Г.А. Клековкин

ГЕОМЕТРИЯ

5 класс

«РУССКОЕ слово»

Г. А. Клековкин

ГЕОМЕТРИЯ

5 класс

МОСКВА «РУССКОЕ СЛОВО» 2004

ББК 22Ля.72 К 48

Клековкин Г. А. К 48 Геометрия. 5 класс: Учебное пособие. - М.: «ТИД «Русское слово - PC», 2004. - 320 с.

ISBN 5-94853-065-5

Книга предназначена для учащихся 5 классов, их родителей и учителей математики.

Она может использоваться для внеклассного и домашнего чтения по математике, для преподавания пропедевтического курса «Геометрия 5-6».

ББК 22.1я.72

ISBN 5-8253-0099-6

© «ТИД «Русское слово - PC», 2004; Самарский филиал Московского Городского педагогического университета, 2004

ДОРОГОЙ ДРУГ!

Хочется начать эту книгу с вопросов: «Что такое математика? Что она изучает?» Обычно твои ровесники сразу отвечают на эти вопросы так:

► Математика - наука о числах.

► Математика изучает числа и действия над ними.

И лишь затем кто-то робко вспоминает, что еще она изучает отрезки, углы, треугольники, окружности, ... Последние понятия можно объединить общим названием — геометрические фигуры.

В 5 классе в курсе математики ты будешь продолжать знакомство с числами. Другой задачей этого курса является подготовка к специальному изучению двух важных разделов математики: алгебры и геометрии.

Читая интересную художественную книгу, ты вместе с ее героями пускаешься в увлекательные и опасные путешествия, борешься со злом, разгадываешь страшные тайны, радуешься и грустишь. Обычно, когда книга заканчивается, бывает очень жаль расставаться с новыми друзьями. Поэтому, наверное, все мы так любим многотомные произведения, в которых главные герои кочуют из одной книги в другую.

Для любознательного ученика математика не менее увлекательна, чем самая интересная художественная книга. Такой ученик всегда хочет узнать больше написанного в учебнике, любит решать задачи, умеет применять математику в различных жизненных ситуациях.

В книге, которую ты открыл, геометрический материал изложен более подробно, чем на страницах школьного учебника. Кроме того, каждая глава заканчивается двумя дополнительными параграфами. В одном из них приводятся исторические сведения об изученных геометрических понятиях, а в другом — увлекательные игры, занимательные задачи, полезные советы.

Чтобы сделать твое путешествие по страницам книги более увлекательным, я придумал любознательных попутчиков — ребятишек-треугольников. Пусть не все мои рисунки оказались удачными, надеюсь, что они будут твоими хорошими помощниками.

Хочется верить, что удивительный мир геометрических фигур подарит тебе свои не менее интересные путешествия и тайны.

СЧАСТЛИВОГО ПУТИ В СТРАНУ ГЕОМЕТРИЯ!

Автор

Уважаемые родители! Через два года Ваш ребенок начнет изучение систематического курса геометрии. В этом курсе объем изучаемого материала резко увеличивается, качественно меняется и характер его изложения. Часто уже на первых уроках геометрии у детей возникают серьезные затруднения. Ребенок сталкивается с тем, что приходится определять многие хорошо известные из начальной школы фигуры, доказывать очевидные утверждения. Появляется масса новых, порой непонятных, определений, вводится символика, требуется хорошее владение чертежными инструментами. Многие дети к этому не готовы. В результате у семиклассника пропадает всякий интерес к изучению геометрии.

Данная книга предназначена для того, чтобы увлечь Вашего ребенка геометрией и подготовить его к изучению основного курса. Геометрические понятия и факты, как правило, вводятся на основе имеющегося у детей жизненного опыта, новых наблюдений, экспериментов и конструирования. Среди задач и упражнений есть и такие, которых нет в стабильных учебниках математики 5—6 классов и в основном курсе: например, упражнения на формирование навыков работы с чертежными инструментами. Однако, именно эти задания служат основой для полноценной школьной геометрической деятельности. Кроме того, в книге содержится материал, который можно найти только в литературе для внеклассных занятий: занимательные задачи, игры, игрушки-самоделки... Здесь же этот материал не является чем-то самостоятельным, а, наоборот, тесно связан с изучаемыми понятиями и их свойствами.

Надеюсь, что совместные с сыном или дочерью занятия геометрией помогут Вам лучше узнать своего ребенка, открыть его задатки и способности... И, кто знает, может быть, в нем проснется будущий Н.И. Лобачевский.

Уважаемые коллеги! Предложенную книгу можно использовать как дополнительный материал к учебникам математики 5—6 классов. Она может служить и основой для преподавания пропедевтического курса «Геометрия 5—6». В ряде школ г. Самары и Самарской области успешное преподавание такого курса ведется уже с 1995 года. В основу этого курса был положен материал, набранный в книге в разрядку более крупным шрифтом.

Г. Клековкин

Глава I

Основные геометрические понятия

§ 1. Пространство. Точка. Фигура

1. Пространство. В жизни мы часто слышим слово «пространство» и сами его употребляем: пространство комнаты, воздушное пространство, космическое пространство... А что такое пространство?

В нашем обычном представлении пространство — это огромное вместилище, в котором находятся окружающие нас предметы, растения и животные, мы сами, Земля, ее атмосфера. Земля вместе с другими планетами вращается вокруг Солнца. Солнечная система наряду с иными подобными системами образует нашу галактику. Галактики образуют новые, еще более крупные системы. Поэтому мы представляем пространство неограниченным и бесконечно простирающимся во всех направлениях.

Таким же неограниченным и бесконечным будем представлять пространство в курсе геометрии.

2. Точка. Одним из основных геометрических понятий является точка. В жизни представление о точке дают нам звезды в ночном небе, конец острия швейной иглы или хорошо очиненного карандаша. Еще привычней представить точку как след от прикосновения этого карандаша к листу бумаги или мела к классной доске.

В геометрии точка мысленно воображается не имеющей никаких пространственных размеров. Изображения на бумаге или классной доске являются условными. На этих изображениях точки принято обозначать большими буквами латинского алфавита. На рисунке 1.1 изображены и обозначены буквами точки А, В, С, D и Е. Иногда точки обозначают одной и той же буквой с номером. Так на рисунке 1.2 обозначены точки Afp М2, М3, М4.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

3. Фигура. Фигурой называется любое множество (совокупность) точек. Фигуры могут иметь различную форму и размеры, по разному располагаться относительно друг друга. Многие фигуры получили в геометрии специальные названия.

След острия карандаша, перемещающегося по бумаге, кусок скрученной проволоки (рис. 1.3) дают нам представление о фигуре, которая называется линией.

В геометрии линия воображается имеющей протяженность, но не имеющей толщины.

Рис. 1.3

На каждой линии имеется бесконечно много точек.

Чтобы познакомиться с тем, какие бывают линии и точки на них, выполним несколько рисунков.

Отметим на листе бумаги две точки — А и В. Эти точки можно соединить различными линиями (рис. 1.4). Точки А и Сбудут ограничивать проведенные линии.

Продолжим теперь наши линии за точку В (рис. 1.5). Мысленно можно представить, что острие карандаша неограниченно удаляется от точки А. Поэтому новые линии будут ограничены лишь одной начальной точкой А.

Если линии на рисунке 1.4 неограниченно продолжить за каждую из точек А и В, то полученные линии уже не будут иметь границы (1.6).

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Не будут иметь границ и линии, изображенные на рисунке 1.7. Такие линии называются замкнутыми. Установив острие карандаша в любую точку А замкнутой линии, мы можем, не отрывая карандаша от бумаги, обвести эту линию (вернуться в точку Л), нигде не проходя один и тот же участок линии дважды. Если линия незамкнутая, то этого сделать нельзя.

Из рассмотренных примеров видно, что границей линии является точка или пара точек. Замкнутые линии не имеют границ.

До сих пор мы рисовали линии так, что карандаш не пересекал уже нарисованную часть линии. Теперь рассмотрим рисунок 1.8. На этом рисунке линии имеют точки самопересечения.

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Линии а—г имеют по одной точке самопересечения, линия д — две, а линия е — три. Линии ж и з демонстрируют случаи, когда линия несколько раз проходит через точку самопересечения.

Точки А на рисунке 1.9 также будем считать точками самопересечения. Линии, изображенные на этих рисунках, можно получить, если начать движение карандаша из точки А и затем вновь пройти через эту точку. (После этого точка А уже перестает быть граничной.)

Рис. 1.8

Рис. 1.9

Представим, что мы находимся в некоторой точке линии и собираемся отправиться в путешествие по этой линии. Если эта точка является граничной, то мы можем двигаться только в одном направлении. Если точка не является граничной или точкой самопересечения, путешествовать можно в двух направлениях. Из точки самопересечения путешествия можно совершать более чем в двух направлениях (рис. 1.10).

Рис. 1.10

В повседневной жизни линии обычно называют кривыми и прямыми. Прямая — простейшая из линий (рис. 1.6, в). Этой линии, ее частям и фигурам, получающимся из них, отводится центральное место в школьном курсе геометрии.

С прямыми людям постоянно приходится иметь дело и в своей практической деятельности.

Таким же привычным, как слово «пространство», для нас является слово «поверхность». Мы, например, говорим о поверхности стола, поверхности детали, земной поверхности.

В геометрии поверхность — это фигура, которая воображается как пленка, не имеющая толщины. Ее можно представить в виде мыльного пузыря или мыльных пленок, натянутых на проволочные каркасы (рис. 1.11).

Рис. 1.11

Представление о поверхности дает лист бумаги или жести, а также фигуры, получившиеся в результате их изгибания (рис. 1.12).

Рис. 1.12

На каждой поверхности находится бесконечно много точек.

Поверхности на рисунках 1.11; 1.12, б—в являются искривленными, а поверхность на рисунке 1.12, а — нет. Последняя поверхность представляет собой кусок плоскости. Плоскость — простейшая из поверхностей. Поэтому мы так часто встречаем плоские поверхности у предметов, созданных руками человека.

Все поверхности, изображенные на рисунках, кроме поверхности мыльного пузыря на рисунке 1.11, а, имеют границу. Граница поверхности — линия (рис. 1.11,0; 1.12) или несколько линий. Так, у поверхности на рисунке 1.11, в граница состоит из двух линий.

Поверхность, о которой дает представление мыльный пузырь, называется сферой. Сфера не имеет границы и является замкнутой поверхностью.

Другой пример поверхности, не имеющей границы, дает плоскость.

Наконец, мы будем рассматривать фигуры, которые называются геометрическими телами. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, коробка спичек дает представление о прямоугольном параллелепипеде (рис. 1.13), спортивное ядро — о шаре (рис. 1.14), консервная банка — о цилиндре (рис. 1.15).

Геометрические тела, как и другие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Геометрическое тело мы

Рис. 1.13 Рис. 1.14 Рис. 1.15

представляем как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела.

Замечание. Вновь вернемся к линиям. Они могут быть плоскими и пространственными. Линия называется плоской, если все ее точки лежат в некоторой плоскости. Так, линии, которые мы рисуем на классной доске или ровном листе бумаги, являются плоскими. Представление о пространственной линии дает, например, «пружина», на рисунке 1.3, б. Точки пространственной линии уже не лежат в одной плоскости. В школе ты познакомишься лишь с некоторыми важными плоскими линиями.

Задачи и упражнения

1. Изобрази в тетради несколько точек и обозначь их буквами.

2. Отметь в тетради две точки А и В. Проведи линию, которая проходит через обе эти точки. Сколько таких линий можно провести?

Рис. 1.16

3. Найди на рисунке 1.16:

а) незамкнутые линии;

б) замкнутые линии;

в) линии, не имеющие точек самопересечения;

г) линии, имеющие точки самопересечения;

д) замкнутые линии, не имеющие точек самопересечения.

4. Нарисуй в тетради:

а) замкнутую линию, не имеющую точек самопересечения;

б) незамкнутую линию, не имеющую точек самопересечения;

в) замкнутую линию, имеющую четыре точки самопересечения;

г) незамкнутую линию, имеющую две точки самопересечения.

5. Возьми кусок проволоки и согни его в виде:

а) плоской линии;

б) пространственной линии.

6. Возьми мяч и отметь мелом на его поверхности две точки. Проведи через них линию. Сколько линий можно провести через эти две точки?

7*. Может ли линия, нарисованная на поверхности мяча, оказаться плоской?

8. Приведи примеры поверхностей, которые не имеют границы.

9**. Вырежи из листа бумаги модель поверхности, граница которой состоит из трех замкнутых линий.

4. Равенство фигур. Среди окружающих нас предметов часто встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Одинаковыми являются, например, чайные чашки из одного сервиза, спички из одного коробка.

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, принято называть равными. Уточним это понятие.

Иногда установить, одинаковы фигуры или нет, удается, наложив одну из них на другую. Например, можно сравнить две фигуры (буквы «Г»), вырезанные из листа бумаги (рис. 1.17).

Рис. 1.17

Теперь представим, что фигуры, изображенные на листе бумаги, нельзя вырезать (рис. 1.18). Чтобы установить, равны они или нет, поступим следующим образом. Скопируем одну из фигур на кальку. (Калька — прозрачная или полупрозрачная бумага, используемая для копирования чертежей карандашом или тушью.) Ясно, что полученная копия «К» будет равна первой фигуре «/».

Снова наложим кальку на лист бумаги и, передвигая ее, попытаемся совместить копию «К» фигуры « / » со второй фигурой «2». Если это удастся сделать, то изображенные фигуры равны.

Для того, чтобы совместить копию «К» первой фигуры со второй фигурой «2» в случае б, кальку сначала необходимо перевернуть другой стороной.

Рис. 1.18

Можно представить, что на вторую фигуру накладывается не копия, равная первой фигуре, а сама эта фигура. При этом мы будем говорить о наложении фигур друг на друга.

Аналогичные ситуации мы часто встречаем и в жизни. Например, когда имеем дело с какой-то партией деталей, выполненных без брака по одному и тому же чертежу. Эти детали будут одинаковыми. Реально наложить две детали друг на друга (совместить друг с другом) невозможно. Однако мысленно мы снова это можем сделать.

Поэтому равные фигуры пока мы будем определять следующим образом: две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить с помощью наложения.

Задачи и упражнения

10. Вырежи из плотной бумаги или картона какую-нибудь фигуру. Нарисуй с помощью полученного шаблона несколько равных фигур.

11. С помощью кальки найди на рисунке 1.19 равные фигуры.

Рис. 1.19

Проверь себя сам

Параграф закончен. Чтобы проверить, все ли ты усвоил, попытайся ответить на поставленные вопросы. Не отчаивайся, если на некоторые вопросы ответить не удалось. Вернись к тексту параграфа и найди ответы там.

1. Попытайся своими словами описать, что такое:

а) пространство; б) точка; в) линия; г) поверхность; д) геометрическое тело.

2. Вспомни, какие бывают линии.

3. Прочти, вставляя пропущенные слова, следующие предложения:

- геометрической фигурой называется любое множество... ;

- две геометрические фигуры называются равными, если их можно... с помощью....

§ 2. Отрезок. Луч. Прямая

1. Отрезок. Когда мы говорим о прямой, то сразу представляем натянутый шнур или провод; край стола; линии в тетради; вязальную спицу; место, где пересекаются стена и потолок, или две соседние стены (рис. 1.20). На самом деле эти примеры демонстрируют лишь часть прямой, которая называется отрезком.

Для построения отрезков на бумаге или классной доске обычно пользуются линейкой. Отметим две точки — А и В. Если к этим точкам приложить линейку, как показано на рисунке 1.21, и по ней провести линию, соединяющую эти точки, то получим отрезок (рис. 1.22). Его обозначают [АВ].

Точки А и В считаются принадлежащими отрезку [AB] и называются его концами. Этот же отрезок можно обозначить [A4].

Рис. 1.21

Рис. 1.22 Рис. 1.20

Замечание. При построении отрезков с помощью линейки карандаш немного наклоняют в сторону движения, как показано на рисунке 1.23.

Рис. 1.23

Если на бумаге отмечены две точки — А и ß, то можно провести сколько угодно различных линий с концами в этих точках. Отрезок же среди них будет только один. Значит, любые две точки можно соединить только одним отрезком (рис. 1.24).

На этом свойстве отрезка основана проверка линейки. Отметим на листе бумаги две точки. Аккуратно соединим их с помощью линии, проведенной по краю линейки (рис. 1.25, a), a затем повернем линейку другой стороной и опять соединим эти точки с помощью линии, проведенной по тому же краю линейки (рис. 1.25, б). Если линейка правильная, то линии сольются (рис. 1.26, а). Если же линии не сольются, то это говорит о том, что линейка сделана неправильно (рис. 1.26, б).

На рисунке 1.27 изображен отрезок [CD]. Точка M принадлежит отрезку, а точки N и К — не принадлежат.

Рис. 1.25

Рис. 1.26

Рис. 1.27

Принадлежность точки M отрезку [CD] обозначают следующим образом: ME [CD]. Запись ME [CD] также читают так: «точка M лежит на отрезке [CD]». Записи N£ [CD], К£ [CD] употребляют, чтобы отметить, что точки N и К не принадлежат отрезку [CD] (не лежат на отрезке [CD]). Про точку M, изображенную на рисунке 1.27, говорят, что она лежит между точками С и D и является внутренней точкой отрезка [CD].

Задачи и упражнения

12. Начерти в тетради отрезок [PQ] и отметь:

а) точку М, принадлежащую этому отрезку;

б) точку УУ, ему не принадлежащую

13. На рисунке 1.28 часть линии, соединяющей точки С и D, залита кляксой. Проверь с помощью линейки, могла ли эта линия быть отрезком.

14. Сколько отрезков на каждом из рисунков 1.29? Назови эти отрезки.

15. Прочитай следующие записи: ME [AB], N£ [CD].

16. Какие из точек, указанных на рисунке 1.30, лежат на от-

Рис. 1.28

Рис. 1.29

резке [MN], а какие из них на этом отрезке не лежат? Запиши это с помощью знака G.

17. Какие из точек, указанных на рисунке 1.31, лежат между точками: а) А и В, б) С и В, в)Си£, г)ОиЕ?

18*. Летела стая гусей: один гусь впереди, а два позади; один гусь позади, а два впереди; один гусь между двумя и три в ряд. Сколько гусей в стае?

19*. Три точки расположи на трех отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по две точки.

20**. Расположи шесть точек на четырех отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по три точки.

2. Луч. Прямая. На рисунке 1.32 изображены отрезок [AB] и линейка, которая короче отрезка. Как с помощью линейки продолжить отрезок за точку ß?

Отметим на [AB] такую точку С, чтобы отрезок [СВ] был короче линейки. Тогда, прикладывая линейку к точкам С и В, можно продолжить исходный отрезок (рис. 1.33).

Если же таким образом продолжать отрезок [AB] за точку В неограниченно, то мы получим геометрическую фигуру (рис. 1.34), которая назы-

Рис. 1.30 Рис. 1.31

Рис. 1.32

Рис. 1.33

вается лучом. Этот луч обозначают [AB). Точка А называется началом луча. Конца у луча нет.

Сразу же на память приходят солнечные лучи. Они начинаются на солнце и неограниченно идут от него, если только не встретят на своем пути какое-нибудь препятствие (рис. 1.35).

Если продолжить отрезок [AB] за его конец А, то получится луч [ВА), началом которого является точка В (рис. 1.36).

Если продолжить отрезок [AB] неограниченно за оба конца, то получим фигуру, которая называется прямой и обозначается (AB) (рис. 1.37). Эту же прямую можно обозначить (ВА).

Прямая не имеет концов.

Рис. 1.34

Рис. 1.35

Рис. 1.36

Рис. 1.37

Рис. 1.38 Рис. 1.39

Для получения прямой линии можно аккуратно согнуть лист бумаги. Линия сгиба будет прямой (точнее, отрезком) (рис. 1.38).

Этим согнутым листом можно вместо линейки пользоваться для построения на бумаге отрезков, лучей и прямых (рис. 1.39).

Сейчас, когда введено понятие прямой, становится ясным, откуда произошло название «отрезок». Из прямой как бы вырезали кусочек — отрезок (рис. 1.40).

У прямой нет концов, она неограниченна. Отрезок имеет два конца; он ограничен. У луча только один конец; он ограничен с одной стороны, а с другой — нет. В обозначениях отрезка, луча и прямой мы применяли различные скобки: круглые и квадратные. В записи [AB] квадратные скобки означают, что точки А и В отрезка являются его граничными точками. В записи [AB) квадратная скобка означает, что точка А луча является граничной. Круглая скобка в этой записи означает, что В — произвольная, на являющаяся граничной, точка этого луча. При обозначении луча на первом месте пишут букву, которой обозначено его начало. Вместо точки В можно взять любую другую точку С этого луча: CG [AB). Так, луч [AB) на рисунке 1.41 можно обозначить: [АС), [АЕ).

Рис. 1.40

Рис. 1.41

В записи (AB), которая употребляется для обозначения прямой, круглые скобки означают, что буквами А и В обозначены какие-либо две произвольные точки, лежащие на этой прямой. Если точки С, D, и Е принадлежат прямой (AB): CG (AB), DG (AB), EG (AB) (рис. 1.42), то эту же прямую можно обозначить так: (АС), (AD), (ВА), (BE), (CD) и т. д.

Часто прямую обозначают одной малой латинской буквой: а, Ь, с... (рис. 1.43).

Запись AGa обычно читается: «точка А принадлежит прямой а». В этом случае также говорят: «прямая а проходит через точку А». Любая точка О, лежащая на прямой, разбивает эту прямую на две части, которые называются полупрямыми. Каждая из полупрямых вместе с точкой О образует луч с началом в точке О. Эти лучи называются дополнительными друг другу.

На рисунке 1.44 точка О разбивает прямую (AB) на две полупрямые. Точка А принадлежит одной из этих полупрямых, а точка В — другой. Лучи [OA) и [OB) являются дополнительными.

Замечания. 1. Представления о геометрических фигурах появляются в результате наблюдений окружающих нас предметов. Начертить на бумаге или классной доске неограниченную бесконечную прямую невозможно. Поэтому наши изображения на рисунках лучей и прямых являются условными.

Рис. 1.42

Рис. 1.43

Рис. 1.44

2. Во многих учебниках геометрии специальные обозначения [AB], [AB), (AB) для отрезка, луча и прямой не применяются. В этих учебниках употребляются записи: «отрезок/Ш», «луч AB», «прямая AB».

Для перечисленных и некоторых других фигур мы будем использовать как краткие обозначения, так и их словесные названия. При этом, начиная со следующего параграфа, станем стараться избегать одновременного использования словесных названий и обозначений, вместо записей типа: «отрезок [AB]» будем употреблять записи «отрезок AB» или просто «[/Lß]».

Задачи и упражнения

21. Назови все лучи, изображенные на рисунке 1.45, и запиши их с помощью принятых обозначений.

22. Точка В принадлежит лучу [OA). Как можно обозначить этот луч иначе?

23. Начерти луч [ВС) и отметь две точки, не лежащие на нем, и две точки, лежащие на нем.

24. Начерти луч [KL), отметь на нем точки M и N. Запиши все лучи, получившиеся на чертеже.

25. Начерти лучи [ОС) и [OD) так, чтобы они не были дополнительными.

26. Начерти лучи [ОС) и [OD) так, чтобы они были дополнительными.

27. Прочитай следующие записи: OG[AB), Р£[АВ), RŒ(AB), S£(AB), TGa, Q£a.

Рис. 1.45

28. Начерти прямую, отметь две точки, не лежащие на этой прямой, и три точки, лежащие на ней.

29. Запиши, какие точки на рисунке 1.46 принадлежат прямой a, a какие — нет.

Рис. 1.46

30. Отметь в тетради точки Р и Q. Проведи прямую (PQ). Отметь на чертеже точки R и S так, чтобы: RG [PQ], SE (PQ), S£ [PQ].

31. Начерти прямую и отметь на ней точки А, В и С. Запиши шесть различных обозначений этой прямой.

3. Основные свойства прямой. Прямую мы получили при продолжении с помощью линейки отрезка за его концы. В пункте 1 этого параграфа было отмечено, что любые две точки можно соединить только одним отрезком. Поэтому справедливо следующее свойство.

1. ЧЕРЕЗ ЛЮБЫЕ ДВЕ ТОЧКИ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПРЯМУЮ, И ПРИ ТОМ ЕДИНСТВЕННУЮ

Это свойство прямой используют плотники, штукатуры и столяры. Чтобы на доске или стене отметить прямую, они пользуются шнуром, который натирают мелом или углем. Шнур натягивают и прижимают к доске в двух точках. Если сейчас шнур между прижатыми точками слегка оттянуть и резко отпустить, то на доске обозначится в виде прямой его след (рис. 1.47).

Рис. 1.47

Сколько прямых можно провести через одну точку? Чтобы ответить на этот вопрос, отметим на бумаге точку О. Затем отметим другую точку А и проведем через них прямую (OA). Выберем сейчас точку В так, чтобы она не принадлежала (OA), и проведем прямую (OB). Если взять точку С, не лежащую на прямых (OA) и (OB), то можно построить новую прямую (ОС), проходящую через точку О, и т. д. (рис. 1.48).

Следовательно, через точку можно провести бесконечно много прямых.

Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке. На рисунке 1.49 прямые а и b пересекаются в точке М.

Рассматривая отрезок, мы отмечали, что любая его внутренняя точка лежит между концами. Если взять три точки, лежащие на одной прямой, то две из них будут концами отрезка, для которого третья точка является внутренней. Поэтому для любой прямой справедливо следующее свойство, характеризующее расположение ее точек:

Рис. 1.48 Рис. 1.49

2. ИЗ ТРЕХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ ОДНА И ТОЛЬКО ОДНА ЛЕЖИТ МЕЖДУ ДВУМЯ ДРУГИМИ

Так, среди точек К, M и N, изображенных на рисунке 1.50, точка К лежит между точками M и N, а каждая из точек M и N между двумя другими не лежит.

Рис. 1.50

На рисунке 1.51 изображены прямая и линейка, край которой совпадает с прямой. Можно так двигать эту линейку вдоль прямой, что ее край будет все время находиться на прямой (скользить по прямой). Отсюда следует, что прямая может скользить вдоль самой себя.

Рис. 1.51

На этом свойстве прямой основаны, например, принципы действия автоматического карандаша (рис. 1.52) и телескопической антенны (рис. 1.53).

Рис. 1.52 Рис. 1.53

Задачи и упражнения

32. По рисунку 1.54 назови точки пересечения прямых (AB) и (ВС), (KL) и (AD), (КМ) и (DC), (ВС) и (IM).

33. Пересекаются ли на рисунке 1.55:

а) прямая (AB) и отрезок [CD],

б) прямая (AB) и отрезок [MN],

в) отрезки [CD] и [MN],

г) прямая (AB) и луч [CD),

д) прямая (ВА) и луч [MV), е)лучи [AB) и [DC),

ж) лучи [А4)и[С£>), з)лучи [A4) и [ЯМ)?

Рис. 1.54 Рис. 1.55

Проверь себя сам

1. Попытайся своими словами описать, что такое: а) отрезок; б) луч; в) дополнительные лучи; г) прямая.

2. Вставь в предложение пропущенное слово:

- Если две прямые имеют общую точку, то они ... в этой точке.

3. Выбери из рамки слова и вставь их вместо пропусков так, чтобы получились известные свойства прямой.

- Через... можно провести прямую, и притом единственную.

- Из трех точек прямой ... лежит между двумя другими.

§ 3. Плоскость

1. Плоскость. Принадлежность точек плоскости. Точки, лучи и прямые мы изображали на листе бумаги и на классной доске. Тетрадный лист, классная доска, поверхность стола, оконное стекло, стены, пол и потолок в комнате дают нам представление о плоскости. Эти примеры демонстрируют не всю плоскость, а лишь ее ограниченный кусок. Плоскость считают неограниченной. Она бесконечно простирается во всех направлениях, определяемых лежащими в ней прямыми.

Можно изучать фигуры, которые целиком расположены в одной плоскости. Раздел геометрии, изучающий такие фигуры и их свойства, называется планиметрией. Раздел геометрии, изучающий фигуры, расположенные в пространстве, называется стереометрией.

При изучении планиметрии обычно считают, что плоскость, в которой лежат изучаемые фигуры, совпадает с плоскостью тет-

радного листа или плоскостью доски. В этом случае нет необходимости специально изображать саму эту плоскость.

Если же плоскость рассматривается в пространстве, будем ее условно изображать так, как показано на рисунках 1.56 и 1.57. Плоскости будем обозначать малыми буквами греческого алфавита: а,/?, у...

Если точка А принадлежит плоскости а, то, используя знак G, будем писать: AG а. На рисунке 1.56 AG a, CG а, а на рисунке 1.57 MG ß, KG ß. Если точка В не принадлежит плоскости а, то будем писать: В£ а. На рисунке 1.57 N£ ß.

2. Основные свойства плоскостей. Изображая с помощью линейки в тетради и на классной доске прямые, мы имели возможность убедиться в справедливости следующего свойства:

3. ЕСЛИ ДВЕ ТОЧКИ ПРЯМОЙ ЛЕЖАТ В ПЛОСКОСТИ, ТО И ВСЕ ТОЧКИ ПРЯМОЙ ЛЕЖАТ В ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ

В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую. На рисунке 1.58 прямая AB лежит в плоскости а. Символически это записывается следующим образом: (АВ)С а.

Рис. 1.56

Рис. 1.57

Из приведенного свойства следует, что если прямая не лежит в плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке. На рисунке 1.59 прямая а и плоскость а пересекаются в точке А.

Свойство 3 также можно использовать для проверки линейки. Для этого край линейки прикладывают к плоской поверхности стола. Если линейка правильная, то край всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола будет просвет (рис. 1.60).

Прямая а, лежащая в плоскости а (рис. 1.61 ), делит эту плоскость на две части, каждая из которых называется полуплоскостью. Прямая а называется границей этих полуплоскостей. По-

Рис. 1.58 Рис. 1.59

Рис. 1.60 Рис. 1.61

Рис. 1.62

Рис. 1.63

луплоскость вместе со своей границей называется замкнутой полуплоскостью.

Пусть точки К, Lu M принадлежат плоскости а и аСа (рис. 1.61). Если отрезок KL не пересекает прямую а, то точки Ки L лежат в одной полуплоскости с границей а. Если отрезок КМ пересекает прямую а, то точки Ки M лежат в разных полуплоскостях.

Сколько плоскостей проходит через одну, две, три точки? Чтобы ответить на первый из этих вопросов, возьмем плотный лист картона и приложим его к острию иглы или булавки (рис. 1.62). Это можно сделать бесконечным числом способов. Каждое положение листа будет определять плоскость, проходящую через данную точку — острие иглы. Похожая ситуация показана на рисунке 1.63, где через точку А проходит пять плоскостей, четыре из которых определяются боковыми гранями пирамиды. На рисунке 1.64 три плоскости а, ß, у также имеют точку Л, общую для всех этих плоскостей. Ясно, что через точку А можно провести еще сколько угодно плоскостей.

Значит, через одну точку проходит бесконечно много плоскостей. Как видно из рисунков 1.65 — 1.67, через две точки также можно провести сколько угодно плоскостей. На этих рисунках точки А и В являются общими для таких плоскостей.

Заметим, что, в силу свойства 1, указанные плоскости будут иметь общую прямую (AB).

Чтобы ответить на третий вопрос, вспомним обычную дверь. Когда дверь не закрыта на замок, она может свободно вращаться на шарнирах. При этом каждое положение двери определяет плоскость, проходящую через две точки — шарниры. Стоит запереть замок, и дверь становится неподвижной. Замок сейчас можно считать третьей точкой (рис. 1.68).

Рис. 1.64

Рис. 1.65

Рис. 1.66 Рис. 1.67

Рис. 1.68

Этот пример демонстрирует следующее важное свойство:

4. ЧЕРЕЗ ТРИ ТОЧКИ, НЕ ЛЕЖАЩИЕ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ, ПРОХОДИТ ПЛОСКОСТЬ, И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНА

Плоскость, проходящую через три точки А, В и С (рис. 1.69), будем обозначать (ABC).

Опираясь на свойство 4, можно с помощью рассуждений установить, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Рассуждать можно так. Возьмем точку пересечения прямых и еще по одной точке на каждой из прямых (рис. 1.70). По свойству 4 через выбранные точки проходит единственная плоскость. Прямые будут лежать в этой плоскости. Попробуй объяснить, почему.

Рисунки 1.64— 1.66 позволяют заметить следующее:

5. ЕСЛИ ДВЕ ПЛОСКОСТИ ИМЕЮТ ОБЩУЮ ТОЧКУ, ТО ОНИ ИМЕЮТ ОБЩУЮ ПРЯМУЮ, ПРОХОДЯЩУЮ ЧЕРЕЗ ЭТУ ТОЧКУ

Рис. 1.69 Рис. 1.70

В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой а. На рисунке 1.71 плоскости а и ß пересекаются по прямой а.

Задачи и упражнения

34. Назови точки, принадлежащие плоскости а (рис. 1.72), и точки, ей не принадлежащие. Запиши это с помощью знака G.

35. Прочитай следующие записи:

а) AG а, MG ß, N£ а, К £г,

б) (АВ)С а, аС ß, Ьф ß, ЛЕ аС а.

36. Точки Л, M, PŒ а, В, N, а. Лежат ли в плоскости а следующие прямые: (AM), (AB), (MQ), (NQ), (МР)? Какие из прямых (АР), (ВМ), (AQ), (MP) пересекают плоскость а?

37. Начерти два луча с общим началом. На сколько частей делят плоскость эти лучи?

38. На сколько частей делит плоскость прямая, лежащая в этой плоскости?

39. Начерти прямую и луч с началом, лежащим на этой прямой. На сколько частей делит плоскость полученная фигура?

40. Начерти две пересекающиеся прямые. На сколько частей делят плоскость эти прямые?

41. Прямые а, b и с лежат в одной плоскости и проходят через точку О. На сколько частей делят плоскость эти прямые?

Рис. 1.71

Рис. 1.72

Рис. 1.73

42. Отметь три точки, не лежащие на одной прямой. Построй все прямые, определяемые этими точками. На сколько частей полученные прямые делят плоскость?

43. С помощью трех прямых раздели плоскость на шесть частей. 44*. При помощи прямых раздели плоскость на 10 частей.

Можно ли это сделать с помощью 4 прямых, 5 прямых?

45. Прямая а на рисунке 1.73 разбивает плоскость на две полуплоскости.

а) Принадлежат ли одной полуплоскости точки: С и D, С и M, M и N, А и С, В и N?

б) Принадлежат ли одной замкнутой полуплоскости точки: С и D, В и С, А и M M и N, С и M, А и ß ?

46. По рисунку 1.74 назови:

а) точки, принадлежащие плоскости (A4/D/);

б) плоскости, в которых лежит точка Dj]

в) плоскости, в которых лежит прямая (BBj);

г) прямые, лежащие в плоскости (DD,С,);

д) точку пересечения прямой (KL) с плоскостью (АВС)\

е) прямые, по которым пересекаются плоскости (BCCj) и (DD,C,), (ABD)üL(AAlDl)\

ж) точки пересечения прямых (AD) и (DC), (M5) и (Л/)), (/<L) и (DC).

47. Какие из следующих утверждений являются верными?

а) Любые четыре точки лежат в одной плоскости.

б) Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.

в) Любые три точки лежат в одной плоскости.

г) Через любые три точки проходит плоскость, и притом единственная.

Рис. 1.74

д) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом единственная.

ж) Через любые две прямые проходит плоскость, и притом единственная.

з) Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом единственная.

48**. Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку? Ответ обоснуй.

49**. Точки Л, В, С и D не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? Могут ли прямые (AB) и (CD) пересекаться?

50*. Три точки попарно соединены отрезками. Попытайся доказать, что эти отрезки лежат в одной плоскости.

51*. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости (ABC) и (ABD), (BCD) и (ABD)?

52. Могут ли две плоскости иметь:

а) только одну общую точку,

б) только две общие точки,

в) только одну общую прямую?

53*. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько плоскостей при этом может получиться?

54. На сколько частей разбивают пространство:

а) плоскость;

б) две пересекающиеся плоскости;

в) три плоскости, имеющие одну общую точку;

г) три плоскости, имеющие общую прямую;

д) три попарно пересекающиеся плоскости, не имеющие общей точки?

Проверь себя сам

1. Попытайся своими словами объяснить, что такое: а) плоскость; б) планиметрия; в) стереометрия.

2. Прочитай, вставляя пропущенные слова:

- если две... прямой лежат в плоскости, то... прямой лежат в этой плоскости.

3. В левой части стоят начала предложений. Найди в правой части окончания этих предложений.

Если две точки прямой лежат в плоскости,

Пусть M, N G а и а С а. Если отрезок MN не пересекает прямую а,

Пусть M, N G а и а С а. Если отрезок MN пересекает прямую а,

Если две плоскости имеют общую прямую,

то они пересекаются по этой прямой.

то точки M и N лежат в разных полуплоскостях с границей а.

то прямая лежит в этой плоскости.

то точки M и N лежат в одной плоскости с границей а.

4. В этом задании в формулировках основных свойств плоскости допущены ошибки. Укажи эти ошибки.

- Через три точки проходит плоскость, и притом только одна.

- Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, не проходящую через эту точку.

§ 4. Материалы для дополнительного чтения

1. Что изучает геометрия? Мы настолько привыкли к окружающим нас предметам, что не задумываемся над тем, как узнаем и отличаем их друг от друга. В этом нам помогают наши органы чувств и память. При помощи зрения любой из нас сразу отличит арбуз от апельсина, апельсин от теннисного мяча, а мяч от хоккейной шайбы. При этом мы сразу произвольно будем сравнивать цвет, форму и размеры рассматриваемых предметов. Так узнавал и запоминал предметы первобытный человек, так узнаем и запоминаем их мы.

Познавая окружающий нас мир, наши предки постепенно

Рис. 1.75

изучали свойства различных предметов. Эти первоначальные знания являлись результатами наблюдений и практической деятельности. Накопленные факты послужили основой для создания целого ряда естественных наук: физики, географии, астрономии, биологии,... Каждая из них изучает определенные свойства предметов и явлений природы.

Геометрия, как и естественные науки, первоначально появилась в результате наблюдений и практической деятельности человека. При ее создании людей интересовали лишь следующие характеристики окружающих предметов: форма, размеры и взаимное расположение. Например, арбуз, апельсин и теннисный мяч имеют одну и ту же форму — шара. Понятие шара в геометрии возникло в результате обобщения форм реально существующих предметов. Таким же путем возникли и другие геометрические понятия.

Изучая геометрические фигуры и их свойства, мы получаем знания о геометрических свойствах самих реальных предметов. Эти знания находят широкое применение в практической деятельности. Геометрия используется, например, в геодезии, картографии, различных областях техники, архитектуре, строительном и военном деле. Самые разнообразные применения она находит и в других науках: физике, астрономии, географии, кристаллографии,...

2. Как возникла геометрия? Как мы уже говорили, первоначальные геометрические представления возникли еще у первобытного человека. Формой предметов он руководствовался при сборе съедобных плодов, выборе наконечников для орудий охоты. Более глубокими стали эти представления, когда человек научился сам шлифовать камни и изготовлять из них ножи и наконечники нужной формы. Чтобы соорудить простейшее жилище, ему опять сначала нужно было представить форму будущей постройки. Для изготов-

ления удобной одежды надо было правильно разметить и разрезать шкуры животных. Первобытному художнику, высекавшему наскальные рисунки, впервые пришлось столкнуться с изображением пространственных фигур на плоскости. На этом этапе форма предметов хотя и играла важную роль, но еще не рассматривалась отдельно от остальных свойств.

На протяжении тысячелетий в процессе практической деятельности человек все лучше и лучше овладевал различными геометрическими формами. Важную роль в этом сыграли развитие ремесел, строительного искусства и земледелия. Так, например, изобретение гончарного круга позволило сформировать представление о телах вращения (рис. 1.76).

Первые сведения геометрического характера были известны еще во II тысячелетии до н. э. Эти сведения можно найти в источниках, сохранившихся от цивилизаций Древнего Востока (Вавилон, Египет, Китай, Индия). В определенный исторический период в Древнем Египте строительное дело и земледелие получили особенно интенсивное развитие. Здесь строились огромные величественные пирамиды — усыпальницы фараонов. Строительство таких сооружений было сложной не только технической, но и геометрической задачей. Древние строители успешно справлялись с ней.

В Египте наиболее плодородные земли находились по берегам реки Нил. Ежегодные разливы Нила смывали границы земельных участков, и их постоянно приходилось восстанавливать. Это было

Рис. 1.76

Рис. 1.77

связано со сложными чертежными, измерительными и вычислительными работами. Выполняя эти работы, египтянам приходилось решать довольно трудные планиметрические задачи (рис. 1. 77).

