Н. Извольскій

СБОРНИКЪ АЛГЕБРАИЧЕСКИХЪ ЗАДАЧЪ.

Часть I.

2-е изданіе, вновь переработанное.

Первое изданіе было допущено Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. въ качествѣ пособія для среднихъ учебныхъ заведеній.

Цѣна 35 коп.

Изданіе книжнаго магазина т./д. Думновъ, Клочковъ, Луковниковъ и К°,

подъ фирмою „В. В, Думновъ, Наслѣдн. Бр. Салаевыхъ“.

1912.

ОГЛАВЛЕНІЕ

Стран.

Чтеніе формулъ и письмо ихъ.................................... 5

Относительныя числа и дѣйствія надъ ними........................ 8

Сложеніе.................................................. 9

Вычитаніе.................................................10

Умноженіе................................................11

Дѣленіе...................................................13

Возведеніе въ степень.....................................14

Одночлены и многочлены........................................ 15

Приведеніе подобн. членовъ................................16

Сложеніе..................................................16

Вычитаніе.................................................17

Умноженіе.................................................20

Смѣшанныя упражненія......................................23

Дѣленіе.................................................. 24

Смѣшанныя упражненія......................................25

Разложеніе многочленовъ на множители............................26

Нахожденіе общаго наименьшаго кратнаго и общаго наибольшаго дѣлителя........................................................29

Алгебраическія дроби............................................30

Сокращеніе................................................30

Сложеніе и вычитаніе......................................31

Умноженіе и дѣленіе.......................................33

Пропорціи и ур-ія первой степени.............................. 36

Ур-ія съ 1 неизв..........................................37

Задачи на составл. ур-ій................................ 39

Ур-ія со многими неизв....................................46

Задачи на составл. ур-ій..................................52

Отвѣты..........................................................61

Типографія Г. Лисснера и Д.Собко.

Москва, Воздвиженка, Крестовоздвиж. пер., д. д.

Предисловіе ко II изданію.

Время и опытъ показали, что первое изданіе моего «Сборника» страдаетъ нѣкоторыми существенными недочетами, особенно первая его часть. Поэтому теперь первая часть выпускается существенно переработанною: 1) Вмѣсто термина «количество», смыслъ котораго недостаточно опредѣлененъ, вводится терминъ «относительное число». 2) Почти во всѣхъ частяхъ первой части сборника добавлены несложныя упражненія, которыя являются необходимыми для усвоенія соотвѣтствующихъ частей курса, и удалены болѣе сложныя упражненія. 3) Всѣ упражненія приведены въ большую систему. 4) Введены упражненія, имѣющія цѣлью освоить учащихся съ понятіемъ о функціональной зависимости, причемъ эти упражненія неразрывно связаны съ усвоеніемъ понятія объ уравненіи см. №№ 486—490; 600— 603; 642—648,— отъ усмотрѣнія преподавателя зависитъ примѣнить къ нѣкоторымъ изъ этихъ упражненій графическій методъ или нѣтъ. Отдѣльныхъ упражненій на усвоеніе понятія о функціи въ «Сборникѣ» нѣтъ, такъ какъ составитель является противникомъ введенія въ основной курсъ алгебры соотвѣтствующей статьи, полагая, что отведеннаго въ учебныхъ заведеніяхъ времени на алгебру такъ мало, что ослож

нять курсъ введеніемъ новой статьи не раціонально. 5) Увеличено число задачъ на составленіе ур-ій, причемъ задачи на составленіе ур-ія съ однимъ неизвѣстнымъ приведены въ большій порядокъ.

Что касается второй части «Сборника», то она въ свое время также будетъ переработана, хотя она и не требуетъ столь существенной переработки, какъ первая часть. Наиболѣе важнымъ недостаткомъ второй части является наличность многихъ погрѣшностей какъ въ текстѣ, такъ и въ отвѣтахъ. Поэтому въ оставшіеся экземпляры второй части будетъ вклеенъ листъ съ указаніемъ погрѣшностей.

Н. Извольскій.

ГЛАВА I.

Чтеніе формулъ и письмо ихъ.

1. Прочесть формулы: 1) m-f-n+p; 2) s-j-t+u-j-v4-х.

2. Написать формулами: 1) сумму чиселъ х и у, 2) сумму чиселъ /, g, h, і и к.

3. Прочесть формулы: 1) х—у, 2) (а4-6)—(а—Ъ);

3) (а4-6)4-(с—d)4-(m—п); 4) т—(Ъ—c)4-(d—е); 5) (Ъ+с)+(Ъ—с).

4. Написать формулами: 1) разность чиселъ т и п; 2) сумму разности чиселъ а и Ъ и числа с; 3) сумму трехъ слагаемыхъ, при чемъ первое слагаемое есть число а, второе — разность чиселъ а и Ъ и третье — разность чиселъ Ъ и с; 4) разность, при чемъ уменьшаемымъ должна служить разность чиселъ я: и у, а вычитаемымъ сумма чиселъ х, у и 2.

5. Прочесть формулы: 1) тх; 2) (а+Ъ)(а—Ь)-.

6. Написать формулами: 1) Произведеніе чиселъ х и у. 2) Произведеніе разности чиселъ х и у на сумму тѣхъ же чиселъ. 3) Разность между произведеніемъ чиселъ а и с и произведеніемъ чиселъ Ъ и d. 4) Произведеніе равности чиселъ а и Ъ на разность чиселъ c и d. б) Сумму трехъ слагаемыхъ: первымъ слагаемымъ служитъ произведеніе чиселъ а и Ъ, вторымъ — произведеніе суммы тѣхъ же чиселъ на число с и третьимъ — произведеніе разности тѣхъ же чиселъ (а и 6) на число d. 6) Произведеніе суммы произведеній двухъ паръ чиселъ на разность произведеній тѣхъ же паръ чиселъ (числа обозначить буквами по своему выбору).

7. Прочесть формулы :

8. Написать формулами: 1) Произведеніе суммы двухъ чиселъ а и Ъ на ихъ разность, на сумму двухъ другихъ чиселъ с и d и на разность послѣдней пары чиселъ. 2) Сумму произведенія трехъ чиселъ а, b и с и произведенія суммы всѣхъ этихъ чиселъ на число т. 3) Разность, при чемъ уменьшаемымъ должно служить произведеніе суммы чиселъ X, у и z на разность чиселъ s и і, а вычитаемымъ произведеніе всѣхъ этихъ пяти чиселъ.

9. Прочесть формулы:

(указаніе: «разность, при чемъ уменьшаемыхъ служитъ сумма частнаго чиселъ а и Ъ и ихъ произведенія» и т. д.);

7) (а—ж)(а—у)(а—г) : (хуг—За).

10. Написать формулами: 1) Частное отъ дѣленія числа m на разность чиселъ х и у. 2) Частное отъ дѣленія суммы двухъ чиселъ на сумму двухъ другихъ чиселъ (обозначеніе чиселъ буквами по своему выбору). 3) Сумму числа 2 и частнаго чиселъ а и Ь. 4) Произведеніе трехъ множителей, при чемъ первымъ множителемъ служитъ частное отъ дѣленія суммы чиселъ m и п на ихъ разность, вторымъ — частное отъ дѣленія числа 1 на сумму тѣхъ же чиселъ m и п и третьимъ— сумма чиселъ 1, m и п. 5) Сумму трехъ слагаемыхъ: первымъ слагаемымъ служитъ произведеніе чиселъ х, у и г, вторымъ — частное отъ дѣленія суммы тѣхъ же чиселъ на разность двухъ другихъ чиселъ (обозначенія произвольны) и третьимъ — частное отъ дѣленія числа 3 на произведеніе чиселъ х, у и г.

