Н. Извольскій

СБОРНИКЪ АЛГЕБРАИЧЕСКИХЪ ЗАДАЧЪ.

Часть II.

Цѣна 40 коп.

ИЗДАНІЕ КНИЖНАГО МАГАЗИНА В. В. ДУМНОВА,

ПОДЪ ФИРМОЮ „НАСЛѢДНИКИ БР. САЛАЕВЫХЪ“.

МОСКВА.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко.

Воздвиженка, Крестовоздвиж. пор., д. Лисснера.

1908.

Оглавленіе

Стран.

1. Возведеніе въ степень............................................ 1

Извлеченіе корня............................................ 2

Извлеченіе квадратныхъ корней изъ чиселъ и многочленовъ . . —

Извлеченіе кубичныхъ корней изъ чиселъ и многочленовъ ... 4

2. Преобразованія ирраціональныхъ выраженій......................... 5

Уничтоженіе ирраціональности въ знаменателѣ дроби...........11

Сокращеніе ирраціональныхъ дробей...........................12

Отрицательные и дробные показатели..........................13

3. Квадратныя ур-ія.................................................15

Задачи на составленіе уравненій.............................17

Задачи на примѣненіе теоріи квадратныхъ ур-ій...............22

Рѣшеніе радикальныхъ ур-ій..................................23

Ур-ія высшихъ степеней, приводимыя къ квадратнымъ............—

Ур-ія съ нѣсколькими неизвѣстными...........................24

4. Неравенства......................................................27

Неопредѣленныя уравненія....................................29

5. Прогрессіи.......................................................31

Ариѳметическія прогрессіи....................................—

Геометрическія прогрессіи.................................. 34

6. Логариѳмы........................................................38

Сложные проценты, ежегодные вклады и срочныя уплаты ... 43

7. Дополнительныя статьи ...........................................46

Изслѣдованіе ур-ій 1-ой степени съ однимъ неизвѣст.......... —

Изслѣдованіе ур-ій 1-ой степени съ двумя неизвѣст...........48

Изслѣдованіе квадратныхъ ур-ій съ 1 неизвѣст................50

Нахожденіе общаго наиб. дѣлителя многочленовъ...............51

Соединенія.................................................. —

Биномъ Ньютона..............................................52

Непрерывныя дроби...........................................53

Комплексныя выраженія. . ...................................55

8. Повторительный отдѣлъ.............................................—

ГЛАВА I.

Возведеніе въ степень.

Извлеченіе корня.

При помощи разложенія на множители.

Извлеченіе квадратныхъ корней изъ чиселъ и многочленовъ.

83. Извлечь съ точностью до 1:

84. Извлечь съ точностью до 0,1:

85. Извлечь съ точностью до 0,01:

86. Извлечь съ точностью до 0,001:

87. Извлечь съ точностью до

88. Извлечь съ точностью до

89 Извлечь съ точностью до

90. Извлечь съ точностью до 0,1:

91. Извлечь съ точностью до 0,01:

92. Извлечь съ точностью до 0,001:

93. Извлечь съ точностью до 0,1:

94. Извлечь съ точностью до 0,01:

95. Извлечь съ точностью до 0,001:

96. Вычислить съ точностью до 0,01:

97. Вычислить съ точностью до 0,001:

Извлеченіе кубическихъ корней изъ чиселъ и многочленовъ.

129. Извлечь съ точ. до 0,1 (или до 0,01):

ГЛАВА II.

Преобразованія ирраціональныхъ выраженій.

Упростить выраженія:

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

149.

150.

151.

Умноженіе и дѣленіе корней.

170

171.

172.

173.

174.

175.

176.

181.

182.

183.

184.

185.

186 187.

188

189.

190.

191.

193.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

200.

201.

202.

203.

204.

205

Возведеніе ирраціональныхъ выраженій въ степень и извлеченіе изъ нихъ корня.

Уничтоженіе иррац. въ знамен. дроби.

237.

239.

241.

243.

245.

246-

249.

Сокращеніе иррац. дробей.

Разныя задачи.

258. Замѣнить суммою или разностью двухъ корней выраженія:

259. Вычислить съ точностью до 0,01:

260. Упростить:

Отрицательные и дробные показатели.

268. Написать слѣдующія выраженія безъ знаменателей:

269. Освободить отъ отриц. показателей выраженія:

270. Выполнить обозначенныя дѣйствія:

286. Вычислить:

287. Написать безъ знака корня слѣдующія выраженія:

288. Написать безъ знака корня и безъ знаменателя выраженія :

289. Написать безъ дробныхъ и отрицательныхъ показателей выраженія:

ГЛАВА III.

Квадратныя уравненія.

Неполныя квадратныя уравненія.

Полныя квадратныя уравненія.

Задачи на составленіе квадратныхъ уравненій (неполныхъ и полныхъ).

354. Сумма квадратовъ двухъ послѣдовательныхъ чиселъ на 19 больше удвоеннаго меньшаго числа. Найти эти числа.

355. Разность кубовъ двухъ послѣдовательныхъ чиселъ=169. Найти эти числа.

356. Сумма квадратовъ трехъ послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ=251. Найти эти числа.

357. Знаменатель дроби на 5 больше ея чпслителя, а если сложить эту дробь съ обратною, то сумма окажется= 2gg' Найти эту дробь.

358. Купили нѣсколько дестей бумаги и за каждую десть заплатили столько копеекъ, сколько купили дестей; въ другой разъ было куплено по той же цѣнѣ на 4 дести меньше. Оказалось, что въ оба раза вмѣстѣ пришлось заплатить 3 руб. 90 коп. Сколько стоитъ десть бумаги.

359. Продано нѣсколько фунтовъ товару трехъ сортовъ за 7 руб. 25 коп. За фунтъ каждаго сорта брали столько копеекъ, сколько фунтовъ этого сорта было продано. Кромѣ того извѣстно, что 2-го сорта продано вдвое менѣе, чѣмъ перваго, а третьяго сорта — на 5 фунт. менѣе второго. Сколько было продано товара каждаго сорта?

360. Число единицъ двузначнаго числа въ 2 раза больше числа его десятковъ, а если это число умножить на число, написанное тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ, получимъ 1008. Найти это двузначное число.

361. Найти двѣ дроби, разность которыхъ=^, если числителями ихъ служатъ единицы, а знаменателями — два двузначныхъ числа, написанныхъ тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ, при чемъ одна изъ цифръ на единицу больше другой.

362. Нѣкто купилъ матеріи на 42 рубля; оставивъ себѣ 20 арш., онъ остальное продалъ за 32 рубля и получилъ по 10 коп. прибыли на аршинъ. Сколько было куплено аршинъ матеріи?

363. Двое выѣхали одновременно изъ двухъ мѣстъ, отстоящихъ одно отъ другого на 270 верстъ и ѣдутъ навстрѣчу другъ другу. Второй проѣзжаетъ въ часъ на 1| версты менѣе перваго и встрѣчается съ нимъ черезъ столько часовъ, сколько верстъ дѣлаетъ въ часъ первый. Опредѣлить скорость ѣзды каждаго.

364. Куплено товару двухъ сортовъ: перваго на 240 руб., второго на 320 руб. Перваго было куплено на 4 пуда больше, чѣмъ второго, но стоитъ онъ за пудъ 8-ю руб. дешевле. Сколько куплено каждаго сорта?

365. Куплено бумаги на 4 руб. Если бы десть стоила на 5 коп. дороже, то на тѣ же деньги можно бы купить 4-мя дестями меньше. Сколько дестей бумаги было куплено?

366. Я прочелъ книгу въ 200 страницъ, читая каждый день поровну ; если бы я каждый день читалъ на 5 страницъ больше, то мнѣ понадобилось бы, чтобы прочесть эту книгу, на 2 дня меньше. Сколько дней я читалъ эту книгу?

367. Два путешественника ѣдутъ изъ одного города въ другой, разстояніе между которыми = 48 вер. Первый ѣдетъ на велосипедѣ и, дѣлая въ часъ на 4 версты болѣе второго, который ѣдетъ на лошадяхъ, проѣзжаетъ все разстояніе скорѣе второго на 1 часъ. Сколько верстъ каждый дѣлаетъ въ часъ?

368. Два купца продали пшеницу и выручили вмѣстѣ 471 руб., при этомъ второй купецъ продалъ на 6 четвертей

болѣе перваго. Если бы первый продалъ столько четвертей, сколько продалъ второй, то онъ выручилъ бы 270 руб.; если бы второй продалъ столько, сколько первый, то онъ выручилъ бы 204 руб. Сколько четвертей пшеницы продалъ каждый?

369. Куплено на 54 руб. сукна и на 72 руб. бархату, при чемъ сукна было куплено на 3 арш. больше. Одинъ аршинъ бархату дороже аршина сукна на 3 руб. 50 коп. Сколько было куплено сукна и сколько бархату?

370. Куплено на 3 руб. 40 коп. кофе и на 12 руб. 90 коп. чаю, при чемъ чаю было куплено на 2 фун. больше. Одинъ фунтъ чаю и одинъ фунтъ кофе вмѣстѣ стоятъ 3 руб. Сколько было куплено кофе и сколько чаю?

371. Купецъ продалъ товаръ за 21 руб. 24 коп. и получилъ при этомъ столько процентовъ прибыли, сколько рублей ему самому стоилъ этотъ товаръ. Сколько стоилъ этотъ товаръ самому купцу?

372. Капиталъ былъ отданъ по столько процентовъ, чему равна 2Ö0 часть этого капитала, и черезъ 1 Vs года обратился въ 1308 руб. Какъ великъ былъ этотъ капиталъ?

373. Два капитала, изъ которыхъ одинъ составлялъ другого, были отданы въ ростъ каждый по столько процентовъ, чему равна — этого капитала; съ обоихъ капиталовъ получали ежегодно вмѣстѣ 100 руб. процентныхъ денегъ. Найти эти капиталы.

374. Изъ бассейна вода выкачивается двумя насосами, при чемъ второй насосъ можетъ, дѣйствуя отдѣльно, выкачать всю воду изъ бассейна на 2 часа скорѣе перваго. Если будутъ дѣйствовать оба насоса, то вся вода будетъ выкачена въ 4 часа 57 мин. Во сколько времени каждый насосъ, дѣйствуя отдѣльно, можетъ выкачать эту воду?

375. Для выполненія нѣкоторой работы были напяты два работника, при чемъ одинъ изъ нихъ могъ бы, работая одинъ, выполнить эту работу скорѣе, чѣмъ другой на 5 дней; вдвоемъ же они выполнили эту работу въ 6 дней. Во сколько дней каждый изъ нихъ, работая отдѣльно, можетъ выполнить эту работу?

376. Бассейнъ можетъ наполняться водою черезъ 2 трубы, причемъ черезъ одну только первую онъ наполняется скорѣе, чѣмъ черезъ одну вторую на 4 часа. Первая труба была открыта на | того времени, въ теченіе котораго могъ бы наполниться бассейнъ черезъ одну вторую трубу; затѣмъ первую трубу закрыли и открыли вторую на g того времени, въ теченіе котораго могъ бы наполниться бассейнъ черезъ одну первую трубу. Послѣ этого оказалось, что было наполнено водою g бассейна. Во сколько времени каждая труба отдѣльно можетъ наполнить этотъ бассейнъ?

