпадает с осью Oy.

Угловые коэффициенты касательных к графикам функций sin X и tg X в начале координат равны единице, следовательно, угловые коэффициенты касательных к графикам обратных функций aresin х и arctg х также равны единице, и касательные образуют с осью Ох угол ~.

8. Касательная к графику показательной функции в точке его пересечения с осью ординат. Как известно, график показательной функции вогнутый. Из доказанной в начале параграфа теоремы следует, что в любой точке этого графика существуют правая и левая касательные. Покажем, что в точке пересечения графика с осью ординат они совпадают. Для определенности будем считать а > 1 (рис 123).

Рис 123.

Угловой коэффициент правой секущей равен —-— и, следовательно, угловой коэффициент правой касательной равен

Угловой коэффициент левой секущей равен

и, следовательно,

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

При л:->0 первый множитель а~х имеет пределом единицу, а предел второго множителя равен &кас> пр. Таким образом, ^кас. лев = ^кас. пр» и график имеет касательную в точке пересечения с осью Oy, угловой коэффициент которой обозначим через ka.

Рассмотрим, как изменяется угловой коэффициент касательной в зависимости от основания показательной функции. Возьмем функцию у = Ьх. Для углового коэффициента кь имеем

Введем переменную а такую, что Ьх = ал. Беря от обеих частей логарифм при основании Ь, получаем

Подставляя выражения для Ьх и х под знак предела для kb и замечая, что а—>0 при л:—>0, получаем

Таким образом, при переходе от основания а к основанию Ъ угловой коэффициент уменьшается в \ogba раз. Так как \ogb а при Ь > 1 принимает все возможные положительные значения, то и коэффициент kb при различных основаниях b принимает все возможные положительные значения.

Оказалось, что во многих случаях особенно удобной является та показательная функция, для которой угловой коэффициент касательной в точке пересечения с осью Oy равен единице. Основание такой функции условились обозначать буквой е> а саму функцию ех.

По определению числа е угловой коэффициент ke~ 1, или

С другой стороны, для любого а ке = -<-ka* Откуда следует, что ka = logea.

Логарифм при основании е условились называть натуральным и обозначать так: In. Поэтому последнюю формулу можно сокращенно записать в таком виде: ka = \na.

Рис. 124.

Вспоминая предел, который нас привел к величине ka% получаем

Можно доказать, что число е является иррациональным числом и, следовательно, имеет вид бесконечной непериодической десятичной дроби. Позднее мы получим возможность вычислять число е с любой степенью точности. Сейчас же оценим лишь приближенно величину е. Для этого воспользуемся тем, что угловой коэффициент касательной к графику функции е* в точке пересечения с осью Oy равен единице (см. рис. 124). Из вогнутости кривой у = ех

следует, что угловой коэффициент любой правой секущей больше, а коэффициент любой левой секущей меньше, чем угловой коэффициент касательной в точке А. Отсюда получаем, что

Напомним, что согласно нашим обозначениям в обоих неравенствах х > 0.

Из первого неравенства следует е* > 1 + х. Во втором неравенстве при умножении на — х знак неравенства изменяется на противоположный, следовательно, е~х > 1 — х. Положим в первом неравенстве х= 1, тогда получим е > 2.

Из второго неравенства при х = получим е 2 >• Отсюда Y~ê < 2 и, следовательно, е < 4. Итак мы показали, что

Придавая в неравенствах £•* > 1 —f— jc и е"х > 1 — л: переменной jc значения, более близкие к нулю, можно сузить границы, между которыми заключено число е.

В действительности е = 2,718 ...

9. Касательная к графику логарифмической функции в точке пересечения с осью Ох. Функция y = \ogax является обратной к показательной функции у = ах. Точке пересечения графика у = ах с осью Oy соответствует точка пересечения графика y = \ogax с осью Ох. Угловой коэффициент касательной к графику показательной функции в точке пересечения с осью Oy равен Ina. Поэтому угловой коэффициент к графику логарифмической функции в точке пересечения с осью Ох равен -р^-. Если вычислить его как предел углового коэффициента секущей, то получим

Следовательно,

Если рассматривать функцию у = \пх, то

10. Число е как предел. Формулу для углового коэффициента касательной к графику функции у = 1пд: можно переписать в виде

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

Отсюда

При перемене местами знаков предела и логарифма была использована непрерывность логарифмической функции. Итак,

Отсюда следует, что

Иногда этот предел записывают в другой форме, заменяя а на — , т. е.

§ 4. Гиперболические функции

В приложениях часто встречаются следующие комбинации функций ех и е~х:

В связи с этим функциям —-, -2- дали специальные названия. Первая из них называется гиперболическим косинусом, вторая — гиперболическим синусом. Обозначаются они так:

Функции ch X и sh х определены для всех значений л:.

Исследуем функцию y = chx. График функции пересекает ось Oy: при х = 0 имеем у = ch 0 = е°~^е° — [, функция ch х четная, так как

График функции ch х симметричен относительно оси Oy. При неограниченном возрастании х значения е~х будут становиться сколь угодно малыми, и значения ch х приблизительно будут равны значениям функции

Построим вспомогательный график функции у = ~ех.

График у = ch X расположен выше графика у = i еЛ\ так как

Рис. 125.

При больших положительных значениях х эти графики сближаются (рис. 125).

Аналогично исследуем функцию у = sh х. Так как —-— = 0, то sh0 = 0, т. е. график проходит через начало координат (рис. 126). Функция нечетная, так как при изменении знака х функция меняет знак:

Рис 126.

Если X велико, то е~х мало и shx^-^e*. График y=shx пройдет ниже графика у = ~ех, так как

Легко проверить, что гиперболические синус и косинус связаны соотношением

ГЛАВА III

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть а(д:) и $(х)— две функции, бесконечно малые вблизи одной и той же точки xQ.

Определение. Две бесконечно малые называются бесконечно малыми одного порядка малости, если

В частности, две бесконечно малые называются эквивалентными, если предел их отношения при х->х0 равен единице:

Если а(х) и $(х) — эквивалентные бесконечно малые функции, то это записывают так: а(х) — $(х) (читается а(х) эквивалентна $(х)).

Определение. а(х) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем §{х), если

Итак, если

то a (je) более высокого порядка малости, чем ß (х)\

то ol(x) и ß(jc) одного порядка малости;

то a(jt) и ß(jt) эквивалентные бесконечно малые.

1. Свойства бесконечно малых более высокого порядка малости, чем данная. 1°. Сумма двух бесконечно малых более высокого порядка малости, чем данная, есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем данная.

Пусть ах(х) и а2(х) — бесконечно малые более высокого порядка малости, чем ß (х), т. е.

Тогда

Свойство доказано.

2°. Произведение бесконечно малой более высокого порядка малости, чем данная, на ограниченную функцию есть снова бесконечно малая более высокого порядка малости, чем данная.

