Г.А. Клековкин

ГЕОМЕТРИЯ

6 класс

«Русское слово»

Г.А. Клековкин

ГЕОМЕТРИЯ

6 КЛАСС

МОСКВА «РУССКОЕ СЛОВО» 2004

ББК 22.1я.72 К 48

Клековкин Г.А.

К 48 Геометрия. 6 класс: Учебное пособие. - М.: «ТИД «Русское слово - PC», 2004. - 288 с.

ISBN 5-94853-065-5

Книга является непосредственным продолжением пособия автора «Геометрия. 5 класс: Учебное пособие». Она предназначена для учащихся 6 классов, их родителей и учителей математики; может использоваться для преподавания пропедевтического курса, а также для внеклассного и домашнего чтения по математике.

ББК 22.1я.72

ISBN 5-94853-065-5 © «ТИД «Русское слово - PC», 2004;

Самарский филиал Московского городского педагогического университета, 2004

Глава I

Многогранники и круглые тела

§ 1. Многогранники

1. Многогранник и его элементы. Рассматривая треугольник в 5 классе, мы сказали, что его пространственным аналогом является тетраэдр.

Треугольник состоит из трех звеньев — отрезков и ограничивает часть плоскости, которая вместе с ним составляет плоский треугольник (рис. 1.1). Тетраэдр образован гранями — четырьмя плоскими треугольниками — и ограничивает уже часть пространства (рис. 1.2).

Любой многоугольник, отличный от треугольника, также составлен из отрезков и ограничивает некоторую часть плоскости.

Произвольный многогранник определяется как поверхность, составленная из плоских многоугольников и ограничивающая некоторую часть пространства (геометрическое тело).

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника.

Многогранник на рис. 1.3 имеет пять граней. Он составлен из двух треугольников и трех четырехугольников, имеет 9 ребер и 6 вершин.

Обычно считают, что каждое ребро многогранника является общей стороной двух, и только двух, граней, называемых смежными. При этом предполагается, что никакие две смежные грани не лежат в одной плоскости.

Тело, ограниченное многогранником, также называют многогранником, хотя это и различные геометрические фигуры. Некоторые многогранники имеют специальные названия: пирамида, призма, параллелепипед, куб и т. д. Фигуру, образованную вершинами и ребрами многогранника, будем называть его каркасной моделью.

Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани, называется диагональю многогранника.

Многоугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой,

Рис. 1.4

Рис. 1.5

проходящей через его сторону. Выпуклыми и невыпуклыми бывают и многогранники. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани. На рис. 1.4 изображен выпуклый многогранник, а на рис. 1.5 — невыпуклый.

Задачи и упражнения

1. Приведи примеры окружающих предметов, которые дают представление о многогранниках.

2. Найди многогранники среди фигур, изображенных на рис. 1.6. Какие из этих многогранников являются выпуклыми?

Рис. 1.6

3. Сколько диагоналей имеет каждый из многогранников на рис. 1.7?

2. Пирамида. Пусть А^А2А3АА — плоский четырехугольник и S — точка, не лежащая в плоскости этого четырехугольника. Соединим точку S со всеми вершинами четырехугольника (рис. 1.8).

Рассмотрим многогранник, состоящий из четырехугольника А^А2А3АА и плоских треугольников SA1A2l SA2A3, SAr^Afa SA^A^.

Этот многогранник называется четырехугольной пирамидой. Четырехугольник А^А2А3АА называется основанием, а треугольники SAiA2, SA2A3, SA3AA, SAAA{ — боковыми гранями пирамиды. Точка S называется вершиной пирамиды, а отрезки SAb SA2, 5Л3, SAA — ее боковыми ребрами. Рассмотренную четы-

Рис. 1.7

Рис. 1.8

рехугольную пирамиду обозначают следующим образом: SA1A2A3A4.

На рис. 1.9 дана развертка некоторой четырехугольной пирамиды. Она состоит из четырехугольника (основания) и четырех треугольников (боковых граней).

Аналогично определяется пятиугольная (шестиугольная, и-угольная) пирамида, ее основание, вершина, боковые грани и ребра. На рис. 1.10 и 1.11 изображены пятиугольная и шестиугольная пирамиды.

Тетраэдр тоже является пирамидой — треугольной. Часто одну из граней тетраэдра принимают за основание, а остальные считают боковыми.

Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания (рис. 1.12), называется высотой

Рис. 1.9

Рис. 1.10

Рис. 1.11

Рис. 1.12

пирамиды. Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды.

Задачи и упражнения

4. Сколько граней и ребер имеет n-угольная пирамида, если: а) п = 6; б) п = 12; в) п — произвольное натуральное число, большее трех.

5. Основанием четырехугольной пирамиды является квадрат, а боковыми гранями — равносторонние треугольники. Начерти развертку этой пирамиды.

3. Параллелепипед. Вырежем из картона два равных параллелограмма А1А2А3А4 и BiB2B3B4. К соответствующим равным углам параллелограммов приклеим нити равной длины (рис. 1.13). Если теперь поднять эту конструкцию за один из параллелограммов, то нити

Рис. 1.13

Рис. 1.14 Рис. 1.15

натянутся (рис. 1.14). При этом натянувшиеся нити будут параллельны между собой.

Получившиеся четырехугольники А1Л2В2В1у А2А3В3В2у Л3Л4Б4Л3 и А4А1В1В4 будут параллелограммами. Объясни, почему.

Наша конструкция позволяет представить многогранник, составленный из шести параллелограммов (рис. 1.15). Этот многогранник называется параллелепипедом и обозначается следующим образом: А^А2А3ААВ^В2В3ВА.

Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, не имеющие общих ребер, называются противоположными. Оказывается, противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. На рис. 1.15 противоположными являются грани А^А2А3А4 и ВХВ2В3ВА, А1В1В2А2 и ААВАВ3А3, АХВХВААА и А2В2В3А3. Две вершины параллелепипеда, не лежащие

в одной грани, также называются противоположными. На рисунке это вершины А^ и Б3, А2 и J34, Л3 и 2^, Л4 и 52- Отрезок, соединяющий противоположные вершины, является диагональю параллелепипеда, их у параллелепипеда четыре. На рис. 1.15 изображены две диагонали А^В^ и Л452. Оказывается, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Приведенные без доказательства свойства параллелепипеда позволяют назвать его пространственным аналогом параллелограмма.

Обычно нижнюю и верхнюю грани параллелепипеда называют его основаниями, а остальные грани — боковыми гранями. На рис. 1.15 основаниями являются грани Л1Л2Л3Л4 и В^В2ВфА. Ребра А^В^ А2В2, А3В3 и Л454, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.

Многие окружающие нас предметы дают представление об одной из разновидностей параллелепипеда — прямоугольном параллелепипеде. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют кирпичи, коробки, шкафы и т. д.

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям, а сами основания являются прямоугольниками (рис. 1.16).

В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней являются прямоугольниками и любые две смежные грани перпендикулярны. Кроме того, все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Поэтому прямоугольный параллелепипед является пространственным аналогом прямоугольника.

Рис. 1.16

Клетчатая бумага в тетради по математике позволяет легко изображать прямоугольный параллелепипед, используя линии клеток, с помощью одной линейки или от руки. Достаточно начертить два равных прямоугольника, а затем соединить их соответствующие вершины (рис. 1.17).

На рис. 1.18 дана развертка прямоугольного параллелепипеда. Она состоит из шести прямоугольников. Чтобы начертить эти прямоугольники, необходимо знать длины ребер параллелепипеда, выходящих из одной вершины. Эти длины называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. В повседневной жизни для этих трех измерений параллелепипеда используют названия: длина, ширина и высота (рис. 1.19). Если некоторый прямоугольный параллелепипед имеет длину 5 см, ширину — 3 см, высоту — 4 см, то это часто записывают так: 5 см х 3 см х 4 см.

Рис. 1.17

Рис. 1.18

Рис. 1.19

Задачи и упражнения

6. На рис. 1.20 изображен параллелепипед ABCDEFGH. Назови:

а) все ребра, равные ребру AB;

б) все ребра, равные ребру AD;

в) все ребра, равные ребру АЕ;

г) грани, параллельные грани ABFE;

д) грани, равные грани ADHE;

е) ребра, перпендикулярные грани CDHG;

ж) грани, перпендикулярные ребру АЕ;

з) грани, перпендикулярные грани BCGF;

и) все ребра, параллельные ребру EF;

к) все пары противоположных вершин;

л) все пары противоположных граней.

7. С помощью линейки и угольника построй параллелепипед и обозначь его. Выпиши пары противоположных граней и пары противоположных вершин.

8. Прямоугольный параллелепипед, изображенный на рис. 1.20, имеет измерения: I AB I = 3 см, I AD | = 5 см, I АЕ | = 4 см. Найди периметры граней EFGH и BFGC. Какие грани имеют такие же периметры? Начерти в тетради грань AEFB в натуральную величину.

9. Из проволоки нужно спаять каркасную модель параллелепипеда. Сколько паек придется сделать?

10. Можно ли из проволоки, длина которой 55 см, изготовить каркасную модель прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 3 см, 5 см и 6 см?

11. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 9 см, 6 см и 4 см. Начерти на плотной бумаге развертку этого параллелепипеда. Подумай, где можно сделать язычки для склейки модели параллелепипеда. Склей модель.

Рис. 1.20

12. Бумажную модель параллелепипеда нужно окрасить так, чтобы любые две смежные грани были окрашены в разные цвета. Какое минимальное число красок для этого необходимо?

13*. Имеется три одинаковых кирпича. Не прибегая к вычислениям и не распиливая кирпич, измерь с помощью линейки его диагональ.

14. Нужно изготовить аквариум, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Сколько и каких деталей придется вырезать из стекла, если длина аквариума должна быть 50 см, ширина — 25 см и высота — 40 см ?

15. Ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, изготовлен из досок толщиной 2 см. Длина ящика равна 44 см, ширина — 24 см, а высота — 17 см. Сколько кубиков со стороной 5 см можно сложить в этот ящик? Можно ли сложить в ящик 42 бруска, каждый из которых имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 20 см х 5 см х 5 см? Сколько таких брусков может поместиться в ящик? Как их нужно уложить?

4. Куб. Узнавать куб мы научились, когда были еще совсем маленькими. Строя из кубиков разные сооружения, мы, конечно, не задумывались над тем, как определить куб. При изучении геометрии нам потребуется его определение.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны (рис. 1.21).

На рисунках и чертежах две противоположные грани куба обычно изображают квадратами (рис. 1.21). На рис. 1.22 показано, как изобразить куб на клетчатой бумаге.

Рис. 1.21

Грани куба являются равными квадратами. Поэтому его развертку можно сделать так, как показано на рис. 1.23.

Куб является пространственным аналогом квадрата на плоскости.

Рис. 1.22

Рис. 1.23

Задачи и упражнения

16. Используя линии клеток тетради, начерти в ней куб ABCDEFGH. Выпиши все грани, смежные с гранью AB CD.

17. Сколько проволоки потребуется для изготовления каркасной модели куба с ребром 3 см?

18*. Имеется проволока длиной 60 см. Нужно эту проволоку использовать без остатка для изготовления каркасной модели куба. Какой должна быть длина ребра куба? На какое наименьшее число частей можно разрезать проволоку при изготовлении модели?

19. Какие из фигур на рис. 1.24 являются развертками куба?

20. На плотной бумаге начерти развертку куба со стороной 5 см. Добавь к чертежу язычки для склеивания. Склей модель куба.

21. На сколько кубиков со стороной 1 см можно распилить куб со стороной 3 см?

22*. Имеется куб со стороной 4 см, все грани которого окрашены. Этот куб распилили на кубики со стороной 1 см. Сколько при этом получилось кубиков, у которых:

а) окрашены 4 грани;

б) окрашены 3 грани;

в) окрашены две грани;

г) окрашена только одна грань;

д) все грани являются неокрашенными? Сколько всего получилось маленьких кубиков?

Рис. 1.24

23. Прямоугольный параллелепипед (рис. 1.25) составлен из кубиков с ребром 1 см. Сколько таких кубиков в этом параллелепипеде?

24*. Имеется 64 кубика с ребром 1 см. Из этих кубиков складываются прямоугольные параллелепипеды (при этом используются все 64 кубика). Сколько различных параллелепипедов можно собрать? Какие измерения будут иметь эти параллелепипеды?

25. Паук и муха находятся в центрах двух смежных граней куба. Укажи кратчайший путь на поверхности куба, по которому паук может добраться до мухи.

Перед тем, как приступить к решению задачи, полезно провести эксперимент. Для этого потребуется деревянная модель куба, в центры двух противоположных граней которого вбиты гвоздики (они будут пауком и мухой) и резинка с петлями на концах (рис. 1.26). Накинем петли резинки на вбитые гвоздики: сжавшись, резинка покажет искомый кратчайший путь.

Идея решения. Пусть муха сидит в центре Q грани EFGH, а паук — в центре О грани AEHD. Развернем грани EFGH и AEHD так, чтобы они оказались в одной плоскости (рис. 1.27).

Рис. 1.25

Рис. 1.26

Рис. 1.27

Кратчайший путь на плоскости — это отрезок с концами О и Q. Этот отрезок пересекает ребро ЕН куба в его середине М. (Объясни, почему.)

26*. Реши задачу 25, если паук и муха находятся: а) в противоположных вершинах куба; б) в центрах противоположных граней куба.

27. Какие из кубов (рис. 1.28) можно сложить из изображенной развертки?

Рис. 1.28

28. Каждый из 12 кубов разрезан на две части (рис. 1.29). Одной из полученных частей присвоен номер от 1 до 12.

Рис. 1.29

Вторые части, взятые в произвольном порядке, обозначены буквами от А до М. Для каждой из частей 1-12 найди ее пару среди частей А-М.

29*. На трех гранях куба, сходящихся в одной вершине, написали буквы: «К», «У», «Б» (рис. 1.30). На рис. 1.31 есть буквы только на двух гранях этого куба. Будет ли видимой та грань, на которой нарисована третья буква? Если да, то как расположена эта буква по отношению к нарисованным?

Рис. 1.30

Рис. 1.31

30*. Пусть дано некоторое геометрическое тело. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется его секущей плоскостью. Фигура, которая получается при пересечении тела плоскостью, называется сечением этого тела. На рис. 1.32 показано сечение куба плоскостью, которое является шестиугольником. Может ли сечение куба плоскостью быть: а) треугольником; б) четырехугольником; в) пятиугольником; г) семиугольником?

31. Приведи пример сечения куба плоскостью, которое является правильным треугольником.

5. Призма. Чтобы представить себе призму, поступим так же, как в случае с параллелепипедом. Возьмем два равных пятиугольника и в соответственных вершинах закрепим концы нитей равной длины. Затем поднимем конструкцию за один из пятиугольников. Нити натянутся. Все они будут параллельны (рис. 1.33). В четырехугольниках АХВ{В2АЪ A2B2B3A3l A3B3BAAAl

АффхАх противоположные стороны (нити) равны и параллельны. Значит, эти четырехугольники — параллелограммы. Новая конструкция дает представление о многограннике, который называется пятиугольной призмой (рис. 1.34). Этот многогранник составлен из двух равных пятиугольников, расположенных в параллельных

Рис. 1.32

Рис. 1.33

плоскостях, и пяти параллелограммов. Равные пятиугольники A {A2A^AAA^ и Вф2В3ВАВ5 называются основаниями призмы, а параллелограммы — ее боковыми гранями. Отрезки А {ВЬА2В2, Л3Л3, Л454, Л5Л5 называются боковыми ребрами призмы. Призма с основаниями А{А2А3ААА5 и ВХВ2В3ВАВ5 обозначается A^A2A3AAASBXB2B3BABS.

Развертка пятиугольной призмы состоит из двух равных пятиугольников и пяти параллелограммов. Аналогично определяются треугольная (рис. 1.35), шестиугольная (рис. 1.36),гг-угольная призмы и их элементы.

Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки одного основания призмы на плоскость другого основания, называется ее высотой. Длину этого перпендикуляра также называют высотой призмы.

Если боковые ребра призмы не перпендикулярны основаниям, то призма называется наклонной, а если перпендику-

Рис. 1.34

Рис. 1.35

Рис. 1.36

лярны — прямой. Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками, а высота равна ее боковому ребру (рис. 1.37).

Параллелепипед является частным случаем четырехугольной призмы, у которой основания — равные параллелограммы.

Задачи и упражнения

32*. Существует ли призма, у которой: а) 14 вершин; б) 17 вершин; в) 15 ребер; г) 13 ребер; д) 4 грани; е) 11 граней? 33. Какие из фигур на рис. 1.38 являются призмами?

Рис. 1.37

Рис. 1.38

34. Начерти в тетради треугольную призму.

35. Может ли четырехугольная призма не быть параллелепипедом?

36*. Существует ли четырехугольная призма, которая одновременно является прямой и наклонной?

37. Основанием прямой треугольной призмы является равносторонний треугольник, а боковое ребро равно ребру основания. Начерти развертку этой призмы.

§ 2. Круглые тела

1. Длина окружности. Окружность является линией, длину которой с помощью непосредственного измерения линейкой найти нельзя. Как же ее все-таки измерить?

Это, например, можно сделать путем наложения на окружность нитки. Отметим на окружности некоторую точку М. Поместим начало нитки в эту точку и уложим нить на окружность (рис. 1.39). Когда нитка снова окажется в точке М, отрежем ее кусок, наложенный на окружность. Распрямив, измерим его с помощью линейки. Длина отрезанной нитки будет примерно равна длине окружности.

Этот способ, хотя и позволяет иногда решать поставленную задачу, не очень удобен. Во-первых, аккуратно наложить нить достаточно сложно, и, значит, результат будет весьма

Рис. 1.39

приближенным. Во-вторых, для любой окружности наложение и измерение нитки придется каждый раз проводить заново. Наконец, этот способ может быть просто неприменим. Попробуй, например, измерить с его помощью длину окружности радиусом 0,001 мм или радиусом 1000 км.

На практике часто бывает известен диаметр окружности или его можно легко измерить. Поэтому возникает вопрос: «Нельзя ли найти длину окружности, зная ее диаметр?»

Чтобы ответить на этот вопрос, проведем небольшой эксперимент. На листе плотной бумаги или картона начертим с помощью циркуля окружность радиусом R. Ее диаметр D = 2R. На рис. 1.40 радиус окружности R = 2 см и, значит, диаметр D = 4 см. Найдем длину построенной окружности.

Для этого аккуратно вырежем круг, ограниченный нашей окружностью. Отметим на окружности точку M и совместим ее с нулевым делением линейки. Будем без скольжения катить круг по краю линейки до тех пор, пока точка M вновь не окажется на ней. Деление, соответствующее новому положению точки М, показывает приближенное значение L длины измеряемой окружности.

Рис. 1.40

Оказывается, какую бы окружность мы ни взяли, частное от деления длины окружности L на диаметр D всегда будет одним и тем же. Это частное принято обозначать греческой буквой я (читается «пи»). Таким образом, L : D = я. Число я приближенно равно 3,14.

На рис. 1.40 L « 12,55 см. Выполнив деление 12,55 :4, мы в результате получим примерно это же число.

В старших классах мы продолжим знакомство с числом я и узнаем способы более точного его вычисления.

Из равенства L: D = я находим, что

Эта формула позволяет находить длину окружности, если известен ее диаметр.

Так как D = 2R, то L = я • (2 • R). Используя сочетательный и переместительный законы умножения, мы можем записать последнюю формулу в следующем виде:

Эта формула позволяет находить длину окружности, если известен ее радиус.

Задачи и упражнения

38. Найди длину окружности, если ее диаметр равен: а) 1,5 м; б) 100 см; в) 3 км; г) 4 мм.

39. Радиус одной окружности равен 5 см, а радиус другой — 10 см. Во сколько раз длина второй окружности больше длины первой?

40. Радиус одной окружности равен 9 м, а радиус другой — вдвое короче. Во сколько раз длина второй окружности меньше первой?

41. Линия, изображенная на рис. 1.41, является объединением полуокружностей радиусом 2,5 см. Найди длину этой линии.

42. Длина отрезка AB на рис. 1.42 равна 12 см. Найди сумму длин больших полуокружностей и сумму длин малых. Сравни их.

Рис. 1.41

Рис. 1.42

Рис. 1.43

43. Реши задачу 42, если \ab\-u число больших полуокружностей равно m, а число малых — п. Какой вывод можно сделать?

44. Из проволоки длиной 31,4 см спаяли кольцо (рис. 1.43). Каков диаметр этого кольца, если концы проволоки припаяны встык?

45. Можно ли из ивового прута длиной 1,5 м согнуть обруч, диаметр которого равен 0,5 м?

46. Длина минутной стрелки часов равна 1 см. Найди длину пути, который пройдет ее конец за 1 час, за сутки, за месяц (30 дней), за год (365 дней).

47. Диаметр вала колодезного ворота (рис. 1.44) равен 25 см. Чтобы вытянуть ведро воды, приходится делать 20 оборотов. Какова глубина колодца?

48. Колеса автомобиля «Жигули» имеют диаметр 60 см. Автомобиль движется по шоссе с такой скоростью, что его колеса за 2 минуты делают 1000 оборотов. Найди скорость автомобиля в км/ч.

49. Проведя необходимые измерения, найди длины полуокружностей на рис. 1.45.

50. Из проволоки длиной 1 м спаяли кольцо. Пройдет ли сквозь это кольцо мяч, диаметр которого: а) 25 см; б) 40 см?

51*. Расстояние от центра Земли до полюса равно 6357 км. Радиус экватора на 21 км больше. Найди длину земного экватора.

Рис. 1.44

2. Цилиндр. Ты, конечно, узнаешь цилиндр среди других геометрических фигур и сумеешь увидеть его в окружающих предметах. И все же: что такое цилиндр?

Возьмем прямоугольник ABCD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например, AB (рис. 1.46). Тогда сторона CD опишет в пространстве некоторую поверхность, образованную равными отрезками, параллельными прямой AB. Эта поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а составляющие ее отрезки — образующими цилиндра. Отрезки ВС и AD опишут равные круги, которые называются основаниями цилиндра. Сам цилиндр состоит из его боковой поверхности и оснований. Итак, цилиндр можно определить как фигуру, которая получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Радиус основания цилиндра называется радиусом самого цилиндра, а отрезок, соединяющий центры оснований, — осью цилиндра. Длина оси, равная длине образующих, называется высотой цилиндра.

Рис. 1.45

Рис. 1.46

Цилиндр и точки, лежащие внутри него, составляют геометрическое тело, которое тоже называется цилиндром.

На рис. 1.47 изображен цилиндр. [OjО2] — ось, а [AB] — одна из образующих цилиндра. Если разрезать боковую поверхность цилиндра по образующей, то ее можно развернуть на плоскость. Поэтому развертка цилиндра высотой H и радиусом R состоит из двух кругов радиуса R и прямоугольника. Одна сторона прямоугольника равна высоте H цилиндра, а другая — длине 2nR окружности основания (рис. 1.48).

Рис. 1.47

Рис. 1.48

Задачи и упражнения

52. Среди окружающих предметов найди имеющие форму цилиндра.

53. Прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см вращается сначала вокруг одной стороны, а затем вокруг другой. Укажи радиусы и высоты полученных при этом цилиндров.

54. Прямоугольник вращается вокруг прямой, соединяющей середины двух его противоположных сторон (рис. 1.49). Какую поверхность опишут в пространстве стороны этого прямоугольника?

55. Прямая m и прямоугольник ABCD лежат в одной плоскости и m II (AB) (рис. 1.50). Опиши фигуру, которая получается при вращении прямоугольника вокруг прямой т.

56. Вырежи из плотной бумаги два равных круга, измерь их радиус и найди длину, ограничивающей окружности. Сделай развертку боковой поверхности цилиндра, для которого вырезанные круги являются основаниями, а высота в 3 раза больше радиуса основания. Склей модель цилиндра. Не забудь к развертке боковой поверхности добавить язычки для склеивания (рис. 1.51).

Рис. 1.49

Рис. 1.50

Рис. 1.51

57. Высота цилиндра равна диаметру основания. Вращением какого прямоугольника получен этот цилиндр?

58. Из листа бумаги вырезали прямоугольник ABCD, в котором I АВ\ - 6,28 см. Затем этот прямоугольник свернули в трубку так, что стороны ВС и AD стали окружностями. Определи радиусы этих окружностей.

59*. Имеется цилиндр, на боковой поверхности которого отмечены две точки. На поверхности цилиндра нужно провести кратчайшую линию, соединяющую эти точки. Предложи, как это сделать.

3. Конус. Возьмем прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С и будем вращать его вокруг одного из катетов, например, ВС (рис. 1.52). Тогда гипотенуза AB опишет в пространстве некоторую поверхность, образованную равными отрезками с общим концом В. Эта поверхность называется боковой поверхностью конуса, а составляющие ее отрезки — образующими конуса. Катет АС опишет круг, который называется основанием конуса. Сам конус состоит из боковой поверхности и основания. Итак, конусом является фигура, которая получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Радиус основания конуса называется радиусом самого конуса, общий конец образующих — его вершиной, а перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, — осью. Ось

также называют высотой конуса. Высотой конуса называют и длину его оси.

Конус и точки, лежащие внутри него, составляют геометрическое тело, которое тоже называют конусом.

Конус изображен на рис. 1.53. [SO] - ось, a [SA] -одна из образующих конуса. Если разрезать боковую поверхность конуса по образующей, то ее можно развернуть на плоскость. На рис. 1.54 показана развертка конуса. Она состоит из двух частей. Одна часть — круг, лежащий в основании конуса. Другая часть представляет собой часть круга, радиус которого равен образующей конуса. Такая часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга, называется круговым сектором.

Рис. 1.52

Рис. 1.53 Рис. 1.54

Задачи и упражнения

60. Среди окружающих предметов найди имеющие форму конуса.

61. Прямоугольный треугольник со сторонами 3 см и 4 см вращают сначала вокруг одного катета, затем вокруг другого. Укажи радиусы и высоты полученных при этом конусов.

62. Прямоугольный треугольник вращается вокруг своей гипотенузы (рис. 1.55). Опиши поверхность, которая получится при этом вращении.

63. Прямая m лежит в плоскости треугольника А В С, проходит через вершину А и параллельна катету ВС (рис. 1.56). Треугольник вращается вокруг прямой т. Опиши поверхность, которая при этом получится.

64. Четырехугольник ABCD (рис. 1.57) вращается вокруг стороны AB. Опиши поверхность, которая получится при этом вращении.

65. Высота конуса вдвое меньше диаметра его основания. Вращением какого прямоугольного треугольника можно получить этот конус?

66*. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой четверть круга радиусом 20 см. Найди радиус основания этого конуса.

Рис. 1.55

Рис. 1.56

Рис. 1.57

4. Снова сфера. Сферу тоже можно получить с помощью вращения. На рис. 1.58 [AB] — диаметр окружности, а [LM] — произвольная перпендикулярная ему хорда. В равнобедренном треугольнике LOM отрезок OQ является высотой, а значит, и медианой. Поэтому [LQ] =[QM].

При вращении данной окружности вокруг диаметра AB точки L и M будут описывать одну и ту же окружность, а вся данная окружность опишет сферу (рис. 1.59).

Заметим, что сферу нельзя развернуть на плоскость.

Шар, цилиндр и конус в школьном курсе геометрии часто называют круглыми телами. Этим объясняется название изложенного параграфа.

Задачи и упражнения

67. Прямая m лежит в плоскости окружности и не пересекает ее. Опиши поверхность, которая получится при вращении данной окружности вокруг данной прямой т. На что похожа эта поверхность?

Рис. 1.58

Рис. 1.59

68. Полуокружность вращается вокруг диаметра, на который она опирается. Какая поверхность получается при этом вращении?

§ 3. Материалы для дополнительного чтения

1. Изображения пространственных фигур на плоскости. При изучении геометрии мы столкнулись с тем, что нужно уметь изображать пространственные фигуры на плоскости. Эти умения нужны не только в школе, они необходимы ученому и инженеру, художнику и архитектору, землемеру и военному.

Потребность изображать пространственные формы на плоскости появилась у человека еще в глубокой древности. Можно вспомнить рисунки на стенах пещер, глиняных дощечках, папирусе. Египетские пирамиды и храмы, величайшие сооружения Древней Греции и Рима были построены по предварительно выполненным чертежам. Поэтому наука о способах построения изображений является столь же древней, как и сама геометрия. Ее основы заложили древнегреческие ученые: Эсхил, Демокрит, Евклид, Витрувий, Птолемей.

Изучением изображений окружающей действительности, близких к зрительному восприятию, занимались ученые, архитекторы и художники эпохи Возрождения. Большой вклад в теорию таких изображений внесли гениальный итальянский художник и ученый Леонардо да Винчи и выдающийся немецкий математик, гравер и художник Альбрехт Дюрер.

Позднее существенную роль в развитии науки о методах изображений сыграл французский геометр и инженер Гаспар Монж.

Различные виды человеческой деятельности предъявляют к изображениям разные требования. Если в технике нужно по изображению детали или машины восстановить ее с точностью до оригинала, то в живописи изображение должно лишь создавать такое же впе-

чатление, как и сам оригинал. Поэтому в техническом черчении и живописи используются разные способы (правила) изображения.

В школьном курсе геометрии к рисункам и чертежам пространственных фигур тоже предъявляются свои требования. Основное из них заключается в том, чтобы рисунок или чертеж давали наиболее наглядное представление об оригинале. Кроме того, изображения здесь должны выполняться достаточно просто и быстро. Этим требованиям отвечает параллельное проектирование.

Представление о параллельном проектировании дает рис. 1.60. На нем каркасная модель куба освещена параллельными лучами прожектора. Модель отбрасывает на плоский экран тень. Эту тень называют проекцией куба. Проекцию куба и можно считать его изображением. В случае необходимости ее обычно уменьшают или увеличивают.

Параллельное проектирование является одним из самых простых способов изображения.

Рис. 1.60 показывает, что при параллельном проектировании прямые проектируются в прямые, более того, параллельные прямые — в параллельные.

Рис. 1.60

Если проектировать сам куб, а не его каркасную модель, то его проекцией (тенью) будет некоторый плоский многоугольник. Так, на рис. 1.61 проекцией куба является плоский шестиугольник. При этом часть ребер на изображении не видна. Это те ребра, которые проектируются внутрь шестиугольника. Ясно, что такое изображение не дает наглядного представления о самом кубе. Поэтому, выполняя изображение куба, мы будем на чертеже изображать и эти, проектирующиеся внутрь шестиугольника, ребра.

Кроме того, в зависимости от расположения куба и точки, из которой мы его наблюдаем (проектируем), одни ребра куба будут видимы, другие — невидимы. В этом легко убедиться, если с разных точек рассматривать обычный детский кубик. Поэтому на рис. 1.62 три проектирующиеся внутрь шестиугольника ребра проведены сплошными линиями. Они изображают видимые наблюдателю ребра. Три ребра проведены штриховыми линиями. Они изображают не видимые наблюдателю ребра.

Чтобы изображение некоторой фигуры на плоскости было наглядным, выбирают наиболее удачное расположение фигуры и плоскости изображения относительно друг друга, а также направление проектирующих лучей.

Рис. 1.61

Рис. 1.62

На рис. 1.63 изображен квадрат. При соответствующем выборе направления проектирования этот квадрат может быть изображением куба, параллелепипеда и даже цилиндра, диаметр основания которого равен высоте (рис. 1.64).

Такое изображение, конечно, не является наглядным. Более того, оно не дает однозначного представления об оригинале.

Для более сложных фигур и вовсе не удается построить наглядных изображений при проектировании на одну плоскость. Этот

Рис. 1.63

Рис. 1.64

Рис. 1.65

недостаток можно устранить, если построить не одну, а две или три проекции. На рис. 1.65 куб и цилиндр проектируются на три попарно перпендикулярные плоскости. Эти проекции дают вид фигуры спереди, сверху и слева. Они позволяют создать однозначное представление о самой фигуре.

Задачи и упражнения

69. На рис. 1.66 изображена составленная из многогранников фигура и три ее проекции. Нарисуй по этому образцу три проекции фигур, изображенных на рис. 1.67.

Рис. 1.66

70. На рис. 1.68 даны три проекции (вид спереди, вид сверху и вид слева) известных тебе пространственных фигур. Определи, какие это фигуры.

Рис. 1.67

Рис. 1.68

71. На поверхности прозрачного куба нарисовали пространственную ломаную (рис. 1.69). В верхней строке таблицы даны: изображение куба и ломаной на нем; три проекции куба и ломаной (вид спереди, вид сверху и вид слева). В остальных строках даны только изображения куба и ломаной и три проекции куба. Мысленно представь, как будет на этих проекциях куба располагаться проекция

ломаной. Затем для каждого случая заготовь в тетради три одинаковых квадрата — проекции куба. Нарисуй на них проекции ломаной.

Рис. 1.69

72. В следующей таблице (рис. 1.70) даны проекции куба и ломаной на ней спереди, сверху и слева. Для каждого случая нарисуй

прозрачный куб, а затем на его поверхности восстанови ломаную по ее проекциям.

Рис. 1.70

2. О названиях пространственных фигур. Оказывается, названия многих пространственных фигур, которые мы изучаем, пришли к нам еще из Древней Греции. Сами греки использовали для названия геометрических фигур названия предметов, на которые эти фигуры похожи. Так слово «пирамида» происходит от слова «пурама», которым называли гробницы фараонов в Древнем Египте. Гробницы имели форму четырехугольной пирамиды.

Слово «конус» происходит от греческого слова «конос», которым называли сосновую шишку. Параллелепипед получил свое название от греческих слов «параллелос» — идущий рядом и «эпипедос» — плоскость. Название «цилиндр» восходит к слову «коландер».