377. Разносчикъ купилъ на 2 руб. яблокъ. Изъ нихъ пришлось выбросить 4 яблока. Всѣ остальныя яблоки онъ продалъ и за каждый десятокъ бралъ на 5 коп. дороже, чѣмъ самъ платилъ и получилъ отъ продажи всѣхъ яблокъ 40 коп. прибыли. Сколько яблокъ было куплено разносчикомъ?

378. Изъ двухъ мѣстъ А и В выѣхали одновременно 2 лица навстрѣчу другъ другу. При встрѣчѣ оказалось, что первый, выѣхавшій изъ А, проѣхалъ на 16 вер. больше второго, выѣхавшаго изъ В. Послѣ этого первому понадобилось еще 2g часа, чтобы пріѣхать въ В и второму понадобилось еще 6 часовъ, чтобы пріѣхать въ А. Найти разстояніе отъ А до В.

Задачи съ геометрическимъ содержаніемъ.

379. Гипотенуза прямоугольнаго треугольника =37 сант., а одинъ изъ его катетовъ на 23 сант. больше другого. Найти его периметръ.

380. Основаніе прямоугольника на 5 дюйм. больше его высоты, а его площадь =104 кв. дюйм. Найти его периметръ.

381. Высота равнобедреннаго треугольника въ 1| раза больше его основанія, а каждая изъ боковыхъ сторонъ равна 10 сант. Найти его площадь.

382. Сторона одного квадрата на 4 дюйма меньше стороны другого, а отношеніе ихъ площадей =g. Найти стороны этихъ квадратовъ.

383. Въ выпукломъ многоугольникѣ проведены всевозможныя діагонали; оказалось, что ихъ всего 14. Сколько сторонъ у этого многоугольника?

384. Полнымъ плоскимъ »-угольникомъ называется совокупность п точекъ плоскости вмѣстѣ съ соединяющими ихъ попарно всевозможными прямыми, при чемъ каждая изъ этихъ прямыхъ проходитъ только черезъ 2 изъ данныхъ точекъ. Каждая данная точка называется вершиною полнаго многоугольника, и каждая прямая, соединяющая любую пару вершинъ, называется его стороною.

Полный многоугольникъ имѣетъ 10 сторонъ. Сколько у него вершинъ?

385. Полнымъ плоскимъ «-сторонникомъ называется совокупность п прямыхъ плоскости со всѣми точками ихъ пересѣченія, при чемъ черезъ каждую изъ этихъ точекъ пересѣченія проходятъ только 2 изъ данныхъ прямыхъ. Каждая данная прямая называется стороною многосторонника, а каждая точка пересѣченія сторонъ называется его вершиною.

Въ полномъ многосторонникѣ 15 вершинъ. Сколько онъ имѣетъ сторонъ?

386. Уголъ одного правильнаго многоугольника на 9’ больше угла другого, и первый многоугольникъ имѣетъ на 2 стороны больше. Сколько сторонъ у каждаго изъ этихъ правильныхъ многоугольниковъ?

387. Сумма пары внѣшнихъ угловъ двухъ правильныхъ многоугольниковъ=35°, при чемъ у одного изъ этихъ многоугольниковъ на 6 сторонъ больше, чѣмъ у другого. Сколько сторонъ у каждаго изъ этихъ двухъ многоугольниковъ?

388. Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прямого угла на гипотенузу, на 4 дюйма меньше одного изъ катетовъ и на 4 дюйма больше прилегающаго къ этому катету отрѣзка гипотенузы. Найти (длину этого перпендикуляра, длину гипотенузы и) площадь этого треугольника.

389. Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прямого угла на гипотенузу, = 4 сант., а одинъ изъ получившихся отрѣзковъ гипотенузы на 6 сант. больше другого. Найти гипотенузу этого прямоугольнаго треугольника.

390. Въ кругѣ пересѣкаются 2 хорды: одна хорда раздѣлилась въ точкѣ пересѣченія на отрѣзки, равные 5 и

12 сант., а одинъ отрѣзокъ другой хорды на 4 сант. больше другого ея отрѣзка. Найти длину второй хорды.

391. Изъ точки внѣ круга проведены къ нему касательная =24 дюйм. и сѣкущая, внутренній отрѣзокъ которой = 20 дюйм. Найти длину всей сѣкущей.

392. Въ кругѣ пересѣкаются 2 хорды: одна изъ нихъ въ точкѣ пересѣченія раздѣлилась на отрѣзки, равные 8 и 10 дюймамъ, а длина другой хорды = 21 дюйм. Найти отрѣзки второй хорды.

393. Изъ точки внѣ круга проведены къ этому кругу 2 сѣкущія: длина одной сѣкущей = 15 сант., а внутренній отрѣзокъ другой = 1 сант., при этомъ внѣшній отрѣзокъ второй сѣкущей на 3 сант. больше внѣшняго отрѣзка другой. Найти длину второй сѣкущей.

Задачи на примѣненіе теоріи квадратныхъ ур-ій.

394. Не рѣшая квадратнаго ур—ія: х2 — 7x4-11 = 0, найти сумму квадратовъ его корней.

395. Найти сумму кубовъ корней квадратнаго ур-ія х2Ч-5х—2 = 0.

396. Обозначимъ черезъ и xt корни ур-ія

5х2 —10x4-35 = 0.

Найти, чему равно выраженіе

397. Составить квадратное уравнеіе, если его корпи должны быть равны:

398. Составить квадратное ур-іе, чтобы его корнями были бы сумма и произведеніе корней ур-ія 2х2 —3x4-1 = 0.

399. Сдѣлать то же самое для ур-ія ах24-&х4-с=0.

400. Составить квадратное ур-іе, корни котораго были бы обратны корнямъ ур-ія: х’4-рх4-£4-0.

401. Составить квадратное ур-іе, чтобы его корни равнялись бы кубамъ корней ур-ія x2-t-px+q=0.

Разложить на множители:

Рѣшеніе ур-ій, содержащихъ неизвѣстное подъ знакомъ корня.

Ур-ія высшихъ степеней, приводимыя къ квадратнымъ.

Ур-ія второй степени и выше съ нѣсколькими неизв.

Составленіе ур-ій.

461. Общество, состоящее изъ мужчинъ и женщинъ, сложившись по 5 руб. съ каждаго, собрало 70 руб. Если бы каждый мужчина внесъ столько рублей, сколько было

жепщинъ, и каждая женщина внесла столько рублей, сколько было мужчинъ, то было бы всего собрано 96 руб. Сколько было въ этомъ обществѣ мужчинъ и сколько женщинъ?

462. Произведеніе цифръ двузначнаго числа=28. Если отъ этого числа отнять 27, то получится число, написанное тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ. Найти это двузначное число.

463. Сумма двухъ чиселъ=13, а сумма ихъ кубовъ = 559. Найти эти числа.

464. Сумма квадратовъ цифръ двузначнаго числа = 85, а произведеніе этого числа на число написанное тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ, равно 5092. Найти это двузначное число.

465. Разность квадратовъ членовъ правильной дроби = 15, а если эту дробь вычесть изъ обратной дроби, то разность окажется равна Найти эту дробь.

466. Два работника, работая вмѣстѣ, окончили работу въ 12 дней. Если бы первый работникъ сдѣлалъ сначала g этой работы, а потомъ второй окончилъ бы ее, то работа была бы окончена въ 26 дней. Во сколько времени можетъ окончить эту работу каждый работникъ, работая отдѣльно ?

467. Если числителя дроби увеличить, а знаменателя уменьшить на 1, то получится обратная дробь; если же наоборотъ числителя уменьшить а знаменателя увеличить на 1, то получится число, которое на lj менѣе обратной дроби. Найти эту дробь.

468. Курьеръ выѣзжаетъ изъ города и ѣдетъ съ одинаковою скоростью. Спустя 3 часа изъ этого города выѣзжаетъ второй курьеръ и догоняетъ перваго черезъ столько часовъ, сколько верстъ въ часъ проѣзжаетъ первый. Если бы первый проѣзжалъ въ часъ на | версты больше, то второй догналъ бы его черезъ столько часовъ, послѣ своего выѣзда, сколько верстъ онъ самъ проѣзжаетъ въ часъ. Найти скорости ѣзды обоихъ курьеровъ.

469. Сумма цифръ трехзначнаго числа=8; если изъ этого числа вычесть число, написанное тѣми же цифрами, но

въ обратномъ порядкѣ, то разность окажется = 396. Если двузначное число, составленное первыми двумя цифрами искомаго трехзначнаго умножить на двузначное число, составленное послѣдними двумя цифрами трехзначнаго, то произведеніе окажется=1092. Найти это трехзначное число.

470. Хозяинъ имѣлъ лошадей, коровъ и овецъ, всего 17 штукъ. Въ одинъ изъ зимнихъ мѣсяцевъ ему обошелся прокормъ каждой лошади во столько рублей, сколько у него было вмѣстѣ коровъ и овецъ, прокормъ каждой коровы во столько рублей, сколько у него было вмѣстѣ лошадей и овецъ и прокормъ каждой овцы во столько рублей, сколько у него было лошадей и коровъ вмѣстѣ, а всего онъ истратилъ на прокормъ всѣхъ коровъ, лошадей и овецъ вмѣстѣ въ этотъ мѣсяцъ 160 руб. Въ слѣдующій мѣсяцъ онъ продалъ столько овецъ, чему было равно двойное число его лошадей, и прокормъ среднимъ счетомъ каждой штуки его скота обошелся ему въ этотъ мѣсяцъ столько рублей, сколько у него осталось всего штукъ скота, а всего за этотъ мѣсяцъ онъ истратилъ на прокормъ скота 169 руб. Сколько у него было лошадей, сколько коровъ и сколько овецъ первоначально?

471. Три работника, работая вмѣстѣ, выполнили нѣкоторую работу въ 5 дней. Если бы работали только первые два работника, то они окончили бы эту работу въ 7| дней, а если бы g работы сдѣлалъ первый, потомъ g работы исполнилъ второй и наконецъ оставшуюся часть исполнилъ третій, то вся работа была бы окончена въ 15g дня. Во сколько дней каждый, работая отдѣльно, можетъ окончить эту работу?

Задачи съ геометр. содержаніемъ.

472. Периметръ прямоугольника=38 дюйм., а его площадь = 88 кв. дюйм. Найти его стороны.

473. Гинотенуза прямоуг. треугольника=20 дюйм., а его площадь = 96 кв. дюйм. Найти его катеты.

474. Периметръ прямоуг. треуг. = 30 сант., а его площадь=30 кв. сант. Найти его стороны.

475. Гипотенуза прямоуг. треуг. = 5Ÿ5 дюйм., а его площадь равна площади квадрата, у котораго сторона=разности катетовъ. Найти его катеты.

476. Отношеніе сторонъ прямоугольника=|, а его діагональ=25 сант. Найти его периметръ.

477. Перпендикуляръ опущенный изъ вершины прямого угла на гипотенузу=12 дюйм., а площадь треуг-ка=150 кв. дюйм. Найти стороны этого прямоугольнаго треуг-ка.

478. Биссектрисса прямого угла треугольника дѣлитъ гипотенузу на отрѣзки, равные 3^ дюйм. и 9^ дюйм. Найти катеты этого треугольника.