Читателю предлагается самому доказать это свойство.

Сравним некоторые бесконечно малые.

1. Пусть a(x) = sm X, ф(х)=:х, л:0 = 0.

Так как lim п = 1, то sin л: и х эквивалентные бес-х-+о х конечно малые: sinjc^A:.

Эквивалентными бесконечно малыми будут tgx и х, aresin X и X.

2. Пусть <х(л*)=1—cos X, ф(х) = х2, х0 = 0. Тогда

Итак, бесконечно малые 1—cos* и х2 одного порядка малости.

2. Основная теорема об эквивалентных бесконечно малых. Теорема. Если две бесконечно малые эквивалентны, то разность между ними есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем каждая из них. И, наоборот, если разность двух бесконечно малых

есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем одна из них, то эти бесконечно малые эквивалентны.

Пусть а (л:)—т. е. lim 7^—^=1. Докажем, что а(х) — р(лг) есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем, например, р(лг). Действительно,

Это и означает, что а(л:) — $(х) — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ß(*)-

Доказательство обратного утверждения. Пусть

Докажем, что а(х) и ß (л:) эквивалентны:

Так как первый предел по условию равен нулю, то lim J? M. — 11 т# е# а(х) и ß (л;) эквивалентные бесконечно х->х0 г\х) малые.

Обозначим разность <х(х)—ф(х) через ^(л:): а(х)—ß(jt) = = Ï (*)• Тогда

a(*) = ß(*)+T(*).

Доказанная теорема утверждает, что из эквивалентности а (л:) и ß(#) (а (л:) ~ ß (х) ) следует, что ^(л:) является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем ф(х) (или a(jc)).

§ 2. Линеаризация вблизи нуля

Линеаризацию функций вблизи нуля мы будем теперь проводить, основываясь на теореме об эквивалентных бесконечно малых. Если функция f (х) бесконечно мала вблизи нуля и эквивалентна функции kx, то по теореме об экви-

валентных бесконечно малых f(x) отличается от kx на бесконечно малую более высокого порядка малости:

f(x) = kx + 4(x).

Пользуясь равенством / (л:) = kx -f- Tf (х), можно дать такое определение: линеаризацией функции вблизи нуля называется замена ее линейной функцией с точностью до величины более высокого порядка малости, чем х.

Линеаризация элементарных функций вблизи нуля.

1. Линеаризация функции у — (\-\-х)п. Как было показано,

(\-\-х)п^\+пх

с точностью до членов со степенями х выше первой. Эти отброшенные члены представляют собою бесконечно малые более высокого порядка малости, чем х. Если, например, отброшен член вида ах2, то Jim — = аНтл:=0, т. е. более высокого порядка малости, чем х. Таким образом,

(\ + х)п=\+пх + Ъ

где 7 — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем X.

2. Линеаризация функции У = -гт—• Функция -т-т— вблизи нуля не является бесконечно малой, поэтому рассмотрим вспомогательную функцию у4---1. которая вблизи нуля будет уже бесконечно малой.

Сравним две бесконечно малые -т-т--1 и х:

Из полученного равенства следует, что эти бесконечно малые не эквивалентны. Однако, если сравнить функцию -г-]---1 с — X, то предел их отношения при jt->0

3. Линеаризация функции у = У 1 +лг. Функция У Ï-Çx вблизи нуля не является бесконечно малой, поэтому рассмотрим функцию ]A-f-Jc—1, бесконечно малую вблизи нуля, и сравним ее с бесконечно малой х:

Бесконечно малые не эквивалентны. Если же сравнить У 1 я—1 с |, то предел их отношения окажется равным единице, т. е. -j- х—1—тг, или

4. Линеаризация функции y~smx. Сравним sin je и х вблизи нуля. Получим первый замечательный предел

т. е. sin л:—х, или s\nx = х~\-~{-

5. Линеаризация функции у = со$х. Функция cos л: вблизи нуля не является бесконечно малой, поэтому рассмотрим функцию cos л:— 1, которая вблизи нуля бесконечно мала.

Сравнивая cos л;—1 и х, получаем

Таким образом, cos л:—1—бесконечно малая более высокого порядка малости, чем х. Обозначим cos л;—I через т, тогда cos х — 1 = т, откуда

окажется равным единице, т. е. y-j---1 и — х эквивалентны.

Тогда по доказанной теореме у-г---1 = — лг-f- т , где 7 — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем х. Итак,

где y — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем X.

6. Линеаризация функций у = ех и у = ах. Вместо функций е* и ах рассмотрим бесконечно малые вблизи нуля функции ех— 1 и ах— 1.

По определению числа е имеем lim-= 1, т. е.

Как было показано ранее, lim -= lna. Отсюда следует, что lim а 7~ = 1, т. е. ах—1—л: Ina, или ах = 1 —f- X \ti ci —J— т.

7. Линеаризация функции у == logfl ( 1 + х). Функция 1°&аО~Ь-*) бесконечно мала вблизи нуля. Как было показано ранее, lim ÏQgg^ ~^х^ = -.-?—. Отсюда следует, что

Если рассматривать функцию у = In (1-f-„v), то

Заметим, что функции \ogax и In х нельзя линеаризовать вблизи нуля, так как вблизи х — О они не ограничены. 8. Формулы линеаризации вблизи нуля.

9. Примеры применения линеаризации. 1°. Пусть требуется приближенно вычислить |/^82. Представим число 82 в виде суммы 81 + 1. Тогда

2°. Вычислить sin 10°. Угол в 10° содержит радиан, т. е. является малой величиной, поэтому

В четырехзначных таблицах sin 10° = 0,1736. 3°. В атомной физике изучается формула, дающая зависимость распределения энергии излучения от частоты:

Формула эта сложна, поэтому при малых частотах v, т. е. при малых £^г, величина екТ линеаризуется и заменяется на Тогда получается более простая формула

называемая формулой Релея — Джинса.

§ 3. Линеаризация функции вблизи данной точки

Рассмотрим функцию у = f(x) вблизи точки л*0, т. е. при х = лг0 + Дл\ Вблизи точки х0 величина Ал: будет бесконечно малой.

Определение. Говорят, что функция у = f(x) допускает линеаризацию вблизи точки х0, если эту функцию можно заменить линейной функцией с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости, чем

Если функция допускает линеаризацию, то ее можно представить следующим образом:

/(х0 + Дл:) = £ + £Дл: + т,

где f — величина более высокого порядка малости, чем ах.

Выведем формулы для вычисления k и Ь. Предполагая, что предыдущая формула справедлива при ах = О *), найдем, что b — f(x0). Теперь можно записать:

/(л:0 + Дл:) = /(л:0) + АДд: + т,

или

f(x0 + i\x) — f(xQ) = kbx + i.