Так называли валик, которым пользовались женщины для прокатывания белья. Наконец, слово «сфера» происходит от греческого названия мяча.

3. Из истории числа π. Первым, кто столкнулся с отношением длины окружности к ее диаметру, был, по-видимому, еще древний человек, который плел из ивовых прутьев корзину или вершу для лова рыбы. Чтобы изготовить корзину необходимой ширины (диаметра), нужно заготовить прут определенной длины. Как показал опыт, этот прут должен быть примерно в 3 раза больше ширины корзины. Значит, первое приближенное значение числа я было равно 3.

Это подтверждают и многочисленные записи, сделанные на разных языках и в разные времена. Так, например, на табличке из обожженной глины, найденной в Месопотамии, было написано: «Если 60 есть окружность, то третья часть от 60 представляет собой 20. Это есть диаметр».

Позже, усовершенствовав науку об измерении, египтяне заметили, что диаметр окружности не содержится в ее длине ровно три раза. Об этом можно судить по сохранившимся папирусам математического содержания. В них можно найти уже более точное значение числа я, равное

В виде десятичной дроби это число с точностью до сотых запишется так: 3,16. Этот, как и все другие геометрические результаты, египетские математики установили не с помощью логических рассуждений, а опытным путем.

Поиски более точного значения числа я продолжались и в Древней Греции. К этому побуждали задачи на вычисление объема шара, других круглых тел и астрономические наблюдения. Греческие ученые считали, что отношение длины окружности к диаметру может быть записано обыкновенной дробью. Архимед впервые провел вычисление числа я на основе теоретических рассуждений и нашел для него значение ~. В виде конечной десятичной дроби это значение приближенно запишется так: я = 3, 143. (У конечной десятичной дроби после запятой конечное число знаков.)

В старших классах вы познакомитесь с бесконечными десятичными дробями. У этих десятичных дробей после запятой бесконечно много знаков. Оказывается, число я тоже можно выразить только бесконечной десятичной дробью. Поэтому любая запись числа я в виде конечной десятичной дроби дает лишь приближенное значение этого числа с избытком или недостатком.

Выдающийся русский математик швейцарского происхождения Л. Эйлер (1707-1783), пользуясь методами высшей математики, вычислил я с точностью до 153 десятичных знаков. После опубликования его работы в математике стали употреблять уже привычное нам обозначение частного от деления длины окружности на ее диаметр с помощью греческой буквы я (первая буква в греческом слове «периферия» — круг).

Следует заметить, что ранее нидерландский математик Лудольф ван Келен провел долгие вычисления ив 1615 году опубликовал число я с 35 десятичными знаками. Вот это число:

3,14159265358979323846264338327950288.

Уточнение числа я продолжалось и после Эйлера. Некто Шенкс в 1873 году опубликовал значение я с точностью до 707 десятичных знаков. В 1946-1947 годах у числа я было найдено уже 808 десятичных знаков. При этом оказалось, что в вычислениях Шенкса допущена ошибка, начиная с 528 знака. В 1958 году была опубликована первая тысяча десятичных знаков числа я, найденная при помощи ЭВМ.

Современные ЭВМ позволяют вычислить число я практически с любой степенью точности. Однако для обычных вычислений

с числом я вполне достаточно знать лишь два знака после запятой. Не требуют знания огромного числа десятичных знаков и более точные вычисления.

Если все же вам хочется знать число к более точно, то полезно запомнить следующее двустишие, в котором количество букв в словах равно соответствующим запоминаемым цифрам, составляющим число я:

Это я знаю и помню прекрасно:

3 14 15 9

Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

2 6 5 3 5 8

Еще более известно старое русское двустишие:

Кто и шутя и скоро пожелает(ъ)

3 14 15 9

Пи узнать число, уж(ъ) знает(ъ). 2 6 5 3 6

Здесь при подсчете букв надо учитывать, что в старой орфографии некоторые слова оканчиваются буквой «ер» (твердым знаком), а последний знак округлен.

§ 4. Геометрические досуги

1. У тебя наверняка сохранились обыкновенные детские кубики, которые ты так любил в детстве. Если их 27 штук, то можешь считать себя счастливцем. Ты можешь изготовить удивительно интересную игру, которая придумана датчанином Питером Хейном и называется «Сома».

Игра заключается в том, что из семи элементов складываются различные фигурки. Сами элементы составляются из трех или четырех кубиков, склеенных между собой гранями (рис. 1.71).

Чтобы появились навыки в сборке фигурок, сначала стоит попробовать собрать фигурки, состоящие из двух элементов (рис. 1.72). Затем попытайся собрать фигурки из трех, четырех, пяти, шести

элементов. Наконец, собери куб из всех семи элементов. Оказывается, последняя задача имеет более 230 решений.

Игра «Сома» поможет тебе развить пространственное воображение. Действуя методом проб и ошибок, ты будешь на сборку каждой фигурки тратить очень много времени. Поэтому, прежде чем приступать к сборке, стоит проанализировать будущую фигурку.

Еще один совет. Первоначально старайся использовать элементы 5, 6 и 7. Самый простой элемент 1 лучше использовать последним.

Изготовив несколько наборов для игры «Сома», можно устроить соревнования. Побеждает тот, кто быстрее других сложит заданную фигуру или несколько выбранных фигур.

На приведенных здесь рисунках дана лишь небольшая часть фигурок, которые можно собрать из элементов игры «Сома». Ты можешь найти свои и нарисовать их.

Рис. 1.71

Рис. 1.72

Фигурки из трех элементов.

Рис. 1.73

Фигурки из четырех элементов.

Рис. 1.74

Фигурки из пяти элементов.

Рис. 1.75

Фигурки из шести элементов.

Рис. 1.76

Фигурки из всех семи элементов

Рис. 1.77

Рис. 1.78

2. Для игры, о которой мы расскажем теперь, потребуется каркасная модель куба и восемь пластилиновых шариков четырех цветов, по два шарика каждого цвета.

В игру играют двое. Они по очереди прикрепляют по одному шарику к вершинам куба, причем прикреплять несколько шариков к одной вершине и переставлять уже укрепленные шарики запрещается. Первый играющий должен добиться того, чтобы в конце игры у куба нашлась такая вершина, чтобы к ней и к трем соседним с ней вершинам были прикреплены шарики разных цветов. Второй играющий стремится помешать первому. Кто из них выиграет?

Оказывается, при правильной игре всегда выигрывает тот, кто вступает в игру вторым. Как ему для этого нужно играть?

3. Если посмотреть на рис. 1.80 - 1.82, то поначалу покажется, что на них изображены некоторые пространственные фигуры. Однако это только первое впечатление. В действительности таких фигур не существует. Подобные рисунки получили название «невозможных фигур». Хотя невозможные фигуры абсурдны, многие

Рис. 1.79

Рис. 1.80 Рис. 1.81

люди увлечены их рисованием и изучением. Проводятся выставки рисунков невозможных фигур, их изучают психологи и математики.

На рис. 1.80 изображен пространственный псевдотреугольник, который придумал английский математик Р. Пенроуз, а фигуры на рис. 1.81 и 1.82 принадлежат шведскому архитектору О. Рутерсварду.

Рис. 1.82

4. Однажды на уроке географии учитель задал вопрос:

— Как найти расстояние между северным и южным полюсами?

— Расстояние между полюсами равно половине земного меридиана, — сразу ответил Сережа.

— Молодец, — похвалил учитель.

— Я не согласен, — возразил Дима. — Расстояние между двумя точками равно длине отрезка с концами в этих точках. Поэтому расстояние между полюсами равно диаметру земного шара.

Учитель на минуту задумался и сказал:

— Ты тоже прав. Молодец. Но...

Постарайся догадаться, что ответил Диме учитель географии.

5. Представь, что земной шар по экватору опоясали веревкой. Затем к веревке добавили еще один метр и расположили ее в плоскости экватора как концентрическую с ним окружность. Может ли в образовавшийся между земной поверхностью и веревкой зазор пролезть мышь?

6. Еще одна задача на ту же тему. Теперь вообрази, что земной шар плотно обтянут по экватору стальной проволокой. Что произойдет, если эта проволока охладится на Г? При охлаждении на Г стальная проволока укорачивается на одну стотысячную часть своей длины. Если при этом она не разорвалась и не растянулась, то как глубоко она врежется в почву? При решении задачи считай экватор равным 40 ООО км.

Глава II

Площадь

§ 5. Площадь плоской фигуры

1. Понятие площади фигуры. Ты наверное был свидетелем того, как родители готовились к ремонту квартиры. Чтобы закупить необходимое количество краски, обоев, кафельной плитки и т. д., они долго обмеряли комнаты и зани-

мались вычислениями. Для чего проводились эти измерения и вычисления? Ты, конечно, ответишь: «Для нахождения площади» (площади стен, площади пола и т. д.).

Давайте вспомним, что мы уже знаем об измерении площадей.

Рассмотрим простую замкнутую линию. Эта линия разбивает все точки плоскости на точки, лежащие внутри линии, и точки, лежащие вне ее. Первое множество точек образует фигуру, обозначенную на рис. 2.1 буквой F.

Фигура F занимает некоторую часть плоскости. Любая другая фигура, ограниченная замкнутой линией, также занимает определенную часть плоскости. Иногда эти части удается легко сравнить друг с другом. Так, на рис. 2.2 треугольник целиком принадлежит кругу, а круг — квадрату. В этом случае мы говорим, что площадь треугольника меньше площади круга, а площадь круга меньше площади квадрата.

На рис. 2.3 показано, как фигуру Q можно наложить на фигуру F, так, чтобы она целиком ей принадлежала. Здесь мы снова говорим, что площадь фигуры Q меньше площади

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Рис. 2.3

фигуры F. Однако такое наложение можно выполнить не всегда. Попробуйте, например, наложить и сравнить фигуры Fi и F2 на рис. 2.4.

Для сравнения отрезков и дуг мы использовали процесс их измерения. При этом с помощью выбранной единицы измерения отрезку (дуге) ставится в соответствие положительное число — его (ее) длина.

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Если выбрать единицу измерения площадей, то аналогично можно фигуре F поставить в соответствие положительное число — ее площадь. В качестве единицы измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения длины.

Если сторона квадрата равна 1 см, то соответствующая единица измерения площадей называется квадратный сантиметр и обозначается см2. Аналогично вводятся квадратный миллиметр (мм2), квадратный дециметр (дм2), квадратный метр (м2), квадратный километр (км2). Рис. 2.5 показывает, что в 1 дм2 содержится 100 см2: 1 дм2 =100 см2.

Некоторые соотношения между единицами измерения площадей приведены в таблице.

Рассмотрим фигуры, изображенные на рис. 2.6. Прямоугольник на рис. 2.6а разбит на квадратные сантиметры. Этих квадратов — 12. Значит, площадь прямоугольника равна 12 см2. Квадрат на рис. 2.66 имеет площадь 16 см2, а фигура на рис. 2.6в — 11 см2. Во всех рассмотренных примерах единица

Рис. 2.6

измерения укладывается в фигуре целое число раз. А как быть в тех случаях, когда этого не происходит?

Вспомним известный вам способ приближенного нахождения площади фигуры с помощью палетки. (Палетка — прозрачная пленка, на которую нанесена сетка с размером ячейки 1 см X 1 см.)

На рис. 2.7 палетка наложена на фигуру. При этом ровно 10 клеток содержится внутри фигуры, а еще 20 клеток содержат ее части. Таким образом, фигуру покрывают 30 клеток. Наименьшее число клеток, покрывающих фигуру, равно 30. Так как площадь клетки равна 1 см2, то можно сказать, что площадь S фигуры больше 5j = 10 см2, но меньше S^ - 30 см2. (Si — площадь клеток, целиком содержащихся в фигуре, a5j — площадь клеток, частично ее покрывающих.) При этом St < S < 5,.

Найденные величины S^ и S^ значительно отличаются друг от друга. Поэтому за площадь измеряемой фигуры можно приближенно принять среднее арифметическое этих величин:

Рис. 2.7

Примечание. Чтобы найти площадь фигуры более точно, можно клетки, частично принадлежащие фигуре, разбить на квадратные миллиметры. Затем подсчитать число миллиметровых клеток, целиком содержащихся внутри фигуры, и прибавить их общую площадь к S х- При этом мы получим некоторую величину S2. Так же точно подсчитаем число миллиметровых квадратов, лежащих вне фигуры, и вычтем их общую площадь из 5t. При этом мы получим величину S2 . Ясно, что S2 < S < S2 , но в то же время

Значит, среднее арифметическое будет давать более точное значение площади фигуры.

Теоретически этот процесс можно неограниченно продолжать. Каждый раз новое значение среднего арифметического будет все точнее отражать истинную величину площади фигуры.

Если две фигуры равны, то есть совпадают при наложении друг на друга, то единица измерения площадей и ее части укладываются в этих фигурах одинаковое число раз. Поэтому равные фигуры имеют равные площади.

Линия / разбивает фигуру F на рис. 2.8 на две фигуры F{ и F2. Часть плоскости, занимаемая всей фигурой F, является объединением частей, занимаемых фигурами и F2. Поэтому если фигура разбита на несколько фигур, то площадь всей фигуры равна сумме площадей этих фигур.

На практике часто приходится находить площади фигур, граница которых состоит из нескольких непересекающихся замкнутых линий. Так, на рис. 2.9 границей кольца является пара концентрических

Рис. 2.8

Рис. 2.9

окружностей. Чтобы найти площадь кольца, заметим, что внутренняя окружность разбивает большой круг на малый круг и это кольцо. Пусть SХу S2 и S — площади малого, большого кругов и кольца соответственно, тогда S2 = Si + S. Отсюда находим, что площадь кольца S = S2 -

Задачи и упражнения

73. Фигуры на рис. 2.10 разбиты на квадраты со стороной 1 см. Найди площади этих фигур.

Рис. 2.10

74. Сторона квадратной клетки в тетради по математике равна 0,5 см. Используя клетчатую бумагу, нарисуй квадратный сантиметр. Какова площадь одной клетки? Почему?

75. В тетради по математике нарисованы фигуры (рис. 2.11). Найди их площади.

Рис. 2.11

76. Саша нарисовал прямоугольник и решил найти его площадь. Случайно Саша поставил в тетради две кляксы (рис. 2.12). Можно ли теперь найти площадь прямоугольника?

Рис. 2.12

Рис. 2.13

77. Из бумаги вырезали различные фигуры и наложили их на клетчатую бумагу так, как показано на рис. 2.13. Найди площади этих фигур.

78. На фигуры наложили палетку (рис. 2.14), разделенную на квадратные сантиметры. Найди приближенные значения площадей этих фигур.

Рис. 2.14

79. Нарисуй в тетради 1 см2 и 1 дм2. Постарайся запомнить размеры этих квадратных единиц.

80. Отмерь на полу в углу комнаты 1 м2. Постарайся запомнить размеры этой квадратной единицы.

81. В каких единицах лучше измерять площадь: а) комнаты; б) тетрадного листа; в) территории нашей страны?

82. Какую часть квадратного метра составляют: а) 10 см2; б) 250 см2; в) 1 дм2; г) 50 дм2; д) 100 дм2?

83. Вырази:

а) в квадратных миллиметрах

б) в квадратных сантиметрах -

в) в квадратных метрах

84. Вырази:

а) в квадратных дециметрах

б) в квадратных метрах

в) в квадратных километрах

85. Вставь вместо точек нужное число:

86. Сравни и вставь вместо звездочки знак =, > или <:

87*. Морская миля имеет длину 1852 м. Вырази квадратную милю: а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах.

88. Сколько квадратных миллиметров в - м2?

89. От листа картона, площадь которого равна 1 м2, отрезали ~ часть. Найди площадь оставшейся части картона. Ответ дай в: а) м2; б) дм2.

90. Площадь школьных коридоров составляет 3200 м2. Одной банки краски хватает для покраски 25 м2 пола. Сколько банок краски необходимо заготовить, чтобы ее хватило для покраски всех школьных коридоров?

91. При оклейке стен на 1 м2 расходуется 0,25 рулона обоев. Сколько рулонов обоев нужно заготовить, чтобы их хватило на оклейку комнаты, площадь всех стен которой 42 м2, если площадь окон и двери составляет — общей площади?

2. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Мы знаем, что равные фигуры имеют равные площади. Фигуры на рис. 2.15 не являются равными, но их площади равны. Две фигуры, площади которых равны, называют равновеликими.

В дальнейшем для вычисления площадей плоских фигур мы будем использовать еще одно понятие — равносоставленность. Две плоские фигуры Fи F' называются равносостав-

Рис. 2.15

ленными, если их можно разбить на одно и то же число соответственно равных частей.

Фигуры F и F' на рис. 2.16 разбиты на 7 частей каждая. При этом = F^, F2 = F2', F3 = F3', FA = FA, F5 = F$, F6 = F6', F1 = F7'. Значит, фигуры F к F' равносоставлены.

Мы знаем, что

- если фигура разбита на части, то площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей;

- равные фигуры равновелики.

Поэтому если две фигуры равносоставлены, то они равновелики.

Это свойство часто помогает при вычислении площадей фигур. Фигуру F, площадь которой нужно найти, разбивают на такие фигуры Fx, F2,... F^, чтобы из них можно было составить фигуру F', площадь которой известна. Так, фигуру F (рис. 2.17а) можно разбить на фигуры Flf F2, F3 (рис. 2.176), а затем из них составить прямоугольник F' (рис. 2.17в). Если считать, что площадь квадратной клетки равна 1 см2, то площадь этого прямоугольника равна 8 см2. Следовательно, площадь фигуры F также равна 8 см2.

Рис. 2.16

Рис. 2.17

Обычно специально рассматриваются равносоставленные многоугольники. (Речь, разумеется, идет о плоских многоугольниках.) Два многоугольника называются равносоставленными, если их можно разбить на одно и то же число соответственно равных многоугольников.

Ясно, что два равносоставленных многоугольника равновелики. Оказывается, для многоугольников имеет место следующая удивительная теорема: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены. Иными словами, если два многоугольника имеют равные площади, то любой из них

Рис. 2.18

можно разрезать на такие многоугольники, из которых можно сложить другой.

Многим из вас, наверняка, приходилось складывать равносоставленные многоугольники, играя в игру «Пифагор». В этой игре квадрат разрезается на 7 многоугольников так, как показано на рис. 2.18а. Используя все 7 деталей, по заданным образцам составляют плоские изображения различных предметов и животных. При этом полученные фигуры будут равносоставлены с исходным квадратом (см. рис. 2.186 и 2.18в). Другие равносоставленные с квадратом фигуры ты найдешь в задаче 95.

Задачи и упражнения

92. На рис. 2.19 найди равновеликие фигуры.

Рис. 2.19

93. Перерисуй в тетрадь изображенные на рис. 2.20 четырехугольники и докажи, что они равносоставлены.

94. Используя понятие равносоставленности, найди площади фигур, нарисованных на клетчатой бумаге (рис. 2.21).

95. Нарисуй на плотной бумаге квадрат, вырежи его и разрежь на 7 частей так, как показано на рис. 2.18а. У тебя получилась игра «Пифагор». Составь фигуры, изображенные на рис. 2.22.

Рис. 2.20

Рис. 2.21

Рис. 2.22

§ 6. Площадь прямоугольника и квадрата

1. Формула для вычисления площади прямоугольника. В качестве единицы измерения площади мы взяли квадрат, сторона которого равна единице измерения длины. Чтобы вычислить площадь некоторой плоской фигуры, нужно узнать, сколько раз выбранная единица измерения и ее доли укладываются в этой фигуре. Наиболее просто эта задача решается в том случае, когда фигура является прямоугольником, длины сторон которого — целые числа а и Ъ. Здесь единичный квадрат укладывается в прямоугольнике целое число раз. Такой прямоугольник содержит Ъ рядов, в каждом из которых а квадратов. Поэтому площадь S прямоугольника численно равна произведению а • Ъ. На рис. 2.23а а = 6см,Ь = 3 см, и, значит, 5 = 6-3= 18 (см2).

Таким же образом вычисляется площадь квадрата, сторона которого — целое число а. Здесь площадь S численно равна а • а = а2. На рис. 2.236 а = 4 см и S = 42 = 16 (см2).

Возникает вопрос: как вычислить площадь S прямоугольника, если длины его сторон а и Ъ — произвольные числа, не обязательно целые. Оказывается, и в этом случае площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.

Рис. 2.23

Наших знаний для доказательства этой формулы пока еще недостаточно. Поэтому мы примем ее без доказательства.

Ясно, что площадь S квадрата со стороной а равна я2, т. е. площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

Задачи и упражнения

96. Вычисли площадь прямоугольника со сторонами а и Ь, если:

97. Перерисуй таблицу в тетрадь и заполни ее. а и b — длины сторон прямоугольника, a S — его площадь.

а

54 см

37 мм

b

48 см

17 дм

S

493 дм2

444 мм2

Рис. 2.24

98. Проведи необходимые измерения и найди площади следующих фигур (рис. 2.24).

99. Стороны а и Ъ прямоугольника равны 12 см и 18 см соответственно. Как изменится площадь прямоугольника, если:

а) сторону а увеличить в 3 раза, а сторону Ъ уменьшить в 3 раза;

б) сторону а уменьшить на 3 см, а сторону Ъ увеличить на 3 см;

в) обе стороны увеличить в 3 раза;

г) обе стороны увеличить на 2 см;

д) обе стороны уменьшить на 5 см;

е) обе стороны уменьшить в б раз;

ж) сторону а уменьшить на 2 см, а сторону Ъ увеличить в 3 раза?

100. Сторона квадрата равна 16 см. Как изменится площадь квадрата, если:

а) его стороны увеличить в 2 раза;

б) его стороны уменьшить в 4 раза;

в) его стороны увеличить на 2 см;

г) его стороны уменьшить на 4 см ?

101. Как изменится площадь квадрата, если его стороны увеличить:

а) в 2 раза; б) в 3 раза; в) в п раз?

102. Во сколько раз нужно увеличить сторону квадрата, чтобы его площадь увеличилась:

а) в 4 раза; б) в 9 раз; в) в п2 раз?

103. Начерти квадрат. Теперь начерти второй квадрат, площадь которого в 4 раза больше площади первого квадрата.

104. Начерти квадрат. Теперь начерти второй квадрат, площадь которого в 4 раза меньше площади первого квадрата.

105. Длина прямоугольника равна 9 см, а его ширина — 4 см. Найди сторону квадрата, равновеликого данному прямоугольнику.

106. Два прямоугольника равновелики. Длина первого прямоугольника равна 4,8 дм, а ширина — 2,1 дм. Найди ширину второго прямоугольника, если его длина в 3 раза больше длины первого.

107. Ширина прямоугольника равна 12 см, а длина — в 4 раза больше. Чему равна площадь этого прямоугольника?

108. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его площадь — 12 см2. Найди стороны этого прямоугольника, если известно, что они являются целыми числами.

109. Длина прямоугольника равна 18 дм, а ширина составляет — его длины. Найди периметр и площадь этого прямоугольника.

110. Два листа бумаги имеют форму прямоугольника. Измерения первого прямоугольника 2— см и 1— см, а измерения второго Ijcm и 3-^- см. Какой прямоугольник имеет большую площадь?

2. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и куба. На рис. 2.25 изображен прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны а, Ъ, с.

Поверхность параллелепипеда состоит из трех пар попарно равных прямоугольников. (Найди попарно равные грани на рисунке.) Площадь грани AXB\C\DX равна ab, грани A1ADD1 — ас, а грани CC^D^D — be. Поэтому площадь S всей поверхности параллелепипеда вычисляется так:

Рис. 2.25

Гранями куба со стороной а являются равные квадраты (рис. 2.26), площади которых равны а2. Значит, площадь поверхности куба вычисляется по формуле:

S=6a2.

Задачи и упражнения

111. Вычисли площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами а,Ьис, если:

а) а = 12 см, Ъ = 28 см, с = 13 см;

б) а = 3,1 дм, Ъ = 1,7 сЫ, с = 30 см;

в) а= 1,1 м, Ь = 2,5 Эл*, с = 23 см;

112. Вычисли площадь поверхности куба со стороной а, если: а) а = 11 см; б) а = 2,5 Эл*; в) а = 0,6 ж.

113. Проведи необходимые измерения и найди площадь поверхности спичечного коробка.

114*. Прямоугольный лист цветной бумаги имеет размеры 14 см и 8 см. Можно ли этим листом бумаги оклеить коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями Асм, 2 см и 8 см?

115. Имеется бумажная полоска длиной 30 см и шириной 5 см. На какое наименьшее число частей нужно разрезать полоску, чтобы оклеить куб со стороной 5 см?

116. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов можно сложить из 12 единичных кубиков? Какие измерения будет иметь параллелепипед, имеющий наименьшую площадь поверхности?

117. Каркас аквариума имеет форму прямоугольного параллелепипеда длиной 60 см, шириной 30 см и высотой 40 см.

Рис. 2.26

Хватит ли листа стекла размерами 1,5 м х 0,6 м, чтобы застеклить этот аквариум? Если хватит, то как можно разрезать этот лист?

118*. Три различные грани прямоугольного параллелепипеда имеют площади 12 дм2, 15 дм2 и 20 дм2. Найди длины ребер этого параллелепипеда.

§ 7. Площадь треугольника

1. Площадь прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник ABC с катетами а и b (рис. 2.27) достроим до прямоугольника ADBC. Треугольники ABC и

ABD будут равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади ab прямоугольника.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов.

Рис. 2.27

Примечание. Наше изложение наглядно показывает, как в математике можно получать новые факты с помощью рассуждений. Мы умели вычислять площадь прямоугольника. Знали, что диагонали прямоугольника делят его на два равных прямоугольных треугольника. Это помогло нам с помощью рассуждений найти формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника.

Задачи и упражнения

119. Запиши формулу для вычисления площади прямоугольного равнобедренного треугольника с боковой стороной а.

120. Проведи необходимые измерения и найди площадь треугольника ЕКМ (рис. 2.28).

121. Построй прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4 см, а площадь — 10 см2.

122. Найди площадь ромба с диагоналями 8 сми 12 см. 123*. Диагонали ромба имеют длины d\ и d2. Запиши формулу для вычисления площади этого ромба.

Рис. 2.28

2. Площадь произвольного треугольника. Мы научились находить площадь прямоугольного треугольника. Воспользуемся этим для вычисления площади произвольного треугольника. Это можно сделать, если получить произвольный треугольник из двух прямоугольных. Поступим следующим образом. Из вершины А опустим высоту АН на сторону ВС (рис. 2.29а) или ее продолжение (рис. 2.29б). Сторону,

Рис. 2.29

на которую опущена высота, обычно называют основанием треугольника.

Обозначим: \ВС\ = а,\АН\ = h,\BH\ =аь\НС\ = а2.

В первом случае высота АН разбивает треугольник ABC на два прямоугольных треугольника АВН и ACH, причем а\ + а2 = а- Площадь S^abc треугольника ABC будет равна сумме площадей S^abh и S^qu этих треугольников: S^bc =

Следовательно, для рис. 2.29а

Во втором случае а2 - а^ = а, а площадь треугольника ABC равна разности площадей прямоугольных треугольников ACH и АВН (при а2 > а{)\

Мы пришли к той же формуле, которую получили в первом случае.

Таким образом, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Задачи и упражнения

124. Пусть а — основание, h — высота, a S — площадь треугольника. Найди:

а) Sy если а = 17 сму h= 14 см;

б) h, если а = 21 CMy S = 105 см2;

в) я, если h = 1,2 Эл*, 5 = 132 ом2;

г) S у если а = 2,4 м, h в 3 раза короче а;

д) а, если S = 54 дл*2, я = 3/г;

е) 5, если а = 24,5 сл*, /г на 14,3 см короче а.

125. Проведи необходимые измерения и найди площади треугольников ABC и ЕКМ (рис. 2.30).

Рис. 2.30

126. Стороны AB и треугольника ABC соответственно равны 15 см и 18 ел*, а высота, проведенная к стороне АВУ равна 12 см. Найди высоту, проведенную к стороне ВС.

127*. Используя формулу для вычисления площади треугольника, докажи, что высоты, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

128. Сравни площади двух треугольников, на которые разбивается произвольный треугольник его медианой.

129. Площадь треугольника ABC равна 45 см2. Точка Е лежит на стороне АС и делит ее так, что I АЕ \ : \ ЕС I =2:1. Найди площади треугольников ABE и ЕВС.

130*. Площадь треугольника ABC равна S. Точка Е делит сторону АС этого треугольника так, что I АЕ \ : I ЕС \ - m : п. Найди площади треугольников ABE и ЕВС.

3. Площади параллелограмма, трапеции и произвольного многоугольника. При вычислении площадей удобно одну из сторон параллелограмма назвать основанием, а перпендикуляр к прямой, содержащей основание, проведенный из любой точки противоположной стороны, — высотой параллелограмма.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 2.31). Пусть \AD\ = а, I ВНI = /г, где ВН — высота параллелограмма. Диагональ BD делит параллелограмм на два равных треугольника ABD и CDB. (Вспомни, почему.) При этом|£С| =\AD\ =a,\DE\ =\ВН\ = h, где I DE I — высота треугольника CDB. (Объясни, почему.) Площадь S параллелограмма может быть найдена так:

Следовательно, площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Теперь рассмотрим трапецию (рис. 2.32). Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание, называется высотой трапеции.

Пусть основания трапеции AD и ВС имеют длины я и 6, а ее высота равна h.

Рис. 2.31

Рис. 2.32

Площадь S трапеции вычисляется следующим образом:

Таким образом, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Для вычисления площади произвольного многоугольника его, как правило, разбивают на треугольники и находят их площади. Площадь S всего многоугольника равна сумме площадей этих треугольников. На рис. 2.33 шестиугольник разбит на четыре треугольника и его площадь S = Sx + S2 + S3 + S4, где Slf 52, 53 и 54 — площади треугольников.

Рис. 2.33

Задачи и упражнения

131. Пусть а — основание, h — высота, a S — площадь параллелограмма. Найди: a) S, если а = 23,4 см, h = 11,1 ел*; б) А, если а = 1,6 м, S = 9,6 л*2; в) S, если h = 2,21 Эл*, а а на 3,4 см длиннее, чем h.

132. Найди площадь параллелограмма, если его диагональ равна А см и перпендикулярна стороне параллелограмма, равной 3 см.

133. Построй параллелограмм со стороной А сми площадью 20 см2. Сколько таких параллелограммов можно построить?

134*. Используя понятие равносоставленности многоугольников и рис. 2.33, дай другой вывод формулы для вычисления площади параллелограмма.

135. Пусть а и Ъ — основания, h — высота, a S — площадь трапеции. Найди: a) S, если а + Ъ - 24,3 см, h = 5,2 см;

136. Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой.

В прямоугольной трапеции основания равны 9 см и 13 см, а меньшая боковая сторона — 8 см. Найди площадь этой трапеции.

Рис. 2.34

137*. Меньшее основание трапеции равно ее высоте и на 2 см короче другого основания. Найди основания трапеции, если ее площадь равна 20 см2.

138. Проведи необходимые измерения и найди площади следующих фигур (рис. 2.34).

4. Теорема Пифагора. Построим квадраты на сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (рис. 2.35). Эти квадраты можно разбить на треугольники, равные исходному треугольнику ABC. Из рисунка видно, что квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из четырех таких треугольников, а квадраты, построенные на катетах, — из двух. Поэтому площадь квадрата, построенного на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Интересно посмотреть, будет ли верным это утверждение для произвольного прямоугольного треугольника (рис. 2.36).

Рис. 2.35

Рис. 2.36

Здесь афЬ,и рассмотренное выше разбиение квадратов уже не приводит к равным треугольникам. Поэтому придется искать иной путь рассуждений.

Построим два равных квадрата со стороной а + Ь, где а и Ъ — катеты исходного треугольника ABC (рис. 2.37). На сторонах первого квадрата построим четыре прямоугольных треугольника, равных треугольнику ABC, так, как показано на рис. 2.37а.

Гипотенузы этих треугольников являются сторонами квадрата, равного квадрату, построенному на гипотенузе треугольника ABC. (Объясни, почему.) Площадь этого квадрата равна с2, а площадь каждого треугольника равна ~^аЬ- Площадь S большого квадрата можно, таким образом, записать так:

(1)

Второй квадрат со стороной а + Ъ разобьем на квадраты со сторонами а и Ъ и два равных прямоугольника (рис. 2.376). Площадь этого квадрата также равна 5. При этом:

(2)

Рис. 2.37

Из равенств (1) и (2) следует, что Отсюда

Последнее равенство выражает теорему Пифагора: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обычно эту теорему формулируют короче: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из теоремы Пифагора следует, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений (рис. 2.38).

При изучении основного курса ты узнаешь, что для теоремы Пифагора справедлива и обратная ей теорема: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Примечание. Теоремой, обратной данной, называют такую теорему, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы.

Рис. 2.38

Задачи и упражнения

139. В прямоугольном треугольнике а и Ъ - катеты, а с - гипотенуза. Найди:

а) с, если а = 5 см, Ъ = 12 см;

б) с, если а = 6 дм, 6 = 8 дм;

в) b, если а = 24 см, с = 25 см;

г) с, если ö + b = 7 см, а - b = 1 см.

140. Найди диагонали прямоугольника, стороны которого равны 12 м и 9 м.

141*. Построй произвольный квадрат. Теперь построй новый квадрат, площадь которого больше площади уже построенного: а) в 2 раза; б) в 3 раза.

142. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны имеют длины: а) 4 см, 5 см, 6 см; б) 8 дм, 15 дм, 17 дм; в) 15 см, 20 см, 25 см.

§ 8. Площадь круга

1. Площадь круга и его частей. Пусть требуется найти площадь круга радиуса R (рис. 2.39). Ясно, что целиком покрыть круг единичными квадратами, которые хотя бы частично не выходили бы за пределы круга, нельзя (рис. 2.40). Поэтому придется искать способ вычисления площади круга косвенным путем, с помощью рассуждений.

Часть круга, ограниченную двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей их концы, называют круговым сектором, или просто сектором. Дугу, которая ограничивает сектор, называют дугой сектора. Любые два радиуса круга разбивают его на два сектора (рис. 2.41). Один сектор на этом рисунке заштрихован.

Рис. 2.39 Рис. 2.40 Рис. 2.41

Два взаимно перпендикулярных диаметра круга разбивают его на четыре равных сектора (рис. 2.42а). Из этих секторов составим фигуру, изображенную на рис. 2.42б. Она немного напоминает параллелограмм.

Если круг разбить не на четыре равные части, а на восемь, то составленная таким же образом фигура будет походить на параллелограмм еще больше (рис. 2.43).

На рис. 2.44 круг разбит уже на 16 равных частей, и из них вновь составлен «параллелограмм». Мысленно такое деление и составление «параллелограммов» можно продолжить и дальше.

Рис. 2.42

Рис. 2.43

Рис. 2.44

«Волнистая» сторона таких «параллелограммов» будет стремиться выпрямиться в отрезок, длина которого равна половине длины окружности, ограничивающей этот круг. При этом высота «параллелограммов» будет стремиться к R. Поэтому за площадь круга мы можем принять площадь параллелограмма, высота которого равна радиусу R круга, а основание — половине длины окружности, ограничивающей этот круг.

Длина L окружности радиуса R вычисляется по формуле

поэтому

Для площади S круга имеем:

Таким образом, площадь круга радиуса R вычисляется так:

Выведем формулу для вычисления площади S кругового сектора радиуса Я, ограниченного дугой, градусная мера которой равна а. Для этого заметим, что площадь сектора, ограниченного дугой в составляет - площади всего круга, т.е. -. Площадь сектора, ограниченного дугой в а градусов, будет в а раз больше. Поэтому

Задачи и упражнения

143. Вычисли площадь круга, радиус R которого равен а) 10 см; б) 2 ж; в) 1,1 дм; г) 0,1 мм. (При вычислении возьми п = 3,14.)

144. Найди формулу для вычисления площади кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями с радиусами и R2 (R\ < R2) (рис. 2.45). Вычисли площадь кольца, если R± = 6 м, R2 = 8 м.

Рис. 2.45

Рис. 2.46

145. Запиши формулу для вычисления площади круга, диаметр которого равен D. Вычисли площадь круга при D = 20 см.

146*. Выведи формулу для вычисления площади круга, у которого длина ограничивающей его окружности равна L. Вычисли площадь круга при L = 31,4 м.

147. Как с помощью сантиметровой ленты найти площадь поперечного сечения растущего дерева?

148. Проведи необходимые измерения и найди площади заштрихованных фигур (рис. 2.46).

149. Не прибегая к вычислениям, сравни площади заштрихованных фигур на рис. 2.47.

150*. Докажи, что площадь круга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре, равна сумме площадей кругов, построенных таким же образом на катетах.

151. Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить в 3 раза; б) уменьшить в 3 раза; в) увеличить в k раз?

152. Как нужно изменить радиус круга, чтобы его площадь: а) увеличилась в 25 раз; б) уменьшилась в 16 раз?

153. Пусть R — радиус, а — градусная мера кругового сектора, а 5 — его площадь. Найди:

а) S, если R = 6 дм, а = 60°;

б) R, если S = 3,14 м2, а = 90°;

в) а, если S = 104,7 см2, R = 10 см.

Рис. 2.47

Рис. 2.48

154*. Радиус кругового сектора равен R, а длина ограничивающей его дуги - /. Найди площадь этого сектора.

155. Проведи необходимые измерения и вычисли площади секторов, изображенных на рис. 2.48.

2. Площадь поверхности цилиндра. До сих пор мы вычисляли площади плоских фигур: многоугольников, кругов и их комбинаций. Умея находить площади многоугольников, можно найти площадь поверхности любого многогранника. (Гранями многогранника являются плоские многоугольники.)

Основаниями цилиндра (рис. 2.49) служат окружности, их площади мы сможем найти. Но боковая поверхность

Рис. 2.49

цилиндра уже не является плоской. Как быть? Вспомним, что разверткой боковой поверхности цилиндра будет прямоугольник. Значит, чтобы вычислить площадь боковой поверхности цилиндра, нужно вычислить площадь этого прямоугольника.

Пусть R - радиус цилиндра, H - его высота. Обозначим через S0CHy S^n и S площади основания, боковой и полной поверхности цилиндра соответственно. Тогда S = Sßn + 2S0CH

Прямоугольник, являющийся разверткой боковой поверхности, имеет длину 2nR, равную длине окружности основания, и ширину Н, равную высоте цилиндра. Поэтому $6.п. = • H = 2RH. Площадь основания S0CH равна nR2.

Тогда S

Итак,

Задачи и упражнения

156. Пусть R - радиус, H - высота цилиндра, a S0CH, S^n и5-площади основания, боковой и полной поверхности соответственно. Найди:

а) S, если 50СН = 15,3 см2, 5б п = 16,8 см2;

б) 5, если R = 10 см, H = 2R;

в) Н, если R = 0,5 дм, S = 6,28 дм2.

157. Прямоугольник, длина которого 6 см и ширина 4 см, вращается сначала вокруг большей, а затем вокруг меньшей стороны. Сравни площади поверхностей получающихся при этом цилиндров.

Рис. 2.50

158. Найди площадь поверхности цилиндра, осевое сечение которого (рис. 2.50) представляет собой:

а) квадрат со стороной 5 см;

б) прямоугольник со сторонами 12 см и 8 см.

3. Площади поверхности конуса и шара. Рассмотрим конус радиуса R с образующей /. Его боковая поверхность также не является плоской. Но и она может быть развернута на плоскость, если ее разрезать по образующей (рис. 2.51).

Рис. 2.51

Разверткой боковой поверхности конуса будет круговой сектор радиуса /, ограниченный дугой, длина которой равна длине L = 2nR окружности основания конуса.

Обозначим через S0CH, S§n и S площади основания, боковой и полной поверхности конуса. Тогда

Для площади основания имеем: S0CH = nR2. Площадь S^n можно найти по формуле площади сектора:

(1)

В этой формуле неизвестна градусная мера а дуги сектора. Но ее поможет найти длина L этой дуги, которую мы уже записали:

L = 2kR. (2)

Пусть С — длина окружности радиуса /. Тогда С = 2л/. Длина дуги, соответствующей 1 равна: Длина дуги в а градусов запишется так:

Отсюда . Учитывая равенство (2), получим:

Подставим найденное значение а в формулу (1):

Так как S - S0CH + S^n = nR2 + nRl = nR(R + /), то площадь поверхности конуса с радиусом R и образующей / вычисляется по формуле:

Для вычисления площадей боковых поверхностей цилиндра и конуса мы развернули их на плоскость. Однако поверхность шара (сферу) на плоскость развернуть уже нельзя (рис. 2.52). Со способами вычисления площади сферы ты познакомишься только в 11 классе. Сейчас просто приведем готовую формулу.

Площадь сферы SC(p радиуса R вычисляется так:

Рис. 2.52

Задачи и упражнения

159. Пусть R - радиус, / - образующая конуса, а S0CH, S^u и S — площади основания, боковой и полной поверхности соответственно. Найди:

а) S у если S0CH = 18,8 дм2, 5б п = 15,4 дм2;

б) S, если R = 5 см,1 = 1 см;

в) /, если R = 2 м, S = 31,4 м2.

160. Может ли площадь боковой поверхности конуса быть:

а) равной площади основания;

б) меньше площади основания?

161. Найди площадь поверхности конуса, если его осевое сечение (рис. 2.53) представляет собой равнобедренный треугольник с боковой стороной 5 см и основанием 6 см.

162. Прямоугольный треугольник вращается сначала вокруг одного катета, затем вокруг другого катета. Сравни площади получающихся при этом конусов, если катеты треугольника равны 6 см и 8 см.

163. Найди площадь поверхности шара, если его радиус равен: а) 10 см; б) 1,5 дм; в) — м.

164. Сравни площадь поверхности шара и площадь его большого круга.

165*. Радиусы и площади поверхности цилиндра и шара равны. Найди высоту цилиндра, если его радиус 5 см.

Рис. 2.53

§ 9. Материалы для дополнительного чтения

1. Еще раз о единицах измерения площадей. Пожалуй, каждому теперь знакома такая единица измерения площадей, как сотка. Сотками обычно измеряют площади дачных и огородных участков. Одна сотка - это площадь квадрата со стороной 10 м. В сотке — 100 м2, этим и объясняется ее название. Иногда сотку называют иначе - ар: 1 а = 100 м2. Слово «ар» в переводе с греческого означает «площадь».

Для измерения площадей полей и небольших лесов чаще всего используется единица площади 1 гектар (1 га). Один гектар — это площадь квадрата со стороной 100 м. В гектаре 10000 м2. Слово «гектар» состоит из двух греческих слов «гекто» и «ар». Слово «ар» нам уже знакомо, а слово «гекто» означает «сто». Поэтому 1га =100 я.

При измерении площадей больших лесных массивов, морей, территорий государств и континентов используется квадратный километр. Один квадратный километр (1 км2) - это площадь квадрата со стороной 1 км, или 1000 м. В квадратном километре ЮООООО^2.

Итак:

Перечисленные единицы площади часто встречаются в текстовых задачах учебника математики. Поэтому мы их не стали специально рассматривать.

2. Из истории измерения площадей. Измерениями площадей многие народы начали заниматься почти одновременно с измерением длин. Древний земледелец должен был знать, какой участок ему нужно вспахать и засеять, чтобы вырастить необходимое количество зерна. Сборщики налогов должны были знать, какова площадь поля у каждого земледельца. Плодородная земля ценилась особо. О том, как ее измеряли и делили в Древнем Египте, мы уже говорили.

Старинные единицы измерения площади столь же разнообразны, как и единицы измерения длины. При этом сами принципы, лежащие в основе измерений, были различными. Там, где земли было много и она не очень ценилась, применялся способ измерения площадей по длине обхода. Ошибочно предполагалось, что равные периметры охватывают равные площади. В основе других единиц лежало количество пахотной земли, которое может вспахать за световой день упряжка волов. У некоторых народов мерой площади было количество зерна, необходимое для засева этой площади. Мерой площади мог быть участок, с которого платили дань.

Приведем примеры единиц измерения площади. В Вавилоне для измерения площади использовали «грядку» — квадрат со стороной в 12 локтей. 100 грядок составляли «поле», а 18 полей — колодец. По-видимому, из одного колодца можно было полить участок, равный 18 полям.

О познаниях египтян в области измерения площадей можно судить по дошедшему до нас папирусу, написанному при фараоне Раусе ученым писарем Ахмесом в период XX-XVII вв. до н. э. Есть основания считать, что папирус Ахмеса — рабочая тетрадь ученика, которая позднее была переписана писцом Ахмесом, не имеющим никакого математического образования. Тетрадь содержит многочисленные ошибки, которые исправлены красными чернилами. По всей вероятности, оригинал папируса принадлежал воспитаннику одной из земледельческих школ Древнего Египта, будущему землемеру или сельскому хозяину. Вся геометрия в этом папирусе излагается на частных примерах. Основная часть примеров относится к измерению площадей многоугольников и круга.

В одном из примеров начерчен квадрат и дано правило, как вычислять его площадь, если сторона равна 10. Ответ дан верный — 100. В другом примере находится площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 10 и основанием 4. Здесь ответ не совсем точен — 20. По-видимому, основание умножено на половину боковой стороны. Таким же образом вычисляется и площадь равнобедренной трапеции. В папирусе рассмотрено вычисление площади трапеции с основаниями 4,6 и боковой стороной 20. Для вычисления площади предлагается сложить основания и полученную сумму умножить на половину бокового ребра. Площадь круглого поля, диаметр которого равен 9, в папирусе вычисляется так: из диаметра вычитается — его длины, и полученное число возводится в квадрат. Результат вычислений — 64, он близок к более точному — 63, 617. Надписи на египетских храмах, относящиеся к более позднему периоду, доказывают, что египтяне и в I в. до н. э. все еще пользовались правилами, встречающимися в папирусе Ахмеса.

В Греции измерение и вычисление площадей фигур постепенно приобретает знакомый нам вид. Здесь геометрия все более отходит от конкретных задач измерения и становится теоретической наукой. В «Началах» Евклида мы находим формулы для вычисления площадей многоугольников, геометрическую иллюстрацию формул сокращенного умножения, теорему Пифагора. Дальнейшая заслуга в вычислении площадей круга и более сложных геометрических фигур принадлежит Архимеду.

В Риме единицей измерения площади был югер. Это слово происходит от латинского слова «югум» — ярмо. Так называлась деревянная рама, которую надевали на шеи двум волам. Югер соответствовал участку пахотной земли, который могла за день вспахать плугом пара волов.

На Руси в XI—XIII вв. единицей измерения площадей был плуг. В XIII-XV вв. основной мерой площади стала кадь. Это площадь, для засева которой необходимо примерно 24 пуда ржи (1пуд =16 кг). Половина кади называлась десятиной. Постепенно десятина стала основной мерой площади и применялась в России до введения метрической системы мер.

Интересным историческим документом, в котором изложены приемы измерения площадей в России, является «Книга сошного письма», впервые вышедшая в 1629 году.

3. Площади помогают при вычислениях. Рассмотрим рис. 2.54. На этом рисунке квадрат со стороной а + Ъ разбит на квадраты со сторонами аиЬи два равных прямоугольника.

Площадь S большого квадрата равна (а + Ь)2. С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей частей:

Таким образом,

(1)

Пусть теперь а > Ъ. Построим квадрат со стороной я, a затем квадраты со сторонами Ьиа - b так, как показано на рис. 2.55. Этот квадрат также оказался разбитым на два квадрата и два равных прямоугольника.

Рисунок показывает, что

Отсюда

Следовательно,

(2)

Рис. 2.54

Рис. 2.55

Наконец, возьмем квадрат со стороной а и отрежем от него квадрат со стороной Ъ (Ь<а) (рис. 2.56а). Площадь оставшейся фигуры (рис. 2.566) будет равна а2 - Ъ2.

Рис. 2.56

Разрежем эту фигуру по штриховой линии на два прямоугольника. Их этих прямоугольников можно составить новый прямоугольник со сторонами а + Ъ и а - b (рис. 2.56в). Последний прямоугольник равносоставлен с фигурой на рис. 2.566, а его площадь равна (а + Ь)(а - Ь). Поэтому

(3)

Формулы (1), (2), (3) называют формулами сокращенного умножения. С ними ты встретишься в 7 классе в курсе алгебры. Формулы сокращенного умножения применяются для упрощения вычислений. Приведем несколько примеров:

Задачи и упражнения

166. Вычисли, используя формулы сокращенного умножения:

167*. Используя понятие равносоставленности и формулы сокращенного умножения, придумай еще два доказательства теоремы Пифагора (рис. 2.57).

Рис. 2.57

4. Пифагор и его теорема. Имя Пифагора еще при жизни обросло многочисленными легендами. Поэтому составить достоверный рассказ о жизни и деятельности этого великого греческого ученого вряд ли возможно.

Пифагор жил в XI в. до н.э. Он родился на острове Самос и до 18 лет жил там. Затем некоторое время Пифагор жил у своего дяди на острове Лесбос и обучался у философа Ферекида. В дальнейшем Пифагор перебрался в Малую Азию в город Милет и продолжил свое образование под руководством Фалеса и Анаксимандра.

Рассказы Фалеса о египетской науке и культуре побудили молодого ученого отправиться в Египет. Путем огромных усилий и тяжелых испытаний Пифагору удалось приблизиться к касте египетских жрецов. Это дало ему возможность в совершенстве овладеть всеми тонкостями египетской науки, в частности, математики.

Почти 20 лет Пифагор прожил в Египте. Вместе с другими египетскими жрецами он был пленен персидским царем Камбизом и следующие 12 лет провел в Вавилоне.

Пифагор возвратился на родину в возрасте 56 лет. Свидание с Грецией было недолгим, родина неласково встретила великого ученого. Пифагор поселился на юге Италии в городе Картоне. Здесь он создал свою научно-философскую школу. В основе религиозно-философского учения Пифагора лежало число. Ученый, его ученики и последователи пытались с помощью чисел объяснить все закономерности окружающего мира.

Школа Пифагора была разгромлена и сожжена. По одной из версий, самому Пифагору удалось бежать в Тарент, а затем в Метапонт. Здесь он и провел последние дни своей жизни.

В области математики Пифагору приписывают создание учения о числах, разработку теории арифметических, геометрических и гармонических пропорций, открытие иррациональных чисел, изучение правильных многоугольников и многогранников. Однако об этих открытиях ученого и его учеников сейчас говорят, не упоминая имени Пифагора. Зато теорему, носящую его имя, знает каждый.

Но, оказывается, теорема, связывающая гипотенузу и катеты прямоугольного треугольника, была известна задолго до Пифагора. Ее, по-видимому, знали в Вавилоне. Треугольник со сторонами 3,4 и 5 использовался в Древнем Египте при строительстве храмов и разметке земельных участков. (Так как З2 + 42 = 52, то треугольник со сторонами 3, 4 и 5 - прямоугольный.) В чем же заслуга Пифагора? Почему теорема носит его имя?

Дело в том, что египтяне и вавилоняне установили соотношение между гипотенузой и катетами опытным путем. Поэтому нельзя было утверждать, что оно выполняется для любого прямоугольного треугольника. Пифагор первым нашел доказательство теоремы путем логических рассуждений для любого прямоугольного треугольника.

5. Теорема Пифагора в пространстве. Одним из следствий теоремы Пифагора является утверждение о том, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. Оказывается, это предложение имеет естественное пространственное обобщение:

- квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

На рис, 2.58 изображен прямоугольный параллелепипед. Используя теорему Пифагора, попытайся самостоятельно найти доказательство сформулированного утверждения.

Рис. 2.58

§ 10. Геометрические досуги

7. Еще одна игра на составление фигур, равновеликих данному квадрату, пришла к нам из Китая. Она называется «Танграм». Для изготовления «Танграма» квадрат разрезается так, как показано на рис. 2.59. Используя все семь частей, можно складывать всевозможные фигуры: людей, животных, дома, корабли и т. д. Попытайся, например, составить фигуры, изображенные на рис. 2.60.

Рис. 2.59

Рис. 2.60

Рис. 2.61

Попробуй составить свои фигурки животных и зарисуй их. На рис. 2.61 из частей «Танграма» собраны различные человечки. Составь их. Попытайся придумать свои фигурки.

8. В вершинах квадратной клумбы растут четыре куста роз (рис. 2.62). Не выкапывая кустов, нужно площадь клумбы увеличить в 2 раза. Новая клумба тоже должна быть квадратной, а кусты не должны оказаться внутри клумбы. Как это сделать?

9. Построй произвольный квадрат. Затем построй новый квадрат, площадь которого в 3 раза больше площади первого квадрата.

10. На сторонах остроугольного треугольника с высотой BD построены квадраты так, как показано на рис. 2.63. Их площади равны S\, S2 , S3 и 54. Докажи, что S2 - 5"i - 54 - S3.

11.(О двух свойствах квадрата.) Возьмем 12 спичек и будем из них складывать различные прямоугольники. Таких прямоугольников три (рис. 2. 64). Примем спичку за единицу длины, соответствующую ей единицу площади назовем «квадратной спичкой». Все три прямоугольника имеют одинаковый периметр, равный 12 спичкам. Площади же соответствующих им плоских прямоугольников различны. Площадь первого прямоугольника

Рис. 2.62

Рис. 2.63

Рис. 2.64

равна 5 (- 1 • 5) квадратным спичкам, второго - 8 (= 2 • 4), третьего (квадрата) - 9 (= 3 • 3). Площадь квадрата оказалась наибольшей.

Продолжим наше исследование. Возьмем теперь 16 спичек. Из них можно составить уже четыре прямоугольника с периметром 16 спичек (рис. 2.65). Площади этих прямоугольников равны 7, 12, 15 и 16 квадратным спичкам. И опять квадрат имеет наибольшую площадь.

Приведенные примеры приводят к мысли о том, что квадрат ограничивает наибольшую площадь по сравнению с другими прямоугольниками того же периметра Докажем это предположение.

Обозначим общий периметр таких прямоугольников 4а. Тогда сторона квадрата будет равна я, a его площадь SKe - я2. Пусть одна сторона некоторого прямоугольника того же периметра на b единиц

Рис. 2.65

Рис. 2.66

меньше, чем я, т.е. равна а-Ъ (рис. 2.66). Сумма двух смежных сторон прямоугольника равна полупериметру 2а в 4а : 2. Так как одна из сторон а - о, то вторая будет равна а + Ь. В самом деле,

Площадь Snp прямоугольника равна произведению его сторон:

Используя формулу (3) из пункта 3 §9, имеем

Отсюда следует, что

Изучая основной курс геометрии, ты можешь продолжить это исследование и доказать, что среди всех четырехугольников с одинаковым периметром квадрат имеет наибольшую площадь.

А теперь, используя метод от противного, попытайся доказать, что из всех прямоугольников с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр.

12. (О двух свойствах круга.) Размышления о фигуре наибольшей площади с данным периметром наталкивают на следующий эксперимент. Возьмем нитку и свяжем ее концы (рис. 2.67а). Изготовленное кольцо можно укладывать на плоскости так, что будут получаться разные фигуры. Мы превратим его в треугольник, квадрат и круг, площади которых умеем вычислять (рис. 2.67б - 2.67г).

Рис. 2.67

Если провести соответствующие измерения и вычисления площадей, то окажется, что Smp< SKe< SKp, хотя все эти фигуры имеют одинаковый периметр. Это не случайно. В математике доказывается, что из всех фигур, имеющих равные периметры, наибольшую площадь имеет круг.

Второе замечательное свойство круга заключается в том, что из всех фигур, имеющих равные площади, он имеет наименьший периметр.

13. (Центр масс треугольника.) Вырежи из картона произвольный треугольник и в его вершинах приклей маленькие петельки (рис. 2.68). Теперь возьми нитку и привяжи к ней какой-нибудь груз. У тебя получился отвес (рис. 2.69). К нити отвеса привяжи проволочный крючок. За петлю повесь треугольник на крючок отвеса. Он займет такое положение, что нить отвеса пройдет через медиану треугольника (рис. 2.70). Медиана разбивает треугольник на две части — треугольники равной площади. Значит, массы этих частей одинаковы. Части уравновесят друг друга.

Отметь на треугольнике провешенную медиану. Затем провесь и отметь две другие медианы. Если ты был аккуратен, то все медианы проходят через одну точку.

Рис. 2.68

Рис. 2.69

Рис. 2.70

Рис. 2.71

Рис. 2.72 Рис. 2.73 Рис. 2.74

Проколи треугольник в этой точке и установи его на острие карандаша так, чтобы острие было в точке пересечения медиан (рис. 2.71). Ты увидишь, что треугольник будет находиться горизонтально в состоянии равновесия. Поэтому точку пересечения медиан треугольника называют его центром масс, или, центроидом.

14. Рассмотрим пример зрительного обмана, связанного с площадями. Посмотри на рис. 2.72 и 2.73. На каком из них отношение площади светлой части к зачерненной больше?

Сравнивать трудно, но кажется, что на правом. На самом деле площади закрашенных частей одинаковы и составляют четверть площади всего круга (рис. 2.74). Значит, отношения на всех трех рисунках равны.

Кстати, найди, чему равен радиус малого закрашенного круга на рис. 2.72, если радиус большого круга равен R?

15. Еще более эффектный пример зрительного обмана приведен на рис. 2.75. Как по-твоему, на каком из этих рисунков центральный круг цветка больше? Проверь свои выводы измерением.

Рис. 2.75

В заключение рассмотрим два «парадокса площади».

16. Квадрат со стороной 8 см разрезан на четыре части так, как показано на рис. 2.76. Из этих частей сложен прямоугольник (рис. 2.77).

Площадь квадрата равнялась 82 см2 = 64 см2, а площадь полученного прямоугольника, как показывают подсчеты, равняется 65 см2 (длина прямоугольника - 13 см, а ширина - 5 см). Откуда появился лишний квадратный сантиметр?

17. На рис. 2.78а равнобедренный треугольник с основанием 10 см и высотой, опущенной на основание, 12 см разрезан на шесть частей. Из этих частей сложен новый равнобедренный треугольник с теми же основанием и высотой, т. е. равный исходному (рис. 2.786). При этом площадь нового треугольника оказалась на 2 см2 больше, чем площадь исходного. Как это могло случиться?

Рис. 2.76 Рис. 2.77

Рис. 2.78

Глава III

Объем тела

§ 11. Объем геометрического тела

1. Понятие объема тела. В предыдущей главе по аналогии с длиной отрезка мы ввели понятие площади фигуры. В этой главе аналогия будет продолжена.

Напомним, что геометрическое тело мы представляем себе как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью - границей этого тела.

Каждое тело занимает какую-то часть пространства. Иногда эти части удается сравнить друг с другом. Так, книжный шкаф занимает меньшую часть пространства, чем комната, в которой он находится. Любая из книг, стоящих в этом шкафу, занимает меньшую часть пространства, чем сам шкаф. В том случае, когда одно тело можно целиком поместить внутри второго тела, обычно говорят, что объем первого тела меньше объема второго.

Понятно, что практически поместить одно тело внутри другого тела часто бывает невозможно. Нельзя, например, таким образом сравнить два деревянных бруса (рис. 3.1). Приходится искать другие

Рис. 3.1

пути сравнения. Иногда это удается. На рис. 3.2 изображены два сосуда различной формы. Чтобы сравнить их объемы (вместимость), можно наполнить сосуд водой, а затем перелить воду из него в другой сосуд. Это позволит сравнить вместимость сосудов. Однако если вместимость сосудов разная, то эту разницу мы сможем оценить только на глаз. Как сделать сравнение более точным?

Выберем третий новый сосуд, объем которого заведомо меньше объемов данных сосудов. Будем теперь наполнять сосуды с помощью нового сосуда. Это даст возможность установить, сколько раз третий сосуд вмещается в данные. Такое сравнение уже, конечно, будет более точным.

В жизни мы часто сталкиваемся с этим способом измерения объемов при помощи хорошо известной нам мерки. Так, например, с помощью стаканов измеряют вместимость кастрюль и кувшинов, а с помощью ведер - вместимость бочек и емкостей для полива огорода. В описанном способе мы опять сталкиваемся с хорошо знакомым нам процессом измерения. Третий сосуд служит при этом единицей измерения объемов. Стаканы и ведра бывают разные. Поэтому, естественно, люди договорились выбрать единые (универсальные) единицы измерения объемов.

Рис. 3.2

В качестве единицы измерения площади плоских фигур был принят квадрат, сторона которого равна единице длины. Так были введены квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр и квадратный километр. Аналогично за единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. На рис. 3.3 изображены: отрезок длиной 1 см, квадратный сантиметр (1 см2) и куб с ребром 1 см. Такой куб служит единицей измерения объемов. Он называется кубическим сантиметром и обозначается 1 см3. Аналогично вводятся кубический миллиметр (1 мм3), кубический дециметр (1 дм3), кубический метр (1 м3) и кубический километр (1 км3).

Рис. 3.3

Рис. 3.4

На рис. 3.4а изображен кубический дециметр, разбитый на кубические сантиметры (рис. 3.4в). Кубические сантиметры образуют 10 слоев (рис. 3.46), каждый из которых содержит 10 • 10 = 100 кубиков.

Значит, весь большой куб состоит из 100 • 10 = 1000 кубиков, и в одном кубическом дециметре содержится тысяча кубических сантиметров: 1 дм3 = 1000 см3. Некоторые соотношения между единицами измерения объемов приведены в таблице.

Если единица измерения объема выбрана, то геометрическому телу можно поставить в соответствие положительное число — его объем. Это число показывает, сколько раз единица измерения объемов и ее части укладываются в этом теле.

Пусть геометрические тела на рис. 3.5 разбиты на кубические сантиметры. На рис. 3.5а тело состоит из 16 таких кубиков. Значит, объем этого тела равен 16 см3: V = 16 см3. На рис. 3.56 тело состоит из 21 кубика, его объем V = 21 см3.

Рис. 3.5

Измерение объемов геометрических тел удовлетворяет свойствам, аналогичным соответствующим свойствам измерения длин и площадей:

- равные геометрические тела имеют равные объемы;

- если тело разбито на несколько тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Задачи и упражнения

168. Тела на рис. 3.6 разбиты на кубические сантиметры. Найди объемы этих тел.

169. Сделай из плотной бумаги развертки кубов объемами 1 см3 и 1 дм3. Склей из них модели соответствующих кубических единиц. (Не забудь про язычки для склеивания.) Постарайся запомнить размеры этих единиц.

170. В каких единицах лучше измерять объем: а) шкатулки; б) капли воды; в) атмосферы Земли; г) классной комнаты?

Рис. 3.6

171. Кубический дециметр распилили на кубические сантиметры. Полученные кубики уложили в один ряд. Какова длина этого ряда: а) в см; б) в дм; в) в м?

172. Кубический дециметр распилили на кубические сантиметры. Из полученных кубиков сложили прямоугольный параллелепипед высотой 40 см, в основании которого лежит квадрат. Какова длина стороны этого квадрата? Какова его площадь?

173. Вырази:

а) в кубических миллиметрах б см3; 2,5 дм3; 1,2 м3;

б) в кубических сантиметрах 45 дм3; 0,5 м3;

в) в кубических метрах 2 км3; 800000 мм3. 174. Вырази:

а) в кубических дециметрах 2500 см3; 2,5 дм3; 1,2 м3;

б) в кубических метрах 16000 дм3; 3600000 см3; 7000000 мм3;

в) в кубических километрах 25000000000 м3. 175. Вставь вместо точек нужное число:

176. Сравни и вставь вместо * знак =, > или <.

177. Вставь вместо точек нужное число:

2. Равновеликие и равносоставленные тела. Мы отмечали, что равные тела имеют равные объемы. Тела на рис. 3.7 разбиты на кубические сантиметры; они не являются равными, но их объемы равны. Два тела, объемы которых равны, называются равновеликими.

Два геометрических тела называются равносоставленными, если их можно разбить на одно и то же число соответственно равных тел.

На рис. 3.8 показаны равносоставленные куб, параллелепипед и треугольная призма. Каждое из этих тел составлено из двух прямых призм, в основаниях которых лежат равные равнобедренные прямоугольные треугольники. Другой пример равносоставленных тел можно увидеть на рис. 1.77 и 1.78. Фигурки на этих рисунках составлены из семи элементов игры «Сома».

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Ясно, что если два геометрических тела равносоставлены, то они равновелики. Это свойство в дальнейшем будет помогать нам при вычислении объемов тел. Тело, объем которого требуется найти, мы будем разбивать на части так, чтобы из них составлялось новое тело, объем которого уже известен или понятен способ его вычисления.

Примечание. Рассматривая равновеликие и равносоставленные многоугольники, мы отмечали, что два любых равновеликих многоугольника являются равносоставленными. Для равновеликих многогранников аналогичное утверждение будет выполняться не всегда: не любые два равновеликих многогранника являются и равносоставленными.

Задачи и упражнения

178. Имеется четыре одинаковых кубика. Из них склеиваются различные тела так, что при этом грани различных кубиков совмещаются и приклеиваются друг к другу. (Ясно, что все полученные тела равносоставлены.) Сколько различных тел можно склеить? Попытайся нарисовать эти тела.

179. Тела, изображенные на рис. 3.9, разбиты на одинаковые кубы. Найди среди этих тел равновеликие.

180*. Докажи, что любой прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм, отличный от прямоугольника, равносоставлен с некоторым прямоугольным параллелепипедом.

181. Докажи, что любая треугольная призма, в основании которой лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, равносоставлена с другой прямой треугольной призмой, в основании которой тоже лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, но высота ее вдвое меньше.

Рис. 3.9

§ 12. Объем прямоугольного параллелепипеда и куба

Пусть выбрана единица измерения объемов, например куб с ребром 1 см. Чтобы вычислить объем некоторого тела, нужно узнать, сколько раз выбранная единица и ее доли укладываются в этом теле. Ты уже, конечно, догадался, что наиболее

просто эта задача решается для прямоугольного параллелепипеда, измерения которого являются целыми числами. Пример такого параллелепипеда дан на рис. 3.10. Его длина равна 5 см, ширина - 3 см, а высота — 4 см. Параллелепипед состоит из четырех слоев (рис. 3.10а), образованных кубическими сантиметрами. При этом в каждом слое содержится три ряда из пяти таких кубиков (рис. 3.1 Об и З.Юв). Всего в слое 5 • 3 = 15 кубических сантиметров, а во всем параллелепипеде 15 • 4 = 60 кубических сантиметров. Поэтому объем V параллелепипеда, изображенного на рис. 3.10, равен 60 сл*3:

V = 53-4 = 60 (сл*3).

Рассмотрим теперь произвольный прямоугольный параллелепипед, длина которого равна а, ширина — Ъ, а высота — с единиц. Аналогичные рассуждения доказывают, что объем V этого параллелепипеда вычисляется по формуле:

Рис. 3.10

(1)

Оказывается, эта формула остается справедливой и для любого прямоугольного параллелепипеда, измерения которого являются произвольными числами, не обязательно целыми. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: длины, ширины и высоты.