479. Прямой уголъ пересѣченъ двумя прямыми такъ, что отрѣзки этихъ прямыхъ между сторонами прямого угла=25 и 29 дюйм. Большая изъ этихъ прямыхъ отсѣкаетъ отъ сторонъ угла отрѣзки на 5 и на 1 дюйм. больше отрѣзковъ, отсѣкаемыхъ меньшею прямою. Найти отрѣзки, отсѣкаемые каждою изъ двухъ прямыхъ отъ сторонъ прямого угла.

480. Изъ точки внѣ круга проведены къ нему касательная и 2 сѣкущихъ, внѣшніе отрѣзки которыхъ равны 6 и 9 дюйм. Сумма площадей квадратовъ, построенныхъ на касательной и на каждой сѣкущей = 976 кв. дюйм. Найти длину касательной и каждой сѣкущей.

ГЛАВА IV.

Неравенства и неопредѣленныя ур-ія.

Неравенства.

481. Найти значенія для х, удовлетвор. одному неравенству:

482. Найти значенія для х} удовлетворяющія двумъ неравенствамъ :

483. Найти значенія для х, удовлетв. тремъ или четыремъ неравенствамъ:

484. Найти значенія для я, удовлетвор. одному сложному неравенству:

485. 1) При какихъ значеніяхъ т дробь —----- отрицательна?

2) При какихъ значеніяхъ т дробь -——- положительна?

486. Рѣшить неравенства: 1) х2 — 5x4-6 >0; 2) х2 —х—20<0; 3) — 2х24-7х— 3 > 0; 4) — 6х2—х4-2 < 0.

487. Доказать, что если къ числителю и знаменателю правильной дроби прибавить по одинаковому положит. числу, то дробь увеличивается.

488. Доказать, что если изъ числителя и знаменателя неправильной дроби вычесть по одинаковому положит. числу, то дробь увеличится.

489. Доказать, что сумма квадратовъ двухъ чиселъ больше ихъ удвоеннаго произведенія.

490. Доказать, что среднее ариѳметическое двухъ чиселъ больше, чѣмъ ихъ среднее геометрическое.

Неопредѣленныя ур-ія.

491. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ способомъ послѣдовательныхъ дѣленій слѣд. ур-ія:

492. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ способомъ подстановки слѣд. ур-ія:

493. Рѣшить въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ ур-ія:

494. Найти цѣлыя и положительныя рѣшенія системъ ур-ій:

495. Сколькими и какими именно способами можно размѣнять 1 рубль на пятиалтынные и двугривенные?

496. Число 300 разложить на 2 слагаемыхъ такъ, чтобы первое было кратно 9 п другое было кратно 7.

497. Были наняты плотники и столяры: каждый плотникъ въ день получалъ по 85 коп., а каждый столяръ по 1 руб. 20 коп., всѣмъ же вмѣстѣ приходилось уплачивать ежедневно по 14 руб. Сколько было нанято плотниковъ и сколько столяровъ?

498. Отецъ далъ каждому сыну по 10 руб. и каждой дочери по 8 руб. Оказалось, что всѣ сыновья получили больше всѣхъ дочерей на 6 руб. Сколько было сыновей и сколько дочерей, если всего дѣтей у отца было меньше 10.

499. Куплено на 1450 руб. коровъ и лошадей. Каждая корова стоитъ 55 руб., а каждая лошадь 75 руб. Сколько было куплено коровъ и сколько лошадей?

500. Стрѣлокъ за каждый удачный выстрѣлъ получалъ по 35 коп., а за каждый неудачный самъ платилъ по 15 коп. Всего онъ сдѣлалъ больше 100 и меньше 150 выстрѣловъ и уплатилъ 70 коп. Сколько онъ сдѣлалъ удачныхъ и сколько неудачныхъ выстрѣловъ?

501. Найти двузначное число, которое при дѣленіи его на сумму его цифръ даетъ въ частномъ 5 и въ остаткѣ 11.

502. Найти общій видъ чиселъ кратныхъ 7, которые при дѣленіи на 9 даютъ въ остаткѣ 2.

503. Найти наименьшее число, которое при дѣленіи на 8 даетъ въ остаткѣ 3 и при дѣленіи на 11 даетъ въ остаткѣ 5.

504. Найти двузначныя числа, кратныя 11, которыя при дѣленіи на 13 даютъ въ остаткѣ 1.

505. Найти трехзначныя числа, которыя при дѣленіи на 9 даютъ въ остаткѣ 3 и при дѣленіи на 16 даютъ въ остаткѣ 8.

506. Найти числа, меньшія 500, которыя при дѣленіи на 17 даютъ въ остаткѣ 2 и при дѣленіи на 23 даютъ въ остаткѣ 1.

507. Въ классѣ было меньше 60 учениковъ. Если ихъ посадить по 8 человѣкъ на скамейку, то на послѣднюю сядетъ только 5 человѣкъ, а если ихъ посадить по 5 человѣкъ, то на послѣднюю сядетъ только 3 ученика. Сколько было учениковъ въ классѣ?

508. Въ отрядѣ было больше 100, по меньше 200 человѣкъ. Если ихъ поставить по 14 человѣкъ въ рядъ, то въ послѣднемъ ряду станетъ только 11 человѣкъ, а если ихъ поставить по 17 человѣкъ въ рядъ, то останется 1 человѣкъ. Сколько было солдатъ въ отрядѣ?

509. Куплено куръ, утокъ и гусей всего 30 штукъ; за каждую курицу платили по 40 коп., за каждую утку по 80 коп. и за каждаго гуся по 1 руб., а за всѣхъ заплатили 15 руб. Сколько было куплено куръ, сколько утокъ и сколько гусей?

510. Размѣняли 100 рублей на трехъ, пяти и десяти рублевыя бумажки, которыхъ всего оказалось 14 штукъ. Сколько взяли трехъ, сколько пяти и сколько десяти рублевыхъ бумажекъ?

511. Найти общій видъ чиселъ кратныхъ 5, которыя при дѣленіи на 11 даютъ въ остаткѣ 10 и при дѣленіи на 8 даютъ въ остаткѣ 1.

512. Найти наименьшее число, которое при дѣленіи на 8 даетъ въ остаткѣ 4, при дѣленіи на 9 даетъ въ остаткѣ 3 и при дѣленіи на 13 даетъ въ остаткѣ 6.

513. Найти трехзначныя числа, которыя при дѣленіи на 4 даютъ въ остаткѣ 3, при дѣленіи на 5 даютъ въ остаткѣ 4 и при дѣленіи на 7 даютъ въ остаткѣ тоже 4.

514. Найти четырехзначныя числа, которыя при дѣленіи на 9, 15 и 21 даютъ въ остаткѣ соотвѣтственно 8, 2 и 11.

ГЛАВА V.

Прогрессіи.

Ариѳметическія прогрессіи.

515. Найти сумму 14 членовъ прогрессіи:

516. Найти сумму 28 послѣдовательныхъ чиселъ, начиная съ 1.

517. Найти сумму 25 первыхъ четныхъ чиселъ.

518. Сумма 7 членовъ ариѳм. прогрессіи=105 и ея седьмой членъ=24. Найти первый членъ и разность.

519. Сумма 10 членовъ ариом. прогрессіи = 220, а ея разность =—4. Найти первый и послѣдній ея члены.

520. Сумма 12 членовъ ариом. прогрессіи = 786, а ея первый членъ=27. Найти ея разность и послѣдній членъ.

521. Первый членъ ариѳм. прогрессіи =5^, а ея шестой членъ = — 3|. Найти ея десятый членъ.

522. Первый членъ ариѳм. прогрессіи=2^, ея разность=1| и ея послѣдній членъ—-13. Найти сумму этой конечной ариѳм. прогрессіи.

523. Пятнадцатый членъ ариѳм. прогрессіи = 20, а ея разность =—2. Найти сумму ея 15 членовъ.

524. Первый членъ ариѳм. прогрессіи=6,9, а ея разность= —0,15. Найти сумму ея 14 членовъ.

525. Первый и послѣдній члены ариѳм. прогрессіи равны соотвѣт. 8 и 40, а ея сумма = 216. Найти число членовъ этой прогрессіи и ея разность.

526. Сумма нѣсколькихъ послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ, начиная съ 1, равна 324. Сколько здѣсь взято нечетныхъ чиселъ?

527. Сколько надо взять членовъ ариѳм. прогрессіи:

5,1; 4,9; 4,7;...,

чтобы въ суммѣ получить 48?

528. Сумма ариѳм. прогрессіи=162, ея разность=3 и ея послѣдній членъ = 30. Найти число членовъ этой прогрессіи и ея первый членъ.

529. «-ый членъ ариѳм. прогрессіи =5 4-3 и. Найти сумму ея 16 членовъ.

530. «-ый членъ ариѳм. прогрессіи=17 — 4«. Найти сумму ея 6 членовъ.

531. Третій членъ ариѳм. прогрессіи=8, а ея одиннадцатый членъ=6. Найти сумму ея 20 членовъ.

532. Пятнадцатый членъ ариѳм. прогрессіи на 12 больше ея одиннадцатаго члена, а сумма ея шестого и десятаго членовъ=40. Найти сумму ея 12 членовъ.

533. Сумма пятаго и девятаго членовъ ариѳм. прогрессіи = 37, а ея тринадцатый членъ = 15. Найти сумму ея 25 членовъ.

534. Сумма 10 членовъ ариѳм. прогрессіи = 250, а ея десятый членъ на 36 больше перваго члена. Найти первый членъ и разность этой прогрессіи.

535. Между числами 6 и 12 вставить 7 среднихъ ариѳметическихъ.

536. Между числами — 1^ и 3 вставить 5 среднихъ ариѳметическихъ.

537. Сумма перваго и послѣдняго членовъ ариѳм. прогрессіи=51, а ихъ произведеніе = 344. Найти число членовъ и разность этой прогрессіи, если ея сумма=204.

538. Пѣшеходъ вышелъ изъ одной деревни въ другую, отстоящую отъ первой на 35 вер. и проходилъ въ первый часъ б| вер., а въ каждый слѣдующій часъ на | вер. меньше, чѣмъ въ предыдущій. Черезъ сколько часовъ онъ пришелъ?

539. Работникъ взялся вырыть колодезь съ условіемъ, чтобы ему заплатили за первый вырытый аршинъ 25 коп., а за каждый слѣдующій на 10 коп. больше, чѣмъ за предыдущій. Какой глубины оказался колодезь, если за всю работу работникъ получилъ 4 руб. 80 коп.?

540. Два тѣла начали двигаться одновременно навстрѣчу другъ другу изъ двухъ мѣстъ, разстояніе между которыми = 345 футовъ; первое тѣло двигалось равномѣрно, проходя въ каждую секунду по 6 футовъ, а второе тѣло прошло въ первую секунду 3 фута, а въ каждую слѣдующую на 2 фута, больше чѣмъ въ предыдущую. Черезъ сколько секундъ эти тѣла встрѣтятся?

541. Нѣкто уплачивалъ свой долгъ слѣдующимъ образомъ: въ первый мѣсяцъ заплатилъ 150 руб., а въ каждый слѣдующій мѣсяцъ на 10 руб. меньше, чѣмъ въ предыдущій; но онъ могъ бы выплатить этотъ долгъ въ тоже самое самое время, уплачивая ежемѣсячно по 95 руб. Во сколько мѣсяцевъ онъ уплатилъ свой долгъ?