11. Вычислить:

12. Прочесть формулы:

13. Написать формулами: 1) Сумму кубовъ чиселъ а и Ь. 2) Кубъ суммы чиселъ а и d. 3) Разность квадратовъ двухъ чиселъ. 4) Четвертую степень разности двухъ чиселъ. 5) Квадратъ разности двухъ чиселъ. 6) Разность четвертыхъ степеней двухъ чиселъ. 7) Произведеніе суммы квадратовъ двухъ чиселъ на квадратъ суммы тѣхъ же чиселъ. 8) Сумму пятой степени числа а и третьей степени числа Ъ. 9) Частное отъ дѣленія куба разности двухъ чиселъ на сумму кубовъ тѣхъ же чиселъ. 10) Разность между суммою квадратовъ двухъ чиселъ и квадратомъ суммы тѣхъ же чиселъ. 11) Сумму кубовъ трехъ чиселъ. 12) Кубъ суммы трехъ чиселъ. 13) Частное отъ дѣленія m-ой степени числа х на разность n-ыхъ степеней чиселъ у и г. 14) Произведеніе трехъ множителей, при чемъ первымъ множителемъ должна быть сумма кубовъ трехъ чиселъ, вторымъ — частное отъ дѣленія суммы тѣхъ же чиселъ на разность квадратовъ двухъ другихъ чиселъ (обозначеніе произвольно) и третьимъ — разность 4-хъ степеней двухъ послѣднихъ чиселъ. 15) Частное отъ дѣленія разности между 6-й и 5-й степенями числа а на сумму квадрата, куба и четвертой степени того же числа.

14. Вычислить:

15. Прочесть формулы:

16. Написать формулы: 1) Кубичный корень изъ разности чиселъ х и у; 2) Разность кубичныхъ корней изъ чи

селъ х и у. 3) Квадратъ суммы корней 4-й степени изъ трехъ чиселъ (обозн. произвольно). 4) Квадратный корень изъ суммы кубичныхъ корней изъ двухъ чиселъ. 5) Произведеніе корней 3-й, 4-й и 5-й степеней соотвѣтственно изъ суммы, разности и произведенія чиселъ т и п. 6) Сумму квадратныхъ корней изъ суммы и изъ разности квадратовъ двухъ чиселъ. 7) Кубъ разности, уменьшаемымъ которой служитъ корень 4-й степени изъ произведенія чиселъ а и Ъ, а вычитаемымъ кубичный корень изъ частнаго тѣхъ же чиселъ.

ГЛАВА II.

Относительныя числа и дѣйствія надъ ними.

17. Указать на шкалѣ термометра, гдѣ стоитъ ртуть въ термометрѣ, если температура

18. На данной прямой указать точку, отстоящую отъ данной точки А на разстояніе:

19. Кассиръ отмѣчалъ каждую сумму, поступавшую въ кассу, знакомъ +, и каждую сумму, выдаваемую изъ кассы знакомъ —. Объяснить слѣдующую запись кассира въ теченіе одного дня

Найти общій итогъ кассы за этотъ день и записать его числомъ со знакомъ.

20. Ртуть въ термометрѣ показывала 2° мороза въ 7 часовъ утра, а въ 3 часа дня температура была 7° тепла. Записать эти показанія числами со знаками и найти, на сколько градусныхъ дѣленій шкалы термометра передвинулась ртуть отъ 7 часовъ утра до 3 часовъ дня.

21. Сдѣлать то же, что и въ предыдущей задачѣ для каждой пары слѣдующихъ показаній температуры:

1) 11° тепла (въ 9 час. утра) и 17° тепла (въ 3 часа дня):

2) 4° мороза (въ 9 час. утра) и 11° мороза (въ 8 час. вечера).

22. Игрокъ записывалъ выигрышъ знакомъ + и проигрышъ знакомъ —. Объяснить слѣдующую запись и подвести ея итогъ:

+3 руб. —4 руб. 50 коп. —2 руб. 20 коп. +6 руб. 30 коп. —5 руб. —2 руб. 50 коп.

Сложеніе чиселъ со знаками.

23. При томъ же условіи, какъ въ предыдущей задачѣ, найти результатъ каждой изъ слѣдующихъ записей:

24. Точка колеблется по прямой, начиная отъ данной точки А; всякое перемѣщеніе колеблющейся точки вправо обозначаемъ знакомъ +, а перемѣщеніе влѣво — злакомъ —. Гдѣ будетъ находиться колеблющаяся точка послѣ выполненія двухъ колебаній, записанныхъ одною изъ слѣдующихъ записей:

25. Установить правило сложенія чиселъ со знаками, исходя изъ примѣровъ 1—7 задачи № 23 и 1—5 задачи № 24.

Изъ задачъ №№ 23 и 24 устанавливается условіе: если относительныя числа записаны рядомъ съ ихъ знаками, то требуется эти относительныя числа сложить.

26. Выполнить сложеніе относительныхъ чиселъ въ каждомъ изъ слѣдующихъ примѣровъ:

Обозначеніе сложенія скобками.

27. Раскрыть скобки и выполнить дѣйствіе въ каждомъ изъ слѣд. примѣровъ:

Вычитаніе относительныхъ чиселъ.

28. Найти число, которое надо сложить съ числомъ (—7), чтобы въ суммѣ получился нуль.

Задачи, подобныя настоящей, въ дальнѣйшемъ будутъ записываться слѣдующимъ образомъ: (—7)+(?)=0.

29. Рѣшить рядъ вопросовъ, подобныхъ предыдущему:

30. Установить на основаніи предыдущихъ примѣровъ правило раскрытія скобокъ при вычитаніи относительныхъ чиселъ.

Раскрыть скобки, а затѣмъ выполнить дѣйствіе въ слѣдующихъ примѣрахъ:

Вычислить слѣдующія формулы, замѣняя въ нихъ буквы указанными числами:

Умноженіе относительныхъ чиселъ.

44. Станемъ разсматривать движеніе точки по прямой линіи.

Условимся обозначать:

1) Скорость движенія вправо знакомъ + , а скорость влѣво знакомъ —.

2) Время послѣ настоящаго момента знакомъ + , а время до настоящаго момента знакомъ —.

3) Разстояніе движущейся точки отъ опредѣленной точки А, расположенной на данной прямой линіи, вправо отъ А знакомъ + и влѣво отъ А знакомъ —.

Записать рѣшеніе каждой изъ слѣдующихъ задачъ дѣйствіемъ надъ относит. числами, принимая во вниманіе выше сдѣланныя условія:

a) Точка движется по прямой слѣва направо со скоростью 6 дюйм. въ минуту и въ настоящій моментъ проходитъ черезъ точку А. На какомъ разстояніи отъ А будетъ находиться движущаяся точка черезъ 4 мин.?

b) Точка движется по прямой слѣва направо со скоростью 6 дюйм. въ минуту и въ настоящій моментъ проходитъ черезъ точку А. На какомъ разстояніи отъ А находилась движущаяся точка 4 минуты тому назадъ?

c) Точка движется по прямой справа налѣво со скоростью 6 дюйм. въ минуту и въ настоящій моментъ проходитъ черезъ точку А. На какомъ разстояніи отъ А будетъ находиться движущаяся точка черезъ 4 мип.?

d) Точка движется по прямой справа налѣво со скоростью 6 дюйм. въ минуту и въ настоящій моментъ проходитъ черезъ точку А. На какомъ разстояніи отъ А находилась движущаяся точка 4 мин. тому назадъ?

Изъ рѣшеній этихъ задачъ найденныхъ непосредственнымъ соображеніемъ, установить правило умноженія относит. чиселъ.

45. Для каждаго изъ слѣдующихъ примѣровъ на умноженіе относительныхъ чиселъ составить соотвѣтствующую задачу, подобную задачамъ № 44:

Выполнить дѣйствіе въ каждомъ изъ этихъ примѣровъ.

46. Примѣры на умноженіе:

47. Найти произведеніе нѣсколькихъ множителей:

Изъ этихъ и подобныхъ примѣровъ установить правило умноженія многихъ множителей.

Дѣленіе относительныхъ чиселъ.

56. Произведеніе двухъ множителей имѣетъ знакъ +, а одинъ изъ множителей имѣетъ знакъ—. Какой знакъ у другого множителя?

Произведеніе двухъ множителей и одинъ изъ нихъ имѣютъ знаки +; какой знакъ у другого множителя?

Произведеніе двухъ множителей и одинъ изъ нихъ имѣютъ знакъ —. Какой знакъ у другого множителя?

Произведеніе двухъ множителей имѣетъ знакъ —, а одинъ изъ множителей имѣетъ знакъ +. Какой знакъ у другого множителя?

63. Вычислить:

64. Вычислить:

65. Вычислить:

66. Вычислить:

Возведеніе относительныхъ чиселъ въ степень.

Вычислить:

ГЛАВА III.

Одночлены и многочлены.