Для измерения, хранения и продажи собранного урожая изготовлялась посуда разнообразной формы и размеров. Нахождение ее вместимости — уже стереометрическая задача.

Практические задачи, которые приходилось решать египтянам, позволили накопить достаточно большое количество геометрических знаний. Об этом можно судить по дошедшим до нас папирусам математического содержания. Из этих свитков видно, что египетские писцы могли справляться с разнообразными математическими задачами. Однако доказательств и вывода правил решения в них нет. Они представляли собой собрание частных решений отдельных задач. Очевидно, что большинство правил было получено в процессе измерений и вычислений. Наряду с верными правилами в свитках встречаются и ошибочные, которые, тем не менее, давали результаты, удовлетворяющие запросы практики.

Из сказанного видно, что геометрия в Египте в единую цельную науку еще не сформировалась.

Рис. 1.78

На рисунке 1.78 изображен Тот — египетский бог с головой ибиса. Он олицетворял божественный разум, который сотворил всю Вселенную, и должен был определять высоту, до которой будет подниматься Нил во время разлива. От этого зависело плодородие, а значит, и будущий урожай. Тот в одной руке держит зубчатую линейку, а в другой — тростник, которым собирается отметить подъем воды.

Ибис — птица, появлявшаяся в Египте перед разливом Нила. Когда эта птица ест, ее клюв и лапы образуют равносторонний треугольник. Поэтому ибис олицетворял геометрию и все науки, основанные на ней.

Начиная с VII-VI вв. до н. э. развитие геометрии связано с именами ученых Древней Греции. Греки, которые вели оживленную торговлю с Египтом, знакомились с различными знаниями, добытыми египтянами. В частности, они познакомились с наукой о землемерии, которая возникла при восстановлении границ земельных участков в долине Нила.

Не случайно, что само слово «геометрия» в переводе с греческого означает землемерие. По-гречески земля - «геос», а измеряю - «метрио».

Слово «геометрия» недолго сохраняло свое первоначальное значение — измерение земли. Скоро содержание этой новой дисциплины стали понимать в более широком, привычном нам смысле.

Отцом геометрии принято считать греческого купца и философа Фалеса из города Милета. Греческие ученые Фалес, Пифагор, Платон, Демокрит, Гиппократ, Никодим, Евдокс, Аристотель, Минехм и др., позаимствовав знания у египтян, дополнили и уточнили их. Они впервые осознали, что одни геометрические утверждения можно получать из других с помощью рассуждений. Такие рассуждения в математике принято называть доказательствами.

По мере накопления новых результатов перед греческими учеными встала задача систематизировать эти результаты, свести их вместе и написать учебник. Эту гигантскую работу успешней

Рис. 1.79

Древнегреческие ученые считали, что математические дисциплины играют в образовании человека центральное место. Известно, что хорошее знание геометрии было обязательным требованием при поступлении в Академию, основанную философом Платоном. На ее воротах была надпись: «Не знающий геометрии да не войдет в Академию».

А в одной из дошедших до нас легенд говорится о том, как царь Птолемей спросил Евклида, нет ли в геометрии более легкого и короткого пути, чем его «Начала». На что ученый ответил: «В геометрии нет царских дорог».

других сумел выполнить александрийский геометр Евклид, живший в IV—III вв. до н. э. Евклид написал учебник «Начала», состоящий из 13 книг. Составленные им «Начала» систематически излагают геометрические результаты, которые почти полностью охватывают содержание современных школьных учебников геометрии.

Дальнейшее развитие геометрии в Греции связано с именами Архимеда, Аполлония, Менелая, Птолемея...

3. Сколько сторон у поверхности? Всегда ли наши геометрические представления, сформировавшиеся с помощью органов чувств, являются верными? Оказывается, нет. Чтобы убедиться в этом, попытаемся ответить на такой, казалось бы, вообще бессмысленный вопрос: «Сколько сторон у поверхности?»

Весь наш жизненный опыт говорит о том, что у всякой поверхности две стороны. В самом деле, у любого листа бумаги — простейшей модели поверхности — две стороны. Две стороны — внешняя и внутренняя — у мяча или воздушного шара. Вы сами приведете множество примеров, демонстрирующих, что у поверхности две стороны.

Однако кроме двусторонних поверхностей существуют еще и односторонние. Просто наш повседневный опыт пока ограничен. Чтобы убедиться в этом, возьмем прямоугольную полоску бумаги (рис. 1.80). Склеим эту полоску так, чтобы точка А совместилась с точкой Д а точка В — с С. Получится кольцо или, как скажут математики, цилиндрическая поверхность (рис. 1.81). «Какая же это односторонняя поверхность?» — спросите вы. Действительно, у кольца тоже две стороны — внешняя и внутренняя.

Рис. 1.80

Попробуем склеить полоску иначе. Перед склеиванием повернем ее концы так, чтобы точка А совместилась с точкой С, а точка В — с точкой D (рис. 1.82). Полученная при этом поверхность называется листом Мебиуса, или лентой Мебиуса. Это название связано с именем немецкого математика и астронома А.Ф. Мебиуса (1790—1868), который впервые обратил внимание на удивительные свойства полученной поверхности. Познакомимся и мы с этими свойствами.

Попробуем сначала покрасить лист Мебиуса. Начнем, например, окраску с места склейки. Если все время непрерывно двигать кисть по ленте в одном направлении, то вся лента Мебиуса будет окрашена. Это говорит о том, что рассматриваемая поверхность имеет только одну сторону (рис. 1.83).

Край поверхности, полученной после склеивания полоски в кольцо, состоит из двух замкнутых линий (рис. 1.81). Если выбрать точку на краю листа Мебиуса и совершить по нему новое непрерывное путешествие, мы опять вернемся в исходную точку. Значит, у листа Мебиуса край — только одна замкнутая линия.

Этим непривычные свойства листа Мебиуса не исчерпываются. Если разрезать кольцо по всей его длине так, как показано на рисунке 1.84, а, то получится два новых кольца (рис. 1.84, б).

Рис. 1.81

Рис. 1.82

Рис. 1.83

Рис. 1.84

Если подобным образом разрезать лист Мебиуса, то мы опять увидим, что обманулись в своих ожиданиях: вместо двух поверхностей получится только одна. Новая поверхность, в отличие от исходного кольца Мебиуса, будет уже перекручена дважды (рис. 1.85). Сколько сторон у этой поверхности?

Рис. 1.85

Рекомендуется продолжить наши исследования и аналогичным образом разрезать полученную дважды перекрученную ленту. Сколько поверхностей и какие поверхности при этом получаются?

Рассмотренный пример показывает, что наш повседневный геометрический опыт может иной раз и подвести. Поэтому примеры, демонстрирующие несовершенство наших зрительных восприятий и обыденных представлений, будут приводиться и в конце других глав пособия.

§ 5. Геометрические досуги

Каждая глава будет заканчиваться параграфом «Геометрические досуги». В этом параграфе будут даваться занимательные задачи и задачи повышенной трудности, геометрические игры, головоломки. Сегодня гостями «Геометрических досугов» будут Веселые человечки со своими задачами.

1. Петрушка для математического вечера составил ребус, в котором зашифровал четыре геометрических понятия. Какие это понятия (рис. 1.86)?

2. Чиполлино решил высадить 10 кустиков цветочной рассады на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке росло по 4 кустика. Можно ли это сделать (рис. 1.87)?

3. На прямой отмечены 100 точек. Сколько лучей они на ней определяют (рис. 1.88)?

4. Изучая картонную коробку, Незнайка заявил:

а) через любую точку проходит только 3 плоскости,

б) через любую прямую проходит только две плоскости. Прав ли он (рис. 1.89)?

Рис. 1.86

Рис. 1.87 Рис. 1.88

Рис. 1.89

Рис. 1.90

5. В Клубе Веселых Человечков сломались волшебные часы (отпали стрелки). Помоги Самоделкину отремонтировать эти часы. Их стрелки можно закрепить только в том положении, когда они находятся на одной прямой. Кроме того, эта прямая должна делить циферблат часов на две части так, чтобы суммы чисел в этих частях были равны (рис. 1.90).

6. Торт украшен 7 розами. Может ли Дюймовочка с помощью трех прямых разрезов разделить его для своих друзей на 7 кусков так, чтобы на каждом куске было по розе (рис. 1.91)?

7. Помоги Карандашу разделить фигуру лунного серпа на 6 частей, проведя всего только две прямые (рис. 1.92).

8. Объясни Буратино, почему табурет, у которого ножки имеют неодинаковую длину, стоит на трех ножках, а четвертая висит в воздухе (рис. 1.93).

Рис. 1.91

Рис. 1.92 Рис. 1.93

Глава II

Измерение длин. Расстояние между двумя точками

§ 6. Сравнение отрезков и их измерение

1. Сравнение отрезков. Пусть нам требуется выяснить, какой из двух карандашей длиннее. Сравним их, прикладывая друг к другу, и получим требуемый ответ (рис. 2.1 ). Таким же образом можно выяснить, кто в вашем классе самый высокий, а кто самый низкий (рис. 2.2).

Представим теперь, что требуется сравнить отрезки AB и CD, изображенные на рисунке 2.3.

Непосредственно наложить эти отрезки друг на друга невозможно.

Поступим следующим образом. Согнем лист бумаги и отметим на полученной при этом прямой точку Aj. Приложим линию сгиба к отрезку AB так, чтобы точка Л/ совместилась с точкой Л/, а точка В лежала на сгибе.

Точку линии сгиба, с которой совместилась точка В, обозначим Bt (рис. 2.4, а). Отрезки AB

Рис. 2.3

Рис. 2.1

Рис. 2.2

и AjBj будут равны. Сравним сейчас отрезок A jBj с отрезком cd (рис. 2.4, б). Это уже можно сделать с помощью наложения. Здесь отрезок AjBj выступает в качестве вспомогательного средства, позволяющего провести сравнение заданных отрезков.

Этим способом сравнения в старину часто пользовались крестьяне, которые отправлялись в город на базар. Не зная размеров своих домочадцев, чтобы купить им обновки, они снимали необходимые мерки. Так можно поступать и теперь. Например, не зная размера ноги человека, который сам не может отправиться в магазин, можно снять с его ноги мерку (рис. 2.5). Обувь подбирается с помощью этой мерки.

Сравнение отрезков AB и cd можно также провести с помощью чертежного инструмента, который называется циркулем. Одну ножку циркуля установим в конец А отрезка AB, а вторую — в конец В (рис. 2.6, а). Затем, не сдвигая и не раздвигая ножки циркуля, перенесем его на отрезок cd. При этом конец первой ножки устанавливается в точке С, а конец второй — на луче cd (рис. 2.6, б). Здесь мы с помощью циркуля выполняем, по существу, наложение отрезка AB на отрезок cd (рис. 2.6, б).

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Если конец второй ножки совместится с точкой Д то отрезки AB и CD будут равны. Это записывается следующим образом: [AB] = [ CD].

Если конец второй ножки окажется между точками С и Д то отрезок AB короче отрезка CD. Этот случай имеет место на рисунке 2.6. При этом также говорят, что отрезок CD длиннее отрезка AB. Если же точка D окажется между точкой С и концом второй ножки циркуля, то отрезок CD будет короче отрезка AB.

Задачи и упражнения

55. С помощью циркуля найди на рисунке 2.7: а) самый короткий отрезок, б) самый длинный отрезок, в) равные отрезки.

Рис. 2.7

56. Сравни с помощью циркуля отрезки AB, ВС и АС на рисунках 2.8.

Рис. 2.8

2. Середина отрезка. На рисунке 2.9 точка С отрезка AB делит его на два равных отрезка, то есть [АС] = [СВ]. Эту точку С называют серединой отрезка AB.

Рис. 2.9

Пусть на листе бумаги изображен отрезок AB. Как с помощью перегибания бумаги найти его середину? Для этого согнем лист так, чтобы отрезок AB лежал на линии сгиба. Затем согнем лист бумаги таким образом, чтобы точка А

Рис. 2.10

совместилась с точкой В. Развернув лист бумаги, мы получим искомую точку С — середину отрезка AB (рис.2.10). Ею будет точка пересечения прямых, по которым прошло перегибание. В самом деле, в результате перегибаний мы совмещали отрезки АС и ВС с помощью наложения. Значит, [АС] = [СВ].

Аналогичным образом с помощью перегибания мы обычно ищем середину веревки или нитки (рис.2.11 ).

Рис. 2.11

Задачи и упражнения

57. С помощью циркуля проверь, является ли точка С серединой отрезка AB, а точка К— серединой отрезка MN(рис. 2.12).

58. Отметь на листе бумаги две точки и соедини их отрезком. С помощью перегибания листа бумаги найди середину этого отрезка.

59. Возьми нитку. Не прибегая к измерениям, разрежь ее пополам.

60. Точки Л/, BjhCj являются серединами отрезков ВС, АС и AB (рис. 2.13). С помощью циркуля найди на рисунке равные отрезки.

61. С помощью циркуля проверь, что отрезки АС и BD на рисунке 2.14 равны и в точке пересечения делятся пополам.

Рис. 2.12

Рис. 2.13

62. С помощью циркуля проверь, равны ли отрезки АС и BD на рисунке 2.15? Является ли точка О серединой этих отрезков?

63. Перечерти рисунок 2.16 в тетрадь. С помощью линейки проверь, лежит ли точка пересечения прямых AB и CD на прямой, проходящей через середины отрезков AD и ВС.

64. Перечерти рисунок 2.17 в тетрадь. Найди середины отрезков KL, LM и КМ. Сделай циркулем проверку.

3. Измерение отрезков. Ясно, что не всякие два предмета можно сравнить способами, рассмотренными в пункте 1. Иногда проводить такое сравнение будет неудобно и трудоемко. Нельзя с помощью непосредственного наложения определить, например, какой из двух мостов длиннее. Это, конечно, можно сделать при помощи натянутой веревки (мерки). А если реки, через которые перекинуты мосты, достаточно широкие, да еще расположены в разных концах света?

Рис. 2.14

Рис. 2.15

Рис. 2.16 Рис. 2.17

На практике используют так называемый процесс измерения. Этот процесс позволяет как бы зашифровать информацию о размерах предметов с помощью чисел. При измерении вместо мерки каждому предмету ставится в соответствие некоторое число, называемое его длиной.

Измерение отрезков основано на их сравнении с некоторым вспомогательным отрезком, принятым за единицу измерения.

Выберем, например, в качестве единицы измерения карандаш и будем с его помощью измерять длину доски или рейки (рис. 2.18). Пусть карандаш укладывается на рейке ровно 6 раз. Это означает, что длина рейки равна шести карандашам.

Будет ли такая информация понятна тем, кто не участвовал в процессе измерения? Скорее всего, нет. Каждый из них будет представлять карандаш по-своему: кто-то целым неочиненным, кто-то наполовину использованным. Поэтому единицу измерения надо выбирать так, чтобы у всех о ней складывались однозначные представления.

В качестве такой единицы выбран метр. Первоначально в 1791 году за метр приняли отрезок равный 1/40 ООО ООО части земного меридиана. Был изготовлен эталон метра — металлический брус из сплава иридия и платины. На этот брус нанесены два штриха, соответствующие концам отрезка длиной в 1 метр. Указанный эталон хранится в Международном Бюро мер и весов во Франции. В других странах хранятся копии этого эталона.

На практике часто приходится пользоваться другими, более мелкими единицами измерения длины: дециметром, сантиметром, миллиметром. В одном метре — 10 дециметров, а в одном дециме-

Рис. 2.18

тре — 10 сантиметров и, значит, в одном метре — 100 сантиметров. В одном сантиметре — 10 миллиметров. Это можно записать так:

В соответствии с эталонами изготовляются различные измерительные инструменты. В школе мы обычно будем пользоваться измерительной линейкой (линейкой с делениями).

Как происходит процесс измерения? Как устроена линейка? Как ею пользоваться?

На рисунке 2.19 изображен отрезок ОЕ, равный 1 см. Этот отрезок ровно 7 раз укладывается на отрезке AB, изображенном на том же рисунке. В этом случае говорят, что длина отрезка AB равна 7 сантиметрам. Длину отрезка AB будем обозначать \АВ\. В нашем примере \АВ\ = 7 см.

Может оказаться, что после откладывания отрезка ОЕ на отрезке AB целое число раз получится остаток, который короче отрезка ОЕ. На рисунке 2.20 отрезок ОЕ укладывается на AB 5 раз и остается некоторый остаток. Можно сказать, что длина AB больше 5 см, но меньше 6 см.

Чтобы уточнить результат измерения, сантиметр разделим на 10 равных частей. Десятая часть сантиметра, как мы уже говорили, называется миллиметром. Из рисунка видим, что миллиметр

Рис. 2.19

Рис. 2.20

укладывается в остатке ровно 4 раза. Это значит, что длина отрезка AB равна 5 см и 4 мм\ \АВ\ = 5 см 4 лш.

Так как 1 см = 10 мм, то Ь см = 50 .лш. Поэтому длина отрезка AB в миллиметрах запишется так: \АВ\ = 54 мм.

А как записать длину отрезка AB в сантиметрах? Поскольку . Следовательно,

Замечание. Для записи смешанных чисел и правильных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т.д. условились употреблять более простое правило. Сначала пишут целую часть (для правильной дроби она равна нулю), затем запятую и числитель дробной части. При этом говорят, что число записано в виде десятичной дроби.

В нашем примере результат измерения запишется следующим образом: \АВ\ = 5,4 см. Эта запись читается как обычно: «Длина отрезка AB пять целых четыре десятых сантиметра».

На измерительной линейке через 1 мм нанесены штрихи — деления. Каждый десятый штрих является более длинным. Таким образом, длинные деления нанесены через 1 см. Против этих делений стоят цифры 0, 1,2, ... Эти цифры показывают, сколько сантиметров укладывается в измеряемом отрезке.

Вспомним, как производится измерение с помощью линейки. Для измерения длины некоторого отрезка PQ точку Р совмещают с тем делением линейки, против которого стоит цифра 0. При этом край линейки направляют по отрезку и смотрят, против какого деления окажется точка Q. Число против этого деления и покажет длину измеряемого отрезка.

На рисунке 2.21 длина отрезка PQ равна 3 см 4 мм, или 34 мм, или 3,4 см. Если длину отрезка нужно измерить в сантиметрах, то пишем: \PQ\ = 3,4 см, если в миллиметрах, то — \PQ\ = 34 мм.

Может оказаться, что миллиметр тоже не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет с от-

резком PQ на рисунке 2.22. Здесь сантиметр укладывается на отрезке 3 раза с остатком, а миллиметр укладывается в остатке 4 раза, но вновь с остатком. В этом случае говорят, что длина отрезка PQ приближенно равна 3,4 см. Пишут: \PQ\ ~ 3,4 см.

Для более точного измерения длины этого отрезка придется миллиметр также разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения.

Новая единица измерения будет составлять одну сотую часть сантиметра. Поэтому, например, запись \MN\ = 15,24 см читается так: «Длина отрезка MN равна пятнадцать целых двадцать четыре сотых сантиметра». Это означает, что в измеряемом отрезке MN сантиметр укладывается 15 раз с остатком. В полученном остатке миллиметр укладывается 2 раза с новым остатком. Наконец, в последнем остатке 4 раза укладывается десятая часть миллиметра.

Мысленно процесс измерения длины любого отрезка можно продолжить в случае необходимости и дальше. На каждом новом

Рис. 2.21

Рис. 2.22

этапе мы будем измерять его длину со все большей степенью точности. На практике же, как правило, длины отрезков измеряются приближенно. Точность измерений обычно диктуется самой практической задачей. Ясно, например, что мы не будем измерять расстояние от Самары до Москвы с точностью до сотых долей миллиметра.

Если два отрезка равны, то единица, с помощью которой проводится измерение их длин, и ее части укладываются на этих отрезках одинаковое число раз. Поэтому имеет место следующее свойство измерения длин отрезков: равные отрезки имеют равные длины. Наоборот, если равны длины двух отрезков, то равны и сами эти отрезки. Это позволяет сравнивать отрезки, не прибегая к процессу наложения.

В том случае, когда один из двух отрезков короче другого, его длина будет меньше, чем длина второго отрезка. Поэтому, зная длины отрезков, мы без наложения можем сказать, какой из отрезков является более коротким, а какой — более длинным. Так, зная рост учеников вашего класса, мы можем сразу указать самого высокого и самого низкого.

Пусть С — внутренняя точка отрезка AB (рис. 2.23). Эта точка делит отрезок на два отрезка АС и СВ. Из рисунка видим, что \АС\=2 см, |Cß|=2,6 см, \АВ\= 4,6 см. Поэтому |ЛС|+|СЯ| = АВ. Рассмотренный пример иллюстрирует еще одно свойство измерения длин отрезков: если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.

Рис. 2.23

В заключении заметим, что за единицу измерения можно принять не только метр (или его части — дециметр, сантиметр, миллиметр), но и любой другой произвольный отрезок. (Вспомни карандаш, с помощью которого мы измеряли длину рейки.) Новая единица также позволяет измерить любой отрезок, то есть сопоставить с этим отрезком некоторое положительное число, которое и будет длиной измеряемого отрезка в новых единицах измерения.

Задачи и упражнения

65. Измерь с помощью линейки отрезки на рисунке 2.24. Запиши их длины: а) в миллиметрах, б) в сантиметрах.

Какой из отрезков: а) самый короткий, б) самый длинный? Запиши цепочку неравенств из длин измеренных отрезков: а) в миллиметрах, б) в сантиметрах.

66. Сравни на глаз отрезки на рисунке 2.25 и укажи, какой из них короче. Сделай проверку с помощью измерения.

67. Начерти отрезок AB и отметь на нем точку С. Сколько всего отрезков получилось теперь на чертеже? Измерь все эти отрезки и сравни их длины.

68. Начерти прямую и отметь на ней точки А и В. С помощью измерительной линейки отметь на прямой точки С и D так, чтобы

Рис. 2.24 Рис. 2.25

точка С являлась серединой отрезка AB, а точка В — серединой отрезка AD.

69. Аккуратно согни лист бумаги. Используя измерительную линейку как эталон, нанеси на линии сгиба шкалу и сам изготовь новую измерительную линейку.

70. Начерти отрезки длиной: а) 4 см; б) 5,2 см; в) 64 мм; г) 1 см; д) 10 мм; е) 1 дм; ж) 10 см; з) 1,2 дм.

71. Вставь вместо точек нужное число:

72. Заполни пропуски:

73. Вырази:

а) в дециметрах 1,5 ж; 3,7 ж; 2,51 м;

б) в сантиметрах 6,3 дм; 1,32 дм; 2,04 дм; 7,5 м; 3,21 м;

в) в миллиметрах 12,3см; 6,2\дм; 4,221 ж; 2,09 ж; 4,008 м.

74.Сравни и поставь вместо звездочки знак

75*. Отметь в тетради точку О и начерти луч с началом в этой точке. Отметь на луче точки А, В, С и D так, чтобы \АВ\ = 3 см;

\0в\ = 6 см; \ВС\ = 2,5 см; \0d\ = \0а\ + \0в\ + \0с\\ точка В лежит между точками Aw С, г А — между точками О и В.

76. Начерти прямую и отметь на ней точку О. Изобрази на прямой точку Р так, чтобы \ОР\ = 4,1 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой?

77. Начерти отрезок MN длиной 7 см 5 мм. Отметь на этом отрезке точку К так, чтобы \МК\ = 3,4 см. Вычисли, чему равна длина отрезка KN. Проверь полученный результат с помощью измерения.

78. Точка В лежит между точками А и С. Найди длину отрезка:

79. Точки К, L, M лежат на одной прямой. Известно, что \КЦ = 7 м, \LM\ = 2,5 м. Какова длина отрезка КМ?

80. Лежат ли точки Я, Q и R на одной прямой, если

81. Найди длину отрезка AB на рисунке 2.26

Рис. 2.26

82. Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 36 см, а точка С сама является серединой отрезка AD. Найди длину отрезка BD.

83. Миша измерил длину стола с помощью карандаша и выяснил, что она равна 10 карандашам. Поля взяла другой карандаш и

тоже провела измерения. Поля заявила: «Нет, длина стола равна 12 карандашам». Кто из них прав?

84. Артем принес измерительную линейку и измерил ею длину стола, о котором говорилось в предыдущей задаче. Оказалось, что длина стола 1,2 дм. Найди длину карандаша Миши и длину карандаша Поли в сантиметрах. Чей карандаш длиннее? На сколько сантиметров длиннее?

85. Антон измерил ширину клетки в тетради по математике. Она оказалась равной 5 мм. Антон сразу догадался, что ширина двух клеток равна 1 см. Значит, рассуждал он, на клетчатой бумаге можно без измерительной линейки строить отрезки, длины которых выражаются целым числом сантиметров или кратны 5 мм. Построй от руки и ты отрезки длиной: 3 см\ 7 см; 55 мм; 45 мм; 6,5 см; 1 дм; 1,3 дм.

86*. Как можно построить отрезок заданной длины с помощью линейки, конец которой отломан?

4. Ломаная. Длина ломаной. Многоугольник. Построим на плоскости отрезок AtA2. Пусть точка А2 является концом нового отрезка А2А3, а точка А3 — концом отрезка А3А4 (рис. 2.27). Полученная при этом линия называется ломаной. (Сразу представляется тонкая рейка, которая надломлена в нескольких местах) (рис. 2.28). Ломаную, изображенную на рисунке 2.27, будем обозначать А1А2А3А4. Точки Ah А2, А3, А4 называют вершинами ломаной, а отрезки А{А2, А2А3, А3А4 — звеньями ломаной. Два звена, имеющие общую вершину, называют смежными, а звенья, не имеющие общих вершин, — несмежными. Точки Л/ и А4 называют также концами ломаной.

Рис. 2.27

Рис. 2.28

Построенная ломаная состоит из трех звеньев. Аналогично можно построить ломаную, имеющую любое конечное число звеньев. Эта фигура составляется из отрезков так, что один из концов первого отрезка совпадает с концом второго, другой конец второго — с концом третьего и т. д. Так, например, ломаная на рисунке 2.29 составлена из пяти отрезков, то есть имеет пять звеньев. Эта ломаная обозначается ABCDEF.

Длиной ломаной называется сумма длин всех ее звеньев. Если концы ломаной совпадают, то она называется замкнутой. Ломаная AiA2A3A4A5A6Aj на рисунке 2.30 является замкнутой. Звенья AjA2hA tA6 этой ломаной также будут смежными.

Из сказанного следует, что, установив карандаш в одном из концов ломаной, можно обвести всю ломаную и добраться до другого конца, не разу при этом не проходя по одному звену дважды. Если ломаная является замкнутой, то подобный маршрут можно проложить из любой ее вершины. Таким образом, не всякая фигура, составленная из отрезков с примыкающими концами, является ломаной. Например, фигуры на рисунках 2.31 ломаными не являются. Эти фигуры нельзя непрерывно обойти, не проходя хотя бы по одному отрезку дважды.

Рис. 2.29

Рис. 2.30

Рис. 2.31

Ломаная называется простой, если:

а) ее смежные звенья не лежат на одной прямой;

б) несмежные звенья не имеют общих точек;

в) каждая вершина является общей вершиной не более чем двух звеньев.

Ломаные на рисунках 2.27, 2.29 и 2.30 простые, а ломаные на рисунках 2.32 — нет. Объясни, почему.

Рис. 2.32

Простая замкнутая ломаная называется многоугольником. Происхождение этого названия будет объяснено позднее.

Примером многоугольника является замкнутая ломаная на рисунке 2.30. Этот многоугольник имеет шесть вершин. Его называют шестиугольником и обозначают A jA2A3A4A5A6, не используя в записи точку А { дважды.

В зависимости от числа вершин многоугольника различают: треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д. Звенья ломаной-многоугольника принято называть сторонами многоугольника.

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

Не всякая замкнутая ломаная является многоугольником. Так, замкнутая ломаная на рисунке 2.32, в, многоугольником не является. Ее несмежные звенья AtA4 ,А2А3 имеют общую точку и, значит, ломаная не является простой.

Замечание. Мы будем рассматривать ломаные, все звенья которых лежат в одной плоскости. Существуют, однако, пространственные ломаные и многоугольники. У этих линий не все звенья лежат в одной плоскости. Примеры пространственных линий приведены на рисунках 2.33. На рисунке а это ломаная AjA2A3A4l а на рисунке б — замкнутая ломаная ABCDA. Вторая ломаная является пространственным многоугольником.

Рис. 2.33

Задачи и упражнения

87. Какие из линий, изображенных на рисунках 2.34, являются: а) ломаными, б) простыми ломаными, в) замкнутыми ломаными, г) многоугольниками?

Рис. 2.34

88. Сделай необходимые измерения и найди длину ломаной, изображенной на рисунке 2.35.

Рис. 2.35

89. Ломаная имеет 6 звеньев. Каждое звено этой ломаной имеет длину 108 см. Найди длину всей ломаной.

90. Начерти в тетради незамкнутую ломаную AtA2A3A4A5A6. Вычисли длину этой ломаной. Начерти отрезок A tA6 и сравни его длину с длиной ломаной.

91. Начерти в тетради треугольник ABC. Найди длины его сторон и периметр. Обозначь длину стороны ВС буквой а: \ВС\ = а, длину стороны АС буквой Ь: \АС\ = b и длину стороны AB — буквой с: \АВ\ = с. Заполни следующую таблицу:

Сумма длин двух сторон

а + Ъ =

а + с =

b + с =

Длина третьей стороны

с =

Ь =

а =

Сравни длину стороны треугольника с суммой длин двух других его сторон. Какой можно сделать вывод? Запиши ответ с помощью неравенств.

92. Выполни задания задачи 91 для треугольника, изображенного на рисунке 2.36.

93. Назови многоугольники, изображенные на рисунке 2.37.

Сделай необходимые измерения и найди их периметры.

94. Начерти пятиугольник ABCDE. Сделай необходимые измерения и найди его периметр.

Рис. 2.36

Рис. 2.37

95. Каждая сторона многоугольника имеет длину 23 м. Найди периметр этого многоугольника, если он является: а) треугольником, б) шестиугольником, в) десятиугольником.

96. Сколько вершин и сколько сторон у треугольника, четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника?

97. Какое наименьшее число сторон может иметь многоугольник?

98. Нарисуй четырехугольник abcd. На сторонах ab, cd выбери по точке и соедини их отрезком так, чтобы получилось:

а) два новых четырехугольника,

б) два треугольника,

в) треугольник и четырехугольник.

99*. Построй четырёхзвенную ломаную, которая проходит через все точки, изображенные на рисунке 2.38.

Рис. 2.38

5. Соотношения между длинами сторон треугольника. Пусть у нас имеется три рейки. Попробуем сложить треугольник, для которого эти рейки являются сторонами (рис. 2.39).

Рис. 2.39

На рисунке а это получилось, а на рисунке б — нет.

Попытаемся выяснить, всегда ли задача имеет решение. Это нам поможет сделать прибор, который можно изготовить с помощью резинки и двух планок детского конструктора, соединенных с помощью винта и гайки (рис. 2.40). Резинка стягивает свободные концы планок.

Точку соединения планок обозначим буквой Л, а точки соединения планок с резинкой — буквами В и С.

Отрезки AB и АС имеют постоянные длины, обозначим их через сиЬ соответственно: \АВ\ = с, \АС\ = Ь. Пусть для определенности с < Ь.

Когда планки поворачиваются вокруг точки Л, резинка меняет свою длину.

Рис. 2.40

Поэтому за счет растяжения и сокращения резинки длина третьего отрезка ВС будет переменной. Обозначим ее через а: \ВС\ = а.

Резинка будет иметь наибольшую длину в том случае, когда точки А, В и С будут расположены на одной прямой.

Точка А при этом будет лежать между точками В и С (рис. 2.41 ). В этом случае длина а резинки будет равна сумме длин планок: а + b = с. Однако, здесь отрезки длиной a, bu с треугольника не образуют.

Чтобы получить треугольник, повернем планки вокруг точки А (рис. 2.42). Резинка при этом сократится, то есть длина ее уменьшится. Теперь уже a, b и с будут связаны неравенством: а < b + с. Если продолжать поворачивать планки, то длина резинки будет постепенно сокращаться (рис.2.43).

Наконец, наступит момент, когда точки Л,В и С вновь окажутся на одной прямой (рис. 2.44). Теперь уже точка В лежит между

Рис. 2.41

Рис. 2.42 Рис. 2.43

точками /! и С. При этом длина резинки станет наименьшей и равной разности длин планок: а = b — с.

Отсюда следует, что в тех случаях, когда прибор имеет форму треугольника, длина резинки заключена между b — с и b + с. b — с < а < b + с.

Поэтому: 1 ) длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон, 2) длина любой стороны треугольника больше разности длин двух других сторон.

Вернемся к задаче, которая поставлена в начале этого пункта. В том случае, когда длина какой-нибудь из реек больше или равна сумме длин двух других, треугольник сложить нельзя. Такая ситуация имеет место на рисунке 2.39, б.

Рис. 2.44

Задачи и упражнения

100. Существует ли треугольник со сторонами: а) 2 см, Зсми 5 см; б) 1 ж, 1,5 ж и 3 ж?

101*. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой /. На прямой / найди такую точку М, чтобы сумма длин отрезков AM и ВМ была наименьшей.

Решение. Соединим точки А и В отрезком. Так как эти точки лежат по разные стороны от прямой /, то отрезок AB пересекает прямую / в некоторой точке M (рис. 2.45). При этом

\АМ\ + \МВ\ = \АВ\. (1)

Найденная точка M будет искомой. В самом деле, если N — любая точка прямой /, отличная от М, то из треугольника ABN

Следовательно, в силу равенства ( 1 ),

6. Дуга. Длина дуги. Рассмотрим произвольную ограниченную линию с концами А и В (рис. 2.46). Такую линию называют дугой. Отрезок является примером дуги.

Дуга, как и отрезок, имеет определенную протяженность. Глядя на рисунок 2.47, а любой из нас скажет, что нижняя дуга короче, чем верхняя. Почему мы это говорим? Опираясь на свой жизненный опыт, мы мысленно выпрямляем эти дуги и сравниваем получившиеся отрезки. На рисунке 2.47, б мысленное сравнение провести уже сложно.

Во втором случае можно воспользоваться ниткой или тонкой проволокой—меркой, которая аккуратно накладывается сначала на первую, а затем на вторую дуги. Такое сравнение, конечно, также не является достаточно точным. Объясни, почему.

Этот же способ можно использовать для того, чтобы приближенно находить длину дуги. Для этого конец нитки совмещаем с

Рис. 2.45

Рис. 2.46

Рис. 2.47

одним из концов дуги. Аккуратно накладываем нить на дугу (рис. 2.48, а). Отмечаем на нитке точку, которая соответствует второму концу дуги. Дугу-нить распрямляем в отрезок и измеряем его длину с помощью линейки (рис. 2.48, б). Найденная длина отрезка и будет длиной измеряемой дуги.

Рис. 2.48

Когда не требуется знать длину дуги достаточно точно, этим способом пользуются на практике.

Математически строгое определение длины дуги ты узнаешь в старших классах. Сейчас мы приведем лишь некоторые рассуждения, которые лежат в основе этого определения.

Отметим на дуге с концами А и В несколько точек (например, Ah А2, А3) и последовательно соединим их отрезками (рис. 2.49, а). При этом мы получим ломаную AAjA2A3B. Эту ломаную называют вписанной в нашу дугу. Длина такой ломаной приближенно равна длине дуги.

Рис. 2.49

Дугой может быть, например, маршрут предстоящего похода на топографической карте (рис. 2.50). Найти длину маршрута можно следующим образом. Ножки циркуля установим так, чтобы они определяли единичный отрезок в 1 см. Одну из ножек циркуля совместим с концом дуги. Вторую ножку циркуля поместим на дугу и отметим соответствующую точку. Не меняя раствора циркуля, будем последовательно отмечать на дуге новые точки. Эти точки будут вершинами вписанной в дугу ломаной. Все звенья этой ломаной, быть может, за исключением последнего, имеют одинаковую длину — 1 см. Число отмеченных точек будет приближенно равно длине дуги в сантиметрах. Теперь, зная масштаб карты, легко найти истинную длину маршрута.

Рассмотренный процесс измерения дуги можно сравнить с измерением расстояний шагами.

Вернемся к дуге на рисунке 2.49, а. Увеличим число вершин, а значит, и звеньев вписанной в эту дугу ломаной. Выберем, например, на дуге еще по одной точке между имеющимися (рис. 2.49, б). Построим новую ломаную, которая последовательно соединит все отмеченные точки. Длина этой ломаной будет определять длину дуги уже более точно. Этот процесс можно мысленно продолжать неограниченно. Длина каждой вновь получаемой ломаной будет определять длину дуги со все более высокой степенью точности. Длины ломаных как бы стремятся к длине дуги.

Замечание. Можно найти длину замкнутой линии. Как это сделать, мы покажем в 6 классе на примере окружности.

Рис. 2.50

Задачи и упражнения

102 .С помощью нитки и измерительной линейки найди приближенное значение длины дуги, изображенной на рисунке 2.51.

Рис. 2.51

103. Установи раствор циркуля в 1 см. Найди приближенное значение длины дуги из задачи 102 с помощью циркуля. Сравни полученные результаты.

Проверь себя сам

1. Вставь в текст пропущенные слова.

Равные отрезки имеют... длины. Если длины двух отрезков равны, то равны и сами ... . Если точка ... отрезок на ... отрезка, то ... всего отрезка ... длин этих отрезков.

2. Закончи предложение:

точка, которая делит отрезок на два равных отрезка, называется...

3. Опиши своими словами, что такое:

а) ломаная; б) вершина ломаной; в) смежные звенья ломаной; г) несмежные звенья ломаной; д) концы ломаной.

4. Прочти, вставляя пропущенные слова.

Если ... ломаной совпадают, то она называется ... . Ломаная называется простой, если: а) ее смежные звенья ... ; б) несмежные звенья не имеют ... ; в) каждая вершина является общей вершиной не более ,чем ....

5. В левой рамке стоит начало предложения, а в правой — его различные окончания. Когда начало и окончание вместе образуют верное утверждение?

Длина любой стороны треугольника

1. больше суммы длин двух других сторон.

2. не больше разности длин двух других сторон.

3. меньше суммы длин двух других сторон.

4. не меньше разности длин двух других сторон.

5. больше разности длин двух других сторон.

6. не больше суммы длин двух других сторон.

§ 7. Расстояние между двумя точками

1. Что такое расстояние между двумя точками? На рисунке 2.52 два домика соединены тремя дорогами. Первая из них представляет собой ломаную, вторая — отрезок, а третья — произвольную линию. Если нам нужно быстрее добраться от одного домика к другому, то мы из трех дорог выберем самую короткую. Какую?

Ты наверняка выберешь вторую и будешь прав.

Проведем маленький эксперимент. Воткнем в доску две булавки. За одну из них, Л, закрепим конец нитки, а второй свобод-

Рис. 2.52

ный конец нитки поместим в точке в (рис. 2.53, а). Эта нитка будет служить моделью дуги с концами в точках а и в.

Потянем нитку за свободный конец так, чтобы она скользила по булавке в. При этом часть нитки между булавками будет постепенно укорачиваться. Наконец, эта часть займет положение отрезка с концами а и в (рис. 2.53, б). Это значит, что отрезок ab короче любой исходной линии, выбранной указанным способом.

Рис. 2.53

Поэтому отрезок и определяет самый короткий путь между двумя домиками на рисунке 2.52. Длину этого отрезка естественно принять за расстояние между домиками.

Расстоянием между двумя точками на плоскости называется длина отрезка с концами в этих точках. Аналогично определяется расстояние между двумя точками в пространстве.

2. Еще о единицах измерения длины. Мы уже вспомнили некоторые единицы измерения длины. Это метр, дециметр, сантиметр и миллиметр. Сантиметр и миллиметр применяются для определения размеров небольших предметов и измерения небольших расстояний. Для измерения размеров комнаты или спортивной площадки мы уже будем применять метр. Дециметр в практических измерениях обычно используется редко.

Использовать перечисленные единицы для измерения расстояний между населенными пунктами уже неудобно. Здесь применяется более крупная единица — километр, которая сокращенно обозначается км.

В мореплавании применяется другая единица — морская миля (обозначается м. миля): 1 м. миля = 1,852 км.