542. Одинъ братъ отложилъ изъ своего заработка въ первый мѣсяцъ 10 руб., а въ каждый слѣдующій откладывалъ на 2 руб. больше, чѣмъ въ предыдущій. Другой братъ сберегъ въ первый мѣсяцъ 7 руб., а въ каждый слѣдующій сберегалъ на 3 руб. больше, чѣмъ въ предыдущій. Черезъ нѣсколько мѣсяцевъ оказалось, что сбереженныя суммы братьевъ сравнялись между собою. Сколько мѣсяцевъ они откладывали деньги и сколько отложилъ каждый?

543. Сумма трехъ чиселъ, составляющихъ ариѳм. прогрессію = 27, а сумма ихъ квадратовъ = 261. Найти эти числа.

544. Найти 5 чиселъ, составляющихъ ариом. прогрессію, если произведеніе 1-го и 5-го чиселъ=48, а произведеніе 2-го и 4-го чиселъ=60.

545. Между числами 7 и 31 вставить нѣсколько чиселъ, составляющихъ вмѣстѣ съ данными ариом. прогрессію и при томъ такую, чтобы отношеніе суммы вставляемыхъ чиселъ къ суммѣ всѣхъ членовъ этой прогрессіи равнялось

546. Свободно падающее тѣло проходитъ въ первую секунду 4,9 метра, а въ каждую слѣдующую на 9,8 метровъ больше, чѣмъ въ предыдущую. Два тѣла начали падать съ одной высоты спустя 2 секунды одно послѣ другого. Какъ велико будетъ разстояніе между ними спустя 6 секундъ послѣ начала паденія?

Геометрическія прогрессіи.

547. Найти сумму 8 членовъ геометрической прогрессіи: 7; 14; 28...

548. Найти сумму 9 членовъ геометрической прогрессіи:

549. Найти сумму 7 членовъ геометрической прогрессіи: 3; —12; 48; —192...

550. Найти сумму 10 членовъ геометрической прогрессіи:

551. Первый членъ геометрической прогрессіи, состоящей изъ 5 членовъ, равенъ 5, а послѣдній членъ = 80. Найти ея сумму и знаменатель.

552. Пятый членъ геометрической прогрессіи = 162, а ея первый членъ=2. Найти сумму ея 6 членовъ.

553. 5-й членъ геометрической прогрессіи = 1, а 6-й ея членъ, = g- Найти сумму ея 12 членовъ.

554. Первый и послѣдній члены геометрической прогрессіи равны соотвѣтственно 3 и 192, а ея знаменатель=2. Найти сумму этой конечной геометрической прогрессіи и число ея членовъ.

555. Сумма 6 членовъ геометрической прогрессіи = 2184, а ея знаменатель=|- Найти ея первый и послѣдній члены.

556. Первый членъ геометрической прогрессіи=8 и ея знаменатель=2. Сколько надо взять членовъ этой прогрессіи, чтобы ихъ сумма равнялась 4088?

557. Знаменатель геометрической прогрессіи = 4, а ея послѣдній членъ = 32768. Найти ея первый членъ и число членовъ, если ея сумма=43690.

558. Первый членъ геометрической прогрессіи=12, а сумма ея 3 членовъ=372. Найти ея знаменателя.

559. Первый членъ геометрической прогрессіи=3, а сумма ея третьяго и пятаго членовъ = 270. Найти эту прогрессію.

560. Пятый членъ геометрической прогрессіи на 36 больше ея 3-го члена, а ея 7-й членъ=192. Найти эту прогрессію.

561. Меледу числами 96 и 3 вставить 4 среднихъ геометрическихъ.

562. Между числами 17 и 1088 вставить 2 среднихъ геометрическихъ.

563. Найти сумму 5 членовъ геометрической прогрессіи, если ея п-й членъ=6.2м.

564. Найти сумму 6 членовъ геометрической прогрессіи, если ея п-й членъ=(—3)”_1.

565. 7-й членъ геометрической прогрессіи=27, а ея 10-й членъ = 729. Найти сумму 10 членовъ этой прогрессіи.

566. Найти геометрическую прогрессію, у которой первый членъ=4, а сумма 7-го и 4-го ея членовъ = 3024.

567. Найти 4 числа, составляющихъ геометрическую прогрессію, если сумма 1-го и 2-го = 9, а сумма 3-го и 4-го = 36?

568. Сумма первыхъ трехъ членовъ геометрической прогрессіи=28, а сумма слѣдующихъ трехъ членовъ = з|. Найти эту прогрессію.

569. Раздѣлить 700 на 4 части, составляющія геометрическую прогрессію, разность крайнихъ членовъ которой относилась бы къ разности среднихъ, какъ 37:12.

570. 5 раціональныхъ чиселъ составляютъ геометрическую прогрессію. Сумма чиселъ обратныхъ 2-му, 3-му и 4-му членамъ относится къ 1-му члену, какъ 13 :108. Произведеніе 1-го и 2-го членовъ = 12. Найти эти 5 чиселъ.

571. Найти предѣлъ суммы слѣдующихъ безконечно убывающихъ геометрическихъ прогрессій:

572. Предѣлъ суммы безконечно убывающей геометрической прогрессіи = 54, а если ея члены возвести въ квадратъ, то получится новая безконечно убывающая геометрическая прогрессія, предѣлъ суммы которой=1458. Найти эту прогрессію.

573. Предѣлъ суммы безконечно убывающей геометрической прогрессіи =т, а ея знаменатель въ п разъ меньше ея перваго члена. Найти эту прогрессію (примѣнить къ частному случаю, когда т=«=3).

574. Предѣлъ суммы безконечно убывающей геометрической прогрессіи = 81, а сумма ея первыхъ 4 членовъ = = 80. Найти эту прогрессію.

Задачи на оба вида прогрессій.

575. Найти 4 числа, изъ которыхъ 3 первыхъ составляютъ ариѳметическую прогрессію, а 3 послѣднихъ —геометрическую, при чемъ сумма 1-го и 4-го чиселъ=22, а сумма 2-го и 3-го чиселъ = 20.

576. 3 числа, сумма которыхъ = 28, составляютъ геометрическую прогрессію. Если отъ перваго числа отнять 1, а ко 2-му и 3-му прибавить по 3, то полученныя числа составятъ ариѳметическую прогрессію. Найти эти числа.

577. 3 числа, сумма которыхъ = 21, составляютъ ариѳметическую прогрессію. Если изъ 2-го числа вычесть 1, а къ 3-му прибавить 1, то эти 3 числа станутъ составлять геометрическую прогрессію. Найти эти числа.

578. Найти 4 числа, изъ которыхъ 3 первыхъ составляютъ геометрическую прогрессію, а 3 послѣднихъ—ариѳметическую, при чемъ сумма 1-го и 4-го чиселъ = 42, а сумма 2-го и 3-го=36.

579. 4-й членъ ариѳметической прогрессіи=28, а ея 8-й членъ=12. Сколько надо взять членовъ этой про

грессіи, чтобы ихъ сумма=предѣлу суммы безконечно убывающей геометрической прогрессіи, у которой первый членъ= = 7-му члену данной ариѳметической, а знаменатель=||-

580. Найти ариѳметическую и геометрическую прогрессіи подъ слѣдующими условіями: 1) первый членъ у каждой прогрессіи = 1, 2) третьи члены обѣихъ прогрессій равны между собою и 3) 21-й членъ ариѳметической прогрессіи= = 5-му члену геометрической.

581. Сколько надо взять членовъ въ убывающей ариѳметической прогрессіи

чтобы ихъ сумма была равна суммѣ безконечно убывающей геометрической прогрессіи, у которой первые 2 члена равны соотвѣтственно 8-му и 9-му членамъ данной ариѳметической.

582. 4-й членъ ариѳметической прогрессіи=5^ а ея 10-й членъ =8^* Найти-такую геометрическую безконечно убывающую прогрессію, чтобы ея сумма равнялась суммѣ 16 членовъ данной ариѳметической прогрессіи и чтобы первые члены у этихъ прогрессій были одинаковы.

583. Упругій шаръ, отразившись отъ плоскости, поднимается на — той высоты, съ которой онъ падалъ. Съ какой высоты слѣдуетъ пустить его, чтобы до остановки онъ прошелъ такой же длины путь, какой онъ прошелъ бы при свободномъ паденіи въ t секундъ, если извѣстно, что свободно падающее тѣло проходитъ въ первую секунду футовъ, а въ каждую слѣдующую на д футовъ больше, чѣмъ въ предыдущую? (Примѣнить къ частному случаю, если

ГЛАВА VI.

Логариѳмы.

584. Найти логариѳмы чиселъ: 81 при основаніи 9.

585. Найти логариѳмы чиселъ:

5 И 25 при основаніи 25.

586. Найти логариѳмы чиселъ: 8; при основаніи 8.

587. Найти логариѳмы чиселъ:

588. Найти логариѳмы чиселъ: 4^; при основаніи 1д-

589. При какомъ основаніи

590. При какомъ основаніи

591. При какомъ основаніи

592. При какомъ основаніи

593. Логариѳмъ нѣкотораго числа при основаніи 16 равенъ Найти это число.

594. Логариѳмъ нѣкотораго числа при основаніи 25 = —^-Найти это число.

595. Какое число имѣетъ при основаніи | логариѳмъ, равный — 2?

596. Логариѳмъ какого числа при основаніи равенъ —g?

597. Найти логариѳмы принимая за основаніе числа:

2, 4 и 8.

598. Основаніе равво 0,16; найти числа, логариѳмы которыхъ суть:

599. При какихъ основаніяхъ число 64 имѣетъ логариѳмы, равные 6; 3; — 2;

600. lg 2=0,30103 и lg 3 = 0,47712. Найти lg!8;

601. lg3 = 0,47712 и lg 5 = 0,69897. Найти lg45; lg 75;

602. lg 7 = 0,84510 и lg5 = 0,69897. Найти lg 35;

Задачи на логариѳмированіе.

Задачи на потенцированіе.

Показательныя и логариѳмическія ур-ія.

Десятичные логариѳмы*).

633. Найти но таблицамъ логариѳмы слѣдующихъ чиселъ:

*) Въ этомъ сборникѣ исключительно употребляются 5-значныя таблицы.

634. Найти по даннымъ логариѳмамъ соотвѣтствующія числа:

635. Слѣдующіе смѣшанные логариѳмы превратить въ чисто отрицательные: 1,06894; 2,00704; 3,99017; 2,30103;

636. Слѣдующіе чисто отрицательные логариѳмы превратить въ смѣшанные: —0,30103; —1,50247; —4,36806;

Задачи на вычисленіе при помощи логариѳмовъ.

Задачи на прогрессіи, требующія для вычисленій помощи логариѳмовъ.

663. Первый членъ геометр. прогр. =4,6, а ея 6-ой членъ =2,87. Найти сумму ея 6 членовъ.

664. Найти сумму 15 членовъ геометрической прегрессіи, у которой знаменатель= 1,10524, а пятнадцатый членъ = 10,5.

665. Знаменатель геометрич. прогрессіи=2,0753, а сумма ея 15 членовъ = 10000. Найти ея первый членъ.

666. Знаменатель геометрич. прогресіи=0,70496, а сумма ея 12 членовъ=6,7. Найти ея первый членъ.

667. 3-й и 4-ый члены геометрической прогрессіи равны соотвѣтственно 3,2 и 2,8672. Найти сумму ея 14 членовъ.

668. Предѣлъ суммы безконечно убывающей геометрической прогрессіи на 15 больше суммы ея 10 членовъ, а знаменатель этой прогрессіи=0,8975. Найти ея первый членъ.