76. Расположить по нисходящимъ степенямъ х многочлены:

77. Расположить по восходящимъ степенямъ буквы с многочлены:

78. Представить слѣдующіе одночлены въ видѣ произведенія нѣсколькихъ множителей; назвать коэффиціентъ каждаго одночлена:

79. Назвать коэффиціентъ каждаго члена многочлена:

80. Написать безъ коэффиціентовъ:

81. Упростить выраженія при помощи введенія коэффиціентовъ :

Приведеніе подобныхъ членовъ многочлена.

Сложеніе одночленовъ и многочленовъ.

Вычитаніе одночленовъ и многочленовъ.

Задачи на раскрытіе скобокъ.

119. Найти [С—(Л—Е)]}, полагая

120. Найти (G+K)—[Æ—(F—G)—(H-f-G)], полагая

121. Найти G—[К-[Е—(F+G)]}, гдѣ Е, F, G и К означаютъ тѣ же многочлены, какъ и въ № 120.

Вычисленіе многочленовъ по даннымъ числовымъ значеніямъ буквъ.

Заключеніе многочленовъ въ скобки.

134. Въ многочленѣ х4—ах3—2а3х+а4 заключить 2 первыхъ члена въ скобки со знакомъ + передъ ними, а два послѣднихъ — въ скобки со знакомъ — передъ ними.

135. Въ многочленѣ 1—2х34-За2—4æ+5æ4 заключить всѣ члены, содержащіе х въ нечетной степени, въ скобки со знакомъ — передъ ними, а всѣ члены, содержащіе х въ четной степени, въ скобки со знакомъ + передъ ними. (Членъ, не содержащій буквы х. принято считать за членъ, будто бы содержащій букву х въ четной степени — именно въ нулевой.)

136. Не измѣняя величины выраженія

перемѣнить знаки передъ каждыми скобками.

137. Не измѣняя величины выраженія а+(х—у)—(у—х) перемѣнить знаки передъ каждыми скобками.

Въ этомъ же выраженіи добиться перемѣною знака передъ скобками того, чтобы выраженія въ обѣихъ скобкахъ оказались одинаковыми. Сколькими способами этого можно достигнуть?

138. Въ выраженіи а(х2—1)4-1—х2 заключить послѣдніе два члена въ скобки такъ, чтобы въ этихъ скобкахъ получилось бы выраженіе, одинаковое съ выраженіемъ въ первыхъ скобкахъ.

139. а—Ъ—с(Ь—а)... Добиться того же, что и въ № 138.

Умноженіе степеней съ одинаковыми основаніями.

Умноженіе одночленовъ.

Умноженіе многочлена на одночленъ.

Умноженіе многочлена на многочленъ.

202. Въ слѣдующихъ примѣрахъ написать результатъ сразу, выполняя въ умѣ необходимыя вычисленія: сперва написать старшій членъ произведенія; затѣмъ сообразить, отъ перемноженія какихъ членовъ множителей получится членъ произведенія, содержащій степень буквы, на единицу меньшую, чѣмъ старшій членъ; выполнивъ въ умѣ необходимыя умноженія и приведя, также въ умѣ, полученные члены въ одинъ, написать этотъ членъ и т. д., пока не дойдемъ до младшаго члена произведенія:

Возведеніе одночленовъ и двучленовъ въ квадратъ, въ кубъ и т. д.; произведеніе суммы двухъ чиселъ на ихъ разность.

Смѣшанныя упражненія.

Дѣленіе степеней съ одинаковыми основаніями.

Дѣленіе одночленовъ.

Дѣленіе многочлена на одночленъ.

Дѣленіе многочлена на многочленъ.

Смѣшанныя упражненія.

Особые случаи дѣленія.

ГЛАВА IV.

Разложеніе многочленовъ на множители.

314. Было выполнено умноженіе многочлена на одночленъ и получилось одно изъ слѣдующихъ произведеній:

3х+Зу, ах—ау, а2Ь-]-а2с—a2d\ 4ах—4bx; 6ab—9ас; 5а2—1Оа2Ь.

Сообразить для каждаго примѣра, каковы были множители (возможно иногда нѣсколько рѣшеній).

315. Разложить на множители вынесеніемъ за скобку общаго одночленнаго множителя слѣдующіе многочлены: 2a+8b-, 3ab—9ac-, 12ах—Івау—20аг; 3ab—6abc+7abd; 2а+6аЪ; х2—ах2-, ЗаЪх—ЗаЬу—ЗаЬг- а2Ь2х2+а2с2х2—a2d2x2-, ах3—2іа;34-+сх3—х3.

316. Выполнить то же для слѣдующихъ многочленовъ:

[Эти примѣры даютъ указаніе, какую степень буквы можно выносить за скобку въ случаѣ, когда эта буква входитъ въ различныхъ степеняхъ въ разныхъ членахъ многочлена.]

317. Болѣе сложные примѣры для разложенія на множителей тѣмъ же пріемомъ:

Вынесеніе за скобку многочленнаго множителя.

Примѣненіе формулъ для разложенія на множители многочлена.

323. Знаки вопроса въ слѣдующихъ примѣрахъ замѣнить одночленами, чтобы равенства оказались бы справедливыми:

324. Указать, какіе изъ слѣдующихъ трехчленовъ представляютъ квадратъ двучлена и какіе его не представляютъ:

325. Разложить на множители:

326. Отъ умноженія какихъ двухъ многочленовъ могло получиться произведеніе: 1) а2—t2; 2) æ2—у2; 3) а2—1;

327. Пользуясь равенствомъ а2—Ь2=(а4-0)(а—Ь), разложить на множители двучлены:

Примѣненіе другихъ формулъ къ разложенію на множители.

Примѣненіе всѣхъ предыдущихъ формулъ къ случаю, когда обычный порядокъ знакомыхъ формулъ нарушенъ.

Комбинаціи предыдущихъ пріемовъ.

Группировка членовъ.

Нахожденіе общаго наименьшаго кратнаго и общаго наибольшаго дѣлителя.

385. Найти общее наименьшее кратное и общій наибольшій дѣлитель для слѣдующихъ одночленовъ:

386. Найти общее наименьшее кратное и общій наибольшій дѣлитель для слѣдующихъ многочленовъ:

387. Сдѣлать то же самое для слѣдующихъ многочленовъ:

388. Сдѣлать то же самое для слѣдующихъ многочленовъ:

389. Найти общее наименьшее кратное для слѣдующихъ многочленовъ:

ГЛАВА V.

Алгебраическія дроби.

Сокращеніе дробей.

Сложеніе и вычитаніе дробей.

419.

420.

421.

422.

423.

424.

425.

426.

427.

428.

429.

Умноженіе и дѣленіе дробей.

447.

448.

449.

450.

451.

452.

453.

454.

456.

458.

459.

460.

461.

462.

463.

464.

466.

467.

468.

469.

470.

471.

472.

473.

474.

476.

478.

479.

480.

ГЛАВА VI.

Пропорціи и уравненія первой степени.

Пропорціи:

481. Найти разностное и кратное отношеніе выраженіи:

482. Найти неизвѣстный членъ слѣдующихъ ариѳметическихъ пропорцій. (Неизвѣстный членъ обозначенъ буквою х):

483. Составить геометрическія пропорціи, исходя изъ слѣдующихъ равенствъ:

484. Найти неизвѣстный членъ слѣдующихъ геометрическихъ пропорцій:

485. Пользуясь производными пропорціями, найти х изъ пропорцій:

Уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ.

486. Найти нѣсколько числовыхъ значеній двучлена Бх—12; составить таблицу измѣненій двучлена въ зависимости отъ измѣненія независимаго перемѣннаго х. Образецъ таблицы:

487. Найти такое значеніе для х, чтобы двучленъ 5х—12 сдѣлался равенъ 28. (Запись этой задачи въ предыдущей таблицѣ см. въ № 486—послѣдняя строчка таблицы; другая форма записи: 5х—12=28).

Отыскивать требуемое значеніе х придется при помощи ряда пробъ.

488. При какомъ значеніи х каждый изъ двучленовъ 4х—14; 5х—35; 6æ+12; lOæ-f-S; 9х—3 обращается въ нуль?

489. Рѣшить ур-нія: 3æ + 7 = 19; 15æ—1 = 44; 6—х = 5, 8а-—12=0; 15æ —10 = 0; 6æ+24 = 0; 12x+3 = 0.