Единицы длины, используемые на Земле, в космосе применять уже неудобно. Астрономы измеряют расстояния световыми годами — длиной пути, который свет проходит за 1 год (1 св. год = 9463000000000 км). Кроме светового года в астрономии используются и другие единицы длины. Наша Земля находится от Солнца на расстоянии, приблизительно равном 150000000 км, которое свет проходит за 499 с. Это расстояние называется астрономической единицей и сокращенно обозначается а.е. Самая далекая планета нашей планетной системы Плутон находится от Солнца на расстоянии, приблизительно равном 39,75 а.е. Солнечная система — лишь одна из планетных систем нашей Галактики. Расстояния в галактиках принято измерять парсеками: 1 парсек (1 ас) = 30000000000000 км = 3,2 св. года = 206265 а.е. Размеры скоплений галактик измеряются мегопарсеками, то есть миллионами парсек.

Если мы будем изучать строение вещества, то нам придется оценивать размеры молекул, атомов и т. д. Здесь, наоборот, изучаемые объекты настолько малы, что пользоваться известными нам единицами снова становится неудобно. Опять требуются новые единицы. Одной из таких единиц является ангстрем (обозначение À ): 1 À = 0,00000000001 м.

Задачи и упражнения

104. Во сколько раз километр длиннее миллиметра?

105.Сколько километров в миллионе миллиметров?

106*. Железнодорожные станции А, В, С и D расположены так, что В и С лежат между А и D, а В — между Aw С. Расстояние от станции А до станции В вдвое меньше, чем расстояние от станции В до D. Найди расстояние от станции В до станции С, если расстояние от А до D равно 315 км, а от D до С — 54 км.

107*. Расстояние от Земли до звезды Ближайшая Центавра свет проходит за 4-^ года. Сколько километров до этой звезды?

108*. В книге 272 страницы, толщина книги 16 мм. Найти толщину одного листа этой книги. Какую толщину имела бы книга из такой же бумаги в миллион страниц?

109*. Отрезок, длина которого 18 см, произвольной точкой разделен на два отрезка. Найди расстояние между серединами этих отрезков.

110*. По краям шоссейных дорог установлены километровые столбы, на которых указано расстояние от начала шоссейной дороги до данного места. Сколько километров указано на столбе, находящемся посередине между столбами с надписями: 28 и 42, 53 и 105?

111*. На ступеньках лестницы записаны соотношения между единицами длины. Поднимись по лестнице вверх, заполнив пропуски десятичными дробями по следующему образцу: 1 мм = 0,01 м.

112*. Вырази в километрах и запиши десятичной дробью: 4 ж, 16ж, 8 см, 15 см, 3 мм, 27 мм, 135 мм, 12 ж 8 см, 5 км 634 ж 23 см.

113. Какое расстояние пройдет человек, сделав миллион шагов, если средняя длина его шага 0,75 м?

114. Будем считать, что каждый человек в шеренге занимает 0,4 ж. Какой длины будет шеренга, если выстроить в нее: а) всех учеников вашего класса, б) миллион человек?

115*. Долгое время для измерения малых расстояний использовалась единица длины, равная одной тысячной миллиметра. Эта единица называется микрон. Толщина паутины составляет примерно 5 микронов, а толщина человеческого волоса - 0,07 мм. Во сколько раз паутина тоньше волоса?

116*. В старину в России за одну из единиц длины принимали аршин, равный приблизительно 0,7112 ж. Другой единицей была верста, равная 1500 аршинам. Вырази длину версты: а) в метрах, б) в километрах.

117*. Глубина водоемов измеряется с помощью эхолота. Направляемый им звуковой сигнал доходит до дна, отражается и возвращается обратно к эхолоту. Эхолот измеряет полное время прохождения звука. Какова глубина водоема, если время, измеренное эхолотом, равно 0,12 с? Скорость звука в воде 1500 м/с.

Проверь себя сам

1. Вставь пропущенные слова. Расстоянием между двумя точками называется ... отрезка с концами в этих точках.

Рис. 2.54

§ 8. Материалы для дополнительного чтения

1. Измерительные инструменты. В различных областях практической деятельности человеку приходится измерять расстояния и размеры предметов с той или иной степенью точности. Для этого применяются различные измерительные инструменты.

В техническом черчении употребляется знакомая нам масштабная миллиметровая линейка. Портные пользуются клеенчатой лентой длиной в 1,5 ж, разделенной на сантиметры (рис. 2.55). В слесарном деле используют штангенциркуль (рис. 2.56), который позволяет измерять диаметры круглых тел с точностью до 0,1 мм. Однако часто и этой точности недостаточно. Тогда на помощь приходит микрометр (рис. 2.57). Столяр обычно пользуется складным метром, (рис. 2.58).

В геодезии при производстве топографических работ наиболее распространенными приборами для измерения расстояний служат стальные 20-метровые ленты (рис. 2.59), рулетки (рис. 2.60), оптические дальномеры. Иногда для приближенных измерений используют полевой циркуль — «ковылек» (рис. 2.61). Для выполнения высокоточных измерений применяют свето- и радиодальномеры.

Рис. 2.55 Рис. 2.56 Рис. 2.57

Рис. 2.58 Рис. 2.59 Рис. 2.60

Рис. 2.61

2. Из истории единиц длины. Чтобы передавать информацию о расстоянии от одного места до другого, о ширине реки или озера, о размерах полей, сооружений и различных предметов, человек очень рано вынужден был заняться измерениями. Первые единицы измерения длины были, конечно, не очень точными. В качестве измерительных инструментов использовались чаще всего шаг, человеческая рука или нога. Эти измерительные «приборы» удобны тем, что они у человека всегда при себе.

Небольшие расстояния измерялись, например, шагами. Понятно, что у разных людей величина шага различна. Поэтому каждый из вас может судить, насколько точной была эта единица длины.

Для измерения больших расстояний шаг был уже слишком мелкой единицей. В этом случае расстояния измеряли переходами, днями пути. В Древнем Риме для таких измерений употребляли милю — путь в тысячу двойных шагов. Эта единица была распространена во многих странах и у разных народов была различной. Название единицы длины «миля» дошло до наших дней. Как мы уже говорили, в морском деле единицей измерения расстояний

служит морская миля. В Великобритании и США, кроме того, применяется и сухопутная миля.

В быту для измерения продаваемой ткани, длины меча или копья, размеров различных предметов были, наоборот, необходимы другие единицы, сравнимые с шагом или еще более мелкие. Самой распространенной единицей такого рода был локоть — расстояние от локтя до конца среднего пальца. Среди более мелких единиц следует назвать ладонь — ширину кисти руки. Еще меньшей единицей был дюйм. Первоначально за дюйм принимали верхний сустав большого пальца. Многие народы применяли фут — длину ступни ноги человека (рис. 2.62—2.63).

Локти, ступни, ширина ладоней, суставы пальцев у разных людей различны. Поэтому в каждом городе, княжестве или графстве правители издавали указы, предписывающие, каким локтем или дюймом должны пользоваться их подданные. Так, например, в раздробленной на мелкие государства Германии семнадцатого века насчитывалось до 40 различных футов и локтей и 24 различные мили.

Иногда за меру длины принималась и вовсе случайная величина. По одному из преданий, английский король Генрих I в 1101 году ввел единицу длины ярд, которая была равна расстоянию от кончика его носа до конца пальцев вытянутой руки. По другому преданию, за ярд была принята длина меча этого короля. Кстати,

Рис. 2.62

Рис. 2.63

Рис. 2.64

теперь ярд является самой обиходной английской единицей длины.

Такое многообразие единиц измерения (не только длин, но и площадей, объемов, мер веса) вызывало огромные затруднения в развитии торговли, ремесел, промышленности. Поэтому по мере объединения и укрупнения государств и развития торговых связей единицы измерения уточнялись и приобретали все более единообразный характер.

3. Русские меры длины. Среди русских мер длины древнейшими являются локоть и сажень. Первое упоминание сажени встречается в летописи XI века. В разных местностях эти единицы имели различную величину.

Во времена раздробленности Руси единой системы мер не было. Вопрос о ее создании особенно остро встал после объединения русских земель вокруг Москвы.

Важное значение в упорядочении мер сыграл указ Петра I. В основе указа было положение о равенстве сажени семи английским футам. После этого указа русская система мер длины получила окончательный вид. Вот единицы этой системы.

Вершок — единица, равная двум верхним суставам указательного пальца (рис. 2.65).

Пядь (четверть) — расстояние между концами большого и указательного пальцев, растянутых в плоскости (рис. 2.66).

Рис. 2.65

Рис. 2.66

Рис. 2.67

Рис. 2.68

Аршин — мера, возникшая при торговле с народами Востока. Название единицы происходит от персидского слова «арш», что значит локоть.

Сажень — единица длины, равная 3 аршинам. Кроме сажени, на Руси применялась косая сажень (2,48 м) и маховая сажень ( 1,76 м).

Маховая сажень — расстояние между концами пальцев расставленных в сторону рук (рис. 2.67). Косая сажень — расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки (рис. 2.68).

1 сажень — 3 аршина (~ 2,13 м).

Верста в XVIII веке окончательно определилась как единица длины, равная 500 саженей ( « 1,07 км).

После указа Петра I русская система мер длины пополнилась новыми английскими единицами. Это было удобно для развития связей, в первую очередь торговых, с другими государствами. Вот эти единицы: 1 миля = 7 верст ( ~ 7,47 км), 1 фут = 12 дюймов, 1 дюйм = 10линий (~ 2,54 см), 1 линия = 10 точек( « 2,54мм).

4. Метрическая система мер. Рост промышленности и развитие торговых связей вынуждали наиболее развитые страны начать разработку единых мер измерения длин, площадей, объемов, масс. Мы уже говорили, что единицы измерения длины, связанные с различными частями человеческого тела, не могли для этого служить надежной основой. (Шаги, ступни, ширина ладоней и т. п. у разных людей неодинаковы.) Поэтому прообразы новых единиц стали искать в окружающей природе.

В конце XVIII века купцы нескольких французских городов обратились к правительству с просьбой о создании единой для всей страны системы мер. Это случилось в то время, когда во Франции произошла буржуазная революция и была провозглашена республика. В 1790 году по предложению комиссии Академии наук за новую единицу длины был принят метр. В качестве метра была выбрана одна сорокамиллионная часть земного меридиана. На базе основной единицы — метра — вводились другие, большие и меньшие. При этом отношение соседних единиц равнялось 10.

Комиссии было поручено провести работы по уточнению длины земного меридиана. Измерительные работы закончились только в 1798 году. Была установлена окончательная длина метра и изготовлен его эталон — архивный метр. Это название объясняется тем, что эталон хранился в Архиве республики. В 1799 году по предложению Франции был проведен международный конгресс,

где предлагалось придать новой системе мер интернациональный характер. Однако лишь в 1870 году представители двадцати четырех государств на заседании в Париже приняли решение о введении метра в качестве основной международной единицы длины. Был утвержден эталон метра, изготовленный из сплава платины и иридия. В соответствии с этим эталоном были изготовлены еще 34 эталона метра. России достался эталон №28.

Во всех странах введение новых единиц длины было встречено без особого восторга. Первоначально, как правило, метрические единицы применялись наравне с национальными. Некоторые страны на внутригосударственном уровне так и сохранили национальные единицы измерения.

В России вопрос о введении метрической системы мер и весов получил окончательное решение в 1918 году. С 1927 года эта система стала в нашей стране единственно допустимой.

5. Некоторые полезные сведения. Читая произведения зарубежных авторов, ты часто встречаешься с единицами длины, которые употребляются в других странах. О некоторых из них мы уже говорили. Вспомним их и приведем еще несколько иностранных единиц длины, которые наиболее часто можно услышать по радио, встретить в газетах и художественной литературе. Это, прежде всего, английские меры длины: дюйм, фут и ярд. «Фут», в переводе с английского — ступня, а «дюйм» — голландское название большого пальца. Напомним, что 1 дюйм ~ 2,54 см\ 1 фут =12 дюймов ~ ~ 0,3048 ж; а ярд равен трем футам. Часто встречается льё (лье) — единица длины во Франции. Сухопутное льё составляет 4,444 км, морское льё — 5,556 км. Еще одна единица длины, уже международная, которая используется в морском деле, — кабельтов: 1 кабельтов = 0,1 морской мили. В книгах о Древней Греции или Вавилоне мы находим стадий. Эта старинная единица длины у раз-

ных народов была различной. Например, вавилонский стадий приближенно равен 195 ж, а олимпийская стадия — 185 м.

Многие старинные единицы длины дошли до нас в пословицах, поговорках, пожеланиях и метких характеристиках: «Семь верст киселя хлебать», «Сам с вершок, голова с горшок», «Семь футов под килем», «От горшка два вершка», «Косая сажень в плечах», «Семь пядей во лбу», «Как аршин проглотил».

В заключении заметим, что в настоящее время метр определяется иначе, с помощью газа криптона. Как? Об этом вы узнаете в курсе физики.

§ 9. Геометрические досуги

9. Сколько километров проплыл под водой профессор Аронакс, один из главных героев романа Ж. Верна «Двадцать тысяч лье подводой»? (Рис. 2.69)

10. В книге Дж. Свифта «Путешествия Гулливера» в стране лилипутов английскому футу соответствовал дюйм, а в стране великанов, наоборот, дюйму — фут. Во сколько раз средний рост великанов больше среднего роста лилипутов? (Рис. 2.70)

Рис. 2.69 Рис. 2.70

11. Ты, конечно, помнишь, как стремительно росла и уменьшалась девочка Алиса в сказке Л. Кэрролла «Путешествия Алисы в стране чудес». Эта девочка имела рост 4 фута и 10 дюймов. Выпив волшебный напиток из пузырька, к горлышку которого была привязана бумажка с надписью «Выпей меня!», Алиса уменьшилась до 10 дюймов. Затем, съев пирожок с надписью «Съешь меня!» из маленькой стеклянной коробочки, она выросла в 10,8 раза. Сколько капель волшебного напитка потребуется для того, чтобы Алиса опять имела первоначальный рост, если от одной капли напитка рост уменьшается на 2 дюйма? Кстати, кто выше — ты или Алиса?

12. Маленький Мук в своих волшебных туфлях и королевский скороход соревнуются в беге. Королевский скороход делает шаги на 0,1 короче, чем Мук, но в то же время в 1,1 раза чаще. Кто из них бежит быстрее?

13. Два населенных пункта расположены по разные стороны от шоссе. На краю шоссе нужно построить автозаправочную станцию и проложить от нее дороги к населенным пунктам так, чтобы сумма расстояний от станции до этих пунктов была наименьшей. Как это сделать?

14*. Населенные пункты А, В, С и D расположены в вершинах четыреху-

Рис. 2.71 Рис. 2.72

Рис. 2.73

гольника (рис. 2. 73). Для снабжения водой этих населенных пунктов требуется построить водонапорную башню. В каком месте следует расположить башню, чтобы расход труб для подачи в эти пункты воды был наименьшим?

15. Если у тебя нет под рукой линейки, то провести измерения помогут предметы, размеры которых ты знаешь: листок бумаги в клетку (ширина клетки 5 мм); спичка (ее длина ... см); спичечный коробок (его длина ... см, ширина ... см, высота ... см) и т. п.

Полезно знать длину своего шага, рост, расстояние между концами большого и указательного пальцев, растянутых на плоскости (вспомни, как в старину появилась пядь).

16. Ты измерил «свою пядь» и можешь с помощью ее проводить измерения. Однако, измеряя какие-либо предметы пальцами руки, лучше не отрывать руку от измеряемой поверхности, а приставлять один палец к другому. Затем первый палец снова вытягивать в нужном направлении (рис. 2.74).Не правда ли, этот процесс напоминает движение гусеницы. При таком способе измерения размах пальцев несколько уменьшится.

Рис. 2.74

Найти его тебе поможет упражнение 114*. Эта же идея нахождения среднего арифметического лежит в основе решения и двух последующих задач.

17. Ты собрался определить длину своего шага, чтобы впоследствии измерять расстояние шагами. Самый простой способ состоит в том, чтобы сделать один шаг и измерить расстояние между пятками или носками ступней. Однако, встает та же проблема, что и в предыдущей задаче: шаг, сделанный один раз, и шаг во время ходьбы, будут различны. Здесь следует вспомнить и то, что шаг, начатый с левой ноги, не обязательно равен шагу, начатому с правой. (Вспомни, заблудившийся человек начинает бродить «кругами».) Так как же все-таки определить длину своего шага?

18. Измерь толщину очень тонкой проволоки, имея только линейку.

19. Помоги Мальвине, не прибегая к измерениям, отрезать от ленты длиной 8 м ленту метровой длины (рис 2.75).

20. Всегда ли можно доверять собственному зрению? Не могут ли наши глаза обманывать нас?

Проведем маленький эксперимент. Какой из отрезков на рисунке 2.76 длиннее? А на рисунке 2.77?

В первом случае вертикальный отрезок кажется длиннее. С помощью измерений, однако, легко убедиться, что отрезки равны. Так же точно и во втором случае верхний отрезок кажется длиннее.

Рис. 2.75

Рис. 2.76

Опишем еще один опыт, который можно провести дома. Возьми три полоски белой бумаги одинаковой длины. Одна из них должна быть вдвое уже, чем другие (рис. 2.78, а). Скрести в виде буквы «X» две широкие полоски, а узкую положи вертикально (рис. 2.78, б). Узкая полоска будет казаться длиннее, чем широкие. Теперь сложи полоски в виде буквы «И» так, чтобы узкая полоска лежала наискосок между широкими (рис.2.78, в). На этот раз она будет казаться тебе короче, чем широкие. Этот опыт будет особенно эффективен, если белые полоски разложить на черном фоне.

Рассмотренные примеры доказывают, что иногда чертежи могут приводить к ошибочным выводам.

Рис. 2.77

Рис. 2.78

Глава III

Окружность, круг. Сфера, шар

§ 10. Окружность и круг

1. Окружность. Радиус. Хорда. Диаметр. Во многих окружающих нас предметах, природных объектах и явлениях мы можем увидеть линию, которая называется окружностью. Форму окружности имеют обруч, кольцо, край стакана, всевозможные колеса. Окружность напоминает нам волны, расходящиеся от брошенного в воду камня, край лунного диска в полнолуние. Значение этой линии в нашей жизни столь велико, что ее можно, вслед за прямой, назвать одной из самых основных линий. Эта замечательная линия будет нашей постоянной спутницей при изучении всего курса геометрии.

Рассмотрим множество точек плоскости, которые удалены на заданное расстояние от данной точки. Возьмем, например, нитку длиной 3 см (рис. 3.1) с двумя петлями на концах. В одну из петель проденем булавку. Булавку воткнем в доску. Вторую петлю накинем на острие карандаша. Если нить натянуть, то расстояние между булавкой и острием карандаша станет 3 см. Будем двигать карандаш, держа все время нить туго натянутой (рис. 3.2). Так как во время движения нить сохраняет свою длину, острие карандаша, описав замкну -

Рис. 3.1

Рис. 3.2

тую линию, вернется в точку, из которой было начато движение. Построенная линия является окружностью.

Таким образом, окружностью называется линия, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом окружности. (Радиус в переводе с латинского — спица в колесе.) Радиусом окружности называют и длину этого отрезка.

Договоримся окружность обозначать греческой буквой œ Если точка А принадлежит окружности, то будем писать AG со. Радиус окружности обычно обозначают большой или малой латинской буквой R, г. В тех случаях, когда необходимо указать центр и радиус окружности, будем употреблять также обозначение co(0,R).

Окружность на чертеже изображают с помощью циркуля (рис. 3.3). Название этого инструмента происходит от латинского слова «циркус», которое означает круг. Кстати, от этого же слова происходит слово «цирк» (цирковая арена имеет форму круга).

На рисунке 3.4 изображена окружность радиуса R = ОМ с центром в точке О.

Замечания. 1. При построении окружности с помощью циркуля ножку с иглой ставят в центр. Циркуль вращают за головку большим и указательным пальцами в направлении движения часовой стрелки. Во время движения циркуль немного наклоняют вперед.

Рис. 3.3

2. Если у тебя нет циркуля, то на клетчатой бумаге можно построить окружность радиусом в 5 клеточек от руки. Для этого выбери центр О в некотором из узлов квадратной сетки. Отметь на прямых, проходящих через центр О, точки (1), (4), (7), (10), отстоящие от точки О на 5 клеток. По образцу (рис. 3.5) отметь в тетради остальные 8 точек. Последовательно соедини отмеченные точки плавной линией. Позднее ты сам сможешь объяснить, почему отмеченные точки лежат на одной окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. Длину диаметра обычно также называют диаметром и обозначают буквой D.

На рисунке 3.6 CD и AB — хорды, причем AB — диаметр. Так как OA и OB — радиусы окружности, то любой диаметр вдвое длиннее радиуса:

D = 2R

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Рис. 3.6

и центр О окружности является серединой любого ее диаметра.

Хорда AB и радиусы OA и OB на рисунке 3.7 образуют треугольник ABC. В этом треугольнике длина \АВ\ хорды AB меньше суммы |ОА| + \ОВ\ длин двух других его сторон. Так как \ОА\ - \ОВ\ = /?, то \ОА\ + \ОВ\ = 2R = D. Поэтому \АВ\ < D.

Таким образом, длина хорды, не проходящей через центр окружности, меньше диаметра этой окружности.

Задачи и упражнения

118. Отметь в тетради точку О. Построй с помощью циркуля окружность с центром О и радиусом А см 2 мм. Чему равен диаметр этой окружности?

119. Способом, указанным в замечании 2, изобрази от руки окружность радиусом в 5 клеточек. Чему равен радиус этой окружности в сантиметрах?

120. Отметь в тетради точку С и построй с помощью циркуля окружность с центром в этой точке. Измерь радиус построенной окружности.

121. Построй окружности с центром в точке M и диаметрами: а) 72 мм; б) 8,4 см\ в) 6 см 8 мм.

122. Построй окружность с центром О и отметь на ней точку Л. С помощью линейки построй диаметр AB этой окружности и измерь его. Запиши результат измерения.

Рис. 3.7

Рис. 3.8 Рис. 3.9 Рис. 3.10

123. На рисунке 3.8 изображены две хорды окружности. С помощью циркуля сравни эти хорды. Результат сравнения запиши в виде неравенства, связывающего их длины.

124. С помощью линейки измерь длины хорд MN и KL (рис. 3.9). Результаты измерений запиши в виде неравенства.

125*. Не используя циркуля и линейки, сравни хорды EF и PQ окружности (рис. 3.10). Ответ обоснуй.

126. Отметь в тетради точку М. Построй несколько окружностей, проходящих через точку М.

127*. Отметь в тетради точку К Укажи множество центров окружностей, которые проходят через точку К и имеют диаметр 6 см.

128. Проведи окружность радиусом 3 см и отметь на ней точку Л. Построй все хорды окружности длиной 4 см, у которых один конец находится в точке А.

Решение. С помощью циркуля строим окружность радиусом 3 см и отмечаем на ней точку А (рис. 3.11 ). Так как длина хорды равна 4 см, то ее второй конец удален от точки А на расстояние 4 см. Поэтому второй конец хорды лежит на окружности, центр которой находится в точке Л, а радиус равен 4 см.

Строим эту окружность. Она пересекает первую окружность в точках В и С. С по-

Рис. 3.11

мощью линейки проводим отрезки AB и АС. Эти отрезки и будут искомыми хордами.

129. На окружности радиусом 5 м отмечена точка М. Сколько хорд окружности с концом в точке M можно построить, если их длина равна: а) 7 м, б) 10 ж, в) 12 ж?

130. Начерти отрезок AB длиной 5 см. Проведи окружность с центром А и радиусом 4 см, а также вторую окружность с центром В и радиусом 3 см. Точки пересечения этих окружностей обозначь буквами С и D. Чему равны длины отрезков CA, СВ, DA и DB?

131. Изобрази отрезок в 4 см. Найди все точки, которые находятся на расстоянии 3 см от одного его конца и на расстоянии 2 см от другого.

132. Отметь две точки К и М на расстоянии 4 см друг от друга. Начерти окружность радиусом 2 см с центром в точке /С. Затем начерти 5 окружностей с центром в точке M и радиусами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см и 5 см. Сколько общих точек имеет каждая из этих окружностей с первой окружностью?

133. Отметь две точки А и В на расстоянии 36 мм друг от друга. Проведи окружности радиуса 24 мм с центрами А и В. Точки пересечения окружностей обозначь буквами Я и Я. Тем же раствором циркуля проведи окружности с центрами Р и Н. Новые окружности пройдут через точки А и В. Объясни, почему. Построй еще две окружности, проходящие через точки А и В.

134. Отметь две точки В и С. Построй окружность, которая проходит через обе эти точки.

135. Прочитай следующие записи: a)co(AfR); б)МЕо)', b)N^(o.

2. Круг. Прямая разбивает плоскость на две одинаковые части — открытые полуплоскости. Окружность тоже разбивает плоскость на две части, но уже различные.

Одной из частей принадлежат точки, удаленные от центра на

расстояние, меньшее радиуса окружности. Про эти точки говорят, что они являются внутренними относительно окружности (лежат внутри окружности).

На рисунке 3.13 точки M и К лежат внутри окружности. Центр О также является внутренней точкой относительно этой окружности.

Второй части принадлежат точки, удаленные от центра окружности на расстояние, большее радиуса. Эти точки лежат вне окружности. На рисунке 3.13 точки N и L являются внешними относительно окружности.

Окружность и все точки, лежащие внутри нее, образуют фигуру, которая называется кругом.

Центр, радиус, диаметр окружности называют и центром, радиусом, диаметром круга, ограниченного ею. Если О — центр, а R — радиус круга, то любая точка M этого круга удовлетворяет неравенству: \ОМ\ < R.

Задачи и упражнения

136. Какие из точек, отмеченных на рисунке 3.12:

а) лежат на окружности,

б) лежат внутри окружности,

в) не лежат на окружности,

г) лежат вне окружности.

137. Начерти окружность и отметь: а) две точки, которые лежат на окружности,

Рис. 3.13

Рис. 3.12

б) две точки внутри окружности,

в) две точки вне окружности.

138. Начерти круг с центром О, радиус которого 25 мм. Отметь две точки — Aw В, принадлежащие этому кругу, так, чтобы: \ОА\ = 15 мм, \ОВ\ = 20 мм, \АВ\ = 10 мм. Может ли отрезок AB пересечь окружность, ограничивающую круг?

139. Начерти круг с центром в точке О. Отметь точку В, принадлежащую кругу, и точку С — вне его. Измерь радиус круга и расстояния от центра круга до точек В и С. Сравни полученные результаты и запиши ответ в виде неравенств. Соедини точки В и С отрезком. Пересекается ли отрезок ВС с окружностью, ограничивающей круг?

140. Имеется круг, диаметр которого 10 см. Принадлежит ли точка этому кругу, если она удалена от его центра на расстояние: а) 35 мм, б) 4 см, в) 50 мм, г) 6 см ?

141. Радиус круга равен 7 см 4 мм. Найдутся ли две точки этого круга, расстояние между которыми: а) 6 см; б) 83 мм; в) 14,8 см; г) 162 мм; д) 15 см 2 мм?

3. Некоторые свойства окружности. Через точку можно провести бесконечно много прямых. Через две точки проходит единственная прямая. Имеют ли место аналогичные свойства для окружности?

Пусть дана точка М. Возьмем произвольную точку N, отличную от М, и проведем окружность с центром в этой точке радиуса \MN\. Ясно, что окружность пройдет через точку М. Таких окружностей можно построить как угодно много. На рисунке 3.14 показаны 4 окружности.

Рис. 3.14

Рис. 3.15

Значит, через одну точку можно провести бесконечно много окружностей.

Если нам даны две точки — А и В, то через эти точки тоже можно провести любое число окружностей. В самом деле, построим две пересекающиеся окружности одинакового радиуса с центрами А и В. На рисунке 3.15 изображены лишь дуги этих окружностей, а точки пересечения обозначены О/ и 02.

Проведем окружности с центрами О/ и 02 тем же радиусом. Эти окружности пройдут через данные точки А и В. Изменив раствор циркуля, можно аналогично построить новые точки Qh Q2 и окружности с центрами в этих точках.

Следовательно, через две точки проходит бесконечно много окружностей.

Позднее мы узнаем, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом единственную (рис. 3.16).

Рисунок 3.16 позволяет отметить еще одно отличие окружности от прямой. Из трех точек, взятых на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими. Три точки, лежащие на одной окружности, этим свойством не обладают. Это объясняется тем, что окружность, в отличие от прямой, является замкнутой линией.

Любая точка прямой разбивает ее на две части — полупрямые. Если перепилить в одном месте гимнастический обруч, то он на части не распадется (рис. 3.17). Этот опыт показывает, что точка окружность на части не разбивает. Наше наблюдение вновь объясняется тем, что окружность — замкнутая линия.

Рис. 3.16

Рис. 3.17

Рис. 3.18

Две точки окружности уже делят ее на две части, каждая из которых, взятая вместе с делящими точками, называется дугой окружности (рис. 3.18). На рисунке 3.19 это дуги ВЕС и BFC с концами В и С. Здесь Е — произвольная точка первой дуги, a F — второй. Слово «дуга» иногда заменяют знаком и и пишут иВЕС, yjBFC.

Дуга, концами которой являются концы диаметра, называется полуокружностью. На рисунке 3.20 kjKRM и kjKSM — полуокружности.

В том случае, когда дуга меньше полуокружности, ее часто обозначают только двумя буквами. Так, дугу ВЕС на рисунке 3.19 можно обозначить ußC.

Рис. 3.19 Рис. 3.20

Рис. 3.21

В жизни нередко приходится встречаться с равными окружностями и кругами. Вспомним, например, монеты одинакового достоинства (рис. 3.21). Такие монеты имеют один и тот же диаметр (рис. 3.22), а значит, один и тот же радиус. Следовательно, равные окружности (круги) имеют равные радиусы.

Рассмотрим теперь две окружности одного и того же радиуса, но с разными центрами — О/ и 02 (рис. 3.23). Такие окружности можно построить с помощью циркуля, не меняя раствора. Поэтому, если совместить центры окружностей, совместятся и сами окружности (рис. 3.23,б). Таким образом, две окружности (два круга) равны, если равны их радиусы.

В том случае, когда радиусы двух окружностей различны (рис. 3.24, а), после совмещения их центров сами окружности не совместятся (рис. 3.24, б).

Окружности, имеющие общий центр и лежащие в одной плоскости, называются концентрическими. Концентрические окружности мы можем увидеть, например, в стрелковых мишенях (рис. 3.25).

Рис. 3.22

Рис. 3.23

Рис. 3.24

Рис. 3.25

Изобразим на листе бумаги окружность и аккуратно прорежем бумагу по этой окружности. Не перемещая вырезанного круга, воткнем в его центр булавку. Если мы будем вращать круг вокруг булавки, то окружность, ограничивающая круг, будет скользить по краю выреза (рис. 3.26). Объясни, почему.

Значит, при вращении вокруг центра окружность скользит сама по себе.

На этом свойстве окружности основаны ее многочисленные практические применения. Попытайтесь сами привести примеры.

Задачи и упражнения

142. Отметь в тетради точку и построй несколько окружностей, проходящих через эту точку.

143. Отметь в тетради две точки на расстоянии 25 мм друг от друга. Построй окружности, проходящие через обе точки, с радиусами 15 мм, 20 мм и 25 мм. Попытайся ответить, где лежат центры всех построенных окружностей.

144. Начерти окружность и отметь на ней три точки — А, В и С. Назови дуги, на которые эти точки делят окружность.

145. Построй окружность и отметь на ней три точки — Е, H и Р. Назови все дуги, для которых отмеченные точки являются концами. Сколько таких дуг?

146. На окружности отмечено п точек. На сколько дуг делят окружность эти точки, если п = 6, 12, 16.

147. Нарисуй три равных окружности так, чтобы их центры лежали на одной прямой.

148. Нарисуй три равных окружности так, чтобы их центры не лежали на одной прямой, а сами окружности:

а) попарно пересекались;

б) попарно не пересекались.

149. Изобрази три концентрические окружности так, чтобы радиус одной из них был вдвое больше радиуса второй, а радиус третьей — равен среднему арифметическому радиусов первых двух.

Рис. 3.26

150. На прямой последовательно отметь точки А, В, С, D и Е так, чтобы [AB] = [ВС] = [CD] = [DE] и \АЕ\ = 4 см. Построй концентрические окружности с центром в точке А, проходящие через точки S, С, D и £, и концентрические окружности с центром в точке В, также проходящие через остальные точки.

4. Дуга и стягивающая ее хорда. О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает эту дугу. (Вспомни лук и стягивающую его тетиву (рис. 3.27).) Всякая хорда окружности стягивает две дуги. Так, хорда AB стягивает дуги kjACB и kjADB (рис. 3.28).

Чтобы сделать дальнейшее изложение более наглядным, будем рассматривать дуги, которые меньше полуокружности. Все сказанное будет справедливо для дуг, равных и больших полуокружности.

Пусть на окружности заданы дуги vjAB и uCD, (рис. 3.29). Будем перемещать дугу AB так, чтобы она скользила по окружности. Если при этом дуга AB совпадет с дугой CD, то говорят, что эти дуги равны, и пишут: uAß = uCD. Здесь имеет место наложение одной дуги на другую.

На рисунке 3.30 дуги AB и АС равными не являются. У этих дуг один конец общий, но другие концы не совпадают. Можно сказать, что точка В является внутренней точкой дуги АС. В этом случае про дугу АС говорят, что она больше дуги AB.

Рис. 3.27

Рис. 3.28

Рис. 3.29 Рис. 3.30

Пусть дуги AB и CD равны (рис. 3.29) и при их наложении точка А совмещается с точкой С, а точка В — с точкой D. Тогда совмещаются хорды AB и CD, стягивающие эти дуги.

Следовательно, если дуги равны, то равны и стягивающие их хорды.

Позднее ты сможешь доказать, что имеет место и обратное утверждение: если хорды окружности равны, то равны и стягиваемые ими дуги.

Задачи и упражнения

151. На рисунке 3.31 изображена окружность, на которой отмечены три точки — А, В и С. С помощью циркуля найди среди дуг иAB, kjBC, kjCA равные.

152. Проведи окружность и отметь на ней некоторую дугу иЕН. Отметь еще одну дугу окружности, равную и£Я.

Рис. 3.31 Рис. 3.32

153. Используя рисунок 3.32, сравни: a) vjEG и kjEF, б) u£G и иЯ/, в) kjEGF и иЯ/, г) u/^EG и kjFE.

154. Построй окружность и задай на ней некоторую дугу AB. Отметь на окружности дугу, которая: а) больше дуги AB, б) меньше дуги AB.

5. О делении окружности на равные части. Шкалы многих приборов, которыми мы пользуемся в быту, представляют собой окружность или ее дугу, разделенные на равные части. К числу таких приборов относятся: компас, барометр, спидометр автомобиля, некоторые виды весов, циферблат часов (рис. 3.33). Чтобы изготовить такие приборы, нужно уметь делить окружность на равные части.

Рис. 3.33

Мы уже знаем, что концы диаметра делят окружность на две равные части — полуокружности. Теперь с помощью циркуля и линейки научимся делить окружность на 3, 6, 12 равных частей.

Нарисуй окружность и отметь на ней точку Mj (рис. 3.34). Не меняя раствора циркуля, построй новую окружность, для которой точка М/ является центром. Эта окружность пересечет первую в двух точках — М2 и М6. Прежним раствором проведи окружности с центрами М2 и М6. Обе новые окружности пройдут через точку Mt и пересекут первую окружность в точках М3 и М5. При этом из окружностей получится красивый геометрический орнамент (рис. 3.35).

Окружность того же радиуса с центром в точке М3 пройдет через точку М2 и пересечет исходную окружность в точке М4. Если ты выполнял все построения аккуратно, то окружность с центром М5 пройдет через точки М4 и М6. (Позднее мы объясним, почему это происходит.) При этом внутри первой окружности возникает «цветок» с шестью одинаковыми лепестками (рис. 3.36).

Построенными точками эта окружность разбита на шесть дуг. Хорды, стягивающие эти ду-

Рис. 3.34

Рис. 3.35

Рис. 3.36

ги, равны радиусу исходной окружности и, значит, равны между собой. Поэтому равны и дуги, на которые разбита окружность.

В некоторых случаях при построении чертежей удобно вместо окружностей изображать лишь их дуги. Например, чтобы разделить на шесть равных частей окружность данного радиуса, можно поступить так. Отметить на окружности точку M f. Провести дугу окружности того же радиуса с центром Mh которая пересекает исходную окружность. На рисунке 3.37 точка пересечения обозначена М2. Продолжив аналогичные построения еще 4 раза, получим точки М3, М4, М5 и М6.

Последовательно соединив отмеченные точки отрезками, мы получим шестиугольник (рис. 3.38). В этом шестиугольнике все его стороны равны: [УИ/М2] = [Л42М3] = [М3М^] = [A^Ms] = [М5А16]. Отрезки MjM4j M2M5i М3М6 являются диаметрами окружности, значит, они также равны между собой и пересекаются в одной точке О — центре окружности. Кроме того, [OMj] = [ОМ2] = [ОМ3] = [ОМ4] = [ОМ5] = [ОМ6], так как это радиусы окружности.

С помощью циркуля сравним расстояния между точками Mj и М3, М3 и М5, М5 и Mj. Сравнение показывает, что [М/Мз] = [М3М5] = [М3М5]. Так как равные хорды стягивают равные дуги, то uMjM2M3 = kjM3M4M5 = vMßMßMj. Следовательно, построенные точки, взятые через одну, разбивают окружность на три равные части.

Соединив точки Mh М3 и М5 отрезками, мы получим треугольник, у которого все стороны равны (рис.3.39). Такой треугольник называется равносторонним.

Рис. 3.37

Рис. 3.38

С окружностью, разделенной на 12 частей, мы сталкиваемся постоянно. Именно на 12 больших делений разделен циферблат часов. Каждое из делений соответствует одному часу (рис. 3.33).

Укажем один из способов деления окружности на 12 равных частей. Для этого обратимся к рисунку 3.36. Попарно соединим отрезками точки Nf и N4, N2 и N5, N3 и N6. Точки пересечения этих отрезков с исходной окружностью и точки М], М2, М3, М4, М5, М6 делят ее на 12 равных дуг.

Замечание. Местами изложение в этом пункте очень напоминает рецепты, которыми пользовались египетские писцы. Изучая геометрию, в дальнейшем ты сможешь обосновать рассмотренные способы деления окружности. Теперь же этот пункт позволит нам изготовить интересные самоделки, о которых рассказано в параграфе «Геометрические досуги».

Рис. 3.39

Задачи и упражнения

155. Проведи окружность и раздели ее на 6 равных частей.

156. Проведи окружность и раздели ее на 3 равных части.

157. С помощью циркуля построй «цветы», изображенные на рисунках 3.40 — 3.43. Раскрась эти «цветы».

158. Нарисуй окружность с помощью циркуля и линейки раздели ее на 12 равных частей.

159. Возьми лист плотной бумаги или картона и изготовь циферблат часов диаметром 1,5 дм.

Рис. 3.40

Рис. 3.41 Рис. 3.42 Рис. 3.43

160*. Докажи, что радиусы OMh ОМ2, ОМ3, ОМ4, ОМ5, ОМ6 (рис. 3.38) разбивают шестиугольник на шесть равносторонних треугольников.

161. Раздели окружность на 6 равных частей. Сколько равносторонних треугольников можно получить, соединяя через одну точки деления окружности? Начерти эти треугольники.

Проверь себя сам

1. Прочти, вставляя пропущенные слова.

Множество точек..., расположенных на заданном... от данной ... , называется окружностью. Данная точка называется ... окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется ее ... . Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется .... Хорда, ... окружности, называется ее диаметром. Длина хорды, не проходящей через центр окружности,... диаметра этой окружности. Окружность и точки, лежащие внутри нее, образуют фигуру, которая называется... .

2. Выбери из рамки и вставь пропущенные слова так, чтобы получилось верное утверждение.

Через ... можно провести окружность, и притом единственную.

а) любые три точки;

б) любые две точки;

в) любые три точки, лежащие на одной прямой;

г) любые три точки, не лежащие на одной прямой.

3. Объясни, что такое: а) дуга окружности; б) полуокружность.

4. Выбери из рамки слова так, чтобы получилось определение концентрических окружностей.

5. Догадайся, какое слово дважды пропущено в предложении: - Две окружности ... тогда и только тогда, когда ...их радиусы.

§ 11. Сфера и шар

Множество точек плоскости, удаленных на данное расстояние R от данной точки О, является линией. Эту линию называют окружностью. Окружность ограничивает на плоскости круг, то есть фигуру, состоящую из точек этой плоскости, удаленных от точки О на расстояние, не большее R.

Рассмотрим пространственные фигуры, которые определяются аналогичным образом.