В левой части последнего равенства написано приращение функции, поэтому, используя сокращенные обозначения, пишем:

Ду = k Ддг + Т»

Из этой формулы видно, что приращение функции состоит из двух частей: линейной части khx и бесконечно малой f более высокого порядка малости, чем Дл:.

Определение. Линейная часть приращения k àx называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy = khx.

Приращение функции, допускающей линеаризацию, отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем Дл\ Этот факт записывается следующим образом:

Из равенства Ду = £ Длт-р-? можно найти:

Переходя в этом равенстве к пределу при Дл;->0, получаем

*) Это предположение эквивалентно предположению о непрерывности функции f(x) в точке х0.

Так как *у — величина более высокого порядка малости, чем àjct то

и, следовательно,

Этот предел называют производной.

Определение. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Этот предел обозначается через f'(x0) или у'. Таким образом,

Теперь основную формулу для линеаризации функции можно записать так:

/ (*0 + bx) = f (лг0) + /' (*о) А* + 7 -

Соответственно формулы для приращения функции и ее дифференциала примут вид

äy^f'ixjbx + t и dy = f'(xQ)bx.

Дифференциал функции в данной точке равен произведению производной (в этой точке) на приращение аргумента.

Функции, допускающие линеаризацию, называются дифференцируемыми.

1. Производная и дифференциал линейной функции в данной точке. Пусть дана линейная функция / (х) = £ + kx. Полагая х — х0-\-Ьх, получаем

Как известно, коэффициент при ах есть производная, т. е. производная линейной функции равна ее угловому коэффициенту:

Дифференциал линейной функции равен ее приращению:

Рассмотрим частные виды линейных функций. Пусть k — О, т. е. f(x) — b, тогда производная равна нулю в любой точке X.

Итак, производная и дифференциал постоянной равны нулю.

Пусть теперь f (х) = х, т. е. k = 1, тогда производная равна единице, а дифференциал равен Ал::

Итак, дифференциал функции х равен ее приращению Дл\

Это обстоятельство позволяет ввести другое обозначение для дифференциала любой функции и ее производной. Заменяя кх на dx, получаем dy — f'(x)dx> откуда

§ 4. Формулы линеаризации основных элементарных функций. Производные

Для получения формул линеаризации конкретных элементарных функций выражение f (х0-{-hx) будем преобразовывать так, чтобы к нему можно было применить одну из формул линеаризации вблизи нуля. При этом следует иметь в виду, что основной малой величиной является Ад:.

I. Линеаризация степенной функции f(x) = xn при целом положительном п. Имеем / (xQ + Ал:) = (л:0 + äx)n =

Так как — величина бесконечно малая, то, полагая в первой формуле линеаризации вблизи нуля х = —, получаем

Коэффициент при Ал; дает производную f (х0) = nxß~l. Вывод справедлив при л:0, отличном от нуля. Если л:0 = 0, то / (л;0-|- Ал;) = кхп и коэффициент при Ал; равен нулю, т. е. f (0) = 0. Это же значение для производной получается по предыдущей формуле. Таким образом,

2. Линеаризация функции f(x) = — . Имеем

Так как — величина бесконечно малая, то, полагая во второй формуле линеаризации вблизи нуля х — —, получаем

Коэффициент при Ал: дает производную

Вывод справедлив при любом х0, за исключением л:0 = 0, т. е. при всех х из области определения функции — имеем

3. Линеаризация функции f(x) = у х. Воспользуемся третьей формулой линеаризации вблизи нуля, полагая в ней X ——. Получаем

Коэффициент при Ал: дает производную

При выводе формулы мы делили подкоренное выражение на д:0, т. е. предполагали, что xQ Ф 0. Поэтому при любом X Ф 0

4. Линеаризация функции f(x) — sinx. Пользуясь четвертой и пятой формулами линеаризации, получаем, что

Коэффициент при Ад: дает производную. Таким образом,

5. Линеаризация функции f(x) = cos х. Аналогично предыдущему получаем

Коэффициент при Ад: дает производную. Таким образом,

6. Линеаризация показательной функции f(x) = ах*

По шестой формуле линеаризации вблизи нуля получаем:

Коэффициент при Ад: есть производная. Таким образом,

В частном случае, для функции ех получаем

(Напомним, что In е = 1.)

7. Линеаризация логарифмической функции = = logÄJt. По восьмой формуле линеаризации вблизи нуля, Дд:

полагая в ней х — —, получаем

Поэтому

В частном* случае для натурального логарифма In х имеем

Из рассмотрения основных элементарных функций видно, что производная от каждой из этих функций существует для всех точек из области определения, за исключением, быть может, отдельных точек (л;0=0 для функции Yx)' Поэтому производную можно рассматривать как функцию /'(•*)• Производные элементарных функций снова являются элементарными функциями.

§ 5. Общие свойства производных

Пусть даны две функции g(x) и h(x\ причем для каждой из них известна формула линеаризации вблизи точки х0.

1. Производная суммы. Напишем формулы линеаризации:

Складывая эти равенства, получаем

Коэффициент при ах является производной суммы g (х) + h (х) в точке х0.

Итак, производная суммы двух функций равна сумме их производных:

Пример.

2. Производная произведения. Пусть снова

Перемножая эти равенства, получаем

Коэффициент при Ал: является производной произведения g(x)h(x) в точке х0. Таким образом,

Производная произведения равна сумме произведений производной первого множителя на второй без изменения и производной второго на первый без изменения.

Пример. у = х2 cos X + In х,

Рассмотрим частный случай, когда одна из функций тождественно равна постоянной: g(x) = c. Так как cf = 0, то

Итак, постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3. Производная дроби. Рассмотрим частный случай, когда числитель дроби равен единице, а знаменатель g(x) является функцией, допускающей линеаризацию:

Предположим, что g(x0)=£0. Тогда

Дробь ,—ч 1 является бесконечно малой того же порядка малости, что иДл;. Поэтому к дроби-—(—г-т—-г— можно применить вторую формулу линеаризации вблизи нуля, « g' (хо) А* + Т полагая в ней л: = а v ,— ' .

Тогда получаем

Подставляя это выражение в начальное равенство, получаем

Коэффициент при Ад: является производной:

Рассмотрим общий случай:

Эту дробь можно рассматривать как произведение

тогда

Производная дроби есть дробь, числитель которой равен разности произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель, а знаменатель равен квадрату знаменателя функции.

Применим это правило к выводу производных функций tgx и ctg л;:

Таким образом,

Аналогично получаем

4. Производная и дифференциал сложной функции.

Рассмотрим функцию

f(x) = F[<f(x)].

Функция такого вида называется сложной. Знак ср определяет внутреннюю функцию, знак F— внешнюю.