669. Знаменатель геометрической прогрессіи=0,97547, а сумма ея 12 членовъ = предѣлу суммы другой геометрической, безконечно убывающей, прогрессіи, знаменатель которой тотъ же самый, а первый членъ на 2 меньше перваго члена 1-й прогрессіи. Найти первые члены этихъ прогрессій.

Показательныя ур-ія, рѣшаемыя помощью таблицъ логариѳмовъ.

670.

672.

674.

676.

677.*)

678.

679.

680.

681.

Сложные проценты, ежегодные вклады и срочныя уплаты.

682. Въ какую сумму обратится капиталъ 120 руб., отданный въ банкъ по 5 7о на 18 лѣтъ?

683. Сколько надо внести въ банкъ, платящій по 4 сложныхъ процента, чтобы черезъ 12 лѣтъ получился капиталъ 10000 руб.?

684. Какой капиталъ черезъ 9 лѣтъ обратится въ 840 руб., считая по 6 сложныхъ процентовъ?

*) Въ этой и слѣдующихъ задачахъ основаніемъ логариѳмовъ служитъ 10.

685. По сколько сложныхъ процентовъ былъ отданъ капиталъ 1400 рублей, если онъ черезъ 10 лѣтъ обратился въ 2280 руб. 50 коп.?

686. По сколько процентовъ надо отдать капиталъ 9380 руб., чтобы онъ черезъ 8 лѣтъ обратился въ 13000 руб.?

687. Во сколько лѣтъ капиталъ 150 рублей обратится въ 282 руб. 85 коп., считая по 5 сложныхъ процентовъ?

688. Во сколько лѣтъ капиталъ 8470 руб., отданный по 4,3%, обратится въ 20000 руб.?

689. Во сколько лѣтъ удвоится капиталъ, отданный по 5%? Во сколько лѣтъ онъ утроится?

690. Нѣкто имѣлъ 2 одинаковыхъ капитала. Первый капиталъ былъ отданъ по 4^ % и обратился черезъ 8 лѣтъ въ 10000 руб., а второй былъ отданъ по 4|%. Въ какую сумму обратился второй капиталъ черезъ 10 лѣтъ?

691. По скольку процентовъ надо отдать капиталъ, чтобы онъ черезъ 11 лѣтъ обратился въ такую же сумму, въ какую обращается двойной капиталъ въ 4 года, отданный по тому же числу процентовъ?

692. Капиталъ 540 руб. отданъ по 6% съ условіемъ присчитывать процентныя деньги къ капиталу черезъ каждые полгода. Въ какую онъ обратится сумму черезъ 8 лѣтъ?

693. Какой капиталъ надо отдать по 5%, чтобы онъ обратился черезъ 10 лѣтъ въ 18000 руб., если процентныя деньги присчитывались къ капиталу черезъ каждые 3 мѣсяца?

694. Во сколько лѣтъ капиталъ 200 руб., отданный по 4%, обратится въ 409 руб. 35 коп., если процентныя деньги присчитывались къ капиталу черезъ каждые 3 мѣсяца?

695. Нѣкто внесъ въ сберегательную кассу 250 руб. Сберегательная касса платила по 3,6%, при чемъ процентныя деньги прибавлялись къ капиталу черезъ каждый мѣсяцъ. Черезъ 1 ! года сберегательная касса увеличила процентъ и стала платить по 4%. Въ какую сумму обратится внесенный капиталъ черезъ 7 лѣтъ?

Примѣчаніе. Отвѣтъ, полученный послѣ рѣшенія этой задачи, нѣсколько не сойдется съ дѣйствительностью,

такъ какъ наши сберегательныя кассы насчитываютъ процентныя деньги только на полные рубли.

696. Капиталъ былъ отданъ по 6% и черезъ 12 лѣтъ обратился въ нѣкоторую сумму. Если бы процентныя деньги прибавлять къ капиталу не черезъ годъ, а черезъ каждые g года, то этотъ капиталъ обратился бы въ сумму на 25 руб. большую. Какъ великъ былъ капиталъ?

697. Какой капиталъ накопится въ 6 лѣтъ, если въ началѣ каждаго года вносить по 2800 руб. 50 коп. въ банкъ, платящій 3 g%?

698. По скольку надо вносить въ началѣ каждаго года, чтобы по истеченіи 25 лѣтъ накопить 12358 руб., считая по 4,75%?

699. Въ началѣ года положенъ въ банкъ капиталъ 3000 руб. и затѣмъ въ концѣ каждаго года вносится еще по 400 руб. Какой образуется капиталъ черезъ 12 лѣтъ, если считать по 4^%?

700. Нѣкто занялъ 20000 руб. и въ концѣ каждаго года уплачивалъ по 2500 руб. Какой останется долгъ черезъ 9 лѣтъ, если считать по 5%.

701. Былъ купленъ лѣсъ, который въ моментъ покупки могъ доставить 1000000 куб. метр. дерева. Ежегодный приростъ лѣса составлялъ 3% и въ концѣ каждаго года вырубалось 40000 куб. метр. дерева. Какова наличность дерева останется въ этомъ лѣсу черезъ 8 лѣтъ?

702. Нѣкто положилъ въ банкъ нѣкоторую сумму и ежегодно добавлялъ по 600 руб.; такимъ образомъ черезъ 24 года получилась сумма въ 60000 руб., считая по 4|%. Какая сумма была положена въ банкъ первоначально?

703. Нѣкто положилъ въ банкъ 2000 руб. и ежегодно прибавлялъ по 100 руб. Во сколько лѣтъ его капиталъ возразстетъ до 10000 руб., считая по 4g%?

704. Нѣкто занялъ 30000 руб. и обязался уплачивать по прошествіи каждаго года по 6000 руб. Сколько лѣтъ ему пришлось платить по 6000 руб. и сколько останется ему платить въ концѣ послѣдняго года, если расчетъ дѣлать по 4 ’/о.

705. Въ банкъ положено 10000 руб. Какую ренту можно получать за эти деньги изъ банка въ концѣ каждаго года въ теченіе 20 лѣтъ, считая по 4%?

706. Сколько надо внести одновременно въ банкъ по 8*/о, чтобы имѣть на 10 лѣтъ ежегодную ренту въ 1490 руб. 50 коп.?

707. На сколько лѣтъ взносъ въ банкъ 12420 руб., считая по 6%, обезпечитъ ежегодную ренту въ 1000 руб.?

708. Какой капиталъ надо положить въ банкъ по 4% на 20 лѣтъ, чтобы послѣ этого въ теченіе 10 лѣтъ имѣть ежегодную ренту въ 1500 руб.?

709. Нѣкто долженъ платить другому лицу въ теченіе 25 лѣтъ въ концѣ каждаго полугодія ренту въ 500 руб. Сколько долженъ онъ уплатить единовременно, чтобы освободиться отъ этого обязательства, если расчетъ дѣлать по 4|%?

710. А имѣетъ въ теченіе 16 лѣтъ годовую ренту въ 1200 руб., а В въ теченіе 12 лѣтъ годовую ренту 1600 руб. Чья рента стоитъ больше и на сколько, считая по 4%?

711. Нѣкто имѣетъ ежегодную ренту въ теченіе 20 лѣтъ по 600 руб., но онъ желаетъ растянуть ее на 30 лѣтъ. Какъ велика окажется новая рента, считая по 4%?

ГЛАВА VII.

Дополнительныя статьи.

Изслѣдованіе ур-ій съ 1 неизвѣстнымъ I степени.

712. Рѣшить ур-ія:

713. При какихъ значеніяхъ ау ур-іе:

имѣетъ положительныя рѣшенія, при какихъ отрицательныя, при какомъ нулевое и при какомъ безконечное?

714. Узнать то же самое, что и въ предыдущей задачѣ, для ур-ій:

715. При какихъ значеніяхъ а и & ур-ія:

имѣютъ каждое неопредѣленныя рѣшенія?

716. Если бы ученики класса сложились по 2 руб. съ человѣка, то собранную сумму можно было бы раздѣлить по 6 руб. нѣсколькимъ бѣднымъ, число которыхъ на 13 меньше числа учениковъ класса. Сколько было учениковъ въ классѣ?

717. Найти двузначное число, если число его десятковъ на 3 больше числа единицъ и если раздѣлить его на сумму его цифръ, то въ частномъ получится 6.

718. Найти двузначное число, если число его десятковъ на 3 больше числа единицъ и если вычесть изъ него 27, то получится число, написанное тѣми же цифрами но въ обратномъ порядкѣ.

719. Изъ двухъ сортовъ чаю цѣною по 1,6 руб. и по 2,2 руб. за фунтъ надо составить 15 фунтовъ смѣси цѣною по 21 руб. за фунтъ. Сколько фунтовъ каждаго сорта войдетъ въ эту смѣсь?

720. Въ бассейнъ проведены три трубы: первая можетъ наполнить этотъ бассейнъ въ 10 часовъ, вторая — въ 6 часовъ, а черезъ третью трубу наполненный бассейнъ опоражнивается въ 3 часа 45 мин. Во сколько времени наполнится пустой бассейнъ, если сразу открыть всѣ 3 трубы?

721. Купили нѣсколько аршинъ матеріи по а рублей за аршинъ. Оказалось, что истраченное число рублей на 10 больше числа купленныхъ аршинъ. Сколько было куплено аршинъ матеріи? Изслѣдовать полученное рѣшеніе.

722. Переднее колесо экипажа имѣетъ въ окружности а футовъ, заднее — Ъ футовъ. Найти разстояніе, на которомъ переднее колесо сдѣлаетъ 1 оборотомъ больше задняго. Изслѣдовать полученное рѣшеніе.

723. Нужно составить смѣсь изъ двухъ сортовъ товара: первый сортъ стоитъ т руб. и второй п рублей за фунтъ.

Перваго сорта взяли а фунтовъ. Сколько надо взять 2-го сорта, чтобы фунтъ смѣси стоилъ р руб. за фунтъ? Изслѣдовать полученное рѣшеніе.

724. Два курьера ѣдутъ по одному направленію, при чемъ въ опредѣленные моменты времени первый проѣзжаетъ черезъ мѣсто В и второй черезъ мѣсто А, при чемъ В лежитъ на а верстъ отъ А по направленію движенія курьеровъ. Когда второй курьеръ догналъ перваго, то оказалось, что первый отъ мѣста В ѣхалъ h часовъ и второй отъ мѣста А — \ часовъ, и что второй проѣзжалъ каждый часъ на т верстъ больше перваго. На какомъ разстояніи отъ А второй курьеръ догналъ перваго? Изслѣдовать полученное рѣшеніе.

725. Найти истинныя значенія дробей:

Ур-ія I степени съ 2 неизвѣстными.

726. Рѣшить ур-ія:

727. При какихъ значеніяхъ а системы ур-ій: 1)ж4-у=а и Зж— 2у=1; 2) ах—у—1 и х—Зу=2 имѣютъ положительныя рѣшенія, при какихъ отрицательныя и при какихъ безконечныя?

728. При какихъ значеніяхъ а и & системы ур-ій:

имѣютъ неопредѣленныя рѣшенія?