Точки пространства, удаленные от данной точки О на данное расстояние R, образуют поверхность, которая называется сферой. Точка О называется центром сферы, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой сферы, — ее радиусом. Длину У? этого отрезка также называют радиусом сферы.

Окружность — замкнутая плоская линия, а сфера — замкнутая поверхность. Сфера разбивает пространство на две части. Одной из них принадлежат точки, удаленные от центра О на расстояние, меньшее, чем R. Про эти точки говорят, что они являются внутренними относительно сферы (лежат внутри сферы). Другой части принадлежат точки, удаленные от О на расстояние, большее, чем R. Про эти точки говорят, что они лежат вне сферы. На рисунке 3.44: О — центр, M и N — точки, [ОМ], [ON] — радиусы сферы; К — внутренняя, a L — внешняя точки относительно этой сферы.

Точки сферы и все точки, лежащие внутри нее, образуют геометрическое тело, которое называется шаром.

Точка О и радиус R сферы называются центром и радиусом шара, ограниченного этой сферой. Таким образом, шар состоит из точек пространства, удаленных от точки О на расстояние, не большее R.

Форму, близкую к форме шара, имеют плоды многих растений, планеты, мячи, спортивные и пушечные ядра.

Каждому из вас приходилось разрезать ножом арбуз или апельсин. При этом срез представляет собой некоторый круг (рис. 3.45). Значит, если плоскость пересекает сферу, то в сечении получается окружность. Сечение шара плоскостью является кругом.

Рис. 3.44

Эти окружности (круги) могут иметь различные радиусы. Самые большие окружности получаются при сечении сферы плоскостями, проходящими через центр. Радиусы таких окружностей равны радиусу сферы. Поэтому диаметр большой окружности сферы называют диаметром самой сферы.

Чем дальше секущая плоскость от центра сферы, тем меньше радиус окружности, получающейся в сечении (рис. 3.46).

Земная поверхность имеет форму немного сплюснутой сферы. На ней большими окружностями являются известные тебе экватор и меридианы. Параллели, отличные от экватора, имеют радиус, меньший, чем радиус экватора (рис. 3.47).

Рис. 3.45 Рис. 3.46

Рис. 3.47

Задачи и упражнения

162. Точка А принадлежит сфере. Сколько больших окружностей сферы можно провести через эту точку?

163*. Точки А и В принадлежат сфере. Можно ли через эти точки провести большую окружность сферы? Если да, то сколько окружностей можно провести? (Рассмотри два случая:

а) точки А и В являются концами одного диаметра сферы;

б) точки А и В не являются концами одного диаметра.)

164*. Точки А, В и С лежат в сфере. Можно ли через эти точки провести окружность, целиком лежащую в сфере? Если да, то когда эта окружность будет большой окружностью сферы?

165. На сколько частей делит сферу ее большая окружность?

166*. На сколько частей делят сферу две ее большие окружности?

167*. На сколько частей делят сферу три ее большие окружности?

Проверь себя сам

1. Вспомни, как определяются окружность и сфера. Что общего в их определениях? В чем разница этих определений?

2. Вставь пропущенные слова.

Точки сферы и все точки, лежащие внутри нее, образуют геометрическое тело, которое называется ... . Сечение сферы плоскостью является ... . Сечение шара плоскостью является....

§ 12. Материалы для дополнительного чтения

1. Окружность и ее приложения. Еще в Древней Греции окружность считалась самой совершенной линией. Изучением свойств этой линии занимались многие греческие ученые. Неслучайно геометрические термины для обозначения связанных с

окружностью понятий пришли к нам из Греции. «Диаметр» в переводе с греческого «поперечник», а «хорда» — «струна», «тетива».

Все точки окружности расположены на одинаковом расстоянии от центра. Поэтому если катить окружность по некоторой прямой, по отношению к этой прямой ее центр все время находится на расстоянии, равном радиусу. Это свойство лежит в основе изобретения колеса.

Прообразами колес были катки. Уже в Древнем Египте строители пирамид при перевозке огромных каменных глыб подкладывали под них круглые бревна (рис. 3.48). Это уменьшало трение и заметно облегчало передвижение.

Позднее два кругляка, отпиленных от бревна, соединила ось (рис. 3.49), и на дорогах появились первые повозки. Спустя некоторое время колеса стали сбивать из досок. Еще позднее появились колеса со спицами и кованым ободом, с пневматической шиной.

Мы уже отмечали, что при вращении вокруг центра окружность скользит сама по себе. Это свойство тоже находит многочисленные технические приложения. Почти не встретишь машин и механизмов, в которых не было бы вращающихся деталей: колес, шкивов, барабанов. Одни детали свободно вращаются на своих осях, другие закреплены на валу и, вращаясь вместе с ним, передают движение другим деталям механизма.

Так, на рисунке 3.50 каждая точка поверхностей шкивов движется по окружности. При этом любая окружность скользит сама по себе. Это обеспечивает равномерное натяжение приводного ремня.

На рисунке 3.51 изображено сечение соприкасающихся поверхностей: вращающейся детали и опоры. Край сечения детали и край сечения опоры — окружности, первая из которых скользит по второй.

2. О сфере и геометрии земной поверхности. Вспомните обычный резиновый мяч, который имеет обыкновение накалываться на гвоздь и приходить в негодность. Вырежем из такого проколотого мяча небольшой кусочек (рис. 3.52). Этот кусочек

будет казаться нам почти плоским. Такое ощущение будет тем реальней, чем меньше размеры кусочка и больше диаметр мяча.

Земная поверхность, как мы уже говорили, похожа на сферу Диаметр этой сферы 6400 км. Поэтому когда мы рассматриваем небольшой участок земной поверхности, его можно считать плоским. Прокладывая дороги, обмеряя поля и находя их площади, так обычно и поступают. В этом случае используется привычная геометрия, которую мы изучаем. Эту геометрию принято называть евклидовой.

Рис. 3.48

Рис. 3.49

Рис. 3.50

Рис. 3.51

Рис. 3.52

Когда становится необходимым учитывать шарообразность Земли, применяется другая геометрия — сферическая. В этой геометрии роль прямых играют большие окружности, то есть окружности, получающиеся при пересечении сферы плоскостями, проходящими через центр сферы.

Сферическая геометрия столь же древняя, как и евклидова. Она возникла в связи с потребностями астрономии, которая помогала с помощью небесных светил исчислять время, ориентироваться мореплавателям и путешественникам.

Древнегреческие ученые исходили из геоцентрической модели Вселенной, то есть представляли Землю в виде шара, который находится в центре небесной сферы. Рассматривая движение небесных светил, греческие геометры и астрономы изучали свойства сферы и фигур, образованных на ней большими окружностями.

Геометрию сферы в Древней Греции называли «сферикой». Автором первого большого сочинения по этой геометрии был Евдокс (ок. 408—355 гг. до н. э.). Греческий ученый Эратосфен (ок. 276—194 гг. до н. э.) впервые измерил длину земного меридиана и тем самым определил размеры земного шара. В I веке результаты сферической геометрии систематизировал и обобщил Менелай. Его «Сферика» была построена аналогично «Началам» Евклида и долгое время служила учебником для астрономов.

В настоящее время сферическая геометрия используется в геодезии и картографии при съемках и изображении больших территорий земной поверхности. Ею пользуются астрономы, штурманы морских судов и самолетов, космонавты.

§ 13. Геометрические досуги

Сегодня в этом параграфе кроме задач будут рассмотрены интересные поделки, которые с помощью полученных геометрических знаний ты сам можешь изготовить.

21. На окружности отметили несколько точек. Каждые две точки соединили хордой. Всего получилось 10 хорд. Сколько точек было отмечено?

22. Центры трех клумб круглой формы расположены на одной прямой так, как показано на рисунке 3.53. Сумма диаметров этих клумб равна 14 ж, а расстояние между центрами крайних клумб — 8 м. Найди радиус средней клумбы.

23. На листе плотной бумаги начерти окружность и раздели ее на 12 равных частей. На прямых, проходящих через центр и точки деления окружности, построй 11 равных отрезков так, как это сделано на рисунке 3.54, а. Аккуратно прорежь бумагу по окружности. Повернув окружность вокруг центра (рис. 3.54, б), ты увидишь, что один из отрезков пропал. Объясни, куда исчез этот отрезок.

24. Десять одинаковых кругов положили так, как показано на рисунке 3.55, а. Мысленно переложи три круга таким образом, чтобы круги лежали, как показано на рисунке 3.55, б.

Рис. 3.53

Рис. 3.54

Рис. 3.55

Если тебе трудно решить задачу, не прибегая к непосредственному перекладыванию кругов, возьми 10 одинаковых монет или пуговиц.

25. Начерти каждую из фигур (рис. 3.56) одним непрерывным росчерком, то есть не отрывая карандаша от бумаги и не проводя более одного раза по одной и той же линии.

26. Циркуль поможет тебе не только на уроках геометрии и черчения. С его помощью ты можешь подготовить прекрасные подарки для мамы или бабушки. На рисунке 3.57 изображены, например, разделочные доски. Орнамент на первой доске составлен с помощью семейств концентрических окружностей. При составлении рисунка на второй доске использовано деление окружности на 6 и 12 равных частей. Такие узоры ты можешь составить и сам. Для этого необходимо лишь желание и немного терпения. Рисунками и орнаментом из окружностей можно украсить книжные закладки, расшить домашние тапочки, расписать подставку под чайник.

27. Скоро Новый год. Самое время подумать о том, как украсить в новогодние праздники свой класс, комнату, елку. И здесь снова нам поможет геометрия.

По рисункам 3.58,3.59 ты можешь научиться делать две елочные игрушки. Первая игрушка — «звездочка». Для изготовления звездочки проведи на плотной бумаге окружность и раздели ее на 6 равных частей. Точки деления соедини через одну хордами (рис. 3.58, а).

Рис. 3.56

Рис. 3.57

Рис. 3.58

Вырежи 2 шестиконечные звездочки (рис. б). Перегни эти детали по прямым, проходящим через центр исходной окружности, сделай надрез. Концы звездочек отогни в противоположную сторону.

Склей детали по рисунку в. Получатся уже пятиконечные звездочки с выпуклой серединой (рис. г).

Приклей к одной из деталей нитку (рис. г). Наконец, склей обе детали. Получилась выпуклая пятиконечная звездочка (рис. д).

Раскрась сделанную игрушку красками или укрась аппликацией.

Игрушка готова (рис. е).

Размеры звездочки зависят от радиуса окружности. Меняя его, ты можешь изготовить звездочки различной величины.

Теперь научимся делать другую игрушку — «фонарик». Для его изготовления можно использовать цветную бумагу.

Проведи окружность и раздели ее на три равные части (рис. а). Точки деления соедини хордами и отогни «лепестки», отсекаемые этими хордами. (В геометрии эти «лепестки» называются сегментами.) Прогладь все линии сгиба. Заготовь для будущей игрушки 20 таких деталей.

Возьми две детали и склей у них по лепестку (рис. б). По рисунку в склей 10 деталей в «полоску».

Заштрихованные лепестки полоски соедини по буквенным обозначениям. Получилось «кольцо» (рис. г). У этого кольца с каждого края по 5 отогнутых «лепестков». Это средняя часть игрушки. Склей 5 деталей так, как показано на рисунках д и е.

Получился «цветок» с выпуклой серединой и пятью отогнутыми лепестками. Заготовь 2 такие детали.

Приклей лепестки цветков к лепесткам средней части. Не забудь вклеить нитку, с помощью которой будешь вешать игрушку. Фонарик готов (рис. ж).

Рис. 3.59

Глава IV

Углы и их измерение

§ 14. Угол

1. Что такое определение? В математике под определением понимают предложение, в котором на основе уже известных понятий вводится новое понятие. Чтобы найти определение, следует запомнить, что в нем обычно встречается слово «называется».

В этой книге ты много раз встречал различные определения. Вспомни, например, определение окружности:

— Окружностью называется линия, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

В приведенном определении новое понятие «окружность» введено на основе уже известных к этому моменту понятий: «плоскость», «линия», «точка», «расстояние».

Определения используются не только в математике. Вы встречали их в учебниках по другим дисциплинам. Можно попытаться дать определения и окружающим нас предметам.

Задачи и упражнения

168. Приведи примеры определений, которые мы уже рассмотрели в курсе геометрии.

169. Приведи примеры определений, которые встречались на уроках по другим учебным предметам.

170. Попытайся дать определения следующим понятиям: «школа», «парта», «классная доска», «учебник», «сестра».

2. Угол. Плоский угол. Отметим на классной доске или на листе бумаги точку и проведем два луча с началом в этой точке (рис. 4.1 ). Ты, конечно, знаешь, что построенную фигуру называют углом. Дадим сейчас определение угла.

Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом.

В этом определении новое понятие «угол» введено на основе уже известных понятий: «луч» и «начало луча».

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.

Если стороны угла являются дополнительными лучами (рис. 4.2), то угол называется развернутым.

Для обозначения угла употребляется знак Z. Вершина угла на рисунке 4.1 обозначена буквой О. Этот угол обозначается так: АО.

В геометрии часто приходится рассматривать несколько углов с общей вершиной (рис. 4.3). Если употреблять здесь принятое для угла обозначение, то будет неясно, о каком угле идет речь. Чтобы этого не произошло, на сторонах угла дополнительно отмечают по точке и обозначают угол с помощью трех точек.

На рисунке 4.1 на сторонах угла отмечены точки А и В. Для его обозначения употребляются теперь записи: Z.AOB или ZBOA (читается: «угол АОВ», «угол BOA»).

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Рис. 4.3

Кроме того, углы на чертежах и рисунках иногда обозначают дугами или цифрами (рис. 4.4). При этом пишут: Z/, Z.2.

Любой угол разбивает плоскость на две части (рис. 4.5). Если угол неразвернутый, то одну из частей называют внутренней областью этого угла. Любые две точки, принадлежащие внутренней области, можно соединить отрезком, который не пересекает стороны угла.

Другую часть называют внешней областью угла (рис. 4.6). Среди точек, принадлежащих внешней области, существуют такие, которые являются концами отрезка, пересекающего стороны угла.

На рисунке 4.7 изображен угол АОВ. Точки С и D лежат внутри этого угла и отрезок CD не пересекает его стороны. Точки Е, F, G принадлежат внешней области угла АОВ, и при этом отрезок EF пересекает стороны этого угла.

Развернутый угол разделяет плоскость на две открытые полуплоскости. Можно условиться любую из них считать внутренней

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Рис. 4.7

областью угла. Тогда другая открытая полуплоскость будет внешней областью этого развернутого угла.

Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, называют плоским углом. Иногда бывает удобно считать плоским углом и фигуру, образованную углом и его внешней областью.

Угол и плоский угол — различные фигуры. Поэтому иногда в учебной литературе по геометрии обычный угол называют линейным. В тех же случаях, когда ясно, о каком угле, линейном или плоском, идет речь, обычно используют только термин «угол».

В пространстве понятие угла получает естественное обобщение. Вспомните папку для бумаг (рис. 4.8). Ее можно считать моделью геометрической фигуры, образованной двумя полуплоскостями с общей границей.

Фигура, состоящая из двух полуплоскостей с общей границей, называется двугранным углом. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются гранями этого двугранного угла, а их общая граница — его ребром (рис. 4.9).

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Задачи и упражнения

171. Назови все углы, изображенные на рисунке 4.10. Назови стороны и вершины этих углов. Запиши обозначения каждого угла двумя способами. Например, /.В и Z ABC.

172. Начерти два развернутых угла и обозначь их так: ZABCn ZM

173. Начерти углы Z.AOC и ZBOD. Что можно сказать про вершины этих углов?

174. Назови на рисунке 4.11 все развернутые и все неразвернутые углы.

175. Начерти три луча с общим началом и обозначь их буквами. Назови все углы, образованные этими лучами.

176. Начерти два угла так, чтобы у них одна сторона была общей, а две другие являлись продолжением одна другой.

177. Начерти два угла так, чтобы стороны одного угла являлись продолжением сторон другого.

178. Назови все углы, изображенные на рисунке 4.12. Запиши их.

179. Какие из точек, изображенных на рисунке 4.13, лежат внутри угла ZMON , а какие — вне его?

Рис. 4.10

Рис. 4.11

180. Точки А и В лежат на разных гранях двугранного угла с ребром /. На ребре / найди такую точку М, чтобы сумма длин отрезков AM и ВМ была наименьшей.

Решение. Перегнув лист бумаги, получим модель двугранного угла. Отметим на его гранях точки А и В (рис. 4.14, а).

Данная пространственная задача интересна тем, что она может быть сведена к уже известной планиметрической задаче 101. Для этого достаточно грани угла повернуть вокруг его ребра / так, чтобы они оказались в одной плоскости (рис. 4.14, б). Подумай, как закончить решение задачи.

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Рис. 4.14

3. Сравнение углов. На рисунке 4.15 изображен неразвернутый угол АОВ. Пусть С — внутренняя точка данного угла. Рассмотрим луч ОС. Начало луча ОС совпадает с вершиной О угла АОВ, а остальные его точки так же, как С, являются внутренними точками угла. Такой луч называется внутренним лучом угла АОВ.

Внутренний луч угла определяет два новых угла. На рисунке 4.15 это углы АОС и СОВ. Про каждый из углов АОС, СОВ говорят, что он меньше угла АОВ.

Угол АОВ и его внутренняя область составляют плоский угол. Луч ОС делит этот плоский угол на два плоских угла, для которых он является общей стороной. Про внутренний луч обычного (не плоского) угла тоже принято говорить, что он делит этот угол на два, каждый из которых является частью исходного угла.

Если /АОВ развернутый (рис. 4.16), то любой луч ОС также делит его на два угла: /.АОС и АСОВ. В этом случае углы АОС и СОВ называют смежными, то есть смежные углы определяются следующим образом:

два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами, называются смежными.

Чтобы научиться сравнивать углы, вспомним, что два угла будут равны, если их можно совместить наложением.

Пусть надо сравнить два неразвернутых угла 1 и 2 (рис. 4.17). Изготовим для этого простейший прибор, который называется «раздвижной угол». Его можно сделать из двух тонких планок, скрепленных с помощью болта и гайки (рис. 4.18).

Рис. 4.15

Рис. 4.16

Совместим вершину раздвижного угла с вершиной угла 1, а его стороны направим вдоль сторон угла 1.

Теперь раздвижной угол будет равен углу 1 (рис. 4.19, а). Сравним полученный угол с углом 2. Для этого совместим вершину раздвижного угла с вершиной угла 2, а одну из его сторон совместим со стороной угла 2. Другие стороны этих углов должны быть по одну сторону от совместившихся сторон (рис. 4.19, б).

Если вторые стороны углов также совместятся, то раздвижной угол равен углу 2, и значит, Z1 = Z2.

Если же стороны не совместятся, то меньшим будет тот угол, который составляет часть другого. На рисунке 4.19,6 раздвижной угол составляет часть угла 2. Поэтому угол 1 меньше угла 2 ( Z2 больше Z1 ).

Очевидно, что два развернутых угла можно совместить с помощью наложения. Значит, любые два развернутых угла равны.

Рис. 4.17

Рис. 4.18

Рис. 4.19

Неразвернутый угол составляет часть развернутого, поэтому любой неразвернутый угол меньше развернутого.

Рассмотренный способ сравнения углов позволяет находить среди данных углов равные, выяснять, какой из двух углов больше или меньше другого. На практике этого бывает недостаточно. Здесь требуется знать величину угла, а значит, уметь измерять углы.

Замечание. Из рисунков 4.20, на которых изображен раздвижной угол, можно понять, откуда произошли названия: «неразвернутый угол» и «развернутый угол».

Задачи и упражнения

186. Начерти угол ZEOH и проведи внутри его луч ОТ. Назови и запиши углы, на которые этот луч делит ZEOH.

187. Назови внутренние лучи углов: a) ZAOB, б) ZAOD (рис. 4.21 ).

Рис. 4.20

188. Начерти угол АОВ. Для этого угла начерти смежный с ним угол. Сколько таких углов можно начертить?

189. Начерти на бумаге угол ABC, вырежи бумажную модель этого угла. Используя наложение, вырежи угол ЕМН так, чтобы ААВС = Z.EMH.

190. Начерти угол О и раздели его лучами OK и ОМ на части. Запиши все полученные углы. Какие из них можно сравнить, не прибегая к наложению и измерению?

4. Биссектриса угла. Внутренний луч угла, делящий его на два равных угла, называется биссектрисой этого угла. На рисунке 4.22 луч ОС является биссектрисой угла АОВ. Здесь Z.AOC = АСОВ.

Как найти биссектрису угла?

Начертим угол АОВ и вырежем бумажную модель этого угла (рис. 4.23, а). Точнее, мы получим модель плоского угла, соответствующего построенному углу.

Согнем вырезанный угол вдвое так, чтобы его стороны совпали. Аккуратно разгладим линию сгиба (рис. 4.23, б).

Рис. 4.21

Рис. 4.22

Рис. 4.23

Развернем модель угла и отметим на линии сгиба точку С. Если вновь согнуть угол вдвое, то углы АОС и СОВ совместятся, то есть А АОС = АСОВ.

Следовательно, линия сгиба является биссектрисой ААОВ. Про каждый из углов АОС и СОВ говорят, что он равен половине угла АОВ.

Теперь покажем, как построить биссектрису неразвернутого угла с помощью циркуля и линейки.

На рисунке 4.24 дан угол О. Проведем с помощью циркуля дугу окружности с центром в вершине угла, которая пересекает его стороны. На рисунке точки пересечения обозначены буквами А и В. Не меняя раствор циркуля, проведем пересекающиеся дуги окружностей с центрами А и В. Одной точкой пересечения будет вершина О. Другая точка на рисунке обозначена буквой С.

С помощью линейки строим луч ОС. Этот луч является искомой биссектрисой. В следующей главе мы объясним, почему

Задачи и упражнения

185. Начерти на бумаге угол и вырежи модель этого угла. С помощью перегибания бумаги найди биссектрису вырезанного угла.

186. Начерти на бумаге угол и на глаз с помощью линейки проведи его биссектрису. Теперь вырежи модель угла и с помощью перегибания бумаги проверь, правильно ли проведена биссектриса.

187. Начерти угол. С помощью циркуля и линейки построй его биссектрису.

Рис. 4.24

188. Вырежи из бумаги модель угла. С помощью перегибания раздели его на четыре равных угла.

189. На рисунке 4.25 углы, отмеченные дугами, равны. Укажи:

а) биссектрису каждого из углов AOG, BOF, DOF, АОЕ, COG;

б) все углы, биссектрисой которых является луч OD.

Рис. 4.25

5. Прямой угол. Развернутый угол тоже можно разделить на два равных угла. Для этого возьмем лист бумаги с прямым краем (рис. 4.26, а). Отметим на этом крае точку О — вершину развернутого угла. Сложим лист вдвое так, чтобы линия сгиба прошла через точку О, а стороны развернутого угла совпали. Линия сгиба разделит развернутый угол на два равных угла (рис. 2.26, б). Эти равные углы называют прямыми.

Рис. 4.26

Итак, прямым углом называется угол, равный половине развернутого угла.

На рисунках и чертежах прямые углы обычно обозначают не дугой, а так, как показано на рисунке 4.27.

Рис. 4.27

Для построения прямых углов пользуются чертежными угольниками (рис. 4.28). Позднее мы научимся строить прямые углы с помощью циркуля и линейки.

Прямой угол встречается у многих предметов, созданных руками человека. Прямой угол образуют края книги, тетрадного листа, стола. Представления о нем дают линии пересечения стен с потолком или полом.

Угол, который меньше прямого угла, называется острым, а угол, который больше прямого угла, но меньше развернутого, — тупым. На рисунке 4.29 ZCOD меньше прямого угла, значит, он является острым. Угол АОВ на рисунке 4.30 — тупой, так как он больше прямого, но меньше развернутого.

Рассмотрим два смежных угла. Если эти углы равны (рис. 4.31), то оба они являются прямыми. Если смежные

Рис. 4.28

Рис. 4.29

Рис. 4.30

углы не равны (рис.4.32), то один из них будет меньше, а другой — больше прямого угла. В этом случае один из смежных углов является острым, а другой — тупым.

Из сказанного следует, что прямой угол равен своему смежному углу. На этом свойстве прямого угла основан способ проверки чертежного угольника.

Чтобы проверить чертежный угольник, надо начертить прямую и отметить на ней какую-нибудь точку. Эта точка определяет на прямой два луча. Приняв один из этих лучей за сторону угла, построим при помощи угольника прямой угол с вершиной в выбранной точке. Затем чертежный угольник надо повернуть (рис. 4.33, а) и построить прямой угол с той же вершиной, одной стороной которого является второй луч прямой.

Рис. 4.31 Рис. 4.32

Рис. 4.33

Если вторые стороны построенных углов совпадают (рис. 4.33, б), то угольник правильный, если же они не совпадают (рис. 4.33, в), то угольник неправильный.

Задачи и упражнения

191. С помощью перегибания изготовь бумажную модель прямого угла.

192. С помощью чертежного угольника найди на рисунке 4.34 прямые углы.

Рис. 4.34

193. Начерти с помощью чертежного угольника несколько прямых углов.

194. Назови вид каждого из углов на рисунке 4.35.

Рис. 4.35

195. Начерти острый, прямой, тупой и развернутый углы. Обозначь их буквами.

196. Начерти луч AB. С помощью чертежного угольника построй прямой угол со стороной AB. Сколько таких углов можно построить?

197. Проведи прямую AB и отметь на ней точку О, лежащую между А и В. Проведи лучи ОС, OD, ОЕ так, чтобы Z.AOC = ZBOC, Z.AOD был острым, a ZAOE — тупым.

198. Начерти прямой угол БОН. Отметь точку К внутри этого угла и точку M вне его. Проведи [OK) и [ОМ). Определи вид углов НОК КОЕ, ЕОМ, НОМ.

199. Начерти развернутый угол КЕМ и луч ЕР так, чтобы угол РЕМ был острым. Может ли угол РЕК быть острым?

200. Запиши все углы, изображенные на рисунке 4.36. Укажи вид каждого угла.

201. Последовательно запиши все: а) развернутые, б) тупые, в) прямые, г) острые углы (рис. 4.37).

202. Начерти острый угол АОВ и на продолжении луча OB отметь точку С. Сравни: ZAOB и ZAOC, ААОС и АСОВ.

203*. Начерти ААМВ. На продолжении луча MA отметь точку С, а на продолжении луча MB — точку D. Сравни углы АМВ и CMD.

Рис. 4.36 Рис. 4.37

204*. Углы ABC и AjBjCj равны. Равны ли смежные с ними углы?

205. За какое время часовая стрелка часов повернется: а) на развернутый угол, б) на прямой угол?

206. Реши задачу 205 для минутной стрелки часов.

207. С помощью чертежного угольника построй прямой угол. Теперь с помощью циркуля и линейки построй его биссектрису.

208*. Поля решила применить способ построения биссектрисы неразвернутого угла с помощью циркуля и линейки, рассмотренный в пункте 4, для построения биссектрисы развернутого угла. Она начертила развернутый угол с вершиной О. Провела дугу окружности с центром О, которая пересекает стороны угла. Точки пересечения обозначила буквами А и В. Затем, не меняя раствор циркуля, Поля провела окружности с центрами А и В. У этих окружностей оказалась единственная общая точка — О (рис. 4.38). Тогда Поля заявила: «С помощью циркуля и линейки биссектрису развернутого угла построить нельзя».

Старший брат Миша внимательно рассмотрел Полины построения и заметил: «Нет, задачу с помощью циркуля и линейки решить можно, но для этого нужно немного изменить способ решения».

Рис. 4.38 Рис. 4.39

Он взял циркуль и сделал раствор больше отрезка AB. Этим раствором провел дуги окружностей с центрами А и В. Построенные дуги пересеклись в точке С. Проведя с помощью линейки луч ОС (рис. 4.39), Миша сказал: «Вот искомая биссектриса!»

Прав ли Миша?

209. Сколько получится острых углов, если внутри данного острого угла из его вершины провести: а) 2 луча, б) 3 луча?

Проверь себя сам

1. Опиши своими словами, что такое определение.

2. Дай определения угла, его сторон и вершины.

3. Чем отличаются понятия «угол» и «плоский угол»?

4. Вставь в определения пропущенные слова:

- Фигура, состоящая из двух полуплоскостей..., называется двугранным углом. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются ... этого двугранного угла, а их общая граница — его ....

5. Выбери из рамки и вставь в соответствующее определение название угла.

а) Угол, стороны которого являются дополнительными лучами, называется....

б) Угол, равный половине развернутого, называется ....

в) Угол, который меньше прямого угла, называется ....

г) Угол, который больше прямого угла, называется .... 6. Закончи следующие определения:

- два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными... ;

- внутренний луч угла, делящий его на два равных ....

§ 15. Измерение углов

1. Центральный угол окружности. Отметим на окружности с центром О две точки — А и В. Построим угол АОВ (рис. 4.40). Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Значит, /.АОВ на рисунке 4.40 — центральный угол окружности.

Центральный угол АОВ определяет две дуги с общими концами. Эти дуги называют дополнительными дугами окружности.

Если /АОВ развернутый, то дополнительные дуги являются полуокружностями (рис. 4.41). Если же угол неразвернутый, то иАВ меньше полуокружности (рис. 4.40). Концы дуги AB принадлежат сторонам центрального угла, а остальные ее точки лежат внутри этого угла. Другая дуга больше полуокружности. Точки второй дуги, отличные от А и В, лежат вне центрального угла. В том случае, когда АОВ — неразвернутый угол, дугу AB, меньшую полуокружности, называют соответствующей этому центральному углу. Для развернутого угла соответствующей можно назвать любую из полуокружностей, им определяемых.

Построим два равных центральных угла окружности: /АОВ = /COD (рис. 4.42). Вращая угол АОВ вокруг центра О окружности, мы можем совместить его с равным углом COD. При этом точка А совместится с точкой С, а точка В — с точкой D (рис. 4.42, б). Но

Рис. 4.40 Рис. 4.41

тогда совместятся и дуги AB, CD, соответствующие этим углам, то есть иАВ = uCD. Таким образом, если равны два центральных угла окружности, то равны и соответствующие им дуги.

Рассмотрим теперь две равные дуги AB и CD окружности. Так как при вращении вокруг центра окружность скользит сама по себе, то дугу AB можно совместить с дугой CD. Пусть при этом точки А и В совместятся с точками С и D соответственно. Тогда радиус OA совместится с радиусом ОС, а радиус OB — с радиусом OD. Поэтому Z.AOB = ACOD. Итак, если равны две дуги окружности, то равны и соответствующие им центральные углы.

В заключении заметим, что если две дуги окружности равны, то равны и дополнительные им дуги.

Задачи и упражнения

210. На рисунке 4.43 углы АОС и BOD прямые. Докажи, что uAS = uCD.

211. Докажи, что дуги АС и BD на рисунке 4.44 равны. Затем сравни дуги ABC и BCD.

212. На рисунке 4.45 uMN = kjKL. Докажи, что /.МОК = Z.NOL.

Рис. 4.42

Рис. 4.43 Рис. 4.44 Рис. 4.45

2. Единицы измерения дуг и углов. Сравнивая дуги окружности, мы говорили, что они могут быть равными или неравными. Дуга может быть полуокружностью, а может быть меньше или больше полуокружности. Пока у нас нет более точного способа сравнения дуг.

Так же точно, сравнивая углы, мы определили равные и неравные углы, меньшие и большие; ввели понятие прямого, острого и тупого углов. Такое сравнение дает лишь очень приблизительное представление о величине того или иного угла.

Например, углы АОВ и АОС на рисунке 4.46 оба острые, но они существенно отличаются друг от друга. Значительно отличаются друг от друга и тупые углы KOL и КОМ на рисунке 4.47.

Чтобы дать более точную оценку величины угла, прибегают к его измерению. Как и измерение отрезков, измерение углов осу-

Рис. 4.46

Рис. 4.47

ществляется путем их сравнения с углом, принятым за единицу измерения. В результате измерения находят положительное число, которое характеризует величину измеряемого угла.

Рассмотрим, как строится процесс измерения дуг и углов.

Возьмем окружность и разделим ее на 360 равных частей. Мы уже видели, как на 360 равных частей разделена шкала компаса (рис. 3.33). Дугу, равную —!— части окружности, примем за единицу измерения дуг этой окружности (рис. 4.48). Эту единицу называют градусом (от латинского слова «градус» — «шаг», «ступень»). Для более точных измерений градус делится на 60 равных частей.

— часть градуса называется минутой. Минута тоже делится на 60 равных частей и ^ часть минуты называется секундой.

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части содержатся в данной дуге, называется градусной мерой этой дуги.

Если, например, градус содержится в дуге ровно 37 раз, то говорят, что градусная мера этой дуги равна 37 градусам. Это записывается так: 37°. Легко найти градусную меру и дополнительной к ней дуги: 360° — 37° = 323°. Мы учитываем, что градусная мера всей окружности равна 360°. Полуокружность составляет половину окружности, поэтому ее градусная мера 180°.

Если дуга содержит 23 градуса, 30 минут и 13 секунд, то это записывают следующим образом: 23°30' 13". Здесь градусная мера дополнительной дуги равна 336°29'47". (Объясни, почему.)

Рис. 4.48

Всякой дуге окружности соответствует определенный центральный угол. Полуокружности соответствует самый большой центральный угол — развернутый.

Центральный угол, соответствующий дуге в один градус, принимают за единицу измерения углов. Этот угол, равный части развернутого угла, также называют градусом и обозначают Г.

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой или величиной этого угла.

Из сказанного следует, что величина развернутого угла равна 180°. Можно сказать иначе: градусная мера развернутого угла равна 180°.

Так как прямой угол составляет половину развернутого, то его величина равна 90°. Величина острого угла меньше 90°, а величина тупого угла больше 90°, но меньше 180°.

Величину угла обозначают так же, как и сам угол. Если, например, градусная мера угла АОВ равна 72°, то пишут: /.АОВ = 72°. Эту запись можно читать так: «Величина угла АОВ равна 72 градусам». Или так: «Градусная мера угла АОВ равна 72 градусам». Часто ее читают и следующим образом: «Угол АОВ равен 72 градусам». Это более кратко, но не совсем верно. Угол — это геометрическая фигура, а 72° — величина угла, то есть положительное число.

Задачи и упражнения

213. Окружность на рисунке 4.49 разделена на 4 равные части. Запиши все получившиеся при этом дуги и найди градусную меру каждой из них.

Рис. 4.49

214. Проведи окружность и раздели ее на 3 равные части. Запиши все получившиеся при этом дуги и найди градусную меру каждой из них.

215. Данная дуга окружности имеет следующую градусную меру:

Найди градусную меру дополнительной к ней дуги.

216. Сколько минут в окружности?

217. Сколько секунд: в одном градусе, в окружности?

218. Вырази в градусах, минутах и секундах градусную меру дуги, которую опишет конец минутной стрелки часов: а) в течение одного часа, б) в течение получаса, в) за четверть часа, г) за 5 минут, д) за одну минуту.

219. Найди градусную меру дуги, которую опишет конец часовой стрелки: а) за четверть суток, б) за один час, в) за полчаса, г) за 15 минут, д) за 5 минут, е) за одну минуту, ж) за одну секунду.

220. Найди градусную меру дуги MN на рисунке 4.50.

221. Какие из перечисленных углов являются острыми, прямыми, тупыми и развернутыми: la = 127°, Zß =90°, ZC =63°,

Рис. 4.50

Рис. 4.51

Z£> =180°, Z£=89°30\ Z.F = 178°47'23".

222. Окружность на рисунке 4.51 разделена на 6 равных частей. Запиши:

а) все острые углы,

б) все тупые углы, Найди их градусную меру.

223. Часы показывают 12 часов. Какое время будут показывать часы, если минутная стрелка повернется на 90°, на 180°, на 30°, на 60°?

224. Какой угол образуют стрелки часов в час, в 2 часа, в 3 часа, ... , в 11 часов? Используя образец, заполни таблицу:

Время

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Угол

60°

В какое время угол между стрелками будет: острым, прямым, тупым, развернутым?

225*. Какой угол образуют стрелки часов: а) в 1 час 15 минут, б) в 5 часов 8 минут, в) в 3 часа 24 минуты?

226. По рисунку 4.52 последовательно выпиши все острые, прямые, тупые и развернутые углы.

Рис. 4.52

227. Вычисли величину угла, смежного сданным углом, если величина данного угла равна: 15°; 125°; 56°; 42°32'; 134°00'18".

228. Смежный угол одного данного угла равен 72°, а смежный угол другого — 60°. Какой из данных углов больше?

229. Найди величину углов АОВ на рисунках 4.53.

Рис. 4.53

230. Биссектриса делит прямой угол на два угла. Найди величину этих углов.

231. Данный угол разделен биссектрисой на углы по 72°. Вычисли градусную меру данного угла.

232. Развернутый угол разделен лучами на 4 равных угла. Найди величину каждого из полученных углов.

233. Вычисли величину данного угла, зная:

а) что он в два раза больше своего смежного угла;

б) что он меньше своего смежного на 18°;

в) что он составляет — своего смежного угла.

234. Прямой угол ЕМН разделен лучами МК и ML на три равных угла. Найди градусную меру всех получившихся при этом углов.

235*. Развернутый угол АОВ разделен лучами ОС и OD так, что величина угла COD вдвое больше величины угла АОС, а величина угла DOB втрое больше величины угла COD. Найди углы АОС, COD и DOB.

236. Найди величину угла КОМ на рисунках 4.54.

Рис. 4.54

237*. Возьми лист бумаги с прямым краем. Отметь на этом краю точки Л, M и В так, чтобы точка M лежала между точками А и В. Согни лист по лучу MN, где N — произвольная точка (рис. 4.55, а). При этом луч MA займет некоторое положение MAh Согни лист снова так, чтобы луч MB также занял положение MAh Если разогнуть лист, то на нем останутся две линии сгиба — MN и МК(рис. 4.55, б). Найди величину угла между этими линиями.

Указание. Для решения задачи сравни углы: AMN и NMAh ВМК и KMAf.

238*. Используя задачу 237, докажи, что биссектрисы смежных углов образуют прямой угол (рис. 4.56).

239*. Начерти на бумаге угол и вырежи модель этого угла. Отметь внутри угла точку С. Дважды согни модель угла так, чтобы стороны угла оказались на луче MC (рис. 4.57, а). Если разогнуть бумагу, то на модели угла останутся две линии сгиба, которые являются внутренними лучами этого угла (рис. 4.57, б). Сравни величину угла, образованного линиями сгиба, с величиной самого угла.

Рис. 4.55

Рис. 4.56

Рис. 4.57

240. Как с помощью двух перегибаний листа бумаги можно получить 4 прямых угла?

241*. Изготовь бумажную модель прямого угла. Используя только ножницы, отрежь от него угол в 22°30'.

3. Измерение углов. Рассмотрим полуокружность, опирающуюся на диаметр AB. Разделим ее на 180 равных частей (рис. 4.58). Если из центра О через точки деления полуокружности провести лучи, то мы получим 180 равных центральных углов величиной в Г. Любая другая полуокружность с тем же центром О, концы которой лежат на AB, будет, в свою очередь, делиться проведенными лучами на 180 равных дуг. (Эти дуги равны, так как равны соответствующие им центральные углы. При этом их градусная мера также составляет один градус.)

Сказанное позволяет изготовить инструмент для измерения углов, который изображен на рисунке 4.59. Этот инструмент называется транспортиром. Шкала транспортира располагается на полуокружности и разделена на 180 равных частей. Центр полуокружности отмечен штрихом на верхнем краю линейки транспортира.

Измерение углов с помощью транспортира производится следующим образом.

Пусть нам необходимо измерить ZAOB (рис. 4.60). Для этого совместим центр полуокружности транспортира с вершиной О угла

Рис. 4.58

Рис. 4.59

Рис. 4.60

Рис. 4.61

(сделаем этот угол центральным углом полуокружности шкалы транспортира). Верхний край линейки транспортира направим по одной из сторон угла. Против другой стороны угла читаем на шкале величину измеряемого угла. В нашем случае /АОВ = 60°.

При измерении углов имеют место следующие свойства:

а) равные углы имеют равные градусные меры;

б) больший угол имеет большую градусную меру, меньший угол имеет меньшую градусную меру;

в) если внутренний луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Транспортир применяют и для построения углов заданной величины.

Пусть, например, нужно построить /.ЕМК, величина которого равна 135°. Для этого строим луч МК Накладываем на луч транспортир так, чтобы центр полуокружности совпал с точкой М9 а сам луч МК проходил через начало отсчета шкалы транспортира.

Против штриха, соответствующего 135°, ставим точку Е. Проводим луч ME. Построенный угол будет искомым.