Для того чтобы вычислить значение функции f (х) при х = х0, нужно сначала вычислить значение ср (лг0), которое обозначим через и0(и0 = у(х0)), а затем — значение F(uQ). Тогда f(x0) = F(iï0).

Дадим теперь х значение х0-\-кх, тогда

ср (х0 + Алг) = uQ + Ди и / (л:0 + А*) = F (и0 + Да).

Применяя формулу линеаризации к внешней функции, получаем

/ (*0 + А*) = F («о + ки) = F («о) + Fr (и0) Да + Т.

В этой формуле и0 = у(х0) и Д# = ср(л;0 + Дл;)— <рО0). Применяя формулу линеаризации к внутренней функции ср(лг), получаем

Ли = 9 (*о) + ?' (*о) Алг + Т1 — ? (*о) = ¥ (хо) А* + Ii-

Подставив в формулу для /(а:0 + Дл:) выражение для и0 и Aw, получим

Коэффициент при Ал: дает производную:

Итак, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней.

Для дифференциала сложной функции получим

dy=zF' [ср (*)] <р' (дг) dx.

Введем вспомогательную переменную я = ср(л;). Тогда du = ср' (x)dx и формулу для дифференциала можно записать в виде

dy = F' (и) du.

Таким образом, дифференциал сложной функции записывается через вспомогательную переменную в обычной форме (произведение производной на дифференциал переменной).

Примеры.

1) f(x)— У sin х. Функция сложная, корень квадратный— внешняя функция, синус — внутренняя

2) / (л:) = In cos X. Здесь внешняя функция логарифм, внутренняя — косинус

3) f (х) = cos 2х. Здесь внешняя функция косинус, а внутренняя — линейная функция 2х

4) f(x) = е~х. Здесь внешняя функция — показательная, внутренняя — линейная, равная — х

5) Производные гиперболических функций

5. Производная степенной функции при любом показателе степени. Пусть f(x) = xa. Из тождества х = е1пх следует ха = (е1п х)а = е*1пх.

Тогда производная внутренней функции а\пх

Итак,

Эта формула совпадает с выведенной ранее формулой для производной степенной функции с целым положительным показателем степени.

6. Производные обратных функций. Пусть функция у = /_1(;с) является обратной к функции y = f(x). Положим х = х0 и вычислим у0 = /в1 (лг0), тогда лг0 = /(у0).

Полагая х= x0~f-Дх. получаем у0 + Ду = /_1(*04-Д*) или дг0 + Ал: = /(у0 + Ау).

Воспользовавшись формулой линеаризации для прямой функции, получим

отсюда

Предполагая, что /' (у0) Ф О, находим

Величина тх является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем Ду. Однако для функций, допускающих линеаризацию в точках, где производная отлична от нуля, величины Ал; и Ду имеют одинаковый порядок малости. Поэтому Tj является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем Ад:. И, следовательно, в предыдущей формуле коэффициент при Ад: дает производную

7. Производные обратных тригонометрических функций. Пусть у = /_г(х) = aresin х, тогда х = / (у) = sin у. По выведенной формуле

Таким образом,

Аналогично можно показать, что

Пусть теперь у = /в1 (#) = arctg х, тогда х = / (у) = ig у. По формуле производной обратной функции

Таким образом,

Аналогично

§ 6. Геометрический смысл производной и дифференциала

1. Геометрический смысл производной. Пусть функция у = /(х) такова, что график ее в данной точке имеет касательную. Угловой коэффициент касательной, как было установлено ранее, равен

По определению, предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Ддг-^О есть производная.

Итак, значение производной f'(xQ) в точке л:0 дает тангенс угла наклона к оси Ох касательной к графику функции y = f(x) в этой точке (рис. 127).

Рис. 127.

2. Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (#0! Л)« Уравнение касательной к кривой в точке (xQt у0) можно написать в форме уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: у — у0 = k(x—x0). Так как угловой коэффициент касательной k = /' (х0), то уравнение касательной будет

У — Уо = /' (*о)(* —*о)-

Здесь у0 есть значение функции в точке лг0: у0 = f(xQ).

Пример. Написать уравнение касательной к параболе у — x2 в точке х0 = 2.

Вычисляем значение функции у0 = 22 = 4. Производная //(лг)==2л:. В точке х0 производная /' (л:0) = f (2) = 4.

Отсюда

у — 4 = 4 (л; — 2), или у = 4х — 4.

Определение. Прямая, проведенная перпендикулярно к касательной в точке ее касания с кривой, называется нор* малью к кривой в этой точке.

Угловой коэффициент нормали обратен по величине и противоположен по знаку угловому коэффициенту касательной

и, следовательно, равен

Уравнение нормали имеет вид

3. Геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим функцию y = f(x), график которой изображен на рис. 128.

Проведем в точке А(х0, у0) касательную. Обозначим угол наклона этой касательной к оси Ох через а, тогда

Из прямоугольного треугольника ACD найдем CD = AD tga = äxf (а:0). Произведение производной на приращение аргумента есть дифференциал функции: f'(xQ) bx = dy.

Итак, геометрический смысл дифференциала состоит в том, что он представляет собой изменение ординаты точки при ее перемещении по касательной.

Напомним, что приращение функции Ду есть изменение ординаты точки при ее перемещении по кривой.

Приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую, более высокого порядка малости, чем Дх : Ду = dy-\-f. На рисунке величина 7 изображается отрезком ВС.

Замена приращения функции дифференциалом этой функции в некоторой точке геометрически эквивалентна замене кривой касательной к ней в этой точке.

Рис. 128.

§ 7. Понятие о производных и дифференциалах высшего порядка

Так как производная функции в свою очередь является функцией, то можно вычислить от нее производную. Производная от производной называется второй производной, или производной второго порядка и обозначается у" : (у')' = y'i

Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной и обозначается у'" : (у")' = уг".

Пример. 1. у = х3Н-5х2+1, у' = 3х24-10х, у" — = 6х+10, у'" = 6, yv = o.

2. у = sin л;, y' = cos*, у" =— sinx, у"'= — cos*, у v = sin *.

Вообще производная от производной порядка п — 1 называется производной п-го порядка и обозначается

(у(л-1>)' = у(л>.

Дифференциалом п-го порядка называется произведение производной п-го порядка на п-ю степень приращения аргумента:

dny = у<л> (Д*)л = Ул> dxn. Отсюда получается другая запись для л-й производной:

у dxn

§ 8. Механический смысл производной

Пусть точка совершает какое-то движение. Длина пути, пройденного точкой, изменяется в зависимости от времени и, следовательно, является функцией времени: $ = s(t).

Пусть за время t точка прошла путь s, а за время t-\-L\t — путь s-f-As» т. е. за время А/ точка прошла путь As. Отношение характеризует скорость движения точки на данном отрезке пути в том смысле, что если бы движение было равномерным, то скорость движения равнялась бы отношению пройденного пути às ко времени А/.

