Ю.М. Колягин

Решение задач по математике с ответами и советами

7-9 классы

Школьный урок

«Астрель»

Школьный урок

ЮМ. Колягин

Решение задач по математике с ответами и советами

Учебное пособие для учащихся

7-9 классы

АСТ • Астрель Москва 2002

УДК 373:51 ББК 22.1я721 К62

Серия основана в 2002 году

Колягин Ю.М.

К62 Решение задач по математике с ответами и советами: Учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. / Ю. М. Колягин. — М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002. — 126, [2] с: ил. — (Школьный урок).

ISBN 5-17-012348-5 (ООО «Издательство АСТ») ISBN 5-271-02777-5 (ООО «Издательство Астрель»)

За время учебы каждый школьник должен решить примерно 10000 задач по математике.

Вместе с учителем лучший помощник ему в этом - книга «Решение задач по математике с ответами и советами» известного ученого и педагога, автора школьных учебников и задачников, академика Российской академии образования Юрия Михайловича Колягина.

Его советы практичны и уважительны. Они адресованы и тем, кто уже увлекается математикой, и обычным школьникам. Решение программных и нестандартных задач поможет не только хорошо усвоить материал курсов алгебры и геометрии для 7-9 классов, но и развить творческое воображение и мышление.

УДК 373:51 ББК 22.1я721

Подписано в печать 10.12.2001. Формат 84х108У32. Усл. печ. л. 6,72. Печать офсетная. Тираж 10000 экз. Заказ № 66. Оформление обложки — дизайн-группа «Дикобраз»

ISBN 5-17-012348-5 (ООО «Издательство АСТ») ISBN 5-271-02777-5 (ООО «Издательство Астрель»)

Колягин Ю. М., 2002

ООО «Издательство Астрель», 2002

Содержание

§ 1. Какие задачи мы не умеем решать 4

§ 2. Учитесь на задаче 8

§ 3. Как начинать решение задачи 19

§ 4. Решайте вместо одной задачи другую 30

§ 5. Рассуждение помогает догадке 35

§ 6. Составляйте свои задачи 39

§ 7. Как оформлять запись решения задачи 46

§ 8. Как мы думаем при решении задач 51

§ 9. Как решать задачу 58

§ 10. Проблемные задачи 68

§ 11. Прикладные задачи 76

§ 12. Попробуйте решить эти задачи 83

§ 13. Тренировочные задачи 91

Указания к заданиям для самостоятельной работы 96

Ответы и решения к заданиям для самостоятельной работы 100

Послесловие для учителя 126

§ 1

КАКИЕ ЗАДАЧИ МЫ НЕ УМЕЕМ РЕШАТЬ

Многие из вас любят решать задачи, но очень немногие из вас умеют решать задачи — не так ли? Но, может быть, вы мало решаете задач и потому не умеете делать это хорошо? Давайте оценим, хотя бы приближенно, сколько математических задач решаете вы во время обучения в школе. Условимся считать задачей и текстовую задачу, и уравнение, и вычислительный пример (не будем сейчас обращать внимание на то, трудна ли задача или легка, сколько времени затрачено на ее решение или оформление решения). Итак, допустим, что на уроке вы решаете в среднем 5 задач, а дома (по заданию учителя) — 3. На каждом году обучения в школе вы посещаете 200 уроков математики, и потому получается, что в год вы решаете в среднем 1600 задач. К концу 9-го класса вами уже решено 14 400 задач! (Отбросим 2400 задач, имея в виду праздники или случаи, когда вы не смогли выполнить домашнее задание, и оставим 12 000 задач.) Можно даже не считать еще 2000 задач, которые вы решали несамостоятельно или отвлекались на уроке. Итак, вы решили 10 000 задач и не умеете их решать?!

Как же научиться решать задачи? Прежде всего уточним, о каких задачах будет идти речь, какие задачи успешно решают почти все учащиеся и какие задачи умеют решать лишь немногие из вас. Ведь очень часто можно услышать от вас: «Эти задачи мы умеем решать, такие зада-

чи мы решали» или «Эти задачи мы не умеем решать, такие задачи мы не решали». Разберемся в этом.

Какие задачи вы решаете успешно? Если решение некоторой задачи учитель объяснил вам в классе (или в учебнике приведено ее решение), то вы, пожалуй, сможете решить задачу, похожую на эту.

Приведем пример. Пусть учитель показал вам, как решается квадратное уравнение х2 + рх + q = О, например, вывел формулу для его решения

и вы выучили эту формулу наизусть (или имеете ее перед собой). Ясно, что вы сумеете решить такие, например, уравнения, как X2 - 10х + 21 = О, X2 - х + 2 = 0, и т. п. Такие задачи, ход решения которых вам заранее известен, называют стандартными или шаблонными (их решают по образцу-шаблону, по принципу «делай так, как показал учитель» ). Отметим сразу, о таких задачах мы не будем здесь говорить, такие задачи должны уметь решать все (надо только быть внимательным и помнить ход решения).

Но в повседневной жизни очень часто встречаются задачи, на которые нет готового ответа (или готового способа решения). Многие жизненные задачи нетипичны, неповторимы. Такие задачи часто называют нестандартными.

Заметим, что нестандартность задачи во многом зависит от того, решалась ли ранее вами задача, похожая на данную, а не от самого решения задачи. Так, если вы не знаете формулы решения квадратного уравнения и никогда ранее не решали квадратные уравнения, то задача решения уравнения х2 - Ъх + 6 = 0 окажется для вас нестандартной (ее можно решить, не используя формулу); однако, решив это уравнение и принявшись за решение следующего, например х2 - 7х + 12 = 0, вы будете иметь дело уже со стандартной задачей.

Для успешного решения нестандартных задач необходимо прежде всего умение думать, догадываться. Но этого мало. Нужны, конечно, и знания, и опыт в решении не-

обычных задач; полезно владеть и определенными общими подходами к решению.

Всему этому нужно научиться, и в этом вам поможет данная книга.

В школе вы часто имеете дело с задачами, ход решения которых учитель вам не показывал, но относительно которых указан (или вы сами это установили) тот раздел школьного курса математики, который используется при ее решении. Такова, например, задача, относящаяся к теме «Треугольники»: «Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны». Задачи, подобные данной, вы не так успешно, как стандартные, но все же решаете (знаете, что при решении этой задачи нужно использовать свойства осевой симметрии; но какие из них и как это сделать, вам приходится устанавливать самостоятельно).

Вам могут встречаться и более трудные задачи (чаще всего среди олимпиадных задач), где и условие ясно, и требование (вопрос задачи) понятно. Неясны лишь два момента: а) как решать эту задачу (хотя это для вас не является неожиданностью); б) к какому разделу школьного курса математики относится эта задача, какие известные вам теоремы и свойства применяются при ее решении. Многие из вас скажут, что это уже явный подвох! Наш учитель никогда нас так не «подводит»; если бы он нас так «подвел», то сколько двоек было бы! Правда, если вам предложили такую задачу на олимпиаде или вы услыхали о ней от товарища, то и обидеться не на кого и жаловаться некому: дело-то добровольное...

Вот одна из таких «злодейских» задач:

«Имеется 10 мешков с монетами. В девяти мешках монеты настоящие (каждая массой 10 г), а в одном — фальшивые (каждая массой 11 г). Одним взвешиванием установить, в каком мешке фальшивые монеты (можно использовать любые гири)».

Не следует ожидать, что после изучения этой книги вы научитесь решать любую нестандартную задачу. Это просто невозможно. Но вы должны значительно улучшить свое умение решать такие задачи, а главное, должны научиться мыслить и управлять своей математической деятельностью не

только при решении задач, но и при изучении математики в целом, научиться понимать силу и красоту математики!

Нам предстоит упорно потрудиться, разобраться во многих вопросах, связанных с решением задач, прежде чем мы добьемся успеха. Посмотрите на эту примерную схему, иллюстрирующую предстоящую работу (рис. 1), — не пугает ли она вас?

Рис.1

Кто испугался, не поздно отступиться. «А без труда — не вынешь и рыбку из пруда! » Ну как? Не испугались? Тогда продолжим путь в Страну задач! Начнем с самостоятельной работы.

Задания для самостоятельной работы

1.1. Приведите пример задачи (запишите ее условие), которая является для вас в настоящее время стандартной, нестандартной (по одной задаче каждого вида). Запишите условия этих задач на отдельном листке и сдайте листок учителю.

1.2. Решите приведенные в тексте квадратные уравнения, не используя формулу. Как проверить, правильно ли ваше решение?

1.3. Решите задачу о медианах равнобедренного треугольника.

1.4. Попробуйте решить задачу о взвешивании монет. Если вам удастся решить эту задачу, не рассказывайте пока о ее решении товарищу, расскажите о решении только учителю.

1.5. Попробуйте дополнить схему вопросов, связанных с решением задач, своими вопросами. Обсудите эти вопросы в классе.

1.6. Приготовьтесь ответить учителю на следующие вопросы:

1) Какие задачи кажутся вам наиболее трудными (арифметические, алгебраические, геометрические или какие-либо другие)?

2) Какие задачи кажутся вам наиболее интересными?

3) Прочитайте еще раз схему вопросов, связанных с решением задач. Какие из этих вопросов кажутся вам самыми важными? Самыми интересными?

1.7. Приведите пример какой-нибудь известной вам интересной задачи или интересного решения какой-либо задачи. Ответьте на вопрос: «Почему эту задачу (или ее решение) вы считаете интересной? »

1.8. Догадайтесь, что изображено на рис 2. Обсудите ваши ответы в классе. Установите, у кого из вас самое интересное решение этой необычной задачи.

Рис.2

§ 2

УЧИТЕСЬ НА ЗАДАЧЕ

Что значит учиться на задаче? И нужно ли это? Многие считают, что задача дается для того, чтобы ее решить, т.е. найти правильный ответ на вопрос задачи (или установить, что эта задача не имеет решения). Это верно лишь отчасти. Ученый, инженер, экономист, художник и т. д., перед кото-

рым поставлена конкретная задача, конечно, должен уметь ее решать — это его главная цель. Вторичной его целью может служить отыскание наиболее общего, красивого, экономичного решения. Если эта задача решена, то в результате ее решения создана какая-то материальная или духовная ценность. Какие же материальные или духовные ценности создаете вы, школьники, при успешном решении задачи?

Для школьника решить данную задачу — не главная цель (как у производственника); главное — научиться чему-то, связанному с изучением математики, узнать и усвоить новые математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить определенный опыт, научиться мыслить. Итак, наша главная цель — учебная, и потому каждая задача должна вас обучать чему-либо полезному, новому знанию или умению.

Обнаружить это полезное и новое для вас не так просто. Ведь вы даже не задумываетесь над этим, считая, повидимому, что накопление полезных и новых фактов произойдет само собой. Чем же иначе можно объяснить тот факт, что иногда, заглянув в ответ (или получив одобрение учителя), вы считаете свою работу над задачей законченной? Вы даже не отдаете себе отчета в том, как получено ваше решение, что именно вам нужно было знать, чтобы найти это решение (или что вы не знали, если решение сообщил вам товарищ или учитель).

Согласитесь, что чаще всего вы решаете задачи так, как указано в схеме, изображенной на рис. 3, или в лучшем случае — как указано в схеме, изображенной на рис. 4. Не потому ли вы часто не можете решить задачу, даже очень похожую на ту, которую когда-то решали?

Рис. 3 Рис. 4

Итак, вы не учитесь на задаче, и в этом одна из причин того, что вы не умеете решать задачи.

— Ну, хорошо, — скажете вы, — мы поняли, что мы не делаем и что нужно делать. Но нам до сих пор не ясно: как это делать? Чему учиться на задаче и как? Научите нас!

Ну что ж, попробуем.

Рассмотрим решение какой-либо задачи и выясним, чему же оно может нас научить.

Задача 1. Площадь прямоугольника равна а2. Найти наименьшее значение периметра этого прямоугольника.

/ способ. Для решения задачи достаточно рассмотреть полупериметр данного прямоугольника. Обозначим длины сторон прямоугольника через хиу,з. полупериметр -черезр; запишем задачу символически: ху = а2, х + у = р, найти наименьшее значение р.

Воспользуемся равенством

Наименьшее значение р2 достигается тогда, когда X - у = О, т. е. X = у. В этом случаер2 = 4а2; следовательно, р = 2а.

Вывод. Наименьшее значение полупериметра р равно 2а, когда х = у.

II способ. Пусть X — длина стороны прямоугольника. Тогда длина смежной стороны равна р - х, а площадь прямоугольника запишется так: х(р - х) = а2, т. е. хр - х2 -- а2 = 0, или X2 + а2 - хр = 0.

Имеем сумму квадратов двух переменных х и а, прибавим к ней 2ах. Чтобы сумма не изменилась, вычтем это же выражение:

Последнее равенство возможно только при 2а - р < 0 (так как (х - а)2 > 0, х >0), т. е. р > 2а.

Очевидно, наименьшее значение р равно 2а.

III способ. Рассмотрим квадрат со стороной а, тогда его площадь равна а2, полупериметр равен 2а. Если одну из сторон уменьшить на m (а > m > 0), то, чтобы площадь прямоугольника осталась прежней, нужно вторую сторону увеличить на п (п > 0).

По условию задачи площадь прямоугольника равна а2, т. е. (а - т)(а + п) = а2.

Произведя вычисления, получим а(п - т) = тп; так как m > 0, п > О, то тп > 0, а > 0. Значит, /г - m > 0.

Найдем полупериметр прямоугольника:

Но п - m > 0, поэтомур > 2а.

Итак, наименьшее значениер равно 2а.

IV способ. Введем следующие обозначения:

где q — некоторое число, р — полупериметр. Решив эту систему, получим

Найдем площадь:

отсюда

и р является наименьшим, когда g = 0, т. е. х = у. Следовательно, р = 2а.

Итак, мы решили задачу, и даже четырьмя способами. Чему же мы научились, решая эту задачу?

1. Прежде всего отметим, что при решении этой задачи мы доказали теорему: «Сумма двух положительных чисел, произведение которых постоянно, принимает наименьшее значение, когда эти числа равны».

Интересный факт! Значит, задач, связанных с этой теоремой, может быть много и они могут встретиться не раз. Запомним это.

2. Выясним, на чем основаны рассмотренные нами способы решения задачи.

а) Решая задачу первым способом, мы воспользовались равенством (х + у)2 -(х- у)2 = 4ху. Это и явилось главным средством доказательства.

б) Второй способ основан на выражении одной переменной через другую, выделении полного квадрата (прибавили и вычли одно и то же выражение), нахождении знака одного из двух слагаемых, сумма которых равна нулю.

в) При решении задачи третьим способом мы воспользовались тем, что стороны прямоугольника, площадь которого есть величина постоянная, обратно пропорциональны друг другу, а также следующим свойством неравенств: если а > by то а = b + m, m > 0.

Предлагаем вам самим извлечь все то, что полезно запомнить из четвертого способа решения задачи.

Подведем итоги. Как и чему мы учились на этой задаче?

1. Мы установили, что полезно запомнить тип задачи: такие задачи могут нам встретиться не раз.

2. Мы установили, какой прием (способ) был главным инструментом решения (и запомнили этот прием: выделение полного квадрата, использование свойства обратно пропорциональных величин и т. п.).

3. Мы отметили, что нужно хорошо знать формулы сокращенного умножения, чтобы применять их к решению задач.

4. Мы установили некоторую зависимость между суммой и произведением двух переменных (когда произведение есть величина постоянная).

Естественно, возникает вопрос: при каких условиях произведение двух положительных чисел, сумма которых постоянна, принимает наибольшее значение, т. е. если X + у = Су где с — постоянная, то когда ху достигает наибольшего значения? Попробуйте ответить на этот вопрос.

5. Теперь мы можем сами составлять аналогичные задачи, например:

Задача 2. Переменная х может принимать значения -21; -20; -19; ...; 17; 18, а переменная у — значения -3; -4;... ; -13; -14. Сколько различных значений может принимать сумма х + у?

Чему равна сумма наибольшего и наименьшего значений?

Задача 3. Установить, в каком случае площадь прямоугольника со сторонами х и у будет наибольшей.

Задача 4. Построить график зависимости площади прямоугольника от длины одной из его сторон. Найти графическим способом стороны прямоугольника, если его периметр равен 12, а площадь наибольшая.

Рассмотрим еще одну задачу:

Задача 5. Доказать, что а3 - Ь3 делится на 9, если а - Ь делится на 3, где а и b — натуральные числа.

Неужели на решении такой «сухой» задачи можно научиться чему-то полезному? Прежде чем рассматривать решение, прочитаем условие задачи еще раз. Неинтересно? Нет, пожалуй, интересно, если вдуматься!

Неужели, если взять а = 198, b = 48 (а - b = 198 - 48 = = 150 : 3)*, то (1983 - 483) : 9? Не верится что-то. Имеем

1983 - 483 = (198 - 48)(1982 + 198 ■ 48 + 482)**.

Не хочется считать? Можно взять меньшие значения аиЬ:

при а = 7, b - 1 : а - b - 6 : 3, 73 - I3 = 342 : 9; при а = 5, b =2: a-b = 3\ 3, 53 - 23 = 117 : 9. Дальше проверять не стоит. Ведь мы докажем это утверждение для любых аиЬ таких, что (а - Ь) : 3.

I способ. Разложим многочлен а3 - Ь3 на множители:

Так как а - b делится на 3, то и (а - Ь)2 : 3, (а - Ь)2 + ЗаЬ также делится на 3. Значит, а3 - Ь3 делится на 9.

II способ. Пусть а - b = 3k, причем к — натуральное число (k Е N)***.

Тогда а = 3k Л- b и поэтому

Следовательно, а3 - Ь3 делится на 9.

III способ. Представим разность кубов так:

Очевидно, что (а - Ь)3 делится на 9; ЗаЬ(а - Ь) также делится на 9. Следовательно, и заданное число делится на 9.

* Знак : означает деление без остатка. Например, запись «12 : 4» читается так: *12 делится на 4».

** Использовали формулу сокращенного умножения для разности кубов: X3 - у3 = (х - у)(х2 + ху + у2).

*** Запись k g N читается так: «k принадлежит множеству натуральных чисел».

IV способ. Так как (а - Ь)3 : 3, то каждое из чисел а и b при делении на 3 дает один и тот же остаток г:

причем г может быть равно 0,1 или 2.

Если г = О, то

делится на 9. Это очевидно.

Если г = 1, то

Следовательно, а3 - Ъ3 делится на 9. Если г = 2, то

Значит, а3 - Ь3 делится на 9.

V способ. Пусть a-b = 3k — натуральное число (k е N). Тогда

Следовательно, а3 - Ь3 делится на 9.

Итак, мы решили задачу, и даже пятью способами (правда, здесь ничего не сказано о том, как найдены эти решения). Но для нас важно сейчас другое. Чему мы научились, решая эту задачу?

1. Прежде всего отметим, что существуют такие виды чисел, которые делятся на некоторое число при определенных условиях. Например, а2 - Ь2, по-видимому, будет делиться на 4, если (а - Ь) : 2, и т. д. Значит, таких задач может быть много и встретиться они могут не раз.

2. Выясним, на чем основан первый способ решения.

а) Он основан на свойстве делимости суммы: если каждое из слагаемых делится на данное число, то и сумма делится на это число. (Запомните это полезное свойство.)

б) Он основан на свойстве делимости произведения: если каждый из двух множителей делится на данное чис-

ло, то произведение делится на квадрат данного числа, — полезный факт. Запомнить его? Нет, лучше запомнить другое: если один из множителей делится на а, другой — на Ь, третий — на с и т. д., то произведение делится на abc... . Это свойство полезнее.

в) Наконец, решение возникло потому, что применили разложение многочлена на множители. Это явилось главным средством доказательства.

Сделаем вывод: если нужно решить задачу на доказательство делимости какого-либо натурального числа, заданного формулой, то к цели может привести разложение на множители.

3. Зачем была нужна числовая проверка? Разве нельзя было доказать это утверждение на числовом примере? Нет, частный пример ничего не доказывает в математике, но он может убедить нас в том, что задача поставлена правильно (а вдруг имеется ошибка в условии?), и помочь понять то, что от нас требуется сделать. Итак, доверять частному примеру нельзя, а использовать его при решении полезно.

4. Выясним, что полезное дает нам второй способ решения задачи.

а) Прежде всего важно знать, что число, кратное трем, можно записать в виде 3k, где ke N. Важнее даже не это, а следующее: число, кратное четырем, можно записать в виде 4&; кратное 5 — в виде bk и т. д.

б) Зачем мы использовали запись числа в виде 3k? Для того, чтобы использовать подстановку заданного условия в рассматриваемое выражение.

в) Наконец, заметим, что формулы для (а + Ь)3 и а3 - Ь3 нам нужно хорошо знать (не напрасно учитель добивался все время от нас запоминания формул сокращенного умножения).

г) И еще важное свойство стоит запомнить — если один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

5. Из оставшихся способов рассмотрим еще один — четвертый. Что полезного можно извлечь из этого решения?

а) Прежде всего важно знать, что если разность двух чисел делится на некоторое число, то каждое из этих чисел при делении на данное число дает один и тот же остаток.

б) Все натуральные числа мы можем разбить на отдельные виды в зависимости от их делимости на некоторое число. Здесь числа разбиты на три вида; если бы рассматривалась делимость на 4, то мы могли бы разбить их на четыре вида (на числа вида 4т, 4т + 1, 4m + 2, 4т + 3). А сколько получили бы видов чисел, если бы рассматривали деление на 13?

в) Зачем мы разбивали все натуральные числа на различные виды? Это делали мы потому, что аиЬ могли быть такими, что делились бы на 3 или не делились. Если бы они делились на 3, то все было бы просто: уменьшаемое а3 и вычитаемое Ь3 делятся на 9, значит, и разность делится на 9. А в «неудобных» случаях была проведена проверка (в общем виде) подстановкой в разность а3 - б3 данного вида чисел с вынесением 9 за скобки (применили свойство делимости произведения).

г) Итак, при решении задачи этим способом мы воспользовались таким приемом: разбили все возможные значения на «удобные» и «неудобные» и проверили, верно ли утверждение для каждого случая отдельно. При этом таких случаев оказалось немного (три); если бы требовалось доказать делимость на 13, то такой способ решения вряд ли бы оказался удобен. Запомните это!

Попробуйте определить, что полезно запомнить из оставшихся способов решения данной задачи.

Снова подведем итоги. Как мы оцениваем учебный характер этой задачи?