Задачи и упражнения

242. С помощью транспортира измерь углы, изображенные на рисунке 4.62, и запиши результаты измерений.

Рис. 4.62

243*. Транспортиры могут отличаться размерами. Сравни, например, свой и тот, с которым работают у классной доски. На большом транспортире штрихи, показывающие градусы, поставлены реже; на малом транспортире эти штрихи гуще. Как объяснить, что получается один и тот же результат независимо от того, измеряем угол большим или малым транспортиром?

244. Начерти в тетради два острых и два тупых угла. Измерь их с помощью транспортира и запиши результаты измерений.

245. Найди углы аов на рисунке 4.63.

244. Измерь транспортиром углы аов, аос и сов на рисунке 4.64. Вычисли сумму градусных мер углов аов и сов. Сделай вывод.

245. Измерь углы SPT, TPR и SPR (рис.4.65). Вычисли разность Z.SPR — Z.TPR. Сделай вывод.

Рис. 4.63

Рис. 4.64

Рис. 4.65

246. Начерти угол, равный: а) 30°, б) 72°, в) 90°, г) 150°, д) 178°. Определи вид каждого угла.

247. Начерти произвольный угол. С помощью транспортира построй его биссектрису.

248. Построй угол ABC, величина которого равна 18°. Затем начерти угол, величина которого:

а) на 36° больше величины угла ABC;

б) в 4 раза больше, чем величина угла ABC.

249. Начерти угол в 120°. Затем начерти угол, который:

а) на 42° меньше начерченного угла;

б) в 5 раз меньше начерченного угла;

в) составляет — начерченного угла.

250. С помощью транспортира и линейки построй прямой угол и раздели его на 5 равных углов.

251. Начерти угол в 150°. С помощью транспортира разбей его на 3 равных угла.

252. Проведи окружность. С помощью транспортира раздели эту окружность на п равных частей. Последовательно соедини точки деления хордами. Реши задачу для п = 3, 4, 5, 6.

Решение. Рассмотрим решение задачи для п=5. Вся окружность имеет градусную меру 360°. Ее пятая часть будет составлять 360° : 5 = 72°. Поэтому решение задачи сводится к построению 5 центральных углов окружности в 72°, прилежащих друг к другу. Отметим центр окружности буквой О и выберем на ней некоторую точку А{. Проведем луч 0/4/. На луче как на стороне строим угол, величина которого равна 72°. Затем строим Z.A2OA3 той

Рис. 4.66

же величины на [0Л2). Аналогично строим АА3ОА4 = 72° и ZA4OA5 = 72°. Последовательно соединяем точки AhA3, A3j А4 и А5 отрезками.

4. О чертежных угольниках. Чертежные угольники мы применяли для построения прямых углов. Однако с их помощью можно строить и другие углы, наиболее часто встречающиеся в чертежах.

Угольники, которые выпускает наша промышленность, бывают двух видов (рис.4.67). У угольника первого вида углы имеют величины: 30°, 60° и 90°. Угольник второго вида имеет, кроме угла в 90°, два угла по 45°.

Значит, с помощью чертежных угольников можно строить углы в 30°, 45°, 60°, 90°. И не только их. Немного смекалки, и с помощью двух различных угольников можно построить целый ряд других углов.

Так, например, на рисунке 4.67 показано, как построить угол в 75°.

Задачи и упражнения

255. Построй с помощью чертежных угольников углы в 15°, 105°, 120°, 135°, 150°, 165°, 180°.

Проверь себя сам

1. Вставь пропущенные слова.

Угол АОВ с вершиной в центре О окружности w (А,В G w) называется ее ... . Центральный угол АОВ окружности опре-

Рис. 4.67

деляет две... с общими концами А и В. Если угол АОВ — неразвернутый, то дугу AB, меньшую полуокружности, называют ... этому углу. Два центральных угла окружности равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие им ....

2. Закончи следующие определения:

- Угол, равный части развернутого угла, называют... ;

- Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется....

3. Какие из инструментов служат для измерения отрезков, а какие — для измерения углов:

транспортир, рулетка, мерная лента, измерительная линейка, астролябия, эклиметр, теодолит, дальномер?

(Если ты затрудняешься ответить на этот вопрос, прочитай §7 и §16.)

§ 16. Материалы для дополнительного чтения

1. Еще о единицах измерения углов. У вас наверняка возник вопрос: «Почему при измерении углов окружность делят именно на 360 равных частей?» Ответ на этот вопрос надо искать в глубокой древности. Многие народы пользовались при счете шестидесятеричной системой исчисления. (Наша система исчисления, как вы хорошо знаете, является десятичной.) Шестидесятеричную систему использовали, например, шумеры и вавилоняне. Следы счета «шестидесятками» прослеживаются и в Древней Греции.

Следует также заметить, что во многих древних календарях год считался равным 360 дням, то есть шести шестидесяткам.

Первоначально измерение углов было связано с потребностями астрономии (см. §13, п.3). Древнегреческий ученый Клавдий Птолемей (ок. 100 — ок. 178 гг.), создавший геоцентрическую си-

стему мира, изложил ее в своем главном труде «Великое математическое построение астрономии в 13 книгах» («Альмагест»). В этой работе Птолемей заимствует у вавилонских астрономов деление окружности на градусы, минуты и секунды. В 13 книгах «Альмагеста» (это название труд Птолемея получил в средневековых арабских переводах) изложена теория видимого движения Солнца, Луны, планет и звезд. Работа Птолемея была настоящей энциклопедией древних астрономических знаний. В течение нескольких столетий ею пользовались астрономы и математики разных стран и народов. Деление окружности на 360 градусов, градуса — на 60 минут, а минуты — на 60 секунд стало настолько общеупотребительным, что сохранилось до наших дней.

Другой единицей измерения углов является радиан. С этой единицей мы познакомимся в старших классах.

Иногда углы измеряются в долях прямого угла, величину которого обозначают буквой d. В этих обозначениях развернутый угол равен 2d. Углы, например, в 30°, 45°, и 60° запишутся так:

Рис. 4.68

В морской навигации в качестве основной единицы принято использовать румб. Морской румб определяется центральным углом, соответствующим дуге, равной — части окружности. В метеорологии свой румб, который вдвое больше морского (рис. 4.68).

2. Инструменты для измерения углов. С измерением углов человеку приходится сталкиваться и в своей практической деятельности. В качестве примера можно привести измерительные работы, выполняемые на земной поверхности для создания карты или плана. Для проведения измерительных работ на местности используются различные инструменты.

Простейшим угломерным инструментом, известным еще со времен Птолемея, является астролябия (рис. 4.69). Она состоит из круглого диска, разделенного на градусы (лимба), и вращающейся вокруг центра лимба визирной линейки (алидады). На концах алидады расположены диоптры, которые используются для ее установки в нужном направлении. Глазной диоптр имеет узкий продольный вырез с укрепленным в середине тонким волосом. При помощи втулки прибор крепится на штативе. В настоящее время астролябия используется, как правило, только для учебных целей.

Рис. 4.69

Рис. 4.70

Рис. 4.71

Астролябия позволяет измерять углы, расположенные в горизонтальной плоскости. Для измерения углов, расположенных в вертикальной плоскости, применяется, например, эклиметр, (рис. 4.70).

Более совершенным и современным инструментом является теодолит (рис. 4.71), с помощью которого можно измерять как горизонтальные, так и вертикальные углы. Теодолит снабжен зрительной трубой, имеющей большое увеличение. Это дает возможность наблюдать предметы, расположенные на значительном расстоянии. Кроме того, с помощью оптического дальномера и приданной к нему рейки теодолитом можно измерять расстояния. Теодолиты находят широкое применение при топографических, землеустроительных, проектировочных, лесоустроительных и других работах. При космической съемке земной поверхности, для наблюдения за небесными телами, искусственными спутниками и космическими кораблями применяются еще более сложные измерительные приборы. Данные от них, как правило, обрабатываются с помощью ЭВМ.

3. Измерение плоских углов. С помощью окружности, разделенной на 360 равных частей, можно измерять и плоские углы. Плоские углы также измеряются в градусах.

Напомним, что обычный линейный угол делит плоскость на две части и с каждой из них образует плоский угол (рис. 4.72, а, б). Поэтому всякий линейный угол определяет два плоских угла. Эти углы называются дополнительными плоскими углами. Они имеют общую вершину и общие стороны.

Рис. 4.72

Проведем произвольную окружность, центр которой совпадает с общей вершиной дополнительных плоских углов (рис. 4.72, в). Точки пересечения сторон углов с окружностью обозначены на рисунке буквами А и В. Эти точки являются концами дополнительных дуг окружности. Каждая дуга принадлежит одному из рассматриваемых плоских углов. Принято говорить, что она соответствует этому углу.

На рисунке 4.73, а изображен развернутый плоский угол. Он представляет собой замкнутую полуплоскость, на границе которой отмечена точка О — вершина угла. Плоский угол на рисунке б меньше плоского развернутого угла, а на рисунке в — больше.

Если плоский угол не больше плоского развернутого угла, то его градусной мерой, или величиной, называется градусная мера обычного линейного угла с теми же сторонами. Поэтому градусная мера развернутого плоского угла равна 180°, а градусная мера

Рис. 4.73

плоского угла на рисунке б — градусной мере угла СОВ. Если плоский угол больше развернутого плоского угла, то его градусная мера равна 360° — а, где а — градусная мера дополнительного плоского угла. Так, градусная мера плоского угла на рисунке в равна разности 360° — /.DOB.

Эти определения позволяют измерять плоские углы с помощью транспортира. Попытайся самостоятельно измерить плоские углы на рисунке 4.74.

Вернемся, наконец, к рисунку 4.72, в. Не трудно заметить, что величина плоского угла равна градусной мере соответствующей ему дуги.

Иногда и в математике, и в практической деятельности приходится рассматривать угол, стороны которого совпадают. Принято считать, что градусная мера такого угла 0°. На рисунке 4.75 изображен плоский угол, дополнительный к углу в 0°. Этот угол называется полным. Поскольку градусная мера окружности равна 360°, то величина полного угла также считается равной 360°.

Рис. 4.74

Рис. 4.75

§ 17. Геометрические досуги

В этот раз мы рассмотрим несколько интересных задач, связанных с циферблатом часов, и научимся изготовлять еще одну елочную игрушку.

28. В полночь заканчиваются сутки, и стрелки часов начинают отсчет новых. Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки будут:

а) образовывать развернутый угол;

б) образовывать прямой угол;

в) находиться на одном луче с началом в центре циферблата?

29. Представь, что стрелки часов находятся на одном луче. На какой угол должна повернуться часовая стрелка часов для того, чтобы обе стрелки вновь оказались на одном луче?

30. Дома у Саши часы с боем, которые бьют каждый час. Когда Саша пришел из школы, угол между стрелками был тупой. Ровно через полчаса часы пробили. В этот момент угол между стрелками был прямым. Когда Саша пришел из школы?

31. Теперь мы научимся изготовлять еще один фонарик. Для этого потребуется бумага, циркуль, транспортир, ножницы и клей.

Проведи на бумаге две концентрические окружности с радиусами 9 см и 10 см (рис. 4.76, а). Проведи диаметр большой окружности. Затем вырежи большой круг и разрежь его по диаметру на два полукруга. Полуокружности раздели с помощью транспортира на 12 равных частей. Края надрежь (рис. б). Это лепестки. Придай им треугольную форму и отогни (рис. в). Из каждой детали склей колпачок (рис. г). Оба колпачка приклей друг к другу лепестками (рис. д). Фонарик готов. Раскрась его красками.

Фонарику можно придать и несколько иную форму, если предварительно согнуть полукруги по радиусам (рис. 4.77),

Рис. 4.76

Рис. 4.77

Глава V

Треугольник и тетраэдр

§ 18. Треугольник

1. Какие бывают треугольники. Треугольником мы назвали замкнутую ломаную, содержащую три звена. Для того, чтобы построить треугольник, достаточно отметить три точки, не

лежащие на одной прямой, и соединить их отрезками. При этом отмеченные точки являются вершинами треугольника, а соединяющие их отрезки — его сторонами.

На рисунке 5.1 изображен треугольник с вершинами Л, В, С и сторонами AB, ВС и CA. Для обозначения этого треугольника используется запись: ААВС. Такая запись читается так: «треугольник ABC». Этот же треугольник можно обозначить иначе, записав буквы Л, В и С в другом порядке: АВСА, АСАВ, ... Кстати, сколько всего существует различных способов обозначения треугольника? Перечисли их.

Продолжим сторону AB треугольника за точку В, а сторону АС — за точку С. Лучи AB и АС образуют угол ВАС. Этот угол называют углом треугольника ABC и, как правило, обозначают АА либо ABAC. Любой треугольник имеет три угла, что объясняет происхождение названия этой геометрической фигуры.

Рис. 5.1

Раньше мы упоминали, что дойны сторон треугольника удовлетворяют определенным соотношениям. Вспомни — каким? Запиши эти соотношения для ААВС.

В зависимости от длины сторон различают три вида треугольников: разносторонние, равнобедренные и равносторонние (рис. 5.2).

Если все стороны треугольника имеют различные длины, то треугольник называется разносторонним.

Треугольник, у которого две его стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Равносторонний треугольник можно считать разновидностью равнобедренного. Любые две его стороны можно принять за боковые стороны, а третью сторону — за основание. Все треугольники можно разбить на следующие классы.

Рис. 5.2

На рисунке 5.2 равные стороны отмечены с помощью штрихов.

Напомним, что сумма длин всех сторон треугольника называется его периметром. Длины сторон ААВС обычно обозначают малыми латинскими буквами: \ВС\ = а, \СА\ = Ь, \АВ\ = с (рис. 5.3). Вершина и длина противоположной стороны обозначены одной и той же буквой: вершина — большой, а длина стороны — малой. Если периметр этого треугольника обозначить буквой P, то его можно вычислить так:

Замечание. Равенство Р = а + b + с представляет собой правило вычисления периметра треугольника, записанное с помощью букв. Запись правила с помощью букв называется формулой. Вторая классификация треугольников связана с величиной их углов. В дальнейшем мы покажем, что в треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — прямой или тупой. Поэтому в зависимости от величины углов существует три вида треугольников (рис. 5.4).

Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным.

Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона — гипотенузой прямоугольного треугольника.

Треугольник, у которого один из углов тупой, называется тупоугольным.

Рис. 5.3

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Всякий треугольник делит плоскость на две части. Одной части принадлежат точки, которые лежат внутри треугольника, а другой — точки вне его. На рисунке 5.5 точки M и N лежат внутри треугольника, а точки К и L — вне его.

Фигуру, состоящую из треугольника и всех точек, лежащих внутри него, также называют треугольником. Замечание. Треугольник - ломаная и треугольник - часть плоскости, ограниченная этой ломаной, — различные геометрические фигуры. Употребление для них одного и того же названия может привести к недоразумению. Поэтому вторую фигуру иногда называют плоским треугольником.

Задачи и упражнения

256. Сколько треугольников на каждом из рисунков 5.6?

257. Найди 27 треугольников в фигуре на рисунке 5.7.

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Рис. 5.9

258. Найди 47 треугольников в фигуре на рисунке 5.8.

259. Начерти треугольник. Проведи две прямые так, чтобы на рисунке оказалось: а) 2, б) 3, в) 4, г) 5, д) 6, е) 8 треугольников.

260. Назови вид каждого треугольника (рис. 5.9): а) в зависимости от длины его сторон, б) в зависимости от величины углов.

261. Вырежи из бумаги треугольник. С помощью перегибаний этого треугольника определи его вид в зависимости от длины сторон.

262. С помощью чертежного угольника начерти остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники.

263. Начерти разносторонний, равнобедренный и равносторонний треугольники, используя циркуль и линейку. Вершины треугольников обозначь буквами. Для равнобедренного и равностороннего треугольников запиши равенства, связывающие их стороны.

264. Используя чертежный угольник и циркуль, начерти разносторонний прямоугольный треугольник.

265. Используя чертежный угольник и циркуль, начерти прямоугольный равнобедренный треугольник.

266. Пользуясь только ножницами и перегибанием, вырежи из бумаги:

а) прямоугольный равнобедренный треугольник,

б) остроугольный разносторонний треугольник,

в) тупоугольный равнобедренный треугольник.

267. Начерти тупоугольный треугольник ABC с тупым углом С. На стороне AB отметь точки Е и H так, чтобы ААСЕ был прямоугольным, a AACH — тупоугольным.

268. Начерти разносторонний треугольник QPR, в котором сторона PQ больше стороны PR. На стороне PQ отметь точку S так, чтобы APRS был равнобедренным.

269*. Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на два остроугольных треугольника?

270*. Можно ли из проволоки длиной 18 см согнуть треугольник, одна из сторон которого будет равна: 7 см, 9 см, 12 см?

271. В треугольнике ЕКМ длина стороны КМ на 5 см больше

длины стороны ЕК, а длина стороны ЕК на 3 см больше длины стороны ЕМ. Найди периметр АЕКМ, если \ЕМ\ = 16 см.

272. В APQR сторона RQ на 2 см больше стороны PR, а сторона QP на 2 см меньше стороны RQ. Найди периметр APQR, если \PR\= 10 см.

273. В треугольнике ABC сторона ВС на 1 м длиннее стороны AB, а сторона АС на 2 ж меньше суммы длин сторон AB и ВС. Запиши формулу, с помощью которой можно найти периметр этого треугольника, если \АВ\= а. Вычисли периметр при а = 3.

274*. В треугольнике НКМ: \НК\+ \КМ\= 25 дм, \НМ\+ \МК\= 40 дм и \НК\+ \КМ\+ \МН\ = 45 дм. Вычисли длины сторон этого треугольника и определи его вид в зависимости от длины сторон.

275. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см. Найди сторону этого треугольника.

276. В равнобедренном треугольнике боковая сторона на 5 дм больше основания. Найди стороны этого треугольника, если его периметр равен 46 дм.

277*. Одна из сторон равнобедренного треугольника равна 18 см, а вторая — половине третьей. Чему равен периметр такого треугольника?

278. Сторона равностороннего треугольника равна а ж. Запиши формулу для вычисления периметра Р этого треугольника. Вычисли периметр треугольника при а = 12,5.

279. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна а см, а длина основания — b см. Запиши формулу для вычисления периметра Р этого треугольника. Могут ли а и b принимать следующие значения: а) а = 12, b = 6; б) а = 6, b = 12?

280. В треугольнике одна из сторон равна 6 см, вторая больше ее в 2 раза, а третья — в 2,5 раза. Чему равен периметр этого треугольника?

281. В треугольнике ABC сторона AB равна 15 см. Эта сторо-

на меньше стороны ВС в 4 раза. Периметр треугольника равен 125 см. Найди длину стороны АС.

282. В треугольнике одна из сторон равна 16 см. Вторая сторона больше ее на 7 см, а длина третьей стороны на 22 см меньше суммы длин первых двух сторон. Найди периметр треугольника.

283. Одна из сторон треугольника 27 дм, вторая а дм, а третья Ь дм. Составь формулу для нахождения периметра этого треугольника и вычисли его, если а = 23, 6=18.

284. Периметр треугольника 31 см, одна сторона 9 см, а вторая а см. Запиши формулу для нахождения третьей стороны треугольника. Вычисли длину третьей стороны при а = 10 см.

285. Начерти треугольник. Отметь две точки внутри треугольника и три точки вне его.

2. Равные треугольники. Согласно пункту 3 § 1 два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. (Заметим, что это определение не требует, чтобы треугольники лежали в одной плоскости.)

Начертим на листе плотной бумаги или картона треугольник и аккуратно вырежем его. Мы изготовили модель плоского треугольника. Возьмем кальку и дважды обведем на ней карандашом или ручкой вырезанный треугольник. На кальке будут изображены два равных треугольника. Объясни, почему. Обозначим вершины одного из треугольников буквами А, В и С, а соответствующие вершины другого — буквами Л/, Bj и С/ (рис. 5.10).

Рис. 5.10

На другом листе кальки вновь дважды обведем вырезанный треугольник. При этом, прежде чем обводить треугольник второй раз, перевернем его другой стороной. Соответственные вершины обозначим теми же буквами ( рис. 5.11).

Разрежем кальку так, как показано на рисунках. Теперь каждый из треугольников ABC и AfBjCf можно наложить на другой таким образом, что они полностью совместятся. Во втором случае кальку предварительно нужно перевернуть (рис. 5.12).

После наложения треугольников совместятся соответственные вершины, а, значит, совместятся соответственные стороны и соответственные углы:

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Таким образом, в равных треугольниках:

- соответственные стороны равны,

- соответственные углы равны.

Равенство треугольников ABC и Л,В,С/ будем записывать так: ААВС = AAjBjCj (читается «треугольник ABC равен треугольнику AjBiCj»).

Обычно на рисунках и чертежах равные соответственные стороны отмечают одинаковым числом штрихов, а равные соответственные углы — одинаковым числом дуг (рис. 5.13).

Из рисунка 5.13 видно, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны. Замечание. Часто в математической речи стороны и углы треугольника объединяют одним общим названием — элементы треугольника.

Рис. 5.13

Задачи и упражнения

286. Вырежи из картона или плотной бумаги треугольник. С помощью этого треугольника изобрази в тетради два равных треугольника. Обозначь их вершины буквами и запиши равенства, связывающие соответствующие элементы.

287. На глаз в каждой из фигур (рис. 5.14) проведи отрезок карандашом так, чтобы получилось два равных треугольника. Проверь свое предположение с помощью транспортира и циркуля.

Рис. 5.14

288. Мысленно разбей каждую из фигур (5.15) на два равных треугольника.

Рис. 5.15

289. По рисунку 5.16 назови:

а) стороны, лежащие против углов О, Р и Н;

б) углы, лежащие против сторон РН, НО и ОР\

в) углы, прилежащие к сторонам РН, НО и ОР.

290. Могут ли два треугольника быть равными, если:

а) один из них разносторонний, а другой равнобедренный;

б) один из них равнобедренный, а другой равносторонний;

в) один из них остроугольный, а другой прямоугольный;

г) один из них тупоугольный, а другой остроугольный? Обоснуй свой ответ.

291. Вырежи из бумаги несколько равносторонних треугольников. Перегибая эти треугольники, докажи, что равносторонний треугольник можно разрезать: а) на два равных треугольника, б) на три равных треугольника, в) на четыре равных треугольника, г) на шесть равных треугольников, д) на восемь равных треугольников, е) на 12 равных треугольников.

Проверь себя сам

1. Вставь пропущенные слова.

В зависимости от длины сторон треугольники бывают: ... , ... , .... В зависимости от величины углов треугольники бывают:...,...,...

2. Дай определения каждого вида треугольников, вставляя вместо первого многоточия название треугольника, а вместо второго — определяющее его свойство.

Треугольник называется ..., если ... .

3. Как называются стороны равнобедренного треугольника?

4. Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Рис. 5.16

§ 19. Построение треугольников по трем элементам. Признаки равенства треугольников

1. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Казалось бы, что для построения треугольника нужно знать все его стороны и все углы. Однако, как мы увидим, это совсем необязательно. В некоторых случаях треугольник однозначно задается только тремя своими элементами.

Пусть, например, нужно с помощью измерительной линейки и транспортира построить треугольник ABC, у которого стороны AB и АС имеют соответственно длины 5 см и 4 см, а величина угла между ними равна 45°.

Для построения такого треугольника нужно выполнить следующие операции:

1) с помощью линейки строим отрезок AB, длина которого равна 5 см (рис. 5.17, кадр 1 );

2) в одной из полуплоскостей с границей AB с помощью транспортира строим ZBAM, вели- ^— чина которого равна 45° (кадр 2);

Рис 5.17

3) на луче AM с помощью линейки строим \ас\ = 4 см (кадр 3);

4) соединяем точки в и С (кадр 4). Треугольник ABC — искомый (кадр 5).

Возникает вопрос: «Получится ли треугольник, равный треугольнику ABC, если вновь повторить указанные построения?»

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем лист кальки. Повторив перечисленные операции, построим на нем ДЛ/ß/C/, у которого \AjBjl = 5см, И/С/1 = Асм, ZAj = 45°(рис. 5.18).

Наложим кальку на лист с изображением треугольника ABC (рис. 5.19). Так как по построению ZA = ZAf = 45°, то эти углы можно совместить с помощью наложения так, что вершина а совместится с вершиной аI, сторона AB — со стороной AjBha сторона ас — со стороной A jCf. Но в силу того, что \ав\ = \AjBj\ = 5 см и \ас\ = И/С/1 =4 см, точка в совместится с точкой Bh а точка с — с точкой С/. Поскольку две точки можно соединить единственным отрезком, стороны вс и BtCt треугольников также совместятся. Следовательно, аавс = АЛ/ß/C/.

Очевидно, что в приведенных рассуждениях заданные длины сторон и величина угла между ними не играют существенной роли. Если их заменить другими числами, то

Рис. 5.18

Рис. 5.19

мы аналогично можем доказать равенство соответствующих треугольников. Существенным в рассуждении является то, что у двух рассматриваемых треугольников равны две стороны и угол между ними. Сказанное позволяет сделать следующий вывод:

- если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Сформулированное предложение называется первым признаком равенства треугольников.

В геометрии под признаком понимают некоторую совокупность условий, которых достаточно для того, чтобы утверждать, что некоторая фигура принадлежит к определенному классу фигур, или утверждать, что данные фигуры находятся в определенных отношениях. Так, в нашем случае равенства у треугольников двух соответственных сторон и углов между ними достаточно для того, чтобы говорить о равенстве самих треугольников.

Задачи и упражнения

292. Построй треугольник PQR, у которого:

а) \PQ\ = 6,2 см, \PR\ = 3,4 см, АР = 37°;

б) \QP\ = 0,5 дм, \QR\ = 0,4 дм, ZQ = 120°.

293. Построй прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2,8 см, а другой катет вдвое больше первого.

294. Построй равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 5,4 см, а угол, лежащий против основания, равен 60°.

295. Построй прямоугольный равнобедренный треугольник, один из катетов которого равен 0,4 дм.

2. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. Построим теперь ААВС, у которого сторона AB имеет длину 6 см, а прилежащие к ней углы А и В — величину 36° и 78° соответственно: \АВ\ = 6 см, LA = 36°, AB = 78°.

Этот треугольник строится так:

1) с помощью линейки строим отрезок AB, длина которого равна 6 см (рис. 5.20, кадр 1 );

2) в одной из полуплоскостей с границей AB с помощью транспортира строим /.ВАМ = 36° (кадр 2);

3) в этой же полуплоскости строим Z.ABN = 78° (кадр 3);

4) отметим точку пересечения лучей AM и BN буквой С (кадр 4). Треугольник ABC — искомый.

Повторив все построения, изобразим на кальке AAjBjCj, у которого \AfBi\ = 6 см, ZAj = 36°, Zß; = 78° (рис. 5.21). Докажем, что этот треугольник равен ААВС.

Наложим второй треугольник на первый так, чтобы вершина А} совместилась с вершиной А, а сторона AjBf — со стороной AB. Так как \А {В{ I = \АВ\ = 6 см, то это можно сделать. При этом кальку будем накладывать таким образом, чтобы

Рис. 5.20

вершины С и С/ оказались по одну сторону от прямой AB (рис. 5.22).

В силу того, что ZAj = ZЛ = 36°, ABt = AB =78°, сторона А/С/ ляжет на луч АС, а сторона BtCt — на луч ВС.

Но тогда вершина С/ треугольника ДЛ/ß/C/ окажется как на луче ЛС, так и на луче ßC, то есть совместится с общей точкой этих лучей — вершиной С треугольника ABC. Значит, сторона Л/С/ совместится со стороной ЛС, сторона BjCj — со стороной ВС, а угол С/ — с углом С. Поэтому треугольники Л/ß/C/ и ABC полностью совместятся и, следовательно, AAjBjCj = ААВС.

Вновь в наших рассуждениях заданные длина стороны и меры прилежащих к ней углов могут быть другими. Однако, и при новом выборе данных соответствующие им треугольники будут равны. Это говорит о том, что

- если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Выделенное предложение называется вторым признаком

равенства треугольников. Этот признак гарантирует равенство двух треугольников, у которых имеется по равной стороне и паре равных углов, прилежащих к этой стороне.

Рис. 5.21

Рис. 5.22

Задачи и упражнения

296. Построй треугольник ABC, в котором:

а) \АС\ = 5,4 см, ZA = 42°, ZC = 63°;

б) \АВ\ = 0,4 дм, АА = 100°, AB = 32°.

297. Построй прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен 60°.

298*. Построй отрезок ЕК Можно ли построить треугольник, для которого этот отрезок является стороной, а прилежащие к ней углы имеют величину:

a)Z£=35°, Z#=76°;

6)Z£= 108°, Z/( =34°;

b)Z£ = 90°, ZK =90°;

r) Z£= 112°, Z/C=94°?

Найди сумму градусных мер углов Е и К в каждом из случаев. Сравни найденную сумму с градусной мерой развернутого угла. Какой можно сделать вывод?

3. Построение треугольника по трем сторонам. Пусть требуется построить треугольник ABC, у которого стороны AB, ВС и CA имеют соответственно длины 6 см, 4 см и 3 см.

Мы знаем, что в треугольнике сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей стороны. Заданные размеры сторон этому условию соответствуют, поэтому треугольник построить можно. Рассмотрим, как это сделать (рис. 5.23):

1 ) с помощью линейки строим отрезок длиной 6 см (кадр 1 );

2) строим окружность с центром А, радиус которой равен 3 см (кадры 2—3);

3) проводим окружность с центром В, радиус которой равен 4 см (кадр 4—5);

4) одну из точек пересечения окружностей обозначим буквой С (кадр 5);

5) соединяем точку С с точками А и В отрезками (кадры 6—7).

(Объясни, почему точку С мы строили указанным способом.)

По построению: \АВ\ = 6 см. Отрезок АС является радиусом первой окружности и, значит, равен 3 см: \АС\ = 3 см. Отрезок ВС — радиус второй окружности, поэтому \ВС\ = 4 см. Следовательно, ААВС — искомый (кадр 8).

Если построить другой треугольник, у которого стороны также равны 6 см, 4 см и 3 см, то он будет равен треугольнику ABC. Можно предположить, что

если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это на самом деле так. Выделенное предложение называется

Рис. 5.23

третьим признаком равенства треугольников. Установить его справедливость с помощью рассуждений уже не так просто. В 7 классе вы узнаете, как это сделать.

Задачи и упражнения

299. Построй треугольник ЕКМ, у которого:

а) \ЕК\ =5 см, \ЕМ\ = 4 см, \КМ\ = 3 см;

б) \ЕК\ = 4,2 сж, |£Af| = 5,3 см, \КМ\ = 0,4 дм;

в) = 0,6 дм, \ЕМ\ = 0,4 дж, \КМ\ = 0,2 дж;

г) \ЕК\ = 6,2 сж, |Ш| = 2,1 сж, = 3,8 см.

Объясни, почему в случаях виг треугольник построить нельзя.

300. Начерти равносторонний треугольник со стороной 4 см.

301. Построй равнобедренный треугольник, у которого основание 3,2 см, а боковая сторона 4,3 см.

302. Длины сторон треугольника ABC связаны равенствами: \АВ\ + \ВС\ + \СА\ = 15 см, \АВ\ + \ВС\ = 10 см, \АВ\ + \АС\ = 9 см. Построй треугольник ABC.

303. В равнобедренном треугольнике боковая сторона вдвое длиннее основания. Построй этот треугольник, если длина основания равна 0,3 дм.

304. Не прибегая к измерениям, построй с помощью циркуля и линейки треугольник, равный треугольнику ABC (рис. 5.24).

305. Могут ли отрезки PQ, QR, RP (рис. 5.25) быть сторонами некоторого треугольника? Если да, то с помощью циркуля и линейки построй этот треугольник.

Рис. 5.24 Рис. 5.25

306. Начерти три отрезка и построй треугольник, стороны которого равны этим отрезкам. (Построение выполни с помощью циркуля и линейки.)

307*. Можно ли разносторонний треугольник разрезать на два равных треугольника?

Проверь себя сам

1. Какие из условий, стоящих в рамке, превращают математическое предложение в верное утверждение?

A. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,

Б. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника,

B. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника,

Г. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

§ 20. Применения признаков равенства треугольников

1. Свойства равнобедренного треугольника. Мы уже встречались с некоторыми свойствами равнобедренного треугольника. Рассмотрим их более подробно.

Начертим на бумаге равнобедренный треугольник и вырежем его. Вершины при основании обозначим буквами В и С, а третью вершину — буквой А. Тогда боковые стороны треугольника будут обозначены AB и АС (рис. 5.26, а).

Согнем треугольник так, чтобы линия сгиба прошла через вершину Л, а вершина В совместилась с вершиной С. Это можно сделать, так как [AB] = [АС] (рис. 5.26, б).

Вновь расправим треугольник. Точку пересечения линии сгиба с основанием обозначим буквой D (рис. 5.26, в).

Перечислим выводы, которые можно сделать на основе проведенного перегибания равнобедренного треугольника ABC.

А. Угол BAD совмещается с углом CAD. Значит, Z.BAD = /.CAD и отрезок AD лежит на биссектрисе угла А треугольника. Такой отрезок называют биссектрисой треугольника.

Рис. 5.26

Б. Отрезок BD совмещается с отрезком CD. Следовательно, [BD] = [CD] и точка D является серединой отрезка ВС. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой этого треугольника.

В. Треугольник ABD совмещается с треугольником ACD. Поэтому AABD =AACD.

Г. Из равенства этих треугольников следует, что Zß=ZC, и значит, углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Д. Так как смежные углы ADB и ADC равны, то они являются прямыми.

Перечисленные выводы позволяют сделать следующее заключение:

в равнобедренном треугольнике биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают и образуют с основанием прямой угол.

Замечание. Поскольку равносторонний треугольник является разновидностью равнобедренного, сформулированное свойство будет справедливо для любой биссектрисы (медианы) равностороннего треугольника.

Это вновь легко проверить с помощью перегибания. Самостоятельно вырежи из бумаги равносторонний треугольник и выполни перегибания, показанные на рисунке 5.28.

Перегибания позволяют, кроме того, заметить, что все углы равностороннего треугольника равны. (Объясни, почему.) Используя первый признак равенства треугольников, пере-

Рис. 5.27

Рис. 5.28

численные выводы можно получить путем рассуждений. При этом отпадает необходимость вырезать и перегибать треугольник. Покажем, как провести такие рассуждения.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС (рис. 5.27). Пусть AD — биссектриса этого треугольника, тогда /BAD = ACAD.

В треугольникахи/ICD: AD — общая сторона, [AB] = [АС] по определению равнобедренного треугольника и /BAD = /.CAD. Значит, AABD = AACD по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что [BD] = [DC], /В = ZC, /ADB = /ADC. Поэтому ... (Попытайся сам сформулировать полученные выводы в устной форме.)

Задачи и упражнения

308. Построй равнобедренный треугольник, у которого основание 4 см, а один из углов, прилежащих к основанию — 45°.

309. Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 3,4 см, боковая сторона — 6 см. Построй этот треугольник.

310. В равнобедренном треугольнике основание и медиана, проведенная к основанию, равны 0,42 дм. Построй этот треугольник.

311*. Все стороны четырехугольника ABCD (рис. 5.29) равны. Докажи, что/АОВ = /СОВ = /AOD = /COD = 90°.

312*. Докажи, что все медианы равностороннего треугольника равны.

313*. Докажи, что все биссектрисы равностороннего треугольника равны.

Рис. 5.29

2. Что такое теорема. Вы, конечно, слышали, что в старших классах на уроках математики доказывают теоремы. Чтобы понять, что такое теорема и ее доказательство, рассмотрим одну из самых простых геометрических теорем.

На рисунке 5.30, а изображен угол АОВ. Построим луч ОС, дополнительный к лучу OA, и луч OD, дополнительный к лучу OB (рис. 5.30, б). Лучи ОС и OD являются сторонами нового угла с вершиной О.

Рис. 5.30

Два угла, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого, называются вертикальными.

Значит, углы АОВ и COD на рисунке 5.30, б вертикальные.

Сравним величину этих углов. Измерим с помощью транспортира сначала величину угла АОВ, а затем величину угла COD. При этом мы увидим, что полученные величины совпадают (в пределах точности, которую допускает транспортир). Такую опытную проверку можно повторить для нескольких пар других вертикальных углов. При этом каждый раз мы будем убеждаться в том, что вертикальные углы равны. Однако даже многократная проверка не гарантирует того, что наш вывод справедлив для любой пары вертикальных углов. В геометрии справедливость этого утверждения устанавливается не с помощью проверки, а путем рассуждений, которые убеждают нас в том, что наше утверждение справедливо для любых вертикальных углов.

В математике утверждение, правильность которого установлена при помощи рассуждений, называется теоремой. При этом сами рассуждения называются доказательством теоремы.

В нашем случае такие рассуждения можно провести следующим образом.

Пусть Z1 и Z3 — произвольная пара вертикальных углов (рис. 5.31). Угол 2 имеет с углом 1 общую сторону, а две другие их стороны являются продолжением одна другой. Значит, Z1 и Z2 — смежные углы. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому Z1 + Z2 = 180°. Следовательно,

Z1 = 180°— Z2. (1)

Угол 2 является смежным и с углом 3. Поэтому Z3 + Z2 = 180° и, значит,

Z3= 180°— Z2. (2)

Из равенств ( 1 ) и (2) видим, что градусные меры углов 1 и 3

равны. Отсюда следует, что и сами эти углы равны.

Проведенные рассуждения являются доказательством теоремы:

Вертикальные углы равны.

Мы уже неоднократно имели дело с теоремами и их доказательствами. Теоремами являются, например, признаки равенства треугольников.

Обычно в формулировках теорем используются слова «если ... , то ...». Так, например, третий признак равенства треугольников формулируется следующим образом: «Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны». Утверждение, стоящее после слова «если», называется условием, а утверждение, стоящее после слова «то» — заключением теоремы.

Рис. 5.31

В некоторых случаях теорема формулируется более просто. Так, в случае теоремы о вертикальных углах вместо формулировки: «Если два угла являются вертикальными, то эти углы равны», мы использовали более простую: «Вертикальные углы равны».

Задачи и упражнения

314. Отрезки AB и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажи, что AAOD = АВОС, ААОС = ABOD.

315*. В треугольнике ABC сторону AB продолжили за точку А и на продолжении отложили отрезок AD, равный отрезку АС. Затем сторону ЛС также продолжили за точку А и отложили на продолжении отрезок Л£, равный стороне AB. Докажи, что [ED] = [ВС].

316*. Докажи, что биссектрисы углов, прилежащих к основанию равнобедренного треугольника, равны между собой.

317*. Докажи, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

318*. Две окружности с центрами О и Р пересекаются в точках А и В. Докажи, что ДОЛЯ = АОВР.

319*. На рисунке 5.32 изображен равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB и АС. На основании ВС этого треугольника отметили точки Е и D так, что [BE] = [CD], и отрезали треугольники ABE, ACD. Докажи, что получившийся треугольник EAD также является равнобедренным.

320*. Ира решила из равностороннего треугольника ABC (рис. 5.33) вырезать новый равносторонний треугольник меньшего размера. Для этого она отметила на сторонах AB, ВС и CA точки К, M и Е так, что [АК] = [ВМ] = [СЕ]. Докажи, что вырезанный после этого треугольник КМЕ является равносторонним.

Рис. 5.32 Рис. 5.33

3. Виды геометрических задач. Среди заданий, которые входят в разделы «Задачи и упражнения», можно выделить следующие три основные вида: а) задачи на доказательство, б) задачи на вычисление, в)задачи на построение.

В задачах на доказательство требуется показать, что некоторая заданная фигура или несколько фигур удовлетворяют определенным свойствам. Фактически задача на доказательство представляет собой теорему.

В задачах на вычисление фигура или несколько фигур задаются численными (буквенными) значениями некоторых своих элементов (длиной, мерой угла и т. д.). По данным элементам ищутся численные значения других элементов, характеризующих эти фигуры.

В задачах на построение требуется с помощью определенного набора чертежных инструментов построить фигуру, которая находится в заданных отношениях с другими уже построенными (данными) фигурами.

Мы уже встречались с геометрическими построениями, которые выполняются с помощью: а) измерительной линейки; б) измерительной линейки и транспортира; в) чертежного угольника; г) циркуля и измерительной линейки, д) циркуля и линейки без де-

лений. В школьном курсе геометрии центральное место занимают последние построения при помощи циркуля и линейки без делений. Циркуль позволяет выполнять следующие построения: а) построить окружность произвольного радиуса с центром в любой точке (или ее дугу);

б) построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности.