729. Общество состояло изъ мужчинъ и женщинъ. Если каждый мужчина дастъ по 10 рублей и каждая женщина по 8 рублей, то вмѣстѣ составится сумма=120 руб.; если же каждый мужчина дастъ по 15 руб. и каждая женщина по 2 руб., то вмѣстѣ составится сумма=70 руб. Сколько было мужчинъ и сколько женщинъ въ этомъ обществѣ?

730. Куплено нѣсколько аршинъ матеріи по опредѣленной цѣнѣ. Если бы аршинъ матеріи стоилъ на 3 рубля дороже, то на ту же сумму можно было бы купить на 4 аршина меньше, если же купили бы на 8 аршинъ больше, но за аршинъ платили бы на 6 рублей дешевле, то вся покупка стоила бы на 24 рубля дешевле. Сколько было куплено аршинъ матеріи и сколько стоилъ каждый аршинъ?

731. Какія числа надо прибавить къ числителю и знаменателю дроби у, чтобы она обратилась въ у и чтобы число, прибавляемое къ знаменателю, будучи раздѣлено на число, прибавляемое къ числителю, дало въ частномъ 2 и въ остаткѣ 1 ?

732. Путешественникъ проѣхалъ нѣкоторое разстояніе. Если бы онъ каждый часъ проѣзжалъ на 1 версту больше и ѣхалъ бы на 2 часа больше, то онъ проѣхалъ бы разстояніе на 18 верстъ большее, а если бы онъ каждый часъ проѣзжалъ на 2 версты меньше и ѣхалъ бы всего на 4 часа меньше, то онъ проѣхалъ бы на 20 верстъ меньше. Сколько часовъ ѣхалъ путешественникъ и по скольку верстъ проѣзжалъ каждый часъ?

733. Составили s фунтовъ смѣси изъ товару двухъ сортовъ: по а руб. и по 6 руб. за фунтъ. Сколько фунтовъ каждаго сорта вошло въ эту смѣсь, если смѣсь оказалась цѣною с руб. за фунтъ? Изслѣдовать полученныя рѣшенія.

734. Путешественникъ проѣхалъ нѣкоторое разстояніе. Если бы онъ каждый часъ проѣзжалъ на а верстъ больше и былъ бы въ дорогѣ на т часовъ больше, то онъ проѣхалъ бы разстояніе на s верстъ большее; если же онъ былъ бы въ дорогѣ на п часовъ больше и каждый часъ проѣзжалъ на Ъ верстъ больше, то онъ проѣхалъ бы разстояніе на t верстъ большее. Сколько часовъ былъ путешественникъ въ дорогѣ и сколько верстъ онъ проѣзжалъ каждый часъ? Изслѣдовать полученныя рѣшенія.

735. Два путешественника ѣдутъ по одному направленію: первый проѣзжаетъ ѵ верстъ и второй ѵ верстъ въ часъ. Въ извѣстный моментъ они находятся въ точкахъ А и В, разстояніе между которыми—d верстъ На какомъ разстояніи отъ точки А и черезъ сколько часовъ отъ указаннаго момента второй путешественникъ догонитъ перваго? Изслѣдовать полученныя рѣшенія.

Квадратныя ур-ія съ 1 неизвѣстнымъ.

736. Указать, не рѣшая ур-ій, въ какихъ изъ слѣдующихъ ур-ій корни дѣйствительные, въ какихъ мнимые, въ какихъ равные. Узнать, не рѣшая ур-ій, знаки ихъ корней:

737. При какихъ значеніяхъ а корни ур-ія х2—2х4-а=0 дѣйствительны, при какихъ мнимые, при какихъ въ первомъ случаѣ имѣютъ разные знаки и при какихъ одинаковые (какія именно)?

738. Отвѣтить на тѣ же вопросы для ур-ія: ах2—х+1 = 0.

739. При какихъ значеніяхъ т и п одинъ корень ур-ія

обращается въ œ и при какихъ оба корня обращаются въ со.

740. Куплено бумаги на а копѣекъ. Если бы купили бумагу дороже на т коп. за десть, то на ту же сумму купили бы 2 дестями меньше. Сколько дестей было куплено бумаги? Изслѣдовать полученное рѣшеніе.

741. Въ бассейнъ проведены двѣ трубы: первая въ нѣкоторое время наполняетъ его, а вторая выливаетъ всю воду изъ бассейна въ число часовъ на т большее числа часовъ, въ которое первая наполняетъ бассейнъ. Если открыть обѣ трубы, то пустой бассейнъ наполнится въ п часовъ. Во сколько времени одна первая труба можетъ наполнить бассейнъ? Изслѣдовать полученное рѣшеніе.

742. Сила притяженія двухъ тѣлъ прямо пропорціональна произведенію ихъ массъ и обратно пропорціональна квадратамъ разстояній, или эта сила выражается формулой

гдѣ к постоянное, выражающее силу притяженія двухъ массъ, равныхъ единицамъ и помѣщенныхъ на разстояніи = 1, М и Мх массы притягивающихся тѣлъ и R ихъ разстояніе.

На прямой линіи, соединяющей двѣ матерьяльныя точки, массы которыхъ равны т итх и разстояніе между которыми=а, надо помѣстить третью матерьяльную точку (съ массою=гі) такъ, чтобы она была въ равновѣсіи. На какомъ разстояніи отъ одного изъ данныхъ тѣлъ надо помѣстить третье тѣло? Изслѣдовать полученное рѣшеніе.

Нахожденіе общ. наиб. дѣлителя и наим. кратнаго многочленовъ.

Соединенія.

753. Составить всевозможныя сочетанія изъ элементовъ а, Ь, с и cl по 3 въ каждомъ; составить изъ тѣхъ же элементовъ всевозможныя размѣщенія по 3; составить изъ нихъ же всевозможныя перестановки.

754. Найти Р6; А*; С*9.

755. Сколько различныхъ словъ можно составить изъ слова „Москва“?

756. Сколько различныхъ трехзначныхъ чиселъ можно составить изъ цифръ 1, 2, 3...9 съ условіемъ, чтобы цифры не повторялись въ одномъ числѣ?

757. Сколько прямыхъ линій можно провести между 12 точками, расположенными такъ, что никакія 3 изъ нихъ не лежатъ на одной прямой?

758. Сколько можно составить различныхъ троекъ изъ 9 лошадей?

759. Сколько окружностей можно провести между 11 точками, расположенными такъ, что никакія 4 изъ нихъ не лежатъ на одной окружности?

760. Сколько надо взять элементовъ, чтобы число перестановокъ изъ нихъ было въ 36 разъ больше числа сочетаній изъ нихъ по 3?

761. Число сочетаній изъ т элементовъ по 3 относится къ числу сочетаній изъ (тч-2) элементовъ по 5, какъ 5 : 33. Найти т.

762. Число сочетаній изъ 2и элементовъ по п— 1 относится къ числу сочетаній изъ 2« —2 элементовъ по п, какъ 77 : 20. Найти п.

763. Сколько можно составить пятизначныхъ чиселъ безъ повторенія цифръ изъ цифръ 1, 2, 3, 4 и 5, которыя не начинаются цифрой 1? Сколько можно составить изъ тѣхъ же цифръ такихъ пятизначныхъ чиселъ, чтобы они не начинались числомъ 12?

764. Сколько можно составить трехзначныхъ чиселъ безъ повторенія одной и той же цифры изъ цифръ 1, 3, 5, 7, 9, чтобы они не оканчивались цифрой 5?

Биномъ Ньютона.

765. Найти сокращенно (по формулѣ) произведенія двучленовъ:

766 Найти по формулѣ Ньютона разложенія степеней двучленовъ :

767. Найти девятый членъ разложенія

найти восьмой членъ разложенія

768 Найти 2 среднихъ члена разложенія

769. Въ разложеніи

найти членъ, который содержитъ х10.

770. Въ разложеніи

найти членъ, который содержитъ х15.

771. Въ разложеніи

найти членъ не содержащій z.

772 Въ разложеніи

найти членъ не содержащій Z.

773. Разложить (а 4-&х)п, если коэффиціентъ при третьемъ членѣ этого разложенія=36.

774. Сумма коэффиціентовъ при второмъ и третьемъ членахъ разложенія

равна 91. Найти членъ не содержащій у.

Непрерывныя дроби.

775. Обратить слѣдующія непрерывныя дроби въ простыя:

776. Слѣдующія обыкновенныя дроби обратить въ непрерывныя и составить четвертую подходящую дробь.

777. Слѣдующія дроби, обратить въ непрерывныя и составить такія подходящія дроби которыя отличаются отъ истиннаго значенія дроби меньше, чѣмъ на 0,001:

778. Обратить слѣдующія иррац. числа въ непрерывныя дроби:

779. Обратить слѣдующія безконечныя непрерывныя дроби въ иррац. выраженія:

780. Разложить У 35 въ непрерывную дробь и, вычисливъ подходящія дроби до шестой включительно, опредѣлить предѣлы погрѣшностей, происходящихъ отъ замѣны У35 пятою или шестою подходящими дробями.

781. Разложить Ѵ15 въ непрерывную дробь и, найдя седьмую подходящую дробь, найти предѣлъ погрѣшности, происходящей отъ замѣны Ѵ15 этою подходящею дробью.

782. У24 разложить въ непрерывную дробь и найти такую подходящую дробь, чтобы она отличалась отъ У24 менѣе, чѣмъ на 0,0001.

783. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленныя ур-ія:

Мнимыя и комплексныя выраженія.

784. Найти:

785. Упростить:

Выполнить дѣйствія.

ГЛАВА VIII.

Повторительный отдѣлъ.

807. Изъ двухъ работниковъ одинъ можетъ выполнить нѣкоторую работу, работая отдѣльно, на часовъ скорѣе другого. Началъ эту работу первый работникъ и проработалъ одинъ столько часовъ, сколько надо

взять членовъ ариом. прогрессіи 3,3; 3,7; 4,1..., чтобы въ суммѣ получить 31,5. Послѣ этого къ нему присоединился другой работникъ, и имъ понадобилось еще для окончанія работы (lg28, І?”2) минутъ. Во сколько часовъ можетъ окончить эту работу каждый работникъ, работая отдѣльно?

808. Нѣкто занималъ деньги въ теченіе 5 мѣсяцевъ, при чемъ въ первый мѣсяцъ онъ занялъ рублей, а въ каждый слѣдующій мѣсяцъ занималъ на 5 руб. меньше, чѣмъ въ предыдущій. Накопившійся такимъ образомъ долгъ онъ обязался погасить (безъ процентовъ) въ нѣсколько мѣсяцевъ, уплативъ въ первый мѣсяцъ 8 руб., а въ каждый слѣдующій столькими рублями больше, чѣмъ въ предыдущій, сколько единицъ получится въ частномъ отъ дѣленія (9ж‘— 15.г3—66х*—53ж—11) : (Зж2+4ж-і-1), если положить ж=4. Во сколько мѣсяцевъ былъ уплаченъ долгъ?

809. Работники нанялись вырыть колодезь съ условіемъ, чтобы за первый аршинъ глубины имъ заплатили копеекъ, а за каждый слѣдующій 15 копейками болѣе, чѣмъ за предыдущій. Сколько аршинъ вырыли они, если за всю работу получили 16 руб. 90 коп.?

810. Въ магазинѣ имѣется 2 сорта нѣкотораго товара. Отношеніе числа пудовъ перваго сорта къ числу пудовъ второго равно четвертому члену геометрической прогрессіи, первый членъ которой = 9, а знаменатель = 3_1. Пудъ перваго сорта стоитъ столько рублей, сколько составляетъ | числа пудовъ этого сорта, а пудъ второго на 2 руб. дешевле пуда перваго, весь же товаръ стоитъ

Сколько было пудовъ каждаго сорта?

