Н. Извольскій

АРИѲМЕТИКА.

ЧАСТЬ II.

КУРСЪ II и III КЛАССОВЪ.

Цѣна 60 коп.

Изданіе 2-ое исправленное.

Первое изданіе Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. допущено въ качествѣ руководства для среднихъ учебныхъ заведеній.

МОСКВА.

Изданіе фирмы „Сотрудникъ школъ“ А. К. Залѣсской.

(Воздвиженка д. Армандъ.) 1911.

Н. Извольскій

АРИѲМЕТИКА

ЧАСТЬ II.

КУРСЪ II и III КЛАССОВЪ.

Изданіе 2-ое исправленное.

Первое изданіе Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. допущено въ качествѣ руководства для среднихъ учебныхъ заведеній.

МОСКВА.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко.

Воздвиженка, Крестовоэдвиж. пер., д. 9.

1911.

ГЛАВА I.

ДѢЛИМОСТЬ ЧИСЕЛЪ.

§ 1. Произведеніе нѣсколькихъ множителей. Если надо умножить два числа, напр. 5 и 4, то, обозначивъ это, получимъ выраженіе

5X4

или, короче, употребляя вмѣсто знака (X) другой, болѣе простой знакъ (.),

5.4.

Такое выраженіе называется произведеніемъ двухъ множителей. Если же теперь надо то число, которое получится отъ этого умноженія, еще умножить на новое число, напр. на 6, то, обозначивъ это, получимъ выраженіе

(5.4).6.

Въ этомъ выраженіи не принято писать скобокъ. Опустивъ ихъ, получимъ

5.4.6.

Такое выраженіе называется произведеніемъ трехъ множителей. Далѣе можно получить произведеніе четырехъ множителей, пяти, шести и т. д., сколько угодно.

Напр. выраженіе:

3.7.4.6.2.5

есть произведеніе шести множителей: здѣсь надо 3 умножить на 7, полученное число умножить на 4, полученное — на 6, затѣмъ — на 2 и, наконецъ, — на 5.

Мы видѣли въ курсѣ I кл., что въ случаѣ двухъ множителей произведеніе не измѣняется отъ ихъ перестановки. Теперь выяснимъ, что въ случаѣ многихъ множителей произведеніе тоже не будетъ мѣняться, въ какомъ бы порядкѣ мы ни перемножали наши множители, или, другими словами, въ какомъ бы порядкѣ мы ихъ ни переставили.

Доказательство этого распадается на 3 части:

1) Докажемъ, что въ случаѣ трехъ множителей можно переставить два послѣднихъ. Напр. докажемъ, что произведеніе 5.4.7 не измѣнится, если переставить множителей 4 и 7.

Намъ надо сперва число 5 повторить слагаемымъ 4 раза и всю сумму вновь повторить слагаемымъ 7 разъ.

Напишемъ это такъ:

Наше произведеніе должно состоять изъ всѣхъ пятерокъ, но, конечно, число ихъ не измѣнится, станемъ ли мы ихъ считать по рядамъ или по столбцамъ.

Считаемъ сперва по рядамъ: такъ какъ въ каждомъ ряду 4 пятерки, то каждый рядъ = 5.4, но этотъ рядъ повторяется семь разъ, поэтому надо число (5.4) умножить на 7. Получимъ

Считаемъ теперь по столбцамъ: такъ какъ въ каждомъ столбцѣ 7 пятерокъ, то одинъ столбецъ = 5.7, но этотъ столбецъ повторяется 4 раза, поэтому надо число (5.7) умножить на 4. Получимъ

Такъ какъ въ обоихъ пріемахъ мы ни одной пятерки не

пропустили и ни одной пятерки не взяли лишней, то оба числа должны быть равны, т.-е.

5.4.7=5.7.4.

Итакъ, мы видимъ, что множители 4 и 7 перемѣнились мѣстами, но произведеніе осталось то же.

2) Докажемъ теперь, что во всякомъ произведеніи можно переставить между собою два сосѣднихъ множителя. Возьмемъ, напр., произведеніе:

5.4.7.6.2.

Изъ курса I кл. мы знаемъ, что 5.4=4.5. Слѣдовательно первые два множителя можно между собою переставить. Можно ли переставить два какихъ-либо сосѣднихъ множителя, напр. 7 и 6, въ серединѣ произведенія?

Разсуждаемъ такъ: отъ умноженія 5 на 4 получится какое-то одно число (5.4); здѣсь придется это число умножить сперва на 7 и то, что получится, на 6, т.-е.

(5.4). 7.6.

Такъ какъ (5.4) есть одно число, то у насъ получилось произведеніе трехъ множителей, а мы уже знаемъ, что можно въ произведеніи трехъ множителей переставить два послѣднихъ, т.-е.

(5.4). 7.6=(5.4). 6.7

или, безъ скобокъ:

5.4.7.6=5.4.6.7.

Умноживъ теперь каждое изъ этихъ произведеній на 2, получимъ:

5.4.7.6.2=5.4.6.7.2,

что намъ и надо было.

3) Теперь выяснимъ, что порядокъ множителей можно измѣнять по произволу. Напр. возьмемъ произведеніе

5.4.7.6.2.3.

Спрашивается, можно ли переставить его множители въ такомъ, напр., порядкѣ:

6.3.4.7.2.5?

Мы видимъ, что первый множитель 5 долженъ перейти на послѣднее мѣсто. Этого можно достигнуть такъ: переставимъ сперва между собою множители 5 и 4; получимъ

4.5.7.6.2.3,

потомъ сосѣдніе множители 5 и 7, потомъ опять два сосѣднихъ и т. д., пока не сдвинемъ 5 на послѣднее мѣсто. Послѣ этого мы должны множитель 2 тѣмъ же путемъ передвинуть на предпослѣднее мѣсто, потомъ множитель 7 на 3-е отъ конца мѣсто и т. д., пока не получимъ требуемаго.

Вотъ всѣ эти перестановки:

Теперь ужъ множителя 5 не надо трогать.

Далѣе не надо трогать 2 и 5.

Можно такъ же постепенно передвигать нужные множители на первое, на второе и т. д. мѣста.

Теперь понятно, почему въ произведеніи нѣсколькихъ множителей не принято писать скобки.

Подобно тому, какъ сложеніе нѣсколькихъ чиселъ принимается, за одно дѣйствіе, такъ точно принимаютъ за одно дѣйствіе и умноженіе нѣсколькихъ чиселъ.

§ 2. На основаніи предыдущаго мы видимъ, что, напр.,

и обратно

Это можно выразить словами такъ:

Чтобы какое-нибудь число умножить на произведеніе или обратно, надо это число поставить новымъ множителемъ въ нашемъ произведеніи (на какомъ мѣстѣ его поставить —безразлично) и затѣмъ можно любой изъ множителей

умножить на наше число, какой безразлично, но непремѣнно только одинъ.

§ 3. Для того случая, когда одно число повторяется множителемъ нѣсколько разъ, придумали болѣе короткое обозначеніе.

Пишутъ это число одинъ разъ, а вверху его пишутъ маленькими цифрами число, показывающее, сколько разъ первое число повторяется множителемъ. Напр.

5.5=52; 4.4.4=43; 3.3.3.3=34; 2.2.2.2.2.2=26 и т. д.

Читаютъ это такъ: «пять во второй степени»; «4 въ третьей степени»; «3 въ четвертой степени» и т. д.

Иногда говорятъ также вмѣсто «во второй степени» — «въ квадратѣ» и вмѣсто «въ третьей степени» — «въ кубѣ». Слѣдовательно, степенью называется произведеніе нѣсколькихъ одинаковыхъ множителей; число, которое повторяется множителемъ, называется основаніемъ, степени, а число, которое пишется вверху и которое показываетъ, сколько разъ основаніе повторяется множителемъ, называется показателемъ степени.

Полезно поупражняться въ вычисленіяхъ:

Если теперь имѣемъ, напр., такое произведеніе:

2.5.2.3.4.2.3.2.5.2.5,

то, переставляя множители, приведемъ его къ виду

что можно написать сокращенно:

Конечно, надо умѣть писать это сразу, не дѣлая перестановокъ.

§ 4. Предварительныя замѣчанія о дѣлимости. Если при дѣленіи одного числа на другое не получается остатка, то

говорятъ, что первое число дѣлится на второе; если же получается остатокъ, то — не дѣлится.

Теперь намъ предстоитъ научиться рѣшать вопросы о дѣлимости одного числа на другое, не выполняя самаго дѣленія.

Замѣтимъ, что мы научимся рѣшать только самые простые изъ этихъ вопросовъ.

§5. Если каждое слагаемое дѣлится на какое-нибудь число, то и сумма раздѣлится. Если же всѣ слагаемыя, кромѣ одного, дѣлятся на какое-нибудь число, то сумма не раздѣлится, и остатокъ получится такой же, какъ и отъ того слагаемаго, которое не дѣлится.

Это легко понять. Въ самомъ дѣлѣ, вмѣсто того, чтобы сразу всю сумму раскладывать на равныя части, можно раскладывать каждое слагаемое. Если всѣ они поочередно разложатся, то слѣдоват. и сумма разложилась. Если же только одно не разложится, то и сумма разложиться не можетъ, и остатокъ получится отъ дѣленія всей суммы такой же, какъ и отъ этого слагаемаго.

Этимъ иногда пользуются для дѣленія суммы.

Напр.

Т.-е., если видимъ сразу, что каждое слагаемое дѣлится въ отдѣльности на дѣлителя, то можно раздѣлить ихъ по очереди, а потомъ сложить полученныя частныя. Этимъ достигается та выгода, что приходится складывать меньшія числа.

§6. Если сумма двухъ слагаемыхъ и одно изъ этихъ слагаемыхъ дѣлятся на какое-нибудь число, то и другое слагаемое должно дѣлиться на это число, потому что, если бы другое слагаемое не раздѣлилось, то и сумма не могла бы дѣлиться. Припоминая опредѣленіе вычитанія, мы можемъ то же самое сказать иначе:

Если уменьшаемое и вычитаемое дѣлятся на какое-нибудь число, то и разность должна на него раздѣлиться.

Этимъ тоже можно пользоваться для упрощенія вычисленій.

Напр. (460-80) : 20=23—4= 19.

§7. Если одинъ множитель произведенія дѣлится на какое-нибудь число, то и все произведеніе раздѣлится на это число.

Объясненіе этого основывается на томъ, что всякое произведеніе можно разсматривать какъ сумму.

Отсюда заключаемъ, что, когда надо разлѣпить произведеніе на какое-нибудь число, то достаточно раздѣлить на это число только одного множителя (конечно, если это возможно). Поэтому сразу пишемъ:

(12.9): 3=4.9=12 -3 (Можно раздѣлить въ этомъ случаѣ или перваго множителя, или второго — это все равно, но непремѣнно только одного, а не двухъ.)

Еще примѣръ:

Отсюда видимъ: если произведеніе надо раздѣлить на одного изъ его множителей, то надо только исключить этого множителя.

Признаки дѣлимости.

§ 8. Признакъ дѣлимости на 2. На основаніи предыдущаго легко угнать сразу, дѣлится ли данное число н а 2, или нѣтъ. Мы легко сообразимъ, что одна единица не дѣлится на 2, а одинъ десятокъ дѣлится на 2 (10 :2=5). Поэтому разобьемъ данное число на два слагаемыхъ: десятки и единицы; напр. 5372=537 десятковъ + 2 единицы. Про первое слагаемое мы заранѣе знаемъ, что оно дѣлится на 2, потому что, разъ одинъ десятокъ дѣлится, то, сколько бы ихъ ни было, они всегда раздѣлятся. Второе же слагаемое, т.-е. единицы, не всегда дѣлится на 2. (Если ихъ, напр., 6, то онѣ дѣлятся, а если ихъ, напр., 5, то не дѣлятся.) Слѣдовательно все затрудненіе при дѣленіи на 2 можетъ быть только въ единицахъ. Отсюда заключаемъ:

Если единицы числа дѣлятся на 2, то и все число раздѣлится, если же не дѣлятся, то и все число не раздѣлится (обр. вним. на § 5).

Напр. 5372 дѣлится на 2, потому что его единицы (2) дѣлятся на 2, а число 5375 не дѣлится на 2, потому что его единицы (5) не дѣлятся на 2.

Если въ числѣ единицъ вовсе нѣтъ, то оно, конечно, дѣлится на 2. Напр. 8350 дѣлится на 2.

Числа, дѣлящіяся на 2, назыв. четными, а не дѣлящіяся на 2 — нечетными.

§ 9. Признакъ дѣлимости на 5. Такъ какъ одинъ десятокъ дѣлится на 5 (10 :5=2), то подобный же признакъ мы найдемъ и для дѣлимости на 5. Но, чтобы его выразить еще проще, замѣтимъ, что единицы могутъ дѣлиться на 5 только въ томъ случаѣ, если ихъ 5; если же ихъ нѣтъ вовсе, то, конечно, число дѣлится на 5. Поэтому:

На 5 дѣлятся числа, оканчивающіяся или нулемъ, или пятью.

§ 10. Признаки дѣлимости на 4 и на 25. Подобнымъ же пріемомъ найдемъ признакъ дѣлимости на 4 и на 25. Одна

единица не дѣлится ни на 4, ни на 25; одинъ десятокъ тоже не дѣлится ни на 4, ни на 25, но одна сотня всегда дѣлится и на 4 и на 25 (100 : 4=25; 100 : 25=4). Поэтому, сколько бы сотенъ мы ни взяли, онѣ всегда раздѣлятся и на 4 и на 25. Затрудненіе можетъ быть, слѣдов., въ десяткахъ и единицахъ.

Поэтому разбиваемъ число опять на 2 слагаемыхъ: первое слагаемое представитъ собою сотни, а второе — десятки и единицы вмѣстѣ. Напр. 80752=807 сотенъ+ 52. Первое слагаемое всегда, какъ мы уже сообразили, дѣлится и на 4 и на 25, а второе слагаемое (т.-е. десятки и единицы вмѣстѣ) можетъ дѣлиться — тогда и вся сумма (т.-е. наше число, раздѣлится, а можетъ и не раздѣлиться — тогда наше число, тоже не раздѣлится. Такъ какъ 52 дѣлится на 4 (52 : 4=13), то и все число дѣлится на 4, но такъ какъ 52 не дѣлится на 25, то и все число не дѣлится на 25.

Итакъ:

Если десятки и единицы числа вмѣстѣ дѣлятся на 4 или на 25, то и все число дѣлится на 4 или на 25.

Въ томъ случаѣ, когда число не дѣлится на 4 или на 25, легко узнать остатокъ отъ дѣленія этого числа на 4 или на 25, не дѣлая самаго дѣленія, — остатокъ будетъ такой же, какъ отъ дѣленія десятковъ и единицъ на 4 или на 25.

Напр. 5898 : 4. Не дѣлится, потому что 98 не дѣлится на 4. Такъ какъ отъ дѣленія 98 на 4 получится остатокъ 2, то и отъ дѣленія всего числа на 4 въ остаткѣ получимъ 2.

§ 11. Признакъ дѣлимости на 8. Подобнымъ же пріемомъ найдемъ признакъ дѣлимости н а 8. Одна единица, одинъ десятокъ, одна сотня не дѣлятся порознь на 8, а одна тысяча дѣлится (1000 : 8=125). Поэтому, сколько бы тысячъ у насъ ни было, онѣ раздѣлятся на 8. Разобьемъ поэтому данное число на два слагаемыхъ: первымъ слагаемымъ будутъ тысячи этого числа, а вторымъ—-сотни, десятки и единицы вмѣстѣ. Напр. 65872=65 тысячъ+872.

Первое слагаемое всегда дѣлится на 8, а второе не всегда, Если оно раздѣлится, то и все число раздѣлится на 8. Если же оно не раздѣлится, то и все число не раздѣлится. Поэтому;

Если сотни, десятки и единицы вмѣстѣ дѣлятся на 8, то и все число дѣлится на 8; если же они не дѣлятся, то и все число не дѣлится

Напр. 65872 дѣлится на 8, потому что 872 дѣлится (получится 872:8=109), а .80452 не дѣлится, потому что отъ дѣленія 452 на 8 получится остатокъ 4. Такой же остатокъ получится и отъ дѣленіи всего числа на 8.

§ 12. Признакъ дѣлимости на 125. Такъ какъ одна тысяча дѣлится на 125 (1000: 125=8 , то такой же признакъ дѣлимости получится и для дѣленія на 125.

Если сотни, и десятки, и единицы вмѣстѣ дѣлятся на 125, то и все число раздѣлится; если же они не дѣлятся, то и все число не раздѣлится.

Напр. 520625 дѣлится на 125, ибо 625 : 125=5, и 640550 не дѣлится, потому что 550 на 125 не дѣлится (въ остаткѣ 50).

§ 13. Признакъ дѣлимости на 9. Немного труднѣе узнавать, дѣлится ли или нѣтъ число на 9. Для того, чтобы подойти къ этому, выполнимъ слѣдующія дѣленія:

Отсюда видимъ, что при дѣленіи одной единицы каждаго разряда на 9 получается въ остаткѣ всегда одна единица.

Возьмемъ какое-нибудь число и разобьемъ его на слагаемыя по разрядамъ, изъ которыхъ оно состоитъ.

Напр. 80568=8 десятковъ тысячъ + 5 сотенъ + 6 десятковъ + 8 единицъ. Будемъ дѣлить на 9 каждое слагаемое.

Такъ какъ отъ дѣленія одного десятка тысячъ на 9 получается въ остаткѣ единица, то отъ дѣленія 8 десятковъ тысячъ получится въ остаткѣ не одна, а 8 единицъ.

Такъ какъ отъ дѣленія одной сотни на 9 получается въ остаткѣ 1 единица, то отъ дѣленія 5 сотенъ получится въ остаткѣ 5 единицъ. Также сообразимъ, что отъ дѣленія 6 десятковъ на 9 въ остаткѣ получимъ 6 единицъ. Наконецъ, послѣднее слагаемое 8 единицъ тоже нельзя раздѣлить на 9 — онѣ тоже останутся въ остаткѣ. Теперь соберемъ всѣ остатки вмѣстѣ и посмотримъ, нельзя ли ихъ вмѣстѣ раздѣлить на 9; если можно, то и все число раздѣлится.

84-5+6+8=27.

27 дѣлится на 9. Поэтому и все число раздѣлится.

Легко замѣтить, что остатокъ отъ каждаго разряда получается такой, сколько единицъ этого разряда находится въ числѣ, или какова цифра написана въ числѣ на мѣстѣ этого разряда. Поэтому приходится складывать цифры нашего числа.

Итакъ:

Если сумма цифръ числа дѣлится на 9, то и все число дѣлится; если же не дѣлится, то и все число не дѣлится.

Напр. 6158754 дѣлится на 9, ибо 6+1+5+8+7+5+4=36, а 36 дѣлится на 9, а 52376 не дѣлится на 9, ибо 5+2+3+7+6=23, а 23 не дѣлится на 9 — въ остаткѣ получится 5.

§ 14. Признакъ дѣлимости на 3. Если мы будемъ дѣлить одинъ десятокъ, одну сотню, одну тысячу и т. д. на 3, то въ остаткѣ будемъ получать, такъ же какъ и при дѣленіи на 9, всегда одну единицу. Поэтому признакъ дѣлимости на 3 такой же, какъ и на 9, т.-е.

Если сумма цифръ числа дѣлится на 3, то это число само дѣлится на 3; если же она не дѣлится на 3, то и число не дѣлится.

§ 15. Признаки дѣлимости на 10, 100 и т. д. Такъ какъ единицы никогда не могутъ раздѣлиться на 10, а десятки всегда на 10 дѣлятся, то получимъ признакъ дѣлимости н а 10.

Если число оканчивается нулемъ, то оно дѣлится на 10; если же какою-либо иною цифрою, то не дѣлится,

Также:

Если число оканчивается двумя нулями, то оно дѣлится на 100; если же иными цифрами, то не дѣлится.

§ 16. Числа простыя и сложныя. Всякое число непремѣнно дѣлится на единицу и на самого себя. Напр.

8: 1=8; 8:8=1.

Число, которое, кромѣ единицы и самого себя, ни на какое иное число не дѣлится, называется простымъ.

Число, которое, кромѣ единицы и самого себя, дѣлится еще на какое-нибудь число, называется сложнымъ.

1, 2, 3 суть числа простыя, а 4—-сложное, потому что 1, 2 и 3 ни на что кромѣ 1 и самихъ себя не дѣлятся, а 4 дѣлится еще на 2; 5 — число простое, 6 — сложное, 7 — простое, 8, 9 и 10 — сложныя, 11 — простое и т. д.

Спрашивается, какъ узнать, будетъ ли данное число простое или сложное. Возьмемъ, напр., число 509. Узнаемъ сперва, не дѣлится ли оно на 2. Пользуясь признакомъ дѣлимости (§ 8), сразу отвѣтимъ, что нѣтъ. Дѣлится ли на 3? Пользуясь признакомъ дѣлимости на 3, видимъ, что не дѣлится, потому что сумма цифръ (14) не дѣлится на 3. На 4 нечего и говорить, что не дѣлится, потому что 4 число сложное и само дѣлится на 2. Поэтому, если бы 509 дѣлилось на 4, то оно дѣлилось бы и на 2, а на 2, мы уже видѣли, 509 не дѣлится. На 5 по признаку дѣлимости 509 тоже не дѣлится; на 6 нечего и думать (6 число сложное — дѣлится на 2, а 509 на 2 не дѣлится). Вообще замѣнимъ, что на сложныя числа не стоитъ и пробовать дѣлить. Дѣлится ли на 7? Признака дѣлимости на 7 не знаемъ, поэтому придется попробовать дѣлить на 7,

На 7 не дѣлится: въ частномъ 72 и въ остаткѣ 5, На 8, 9 и 10 не стоитъ и пробовать — они числа сложныя. На 11 надо испробовать:

Не дѣлится: въ частномъ 46 и въ остаткѣ 3. На 12 не стоитъ пробовать — оно число сложное.

Пробуемъ на 13,

Въ частномъ 39 и въ остаткѣ 2.

На 14, 15 и 16 не стоитъ пробовать — они числа сложныя.

Пробуемъ на 17, затѣмъ на 19 и затѣмъ на 23 (пропускаемъ промежуточныя сложныя числа).

Если мы просмотримъ всѣ эти дѣленія, то легко замѣтимъ, что съ увеличеніемъ дѣлителя частное все уменьшалось (что вполнѣ понятно: если раскладываемъ число на большее число равныхъ частей, то въ каждую часть придется положить меньше). Теперь мы достигли того, что частное (22) сдѣлалось меньше дѣлителя. Теперь уже можно дальше и не пробовать дѣлить; 509 ни на какое число не

раздѣлится кромѣ самого себя. Чтобы это выяснить, положимъ, что 509 раздѣлилось, напр., на 29, тогда частное будетъ еще меньше: напр. 21. Поэтому мы напишемъ: 509 : 29=21, откуда 509=29.21. Отсюда заключаемъ, что 509 дѣлится и на 21 (въ частномъ должно получиться 29). Но мы уже видѣли, что на 21 наше число 509 не дѣлится (21 число сложное: дѣлится на 3, а 509 на 3 не дѣлится).

Итакъ, предположеніе, что 509 дѣлится на число, большее 23, ведетъ къ тому, что оно должно дѣлиться и на число, меньшее 23, а мы уже испробовали всѣ числа, меньшія 23: на нихъ 509 не раздѣлилось. Слѣдовательно и на числа большія, чѣмъ 23, оно не можетъ дѣлиться. Итакъ, 509 число простое.

Чтобы узнать, простое или сложное данное число, надо пробовать дѣлить его постепенно на всѣ простыя числа (2, 3, 5, 7, 11 и т. д.) до тѣхъ поръ, пока частное не получится меньше дѣлителя или равное ему. Если ни на одно изъ этихъ чиселъ данное число не дѣлится, то оно простое; въ противномъ же случаѣ сложное.

Чтобы всякій разъ не дѣлать такихъ длинныхъ вычисленій, составили таблицу простыхъ чиселъ. Приводимъ эту таблицу простыхъ чиселъ, не превышающихъ 1000.

§ 17. Взаимно-простыя и взаимно-сложныя числа. Если какое-нибудь число дѣлится на другое, то второе число

называется или дѣлителемъ, или множителемъ перваго. Напр. 45 дѣлится на 5, поэтому 5 назыв. дѣлителемъ или множителемъ 45. Послѣднее названіе употребляется потому, что 45 можно представить въ видѣ произведенія двухъ множителей, изъ которыхъ одинъ будетъ 5, т.-е. 45=5x9.

Если два числа не имѣютъ общихъ дѣлителей кромѣ единицы, то они называются взаимно-простыми, а если имѣютъ иныхъ общихъ дѣлителей кромѣ единицы, то — взаимно-сложными.

Напр. 10 и 13 не имѣютъ общихъ дѣлителей, кромѣ единицы, поэтому они взаимно-простыя.

10 и 25 — взаимно-сложныя, потому что имѣютъ кромѣ единицы общаго дѣлителя 5.

Каждое изъ двухъ взаимно-простыхъ чиселъ можетъ быть въ отдѣльности сложнымъ. Напр. 20 и 9; 20 —число сложное и 9 — число сложное, но между собою они взаимнопростыя.

§ 18. Разложеніе на простые множители. Всякое сложное число можно представить въ видѣ произведенія двухъ или нѣсколькихъ множителей. Напр. 45 число сложное и дѣлится, слѣдовательно, на какое-то число кромѣ 1 и самого себя; 45 дѣлится именно на 5 — въ частномъ получится 9; поэтому 45=5x9.

Итакъ, мы представили число 45 въ видѣ произведенія двухъ множителей. Если одинъ изъ этихъ множителей окажется тоже сложнымъ числомъ, то его можно представить тоже въ видѣ произведенія двухъ множителей. Въ нашемъ примѣрѣ 9=3x3.

Замѣнивъ 9 произведеніемъ 3.3, получимъ, что

45=5.3.3.

Итакъ, мы представили число 45 въ видѣ произведенія трехъ множителей. Если среди нихъ окажется хоть одинъ сложнымъ числомъ, то его опять можно замѣнить произведеніемъ двухъ множителей и т. д. Такимъ образомъ можно

достигнуть того, что всѣ множители окажутся простыми. Тогда говорятъ, что число разложено на простые множители. Напр. 45=5.3.3. Такъ какъ здѣсь всѣ три множителя суть простыя числа, то мы разложили число 45 на простые множители.

Итакъ, разложить число на простые множители значитъ представить его въ видѣ произведенія простыхъ множителей.

§ 19. Разложеніе на простые множители по таблицѣ умноженія. Изъ предыдущаго понятно, какъ слѣдуетъ поступать, чтобы разложить число на простые множители.

Надо сперва разложить его на два какихъ-нибудь множителя, потомъ каждый изъ этихъ множителей, если только онъ окажется сложнымъ числомъ, разложить въ свою очередь на два множителя, каждый изъ полученныхъ множителей опять, если можно, разложить на два множителя и т. д. до тѣхъ поръ, пока всѣ множители не окажутся простыми числами.

Во многихъ случаяхъ для всего этого достаточно знанія таблицы умноженія.

Когда одинъ и тотъ же множитель повторяется нѣсколько разъ, то можно написать полученный результатъ сокращенно, пользуясь показателемъ степени (§ 3).

§ 20. Разложеніе на простые множители чиселъ, оканчивающихся нулями. Такъ какъ всякое число, оканчивающееся однимъ нулемъ, дѣлится на 10, двумя нулями — на 100 и т. д. (§ 15), то этимъ можно воспользоваться для разложенія чиселъ на простые множители. Предварительно

разложимъ числа 10, 100, 1000, 10000 и т. д. на простые множители.

и т. д.

Эти разложенія слѣдуетъ запомнить: 10, 100, 1000 и т. д. вообще единица съ нѣсколькими нулями разлагается на множителя 2 и 5, и притомъ каждый изъ нихъ повторяется столько разъ, сколько нулей находится при единицѣ. Запомнивъ это, мы уже не будемъ тратить время на разложеніе 10, 100, 1000 и т. д.

Теперь возьмемъ такой примѣръ: 450.

Такъ какъ 450 оканчивается нулемъ, то это число дѣлится на 10, и въ частномъ получается 45. Поэтому 450=45 . 10. Число 45 мы можемъ разложить на простые множители по таблицѣ умноженія, а число 10, мы уже знаемъ, разлагается на 2 и 5. Поэтому:

Еще примѣръ:

§ 21. Разложеніе на простые множители большихъ чиселъ. Если число велико, то таблицей умноженія нельзя пользоваться, а приходится по признакамъ дѣлимости сообразить, дѣлится ли оно на 2, на 3, на 5 и т. п., и если дѣлится, дѣлить его на это число и записывать частное. Дѣленіе можно дѣлать наизусть и сразу частное писать такъ, чтобы дѣлитель и это частное были написаны множителями. Потомъ это частное въ свою очередь дѣлить на 2, на 3 или на 5 и т. д. до тѣхъ поръ, пока не получится частное, которое можно разложить по таблицѣ умноженія. Напр. разложить

на простые множители число 7056. Оно дѣлится на 2 (§8). Поэтому 7056=2.3528. (Частное 3528 надо получить наизусть и написать его множителемъ.) 3528 въ свою очередь дѣлится на 2, въ частномъ получается 1764. Поэтому 3528 можно замѣнить 2.1764; 1764 въ свою очередь дѣлится на 2 и т. д. Порядокъ дѣленій и замѣны чиселъ произведеніями даны ниже.

Замѣтимъ въ поясненіе, что мы дѣлили данное число и получаемыя частныя сперва на 2, потомъ, когда частное 441 на 2 не дѣлилось, раздѣлили его на 3, полученное частное опять на 3, и, наконецъ, когда получилось частное 49, то мы по таблицѣ умноженія его замѣнили 7x7. Если бы нельзя было воспользоваться таблицей умноженія, то надо было бы пробовать его дѣлить опять на 3, если нельзя, то на 5, если нельзя, то на 7, потомъ на 11 и т. д.

Иногда эти дѣленія располагаютъ въ слѣдующемъ порядкѣ:

Здѣсь, какъ видимъ, справа отъ черты пишутъ дѣлителей, а слѣва — получаемыя частныя. Продолжать дѣленіе надо до тѣхъ поръ, пока въ частномъ не получится 1. Тогда справа отъ черты и будутъ написаны всѣ простые множители нашего числа, т.-е.

Такое расположеніе слѣдуетъ употреблять лишь при вычисленіи въ сторонѣ (внизу страницы).

Точно такъ же въ сторонѣ допустимъ такой порядокъ:

Здѣсь множителями являются всѣ дѣлители. Возьмемъ еще для примѣра число 113400.

Число 1134 разлагаемъ въ сторонѣ, а 100 умѣемъ разложить. Расположеніе должно быть такимъ:

§ 22. Признаки дѣлимости на сложныя числа. Всякое число дѣлится на каждаго своего множителя. Напр. 42 дѣлится на 2, на 3 и на 7, потому что

Теперь мы говоримъ, что это число должно дѣлиться и на тѣ числа, которыя получатся отъ перемноженія этихъ

множителей попарно, т.-е. на 6=2.3, на 14=2.7 и на 21=3.7, потому что, пользуясь перестановкой множителей, можемъ написать:

Отсюда можемъ найти признаки дѣлимости на 6, 15, 14, 21, 35, 12 и т. п.

Напр. число дѣлится на 6, если оно дѣлится на 2 и на 3.

Число дѣлится на 15, если оно дѣлится на 3 и на 5.

Число дѣлится на 12, если оно дѣлится на 3 и на 4 и т. п.

Но изъ того, что число дѣлится напр. на 6 и на 4 нельзя заключить, что оно дѣлится на 6.4 т.-е. на 24. Въ самомъ дѣлѣ такое число при разложеніи на простые множители даетъ 3.2.2............................

Оно дѣлится на 6=3.2 и на 4±=2.2, но неизвѣстно дѣлится ли на 6.4: это зависитъ отъ того, имѣется ли среди остальныхъ множителей, обозначенныхъ точками, еще множитель 2(6.4=3.2.2.2); если имѣется, то дѣлится, а не имѣется, то не дѣлится. Отсюда заключаемъ, что для выясненія дѣлимости числа на сложное какое-либо число надо разложить это сложное число на 2 простыхъ взаимно простыхъ множителя, и тогда необходимо, чтобы данное число дѣлилось на каждаго изъ этихъ множителей.

ГЛАВА II.

НАИМЕНЬШЕЕ КРАТНОЕ И ОБЩІЙ НАИБОЛЬШІЙ ДѢЛИТЕЛЬ.

Наименьшее кратное.

§ 23. Опредѣленія. Возьмемъ какое-нибудь число, напр. 6, и будемъ находить такія числа, которыя дѣлятся на 6; они будутъ:

Каждое изъ этихъ, дѣлящихся на 6, чиселъ называется кратнымъ шести. Итакъ,

Кратнымъ даннаго числа называется такое число, которое дѣлится на данное.

Изъ предыдущаго видно, какъ получать числа, кратныя данному: надо умножать данное число на 1, на 2, на 3, на 4 и т. д. При этомъ число, полученное отъ умноженія даннаго на 2, называется двухъ-кратнымъ, н" 3 — трехъ-кратнымъ, на 4 — четырехъ кратнымъ и т. д.

Подобнымъ же образомъ, если данное число умножимъ на 1, то полученное произведеніе (оно, конечно, равно данному числу) называютъ одно-кратнымъ даннаго.

Составимъ теперь кратныя числа, напр., для 6 и для 8: въ верхней строчкѣ написаны кратныя 6, а въ нижней кратныя 8.

Сравнивая ихъ, мы замѣчаемъ, что въ обѣихъ строчкахъ встрѣчаются одинаковыя числа, напр. 24; 48; 72 и т. д. Слѣдовательно, каждое изъ этихъ чиселъ въ одно и то же время служитъ кратнымъ и 6 и 8. Поэтому каждое изъ этихъ чиселъ называется общимъ кратнымъ для двухъ данныхъ чиселъ (6 и 8). Мы видимъ, что для двухъ данныхъ чиселъ можно найти множество общихъ кратныхъ. Но среди нихъ надо обратить особое вниманіе на самое маленькое — въ данномъ случаѣ 24, — оно называется наименьшимъ общимъ кратнымъ двухъ нашихъ чиселъ. Подобнымъ же образомъ можно найти общія кратныя и среди нихъ наименьшее для трехъ, четырехъ и сколько угодно чиселъ.

Итакъ,

Наименьшимъ общимъ кратнымъ двухъ или нѣсколькихъ чиселъ называется

самое маленькое число, которое дѣлится на каждое изъ данныхъ чиселъ.

Если намъ надо найти общее наименьшее кратное для чиселъ 6 и 8, то будемъ это обозначать такъ:

Н. К. (6; 8).

Такъ какъ мы уже видѣли, что оно для этихъ чиселъ равно 24, то напишемъ

Н. К. (6; 8)=24.

§ 24. Первый способъ нахожденія наим. кратнаго. Теперь спрашивается, какъ находить общее наим. кратное сперва для двухъ данныхъ чиселъ. Если данныя числа не велики, то можно рѣшить этотъ вопросъ въ умѣ, поступая такъ, какъ это будетъ выяснено въ слѣдующемъ примѣрѣ:

Требуется найти Н. К. (18; 24).

Возьмемъ большее изъ данныхъ чиселъ, т.-е. 24, и будемъ составлять для него послѣдовательныя кратныя и соображать, дѣлятся ли они, или нѣтъ на другое число, т.-е. 18; сперва одно-кратное 24, оно, очевидно, на 18 не дѣлится, слѣдов. не будетъ общимъ кратнымъ; потомъ двухъ-кратное: 24 x 2= 48, это число на 18 (легко сообразить въ умѣ) не дѣлится, слѣдов. не будетъ общимъ кратнымъ; потомъ трехъ-кратное: 24x3=72; это число дѣлится на 18 (въ умѣ), слѣдов. оно будетъ общимъ кратнымъ для нашихъ чиселъ, и притомъ наименьшимъ, потому что всѣ меньшія числа, дѣлящіяся на 24, на 18, какъ мы сообразили, не дѣлятся. Итакъ,

Н. К. (18; 24)=72.

Еще примѣръ:

Н. К. (45; 54)=270.

Беремъ послѣдовательныя кратныя 54; они суть: 54 — не дѣлится на 45; 108 — не дѣлится на 45; 162 — не дѣлится на 45; 216 — не дѣлится на 45; 270 — дѣлится на 45 (270 : 45=6). Слѣдов. 270 будетъ общимъ наименьшимъ кратнымъ для нашихъ чиселъ (5-кратное для 54 и 6-кратное для 45).

Надо еще обратить вниманіе на слѣдующіе два случая:

1 ) Если одно изъ данныхъ чиселъ дѣлится на другое, то первое число (большее) и будетъ общимъ наименьшимъ кратнымъ; напр.

Н. К. (13; 65)=65.

Этотъ случай вполнѣ ясенъ (65 есть одно-кратное для 65 и пяти-кратное для 13).

2) Если оба данныхъ числа взаимно-простыя, то для нахожденія наименьшаго кратнаго ихъ слѣдуетъ перемножить; напр.

Н. К. (16; 25)= 16.25=400.

Этотъ случай мы объяснимъ въ слѣдующемъ §-ѣ.

Подобнымъ же образомъ можно найти общее наим. кратное для трехъ, четырехъ и т. д. чиселъ. Напр.

Н. К. (15; 10; 6).

Возьмемъ наибольшее изъ нашихъ трехъ чиселъ, т.-е. 15, и будемъ составлять послѣдовательныя кратныя ему и соображать, дѣлятся ли они на другія два числа, т.-е. 10 и 6. Сперва одно-кратное—15—-оно не дѣлится на 10, слѣдов. не годится; потомъ двухъ-кратное —15.2=30, на 10 оно дѣлится; посмотримъ, дѣлится ли оно на 6 — дѣлится, поэтому оно и будетъ искомымъ, т.-е.

Н. К. (15; 10; 6)=30.

Еще примѣръ:

Н. К. (24; 18; 16).

24 не дѣлится на 18; 48 тоже не дѣлится на 18; 72 дѣлится на 18 (72 : 18=4), но не дѣлится на 16 — поэтому не годится; 96 не дѣлится на 18; 120 не дѣлится на 18; 144 дѣлится на 18(144:18=8) и дѣлится на 16 (144:16=9). Итакъ,

Н. К. (24; 18; 16)= 144.

Здѣсь можно было бы сдѣлать упрощеніе: мы сперва нашли Н. К. для 24 и 18 — оно получилось = 72; теперь можно искать Н. К. для найденнаго числа 72 и для третьяго числа 16, потому что на 24 и 18 будутъ дѣлиться только тѣ числа, которыя кратны 72.

Еще примѣръ:

Н. К. (15; 8; 9).

Ищемъ сперва Н. К. для 15 и 8. Такъ какъ эти числа взаимно простыя, то перемножимъ ихъ — получимъ 120. Теперь будемъ искать Н. К. (120; 9); нашимъ пріемомъ легко найдемъ, что это искомое число = 360. Итакъ,

Н. К. (15; 8:9)=Н. К. (120; 9)=360.

§ 25. Другой способъ отысканія общаго наим. кратнаго. Онъ основывается на разложеніи чиселъ на простые множители и употребляется въ случаѣ большихъ данныхъ чиселъ. Напр.

Найти Н. К. (720; 675).

Разложимъ данныя числа на простые множители:

Такъ какъ искомое число должно дѣлиться на 720, то въ него должны входить всѣ тѣ простые множители, которые входятъ въ разложеніе 720. Съ другой стороны, на томъ же основаніи въ искомое число должны входить всѣ тѣ множители, которые входятъ въ разложеніе 675.

Такъ какъ въ 1 -мъ числѣ 2 повторяется 4 раза множителемъ, а во второмъ числѣ множителя 2 вовсе нѣтъ, то понадобится для искомаго числа взять 2 множителемъ не менѣе 4 разъ. Множитель 3 повторяется въ первомъ числѣ 2 раза, а во второмъ 3 раза. Поэтому для искомаго числа понадобится множитель 3 повторить не менѣе 3 разъ (иначе оно не раздѣлится на 675), но болѣе трехъ разъ его повторять нельзя, потому что тогда уже получится не наименьшее общее кратное; итакъ, понадобится множитель 3 повторить 3 раза. Подобнымъ же образомъ множитель 5 понадобится повторить 2 раза. Итакъ,

Для болѣе удобнаго вычисленія, мы 22 и 52 поставили отдѣльно, такъ какъ знаемъ (§ 20), что 100=22. 52, а осталь-

ные множители написали впереди и внизу подписали, чему равно 22; З3 и 22.52.

Отсюда получаемъ правило:

Чтобы найти Н.К. для двухъ данныхъ чиселъ, надо эти числа разложить на простые множители и взять для составленія Н. К. всѣ входящіе въ нихъ множители въ наибольшихъ степеняхъ,

§ 26. Наим. кратное трехъ и болѣе чиселъ. Совершенно сходнымъ пріемомъ отыскиваютъ Н. К. и для нѣсколькихъ чиселъ. Напр.

Найти Н. К. (540; 504; 162).

Разложимъ данныя числа на простые множители:

Чтобы искомое число дѣлилось на данныя числа, оно должно содержать множитель 2, по крайней мѣрѣ, 3 раза, множитель 3, по крайней мѣрѣ, 4 раза и по одному разу множителей 5 и 7, т.-е.

Общій наибольшій дѣлитель.

§ 27. Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ двухъ или нѣсколькихъ чиселъ называется самое большое число, на которое дѣлятся всѣ данныя числа.

Въ нѣкоторыхъ случаяхъ легко сообразить, каковъ будетъ общій наиб. дѣлитель для данныхъ чиселъ. Напримѣръ найти общаго наиб. дѣлителя для чиселъ 6 и 12.

Такъ какъ 12 дѣлится на 6, а на число, большее 6, само 6 не можетъ дѣлиться, то искомый общій наиб. дѣлитель=6.

Обозначаемъ это такъ:

Еще, найти Н. Д. (8; 12).

Легко сообразить, что на 4 оба числа дѣлятся, на 5 первое число (8) не дѣлится, на 6 оно тоже не дѣлится, на 7 тоже, а на 8 второе число не дѣлится, на числа же, большія 8, само 8 не можетъ дѣлиться. Итакъ,

Н. Д. (8; 12)=4.

Замѣтимъ еще, что общій наиб. дѣлитель для двухъ взаимно-простыхъ чиселъ (§ 17) долженъ равняться 1, ибо у нихъ иныхъ общихъ дѣлителей нѣтъ. Напр.

Н. Д. (20; 9)=1.

§ 28. Нахожденіе общаго наиб. дѣлителя для большихъ чиселъ. Теперь укажемъ способъ нахожденія общаго наибольшаго дѣлителя въ томъ случаѣ, когда данныя числа такъ велики, что трудно сообразить сразу, каковъ онъ. Напр.

Найти Н. Д. (1296; 1620).

Разложимъ наши числа на простые множители:

Такъ какъ число дѣлится на каждый свой множитель (§ 22), то оба данныя числа дѣлятся на 22 и на З4, т.-е. на своихъ общихъ множителей; другихъ же общихъ множителей у нихъ нѣтъ. Поэтому

Итакъ, чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ, надо разложить эти числа на простые множители и для составленія искомаго числа взять тѣ множители, которые входятъ въ оба данныхъ числа.

Подобнымъ же образомъ находятъ общаго наиб. дѣлителя для трехъ или болѣе чиселъ: здѣсь придется выбирать тѣ множители, которые входятъ во всѣ данныя числа.

Напр. найти Н. Д. (900; 360; 198; 162).

§ 29. Дѣленіе по множителямъ. Въ § 7 мы видѣли, что для того, чтобы раздѣлить произведеніе нѣсколькихъ множителей на одного изъ нихъ, надо исключить этого множителя. Напр.

(5x3x7) :3=5x7.

Подобнымъ же образомъ, чтобы раздѣлить одно произведеніе нѣсколькихъ множителей на другое, состоящее изъ нѣкоторыхъ множителей, входящихъ въ первое произведеніе, надо изъ перваго произведенія исключить множителей, входящихъ во второе произведеніе. Напр.

(5х3х7х4) : (3х4)=[(3.4). (5.7)] : (3.4)=5.7,

т.-е. въ концѣ концовъ пришлось изъ перваго произведенія исключить множителей, входящихъ во второе произведеніе.

Этимъ пользуются для дѣленія Н. К. нѣсколькихъ чиселъ на какое-нибудь одно изъ этихъ чиселъ или для дѣленія одного изъ данныхъ чиселъ на ихъ общаго наиб. дѣлителя, или для дѣленія Н. К. нѣсколькихъ чиселъ на ихъ Н. Д.

Напр. рѣшимъ задачу:

Найти сумму частныхъ отъ дѣленія наим. кратнаго чиселъ 480 и 1152 на каждое изъ этихъ чиселъ.

2) Нахожденіе 1-го частнаго.

3) Нахожденіе 2-го частнаго.

4) Нахожденіе суммы частныхъ.

§ 30. Нахожденіе общаго наибольшаго дѣлителя послѣдовательными дѣленіями. Этотъ способъ основывается на двухъ свойствахъ общаго наиб. дѣлителя.

1 -е свойство Если большее изъ данныхъ двухъ чиселъ дѣлится на меньшее, то меньшее число и есть общій наиб. дѣлитель этихъ двухъ чиселъ.

Это очевидно.

2-е свойство. Если большее изъ двухъ данныхъ чиселъ не дѣлится на меньшее, то ихъ общій наибольшій дѣлитель равенъ общему наиб. дѣлителю для меньшаго изъ данныхъ чиселъ и остатка отъ дѣленія большаго на меньшее.

Напр. возьмемъ два числа 120 и 45. Раздѣливъ 120 на 45, получимъ въ частномъ 2 и въ остаткѣ 30. Поэтому можемъ написать:

120=45.2+30.

Возьмемъ какого-нибудь общаго дѣлителя чиселъ 45 и 30; тогда каждое слагаемое предыдущей суммы дѣлится на него. Слѣдовательно и вся сумма, т.-е. 120, должна дѣлиться. Поэтому всѣ общіе дѣлители пары чиселъ 45 и 30 должны быть общими дѣлителями другой пары чиселъ, т.-е. 120 и 45.

На основаніи опредѣленія вычитанія, мы можемъ написать: 120—(45.2)=30.

Возьмемъ теперь какого-нибудь общаго дѣлителя чиселъ 120 и 45. Тогда замѣтивъ, что уменьшаемое (120) и вычитаемое (45.2) на него дѣлятся, должны заключить, что и разность (30) тоже на него дѣлится. Поэтому видимъ, что всякій общій дѣлитель пары чиселъ 120 и 45 долженъ быть общимъ дѣлителемъ и другой пары чиселъ, т.-е. 45 и 30.

Итакъ, двѣ пары чиселъ (120; 45) и (45; 30) имѣютъ однихъ и тѣхъ же общихъ дѣлителей; слѣдов. у нихъ и общій наибольшій дѣлитель одинаковъ, т.-е.

Теперь найдемъ, пользуясь этими свойствами, Н. Д.(234; 90).

Сперва пробуемъ, не будетъ ли 90 общимъ наиб. дѣлителемъ; для этого дѣлимъ 234 на 90, — получимъ въ частномъ 2 и въ остаткѣ 54. Слѣдов. 90 не есть общій наиб. дѣлитель. Теперь, на основаніи второго свойства, вмѣсто того чтобы искать Н. Д. (234; 90), мы можемъ искать Н. Д. (90; 54). Это, конечно, проще, ибо числа меньше. Попробуемъ, не будетъ ли меньшее изъ этой пары чиселъ, т.-е. 54, общимъ наиб. дѣлителемъ, для чего дѣлимъ 90 на 54. Оказывается, нѣтъ, ибо отъ этого дѣленія получается остатокъ 36. На основаніи второго свойства, говоримъ Н. Д. (90; 54)= Н. Д. (54; 36), — опять упрощеніе. Поэтому станемъ искать Н. Д. (54; 36). Для этого опять пробуемъ, не будетъ ли 36 общимъ наиб. дѣлителемъ. Оказывается, нѣтъ, ибо 54 на 36 не дѣлится — въ остаткѣ 18. Теперь имѣемъ: Н. Д. (54; 36)=Н. Д. (36; 18). Ищемъ Н. Д. (36; 18). Для этого пробуемъ, не будетъ ли 18 общимъ наиб. дѣлителемъ. Оказывается, будетъ (l-е свойство), такъ какъ 36 дѣлится на 18. Такъ какъ изъ предыдущаго мы имѣемъ:

Дѣйствія располагаемъ такъ:

Итакъ, чтобы найти общаго наиб. дѣлителя двухъ чиселъ послѣдовательными дѣленіями, надо большее число дѣлить на меньшее, потомъ меньшее на полученный остатокъ отъ перваго дѣленія, затѣмъ остатокъ отъ перваго дѣленія на остатокъ отъ второго дѣленія и т.д., пока остатка не получится. Тогда послѣдній дѣлитель и долженъ быть общимъ наибольшимъ дѣлителемъ данныхъ чиселъ.

§ 31. Примѣненіе этого способа къ нахожденію общаго наиб. дѣлителя для трехъ и болѣе данныхъ чиселъ.

Найти Н. Д. (504; 360; 210).

Сперва найдемъ Н. Д. (504; 360).

Итакъ, Н. Д. (504; 360)=72.

Теперь утверждаемъ, что Н. Д. (504; 360; 210)= Н. Д. (72; 210).

Вѣ самомъ дѣлѣ, возьмемъ три пары чиселъ:

При объясненіи 2-го свойства § 30 мы видѣли, что всякій общій дѣлитель первой пары чиселъ будетъ общимъ дѣлителемъ и второй пары чиселъ, и слѣдов. долженъ быть общимъ дѣлителемъ и третьей пары чиселъ. Отсюда заключаемъ: общій дѣлитель чиселъ (504; 360) долженъ быть дѣлителемъ числа 72.

Обратно, возьмемъ какого-нибудь дѣлителя числа 72. Такъ какъ 144 дѣлится на 72, то онъ будетъ и дѣлителемъ

числа 144, т.-е. онъ будетъ общимъ дѣлителемъ пары Чиселъ (144; 72); поэтому (§ 30) онъ долженъ быть общимъ дѣли телемъ второй пары и слѣдов. и первой пары. Итакъ, всякій дѣлитель числа 72 долженъ быть общимъ дѣлителемъ первой пары (504; 360).

Теперь возьмемъ двѣ группы чиселъ:

(504; 360; 210) и (72; 210).

Всякій общій дѣлитель первой группы долженъ дѣлить число 72 (какъ видно изъ предыдущаго) и 210, такъ какъ 210 входитъ и въ первую группу, и обратно, всякій общій дѣлитель второй группы долженъ дѣлить числа 504 и 360, (какъ видѣли выше), а также и 210, такъ какъ 210 входитъ и во вторую группу. Итакъ, у этихъ двухъ группъ всѣ общіе дѣлители одинаковы, слѣдов. и общій наиб. дѣлитель одинаковъ, т.-е.

Н. Д. (504; 360; 210)=Н. Д. (72; 210).

Теперь остается найти Н. Д. (72; 210).

Итакъ, Н. Д. (504; 360; 210)=6.

Если надо найти общаго наиб. дѣлителя для четырехъ чиселъ, то сперва ищутъ Н. Д. для двухъ изъ нихъ, потомъ ищутъ Н. Д. для найденнаго общаго наиб. дѣлителя и третьяго числа и, наконецъ, находятъ общаго наиб. дѣлителя для послѣдняго найденнаго общаго наиб. дѣлителя и четвертаго числа.

ГЛАВА III.

ОБЫКНОВЕННЫЯ ДРОБИ.

§ 32. Происхожденіе дробей. Если листъ бумаги разрѣзать на 4 равныхъ части, то каждую часть мы назовемъ четвертою частью или четвертою долею листа; если взять три такихъ части, то говоримъ, что мы взяли три четвертыхъ части листа. Если яблоко разрѣзать на 6 равныхъ частей, то каждую часть мы назовемъ шестою частью или шестою долею яблока; можно взять одну шестую яблока (слово часть пропускается), двѣ шестыхъ яблока, три шестыхъ яблока и т. д. Подобнымъ же образомъ можно про многія единицы вообразить, что онѣ раздѣлены на части, и можно тогда считать эти части единицы. Названіе этой единицы часто вовсе пропускается.

Число, происшедшее отъ счета опредѣленныхъ частей (или долей) единицы, называется дробнымъ числомъ или дробью.

Напр., если единицу раздѣлимъ на 8 равныхъ частей и возьмемъ 5 такихъ частей, то получимъ дробное число пять восьмыхъ. Изображаютъ это дробное число такъ: пишутъ g, при чемъ число, стоящее подъ чертою, выражаетъ, на сколько частей раздѣлена единица, и называется знаменателемъ дроби; число, стоящее надъ чертою, выражаетъ, сколько такихъ частей единицы взято для составленія дроби, и называется ея числителемъ. Числитель и знаменатель вмѣстѣ называются членами дроби.

Упражненія. Объяснить происхожденіе дробей:

§ 33. Примѣненіе къ дѣленію цѣлыхъ чиселъ. При помощи дробныхъ чиселъ мы можемъ выполнить такія дѣленія,

которыя не могутъ быть выполнены цѣлыми числами. Напр. требуется 1 : 8. Мы говоримъ, что это значитъ, что единицу надо разложить на 8 равныхъ частей, съ цѣлью узнать, какъ велика каждая часть. Теперь мы уже знаемъ, что въ этомъ случаѣ каждая часть называется восьмою долею единицы. Слѣдов. 1 : 8=g- Другой примѣръ 5:8. Разложимъ сперва одну единицу на 8 равныхъ частей, тогда въ каждой части получимъ по | доли единицы. Затѣмъ разложимъ вторую единицу на 8 равныхъ частей; тогда въ каждую часть придется положить еще g долю единицы — всего уже теперь въ каждой части (вмѣстѣ съ прежнею) будетъ находиться двѣ восьмыхъ доли единицы, т.-е. каждая часть=|. Разлагая на 8 равныхъ частей третью единицу, увидимъ, что послѣ этого часть будетъ равна такъ какъ прибавится еще одна восьмая доля единицы и т. д. Такимъ образомъ, послѣ разложенія на равныя части всѣхъ пяти единицъ, каждая часть окажется равной g единицы (отъ каждой разлагаемой на части единицы туда попадаетъ по 5 доли единицы).

Итакъ,

Подобнымъ же образомъ найдемъ,

Отсюда мы заключаемъ еще, что всякую дробь можно разсматривать, какъ частное отъ дѣленія числителя на знаменателя.

§ 34. Правильныя и неправильныя дроби. Смѣшанныя числа. Тѣ дроби, величина которыхъ меньше единицы, называются правильными. Напр. дробь | правильная, потому что въ цѣлой единицѣ содержится 7 седь-

мыхъ долей ея, а для составленія нашей дроби взято ихъ только 6.

Слѣдующія дроби тоже правильныя:

Тѣ дроби, величина которыхъ равна единицѣ или больше ея, называются неправильными. Напр. возьмемъ дробь ~ Ее можно разсматривать, какъ число, происшедшее отъ счета восьмыхъ долей единицы — пришлось насчитать 11 восьмыхъ долей единицы.

Такъ какъ единица содержитъ 8 восьмыхъ долей, а для составленія нашей дроби взято одиннадцать такихъ долей, то эта дробь больше единицы, т.-е. неправильная. Подобнымъ же образомъ, дробь | неправильная, потому что она равна единицѣ (въ единицѣ 6 шестыхъ долей).

Вотъ еще неправильныя дроби:

Легко сразу узнать, правильная ли, или неправильная данная дробь. Если числитель меньше знаменателя, то дробь правильная; если же числитель равенъ знаменателю или больше его, то — неправильная.

Иногда приходится для выраженія числа пользоваться и цѣлыми числами и дробными. Напр., если мы возьмемъ два цѣлыхъ яблока, да еще половину яблока (половина все равно, что одна вторая часть), то говоримъ, что мы взяли два съ половиною яблока. Число два съ половиною пишутъ такъ: 2^- Еще примѣръ: если мы измѣряемъ ростъ человѣка, и окажется, что онъ содержитъ два цѣлыхъ аршина и еще три четвертыхъ его части, то получаемъ число 2- аршина.

Такія числа, которыя состоятъ изъ цѣлыхъ и дробныхъ чиселъ вмѣстѣ, называются смѣшанными числами.

Вотъ еще смѣшанныя числа:

Читаются смѣшанныя числа такъ: одна цѣлая (единица) и пять восьмыхъ; 4 цѣлыхъ и двѣ трети и т. п.

§ 35. Всякое цѣлое число можно обратить въ дробь, имѣющую какой-угодно знаменатель. Прежде всего, очевидно, что:

потому что единица содержитъ 2 половины, 3 третьихъ доли, 4 четвертыхъ доли и т. п. Теперь возьмемъ цѣлое число, напр. 12, и превратимъ его въ дробь, чтобы у нея знаменатель былъ, напр., 8. Такъ какъ единица содержитъ 8 восьмыхъ долей, то 12 единицъ будутъ ихъ содержать въ 12 разъ болѣе, т.-е. (8x12) восьмыхъ долей единицы. Итакъ,

Подобнымъ же образомъ найдемъ, напр.,

Подобно этому можно написать

§ 36. Обращеніе смѣшаннаго числа въ неправильную дробь. Пусть надо смѣшанное число обратить въ неправильную дробь. Это значитъ, надо б| выразить въ седьмыхъ доляхъ единицы. Такъ какъ одна единица содержитъ 7 седьмыхъ долей единицы, то чтобы узнать, сколько такихъ долей въ пяти единицахъ, надо 7 долей повторить 5 разъ слагаемымъ, или 7 умножить на 5 — получимъ 35 седьмыхъ долей, да у насъ еще имѣется 5 такихъ долей — всего, слѣдов., имѣемъ 35+5=40 седьмыхъ долей, т.-е.

Отсюда видимъ, что для обращенія смѣшаннаго числа въ неправильную дробь надо знаменателя дроби умножить на цѣлое число и къ полученному произведенію приложить числителя, — полученная сумма должна быть числителемъ

искомой неправильной дроби, а знаменатель ея остается тотъ же.

§ 37. Исключеніе цѣлаго числа изъ неправильной дроби. Исключить цѣлое число изъ неправильной дроби значитъ узнать, сколько цѣлыхъ единицъ содержится въ этой дроби.

Напр. дана неправ. дробь -g-«

Такъ какъ въ единицѣ пять пятыхъ долей, а у насъ ихъ взято 37, то въ этой дроби будетъ столько цѣлыхъ единицъ, сколько разъ 5 содержится въ 37. Это можно узнать посредствомъ дѣленія-сравненія; надо 37 : 5 — получимъ въ частномъ 7 и еще въ остаткѣ 2. Слѣдов. въ 37 число 5 содержится 7 разъ, а слѣдов. и цѣлыхъ единицъ въ этой дроби содержится 7. Но такъ какъ у насъ еще осталось 2 седьмыхъ доли, изъ которыхъ нельзя составить ни одной цѣлой единицы, то

Такъ же объяснимъ, что

§ 38. Зависимость величины дроби отъ ея членовъ. Если двѣ дроби имѣютъ одинаковаго знаменателя, то та дробь больше, у которой числитель больше.

Напр. возьмемъ двѣ дроби и такъ какъ первая дробь состоитъ изъ четырехъ девятыхъ долей единицы, а вторая дробь состоитъ изъ пяти такихъ же долей, то вторая дробь больше первой.

Если двѣ дроби имѣютъ одинаковыхъ числителей, то та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

Напр. возьмемъ двѣ дроби ? и g- Такъ какъ первая дробь состоитъ изъ трехъ седьмыхъ долей единицы, а вторая тоже изъ трехъ, но восьмыхъ долей единицы, и такъ какъ седьмыя доли единицы крупнѣе восьмыхъ (въ 1-мъ случаѣ единица раздѣлена только на 7 равныхъ частей, а во 2-мъ — на 8),

то первая дробь, состоящая изъ болѣе крупныхъ долей единицы, должна быть больше.

Увеличить данную дробь въ нѣсколько разъ.

Возьмемъ, напримѣръ, дробь æ и увеличимъ ее въ 2 раза. Такъ какъ для составленія этой дроби взято 3 десятыхъ доли единицы, то для полученія дроби въ 2 раза большей придется взять такихъ долей въ 2 раза больше, т.-е. 6 десятыхъ долей. Итакъ, для нашей цѣли надо увеличить числителя въ 2 раза. Подобнымъ же образомъ, чтобы увеличить дробь въ 3, 4 и т. д. разъ, придется увеличить числителя въ 3, 4 и т. д. разъ.

Но того же самаго можно достигнуть инымъ путемъ: въ нашей дроби берутся десятыя доли единицы. Если мы возьмемъ такія доли, которыя были бы въ 2 раза крупнѣе, а число долей оставимъ прежнимъ (3), то дробь опять увеличится въ 2 раза. Какія же доли крупнѣе десятыхъ въ 2 раза? Конечно, пятыя, потому что 10 : 2=5. Такимъ образомъ дробь р должна быть въ 2 раза больше прежней дроби æ ибо каждая пятая доля единицы въ 2 раза больше десятой ея доли, а число долей осталось одинаковымъ. Итакъ, чтобы увеличить дробь въ 2 раза, надо, не измѣняя ея числителя, уменьшить въ 2 раза ея знаменателя (если только это возможно). Подобнымъ же образомъ, если надо дробь ~ увеличить въ 5 разъ, можно уменьшить ея знаменателя въ 5 разъ, т.-е. раздѣлить его на 5, — получимъ |-

Итакъ, увеличить дробь въ нѣсколько разъ можно двумя способами: 1) не измѣняя ея знаменателя, увеличить во столько же разъ (умножить) ея числителя; 2) не измѣняя ея числителя, уменъ-

шить во столько же разъ (раздѣлить) ея знаменателя.

То же самое можно объяснить иначе: дробь æ получилась отъ дѣленія 3 на 10. Если дѣлимое (числителя) увеличить въ нѣсколько разъ, то частное (дробь) увеличится во столько же разъ; точно такъ же, если дѣлителя (знаменателя) уменьшить въ нѣсколько разъ, то частное (дробь) тоже увеличится во столько же разъ.

Уменьшить дробь въ нѣсколько разъ.

Возьмемъ, напр., дробь Она состоитъ изъ 8 девятыхъ долей единицы; если мы этихъ долей возьмемъ вдвое меньше, т.-е. 4 (8 : 2=4), то, конечно, новая дробь Ы получится въ два раза меньше старой. Итакъ, для уменьшенія дроби въ 2 раза, надо уменьшить ея числителя въ 2 раза. Подобнымъ же образомъ можно уменьшить дробь въ 3, 4 и т. д. разъ, если только ея числитель дѣлится на 3, на 4 и т. д. Нашу дробь | этимъ способомъ можно уменьшить еще въ 4 раза, получимъ и въ 8 разъ, — получимъ

Но можно того же самаго достигнуть инымъ способомъ. Наша дробь состоитъ изъ девятыхъ долей единицы, а мы возьмемъ столько же долей, но такихъ, чтобы каждая доля была въ два раза мельче девятой доли единицы. Такими будутъ восемнадцатыя доли единицы (9x2=18). Слѣдовательно дробь ~ будетъ въ 2 раза меньше данной; также ~ въ 3 раза меньше данной и т. д. Итакъ, для уменьшенія дроби въ нѣсколько разъ, можно, не измѣняя ея числителя, увеличить ея знаменателя во столько же разъ (умножить).

Слѣдовательно, уменьшить дробь въ нѣсколько разъ можно двумя способами:

1) не измѣняя ея знаменателя, уменьшить въ требуемое число разъ числителя (раздѣлить); 2) не измѣняя ея чис-

лителя, увеличить въ требуемое число разъ ея знаменателя (умножить).

То же самое можно объяснить иначе: дробь | получилась отъ дѣленія 8 на 9. Если дѣлимое (числитель) уменьшить въ нѣсколько разъ, то частное (дробь) уменьшится во столько же разъ; если дѣлителя (знаменателя) увеличить въ нѣсколько разъ, то частное (дробь) уменьшится во столько же разъ.

Главное свойство дробей.

Если числителя и знаменателя дроби умножимъ на одно и то же число или раздѣлимъ на одно и то же число, то дробь своей величины не измѣнитъ,

Напр. 9=27’ потому что отъ первой причины, когда умножили числителя на 3, дробь увеличилась въ 3 раза, а отъ второй причины, когда умножили знаменателя на 3, она снова уменьшилась въ 3 раза, т.-е. возвратилась къ прежней величинѣ. То же самое можно объяснить иначе: дробь | есть частное отъ дѣленія 8 на 9 (§ 33), а частное не мѣняется, если дѣлимое и дѣлителя умножить на одно число.

Такъ же и наоборотъ, |^=|’ т.-е. отъ дѣленія числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не мѣняется.

§ 39. Сокращеніе дроби. Сократить дробь значитъ выразить эту дробь меньшими числами. Для этого пользуются свойствомъ дробей, найденнымъ въ предыдущемъ §-ѣ, а именно: отъ дѣленія числителя и знаменателя на одно и то же число дробь не измѣняется. Поэтому, чтобы сократить дробь, надо при помощи признаковъ дѣлимости смотрѣть, нельзя ли числителя и знаменателя этой дроби раздѣлить на одно и

то же число (на 2, на 3, на 10 и т. п.). и, если можно, выполнить это дѣленіе.

Напр. дана дробь Такъ какъ числитель ея и знаменатель оканчиваются на нули, то ихъ можно раздѣлить на 10. Сдѣлавъ это, получимъ дробь которая должна быть равна старой. Затѣмъ легко видѣть, что числит. и знам. этой дроби дѣлятся на 2. Раздѣливъ ихъ, получимъ новую дробь которая опять должна быть равна старой. Наконецъ, замѣчаемъ, что теперь числит. и знам. дѣлятся на 3, — тогда получимъ новую дробь|» у которой числитель и знам. не имѣютъ общихъ дѣлителей, т.-е. суть числа взаимно простыя. Такую дробь сократить уже нельзя. Итакъ,

мы имѣли:

Еще примѣръ:

Здѣсь числит. и знам. || оба дѣлятся на 7 (не трудно сообразить по таблицѣ умноженія).

Иногда не такъ легко бываетъ узнать, на какое число можно раздѣлить числителя и знаменателя ея — приходится тогда въ сторонѣ или въ умѣ пробовать ихъ дѣлить на 7, на 11, на 13, на 17 и т. д., вообще на простыя числа, признаковъ дѣлимости на которыя мы не знаемъ. Напр.

Здѣсь мы дѣлили числит. и знам. постепенно: 1) на 11,

2) на 19 и 3) на 23.

Можно сокращать дробь не постепенно на маленькія числа, какъ это дѣлалось выше, а сразу на самое большое число.

Для этого надо найти общаго наибольшаго дѣлителя для числителя и знаменателя и раздѣлить ихъ на него.

Напр.

Замѣчаніе. Если числитель и знаменатель суть числа взаимно-простыя, то такую дробь нельзя сократить; если же они суть числа взаимно-сложныя, то можно.

§ 40. Приведеніе дробей къ одному знаменателю. Привести дроби къ одному знаменателю значитъ выразить эти дроби въ одинаковыхъ доляхъ единицы.

Напримѣръ, даны дроби ~ и требуется привести ихъ къ одному знаменателю. Мы видимъ, что первая дробь выражена въ восемнадцатыхъ доляхъ единицы (потому что ея знам.= 18), а вторая — въ двадцать четвертыхъ доляхъ (потому что ея знам.=24), намъ же надо выразить ихъ въ одинаковыхъ доляхъ единицы. Для этого пользуются свойствомъ дробей, найденномъ въ § 38, а именно: если числителя и знаменателя дроби умножить на какое-нибудь число, то величина дроби не измѣнится. Задачу нашу выполнимъ въ такомъ порядкѣ.

1 ) Въ какихъ одинаковыхъ доляхъ можно выразить наши дроби?

Для того чтобы отвѣтить на этотъ вопросъ, мы должны найти наименьшее кратное для знаменателей нашихъ дробей.

Н. К. (18; 24)=72.

[Беремъ одно-кратное 24-хъ,—-оно не годится, ибо на 18 не дѣлится; беремъ двухъ-кратное 24-хъ, т.-е. 48, — оно не годится, ибо на 18 не дѣлится; беремъ трехъ-кратное 24-хъ, т.-е. 72, — оно будетъ общимъ наим. кратнымъ, ибо оно дѣлится и на 18. (См. 24).]

Поэтому говоримъ, что наши дроби можно выразить въ семьдесятъ вторыхъ доляхъ единицы.

2) На сколько надо умножить числителя и знаменателя первой дроби, чтобы выразить ее въ 72-хъ доляхъ единицы?

Для этого надо 72 : 18=4.

Отвѣчаемъ н а 4, потому что тогда знаменатель нашей дроби будетъ тотъ, который намъ нуженъ (т.-е. 72).

3) На сколько надо умножить числителя и знаменателя

Второй дроби, чтобы выразить ее въ 72-хъ доляхъ единицы?

Для этого надо 72 : 24=3.

Отвѣчаемъ на 3, потому что тогда знаменатель ея будетъ=72.

4) Приведеніе дробей къ одному знаменателю.

Здѣсь мы сперва обозначаемъ, что числит. и знаменатель первой дроби надо умножить на 4 (какъ найдено во 2-мъ вопросѣ), а потомъ уже производимъ и самое умноженіе.

То же самое дѣлаемъ и со второю дробью.

Такъ какъ мы знаемъ, что отъ умноженія числителя и знаменателя на одно и то же число величина дроби не измѣняется, то новыя дроби должны быть равны старымъ, почему мы ихъ и соединяемъ знаками равенства.

Еще примѣръ:

Привести къ одному знаменателю дроби:

1) Въ какихъ одинаковыхъ доляхъ единицы можно выразить эти дроби?

т.-е. ихъ можно выразить въ 360 доляхъ единицы.

2) На какое число надо умножить числит. и знаменателя

1-й дроби, чтобы выразить ее въ 360 доляхъ единицы?

3) На какое число надо умножить числит. и знаменателя 2- й дроби, чтобы выразить ее въ 360 доляхъ единицы?

360 : 36=10.

4) На какое число надо умножить числит. и знаменателя 3- й дроби, чтобы выразить ее въ 360 доляхъ единицы?

360 : 90=4.

5) Приведеніе дробей къ одному знаменателю.

ГЛАВА IV

ДѢЙСТВІЯ НАДЪ ДРОБЯМИ.

Сложеніе дробей.

§ 41. Въ курсѣ I класса мы называли сложеніемъ дѣйствіе, при помощи котораго изъ нѣсколькихъ данныхъ чиселъ составляется новое число, содержащее столько единицъ, сколько ихъ во всѣхъ данныхъ числахъ вмѣстѣ. Такъ какъ теперь намъ придется складывать числа, состоящія не только изъ цѣлыхъ единицъ, но и изъ долей единицы (дробныя числа), то это опредѣленіе надо нѣсколько измѣнить.

Сложеніе есть дѣйствіе, при помощи котораго изъ нѣсколькихъ данныхъ составляютъ новое число, содержащее столько единицъ и долей единицы, сколько ихъ во всѣхъ данныхъ числахъ вмѣстѣ.

§ 42. Сложеніе дробей съ одинаковыми знаменателями. Пусть, напр., требуется

Намъ надо составить такое новое число, чтобы оно содержало: 1) 5 девятыхъ долей единицы, 2) 8 девятыхъ долей единицы и 3) 2 девятыхъ доли единицы. Поэтому въ немъ будетъ (5+8+2) девятыхъ долей единицы, или искомое число:

а исключивъ изъ неправ. дроби

цѣлое число, получимъ

наконецъ, сокративъ дробь

получимъ

Итакъ,

Слѣдовательно, чтобы сложить нѣсколько дробей съ одинаковымъ знаменателемъ, надо сложить ихъ числителей и оставить общаго знаменателя.

§ 43. Сложеніе дробей съ разными знаменателями. Пусть, напр., требуется

Приведемъ наши дроби къ одному знаменателю (§ 40), и тогда дѣло сведется къ предыдущему случаю.

Въ данномъ примѣрѣ имѣемъ

Приведеніе къ одному знаменателю слѣдуетъ, по возможности, производить въ умѣ; если же числа большія, то въ сторонѣ.

§ 44. Сложеніе смѣшанныхъ чиселъ. Пусть, напр., требуется

Для этого приведемъ дроби къ одному знаменателю, — получимъ

Затѣмъ слѣдуетъ складывать сперва дроби (потому что отъ ихъ сложенія могутъ получаться цѣлыя единицы), а затѣмъ

сложить данныя цѣлыя числа и прибавить къ нимъ тѣ цѣлыя единицы, которыя получились отъ сложенія дробей.

Складывая и получимъ или l|g. Затѣмъ, складывая цѣлыя числа, получимъ 3+2=5, да отъ сложенія дробей у насъ получилась одна единица, итого у насъ будетъ 5+1=6 единицъ. Итакъ,

Слѣдующіе примѣры не требуютъ объясненій.

и т. д.

Вычитаніе дробей.

§ 45. Вычитаніе есть дѣйствіе обратное сложенію, при помощи котораго по данной суммѣ и по одному слагаемому находятъ другое слагаемое.

Такъ какъ опредѣленіе вычитанія осталось то же и для дробныхъ чиселъ, какое было дано для цѣлыхъ чиселъ, то и смыслъ вычисленій остается здѣсь такимъ же, какъ для цѣлыхъ чиселъ.

§ 46. Вычитаніе дробей съ одинаковымъ знаменателемъ.

Такъ какъ сумма содержитъ 32 сорокъ пятыхъ доли единицы, а данное слагаемое содержитъ ихъ только 17, то, чтобы узнать, сколько такихъ долей въ другомъ слагаемомъ, придется изъ 32 вычесть 17. Получимъ 15. Слѣдов. другое

слагаемое состоитъ изъ 15 сорокъ пятыхъ долей единицы.

Итакъ, g получилась отъ сокращенія на 15.

Слѣдов. чтобы вычесть изъ одной дроби другую, имѣющую такого же знаменателя, надо изъ числителя первой дроби вычесть числителя второй, а знаменателя оставить того же.

§ 47. Вычитаніе дробей съ разными знаменателями

Этотъ случай легко сводится къ предыдущему, такъ какъ мы можемъ предварительно привести дроби къ одному знаменателю (§40). Напр.

§ 48. Вычитаніе дроби изъ цѣлаго числа. Напр.

Припомнимъ, что при вычитаніи цѣлыхъ чиселъ мы начинали съ низшаго разряда (съ единицъ); теперь низшимъ разрядомъ служатъ уже не единицы, а тридцать-пятыя доли единицъ. Поэтому и начинать вычитаніе надо съ долей единицы. Въ суммѣ нѣтъ долей единицы, а въ данномъ слагаемомъ ихъ имѣется 18 (тридцать-пятыхъ); поэтому сразу вычитать нельзя, а придется занять у единицъ одну единицу (ставимъ надъ ними точку) и раздробить ее въ тридцать-пятыя доли: въ одной единицѣ 35 тридцать-пятыхъ. Итакъ, теперь въ суммѣ имѣется 35 тридцать-пятыхъ долей, а въ одномъ слагаемомъ такихъ долей 18. Чтобы узнать, сколько такихъ долей въ другомъ слагаемомъ, надо изъ 35 вычесть 18, получимъ 17 такихъ долей. Затѣмъ въ суммѣ остается 4 единицы, а въ данномъ слагаемомъ ихъ нѣтъ; поэтому въ другомъ слагаемомъ должно быть тоже 4 единицы.

Итакъ, другое слагаемое

§ 49. Вычитаніе смѣшанныхъ чиселъ. Пусть, напр., надо

Начнемъ вычитать, какъ и выше, съ низшихъ разрядовъ, т.-е. съ долей единицы. Но въ данныхъ числахъ доли единицы разныя (девятыя и шестыя); поэтому сразу вычитать нельзя — надо ихъ привести къ одному знаменателю (§ 40).

Легко найти, что общій знаменатель есть 18 и что 9— а |==— Итакъ, надо, чтобы узнать, сколько восемнадцатыхъ долей въ искомомъ слагаемомъ, изъ yg вычесть yg; это сдѣлать нельзя (сумма меньше, чѣмъ слагаемое); поэтому займемъ у единицъ суммы одну единицу и раздробимъ ее въ восемнадцатыя доли; въ неи yg> да еще у насъ 18~всего yg; теперь изъ yg остается вычесть yg — получимъ yg- Пишемъ это число послѣ знака равенства, оставивъ мѣсто для цѣлыхъ разрядовъ. Затѣмъ вычитаемъ единицы, десятки и сотни, какъ это уже мы научились дѣлать въ I кл., — получимъ 8 един. 4 дес. и 3 сотни. Записываемъ ихъ постепенно;

такимъ образомъ искомое слагаемое :

Еще примѣръ:

Здѣсь въ суммѣ имѣется у^ долей, а въ данномъ слагаемомъ долей единицы вовсе нѣтъ, поэтому въ другомъ слагаемомъ должно быть тоже долей.

§ 50. Сложеніе и вычитаніе дробныхъ чиселъ употребляются для рѣшенія такихъ же точно вопросовъ, какъ и для цѣлыхъ чиселъ.

Нахожденіе частей отъ даннаго числа и умноженіе дробей.

§51. Значеніе умноженія дроби на цѣлое число. Если надо, напр., число 7 повторить 5 разъ слагаемымъ, то мы пишемъ 7x5 (число 7 умножить на 5). Дѣло не измѣняется,

если надо повторить слагаемымъ не цѣлое число, а дробное или смѣшанное. Напр. пишутъ

вмѣсто

Этимъ опредѣляется значеніе умноженія всякаго числа на цѣлое: умножить g на 6 значитъ g повторить слагаемымъ 6 разъ, умножить на 5 значитъ 2^ повторить слагаемымъ 5 разъ и т. п.; вообще умножить любое число на цѣлое значитъ повторить множимое слагаемымъ нѣсколько разъ.

§52. Умноженіе дроби на цѣлое. Возьмемъ, напр., gX5; это значитъ g повторить слагаемымъ 5 разъ, т.-е.

Производить сложеніе дробей съ одинаковыми знаменателями мы умѣемъ: надо сложить числителей и подписать общаго знаменателя. Слѣдов. придется сложить: 2+2+2+2+2, а это можно замѣнить умноженіемъ: 2x5. Итакъ,

Отсюда заключаемъ: чтобы умножить дробь на цѣлое, надо умножить числителя этой дроби на цѣлое, а знаменателя оставить безъ измѣненія. (Мы можемъ къ 2 2 тому же заключенію придти инымъ путемъ: дХ5 значитъ 3 повторить 5 разъ слагаемымъ, отчего данное число д увеличится въ 5 разъ, а чтобы увеличить дробь въ 5 разъ, надо ея числителя умножить на 5, не измѣняя знаменателя.)

Теперь мы можемъ написать сразу

Здѣсь мы замѣчаемъ, что числитель состоитъ изъ двухъ мно. жителей 3 . 10; одинъ изъ нихъ (10), а равно какъ и знаменатель (4), дѣлится на 2; поэтому и весь числитель дѣлится на 2, а чтобы его раздѣлить на 2, достаточно раздѣлить одного множителя, который дѣлится, т.-е. 10, на 2. Другими словами, дробь можно сократить на 2. Записываемъ это въ такомъ видѣ:

Послѣ сокращенія новый числитель находится умноженіемъ 3 на 5.

Отсюда мы замѣчаемъ, что полезно (чтобы имѣть дѣло съ меньшими числами) сначала лишь обозначать умноженіе числителя, а потомъ уже, послѣ сокращенія, выполнять нужное умноженіе.

§ 53. Умноженіе смѣшаннаго числа на цѣлое. Возьмемъ, напр., 5^x12. Мы можемъ свести дѣло къ предыдущему случаю, обративъ смѣшанное число въ неправильную дробь:

(мы здѣсь опять, прежде чѣмъ выполнять умноженіе, сократили на 4 множителя 12 числителя и знаменателя 8).

Но можно выполнить это умноженіе и иначе: 5^X12 значитъ повторить 5д слагаемымъ 12 разъ. Повторяемъ сначала цѣлое число 5 слагаемымъ 12 разъ, т.-е. умножимъ его на 12, получимъ 60, а затѣмъ повторяемъ дробное число g слагаемымъ 12 разъ, т.-е. умножимъ его на 12, — по предыдущему получимъ Итакъ,

Въ поясненіе замѣтимъ, что дробь х (она получилась отъ сокращенія дроби на 4) неправильная; исключивъ изъ нея цѣлое число, получимъ, что |=Ij; цѣлую единицу прибавляемъ къ ранѣе полученнымъ 60 единицамъ.

§ 54. Нахожденіе частей отъ даннаго числа. Пусть надо найти I частей отъ 32.

Найдемъ сперва | часть отъ 32; для этого надо число 32 разложить на 8 равныхъ частей, т.-е.

32 : 8=4.

Итакъ, з часть отъ 32 равна 4, но намъ надо взять не одну часть, а 5 такихъ частей. Поэтому g отъ 32=4 . 5=20.

Планъ таковъ:

Этотъ примѣръ былъ очень простъ, потому что число, отъ котораго ищутся части, было дано цѣлымъ и вдобавокъ каждая часть выразилась тоже цѣлымъ числомъ (4). Разберемъ болѣе сложные примѣры:

1) Найти

2) Найти

— отъ уменьшеннымъ въ 12 разъ=4р^2» потому что для уменьшенія дроби въ 12 разъ надо ея знаменателя умножить на 12. Итакъ,

[мы здѣсь числителя 3 и одного изъ множителей (12) знаменателя раздѣлили на 3, т.-е. сократили всю дробь на 3 и тогда изъ дроби получили дробь 4'Ц].

Чтобы не выполнять лишнихъ умноженій и умножать возможно меньшія числа, мы будемъ сначала лишь обозначать умноженіе, а потомъ сокращать полученную дробь, пользуясь тѣмъ, что для того, чтобы произведеніе двухъ множителей раздѣлить на какое нибудь число достаточно раздѣлить на это число лишь одного множителя (§7). Для поясненія возьмемъ примѣръ:

3) Найти

Мы получили, что g отъ jg равна jyg» а чтобы найти 5 такихъ частей, надо полученную дробь (yygj умножить на 5, для чего надо ея числителя 4 умножить на 5, а знаменателя оставить безъ измѣненія, — получимъ jyj- Эту дробь можно сократить: 1) на 4, раздѣливъ множителя 4 въ числителѣ на 4 (4 : 4=1) и множителя 8 въ знаменателѣ на 4 (8 : 4=2), 2) на 5, раздѣливъ одного множителя 5 въ числителѣ на 5 (5 : 5) и одного множителя 15 въ знаменателѣ на 5 (15 : 5=3). Полученныя частныя мы пишемъ въ числителѣ надъ соотвѣтствующими множителями, зачеркнувъ послѣдніе, а въ знаменателѣ подъ ними. Послѣ выполненія

*) Здѣсь обозначеніе : 8 пока понимаемъ въ смыслѣ «— уменьшить въ 8 разъ».

этихъ сокращеній намъ придется умножать уже меньшія числа: въ числителѣ—1x1 получимъ 1, а въ знаменателѣ 3x2 получимъ 6. Итакъ, искомая часть=|*

§ 55. Значеніе умноженія числа на дробь. Условимся вмѣсто «найти I частей отъ 32» записывать

Вотъ соображенія, которыя позволяютъ считать, что здѣсь знакъ умноженія употребляется цѣлесообразно: 1) Для рѣшенія задачи «аршинъ матеріи стоитъ 32 коп.; сколько стоятъ 3 аршина этой матеріи (или 5 арш., или 7 арш. и т. д.)?» надо, какъ знаемъ, 32 коп.х3 (или 32 коп. х5 или 32 к.х7 и т. д.). Рѣшимъ теперь задачу: «аршинъ матеріи стоитъ 32 коп.; сколько стоятъ | арш. этой матеріи?» Здѣсь надо найти g частей отъ 32 коп.. Такъ какъ послѣдняя задача имѣетъ тотъ же смыслъ, что и первая, — измѣнилось лишь число аршинъ матеріи (вмѣсто цѣлаго числа 3, 5, 7 и т. д. аршинъ взято теперь дробное число | арш.), то естественно возникаетъ мысль обозначать рѣшеніе этой задачи вмѣсто словесной записи однимъ дѣйствіемъ умноженіемъ, какъ и для рѣшенія 1-ой задачи;

Замѣтимъ еще, что понимать умноженіе на дробь въ старомъ смыслѣ нельзя: нельзя повторить что-либо I раза, —слова «| раза» не имѣютъ смысла. И нашею заботою теперь является расширить понятіе объ умноженіи такъ, чтобы оно имѣло смыслъ и въ случаѣ дробнаго множителя; руководимся мы при этомъ расширеніи задачами, для рѣшенія которыхъ употребляется умноженіе. 2) Другимъ основаніемъ, позволяющимъ считать записи

равнозначущими, является слѣдующее соображеніе: чтобы найти I отъ 32, надо сначала найти | отъ 32 и повторить найденное число слагаемымъ 5 разъ, т.-е. здѣсь приходится, какъ и при умноженіи на цѣлое число, повторять слагаемымъ нѣсколько разъ, только не самое множимое, а нѣкоторую его часть.

Также будемъ писать:

вмѣсто «найти

Наоборотъ, если написано

то это значитъ найти

Этимъ устанавливается значеніе умноженія любого числа на дробь:

Умножить какое-либо число на дробь значитъ найти отъ этого числа части, выражаемыя множителемъ.

§ 56. Произведеніе множимаго на правильную дробь и на неправильную. Пусть надо

Это значитъ, надо найти части отъ множимаго. Такъ какъ все множимое состоитъ изъ 4 четвертыхъ своихъ частей, а намъ надо здѣсь взять лишь 3 такихъ части, то заключаемъ, что число, получаемое послѣ умноженія (произведеніе) должно оказаться меньше множимаго. Также, если надо

то произведеніе должно состоять изъ трехъ десятыхъ частей множимаго, а во всемъ множимомъ такихъ частей 10, т.-е. произведеніе должно оказаться меньше множимаго. Вообще: если множитель меньше единицы (правильная дробь), то произведеніе меньше множимаго.

Пусть теперь надо

Это значитъ найти - частей отъ множимаго. Такъ какъ все множимое состоитъ изъ 4 четвертыхъ своихъ частей, а для нахожденія произведенія такихъ частей надо взять 5, то заключаемъ, что произведеніе должно получиться больше множимаго. Также, если надо

то произведеніе должно состоять изъ 10 седьмыхъ частей множимаго, а въ самомъ множимомъ такихъ частей только 7; поэтому здѣсь произведеніе также должно быть больше множимаго. Вообще:

если множитель больше единицы (неправильная дробь), то произведеніе больше множимаго.

§ 57. Умноженіе цѣлаго числа на дробь. Пусть требуется

Это значитъ, надо найти - части отъ 5. Мы уже знаемъ какъ это дѣлать (§54):

Итакъ,

Постараемся запомнить, какія дѣйствія приходится здѣсь выполнить: намъ пришлось данное число 5 раздѣлить сперва на знаменателя нашей дроби, а затѣмъ умножить на числителя. Легко сообразить, что можно поступать и въ обратномъ порядкѣ, т.-е. данное число 5 сперва умножить на числителя 3, а потомъ полученное произведеніе раздѣлить на знаменателя 4.

Теперь можно попытаться выполнить умноженіе цѣлаго числа на дробь сразу. Напр.

Здѣсь мы, согласно предыдущему, данное цѣлое число 8 умножили на числителя 5 нашей дроби, и раздѣлили по-

лученное произведеніе на знаменателя 6. Конечно, эти дѣйствія мы только обозначили и затѣмъ произвели сокращеніе по § 54.

Наконецъ, выполнивъ умноженіе оставшихся множителей, мы получили у и, исключивъ цѣлое число,—б|-

Кстати видимъ здѣсь, что полученное произведеніе, какъ и слѣдовало ожидать (§ 56), меньше множимаго.

Итакъ, мы можемъ теперь сразу умножить цѣлое число на дробь:

Чтобы умножить цѣлое число на дробь, надо цѣлое число умножить на числителя этой дроби и полученное произведеніе раздѣлить на знаменателя. Еще примѣры:

§ 58. Умноженіе дроби на дробь. Пусть, напр., надо 5 Ху Это значитъ (§55) надо найти ? части отъ g- Пользуясь § 54, получимъ:

Итакъ,

Постараемся запомнить, какія дѣйствія намъ пришлось дѣлать: 1) пришлось знаменателя первой дроби 5 умножить на знаменателя второй дроби 7, и 2) пришлось числителя первой дроби 3 умножить на числителя второй дроби 2. Можно опять, какъ и въ предыдущемъ §-ѣ, перемѣнить порядокъ этихъ дѣйствій: сперва умножить числителя первой дроби на числителя второй, а потомъ знаменателя

первой дроби на знаменателя второй, танъ какъ, въ какомъ бы порядкѣ мы ни обозначили эти дѣйствія, получимъ одно и то же выраженіе.

Запомнивъ это, мы можемъ сразу выполнить умноженіе дроби на дробь. Напр.

Здѣсь мы умножили числителя 8 первой дроби на числителя 6 второй и знаменателя 9 первой дроби на знаменателя 7 второй. Конечно, эти дѣйствія мы только обозначили и произвели сокращеніе на 3 (6 и 9 дѣлится на 3). Перемноживъ оставшіеся множители, получили произведеніе

Это число должно быть по § 58 меньше множимаго въ чемъ не трудно убѣдиться и непосредственнымъ ихъ сравненіемъ — стоитъ только привести ихъ къ общему знаменателю.

Итакъ, чтобы умножить дробь на дробь, надо числителя первой дроби умножить на числителя второй и знаменателя первой на знаменателя второй.

Еще примѣры:

§ 59. Умноженіе смѣшаннаго числа на дробь. Пусть, напр., надо 5-Хд- Это значитъ надо найти части отъ 5q* Если 5д обратить въ неправильную дробь, то дѣло сведется къ предыдущему §-у:

§ 60. Значеніе умноженія любого числа на смѣшанное число. Пусть, напр., надо ?х5у Если бы у насъ требовалось ? умножить только на 5, то это значило бы (§ 51) ? повторить слагаемымъ 5 разъ, а если бы требовалось - умно-

жить только на g, то это значило бы (§ &5) найти g части отъ Теперь же намъ надо сдѣлать и то, и другое, т.-е. уХ5д значитъ повторить ? слагаемымъ 5 разъ, да еще прибавить къ этому g части отъ Подобно этому 6x3-значитъ 6 повторить слагаемымъ 3 раза, да еще прибавить сюда 7 части отъ 6. Точно такъ же: 2=х3- значитъ 2х повторить 3 раза слагаемымъ, да еще прибавить сюда части отъ 2^.

§ 61. Умноженіе смѣшанныхъ чиселъ. Если одно или оба изъ данныхъ для умноженія чиселъ — смѣшанныя, то можно, обративъ ихъ въ неправильныя дроби, свести дѣло къ уже разобраннымъ случаямъ (§§ 52, 57 и 58). Напр.

Но иногда можно съ большимъ удобствомъ воспользоваться § 60. Напр.

Надо 4 повторить слагаемымъ 5 разъ, т.-е. умножить на 5, — получимъ 20, да еще прибавить сюда части отъ 4; легко въ умѣ сообразить, что | отъ 4=3. Слѣдов. произведеніе=20+3=23.

§ 62. Произведеніе двухъ множителей не мѣняется отъ ихъ перестановки. Напр. произведеніе 7-Хц должно равняться произведенію цХ?» потому что первое произведеніе= —jj» а второе=pj—у числители и знаменатели этихъ произведеній отличаются лишь порядкомъ множителей, а мы знаемъ изъ курса I кл., что 5 . 18=18.5 и 7.11 = 11.7, т.-е. наши произведенія должны быть и сами одинаковы —

§ 63. Умноженіе нѣсколькихъ чиселъ. Подобно тому какъ сумму нѣсколькихъ чиселъ находятъ сразу, а не складываютъ по два числа, такъ точно и произведеніе нѣсколькихъ множителей, среди которыхъ имѣются дробныя числа, удобно находить сразу (ср. § 1).

Напр. требуется найти

Поступимъ такъ: встрѣчающіяся смѣшанныя числа обратимъ въ неправильныя дроби и замѣнимъ цѣлое число 10 дробью перемножимъ затѣмъ числителей всѣхъ полученныхъ дробей между собою и знаменателей между собою (§ 58). Обозначивъ эти умноженія, мы получимъ дробное выраженіе, которое, по возможности, сократимъ, и, наконецъ, вычислимъ:

На основаніи § 1 мы заключимъ, что произведеніе нѣсколькихъ, хотя бы и дробныхъ, множителей не должно измѣниться отъ ихъ перестановки, такъ какъ отъ этого не измѣняется числитель и знаменатель полученнаго дробнаго выраженія.

§ 64. Умноженіе употребляется для рѣшенія тѣхъ вопросовъ, которые подходятъ къ §§ 51, 55 и 60, гдѣ выяснено значеніе дѣйствія умноженія:

1) Когда надо какое-нибудь число повторить нѣсколько разъ слагаемымъ.

Примѣръ. Аршинъ проволоки вѣситъ yg фунта. Сколько вѣситъ 10 аршинъ этой проволоки?

Для рѣшенія этой задачи понадобится yg фунта повторить 10 разъ слагаемымъ, т.-е.

2) Когда надо найти часть отъ какого-нибудь числа.

Примѣръ. Фунтъ муки стоитъ 12 коп. Сколько стоят I фунта этой муки?

Для отвѣта на заданный вопросъ понадобится найти | частей отъ 12 коп., а это найдемъ умноженіемъ (§55); надо

3) Когда надо какое-нибудь число повторить нѣсколько разъ слагаемымъ, да еще прибавить часть отъ этого числа.

Примѣръ. Фунтъ муки стоитъ 12 коп. Сколько стоятъ3^ фун. этой муки?

Здѣсь понадобится 12 коп. повторить слагаемымъ 3 раза, да еще присоединить сюда части отъ 12 копеекъ, а это можно выполнить сразу умноженіемъ (§ 60); надо

Добавленіе.

§ 65. Общее опредѣленіе умноженія. Всѣ случаи умноженія и цѣлыхъ чиселъ и дробей возможно объединить общимъ опредѣленіемъ умноженія:

Умноженіе есть дѣйствіе, при помощи котораго изъ множимаго составляютъ новое число такъ, какъ множитель составленъ изъ единицъ.

Возьмемъ, напр., 8x5. Здѣсь множитель 5; какъ онъ составленъ изъ единицы? Взята единица и повторена слагаемымъ 5 разъ, т. е. 5=1 + 1+ 1 + 1 + 1. Чтобы составить, согласно общему опредѣленію, новое число (произведеніе), надо тоже самое сдѣлать съ множимымъ, т. е. надо множимое 8 повторить слагаемымъ 5 разъ: 8+8+8+8+8. Слѣдов. изъ этого общаго опредѣленія мы пришли къ тому же значенію умноженія, какое знали и раньше: 8x5 значитъ 8 повторить 5 разъ слагаемымъ. Очевидно тѣ же разсужденія примѣнимы и къ случаямъ въ родѣ

Возьмемъ еще случай умноженія на дробь, напр., 8х^-Здѣсь множитель: g составленъ изъ единицы такъ: взята единица, раздѣлена на 5 равныхъ частей и такихъ частей взято для составленія множителя 3. Чтобы составить, согласно общему опредѣленію, новое число (произведеніе), надо то же самое сдѣлать со множимымъ 8, т.-е. надо множимое 8 раздѣлить на 5 равныхъ частей и такихъ частей взять 3, другими словами, надо взять Б части отъ множимаго. Здѣсь мы приходимъ опять къ тому же значенію умноженія на дробь, какое было дано въ §55. Къ тому же результату придемъ и для случаевъ въ родѣ: ^х^ и 2-х^-

Дѣленіе дробей.

§66. Дѣленіе есть дѣйствіе обратное умноженію, при помощи котораго по данному произведенію и по одному множителю находятъ другой множитель.

Такимъ образомъ, опредѣленіе дѣленія остается прежнимъ. Но такъ какъ значеніе умноженія усложнилось сравнительно со значеніемъ умноженія цѣлыхъ чиселъ, то соотвѣтственно этому должно усложниться значеніе дѣйствія дѣленія.

§ 67. Первое значеніе дѣйствія дѣленія. Намъ даны про изведеніе и одинъ множитель. Примемъ послѣднее число за второй множитель, слѣдов. надо найти первый множитель. Здѣсь, въ свою очередь, надо разобрать два случая: 1) когда данный множитель цѣлое число и 2) когда данный множитель дробь.

1) Пусть, напр., дано:

Здѣсь число ? служитъ произведеніемъ, а 5 — вторымъ множителемъ; надо найти первый множитель, то-есть

Изъ § 51 знаемъ, что умножить какое-нибудь число на 5 значитъ повторить его 5 разъ слагаемымъ. Итакъ, надо узнать, какое число, будучи повторено 5 разъ слагаемымъ, дастъ Отсюда заключаемъ, что искомое число составляетъ пятую часть числа у т.-е. придется ? разложить на 5 равныхъ частей съ цѣлью узнать, какъ велика каждая часть.

Итакъ, мы встрѣчаемся здѣсь съ знакомымъ уже намъ дѣленіемъ на равныя части.

Подобно этому 5g : Ю значитъ разложить 5д на 10 равныхъ частей съ цѣлью узнать, чему равна каждая часть.

2) Пусть, напр., дано:

Здѣсь число 5 служитъ произведеніемъ, а | — множителемъ; опять примемъ его за второй множитель. Надо найти первый множитель, т.-е.

Но изъ § 55 мы знаемъ, что умножить какое-нибудь число на ? значитъ найти | части отъ этого числа. Поэтому мы заключаемъ, что

а намъ надо узнать, чему равно само это число.

Итакъ, 5:1 значитъ найти число, | части котораго =5.

Подобно этому 2д : у значитъ найти число, ? части кото-раго=2д> и т. п.

Къ этому же значенію приводится дѣленіе и въ томъ случаѣ, когда дѣлитель (данный множитель) — смѣшанное

число. Напр. 8 : 2^=8 : -1,3, а это значитъ найти число, ~ частей котораго = 8.

Другія значенія дѣйствія дѣленія разберемъ впослѣдствіи. Теперь же найденныхъ значеній намъ вполнѣ достаточно для того, чтобы сообразить, какъ надо производить дѣйствіе, •— достаточно это потому, что отъ перестановки множителей произведеніе не мѣняется; слѣдов. всегда, когда имѣемъ дѣло съ отвлеченными числами, можно данный множитель принять за второй.

§ 68. Дѣленіе дроби на цѣлое. Пусть, напр., надо

Это значитъ (§ 67, 1-й случай) разложить число на 5 равныхъ частей съ цѣлью узнать одну такую часть. Конечно, одна пятая часть должна быть въ 5 разъ меньше всего числа слѣдов. придется уменьшить въ 5 разъ, а это мы умѣемъ дѣлать (§ 38): надо или раздѣлить числителя, или умножить знаменателя на 5. Раздѣлить не всегда можно, а умножить знаменателя на 5 всегда можно. Поэтому, обозначивъ это, получимъ:

Подобно этому, получимъ:

Здѣсь мы сперва смѣшанное число раздробляемъ въ неправильную дробь; затѣмъ обозначаемъ, что для выполненія дѣленія придется знаменателя дроби 7 умножить на 10; затѣмъ видимъ, что можно сократить полученную дробь на 5; выполнивъ это сокращеніе и перемноживъ полученныя числа, получимъ частное (первый множитель) -- Итакъ, чтобы раздѣлить дробь на цѣлое, надо числителя дроби оставить безъ перемѣны, а знаменателя умножить на дѣлителя,

Къ этому же случаю близко подходитъ другой, уже знакомый намъ (§ 33), случай дѣленія цѣлаго на цѣлое, если это дѣленіе нельзя выполнить цѣлыми числами. Напримѣръ, 7 : 12.

Мы уже изъ § 33 знаемъ, что получится Но то же дѣленіе можно привести къ случаю дѣленія дроби на цѣлое, такъ какъ цѣлое число 7 можно замѣнить дробью у (§ 35). Итакъ,

§ 69. Нахожденіе числа по его даннымъ частямъ. Для выполненія дѣленія какого-либо числа на дробь, надо научиться находить число по его даннымъ частямъ. Вотъ примѣры:

1) * части неизвѣстнаго числа=100. Найти все неизвѣстное число. Для этого сперва найдемъ | часть неизвѣстнаго числа: 4 такихъ части равны 100, слѣдов. одна такая часть будетъ въ 4 раза меньше; поэтому придется 100 уменьшить въ 4 раза, или раздѣлить 100 на 4—100:4=25. Итакъ, I часть неизвѣстнаго числа=25, но намъ надо найти все неизвѣстное число: оно, конечно, въ 7 разъ болѣе седьмой своей части; поэтому придется 25 увеличить въ 7 разъ, или 25x7, получимъ 175.

Расположимъ рѣшеніе этого вопроса такъ:

(букву х пишутъ вмѣсто словъ: неизвѣстное число)

Возьмемъ примѣръ посложнѣе:

Итакъ.

Дробь 9- --æ сокращалась: 1) на5 (раздѣлили множителя 25 у числителя и множителя 10 у знаменателя на5) — получили 25:5=5; 10: 5=2. Поэтому 25 и 10 зачеркнуто и написано вмѣсто нихъ 5 и 2; 2) на 9 (раздѣлили множителя 27 у числителя и множителя 9 у знаменателя на 9); полученныя частныя 3 и 1 написаны вмѣсто зачеркнутыхъ 27 и 9.

Наконецъ, неправильная дробь обращена въ смѣшанное число 7х-

3) Найти число,

§ 70. Дѣленіе всякаго числа на дробь. Пусть, напр., надо

Это значитъ (§67) найти число, части котораго = 5. Подобную задачу мы рѣшили въ предыдущемъ §, и теперь придется разсуждать совершенно такъ же, какъ тамъ:

Мы должны постараться запомнить порядокъ дѣйствій для того, чтобы умѣть рѣшать такія задачи сразу.

Мы получили, что искомое число

Намъ пришлось данное цѣлое число 5 сперва раздѣлить на 4, т.-е. на числителя данной дроби, а затѣмъ полученное число умножить на 9, т.-е. на знаменателя дроби. Можно пожалуй, эти два дѣйствія выполнить въ обратномъ порядкѣ, т.-е. данное цѣлое число умножить на знаменателя данной дроби и раздѣлить на ея числителя — результатъ получится тотъ же самый.

Принято запоминать эти дѣйствія въ послѣднемъ порядкѣ, т.-е.

Чтобы раздѣлить цѣлоечисло на дробь, надо это цѣлое умножить на знаменателя и полученное произведеніе раздѣлить на числителя.

Конечно, послѣ обозначенія этихъ двухъ дъйствій, надо сократить, по возможности, полученное дробное выраженіе и затѣмъ выполнить дѣйствія:

Пусть теперь надо

Это значитъ найти число, ? частей котораго = у Такую задачу мы уже умѣемъ рѣшать (§ 69):

Опять постараемся запомнить тѣ дѣйствія, которыя здѣсь пришлось выполнить. Мы имѣемъ

Намъ пришлось написать первую дробь и ея знаменателя умножить на 5, т.-е. на числителя второй, а ея числителя на знаменателя 7 второй.

Здѣсь тоже принято запоминать и, слѣдов., обозначать эти дѣйствія въ обратномъ порядкѣ, и сокращенно говорятъ:

Чтобы раздѣлить одну дробь на другую, надо числителя первой дроби умножить на знаменателя второй, а знаменателя первой на числителя второй.

Подобно сдѣланному примѣру мы можемъ теперь, уже не разсуждая, сразу выполнять дѣленіе дроби на дробь. Въ слѣдующихъ примѣрахъ всѣ дѣйствія доведены до конца:

Теперь не трудно дѣлить и смѣшанныя числа:

Итакъ, смѣшанныя числа надо предварительно раздробить въ неправильныя дроби и тогда примѣнить правило дѣленія дробей.

§ 71. Другія значенія дѣйствія дѣленія. Здѣсь придется разобрать два случая: 1) когда случайно частное получится цѣлымъ числомъ и 2) когда дробнымъ.

1) Пусть надо 6-: 1— Здѣсь бу есть произведеніе; дѣлителя Ig примемъ за первый множитель, а надо найти второй множитель. Согласно выше изложенному имѣемъ:

Слѣдовательно,

Такъ какъ число 6 было искомымъ, то мы узнавали, сколько разъ надо повторить 1| (данный множитель) слагаемымъ, чтобы получилось данное произведеніе или сколько разъ Ig содержится въ 6^- Итакъ, мы встрѣтились здѣсь съ знакомымъ намъ уже изъ курса I класса дѣленіемъ-сравненіемъ.

2) Возьмемъ теперь такой примѣръ, чтобы искомый множитель (второй) получился дробнымъ; напр.

Это значитъ, что части отъ 12=8. Такъ какъ число получилось послѣ дѣленія, то, производя дѣленіе, мы узнавали, какую часть отъ даннаго множителя (12) составляетъ данное произведеніе (8).

Другими словами, здѣсь мы узнаемъ, какую часть отъ дѣлителя составляетъ дѣлимое, напр. 5 : 10 значитъ, узнать, какую часть отъ 10 составляетъ число 5 (получимъ Наоборотъ, если требуется узнать, какую часть отъ Зд составляетъ число 1д> то для этого понадобится lg раздѣлить на 3х-

Слѣдовательно, lg составляетъ | части отъ Зу

Болѣе трудно выразить словами этотъ случай дѣленія тогда, когда частное получается смѣшаннымъ числомъ: напр.

Здѣсь 8 раздѣлить на 3, повидимому, означаетъ узнать, сколько разъ 3 содержится въ 8, но отвѣтъ на это, что въ 8 содержится 2х раза, противорѣчитъ понятію «разъ»

(мы можемъ представить себѣ только цѣлое число разъ). Несмотря на это, принято все-таки употреблять именно такое значеніе дѣленія-сравненія во всѣхъ случаяхъ, когда дѣлимое больше дѣлителя.

Напримѣръ рублей : 2> рубля значитъ узнать, сколько разъ 2^ рубля содержится въ 5^ рубляхъ, хотя отвѣтъ получается въ видѣ смѣшаннаго числа:

§ 72. Употребленіе дѣйствія дѣленія. Изъ §§ 67 и 71 видимъ, для рѣшенія какихъ вопросовъ надо употреблять дѣленіе:

1) Когда надо разложить какое-нибудь число на нѣсколько равныхъ частей или уменьшить въ нѣсколько разъ.

Примѣръ 1. Поѣздъ, двигаясь съ одинаковою скоростью, прошелъ 10 верстъ въ 25 минутъ. Во сколько времени онъ проходитъ одну версту?

Такъ какъ 25 минутъ приходится на 10 верстъ, то, чтобы узнать, сколько минутъ придется на 1 версту, придется 25 мин. разложить на 10 равныхъ частей (или: 10 верстъ поѣздъ проходитъ въ 25 мин., слѣдов. одну версту проходитъ во время въ 10 разъ меньшее), а это выполняется при помощи дѣленія.

Слѣдовательно, надо 25 мин. : 10

2) Когда надо найти число, опредѣленная часть котораго намъ извѣстна. Сокращенно говорятъ: когда надо по части найти цѣлое.

Примѣръ 2. | моихъ денегъ составляютъ 6 рублей. Сколько у меня всего денегъ?

Намъ извѣстна опредѣленная часть моихъ денегъ, а надо найти всѣ деньги, слѣдов. надо 6 руб. : (Припомнимъ: это

значитъ найти число, g котораго=6руб. — § 67.) Получимъ:

Рекомендуется обратить на этотъ случай особое вниманіе и не путать его со вторымъ случаемъ § 64. Полезно самимъ учащимся составлять простыя задачи на этотъ случай.

Вотъ еще примѣры:

Примѣръ 3. Работникъ можетъ у работы выполнить въ 4^ часа. Во сколько времени онъ выполнитъ всю работу?

Примѣръ 4. Поѣздъ въ g минуты проходитъ у версты.

Узнать: 1) во сколько времени онъ пройдетъ одну версту и 2) сколько верстъ онъ пройдетъ въ одну минуту.

Для рѣшенія 1-го вопроса надо найти число минутъ, у котораго=7 минуты. Для этого надо

Для рѣшенія 2-го вопроса надо найти число верстъ, g котораго=у версты. Для этого надо у вер. : g=y—д= вер.

3) Когда надо узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ.

Здѣсь надо имѣть въ виду замѣчаніе § 71, когда отвѣтъ получается въ видѣ смѣшаннаго числа.

Примѣръ 5. Пучокъ проволоки вѣситъ 4^ фун. Сколько въ этомъ пучкѣ аршинъ проволоки, если каждый аршинъ ея вѣситъ | фунта?

Легко сообразить, что аршинъ въ пучкѣ должно быть столько, сколько разъ | фунта содержится въ 4^ фунтахъ, а узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ,

можно только посредствомъ дѣленія (§ 71); слѣдов. надо

Послѣ дѣленія найдемъ, что g фун. содержится въ 4^ фун. 12 разъ, но сколько разъ, столько и аршинъ; поэтому въ скобкахъ пишемъ названіе арш.

Примѣръ 6. Работникъ можетъ въ одинъ день выполнить 2ï части работы. Во сколько дней онъ исполнитъ I части этой работы?

Легко сообразить, что дней понадобится столько, сколько разъ работы содержатся въ | работы, а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ. Надо

Здѣсь отвѣтъ получился въ видѣ смѣшаннаго числа, но, какъ уже было замѣчено въ § 71, на это не обращаютъ вниманія, а говорятъ, что ~ работы содержатся въ | работы 3^ раза;—сколько разъ, столько и дней. Поэтому работникъ выполнитъ I этой работы въ з| дня.

4) Когда надо узнать, какую часть одного числа составляетъ другое.

Примѣръ 7. Писецъ можетъ написать листъ въ 1^ часа. Какую часть листа онъ написалъ бы въ | часа?

Легко сообразить, что въ | часа онъ напишетъ такую часть листа, какую составляетъ часа отъ 1^ часа, а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ (§71). Поэтому надо часа: 1| часа=

Слѣдовательно | часа составляетъ т часть отъ 1= часа, и писецъ долженъ написать такую же часть листа. Поэтому въ скобкахъ пишутъ названіе листа.

Замѣтимъ, что 3-й случай отличается отъ этого тѣмъ, что тамъ дѣлимое больше дѣлителя, а здѣсь меньше. Но очень часто при рѣшеніи задачъ, подходящихъ къ этому случаю, разсуждаютъ такъ, какъ и въ 3-мъ случаѣ, не обращая вниманія, что больше: дѣлимое, или дѣлитель.

Напримѣръ въ примѣрѣ 7 вмѣсто того, чтобы спросить, какую часть листа напишетъ писецъ въ | часа, спрашиваютъ, 1 сколько листовъ онъ напишетъ въ часа, — листовъ столько, сколько разъ d часа содержатся въ | часа, а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ

Содержатся j раза, слѣдов., и писецъ напишетъ g листа.

ГЛАВА V.

ЗАДАЧИ НА ДРОБИ.

§ 73. Скобочныя задачи. При рѣшеніи скобочныхъ задачъ надо руководствоваться тѣми же указаніями, какъ и для цѣлыхъ чиселъ — эти указанія даны въ I части § 34.

Здѣсь дано рѣшеніе одного примѣра.

Примѣчаніе. Былъ бы ошибоченъ слѣдующій порядокъ дѣйствій: 3) Y2—g и 4) разность, полученную отъ 2-го дѣйствія раздѣлить на разность отъ 3-го дѣйствія, — ошибоченъ потому, что «если разность двухъ чиселъ служитъ дѣлителемъ, то она должна быть заключена въ скобки» но здѣсь скобокъ нѣтъ.

Точно такъ же ошибочно было бы переставить порядокъ 6-го и 7-го дѣйствій и выполнить ихъ въ такомъ видѣ:

потому что въ данномъ примѣрѣ скобокъ нѣтъ.

§ 74. Условныя задачи. Прежде чѣмъ приступить къ рѣшенію условныхъ задачъ съ дробными числами, 1) замѣтимъ, что полезно повторить указанія §§ 35 и 36 I части и 2) еще разъ обратимъ вниманіе на различіе между умноженіемъ и дѣленіемъ числа на дробь.

Это значитъ найти f части отъ 6.

Слѣдовательно, умноженіе какого-нибудь числа на дробь употребляется тогда, когда надо найти опредѣленную часть отъ этого числа.

Напримѣръ, фунтъ муки стоитъ 6 к. Сколько стоятъ у фун. этой муки?

Здѣсь надо найти -- части отъ 6 коп.; поэтому

Это значитъ найти число, 3 у котораго =6.

Слѣдовательно, дѣленіе какого-нибудь числа на дробь употребляется тогда, когда надо найти все число, если извѣстна опредѣленная его часть.

Напримѣръ, уфунта муки стоятъ 6 коп. Сколько стоитъ 1 фунтъ этой муки?

Намъ извѣстна опредѣленная часть ly I отъ стоимости всего фунта муки (она=6 коп.), а надо узнать всю стоимость.

Сокращенно говорятъ: умноженіемъ на дробь находится по цѣлому часть, а дѣленіемъ по части цѣлое.

Поэтому

Задача 1. Портной купилъ за 243 рубля кусокъ сукна по 4^ рубля за аршинъ. Изъ этого сукна онъ сдѣлалъ нѣсколько пальто, положивъ на каждое по арш. сукна, а изъ остального сукна сшилъ сюртуки, употребивъ на каждый по 4^ арш. сукна. Сколько вышло пальто и сколько сюртуковъ?

1) Сколько сукна купилъ портной?

2) Сколько сукна пошло на всѣ пальто?

3) Сколько сукна пошло на всѣ сюртуки?

4) Сколько вышло пальто?

5) Сколько вышло сюртуковъ?

Изъ купленнаго сукна вышло 6 пальто и 5 сюртуковъ.

Объясненія.

1) Такъ какъ одинъ аршинъ сукна стоитъ 4^ руб., а все сукно — 243 руб., то куплено столько аршинъ сукна, сколько разъ 4^ рубля содержится въ 243 руб., а это узнается дѣленіемъ (§ 72 — 3-й случай).

2) Всего сукна оказалось 54 арш. Но на пальто пошло не все сукно, а только частей его; поэтому надо найти Ï2 частей отъ всего купленнаго сукна (т.-е. отъ 54 арш.), а это находится посредствомъ умноженія на дробь (§64 —

2-й случай, а также § 74), т.-е. надо 54 арш.Худ* Чтобы вполнѣ убѣдиться, что умноженіе употреблено правильно, 7 слѣдуетъ припомнить, что это значитъ? — 54 арш.Худ значитъ найти ~ частей отъ 54 арш., что намъ и требовалось.

Замѣчаніе. Возможно рѣшать этотъ вопросъ въ два пріема:

согласно § 54

Но такой способъ нельзя рекомендовать: 1) потому что здѣсь приходится 54 арш. дѣлить на 12, а число 12 въ задачѣ не дано (дано число а ие число 7 и не число 12) и 2) потому что этими двумя пріемами дѣлается ничто иное, какъ то же самое умноженіе 4 арш. на jg» а мьІ научились его производить сразу.

3) Все сукно (54 арш.) можно разбить на 2 слагаемыхъ: одно выражаетъ собою сукно, употребленное на всѣ пальто (31д арш.), а другое выражаетъ сукно, употребленное на сюртуки (оно намъ неизвѣстно). Поэтому, чтобы узнать, сколько сукна пошло на всѣ сюртуки, надо по данной суммѣ двухъ слагаемыхъ и по одному изъ нихъ найти другое, а это дѣлается вычитаніемъ (§ 45).

Объясненіе вопросовъ 4) и 5) совершенно сходно съ 1) вопросомъ, поэтому ихъ пропускаемъ.

Задача 2. Въ первый день я прочелъ во второй & въ третій книги, а въ четвертый остальныя 28 страницъ. Сколько страницъ во всей книгѣ?

Предварительныя соображенія.

Дроби I’ g и выражаютъ собою части всей книги — сколько въ нихъ страницъ, неизвѣстно. Не трудно (сложеніемъ) узнать, какую часть книги я прочелъ въ 3 дня. Вычтя эту часть изъ цѣлой книги (изъ единицы), узнаемъ, какую часть книги я прочелъ въ 4-й день, и эта часть книги должна

(согласно условію задачи) равняться 28 страницамъ. Зная, сколькимъ страницамъ равна опредѣленная часть книги, не трудно узнать число страницъ во всей книгѣ.

Планъ и дѣйствія.

1) Какую часть книги я прочелъ въ три дня?

2) Какую часть книги я прочелъ въ 4-й день?

3) Сколько страницъ во всей книгѣ?

Объясненія.

1) Вся книга есть единица, и намъ приходится узнать, сколько частей этой единицы въ трехъ данныхъ дробныхъ числахъ, это узнается сложеніемъ (§ 41).

2) Вся книга является суммою двухъ слагаемыхъ: одно выражаетъ часть книги, прочтенную въ 3 дня, а другое — часть, прочтенную въ 4-й день. Сумма извѣстна (вся книга — единица), и первое слагаемое извѣстно этой единицы). Поэтому другое слагаемое найдемъ вычитаніемъ.

3) Мы нашли, что въ 4-й день я прочелъ gg частей книги, а въ условіи дано, что въ 4-й день я прочелъ 28 страницъ.

Слѣдов. gg книги=28 страницамъ, т.-е. извѣстно число страницъ въ опредѣленной части книги, а надо узнать число страницъ въ цѣлой книгѣ. Мы знаемъ (§ 72 — 2-й случай и § 74), что находить какое-нибудь число, когда извѣстна опредѣленная часть его, надо дѣленіемъ на дробь. Слѣдовательно надо 28 стран. : gg- Для провѣрки и здѣсь слѣдуетъ

вспомнить значеніе этого дѣйствія (28 стран. : gg значитъ найти число, gg котораго 28 страницамъ, что намъ и требуется).

Замѣчаніе. Здѣсь возможно, какъ и въ предыдущей задачѣ, рѣшить вопросъ въ 2 пріема, согласно § 69.

gg кн.=28 стран.; кн.=28 стран. : 7=4 стран.; вся клига = 4 стран.X36 стран. = 144 стран.

Но такой способъ опять-таки нельзя рекомендовать по тѣмъ же причинамъ, какъ и въ предыдущей задачѣ.

Иногда задачи, подобныя только что рѣшенной, усложняются добавочными вопросами. Здѣсь можно еще было бы спросить, сколько страницъ я прочелъ въ каждый день. Для рѣшенія пришлось бы находить^ части отъ 144 стран., затѣмъ g часть отъ 144стран. и, наконецъ, ~ отъ 144 стран. Это дѣлается умноженіемъ:

Задача 3. Одинъ работникъ можетъ, работая одинъ, выполнить нѣкоторую работу въ 12 дней; другой, работая также одинъ, можетъ выполнить эту же работу въ 15 дней, и третій, также одинъ, — въ 20 дней. Во сколько времени всѣ три работника, работая вмѣстѣ, могутъ выполнить эту работу?

Рѣшать такую задачу слѣдуетъ приведеніемъ къ единицѣ времени.

Планъ и дѣйствія.

1) Какую часть работы сдѣлаетъ 1-й работникъ въ 1 день?

2) Какую часть работы сдѣлаетъ 2-й работникъ въ 1 день?

3) Какую часть работы сдѣлаетъ 3-й работникъ въ 1 день?

4) Какую часть работы сдѣлаютъ всѣ три работника вмѣстѣ въ 1 день?

5) Во сколько дней выполнятъ всѣ три работника вмѣстѣ всю работу?

Всѣ три работника, работая вмѣстѣ, выполнятъ эту работу въ 5 дней.

Объясненія.

1) Такъ какъ всю работу первый работникъ можетъ выполнить въ 12 дней, то, чтобы узнать, какую часть работы онъ выполнитъ въ 1 день, надо цѣлую работу (единицу) разложить на 12 равныхъ частей, а это дѣлается дѣленіемъ.

Объясненія 2-го и 3-го вопросовъ совершенно такія же. Объясненіе 4-го вопроса очевидно.

5) Такъ какъ 3 работника вмѣстѣ въ 1 день дѣлаютъ g часть работы, то для выполненія всей работы имъ понадобится столько дней, сколько разъ | работы содержится въ цѣлой работѣ (въ единицѣ), а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ: 1 раб.: g раб.

Можно этотъ вопросъ рѣшить иначе: для выполненія g части работы работникамъ требуется 1 день, т.-е. намъ извѣстно, сколько дней понадобится имъ для выполненія опредѣленной части работы, а надо найти, сколько дней понадобится для выполненія цѣлой работы (надо по части найти цѣлое), а это находится дѣленіемъ на дробь: 1 день :g (это значитъ найти число, g котораго=1 дню).

§ 75. Задачи съ составными именованными числами. Очень часто въ задачахъ на дроби бываютъ даны составныя именованныя числа, съ которыми приходится дѣлать тѣ или другія дѣйствія. Эти составныя именованныя числа могутъ быть выражены или цѣлыми, или дробными числами. Принято всегда ихъ преобразовывать такъ, чтобы только въ низшемъ наименованіи встрѣчалась дробь. Напр. не принято писать: 2 пуда 3g фун. 2 зол. Здѣсь слѣдуетъ g фунта раздробить сперва въ лоты, а полученную дробную часть лота въ золотники: въ одномъ фунтѣ 32 лота; чтобы узнать, сколько лотовъ въ g частяхъ фунта, надо 32 лота умножить на ? (по цѣлому часть).

Затѣмъ = лота раздробимъ въ золотники.

Такъ какъ еще имѣется въ нашемъ числѣ 2 золотника, то всего золотниковъ окажется: 2 зол.+2^ зол.=4^ зол., а они составляютъ 1 лотъ и lg зол. Поэтому цѣлыхъ лотовъ окажется 13. Итакъ,

Обыкновенно въ задачахъ составныя именованныя числа даются сразу въ послѣднемъ видѣ. Если же они даны въ неправильномъ видѣ, то слѣдуетъ, согласно вышеизложенному, привести ихъ къ правильному виду.

Съ подобными именованными числами можно дѣлать всѣ дѣйствія, при чемъ сложеніе и вычитаніе не представятъ затрудненій. Напр.

Пусть надо 3 арш. Sx веріп.х^- Изъ правила умноженія на дробь (§§ 57 и 58) слѣдуетъ, что для умноженія числа на дробь надо множимое умножить на числителя и полученное число раздѣлить на знаменателя (или въ обратномъ порядкѣ). Поэтому должны выполнить дѣйствія:

Въ виду того, что умноженіе и дѣленіе составныхъ именованныхъ чиселъ на дробь требуетъ, какъ видимъ, про-

должительныхъ вычисленій, является болѣе удобнымъ раздроблять ихъ предварительно въ низшія мѣры или превращать въ самыя крупныя. Примѣры этого найдемъ въ нижеслѣдующихъ задачахъ.

Задача 1. Я истратилъ g своихъ денегъ на покупку чая, ? остатка на покупку кофе, послѣ чего у меня осталось еще 3 руб. 50 коп. Сколько денегъ у меня было первоначально?

Планъ и дѣйствія.

1 ) Какая часть денегъ осталась у меня послѣ покупки чая?

2) Какую часть своихъ денегъ я истратилъ на кофе?

3) Какая часть денегъ осталась послѣ всѣхъ покупокъ?

4) Сколько денегъ у меня было первоначально?

У меня первоначально было 7 руб. 20 коп.

Объясненія.

1) Всѣ мои деньги принимаются за единицу. Ее можно принять за сумму двухъ слагаемыхъ: одно слагаемое выразитъ часть моихъ денегъ, истраченную на покупку чая, а другое — оставшуюся часть. Сумма и первое слагаемое извѣстны; надо найти другое слагаемое, для этого надо воспользоваться вычитаніемъ.

2) Такъ какъ на кофе я истратилъ не весь остатокъ, а только ? части его, то, чтобы узнать, какую часть отъ всѣхъсвоихъ денегъя истратилъ на кофе, надо найти части отъ всего остатка, т.-е. отъ g моихъ денегъ, а часть отъ извѣстнаго числа находится умноженіемъ на дробь.

3) Деньги, оставшіяся у меня, послѣ покупки чая, можно разбить на два слагаемыхъ: одно пошло на покупку кофе, а другое осталось у меня. Сумма извѣстна (она =| частямъ всѣхъ моихъ денегъ), и первое слагаемое извѣстно (=gg частямъ всѣхъ моихъ денегъ)*): слѣдовательно, для нахожденія второго слагаемого придется изъ извѣстной суммы вычесть извѣстное слагаемое.

Замѣчаніе. Можно этотъ вопросъ рѣшить иначе, но тогда понадобится одинъ лишній вопросъ. 3-й вопросъ будетъ тогда:

3) Какую часть моихъ денегъ я истратилъ на чай и кофе вмѣстѣ?

затѣмъ 4) какая часть моихъ денегъ у меня осталась послѣ всѣхъ покупокъ?

4) Мы узнали, что послѣ всѣхъ покупокъ у меня осталось ÿg частей денегъ, а въ условіи дано, что осталось 3 руб. 50 коп. Слѣдовательно, моихъ денегъ =3 руб. 50 коп.

Намъ надо найти всѣ деньги, т.-е. найти число, опредѣленная часть котораго извѣстна. Поэтому придется воспользоваться дѣленіемъ на дробь. Предварительно раздробимъ 3 руб. 50 коп. въ копейки.

Замѣчаніе. Эта задача является однимъ изъ весьма часто встрѣчающихся усложненій задачи 2-й предыдущаго §. Усложненія возможны и иного характера. Всегда въ такихъ задачахъ слѣдуетъ стремиться къ тому, чтобы узнать, какую часть искомаго числа (принимаемаго за единицу) составляетъ данное именованное число.

Здѣсь возможны, какъ и во 2-й зад. § 74, добавочные вопросы сколько я заплатилъ за чай и за сахаръ отдѣльно. Для отвѣта на нихъ придется

*) Важно обращать вниманіе на то, чтобы сумма и извѣстное слагаемое были выражены черезъ одинаковыя единицы (имѣли одинаковое названіе) — только тогда можно примѣнить вычитаніе. Въ нашей задачѣ за единицу принимаются всѣ мои деньги.

Задача 2. Мастеръ купилъ 6 серебряныхъ подсвѣчниковъ равнаго вѣса. Все это серебро онъ сплавилъ и сдѣлалъ изъ него 20 одинаковыхъ стакановъ, при чемъ каждый стаканъ оказался легче каждаго подсвѣчника на 2 лота 1 зол. 95д доли. Сколько вѣсилъ каждый подсвѣчникъ?

Планъ и дѣйствія.

Объясненія.

Первые 3 вопроса не требуютъ объясненій. Замѣтимъ лишь, что за единицу здѣсь принимается вѣсъ всего слитка.

4) Такъ какъ стаканъ легче подсвѣчника на & слитка, а съ другой стороны дано, что стаканъ легче подсвѣчника на 2 лота 1 зол. 95g доли, то заключаемъ, что

Итакъ, извѣстенъ вѣсъ опредѣленной части слитка, а надо найти вѣсъ всего слитка (по части цѣлое). Для этого надо воспользоваться дѣленіемъ на дробь. Предварительно раздробимъ 2 лота 1 зол. 95д доли въ доли.

5) Такъ какъ изъ всего слитка выходитъ 6 подсвѣчниковъ, то чтобы узнать вѣсъ подсвѣчника, надо вѣсъ всего слитка раздѣлить на 6 равныхъ частей — понадобится дѣленіе.

Можно еще разсуждать такъ: мы нашли въ 1-мъ вопросѣ, что вѣсъ подсвѣчника составляетъ \ часть всего слитка. Поэтому, чтобы найти вѣсъ подсвѣчника, надо вѣсъ всего слитка умножить на^ (по цѣлому часть), т.-е.

Въ данномъ случаѣ оба пріема безразличны, такъ какъ дѣлитель въ 1-мъ пріемѣ, число 6, намъ данъ въ условіи задачи, и множитель во 2-мъ пріемѣ, число нами уже полученъ въ 1-мъ вопросѣ.

Задача 3. Серебряный ножикъ, столовая и чайная ложки вмѣстѣ вѣсятъ 11 лот. 72 доли, при чемъ вѣсъ столовой ложки составляетъ | вѣса ножика, а чайная ложка въ 3 раза легче столовой. Сколько вѣситъ каждая изъ этихъ трехъ вещей?

Планъ и дѣйствія.

1) Какую часть вѣсовой единицы составляетъ вѣсъ чайной ложки?

2) Сколько вѣсовыхъ единицъ во всѣхъ трехъ вещахъ?

3) Чему равенъ вѣсъ ножика?

4) Сколько вѣситъ столовая ложка?

5) Сколько вѣситъ чайная ложка?

Ножикъ вѣситъ 5-г лота, столовая ложка — 4~ лота и чайная — lg лота.

Объясненія.

Въ задачахъ, подобной вышеизложенной, прежде всего является забота о выборѣ единицы, въ частяхъ которой слѣдуетъ выразить всѣ искомыя числа. Здѣсь мы приняли за вѣсовую единицу вѣсъ ножика и въ частяхъ этой вѣсовой единицы выразили вѣсъ каждой ложки. Разберемъ задачу по вопросамъ.

1) Изъ условія задачи сразу видимъ, что вѣсъ столовой ложки составляетъ * частей вѣсовой единицы (вѣса ножика). Теперь надо узнать, сколько частей вѣсовой единицы содержитъ въ себѣ вѣсъ чайной ложки. Дано, что она въ 3 раза легче столовой, поэтому надо вѣсовой единицы уменьшить въ 3 раза, чего достигнемъ дѣленіемъ.

2) Такъ какъ вѣсъ каждой изъ трехъ вещей теперь выраженъ черезъ нашу вѣсовую единицу, то не трудно узнать (сложеніемъ), сколько вѣсовыхъ единицъ во всѣхъ трехъ вещахъ вмѣстѣ.

3) Теперь мы видимъ, что 2^ вѣс. един. = 11 лот. 72 доли, или (обративъ 2^ въ неправильную дробь) ~ вѣс. един. = 11 лот. 72 доли.

Итакъ, мы знаемъ, чему равны нѣсколько опредѣленныхъ частей единицы, а надо знать, .чему равна цѣлая вѣсовая единица, или вѣсъ ножика, а по части цѣлое находится дѣленіемъ, т.-е. надо

Припомнимъ: это значитъ найти число, у котораго = 11 лот. 72 зол., что намъ и требуется.

Мы можемъ написать это и такъ: 11 лот. 72 доли : 2~*

Прежде чѣмъ дѣлать дѣйствіе, мы превратимъ наше составное именованное число въ лоты (можно бы было, конечно, и раздробить въ доли, но для разнообразія здѣсь превратимъ въ лоты). Дѣлаемъ это такъ: 1 доля = ^ части золотника.

Слѣдовательно, 72 доли = зол. = зол. своихъ золотниковъ у насъ не имѣется. Теперь превратимъ зол. въ лоты:

1 зол. = s лота, а у насъ 2 зол. Чтобы узнать, какой части лота онѣ равны, надо найти отъ g лота, т.-е. g лота умножить на 7.

Итакъ,

У насъ еще имѣется 11 лот. Поэтому

Вопросы 4-й и 5-й не требуютъ объясненій.

ГЛАВА VI.

ДЕСЯТИЧНЫЯ ДРОБИ.

§ 76. Распространеніе счисленія цѣлыхъ чиселъ на дробныя. Мы научились въ I классѣ писать цѣлыя числа при помощи выдѣленія изъ нихъ единицъ послѣдовательныхъ

классовъ и разрядовъ. Была даже составлена таблица классовъ и разрядовъ, — припомнимъ ее.

Классовъ можетъ быть безчисленное множество, а поэтому эту таблицу можно продолжить влѣво безъ конца. Теперь спрашивается, нельзя ли продолжить эту таблицу вправо? Раньше, въ I классѣ, мы не могли этого сдѣлать, потому что не знали чиселъ, меньшихъ единицы, а теперь мы познакомились съ различными долями единицы и поэтому можемъ продолжить эту таблицу и вправо. Чтобы это сдѣлать правильно, надо вспомнить, что въ одной единицѣ любого разряда 10 единицъ сосѣдняго съ нимъ низшаго разряда, напримѣръ: въ 1 десяткѣ тысячъ 10 единицъ тысячъ, въ одной единицѣ милліоновъ 10 сотенъ тысячъ и т. д. Наоборотъ, 1 единица каждаго разряда въ 10 разъ меньше, чѣмъ 1 единица сосѣдняго съ нимъ высшаго разряда, напр.: 1 десятокъ тысячъ въ 10 разъ меньше одной сотни тысячъ и т. п.

Теперь ясно, что разрядъ, слѣдующій за простыми единицами справа, долженъ состоять изъ единицъ въ 10 разъ меньшихъ, чѣмъ простая единица. Если одну единицу уменьшить въ 10 разъ, раздѣливъ ее на 10 равныхъ частей, то получимъ одну десятую долю единицы Слѣдовательно, первый за единицами вправо разрядъ долженъ состоять изъ десятыхъ долей. Чтобы получить слѣдующій разрядъ, придется одну десятую долю уменьшить опять въ 10 разъ, получимъ одну

сотую долю ÇîqqJ • Итакъ, слѣдующій разрядъ долженъ состоять изъ сотыхъ долей. Разсуждая такъ же, получимъ дальше разряды тысячныхъ долей, десятитысячныхъ, стотысячныхъ, милліонныхъ и т. д. безъ конца. Теперь мы дополнимъ нашу таблицу найденными дробными разрядами. Между цѣлыми и дробными разрядами поставимъ толстую черту. Такъ какъ дробные разряды не дѣлятся на классы, то мы здѣсь пропустимъ дѣленіе на классы и цѣлыхъ разрядовъ.

(Кой-гдѣ названія упрощены: напр. единицы — вмѣсто простыя единицы, милліоны — вмѣсто единицы милліоновъ и т. п.)

§ 77. Десятичныя доли единицы и десятичныя дроби. Тѣ доли единицы, съ которыми мы имѣли дѣло въ предыдущемъ §-ѣ десятыя, сотыя и т. д.), называются десятичными долями, потому что онѣ получаются отъ дѣленія единицы на степени числа 10 ; 100 есть ІО2 (102= 10 . 10=100), 1000 есть ІО3 (103= 10 . 10 . 10=1000) и т. д. (о степеняхъ см. §3). Дробныя числа, получающіяся отъ счета десятичныхъ долей единицы, называются десятичными дробями.

Напр.

и т. п.суть десятичныя дроби.

§ 78. Новый способъ письма десятичныхъ дробей. Благодаря тому, что десятичныя доли служатъ разрядами той

(десятичной) системы счисленія, пользуясь которой, мы пишемъ цѣлыя числа, теперь является возможнымъ писать по этой же системѣ и дробныя числа, состоящія изъ десятичныхъ долей, т.-е. десятичныя дроби. Слѣдуетъ такъ же, какъ и раньше, на мѣстѣ каждаго разряда, цѣлаго или дробнаго — безразлично, писать цифру, показывающую, сколько единицъ этого разряда имѣется въ числѣ. Непремѣнно надо отдѣлять какимъ-либо знакомъ цѣлые разряды отъ дробныхъ, чтобы видно было, на какомъ мѣстѣ написана данная цифра. Принято отдѣлять цѣлые разряды отъ дробныхъ запятою — она ставится, слѣдовательно, между простыми единицами и десятыми долями.

Напр. число 105,7 состоитъ изъ 1 сотни, 5 единицъ и 7 десятыхъ долей; число 20,07105 состоитъ изъ 2 десятковъ, 7 сотыхъ долей, 1 тысячной доли и 5 стотысячныхъ.

Наоборотъ, если надо написать число, состоящее изъ 3 сотенъ, 7 десятковъ, 5 десятыхъ долей и 8 десятитысячныхъ долей, то, пользуясь таблицей § 76, замѣчаемъ, что сотни пишутся на 3-мъ мѣстѣ, а десятки — на 2-мъ влѣво отъ запятой (запятая ставится на мѣстѣ толстой черты нашей таблицы), а десятыя доли на 1-мъ, десятитысячныя на 4-мъ мѣстахъ вправо отъ запятой. Поэтому наше число напишется: 370,5008. На мѣстахъ единицъ, сотыхъ долей и тысячныхъ долей пришлось поставить нули, такъ какъ этихъ разрядовъ въ нашемъ числѣ не должно быть.

§ 79. Упрощенія въ чтеніи десятичныхъ дробей. Вмѣсто того, чтобы называть каждый разрядъ отдѣльно, какъ дѣлалось въ предыдущемъ §-ѣ, можно, прочтя цѣлую часть числа, прочесть сразу дробную часть. Напр. число 20,07105 прочтемъ: 20 цѣлыхъ и 7105 стотысячныхъ. Къ этому придемъ, раздробляя всѣ дробные разряды въ самый низшій: 1 сотая доля=10 тысячнымъ долямъ=100 десятитысячнымъ долямъ=1000 стотысячнымъ долямъ. Поэтому 7 сотыхъ долей=7000 стотысячнымъ долямъ. Подобно этому, одна тысячная доля =100 стотысячнымъ долямъ. Кромѣ того, у насъ еще въ числѣ имѣется 5 стотысячныхъ долей — итого

въ дробной части числа насчитаемъ 7105 стотысячныхъ долей.

Итакъ,

Подобно этому,

(Послѣднее число принято читать: 0 цѣлыхъ и 523 милліонныхъ.)

Итакъ, десятичныя дроби можно читать такъ: Сперва читаемъ цѣлую часть числа, затѣмъ читаемъ дробную часть, называя число, написанное вправо отъ запятой, и прибавляя къ нему названіе послѣдняго дробнаго разряда.

Всякая десятичная дробь, написанная по десятичной системѣ, имѣетъ числителя и знаменателя: чтобы найти числителя дробной части числа, надо прочесть число, написанное справа отъ запятой, а чтобы узнать знаменателя, надо назвать наименованіе послѣдняго дробнаго разряда. Напр. 30,507. Читая число справа отъ запятой, найдемъ, что числитель дробной части этого числа=507. Такъ какъ послѣдняя цифра 7 стоитъ на 3-мъ мѣстѣ вправо отъ запятой, то послѣднимъ дробнымъ разрядомъ служатъ тысячныя доли; поэтому знаменатель дробной части этого числа=1000.

У числа 0,5082 числитель=5082, а знаменатель = 10000 и т. д. До сихъ поръ мы читали десятичныя дроби въ видѣ смѣшаннаго числа, называя отдѣльно цѣлую и дробную части. Но можно ихъ читать и въ видѣ неправильной дроби. Возьмемъ, напр., число

Обратимъ это смѣшанное число въ неправильную дробь; получимъ:

Итакъ, наше число = 536 сотыхъ.

Еще примѣръ:

Итакъ, число = 3015 десятыхъ.

Изъ этихъ примѣровъ видимъ, что можно сразу видѣть каковъ будетъ числитель и каковъ знаменатель у неправильной дроби. Чтобы узнать числителя, придется выбросить запятую (или, просто, не обращать вниманія на запятую) и прочесть все полученное цѣлое число; знаменателя же узнаемъ, посмотрѣвъ на послѣдній разрядъ дробной части и назвавъ этотъ разрядъ.

Надо твердо научиться читать десятичныя дроби, написанныя по десятичной системѣ счисленія, въ видѣ смѣшанныхъ чиселъ и въ видѣ неправильныхъ дробей.

Вотъ еще примѣры:

§ 80. Упрощенія въ письмѣ десятичныхъ дробей. Въ § 78 мы научились писать десятичныя дроби по десятичной систомѣ счисленія въ томъ случаѣ, когда намъ называютъ, сколько единицъ каждаго разряда, цѣлаго или дробнаго, находится въ числѣ. Конечно, можно бы было разбить на разряды и затѣмъ написать любую десятичную дробь, названную намъ въ видѣ смѣшаннаго числа, или въ видѣ неправильной дроби. Но можно упростить письмо десятичныхъ дробей такъ, чтобы не тратить времени на разбиваніе числа по разрядамъ.

Пусть намъ требуется написать 720 цѣлыхъ и 57 тысячныхъ. Пишемъ сперва цѣлую часть и ставимъ съ правой ея стороны запятую; затѣмъ вправо отъ запятой надо написать число 57 такъ, чтобы послѣдняя цифра (7) приходилась на мѣстѣ тысячныхъ долей, а тысячныя доли пишутся на 3-мъ мѣстѣ справа (см. таблицу § 76). Слѣдов., придется на первомъ мѣстѣ вправо отъ запятой поставить нуль. Итакъ, напишемъ

Слѣдуетъ всякій разъ для провѣрки прочитать написанное. Напр., если бы кто-нибудь данное число написалъ въ видѣ 720,57, то, читая его: «720 цѣлыхъ и 57 сотыхъ», легко замѣтить ошибку: послѣдній разрядъ пришелся на мѣстѣ сотыхъ, а не тысячныхъ. Исправить ошибку не трудно, — надо передъ числомъ 57 вставить одинъ нуль. Подобно этому, число 0 цѣлыхъ и 109 милліонныхъ напишемъ такъ: 0,000109.

Пусть теперь дано число въ видѣ неправильной дроби. Напр. написать 5203 сотыхъ. Такъ какъ въ предыдущемъ §-ѣ мы нашли, что числитель неправильной дроби получается, если отбросимъ запятую, то, написавъ

5203

мы получимъ нужное намъ число, но безъ запятой. Остается рѣшить вопросъ, гдѣ поставить запятую. Такъ какъ намъ сказано, что должны получиться сотыя доли, то запятую надо поставить такъ, чтобы вправо отъ нея было два дробныхъ разряда, т.-е. ее придется поставить между цифрами 2 и 0. Итакъ, получимъ

52,03.

Написать 10082 десятитысячныхъ. Десятитысячныя доли пишутся на 4-мъ мѣстѣ. Поэтому надо отдѣлить справа 4 знака; получимъ 1,0082.

Написать 5362 стотысячныхъ. Надо отдѣлить 5 знаковъ справа, — придется добавить два нуля. Получимъ

0,05362.

Замѣтимъ, что намъ не была дана цѣлая часть; поэтому мы ожидали неправильной дроби, но дробь оказалась правильною. Это можно было узнать и заранѣе: числитель 5362 меньше знаменателя 100000.

§ 81. Свойства десятичныхъ дробей. Возьмемъ десятичную дробь, написанную по десятичной системѣ счисленія, напр.

51,243.

Это число состоитъ изъ 5 десятковъ, 1 единицы, 2 десятыхъ долей, 4 сотыхъ долей и 3 тысячныхъ долей. Припишемъ справа одинъ нуль, тогда получимъ

51,2430.

Это число состоитъ изъ 5 десятковъ, 1 единицы, 2 десятыхъ долей, 4 сотыхъ долей и 3 тысячныхъ долей. Итакъ, видимъ, что новое число по составу совершенно одинаково съ прежнимъ — въ немъ не прибавилось новыхъ разрядовъ и не убавилось. Поэтому заключаемъ, что эти числа равны. Итакъ,

Ясно, что если припишемъ справа еще другой, третій и т. д. нули, опять число не измѣнится, т.-е.

Отсюда заключаемъ, что къ десятичной дроби можно справа приписывать сколько угодно нулей, — отъ этого десятичная дробь не измѣнитъ своей величины.

То же самое можно увидать и другимъ способомъ. Напишемъ наши дроби въ видѣ обыкновенныхъ неправильныхъ дробей, получимъ

Видимъ, сравнивая эти дроби, что числитель первой дроби былъ 51243, а у второй дроби 512430, т.-е. оказывается, что отъ приписанія нуля справа къ десятичной дроби приписался нуль къ ея числителю, а это бываетъ тогда, когда число умножается на 10. Итакъ, числитель нашей дроби умножился на 10. Сравнивая знаменателя (1000 и 10000), тоже замѣчаемъ, что и знаменатель умножился на 10. Но мы знаемъ (§ 38), что отъ умноженія числителя и знаменателя на одно и то же число дробь своей величины не измѣняетъ. Поэтому вторая дробь должна равняться первой.

Подобно этому, приписавъ къ десятичной дроби справа 2 нуля, найдемъ, что отдѣльно числитель этой дроби умножится на 100 и отдѣльно знаменатель умножится на 100, а дробь своей величины не измѣнитъ.

Теперь ясно, что наоборотъ, если намъ дана десятичная дробь съ нулями на концѣ, то эти нули можно зачеркнуть — дробь своей величины не измѣнитъ [потому что 1) она будетъ состоять изъ тѣхъ же разрядовъ, какъ и раньше и 2) числитель и знаменатель ея раздѣлятся на одно и то же число 10, 100 и т.п., смотря по тому, сколько зачеркнули нулей, а отъ этого дробь своей величины не измѣнитъ]. Напр. 5,08200=5,082.

Ясно такъ же, что и слѣва отъ десятичной дроби — лѣвѣе цѣлой части — можно приписать нули — число не измѣнится, Напримѣръ

3,05=03,05 или 0,821=000,821.

§ 82. Увеличеніе и уменьшеніе десятичной дроби въ 10,100 и т. д. разъ. Возьмемъ десятичную дробь, напримѣръ

5,3627

и переставимъ запятую вправо на одно мѣсто,—тогда получимъ

53,627.

Сравнимъ эти два числа по разрядамъ: высшій разрядъ въ первомъ числѣ=5 единицамъ, а во второмъ=5 десяткамъ. Одинъ десятокъ въ 10 разъ больше одной единицы, слѣдов., и 5 десятковъ въ 10 разъ больше 5 единицъ. Поэтому высшій разрядъ второго числа въ 10 разъ больше высшаго разряда перваго числа. Слѣдующій разрядъ въ первомъ числѣ=3 десятымъ долямъ, а во второмъ=3 единицамъ. Такъ какъ одна единица въ 10 разъ больше одной десятой доли, то и этотъ разрядъ во 2-мъ числѣ въ 10 разъ больше, чѣмъ въ 1-мъ. Переходя къ слѣдующимъ разрядамъ, видимъ, что въ 1-мъ числѣ имѣется 6 сотыхъ долей, а во 2-мъ 6 десятыхъ долей. Одна десятая доля въ 10 разъ больше одной сотой,— слѣдовательно и этотъ разрядъ во 2-мъ числѣ въ 10 разъ больше соотвѣт-

ствующаго разряда въ 1-мъ и т. д. Однимъ словомъ, всякая цифра перваго числа, благодаря переносу запятой на одно мѣсто вправо, стала выражать разрядъ однимъ мѣстомъ высшій, чѣмъ раньше, т.-е. значеніе каждой цифры увеличилось въ 10 разъ. Поэтому все второе число въ 10 разъ больше, чѣмъ первое. Отсюда заключаемъ: Чтобы увеличить десятичную дробь въ 10 разъ, надо перенести запятую вправо на одно мѣсто. Если бы мы взяли сперва 2-е число и перенесли бы въ немъ запятую влѣво на одно мѣсто, то получили бы наше первое число, а оно, какъ видимъ изъ предыдущаго, въ 10 разъ меньше 1-го.

Отсюда заключаемъ: чтобы уменьшить десятичную дробь въ 10 разъ, надо перенести запятую влѣво на одно мѣсто.

Перенесемъ теперь запятую на 2 мѣста вправо. Что теперь сдѣлается съ нашимъ числомъ? Дѣлая этотъ переносъ запятой постепенно — сперва на одно мѣсто и потомъ еще на одно мѣсто, —замѣчаемъ, что сперва число увеличится въ 10 разъ, а потомъ еще въ 10 разъ, т.-е. сперва старое число повторится 10 разъ — получится 10 старыхъ чиселъ, а повторяя полученное число еще 10 разъ, получимъ, что окончательное число будетъ равно 10 старымъ числамъх 10= 100 старымъ числамъ. Слѣдовательно наше число окажется больше первоначальнаго въ 100 разъ. Если перенесемъ запятую еще на одно мѣсто вправо (всего, сравнительно съ первоначальнымъ числомъ, на 3 мѣста), то число еще увеличится въ 10 разъ и будетъ въ 1000 разъ (100.10) больше первоначальнаго и т. д.

Подобно этому, перенося запятую на 2 мѣста влѣво, уменьшимъ число въ 100 разъ, на 3 мѣста влѣво — уменьшимъ въ 1000 разъ и т. д.

Итакъ, чтобы увеличить десятичную дробь въ 10, 100, 1000 и т. п. разъ, надо перенести запятую вправо на 1, на 2, на 3 и т. д. мѣстъ (на столько мѣстъ, сколько нулей

при единицѣ), а чтобы уменьшить десятичную дробь въ 10, 100, 1000 и т. д. разъ, надо перенести запятую влѣво на 1, на 2, на 3 и т. д. мѣстъ (на столько мѣстъ, сколько нулей при единицѣ).

Напримѣръ увеличить 5,07 въ 10000 разъ. Для этого надо запятую перенести вправо на 4 мѣста, но у насъ послѣ запятой имѣется лишь 2 цифры. Поэтому сперва припишемъ справа къ нашей десятичной дроби 2 нуля (отъ этого дробь не мѣняется — см. предыдущій §) и тогда уже перенесемъ запятую на 4 мѣста вправо. Получимъ

50700

Здѣсь запятую вовсе можно не писать, такъ какъ дробныхъ разрядовъ въ полученномъ числѣ нѣтъ.

Еще примѣръ: уменьшить 5,07 въ 100 разъ. Для этого надо запятую перенести влѣво на 2 мѣста, но у насъ имѣется только одна цифра влѣво отъ запятой. Поэтому опять припишемъ сперва съ лѣвой стороны одинъ нуль и тогда перенесемъ запятую на 2 мѣста влѣво — получимъ

,0507.

Некрасиво писать запятую впереди числа: она всегда должна быть написана между единицами и десятыми долями, но въ нашемъ числѣ единицъ нѣтъ, поэтому на ихъ мѣстѣ мы можемъ еще написать нуль. Тогда окончательно получимъ

0,0507.

ГЛАВА VII.

ДѢЙСТВІЯ НАДЪ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ.

§83. Сложеніе десятичныхъ дробей. Такъ какъ мы пишемъ десятичныя дроби по той же системѣ, какъ цѣлыя числа, то и выполнять сложеніе десятичныхъ дробей слѣдуетъ въ томъ же порядкѣ. Нужно, слѣдов., складывать

по разрядамъ, начиная съ низшихъ (ср. часть I, § 7). Пусть, напр., надо сложить числа 503,807 и 78,2945. Пишемъ въ строчку:

503,807+78,2945=582,1015.

Начинаемъ съ низшаго разряда: въ первомъ числѣ низшій разрядъ 7 тысячныхъ долей, а во 2-мъ 5 десятитысячныхъ, поэтому придется начать съ десятитысячныхъ долей. Такъ какъ десятитысячныя доли имѣются только во 2-мъ числѣ, то и сумма должна содержать только 5 десятитысячныхъ долей,— записываемъ ихъ, оставляя мѣсто для высшихъ разрядовъ. Въ первомъ числѣ 7 тысячныхъ долей, а во 2-мъ 4 тысячныхъ. Поэтому по таблицѣ сложенія найдемъ, что въ суммѣ должно быть 11 тысячныхъ долей, а онѣ составляютъ одну сотую долю и 1 тысячную; 1 тысячную долю записываемъ на мѣстѣ тысячныхъ долей, а 1 сотую долю запоминаемъ. Переходя къ сотымъ долямъ, видимъ, что въ 1-мъ числѣ ихъ нѣтъ, а во 2-мъ имѣется 9 сотыхъ, да еще одна сотая доля получилась отъ сложенія тысячныхъ, — итого имѣемъ 10 сотыхъ долей (9+1 = 10); онѣ составляютъ ровно одну десятую долю. Поэтому на мѣстѣ сотыхъ долей пишемъ 0, а одну десятую долю запоминаемъ. Далѣе, 8 десятыхъ долей сложить съ 2 десятыми долями — получимъ 10 десятыхъ долей, да еще одну десятую долю получили отъ сложенія сотыхъ долей, — всего имѣемъ 11 десятыхъ долей: онѣ составляютъ 1 единицу и 1 десятую долю. 1 десятую долю записываемъ на мѣстѣ десятыхъ, а 1 единицу запоминаемъ. Далѣе, 3 единицы сложить съ 8 единицами — получимъ 11 единицъ, да еще одну единицу получили отъ сложенія десятыхъ долей, слѣдов. въ суммѣ имѣемъ 12 единицъ. Эти 12 единицъ составляютъ 1 десятокъ и 2 единицы, 2 единицы записываемъ на мѣстѣ единицъ, при чемъ между единицами и десятыми долями слѣдуетъ не забывать ставить запятую, а одинъ десятокъ запоминаемъ. Далѣе, въ 1-мъ числѣ десятковъ нѣтъ, во второмъ ихъ 7, да еще одинъ десятокъ получился отъ сложенія единицъ,—всего имѣемъ 8 десятковъ. Такъ какъ они ни

одной сотни не составляютъ, то ихъ и записываемъ въ суммѣ на мѣстѣ десятковъ. Наконецъ, переходя къ сотнямъ, видимъ, что въ 1-мъ числѣ 5 сотенъ, а во 2-мъ ихъ нѣтъ. Поэтому надо въ суммѣ записать 5 сотенъ. Больше разрядовъ нѣтъ, — поэтому сложеніе окончено, и сумма=582,1015.

При сложеніи нѣсколькихъ большихъ чиселъ удобно, чтобы не перепутать разряды, подписывать эти числа другъ подъ другомъ, наблюдая, чтобы одинаковые разряды приходились въ одномъ столбцѣ. Разсуждаютъ при этомъ такъ же, какъ и раньше. Напримѣръ

Два нуля въ суммѣ на ея правомъ концѣ можно зачеркнуть (§81).

§ 84. Вычитаніе десятичныхъ дробей. Такъ какъ мы пишемъ десятичныя дроби по той же системѣ, какъ и цѣлыя числа, то выполнять вычитаніе слѣдуетъ въ томъ же порядкѣ, какъ и вычитаніе цѣлыхъ чиселъ, т.-е. по разрядамъ, начиная съ низшаго.

Пусть, напр., требуется изъ 5,03 вычесть 4,285, то-есть

Начать вычитаніе придется съ тысячныхъ долей, такъ какъ онѣ являются самымъ низшимъ разрядомъ въ обоихъ числахъ. Въ данной суммѣ (5,03) — см. опредѣленіе вычитанія § 48 — тысячныхъ нѣтъ, а въ данномъ слагаемомъ ихъ 5. Поэтому займемъ у сотыхъ долей суммы одну сотую долю и раздробимъ ее въ тысячныя доли, — получимъ 10 тысячныхъ долей. Вычитая изъ 10 тыс. долей 5 тыс. долей, найдемъ, что въ другомъ слагаемомъ должно быть тоже 5 тыс. долей, — записываемъ ихъ на мѣстѣ тысячныхъ. Переходимъ къ слѣдующему разряду. Въ данной суммѣ осталось (послѣ того какъ одна сотая была занята) 2 сотыхъ доли, а въ данномъ

слагаемомъ ихъ 8; поэтому надо занять у десятыхъ долей суммы, но ихъ не имѣется,— займемъ, слѣдов., у единицъ одну единицу и раздробимъ ее въ десятыя доли, — получимъ 10 десятыхъ долей. Теперь занимаемъ одну десятую долю (ихъ останется послѣ этого 9) и раздробляемъ ее въ сотыя доли, — получимъ 10 сотыхъ долей, да еще имѣемъ 2 сотыхъ доли — итого 12 сотыхъ долей. Вычитая изъ нихъ 8 сотыхъ долей, получимъ 4 сотыхъ доли, которыя и записываемъ на мѣстѣ сотыхъ. Затѣмъ, изъ оставшихся 9 десятыхъ долей вычитаемъ 2 десятыхъ доли, — получимъ 7 десятыхъ долей, которыя и записываемъ. Такъ какъ въ суммѣ осталось 4 единицы и въ данномъ слагаемомъ тоже 4 единицы, то въ другомъ слагаемомъ ихъ не должно быть; поэтому на ихъ мѣстѣ пишемъ 0 (между разрядами единицъ и десятыхъ долей непремѣнно пишемъ запятую). Итакъ, второе слагаемое =0,745.

Еще примѣры:

Можно подписывать данное слагаемое подъ данной суммой, наблюдая, чтобы одинаковые разряды приходились въ одномъ столбцѣ.

Можно, наконецъ, уравнять число десятичныхъ знаковъ въ обоихъ числахъ, приписывая нули справа къ той дроби, у которой меньше дробныхъ разрядовъ; напр.

§ 85. Умноженіе десятичныхъ дробей. Разсмотримъ нѣсколько случаевъ:

I. Умноженіе десятичной дроби на цѣлое число. Пусть, напр., надо 0,83x7. Здѣсь мы

разсуждаемъ, какъ при умноженіи цѣлыхъ чиселъ: 3 сотыхъ умножаемъ на 7, —получимъ 21 сотыхъ, а онѣ составляютъ 2 десятыхъ и 1 сотую; 1 сотую записываемъ на мѣстѣ сотыхъ, а двѣ десятыхъ запоминаемъ. Затѣмъ надо 8 десятыхъ умножить на 7, — получимъ 56 десятыхъ, да еще 2 десятыхъ получилось отъ умноженія сотыхъ,—всего 58 десятыхъ, а онѣ составляютъ 5 единицъ и 8 десятыхъ долей. Итакъ, произведеніе состоитъ изъ 5 единицъ, 8 десятыхъ долей и 1 сотой доли. Все вычисленіе можно записать въ строчку:

Возьмемъ другой примѣръ:

Здѣсь надо тысячныя доли (31405 тысячныхъ) повторить 24 раза слагаемымъ. Отъ этого не могутъ получиться доли болѣе мелкія, чѣмъ тысячныя, т.-е. произведеніе получимъ въ тысячныхъ доляхъ. Число тысячныхъ долей найдется умноженіемъ цѣлыхъ чиселъ 31405 и 24. Такъ какъ 31405x24=753720, то произведеніе 31,405x24 равно 753720 тысячныхъ, или

(послѣднее получилось потому, что мы можемъ послѣдній нуль зачеркнуть — отчего величина десятичной дроби не измѣнится).

Здѣсь вычисленіе въ умѣ вести неудобно, и поэтому его располагаютъ столбцомъ, подписывая множитель 24 подъ множимымъ 31,405. Самое умноженіе производится, не обращая вниманія на запятую (выше мы нашли, что надо перемножить цѣлыя числа 31405 и 24), а въ полученномъ произведеніи отдѣляютъ запятою тѣ доли, которыя должны получиться (въ нашемъ случаѣ тысячныя).

Важно обратить вниманіе, что въ этомъ случаѣ произведеніе выражается въ тѣхъ же до-

ляхъ, въ какихъ было выражено множимое.

II. Разсмотримъ теперь примѣры:

Приступая къ первому примѣру, мы вспомнимъ (§ 55), что 25,72x0,1 значитъ найти одну десятую часть отъ числа 25,72.

Такъ какъ десятая часть числа меньше самого числа въ 10 разъ, то надо уменьшить число 25,72 въ 10 разъ, для чего (§ 82) надо запятую перенести влѣво на одно мѣсто; получимъ:

Также 0,348x0,01 значитъ найти одну сотую часть отъ числа 0,348, для чего надо, согласно § 82, перенести запятую на 2 мѣста влѣво:

Въ третьемъ и четвертомъ примѣрахъ надо найти соотвѣтственно одну тысячную и одну десятитысячную отъ множимаго. Получимъ:

Изъ этихъ примѣровъ мы видимъ, что число дробныхъ разрядовъ произведенія больше числа дробныхъ разрядовъ множимаго на столько, сколько дробныхъ же разрядовъ во множителѣ. Слѣдовательно если множитель есть одна какая-либо десятичная доля единицы, число дробныхъ разрядовъ произведенія равно суммѣ чиселъ дробныхъ разрядовъ множимаго и множителя.

III. Пусть теперь надо

Множитель можно читать: «1142 сотыхъ». Поэтому здѣсь надо найти 1142 сотыхъ части отъ числа 5,307. Найдемъ сначала одну сотую часть отъ числа 5,307,—она равна 0,05307 (согласно II случаю); такихъ частей надо взять 1142, для чего надо найденное число 0,05307 умножить на

цѣлое число 1142, а отъ этого число дробныхъ разрядовъ, какъ выяснено въ I случаѣ, не измѣнится.

Получимъ, умножая 0,05307 на 1142, число 60,60594. Слѣдовательно: 5,307 х 11,42=60,60594.

Здѣсь прежде всего выясняется, что правило, найденное для II случая, о числѣ дробныхъ разрядовъ произведенія примѣнимо и къ случаю III, т.-е. всегда.

Число дробныхъ разрядовъ произведенія равно суммѣ чиселъ дробныхъ разрядовъ множимаго и множителя.

Самыя числа слѣдуетъ умножить, какъ и въ I случаѣ, не обращая вниманія на запятыя, какъ бы это были цѣлыя числа.

Самыя вычисленія, если ихъ трудно, какъ въ нашемъ примѣрѣ, выполнять въ умѣ, располагаются столбцомъ (см .слѣва), Послѣ выполненія умноженія отдѣляютъ запятою столько дробныхъ разрядовъ, сколько ихъ во множимомъ и во множителѣ вмѣстѣ. Если, наконецъ, получатся нули, то ихъ можно зачеркнуть.

Вотъ еще примѣры:

Если одинъ изъ множителей написанъ при помощи только одной значущей цифры, легко выполнять умноженіе въ строчку. Напримѣръ:

Во второмъ примѣрѣ мы переставляемъ мысленно множителей и умножаемъ число 3056 на 7.

§ 86. Дѣленіе десятичныхъ дробей. Мы видѣли, что сложеніе, вычитаніе и умноженіе десятичныхъ дробей при-

ходится выполнять въ томъ же порядкѣ, какъ съ цѣлыми числами, только требуется сюда присоединить умѣнье ставить правильно запятую въ полученномъ послѣ дѣйствія числѣ. Теперь и дѣленіе десятичныхъ дробей желательно выполнять въ томъ же порядкѣ, какъ и цѣлыхъ чиселъ. Мы привыкли въ I классѣ выполнять дѣленіе цѣлыхъ чиселъ, раскладывая число на нѣсколько равныхъ частей. Въ этомъ же порядкѣ мы и теперь должны выполнять дѣленіе десятичныхъ дробей.

§ 87. Дѣленіе десятичной дроби на цѣлое число. Этотъ случай дѣленія совершенно такой же, какъ и цѣлыхъ чиселъ; напр. требуется 50,25:12. Это значитъ надо 50,25 разложить на 12 равныхъ частей съ цѣлью узнать каждую часть. Начнемъ съ высшаго разряда: 5 десятковъ разложить на 12 равныхъ частей нельзя такъ, чтобы въ каждую часть пришлось хоть по одному десятку; поэтому раздробимъ 5 десятковъ въ единицы, — получимъ 50 единицъ (своихъ еще нѣтъ). Теперь надо 50 единицъ разложить на 12 равныхъ частей, въ каждую часть положимъ по 4 единицы; во всѣ части придется положить 4x12, т.-е. 48 единицъ; неразложенныхъ на части останется 2 единицы. Въ I классѣ мы дальше не могли продолжать дѣленія, такъ какъ не знали разрядовъ мельче единицъ, но теперь можно 2 неразложенныя единицы раздробить въ десятыя доли — въ нихъ 20 десятыхъ долей, да у насъ еще имѣется 2 десятыхъ доли — итого 22 десятыхъ доли; ихъ можно разложить на 12 равныхъ частей — въ каждую часть положимъ по 1 десятой долѣ; во всѣ части придется положить 12 десятыхъ (1 десятая долях12); неразложенныхъ останется 10 десятыхъ долей (22 десятыхъ доли —• 12 десятыхъ долей). Раздробимъ неразложенныя 10 десятыхъ долей въ сотыя доли: въ одной десятой доли 10 сотыхъ долей, а въ 10 десятыхъ доляхъ будетъ 100 сотыхъ долей, да еще у насъ имѣется 5 сотыхъ долей — итого 105 сотыхъ долей. Раскладывая ихъ на 12 равныхъ частей, положимъ въ каждую часть по 8 сотыхъ долей; во всѣ части будетъ положено тогда 96 со-

тыхъ долей (8 сотыхъ долей х 12), а неразложенныхъ останется 9 сотыхъ долей (105 — 96). Хотя въ нашемъ числѣ больше разрядовъ нѣтъ, но мы можемъ оставшіяся 9 сотыхъ долей раздробить въ тысячныя доли и продолжать дѣленіе дальше: въ одной сотой доли 10 тысячныхъ долей, а въ 9 сотыхъ доляхъ ихъ будетъ 90; эти 90 тысячныхъ долей надо разложить на 12 равныхъ частей — въ каждую часть положимъ по 7 тысячныхъ долей; во всѣ части тогда будетъ положено 84 тысячныя доли (7 тысячныхъ долей х 12); неразложенныхъ останется 6 тысячныхъ долей (90 тысячныхъ долей — 84 тысячныхъ доли). Раздробимъ ихъ въ десятитысячныя доли — получимъ 60 десятитысячныхъ долей ; ихъ надо разложить на 12 равныхъ частей, — придется въ каждую часть положить по 5 десятитысячныхъ долей; во всѣ части будетъ положено 60 десятитысячныхъ долей (5 десятитысячныхъ долей х 12); неразложенныхъ долей не останется, и дѣленіе кончено.

Дѣйствіе располагаемъ такъ:

Сюда же относится и дѣленіе цѣлаго числа на цѣлое; напр. 12 :25=0,48.

§ 88. Дѣленіе числа на десятичную дробь. Пусть, напр., требуется 0,6055 : 1,75.

Опять постараемся свести дѣло къ разложенію на равныя части. До тѣхъ поръ пока дѣлитель дробное число, примѣнить разложеніе на равныя части нельзя (нѣтъ смысла раз-

ложить на 1,75 равныхъ частей). Поэтому постараемся достигнуть того, чтобы дѣлитель сдѣлался цѣлымъ числомъ. Чтобы сдѣлать его цѣлымъ, надо перенести запятую на 2 мѣста вправо; мы знаемъ, что тогда это число увеличится въ 100 разъ (§82) ,а отъ этого частное уменьшится въ 100 разъ, (одинъ множитель увеличился въ 100 разъ, а произведеніе осталось то же, поэтому другой множитель долженъ уменьшиться въ 100 разъ), а чтобы частное осталось прежнимъ, надо и дѣлимое увеличить въ 100 разъ, — тогда частное, которое было раньше уменьшено въ 100 разъ, вновь увеличится въ 100 разъ и сдѣлается прежнимъ. Для увеличенія же дѣлимаго въ 100 разъ надо его запятую перенести вправо на 2 знака. Тогда получимъ:

Это значитъ: надо 60,55 разложить на 175 равныхъ частей. Начнемъ съ высшихъ разрядовъ: 6 десятковъ нельзя разложить на 175 равныхъ частей десятками; раздробимъ ихъ въ единицы — получимъ 60 единицъ. 60 единицъ нельзя разложить на 175 равныхъ частей единицами; раздробимъ ихъ въ десятыя доли, — всего у насъ получится 605 десятыхъ; ихъ можно разложить на 175 равныхъ частей: въ каждую часть по 3 десятыхъ доли и т. д., какъ въ предыдущемъ примѣрѣ. Замѣтимъ, что передъ десятыми долями частнаго надо не забыть поставить запятую, а такъ какъ цѣлыхъ единицъ въ каждой части не оказалось, то на мѣстѣ единицъ пишемъ нуль.

Изъ этого видимъ, какъ слѣдуетъ обращаться съ запятыми: въ дѣлителѣ запятую зачеркиваютъ, а въ дѣлимомъ, зачеркнувъ ее, ставятъ новую запятую правѣе прежней на столько мѣстъ, сколько дробныхъ разрядовъ было ранѣе въ дѣлителѣ. Тогда дѣлимое и дѣлитель увеличатся въ одинаковое число разъ, и частное не измѣнится.

Еще примѣръ: 5,2 : 0,325.

Здѣсь дѣлителя надо увеличить въ 1000 разъ (перенести запятую на 3 мѣста вправо), а чтобы частное не измѣнилось, надо и дѣлимое увеличить въ 1000 разъ; для этого придется приписать сперва къ дѣлимому 2 нуля и тогда перенести запятую на 3 мѣста вправо — ее уже, окажется, нѣтъ нужды писать, потому что получилось цѣлое число.

§ 89. Случай безконечнаго дѣленія. Иногда можетъ случиться, что, сколько бы ни продолжали дѣленіе, раздробляя остатки все въ низшіе и низшіе разряды, все время будутъ получаться новые остатки, и такимъ образомъ дѣленіе никогда не кончится; напр. 0,7 : 0,72.

Здѣсь мы видимъ, что послѣ того какъ въ каждую часть положили по 2 тысячныхъ доли, въ остаткѣ получили 16 тысячныхъ долей. Раздробляя эти 16 тысячныхъ въ десятитысячныя доли, получимъ 160 десятитысячныхъ,—въ каждую часть положимъ опять по 2 десятитысячныхъ доли, а въ остаткѣ получимъ опять 16 десятитысячныхъ долей; изъ этого можно, уже не продолжая дѣленія, сообразить, что въ каждую часть придется положить опять по 2 стотысячныхъ съ остаткомъ опять 16 стотысячныхъ, по 2 милліонныхъ съ остаткомъ опять 16 милліонныхъ и т. д. безъ конца. Поэтому заключаемъ, что въ частномъ цифра 2 будетъ, начиная съ 3-го мѣста послѣ запятой, повторяться безъ конца. Условились писать это при помощи ряда точекъ, поставленныхъ послѣ нѣсколько разъ написанной двойки,т.-е.

или при помощи скобокъ: заключаютъ въ скобки повторяющуюся двойку и пишутъ ее только одинъ разъ, т.-е.

Иногда бываетъ повтореніе не одной цифры, а ряда цифръ; напр.

въ такомъ случаѣ, какъ видимъ, нѣсколько разъ пишутъ повторяющееся число и затѣмъ ставятъ рядъ точекъ, или, написавъ повторяющееся число 1 разъ, заключаютъ его въ скобки.

Еще примѣръ:

§ 90. Нахожденіе безконечнаго частнаго съ приближеніемъ. При рѣшеніи нѣкоторыхъ вопросовъ нѣтъ нужды продолжать дѣленіе до тѣхъ поръ, пока узнаемъ, какое число должно безъ конца повторяться, а бываетъ достаточно ограничить нахожденіе частнаго какими-нибудь опредѣленными долями (напр. сотыми и т. п.). Пусть, напримѣръ, требуется кусокъ проволоки длиною 45 дюймовъ (3 фута 9 дюймовъ) разрѣзать на 14 равныхъ частей. Чему будетъ равна (въ дюймахъ) длина каждой части? Мы знаемъ, что десятая доля дюйма, или линія, представляетъ собою очень маленькую длину, а сотую долю дюйма получимъ, раздѣливъ линію еще на 10 равныхъ частей; слѣдов. сотая доля дюйма столь мала, что мы не сумѣемъ показать ея концы, а уже тысячныя доли врядъ ли мы сумѣемъ даже и представить себѣ — столь онѣ кажутся для нашего глаза ничтожными. Поэтому при рѣшеніи нашего вопроса мы можемъ вполнѣ удовольствоваться только сотыми долями дюйма, а тысячныя, десятитысячныя и т. д. смѣло можемъ отбросить.

Итакъ, чтобы узнать каждую часть, надо 45 дюймовъ : 14, при чемъ должны ограничиться сотыми долями, — получимъ

Если бы мы продолжили дѣленіе, то въ частномъ получили бы еще тысячныя, десятитысячныя и т. д. доли, но мы ихъ отбрасываемъ, и поэтому найденное число 3,21 дюйма должно быть меньше искомаго числа (хотя и на ничтожную часть дюйма). При этомъ говорятъ, что мы рѣшили нашу задачу приблизительно, съ точностью до 0,01 дюйма.

Когда мы выполняли дѣленіе, то въ каждую часть могли положить только по одной сотой долѣ, а по 2 сотыхъ доли положить нельзя было, поэтому, хотя послѣ сотыхъ долей могутъ еще получаться разряды безъ конца, но вмѣстѣ они не составятъ даже одной сотой доли. Итакъ, мы сдѣлали ошибку меньше чѣмъ на 1 сотую долю. Поэтому, когда говорятъ: «рѣшить данный вопросъ съ точностью до 0,01 единицы, то это значитъ найти для искомой величины такое число, чтобы ошибка была меньше 0,01 доли единицы. Подобно этому можно находить искомое число съ точностью до 0,1, до 0,001, до 0,0001 и т. п., смотря по тому, какими долями единицы мы можемъ въ нашемъ вопросѣ пренебрегать.

Въ предыдущей задачѣ мы можемъ найти еще другое рѣшеніе. Въ самомъ дѣлѣ, положимъ въ каждую часть по 2 сотыхъ доли, т.-е. примемъ, что каждая часть=3,22 дюйма; это, конечно, окажется много, но ошибка будетъ все-таки меньше одной сотой доли (вѣдь настоящая длина каждой части=3,21 дюйма и еще нѣсколькимъ тысячнымъ, десятитысячнымъ и т. д., т.-е. она больше 3,21 дюйма и меньше 3,22 дюйма). Итакъ, число 3,22 дюйма тоже выражаетъ искомую часть съ точностью до 0,01 доли единицы. При рѣшеніи любой подобной задачи мы можемъ найти два числа: одно меньше настоящаго, а другое больше настоящаго, но оба разнятся отъ настоящаго меньше, чѣмъ на 0,01 единицы. Напримѣръ, дюжина чайныхъ ложекъ вѣситъ 49,9 лота. Найти вѣсъ каждой ложки съ точностью до 0,1 лота.

Получимъ 49,9 лота: 12=4,1 лота, или 4,2 лота.

Принято называть число, меньшее настоящаго, приближеннымъ рѣшеніемъ вопроса съ недостаткомъ

Черт. 1.

(мы не добрали нѣкоторыхъ долей), а число, большее настоящаго, приближеннымъ рѣшеніемъ вопроса съ избыткомъ (мы взяли излишекъ нѣкоторыхъ долей).

Иногда бываетъ необходимо окончательно остановиться на одномъ изъ этихъ двухъ чиселъ, —-тогда конечно, слѣдуетъ взять то изъ нихъ, которое ближе къ настоящему. Выяснимъ на простомъ примѣрѣ. Надо смѣрить длину какого-нибудь бруска съ точностью до 0,1 дюйма. Для этого прикладываемъ къ нему линейку, раздѣленную на дюймы и на ихъ десятыя доли (см. чертежъ 1). Надо, чтобы, напр., лѣвые концы бруска и линейки совмѣстились. Смотримъ тогда, гдѣ придется правый конецъ бруска, — на нашемъ чертежѣ между 2 и 3 десятыми долями второго дюйма. Поэтому длина нашего бруска=1,2 дюйма (съ недостаткомъ) и 1,3 дюйма (съ избыткомъ). Какое же изъ этихъ двухъ чиселъ ближе къ настоящему? Такъ какъ конецъ бруска ближе къ 0,3, то ближе взять 1,3 дюйма. Если бы конецъ бруска оказался ближе къ двумъ десятымъ, то точнѣе взять съ недостаткомъ. Если же какъ разъ по серединѣ, то оба числа одинаково близки.

Подобно этому приходится поступать и при дѣленіи. Разсмотримъ первую задачу. Что ближе: 3,21 дм. или 3,22 дм.? Такъ какъ въ одной сотой долѣ 10 тысячныхъ, то въ х/г сотой доли — 5 тысячныхъ. Поэтому, если, продолжая дѣленіе, найдемъ, что въ каждую часть придется положить меньше, чѣмъ по 5 тысячныхъ, то надо взять приблизительное рѣшеніе съ недостаткомъ, а если въ каждую часть больше 5 тысячныхъ (напр. даже 5 тысячныхъ 1 десятитысячную и т. д.), то ближе взять приближенное рѣшеніе съ избыткомъ. При дѣленіи 45 дм. на 14 мы получили 6 сотыхъ долей неразложенными.

Раздробляя эти 6 сотыхъ долей въ тысячныя доли, получимъ 60 тысячныхъ долей. Въ каждую часть по 5 тысяч

ныхъ долей положить нельзя; поэтому ближе взять приближенное рѣшеніе съ недостаткомъ, т.-е. 3,21 дм. Возьмемъ теперь нашу вторую задачу:

Здѣсь оставшіяся неразложенными 7 десятыхъ долей лота раздробляемъ въ сотыя доли, — получимъ 70 сотыхъ долей. Въ каждую часть по 5 сотыхъ долей можно положить, да еще останется остатокъ. Слѣдовательно ближе взять приближенное рѣшеніе съ избыткомъ, т.-е. каждая ложка вѣситъ 4,2 лота.

Замѣтимъ, что, выбирая изъ двухъ найденныхъ приближенныхъ рѣшеній самое близкое къ настоящему, мы дѣлаемъ ошибку уже меньше той доли, съ точностью до которой желали рѣшить задачу.

ГЛАВА VII.

ПЕРІОДИЧЕСКІЯ ДРОБИ.

§ 91. Мы видѣли въ § 89, что при дѣленіи десятичныхъ дробей и цѣлыхъ чиселъ иногда получается безконечное частное, при чемъ оказалось, что въ немъ извѣстный порядокъ цифръ повторяется безъ конца. Такая безконечная десятичная дробь называется періодическою, а число, которое въ ней безъ конца повторяется, называется періодомъ. Напримѣръ, безконечная десятичная дробь 0,52 307 307 307 307... есть періодическая, а ея періодомъ служитъ число 307.

Какъ мы видѣли въ § 89, эту періодическую дробь можно написать короче, заключая въ скобки написанный одинъ разъ періодъ, т.-е. 0,52(307). Иногда случается, что періодъ начинается тотчасъ же послѣ запятой, напр.

Въ такомъ случаѣ періодическая дробь называется чистою. Иногда періодъ начинается лишь послѣ нѣсколькихъ, не повторяющихся, цифръ, напр.

Въ такомъ случаѣ періодическая дробь называется смѣшанною. Здѣсь періодомъ служитъ число 0701 (рекомендуемъ его читать по цифрамъ: нуль, семь, нуль, единица), и до періода имѣется два десятичныхъ знака.

Вся дробь прочтется такъ: 5 цѣлыхъ, 24 сотыхъ и нуль, семь, нуль, единица въ періодѣ. Можно прочитать эту дробь и такъ: 5 цѣлыхъ, 24 сотыхъ и 701 милліонныхъ въ періодѣ. Въ § 89 мы получали періодическія дроби въ частномъ отъ дѣленія десятичныхъ дробей. Оказывается, что частное отъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ или конечныхъ десятичныхъ дробей всегда должно быть или конечною десятичною дробью, или періодическою, а не можетъ быть безконечною съ неправильно повторяющимися цифрами.

Пусть, напр., требуется 49 : 202. Если мы будемъ выполнять это дѣленіе, раздробляя дѣлимое все въ низшія и низшія доли, то можетъ случиться, 1) что мы дойдемъ до такихъ долей, которыя уже безъ остатка раскладываются на равныя части, — и тогда частное будетъ конечное и 2) что всегда, сколько бы мы ни продолжали дѣленіе, будутъ получаться остатки. Но изъ курса I класса мы знаемъ, что остатокъ долженъ быть меньше дѣлителя; поэтому въ остаткѣ могутъ получаться въ нашемъ примѣрѣ лишь числа отъ 1 до 201 включительно. Такихъ остатковъ можетъ быть только 201, а наше дѣленіе продолжается безъ конца,—

слѣдовательно хоть нѣкоторые изъ остатковъ должны повторяться. Дойдя въ нашемъ дѣленіи до такого остатка, который уже получался раньше, мы сообразимъ, что, приписывая къ нему нуль (для раздробленія въ слѣдующій разрядъ), мы получимъ такое число для раскладыванія на равныя части, которое уже раньше раскладывали (дальше это число напечатано жирнымъ шрифтомъ). Поэтому въ частномъ получимъ ту же цифру, какъ и раньше, и новый остатокъ долженъ получиться такой же, какъ и прежде, отъ такого же дѣленія. Слѣдовательно, и слѣдующія цифры въ частномъ должны повторяться, т.-е. получимъ періодическую дробь.

Здѣсь придется раскладывать на части число 860, а это мы уже дѣлали, и въ частномъ пришлось написать 4, а въ остаткѣ 52. Дальше придется дѣлить число 520, что уже тоже дѣлали, и т. д. Поэтому цифры въ частномъ, начиная съ 4, должны повторяться въ томъ же порядкѣ. Итакъ,

Совершенно то же самое имѣемъ и въ томъ случаѣ, когда приходится дѣлить десятичныя дроби. Здѣсь, согласно § 88, прежде всего надо позаботиться о томъ, чтобы сдѣлать дѣлитель цѣлымъ числомъ.

Дѣлимое тогда можетъ оказаться или тоже цѣлымъ числомъ, и тогда мы придемъ къ вышеизложенному случаю — къ дѣленію цѣлаго числа на цѣлое, или дѣлимое останется конечною десятичною дробью (дѣйствія съ безконечными десятичными дробями мы здѣсь не разбираемъ). Въ этомъ послѣднемъ случаѣ мы будемъ разсуждать такъ же, но начнемъ обращать вниманіе на получающіеся остатки только съ тѣхъ поръ, когда дойдемъ до самаго низшаго разряда

дѣлимаго, и въ дальнѣйшемъ для раздробленія новыхъ остатковъ въ еще болѣе низшіе разряды придется приписывать къ нимъ по нулю.

§ 92. Обращеніе обыкновенныхъ дробей въ десятичныя. Въ § 33 мы видѣли, что всякую обыкновенную дробь можно разсматривать, какъ частное отъ дѣленія ея числителя на знаменателя. Напр. дробь gg получается отъ дѣленія 8 на 35 и т. п. Но мы теперь умѣемъ выполнять дѣленіе всякихъ чиселъ по десятичной системѣ и поэтому можемъ получить наше частное въ видѣ десятичной дроби. Изъ предыдущаго §-а видимъ, что при этомъ можетъ получиться или конечная десятичная дробь, или періодическая.

Чтобы на самомъ дѣлѣ обратить обыкновенную дробь въ десятичную, надо выполнить дѣленіе ея числителя на знаменателя по десятичной системѣ, напр.

§ 93. Другой способъ обращенія обыкновенныхъ дробей въ десятичныя. Этотъ способъ основывается на томъ же пріемѣ, какъ приведеніе дробей къ одному знаменателю: надо добавлять въ знаменатель данной дроби новые множители такіе, чтобы знаменатель сдѣлался десятичнымъ (то-есть 10, 100, 1000 и т. д.). Поэтому прежде всего надо твердо знать, на какіе простые множители раскладываются знаменатели десятичныхъ дробей. Мы видѣли въ § 20, что 10=2.5 ; 100=22.52 ; 1000=2* . 53 ; 10000=24. 54 и т. д.; вообще, число, которое пишется при помощи единицы съ нѣсколькими нулями, раскладывается на множители 2 и 5, и притомъ каждый изъ нихъ повторяется столько разъ, сколько нулей при единицѣ. Особенно важно замѣтить, что въ знаменатели десятичныхъ дробей двойки и пятерки входятъ множителями по одинаковому числу разъ. Возьмемъ обыкновенную дробь g; такъ какъ ея знаменатель

есть число 5 (одна пятерка), а знаменатели десятичныхъ дробей должны имѣть двоекъ и пятерокъ поровну, то, чтобы сдѣлать ея знаменателя десятичнымъ, надо добавить въ него множителемъ одну двойку. Для этого надо умножить числителя и знаменателя этой дроби на 2 (тогда дробь своей величины не измѣняетъ), т.-е. имѣемъ:

(пишемъ по десятичной системѣ).

Возьмемъ еще дробь æ- Чтобы сообразить, какихъ множителей надо сюда добавить, надо знаменателя 80 разложить на простые множители (80=8 . 10=23.2.5=24.5). Такъ какъ здѣсь имѣется 4 двойки и только одна пятерка, то надо добавить 3 пятерки. 3 пятерки, взятыя множителями, составляютъ число 125 (53=5 . 5 . 5=125), поэтому надо числителя и знаменателя нашей дроби умножить на 125. Числителя умножаемъ на самомъ дѣлѣ, а относительно знаменателя сразу сообразимъ, что онъ пишется помощью единицы съ четырьмя нулями, такъ какъ онъ теперь будетъ состоять изъ множителей 24.54 . Итакъ, имѣемъ:

Особенно удобенъ этотъ способъ обращенія для дробей съ малыми знаменателями, когда даже разлагать на множители не приходится,—можно быстро въ умѣ сообразить, на какое число умножить знаменателя, чтобы сдѣлать его десятичнымъ. Напримѣръ 2Q- Сразу сообразимъ, что надо 20 умножить на 5, чтобы сдѣлать знаменателя десятичнымъ. Конечно, чтобы дробь не измѣнила своей величины, надо и числителя умножить на 5 и тогда получимъ 2q=0,35. Полезно замѣтить, что

Возьмемъ еще дробь Разложивъ ея знаменателя на простые множители, получимъ 40=23.5. Видимъ, что здѣсь двоекъ больше — ихъ три. Когда добавимъ пятерки, то тѣхъ и другихъ окажется по 3, и тогда знаменатель получаемой десятичной дроби долженъ писаться при помощи единицы съ тремя нулями. Поэтому въ нашемъ числѣ получится 3 дробныхъ разряда (§85). Итакъ, мы, не обративъ еще дроби въ десятичную, сосчитали, что получится 3 дробныхъ разряда.

Если бы знаменатель данной обыкновенной дроби состоялъ изъ четырехъ, напр., пятерокъ и одной двойки, то также бы сообразили, что при обращеніи ея въ десятичную получится 4 десятичныхъ знака и т. п.

Итакъ, можно заранѣе узнать, сколько десятичныхъ знаковъ получится при обращеніи данной обыкновенной дроби, знаменатель который раскладывается только на множители 2 и 5, въ десятичную: для этого надо, разложивъ знаменателя на простые множители, посмотрѣть, кого больше: двоекъ или пятерокъ, — десятичныхъ знаковъ должно получиться столько, сколько разъ этотъ множитель входитъ въ данный знаменатель.

§ 94. Признаки обращенія обыкновенныхъ дробей въ конечныя десятичныя и въ періодическія дроби. Способъ, изложенный въ предыдущемъ §-ѣ можно примѣнять лишь тогда, когда знаменатель данной дроби состоитъ исключительно изъ множителей 2 и 5. Если же въ него входятъ иные простые множители, то этотъ способъ примѣнить нельзя, потому что никогда умноженіемъ не достигнемъ того, чтобы знаменатель сдѣлался десятичнымъ. Иногда эти лишніе множители можно удалить, сокращая на нихъ данную дробь, если только это возможно, и тогда къ полученной послѣ сокращенія дроби можно будетъ примѣнить способъ § 93.

Съ другой стороны десятичныя дроби, получаемыя по этому способу изъ обыкновенныхъ, должны быть непремѣнно

конечныя, такъ какъ ихъ знаменатели состоятъ изъ опредѣленнаго числа двоекъ и пятерокъ. Итакъ,

Если послѣ сокращенія знаменатель данной дроби окажется состоящимъ исключительно изъ простыхъ множителей 2 и 5, то данная дробь обращается въ конечную десятичную; если же знаменатель окажется состоящимъ кромѣ множителей 2 и 5 и изъ иныхъ простыхъ множителей, то способъ § 93 примѣнить нельзя, т.-е. нельзя эту дробь обратить въ конечную десятичную, и она должна обратиться при помощи способа §92 въ безконечную десятичную (періодическую).

Примѣры: || обращается въ конечную десятичную, потому что, сокративъ ее на 7, получимъ дробь |; въ знаменателѣ этой дроби нѣтъ лишнихъ множителей:

обращается въ безконечную десятичную, потому что, сокративъ ее на 7 (больше нельзя), получимъ здѣсь знаменатель имѣетъ лишняго множителя 11 (22=2 .11):

§ 95. Основныя періодическія дроби. Въ § 91 мы раздѣлили періодическія дроби на чистыя и смѣшанныя.

Слѣдуетъ обратить вниманіе на самыя простыя періодическія дроби, получаемыя отъ обращенія слѣдующихъ обыкновенныхъ дробей: ; 9^9 ; 9^9 и т. п. Обращать ихъ придется по первому способу, такъ какъ ихъ знаменатели состоятъ изъ иныхъ множителей, а не изъ двоекъ и пятерокъ. Итакъ, будемъ дѣлить ихъ числителей на знаменатели.

и т. д.

Полученныя періодическія дроби можно читать:

«О цѣлыхъ, 1 десятая въ періодѣ; 0 цѣлыхъ, 1 сотая въ періодѣ; 0 цѣлыхъ, 1 тысячная въ періодѣ и т. д.».

Первая дробь имѣетъ въ періодѣ одну цифру, вторая — двѣ, и т. д.

Онѣ называются основными; ихъ надо помнить и знать, какимъ обыкновеннымъ дробямъ онѣ равны, потому что впослѣдствіи съ ними придется сравнивать всякія чистыя періодическія дроби.

§ 96. Обращеніе чистыхъ періодическихъ дробей въ обыкновенныя. Возьмемъ какую-нибудь чистую періодическую дробь, напр. 3,(048) и постараемся узнать, какой обыкновенной дроби она равна (или, другими словами, отъ какой обыкновенной дроби она получилась). Для этого сравнимъ ее съ тою изъ основныхъ періодическихъ дробей, въ которой столько же цифръ въ періодѣ. Такъ какъ въ нашемъ случаѣ 3 цифры въ періодѣ, то возьмемъ третью основную дробь 0,(001). Видимъ, что періодъ данной дроби (048 или 48 тысячныхъ) въ 48 разъ больше, чѣмъ періодъ взятой основной

дроби. Изъ этого заключаемъ, что и вся взятая дробь въ 48 разъ больше третьей основной. Въ предыдущемъ § ѣ мы видѣли, что третья основная дробь получается отъ такой обыкновенной, числитель который=1, а знаменатель написанъ при помощи трехъ девятокъ (вообще въ знаменателѣ столько девятокъ, сколько въ періодѣ цифръ), то-есть

Такъ какъ наша дробь въ 48 разъ больше, то, чтобы узнать, отъ какой обыкновенной дроби она получилась, надо увеличить въ 48 разъ, т.-е.

Такъ какъ въ нашемъ числѣ имѣется еще 3 цѣлыхъ единицы, то, написавъ ихъ и сокращая дробь qqq, получимъ

Подобно этому

Первую періодическую дробь надо сравнить съ первой основной, потому что здѣсь одна цифра въ періодѣ, вторую — со второй основной, потому что здѣсь 2 цифры въ періодѣ.

Обративъ еще разъ вниманіе на то, что въ знаменателяхъ обыкновенныхъ дробей, которымъ равны основныя періодическія, пишется столько девятокъ, сколько цифръ въ періодѣ, мы можемъ составить себѣ простое правило для обращенія чистыхъ періодическихъ дробей въ обыкновенныя.

Чтобы обратить чистую періодическую дробь въ обыкновенную, надо числителемъ написать періодъ, а въ знаменателѣ столько девятокъ, сколько цифръ въ періодѣ.

Замѣчаніе. Обратимъ вниманіе, что знаменатели обыкновенныхъ дробей, которымъ равны чистыя періодическія дроби, не дѣлятся ни на 2, ни на 5, потому что они всегда оканчиваются до сокращенія цифрой 9 (§§ 8 и 9).

§ 97. Обращеніе смѣшанныхъ періодическихъ дробей въ обыкновенныя. Возьмемъ смѣшанную періодическую дробь

0,5888...

Здѣсь періодомъ является 8 : первая восьмерка назовется первымъ періодомъ, вторая восьмерка — вторымъ періодомъ и т. д. Перенесемъ запятую сперва до 2-го періода, — тогда наша дробь увеличится въ 100 разъ (запятую придется перенести на 2 цифры вправо). Поэтому мы тогда найдемъ, чему будутъ равны 100 такихъ дробей, а не одна дробь, т.-е.

100 дробей=58,888...

Перенесемъ затѣмъ въ данной дроби запятую лишь до перваго періода, — тогда наша дробь увеличится только въ 10 разъ. Мы будемъ имѣть

10 дробей=5,888...

Вычитая изъ 100 дробей 10 дробей, мы найдемъ чему будутъ равны 90 нашихъ дробей:

90 дробей=53

(изъ 58 цѣлыхъ вычесть 5 цѣлыхъ, получимъ 53 цѣлыхъ, а дробныхъ разрядовъ не получится, такъ какъ изъ 8 десятыхъ вычесть 8 десятыхъ — получимъ 0 десятыхъ, также 0 сотыхъ, 0 тысячныхъ и т. д. безъ конца).

Мы узнали, чему равны 90 нашихъ дробей, а намъ надо узнать, чему равна одна дробь: она будетъ въ90 разъ меньше, поэтому надо 53 раздѣлить на 90, т.-е.

Итакъ, наша дробь оказалась равна обыкновенной дроби— Числитель этой дроби легко получается: надо изъ числа до 2-го періода (58) вычесть число до перваго періода (5).

Труднѣе сообразить, какъ научиться сразу писать знаменателя. Для этого выполнимъ еще нѣсколько примѣровъ,

всякій разъ перенося запятую сперва до 2-го періода, а потомъ до 1-го.

Изъ этихъ примѣровъ мы замѣчаемъ, что когда до періода имѣется одинъ десятичный знакъ, то при вычитаніи вычитаемымъ приходится брать 10 дробей, и поэтому въ знаменателѣ искомой дроби на концѣ является одинъ нуль; когда до періода имѣется 2 десятичныхъ знака, то вычитаемымъ приходится брать 100 дробей, и въ знаменателѣ является на концѣ 2 нуля. Если бы до періода было 3 десятичныхъ знака, то знаменатель оканчивался бы 3 нулями и т. д.

Далѣе мы видимъ, что когда въ періодѣ одна цифра, то приходится въ знаменателѣ писать одинъ разъ цифру 9, потому что придется изъ 1000 дробей вычитать 100 дробей, или изъ 10000 дробей вычитать 1000 дробей и т. д., вообще число нулей въ уменьшаемомъ при единицѣ однимъ больше, чѣмъ въ вычитаемомъ. Когда въ періодѣ 2 цифры, то въ уменьшаемомъ число нулей при единицѣ на 2 больше, чѣмъ въ вычитаемомъ, и поэтому послѣ вычитанія появляется 2 девятки, которыя переходятъ въ знаменатель. Если бы въ періодѣ было 3 цифры, то въ уменьшаемомъ при единицѣ было бы на 3 нуля больше, чѣмъ въ вычитаемомъ, и поэтому послѣ вычитанія получили 3 девятки и т. д.

Еще примѣры:

Изъ этого мы видимъ, что можно составить себѣ механическое правило для обращенія смѣшанныхъ періодическихъ дробей въ обыкновенныя:

Для обращенія смѣшанной періодической дроби въ обыкновенную, надо числителемъ написать разность, полученную отъ вычитанія изъ числа до 2-го періода числа до 1-го періода, а знаменателемъ столько девятокъ, сколько цифръ въ періодѣ, и столько нулей, сколько десятичныхъ знаковъ до періода.

Если имѣются цѣлые разряды, то можно цѣлую часть числа такъ и переписать, а дробную обратить въ обыкновенную дробь по вышеизложенному правилу. Напр.,

(здѣсь числителемъ пришлось написать число 27, потому чт0 надо изъ 27 вычесть 0, получимъ 27).

Но можно сразу обратить въ неправильную обыкновенную дробь: перенося запятую до 2-го періода, получимъ 15027,2727... , а до 1-го — 150,2727...

Поэтому придется изъ 15027 вычесть 150 и т. д., получимъ

§98. Замѣчанія. 1) Не слѣдуетъ путать конечныхъ десятичныхъ дробей, въ которыхъ какія-либо цифры повторяются конечное число разъ, съ періодическими, въ которыхъ періодъ повторяется безъ конца.

Напр.,

2) Въ предыдущемъ мы за періодъ принимали наименьшее безъ конца повторяющееся число. Но можно принять за періодъ болѣе сложное число, состоящее изъ 2, изъ 3 и т. д. простыхъ періодовъ. Напр.,

3) Точно такъ же возможно нѣсколько цифръ, принадлежащихъ періоду, отнести къ цифрамъ до періода, и тогда можно чистую періодическую дробь счесть за смѣшанную. Напр.,

Конечно, если мы, усложнивъ такимъ образомъ періодическую дробь, обратимъ ее по нашимъ правиламъ въ обыкновенную, то только усложнимъ вычисленія, результатъ же послѣ сокращеній долженъ получиться прежній. Напр.,

4) Обратимъ вниманіе на періодическія дроби, въ которыхъ періодомъ служитъ число 9.

Напр. 0,9999... Обративъ ее въ обыкновенную, найдемъ, по §96, что она=9 или 1.

Чтобы объяснить этотъ странный результатъ, замѣтимъ, что, повторивъ девятку одинъ разъ, получимъ 0,9 — нехватаетъ одной десятой до единицы; повторимъ 2 раза, получимъ 0,99—нехватаетъ одной сотой до единицы; повторимъ 3 раза, получимъ 0,999 — нехватаетъ одной тысячной до единицы и т. д. Отсюда заключаемъ, что съ повтореніемъ девятки наше число все ближе приближается къ единицѣ.

Такъ какъ въ періодической дроби девятка повторяется безъ конца, то она, значитъ, безконечно близка къ единицѣ.

Также имѣемъ 0,49999.^=1 (т.-е. 0,5) и т. п.

§ 99. Признаки обращенія обыкновенныхъ дробей въ чистыя и смѣшанныя періодическія. Въ § 94 мы нашли, что если въ знаменатель обыкновенной дроби входятъ множителями кромѣ 2 и 5 другія простыя числа, то такая обыкновенная дробь обращается въ безконечную десятичную и притомъ непремѣнно въ періодическую. Теперь является вопросъ, нельзя ли заранѣе узнать, когда она обращается въ чистую и когда въ смѣшанную періодическія. Въ § 96 мы видѣли, что чистыя періодическія дроби получаются отъ такихъ обыкновенныхъ, знаменатели которыхъ пишутся при помощи девятокъ, и они, какъ было уже замѣчено, ни на 2 ни на 5 не дѣлятся. Знаменатели же тѣхъ обыкновенныхъ дробей, которыя получаются отъ смѣшанныхъ періодическихъ, оканчиваются однимъ или нѣсколькими нулями (§ 97) и потому дѣлятся на 2 и на 5. Отсюда заключаемъ:

Если въ составъ знаменателя обыкновенной дроби не входятъ множителями ни двойки ни пятерки, то такая обыкновенная дробь обращается въ чистую періодическую; если же въ составъ знаменателя данной дроби, послѣ всѣхъ возможныхъ сокращеній, окажутся входящими кромѣ постороннихъ множителей еще двойки или пятерки, то такая обыкновенная дробь обращается въ смѣшанную періодическую.

Еще обратимъ вниманіе на то, что можно заранѣе узнать, сколько самое меньшее будетъ цифръ отъ запятой до періода, когда обратимъ данную обыкновенную дробь въ періодическую.

Напримѣръ, возьмемъ дробь 74* Разложивъ ея знаменателя на простые множители, найдемъ 74=37 . 2.

Добавимъ затѣмъ въ знаменатель множитель 5, чтобы двоекъ и пятерокъ было поровну. Этого достигнемъ, не измѣняя величины дроби, умноженіемъ ея числителя и знаменателя на 5. Выполнивъ это, получимъ

Мы знаемъ, что дробь обращается въ чистую періодическую, потому что въ ея знаменатель не входятъ множители 2 и 5. Поэтому, обративъ ее въ періодическую, получимъ число, въ которомъ періодъ начинается тотчасъ же послѣ запятой, а на мѣстѣ единицъ будетъ какая-либо цифра (въ крайнемъ случаѣ нуль). Въ нашемъ примѣрѣ

Но чтобы изъ этой дроби получить нашу надо умножить полученное число на или, что все равно, раздѣлить на 10. Этого достигнемъ, перенося запятую влѣво на одну цифру. Поэтому до періода получимъ одинъ десятичный знакъ. Въ нашемъ случаѣ.

Еще примѣръ:

Чтобы сравнять число двоекъ и пятерокъ въ знаменателѣ t придется добавить множителемъ одну двойку, и тогда

Такъ какъ здѣсь пришлось полученную чистую періодическую дробь дѣлить на 100, то получается 2 цифры до періода.

Если бы въ знаменатель нашей данной обыкновенной дроби входило множителями кромѣ постороннихъ 3 двойки и одна или двѣ пятерки, то, добавивъ пятерокъ, чтобы уравнять ихъ съ двойками, замѣтимъ, что также получимъ сперва

чистую періодическую дробь, а потомъ должны ее раздѣлить на 1000 (23.53= 1000) и, слѣдов., отъ запятой до періода получимъ 3 десятичныхъ знака.

Итакъ, можно заранѣе узнать, сколько получится десятичныхъ знаковъ до періода, если данная обыкновенная дробь обращается въ смѣшанную періодическую. Для этого надо знаменателя данной дроби разложить на простые множители и сосчитать, сколько туда входитъ множителями двоекъ или пятерокъ, смотря по тому, чего больше, столько и будетъ десятичныхъ знаковъ до періода.

Еще примѣръ=д^; 240=24 • Ю=23.3.2.5=24.5.3.

Здѣсь двоекъ больше, чѣмъ пятерокъ, а именно 4 двойки. Поэтому отъ запятой до періода должно быть 4 знака.

ГЛАВА VIII.

ЗАДАЧИ НА ДЕСЯТИЧНЫЯ И ПЕРІОДИЧЕСКІЯ ДРОБИ.

§ 100. Скобочныя задачи. Дано какое-нибудь выраженіе, содержащее и десятичныя и обыкновенныя дроби, порядокъ дѣйствій надъ которыми указанъ знаками дѣйствій и скобками; требуется вычислить это выраженіе. При рѣшеніи такихъ задачъ 1) слѣдуетъ имѣть въ виду тѣ указанія, которыя были сдѣланы въ I классѣ при рѣшеніи скобочныхъ задачъ (часть I, § 34); эти указанія необходимы для того, чтобы не спутать порядка дѣйствій и 2) пользоваться слѣдующимъ указаніемъ:

Такъ какъ дѣйствія надъ конечными десятичными дробями дѣлаются при помощи тѣхъ же пріемовъ, какъ и надъ цѣлыми числами, то слѣдуетъ, по возможности, сводить вычисленія къ дѣйствіямъ надъ конечными десятичными дробями, для чего придется нѣкоторыя изъ данныхъ обыкновенныхъ дробей обратить въ десятичныя; если же гдѣ-либо встрѣтится періодическая десятичная дробь, то придется пользоваться пріемами дѣйствій надъ обыкновенными дробями.

Примѣръ I.

Иногда бываетъ достаточно вычислить данное выраженіе съ приближеніемъ. Напр., если надо найти выше вычисленное выраженіе съ точностью до 0,01 (§90), то возьмемъ число 0,03 (съ избыткомъ — ближе), при чемъ дѣленіе можно дальше не продолжать.

Примѣръ II.

Здѣсь при выполненіи дѣйствій 1-го, 2-го и 6-го пришлось десятичныя дроби обращать въ обыкновенныя, такъ какъ мы не умѣемъ дѣлать дѣйствій съ безконечными десятичными дробями.

Иногда бываетъ безразлично, выполнять дѣйствія десятичными дробями или обыкновенными. Напр.,

или

Выборъ того или другого пріема зависитъ отъ того, что намъ удобнѣе для слѣдующаго дѣйствія.

§ 101. Условныя задачи. Ничего новаго здѣсь не встрѣтимъ, только придется имѣть дѣло и съ обыкновенными, и съ десятичными, и съ періодическими дробями.

Задача I. Въ лавкѣ было 3 куска сукна. Когда продали 0,55 перваго, 0,(54) второго и 0,58(3) третьяго, то отъ всѣхъ кусковъ осталось поровну, а всего вмѣстѣ 405 арш. Сколько аршинъ сукна было первоначально въ каждомъ кускѣ?

Планъ и дѣйствія.

Объясненія и вычисленія пропускаемъ; замѣтимъ лишь, что дѣленіе въ 5-мъ дѣйствіи мы можемъ выполнить пріемомъ, употребляемымъ при дѣленіи десятичныхъ дробей или 45 пріемомъ дѣленія обыкновенныхъ дробей (135 : æQ и т.д.).

Въ нѣкоторыхъ чисто практическихъ задачахъ нѣтъ нужды находить точное рѣшеніе вопроса, но достаточно найти лишь приближенное съ извѣстной степенью точности.

Задача II. Землевладѣлецъ имѣлъ ЗОд дес. ржи, по уборкѣ которой разсчиталъ, что среднимъ счетомъ онъ собралъ по 21g копны съ десятины. Желая сдѣлать предварительный расчетъ своего урожая, онъ обмолотилъ лишь 6 копенъ и получилъ 35 четвериковъ зерна. Сколько пудовъ зерна онъ долженъ ожидать со всего урожая ржи, если каждый четверикъ вѣситъ 1 пудъ 10 фунтовъ?

Конечно, по самой природѣ рѣшеніе вопроса можетъ быть только приближеннымъ, да и данныя задачи тоже лишь приближенныя.

Расчетъ выполняемъ въ слѣдующемъ порядкѣ:

Здѣсь мы нашли частное 459025 : 96 съ точностью до 0,1 (при чемъ взяли съ недостаткомъ, такъ какъ это оказалось ближе), но ясно, что такая точность здѣсь врядъ ли умѣстна; достаточно будетъ ограничиться десятками пудовъ (съ точ-

ностью до одного десятка). Такъ какъ единицъ въ нашемъ частномъ оказалось одна, то, желая рѣшить вопросъ съ точностью до одного десятка, мы должны окончить наше дѣленіе десятками, на мѣстѣ единицъ поставить нуль и взять найденное частное съ недостаткомъ, т.-е. получимъ 4780 пуд. Итакъ,

По предварительному расчету урожай землевладѣльца=4780 пудовъ зерна ржи.

Недостатокъ изложеннаго способа рѣшенія нашей задачи состоитъ въ томъ, что мы не можемъ оцѣнить степень его точности, такъ какъ не знаемъ степени точности данныхъ чиселъ. Напр., 6 копенъ дали 35 четк. зерна, но 1) это число 35 четк. врядъ ли вполнѣ точное — быть можетъ, немного болѣе или немного менѣе, а 2) неизвѣстно, дадутъ ли другія 6 копенъ тоже 35 четк. зерна.

Болѣе подробное разсмотрѣніе приближенныхъ вычисленій не входитъ въ нашъ курсъ.

ГЛАВА IX.

МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МѢРЪ.

§ 102. Происхожденіе метрической системы. Въ курсѣ I класса мы видѣли, что для измѣренія времени даны намъ единицы самою природою: сутки и годъ; для измѣренія же другихъ величинъ знакомыя намъ единицы носятъ произвольный характеръ и притомъ связаны другъ съ другомъ не по одному плану (напр. аршинъ=16 вершк., фунтъ=32 лот. и т. п., и далѣе фунтъ есть вѣсъ 25 куб. дюйм. чистой воды, а четверикъ =1600 куб. дюйм.—приблизительно). Теперь является вопросъ, нельзя ли построить такую систему мѣръ, чтобы оба эти недостатка были устранены. Прежде всего, нѣтъ ли въ природѣ такой длины, которая могла бы быть принята за единицу? Съ цѣлью найти такую единицу длины

смѣрили земной меридіанъ (кругъ на земной поверхности, проходящій черезъ полюсы земли). Такъ какъ оказалось, что разные земные меридіаны между собою не равны, то выбрали одинъ изъ нихъ, именно тотъ, который проходитъ черезъ городъ Парижъ. Съ особенною тщательностью была измѣрена четверть этого меридіана, именно та, которая идетъ отъ сѣвернаго полюса черезъ Парижъ до экватора (на чертежѣ эта часть намѣчена толстой линіею).

Чтобы получить удобную единицу длины, взяли одну десятимилліонную часть этой четверти парижскаго меридіана и назвали ее метромъ. Итакъ, метръ есть 0,0000001 часть четверти парижскаго меридіана. При помощи метра была построена однообразная система мѣръ для всѣхъ величинъ (кромѣ времени), которая и называется метрическою системою мѣръ. Она еще называется десятичною системою мѣръ, потому что для перехода отъ болѣе крупныхъ единицъ къ мелкимъ и обратно приходится пользоваться всегда числомъ 10 и его степенями. Эта система получила свое

Черт. 2.

развитіе во Франціи и теперь, кромѣ Франціи, принята во многихъ государствахъ.

§ 103. Метрическая система мѣръ.

I. Мѣры длины. Основная единица метръ; 10 метровъ составляютъ новую единицу, которая называется декаметръ; 100 метровъ составляютъ 1 гектометръ, 1000 метровъ— 1 километръ. Для названій новыхъ единицъ пользуются приставками къ слову метръ: дека означаетъ 10, гекто—100, кило—1000. Чтобы получить единицы, меньшія метра, дѣлятъ его на 10 равныхъ частей, и 0,1 часть метра называется дециметръ; раздѣливъ дециметръ на 10 равныхъ частей, получимъ 0,01 часть метра, — она дастъ новую единицу: сантиметръ или центиметръ; десятая часть сантиметра, или тысячная часть метра, называется миллиметромъ. Для этихъ названій пользуются приставками къ слову метръ: деци означаетъ 0,1, санти—0,01, милли— 0,001.

Чтобы дать представленіе объ этихъ мѣрахъ, мы даемъ здѣсь рисунокъ дециметра, раздѣленнаго на сантиметры и миллиметры.

Для сравненія этихъ единицъ длины съ нашими, замѣтимъ, что метръ= 1,4061 арш. (съ точн. до 0,0001), или, приблизительно, 22g вершка.

Еще полезно замѣтить, что одинъ километръ немногимъ меньше версты; онъ=0,9374 версты.

II. Квадратныя мѣры. За единицу для измѣренія поверхностей принятъ аръ. Это есть квадратъ, каждая сторона котораго=декаметру (квадратный декаметръ). Можно къ слову аръ прибавлять тѣ же приставки (дека, гекто, кило, деци, санти, милли) и съ тѣмъ же значеніемъ, какъ и къ слову метръ. Наиболѣе употребителенъ

Черт. 3.

Гектаръ=100 арамъ=10000 квадр. метрамъ=О,91531 десятины (немного меньше десятины). Поверхности можно мѣрить также квадр, метрами, квадр, дециметрами, квадр, сантиметрами и т. п. Гектаръ и аръ употребляются, исключительно, для измѣренія земли.

III. Мѣры объемовъ. Объемы можно мѣрить кубич. метрами, кубич. дециметрами, кубич. сантиметрами, кубич. декаметрами и т. п. Наиболѣе часто употребляется кубич. метръ, называемый стеромъ=2,78 кубич. аршина. Къ слову стеръ возможно также приставлять тѣ же приставки, какъ къ слову метръ.

Для жидкихъ и сыпучихъ тѣлъ употребляются тѣ же мѣры, но съ иными названіями: одинъ кубическій дециметръ называется литромъ; онъ равенъ 0,0813 ведра, или 0,0381 четверика. Къ слову литръ опять возможно прибавлять тѣ же приставки. Особенно употребителенъ гекто литръ =100 литровъ.

IV. Мѣры вѣса. Мѣры вѣса должны быть связаны съ мѣрами длины. Поэтому за основную единицу вѣса приняли вѣсъ одного кубическаго сантиметра чистой воды; эту единицу называютъ граммомъ. Итакъ, граммъ есть вѣсъ одного кубическаго сантиметра чистой воды. На наши мѣры онъ=0,23442 золоти.=22,504 долей (приблизительно, 22д доли). Къ слову граммъ также приставляютъ тѣ же приставки, какъ къ слову метръ. Въ торговлѣ употребляется килограммъ=1000 граммовъ=2,4419 фун. (около 2д фун.). Въ нашихъ аптекахъ теперь входятъ во всеобщее употребленіе изложенныя метрическія мѣры вмѣсто старыхъ аптекарскихъ мѣръ вѣса, съ которыми мы познакомились въ I классѣ.

V. Деньги. Основная единица денегъ должна быть связана съ прежними единицами. Поэтому за единицу принята серебряная монета, которая вѣситъ ровно 5 граммовъ, при чемъ часть его составляетъ мѣдь, а остальныя 9 деся-

тыхъ частей — серебро. Такая монета называется франкомъ. Десятая часть франка называется децимъ, а сотая — сантимъ. 5 сантимовъ составляютъ 1 су. На наши деньги франкъ=37^ коп.

§. 104 Раздробленіе и превращеніе метрическихъ мѣръ. Благодаря тому, что вся метрическая система построена помощью числа 10, при ея употребленіи является одно практическое удобство, котораго лишена наша русская система мѣръ: раздробленіе и превращеніе однѣхъ метрическихъ мѣръ въ другія выполняется при помощи перенесенія запятой вправо или влѣво на нѣсколько цифръ или приписываніемъ нулей. Напр., раздробимъ 52,37 километра въ метры: 1 километръ = 1000 метровъ, слѣдов.

52,37 кил.= 1000 метр.х52,37=52,37 . 1000=52370 метр.

Конечно, такія дѣйствія возможно выполнять сразу. Напр., раздробить 0,7 грамма въ миллиграммы (въ граммѣ 1000 миллиграммовъ): 0,7 грам.=700 милигр.

Наоборотъ, превратить 508 декаметровъ въ километры. Въ километрѣ 100 декаметровъ, слѣдов.

Или 3050 литровъ въ гектолитры.

ГЛАВА X.

ОТНОШЕНІЯ И ПРОПОРЦІИ.

§ 105. Два способа сравненія чиселъ и величинъ. Сравнить 2 данныя числа, напр. 20 и 5, мы можемъ двумя способами: 1) можемъ узнать, на сколько одно данное число больше (или меньше) другого, и 2) можемъ узнать, во сколько разъ одно число больше (или меньше) другого. Сравненіе по вопросу на сколько выполняется при помощи вычитанія: надо изъ большаго числа вычесть

меньшее (20—5=15; первое число на 15 единицъ больше 2-го, или 2-е число на 15 единицъ меньше 1-го). Сравненіе по вопросу во сколько разъ выполняется при помощи дѣленія: надо большее число раздѣлить на меньшее (20:5=4; первое число въ 4 раза больше 2, или 2-е число въ 4 раза меньше перваго). Во второмъ случаѣ можно поставить вопросъ иначе; можно узнать, какую часть меньшее число составляетъ отъ большаго, — для этого придется меньшее число раздѣлить на ббльшее (5 :20=|; меньшее число составляетъ | часть отъ большаго). Какъ было выяснено въ § 71, этотъ послѣдній вопросъ считается равнозначащимъ съ вопросомъ, сколько разъ содержится одно число въ другомъ или во сколько разъ больше одно другого.

Разсмотримъ теперь двѣ вполнѣ опредѣленныя однородныя величины, напр. длину комнаты и ея ширину. Хотя мы еще не смѣрили ихъ, т.-е. не выразили ихъ числами, тѣмъ не менѣе мы имѣемъ право и къ нимъ отнести тѣ же 2 вопроса: на сколько длина больше ширины и в о сколько разъ длина больше ширины. Эти 2 сравненія можно выполнить и безъ помощи чиселъ. Чтобы отвѣтить на первый вопросъ, придется смѣрить ширину при помощи, напр., веревки и отложить ее на длинѣ комнаты. Тогда остатокъ длины наглядно укажетъ, на сколько длина больше ширины; чтобы отвѣтить на 2-й вопросъ, придется, смѣривъ ширину веревкой, откладывать ее на длинѣ и считать, сколько разъ она уложится —уложится, напр., 2 раза ровно, то скажемъ, что длина въ 2 раза больше ширины; уложится 2 раза съ остаткомъ - - то длина въ 2 слишкомъ раза болѣе ширины.

Послѣдній случай, когда получается остатокъ, подробнѣе разсматривается въ курсѣ геометріи — тогда узнаемъ, какъ отвѣчаютъ въ этомъ случаѣ на вопросъ дробными числами и иногда даже съ опредѣленною степенью точности.

§ 106. Ариѳметическое и геометрическое отношенія. Изъ предыдущаго видимъ, что всегда двѣ опредѣленныя величины можно сравнивать по обоимъ вопросамъ: н а сколько?, и во сколько разъ? и для насъ ясно, что всегда, если мы наши величины даже и не измѣряли, долженъ получиться вполнѣ опредѣленный результать этихъ сравненій. Принято называть:

Результатъ сравненія двухъ однородныхъ величинъ по вопросу «на сколько» ариѳметическимъ отношеніемъ этихъ величинъ, а результатъ сравненія двухъ однородныхъ величинъ по вопросу «во сколько разъ» геометрическимъ отношеніемъ этихъ величинъ.

Вмѣсто геометрическое отношеніе часто говорятъ просто отношеніе.

Такъ какъ сравненіе двухъ чиселъ по вопросу на сколько выполняется при помощи вычитанія, то естественно ариѳметическое отношеніе двухъ величинъ обозначать знакомъ вычитанія, т.-е., напр., обозначеніе:

длина комнаты — ширина комнаты

надо прочесть «ариѳметическое отношеніе длины комнаты къ ея ширинѣ».

Подобно этому, для обозначенія геометрическаго отношенія двухъ величинъ служитъ знакъ дѣленія. Обозначеніе: вѣсъ стола : вѣсъ стула слѣдуетъ читать «отношеніе (или геометрическое отношеніе) вѣса стола къ вѣсу стула».

Иногда знакъ дѣленія замѣняется черточкою, т.-е.

Можемъ сокращенно говорить: ариѳметическое отношеніе есть разность двухъ однородныхъ величинъ, а геометрическое отношеніе есть частное двухъ однородныхъ величинъ.

Всякое отношеніе возможно выразить числомъ. Для этого придется каждую изъ данныхъ величинъ измѣрить и вы-

полнить указанныя дѣйствія (вычитаніе или дѣленіе). Такѣ какъ каждая величина выражается именованнымъ числомъ, то ариѳметическое отношеніе двухъ величинъ выразится тоже именованнымъ числомъ, а геометрическое отношеніе — отвлеченнымъ.

Послѣднее очень важно: геометрическое отношеніе всегда можно выразить отвлеченнымъ числомъ.

Первая величина (написанная на мѣстѣ дѣлимаго) называется первымъ или предыдущимъ членомъ отношенія; вторая величина (написанная на мѣстѣ дѣлителя) — вторымъ или послѣдующимъ членомъ отношенія.

§ 107. Нахожденіе отношеній двухъ измѣренныхъ величинъ. Если двѣ данныя величины измѣрены, то ихъ отношенія легко найти. Напр.. одна величина=1 пуду, а другая =4 фунтамъ.

т.-е. ариѳметическое отношеніе 1 пуда къ 4 фун.=36 фун.

т.-е. геометрическое отношеніе 1 пуда къ 4 фун.= 10.

Еще примѣръ: найти отношеніе 1 дюйма къ 1 вершку (если не указано, какое отношеніе надо найти, то предполагается геометрическое, — оно иногда называется просто отношеніемъ). Для этого придется 1 дюймъ раздѣлить на 1 верш., но чтобы это выполнить, надо оба числа выразить въ одинаковыхъ единицахъ. Здѣсь очень удобно выразить въ саженяхъ. Въ самомъ дѣлѣ, въ сажени 7 футовъ, а каждый футъ=12 дм. Слѣдовательно 1 сажень= 12 дм.х7=84 дм., а 1 дм.=~ сажени. Также 1 сажень= 16 верш. х3=48 верш. Слѣдовательно 1 верш.=^ сажени.

Поэтому

Итакъ, отношеніе 1 дюйма къ 1 вершку

Такъ какъ правильная дробь, то, согласно значенію дѣйствія дѣленія, мы видимъ, что 1 дюймъ составляетъ ÿ части отъ 1 вершка.

Замѣтимъ еще, что, послѣ того какъ обѣ измѣренныя величины выражены въ одинаковыхъ единицахъ, можно названія этихъ единицъ пропустить — все равно послѣ дѣленія получимъ отвлеченное число. Напр.,

т.-е. отношеніе 1 дюйма къ 1 вершку=отношенію къ

Изъ этого видимъ, что знакъ дѣленія очень часто читается словомъ «отношеніе». Такъ, вмѣсто того чтобы читать, какъ выше, отношеніе 1 дюйма къ 1 вершку=^> можно читать: отношеніе 1 дюйма къ 1 вершку=отношенію 4 къ 7. Такъ какъ отношеніе находится при помощи дѣленія и такъ какъ отъ умноженія или дѣленія дѣлимаго и дѣлителя на одно и то же число частное не измѣняется, то и отношеніе двухъ величинъ не измѣнится, если обѣ величины умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же число.

Число, которое получается послѣ нахожденія отношенія часто называютъ знаменателемъ отношенія.

Въ послѣднемъ примѣрѣ знаменатель отношенія

Если члены отношенія переставить, то новое отношеніе называется обратнымъ сравнительно съ прежнимъ, которое иногда называютъ прямымъ.

Примѣръ. Найти прямое и обратное отношенія 3,58(3) километра къ 5д верстамъ, принимая, что 16 километровъ=15 верстамъ.

Итакъ, прямое отношеніе=|. Конечно, сразу скажемъ, что обратное отношеніе=£=І£, т.-е.

§ 108. Пропорціи. Пропорціею называется равенство двухъ отношеній.

Если имѣется равенство двухъ ариѳметическихъ отношеній, то и пропорція называется ариѳметическою; если же имѣется равенство двухъ геометрическихъ отношеній, то и пропорція называется геометрическою.

Примѣръ ариѳметической пропорціи:

Примѣръ геометрической пропорціи:

Такъ какъ аптек. фунтъ=28 лот., а торговый=32 лот., . , то отношеніе аптек. фунта къ торговому=^--- второе же отношеніе=^-|^=^- Слѣдовательно, оба отношенія выражаются однимъ и тѣмъ же отвлеченнымъ числомъ g, т.-е. они равны.

Въ дальнѣйшемъ мы займемся исключительно геометрическими пропорціями, при чемъ часто будемъ ихъ называть просто пропорціями.

Намъ приходилось уже замѣтить, что отношеніе двухъ однородныхъ величинъ можно замѣнить отношеніемъ отвлеченныхъ чиселъ (для этого надо обѣ величины выразить одинаковыми мѣрами и отбросить названія у полученныхъ именованныхъ чиселъ); поэтому постоянно приходится

имѣть дѣло съ пропорціями, у которыхъ всѣ члены обоихъ отношеній отвлеченныя числа. Напр.,

Эти пропорціи вѣрны, потому что знаменатели обоихъ отношеній 1-й пропорціи равны одному и тому же числу а знаменатели обоихъ отношеній 2-й пропорціи равны одному и тому же числу lg-

Мы видимъ, что каждая геометрическая пропорція состоитъ изъ четырехъ членовъ, которые называютъ иногда по порядку первымъ, вторымъ, третьимъ и четвертымъ членами пропорціи (въ послѣдней пропорціи 5 — первый членъ, 3 — второй, 17,5 — третій и 10,5 — четвертый).

Первый и четвертый члены называются крайними, а второй и третій средними членами пропорціи. Въ послѣдней пропорціи 5 и 10, 5 суть крайніе члены, а 3 и 17,5 — средніе. Въ пропорціи 1 : 2=3 : 6 крайніе члены суть 1 и 6, а 2 и 3 — средніе.

Иногда еще называютъ первые два члена пропорціи предыдущимъ и послѣдующимъ членами перваго отношенія, а послѣдніе два — предыдущимъ и послѣдующимъ членами второго отношенія. Читать пропорціи можно двумя способами Напр., пропорцію 5 : 20=3 : 12 можетъ прочесть: 1) отношеніе 5 къ 20 равно отношенію 3 къ 12, и 2) 5 относится къ 20, какъ 3 къ 12.

§ 109. Главное свойство пропорціи. Произведеніе крайнихъ членовъ пропорціи должно равняться произведенію среднихъ членовъ пропорціи. Это свойство можно провѣрить на примѣрахъ. Напр., въ пропорціи 5 : 20=3 : 12 каждое произведеніе равно 60 (5 . 12=60 и 20.3=60). Но важно убѣдиться, что оно вѣрно, какія бы числа ни служили членами пропорціи, важно доказать это свойство для всевозможныхъ чиселъ. Для этого поступаемъ такъ: обозна-

чаемъ члены пропорціи римскими цифрами I, II, III и IV, при чемъ I выражаетъ собою первый членъ пропорціи, но можетъ равняться какому угодно числу, напримѣръ въ предыдущей пропорціи (5 : 20=3 : 12) онъ равнялся бы 5; также II выражаетъ второй членъ пропорціи, но можетъ равняться всякому числу; также III и IV. Тогда наша пропорція обозначится

При этомъ римскія цифры I, II, III и IV могутъ выражать всякія числа, лишь бы они были подобраны такъ, чтобы пропорція была вѣрна. Теперь воспользуемся такимъ соображеніемъ: если два числа равны и если ихъ умножить на одинаковыя числа, то произведенія должны получиться тоже равными между собою. Поэтому возьмемъ сперва изъ нашей пропорціи первое отношеніе ~ и умножимъ его на II и IV (т.-е. на 2-й и 4-й члены пропорціи), въ какомъ порядкѣ безразлично, но удобнѣе умножить сперва на II (2-й членъ). Такъ какъ у насъ первый членъ пропорціи дѣлится на второй, а потомъ полученное частное умножается на второй же членъ, то въ произведеніи долженъ получиться первый членъ, т.-е. ~ХІІ = І. Полученное произведеніе умножаемъ теперь на IV (т.-е. на 4-й членъ пропорціи), получимъ ІХІѴ (какое число получится отъ этого умноженія, не знаемъ, потому что не знаемъ, какія числа выражаются римскими цифрами I и IV. Поэтому можно только это умноженіе обозначить, но не выполнить). Итакъ,

т.-е. мы умножали первое отношеніе на 2-й и 4-й члены пропорціи и въ концѣ концовъ получили произведеніе перваго члена на четвертый, или произведеніе крайнихъ ея членовъ.

Теперь беремъ второе отношеніе, т.-е. и умножаемъ его на тѣ же числа: на второй и четвертый члены пропорціи.

Но здѣсь удобнѣе выполнять умноженіе въ иномъ порядкѣ: сперва умножимъ на четвертый членъ, а потомъ на второй (мы знаемъ, что множители можно перемножать въ любомъ порядкѣ). Итакъ,

потому что приходится третье число дѣлить на четвертое и полученное частное умножать на четвертое же число — должно получиться дѣлимое, т.-е. третье число. Полученное произведеніе умножаемъ теперь на II (2-й членъ пропорціи). Здѣсь умноженіе можно только обозначить: IIIх II.

Итакъ,

т.-е. мы умножили второе отношеніе на 4-и и 2-и члены пропорціи и получили въ концѣ концовъ произведеніе 3-го и 2-го ея членовъ, или произведеніе среднихъ членовъ.

Такъ какъ отношенія ц и jy были равны и мы ихъ умножали на одни и тѣ же числа, то и полученныя произведенія должны быть равны между собою, т.-е.

Это равенство прочтемъ:

Произведеніе крайнихъ членовъ пропорціи равно произведенію ея среднихъ членовъ.

§ 110. Опредѣленіе неизвѣстныхъ членовъ пропорціи. Иногда въ пропорціи три члена извѣстны, а одинъ неизвѣстенъ, и является задача найти этотъ неизвѣстный членъ. Его принято обозначать латинскими буквами х, у, z, и т. п. Напр., дана пропорція

Здѣсь неизвѣстенъ крайній членъ пропорціи, названный черезъ х. Чтобы его найти, воспользуемся главнымъ свойствомъ пропорціи (§ 109) и напишемъ, что произведеніе крайнихъ (8 . х) равно произведенію среднихъ (9.4), т.-е.

Мы видимъ, что первый множитель (8) извѣстенъ, второй множитель (я) неизвѣстенъ, а произведеніе отъ ихъ умноженія равно извѣстному числу (9.4). Но, когда извѣстны произведеніе двухъ множителей и одинъ изъ нихъ, для нахожденія другого надо произведеніе раздѣлить на извѣстный множитель. Итакъ,

Это можно прочесть такъ: неизвѣстный крайній членъ пропорціи=произведенію среднихъ членовъ, дѣленному на извѣстный крайній. Сокративъ и вычисливъ, найдемъ

Возьмемъ теперь пропорцію

27 : я=6 : 8.

Здѣсь удобнѣе главное свойство пропорціи выразить такь: произведеніе среднихъ членовъ равно произведенію крайнихъ, чтобы начать писать со среднихъ членовъ, такъ какъ неизвѣстенъ средній членъ.

Опять извѣстно произведеніе двухъ множителей и одинъ изъ нихъ, для нахожденія другого надо произведеніе раздѣлить на извѣстный множитель.

т.-е. неизвѣстный средній членъ пропорціи равенъ произведенію крайнихъ, дѣленному на извѣстный средній. Послѣ сокращеній найдемъ я=36.

§ 111. Сложныя пропорціи. Возьмемъ двѣ пропорціи, напр. 3:4=6:8 и 10:3=20:6.

Напишемъ ихъ въ видѣ равенства дробей, т.-е.

Такъ какъ эти дроби попарно равны, то, перемноживъ первыя дроби обѣихъ пропорцій между собою и вторыя дроби между собою, должны получить одинаковыя произведенія, т.-е.

Получилась новая пропорція, члены которой получаются отъ умноженія соотвѣтствующихъ членовъ данныхъ пропорцій. Такая пропорція называется сложною.

Также можно составить сложную пропорцію изъ трехъ и болѣе данныхъ. Напримѣръ, взявъ еще пропорцію 5:8=10: 16, найдемъ, умножая предыдущую пропорцію на эту:

(3 . 10.5) : (4.3.8) = (6.20.10) : (8.6 16).

Можно также получать сложныя пропорціи дѣленіемъ почленно одной пропорціи на другую, но такія сложныя пропорціи въ нашемъ курсѣ не встрѣчаются.

ГЛАВА XI.

ПРОПОРЦІОНАЛЬНЫЯ ВЕЛИЧИНЫ.

§ 112. Величина и ея значенія. Въ предыдущемъ подъ словомъ величина мы, большею частью, понимали опредѣленную величину, т.-е. такую, которая содержитъ въ себѣ опредѣленное число извѣстныхъ единицъ и ихъ частей.

Теперь же подъ этимъ названіемъ мы будемъ понимать неопредѣленную величину. Напримѣръ, разстояніе между двумя предметами есть величина совершенно неопредѣленная — оно можетъ быть большимъ и малымъ, смотря по тому, какъ расположены эти предметы. Если же эти предметы расположить въ опредѣленныхъ мѣстахъ, то тогда разстояніе между ними сдѣлается опредѣленнымъ, и его можно измѣрить, получимъ, напр., 1х/2 версты.

Это разстояніе 1Ѵ2 версты называютъ значеніемъ взятой величины. Точно такъ же вѣсъ вообще есть величина неопредѣленная, а вѣсъ, напр., этого человѣка вполнѣ опредѣленъ, и его можно принять за значеніе нашей величины.

Каждая величина можетъ принимать множество различныхъ значеній.

§ 113. Величины зависимыя и независимыя. При рѣшеніи задачъ постоянно приходится имѣть дѣло съ различными величинами. Разсмотримъ самый простой случай, когда ихъ входитъ въ задачу двѣ. Эти двѣ величины могутъ зависѣть другъ отъ друга и не зависѣть.

Пусть намъ дадутъ задачу: Десятилѣтній мальчикъ имѣетъ росту 1 арш. 7 вершк. Какъ великъ будетъ его ростъ, когда ему будетъ 15 лѣтъ? Въ эту задачу входятъ двѣ величины: ростъ человѣка и его возрастъ. Конечно, онѣ находятся между собою въ нѣкоторой зависимости — мы знаемъ, что съ увеличеніемъ возраста увеличивается и ростъ человѣка, но до извѣстнаго предѣла. Можно считать, что послѣ 25 лѣтъ ростъ не измѣняется. Но рѣшить предложенную задачу мы не можемъ, потому что не знаемъ, какъ именно ростъ человѣка зависитъ отъ его возраста. Возьмемъ еще задачу: Нѣкто, имѣя 30 лѣтъ отъ роду, имѣлъ 2 арш. 6 вершк. росту. Какъ великъ будетъ его ростъ въ 40 лѣтъ? Такъ какъ выше мы замѣтили, что послѣ 25 лѣтъ ростъ не зависитъ отъ возраста, то должны отвѣтить, что и въ 40 лѣтъ его ростъ будетъ=2 арш. 6 вершк.

Еще задача: Трое проходятъ отъ одного города до другого въ 4 дня. Во сколько дней пройдутъ это же разстояніе 6 человѣкъ?

Здѣсь входятъ двѣ величины: число путешественниковъ и время путешествія. Конечно, эти величины не зависятъ другъ отъ друга, и поэтому отвѣтъ на задачу будетъ: тоже въ 4 дня.

§ 114. Прямо пропорціональныя величины. Зависимость между двумя величинами можетъ быть такъ сложна, что выразить ее помощью четырехъ дѣйствій невозможно.

Примѣромъ могутъ служить возрастъ и ростъ человѣка.

Иногда же, наоборотъ, зависимость бываетъ такъ проста, что ее легко выразить и ариѳметическими дѣйствіями и словами и пользоваться ею для рѣшенія задачъ, въ которыя входятъ эти двѣ величины.

Мы разберемъ здѣсь самую простую зависимость.

Для примѣра предположимъ, что дѣло идетъ о двухъ величинахъ: о вѣсѣ товара и его стоимости.

Пусть 3 пуда товара стоятъ 8 руб. Здѣсь мы имѣемъ одно опредѣленное значеніе первой величины (т.-е. вѣса товара)— 3 пуда и одно соотвѣтствующее ему значеніе другой величины (т.-е. его стоимости)—8 руб. Если теперь возьмемъ другое какое-нибудь значеніе первой величины, напр.7д пудовъ, и захотимъ найти соотвѣтствующее ему значеніе другой величины, т.-е. узнать, сколько стоятъ 7д пудовъ, то мы легко сообразимъ, что неизвѣстная стоимость 7g пудовъ товара во столько разъ должна быть больше данной стоимости (8 руб.), во сколько 7д пудовъ больше 3 пудовъ. Если бы второе значеніе первой величины мы взяли меньше 3 пудовъ, напр. 2^ пуда, и пожелали найти соотвѣтствующую стоимость, то мы сообразили бы, что искомая стоимость должна составлять такую часть отъ данной (8 руб.), какую часть 2- пуда составляютъ отъ 3 пудовъ. Однимъ словомъ, результатъ сравненія искомой стоимости съ данной по вопросу «во сколько разъ» долженъ непремѣнно равняться результату сравненія по тому же вопросу новаго вѣса товара съ даннымъ. Пользуясь § 106, мы можемъ сказать, что геометрическое отношеніе (или просто отношеніе) искомой стоимости къ данной (8 руб.) должно равняться отношенію новаго значенія вѣса товара къ данному, то-есть въ первомъ случаѣ:

и во второмъ случаѣ:

Всякія двѣ величины, находящіяся въ зависимости подобной этой, называются прямо пропорціональными. Итакъ,

Двѣ величины называются прямо пропорціональными, если отношеніе двухъ значеній одной величины должно непремѣнно равняться отношенію соотвѣтствующихъ двухъ значеній другой величины.

§ 115. Признакъ прямой пропорціональности двухъ величинъ. Зная, что геометрическимъ отношеніемъ двухъ значеній величины называется результатъ ихъ сравненія по вопросу «во сколько разъ», мы можемъ очень просто узнавать, прямо ли пропорціональны двѣ величины, или нѣтъ. Для этого увеличимъ данное значеніе одной величины въ нѣсколько разъ (напр. въ 2 раза, въ 3 раза и. т. п.) и сообразимъ, что должно сдѣлаться съ соотвѣтствующимъ ему значеніемъ другой величины; если оно увеличится во столько же разъ (въ 2 раза, въ 3 раза и т. п.), то эти двѣ величины прямо пропорціональны; если же оно измѣнится какъ-либо иначе или вовсе не измѣнится, то эти двѣ величины не прямо пропорціональны.

Можно также уменьшать данное значеніе въ нѣсколько разъ.

Прямо пропорціональныя величины иногда называются просто пропорціональными.

§ 116. Обратно пропорціональныя величины. Разберемъ еще одну зависимость между величинами. Для примѣра разберемъ вопросъ, гдѣ рѣчь идетъ о числѣ работниковъ и о времени, въ которое они могутъ выполнить извѣстную работу. Напримѣръ дано, что 12 работниковъ могутъ выполнить какую-либо работу въ 15 дней. Здѣсь намъ дано одно опредѣленное значеніе (12 работниковъ) первой величины (т.-е. числа работниковъ) и соотвѣтствующее ему значеніе (15 дней) другой величины (т.-е. времени работы). Если возьмемъ теперь другое значеніе первой величины (числа работниковъ), напр. 20 работниковъ, и пожелаемъ узнать, сколько имъ понадобится времени для выполненія этой же

работы, то нетрудно сообразить, что времени имъ понадобится меньше, искомое время должно составлять такую же часть отъ данныхъ 15 дней, какую часть составляетъ данное число работниковъ, т.-е. 12 работниковъ, отъ новаго числа работниковъ (т.-е. отъ 20 работниковъ). Если бы мы взяли второе значеніе числа работниковъ меньше 12 работниковъ, напр. 8 работниковъ, то имъ времени понадобится больше, чѣмъ 12 работникамъ, во столько разъ, во сколько 12 работниковъ больше 8 работниковъ. Однимъ словомъ, результатъ сравненія по вопросу «во сколько разъ» искомаго времени съ даннымъ (15 дней) долженъ равняться результату сравненія по тому же вопросу даннаго числа работниковъ (12 работниковъ) съ новымъ. Поэтому, согласно § 106, мы можемъ сказать, что геометрическое отношеніе (или просто отношеніе) искомаго времени къ данному (15 дней) должно равняться геометрическому отношенію даннаго числа работниковъ (12 работниковъ) къ новому, т.-е. въ первомъ случаѣ:

и во второмъ случаѣ:

Замѣтимъ, что здѣсь второе отношеніе приходится брать сравнительно съ первымъ въ обратномъ порядкѣ: искомому времени соотвѣтствуетъ въ первомъ случаѣ 20 работниковъ, а не 12 работниковъ, и во второмъ 8 работниковъ, а не 12 работниковъ. Такія отношенія сравнительно съ отношеніями

называются обратными (§ 107).

Итакъ, мы нашли для нашихъ величинъ, что отношеніе двухъ значеній времени работы должно равняться обратному отношенію соотвѣтствующихъ значеній числа работниковъ.

Всякія двѣ величины, находящіяся въ подобной зависимости, называются обратно пропорціональными. Итакъ,

Двѣ величины называются обратно пропорціональными, если отношеніе двухъ значеній одной изъ нихъ должно равняться обратному отношенію соотвѣтствующихъ двухъ значеній другой величины.

§ 117. Признакъ обратной пропорціональности двухъ величинъ. Обратную пропорціональность легко узнать слѣдующимъ пріемомъ. Увеличимъ данное значеніе одной величины въ нѣсколько разъ (въ 2 раза, въ 3 раза и т. п.); если сообразимъ, что соотвѣтствующее значеніе другой величины должно отъ этого уменьшиться во столько же разъ (въ 2 раза, въ 3 раза и т. п.), то такія величины должны быть обратно пропорціональными.

ГЛАВА XII.

ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦІОНАЛЬНЫЯ ВЕЛИЧИНЫ.

§ 118. Простое тройное правило. Если въ задачу входятъ двѣ величины, прямо или обратно пропорціональныя, при чемъ по двумъ даннымъ значеніямъ одной величины и по одному соотвѣтствующему значенію другой величины надо найти другое соотвѣтствующее значеніе второй величины, то такая задача называется задачею на простое тройное правило (по тремъ числамъ находятъ новое).

Задача 1. За провозъ отъ Москвы до С.-Петербурга 225 пудовъ товара взяли 144 руб. Сколько товара можно перевезти по этому расчету на томъ же пути за 180 руб.?

Въ задачу входятъ двѣ величины: 1 ) вѣсъ товара и 2) стоимость его провоза. Сообразимъ, какова зависимость между ними. Если какое-либо значеніе первой величины (напримѣръ, 225 пуд.) увеличимъ, напр., въ 3 раза, то нетрудно сообразить, что и стоимость провоза должна увеличиться въ 3 раза.

Поэтому (§ 115) эти двѣ величины прямо пропорціональны. Слѣдов., отношеніе двухъ значеній одной величины должно равняться отношенію соотвѣтствующихъ двухъ значеній другой величины (§ 114):

(225 пудамъ соотвѣтствуютъ 144 руб., а искомому вѣсу — 180 руб.)

Обозначивъ искомый вѣсъ товара для краткости буквою х, получимъ

Здѣсь можно отношеніе именованныхъ чиселъ замѣнить отношеніями отвлеченныхъ (§108). Поэтому

Изъ полученной пропорціи опредѣлимъ неизвѣстный крайній членъ (§110).

Рекомендуемъ слѣдующее расположеніе задачи:

Здѣсь мы сперва составляемъ таблицу соотвѣтствующихъ значеній нашихъ величинъ:225 пуд. соотвѣтствуютъ 144 руб., а искомому числу х пудамъ соотвѣтствуетъ 180 руб. По этой таблицѣ легко прочесть сокращенно всю задачу: «За провозъ 225 пуд. заплачено 144 руб. Сколько пудовъ можно провезти за 180 руб.?» (Замѣтимъ, что буква х здѣсь читается словомъ сколько?) Затѣмъ справа выписываемъ названіе входящихъ въ задачу величинъ: 1) вѣсъ товара и 2) плата за его провозъ, и пишемъ, что онѣ прямо пропорціональны (какъ мы это сообразили). Затѣмъ составляемъ пропорцію (отношеніе двухъ значеній одной должно рав-

няться отношенію соотвѣтствующихъ двухъ значеній другой). Замѣтимъ, что значенія первой величины можно брать въ любомъ порядкѣ или ——-это все равно, но уже значенія второй величины должны брать непремѣнно въ томъ же порядкѣ. Кромѣ того, сразу можемъ пропустить названія, замѣняя отношеніе именованныхъ чиселъ отношеніями отвлеченныхъ. Наконецъ, изъ полученной пропорціи опредѣляемъ неизвѣстный ея членъ (теперь у насъ неизвѣстенъ средній членъ, — онъ равенъ произведенію крайнихъ, дѣленному на извѣстный средній членъ).

Задача 2. Товарный поѣздъ, проходя по 15 верстъ въ часъ, проходитъ разстояніе между двумя станціями въ 4| часа. Во сколько времени пройдетъ это разстояніе пассажирскій поѣздъ, который проходитъ въ часъ по 47g верстъ?

Въ эту задачу входятъ двѣ величины: 1) скорость поѣзда въ часъ и 2) время, въ которое онъ проходитъ извѣстное разстояніе (сокращенно: время движенія). Если мы увеличимъ скорость поѣзда въ нѣсколько разъ (напр. въ 2 раза), то нетрудно сообразить, что для прохожденія того же пути ему понадобится времени во столько же разъ меньше (въ 2 раза меньше). Слѣдовательно (§ 117), наши величины обратно пропорціональны. Поэтому отношеніе двухъ значеній одной величины должно равняться обратному отношенію соотвѣтствующихъ двухъ значеній другой (§ 116). Называя искомое время черезъ х, получимъ

Послѣ вычисленій получимъ

Расположеніе рѣшенія;

По таблицѣ читаемъ задачу такъ: «Поѣздъ, проходя въ часъ 15 верстъ, пройдетъ все разстояніе въ 4^ часа. Во сколько времени (читаемъ сперва неизвѣстное число х словами «во сколько времени», а потомъ уже соотвѣтствующее ему значеніе другой величины) поѣздъ пройдетъ это же разстояніе, если въ часъ проходитъ 47д верстъ?» При составленіи пропорціи можно первымъ написать отношеніе двухъ значеній любой величины и въ любомъ порядкѣ, но уже второе отношеніе (двухъ соотвѣтствующихъ значеній другой величины) надо брать непремѣнно въ обратномъ порядкѣ. Остальное все такъ же, какъ въ предыдущей задачѣ.

Задача 3. 12 работниковъ могутъ выполнить нѣкоторую работу въ 13д дней. Во сколько дней выполнять эту же работу 18 работниковъ?

Даемъ сокращенное рѣшеніе:

§ 119. Способъ приведенія къ единицѣ. Можно рѣшать задачи съ пропорціональными величинами инымъ способомъ безъ помощи пропорцій.

Задача 4. Изъ 7 фун. муки выходитъ 9,5 фун. печенаго хлѣба. Сколько надо взять муки, чтобы получить 38 фун. печенаго хлѣба?

Задачу можно рѣшить по вопросамъ:

1) Сколько надо взять муки, чтобы получить 1 фунтъ печенаго хлѣба?

Такъ какъ изъ 7 фун. муки получается 9,5 фун. печенаго хлѣба, то, чтобы получить 1 фунтъ хлѣба, муки придется взять въ 9,5 раза меньше. Поэтому надо

(дѣйствія не выполняемъ).

2) Сколько надо муки, чтобы получить 38 фун. хлѣба? Муки понадобится въ 38 разъ больше сравнительно съ найденнымъ числомъ. Поэтому надо найденное число о-c фун. умножить на 38, т.-е.

Такъ какъ послѣ вычисленій должно получиться искомое число, то, назвавъ его буквою х, получимъ:

Теперь надо полученное выраженіе вычислить. Прежде всего надо озаботиться уничтоженіемъ запятой. Для этого умножимъ дѣлимое и дѣлителя на 10. (Такъ какъ дѣлимое представляетъ произведеніе двухъ множителей, то достаточно лишь одинъ изъ нихъ умножить на 10.) Получимъ:

Располагаютъ рѣшеніе этой задачи слѣдующимъ способомъ

Слѣдов., вопросы не записываютъ, а задаютъ ихъ мысленно, и сразу пишутъ отвѣты на эти вопросы. Рѣшивъ послѣдній вопросъ, пишутъ впереди полученнаго выраженія букву х, обозначающую искомое число (пишутъ: х=полученному выраженію).

Здѣсь слѣдуетъ: 1) умѣть отчетливо читать задачу по составленной таблицѣ и 2) строго наблюдать, чтобы задаваемые вопросы относились всегда къ той величинѣ, къ которой принадлежитъ искомое число. Въ данной задачѣ всѣ вопросы должны относиться къ вѣсу муки, т.-е. всякій разъ

мы спрашиваемъ: «сколько надо муки?» Другую величину слѣдуетъ всегда приводить къ единицѣ.

Задача 5. Если бы переписчикъ занимался въ день по 7g часовъ, то онъ переписалъ бы все сочиненіе въ 15 дней, но онъ занимался въ день только по 6 часовъ. Во сколько дней онъ перепишетъ это сочиненіе?

Составимъ таблицу :

Здѣсь вопросы должны относиться къ числу дней, а число часовъ должно переводить отъ 7g час. къ одному часу, а потомъ уже къ 6 часамъ.

1-й вопросъ: Сколько переписчику понадобится дней для этой переписки, если онъ станетъ работать по 1 часу, а не по 7g час.? (Дней понадобится не 15, а въ 7^ раза больше,

2-й вопросъ: Сколько ему понадобится дней, если онъ будетъ работать не по 1 часу, а по 6 часовъ? (Дней понадобится въ 6 разъ меньше сравнительно съ найденнымъ числомъ, т.-е. надо

Отвѣты на эти вопросы пишутъ такъ, какъ у насъ написано справа отъ таблицы.

Задача 6. Переписчикъ, работая въ день по 7g часовъ, можетъ переписать сочиненіе въ 15 дней. Поскольку часовъ въ день надо ему работать, чтобы переписать то же сочиненіе въ 8 дней?

Здѣсь искомое число относится къ числу часовъ ежедневной работы; поэтому слѣдуетъ и всѣ вопросы при рѣшеніи этой задачи относить къ этой же величинѣ. Здѣсь придется

рѣшить два вопроса: 1) Поскольку часовъ ему придется заниматься, чтобы выполнить эту работу въ 1 день? ^Конечно, уже не по 7g час., а въ 15 разъ больше — надо 7g X 15=—g15j, и 2) Поскольку часовъ ему придется заниматься, чтобы выполнить ту же работу не въ 1 день, а въ 8 дн.? (Понадобится теперь заниматься, сравнительно съ предыдущимъ, въ 8 разъ меньше часовъ, — придется полученное выраженіе раздѣлить на 8.)

Рѣшеніе дано справа отъ таблицы.

§ 120. Сложное тройное правило. Если въ задачу входятъ не двѣ, а нѣсколько прямо или обратно пропорціональныхъ между собою величинъ, то такая задача называется задачею на сложное тройное правило.

Рѣшать эти задачи можно также двумя способами : 1 ) способомъ пропорцій и 2) приведеніемъ къ единицѣ.

Изложимъ сперва второй способъ, такъ какъ онъ скорѣе ведетъ къ цѣли.

§ 121. Рѣшеніе задачъ на сложное тройное правило по способу приведенія къ единицѣ.

Задача 7. Въ 30 дней на прокормленіе 8 лошадей выходитъ 180 пуд. сѣна. На сколько дней хватитъ 300 пуд. для прокормленія 10 лошадей?

Здѣсь входятъ три величины: 1) время прокорма лошадей, 2) число лошадей и 3) вѣсъ запасеннаго сѣна. Нетрудно сообразить, что если бы третья величина не мѣнялась, то первыя двѣ величины были бы обратно пропорціональны, а если бы вторая величина не мѣнялась, то первая была бы прямо пропорціональна третьей. Поэтому эта задача на сложное тройное правило.

Составимъ таблицу:

Рѣшая эту задачу способомъ приведенія къ единицѣ, мы должны задавать вопросы, относящіеся къ первой величинѣ (потому что къ ней принадлежитъ искомое число) и должны

измѣнять сперва вторую величину, переходя отъ 8 лошадей къ 1 лошади и затѣмъ къ 10 лошадямъ, при чемъ третью величину пока не должны мѣнять, т.-е. должны принять пока, что во время этихъ двухъ вопросовъ рѣчь идетъ о 180 пудахъ сѣна. Затѣмъ, не мѣняя второй величины (т.-е. полагая, что все время рѣчь будетъ итти о 10 лошадяхъ), должны измѣнять третью величину, переходя отъ 180 пуд. къ 1 пуду и затѣмъ къ 300 пудамъ.

Вопросы явятся у насъ слѣдующіе:

Мы знаемъ, что въ 30 дней 8 лошадей съѣдаютъ 180 пуд. сѣна.

1) На сколько дней хватитъ того же сѣна для одной лошади (а не для 8 лош.)?

2) На сколько дней хватитъ того же сѣна для 10 лошадей (а не для 1 лош.)?

3) Н а сколько дней хватитъ тѣмъ же 10 лошадямъ 1 пудъ сѣна (а не 180 пуд.)?

4) На сколько дней хватитъ тѣмъ же лошадямъ 300 пуд. сѣна (а не 1 пуд.)?

Отвѣты:

1) На большее въ 8 разъ число дней. Поэтому получимъ (30x8) дней.

2) На меньшее въ 10 разъ число дней. Поэтому получимъ

3) На меньшее въ 180 разъ число дней. Поэтому получимъ

4) На большее въ 300 разъ число дней. Поэтому получимъ

Такъ какъ послѣдній вопросъ спрашиваетъ какъ разъ объ искомомъ числѣ х, то имѣемъ

Задача 8. Для приготовленія бѣлья для 250 воспитанниковъ одного учебнаго заведенія потребовалось 3900 аршинъ

полотна, при чемъ на каждаго приготовили 3 перемѣны бѣлья. Сколько аршинъ полотна надо заготовить для приготовленія бѣлья для другого учебнаго заведенія, въ которомъ было 420 воспитанниковъ, при чемъ каждому полагалось 5 перемѣнъ бѣлья, если ширина полотна составляла ? ширины прежняго полотна?

Для составленія таблицы замѣтимъ, что ширину полотна въ первый разъ слѣдуетъ выразить числомъ 1, тогда ширина полотна во второй разъ выразится числомъ т*

Здѣсь придется имѣть дѣло со слѣдующими вопросами (они должны относиться къ длинѣ полотна):

1) Сколько надо полотна для 1 воспит. при одинаковыхъ остальныхъ условіяхъ?

2) Сколько надо полотна для 420 воспит. при тѣхъ же остальныхъ условіяхъ?

3) Сколько надо полотна для 420 воспит., если каждому сдѣлаютъ 1 перемѣну бѣлья?

4) Сколько надо полотна для 420 воспит., если каждому сдѣлаютъ 5 перемѣнъ бѣлья?

5) Сколько надо полотна для 420 воспит., если каждому сдѣлаютъ 5 перемѣнъ бѣлья и если ширина полотна выразится числомъ (а не 1)?

Замѣтимъ, что послѣднюю величину (ширину полотна) не приходится приводить къ единицѣ (она уже была равна единицѣ), а надо сразу отъ единицы перейти къ

4) Въ 5 разъ больше, т.-е. получимъ

5) Полотна понадобится больше, такъ какъ ширина его уменьшилась.

Для того, чтобы узнать, сколько понадобится полотна, надо полученное выше число раздѣлить на | (а не умножить, потому что отъ умноженія на число уменьшится, а не увеличится), т.-е. получимъ

Тогда

Слѣдуетъ замѣтить, что отвѣтъ на каждый вопросъ слѣдуетъ давать тотчасъ же послѣ вопроса и тотчасъ же обозначать дѣйствія, нужныя для его рѣшенія.

§ 122. Рѣшеніе задачъ на сложное тройное правило способомъ пропорцій.

Задача 9. 12 работниковъ, работая въ день по 8g час., вырыли въ 15 дней ровъ длиною 85 саж. Сколько надо дней, чтобы 16 работниковъ, работая въ день по 67 часа, вырыли ровъ длиною 108 саженъ? (Ширина и глубина рва остались тѣ же.)

Составимъ таблицу:

Здѣсь мы имѣемъ дѣло съ 4 мѣняющимися величинами, но въ § 118 мы научились пользоваться пропорціями въ томъ случаѣ, когда въ задачу входятъ только 2 мѣняющихся величины. Поэтому составимъ себѣ вспомогательную задачу, гдѣ бы только первая величина (число работниковъ) измѣнилась, а остальныя величины оставимъ тѣ же:

т.-е. 12 раб. въ 15 дней выроютъ извѣстный ровъ; во сколько дней ту же работу выполнятъ 16 раб. при тѣхъ же остальныхъ условіяхъ? Въ этой задачѣ мѣняются только двѣ величины: число работниковъ и время работы. Нетрудно сообразить, что онѣ обратно пропорціо-

нальны. Поэтому составимъ пропорцію (на основаніи § 116). Эта пропорція написана справа отъ таблицы.

(Замѣтимъ, что можно было бы написать пропорцію въ видѣ 12 : 16=2/• 18, но для дальнѣйшаго удобнѣе начать пропорцію съ искомаго числа, которое мы назвали буквою у.)

