Е. И. ИГНАТЬЕВЪ

Начатки Ариѳметики

С.-ПЕТЕРБУРГЪ

Изданіе Т-ва А. С, Суворина—„Новое Время“

1914

Е. И. Игнатьевъ

НАЧАТКИ АРИѲМЕТИКИ

КОНЦЕНТРИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ДЛЯ ОБУЧЕНІЯ И САМООБУЧЕНІЯ.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ:

АРИѲМЕТИКА ЦѢЛЫХЪ ЧИСЕЛЪ.-ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЯ ПОНЯТІЯ О ДРОБЯХЪ.

С.-ПЕТЕРБУРГЪ

ИЗДАНІЕ Т-ВА А. С. СУВОРИНА—«НОВОЕ ВРЕМЯ»

1914

Тип. Т-ва А, С. Суворина—„Новое Время“. Эртелевъ, 13

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Общія начальныя понятія. Одинъ и много. стран.

Неопредѣленныя количественныя соотношенія.—Все, ничего. 1

Сложить (складывать).—Равенство.—Понятіе о количествѣ . 3

Понятіе о числѣ и счетѣ..................................... 6

Счисленіе и дѣйствіе надъ числами въ предѣлахъ отъ 1 до 10.................................................. 8

Знаки и дѣйствія................................. 18

Счетъ устный и письменный отъ 1 до 20...................... 27

Переходъ изъ 1-го десятка во 2-й и дѣйствія надъ числами отъ 1 до 20.......................................... 29

Счетъ до 100............................................... 39

Дѣйствія надъ числами въ предѣлахъ до 100.................. 44

Упражненія................................................. 54

Число и мѣра............................................... 57

О нѣкоторыхъ единицахъ мѣры длины......................... 62

Объ измѣреніи времени...................................... 66

Вѣсъ и взвѣшиваніе......................................... 70

О деньгахъ................................................. 72

Русскія деньги............................................. 74

Задачи..................................................... 76

Нахожденіе частей цѣлаго и цѣлаго по данной его части . 87

Подготовка къ понятію о дробяхъ.............. . . . . 90

Число...................................... . . . . 91

Искусство устнаго счета.................................... 94

Письменное счисленіе . . . ..........................104

Русскіе торговые счеты................................115

Славянскія и римскія цифры.............................119

Сложеніе многозначныхъ чиселъ.........................121

СТРАН.

Вычитаніе...........................................127

Сложеніе и вычитаніе на торговыхъ счетахъ............132

Общія замѣчанія о сложеніи и вычитаніи.—Измѣненія суммы и разности......................................135

Скобки...............................................139

Буквенныя обозначенія................................141

Упражненія......................................... . 143

Умноженіе............................................144

Упражненія...........................................162

Дѣленіе..............................................163

Общія замѣчанія объ умноженіи и дѣленіи..............182

Упражненія...........................................185

Именованныя числа....................................186

Вычисленія съ именованными числами ..................203

Вычисленіе времени...................................214

ПРЕДИСЛОВІЕ.

Настоящая книжка представляетъ собой попытку дать концентрическій учебникъ начальной ариѳметики.

Схема концентровъ при обученіи этой наукѣ на первыхъ ступеняхъ обычно такова: I) числа перваго десятка; 2) числа первыхъ двухъ десятковъ; 3) числа первой сотни и первой тысячи; 4) числа до милліона и выше.

Съ тѣми или иными несущественными видоизмѣненіями это самый естественный и нынѣ общепринятый ходъ обученія счету и дѣйствіямъ надъ числами. Къ нему приноровлены теперь начальные задачники, о немъ же трактуютъ ариѳметическія методики. Только многочисленные наши элементарные «учебники ариѳметики» до сихъ поръ не могутъ сойти со стези такъ называемаго «систематическаго курса». Съ первой же страницы они начинаютъ обыкновенно говорить о безконечности чиселъ, объ общихъ основахъ устной и пись-

менной «нумераціи» и тому подобныхъ отвлеченныхъ предметахъ, заинтересовать которыми, скажемъ, «первоклассника», — а то и кое-кого постарше,— можно только въ томъ случаѣ, если его къ этому надлежащимъ образомъ подготовить и подвести.

Многіе, поэтому, придерживаются мнѣнія, что ученикамъ младшихъ классовъ (не говоря уже о приготовительныхъ) учебныхъ заведеній совершенно не нуженъ ариѳметическій учебникъ, и что достаточно для нихъ толково составленнаго задачника. Это, несомнѣнно, крайность. Наоборотъ,— чѣмъ скорѣе учащійся научится обращаться съ книгой и извлекать изъ нея нужное, тѣмъ лучше. Нужно только для этого дать ему подходящую и посильную книгу.

Справедливо говорятъ, что наглядное, основательное и сознательное усвоеніе начинающимъ счета и дѣйствій надъ числами въ предѣлахъ перваго десятка и первой сотни есть залогъ его несомнѣнныхъ и вѣрныхъ успѣховъ въ дальнѣйшемъ. Но не менѣе справедливо и то, что въ этихъ же предѣлахъ, шагъ за шагомъ, на «маленькихъ» какъ говорятъ, числахъ, «легкихъ» примѣрахъ, народной мудрости и небольшихъ историческихъ справкахъ можно незамѣтно заложить основаніе для болѣе общаго и отвлеченнаго пониманія ариѳметики, усвоить терминологію, пріемы многихъ

дѣйствій и разсужденій, словомъ, незамѣтно подойти къ пониманію сущности числа и къ изученію науки о числѣ. Помимо чисто практическихъ и механическихъ навыковъ въ счетѣ и дѣйствіяхъ надъ числами на каждой ступени можно вводить соотвѣтствующія и посильныя учащемуся отвлеченныя понятія, расширяя постепенно ихъ содержаніе въ дальнѣйшемъ.

Такова общая мысль предлагаемаго концентрическаго руководства для обученія и самообученія ариѳметикѣ. Но составителю вмѣстѣ съ тѣмъ хотѣлось бы дать не просто «руководство» или «учебникъ», бросаемый при переходѣ въ слѣдующій классъ или по выходѣ изъ школы. Ему хотѣлось бы, чтобы этотъ трудъ былъ вмѣстѣ съ тѣмъ книгой, полезной и внѣ школы. Въ частности, въ данномъ случаѣ подразумѣвается сельская и вообще начальная школа. Такъ называемый «рецидивъ безграмотности»—явленіе, увы, еще далеко не отошедшее въ область преданій на Руси. Рецидивъ же ариѳметической безграмотности повторяется сплошь и рядомъ. И составитель былъ бы поистинѣ счастливъ и удовлетворенъ, если бы этой книжкѣ удалось сдѣлаться хотя до нѣкоторой степени «народной ариѳметикой», т. е.— книгой, отвѣчающей потребности стремящихся къ просвѣщенію «низовъ».

Этимъ заданіемъ объясняются нѣкоторыя осо-

бенности внѣшности и изложенія предлагаемаго руководства, отличающія его отъ обыкновеннаго типа учебника. Что въ книгѣ подобнаго рода существуетъ настоятельная необходимость, — объ этомъ не можетъ быть двухъ мнѣній. Но насколько этотъ именно трудъ удовлетворяетъ такой необходимости,—объ этомъ судить не намъ.

Предлагаемые «Начатки ариѳметики» состоятъ изъ двухъ отдѣльныхъ книгъ: настоящая, первая часть, представляетъ начальную ариѳметику цѣлыхъ именованныхъ и отвлеченныхъ чиселъ съ подготовительными понятіями о дробяхъ. Вторая книга будетъ содержать: начальныя свѣдѣнія изъ теоріи чиселъ, ученіе о дробяхъ, объ отношеніяхъ и пропорціяхъ и такъ называемыя «тройныя правила».

Врядъ ли много найдется русскихъ и иностранныхъ руководствъ по ариѳметикѣ, съ которыми не ознакомился составитель, принимаясь за эти «Начатки ариѳметики». Но главнѣйшими пособіями при изложеніи тѣхъ или иныхъ отдѣловъ, а также для нѣкоторыхъ небольшихъ позаимствованій служили: классическія нынѣ «Leçons d’Arithmétique théorique et pratique» par Jules Tannery; «Arithmétique» (i-r cycle) par Emile Borel (a также Борель—Штеккель, переводъ съ нѣмецкаго подъ редакціей прив.-доцента В. Ф. Кагана); «Traité d’Arithmétique» par

C.-A. Laisant et E. Lemoine, и « The Teaching of Mathematics in the Elementary and the Secondary School» by J. W. Young. Послѣдняя книга подъ заглавіемъ «Какъ преподавать математику?» прекрасно переведена (съ дополненіями) на русскій языкъ А. Р. Кулишеромъ и представляетъ, по нашему крайнему разумѣнію, лучшую изъ существующихъ методикъ по преподаванію математики.

Что касается ариѳметической терминологіи, то составитель придерживается, конечно, самой обычной и укоренившейся въ нашемъ языкѣ, старательно избѣгая всего лишняго. Въ одномъ только случаѣ допущено небольшое нововведеніе, по нашему мнѣнію, необходимое: При перемноженіи многозначныхъ чиселъ мы называемъ частичнымъ произведеніемъ то произведеніе множимаго на каждую отдѣльную цифру множителя, которое въ учебникахъ обыкновенно называютъ «частнымъ» произведеніемъ. Не говоря уже о томъ, что то же слово «частное» въ слѣдующемъ дѣйствіи дѣленія имѣетъ свой особый и совершенно опредѣленный смыслъ, во французскомъ и нѣмецкомъ языкахъ (откуда заимствована и переведена наша математическая терминологія) мы для соотвѣтствующихъ произведеній имѣемъ слова partiel и partiell, что соотвѣтствуетъ понятію частичный, а не частный. Этой незначительной поправкой устраняется нежелательное для начинающихъ

употребленіе слова «частное» въ различныхъ смыслахъ.

Въ заключеніе составитель считаетъ своимъ долгомъ принести искреннюю благодарность В. И. Короленко за помощь и цѣнныя указанія при чтеніи корректуръ.

СПБ.

20/VІІІ 1913 г.

I. Общія начальныя понятія.

Одинъ и много. — Неопредѣленныя количественныя соотношенія. — Все, ничего.

Предметовъ можетъ быть одинъ и много. Напримѣръ: Солнце—одно, Луна—одна, а звѣздъ ночью на небѣ можно видѣть много.

Одинъ, что голова на плечахъ.—Одинъ, какъ перстъ. — Одинъ, какъ Солнце, какъ Мѣсяцъ на небѣ.—Одно красно Солнце на небѣ, одинъ царь на Руси.—Одинъ Богъ, одна правда.—Одинъ въ полѣ не воинъ.—Знай одно дѣло. — Одна забота: не стала бы работа. — Одна голова не бѣдна, а п бѣдна, такъ одна.—Наши мужики ходятъ на медвѣдя въ-одиночку.

Вмѣсто одинъ говорятъ иногда единый, или единственный.

Единственный сынъ или единородный. — Единобожіе. — Единовластіе.—Ни единаго гроша нѣтъ.

Единица, т. е. одинъ, отдѣльный какой-либо предметъ. Что однажды, что одинъ разъ,—все равно.

На разъ ума не стало, до вѣку дуракомъ прослылъ. — Разъ укралъ—на вѣкъ воромъ сталъ.

Можетъ быть не одинъ, а нѣсколько или много предметовъ. Напримѣръ, въ лѣсу много деревьевъ, въ стадѣ много коровъ, овецъ, лошадей, на головѣ много волосъ, въ толпѣ много людей и т. д.

Много бываетъ, а лишку не бываетъ (денегъ).—Много много, а еще бы столько.—Матушка Русь и ширится, и множится.—Много живыхъ людей, а и того больше мертвыхъ.—Не про то, что много съѣлъ, а про то, что куда краюху дѣлъ.

Въ урожайный годъ хлѣба родится много: всѣмъ хватаетъ и даже лишекъ остается; а въ неурожайный годъ хлѣба родится мало,—не хватаетъ. На яблонѣ иной годъ бываетъ много яблокъ, а иной годъ — мало. У богатаго много добра, а у бѣднаго мало.