490. Записать при помощи знака равенства задачу: найти такое значеніе для х, чтобы двучленъ 6æ4-ll оказался равнымъ такому же числу, какъ и двучленъ 5æ+14.

Найти это значеніе х.

491. Рѣшить ур-нія:

498.

500.

501.

503.

504.

505.

506.

507.

508.

509.

510.

512.

513.

515.

517.

519.

520.

521.

522.

523.

524.

525.

526.

527.

528.

529.

531.

533.

536.

538.

540.

541.

542.

Задачи на составленіе уравненій 1-й степени съ неизвѣстнымъ.

543. Игрокъ проигралъ сначала | своихъ денегъ, а потомъ выигралъ бывшихъ у него первоначально денегъ, послѣ чего у него составилось всего 13 руб. Сколько денегъ у него было первоначально?

544. Нѣкто въ первый мѣсяцъ уплатилъ g часть своего долга, а во второй 35 руб. Оказалось, что вмѣстѣ въ оба мѣсяца онъ уплатилъ лишь | своего долга. Какъ великъ весь его долгъ?

545. Изъ пятаго класса гимназіи перешло въ 6-й классъ g всего числа учениковъ 5-го класса, да въ шестомъ классѣ осталось 5 человѣкъ на второй годъ. Оказалось, что въ 6-мъ классѣ стало учениковъ на 1 меньше, чѣмъ было въ пятомъ классѣ. Сколько учениковъ было въ пятомъ классѣ?

546. Продавался домъ. У одного покупателя была сумма денегъ, равная его стоимости, а у другого—сумма, равная g его стоимости. Если бы они сложились вмѣстѣ, то у нихъ оказался бы излишекъ въ 7000 руб. Найти цѣну дома.

547. Если я проживу еще столько лѣтъ, сколько мнѣ теперь, да еще этого числа, да еще 2^ года, то мнѣ будетъ 100 лѣтъ. Сколько лѣтъ мнѣ теперь?

548. Купецъ продалъ товаръ за 260 руб. и получилъ нѣкоторый убытокъ. Если бы онъ продалъ этотъ товаръ за 350 руб., то получилъ бы прибыль вдвое большую, чѣмъ полученный убытокъ. Найти стоимость товара.

549. Купецъ продалъ товаръ за 380 руб. и получилъ нѣкоторую прибыль. Если бы этотъ товаръ былъ проданъ за 310 руб., то былъ бы полученъ убытокъ, составляющій J полученной прибыли. Найти стоимость этого товара.

550. Въ понедѣльникъ въ классѣ отсутствовало 12 человѣкъ, а во вторникъ 3 человѣка. Число присутствующихъ учениковъ во вторникъ было въ 1^ раза больше числа присутствующихъ въ понедѣльникъ. Сколько всего учениковъ было въ этомъ классѣ?

551. На рождественскія каникулы изъ пансіона уѣхало въ отпускъ 63 пансіонера, а на Пасху уѣхало лишь 39 пансіонеровъ. Число оставшихся въ пансіонѣ на Пасху было въ 3 раза больше числа оставшихся на рождественскія каникулы. Сколько всего пансіонеровъ было въ этомъ пансіонѣ?

552. Скорый поѣздъ проходитъ все разстояніе между двумя городами скорѣе пассажирскаго на lj часа; скорый проходитъ въ часъ по 40 верстъ, а пассажирскій идетъ со скоростью 30 верстъ въ часъ. Какъ велико разстояніе между этими городами?

553. Верховой ѣдетъ изъ деревни въ городъ со скоростью 12 верстъ въ часъ и тотчасъ же возвращается обратно, но уже со скоростью 8 верстъ въ часъ. На всю дорогу, туда и обратно, ему понадобилось б| часовъ. Найти разстояніе деревни отъ города.

554. Нѣкто ѣдетъ изъ Тулы въ Москву на курьерскомъ поѣздѣ, проходящемъ 50 верстъ въ часъ; въ Москвѣ онъ пробиваетъ 7 час. 24 мин. и возвращается обратно съ пассажирскимъ поѣздомъ, проходящимъ по 36 верстъ въ часъ. Оказалось, что онъ вернулся въ Тулу черезъ 16 часовъ послѣ своего отъѣзда. Найти разстояніе Тулы отъ Москвы.

555. Изъ А въ В вышелъ поѣздъ, проходящій по 36 верстъ въ часъ. Черезъ 4 часа выходитъ поѣздъ изъ В въ А, проходящій по 40 верстъ въ часъ. На какомъ разстояніи отъ А встрѣтятся эти поѣзда, если разстояніе отъ А до В равно 315 верстамъ?

556. Нѣкто для своей квартиры хотѣлъ купить 10 стульевъ, но у него для покупки ихъ не хватало 7 руб. Поэтому онъ купилъ только 8 стульевъ и у негэ еще осталось 3 руб. Сколько стоитъ каждый стулъ?

557. На заводѣ было запасено 180 саж. березовыхъ и 150 саж. сосновыхъ дровъ. Ежедневно расходуютъ по 3 саж. березовыхъ дровъ и по 1^ саж. сосновыхъ. Черезъ сколько дней березовыхъ и сосновыхъ дровъ останется поровну?

558. Отцу 53 года, а сыну 17 лѣтъ. Сколько лѣтъ тому назадъ отецъ былъ въ 4 раза старше сына?

559. Отцу 45 лѣтъ, а сыну 11 лѣтъ. Черезъ сколько лѣтъ сынъ будетъ въ 3 раза моложе отца?

560. Работникъ нанялся съ условіемъ, чтобъ ему въ видѣ платы за годъ сшили одежду и дали 118 руб. деньгами, но онъ прослужилъ только 8 мѣсяцевъ и получилъ одежду и 70 руб. деньгами. Сколько стоитъ одежда?

561. Нѣкто въ уплату долга вносилъ ежемѣсячно по одинаковой суммѣ, и оказалось, что черезъ годъ опъ еще остался долженъ 90 руб. Весь этотъ долгъ можно было бы уплатить въ 10 мѣсяцевъ, если бы каждый мѣсяцъ платить на 13 руб. болѣе. Какъ великъ былъ долгъ?

562. Изъ бочки вылили сначала * всей находящейся тамъ воды и еще | ведра, потомъ | остатка и еще | ведра и, наконецъ, въ третій разъ вылили половину новаго остатка и еще I ведра, послѣ чего въ бочкѣ осталось 4 ведра воды. Сколько ведеръ воды было въ бочкѣ первоначально?

563. Нѣсколько братьевъ, получивъ въ наслѣдство отъ отца капиталъ, дѣлятъ его между собою такъ: первый взялъ 1000 руб. и пятую часть остатка, второй — 2000 руб. и пятую часть новаго остатка, третій — 3000 руб. и пятую часть новаго остатка и т. д. Оказалось, что каждый братъ получилъ поровну. Какъ велико было наслѣдство и сколько было братьевъ?

564. Нѣсколько лѣтъ тому назадъ я платилъ за свою квартиру на 30 руб. въ мѣсяцъ дешевле, чѣмъ теперь, причемъ отношеніе прежней платы къ теперешней = =. Сколько я теперь плачу за свою квартиру?

565. Найти дробь, знаменатель которой на 5 больше числителя и которая обращается въ если къ ея числителю и знаменателю прибавить по 2.

566. Найти дробь, знаменатель которой на 2 больше числителя и которая обращается въ |, если отъ ея числителя и знаменателя отнять по 1.

567. У меня въ правомъ карманѣ на 5 руб. больше, чѣмъ въ лѣвомъ. Если взять пятую часть денегъ изъ праваго кармана и третью часть денегъ изъ лѣваго, то вмѣстѣ составится 9 руб. Сколько денегъ было у меня въ правомъ и сколько въ лѣвомъ карманѣ?

568. Въ двухъ кошелькахъ вмѣстѣ 45 руб. Если изъ перваго кошелька переложить во второй 5 руб., то въ первомъ останется вдвое болѣе, чѣмъ станетъ во второмъ. Сколько денегъ въ каждомъ кошелькѣ?

569. Въ двухъ кошелькахъ вмѣстѣ 80 руб. Если изъ второго переложить въ первый 11 руб., то въ первомъ станетъ втрое менѣе, чѣмъ останется во второмъ. Сколько была денегъ въ каждомъ кошелькѣ?