Отношение называется средней скоростью на отрезке As.

Однако, если движение неравномерное, то средняя скорость на каком-то отрезке às не будет характеризовать движение точки в любой момент времени.

Истинная скорость движения будет тем меньше отличаться от средней, чем меньше промежуток времени Аг\

Чтобы получить скорость v в данный момент времени, рассмотрим предел 4т при Л£->0: Hm ^ — v*

С другой стороны, этот предел представляет собой предел отношения приращения функции 5 (t) к приращению аргумента t и, следовательно, является производной от функции s(t).

Таким образом, скорость есть производная длины пути по времени

Пример. Пусть5 = -у2-. Тогда скорость v = s' = at.

Скорость движения связана с изменением величины пройденного пути со временем. Понятие скорости вводится и для других процессов, протекающих во времени. Если некоторая величина в этом процессе изменяется, то ее производную по времени называют скоростью изменения. Производную по времени от скорости естественно назвать ускорением:

Ускорение есть вторая производная длины пути по времени.

В предыдущем примере w = s" = а, т. е. движение равнопеременное.

ГЛАВА IV

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

§ 1. Поведение функции вблизи данной точки

1. Условие возрастания и убывания функции в точке.

Функция возрастает в данной точке дг0, если ее значения вблизи этой точки справа больше, чем значение в самой точке, а слева — меньше (рис. 129). Функция убывает в точке х0, если ее значения вблизи этой точки справа меньше, чем значение в этой точке, а слева — больше (рис. 130).

Рис. 129. Рис. 130.

Теорема. Если в данной точке производная положителъна (отрицательна), то функция в этой точке возрастает (убывает).

Пусть производная функции f(x) в точке х0 положительна: f'(xQ)>0. Докажем, что функция в этой точке возрастает.

Для сравнения значений функции f(x) справа и слева от точки х0 воспользуемся формулой линеаризации этой функции:

Пусть Дл;>0. По условию f'(xQ)>0, поэтому f'(xQ)A jc>0. Так как f— величина более высокого порядка малости, чем ах, то при малых Ад; сумма f'(xQ) А х -f- 7 также положительна.

Следовательно, значение f(x0-{-L\x) равно сумме f(x0) и положительной величины f'(x0) А х -f- 7. Отсюда следует, что A*0 + A*)>/C*o)» т- е- Функция /(л:) принимает справа от л:0 значения большие, чем в точке х0.

Пусть A X < 0, тогда /'(#0) А х < 0 и сумма /'(л:0) А х -f- т отрицательна. Отсюда вытекает, что f(x0 -f- А х) < /(л:0).

Таким образом, функция /(л:) принимает справа отточки х0 значения большие, а слева меньшие, чем ее значение в точке х0. Функция возрастает.

Пример. Пусть у = лг3-|-Зл:—1, тогда в любой точке у'= 3*2-f-3>0. Производная положительна, функция всюду возрастает.

2. Точки экстремума. Напомним, что функция в данной точке имеет максимум (минимум), если ее значение в этой точке больше (меньше) всех ее других значений, принимаемых вблизи этой точки. Точки, в которых функция имеет максимум или минимум, называются точками экстремума.

Теорема. Если в некоторой точке функция имеет экстремум, то в этой точке производная или равна нулю, или вообще не существует.

Пусть функция у = f(x) в некоторой точке х0 имеет экстремум. Если в этой точке существует производная, то она или положительна, или отрицательна, или равна нулю. Если бы производная в точке х0 была положительной, то функция в этой точке возрастала бы и, следовательно, не имела экстремума. Если бы производная была отрицательна, то функция в этой точке убывала бы и, следовательно, также не имела экстремума. Остается единственная возможность— производная равна нулю.

Рис. 131.

Итак, если д:0 — точка экстремума, то производная в этой точке (если она существует) равна нулю: /'(*) = 0 (рис. 131).

Для дифференцируемой функции условие /'(л;0) = 0 называется необходимым условием экстремума.

Геометрический смысл необходимого условия экстремума состоит в том, что в точках экстремума касательная параллельна оси Од:.

Точки экстремума функции могут совпадать с точками, в которых график функции имеет излом. В этих точках производная не существует (рис. 132).

Рис. 132.

Пример. Найти точки экстремума функции у = х3 — Зл:. Необходимое условие показывает, что функция может иметь минимум или максимум только в тех точках, где производная равна нулю. Найдем эти точки: у' = Ъх2 — 3, Зл:2 — 3 = 0, X2—1=0, х= ±1. Вычислим значения функции в точке jc = l, а также значения ее слева и справа от этой точки. Положим X = 0 и X = 2, тогда у = 0 и у = 2. При х — 1 получаем у=1 — 3 = —2. Таким образом, слева и справа от точки X = 1 функция принимает значения большие, чем в точке х—1. Точка х=1 есть точка минимума. Аналогично устанавливается, что точка х = — 1 есть точка максимума (рис. 133).

Установленное необходимое условие экстремума не является достаточным. Можно привести пример функции, производная которой в точке х0 равна нулю, но функция в этой точке экстремума не имеет. Действительно, пусть / (х) = X3. Тогда /'(*) = Зх2 и при лг0 = 0 производная /'(jt0) = 0. Но, как известно, кубическая функция всюду

возрастает, и, следовательно, не может иметь точек экстремума (рис. 134).

Точки, в которых первая производная равна нулю, называются стационарными точками.

Рис. 133.

Рис. 134.

3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь\% то на отрезке найдется точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Рис. 135.

Рис. 136.

Если функция разрывна, то это утверждение может не иметь места (рис. 135).

Рассмотрим несколько возможных случаев. На рис. 136 изображена функция, принимающая наибольшее значение

на правом конце отрезка и наименьшее значение на левом конце.

Функция, изображенная на рис. 137, принимает наибольшее значение в точке л:0, лежащей внутри отрезка.

Рис. 137.

Рис. 138.

На рис. 138 изображена функция, принимающая и наибольшее и наименьшее значения внутри отрезка.

Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение внутри отрезка, то эта точка будет точкой максимума (минимума). Следовательно, наибольшее (наименьшее) значение функция может принимать или в точках максимума (минимума), или на концах отрезка. Отсюда вытекает правило для определения наибольшего и наименьшего значений функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, следует вычислить значения функции в точках максимума, минимума и на концах отрезка. Большее из получившихся чисел будет наибольшим значением функции на отрезке, а меньшее—наименьшим.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х3 — Зд: на отрезке [0,3] (рис. 139). Как было показано ранее, эта функция имеет максимум при х = — 1 и

Рис. 139.