Для куба а - Ъ = с (рис. 3.11). Поэтому объем куба с ребром а вычисляется так:

Следовательно, объем куба равен кубу его стороны.

Вспомним, что произведение ab в формуле (1) представляет собой площадь S прямоугольника, лежащего в основании параллелепипеда. Поэтому V = S-с. В дальнейшем высоту с мы будем обозначить буквой Н, тогда:

Мы получили еще одну формулу для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, согласно которой объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Рис. 3.11

Задачи и упражнения

182. Тела на рис. 3.12 разбиты на кубические сантиметры. Найди объемы этих тел.

Рис. 3.12

183. Параллелепипеды на рис. 3.13 составлены из кубических дециметров. Найди их объемы.

Рис. 3.13

184. Какой из параллелепипедов (рис. 3.14) имеет больший объем? У которого из них наибольшая площадь поверхности?

185. Вычисли объемы прямоугольных параллелепипедов (рис. 3.15).

Рис. 3.14

Рис. 3.15

186. Какой из аквариумов (рис. 3.16) имеет большую вместимость?

Рис. 3.16

187. На сколько кубиков с ребром 1 см можно разрезать куб, ребро которого равно 5 см? Каков объем большого куба?

188. На сколько кубиков с ребром 1 см можно разрезать прямоугольный параллелепипед длиной 7 см, шириной А см и высотой 5 см?

189. Имеются кубики, ребро которых равно 2,5 см. Можно ли из этих кубиков сложить:

а) куб, имеющий объем 125 см3;

б) куб, имеющий объем 75 см3;

в) прямоугольный параллелепипед, имеющий измерения 25 см, 10 см и 12 см;

г) прямоугольный параллелепипед, имеющий измерения 15 см, 7,5 см и 5 см;

д) прямоугольный параллелепипед, имеющий объем 250 см3.

190. Выполнив необходимые измерения, определите объем:

а) классной комнаты;

б) спичечного коробка?

191. Из прямоугольного листа жести длиной 18 см и шириной 12 см решили спаять коробку. Для этого у листа отрезали уголки так, как показано на рис. 3.17. Какой объем будет иметь коробка, если отрезанные квадраты имеют сторону 3 см? Как изменится объем коробки, изготовленной из такого же листа, если ее высота будет равна 4 см? Как сделать заготовку для новой коробки?

Рис. 3.17

Рис. 3.18

192. Из листа бумаги, имеющего форму квадрата, нужно склеить коробку, имеющую форму куба. Как сделать заготовку для этой коробки? Чему будет равен объем коробки, если сторона листа бумаги равна 12 см?

193. Найди объем коробок, которые можно склеить из заготовок на рис. 3.18.

194. В таблице даны некоторые числовые величины, характеризующие прямоугольный параллелепипед. Перерисуй таблицу в тетрадь и заполни имеющиеся пропуски.

Длина

Ширина

Высота

Объем

Площадь поверхности

1

5 м

7 м

2

12 см

4 см

240 см3

3

9 дм

3 дм

102 дм2

195. Найди объем прямоугольного параллелепипеда, если даны три его измерения:

а) 12 см, 10 см, 8 см; г) 2 см, 3 см 2 мм, 20 мм;

б) 1,5 дм, 4 дм, 2,4 дм; д) 120 см, 4 дм, 1 м;

Рис. 3.19

196. Даны измерения двух прямоугольных параллелепипедов:

а) 75 мм, 5 мм, А мм и 74 мм, 6 мм, 3 мм;

б) 20 см, 30 см, 12 см и 40 ел*, 18 см, 10 см;

в) 2,5 м, А м, 1,2 м и 1,25 м, 8 м, 2 м. Объем какого параллелепипеда больше?

197. Два аквариума заполнили водой, при этом в первый не долили до верхнего края 8 см, а во второй — 10 см (рис. 3.19). В каком из аквариумов больше воды?

198. Из досок толщиной 2 см сколочен ящик, длина которого — 0,8 м, ширина — 0,4 м и высота — 0,5 м (рис. 3.20). Найди вместимость этого ящика. Ответ дай: а) в см3, б) в м3.

199. Кирпичи размером 24 см х 12 см х 6 см сложили штабелем (рис. 3.21). Найди объем этого штабеля. Реши задачу двумя способами.

Рис. 3.20

Рис. 3.21

200. Известно, что длина ребра куба, измеренная в сантиметрах, — целое число. Может ли его объем быть равным: а) 25 см3; б) 27 см3; в) 36 см3; г) 64 см3?

201. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 12 см2,15 см2 и 20 см2. Чему равен объем этого параллелепипеда?

202. Площадь грани куба равна 25 см2. Чему равен объем этого куба?

203. Высота прямоугольного параллелепипеда в три раза больше его ширины и в 2 раза меньше его длины. Найди объем этого параллелепипеда, если его ширина равна 8 дм.

204. На сколько увеличится объем куба с ребром 4 см, если его ребро увеличить в 2 раза? На сколько при этом увеличится площадь поверхности куба?

205. Во сколько раз увеличится объем куба, если каждое его ребро увеличить в 2 раза?

206. Вычисли объем куба, если площадь его полной поверхности 216 см2.

207. Длина прямоугольного параллелепипеда в 2 раза больше высоты, а высота в 2 раза больше ширины. Найди измерения этого параллелепипеда, если его объем - 64 дм3.

208. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда, измеренные в сантиметрах, являются целыми числами, а его объем равен 60 см3. Какими могут быть измерения этого параллелепипеда?

209. Найди ребро куба, если известно, что его объем численно равен площади грани.

210. Вычисли объем прямоугольного параллелепипеда, если известны площадь S его основания и высота Н:

а) S = 16 см2, H = 8 см;

б) S = 24м2, H =0,5 л*;

в) 5= 1,4 дм2, #=25 еж

211. В таблице даны параметры прямоугольного параллелепипеда: S — площадь основания, H — высота, V - объем. Перерисуй таблицу в тетрадь и заполни имеющиеся пропуски.

S

H

V

1

124 см2

18 см

2

5 дм

121 dMJ

3

24 мм2

1 см

212. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если его высоту увеличить в два раза?

213. Объем прямоугольного параллелепипеда численно равен площади его основания. Чему равна высота этого параллелепипеда?

§ 13. Объем прямой призмы

1. Объем треугольной прямой призмы. Ты умеешь вычислять объем прямой призмы в том случае, когда эта призма является прямоугольным параллелепипедом. Основанием такой призмы служит прямоугольник. Для вычисления объема треугольной призмы воспользуемся приемом, примененным ранее для нахождения площади треугольника.

Пусть имеется прямая призма АВСА^В^С^ основанием которой является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С (рис. 3.22). Достроим ее до прямоугольного параллелепипеда так, как показано на рис. 3.23. Основанием этого параллелепипеда является прямоугольник ACBD. Диагональ AB прямоугольника разбивает его на два равных треугольника. Поэтому площадь S прямоугольника равна удвоенной

Рис. 3.23

площади SABC треугольника ABC : S = 2SABC. Объем параллелепипеда, таким образом, равен 2SABC • Я, где Я — высота призмы.

Пристроенная часть также представляет собой треугольную прямую призму, равную исходной. Объемы равных тел равны. Поэтому объем V исходной треугольной призмы равен половине объема параллелепипеда и, значит, вычисляется так:

Таким образом, объем прямой призмы, основанием которой служит прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

На следующем этапе произвольную треугольную прямую призму высотой Я разобьем на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники (рис. 3.24).

Призма АВСАуВ^С^ разбита на две прямые призмы, основаниями которых служат прямоугольные треугольники ABD и BCD. Объемы V\ и V2 этих призм вычисляются следующим

Рис. 3.24

образом: V{ = SABD • H, V2 = S#cd • Я. По второму свойству объемов объем V всей призмы равен сумме объемов ее частей:

Итак, объем треугольной прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Задачи и упражнения

214. Найди объем прямой призмы высотой 1,2 дм, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами длиной 5 дм и 7 дм.

215. Напиши формулу для вычисления объема прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, если катеты треугольника равны я и 6, а высота призмы - Н. Найди объем призмы при:

а) а = 12 см, b = 4,6 см, H = 8,1 см;

б) а = 102 мм, b = 6,3 см, H = 2,02 дм.

216. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 20 см, а один из катетов — 16 см. Найди объем этой призмы, если ее высота — 5 см.

217. Найди объем прямых призм (рис. 3.25).

218. Вычисли объем склада на рис. 3.26.

219. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найди объем этой призмы, если ее высота равна гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в основании.

220. Имеется модель прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Какие измерения необходимо выполнить, чтобы найти объем этой призмы?

Рис. 3.25

Рис. 3.26

221. Найди объем треугольной прямой призмы, если:

а) площадь ее основания составляет 25 дм2, а высота равна 6,2 дм;

б) в ее основании лежит треугольник, одна сторона которого равна 12 см, высота основания, проведенная к этой стороне, — 4 см, а высота самой призмы — 6 см.

222. Высота прямой призмы равна Я. Основанием призмы является треугольник, в котором одна из сторон равна а, а высота, проведенная к этой стороне, — h. Запиши формулу для вычисления объема данной призмы.

Найди объем призмы при:

а) Я = 75 мм, а = 52 мм, h = 14 мм;

б) Я = 8,2 см, а = 3,4 см, h = 56 мм.

223. Имеется модель прямой призмы, в основании которой лежит непрямоугольный треугольник. Какие измерения необходимо выполнить, чтобы найти объем этой призмы?

2. Объем прямой призмы. Рассмотрим произвольную прямую призму, площадь основания которой равна S, а высота — Я.

Эту призму можно разбить на треугольные прямые призмы высотой Я. Такое разбиение показано на рис. 3.27, где шестиугольная призма разбита на четыре прямые треугольные призмы.

Обозначим площади оснований треугольных призм S\f S2, £3 и 54. Очевидно, что Sx + S2 + 53 + SA = S. Пусть Vi, V2, V3 и VA — объемы треугольных призм, тогда согласно пункту 1 этого параграфа: V\ = Si • Я;

Рис. 3.27

V2 = S2 • Я; У3 = S3 • Я; V4 — 54 • Я. Объем У всей призмы будет равен сумме объемов треугольных призм:

Таким образом, объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Задачи и упражнения

224. Основанием прямой призмы служит трапеция, параллельные стороны которой равны 14 см и 22 см, а высота - 5 см. Найди объем этой призмы, если ее высота равна 8 см.

225. Пятиугольник ABCDE (рис. 3.28) является основанием прямой призмы, высота которой 12 см. Найди объем призмы, если AB = 5 см.

226. На рис. 3.29 в натуральную величину изображено основание прямой шестиугольной призмы, высота которой равна 4 см. Проведи необходимые измерения основания и найди объем призмы.

Рис. 3.28

Рис. 3.29

§ 14. Объем цилиндра

Для нахождения объема цилиндра воспользуемся идеей, которая лежала в основе получения формулы для нахождения площади круга.

Пусть дан цилиндр с радиусом R и высотой Н. Разобьем основания цилиндра на секторы, а сам цилиндр соответственно на «клинья» так, как показано на рис. 3.30. Из этих «клиньев» составим новое тело, равносоставленное с цилиндром (рис. 3.31). Это тело похоже на прямой параллелепипед. Если увеличить число секторов, на которые разбиты основания, и число соответствующих «клиньев», то полученное

Рис. 3.30

Рис. 3.31

тело все меньше и меньше будет отличаться от прямого параллелепипеда.

Высота такого «параллелепипеда» равна высоте Я цилиндра, а площадь основания очень мало отличается от площади основания цилиндра. При этом разность площадей будет тем меньше, чем больше число «клиньев». Теперь легко догадаться, что с возрастанием числа клиньев объемы «параллелепипедов» стремятся к объему цилиндра. Площадь S круга, лежащего в основании цилиндра, вычисляется по формуле S = TiR2. Так как объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, то можно предположить, что объем Уц цилиндра находится так:

Чтобы строго обосновать нашу гипотезу, нужно на уроках математики узнать еще очень и очень много. Пока же мы только запомним, что объем цилиндра с радиусом R и высотой Я вычисляется по формуле:

Задачи и упражнения

227. Найди объем цилиндра с радиусом R и высотой Я, если:

228. Возьми стакан цилиндрической формы и, выполнив необходимые измерения, найди его объем.

229. Сосуд цилиндрической формы (рис. 3.32) на — заполнили водой. Сколько воды находится в сосуде? Подумай, как решить задачу наиболее рационально.

230*. Необходимо спаять емкость цилиндрической формы. Прямоугольник на рис. 3.33 служит заготовкой для боковой поверхности этой емкости. Какую вместимость будет иметь готовая емкость?

231. Какой из цилиндров (рис. 3.34) имеет больший объем?

232*. Имеется два цилиндра. Высота первого цилиндра равна радиусу второго цилиндра, а высота второго цилиндра — радиусу первого. В каком случае объем первого цилиндра больше объема второго? Могут ли цилиндры иметь равные объемы?

Рис. 3.32 Рис. 3.33

Рис. 3.34

233. Диаметр основания цилиндра высотой H равен D. Запиши формулу для вычисления объема этого цилиндра. Найди объем цилиндра при: a) D = 20 см, Н= 5 см; б) D = 1,6 дм, Н= 2 дм.

234. Осевое сечение цилиндра является квадратом со стороной 4 дм. Каков объем этого цилиндра?

235. Диаметр цилиндра равен его высоте Н. Какими формулами выражаются его объем и площадь полной поверхности?

236. Найди отношение объемов двух цилиндров, если диаметр основания и высота первого цилиндра в два раза больше, чем диаметр и высота второго цилиндра.

237. Осевым сечением цилиндра является квадрат, а объем цилиндра численно равен его полной поверхности. Найди радиус и высоту цилиндра.

238*. Объем цилиндра равен 824 см3 , диаметр основания — 16 см. Найди площадь боковой поверхности цилиндра.

§ 15. Объем пирамиды

1. Объем пирамиды. Наших знаний, для того чтобы дать математически строгий вывод формулы для вычисления объема пирамиды, пока еще недостаточно. Поэтому с помощью опытов попытаемся установить, какой будет эта формула.

Ты еще не забыл, как летом на пляже с помощью формочек «пек» из мокрого песка «торты» и строил сказочные замки? Вот и хорошо. Представим, что у нас есть несколько формочек. Одна из них позволяет изготовлять прямые призмы (рис. 3.35а), а другие -пирамиды с тем же основанием и высотой (рис. 3.35б и 3.35в). Сравним объемы этих пирамид и объем призмы. Это можно сделать, сравнив вместимость соответствующих формочек.

Наполним одну из формочек-пирамид песком. Если пересыпать песок в другие формочки пирамидальной формы, то можно заметить, что все они имеют одинаковую вместимость. Это позволяет высказать предположение: пирамиды, имеющие равные основания и высоты имеют равные объемы.

Теперь будем пирамидальной формочкой наполнять формочку-призму. Оказывается, в формочку-призму можно пересыпать песок ровно из трех формочек-пирамид. Это позволяет сделать второе предположение: объем пирамиды в три раза меньше объема прямой призмы с тем же основанием и высотой (рис. 3.36).

На рис. 3.35 и 3.36 в основаниях призмы и пирамид лежит пятиугольник. Можно убедиться, что опыт приводит к тем же результатам и тогда, когда их основанием будет любой другой многоугольник.

Рис. 3.35

Рис. 3.36

В дальнейшем, изучая геометрию, ты сможешь доказать справедливость наших гипотез. Пока же формулу для вычисления объема V пирамиды с высотой H и площадью основания S примем без доказательства.

Итак, объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту.

Задачи и упражнения

239. Найди объем V пирамиды, если даны площадь S ее основания и высота Н:

240. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см. Определи объем этой пирамиды, если ее высота равна 9 см.

241. В основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 4 см. Высота пирамиды равна 7 см. Найди объем этой пирамиды.

242. Основанием пирамиды является прямоугольник, длина которого - 8 см-, а ширина - 6 см. Высота пирамиды равна диагонали этого прямоугольника. Найди объем пирамиды.

243. Две равновеликие пирамиды имеют равные высоты. Основанием первой пирамиды является прямоугольник с измерениями 8 см и 2 см. Основанием второй пирамиды является квадрат. Определи длину стороны этого квадрата.

2. Объем конуса. Хочется надеяться, что у тебя уже возникло желание повторить опыты, которые описаны в предыдущем пункте. Только теперь следует взять формочки не в виде призмы и пирамиды, а в виде цилиндра и конуса. Эти цилиндр и конус должны иметь равные основания и равные высоты (рис. 3.37).

Однако мы не будем прибегать к этому опыту. В этот раз мы пойдем другим, более естественным для математики путем — путем рассуждений. Правда, наши рассуждения пока нельзя назвать математическим доказательством. Они служат только схемой такого доказательства.

Рис. 3.37

Начнем с определения. Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. На рис. 3.386 показана треугольная пирамида, вписанная в конус, а на рис. 3.38в — шестиугольная.

Найдем объем конуса с радиусом R и высотой Я (рис. 3.38а). Для этого разделим окружность основания конуса на три равные части. Точки деления окружности будут вершинами треугольной пирамиды SABC, вписанной в конус (рис. 3.38б). Ясно, что объем этой пирамиды меньше объема конуса, а ее высота равна высоте Я конуса.

Продолжим процесс деления на равные части окружности основания конуса. На рис. 3.38в показана уже шестиугольная пирамида, вписанная в конус. Ее высота также равна Я, а объем меньше объема конуса. Однако объем второй пирамиды отличается от объема конуса меньше, чем объем первой.

Аналогично можно построить вписанные в конус 12-угольную, 24-угольную и т. д. пирамиды. Объем каждой новой пирамиды все меньше и меньше отличается от объема конуса, то есть объемы пирамид стремятся к объему конуса. При этом высоты всех пирамид

Рис. 3.38

равны высоте Я конуса, а площади их оснований стремятся к площади SKp круга, лежащего в основании конуса.

Объем каждой из пирамид равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту Я. Поэтому объем VK конуса можно найти так:

Так как SKp = kR2, то объем конуса с радиусом R и высотой Я иссисляется по формуле:

Задачи и упражнения

244. В данной таблице R, Я и VK- радиус, высота и объем конуса. Перерисуй таблицу в тетрадь и заполни имеющиеся пропуски.

R

H

1

3 см

4,5 см

2

15 мм

1570 мм3

3

3,14 м3

245. Как изменится объем конуса, если:

а) его высоту увеличить в два раза;

б) его радиус уменьшить в три раза;

в) его высоту увеличить в четыре раза, а радиус основания уменьшить в два раза?

246. Высота конуса равна радиусу его основания. Запиши формулу для вычисления объема VK этого конуса. Найди объем конуса при R = 0,3 м (R — радиус основания конуса).

247. Радиус основания конуса равен 4 см, а его образующая — 5 см. Найди объем этого конуса.

248. Найди отношение объемов двух конусов, имеющих: а) равные высоты; б) равные радиусы.

249. Радиус основания конуса увеличили в три раза. Во сколько раз нужно уменьшить его высоту, чтобы объем конуса не изменился?

250. Цилиндр и конус имеют равные основания. Высота цилиндра в два раза меньше высоты конуса. Найди отношение объемов этих тел.

251*. Основание треугольника равно а, а его высота - h. Найди объем тела, полученного при вращении треугольника вокруг основания.

252. Высота конуса равна 3 м. Найди объем конуса, если его диаметр: а) равен высоте конуса; б) вдвое больше высоты.

253. Пусть H — высота, a D — диаметр основания конуса. Напиши формулу для вычисления объема VK этого конуса. Найди объем конуса при H = 4 см, D = 6 см.

3. Объем шара. Вспомни продавцов арбузов. Чтобы показать, что арбуз зрелый, они часто вырезают куски «пирамидальной» формы (рис. 3.39а). Можно представить весь арбуз разрезанным на такие пирамидальные куски (рис. 3.39б). Это поможет нам найти объем шара.

Если у кусочка отрезать часть со сферическим основанием, то оставшаяся часть будет пирамидой (рис. 3.40). Объем кусочка будет приближенно равен объему полученной пирамиды, а объем всего арбуза — сумме объемов пирамидальных кусочков, на которые он разрезан.

Подобным образом на тела пирамидальной формы можно разрезать и шар. Это разрезание выполним так, чтобы общая вершина пирамидальных тел совладала с центром сферы. У каждого тела срежем часть со сферическим основанием. Получим составленный

Рис. 3.39

Рис. 3.40

из пирамид многогранник, вершины которого лежат на поверхности шара.

Объем V этого многогранника равен сумме объемов Vj, V2, V3, ... составляющих его пирамид: V = V±+ V2+ V3+ ... и приближенно равен объему Vm шара. Число пирамид, из которых составлен многогранник, можно увеличивать так, что объем многогранника будет все меньше и меньше отличаться от объема шара. При этом высоты Н\, Н2, Я3,... пирамид, составляющих многогранник, будут стремиться к длине R радиуса шара, а сумма площадей S2, S^,... их оснований - к площади S поверхности шара: S s S\ + S2 + £3 + .... Поэтому можно предположить, что

Теперь мы можем записать формулу для вычисления объема шара с радиусом R.

Так как поверхность шара находится по формуле S - 4îzR t то

Задачи и упражнения

254. Найди объем шара, если его радиус равен: а) 3 см;

255. Во сколько раз увеличатся площадь поверхности и объем шара, если его радиус увеличить в 3 раза?

256. Пусть D — диаметр шара. Напиши формулу для вычисления объема этого шара. Найди объем шара при D = 0,5 дм.

257*. Пусть Vm — объем шара с диаметром D. Уц, VK - соответственно объемы цилиндра и конуса, диаметры и высоты которых равны диаметру шара. Докажи, что:

a)V4:Ve:V,-3:2:l;

258*. Окружность основания конуса является экватором шара, а вершина конуса - полюсом, соответствующим этому экватору. Докажи, что объем конуса в четыре раза меньше объема шара.

259. Куб, грани которого касаются шара, называется описанным около этого шара (рис. 3.41). Докажи, что объем шара

приблизительно в два раза меньше объема описанного около него куба.

260. Нужно отлить свинцовый шар диаметром 3 см. Имеются свинцовые шарики диаметром 5 мм. Сколько потребуется маленьких шариков для отливки большого шара?

261*. Цилиндр называется описанным около шара, если его основания и боковая поверхность касаются шара (рис. 3.42). Докажи, что отношения объемов этих тел и площадей их поверхностей равны —.

§ 16. Материалы для дополнительного чтения

1. Единицы измерения объемов жидкостей и сыпучих веществ. В обыденной жизни для измерения объемов жидкостей и сыпучих тел употребляется еще одна единица измерения - литр (л). Что это за единица? Оказывается, один литр равен одному кубическому дециметру: 1 л = 1 дм3. В литрах указывается, например, вместимость кастрюль и канистр, различных бутылок и стеклянных

Рис. 3.41

Рис. 3.42

банок. Так, в нашей пищевой промышленности используются стеклянные банки вместимостью 0,5 л, 0,75 л, 1 л, 2 л, 3 л.

Другой обыденной единицей измерения объемов жидкостей и сыпучих тел является ведро. Принято считать, что 1 ведро вмещает 12,3 л.

Наконец, часто в качестве единицы измерения объемов употребляется единица измерения массы — грамм. Использование этой единицы основано на том, что 1 см3 дистиллированной воды при температуре 4° с точностью до 0,2% имеет массу 1 г.

В англоязычных странах при измерении жидких и сыпучих веществ применяются: баррель, бушель, галлон, пинта и унция.

Английский баррель используется для измерения объемов сыпучих веществ, он равен 163,65 л. В США различают сухой баррель, равный 115,628 л, и нефтяной баррель, равный 158,988 л. Английский бушель составляет 36,3687 л, а американский — 35,2393 л. Галлон в Великобритании равен 4,54609 л, в США для жидкостей — 3,78543 л, для сыпучих тел — 4,405 л. Пинта и унция являются дольными единицами галлона.

В Англии:

1 пинта = — галлона = 0,568261 л; 1 унция = 28,41 см3.

В США:

для жидкостей:

1 пинта = — американского галлона = 0,473179 л;

1 унция = американского галлона = 29,57 см3;

для сыпучих тел:

1 пинта = — американского бушеля = 0,550614 л.

2. Из истории единиц объема. Потребность в измерении количеств различных товаров, предназначенных для обмена или продажи, появилась у людей еще в глубокой древности. Зерно,

крупы, мука, растительные масла, мед, вина были на шумных базарах самыми ходовыми товарами. Для таких сыпучих и жидких товаров задача измерения решалась наиболее просто — их мерили по объему с помощью сосудов известной вместимости. Эти сосуды и были первыми единицами измерения объемов.

Прообразом привычных нам кубических единиц служит, повидимому, вавилонский «курру». Происхождение этой единицы связано с необходимостью измерять вместимость амбаров для хранения зерна. Вавилоняне представляли «курру» как прямоугольный параллелепипед высотой в 1 локоть, основанием которого является «грядка». Напомним, что «грядка» — это квадрат со стороной в 12 локтей.

Сохранившиеся летописные сведения говорят о том, что наши предки первоначально сыпучие и жидкие вещества также мерили по объему. Так, в Киевской Руси существовала мера зерна, которая называлась кадь. Происхождение и название этой единицы идет от бочки для хранения зерна, круп и муки. Эта бочка имела прямые бока, одно днище и оковывалась по краям железными обручами. Кадь вмещала 14 пудов ржи. Дополнительными единицами кади были половник, четверть и осьмина. В Московском княжестве была своя кадь, вмещавшая 24 пуда ржи.

Для измерения жидкостей на Руси обычно употреблялись бочка и ведро. Судить о первоначальных размерах этих мер жидкости достаточно сложно, а сложившаяся к середине XIX в. система мер жидкости выглядит так: 1 бочка = 40 ведер; 1 ведро = 10 штофов; 1 штоф = 2 бутыли; 1 бутыль =10 чарок.

В следующем параграфе будет приведено несколько старинных задач, связанных с измерением жидкостей и сыпучих тел.

3. Великий геометр и механик Архимед. Множество удивительных легенд, связанных с именем Архимеда, излагались еще в работах древнегреческих историков. Со временем интерес к личности и трудам замечательного ученого не угас. Напротив, многие легенды обрастали новыми подробностями, порой самыми невероятными.

Хотя об Архимеде писали многие, подлинных сведений о его жизни почти не сохранилось. Известно, что Архимед родился в 287 году до н.э. в знатной, но небогатой семье, которая была в родственных отношениях с сиракузским царем Гиероном. Отец Архимеда был астрономом. Длительное время Архимед провел в Александрии, где, по-видимому, учился математике у последователей Евклида. Вернувшись в Сиракузы, он полностью посвятил себя математическим исследованиям, которые привели к замечательным открытиям в области механики и техники.

Остров Сицилия, где находились Сиракузы, являлся центром средиземноморской торговли. Поэтому за обладание этим островом шла постоянная борьба между Карфагеном и Римом. Римляне в этой борьбе вышли победителями, и Сицилия стала римской провинцией. Когда карфагеняне под предводительством Ганнибала возобновили войну с Римом, Сиракузы к ним присоединились. Римский сенат направил в Сиракузы одного из самых крупных своих военачальников Марка Клавдия Марцелла. Однако даже Марцеллу более двух лет не удавалось захватить осажденный город. По словам Плутарха: «Марцелл вполне полагался на обилие и блеск своего вооружения и на собственную славу. Но все это оказалось несущественным против Архимеда и его машин».

Римляне начали наступление на город с суши и моря. Жители Сиракуз были парализованы от страха. Многие считали невозможным противостоять такой большой силе и военной мощи. Тогда Архимед привел в действие свои машины и орудия. На сухопутные войска из крепости сыпались огромные камни; на суда обрушивались тяжелые балки, изогнутые в виде рогов. Они сильными ударами погружали суда в море или с помощью крюков поднимали корабли высоко в воздух и швыряли их на скалы вблизи стен города.

Однако во время праздника в честь богини Артемиды Марцеллу ночью удалось пробраться в город. Несмотря на меры, принятые Марцеллом, захват города сопровождался массовыми грабежами и убийствами, во время которых погиб и Архимед. Вот что рассказывает об этом Плутарх. «Больше всего Марцелла огорчила судьба Архимеда. Последний сидел, погруженный в размышление над геометрической фигурой, которую он внимательно созерцал.

Он был настолько поглощен, что совершенно не заметил вступления римлян и занятия города. Внезапно перед ним появился солдат и потребовал, чтобы Архимед пошел с ним к Марцеллу. Но Архимед хотел это сделать только после того, как разрешит задачу и закончит доказательство. Солдат пришел в ярость, выхватил меч и пронзил им Архимеда». Существуют и другие рассказы о смерти 75-летнего ученого.

Рассказывают, что Марцелл глубоко сожалел о гибели Архимеда и изгнал из армии его убийцу. Родственникам Архимеда, которые были разысканы по приказу Марцелла, были оказаны всяческие почести. На могиле Архимеда был поставлен памятник с изображением шара и описанного около него цилиндра. Эпитафия указывала, что объемы этих тел относятся как 2 : 3. Это свое открытие Архимед особо ценил.

С тех пор прошло свыше двух тысяч лет. Машины и технические изобретения Архимеда сохранились только в легендах. Однако его математические открытия и сейчас вызывают всеобщее восхищение. Центральной темой математических работ Архимеда являются задачи на нахождение площадей поверхностей и объемов тел. Эти работы настолько опередили свое время, что были по достоинству оценены только в XVII в.

4. Еще две знаменитые задачи древности. С задачей о трисекции угла вы уже знакомы. Две другие задачи, которые в течение многих столетий привлекали к себе большое внимание, связаны с квадратурой круга и удвоением куба.

Задача о квадратуре круга сводилась к построению с помощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого равна площади данного круга. Эта задача встречается еще в «Папирусе Ринга» (около 2000 лет до н. э.). В папирусе приводится правило ее приближенного решения. Задача была настолько популярной, что за ее решение брались многие крупные математики древности и более поздних времен. Были найдены другие приближенные и точные решения, но при этом кроме циркуля и линейки использовались дополнительные средства. Особенно большую роль в решении

этой задачи сыграла работа Архимеда «Измерение круга», в которой автор показал связь квадратуры круга с вычислением отношения длины окружности к ее диаметру.

Шли века, но решить задачу о квадратуре круга при помощи линейки и циркуля не удавалось. Наконец, в 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман доказал, что сторону квадрата, равновеликого данному кругу, с помощью циркуля и линейки построить невозможно.

В задаче об удвоении куба необходимо опять же с помощью циркуля и линейки построить ребро куба, объем которого вдвое больше объема данного куба. Легенды, связанные с этой задачей, говорят о ее практическом или культовом происхождении.

В одной из легенд рассказывается о том, как критский царь Минос приказал архитекторам построить памятник своему сыну Главку. Этот памятник имел форму куба со стороной в 100 локтей. Миносу понравилась форма памятника, но он посчитал, что памятник слишком мал, и приказал его удвоить. Архитекторы долго бились над поставленной задачей, но так и не смогли найти длину стороны нового куба. Не помогло им и обращение за помощью к геометрам.

Еще одна легенда рассказывает о том, как на острове Делосе, находящемся в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители Делоса обратились за советом и помощью к знаменитому Дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона и славился своими прорицаниями на всю Грецию. Для того, чтобы умилостивить бога Солнца, оракул посоветовал вдвое увеличить выполненный в виде куба золотой жертвенник в храме Аполлона в Афинах. Несчастные собрали золото и отлили новый жертвенник такой же, как и первый. Однако чума не прекращалась. Делосцы вновь обратились к оракулу с вопросом: почему чума не прекращается, ведь жертвенник могущественному Аполлону удвоен? Тот ответил, что они неправильно выполнили повеление богов, так как, удвоив объем жертвенника, они изменили его форму. Найти же ребро куба, объем которого вдвое больше исходного, делосцы не сумели. Тогда они обратились за помощью к философу и математику Платону. Но он уклончиво ответил: боги, вероятно, недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией.

Неразрешимость этой задачи с помощью циркуля и линейки так же, как и неразрешимость трисекции угла, доказал дорожный инженер и любитель математики П.А. Ванцель. Математикой Ванцель начал интересоваться еще в раннем возрасте. Когда он доказал невозможность решения задач об удвоении куба и трисекции угла при помощи циркуля и линейки, ему было всего 23 года. К сожалению, П.А. Ванцель прожил очень короткую жизнь, в возрасте 34 лет этого талантливого человека не стало.

5. Новые формулы сокращенного умножения. В предыдущей главе с помощью разрезания квадрата мы познакомились с формулами (а + Ь)2 = а2 + 2ab + Ь2, (а - Ь)2 - а2 - 2ab + Ь2. Теперь с помощью разрезания куба мы узнаем еще две формулы сокращенного умножения.

На рис. 3.43 изображен куб с ребром а + Ъ. Объем этого куба равен (а + б)3.

Куб разрезали тремя плоскостями, параллельными его граням. При этом получились (рис. 3.44):

— куб с ребром а;

— три прямоугольных параллелепипеда с высотой 6, в основаниях которых лежит квадрат с ребром а;

Рис. 3.43 Рис. 3.44

Рис. 3.45

— три прямоугольных параллелепипеда с высотой а, в основаниях которых лежит квадрат с ребром Ъ\

— куб с ребром Ъ.

Объемы новых кубов равны я3 и №, а объемы параллелепипедов — а2Ь и Ь2а.