570. Въ трехъ деревняхъ вмѣстѣ 1200 жителей, при чемъ во второй деревнѣ въ 2 раза больше, чѣмъ въ первой, а въ третьей на 40 жителей меньше, чѣмъ во второй. Сколько жителей въ каждой деревнѣ?

571. Въ трехъ корзинахъ вмѣстѣ 402 яблока; при чемъ во второй корзинѣ на 12 яблокъ меньше, чѣмъ въ первой, а въ третьей въ 3 раза болѣе, чѣмъ во второй. Сколько было яблокъ въ каждой корзинѣ?

572. Въ плодовомъ саду всего 240 деревьевъ, въ томъ числѣ яблони, груши, сливы и вишни; грушъ было въ 3 раза больше, чѣмъ сливъ; вишенъ на 9 меньше, чѣмъ грушъ, и яблонь въ 4 раза больше, чѣмъ вишенъ. Сколько было въ саду яблонь, грушъ, сливъ и вишенъ.

573. Отецъ на 26 лѣтъ старше сына, а черезъ 2 года онъ будетъ втрое старше сына. Сколько лѣтъ отцу и сколько лѣтъ сыну?

574. Сынъ на 36 лѣтъ моложе отца, а 5 лѣтъ тому назадъ онъ былъ въ 4 раза моложе отца. Сколько теперь лѣтъ отцу и сколько сыну?

575. Купили сахару и кофе, всего 14 фунтовъ; за фунтъ сахару платили 15 коп., а за фунтъ кофе 80 коп.; за всю же покупку заплатили 6 руб. Сколько купили сахару и сколько кофе?

576. Въ трехъ книгахъ вмѣстѣ 530 страницъ. Во второй книгѣ на 20 страницъ меньше, чѣмъ въ первой, а число страницъ третьей составляетъ | числа страницъ во второй. Сколько страницъ въ каждой книгѣ?

577. Купили 38 аршинъ сукна двухъ сортовъ и заплатили за все 170 руб.; аршинъ перваго сорта стоитъ 5 руб. 20 коп., а аршинъ второго сорта стоитъ 4 руб. Сколько аршинъ купили каждаго сорта сукна?

578. Найти число, которое при дѣленіи на 8 даетъ въ остаткѣ 7 и при дѣленіи на 10 даетъ въ остаткѣ 5, при чемъ второе частное на 1 меньше перваго.

579. Найти число, которое при дѣленіи на 9 даетъ въ остаткѣ 3 и при дѣленіи на 7 даетъ въ остаткѣ 5, при чемъ первое частное на 2 меньше второго.

580. Одно число на 2 меньше другого. Если меньшее изъ этихъ чиселъ раздѣлить на 3, а большее на 4, то первое частное окажется на 1 больше второго. Найти эти числа.

581. Одно число на 13 больше другого. Если первое число раздѣлить на второе, то въ частномъ получимъ 2 и въ остаткѣ 1. Найти эти числа.

582. Въ классѣ всего 40 учениковъ. Число неудовлетворительныхъ относится къ числу удовлетворительныхъ, какъ 3 :5. Сколько въ этомъ классѣ удовлетворительныхъ и сколько неудовлетворительныхъ учениковъ?

583. Какой теперь часъ, если отношеніе протекшей части сутокъ къ остающейся = ? (Начало сутокъ считается въ полночь.)

584. 2 работника, работая вмѣстѣ, исполнили нѣкоторую работу въ 4 дня. Если бы каждый изъ нихъ работалъ отдѣльно, то первый работникъ могъ бы выполнить эту работу въ 2 раза скорѣе второго. Во сколько дней каждый изъ нихъ, работая отдѣльно, можетъ выполнить эту работу?

585. Нѣсколько лицъ, сложившись поровну, собрали 108 руб.; въ другой разъ, сложившись поровну, собрали 171 руб., но лицъ участвовало въ этой складчинѣ въ 3 раза болѣе, чѣмъ прежде. На долю лица, участвовавшаго въ обѣихъ складчинахъ, въ оба раза пришлось заплатить 15 руб. Сколько лицъ участвовало въ складчинѣ въ первый разъ и сколько во второй?

586. Купили кофе и сахару и заплатили отдѣльно за кофе и отдѣльно за сахаръ по 4 руб.; при чемъ сахару было куплено въ 5 разъ больше, чѣмъ кофе. Сколько было куплено кофе и сколько сахару, если 1 фунтъ кофе на 64 коп. дороже 1 фунта сахару?

587. Капиталы трехъ братьевъ относятся между собою какъ 16 :19 : 24. Когда первый братъ истратилъ 5200 руб., второй — 6000 руб. и третій — 6500 руб., то у нихъ вмѣстѣ осталось g того, что было первоначально. Сколько было денегъ у каждаго брата первоначально?

588. Одинъ капиталъ отданъ по 6°/0, а другой, большій перваго на 400 руб., по 5°/0. Съ обоихъ капиталовъ въ годъ получаютъ 284 руб. проц. денегъ. Найти эти капиталы.

589. Числитель дроби на d меньше ея знаменателя. Если изъ числителя и знаменателя этой дроби вычесть по а, то получится дробь = — Найти эту дробь.

590. Если - часть задуманнаго числа сложить съ і его частью, то сумма окажется на 1 меньше задуманнаго числа. Найти это число.

591. Разность квадратовъ двухъ послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ = d. Найти эти числа.

592. Сумма двухъ чиселъ = s. Если первое число раздѣлить на а и второе на Ъ, то полученныя частныя окажутся равными между собою. Найти эти числа.

593. Найти два числа такихъ, чтобы одно изъ нихъ было на т больше другого и чтобы разность ихъ квадратовъ была бы = п.

594. Купили сукна за а рублей. Если бы сукна купили на Ъ аршинъ болѣе, то пришлось бы заплатить с рублей. Сколько куплено аршинъ сукна?

595. Нѣкто проѣхалъ разстояніе между двумя городами со скоростью ѵ верстъ въ часъ. Если бы онъ проѣзжалъ въ часъ на т верстъ меньше, то ему понадобилось бы, чтобы проѣхать все разстояніе, на h часовъ больше. Найти это разстояніе.

596. Изъ мѣста А выѣхалъ курьеръ, проѣзжающій по V верстъ въ часъ. Черезъ а часовъ изъ А выѣзжаетъ второй курьеръ, догоняющій перваго и проѣзжающій по верстъ въ часъ. На какомъ разстояніи отъ А второй курьеръ догонитъ перваго?

597. Купили товару двухъ сортовъ: за весь первый сортъ заплатили а руб. и за весь второй сортъ Ъ рублей. Второго сорта купили вдвое больше перваго, но стоитъ онъ на с рублей за пудъ дешевле. Сколько пудовъ купили каждаго сорта?

598. Гребецъ можетъ въ стоячей водѣ двигать лодку на а метровъ въ секунду. Проѣхавъ нѣкоторое разстояніе по

теченію рѣки и вернувшись тотчасъ же обратно, онъ увидалъ, что на всю дорогу, туда и обратно, ему понадобилось т секундъ. Какое разстояніе онъ проѣхалъ (въ одинъ конецъ), если скорость теченія = Ъ метровъ въ секунду?

599. Изъ двухъ водоемовъ, вмѣстимость которыхъ равна т и п ведеръ, вода выкачивается одинаковыми насосами. Оказалось, что изъ перваго водоема вся вода была выкачена на h минутъ скорѣе, чѣмъ изъ второго. Сколько ведеръ воды выкачиваетъ этотъ насосъ въ минуту?

Ур-ія со многими неизвѣстными.

600. Найти нѣсколько рѣшеній ур-ія съ двумя неизвѣстными 5х4-2у=29. Расположить эти рѣшенія въ таблицѣ

601. Выразить у (зависимое перемѣнное) чрезъ х (независимое перемѣнное) изъ каждаго изъ слѣдующихъ уравненій:

При помощи полученныхъ выраженій найти для каждаго уравненія по нѣсколько рѣшеній.

602. Выразить х чрезъ у изъ каждаго изъ слѣдующихъ уравненій (здѣсь у принимается за независимое перемѣнное, а х за зависимое):

При помощи полученныхъ выраженій найти по нѣсколько рѣшеній для каждаго уравненія.