Много говорятъ да мало дѣлаютъ.—Много шуму мало толку.— Много званыхъ, да мало избранныхъ. — Рано встали, да мало напряли.—Много хочется, мало сможется.—Мало ѣстъ, да за то много пьетъ. — Великъ тѣломъ, да малъ дѣломъ1).

Когда говорятъ все (всѣ), то не думаютъ, много или мало предметовъ, а о томъ, что есть, что налицо безъ остатка, сполна, цѣликомъ, гуртомъ, огуломъ, оптомъ, чохомъ.

У Бога всего много.—Хлѣбъ всему голова.—Весь сытъ, а глаза все голодны (жадность).—Убогій во многомъ нуждается, а скупой во всемъ.—Деньги смогутъ много, а правда все.—За здоровье тѣхъ, кто любить всѣхъ. — Всѣ за одного, одинъ за всѣхъ. — Одинъ въ грѣхѣ, а всѣ въ отвѣтѣ.—Все бы ты зналъ, да не все бы вралъ,--И помногу живутъ, а все умираютъ.

1) Малый употребляется обыкновенно въ смыслѣ: невеликій, небольшой, незначительный, короткій, низкій, узкій, тѣсный и т. д. Малыя дѣти, малый ребенокъ, малое стадо.—Малъ золотникъ да дорогъ.— Маленькая птичка да ноготокъ остеръ. — И маленькая рыбка лучше большого таракана.—Соколъ малъ да удалъ.—Малъ родился, а выросъ, пригодился.

Ничего (ничто) значитъ, что нѣтъ ни одного предмета: никакая вещь, ни который предметъ, ни одно дѣло.

Въ одномъ карманѣ пусто, а въ другомъ нѣтъ ничего.—Дожили до того, что не осталось ничего. — Худо жить тому, у кого ничего нѣтъ въ дому.—Уроди Богъ много (просятъ), а не посѣялъ ничего.— У одного ничего, а у другого совсѣмъ чисто.—Либо все отдай, либо ничего не надо. — За ничто ничего не купишь. — Все лучше того, какъ нѣтъ ничего.—На нѣтъ и суда нѣтъ.—Ни единаго гроша нѣть.—Велика честь, да нечего ѣсть.—Остался ни съ чѣмъ1).

Ничто, ничего изображается особымъ знакомъ, который называютъ нулъ.

Вотъ нарисована клѣтка. Сколько въ ней находится точекъ?

(Въ этой клѣткѣ нѣтъ точекъ, или нуль точекъ).

Сложить (складывать). — Равенство и неравенство. — Понятіе о количествѣ.

Слово сложитъ (слагать, складывать, скласть) имѣетъ много значеній. Каждый понимаетъ, что значитъ, когда говорятъ, напримѣръ, сложили вещи въ амбарѣ; сложили дрова. Говорятъ также: сложить съ кого недоимки, взысканіе |т. е. простить|. Это, очевидно, уже совсѣмъ иное дѣйствіе, чѣмъ сложить вещи. Сложить листъ бумаги въ осьмушку,—опять слово сложитъ значитъ иное. Сложить съ себя должность (т. е. отказаться отъ нея), здѣсь тоже

1) Слово «ничего» употребляется также въ совсѣмъ иномъ, особомъ смыслѣ: сойдетъ, молъ, съ рукъ, авось пройдетъ какъ-нибудь, не мѣшаетъ, сносно, порядочно, пусть. — Ему все ничего (нипочемъ). — Онъ ведетъ себя ничего.—Какъ торговали? «Ничего».—Живетъ ничего себѣ.

слово сложитъ означаетъ иное дѣйствіе. Слагать стихи,— опять новое.

Поэтому, чтобы не путаться, мы напередъ условимся, какъ въ этой книгѣ мы будемъ понимать слово сложитъ (складывать, скласть).

Слово сложитъ мы будемъ понимать такъ: это значитъ, что къ вещи надо прибавить еще подобную вещь, къ этимъ вещамъ прибавить еще подобную же вещь и т. д., пока не используемъ всѣхъ вещей, или предметовъ, которые складываемъ. Такое прибавленіе можно дѣлать въ какомъ угодно порядкѣ, но въ концѣ концовъ (въ результатѣ), должно получиться одно и то же.

Вотъ у меня въ правомъ карманѣ нѣсколько орѣховъ и въ лѣвомъ карманѣ тоже нѣсколько орѣховъ. Изъ праваго-ли кармана я переложу всѣ орѣхи въ лѣвый или изъ лѣваго всѣ въ правый, — все равно получится одинаково много орѣховъ.

У Ивана, Петра и Василія есть по нѣскольку рублей денегъ. Они устроили складчину. Сначала отдалъ всѣ свои деньги Иванъ, затѣмъ всѣ свои деньги отдалъ Петръ и затѣмъ Василій. Въ складчинѣ оказалось столько рублей, сколько было у всѣхъ троихъ вмѣстѣ. А если бы они сложили деньги въ иномъ порядкѣ, т. е. сначала далъ бы всѣ свои деньги Петръ, а затѣмъ Василій и Иванъ, то перемѣнилась ли бы сумма денегъ складчины? Нѣтъ,—рублей было бы одинаково много, въ какой бы очереди ихъ ни отдавали складчики.

Итакъ, слово сложитъ мы будемъ понимать въ смыслѣ прибавить, при чемъ дѣйствіе сложенія таково, что вещи можно складывать въ какомъ угодно порядкѣ, но окончательный результатъ получится всегда одинъ и тотъ же.

Результатъ, получаемый отъ сложенія, носитъ названіе суммы, а предметы, изъ которыхъ сумма состоитъ, это—ея

части, или слагаемыя. Поэтому все вышеизложенное можно сказать коротко такъ:

Сумма нѣсколькихъ предметовъ не зависитъ отъ порядка ея слагаемыхъ.

Вотъ линія:

Возьмемъ палочку, или полоску бумаги и обрѣжемъ ее такъ, чтобы получилась полоска такой же длины, какъ эта линія.

Возьмемъ еще одну палочку или полоску бумаги и обрѣжемъ ее такъ, чтобы она была такой же длины, какъ эта линія. Каждая полученная полоска по длинѣ одинакова съ начерченной линіей, т. е. длина полоски равна длинѣ линіи; а самыя полоски (или палочки) окажутся также всегда и непремѣнно равны одна другой.

Мы будемъ говорить, что предметы равны одинъ другому, когда каждый изъ нихъ порознь равенъ какую-нибудь отдѣльному третьему предмету.

Все то, къ чему можно приложить понятіе о сложеніи и равенствѣ, можно называть однимъ словомъ количество.

Вмѣсто слова количество говорятъ въ иныхъ случаяхъ слово величина.

Если количества неравны, то одно изъ нихъ больше, а другое меньше.

Вотъ двѣ линіи — одна большая, а другая меньшая: АБ и ВГ.

Убѣдитесь, что на большей линіи можно уложить всю меньшую (отъ А до Д) и еще получится остатокъ ДБ. Значитъ, большая линія равна меньшей, сложенной съ еще какой-нибудь линіей.

Подберите сами еще примѣры, которые подтверждали бы, что изъ двухъ неравныхъ величинъ, или количествъ, большее всегда равно меньшему, сложенному еще съ нѣкоторымъ количествомъ.

Количества, или величины, о которыхъ можно говорить, что они равны между собой, или что одно больше или меньше другого, и которыя можно складывать, называются однородными.

Надо, однако, принимать во вниманіе, что иногда количества можно считать однородными или нѣтъ, смотря, какъ на нихъ смотрѣть. Напримѣръ, лошадь и овца количества неоднородныя, если смотрѣть на нихъ съ точки зрѣнія продажной стоимости. Но если смотрѣть на нихъ, какъ на представителей животнаго царства, то они однородны и ихъ можно складывать. Двѣ лошади, напримѣръ, и овца это три животныхъ, или, какъ сказалъ бы пастухъ стада, состоящаго изъ разныхъ животныхъ, это три штуки, три головы скота изъ его стада.

Понятіе о числѣ и счетѣ.

Какъ только мы пожелаемъ складывать и сравнивать количества (или величины), тотчасъ же является необходимость отличать одни количества отъ другихъ.

Надо прежде всего ясно и для всѣхъ понятно отличать одинаковыя, или равныя, количества отъ всѣхъ, которыя больше или меньше ихъ. Для этого пользуются особыми словами и знаками.

Слово, которое точно обозначаетъ количество и выдѣляетъ какъ это количество, такъ и ему равныя изъ всѣхъ другихъ количествъ, большихъ или меньшихъ, называется числомъ.

Вмѣсто словъ употребляются также числовые знаки, или обозначенія.

Возьмемъ нѣсколько предметовъ, напримѣръ, палочекъ (или камешковъ, зеренъ, орѣховъ и т. п.). Выдѣлимъ изъ нихъ сначала одинъ предметъ, напримѣръ, одну палочку:

I

Сколько здѣсь палочекъ? Одна палочка. Словомъ одна (одинъ, одно) мы опредѣляемъ число палочекъ, которыя мы выдѣлили. «Одинъ», или единица, есть число.

Къ одной палочкѣ прибавимъ еще одну палочку, т. е. получимъ такую группу (или совокупность) палочекъ:

I I

Эту группу (одинъ да одинъ) обозначаютъ словомъ два (двѣ палочки); и на вопросъ: сколько здѣсь палочекъ?—отвѣчаютъ: двѣ палочки. «Два» есть число.

Къ двумъ палочкамъ прибавимъ еще одну палочку, и получимъ группу:

Эту группу обозначаютъ словомъ три; и на вопросъ: сколько здѣсь палочекъ? — отвѣчаютъ: три палочки. «Три» есть число.

Если къ тремъ палочкамъ прибавимъ еще одну, то для полученной группы

I I I I

на вопросъ: сколько палочекъ?—отвѣчаютъ числомъ четыре и т. д.

Послѣдовательное сложеніе предметовъ по одному и называніе (наименованіе) послѣдовательно получающихся при этомъ группъ особыми словами, числами, называется устнымъ счетомъ, или устнымъ счисленіемъ.

Вмѣсто того, чтобы называть числа, можно ихъ записывать особыми знаками. Тогда получится письменный счетъ, или письменное счисленіе.

Отъ счета отдѣльныхъ предметовъ, или единицъ, получаются числа, которыя называются цѣлыми числами. Вмѣсто «цѣлое число» мы просто будемъ говорить число.

Считать можно какіе угодно предметы, значитъ числа можно прилагать къ какимъ угодно количествамъ; и ясно изъ всего предыдущаго, что число всегда отвѣчаетъ на вопросъ: сколько?

Наука о числахъ называется Ариѳметикой.

Важное значеніе числа и счета въ жизни споконъ вѣка сознано народомъ, что и выражено въ многочисленныхъ поговоркахъ.

Все числомъ да счетомъ.—Счетъ не обманетъ.—Вся правда въ счетѣ.—Въ правдѣ счетъ не теряется.—Никому не вѣрь, только счету вѣрь.—Счетъ всю правду скажетъ.—Щепки ворохомъ, а деньги счетомъ.—Деньги счетъ любятъ.—Деньги счетомъ крѣпки.—Безъ счету и денегъ нѣтъ.—Счетъ дружбѣ не помѣха.—Счетъ чаще,—дружбѣ слаще.—Чаще счетъ, крѣпче дружба.—Счетъ да мѣра, то и вѣра.— Богъ любитъ правду, а деньги счетъ.—Счетъ знаешь, такъ самъ сочтешь.—Для счета и у насъ голова на плечахъ.

Счисленіе и дѣйствія надъ числами въ предѣлахъ отъ 1 до 10.

Существуютъ еще до сихъ поръ такіе дикіе народы, которые могутъ считать, т. е. умѣютъ называть числа, только до четырехъ. Такъ что, если число предметовъ больше четырехъ, то они уже не могутъ назвать точнаго числа ихъ, а просто говорятъ: много. Нечего и говорить, что такой счетъ слишкомъ недостаточенъ, а потому болѣе развитые народы съ глубокой древности старались найти самые простые способы называть устно и точно обозначать письменно каждое число, какъ бы много предметовъ ни пришлось считать.