Так как объем тела, разбитого на части, равен сумме объемов этих частей, то

Полученную формулу удобно запоминать в виде:

Примечание. Рис. 3.43, 3.44 помогут тебе изготовить модель, иллюстрирующую найденную формулу. Начерти развертки тел, которые потребуются для этой модели.

Пусть теперь сторона исходного куба равна а и параллельные плоскости отсекают от него куб со стороной Ъ (рис. 3.46). Опираясь на идею, использованную при выводе формулы (а - Ъ)2 = а2 - lab + b2> докажи, что

Рис. 3.46

6. Удивительные превращения наклонного параллелепипеда. Из параллелограмма легко получить равносоставленный с ним прямоугольник. Можно, например, разрезать его вдоль прямой, перпендикулярной паре противоположных сторон (рис. 3.47а). Прямоугольник, составленный из полученных частей, показан на рис. 3.476.

В пространстве аналогом параллелограмма служит наклонный параллелепипед общего вида, а аналогом прямоугольника — прямоугольный параллелепипед. Попытаемся теперь подобным образом разрезать наклонный параллелепипед на части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольный параллелепипед.

Все грани наклонного параллелепипеда общего вида являются параллелограммами, отличными от прямоугольников. Пусть ABCDA^BiC^Di — такой параллелепипед (рис. 3.48а). Мы считаем многоугольники ABCD и A^B^C^D^ основаниями параллелепипеда, хотя на рисунке они расположены не совсем привычно. Рассмотрим сечение Л252^2^2 этого параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной его боковым ребрам. Указанная плоскость разбивает параллелепипед на две части (рис. 3.486). Из этих частей можно составить новый параллелепипед, четыре грани которого являются уже прямоугольниками (рис. 3.48в). Если у этого параллелепипеда многоугольник A2B2C2D2 принят за основание, то он будет прямым, а его боковое ребро (высота) равно боковому ребру исходного параллелепипеда.

Итак, наклонный параллелепипед равносоставлен (а значит, и равновелик) с таким же прямым параллелепипедом, основание

Рис. 3.47

Рис. 3.48

которого равно перпендикулярному сечению наклонного параллелепипеда, а высота — его боковому ребру. Поэтому

^ ^A2B2C2D2 ^j

то есть объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Четырехугольник A2B2C2D2 является параллелограммом. Пусть NS — его высота (рис. 3.48а), тогда

С другой стороны, A2D2 — высота параллелограмма ADDiAi, а

его площадь. Если в исходном параллелепипеде принять за основание грань ADD^Ai, то отрезок NS будет высотой этого параллелепипеда. Так как

то, как и в случае с прямым параллелепипедом, объем наклонного параллелепипеда равен произведению его основания на высоту.

Расположим прямой параллелепипед привычным образом (рис. 3.49а и 3.49б). Если его основание A2ß2(^2^2 Уже является прямоугольником, то параллелепипед будет прямоугольным. Если же основание - параллелограмм, отличный от прямоугольника, то повторим процедуру рассечения параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной его ребрам (рис. 3.496 и 3.49в). Составление прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.49д) показано на рис. 3.49г.

Таким образом, для любого наклонного параллелепипеда существует равносоставленный с ним прямоугольный параллелепипед.

Рис. 3.49

7. Равносоставленные призмы. На рис. 3.50а изображена наклонная призма и ее сечение плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам. Секущая плоскость разбивает призму на две части (рис. 3.50б). На рис. 3.50в показано, как из этих частей сложить новую призму, равносоставленную с исходной.

Новая призма является прямой. Поэтому для любой наклонной призмы существует равносоставленная с ней прямая призма. При этом основание прямой призмы равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - ее боковому ребру.

Равносоставленные тела являются равновеликими. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. Следовательно, объем наклонной призмы равен произведению площади ее перпендикулярного сечения на боковое ребро.

В старших классах вы узнаете, что объем наклонной призмы (рис. 3.51) так же, как и объем прямой призмы, можно вычислить с помощью уже знакомой формулы:

Рис. 3.50

Рис. 3.51

§ 17. Геометрические досуги

Начнем с обещанных старинных задач, связанных с объемами.

18. Один человек выпьет кадь питья за 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь за 10 дней. Требуется узнать, за сколько дней жена его выпьет ту же кадь. (Из книги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого, нач. XVIII в.)

19. В 336-ведерное водохранилище всякие 2 часа одною трубою втекает воды 70 ведер, а другою трубою вытекает 42 ведра. Спрашивается, за какое время этот водоем наполнится. (Из задачника по арифметике Е.Д. Войтяховского, конец XVIII в.)

20. Хозяин имеет три бочонка Л, В и С. Бочонок А наполнен квасом, бочонки В и С - пустые. Если квасом из бочонка А наполнить бочонок В, то в бочонке А останется _ его содержимого. Если же квасом из бочонка А наполнить бочонок С, то в бочонке А останется — его содержимого. Чтобы наполнить оба бочонка В и С , надо взять содержимое бочонка А и еще добавить 4 ведра кваса. Сколько ведер кваса вмещает каждый бочонок? (Из задачника XVIII в.)

21. Хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее испытание:

- Вот тебе бочка, наполни ее водой ровно наполовину, ни больше ни меньше. Но смотри, палкой, веревкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся.

Работник справился с заданием. Как он это сделал? (Из книги Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки», нач. XX в.)

22. Опираясь на предыдущую задачу, реши такую задачу:

— Можно ли с помощью 200-граммового стакана цилиндрической формы отмерить 300 граммов жидкости?

Следующие две задачи связаны с разбиением куба на равные пирамиды.

23. Разбей куб на шесть равных четырехугольных пирамид.

24. Разбей куб на шесть равных тетраэдров.

Рис. 3.52

Решение первой из этих задач легко найти с помощью рис. 3.52. Основаниями пирамид служат грани куба, а их общей вершиной — точка пересечения диагоналей этого куба.

Эта задача интересна тем, что ее умели решать еще древние египтяне. С помощью указанного разбиения они находили объем пирамиды. Их рассуждения, по-видимому, были следующими. Объем каждой из шести пирамид равен — объема куба, то есть — S • а, где S — площадь грани куба, ад- сторона куба. Высота каждой пирамиды равна половине стороны куба, то есть —. Поэтому и можно сделать вывод, что объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту.

Хотя полученное правило для определения объема пирамиды является верным, способ его получения не безупречен. Ясно, что приведенные рассуждения нельзя повторить для любой пирамиды. Однако египтяне еще не заботились о строгих математических доказательствах, их волновало лишь получение правильного результата.

Вторая задача является более сложной. Решить ее можно при помощи рис. 3.53.

Сначала тетраэдр разбивается на три равные четырехугольные пирамиды, основаниями которых являются квадраты — грани куба (рис. 3.536 - 3.53г). Далее полученные четырехугольные пирамиды

Рис. 3.53

разбиваются на тетраэдры так, как показано на рис. 3.53д и 3.53е. Эти тетраэдры, на которые разбит куб, будут искомыми. Основанием каждого такого тетраэдра является равнобедренный прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника равны стороне куба. Одно из боковых ребер тетраэдра также равно стороне куба и перпендикулярно плоскости основания. Указанное ребро выходит из вершины острого угла основания.

Переходя от рисунка к рисунку, постарайся увидеть, что куб действительно разбит на одинаковые тетраэдры.

Заметим, что эта задача дает еще одно подтверждение верности формулы для вычисления объема пирамиды, полученной нами опытным путем. В самом деле, объем куба со стороной а равен a3, a объем каждого из тетраэдров составляет —я3.

С другой стороны, согласно найденной ранее формуле, объем тетраэдра вычисляется так: V = • H, где S - площадь основания, а H - высота тетраэдра. В нашем случае равнобедренный треугольник, лежащий в основании тетраэдра, имеет площадь

а высота тетраэдра равна а. Поэтому и здесь

Глава IV

Отображения и преобразования

§ 18. Центральная симметрия

1. Центральная симметрия фигур. Точка О на рис. 4.1 является серединой отрезка АА±. В этом случае говорят, что точки А и At симметричны относительно точки О. Точку О при этом называют центром симметрии точек А и A v

Пусть на плоскости (например, на листе бумаги или на классной доске) отмечены точки О и Л. Как построить точку А^ симметричную точке А относительно точки О? Из сказанного выше следует, что точка A lf с одной стороны, будет лежать на прямой OA, а с другой стороны, отрезок ОА^ будет равен отрезку OA. Поэтому для построения точки А необходимо:

Рис. 4.2

1) построить прямую OA;

2) отметить на этой прямой точку А ь так чтобы А и A j лежали по разные стороны от точки О и \ОА^\ - |ОЛ|.

Первое построение можно выполнить с помощью линейки, а второе — с помощью циркуля. При этом, выполняя второе построение, мы можем провести полуокружность с радиусом OA с центром в точке О (рис. 4.2). Точка Л будет одним концом этой полуокружности, точка А^ — другим. Угол АОА^ является развернутым. Поэтому точка А^ получается при повороте точки А вокруг точки О на угол 180°.

Теперь вновь отметим на плоскости точку О и изобразим произвольную фигуру F (рис. 4.3). Для каждой точки фигуры F построим точку, симметричную ей относительно точки О. (На рисунке показаны точки Pi, Mi, Ki, Li, симметричные точкам Ру Му К, L фигуры F соответственно.) Все полученные таким образом точки образуют новую фигуру F^ которая называется симметричной фигуре F относительно точки О.

Легко заметить, что фигура F, в свою очередь, симметрична фигуре Fi относительно точки О. (Объясните, почему.) Иными словами, фигуры F и Fi на рис. 4.3 симметричны друг другу относительно точки О. Точка О называется центром симметрии этих фигур, а про сами фигуры говорят, что они центрально-симметричны.

Точки фигуры Fi можно получить поворотом вокруг точки О на 180° соответствующих точек фигуры F. Поэтому сама фигура Fi, центрально-симметричная фигуре F, получается поворотом фигуры F вокруг точки О на угол 180°. Подобным же образом,

Рис. 4.3

повернув вокруг точки О на развернутый угол фигуру Fj, мы совместим ее с фигурой F

Поскольку две центрально-симметричные фигуры можно совместить поворотом одной из них на угол 180°, то эти фигуры будут равны. Таким образом, две фигуры, симметричные друг другу относительно некоторой точки, равны между собой.

Выполняя построение фигуры Fly симметричной фигуре F (рис. 4.3), можно заметить следующее:

1) для всякой точки фигуры встроится единственная соответствующая ей точка фигуры Fj;

2) различным точкам фигуры F соответствуют различные точки фигуры Fi,

3) всякая точка фигуры Ft является соответствующей для некоторой точки фигуры F

Такой переход от фигуры F к фигуре Fi называется отображением фигуры F на фигуру Fj. Если при отображении фигуры F на фигуру Fj точка M е F переходит в точку М± е Flf то точку Mi называют образом точки M, а точку M - прообразом точки Mi в этом отображении. Саму фигуру Fi также называют образом фигуры F, а фигуру F - прообразом фигуры Fj.

Центральную симметрию фигур можно рассматривать не только на плоскости, но и в пространстве. Примеры фигур, симметричных друг другу в пространстве, показаны на рис. 4.4

Рис. 4.4

Рис. 4.5

и 4.5. На рис. 4.4 это два равных конуса с общей вершиной О и параллельными основаниями. Центром симметрии конусов является их общая вершина. На рис. 4.5 изображены два параллелепипеда, симметричных относительно точки О.

Задачи и упражнения

262. Скопируй в тетрадь рис. 4.6 и отметь середины отрезков ААЬВВХ и CCV

263. Скопируй в тетрадь рис. 4.7 и построй точки, симметричные точкам А, В, С относительно точки О.

264. На бумаге без клетки отметь точки О, Р, Q R. С помощью циркуля и линейки построй точки, симметричные точкам Р, Q R относительно точки О.

265. Скопируй в тетрадь рис. 4.8. Построй отрезок, симметричный отрезку AB относительно точки О.

Рис. 4.6

Рис. 4.7

Рис. 4.8

2. Свойства центральной симметрии фигур. Из того, что две центрально-симметричные друг другу фигуры равны, можно сделать несколько важных выводов:

1) Фигура, симметричная отрезку AB относительно точки О, есть отрезок АуВ^ равный отрезку AB (рис. 4.9).

Если при этом точки Л, Л и О не лежат на одной прямой, то отрезки AB и А^В^ параллельны: AB )\А\В\ (рис. 4.9а). Если точки А, В и О лежат на одной прямой, то отрезок А^В^ также лежит на этой прямой (рис. 4.96). (Попытайся самостоятельно доказать эти утверждения.)

2) Фигура alf симметричная прямой а относительно точки О, есть прямая. Если прямая а не проходит через точку О, то ai\\au эти прямые равноудалены от точки О. Если прямая а проходит через точку О, то прямая а^ совпадает с а.

Рис. 4.9

Рис. 4.10

3) Фигура cdj, симметричная окружности со относительно точки О, есть равная ей окружность. Центр окружности симметричен центру Q окружности со относительно точки О (рис. 4.10).

Задачи и упражнения

266. Скопируй в тетрадь отрезки AB и CD (рис. 4.11). Имеют ли эти отрезки центр симметрии? Если отрезки имеют центр симметрии, то укажи его.

Рис. 4.11

267. С помощью циркуля начерти в тетради окружность и отметь точку О так, как показано на рис. 4.12. Построй вторую окружность, симметричную относительно точки О начерченной окружности.

Рис. 4.12

268. На бумаге без клетки начерти прямую / и отметь точку О, не лежащую на этой прямой. С помощью циркуля и линейки построй прямую /j, симметричную прямой / относительно точки О.

Решение. Пусть / — данная прямая, а О — данная точка (рис. 4.13а). Мы знаем, что через две точки проходит одна и только одна прямая. Поэтому, чтобы построить прямую Zlf достаточно построить две точки, принадлежащие этой прямой.

Выберем на прямой / две точки А и В. Построим точки А^ В1, симметричные выбранным точкам относительно точки О (рис. 4.136). Проведем прямую А^В^. Прямая А^В^ является искомой прямой /j.

Рис. 4.13

Рис. 4.14

Действительно, при повороте вокруг точки О на угол 180° точка А совместится с точкой A h а точка В-с точкой Поэтому при указанном повороте прямая / совместится с прямой /j. Значит, прямая 1\ симметрична прямой / относительно точки О.

269. На бумаге без клетки начерти окружность со и отметь точку О. С помощью циркуля и линейки построй окружность щ, симметричную окружности со относительно точки О.

270. Перечерти в тетрадь рис. 4.14 и изобрази фигуру Flf симметричную фигуре F относительно точки Р.

271. На бумаге без клетки отметь точку Ми начерти произвольный треугольник PQR. С помощью циркуля и линейки построй треугольник P^Q^R^ симметричный треугольнику PQR относительно точки М.

272*. Перерисуй в тетрадь треугольники, которые изображены на рис. 4.15. Изобрази точки А^, В±, симметричные вершинам А, В треугольника ABC относительно вершины С. Построй четырехугольник АВАХВ± и определи его вид.

Рис. 4.15

3. Фигуры, имеющие центр симметрии. Рассмотрим теперь фигуру .Р на рис. 4.16. Существует точка О, такая, что для каждой точки M этой фигуры найдется другая точка Afj этой же фигуры, симметричная точке M относительно точки О. Это значит, что при повороте фигуры F вокруг точки О

Рис. 4.16

Рис. 4.17

на угол 180° эта фигура переходит сама в себя. Другими словами, симметрия относительно точки О переводит фигуру основа в ту же самую фигуру F.

Фигура называется симметричной относительно точки О (или центрально-симметричной), если при симметрии относительно точки О эта фигура отображается сама на себя.

Если некоторая фигура асимметрична относительно точки О, то эта точка называется ее центром симметрии.

На рис. 4.17 изображены многоугольники, окружность и эллипс. (Эллипсом называется линия, которая получается при сжатии окружности к одному из ее диаметров. В дальнейшем мы научимся строить эту линию.) Какие из этих фигур являются центрально-симметричными?

Это, прежде всего, четырехугольники: квадрат (рис. 4.176); прямоугольник (рис. 4.17в); ромб (рис. 4.17г); параллелограмм общего вида (рис. 4.17д). Центр симметрии этих четырехугольников совпадает с точкой пересечения их диагоналей. Центрально-симметричным является шестиугольник (рис. 4.17з). (Скоро ты узнаешь, что изображенный шестиугольник называется правильным.) Центрально-симметричной линией является окружность (рис. 4.17к). Центр симметрии окружности совпадает с ее центром. Наконец, эллипс также демонстрирует пример центрально-симметричной фигуры. Треугольник (рис. 4.17а), трапеция (рис. 4.17е), четырехугольник общего вида (рис. 4.17ж) и пятиугольник (рис. 4.17и) центрально-симметричными не являются.

Глядя на рис. 4.17, ты можешь подумать, что любая центрально-симметричная фигура имеет только один центр симметрии. Однако это не так. Существуют фигуры, которые имеют бесконечно много центров симметрии. Это, например, прямая; любая точка прямой может быть принята за центр ее симметрии (рис.4.18). Бесконечно много центров симметрии имеет пара параллельных прямых (рис. 4.19) и бесконечная полоса,

заключенная между ними (рис. 4.20). Наконец, бесконечно много центров симметрии имеет и вся плоскость. За центр симметрии плоскости можно принять любую ее точку.

Примечание. Кто-то наверняка остался неудовлетворен тем, что, указав на рис. 4.17 центрально-симметричные фигуры, мы это никак не обосновали. Пока наша задача заключается лишь в том, чтобы научиться находить и выделять на рисунках и чертежах симметричные фигуры.

Впрочем, доказать симметричность большинства фигур на рис. 4.17 нам уже по силам. Докажем, например, что параллелограмм является центрально-симметричной фигурой, центром симметрии которой служит точка пересечения диагоналей.

Пусть ABCD — произвольный параллелограмм, а О — точка пересечения его диагоналей (рис. 4.21). Поскольку диагонали АС и BD делятся в точке пересечения пополам, то точки A и С симметричны относительно точки О; точки В и D также симметричны относительно точки О. Поэтому при центральной симметрии относительно точки О отрезок AB перейдет в отрезок CD и, наоборот, отрезок CD перейдет в отрезок AB. Аналогично отрезок AD перейдет в отрезок СВ, а отрезок СВ — в отрезок AD. Таким образом, при центральной симметрии относительно точки О параллелограмм ABCD перейдет сам в себя. Поэтому параллелограмм — центрально-симметричная фигура, а точка О — ее центр.

Поскольку квадрат, прямоугольник и ромб — частные виды параллелограмма, то их симметричность относительно точки пересечения диагоналей также доказана.

Рис. 4.18

Рис. 4.19

Рис. 4.20

Рис. 4.21

Рис. 4.22 Рис. 4.23 Рис. 4.24

Рис. 4.22 - 4.24 демонстрируют примеры пространственных центрально-симметричных фигур.

Центром симметрии параллелепипеда служит точка пересечения его диагоналей (рис. 4.22), центром симметрии сферы — ее центр (рис. 4.23), а центром симметрии цилиндра — середина его оси (рис. 4.24).

Задачи и упражнения

273. Какие из букв русского алфавита, изображенных на рис. 4.25, имеют центр симметрии?

Рис. 4.25

274. Среди фигур, изображенных на рис. 4.26, найди центрально-симметричные. Перерисуй центрально-симметричные фигуры и укажи для каждой из них центр симметрии.

Рис. 4.26

275. На каждом из рис. 4.27 изображена часть центрально-симметричной фигуры и ее центр симметрии Р. Перечерти рисунки в тетрадь и дострой недостающую часть каждой фигуры.

276. Из равных деревянных кубиков нужно было склеить центрально-симметричные тела. Изготовленные тела пред-

Рис. 4.27

ставлены на рис. 4.28. Все ли эти тела действительно являются центрально-симметричными?

Рис. 4.28

Рис. 4.29

277. На рис. 4.29 изображены узорные полосы, которые образованы некоторой фигурой, бесконечное число раз повторяемой вдоль горизонтальной прямой. Такие полосы обычно называют либо бордюрами, либо фризами. Их часто используют в различных декоративных и архитектурных работах в качестве украшений.

Некоторые из бордюров, изображенных на рисунке, имеют бесконечно много центров симметрии. Найди эти бордюры и укажи их центры.

278. Бордюры на рис. 4.29, не имеющие центров симметрии, дополни новыми элементами так, чтобы они стали центрально-симметричными.

279. Составь из данных фигур (рис. 4.30) центрально-симметричные бордюры.

280. Самостоятельно придумай и нарисуй несколько центрально-симметричных бордюров.

Рис. 4.30

Рис. 4.31

281. На рис. 4.31 изображены узоры, которые покрывают всю плоскость. Мысленно каждый узор можно продолжить и представить это покрытие. Подобные покрытия называются паркетами.

Некоторые из паркетов, фрагменты которых показаны на рисунке, имеют бесконечно много центров симметрии. Найди эти паркеты и укажи их центры симметрии.

4. Центральная симметрия плоскости. Как мы уже отмечали ранее, плоскость является центрально-симметричной фигурой, имеющей бесконечно много центров симметрии. В качестве центра симметрии плоскости можно взять любую ее точку.

Пусть О — некоторая точка плоскости. При центральной симметрии плоскости относительно точки О:

а) произвольная точка M этой плоскости, отличная от О, переходит в такую ее точку что точка О является серединой отрезка ММ±\ \ОМ^ = \ОМ\\

б) точка О переходит сама в себя, то есть остается неподвижной.

При этом можно заметить, что:

а) любая точка переходит только в одну точку;

б) разные точки переходят в разные точки;

в) для любой точки N| существует точка N, которая при центральной симметрии переходит в Л/j (рис. 4.32).

Таким образом, центральная симметрия плоскости относительно точки О является отображением этой плоскости на себя.

Рис. 4.32

Отображение фигуры F на себя принято называть преобразованием этой фигуры. Поэтому центральная симметрия плоскости является преобразованием этой плоскости.

Чтобы получить наглядное представление о центральной симметрии плоскости, поступим следующим образом. На планшете закрепим лист бумаги. Он будет служить моделью плоскости. Укажем на бумаге точку О — центр симметрии. Отметим произвольную точку М. Мы знаем, что образ Afj точки M при центральной симметрии относительно точки О можно получить, если повернуть точку M вокруг точки О на угол 180°.

Это можно сделать так:

1. Наложить на бумагу кальку.

2. Воткнуть в точку О булавку.

3. Отметить точку M на кальке (рис. 4.33а).

4. Повернуть кальку вокруг булавки на 180° (рис. 4.336).

Для того чтобы отметить образ М1 точки M на бумаге достаточно проколоть кальку в отмеченной точке.

Подобным образом можно построить и образ F\ произвольной фигуры F (рис. 4.34). При этом для вычерчивания фигуры Fi под кальку удобно подложить копировальную бумагу (рис. 4.34б).

Рис. 4.33

Рис. 4.34

Итак, пусть на плоскости выбрана точка О и задана некоторая фигура F. Требуется построить фигуру Fj, центрально-симметричную фигуре F относительно точки О. Мы знаем два способа решения этой задачи.

В первом пункте этого параграфа была рассмотрена центральная симметрия фигуры. Плоскость, в которой лежали фигура F и центр симметрии О, считалась при этом неподвижной. Там выполнялось только отображение фигуры F, а фигура Fi была образом фигуры F в этом отображении.

В данном пункте, наоборот, выполнялась центральная симметрия всей плоскости. Здесь фигура F преобразовывалось вместе с плоскостью, а фигура Fj находилась как образ фигуры F при преобразовании плоскости.

Замечание. Подобно тому, как была определена центральная симметрия плоскости, можно определить центральную симметрию всего пространства.

Центральной симметрией пространства относительно точки О называется такое его преобразование, которое: а) произвольной точке М, отличной от О, ставит в соответствие точку Mlt симметричную ей относительно точки О; б) точку О переводит саму в себя.

Если F — некоторая пространственная фигура, то ее образ Fx при таком преобразовании будет фигурой, центрально-симметричной фигуре F относительно точки О.

Для того, чтобы успешно продолжить знакомство с центральной симметрией в курсе планиметрии, который начнет изучаться в 7 классе, нужно, прежде всего, научиться с помощью циркуля и линейки строить образы основных плоских геометрических фигур (прямая, луч, отрезок, окружность) при центральной симметрии плоскости.

Задачи и упражнения

282. На закрепленном листе бумаги нарисуй произвольную фигуру F и отметь точку О. С помощью кальки и копировальной бумаги изобрази фигуру Fj, симметричную фигуре F

относительно точки О.

283. Проведи прямую / и отметь точку О, не лежащую на ней. С помощью циркуля и линейки построй образ ^ прямой / при центральной симметрии плоскости с центром О. Дай два способа решения этой задачи.

284. Начерти окружность со и отметь точку О, не совпадающую с центром окружности со. С помощью циркуля и линейки построй образ а>1 окружности со в центральной симметрии плоскости с центром О.

285. Рассматривается центральная симметрия пространства с центром О. Укажи для этой симметрии:

а) образ плоскости, не проходящей через точку О;

б) образ плоскости, проходящей через точку О;

в) образ прямой, не проходящей через точку О;

г) образ прямой, проходящей через точку О;

д) образ сферы, центр которой совпадает с точкой О;

е) образ сферы, центр которой не совпадает с точкой О.

§ 19. Осевая симметрия

1. Осевая симметрия фигур на плоскости. На рис. 4.35 изображена прямая / и две точки А и Л1? лежащие по разные стороны от прямой /. Отрезок АА i пересекает при этом прямую / в точке О так, что [АО] = [ОА^] и [АА{] _1_ /. В этом случае говорят, что точки Au Ai симметричны относительно прямой I, а прямую / называют их осью симметрии.

Таким образом, две точки А и Л1 называются симметричными относительно прямой /, если эта прямая проходит через середину отрезка АА± и перпендикулярна ему. Иными словами, точки АиА^ называются симметричными относительно прямой /, если эта прямая является серединным перпендикуляром отрезка АА^. Точки прямой / считаются при этом симметричными самим себе. Так, точка В на рис. 4.35 является симметричной сама себе относительно прямой /.

Пусть на плоскости заданы прямая / и точка А. Как построить точку Ait симметричную точке А относительно прямой /?

Для этого нужно.

1. Через точку А провести прямую, перпендикулярную прямой /. На рис. 4.36 это прямая т. Точка пересечения прямых / и m обозначена буквой О.

2. На прямой m отметить точку Ai так, чтобы точки А иА{ лежали по разные стороны от прямой / и \0А \ = \0А\ |.

Глядя на рис. 4.36 вспомни, как выполнить эти построения с помощью циркуля и линейки.

Рис. 4.35

Рис. 4.36

Рис. 4.37

Подумай, как решить эту задачу с помощью одного циркуля.

Зададим на плоскости кроме прямой / некоторую фигуру F Для каждой точки фигуры F построим симметричную ей точку относительно прямой /. (На рис. 4.37 показаны точки Plt Мь К^у 1ф симметричные точкам Pf M, К, L соответственно.) Все полученные таким образом точки образуют новую фигуру Fj, которая называется симметричной фигуре F относительно прямой I.

Фигура F, в свою очередь, симметрична фигуре Ft относительно прямой /, то есть фигуры F и Fj на рис. 4.37 симметричны друг другу относительно прямой I. Прямая / называется при этом осью симметрии этих фигур. Про сами фигуры F и Fx иногда говорят, что они зеркально симметричны относительно прямой /.

Рассмотренный переход от фигуры F к фигуре Fj называется симметрией относительно прямой I или просто осевой симметрией.

Выполняя построение фигуры Fj, симметричной данной фигуре F относительно прямой /, можно заметить, что:

1) для всякой точки фигуры F строится единственная соответствующая ей точка фигуры F^

2) различным точкам фигуры F соответствуют различные точки фигуры Fj;

3) всякая точка фигуры F\ является соответствующей некоторой точке фигуры F.

Следовательно, переход от фигуры Fj к фигуре F с помощью осевой симметрии является отображением фигуры Fx на фигуру F

Рассмотрим два практических способа изображения фигуры Fj, симметричной данной фигуре F относительно данной прямой я. С первым способом мы уже знакомились, когда изучали серединный перпендикуляр отрезка. Вспомним этот способ.

Если на листе бумаги изображены прямая а и точка M (рис. 4.38а), то точку М1? симметричную точке M относительно прямой я, можно получить с помощью перегибания листа бумаги по прямой а (рис. 4.386). Действительно, проколов согнутый лист бумаги в точке M булавкой, мы найдем искомую точку Mi (рис. 4.38в).

Аналогично можно получить фигуру Fly симметричную любой заданной фигуре F (рис. 4.39). Здесь после перегибания удобно под согнутый лист бумаги подложить копировальную бумагу и обвести заданную фигуру ручкой или карандашом.

Рис. 4.38

(Копировальную бумагу, конечно, следует класть красящей стороной вверх.)

Для применения второго способа потребуется еще и калька хотя бы с одним прямым краем. (Впрочем, прямой край всегда можно получить с помощью перегибания кальки.) Кальку накладывают на фигуру F так, чтобы прямой край кальки совместился с прямой а (рис. 4.40а). Далее фигура F копируется на кальку. Теперь калька поворачивается вокруг прямой а на угол 180° (рис. 4.406). Чтобы получить фигуру F±, нужно подложить под кальку копировальную бумагу и обвести на этот раз копию фигуры F. (Один полезный совет: для того, чтобы не сдвинуть кальку вдоль прямой а при повороте, рекомендуется отметить на прямой точку и ее также скопировать на прямом краю кальки.)

Рис. 4.39

Рис. 4.40

Если лист с рис. 4.39в, 4.40в вновь перегнуть по прямой я, то фигуры F и F{ совпадут. Это говорит о том, что эти фигуры равны. Таким образом, две фигуры, симметричные друг другу относительно некоторой прямой, равны между собой.

Осевую симметрию можно рассматривать и в пространстве. Пусть / — некоторая прямая в пространстве, a M — точка, не лежащая на этой прямой. Как и на плоскости, точка Afj называется симметричной точке M относительно прямой /, если прямая / делит отрезок ММХ пополам и перпендикулярна этому отрезку. Точка, принадлежащая прямой /, считается симметричной сама себе.

Где лежит точка Mj? Чтобы ответить на вопрос, вспомним, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Точка Mj будет лежать в этой плоскости (рис. 4.41). (Подумай, почему.)

Пусть F — фигура в пространстве. Для каждой точки фигуры F можно найти симметричную ей точку относительно прямой /. Эти точки образуют новую фигуру Fj, симметричную фигуре F относительно прямой /. Геометрические тела, симметричные относительно прямой /, показаны на рис. 4.42. На рис. 4.43 изображены два равных куба с общим ребром. Грани кубов, прилежащие к общему ребру, лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях, а сами кубы симметричны относительно прямой. Осью симметрии указанных кубов служит прямая, содержащая их общее ребро.

Рис. 4.41

Рис. 4.42 Рис. 4.43

Задачи и упражнения

286. Скопируй в тетрадь рис. 4.44 и начерти серединные перпендикуляры отрезков АЛХ, ВВ± и ССЛ.

287. Скопируй в тетрадь рис. 4.45 и построй точки, симметричные точкам А, В, С относительно прямой /.

288. На бумаге без клетки начерти прямую / и отметь точки Р и Q. С помощью циркуля и линейки построй точки Рх и Qlf симметричные точкам Р и Qотносительно прямой /.

Рис. 4.44 Рис. 4.45

2. Свойства осевой симметрии фигур. В предыдущем пункте мы отметили, что фигуры, симметричные относительно прямой, равны между собой. Это позволяет выделить следующие важные свойства осевой симметрии фигур:

1. Фигура, симметричная относительно прямой I отрезку АВУ есть отрезок АХВЬ равный отрезку AB (рис. 4.46).

Рис. 4.46

2. Фигура тх, симметричная прямой m относительно прямой /, есть прямая.

Ты можешь продолжить исследование и рассмотреть взаимное расположение прямых тмт^ъ зависимости от взаимного расположения прямых m и /. На рис. 4.47 показаны возможные способы расположения произвольной прямой m и оси симметрии /.

Рис. 4.47

На рис. 4.47а прямая m совпадает с осью симметрии /. Поскольку каждая точка оси симметрии переходит сама в себя, прямая / также переходит сама в себя. Значит, здесь = m = /.

Прямая m на рис. 4.476 пересекает ось симметрии / в точке Mq и образует с нею острый угол NMqNq. Точка М0 е /, она переходит сама в себя. Поэтому прямая симметричная прямой m относительно прямой /, тоже проходит через точку М0. Кроме того, ZNMqNq = ZNiMqNq. (Объясни, почему.)

На рис. 4.47в прямая m тоже пресекает ось / в точке Mq, но здесь она перпендикулярна оси. Поэтому точки, симметричные точкам прямой m относительно прямой /, также лежат на прямой га, то есть прямая га симметрична сама себе. Однако, если на рис. 4.47а в себя переходит каждая точка прямой, то в данном случае точки прямой га переходят в симметричные им точки относительно точки Mq.

Наконец, на рис. 4.47г прямые га и / параллельны. В этом случае все точки прямой га одинаково удалены от оси /. Следовательно, точки симметричной ей прямой raj удалены от / на то же самое расстояние. Поэтому raj II /, а значит, || т.

3. Фигура щ, симметричная окружности со относительно прямой I, есть равная ей окружность. Центр окружности со1 симметричен центру О окружности со относительно прямой I (рис. 4.48).

Рис. 4.48

Задачи и упражнения

289. Перечерти в тетрадь рис. 4.49 и изобрази фигуры, симметричные данным относительно прямой р.