603. Изъ ур-ія съ двумя неизвѣстными въ общемъ видѣ

выразить у чрезъ ®; (наоборотъ, выразить х чрезъ у)-, найти нѣсколько рѣшеній этого ур-ія.

604. Рѣшить совмѣстно способомъ подстановки два ур-ія: 3æ+i/=19 и 5х—у—13.

Сдѣлать то же самое для каждой изъ слѣдующихъ паръ ур-ій:

605. Рѣшить совмѣстно способомъ сложенія и вычитанія (уравниваніемъ коэффиціентовъ) каждую изъ слѣдующихъ паръ ур-ій:

Рѣшеніе системы двухъ ур-ій съ двумя неизвѣстными любымъ способомъ.

617.

618.

619.

620.

622.

623.

624.

625.

627.

628.

629.

630.

632.

633.

634.

635.

636.

637.

638.

640.

642. Найти нѣсколько рѣшеній ур-ія съ 3 неизвѣстными

3х+бу—22=7.

Расположить найденныя рѣшенія въ таблицѣ (см. ниже).

Сдѣлать то же самое для каждаго изъ слѣд. ур-ій:

x4-2j/4~32=5; 3х—2у—42=17; 22— Зу—х—11; 7х +2у +г= 15

(рекомендуется разнообразить нахожденіе рѣшеній, принимая разныя пары неизвѣстныхъ за независимыя перемѣнныя).

643. Изъ ур ія 3х— 5у+22=11 выразить « чрезъ ж и у. Найти при помощи полученнаго выраженія нѣсколько рѣшеній даннаго ур-ія.

644. Изъ ур-ія ж4-32/+5г=7 выразить у чрезъ х и £. Найти при помощи полученной формулы нѣсколько рѣшеній.

645. Изъ ур-ія 2х—Зу—4s=9 выразить х чрезъ у и Найти при помощи полученной формулы нѣсколько рѣшеній.

646. Рѣшить совмѣстно 2 ур-ія съ 3 неизвѣстными:

Располагать находимыя рѣшенія въ таблицѣ (см. ниже).

Сдѣлать то же самое для слѣдующихъ двухъ ур-ій: 4х—Зі/+г=11; 2æ+4î/+52=17.

647. Изъ двухъ ур-ій съ 3 неизвѣстными

выразить у и £ (зависимыя перемѣнныя) чрезъ х (независимое перемѣнное). Пользуясь полученными формулами найти нѣсколько рѣшеній данныхъ ур-ій.

648. Изъ двухъ ур-ій съ 3 неизвѣстными

6х+5і/—Зг=14

4ж—51/4-2=8

выразить х и у чрезъ ». Найти при помощи полученныхъ формулъ нѣсколько рѣшеній данныхъ ур-ій.

649. Даны три ур-ія съ 3 неизвѣстными:

2х+2=8; 3х+у — 10 и 5х+У 4-^=18.

Рѣшить эти ур-ія совмѣстно способомъ подстановки: изъ первыхъ двухъ ур-ій выразить у и » чрезъ х и подставить полученныя выраженія въ третье ур-іе.

650. Д аиы 3 ур-ія съ 3 неизвѣстными:

«4-1/4-32=17; «—у+2=3; 2x4-3]/—2=9.

Рѣшить эти ур-ія совмѣстно способомъ подстановки: изъ нервыхъ двухъ ур-ій выразить х и у чрезъ » и подставить въ третье ур-іе.

651. Сколько рѣшеній имѣетъ одно ур-іе съ 4 неизвѣстными? Какъ получать эти рѣшенія? (напр., для ур-ія 2х+у— -24-31=12).

Сколько рѣшеній имѣютъ 2 ур-ія съ 4 неизвѣстными? Какъ ихъ получать? (Примѣръ: 2x4-?/—г4-3(=12 и 3х—î/4-22—і=7).

Сколько рѣшеній имѣютъ 3 ур-ія съ 4 неизвѣстными? Какъ ихъ получать? (Примѣръ: 2x+y-z+3t=12; 3x—y+2z—t—7; 5х4-2і/—z—1=8).

Сколько рѣшеній имѣютъ 4 ур-ія съ 4 неизвѣстными? Рѣшить способомъ подстановки систему слѣдующихъ 4 ур-ій съ 4 неизвѣстными (изъ 1-го, 2-го и 3-го ур-ій опредѣлить у, 2 и t чрезъ х и подставить въ 4-е ур-іе):

2х+і/ = 6; 2—«=1; t-J-3x=9; 2х4~]/—г+3(=12.

Рѣшеніе системъ ур-ій (любымъ способомъ).

656.

657.

658.

659.

660.

662.

664.

665.

666.

667.

668.

669.

670.

671.

672.

673.

Составленіе ур-ій со многими неизвѣстными.

688. 16 рублей надо размѣнять на двугривенные и пятиалтынные такъ, чтобы тѣхъ и другихъ вмѣстѣ было 86 штукъ. Сколько надо взять двугривенныхъ и сколько пяти алтынныхъ?

689. За 10 арш. синяго сукна и 4 аршина зеленаго заплачено 82 руб. Въ другой разъ по тѣмъ же цѣнамъ куплено 7 арш. синяго и 6 арш. зеленаго и заплатили за все 75 руб. Что стоитъ аршинъ синяго и аршинъ зеленаго сукна?

690. Купили нѣсколько фунтовъ чаю цѣною по 2 руб. за фунтъ и нѣсколько фунтовъ сахару по 15 коп. за фунтъ и за все заплатили 13 руб. 50 коп.; вся покупка вѣсила 16 фунтовъ. Сколько купили чаю и сколько сахару?

691. Въ двухъ кошелькахъ находятся деньги; если я изъ перваго переложу во второй 15 руб., то во второмъ окажется въ 3 раза больше, чѣмъ останется въ первомъ, а если переложить изъ второго 5 руб. въ первый, то въ первомъ окажется въ 3 раза больше, чѣмъ останется во второмъ. Сколько денегъ было въ каждомъ кошелькѣ?

692. Купили 8 фунтовъ чаю и 20 фунтовъ сахару и за платили за все 16 руб. Сколько стоитъ фунтъ этого чаю и фунтъ сахару, если 3 фунта этого чаю на 80 коп. дороже 25 фунтовъ сахару?

693. Найти дробь, которая обращается въ если къ ея числителю и знаменателю прибавить по 1 и — въ з, если отъ нихъ отнять по 1.

694. Найти дробь, которая обращается въ |, если къ ея числителю и знаменателю прибавить по 2 и — въ если отъ ея числителя отнять 1.

695. Разность цифръ двузначнаго числа = 3; если переставить цифры въ этомъ числѣ, то получится число, составляющее = прежняго. Найти это число.

696. Если нѣкоторое двузначное число раздѣлить на число его десятковъ, то въ частномъ получится 12, если же къ этому числу прибавить 27, то получится число, написанное тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ. Найти это число.

697. Если двузначное число раздѣлить на сумму его цифръ, то въ частномъ получимъ 8; если же отъ этого числа отнять 45, то получится число, написанное тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ. Найти это число.

698. Нѣкто имѣетъ двухъ лошадей и пролетку, стоящую 250 рублей. Если онъ запряжетъ въ пролетку первую лошадь, то весь выѣздъ окажется въ 3 раза дороже второй лошади, а если запряжетъ въ пролетку вторую лошадь, то

весь выѣздъ окажется въ 1? раза дороже первой лошади. Сколько стоитъ каждая лошадь?

699. Нѣкто нанялъ двухъ слугъ съ условіемъ дать каждому изъ нихъ за годъ 160 руб-, одежду и по парѣ сапогъ. Первый прослужилъ только 10 мѣсяцевъ и получилъ одежду и 140 руб. денегъ, а второй прослужилъ 6* мѣсяцевъ и получилъ сапоги и 92 руб. денегъ. Сколько стоить одежда и сколько сапоги?

700. Найти число, которое при дѣленіи на 8 даетъ въ остаткѣ 3 и при дѣленіи на 10 даетъ въ остаткѣ 9, при чемъ первое частное на 3 единицы больше второго.

701. Найти два такія числа, что если первое изъ нихъ раздѣлить на второе, то въ частномъ получимъ 2 и въ остаткѣ 16, а если удесятеренное второе число раздѣлить на первое, то въ частномъ получимъ 3 и въ остаткѣ 28.

