H. Извольскій

АРИѲМЕТИКА.

ЧАСТЬ I.

КУРСЪ 1-го КЛАССА.

Изданіе 2-ое исправленное.

Ціъна, 30 коп.

Первое изданіе Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. допущено въ качествѣ руководства для среднихъ учебныхъ заведеній.

МОСКВА.

Изданіе фирмы „Сотрудникъ школъ“ А. К. Залѣсской.

(Воздвиженка, д. Армандъ.) 1911.

Н. Извольскй.

АРИѲМЕТИКА.

ЧАСТЬ I.

КУРСЪ 1-го КЛАССА.

Цѣна 30 коп.

Изданіе 2-ое исправленное.

Первое изданіе Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. допущено въ качествѣ руководства для среднихъ учебныхъ заведеній.

МОСКВА.

Изданіе фирмы „Сотрудникъ школъ“ А. К. Залѣсской Воздвиженка, д. Армандъ

1911.

Типографія Г. Лисснера и Д. Собко.

Москва. Воздвиженка, Крестовоздв. пер., д. 9.

ПРЕДИСЛОВІЕ.

Цѣль изученія ариѳметики въ младшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній состоитъ: 1 ) въ умѣньи производить ариѳметическія дѣйствія, отдавая себѣ возможно полный отчетъ въ томъ, какъ они производятся; 2) въ усвоеніи значенія этихъ дѣйствій въ такой степени, чтобы правильно ими пользоваться при рѣшеніи задачъ, и 3) въ умѣньи аккуратно и понятно располагать рѣшенія задачъ и выполненіе нужныхъ для этого дѣйствій.

Предлагаемый учебникъ представляетъ собою попытку удовлетворить этимъ тремъ запросамъ отъ прохожденія курса ариѳметики въ младшихъ классахъ.

Въ основу составленія этого учебника положено желаніе, чтобы изучаемый матеріалъ на всякой ступени курса усваивался не столько механическимъ запоминаніемъ, сколько пониманіемъ предлагаемыхъ свѣдѣній. Этимъ объясняются неоднократныя повторенія сходныхъ между собою разсужденій и происходящая отсюда и, быть можетъ, встрѣчающаяся иногда въ этомъ учебникѣ ненаучность изложенія.

Такъ какъ курсы II и III классовъ тѣсно связаны между собою, а курсъ I класса (цѣлыя числа) отдѣленъ отъ нихъ болѣе замѣтно, то я счелъ возможнымъ и удобнымъ раздѣлить курсъ ариѳметики на 2 части: первая часть посвящена курсу I класса, а вторая—курсамъ II и III классовъ.

ПРЕДИСЛОВІЕ КО 2-МУ ИЗДАНІЮ.

Второе изданіе отличается отъ перваго главнымъ образомъ инымъ изложеніемъ статей объ

умноженіи и дѣленіи обыкновенныхъ дробей (во II части, въ первой же части ариѳметики существенныхъ исправленій нѣтъ).

Въ рецензіи о моей «Ариѳметикѣ» Ученаго комитета Мин. Нар.Просв. указывалось на то, что предпочтительнѣе излагать умноженіе на дробь, исходя изъ задачи нахожденія частей отъ даннаго числа, а то общее опредѣленіе умноженія (Коши), которымъ въ 1-мъ изданіи начиналась статья объ умноженіи дробей, если нужно, можно было бы отнести въ конецъ.

Моя практика и бесѣды со знакомыми преподавателями убѣдили меня въ цѣлесообразности такого измѣненія, и въ настоящемъ изданіи статья объ умноженіи дробей излагается съ точки зрѣнія нахожденія частей отъ даннаго числа. При этомъ я уже не считалъ нужнымъ сначала курса дробей до изложенія дѣйствій надъ ними помѣщать отдѣльно §, посвященный нахожденію частей отъ даннаго числа, а ввелъ его въ статью объ умноженіи.

Также §, посвященный нахожденію числа по его даннымъ частямъ, помѣщенъ теперь въ статью о дѣленіи дробей.

Конечно, преподаватели, не согласные съ такимъ порядкомъ, могутъ эти параграфы (54 и 69 во 2-й части) выдѣлить и пройти раньше статьи о дѣйствіяхъ.

Второе измѣненіе относится къ изложенію объ умноженіи десятичныхъ дробей: новое изложеніе мнѣ представляется болѣе живымъ и способнымъ скорѣе достигнуть цѣли.

Н. Извольскій.

ГЛАВА I.

СЧИСЛЕНІЕ.

§ 1. Мы пользуемся числами для того, чтобы отличать одну группу предметовъ отъ другой группы однородныхъ съ прежними предметовъ. Напримѣръ, мы говоримъ «здѣсь пять яблокъ, а тамъ восемь яблокъ», «въ комнатѣ одиннадцать стульевъ» и т. д. Умѣніе для каждой группы предметовъ подыскать соотвѣтствующее число называется счетомъ. Счетъ состоитъ въ томъ, что мы, перебирая отдѣльные предметы группы, называемъ всякій разъ число, согласно установленному порядку чиселъ: одинъ, два, три и т. д., — послѣднее изъ названныхъ чиселъ и есть то, которымъ выражается численность этой группы предметовъ. Если къ числу прибавляется названіе считаемыхъ предметовъ, то оно называется именованнымъ числомъ; если же это названіе пропущено, то получается отвлеченное число; напр., пять, шесть и т. д.

§ 2. Словесное счисленіе. Прежде всего надо научиться называть всякое число, какъ бы оно велико ни было. Для этого первымъ десяти числамъ даютъ основныя названія: одинъ, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять и десять. Послѣднее число десять принимаютъ какъ бы за новую единицу счета и его называютъ также десяткомъ. Слѣдующее число будетъ состоять изъ одного десятка и одной единицы — его такъ и можно назвать: одинъ десятокъ и одна единица,

но для сокращенія говорятъ одинадцать. Слѣдующее число: одинъ десятокъ и двѣ единицы называютъ двѣнадцать; затѣмъ тринадцать, четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать, семнадцать, восемнадцать и девятнадцать. Послѣднее, напр., изъ этихъ чиселъ состоитъ изъ одного десятка и девяти единицъ. Слѣдующее число, называемое словомъ двадцать, состоитъ ровно изъ двухъ десятковъ. Слѣдующія числа называютъ, прибавляя къ слову двадцать слово, показывающее, сколько имѣется въ этомъ числѣ единицъ сверхъ двухъ десятковъ. Получимъ: двадцать одинъ, двадцать два и т. д. Затѣмъ доходимъ до числа, состоящаго изъ трехъ десятковъ, — его называютъ словомъ тридцать; затѣмъ слѣдуютъ, какъ раньше, числа: тридцать одинъ, тридцать два и т.д. Затѣмъ получаемъ числа: сорокъ, состоящее изъ четырехъ десятковъ, пятьдесятъ — изъ пяти десятковъ, шестьдесятъ — изъ шести десятковъ, семьдесятъ — изъ семи десятковъ, восемьдесятъ — изъ восьми десятковъ и девяносто — изъ девяти десятковъ. Наконецъ, получимъ число, состоящее изъ десяти десятковъ, — его называютъ словомъ сотня. Чтобы назвать число еще ббльшее, надо сосчитать, сколько въ немъ сотенъ, сколько послѣ этого останется десятковъ и сколько затѣмъ останется единицъ, и назвать отдѣльно сосчитанныя числа, прибавляя къ нимъ названія сотенъ, десятковъ и единицъ. Напр., говорятъ: пять сотенъ, три десятка и семь единицъ, или три сотни и девять единицъ. Но удобнѣе сдѣлать здѣсь нѣкоторыя сокращенія: I) вмѣсто двухъ сотенъ говорятъ сразу двѣсти, вмѣсто трехъ сотенъ — триста, четырехъ сотенъ — четыреста, пяти сотенъ — пятьсотъ, шести сотенъ — шестьсотъ, семи сотенъ — семьсотъ, восьми сотенъ — восемьсотъ и девяти сотенъ — девятьсотъ; 2) десятки и единицы соединяютъ вмѣстѣ, какъ ужъ это мы видѣли раньше; напр., вмѣсто

того, чтобы говорить «три десятка и семь единицъ», говорятъ «тридцать семь» и т. п. Поэтому первое изъ нашихъ чиселъ назовется: «пятьсотъ тридцать семь», а второе: «триста девять».

Чтобы называть числа, содержащія болѣе десяти сотенъ, надо запомнить слѣдующія названія: десять сотенъ называется тысячею, тысяча тысячъ наз. милліономъ, тысяча милліоновъ — билліономъ, тысяча билліоновъ — трилліономъ, тысяча трилліоновъ — квадрилліономъ и т. д. безъ конца. Для того, чтобы называть большія числа, приходится считать отдѣльно билліоны, милліоны, тысячи и т. п., подобно тому, какъ мы раньше считали простыя единицы. Поэтому тысячи, милліоны и т. д. являются новыми единицами счета — ихъ вмѣстѣ съ обыкновенными единицами называютъ главными единицами. Теперь остается сосчитать, сколько въ числѣ каждыхъ главныхъ единицъ, начиная съ высшихъ, и назвать эти числа съ прибавленіемъ названія каждой главной единицы. Напримѣръ: девяносто билліоновъ, восемьсотъ девять милліоновъ, пятьсотъ семьдесятъ три тысячи и четыреста двѣ единицы.

Главныя единицы можно называть еще иначе: простыя единицы называются единицами перваго класса, тысячи — единицами второго класса, милліоны единицами третьяго класса ит. д. Поэтому предыдущее число состоитъ изъ девяносто единицъ IV кл., восемьсотъ девяти единицъ III кл., пятьсотъ семидесяти трехъ единицъ II кл. и четыреста двухъ единицъ I кл.

Каждый классъ можно еще разбить на разряды: разрядъ единицъ или первый разрядъ, разрядъ десятковъ или второй разрядъ, разрядъ сотенъ или третій разрядъ. Такъ: число двадцать представляетъ собою двѣ единицы второго разряда перваго класса, число пятьсотъ милліоновъ — пять единицъ третьяго разряда третьяго класса и т. п.

Мы можемъ теперь составить таблицу классовъ и разрядовъ.

Теперь можно называть числа двумя способами. Напр., можно сказать: двѣ единицы второго разряда третьяго класса, одна единица перваго разряда третьяго класса, пять единицъ третьяго разряда второго класса и семь единицъ второго разряда перваго класса, но то же самое число можно назвать короче такъ: двадцать одинъ милліонъ, пятьсотъ тысячъ и семьдесятъ единицъ. Разница здѣсь состоитъ въ томъ, что въ первомъ случаѣ мы отдѣльно называемъ число единицъ каждаго разряда, а во второмъ мы всѣ разряды одного класса соединяемъ въ одно число и называемъ отдѣльно только числа единицъ каждаго класса. Конечно, общепринятъ второй способъ.

Слѣдуетъ замѣтить, что каждая единица какого-либо разряда состоитъ изъ десяти единицъ предыдущаго разряда. Напримѣръ, одна единица милліоновъ состоитъ изъ десяти сотенъ тысячъ и т. д., а каждая единица какого-либо класса состоитъ изъ тысячи единицъ предыдущаго класса.

§ 3. Письменное счисленіе. Теперь надо научиться писать любыя числа при помощи небольшого числа знаковъ. Эти знаки называются цифрами. Цифръ существуетъ десять: О (нуль) — эта цифра обозначаетъ отсутствіе числа и называется незначащею цифрою, 1 (единица), 2 (два), 3 (три), 4 (четыре), 5 (пять), 6 (шесть), 7 (семь), 8 (восемь) и 9 (девять) — эти цифры, какъ видно по названіямъ, обозна-

чаютъ первыя девять чиселъ и называются значащими. При помощи этихъ знаковъ можно писать всѣ числа. Для этого надо сосчитать, сколько въ числѣ единицъ каждаго разряда, и записывать постепенно эти числа при помощи цифръ, идя отъ правой руки къ лѣвой, начиная съ простыхъ единицъ и не пропуская ни одного разряда.

Пусть надо написать число, состоящее изъ семи единицъ второго разряда третьяго класса, трехъ единицъ третьяго разряда и одной единицы второго разряда второго класса, четырехъ единицъ второго разряда и девяти единицъ перваго разряда перваго класса.

70.310.049.

Такъ какъ единицъ перваго разряда перваго класса у насъ девять, то пишемъ цифру 9; второго разряда этого же класса у насъ имѣется четыре единицы; поэтому, отступивъ налѣво, пишемъ цифру 4; единицъ третьяго разряда этого же класса у насъ нѣтъ, поэтому, лѣвѣе написанной цифры, пишемъ 0; дальше тоже придется написать 0, потому что единицъ перваго разряда второго класса у насъ нѣтъ; такъ какъ единицъ второго разряда второго класса у насъ имѣется одна, то пишемъ лѣвѣе только что написаннаго нуля цифру 1 ; еще лѣвѣе пишемъ цифру 3, потому что единицъ третьяго класса этого разряда у насъ имѣется три; далѣе пишемъ, идя все налѣво, 0 и затѣмъ 7, ибо единицъ перваго разряда третьяго класса у насъ нѣтъ, а второго разряда того же класса ихъ семь.

Этотъ способъ писанія чиселъ очень продолжителенъ, потому что:

1) требуетъ предварительнаго расчета единицъ каждаго разряда и

2) приходится писать справо налѣво, къ чему мы не привыкли.

Поэтому, научившись быстро писать (слѣва направо) трехзначныя числа, т.-е. тѣ, которыя состоятъ изъ сотенъ, десятковъ и единицъ и пишутся при помощи

трехъ знаковъ (цифръ), мы можемъ писать числа по классамъ и начинать писать съ высшаго класса, чтобы итти слѣва направо.

Напримѣръ, написать: 5 билліоновъ, 75 милліоновъ, 102 тысячи и 80 единицъ.

5.075.102.080,

Пишемъ сперва классъ билліоновъ — для этого понадобится написать только одну цифру 5; затѣмъ, правѣе, пишемъ классъ милліоновъ. Такъ какъ ихъ только 75 (сотенъ милліоновъ нѣтъ), а въ каждомъ классѣ три разряда, то, чтобы не спутаться въ счетѣ классовъ и разрядовъ, надо передъ 75 написать 0 (онъ придется на томъ мѣстѣ, гдѣ должны быть написаны сотни милліоновъ; такъ какъ ихъ нѣтъ, то этотъ нуль дѣла не испортитъ). Еще правѣе пишемъ число тысячъ — ихъ 102 и, наконецъ, число единицъ; такъ какъ ихъ 80, то для правильнаго расчета классовъ и разрядовъ, надо написать передъ 80 — нуль, т.-е. написать 080.

Можно, пожалуй, обойтись и безъ этихъ вставныхъ нулей, но тогда надо отдѣлять одинъ классъ отъ другого, напримѣръ, такъ

5 — 75 — 102 — 80.

Но принято классы вовсе не отдѣлять, а вставивъ, гдѣ нужно, нули, писать все число слитно

5075102080.

Замѣтимъ еще, что иногда приходится вставлять не одинъ, а два нуля. Напр., если бы въ нашемъ числѣ было не 80 единицъ, а только 8, то понадобилось бы написать нуль не только на мѣстѣ сотенъ, но и на мѣстѣ десятковъ этого класса:

5075102008.

Высшій классъ (въ нашемъ примѣрѣ билліоны) нѣтъ нужды дополнять нулями.

Мы видимъ, что приходится на мѣстѣ каждаго разряда писать по одной цифрѣ, а такъ какъ въ классѣ три разряда,

то каждый классъ, кромѣ высшаго, непремѣнно обозначается тремя цифрами.

На основаніи этого мы легко можемъ читать написанныя числа. Для этого придется разбить написанное число на классы, отдѣляя по 3 цифры и идя непремѣнно справа налѣво (нельзя итти въ обратномъ направленіи, потому что высшій классъ, который пишется слѣва, можетъ быть обозначенъ и тремя, и двумя, и даже одной цифрой).

Раздѣливъ число на классы, читаемъ число высшаго класса и прибавляемъ къ нему его названіе, затѣмъ читаемъ число слѣдующаго класса и прибавляемъ его названіе и т. д.

Напримѣръ, число

8.701.539.246

читаемъ такъ: восемь билліоновъ, семьсотъ одинъ милліонъ, пятьсотъ тридцать девять тысячъ и двѣсти сорокъ шесть единицъ.

Числа называются однозначными, двузначными, трехзначным и, четырехзначными и т. д., смотря по тому, при помощи сколькихъ цифръ они могутъ быть написаны.

§ 4. Римская нумерація. Древніе римляне для обозначенія чиселъ употребляли слѣдующіе знаки:

1) 7 простыхъ знаковъ:

1-1, Ѵ-5, Х=10, L-50, С--100, D-500 и М=1000 и 2) 6 двойныхъ знаковъ:

IV—4, IX—9, XL-40, ХС-90, CD-400 и СМ-900.

Числа пишутся такъ: сперва пишутъ число тысячъ, повторяя знакъ М столько разъ, сколько у насъ имѣется тысячъ (если ихъ очень много, то пишутъ нѣсколько иначе, о чемъ см. ниже). Затѣмъ при помощи простыхъ знаковъ D и С, а также двойныхъ знаковъ СМ и CD, пишутъ сотни, при чемъ знакъ С повторяется иногда нѣсколько разъ. Затѣмъ, пользуясь простыми знаками X и L и двойными XL и ХС пишутъ десятки (знакъ X можетъ повторяться) и, на-

конецъ, при помощи простыхъ знаковъ I и V и двойныхъ IV и IX пишутъ единицы (знакъ I можетъ повторяться). Напримѣръ,

ММ ССС XL VI 1=2347.

Если тысячъ много, то ихъ число пишется отдѣльно, только послѣ нихъ справа пишется знакъ т. Напримѣръ.

ХСІѴт ХМХХ=94920.

ГЛАВА II.

ДѢЙСТВІЯ НАДЪ ОТВЛЕЧЕННЫМИ ЧИСЛАМИ.

Сложеніе.

§5. Сложеніе есть дѣйствіе, при помощи котораго изъ нѣсколькихъ данныхъ чиселъ составляютъ новое число, содержащее въ себѣ столько единицъ, сколько ихъ во всѣхъ данныхъ числахъ вмѣстѣ.

Числа, данныя для сложенія, называются слагаемыми. Число, получаемое послѣ сложенія, называется суммою.

ГЛАВНОЕ СВОЙСТВО СЛОЖЕНІЯ.

Сумма не измѣняется отъ измѣненія порядка слагаемыхъ.

Это свойство очевидно.

§ 6. Сложеніе двухъ однозначныхъ чиселъ. Пусть, напримѣръ, намъ надо сложить 8 съ 5. Это пишутъ такъ 84-5=? Знакъ плюсъ (4~) служитъ знакомъ сложенія. Для того, чтобы сложить 8 съ 5, надо къ 8 присчитывать по единицѣ до тѣхъ поръ, пока ихъ не присчитаемъ всѣ пять: «къ 8 присчитываю первую единицу, получу 9; къ 9 присчитываю вторую единицу, получу 10; къ 10 присчитываю третью единицу, получу 11; къ 11 присчиты-

ваю четвертую единицу, получу 12, и, наконецъ, къ 12 присчитываю пятую единицу, получу 13. Слѣдовательно, 8+5=13». Итакъ:

Чтобы сложить два однозначныхъ числа, надо къ первому числу (удобнѣе за первое число принять большее) присчитывать по единицѣ, пока не присчитаемъ столько единицъ, сколько ихъ заключается въ другомъ числѣ.

Чтобы всякій разъ не дѣлать этого продолжительнаго присчитыванія, можно разъ навсегда составить себѣ таблицу сложенія. Въ этой таблицѣ записаны суммы, получаемыя отъ сложенія всякихъ двухъ однозначныхъ чиселъ, — ее надо знать наизусть. Составляемъ таблицу такъ: сперва къ числамъ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 прибавляемъ по 1, потомъ по 2, потомъ по 3 и т. д., и, наконецъ, по 9. При этомъ можно сдѣлать упрощеніе, которое видно изъ прилагаемой таблицы.

Таблица сложенія.