Много и много поколѣній нашихъ предковъ потрудилось надъ тѣмъ, чтобы выработать ясное понятія и дать

отдѣльныя названія (а позже и обозначенія) первымъ числамъ отъ одного до десяти.

Выработка эта продолжалась долго, пока люди не научились, какъ говорятъ, сразу (т. е., очень скоро) схватывать глазомъ и называть однимъ словомъ группы изъ небольшого числа предметовъ. Сейчасъ ниже приведены нѣкоторыя такія группы (изъ пальцевъ, точекъ, палочекъ и черточекъ) и подъ ними поставлены ихъ названія и обозначенія.

Одинъ

(единица, разъ).

Печатно обозначаютъ:

Пишутъ:

Два

(пара).

Три.

Четыре.

Пять.

Шесть.

Семь.

Восемь.

Девять.

Десять.

Отмѣтимъ, что для того, чтобы записать число десять, мы не беремъ новаго знака, а пользуемся знакомъ для единицы и извѣстнымъ намъ нулемъ (знакъ для обозначенія отсутствія всякаго количества, «ничего»).

Итакъ, числа перваго десятка суть: одинъ, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять.

Необходимо знать и усвоить ихъ, какъ въ приведенной только что натуральной послѣдовательности, такъ и въ обратномъ порядкѣ.

Необходимо также пріучить себя быстро (какъ говорятъ, сразу) охватывать глазомъ небольшую группу (т. е. кучку или совокупность) предметовъ (до десяти) и тотчасъ называть соотвѣтствующее число. Съ этой цѣлью полезно составить хотя бы такую совмѣстную игру: пусть кто либо выбрасываетъ на столъ нѣсколько (не болѣе 10) камешковъ или иныхъ предметовъ. Остальные должны сразу (не присчитывая громко по единицѣ) сказать число выброшенныхъ предметовъ. Кто скажетъ вѣрно и скорѣе всѣхъ, тотъ выигрываетъ. Такое почти мгновенное сосчитыванье дается очень легко для группъ въ одинъ, два, три и даже четыре предмета. Для большаго же числа предметовъ оно труднѣе, но его необходимо вырабатывать. Можно для этого заставлять себя быстро опредѣлять числа группъ встрѣчающихся по дорогѣ людей, деревьевъ, зданій и т. д.

Считать до десяти многія человѣческія племена научились очень давно, — такъ давно, что нельзя даже сказать, какъ много-много времени прошло съ тѣхъ поръ. О давности такого счета свидѣтельствуетъ слѣдующее.

Жилъ въ незапамятной древности въ Азіи праотецъ-народъ, отъ котораго произошли разные народы, заселившіе потомъ Европу и азіатскій полуостровъ Индостанъ (индоевропейскіе, или арійскіе народы). Къ числу этихъ народовъ принадлежимъ мы, Славяне, а также Греки, Итальянцы, Нѣмцы, Французы, Англичане, Индусы и др. Самъ народъ-

праотецъ прекратилъ свое существованіе въ незапамятныя времена, но сохранились памятники языка, на которомъ онъ говорилъ, или языка очень близкаго къ рѣчи народа-праотца. Этотъ языкъ носитъ названіе санскрита, и отъ него произошли всѣ языки упомянутыхъ народовъ индоевропейской семьи.

Если взять названія первыхъ десяти чиселъ въ санскритѣ и названія тѣхъ же чиселъ у указанныхъ индоевропейскихъ народовъ, то получается такое сходство, которое указываетъ, что мы, народы-потомки, названія первыхъ десяти чиселъ сохранили до сихъ поръ отъ нашего народа-праотца. Отступленія отъ санскрита, въ общемъ, невелики и объясняются громадностью протекшихъ временъ и собственными переживаніями народовъ-потомковъ. Такъ, напр., для нашего русскаго языка сравнительно съ санскритомъ имѣемъ:

Санскритъ Пра Ека Дви Три Чатуръ Пансанъ Шапгь Саптанъ Хастанъ Наванъ Дасанъ

Русск. яз. Одинъ (разъ) Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь Девять Десять

Десятью названіями первыхъ чиселъ пользуется нашъ народъ не только для счета, но и для многихъ мѣткихъ рѣченій и загадокъ. Это тоже свидѣтельствуетъ о давности у русскаго народа счета до десяти и о привычкѣ пользоваться имъ. Поговорокъ, въ которыхъ встрѣчаются числа большія десяти, значительно меньше. Вотъ нѣкоторыя изъ загадокъ и рѣченій, заключающія въ себѣ названія чиселъ перваго десятка:

Два братца вѣкъ другъ на друга глядятся, а вмѣстѣ не сойдутся [Полъ и потолокъ]. — Между двухъ свѣтилъ я по серединѣ одинъ [Носъ].—У чурки двѣ печурки [Ноздри].—Двѣ сестры по край двери стоятъ, въ избу войти не смѣютъ [Дверныя притолки]-Коли одинъ говоритъ, такъ двое глядятъ да двое слушаютъ [Ротъ, глаза, уши].—

Въ маленькой бочкѣ два разныхъ пива [яйцо]. — Два кольца, два конца, посерединѣ гвоздь [Ножницы]. — Двое бѣгутъ не уйдутъ, двое догоняютъ — не догонятъ [Колеса въ телѣгѣ]. — Коли два, такъ не одинъ.—Умъ хорошо, а два лучше.—Одному началу не два копца.—Много и того, какъ два на одного.—Дуракъ на дурака пошелъ, а вышло двое.—Тому холодно, на комъ платье одно; а и двое да худое, не лучше того. — Два медвѣдя въ одной берлогѣ не уживутся.—Двойной трудъ, двойная и плата. — Думай двояко, а дѣлай одинако. — Худо молиться, когда на умѣ двоцтся. — Дважды (два раза) въ годъ лѣту не бывать. — Однажды шелъ дождикъ дважды [шутка ].—Дважды даетъ, кто скоро даетъ.—Два сапога пара.—Пара: куликъ да гагара.

Помни три дѣла: молись, терпи, работай. — Три друга: одинъ кормитъ, другой поитъ, третій добро стережетъ [Лошадь, корова, собака]. — Двѣ собаки грызутся, третья не суйся.—Нашего Мины не проймешь и въ три дубины [Такой лѣнтяй]. — Трое пошло, двое не дошло, третій воротился. — Въ лѣсъ идутъ, а на троихъ одинъ топоръ берутъ [Мало нарубятъ]. — Двое купаются, третій валяется; искупались, вышли, оба на третій повисли [Ведра и коромысло]. — Двое молотятъ, третій отворачиваетъ [Челюсти и языкъ]. — Двѣ матери, двѣ дочери да бабушка со внучкой [Трое].

Четыре стѣны на четыре стороны. — Четыре угла дома на построеніе, четыре времени года на совершеніе. — Ложка узка, таскаетъ по два куска, а развести ее пошире, повезетъ и четыре. — Конь о четырехъ ногахъ да и тотъ спотыкается.—Подъ одной шляпой четыре брата стоятъ [Столъ]. — Четыре сестры хвалятся. Двѣ говорятъ: «мы работать горазды». А другія двѣ отвѣчаютъ: «безъ насъ далеко не уйдете» [Ноги и руки]. — Четыре ноги, а не звѣрь, съ перьями, а не птица [Кровать съ периной]. — Кто ходитъ утромъ на четырехъ ногахъ, въ полдень на двухъ, а вечеромъ на трехъ? IЧеловѣкъ). — Вѣрно, какъ дважды два—четыре.

Шелъ одинъ, нашелъ пять рублей; пятеро пойдутъ, много ли найдутъ? [Конечно, скорѣе всего ничего не найдутъ]. — Пудъ муки по три рубля; во что обходится пятаковая булка? [Опять шуточный вопросъ,—разъ пятаковая булка, то и цѣна ей пятакъ]. — Одинъ дуракъ, а умныхъ пятерыхъ ссоритъ. — Пятеро воловъ одной сохой пашутъ [Пять пальцевъ пишутъ].— У двухъ матерей по пяти сыновей, всѣ въ одно имя [Пальцы на каждой рукѣ]-пять мальчиковъ разошлись по чуланчикамъ, каждый мальчикъ въ свой чуланчикъ [Пальцы въ перчаткѣ]. — Одинъ идетъ, четырехъ ведетъ, пятый сидитъ въ оба глядитъ [Лошадь, запряженная въ телѣгу, на которой сидитъ человѣка,]. — Три коровушки есть, отелятся будетъ шесть. —

Семь бѣдъ - одинъ отвѣтъ. — Семи пядей во лбу [Такой умный]. — Семеры ворота подъ одну повѣть [Семь дней въ недѣлѣ]. — Семеро одного не ждутъ.—Какъ семеро пойдутъ, Сибирь возьмутъ |Такіо молодцы]. — Дѣлай дѣло за семерыхъ, а слушайся одного. — Лапти растеряли, по дворамъ искали: было шесть, нашли семь [Значитъ стащили чужой]. — Одинъ рубитъ, а семеро въ кулаки трубятъ. — Двое пашутъ, а семеро, стоя, руками машутъ. — Живетъ и такой годъ, что на день семь погодъ [Непостоянная погода]. — Невеликъ городокъ да семь воеводъ [Многоначаліе]. — Макару поклонъ, а Макаръ на семь сторонъ [Такой вѣжливый]. —Для друга и семь верстъ не околица. — Седьмая вода на киселѣ [Очень отдаленное родство или свойство].—У семерыхъ братьевъ по одной сестрѣ; много ли сестеръ? [Одна]. — Семь безъ четырехъ да три улетѣло [Ничего не осталось].

Семь денъ намъ подай, а восемь не просимъ.—При семи дворахъ восемь улицъ. —Шесть дней дѣлай, седьмой молись, на восьмой снова начинай.—Семеро въ семьѣ, а восьмеро большихъ [Безначаліе].— Осьмой день, что первый.—Что козѣ будетъ, когда ей семь лѣтъ сравняется? [Восьмой пойдетъ, загадка-шутка].

Девять денъ девять верстъ, какъ соколъ летѣлъі | Насмѣшка надъ медленностью].—Девять вѣниковъ по деньгѣ вѣникъ, много ли денегъ? [Скороговорка].—За тридевять земель.

На рукахъ и ногахъ по десяти перстовъ.—Десять разъ примѣрь, одинъ разъ отрѣжь.—Безъ десятковъ и счету нѣту.—Ты ему слово, а онъ тебѣ десять,—Я [ты, онъ] не робкаго десятка,—Въ годъ обѣднѣешь, а въ десять годовъ не поправишься.—Дуракъ въ воду камень закинетъ, десятеро умныхъ не вытащатъ.

Порядокъ, въ которомъ предметы (или числа) слѣдуютъ одни за другими, обозначается такъ называемымъ порядковымъ счетомъ.

Вотъ, напримѣръ, скамья (см. рисунокъ), на которой сидитъ девять учениковъ:

Предъ каждымъ ученикомъ виситъ нумеръ, который показываетъ порядокъ, въ которомъ сидитъ каждый ученикъ.

Начальный по порядку счета предметъ (на данномъ рисункѣ—ученикъ) называется словомъ: первый, слѣдующій за нимъ словомъ: второй (или другой), слѣдующіе по порядку обозначаются словами: третій, четвертый, пятый, шестой, седьмой, восьмой, девятый, десятый (Десятаго ученика у насъ на рисункѣ нѣтъ).

Первый, другой, третій—и обчелся! [Говорятъ, когда мало предметовъ!.—Одной рукой собирай, другой раздавай.—Первый блинъ комомъ.—На первый разъ прощаю, а въ другой не дури.—Въ первой винѣ и Богъ прощаетъ.—Одинъ не годится, другой хоть брось, третій маленько похуже обоихъ.—Новая новинка, первая первинка.— Съ пятаго на десятое [Говорится о поверхностномъ, безсвязномъ или небрежномъ исполненіи, изложеніи, знаніи].—Первое, что я вина и въ ротъ не беру; второе,—что сегодня и день такой; а третье,—что я уже двѣ рюмочки выкушалъ.