Теперь мы можемъ найти искомое число у изъ нашей пропорціи, но искать его не будемъ, хотя въ дальнѣйшемъ будемъ считать его извѣстнымъ.

Составимъ затѣмъ вторую вспомогательную задачу, принимая за данное то, что узнали изъ 1-й вспомогательной задачи, т.-е. что 16 работниковъ, работая въ день по часовъ, въ у дней (у извѣстно) выкопаютъ ровъ длиною 85саж.; вопросъ же въ этой задачѣ составимъ, мѣняя слѣдующую величину (число часовъ ежедневной работы):

«16 работниковъ, работая въ день по 8^ часовъ, выроютъ въ у дней ровъ длиною 85 саженъ. Во сколько дней тѣ же 16 работниковъ, работая въ день по 6- часовъ, выроютъ тотъ же ровъ длиною въ 85 саженъг»

Составимъ таблицу:

Въ этой задачѣ мѣняются лишь двѣ величины: продолжительность ежедневной работы и время всей работы. Нетрудно сообразить, что эти величины обратно пропорціональны (если увеличимъ продолжительность ежедневной работы, напр., въ 2 раза, то время всей работы должно уменьшиться въ 2 раза). Поэтому на основаніи § 116. составимъ пропорцію, начиная ее съ искомаго числа z. Послѣ этого число z можемъ считать извѣстнымъ. Пропорція написана справа отъ таблицы.

Составимъ теперь третью вспомогательную задачу, принимая за извѣстное то, что узнали изъ 2-й задачи, и мѣняя послѣднюю величину (длину рва):

«16 работниковъ, работая въ день по 6- час., въ z дней выкопаютъ ровъ длиною въ 85 саж. Во сколько тѣ же 16 работниковъ, работая также по 6- час. въ день, выкопаютъ ровъ длиною въ 108 саж.?>

Составимъ таблицу, обозначая теперь искомое число черезъ х, та; ъ какъ это число и даетъ отвѣтъ на нашу главную задачу:

Здѣсь опять мѣняются только двѣ величины: время работы и длина рва. Нетрудно сообразить, что эти величины прямо пропорціональны (увеличивъ длину рва, напр., въ 2 раза, найдемъ, что и время работы увеличится въ 2 раза и т. д.). Поэтому, на основаніи § 114, составимъ пропорцію, начиная ее съ искомаго числа х. Пропорція написана справа отъ таблицы.

Итакъ, мы получили 3 пропорціи, изъ которыхъ, на основаніи 111, можемъ составить сложную пропорцію:

Мы знаемъ, что если оба члена отношенія раздѣлить на одно и то же число, то отношеніе не измѣнится. Мы видимъ, что можно оба члена перваго отношенія раздѣлить на у и на z.

Тогда получимъ

Отсюда можно найти крайній неизвѣстный членъ пропорпіи х (онъ равенъ произведенію среднихъ, дѣленному на извѣстный крайній):

Приводимъ еще задачу безъ объясненій:

Задача 10. 10 косцовъ въ 2д дня, работая ежедневно по 10 часовъ, скосили лугъ длиною 300 саж. и шириною 279 саженъ. Какой длины былъ другой лугъ, ширина котораго равна 155 саж., если его скосили 6 косцовъ въ lg дня, работая ежедневно по /дчас.г

§ 123. Особыя задачи. Иногда приходится при рѣшеніи задачи пріемъ тройного правила соединять съ иными дѣйствіями.

Задача 11. 9 работниковъ въ 14 дней выполнили yg работы. Сколько надо нанять еще работниковъ, чтобы вся работа была выполнена въ 20 дней?

1) Сколько дней осталось до срока?

2) Какую часть работы осталось выполнить?

3) Сколько надо работниковъ, чтобы окончить къ сроку работу?

4) Сколько пришлось принанять работниковъ?

Надо еще нанять 6 работниковъ.

Здѣсь первые два вопроса служатъ подготовленіемъ къ тройному правилу. 3-й вопросъ хотя рѣшается цѣлымъ рядомъ дѣйствій, но, въ виду того, что эти дѣйствія составляютъ изученный нами пріемъ, мы принимаемъ его какъ бы за одно дѣйствіе. 4-й вопросъ необходимъ для отвѣта на вопросъ задачи.

ГЛАВА XIII.

ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ.

§ 124. Понятіе о процентахъ. Процентомъ называется сотая часть числа. Напр. вмѣсто того, чтобы сказать: «найти 0,01 часть отъ 50», говорятъ: «найти одинъ процентъ отъ 50» (для этого надо 50x0,01=0,5) Вмѣсто того, чтобы сказать: «найти 0,02 отъ 50», говорятъ: «найти два процента отъ 50» (50x0,02=1). Вмѣсто того, чтобы сказать: «найти 0,03 отъ 50», говорятъ: «найти 3 процента отъ 50» (50x0,03=1,5) и т. д. Припомнивъ, что часть отъ какого-нибудь числа находятъ умноженіемъ этого числа на дробь, мы сумѣемъ находить сколько угодно процентовъ отъ любого числа. Слово «процентъ» обозначается знакомъ °/0.

Напр. найти

Наоборотъ, если скажутъ, что 7% отъ неизвѣстнаго числа=14, то нетрудно найти все неизвѣстное число.

Все число находится дѣленіемъ, когда извѣстна его часть,

§ 125. Пользованіе тройнымъ правиломъ при вычисленіи процентовъ. Способъ нахожденія процентовъ въ предыдущемъ §-ѣ бываетъ неудобенъ, когда надо найти дробное число процентовъ.

Напр. найти

Чтобы избѣжать предварительныхъ вычисленій, пользуются тройнымъ правиломъ. Для этого берутъ число 100 отъ котораго легче всего считать проценты: 1 °/0 отъ 100= 1 ;

Поэтому предыдущую задачу выражаемъ такъ: искомые проценты отъ числа 100 равны 12^ (единицамъ), чему равны эти же проценты отъ числа з|?

Въ эту задачу входятъ 2 величины: 1) число, съ котораго считаютъ °/0, и 2) число, которому равны искомые проценты. Если данное число увеличить, напр., въ 3 раза, то и число, которому окажутся равны одни и тѣ же проценты увеличится тоже въ 3 раза. Поэтому наши 2 величины прямо пропорціональны. Составимъ таблицу и затѣмъ рѣшимъ задачу пропорціею или приведеніемъ къ единицѣ:

1) Пропорціею:

2) Приведеніемъ къ единицѣ:

(Вопросы. 1 ) Чему равны искомые проценты съ одной единицы? — въ 100 разъ меньше 12|, и 2) Чему равны искомые проценты съ з| единицъ? — въ з| раза больше).

Еще примѣръ. 67/8°/0 отъ неизвѣстнаго числа= 11. Чему равно все число?

Вопросы. 1) Со сколько единицъ искомые проценты будутъ равны 1, а не 65? — число должно быть въ 65 раза меньше 100

и 2) Со сколько единицъ искомые проц. будутъ равны 11, а не 1? —-число должно быть въ 11 разъ больше

Итакъ,

Задача 1. При переписи населенія города оказалось, что въ этомъ городѣ 15267 мужчинъ, изъ которыхъ 2877 неграмотныхъ. Сколько процентовъ составляютъ неграмотные отъ всего числа мужчинъ?

Итакъ, на 100 мужчинъ приходится 18,84 неграмотныхъ, т.-е. неграмотныхъ мужчинъ въ этомъ городѣ 18,84%.

§ 126. Приложеніе къ коммерческимъ вычисленіямъ. Вычисленіе процентовъ особенно примѣнимо къ денежнымъ вопросамъ. Люди, обладающіе капиталами, отдаютъ эти капиталы на какія-нибудь предпріятія (напр. на постройку большихъ домовъ, на устройство заводовъ, на торговлю и т. п.). Образуются цѣлыя общества, члены которыхъ вно-

сятъ большіе или меньшіе капиталы. Такимъ образомъ общество можетъ располагать очень значительнымъ капиталомъ, который необходимъ для устройства большого предпріятія. По окончаніи года получается нѣкоторая прибыль, изъ которой большая часть распредѣляется между участниками общества, при чемъ, согласно размѣрамъ прибыли, устанавливается, какой процентъ прибыли долженъ получить каждый на свой капиталъ.

Эта прибыль, получаемая каждымъ, называется дивидендомъ на внесенный имъ капиталъ. Подобно этому существуютъ банки, куда вносятъ капиталисты свои деньги, которыми банкъ можетъ распоряжаться: отдавать ихъ въ долгъ нуждающимся подъ вѣрное обезпеченіе или помѣщать ихъ въ предпріятія заводскія, торговыя и т. п. Тѣмъ лицамъ, которыя положили свои капиталы въ банкъ, послѣдній, конечно, даетъ ежегодное вознагражденіе, которое выражается извѣстными процентами. Наоборотъ, за тѣ деньги, которыя онъ самъ отдаетъ въ долгъ, онъ беретъ съ должниковъ тоже вознагражденіе въ размѣрѣ опредѣленныхъ процентовъ.

Часто приходится слышать, что нѣкто помѣстилъ свой капиталъ въ банкъ, напр., по 4°/0. Это значитъ, что за каждые 100 руб. своего капитала онъ получаетъ въ годъ вознагражденія 4 рубля. Существуютъ сберегательныя государственныя кассы, куда каждый можетъ вносить на сбереженіе деньги, начиная отъ 1 рубля (можно даже и еще меньше — отъ 10 коп., но уже тогда вознагражденіе не полагается).

На деньги, внесенныя въ эти кассы, тоже дается вознагражденіе по 3,6%, т.-е. съ каждыхъ 100 руб. въ годъ дается 3,6 руб.=3 руб. 60 коп.

Часто лицо, имѣющее деньги, даетъ ихъ въ долгъ другому, если ему довѣряетъ, и тоже беретъ за это вознагражденіе. Лицо, дающее въ долгъ деньги, называется заимодавцемъ или кредиторомъ, а лицо, берущее деньги, называется должникомъ или дебиторомъ.

Отсюда мы заключаемъ, что въ коммерческихъ вопросахъ придется имѣть дѣло со слѣдующими величинами: 1) капиталъ — такъ называются деньги, внесенныя въ банкъ или употребленныя на какое-либо предпріятіе; 2) время, которое капиталъ находился въ банкѣ или въ предпріятіи, и 3) прибыль или то вознагражденіе, которое причитается какому-либо лицу за то, что его капиталомъ пользовался банкъ или предпріятіе. Ее иногда называютъ процентными деньгами.

§ 127. Зависимость между капиталомъ, временемъ и прибылью. Пусть, напр., капиталъ 100 руб. былъ положенъ въ банкъ, и черезъ извѣстное время его владѣлецъ получилъ за это 10 руб. прибыли. Если бы онъ положилъ въ банкъ капиталъ, напр., въ 2 раза большій, то черезъ такое же время онъ получилъ бы прибыли за это не 10 руб., а въ 2 раза больше. Отсюда заключаемъ.

Капиталъ и прибыль при постоянномъ времени прямо пропорціональны.

Пусть теперь какой-нибудь опредѣленный капиталъ былъ положенъ въ банкъ, и владѣлецъ его черезъ 1 годъ получилъ 7 руб. прибыли. Если бы этотъ капиталъ пробылъ въ банкѣ не 1 годъ, а, напр., въ 2 раза больше, то и прибыли бы онъ получилъ не 7 руб., а въ 2 раза больше. Отсюда:

Время и прибыль при постоянномъ капиталѣ прямо пропорціональны

Пусть теперь капиталъ 200 руб. былъ внесенъ въ банкъ, и черезъ 6 лѣтъ принесъ своему владѣльцу извѣстную прибыль. Спросимъ себя, вс сколько времени принесъ бы ту же самую прибыль капиталъ не 200 руб., а въ 2 раза большій. Черезъ 6 лѣтъ онъ принесъ бы не ту же самую прибыль, а въ 2 раза больше; слѣдов., для того чтобы прибыль осталась прежней, времени понадобится не 6 лѣтъ, а въ 2 раза меньше. Отсюда:

Капиталъ и время при постоянной прибыли обратно пропорціональны.

§ 128. Основныя задачи на проценты. Задача 1. Капиталъ 677 руб. 25 коп. отданъ въ банкъ по 6д °/0. Сколько онъ принесетъ прибыли черезъ 2 года 8 мѣсяцевъ?

Такъ какъ въ эту задачу входятъ величины, которыя попарно прямо или обратно пропорціональны, то можемъ воспользоваться тройнымъ правиломъ. Составимъ таблицу, при чемъ время выразимъ въ мѣсяцахъ. Капиталъ отданъ по 6g °/0 — это значитъ, что съ каждыхъ 100 руб. въ годъ (12 мѣс.) получаютъ 6g руб. прибыли (—6,5 руб.). Таблицу составляемъ въ порядкѣ, принятомъ въ тройномъ правилѣ: съ 1-й строчкѣ пишутъ условіе задачи (т.-е. то, что извѣстно), а во 2-й — вопросъ. Извѣстно же намъ, что съ каждыхъ 100 руб. въ 12 мѣс. получается 6,5 руб. прибыли; время раздробимъ въ мѣсяцы: 2 г. 8 мѣс.=32 мѣс.

Вопросы: 1) Сколько прибыли получится въ то же время съ 1 рубля, а не со 100 руб.? — въ 100 разъ меньше

2) Сколько прибыли получится съ 677,25р., а не съ 1 рубля? — въ 677,25 раза больше

3) Сколько прибыли получится съ 677,25 руб. въ 1 мѣсяцъ, а не въ 12 мѣс.? — въ 12 разъ меньше

4) Сколько прибыли получится съ того же капитала въ 32 мѣсяца, а не въ 1 мѣсяцъ?

въ 32 раза больше

Это и будетъ искомое число х.

Здѣсь всѣ вопросы относятся къ прибыли.

Полученное выраженіе надо упростить: 1) избавиться отъ дробей, — для этого дѣлимое и дѣлитель умножимъ сперва на 10 (чтобы число 6,5 стало цѣлымъ 65) и потомъ на 100 (чтобы число 677,25 стало цѣлымъ 67725); 2) сократить полученную дробь: на 25 дѣлятся 67725 и 100, на 4 дѣлятся 32 и 100, на 5 дѣлятся 65 и 10 и т. д.

Задача 2. Поскольку °/0 былъ отданъ капиталъ 920 руб., если онъ черезъ 7 мѣсяцевъ 15 дней принесъ 34 руб. 50 коп. прибыли?

Замѣтимъ, что для удобства принято считать, что каждый мѣсяцъ=30 днямъ. Поэтому въ году считаютъ при вычисленіи процентовъ 30 днейх 12=360 дней.

Здѣсь извѣстно, что съ капитала 920 руб. въ 7 мѣсяцевъ 15 дней (=225 дней) получили 34,5 руб. прибыли, а надо узнать, сколько прибыли получается съ каждыхъ 100 руб. въ годъ (или въ 360 дней). Составимъ таблицу:

Слѣдовательно, капиталъ былъ отданъ по 6°/0.

Вопросы: 1) Сколько прибыли получатъ въ то же время съ 1 рубля, а не съ 920 руб.? —• въ 920 разъ меньше

2) Сколько прибыли получатъ въ то же время со 100 руб., а не съ 1 рубля? — въ 100 разъ больше

3) Сколько прибыли получатъ со 100 руб. въ 1 день, а не 225 дней? — въ 225 разъ меньше

4) Сколько прибыли получатъ съ того же капитала въ 360 дней, а не въ 1 день?

въ 360 разъ больше

-Всѣ вопросы относятся къ прибыли.

Въ полученномъ выраженіи избавимся отъ запятой, для чего умножимъ дѣлимое и дѣлителя на 10 (чтобы число 34,5 сдѣлалось цѣлымъ 345), затѣмъ сократимъ два раза на 10, затѣмъ, выполнивъ остальныя сокращенія и дѣйствія, получимъ х=6.

Задача 3. Какой капиталъ надо отдать по 5д°/0, чтобы въ 3 мѣсяца получить 36 руб. 30 коп. прибыли?

Таблица:

Вопросы (должны относиться къ капиталу): 1) Какой капиталъ надо отдать на 1 мѣсяцъ, а не на 12 мѣсяцевъ, чтобы получить ту же прибыль? — Капиталъ долженъ быть не 100 руб., а въ 12 разъ больше (100 руб. х 12). 2) Какой капиталъ надо отдать на 3 мѣсяца, а не на 1 мѣсяцъ, чтобы получить ту же прибыль? — Капиталъ долженъ быть въ 3 раза меньше

3) Какой капиталъ надо отдать на то же время, чтобы получить 1 рубль прибыли, а не 5,5 руб.? — Капиталъ долженъ быть въ 5,5 разъ меньше

4) Какой капиталъ надо отдать на то же время, чтобы получить 36,3 руб. прибыли, а не 1 рубль? — капиталъ долженъ быть въ 36,3 раза больше

Сокращенія подобны сокращеніямъ въ предыдущихъ задачахъ.

Задача 4. На сколько времени надо отдать капиталъ 3400 руб. по 4°/0, чтобы получить 17 руб. прибыли.

Вопросы (должны относиться къ времени): 1) Во сколько времени получатъ ту же прибыль съ 1 рубля, а не со 100 руб.? — Времени надо въ 100 разъ больше (12 мѣс.х 100). 2) Во сколько времени получатъ ту же прибыль съ 3400 руб., а не съ 1 рубля? — Времени понадобится для этого въ 3400 разъ менѣе

3) Во сколько времени получатъ съ того же капитала (3400 руб.) 1 рубль прибыли, а не 4 рубля? — Времени надо въ 4 раза менѣе

4) Во сколько времени получатъ съ того же капитала 17 руб. прибыли, а не 1 рубль? — Времени надо въ 17 разъ болѣе

Эти 4 задачи являются основными: къ нимъ приводится рѣшеніе всякой задачи на вычисленіе процентовъ.

Въ нѣкоторыхъ задачахъ приходится принимать во вниманіе доли копейки. Ихъ надо превращать въ рубли. Полезно замѣтить, что

Задача 5. Поскольку процентовъ надо отдать капиталъ 8125 руб., чтобы черезъ 1 годъ 1 мѣсяцъ получить 264 руб. 6^ коп. процентныхъ денегъ.

Замѣтимъ, что 6 коп. =0,06 руб., а | коп. =0,0025 руб., слѣдовательно 264 руб. б| коп. =264,0625 руб. Задача рѣшается по системѣ разобранной въ задачѣ 2-й.

Слѣдовательно, надо отдать этотъ капиталъ по 3%.

§ 129. Наращенный капиталъ. Капиталъ вмѣстѣ съ прибылью называется наращеннымъ капиталомъ. Напр. если отдать въ банкъ 100 руб. по 5°/0, то черезъ

годъ мы можемъ получить изъ банка 105 руб., если же этотъ капиталъ пролежалъ бы въ банкѣ 2 года, то онъ принесъ бы 10 руб. прибыли и черезъ 2 года сталъ бы НО руб., черезъ 3 года — 115 руб. и т. д. Капиталъ постепенно нарасталъ бы.

Разберемъ зависимость между наращеннымъ капиталомъ и извѣстными намъ величинами: простымъ капиталомъ, временемъ и прибылью.

Пусть, напр., капиталъ 100 руб. даетъ въ опредѣленное время 15 руб. прибыли; тогда наращенный капиталъ = 115 руб. Если возьмемъ капиталъ въ 2 раза большій, т.-е. 200 руб., а не 100 руб., то и прибыль съ него за это же время должна быть не 15 руб., а въ 2 раза больше; слѣдовательно, и наращенный капиталъ будетъ 200 руб.+30 руб., т.-е. тоже увеличится въ 2 раза, такъ какъ каждое слагаемое увеличилось въ 2 раза. Слѣдовательно:

Наращенный капиталъ при постоянномъ времени прямо пропорціоналенъ простому капиталу.

Изъ этого же мы видимъ, что здѣсь же и прибыль тоже увеличилась въ 2 раза. Поэтому:

Наращенный капиталъ при постоянномъ времени прямо пропорціоналенъ прибыли.

Пусть теперь капиталъ 100 руб. въ 1 годъ далъ 5 руб. прибыли; тогда наращенный капиталъ=105 руб.; черезъ 2 года (увеличиваема время въ 2 раза) этотъ же капиталъ дастъ прибыли 10 руб., и наращенный капиталъ окажется— 110 руб. Мы видимъ, что время увеличилось въ 2 раза, а наращенный капиталъ хотя и увеличился, но не въ 2 раза (онъ=110 руб., а не 210 руб.). Слѣдовательно

наращенный капиталъ вовсе не пропорціоналенъ времени.

Иногда въ задачахъ на проценты встрѣчается еще величина, называемая уменьшеннымъ капиталомъ. Эта величина является тогда, когда предпріятіе, въ которое былъ вложенъ капиталъ, даетъ не прибыль, а убытокъ.

Напр. нѣкто внесъ на извѣстное предпріятіе 100 руб. Черезъ годъ предпріятіе дало 5°/0 убытку. Поэтому если онъ пожелаетъ взять свои деньги назадъ, то онъ уже получитъ не 100 руб. а 95 руб., т.-е. изъ его капитала вычтутъ приходящійся на его долю убытокъ 5 руб. Итакъ, уменьшенный капиталъ=простому капиталу безъ процентныхъ денегъ. Ясно, что уменьшенный капиталъ, подобно наращенному, прямо пропорціоналенъ простому капиталу и убытку и вовсе не пропорціоналенъ времени.

§ 130. Задачи съ наращеннымъ и уменьшеннымъ капиталами. Въ тѣхъ задачахъ, гдѣ даны простой и наращенный капиталы, можно вычитаніемъ простого капитала изъ наращеннаго узнать прибыль и свести задачу къ одной изъ четырехъ основныхъ § 128.

Задача 6. Во сколько времени капиталъ 725 руб., отданный по 6°/0, обратится въ 757 руб. 621/2 коп.?

Здѣсь даны: простой капиталъ 725 руб., наращенный капиталъ- 757 руб. 62% коп.=757,625 коп. Поэтому легко узнать прибыль, полученную въ это время.

1) Какъ велика прибыль?

2) На сколько времени былъ отданъ капиталъ?

Второй вопросъ рѣшается такъ, какъ это изложено въ задачѣ 4 изъ § 128.

Подобно этому рѣшимъ, напр., такую задачу: «Поскольку процентовъ надо отдать капиталъ 820 руб., чтобы онъ черезъ 8 мѣсяцевъ обратился въ 881 руб. 50 коп.?» Здѣсь придется пользоваться задачей 2-й изъ § 128.

Нетрудно также рѣшить задачу, подобную слѣдующей: «Во что обратится капиталъ 410 руб., черезъ 1 годъ 4 мѣ-

сяца, если его положить въ банкъ по 41/2°/0?» Здѣсь придется сперва пріемомъ задачи 1-й изъ § 128 найти прибыль на нашъ капиталъ и затѣмъ прибавить ее къ самому капиталу.

Нѣсколько сложнѣе рѣшается слѣдующая задача:

Задача 7. Какой капиталъ, отданный по 6°/0, черезъ 1 годъ 8 мѣс. обратится въ 561 рубль?

Здѣсь сразу нельзя узнать прибыль, потому что не данъ простой капиталъ и нельзя пользоваться сложнымъ тройнымъ правиломъ, потому что наращенный капиталъ не пропорціоналенъ времени. Поэтому придется сперва исключить вліяніе времени.

1) Сколько прибыли получатъ въ 1 годъ 8 мѣсяцевъ со 100 руб.?

2) Во что обратятся 100 руб. черезъ 1 годъ 8 мѣс.?

3) Какъ великъ былъ капиталъ?

Капиталъ=510 руб.

Замѣчаніе къ 3-му вопросу: такъ какъ наращенный и простой капиталъ при постоянномъ времени прямо пропорціональны (§129), то теперь, когда отъ 1 года мы перешли къ 1 году 8 мѣс., мы можемъ воспользоваться тройнымъ правиломъ.

Составляемъ таблицу, которую можемъ читать такъ:

«Капиталъ 100 руб. обращается (въ 1 годъ 8 мѣс.) въ 110 руб. Какой капиталъ обратился въ то же время въ 561 руб.?»

Рѣшая эту задачу приведеніемъ къ единицѣ, мы должны задавать вопросы, относящіеся къ простому капиталу.

1) Какой капиталъ обратился въ 1 рубль, а не въ 110 рублей. Капиталъ долженъ быть не 100 руб., а въ 110 разъ меньше

2) Какой капиталъ обра-

тится въ 561 руб., а не въ 1 руб.? — капиталъ долженъ быть въ 561 разъ больше

Въ заключеніе разберемъ еще задачу, гдѣ вовсе не входитъ время и гдѣ встрѣчается уменьшенный капиталъ.

Задача 8. Купецъ А продалъ купцу В товаръ и получилъ прибыли 10%. Купецъ В въ свою очередь продалъ этотъ товаръ за 439 руб. 45 коп., но получилъ 6% убытка. Сколько самому купцу А стоилъ этотъ товаръ?

1) За сколько В купилъ этотъ товаръ? (Или: за сколько А продалъ этотъ товаръ?)

2) Сколько стоилъ товаръ самому купцу А?

Самому купцу А этотъ товаръ стоилъ 425 руб.

Объясненія.

Такъ какъ купецъ В продалъ товаръ съ убыткомъ по 6%, то, если бы ему товаръ стоилъ 100 руб., то онъ продалъ бы его за 94 руб. (100 руб. —6 руб.=94 руб.).

Итакъ, здѣсь мы встрѣчаемся съ уменьшеннымъ капиталомъ.

Составляемъ таблицу: «Если бы купцу В товаръ стоилъ 100 руб., то онъ продалъ бы его за 94 руб.; сколько стоитъ ему товаръ, если онъ его продалъ за 439,45 руб.?» Вопросы (рѣшаемъ приведеніемъ къ единицѣ) должны относиться къ простому капиталу: 1) Сколько ему стоилъ бы товаръ, если бы онъ продалъ его за 1 рубль, а не за 94 руб.? и и 2) сколько ему стоилъ товаръ, если онъ продалъ его за 439,45 руб., а не за рубль?

Второй вопросъ задачи рѣшенъ совершенно сходно съ этимъ, только тамъ вмѣсто уменьшеннаго является наращенный капиталъ.

ГЛАВА XIV.

УЧЕТЪ ВЕКСЕЛЕЙ.

§ 131. Вексель. Когда одно лицо занимаетъ у другого извѣстную сумму денегъ, то первое даетъ второму письменное обязательство уплатить эти деньги вмѣстѣ съ причитающимися на нихъ процентными деньгами въ извѣстный срокъ. Это письменное обязательство пишется на особой бумагѣ и по одной и той же формѣ. Такое письменное обязательство называется векселемъ. Вотъ образецъ векселя:

Москва (или названіе иного города), 10 октября 1903 года. Вексель на 820 руб. Отъ сего 10 октября 1903 года черезъ 8 мѣсяцевъ по сему моему векселю повиненъ я заплатить NN (званіе, имя, отчество и фамилія того лица— кому слѣдуетъ заплатить) или кому онъ прикажетъ восемьсотъ двадцать рублей, которые я отъ него получилъ наличными деньгами (или товаромъ), — далѣе подпись должника.

Такимъ образомъ въ векселѣ имѣется только та сумма, которая должна быть заплачена, и ничего не пишется про то, сколько было занято въ дѣйствительности и поскольку °/0 считался этотъ заемъ. Сумма, написанная въ векселѣ, называется валютою этого векселя. Валюта векселя является, какъ видимъ изъ предыдущаго, наращеннымъ капиталомъ.

То лицо, которое выдало вексель, называется должникомъ, а то лицо, которое дало взаймы деньги подъ этотъ вексель, называется кредиторомъ.

Кредиторъ, владѣющій векселемъ, можетъ этотъ вексель продать, не дожидаясь срока, другому лицу или иногда даже размѣнять его въ банкѣ на наличныя деньги (конечно, только въ томъ случаѣ, если банкъ безусловно увѣренъ въ томъ, что уплата денегъ по этому векселю послѣдуетъ въ назначенное время). Лицо, покупающее вексель, конечно,

не заплатитъ за него всю валюту полностью, а нѣсколько меньше, чтобы вознаградить себя за то, что онъ не можетъ пользоваться въ теченіе остающагося до срока времени отданными за вексель деньгами. Поэтому между прежнимъ и новымъ владѣльцами векселя происходитъ соглашеніе, которымъ устанавливается процентъ скидки съ валюты векселя. Подобно этому, иногда должникъ можетъ уплатить свой вексель раньше срока и тоже приходитъ по этому дѣлу въ соглашеніе съ кредиторомъ, какой процентъ съ валюты векселя онъ можетъ удержать въ свою пользу.

Такимъ образомъ, при продажѣ векселя или при уплатѣ его ранѣе срока изъ валюты векселя вычитается нѣкоторая сумма, называемая учетомъ или дисконтомъ векселя. Учесть или дисконтировать вексель значитъ продать его до срока какому-либо лицу или банку, или, наконецъ, уплатить по этому векселю ранѣе срока съ нѣкоторою уступкою съ его валюты.

Напримѣръ, если учитываютъ вексель въ 820 руб. за 3 мѣсяца до срока и согласились сдѣлать учетъ по 8°/0, то съ каждыхъ 100 руб. валюты за годъ пришлось бы скидывать 8 руб., а за 3 мѣсяца (т/4 года) въ 4 раза меньше, то-есть 2 руб., съ 820 руб. пришлось бы скинуть

и такой вексель оказался бы проданнымъ за 803 руб. 60 коп. (820 руб. — 16 руб. 40 коп.). Изъ этого видимъ, что несмотря на то, что валюта векселя есть наращенный капиталъ, при его учетѣ ее принимаютъ за простой капиталъ. Учетъ, производимый этимъ способомъ, называется коммерческимъ.

§ 132. Задачи на учетъ векселей. Основныхъ задачъ на учетъ векселей 4.

Задача 1. Вексель въ 1250 руб. 40 коп. проданъ за 10 мѣсяцевъ до срока. Какъ великъ былъ учетъ, если его условились сдѣлать по 4^°/0?

Такъ какъ при учетѣ векселя его валюта принимается за простой капиталъ, то можемъ пользоваться для рѣшенія этой задачи тройнымъ правиломъ. Составляемъ таблицу:

Читаемъ такъ: со 100 руб. за 12 мѣсяцевъ учтутъ 4,5 руб. Сколько учтутъ за 10 мѣс. съ 1250,4 руб.? Здѣсь имѣемъ дѣло съ тремя величинами, знакомыми намъ изъ статьи о процентахъ, но ихъ можно называть теперь иными названіями: валюта векселя (вмѣсто прежняго капитала), время и учетъ (вмѣсто прежней прибыли). При рѣшеніи нашей задачи приведеніемъ къ единицѣ надо наблюдать, чтобы всѣ вопросы относились къ учету (къ этой величинѣ относится искомое число): 1) Сколько учтутъ съ 1 рубля, а не со 100 руб.? — Учтутъ не 4,5 руб., а въ 100 разъ меньше руб-Ѵ 2) Сколько учтутъ съ 1250,4 рублей, а не съ 1 рубля? — Учтутъ въ 1250,4 раза больше найденнаго въ 1-мъ вопросѣ. 3) Сколько учтутъ съ той же валюты за 1 мѣс., а не за 12 мѣс.? — Учтутъ въ 12 разъ меньше найденнаго во 2-мъ вопросѣ. 4) Сколько учтутъ съ той же валюты за 10 мѣс., а не за 1 мѣс.? — Учтутъ въ 10 разъ больше найденнаго въ 3-мъ вопросѣ. Поэтому:

Слѣдовательно, учетъ=46 руб. 89 коп. Можно было бы эту задачу усложнить: можно спросить, за сколько былъ проданъ этотъ вексель?

Тогда пришлось бы, послѣ того какъ найденъ учетъ, вычесть его изъ валюты векселя, т.-е. 1250 руб. 40 коп. — 46 руб. 89 коп.= 1203 руб. 51 коп.; слѣдовательно, вексель былъ проданъ за 1203 руб. 51 коп.

Та сумма, за которую продается вексель, является новою величиною, часто встрѣчающеюся въ задачахъ и называемою валютою безъ учета.

Задача 2. Вексель въ 5220 руб. былъ роданъ за 8 мѣсяцевъ до срока съ учетомъ 121 руб. 80 коп. Поскольку процентовъ былъ сдѣланъ учетъ?

Составляемъ таблицу:

Читаемъ эту таблицу такъ: съ 5220 руб. за 8 мѣс. учитываютъ 121,8 руб. Сколько учтутъ со 100 руб. за 12 мѣсяцевъ? Здѣсь имѣемъ дѣло опять съ тѣми же тремя величинами, какъ и въ предыдущей задачѣ.

При рѣшеніи этой задачи приведеніемъ къ единицѣ надо наблюдать, чтобы всѣ вопросы относились къ учету. Они будутъ слѣдующіе:

1) Сколько учтутъ за то же время съ 1 рубля, а не съ 5220 руб.? — Учтутъ въ 5220 разъ менѣе руб.).

2) Сколько учтутъ за то же время съ 100 руб., а не съ 1 руб.? — Учтутъ въ 100 разъ больше найденнаго въ 1-мъ вопросѣ.

3) Сколько учтутъ съ тѣхъ же 100 руб. за 1 мѣсяцъ, а не за 8 мѣс.? — Учтутъ въ 8 разъ меньше найденнаго во 2-мъ вопросѣ.

4) Сколько учтутъ съ тѣхъ же 100 руб. за 12 мѣсяцевъ, а не за 1 мѣс.? — Учтутъ въ 12 разъ больше найденнаго въ 3-мъ вопросѣ.

Поэтому:

Слѣдовательно, учетъ дѣлали по 3^°/

Эту задачу можно было бы усложнить: вексель въ 5220 руб. былъ проданъ за 8 мѣс. до срока за 5098 руб. 20 коп. Поскольку процентовъ былъ сдѣланъ учетъ? Здѣсь пришлось бы сперва узнать, чему равенъ учетъ (5220 руб. — 5098 руб. 20 коп.=121 руб. 80 коп.), и тогда уже примѣнять тройное правило.

Задача 3. Вексель въ 1360 руб. былъ проданъ съ учетомъ по 5%, при чемъ учетъ оказался равенъ 51 рублю. За сколько времени до срока былъ проданъ этотъ вексель?

Составляемъ таблицу:

т.-е. со 100 руб. за 12 мѣсяцевъ учитаютъ 5 руб. За сколько мѣсяцевъ учтутъ 51 руб. съ 1360 руб.? Опять можемъ рѣшать эту задачу приведеніемъ къ единицѣ.

Вопросы должны относиться ко времени:

1) За какое время учтутъ тѣ же 5 руб. съ 1 рубля, а не со 100 руб.? — за время въ 100 разъ большее 12 мѣсяцевъ (12 . 100 мѣс.). 2) За какое время учтутъ тѣ же 5 руб. съ 1360 руб., а не съ 1 руб.? — за время въ 1360 разъ меньшее найденнаго въ 1-мъ вопросѣ. 3) За какое время учтутъ съ той же валюты (1360 руб.) 1 рубль, а не 5 руб.?— за время въ 5 разъ меньшее найденнаго во 2-мъ вопросѣ. 4) За какое время учтутъ съ той же валюты 51 рубль, а не 1 рубль? — за время въ 51 разъ большее предыдущаго. Слѣдовательно,

Эту задачу опять можно было бы усложнить:

Вексель въ 1360 руб. былъ проданъ за 1309 руб., при чемъ учетъ былъ сдѣланъ по 5%. За сколько времени до срока былъ проданъ этотъ вексель?

Здѣсь сперва узнаемъ, чему былъ равенъ учетъ (1360 руб.— —1309 руб.=51 руб.), и тогда приведемъ задачу къ только что изложенной.

Задача 4. Должникъ уплатилъ по своему векселю за 8 мѣс. до срока, при чемъ учетъ, сдѣланный по 6%, оказался равенъ 208 руб. Найти валюту этого векселя.

Составляемъ таблицу:

т.-е. со 100 руб. за 12 мѣс. учитываютъ 6 руб. Съ какой валюты за 8 мѣс. учтутъ 208 руб.? Рѣшая эту задачу приведеніемъ къ единицѣ, мы должны наблюдать, чтобы всѣ вопросы относились къ валютѣ:

1) Съ какой валюты учтутъ тѣ же 6 руб. за 1 мѣсяцъ, а не за 12 мѣс.? — валюта должна быть не 100 руб., а въ 12 разъ больше (100 . 12 руб.).

2) Съ какой валюты учтутъ тѣ же 6 руб. за 8 мѣс., а не за 1 мѣс.? — валюта должна быть въ 8 разъ меньше найденной въ 1-мъ вопросѣ.

3) Съ какой валюты учтутъ за то же время (8 мѣс.) 1 руб., а не 6 руб.? — валюта должна быть въ 6 разъ меньше предъидущей.

4) Съ какой валюты учтутъ за то же время 208 руб., а не 1 руб.? — валюта должна быть въ 208 разъ больше предыдущей.

Слѣдовательно,

Эту задачу можно также усложнить, давъ не учетъ, а сумму, заплаченную по этому векселю (валюту безъ учета), но тогда уже задачу рѣшить труднѣе, такъ какъ валюта безъ учета (равносильная уменьшенному капиталу) не пропорціональна времени. Для примѣра возьмемъ задачу:

Задача 5. Должникъ уплатилъ по своему векселю за 5 мѣс. до срока кредитору 812 руб., при чемъ учетъ былъ произведенъ по 8°/0. Найти валюту этого векселя.

1) Сколько учитываютъ со 100 руб. за 5 мѣсяцевъ?

2) Сколько должникъ уплачивалъ за 100 руб. валюты?

3) Какъ велика валюта этого векселя?

Объясненія.

1) Этотъ вопросъ необходимъ для исключенія времени, такъ какъ оно непропорціонально уменьшенному капиталу (валютѣ безъ учета).

Рѣшеніе этого вопроса ясно.

2) Ясенъ.

3) Теперь мы знаемъ, что должникъ за каждые 100 руб. валюты своего векселя уплачивалъ лишь 96g рубля, а всего онъ заплатилъ 812 руб.; надо узнать, какъ велика вся валюта. Величины, входящія въ эту задачу: валюта и валюта безъ учета, прямо пропорціональны, поэтому можно рѣшить этотъ вопросъ тройнымъ правиломъ. Рѣшая его по способу приведенія къ единицѣ, должны наблюдать, чтобы вопросы относились къ валютѣ: 1) За какую валюту заплатятъ 1 руб., а не 96g руб.? — валюта должна быть не 100 руб., а въ 96g раза меньше и 2) За какую валюту заплатятъ 812 руб., а не 1 руб.? — валюта должна быть въ 812 разъ больше найденной въ 1-мъ вопросѣ.

§ 133. Математическій учетъ. Иногда въ задачахъ встрѣчается иной пріемъ для учета векселей: онъ отличается отъ изложеннаго тѣмъ, что валюта векселя принимается за наращенный капиталъ. Этотъ пріемъ учета векселей называется математическимъ учетомъ.

Задача 6. Найти математическій учетъ съ векселя 1250 руб. 40 коп., проданнаго за 10 мѣс. до срока, при чемъ учетъ производился по 4^ %.

Такъ какъ здѣсь валюта векселя должна приниматься за наращенный капиталъ, а онъ не пропорціоналенъ времени, то предварительно надо исключить вліяніе времени, какъ и всегда при наращенномъ капиталѣ (см. § 130, задача 7)«

1) Сколько процентныхъ денегъ получается со 100 руб. въ 10 мѣсяцевъ?

2) Въ какой капиталъ обращается 100 руб. черезъ ІОмѣс.?

100 руб.+3,75 руб.= 103,75 руб.

Теперь мы исключили вліяніе времени и знаемъ, что 100 руб. черезъ 10 мѣсяцевъ обращается въ 103,75 руб. Поэтому, если бы валюта векселя была равна 103,75 руб., то съ этого векселя за 10 мѣс. должны учесть 3,75 руб., т.-е. процентныя деньги. Зная это, мы можемъ перейти къ послѣднему вопросу.

3) Сколько учтутъ съ даннаго векселя?

Таблицу, составленную для этого вопроса, прочтемъ такъ: съ 103,75 руб. учитываютъ 3,75 руб. Сколько учтутъ съ 1250,4 руб. Рѣшаемъ эту задачу приведеніемъ къ еди-. . 3751,2 .

ницѣ и получаемъ въ концѣ концовъ выраженіе æ— руб. Здѣсь придется вычислить это выраженіе приблизительно, достаточно съ точностью до 0,01 рубля (или до 1 копейки). Поэтому искомый учетъ долженъ равняться 45 руб. 19 коп., или 20 коп.

Сравнивая эту задачу съ задачей 1 § 132, замѣчаемъ, что математическій учетъ меньше коммерческаго.

Математическій учетъ требуетъ большихъ вычисленій, чѣмъ коммерческій. На практикѣ онъ не употребляется.

Встрѣчаются задачи, въ которыхъ, пользуясь математическимъ учетомъ, приходится искать или время, или валюту векселя, или поскольку °/о былъ вычисленъ учетъ. Иногда въ этихъ задачахъ встрѣчается также валюта безъ учета. Помня, что валюта принимается за наращенный капиталъ,

а слѣдов., валюта безъ учета является простымъ капиталомъ, мы легко разберемся, когда можно сразу рѣшать задачу тройнымъ правиломъ, когда придется предварительно исключить вліяніе времени. Даемъ для примѣра 2 задачи:

Задача 7. Вексель былъ проданъ за 800 руб. за 9 мѣс. до срока съ математическимъ учетомъ по 4°/0. Найти валюту векселя.

Такъ какъ 800 руб. является валютою безъ учета, то мы можемъ сразу найти размѣръ учета съ этого векселя тройнымъ правиломъ.

1) Какъ былъ великъ учетъ?

2) Какъ велика валюта?

Задача 8. За сколько времени до срока былъ учтенъ вексель въ 648 руб., если съ него учли 8 руб., считая математическій учетъ по 6°/о?

1) За сколько былъ проданъ вексель?

Найденная сумма является простымъ капиталомъ, поэтому можемъ въ дальнѣйшемъ рѣшать сразу тройнымъ правиломъ.

2) За сколько времени до срока былъ учтенъ вексель?

ГЛАВА XV.

ПРОПОРЦІОНАЛЬНОЕ ДѢЛЕНІЕ.

§ 134. Основная задача. Раздѣлить число 360 на 4 части, относящіяся, какъ 5 : 7 : 9 : 4.

Это значитъ надо число 360 раздѣлить на такія 4 части, чтобы первая состояла изъ 5 равныхъ частей, вторая изъ

7 такихъ же частей, третья изъ 9 такихъ же частей и четвертая изъ 4 такихъ же частей. Условимся каждую изъ этихъ равныхъ частей называть паемъ; слѣдов., первая часть должна состоять изъ 5 паевъ, вторая изъ 7, третья изъ 9 и четвертая изъ 4 такихъ же паевъ. Чтобы рѣшить нашу задачу, надо 1) сосчитать, сколько паевъ во всѣхъ четырехъ частяхъ (5+7+9+4=25 паевъ), 2) узнать, какъ великъ каждый пай (25 паевъ должны составить число 360, слѣдов. 1 пай=~=у = 14g=14,4) и 3) узнать каждую часть: 1-я часть= 14,4x5=72, 2-я часть= 14,4x7= 100,8, 3-я часть= 14,4x9= 129,6 и 4-я часть= 14,4x4=57,6. Чтобы выразить это рѣшеніе наглядно, составимъ слѣдующую таблицу::

Для провѣрки можно сложить всѣ найденныя части,— должны получить въ суммѣ данное число 360; 72+100,8+ 129,6+57,6=360.

Замѣтимъ, что отношеніе между каждыми двумя частями должно равняться отношенію данныхъ, соотвѣтствующихъ имъ чиселъ. Напр. I : 11=5 : 7, потому что первая часть состоитъ изъ 5 паевъ, а во второй части ихъ 7; также II : ІѴ=7 : 4 и т. д. Вообще можемъ сокращенно написать, что

Задача, изложенная въ этомъ §, называется задачею на пропорціональное дѣленіе. Можно также

дѣлить число на 2, на 3, на 5 и т. д. частей пропорціонально даннымъ числамъ.

§ 135. Усложненія основной задачи. Усложненіе можетъ состоять прежде всего въ томъ, что требуется раздѣлить данное число на части, пропорціональныя дробнымъ числамъ. Напримѣръ:

Раздѣлить число 1060 на три части, пропорціональныя числамъ 5, g и 1,4.

Слѣдовательно должны имѣть:

Прямо дѣлить пропорціонально даннымъ числамъ неудобно, такъ какъ пришлось бы считать дробныя числа паевъ. Поэтому прежде всего постараемся отношенія дробныхъ чиселъ замѣнить отношеніями цѣлыхъ чиселъ. Вспомнимъ, что отношеніе двухъ чиселъ или двухъ величинъ не измѣнится, если каждое изъ нихъ умножить на одно и то же число (§107). Поэтому, умноживъ всѣ данныя числа на одно и то же число, мы сообразимъ, что отношенія между любыми двумя изъ нихъ не измѣнятся.

Выберемъ нашего множителя такъ, чтобы послѣ умноженія знаменатели дробей сократились. Для этого придется найти наименьшее кратное для знаменателей нашихъ дробей: Н. К. (3;5)=15. Слѣдовательно, умноживъ каждое изъ данныхъ чиселъ на 15, мы должны получить цѣлыя числа, отношенія между которыми останутся прежними. Итакъ:

Далѣе продолжаемъ, какъ въ предыдущемъ §

§ 136. Въ задачахъ часто приходится самому рѣшающему находить, пропорціонально какимъ числамъ дѣлить данное число.

Задача 1. Трое работниковъ заработали 44 руб. 50 коп., при чемъ первый работалъ 7 дней, второй 4д дня и третій Зд дня. Сколько денегъ заработалъ каждый?

Нетрудно сообразить, что 44 руб. 50 коп. надо раздѣлить между работниками пропорціонально времени работы, т.-е. I : II : II 1=7 :4^: Зд. Выполнить это пропорц. дѣленіе не представитъ затрудненій.

Задача 2. Три купца внесли для общаго торга капиталы: 1-й 875 руб. на 10 мѣс., 2-й 1250 руб. на 9 мѣс. и 3-й 500 руб. на 15 мѣс. По окончаніи торговли они получили 616 руб. прибыли. Сколько изъ этой прибыли слѣдуетъ получить каждому?

Предварительно мы сообразимъ, что прибыль каждаго купца должна быть пропорціональна 1) внесеннымъ капиталамъ и 2) времени (это извѣстно также изъ статьи о процентахъ, § 127). Слѣдовательно, надо раздѣлить прибыль такъ, чтобы она была пропорціональна сразу двумъ рядамъ чиселъ: 1) I : II : 111=875 : 1250 : 500 и 2) I : II : 111 = 10:9: 15. Является вопросъ, какъ свести такое дѣленіе къ разобранному нами въ предыдущихъ §§.

Для этого постараемся одинъ рядъ чиселъ сравнять между собою, — лучше всего привести къ единицамъ. Приведемъ, напримѣръ, время къ 1 мѣсяцу.

I купецъ долженъ получить извѣстную прибыль съ капитала 875 руб. въ 10 мѣсяцевъ. Какой у него долженъ быть капиталъ, чтобы ту же прибыль онъ получилъ въ 1 мѣсяцъ? Конечно, капиталъ долженъ быть въ 10 разъ больше, то-есть

875 руб. х 10.

II купецъ долженъ получить извѣстную прибыль съ капитала 1250 руб. въ 9 мѣсяцевъ. Какой у него долженъ быть

капиталъ, чтобы получить ту же прибыль въ 1 мѣсяцъ? Конечно, капиталъ долженъ быть въ 9 разъ больше, то-есть

III купецъ долженъ получить извѣстную прибыль съ капитала 500 руб. въ 15 мѣсяцевъ. Какой у него долженъ быть капиталъ, чтобы получить ту же прибыль въ 1 мѣсяцъ. Конечно, капиталъ долженъ быть въ 15 разъ больше, то-есть

Итакъ, прибыль осталась бы у каждаго купца прежней, если бы первый внесъ (875 . 10) руб., второй — (1250 .9) руб. и третій—(500 . 15) руб. всѣ трое на 1 мѣсяцъ. Въ такомъ случаѣ, такъ какъ время для всѣхъ капиталовъ одно и то же, то прибыль должна быть пропорціональна только капиталамъ, т.-е.

Для упрощенія можно каждое изъ этихъ чиселъ раздѣлить на одно и то же число (напр. сперва на 10, потомъ на 25 и потомъ на 5)— отъ этого отношенія между ними не измѣнятся (§107). Надо припомнить также, что для того чтобы раздѣлить произведеніе на какое-нибудь число, надо раздѣлить только одного множителя, а какого безразлично. Для наглядности можемъ всѣ предыдущія разсужденія расположить въ таблицѣ:

(Послѣ дѣленія полученныхъ чиселъ на 10, на 25 и на 5, получимъ, что доли прибыли каждаго купца пропорціональны числамъ 7, 9 и 6. Слѣдовательно, прибыль 1-го = 7 паямъ, прибыль 2-го = 9 паямъ и прибыль 3-го = 6 паямъ.)

Задача 3. Купецъ купилъ 3 ящика чаю: вѣсъ 2-го ящика составлялъ вѣса перваго, а вѣсъ 3-го — g вѣса 1-го и 2-го ящиковъ вмѣстѣ. Всего же въ трехъ ящикахъ было 5 пуд. 10 фун. чаю. Сколько чаю было въ каждомъ ящикѣ?

Здѣсь придется принять вѣсъ одного ящика за единицу. Удобнѣе всего принять вѣсъ 1-го ящика за единицу, такъ какъ онъ съ другими не сравнивается, а наоборотъ, съ нимъ сравниваются вѣса другихъ ящиковъ.

Итакъ, вѣсъ перваго ящика=1; тогда вѣсъ 2-го ящика= j единицы, а для того, чтобы выразить вѣсъ 3-го ящика черезъ нашу единицу, надо найти

такъ какъ часть отъ числа находится умноженіемъ на дробь. Слѣдовательно вѣсъ 3-го ящика=д единицы. Поэтому вѣса нашихъ трехъ ящиковъ должны быть пропорціональны числамъ 1, и д. Можемъ отношенія дробныхъ чиселъ замѣнить отношеніями цѣлыхъ (для этого надо умножить всѣ числа на 8) и продолжать, какъ въ § 135. Все рѣшеніе можемъ выразить таблицею.

1 = 10 фун.х8=80 фун.=2 пуд.; 11 = 10 фун.х6=60 фун.= 1 пуд. 20 фун.; 11 = 10 фун.х7=70 фун.= 1 пуд. 30 фун.

Задача 4. Отецъ раздѣлилъ 80 рублей своимъ четыремъ сыновьямъ такъ, что младшій получилъ 35% того, что старшій; второй сынъ получилъ g того, что старшій и младшій вмѣстѣ, а доля 3-го относилась къ долѣ 2-го, какъ 5 : 9. Сколько получилъ каждый сынъ?

Примемъ долю старшаго сына (1) за единицу, тогда доля младшаго (IV) выразится числомъ ~ (потому что 35% все равно, что

Здѣсь неизвѣстенъ крайній членъ пропорціи, поэтому на основаніи §110 найдемъ

Эти предварительныя вычисленія можно помѣстить въ двухъ отдѣльныхъ вопросахъ. Итакъ, имѣемъ:

§ 137. Дальнѣйшее усложненіе въ задачахъ на пропорціональное дѣленіе состоитъ въ томъ, что вмѣсто того, чтобы дать все число, которое надо дѣлить на части, даютъ число, которое находится въ простой зависимости отъ нашихъ частей.

Напримѣръ 3 числа относятся между собою, какъ 8:11:7, при чемъ второе число на 2 больше третьяго. Найти эти числа.

Здѣсь первое число состоитъ изъ 8 паевъ, второе изъ 11 паевъ и третье изъ 7 паевъ. Теперь надо узнать, сколькимъ паямъ равно данное число 2. Это узнаемъ вычитаніемъ 7 изъ 11 паевъ,—получимъ 4 пая. Итакъ 4 пая=2; слѣдовательно,

Задача 5. Первый работникъ сдѣлалъ работы, второй сдѣлалъ | часть работы, а третій остальную часть работы. При этомъ оказалось, что первый получитъ на 1,2 рубля больше, чѣмъ второй и третій вмѣстѣ. Сколько получили всѣ работники вмѣстѣ?

Даемъ рѣшеніе безъ поясненій.

1) Какую часть работы сдѣлали 1-й и 2-й работники вмѣстѣ?

2) Какую часть работы сдѣлалъ 3-й работникъ?

3) Сколько получили всѣ работники?

Всѣ работники получили 0,6 руб. х 12=7,2 руб.

Здѣсь, какъ видимъ, нѣтъ нужды узнавать, сколько получилъ каждый.

§ 138. Наконецъ, въ задачахъ на пропорціональное дѣленіе даются отношенія частей попарно. Напримѣръ:

Раздѣлить число 130 на 3 части такъ, чтобы первая относилась ко 2-й, какъ 5 : 6, а вторая относилась бы къ 3-й, какъ 8 : 7.

Мы имѣемъ: I : 11=5 : 6 и II : 111=8 : 7.

Если, пользуясь первой пропорціею, мы возьмемъ для 1-й части 5 паевъ и для 2-й части 6 паевъ, то получимъ несоотвѣтствіе со второю пропорціею, которая требуетъ для второй части 8 паевъ. Поэтому измѣнимъ наши пропорціи такъ, чтобы число паевъ для 2-й части оказалось одинаковымъ въ обѣихъ пропорціяхъ. Для этого мы пользуемся опять-таки свойствомъ отношеній: отношеніе не измѣнится отъ умноженія обоихъ его членовъ на одно и то же число. Найдемъ наим. кратное для 6 и 8 (числа паевъ для 2-й части, входящей въ обѣ пропорціи) : Н. К. (6; 8)=24.

Легко сообразить, на какое число надо умножить оба члена 1- го отношенія и оба члена 2-го отношенія, чтобы для 2- й части числа паевъ оказались въ обѣихъ пропорціяхъ равными 24. Оба члена перваго отношенія надо умножить на 4 (24 : 6=4) и оба члена второго отношенія на 3 (24 : 8=3). Итакъ:

отсюда I : II : 111=20 : 24 : 21.

Для 1-й части надо взять 20 паевъ, для 2-й — 24 пая и для 3- й — 21 пай.

Задача 6. Раздѣлить число 1969 на 4 части такъ, чтобы первая относилась ко второй, какъ 3 :4, третья относилась бы къ первой, какъ 2 : 5, и четвертая къ третьей, какъ 5 : 8.

Мы имѣемъ I : 11=3 : 4; III : 1=2 : 5; IV : 111=5 : 8.

Разсмотримъ первыя двѣ пропорціи; видимъ, что въ каждую изъ нихъ входитъ 1-я часть, и для нея получаются неодинаковыя числа паевъ (изъ первой пропорціи 3, а изъ

второй 5). Надо сравнять числа паевъ для 1-й части. Н. К. (3; 5)=15. Умножаемъ оба члена 1-го отношенія на 5 и оба члена 2-го отношенія на 3.

Получаемъ I : 11 = 15 : 20 и III : 1=6 : 15.

Откуда I : II : 111 = 15 : 20 : 6.

Здѣсь для третьей части имѣемъ 6 паевъ, а изъ послѣдней пропорціи (IV : II 1=5 : 8) для нея же имѣетъ 8 паевъ. Опять должны сравнять числа паевъ для 3-й части. Н.К. (6; 8)=24.

Умножаемъ всѣ члены первыхъ двухъ пропорцій еще на 4 (24 : 6=4), а оба члена третьей пропорціи на 3 (24 : 8=3).

Поэтому получимъ:

(мы умножаемъ всѣ члены общей пропорціи I : II : II1 = 15 : 20 : 6 на 4 вмѣсто того, чтобы то же самое дѣлать съ пропорціями I : 11 = 15 : 20 и III : 1=6 : 15), и изъ третьей пропорціи имѣемъ:

Теперь видимъ, что можно взять для первой части 60 паевъ, тогда для второй придется взять 80 паевъ, для третьей 24; а тогда изъ послѣдней пропорціи видимъ, что для четвертой придется взять 15 паевъ. Можно было бы предварительно составить общую пропорцію для всѣхъ четырехъ частей.

Всего паевъ 60+80+24+15=179. 1 пай=

Разсмотримъ еще задачу.

Раздѣлить число 334 на 3 части, обратно пропорціональныя числамъ

Это все равно, что раздѣлить число на 3 части, пропорціональныя обратнымъ числамъ. Найдемъ сперва обратныя для данныхъ числа,— они получается отъ дѣленія единицъ на данныя числа:

Итакъ:

ГЛАВА XVI.

ЗАДАЧИ НА СМѢШЕНІЕ.

§ 139. Смѣшеніе 1-го рода.

Задача 1. Смѣшано 3 сорта чаю: 5 фун. по 3 рубля за фунтъ, 10 фун. по 1,8 руб. за фунтъ и 5 фун. по 1,6руб. Сколько стоитъ 1 фунтъ полученной смѣси?

Задачи, подобныя этой, гдѣ извѣстно количество и цѣна смѣшиваемыхъ веществъ, а требуется узнать цѣну смѣси, называются задачами на смѣшеніе 1-го рода.

Рѣшеніе такой задачи не составляетъ затрудненій:

1) Сколько стоитъ весь первый сортъ чая?

3 руб.х5=15 руб.

2) Сколько стоитъ весь второй сортъ чая?

1,8 руб.х 10=18 руб.

3) Сколько стоитъ весь третій сортъ чая?

1,6 руб.х5=8 руб.

4) Сколько стоитъ вся смѣсь?

15 руб.+ 18 руб.+8 руб.=41 руб.

5) Сколько вѣситъ вся смѣсь?

5 фун.+ 10 фун.+5 фун.=20 фун.

6) Сколько стоитъ 1 фунтъ смѣси?

41 руб. : 20=2,05 руб.=2 руб. 5 коп.

Фунтъ смѣси стоитъ 2 руб. 5 коп.

Возможно все это рѣшеніе изложить въ одной таблицѣ:

Иногда задачи на смѣшеніе даются съ нѣкоторыми измѣненіями или усложненіями. Напримѣръ:

Задача 2. Смѣшано 12 фун. табаку по 3 руб. 60 коп. за фунтъ съ нѣсколькими фунтами другого сорта; получили 16 фунтовъ смѣси цѣною 3 руб. 20 коп. за фунтъ. Найти цѣну второго сорта.

Рѣшеніе этой задачи очень просто — представляемъ его самимъ учащимся.

Задача 3. Купецъ смѣшалъ 15 фунтовъ чаю 1-го сорта по 2,4 руб. за фунтъ съ 10 фунтами чая другого сорта цѣною по 3,2 руб. за фунтъ. Полученную смѣсь купецъ продавалъ по 3 руб. Сколько онъ получилъ % прибыли?

Сперва узнаемъ, согласно плану 1-й задачи, цѣну полученной смѣси безъ прибыли и убытка. Для краткости изложимъ это рѣшеніе въ таблицѣ, а не по вопросамъ.

1) Сколько стоитъ фунтъ смѣси безъ прибыли и убытка?

§ 140. Смѣшеніе 2-го рода.

Задача 4. Смѣшали 2 сорта чаю: фунтъ 1-го стоитъ 2 руб. 40 коп., а фунтъ второго — 1 руб. 80 коп. Получили 24 фунта смѣси по 2 руб. за фунтъ (безъ прибыли и убытка). Сколько фунтовъ каждаго сорта вошло въ смѣсь.

Задачи, подобныя этой, гдѣ извѣстны цѣна и количество смѣси и цѣны каждаго сорта, а требуется найти количество каждаго сорта, называются задачами на смѣшеніе 2-го рода.

Подобныя задачи мы уже умѣли рѣшать въ I классѣ (см. часть I, § 36, задача 8). Надо, узнавъ цѣну всей смѣси (2 руб. х24=48 руб.), предположить сперва, что всѣ 24 фунта были, напр., 1-го сорта и узнать ихъ цѣну (2,4 руб. X 24=57,6 руб.). Послѣ этого можно узнать, насколько смѣсь на самомъ дѣлѣ дешевле послѣдней стоимости (57,6 руб.— —48 руб.=9,6 руб.).

Эта разница происходитъ оттого, что не всѣ 24 фунта были 1-го сорта. Если мы одинъ изъ 24 фунтовъ 1-го сорта замѣнимъ фунтомъ 2-го сорта, то стоимость новыхъ 24 фунтовъ окажется меньше на 0,6 руб. (2,4 руб.—1,8 руб.=0,6 руб.). Но намъ надо уменьшить стоимость всѣхъ 24 фунтовъ не на 0,6 руб., а на 9,6 руб. Поэтому при дется не одинъ фунтъ 1-го сорта замѣнить фунтомъ второго, а столько, сколько разъ 0,6 рубля содержится въ 9,6 рубля. Эго узнаемъ дѣленіемъ сравненія [9,6 руб. : : 0,6 руб.= 16 (фун.)].

Это рѣшеніе надо изложить вопросами, какъ въ задачѣ 8 § 36 I части.

Эту же задачу можно рѣшить инымъ пріемомъ. Продавая смѣсь по 2 руб. за фунтъ, мы не должны получить ни прибыли ни убытка, а между тѣмъ съ каждаго фунта 1-го сорта при продажѣ его по цѣнѣ смѣси мы получаемъ 40 коп. убытка (2 руб. 40 коп. — 2 руб.=40 коп.), а съ каждаго фунта 2-го сорта при этой продажѣ получаемъ 20 коп. прибыли (2 руб.—• —1 руб. 80 коп.=20 коп.). Чтобы получить съ 1-го сорта 1 коп. убытка, его придется продать фунта, а чтобы получить со 2-го сорта 1 коп. прибыли, его придется продать 5Ö Фунта.

Если же продать вмѣстѣ фун. 1-го сорта и ~ фунта 2-го сорта, то убытокъ и прибыль взаимно уничтожатся, и мы продадимъ эту смѣсь по цѣнѣ 2 руб. за фунтъ безъ прибыли и убытка.

Точно такъ же, если продать фун. 1-го сорта и фун. 2-го сорта, то тоже прибыль и убытокъ взаимно уничтожатся.

Такъ же и при продажѣ фун. 1-го сорта и фун. 2-го сорта и т. д. Однимъ словомъ, чтобы убытокъ съ 1-го сорта покрылся прибылью со 2-го сорта, надо взять столько двадцатыхъ частей фунта 2-го сорта, сколько сороковыхъ частей фунта взяли 1-го сорта. Поэтому вѣса 1-го и 2-го сортовъ должны быть пропорціональны числамъ и Но вся смѣсь=24 фун. Слѣдовательно, чтобы узнать, сколько въ ней каждаго сорта, надо 24 фун. раздѣлить на 2 части, относящіяся, какъ Выполнимъ это согласно § 135:

Всего паевъ: 1+2=3; 3 пая=24 фун.; 1 пай=

Поэтому перваго сорта было 8 фун., а второго 8 фун.х2= 16 фун.

Это рѣшеніе можно изложить въ таблицѣ:

Задачи этого рода также допускаютъ усложненія ихъ условій. Напримѣръ:

Задача 5. Купецъ составилъ 24 бутылки смѣси изъ двухъ сортовъ вина: каждая бутылка 1-го сорта стоила 60коп., а каждая бутылка 2-го сорта — 1 руб. Продавая полученную смѣсь по 75 коп. за бутылку, купецъ получилъ 12g% прибыли. Сколько бутылокъ каждаго сорта вина вошло въ эту смѣсь?

1) Сколько стоитъ бутылка смѣси безъ прибыли и убытка?

2) Сколько бутылокъ каждаго сорта вошло въ смѣсь?

Перваго сорта вошло въ смѣсь 20 бутылокъ, а второго 4 бут.

Объясненія.

Рѣшеніе задачи распадается на 2 части.

1) Настоящую стоимость бутылки смѣси мы узнаемъ по способу приведенія къ единицѣ, такъ какъ эта часть задачи представляетъ собою задачу на простое тройное правило.

Составленную таблицу мы читаемъ такъ: вино, стоящее купцу 100 коп., онъ продаетъ за 112,5 коп. (100 к.+12,5 к.); сколько ему стоитъ вино, которое онъ продаетъ за 75 коп.?

(Здѣсь, конечно, удобнѣе производить вычисленія въ копейкахъ, а не въ рубляхъ.) Вопросы должны относиться къ истинной стоимости вина: 1) Сколько ему стоитъ вино, если онъ продастъ его за 1 коп. и 2) сколько ему стоитъ вино, проданное за 75 коп.? Послѣ вычисленій получимъ 66g коп.

2) Рѣшеніе 2-й части задачи излагаемъ не по вопросамъ, а таблицею, согласно предыдущей задачѣ: въ 1-мъ и 2-мъ столбцѣ записываемъ данныя; въ 3-мъ столбцѣ записываемъ, сколько получится прибыли или убытка съ одной бутылки вина при продажѣ каждаго сорта по цѣнѣ смѣси. Далѣе записываемъ, какую часть бутылки каждаго сорта слѣдуетъ взять, чтобы и прибыль и убытокъ были равны 1 копейкѣ.

Далѣе записываемъ, пропорціонально какимъ числамъ должна быть раздѣлена вся смѣсь и • Затѣмъ умножая оба числа на общаго ихъ знаменателя (на 100), замѣняемъ отношеніе дробныхъ чиселъ отношеніемъ цѣлыхъ (15 и 3) и, наконецъ, раздѣливъ для упрощенія каждое изъ полученныхъ чиселъ на 3, получаемъ, что всю смѣсь надо раздѣлить пропорціонально числамъ 5 и 1. Слѣдовательно, для перваго сорта надо взять 5 паевъ и для второго 1 пай и т. д.

Замѣчаніе. Цѣна смѣси должна непремѣнно заключаться между цѣнами обоихъ смѣшиваемыхъ веществъ, напр., если товаръ 1-го сорта стоитъ по 2 руб. за фунтъ, а другого по

3 рубля, то, какъ бы мы ихъ ни перемѣшивали, цѣна смѣси должна выйти больше 2 рублей и меньше 3 рублей, а не можетъ выйти меньше 2 рублей или больше 3 рублей. Поэтому, если въ задачѣ на смѣшеніе 2-го рода данная цѣна смѣси меньше обѣихъ данныхъ цѣнъ каждаго сорта или больше ихъ обѣихъ, тс такую задачу рѣшить невозможно. Напримѣръ: Составить 20 фунтовъ чаю изъ 2 сортовъ такъ, чтобы смѣсь вышла по 3 руб. 20 коп. за фунтъ. Фунтъ 1 го сорта стоитъ 2 руб. 50 коп. и фунтъ 2-го сорта 3 руб. 10 коп.

Эта задача невозможна.

§ 141. Случай трехъ и болѣе смѣшиваемыхъ веществъ.

Возьмемъ задачу: Составить I пудъ смѣси табаку цѣною по 3 руб. 50 коп. за фунтъ изъ трехъ сортовъ: фунтъ 1-го сорта стоитъ 2 руб., фунтъ 2-го сорта — 2 руб. 80 коп. и фунтъ 3-го сорта — 4 руб. Такъ какъ цѣна смѣси (3 руб. 50 коп.) заключается между цѣнами 1-го и 3-го сортовъ, то можно изъ этихъ сортовъ составить сколько угодно требуемой смѣси (напр. 10 фунтовъ), а остальную часть требуемой смѣси (30 фунтовъ) можнс составить изъ 2-го и 3-го сортовъ, такъ какъ цѣна смѣси заключается между цѣнами этихъ сортовъ. Но можно было бы изъ 1-гс и 3-го сортовъ составить не 10 фун. смѣси, а 11 фун., 12 фун., 9 фун. и т. п. Тогда изъ 2-го и 3-го сортовъ пришлось бы составлять всякій разъ остальную смѣсь. Поэтому такая задача допускаетъ безчисленное множество рѣшеній и называется поэтому неопредѣленною.

Еще большій просторъ нашему произволу представится, если извѣстную смѣсь требуется составить изъ 4 разныхъ веществъ и т. д.

§ 142. Задачи на смѣшеніе жидкостей. Здѣсь мы займемся исключительно вопросами о смѣшеніи вина разной крѣпости. Крѣпость вина зависитъ отъ того, много ли или мало спирта входитъ въ составъ этого вина; она измѣряется градусами. Напримѣръ, если говорятъ, что крѣпость вина=45 градусамъ, то это значитъ, что въ это вино входитъ 45 сотыхъ частей спирта, а остальное вода (55 сотыхъ частей). Качество

чистаго спирта выразится числомъ 100 градусовъ, а воды О градусовъ. Въ предыдущихъ задачахъ мы выражали качество сортовъ и смѣси цѣною за фунтъ, бутылку и т. п., а теперь качество вина выражается градусами. Здѣсь возможны тѣ же двѣ задачи 1-го и 2-го рода. Слово «градусъ» замѣняется значкомъ °.

Задача 6. Смѣшали 30 ведеръ вина въ 50° съ 38 ведрами вина въ 40° и прибавили еще 2 ведра чистаго спирта. Какой крѣпости вышла смѣсь?

Сосчитаемъ, сколько сотыхъ частей ведра чистаго спирта окажется во всей смѣси: 1-й сортъ вина дастъ (50x30) сотыхъ частей ведра, т.-е. 1500 сотыхъ частей ведра чистаго спирта; 2-й сортъ дастъ (40x38) сотыхъ частей ведра, т.-е. 1520 сотыхъ частей ведра чистаго спирта; 3-й сортъ (2 ведра чистаго спирта) дастъ (100х2)=200 сотыхъ частей ведра чистаго спирта. Всего получимъ во всей смѣси 1500+ 1520+200=3220 сотыхъ частей ведра чистаго спирта.

Всего же смѣси окажется: 30 вед.+38 вед.+2 вед.=70 ведеръ. Теперь остается узнать, сколько сотыхъ частей чистаго спирта придется на 1 ведро смѣси: 3220 сотыхъ частей спирта: 70 = 46 сотыхъ части ведра спирта. Слѣдовательно, смѣсь будетъ имѣть крѣпость въ 46°.

Часто подъ словомъ градусъ понимаютъ сотую часть ведра чистаго спирта. Тогда мы можемъ сократить предыдущее: первый сортъ дастъ 1500°, второй 1520° и третій 200°; вся смѣсь будетъ содержать 3220°, а одно ведро смѣси=46°. Слѣдовательно, крѣпость смѣси=46°.

Это рѣшеніе можно изложить или вопросами или таблицей. Даемъ послѣднее:

Задача 7. Изъ вина двухъ сортовъ: въ 54° и 30° желаютъ составить 24 ведра смѣси въ 45°. Сколько надо для этого взять вина каждаго сорта?

1 ведро 1-го сорта содержитъ спирта на 9° (т.-е. на 9 сотыхъ частей ведра) болѣе, чѣмъ надо для смѣси. Сколько надо взять вина перваго сорта, чтобы этотъ избытокъ равнялся 1° (т.-е. 1 сотой части ведра)? Конечно, въ 9 разъ менѣе, т.-е. ведра. 1 ведро 2-го сорта содержитъ спирта менѣе, чѣмъ надо для смѣси на 15° (т.-е. 15 сотыхъ частей ведра). Сколько надо взять вина второго сорта, чтобы этотъ недостатокъ вина=1°. Конечно, въ 15 разъ менѣе, то-есть ~ ведра. Если смѣшать і ведра 1-го сорта и — ведра 2-го сорта, то избытокъ въ 1° въ первомъ сортѣ покроетъ недостатокъ въ 1° во 2-мъ сортѣ, и получится смѣсь требуемой крѣпости.

Поэтому 1-й и 2-й сорта должны быть взяты пропорціонально числамъ

Чтобы замѣнить отношеніе дробныхъ чиселъ отношеніемъ цѣлыхъ чиселъ, надо ихъ умножить на ихъ общаго знаменателя 45,— получится 1:11=5:3. Итакъ, перваго сорта надо взять 5 паевъ и 2-го сорта 3 пая, всего будемъ имѣть 8 паевъ, 1 пай= =3 вед.; 1=3 вед. X 5= 15 вед. и 11=3 вед.х3=9вед.

Изложимъ приведенное рѣшеніе въ таблицѣ:

Задача 8. Купецъ смѣшалъ вино въ 54° съ водою и получилъ 12 ведеръ смѣси, крѣпостью въ 45°. Сколько онъ взялъ для этой смѣси вина и сколько воды?

Эта задача совершенно сходна съ предыдущей, только вторымъ сортомъ здѣсь служитъ вода, а ея крѣпость=0°

Изложимъ рѣшеніе въ таблицѣ:

§ 143. Задачи на сплавы металловъ. Золото и серебро въ чистомъ видѣ такъ мягки, что въ этомъ видѣ ихъ неудобно употреблять для приготовленія вещей. Для того, чтобы придать имъ необходимую твердость, ихъ сплавляютъ съ другими металлами, главнымъ образомъ съ мѣдью. Полученные такимъ образомъ сплавы имѣютъ разную цѣнность, смотря по тому, много или мало чистаго золота или серебра входитъ въ этотъ сплавъ. Чтобы качество сплавовъ выразить числомъ, вводятъ названіе проба. Пробою называютъ число золотниковъ чистаго золота или серебра, приходящагося на каждый фунтъ сплава. Напримѣръ, если говорятъ, что вещь сдѣлана изъ золота 56-й пробы, то это значитъ, что въ каждомъ фунтѣ этогс сплава 56 золотниковъ золота, а остальные 40 золотниковъ (96 зол.—56 зол.=40 зол.) мѣдь или другой металлъ, служащій примѣсью. Эта примѣсь къ золоту или серебру называется лигатурою. Итакъ, въ нашемъ сплавѣ на каждый фунтъ приходится 56 золотниковъ золота к 40 золотниковъ лигатуры.

На каждой золотой или серебряной вещи ставится ея проба.

На сплавы возможны такіе же два рода задачъ, какъ вообще на смѣшеніе.

Задача 8. Сплавили 3 фунта золота 56-й пробы съ 5 фунтами золота 92-й пробы. Какой пробы вышелъ сплавъ?

Сосчитаемъ число золотниковъ чистаго золота во всемъ сплавѣ. Первый сортъ содержитъ 56x3=168 зол. чистаго золота; второй сортъ содержитъ 92x5=460 зол. чистаго золота. Весь сплавъ содержитъ 168 зол.+460 зол.=628 зол. чистаго золота. Вѣсъ всего сплава=3 фун.+5 фун.=8 фунтовъ. На одинъ фунтъ сплава придется ^|-=78д зол. чистаго золота. Итакъ, весь сплавъ будетъ 78д пробы. Изложить рѣшеніе можно вопросами или таблицею. Сдѣлаемъ послѣднее:

Задача 9. Сколько надо взять серебра 58-й и 90й пробы, чтобы получить 1 фунтъ сплава 84-й пробы?

Въ 1 фунтѣ 1-гс сорта 58 золотниковъ чистаго серебра, а въ сплавѣ должно быть 84 золотника чистаго серебра. Слѣдовательно, въ 1 фунтѣ 1-го сорта нехватаетъ 26 золотниковъ (84 зол.—58 зол.); также найдемъ, что въ 1 фунтѣ 2-го сорта имѣется излишку противъ должнаго числа, — 6 золотниковъ чистаго серебра. Сколько надо взять 1-гс сорта, чтобы недостало одного золотника? Конечно, ~ фунта.

Сколько надо взять 2-го сорта, чтобы излишекъ оказался равенъ 1 золотнику? Конечно, g фунта. Слѣдовательно, если — фунта 1-го сорта сплавить съ g фунта второго сорта, то недостатокъ покроется излишкомъ, и получится требуемый сплавъ. Отсюда заключаемъ, что вѣса обоихъ сплавляемыхъ сортовъ должны быть пропорціональны числамъ и g» т.-е. I : H=Jg : g. Умножая оба члена отношенія на 78 (общій знаменатель), получимъ I : 11=3 : 13. Итакъ, перваго сорта надо взять 3 пая и второго 13 паевъ; всего 3+13=

= 16 паевъ. 1 пай=

Итакъ, надо взять 18 золотниковъ 58-й пробы и 78 золотниковъ 90-й пробы.

Изложимъ рѣшеніе таблицею:

ГЛАВА XVII.

ОБЩІЯ ЗАДАЧИ.

§ 144. Построеніе общихъ задачъ. Возьмемъ 3 задачи:

Задача 1. Фунтъ товара стоитъ 22 коп. Сколько стоятъ 5 фунтовъ этого товара?

Задача 2. Фунтъ товара стоитъ 36 коп. Сколько стоятъ I фунта этого товара?

Задача 3. Фунтъ товара стоитъ 32 коп. Сколько стоятъ 2| фунта этого товара?

Для рѣшенія 1-й задачи надо 22 коп.хб, т.-е. 22 коп. повторить 5 разъ слагаемымъ. Для рѣшенія 2-й задачи надо 36 коп.х|, т.-е. найти | части отъ 36 коп. Для рѣшенія 3-й задачи надо 32 коп. х 2g, т.-е. повторить 32 коп. 2 раза слагаемымъ и еще прибавить f частей отъ 32 коп.

Мы замѣчаемъ, что 1) эти 3 задачи по своему смыслу совершенно одинаковы и отличаются только числами, и

2) рѣшенія этихъ задачъ выполняются однимъ и тѣмъ же дѣйствіемъ умноженіемъ, несмотря на то, что въ первую задачу входятъ исключительно цѣлыя числа, во вторую — правильная дробь и въ 3-ю — смѣшанное число. Не трудно сообразить, что какъ бы мы два данныя числа ни мѣняли, все равно рѣшать такую задачу придется умноженіемъ.

Далѣе сообразимъ, что если для рѣшенія задачи надо не одно, а нѣсколько дѣйствій, то, какъ бы мы ни мѣняли числа, входящія въ задачу, сами дѣйствія и ихъ порядокъ должны оставаться прежними.

Поэтому является желаніе составить типическую задачу, по образцу которой рѣшаются всѣ задачи, имѣющія тотъ же самый смыслъ. Для этого числа, входящія въ задачу, обо-

значаютъ буквами латинскаго алфавита: а, b, с, dt и т. д. Такая задача, въ которой данныя числа обозначены буквами, называется общею задачею. Для нашихъ трехъ задачъ общею будетъ задача:

Фунтъ товара стоитъ а копеекъ. Сколько стоятъ b фунтовъ этого товара?

Рѣшеніе такой задачи можно находить, предполагая, что данныя числа а и b цѣлыя, такъ какъ мы знаемъ, что какими бы они ни были, дѣйствія и ихъ порядокъ не измѣняются. Поэтому: если 1 фунтъ товара стоитъ а коп., д фунтовъ будутъ въ b разъ дороже; слѣдовательно, придется а копеекъ увеличить вь b разъ, чего достигнемъ умноженіемъ

(а. Ь) коп.

Конечно, здѣсь дѣйствія можно лишь обозначать, но выполнить на самомъ дѣлѣ нельзя. Назвавъ искомое число задачи черезъ х, получимъ:

х—а. b

(знакъ умноженія (.) часто вовсе выпускается; тогда x=ab).

Числа, обозначенныя буквами, называются общими числами, такъ какъ подъ этими буквами можно понимать всевозможныя числа. Выраженіе съ буквами, полученное послѣ рѣшенія задачи, называется формулою. Когда формула найдена, то по ней можно сразу рѣшать всевозможныя задачи этого типа, подставляя вмѣсто буквъ данныя числа и выполняя указанныя дѣйствія. Большимъ удобствомъ для составленія формулы является то обстоятельство, что мы можемъ понимать подъ буквами цѣлыя числа и тѣмъ предохранить себя отъ ошибки, такъ какъ смыслъ дѣйствій съ цѣлыми числами для насъ яснѣе, чѣмъ съ дробями. Возьмемъ теперь болѣе сложную задачу:

Задача 4. Два поѣзда вышли одновременно изъ двухъ городовъ, находящихся на разстояніи 313,65 версты, навстрѣчу другъ другу. Первый поѣздъ въ 0,6 часа проходитъ 25,38 зерсты, а второй въ 2,4 часа—75,6 версты. Черезъ сколько времени поѣзда встрѣтятся?

Задачъ, подобныхъ этой, можно составить очень много, мѣняя входящія сюда числа. Составимъ теперь общую задачу для этого типа задачъ: надо для этого всѣ числа обозначить буквами.

Два поѣзда вышли одновременно изъ двухъ городовъ, находящихся на разстояніи d верстъ, навстрѣчу другъ другу. Первый поѣздъ въ т часовъ проходитъ а верстъ, а второй въ п часов ъ— Ь верстъ. Черезъ сколько времени поѣзда встрѣтятся?

Составимъ формулу:

1) Сколько верстъ 1-й поѣздъ проходить въ I часъ?

2) Сколько верстъ 2-й поѣздъ проходитъ въ 1 часъ?

3) Сколько верстъ проходятъ оба поѣзда въ 1 часъ?

4) Черезъ сколько часовъ поѣзда встрѣтятся?

Итакъ,

Замѣтимъ, что названія здѣсь писать неудобно, и мы ихъ пропускаемъ. Вмѣсто знака дѣленія (:) часто употребляется знакъ дроби (—), такъ какъ этимъ уменьшается число скобокъ.

Примѣнимъ теперь найденную формулу къ нашей задачѣ. Для этого подставимъ въ формулу вмѣсто буквъ соотвѣтствующія числа

Остается выполнить указанныя дѣйствія, — получимъ

х=4-л часа.

§ 145. Общія задачи на проценты. Въ § 128 мы разбирали основныя задачи на проценты. Теперь мы можемъ составить ихъ и рѣшить въ общемъ видѣ. Приводимъ 2 задачи:

Задача 5. Капиталъ а руб. отданъ по р°/о на 1 мѣсяцевъ. Сколько онъ принесетъ прибыли?

Вопросы совершенно такіе же, какъ въ 1-й задачѣ § 128.

Если здѣсь хотимъ узнать наращенный капиталъ черезъ t мѣсяцевъ, то его получимъ, складывая простой капиталъ а рублей съ найденною прибылью, т.-е.:

Наращенный капиталъ

Задача 6. Въ какое время капиталъ а руб. обратится въ b руб., если его отдать по />%?

Узнаемъ сперва прибыль: она равна (ô—а).

(Сравнить съ задачей 6, § 130.)

§ 146. Примѣненіе къ учету векселей.

Задача 7. Вексель въ а рублей учтенъ за t мѣсяцевъ до срока, при чемъ учетъ былъ сдѣланъ по p°/Q. Найти этотъ учетъ, предполагая его сперва коммерческимъ, а потомъ математическимъ.

1) Учетъ коммерческій.

2) Учетъ математическій.

100 руб. черезъ t мѣсяцевъ обращается въ

Эта формула допускаетъ упрощенія, которыя научимся выполнять при изученіи курса алгебры. Теперь же дадимъ ее сразу въ упрощенномъ видѣ:

§ 147. Примѣненіе къ пропорціональному дѣленію.

Задача 8. Раздѣлить число а на три части, относящіяся какъ т:п: р.

Первая часть состоитъ изъ т паевъ, вторая изъ п паевъ и третья изъ р паевъ. Всего паевъ получимъ т-\-п+р

§ 148. Примѣненіе къ задачамъ на смѣшеніе.

Задача 9. Составить а фунтовъ смѣси по р рублей за фунтъ изъ товара двухъ сортовъ: 1 фунтъ перваго сорта стоитъ т рублей и 1 фунтъ 2-го сорта — п рублей. Сколько надо взять каждаго сорта? (т больше р и п меньше /?).

При продажѣ смѣси по р рублей за фунтъ получаемъ съ каждаго фунта 1-го сорта убытокъ=(т—р) рублей, а со второго прибыль=(р—п) рублей. Чтобы получить по одному рублю убытка и прибыли, надо взять

Фун. 1-го сорта

фун. 2-го сорта. Поэтому надо а фунтовъ раздѣлить на двѣ части такъ, чтобы

Умножая эти числа на

получимъ:

Эти формулы допускаютъ упрощеніе:

Книги того же автора:

Ариѳметика. Часть I. Курсъ I кл. Изданіе (2-е) «Сотрудника Школъ». Ц. 30 к.

Сборникъ алгебраическихъ задачъ. Часть I. М. 1907. Цѣна 30 к. Изданіе В. В. Думнова.

Сборникъ алгебраическихъ задачъ. Часть II. М. 1908. Цѣна 40 к. Изданіе В. В. Думнова.

Обѣ части Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. допущены въ качествѣ пособія для среднихъ учебныхъ заведеній.

Алгебраическія числа и дѣйствія надъ ними. Для начинающихъ изучать алгебру. М. 1909. Цѣна 15 коп. Изданіе В. В. Думнова.

Геометрія въ пространствѣ (стереометрія). М. 1910. Цѣна 65 к. Изданіе В. В. Думнова.

Два предложенія элементарной геометріи. Одесса 1910. Цѣна 20 к. Складъ изданія въ редакціи журнала «Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики».

Печатается и скоро выйдетъ въ продажу.

Геометрія на плоскости (планиметрія). Изданіе «Сотрудника Школъ» (Москва, Воздвиженка).