1. Мы установили, что полезно запомнить тип задачи: такие задачи могут нам встретиться не раз.

2. Мы установили, какой прием (способ) был главным инструментом решения (и запомнили этот прием): разложение на множители, разбиение множества чисел на виды.

3. Мы установили, какие основные свойства чисел использовались нами при решении.

4. Мы обратили внимание на роль и место частных примеров, иллюстрирующих некоторое утверждение.

5. Мы усмотрели возможность самим составлять ряд аналогичных задач, например:

Задача 6. Доказать, что (а2 - Ь2) : 4, если (а - Ъ) : 2 (более простая задача).

Задача 7. Доказать, что (а4 - Ьх) : 16, если (а - Ь) : 4.

Ну что ж, вы можете сказать, что изучили решения этих двух задач не напрасно. Заметим, что вы не решали задачи сами, а потому и не извлекли из них максимум пользы. (Например, не установили, что именно не знали и не умели, какие не испытывали трудности в поиске решения.)

Закончим этот параграф первым советом решающему задачу:

решив задачу, оглянитесь назад и изучите задачу и найденное решение в целом, установите, что полезно запомнить, а что можно забыть.

(Нужно не только пользоваться своей памятью, но и беречь ее!)

Задания для самостоятельной работы

2.1. Изучите условие и решение следующей задачи. Выявите, чему можно научиться на этой задаче. Что нового вы узнали, прочитав эту задачу и проработав ее решение? Ответьте на вопросы: о чем можно (и нужно) забыть в связи с этой задачей? Что могло бы пригодиться вам из опыта решения задач данного параграфа, если бы вы решали эту задачу сами?

Задача. Доказать, что всякое нечетное число, не равное единице, есть разность квадратов двух каких-то чисел.

Решение. 1) Нам нужно доказать, что а = х2 - у2, если а Ф 1 и а — нечетное число.

Проиллюстрируем примером эту интересную закономерность: 3 = 22 - I2; 5 = З2 - 22; 7 = 42 - З2, ... (основания квадратов установили обычным подбором).

2) Мы знаем, что нечетное число в общем виде можно записать так: 2п + 1 или 2п — 1, neN. Нам лучше выбрать запись 2п + 1. (Почему?) Итак, нужно доказать, что 2п + 1 = X2 - у2, или X2 - у2 = 2п + 1.

3) Начнем с того, что попробуем представить 2п +1 в виде разности или суммы хотя бы одного квадрата и какого-то другого слагаемого. Для этого в выражении 2п + 1 не хватает слагаемого п2, чтобы оно стало квадратом суммы (2п — удвоенное произведение п и 1 ; 1 — квадрат другого числа). Имеем

Задача оказалась уже решенной, утверждение доказано.

Теперь можно даже без помощи догадок установить вид разложения любого нечетного числа на разность двух квадратов, например:

а) 13 = 2-6 + 1 = 72-62(л = 6);

б) 1427 = 2 713 + 1 = 7142 - 7132 (п =713).

2.2. Прокомментируйте следующее решение задачи и вывод, который вы сделаете, решив эту задачу.

Построим прямую и два угла (рис. 5): прямой угол (Z 1) и тупой (Z 2) — так, что отрезок прямой АС является их общей стороной.

На двух других сторонах этих углов отложим равные отрезки AB и CD и соединим точки В и D. Ясно, что отрезок BD не параллелен отрезку АС.

Через середины отрезков BD и АС проведем перпендикуляры к этим отрезкам до их взаимного пересечения в точке M (ведь отрезок BD не параллелен отрезку АС).

Треугольник AMC - равнобедренный; следовательно, AM = CM, Z МАЛ = Z МСИ. Далее, Л ВАМ = Л DCM (по трем сторонам), поэтому

(1) (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим

Получилось, что величина тупого угла равна величине прямого угла.

Решите каждую из предлагаемых далее задач и установите, чему вы научились в ходе их решения. Обменяйтесь мнениями с товарищами. Посоветуйтесь с учителем.

2.3. Найдите наименьшее значение суммы — + — , если X, у — положительные числа и х + у = 6 .

Рис.5

2.4. Найдите наименьшее значение суммы

где X, у, z — положительные числа hjc + i/ + 2 = 9. Достаточно ли данных, чтобы решить эту задачу?

2.5. Докажите, что произведение любых четырех последовательных целых чисел, увеличенное на единицу, является точным квадратом.

2.6. Докажите, что числа вида m3 - m делятся на 3, если m — натуральное число.

2.7. Даны равенства

Как записать в общем виде тот закон, который в них проявляется?

Какую задачу можно сформулировать в связи с этим законом?

2.8. Используя любые учебники или задачники, отыщите «поучительную» (на ваш взгляд) задачу. Оформите решение этой задачи на отдельном листке, укажите, чем интересна данная задача; сдайте работу учителю.

§ 3

КАК НАЧИНАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

«С чего начать? » — думает каждый, приступая к решению задачи. Это очень важный вопрос. Недаром говорит народная пословица: «Лиха беда — начало».

Мы увидим (да и вы сами убедитесь в этом), что правильное начало решения нестандартной задачи во многом определяет успех в ее решении.

Задача 1. В полной темноте парашютист приземлился в районе болота (в точке D). В каком направлении из пункта С должен вылететь вертолет за парашютистом, если а и

b — лучи прожекторов и точка D их пересечения не видна из пункта С (рис. 6)?

Попробуем начать решение. Для этого «переведем» данную задачу на математический язык. Имеем две пересекающиеся прямые, точка D — точка пересечения. Требуется построить луч CD у если точка D «недоступна». Изучим внимательно условие задачи.

1. Построить прямую CD нельзя, так как положение точки D неизвестно. Значит, следует искать другие элементы для построения луча.

2. В школьном курсе мы обычно строим луч, если имеем дело с углом, треугольником. Для построения луча используем линейку, иногда циркуль.

Приступаем к началу решения. Поискам плана решения задачи должен предшествовать более общий этап решения — выбор направления поиска.

Многие неудачи объясняются тем, что начинают решение задачи наугад, на авось, и, хотя решение «лежит рядом», слишком много труда и времени затрачивается на попытки, уводящие в сторону.

Отвлечемся ненадолго. Представим себе темную комнату, из которой вам (с завязанными глазами) требуется найти выход. Посмотрим, как может вести себя человек в такой ситуации.

Один будет «кидаться» из стороны в сторону наугад и вряд ли скоро найдет дверь; он может найти окно и принять его за дверь (а на каком этаже комната?). Правда, может случиться, что иногда он сразу выскочит в дверь (бывает и такое!), сам не поняв, почему он так быстро нашел выход.

Другой попытается дойти до стены и, ощупывая стену рукой, будет двигаться вдоль стены, пока не дойдет до окна (и установит, что это не дверь), а затем до самой двери. Это верный путь, хотя не самый короткий.

Третий поступит так. Он остановится и подумает, чем он располагает для отыскания выхода (осязание, движение, слух, запах). Затем он прислушается (в стороне, где слышен

Рис.6

шум, скорее всего окно или дверь), вдохнет воздух (там, откуда ощутим воздушный поток, - окно или дверь; холодный воздух, вероятно, идет из окна, более теплый — от двери в коридор). После такой подготовки он двинется в том направлении, которое ему покажется наиболее обнадеживающим.

Вы узнаете себя в одном из трех людей, когда вы решаете задачу?

Вернемся к решению поставленной выше задачи и будем поступать так, как поступает третий: наметим целесообразное (обнадеживающее) направление поиска.

Можем ли мы ошибиться? Конечно, можем. Но мы сделаем все, чтобы не ошибиться; даже если наши поиски не принесут успеха, это утешит нас. А не встречалась ли нам похожая задача раньше? Если бы это было так, то опыт подсказал бы нам, что делать.

Итак, начнем решение задачи. Для построения луча нам необходимо определить его направление. Вспомним, что мы знаем о направлении и способах его задания. Подумаем над тем, можно ли решить эту задачу с помощью преобразований плоскости. Может быть, полезно достроить данную фигуру до треугольника? Какие свойства треугольника нам известны?

Отметим для себя следующее:

1°. Направление задается лучом или парой точек — слишком общие сведения, не подсказывающие способа решения задачи (все же запомним, что пара точек задает луч).

2°. Осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, гомотетия отображают прямую на параллельную ей прямую — это утверждение полезно обдумать*.

3°. Средняя линия треугольника параллельна основанию, ее длина равна половине длины основания — это полезно обдумать (правда, треугольник не задан, но его нетрудно построить).

* Напомним, что фигуры F и Fl называют гомотетичными или центрально-подобными, если каждой точке M фигуры F сопоставляется такая точка Мг фигуры Fv что точки МиМ, лежат на луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причем ОМj = k • ОМ. Точку Мх называют образом точки M при гомотетии с центром О и коэффициентом k, а точку M — прообразом точки Мг Аналогично, фигура Fx — образ, a F— прообраз при гомотетии с центром О и коэффициентом к.

4°. Биссектрисы треугольника (как и его медианы или высоты) пересекаются в одной точке — это положение, видимо, будет полезно для решения задачи (известную точку С можно считать точкой пересечения биссектрис, медиан или высот треугольника).

Какие же линии треугольника могут пересекаться в точке С? Для построения биссектрисы нужно знать величины углов треугольника (они неизвестны); для построения медиан нужно, чтобы были известны длины сторон треугольника или чтобы эти стороны были построены (однако вершины треугольника не определены, можно отметить лишь две из них, а третья «недоступна» ). Но из точки С можно опустить перпендикуляры на прямые а и b, а также на третью сторону треугольника, которую можно построить.

Итак, направление поиска выбрано разумно, если нам удастся достроить данную фигуру до треугольника (или до необходимой его части). По существу, у нас созрел план решения задачи.

Попытаемся претворить его в жизнь, считая точку С точкой пересечения высот треугольника. Практическое построение выполнить нетрудно. Вот оно (рис. 7):

1) строим прямую CN, перпендикулярную прямой a; CN пересекает прямую b в точке В;

2) строим прямую СМ, перпендикулярную прямой Ь; СМ пересекает прямую а в точке А;

3) строим отрезок AB;

4) строим отрезок CP, перпендикулярный отрезку Aß;

5) строим луч PC — искомое направление.

Теперь остается только доказать правильность построения (но это вы уже сделаете сами).

Мы решили задачу! Но мы не только решаем задачи, мы учимся на них. (Вы не забыли об этом?) Вернемся к самой задаче и к найденному нами решению. Ответим на следующие вопросы:

— Какие геометрические знания и умения нам понадобились при ее решении?

Рис. 7

— Какой метод при решении задачи был основным?

— В чем состояла основная трудность в поиске плана решения задачи?

— Нельзя ли решить задачу иначе?

Продумаем вместе последний пункт. Мы выбрали направление поиска, учитывая утверждение 4°. Однако утверждения 2° и 3° мы также признали полезными.

Вернемся к утверждению 2°. Из известных нам преобразований гомотетия кажется предпочтительней, так как она задается своим центром и парой соответственных точек (в качестве центра гомотетии можно принять недоступную точку D, а пары соответственных точек взять на прямых а и Ь).

План решения задачи практически готов. Решение задачи может быть таким (рис. 8):

1) выберем произвольно точки А и В (А е а и В е Ь). Пусть С — точка пересечения прямых АС и ВС;

2) пусть произвольная точка А1 g а — образ точки А при гомотетии с центром!). Проведем прямую AjiV, параллельную АС;

3) построим отрезок AB и проведем через точку Ах прямую А1В1 параллельно прямой AB, где BjG b. Точка Вх — образ точки В при данной гомотетии;

4) построим прямую ВгМ, параллельную ВС. Пусть прямые AjiV и ВХМ пересекаются в точке Сх;

5) так как Сх — образ точки С при данной гомотетии, то луч CCj — искомое направление.

Закончено ли решение задачи? Конечно нет. Необходимо еще доказать, что построение действительно привело к цели, подвести итог после этого решения, установить, нет ли еще какого-либо способа решения, и т. д.

Поучимся тому, как начинать решение задачи, еще на одном примере.

Задача 2. Построить угол, равный половине данного угла, не проводя биссектрису этого угла.

Рис. 8

Попробуем начать решение (рис. 9):

1) отложим на сторонах угла равные отрезки ОМ и ON, проведем отрезок MN;

2) разделим отрезок MN пополам (точкой К) и проведем луч OK, перпендикулярный MN; тогда Z NOK = Z МОК = — Z MON, так как медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является и биссектрисой угла при вершине.

Как будто бы задача решена? Увы! Здесь нарушено одно из условий задачи: мы все же провели биссектрису данного угла, поскольку провели медиану (или высоту) OK, но OK есть также и биссектриса, и от того, что, проведя OK, мы не назвали OK биссектрисой, суть дела не меняется.

Итак, мы вернулись к началу и лишний раз убедились в том, что нужно внимательно изучать условие задачи, начиная ее решение. Извлечем урок из этой ошибки и снова изучим условие.

Изучая условие, будем стараться осмыслить его и в целом, и в деталях.

1. Проводить луч OK (в любом случае) нельзя — значит, искомый угол следует строить где-то вне данного.

2. Построить угол в школьном курсе геометрии означает построить его с помощью двух инструментов — циркуля и линейки (без делений). Прежде чем строить искомый угол, необходимо вспомнить, как с помощью инструментов строить угол, в частности угол, равный данному. Вспомним это (на рис. 10 номерами указан порядок построения).

Рис. 9

Рис. 10

3. Теперь ясно, что требует от нас условие задачи: искомый угол равен половине данного; инструменты, которыми можно пользоваться, — это циркуль и линейка.

Перейдем теперь к планомерному поиску решения задачи.

Что мы знаем об углах и их половинах? Какие свойства, связывающие два угла, нам известны?

Ответим на эти вопросы и перечислим некоторые основные свойства, связывающие два угла:

1°. Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.

2°. Половина развернутого угла есть прямой угол.

3°. Внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного.

4°. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных.

5°. Центральные углы в одном круге равны, если соответствующие им дуги равны.

6°. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

И это еще не все! Пожалуй, пока хватит. Какое из этих свойств больше подходит к нашей ситуации?

Свойство 1° вряд ли будет полезно (у нас два угла: один данный, один искомый).

Свойство 2° очевидно (к тому же данный угол не развернутый).

Свойство 3° — слишком общее сравнение углов (один больше другого).

Свойство 4° полезно обдумать (правда, треугольник не задан, но его нетрудно построить).

Свойство 5°также полезно обдумать (круг также можно построить).

Свойство 6° — стоп! Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, а центральный — всей дугой! Интересно!

Итак, можно выбрать свойство 6° — выяснить, нельзя ли прийти от данного угла (с «пересадкой» через дугу) к углу, равному его половине. Но для этого необходимо сделать так, чтобы данный угол был центральным, а искомый — вписанным. Вот и готов план решения!

Теперь для решения остался лишь один шаг! А ведь мы только что были в самом его начале! Все оказалось очень просто (рис. 11):

1) построим циркулем окружность с центром в точке О;

2) отметим любую точку А на окружности;

3) соединим точку А с точками пересечения угла и окружности.

Вернемся к намеченным ранее направлениям поиска и попытаемся использовать какое-либо другое (например, свойство 3° внешнего угла треугольника).

Нас интересует угол, который равен половине данного. Подумаем над тем, как изменить известное нам свойство внешнего угла в нужном направлении.

О каком треугольнике здесь идет речь? О любом? Имеется ли такой треугольник, в котором внешний угол вдвое больше внутреннего, с ним не смежного?

Такой треугольник есть — он равнобедренный (рис. 12):

Теперь нетрудно наметить новый план решения. Требуется построить равнобедренный треугольник так, чтобы данный угол был его внешним углом. Новое решение готово (рис. 13):

Рис. 11

Рис. 12 Рис. 13

1) строим угол КОМ, смежный с данным углом MON;

2) на лучах ОМ и OK откладываем равные отрезки OA и OB;

3) соединяем точки А и В; получим Z BAO = Z ABO.

Ну что ж, осталось доказать, что и это решение верно.

Осталось подвести итог после этого решения и выяснить, нет ли еще какого-либо способа решить эту задачу, и т. д.

Удивительно, но факт — осталось больше работы (и интересной работы), чем сделано, а задача, между прочим, решена. Вернемся теперь к главной теме нашего разговора — к ответу на вопрос: «Как начинать решение задачи?»

Сформулируем второй совет решающему задачу. Начиная решение задачи:

1) изучите условие задачи — «Хорошо понять вопрос — значит, наполовину ответить на него» ;

2) изучите цель, поставленную в задаче. Не начинайте решение вслепую. Выберите направление поиска плана решения, руководствуясь целью задачи;

3) при выборе направления поиска плана решения учитывайте:

а ) то, что вы знаете о ситуации, отраженной в задаче ;

б) то, что вы умеете и можете делать в данной ситуации и что нужно делать;

в) то, что известно вообще о связи данных и искомого;

г) то, о чем вам говорит опыт в решении задач, похожих на данную.

Мы видим, что цель задачи выступает как главный ориентир направления поиска решения. Поэтому изучению цели следует уделять не меньше внимания, чем изучению условия; полезно детально изучать (анализировать) цель.

Полезность проведения анализа цели особенно отчетливо можно проследить при решении геометрических задач. Пронаблюдаем за поиском плана решения следующей задачи.

Задача 3. Даны две прямые и окружность. Построить окружность, касающуюся данных прямых и окружности.

Рис.14

Изучим цель, представим требуемую ситуацию. Предположим, что окружность Fx — искомая, Ох — ее центр (рис. 14). Так как Fx касается данных прямых 1Х и /2, то Oj принадлежит биссектрисе угла, стороны которого принадлежат прямым ^ и /2. M — точка касания окружностей. Тогда точки О и Oj являются соответственными при гомотетии с центром М. Интересно, а в какую же точку отобразится точка Р при этой гомотетии? Оказывается, в точку пересечения касательных к данной окружности F у параллельных данным прямым; следовательно, M е РР'. Тогда план решения задачи ясен.

Проводим к данной окружности касательные, параллельные данным прямым.

Прямая, содержащая точку пересечения Р' этих касательных и данную точку Р, пересекает данную окружность в искомой точке касания М. Центр окружности F. есть точка пересечения прямой ОМ с биссектрисой угла между данными прямыми.

Осталось выяснить, сколько решений имеет эта задача. Подумайте, сколько?

Иногда полезно дополнить, видоизменить требуемую ситуацию, найти новые сочетания данных и неизвестных элементов.

Задача 4. Доказать, что медиана треугольника делит угол на части, большая из которых прилежит к меньшей стороне.

Эта задача сразу решается следующим образом.

Пусть в Л ABC отрезок m — медиана, Z а> Z ß. Нужно доказать, что с < а (рис. 15).

Рис. 15

Цель — сравнить длины двух сторон с и а в зависимости от величин углов а и ß. Это сравнение удобно произвести в треугольнике. Неплохо было бы получить такой треугольник, в котором имелись бы и углы а и j8, и стороны а и с. Это сделать очень просто: пусть отрезок OD равен отрезку ОБ, тогдаABCD — параллелограмм (почему?). Так как в AABD против большего угла а лежит и большая сторона а, то с < а.

Итак, анализ цели и связанные с ним видоизменения требуемой ситуации могут значительно облегчить поиски плана решения задачи.

Задания для самостоятельной работы

Внимательно изучите условие задачи, выявите возможные направления поиска ее решения, оцените, какие из них заслуживают внимания и почему.

Попытайтесь найти несколько способов решения задачи, действуя в выбранном направлении поиска.

3.1. В каком направлении должен лететь вертолет, чтобы держать под наблюдением одновременно две непараллельные дороги, место пересечения которых не видно?

3.2. При каких значениях а и Ь уравнение

имеет единственное решение?

3.3. Населенные пункты А и В разделены двумя каналами, каждый из которых имеет параллельные берега. Где следует построить переправу через эти каналы, чтобы из пункта А в пункт В можно было попасть кратчайшим путем?

3.4. Три квадрата расположены так, как показано на рис. 16. Точка Е соединена с Б, С, D. Докажите, что а+ ß + Y= 90°.

Указание. Начните решение задачи с анализа цели. Видоизмените требуемую ситуацию (выполните дополнительные построения) и этим путем придите к решению.

Рис. 16

3.5. Вычислите возможно наиболее простым способом сумму

Начните решение задачи с анализа данных. Видоизмените требуемую ситуацию и этим путем придите к решению.

§ 4

РЕШАЙТЕ ВМЕСТО ОДНОЙ ЗАДАЧИ ДРУГУЮ

Не правда ли, удивительный совет? Прежде всего «другую» не означает «любую». Мы увидим, что вместо данной задачи бывает полезно решить родственную ей задачу. Давайте разберемся в том, какие «родственники» могут быть у некоторой задачи.

Задача 1. Найти все точки*, равноудаленные от двух пересекающихся прямых и удаленные на расстояние d от заданной точки О.

Разберемся в условии задачи. Данная ситуация изображена на рис. 17, а требуемая ситуация — на рис. 18.

Из условия легко обнаружить, что требуемая ситуация должна удовлетворять двум условиям:

Рис. 17 Рис. 18

* Множество всех точек, обладающих определенным свойством, иногда называют геометрическим местом точек.

1) искомые точки равноудалены от двух пересекающихся прямых а и Ь;

2) искомые точки удалены от данной точки О на расстояние d.

Теперь нетрудно составить две задачи, родственные данной (назовем их подзадачами и обозначим п.з.)

П.з. 1. Построить все точки, равноудаленные от двух пересекающихся прямых.

П.з. 2. Построить все точки, удаленные от данной точки О на расстояние d.

Каждая из этих подзадач, как и вообще любая задача на отыскание всех точек, обладающих данным свойством, состоит из двух частей. В первой определяют фигуру, состоящую из всех точек, обладающих данным свойством. Во второй доказывают, что каждая точка построенной фигуры обладает данным свойством.

Мы ограничимся здесь только первой частью подзадачи. (Вы же попытайтесь решить вторую).

Решение п.з. 1. Точки, лежащие на биссектрисах углов, полученных при пересечении данных прямых, равноудалены от каждой из них (рис. 19).

Решение п.з. 2. Точки окружности удалены от точки О на расстояние d (рис. 20).

Теперь можно приняться за решение исходной задачи, здесь оба требования должны соблюдаться одновременно. Тогда искомые точки должны быть как точками

Рис.19 Рис.20

Рис. 21

биссектрис, так и точками окружности радиуса d. Находим точки пересечения, биссектрис и окружности — они и являются искомыми. Сколько решений имеет задача? (Не забудьте доказать, что построенные точки — искомые; рис. 21.)