Знаки, которыми записываются числа, и которые мы уже видѣли выше на страницахъ 9, 10 и 11-й, называются цифрами. Для каждаго послѣдовательнаго числа отъ единицы до девяти есть своя особая цифра.

Извѣстный намъ нуль («ничего») есть тоже цифра. Цифры необходимо научиться писать ясно и четко. Упражняются въ писаніи ихъ сначала по косымъ линейкамъ или клѣткамъ,— чаще всего по такимъ образцамъ:

Кромѣ умѣнья писать цифры четко и красиво важно также научиться писать ихъ скоро. Для этого иные придумываютъ такую форму цифръ, чтобы ее можно было вычертить однимъ почеркомъ пера. Такъ, напримѣръ, французскій математикъ Люка (Lucas) предлагаетъ для скорости писать цифры такъ:

Другой математикъ Лезанъ (Laisant) предлагаетъ для скорости же писать цифры такъ:

Въ обоихъ этихъ случаяхъ цифру, изображающую число четыре, все же, приходится писать двумя почерками.

Замѣчено уже на стран. 12, что для изображенія числа десять не надо новыхъ цифръ, и написано это число съ помощью 1 и 0. Потомъ увидимъ, что новыхъ знаковъ, или цифръ, намъ и не потребуется. Для изображенія какихъ угодно чиселъ достаточно знать и умѣть писать тѣ десять цифръ, которыя указаны выше. Девять цифръ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 называются значащими, а десятая цифра О (нуль) незначащей.

Вмѣсто того, чтобы говорить «цифра, изображающая число два» (или три, четыре и т. д.), говорятъ просто «цифра два» (или три, четыре и т. д.) и пишутъ 2 (3, 4 и т. д.).

Когда въ ариѳметикѣ говорятъ написать число, то это значитъ, что надо это число изобразить цифрами.

Цифры, которыя здѣсь показаны, называются арабскими. Теперь онѣ употребляются у всѣхъ образованныхъ народовъ. Но мы увидимъ, что есть и другія цифры.

Послѣдовательный счетъ состоитъ въ прибавленіи къ единицѣ еще единицы, къ полученному числу еще единицы, къ полученному числу еще единицы и т. д. Но всякій знаетъ, что часто считаютъ парами, т. е. берутъ и отачиваютъ по два предмета разомъ. Такъ, напримѣръ, парами считаютъ обувь (пара сапогъ), рукавицы и т. д.

Считаютъ и тройками, т. е., берутъ три предмета сразу и къ нимъ прибавляютъ еще три предмета, къ этимъ еще три и т. д. Напримѣръ, тройка лошадей да еще тройка (т. е. 6 лошадей) и т. д. Можно считать и четверками, т. е. къ 4-мъ предметамъ прибавлять сразу 4, еще 4 и т. д. А счетъ пятками, т. е. по 5 предметовъ сразу, встрѣчается очень часто (пятокъ лимоновъ, яблокъ и т. п.).

Упражненія. Сколько паръ (т. е. двоекъ) составитъ десятокъ? Сколько въ десяткѣ троекъ? Сколько четверокъ? Сколько пятковъ? Можно ли составить десятокъ изъ однихъ троекъ или четверокъ? Можно ли составить десятокъ изъ однихъ паръ или пятковъ?

Если взять три спички, то сколько спичекъ надо приложить, чтобы получить десятокъ. Если брать поочередно 5,1, 7, 4, 6, 3, 2, 9, 8 какихъ-нибудь предметовъ, то сколько каждый разъ надо приложить еще предметовъ, чтобы получить десятокъ этихъ предметовъ?

Путемъ постоянныхъ упражненій необходимо достигнуть того, чтобы каждое число, меньшее десятка, сразу дополнять до десятка.

Взять десятокъ какихъ-либо предметовъ (спичекъ, камешковъ, зеренъ и т. д.) и посмотрѣть, какъ этотъ десятокъ можно различнымъ образомъ разложить на двѣ отдѣльныя группы и по скольку предметовъ будетъ въ каждой группѣ.

Разложить 10 всѣми возможными способами на 2 числа.

Отбрасывать отъ 10, пока возможно, по 2, по 3. по 4, по 5. по 6 и т. д., называя каждый разъ получаемый результатъ.

Знаки и дѣйствія.

Мы уже условились (см. стран. 4), какъ надо понимать въ ариѳметикѣ слово сложить, и что понимается подъ дѣйствіемъ сложенія. Сложеніе есть самое простое,

начальное и основное дѣйствіе надъ числами (т. е. ариѳметическое дѣйствіе). Для краткости и ясности сложеніе обозначается особымъ знакомъ, прямымъ крестикомъ Знакъ этотъ называется плюсъ.

Такъ что, если мы напишемъ

1 + 1,

то это можно прочесть такъ: единицу сложитъ съ единицей, или къ единицѣ прибавитъ единицу, или единица да еще единица, или единица и единица, или единица, сложенная съ единицей, и т. д.; наконецъ, просто: единица плюсъ единица.

Равенство двухъ количествъ также обозначается особымъ знакомъ равенства—двумя продольными черточками: =.

Такъ что, если написано

1 + 1 = 2,

то это можно читать такъ: единица плюсъ единица равняется двумъ, или единица, сложенная съ единицей, равны двумъ, единица да еще единица равно двумъ, если къ единицѣ прибавить единицу, то въ результатѣ получится два и т. п.

Упражненія. 1 + 2 = ?; 3 + 4 = ?; 2 + 7 = ? и т. п.

3 +? = 5; 6 Ч-?=9; 4+? = 8; 2 +? = 9; 8 4-? = 9;ит.п. ? +4 = 7; ? + 2 = 8; ? +3 = 9; ? +7 = 8 и т. д.

Особенное вниманіе обратить на упражненія въ дополненіи числа до десяти:

9-Ь?=10; 6 + ? = 10; 5 +?= 10; 3+?=10; 7 + ?=10; 14-? = 10; 44-?= 10; 2 + ? = 10; 8 + ? = 10 и т. под.

Упражненія вида: 14-1+1=?; 24-1+5=?; 3+2+5=?; 34-04-4+1 = ?; 24-3 + 44-1=? и т.д.

Если отъ нѣкотораго количества предметовъ (единицъ) отбрасываютъ (отнимаютъ, откидываютъ, уменьшаютъ на) одну единицу или нѣсколько единицъ, то говорятъ, что

эту единицу (или эти единицы) вычитаютъ изъ общаго числа предметовъ, или производятъ вычитаніе.

Дѣйствіе вычитанія также обозначается знакомъ, одной продольной черточкой: —.

Знакъ этотъ называется минусъ.

Поэтому, если написано, напр.,

2-1,

то это надо читать такъ: изъ двухъ вычесть единицу, или: отъ двухъ отнять (отбросить, откинуть) единицу, два безъ единицы и т. д. Наконецъ просто: два минусъ единица.

Если изъ двухъ предметовъ вычесть одинъ, то останется одинъ предметъ. Поэтому имѣемъ равенство:

2-1 = 1,

которое предлагаемъ читателю прочесть всѣми возможными способами, принявъ во вниманіе только что указанные способы чтенія знака минусъ.

Упражненія.—Начиная съ десяти, вычитать по единицѣ и называть получаемыя при этомъ числа (обратный счетъ).

Начиная съ 10, вычитать по два, пока возможно, и называть получаемыя при этомъ числа. Сколько двоекъ при этомъ можно отбросить? Сколько разъ два содержится въ десяти? Изъ сколькихъ двоекъ состоитъ десятокъ?

Сколько разъ возможно вычесть изъ десятка по 3 единицы? по 4? по 5? Сколько при такихъ вычитаніяхъ остается отъ десятка еще единицъ?

Написать цифрами и знаками: семь безъ шести равно единицѣ; восемь безъ пяти равно тремъ; десять безъ пяти равно пяти; изъ девяти вычесть пять получится четыре; шесть минусъ три равно тремъ; четыре уменьшенное на двѣ единицы равно двумъ и т. д.

Переписать и выполнить требуемыя дѣйствія:

Если надо нѣсколько разъ сложить одно и то же число, то для обозначенія этого дѣйствія употребляется знакъ сокращеннаго сложенія, или знакъ умноженія, а именно—ставится косой крестикъ: X-

Если, напримѣръ, требуется пять разъ сложить единицу, то пишутъ

5X1

и читаютъ: пять разъ одинъ, или пятью одинъ.

Слѣдовательно

5X1 = 14-14-1 + 1-1-1 = 5.

Вообще, какой либо предметъ (единицу) или совокупность предметовъ (единицъ) можно брать одинъ разъ, или, какъ говорятъ, единожды; можно ту же единицу или совокупность единицъ брать и прибавлять другъ къ другу, дважды (т. е. два раза), трижды (т. е. 3 раза), четырежды (т. е. 4 раза), пятью (т. е. 5 разъ), шестью, семью и т. д. (т. е. 6, 7 и т. д. разъ).

Это изображается и читается такъ:

И по опредѣленію знака X (т. е. знака умноженія, или сокращеннаго сложенія) ясно, что

Подобно же:

Необходимо запомнить и знать разъ навсегда, что даетъ сокращенное сложеніе чиселъ въ предѣлахъ перваго десятка:

Сокращенное сложеніе изучается, какъ особое дѣйствіе-умноженіе, и вышенаписанная табличка есть табличка умноженія чиселъ въ предѣлахъ перваго десятка.

Изучая и запоминая таблицу умноженія, нужно усвоить, какъ числа перваго десятка составляются изъ двоекъ,

троекъ, четверокъ и т. д. Такъ, напримѣръ, число 6 состоитъ ровно изъ трехъ двоекъ, или двухъ троекъ; число 8 содержитъ въ себѣ ровно 4 двойки, или 2 четверки. Число 10, напр., состоитъ ровно изъ 5 двоекъ, или двухъ пятерокъ.

Но если опредѣлить, сколько разъ въ 10 содержится тройка, то оказывается, что для полученія десятка надо взять 3 тройки да еще единицу. Это выражаютъ иными словами, говоря: 3 заключается (или содержится) въ 10 три раза, да еще въ остаткѣ получается 1. Точно также: 4 въ 10 заключается 2 раза, да еще въ остаткѣ получается 2; 5 въ 10 заключается ровно 2 раза (безъ остатка); 3 въ 9 содержится ровно 3 раза; но 3 въ 8 содержится 2 раза, да еще получается остатокъ 2 и т. д.

Такимъ образомъ таблица умноженія позволяетъ быстро опредѣлить, сколько разъ можно вычесть изъ предложеннаго числа одно и то же число.

Напримѣръ, зная, что 5X2 = 10, мы говоримъ сразу, что изъ 10 можно по 2 вычитать 5 разъ.

Это вычитаніе нѣсколько разъ одного и того же числа изъ другого числа изучается, какъ новое дѣйствіе—сокращенное вычитаніе, или дѣленіе.

Для обозначенія дѣйствія дѣленія или сокращеннаго вычитанія употребляется особый знакъ — двѣ точки ( : ) Слѣдовательно, выраженіе

10:2 = 5

можно прочесть такъ: въ десяти два содержится 5 разъ; изъ 10 можно вычитать по 2 пять разъ, или, наконецъ, десять, дѣленное на 2, равно 5.

Подобно же:

Если же при подобномъ сокращенномъ вычитаніи (при дѣйствіи дѣленія) получается остатокъ, то это надо отмѣчать. Напр.

Равныя части.

Какъ одно яблоко раздѣлить поровну между двумя лицами?

Надо его разрѣзать пополамъ, или на двѣ равныя части (доли). Каждая такая часть, или доля, называется половиной яблока.

Каждый предметъ можно раздѣлить (или представить себѣ раздѣленнымъ) пополамъ, т. е. на двѣ равныя части,— половины. Вотъ, наприм., прямая линія АБ

раздѣлена пополамъ черточкой В. Одна половина равна другой половинѣ, т. е. линія AB = линіи ВБ.