702. Для прокормленія лошадей былъ сдѣланъ запасъ на нѣсколько дней. Если бы было на 2 лошади меньше, то этого запаса хватило бы на 20 дней дольше, а если бы лошадей было на 6 больше, то этого запаса хватило бы на 30 дней меньше. Сколько было лошадей и на сколько дней былъ сдѣланъ запасъ?

703. Помѣщикъ ѣхалъ изъ своего имѣнія въ городъ, проѣзжая каждый часъ по одинаковому числу верстъ. Если бы онъ каждый часъ проѣзжалъ на 2 версты менѣе, то пріѣхалъ бы позже на 1 часъ, а если бы онъ проѣзжалъ каждый часъ на 3 версты болѣе, то пріѣхалъ бы скорѣе на 1 часъ. По сколько верстъ онъ проѣзжалъ въ часъ и сколько часовъ былъ въ дорогѣ?

704. На нѣкоторую сумму денегъ купили кусокъ сукна. Если бы каждый аршинъ стоилъ рублемъ дороже, то на ту же сумму можно было бы купить на 6 арш. менѣе сукна, а если бы каждый аршинъ стоилъ рублемъ дешевле, то на эту же сумму можно было бы купить на 10 арш. болѣе. Сколько купили сукна и сколько стоитъ каждый аршинъ?

705. Два работника могли бы окончить нѣкоторую работу въ 15 дней, если бы работали вмѣстѣ. Но первый работникъ проработалъ только 6 дней, а второй только 10 дней,

и оказалось, что они вмѣстѣ выполнили только g всей работы. Во сколько времени каждый изъ нихъ, работая отдѣльно, можетъ выполнить эту работу?

706. Два работника, работая вмѣстѣ, могли бы окончить нѣкоторую работу въ 12 дней. Но на самомъ дѣлѣ сперва работалъ только первый работникъ 8 дней, а потомъ онъ отказался, и былъ нанятъ второй, которому понадобилось для окончанія работы 18 дней. Во сколько дней можетъ выполнить эту работу каждый изъ двухъ работниковъ, работая отдѣльно?

707. Двѣ трубы наполняютъ бассейнъ въ 15 часовъ. Если бы въ теченіе 5 часовъ вода текла изъ обѣихъ трубъ, а потомъ первую закрыть, то еще понадобилось бы 10 часовъ, чтобы чрезъ вторую трубу наполнился бы бассейнъ. Во сколько времени можетъ наполниться этотъ бассейнъ чрезъ каждую трубу отдѣльно?

708. Для молотьбы хлѣба было нанято нѣсколько рабочихъ. Если бы ихъ было тремя менѣе, то они проработали бы двумя днями далѣе, а если бы наняли 4-мя работниками больше, то работа была бы окончена двумя днями скорѣе. Сколько было нанято рабочихъ и сколько дней они работали?

709. Двумъ путешественникамъ надо пройти разстояніе 450 верстъ. Первый можетъ пройти весь этотъ путь на 1 день скорѣе, чѣмъ второй. Время, въ которое 1-й проходитъ 150 верстъ, сложенное съ временемъ, въ которое 2-й проходитъ 180 верстъ, дастъ въ суммѣ 7 дней. По сколько верстъ каждый путешественникъ проходитъ въ 1 день?

710. Два пѣшехода вышли другъ другу навстрѣчу изъ двухъ мѣстъ; разстояніе между которыми = 55 верстъ, при чемъ первый вышелъ на 2- часа раньше второго; они встрѣтились черезъ 5 часовъ послѣ выхода второго. Первый въ 15 минутъ проходитъ такое же разстояніе, какое второй проходитъ въ 12 минутъ. По сколько верстъ каждый изъ нихъ проходитъ въ часъ?

711. Торговецъ купилъ бочку вина, которая обошлась ему вмѣстѣ съ доставкою въ опредѣленную сумму денегъ. Если онъ станетъ продавать это вино по 80 коп. за бутылку, то

получитъ отъ продажи всего вина 30 рублей убытку, а если станетъ продавать по 90 коп. за бутылку, то получитъ 35 руб. прибыли. Сколько бутылокъ вина вышло изъ этой бочки и въ какую сумму она обошлась самому торговцу?

712. Нѣкто желаетъ разыграть въ лотерею часы: если онъ назначитъ цѣну билета по 25 коп., то, продавъ всѣ билеты, онъ выручитъ сумму денегъ, на 15 руб. меньшую стоимости часовъ, а если назначитъ цѣну билета 40 коп., то выручитъ отъ продажи всѣхъ билетовъ на 30 руб. больше стоимости часовъ. Сколько стоятъ часы и сколько было билетовъ?

713. Два тѣла двигаются равномѣрно навстрѣчу другъ другу изъ двухъ мѣстъ, разстояніе между которыми = 152 метрамъ. Если первое тѣло начнетъ двигаться на 1^ секунды ранѣе второго, то эти тѣла встрѣтятся черезъ 7 секундъ послѣ выхода второго, а если второе тѣло начнетъ двигаться 2^ секундами ранѣе перваго, то эти тѣла встрѣтятся черезъ 6,1 секундъ послѣ выхода перваго. Найти скорость движенія каждаго тѣла въ (секунду).

714. Въ двухъ бочкахъ налита вода. Чтобы въ обѣихъ было поровну, надо перелить изъ второй въ первую столько, сколько тамъ было, затѣмъ изъ первой во вторую столько, сколько во второй осталось, и, наконецъ, изъ второй въ первую столько, сколько въ первой осталось. Тогда въ каждой бочкѣ окажется по 8 ведеръ воды. Сколько воды было въ каждой бочкѣ первоначально?

715. Найти три числа такъ, чтобы сумма ихъ равнялась 21, чтобы сумма перваго числа съ удвоеннымъ вторымъ и утроеннымъ третьимъ = 46 и, наконецъ, чтобы второе число равнялось бы полусуммѣ перваго и третьяго.

716. Три брата раздѣлили между собой 120 руб., такъ, что первый получилъ вдвое меньше, чѣмъ второй и третій вмѣстѣ и второй получилъ въ 3 раза меньше, чѣмъ первый и третій вмѣстѣ. Сколько получилъ каждый братъ?

717. Три брата раздѣлили между собою нѣкоторую сумму денегъ такъ, что доля перваго на 4 руб. превосходила третью часть денегъ, полученныхъ вторымъ и третьимъ братьями вмѣстѣ, доля второго на 8 руб. превышала третью часть де-

негъ, полученныхъ двумя другими братьями вмѣстѣ и доля третьяго на 12 руб. превышала третью часть денегъ, полученныхъ двумя другими братьями вмѣстѣ. Сколько получилъ каждый братъ?

718. Найти три числа такъ, чтобы первое равнялось бы 1, сложенной съ третью суммы двухъ другихъ, второе равнялось бы 2, сложеннымъ съ третью суммы двухъ другихъ и третье равнялось бы 3, сложеннымъ съ третью суммы двухъ другихъ.

719. Куплено 6 стульевъ, 4 кресла и одинъ диванъ за 260 руб. Одно кресло, одинъ стулъ и диванъ вмѣстѣ стоятъ столько же, сколько 2 кресла и 4 стула, а именно 110 руб. Что стоитъ каждая вещь отдѣльно?

720. Куплено 10 арш. чернаго сукна, 8 арш. зеленаго и 5 арш. синяго и за все заплачено 106 руб. Въ другой разъ по тѣмъ же цѣнамъ купили 7 арш. чернаго, 9 арш. зеленаго и 2 арш. синяго и заплатили за все 85 руб. и, наконецъ, въ третій разъ купили 14 арш. чернаго, 6 арш. зеленаго и 4 арш. синяго и за все заплатили 116 руб. Сколько стоитъ аршинъ каждаго сорта сукна?

721. Въ первый разъ купили 25 саж. березовыхъ дровъ, 15 саж. еловыхъ и 10 саж. осиновыхъ и за все заплатили 465 руб. Во второй разъ по тѣмъ же цѣнамъ купили 9 саж. березовыхъ, 6 саж. еловыхъ и 3 саж. осиновыхъ и за все заплатили 168 руб. Кромѣ того извѣстно, что одна сажень еловыхъ дровъ стоитъ вдвое меньше, чѣмъ сажень березовыхъ и сажень осиновыхъ вмѣстѣ. Сколько стоитъ сажень каждаго сорта дровъ?