Рис. 4.49

290. Скопируй в тетрадь рис. 4.50. Построй отрезок, симметричный отрезку AB относительно прямой а.

Рис. 4.50

Рис. 4.51

291. Скопируй в тетрадь рис. 4.51. Построй вторую окружность, симметричную относительно прямой / начерченной окружности.

292. Скопируй в тетрадь отрезки AB и CD (рис. 4.52). Существует ли прямая, относительно которой эти отрезки симметричны? Если такая прямая существует, изобрази эту ось симметрии.

293. На бумаге без клетки начерти две прямые m и /. С помощью линейки и циркуля построй прямую симметричную прямой m относительно прямой /.

294. На бумаге без клетки начерти прямую / и окружность со. С помощью линейки и циркуля построй окружность щ, симметричную окружности со относительно прямой /.

295. На бумаге без клетки начерти прямую m и произвольный треугольник PQR. С помощью линейки и циркуля построй треугольник P\Q\R\% симметричный треугольнику PQR относительно прямой т.

Рис. 4.52

296. Перерисуй в тетрадь треугольники, которые изображены на рис. 4.15. Изобрази точку С\% симметричную вершине С треугольника AB С относительно прямой, содержащей его сторону AB. Построй четырехугольник АСфС и определи вид этого четырехугольника.

3. Фигуры, имеющие ось симметрии. Рассмотрим фигуру F, изображенную на рис. 4.53. Существует прямая /, такая, что для каждой точки M фигуры F найдется другая точка Мх этой же фигуры, симметричная точке M относительно прямой /. Это означает, что если фигуру F повернуть вокруг прямой / на угол 180°, то эта фигура перейдет сама в себя. Другими словами, симметрия относительно прямой / отображает фигуру F на себя.

Фигура называется симметричной относительно прямой /, если при осевой симметрии относительно прямой / эта фигура отображается сама на себя.

Если некоторая фигура F симметрична относительно прямой /, то эта прямая называется ее осью симметрии.

Обратимся к рис. 4.54, на котором изображены знакомые нам плоские фигуры. Разносторонний треугольник, параллелограмм, прямоугольная трапеция (рис. 4.54а - 4.54в) не имеют осей симметрии.

По одной оси симметрии имеют угол, равнобедренный неравносторонний треугольник, равнобедренная трапеция (рис. 4.54г - 4.54ж). Ось симметрии угла — прямая, содержащая его биссектрису. В равнобедренном треугольнике осью симметрии является прямая, содержащая медиану, проведенную к основанию. Ось симметрии трапеции — прямая, проходящая через середины оснований.

Две оси симметрии имеют отрезок, прямоугольник, ромб, эллипс (рис. 4.54з - 4.54к). Одна из осей симметрии отрезка — его серединный перпендикуляр, а вторая — прямая, содержащая этот отрезок.

Рис. 4.53

Рис. 4.54

У равностороннего треугольника (рис. 4.54л) три оси симметрии, у квадрата — четыре (рис. 4.54м). Пятиугольник и шестиугольник на рис. 4.54н и 4.54о имеют пять и шесть осей симметрии соответственно.

Рис. 4.55

Окружность (рис. 4.54п) и прямая (рис. 4.54р) имеют бесконечно много осей симметрии. Для окружности любая прямая, проходящая через ее центр, служит осью симметрии. Для прямой осью симметрии является любая перпендикулярная ей прямая.

Наконец, бесконечно много осей симметрии имеет плоскость: любая прямая плоскости будет ее осью симметрии.

На рис. 4.55 даны примеры пространственных фигур, также имеющих ось симметрии. Опиши эти оси.

Задачи и упражнения

297. Какие из букв русского алфавита (рис. 4.25) имеют: одну ось симметрии; более одной оси симметрии?

298. Среди фигур, изображенных на рис. 4.26, найди фигуры, имеющие ось симметрии. Последовательно перерисуй в тетрадь фигуры, имеющие: а) одну ось симметрии; б) две оси симметрии; в) четыре оси симметрии; г) более четырех осей симметрии. Изобрази на рисунке эти оси.

299. На каждом из рис. 4.56 изображена часть фигуры, имеющей ось симметрии, и сама эта ось. Перечерти рисунки в тетрадь и дострой недостающую часть каждой фигуры.

Рис. 4.56

300. Нарисуй треугольник, который: а) не имеет осей симметрии; 6) имеет одну ось симметрии; в) имеет три оси симметрии.

301. Нарисуй четырехугольник, который: а) не имеет осей симметрии; 6) имеет одну ось симметрии; в) имеет две оси симметрии; г) имеет четыре оси симметрии.

302. Используя перегибание, вырежи из бумаги фигуру, имеющую: а) только одну ось симметрии; 6) две оси симметрии; в) четыре оси симметрии.

303. Прямоугольный лист бумаги сложили вчетверо так, как показано на рис. 4.57а. От сложенного таким образом листа отрезали угол О (заштрихованную часть на рис. 4.57б -4.57д). Мысленно разгибая лист бумаги, представь себе и назови форму получившегося отверстия.

Рис. 4.57

304*. Сложенный вчетверо лист бумаги сложили еще раз (рис. 4.58а). Затем угол О отрезали (рис. 4.58б — 4.58в). Мысленно разгибая лист, представь и изобрази форму получившегося отверстия. Если тебе не удается этого сделать, возьми лист бумаги и проделай описанные операции.

Рис. 4.58

305*. Докажи, что фигура, имеющая две взаимно перпендикулярные оси симметрии, является центрально-симметричной.

306. Какие из бордюров на рис. 4.29 имеют вертикальные оси симметрии? Укажи эти оси.

307. Некоторые из паркетов на рис. 4.31 имеют оси симметрии. Найди эти паркеты и укажи их оси.

308. Двадцать шесть букв латинского алфавита разбиты на пять групп:

На основании каких особенностей в написании букв произведена эта классификация?

309. Какие из тел на рис. 4.28 обладают осями симметрии?

4. Осевая симметрия плоскости. Как мы заметили в предыдущем пункте, плоскость является фигурой, которая имеет бесконечно много осей симметрии. В качестве оси симметрии плоскости можно взять любую ее прямую.

Пусть / — некоторая прямая плоскости. При осевой симметрии с осью /:

а) произвольная точка M этой плоскости, не лежащая на прямой /, переходит в такую точку Afj, что прямая / является серединным перпендикуляром отрезка ММ^

б) всякая точка, лежащая на прямой /, переходит сама в себя (рис. 4.59).

Прямая / разбивает плоскость на две полуплоскости. Осевая симметрия плоскости с осью / переводит точки одной из этих полуплоскостей в точки другой полуплоскости и, наоборот, точки второй полуплоскости — в точки первой.

Рис. 4.59

с помощью перегибания.) Можно также заметить, что осевая симметрия плоскости задает отображение этой плоскости на себя. Поэтому осевая симметрия плоскости относительно прямой I является преобразованием этой плоскости.

Осевую симметрию плоскости с осью / можно моделировать с помощью поворота плоскости вокруг прямой / на угол 180° (рис. 4.60). При этом, перпендикуляр MMq, опущенный из точки M на прямую /, во время вращения будет оставаться перпендикулярным прямой /, а точки прямой / -неподвижными. Поэтому после поворота вокруг прямой / любая точка плоскости перейдет в симметричную ей точку относительно этой прямой.

Отсюда следует, что образом фигуры F, расположенной в плоскости, является симметричная ей относительно прямой / фигура F\.

Рассмотрим теперь на плоскости две симметричные относительно прямой / фигуры F, F] и фигуру G, имеющую прямую / своей осью симметрии. При повороте плоскости вокруг прямой / на угол 180°: фигура F перейдет в фигуру Fi, а фигура Fi - в фигуру F; фигура G перейдет сама в себя.

Все пространство также является фигурой, обладающей бесконечным числом осей симметрии. Любая прямая пространства может быть принята за его ось симметрии. Такое преобразование пространства представляет собой вращение пространства вокруг прямой / на угол 180°.

Рис. 4.60

Задачи и упражнения

310. Начерти на плоскости две прямые а и Ъ. С помощью линейки и циркуля построй: а) образ Ъ\ прямой b в осевой симметрии плоскости с осью а\ б) образ ах прямой а в осевой симметрии плоскости с осью Ъ.

Рассмотри различные случаи взаимного расположения прямых а и Ь.

311. Начерти на плоскости прямую а и окружность со. С помощью линейки и циркуля построй образ щ окружности су в осевой симметрии плоскости с осью я.

312*. На плоскости даны прямая / и не лежащая на ней точка А. Построй равносторонний треугольник так, чтобы одна его вершина находилась в точке Л, а прямая / была для него осью симметрии.

5. Зеркальная симметрия. В пространстве существует еще один вид симметрии фигур. С этой симметрией мы сталкиваемся ежедневно, когда видим свое отражение в зеркале (рис. 4.61). Познакомимся с ней подробнее.

Точки А и A t называются симметричными относительно плоскости а, если плоскость а проходит через середину А0

Рис. 4.61

Рис. 4.62

отрезка ААХ и перпендикулярна этому отрезку: [АА0] = [Л^], \АА{\ _1_ а. Каждая точка плоскости а считается симметричной самой себе (рис. 4.62).

Из этого определения следует способ построения точки, симметричной данной точке относительно данной плоскости. Пусть а — данная плоскость, а А - данная точка. Чтобы построить точку Аь симметричную точке А относительно плоскости а, нужно:

1. Через точку А провести прямую я, перпендикулярную плоскости а. (Точку пересечения прямой а и плоскости а обозначим Aq.)

2. На луче, дополнительном к лучу AqA, отложить от точки Л0 отрезок AqAi, равный отрезку АА0.

Возьмем теперь произвольную фигуру F и для каждой точки фигуры F построим точку, симметричную ей относительно плоскости а. Полученные таким образом точки образуют новую фигуру jFlf которую называют симметричной фигуре F относительно плоскости а.

Фигура F, в свою очередь, симметрична фигуре F{ относительно плоскости а. Таким образом, фигуры F и F± симметричны друг другу относительно плоскости а. Плоскость а при этом называется плоскостью симметрии фигур FnF^a про сами фигуры говорят, что они зеркально-симметричны относительно плоскости а.

Зеркально-симметричные фигуры показаны на рис. 4.63 — 4.65. На рис. 4.63 это два куба с общей гранью. Плоскостью симметрии этих кубов является плоскость, в которой лежит их общая грань. На рис. 4.64 изображены две сферы с одинаковыми радиусами. Их плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего центры сфер, и перпендикулярна этому отрезку. На рис. 4.65 схематически изображены

Рис. 4.63 Рис. 4.64

Рис. 4.65

Рис. 4.66

две параллельные плоскости. Самостоятельно назови плоскость их симметрии.

Нетрудно догадаться, что дальше пойдет речь о фигурах, которые обладают плоскостями симметрии. Представим, что на рис. 4.66 изображен тетраэдр AB CD, грани ABC, ABD которого являются равнобедренными треугольниками с общим основанием AB. Пусть Е — середина ребра AB (\АЕ | = \ЕВ\), тогда отрезки CE, DE будут медианами равнобедренных треугольников, проведенными к их общему основанию. Поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его высотой, СЕ±АВ, DE1AB. Следовательно, отрезок AB перпендикулярен двум пересекающимся прямым, а значит, он перпендикулярен и плоскости ECD. Таким образом, точки А и В симметричны относительно плоскости ECD. Точки C и D принадлежат этой плоскости. Поэтому они также симметричны относительно плоскости ECD.

Из сказанного можно заключить, что при симметрии относительно плоскости ECD тетраэдр ABCD перейдет сам в себя. В этом случае говорят: тетраэдр ABCD симметричен относительно плоскости ECD.

Вообще, фигура F называется симметричной относительно плоскости а, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости она отображается сама на себя.

Если некоторая фигура асимметрична относительно плоскости о, то эта плоскость называется ее плоскостью симметрии.

В приведенном примере тетраэдр AB CD имеет одну плоскость симметрии (если, конечно, все его грани не являются равносторонними треугольниками). Из рис. 4.67 видно, что прямоугольный параллелепипед общего вида имеет три плоскости симметрии. Эти плоскости параллельны противоположным граням и проходят через середины ребер, вершины которых лежат в этих гранях.

Шар и ограничивающая его сфера имеют бесконечно много плоскостей симметрии. И шар, и сфера симметричны относительно любой плоскости, проходящей через их центры (рис. 4.68). Бесконечно много плоскостей симметрии имеют и

Рис. 4.67

Рис. 4.68

Рис. 4.69

другие круглые тела. Так, любая плоскость, проходящая через ось конуса, является его плоскостью симметрии (рис. 4.69).

Отметим, наконец, что все пространство также имеет бесконечно много плоскостей симметрии. Оно зеркально симметрично относительно любой плоскости.

Задачи и упражнения

313. Среди фигур, изображенных на рис. 4.28, укажи те, которые имеют плоскость симметрии.

314. На рис. 4.70 изображены части фигур, симметричных относительно плоскости. Нарисуй эти фигуры целиком.

Рис. 4.70

315*. Из шести одинаковых кубиков нужно склеить всевозможные тела, имеющие плоскость симметрии. При их составлении грани различных кубов склеиваются друг с другом. Изобрази эти тела. Пример одного из возможных тел показан на рис. 4.71. Это тело имеет две плоскости симметрии. Покажи, как они расположены относительно тела.

Рис. 4.71

Рис. 4.72

316. Известно, что диаметр цилиндра равен его высоте. Какие фигуры могут получиться в сечении этого цилиндра его плоскостями симметрии?

317. Какие фигуры получаются в сечении куба его плоскостями симметрии?

318. Сколько всего плоскостей симметрии имеет куб? 319*. Ребро куба равно 4 см. Изобрази в натуральную величину сечение этого куба его плоскостями симметрии.

320*. На поверхности куба нарисовали ломаную (рис. 4.72). Сделай четыре копии этого рисунка и последовательно изобрази на них вторую ломаную, симметричную нарисованной:

а) относительно плоскости симметрии куба, параллельной граням AA{B{B, DDXCXC\

б) относительно плоскости симметрии куба, проходящей через ребра ABу C^Di,

в) относительно прямой, соединяющей центры граней ABCD,

г) относительно центра (точки пересечения диагоналей) куба. (Рекомендуется данную и изображаемую ломаные проводить разными цветами.)

321*. Все грани тетраэдра — равносторонние треугольники. Сколько плоскостей симметрии имеет этот тетраэдр?

§ 20. Вектор

1. Вектор. В геометрии кроме обычных отрезков рассматривают еще и направленные отрезки. Что это такое? Чем отличается направленный отрезок от рассматриваемого до сих пор обычного отрезка?

Отрезок AB — это фигура, состоящая из двух точек А, В и всех точек, лежащих между ними. Точки А и В называются концами отрезка. Для обычного отрезка эти точки равноправны. Поэтому для записи отрезка AB мы, наряду с обозначением [AB], употребляем обозначение [ВА]. ([AB], [ВА] — разные обозначения одного и того же отрезка с концами А и В.)

Отрезок AB называется направленным, если указан порядок, в котором заданы его концы. Если первой задана точка Л, второй — точка В, то точку А называют началом направленного отрезка AB; за точкой В сохраняют прежнее название — конец отрезка. Для обозначения направленного отрезка AB употребляется специальная запись: AB. Заметим, что записи AB и ВА обозначают разные направленные отрезки. Для направленного отрезка AB точка А является началом, а точка В — его концом. Для направленного отрезка ВА, наоборот, началом является точка В, а концом - точка А.

На рисунках и чертежах направленный отрезок изображают в виде обычного отрезка со стрелкой, которая указывает направление от его начала к концу. Так на рис. 4.73 изображены направленные отрезки AB и CD .

Рис. 4.73

Длиной направленного отрезка AB называют длину обычного отрезка [АВ]. Длину направленного отрезка AB обозначают AB . Таким образом,

На рис. 4.74 изображены два направленных отрезка AB, CD f которые лежат на параллельных прямых. Кроме того, на рисунках проведена прямая АС, проходящая через начала этих отрезков. На рис. 4.74а концы В и D направленных отрезков лежат по одну сторону от прямой АС. В этом случае направленные отрезки AB 9 CD называются сонаправленными. Пишут: AB ff CD .

На рис. 4.746 концы B и D направленных отрезков лежат по разные стороны от прямой АС. В этом случае направленные отрезки AB, CD называются противоположно направленными. Пишут: AB \\ CD .

Теперь обратимся к рис. 4.75. Здесь направленные отрезки AB и CD лежат на одной прямой. На рис. 4.75а отрезки

Рис. 4.74

Рис. 4.75

Рис. 4.76

AB и CD также будем называть сонаправленными, а на рис. 4.75б — противоположно направленными.

Два обычных отрезка [AB], [CD] мы считали равными, если их можно совместить с помощью наложения. Такие отрезки равны, если равны их длины. На рис. 4.76 [AB], [CD], [EF] — равные отрезки.

Как определяется равенство направленных отрезков? Направленные отрезки называются равными, если:

а) их длины равны;

б) эти отрезки сонаправлены.

Для обозначения равенства направленных отрезков AB и CD используется запись: AB = CD .

На рис. 4.77а изображены три равных направленных отрезка AB 9 CD и EF . Все эти отрезки имеют одинаковую длину и сонаправлены. При этом направленные отрезки CD и EF лежат на одной прямой.

На рис. 4.776 никакие два направленных отрезка не равны между собой. Возьмем, например, направленный отрезок AB,

Рис. 4.77

Он сонаправлен с отрезком EF. Однако длины отрезков AB и EF различны. Поэтому AB ф EF. Длина направленного отрезка GH равна длине направленного отрезка AB, но эти отрезки не являются сонаправленными. Значит, AB ф GH.

Точно так же AB ф CD. Здесь отрезки АВ9 CD имеют равные длины, но направлены противоположно. Такие направленные отрезки называются противоположными.

В старших классах мы научимся складывать и вычитать направленные отрезки, умножать их на числа, а сами направленные отрезки будем называть векторами. Это название является более кратким. Поэтому, забегая вперед, условимся в дальнейшем использовать его для направленных отрезков.

При обозначении вектора AB (то есть направленного отрезка) часто вместо черты используют стрелку; пишут: AB. Векторы обозначают также малыми латинскими буквами:

жирными (a, b, с и т. д.), либо со стрелкой наверху {а Ъ ус и т. д.) (рис. 4.78).

Рис. 4.78

Если на плоскости или в пространстве задан вектор AB и точка М, то существует единственная точка М^ такая, что

мм[ = AB.

Возможны два случая: 1) вектор AB и точка M не лежат на одной прямой; 2) вектор AB и точка M лежат на одной прямой. Для построения точки Mt в первом случае достаточно построить параллелограмм МАВМ^ (рис. 4.79). Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, ММ, - AB.

Во втором случае на прямой AB от точки M откладывается отрезок MMlf равный отрезку AB. Точка Мх выбирается так, чтобы вектор ММ, был сонаправлен с вектором AB (рис. 4.80).

Построение вектора ММ,, равного данному вектору AB, называется откладыванием вектора AB от точки М.

Рис. 4.79

Рис. 4.80

Задачи и упражнения

322. Среди данных векторов (рис. 4.81) найди и последовательно запиши:

а) сонаправленные между собой векторы;

б) противоположно направленные векторы;

в) противоположные векторы;

г) векторы, имеющие равные длины;

д) равные векторы.

Рис. 4.81

323. Начерти произвольный вектор MN. Построй несколько векторов, сонаправленных с вектором MN .

324. Начерти произвольный вектор PQ. Построй векторы AB и CD , противоположно направленные с вектором PQ .

Будут ли векторы AB, CD сонаправленными?

325. Начерти два сонаправленных вектора, имеющих равные длины. Будут ли эти векторы равными?

326. Начерти два противоположно направленных вектора, имеющих равные длины. Будут ли эти векторы: а) равными; б) противоположными?

327. Начерти два равных вектора и обозначь их буквами.

328. Начерти два вектора, которые не являются равными, но имеют равные длины.

329. Прочитай следующие записи:

330. Построй векторы а и Ъ такие, что:

331. Скопируй в тетрадь рис. 4.82 и отложи от точек Ми N данный вектор а.

332. Построй в тетради произвольный вектор а и отметь точку М. Отложи от точки M вектор, противоположный вектору а.

Рис. 4.82

2. Параллельный перенос фигуры. Пусть задан некоторый вектор а. Тогда для любой точки А можно найти такую точку Аь что ААХ = а. Переход от точки А к точке А± называется параллельным переносом точки А на вектор а.

Для того, чтобы найти точку Аь в которую переходит точка Л в результате параллельного переноса на вектор а, нужно от точки А отложить вектор, равный вектору а (рис. 4.83). Конец отложенного вектора будет искомой точкой Ау

Пусть на плоскости заданы вектор а и некоторая фигура F (рис. 4.84). Для каждой точки фигуры F найдем точку, которая получается в результате переноса ее на вектор а. (На рис. 4.84 показаны точки К^, L±, Мь в которые переходят точки К, L, M соответственно. При этом ККХ = = 1Ц = Мм\ - а.)

Множество всех точек, получающихся из точек фшгуры F с помощью параллельного переноса на вектор а образует новую фигуру Fi. Об этой фигуре

Рис. 4.83

Рис. 4.84

Рис. 4.85 Рис. 4.86

говорят, что она получена параллельным переносом фигуры F на вектор а, а сам переход от фигуры F к фигуре Fx называют параллельным переносом фигуры F на вектор а.

Параллельный перенос фигур можно рассматривать как на плоскости, так и в пространстве. На рис. 4.85 показан квадрат А^В^С^Рь полученный параллельным переносом на вектор а квадрата ABCD. Куб A^B^C^D^E^F^G^H^ на рис. 4.86 получен из куба ABCDEFGH с помощью параллельного переноса на вектор Ъ. (Почему при параллельном переносе квадрат действительно переходит в квадрат, а куб — в куб, будет понятно из дальнейшего изложения.)

Фигуру можно получить и другим способом. Рассмотрим плоскость а и вектор я, расположенный в этой плоскости. Каждую точку M плоскости а параллельно перенесем на вектор а. Тогда плоскость а отобразится сама на себя. Поэтому такой параллельный перенос плоскости является ее преобразованием.

Пусть F — фигура, принадлежащая плоскости а. При параллельном переносе плоскости на вектор а фигура F отобразится

на некоторую фигуру F{. (Точки фигуры Fx получаются параллельным переносом на вектор а точек фигуры F.) Таким образом, фигуру можно найти как образ фигуры F при параллельном переносе плоскости а.

Аналогичным образом определяют параллельный перенос пространства и находят фигуру F±, в которую переходит произвольная фигура F в этом преобразовании.

Задачи и упражнения

333. Перечерти рис. 4.87 в тетрадь. Изобрази точки, в которые переходят точки К, L и M при параллельном переносе на вектор PQ.

Рис. 4.87

334. Изобрази на плоскости вектор а и произвольную линию у. Отметь на линии у несколько точек и построй точки, в которые они переходят при параллельном переносе на выбранный вектор а . Соедини полученные точки в том же порядке, в каком лежат их прообразы на линии у. (Новую линию можно считать полученной из линии у с помощью параллельного переноса.)

335. Почему про верхнее основание призмы часто говорят, что оно может быть получено из нижнего основания с помощью

параллельного переноса? Можно ли, наоборот, получить нижнее основание призмы параллельным переносом верхнего основания? Как связаны векторы этих двух параллельных переносов?

3. Свойства параллельного переноса. Пусть вектор PQ лежит на прямой /. Найдем фигуру, в которую переходит прямая / при переносе на этот вектор.

Выберем на прямой / произвольную точку М. Точка Мь в которую перейдет точка М, будет также лежать на прямой /.

(Объясни, почему.) При этом ММХ = PQ. Таким образом, прямая / при параллельном переносе на вектор PQ переходит сама в себя: все ее точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 4.88).

Рис. 4.88

Теперь параллельный перенос плоскости и фигуры на ней достаточно просто представить наглядно. На листе бумаги начертим произвольный вектор PQ и изобразим некоторую фигуру F. Отметим также произвольную точку М, принадлежащую фигуре F (рис. 4.89а).

Проведем прямую /, на которой лежит вектор PQ. Затем скопируем фигуру F, ее точку М, прямую / и точку Р на кальку (рис. 4.896). (Копии точек М и Р обозначены на кальке и Р^ соответственно.)

Рис. 4.89

Будем перемещать кальку в направлении от Р к Q так, чтобы скопированная прямая скользила по прямой /. Когда копия точки Р совместится с точкой Q, аккуратно подложим под кальку копировальную бумагу и обведем копию фигуры F, а также скопируем точку (рис. 4.89в). После этого на бумаге будут изображены новая фигура F± и принадлежащая ей точка М± (рис. 4.89г).

Поскольку во время перемещения кальки отрезок P^Mk все время остается равным и параллельным отрезку РМ, четырехугольник PMMiQ является параллелограммом, и значит, ММХ = PQ. M — произвольная точка фигуры F, a M^ — ее образ при параллельном переносе плоскости на вектор PQ. Следовательно, любая точка фигуры Fi получается таким образом из соответствующей точки фигуры F. Сама же фигура Fj есть

Рис. 4.90

образ фигуры F при параллельном переносе плоскости на вектор PQ.

Так как каждая из фигур F и F^ равна своей копии, эти фигуры равны между собой. Отсюда следует, что фигура F^, получающаяся из фигуры F параллельным переносом, равна фигуре F.

Сказанное позволяет сформулировать свойства, касающиеся построения основных геометрических фигур.

1. Фигура Afii, получающаяся из отрезка AB с помощью параллельного переноса на вектор а, есть отрезок, равный отрезку AB (рис. 4.90).

2. Фигура 1±, получающаяся из прямой I с помощью параллельного переноса на вектор а, есть прямая. Прямая 1± либо параллельна I, либо совпадает с ней (рис. 4.90).

Рис. 4.91

3. Фигура ©J, получающаяся из фигуры со с помощью параллельного переноса на вектор а, есть окружность, равная окружности со. Центр окружности со^ получается из центра окружности со путем того же параллельного переноса (рис. 4.91).

Задачи и упражнения

336. Построй образы отрезков AB, CD, EF и GH при параллельном переносе плоскости на вектор а (рис. 4.92).

Рис. 4.92

337. Начерти на бумаге без клетки вектор и произвольный отрезок AB. Используя линейку и циркуль, изобрази отрезок AiBi, получающийся из отрезка AB с помощью параллельного переноса на построенный вектор.

338. Начерти на бумаге без клетки некоторый вектор а и произвольную прямую /. С помощью циркуля и линейки построй прямую /lf в которую переходит прямая / при параллельном переносе на вектор а.

339. Начерти на бумаге без клетки некоторый вектор а и произвольную окружность со. С помощью циркуля и линейки построй окружность со1у в которую переходит окружность со при параллельном переносе на вектор а.

340. Изобрази отрезок ВС и точку А. Выполни параллельный перенос отрезка ВС так, чтобы: а) точка В совпала с точкой А; б) точка С совпала с точкой А.

341. Изобрази луч ОМ и не лежащую на нем точку Р. Выполни параллельный перенос этого луча так, чтобы точка О совпала с точкой Р.

342. Начерти угол ABC. Выполни параллельный перенос этого угла так, чтобы его вершина оказалась в точке Д принадлежащей: а) стороне ВА; б) стороне ВС; в) внутренней области угла ABC; г) внешней области угла ABC.

343. Построй образ квадрата ABCD при, параллельном переносе на вектор: а) ВС; б) DA; в) АС; г) DB.

344. Отрезок AD является медианой треугольника ABC. Построй образ Di точки D при параллельном переносе на вектор AD. Определи вид четырехугольника ABD^ С.

345. Начерти трапецию ABCD с основаниями AD и ВС (\AD\> \ВС\). Построй образы Аь D{ вершин A, D трапеции при параллельном переносе на вектор ВС. Как связаны длина отрезка AD^ и длины оснований трапеции?

§ 21. Поворот

1. Поворот точки. Направленный угол. При изучении центральной симметрии на плоскости мы уже встречались с поворотом на 180°. Если О — центр симметрии, то точка М^ симметричная данной точке М, может быть получена путем поворота точки M вокруг точки О на угол 180° (рис. 4.93). Этот поворот можно выполнять как против часовой стрелки, так и по часовой стрелке. И в том, и в другом случае мы придем к одному и тому же результату.

Рис. 4.93 Рис. 4.94

Пусть на плоскости задана точка О. Рассмотрим теперь поворот точки M этой плоскости вокруг точки О на угол <р, отличный от 180°. Здесь повороты по часовой стрелке и против часовой стрелки дают разные результаты (рис. 4.94). При повороте вокруг точки О на угол ср против часовой стрелки точка M перешла в точку Mj, а при повороте по часовой стрелке — в точку М2. Значит, для того чтобы понять, о какой из этих двух точек идет речь, надо знать не только величину угла поворота, но и направление поворота.

Заметим, что в геометрии нас интересует не процесс поворота, а его результат. Поэтому выясним, где могут лежать образы точки M при всевозможных поворотах ее вокруг точки О.

Все точки, в которые может перейти точка M при повороте вокруг точки О, удалены от точки О на одно и то же расстояние, равное \ОМ\. Поэтому все эти точки лежат на окружности радиуса \ОМ\ с центром в точке О. В том случае, когда точка M остается на месте (переходит сама в себя), будем считать, что она поворачивается на угол в 0°. Если при повороте против часовой стрелки угол (р непрерывно изменяется в пределах от 0° до 180°, то образы точки M опишут полуокружность. Если в тех же пределах угол (р меняется при повороте по часовой стрелке, то образы точки M опишут дополнительную полуокружность (рис. 4.93).

Рис. 4.95

Чтобы задавать поворот с помощью углов, введем новое понятие — направленный угол. Угол называется направленным, если указан порядок, в котором заданы его стороны. На рисунках направленные углы будем обозначать дугой со стрелкой. Эта стрелка указывает, в каком направлении нужно повернуть сторону угла, объявленную первой, чтобы совместить ее со второй стороной угла.

На рис. 4.95а изображен направленный угол, у которого первой объявлена сторона OA, а второй — сторона OB. При этом, чтобы совместить сторону OA со стороной OB, ее нужно повернуть против часовой стрелки. С помощью таких направленных углов будем задавать поворот против часовой стрелки.

У направленного угла на рис. 4.956 первой задана сторона LK, второй — сторона LM. Для совмещения стороны LK со стороной LM первую сторону нужно повернуть по часовой стрелке. С помощью таких направленных углов будем задавать повороты по часовой стрелке.

Таким образом, с помощью направленных углов можно задать любой поворот точки вокруг другой данной точки.

Два направленных угла называются равными, если: а) они задают одно и то же направление поворота; 6) соответствующие им обычные углы равны.

Величину направленного угла считают равной величине соответствующего ему обычного угла, взятой со знаком «+», либо со знаком «-». Если направленный угол задает поворот

Рис. 4.96

против часовой стрелки, его считают положительным. Направленный угол, задающий поворот по часовой стрелке, считают отрицательным. Направленный угол АОВ на рис. 4.96а задает поворот на 90° против часовой стрелки. Поэтому этот угол равен +90°. (В этом случае знак «+» обычно опускают.)

Направленный угол KLM на рис. 4.966 задает поворот на угол 135° по часовой стрелке. Поэтому его величина равна -135°.

С помощью направленных углов ср и -ср задаются повороты на углы, равные по величине, но противоположные по направлению. Поэтому такие направленные углы называются противоположными.

Задачи и упражнения

346. С помощью линейки и транспортира построй направленный угол, равный направленному углу АОВ, изображенному на рис. 4.97.

Рис. 4.97

347. С помощью линейки и транспортира построй направленный угол АОВ, величина которого равна: а) 36°; б) -63°; в) 90°; г) -90°; д) 102°; е) -120°.

348. Начерти произвольный направленный угол MON. С помощью линейки и циркуля построй направленный угол: а) равный направленному углу MON; б) противоположный направленному углу MON.

2. Поворот фигуры на плоскости. Пусть на плоскости заданы точка О и направленный угол ср. Если F— некоторая фигура на этой плоскости, то для любой ее точки M можно найти точку Afj, в которую она переходит при повороте вокруг точки О на угол ср. Полученные таким образом точки образуют новую фигуру F1 (рис. 4.98). Про эту фигуру говорят, что она получена из фигуры F с помощью поворота вокруг точки О на угол (р.

Фигуру Fi можно определить как образ фигуры F при повороте всей плоскости.

Сам же поворот плоскости определяется так. Отметим на плоскости точку О и зададим направленный угол ср. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол ср называется

Рис. 4.98

Рис. 4.99

отображение плоскости на себя (то есть преобразование плоскости), при котором:

1) всякая точка M плоскости, отличная от точки О, отображается в такую точку что \ОМ^\ = \ОМ\ и направленный угол MOMi равен данному направленному углу <р;

2) точка О отображается сама в себя.

Точку О при этом называют центром поворота, а направленный угол ср - углом поворота (рис. 4.99).

Задачи и упражнения

349. Построй фигуру в которую переходит данная фигура F (рис. 4.100) при повороте на угол -90°.

350. Изобрази на плоскости точку О и произвольную линию у. Отметь на линии у несколько точек и с помощью транспортира построй точки, в которые они переходят при повороте вокруг точки О на направленный угол 65°. Соедини полученные точки в том же порядке, в каком лежат их прообразы

Рис. 4.100

Рис. 4.101

на линии у. (Новую линию можно считать полученной из линии у с помощью поворота вокруг точки О на угол 65° против часовой стрелки.)