811. Одинъ работникъ, работая отдѣльно, можетъ выполнить нѣкоторую работу скорѣе другого на 4 часа; если первый и второй работники проработаютъ каждый соотвѣт-

ственно столько часовъ, чему равны меньшій и большій корни ур-ія:

то вмѣстѣ они выполнятъ такую часть работы, чему равенъ г, опредѣляемый изъ ур-ія: 32'+2н-32: = 30. Во сколько часовъ каждый работникъ, работая отдѣльно, можетъ выполнить эту работу?

812. Нѣсколько лицъ условились откладывать въ пользу бѣдныхъ по слѣдующему расчету: въ первый день каждый долженъ отложить столько копеекъ, сколько было всего лицъ, во второй день каждый на 4 коп. больше, въ третій еще на 4 коп. больше и т. д. Такимъ образомъ, по прошествіи 14 дней, было собрано со всѣхъ участвующихъ 21 руб. 7 0 коп. Сколько лицъ участвовало въ этомъ сборѣ?

813. Число десятковъ двузначнаго числа больше числа его единицъ на сумму безконечно убывающей геометрической прогрессіи, первый членъ которой = ^) а знаменатель = 2: 2. Если это двузначное число раздѣлимъ на число, написанное тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ, то въ частномъ получимъ число, равное числу единицъ дѣлимаго, а въ остаткѣ lg27318. Найти это двузначное число.

814. Предѣлъ суммы безконечно убывающей геометрической прогрессіи=s, а если всѣ ея члены возвести въ кубъ, то получится новая безконечно убывающая геометрическая прогрессія, предѣлъ суммы которой=sr Найти первый членъ и знаменатель этой прогрессіи. Примѣнить къ частному случаю, когда s и st суть меньшій и большій корни ур-ія:

815 Знаменатель геометрической прогрессіи = значенію х, опредѣляемому изъ ур-ія: 34l=32l"*'1-f-4, а сумма ея 10 членовъ равна суммѣ 5 членовъ другой геометрической прогрессіи, у которой знаменатель тотъ же, а первый членъ = 10. Найти первый членъ первой прогрессіи.

816. Купецъ продалъ товаръ за столько рублей, чему = сумма 4 членовъ геометрической прогрессіи, у которой сумма

перваго и второго членовъ = 30, а сумма второго и третьяго членовъ = 60: въ другой разъ онъ продалъ того же товару на 7 пудовъ меньше и выручилъ сумму денегъ, равную большему корню ур-ія:

при чемъ за каждый пудъ товару въ первый разъ онъ бралъ на 1 руб. больше, чѣмъ во второй. Сколько пудовъ товару продалъ купецъ въ оба раза?

817. Первый, третій и шестой члены ариѳметической прогрессіи равны соотвѣтственно первому, второму и третьему членамъ геометрической прогрессіи. Найти знаменателя геометрической прогрессіи.

818. Рѣшить ур-іе:

819. Какіе надо взять члены въ двухъ ариѳметическихъ прогрессіяхъ:

чтобы ихъ сумма равнялась 63.

820. Сумма крайнихъ членовъ одной ариѳметической прогрессіи =50 и ея разность=6; сумма крайнихъ членовъ другой ариѳметической прогрессіи = 44, а ея разность=3. Сумма всѣхъ членовъ первой прогрессіи, сложенная съ суммою всѣхъ членовъ второй прогрессіи, равна 442. Найти эти прогрессіи.

821. Барышникъ купилъ нѣсколько коровъ и лошадей всего на сумму 1355 руб. Черезъ нѣсколько времени онъ продалъ число лошадей, равное 17-ой части того числа рублей, за сколько онъ купилъ каждую лошадь и бралъ за каждую лошадь на 17 руб. дороже, чѣмъ самъ платилъ, за всѣхъ же проданныхъ лошадей онъ взялъ 510 руб. За каждую корову онъ платилъ на 25 руб. дешевле, чѣмъ за лошадь. Сколько лошадей и сколько коровъ купилъ барышникъ?

822. Рѣшить въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ ур-іе: ах-^-Ьу=с1 гдѣ а, b и с равны соотвѣтственно первому, второму и двѣнадцатому членамъ ариѳметической прогрессіи, а если къ а и b прибавить по 1 и къ с прибавить 25, то они выразятъ тогда соотвѣтственно первый, второй и пятый члены геометрической прогрессіи со знаменателемъ 2.

823. Найти число, которое, при дѣленіи на 11, даетъ въ остаткѣ 6, и при дѣленіи на 15, даетъ въ остаткѣ 1, и которое удовлетворяетъ неравенству:

824. Найти четырехзначныя числа, которыя при дѣленіи на 11 и 13 даютъ въ остаткѣ число, удовлетворяющее неравенству

а при дѣленіи на 15 даютъ остатокъ на 1 меньше.

825 Найти четыре числа, составляющія пропорцію, произведеніе среднихъ и крайнихъ членовъ которой равно каждое 60; сумма этихъ четырехъ чиселъ—т, а сумма ихъ квадратовъ — п, при чемъ т и п суть наименьшія цѣлыя и положительныя рѣшенія ур-ія 37и —4»г=15026.

826. Составить квадратное ур-іе, чтобы корнями его служили значенія х и у, опредѣляемыя изъ ур-ій:

827. Если изъ трехзначнаго числа вычесть число, написанное тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ, то получится 297; сумма цифръ этого числа—п и сумма ихъ квадратовъ—т, гдѣ т и п суть такія двузначныя числа, что число десятковъ числа п на 3 меньше числа десятковъ числа т и число единицъ числа п на 8 меньше числа единицъ числа т, произведеніе же этихъ двухъ чиселъ = 539. Найти это трехзначное число.

828. Два одинаковыхъ капитала были отданы въ ростъ: первый былъ отданъ по столько сложныхъ процентовъ, чему равенъ предѣлъ суммы нѣкоторой безконечно убывающей геометрической прогрессіи, а второй по столько, чему равенъ предѣлъ суммы другой безконечно убывающей геометрической прогрессіи, которая получается вычитаніемъ общаго знаменателя обѣихъ прогрессій изъ 1-го члена первой прогрессіи, квадрата знаменателя изъ 2-го члена первой, куба знаменателя изъ 3-го члена первой и т. д. Извѣстно, что третій членъ второй прогрессіи въ 5 разъ меньше перваго

члена первой и что 4-й членъ второй прогрессіи составляетъ I третьяго члена первой.

Найти каждый изъ двухъ капиталовъ, если они вмѣстѣ черезъ 10 лѣтъ обратились въ 3109,06 руб.

829. Одинъ братъ внесъ единовременно въ банкъ капиталъ 2244 руб. 85 коп., а другой внесъ одновременно съ первымъ въ тотъ же банкъ 200 руб., черезъ годъ еще 200 и т. д. Черезъ сколько лѣтъ капиталы обоихъ братьевъ сравняются, если банкъ платилъ столько сложныхъ процентовъ, чему равенъ большій корень ур-ія:

830. Нѣкто, имѣя ренту въ теченіе 10 лѣтъ отъ нѣкотораго момента въ размѣрѣ 350 руб., которые онъ долженъ получать въ концѣ каждаго года, нашелъ, что этой рентою онъ пользуется не справедливо и потому продалъ ее, при чемъ расчетъ дѣлался по 4%. Вырученныя деньги онъ раздѣлилъ между нѣсколькими бѣдными семействами, каждому по одинаковой суммѣ, за исключеніемъ одного, которому досталось меньше. Оказалось, что каждое семейство кромѣ послѣдняго получило въ 20 разъ больше рублей, чѣмъ было всего семействъ.

Сколькимъ бѣднымъ семействамъ были розданы вырученныя деньги и сколько осталось на долю послѣдняго?

831. Нѣкто сберегалъ въ теченіе столькихъ мѣсяцевъ, сколько членовъ въ разложеніи (а + Ь)1 по столько соотвѣтственно рублей каждый мѣсяцъ, каковы по порядку числовые коэффиціенты предыдущаго разложенія. Собранный такимъ образомъ капиталъ онъ внесъ въ банкъ по 5%. Затѣмъ онъ откладывалъ въ томъ же порядкѣ, какъ и раньше, но уже сообразно разложенію («4-6)6 и сбереженныя деньги прибавилъ, черезъ годъ послѣ внесенія предыдущаго капитала, къ прежнимъ; еще черезъ годъ онъ внесъ сбереженныя имъ деньги въ теченіе нѣсколькихъ мѣсяцевъ въ томъ же порядкѣ, но согласно разложенію (я4-6)5 и т. д. Какой капиталъ у него составился черезъ 5 лѣтъ послѣ внесенія въ банкъ первой сбереженной суммы?

832. Нѣкто внесъ въ банкъ столько рублей, чему равенъ наибольшій числовой коэффиціентъ разложенія (а 4-6)’ по столько процентовъ, сколько членовъ въ этомъ разложеніи, и внесенный капиталъ пробылъ въ банкѣ столько лѣтъ, чему равна сумма числовыхъ коэффиціентовъ членовъ предыдущаго разложенія, стоящихъ на четныхъ мѣстахъ. Въ какую сумму обратились внесенныя деньги, если процентныя деньги прибавлялись къ капиталу черезъ каждые 3 мѣсяца?

833. Найти одинаковыя члены въ разложеніяхъ (14-^.т)”‘ и (ж ‘4-^х)’1, если т и п цѣлыя и положительныя числа и если числовыя коэффиціенты третьихъ членовъ этихъ разложеній (не зависящіе отъ множителя ? при х) удовлетворяютъ ур-ію: 37 . С,п24-17 . С„2=1031.

834. Составить квадратное ур-іе, однимъ корнемъ котораго служило бы число перестановокъ изъ 5 элементовъ, а другимъ такое число, что число сочетаній изъ него по 2 равнялось бы первому корню.

835. Составить квадратное ур-іе, чтобы число сочетаній по 2 изъ числа элементовъ, равнаго первому корню ур-ія, равнялось бы второму его корню и число размѣщеній по 2 изъ элементовъ, число которыхъ равно суммѣ корней ур-ія, равнялось бы 756.

836. Верховой ѣдетъ изъ деревни въ городъ, разстояніе между которыми равно столькимъ верстамъ, сколько единицъ въ коэффиціентѣ при х1 въ разложеніи (g-b^)10, увеличенномъ на 15, и тотчасъ же возвращается обратно, но назадъ уже ѣдетъ медленнѣе, въ часъ дѣлаетъ на 4 версты меньше, чѣмъ раньше. На всю дорогу туда и обратно ему понадобилось столько часовъ, чему равенъ коэффиціентъ при Xs въ предыдущемъ разложеніи, уменьшенный 5-ю единицами. Найти скорость верхового на прямомъ и обратномъ пути.

837. Локомотивъ, пройдя станцію въ 24 версты, былъ задержанъ на нѣкоторое время, а потому слѣдующую станцію длиною 32 версты, чтобы наверстать время, шелъ со

скоростью на столько верстъ въ часъ большею, чему равно произведеніе двухъ непрерывныхъ дробей:

Всю вторую станцію онъ прошелъ долѣе, чѣмъ первую на столько минутъ, чему равно истинное значеніе дроби

при х=4. Найти первоначальную скорость локомотива.