Линейка позволяет выполнять следующие геометрические построения:

а) построить произвольную прямую (луч, отрезок);

б) построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

в) построить прямую, проходящую через две построенные точки;

г) построить луч с началом в построенной точке, проходящий через другую построенную точку.

Рассмотрим примеры задач на построение, которые решаются при помощи циркуля и линейки.

Задача. На данном луче отложи от его начала отрезок, равный данному отрезку.

Решение. В этой задаче данными фигурами являются луч и отрезок, а искомой фигурой — другой отрезок. Второй отрезок должен быть равен данному отрезку, один его конец должен совпадать с началом данного лу-

Рис. 5.34

ча, а второй конец — лежать на этом луче. Данные луч ОМ и отрезок AB изображены на рисунке 5.34, кадр 1.

Для решения задачи:

1 ) сделаем раствор циркуля равным данному отрезку (кадр 2);

2) циркулем построим окружность с центром в точке О радиуса ЛБ(кадр 3).

Точку пересечения этой окружности и луча ОМ обозначим буквой С. Отрезок ОС — искомый.

Задача. Отложи от данного луча угол, равный данному углу.

Решение. В этой задаче данными фигурами являются луч и угол, а искомой фигурой — другой угол. Второй угол должен быть равен данному, а одной из его сторон должен быть данный луч. Данные угол А и луч ОМ изображены на рисунке 5.35, кадр 1.

Для решения задачи:

1) проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Она пересекает стороны угла в точках В и С (кадр 2);

2) тем же раствором циркуля проведем окружность с центром в начале О данного луча. Эта окружность пересекает луч ОМ в точке D (кадр 2);

3) установим раствор циркуля равным отрезку ВС (кадр 2). Проведем окружность с центром в точке D радиуса \ВС\. Она пересекает окружность с центром в точке О в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой Е( кадр 3);

4) с помощью линейки проводим луч 0£(кадр 4).

/.DOE — искомый (кадр 5).

Тот факт, что угол DOE является искомым, не очевиден. Это нужно еще доказать. Для доказательства соединим точки В и С, D и Е отрезками и рассмотрим треугольники ABC и ODE (рис. 5.36).

По построению окружности с центрами А и О имеют одинаковые радиусы. Поэтому [AB] = [OD], [AC] = [ОЕ]. Вновь по построению [ВС] = [DE]. Значит, ААВС = AODE по третьему признаку равенства треугольников. В равных треугольниках против равных сторон лежат и равные углы. Поэтому /DOE = /ВАС. Следовательно, построенный угол DOE действительно равен данному углу Л.

Рис. 5.35

Рис. 5.36

Задачи и упражнения

321. Построй отрезок PQ и луч ОМ. Отложи на луче ОМ отрезок ON, равный отрезку PQ.

322. Начерти угол с вершиной О и луч AB. Построй угол, равный углу О, одной из сторон которого является луч AB.

323*. Начерти произвольный треугольник ABC. С помощью циркуля и линейки (без делений) построй равный ему треугольник AjBjCj. Укажи три способа решения этой задачи.

324*. По рисунку 5.37 вспомни способ построения биссектрисы неразвернутого угла с помощью циркуля и линейки (§14, п.4). Затем докажи, что построенный луч ОС действительно является биссектрисой угла АОВ.

325. Начерти неразвернутый угол. С помощью циркуля и линейки построй его биссектрису.

Проверь себя сам

1. Объясни своими словами, что такое теорема и ее доказательство.

2. Дай определение вертикальных углов.

Рис. 5.37

§ 21. Тетраэдр

1. Тетраэдр и его изображение. Ранее, рассмотрев понятия окружности и круга, мы ввели их пространственные ана-

логи — сферу и шар. Окружность представляет собой замкнутую линию, а круг — часть плоскости, ограниченную этой линией. Сфера — уже замкнутая поверхность, а шар — геометрическое тело, ей ограниченное.

Вспомним теперь определение треугольника. Треугольник — это замкнутая ломаная, состоящая из трех звенев. Чтобы получить треугольник, нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и попарно соединить их отрезками. Множество точек плоскости, ограниченное треугольником, не имеет специального названия. Его также называют треугольником или плоским треугольником.

Введем пространственные аналоги треугольника и плоского треугольника. Эти фигуры должны быть некоторой замкнутой поверхностью и телом, ей ограниченным. Вместо трех точек, не лежащих на одной прямой, возьмем четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 5.38).

Оказывается, если четыре точки не лежат в одной плоскости, то никакие три из них не лежат на одной прямой. В самом деле, если три точки из четырех окажутся на одной прямой, то через эту прямую и четвертую точку можно провести плоскость. Все четыре точки будут лежать в этой плоскости (рис. 5.39).

Рис. 5.38 Рис. 5.39 Рис. 5.40

На рисунке 5.40 точки Л, В, С и D не лежат в одной плоскости. Эти точки попарно соединены отрезками. Понятно, что фигура, образованная этими отрезками, поверхности не образует. Однако, можно рассмотреть поверхность, образованную четырьмя плоскими треугольниками ABC, ABD, BCD и ACD. Эту поверхность и называют тетраэдром, ее обозначают ABCD. В буквальном переводе с греческого «тетраэдр» означает «четырехгранник» («тетра» — «четыре», «эдра» — «основание», «грань»).

Четыре плоских треугольника, из которых составлен тетраэдр, называются его гранями. Каждая из точек А, В, С и D является общей вершиной трех треугольников — граней. Эти точки называют вершинами тетраэдра. Любой из шести отрезков AB, ВС, АС, AD, BD и CD является общей стороной двух граней. Эти отрезки называются ребрами тетраэдра. Два ребра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Так, например, на рисунке 5.40 противоположными являются ребра АС и BD.

Наглядное представление о тетраэдре могли дать пакеты, в которые до недавнего времени фасовали молочные продукты (рис. 5.41 ).

Тетраэдр является пространственной фигурой, а изображать его нам приходится на плоскости. Как сделать так, чтобы чертеж действительно давал ощущение того, что на нем изображена пространственная фигура?

Рис. 5.41

Чтобы ответить на этот вопрос, внимательно рассмотрим рисунки 5.41, на которых нарисован молочный пакет. На рисунке а видны все ребра, кроме одного, а на рисунке б — лишь три ребра. Первый рисунок лучше передает объемность пакета.

Если теперь мы сделаем чертежи тетраэдра на основе этих рисунков, то получим фигуры, изображенные на рисунках 5.42. Здесь при дополнительной оговорке по рисунку а еще можно догадаться, что изображен тетраэдр, а не два треугольника с общей стороной. По рисунку б это сделать трудно.

Для того, чтобы подчеркнуть, что на чертеже изображены пространственные фигуры, обычно наносят и те ребра, которые являются невидимыми. Их проводят штриховой линией (рис. 5.43).

Рис. 5.42

Рис. 5.43

Рис. 5.44

Замечание. Можно, конечно, расположить тетраэдр так, что все его ребра будут видимыми (рис. 5.44). Однако поданному чертежу опять сложно догадаться, что изображена пространственная фигура. Этот чертеж не дает представления об изображенном тетраэдре. Наглядности чертежа спо-

собствует введение штриховых линий.

Фигуру, образованную четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости, и шестью попарно соединяющими их отрезками, будем называть каркасной моделью тетраэдра. Такую модель можно спаять из проволоки или изготовить из спиц с помощью пластилина (рис. 5.45).

Тетраэдр так же, как и сфера, делит пространство на две части. Одной части принадлежат точки, которые лежат внутри тетраэдра, а другой — лежащие вне его. На рисунке 5.46 прямая / пересекает грани тетраэдра ABCD в точках M и N, точка К лежит внутри тетраэдра, а точка L — вне его.

Множество точек тетраэдра и всех точек, лежащих внутри него, образует геометрическое тело. Это геометрическое тело тоже называют тетраэдром.

Рис. 5.45

Рис. 5.46

Задачи и упражнения

326. Из проволоки длиной 36 см нужно спаять каркасную модель тетраэдра, у которого все ребра равны. Какой будет длина ребра этого тетраэдра? На какое наименьшее число частей можно разрезать проволоку при изготовлении модели?

327. На рисунке 5.47 изображен тетраэдр KLMN. Назови:

а) точки, принадлежащие грани NKL;

б) прямые, лежащие в плоскости KMN\

в) точки, лежащие на ребре KL\

г) пары противоположных ребер этого тетраэдра;

д) точку, лежащую внутри тетраэдра;

е) точку, лежащую вне тетраэдра.

328. Все ребра тетраэдра равны. Докажи, что все грани этого тетраэдра также равны.

329. Нарисуй в тетради тетраэдр. Обозначь его вершины буквами.

330*. Все ребра тетраэдра ABCD, выходящие из вершины D, равны между собой. Грани ADB, BDC и ADC являются прямоугольными треугольниками с прямым углом D. Каким треугольником является грань ABC?

2. Развертка тетраэдра. Разрежем тетраэдр по трем ребрам, выходящим из одной вершины (рис. 5.48, а и б). Теперь развернем его грани так, чтобы все они оказались в одной плоскости (рис. 5.48, в). При этом получится фигура, состоящая из четырех плоских треугольников. Эта фигура называется раз-

Рис. 5.47

верткой тетраэдра.

Один и тот же тетраэдр может иметь несколько различных разверток. Так, на рисунках 5.49, а и б изображены две различные развертки тетраэдра, у которого все ребра равны.

Кстати, может ли фигура на рисунке 5.50 быть разверткой этого же тетраэдра?

Развертки используют для изготовления бумажных моделей тетраэдра. При этом для склеивания граней к развертке добавляют язычки (рис. 5.51 ).

Рис. 5.48

Рис. 5.49

Рис. 5.50 Рис. 5.51

Задачи и упражнения

331. Нарисуй развертку тетраэдра, все ребра которого равны 8 см. В нужных местах сделай язычки и склей модель этого тетраэдра.

332. Начерти развертку тетраэдра, одна грань которого является равносторонним треугольником со стороной 5 см, а остальные грани — равнобедренные треугольники с боковыми сторонами в 4 см.

§ 22. Материалы для дополнительного чтения

1. О признаках равенства треугольников. Самый простой из многоугольников — треугольник — занимает в курсе геометрии одно из центральных мест. Это объясняется тем, что доказательства большого числа теорем строятся на использовании признаков равенства треугольников. Такой путь построения курса геометрии восходит еще к «Началам» Евклида и считался единственно возможным вплоть до конца XIX века.

Признаки равенства треугольников находят самые различные практические применения. Ими пользуются, например, при проведении измерительных работ на местности. Разнообразное использование в практической деятельности человека получило свойство жесткости треугольника.

На рисунке 5.52 изображена модель четырехугольника, собранная из планок детского конструктора. Такой четырехугольник обычно называют шарнирным. Его стороны можно одновременно вращать вокруг болтов. При этом длины сторон четырехугольника сохраняются, а сам он меняет форму.

А может ли быть шарнирным треугольник?

Чтобы проверить это, изготовим из трех планок конструктора модель треугольника. Форму полученного треугольника уже изменить нельзя. Следовательно, треугольник — фигура жесткая. Ес-

ли заданы три его стороны, то форма треугольника меняться не может (рис. 5.53).

Этот факт объясняется с помощью признака равенства треугольников (три стороны определяют треугольник однозначно).

На рисунках 5.54 показаны некоторые практические применения жесткости треугольника. Объясни, какие.

Рис. 5.52 Рис. 5.53

Рис. 5.54

2. Из истории геометрических построений. Умение решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки высоко ценилось в Древней Греции. Это, прежде всего, объясняется тем, что еще в научной школе Платона (начало IV в. до н. э.) было высказано утверждение о необходимости решать все геометрические задачи только циркулем и линейкой.

Однако древнегреческим ученым никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку. Построения, выполняемые с помощью других инструментов, не считались геометрическими. Одним из таких построений было деление любого угла на три равные части, или трисекция угла. С этой задачей были связаны задачи деления окружности на равные части и построения правильных многоугольников*. Происхождение этих задач обусловлено практической деятельностью (изготовление колес со спицами, создание орнаментов, астрономические наблюдения и т. д.).

Еще в пифогорийской школе ученые легко справлялись с построением правильного 6-угольника, 12-угольника, 24-угольника, ... , квадрата, 8-угольника, 16-угольника,... Они умели с помощью циркуля и линейки строить правильные 5-угольники, 10-угольники, ... Пифогорийцы знали некоторые углы, которые с помощью тех же инструментов делились на три равные части. Однако попытки разделить циркулем и линейкой углы в 120°, 60°, 40°, 20°, 18°,... не увенчались успехом. Таких углов оказалось бесконечно много.

Задача о трисекции угла является одной из трех знаменитых задач древности (о двух других задачах вы узнаете позднее).

Оказывается, в общем случае угол нельзя разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки. Это было строго доказано П. А. Ванцелем только в 1837 году. Но прежде, чем появи-

* Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

лось это доказательство, со времени возникновения задачи прошло несколько столетий. За эти годы многие ученые в разных странах потратили много труда на ее решение.

До сих пор находятся еще люди, которые не верят в то, что задача о трисекции угла в общем случае неразрешима. Они все еще с помощью циркуля и линейки пытаются найти ее решение.

3. Еще об одной развертке тетраэдра. Мы рассмотрели развертки тетраэдра, которые получаются при разрезании тетраэдра вдоль его ребер. Однако, и о молочном пакете было упомянуто не случайно. Оказывается, что он склеен из прямоугольника (рис. 5.55, а). При разрезании тетраэдра вдоль ребер такой развертки не получится. Как же склеивается пакет?

Сначала склеивается кольцо (рис. 5.55, б). Полуокружности с концами С и £ растягиваются в отрезок и склеиваются (рис. 5.55, в). Затем аналогично растягиваются в отрезок и склеиваются полуокружности с концами В и D (рис. 5.55, г).

Такая процедура склеивания тетраэдра значительно проще склеивания его из разверток, рассмотренных раньше. Она легко автоматизируется и выполняется машинами. При этом также упрощается процесс раскроя заготовок и экономится расходный материал.

Рис. 5.55

§ 23. Геометрические досуги

Сегодня тебе потребуются спички или счетные палочки.

32. Из спичек сложена фигура, состоящая из 9 равных равносторонних треугольников (рис. 5.56). Убери 5 спичек так, чтобы осталось 5 треугольников.

33. Сложи ту же самую фигуру (рис. 5.56). Убери 6 спичек так, чтобы не осталось ни одного треугольника.

34. Из спичек сложена фигура, состоящая из 6 равносторонних треугольников (рис. 5.57). Переложи 4 спички так, чтобы получилось:

а) 3 равносторонних треугольника;

б) 4 равносторонних треугольника.

35. Переложив 6 спичек, преврати фонарь (рис. 5.58) в 4 равных треугольника.

Рис. 5.56 Рис. 5.57

Рис. 5.58 Рис. 5.59 Рис. 5.60 Рис. 5.61

36. Переложив 4 спички, преврати топор (рис. 5.59) в 3 равных треугольника.

37. В лампе, составленной из 12 спичек (рис. 5.60), переложи

3 спички так, чтобы получилось 5 равных треугольников.

38. В фигуре, изображающей елочку (рис. 5.61), переложи 4 спички так, чтобы получилось 4 равных треугольника.

39. Из 6 спичек составь 4 равных равносторонних треугольника.

40. Можно ли изготовить бумажную модель тетраэдра без склеивания? Наверняка ты ответишь: «Нет». И будешь не прав. Оказывается, модель тетраэдра можно изготовить и без клея. Для этого потребуется уже не одна, а две развертки (рис. 5.62). Чтобы легче было понять, как собрать тетраэдр, одна из разверток окрашена.

Каждую из разверток сложи в тетраэдр и прогладь по линии сгиба. Затем наложи окрашенную развертку на белую так, как показано на рисунке. Сложи из белой тетраэдр и оберни окрашенной разверткой две грани этого тетраэдра. Оставшийся окрашенный треугольник вставь в щель между двумя белыми треугольниками. Тетраэдр готов.

Рис. 5.62

Глава VI

Перпендикулярные и параллельные прямые и плоскости

§ 24. Перпендикулярность прямых на плоскости

1. Перпендикулярные прямые. Возьмем лист бумаги (рис. 6.1, а) и согнем его (рис. 6.1, б). Разгладим линию сгиба. Сложенный вдвое лист перегнем еще раз так, чтобы совпали части полученной ранее линии сгиба (рис. 6.1, в).

Развернув лист, мы увидим, что линии сгиба образуют четыре угла с общей вершиной (рис. 6.1, г). Когда лист был сложен, эти

Рис. 6.1

углы накладывались друг на друга. Значит, все они равны между собой. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла, то есть является прямым.

Две пересекающиеся прямые, образующие четыре прямых угла, называются перпендикулярными.

На рисунке 6.2 ZÄOC = АСОВ = ZBOD = ZDOA = 90° и, значит, прямые AB и CD являются перпендикулярными. Если перегнуть лист так, чтобы линия сгиба совпала с прямой AB, то луч ОС совместится с лучом OD. Объясни, почему. Перпендикулярность этих прямых обозначается следующим образом: (АВ)±(CD). Запись «а±Ь» читается так: «прямая а перпендикулярна прямой Ь» или «прямые a и b перпендикулярны».

Возьмем согнутый вдвое лист бумаги и перегнем его еще два раза так, чтобы новые линии сгиба были перпендикулярны первой линии сгиба (рис. 6.3, а). Развернув лист, мы увидим две прямые, перпендикулярные третьей прямой. На рисунке 6.3, б эти прямые обозначены a, b и с соответственно. Могут ли прямые а и b пересекаться?

Рис. 6.2

Рис. 6.3

Ответ на этот вопрос дает теорема:

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

В справедливости этой теоремы можно убедиться, опираясь на следующие наглядные рассуждения.

На рисунке 6.4 прямые CCh DDt пересекают прямую AB в точках О и Q соответственно. При этом (CCt)l{AB) и (DD/)_]_(/Ш).

Предположим, что прямые СС/ и DD{ пересекаются в некоторой точке М, которая принадлежит лучам ОС и QD. Если перегнуть рисунок по прямой AB, то луч ОС наложится на луч OCh а луч QD — на луч QDj. При этом общая точка M лучей ОС и QD должна наложиться на некоторую точку Mh которая является общей для лучей OCt и QDt. Мы получим, что через точки МиМ/ проходит две прямые СС/ и DDf. А это невозможно. Поэтому наше предположение неверно и, значит, прямые СС/ и DDt не пересекаются. Теорема доказана. Пусть на плоскости а заданы прямая а и точка А, не лежащая на ней (рис.6.5, а). Из доказанной теоремы сразу следует, что в плоскости а через точку А можно провести только одну прямую, перпендикулярную а. Объясни, почему.

Если точка А принадлежит прямой а, то в плоскости а через эту точку также можно провести только одну прямую, перпендикулярную а (рис. 6.5, б). Объясни, почему.

Способ построения прямой, перпендикулярной данной прямой а и проходящей через точку Л, с помощью чертежного угольника и линейки показан на рисунке 6.6.

Рис. 6.4

Замечание. Линии в тетради по математике образуют сетку, состоящую из двух семейств прямых. Прямые одного семейства называют горизонтальными, а прямые другого — вертикальными. Прямые из разных семейств являются перпендикулярными. Это позволяет, в случае необходимости, строить в тетради перпендикулярные прямые с помощью одной линейки или проводить их от руки (рис. 6.7).

Рис. 6.5

Рис. 6.6

Рис. 6.7

Задачи и упражнения

333. Используя клетчатую бумагу, построй с помощью линейки пару перпендикулярных прямых.

334. С помощью чертежного угольника найди на рисунке 6.8 перпендикулярные прямые. Используя знак «±», запиши, что они перпендикулярны.

335. Построй в тетради прямую m так, чтобы она не была горизонтальной и вертикальной. Отметь точку М, не лежащую на ней.

С помощью линейки и чертежного угольника построй прямую п так, чтобы она была перпендикулярна прямой m и проходила через точку М.

Рис. 6.8

336. Построй в тетради прямую а и точку А G а. Построй с помощью линейки и чертежного угольника вторую прямую b так, чтобы Ы.а иАЕЬ.

2. Серединный перпендикуляр к отрезку. Прямая с называется перпендикулярной отрезку AB, если с±(АВ). Заметим, что прямая с может пересекать отрезок AB (рис. 6.9, а), a может пересекать его продолжение за один из концов (рис. 6.9, б).

Прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину, называется серединным перпендикуляром к отрезку.

На рисунке 6.10 прямая с — серединный перпендикуляр к отрезку AB: с±(АВ) и [АО] = [ОВ].

Точки А и В лежат на линии сгиба листа бумаги (рис. 6.11, а). Вторично согнем лист бумаги так, чтобы точка А совместилась с точкой В (рис. 6.11, б). Новая линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку AB. Обозначим его буквой с (рис. 6.11, в).

Рис. 6.9

Рис. 6.10

Пусть M — произвольная точка прямой с. При сгибании листа бумаги по прямой с точка А совместится с точкой В, а точка M останется на месте. Поэтому при перегибании совмещаются отрезки MA и MB. Значит, эти отрезки равны: [MA] = [МВ]. Так как точка M взята произвольно, то и всякая другая точка серединного перпендикуляра с одинаково удалена от концов отрезка AB.

Выясним, существуют ли точки, одинаково удаленные от концов отрезка AB, которые не лежат на прямой с.

Пусть NÇéc и лежит, например, по разные стороны от прямой с с точкой А (рис.6.12).

Соединим точку N с точками А и В. При этом отрезок AN пересечет прямую с в некоторой точке М. Так как точка M лежит на серединном перпендикуляре с к отрезку AB, то [MA] = [МВ].

Рассмотрим AMNB. В этом треугольнике \NM\ + \МВ\ > \NB\. Так как \NM\ + \МВ\ = \NM\ + \МА\ = |М4|, то |М4| > |Л»|.

N — произвольная точка, не лежащая на прямой с, поэтому все точки, одинаково удаленные от концов отрезка AB, лежат только на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Рис. 6.11

Рис. 6.12

Доказана теорема.

Множество точек плоскости, одинаково удаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Замечание. С самого начала этого параграфа все рассматриваемые фигуры лежали в одной плоскости. Это же будет предполагаться в дальнейшем. Если наши рассмотрения станут проводиться в пространстве, то мы будем это специально оговаривать.

Рассмотрим, как построить серединный перпендикуляр к данному отрезку AB с помощью циркуля и линейки (рис. 6.13).

1. Сделаем раствор циркуля равным, например, длине отрезка AB.

2. Построим этим раствором окружности с центрами А и В. Эти окружности пересекаются в двух точках, которые обозначены на рисунке буквами Р и Q.

3. С помощью линейки проведем прямую PQ.

(PQ) — искомый серединный перпендикуляр. В самом деле, по построению каждая из точек Р и Q одинаково удалена от концов отрезка AB.

Значит, эти точки принадлежат серединному перпендикуляру к это-

Рис. 6.13

му отрезку. Так как через две точки проходит единственная прямая, то серединный перпендикуляр и прямая PQ совпадают.

Пусть А — точка прямой а. Рассмотрим теперь, как с помощью циркуля и линейки построить прямую Ь, перпендикулярную а и проходящую через точку Л. Эту задачу легко свести к предыдущей. Для этого проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке А. Обозначим через В и С точки пересечения этой окружности с прямой а (рис. 6.14). Точка А является серединой отрезка ВС. Поэтому искомая прямая b будет серединным перпендикуляром к отрезку ВС. Такой перпендикуляр мы уже строить умеем.

Рис. 6.14

Задачи и упражнения

337. Согни лист бумаги и отметь на линии сгиба точки В и С. С помощью второго перегибания получи серединный перпендикуляр к отрезку ВС.

338. Начерти отрезок КМ. С помощью циркуля и линейки построй серединный перпендикуляр этого отрезка.

339. Начерти отрезок AB длиной 4 см. Построй точки, которые удалены от обеих точек А и В одновременно: на 5 см, на 4 см, на 3 см, на 2 см и на 1 см. В каких случаях это можно сделать? Сколько точек может получиться в тех случаях, когда задача имеет решение?

340*. Начерти окружность и отметь две точки M и N, лежащие внутри этой окружности. Найди все точки окружности, которые одинаково удалены от точек M и N.

341*. Построй прямую а и отметь две произвольные точки А и В. Найди на прямой а все точки, одинаково удаленные от точек А и В.

Подумай, сколько таких точек может получиться в зависимо-

сти от выбора точек А и В.

242. Проведи прямую га и отметь на ней точку М. С помощью циркуля и линейки построй прямую /, перпендикулярную прямой га и проходяшую через точку М.

243. Найди и продемонстрируй способ деления данного отрезка на две равные части с помощью циркуля и линейки.

3. Окружность, описанная около треугольника. На рисунке 6.15 изображены окружность и треугольник ABC, все вершины которого лежат на окружности. Такой треугольник называют вписанным в окружность, а про окружность говорят, что она описана около треугольника ABC.

Чтобы изобразить треугольник, вписанный в данную окружность, достаточно отметить на ней три точки и соединить их отрезками.

Задача построения окружности, описанной около данного треугольника ABC, является уже более сложной. Давайте подумаем, как ее решить.

Пусть О — центр искомой окружности, тогда \ОА\ = \ОВ\ = \ОС\ (рис. 6.16). Из этих равенств следует, что точка О одновременно лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам AB, ВС и АС. Так как две прямые могут иметь не более одной общей точки, то все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка и является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Рис. 6.15

Рис. 6.16

Рис. 6.17

Для построения описанной около треугольника окружности нет необходимости строить все три серединных перпендикуляра к его сторонам. Достаточно построить два из них (рис. 6.17). Точка пересечения О этих перпендикуляров будет центром описанной окружности. Радиус окружности равен расстоянию от точки О до любой из вершин треугольника.

В пункте 3 §10 мы отмечали, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом единственную. Это свойство окружности было приведено без доказательства. А теперь ты сам сможешь доказать его. Подумай, как.

Задачи и упражнения

344. Построй окружность, а затем треугольник, вписанный в эту окружность.

345. Начерти остроугольный треугольник и построй окружность, описанную около этого треугольника. Где лежит центр окружности относительно треугольника?

346. Выполни упражнение 345 для прямоугольного треугольника.

347. Выполни упражнение 345 для тупоугольного треугольника.

348. Отметь три точки, не лежащие на одной прямой. Построй окружность, проходящую через эти три точки.

4. Расстояние между геометрическими фигурами. Чтобы ввести понятие расстояния между двумя геометрическими фигурами, рассмотрим два примера.

А. Представим, что нам нужно быстрей добраться от домика до озера (рис. 6.18). Естественно, что мы будем стараться двигаться к озеру самым коротким путем. Длину такого пути обычно называют расстоянием от домика до озера.

Б. Нашим далеким предкам при освоении новых земель часто приходилось перетаскивать свои суда с одного озера на другое — устраивать волоки*. При этом случалось прорубать в лесу просеки, класть гати**. Поэтому старались волок сделать более коротким, а длину волока считали расстоянием между озерами (рис. 6.19).

Вернемся теперь к геометрии и введем понятие расстояния между двумя геометрическими фигурами Fj и F2.

Самый простой случай, когда обе фигуры являются точками, мы уже рассматривали. Расстоянием между двумя точками является длина отрезка с концами в этих точках.

Примеру А в геометрии соответствует случай, когда только одна из фигур является точкой. Рассмотрим этот случай, то есть введем расстояние от точки А до фигуры F, которой эта точка не

Рис. 6.18 Рис. 6.19

* Волок— участок между двумя судоходными реками, через который в старину перетаскивали судно для продолжения пути.

** Гать — настил из хвороста или бревен для проезда через топкое место.

принадлежит (рис. 6.20, а). Пусть M — некоторая точка фигуры F. Расстояние от точки А до точки M равно длине отрезка AM. Если точка M будет перемещаться по фигуре F, то, вообще говоря, расстояние \АМ\ будет меняться. Наименьшее из этих расстояний называется расстоянием от точки А до фигуры F.

К этому определению можно подойти и с помощью следующего примера. Возьмем бумажную салфетку. Отметим на ней точку А и нарисуем некоторую фигуру F. С помощью пипетки опустим в точку А каплю подкрашенной жидкости. Жидкость растечется на бумаге в виде круга с центром в точке А (рис. 6.20, б). Бумага будет постепенно впитывать жидкость, а круг — расширяться. Наступит момент, когда круг коснется фигуры F. Это произойдет в тех точках фигуры F, которые ближе всего к точке А.

Пример Б соответствует случаю, когда обе фигуры не являются точками. На рисунке 6.21 точка M принадлежит фигуре Fh а точка N — фигуре F2. Снова, перемещая точки M и N по соответствующим фигурам, мы сможем найти такие их положения, когда расстояние \MN\ между ними будет наименьшим. Это расстояние называют расстоянием между фигурами Ft и F2.

Рис. 6.20

Рис. 6.21

Чтобы проиллюстрировать введенные понятия, рассмотрим две задачи.

Задача 1. Найди расстояние от точки А до окружности а>, если точка А лежит вне окружности.

В этой задаче роль фигуры F играет окружность со. Центр окружности обозначим буквой О и проведем луч АО. Этот луч пересекает окружность в точках В и Bh пусть при этом точка В лежит между точками А и В{ (рис. 6.22). Ясно, что \АВ\ < \ABj\. Пусть С — произвольная точка окружности, не лежащая на луче АО. Соединим ее с точками А и О. В треугольнике АСО:

(1)

Так как \АО\ = \АВ\ + \ВО\, то неравенство ( 1 ) можно переписать так:

(2)

[СО] и [ВО] — радиусы окружности, значит, \СО\ = \ВО\. Поэтому из неравенства (2) видим, что \АС\ > \АВ\. Отсюда следует, что расстояние от точки А до окружности со равно длине отрезка AB.

Задача 2. Найди расстояние между двумя окружностями (Oj и со2, если любая точка каждой из окружностей является внешней относительно другой окружности.

Центры окружностей соj и а>2 обозначены буквами О/ и 02 соответственно. Соединим их отрезком 0/02. Точку пересечения

Рис. 6.22 Рис. 6.23

этого отрезка с окружностью a)t обозначим буквой Л, а точку пересечения с окружностью о)2 — буквой В (рис. 6.23). Пусть С — произвольная точка первой окружности, a D — произвольная точка второй окружности. Сравним длины отрезков AB и CD.

Длина ломаной OtCD02 больше длины отрезка Ot02.

\OjC\ + \CD\ + \D02\ > \0,02\. (3)

Так как \Ot02\ = \OjA\ + \АВ\ + \В02\, то неравенство (3) можно переписать следующим образом:

\0,Q + \CD\ + \D02\ > \0,А\ + \АВ\ + \В02\. (4)

[ОjА] = [О/С] как радиусы окружности^/, а [02В] = [02D] — как радиусы окружности œ2. Поэтому из неравенства (4) заключаем, что \CD\ > \АВ\. Отсюда следует, что расстояние между окружностями со j и о)2 равно длине отрезка AB.

Задачи и упражнения

349. Изобрази окружность и точку M вне ее. Найди расстояние от точки M до окружности.

350*. Проведи окружность и отметь точку M внутри этой окружности. Укажи способ нахождения расстояния от точки M до окружности.

351*. Построй две концентрические окружности радиусами 4 см и 6 см. Найди расстояние между этими окружностями. Ответ обоснуй.

352. Построй окружность радиусом 3 см. Изобрази все точки, удаленные от этой окружности на 1 см. Вновь построй такую же окружность и изобрази все точки, удаленные от нее на 3 см.

5. Расстояние от точки до прямой. Рассмотрим прямую а и точку Л, не лежащую на ней. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную а. Пусть эта прямая пересекает прямую а в точке Я (рис. 6.24). Отрезок ЛЯ называют перпендикуу-

ляром, опущенным из точки А на прямую а.

Возьмем на прямой а точку М, отличную от Н. Прямая AM уже не будет перпендикулярной а. Отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки А к прямой А. Точка H называется основанием перпендикуляра, г M — основанием наклонной.

Сравним длину АН перпендикуляра и длину AM наклонной. Для этого перегнем лист по прямой а и проколем в точке А иглой (рис. 6.25). Точку, в которой проколота вторая половина листа, обозначим буквой Aj (рис. 6.26).

Так как угол AHM — прямой, точка A t будет лежать на прямой АН. Точки А, А{ и M являются вершинами треугольника. В этом треугольнике:

(1)

При перегибании бумаги отрезок АН совмещается с отрезком A tH, а отрезок AM — с отрезком A jM. Поэтому

\AAj\ = 2\АН\, \АМ\ + \МА,\ = 2\АМ\.

С учетом этих равенств, неравенство ( 1 ) можно переписать так: 2\АН\ < 2\АМ\. Отсюда следует, что \АН\ < \АМ\. Доказана теорема:

Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки на прямую, короче любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

Рис. 6.24

Рис. 6.25

Рис. 6.26

Из этой теоремы следует, что расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Задачи и упражнения

353. Проведи прямую и отметь точку, не лежащую на этой прямой. Найди расстояние от выбранной точки до прямой.

354. Проведи прямую и отметь несколько точек, удаленных от нее на 2,5 см.

355. Начерти прямую / и построй все точки, удаленные от нее на расстояние 2,5 см.

356. Точка А удалена от прямой а на расстояние 3 см. В — основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую а, а С — основание наклонной, проведенной из той же точки. Выполни чертеж и путем измерений установи длину наклонной АС, если \ВС\ = 4 см.

357. Расстояние между основаниями перпендикуляра и наклонной, проведенными из точки M к прямой га, равно 3,6 см. Длина наклонной — 7,2 см. Выполни чертеж и путем измерения найди длину перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую т.

358. Начерти прямую с и отметь точку С, не лежащую на этой прямой. Построй все наклонные, проведенные из точки С к прямой с, длина которых вдвое больше длины перпендикуляра, опущенного на прямую с из той же точки С.

359. Построй с помощью циркуля и линейки прямую Ь, проходящую через данную точку M перпендикулярно данной прямой а. Точка M не лежит на прямой а.

Решение. Пусть а — данная прямая, a M — данная точка (рис. 6.27, кадр 1 ). Проведем окружность с центром в точке УИ, которая пересекает прямую а в двух точках. На кадре 2 это точки А и В.

Рис. 6.27

(Радиус такой окружности должен быть больше расстояния от точки M до прямой а.) Далее строим серединный перпендикуляр PQ к отрезку AB.

Так как \МА\ = \МВ\, то точка MEî(PQ) и, значит, (PQ) — искомая прямая b (рис. 6.27, кадр 3).

360. Проведи прямую и выбери точку вне ее. С помощью циркуля и линейки построй прямую, проходящую через выбранную точку перпендикулярно первой прямой.

6. Окружность, вписанная в треугольник. Вырежем из кальки бумажную модель угла (рис. 6.28, а). Перегнем угол пополам (рис. 6.28, б). Линия сгиба будет биссектрисой нашего угла (рис. 6.28, в).

Пусть M — произвольная точка биссектрисы. Опустим из нее перпендикуляры MP и MQ на стороны угла (рис. г).

Сложив вновь угол по линии сгиба, мы увидим, что эти перпендикуляры совместились (рис. 6.28, д): [MP] = [MQ]. Это объясняется тем, что при перегибании точка M остается на месте, а стороны угла совмещаются. Если бы точки Р и Q не совместились,

то оказалось бы два перпендикуляра, опущенных из точки M на одну прямую. Что невозможно.

Таким образом, |Л1Я| = \MQ\ и, следовательно, все точки, лежащие на биссектрисе угла, одинаково удалены от сторон этого угла.

Позднее ты сам сможешь доказать, что все точки, одинаково удаленные от сторон угла, лежат только на биссектрисе этого угла. Таким образом,

- множество точек, одинаково удаленных от сторон угла, есть биссектриса этого угла.

На рисунке 6.29 проведена окружность с центром в точке М, лежащей на биссектрисе угла. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки M до сторон угла. Поэтому такая окружность с каждой из сторон угла имеет только по одной общей точке. В этом случае говорят, что окружность вписана в угол.

На рисунке 6.30 изображены биссектрисы углов А и В треугольника ABC. Эти биссектрисы пересекаются в точке Р. Из точки Р опущены перпендикуляры PQ, РТ и PR на стороны AB, ВС и АС треугольника. Поскольку АР — биссектриса угла Л, то \PQ\ = \PR\, a BP — биссектриса угла В, \PQ\ = \РТ\. Из этих равенств следует, что \РЩ = \РТ\. Значит, биссектриса третьего угла С треугольника также проходит через точку Р. Таким образом, биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Рис. 6.28

Рис. 6.29 Рис. 6.30

Рис. 6.31

Проведем окружность с центром в точке Р, радиус которой равен расстоянию от этой точки до любой из сторон треугольника ABC (рис. 6.31). Так как \PQ\ = \PR\ = \РТ\, то построенная окружность будет иметь с каждой из сторон треугольника только по одной общей точке. Такую окружность называют вписанной в треугольник, а сам треугольник — описанным около окружности.

Задачи и упражнения

361. Начерти произвольный угол и построй три окружности, вписанные в этот угол.

362. Начерти произвольный треугольник. С помощью циркуля и линейки построй окружность, вписанную в этот треугольник.

363. Вырежи из бумаги треугольник. С помощью перегибания найди центр вписанной в него окружности. Построй циркулем эту окружность.

364. Три шоссейных дороги пересекаются так, как показано на рисунке 6.32. Где внутри треугольника, образованного этими

дорогами, нужно построить мотель, чтобы расстояния от него до всех дорог были одинаковыми?

Рис. 6.32

7. Высота треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называется высотой треугольника. Длину этого перпендикуляра также называют высотой треугольника. На рисунках 6.33 [АН] — высота треугольника ABC, опущенная из вершины А на противоположную сторону ВС.

Треугольник имеет три высоты. Если треугольник является остроугольным (рис. 6.34, а), то основания Hh Н2 и Н3 этих высот лежат на сторонах треугольника.

В тупоугольном треугольнике (рис. 6.34, б) основание высоты, опущенной из вершины тупого угла, также лежит на противоположной стороне. А основания высот, опущенных из вершин острых углов, лежат на продолжениях соответствующих сторон.

В прямоугольном треугольнике (рис. 6.34, в) основание высоты, опущенной из вершины прямого угла, лежит на гипотенузе. Две другие высоты совпадают с катетами и, значит, их основания совпадают с вершиной прямого угла.

Рис. 6.33

Рис. 6.34

Задачи и упражнения

365. Начерти произвольный треугольник ABC. С помощью чертежного угольника проведи его высоту ЛЯ. Измерь длины сторон AB и АС треугольника и сравни их с длиной высоты АН. Как можно объяснить результаты сравнения?

366. Изобрази треугольник и построй одну из его высот с помощью линейки и циркуля.

367. Начерти любой остроугольный треугольник. С помощью чертежного угольника построй все его высоты.

Если ты аккуратно выполнишь построения, то увидишь, что все эти высоты пересекаются в одной точке.

368. Начерти любой тупоугольный треугольник. С помощью чертежного угольника и линейки проведи прямые, содержащие высоты этого треугольника. Что можно сказать о точках пересечения проведенных прямых?

Вновь, чтобы дать правильный ответ, все построения нужно выполнять очень аккуратно.

369. Вспомни теорему о медиане равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. Попробуй сформулировать эту теорему иначе, используя понятие высоты треугольника.

370. Построй равнобедренный треугольник и опусти в нем высоты на боковые стороны. Путем измерения сравни эти высоты.

371*. Существует ли треугольник, у которого все высоты равны? Если существует, то что это за треугольник?

372*. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 4,2 см, а высота, опущенная на основание, — 3 см. С помощью измерительной линейки и циркуля построй этот треугольник.

Проверь себя сам

1. Вставь в определения пропущенные слова:

- Две ... прямые, образующие ... , называются перпендикулярными.

- Прямая,... к отрезку и ... через его середину, называется серединным перпендикуляром к отрезку.

2. Сформулируй, используя слова «если» и «то» следующие теоремы:

- две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются;

- перпендикуляр, опущенный из некоторой точки на прямую, короче любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

3. Выбери из рамки окончания предложений:

Центр окружности, описанной около треугольника, находится ...

Центр окружности, вписанной в треугольник, находится...

в точке пересечения высот этого треугольника.

в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

в точке пересечения медиан треугольника.

в точке пересечения биссектрис треугольника.

4. Опиши своими словами, что такое расстояние: а) между двумя точками, б) от точки до фигуры; в) от точки до прямой; г) между двумя геометрическими фигурами.

§ 25. Параллельность прямых

1. Параллельные прямые. Рассмотрим на плоскости две прямые — а и Ь. Если эти прямые имеют общую точку, то они называются пересекающимися (рис. 6.35). Наряду с пересекающимися прямыми на плоскости имеются и непересекающиеся прямые. Их существование следует из теоремы о том, что две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются (рис. 6.36).

Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельность прямых а и b обозначается следующим образом: а II Ь. Эта запись читается так: «прямая а параллельна прямой Ь» или «прямые a ub параллельны».

Отрезки и лучи считаются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Для обозначения их параллельности используется тот же знак ||. Так, например, запись «[AB] \\ а» означает, что отрезок AB параллелен прямой а (рис. 6.37), а запись «[AB) II [CD)» используется для обозначения параллельности лучей AB и CD (рис. 6.38).

Пусть точка M не лежит на прямой a, a прямая с проходит через точку M перпендикулярно прямой а. Прямая Ь, проходящая

Рис. 6.35 Рис. 6.36

через M перпендикулярно с, параллельна прямой а (рис.6.39). Есть ли другие прямые, которые также проходят через точку M и параллельны прямой а?

Повернем прямую b вокруг точки M на некоторый достаточно малый угол. Новое положение прямой на рисунке 6.39 обозначено Ь'. Наш жизненный опыт подсказывает, что прямая Ь' пересекает прямую а. Поэтому будем считать, что

6. ЧЕРЕЗ ТОЧКУ, НЕ ЛЕЖАЩУЮ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ, ПРОХОДИТ ТОЛЬКО ОДНА ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ДАННОЙ

На рисунке 6.40 прямая b проходит через точку A4 параллельно прямой а.

В жизни мы постоянно встречаем примеры, которые демонстрируют параллельные прямые. Это рельсы железнодорожного полотна на прямом участке дороги, противоположные края стола или листа бумаги, гимнастические брусья (рис. 6.41).

Рис. 6.37 Рис. 6.38

Рис. 6.39 Рис. 6.40

Рис. 6.42

Рис. 6.41

Рис. 6.43

Представление о параллельных прямых дают нам линии одного семейства в ученических тетрадях.

Их можно использовать для изображения параллельных прямых с помощью линейки или от руки (рис. 6.42).

На рисунке 6.43 показан способ построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки. На чем основан этот способ построения?

Задачи и упражнения

373. Найди среди окружающих предметов примеры, дающие представление о параллельных прямых.

374. Используя линии сетки, построй в тетради две параллельные прямые и обозначь их буквами. Запиши, что прямые параллельны.

375. Построй несколько параллельных прямых с помощью линейки и чертежного угольника.

376*. Вырежи из бумаги треугольник ABC и путем перегибания найди его высоту ЛЯ (рис. 6.44, а). Затем согни треугольник так, чтобы точка А совпала с основанием Я высоты (рис. 6.44, б). Почему новая линия сгиба параллельна стороне ВС треугольника?

Будет ли линия сгиба параллельна ВС, если точка А совпадет с произвольной точкой высоты, отличной от Я (рис. 6.44, в)?

377. Лист бумаги с прямым краем (рис. 6.45, а) согнули несколько раз так, как показано на рисунке б. Почему получившиеся при этом линии сгиба (рис. 6.45, в) параллельны?

378*. Проведи прямую а и отметь точку М, не лежащую на этой прямой. С помощью линейки и циркуля построй прямую Ь, проходящую через точку M параллельно прямой а.

Рис. 6.44

Рис. 6.45

2. Признаки параллельности прямых. Прямая с на рисунке 6.46 пересекает каждую из прямых а и Ь. Такая прямая называется секущей по отношению к прямым а и о.

При пересечении указанных прямых получается восемь углов, обозначенных на рисунке цифрами. Углы 1, 2, 3, 4 и углы 5, 6, 7, 8 обычно рассматривают попарно. Такие пары получили специальные названия.

Углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими (рис. 6.47, a), a углы 1 и 7, 2 и 8 — внешними накрест лежащими (рис. 6.47, б)

Углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными (рис. 6.48).

Углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними (рис. 6.49), а углы 1 и 8, 2 и 7 — внешними односторонними (рис. 6.50).

Рис. 6.46

Рис. 6.47

Рис. 6.48

Рис. 6.49 Рис. 6.50

Подумай, почему перечисленные пары углов получили такие названия.

Выделенные пары углов позволяют установить, являются ли две прямые, пересеченные секущей, параллельными. Один из признаков параллельности прямых следует из равенства внутренних накрест лежащих углов и формулируется так:

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Для доказательства теоремы построим углы, удовлетворяющие условию теоремы. Проведем произвольную прямую PQ и отметим на ней точку А. Через точку А проведем вторую произвольную прямую / и отметим на ней точку В. Угол QAB, образованный этими прямыми, обозначим цифрой 1, а смежный с ним угол PAB — цифрой 2 (рис. 6.51).

На луче В А построим угол МВА, равный углу 1. На рисунке этот угол обозначен цифрой 3. На прямой MB выберем точку N и угол NBA, смежный с углом 3, обозначим цифрой 4.

По построению прямая / является секущей относительно прямых PQ и NM,

Рис. 6.51

Рис. 6.52

а внутренние накрест лежащие углы 1 и 3 — равными: Z/ = Z3.

Вырежем полосу бумаги, заключенную между прямыми PQ и NM, и разрежем ее по прямой AB = /. Для вершин углов 1 и 4 сохраним обозначения А и ß, а соответствующие вершины углов 2 и 3 обозначим Л' и В' (рис. 6.52).

Наложим части полосок друг на друга так, чтобы точка А совместилась с точкой В', а точка В — с точкой А' (рис. 6.53).

По построению Z.1 = Z.3, поэтому лучи AM и AQ совместятся. Из равенства углов 1, 3 следует равенство и их смежных углов: Z2 = Z.4. Значит, лучи BP и BN также совместятся.

Если бы лучи AQ и BN имели общую точку (пересекались), то общую точку имели бы и лучи AM и BP. При наложении лучей эти общие точки также бы совместились. Но тогда прямые PQ и NM имели бы две общие точки, расположенные по разные стороны от секущей. Это невозможно, так как прямые могут иметь не более одной общей точки. Следовательно, прямые PQ и NM не пересекаются, они параллельны: {PQ) || (NM). Теорема доказана.

Попытайся, используя другие виды пар углов, образованных двумя прямыми и секущей, самостоятельно сформулировать новые признаки параллельности двух прямых.

Из теоремы 1 следует еще один способ построения параллельных прямых с помощью линейки и чертежного угольника (рис. 6.54). Объясните его.

Возьмем теперь параллельные прямые а и b и пересечем их некоторой

Рис. 6.53

Рис. 6.54

секущей AB (рис. 6.55, а). Рассмотрим внутренние накрест лежащие углы 1 и 2. Всегда ли они будут равными?

Если угол 2 не равен углу 1, то либо Z2 > Z1, либо Z2 < Z1.

Пусть Z1 ^ Z2. Построим /.ABC = ZI. Первому случаю на рисунке 6.55 соответствует чертеж a, a второму — б. Равные углы 1 и ABC являются внутренними накрестлежащими при прямых а, СВ и секущей AB. Поэтому по теореме 1 прямые анСВ параллельны: (СВ) 11 а. Получилось, что через точку В проведены две прямые — b и (СВ), параллельные прямой а. Это невозможно и, значит, Z1 = Z2. В результате проведенных рассуждений мы доказали еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Задания. 1. Сравни условия и заключения теорем 1, 2. Сделай выводы.

2. Сформулируй теоремы, аналогичные теореме 2, для других видов пар углов, образованных параллельными прямыми и секущей.

Из теоремы 2 сразу следует, что прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой (рис. 6.56). Объясни, почему.

Рис. 6.55

Рис. 6.56

Задачи и упражнения

Рис. 6.57 Рис. 6.58

379. На рисунке 6.57 величина угла 2 равна 45°, а величина угла 6 — 60°. Найди величину всех остальных углов.

380. Прямые а и b на рисунке 6.58 параллельны, a Z2 = 63°. Найди все остальные углы.

381. Найди параллельные прямые на рисунке 6.59.

Рис. 6.59

382*. Найди все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если среди этих углов:

а) есть углы, из которых один вдвое больше другого;

б) есть углы, из которых один на 12° меньше другого.

383. В четырехугольнике ABCD (рис. 6.60): [AB] 11 [DC], [AD] 11 [ВС]. Докажи, что ААВС = ACDA. Сделай выводы о равенстве сторон такого четырехугольника.

384. В четырехугольнике PQRS (рис. 6.61 ): [PQ] = [SR], [PS] = [CR]. Докажи, что [PQ] 11 [SR] и [PS] 11 [QR].

385*. Используя задачу 384, найди способ построения с помощью линейки и циркуля прямой, проходящей через данную точку M параллельно данной прямой a (M £ а).

386. Найди неизвестный угол на рисунках 6.62.

Рис. 6.60 Рис. 6.61

Рис. 6.62

3. Сумма углов треугольника. Пусть каждый из вас начертит произвольный треугольник, измерит транспортиром его

углы и найдет их сумму. Если измерения были проведены точно, то в результате получится 180° или число, близкое к этому. Поэтому можно высказать предположение, что в любом треугольнике сумма его углов равна 180°.

Докажем, что это действительно так. Провести доказательство нам поможет следующий опыт.

Вырежем из бумаги произвольный треугольник ABC. Оторвем его углы В и С (рис. 6.63) и приложим их к углу А так, как показано на рисунке б.

Сложенные углы образуют новый угол. Если этот угол является развернутым, то сумма углов треугольника равна 180°. Поскольку стороны развернутого угла являются дополнительными лучами, то проверку можно провести с помощью линейки (рис. 6.63, в).

Будет ли такая проверка доказательством? Нет, потому что здесь мы снова доверяем только своему зрению.

Однако идея этого опыта подсказывает нам путь проведения строгого математического доказательства.

Возьмем произвольный треугольник ABC. Отложим от стороны AB угла А угол MAB, равный углу В, а от стороны АС — угол NAC, равный углу С(рис.6.64). Получим угол MAN, равный сумме

Рис. 6.63

Рис. 6.64

углов треугольника ABC. Нужно доказать, что он равен 180°, то есть является развернутым.

Из равенства внутренних накрест лежащих углов В и MAB следует параллельность прямых AM и ВС.

Аналогично с помощью углов С и NAC устанавливаем, что (AN) 11 (ВС). Так как через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной, то прямые AM и AN совпадают. Следовательно, ZMAN= 180°.

Таким образом, доказана теорема. Сумма углов треугольника равна 180°. Доказанную теорему можно использовать для нахождения суммы углов любого выпуклого многоугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Многоугольники на рисунках 6.65 являются выпуклыми, а на рисунках 6.66 — невыпуклыми.

Рис. 6.65

Рис. 6.66

Угол многоугольника определяется так же, как и угол треугольника .

Введем еще некоторые понятия, которые относятся к любым многоугольникам. Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются смежными. Так, у пятиугольника на рисунке 6.67 смежными являются вершины А и В, В и С, С и D, D и Е, Е и А. Смежными называются и две стороны, имеющие общую вершину. На рисунке смежными являются, например, стороны AB и АС, СВ и CD. Отрезок, соединяющий несмежные вершины многоугольника, называется его диагональю. Многоугольник ABCDE имеет пять диагоналей: АС, AD, BD, BE, CE.

На рисунке 6.68 вершина Л/ выпуклого четырехугольника соединена с вершиной А3 диагональю. При этом получилось 2 (= 4-2) треугольника. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то сумма углов выпуклого четырехугольника равна 2-180° = 360°.

Рис. 6.67

Рис. 6.68

Если так же соединить с остальными вершину выпуклого пятиугольника, то получится 3 (= 5—2) треугольника (рис.6.69). Поэтому сумма углов выпуклого пятиугольника равна 3-180° = 540°.

В произвольном выпуклом я-угольнике аналогичное соединение диагоналями одной из его вершин с остальными приводит к п—2 треугольникам. Значит, сумма S углов я-угольника вычисляется по формуле:

Рис. 6.69

Задачи и упражнения

387. Найдите угол С треугольника ABC, если: а) AB = 68°, АА = 36°; б) АА = 126°, AB = 53°; в) АА = 25°, AB - 2 А.

388. В прямоугольном треугольнике один из его углов равен 36°. Найди остальные углы этого треугольника.

389. Найди все углы равнобедренного прямоугольного треугольника. Начерти такой треугольник.

390. Может ли в треугольнике быть два прямых угла?

391. Почему в треугольнике не может быть более одного тупого угла?

392. Найди углы равностороннего треугольника.

393. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС: а) AB - 45°, б) АС - 32°, в) АА = 29°, г) АА = 88°. Найди все остальные углы треугольника.

394*. Какую величину должен иметь угол при основании рав-

нобедренного треугольника, чтобы треугольник был: а) остроугольным, б) прямоугольным, в) тупоугольным?

395. Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть тупым?

396. Сколько углов нужно измерить в треугольнике для того, чтобы найти остальные углы этого треугольника, в том случае, когда треугольник: а) разносторонний, б) равнобедренный, в) прямоугольный, г) равносторонний, д) прямоугольный равнобедренный?

397. Найди все неизвестные углы треугольника АВС(рис. 6.70).

Рис. 6.70

398*. Найди углы треугольника KLM, если:

а) ZL = 2Z/C, ZM = 3Z/C;

б) Z/C + ZM - 136°, Z/C — ZM = 72°; b)ZM = ZK+32°, ZL = 68°;

г) Z/(=ZL, ZM= 104°;

д) Z/C = ZL = ZAf.

399. Найди неизвестный угол а (рис. 6.71 ).

Рис. 6.71

400. Нарисуй выпуклый и невыпуклый четырехугольники. Проведи их диагонали. Что можно сказать о расположении этих диагоналей относительно четырехугольников в каждом из случаев?

401. Нарисуй выпуклые четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины в каждом из этих многоугольников? На сколько треугольников разбивают многоугольники такие диагонали?

402*. Сколько всего диагоналей в выпуклом 6-, 8-, 100-угольнике?

403. Почему у треугольника нет диагоналей?

404. Найди сумму углов выпуклого: а) пятиугольника, б) шестиугольника, в) 12-угольника.

405*. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого сумма углов равна: а) 900°, б) 1980°, в) 2520°?

406*. Сколько углов имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 60°, б) 90°, в) 108°, г) 120°?

407. Вычисли сумму углов многоугольника с 3,4,..., 12 сторонами. Результаты вычислений запиши в таблицу по данному образцу:

Число сторон

3

Сумма углов

180°

На сколько увеличивается сумма углов многоугольника, если число его сторон увеличивается на одну?

408. Найди неизвестные углы многоугольников (рис. 6.72):

Рис. 6.72

4. Четырехугольники с параллельными сторонами. Познакомимся более подробно с некоторыми видами четырехугольников. Для четырехугольников удобно ввести понятия противоположных вершин, углов и сторон. Противоположными называются две вершины, которые не являются смежными. Это вершины А и С, В и D (рис. 6.73). Углы, вершинами которых являются противоположные вершины четырехугольника, также называются противоположными. Противоположными сторонами четырехугольника называются его несмежные стороны. На рисунке 6.73 это стороны AB и CD, ВС и DA.

Проведем две параллельные прямые //, 12 и пересечем их другой парой параллельных прямых mh т2 (рис. 6.74).

Рис. 6.73 Рис. 6.74 Рис. 6.75

Точки пересечения Л, ß, С, и D этих прямых являются вершинами четырехугольника. Такой четырехугольник называется параллелограммом.

Таким образом, параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

У параллелограмма KLMN(рис. 6.75) [Щ 11 [MN], [LM] \ \ [NK].

Диагональ LN параллелограмма является одновременно секущей для каждой пары параллельных противоположных сторон, поэтому Zl = Z3, Z2 = Z4. Так как диагональ является общей стороной треугольников KLN и MNL, то AKLN =AMNL (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Тогда [KL] = [MN], [LM] = [NK], АК = AM. Из равенства углов 1 и 3, 2 и 4 видим, что ZL = Z1 + Z2 = Z3 + Z4 = AN.

Таким образом, в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Последнее предложение приводит к мысли специально рассмотреть четырехугольники, у которых попарно равны противоположные стороны. Будет ли любой такой четырехугольник параллелограммом?

Пусть в четырехугольнике KLMN: [КЦ = [MN], [LM] = [NK] (рис. 6.76). Диагональ LN разбивает этот четырехугольник на два равных треугольника, которые равны по трем сторонам. Из равен-

Рис. 6.76

ства треугольников следует, что Z1 = Z3, Z2 = Z4. Первое из этих равенств показывает, что [КЦ 11 [MN], а второе — что [LM] \ \ [NK]. Поэтому KLMN — действительно параллелограмм. Мы нашли один из признаков параллелограмма.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

В 7 классе вы узнаете другие признаки параллелограмма.

Изготовим из планок детского конструктора модель четырехугольника, у которого противоположные стороны равны. Такая конструкция, как мы уже говорили, не является жесткой. Вращая стороны вокруг болтов, мы будем получать модели различных четырехугольников (рис. 6.77). Но все они являются параллелограммами. Это следует из доказанного признака параллелограмма.

Изменяя форму параллелограмма, мы можем сделать один из его углов равным 90° (рис. 6.77, б). Тогда все остальные углы такого параллелограмма тоже будут по 90°. Объясни, почему.

Ты давно хорошо узнаешь среди четырехугольников прямоугольники и квадраты. Теперь пришло время познакомиться с их определениями.

Рис. 6.77

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 6.78).

Поскольку прямоугольник является параллелограммом, его противоположные стороны равны. Длины противоположных сторон прямоугольника называют его измерениями. В повседневной жизни для них обычно употребляют названия длина и ширина. Пусть некоторый прямоугольник имеет длину 5 см и ширину 3 см. Это часто записывают следующим образом: 5 смх 3 см.

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом (рис. 6.79).

Среди параллелограммов выделяют, кроме того, ромбы.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 6.80).

Рассмотрим, наконец, еще один вид четырехугольников — трапеции.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами (рис. 6.81 ).

Рис. 6.78 Рис. 6.79 Рис. 6.80

Рис. 6.81

Задачи и упражнения

409. С помощью клетчатой бумаги и линейки построй в тетради: а) прямоугольник, б) квадрат, в)трапецию, г) параллелограмм.

410. В тетради по математике на пересечении линий квадратной сетки отметь точку О. На горизонтальной линии, проходящей через точку О, отсчитай влево и вправо от нее по 5 делений и отметь точки А и С. На вертикальной линии отсчитай вверх и вниз по три деления и отметь точки В и D. Построй четырехугольник ABCD и определи его вид. Ответ обоснуй.

411. Используя задачу 410, предложи рациональный способ построения произвольного ромба на клетчатой бумаге.

412. Реши задачу 410 в том случае, когда от точки О влево, вправо, вверх и вниз отсчитывается одинаковое число клеток.

413*. Возьми бумагу без сетки и построй на ней с помощью линейки и циркуля: а) параллелограмм, б) прямоугольник в) квадрат, г) трапецию, д) ромб.

414. Какой четырехугольник является одновременно прямоугольником и ромбом?

415. Противоположные стороны параллелограмма имеют длины а и b (рис. 6.82). Запиши формулу для вычисления периметра Р этого параллелограмма.

Найди периметр Р, если: а) а = 2 м, b = 4 м\ б) а = 3,2 см, b = 4,1 см.

Рис. 6.82 Рис. 6.83

Можно ли с помощью найденной формулы вычислять периметр: а) прямоугольника, б) трапеции? Почему?

416. Запиши формулу для вычисления периметра Р ромба со стороной а (рис. 6.83).

Найди периметр Р, если а = 5,2 см.

Можно ли применять найденную формулу для вычисления периметра квадрата?

417. Найди длину стороны квадрата, если его периметр равен 16 л*.

418. Периметр параллелограмма равен 96 см. Найди стороны параллелограмма, если:

а) одна из его сторон на 6 см меньше другой;

б) одна из его сторон в 3 раза больше другой;

в) разность двух сторон равна 8 см.

419. Периметр трапеции равен 15 ж. Найди стороны этой трапеции, если ее боковые стороны равны между собой и равны меньшему основанию, а большее основание вдвое их длиннее.

420. Построй произвольный параллелограмм. На сторонах параллелограмма вне его построй квадраты. С помощью угольника и линейки проверь, являются ли центры этих квадратов вершинами нового квадрата. (Центром квадрата называется точка пересечения его диагоналей.)

421. Построй произвольную трапецию. Найди середины ее оснований. С помощью линейки проверь, лежат ли на одной прямой точка пересечения боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей.

422. Сколько всего квадратов на рисунке 6.84?

423. Сколько всего четырехугольников на рисунке 6.85? Сколько среди них: а) прямоугольников, б) трапеций, в) параллелограммов?

424*. Сложи три равных квадрата из: а) 11 спичек, б) 10 спичек. 425*. Положи 12 спичек так, чтобы получилось: а) 2 квадрата, б)3 квадрата, в)5 квадратов,г)6 квадратов.

426*. Сложи из спичек фигуру, изображенную на рисунке 6.84. Убери: а) 4 спички так, чтобы осталось 5 квадратов; б) 8 спичек так, чтобы осталось 2 квадрата; в) 6 спичек так, чтобы осталось 3 квадрата.

427. Фигура на рисунке 6.84 составлена из 12 спичек. Мысленно удали две спички так, чтобы осталось только два квадрата.

428*. Из 12 спичек сложи 4 равных квадрата. Переложи 3 спички так, чтобы получилось 3 равных квадрата.

429. Среди четырехугольников на рисунке 6.87 найди все: а) параллелограммы, б) трапеции, в) прямоугольники, г) ромбы, д) квадраты.

430. Вырежи из бумаги два равных квадрата. Каждый из них разрежь на две части так, чтобы из полученных частей можно было сложить новый квадрат.

431*. Вырежи из бумаги прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см. Разрежь этот прямоугольник на две равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

432*. Лист бумаги прямоугольной формы дважды согнули вдвое (рис. 6.88). Измерив периметр дважды сложенного листа, получили 47 см. Найди периметр развернутого листа.

Рис. 6.84 Рис. 6.85

Рис. 6.86

Рис. 6.87

Рис. 6.88

5. Расстояние между параллельными прямыми. Когда мы говорим о ширине лестницы (рис. 6.89) или железнодорожного полотна (рис. 6.90), то подразумеваем под ней рас-

стояние между параллельными прямыми. Рассмотрим, как это расстояние вводится и измеряется.

На рисунке 6.91 изображены параллельные прямые а и Ь. Пусть Aj — произвольная точка прямой а. Расстояние от точки Aj до прямой b равно длине перпендикуляра A tHh проведенного из точки Af к прямой Ь. Расстояние от любой другой точки A2Ga до прямой b равно длине перпендикуляра А2Н2, опущенного из А2 на Ь.

Так как a 11 Ь, то прямые A tHh А2Н2, перпендикулярные прямой Ь, будут перпендикулярны и прямой а. Поэтому четырехугольник AjA2H2Hj является прямоугольником и, значит, [AjHj] = [А2Н2]. Отсюда следует, что \AtHt\ = \А2Н2\ , и расстояние

Рис. 6.89

Рис. 6.90

Рис. 6.91

между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Задачи и упражнения

433. Начерти с помощью линейки и угольника две параллельные прямые. Измерь расстояние между этими прямыми.

434. Начерти прямую а. С помощью угольника и измерительной линейки построй прямую Ь, которая находится от прямой а на расстоянии 2,5 см. Сколько таких прямых можно провести?

435. Два населенных пункта расположены по разные стороны от канала, берега которого параллельны. Требуется построить мост через канал (естественно, перпендикулярно берегам) и проложить к нему дороги от обоих пунктов. В каком месте следует построить мост, чтобы путь между данными пунктами оказался кратчайшим?

Рис. 6.92

Решение. Возьмем лист бумаги прямоугольной формы. Перпендикулярно двум его противоположным краям изобразим «берега» канала а и Ь. Точками А и В отметим населенные пункты (рис. 6.92, кадр 1). Разрежем лист вдоль «берега» Ь. Совместим прямые а и b так, как показано на кадре 2, и представим, что канала нет. Тогда кратчайшая дорога между пунктами А и В есть отрезок AB. Используя кадры 3—5, закончи решение задачи.

Проверь себя сам

1. Дай определение параллельных прямых.

2. Выбери из рамки и вставь в предложение слова так, чтобы получилось основное свойство параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит... прямая, параллельная данной.

3. Назови пары углов, которые получаются при пересечении двух прямых секущей (рис. 6.93). Приведи примеры пар углов каждого вида.

4. Вставь пропущенные слова так, чтобы получился один из признаков параллельности двух прямых:

Если при пересечении двух прямых секущей ..., то прямые параллельны .

5. Каким может быть окончание предложения:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то... ?

6. Опиши своими словами, какой многоугольник называется выпуклым. Нарисуй выпуклый многоугольник.

Рис. 6.93

7. Сформулируй теорему о сумме углов треугольника.

8. Вставь пропущенные слова.

Две вершины многоугольника, принадлежащие ... , называются смежными. Две стороны многоугольника, имеющие ..., называются смежными. Отрезок, соединяющий... многоугольника, называется его диагональю.

9. Выбери из рамки и вставь в соответствующее определение название четырехугольника:

ромб, квадрат, трапеция, прямоугольник, параллелограмм

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется... .

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ... .

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется ....

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется ....

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие противоположные стороны не параллельны, называется....

10. Выбери из рамки слова так, чтобы получить верное утверждение:

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию ... другой прямой.

• от любой точки одной из этих прямых до

• от любой точки одной из этих прямых до любой точки

§ 26. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Мы уже знаем, что на плоскости две прямые либо имеют единственную общую точку (рис. 6.94), либо общих точек не имеют (рис. 6.95). В первом случае прямые являются пересекающимися, а во втором — параллельными.

Рассмотрим теперь расположение двух прямых в пространстве. В качестве моделей таких прямых возьмем линии пересечения стен, пола и потолка комнаты (рис. 6.97). Прямые ти п имеют общую точку М, значит, они пересекаются. Прямые m и / не пересекаются и лежат в одной плоскости. Наконец, прямые п и / также не пересекаются, но уже не лежат в одной плоскости.

Пусть а и b — две произвольные прямые в пространстве.

Если эти прямые имеют единственную общую точку, то они являются пересекающимися. Через них можно провести плоскость, и притом только одну. Значит, две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости.

Рис. 6.94 Рис. 6.95

Рис. 6.96

Рис. 6.97

Перейдем к случаям, когда прямые а и b не имеют общих точек. Здесь возможны два варианта:

— прямые а и b лежат в одной плоскости,

— прямые а и b не лежат в одной плоскости.

Первый вариант представлен на рисунке 6.95, где изображены параллельные прямые. Поэтому такие прямые естественно назвать параллельными и в пространстве. Итак, две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не лежат в одной плоскости, изображены на рисунке 6.96. Такие прямые называются скрещивающимися. Ясно, что скрещивающиеся прямые не могут быть пересекающимися или параллельными.

Для обозначения параллельных прямых в пространстве используют уже знакомый нам знак 11. Для скрещивающихся прямых специальных обозначений не применяют.

Иногда установить, лежат ли две прямые в одной плоскости, бывает сложно. Так, например, сразу не видно, лежат ли в одной плоскости прямые m и k (рис. 6.97). Мысленно мы такую плоскость можем представить. Кроме того, легко представить, что эти прямые не пересекаются, и, значит, являются параллельными. На практике установить параллельность прямых m и k поможет следующее свойство:

— если каждая из двух прямых параллельна третьей прямой, то эти прямые параллельны между собой.

На рисунке 6.97: m 11 / и /11 k. Поэтому m 11 k.

Так же, как и на плоскости, в пространстве через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, ей параллельная.

Эти утверждения, как и многие другие из настоящего параграфа, ты научится доказывать в старших классах.

Задачи и упражнения

436. Найди в окружающих предметах примеры пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых.

437. На рисунке 6.98 изображен тетраэдр ABCD. Назови:

а) прямые, пересекающие прямую AB в точке Л;

б) прямую, скрещивающуюся с прямой AD;

в) все пары скрещивающихся ребер.

2. Взаимное расположение прямой и плоскости. На рисунке 6.99 прямая а пересекает плоскость а в точке Л, а на рисунке 6.100 прямая а лежит в плоскости а. В первом случае прямая и плоскость имеют единственную общую точку, а во втором — бесконечно много общих точек.

Вместе с тем мы можем представить прямую и плоскость, которые не имеют общих точек. Сделать это нам помогут карниз для оконных штор и потолок или пол (рис. 6.102), планка в яме для прыжков в высоту и земная поверхность (рис. 6.103).

Прямая и плоскость, которые не имеют общих точек, называются параллельными.

Рис. 6.98

Рис. 6.99 Рис. 6.100 Рис. 6.101

Рис. 6.102 Рис. 6.103

На рисунке 6.101 прямая а параллельна плоскости а. Это записывается следующим образом: а\\а.

Ты наверняка видел, как дома навешивали оконные карнизы или вешали картины. Такая работа, скорее всего, сопровождалась словами: «Ровно», «Левый край выше» и т. п. Как обиходное «ровно» перевести на геометрический язык? С точки зрения геометрии карниз укреплен ровно, если он параллелен плоскости потолка. На практике, навешивая карниз, смотрят, параллелен ли он линии пересечения потолка и стены. Оказывается, это опять объясняется с помощью геометрии. Имеет место следующий признак параллельности прямой и плоскости:

если прямая параллельна некоторой прямой, расположенной в плоскости, то она параллельна самой этой плоскости.

Задачи и упражнения

438. Найди в окружающих предметах примеры параллельности прямой и плоскости.

439. Четырехугольник ABCD на рисунке 6.104 является параллелограммом. Назови:

а) прямые, пересекающие плоскость (ADE);

б) прямые, лежащие в плоскости (ABC);

в) плоскость, которой параллельна прямая ВС.

Ответ обоснуй.

Рис. 6.104

3. Перпендикулярность прямой и плоскости. Всем вам приходилось слышать слова: «Этот столб стоит прямо, а этот наклонился.» Вполне вероятно, что и сами их кому-то говорили. А задумывались ли вы над тем, что значит «столб стоит прямо» с точки зрения геометрии? Давайте подумаем над этим вместе.

На рисунке 6.105 изображены плоскостью и прямая а, которые пересекаются в точке А. Их можно рассматривать как геометрические модели земной поверхности и столба.

Рис. 6.105

Через точку А в плоскости а проведены прямые. На рисунке а прямая а перпендикулярна всем этим прямым, а на рисунке б — только одной из них.

В первом случае говорят, что прямая а перпендикулярна плоскости а. Итак, прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения. Перпендикулярность прямой а и плоскости а записывается так: a La.

Таким образом, с точки зрения геометрии для того, чтобы установить столб «прямо», нужно установить его перпендикулярно земной поверхности.

Как это сделать? Смоделируем возникшую задачу. Возьмем дощечку, в которой просверлено отверстие и заполнено пластилином. Попытаемся, используя определение, установить в пластилине спицу перпендикулярно дощечке. Для этого возьмем чертежный угольник. Один его катет приложим к спице, а другой — к поверхности доски (рис. 6.106). Если при вращении треугольника вокруг спицы второй катет все время скользит по поверхности доски, то спица перпендикулярна доске.

Как, опираясь на определение, установить перпендикулярность прямой а и плоскости а? Нужно проверить, что прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости а и проходя-

Рис. 6.106

Рис. 6.107

щим через точку пересечения прямой а с плоскостью а. Таких прямых бесконечно много, поэтому практически осуществить такую проверку невозможно.

Оказывается, в этом нет необходимости. Вспомни крестовину для новогодней елки. Ствол елки, перпендикулярный двум планкам крестовины, перпендикулярен и полу (рис. 6.107). Этот факт объясняется с помощью признака перпендикулярности прямой и плоскости:

— если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости. На рисунке 6.108 изображены плоскость а и точка А, не лежащая в этой плоскости. Через точку А проведена прямая а, перпендикулярная плоскости а. Точка пересечения прямой и плоскости обозначена буквой Я. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости а, а точка Я — основанием этого перпендикуляра.

Пусть M — произвольная точка плоскости а, отличная от Я. Тогда прямая AM неперпендикулярна плоскости а. Отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости а, а точка M — основанием этой наклонной.

Если через пересекающиеся прямые АН и AM провести плоскость/?, то

Рис. 6.108

она пересечет плоскость а по прямой НМ. В плоскости ß отрезок ЛЯ будет перпендикуляром, а отрезок AM — наклонной, которые проведены из точки А к прямой НМ. Поэтому < \АМ\. Таким образом, перпендикуляр, проведенный к плоскости а из точки А, короче любой наклонной, проведенной к этой плоскости из той же точки.

Задачи и упражнения

440. Найди в окружающих предметах примеры перпендикулярности прямой и плоскости.

441*. Докажи, что через любую точку M пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости а. Не забудь рассмотреть два случая: а) М£а, б) MGa.

4. Взаимное расположение двух плоскостей. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (6.109). Пересекающиеся плоскости мы уже находили в окружающих нас предметах. В этих же предметах можно увидеть и модели непересекающихся плоскостей: пол и потолок; противоположные стены в комнате; поверхность стола и пол; противоположные стенки шкафа или коробки.

Две плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными (рис. 6.110). Параллельность плоскостей а и ß записывается так: а \ \ß.

Рис. 6.109

Вернемся к паре пересекающихся плоскостей. Такие плоскости образуют четыре двугранных угла. Сейчас мы научимся измерять величину двугранного угла и введем понятие угла между плоскостями.

На рисунке 6.111 изображен двугранный угол с ребром AB и гранями а{ и а2. Выберем на ребре этого угла точку M и в каждой из полуплоскостей ah а2 проведем через нее перпендикуляры MAh МА2 к ребру AB.

Лучи MA J, МА2 являются сторонами обычного угла. Этот угол называется линейным углом двугранного угла.

Если точка M будет перемещаться по ребру двугранного угла (рис.6.112), то величина линейного угла будет оставаться посто-

Рис. 6.110

Рис. 6.111

Рис. 6.112

янной. Поэтому величина линейного угла служит для измерения двугранных углов.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Как и обычные углы, двугранные углы бывают острые (рис. 6.113), прямые (рис. 6.114) и тупые (рис. 6.115).

Рис. 6.113 Рис. 6.114 Рис. 6.115

Под углом между пересекающимися плоскостями понимают тот из двугранных углов, образованных этими плоскостями, который не превосходит прямого угла (рис. 6.116).

Если пересекающиеся плоскости образуют четыре прямых двугранных угла, то они называются перпендикулярными (рис. 6.17). Угол между ними равен 90°.

Если плоскости параллельны, то угол между ними будем считать равным 0°.

Рис. 6.116

Рис. 6.117

Задачи и упражнения

442. Найди в окружающих предметах примеры перпендикулярных плоскостей.

443*. Плоскость/3 проходит через прямую а, которая перпендикулярна плоскости а. Докажи, что ß±a.

5. Расстояние между некоторыми фигурами в пространстве. Вновь приведем некоторые высказывания, которые приходилось слышать в жизни: «Лампочка висит на расстоянии 2,5 м от пола», «Планка в секторе для прыжков в высоту установлена на отметке 2 м 30 см», «Высота комнаты 3 м 60 см». Теперь мы сможем объяснить геометрический смысл этих предложений. Для этого нам потребуется ввести такие понятия, как расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, которой она параллельна, и расстояние между параллельными плоскостями.

Рассмотрим плоскость а и точку Л, не лежащую в этой плоскости (рис. 6.118). Мы видели, что перпендикуляр АН, проведенный из точки А к плоскости а, короче любой наклонной AM, проведенной из этой же точки. Поэтому расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного к плоскости из этой точки.

Рис. 6.118

Рис. 6.119

Рис. 6.120

Теперь рассмотрим прямую а, параллельную плоскости а (рис. 6.119). Оказывается, все точки такой прямой удалены от плоскости на одно и то же расстояние. Поэтому расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно расстоянию от произвольной точки прямой до плоскости.

Наконец, если две плоскости параллельны (рис. 6.120), то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. Значит, расстояние между параллельными плоскостями равно расстоянию от произвольной точки одной из этих плоскостей до другой плоскости.

Вернемся к высказываниям, приведенным в начале этого пункта. Геометрический смысл первого из них очевиден. Смысл второго заключается в том, что планка находится на расстоянии 2 м 30 см от поверхности земли. Наконец, в третьем примере высота комнаты есть расстояние между полом и потолком.

Задачи и упражнения

444. Отрезок AB перпендикулярен плоскости а. Конец А находится на расстоянии 10 см от плоскости a, a конец В — на расстоянии 4 см. Найди расстояние от середины О отрезка AB до плоскости а. Сколько ответов может иметь эта задача?

445. Используя рисунок 6.121, найди способ приближенного нахождения высоты дерева с помощью рулетки и равнобедренного прямоугольного треугольника.

446. На какой высоте укреплен карниз для шторы, если длина шторы 2 ж 50 см, а ее нижний край находится от пола на расстоянии 46 см?

447. Назови множество точек пространства, удаленных на данное расстояние: а) от данной точки, б) от данной плоскости.

448*. Попытайся описать множество точек пространства, удаленных на данное расстояние от данной прямой.

449. Плоскостьß удалена от плоскости а на расстояние 5 ж, а плоскость / — на расстояние 2 м. Каким может быть расстояние между плоскостями ß и у?

Рис. 6.121

450. Измерь расстояние, на котором находится поверхность стола от пола.

Проверь себя сам

1. Какая ошибка допущена в определении?

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

2. Как в пространстве две прямые могут быть расположены относительно друг друга?

3. Заполни первый пропуск словами из первой рамки, а окончание — словами из второй рамки так, чтобы получилось три верных утверждения:

Через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ...,....

единственную прямую; бесконечно много прямых

пересекающих данную прямую; пересекающую данную прямую; параллельных данной прямой; параллельную данной прямой; скрещивающуюся с данной прямой; скрещивающихся с данной прямой

4. Выбирая нужные слова, составь по следующей схеме четыре известных тебе определения:

• прямая и плоскость

• две плоскости

называются

• параллельными

• перпендикулярными

если

• прямая перпендикулярна любой прямой, расположенной в плоскости и проходящей через точку их пересечения.

• они не имеют общих точек.

• они образуют при пересечении четыре прямых двугранных угла.

5. Закончи предложения:

§ 27. Материалы для дополнительного чтения

1. Угол между двумя прямыми. Рассмотрим, как вводится понятие угла между двумя прямыми. Пусть имеется две пересекающиеся прямые. Они образуют четыре угла (рис. 6. 122). При этом Z1 = Z3, Z2 = Z4 как вертикальные углы.

Если все эти четыре угла прямые (рис. а), то прямые являются перпендикулярными и угол между ними равен 90°.

Если прямые неперпендикулярные, то два угла, образованные ими, будут острыми, а два — тупыми. На рисунке 6 1,3 — острые углы, а 2, 4 — тупые. Зная один из углов 1, 2, 3, 4, мы можем найти все остальные. Пусть, например, известна величина угла 1, тогда Z3 =Zl, Z2 = Z4 = 180° — ZI. Под углом между двумя прямыми в этом случае понимают тот, который является острым. На рисунке это угол 1 или, равный ему, угол 3.

Если прямые параллельны, то будем считать, что угол между ними равен 0°.

Рис. 6.122

Нам осталось определить угол между скрещивающимися прямыми. Здесь дело осложняется тем, что такие прямые не лежат в одной плоскости.

Пусть а и b — скрещивающиеся прямые (рис. 6.123). Выберем произвольную точку пространства M и проведем через нее прямые а'и Ь' так, чтобы а 'I | а, Ь'\ IЬ. Угол между прямыми мы находить умеем. Оказывается, этот угол не зависит от выбора точки М. Поэтому угол между скрещивающимися прямыми а и b определяется как угол между прямыми а' и Ь'.

На практике при нахождении угла между скрещивающимися прямыми точку M обычно выбирают на одной из этих прямых.

Рис. 6.123

Задачи и упражнения

451. Измерь углы между прямыми на рисунках 6.124.

Рис. 6.124

452. Найди угол между скрещивающимися прямыми п и / на рисунке 6.97.

2. Угол между прямой и плоскостью. Пусть прямая а пересекает плоскость а в некоторой точке О.

Если а±а, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° (рис. 6.125, а).

Если прямая а неперпендикулярна плоскости а, то поступим следующим образом. Будем опускать из точек прямой а перпендикуляры на плоскость а. На рисунке б показаны перпендикуляры, опущенные из точек Л, В и С. Основания Л/, Вj и С/ этих перпендикуляров лежат на некоторой прямой а', которая проходит через точку О. Прямую а' называют проекцией прямой а на плоскость а. Под углом между прямой и плоскостью в рассматриваемом случае понимают угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. На рисунке этот угол отмечен дугой. Такой угол является наименьшим из всех углов, которые прямая а образует с прямыми, проведенными в плоскости а через точку О.