Итак, мы познакомились с двумя задачами, составленными из данной, п.з. 1, п.з. 2. Данная задача разбилась на две более простые ( «дети » данной задачи).

Сформулируем третий совет решающему задачу: Выявляйте для данной задачи ее подзадачи и начинайте решение этих подзадач.

Измените условие данной задачи, сделайте его проще (решите «родственную», более простую, задачу).

Хорошо представив себе требуемую ситуацию, сделайте чертеж, схему.

Установите связи между данными и искомыми элементами, несмотря на то что в условии задачи ничего о них не сказано.

Если у данной задачи есть задачи-«родственники» типа «детей, братьев и сестер», то нет ли у нее «родственников» типа «родителей»? Рассмотрим такую задачу.

Задача 2. Делятся ли числа вида 123 123, 456 456, 130 130, 718 718, 257 257, ... на 13?

Это довольно трудная задача. Многие начинают ее решение с проверки данных чисел на делимость, с изучения каждого данного конкретного числа и чаще всего не находят решения. Между тем задача решается просто, если составить и решить задачу более общую, чем данная. Рассмотрев внимательно условие данной задачи, мы обнаружим, что все данные числа имеют вид аЬсаЪс .(Черта указывает на то, что в данном выражении буквы рассматриваются не как множители, а являются цифрами. Например, запись ab означает 10а + Ь.)

Теперь можно составить подзадачу, родственную данной.

П. з. Делятся ли числа вида аЪсаЪс на 13?

Для решения достаточно понять, что число abcabc получается умножением числа abc на 1001 (попробуйте перемножить эти числа «столбиком» ). Если же не удалось догадаться, что abcabc = 1001- abc , то можно установить это так:

Но 1001 делится на 13, и потому произведение 1001 на любое число также делится на 13.

Исходная задача является частным случаем этой более общей (и, казалось, более сложной задачи).

Вот мы и познакомились с «отцом» или «матерью» данной задачи — с более общей задачей, для которой данная задача лишь частный случай. Очень часто более общая задача решается значительно легче данной конкретной задачи. Это мы видели на примере только что рассмотренной задачи.

Приведем еще один пример. Вместо того, чтобы решать уравнения типа х2 - Ъх +6 = 0, х2 - 7х + 10 = 0 различными способами, выгоднее сразу решить уравнение X2 + рх + q = 0 (вывести формулу решения), а затем пользоваться найденным решением (формулой) в любых конкретных случаях. В этом лишний раз проявляются сила и могущество математики. Ведь чем менее конкретны данные, а следовательно, и ограничения для решения, тем свободнее выбор пути — способа решения. Сформулируем четвертый совет решающему задачу: Пробуйте составлять и решать задачи более общие, чем данная, тогда данная задача окажется частным случаем составленной и ее решение будет следовать из решения более общей задачи.

Новая родственная задача часто лишь поначалу кажется более трудной. Ведь недаром говорят: «Клин клином вышибают».

Задания для самостоятельной работы

4.1. Перед вами известные геометрические фигуры (рис. 22). Попробуйте составить задачи, комбинируя эти фигуры.

Рис. 22

4.2. Найдите все точки, равноудаленные отданных четырех точек А, В, С, D (рис. 23).

Рис. 23

Составьте к этой задаче родственные задачи типа «детей» ; решите каждую из них, а затем найдите решение данной задачи.

4.3. Разрежьте треугольник на такие части, чтобы из полученных частей можно было сложить прямоугольник.

Составьте к этой задаче родственные задачи типа «сестры — братья». Решите каждую из составленных задач. Помогли ли эти «родственники» справиться вам с основной задачей?

4.4. Найдите трехзначное число, которое от перестановки начальной цифры его записи в конец увеличилось бы в 5 раз.

Составьте к этой задаче родственные задачи типа «дети» и типа «родители». Решите их и дайте ответ на вопрос данной задачи. Какую задачу оказалось решить проще?

4.5. При снятии плана местности положение сторожевой вышки было определено следующими наблюдениями: а) вышка находится на одинаковом расстоянии от дороги и от озера; б) озеро видно с этой вышки под прямым углом.

Где расположить на плане эту вышку, если озеро и дорога уже нанесены? Прав ли был наблюдатель, ограничившись такими записями?

4.6. Используя любую литературу, подберите (или составьте самостоятельно) три задачи и к каждой из этих задач подберите родственные задачи различных типов. Работу выполните на отдельном листке и сдайте его учителю.

§ 5

РАССУЖДЕНИЕ ПОМОГАЕТ ДОГАДКЕ

Велика роль догадки при решении нестандартных задач. Но не всякая догадка достоверна. К тому же пользоваться своей догадливостью следует осмотрительно. Относительно догадки можно сказать коротко: «Доверяй, но проверяй». Вот что говорит известный математик Д. Пойа: « Нужную мысль можно сравнить с вражеским лазутчиком, который стремится проскользнуть в город мимо часового. Поэтому часовому нужно знать хоть какие-то приметы лазутчика, чтобы не останавливать всякого проходящего мимо».

Уподобим догадку лазутчику. Чтобы «выловить» нужную догадку из огромного числа бесполезных мыслей, нужно сопровождать каждую догадку рассуждением и размышлением о степени ее полезности для решения данной задачи. Рассмотрим такой пример.

Предположим, что ваш друг задумал некоторое натуральное число в промежутке от 1 до 1000. Чтобы угадать задуманное число, вы будете спрашивать друга, а тот отвечать на вопрос только словами «да» или «нет». Если передоверить решение этой задачи одной только догадке,

то может случиться так, что вы будете довольно долго ее решать (да и скучной будет работа). Может показаться невероятным тот факт, что достаточно всего десяти правильно поставленных вопросов, чтобы наверняка отгадать задуманное число!

В самом деле, пусть задуманное вашим другом число есть 1. Спрашиваете и получаете ответ.

1. Верно ли, что задуманное число больше 512? — Нет!

2. Тот же вопрос о 256. — Нет.

3. Тот же вопрос о 128. — Нет.

4. Тот же вопрос о 64. — Нет.

5. Тот же вопрос о 32. — Нет.

6. Тот же вопрос о 16. — Нет.

7. Тот же вопрос о 8. — Нет.

8. Тот же вопрос о 4. — Нет.

9. Тот же вопрос о 2. — Нет.

10. Задумано число 1. — Да.

Рассмотрим теперь такую задачу:

«...И сказал Кощей Ивану-царевичу: «Жить тебе до завтрашнего дня. Утром явишься перед мои очи, задумаю я три цифры: а, Ь, с. Назовешь ты мне три числа: х, у, z. Выслушаю тебя и скажу, чему равна сумма ах + Ъу + cz. Тогда отгадай, какие цифры а, Ь, с я задумал. Не отгадаешь — голову с плеч долой».

Опечалился Иван-царевич, пошел думу думать. Надо бы ему помочь».

Познакомимся с ходом рассуждения одного вашего товарища, которому пошли на пользу наши советы. Мы попросили его подумать над решением задачи вслух и вели за ним запись его рассуждений. Вот как он размышлял при решении этой задачи:

«Да, задача не из легких, но попробую помочь Ивану-царевичу. Итак, утром Иван-царевич, зная х, у, z и сумму N = ах + by + cz, должен будет назвать a, b и с.

Первая трудность. Уравнение с тремя неизвестными я решать не умею. Преодолею эту трудность, изменю условие задачи, сделаю его более простым. Пусть х = у = г,

тогда

Вторая трудность. Даже небольшие числа можно представить в виде суммы трех слагаемых не единственным образом.

Попробую получить уравнение с двумя неизвестными. Пусть X = О, тогда N = by + cz, откуда

Третья трудность. Уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечное множество решений (рис. 24).

Попробую теперь другой путь. Вспомню-ка я «родственников» этой задачи типа «детей». Может быть, они помогут? Пусть Кощей задумал две цифры: а и б, тогда N = ах + by. Нет. Ничего нового. Если даже х = 0, то можно легко найти b, но а может быть любым числом. Вот с одной цифрой все очевидно. Но Кощей не может быть таким добрым. Как же быть с тремя-цифрами?

Теперь я как будто зашел в настоящий тупик?! Решение уравнения невозможно, несмотря на все мои усилия.

Попробую еще раз внимательно прочитать условие задачи.

Кощей задумал три цифры. Цифры! Обычно число записывают с помощью цифр. Нельзя ли сохранить эти цифры в числе — сумме N? Сумма может быть и трехзначным числом.

Стоп! Кажется, нашел! Трехзначное число abc . Иван-царевич спасен! Итак,

Значит, X = 100, у = 10, 2 = 1».

При решении этой задачи ваш товарищ вел поиск решения по тем направлениям, которые казались ему полезными, а не наугад (молодец!). Проявлял ли он изоб-

Рис. 24

ретательность? Высказывал ли догадки, строил ли гипотезы? Конечно. Но каждую догадку он подкреплял рассуждениями, и это очень ему помогало решать задачу и прекращать ненужную работу вовремя.

Что еще поучительного было в его работе? В ходе решения данной задачи он часто использовал родственные задачи (причем задачи более простые), легко выяснял на этих более простых задачах и ситуациях то, что ему было нужно. Попробуйте вернуться к изложению хода решения и найти те места, которые подтверждают это.

Пятый совет решающему задачу можно заменить тремя высказываниями Д.Пойа:

«Обдумай цель раньше, чем начать действовать». «Мудрый меняет свои намерения, дурак никогда». «Тот, кто не может обдумать все заново, не может мыслить верно».

Задания для самостоятельной работы

Следующие задачи (или хотя бы одну из них) вам нужно не только решить, но и подробно описать свои догадки и рассуждения в процессе решения; обосновать выбор направления в поиске решения задачи (правильного или неправильного). В общем, от вас требуется не только решить задачу, но и описать свои промахи и неудачи, а затем обсудить их вместе. Если же задачу решить не удастся, то у вас останется описание неудач. Это тоже очень важно!

5.1. Найти числовое значение алгебраического выражения f(x) = л:333 + X33 4- X3 + 1995, если значение х удовлетворяет условию X2 + X + 1 = 0.

5.2. Построить вместо многоточия такое натуральное число п, чтобы ответ на следующий вопрос был однозначным: «Сколько прямых проведено на плоскости, если известно, что они пересекаются в ... различных точках?»

5.3. Числа X и у положительны, причем х + у = 5. Какое наименьшее значение может принимать выражение

5.4. Не вычисляя площадей треугольников со сторонами ах = Ъ,ЬХ = 5, Cj = 6, а2 = 5, Ь2 = 5, с2 = 8, установите, равновелики ли они.

5.5. Докажите, что во всяком треугольнике длина медианы не меньше длины биссектрисы.

§ 6

СОСТАВЛЯЙТЕ СВОИ ЗАДАЧИ

При изучении в школе русского языка вам часто приходится встречаться с двумя видами работы: диктантами и сочинениями. И тот, и другой вид учебной деятельности помогает вам лучше, глубже познать родной язык и литературу. Возникает вопрос: не полезно ли при изучении математики выполнять аналогичные работы? На уроках математики вы обычно выполняете задания по решению стандартных задач (чем не диктанты?) и даже пишете, наверное, в последнее время специальные математические диктанты. Но вряд ли вы работаете над математическими сочинениями. А это было бы полезно! Что же такое математическое сочинение? Ответим на этот вопрос не сразу; скажем лишь, что самостоятельное составление интересных задач есть простейшее математическое сочинение. Большинству из вас кажется, что задачи могут изобретать лишь «ученые взрослые люди, убеленные сединой» или, в крайнем случае, ваши учителя. Не так ли? Это представление ошибочно! Правда, весьма трудно «сочинять» задачи, если самому не заниматься их решением. Более того, идеи, реализованные в условиях большинства задач, возникают у авторов либо при решении некоторых других задач, либо при вдумчивом изучении теории. И тем, и другим вы постоянно занимаетесь. Так почему бы вам не приняться за составление задач? Правда, составлять малоинтересные и легкие задачи нетрудно. Но пользы от такого сочинительства мало. Если же конструировать сложные и необычные задачи, то это интересно и, главное, это один из верных способов научиться решать задачи.

Итак, будем учиться составлять задачи. Посмотрим, как это делается.

Задача 1. Построить треугольник по данным серединам его сторон.

Не правда ли, интересная задача? Попробуйте-ка 10 минут поработать над ней, а потом загляните в решение, которое мы излагаем здесь (заметим, что приводится только решение, а не описание хода решения).

Решение. 1. Соединив три данные точки отрезками прямых, получим треугольник ABC (рис. 25).

Рис. 25

2. Проведем через вершины А, Б, С прямые, соответственно параллельные противоположным сторонам треугольника, до взаимного пересечения в точках M, N, К. Полученный треугольник MNK — искомый. (Дайте обоснование правильности построения.)

Допустим, мы решили эту задачу, выявили все полезное, что можно извлечь из задачи и ее решения. Работа вроде бы окончена? Да. Но она может быть продолжена, если вы оглянетесь назад еще раз и поразмыслите над этой задачей.

В самом деле, задача необычная — даны не привычные для вас линейные или угловые элементы искомой фигуры, а ее точечные элементы. Будет жаль, если такая задача (подобные задачи вам вряд ли встречались ранее) останется единственной в своем роде. Мы сейчас составим еще несколько аналогичных задач.

В условии приведенной выше задачи говорится о построении треугольника по трем данным серединам его сторон. Начнем с того, что будем задавать себе вопросы в связи с этим условием:

1. Почему «треугольник» (а не другую фигуру)?

2. Почему «по серединам сторон» (а не по другим его точкам)?

3. Почему «по трем точкам» (а не по одной, двум)?

4. Почему только «по данным точкам» (а не по сочетанию точечных, линейных и угловых элементов фигуры)?

Ограничимся пока этими четырьмя «почему? ». Мы не сможем сразу (да нам и не нужно это сейчас) ответить на все эти вопросы. Нам нужно только начать отвечать, причем отвечать на вопрос вопросом, начинающимся со слов «А нельзя ли...?». И каждый наш ответ породит новую задачу, связанную с данной.

Следите внимательно за возможными ответами на первое «почему?»:

— А нельзя ли построить по данным серединам сторон квадрат?

— А нельзя ли построить по данным серединам сторон трапецию? И т. д.

Вот несколько ответов на второе и третье «почему?».

— А нельзя ли построить треугольник по двум серединам его сторон?

— А нельзя ли построить параллелограмм по трем серединам его сторон? И т. д.

А теперь нам осталось только переформулировать свои ответы, придав тексту форму условия задачи.

1. Построить квадрат по данным четырем серединам его сторон.

2. Построить трапецию по данным четырем серединам ее сторон.

3. Построить треугольник по данным двум серединам его сторон.

4. Построить параллелограмм по данным трем серединам его сторон.

Как просто составлять задачи! Не так ли? И задачи-то все интересные и необычные. И как их здесь много! Вот сколько «родственников» оказалось у нашей задачи о треугольнике!

Продолжим работу по составлению задач, исходя из другой ситуации.

Перед археологами часто возникает вопрос: «Как экономичнее (без лишних затрат времени) провести раскопки сооружения квадратной формы по четырем сохранившимся колоннам (по одной на каждой стороне)? ».

По существу, перед нами реальная задача. Попробуем «перевести» ее на математический язык. Тогда эта задача будет выглядеть так:

Задача 2. Построить квадрат по четырем точкам, принадлежащим каждой из сторон квадрата.

Рассмотрим решение этой задачи (рис 26).

1. Соединим пары точек (M, N) и (Ку Р) отрезками прямых.

2. Разделим эти отрезки пополам точками О и О. и построим окружность с центром О и радиусом ОМ и окружность с центром Ог и радиусом ОхР.

3. Разделим пополам дуги этих окружностей, принадлежащие квадрату. Точки деления обозначим соответственно через Т и S.

4. Построим прямую ST, пересекающую окружности в точках В и D.

5. Строим искомый квадрат.

Попробуйте обосновать правильность построения.

Кстати, сколько решений имеет эта задача?

Теперь попытаемся составлять новые задачи, внимательно изучая условие и решение данной задачи. У нас уже есть опыт: полезно задавать себе различные вопросы, начинающиеся со слова «почему».

В условии данной задачи говорится о построении квадрата по четырем точкам, принадлежащим его сторонам.

1. Почему «квадрат» (а не другую фигуру)?

2. Почему «по четырем точкам» (а не по трем или двум)?

3. Почему по «точкам, принадлежащим каждой из сторон» (а если не каждой и вообще не на стороне)?

4. Почему только по «данным точкам» (а не по сочетанию точечных, линейных и угловых элементов фигуры)?

Проследите внимательно за возможными ответами на первое «почему?»:

— А нельзя ли построить по данным четырем точкам прямоугольник?

— А нельзя ли построить по данным четырем точкам окружность? И т. д.

Рис. 26

Вот несколько ответов на второе и третье «почему?» :

— А нельзя ли построить квадрат по трем точкам, одна из которых является его вершиной?

— А нельзя ли построить окружность по трем точкам?

— А нельзя ли построить квадрат по двум точкам, принадлежащим двум сторонам, и третьей, являющейся центром симметрии квадрата? И т. д.

Теперь нам осталось только переформулировать свои ответы, придав тексту форму условия задачи.

1. Построить прямоугольник по четырем точкам (по одной на каждой стороне).

2. Построить окружность по четырем точкам.

3. Построить квадрат по двум точкам, лежащим на двух его сторонах, и третьей, являющейся его центром симметрии.

В самом деле, составлять задачи гораздо проще, чем их решать. Не так ли?

Рассмотрим теперь задачу о построении квадрата по трем точкам, одна из которых является его вершиной, а две другие лежат на его сторонах. Ясно, что придется рассмотреть различные случаи расположения точек (рис. 27).

Рис.27

Укажем цифрами порядок построения. Замечаем, что только в случае б) задача имеет бесконечное множество решений (т.е. существует бесконечное множество квадратов с тремя заданными точками).

Как сформулировать задачу так, чтобы она имела только единственное решение? Заметим, что в случае б) пара точек взята на сторонах, выходящих из заданной вершины. Значит, исключим этот случай.

Задача должна выглядеть так:

Задача 3. Построить квадрат по трем точкам, одна из которых является вершиной квадрата, а две другие лежат на двух прямых, не выходящих из указанной вершины.

Это уже новая задача.

Посмотрим теперь, как можно составлять задачи, изучая какой-нибудь раздел теории из курса математики. Допустим, мы изучили тему «Центральная симметрия». В 8-м классе из множества геометрических фигур мы выделили такие, которые имеют центр симметрии (например, окружность, круг, параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат).

Наличие таких фигур должно вас сразу навести на мысль: «А нельзя ли где-нибудь на практике использовать это свойство?». Рассмотрим на рис. 28 и попробуем придумать игру, основанную на этом свойстве фигур.

1. Двое по очереди кладут на круглый стол пятирублевые монеты.

Монеты можно класть на свободные места (так, чтобы они не покрывали друг друга даже отчасти). Сдвигать монеты с места, на которое они положены, нельзя. Предполагается, что каждый имеет достаточное количество монет. Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть монету начинающий игру, чтобы выиграть?

Рис. 28

2. Видоизменим игру; заставим партнеров выкладывать монеты по окружности, нарисованной на бумаге. Побеждает тот, кто положит монету последним. Выиграет ли начинающий игру?

3. А если партнеры сидят за прямоугольным столом, то как должен класть монету начинающий игру, чтобы выиграть?

Интересна и полезна следующая задача:

Задача 4. Вписать отрезок KN в угол АБС так, чтобы заданной точкой M этот отрезок делился пополам.

Попробуйте разобраться с помощью рис. 29, как решается эта задача.

Теперь, наверное, вы сможете составлять свои задачи не хуже авторов учебников? Мы, правда, не очень уверены в том, что вам удастся решить каждую вашу задачу так же легко, как вы ее составили. Но мы надеемся на вас. «Где есть желание, найдется путь», — говорит пословица.

Рис. 29

Задания для самостоятельной работы

6.1. Рассмотрите треугольник АБС (рис. 30). Пусть отрезки БМ, BN и ВК — его высота, биссектриса и медиана соответственно. Составьте несколько задач по этой ситуации, попытайтесь их решить.

6.2. Продолжите список вопросов и ответов «А нельзя ли... ?» к задаче о построении треугольника по трем серединам его сторон.

6.3. Рассмотрите следующую задачу: «Правильный треугольник срезан по углам так, что получился правильный шестиугольник. Какая часть площади треугольника срезана? ». Решите ее и попробуйте составить несколько задач, родственных данной.

Рис. 30

6.4. Посмотрите любой раздел учебника этого или прошлого учебного года. Попробуйте составить одну или две задачи (свои собственные). Покажите их учителю для контроля.

§ 7

КАК ОФОРМЛЯТЬ ЗАПИСЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

А нужно ли вообще записывать детально и аккуратно решение задачи, если она уже решена? Не хочется ли вам задать этот вопрос? Чтобы вы могли иметь возможности самим ответить на него, рассмотрим цель и роль записи решения задачи. Согласитесь, что первоначальный вариант решения задачи, возникший у вас на черновике (или «в уме» ), является еще не решением, а обычно только планом решения. Как всякий план, он может быть верным или неверным, удачным или менее удачным и т. д. Это происходит при решении нестандартных задач. При решении же стандартных задач запись решения сама является автоматизированным процессом и обычно никаких возражений не вызывает (не запишешь преобразований исходного уравнения в простейшее — не найдешь значения неизвестного). Переход от плана к решению — это переход из области догадок в область строгой логики. Все понимают, что решение должно неизбежно привести от данных к искомому. И эту «неизбежность» следует выявить, что является неотъемлемой частью полноценного решения.

Мы теперь знаем, что на задаче мы должны учиться и учиться. Ни работающий на производстве, ни писатель не может ограничиться неотделанным, необоснованным решением поставленной перед ним задачи. Сколько раз Л. Н. Толстой переписывал, правил, менял отдельные фразы, места и главы своих произведений! Вы также должны учиться «править» и «шлифовать», это для вас главное. Поэтому оформление плана решения (в записи или речи) должно проводиться до конца. Не из каждого алмаза получается бриллиант, но ваша задача - шлифовать всякие

алмазы и получать из них бриллианты; для вас не имеет большого значения ценность полученного бриллианта, а важно научиться «обработке алмаза».