838. Найти 7-ю подходящую дробь и предѣлъ погрѣшности, если ею замѣнить саму непрерывную дробь:

гдѣ а, Ъ и с суть абсолютные величины коэффиціентовъ у послѣдовательныхъ по старшинству членовъ общаго наибольшаго дѣлителя многочленовъ:

Найти также ирраціональное выраженіе, равное этой непрерывной дроби.

839. Полная поверхность прямоугольнаго параллелепипеда равна истинному значенію дроби

при х=10, а периметры двухъ боковыхъ граней этого параллелепипеда равны соотвѣтственно самому члену, не содержащему х, и этому члену уменьшенному на 6 разложенія

Найти измѣренія этого параллелепипеда.

840. Углы восьмиугольника составляютъ ариѳметическую прогрессію, разность которой въ градусахъ равна квадрату непрерывной дроби

Найти наибольшій и наименьшій изъ угловъ этого 8-угольника.

841. Для вычисленія площадей двухъ круговъ, радіусъ одного изъ которыхъ на 7 дюйм. больше другого, взяли 4-ю подходящую дробь, полученную отъ обращенія десятичнаго выраженія числа л — 3,1415926 въ непрерывную и нашли, что площадь большаго круга на 47^ кв. д. больше площади меньшаго. Найти радіусы этихъ круговъ.

842. Числа граней т и п двухъ выпуклыхъ правильныхъ многогранниковъ удовлетворяютъ ур-ію: Зт — 2и = 2, а отношеніе ихъ объемовъ = непрерывной періодической дроби (16, 1, 32, 1, 32...). (Большій объемъ тотъ, у котораго т граней). Найти отношеніе реберъ этихъ многогранниковъ.

843. Числа вершинъ т и п двухъ выпуклыхъ правильныхъ многогранниковъ удовлетворяютъ ур-ію: Зт+8п — 100, а отношеніе поверхностей этихъ многогранниковъ равно предѣлу суммы безконечно убывающей геометрической прогрессіи:

(Многогранникъ съ т вершинами имѣетъ большую поверхность). Найти отношеніе реберъ этихъ многогранниковъ.

ОТВѢТЫ.

358. 15 коп. 359. 1-го 23 ф. 32 зол., 2-го — 11 фун. 64 зол. и 3-го —6 фун. 64 зол. 360. 24. 361. g и 362. 60 арш.

363. 12 и 10^ верстъ. 364. 20 и 12 пудовъ. 365. 20 дестей. 366. 10 дней. 367. 12 и 16 верстъ. 368. Первый продалъ или 102 или 24 четв. 369. 12 арш. сукна и 9 арш. бархату.

370. 4 фун. кофе и 6 фун. чаю. 371. 18 руб. 372. 1200 руб. 373. 800 и 600 руб. 374. 9 и 11 часовъ. 375. 15 и 10 дней. 376. Два рѣшенія: 1) 3 и 7часовъ, 2) 2 и 6часовъ. 377. 100 ябл. 378. 32 вер. 379. 84 стм. 380. 42 дм. 381. 30 кв. дм. 382. 12 и 8 дм. 383. 7 сторонъ. 384. 5 верш. 385. 6 сторонъ. 386. 10 и 8 сторонъ. 387. 18 и 24 сторонъ. 388. Площадь — = 26б| кв. дм. 389. гип. = 10 дм. 390. 16 дм. 391. 36 дм. 392. 16 и 5 дм. 393. 10 или 6 стм. 394. 27. 395, — 155.

456. ж = 2 ; ?/ = 3 и ^ = 4; есть еще мним. рѣш.

и т. п. 461. 8 мужч. и 6 женщ. или наоборотъ. 462. 74. 463. 7 и 6. 464. 67 или 76. 465. §• 466. 1-ое рѣш. 20 и 30 дней; 2-ое рѣш. 39 и 17* дней. 467. 468. 9 и 12 вер.; другое рѣшеніе ^скорость 1-го =0 и скорость 2-го не соотвѣтствуетъ вопросу. 469. 521. 470. 2 лошади, 5 коровъ и 10 овецъ (или 2 лош., 10 кор. и 5 ов.). 471. Одинъ изъ двухъ первыхъ въ 20 дн., другой въ 12 дн., а третій въ 15 дн. 472. 8 и 11 дм. 473. 12 и 16 дм. 474. 5, 12 и 13 стм. 475. 10 и 5 дм. 476. 70 стм. 477. 15, 20 и 25 дм. 478. 5 и 12 дм. 479. Меньшая прямая отсѣк. отрѣзки 15 и 20 дм. 480. Касат. = 12 дм. и сѣкущ. равны 24 и 16 дм. 482. 3) Всякое число

4) Несовмѣстимы. 6) Всѣ числа ббльшія — Іи меньшія 3.

483. 3) Всякое число бблыпее — - и меньшее 4) Несовмѣстимы.

5) Всякое число большее 1 и меньшее 2. 6) Несовмѣстимы.

484. 1) Всѣ числа за исключеніемъ чиселъ, заключающихся между 2 и 3. 2) Всѣ числа за исключеніемъ чиселъ, заключающихся между — 1 и f 3) Всѣ числа за исключеніемъ чиселъ, заключающихся между —3 и 1. 4) Числа между 1 и 2. 5) Всѣ числа между 2 и 4. 6) Всѣ числа за исключеніемъ чиселъ, заключающихся между —Зи—7) Всѣ числа за исключ. чиселъ между.; и 1.

у = 3; 11; 19 и т. д.; г = 2; 16; 30 и т. д. 3) у = 0; 5; 10; 15; 20; х = 13; 10; 7; 4; 1 ; £ = 9; 7; 5; 3 и 1 (всего 5 рѣшеній). 4) я =15 и 3; у = 9 и 24; z = S и 9. 495. 1) На 5 только двугривенныхъ; 2) на 4 пятиалт. и 2 двугрив. 496. 5-ыо способами: одинъ изъ нихъ 27 и 273. 497. 8 плоти, и 6 столяровъ.

49S. 3 дочери и 3 сына. 499. 2 рѣшенія: 10 коровъ и 12 лошадей или 25 коровъ и 1 лош. 500. 5 рѣшеній: одно изъ нихъ 105 неудачныхъ и 43 удачныхъ. 501. 76. 502. 63^ — 7. 503. 27.

504. Только 66. 505. 120; 264; 408; 552; 696; 840 и 984.

506. 70 и 461. 507. 53 ученика. 508. 137 солд. 509. Куръ 23 или 24, утокъ соотв. 6 или 3 и гусей 1 или 3. 510. 5, 1 и 8. 511. 65 4-440£ 512. 84. 513. 319, 459, 599, 739 и 879.

514. 28 чиселъ; самое меньшее 1187 и самое большее 9692.

515. Ю8І- 516. 406. 517. 650. 518. Первый чл. 6 и разн. 3.

519. Первый членъ 40 и послѣд. 4. 520. Разность 7 и послѣд.

членъ 104. 521. — 10?- 522. 62. 523. 510. 524. 82,95.

525. Число членовъ 9 и разность 4. 526. 18. 527. 12 или 40.

528. Число членовъ 12 или 9; первый членъ соотвѣт. — 3 или 6.

529. 488. 580. 18. 531. 120. 532. 186. 533. 375. 534. 1-ый чл. 7 и разн. 4. 535. 6; 6“; 7’- и. т. д. 536. — 1*; — |; ■; Ц; 3.

537. 8 членовъ; разность =± 5. 538. Черезъ 7 часовъ (смыслъ 2-го рѣшенія?). 539. 8 арш. 540. Черезъ 15 сек. 541. Въ годъ. 542. 7 мѣс.; 112 руб. 543. 6; 9; 12. 544. ±4; ± 6; ± 8; ±10 и ± 12. 545. 7; 10_; 13 и т. д. 546. 98 мет. 547. 1785.

548. 1555^2 + 518/3. 549> 9831> б50 _?«. 551ф Знам. = ± 2 ; сумма — 155 или — 55. 552. Знам. = ± 3 ; сумма = 728 или—364. 553.31^- 554. 7чл.;сумма ихъ = 381. 555. 1458и2.

556. 9. 557. 1-й чл. = 2; число чл. = 8. 558. 5. 559. Знам. = ± 3.

560. 4 рѣшенія: 1)3; 6; 12.„ 2) 3; —6; 12; — 24...3) 81; 54/3;

108; 72/3... 4)81; — 54|/3; 108; —72/3;... 561. 96;48;24...;3. 562. 17; 68,272; 1088. 563. 372. 564. —182. 565. 1093.

566. Знаменатель = 3. 567. 3; 6; 12... или —9; 18; —36...

568. 16; 8; 4... 569. 256; 192; 144; 108. 570. 2; 6; 18; 54 или — 2; —6; —18; —54. 571. 3) 4б£- 5) 3/|- 572. 36;12;4...

573. ■—-j—; ;—г-г» и т. д. 574. 54; 18; 6... или 108; — 36; ±12; —4... 575. 4; 8; 12; 18 или 17?; 12?; 7?; 4?; 576. 4; 8 и 16 или наоборотъ 16; 8 и 4. 577. 3; 7; 11 или 12; 7; 2.

687. 13 лѣтъ. 688. 20 лѣтъ. 4 мѣс. 29 дней. 689. 14 лѣтъ 2 мѣс. 14 дней; 22 года 6 мѣс. 6 дней. 690. 11183 руб. 80 коп. 691. По 1О,4%. 692. 866 руб. 62 коп. 693. 10951 руб. 50 коп.

694. Въ 18 лѣтъ. 695. 328 руб. 38 коп. 696. 1207 руб. 72 коп. 697. 18985 руб. 698. 255 руб. 12 коп. 699. 11275 руб. 13 коп. 700. 3459 руб. 701. 911053 куб. мет. (прибл. 911000 куб. метр.). 702. 13349 руб. 60 коп. 703. Черезъ 24І года. 704. 5 лѣтъ по 6000 руб. и 6-ой годъ 4153 руб. 705. 735 руб. 90 коп. 706. 9980 руб. 707. На 23,46 лѣтъ. 708. 5552 руб. 50 коп. 709. 14918 руб. 60 коп. 710. Рента В стоитъ дороже на 1033 р. 50 коп. 711. 318 руб. 58 коп. 715. 1) а = — 6 = —11;

2) а = |; 5 = 10. 716. ІІевозм. 717. ІІевозм. 718. Всякое двузначное число, у котораго десятковъ на 3 больше, чѣмъ единицъ. 719. Невозм. 720. Никогда. 725. 2) ’ 5) 2. 728. 1) а = |;

5 = 4. 729. Невозм. 730. Неопред. 731. Безконечно большія числа. 732. Невозможно. 744. Н. Д. = 2х —5: II. К. =

827. 623. 828. 1000 руб. 829. 15 лѣтъ. 830. Всего 15 семействъ; послѣд. только 2 руб. 10 коп. 831. 308,2 руб. 832. 184 руб. 26 коп. 833. 834. ^ — 136 г +1920 = 0. 835.^ — 28# + 147 = 0. 836. 12 и 8 верстъ. 837. 36 верстъ.

838. /86~ 6. 839. 6, 9 и 10. 840. 100° и 170°. 841. 8и7дм.

842. 2. 843. Ребра одинаковы.

Прошу исправить слѣдующія погрѣшности: