Н. А. Извольскій.

КОМБИНАЦІОННАЯ РАБОТА.

СБОРНИКЪ УПРАЖНЕНІЙ ПО АРИѲМЕТИКѢ.

СКЛАДЪ ИЗДАНІЯ У АВТОРА:

Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9.

МОСКВА.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Воздвиженка, Крестовоздв. пер.; д . 9.

1916.

Цѣна 25 коп.

Н. А. Извольскій.

КОМБИНАЦІОННАЯ РАБОТА.

СБОРНИКЪ УПРАЖНЕНІЙ ПО АРИѲМЕТИКѢ.

СКЛАДЪ ИЗДАНІЯ У АВТОРА:

Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9.

МОСКВА.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко. Воздвиженка, Крестовоздв. пер., д. 9.

1916.

Цѣна 25 коп.

ПРЕДИСЛОВІЕ.

Мнѣ уже неоднократно приходилось указывать на важность пріученія учащихся, даже съ первыхъ шаговъ обученія, къ той работѣ, которую можно назвать именемъ «комбинаціонная работа»1). Согласно воззрѣніямъ А. Пуанкаре2) возможно такъ охарактеризовать развитіе каждой науки, а въ томъ числѣ и ариѳметики. Каждая наука отбираетъ въ свое вѣдѣніе рядъ фактовъ, составляющихъ тотъ матеріалъ, надъ которымъ эта наука работаетъ (ариѳметика беретъ въ свое вѣдѣніе числа). Этотъ матеріалъ прежде всего подлежитъ классификаціи, при чемъ на первый планъ выдвигается наше стремленіе выдѣлить тѣ элементы изъ всего матеріала, которые почему-либо намъ представляются простѣйшими (въ ариѳметикѣ классификація не имѣетъ существеннаго значенія, такъ какъ мы первоначально владѣемъ лишь цѣлыми числами и ихъ классифицировать возможно лишь впослѣдствіи на основаніи болѣе сложныхъ признаковъ). Затѣмъ начинается «комбинаціонная работа». Мы разсматриваемъ, изучаемъ различныя комбинаціи изъ того матеріала, надъ которымъ данная наука работаетъ. Иногда эти комбинаціи намъ даются уже въ готовомъ видѣ, иногда мы ихъ строимъ сами, при чемъ сначала идемъ какъ бы ощупью, начиная съ самыхъ простыхъ комбинацій, затѣмъ появляются опредѣленныя цѣли, опредѣленныя руководящія мысли — комбинаціи усложняются, мы изучаемъ ихъ особенности, изучаемъ тѣ вопросы, которые возникаютъ при осуществленіи этихъ комбинацій и, если подмѣтимъ что-либо особенное, поражающее наше

1) Вотъ перечень соотвѣтствующихъ статей: 1. Цѣль обученія ариѳметикѣ, «Вѣстн. Опыт. Физ. и элемен. мат.», 1913 г. № 593. 2. Комбинаціонная работа, какъ основа преподаванія математики. Сборникъ докладовъ II Всерос. Съѣзда преподав. матем. 3. Мой взглядъ на предметъ геометріи. «Мат. Вѣст.» 1914 г. № 4 (см. также предисловіе къ моей «Геометріи на плоскости»), и др.

2) Г. Пуанкаре, Наука и Методъ.

вниманіе, мы запечатлѣваемъ эту особенность въ словесной формѣ. И эта «комбинаціонная работа» имѣетъ мѣсто вездѣ: и въ наукѣ и въ искусствѣ и въ практической жизни. Каждое музыкальное произведеніе, напримѣръ, представляетъ собою развитіе нѣкоторой комбинаціи музыкальныхъ тоновъ, почему-либо обратившей на себя вниманіе композитора; въ практической жизни, въ техникѣ мы на каждомъ шагу встрѣчаемся съ «комбинаціонною работою»: она требуется и при веденіи хозяйства, результатомъ ея явились и водопроводъ и телефонъ, и проч. и проч. Эта «комбинаціонная работа» является первымъ шагомъ проявленія стремленія къ творчеству человѣка. И если мы признаемъ, что главною заботою дѣла обученія является развитіе творческихъ задатковъ человѣка (въ какой области — безразлично, ибо творчество вездѣ начинается съ построенія ряда комбинацій), то мы должны и при обученіи ариѳметикѣ, даже въ начальной школѣ, выдвинуть на видное мѣсто пріученіе дѣтей къ «комбинаціонной работѣ».

Настоящій «Сборникъ» дѣлаетъ попытку притти на помощь тѣмъ изъ гг. учащихъ, кто раздѣлитъ соображенія, выше высказанныя мною, и кто захочетъ обратить вниманіе на указанную сторону дѣла обученія ариѳметикѣ.

Настоящій «Сборникъ» можетъ быть использованъ на практикѣ, какъ дополнительное пособіе къ обычному задачнику. Упражненія, здѣсь предлагаемыя, могутъ быть раздѣлены на нѣсколько категорій.

I. №№ 4, 5, 7, 8, 28, 29, 49, 54 — здѣсь указано уже направленіе, въ которомъ учащіеся должны строить рядъ комбинацій.

II. №№ 6, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 39, 40, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 55, — здѣсь намѣчена лишь цѣль, къ которой должно стремиться при осуществленіи дальнѣйшихъ комбинацій; пожалуй, въ эту же категорію можно отнести упражненія, гдѣ имѣютъ мѣсто комбинаціи съ одною или двумя парами скобокъ (№№ 22, 23, 24 и 25).

III. №№ 1, 2, 3, 9, 18, 19, 32, 33, 56, 57, 58, —здѣсь требуется комбинировать съ цѣлью упрощенія вычисленій.

IV. №№ 24, 26, 30, 31, 34, 35, 36, 37, 38, 69, 70, 71, 72, 73, 74, — здѣсь учащіеся пріучаются къ составленію задачъ и къ выясненію замысла задачъ.

V. №№ 14, 15, 16, 17, 27, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67 и 68, — здѣсь даны упражненія и задачи,

приводящія къ извѣстному выводу. Болѣе серьезныя упражненія, приводящія также къ опредѣленнымъ выводамъ, отнесены въ особый отдѣлъ (отд. IV «Болѣе серьезныя упражненія», №№ 75—86), при чемъ здѣсь для болѣе взрослыхъ учащихся можно ввести уже буквенныя обозначенія.

Конечно, такая классификація лишь примѣрная и сдѣлана лишь для того, чтобы помочь гг. учащимъ въ ихъ классной работѣ, если они станутъ прорабатывать съ учащимися указанныя упражненія. Такъ же точно я вовсе не имѣю въ виду, что предлагаемыя здѣсь упражненія будутъ разрабатываться именно въ томъ порядкѣ, въ какомъ они даны въ «Сборникѣ». Нѣтъ, я полагаю, что гг. учащіе выберутъ лишь тѣ упражненія, какія по ихъ мнѣнію подходятъ къ уровню развитія учащихся и будутъ предлагать каждое изъ избранныхъ упражненій въ тотъ моментъ обученія, какой по ихъ убѣжденію является наиболѣе подходящимъ для этого.

Я раздѣлилъ всѣ упражненія на 3 отдѣла: къ I отнесены тѣ упражненія, которыя, по моему мнѣнію, могутъ быть предлагаемы во время прохожденія ариѳметики первой сотни, т.- е. или во второмъ отдѣленіи начальной школы или даже въ концѣ перваго года обученія; ко II отдѣлу отнесены упражненія, которыя, по моему мнѣнію, могутъ предлагаться учащимся или во время прохожденія ариѳметики всѣхъ цѣлыхъ чиселъ или послѣ него, т.-е. въ третьемъ и въ четвертомъ отдѣленіяхъ начальной школы; къ III отдѣлу отнесены упражненія надъ дробными числами, нѣкоторыя изъ нихъ могутъ быть введены въ дѣло въ четвертомъ отдѣленіи начальной школы, но большинство изъ нихъ можетъ быть использовано лишь въ двухклассномъ училищѣ; къ IV отдѣлу отнесены болѣе серьезныя упражненія, которыя во всей полнотѣ могутъ быть проработаны лишь тѣми учащимися, которыя знакомы съ алгеброю; возможно ли ихъ въ какой-либо формѣ ввести въ дѣло и въ начальной школѣ — остается открытымъ вопросомъ, который каждый изъ гг. учащихъ можетъ рѣшить по своему. Думается, что «Сборникъ» можетъ сослужить службу и въ средней школѣ, что возможно составить еще много и много упражненій въ тѣхъ направленіяхъ, какія намѣчены въ этомъ «Сборникѣ», и думаю, что гг. учащіе не затруднятся это сдѣлать, если въ томъ встрѣтится надобность.

Быть можетъ даже, что у тѣхъ лицъ, которыя захотятъ работать въ направленіи развитія «комбинаціонной работы», возникнутъ со-

обряженія, позволяющія развить эту работу въ иныхъ направленіяхъ, и тогда появятся въ печати новые «Сборники», болѣе полно, чѣмъ это сдѣлалъ я, развивающіе идею «комбинаціонной работы». Считаю долгомъ указать, что мысль упражненій №№ 59—64 заимствована изъ статьи Е. Томашевича «Ариѳметическіе парадоксы». («Мат. Вѣсти.» № 2 за 1915 г.), а мысль упражненій за № 83 заимствована изъ статьи А. Виттинга «Между дѣломъ и шуткой въ области чиселъ» «Вѣст. Опыт. Физ. и Элем. Мат.» за 1911 г. № 540).

Въ школѣ постоянно упражняютъ дѣтей въ вычисленіяхъ ряда примѣровъ, въ рѣшеніи ряда задачъ, и на это затрачивается много времени. Возникаетъ мысль: почему же не привлечь учащихся и къ составленію такихъ примѣровъ на вычисленіе и къ составленію задачъ. Въ педагогической литературѣ на желательность послѣдняго (т.-е. составленіе задалъ) неоднократно указывалось; необходимо также указать и на желательность составленія примѣровъ. Но необходимо, чтобы это составленіе примѣровъ и задачъ направлялось какою-либо руководящею мыслью, какою-либо опредѣленною цѣлью,— эта идея и проводится мною въ настоящемъ «Сборникѣ».

Я позволю себѣ, въ заключеніе, выразить свое глубокое убѣжденіе въ томъ, что методы обученія ариѳметикѣ должны быть реформированы, и главною цѣлью этой реформы должно быть стремленіе развивать тѣ зачатки творчества, какіе имѣются въ каждомъ ребенкѣ. Эта цѣль особенно является настоятельною для насъ въ тотъ моментъ, когда я пишу эти строки, и, думается, единственный путь для достиженія этой цѣли идетъ черезъ комбинаціонную работу учащихся.

Н. Извольскій.

10 августа 1915 г.

I. Числа 1—100.

Какъ можно найти вторую сумму, если первая уже узнана, не выполняя сложенія?

Какъ можно найти вторую сумму, если первая уже узнана, не выполняя сложенія?

3. Составить самимъ упражненія, подобныя двумъ предыдущимъ.

4. 1х4=; 3x5=;— Составлять такіе же примѣры дальше до тѣхъ поръ, пока въ отвѣтѣ будетъ получаться число, меньшее 100. Обратить вниманіе на порядокъ составленія примѣровъ: при переходѣ отъ 1-го примѣра ко второму первый множитель увеличился на 2 единицы (былъ 1, сталъ 3), а второй на 1 единицу (былъ 4, сталъ 5); слѣдуетъ и дальнѣйшіе примѣры составлять въ томъ же порядкѣ. Выдѣлить какъ-либо (напр. подчеркиваніемъ) тѣ примѣры, которые по вашему мнѣнію достойны почему-либо особаго вниманія.

5. 80—4x5= (Порядокъ дѣйствій: сначала надо выполнить умноженіе, а затѣмъ вычитаніе1).) 80 — 5x6= ••• Вычислить

1) Общепринято: если рядомъ стоятъ дѣйствія сложеніе и умноженіе, или вычитаніе и умноженіе, или сложеніе и дѣленіе, или вычитаніе и дѣленіе, и если не написаны скобки, указывающія иной порядокъ дѣйствій, то сначала слѣдуетъ выполнить умноженіе или дѣленіе, а затѣмъ уже сложеніе или вычитаніе (срав. въ алгебрѣ: а-^bс} а-bс\ а+b : с, а-Ъ:с или а4—, а-_і.

эти примѣры и продолжить самимъ рядъ такихъ примѣровъ, имѣя въ виду, что при переходѣ отъ 1-го ко 2-му примѣру каждый изъ множителей увеличился на 1 (множители были 4 и 5, а стали 5 и 6), — этотъ переходъ сохранить и для дальнѣйшихъ примѣровъ; продолжить примѣры возможно лишь до опредѣленнаго момента. Каковъ послѣдній изъ возможныхъ примѣровъ?

6. 48—4x5= ; 48—5x6= ; здѣсь составлены два примѣра въ томъ порядкѣ, какой указанъ въ предыдущей задачѣ. Возникаетъ мысль: нельзя ли во второмъ примѣрѣ измѣнить и первое число (48) такъ, чтобы отвѣтъ получился такой же, какъ въ первомъ примѣрѣ? Сдѣлайте это. Продолжите составленіе подобныхъ примѣровъ до тѣхъ поръ, пока не понадобятся числа, большія сотни.

7. Вычислите слѣдующіе два примѣра:

44-14 + 24+34= 4+15+26+37=

Въ каждомъ примѣрѣ складывается по 4 числа, при чемъ первое число въ обоихъ примѣрахъ одно и то же (4). Разберите, въ какой послѣдовательности идутъ числа въ первомъ примѣрѣ (идутъ «все на 10 больше»), въ какой послѣдовательности идутъ числа во второмъ примѣрѣ (идутъ «все на 11 больше»). Продолжите сами составленіе такихъ примѣровъ: въ каждомъ примѣрѣ должно складываться по 4 числа, первое число въ каждомъ примѣрѣ должно быть также 4, но слѣдующія числа должны итти сначала «все на 12 больше», а потомъ? Окончите составленіе такихъ примѣровъ тогда, когда въ отвѣтѣ получится ровно 100.

8. Составляйте примѣры, подобные тѣмъ, какіе были въ предыдущей задачѣ, начиная съ числа 7 (первый примѣръ: 7 + 17+27+37=?), а затѣмъ, начиная съ другихъ однознач

ныхъ чиселъ. Съ какихъ чиселъ надо начинать составлять такіе примѣры, чтобы дойти до примѣра, гдѣ бы отвѣтъ былъ ровно 100?

9. Напишите первый примѣръ изъ задачи № 7 и напишите его отвѣтъ; затѣмъ напишите всѣ слѣдующіе примѣры (изъ № 7), но безъ отвѣтовъ. Сравните каждое число второго примѣра съ соотвѣтствующимъ числомъ перваго (первое слагаемое съ первымъ, второе со вторымъ и т. д.). Сообразите на основаніи этого, долженъ ли во второмъ примѣрѣ получиться такой же отвѣтъ, какъ въ первомъ, или иной? и, если иной, то больше ли или меньше? и на сколько? Также выясните тѣ же вопросы объ отвѣтѣ третьяго примѣра и т. д.

10. 14x5 — 68=—; въ отвѣтѣ получается однозначное число. Оставляя неизмѣннымъ вычитаемое 68 и замѣняя первыя два числа 14 и 5 (множители), составить еще нѣсколько примѣровъ, подобныхъ данному, чтобы въ отвѣтѣ получалось также однозначное число. Не обращаютъ ли на себя особое вниманіе какіе-либо изъ этихъ примѣровъ?

11. Купили 3 одинаковыхъ бѣлыхъ хлѣба и въ уплату дали рубль; лавочникъ далъ сдачи 25 коп. Сколько стоитъ каждый хлѣбъ?

Хорошо ли составлена эта задача? Исправьте ее, измѣняя или число купленныхъ хлѣбовъ или полученную съ рубля сдачу, такъ, чтобы цѣна каждаго бѣлаго хлѣба вышла такою, какой она обыкновенно бываетъ.

12. Для комнаты купили стулья двухъ сортовъ по 2 руб. и по 3 рубля за каждый, при чемъ каждаго сорта купили стульевъ поровну. За всю покупку заплатили 75 руб. Сколько стульевъ поставили въ эту комнату?

Часто ли встрѣчаются дома, въ которыхъ были бы такія большія комнаты? Передѣлайте эту задачу, измѣняя сумму, заплаченную за всѣ стулья, такъ, чтобы задача подходила къ обыкновеннымъ комнатамъ.

13. Крестьянинъ купилъ въ городѣ четверть фунта чаю за 40 коп. и 3 фунта сахару и за всю покупку заплатилъ 55 коп. Сколько стоитъ фунтъ сахару?

Бываетъ ли такой дешевый сахаръ. Исправьте задачу такъ, чтобы цѣна сахара вышла такою, какою она обычно бываетъ (для этого измѣните въ задачѣ сумму денегъ, заплаченную за всю покупку).

14. На скотномъ дворѣ собрали 12 штофовъ молока и розлили его въ 3 бутыли: въ первую вошла половина всего молока, во вторую — третья часть всего, а въ третью — остальное молоко. Во сколько разъ самая большая бутыль больше самой маленькой?

Измѣните въ этой задачѣ число 12 штоф.; возьмите, напр., не 12 штоф., а 18 штоф.; какой тогда получится отвѣтъ задачи?— Сравните его съ прежнимъ. Возьмите еще не 12 штофовъ, а число, напр., въ 3 раза большее — 36 штофовъ. Какой тогда получится отвѣтъ задачи? — Сравните его съ прежними. Гдѣ найти объясненіе того, что отвѣтъ не мѣняется?

15. Какъ рѣшить такую задачу? На скотномъ дворѣ собрали молоко и розлили его въ 3 бутыли, при чемъ въ первую бутыль вошла половина всего собраннаго молока, во вторую — третья часть всего, а въ третью — остальное молоко. Во сколько разъ самая большая бутыль больше самой малой?

16. Рѣшите еще задачу: На нѣкоторую сумму денегъ купили 4 книги: 2 одинаковыхъ задачника, книжку съ картинками и азбуку; за каждый задачникъ заплатили третью часть всѣхъ денегъ, за книжку съ картинками — четверть всѣхъ денегъ, а за азбуку остальныя деньги; во сколько разъ задачникъ дороже азбуки?

17. Напишите какое-нибудь двузначное число, лучше безъ нуля и чтобы въ немъ не повторялись цифры; переставьте

въ немъ цифры и вычтите изъ большаго меньшее. Сдѣлайте такихъ примѣровъ побольше и выясните, нельзя ли заранѣе, какъ только вы написали первое число, сказать, какая будетъ разность.

II. Любыя цѣлыя числа.

18. Какъ проще выполнить сложеніе въ слѣдующихъ примѣрахъ: 1) 56 + 27+33+4; 2) 43+28 + 7 + 52; 3) 201 + +147 + 53+99; 4) 523 + 348 + 177+152.

19. Надо выполнить умноженіе 823x743; умноженіе уже начато:

Какъ его продолжить, не умножая прямымъ пріемомъ числа 823 на 7?

Придумать подобные примѣры на умноженіе самимъ.

20. Вычислить 74 X (126x3—371).

Замѣтьте, что этотъ примѣръ составленъ такъ, что въ скобкахъ получается однозначное число; вотъ еще такой же примѣръ: 89 X (109 X 4—432).

Составьте сами нѣсколько подобныхъ примѣровъ.

21. Составьте примѣры, подобные слѣдующему:

147 X (520—86X6).

Здѣсь внутри скобокъ два дѣйствія: вычитаніе и умноженіе; какъ уже было выяснено въ № 5, сначала надо выполнить умноженіе, а уже потомъ вычитаніе, послѣ чего въ скобкахъ получится однозначное число.

Въ тѣхъ примѣрахъ, которые требуется составить, надо, чтобы внутри скобокъ также получалось однозначное число.

22. 5X24+18X3.

Вычислите этотъ примѣръ; помните, что сначала надо выполнить оба умноженія, а потомъ уже сложеніе. Напишите этотъ же примѣръ еще разъ, но поставьте въ немъ скобки передъ первымъ числомъ (5) и послѣ третьяго (18); вычислите полученный примѣръ. Почему отвѣтъ получился иной, чѣмъ раньше? Напишите еще разъ тотъ же примѣръ: 5x24+18x3 и подумайте, какъ можно еще по новому поставить въ немъ пару скобокъ, чтобы опять получить новый отвѣтъ?

23. Составьте подобные же примѣры изъ чиселъ 5, 6, 7 и 8.

24. Вычислите 60:10+20:2.

Составьте изъ этого примѣра другіе, подобно тому, какъ въ № 22, пользуясь парою скобокъ.

Когда придете къ примѣру 60 : (10+20) : 2, то здѣсь можетъ возникнуть сомнѣніе, какое изъ двухъ дѣленій выполнить впередъ (установившихся правилъ для этого нѣтъ); поэтому, чтобы избѣжать этихъ сомнѣній, придется здѣсь поставить еще одну пару скобокъ, большихъ, — это можно сдѣлать двумя способами. Какъ?

25. Составьте подобные же примѣры, начиная съ 1) 96 :8— —4:2 и 2) 480000: 500—200:10.

26. Составьте 4 задачи такъ, чтобы онѣ рѣшались тѣми же дѣйствіями (и въ томъ же порядкѣ), какія имѣются въ 4 примѣрахъ № 22.

Вотъ, напр., задача, составленная такъ, чтобы она подходила ко 2 примѣру, т.-е. (5х24+18)хЗ. Три брата разсадили, каждый на своемъ участкѣ, деревья: каждый братъ посадилъ 24 ряда яблонь, по 5 яблонь въ каждомъ, да еще ка

ждый посадилъ 18 грушъ. Сколько всего деревьевъ посадили 3 брата?

27. Вычислите 15873x7. На какое число надо умножить 15873, чтобы въ произведеніи получить число, которое пишется при помощи лишь цифры 4?

28. 16X10=; 19X12=;...

Вычислите эти примѣры. Продолжите этомъ рядъ примѣровъ (обратите вниманіе на то, какъ измѣнились множители при переходѣ отъ 1-го примѣра ко второму) въ томъ же порядкѣ до тѣхъ поръ, пока произведеніе будетъ получаться меньше 1000. Отмѣтьте тѣ изъ нихъ, которые почему-либо обратятъ на себя ваше вниманіе.

291). 700-13x10=; 700—14x11 = ; 700—16x13 = .

Обратите вниманіе на то, какъ составлены эти примѣры: первое число (уменьшаемое) остается неизмѣннымъ, а второе и третье числа (множители вычитаемаго) измѣняются: при переходѣ отъ перваго примѣра ко второму каждый множитель увеличился на единицу, при переходѣ отъ второго къ третьему каждый множитель увеличился на 2; продолжите этотъ рядъ примѣровъ въ томъ же направленіи до тѣхъ поръ, пока возможно выполнять вычитаніе.

30. У купца было 700 руб. денегъ; онъ купилъ 11 пудовъ товару по 14 руб. за пудъ. Сколько денегъ у него осталось?

Эта задача составлена примѣнительно къ одному изъ примѣровъ № 29. Составьте сами задачи, подходящія къ другимъ примѣрамъ № 29.

31. Поставьте въ какомъ-либо примѣрѣ № 29 одну пару скобокъ такъ, чтобы измѣнился порядокъ дѣйствій. Составьте задачу примѣнительно къ этому новому примѣру.

1) Срав. № 5.

Узнайте первую сумму непосредственно. Какъ, при ея помощи, проще узнать вторую сумму? Какъ при помощи второй суммы узнать третью?

Какъ можно было бы узнать третью сумму при помощи первой?

33. Составьте сами примѣры на сложеніе подобные тѣмъ, какіе даны въ предыдущемъ №.

34. Ученикъ спросилъ учителя, сколько ему лѣтъ. Учитель отвѣтилъ: «если я проживу еще половину того, что уже прожилъ, да еще 1 годъ, то мнѣ будетъ ровно 70 лѣтъ; узнай, сколько же мнѣ теперь лѣтъ?»

Въ другой разъ, въ тотъ же день, тотъ же учитель сказалъ такъ: «если я проживу еще столько же, сколько я уже прожилъ, да еще 8 лѣтъ, то мнѣ будетъ ровно 100 лѣтъ; сколько мнѣ лѣтъ теперь?»

Учитель оба раза отвѣтилъ на вопросъ — замысловато. Не сможете ли и вы, каждый для себя, какъ-либо замысловато сказать, сколько лѣтъ каждому изъ васъ. Можно это сдѣлать по разному: чѣмъ интереснѣе будетъ замыселъ вашего отвѣта, тѣмъ лучше.

35. Въ комнатѣ было 9 человѣкъ; спустя нѣкоторое время 5 изъ нихъ ушло. Тогда кто-то изъ присутствующихъ сказалъ: «насъ осталось третья часть того, что было, да еще одинъ человѣкъ». Правъ ли онъ?

Въ классѣ числилось 36 учениковъ; въ одинъ день въ классъ не пришло 11 учениковъ. Не придумаете ли, какъ бы можно было сказать въ замысловатой формѣ о числѣ учениковъ, не пришедшихъ въ классъ?

Сколько учениковъ въ нашемъ классѣ (или въ отдѣленіи)? Сколько сегодня отсутствуетъ? Нельзя ли какъ-нибудь въ замысловатой формѣ дать отвѣтъ о числѣ отсутствующихъ?

36. Крестьянинъ купилъ въ городѣ 3 фунта сахару по 15 коп. за фунтъ и фунтъ чаю, при чемъ за чай онъ заплатилъ въ 4 раза дороже, чѣмъ за весь купленный сахаръ. Сколько денегъ онъ заплатилъ за всю покупку?

Въ этой задачѣ не сказано прямо, сколько стоитъ фунтъ чаю, а дана эта цѣна въ замысловатой формѣ. Не знаете ли, за сколько рублей можно въ пашей мѣстности купить порядочную лошадь? Не знаете ли, за сколько рублей можно купить корову? Составьте задачу, гдѣ бы говорилось о покупкѣ и лошади и коровы и спрашивалось, сколько за нихъ обѣихъ заплатили, но цѣну одного изъ этихъ животныхъ скажите прямо, а о цѣнѣ другого скажите какъ-либо замысловато, такъ, чтобы ее, подумавъ, можно было узнать.

37. Крестьянинъ собралъ съ поля 66 копенъ ржи, а овса собралъ на 2 копны больше половины собранной ржи. Сколько всего копенъ собралъ этотъ крестьянинъ со своего поля?

Укажите, гдѣ замыселъ этой задачи.

Поищите въ своемъ задачникѣ задачи, гдѣ какое-нибудь число дано не сразу, а замысловато. Укажите для такихъ задачъ, въ чемъ именно состоитъ ихъ замыселъ.

38. У хозяина было подъ рожью 8 десятинъ и подъ овсомъ 6 десятинъ. Съ каждой десятины ржи онъ собралъ по 15 копенъ, а всего и ржи и овса собралъ 228 копенъ. По сколько копенъ было на каждой десятинѣ овса?

Обычно, если у хозяина спросятъ, по скольку копенъ овса у него вышло на десятинѣ (въ среднемъ), то онъ, если не захочетъ, вовсе не отвѣтитъ или, если захочетъ, скажетъ прямо «по 11 копенъ» или «по 20 копенъ» и т. п. Предыдущая задача даетъ отвѣтъ на тотъ же вопросъ, но даетъ его не сразу, въ замысловатомъ видѣ.

Поищите въ своемъ задачникѣ еще такія задачи, въ которыхъ имѣется очень простой вопросъ, но для отвѣта на него приходится, какъ и въ нашей задачѣ, рѣшить задачу.

39. Помѣщикъ продалъ 15 десятинъ земли. Полученныя деньги онъ истратилъ: заплатилъ 500 рублей долга, купилъ за 150 руб. пролетку, купилъ двухъ лошадей по 100 руб. за каждую и у него еще осталось 50 рублей. По сколько рублей продавалъ помѣщикъ каждую десятину?

Рѣшите эту задачу. Не знаете ли, въ вашей мѣстности такая ли стоитъ цѣна на землю или нѣтъ? Если нѣтъ, то измѣните эту задачу такъ, чтобы цѣна земли оказалась подходящею къ вашей мѣстности (для этого можно измѣнить или число десятинъ земли, или деньги, оставшіяся у помѣщика, или даже стоимость пролетки и лошадей).

40. Изъ двухъ деревень, разстояніе между которыми ровно 65 верстъ, вышли одновременно два пѣшехода, которые встрѣтились черезъ 5 часовъ послѣ ихъ выхода. Первый пѣшеходъ проходилъ въ часъ по 5 верстъ; сколько верстъ въ часъ проходилъ второй?

Хорошо ли составлена эта задача? Если нѣтъ, то измѣните ее такъ, чтобы она лучше подходила къ дѣйствительности.

41. Бассейнъ вмѣщаетъ 180 ведеръ воды. Черезъ первую трубу онъ можетъ наполниться въ 10 часовъ, а черезъ вторую— въ 15 часовъ. Во сколько времени наполнится этомъ бассейнъ, если открыть обѣ трубы?

Рѣшите эту задачу. Затѣмъ измѣните нѣсколько ее, — вмѣсто 180 ведеръ возьмите другое число, напр. 240 ведеръ и опять рѣшите. Не странно ли, что отвѣтъ получился тотъ же самый, несмотря на то, что теперь бассейнъ сталъ больше? Какъ объяснить, что отвѣтъ получился тотъ же самый?

Увеличьте вмѣстимость бассейна еще больше, напр. въ 5 разъ (вмѣсто 180 ведеръ возьмите 900 ведеръ) и разсмотрите по

лучше рѣшеніе этой задачи, сравнивая это рѣшеніе съ рѣшеніемъ первой задачи; тогда станетъ понятно, почему отвѣтъ получается одинъ и тотъ же.

Можно ли было бы рѣшить эту задачу, если бы вмѣстимость бассейна не была вовсе дана?

42. Рѣшите слѣдующую задачу: Черезъ первую трубу бассейнъ можетъ наполниться въ 30 часовъ, а черезъ другую — въ 70 часовъ. Во сколько времени наполнится этотъ бассейнъ, если открыть обѣ трубы?

43. Хозяинъ сдѣлалъ запасъ сѣна. Если этимъ сѣномъ кормить лошадь, то ей его хватитъ на 21 день, а если имъ кормить корову, то ей хватитъ на 28 дней. На сколько дней хватитъ этого запаса сѣна, если кормить и лошадь и корову?

44. Вмѣсто того, чтобы говорить «умножимъ 7 на 7 (или 23 на 23 и т. п.)», говорятъ «возведемъ 7 въ квадратъ» (или «возведемъ 23 въ квадратъ») и вмѣсто 7x7 пишутъ 72 (вмѣсто 23 X 23 пишутъ 232 и т. д.). Что значитъ: 62; 102; 112; 352; 242; и т. д.? Вычислите эти «квадраты чиселъ». Выполните еще рядъ подобныхъ примѣровъ (напр. 1132, 2072, 10192 и т. п.); изъ этихъ примѣровъ выведите заключеніе: па какія цифры можетъ оканчиваться квадратъ числа и на какія не можетъ?

45. Вмѣсто того, чтобы умножить 51 па 49 можно 50 возвести въ квадратъ и изъ полученнаго числа вычесть единицу, т.-е. 49х51 = 502—1. Провѣрьте это. Также: 29х31 = 302—1 и т. д.

И это понятно: надо намъ 29 взять слагаемымъ 31 разъ, а мы возьмемъ сначала 30 разъ, да затѣмъ еще одинъ разъ, т.-е. 29x30+29, но вмѣсто умноженія 29 на 30 молено 30x30 да вычесть 30 и получимъ: 30 х 30 —30+29; такъ какъ вычесть 30 и прибавить 29 все равно, что вычесть единицу, то получимъ въ концѣ концовъ, что надо число 30 возвести въ квадратъ и вычесть изъ полученнаго 1.

Составьте еще примѣры, подобные предыдущимъ.

Также: 48х52 = 502—4; провѣрьте это и составьте еще подобные примѣры.

46. Напишите какое-нибудь трехзначное число (лучше такое, чтобы у него крайнія цифры были различныя); затѣмъ переставьте его цифры въ обратномъ порядкѣ и изъ большаго изъ этихъ двухъ чиселъ вычитайте меньшее. Сдѣлайте нѣсколько такихъ примѣровъ. Не подмѣтите ли вы какой-либо особенности у получаемыхъ остатковъ [1) цифра десятковъ, 2) цифры сотенъ и единицъ]?

III. Дроби.

47. Составьте нѣсколько примѣровъ, подобныхъ слѣдующему: 5^ — (Отвѣтъ — цѣлое число).

48. Составьте нѣсколько примѣровъ, подобныхъ слѣдующему: (Отвѣтъ — цѣлое число).

49. Продолжите рядъ примѣровъ.

Каковъ отвѣтъ въ каждомъ изъ нихъ?

50. Выполните два примѣра:

Въ какомъ изъ нихъ, благодаря сокращенію, получается проще отвѣтъ? Придумайте сами нѣсколько примѣровъ на умноженіе двухъ дробей такъ, чтобы произведеніемъ ихъ служила бы какая-либо несложная дробь, въ родѣ 4 и т.п.

51. Возьмемъ дробь ее можно разбить на 2 слагаемыхъ дроби такъ, чтобы знаменатель каждой изъ нихъ оказался меньше знаменателя данной дроби, т.е. Разбейте на таковыя же слагаемыя слѣдующія дроби: —; —;

52. Составьте нѣсколько примѣровъ на дѣленіе дробей и смѣшанныхъ чиселъ такъ, чтобы частное равнялось цѣлому числу (напр., или 7^:1^)-

53. Дробь 24 можно замѣнить разностью двухъ дробей g и g, знаменатели которыхъ меньше 24 (знаменателя данной дроби), т.-е. К7=5 — г=5 — 5 и т. и. Найдите другіе способы такой замѣны. Сдѣлайте то же самое для дробей ^ и ^-

54. Вычислить |+|=? |+^=?

Продолжить этотъ рядъ примѣровъ, наблюдая, чтобы получалась всякій разъ сумма, равная первому слагаемому предшествовавшаго примѣра. Обратите вниманіе на то, какъ измѣняется знаменатель второго слагаемаго.

Вычислите эти примѣры (обратите вниманіе на порядокъ дѣйствій).

Составьте сами примѣръ, подобный первому, а именно, чтобы въ немъ надо было выполнить тѣ же дѣйствія и въ

томъ же порядкѣ (но уже надъ другими числами) и чтобы въ отвѣтѣ получился нуль; изъ него составьте примѣръ, подобный второму данному.

Составьте еще 2 примѣра: 1) по той же формѣ, какъ первый изъ данныхъ примѣровъ (въ отвѣтѣ также нуль), но чтобы вмѣсто умноженія было дѣленіе и вмѣсто дѣленія— умноженіе и 2) изъ него составьте примѣръ, подобный 2-му данному.

Вычислите первую сумму; какъ тогда узнать вторую сумму, не выполняя сложенія?

Вычислите первую сумму; какъ тогда узнать вторую сумму, не выполняя сложенія?

58. Напишите сумму 6 дробей, чтобы каждая изъ нихъ была меньше х- Послѣ этого найдите еще 6 дробей, дополняющихъ каждую изъ прежнихъ до - Какъ узнать сумму послѣднихъ 6 дробей, если сумма первыхъ 6 дробей уже вычислена?

Составьте еще примѣры по мысли №№ 56—58.

591).

Какова особенность двухъ, входящихъ въ этотъ примѣръ чиселъ, I и I? Вотъ еще подобный примѣръ:

Числа з и - обладаютъ тою же особенностью, какъ и числа - и -• Не подмѣтите ли изъ этихъ примѣровъ, какъ

1) Здѣсь пишется £ и т д. вмѣсто 1^, 2^, 3- и т. д. съ цѣлью помочь учащимся увидать составъ входящихъ сюда дробей, обладающихъ свойствомъ, выясняющимся послѣ вычисленія данныхъ примѣровъ.

составлять такія дроби, чтобы и отъ умноженія ихъ и отъ сложенія получился одинъ и тотъ же результатъ (чтобы ихъ произведеніе равнялось ихъ суммѣ)?

60. Не найдете ли пару цѣлыхъ чиселъ, чтобы ихъ сумма равнялась ихъ произведенію? Сколько такихъ паръ можно найти?

Составьте нѣсколько паръ дробей (согласно № 59) такихъ, чтобы ихъ сумма равнялась ихъ произведенію. Сколько можно составить такихъ паръ дробей?

Составьте нѣсколько паръ чиселъ такихъ, чтобы сумма ихъ равнялась ихъ произведенію и чтобы одно изъ этихъ чиселъ было цѣлымъ, а другое дробнымъ.

61. Если 1 раздѣлить на какую-нибудь дробь (напр., 1 : |), то получимъ новую дробь, у которой числитель и знаменатель напр., 1: 5==; и т. д.). Такая дробь называется обратною по отношенію къ данной. Вообще, если возьмемъ какое-нибудь число, цѣлое ли, дробное ли или смѣшанное, и раздѣлимъ единицу на это число, то получимъ число, обратное взятому. Найдите числа обратныя 5, 10, 43, |, 1|, 2^, 11-

62. Найдите числа, обратныя тѣмъ парамъ чиселъ, которыя вы нашли въ № 60. Какова ихъ сумма?

63. Такъ же точно можно найти множество паръ чиселъ, чтобы ихъ разность равнялась ихъ произведенію (другими словами: отъ вычитанія получается такое же число, какъ и отъ умноженія). Особенно просто находить такія дроби съ числителями, равными единицѣ, напр., g и - и — • Найдите сами нѣсколько такихъ паръ дробей.

64. Вотъ еще пары чиселъ, разность которыхъ равна ихъ

произведенію:

Подмѣтьте, какъ составлять такія пары чиселъ и составьте нѣсколько паръ.

65. Какъ быстро найти (имѣя въ виду № 63) слѣдующую сумму:

66. Найдите также еще слѣдующую сумму:

67. Найдите, пользуясь № 64 и имѣя въ виду, что, напр., 52 значитъ 5.5, слѣдующія суммы:

68. Можно еще составлять дроби, суммы которыхъ легко находить тому, кто знаетъ, какъ онѣ получены. Тотъ же, кто этого не знаетъ, долженъ затратить много времени на нахожденіе этой суммы.

Примѣръ. Легко найти слѣдующую сумму:

потому что каждая изъ суммъ, заключенныхъ въ скобки, (поэтому вся сумма=1^ ). Перепишемъ эту сумму по другому:

1) Дроби Г э’ П и із взяты такъ, что ихъ знаменатели увеличиваются все на 2; возможно, конечно, взять эти дроби и иначе (напр.,

и выполнимъ сложеніе

внутри каждыхъ скобокъ; тогда получимъ

Мы прежде всего видимъ порядокъ, въ которомъ идутъ эти дроби одна за другою: каждый знаменатель, начиная со второго, состоитъ изъ двухъ множителей, первый изъ которыхъ въ 4 раза больше второго множителя предыдущаго знаменателя, а второй больше того же множителя предыдущаго знаменателя на 2 единицы; каждый числитель, начиная со второго, на 8 меньше одной четвертой части знаменателя (27 на 8 меньше, чѣмъ четвертая часть произведенія 20.7; 55 на 8 меньше, чѣмъ четвертая часть произведенія 28.9 и т. д.). Тотъ, кто знаетъ, какъ составлена эта сумма, сразу скажетъ чему она равна (1^) и сумѣетъ это объяснить. Такъ же точно, теперь легко найти сумму:

Объясните это.

Составьте также сами сумму дробей, подобно предыдущему, взявъ въ основу число | (а не Начать можно, напр., съ дроби g-

Возможно составить подобныя же суммы, взявъ въ основу дробь I или I и т. д. ( вмѣсто | или і).

69. Хозяинъ засадилъ садъ: онъ посадилъ 66 яблонь, 33 груши и 17 сливъ. Когда его спросили, сколько какихъ деревьевъ онъ посадилъ, онъ отвѣтилъ не прямо, а въ формѣ задачи: всего я посадилъ 110 деревьевъ, изъ нихъ ^- — яблони,

—— грушевыя деревья, а остальныя — сливы. Правильно ли отвѣтилъ хозяинъ?

Крестьянинъ собралъ 35 копенъ ржи и 28 копенъ овса. Составьте отвѣтъ, подобный тому, какой далъ хозяинъ сада, на вопросъ: «сколько ржи и сколько овса собралъ этотъ крестьянинъ?»

Прикинемъ приблизительно, сколько въ нашей деревнѣ (въ городѣ) живетъ мужчинъ и сколько женщинъ. Составимъ подобную же задачу о населеніи нашей деревни (города).

Составьте сами подобныя же задачи о своей семьѣ (сколько въ вашей семьѣ мужчинъ и женщинъ).

70. Мелкому торговцу удалось купить кусокъ сукна, содержащій 21 арш. за 90 рублей. Когда его спросили о цѣнѣ сукна, то онъ сначала затруднился отвѣтить, такъ какъ выходило, что за аршинъ пришлось платить седмыя доли рубля, чего на самомъ дѣлѣ никогда не можетъ быть. Но онъ зналъ ариѳметику и благодаря этому далъ, подумавши, отвѣтъ въ такой формѣ: за каждые аршина я платилъ по 3 рубля. Правильно ли онъ разсчиталъ? Какова же, все-таки, цѣна аршина сукна?

Мальчикъ купилъ 9 яблокъ за 12 коп. Какъ можно отвѣтить на вопросъ о цѣнѣ яблокъ, чтобы избѣжать долей копейки, не употребляющихся въ общежитіи?

Придумайте сами примѣры подобныхъ покупокъ или продажъ и составьте для нихъ задачи, въ которыхъ, какъ это указано выше, давался бы отвѣтъ на вопросъ о цѣнѣ чего-либо, въ такой формѣ, чтобы избѣжать не употребляющихся въ общежитіи долей рубля или копейки.

71. По отношенію къ предыдущимъ задачамъ (№ 70) можетъ возникнуть сомнѣніе: мы старались избѣжать неупотребляющихся долей рубля или копейки, но за то вводили

въ дѣло неупотребляющіяся обычно доли аршина матеріи, доли яблока и т. и., (напр., — аршина сукна въ лавкѣ откажутся отмѣрить). Однако, намъ удобнѣе представить себѣ десятыя доли аршина, чѣмъ седьмыя доли рубля, и это можетъ служить оправданіемъ задачъ № 70.

Хорошо ли составлена слѣдующая задача?

Барышникъ купилъ за 100 рублей стадо овецъ, при чемъ за каждыя $ овцы платилъ по 2% рубля. Сколько овецъ было въ стадѣ?

Возможно, однако, и эту задачу истолковать такъ, чтобы не было ничего несообразнаго: слова «за каждыя | овцы платилъ по 2^ руб.» будемъ понимать въ смыслѣ: стоимости каждой овцы составляютъ 2% рубля.

Составьте сами задачи, подобныя предыдущей.

72. Въ классѣ числилось 20 учениковъ; въ одинъ день не пришло 7 человѣкъ. На вопросъ учителя, сколько учениковъ сегодня отсутствуетъ, одинъ изъ учениковъ отвѣтилъ: сегодня не пришло въ классъ g всего числа учениковъ, да еще I ученика. Правильно ли далъ ученикъ этотъ замысловатый отвѣтъ?

Сколько у насъ учениковъ въ классѣ? сколько сегодня отсутствуетъ? нельзя ли и намъ составить отвѣтъ на послѣдній вопросъ въ какой-либо замысловатой формѣ, подобной вышеуказанной?

73. Изъ комнаты вышло | всего числа людей, находившихся въ ней, да еще человѣка, послѣ чего осталось 4 человѣка. Сколько человѣкъ было въ комнатѣ первоначально?

Составьте задачу, подобную этой, но чтобы вмѣсто дроби въ нее входила бы какая-либо иная дробь, напр., g, и т. п.

74. Изъ Москвы вышелъ дачный поѣздъ. На первой остановкѣ вышли изъ вагона і всего числа пассажировъ, да еще 1 1- пассажира; на второй остановкѣ вышли g оставшагося числа, да еще g пассажира; на третьей остановкѣ вышли g оставшагося числа, да еще - пассажира; на четвертой остановкѣ вышли 2 оставшагося числа, да еще g пассажира, послѣ чего въ вагонѣ никого не осталось. Сколько пассажировъ было въ этомъ вагонѣ при выходѣ поѣзда изъ Москвы, если новыхъ пассажировъ нигдѣ въ этотъ вагонъ не входило?

IV. Болѣе серьезныя упражненія.

75. Обратимъ вниманіе на слѣдующіе факты:

1) 6 = 1+2+3; 2) 13=6+7; 3) 12=3+4+5.

Мы видимъ, что здѣсь числа 6, 13 и 12 разложены на послѣдовательныя1) слагаемыя. Возникаетъ вопросъ: всякое ли цѣлое число допускаетъ подобное разложеніе на послѣдовательныя слагаемыя?

Испытайте съ этой точки зрѣнія числа по порядку: 2, 3, 4, 5 и т. д. Не выведете ли вы какого-либо заключенія о томъ, какія числа допускаютъ подобное разложеніе и какія не допускаютъ?

1) Послѣдовательными числами называютъ цѣлыя числа, идущія другъ за другомъ въ томъ же порядкѣ, которымъ они обладаютъ въ натуральномъ ряду: напр., 8, 9, 10, 11 суть 4 послѣдовательныхъ числа и т. п.

76. Отъ дѣленія одной сотни на 7 получается остатокъ 2. Скажите, пользуясь этимъ, сразу, какой остатокъ получится отъ дѣленія на 7 слѣдующихъ чиселъ: 104; 301; 201; 203.

77. Пользуясь предыдующею задачею, можно установить (не выполняя дѣленія), что числа 3116 и 78 отъ дѣленія на 7 даютъ одинаковые остатки. Правда ли это и какъ было найдено число 78? Такъ же точно для числа 59304 можно установить, что оно даетъ при дѣленіи на 7 тотъ же остатокъ, какъ и число 1190 (какъ оно получено?), а это послѣднее даетъ тотъ же остатокъ, какъ и число 112; наконецъ, 112 даетъ такой же остатокъ какъ и число 14. Такъ какъ послѣднее число дѣлится на 7 безъ остатка, то и 59304 дѣлится на 7 безъ остатка. Еще примѣръ: 105615:7, — узнать, не выполняя этого дѣленія, каковъ получится остатокъ; вотъ рядъ чиселъ, дающихъ тотъ же самый остатокъ: 105615; 2127; 69; 20 (послѣднее число получено такъ: сотни, т.-е. 50, даетъ при дѣленіи на 7 остатокъ 1, да у насъ еще 19 единицъ, — итого въ остаткѣ 20 единицъ). Такъ какъ при дѣленіи 20 на 7 получается остатокъ 6, то и при дѣленіи 105615 остатокъ также=6.

Выполните еще рядъ упражненій на нахожденіе этимъ способомъ остатка отъ дѣленія различныхъ чиселъ на 7.

78. Можно воспользоваться числомъ 1001 для того, чтобы находить остатокъ отъ дѣленія чиселъ на 7 или на 11 или на 13, не выполняя дѣленія цѣликомъ. Въ самомъ дѣлѣ, разложивъ 1001 на простые множители, найдемъ 1001 = 7.11.13, т.-е. 1001 дѣлится и на 7 и на 11 и на 13 безъ остатка. Такъ же точно, это теперь ясно, дѣлятся и на 7 и на 11 и на 13 числа: 2002, 3003,... 10010, 20020, 30030,... Если мы какое-либо изъ этихъ чиселъ вычтемъ изъ даннаго числа, то полученное число должно дать при дѣленіи и на 7 и на 11

и на 13 тотъ же остатокъ, какъ и данное. Напр., 8008017 дастъ при дѣленіи и на 7 и на 11 и на 13 тѣ же остатки какъ и число 17 (послѣднее получилось вычитаніемъ: 8008017 — 8008000).

Пусть дано число 56783418; узнать не выполняя дѣленія, остатки отъ дѣленія этого числа на 7, на 11, на 13.

На основаніи предыдущаго эти остатки такіе же, какъ и отъ дѣленія числа 6733418 (56783418 — 50050000), а остатки отъ дѣленія этого числа такіе же, какъ и отъ дѣленія числа 727418 (6733418 — 6006000), послѣдніе таковы же, какъ и отъ дѣленія числа 26718 (727418 — 700700), таковы же, какъ и отъ дѣленія числа 6698 (26718 — 20020), таковы же, какъ и отъ дѣленія числа 692 (6698 — 6006). Теперь эти остатки легко найти въ умѣ (отъ дѣленія на 7 остатокъ=6, отъ дѣленія на 11 остатокъ=10 и отъ дѣленія на 13 остатокъ=3).

Порядокъ удобенъ слѣдующій:

Здѣсь постепенно выполняются вышеуказанныя вычитанія.

Напишите сами нѣсколько «длинныхъ чиселъ» и найдите такимъ способомъ остатки отъ дѣленія ихъ на 7, на 11 и на 13.

79. Возьмемъ, напр., число 504. Мы можемъ, разложивъ его на простые множители, найти всѣхъ дѣлителей этого числа (т.-е. тѣ числа, на которыя 504 дѣлится безъ остатка).

Всякое число дѣлится на 1; затѣмъ мы видимъ, что дѣлителями числа 504 будутъ слѣдующія числа: 1) состоящія только изъ множителей 2:

2) изъ множителей 3:

3) изъ множителей 7:

Теперь мы можемъ различными способами находить произведенія изъ этихъ чиселъ, — они также будутъ дѣлителями даннаго числа 504. Вотъ они:

6; 12; 24; 18; 36; 72; 14; 28; 56; 21; 63; 42; 84; 168, 126; 252 и 504.

Мы сначала перемножили 2, 4 и 8 на 3 и на 9, — получились дѣлители, которые у насъ подчеркнуты; затѣмъ перемножили каждую изъ первыхъ двухъ группъ, а также подчеркнутые дѣлители на 7. Если вспомнимъ еще вышеупомянутаго дѣлителя 1, то исчерпаемъ этимъ всѣ дѣлители число 504: 1, 2, 4, 8, 3, 9, 7, 6, 12, 24, 18, 36, 72, 14, 28, 56, 21, 63, 42, 84, 168, 126, 252 и 504.

Обычно ихъ находятъ въ такомъ порядкѣ: къ каждой изъ основныхъ трехъ группъ присоединяютъ дѣлителя 1, т.-е.

Затѣмъ перемножаютъ каждый дѣлитель первой группы на каждый дѣлитель второй; полученный рядъ дѣлителей умножаютъ на каждый дѣлитель третьей группы. Если бы была еще четвертая группа, то полученный рядъ дѣлителей

надо было бы умножить на каждый дѣлитель четвертой группы и т. д., — послѣдній рядъ и дастъ всѣхъ дѣлителей даннаго числа.

Найдите всѣхъ дѣлителей слѣдующихъ чиселъ: 81; 28; 100; 120; 210; 41580.

80. Изъ предыдущаго видно, что можно, не находя всѣхъ дѣлителей даннаго числа, узнать число ихъ. Такъ, для числа 504 въ первой группѣ (см. А) 4 числа, во второй — 3, — отъ перемноженія ихъ получимъ 12 чиселъ, въ третьей 2 числа; слѣдовательно, отъ послѣдняго умноженія получимъ 24 числа. Итакъ, у числа 504 всего 24 дѣлителя.

Пусть данное число уже разложено на простые множители и оно=25. 33. 54.72 .11.

Тогда основныхъ группъ дѣлителей будетъ 5: въ первой группѣ будетъ 6 чиселъ, во второй 4, въ 3-й — 5, въ 4-й — 3 и въ 5-й — 2. Послѣ перемноженій ихъ получимъ рядъ дѣлителей, состоящій изъ (6.4.5.3.2) чиселъ, т.-е. всего будетъ 720 дѣлителей.

Если число = 2“ . Зь. 5е. 7d. 11е. 13z..., то число всѣхъ дѣлителей =(а+1)(Б+1)(с +1) (d -1- 1)(е -1-1)(/ -(-1)...

Найдите, сколько дѣлителей у чиселъ 320; 840; 330.

81. Найдите нѣсколько чиселъ, имѣющихъ по 6 дѣлителей.

Найдите сначала нѣсколько чиселъ, имѣющихъ 12 дѣлителей, а затѣмъ самое малое число, имѣющее 12 дѣлителей.

Найдите двузначное число, имѣющее 8 дѣлителей.

82. Можно найти двузначное число, которое въ 2 раза больше произведенія его цифръ. Для этой цѣли возможно перебирать различныя двузначныя числа, отбрасывая быстро нѣкоторыя изъ нихъ па основаніи опредѣленныхъ соображеній (напр., разъ число должно быть въ 2 раза больше произведенія его цифръ, то оно должно быть непремѣнно четнымъ; слѣдователи™, всѣ нечетныя числа можно сразу отбросить).

Лучше, однако, для лицъ, знакомыхъ съ алгеброю ввести въ дѣло буквы. Положимъ, что въ нашемъ числѣ а десятковъ и Ъ единицъ; тогда само число = 10а+b. Произведеніе его цифръ=а.b. Согласно условію имѣемъ 10а+b=2аb. Опредѣлимъ изъ этого уравненія а черезъ b: Ъ=2аb — 10а; 2(b—5)а=b и Теперь остается подобрать для b такое цѣлое число, меньшее 10, чтобы и для а получилось цѣлое число; единственнымъ возможнымъ значеніемъ для Ъ является число 6, послѣ чего уже легко найти искомое число.

Найти двузначныя числа, которыя больше произведенія цифръ этого числа въ 3 раза, въ 4 раза, въ 5 разъ и т. д. (возможно это сдѣлать или перебирая различныя двузначныя числа и пользуясь различными соображеніями для сокращенія работы или при помощи уравненій).

83. Существуютъ дроби, которыя можно сократить простымъ зачеркиваніемъ одинаковыхъ цифръ въ числителѣ и знаменателѣ; напр. §5=5‘ Найти нѣсколько такихъ дробей.

Чтобы эту работу выполнить удобнѣе, слѣдуетъ искать сначала такія дроби, у которыхъ числитель >10, но <20, при чемъ знаменатель двузначный. Затѣмъ, также при двузначномъ знаменателѣ, станемъ разбирать дроби, числители которыхъ заключаются между 20 и 30 и т. д.

Слѣдуетъ исключить дроби ||- ~ и т. д., такъ какъ онѣ для даннаго вопроса неинтересны.

Работу можно вести тѣмъ же комбинаціоннымъ, чисто ариѳметическимъ, пріемомъ, какъ и въ № 82, но возможно воспользоваться и уравненіями.

8. Въ №№ 59—62 имѣются дроби, сумма которыхъ равна ихъ произведенію. Выяснить въ общемъ видѣ свойство этихъ

дробей, намѣченное въ № 62: сумма двухъ чиселъ, обратныхъ разсматриваемымъ, равна единицѣ.

85. Можно правильную дробь умножать на любую неправильную, большую единицы, по слѣдующему правилу: замѣнимъ сначала каждую изъ двухъ данныхъ дробей другою дробью, ей равною, умножая числителя и знаменателя этой дроби на разность ихъ и на числителя и на знаменателя другой дроби, послѣ чего достаточно будетъ, для полученія произведенія данныхъ дробей, сложитъ числителя съ числитечемъ и знаменателя со знаменателемъ вновь полученныхъ дробей. Напримѣръ, -, что, послѣ сокращенія на 51, даетъ требуемое произведеніе

Если обѣ дроби правильныя, то можно поступать сначала такъ же, но затѣмъ вычитать числителя изъ числителя и знаменателя изъ знаменателя. Напримѣръ,

что, послѣ сокращенія на 14, и даетъ 9/10.

Выполните нѣсколько примѣровъ умноженія дробей указанными способами и найдите, если владѣете алгеброю, объясненіе этого.

86. На какую цифру оканчивается 2-ая, 3-ья, 4-ая, 5-ая и т. д. степени даннаго числа, если это число оканчивается на 0? если оно оканчивается на 1? если оно оканчивается на 2? и т. д.

Составить для этого вопроса соотв. таблицу и изъ ея разсмотрѣнія вывести нѣкоторыя заключенія о различныхъ степеняхъ различныхъ чиселъ.

Отвѣты и замѣчанія.

1. Надо вычесть изъ 90 первую сумму.

2. Надо первую сумму вычесть изъ 100.

4. Среди полученныхъ примѣровъ могутъ быть выдѣлены, напр. слѣдующіе: 5x6=30 (получилось ровно 3 десятка), 7x7=49 (перемножаются одинаковыя числа).

5. Послѣдній возможный примѣръ: 80—8x9=8.

6. 48-4X5=28; 58-5х 6=28; 70-6х 7= 28;..

100-8x9=28.

7. Вотъ всѣ примѣры:

8. Чтобы дойти въ подобныхъ примѣрахъ до примѣра съ отвѣтомъ 100, надо ихъ начинать лишь съ чиселъ 1, 4 и 7.

9. Въ каждомъ слѣдующемъ примѣрѣ отвѣтъ долженъ получиться на 6 больше, чѣмъ въ предыдущемъ.

10. Исключимъ изъ этихъ примѣровъ тѣ, гдѣ одинъ изъ множителей есть 1 (напр. 73x1—68 = 5), и будемъ считать, что перестановка множителей не даетъ новыхъ примѣровъ (т.-е., напр., 14x5—68 и 5x14—68 сочтемъ за одинъ примѣръ); тогда всего искомыхъ примѣровъ можно написать 15. Изъ нихъ обращаютъ на себя вниманіе два (17x4—68 и 34x2—68), дающіе въ отвѣтѣ нуль.

14. Рѣшая указанныя задачи, мы увидимъ, что если мы увеличиваемъ (напр. въ 2 раза) собранное на скотномъ дворѣ молоко, то этимъ самымъ мы увеличиваемъ (во столько же разъ) вмѣстимость каждой бутыли, — въ этомъ кроется объясненіе одинаковыхъ от-

вѣтовъ. Мы видимъ также, что отвѣтъ задачи не зависитъ отъ того, сколько собрали молока.

15. Изъ рѣшенія задачи № 14 мы видимъ, что можно произвольно назначить, сколько всего собрали молока, но удобно назначить такъ, чтобы число штофовъ дѣлилось безъ остатка на 2 и на 3. Самое малое изъ такихъ чиселъ есть 6 (но можно взять какое угодно, лишь бы оно дѣлилось на 2 и на 3). Поэтому предложенную задачу слѣдуетъ начать рѣшать такъ: «предположимъ, что всего на скотномъ дворѣ собрали, напр., 6 штофовъ молока (а можно и 30 штофовъ, и 36 ведеръ и т. п.). Узнаемъ тогда, сколько молока вошло въ первую бутыль и т. д.

16. Задача рѣшается подобно предыдущей: найдемъ сперва число (лучше, но это не обязательно, самое маленькое), чтобы оно дѣлилось на 3 и на 4; такое число есть 12 (самое малое). Тогда начнемъ рѣшеніе такъ: «предположимъ, что за всѣ книги заплатили 12 коп. (Если покажется, что эта сумма денегъ мала, то возьмите 24 коп., 36 коп., 48 коп. и т. д. — все равно отвѣтъ получится одинъ и тотъ же.)

17. Чтобы найти отвѣтъ, лучше вести упражненія въ системѣ:

1) 43—34=9; 54—45=9; 65—56 = 9...; 2) 42-24 = 18;

53-35=18;...; 3)41—14=27; 52—25 = 27... и т. д.

Отсюда можно притти къ заключенію, что искомая разность=числу 9, умноженному на разность цифръ первоначально написаннаго числа (напр., написано сначала число 49; тогда искомая разность=9 х 5=45, т.-е. 94—49=9x5=45).

18. Удобно измѣнить порядокъ слагаемыхъ: напр., въ 4-мъ примѣрѣ сначала сложимъ 523 и 177 (получится 700 — круглыя сотни), а затѣмъ 348 и 152.

19. Надо, вмѣсто того, чтобы умножать 823 на 7, сложить полученныя уже числа 2469 и 3292.

22. Можно пару скобокъ поставить еще двумя способами, такъ что всего получимъ 4 примѣра:

Если кто-либо поставитъ скобки такъ: (5х24)+(18хЗ), то слѣдуетъ указать, что 1) здѣсь поставлена не одна пара скобокъ, а двѣ

и 2) здѣсь порядокъ дѣйствій тотъ же самый, какъ въ первомъ изъ разобранныхъ примѣровъ, а потому здѣсь скобки являются ненужными.

24. [60: (10 + 20)]: 2 и 60 : [(10 + 20) : 2].

28. Всего 7 примѣровъ; изъ нихъ достойны особаго вниманія слѣдующіе: 1) 25 х 16=400 (ровно 4 сотни) и 2)37 х 24 — въ произведеніи повторяется одна и та же цифра.

29. Вотъ дальнѣйшіе примѣры: 700—19x16=; 700—23x20=; 700—28x25 = .

30. При составленіи задачъ желательно направлять работу учащихся такъ, чтобы они черпали содержаніе изъ разныхъ областей практической жизни.

32. Разсматривая слагаемыя нашихъ суммъ, видимъ, что каждое слагаемое второй суммы дополняетъ соотвѣтствующее слагаемое первой до 100, а каждое слагаемое третьей суммы дополняетъ каждое слагаемое второй до 250. Поэтому, напр., третья сумма получится вычитаніемъ второй суммы изъ 1000.

33. Конечно, желательно, чтобы при этомъ составленіи примѣровъ были использованы нѣсколько иныя соображенія. Напр., можно дополнять слагаемыя до какихъ-либо иныхъ круглыхъ чиселъ (до 200, до 150, до 500 и т. д.), можно (сравнить 1-ю и 3-ю суммы № 32) добиваться, чтобы каждое слагаемое второй суммы было на опредѣленное число меньше или больше соотвѣтствующаго слагаемаго первой суммы, чтобы каждое слагаемое второй суммы было въ одинаковое число разъ больше или меньше каждаго слагаемаго первой суммы и т. д.

34. Вѣроятно о своихъ лѣтахъ ученики будутъ говорить, подражая тѣмъ формамъ, какія даны въ № 34 (напр., «если я проживу еще столько же, сколько я прожилъ, да еще 3 года, то мнѣ будетъ 25 лѣтъ»). Желательно добиться иныхъ формъ отвѣтовъ, (напр., «моему отцу 44 года, а я въ 4 раза моложе его», «моему младшему брату 6 лѣтъ; если къ его годамъ прибавите ихъ половину, да еще 2 года, то узнаете, сколько мнѣ лѣтъ», или проще: «я старше своей сестры на 4 года, а ей 7 лѣтъ»).

35. Возможны отвѣты въ разныхъ формахъ. Напр.: «сегодня не пришла въ классъ четвертая часть всего класса да еще 2 ученика», или «сегодня не пришло на 1 ученика меньше третьей части всего класса» и т. п.

41. Объясненіе кроется въ томъ, что одновременно съ увеличеніемъ вмѣстимости бассейна увеличивается, хотя этого въ з дачѣ не сказано прямо, во столько же разъ и сила трубъ (если вмѣстимость бассейна =180 ведеръ, то 1-я труба даетъ въ часъ 18 ведеръ, а вторая —12 ведеръ, а если возьмемъ бассейнъ въ 5 разъ больше, то каждая труба дастъ воды въ 1 часъ то же въ 5 разъ больше).

Разбирая всѣ эти задачи, мы приходимъ къ заключенію, что вмѣстимость бассейна не важна для отвѣта: какую бы вмѣстимость мы ни взяли, все равно отвѣтъ получится одинъ и тотъ же. Поэтому можно рѣшать такія задачи и тогда, когда вовсе не дано въ задачѣ, сколько ведеръ воды вмѣщаетъ бассейнъ: надо самимъ взять произвольное число, заботясь (для удобства), чтобы оно дѣлилось на 10 и 15 (напр., 30, 60 и т. д.). Задачу должно тогда начать рѣшать словами: «предположимъ, что бассейнъ вмѣщаетъ 300 ведеръ».

42. Начало рѣшенія: «предположимъ, что бассейнъ вмѣщаетъ 210 ведеръ (можно 420, 630 и т. д.)».

43. «Предположимъ, что было 84 (168, 252 и т. д.) пудовъ сѣна».

44. Квадратъ числа не можетъ оканчиваться на цифры 2, 3, 7 и 8.

47. Желательны примѣры и въ родѣ слѣдующаго: 4^ —

51. Напр., 1^=1^+і=1І+І=І+г

54. g+^=4; 1+^=4; 1+^=4 и т. д. Въ каждомъ примѣрѣ знаменатель второй слагаемой дроби получается отъ умноженія знаменателя первой слагаемой дроби на предшествующее число (т.-е. на число, на единицу меньшее); Напр., 42 = 7.6; 56=8.7 и т.д.

Если мы выпишемъ знаменатели вторыхъ слагаемыхъ въ рядъ: 6, 12, 20, 30, 42, 56 и т. д., то можемъ подмѣтить, что каждый изъ нихъ больше предыдущаго: 1) на 6 (12 больше 6 на 6); 2) на 8 (20 больше 12 на 8); 3) на 10; 4) на 12 и т. д., при чемъ эта

разность постепенно увеличивается на 2.

55. Отвѣты на данные примѣры: 0 и “

Послѣднее требованіе можетъ быть выполнено, напр., такъ:

0Х24-3 и (|-?:0х(24-3) (отвѣты 0 и 20-

56. Вторая сумма равна числу 5 безъ первой суммы.

57. Вторая сумма равна числу 2 безъ первой суммы.

58. Напр., g+iô+ïî I й+із+п и 9+30^33+4 + 39+42 [вторая сумма=2—(первая сумма)].

59. Послѣ нѣкоторыхъ попытокъ учащіеся придутъ къ мысли, что, вѣроятно, надо брать двѣ такихъ дроби, чтобы у нихъ числители были одинаковы, а знаменатели вмѣстѣ должны дать числитель (сумма знаменателей должна равняться общему числителю), Сначала, какъ было указано, будутъ имѣть мѣсто неудачныя попытки: такъ, учащіеся станутъ пробовать, нельзя ли взять двѣ какія-попало неправильныя дроби (напр., и ^); затѣмъ будетъ подмѣчено, что числители необходимо взять одинаковыми; потомъ, быть можетъ, станутъ пробывать двѣ неправильныя дроби съ одинаковыми числителями, но у одной изъ нихъ знаменатель обязательно 2 (какъ это имѣетъ мѣсто въ данныхъ примѣрахъ; будетъ взята, напр., пара | и |); наконецъ будетъ подмѣчено, что нельзя брать знаменателей какъ угодно (необходимо обратить вниманіе и на то, что вовсе одинъ знаменатель не долженъ быть непремѣнно =2), лишь бы ихъ сумма равнялась общему числителю.

60. Среди цѣлыхъ чиселъ имѣется лишь одна пара: 2 и 2.

Среди дробныхъ чиселъ такихъ паръ безконечно много. Напр., 1) | и | и | и | и т. д.; 2) 3 и 4 и 5 и | и т.д.

62. Сумма чиселъ, обратныхъ тѣмъ, какія имѣютъ мѣсто въ № 60, равна 1; напр., |+§=1;- |+|=1...

64. Особенность этихъ чиселъ такова: числители ихъ одинаковы, а разность знаменателей равна ихъ общему числителю (это справедливо и для случая, когда одно изъ чиселъ цѣлое, напр., для 5 и такъ какъ 5 можно представить въ видѣ |)-

65. Можно дробь замѣнить черезъ или, согласно предыдущему, черезъ | — также з^-4=| — | и т. д. Сдѣлавъ такую замѣну, найдемъ, что искомая сумма=| —

66. Эта Сумма=1-Н~Ж-|+-+^-^=1-50=^

67. 1) Сумма=|-1=|І; 2) =

68. Значеніе такихъ упражненій не въ томъ, чтобы учащіеся сумѣли выяснить, какъ находить подобныя суммы, составленныя кѣмъ-либо другимъ, а въ самомъ составленіи такихъ суммъ.

Вотъ примѣръ составленія еще подобной суммы.

За основное число возьмемъ * и начнемъ составлять сумму съ дроби г

Эта сумма равна 2, такъ какъ пара скобокъ даетъ число о (напр.,

Напишемъ нашу сумму иначе:

или

Мы видимъ, что числители дробей, начиная со второй и не считая послѣдней, увеличиваются въ опредѣленномъ порядкѣ (на 10, на 12, на 14, на 16,—каждое увеличеніе больше предыдущаго на 2), также въ порядкѣ идетъ и увеличеніе знаменателей, не считая первой и послѣдней дроби: 90 больше 60 на 30, 126 больше 90 на 36 и т. д., — каждое увеличеніе больше предыдущаго на 6.

Мы еще видимъ, что

(слѣдовательно, мы здѣсь отбросили первую и послѣднюю дроби, которыя не подходятъ къ вышеуказанному порядку измѣненія дробей).

Мы можемъ продолжить, согласно подмѣченному выше порядку этотъ рядъ дробей:

(мы увеличивали числителей на 18, на 20 и на 22, а знаменателей на 54, на 60 и на 66).

Всматриваясь въ составленіе ряда (А), мы видимъ, что послѣдняя сумма получится, если изъ числа 3 вычесть | [первую дробь ряда (А)] и вычесть (или тоже т.-е. ту дробь, которою придется за-

1) Дроби и лучше не сокращать.

2) Здѣсь мы сократили дробь ( = |)’ такъ какъ здѣсь сумма заканчивается и эта дробь уже не важна для выясненія порядка составленія суммы.

кончить рядъ (А) для полученія послѣдней суммы. Такимъ образомъ послѣдняя сумма= 2|-

69. При составленіи задачи о населеніи деревни или города придется, вѣроятно, за неимѣніемъ данныхъ въ концѣ концовъ составить задачу въ такой формѣ: въ нѣкоторой деревнѣ всего жило 720 человѣкъ, при чемъ женщины составляли | всего населенія; сколько въ этой деревнѣ было женщинъ и сколько мужчинъ?

72. Возможны, конечно, здѣсь случаи, когда придется обратиться къ дробямъ болѣе сложнымъ. Напр., пусть въ классѣ 33 ученика и изъ нихъ не пришло 5. Тогда можно дать отвѣтъ въ такой формѣ: сегодня не пришли ? часть всего числа учениковъ и еще ? ученика; возможна болѣе сложная форма: сегодня не пришли всего числа учениковъ и еще ученика.

73. Было 9 человѣкъ. Рѣшеніе ясно изъ слѣдующаго схематическаго изображенія.

Изобразимъ схематически все число людей площадью прямоугольника; отдѣлимъ ея половину и затушуемъ ее (эта половина вышла изъ комнаты), еще отдѣлимъ небольшую площадь, изображающую | человѣка и также затушуемъ ее. Оставшаяся незатушеванная часть изображаетъ 4 человѣка; теперь мы видимъ, что половина всей площади изображаетъ 4| человѣка, а, слѣдовательно, вся площадь—9 человѣкъ.

74. Первоначально въ вагонѣ было 15 пассажировъ. Рѣшеніе, подобно предыдущей задачѣ, уясняется при помощ схематическаго изображенія.

75. Разложить на послѣдовательныя слагаемыя можно всякое число, за исключеніемъ степени числа 2 (т.- е. 2, 4, 8,16, 32 и т. д.).

Тотъ индуктивный путь, который указанъ въ этой задачѣ, приведетъ къ выше данному заключенію съ прибавленіемъ къ нему слова «повидимому» или «вѣроятно» и т. п. Чтобы устранить всякое сомнѣніе, необходимо воспользоваться дедукціею и разобрать этотъ вопросъ въ общемъ видѣ. Такъ какъ для этой цѣли необходимо знаніе ариѳметическихъ прогрессій, то мы здѣсь не излагаемъ этого общаго рѣшенія вопроса; индукція, имѣющая мѣсто въ этомъ примѣрѣ, носитъ довольно убѣдительный характеръ.

80. Число 330 имѣетъ 16 дѣлителей.

81. Вотъ нѣсколько чиселъ, имѣющихъ 12 дѣлителей: 2048 (или 211), 511 и т.п., 96 (или 25.3), 160 (25.5), 108 (или 22.33) и т. д.; наименьшее изъ этихъ чиселъ есть 72 (23.32). Двузначныя числа, имѣющія 8 дѣлителей, суть 30, 24, 40, 56, 88 и 54.

82. Искомое число, большее въ 2 раза произведенія цифръ, есть 36. Существуетъ 2 двузначныхъ числа, большихъ въ 3 раза произведенія цифръ: 15 и 24. Не существуетъ ни одного двузначнаго числа, въ 4 раза большаго произведенія цифръ и т. д. Если исключить двузначныя числа, оканчивающіяся на нуль, то возможно выяснить, что двузначное число самое большее можетъ быть въ 11 разъ больше произведенія его цифръ (это число есть 11).

83. Искомыя дроби суть (мы ограничиваемся только двузначными числителями и знаменателями) Ц’ Ц и

Вотъ примѣрное рѣшеніе при помощи уравненій.

Пусть желаемъ найти требуемыя дроби такъ, чтобы числитель былъ больше 30 и меньше 40. Тогда искомая дробь можемъ быть обозначена и она, послѣ зачеркиванія цифръ, обозначенныхъ буквою а, должна равняться дроби т.-е.

Изъ этого уравненія имѣемъ: 30&4-а6 = 30а + 36, откуда а —

Теперь надо выяснить, нельзя ли для b взять цѣлое число, меньшее 9, чтобы для а получилось также цѣлое значеніе. Исключая для b значеніе 3 (ибо тогда получимъ неинтересную для насъ дробь ||) и перебирая различныя значенія для 6, отъ 1 до 9, мы видимъ, что нельзя достигнуть того, чтобы для а получилось цѣлое число. Поэтому такихъ дробей найти нельзя.

84. Пусть такія числа суть и т.- е. пусть для нихъ справедливо: (сумма ихъ=ихъ произведенію). Отсюда получимъ: ad+cb—ac и, раздѣливъ на ас, ^+^=1.

85. Объясненіе этого лучше вести въ формѣ изысканія. Пусть требуется Умножимъ числителя и знаменателя первой дроби на число т и второй на число п, при чемъ постараемся т и п выбрать такъ, чтобы умноженіе дробей можно было выполнить при помощи или сложенія или вычитанія вновь полученныхъ числителей и знаменателей.

Имѣемъ: г--=т-----у-=(это желательно) 7—--у—

Изъ уравненія получимъ (асЬ—abd)m=(cbd—acd'jn, откуда — = — Это и указываетъ, что если одна изъ дробей неправильная (пусть, напр., e>d), то для т можно взять число = (b—a)cd и для п—число=(с—d)ab, послѣ чего можно будетъ умножать наши дроби указаннымъ способомъ. Если обѣ дроби правильныя, то мы увидимъ, что или т или іг получается со знакомъ минусъ, т.- е. тогда, вмѣсто сложенія числителей и знаменателей, придется выполнять ихъ вычитаніе.

86. Вотъ искомая таблица:

Данное число оканчивается на: 2-ая степень. 3-ья степень. 4-ая степень.

0 0 0 0

1 1 1 1

2 4 8 6

3 9 7 1

4 6 4 6

5 5 5 5

6 6 6 6

7 9 3 1

8 4 2 6

9 1 9 1

Изъ разсмотрѣнія этой таблицы вытекаетъ:

1) Степени чиселъ, оканчивающихся на 0, 1, 5 и 6, всегда сохраняютъ цифру единицъ.

2) Квадратъ числа не можетъ оканчиваться на 2, 3, 7 и 8 (см. № 44); четвертая степень числа можетъ оканчиваться лишь на 0, 1, 5 и 6.

3) Пятая степень числа оканчивается на ту же цифру, какъ и само данное число; 6-ая степень числа — на ту же, какъ квадратъ этого числа, и т. д.

4) Если взять два четныхъ числа, изъ которыхъ ни одно не оканчивается на нуль, или если взять два нечетныхъ числа, изъ которыхъ ни одно не оканчивается на 5, то разность 4-хъ степеней этихъ двухъ чиселъ дѣлится на 10 безъ остатка (или оканчивается на нуль). Напр. (234— 194) дѣлится на 10 и т. д.

Возможны, вѣроятно, еще какія-либо заключенія.

РУКОВОДСТВА ПО МАТЕМАТИКА КНИГИ и БРОШЮРЫ Н. А. Извольскаго.

Ариѳметика. Изданіе 3-е (Книгоиздательства «Школа», Москва, Спиридоновка, д. 14), въ двухъ частяхъ. Ч. I. 30 коп. Ч. II. 60 коп.

Обѣ части допущены Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. въ качествѣ руководства для среднихъ учебн. заведеній.

Алгебраическія числа и дѣйствія надъ ними. Для начинающихъ изучать алгебру. М., 1909. Ц. 15 коп. (Изданіе В. В. Думнова, Москва, Мясницкая, д. Обидиной.)

Сборникъ алгебраическихъ задачъ. Ч. I. Изданіе 2-е. М., 1912. Ц. 35 коп. Ч. II. М., 1908. Ц. 40 коп. (Изданіе Т-ва В. В. Думновъ, Москва, Мясницкая.) .

Обѣ части допущены Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. въ качествѣ пособія для среднихъ учебныхъ заведеній.

Геометрія на плоскости. М., 1914. Изданіе 2-е (Магазина «Сотрудникъ Школъ» А. К. Залѣсской, Москва, Воздвиж., д. Армандъ.) Ц. 1 руб. 20 коп.

Геометрія въ пространствѣ. М., 1913. Изданіе 2-е (Т-ва В. В. Думновъ, Москва, Мясницкая.) Ц. 65 коп.

Начальный курсъ геометріи. М., 1914. (Изданіе Книгоиздательства «Школа», Москва, Спиридоновка.) Ц. 80 коп.

Упражненія къ начальному курсу геометріи. М., 1914. (Того же издательства.) Ц. 20 коп.

Таблицы для нагляднаго обученія сложенію дробей съ различными знаменателями (11 таблицъ съ пояснительной брошюрой). (Того же издательства.) Ц. 60 коп.

Два предложенія элементарной геометріи. Одесса, 1910. (Складъ изданія въ редакціи журнала «Вѣстникъ опытн. физ. и элем. матем.») Ц. 20 коп.

Особыя явленія въ учебно-задачной русской литературѣ. Ц. 10 коп. (Складъ изданія у Книгоиздательства «Школа».)

Къ вопросу о длинѣ окружности. М., 1914. Ц. 35 коп. Складъ изданія въ редакціи «Матем. Вѣстника».

Всѣ означенныя книги можно получать и черезъ редакцію журнала „Математическій Вѣстникъ“

(Москва, Гороховскій пер., д. 23, кв. 9).