минимум при х=\. На отрезке [0,3] лежит только одна точка минимума х=\. В ней функция принимает значение Ут\п — — 2. Вычислим теперь значения функции на концах отрезка: при х — 0 у = 0; при х = Ъ у = 18. Сравнивая получившиеся значения функции —2, 0, 18, устанавливаем, что наибольшее значение функции 18, наименьшее —2.

§ 2. Теорема Лагранжа и ее применения

1. Теорема Лагранжа. Если на отрезке [at Ь\ задана функция /(*), непрерывная во всех точках отрезка и имеющая во всех внутренних точках производную, то на отрезке [а, Ь] найдется хотя бы одна точка с, в которой справедливо равенство

Рис. 140.

Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа. Пусть дуга кривой, изображенной на рис. 140, есть график функции у = f(x) на отрезке [а, Ь]. Функция на концах отрезка принимает значения f(a) и f(b). Проведем хорду MN, стягивающую данную дугу, и вычислим тангенс угла наклона хорды к оси Ох:

Итак, правая часть равенства f\c) = представляет собою тангенс угла наклона хорды. В левой части этого равенства стоит производная /'(£). которая равна тангенсу угла наклона к оси Ох касательной к графику функции в точке X = с:

Из равенства

следует, что

Итак, геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что на дуге кривой найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей дугу.

Докажем теорему Лагранжа.

Прежде всего напишем уравнение хорды ММ как уравнение прямой, проходящей через две данные точки (а, /(а)) и (ft. /(ft)):

Решая это уравнение относительно у, получаем

Введем в рассмотрение новую функцию ср(jc), равную разности ординат точек, лежащих на кривой y = /(jc) и на хорде:

(Функция ср (л:) равна величине вертикального отрезка, заключенного между хордой и кривой).

Установим свойства вспомогательной функции у = <f(x).

1) На концах отрезка функция ср(дг) обращается в нуль: ср(я) = 0, cp(ft) = 0. Действительно,

2) Функция cp(jc) непрерывна, так как она является разностью двух непрерывных функций: f(x) и линейной функции.

3) Функция ср(дг) принимает свое наибольшее или наименьшее значение внутри отрезка [а, Ь]. Действительно, на концах отрезка функция равна нулю, и если она не тождественный нуль, то наибольшее или наименьшее значения она достигает не на концах отрезка, а внутри его.

В случае, когда ср(лг)=0, кривая совпадает с хордой, функция f (х) линейная, и для нее теорема Лагранжа очевидна.

Обозначим через с точку внутри отрезка (а < с < Ь), в которой функция ср(лг) принимает наибольшее или наименьшее значение. В точке с функция cp(jc) имеет максимум или минимум, т. е. точка с является точкой экстремума функции cp(jc). В точках экстремума производная равна нулю, следовательно, при X = с производная ср'(с) = 0.

Вычислим производную ср' (х):

Подставляя с вместо х, получаем

или

Теорема Лагранжа доказана.

Последнее равенство можно записать в другом виде, умножив обе его части на Ъ — а. Тогда получим

f(b)-№ = f'{c)(b-a).

Эту формулу называют формулой конечных приращений.

Согласно формуле конечных приращений, приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой промежуточной точке.

2. Возрастание и убывание функции на отрезке.

Теорема. Если во всех точках внутри отрезка производная функции положительна (отрицательна), то функция на отрезке возрастает {убывает).

Пусть дано, что f\x) положительна во всех точках отрезка. Возьмем на этом отрезке два значения аргумента хх и х2, х2>хи вычислим соответствующие значения функции f(xx) и f(x2)

и рассмотрим разность / (х2) — / (хх). Если воспользоваться формулой конечных приращений при Ь = х2 и a = xv то получим:

/ (*2) — / C*l) = /' (С) (Х2 — Х{).

Знак этой разности зависит от знака fr(c), так как х2 — хг > 0- По условию в любой точке отрезка производная положительна и, следовательно, f'(c) > 0.

Итак, /(аг2) — /(*i)>0, т. е. функция возрастает.

Аналогично доказывается, что при f\x) <0 функция убывает.

3. Классификация изолированных стационарных точек.

Напомним, что стационарной точкой называется точка, в которой первая производная обращается в нуль. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в стационарной точке параллельна оси Ох.

Стационарная точка называется изолированной, если вблизи нее нет других стационарных точек. Слева и справа от такой стационарной точки производная отлична от нуля.

Рассмотрим знаки производной слева и справа от изолированной стационарной точки.

Рис. 141.

Рис. 142,

Пусть слева и справа от стационарной точки производная положительна. Это означает, что функция и слева и справа возрастает. Такая точка называется точкой слабого возрастания (рис. 141).

Если слева и справа от стационарной точки производная отрицательна, то функция убывает, а точка называется точкой слабого убывания (рис 142).

Если слева от стационарной точки производная положительна, а справа отрицательна, то точка является точкой максимума. Действительно, слева от стационарной точки функция возрастает, и, следовательно, ее значение в этой точке больше ее значений, принимаемых в точках слева.

Рис. 143.

Справа функция убывает, и поэтому ее значение в стационарной точке больше ее значений, принимаемых в точках справа. Таким образом, значение функции в стационарной точке больше всех ее значений вблизи этой точки. Функция имеет максимум (рис. 143).

Рис. 144.

Если слева от стационарной точки производная отрицательна, а справа положительна, то слева функция убывает, а справа возрастает. Аналогично предыдущему заключаем, что в этой точке функция имеет минимум (рис. 144).

Проведенное рассмотрение изолированных стационарных точек позволяет сформулировать следующее достаточное условие экстремума: если при переходе через данную точку первая производная меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум. Если при этом знак меняется с плюса на минус, то функция имеет максимум, если с минуса на плюс, то — минимум.

Пример. Найти стационарные точки функции у =z—-x4 — jc3+2 и определить их характер.

Находим первую производную

и приравниваем ее к нулю: -^х*— За:2 = 0 или х2 (х — 2) = 0.

Отсюда jcj = 0, х2 = 2.

Проверяем, изменяет ли первая производная знак при переходе через точку хх = 0. Если х < 0, то у' < 0; если X > 0, то у' < 0. Точка хх — точка слабого убывания. В этой точке функция принимает значение, равное 2.

Рис. 145.

Аналогично исследуем точку х2 = 2. При х < 2 у' < 0; при X > 2 у' > 0. Точка х2 — точка минимума. В этой точке у = 0. 3

График функции у = -g-л:4 — хъ-\-2 изображен на рис. 145.

4. Достаточное условие экстремума по второй производной. Если в некоторой точке х0 первая производная равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то в этой точке будет экстремум. В точке х0

будет минимум, если вторая производная положительна, и максимум, если вторая производная отрицательна.