Упомянутое упрощеніе состоитъ въ томъ, что напр., во второмъ столбцѣ мы не пишемъ строчку 1 + 2 =3, потому

что въ 1-мъ столбцѣ уже имѣется строчка 2+1—3, а это все равно, такъ какъ отъ измѣненія порядка слагаемыхъ сумма не измѣняется. По той же причинѣ въ 3-мъ столбцѣ нѣтъ строчекъ 1 +3 и 2+3 — эти строчки находятся въ предыдущихъ столбцахъ. Такимъ образомъ въ каждомъ столбцѣ строчекъ все меньше и меньше, и въ послѣднемъ только одна: 9+9.

§ 7. Сложеніе многозначныхъ чиселъ. Пусть надо сложить 58076 съ 143528. Пишемъ такъ:

Складываемъ по разрядамъ, начиная съ низшаго: 6 единицъ сложить съ 8 единицами, — знаемъ (изъ таблицы сложенія), что получится 14 единицъ, а онѣ составляютъ 4 единицы и 1 десятокъ; 4 единицы пишемъ послѣ знака равенства, отступя отъ него на столько, чтобы хватило мѣста для всѣхъ разрядовъ, а одинъ десятокъ запоминаемъ, чтобы приложить его къ другимъ десяткамъ. 7 десятковъ сложить съ 2 десятками — получимъ 9 десятковъ, да еще одинъ десятокъ получился отъ сложенія единицъ, слѣдов., всего будемъ имѣть 10 десятковъ, а они составляютъ ровно 1 сотню, десятковъ же ничего не останется; поэтому пишемъ на мѣстѣ десятковъ 0, а одну сотню запоминаемъ. Въ первомъ числѣ сотенъ нѣтъ, а въ другомъ ихъ 5, да еще одну сотню запомнили, слѣдов., всего сотенъ будетъ 6. Они не составляютъ ни одной тысячи, поэтому ихъ такъ и пишемъ на мѣстѣ сотенъ. 8 единицъ тысячъ сложить съ 3 единицами тысячъ, получимъ 11 единицъ тысячъ, а они составляютъ одинъ десятокъ тысячъ и одну единицу тысячъ. Одну единицу тысячъ записываемъ, а одинъ десятокъ тысячъ запоминаемъ. 5 десятковъ тысячъ сложить съ 4 десятками тысячъ, получаемъ 9 десятковъ тысячъ, да еще одинъ десятокъ тысячъ запомнили, — всего будемъ имѣть 10 десятковъ тысячъ, а они составляютъ 1 сотню тысячъ ровно. Поэтому на мѣстѣ десятковъ тысячъ пишемъ 0, а одну сотню тысячъ запоминаемъ. Въ первомъ слагаемомъ нѣтъ сотенъ

тысячъ, а въ другомъ ихъ 1, да еще 1 запомнили — всего двѣ. Ихъ записываемъ, и сложеніе кончено, потому что больше разрядовъ нѣтъ.

Если надо сложить нѣсколько большихъ чиселъ, то, чтобы не перепутать разряды, можно ихъ подписывать другъ подъ другомъ, чтобы одинаковые разряды приходились въ одномъ столбцѣ. Разсуждаютъ при этомъ такъ же, какъ и раньше. Напримѣръ,

§ 8. Повѣрка сложенія. Чтобы провѣрить найденную сумму, складываютъ слагаемыя еще разъ, но въ иномъ порядкѣ — сумма должна получиться такая же.

Напримѣръ, въ предыдущемъ примѣрѣ можно сперва складывать, идя сверху внизъ, а для провѣрки — снизу вверхъ.

§ 9. Сложеніе употребляется: 1) когда надо узнать, сколько единицъ въ нѣсколькихъ данныхъ числахъ вмѣстѣ.

Напр.: въ одномъ карманѣ у меня 28 коп., а въ другомъ 33 коп. Сколько у меня всего денегъ?

Здѣсь единицею служитъ копейка, и надо узнать, сколько ихъ въ обоихъ числахъ вмѣстѣ. Для этого: 28 коп.+33 коп.= — 61 коп.

2) Когда надо какое-нибудь число увеличить на нѣсколько единицъ.

Напримѣръ: я заплатилъ за лампу 12 руб., а за самоваръ на 3 рубля больше. Сколько стоитъ самоваръ?

Здѣсь единицею служитъ рубль, и надо число 12 руб. увеличить на 3 рубля. Для этого: 12 руб.+3 руб.—15 руб.

Вычитаніе.

§10. Вычитаніе есть дѣйствіе, при помощи котораго по данной суммѣ двухъ

слагаемыхъ и по одному изъ нихъ находятъ другое слагаемое.

Для вычитанія дается два числа: первое выражаетъ данную сумму и называется уменьшаемымъ; второе выражаетъ извѣстное слагаемое и называется вычитаемымъ. Послѣ вычитанія получается новое число, которое выражаетъ другое слагаемое и называется остаткомъ или разностью. Знакомъ вычитанія служитъ м и -нусъ ( — ).

Напримѣръ, пишутъ 28—15. Это значитъ: сумма двухъ слагаемыхъ равна 28, а одно изъ слагаемыхъ =15; надо найти другое. При этомъ, конечно, первое число (т.-е. сумма) должно быть больше второго (т.-е. слагаемаго). Наоборотъ, если намъ скажутъ, что сумма двухъ слагаемыхъ равна, напр., 30, а одно изъ нихъ = 12, то, чтобы найти другое слагаемое, надо изъ 30 вычесть 12, т.-е.

30—12.

§ 11. Вычитаніе чиселъ, которыя можно найти въ таблицѣ сложенія. Пусть, напр., надо изъ 15 вычесть 6. Это значитъ, что сумма двухъ слагаемыхъ равна 15, а одно изъ нихъ = 6; надо найти другое. Для этого ищемъ въ таблицѣ сложенія такую строчку, чтобы въ ней сумма равнялась 15, а одно изъ слагаемыхъ было бы равно 6. Эту строчку не трудно найти, даже не смотря въ таблицу, тому, кто знаетъ ее наизусть. Вотъ она:

Изъ нея надо взять другое слагаемое, которое не было дано. Мы видимъ, что оно есть 9. Слѣдовательно.

Пусть надо еще изъ 17 вычесть 9. Здѣсь сумма = 17, а одно слагаемое = 9. Ищемъ въ таблицѣ сложенія подходящую строчку; вотъ она:

Поэтому

Иногда приходится изъ какого-либо числа вычесть точно такое же число. Напримѣръ, изъ 8 вычесть 8. Тогда легко сообразить, что, разъ сумма = 8 и одно слагаемое = 8, то другого слагаемаго вовсе нѣтъ. Поэтому

8—8=0.

§ 12. Вычитаніе всякихъ чиселъ. Пусть, напр., надо изъ 50693 вычесть 9727, т.-е., зная сумму 50693 и одно слагаемое 9727, надо найти другое слагаемое. Пишемъ или такъ;

Вычитаемъ по разрядамъ:

Изъ 3 единицъ вычесть 7 единицъ нельзя (сумма должна быть больше слагаемаго). Поэтому занимаемъ у десятковъ одинъ десятокъ (ставимъ надъ десятками суммы точку) и раздробляемъ его въ единицы: въ немъ 10 единицъ да у насъ еще своихъ 3 единицы — итого въ суммѣ имѣется 13 единицъ, а въ одномъ слагаемомъ ихъ только 7. Для того, чтобы узнать, сколько единицъ въ другомъ слагаемомъ, надо изъ 13 вычесть 7; это сдѣлаемъ при помощи таблицы сложенія (найдемъ строчку 7+6=13) и отсюда получимъ, что въ другомъ слагаемомъ 6 единицъ. Поэтому пишемъ цифру 6 на мѣстѣ единицъ. Далѣе, въ суммѣ имѣется 8 десятковъ (одинъ десятокъ заняли), а въ слагаемомъ 2 десятка. Чтобы узнать, сколько десятковъ въ другомъ слагаемомъ, надо изъ 8 дес. вычесть 2 дес. Опять по таблицѣ сложенія найдемъ 6 дес. и пишемъ цифру 6 на мѣстѣ десятковъ. Затѣмъ переходимъ къ сотнямъ: въ суммѣ 6 сотенъ, а въ слагаемомъ 7 сотенъ. Такъ какъ изъ 6 нельзя вычесть 7, то занимаемъ у тысячъ, но ихъ нѣтъ; поэтому занимаемъ у десятковъ тысячъ одинъ десятокъ тысячъ (ихъ останется 4) и раздробляемъ его въ тысячи; получимъ 10 тысячъ, занимаемъ изъ нихъ одну тысячу (тысячъ останется 9) и раздробляемъ ее въ сотни: въ ней

10 сотенъ, да у насъ еще своихъ 6 сотенъ — всего 16 сотенъ. Чтобы узнать, сколько сотенъ въ другомъ слагаемомъ, надо изъ 16 сотенъ вычесть 7 сотенъ. По таблицѣ сложенія получимъ 9 сотенъ и пишемъ цифру 9 на мѣстѣ сотенъ. Затѣмъ переходимъ къ единицамъ тысячъ: въ суммѣ 9 единицъ тысячъ и въ одномъ слагаемомъ ихъ тоже 9; поэтому въ другомъ слагаемомъ ихъ вовсе нѣтъ — на ихъ мѣстѣ пишемъ 0. Наконецъ, въ суммѣ имѣется 4 десятка тысячъ, а въ одномъ слагаемомъ ихъ вовсе нѣтъ; поэтому въ другомъ слагаемомъ ихъ должно быть 4—пишемъ на ихъ мѣстѣ цифру 4. Больше разрядовъ нѣтъ, поэтому другое слагаемое = 40966.

§ 13. Повѣрка вычитанія очевидна: надо сложить оба слагаемыхъ — данное и найденное — тогда должна получиться сумма, или, другими словами: надо сложить вычитаемое и остатокъ — тогда должно получиться уменьшаемое.

§ 14. Вычитаніе употребляется во всѣхъ тѣхъ случаяхъ, когда одно изъ данныхъ чиселъ можно принять за сумму двухъ слагаемыхъ, а другое за одно слагаемое и когда при этомъ требуется найти другое слагаемое.

Примѣръ I. Въ обоихъ карманахъ у меня 25 руб., въ одномъ изъ нихъ 10 руб. Сколько денегъ у меня въ другомъ карманѣ?

Здѣсь 25 руб. есть сумма двухъ слагаемыхъ: денегъ 1-го кармана и денегъ 2-го кармана, при чемъ первое слагаемое извѣстно, оно = 10 руб. Поэтому, чтобы найти деньги 2-го кармана (т.-е. второе слагаемое), надо изъ 25 руб. вычесть 10 руб.; 25 руб. — 10 руб.= 15 руб.

Примѣръ II. Пѣшеходу надо пройти 12 верстъ. Въ первый часъ онъ прошелъ 5 верстъ. Сколько верстъ ему еще осталось итти?

Здѣсь 12 верстъ является суммою двухъ слагаемыхъ: 1) того разстоянія, которое онъ уже прошелъ, и 2) того разстоянія, которое ему еще осталось итти. Первое слагаемое извѣстно — оно = 5 верстамъ. Поэтому, чтобы найти второе слагаемое, надо изъ 12 верстъ вычесть 5 верстъ; 12 в. 5 в. — 7 в.

Примѣръ III. Отцу 40 лѣтъ, а сынъ моложе его на 23 года. Сколько лѣтъ сыну?

Здѣсь число лѣтъ отца служитъ суммою двухъ слагаемыхъ: 1 ) числа лѣтъ сына и 2) 23 лѣтъ. Такъ какъ сумма извѣстна— она — 40 л., и 2-е слагаемое извѣстно, то, чтобы найти первое слагаемое (число лѣтъ сына), надо изъ 40 л. вычесть 23 г.; 40 л. — 23 г.= 17 лѣтъ.

Примѣръ IV. Въ первомъ классѣ 57 учениковъ, а въ седьмомъ классѣ 41 ученикъ. На сколько въ первомъ классѣ учениковъ больше?

Здѣсь число учениковъ 1-го класса можно принять за сумму двухъ слагаемыхъ: 1) числа учениковъ 7-го класса и 2) того числа, которое выражаетъ избытокъ учениковъ 1-го кл. сравнительно съ 7-мъ кл. Сумма извѣстна — она = 57 уч.; первое слагаемое тоже извѣстно — оно = 41 уч. Поэтому, чтобы найти второе слагаемое, надо изъ 57 уч. вычесть 41 уч.; 57 уч. — 41 уч. = 16 уч.

Умноженіе.

§ 15. Умноженіе есть дѣйствіе, при помощи котораго находится сумма оди-наковыхъ слагаемыхъ.

Для умноженія дается два числа: первое число выражаетъ каждое слагаемое и называется множимымъ: второе число показываетъ, сколько разъ надо первое повторить слагаемымъ, — оно называется множителемъ. Послѣ умноженія получается новое число, которое выражаетъ сумму одинаковыхъ слагаемыхъ, и оно называется произведеніемъ. Знакомъ умноженія служитъ знакъ ( х ) или точка (.).

Если у насъ написано 7x4, то это значитъ, что надо число 7 повторить 4 раза слагаемымъ, т.-е. найти сумму 74-7+7+7. Точно такъ же 10x6=10+10+10+10+10+10.

Наоборотъ, если намъ надо какое-либо число, напр., 8, повторить 5 разъ слагаемымъ, то мы можемъ вмѣсто того, чтобы писать 8+8+8+8+8, написать то же самое короче, а именно 8x5.

§ 16. Главное свойство умноженія. Отъ перестановки множимаго и множителя произведеніе не мѣняется.

Пусть, напр., намъ надо 5x4. Желательно объяснить, что отъ этого умноженія должно получиться то же самое число, что и отъ умноженія 4x5, т.-е., что 5х4=4х5.

5x4 значитъ взять 5 единицъ слагаемымъ 4 раза. Напишемъ каждую единицу отдѣльно:

Беремъ 5 единицъ 1-й разъ 1 + 1 + 1 +1 + 1

» 5 » 2-й » 1 + 1 + 1 + 1 + 1

» 5 » 3-й » 1 + 1 + 1+ 1 + 1

» 5 » 4-й » 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Всѣ эти единицы надо соединить въ одно число, то-есть сосчитать, сколько ихъ здѣсь всего. Считать ихъ можно двумя способами.

1) Можно считать единицы по рядамъ. Ихъ въ каждомъ ряду 5, а такъ какъ такихъ рядовъ 4, то надо 5 единицъ повторить слагаемымъ 4 раза, т.-е. 5x4.

2) Можно считать единицы по столбцамъ. Въ каждомъ столбцѣ ихъ 4, а такъ какъ такихъ столбцовъ 5, то надо 4 единицы повторить слагаемымъ 5 разъ, т.-е. 4x5.

Какимъ бы способомъ мы ни считали эти единицы, число ихъ должно остаться однимъ и тѣмъ же. Поэтому 5x4— =4x5.

То же самое можно повторить для любого примѣра, и такимъ образомъ мы убѣждаемся, что это свойство всегда бываетъ вѣрно.

§ 17. Умноженіе однозначныхъ чиселъ. Пусть, напр., надо 8x5. Это значитъ, что надо 8 повторить 5 разъ слагаемымъ. Беремъ 8 первый разъ, потомъ беремъ 8 второй разъ и, складывая 8 съ 8, получимъ, пользуясь сложеніемъ, 16; беремъ затѣмъ 8 третій разъ и 16 складываемъ съ 8, получимъ 24; беремъ 8 четвертый разъ и складываемъ 24 съ 8, (24+8=32), наконецъ, беремъ 8 пятый разъ и складываемъ 32 съ 8 (32+8=40). Слѣдовательно, 8x5=40.

Чтобы всякій разъ при умноженіи однозначныхъ чиселъ не дѣлать такихъ многочисленныхъ сложеній, составляютъ разъ навсегда таблицу, въ которой были бы помѣщены произведенія всякихъ двухъ однозначныхъ чиселъ. Эта таблица составляется въ томъ же порядкѣ и съ тѣми же упрощеніями, какъ и таблица сложенія.

Таблица умноженія.

Мы не помѣщаемъ, напр., въ 4-мъ столбцѣ строчку 3x4 потому что въ третьемъ столбцѣ есть уже строчка 4x3=12, стало-быть и 3x4=12, потому что отъ перестановки множимаго и множителя произведеніе не мѣняется.

Эту таблицу надо знать наизусть.

§ 18. Умноженіе всякаго числа на 10, на 100, на 1000 и т. д. и обратно. Пусть, напр., надо 17x10. На основаніи свойства умноженія мы знаемъ, что это все равно, что 10X 17. Число 10 равняется одному десятку. Поэтому надо 1 десятокъ умножить на 17, или 1 десятокъ повторить слагаемымъ 17 разъ. Если же 1 десятокъ повторить слагаемымъ 17 разъ, то получится 17 десятковъ (сравнить: 1 яблоко повторить 17 разъ получится 17 яблокъ; 1 орѣхъ повторить 17 разъ получится 17 орѣховъ и т. п.). Число, состоящее изъ 17 десятковъ, мы писать умѣемъ: надо написать 17 и съ правой

стороны приписать къ нему 0 на мѣстѣ единицъ. Отсюда заключаемъ, что для умноженія числа на 10 надо написать это число и съ правой стороны приписать къ нему 0.

Объясненіе, изложенное здѣсь, можно выразить такъ: 17x10=10x17=1 дес.х 17=170.

Пусть далѣе надо 235x100. Мы знаемъ, что произведеніе получится такое же, какъ если 100x235. Но 100 составляетъ 1 сотню. Поэтому надо 1 сотню помножить на 235, т.-е. 1 сотню повторить 235 разъ слагаемымъ, — получится 235 сотенъ. Число, состоящее изъ 235 сотенъ, мы умѣемъ писать: надо написать 235 и приписать справа два нуля (на мѣстѣ десятковъ и единицъ). Короче выражаемъ тоже такъ : 235 х 100 = 100 X 235 = 1 сотня х 235=235 сотенъ=23500.

Точно такъ же, если надо 230х 1000, имѣемъ

230 X 1000 = 1000 X 230 = 1 тысячѣ X 230 = 230 тысячъ =230000 и т. д.

Итакъ, чтобы какое-нибудь число умножить на 10, на 100, на 1000 и т. д., надо написать это число и справа приписать къ нему одинъ, два, три и т. д. нулей.

§ 19. Умноженіе многозначнаго числа на однозначное. Пусть, напр., надо 5048x7. Пишемъ это такъ:

(Предпочтительнѣе первая запись).

Умножить 5048 на 7 значитъ 5048 повторить слагаемымъ 7 разъ. Сразу этого сдѣлать нельзя и приходится повторять по разрядамъ, начиная съ низшаго: 8 единицъ умножимъ на 7, получимъ (по таблицѣ умноженія) 56 единицъ: онѣ составляютъ 5 десятковъ и 6 единицъ; 6 единицъ записываемъ въ произведеніи на мѣстѣ единицъ, а 5 десятковъ запоминаемъ. Затѣмъ 4 десятка надо умножить на 7, получится 28 десятковъ (по табл. умнож.), да еще отъ умно-

женія единицъ получилось 5 десятковъ — всего будетъ 33 десятка: они составляютъ 3 сотни и 3 десятка. 3 сотни мы запоминаемъ, а 3 десятка записываемъ въ произведеніи на мѣстѣ десятковъ. Сотенъ во множимомъ нѣтъ, слѣдов. и повторять 7 разъ нечего; поэтому въ произведеніи надо написать только тѣ 3 сотни, которыя получились отъ умноженія десятковъ. Наконецъ, 5 тысячъ надо умножить на 7, получится (по табл. умнож.) 35 тысячъ: онѣ составляютъ 3 десятка тысячъ и 5 единицъ тысячъ. Такъ какъ больше разрядовъ нѣтъ, то въ произведеніи надо тотчасъ же записать и 5 единицъ тысячъ и 3 десятка тысячъ. Итакъ, произведеніе = 35336.

§ 20. Умноженіе всякаго числа на однозначное, сопровождаемое однимъ или нѣсколькими нулями. Пусть, напр., надо 23 умножить на 30. Это значитъ — надо 23 повторить 30 разъ слагаемымъ. Повторимъ сперва число 23 слагаемымъ 3 раза. Теперь надо всю эту строчку повторить 10 разъ. Тогда число 23 всего на всего будетъ повторено 30 разъ, потому что въ каждой строчкѣ оно повторяется 3 раза, а такихъ строчекъ 10. Отсюда заключаемъ, что надо сперва 23 умножить на 3 и полученное произведеніе умножить на 10 (а это дѣлается приписываніемъ къ нему справа нуля).

Итакъ, для того, чтобы умножить какое-нибудь число на 30, надо умножить его на 3 и справа приписать къ полученному произведенію одинъ нуль: 23x30=690.

Подобнымъ же образомъ умножаютъ на 20, 40, 50 и т. д. Пусть теперь надо 23 умножить на 400. Это значитъ надо 23 повторить слагаемымъ 400 разъ. Мы повторимъ сперва число 23 слагаемымъ 4 раза и затѣмъ всю эту строчку повторимъ 100 разъ. Тогда число 23 повторится всего 400 разъ. Отсюда заключаемъ, что придется 23 умножить на 4, получится 92, и къ полученному произведенію приписать два нуля, получится 9200.

Такъ же можно, напр., 109x5000. Для этого надо 109x5 и къ полученному произведенію приписать 3 нуля и т. д.

§ 21. Умноженіе многозначныхъ чиселъ. Пусть, напр., надо 527 умножить на 234. Это значитъ, надо число 527 повторить слагаемымъ 234 раза. Сдѣлаемъ это въ три пріема: 1-й пріемъ — повторяемъ 527 слагаемымъ 4 раза, т.-е. умножаемъ на 4 — это дѣлать умѣемъ (§ 19); получимъ первое частное произведеніе 2108. 2-й пріемъ — повторяемъ 527 слагаемымъ 30 разъ, т.-е. умножаемъ на 30 — это дѣлать умѣемъ: надо 527 помножить на 3 и справа приписать о (§20); получимъ второе частное произведеніе 15810. 3-й пріемъ — повторяемъ 527 слагаемымъ 200 разъ, т.-е. умножаемъ на 200. Это дѣлать умѣемъ: надо 527 умножить на 2 и справа приписать два нуля (§20). Получимъ третье частное произведеніе 105400. Затѣмъ надо всѣ эти частныя произведенія сложить и получимъ все произведеніе 2108+158104-105400= 123318.

Дѣйствіе для удобства располагаютъ слѣдующимъ образомъ:

Во второмъ и третьемъ пріемахъ нули справа не приписываютъ, но зато оставляютъ для нихъ мѣсто. Такъ говорятъ: «надо 527 умножить на 30», — это дѣлать умѣемъ: надо 527 умножить на 3 и приписать справа къ полученному произведенію одинъ нуль. Умножаемъ на 3: 7 единицъ умножаемъ на 3, получимъ 21 единицу; онѣ составляютъ 2 десятка и 1 единицу. Два десятка запоминаемъ, а одну единицу пишемъ, но подъ десятками перваго частнаго произведенія, потому что надо оставить одно мѣсто для нуля. Затѣмъ 2 десятка умножаемъ на 3, полу-

чимъ 6 десятковъ, да еще два было раньше, всего 8 дес. и т. д. Подобнымъ же образомъ, когда въ 3-мъ пріемѣ умножаютъ 527 на 2, то полученныя 4 единицы пишутъ подъ сотнями, потому что надо оставить два мѣста для нулей. Слѣдуетъ помнить, что второе частное произведеніе=-15810, а не 1581 и 3-е частное произведеніе^ 105400, а не 1054.

Если надо, напр., 3054x306, то понадобятся два пріема: 1-й пріемъ: 3054 умножить на 6, и 2-й пріемъ: 3054 умножить на 300. И уже тогда во второмъ пріемѣ придется, умноживъ 3054 на 3, писать это произведеніе такъ, чтобы осталось два мѣста для нулей.

§ 22. Упрощеніе умноженія. Если одно изъ чиселъ или оба числа, данныхъ для умноженія, оканчиваются нулями, то умноженіе можно упростить.

Пусть, напр., надо 508x2300. Разсуждаемъ такъ же, какъ въ § 20. Намъ надо 508 повторить слагаемымъ 2300 разъ, мы напишемъ сперва 508 въ одной строчкѣ слагаемымъ 23 раза, а потомъ повторимъ эту строчку слагаемымъ 100 разъ. Тогда число 508 повторится всего 23x100=2300 разъ, какъ намъ и нужно. Отсюда заключаемъ, что для того, чтобы 508 умножить на 2300, надо 508 умножить на 23 и справа приписать два нуля.

Пусть еще надо 1700x560. По предыдущему надо 1700 умножить на 56 и приписать справа одинъ нуль. А для

того, чтобы 1700 умножить на 56, надо 17x56 и приписать справа два нуля (1700x56—56x1700). Итакъ, въ концѣ концовъ придется 17 умножить на 56 и приписать справа 3 нуля.

Еще слѣдуетъ замѣтить, что удобнѣе, вообще, большее число ставить первымъ (множимымъ), а меньшее множителемъ. Напр., надо 81x4123. Если это умноженіе будемъ дѣлать въ томъ порядкѣ, какъ оно обозначено, то понадобится 4 пріема; но можно множимое и множитель переставить, отъ этого произведеніе не измѣнится. Тогда 4123x81, и понадобится только 2 пріема.

§ 23. Повѣрка умноженія дѣлается на томъ основаніи, что можно переставить множимое и множитель, — произведеніе не измѣнится. Поэтому для повѣрки умножаютъ числа въ обратномъ порядкѣ.

§ 24. Умноженіе въ задачахъ употребляется тогда, когда надо какое-либо число повторить нѣсколько разъ слагаемымъ, или увеличить въ нѣсколько разъ.

Напримѣръ: фунтъ чая стоитъ 3 рубля. Сколько заплатили за 24 фунта этого чаю?

Такъ какъ 1 фунтъ здѣсь повторяется 24 раза, то надо 3 рубля повторить слагаемымъ 24 раза, или увеличить въ 24 раза, т.-е. 3 р. умножить на 24; 3 руб. х24=72 рубля. (Множитель всегда имѣетъ названіе р а з ъ и его не принято писать. 3 руб. повторить 24 раза пишутъ поэтому такъ: 3 руб. X 24).

§ 25. Иногда оба числа, данныя для умноженія, называютъ множителями и вмѣсто «множимое» говорятъ «первый множитель», а другое число называютъ вторымъ множителемъ.

Дѣленіе.

§26. Дѣленіе есть дѣйствіе, обратное умноженію, при помощи котораго по данному произведенію и по одному множителю находятъ другой множитель.

Для дѣленія дается два числа. Первое число выражаетъ произведеніе и называется дѣлимымъ; второе число выражаетъ одинъ множитель и называется дѣлителемъ. Послѣ дѣленія получается новое число, выражающее другой множитель, — оно называется частнымъ. Знакомъ дѣленія служатъ двѣ точки (:).

Пусть, напр., имѣемъ 40 : 8. Это значитъ: произведеніе двухъ множителей равно 40, а одинъ изъ множителей = 8; требуется найти другой множитель.

Наоборотъ, если сказано, что произведеніе равно, напр., 28 и одинъ множитель равенъ 7, то, чтобы найти другой множитель, надо 28 раздѣлить н а 7. Пишемъ это такъ:

Конечно, первое число, дѣлимое, должно быть больше второго— дѣлителя, потому что произведеніе больше одного множителя; возможно, что дѣлимое и дѣлитель равны между собою; напр. 21 :21. Въ этомъ случаѣ искомый множитель = 1.

§ 27. Дѣленіе по таблицѣ умноженія. Если данныя для дѣленія числа встрѣчаются въ таблицѣ умноженія, то дѣленіе производится при помощи этой таблицы. Пусть, напр., надо 56 раздѣлить на 7. Это значитъ: дано произведеніе 56 и одинъ множитель 7; надо найти другой множитель. Для этого находимъ въ таблицѣ умноженія такую строчку, гдѣ произведеніе = 56 и одинъ множитель = 7. Вотъ эта строчка: 8x7=56. Кто знаетъ таблицу умноженія, тотъ легко отыщетъ эту строчку въ умѣ. Изъ нея беремъ другой множитель 8. Поэтому 56 : 7=8.

Если надо, напр., еще 81 раздѣлить на 9, то ищемъ въ таблицѣ умноженія такую строчку, чтобы произведеніе равнялось 81, а одинъ множитель 9. Вотъ эта строчка: 9x9=81. Отсюда видимъ, что другой множитель равенъ тоже 9. Итакъ, 81 : 9=9.

§ 28. Дѣленіе съ остаткомъ. Иногда произведеніе бываетъ дано не вѣрно. Тогда послѣ дѣленія получается, кромѣ частнаго, еще одно число, которое показываетъ, на сколько данное произведеніе больше настоящаго, — оно называется остаткомъ.

Пусть, напр., надо 50 раздѣлить на 6. Если мы станемъ въ таблицѣ умноженія искать строчку, гдѣ бы произведеніе было 50, а одинъ множитель 6, то такой строчки не найдемъ, а между тѣмъ тамъ найдутся 2 строчки, гдѣ тотъ же множитель 6, а произведеніе въ одной меньше 50 (8x6=48), а въ другой больше 50 (9x6=54). Тогда берутъ первую строчку, т.-е. такую, гдѣ одинъ множитель 6, а произведеніе, хотя и меньше 50, но какъ можно ближе подходитъ къ 50. Изъ этой строчки возьмемъ второго множителя 8. Послѣ этого узнаютъ, на сколько данное произведеніе 50 больше настоящаго 48; для этого надо изъ 50 вычесть 48, получимъ 2. Итакъ, отъ дѣленія 50 на 6 получается частное 8 и остатокъ 2.

Пусть еще надо 80 раздѣлить на 9. Ищемъ въ таблицѣ умноженія такую строчку, гдѣ бы одинъ множитель былъ равенъ 9, а произведеніе было бы, хотя и меньше 80, но какъ можно ближе къ нему. Такая строчка есть 9x8=72. Изъ нея беремъ второй множитель 8 и находимъ вычитаніемъ остатокъ: 80—72=8.

Остатокъ всегда меньше дѣлителя.

§ 29. Два значенія дѣленія. Прежде для насъ было безразлично, какой изъ двухъ множителей намъ данъ: первый или второй, т.-е. множимое или множитель. Теперь разберемъ каждый изъ этихъ случаевъ отдѣльно.

I. Дано произведеніе, напр., 40, и второй множитель, напр., 8; надо найти первый множитель, т.-е. надо

узнать, какое число надо умножить на 8, чтобы получилось 40. Запишемъ это:

Мы можемъ то же самое выразить такъ: намъ надо узнать, какое число, будучи повторено 8 разъ слагаемымъ., дастъ 40. Запишемъ это:

Отсюда мы заключаемъ, что 40 можно разложить на 8 равныхъ частей, при чемъ желательно узнать, какъ велика каждая часть. Итакъ: въ этомъ случаѣ 40 раздѣлить на 8 значитъ разложить число 40 на 8 равныхъ частей съ цѣлью узнать, какъ велика каждая часть.

Въ этомъ случаѣ дѣленіе называется дѣленіемъ на равныя части.

II. Дано произведеніе, опять 40, и теперь первый множитель опять 8; надо найти второй множитель, т.-е. надо узнать, на сколько надо умножить число 8, чтобы получилось 40. Запишемъ это такъ:

Мы можемъ то же самое выразить иначе: намъ надо узнать, сколько разъ слѣдуетъ повторить число 8 слагаемымъ, чтобы получилось 40. Запишемъ это:

Отсюда мы заключаемъ, что число 8, будучи повторено нѣсколько разъ, дастъ число 40, и намъ желательно узнать, сколько разъ надо повторить 8, чтобы получилось 40. Другими словами, надо сравнить число 40 съ числомъ 8, чтобы узнать, во сколько разъ 40 больше 8, или сколько разъ 8 содержится въ 40. Итакъ: въ этомъ случаѣ 40

раздѣлить на 8 значитъ узнать, сколько разъ въ 40 содержится 8.

Такое дѣленіе называется дѣленіемъ-сравненіемъ.

Если у насъ написано, напр., 32 : 4, то мы знаемъ, что 32 есть произведеніе, но не знаемъ какой множитель есть 4, второй или первый. Поэтому на вопросъ, что значитъ раздѣлить 32 на 4, мы должны отвѣчать, что здѣсь можетъ быть два значенія: 1) 32 раздѣлить на 4 значитъ разложить число 32 на 4 равныхъ части, чтобы узнать каждую часть, и 2) 32 раздѣлить на 4 значитъ узнать, сколько разъ 4 содержится въ 32.

Если же числа даны съ названіями, то тогда годится только какое-нибудь одно значеніе. Напримѣръ:

1) 32 рубля : 4 значитъ разложить 32 рубля на 4 равныхъ части, чтобы узнать, сколько рублей придется на каждую часть.

Второе же значеніе здѣсь не годится, потому что отвлеченное число 4 не можетъ содержаться въ 32 рубляхъ.

2) 32 яблока : 4 яблока значитъ узнать, сколько разъ 4 яблока содержатся въ 32 яблокахъ. Здѣсь первое значеніе не годится, потому что дѣлимъ 32 яблока не на 4 равныхъ части, а на 4 яблока.

3) 32 копѣйки : 4 яблока. Это вовсе не имѣетъ смысла; дѣлимъ не на части, а на яблоки, слѣдов., первое значеніе не годится, яблоки не могутъ содержаться въ копѣйкахъ — слѣдов., и второе значеніе не годится.

§ 30. Дѣленіе всякихъ чиселъ. Пусть, напр., надо 5436 раздѣлить на 9. Такъ какъ, по предыдущему, этому дѣленію мы можемъ дать любое изъ двухъ значеній, то воспользуемся первымъ значеніемъ: раздѣлить 5436 на 9 значитъ разложить число 5436 на 9 равныхъ частей, чтобы узнать каждую часть. По таблицѣ умноженія раздѣлить нельзя, потому что тамъ нѣтъ такого большого произведенія. Поэтому дѣлимъ по разрядамъ, начиная съ в ы с ш а г о. Возьмемъ сперва 5 тысячъ. Ихъ надо разложить на 9 равныхъ

частей, но нельзя положить въ каждую часть даже и по одной тысячѣ — ихъ не хватитъ (для этого ихъ понадобится 9, а у насъ ихъ всего 5). Поэтому мы ихъ раздробляемъ въ слѣдующій разрядъ, т.-е. въ сотни: въ одной тысячѣ 10 сотенъ, а въ 5 тысячахъ будетъ 50 сотенъ, да у насъ еще есть своихъ 4 сотни — итого 54 сотни. Ихъ надо разложить на 9 равныхъ частей. Не трудно сообразить (имѣя въ виду таблицу умноженія), что можно въ каждую часть положить по 6 со-тенъ. Теперь сосчитаемъ, сколько сотенъ мы положили во всѣ части; для этого надо 6 сотенъ повторить 9 разъ, т.-е. 6x9, получится 54 сотни. Теперь узнаемъ, сколько сотенъ осталось не разложенными на части; для этого надо изъ 54 сотенъ вычесть 54 сотни, — сотенъ не осталось. Тогда переходимъ къ десяткамъ: у насъ есть 3 десятка и ихъ надо разложить на 9 равныхъ частей, — даже и по одному десятку нельзя положить въ каждую часть: десятковъ не хватитъ. Поэтому мы ихъ раздробляемъ въ единицы. Въ трехъ десяткахъ 30 единицъ, да у насъ еще есть 6 единицъ — всего 36 единицъ. Ихъ надо разложить на 9 равныхъ частей. Попробуемъ положить въ каждую часть по 4 единицы (сообразуясь съ таблицей умноженія). Сосчитаемъ, сколько тогда понадобится единицъ для всѣхъ 9 частей; для этого надо 4 единицы повторить 9 разъ — получится 36 единицъ (значитъ, по 4 единицы можно). Узнаемъ, сколько единицъ осталось неразложенными на части; для этого надо изъ 36 единицъ вычесть 36 единицъ, — ничего не осталось. Итакъ, въ каждую часть пришлось положить по 6 сотенъ и 4 единицы; слѣдов., каждая часть = 604 (на мѣстѣ десятковъ пишемъ нуль, потому что ни по одному десятку не пришлось положить въ каждую часть). Дѣйствіе располагаютъ, обыкновенно, такъ:

Кто сумѣетъ произвести встрѣчающіяся здѣсь умноженія и вычитанія въ умѣ, тотъ можетъ расположить дѣйствіе въ строчку:

5436 : 9=604.

Другой примѣръ: 44990 : 87.

Это значитъ (пользуемся, какъ всегда при производствѣ дѣленія, первымъ значеніемъ) надо число 44990 разложить на 87 равныхъ частей съ цѣлью узнать, какъ велика каждая часть. Такъ какъ столь большихъ чиселъ въ таблицѣ умноженія нѣтъ, то дѣлимъ по разрядамъ, начиная съ высшаго. 4 десятка тысячъ надо разложить на 87 равныхъ частей, — даже и по одному десятку тысячъ нельзя положить въ каждую часть. Поэтому раздробляемъ ихъ въ единицы тысячъ: въ 4 десяткахъ тысячъ 40 единицъ тысячъ, да у насъ еще есть 4 тысячи — итого 44 тысячи; ихъ надо разложить на 87 равныхъ частей — даже и по одной тысячѣ нельзя положить въ каждую часть. Поэтому раздробляемъ 44 тысячи въ сотни: сотенъ получится 440, да у насъ еще своихъ 9 — всего 449; ихъ надо разложить на 87 равныхъ частей — попробуемъ положить въ каждую часть по 5 сотенъ. Теперь сосчитаемъ, сколько сотенъ понадобится для всѣхъ частей; для этого надо 5 сотенъ повторить 87 разъ, т.-е. 5x87. Такъ какъ отъ перестановки множителей произведеніе не мѣняется, то можно 87 умножить на 5 — это удобнѣе. Получится 435 сотенъ. Узнаемъ затѣмъ, сколько сотенъ осталось неразложенныхъ на части. Для этого надо изъ 449 сотенъ вычесть 435 сотенъ, — останется 14 сотенъ неразложенными. Теперь мы видимъ, что мы положили въ каждую часть по 5 сотенъ правильно: по 6-й сотнѣ нельзя положить (ихъ не хватитъ), а 4 сотни положить въ каждую часть было бы мало. Оставшіяся неразложенными 14 сотенъ раздробляемъ въ десятки; въ нихъ 140 десятковъ, да у насъ еще своихъ 9 десятковъ— всего 149 дес. Ихъ надо разложить на 87 равныхъ частей. Можно положить въ каждую часть только по 1 десятку. Тогда во всѣхъ

частяхъ будетъ 87 десятковъ, а неразложенныхъ десятковъ останется 62 (изъ 149 дес. вычесть 87 дес.). Эти 62 дес. раздробляемъ въ единицы: въ нихъ 620 единицъ, а своихъ единицъ еще нѣтъ. 620 единицъ надо раскладывать на 87 равныхъ частей: попробуемъ въ каждую часть положить по 7 единицъ. Узнаемъ сколько единицъ придется во всѣ части, для этого 7 ед.х87 (а для удобства 87x7)—получится 609. Чтобы узнать, сколько единицъ останется неразложенными, надо изъ 620 ед. вычесть 609, получится 11 неразложенныхъ на части единицъ. Такъ какъ эти 11 единицъ нельзя разложить на 87 равныхъ частей и раздроблять ихъ ужъ больше не во что, то они такъ и останутся неразложенными. Итакъ, каждая часть = 517 (5 сотенъ, 1 десятокъ и 7 единицъ) и остатокъ =11. Здѣсь мы заключаемъ, что произведеніе 44990 дано не вѣрно: оно больше настоящаго на 11.

Дѣйствіе располагаемъ такъ:

Третій примѣръ: 1056685 : 509.

Предоставляемъ объяснить его учащимся. Дѣйствіе расположится такъ:

§31. Дѣленіе на 10, 100, 1000 и т. д. Пусть, напр., надо 536 раздѣлить на 10.

Если намъ дадутъ 1 десятокъ раздѣлить на 10 равныхъ частей, то въ каждую часть придется положить по 1-й единицѣ и нераздѣленныхъ единицъ не останется. Отъ дѣленія 2 десятковъ на 10 равныхъ частей въ каждой части получится по 2 единицы, отъ 3 десятковъ — по 3 единицы и т. д.; слѣдов., отъ 53 десятковъ въ каждой части получится по 53 единицы, а 6 единицъ нельзя разложить на 10 равныхъ частей — онѣ останутся неразложенными. Поэтому надо въ числѣ 536 отдѣлить одну цифру справа (отдѣлить десятки отъ единицъ).

53’6,

Тогда слѣва отъ этого значка будетъ написано частное, а справа остатокъ.

Еще примѣръ: 536 : 100.