722. Сумма цифръ трехзначнаго числа = 12. Число его десятковъ вдвое болѣе суммы чиселъ его сотенъ и единицъ. Если изъ этого числа вычесть 198, то получится число, написанное тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ. Найти это трехзначное число.

723. Сумма цифръ трехзначнаго числа = 14. Число его единицъ равно суммѣ чиселъ десятковъ и сотенъ. Если къ этому числу прибавить 396, то получится число написанное тѣми же цифрами, но въ обратномъ порядкѣ. Найти это число.

724. Бассейнъ наполняется тремя трубами. Если открыть первую и вторую трубу, то пустой бассейнъ наполнится въ 6 часовъ, если открыть вторую и третью трубу, то — въ 10 часовъ, а если открыть первую и третью, то — въ 7^ часовъ. Во сколько времени можетъ наполниться этотъ бассейнъ чрезъ каждую трубу отдѣльно?

725. Нанято для выполненія нѣкоторой работы 3 работника. Работая всѣ вмѣстѣ, они могли бы окончить эту работу въ 10 дней. Но первый работалъ только 5 дней, а второй только 6 дней; поэтому третій долженъ былъ, чтобы окончить эту работу, проработать 33 дня. Если бы первый и второй работали бы вмѣстѣ, то они, безъ помощи третьяго, окончили бы эту работу въ 12 дней. Во сколько дней каждый работникъ, работая отдѣльно, можетъ выполнить эту работу?

726. Имѣется 3 сплава изъ золота, серебра и мѣди. Въ первомъ сплавѣ эти металлы находятся въ отношеніи 1:2:1, во второмъ въ отношеніи 2:3:1 и въ третьемъ въ отношеніи 1:1:4. По сколько золотниковъ надо взять изъ каждаго сплава, чтобы составить новый сплавъ, содержащій 6 золотниковъ золота, 9 зол. серебра и 7 зол. мѣди?

727. Мастеръ имѣетъ серебро трехъ сортовъ: 90-й, 80-й и 72-й пробы —всего 30 фунтовъ. Если сплавить первый кусокъ со вторымъ, то получится серебро 84-й пробы, если сплавить первый съ третьимъ, то составится серебро 78-й пробы. Сколько вѣситъ каждый кусокъ?

728. Въ трехъ сосудахъ вмѣстѣ 48 ведеръ воды. Сначала изъ перваго переливаютъ въ два другіе столько, сколько въ каждомъ изъ нихъ было, потомъ изъ второго переливаютъ въ два другіе столько, сколько въ каждомъ изъ нихъ было и, наконецъ, изъ третьяго переливаютъ въ два другіе столько, сколько въ каждомъ изъ нихъ было. Послѣ этого во всѣхъ сосудахъ оказалось воды поровну. Сколько воды было въ каждомъ сосудѣ первоначально?

729. Найти два числа такъ, что если большее раздѣлить на меньшее, то въ частномъ получится m и въ остаткѣ и, а если меньшее раздѣлить на разность этихъ чиселъ, то въ частномъ получится р и въ остаткѣ q.

730. Два работника получили вмѣстѣ s рублей, при чемъ первый работалъ а дней, а второй Ъ дней. Найти поденную плату каждаго, если отношеніе поденной платы 1-го къ поденной платѣ 2-го равняется —

731. Купили нѣкотораго товара ; если бы пудъ его стоилъ а рублями дешевле, то на тѣ же деньги можно было бы купитъ на т пудовъ больше, а если бы пудъ стоилъ Ъ рублями дороже, то на тѣ же деньги купили бы на п пудовъ меньше. Сколько пудовъ купили этого товару и сколько стоитъ каждый пудъ?

732. Смѣшано а фунтовъ чаю одного сорта съ Ъ фунтами чая другого сорта, и получилась смѣсь, цѣною по т руб. за фунтъ. Если бы смѣшали Ъ фунтовъ чаю перваго сорта и а фунтовъ второго, то цѣна фунта смѣси оказалась бы равна п рублей. Найти цѣну каждаго сорта.

733. Смѣшали чай двухъ сортовъ, цѣною по а и по Ъ руб. за фунтъ; смѣсь вышла по с рублей за фунтъ. Если бы взяли каждаго сорта однимъ фунтомъ больше, то смѣсь вышла бы цѣною по d руб. за фунтъ. Сколько чая каждаго сорта взяли для этой смѣси?

734. Сосудъ, наполненный водою, имѣетъ два крана. Если открыть оба крана на а часовъ и затѣмъ второй кранъ закрыть, то понадобится еще Ъ часовъ, чтобы сосудъ опорожнился чрезъ первый крапъ; но если бы по прошествіи а часовъ вмѣсто второго крана закрыли бы первый, то понадобилось бы еще с часовъ, чтобы сосудъ опорожнился чрезъ второй кранъ. Во сколько времени можетъ вылиться вся вода изъ сосуда черезъ каждый кранъ отдѣльно?

735. Найти три числа такъ, чтобы отъ дѣленія суммы перваго и второго на третье получилось бы въ частномъ т и въ остаткѣ п, отъ дѣленія же суммы второго и третьяго на первое получилось бы въ частномъ р и въ остаткѣ q и отъ дѣленія суммы перваго и третьяго на второе получилось бы въ частномъ г и въ остакѣ s.

736. Три слитка серебра пробъ т, п п р вѣсятъ а фунтовъ. Если сплавить первый слитокъ со вторымъ, то получится серебро пробы g, а если сплавить второй и третій слитки, то получится серебро пробы г. Найти вѣсъ каждаго слитка.

737. Два тѣла движутся по прямой линіи изъ точекъ А и В. Опредѣлить разстояніе AB и скорости движущихся тѣлъ по слѣдующимъ даннымъ: 1) если оба тѣла начнутъ двигаться одновременно навстрѣчу другъ другу, то они встрѣтятся черезъ а секундъ; 2) если тѣло съ меньшей скоростью начнетъ двигаться t секундами раньше другого, то они встрѣтятся черезъ Ъ секундъ послѣ начала движенія второго тѣла; 3) если оба тѣла начнутъ двигаться въ одномъ и томъ же направленіи одновременно, то черезъ с секундъ разстояніе между ними уменьшится на d дюймовъ.

738. Для выполненія нѣкоторой работы наняты три работника: 1-й и 2-й работники вмѣстѣ могутъ окончить эту работу въ а дней, 2-й и 3-й вмѣстѣ—въ Ъ дней и 1-й и 3-й вмѣстѣ въ с дней. Во сколько дней каждый работникъ, безъ помощи другихъ можетъ окончить эту работу?

ОТВѢТЫ

687. х=2; у=4; z=3; Z=5; u=3. 688. 42 двугрив. и 44 пятиалт.

689. 6 руб. и 5 руб. 50 коп. 690. 6 фун. чаю и 10 фун. сахару. 691. 25 и 15 руб. 692. 1 руб. 60 коп. и 16 коп. 693.

694. g 695. 63. 696. 36. 697. 72. 698. 350 и 200 руб.

699. Одежда ст. 20 руб.; сапоги—12 руб. 700. 99. 701. 54 и 19.

702. 10 лош. на 80 дней. 703. По 12 верстъ; въ 5 часовъ.

704. 30 арш. по 4 руб. 705, 24 и 40 дней. 706. 20 и 30дней. 707. 20 и 60 часовъ. 708. 24 раб.; 14 дней. 709. 45 и 50 верстъ. 710. 4 и 5 верстъ. 711. 650 бут. 550 руб. 712. 90 руб. 300 бил. 713. 8 и 12 метр. 714. 5 и 11 вед. 715. 5; 7 и 9.

716. 40; 30 и 50 руб. 717. 21; 24 и 27 руб. 718. 5^; 6 и 6*-719. Стулъ 15 руб.; кресло 25 руб.; диванъ 70 руб. 720. 5 руб. 50к.; 4 руб. 50 коп. и 3 руб. 721. 10; 9 и 8руб. 722.381. 723.347.

724. 10; 15; 30 часовъ. 725. 20; 30; и 60 дней. 726. 4; 12 и 6 золот. 727. б| фун.; 10 фун.; 13| фун. 728. 26, 14 и 8 вед.