Пойдем дальше. Сколько ценного теряется из вашего опыта в процессе обучения в школе! Как часто бывает нужно обратиться к прошлому опыту и использовать его! Но наша память организована так, что забывание является необходимой защитной реакцией мозга, обеспечивающей ему необходимый отдых. Увы, наряду с бесполезным исчезает и полезное. Нужно определенное волевое усилие, чтобы не забывать то, что именно не следует забывать, и мы должны помочь себе в этом. Перо и бумага — первые наши помощники: то полезное, что не следует удерживать в памяти, можно удержать на бумаге. Восстановить это полезное по записи легче, чем вспоминать. Отсюда следует, что запись решения задачи должна быть четкой, образной и полной.

Наконец, многие из вас страдают болезнью под названием «знаю, но рассказать не могу». Запись решения задачи — хорошее лекарство от этой болезни. Давайте же не только учиться правильно мыслить, но и правильно говорить и писать — коротко и ясно!

Рассмотрим несколько способов оформлений решения задачи*.

Задача 1. Взяли 6 листков бумаги и некоторые из них разорвали на 7 частей; некоторые из полученных листков снова разорвали на 7 частей и т. д. несколько раз. Подсчитав общее число полученных листков, установили, что их 67. Как показать, что произошла ошибка при подсчете?

Решение. Первый способ оформления — связный текст.

Сначала было 6 листков бумаги. Каждый раз, разрывая листок, мы вместо него получаем 7 листков, увеличивая тем самым общее число листков бумаги на 6. Но тогда, сколько бы листков ни было разорвано, общее число их должно делиться на 6; 67 не делится на 6 — произошла ошибка!

Запись решения этой задачи «связным текстом» не менее экономична, чем другая возможная запись решения, например рисунком.

* (Для учителя.) Каждую из задач сначала следует обсудить и решить, а затем уже записать решение так, как здесь указано.

Второй способ оформления решения — рисунок (рис. 31).

В условии задачи говорится только о 6 листках бумаги. А если взять их 666?

Рис. 31

Какой из этих двух способов оформления решения лучше избрать?

Задача 2. Показать, что шесть достаточно круглых неотточенных карандашей можно расположить так, чтобы любые два из них соприкасались друг с другом.

Решение оформлено в виде схематического рисунка (рис. 32).

Рис. 32

Задача 3. Из Москвы в Астрахань каждый день в 12 ч отправлялся теплоход, который находился в пути 4 сут. Из Астрахани в Москву ежедневно в 12 ч также отправлялся теплоход, который находился в пути 5 сут. Сколько теплоходов Астрахань — Москва встречалось с теплоходом, отправлявшемся из Москвы, в течение всего пути?

Решение оформлено в виде схемы (рис 33).

Ответ: 10 теплоходов.

Рис. 33

Задача 4. Фермеру необходимо прибыть в пункт, находящийся на расстоянии 134,7 км от его дома. В течение 2,4 ч он ехал на автобусе со скоростью 55 км/ч, а остальную часть пути шел пешком со скоростью 4,5 км/ч.

Какое время он шел пешком?

Решение задачи, оформленное в виде содержательной схемы, иллюстрирует рис. 34.

Рис. 34

Задача 5. По дороге шли два отца, два сына и дедушка с внуком. Сколько человек шли по дороге?

Решение задачи, оформленное с помощью особой схемы — графа, иллюстрирует рис. 35.

Какие другие решения задачи возможны?

Задача 6. Ходжа Насреддин расплачивался за ночлег в харчевне с ее хозяином ежедневно одним звеном золотой цепочки из семи одинаковых звеньев. Чтобы не терять лишнее золото при распиливании, хозяин поставил Ходже условие: распилить только одно звено цепочки. Ходжа

Рис. 35

с этим условием согласился и сумел его выполнить. Как он это сделал? Решение оформляется в виде таблицы:

Дни

Отдал за ночлег п-е звено

Получил обратно п-е звено

1

п = 5

2

л = 6; 7

я = 5

3

п = 5

4

п = 1; 2; 3; 4

п = 5; 6; 7

5

л = 5

6

л = 6; 7

л = 5

7

п = 5

Мы не ставим своей целью показать все способы оформления записи решения задач, а также те способы, которыми вы обычно пользуетесь на уроках. Мы решили показать вам некоторые новые способы оформления решения.

Не правда ли, оформлять запись решения задачи также весьма интересно? И не так это просто — выбрать наиболее удобный способ оформления решения. Сам выбор такого удобного способа оформления решения является интересной задачей. Заметим, что часто процесс решения задачи зависит от удачно выбранного способа записи ее решения.

Интересно, можете ли вы предложить свой способ записи решения какой-либо задачи? Сообщите о нем учителю.

Задания для самостоятельной работы

Следующие задачи нужно не только решить, но и выбрать самый удобный для этой задачи способ записи ее решения.

7.1. На сосне не более 500 000 иголок. Докажите, что в лесу из 1 000 000 сосен есть не менее двух сосен, числа иголок на которых равны между собой.

7.2. В первом бидоне в 2 раза больше молока, чем во втором. Когда из первого отлили 30 л, а из второго — 20 л, в первом бидоне осталось в 3 раза больше молока, чем во втором. Сколько литров молока было первоначально в каждом бидоне?

7.3. Трое играли в шашки. Всего сыграли три партии. Сколько партий сыграл каждый?

7.4. Хотят поскорее поджарить три ломтика булки. На сковороде умещается лишь два ломтика, причем на поджаривание одной стороны ломтика затрачивается 1 мин. За какое наименьшее время можно поджарить с обеих сторон три ломтика булки?

§ 8

КАК МЫ ДУМАЕМ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Попытаемся теперь проследить за тем, как мы думаем, решая ту или иную задачу; тем самым будем учиться правильно мыслить. Итак, будем действовать и одновременно следить за собой.

Возьмем какую-нибудь нестандартную задачу и начнем опыт. Нам нужно суметь не только решить эту задачу, но одновременно записать все наши мысли, связанные с попытками ее решения (удачными или неудачными). Когда мы начнем эту работу, убедимся в том, что это не так легко, как кажется на первый взгляд. Этому тоже нужно учиться.

Вернитесь к § 5, просмотрите еще раз ход рассуждений при решении задачи, которую задал Кощей Иван-царевичу. Это один из примеров размышлений в ходе решения задачи.

Рассмотрим еще пример, в котором говорится о том, как один из вас наблюдал за самим собой и сумел не только решить задачу, но и рассказать о том, как он ее решил.

Задача. На плоскости проведено 100 прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей разделилась плоскость этими прямыми?

Итак, приступаем к решению и описанию процесса решения. Обозначим через п число прямых, а через m — число частей плоскости.

Ход решения

Рис. 36

Рис.37

Рис. 38

Рис. 39

Замечания

1. Изучая условие, попытаюсь изобразить хотя бы часть прямых, чтобы представить данную ситуацию (рис. 36).

«Никакие две прямые не параллельны» — значит каждая прямая пересекается со всеми остальными 99.

«Никакие три не проходят через одну точку» — значит каждая прямая имеет ровно 99 точек пересечения с другими прямыми.

Условие проясняется, но данное число прямых (100) велико, изображать все прямые для подсчета частей плоскости очень долго. Надо искать закономерность (если она есть) увеличения числа частей плоскости при увеличении числа прямых.

2. Приступаю к решению задачи, начиная с простейших случаев.

Составляю более простую задачу: «На плоскости проведено 3, 4, 5, ... таких прямых...» (рис. 37, 38, 39).

Получаю п — число прямых, m — число частей плоскости:

п = 9, m = 7 (рис. 37);

/1 = 4, m = 11 (рис. 38);

п = 5, m = 16 (рис. 39).

Проверяю себя: п = 4 — значит точек пересечения каждой прямой с другими должно быть 3 (рис. 38).

Ход решения

Рис. 40

Рис. 41

Рис. 42

Замечания

3. Составляю таблицу для числа прямых и соответствующего числа частей плоскости.

Замечаю, что каждое значение m отличается от предыдущего на соответствующее значение п. По всей вероятности, при xi — 100 соответствующее m будет больше предыдущего на 100. Как обосновать эту гипотезу?

4. Рассуждаю: пусть при некотором числе прямых (п - 1) число частей плоскости равно т. Если добавить еще одну прямую, то она будет иметь (п - 1) точек пересечения с каждой из (п - 1) прямых. Эта п-я прямая разделится (п - 1) точками на п частей, каждая из которых разобьет одну из имевшихся частей плоскости на две, т. е. к имевшимся m частям добавится еще п частей (рис. 40, 41, 42).

Нахожу: р = 3, q = 4 (рис.41), гдер — число точек, q — число частей прямой; р = 4, q = 5 (рис. 42);

p = n-l,q = n

Значит, с добавлением одной прямой число частей плоскости увеличивается на получившееся число прямых.

Это уже интересно!

Закономерность найдена:

Ход решения

Итак, плоскость разделится 100 прямыми на 5051 часть.

Замечания

5. Но до п = 100 все равно долго считать. Исследую подробнее эту закономерность.

Стоп! Надо найти сумму

7 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...+ 99 +100.

Представляю 7 в виде суммы последовательных чисел. Получилось очень красиво:

1 + 1 + 2 + 3 + 4+ ... + 99 + 100.

6. Вычисляю:

Что же общего в том, как мы думаем при решении каждой конкретной задачи?

Этим общим являются те мыслительные умения, которые применяются нами при решении.

Рассмотрим теперь основные из этих умений.

Умение первое — анализировать задачу, т. е. расчленять задачу, выявляя самое существенное в ее условии: данные и известные, искомые и неизвестные элементы, а также их свойства и взаимосвязь между ними.

Умение второе — сопоставлять данную задачу с уже знакомыми задачами, используя данные элементы или заданные соотношения между неизвестными и известными элементами.

Умение третье — синтезировать, т. е. объединять данные и искомые, создавать новые комбинации известных понятий и элементов для достижения цели задачи.

Умение четвертое — конструировать простейшие математические модели по условию данной задачи, в качестве которых могут служить одно или несколько уравнений, таблицы взаимосвязи данных элементов с искомыми, схемы и графики.

Умение пятое — выдвигать гипотезы, которые могут привести к решению задачи; отбрасывать по соображениям интуиции, логики и здравого смысла неверные гипотезы и предложения, используя для этого контрпримеры.

Умение шестое — выявлять в условии данной задачи частные задачи (подзадачи), решение которых приведет к установлению элементов или фактов, важных для решения основной задачи.

Умение седьмое — грамотно проводить необходимые выкладки и оформлять найденное решение задачи кратко, четко и математически корректно.

Умение восьмое — исследовать результаты решения задачи для установления правильности и экономичности, а также для выявления частных случаев и обобщения.

Умение девятое — отбирать полезную информацию из самой задачи, ее решения и результатов, накапливать опыт решения задач и его поиска.

Задания для самостоятельной работы

Для того чтобы вам было легче наблюдать за процессом решения, а также за тем, какие мыслительные умения вы при этом использовали, работу можно организовать так:

а) говорить вслух и записывать;

б) говорить вслух, попросив товарища лишь записать сказанное вами.

Для проведения опыта выберите себе любую из трех данных задач (ту, которая вам покажется или более интересной, или более трудной) и решайте ее, ведя запись на листе, разделенном вертикальной линией (слева — процесс решения; справа — ваши замечания). Одну из задач можно решить (и описать подробно) всем классом. Выберите двух секретарей для ведения записи и приступайте к решению.

8.1. Из города А в город В ведут две дороги одинаковой длины: через город X и через город Y. Дорога из X в Y

через В короче, чем через А, и У ближе к А, чем к В. Сколько всего различных по длине участков между этими четырьмя городами? Расположите участки дорог между городами в порядке возрастания длины, начиная с наименьшей.

8.2. Докажите, что лучи, проведенные из вершины острого угла параллелограмма через середины противолежащих сторон, делят диагональ параллелограмма на три равные части.

8.3. В автобусе без кондуктора ехало 25 человек. Хотя у них были монеты только достоинством в 10,15, 20 коп., каждый из них расплатился за проезд и получил причитающуюся ему сдачу. Как это было сделано? При каком наименьшем числе монет это можно сделать, если стоимость проезда 5 коп.?

Прочтите ваши записи. Уверены, что вам есть чему поучиться. Даже если вам не удалось решить задачу, не огорчайтесь. Неужели нет ничего интересного на правой стороне листа? А на левой? Может быть, вам пришла в голову новая задача? Запишите ее. Еще раз вчитайтесь в записи своих мыслей, собирая «жемчуг слов»!

Счастливого опыта!

Если будет чем похвастаться, покажите учителю свои записи. Если же хвастаться нечем, все равно покажите записи учителю.

Быть может, вам понравилась задача о разделении плоскости на части? Тогда попробуйте «на зуб» несколько ее «родственников» :

8.4. На плоскости проведено 100 прямых. На одной из них отмечено 99 точек, на всех остальных — по две точки так, что всего получилось 100 отмеченных точек. На сколько частей разделилась плоскость этими прямыми?

8.5. Оставив без изменения условие задачи 8.4, ответьте на вопрос: как провести 101-ю прямую, чтобы число частей, на которое разделилась плоскость 100 прямыми, увеличилось на 100?

8.6. Вы научились многому. Попытайтесь выполнить первое задание (вариант А) за 40 мин. Если это вам удастся, то второе задание (вариант Б) вы должны суметь выполнить за 30 мин.

Вариант А

1. Найдите частное у : х, если у • у == у, &х • х = х.

2. Установите, сколько отрезков изображено на рис. 43.

3. Не вычисляя, установите, верно ли равенство

121 -(37-23) =

= 121 + 23-37.

Ответ обоснуйте.

4. До конца суток осталась - времени, прошедшего от начала суток. Сформулируйте вопрос задачи и решите ее.

5. Для опыта по химии на одну чашу рычажных весов положили и взвесили некоторое вещество массой 90 г. При этом на другой чаше весов находилось одинаковое число однограммовых, трехграммовых и пятиграммовых гирек. Какая масса представлена трехграммовыми гирьками?

6. Каким может быть число х во второй тройке чисел

12 (56) 16, 17 (х) 21,

если эта тройка чисел составлена по тому же правилу, что и первая?

Вариант Б

1. Найдите значения х, если х < х2.

2. Сколько различных квадратов изображено на рис. 44?

3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых четные?

4. Вопрос задачи сформулирован так: «Сколько партий будет проведено в этом турнире? » Составьте условие задачи и решите ее.

Рис. 43

Рис. 44

5. Для взвешивания вещества взяли одинаковое число однограммовых, трехграммовых и пятиграммовых гирек общей массой больше 20 г, но меньше 30 г. Какую массу вещества взвесили?

6. Каким может быть число х в последовательности чисел 1; 8; 16; 25; х, если все числа, начиная со второго, составлены по одному и тому же правилу?

§ 9

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ

Рассмотрим на примере решения одной задачи, как можно использовать данные вам советы.

Задача. Диагонали трапеции с основаниями а и b взаимно перпендикулярны. Какие значения может принимать высота трапеции?

Советы решающему задачу

1. Начиная решение задачи, необходимо хорошо понять задачу, осмыслить ее условие, изучить задачу в целом и в деталях, иллюстрировать задачу грамотным и четким рисунком или схемой.

Рис. 45

Ход решения задачи

Начертим произвольную трапецию с взаимно перпендикулярными диагоналями (лучше не равнобедренную и не прямоугольную, чтобы не принять какое-либо частное ее свойство за общее). Основаниями трапеции являются отрезок AD, равный а, и отрезок ВС, равный Ь. Отрезок ВК — высота трапеции (рис. 45).

Советы решающему задачу

Рис. 46

2. Изучите цель, поставленную в задаче: «Хорошо понять вопрос — значит уже наполовину ответить на него». Не начинайте решение задачи вслепую. Выберите сначала целесообразные направления поиска плана решения задачи, руководствуясь ее целью. Если это полезно, то видоизмените данную ситуацию.

Рис.47

Высказывая догадку, старайтесь сразу подкрепить ее рассуждениями. Догадка должна быть правдоподобной.

Ход решения задачи

Очевидно, что трапеция А В'С U также удовлетворяет условию задачи (рис. 46). Отрезок В' К' — высота этой трапеции. Заметим, что ВК Ф В'К'.

Значит, по указанным в условии данным можно построить не одну трапецию. Высоты этих трапеций различны.

Какие же значения может принимать высота трапеции, удовлетворяющей указанным свойствам? По-видимому, она будет определяться величинами а и Ъ.

Чтобы убедиться в этом, попробуем найти зависимость длины отрезка ВК от а и Ь:

а) отрезок ВК является высотой в А ARD с основанием а (ничего полезного);

б) отрезок ВК является высотой в А ABC с основанием Ь (аналогичный случай);

в) а нельзя ли найти (или построить) треугольник, в котором были бы и а, и ft, и ВК?

Попробуем.

На прямой AD отложим отрезок DDX равный ВС, и соединим точки С и Dx отрезком (рис. 47).

Тогда четырехугольник DBCD1 — параллелограмм, значит, CDX II BD. В A ACD1 имеем ADj = а + Ь, СН = ВК, ZACDl = ZAOD = 90°.

Итак, в A ACDX найдем зависимость длины отрезка СН от а и Ь.

Советы решающему задачу

3. Решайте вместо одной задачи другую, аналогичную данной. Составляйте задачи, родственные данной (более или менее общую, чем данная задача), и исследуйте эти задачи.

Рис. 48

Ход решения задачи

Сформулируем подзадачу:

«Какие значения может принимать высота, опущенная на гипотенузу, если гипотенуза равна а + 6?»

Что нам известно о высоте, опущенной на гипотенузу?.

В равнобедренном треугольнике высота совпадает с медианой. Это уже интересно!

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы, т. е. —-—.

(Медиана есть радиус описанной окружности.)

Построим на гипотенузе а + Ъ окружность (рис. 48).

Очевидно, высота любого прямоугольного треугольника с гипотенузой а + Ъ меньше или равна радиусу описанной окружности, т. е. —-— . Равенство достигается в том случае, когда A ACDX — равнобедренный, т.е. CD j =АС, откуда AC = BD (равные диагонали имеет равнобедренная трапеция). Итак, для любой трапеции имеем СН < —-— (равенство справедливо для равнобедренной трапеции).

Итак, первое «А нельзя ли... ? » привело нас к решению задачи «В прямоугольном треугольнике высота,опущенная на гипотенузу, меньше или равна половине гипотенузы».

Советы решающему задачу

Рис. 49

4. Учитесь «шлифовать» решение задачи, коротко и ясно оформляйте его. Старайтесь правильно мыслить. Обосновывайте каждый шаг в найденном вами решении.

Помните, что оформлять решение задачи можно по-разному: в виде связного рассказа, в виде рисунка или схемы, в виде таблицы и т. д.

Используйте для сокращения и четкости записи логико-математическую символику.

Выбирайте тот способ оформления решения задачи (и ее условия), который вам представляется более удобным.

Ход решения задачи

Стоп! У нас ведь сразу без дополнительных преобразований получились прямоугольные треугольники: A AOD и А ВОС. Это, пожалуй, проще. Высота трапеции складывается из высот A AOD и А БОС, т. е. СН = NO + OP (рис. 49). В АБОС:

Решение основной задачи

1. Проведем через точку О отрезок NPy равный отрезку ВК; ВК = NP = NO + OP (см. рис. 49).

2. В A AOD отрезок ОМ — медиана, Z AOD = 90° (по условию); следовательно, AD а ОМ = —- = — (радиус описанной окружности).

3. В любом треугольнике высота меньше или равна медиане, проведенной к той же стороне; значит,

Советы решающему задачу

5. Учитесь на задаче. Решив задачу, просмотрите все ее решение заново.

Изучите решение, проконтролируйте имеющиеся выкладки и обоснование.

Установите то, что полезно запомнить, что может пригодиться в дальнейшем.

Ход решения задачи

4. Аналогично шагам 2 и 3,

5. Так как

(согласно свойству сложения неравенств).

В решении основной задачи решающую роль сыграла родственная задача. Полезно запомнить, что:

а) для сравнения линейных величин удобно рассматривать их в одном треугольнике;

б) при решении удобно прямоугольный треугольник связывать с описанной (а иногда и вписанной) окружностью;

в) высота, опущенная на гипотенузу, меньше или равна половине этой гипотенузы;

г) высота трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями меньше или равна полусумме оснований, т.е. средней линии трапеции;

д) в равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.

Советы решающему задачу

6. Решение задачи — это ваша небольшая научно-исследовательская работа. Старайтесь при решении задачи почувствовать себя в роли ученого. Изобретайте новые решения и новые задачи, овладевая умением работать творчески. Старайтесь подойти к задаче и ее решению с разных сторон. Чаще задавайте себе вопрос: «А нельзя ли...» или «А что, если так...»

Ход решения задачи

Может ли данная задача породить новые задачи?

Прибегнем к «методу» «А нельзя ли...» или «А что, если так...»

1. А нельзя ли взять не трапецию, а параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями? Можно ли определить, какие значения принимает его высота?

2. А что, если данную задачу переформулировать так:

«Можно ли построить трапецию с взаимно перпендикулярными диагоналями, зная отношение ее оснований? »

Являются ли эта и данная задачи одним и тем же?

3. На доске была начерчена равнобедренная трапеция с взаимно перпендикулярными диагоналями. Часть рисунка стерли так, что осталось три точки: точка пересечения диагоналей и концы средней линии трапеции. Можно ли восстановить трапецию? А если трапеция неравнобедренная? А если...

Подведем итоги изученному.

Решение каждой задачи можно разделить на четыре основных этапа: изучение условия и цели задачи, составление плана решения задачи, оформление найденного решения, критический анализ результата решения задачи и отбор полезной информации.

Сформулируем для вас те полезные советы, которые мы неоднократно старались вам проиллюстрировать в этой книге.

На первом этапе процесса решения (этапе изучения условия и цели задачи) полезно действовать так:

1. Начинайте изучение условия задачи с тщательно выполненных наглядных рисунков, чертежей, таблиц или иллюстрированных схем, помогающих осмыслить задачу. Помните, что правильное графическое представление условия задачи означает четкое, ясное и конкретное представление о всей ситуации в целом.

2. Ясно представьте себе все элементы ситуации, обстоятельно выясните, какие из них заданы, известны, а какие являются искомыми, неизвестными.