Такъ какъ отъ дѣленія одной сотни на 100 равныхъ частей въ каждую часть придется положить по 1 единицѣ, то отъ дѣленія 536 на 100 равныхъ частей, въ каждой части получится столько единицъ, сколько имѣется сотенъ въ нашемъ числѣ. Поэтому, чтобы узнать каждую часть, надо отдѣлить сотни отъ десятковъ и единицъ, которые останутся неразложенными :

5’36.

Еще примѣръ: 2187521 : 1000.

Здѣсь придется тысячи отдѣлить отъ сотенъ, десятковъ и единицъ, т.-е. отдѣлить справа три цифры

2187’521.

Слѣва отъ значка будетъ частное (оно = 2187), а справа остатокъ (онъ = 521).

§ 32. Дѣленіе чиселъ, оканчивающихся нулями. Пусть надо 224000 : 1300.

Это значитъ, надо 224000 разложить на 1300 равныхъ частей.

Это выполнить можно въ такомъ порядкѣ: разложимъ сперва 224000 на 100 равныхъ частей, а потомъ каждую

часть въ свою очередь разложимъ на 13 равныхъ частей — новыхъ частей тогда окажется 13х 100=1300, какъ намъ и нужно.

Чтобы 224000 раздѣлить на 100 равныхъ частей, надо справа отдѣлить двѣ цифры (§ 31) ,въ каждой части получимъ по 2240. Теперь надо эту часть разложить въ свою очередь на 13 равныхъ частей — 2240 : 13=172 (и въ остаткѣ 4). Отсюда заключаемъ, что при дѣленіи 224000 на 1300 равныхъ частей, въ каждой части получится по 172, а неразложенныхъ единицъ останется отъ каждой изъ 100 частей по 4, т.-е. всего 400 единицъ.

Наглядно пояснимъ это такъ: пусть надо 224000 яблокъ разложить на 1300 равныхъ частей. Разлагаемъ сперва эти яблоки на 100 равныхъ кучекъ — это выйдетъ безъ остатка:

всего 100 кучекъ. Теперь каждую кучку разлагаемъ на 13 равныхъ частей. Это уже безъ остатка нельзя сдѣлать, а, какъ мы видѣли выше, получится 4 яблока въ остаткѣ (2240 : 13 получится 4 въ остаткѣ). Слѣдовательно, отъ первой кучки останется 4 яблока неразложенными, отъ второй 4 яблока, отъ третьей 4 яблока и т. д., а всего неразложен-ныхъ останется:

Дѣйствіе располагаютъ такъ:

Сперва дѣлимъ 224000 на 100; для этого надо зачеркнуть справа 2 нуля. Получимъ 2240. Теперь надо число 2240 разложить на 13 равныхъ частей. Поэтому у дѣлителя 1300 зачеркиваемъ 2 нуля. Дѣлимъ обыкновенными пріемами 2240 на 13. Полученное частное 172 есть настоящее, но остатокъ 4 получился отъ дѣленія 2240 на 13, но такихъ дѣленій придется сдѣлать 100 (какъ видѣли на примѣрѣ съ яблоками), а поэтому

къ остатку 4 надо приписать 2 нуля; тогда 400 и есть на стоящій остатокъ отъ дѣленія 22400 на 1300.

Итакъ, можно въ дѣлимомъ и дѣлителѣ зачеркнуть поровну нулей, отъ этого частное останется то же, но къ остатку надо приписать нули, зачеркнутые въ дѣлимомъ.

§ 33. Дѣленіе употребляется въ задачахъ въ двухъ случаяхъ:

1) Когда надо какое-нибудь число разложить на нѣсколько равныхъ частей.

Примѣръ. Куплено 12 фунтовъ чая и заплачено за все 24 руб. Сколько стоитъ 1 фунтъ этого чая?

Для рѣшенія этого вопроса надо 24 руб. разложить поровну на столько частей, сколько фунтовъ чая куплено, т.-е. на 12 равныхъ частей, а это дѣлается при помощи дѣленія на равныя части (§29), т.-е. надо

24 руб. : 12 = 2 руб. (дѣленіе на равныя части).

2) Когда надо узнать, сколько разъ въ одномъ числѣ содержится другое.

Примѣръ. Куплено нѣсколько фунтовъ чая по 3 рубля за фунтъ и за все заплачено 39 руб. Сколько чаю куплено?

Предварительно сообразимъ, что чая куплено столько фунтовъ, сколько разъ 3 рубля содержится въ 39 руб.

Итакъ, надо узнать, сколько разъ 3 руб. содержится въ 39 руб., а это узнается при помощи дѣленія-сравненія (§29). Поэтому надо:

39 руб. : 3 руб. =13 (фунт.) (дѣл.-сравн.).

Отъ дѣленія 39 на 3 получится число 13; слѣдов., 3 рубля содержится въ 39 руб. 13 разъ. Поэтому у полученнаго числа 13 не слѣдовало бы вовсе писать названія, такъ какъ названіе «разъ» не пишется. Но мы знаемъ, что сколько разъ 3 руб. содержится въ 39 руб., столько должно быть и фунтовъ чая; поэтому можно послѣ 13 въ скобкахъ написать названіе «фунт.» Скобки обозначаютъ, что это не настоящее названіе, а лишь данное полученному числу по смыслу вопроса.

ГЛАВА III.

ЗАДАЧИ НА 4 ДѢЙСТВІЯ.

Задачи на дѣйствія съ числами раздѣляются на скобочныя и условныя.

§ 34. Скобочныя задачи. Иногда бываетъ дано выраженіе, въ которомъ при помощи знаковъ дѣйствій и скобокъ указанъ порядокъ дѣйствій надъ данными числами. Эти дѣйствія надо выполнить и узнать число, которому равно данное выраженіе.

При этомъ важно усвоить слѣдующія правила относительно употребленія скобокъ:

1) Если сумму нѣсколькихъ чиселъ или разность двухъ чиселъ надо умножить или раздѣлить на какое-нибудь число, то эту сумму или эту разность надо заключить въ скобки.

Напр., надо сумму 5 и 12 умножить на 3—это обозначается такъ: (5+12)х3. Если же скобки пропустить и написать просто 5+12x3, то тогда надо бы было сперва 12 умножить на 3 и затѣмъ уже найти сумму 5 и полученнаго произведенія (36). Результаты получаются совершенно различные:

2) Подобно этому, если какое-нибудь число надо умножить или раздѣлить на сумму нѣсколькихъ чиселъ или на разность двухъ чиселъ, то эта сумма или разность заключается въ скобки.

Напр.:

Здѣсь надо сперва найти разность 25 — 7, т.-е. изъ 25 вычесть 7, и затѣмъ уже 3600 раздѣлить на полученное число (18) — получится 200.

Если же скобки пропустить и написать просто:

то надо сперва 3600 раздѣлить на 25— получится 144, и затѣмъ уже изъ найденнаго частнаго (144) вычесть 7 — получится число 137. Результатъ совершенно иной.

Отсюда общее заключеніе: если сумма или разность служитъ множимымъ, множителемъ, дѣлимымъ или дѣлителемъ, то эта сумма или разность должны заключаться въ скобки.

Дадимъ еще 2 примѣра съ указаніемъ хода рѣшенія и расположенія вычисленій.

3) Если сумму нѣсколькихъ чиселъ или разность двухъ чиселъ надо вычесть изъ какого-нибудь числа, то эти сумма или разность заключаются въ скобки.

Напр.:

Здѣсь надо сперва 3 сложить съ 4 и съ 6 и полученную сумму 13 вычесть изъ 25; получится 12.

Если же скобки пропустить и написать просто:

то надо сперва изъ 25 вычесть 3 и полученное число 22 сложить съ 4 и съ 6— получится 32.

4) При вычитаніи же изъ суммы или разности какого-нибудь числа скобокъ не употребляется. Также и при сложеніи суммы или разности съ какимъ-нибудь числомъ.

Напр.: 25—8—7.

Здѣсь надо изъ 25 вычесть 8 — получится 17, и затѣмъ изъ 17 вычесть 7, — получится 10.

Впрочемъ, здѣсь можно разность 25—8 заключить въ скобки — отъ этого ничего не измѣнится:

но во всякомъ случаѣ скобки здѣсь излишни, и ихъ можно употреблять лишь въ особыхъ случаяхъ.

5) Если послѣ знака дѣленія идетъ знакъ умноженія или тоже дѣленія, то скобки необходимы.

Напр.: (80 : 10)х4. Здѣсь надо сперва 80 раздѣлить на 10 — получится 8, и полученное частное 8 умножить на 4 — получится 32.

Если же написать такъ: 80 : (10x4), то надо сперва 10x4—получится 40, и затѣмъ 80:40—получится 2.

Если же вовсе не написать скобокъ, то невозможно узнать, въ какомъ порядкѣ произвести дѣйствія.

6) Если послѣ знака умноженія слѣдуетъ знакъ дѣленія или умноженія, то скобокъ можно не ставить, потому что оказывается (объясненіе этого дается въ курсѣ II класса), что, въ какомъ бы порядкѣ ни дѣлали дѣйствія, результатъ получится одинъ и тотъ же.

Напр.: 9х35 : 7.

Другой примѣръ: 5х 3x2x4; въ какомъ бы порядкѣ ни умножали эти числа, все равно — получится одно и то же число 120.

Рѣшимъ болѣе сложный примѣръ съ указаніемъ расположенія дѣйствій. Если вычисленія не сдѣлать въ умѣ, то ихъ

слѣдуетъ писать внизу страницы, отдѣливъ для нихъ мѣсто.

(282x30—119790 : 22) : (35х 23 -760)=67.

1) 282x30=8460 (можно наизусть: 282 умножить на 3 и приписать справа нуль);

Тѣхъ примѣчаній, которыя написаны въ скобкахъ, конечно, нѣтъ надобности писать при рѣшеніи задачъ.

По окончаніи вычисленій надо написать отвѣтъ. Это дѣлаютъ такъ: послѣ даннаго выраженія пишутъ знакъ равенства и число, которое получилось послѣ всѣхъ дѣйствій — въ нашемъ примѣрѣ 67.

Иногда вмѣсто знак дѣленія (:) употребляютъ горизонтальную черту, которая проходитъ между дѣлимымъ и дѣлителемъ (вверху — дѣлимое, внизу — дѣлитель). Напр.: у все равно, что 40 : 5. Вмѣсто знака умноженія (х) употребляется иногда другой знакъ (.). Напр., пишутъ 8 . 5 все равно, что 8x5.

Употребленіе черты вмѣсто знака дѣленія иногда уменьшаетъ число скобокъ. Напр.:

Здѣсь надо 80 раздѣлить

на произведеніе чиселъ 5 и 4. Безъ черты пришлось бы писать такъ 80 : (5.4).

Еще примѣръ.

§ 35. Условныя задачи. Прежде чѣмъ приступить къ рѣшенію условной задачи, надо въ умѣ составить себѣ планъ рѣшенія, а затѣмъ изложить рѣшеніе на бумагѣ такъ, чтобы былъ понятенъ планъ рѣшенія и чтобы можно было легко видѣть производство дѣйствій, если ихъ трудно выполнить въ умѣ.

Даемъ нѣсколько примѣровъ съ поясненіями и рекомендуемъ то расположеніе рѣшенія, которое дано въ этихъ примѣрахъ. Съ боку пишемъ разсужденія, которыхъ, конечно, писать не обязательно.

Задача 1. Нѣкто купилъ 27 аршинъ сукна и 39 аршинъ шелковой матеріи и заплатилъ за все 618 рублей. Сколько стоитъ аршинъ шелковой матеріи, если каждый аршинъ сукна стоитъ 7 рублей?

Для составленія плана разсуждаемъ такъ: если бы мы знали, сколько стоитъ вся купленная шелковая матерія (39 арш.), то не трудно было бы узнать цѣну каждаго аршина. Слѣдовательно, постараемся узнать, сколько стоитъ вся шелковая матерія. Но, такъ какъ намъ извѣстна стоимость шелковой матеріи и сукна вмѣстѣ, то придется предварительно узнать стоимость только одного сукна, — тогда легко узнаемъ вычитаніемъ стоимость отдѣльно шелковой матеріи. Стоимость же всего сукна не трудно узнать, такъ какъ знаемъ цѣну одного аршина сукна и знаемъ, сколько

аршинъ его куплено. Итакъ, прежде всего придется узнать, сколько стоитъ все сукно, потомъ, сколько стоитъ вся шелковая матерія и, наконецъ, сколько стоитъ каждый ея аршинъ.

Разсужденія.

1) Такъ какъ одинъ аршинъ сукна стоитъ 7 р., то, чтобы узнать, сколько стоятъ 27 арш., надо 7 р. повторить, слагаемымъ 27 разъ, а это дѣлается умноженіемъ— надо 7 р.х27.

2) 618 руб. есть сумма двухъ слагаемыхъ: одно изъ нихъ — стоимость всего сукна — извѣстно изъ 1-го вопроса, а другое— стоимость всей шелковой матеріи— неизвѣстного, чтобы узнать другое слагаемое, когда извѣстны сумма и одно слагаемое, употребляется вычитаніе— надо изъ суммы 618 руб. вычесть извѣстное слагаемое 189 руб.

3) Мы знаемъ, что 39 арш. матеріи стоятъ 429 руб,; слѣдов., чтобы узнать, сколько стоитъ каждый аршинъ надо 429 руб. разложить на 39 равныхъ частей, а это дѣлается дѣленіемъ на равныя части, т.-е. надо 429 руб. : 39

Расположеніе рѣшенія.

1) Ск. стоитъ все сукно?

7 руб. х 27= 189 руб.

2) Ск. стоитъ вся шелк. матерія? 618 руб.—189 руб. = 429 руб.

3) Ск. стоитъ 1 арш. шелковой матеріи?

429 руб. : 39= 11 руб. (дѣл. на равн. части).

Одинъ аршинъ шелковой матеріи стоитъ 11 руб.

Вычисленія.

1) Наизусть.

Задача 2. Путешественникъ, отправившійся изъ го-рода, проѣзжаетъ по 16 верстъ въ часъ; спустя 11 часовъ послѣ его выѣзда, отправляется вслѣдъ за нимъ другой путе-

шественникъ и, желая догнать перваго, проѣзжаетъ по 20 верстъ въ часъ. Черезъ сколько часовъ онъ его догонитъ и на какомъ разстояніи отъ города?

Намъ надо узнать, черезъ сколько часовъ 2-й путешественникъ догонитъ перваго. Но это сразу узнать нельзя, а надо предварительно знать, какъ далеко успѣлъ уѣхать первый путешественникъ до выѣзда второго и на сколько верстъ второй догоняетъ перваго въ 1 часъ. Эти два предварительныхъ вопроса можно рѣшить сразу, пользуясь данными задачи, и притомъ въ любомъ порядкѣ. Поэтому планъ таковъ: сперва узнаемъ, какъ далеко уѣхалъ первый путешественникъ до выѣзда второго, затѣмъ, на сколько второй приближается къ первому въ 1 часъ; затѣмъ, черезъ сколько часовъ онъ его догонитъ и, наконецъ, на какомъ разстояніи отъ города это случится.

Расположеніе рѣшенія.

1) Какъ далеко первый путеш. уѣдетъ до выѣзда второго?

2) На сколько верстъ второй догоняетъ перваго въ 1 часъ?

3) Черезъ сколько часовъ второй догонитъ перваго?

176 верстъ : 4 версты=44 (часа). (Дѣл.-сравн.)

4) На какомъ разст. отъ города второй догонитъ перваго?

Второй путешественникъ догонитъ перваго черезъ 44 часа на разстояніи 880 верстъ отъ города.

4) Наизусть (44 умножить на 2 и справа приписать нуль).

Объясненія,

1) Такъ какъ первый проѣзжаетъ въ часъ 16 верстъ и до выѣзда второго прошло 11 часовъ, то, чтобы узнать, какъ далеко онъ отъѣдетъ отъ города въ эти 11 часовъ, надо 16 верстъ повторить слагаемымъ 11 разъ, а это дѣлается умноженіемъ — надо 16 верстъ X 11.

2) 20 верстъ является суммою двухъ слагаемыхъ: 1) числа верстъ, проѣзжаемыхъ 1-мъ въ часъ (оно= 16 верстамъ), и

2) избытка скорости 2-го сравнительно съ 1-мъ — онъ намъ неизвѣстенъ. Слѣдовательно, здѣсь надо по суммѣ двухъ слагаемыхъ и по одному изъ нихъ найти другое слагаемое, а это дѣлается вычитаніемъ: надо изъ суммы (20 верстъ) вычесть извѣстное слагаемое (16 верстъ),

3) Такъ какъ 2-й путешественникъ въ каждый часъ нагоняетъ перваго на 4 версты, а ему надо наверстать всѣ 176 верстъ, то для этого ему понадобится столько часовъ сколько разъ 4 версты содержатся въ 176 верстахъ. Слѣдовательно, надо узнать, сколько разъ 4 версты содержатся въ 176 верстахъ, а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ. Итакъ, надо 176 верстъ раздѣлить на 4 версты. Узнаемъ тогда, сколько разъ 4 версты содержатся въ 176 верстахъ. Сколько разъ — столько и часовъ понадобится; поэтому у полученнаго числа пишемъ названіе «часы» въ скобкахъ.

4) 2-й догонитъ 1-го на такомъ разстояніи отъ города, сколько онъ проѣдетъ въ то время верстъ, а это узнать не трудно: надо 20 верстъ повторить слагаемымъ 44 раза, что дѣлается при помощи умноженія — надо 20 верстъ х 44.

Рѣшивъ задачу, пишемъ словесно отвѣты на требуемые вопросы.

§ 36. Иногда въ задачахъ приходится употреблять особенные пріемы, изъ которыхъ приводимъ здѣсь наиболѣе употребительные.

Задача 3. Въ двухъ кускахъ содержится 645 арш. полотна и въ одномъ изъ нихъ въ 4 раза больше, чѣмъ въ другомъ. Сколько аршинъ было въ каждомъ?

Разсуждаемъ такъ: если принять число аршинъ во 2-мъ кускѣ за одну часть, то въ другомъ кускѣ такихъ частей будетъ 4. Теперь не трудно сложеніемъ узнать, сколько частей въ обоихъ кускахъ. Такъ какъ намъ извѣстно, что всѣ эти части вмѣстѣ равны 645 арш., то дѣленіемъ на равныя части узнаемъ, какъ велика каждая часть, т.-е. сколько аршинъ было во второмъ кускѣ, а взявъ 4 такихъ части» узнаемъ, сколько аршинъ было въ 1-мъ кускѣ. Затрудненіе является въ томъ, какъ выразить вопросы. Далѣе это выясняется.

1) Сколько вторыхъ кусковъ можно составить изъ всего сукна?

4 куска+1 кусокъ=5 кускамъ.

2) Какъ великъ 2-й кусокъ?

645 арш. : 5=129 арш.

3) Какъ великъ 1-й кусокъ?

129 арш.х4=516 арш.

Въ первомъ кускѣ было 516 арш., а во второмъ 129 арш. Всѣ дѣйствія можно сдѣлать въ умѣ.

Объясненія.

1) Такъ какъ 1-й кусокъ въ 4 раза больше 2-го, то изъ него можно составить 4 вторыхъ куска. Слѣдовательно, изъ всего сукна составится столько вторыхъ кусковъ, какъ велика сумма 4 кусковъ, да еще одного самого второго куска, а это узнается при помощи сложенія — надо 4 куска сложить съ 1 кускомъ.

2) Такъ какъ изъ всего сукна можно составить 5 вторыхъ кусковъ, то чтобы узнать, сколько аршинъ въ одномъ 2-мъ кускѣ, надо 645 арш. разложить на 5 равныхъ частей — а это дѣлается при помощи дѣленія на равныя части — надо 645 арш. : 5.

3) Такъ какъ 1-й кусокъ въ 4 раза длиннѣе 2-го, то надо 129 арш. повторить слагаемымъ 4 раза, а это дѣлается умноженіемъ — надо 129 арш.х4.

Задача 4. Куплено 13 арш. полотна и 29 арш. сукна, и за все заплачено 258 руб. Сколько стоилъ аршинъ полотна и сколько аршинъ сукна, если сукно въ 4 раза дороже полотна?

1) Сколько аршинъ полотна можно купить вмѣсто 29 аршинъ сукна?

4 арш.х29=116 арш.

2) Сколько арш. полотна можно купить на всѣ деньги?

13 арш.+ 116 арш.= 129 арш.

3) Сколько стоитъ 1 арш. полотна?

258 руб. : 129=2 руб.

4) Сколько стоитъ 1 арш. сукна?

2 руб. X 4=8 руб.

Каждый аршинъ сукна стоитъ 8 руб., а полотна — 2 руб.

Составленіе плана и объясненія пропускаемъ.

Задача 5. У меня въ двухъ карманахъ вмѣстѣ 31 рубль но въ одномъ карманѣ на 19 руб. больше, чѣмъ въ другомъ. Сколько денегъ у меня въ каждомъ карманѣ?

Подобныя задачи, гдѣ ищутся 2 числа по извѣстной ихъ суммѣ и по извѣстной ихъ разности, рѣшаются при помощи допущенія, что большее число уменьшилось такъ, что сдѣлалось равно меньшему — надо узнать, чему будетъ равна ихъ сумма (она, конечно, на столько же уменьшится).

Послѣ этого придется новую сумму раздѣлить на 2 равныя части, и тогда узнаемъ меньшее число. Затѣмъ легко отыщется и большее число.

Въ данной задачѣ сперва предполагаемъ, что изъ 1-го кармана вынутъ весь излишекъ, т.-е. 19 руб., и спрашиваемъ, сколько денегъ будетъ тогда въ обоихъ карманахъ вмѣстѣ; конечно, ужъ не 31 руб., а на 19 руб. меньше. Эту новую сумму легко узнать вычитаніемъ (31 руб. — 19 руб.). Такъ какъ теперь въ обоихъ карманахъ поровну, то чтобы узнать, сколько денегъ было во 2-мъ карманѣ (оттуда ничего не брали), надо полученное отъ вычитанія число разложить

на 2 равныя части. А затѣмъ, прибавивъ къ деньгамъ 2-го кармана 19 руб., узнаемъ, сколько было денегъ въ 1-мъ.

1) Сколько денегъ будетъ въ обоихъ карманахъ, если изъ 1-го вынуть лишнее?

31 руб. —19 руб.= 12 руб.

2) Сколько денегъ было во 2-мъ карманѣ?

12 руб. : 2=6 руб.

3) Сколько денегъ было въ 1-мъ карманѣ?

6 руб.+ 19 руб.=25 руб.

Задача 6. Брату и сестрѣ вмѣстѣ 54 года, но братъ старше сестры на 22 года. Сколько лѣтъ каждому?

1) Сколько лѣтъ имъ было бы вмѣстѣ, если бы братъ былъ ровесникъ сестрѣ?

54 г.—22 г.=32 года.

2) Сколько лѣтъ сестрѣ?

32 г. : 2=16 л.

3) Сколько лѣтъ брату?

16 Л.+22 г.=38 л.

Задача 7. Куплено 5 столовыхъ ложекъ и 7 чайныхъ и за все заплачено 56 руб.; въ другой разъ по тѣмъ же цѣнамъ купили 10 столовыхъ и 3 чайныхъ ложки, и заплатили за все 79 руб. Сколько стоитъ каждая столовая и каждая чайная ложка?

Здѣсь замѣчаемъ, что во 2-й разъ купили столовыхъ ложекъ вдвое болѣе, чѣмъ въ 1-й разъ. Поэтому постараемся сравнять число столовыхъ ложекъ въ оба раза. Для этого увеличимъ вдвое число и столовыхъ и чайныхъ ложекъ, купленныхъ въ 1-й разъ, тогда, конечно, и стоимость ихъ увеличится въ 2 раза. Такъ какъ теперь въ оба раза куплено столовыхъ ложекъ поровну, то разница будетъ только въ чайныхъ ложкахъ. Поэтому можно узнать, на сколько больше чайныхъ ложекъ купили въ 1-й разъ и на сколько больше заплатили въ 1-й разъ. Зная это, узнаемъ сколько

стоитъ 1 чайная ложка, а ужъ переходъ къ столовымъ не труденъ.

1) Сколько заплатили бы въ 1-й разъ, если бы обоихъ сортовъ ложекъ купили вдвое больше?

56 руб. х 2=112 руб.

2) Сколько бы тогда купили чайныхъ ложекъ?

7 чайн. лож. X 2= 14 чайн. лож.

3) На сколько больше купили бы тогда чайныхъ ложекъ чѣмъ во 2-й разъ?

14 лож.—3 лож.= 11 лож.

4) На сколько больше заплатили бы тогда сравнительно со 2-мъ разомъ?

112 руб. — 79 руб.=33 руб.

5) Сколько стоитъ 1 чайная ложка?

33 руб. : 11=3 руб. (дѣл. на равн. ч.).

6) Сколько стоятъ 3 чайныхъ ложки?

3 руб. X 3=9 руб.

7) Сколько стоятъ 10 стол. ложекъ?

79 руб. —9 руб.=70 руб.

8) Сколько стоитъ 1 стол. ложка?

70 руб. : 10=7 руб.

Каждая столовая ложка стоитъ 7 руб., а каждая чайная ложка — 3 руб.

Задача 8. Куплено нѣсколько коровъ и лошадей, всего 100 штукъ и заплачено за все 4700 руб. Каждая лошадь стоитъ 50 руб., а каждая корова 40 руб. Сколько куплено коровъ и сколько лошадей?

Предположимъ сперва, что всѣ 100 штукъ были коровы. Тогда бы за нихъ заплатили 40 руб. X 100=4000 руб. Узнаемъ, на сколько эта предполагаемая сумма денегъ меньше настоящей. Для этого надо изъ 4700 руб. — 4000 руб.=700 руб. Спрашивается теперь: отчего же происходитъ эта разница? Конечно, оттого, что не всѣ 100 штукъ были

коровы, какъ мы предполагали. Замѣнимъ теперь одну изъ 100 коровъ одною лошадью. Тогда стоимость всѣхъ 100 штукъ увеличится на 10 руб. (ибо 50 руб. — 40 р.= 10 руб.). Но намъ надо увеличить стоимость не на 10 руб., а на 700 руб. Поэтому придется не одну корову замѣнить лошадью, а столько, сколько разъ въ 700 руб. содержится 10 руб. Это узнаемъ дѣленіемъ-сравненіемъ (700 р. : 10 р.=70). Слѣдовательно, лошадей было куплено 70 штукъ, а остальные(100 шт. — 70 шт.=30 шт.) были коровы.

1) Сколько денегъ заплатили бы за 100 коровъ?

40 руб. X 100=4000 руб.

2) На сколько больше заплатили денегъ на самомъ дѣлѣ?

4700 руб.—4000 руб.=700 руб.

3) На сколько лошадь дороже коровы?

50 руб.—40 руб.= 10 руб.

4) Сколько было куплено лошадей?

700 руб. : 10 руб.=70 (лош.) (дѣл.-сравн.).

5) Сколько было куплено коровъ?

100 шт.—70 шт.=30 шт.

Лошадей было куплено 70 штукъ и коровъ 30 штукъ.

Можно было бы предположить, что всѣ 100 штукъ были лошади, тогда предполагаемая стоимость оказалась бы больше настоящей.

ГЛАВА IV.

ИЗМѢНЕНІЯ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНІЯ И ЧАСТНАГО.

§ 37. Измѣненіе суммы. Такъ какъ сумма состоитъ изъ всѣхъ единицъ, изъ которыхъ состоятъ слагаемыя, то съ увеличеніемъ одного слагаемаго на нѣсколько единицъ и сумма должна увеличиться на столько же единицъ.

Напр.: 5+8+12=25.

Если теперь второе слагаемое 8 увеличить на 2 единицы, а первое и третье оставить тѣ же, то сумма 25 должна тоже увеличиться на 2 единицы, т.-е. должно получиться:

Понятно также, что при уменьшеніи одного слагаемаго на нѣсколько единицъ и сумма должна уменьшиться на столько же единицъ.

Если, напр., въ нашемъ примѣрѣ 2-е слагаемое 8 уменьшимъ на 3 единицы, то сумма должна получиться не 25, и на 3 единицы меньше, т.-е. 22:

Если увеличить или уменьшить на нѣсколько единицъ сразу нѣсколько слагаемыхъ, то можно узнать, что сдѣлается съ суммою, обративъ вниманіе на ея измѣненія въ зависимости отъ каждаго слагаемаго отдѣльно.

Напр. увеличимъ 1-е слагаемое на 4 единицы, уменьшимъ 2-е слагаемое на 3 единицы и уменьшимъ 3-е слагаемое на 1 единицу. Тогда сумма должна сперва увеличиться на 4 единицы, потомъ уменьшиться на 3 единицы и, наконецъ, уменьшиться еще на 1 единицу. Въ общемъ сумма останется безъ перемѣны (не измѣнится).

Еще примѣръ: увеличимъ первое слагаемое на 1 единицу, второе слагаемое увеличимъ на 2 единицы, а третье слагаемое уменьшимъ на 4 единицы. Тогда въ общемъ сумма уменьшится на 1 единицу.

§ 38. Измѣненіе разности. Разность получается отъ вычитанія, а вычитаніе есть дѣйствіе, при помощи котораго по данной суммѣ и по одному слагаемому находится другое слагаемое. Данная сумма есть уменьшаемое; данное слагаемое — вычитаемое, а искомое слагаемое — разность.

Если уменьшаемое увеличить на нѣсколько единицъ, а вычитаемое оставить безъ перемѣны, то, слѣдов., сумма увеличилась на нѣсколько единицъ, а такъ какъ данное слагаемое осталось безъ перемѣны, то, значитъ, другое слагаемое (т.-е. разность) должно увеличиться на столько же

единицъ. Итакъ, при увеличеніи уменьшаемаго на нѣсколько единицъ разность должна увеличиться на столько же единицъ.

Легко такъ же понять, что при уменьшеніи уменьшаемаго на нѣсколько единицъ разность должна тоже уменьшиться на столько же единицъ.

Напр.:

Если уменьшаемое 20 увеличить на 1 единицу, то и разность 12 увеличится тоже на 1 единицу, и тогда

21-8=13.

Если уменьшаемое 20 уменьшимъ на 2 единицы, то и разность 12 должна уменьшиться тоже на 2 единицы, и получится не 12, а 10, т.-е.

18-8=10.

Если сумму (т.-е. уменьшаемое) оставить безъ измѣненія, а данное слагаемое (т.-е. вычитаемое) увеличить на нѣсколько единицъ, то тогда другое слагаемое (т.-е. разность) должно уменьшиться на столько же единицъ (чтобы сумма осталась безъ перемѣны).

Напр.: 20—8=12.

Если теперь вычитаемое 8 увеличимъ на 1 единицу, то, чтобы сумма получилась та же, разность 12 должна уменьшиться на 1 единицу, и тогда получится не 12, а 11, т.-е.

20—9=11.

Подобно этому, если вычитаемое уменьшить на нѣсколько единицъ, то разность должна увеличиться на столько же единицъ.

Если въ нашемъ примѣрѣ вычитаемое 8 уменьшимъ на 2 единицы, то разность должна получиться не 12, а на 2 единицы больше, т.-е. 14.

20-6=14.

Теперь можно сразу увеличивать или уменьшать на нѣсколько единицъ оба числа, данныхъ для вычитанія, — не-

трудно будетъ сообразить, что отъ этого сдѣлается съ разностью.

Если, напр., увеличимъ уменьшаемое на 3 единицы и увеличимъ вычитаемое на 3 единицы, то разность не измѣнится (сперва увеличится на 3, а потомъ уменьшится на 3). Разность также не мѣняется и отъ уменьшенія обоихъ данныхъ чиселъ на одинаковое число единицъ.

Если еще уменьшимъ уменьшаемое на 1 единицу, а вычитаемое увеличимъ на 1 единицу, то разность должна уменьшиться на 2 единицы.

§ 39. Измѣненіе произведенія. Пусть, напр., надо 18x9. Это значитъ надо 18 повторить слагаемымъ 9 разъ. Если же множимое 18 увеличить, напр., въ 3 раза, то каждое слагаемое увеличится въ 3 раза, слѣдов., вся сумма, или произведеніе увеличится въ 3 раза. Такъ какъ на основаніи главнаго свойства умноженія имѣемъ 18x9=9x18, то и отъ увеличенія множителя въ нѣсколько разъ произведеніе должно увеличиться во столько же разъ. Припомнивъ, что множимое и множитель часто называются общимъ именемъ — множители, мы скажемъ, что отъ увеличенія одного множителя (перваго или второг о— безразлично) въ нѣсколько разъ произведеніе должно увеличиться во столько же разъ.

Если же мы каждое слагаемое уменьшимъ въ 3 раза, то и сумма уменьшится въ 3 раза, и слѣдов.:

Съ уменьшеніемъ одного множителя (какого — безразлично) въ нѣсколько разъ, произведеніе должно уменьшиться во столько же разъ.

Напр.:

Если же второго множителя 9 уменьшить въ 3 раза, то и произведеніе получится не 162, а въ 3 раза меньше (т.-е.

Вопр. I. Что сдѣлается съ произведеніемъ, если, напримѣръ, одного множителя увеличить въ 5 разъ, а другого увеличить въ 4 раза?

Для того, чтобы не впасть въ ошибку, возьмемъ такой примѣръ: возьмемъ ленту длиною въ 1 арш. и увеличимъ сперва ее въ 5 разъ, т.-е. возьмемъ новую ленту длиннѣе первой въ 5 разъ,—длина этой новой ленты, конечно, равна 5 арш.; увеличимъ затѣмъ еще эту ленту въ 4 раза, т.-е. возьмемъ новую ленту длиннѣе предыдущей въ 4 раза; длина этой послѣдней ленты=5 арш.х4=20 арш. Итакъ послѣдняя лента (20 арш.) длиннѣе первой (1 арш.) въ 20 разъ.

Также рѣшимъ и нашу задачу о произведеніи. Сперва увеличимъ одного множителя въ 5 разъ, отъ этого произведеніе увеличится то же въ 5 разъ, т.-е. новое произведеніе будетъ состоять изъ пяти прежнихъ произведеній. Затѣмъ увеличиваемъ другого множителя въ 4 раза; тогда произведеніе должно увеличиться еще въ 4 раза, слѣдов., оно теперь должно состоять изъ 5 старыхъ произведеній, повторенныхъ 4 раза, т.-е. изъ (5x4) старыхъ произведеній, или оно увеличится въ общемъ въ 5x4=20 разъ.

Теперь на вопросъ: что сдѣлается съ произведеніемъ, если одного множителя увеличимъ въ 7 разъ, а другого въ 3 раза? — отвѣтимъ сразу: произведеніе увеличится въ 21 разъ, ибо 7x3=21.

Вопр. II. Что сдѣлается съ произведеніемъ, если одного множителя уменьшимъ въ 6 разъ, а другого тоже уменьшимъ, но, напр., въ 4 раза?

Возьмемъ такой примѣръ: листъ бумаги сперва разрѣжемъ на 6 равныхъ частей (т.-е. уменьшимъ въ 6 разъ), а затѣмъ каждую часть уменьшимъ еще въ 4 раза, т.-е. раздѣлимъ ее на 4 равныхъ части. Такъ какъ каждую изъ шести частей мы разрѣжемъ на 4 части, то во всемъ листѣ такихъ новыхъ частей будетъ 4x6^24, Слѣдовательно, новая часть

будетъ въ 24 раза меньше цѣлаго листа. Точно также, если взять какое-нибудь число и сперва уменьшить его въ 6 разъ, или разложить на 6 равныхъ частей, а потомъ каждую часть уменьшить въ 4 раза, или разложить на 4 равныхъ части, то во всемъ взятомъ числѣ такихъ частей будетъ 4x6== 24. Слѣдовательно, въ общемъ взятое число уменьшилось въ 24 раза.

Теперь переходимъ къ нашему вопросу. Одинъ множитель уменьшился въ 6 разъ, слѣдов. и произведеніе уменьшится въ 6 разъ, т.-е. оно разложится на 6 равныхъ частей. Затѣмъ другой множитель уменьшился въ 4 раза, отъ этого И произведеніе уменьшится въ 4 раза, т.-е. придется каждую изъ прежнихъ шести частей разложить еще на 4 равныхъ части. Такимъ образомъ все прежнее произведеніе разложится на 6x4=24 равныхъ частей, и, такъ какъ новое произведеніе составитъ только одну такую часть, то оно будетъ въ 24 раза меньше первоначальнаго произведенія.

Теперь, если насъ спросятъ, что сдѣлается съ произведеніемъ, если одного множителя уменьшить въ 5 разъ, а другого въ 7 разъ, мы сразу отвѣтимъ, что произведеніе уменьшится въ 35 разъ, потому что 5x7=35.

Вопр. III. Что сдѣлается съ произведеніемъ, если одинъ множитель уменьшится въ 3 раза, а другой увеличится въ 6 разъ?

Въ тѣхъ случаяхъ, когда одинъ множитель уменьшается, а другой увеличивается, всегда начнемъ разсужденія съ того множителя, который увеличивается или уменьшается въ большее число разъ.

Второй множитель увеличится въ 6 разъ; отъ этого и произведеніе увеличится въ 6 разъ, т.-е. новое произведеніе будетъ состоять изъ шести первоначальныхъ произведеній. Затѣмъ первый множитель уменьшится въ 3 раза; отъ этого и произведеніе уменьшится въ 3 раза и оно уже не будетъ равно шести превоначальнымъ произведеніямъ, а будетъ въ 3 раза меньше, т.-е. надо 6 первонач. произведе-

ній раздѣлить на 3, получится 2 первоначальныхъ произведенія (6 : 3=2). Итакъ, произведеніе въ общемъ увеличится въ 2 раза. Для наглядности можно опять взять ленту длиною въ 1 аршинъ, увеличить ее въ 6 разъ — получимъ ленту длиною 6 арш. и затѣмъ уменьшить въ 3 раза — получимъ ленту длиною въ 2 арш. Въ общемъ взятая лента увеличилась въ 2 раза.

Теперь, если насъ спросятъ, что сдѣлается съ произведеніемъ, если одинъ множитель увеличить въ 12 разъ,а другой множитель уменьшить въ 3 раза, мы можемъ сразу отвѣтить, что произведеніе увеличится въ 4 раза, потому что 12 : 3=4.

Вопр. IV. Что сдѣлается съ произведеніемъ, если одинъ множитель уменьшится въ 15 разъ, а другой увеличится въ 3 раза?

Отъ уменьшенія перваго множителя въ 15 разъ произведеніе тоже уменьшится въ 15 разъ. Слѣдов., придется первоначальное произведеніе разложить на 15 равныхъ частей и взять одну такую часть. Отъ увеличенія второго множителя въ 3 раза произведеніе увеличится въ 3 раза и понадобится взять не одну часть, какъ раньше, а уже 3 такихъ части. Такъ какъ въ первоначальномъ произведеніи такихъ частей было 15, а въ новомъ только 3, то новое произведеніе будетъ во столько разъ меньше первоначальнаго, сколько разъ 3 содержится въ 15, а это узнается дѣленіемъ: 15 : 3=5. Слѣдов., произведеніе уменьшится въ 5 разъ.

Можно опять сравнить съ листомъ бумаги, который дѣлится на 15 равныхъ частей и такихъ частей берутъ сперва одну, а потомъ три.

Теперь, если спросятъ, что сдѣлается съ произведеніемъ., если одинъ множитель уменьшится въ 20 разъ, а другой увеличится въ 5 разъ, мы можемъ сразу отвѣтить, что произведеніе уменьшится въ 4 раза, потому что 20 : 5=4.

Вопр. V. Что сдѣлается съ произведе-

ніемъ, если одинъ множитель увели чимъ въ 8 разъ, а другой уменьшимъ въ 3 раза?

Мы заключаемъ, прежде всего, что произведеніе увеличится, а чтобы рѣшить во сколько разъ, мы должны, пользуясь вопросомъ III, раздѣлить 8 на 3; получимъ въ частномъ 2 и въ остаткѣ тоже 2. Поэтому заключаемъ, что произведеніе увечичится больше, чѣмъ въ 2 раза, но меньше, чѣмъ въ 3 раза, т.-е. въ 2 слишкомъ раза.

Вопр. VI. Что сдѣлается съ произведеніемъ, если одинъ множитель увеличимъ въ 4 раза, а другой уменьшимъ въ 15 разъ?

Легко сообразить, что произведеніе уменьшится, а чтобы рѣшить, во сколько разъ, надо, пользуясь вопр. IV, раздѣлить 15 на 4, — получимъ въ частномъ 3 и въ остаткѣ 3. Поэтому заключаемъ, что произведеніе уменьшится въ 3 слишкомъ раза.