Сколько половинъ въ цѣлой линіи?

Предметы можно дѣлить не только на двѣ равныя части (половины), но и на три, четыре, пять и т. д. равныхъ частей, или долей.

Напримѣръ, эта линія

раздѣлена черточками на 3 равныя части, или доли. Каждая такая часть называется одной третью линіи.

Ясно, что цѣлая линія состоитъ изъ трехъ третей.

Линія раздѣлена черточками на 4 равныя части. Каждая такая часть (доля) называется четвертью линіи; 4 четверти, очевидно, составятъ цѣлую линію.

Линія I [ I черточками раздѣлена на 5 равныхъ частей: и каждая такая часть называется одной пятой линіи. 5 пятыхъ линіи составятъ цѣлую линію.

Раздѣляя линію на 6, 7, 8, 9 и 10 равныхъ частей, или долей, мы найдемъ соотвѣтственно одну шестую часть ея, седьмую часть, восьмую часть, девятую и десятую часть.

Дѣлить на равныя части можно, какъ уже говорилось, не только линіи, но и вообще всѣ количества, или величины; и половины, трети, четверти, пятыя части и т. д. цѣлаго также обозначаются (т. е. пишутся) посредствомъ уже извѣстныхъ намъ цифръ. Напримѣръ:

Одна половина цѣлаго обозначается такъ:

Точно также -, --, -, - , — соотвѣтственно обозначаютъ одну шестую, седьмую, восьмую, девятую и десятую часть цѣлой величины.

Величины выражаются числами. Значитъ, на равныя части, или доли, точно также дѣлятся и числа. Въ такомъ случаѣ

обозначаютъ равныя части (или доли), на которыя раздѣлена единица.

Эти доли единицы суть тоже числа и ихъ можно складывать, вычитать, умножать, дѣлить и, вообще,—производить надъ ними ариѳметическія дѣйствія. Напримѣръ, если къ одной пятой части единицы прибавить еще одну пятую часть единицы, то получится двѣ пятыхъ части единицы. Это извѣстными намъ обозначеніями можно записать такъ:

Подобно же:

На равныя части можно дѣлить не только единицу, но вообще всякое число.

Такъ, напримѣръ, не трудно сообразить, что половина двухъ равна единицѣ, а половина четырехъ равна двумъ. Записать это можно такъ:

Подобно же найти:

Счетъ устный и письменный отъ 1 до 20.

Десять спичекъ (палочекъ), или десятокъ, свяжемъ въ одну пачку и будемъ къ этому десятку послѣдовательно прибавлять 1, 2, 3 и т. д. спички.

Десять спичекъ и одна

Представляютъ ли названія чиселъ, слѣдующихъ за десятью, т. е. одиннадцать, двѣнадцать и т. д., до двадцати совсѣмъ новыя слова? Нѣтъ! Вслушавшись, мы убѣдимся,

что во всѣ эти названія чиселъ входитъ слово десять сокращенное въ «дцать», а къ этому слову, при помощи частицы на, послѣдовательно приставляется одинъ, два (двѣ), три и т. д. Два десятка называются уже безъ промежуточнаго «на», а просто: два-десять, или сокращенно двадцать. Значитъ, чтобы назвать всѣ числа отъ десяти до двадцати, намъ достаточно знакомыхъ названій чиселъ перваго десятка и не нужно запоминать новыхъ словъ.

Для названія двѣнадцати предметовъ иногда употребляется особое слово: дюжина. Дюжинами считаютъ обыкновенно бѣлье, посуду и т. п.; напримѣръ, — дюжина рубахъ, тарелокъ, стакановъ.

Числа большія десяти въ народныхъ поговоркахъ встрѣчаются сравнительно рѣдко,—несравненно рѣже, чѣмъ числа перваго десятка. Вотъ нѣкоторыя пзъ такихъ поговорокъ:

Двѣнадцатый гость счастливый.—Позабыли нѣмцы двѣнадцатый годъ.—Тринадцатый гость подъ столъ! [Существуетъ суевѣріе, что число тринадцать—несчастливое|.—Вашего брата по тринадцати на дюжину кладутъ, да и то не берутъ. [Говорится о людяхъ или о вещахъ плохого качества!.— Сѣку, сѣку двадцать, высѣку пятнадцать; будь мои пятнадцать всѣ сполна. [Поговорка, сложившаяся, вѣроятно, въ то время, когда числа обозначались насѣчками или зарубками на палочкахъ, биркахъ |.

Записываются числа второго десятка тѣми же извѣстными намъ цифрами, которыми мы писали числа перваго десятка:

Итакъ, каждое число второго десятка (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20) для своей записи требуетъ двухъ цифръ, или двухъ знаковъ. Такія числа называются двузначными. (Десятокъ = 10 есть тоже двузначное число).

Каждое число второго десятка состоитъ изъ одного десятка и еще одной или нѣсколькихъ единицъ. Напр., 15 = 104-5, 19= 10-1-9.

Запомнимъ, что первыя девять чиселъ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) называются простыми единицами. Тогда можно сказать такъ:

Чтобы написать какое-либо число второго десятка, ставимъ сначала цифру, обозначающую десятокъ, т. е. I, а затѣмъ цифру, обозначающую простыя единицы. Или: если считать отъ правой руки къ лѣвой, то на первомъ мѣстѣ будетъ цифра простыхъ единицъ, а на второмъ цифра десятковъ.

Переходъ изъ 1-го десятка во 2-й и дѣйствія надъ числами отъ 1 до 20.

Всѣ дѣйствія надъ числами отъ 1 до 20 необходимо научиться дѣлать очень быстро, или, какъ говорятъ, «сразу».

Для этого нужно умѣть производить сразу всѣ дѣйствія надъ числами перваго десятка, и прежде всего необходимо: 1) умѣть сразу, а не присчитывая по 1, дополнять каждое данное число до десятка.

34-?= 10; 7 4-?= 10; 6 4~?= 10; 8+? = 10; 4+?=10; 2+?=10, б4-?=10; ?4-9 = 10; ?+3 = 10, и т. д.

2) Если отъ какого-либо числа въ первомъ десяткѣ отнять нѣсколько единицъ, то опредѣлять сразу, сколько единицъ останется.

9 — 5 = ?; 5 — 2 = ?; 7 — 3 = ?; 4 — 2 = ? и т. д.

Если соблюдены два эти требованія, то сложеніе любыхъ двухъ однозначныхъ чиселъ дается легко.

Возьмемъ, напримѣръ, совокупность (группу) въ 8 палочекъ и совокупность (группу) въ 7 палочекъ:

Сколько получится всего палочекъ, если сложить ихъ вмѣстѣ?

Разсуждаемъ такъ: къ 8 палочкамъ, чтобы получить десятокъ ихъ, надо прибавить 2 палочки. Беремъ и отодвигаемъ эти двѣ палочки отъ другой группы въ 7 палочекъ, гдѣ остается, значитъ, 5 палочекъ; и мы сразу видимъ, что десять да пять палочекъ составятъ вмѣстѣ пятнадцать палочекъ:

Что мы здѣсь дѣлаемъ? А вотъ что:

Первое число (8) сразу дополняемъ до 10, а другое сразу разлагаемъ на два числа; одно, дополняющее восемь до десяти (2), а второе остаточное число (5), и говоримъ сразу: 10+5 = 15.

Подобно же сложить:

Упражненія подобнаго рода нужно повторять до тѣхъ поръ, пока не выработается умѣнье опредѣлять сразу сумму двухъ однозначныхъ чиселъ.

Для провѣрки результатовъ сложенія интересно и поучительно составить таблицу сложенія.

Для этого рисуютъ квадратъ, который въ свою очередь горизонтальными и вертикальными (продольными и поперечными) линіями дѣлятъ на равные квадратики по 10 въ каждомъ столбцѣ и каждой строкѣ. Сдѣлавъ это, пишутъ въ первой строкѣ квадратиковъ числа послѣдовательно отъ 0 до 9, во второй отъ 1 до 10, въ третьей отъ 2 до 11, въ четвертой—отъ трехъ до 12 и т. д. Получается прилагаемая таблица, изученіе которой весьма поучительно.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Пусть надо сложить, напримѣръ, 5 и 7. Смотримъ въ таблицѣ столбецъ (поперечный, или вертикальный рядъ), начинающійся числомъ и 5, и строку (продольный, или горизонтальный рядъ), начинающуюся числомъ 7. На пересѣченіи взятыхъ столбца и строки находимъ число 12, т. е. сумму 5 4-7. Точно также можемъ найти сумму двухъ любыхъ однозначныхъ чиселъ.

Вмѣсто того, чтобы брать сначала столбецъ съ числомъ 5, а потомъ строку съ числомъ 7, можно взять сначала

строку (съ числомъ 7) а затѣмъ столбецъ (съ числомъ 5) и на пересѣченіи строки и столбца получимъ опять 12. Значитъ,

5 + 7 = 7 + 6 = 12,

т. е. одни и тѣ же слагаемыя можно складывать въ разномъ порядкѣ,—сумма получится всегда одна и та же.

Сложеніе однозначныхъ чиселъ, повторяемъ, надо привыкнуть дѣлать сразу и безошибочно безъ всякой таблички. Но чтобы выработать такой навыкъ, на первыхъ порахъ слѣдуетъ провѣрять себя по составленной, какъ указано, таблицѣ. Она обладаетъ и другими любопытными свойствами.

Такъ, всѣ числа идущія по косымъ линіямъ (діагоналямъ) въ направленіи / (т. е. сверху и справа — внизъ и налѣво) одинаковы. Числа каждаго столбца, начиная сверху внизъ, т. е. въ направленіи | , получаются одно изъ другого послѣдовательнымъ прибавленіемъ единицы точно такъ же, какъ и числа каждой строки въ направленіи Наконецъ, числа по одной и той же косой линіи (діагонали) въ направленіи (т. е. слѣва—вверху и внизъ— направо), это тѣ числа, которыя получаются отъ счета двойками (парами).

При сложеніи чиселъ въ предѣлахъ до 20-ти приходится также складывать двузначное число съ однозначнымъ или наоборотъ.

Наприм., 12 —|— 7 — ?; 3 —J- 14 — ?

Этотъ случай сводится къ сложенію простыхъ единицъ съ единицами, т. е. къ сложенію въ первомъ десяткѣ, которое должно дѣлаться сразу.

12 + 7 = 19; 3+14=17.

Если сумма единицъ въ этомъ случаѣ даетъ полный десятокъ, то онъ прилагается къ десятку. Значитъ, получается два полныхъ десятка. Наприм.,

154-5 = 20; 11 + 9 = 20; 3 + 17 = 20; 2 + 18=20 и т.д.

Когда нужно вычесть (отнять) число изъ числа въ предѣлахъ отъ 1 до 20, то, какъ и въ первомъ десяткѣ, надо научиться дѣлать это сразу, а не отсчитывая по одной единицѣ.

Если вычитать изъ двузначнаго числа (не большаго 20) однозначное, то получается остатокъ (или разность), который можетъ быть: 1) равенъ или больше 10, и 2) меньше десяти.

Въ первомъ случаѣ вычитаніе сводится къ вычитанію простыхъ единицъ (т. е. къ вычитанію въ первомъ десяткѣ). Изъ единицъ большаго даннаго числа (уменьшаемаго) вычитаются сразу всѣ единицы меньшаго второго числа (вычитаемаго). Наприм.:

13 — 2 = 11; 19 — 5 = 14; 15—5 = 10 и т. д.

Во второмъ случаѣ необходимо научиться сразу отбросить отъ большаго числа (уменьшаемаго) сначала столько единицъ меньшаго числа (вычитаемаго), чтобы остался десятокъ, а затѣмъ отъ десятка сразу же отбрасывать остальныя единицы вычитаемаго.

Такъ, вычитая изъ числа 15 число 7, сразу отбрасываемъ отъ 15 сначала 5 единицъ, а затѣмъ сразу 2 и получаемъ 15 — 7=8. Точно также:

Если надо вычесть изъ двузначнаго числа меньшее, но тоже двузначное, то отъ уменьшаемаго отбрасываютъ единицы и десятокъ вычитаемаго и получается остатокъ (разность). Наприм.,

Все это надо посредствомъ постоянныхъ упражненій научиться дѣлать быстро въ умѣ и записывать, если понадобится, только результатъ.