Если прямая а параллельна плоскости а, то угол между ними считается равным 0°.

Рис. 6.125

Задачи и упражнения

453. На рисунке 6.126 прямая ВС перпендикулярна плоскости а. Найди угол между прямой AB и плоскостью а, если:

Рис. 6.126

3. Инструменты разные, инструменты важные. В этом пункте рассказывается о некоторых приборах и инструментах, которые используются в различных областях деятельности человека. Эти инструменты объединяет то, что все они созданы на основе понятий параллельности или перпендикулярности прямых.

При выполнении графических работ в черчении используют линейку, соединенную с поперечной планкой, — рейсшину. Во время работы планку рейсшины прижимают к левому краю чертежной доски (рис. 6.127). Когда планка движется по краю доски, линейка позволяет проводить различные прямые, параллельные между собой. Эти прямые параллельны, потому что все они перпендикулярны краю доски.

Представьте, что вам нужно разметить в школьном дворе баскетбольную или волейбольную площадку. Эти площадки имеют форму прямоугольника и, значит, придется строить перпендикулярные и параллельные прямые. Как это сделать? Простейшим инструментом для построения перпендикулярных прямых на местности является экер (рис. 6.128). Экер представляет собой две планки, распо-

Рис. 6.127

Рис. 6.128

ложенные под прямым углом. На концах планок установлены гвозди так, что проходящие через них прямые также взаимно перпендикулярны. Экер укрепляется на треножнике, снабженном отвесом. Принцип работы с экером показан на рисунке 6.129.

Представим теперь, что нам нужно выстрогать из деревянной заготовки брусок. Какие для этого потребуются инструменты? Конечно, рубанок. Но, оказывается, не только он.

Обработав рубанком одну сторону будущего бруска, проверим, что она является ровной (плоской). Это мы делать умеем. Достаточно взять металлическую линейку, приложить ее край к только что выстроганной плоскости и посмотреть, нет ли просветов.

После проверки приступим к обработке второй грани. Здесь правильность работы проверяется столярным угольником (рис. 6.129). Угольник состоит из колодки и врезанной в нее под прямым углом линейки (рис. 6.129, а). Как проверяется перпендикулярность граней бруска, показано на рисунке в.

Две оставшиеся поверхности бруска строгают после разметки рейсмусом (рис. 6.130). Рейсмус состоит из колодки ( 1 ) и линеек (2). Разметка выполняется с помощью гвоздей (3), вбитых в линейки. При разметке колодку прикладывают к обработанной грани бруска и ведут рейсмус вдоль нее (рис. 6.130, б). При этом гвоздь вычертит прямую (риску), параллельную краю бруска.

Рис. 6.129

Когда брусок выстроган с четырех сторон, остается придать ему нужную длину. Кроме линейки нам вновь потребуется угольник. На рисунке 6.130, б показано, как сделать разметку для того, чтобы распилить брусок перпендикулярно его боковым граням.

Еще один инструмент, который используется при столярных работах, называется малка (рис. 6.131 ). Он применяется в тех случаях, когда нужно провести разметку под любым заданным углом к краю доски или бруса. Малка состоит из двух планок, соединенных винтом. Планки могут быть установлены под любым углом друг к другу и закреплены в этом положении винтом. На рисунке б показано, как с помощью малки разметить гнезда для ступеней приставной лестницы. Здесь также одну планку ведут по краю доски, а с помощью другой планки проводят параллельные линии.

Рис. 6.130

Рис. 6.131

4. «Задачкины наряды». Любой человек постоянно меняет одежду. Это обусловлено временем года, погодой, видом его деятельности и т. д. Но как бы человек не был одет, мы, если хорошо с ним знакомы, сразу его узнаем в любой одежде. Оказывается, математическая задача тоже может иметь различные одежды (формулировки). Чтобы научиться применять математику на практике, нужно в возникающих практических задачах научиться видеть знакомые математические задачи.

Для примера рассмотрим три следующие задачи:

А. Два населенных пункта расположены по одну сторону от прямой шоссейной дороги. У дороги требуется построить автозаправочную станцию и проложить к ней дороги от населенных пунктов. В каком месте следует построить станцию, чтобы суммарная длина дорог от нее до населенных пунктов была наименьшей (рис. 6.132)?

Б. Участки двух дачников расположены на берегу реки (рис. 6.133). На этих участках установлены емкости для хранения воды, используемой для полива. Теперь соседи решили на берегу реки поставить насос для подачи воды и провести от него трубы к каждой из емкостей. Укажи, где нужно установить насос и как проложить трубы, чтобы их расход был наименьшим.

Рис. 6.132

Рис. 6.133

В. По одну сторону от забора растут два дерева (рис. 6.134). Сережа и Саша долго соревновались: кто быстрее добежит от одного дерева до другого. Каждый раз соревнование чуть-чуть выигрывал Сережа. Тогда Саша, который был лучшим учеником в классе по математике, предложил другие правила соревнований. Его предложение заключалось в том, чтобы бежать от дерева к дереву не сразу по прямой, а подбегая по дороге к забору и касаясь его. На что надеется Саша, рассчитывая выиграть соревнование?

На первый взгляд это разные задачи. Однако, если их еще раз внимательно прочитать, то и здесь можно увидеть различные «одежды» одной и той же геометрической задачи.

Г. Точки А и В расположены по одну сторону от прямой а. На прямой а нужно указать такую точку М, чтобы длина ломаной АМВ была наименьшей.

В первых трех формулировках требуется решить некоторые практические задачи, а в последней — задача полностью переведена на математический язык. С этим часто приходится сталкиваться в жизни. Математика помогает решать очень многие практические задачи в самых различных областях деятельности человека. Так, решив задачу Г и увидев ее в задачах А, Б, В, мы сразу можем дать и их решения.

Рассмотрим решение задачи Г. Используем уже знакомую нам идею выпрямления ломаной АМВ. Если бы данные точки лежали

Рис. 6.134

по разные стороны от прямой а, то искомая точка M была бы точкой пересечения отрезка с концами в этих точках и прямой а. Как получить такую ситуацию?

Построим точку С так, чтобы прямая а была серединным перпендикуляром к отрезку ВС (рис. 6.135). Тогда для точки M пересечения прямой а и отрезка АС имеет место равенство: [МВ]=[МС]. Поэтому

\АМ\ + \МВ\ = \АМ\ +|Afd =UC|. (1)

Отрезок АС — кратчайшая линия, соединяющая точки А и С. Если N — точка прямой а, отличная отЛ1, то из треугольника ANC:

(2)

(3)

Из равенств ( 1 ), (3) и неравенства (2) следует, что длина ломаной ANB больше длины ломаной АМВ:

Значит, точка M является искомой.

Рис. 6.135

§ 28. Геометрические досуги

В этот раз нам потребуется бумага, ножницы и измерительная линейка. Мы рассмотрим несколько задач на перегибание и разрезание бумаги, а затем тоже из бумаги научимся изготовлять интересные игрушки-самоделки.

41. Возьми лист бумаги неправильной формы. С помощью перегибания и ножниц вырежи из него бумажный прямоугольник.

Этапы решения этой задачи показаны на рисунке 6.136. Край, содержащий первую сторону будущего прямоугольника, получен в результате перегибания бумаги и ее разрезания по линии сгиба. Другие стороны прямоугольника получаются при перегибании и разрезании бумаги перпендикулярно соответствующему готовому краю.

Рис. 6.136

42. Из бумаги вырезан прямоугольник. Перегибанием получи из него квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника.

43. Из бумаги вырезан прямоугольник. Как из него с помощью перегибания получить различные равнобедренные треугольники с общим основанием, которое совпадает с меньшей стороной прямоугольника?

44. Укажи способ получения с помощью перегибания из бумажного прямоугольника равностороннего треугольника со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника?

45. Вырежи из бумаги квадрат. Теперь, перегибая его, мы займемся изучением свойств квадрата.

а) Перегнем бумажный квадрат по его диагонали (рис. 6.137). При этом линия сгиба является общей стороной двух равных равнобедренных прямоугольных треугольников. Объясни, почему.

Рис. 6.137 Рис. 6.138 Рис. 6.139

б) Перегнем квадрат по второй диагонали (рис. 6.138). Складывая квадрат по линиям сгиба, установи, что: 1 ) диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, 2) диагонали квадрата в точке их пересечения делятся пополам, 3) диагонали квадрата равны. Докажи эти утверждения с помощью рассуждений.

Точка пересечения диагоналей квадрата называется его центром. Центр квадрата является общей вершиной четырех треугольников. С помощью наложения, а затем рассуждений докажи, что эти треугольники: 1) равны, 2) являются прямоугольными равнобедренными.

в) Перегнем теперь квадрат так, чтобы совпали две его противоположные стороны (рис. 6.139). Объясни, почему такое перегибание возможно. Новая линия сгиба называется средней линией квадрата. Средняя линия квадрата обладает следующими свойствами: 1) параллельна двум противоположным сторонам квадрата, 2) перпендикулярна двум другим его сторонам и делит эти стороны пополам, 3) проходит через центр квадрата и делится в нем пополам, 4) делит квадрат на два равных прямоугольника. Убедись в справедливости этих свойств средней линии с помощью перегибаний, а затем докажи их путем рассуждений.

г) Перегнем квадрат по второй средней линии (рис. 6.140). Теперь центр квадрата стал вершиной четырех новых квадратов. Докажи это.

д) Перегнем исходный квадрат по прямым, которые проходят через середины его сторон (рис. 6.141). Новые линии сгиба являются сторонами еще одного квадрата. Почему?

е) Соедини точки пересечения сторон последнего квадрата с диагоналями исходного квадрата (рис. 6.142) Определи вид полученного при этом четырехугольника. Ответ обоснуй.

46. Сколько всего на рисунке 6.142: а) квадратов, б) прямоугольников, в) трапеций,г)треугольников?

47. Построив свои домики, поросята Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф увидели, что домики находятся в вершинах треугольника (рис. 6.143). Братья решили, выкопать еще и общий колодец. Это было в то время, когда маленькие поросята не были дружными. Каждый из них боялся, что от его дома до колодца будет дальше, чем от домиков братьев. Три поросенка долго спорили, где строить колодец, но так и не решили эту задачу. Смог бы ты им помочь?

Чтобы проверить себя, возьми лист бумаги и отметь на нем три точки, не лежащие на одной прямой. Представь, что это доми-

Рис. 6.140 Рис. 6.141 Рис. 6.142

Рис. 6.143

ки поросят. С помощью перегибания найди точку, в которой нужно строить колодец. Эта точка должна находиться на одинаковом расстоянии от трех выбранных точек.

48. В упражнении 45 мы путем перегибания бумажного квадрата изучали его свойства, а теперь тоже путем перегибания научимся делать из него различные игрушки.

Впрочем, некоторые самолетики, кораблики и пилотки ты наверняка уже умеешь делать. А знаешь ли ты, что складывание из бумаги различных фигурок считается настоящим искусством? Им увлекаются не только дети, но и взрослые. В разных странах, в том числе и у нас, действуют клубы и кружки любителей этого искусства, издаются специальные книги и журналы, организуются выставки. А возникло подобное увлечение много веков назад в Японии. Называется оно «оригами», что в переводе с японского означает «сложенная бумага».

Птичка. Процесс изготовления этой игрушки показан на рисунке 6.144. Возьми бумажный квадрат.

1. Перегни квадрат по его диагоналям и средним линиям.

2. Согни по прямой, проходящей через середины двух смежных сторон.

3. Середины других смежных сторон сведи в центре квадрата на противоположной стороне листа.

4. Прижми к центру квадрата и первые две середины сторон.

5. Перегни получившийся квадрат по диагонали, проходящей через вершину А.

6. Расправь «клюв». Птичка готова.

Стакан. Иногда бывает так: хочется пить, есть вода, но нет стакана. Не беда. Стакан ты можешь легко изготовить из квадратного листа бумаги (рис. 6.145).

1. Перегни квадрат по диагонали.

2. Отогни заштрихованный треугольник.

Рис. 6.144

Рис. 6.145

3. Таким же образом отогни второй угол исходного треугольника. Теперь от него осталось еще два маленьких треугольника.

4. Отогни эти треугольники вниз — один вперед, другой назад. Для прочности первый треугольник заправь в получившийся кармашек. Расправь стаканчик.

Прыгающая лягушка. Эту игрушку изготовить немного сложнее. Поэтому внимательно следуй описаниям и будь аккуратен.

1. Перегни квадрат по средним линиям.

2. Согни по вертикальной средней линии. Верхний маленький квадрат перегни по горизонтальной средней линии.

3. Маленький квадрат перегни по диагоналям.

4. Сложи по линиям перегиба.

5. Нижний квадрат согни по средней горизонтальной линии.

6. Согни с боков к середине, оставив узкий зазор.

7. Согни нижнюю часть вверх.

8. Согни уголки прямоугольника вниз.

9. Возьмись за уголки и потяни.

10. Согни углы трапеции по пунктиру вниз.

11. Согни углы треугольника наискосок.

12. Согни наискосок нижние уголки.

13. Сложи пополам.

14. Согни прямоугольник вниз немного выше горизонтальной средней линии.

15. Переверни.

16. Лягушка готова к прыжкам. Прижми пальцем к столу заднюю часть ее туловища и отпусти.

Журавлик, машущий крыльями. Часто при изготовлении различных бумажных фигурок начальные этапы бывают одни и те же. В этом мы сможем убедиться, мастеря журавлика и ворона.

Вначале изготовим журавлика.

1. Согни квадрат по диагонали. Перегни полученный равнобедренный прямоугольный треугольник по медиане, опущенной из вершины прямого угла

2. Расправь верхний треугольник в квадрат.

3. Переверни.

4. Перекинь треугольник направо.

5. Расправь уголок в квадрат.

6. Сложи верхний слой боковых уголков к вертикальной диагонали квадрата.

7. Отогни их обратно.

8. Разверни верхний слой по линии перегиба.

9. Переверни фигуру.

10. Сделай перегибы к середине.

11. Разверни верхний слой по линиям перегиба вверх.

12. Правую нижнюю часть заготовки согни внутрь.

13. Сделай сгиб внутрь левой нижней части заготовки.

14. Согни внутрь левый кончик.

15. Наискосок согни крылья.

16. Расправь их.

17. Журавлик готов. Если потянуть его за хвост и голову, он будет махать крыльями.

Ворон. Процесс изготовления этой игрушки до пункта 11 такой же, как и журавлика. Далее он продолжается так.

12. Разверни верхний слой по линии перегиба вверх.

13. Переложи треугольники в направлениях, указанных стрелками.

14. Согни верхние уголки заготовки внутрь.

15. Верхний слой левого угла заготовки согни по пунктирной линии.

16. Сложи по горизонтальной прямой пополам.

17. Согни левый угол внутрь.

18. Согни ногу внутрь.

19. Отогнутый кончик ноги опять согни внутрь.

20. Повтори последние две операции со второй ногой.

21. Ворон готов.

49. Рассмотрим еще две игрушки, которые изготовляются из бумажного прямоугольника. Сначала введем несколько понятий. Как и у квадрата, точка пересечения диагоналей прямоугольника называется его центром, а отрезок, соединяющий середины противоположных сторон — средней линией. Средние линии прямоугольника также проходят через его центр (рис. 6.146).

Хлопушка. Возьми развернутый лист, вынутый из тетради. Он представляет собой прямоугольник, перегнутый по меньшей средней линии. Для изготовления хлопушки:

1. Перегни прямоугольник по большей средней линии и пригни к ней углы прямоугольника;

2. Сложи заготовку по средней линии так, чтобы получилась трапеция, а треугольники оказались внутри;

Рис. 6.146

3-4. Острые углы отгони по штриховой линии.

5. Полученный квадрат сложи по диагонали.

6. Хлопушка готова.

7. Возьми ее за нижние концы и резко махни рукой сверху вниз Ну, как?

Самолет. Еще одна игрушка - истребитель. Ее можно сделать следующим образом.

7 Перегни прямоугольник по большей средней линии, а затем расправь его.

2 Согни углы к линии перегиба.

3. Согни тупые углы к линии перегиба.

4. Согни заготовку по пунктирной линии и переверни ее.

5. Согни углы по пунктирным прямым.

6. Согни угол по пунктиру и вытащи его с обратной стороны.

7. Перегни назад по горизонтальной прямой.

8. Согни крылья.

9. Самолет готов.

50. На каждой из фигур (рис. 6.147) мысленно проведи один прямой разрез так, чтобы из получившихся двух частей можно было сложить квадрат.

Рис. 6.147

51. Фигура на рисунке 6.148 составлена из трех равных квадратов. Вырежи из этой фигуры такую часть, чтобы, приложив ее к

Рис. 6.148 Рис. 6.149

оставшейся части, получить квадрат, внутри которого имеется квадратное отверстие.

52. Крест на рисунке 6.149 составлен из пяти равных квадратов. Вырежи такой крест из бумаги и разрежь его на части, из которых можно составить квадрат.

Реши задачу двумя способами: а) разрезая крест на равные прямоугольные треугольники; б) выполняя только два прямых разреза.

53. Бумажный квадрат разрежь на части так, чтобы из них можно было сложить пять равных квадратов.

54. Разрежь произвольный параллелограмм на две части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.

55. Разрежь произвольный треугольник на три части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.

56. Разрежь произвольную трапецию на три части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.

57. Сложи квадрат из прямоугольника со сторонами 9 см и 16 см, разрезав последний только на две части.

58. Ты хорошо умеешь строить прямые углы, используя вертикальные и горизонтальные линии квадратной сетки в тетради по математике. Для этого достаточно выбрать вершину угла в узле сетки, а его стороны расположить на линиях сетки, проходящей через выбранный узел (рис. 6.150, а).

Выберем теперь точки А и В, которые находятся в узлах сетки, но не лежат на одной линии сетки. Можно ли построить прямой угол, у которого вершина совпадает с одной из выбранных точек, а сторона проходит через другую точку? Оказывается, можно.

Рис. 6.150

Это выполняется так:

1) Построим прямоугольный треугольник ABC, вершина прямого угла С которого лежит на пересечении вертикальной линии сетки, проходящей через точку В;

2) Сосчитаем число клеток между точками В и С;

3) На вертикали, проходящей через точку В, отметим точку D так, чтобы \BD\ = I ßd ;

4) Сосчитаем число клеток между точками С и Л;

5) На горизонтали, проходящей через точку D, отметим точку Е так, чтобы I DE\ = I СА\ ;

6) Построим прямоугольный треугольник EBD.

Опираясь на равенство треугольников ABC и EBD, докажи, что ZABE = 90°.

Эта задача позволяет строить прямые углы, стороны которых не лежат на линии сетки.

59. Не проводя никаких линий, найди точку, которая получится, если повернуть данный узел квадратной сетки вокруг другого данного узла сетки на 90°.

60. Отметь две точки в узлах сетки. Пусть эти точки являются смежными вершинами квадрата. Не проводя никаких линий, отметь две другие вершины этого квадрата.

61. В заключении рассмотрим зрительные обманы, в которых параллельные прямые кажутся кривыми, а стороны квадрата изогнутыми. В том, что это не так, ты можешь убедиться с помощью линейки (рис. 6.151 ).

Рис. 6.151

Ответы и указания

Глава I

9. См. рис.1. 13. Да, могла. 18. Летело 3 гуся. 19. См. рис.2.

Рис. 1 Рис, 2 Рис. 3

20. См. рис.3. 40. На 4 части. 41. На 6 частей. 42. На 7 частей.

Рис. 4

43. См. рис.4 а, б. 44. Можно. См., например, рис.5: а, б — с помощью 4 прямых, в — с помощью 5 прямых. 48. Единственную.

Рис. 5

Для обоснования выбери на прямой две точки. 49. Три точки на одной прямой лежать не могут, т. к. тогда через эту прямую и четвертую точку пройдет плоскость (см. предыдущую задачу). Все четыре точки окажутся в этой плоскости. Прямые AB и CD пересекаться не могут, т. к. через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, и точки Л, ß, С и D будут лежать в этой

плоскости. 50. Обоснование опирается на свойство прямой, две точки которой принадлежат плоскости. 51. Да, да. 52. а нет, б нет, еда. 53. Три, если прямые не лежат в одной плоскости, и одна, если лежат. 54. а 2, б 4, в 8, г 6, д 7.

Глава II

78. в 9,2 ж, г 10 см. 80. а да, б нет. 81. 34 мм. 82. 54 см. 84. Мишин, на 2 сж. 89. 648 сж. 95. а 69 ж, б 138 ж, в 230 ж. 97. 3.

98. См. рис.6. 99. См. рис. 7. 100. а нет, б да. 106. 156 км. 107. « 41006300000000 км. 108. «0,12лш, « 17,6 ж. 109. 9 см. ПО. 35 км, 79 км. 115. В 14 раз. 117. 90 м.

Глава III.

123.1 CD\ < I ASl. 125.1 Я(?| < I £/1, т. к. — диаметр, [A?] — хорда, не проходящая через центр. 127. Центры окружностей

Рис. 6

Рис.7

Рис. 8 Рис. 9

сами лежат на окружности с центром К, радиус которой 3 см. 129. а 2, б 1, в таких хорд нет. 131. Точки Ки M (рис. 8). 138. См., например, рисунок 9 (А — любая точка на окружности радиуса 15 мм.) 140. ада, бда, еда, г нет. 141. ада, бда, еда, г нет, д нет. 143. Центры лежат на одной прямой. 146. На 6, если п = 6; на 12, если п = 12; на 16, если /2= 16. 166. 4. 167. 8.

Глава IV.

205. За 6 часов, за 3 часа. 206. а за полчаса, б за 15 минут. 208. Прав. Совмести равные отрезки АС и ВС путем перегибания бумаги. 209. а 6, б 10. 210. Указание: поверни /АОВ вокруг центра О окружности на прямой угол. 211. Указание: рассмотри поворот вокруг точки О на развернутый угол. 212. Указание: т. к. kjMN = u/(L, то /MON = /KOL. 213. kjAB = uBC - uCD = kjDA = 90°, uABC = kjBCD = kjCDA = kjDAB = 180r, uABD = kjACB = uCDA = kjDAC = 270°. 214. 120°, 240°. 215. a 270°, 6 297°, в 180°, г 240°, д 223°, e 209°30', ж 305°ЗГ45", 3 269W30", u 181°12'06"I. 216. 21600'. 217. 360", 1296000".

218. a 360°= 21600' = 1296000", d 0,5°= 30' = 1800".

219. 6 30°= 1800' = 108000", одна двенадцатая градуса = 5' = 300". 220.90°. 223. 12 ^ 15мин, 12 ч 30мин, \2ч\Ьмин, 12 ч 10 мин. 225. На рисунке 10 /АОВ = 90°. За один час часовая стрелка поворачивается на 30°. 15 мин = — ч, поэтому за 15 минут часовая стрелка повернется на угол

Рис. 10

Рис. 11

230. 45°. 231. 144°. 232. 45°. 233. а 120°, б 81°; в 72°. 234. 30°.

Рис. 12

235. 20°, 40°, 120°. 236. д 135°, е 127°. 239. ZAMB = 2ZNMK 240. См. рис. 11. 241. Дважды перегни прямой угол пополам (рис. 12).

Глава V.

269. Нельзя. 271. 59 см. 274. Равнобедренный с основанием 5 дм и боковой стороной 20 дм. 281.50 см. 282. 56 см. 291. См. рис. 13. 307. Нельзя. 326. 6 см, на 2 части. 330. Равносторонний.

Рис. 13

Глава VI.

340. См. рис. 14. 341. Построй серединный перпендикуляр отрезка AB. Обозначь его Ь. Если b 11 а, то задача решения не имеет (рис 15, а); если прямые а и b совпадают, то любая точка прямой а одинаково удалена от точек А и В (рис 15, б); если прямые а и b пересекаются, то точка С их пересечения является единственной точкой прямой а, одинаково удаленной от точек А и В (рис 15, в). 342. См. рис. 16. На рисунке со — окружность с центром в точке A4, / — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Рис. 14 Рис. 15

Рис. 16 Рис. 17

Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20

343. Построение серединного перпендикуляра. 345- Центр лежит внутри треугольника (рис. 17). 346. Центр лежит на середине гипотенузы (рис. 18). 347. Центр лежит вне треугольника (рис 19). 348. Искомая окружность описана около треугольника с вершинами в данных точках. 350. Расстояние равно длине отрезка МК (рис. 20). 351. 2 см. 352. В первом случае — две концентрические с данной окружности радиусом 2 см и 4 см, во втором — концентрическая окружность радиусом 6 см и центр. 360. Проведи окружность с центром в данной точке, пересекающую данную прямую. 363. Перегни треугольник по биссектрисам двух его углов. 364. В центре окружности, вписанной в треугольник. 371. Равносторонний. 378. Построй прямую с так, чтобы M G с и с La. Прямая b Э M и перпендикулярна с (рис. 21). 382. а 60°, 120°, б 84°, 96°. 386. а 135°, б 58°. 387. в 105°. 393. в 75°30\ 394. а больше 45°, б 45°, в меньше 45°. 397. а 60°; г 74°; d53°; ж 36°, 36°, 108°; з 45°, 62°, 73°. 398. а 30°, 60°, 90°; б Z.K = 104°, ZAf - 32°, ZL - 44°; в Z/C » 40я, ZM « - 72°, ZL - 68°. 399. в 90°; д 15°; ж 43°. 402. 9, 20, 4850. 404. в 1800°. 405. б 13, так как (/г - 2)-180°= 1980°. 406. в 5, так как (п - 2)-180° - л-108е. 408. б 120°; a Z/C - £М - 135°; з 135°. 415. Р - 2(а + 6). 416. Я - 4а. 418. а 21 си, 27 см; б 12 c^i, 36 см\ в 20 сж, 28 см. 419. 3 еле, 6 см. 422. 14. 423. Всего — 8, прямоугольников 1, трапеций — 4, параллелограммов — 4.424. См. рис. 22.425. См.рис. 23.426. См. рис. 24. 428. Фигура в (рис. 23) перестраивается в фигуру б. 430. См. рис. 25. 431. См. рис. 26. 432.94 см. Периметр сложенного листа 2а + 2Ь = 2(а + Ь) = 47 (см). Периметр развернутого листа 4а + 46 = 4(а + Ь) = 2- 47 см = 94 (см). 440. Проведи доказательство методом от противного, предположив, что через точку M проходят

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

Рис. 25 Рис. 26

две прямые, перпендикулярные плоскости а. 442. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А и b — прямая пересечения плоскостей. Для доказательства проведи в плоскости а прямую AB, перпендикулярную прямой Ь. 443. 7 см, 3 см. 446. 2 ж 96 см. 447. б две плоскости, параллельные данной. 449. 3 м, 7 м.

Геометрические досуги

1. Точка, прямая, плоскость, отрезок. 2. См. рис.27. 3. Каждая точка — 2 луча, т. е. всего 200. 5. См. рис. 28. 6. См. рис. 29.

7. См. рис. 30. 8. Через три точки можно провести единственную плоскость. 9. «111120 км 10. В 144 раза. 11. 25 капель. 12. Мук бежит быстрее. Когда Мук делает 10 шагов длиной а, он пробегает 10а. Скороход в это время делает 11 шагов длиной 0,9а и пробегает 9,9а. 13. См. упр. 101. 15. Отложи вдоль края стола, например, десять размахов пальцев. Измерь отложенное расстояние с помощью линейки и результат измерений раздели на 10. 16. Пройди, считая шаги, какое-нибудь известное расстояние. Затем раздели это расстояние на количество шагов. 17. Намотай проволоку на карандаш или саму линейку (рис. 31 ) так, чтобы соседние витки проволоки были плотно прижаты друг к другу. Измерь ширину полученной полосы и сосчитай коли-

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Рис. 30

Рис. 31

чество витков проволоки в полосе. Разделив ширину полосы на число витков, ты получишь искомую толщину проволоки. 18. Мальвина должна 3 раза перегнуть ленту пополам. 21. 5 (см. рис. 32).

22. Пусть окружности имеют радиусы Г/, г2 и г3 , где г2 — радиус средней клумбы. Имеем: 2г} + 2г2 + 2г3 = 14, откуда г, + г2 + г3 = 7. Расстояние между центрами крайних клумб rt + 2г2 + г3 = 8. Поэтому г2 = \м. 24. См. рис. 33. 25. См. рисунки 34. 28. а 22, б 44, в 23. 29. 360°:11 = 32тт градуса. 30. В 14 ч 30 мин.

Рис. 32

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

Рис. 37

Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

Рис. 45

Рис. 46

32. См. рис. 35. 33. См. рис. 36. 34. а см. рис. 37; б см., например, рис. 38. 35. См. рис. 39. 36. См. рис. 40. 37. См. рис. 41.

38. См., например, рис. 42. 39. Сделай спички ребрами тетраэдра. 42. См. рис. 43. 43. Перегни прямоугольник по средней линии (рис. 44). 44. См. рис. 45. 46. а 15, 627. 51. См. рис. 46. 52. См. рис. 47. 53. Воспользуйся задачей 52. 54. См. рис. 48. 55. См. рис. 49. 56. См. рис. 50. 57. См. рис. 51. 59. Решение опирается на задачу 58. 60. Решение опирается на задачу 58.

Рис. 47

Рис. 48 Рис. 49 Рис. 50

Рис. 51

АЛФАВИТНЫЙ ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ

ангстрем — 79

аршин — 86

астролябия — 162

астрономическая единица — 79

биссектриса треугольника — 189

— угла — 135

боковая сторона равнобедренного треугольника — 169

— трапеции — 255

величина угла — 148

верста — 87

вершина ломаной — 63

— многоугольника — 66

— тетраэдра — 201

— треугольника — 168

— угла — 127

вершины смежные — 247

— противоположные (в четырехугольнике) — 252

вершок — 85

высота треугольника — 232

гипотенуза — 170

градус — 147

граница линии — 8

— поверхности — 12

— полуплоскости — 32

грань тетраэдра — 201

дальномер — 82

дециметр — 55

диагональ — 247

диаметр круга — 100

— окружности — 96

— сферы — 116

длина дуги — 73

— ломаной — 64

— отрезка — 56

— прямоугольника — 255

дуга — 73

— окружности — 103

—, соответствующая центральному углу — 144

дуги дополнительные— 144

дюйм — 88

единица измерения — 55

задача на вычисление — 195

— доказательство — 195

— построение — 195

заключение — 193

звено ломаной — 63

звенья ломаной несмежные — 63

— смежные — 63

измерение отрезков — 54

измерения прямоугольника— 255

катет — 170

каркасная модель тетраэдра— 203

квадрат — 255

километр — 79

конец ломаной — 63

— отрезка — 18

кривая — 10

круг — 100

ладонь — 84

линейка —196

линия — 6

— замкнутая — 8

— незамкнутая — 8

локоть — 84

ломаная — 63

— вписанная в дугу — 74

— замкнутая — 64

— простая — 65

луч — 22

лучи дополнительные — 24

малка — 283

медиана треугольника — 190

мера угла — 148

меридиан — 116

метр — 55

микрометр — 82

миллиметр — 55

миля — 83

минута — 147

многоугольник — 66

— выпуклый — 246

наклонная — 227

начало луча — 22

область угла внешняя — 128

— внутренняя — 128

окружность — 95

— вписанная — 229—231

— описанная — 221

окружности концентрические — 104

определение — 126

основание равнобедренного треугольника — 169

— трапеции — 255

отрезок — 23

параллелограмм — 253, 254

параллель — 116

параллельность прямой и плоскости — 266

парсек — 79

периметр многоугольника — 66

— треугольника — 170

перпендикуляр — 226

— серединный — 217, 219

перпендикулярность прямой и плоскости — 269

планиметрия — 30

плоскости параллельные — 271

— перпендикулярные — 273

плоскость — 30

поверхность — 10

полуокружность — 103

полуплоскость — 32

— замкнутая — 33

пространство — 5

прямая — 10, 22

прямые параллельные — 235, 265

— пересекающиеся — 235

— перпендикулярные — 214

— скрещивающиеся — 265

прямоугольник — 255

равенство фигур — 16

радиан — 161

радиус круга — 100

— окружности — 95

— сферы — 115

развертка тетраэдра — 204

рейсмус — 282

рейсшина — 281

расстояние между

— параллельными плоскостями — 275

— прямой и плоскостью — 275

— прямыми — 260

— точками — 78, 223

— фигурами — 224

— от точки до плоскости — 274

— — прямой — 226

— — фигуры — 224

ребра тетраэдра противоположные — 201

ребро тетраэдра — 201

— угла — 129

ромб — 255

румб — 162

сажень — 86

— косая — 86

— маховая — 86

сантиметр — 56

световой год — 79

секунда — 147

секущая — 239

середина отрезка — 52

соответственные умы — 239

сравнение отрезков — 49

— умов — 132—134

сторона многоугольника — 66

— треугольника — 168

— угла — 127

стороны противоположные —252

— смежные — 247

сумма углов треугольника — 246

сфера — 115

тело геометрическое — 12

теодолит — 163

теорема — 193

тетраэдр — 201, 203

транспортир — 154

трапеция — 255

треугольник — 168

— остроугольный — 170

— плоский — 171

— прямоугольный — 170

— равнобедренный — 169

— равносторонний — 169

— разносторонний — 169

— тупоугольный — 170

треугольники равные — 175

трисекция угла — 208

точка — 5

— отрезка внутренняя — 20

— самопересечения — 8

углы вертикальные — 192

— внешние накрестлежащие — 239

— — односторонние — 239

— внутренние накрест лежащие — 239

— — односторонние — 239

— противоположные — 252

— смежные — 132

— соответственные — 239

угольник чертежный — 138, 282

угол — 127

— двугранный — 129

— линейный — 129, 272

— между пересекающимися плоскостями — 273

— прямой и плоскостью — 280

— — прямыми — 278

— неразвернутый — 134

— острый — 138

— плоский — 129

— прямой — 137

— развернутый — 127

— тупой — 138

— центральный — 144

условие — 193

фигура — 6

формула — 170

фут — 84

хорда — 96

центр круга — 100

— окружности — 95

— сферы — 115

циркуль — 95

— «ковылек» — 82

четырехугольник — 66

— шарнирный — 206

шар — 115

ширина прямоугольника — 255

штангенциркуль — 82

экватор — 116

экер — 281

эклиметр — 163

элемент треугольника — 177

ярд — 88

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..................................................................3

Глава I. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

§ 1. Пространство. Точка. Фигура ................................................5

1. Пространство ............................................................5

2. Точка ...................................................................5

3. Фигура .................................................................6

4. Равенство фигур.........................................................15

§2. Отрезок. Луч. Прямая .....................................................18

1. Отрезок ...............................................................18

2. Луч. Прямая.............................................................21

3. Основные свойства прямой ................................................26

§3. Плоскость ...............................................................30

1. Плоскость. Принадлежность точек плоскости .................................30

2. Основные свойства плоскостей .............................................31

§4. Материалы для дополнительного чтения .....................................39

1. Что изучает геометрия? ...................................................39

2. Как возникла геометрия? ..................................................40

§5. Геометрические досуги ....................................................46

Глава II. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ

§6. Сравнение отрезков и их измерение .........................................49

1. Сравнение отрезков ......................................................49

2. Середина отрезка ........................................................52

3. Измерение отрезков......................................................54

4. Ломаная. Длина ломаной. Многоугольник ....................................63

5. Соотношения между длинами сторон треугольника .............................70

6. Дуга. Длина дуги .........................................................73

§7. Расстояние между двумя точками ...........................................77

1. Что такое расстояние между двумя точками?..................................77

2. Еще о единицах измерения длины ...........................................78

§8. Материалы для дополнительного чтения .....................................82

1. Измерительные инструменты..............................................82

2. Из истории единиц длины .................................................83

3. Русские меры длины......................................................85

4. Метрическая система мер .................................................87

5. Некоторые полезные сведения .............................................88

§9. Геометрические досуги ....................................................89

Глава III. ОКРУЖНОСТЬ, КРУГ. СФЕРА, ШАР

§10. Окружность и круг.......................................................94

1. Окружность. Радиус. Хорда. Диаметр ........................................94

2. Круг...................................................................99

3. Некоторые свойства окружности ..........................................101

4. Дуга и стягивающая ее хорда..............................................107

5. О делении окружности на равные части .....................................109

§11. Сфера и шар...........................................................114

§ 12. Материалы для дополнительного чтения ...................................117

1. Окружность и ее приложения.............................................117

2. О сфере и геометрии земной поверхности ...................................118

§ 13. Геометрические досуги ..................................................120

Глава IV. УГЛЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

§14. Угол ...................................................................126

1. Что такое определение?..................................................126

2. Угол. Плоский угол ......................................................127

3. Сравнение углов........................................................132

4. Биссектриса угла .......................................................135

5. Прямой угол ...........................................................137

§ 15. Измерение углов .......................................................144

1. Центральный угол окружности ............................................144

2. Единицы измерения дуг и углов............................................146

3. Измерение углов .......................................................154

§ 16. Материалы для дополнительного чтения ...................................160

1. Еще о единицах измерения углов ..........................................160

2. Инструменты для измерения углов .........................................162

3. Измерение плоских углов.................................................163

§ 17. Геометрические досуги ..................................................166

Глава V. ТРЕУГОЛЬНИК И ТЕТРАЭДР

§ 18. Треугольник ...........................................................168

1. Какие бывают треугольники ..............................................168

2. Равные треугольники....................................................175

§ 19. Построение треугольников по трем элементам.

Признаки равенства треугольников .......................................180

1. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними ..................180

2. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам ............183

3. Построение треугольника по трем сторонам .................................185

§20. Применения признаков равенства треугольников ............................189

1. Свойства равнобедренного треугольника ....................................189

2. Что такое теорема ......................................................192

3. Виды геометрических задач ...............................................195

§21. Тетраэдр ..............................................................199

1. Тетраэдр и его изображение ..............................................199

2. Развертка тетраэдра.....................................................204

§22. Материалы для дополнительного чтения ...................................206

1. О признаках равенства треугольников ......................................206

2. Из истории геометрических построений .....................................208

3. Еще об одной развертке тетраэдра .........................................209

§23. Геометрические досуги ..................................................210

Глава VI. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

§24. Перпендикулярность прямых на плоскости .................................213

1. Перпендикулярные прямые ...............................................213

2. Серединный перпендикуляр к отрезку ......................................217

3. Окружность, описанная около треугольника .................................221

4. Расстояние между геометрическими фигурами ...............................223

5. Расстояние от точки до прямой ............................................226

6. Окружность, вписанная в треугольник ......................................229

7. Высота треугольника ....................................................232

§25. Параллельность прямых .................................................235

1. Параллельные прямые...................................................235

2. Признаки параллельности двух прямых .....................................239

3. Сумма углов треугольника ................................................244

4. Четырехугольники с параллельными сторонами ..............................252

5. Расстояние между параллельными прямыми .................................259

§26. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.................264

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве ..........................264

2. Взаимное расположение прямой и плоскости ................................266

3. Перпендикулярность прямой и плоскости ...................................268

4. Взаимное расположение двух плоскостей ...................................271

5. Расстояние между некоторыми фигурами в пространстве .......................274

§27. Материалы для дополнительного чтения ...................................278

1. Угол между двумя прямыми ...............................................278

2. Угол между прямой и плоскостью ..........................................280

3. Инструменты разные, инструменты важные .................................281

4. «Задачкины наряды»....................................................284

§28. Геометрические досуги ..................................................286

Ответы и указания ........................................................303

Алфавитный терминологический указатель ....................................314

Оглавление..............................................................317

Геннадий Анатольевич Клековкин

ГЕОМЕТРИЯ. 5 КЛАСС

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Редактор и корректор Е. Ю. Петухова Художественный редактор Т. Н. Войткевич Компьютерная верстка Д. В. Носков Художественное оформление обложки Т. Н. Войткевич Рисунки Г. А. Клековкин

Издательская лицензия ЛР №066327 от 23.02.99. Гигиенический сертификат №77.99.6.953. П.608.2.99 от 12.02.99

выдан Департаментом Госсанэпиднадзора Минздрава РФ.

Подписано в печать 15.12.02. Формат 60 х 84 / 16. Бумага типографская. Гарнитура «Мысль». Печать офсетная.

Усл. печ. л. 20. Тираж 1000 экз. Заказ № 1010.

ООО «ТИД «Русское слово - PC». 119034, Москва, Пречистенская наб., д. 15, стр. 2. Тел.: (095) 351-44-51, 202-62-37.

Отпечатано с готовых диапозитивов в типографии ООО «Самара Строй» г. Самара

«РУССКОЕ СЛОВО»