Вопр. VII. Какъ можно мѣнять множителей, чтобы произведеніе не мѣнялось?

Если мы одного множителя увеличимъ, напр. въ 3 раза, а другого уменьшимъ въ 3 раза, то легко сообразить, что произведеніе не измѣнится (оно сперва увеличится въ 3 раза, а потомъ, уменьшившись въ 3 раза, возвратится къ прежнему).

Изъ этого заключаемъ, если одинъ множитель увеличить въ нѣсколько разъ (или уменьшить), то произведеніе не измѣнится только въ томъ случаѣ, когда другой множитель уменьшится во столько же разъ (или увеличится).

§ 40. Измѣненіе частнаго. Для разсмотрѣнія вопроса, какъ мѣняется частное въ зависимости отъ измѣненія дѣлимаго и дѣлителя, мы воспользуемся дѣленіемъ на равныя части. Напр. 108 : 12=9.

(108 надо разложить на 12 равныхъ частей, — въ каждую часть можно положить по 9 единицъ.)

Если мы дѣлимое (108) увеличимъ въ нѣсколько разъ (напр. въ 5), а дѣлителя (12) оставимъ тѣмъ же, то тогда

придется раскладывать на равныя части число, въ нѣсколько разъ (въ 5) ббльшее, и тогда въ каждую часть придется положить не по 9 единицъ, а во столько же (въ 5) разъ больше. Подобно этому, если мы дѣлимое уменьшимъ въ 3 раза, то и въ каждую часть придется положить меньше въ 3 раза. Итакъ, если дѣлимое увеличимъ въ нѣсколько разъ, а дѣлителя оставимъ безъ перемѣны, то частное увеличится во столько же разъ; если же дѣлимое уменьшимъ въ нѣсколько разъ, то частное тоже уменьшится во столько же разъ.

Если, теперь, дѣлимое оставимъ безъ перемѣны, а дѣлителя увеличимъ, напр., въ 3 раза, то тогда число 108 придется разлагать не на 12 частей, а на 36 (число частей будетъ въ 3 раза больше), поэтому въ каждую часть придется положить уже не 9 единицъ, а въ 3 раза меньше — каждую прежнюю часть придется разложить еще на 3 равныя части. Поэтому, если дѣлимое оставить безъ перемѣны, а дѣлителя увеличить въ нѣсколько разъ, то частное уменьшится во столько же разъ.

Подобно этому, если, не мѣняя дѣлимаго, уменьшить дѣлителя въ нѣсколько разъ, напр. въ 4 раза, то тогда придется то же самое число раскладывать на меньшее въ 4 раза противъ прежняго число частей. Поэтому, частное должно увеличиться въ 4 раза. Итакъ, если дѣлимое оставить безъ перемѣны, а дѣлителя уменьшить въ нѣсколько разъ, то частное должно увеличиться во столько же разъ.

Пользуясь выясненнымъ, можно рѣшать всевозможные вопросы объ измѣненіи частнаго.

Вопр. I. Что сдѣлается съ частнымъ, если дѣлимое увеличимъ въ 5 разъ, а дѣлителя уменьшимъ въ 3 раза?

Отъ первой причины частное увеличится въ 5 разъ, а отъ второй увеличится въ 3 раза; слѣдов., въ общемъ оно увеличится въ 15 разъ (срав. вопр. I § 39).

Вопр. II. Что сдѣлается съ частнымъ, если дѣлимое уменьшимъ въ 6 разъ, а дѣлителя увеличимъ въ 4 раза?

Частное уменьшится въ (6x4- 24) раза (ср. воп. II § 39).

Вопр. III. Что сдѣлается съ частнымъ, если дѣлимое увеличимъ въ 8 разъ и дѣлителя тоже увеличимъ въ 2 раза?

Частное увеличится въ (8 : 2=4) раза (ср. вопр. III § 39). Вопр. IV. Что сдѣлается съ частнымъ, если дѣлимое увеличимъ въ 3 раза и дѣлителя тоже увеличимъ въ 12 разъ?

Частное уменьшится въ (12 : 3=4) раза (ср. вопр. IV §39).

Вопр. V. Что сдѣлается съ частнымъ, если дѣлимое уменьшимъ въ 3 раза и дѣлителя уменьшимъ въ 7 разъ?

Частное увеличится. Чтобы узнать во сколько разъ, надо раздѣлить на 3, — въ 2 слишкомъ раза (ср. вопр. V § 39).

Вопр. VI. Что сдѣлается съ частнымъ, если дѣлимое увеличимъ въ 2 раза, а дѣлителя увеличимъ въ 9 разъ?

Частное уменьшится въ 4 слишкомъ раза (ср. вопр. VI § 39).

Вопр. VII. Какъ можно мѣнять дѣлимое и дѣлителя, чтобы частное не измѣнялось?

Если дѣлимое увеличимъ, напр., въ 5 разъ, то частное тоже увеличится въ 5 разъ: поэтому надо, мѣняя дѣлителя, достигнуть уменьшенія частнаго въ 5 разъ — для этого придется дѣлителя тоже увеличить въ 5 разъ. Подобно этому, если бы сперва дѣлимое уменьшили въ нѣсколько разъ, то надо дѣлителя увеличить во столько же разъ, — тогда частное останется прежнимъ.

Итакъ, дѣлимое и дѣлителя можно одновременно увеличивать или одновременно уменьшать въ одинаковое число разъ, — отъ этого частное не мѣняется,

ГЛАВА V.

ИМЕНОВАННЫЯ ЧИСЛА.

§ 41. Понятіе о величинѣ и объ измѣненіи величинъ. Всѣ предметы, какъ одушевленные, такъ неодушевленные, имѣютъ различныя свойства, отличающія одинъ предметъ отъ другого. Однородныя свойства у разныхъ предметовъ можно сравнивать другъ съ другомъ, при чемъ сравненіе можетъ быть условнымъ или точнымъ. Если, напр., сравнивая доброту двухъ лицъ, говорятъ, что этотъ человѣкъ добрѣе того, то здѣсь мы имѣемъ дѣло съ условнымъ сравненіемъ, зависящимъ отъ взгляда того лица, которое его производитъ.

Если же сравнимъ длину этой комнаты съ длиною какой-нибудь палки, то мы можемъ это сравненіе выполнить наглядно: можемъ укладывать палку по всей длинѣ комнаты и сосчитать, сколько разъ она уложится; уложится, напр., 10 разъ, — тогда мы можемъ сказать, что длина комнаты въ 10 разъ больше длины палки. Это сравненіе точное или математическое. Математическое сравненіе, конечно, даетъ намъ болѣе ясное представленіе о свойствахъ предмета, чѣмъ условное, такъ какъ здѣсь каждый наглядно видитъ, что комната въ 10 разъ длиннѣе палки, а тамъ, по убѣжденію одного, этотъ человѣкъ добрѣе того, а по убѣжденію другого, наоборотъ — тотъ добрѣе этого. Существуетъ только очень немного свойствъ, которыя можно сравнивать математически; большинство же свойствъ не допускаютъ вполнѣ яснаго математическаго сравненія. Здѣсь мы перечислимъ тѣ свойства предметовъ, съ которыми каждый знакомъ и которыя можно сравнивать другъ съ другомъ математически.

1) Длина предмета или разстояніе между двумя предметами.

2) Вѣсъ предмета.

3) Время, протекшее отъ одного явленія до другого.

4) Поверхность предметовъ.

5) Объемъ предметовъ.

6) Цѣна или стоимость предмета. Это свойство сдѣлалось возможнымъ математически сравнивать у двухъ предметовъ между собою только съ развитіемъ торговли, съ тѣхъ поръ, какъ вошли въ общее употребленіе деньги.

Свойства, допускающія математическое сравненіе, называются величинами. Такъ вѣсъ предмета есть величина, но доброта человѣка не есть величина. Чтобы удобнѣе сравнивать величины различныхъ предметовъ, принимаютъ величину какого-нибудь одного предмета за единицу и съ нею сравниваютъ однородныя величины всѣхъ другихъ предметовъ, стараясь узнать, сколько разъ единица можетъ содержаться въ величинѣ взятаго предмета.

Измѣрить величину значитъ узнать, сколько разъ въ этой величинѣ содержится однородная съ ней единица.

Слово «однородная» употреблено въ томъ смыслѣ, что длину можно мѣрить длиною, вѣсъ — вѣсомъ и т. п., но нельзя мѣрить длину вѣсомъ и т. п.

§ 42. Таблицы мѣръ. I. Мѣры длины. Чтобы измѣрить длину какого-нибудь предмета, за единицу очень часто принимаютъ длину хорошо всѣмъ знакомой линейки, которая называется аршиномъ. Но иногда приходится измѣрять очень большія длины, такъ что пришлось бы аршинъ укладывать въ нихъ очень много разъ; поэтому употребляютъ болѣе длинныя единицы, которыя уже заранѣе измѣрены аршиномъ. Иногда, наоборотъ, приходится мѣрить такую длину, что въ ней аршинъ не укладывается ни одного раза. Въ такомъ случаѣ за единицу принимаютъ какую-нибудь длину, меньшую аршина, но про которую всегда можно сообразить, сколько разъ она содержится

въ аршинѣ. Всѣ единицы, которыми измѣряютъ длину предметовъ или разстояніе между двумя предметами, называются мѣрами длины. Вотъ ихъ таблица, начиная съ самой крупной единицы.

Миля = 7 верстамъ. Верста — 500 саженямъ. Сажень = 3 аршинамъ. Аршинъ = 16 вершкамъ.

Иногда, начиная съ сажени, употребляютъ другія единицы: Саже н ь - 7 футамъ. Футъ=12 дюй-мамъ. Дюймъ - 10 линіямъ.

II. Мѣры поверхности. Такъ какъ поверхность тѣла измѣрять не такъ просто, какъ длину, то мы объ ихъ измѣреніи будемъ говорить въ концѣ года, а теперь разсмотримъ самыя простыя изъ этихъ мѣръ, которыя служатъ для измѣренія бумаги. Начнемъ съ самыхъ крупныхъ мѣръ:

Стопа = 20 дестямъ. Десть = 24 листамъ.

III. Мѣры объемовъ. Узнавать, сколько мѣста занимаетъ предметъ или, какъ говорятъ, измѣрять объемъ этого предмета еще труднѣе, чѣмъ измѣрять поверхность, поэтому объ этомъ скажемъ тоже въ концѣ года. Теперь же займемся самыми простыми изъ этихъ измѣреній: 1) измѣреніемъ жидкихъ тѣлъ (вода, вино и т. п.), 2) измѣреніемъ сыпучихъ тѣлъ (рожь, овесъ, мука и т. п.).

Мѣры жидкихъ тѣлъ: Бочка = 40 ведрамъ. Ведро=10 штофамъ. Штофъ = 2 бу-тылкамъ. Бутылка = 5 соткамъ. Сотка = 2 двухсоткамъ.

Мѣры сыпучихъ тѣлъ: Четверть = 8 четверикамъ. Четверикъ = 8 гарнцамъ. Гарнецъ = 30 долямъ.

IV. Мѣры вѣса: Берковецъ=10 пудамъ. Пудъ = 40 фунтамъ. Фунтъ = 32 лотамъ. Лотъ = 3 золотникамъ. Золотникъ = 96 долямъ.

Эти мѣры употребляются въ торговлѣ и называются торговыми.

При продажѣ и покупкѣ лѣкарствъ въ аптекахъ употребляются особыя мѣры вѣса, называемыя аптекарскими.

Вотъ онѣ: Фунтъ (онъ меньше торговаго: въ торговомъ фунтѣ 32 лота, а въ аптекарскомъ 28 лотовъ) — 12 унціямъ. Унція = 8 драхмамъ. Драхма = 3 скрупуламъ. Скрупулъ = 20 гранамъ. Но и эти мѣры теперь уже выходятъ изъ употребленія, вмѣсто нихъ теперь часто употребляются метрическія мѣры, которыя мы узнаемъ во II классѣ.

V. Мѣры времени. Чтобы измѣрить время, протекшее отъ одного явленія до другого, существуютъ двѣ главныхъ единицы, данныя намъ самой природой: сутки и годъ. Сутками называется время, отъ одного полудня до слѣдующаго; годомъ называется время, которое требуется землѣ, чтобы обойти одинъ разъ вокругъ солнца.

Точныя свѣдѣнія объ этихъ единицахъ узнаемъ изъ курса космографіи, теперь дадимъ таблицу мѣръ времени, употребляемыхъ въ общежитіи.

Вѣкъ = 100 годамъ. Годъ--365 или 366 суткамъ. Годъ, содержащій 365 сутокъ, называется простымъ, а содержащій 366 сутокъ — високоснымъ. Года у насъ считаются отъ Рождества Христова и обозначаются по порядку: 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й и т. д. Теперь у насъ 1911 годъ отъ Р. X. Тѣ года, нумеръ которыхъ дѣлится на 4, называются високосными, а тѣ, нумеръ которыхъ не дѣлится на 4, простыми. Напр. 1903 годъ простой и содержитъ 365 сутокъ, а 1912 годъ будетъ високосный, и онъ содержитъ 366 сутокъ.

Годъ еще раздѣляется на 12 мѣсяцевъ, которымъ даны разныя названія: январь = 31 суткамъ, фев-раль = 28 сутк. въ простомъ году и 29 сутк. въ високосномъ, мартъ = 31 сутк., апрѣль = 30 сутк., май = 31 сутк., іюнь=30 сутк., іюль=31 сутк., ав-густъ=31 сутк., сентябрь=30 сутк., октябрь=31 сутк., ноябрь = 30 сутк., декабрь = 31 сутк.

Часто вмѣсто: «сутки» говорятъ: день. Напр. говорятъ: май содержитъ 31 день и т. д.

Семь сутокъ составляютъ новую единицу, называемую недѣлею. Сутки = 24 часамъ. Часъ-60 минутамъ. Минута =60 секундамъ.

VI. Мѣры денегъ. Эти мѣры употребляются для измѣренія стоимости товаровъ, состоянія лицъ, для оцѣнки труда и т. п. У насъ есть двѣ единицы: рубль и копейка. Рубль = 100 копейкамъ.

Знаки денегъ или монеты дѣлаются изъ мѣди: 1 копейка, 2 коп., 3 коп., 5 коп.; изъ серебра: 5 коп., 10 коп., 15 коп., 20 коп., 25 коп., 50 коп., 1 рубль; изъ золота: 5 руб., 10 руб., и иногда встрѣчаются золотыя монеты цѣною 7 руб. 50 коп. и цѣною 15 руб.

Кромѣ того, для удобства существуютъ кредитные билеты (бумажные), стоимость которыхъ всякій желающій можетъ получить серебромъ или золотомъ изъ Государственнаго банка. Эти билеты дѣлаются разныхъ достоинствъ: 1 рубль (очень рѣдко теперь встрѣчается), 3 руб., 5 руб., 10 руб., 25 руб., 50 руб., 100 руб. и 500 руб.

Впослѣдствіи при изученіи геометріи и физики узнаемъ еще другія величины и единицы, употребляемыя для ихъ измѣренія.

Если мы хотимъ измѣрить какую-нибудь величину, напримѣръ вѣсъ предмета, какою-нибудь единицею, напр.фунтомъ, то мы должны узнать, сколько разъ въ вѣсѣ нашего предмета содержится фунтъ. Окажется, напр., 5 разъ безъ остатка; тогда говорятъ, что вѣсъ нашего предмета = 5 фунтамъ. Такимъ образомъ отъ нашего измѣренія получилось число, состоящее изъ 5 единицъ, и за единицу принятъ фунтъ. Такое число называется простымъ именованнымъ числомъ.

Если бы при нашемъ измѣреніи мы нашли, что въ вѣсѣ нашего предмета фунтъ содержится 5 разъ съ остаткомъ, то мы могли бы еще измѣрить этотъ остатокъ при помощи болѣе мелкой единицы, напр. лота. Положимъ, что

лотъ содержится въ нашемъ остаткѣ 10 разъ съ остаткомъ. Этотъ остатокъ можемъ опять измѣрить при помощи золотника — пусть въ немъ золотникъ содержится 2 раза безъ остатка.

Тогда вѣсъ нашего предмета состоитъ изъ 5 фунт. 10 лот. и 2 зол. Такимъ образомъ получилось число: 5 фунт. 10 лот. 2 зол., состоящее изъ разныхъ однородныхъ единицъ. Такое число называется составнымъ именованнымъ числомъ.

§ 43. Раздробленіе. Раздробить именованное число (простое или составное) значитъ выразить его въ болѣе мелкихъ единицахъ.

Обыкновенно указываютъ, въ какихъ именно единицахъ надо его выразить.

Будемъ держаться въ письмѣ и разсужденіяхъ того порядка, который данъ ниже.

Раздробить 3 версты 105 саж. 5 фут. въ дюймы.

Разсужденія.

1) Надо узнать, сколько саженей въ 3 верстахъ. Въ одной верстѣ 500 саж., поэтому 3 версты равны 500 саж., повтореннымъ 3 раза, или 500 саженямъ, умноженнымъ на 3, что и пишемъ. Сдѣлаемъ дѣйствіе въ умѣ и получимъ 1500 саж.

2) Надо узнать, сколько у насъ всего саженей. Отъ верстъ получилось 1500 саж., да у насъ есть еще 105 саж Эти два числа надо сложить, (въ умѣ)—получимъ 1605 саж.

Расположеніе дѣйствій.

3) Надо узнать, сколько футовъ въ 1605 саж. Въ одной сажени 7 фут.; поэтому 1605 саж. равны 7 фут., повтореннымъ 1605 разъ, или 7 фут., умноженнымъ на 1605, что и обозначаемъ. Дѣйствіе можно сдѣлать въ умѣ, умножая 1605 на 7,— получимъ 11235 фут.

4) Надо узнать, сколько у насъ всего футовъ. Получилось 11235 фут., да еще у насъ есть 5 фут. — придется эти два числа сложить (въ умѣ), — получимъ 11240 фут.

5) Надо узнать, сколько дюймовъ въ 11240 фут. Въ одномъ футѣ 12 дюйм. Поэтому 11240 фут. равны 12 дюйм., повтореннымъ 11240 разъ, или 12 дюйм., умноженнымъ на 11240. Обозначимъ это и дѣйствіе сдѣлаемъ внизу (умножаемъ 1124 на 12 — а потомъ справа не должны забыть приписать нуль) — получимъ 134880 дюйм. Такъ какъ еще у насъ дюймовъ нѣтъ, то наша цѣль достигнута. Пишемъ отвѣтъ: 3 версты 105 саж. 5 фут. = 134880 дюйм.

Иногда пишутъ сокращенно: вмѣсто того, чтобы писать какъ у насъ во 2-мъ дѣйствіи, 1500 саж.+105 саж. = 1605, пишутъ сразу одинъ результатъ 1605 саж., дѣлая дѣйствіе въ умѣ.

Сдѣлаемъ еще примѣръ съ сокращеннымъ письмомъ.

Раздробить 5 четвертей 3 четверика 2 гарнца 10 долей въ доли.

§ 44. Превращеніе. Превратить именованное число значитъ выразить его, по возможности болѣе, крупными мѣрами.

При этомъ можетъ получиться составное именованное число.

Выразить составнымъ именованнымъ числомъ 320992 вершка.

Планъ и дѣйствія.

Разсужденія.

1) Узнаемъ сперва, сколько аршинъ въ 320992 вершк. Такъ какъ въ одномъ аршинѣ 16 вершк., то въ 320992 вершк. заключается столько аршинъ, сколько разъ 16 вершк. содержатся въ 320992 вершк., а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ. Поэтому надо 320992 раздѣлить на 16 и къ полученному частному приписать названіе аршинъ, потому что, сколько разъ, столько и аршинъ. Обозначаемъ это при помощи скобокъ. Получимъ, сдѣлавъ внизу дѣйствіе, 20062 арш.

2) Узнаемъ, сколько саженъ въ 20062 арш. Такъ какъ въ одной сажени 3 арш., то въ 20062 арш. должно быть столько саженъ, сколько разъ 3 арш. содержатся въ 20062 арш., а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ. Поэтому надо 20062 раздѣлить на 3 и къ полученному частному приписать названіе: саженей. Обозначаемъ это при помощи скобокъ. Дѣлаемъ дѣйствіе внизу или въ умѣ. Получимъ въ частномъ 6687 и въ остаткѣ 1. Слѣдов., у насъ должно быть 6687 саж., и еще останется 1 арш. Поэтому 20062 арш. равны 6687 саж. и 1 арш., что и пишемъ. Такъ какъ 1 арш. нельзя выразить

въ болѣе крупныхъ мѣрахъ, то, чтобы про него не забыть, подчеркиваемъ его.