Мы уже говорили (стр. 21—22), что сложеніе одного и того же числа нѣсколько разъ изучается, какъ особое дѣйствіе— сокращенное сложеніе, или умноженіе, которое обозначается знакомъ X* Такъ что, если, напр., надо сложить четыре раза 2, или взять четырежды 2, то это пишутъ такъ

4X2=8

и говорятъ: четырежды два равно восьми (или еще короче: четырежды два восемь). Точно также, если, наприм., надо четыре раза сложить 5, то вмѣсто того, чтобы писать

5-1-54-54-5 = 20.

Пишутъ короче:

4 X 5 = 20.

На страницѣ 22 дана табличка умноженія чиселъ въ предѣлѣ перваго десятка. Теперь эту табличку можно распространить до двухъ десятковъ.

Эту табличку путемъ упражненій надо усвоить на память такъ, чтобы сразу быть въ состояніи отвѣтить на вопросы въ родѣ слѣдующихъ: Сколько будетъ дважды два? трижды шесть? семью два? пятью три? четырежды четыре? десятью два? и т. д.

Необходимо также постоянно помнить, что умноженіе есть не что иное, какъ сложеніе одного и того же числа, и что обозначеніе, наприм., 9X2 сокращенно изображаетъ сложеніе 2 девять разъ:

Изученіе той же таблицы умноженія показываетъ, что, напримѣръ:

и т. д.

Съ помощью спичекъ, камешковъ пли иныхъ предметовъ можно показать, что это значитъ, что 12 спичекъ, наприм., можно разложить или на 3 группы по 4 спички, или на 4 группы по 3 спички. 15 предметовъ можно разбить: или на 3 группы по 5 предметовъ, или на 5 группъ по 3 предмета и т. д.

Назовемъ оба перемножаемыхъ числа сомножителями, а число, получаемое отъ умноженія, произведеніемъ. Такъ что, если напишемъ равенство:

то 4 и 5—сомножители, а 20 — произведеніе, полученное отъ перемноженія этихъ сомножителей.

Въ такомъ случаѣ равенства 4 X 5 = 5 X 4, 2 X ^ = 8 X 2 и т. д. показываютъ, что

отъ перемѣны мѣстъ сомножителей произведеніе ихъ не мѣняется.

Знаніе указанной выше таблички умноженія помогаетъ очень быстро («сразу») вычитать одно и то же число изъ другого въ тѣхъ же предѣлахъ до 20.

Наприм., 6 X 3 — т. е. число 18 состоитъ изъ 6 разъ повторенной тройки

Другими словами, изъ 18 можно 6 разъ вычитать по 3, или говорить: въ числѣ 18 число 3 содержится 6 разъ. Послѣднее, какъ объяснено на стр. 23, обозначается такъ:

18:3 = 6,

гдѣ двѣ точки (:) означаютъ дѣйствіе — сокращенное вычитаніе, или дѣленіе. Поэтому написанное выраженіе часто читается и такъ: 18 дѣленное на 3 равно 6.

Слѣдовательно, запоминая таблицу умноженія, надо всегда имѣть въ виду, что изъ равенства, напр., 5 X 3 — 15 слѣдуетъ сейчасъ же равенство 15:3 = 5, т. е.

число 15 состоитъ изъ пяти троекъ, а потому и наоборотъ: изъ 15 можно число 3 вычесть (отнять) 5 разъ. Знаніе таблицы умноженія даетъ возможность такое вычитаніе сдѣлать сразу, т. е., производить сокращенное вычитаніе, или дѣленіе.

Уже указано выше, что при умноженіи произведеніе не мѣняется отъ перемѣны мѣстъ сомножителей, т. е., напр.,

5X4 = 4X5 = 20.

20 камешковъ, наприм., можно составить или изъ 5 кучекъ по 4 камешка, или изъ 4 кучекъ по 5 камешковъ:

Каждому изъ этихъ случаевъ соотвѣтствуетъ особое дѣленіе:

20:4 = 5 и 20:5 = 4.

Постарайтесь подобрать и разсмотрѣть какъ можно больше подобныхъ примѣровъ.

Число, которое получается при дѣленіи одного числа на другое, называется частнымъ. Числа, которыя взяты для дѣленія, называютъ одно дѣлимымъ, а другое дѣлителемъ. Дѣлимое ставятъ передъ знакомъ дѣленія (:), дѣлитель послѣ этого знака, а частное послѣ знака равенства.

Умѣнье производить какъ дѣленіе, такъ и вообще всѣ ариѳметическія дѣйствія (сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе) облегчаетъ рѣшеніе очень многихъ вопросовъ, или задачъ, о чемъ мы скоро будемъ говорить. Поэтому всячески старайтесь вырабатывать въ себѣ такое умѣнье съ первыхъ же шаговъ, чтобы не было затрудненій дальше.

При дѣленіи одного числа на другое можетъ быть одно изъ двухъ: 1) дѣленіе совершается безъ остатка (иначе говорятъ—нацѣло); 2) при дѣленіи получается остатокъ.

Такъ, напр., изъ равенства 9 X 2 = 18 слѣдуетъ, что 18:2 = 9,

т. е. въ числѣ 18 содержится ровно 9 двоекъ, или паръ. Но если взять число 19, то въ немъ окажется 9 паръ и еще единица. Такъ что

19:2 = 9 да еще получается остатокъ 1.

Подобно же: 6:3 = 2; но 7:3 = 2 да еще получается остатокъ 1; 11:3 = 3 съ остаткомъ 2; 17 : 6 = 2 съ остаткомъ 5 и т. д.

Совершается ли дѣленіе безъ остатка или съ остаткомъ, узнаютъ также съ помощью таблицы умноженія.

Если, напр., нужно произвести дѣленіе 17:3, то тотчасъ вспоминаемъ, что 5X3 = 15, а 6X3 = 18.

Число 17 заключается между 15 и 18. Значитъ, въ немъ 3 содержится 5 разъ да еще въ остаткѣ получается число 2.

На страницахъ 24—26 уже указано, что каждый предметъ или, вообще, единицу можно раздѣлить (или представитъ въ умѣ раздѣленной) на равныя части. Обозначенія:

представляютъ послѣдовательно: одну половину, одну треть, одну четверть, одну пятую, одну шестую и т. д. часть, или долю единицы.

На равныя части можно также разлагать, или дѣлить, числа. Объ этомъ тоже уже говорилось на стр. 25 -26. Такъ:

Продолжите примѣры дальше сами, но при этомъ обратите вниманіе на слѣдующее:

Отысканіе половины какого-нибудь числа сводится къ дѣленію этого числа на 2.

Отысканіе одной трети числа производится дѣленіемъ этого числа на 8. Такъ, - отъ 12, равная 4, получится, О

дѣля 12 на 3,

12 : 3 = 4.

Одна четверть числа получится, дѣля это число на 4; одна пятая числа получится, дѣля это число на пять; одна шестая числа получится, дѣля это число на 6 и т. д.

Словомъ,—раздѣленіе числа на равныя части сводится извѣстному намъ дѣйствію дѣленія надъ числами.

Счетъ до ста.

Вотъ 10 рядовъ крупныхъ черныхъ точекъ, а въ каждомъ ряду по 10 точекъ:

Десятъ десятковъ любыхъ предметовъ, вообще,—десятъ десятковъ единицъ называютъ однимъ словомъ сто (сотня).

Если взять 10 связокъ палочекъ по 10 палочекъ въ каждой и связать ихъ въ одну пачку, то получится пачка въ сотню палочекъ.

Какъ мы присчитывали единицу къ единицѣ и получали числа перваго десятка (простыя единицы, или единицы перваго разряда), такъ точно можно присчитывать десятокъ къ десятку:

Одинъ (разъ) десять — десять, два—десять = двадцать, три—десять = тридцать, четыре—десять = сорокъ (!), пять—десять = пятьдесятъ, шесть—десять = шестьдесятъ, семь—десять = семьдесятъ, весемь—десять = восемьдесятъ, девять—десять = девяносто, десять—десять = сто.

То же самое цифрами изобразится такъ:

1X10=10; 2X10=20; 3/10=30; 4X10=40; Ь\10=50;

0X10=60; 7Х10=70; 8Х10=<90;9 <10=00; 10X10=100.

Замѣтимъ, что при счетѣ десятками мы не употребляемъ новыхь словъ для названій чиселъ; двадцать, тридцать, пятьдесятъ и т. д.—все это слова или сокращенія словъ намъ извѣстныхъ, но слово сорокъ (вмѣсто четыре-десять) новое. Слово это перешло къ намъ отъ грековъ и почему-то удержано народомъ, хотя безъ него можно было бы, какъ видимъ, обойтись. Для десяти десятковъ вводится новое слово сто.

Со словомъ сто связано довольно много народныхъ поговорокъ, при чемъ чаще всего этому слову придается смыслъ очень много. Я ему сто разъ повторялъ.—Здорово, дѣдъ, на сто лѣтъ!—Плевъ сто Рублевъ, а пять не деньги (бахвалится). — На одного виноватаго по сту судей.—Не купи на сто, а купи на стать [нужное].—Служилъ сто лѣтъ, а не выслужилъ ни ста рѣпъ.—И кнутъ не дороже ста рублей Iкнутомъ когда-то наказывали за 100 рублей кражи|. — Жениху да невѣстѣ сто лѣтъ, а вмѣстѣ двѣсти |двѣ сотни].

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 представляютъ числа, состоящія изъ полныхъ, или, какъ говорятъ, круглыхъ десятковъ, и чтобы записать ихъ, мы пользуемся только извѣстными намъ цифрами: девятью значащими и одной незначащей (нуль). Точно также не надо новыхъ цифръ, чтобы обозначить 10 десятковъ, или 100.

Мы уже знаемъ, что числа отъ 1 до 9 называютъ простыми единицами, или единицами перваго разряда. Подобно же десятки называютъ единицами второго разряда. Такъ что сказать, напримѣръ: семь единицъ второго разряда,—это все равно, что сказать семь десятковъ, или семьдесятъ, 70.

Если къ группѣ въ 20 предметовъ прибавить еще одинъ предметъ, то получится двадцать и одинъ предметъ, или, говоря просто, двадцать одинъ предметъ. Если къ числу 20 (состоящему изъ 20-ти единицъ) прибавить еще одну единицу, получится число двадцать одинъ.

20 + 1 = 21.

Двадцать и два даетъ число двадцать два;

двадцать и три даетъ число двадцать три;

двадцать и четыре даетъ число двадцать четыре.

и т. д. до двадцати девяти.

Если это записать цифрами, получимъ:

Если къ двадцати девяти прибавить еще одну единицу, то какое получится число? (29-f- 1 = ? ). Ясно, что получится два десятка и еще одинъ полный (или круглый) десятокъ, т. е. три-десять, или тридцать

29 + 1 = 30.

Дальше счетъ идетъ подобно предыдущему,—устно: тридцать одинъ, тридцать два, тридцать три, тридцать четыре

и т. д. до тридцать девять. То же письменно: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39.

Тридцать девять да еще одинъ дастъ четыре полныхъ десятка, или сорокъ:

39 +1 = 40.

Вслѣдъ затѣмъ опять идетъ послѣдовательный счетъ, — устно: сорокъ одинъ, сорокъ два, сорокъ три и т. д. до сорокъ девять. Письменно: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Сорокъ девять и одинъ составятъ пять круглыхъ десяковъ или пятьдесятъ.

49+ 1 = 50.

Дальнѣйшій послѣдовательный счетъ будетъ,—устный: пятьдесятъ одинъ, пятьдесятъ два, пятьдесятъ три, пятьдетъ четыре, пятьдесятъ пять и т. д. до пятьдесятъ девять. То же письменно: 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59.

Пятьдесятъ девять и одинъ составятъ шесть полныхъ десятковъ, или шестьдесятъ:

59 + 1 =60.

Вслѣдъ затѣмъ идетъ послѣдовательный счетъ, — устный: шестьдесятъ одинъ, и т. д. до шестьдесятъ девять, письменный: 61, 62, 63, . . . 69. Послѣ чего слѣдуетъ семьдесятъ, т. е. 69 + 1 = 70.

Устный счетъ продолжается подобно предыдущему: семьдесятъ одинъ и т. д. до семьдесятъ девять, и соотвѣтственно: 71, 72, ... . 79.

Семьдесятъ девять и еще единица даетъ восемьдесятъ, т. е. 79 + 1 =80.

Считаемъ, подобно предыдущему, до восьмидесяти девяти устно, и пишемъ послѣдовательныя числа 81, 82, ... . 89.

Прибавляя къ восьмидесяти девяти 1, получаемъ девять круглыхъ десятковъ или девяносто, т. е. 89 +1 = 90.

Считаемъ до девяносто девяти и пишемъ соотвѣтствующія числа 91, 92, 93, .... , 99.

Прибавка къ девяносто девяти одной единицы дастъ десять десятковъ, или сто.

99 + 1 = 100.

Итакъ, мы умѣемъ называть и писать всѣ числа отъ 1 до 100, содержащіяся въ нижеслѣдующей таблицѣ:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Необходимо: 1) бѣглое значеніе счета въ предѣлахъ отъ 1 до 100 — прямого и обратнаго, т. е., счета, получаемаго присчитываньемъ и отсчитываньемъ единицы; 2) считать въ тѣхъ же предѣлахъ двойками, тройками и т. п. группами—прямо и обратно; 3) если названо число, то сейчасъ же назвать число непосредственно ему предшествующее и за нимъ слѣдующее; 4) разлагать каждое число на единицы и десятки, т. е. на единицы перваго и второго разряда.

Что касается писанія чиселъ, то необходимо уяснить и усвоить слѣдующее:

1) Въ предѣлахъ отъ 1 до 99 заключаются всѣ однозначныя и двузначныя числа, т. е. числа, которыя пишутся

одной и двумя цифрами. Если нуль тоже считать числомъ, то существуетъ 10 однозначныхъ и 90 двузначныхъ чиселъ.

3) Одна и та же цифра можетъ означать и единицы, и десятки. Если, считая справа, цифра стоитъ на первомъ мѣстѣ, она означаетъ простыя единицы, или единицы перваго разряда. Если, считая справа, цифра стоитъ на второмъ мѣстѣ,—она означаетъ единицы второго разряда, т. е. десятки.

3) Числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 суть круглые десятки. Цифра 0 означаетъ, слѣдовательно, что простыхъ единицъ (или единицъ перваго разряда) нѣтъ.

Дѣйствія надъ числами въ предѣлахъ до 100.

Сложеніе.—Усвоившій дѣйствіе сложенія въ предѣлахъ отъ 1 до 20 не встрѣтитъ здѣсь никакихъ затрудненій.

1) Надо сложить двузначное число съ однозначнымъ, напримѣръ, 37 и 8. Придаемъ къ 7 единицамъ двузначнаго числа 8, получаемъ десятокъ и 5 единицъ. Десятокъ придаемъ къ имѣющимся тремъ десяткамъ, получаемъ всего 4 десятка и 5 единицъ, т. е.

37+8 = 45.

Подобно же: 46 9 = 55, 31 + 0 = 37, 42 -}- 7 = 49 и т. д.

2) Надо сложить два двузначныхъ числа, напримѣръ, 27 + 54 = ?

Складываемъ единицы съ единицами и десятки съ десятками: 4 7 даетъ въ суммѣ 1 десятокъ и 1 единицу.

Единицу запишемъ, а десятокъ прибавимъ къ суммѣ десятковъ данныхъ слагаемыхъ, т. е. къ 2 + 6 прибавимъ еще десятокъ и получимъ 2 5 + 1 = 8. Итакъ,

27+54 = 81.

Подобно же: 324-14=46, 414-19=60, 52+13=65 и т д.

Вмѣсто того, чтобы писать слагаемыя числа рядомъ, ставя между ними +, часто бываетъ удобнѣе подписывать ихъ одно подъ другимъ и притомъ такъ, чтобы единицы стояли подъ единицами, а десятки подъ десятками. Затѣмъ впереди чиселъ ставятъ знакъ дѣйствія , подчеркиваютъ ихъ и ставятъ сумму подъ чертой.

Напримѣръ,

Такой способъ письменнаго выполненія дѣйствія сложенія особенно удобенъ, когда приходится складывать болѣе двухъ чиселъ, какъ это указано на прилагаемомъ примѣрѣ:

Маленькая цифра 2, поставленная надъ десятками слагаемыхъ чиселъ, обозначаетъ, что при сложеніи единицъ мы получили кромѣ 3 единицъ еще 2 десятка, которые и придаемъ къ десяткамъ данныхъ для сложенія чиселъ.

Не надо никогда забывать писать 0 подъ чертой подъ единицами, если при сложеніи окажется, что единицъ перваго разряда не получается, какъ, напримѣръ, въ случаяхъ: 19 4- 11 =30; 284-32=60; 514-29 = 80;

Вычитаніе.—Пусть уменьшаемое будетъ двузначное, а вычитаемое однозначное число,—напримѣръ, уменьшаемое 48, а вычитаемое 6. Чему равно 48—6?

Отъ единицъ уменьшаемаго вычитаемъ данное вычитаемое и получаемъ искомую разность, или остатокъ, 42.

Но единицы уменьшаемаго могутъ быть меньше единицъ вычитаемаго. Напримѣръ, если требуется изъ 54 вычесть 6, т. е. 54 — 6 = ?

Число 54 = 50 + 4, т. е. состоитъ изъ 5 десятковъ и 4 единицъ перваго разряда. Отъ пяти десятковъ беремъ одинъ десятокъ и придаемъ его къ 4, т. е. число 54 представляемъ такъ: 54 = 40 + 14. Вычитая 6 изъ 14 получаемъ 8. Итакъ:

Точка надъ десятками напоминаетъ намъ, что отъ пяти десятковъ мы заняли одинъ десятокъ и придали его къ 4 единицамъ уменьшаемаго, послѣ чего вычли 6 изъ 14 и получили въ разности 8 простыхъ единицъ и 4 десятка.

Если уменьшаемое и вычитаемое оба двузначныя числа, то изъ единицъ уменьшаемаго вычитаютъ единицы вычитаемаго, а изъ десятковъ десятки. Напр.

или то же можно записать такъ: 58 — 34 = 24.

Если простыя единицы вычитаемаго больше соотвѣтствующихъ единицъ уменьшаемаго, то поступаемъ, какъ указано выше: т. е. занимаемъ одинъ десятокъ уменьшаемаго и прибавляемъ его къ единицамъ, а затѣмъ вычитаемъ по предыдущему. Напр.

Въ этомъ примѣрѣ, приступая къ вычитанію, мы видимъ, что въ уменьшаемомъ 3 простыхъ единицы, а въ вычитаемомъ ихъ больше, 7. Поэтому надъ

цифрой десятковъ уменьшаемаго 6 ставимъ точку, чтобы показать, что здѣсь мы занимаемъ десятокъ, т. е. остается 5 десятковъ, а шестой десятокъ придаемъ къ 3 и получаемъ число 13, изъ котораго вычитаемъ 7 единицъ и получаемъ въ разности 6 единицъ перваго разряда. Затѣмъ вычитаемъ 4 десятка вычитаемаго изъ оставшихся 5 десятковъ уменьшаемаго и получаемъ 1 десятокъ. Итакъ,

63 — 47 = 16.

Подобно же:

Разберемъ случай вычитанія изъ 109. Напр.

Здѣсь можно разсуждать такъ: 100 состоитъ изъ 10 десятковъ; вычитаемъ отсюда сначала 4 десятка,—остается 6 десятковъ. Отъ 6 десятковъ отбрасываемъ еще 2 единицы, остается 5 десятковъ и 8 единицъ. И такъ, 100 — 42 = 58.

Но еще удобнѣе сразу разложить число 100 на двѣ части: 9 десятковъ и 1 десятокъ (100 = 90 + 10), а затѣмъ отъ десятка отнять 2 единицы (въ разности останется 8 един.), и отъ 9 десятковъ отнять 4 десятка (въ разности останется 5 десятковъ). Это можно записать такъ:

т. е. вмѣсто нуля единицъ въ уменьшаемомъ пишемъ десять, вмѣсто нуля десятковъ пишемъ 9 десятковъ. Затѣмъ

изъ 10 вычитаемъ 2 единицы, а изъ 9 десятковъ 4 десятка и получаемъ разность 58.

Но подобныхъ надписей не дѣлаютъ, а ставятъ только для памяти точки слѣдующимъ образомъ:

Точка надъ единицей сотенъ напоминаетъ намъ, что эту одну сотню мы взяли для разложенія; точка надъ О, стоящимъ на мѣстѣ десятковъ, напоминаетъ, что здѣсь мы подразумѣваемъ 9 десятковъ, а одинъ десятокъ мысленно представляемъ себѣ вмѣсто нуля единицъ и вычитаемъ изъ этого десятка единицы вычитаемаго.

Умноженіе. — Мы уже знаемъ, что умноженіемъ называется дѣйствіе сложенія одного и того же числа нѣсколько разъ. Такъ напр.

4X6 = 5+ 5 + 5 + 5 = 20, зхю = іо + іо + іо = 30.

Поэтому дѣйствіе умноженія называютъ часто сокращеннымъ сложеніемъ.

Считая до ста группами по 2, по 3, по 4, по 5 и т. д. единицъ, мы въ сущности производимъ каждый разъ послѣдовательное сложеніе одного и того же числа, т. е. упражняемся въ умноженіи.

Упражненія подобнаго рода необходимо производить настолько часто, чтобы достигнуть въ концѣ концовъ возможности перемножать всѣ однозначныя числа сразу.

На стр. 35 уже указано, что число, получающееся отъ умноженія, называется произведеніемъ, а два перемножающихся числа называются сомножителями.

Теперь запомнимъ еще, что одинъ сомножитель называется множимымъ, а другой множителемъ.

Множимое это число, которое надо умножить, т. е. нѣсколько разъ повторить слагаемымъ.

Множитель показываетъ, сколько разъ надо сложить множимое.

Напр., въ равенствѣ

3 X 6= 18

число 3 есть множитель, 6—множимое и 18 — произведеніе.

Кто желаетъ научиться возможно быстрому счету и дѣйствіямъ надъ числами, тотъ долженъ усвоить и знать наизусть всѣ произведенія однозначныхъ чиселъ. Для провѣрки себя и вмѣстѣ для запоминанія этихъ произведеній можетъ служить слѣдующая таблица умноженія, которая называется таблицей Пиѳагора.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 11 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 21 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 10 48 56 64 72

9 18 27 I 36 15 54 63 72 81

Пиѳагоръ—-имя древняго греческаго мудреца и математика, который, по преданію, составилъ эту таблицу.

Для составленія таблицы поступаемъ такъ:

Продольными и поперечными чертами дѣлимъ довольно большой квадратъ на 9 рядовъ и 9 столбцовъ такъ, что въ каждомъ ряду и въ каждомъ столбцѣ содержится по девяти небольшихъ квадратиковъ. Затѣмъ:

Въ первомъ верхнемъ ряду квадратиковъ вписываемъ послѣдовательныя числа отъ 1 до 9.

Каждое число этого перваго ряда складываемъ съ самимъ собой и пишемъ получаемыя суммы во второмъ ряду. Этотъ второй рядъ даетъ, очевидно, произведенія первыхъ девяти чиселъ на 2.

Числа второго ряда складываемъ послѣдовательно съ находящимися надъ ними числами перваго ряда и суммы пишемъ въ соотвѣтственныхъ клѣточкахъ третьяго ряда. Этотъ третій рядъ даетъ произведенія первыхъ девяти чиселъ на 3.

Числа третьяго ряда складываемъ опять-таки съ находящимися надъ ними числами перваго ряда и суммы записываемъ въ соотвѣтствующихъ клѣточкахъ четвертаго ряда. Этотъ четвертый рядъ даетъ произведенія первыхъ девяти чиселъ на 4.