3. Вдумайтесь в смысл каждого слова (символа, термина) в тексте задачи, постарайтесь выявить существенные элементы задачи, выделите на рисунке данные и искомые элементы нагядными условными обозначениями. Попытайтесь видоизменить расположение элементов задачи на рисунке или схеме (возможно, это поможет выявить существенное в задаче).

4. Попытайтесь охватить условие задачи в целом, отметить ее особенности, вспомнить, не встречались ли вы раньше с задачей, в чем-либо аналогичной данной.

5. Продумайте, однозначно ли сформулирована задача: не содержит ли условие задачи избыточных, недостающих, противоречащих друг другу данных.

6. Внимательно изучите цель, поставленную в задаче, выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом и с некоторыми ее элементами.

7. Предполагая возможность использования при решении задачи какой-либо из известных вам общих математических методов (метода уравнений, координатного или векторного метода и т. д.), постарайтесь выразить элементы задачи на языке соответствующего метода (составить уравнение, выразить данные и искомые в координатной или векторной форме и т. д.).

На этапе составления плана решения (этапе поиска решения задачи) используйте следующие рекомендации:

1. Попытайтесь отнести данную задачу к какому-либо типу (виду) задач, способ решения которых вам известен.

2. Помните, что цель задачи выступает как главный ориентир направления поиска решения. Проанализируйте цель задачи и попытайтесь применить к решению задачи тот или иной знакомый вам метод или прием.

3. Постоянно контролируйте разумность ваших попыток решить задачу, соотнося получаемые частные результаты с условием и целью задачи. Старайтесь ограничивать число пробных действий (мысленных или практических).

4. Попытайтесь видоизменить задачу, переформулировать ее условие, намеренно упростить условие (т. е. составить и попытаться решить задачу, аналогичную данной, но более простую), обобщить условие задачи (т. е. составить задачу более общую, чем данная), заменить понятия, связанные с задачей, их определениями.

5. Расчлените условие задачи на отдельные элементы, постарайтесь составить новую комбинацию этих элементов (быть может, в каком-либо сочетании с другими элементами, не рассматриваемыми в задаче).

6. Попробуйте разбить исходную задачу на серию вспомогательных задач, последовательное решение которых может привести к решению данной задачи; попробуйте составить частные задачи к отдельным элементам заданной ситуации, руководствуясь при этом целью основной задачи.

7. Рассмотрите предельные случаи отдельных элементов задачи, выясните, как это отразится на основной цели задачи.

8. Подвергните какой-нибудь из элементов задачи определенному изменению, установите, как отражается это изменение на остальных элементах задачи, попытайтесь высказать гипотезу, относящуюся к цели задачи, на основе наблюдаемых результатов изменения ее элементов.

9. Если решить данную задачу не удается, то отыщите в учебной (или популярной) литературе задачу, похожую на нее. Изучите внимательно это «готовое» решение и постарайтесь извлечь из него пользу для решения данной задачи.

На этапе практической реализации плана решения задачи во всех его деталях важно обратить внимание на необходимость выбрать такой способ оформленния решения, с помощью которого можно было бы зафиксировать решение в краткой и ясной форме, достаточной для того, чтобы иметь возможность (если это понадобится) полностью воспроизвести решение задачи.

При оформлении детального решения задачи важно также одновременно корректировать его правильность, соотнеся решение с условием и целью задачи.

На заключительном этапе процесса решения (этапе проверки правильности полученного решения, систематизации знаний и опыта) полезно действовать так:

1. Изучите найденное вами решение задачи. Сделайте грубую прикидку правильности результата решения, соотнеся его с условием задачи (и здравым смыслом). Проследите обоснованность каждого шага решения. Подумайте, нельзя ли решить задачу другим способом. Помните, что получение того же результата другим способом — лучшая проверка правильности решения.

2. Попытайтесь отыскать способ решения задачи более экономичный, чем найденный, более общий, более изящный и т. п. (новый способ решения задачи часто открывает новый путь решения аналогичных задач, обогащает опыт решающего задачу).

3. Исследуйте особые случаи решения задачи; соотнесите результат решения с предельными значениями отдельных ее элементов. Обобщите результаты решения задачи, подумайте, при решении каких задач их можно было бы применить.

4. Изучите еще раз саму задачу, способ ее решения и результат. Выявите то полезное, ради чего стоило решать эту задачу (что именно важно знать, уметь и помнить).

5. Обратите особое внимание на те теоретические положиния, особенности задачи и т. д., которые явились ключевыми для отыскания данного решения задачи (или других ее решений).

Задания для самостоятельной работы

Используйте данные вам практические советы при решении следующих задач.

9.1. В произвольном треугольнике ABC проведены высоты, основания которых соединены отрезками. Докажите, что высоты треугольника ABC являются биссектрисами образовавшегося треугольника AlBlC1 (рис. 50).

9.2. В треугольнике ABC (рис. 51) проведены высоты АК и ВН; точка О — центр описанного круга. Докажите, что ОС 1 КН.

9.3. В каком направлении нужно ударить шайбу S, чтобы она, ударившись о бортик площадки, отлетела в правый дальний угол ворот M (рис. 52)?

9.4. Чему равно значение выражения

при X = 73?

9.5. При каких натуральных значениях п уравнение пх3 + ху - 61л = 0 (с неизвестными X и у) имеет единственное решение — пару натуральных чисел?

Рис. 50

Рис. 51

Рис. 52

§ 10

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ

Если школьник в процессе своей учебной деятельности обычно работает над решением задачи, то ученый в процессе своей научной деятельности обычно работает над решением так называемой проблемы, которая также является задачей, но, конечно, более сложной.

Ученый решает задачу, важную для развития науки, техники и производства. Учащийся, решая задачу, учится мыслить и понимать основы математики в связи с ее простейшими применениями на практике (например, измерение, вычисление); вместе с тем — это первые его шаги на пути овладения любой профессией, приносящей пользу обществу.

Итак, работа ученого и учащегося очень похожа: и там и здесь идет познание нового; и там и здесь идет поиск неизвестных путей решения. Хочется, чтобы каждый из вас почувствовал себя в роли ученого, в роли первооткрывателя чего-то нового (пусть это новое известно ученым или учителю, но вам-то оно неизвестно!). Пусть вы не открываете новых законов природы, но вы учитесь их открывать.

Постараемся же в своей учебной работе быть похожими на ученого. Будем учиться решать нестандартные задачи, учиться думать, изобретать новые задачи или новые решения — будем овладевать умением работать творчески!

В этом нам помогут особые задачи, которые назовем проблемными. Как правило, для таких задач неизвестны не только решение и его обоснование, но и плохо определены либо данные, либо цель, а потому как сама задача, так и ее решение могут быть весьма содержательными и разнообразными. По существу, в этом случае мы будем иметь дело не с одной задачей, а с множеством задач.

Часто проблемную задачу, хотя и достаточно простую и определенную, можно рассматривать как ядро (ячейку) многих аналогичных задач.

В качестве первого и наиболее простого примера (изучайте сложное на простом!) рассмотрим следующую задачу: «Изучить свойства ромба».

Естественно, что эта задача окажется проблемной лишь при условии, что свойства ромба не изучались на уроках или по учебнику. Здесь четко определено, что дано — ромб. Очень плохо определена цель (но все же она есть) — изучить свойства ромба (какие? сколько? зачем?). Совсем не определено то, как изучать, на что опираться, как обосновать выявленные свойства ромба, т. е. не определено ни решение, ни его возможное обоснование.

В качестве второго примера возьмем известную уже задачу и ее возможные следствия: « Построить треугольник по данным трем серединам его сторон» (см. § 6). Какое множество задач может возникнуть в связи с этой задачей!

Самое важное для нас заключается в том, что проблемные задачи «окружают нас со всех сторон». Они только не сформулированы, не поставлены четко. Прежде всего их нужно обнаружить, «увидеть», а затем сформулировать. Отыскать такие задачи и сформулировать их не так трудно, как кажется на первый взгляд.

Практически текст почти каждой задачи школьного курса математики можно перефразировать так, чтобы получилась проблемная задача.

Для того чтобы создать серию задач из данной задачи — сделать ее проблемной, нужно лишь поразмыслить и использовать известный вам «метод» под названием «А нельзя ли...?»

Давайте вместе поразмышляем над какой-нибудь задачей, лучше всего над такой, которая кажется нам обычной, и даже известно ее решение.

Задача 1. Сократить дробь

Отметим сначала то, что нам известно в связи с этой задачей:

— мы знаем, что если числитель и знаменатель имеют общий делитель, то дробь сократима;

— мы знаем, что для сокращения дроби необходимо разложение на множители, и знаем различные способы такого разложения;

— мы знаем формулы сокращенного умножения и т. д.

Что мы можем извлечь из этих знаний? Что можно было бы еще узнать (и интересно было бы узнать) в связи с данной задачей? Какие новые задачи можно было составить самим, исходя из данной задачи?

Будем думать вместе и отвечать на эти вопросы последовательно, вопросом на вопрос, используя известный нам метод «А нельзя ли...?».

1) Сначала решим эту задачу. Имеем

Таким образом, получили

Любопытно!

Вот вам и нельзя (!) сокращать показатели степеней. Значит, к известным тождествам можно добавить еще одно:

Или нельзя? Вот и возникла проблемная задача!

2) А нельзя ли найти еще аналогичные любопытные формулы?

Вот вам и новая проблемная задача!

3) При разложении на множители способом вынесения общего множителя за скобки мы пользуемся распределительным законом умножения относительно сложения (или вычитания), т. е. х(у ± z) = ху ± xz (он справедлив для любых X, у и z).

А нельзя ли получить распределительный «закон» сложения относительно умножения: х + yz = (х + у)(х + z)? При X + у + z = 1 это равенство выполняется. Проверим:

Попробуйте-ка найти еще значения х, у и Z, при которых справедлив этот «закон». А нельзя ли таким образом открыть новые «законы» ?

Опять проблемная задача!

4) Мы знаем формулы сокращенного умножения. А нельзя ли графически их проиллюстрировать?

Попробуем это сделать (см. рис. 53 и 54). Начнем с самого простого:

Заманчиво!

А нельзя ли вывести таким образом новые формулы? Например, (а + Нс + с()2 = ? И т.д.

Опять проблемная задача!

5) Нельзя ли таким же способом проиллюстрировать формулы куба суммы (a + b)3 = а3 -h 3a2b + 3ab2 + b3, (a + b + с)3 = ? И т. д. Новая проблема! При этом, наверное, придется «выходить в пространство» (рассматривать не квадрат со стороной а + b + с, а куб с гранью (а + b + с). А может быть, удастся получить новые формулы?

6) Графическая иллюстрация формул сокращенного умножения получается очень хорошо. А нельзя ли использовать этот способ при разложении на множители?

Возьмем самую простую задачу. Разложить на множители X2 + Ьх + 6.

Изобразим данный трехчлен графически (рис. 55).

Рис. 53

Рис. 54

Рис. 55

Здесь:

X2 — площадь квадрата со стороной х; X — площадь прямоугольника со сторонами х и 1 ; Ъх — это пять площадей таких прямоугольников; 6 — это шесть площадей единичных квадратов. Итак, данный трехчлен представлен в виде площади прямоугольника со сторонами (х + 2) и (х + 3), т. е.

Интересно! Значит,

Используя графическую иллюстрацию (рис. 56), это равенство можно представить как площадь прямоугольника со сторонами х + 6 и х + 9.

А если взять трехчлен посложней? Например, 2х2 +17х + + 30 (рис.57)? Итак,

7) Можно ли таким же способом разложить на множители любой квадратный трехчлен? Новая проблема!

Нельзя ли этот способ распространить на другие задачи на разложение на множители?

Впрочем, пора остановиться и перейти к новой «проблеме».

Вам хорошо известны геометрические задачи на построение, решаемые с помощью циркуля и линейки. Например, задача о построении перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную точку, или задача о построении середины отрезка — казалось бы, какие тут могут быть проблемы?

Рис.56 Рис.57

А если у вас под рукой только один из этих инструментов? Сможете ли вы решить эти задачи? Вот и проблема!

Оказывается, что любую задачу, которая решается с помощью циркуля и линейки, можно решить с помощью одного только циркуля! Конечно, если в задаче требуется провести прямую, то тут без линейки не обойтись. Однако если нужно построить некоторую точку, отвечающую определенным свойствам, то линейка оказывается уже ненужной.

Соответствующая теорема была доказана датчанином Морош и итальянцем Москерони более 200 лет назад.

А нельзя ли использовать одну только линейку для решения такого типа задач?

Оказывается, что это справедливо далеко не для всех задач. Например, нельзя найти центр нарисованной окружности. Впрочем, если в плоскости уже нарисована некоторая окружность и указан ее центр, то с ее помощью можно выполнить любое построение одной линейкой при условии, что такое построение возможно с помощью циркуля и линейки.

Познакомимся теперь с задачей, которая «решается сама», а от решающего требуется только посильная помощь.

Задача 2. Используя только линейку без делений, опустить из данной точки А перпендикуляр на диаметр CD данной окружности (рис. 58), центр которой не указан.

Решение. Начиная решение этой задачи, напомним, что нам разрешено пользоваться только одним инструментом — линейкой без делений (не забудьте, что нужен также карандаш!).

Пользуясь такой линейкой, можно выполнять единственную работу: соединять две точки отрезком.

Теперь приведем решение:

1) На рис. 58 первоначально имеются только три отдельные точки: данная точка А и концы диаметра — точки С и D. Соединяем их отрезками — другого ничего сделать нельзя!

Рис. 58

2) Появились новые пары точек — соединяем их отрезками прямых MN, CN, DM.

3) Возникла новая точка К и новая пара точек: А и К. Соединяем их отрезком, продолжив его до пересечения с диаметром.

Предполагаем, что AL 1 CD. Если это так, то задача решена! Но так ли это? Убедитесь в этом сами! Не правда ли, красивая задача?

А вот задача на построение только одним циркулем.

Задача 3. На плоскости даны две точки: А и В. Одним циркулем (без линейки) построить середину отрезка AB.

Решение. Используя только циркуль, мы можем выполнять следующие операции: из данного центра провести окружность данного радиуса, найти пересечение двух окружностей. Комбинируя эти операции, решим исходную задачу.

Сначала удвоим отрезок AB, т.е. построим такую точку С на прямой AB, что AB = ВС. Для этого проведем окружность с центром В и радиусом г = ВА.

Затем, начиная от точки А, отметим на этой окружности последовательно такие точки Р, Q, С, что АР = PQ = = QC = г (рис. 59). Треугольники АВР, PBQ и QBC — равносторонние, поэтому угол ABC равен 180°. Следовательно, точка С лежит на прямой AB и AB = ВС.

Теперь, используя точки А, В и С, найдем середину отрезка AB. Проведем окружность с центром в точке С и радиусом CA = 2 г. Отметим точки L и M пересечения этой окружности с окружностью с центром А и радиусом г=АВ. Далее, проведем две окружности с центрами L и M и радиусом г=AB. Эти окружности пересекаются в точке а и еще в одной точке D.

Докажем теперь, что построенная точка D и есть середина отрезка AB. В самом деле, точки L и M симметричны

Рис. 59

относительно прямой АС, а точка D равноудалена от точек L и М, т. е. лежит на прямой АС.

Рассмотрим теперь два равнобедренных треугольника: ALD и CAL. Они подобны друг другу, ведь у них при основаниях общий угол А. Запишем пропорцию AD :AL=AL : CA, или AD : r=r : 2г. Отсюда получаем, что 2AD = г = AB.

Надеемся, что на этих примерах мы показали вам, что «золотые россыпи» задач лежат совсем рядом, нужно лишь обратить внимание на их поиск. Закончим словами Д. Пойа: «Ваш ум подобен сумке. Когда вы думаете, то трясете сумку до тех пор, пока не выловите из нее то, что вам нужно!». Так не ленитесь трясти свою «сумку», друзья!

Задания для самостоятельной работы

10.1. Как можно решать задачу, в которой исследуются свойства ромба?

10.2. Составьте свою задачу, похожую на задачу об исследовании свойств ромба, и решите ее.

10.3. Двое играют в игру: первый называет 2 или 1; второй (прибавляя 1 или 2 по своему желанию) называет 2 или 3, а может быть, 3 или 4 и т. д. (по очереди). Выигрывает тот, кто назовет 10. Как нужно играть, чтобы выиграть наверняка? Какие другие задачи скрыты в данной задаче? Составьте соответствующую серию задач, используя метод « А нельзя ли... ?».

10.4. Какой формы лист необходим для склеивания конверта? Рассмотрите эту ситуацию как проблемную. Составьте серию задач, связанных с данной задачей. По каким направлениям можно это сделать? Назовите их, посоветуйтесь с учителем.

10.5. Во время войны польская эскадрилья получила приказ совершить боевой вылет на немецкие позиции. Подробности приказа находились в конверте, который командир эскадрильи должен был вскрыть между часом и двумя ночи, в тот момент, когда минутная стрелка совместится с часовой. Определите точно этот момент.

Какие другие задачи скрыты в данной задаче? Составьте соответствующую серию задач, используя метод «А нельзя ли...?».

10.6. Даны прямая и две точки, лежащие по разные стороны от нее. Постройте треугольник, для которого данные точки были бы основаниями двух высот, а третья высота лежала бы на данной прямой. Рассмотрите эту задачу как проблемную. Составьте серию задач, связанных с данной задачей.

10.7. Вы хотите узнать номер моего телефона, задавая мне вопросы, на которые я буду отвечать только «да» или «нет». Придумайте способ, гарантирующий успех за наименьшее число вопросов (считайте, что телефонный номер состоит из произвольных пяти цифр).

Составьте серию задач, связанных с данной задачей. Какие задачи можно составить, если рассматривать эту задачу как проблемную?

10.8. Как известно, используя циркуль и линейку, можно построить к окружности касательную, проходящую через точку, не принадлежащую этой окружности. А нельзя ли выполнить это построение, используя только линейку?

Решите эту задачу, считая, что центр окружности задан.

10.9. Решите предыдущую задачу, пользуясь только циркулем. Естественно, нужно построить не сами касательные, а точку касания по заданным окружности, ее центру и точке, не принадлежащей окружности.

10.10. Вернитесь к задаче 2, которая была сформулирована в тексте § 10 и найдите решение для всех возможных случаев расположения точки А.

§ 11

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

Здесь разговор пойдет на ту же тему — «о золотых россыпях задач». Если до сих пор «золотые залежи» мы усматривали в самих задачах (которые рождали новые задачи), то теперь обратимся к реальному миру, к миру предметов и явлений, которые окружают нас.

Задача 1. Нам нужно уплатить за покупку 1900 р. Однако у нас имеются только двухсотрублевые денежные знаки, а у кассира только пятисотрублевые.

Сумеем ли мы расплатиться без дополнительного размена? Нельзя ли установить способ расплатиться, если нам нужно заплатить п р. (л > 1000 р.) и у кассира имеются деньги только достоинством m р., а у нас — только достоинством k р.? Какое минимальное число денежных знаков должен иметь кассир для того, чтобы произвести расчет?

Это задача для вас. Вам нужно ее решить и усмотреть скрытые в ней другие ситуации. Как можно дальше развить эту проблему? Какие еще вопросы можно поставить?

Сумели ли вы решить эту задачу в общем виде или же справились лишь с ее конкретным вариантом: расплатились за покупку стоимостью 1900 р.?

Особенность этой задачи заключается в том, что в ходе ее решения приходится переходить от реальной ситуации к ее математическому описанию, или, как говорят, строить ее математическую модель. Такие задачи часто называют прикладными.

Очень часто при решении практической задачи удается, внимательно изучив условие задачи (живое созерцание), построить ее математическую модель, на этой модели осуществить решение задачи (перейти к абстрактному мышлению), а затем перевести результат решения на язык исходной ситуации (сделать практический вывод). В этом и состоит могущество математического метода познания природы — широкая прикладная направленность математики.

Уметь решать прикладные задачи — значит уметь применять математику на практике. Это важное умение, которое очень пригодится вам в дальнейшем, когда вы начнете работать.

Рассмотрим решение нескольких прикладных задач, чтобы вы начали учиться самостоятельно применять математику на практике.

Задача 2. На двух заводах (I и II) ведутся работы по производству автомобилей типа А и В. Эта работа выполняется на каждом заводе в течение не более чем 30 ч в неделю. Первый завод производит части автомобилей типа А за 10 ч и части для типа В — за 5 ч. На втором заводе сбор-

ка машин типа А проводится за 5 ч и типа В — за 10 ч. Прибыль при продаже автомобиля типа А равна 200 ден. ед., а типа В — 300 ден. ед. Сколько автомобилей каждого типа следует производить еженедельно для получения максимальной прибыли?

Первый этап решения начнем с изучения условия. Обозначим через X и у число автомобилей типа А и В соответственно, выпускаемых еженедельно. Запишем данные в следующую таблицу:

Тип автомобиля

Заводы

Прибыль

Число автомобилей в неделю

I

II

А

10 ч

200

X

В

5 ч

10 ч

300

У

По условию, время, затраченное на изготовление автомобилей типа А и В, должно быть не больше 30 ч в неделю.

Переведем теперь условие задачи на математический язык. Имеем

(1)

Система неравенств (1) и есть математическая модель данной ситуации. Она показывает, что нужно отыскать такие х и у, которые удовлетворяли бы системе (1).

На втором этапе решения заменим систему ( 1 ) более простой, ей эквивалентной:

и решим ее графически (рис. 60).

Рис. 60

Получили четырехугольник ABCD. Таким образом, все возможные варианты числа изделий (х, у) можно представить в виде точек этого четырехугольника. Найдем координаты его вершин: А(0; 0), В(0; 3), С(2; 2), D(3; 0).

Теперь, на этапе практической реализации плана решения задачи, осталось выяснить, для каких же пар чисел (х;у) — точек этого четырехугольника — сумма (х + у) будет наибольшей.

Для этого построим на одном чертеже графики уравнений:

х + у=1,х + у = 2,х + у = 3,х + у = 4

и четырехугольник ABCD (рис. 61).

Из рис. 61 видно, что в точке С (2; 2) сумма х +у принимает наибольшее значение: 2 + 2=4. Для других точек четырехугольника ABCD значение суммы х + у меньше 4 (например, для точек отрезка BD она равна 3).

Практический вывод:

а) для получения максимальной прибыли при данных условиях необходимо еженедельно производить по два автомобиля каждого типа;

б) нетрудно рассчитать и прибыль: 200 • 2 + 300 • 2 = 1000.