3) Узнаемъ, сколько верстъ въ 6687 саж. Верстъ должно быть столько, сколько разъ 500 саж. содержится въ 6687 саж., а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ. Обозначивъ и выполнивъ дѣйствіе въ прежнемъ порядкѣ, получимъ 13 верстъ и 187 саж. Такъ какъ 187 саж. выразить болѣе крупными мѣрами нельзя, то, чтобы про нихъ не забыть, подчеркиваемъ ихъ.

4) Узнаемъ, сколько миль въ 13 верст. Разсужденія тѣ же, какъ и раньше. Получимъ 1 милю и 6 верстъ. Теперь ни 6 верстъ, ни 1 милю нельзя выразить въ болѣе крупныхъ мѣрахъ, поэтому ихъ подчеркнемъ.

Затѣмъ пишемъ отвѣтъ, выписывая всѣ подчеркнутыя числа, начиная съ самыхъ крупныхъ мѣръ.

Превратить 325 лот. 3100 зол. въ пуды, фунты и т. п.

Планъ и дѣйствія.

Разсужденія.

2) Мы получили 1033 лота, да у насъ еще есть 325 лот. Поэтому надо узнать, сколько у насъ всего лотовъ. Для этого надо эти два числа сложить — получимъ 1358 лот.

Остальное такъ же, какъ въ 1-мъ примѣрѣ.

§ 45. Сложеніе составныхъ имен. чиселъ. Сложеніе есть дѣйствіе, при помощи котораго изъ нѣсколькихъ данныхъ чиселъ со

ставляется новое число, содержащее въ себѣ столько единицъ, сколько ихъ въ данныхъ числахъ вмѣстѣ.

Если будутъ даны составныя именов. числа, то они состоятъ изъ различныхъ однородныхъ единицъ; поэтому и сумма должна состоять изъ различныхъ единицъ, т.-е. должно отъ сложенія получиться тоже составное именов. число. Иногда можетъ случиться, что мелкія единицы слагаемыхъ составятъ вмѣстѣ ровно одну или нѣсколько крупныхъ единицъ, и сумма получится въ видѣ простого именов. числа.

Общій планъ сложенія состоитъ въ слѣдующемъ: надо сперва сложить самыя мелкія единицы и превратить ихъ, если можно, въ слѣдующія единицы, потомъ складывать слѣдующія и т. д. Если числа какихъ-либо единицъ придется складывать небольшія, то ихъ можно сразу сложить въ умѣ; если же они для этого окажутся велики, то ихъ можно складывать по разрядамъ.

Если надо сложить небольшія числа, то ихъ можно писать въ строчку и сдѣлать сложеніе сразу. Если же числа будутъ большія, или если ихъ много, то можно подписывать ихъ одно подъ другимъ такъ, чтобы одинаковыя мѣры были въ одномъ столбцѣ.

Примѣръ 1.7 саж. 4фута8 дм.+ 3саж. бфут. 10дм.= 11 саж. 4 фут. 6 дм.

Разсуждаемъ такъ: въ первомъ слагаемомъ 8 дм. и во второмъ 10 дм.; слѣдов., въ суммѣ должно быть 18 дм., а они составляютъ 1 футъ и 6 дм.; 6 дюймовъ пишемъ, а 1 футъ запоминаемъ. Въ первомъ слагаемомъ 4 фута да во второмъ 6 фут. — въ суммѣ должно быть 10 фут., да еще одинъ футъ получился отъ сложенія дюймовъ — итого 11 футовъ; они составляютъ 1 саж. и 4 фута; 4 фута пишемъ, потому что ихъ больше не получится, а одну сажень запоминаемъ. Въ 1-мъ слаг. 7 саж. да въ другомъ ихъ 3, слѣдов., въ суммѣ должно быть 10 саж., да еще одну сажень мы получили отъ сложенія футовъ, итого 11 саж. Они не составляютъ ни одной версты— поэтому ихъ пишемъ.

Примѣръ II.

Складывать начинаемъ съ золотниковъ — получимъ 3 зол.; они составятъ ровно одинъ лотъ, а золотниковъ больше не останется. Поэтому ихъ зачеркиваемъ, а одинъ лотъ, чтобы не забыть, можно записать надъ лотами. Сложивъ лоты, тоже увидимъ, что они въ суммѣ составятъ 1 фунтъ, а лотовъ не останется; поэтому ихъ тоже зачеркиваемъ, а 1 фунтъ можно записать надъ фунтами. Сложивъ фунты, получимъ 56 фунт. Они составляютъ 1 пудъ и 16 фунтовъ. Поэтому, зачеркнувъ 56, внизу пишемъ 16 фунт., а 1 пудъ записываемъ надъ пудами. Сложивъ пуды, получимъ 33 пуда; они составляютъ 3 берк. и 3 пуда. Зачеркиваемъ число 33 и внизу пишемъ 3 пуда, а 3 берк. записываемъ надъ берковцами. Затѣмъ складываемъ берковцы — ихъ придется складывать по разрядамъ, начиная съ единицъ : 3 един. да 8 един., да 7 един., да еще 5 един. составятъ 23 един.; онѣ составятъ 2 дес. и 3 един.; 3 един. записываемъ, 2 десятка запоминаемъ. Затѣмъ складываемъ десятки и т. д. Получимъ 723 берк. Ихъ превращать не во что — болѣе крупныхъ мѣръ у насъ нѣтъ. Поэтому ихъ такъ и оставимъ. Подчеркнувъ всѣ эти вычисленія чертою, напишемъ подъ нею окончательный отвѣтъ.

§ 46. Вычитаніе составныхъ именов. чиселъ. Вычитаніе есть дѣйствіе, обратное сложенію, при помощи котораго по данной суммѣ двухъ слагаемыхъ и по одному изъ нихъ находятъ другое слагаемое.

Примѣръ I.

Разсуждаемъ такъ: въ извѣстномъ намъ слагаемомъ есть 1 зол., а въ суммѣ ихъ нѣтъ; стало-быть, въ суммѣ изъ золотниковъ составился 1 лотъ. Поэтому займемъ у лотовъ суммы 1 лотъ (поставимъ для памяти надъ 17 лот. точку) и раздробимъ его въ золоти., — получимъ 3 золоти. Теперь можно изъ 3 золоти, вычесть 1 золоти., получимъ, что въ другомъ слагаемомъ 2 золоти. — ихъ и записываемъ. Теперь у насъ въ суммѣ имѣется 16 лот., а въ одномъ слагаемомъ 19 лотовъ. Чтобы узнать, сколько въ другомъ слагаемомъ, надо изъ 16 лот. вычесть 19 лот., но этого сдѣлать нельзя. Поэтому занимаемъ въ суммѣ у фунтовъ 1 фунтъ (ставимъ надъ 5 фунт. точку) и раздробляемъ его въ лоты — въ немъ 32 лота, еще у насъ 16; всего въ суммѣ будетъ такимъ образомъ 48 лот. Теперь изъ 48 лот. надо вычесть 19 лот. — получимъ 29 лот. (сдѣлаемъ это въ умѣ или гдѣ-нибудь въ сторонкѣ). Записываемъ ихъ. Затѣмъ въ суммѣ имѣется еще 4 фунта, а въ 1-мъ слагаемомъ ихъ нѣтъ; поэтому въ другомъ слагаемомъ должно быть тоже 4 фунта. Записываемъ ихъ. Такимъ образомъ второе слагаемое состоитъ изъ 4 фунт. 29 лот. 2 зол.

Примѣръ II.

При вычитаніи большихъ чиселъ удобнѣе подписать одно подъ другимъ (сперва сумму, а подъ нею извѣстное слагаемое) такъ, чтобы одинаковыя мѣры приходились въ одномъ столбцѣ. Начинаемъ вычитать съ низшихъ мѣръ: изъ 10 сек. надо вычесть 35 сек. — нельзя. Поэтому занимаемъ у слѣдующихъ мѣръ — здѣсь придется у сутокъ занять однѣ сутки и раздробить ихъ въ часы: въ нихъ 24 часа. Чтобы не забыть, запишемъ ихъ вверху надъ часами и въ скобкахъ. Затѣмъ у часовъ займемъ 1 часъ и раздробимъ его въ минуты, получимъ 60 минутъ. Записываемъ ихъ такъ же, какъ это сдѣлали съ часами. Наконецъ, у минутъ займемъ

одну минуту и раздробимъ ее въ секунды, получимъ 60 сек., да у насъ еще было 10 сек. — всего будетъ 70 сек. Поэтому зачеркнемъ 10 сек., а надъ ними запишемъ въ скобкахъ 70 сек. Теперь придется изъ 70 сек. вычитать 35 сек., потомъ изъ 59 минутъ — 42 минуты, изъ 23 часовъ — 19 часовъ и изъ 142 сутокъ — 87 сутокъ.

При этомъ, конечно, при вычитаніи большихъ чиселъ можно вычитать не сразу, а по разрядамъ.

§ 47. Задачи на время. При помощи сложенія и вычитанія именов. чиселъ рѣшаются задачи на время. Въ этихъ задачахъ очень часто не даются сразу числа, надъ которыми слѣдуетъ производить дѣйствія, а надо еще предварительно самому составить эти числа. Напр.: намъ сказано, что какое-либо событіе случилось 4 іюня 1902 года въ 10 часовъ вечера. Выраженіе: 4 іюня 1902 года въ 10 часовъ вечера не есть число, а выражаетъ собою только названіе того момента, когда произошло это событіе, а поэтому съ нимъ никакихъ дѣйствій дѣлать нельзя. Надо предварительно составить число, соотвѣтствующее этому названію. Это можно сдѣлать различными способами:

1) Можно взять промежутокъ времени отъ начала года до нашего событія. Такъ какъ за начало года принимается полночь съ 31-го декабря на 1-е января, то отъ начала года до нашего событія прошло 5 полныхъ мѣсяцевъ (такъ какъ іюнь — 6-й мѣсяцъ — еще не прошелъ), затѣмъ 3 сутокъ (такъ какъ 4-я сутки еще не прошли — онѣ кончатся только въ 12 часовъ ночи) и еще 22 часа, потому что отъ конца 3-ихъ сутокъ (въ полночь на 4-е число) до полудня прошло 12 часовъ, да еще послѣ полудня прошло ровно 10 часовъ — всего 22 часа (прошло послѣ полудня 10 часовъ, а не 9 потому, что сказано: въ 10 часовъ вечера, а не въ десятомъ часу). Итакъ, отъ начала года до нашего событія прошло

5 мѣс. 3 сут. 22 часа.

Теперь получилось число, съ которымъ можно дѣлать всѣ нужныя намъ дѣйствія.

2) Можно взять промежутокъ времени отъ Рожд. Xрист. до нашего событія. Такъ какъ идетъ 1902-й годъ отъ Рожд. Христ., то прошло полныхъ 1901 годъ, затѣмъ, какъ раньше 5 мѣс. 3 сутокъ и 22 часа. Итакъ, отъ Рожд. Христ. до нашего событія прошло

1901 г. 5 мѣс. 3 сут. 22 часа.

Съ этимъ числомъ тоже можно дѣлать дѣйствія.

Въ нѣкоторыхъ случаяхъ бываетъ удобно брать промежутки времени отъ начала сутокъ (надо помнить, что сутки начинаются въ полночь), или отъ начала столѣтія, можно также и отъ начала десятилѣтія.

Слѣдуетъ также умѣть называть моментъ, когда произошло событіе, если извѣстно, сколько времени прошло, напр., отъ Рожд. Христ. до этого событія.

Напр., отъ Рожд. Христ. до какого-нибудь событія прошло 1880 лѣтъ 2 мѣс. 1 день. Когда случилось это событіе?

Такъ какъ прошло полныхъ 1880 лѣтъ, то событіе случилось въ 1881-мъ году; такъ какъ прошло 2 мѣс., то — въ 3-мъ мѣсяцѣ, т.-е. въ мартѣ; такъ какъ прошелъ 1 день, то — 2-го числа. Поэтому говоримъ: это событіе произошло 2-го марта 1881 года.

Еще примѣръ: отъ начала года до нашего событія прошло 4 мѣс. 15 час. 20 мин. Когда случилось это событіе?

Такъ какъ прошло 4 мѣсяца, то событіе случилось въ 5-мъ мѣсяцѣ, т.-е. въ маѣ; такъ какъ дней сверхъ 4 мѣс. ни одного полностью не прошло, то 1-го числа; такъ какъ часовъ прошло 15, то въ 3 часа пополудни (отъ полуночи до полудни прошло 12 часовъ, а надо чтобы 15; слѣдов. надо взять послѣ полудня еще 3 часа) и, кромѣ того, еще 20 мин. Итакъ, событіе совершилось 1-го мая въ 3 часа 20 мин. пополудни (или иногда говорятъ: 20 мин. четвертаго пополудни).

Другая особенность задачъ на время состоитъ въ томъ, что разные мѣсяцы имѣютъ то 30 дней, то 31, то 28 и даже иногда 29. Поэтому при сложеніи, когда изъ дней приходится составлять мѣсяцы, надо смотрѣть, какой именно

мѣсяцъ мы составляемъ и сколько для этого понадобится взять дней. Также при вычитаніи, когда занимаемъ 1 мѣсяцъ и раздробляемъ его въ сутки, надо смотрѣть, какой именно мѣсяцъ мы заняли и сколько въ немъ дней.

Задача 1. Я уѣхалъ изъ дому путешествовать 4-го марта въ 5 час. 10 мин. утра и пробылъ въ путешествіи 2 мѣсяца 29 дней 18 час. 20 минутъ. Когда я вернулся домой?

Планъ и дѣйствія.

1) Сколько времени прошло отъ начала года до моего отъѣзда?

2 мѣс. 3 дня 5 час. 10 мин.

2) Сколько времени прошло отъ начала года до моего возвращенія домой ?

Я возвратился домой 2-го іюня въ 11 час. 30 мин. вечера.

Объясненія.

1. Какъ составлять полученное число, уже было объяснено.

2. Сложеніе минутъ и часовъ особенностей не представляетъ. Складывая дни, получимъ 32 дня. Забѣгая впередъ, мы видимъ, что отъ сложенія мѣсяцевъ получится 4 мѣс.; слѣдов. изъ этихъ 32 дней надо составить 5-й мѣсяцъ, то-есть май, а въ немъ 31 день. Итакъ, 32 дня составляютъ 1 мѣсяцъ (май) и еще 1 день. Зачеркнемъ 32 дня и напишемъ внизу 1 день. Мѣсяцевъ теперь получится уже 5.

Отвѣтъ. Надо составить названіе того момента, когда я вернулся домой, зная, сколько времени прошло отъ начала года до этого момента. —Это уже было объяснено.

Задача 2. Нѣкто умеръ 5-го марта 1896 года, имѣя отроду 40 лѣтъ 8 мѣс. 17 дней. Когда онъ родился?

1) Сколько времени прошло отъ Рожд. Христ. до его смерти?

1895 лѣтъ 2 мѣс. 4 дня.

2) Сколько времени прошло отъ Рожд. Христ. до его рожденія?

Онъ родился 17-го іюня 1855 года.

2) Изъ 4 дней нельзя вычесть 17 дней. Займемъ 1 мѣсяцъ. Такъ какъ придется занять 2-й мѣсяцъ, т.-е. февраль, и такъ какъ этотъ февраль принадлежитъ 1896-му году, который былъ високосный, потому что 1896 дѣлится на 4, то въ немъ 29 дней, да у насъ еще 4 дня. Всего получимъ 33 дня. Вычтя изъ нихъ 17 дней, получимъ 16 дней; остальное понятно.

§ 48. Умноженіе сост. имен. чиселъ. Умноженіе есть дѣйствіе, при помощи котораго находятъ сумму одинаковыхъ слагаемыхъ.

Напр. 3 фунта 15 лот.х12.

Это значитъ: надо 3 фунта 15 лот. повторить слагаемымъ 12 разъ. Сдѣлаемъ это такъ: начнемъ съ самыхъ мелкихъ мѣръ и повторимъ 15 лотовъ слагаемымъ 12 разъ, т.-е. 15 лот. умножимъ на 12 — получится 180 лот. Но изъ этихъ 180 лотовъ можно составить нѣсколько фунтовъ (можно превратить ихъ въ фунты); фунтовъ должно выйти столько, сколько разъ 32 лота содержатся въ 180 лот., а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ. Получимъ 5 фунтовъ, и еще останутся 20 лот. Поэтому пишемъ послѣ знака равенства 20 лот., оставивъ мѣсто для фунтовъ, а 5 фунтовъ запоминаемъ. Затѣмъ надо 3 фунта повторить слагаемымъ 12 разъ, т.-е. умножить на 12; получится 36 фунт., да еще отъ умноженія лотовъ мы получили 5 фунт.; слѣдов. всего получимъ

41 фунтъ, которые составляютъ 1 пудъ и 1 фунтъ. Дѣйствіе можемъ расположить такъ:

Если придется дѣлать большія умноженія, то удобнѣе множитель писать подъ множимымъ. Напр.

Такъ какъ множитель показываетъ, сколько разъ надо повторить слагаемымъ множимое, то онъ всегда есть число отвлеченное.

§ 49. Дѣленіе сост. имен. чиселъ. Дѣленіе есть дѣйствіе, при помощи котораго по данному произведенію и по одному множителю находятъ другой множитель. Могутъ быть два случая дѣленія:

1) Дѣленіе именованнаго числа на отвлеченное.

Напр.

Это значитъ 6 саж. 4 фута разложить на 8 равныхъ частей, чтобы узнать каждую часть.

Дѣйствіе располагаемъ такъ:

Разсужденія.

Начнемъ раскладывать на части съ самыхъ крупныхъ мѣръ. Надо 6 саж. разложить на 8 равныхъ частей. Но даже и по одной сажени нельзя положить въ каждую часть, потому что саженей для этого нехватитъ. Поэтому раздробимъ 6 саж. въ футы. Въ одной сажени 7 фут., а чтобы узнать, сколько ихъ въ 6 саженяхъ, надо 7 фут. повторить 6 разъ слагаемымъ; для этого надо 7 фут. умножить на 6. Чтобы это написать, поступаемъ такъ: подъ 6 саж. подписываемъ 7 фут. и пишемъ знакъ умноженія, а названіе «саж.» у 6 зачеркиваемъ. Тогда и выйдетъ: 7 фут. умножить на 6, — получимъ 42 фута. Но у насъ имѣется еще 4 фута; сложивъ, получимъ 46 фут. Ихъ надо разложить на 8 равныхъ частей; можно положить по 5 футовъ въ каждую часть. Узнаемъ, сколько футовъ придется положить во всѣ части: для этого надо 5 фут. умножить на 8, — получимъ 40 фут. Подпишемъ ихъ подъ 46 фут. и вычтемъ, — тогда узнаемъ, что не разложенныхъ на части остается 6 фут. Такъ какъ ихъ футами нельзя разложить на 8 равныхъ частей, то раздробимъ ихъ въ дюймы: въ одномъ футѣ 12 дюймовъ, а у насъ 6 фут.; слѣдовательно, надо 12 дюймовъх6. Подписываемъ подъ 6 фут. 12 дюймовъ и знакъ умноженія, а названіе «фут.» у 6 зачеркиваемъ. Послѣ умноженія получимъ 72 дюйма.

Еще дюймовъ у насъ нѣтъ, поэтому надо 72 дюйма раздѣлить на 8 равныхъ частей. Положивъ въ каждую часть по 9 дюйм. (записываемъ въ частномъ 9 дюйм.), узнаемъ, сколько дюймовъ придется положить во всѣ части (надо 9 дюйм.X8), — получимъ 72 дюйма и, вычтя ихъ изъ имѣвшихся у насъ 72 дюйм., увидимъ, что больше дюймовъ не останется. Итакъ

6 саж. 4 фута : 8=5 фут. 9 дюйм.

Иногда такія дѣленія можно производить въ умѣ и писать результатъ сразу въ строчку; напр.

12 фунт. 8 лот. : 6=2 ф. 1 л. 1 зол.

2) Дѣленіе именованнаго числа на именованное.

Напр. 1 пудъ 14 фунт. 12 лот. : 3 ф. 2 зол. Это значитъ узнать, сколько разъ въ первомъ именованномъ числѣ(1п. 14ф. 12 л.) содержится второе (3ф. 2 зол.). (Дѣленіе — сравненіе.)