Действительно, пусть первая производная в точке д:0 равна нулю: /' (л;0) = 0, а вторая производная больше нуля: /"(*о)>0. Вторая производная есть производная от первой производной. Поэтому, если вторая производная положительна, то первая производная возрастает. Но в точке х0 производная //(л:0) = 0, поэтому слева от этой точки производная /' (л:) отрицательна, а справа положительна, т. е. точка х0 является точкой максимума. Аналогично доказывается, что в точке л:0 будет минимум, если f"(xQ)<0.

Пример. Исследовать стационарные точки функции у = ех -\-е~х.

Находим первую и вторую производные: yf = ex — е"х и у" = ех-\-е~*. Первая производная обращается в нуль при д; = 0. Вторая производная в этой точке равна двум и, следовательно, положительна. В точке х — О функция у=ех-\-е~х имеет минимум.

Если при исследовании стационарной точки окажется, что вторая производная в ней равна нулю, то по второй производной судить о характере этой стационарной точки нельзя.

б. Выпуклость и вогнутость дуги кривой. Теорема. Если в каждой точке отрезка вторая производная положительна (отрицательна), то график функции на этом отрезке вогнутый (выпуклый).

Рис. 146.

Пусть f (х) > 0 во всех точках рассматриваемого отрезка. Покажем, что на этом отрезке график будет вогнутым.

Пусть х2 > Х\. Рассмотрим разность, по знаку которой определяется выпуклость или вогнутость графика:

Применим формулу конечных приращений к каждой разности, стоящей в квадратных скобках:

Точка с2 лежит между точками 1 ^ 2 и х2> точка сг—• между точками хг и Xl~^X2 .

Применяя еще раз формулу конечных приращений, получаем

Так как х2>д:1, Т(Г с2 > cv Отсюда х2 — х\>0 и с2—сг > 0. По условию f"(cz)> 0 и, следовательно, произведение 4 (#2 — xi)(c2'~ с\)/г/(сз) положительно. Итак.

График функции вогнут.

Напомним, что точка, отделяющая участок выпуклости графика функции от участка вогнутости, называется точкой перегиба. Из последней теоремы вытекает следующее достаточное условие того, что точка является точкой перегиба: если при переходе через данную точку вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.

Если вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то слева кривая выпукла, справа вогнута (рис. 147). Если вторая производная меняет знак с плюса на минус, то слева кривая вогнута, а справа выпукла (рис. 148).

Если в точке перегиба вторая производная существует, то она равна нулю. Поэтому для отыскания точек перегиба

нужно найти те точки, в которых вторая производная обращается в нуль. Если при переходе через такую точку вторая производная меняет знак, то эта точка будет точкой перегиба.

Рис. 147.

Пример. Найти точки перегиба графика функции у = -|jt4 — лг3-т-2 (см. рис. 145).

Рис 148.

Находим вторую производную:

Приравниваем ее к нулю: ~ *2 — 6* = О и находим корни этого уравнения: х{ = 0 и x2 = -g. Проверяем, изменяет ли вторая производная знак при переходе через точку хх — 0. Если X < 0, то у" > 0; если х > 0, то f < 0. Аналогично

исследуем точку л;2 = —. Если х < у , то у" < 0; если *>-g-, то у" > 0. Следовательно, точки хх — 0 и x2 = -g являются точками перегиба. Слева от точки хх = 0 график вогнутый, между точками хх и х2— выпуклый и справа от точки х2 = -ъ—вогнутый (рис. 149).

Рис. 149.

6. Пример. Исследование функции у = %х2е~*\ Функция у = 6х2е~х2 определена при всех х, график ее симметричен относительно оси Oy и проходит через начало координат. Найдем стационарные точки. Вычисляем производные

Первая производная обращается в нуль при хх = —1, х2 — 0, Xq — 1.

Если х = —1 или jt=l,.TO у" — — 24^-1 < 0 и, следовательно, функция имеет в этих точках максимум. Значение функции в этих точках бе'1. Если х — 0, то у" = 12 > 0 и, следовательно, функция имеет минимум. Значение функции в этой точке равно нулю.

Исследуем поведение функции при больших значениях аргумента. При л:->оо множитель х2 неограниченно растет, а £-*2=—^- стремится к нулю. Как будет показано ниже, показательная функция растет быстрее любой степенной,

поэтому lim —=0. Это означает, что график функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0.

Рис. 150.

Чтобы найти точки перегиба графика, нужно знать корни второй производной. Приравнивая у" к нулю, получаем 2*4 — 5х2 + 1=0. Корни этого биквадратного уравнения равны:

Это и будут точки перегиба (рис. 150).

Рассмотренная функция встречается в молекулярной теории при изучении распределения скоростей молекул газа.

§ 3. Применение производных к вычислению пределов

1. Теорема Коши. Пусть на отрезке [а, Ь\ заданы две функции f(x) и ср(лг), удовлетворяющие условиям теоремы Лагранжа, причем ни в какой точке внутри отрезка производные этих функций одновременно не обращаются в нуль, тогда на отрезке найдется хотя бы одна точка с, в которой справедливо равенство:

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши: если <р (*) = *. ср'(*)=1. то /' (с) = /(^~g(g> .

Доказательство теоремы Коши аналогично доказательству теоремы Лагранжа и здесь не приводится.

2. Правило Лопиталя. Пусть заданы две функции f(x) и <р (л:), удовлетворяющие условиям теоремы Коши, и пусть в точке а /(а) = 0 и ср(а) = 0, тогда предел отношения этих функций в точке а равен пределу отношения их производных, если последний существует:

Итак, дано /(а) = 0, <р(а) = 0 и lim —rpr — Л. Требуется доказать, что lim (• = Л. Рассмотрим отношение функций -£т£г. Так как f(a) = 0 и <р(а) = 0, то

По теореме Коши между точками а я х найдется такая точка с, что

Перейдем к пределу при х->а. Если x->at то и с->а, поэтому

По условию

следовательно,

Правило Лопиталя позволяет заменить вычисление предела отношения двух функций, обращающихся в пределе в нуль, вычислением предела отношения производных этих функций.

Пример. Вычислить

При х = 0 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Поэтому по правилу Лопиталя искомый предел будет равен lim CQS,f 7" * 1 В этом пределе снова и числитель и знаменатель при х = 0 обращаются в нуль. Поэтому, применяя еще раз правило Лопиталя, приходим к пределу

Итак,

С соответствующими изменениями правило Лопиталя применимо и в том случае, когда и числитель и знаменатель в некоторой точке обращаются в бесконечность, а также, когда предел вычисляется при х->оо.

3. Сравнение поведения на бесконечности степенной, показательной и логарифмической функций: хп, ех, 1пх. Все эти функции возрастают при х—>оо. Установим, какая из них растет быстрее.

Рассмотрим предел отношения показательной и степенной функций. Предел будем вычислять по правилу Лопиталя:

Итак, показательная функция ех растет быстрее степенной хп.