Полезно отметить, что при решении этой практической задачи мы одновременно сумели решить интересную математическую задачу:

Найти наибольшее значение выражения 200jc + 300у, если переменные х и у удовлетворяют условиям:

Таким образом, решение практических задач часто приводит к развитию теории.

Заметим, что в действительности завод выпускает еженедельно значительно большее число автомобилей. Однако для ознакомления с методом решения подобных задач

Рис. 61

достаточно рассмотреть задачу с намеренно упрощенными данными. Здесь авторы следуют известному принципу «Изучай сложное на простом примере!» и советуют вам упрощать условия трудных задач, для того чтобы успешнее осмыслить задачу.

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача 3. Какими правильными равными многоугольниками можно сплошь покрыть плоскость (при этом каждый многоугольник находится вне другого, а соседние многоугольники имеют одну общую сторону)?

Приведем решение задачи.

а) Пусть плоскость можно покрыть некоторыми правильными я-угольниками и при этом в одной вершине сходятся m углов.

б) Используя теорему о сумме величин углов многоугольника, заключаем, что величина внутреннего угла правильного многоугольника равна-.

в) Так как в одной вершине сходятся m углов, то

г) Преобразуем это равенство, учитывая, что п, m — натуральные числа и п > 2:

(1)

д) Чтобы найти значения тил, выделим из дроби целую часть:

Тогда равенство ( 1 ) примет вид

е) Для того чтобы m принимало целые положительные значения, необходимо, чтобы дробь-- была целым положительным числом; это возможно либо если число п е N четное и 2 < п < 6, т. е. п = 4 или п = 6, либо же п нечетное и равное 3.

ж) Практический вывод. Плоскость можно покрыть правильными треугольниками, четырехугольниками (квадратами), шестиугольниками. Поэтому для покрытия полов часто применяют керамические плитки, форма которых является правильным треугольником, квадратом, правильным шестиугольником.

з) Мы рассмотрели вопрос о покрытии плоскости правильными гс-угольниками. Можно ли покрыть плоскость правильными равными п-угольниками?

Существует ли такой пятиугольник, которым можно заполнить плоскость?

Тот же вопрос для пятиугольника, никакие две стороны которого не параллельны.

Эти вопросы мы адресуем вам. Ответив на них, вы обнаружите новые возможности покрытия пола различными паркетами или керамической плиткой.

Надеемся, вы решили задачу 10.3, Итак, как нужно играть на выигрыш? Кто выигрывает — начинающий игру или его партнер? Вы ответили на эти вопросы? (Приведем ответ: начинающий игру выигрывает, он называет 1, а затем 4, 7 и 10.) Как составить правила этой игры при счете до 12, до 20? Какую еще аналогичную данной игру можно изобрести и каковы будут ее правила, приводящие к выигрышу? Ответы на эти вопросы у вас уже должны быть.

В жизненной практике часто встречаются задачи игрового характера. Таковы, например, многие спортивные задачи, задачи, возникающие в военном деле, и т. д.

Попробуйте решить следующую игровую задачу.

Задача 4. Для игры нужны прямоугольный лист бумаги и какие-либо фигуры одинаковой и симметричной формы, например кости домино. Количество фигур должно быть достаточным, чтобы покрыть весь лист бумаги. Играют двое. Они по очереди кладут фигуры в любых положениях на любое свободное место листа бумаги до тех пор, пока их класть будет некуда. Передвигать положенные фигуры не разрешается. Выигравшим считается тот, кто положит предмет последним.

Найти способ ведения игры, при котором начинающий игру обязательно выигрывает.

Для многих прикладных задач характерна еще одна особенность. При решении их мы часто бываем ограничены в средствах решения (нередко не оказывается под рукой нужного инструмента или возникает естественное препятствие, которое не дает возможности использовать известный способ решения). С примерами таких задач вы уже познакомились в § 3. Вот еще несколько таких задач (решите их).

Задача 5. Построить биссектрису угла, вершина которого не умещается на чертеже.

Задача 6. Используя только циркуль, разделить отрезок на п равных частей.

Задания для самостоятельной работы

11.1. Долго враждовали между собой рыцари одного древнего королевства. Наконец всем это надоело и обе стороны согласились на перемирие. Когда рыцари из двух враждующих сторон собрались за круглым столом, оказалось, что число тех из них, справа от которых сидит враг, равно числу тех, справа от которых сидит друг. Докажите, что число собравшихся за столом делится на 4.

11.2. Из точки С квадратного бильярда пущен шарик параллельно его диагонали. Найдите такие точки на бильярде, что если из них одновременно с первым пустить с той же скоростью и в том же направлении второй шарик, то они столкнутся.

Попробуйте решить аналогичную задачу для бильярда прямоугольной формы и подумайте, какие еще другие ситуации скрыты в этой задаче. Как можно дальше развить эту проблему? Какие еще вопросы можно поставить?

11.3. Известно, что два проводника с током при последовательном включении в цепь имеют общее сопротивление, равное а (в омах), а при параллельном включении — сопротивление, равное b (в омах). Можно ли определить сопротивление каждого проводника, если у нас нет омметра?

11.4. Можно ли покрыть шашечную доску размером 10x10 плитками размером 4x1?

11.5. Пользуясь одной линейкой, опустите перпендикуляр из данной точки А на диаметр данной окружности.

11.6. Приведите свои примеры задач (или отыщите в литературе), которые вы отнесли бы к прикладным задачам.

11.7. Фабрика по выпуску туфель для мальчиков и девочек применяет сырье двух видов, запасы которого ограничены. За 1 ч фабрика может расходовать 100 ед. сырья первого вида и 60 ед. второго вида. Для изготовления за 1 ч пары туфель для мальчиков необходимо 3 ед. сырья первого вида и 2 ед. — второго; для изготовления пары туфель для девочек расходуется только 2 ед. сырья первого вида. Известно, что каждая пара туфель для мальчиков дает при продаже 5 ден. ед. дохода, а пара туфель для девочек — 3 ед. Сколько пар туфель для мальчиков и сколько пар туфель для девочек надо изготовить за 1 ч фабрике, чтобы получить наибольшую прибыль?

§ 12

ПОПРОБУЙТЕ РЕШИТЬ ЭТИ ЗАДАЧИ

Предложенные здесь задачи различны не только по содержанию, но и по трудности их решения. Впрочем, трудна ли данная задача или легка; судить может лишь тот, кто решал ее. Может случиться и так, что задача, казавшаяся нам трудной, будет решена кем-то из вас без особого труда (тогда честь и слава вам!). Если учитель предоставил свободу выбора вам, то пользуйтесь этой свободой в полной мере; выбирайте задачу по душе и готовьтесь к бою. Задачи расположены без какой-либо определенной системы. Как ни удивительно это звучит, в этом «беспорядке» заложена определенная система обучения решению задач. Продумайте это утверждение.

Иногда могут встретиться задачи, при решении которых необходимо знать учебный материал по курсу математики 10 —11-х классов. Впрочем, почти для всех этих задач, за исключением стереометрических, существуют такие решения, для нахождения которых вам будет достаточно имеющихся у вас знаний (может не

хватить опыта и умения). В том случае, когда вам неизвестны эти решения, это не значит, что они не могут быть найдены вами. Если условие задачи вам понятно, принимайтесь смело за ее решение. В сомнительных случаях обращайтесь к учителю. Хотя явно здесь приведено 60 различных задач, но невозможно подсчитать, сколько интересных задач можно составить, видоизменяя условия данных задач или используя метод «А нельзя ли... ?». Помните об этом и испытайте себя в роли автора новой задачи. Желаем вам удачи!

Задания для самостоятельной работы

12.1. Какое четырехзначное число нужно приписать справа к числу 400, чтобы получить число, являющееся полным квадратом?

12.2. Докажите, что три многочлена

не могут одновременно принимать положительные значения при одних и тех же значениях х и у.

12.3. Дан треугольник ABC с прямым углом С; точка M — середина гипотенузы. На отрезке СМ, как на диаметре, построена окружность, пересекающая стороны треугольника С В и CA в точках РиК соответственно. Предположим, что точки В и А закреплены, а точка С перемещается в плоскости так, что величина угла ABC остается равной 90°. Ответьте на вопросы:

а) как изменяется отрезок KP;

б) какие линии описывают точки К и Р при движении точки С?

12.4. На оси абсцисс Ох взяты точки A, B,D и E c координатами (2; 0), (8; 0), (4; 0), (-4; 0) соответственно. Пусть точка M принадлежит окружности диаметра DE, но не принадлежит оси Ох, и пусть К — точка пересечения этой окружности с отрезком МБ.

Докажите, что:

а) треугольник ОАМ подобен треугольнику ОВМ;

б) точки М, К, О, А принадлежат одной окружности (О — начало координат).

12.5. Разложите алгебраическое выражение

на линейные множители.

12.6. Имеется конечное число фигур (квадратов, треугольников, кругов). Пару фигур зачеркивают и заменяют одной из данных фигур по следующему правилу:

Докажите, что форма оставшейся фигуры не зависит от порядка выбора пар для очередного зачеркивания. Найдите способ наиболее быстрого нахождения формы оставшейся фигуры.

12.7. Очевидно, что

Докажите, что других натуральных чисел, удовлетворяющих условию х3 + у3 + z3 = (х + у + г)2, не существует.

12.8. Премировано а участников областной математической олимпиады, Ъ участников городской олимпиады и с участников районной олимпиады. Найдите значения а, fr, с, если известно, что каждое из этих чисел является простым, а все они связаны соотношением а + 8 = Ь(Ь + с).

12.9. Какую линию образуют центры прямоугольников, вписанных в данный треугольник ABC так, что две вершины каждого прямоугольника лежат на стороне AB, а две другие — на других сторонах треугольников?

12.10. При делений некоторого натурального числа на 45 получился остаток, равный квадрату частного. Найдите делимое.

12.11. Известно, что [ABI = 3, jÄC | = 4, AB 1 ÂC^ Найдите: |БС|; I АВ| +1 AC I; 12|АВ|+12 |BC|-12| AC |.

12.12. а) Дан произвольный четырехугольник. Докажите, что плоскость можно покрыть без пропусков и наложений четырехугольниками, равными данному.

б) Существует ли такой пятиугольник, копиями которого можно замостить плоскость?

в) Дайте ответ на тот же вопрос для пятиугольника, никакие две стороны которого не параллельны.

12.13. Найдите значения иии такие, чтобы функция f(x) = -X2 + их + и принимала при х = 1 наибольшее значение, равное 4. Постройте график этой функции.

12.14. Найдите трехзначное число, равное сумме всех двузначных чисел, которые можно составить с помощью цифр искомого числа.

12.15. Пусть ABCDEF— выпуклый шестиугольник. Известно, что следующие отрезки параллельны:

ВС II FE II AD, DC II AFWBEn ED \\ BA.

Докажите векторным методом, что С F \\ ВА.

12.16. Функция/(jc)= — обладает весьма интересным свойством: f(f(x)) = х. Попробуйте отыскать другие функции, обладающие этим свойством.

12.17. Все целые числа произвольным образом разбиты на два множества. Докажите, что хотя бы в одном из этих множеств найдутся такие три числа, что одно из них есть среднее арифметическое двух других.

12.18. Решите графически уравнение

12.19. На плоскости даны пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены «красным» или «синим» отрезком; при этом никакие три отрезка не образуют треугольника со сторонами «одногоцвета».

Докажите, что:

а) из каждой точки выходят два «красных» и два «синих» отрезка;

б) «красные» отрезки образуют замкнутую ломаную линию, проходящую через все эти точки.

12.20. Докажите, что число q кратно 10 при всяком целом неотрицательном п.

12.21. Докажите, что если — —несократимая дробь, то дробь

также несократима.

12.22. Город расположен на берегу реки, пляж находится на расстоянии s км от города против течения реки. Какое максимальное время нужно затратить для проезда на катере до пляжа и обратно и на ожидание катера, если техническая скорость катера v (км/ч), скорость течения реки vx (км/ч) и стоянка у пристани не более t минут?

12.23. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 2 и 4%. Из этого лома получается сплав, содержащий 2,5% никеля. Выразите зависимость (формулой и графиком) между массами лома одного и другого сорта, необходимыми для приготовления сплава.

12.24. Одно из оснований трапеции равно х, а другое равно 3. Выразите через х расстояние между серединами диагоналей. Постройте график полученной функции. Установите, при каком значении расстояние между серединами диагоналей равно 1.

12.25. Отрезки AB и CD — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Точка M движется по полуокружности, которая не содержит точки D. Из точки D опущены перпендикуляры DE J MA и DP 1 MB. Какую линию образуют точки пересечения диагоналей четырехугольника DEMP в процессе движения точки М?

12.26. Внутри данного угла отмечены две точки: А и В. Постройте равнобедренный треугольник так, чтобы его вершина находилась на одной стороне угла, основание треугольника — на другой стороне угла, а боковые стороны проходили через точки А и В.

12.27. Окружность касается извне стороны равностороннего треугольника и «катится» по нему без скольжения. Сколько полных оборотов совершит эта окружность к моменту возвращения в исходную точку, если длина стороны треугольника равна длине окружности? Сколько оборотов сделает при тех же условиях окружность, если она «катится» по сторонам ромба?

12.28. Очевидно, что 3 + 1,5 = 3 • 1,5. Найдите другие числа, обладающие этим свойством.

12.29. Составьте из цифр от 0 до 9 пять двузначных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.

12.30. Можно ли ходом шахматного коня попасть из левого нижнего угла шахматной доски 8 х 8 в правый верхний угол, побывав на каждой клетке доски ровно один раз?

12.31. Имеется 12 шаров одинакового диаметра и внешне неотличимых друг от друга. За исключением одного шара, массы шаров одинаковы. Тремя взвешиваниями на рычажных весах найдите этот шар.

12.32. Бактерии имеют такой закон развития: каждая бактерия живет один час и каждые полчаса порождает новую бактерию (всего две бактерии за свою жизнь). Сколько бактерий будет через t часов?

12.33. В городе N имеется 10 000 телефонов с четырехзначными номерами. В центральном районе города — более половины всех телефонов. Докажите, что хотя бы один из номеров телефонов центрального района равен сумме номеров двух других телефонов центрального района.

12.34. Точка А находится внутри шести окружностей. Докажите, что центр хотя бы одной окружности лежит внутри какой-либо из остальных.

12.35. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Известно, что высоты треугольника пересекаются на этой окружности. Найдите угол при основании треугольника.

12.36. В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк, в его вершинах — собаки. Волк может справиться с одной собакой, две собаки справляются с волком. Скорость бега любой собаки равна 1,5 скорости бега волка. Докажите, что у собак существует возможность не выпустить волка за границы поля.

12.37. Даны равенства:

Как записать в общем виде закон, который в них проявляется? Какую задачу можно сформулировать в связи с этим законом? Найдите все двузначные числа, обладающие этим свойством.

12.38. Докажите, что если ABCD — прямоугольник, то для любой точки M справедливо соотношение

12.39. На сторонах некоторого четырехугольника построены квадраты. Центры квадратов соединены отрезками, в результате чего получился другой четырехугольник. Середины диагоналей исходного и полученного четырехугольников соединены отрезками. Установите вид последнего четырехугольника.

12.40. В круге проведены два радиуса. Постройте хорду, делящуюся ими на три равные части.

12.41. Плоскость покрыта сеткой квадратов. Можно ли построить правильный треугольник, вершины которого находились бы в углах этой сетки?

12.42. Найдите действительные решения системы уравнений

12.43. Найдите все решения системы уравнений

и изобразите их в координатной плоскости.

12.44. Докажите двойное неравенство

(а и Ъ — действительные положительные числа). Какие практические приложения может иметь это неравенство?

12.45. Сосуд, имеющий форму полушара, наполнен водой, а затем наклонен на угол, равный 45°. Какая часть воды останется в сосуде?

12.46. Используя векторы, докажите, что высоты треугольника (или прямые, которым они принадлежат) пересекаются в одной точке.

12.47. Середины сторон прямоугольника соединены отрезками. Определите вид полученной фигуры.

12.48. Постройте параллелограмм по серединам четырех его сторон. Можно ли построить ромб по четырем серединам его сторон? Нельзя ли построить ромб по серединам трех его сторон?

12.49. Тысяча точек являются вершинами выпуклого тысячеугольник, внутри которого расположено 500 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезан на треугольники, вершинами которых являются только данные 1500 точек. Сколько треугольников получится?

12.50. Длины сторон одного равностороннего треугольника равны р, k, q, а другого — р', k\ q'. Известно, что

Могут ли эти треугольники быть подобными?

12.51. Вычислите значение выражения

если известно, что

12.52. Составьте формулу, определяющую функцию

12.53. Движение ф не имеет неподвижных точек, т. е. точек, отображающих при движении ф на себя. Имеет ли неподвижные точки композиция ф о \|/, т. е. два движения ф, выполненные последовательно?

12.54. В прямоугольной системе координат прямая задана уравнением ах + by + с = 0. Найдите расстояние от начала координат до этой прямой.

12.55. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

12.56. Для каких натуральных л числа л5 + л + 1 и л11 + л + 1 являются простыми?

12.57. Из целых чисел от 1 до Зл выбрали л + 2 каких-то чисел. Докажите, что при л > 1 среди выбранных чисел непременно найдутся два таких, разность между которыми больше л, но меньше 2л.

12.58. Упростите выражение

12.59. Докажите, что если

12.60. Чему равно значение выражения

при а = 7?

§ 13

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ

Задачи, предложенные в этом параграфе, распределены по классам и расположены в соответствии с порядком прохождения учебного материала. Однако эти задачи отличаются от тех, что вы привыкли решать на уроках. Надеемся, что для их решения вы успешно будете применять советы, полученные в этом пособии.

Пусть эти задачи послужат для закрепления ваших новых умений.

Задачи для 7-го класса

1. Докажите, что хотя бы у двух учеников вашей школы совпадают день и месяц рождения.

2. Докажите, что при любом нечетном п > 3 произведение

делится на п.

3. Машинист пассажирского поезда проехал туннель за 7 мин 30 с, а его коллега, водивший товарные поезда, проехал тот же туннель за 9 мин 30 с. Скорость пассажирского поезда на 4 м/с больше, чем товарного. Какова длина туннеля?

4. Выясните, существуют ли натуральные числа, обладающие следующими свойствами: остаток от деления такого числа на 3 равен 1; на 4 равен 2; на 5 равен 3; на 6 равен 4.

Если такие числа существуют, то укажите наименьшее из них, обладающее всеми нужными свойствами.

5. Известно, что один угол в 4 раза больше другого и на 40° больше его. Являются ли эти углы смежными?

6. Докажите, что в равнобедренном треугольнике имеются две равные медианы. Сформулируйте обратное утверждение и докажите его. Объедините оба утверждения одно предложение.

7. В равнобедренном треугольнике ABC с вершиной А точки PnR лежат на стороне АС, а точка Q — на AB (рис. 62). При этом АР = PQ = QR = RB = ВС. Найдите угол А.

8. Постройте равнобедренный треугольник, если угол при его вершине равен данному углу, а высота, опущенная на боковую сторону, равна данному отрезку.

9. Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника проведены перпендикуляры к боковым сторонам треугольника. Докажите, что сумма этих перпендикуляров равна высоте, опущенной на боковую сторону треугольника.

10. Постройте на плоскости окружность, касающуюся двух данных различных параллельных прямых и данной окружности этой же плоскости.

11. Какими цифрами следует заменить а и Ь, чтобы выполнялось равенство (а + a) + S(b + b) = aa + bb?

12. Найдите все такие числа аиЬ, для которых выполняется равенство а2 - Ь2 = а + Ь.

13. Докажите, что удвоенное произведение произвольного натурального числа и числа, следующего за ним, на 1 меньше суммы квадратов этого числа и числа, следующего за ним.

14. При каких целых х выражение

является целым числом?

15. Какие целые значения принимает дробь

если X и у — натуральные числа?

Рис. 62

Задачи для 8-го класса

1. Дан произвольный четырехугольник ABCD; точки M, N,P,Q — середины сторон AB, ВС, CD,AD. Докажите, что MNPQ —параллелограмм.

2. В произвольном выпуклом пятиугольнике вершины и стороны пронумерованы в порядке обхода по часовой стрелке. Середины первой и третьей, а также второй и четвертой сторон соединены отрезками. Затем середины этих двух отрезков также соединены отрезком. Найдите длину последнего отрезка, если длина пятой стороны равна а.

3. Какую фигуру образуют, пересекаясь, биссектрисы внешних углов прямоугольника?

4. Даны пять прямых, на одной из которых отложены два равных между собой отрезка. На каждой прямой отложите два равных между собой отрезка, пользуясь только линейкой и угольником без делений.

5. Разбейте произвольный четырехугольник на две равновеликие части прямой, проходящей через любую его вершину.

6. Вычислите длину отрезка, который параллелен основаниям трапеции, заключен между ее боковыми сторонами и делит трапецию на равновеликие трапеции, если основания трапеции равны а и fr.

7. На продолжениях сторон AB, ВС, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки А., В., С., D1 так, что ВВ1 = AB, ССХ = ВС, DDX = CD жААх = DA. Докажите, что площадь четырехугольника A1BlClD1 в 5 раз больше площади четырехугольника ABCD.

8. Средние линии треугольника образуют другой треугольник, около которого описана окружность. Найдите ее радиус, если радиус окружности, описанной около данного треугольника, равен R.

9. Докажите, что квадрат медианы треугольника равен полусумме квадратов заключающих ее сторон без квадрата половины третьей стороны.

10. Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, лежат на одной прямой.

11. Докажите, что прямая, содержащая середины двух параллельных хорд окружности, проходит через ее центр.

12. Из точки M проведены касательные MA и MB к окружности с центром в точке О. Докажите, что:

а) касательные MA и MB образуют равные углы с хордой AB;

б) отрезки MA и MB равны;

в) прямая МО перпендикулярна хорде AB;

г) прямая МО пересекает хорду AB в ее середине.

13. Используя векторы, докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины.

14. Дайте векторное истолкование ситуации, описанной в басне Крылова «Лебедь, рак и щука».

15. Корабль держит курс (по компасу) на восток со скоростью !7j. Дует северный ветер со скоростью v2, а течение сносит его на юго-запад со скоростью v3. Известно, что I v\ I= I и2 I= ЮI о3 |. Каков истинный курс корабля?

Задачи для 9-го класса

1. Введите удобным образом систему координат и докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

2. Найдите все точки, для которых разность квадратов расстояний от двух данных точек А и В есть величина постоянная (равная а).