Сразу дѣлить эти числа нельзя; надо предварительно оба числа выразить одинаковыми мѣрами, т.-е. раздробить ихъ въ самыя мелкія мѣры, которыя находятся въ нашихъ числахъ. Здѣсь придется оба числа раздробить въ золотники. Послѣ раздробленія не трудно рѣшить вопросъ, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ, — для этого потребуется простое дѣленіе.

Дѣйствіе располагаемъ такъ:

У полученнаго числа (18) никакого названія ставить нельзя, потому что это число, показывая, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ, должно быть отвлеченнымъ.

ГЛАВА VI.

ЗАДАЧИ НА ДѢЙСТВІЯ СЪ ИМЕНОВАННЫМИ ЧИСЛАМИ.

§ 50. Скобочныя задачи. Скобочныя выраженія, содержащія именованныя числа, вычисляются согласно указаніямъ, изложеннымъ въ § 34.

Вычислимъ для примѣра выраженіе:

§51. Условныя задачи. При рѣшеніи условныхъ задачъ мы будемъ пользоваться тѣмъ же порядкомъ, какой былъ изложенъ въ §§ 35 и 36. Здѣсь могутъ встрѣтиться тѣ же особые случаи, которые были изложены въ § 36.

Здѣсь даны рѣшенія 2 задачъ для того, чтобы видѣть расположеніе дѣйствій и для того, чтобы познакомить съ очень часто встрѣчающимся случаемъ при рѣшеніи задачъ съ составными именованными числами.

Задача 1. Портной купилъ за 471 руб. кусокъ сукна и платилъ по 4 руб. 80 коп. за аршинъ. Изъ всего этого сукна онъ сдѣлалъ 12 сюртуковъ, употребивъ на каждый по 3 арш. 4 вершка сукна, и нѣсколько пальто, употребивъ на каждое по 5 арш. 6 вершк. сукна. Сколько вышло пальто?

Планъ рѣшенія таковъ: Пользуясь стоимостью всего куска и цѣною каждаго аршина, можно, казалось бы, узнать, сколько аршинъ во всемъ кускѣ (аршинъ столько, сколько разъ 4 руб. 80 коп. содержится въ 471 рублѣ). Затѣмъ, узнавъ, сколько аршинъ пошло на всѣ (12) сюртуковъ, простымъ вычитаніемъ узнаемъ, сколько его осталось на всѣ пальто. Послѣ этого не трудно дѣленіемъ-сравненіемъ узнать, сколько вышло пальто (столько, сколько разъ 5 арш. 6 вершк. содержатся въ найденномъ остаткѣ).

Но здѣсь мы натолкнемся на затрудненіе. Оказывается, что 4 руб. 80 коп. не содержатся цѣлое число разъ въ 471 руб., и если раздѣлимъ 471 руб. на 4 руб. 80 коп., то получимъ остатокъ.

Поэтому заключаемъ, что кусокъ сукна содержалъ въ себѣ не только нѣсколько аршинъ сукна, но еще и нѣсколько вершковъ. Поэтому нѣсколько видоизмѣнимъ планъ задачи, а именно, зная цѣну аршина, не трудно узнать цѣну вершка сукна и тогда сосчитать, сколько вершковъ во всемъ кускѣ. Полученное число вершковъ можно (и даже слѣдуетъ) превратить, по возможности, въ аршины.

1) Сколько стоитъ 1 верш. сукна?

4 руб. 80 коп. : 16=30 коп.

2) Сколько сукна было въ кускѣ?

471 руб. : 30 коп.=47100 коп. : 30 коп.= 1570 (вершк.). 1570 вершк.=98 арш. 2 вершка.

3) Сколько сукна пошло на всѣ сюртуки?

3 арш. 4 вершкаX 12=39 арш.

4) Сколько сукна осталось на всѣ пальто?

98 арш. 2 вершка—39 арш.=59 арш. 2 вершка.

5) Сколько вышло пальто?

59 арш. 2 вершка : 5 арш. 6 в.=946 в. : 86 в. = 11 (пальто). Вышло 11 пальто.

Разсужденія.

Такъ какъ 1 арш. стоитъ 4 руб. 80 коп., а въ аршинѣ 16 вершк., то чтобы узнать цѣну вершка, надо 4 руб. 80 коп. разложить на 16 равныхъ частей, что дѣлается при помощи дѣленія на равныя части. Получимъ 30 коп. (Дѣленіе именованнаго числа на отвлеченное.)

2) Такъ какъ 1 вершокъ сукна стоитъ 30 коп., а весь кусокъ стоитъ 471 рубль, то во всемъ кускѣ было столько

вершковъ, сколько разъ 30 коп. содержится въ 471 рублѣ, а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ — надо 471 руб. раздѣлить на 30 коп. (дѣленіе именованнаго числа на именованное). Получимъ 1570 разъ. Но такъ какъ, сколько разъ, столько и вершковъ, то въ скобкахъ пишемъ названіе вершковъ. 1570 вершк. слѣдуетъ превратить, по возможности, въ аршины.

1570 вершк.=98 арш. 2 вершк. Превращеніе не считается за отдѣльное дѣйствіе, поэтому мы его пишемъ въ томъ же вопросѣ. Въ сажени превращать не слѣдуетъ, потому что сукно не принято мѣрить саженями.

3) Такъ какъ на 1 сюртукъ идетъ 3 арш. 4 вершка сукна, то, чтобы узнать, сколько сукна пойдетъ на 12 сюртуковъ, надо 3 арш. 4 вершка повторить 12 разъ слагаемымъ, что достигается умноженіемъ 3 арш. 4 вершка на 12 — получимъ 39 арш.

4) Весь кусокъ сукна (98 арш. 2 вершка) можно разбить на 2 слагаемыхъ: первымъ слагаемымъ является сукно, употребленное на сюртуки (39 арш.), а другимъ — сукно, употребленное на всѣ пальто (неизвѣстно). Такъ какъ намъ надо узнать второе слагаемое, а сумма и одно слагаемое извѣстны, то придется употребить вычитаніе: изъ суммы (98 арш. 2 вершка) вычесть первое слагаемое (39 арш). Получимъ 59 арш. 2 вершка.

5) Такъ какъ на всѣ пальто пошло 59 арш. 2 вершка, а на каждое пальто идетъ 5 арш. 6 вершк., то пальто было столько, сколько разъ 5 арш. 6 вершк. содержатся въ 59 арш. 2 вершк., а это узнается дѣленіемъ-сравненіемъ: надо 59 арш. 2 вершка раздѣлить на 5 арш. 6 вершк. Получится 11 разъ. Слѣдовательно и пальто было 11. Поэтому въ скобкахъ пишемъ названіе пальто.

Наконецъ, пишемъ отвѣтъ.

Задача 2. Булочникъ купилъ 1 пудъ крупичатой муки и заплатилъ за нее 3 руб. 60 коп. Изъ всей этой муки онъ испекъ французскіе хлѣбы, при чемъ изъ каждыхъ 10 фунт. 4 лот. этой муки получалось 12 фунт. 30 лот. пече-

наго хлѣба. Каждый бѣлый хлѣбъ вѣсилъ 8 лот. 2 зол. 64 доли. Сколько прибыли получитъ булочникъ, если станетъ продавать каждый хлѣбъ по 4 коп.?

Нельзя начать эту задачу съ вопроса, сколько разъ 10 фунт. 4 лота содержится во всей мукѣ (т.-е. въ 1 пудѣ) — получается остатокъ. Поэтому придется все приводить къ 1 лоту.

1) Сколько хлѣба выходитъ изъ 1 лота муки?

10 фунт. 4 лота=324 лот.

12 фунт. 30 лот. : 324=1 лоту 80 дол.

2) Сколько хлѣба выйдетъ изъ всей муки?

1 пудъ =1280 лот.

1 лотъ 80 дол.X 1280=1 п. 1 ф. 3 лот. 1 зол. 64 дол.

3) Сколько вышло хлѣбовъ?

1 п. 11 ф. 3 л. 1 зол. 64 доли : 8 лот. 2 зол. 64 д.=471040 долей : 2560 дол.= 184 (хл.).

4) Сколько онъ выручитъ денегъ?

4 коп. X 184=7 руб. 36 коп.

5) Сколько онъ получитъ прибыли?

7 р. 36 к.—3 р. 60 к.=3 р. 76 к.

Булочникъ получитъ 3 руб. 76 коп. прибыли.

§ 52. Измѣреніе поверхностей. Когда надо измѣрить мѣсто, занимаемое, напр., поломъ этой комнаты, то говорятъ, что измѣряютъ поверхность или площадь пола комнаты. Конечно, эту площадь нельзя измѣрить

мѣрами уже извѣстными намъ. Напр. аршиномъ можно измѣрить длину или ширину комнаты, но нельзя измѣрить все мѣсто, занимаемое поломъ. Поэтомѵ для этого измѣренія употребляются особыя мѣры, называемыя мѣрами поверхности, или квадратными мѣрами. Эти мѣры происходятъ слѣдующимъ образомъ:

Берутъ квадратъ, длина и ширина котораго равна каждая одной и той же единицѣ, употребляемой при измѣреніи длины, — этотъ квадратъ и принимается за единицу при измѣреніи площадей. Если каждая сторона квадрата равна 1-му аршину, то получится квадратный аршинъ— одному футу, то — квадратный футъ ит. д.

Надо теперь найти связь между различными квадратными единицами,т.-е. узнать, сколько, напр., квадратныхъ аршинъ содержится въ квадратной сажени, сколько квадр, вершковъ въ квадр, аршинѣ и т. п.

Нарисуемъ, хотя бы въ уменьшенномъ видѣ, квадратную сажень и разобьемъ этотъ большой квадратъ на маленькіе, которые должны изображать квадратные футы. Для этого раздѣлимъ длину нашего большого квадрата на 7 равныхъ частей (въ сажени 7 футовъ) и прямыми линіями разобьемъ весь квадратъ на 7 одинаковыхъ столбцовъ. Затѣмъ раздѣлимъ ширину квадрата тоже на 7 равныхъ частей и прямыми линіями разобьемъ каждый столбецъ на 7 квадратиковъ. Такъ какъ каждый маленькій квадратъ изображаетъ квадратный футъ, то видимъ, что въ одномъ столбцѣ 7 квадратныхъ футовъ, а такъ какъ столбцовъ вышло 7, то, чтобы

Чер. 1.

узнать, сколько всего выйдетъ здѣсь квадратныхъ футовъ, придется 7 квадр, футовъ повторить 7 разъ, т.-е. умножить на 7. Итакъ, пишемъ,

Точно такъ же, если станемъ квадратный футъ разбивать на квадратные дюймы, то получимъ 12 столбцовъ (въ футѣ 12 дюймовъ) и въ каждомъ столбцѣ по 12 квадратиковъ. Поэтому

Такимъ образомъ составимъ полную таблицу квадратныхъ мѣръ:

Кромѣ этихъ мѣръ употребляется еще, спеціально для измѣренія поверхности земли, особая мѣра, называемая десятиною. Десятина представляетъ собою прямоугольникъ, длиною 80 саж. и шириною 30 саж. Узнаемъ, сколько въ десятинѣ квадр, саженъ. Для этого разобьемъ ее на 80 столбцовъ (въ длинѣ ея 80 саженъ) и затѣмъ каждый столбецъ на 30 квадратиковъ (въ ширинѣ ея 30 саж.).

Чтобы узнать, сколько всего квадратиковъ, придется 30 квадратиковъ повторить слагаемымъ 80 разъ, т.-е. умножить на 80. Итакъ,

Можно за десятину принимать площадь любой формы; лишь бы она содержала 2400 кв. саженъ.

Теперь спрашивается, какъ помощью квадратныхъ мѣръ измѣрить какую-нибудь площадь. Казалось бы, проще всего поступать такъ: вырѣзать изъ картона квадратъ, у котораго каждая сторона равна, напр., одному аршину, и укладывать этотъ квадратъ на измѣряемой площади; сколько разъ онъ уложится, столько квадр, аршинъ и будетъ въ этой площади, но на практикѣ этотъ способъ крайне неудобенъ. Напримѣръ для измѣренія площади пола комнаты пришлось бы вынести изъ нея всю мебель, затѣмъ надо строго слѣдить, чтобы накладываемый квадратъ не покрывалъ 2 раза одно и то же мѣсто, наконецъ, можетъ остаться такая полоска, что на ней не уложится нашъ квадратъ, хотя площадь ея больше этого квадрата. Поэтому для измѣренія площадей существуютъ особые пріемы. Мы укажемъ здѣсь пріемъ измѣренія площадей, имѣющихъ форму прямоугольника. Пусть мы хотимъ измѣрить площадь какого-нибудь прямоугольника въ квадр, дюймахъ. Для этого раздѣлимъ его на столбцы, шириною каждый въ 1 дюймъ. Такихъ столбцовъ будетъ столько, сколько дюймовъ помѣщается въ длинѣ этого прямоугольника. Поэтому надо измѣрить сперва дюймомъ длину прямоугольника. Затѣмъ узнаемъ, сколько квадр, дюймовъ помѣстится въ каждомъ столбцѣ; конечно, ихъ помѣстится столько, сколько дюймовъ въ ширинѣ прямоугольника. Итакъ, надо затѣмъ измѣрить дюймомъ ширину прямоугольника.

Чтобы сосчитать, сколько всего нашихъ квадратиковъ (квадр, дюймовъ) помѣстится въ прямоугольникѣ, надо 2-е число умножить на первое. Итакъ,

Чтобы измѣрить площадь прямоугольника, надо измѣрить его длину и ширину одною и тою же единицею и перемножить полученныя числа.

Если, напр., длина комнаты=13 арш., а ширина=9 арш., то площадь пола этой комнаты=(13.9) кв. арш.= 117 кв.арш.

Отсюда мы видимъ, что, зная площадь прямоугольника и одну его сторону, можно дѣленіемъ найти другую сторону, потому что намъ будутъ извѣстны произведеніе и одинъ множитель и надо найти другой множитель.

Напр. площадь стола равна 3 кв. фут. 108 кв. дюйм., а ширина стола=1 футу 8 дюйм. Найти его длину.

Для рѣшенія этого вопроса надо

Для выполненія этого дѣленія надо дѣлимое выразить въ квадр, дюйм., а дѣлитель въ обыкновенныхъ дюймахъ.

Изъ этого же примѣра мы видимъ, что числа, выраженныя въ квадр, мѣрахъ, можно раздроблять въ низшія мѣры и можно превращать въ высшія.

§ 53. Измѣреніе объемовъ. Если желаютъ узнать, сколько мѣста въ пространствѣ занимаетъ какой-либо предметъ, то говорятъ, что хотятъ измѣрить объемъ этого предмета. Для измѣренія объемовъ употребляются особыя мѣры, называемыя мѣрами объемовъ или кубическим и мѣрами.

Эти мѣры образуются такъ: построимъ кубъ, у котораго длина, ширина и высота равны каждая одному аршину, — такой кубъ и называется кубическимъ аршиномъ. Если построимъ кубъ, у котораго длина, ширина и высота равны одному футу, то получимъ кубическій футъ и т. п.

Теперь является вопросъ, какая имѣется связь между различными кубическими единицами. Возьмемъ, напр., кубическую сажень и постараемся счесть, сколько въ ней кубическихъ аршинъ. Для этого разобьемъ кубъ на слои такъ, чтобы вышина каждаго слоя была равна одному аршину; такихъ слоевъ получится 3, потому что вся вышина равна сажени, а въ сажени 3 аршина; затѣмъ разобьемъ каждый слой на столбцы такъ, чтобы ширина каждаго

столбца была равна одному аршину; такихъ столбцовъ будетъ въ одномъ слоѣ тоже 3.

Наконецъ, разобьемъ каждый столбецъ на кубики, у которыхъ теперь и вышина, и ширина, и длина будетъ по одному аршину, т.-е. на кубическіе аршины; такихъ кубиковъ въ каждомъ столбцѣ получится тоже 3.

Теперь будемъ считать: въ каждомъ столбцѣ 3 куб. арш., а такъ какъ въ одномъ слоѣ 3 столбца, то, чтобы узнать, сколько куб. аршинъ во всемъ слоѣ, надо 3 куб. аршина по-вторит слагаемымъ 3 раза, т.-е. умножить на 3; получится:

(3x3) куб. арш.

Мы узнали, сколько куб. арш. въ одномъ слоѣ, а такъ какъ во всемъ кубѣ (т.-е. куб. сажени) 3 слоя, то, чтобы узнать, сколько у насъ всего куб. арш., надо полученное число повторить еще 3 раза слагаемымъ, т.-е. еще умножить на 3 получимъ:

[(3х3)х3] куб. арш.

Скобокъ здѣсь не принято писать, и поэтому

1 куб. саж.=(3x3x3) куб. арш.=27 куб. арш.

Если бы хотѣли узнать, сколько въ куб. саж. куб. футовъ, то пришлось бы куб. сажень разбить на 7 слоевъ, ка-

Чер. 3.

ждый слой на 7 столбцовъ, каждый столбецъ на 7 кубиковъ; тогда получилось бы (7x7x7) куб. футовъ.

Такимъ образомъ получимъ полную таблицу куб. мѣръ.

Теперь спрашивается, какъ измѣрить объемъ, напр., комнаты. Сдѣлать изъ дерева куб. аршинъ и укладывать его въ объемѣ комнаты такъ неудобно, что объ этомъ способѣ не стоитъ и говорить. Употребляется для этой цѣли слѣдующій пріемъ.

Разобьемъ комнату сперва на слои (длина и ширина слоя такія же, какъ у комнаты, а высота=одному аршину). Такихъ слоевъ окажется у насъ столько, сколько аршинъ въ высотѣ комнаты. Поэтому сперва придется измѣрить высоту комнаты аршиномъ, затѣмъ разобьемъ каждый слой на столбцы (длина столбца такая же, какъ у комнаты, а ширина его равна одному аршину); столбцовъ въ каждомъ слоѣ получится столько, сколько аршинъ въ ширинѣ комнаты; поэтому надо измѣрить аршиномъ ширину комнаты. Наконецъ, станемъ разбивать каждый столбецъ на кубики (куб. аршины), у которыхъ и длина, и ширина, и высота по одному аршину; такихъ кубиковъ въ каждомъ столбцѣ будетъ столько, сколько аршинъ въ длинѣ комнаты; поэтому надо, наконецъ, измѣрить аршиномъ длину комнаты.

Пусть, напр., высота=5 арш., ширина=8 арш. и длина= 12 арш. Итакъ, въ каждомъ столбцѣ 12 кубиковъ, а всего столбцовъ въ каждомъ слоѣ 8; поэтому въ каждомъ слоѣ

получится (12x8) кубиковъ, но всѣхъ слоевъ у насъ 5; поэтому, чтобы узнать, сколько всего кубиковъ, надо полученное число умножить на 5, — получимъ:

Итакъ, чтобы измѣрить объемъ предмета, надо измѣрить его длину, ширину и высоту и перемножить полученныя числа.

Порядокъ, въ какомъ перемножаютъ эти числа, безразличенъ — произведеніе останется все тѣмъ же.

Мѣры жидкостей и мѣры сыпучихъ тѣлъ, въ сущности говоря, представляютъ собою тоже мѣры объемовъ. Поэтому полезно замѣтить, что

Также фунтъ есть вѣсъ 25 куб. дюймовъ чистой воды.

Книги того же автора

Сборникъ алгебраическихъ задачъ. Часть I. М. 1907. Цѣна 30 к. Изданіе В. В. Думнова.

Сборникъ алгебраическихъ задачъ. Часть II. М. 1908. Цѣна 40 к. Изданіе В. В. Думнова.

Обѣ части Уч. Ком. Мин. Нар. Просв. допущены въ качествѣ пособія для среднихъ учебныхъ заведеній.

Алгебраическія числа и дѣйствія надъ ними. Для начинающихъ изучать алгебру. М. 1909. Цѣна 15 коп. Изданіе В. В. Думнова.

Геометрія въ пространствѣ (стереометрія). М. 1910. Цѣна 65 к. Изданіе В. В. Думнова.

Два предложенія элементарной геометріи. Одесса 1910. Цѣна 20 к. Складъ изданія въ редакціи журнала «Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики».

Печатается и скоро выйдетъ въ продажу.

Геометрія на плоскости (планиметрія). Изданіе «Сотрудника Школъ» (Москва, Воздвиженка).