351. Изобрази на плоскости точку О, направленный угол а и произвольную линию у. Отметь на линии у несколько точек. С помощью линейки и циркуля построй образы отмеченных точек при повороте плоскости вокруг точки О на угол а. Соедини полученные точки линией.

352*. Укажи направленные углы, при повороте на которые вокруг точки О изображенные многоугольники переходят сами в себя (рис. 4.101).

3. Свойства поворота плоскости. Поворот плоскости и фигуры на ней представим наглядно.

На листе бумаги отметим точку О и зададим некоторую фигуру F. Отметим также произвольную точку М, принадлежащую этой фигуре (рис. 4.102а).

Наложим на бумагу кальку. В точку О воткнем булавку, а затем скопируем фигуру F и точку M на кальку (рис. 4.102б). (Копия точки M на кальке обозначена Мк.)

Не вынимая булавки, повернем кальку вокруг точки О на некоторый угол <р. Аккуратно подложим под кальку копировальную бумагу и обведем копию фигуры F, а также скопиру-

ем точку Мк (рис. 4.102в). После этого на бумаге будут изображены новая фигура Fj и принадлежащая ей точка (рис. 4.102г).

Поскольку во время поворота кальки отрезок ОМк, равный отрезку ОМ, сохранял свою длину, \ОМ^\ = \ОМ\. Поэтому точка является образом точки M, а фигура Fj — образом фигуры F при повороте плоскости вокруг точки О на угол (р.

Так как каждая из фигур F и равна своей копии, эти фигуры равны между собой. Отсюда следует, что фигура Fly получающаяся из фигуры F при повороте плоскости вокруг точки, равна фигуре F.

Рис. 4.102

Из сказанного следует, что:

1. Фигура Афъ получающаяся из отрезка AB с помощью поворота вокруг точки О на угол (р, есть отрезок, равный отрезку AB (рис. 4.103).

2. Фигура /1? получающаяся из данной прямой / с помощью поворота вокруг точки О на угол <р, есть прямая (рис. 4.104).

Примечание. Перпендикуляр 01, опущенный из точки О на прямую /, при повороте прямой / вокруг точки О на угол ср переходит в перпендикуляр OL j к прямой при этом OL± = OL и направленный угол LOLi равен углу ср.

3. Фигура щ, получающаяся из данной окружности со с помощью поворота вокруг точки О на угол со, есть окружность,

Рис. 4.103

Рис. 4.104

Рис. 4.105

равная окружности со. При этом центр Qi окружности со^ получается из центра Q окружности со путем того же поворота (рис. 4.105).

Задачи и упражнения

353. Задай направленный угол а и три точки О, Л, В. Построй отрезок А{ВЬ получающийся из отрезка AB поворотом вокруг точки О на угол а.

354. Построй окружность соь получающуюся из данной окружности со поворотом на угол +90° вокруг данной точки О. Рассмотри различные случаи расположения данной точки О и данной окружности со.

355. Построй квадрат ABCD и его центр О. Изобрази квадрат A^BxC^Db получающийся путем поворота квадрата ABCD вокруг точки О на угол -45°. Заштрихуй общую часть квадратов ABCD и AxBxCxDx.

356. Построй равносторонний треугольник ABC и точку О пересечения его медиан. Изобрази треугольник А^В^С^ получающийся из треугольника ABC при повороте вокруг точки О на угол +60°. Заштрихуй общую часть построенных треугольников.

357. Изобрази ромб, один из углов которого равен 60°. Построй ромб, получающийся из изображенного ромба поворотом вокруг его центра на угол -90°.

358*. Построй два равных не параллельных отрезка AB и CD. Найди центр и угол поворота, который переводит отрезок AB в отрезок CD.

359*. Задай три точки О, M, N, не лежащие на одной прямой. Построй квадрат, для которого точка О является центром, а точки Ми N принадлежат прямой, содержащей одну из его сторон.

4. Поворот относительно прямой. Еще с одним видом поворота — поворотом относительно прямой в пространстве — мы на каждом шагу встречаемся в реальной жизни. Это происходит всякий раз, когда вы открываете книгу или дверь, наблюдаете вращающиеся колеса, шестерни, валы.

С поворотом относительно прямой в пространстве мы уже встречались и при изучении геометрии. Вспомните, что осевая симметрия плоскости моделировалась как поворот плоскости вокруг прямой на угол 180° (гл. IV, § 19, п. 4). Более подробное знакомство с этим видом поворота состоится в старших классах. Теперь же мы ограничимся следующими замечаниями.

Во-первых, поворот в пространстве относительно прямой, как и поворот на плоскости относительно точки, может быть произведен в двух противоположных направлениях.

Во-вторых, наблюдая открывающуюся (закрывающуюся) дверь, вращающийся диск проигрывателя, нетрудно заметить, что при повороте вокруг прямой любая точка одновременно совершает и поворот относительно точки, лежащей на этой прямой (рис. 4.106).

Пусть / — прямая, a M — не лежащая на ней точка. Через точку M проведем плоскость а, перпендикулярную прямой /. Точку пересечения прямой / и плоскости а обозначим Mq (рис. 4.107). Под поворотом точки M вокруг прямой / на угол (р будем понимать ее поворот вокруг точки М0 на угол <р, который происходит в плоскости а. Иными словами, точка M переходит в такую точку Mj, что I MqMjI = I MqM I, ZMMqM^ = ер, где M0 — точка пересечения прямой

Рис. 4.106 Рис. 4.107

плоскостью а, проходящей через точку M перпендикулярно этой прямой. Если же точка M лежит на прямой /, то при повороте вокруг прямой / эта точка переходит сама в себя.

Перейдем к повороту произвольной фигуры F. Чтобы получить фигуру Fi, в которую переходит фигура F при повороте вокруг прямой / на угол ср, нужно описанному выше повороту подвергнуть каждую точку фигуры F. Множество всех полученных таким образом точек и образует фигуру F±.

Поэтому поворот фигуры F вокруг прямой / на угол ср можно определить как такое отображение этой фигуры, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой /, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой / на один и тот же угол ср в одном и том же направлении. Прямая / называется осью поворота, а угол ср — углом поворота (рис. 4. 108).

Если в качестве фигуры F взять все пространство, то подобным образом определяется его преобразование, которое называется поворотом пространства вокруг прямой / на угол ср.

В заключение дадим определение фигурам вращения. Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой отображает эту фигуру саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры.

С простейшими фигурами вращения мы уже встречались. Это — цилиндр, конус, шар. Цилиндр как тело получается вращением плоского прямоугольника, конус — прямоугольного треугольника, шар — полукруга (рис. 4.109).

Рис. 4.108

Рис. 4.109

Задачи и упражнения

360. В пространстве даны две точки. При каком повороте вокруг прямой одна из них переходит в другую? При каком повороте каждая из них переходит в другую?

361. Какие прямые и плоскости при повороте вокруг прямой переходят сами в себя?

362. Куб повернули вокруг прямой, проходящей через центры двух его противоположных граней на угол 90°. Как расположен полученный куб по отношению к исходному?

363*. Куб повернули вокруг прямой, проходящей через центры двух его противоположных граней на угол 45°. Изобрази тело, которое получается при пересечении исходного и полученного кубов.

364. Равносторонний треугольник вращается вокруг: а) высоты; б) стороны; в) прямой, проходящей через вершину параллельно противоположной стороне; г) прямой, проходящей через вершину параллельно высоте. Для каждого из перечисленных случаев схематически нарисуй получающееся тело вращения.

365. Квадрат вращается вокруг: а) стороны; б) диагонали; в) прямой, проходящей через вершину параллельно диагонали. В каждом из этих случаев схематически изобрази получающееся тело вращения.

366*. Прямая а и окружность со лежат в одной плоскости и не пересекаются. Схематически нарисуй поверхность вращения, которая получается при вращении окружности со вокруг прямой а.

367. Нарисуй тело, получающееся при вращении куба вокруг прямой, содержащей его ребро.

§ 22. Правильные многоугольники и многогранники

1. Правильные многоугольники. Рассматривая различные симметрии на плоскости, мы видели, что существуют многоугольники, которые при симметриях отображаются сами на себя.

Что обусловливает наличие у многоугольников осей и центров симметрии? Вспомним, например, треугольники; они центров симметрии не имеют (рис. 4.110). Разносторонний треугольник не имеет и осей симметрии; равнобедренный неравносторонний треугольник имеет одну ось симметрии, а равносторонний — три. Более того, равносторонний треугольник при повороте на углы 120° и -120° вокруг точки пересечения его осей симметрии также переходит сам в себя. В этом случае говорят, что он обладает поворотной симметрией.

Теперь обратим внимание на форму треугольников. У разностороннего треугольника все стороны различны и все углы тоже различны. У равнобедренного неравностороннего треугольника равны две стороны и два угла. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны. С точки зрения нашего зрительного восприятия, последний треугольник имеет самую совершенную форму.

Рис. 4.110

Рис.4.111

Перейдем к четырехугольникам (рис. 4.111). Представленные рисунки демонстрируют, когда у четырехугольника появляется центр симметрии и как меняется число осей симметрии в зависимости от его формы. С точки зрения геометрии, самый совершенный четырехугольник — квадрат (у него все стороны равны и все углы равны), он допускает наибольшее число отображений, переводящих его в себя: четыре осевые симметрии, центральная симметрия и повороты вокруг центра на углы 90° и -90°.

Таким образом, возникает мысль о том, что число отображений многоугольника на себя и их виды выступают своеобразными мерилами его совершенства. При этом самыми совершенными среди одноименных многоугольников (то есть среди многоугольников, имеющих одинаковое число углов) являются те, у которых все стороны и все углы равны. Рассмотрим такие многоугольники.

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны называется правильным.

Из этого определения следует, что равносторонний треугольник и квадрат являются правильными многоугольниками. На рис. 4.112 изображены правильные пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник и их оси симметрии.

Рисунки показывают, что у правильного пятиугольника пять осей симметрии, у правильного шестиугольника -шесть, у правильного восьмиугольника - восемь. У каждого изображенного правильного многоугольника все оси симметрии пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром правильного многоугольника. Центр «четноугольника» (шестиугольника, восьмиугольника) является его центром симметрии. Центр пятиугольника его центром симметрии не является.

Соединим центры многоугольников с их вершинами (рис. 4.113). При этом каждый n-угольник разобьется на п треугольников. Можно доказать (это будет сделано в основном

Рис. 4.112

Рис. 4.113

курсе), что полученные таким образом треугольники являются равными между собой равнобедренными треугольниками. Основаниями этих равнобедренных треугольников служат стороны правильного многоугольника. Отсюда следует, что вершины правильных многоугольников лежат на одной окружности, центр которой совпадает с центром многоугольника (рис. 4.114). Такая окружность называется описанной около многоугольника.

Вычислим равные углы треугольников при вершинах, противолежащих основаниям. Эти углы являются центральными углами окружности, опирающимися на равные хорды (а, значит, и дуги). Поскольку градусная мера всей окружности составляет 360°, на каждый из вычисляемых углов приходится . Для правильного пятиугольника это 72°, для правильного шестиугольника — 60°, а для правильного восьмиугольника — 45°.

Отсюда следует простой способ построения правильных многоугольников с помощью линейки, циркуля и транспортира, основанный на делении описанной около него окружности на равные части.

Сказанное, кроме того, позволяет заключить, что при поворотах вокруг центра на углы 72°, -72°, 144°, -144° правильный

Рис. 4.114

пятиугольник переходит сам в себя. Правильный шестиугольник отображается на себя при поворотах вокруг центра на углы 60°, -60°, 120° и -120°, а правильный восьмиугольник — на углы 45°, -45°, 90°, -90°, 135° и -135°.

Теперь можно сделать целый ряд предположений. (В систематическом курсе геометрии эти гипотезы будут подтверждены.)

Любой правильный многоугольник имеет столько же осей симметрии, сколько у него сторон (углов, вершин). Иными словами, правильный n-угольник имеет п осей симметрии. Эти оси пересекаются в одной точке — его центре.

Для правильных «четноугольников» их центры являются центрами симметрии. Правильные «нечетноугольники» центров симметрии не имеют.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, центром которой служит центр этого многоугольника.

Правильный n-угольник при повороте на угол, кратный отображается сам на себя.

Задачи и упражнения

368. Как иначе называются правильный треугольник и правильный четырехугольник?

369. Найди угол правильного: а) пятиугольника, б) шестиугольника, в) восьмиугольника, г) двенадцатиугольника, д) n-угольника.

370. Сколько диагоналей имеет правильный: а) пятиугольник, б) шестиугольник, в) восьмиугольник, г) двенадцатиугольник?

371. С помощью линейки и циркуля построй правильный: а) треугольник, б) четырехугольник, в) шестиугольник, г) восьмиугольник, д) двенадцатиугольник.

372. С помощью линейки, циркуля и транспортира построй правильные пятиугольник и десятиугольник.

373. Вырежи из бумаги правильные многоугольники: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник. С помощью перегибания найди их центры. Убедись в том, что при повороте на угол вокруг центра эти многоугольники отображаются сами на себя.

374. Докажи, что все диагонали правильного пятиугольника равны.

375. Найди длину большей диагонали правильного шестиугольника, сторона которого равна а.

2. Правильные многогранники. Ты уже, конечно, привык к тому, что мы рассматриваем пространственные аналоги для большинства плоских фигур. В этом пункте нам также предстоит познакомиться с тем, как определяется пространственный аналог правильного многоугольника — правильный многогранник.

Рис. 4.115

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине этого многогранника сходится одинаковое число ребер.

До сих пор мы сталкивались только с двумя правильными многогранниками: тетраэдром и кубом (рис. 4.115).

В каждой вершине любого тетраэдра сходится три ребра, но не всякий тетраэдр является правильным. У правильного тетраэдра все грани — правильные (равносторонние) треугольники. Развертка такого тетраэдра показана на рис. 4.116а.

Рис. 4.116

Все грани куба — равные квадраты и в каждой его вершине сходятся четыре ребра. Значит, куб действительно является правильным многогранником. Развертка куба дана на рис. 4.116б.

При изучении правильных многоугольников мы видели, что их бесконечно много. Для любого натурального п > 3 существует соответствующий правильный многоугольник. А сколько правильных многогранников? Оказывается, их только пять. Это уже известные нам правильный тетраэдр и куб, а также правильный октаэдр, правильный икосаэдр и правильный додекаэдр.

Правильный октаэдр составлен из восьми равных равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является

Рис. 4.117

общей вершиной четырех таких треугольников (рис. 4.117а). Развертка правильного октаэдра показана на рис. 4.117б.

Правильный икосаэдр образован двенадцатью равными равносторонними треугольниками. Каждая вершина икосаэдра является общей вершиной пяти таких треугольников (рис. 4.118а). Развертка правильного икосаэдра показана на рис. 4.118б.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати равных правильных пятиугольников. Каждая его вершина является

Рис. 4.118

Рис. 4.119

общей вершиной трех таких пятиугольников (рис. 4.119а). Развертка правильного додекаэдра дана на рис. 4.119б.

Задачи и упражнения

376. Начерти на плотной бумаге и вырежи развертки правильного тетраэдра, куба, правильного октаэдра, правильного икосаэдра и правильного додекаэдра. Склей модели этих многогранников. (Перед вырезанием не забудь позаботиться о язычках для склеивания!)

§ 23. Подобие и гомотетия

1. Подобие фигур. Равные фигуры имеют одинаковую форму и размеры. Мы определили и научились выделять равные фигуры. Однако в жизни постоянно приходится сталкиваться и с такими фигурами, которые имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга размерами. Для таких фигур тоже существует специальное название. Две фигуры, имеющие одинаковую форму, принято называть подобными.

Рис. 4.120

Рис. 4.121

Подобные фигуры могут быть как плоскими, так и пространственными. Пример подобных плоских фигур дают изображения на фотографиях разного размера, отпечатанных с одного и того же негатива (рис. 4.120). Старинная русская игрушка — матрешка дает нам наглядное представление о пространственных подобных телах (рис.4.121).

С подобными фигурами мы все время встречаемся и при изучении геометрии. Подобными, например, являются любые два круга, два квадрата, два равносторонних треугольника. В пространстве подобны их пространственные аналоги: два шара, два куба, два правильных тетраэдра.

До сих пор, говоря о том, что две фигуры имеют одинаковую форму, мы основывались только на нашем зрительном восприятии. Попытаемся придать этим словам геометрический смысл. Выясним сначала, что общего имеют треугольники одинаковой формы и чем они отличаются.

Начертим угол MAN и проведем некоторую прямую, пересекающую стороны этого угла (рис. 4.122). Точки пересечения

прямой со сторонами AM, AN угла обозначим буквами В и С. Проведем вторую прямую, параллельную первой. Точки пересечения этой прямой со сторонами угла на рисунке обозначены В^ С^.

Рисунок показывает, что получившиеся при этом треугольники ABC и AB^Ci имеют одну и ту же форму. Такую же форму будет иметь любой треугольник, равный треугольнику ABC или треугольнику ABjCj.

Нетрудно догадаться, что углы треугольника АВ1С1 равны углам треугольника ABC. В самом деле, угол А у этих треугольников — общий. Поскольку AM — секущая, пересекающая параллельные прямые ВС и В^С^ ZAB^C^ = ZABC (соответственные углы). Так как AN — секущая, пересекающая те же параллельные прямые, то ZAC^Bi = ZACB. Следовательно, углы треугольников, имеющих одинаковую форму, равны.

У треугольников с равными углами стороны, лежащие против соответственных равных углов, принято называть сходственными.

Измерим теперь с помощью измерительной линейки длины сходственных сторон и найдем их отношения. Если эти измерения выполнить точно, то можно убедиться, что

Таким образом, в треугольниках, имеющих одинаковую форму, длины сходственных сторон, вообще говоря, различны,

Рис. 4.122

но их отношения равны. В этом случае принято говорить, что длины сходственных сторон треугольников пропорциональны.

На рис. 4.122

то есть длины сторон треугольника ЛВ^С^ относятся к длинам сходственных сторон треугольника ABC как 3 : 2.

Наше небольшое экспериментальное исследование позволяет дать следующее определение подобных треугольников.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

На рис. 4.123 изображены два подобных треугольника ABC и A^B^Ci. У этих треугольников ZA = £А\, AB =Zß1, Z.C = ZQ. Поэтому сходственными являются стороны ВС и В^С^ АС и А^АВиА^.

Обозначим отношение длин сходственных сторон буквой к. Тогда

Число к, равное отношению длин сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Рис. 4.123

Подобие треугольников ABC и Аф^С\ обозначается следующим образом: ABC ~ А^В^С^.

Аналогичным образом определяются любые подобные многоугольники. Прежде чем дать определение подобных многоугольников, еще раз напомним, что два многоугольника, имеющие одинаковое число углов, а следовательно, и одинаковое число сторон, называются одноименными.

Два одноименных многоугольника называются подобными, если стороны одного из них соответственно пропорциональны сторонам другого, а углы, заключенные между пропорциональными сторонами, равны.

Так, на рис. 4.124 показаны два подобных четырехугольника. С помощью измерительной линейки найди их коэффициент подобия. Сколько и каких измерений тебе потребуется произвести?

Понятие подобия можно ввести не только для многоугольников, но и для произвольных фигур, как плоских, так и пространственных. Об этом вы тоже узнаете в старших классах.

Рис. 4.124

Задачи и упражнения

377. Найди отношение длин отрезков А^В^ и AB, если они соответственно равны: а) 10 см и 15 см; б) 21 сми 7 см; в) — см и — см; г) 25 см и 3 Эл*; д) 1,5 м и 0,75 ле.

378. Даны четыре отрезка AB, CD, А±ВЬ CXDX такие, что

Длины трех отрезков известны. Найди длину четвертого отрезка, если:

379. С помощью измерительной линейки и циркуля построй треугольник ABC со сторонами б см, 8 см и 10 см. Затем построй треугольник KLM, стороны которого вдвое короче сторон треугольника ABC. С помощью транспортира проверь, что углы треугольников ABC и KLM равны. Выпиши пары сходственных сторон. Подобны ли треугольники ABC и KLM? Если треугольники подобны, то чему равен коэффициент подобия?

380. Начерти произвольный треугольник. С помощью линейки (без делений) и циркуля построй второй треугольник, стороны которого втрое длиннее сторон первого. Проверь, подобны ли эти треугольники.

381. С помощью измерительной линейки и транспортира проверь, что ABC ~ А^В^С^ (рис. 4.125). Запиши отношения длин сходственных сторон треугольников. Чему равен коэффициент подобия этих треугольников?

Рис. 4.125

382. ABC ~ А\В\С\. Известны длины сторон треугольника ABC: \АВ\ = 4 см, \ВС\ = 3 см, \АС\ = 2 см. У треугольника А\В^С^ известна длина только одной стороны А^В^ Она равна 12 см. Найди остальные стороны треугольника А^В^С^.

383*. Длины сторон треугольника равны 2 см, А см к 5 см. Периметр подобного ему треугольника равен 33 см. Найди длины сторон второго треугольника.

384*. Докажи, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

385. С помощью измерительной линейки установи, подобны ли прямоугольники на рис. 4.126. Если прямоугольники подобны, укажи коэффициент подобия.

386. Могут ли квадрат и прямоугольник с неравными смежными сторонами быть подобными?

Рис. 4.126

Рис. 4.127

387. С помощью угольника и измерительной линейки начерти два подобных прямоугольника.

388. Начерти произвольный прямоугольник. С помощью линейки и циркуля построй подобный ему прямоугольник с коэффициентом подобия к = — •

389. Начерти ромб, отличный от квадрата. Построй подобный ему ромб со стороной втрое большей длины.

390. С помощью измерительной линейки и транспортира нарисуй в тетради многоугольник, подобный данному (рис. 4.127). Стороны этого многоугольника должны быть в 1,5 раза больше сторон данного.

2. Масштаб. Ты, конечно, обращал внимание на то, что на различных планах помещений, земельных участков и на географических картах пишется слово «масштаб». Далее следует отношение единицы к некоторому числу. Мальчики, кроме того, встречались с масштабом, указанным на моделях машин, самолетов, катеров. Как связаны масштаб и подобие?

Представь, что нужно сделать план одной из комнат в твоей квартире. На плане комната и расположенные в ней предметы изображаются в виде плоских фигур (проекций при

виде сверху). План, конечно, можно нарисовать «на глаз». Такой план позволит судить о том, какие предметы находятся в комнате и как они расположены.

Если же измерить размеры комнаты и находящихся в ней предметов, то план можно сделать более информативным. Для этого нужно результаты всех измерений уменьшить в одно и то же число раз и вычертить фигуры, подобные проекциям реальных предметов.

Такой план показан на рис. 4.128. На этом рисунке указан и масштаб. Для чего? Чтобы всем было понятно, во сколько раз уменьшены действительные размеры. В нашем случае план выполнен в масштабе 1 : 100. Это означает, что все размеры в действительности в 100 раз больше, чем соответствующие размеры на плане. Например, на плане длина стола — 1,2 см, а его ширина — 0,7 см. Значит, истинная длина стола равна 1,2 • 100 = 120 (см), то есть 1,2 м. Ширина стола - 70 см или 0,7 м.

Таким образом, можно сказать, что масштаб — это коэффициент подобия, который показывает, во сколько раз уменьшены размеры всех изображенных на плане предметов.

В рассмотренном примере к

Примечание. Мы говорили о том, что сферу нельзя развернуть на плоскость без разрывов и деформаций. Поэтому на любой географической карте неизбежно имеются какие-то искажения. На одних картах искажаются расстояния, на других - углы между направлениями, на третьих - то и другое. Если на географической карте указан масштаб, то по ней можно достаточно точно находить истинные

Рис. 4.128

расстояния на земной поверхности. Форма же географических объектов может быть при этом искажена.

Существуют, однако, крупномасштабные топографические карты, на которых изображаются небольшие участки земной поверхности. На таких картах искажения бывают очень незначительными. По этим картам можно детально и точно судить о характере изображенной местности. При дополнительных оговорках можно сказать, что изображение на ней подобно реальности.

Задачи и упражнения

391. На плане земельного участка указан масштаб 1 : 250. Известно, что расстояние между двумя точками на этом плане

Рис. 4.129

равно: а) 1 см; б) 3,4 см\ в) 8 см; г) 10 см. Вычисли действительное расстояние между этими точками.

392. На модели автомобиля указан масштаб 1: 45. Во сколько раз истинные размеры автомобиля больше размеров его модели?

393. На рис. 4.129 дан план квартиры. Проведи необходимые измерения и вычисли площадь и периметр: а) детской; б) спальни; в) гостиной.

394. Начерти план какой-нибудь комнаты своей квартиры.

395. Расстояние между городами на карте равно 37 см. Масштаб карты равен 1 : 250000. Найди истинное расстояние между этими городами.

3. Гомотетия. Кратко познакомимся с основным способом построения фигур, подобных данной фигуре.

Пусть на плоскости задана некоторая фигура F. Выберем на плоскости точку О (рис. 4.130). Для каждой точки M фигуры F на луче ОМ построим такую точку Мь что |ОМ11 = &|ОМ|.

Построенные таким образом точки образуют новую фигуру jF\. Оказывается, эта фигура подобна фигуре F с коэффициентом подобия к. (Это будет доказано в основном курсе.)

Рис. 4.130

Такой переход от фигуры F к фигуре F1 называется гомотетией или центрально-подобным отображением. Точка О называется центром гомотетии, а число к — ее коэффициентом.

На рис. 4.130а коэффициент гомотетии равен 2, а на рис. 4.1306 — —. Пусть M и N — две произвольные точки фигуры F, a Mi и Ni — их образы в соответствующей гомотетии.

В первом случае |Л^1ЛГ1| = 2|MJV|, во втором - |Л4'1ЛГ1| = — \MN\.

Следовательно, в первом случае расстояние между точками М^ и вдвое больше, чем расстояние между точками M и N, а во втором — вдвое меньше. Несложно догадаться, что увеличение расстояния, а значит, и размеров фигуры, происходит при к > 1. При к < 1 размеры фигуры Fi меньше размеров фигуры F.

Особенно просто фигура Fj, гомотетичная фигуре F, строится тогда, когда фигура F является многоугольником. Рис. 4.131 показывает, что здесь достаточно построить образы вершин исходного многоугольника и соединить их отрезками.

Рис. 4.131

Примечания. 1. Гомотетия является отображением фигуры F на фигуру Fj. Если в качестве фигуры F взять всю плоскость, то получим отображение плоскости на себя, то есть преобразование плоскости. Точка О в этом преобразовании переходит сама в себя.

2. Можно определить еще один вид гомотетии. В этой гомотетии точка Mi, соответствующая точке М, строится не на луче ОМ, а на его продолжении (рис. 4.132).

Рис. 4.132

3. Аналогичным образом определяется гомотетия фигур в пространстве. Примером гомотетичных фигур в пространстве могут служить основание пирамиды и сечения, параллельные основанию. Центром этой гомотетии является вершина пирамиды.

Гомотетия позволяет достаточно просто делать съемку планов небольших земельных участков, имеющих форму многоугольника. Для съемки используется планшет, обтянутый бумагой. Этот планшет называют мензулой, а саму съемку плана — мензульной съемкой.

Планшет устанавливается в горизонтальном положении в некоторой внутренней точке участка (рис. 4.133). В центре планшета отмечается точка. На рисунке эта точка обозначена буквой О. От точки О в направлениях вершин участка-многоугольника проводятся лучи.

Рис. 4.133

Затем измеряются расстояния от выбранной точки О до всех вершин участка. Далее подбирается масштаб, позволяющий отложить измеренные расстояния на соответствующих лучах. Полученные после откладывания точки соединяются отрезками. План готов.

Задачи и упражнения

396. Начерти произвольный треугольник OPQ. С помощью измерительной линейки построй гомотетичный ему треугольник в гомотетии с центром в точке О и коэффициентом к = 2.

397. С помощью измерительной линейки построй образ данного квадрата в гомотетии с центром, расположенным в центре квадрата, и коэффициентом к: а) к = — ; б) к = —.

398. Выбери на плоскости точку О и начерти произвольный треугольник ABC. С помощью измерительной линейки построй образ треугольника ABC в гомотетии с центром в точке О и коэффициентом к: а) 3, б) —.

499. Какая фигура будет образом окружности в гомотетии с центром в центре окружности?

400. Построй окружность со и отметь точку О. Найди окружность со^ гомотетичную окружности со, в гомотетии с центром О и коэффициентом к = 2. Рассмотри следующие случаи: а) точка О совпадает с центром окружности; б) О е со; в) точка О лежит внутри окружности, но отлична от ее центра; г) точка О лежит вне окружности.

401. Начерти произвольный шестиугольник и отметь точку, лежащую внутри этого многоугольника. С помощью линейки

и циркуля построй образ шестиугольника в гомотетии с центром в выбранной точке и коэффициентом к = —.

§ 24. Сжатие

1. Сжатие к прямой. Вначале мы рассмотрели отображения (преобразования) фигур, которые сохраняли форму и размеры фигуры, то есть переводили фигуру в равную ей фигуру Такие отображения принято называть движениями или перемещениями. Основное свойство движений состоит в том, что они сохраняют расстояние между любыми двумя точками отображаемой фигуры.

Затем состоялось знакомство с отображениями, которые сохраняли только форму фигуры. Такие отображения принято называть подобиями. Основное свойство подобий заключается в том, что подобие увеличивает (уменьшает) расстояния между любыми точками отображаемой фигуры в одно и то же число раз. Однако существует огромное количество отображений, при которых изменяются как размеры, так и форма фигуры. Познакомимся с одним из них.

Пусть на плоскости заданы некоторая фигура F и прямая /. Из каждой точки M фигуры F опустим перпендикуляр ММ0 на прямую /. Затем для точки M построим точку Afj, лежащую на луче М0М, такую, что \МХМ0\ = к \ММ0\ (рис. 4. 134).

Все полученные таким образом точки образуют новую

Рис. 4.134

фигуру F\. Про эту фигуру говорят, что она получена сжатием фигуры Fk прямой /. Рис. 4.134 выполнен для к = ~.

В данном случае действительно произошло сжатие фигуры F к прямой /. Если к будет больше 1, то, наоборот, произойдет растяжение фигуры F от прямой /.

Сказанное особенно хорошо демонстрирует рис. 4.135. На этом рисунке исходная фигура — домик, изображена штриховой линией.

Число к называется коэффициентом сжатия. В рассмотренном отображении новая фигура Fj не является ни равной, ни подобной преобразуемой фигуре F

Рис. 4.135

Примечания. 1. Сжатие к прямой / является отображением фигуры F на фигуру Fi. Если в качестве фигуры F взять всю плоскость, то получим отображение плоскости на себя, то есть преобразование плоскости. В этом преобразовании точки прямой / переходят сами в себя.

2. Аналогичным образом можно определить сжатие пространственной фигуры к плоскости. Можно, например, сжать сферу к пло-

скости, проходящей через ее центр. В результате этого сжатия получится так называемый эллипсоид вращения. Форму эллипсоида вращения, немного сжатого от полюсов к плоскости экватора, имеет земная поверхность.

Задачи и упражнения

402. Начерти квадрат ABCD. С помощью угольника и измерительной линейки построй четырехугольник A^B^CJ)^ который получается при сжатии квадрата ABCD с коэффициентом к = к прямой, содержащей: а) сторону AB; б) диагональ АС.

Назови вид четырехугольника A^B^C^D^.

403. Построй произвольный треугольник KLM. Рассмотри сжатия этого треугольника к прямой КМ с коэффициентами

404. Начерти равносторонний треугольник и его образ при сжатии к одной из медиан, если коэффициент сжатия к =—,/: = 2.

2. Эллипс. Начертим произвольную окружность. Обозначим окружность буквой со, а ее центр — буквой О. Через центр окружности проведем некоторую прямую / (рис. 4.136). Диаметр окружности со, лежащий на прямой /, обозначим AB, а перпендикулярный ему диаметр — CD.

Рассмотрим сжатие окружности со к прямой /. В результате сжатия окружность отобразится в некоторую линию щ. Эта линия и представляет собой эллипс. Поэтому одно из определений эллипса звучит так: фигура, в которую переходит

Рис. 4.136

окружность в результате сжатия к одному из своих диаметров, называется эллипсом.

Диаметр AB окружности œ в рассмотренном сжатии перешел сам в себя, а перпендикулярный ему диаметр CD — в отрезок CiDi$ также перпендикулярный к AB. Концы отрезка CjDj принадлежат эллипсу со^. Отрезки AB и C^D^ называются осями эллипса. Точка их пересечения О, совпадающая с центром окружности со, называется центром эллипса.

Рис. 4.136а выполнен для случая к < 1, а рис. 4.1366 — для случая к > 1. В первом случае окружность œ сжалась к диаметру AB, а во втором — растянулась от него. Это же можно сказать про ее диаметр CD. В первом случае отрезки А В и C^D^ называют соответственно большой и малой осями эллипса. Во втором случае, наоборот, большой осью эллипса служит отрезок C\D^ а малой — AB.

Фигуру, образованную эллипсом и всеми точками, лежащими внутри него, также принято называть эллипсом.

Примечание. Нам уже приходилось изображать цилиндры, конусы и сферы. Вычерчивая их, мы видели, что основания цилиндра и конуса, экватор сферы изображаются эллипсами. Поэтому для быстрого выполнения чертежей этих круглых тел полезно изготовить шаблоны подобных эллипсов различных размеров (смотри задачу 407).

Задачи и упражнения

405. Построй окружность со с радиусом 3 см и прямую /, проходящую через ее центр. С помощью угольника, измерительной линейки и циркуля построй эллипс щ9 в который переходит окружность со при сжатии к прямой / с коэффициентом к = —. Укажи длины большой и малой осей полученного эллипса. ^

406. Построй окружность со с радиусом 2 см и прямую /, проходящую через ее центр. С помощью угольника, измерительной линейки и циркуля построй эллипс щу в который переходит окружность со при растяжении от прямой / с коэффициентом к = 3. Укажи длины большой и малой осей полученного эллипса.