Задайте систему координат так, чтобы точки А и В лежали на оси Ох у а начало координат поместите сначала в середину отрезка AB, а затем в точку А.

Сравните результаты решений.

3. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD перпендикулярны. Вычислите площадь четырехугольника, если AB = 12 см, ВС = 17 см, CD = 4 см, DA = 5 см

4. Стороны Aß, ВС, CA треугольника ABC служат основаниями равнобедренных треугольников АВС^, BCAV

CABV причем Z BCAX = Z CABX = Z ßAC1 = Z БАС. Докажите, что S^ç + SAißc = SABC^ + S^iC. (Построенные треугольники не имеют с данным общих внутренних точек.)

5. В правильный треугольник со стороной а вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найдите площадь шестиугольника.

6. Даны два правильных многоугольника. Число сторон второго многоугольника вдвое больше числа сторон первого. Каждый внутренний угол первого многоугольника на 10° меньше любого внутреннего угла второго. Найдите число сторон каждого из многоугольников и их внутренние углы.

7. Дан отрезок а. Постройте отрезки: a) a V2 , a V3 ; б) а2, а3.

8. Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с. Определите площадь круга, вписанного в треугольник.

9. Центры четырех кругов расположены в вершинах квадрата со стороной а, радиусы этих кругов также равны а. Определите площадь их общей части.

10. При каких целых х выражение yjx2 - х - 1 представляет собой целое число?

11. Для каких натуральных п число 5Л - 2" делится на 9?

12. Сумма трех членов геометрической прогрессии равна 19, а сумма их квадратов равна 133. Определите эти члены.

13. Угол при основании остроугольного равнобедренного треугольника ABC (AB = ВС) равен а. В каком отношении, считая от вершины А, высота BD делит высоту АЕ?

14. Покажите, что если в треугольнике отношение тангенсов двух углов равно отношению квадратов синусов этих же углов, то такой треугольник равнобедренный или прямоугольный.

15. Дуга AB сектора АОВ содержит а радиан. Через точку В и середину С радиуса OA проведена прямая. В каком отношении она делит площадь сектора?

УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

§1

1.2. В левой части уравнения х2 - х + 2 = 0 выделите полный квадрат, а левые части остальных уравнений разложите на множители.

1.3. Примените первый признак равенства треугольников.

1.4. Занумеруйте мешки.

§ 2

2.2. Перечертите рис. 5. Убедитесь в том, что A MAB и A M CD не будут лежать «внутри» четырехугольника ABCD.

1 1 х + у

2.3.Учитывая, что — H— =--, выясните, когда эта дробь принимает наименьшее значение.

2.4. См. указание к задаче 2.3.

2.5. Запишите выражение, о котором говорится в условии, и представьте его в виде формулы полного квадрата.

2.6. Разложите выражение на множители.

2.7. Обратите внимание, как связаны последняя цифра первого множителя, слагаемое и число единиц в полученной сумме.

§ 3

3.1. Математический смысл задачи — построение биссектрисы угла с недоступной вершиной. Используйте свойство биссектрис треугольника.

3.2. С помощью формулы разности кубов приведите уравнение к квадратному.

3.3. Решите сначала задачу для одного канала, используя свойства параллельного переноса.

3.5. Вынесите за скобку общий множитель 3 и представьте каждое слагаемое в виде разности двух дробей.

§4

4.3. Используйте свойства средней линии треугольника.

4.4. Задачи типа «родители» можно сформулировать для произвольного натурального числа. При решении задачи выясните, какой может быть первая цифра искомого числа.

4.5. Решите сначала две подзадачи на построение точек, обладающих данным свойством. Берег озера на плане представьте в виде отрезка.

§5

5.1. Используйте формулу разности кубов.

5.2. Начните с подзадачи для п = 1, а затем для п = 2.

5.3. Рассмотрите отдельно случай, когда х и у — натуральные и когда X и у — рациональные положительные числа.

5.4. Ключом к решению является догадка о том, что каждый из треугольников состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников, приложенных друг к другу равными катетами.

5.5. Для доказательства достаточно рассмотреть треугольник, образованный медианой, биссектрисой, проведенной из той же вершины, и отрезком, соединяющим их основания.

§6

6.1. Поразмышляйте над этой ситуацией.

1. Всегда ли биссектриса угла находится между медианой и высотой?

2. Определяют ли медиана, биссектриса и высота треугольник так, как, например, периметр определяет три его данные стороны?

3. Можно ли вычислить угол между биссектрисой и медианой, биссектрисой и высотой, зная углы треугольника? И т. д.

Остается только перефразировать эти вопросы, оформив текст в виде задач. Сделайте это. Впрочем, вы сможете с этим справиться сами. Вот удастся ли вам быстро решить эти задачи, мы не уверены.

6.2. Например: «А нельзя ли построить треугольник, если заданы середины двух его сторон и прямая, которой принадлежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон?».

Решение. Пусть задана прямая /, на которой лежит биссектриса угла Б, точка Е — середина стороны БС, точка F — середина стороны АС треугольника АБС. Нетрудно указать одну точку, которая заведомо лежит на прямой AB: это точка D, симметричная точке Е относительно I. Кроме того, мы знаем и направление прямой AB: она параллельна EF. Построив по этим данным прямую AB, последовательно найдем вершины Б, С и А. (Искомый треугольник существует тогда и только тогда, когда луч EF пересекает прямую L При этом условии треугольник определяется единственным образом.)

6.3. Воспользуйтесь равенством отрезанных треугольников.

§7

7.2. Используйте отрезковую диаграмму.

7.3. Нарисуйте схему-граф к этой задаче.

§8

8.1. Начните решение с рисунка, на котором отметьте середины двух дорог из А в Б и точку, делящую пополам кольцевой маршрут YY.

8.2. Рассмотрите треугольники, на которые делит параллелограмм вторая диагональ.

8.4. Выполните последовательно чертежи для трех, четырех и т. д. прямых, пока не увидите зависимость между количеством прямых и частей плоскости.

8.5. Воспользуйтесь рисунками к задаче 8.4.

§9

9.1. Для доказательства достаточно показать, что высота AAj является биссектрисой угла Z С1А1Б1 (см. рис. 50) (Для других высот доказательство аналогич-

но.) Это можно сделать, доказав равенство соответствующих углов: Z CjA^A = Z ААХВ. Теперь осталось выбрать наиболее подходящий для доказательства этого равенства путь.

9.2. Продолжите отрезки ВН иАК до их пересечения с описанной окружностью. Докажите параллельность отрезка H К хорде, стягивающей полученную дугу.

9.3. Используйте свойства осевой симметрии.

9.4. Представьте 74 в виде х + 1.

9.5. Выразите из уравнения произведение ху. Рассмотрите допустимые значения переменной х и возможный вид числа п.

§ 10

10.3. См. решение этой задачи в тексте §11. 10.5. Найдите отношение скоростей минутной и часовой стрелок.

§ 11

11.2. Используя свойства осевой симметрии, постройте траекторию движения шарика, а затем дайте ответ на вопрос задачи.

11.3. Составьте систему уравнений по условию задачи, используя формулы для параллельного и последовательного соединения проводников.

11.7. Составьте систему неравенств по условию задачи.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

§1

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то данное уравнение не имеет решения.

1.4. Занумеруем мешки цифрами 1,2,3,...,10. Возьмем из 1-го мешка 1 монету, из 2-го мешка — 2 монеты, из 3-го мешка — 3 монеты и т. д. Всего будет выбрано 55 монет.

Их масса должна быть равна 550 г (если бы все монеты были настоящими). Но среди монет есть фальшивые, поэтому их истинная масса m > 550. Разность m - 550 укажет, в каком мешке монеты фальшивые; например, при m = 553 г имеем 553 - 550 = 3 (номер мешка).

1.8. Одно из решений: «Солдат с собакой прошли мимо пролома в заборе».

§2

2.3. Имеем

Произведение ху достигает наибольшего значения при условии X = у, если сумма х + у есть величина постоянная.

Из условия X + у = 6 следует, что х = у = 3. Дробь

примет наименьшее значение при постоянном числителе, если знаменатель достигает наибольшего значения, т. е.

если X + у = 6, то ху = 9 и

2.4. Утверждение, которое мы использовали при решении задачи 2.3, можно использовать и для трех переменных ху у у г:

Произведение xyz примет наибольшее значение, если X = у = z = 3, так как х + у + z = 9.

Итак, получаем искомое наименьшее значение:

2.5. Мы знаем, что точный квадрат имеет вид А2 ± 2АВ + + В2. В рассматриваемой сумме можно положить В2 = 1, значит, нам надо доказать, что

Выражение А2 ± 2А представим в виде А(А ±2). Выберем для умножения «удобные» пары множителей: п(п + 3) и (п + 1)(п + 2), чтобы в выражении А(А ± 2) выделить А: (п2 + Зп)(п2 + Зп + 2). Задача решена! Имеем

2.6. I способ. Разложим m3 - m на множители:

Расположим числа по порядку: (m - 1) m (m 4- 1). Но тогда задача решена: из трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3, а значит, делится на 3 и все произведение.

II способ. Мы знаем, что если число делится на 3, то его можно записать в виде m = 3k. Если же число не делится на 3, то при делении может быть в остатке или 1, или 2, тогда число можно записать в виде m = 3k -h 1 или m = 3k Л- 2.

Рассмотрим первый случай. Пусть m = 3ky тогда

Рассмотрим второй случай. Пусть m = 3k + 1, находим

Рассмотрим третий случай. Пусть m = 3k + 2. Имеем

Возможные задачи: а) доказать это равенство; б) сформулировать известные вам аналогичные свойства натуральных чисел и т. п.

§ 3

3.1. I способ. Проведем две произвольные прямые AB и CD, пересекающие стороны угла (рис. 63).

Построим биссектрисы двух углов в полученных треугольниках АВК и CDK (К — вершина этих треугольников, которая находится за пределами рисунка). Пусть О и Ох — точки пересечения биссектрис. Тогда прямая 001 — искомая биссектриса (направление полета). Правильность этого построения докажите самостоятельно.

II способ. 1) Прямые Aß и MN параллельны (рис. 64);

3) прямая OOj — биссектриса.

3.2. После очевидных преобразований данное уравнение приводится к виду X2 (а-Ъ)-- х(а -b)(a + b) = 0.

Рис. 63

Рис. 64

* Запись 111 ... 1 объяснена на с. 32.

Если а = fr, то уравнению удовлетворяет любое число. Если а Ф fr, то корни уравнения хх = 0 и х2 = а + fr; поэтому корень является единственным только при a*frna + fr = 0, т. е. при а = -fr Ф 0.

3.3. Сначала решим частную задачу.

Где следует построить переправу через канал, чтобы пункты А и В были соединены кратчайшим путем?

Допустим, что пункты А и В расположены так, как показано на рис. 65.

Выполним параллельный перенос точки А в направлении луча ААХ на расстояние d (где d — ширина канала). Построим прямую АХВ, которая пересечет канал в точке D. Далее построем отрезок CD, перпендикулярный сторонам канала. Путь ACDB — искомый.

Теперь решим исходную задачу (рис.66). Построим образ точки В при параллельном переносе, отображающем точку M на точку Р, затем — образ точки Bj при параллельном переносе, отображающем К на L. Путь ACDEFB — искомый.

3.4. Имеем Z EMD = 180°-- (ß + (90° - ß)) - 90° (рис. 67). Отрезки ЕМ и MD равны (как диагонали равных прямоугольников), а значит, A EMD — прямоугольный и равнобедренный.

Рис. 65

Рис. 66

Рис.67

3.5. Имеем;

§4

4.1. Используя частные задачи (см. рис. 22), например б) и в), составим следующую задачу: «Найти множество точек, равноудаленных от сторон угла и от концов отрезка, принадлежащего этому углу».

4.2. Частное решение: если точки А, В, С, D расположены так, как показано на рис. 68, то искомой точкой является точка S (пересечение серединных перпендикуляров к отрезкам AB, ВС, CD).

В общем случае задача не имеет решения.

4.3. См. рис. 69.

4.4. П.з. (типа «дети») для двузначного числа: ЪаЬ = Ьа , откуда 50а + ЪЪ = 106 + а, или 49а = ЪЬ. Для самого малого значения а = 1 и самого большого значения Ь = 9 имеем 49 = = 45. Задача не имеет решения среди двузначных чисел.

П.з. (типа «родители»): «Показать, что не существует натурального числа, которое при перестановке начальной цифры его записи в конец увеличится в 5 раз».

Рис. 68

Рис. 69

В самом деле, так как при увеличении числа в 5 раз количество его цифр не изменяется, то первая цифра записи этого числа есть 1.

Если же 1 станет последней цифрой его записи, то число не может делиться на 5. Утверждение доказано.

Более общую задачу оказалось решать легче.

4.5. Согласно условию, требуемая ситуация должна удовлетворять двум условиям:

а) вышка должна находиться на одинаковом расстоянии от дороги и от озера;

б) озеро должно быть видно с вышки под прямым углом.

Нетрудно составить две подзадачи, родственные данной:

П.з. 1. Построить точку, равно-удаленную от двух прямых (дороги и озера);

П.з. 2. Построить точку, из которой данный отрезок (озеро) виден под прямым углом.

Решение п.з. 1 — это не что иное, как решение первой задачи, рассмотренной в §3. Вспомним: требуется построить прямую, равноудаленную от двух данных (рис. 70).

Сколько решений имеет п.з. 1?

Решение п.з. 2. Искомая точка (вышка) должна находиться на окружности, построенной на данном отрезке (озере), как на диаметре (рис. 71, а).

Сколько решений имеет п.з. 2?

Теперь надо решить исходную задачу; здесь оба требования должны соблюдаться одновременно. Тогда искомая

Рис. 70

Рис. 71

точка должна находиться одновременно как на биссектрисе угла, образованного двумя прямыми (озером и дорогой), так и на окружности из п. з. 2. Это может произойти только в случае их взаимного пересечения (рис. 71,6).

§5

5.1. Из условия X2 + X + 1 = 0 следует, что (х2 + х 4-1) х x (х - 1) = 0, т. е. X3 - 1 = 0, или х3 = 1. Поэтому f(xQ) = 1995 при х\ = 1.

5.2. Предположим, что имеются две точки пересечения*.

Докажем, что прямых будет только три. Действительно, пусть имеется всего две точки пересечения С и D и пусть а и Ь — прямые, пересекающиеся в точке С, a d — прямая, не проходящая через С (такая прямая существует, иначе все прямые пересекались бы в С).

Прямая d пересекает лишь одну из прямых а или Ъ (например, а в точке D) и параллельна другой прямой b (рис. 72, а).

Больше нельзя провести ни одной прямой, не увеличивая числа точек пересечения.

Теперь докажем, что на месте многоточия не может стоять число, отличное от 2. Если точка пересечения одна, то прямых может быть любое число: все они проходят через эту точку. Если же число точек пересечения п > 2, то число прямых определено неоднозначно.

Например, на рис. 72, б можно провести прямую ап+1 параллельно ап, а можно не проводить, на число точек пересечения это не влияет.

Рис. 72

* Математические соревнования. Геометрия, БФМШ. M., 1974, вып.4.

Ответ: п = 2.

5.3. Имеем х = 5 - у, причем у < 5. Тогда

Отсюда у Ф 5, уф 0, у = 1, 2, 3, 4. При у = 2, ле = 3 или у = 3,х = 2 получим

Мы рассмотрели случай, когда х и у — натуральные числа.

Если X и у — дробные числа, то выражение -у2 + Ъу принимает наибольшее значение при i/ = (0 + 5):2 = 2,5. Это значение равно -6,25 + 12,5 = 6,25. Тогда искомое наименьшее значение равно

5.4. Да, равновелики.

5.5. Если Z А = Z Б, то отрезок СМ равен отрезку CL.

Пусть Z А < Z Б. Тогда

так как

т. е. СМ > CL (рис. 73). §6

6.3. 1) Введем обозначение отрезков: АС = а и BN = ах (рис.74);

2) A APÜT = A MBN = A EFC (треугольники — равносторонние);

Рис. 73 Рис. 74

§7

7.1. Предположим, что некоторые из 500 000 сосен имеют попарно различное число иголок. Тогда среди 500 001 сосны всегда найдутся две такие, у которых число иголок одинаково, так как на каждой сосне не более 500 000 иголок (по условию). Текстовая запись решения весьма удобна.

7.2. Для оформления решения и для поисков самого решения удобна запись в виде отрезковой диаграммы (рис. 75):

7.3. Решение и его оформление удобно провести в виде схемы-графа, из которой легко виден ответ на вопрос задачи — каждый игрок сыграл по две партии (рис. 76).

7.4. Составим наглядную схему условия задачи (рис. 77). Из рисунка ясно, что каждый ломтик имеет по две стороны — всего получается шесть сторон; на сковородке умещаются два ломтика, значит, понадобится 3 мин.

Рис. 75

Рис. 76 Рис. 77

§8

8.1. Пусть Р и Q — середины двух дорог из А в В (рис. 78); R — точка, делящая пополам кольцевой маршрут УУ; а, b, с, d — соответственно расстояния АХ у ВХу AY, BY.

По условию, с < d и город X лежит, очевидно, на участке PRB (иначе ХАУ короче XBY). Кроме того, согласно выбору точек Р, Q, R длины участков PR и QY, как и длины участков PB и AY, равны; следовательно,b<с.

Длины участков and больше половины расстояния от А до Б, а с меньше этой половины, поэтому с < а и с < d. Так как, по условию, а + b = с + dy b < с, то а < d. Итак,

b<c<d<a.

8.2. а) Так как DP = Pß, АР = PC, то отрезки DP и BP медианы треугольников ACD и BCD (рис.79).

б) Отрезки AF и АЕ также медианы этих треугольников, откуда, согласно свойству медианы, имеем ВМ = 2РМ, DK = 2КР; следовательно,

DP = DK + KP = 3KPy РВ = РМ + ВМ = 3РМ.

в) Отрезок DP = PB у откуда KP = РМ, и тогда

DK = КМ = ЯМ.

8.3. Рассмотрим случай уплаты денег четырьмя пассажирами из 25. Тогда наименьшее число монет таково: I — одна монета в 20 к., II — одна монета в 15 к., III — две монеты по 10 к., IV — одна монета в 15 к., т. е. всего 5 монет; соответственно сдача составит 15, 10, 15, 10. Если увеличить число пассажиров в 6 раз, то 24 пассажира уплатят за проезд 20 • 6 = 120 (к.). Оставшийся пассажир положит в кассу 15к. + 10к.и возьмет 20 к. сдачи.

Рис. 78

Рис. 79

Итак, 32 монеты — это наименьшее число монет, необходимых для оплаты проезда, а сумму 1 р. 25 к., которую пассажиры положат в кассу, составит в этом случае наименьшее возможное число монет, равное 7 (125 = 5 • 20 + 15 + 10).

8.4. Пусть п — число прямых, N — число частей, на которые плоскость разделилась этими п прямыми.

Рассмотрим несколько случаев для п (рис.80, а - г). Из рис. 80 видно, что Nn = 3n- 2. Значит, NlQQ = 298.

Рис. 80

8.5. Прямая, пересекающая (п - 1) прямую и проведенная параллельно п-й прямой, увеличивает число N на п (см. рис. 72 к задаче 5.2). Эта новая (п + 1)-я прямая, параллельная n-й прямой, на рис. 80 отмечена пунктиром.

Значит, чтобы число N увеличилось на 100, надо провести 101-ю прямую, пересекающую 99 прямых, параллельно 100-й прямой.

8.6. Вариант А

1. у : X = 1, так как равенства у:у = уихх = х возможны только при у = 1 и X = 1.

2. 30.

3. Верно. Здесь использованы распределительный закон умножения (на -1) относительно вычитания и переместительный закон.

4. Здесь следует сформулировать такой вопрос: «Сколько времени прошло от начала суток? »

Пусть от начала суток прошло х часов; тогда до конца суток осталось — часов.

Получаем уравнение х + — = 24=>:с = 21*.

5. Пусть X — число однограммовых (трехграммовых, пятиграммовых) гирек. Тогда

хЛ- Зх +5х = 90:=>х = 10.

Трехграммовыми гирьками представлена масса 3 - 10 = 30 (г).

6. 17(76)21.

При составлении первой тройки чисел использовано следующее правило: (12 + 16) • 2 = 56; поэтому имеем (17 +21)-2 = 76.

Вариант Б

1. X2 - X > 0 => х(х -1)>0=> х<0 или X > 1.

2. 30.

3. 100. Четных цифр, которые могут стоять на первом месте в числе, — четыре (2, 4, 6, 8); на втором и третьем местах — пять (0, 2, 4, 6, 8). Поэтому существует 25 искомых чисел, начинающихся с цифры 2; столько же чисел начинается с цифры 4, с цифры бис цифры 8. Итого получаем 100 чисел.

4. Условие задачи может выглядеть, например, так: «В шахматном турнире приняли участие 5 школьников. Каждый должен сыграть со всеми остальными. Сколько партий будет проведено в этом турнире (рис.81)?».

Ответ: 10 матчей.

5. Пусть л: - число однограммовых (трехграммовых, пятиграммовых) гирек. Тогда

20 < X + Sx + Ьх < 30 => X = 3.

Итак, взвесили 27 г вещества.

6. X = 35, так как 1 + 7 = 8; 8 + 8 = 16; 16 + 9 = 25; 25 + 10 = 35.

Рис. 81

* Эта запись читается так: из уравнения х + — =24 следует уравнение х = 21.

§9

9.1. Возьмем произвольный треугольник ABC (лучше разносторонний и не прямоугольный, так как, изобразив равнобедренный или прямоугольный треугольник, мы можем принять какое-либо частное его свойство за общее).

Высоты à ABC пересекаются в одной точке О. Нужно доказать, что эта же точка является точкой пересечения биссектрис Л АХВХСХ (см. рис. 50).

Если АХА — биссектриса угла CXAXBV то она является осью симметрии этого угла.

Чтобы доказать, что АХА есть биссектриса угла CXAXBV необходимо убедиться в равенстве углов СхАгА и AAXBV Равенство углов можно доказать, если эти углы:

а) входят в равные или подобные между собой треугольники;

б) лежат в одной плоскости и имеют соответственно параллельные или перпендикулярные стороны;

в) являются одноименными углами относительно некоторой окружности и опираются на одну и ту же дугу этой окружности;

г) равны порознь одному и тому же углу (свойство транзитивности равенства);

д) имеют общую сторону, которая является осью симметрии угла, равного сумме данных углов.