Сравним теперь логарифмическую функцию In х со степенной хп:

Итак, логарифмическая функция растет медленнее любой положительной степени аргумента.

§ 4. Представление функции по формуле Тейлора

1. Формула Тейлора. Формулу Тейлора можно рассматривать как дальнейшее развитие формулы линеаризации

Во многих случаях замена функции линейной не является достаточно точной. В связи с этим возникает вопрос об уточнении формулы линеаризации и более детальном изучении величины При этом из величины щ(1 выделяют часть, пропорциональную ах2 так, чтобы оставшаяся часть была более высокого порядка малости, чем Ал:2. Тогда величина представляется в виде f ! = А Ал:2 -f-Ï2« где А — некоторяа постоянная, а величина f2 обладает тем свойством, что

Тогда из формулы линеаризации получаем

Коэффициент А пока неизвестен, и задача состоит в том, чтобы найти его.

Из последнего равенства находим

Это выражение для А нельзя считать окончательным, так как в него входит неизвестная функция Тг- Чтобы избавиться от этой неизвестной функции, перейдем к пределу при Дл:->0:

Предел последней дроби равен нулю, поэтому

При непосредственной подстановке вместо Ал: его предельного значения числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Воспользуемся правилом Лопиталя. При этом следует иметь в виду, что величина х0 является постоянной, а Ал: — переменной. Производная числителя по переменной А* равна /'(л:0 + Дх) — /'(*<>)• знаменателя 2Дд\

Поэтому

В числителе стоит приращение функции /'(*)• Предел отношения приращения функции к приращению аргумента есть производная от f (х), т. е. вторая производная. Итак,

Подставив вместо А найденное значение, получим

Эта формула есть дальнейшее уточнение формулы линеаризации функции и называется формулой Тейлора при п — 2.

Если последняя формула недостаточно точна, то из величины Ï2 выделяют член, пропорциональный Д*3 так, чтобы оставшаяся часть Тз была величиной более высокого порядка малости, чем Дл;3. Тогда у2 = & ^jc3 -f- где В — постоянная, а 7з обладает тем свойством, что

Формула для представления функции примет вид

Как и выше, из этого равенства найдем

Предел последней дроби равен нулю, для вычисления предела первой дроби применяем правило Лопиталя, тогда

Подставляя найденное значение В, получаем

Эта формула называется формулой Тейлора при п = 3.

Процесс последовательного выделения членов со степенями Дл; можно продолжить. Для любого п формула Тейлора имеет вид

где 7Л — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем àxn:

При выводе формулы Тейлора мы предполагали, что все производные, которые в ней участвуют, существуют.

Запишем формулу Тейлора в другой форме, заменяя л;0-{-Дл: через х: лг0 + Длг = лг. Тогда Ах = х — лг0 и формула принимает вид

Это равенство показывает, что формула Тейлора позволяет заменить функцию многочленом степени п так, что ошибка fn будет бесконечно малой величиной выше л-го порядка малости относительно величины х — лг0.

Если в формуле Тейлора положить д:0 = 0, то она примет вид

Эта формула для представления функции вблизи нуля называется формулой Маклорена. Если в ней ограничиться первыми двумя слагаемыми, то мы получим формулу линеаризации функции вблизи нуля.

2. Геометрический смысл формулы Тейлора при п — 2.

Напишем формулу Тейлора для я = 2:

Отбросим 72 и рассмотрим квадратичную функцию

Рис. 151.

Графиком этой функции является парабола. Следовательно, геометрический смысл формулы Тейлора при п=2 состоит в том, что она позволяет заменить график вблизи данной точки параболой с точностью до бесконечно малой выше второго порядка малости. Парабола, которая при этом получается, называется соприкасающейся. В точке х0 кривая у== f(x) и парабола имеют общую касательную.

§ 5. Представление элементарных функций по формуле Тейлора вблизи нуля

При применении формулы Тейлора для представления конкретной функции вблизи нуля нужно вычислить значения при х = 0 самой функции f (х) и ее производных f (х), /" (*). • - •. /(п) (*). а найденные числа / (0), /' (0), /" (0), ... .. . , /(л) (0) подставить в коэффициенты формулы Тейлора. Проделаем это для основных элементарных функций.

1. Представление многочлена. Пусть дан многочлен

Его представление по формуле Тейлора для п = 2 будет:

Находим, что при л: = 0 /(0) = а0 Вычисляем производные

Подставляя х = 0, получаем /' (0) = av f" (0) = 2а2. Отсюда

Таким образом, представление многочлена по формуле Тейлора дли п = 2 получается, если в f2 объединить члены со степенями х выше второй.

Аналогично получается представление многочлена по формуле Тейлора для любого /г. В частности, при п^>т

/М = а0 + ахх + а2х2 + ... +атхт.

Таким образом, при п^т формула Тейлора дает точное представление многочлена: ^л = 0.

2. Представление функции (1+д:)т. Бином Ньютона. Функция f (х) = (\х)т является многочленом степени m, поэтому для нее формула Тейлора при п = т дает точное представление. Находим /(0)=1. Вычислим производные функции (А-\-х)т и их значения при л: = 0:

Подставляя выражения для /'(О), f"(Q), ßm)(0) в формулу Тейлора для п — т, получаем

В этой формуле коэффициент при х обозначается через Ст:

Из формулы видно,

Вообще

Полученное представление для (\-г\-х)т является частным случаем бинома Ньютона, которое из него легко получается, (Ь \т 1 —I— —1 • Применяя представление для (1 + л:)т при X = ~, получаем

Это и есть формула бинома Ньютона. 3. Представление функции ^\-х* Находим: /(0)=1« Вычислим производные и их значения при х = 0:

По формуле Тейлора получаем

Получившийся многочлен можно рассматривать как геометрическую прогрессию со знаменателем — х.

4. Представление функции |/Т+Ж. Находим: /(0)= 1. Вычислим производные и их значения при л: = 0;

По формуле Тейлора получаем

б. Представление функций sin* и cos*. Находим:

В дальнейшем значения производных 1, 0, —1, 0 будут периодически повторяться. Отсюда получаем

Аналогично для функции cos* получаем

Полученные формулы для sin х и cos * могут служить для вычисления значений этих функций с большой степенью точности.

6. Представление функций ех и а*. Находим: /(0) =

По формуле Тейлора получаем

Для функции ах имеем ах = ех1па и, следовательно,

7. Представление функций 1п(1+*) и loga(l+*)« Находим: / (0) == In 1 = 0;

По формуле Тейлора получаем

Для функции loga(l+Ar) имеем и, следовательно,

8. Таблица простейших представлений основных элементарных функций по формуле Тейлора.

В каждой из этих формул выписан член, следующий за главной линейной частью функции. Величина 7 является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем предшествующий ей член.