407. На плотной бумаге или картоне начерти эллипсы с осями: а) 6 см и 3 см; б) 5 см и 2,5 см; в) А сми 2 см. Аккуратно вырежи эти эллипсы, проведи их оси и сделай иголкой отверстия в центре каждого эллипса. Ты изготовил шаблоны, о которых шла речь в примечании.

408. С помощью изготовленных шаблонов построй несколько цилиндров и конусов.

409. С помощью шаблона эллипса построй изображение сферы, ее экватора и центра.

Решение. Построение искомого изображения начнем с построения экватора. Расположим горизонтально большую ось шаблона эллипса. Нижний край шаблона эллипса обведем

Рис. 4.137

сплошной линией, а верхний — штриховой (рис. 4.137а -4.1376). Отметим на рисунке центр эллипса и один из концов его большой оси. (Точки О и Л на рис. 4.1376.)

Проведем окружность с центром в точке О радиуса OA. Искомое изображение построено (рис. 4.137в).

§ 25. Материалы для дополнительного чтения

1. Симметрия вокруг нас. Слово «симметрия», как и многие другие геометрические термины, имеет греческое происхождение. В переводе на русский язык оно означает «соразмерность». С помощью этого слова греки описывали закономерности сочетания в целом составляющих его одинаковых частей.

Различные виды симметрии так широко распространены в природе, что человек еще на пороге своей истории имел первые представления о симметрии. Об этом можно судить по сохранившимся древнейшим рисункам и предметам быта.

Природа позаботилась о том, чтобы симметрия стала для человека своеобразным мерилом красоты и гармонии. Осевую симметрию мы встречаем в листьях растений, осевую и поворотную симметрии — в их цветах (рис. 4.138).

А сколько симметрий в животном мире! Когда пытаются рассказать о симметрии, почти всегда вспоминают зеркальную симметрию бабочек и стрекоз. Эти великолепные творения природы не только

Рис. 4.138 Рис. 4.139

демонстрируют свою симметрию. Сложив вместе свои крылья, они как бы показывают, что симметричные фигуры действительно равны (рис. 4.139).

Нам даже сложно представить высших животных и человека несимметричными. Человек, у которого отсутствует симметрия в левой и правой кистях рук, в расположении глаз и т. п., будет казаться нам просто уродом.

Столь же богат симметриями и мир неживой природы. Кристаллы, из которых состоят твердые тела, дают примеры зеркально и центрально-симметричных тел. Кристалл каменной соли, имеет форму куба (рис. 4.140). Симметрия снежинок также хорошо известна -каждая из них имеет шесть осей симметрии (рис. 4.141). (О том, как вырезать снежинку, мы расскажем в следующем параграфе.)

Природные проявления симметрии не случайны, в них лежат глубокие закономерности. О некоторых из них вы узнаете в школе при изучении естественных предметов. Симметрия присутствует практически во всех технических творениях, созданных руками человека (рис. 4.142).

Рис. 4.140 Рис. 4.141

Рис. 4.142

Рис. 4.143

Как мы уже отметили, человек настолько привык к симметрии и сжился с нею, что связывает с ней понятие красоты. История архитектуры и искусства неразрывно связана с познанием человеком законов симметрии. Вряд ли найдется какой-нибудь народ, в национальных костюмах и орнаментах которого не было бы элементов симметрии. И уж совсем трудно представить без симметрии архитектуру. Здесь симметрия всюду: в самых простейших решетках скверов и парков (рис. 4.143), во всевозможных лепных украшениях (розетках, плафонах и т. д.), в солнечных стеклянных витражах. А какие замысловатые элементы симметрии могут быть в самих архитектурных сооружениях. Однако рассказ об использовании симметрии в архитектуре различных эпох и стилей — это предмет отдельного большого разговора.

2. Две осевые симметрии подряд. В геометрии часто приходится рассматривать не одно, а несколько последовательных отображений фигуры.

Чтобы понять, как изготавливаются самоделки в следующем параграфе, рассмотрим один из самых важных примеров последовательного отображения фигур — последовательное выполнение двух осевых симметрий плоскости.

Оси этих симметрий обозначим буквами а и Ь. Возможны два случая: а) прямые а и Ъ пересекаются, б) прямые а и Ъ параллельны.

Рис. 4.144

Рассмотрим первый случай. Точку пересечения прямых обозначим буквой О (рис. 4.144). Рассмотрим произвольную точку M плоскости.

Пусть в осевой симметрии с осью а она перейдет в точку М^, а точка Mj, в свою очередь, в осевой симметрии с осью b — в точку М2. Тогда точка M в результате последовательного выполнения этих двух симметрий перейдет в точку М2. Может быть, существует такое преобразование плоскости, которое сразу переводит точку M в точку М2?

Из свойств осевой симметрии следует, что точки Ми (прообраз и образ в симметрии с осью а) таковы, что \ОМ\ = |OMj, ZMOA = ZAOM±. Прообраз М± и образ М2 в осевой симметрии с осью b связаны аналогичными соотношениями: \ОМ^\ = |ОМ2|, ZMxOB = ZBOM2.

Отсюда, прежде всего, следует, что \ОМ\ = |ОМ2|. Найдем теперь угол МОМ2. Имеем:

Подведем итог. Во-первых, для точки М, отличной от точки О, \ОМ\ = |ОМ2|. Во-вторых, поскольку точка О принадлежит каждой из прямых а и 6, в результате последовательного выполнения симметрий она перейдет сама в себя. В-третьих, угол АОВ — это угол между прямыми а и Ь. Поэтому, последовательно выполнив две осевые симметрии, мы пришли к тому же результату, который получается при повороте плоскости вокруг точки О на угол вдвое больший, чем угол АОВ.

Заметим, что если прямые а и b перпендикулярны, то точка M повернется на угол 2 • 90° = 180° (рис. 4.145). Здесь результат последовательного выполнения двух осевых симметрий, оси которых

пересекаются в точке О, является центральной симметрией с центром О.

Поэтому, если вчетверо сложенный лист бумаги проткнуть булавкой, то полученные при этом четыре точки будут вершинами прямоугольника (рис. 4.146). Напомним, что смежные вершины прямоугольника симметричны относительно его средних линий (линий сгиба), а противоположные вершины центрально-симметричны относительно центра (точки пересечения линий сгиба). Отсюда следует способ вырезания центрально-симметричной фигуры, имеющей две перпендикулярные оси симметрии (рис. 4.147).

Теперь рассмотрим случай, когда а \\Ь (рис. 4.148). Здесь для любой точки М, не лежащей на осях симметрии, имеем: MA = АМ^ [MMJ _L а; \М±В\ = |5М2|, [MjM2] _L b. Отсюда следует, что отрезок ММ2 перпендикулярен прямым а и 6, а его длина вычисляется так: \ММ2\- \МАI + \АМХI + \Мф\ + \ВМ2\ = 2 ■ (\АМ{| + \М{В\) = 2 • \\В[

Самостоятельно найди точку М2, учитывая, что точка M принадлежит одной из осей симметрии.

Итак, любая точка M в результате последовательного выполнения двух осевых симметрий с параллельными осями а и b переходит в такую точку М2, что отрезок ММ2 перпендикулярен этим осям и

Рис. 4.145

Рис. 4.146

Рис. 4.147

его длина равна удвоенному расстоянию между ними. Такой же результат дает параллельный перенос на вектор а, сонаправленный с вектором AB, но имеющий вдвое большую длину.

Подтвердим сказанное наглядным примером. Дважды перегнем лист бумаги по параллельным прямым и сложим его «в гармошку» (рис. 4.149). Если сложенный втрое лист проткнуть булавкой, то мы получим три точки: M, Mj, Точка М± будет образом точки M при осевой симметрии относительно первой линии сгиба, а точка М2 -образом точки Mj при осевой симметрии относительно второй линии сгиба. Теперь нарисуем на одной из половинок гармошки некоторую фигуру F. Вставим в гармошку копировальную бумагу так, как показано на рисунке. Обведем фигуру F. Развернув лист, увидим две ее копии Fi и F2- Фигура F± получается из фигуры F при

Рис. 4.148

Рис. 4.149

Рис. 4.150

первой осевой симметрии, а фигура F2 — из фигуры F^ при второй симметрии. Рисунок хорошо демонстрирует, что фигура F^ может быть сразу получена из фигуры F соответствующим параллельным переносом.

Понятно, что подобным образом лист можно перегнуть не три, а любое число раз. Проделав далее все описанные операции, мы получим следующий бордюр (рис. 4.150).

3. Паркеты из правильных многоугольников. Ты, конечно, замечал, что очень часто дощечки, которыми выстланы паркетные полы, имеют форму правильных многоугольников. Многим из вас, наверное, доводилось самим выполнять «паркетные работы», складывая мозаичные орнаменты и панно. Использующиеся при этом элементы детских конструкторов тоже обычно имеют форму правильных треугольников, шестиугольников и квадратов. Чем это объяснить? Оказывается, из правильных многоугольников можно составить наиболее простые покрытия плоскости, которые к тому же отличаются известной красотой и совершенством. Таким образом, налицо интерес к правильным многоугольникам — как эстетический, так и чисто практический. Вы спросите: «А причем здесь геометрия?» Геометрия позволила узнать, сколько существует различных покрытий плоскости правильными многоугольниками, и указала все виды этих покрытий.

Рис. 4.151

Рис. 4.152

Познакомимся с этими покрытиями плоскости. Будем считать, что любой паркет покрывает плоскость без просветов и перехлестов. Это означает, что два многоугольника паркета либо не имеют общих точек, либо имеют только общие вершины или стороны. Кроме того, будем предполагать, что в каждой вершине паркета сходится одно и то же число одноименных многоугольников, и что они расположены в одном и том же порядке. Такие паркеты называются правильными.

Простейшие паркеты составляются из равных одноименных многоугольников. Эти паркеты показаны на рис. 4.151. (На рисунке, конечно, изображена только часть паркета, но понятно, как его можно продолжить на всю плоскость.) Первый из паркетов составлен из равных равносторонних треугольников, второй — из квадратов, третий — из правильных шестиугольников.

В следующую группу паркетов входят паркеты, составленные из двух видов многоугольников. Примеры таких паркетов даны на рис. 4.152. Один из этих паркетов составлен из квадратов и правильных восьмиугольников, а второй из квадратов и равносторонних треугольников.

Существуют еще два паркета, составленные из правильных треугольников и шестиугольников (рис. 4.153а), паркет, составленный

Рис. 4.153

из квадратов и треугольников (рис. 4.1536), а также паркет, составленный из правильных треугольников и двенадцатиугольников (рис. 4.153в).

Наконец, два паркета составляются из трех видов многоугольников. Один из этих паркетов показан на рис. 4.154а. Он составлен из правильных треугольников, квадратов и шестиугольников. Второй паркет составляется из квадратов, правильных шестиугольников и двенадцатиугольников (рис. 4.154б).

Оказывается, одиннадцатью перечисленными паркетами исчерпываются все правильные паркеты.

Рис. 4.154

Задачи и упражнения

410. Составь паркеты из двух различных правильных многоугольников (рис. 4.153), отличных от паркетов, изображенных на рис. 4.152. Нарисуй фрагменты этих паркетов.

411. Составь паркет из трех правильных многоугольников (рис. 4.154б), отличный от паркета, изображенного на рис. 4.154а. Нарисуй фрагмент этого паркета.

§ 26. Геометрические досуги

25. Вырезаем симметричные фигуры. Нам снова потребуются бумага и ножницы — мы займемся вырезанием симметричных фигур. Проще всего вырезать фигуры, имеющие одну ось симметрии. Чтобы изготовить такую фигуру, достаточно сложить лист бумаги вдвое и вместо всей фигурки сначала нарисовать, а затем вырезать только ее половину (рис. 4. 155). При этом симметричность полученной фигурки часто скрадывает несовершенство предварительного рисунка. Попробуй, сам в этом убедишься.

Так же просто изготавливаются поделки, имеющие более одной оси симметрии. Рассмотрим несколько примеров.

Рис. 4.155

Рис. 4.156

26. Узорный коврик. Процесс изготовления коврика показан на рис. 4.156. 1. Сначала квадратный лист бумаги перегибается по диагонали. 2. Полученный прямоугольный равнобедренный треугольник сгибается вторично. На этот раз - по высоте, опущенной из вершины прямого угла. 3. С новым треугольником повторяется та же операция. 4. На треугольнике, изображенном на рисунке 4, вырезается произвольный узор. 5. Листок аккуратно разворачивается. Коврик готов.

Этот коврик имеет четыре оси симметрии, которые попарно взаимно перпендикулярны. Поэтому точка пересечения осей симметрии коврика является его центром симметрии.

Такой узорный коврик лучше всего вырезать из цветной бумаги, а затем наклеить его на бумагу другого цвета.

27. Снежинка. Снежинки к новогоднему празднику вырезали все. Но было ли у твоих снежинок шесть осей симметрии? Как вырезать «правильную» снежинку, имеющую шесть осей симметрии?

Процедура изготовления такой снежинки показана на рис 4.157. Обрати внимание на то, что перед выполнением операций 3 и 4 необходимо разделить развернутый угол на три равные части. Для этого лучше всего воспользоваться транспортиром.

Рис. 4.157

28. Шеренга из «гармошки». Для выполнения этой самоделки мы воспользуемся последовательным выполнением нескольких осевых симметрий с параллельными осями (рис. 4.158).

Сложим лист бумаги в гармошку. На нашем рисунке получится восемь рядов. Теперь, чтобы получить шеренгу из четырех девочек, достаточно вырезать только половину одной фигурки. Легко заметить, что одни линии сгиба будут осями симметрии фигурки девочки, а другие — осями симметрии двух соседних фигурок. Можно также сказать, что каждая последующая фигурка получается из предыдущей с помощью параллельного переноса на один и тот же вектор. Длина этого вектора равна удвоенному расстоянию между

Рис. 4.158

двумя соседними линиями сгиба, а его направление перпендикулярно линиям сгиба.

Рис. 4.159

29. Рисуем витраж. Теперь займемся геометрическим рисованием. Вряд ли кого-нибудь оставляют равнодушными искрящиеся солнечным светом цветные стекла витражей.

Попробуем сами выполнить эскиз такого витража. В этом нам помогут клетчатая бумага, циркуль, линейка и наша фантазия.

Представим, что нам нужно выполнить эскиз витража для квадратного окна. 1. Нарисуем на бумаге квадрат (рис. 4.159). У нашего квадрата сторона составляет восемь клеток. Лучше, конечно, взять квадрат больших размеров. 2. Проведем четыре дуги окружностей, радиусы которых равны стороне квадрата, а центры находятся в его вершинах. 3. Построим окружность с центром в центре квадрата. Диаметр этой окружности равен стороне квадрата. 4. Соединим вершины квадрата с точками пересечения дуг окружностей так, как показано на третьем рисунке. При этом получится четыре равносторонних треугольника.

Заметим, что для всякой дуги и отрезка строились симметричные им линии относительно центра квадрата. Для самого квадрата его центр также является центром симметрии. Служит он и центром симметрии окружности. Внимательно посмотрите на рисунок. Какое многообразие фигур можно увидеть в геометрической симметрии построенных линий! Осталось подумать, как раскрасить получившийся эскиз.

Попытайся придумать и нарисовать свои эскизы витражей.

30. Копирование и подобие. Вновь займемся геометрическим рисованием. Мы познакомимся со способом копирования рисунков, планов и топографических карт, который основан на использовании подобия. Этот способ позволяет не только скопировать имеющееся изображение, но и увеличить его или уменьшить до требуемых размеров.

Нанесем на готовый рисунок квадратную сетку или воспользуемся сеткой, нанесенной на кальку. Затем вычертим такую же сетку из квадратов другого размера. Размер этих квадратов определяется исходя из размеров требуемой копии. Далее последовательно копируется часть рисунка, находящаяся в каждой клетке. Закончив эту процедуру, вы получите рисунок, подобный оригиналу (рис. 4.160).

Рис. 4.160

Оказывается, для того чтобы выполнять такие копии, совсем не требуется обладать какими-то особыми способностями к рисованию. Попробуйте для начала сделать несколько копий несложных рисунков и сами в этом убедитесь.

Кстати, этим способом копирования иногда приходится пользоваться и художникам-профессионалам. Представьте, что художник расписывает огромную стену здания. Находясь в люльке, он не может видеть весь рисунок целиком. Вполне естественно, что тогда в рисунке могут возникнуть ошибки, например, нарушатся пропорции отдельных фрагментов рисунка. В этих случаях художнику приходит на помощь подобное копирование. Он тоже выполняет свой рисунок на стене, последовательно копируя отдельные квадраты.

До появления современной множительной и копировальной техники рассмотренный способ был незаменим при подобном копировании сложнейших планов и топографических карт. Впрочем, не имея этой техники под рукой, им можно воспользоваться и сейчас.

Заключение

Дорогой друг!

Вот и закончилось твое первое большое путешествие в страну Геометрия. Ты познакомился с жителями этой страны — геометрическими фигурами, узнал о том, какие отношения существуют между ними, какие действуют в этой стране порядки и правила.

Знакомство с геометрией в школе на этом не заканчивается. В седьмом классе ты начнешь изучать основной курс геометрии. Важнейшей целью нашего путешествия была подготовка к этому изучению. До сих пор, знакомясь с геометрическими понятиями, мы были похожи на наших далеких предков, которые добывали первые геометрические знания в твоей практической деятельности. Мы тоже много наблюдали, конструировали (перегибали и разрезали бумагу, клеили ее и т.п.) и экспериментировали (ставили математические опыты). Эта деятельность помогла нам освоиться и уверенно чувствовать себя в стране Геометрия.

Мы узнали, что одни геометрические утверждения можно получать из других с помощью рассуждений. Строго говоря, только такой путь построения геометрии и является подлинно

математическим. Когда говорят о математике, часто сравнивают ее с большим строящимся зданием. Каждый новый «кирпич» этого здания кладется поверх уже уложенных кирпичей и прочно скрепляется с ними раствором. Иными словами, каждое новое утверждение в математике получается из ранее доказанных утверждений с помощью логических рассуждений. Рассуждения являются тем раствором, который цементирует любую математическую теорию.

Строительство всякого здания начинается с фундамента. А что является фундаментом геометрии? Где те первые кирпичики, на которых стоит геометрическая теория?

В самом деле, если взять любое геометрическое понятие, то оно определяется через другие понятия. Эти понятия, в свою очередь, также определены через некоторые понятия. Вспомним, например, определение квадрата: квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. А что такое прямоугольник? Это параллелограмм, у которого все углы прямые. Что же такое параллелограмм? А это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Далее придется определить, что такое четырехугольник, его сторона, противоположные стороны, параллельность. Кроме того, мы еще не определили, что такое равные стороны и прямые углы. Ясно, что такой процесс будет бесконечным. Поэтому необходимо выбрать некоторые первоначальные, так называемые, неопределяемые понятия. Приходится также объявить неопределяемыми некоторые отношения между ними.

В школьном курсе геометрии в качестве таких неопределяемых понятий выбраны точка, прямая и плоскость, а в качестве основных неопределяемых отношений — «принадлежать», «лежать между», «равенство» и «непрерывность».

Точно также, анализируя доказательство любой теоремы, мы увидим, что оно опирается на другие, ранее доказанные

теоремы. Здесь тоже придется остановиться на некоторых основных утверждениях и принять их без доказательства. Такие утверждения называются аксиомами. Аксиомы, взятые вместе, описывают все основные свойства неопределяемых геометрических понятий и отношений между ними. В качестве аксиом выбираются утверждения, в истинности которых человек постоянно убеждается на практике. Исходя из аксиом, последовательно доказывая одну теорему за другой, мы с помощью логических рассуждений можем добраться до любой теоремы и установить ее справедливость.

Начиная с седьмого класса основным методом изучения геометрии будут именно логические рассуждения. В этой новой для тебя деятельности полученные при изучении данной книги геометрические представления будут надежными помощниками.

Тебя ждут уже знакомые геометрические понятия и новые приятные встречи.

До свидания! До новых встреч в стране Геометрия!

Ответы и указания

Глава I

2. а), б), г), е), и), к); из них б) - невыпуклый. 3. а) 4, б) 10. 4. в)л+1,2я. 10. Нельзя. 12.3. 13*. См. рис. 1. 15.96. 18*. 7,5 см; на 4 - см. рис. 2. 21. 27. 22*. а) 0, б) 8, в) 16, г) 24, д) 8. 24*. 6. 26*. См. рис. 3.

Рис. 1

Рис. 2

28. 1-Д, 2-А, 3-И, 4-Г, 5-Е, 6-Л, 7-М, 8-3, 9-Ж, 10-К, 11-В, 12-Б. 30*. а), б), в) - да; г) - нет. 31. См, например, рис. 4. 32*. а), в), е) - да; б), г), д) - нет. 33. б), в), г), е), ж). 34. Да, если ее основание не является параллелограммом.

Рис.3

35. Да, если у нее две пары противоположных граней — прямоугольники, третья пара — параллелограммы, отличные от прямоугольника.

38. а) «4,71 м, б) «314 см, в) «9,42 км, г) «12,56 мм.

39. в 2 раза. 40. в 2 раза. 41. «31,4 см.

42. Суммы длин равны между собой. ^

43. Диаметр больших полуокружностей —, а диаметр малых — ~ . Поэтому длина большой полуокружно-

Рис. 4

сти - —, а длина малой - — . Суммы длин соответственно равны

Значит, эти суммы равны.

44. * 10 см.

45. Нельзя, так как длина обруча диаметром 0,5 м приближенно равна 3,14- 0,5 = 1,57 (м).

46. Длина окружности, которую описывает конец стрелки, приближенно равна 6,28 см. За один час конец стрелки опишет у^" часть окружности.

За сутки стрелка обойдет окружность 2 раза, за месяц — 60 раз. Поэтому, соответственно, мы получим: «0,52 см; «376,8 см = 3 м 76 см 8 мм; «45 м 84 см 4 мм.

47. «15,7 м.

48. За 1 час автомобиль делает 1000 • 30 = 30000 оборотов, а за 1 оборот колеса проезжает 0,6 • к «1,884 м. Поэтому скорость будет равна «56,5 км/ч. 50. Диаметр кольца 32 см. 51*. «40054 км.

59*. Наложи на боковую поверхность цилиндра кальку, отметь на ней данные точки. Разверни кальку и соедини точки отрезком. Прорежь кальку по этому отрезку. Вновь наложи кальку на цилиндр, совмещая концы отрезка с данными точками. По прорези проведи линию.

Рис.5

66*. 5 см. 72. См. рисунок 5.

Глава II

76. 15 сл*2. 90. 128. 91. 8. 93. См. рисунок 6.

101. в) Площадь увеличится в п2 раз. 102. b)bw раз.

105. 6 см. 108. 3 см, 4 см. 114*. Можно. 115. На 2, см. рис. 7.

116. 3 ж 2 ж 2. 117. См., например, рис. 8.

136. 88. см*. 139. г) 5 см.

141*. См. рис. 11. Если Si, 52, 53 — площади квадратов ABCD, BEFD, BGHK соответственно, то S2 = 5t + S{ = 2S{,S3 = S{ + S2 = S{ + 2S{ = 3SV

Рис. 6

Рис. 7

Рис.8

Рис.9

Рис. 10

Рис. 11

150*. Умножь равенство с2 =а2 +Ь2 на 2л. 151. в) Увеличится в k2 раз. 153. б) учти, что могут быть два решения. 154*. Окружность радиуса R имеет длину L = 2nR . Значит, дуга в Г имеет длину —-.

Дуга /, соответствующая углу а граградусов, вычисляется так:

Отсюда

Значит,

167. У способ. Рассмотри большой квадрат. Его сторона а + Ь. Поэтому площадь этого квадрата (а + б)2. С другой стороны, его площадь равна сумме площадей квадрата со стороной с и 4 треугольников, каждый из которых имеет площадь —ab. Поэтому

2 способ. Рассмотри разбиение квадрата со стороной с.

Глава III

171. а) 1 ООО см. 172. 5 см, 25 см*.

178. Параллелепипеды на рис. 12 и шесть элементов игры «Сома», составленные из 4 кубов (рис. 1.72). 180*. См. §15, п.6. 181. См. рис. 13.

189. а) можно, т. к. 125 = 5 • 5 • 5 = 53, ребро куба 5 см; б) нельзя; в) нельзя; г) можно; д) можно; например, параллелепипед с измерениями 5 x 5 x 10 (см).

191. 216 см3; если по углам вырезать квадраты со стороной 4 см, то — 160 см*.

192. См. рис. 14. 195. в) 17 м3, е) 7287,84 см3. 200. а) нет; б) да, т. к. 27 = Зз.

201. 60 см3. Пусть а, Ь, с — измерения параллелепипеда, тогда а • b - 12, а • с - 15, b • с « 20. Отсюда aï • Ы • с2 = 3600 и (а6с)2 = 602.

202. 125 см3.

203.9216 дм3. Пусть а,Ь,с — длина, ширина и высота параллелепипеда, тогда с = ЗЬ, 2с - а. По условию 6 = 8 см, поэтому с = 24 ам, а = 48 ам. 206. 216 сл*3. 213. Единице измерения длины. 214. 21 дм3.

215. V = -abH. 218. 480^3. 2

219. 240 см3. Гипотенуза с = 10 сл*. Она находится с помощью теоремы Пифагора: с2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

222. V = ^-ahH . 224.720сл*з. 2

225. 750 см3. Из треугольника ABE по теореме Пифагора находим, что BE2 = 2 • 52 = 50 сл*2. Четырехугольник BCDE - квадрат, его площадь

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

245. в) не изменится.

248. Пусть Rh R2 - радиусы; Нь Н2 — высоты и Vb V2 — объемы конусов.

Глава IV

285. а) параллельная плоскость; б) сама плоскость; в) параллельная прямая; г) сама прямая; д) сама сфера.

312*. Построй точку В, симметричную точке Л относительно прямой /. [AB] — одна из сторон искомого треугольника.

316. Окружность и квадрат.

317. Квадрат и прямоугольник.

319*. Вначале построй в натуральную величину грань куба.

359*. Построй точки Мь N{, симметричные точкам M, N соответственно относительно точки О. Затем поверни прямые MNw M{N{ вокруг точки О на 90 .

383*. 6 см, 12 см, 15 см. 395. 92,5 км. 410. См. рис. 15. 411. См. рис. 16.

Рис. 15

Рис. 16

Геометрические досуги

2. Того, кто хочет расположить шарики нужным образом, назовем Созидателем, а того, кто ему мешает — Разрушителем.

Пусть первым ходит Созидатель. Рассмотрим четыре ребра куба, выделенные жирными линиями (рис. 17а). Каждым своим ходом Созидатель занимает один конец какого-нибудь «жирного» ребра. Разрушитель выиграет, если будет каждый раз своим ходом ставить шарик того же цвета в другой конец того же ребра. В конце игры на концах каждого из «жирных» ребер будут одноцветные шарики и желание Созидателя не осуществится.

Пусть первым ходит Разрушитель. Тогда для победы Созидателю достаточно после каждого хода Разрушителя ставить шарик того же цвета в противоположную вершину куба (рис. 176). (На рисунке противоположные вершины обозначены одинаковыми буквами.) В конце игры окажется, что в любой вершине и трех соседних с ней стоят шарики разных цветов. 8. См. рис. 18. 9. См. задачу 141. 10. Обозначим через S площадь квадрата, построенного на высоте BD. Треугольники ABD и CBD — прямоугольные. Значит, для них справедлива теорема Пифагора: S + 53 = Sh S + 54 = S2. Отсюда S{ - S3 = S2 - Sah S2 - S{= SA - S3.

16. Если ты аккуратно разрежешь квадрат на части и составишь прямоугольник, то увидишь, что вдоль диагонали прямоугольника образовалась щель в виде параллелограмма с очень маленьким острым углом (рис. 19). Площадь этого параллелограмма и дает лишний квадратный сантиметр.

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

17. А здесь собранная фигура на самом деле является пятиугольником, а не треугольником (рис. 20). Углы АМВ и CNB — тупые, хотя и очень близки к развернутым.

18. За 35 дней. 19. За 24 часа.

20. Вместимость бочонка А - 90 ведер, бочонка В - 54 ведра, бочонка С - 40 ведер. После наполнения бочонка В в А остается I его содержимого. Поэтому вместимость бочонка В равна - вместимости бочонка А. Аналогично вместимость бочонка С равна вместимости бочонка А. Значит, общая вместимость бочонков В и С равна вместимости бочонка А. Так как

то — вместимости бочонка А составляют 4 ведра. 21. См. рис.21.

Рис.21

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА 3

§ 1. Многогранники 3

1. Многогранник и его элементы 3

2. Пирамида 6

3. Параллелепипед 8

4. Куб 13

5. Призма 19

§ 2. Круглые тела 22

1. Длина окружности 22

2. Цилиндр 27

3. Конус 30

4. Снова сфера 33

§ 3. Материалы для дополнительного чтения 34

1. Изображения пространственных фигур на плоскости 34

2. О названиях пространственных фигур 41

3. Из истории числа я 42

§ 4. Геометрические досуги 44

Глава II. ПЛОЩАДЬ 52

§ 5. Площадь плоской фигуры 52

1. Понятие площади фигуры 52

2. Равновеликие и равносоставленные фигуры 62

§ 6. Площадь прямоугольника и квадрата 68

1. Формула для вычисления площади прямоугольника 68

2. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и куба 72

§ 7. Площадь треугольника 74

1. Площадь прямоугольного треугольника 74

2. Площадь произвольного треугольника 75

3. Площади параллелограмма, трапеции и произвольного многоугольника 78

4. Теорема Пифагора 81

§ 8. Площадь круга 84

1. Площадь круга и его частей 84

2. Площадь поверхности цилиндра 89

3. Площади поверхности конуса и шара 91

§ 9. Материалы для дополнительного чтения 94

1. Еще раз о единицах измерения площадей 94

2. Из истории измерения площадей 95

3. Площади помогают при вычислениях 97

4. Пифагор и его теорема 99

5. Теорема Пифагора в пространстве 100

§ 10. Геометрические досуги 101

Глава III. ОБЪЕМ ТЕЛА 109

§ 11. Объем геометрического тела 109

1. Понятие объема тела 109

2. Равновеликие и равносоставленные тела 115

§ 12. Объем прямоугольного параллелепипеда и куба 117

§ 13. Объем прямой призмы 126

1. Объем треугольной прямой призмы 126

2. Объем прямой призмы 130

§ 14. Объем цилиндра 132

§ 15. Объем пирамиды 135

1. Объем пирамиды 135

2. Объем конуса 138

3. Объем шара 141

§ 16. Материалы для дополнительного чтения 144

1. Единицы измерения объемов жидкостей и сыпучих веществ 144

2. Из истории единиц объема 145

3. Великий геометр и механик Архимед 146

4. Еще две знаменитые задачи древности 148

5. Новые формулы сокращенного умножения 150

6. Удивительные превращения наклонного параллелепипеда 152

7. Равносоставленные призмы 155

§ 17. Геометрические досуги 156

Глава IV. ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 160

§ 18. Центральная симметрия 160

1. Центральная симметрия фигур 160

2. Свойства центральной симметрии фигур 164

3. Фигуры, имеющие центр симметрии 168

4. Центральная симметрия плоскости 176

§ 19. Осевая симметрия 180

1. Осевая симметрия фигур на плоскости 180

2. Свойства осевой симметрии фигур 186

3. Фигуры, имеющие ось симметрии 191

4. Осевая симметрия плоскости 196

5. Зеркальная симметрия 198

§ 20. Вектор 204

1. Вектор 204

2. Параллельный перенос фигуры 211

3. Свойства параллельного переноса 214

§ 21. Поворот 218

1. Поворот точки. Направленный угол 218

2. Поворот фигуры на плоскости 222

3. Свойства поворота плоскости 224

4. Поворот относительно прямой 228

§ 22. Правильные многоугольники и многогранники 231

1. Правильные многоугольники 231

2. Правильные многогранники 236

§ 23. Подобие и гомотетия 239

1. Подобие фигур 239

2. Масштаб 246

3. Гомотетия 249

§ 24. Сжатие 253

1. Сжатие к прямой 253

2. Эллипс 255

§ 25. Материалы для дополнительного чтения 258

1. Симметрия вокруг нас 258

2. Две осевые симметрии подряд 260

3. Паркеты из правильных многоугольников 264

§ 26. Геометрические досуги 267

Заключение 273

Ответы и указания 276

Геннадий Анатольевич Клековкин

ГЕОМЕТРИЯ. 6 КЛАСС УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Редактор Г.Н. Хондкариан Художественный редактор В.А. Чернецов

Корректор ЮЛ. Костина Компьютерная верстка Г.Н. Хондкариан Рисунки ГА. Клековкин

Издательская лицензия ЛР №066327 от 23.02.99. Гигиенический сертификат №77.99.6.953. П.608.2.99 от 12.02.99 выдан Департаментом Госсанэпиднадзора Минздрава РФ.

Подписано в печать 15.06.04. Формат 60x84/16 . Бумага типографская. Гарнитура «Petersburg». Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,74. Тираж 1000 экз. Заказ № 2054

ООО «ТИД «Русское слово - PC». 119034, Москва, Пречистенская наб., д. 15, стр. 2. Тел.: (095) 351-44-51,202-62-37.

Отпечатано с готовых диапозитивов в типографии 000"ИЛОН" г.Самара.