Наиболее перспективными кажутся направления:

1) поиск пары подобных друг другу треугольников;

2) попытка «привязать» оба угла к одной и той же окружности;

3) использование идеи симметрии.

П.з. 1. Дан А АБС, в котором проведены высоты. Найти пары соответственно подобных треугольников (рис. 82).

Таковы пары треугольников:

Рис. 82

(прямоугольные, имеющие общий острый угол). Отсюда, в частности,

П.з. 2. Основания высот треугольники ABC соединены. Найти пары подобных между собой треугольников (рис 83).

Таковы пары треугольников:

Например, для первой пары имеем: угол В — общий, т. е. справедлив признак подобия треугольников Таким образом, решение п.з. 1 обеспечивает решение п.з. 2 (рис. 84).

В свою очередь решение п.з. 2 обеспечивает решение основной задачи (если из равных величин вычесть поровну, то останутся равные величины).

Решение основной задачи.

1) Д AAjß со д ССХВ (Z ВАХА = Z ВСХС = 90°, Z ABC — общий) по признаку подобия прямоугольных треугольников (рис. 85).

2) Так как ZABC — общий, то a ABC <x>àAlBCl, (по признаку подобия треугольников). Значит, Z ВАгСх = = Z ВАС (если бы Z ба1с1 = Z бса, то было бы CjAj II ас, что не имеет места, так как a ABC—произвольный).

Рис. 83

Рис. 84

Рис. 85

3) Д АХВХС °° Д ABC (аналогично шагу 2 решения), поэтому Z ВХАХСХ = Z ВАС.

4) Так как Z ВАХСХ = Z ВАС, Z В^С = Z ВАС, то Z ß^Cj = Z BjAjC.

5) Отрезок AXA — биссектриса Z CXAXBV что видно из вспомогательного чертежа и следует из свойств равенства, условия и шага 4 решения (рис. 86).

6) Аналогично доказывается, что высоты ВВХ и CCj являются биссектрисами углов АХВХСХ и АХСХВХ в A AjBjCj.

При решении мы использовали только одно из намеченных направлений. Попробуем развить второе направление — «привязать» исследуемые углы к окружности (рис. 87).

Рассмотрим четырехугольник АхВСхО: ССХ±АВ и ВВХ1 АС, ССХ пересекает ВВХ в точке О. Значит,

ZCxOAx + ZCXBAX = 180°.

Следовательно, существует такая окружность (Ох, гг), что четырехугольник СхОАхВ вписан в эту окружность. Аналогично, существует окружность такая (02, г2), что четырехугольник АхОВхС вписан в эту окружность.

Тогда Z СхВО - Z С ДО, Z ßjCO = Z В ДО, но Z C^BO = = Z B^O, поэтому Z С ДО = Z В ДО и т. д.

Развитие второго из намеченных направлений поиска решения также привело к успеху!

Приведет ли к успеху идея симметрии? На этот вопрос попробуйте ответить сами.

9.2. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Так

Рис. 86

Рис.87

как мы построили остроугольный треугольник, то точка О — центр этой окружности — лежит внутри треугольника (см. рис. 51).

Нужно доказать, что отрезок ОС перпендикулярен отрезку КН, соединяющему основания высот треугольника АБС.

Проведем анализ условия задачи. Из того, что отрезки ВН иАК — высоты, следует, что А АКС и А ВНС — прямоугольные и углы К АС и H ВС равны, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Это пока ни о чем не говорит. В условии еще сказано об окружности, описанной около A ABC. Отрезок ОС — радиус этой окружности. Чтобы доказать, что ОС 1 КН, видоизменим требуемую ситуацию, найдем новые сочетания данных и неизвестных элементов. Для этого продолжим высоты АК и ВН до пересечения с описанной окружностью в точках Кх и Нх (рис. 88).

Так как Z КАС = Z НВС, то Z КгАС = Z НХВС. Это вписанные углы. Значит, дуги НхСи СКХ равны, т. е. отрезок ОС делит дугу, а следовательно, и хорду пополам и перпендикулярен хорде НХКХ.

Остается доказать, что отрезок КН параллелен КХНХ.

Параллельность отрезков можно доказать, если:

а) один из отрезков является средней линией треугольника, в основании которого лежит второй отрезок;

б) если соответственные углы при пересечении двух прямых третьей равны;

в) если две прямые перпендикулярны третьей.

Наиболее перспективным кажется первое направление, а именно нужно доказать, что один из искомых отрезков является средней линией треугольника, в основании которого лежит второй отрезок.

Рис. 88

Рис. 89

Решим п.з. 1, т. е. докажем, что отрезок H К — средняя линия А НХМКХ (рис. 89).

Так как дуги H\С и СКХ равны, то Z НХАС = Z КХАС и АН 1 ВН. Значит, А МНА = = А АННХ, т. е. отрезок M H равен отрезку ННХ. Аналогично доказывается, что отрезок МК равен отрезку ККХ. Итак, отрезки НК и НХКХ параллельны.

Таким образом, решение пз. 1 обеспечивает решение основной задачи:

1) Z КАС = Z H ВС (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами) (рис. 89).

2) Дуги НХС и КХС равны (поскольку ZKXAC и Z НХВС — вписанные и Z КХАС = Z НХВС).

3) Отрезок ОС 1 (как часть диаметра, делящего дугу пополам).

4) Z КХАС = Z САНХ (эти углы — вписанные и дуги i/jC и CÄ'1 равны).

5) А МНА = А АННх (так как АС 1 ВН и Z ÜT.AC = = Z САЯ^.

6) Отрезки МЯ и равны (поскольку А АМН = - &АННХ).

7) Hlf ii НХКХ (так как jF/üT — средняя линия А МКХНХ).

8) ОС 1 HÜl (если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых НХКХ, то она перпендикулярна и другой прямой НК).

Случай тупоугольного треугольника рассмотрите самостоятельно.

9.3. Решение задачи основано на свойствах осевой симметрии (рис. 90). Имеем:

1) SO LAD; 2) SO = OSx;

3) строим отрезок SXM;

4) SXM П AD = X;

5) точка X — искомая.

Рис. 90

9.4. Заменив в данном выражении 74 на х +1, получим

9.5. Перепишем данное уравнение так:

Так как хууип — натуральные числа, то 61 - х3 > О, поэтому X может принимать только три натуральных значения: 1, 2 и 3.

Следовательно, левая часть уравнения может делиться на 2 и на 3 в зависимости от значений х. Делимость правой части уравнения на 2 и на 3 зависит от значений п.

Рассмотрим следующие случаи:

1) При n = 6k уравнение ху = 6k(61 - х3) имеет три натуральных решения:

2) При п = 6k ± 1 уравнение ху = (6k ± 1) • (61 - х3) имеет единственное натуральное решение:

3) При п = 6k ± 2 уравнение ху = (6k ± 2) • (61 - х3) имеет два натуральных решения:

4) При п = 6k + 3 уравнение ху = (6k + 3) • (61 - х3) имеет два натуральных решения:

Единственное решение при п = 6k ± 1, где k = 0,1,2,....

§10

10.4. Например: «Какой формы лист фанеры дает большую экономию материала при выпиливании из него дна для бочки?».

Ответ. Теоретически — правильный п-угольник. Чем больше п, тем больше экономия материала. Практически — квадрат, поскольку шестиугольник, двенадцатиугольник и т. д. еще также надо вырезать.

10.5. Минутная стрелка пробегает мимо 60 делений циферблата за то же самое время, за которое часовая стрелка проходит 5 таких делений. Значит, маленькая стрелка движется в 60 : 5 = 12 раз медленнее, чем большая.

Большая стрелка пройдет одно деление, а маленькая — деления. Поэтому за 1 мин большая стрелка опередит маленькую на 1 - — = — деления. Отсюда следует, что большая стрелка догонит маленькую через 5 : — = — (мин).

Ответ. Командир должен вскрыть конверт в 1 ч 5 мин 27— с.

Приведем пример одной из задач, составленных методом «А нельзя ли...?».

Известно, что минутная и часовая стрелки совпадают в 3 12 ч, в 1 ч 5 мин 27— с и т. д. А нельзя ли узнать, когда они направлены в противоположные стороны?

Для решения заметим, что разностъ между оборотами, сделанными минутной и часовой стрелками, равна i полного оборота, взятого нечетное число раз, т. е.

Отсюда находим

10.6. Сначала нужно доказать, что если в Д ABC соединить основания высот, то получится треугольник, для которого стороны и высоты А ABC являются биссектрисами внутренних и внешних углов (см. задачу 9.1).

Предположим теперь, что нам известны точки Е и F — основания высот BE и CF A ABC, а также прямая I, на которой лежит высота AD. Мы должны указать на прямой I такую точку D, чтобы в A DEF прямая I была направлена по биссектрисе. Для этого достаточно построить точку Ev симметричную точке Е относительно прямой I, и принять за D точку пересечения прямых EXF и I. Докажите, что прямая ВС должна служить биссектрисой внешнего угла D A DEF, а прямые АС и AB — либо обе биссектрисами внутренних, либо биссектрисами его внешних углов EnF. Существуют два искомых треугольника, если прямая I не проходит через середину отрезка EF; бесконечно много треугольников, если она проходит через середину и перпендикулярна этому отрезку; ни одного треугольника, если она проходит через середину EF, но не перпендикулярна этому отрезку.

Приведем пример задачи, связанной с данной.

«Построить треугольник, если заданы прямая, на которой лежит его основание, и две точки, являющиеся основаниями высот, опущенных на боковые стороны».

Для решения сначала нужно доказать, что в любом А ABC окружность, построенная на основании АС, как на диаметре, проходит через точки Е и F — основания высот, опущенных на боковые стороны (рис. 91). Используя условие задачи, т.е. зная точки Е, F и прямую /, на которой лежит АС, легко восстановить эту окружность: ее центр будет лежать на пересечении прямой I и перпендикуляра, проведенного через середину отрезка EF. Построив эту окружность, найдем точки пересечения ее cl. Одну из них можно принять за А, другую — за С. Третья вершина В треугольника находится как точка пересечения прямых АЕ и CF.

Рис. 91

Проверьте, что если отрезок EF не перпендикулярен прямой /, то существует два треугольника, удовлетворяющих требованиям задачи, а если EF 1I, то их либо нет совсем, либо (при условии, что точки Е и F симметричны относительно прямой I) существует бесконечно много.

10.7, Надо задавать вопросы так, чтобы каждый последующий вопрос уменьшал вдвое количество остающихся возможных вариантов. При такой системе, чтобы угадать один из 2п вариантов, достаточно п вопросов.

Всего имеется 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, тогда количество возможных телефонных номеров составит 105 • 105 > (23)5, т. е. 105 > 215. Так как 105 > 217, то хватит 17 вопросов. Сами вопросы можно задавать по-разному. Например, можно спросить: «Верно ли, что ваш номер больше 50 000?». Если ответили «да», то второй вопрос может быть такой: «Больше ли он 75 000?». Ит. д.

10.8. Проведем прямую OA, пересекающую окружность в точках Р и Q (рис. 92). Далее, через точку А проведем произвольную прямую, пересекающую окружность в точках M и N.

Пусть прямые РМ и QN пересекаются в точке К, а прямые PN и QM — в точке L. Прямая KL пересекает окружность в точках В и С. Тогда прямые AB и АС — искомые касательные. Докажем это.

Заметим прежде всего, что прямая KL перпендикулярна прямой PQ. В самом деле, в A PQL отрезки РМ и QN — высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому прямая KL содержит третью высоту и, следовательно, KL1PQ.

Если KL пересекает PQ в точке D, то OD • OA = R2, где R — радиус данной окружности (убедитесь сами в истинности этого соотношения).Таким образом,

т. е. треугольники OBD и ОВА подобны. Так как Z ODB = 90°, то Z ОВА = 90°.

Рис. 92

Итак, прямая Aß — искомая касательная. Аналогичные рассуждения можно провести для прямой АС.

10.9. Проведем окружность с центром А и радиусом, равным OA (рис. 93).

Далее, используя только циркуль, найдем отрезок, равный 2R (где R — радиус данной окружности). Для этого выберем на данной окружности точку S и отложим три дуги, содержащие по 60°: u SP = и PQ = и QT = 60°, тогда точки S и Т диаметрально противоположны.

Строим окружность с центром в точке О и радиусом, равным ST, пересекающую окружность с центром А в точках M и N.

Теперь остается с помощью одного циркуля построить точку В — середину отзезка МО, как это было сделано в задаче 3 §10. Эта точка является искомой точкой касания.

Обоснуйте самостоятельно, что OB 1 AB. Аналогично находим точку касания С как середину отрезка ON.

10.10. См. рис. 94.

Рис. 93

Рис. 94

§11

11.1. Обозначим на схеме (рис 95) знаками « + » и «-» рыцарей различных станов. Мысленно исключим всех рыцарей одного стана, сидящих рядом, кроме последнего (против часовой стрелки); получим, что число рыцарей первого и второго станов стало одинаковым, а тех и других вместе — число четное. Мы исключили всех рыцарей, справа от которых сидел друг, и оставили всех рыцарей, слева от которых сидел враг.

По условию число их одинаково (четное); таким образом, общее число всех рыцарей делится на 2 и снова на 2, т. е. на 4.

11.2. Допустим, что шарик находится в точке С. Из рис. 96, а ясен характер движения шарика. Поэтому, поместив второй шарик на прямой SN, ответим на поставленный вопрос. Однако шарик S можно поместить и в некоторых точках прямых, параллельных диагонали AB, и на самой диагонали. Исследование поможет найти эти точки.

Если бильярд имеет прямоугольную форму, то движение первого шарика (В) показано на рис. 96, б. Докажем, что прямая ВК не параллельна прямой PN. Для этого достаточно доказать, что Z 1 Ф Z 2. Имеем Z 2 = Z DNK, а в свою очередь, Z DNK - Z КВХВ (так как FD II ВВХ). Далее, Z 1 = = 2 Z КВХВ (поскольку Z 1 — внешний для Л ВКВХ). Следовательно, Z 2 = Z КВ{В, Z 1 = = 2 Z КВХВ, т. е. Z 1 > Z 2, тогда ВК не параллельна PN.

Рис. 95

Рис. 96

Таким образом, по прямой PN второй шарик пускать нельзя (согласно условию второй шар должен двигаться по прямой, параллельной AD). Если же шарик С пустить в нужном направлении, даже так, чтобы он ударился о борт FD в точке Ny то, как было показано ранее, С2М не будет параллельна прямой ВК.

Итак, для прямоугольного бильярда задача не имеет решений.

11.3. 1) Пусть сопротивления проводников равны соответственно Rx и Rr Согласно условию составим систему уравнений

2) Преобразуем эту систему, учитывая, что Rx > О, R2 > 0:

3) Используя теорему Виета, приходим к уравнению je2 - ах + ab — 0, корнями которого являются ххих2 (Rx = xv R2 = х2 или Rx = xv R2 = xx). При этом

4) Оба корня действительны при условии а - 4Ь > 0, или а > 4Ь, или (так как b > 0) — > 4; оба корня являются решением системы, если они положительны; это условие соблюдается, так как Rx + R2 = а > 0, Rx R2 = ab > 0. При а < Ab решений нет.

5) Практический вывод. Общее сопротивление двух параллельно включенных в сеть проводников уменьшится по крайней мере в 4 раза по сравнению с сопротивлением тех же проводников, включенных последовательно. Используя полученный результат, мы можем утверждать следующее: для того чтобы при параллельном соединении проводники имели сопротивление, например, 0,5 Ом, необходимо взять такие два проводника, общее сопротивление которых было бы не менее 2 Ом.

6) Приложение к теории.

а) Если в неравенстве — > 4 положить а = Rx + R2 и - =

то при Rx > О и R2 > О получим неравенство

б) В качестве очевидных следствий из решения этой задачи можно также получить неравенства

Последнее неравенство имеет особый интерес (и богатые приложения), так как вскрывает важное свойство двух взаимно обратных чисел.

11.4. Раскрасим доску в четыре цвета, как указано на рис. 97 (цифры — номера цветов). Тогда каждая плитка замостит четыре клетки, раскрашенные всеми четырьмя цветами. Но клеток, окрашенных в 1-й цвет, — 25, во 2-й — 26, в 3-й — 25, а в 4-й — 24. Отсюда следует невозможность указанной укладки.

11.5. Эта задача из тех, что решаются сами. Действительно, пользоваться только линейкой означает проводить прямую через две имеющиеся точки. По условию (рис. 98) даны три точки: точка А и

Рис.97

Рис. 98

концы С и D диаметра. Отсюда само собой возникает решение:

1) Проводим прямые (соединяем отрезками) через точки А и С, А и D, получаем новые точки EnF.

2) Проводим прямые DE и CF; возникает точка их пересечения М.

3) Проводим прямую AM.

4) AN 1 CD. Доказательство утверждения AN 1 CD следует из свойств вписанного угла и из утверждения о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Попробуйте рассмотреть различные положения точки А относительно окружности.

11.7. Пусть для того, чтобы фабрика получила наибольшую прибыль, надо изготовить х пар туфель для мальчиков и у пар туфель для девочек. Тогда имеем

Общая прибыль равна F = 5х + Зу ден. ед. Решив систему, получим х = 30, у = 5. Значит, большая прибыль составит

F = 5х + Зу = 5 30 + 3 • 5 = 165 (ден. ед.)

при выпуске 30 пар туфель для мальчиков и 5 пар для девочек.

ПОСЛЕСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Безусловно, верно высказывание о том, что «для того чтобы научиться решать задачи, нужно решать их». Вместе с тем опыт показывает, что целенаправленное обучение (а значит, и самообучение) решению задач, выявление некоторых особенностей поисковой деятельности, связанной с решением незнакомой, нестандартной задачи, способно принести немалую пользу школьнику, пробудить и укрепить его интерес к изучению математики.

В настоящей работе отражен многолетний опыт работы автора со школьниками, «любящими решать задачи вообще». Представленные здесь вопросы поначалу служили темами занятий математического кружка, а затем оформились в виде своеобразного факультативного курса, основной формой проведения которого являлось, как правило, самостоятельное изучение учащимися разделов курса и решение задач с последующим коллективным обсуждением рассмотренных идей и индивидуально полученных решений на групповых занятиях в классе.

Книга предназначена для учащихся 7 — 9-х классов, и автор стремился к тому, чтобы учащиеся могли ее изучать самостоятельно (естественно, под руководством учителя).

Указание данного возрастного уровня школьника, впрочем, весьма условно. Соответствующие занятия приходилось проводить в других классах. Рассматриваемые здесь идеи доступны школьникам начиная с 5-го класса. Речь может идти лишь о примерах (и задачах, предложенных для решения), иллюстрирующих сказанное; понятно, что примеры и задачи должны соответствовать тем знаниям и умениям, которыми владеют школьники данного года обучения. Поэтому при работе с данной книгой в младших классах можно (и это сделать нетрудно) заменить некоторые задачи.

В конце книги приведены ответы, решения и указания к заданиям для самостоятельной работы, имеющимся в каждом параграфе, за исключением задач, составляющих

§ 12. (Тот, кто умеет решать задачи, как правило, умеет находить способ проверки правильности их решения.) Указатель дополнительной литературы не приводится. Основная литература такого рода — это задачи, которые можно найти всюду, начиная от научно-популярных журналов и кончая специальными сборниками задач.

На практике оправдала себя следующая методика работы по данному пособию:

1. Материал каждого параграфа книги прорабатывается учащимися самостоятельно (в домашних условиях).

2. После (или в процессе) изучения данной темы учащиеся решают соответствующие ей задачи и упражнения.

3. На очередном занятии один из учащихся выступает с кратким сообщением по изученному.

4. Каждая из задач, предложенная в данном параграфе для самостоятельного решения, обсуждается коллективом на этом занятии.

5. Учитель подводит итог, в котором обращает внимание учащихся на основную идею, выраженную в данном параграфе, а также на наиболее яркие иллюстрации полезности этой идеи при решении любых задач.

6. При необходимости учитель дает указания для дальнейшей самостоятельной работы учащихся по тексту данного пособия. Понятно, что приведенные методические рекомендации не исключают других возможных форм работы школьников с данным пособием.

В заключение отметим, что эта книга издавалась уже дважды (в 1980 и в 1995 гг.). Найдя своего читателя, она исчезла с книжных прилавков. Более того, появились аналогичные книги других авторов, которые также нашли своего читателя. Теперь эта книга рождается заново — для следующего поколения школьников, любящих математику. И автор этому рад!

Автор выражает благодарность В. А. Оганесяну и Ю. В. Балашову, оказавшим (каждый в свое время) ему большую помощь при подготовке книги к изданию.

Учебное издание

Колягин Юрий Михайлович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ С ОТВЕТАМИ И СОВЕТАМИ

Учебное пособие для учащихся 7-9 классы

Редакция «Образовательные проекты»

Ответственный редактор Н. М. Фелипчук

Технический редактор Л. Б. Чуева Художественный редактор А. А. Никулина Компьютерная верстка Н. В. Левина

Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93. том 2; 953005 — книги, брошюры Санитарно-эпидемиологическое заключение №77.99.11.953.П.002870.10.01 от 25.10.2001 г.

Лицензия ЛР № 066647 от 07.06.99 г.

(ООО «Издательство Астрель») Лицензия ИД № 02694 от 30.08.2000 г. (ООО «Издательство АСТ»)

ООО «Издательство Астрель» 143900, Московская область, г. Балашиха, проспект Ленина, 81.

ООО «Издательство АСТ» 674460, Читинская обл., Агинский р-н, п. Агинское, ул. Базара Ринчино, 84.

Наши электронные адреса: www.ast.ru E-mail: astpub@aha.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов в типографии издательства "Самарский Дом печати" 443086, г. Самара, пр. К. Маркса, 201.

Качество печати соответствует предоставленным диапозитивам.

■ За время учебы каждый школьник должен решить примерно 10 000 задач по математике.

■ Вместе с учителем лучший помощник ему в этом — книга «Решение задач по математике с ответами и советами» известного ученого и педагога, автора школьных учебников и задачников, академика Российской академии образования Юрия Михайловича Колягина.

■ Его советы практичны и уважительны. Они адресованы и тем, кто уже увлекается математикой, и обычным школьникам. Решение программных и нестандартных задач поможет не только хорошо усвоить материал курсов алгебры и геометрии для 7—9 классов, но и развить творческое воображение и мышление.