Числа четвертаго ряда складываемъ съ находящимися надъ ними числами перваго ряда. Получаемыя суммы пишемъ въ соотвѣтственныхъ клѣточкахъ пятаго ряда. Эти числа пятаго ряда представляютъ произведенія первыхъ девяти чиселъ на 5.

Числа пятаго ряда складываемъ съ соотвѣтственными верхними числами перваго ряда, получаемъ шестой рядъ чиселъ и т. д.

Такимъ образомъ поступаемъ до послѣдняго, девятаго, ряда, который даетъ произведеніе первыхъ девяти чиселъ на 9.

Если, теперь, пожелаемъ узнать изъ таблицы, чему равно, напр., 6X7, то смотримъ столбецъ, начинающійся цифрой 6, и рядъ, начинающійся цифрой 7, на пересѣченіи этого столбца и этого ряда находимъ число 42, т. е,

6 X 7 = 42.

Подобно же изъ этой таблицы найдемъ, что

7 X 6=42,

т. е., подтверждается указанное уже на страницѣ 35 правило, что произведеніе двухъ чиселъ не мѣняется отъ перемѣны порядка сомножителей.

Повторяемъ: перемноженіе однозначныхъ чиселъ слѣдуетъ усвоить наизусть.

Если есть бумага, разграфленная на очень маленькіе квадратики, то таблицу Пиѳагора можно представить въ очень интересномъ видѣ — безъ цифръ. Цифры въ такой таблицѣ замѣнены числомъ мелкихъ клѣточекъ, содержащихся въ свою очередь въ болѣе крупныхъ клѣткахъ, какъ это изображено на прилагаемой таблицѣ (см. на 52 стр.).

Какъ видимъ, здѣсь верхній рядъ (самый узкій) болѣе толстыми линіями дѣлится на 9 частей, состоящихъ въ свою очередь послѣдовательно изъ 1, 2, 3, 4 и т. д. мелкихъ клѣточекъ.

Второй рядъ дѣлится на клѣтки, состоящія въ свою очередь изъ 2, 4, 6, 8 и т. д. мелкихъ клѣточекъ. И т. д. до послѣдней большой клѣтки послѣдняго ряда, состоящей изъ 9X9 = 81 маленькихъ клѣточекъ.

Дѣленіе. — Для быстраго дѣленія (или сокращеннаго вычитанія) въ предѣлахъ до 100 прежде всего необходимо знаніе таблицы умноженія. Въ самомъ дѣлѣ, если мы,

наприм., знаемъ, что 3X8 = 24, то, значитъ, знаемъ, что въ числѣ 24 число 8 содержится 3 раза, что, какъ извѣстно, обозначается такъ:

24 : 8 = 3.

Точно также изъ равенства, напр., 7X8 = 56 слѣдуетъ, что 56 : 8 = 7 и т. д.

Пусть еще, напр., надо раздѣлить 46 на 7:

46 : 7 = ?

Здѣсь, прикидывая въ умѣ, надо сообразить, что

6 X 7 = 42, а 7 X 7 = 49.

Число же 46 находится между 42 и 49, а именно

Поэтому въ 46 число 7 содержится 6 разъ, но еще получается остатокъ 4, что можно обозначить такъ:

Написанное ясно показываетъ намъ, что если отъ 4G отбросить 6 разъ по 7, т. е. 42 (ибо 6X7 = 42), то останется еще 4. Это случай дѣленія съ остаткомъ.

Болѣе полно дѣйствіе дѣленія будетъ разобрано дальше. Пока же необходимо еще разъ вспомнить (см. страницу 37), что число, которое надо раздѣлить называется дѣлимымъ, a число, о которомъ спрашивается, сколько разъ оно содержится въ дѣлимомъ, называется дѣлителемъ. Число, получаемое отъ дѣленія, есть частное, при чемъ дѣленіе можетъ быть съ остаткомъ и безъ остатка (или нацѣло).

Знаніе таблицы умноженія даетъ возможность быстро дѣлить числа на равныя части. Такъ, зная, напримѣръ, что 7 X 9 = 63, мы можемъ сказать, что число 63 можно раздѣлить на 7 равныхъ частей, или группъ, по 9 единицъ въ каждой группѣ. А такъ какъ 7 X 9 = 9X7=63, то 63 дѣлится также на 9 равныхъ частей но 7 единицъ въ каждой части.

Все сказанное о дѣленіи поможетъ уяснить слѣдующее:

Если требуется раздѣлить, напримѣръ, 56 на 8 (т. е. 56:8 = ?), то мы обращаемся къ таблицѣ умноженія, которая показываетъ, что 56 = 7 X и мы заключаемъ, что 56 : 8 = 7.

Отсюда ариѳметическое дѣйствіе дѣленія можно опредѣлить такъ:

При дѣленіи даны произведеніе и одинъ изъ сомножителей, а ищутъ другой сомножитель.

Упражненія надъ числами до ста.

1. —Счетъ отъ 1 до 100 послѣдовательный и обратный.

2. —Напишите всѣ числа отъ 1 до 100 цифрами и буквами.

3. —Считайте отъ 1 до 100 порядковымъ счетомъ.

4. —Назовите числа, заключающіяся между двадцатью и тридцатью, сорока и пятидесятью, шестидесятью и семидесятью, восьмидесятые и сто.

5. —Назовите числа между 24 и 32, 47 и 56, 87 и 91.

6. —Какое число находится передъ 20, какое слѣдуетъ за 20?

7. —Считайте черезъ 1, начиная съ 1 до 100. Считайте въ тѣхъ же предѣлахъ черезъ 2, черезъ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10.

8. —Напишите наименьшее цѣлое число, состоящее изъ двухъ рядомъ стоящихъ цифръ. Напишите наибольшее подобное же число.

9. —Написать цифрами, сколько будетъ: 3 десятка и 5 единицъ.—4 десятка и 8 единицъ?—5 десятковъ и 5 единицъ?—6 десятковъ и 9 единицъ?—7 десятковъ и 7 единицъ?—8 десятковъ и 4 единицы?—9 десятковъ и 1 единица?—1 десятокъ и 9 единицъ?— 2 десятка и 10 единицъ?

10. —Сколько будетъ: 10 и 5?—20 и 5?—30 и 3?—40 и 9?— 50 и 7?—50 и 8?—70 и 1?- 80 и 2?—90 и 9?—40 и 4?—90 и 1?— 80 и 8?—70 и 0?—60 и 6?—20 и 2?-50 и 5?—10 и 1?—80 и 9?-90 и 10?

11.—Сколько будетъ: 6 десятковъ и 10?—2 десятка и 30?—5 десятковъ и 20?—4 десятка и 40?—8 десятковъ и 10?—1 десятокъ и 90?—30 и 5 десятковъ?—50 и 5 десятковъ?—60 и 4 десятка?— 10 и 9 десятковъ?—70 и 2 десятка?—20 и 3 десятка?—7 десятковъ и 3 десятка?

12.—Сколько будетъ: 2 десятка безъ пяти единицъ?—3 десятка безъ пяти единицъ?—4 десятка безъ пяти единицъ?—5 де-

сятковъ безъ 10?—30 безъ 5 единицъ?—6 десятковъ безъ 20?— 20 безъ 5?—10 безъ 5?—80 безъ 20?—60 безъ 3 десятковъ?— 50 безъ 2 десятковъ?—70 безъ 5?—75 безъ 5?—35 безъ 5?—55безъ 5?-25-5?—85 безъ 5?—95 безъ 5?

29.—Чтобы раздѣлить, напр., 24 на 2, надо раздѣлить на 2 отдѣльно 20 и 4, такъ какъ 24 — 20 ф- 4.Слѣдовательно, 24:2= 12. Сообразно съ этимъ указаніемъ произвести дѣленія:

30. Кто первый скажетъ сто? Двое говорятъ поочередно какія-либо числа, не большія десяти, т. е. можно назвать 10 и всякое меньшее число. Эти числа послѣдовательно складываются одно за другимъ, и выигрываетъ тотъ, кто первый скажетъ сто.

Поясненіе. Въ этой задачѣ число сто надо получить сложеніемъ ряда чиселъ, не превышающихъ десятка. Такъ, если, напр., одинъ скажетъ 7, а другой 10, получится 17; затѣмъ первый говоритъ, напр., 5,—получается 22; второй говоритъ, напр.. 8,—получается 30 и т. д. Выигрываетъ тотъ, кто, прибавивши къ послѣднему числу, полученному противникомъ, свое число (не большее 10) получитъ сто.

Какъ сдѣлать такъ, чтобы выиграть навѣрняка?

Рѣшеніе.—Если вамъ удастся сказать 89, то какое бы число противникъ не прибавилъ къ этому числу, вы къ положенному имъ числу всегда подберете такое, что скажете сто и выиграете. Но чтобы вамъ навѣрно удалось. сказать 89 (если противникъ замѣтитъ это ваше желаніе и будетъ стараться самъ сказать это число), постарайтесь получить сумму 78. Тогда, какое бы число ни прибавилъ къ 78 другой, онъ не помѣшаетъ вамъ прибавить къ его числу такое, что вы скажете 89. Если бы другой замѣтилъ и это число 78, тогда старайтесь получить число 67; и какое бы число (10 или меньшее) вашъ противникъ не прибавилъ къ нему, онъ не помѣшаетъ вамъ сказать 78, а затѣмъ 89 и 100. Идя такимъ же образомъ далѣе, вы убѣдитесь, что всегда выиграете, если будете помнить числа

89, 78, 67, 56, 45, 34, 23,12, 1.

Итакъ, если вы скажете число 1, то какое бы число (10 или меньшее) ни прибавилъ къ нему другой, онъ не помѣшаетъ вамъ сказать затѣмъ 12, а затѣмъ послѣ него число 23, 34 и т. до 100.

Если къ 1 прибавить 11, къ полученному числу (12) опять 11, къ полученному числу (23) опять 11 и т. д., то и получится въ обратномъ порядкѣ рядъ написанныхъ выше чиселъ:

1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89.

Такъ что запомнить эти числа легко.

Но если оба играющіе знаютъ, въ чемъ дѣло, то кто долженъ выиграть навѣрняка?

Число и мѣра.

Когда мы говоримъ, что одна величина больше, а другая меньше, то, значитъ, мы сравниваемъ эти величины между собой. Пусть, наприм., передъ нами лежатъ двѣ кучки зеренъ гороха,—въ одной 10, а въ другой 15 зеренъ:

Мы говоримъ, что вторая кучка больше, чѣмъ первая. Почему?

Потому что число зеренъ во второй кучкѣ больше числа зеренъ въ первой кучкѣ. Одно зерно принято здѣсь за единицу сравненія, и такихъ единицъ-зеренъ въ первой кучкѣ 10, а во второй 15.

Положимъ одна за другой, въ длину, двѣ спички, а подъ ними положимъ въ длину 5 спичекъ:

Какая длина больше?

Длина въ 5 спичекъ больше длины въ 2 спички.

За единицу сравненія здѣсь принята спичка, и такихъ единицъ въ первой длинѣ 2, а во второй 5. Число 2 меньше числа 5, и соотвѣтственно первая длина меньше второй.

Возьмемъ еще 2 площадки: одну, состоящую изъ 3-хъ одинаковыхъ квадратиковъ, а другую изъ 6-ти такихъ же квадратиковъ:

Какая площадка больше?

Здѣсь за единицу сравненія проще всего, очевидно, взять квадратикъ. Такихъ квадратиковъ въ первой площадкѣ укладывается 3, а во второй 6. Вторая площадка, значитъ, больше первой, потому что число 6 больше числа 3.

Точно также, если мы имѣемъ, наприм., два графина, то чтобы узнать, который больше вмѣщаетъ воды, принимаемъ за единицу сравненія, напримѣръ, стаканъ. Если въ одинъ графинъ можно влить 5 стакановъ воды, а въ другой 7 стакановъ, то второй графинъ больше, или вмѣстительнѣе перваго.

Что продолжительнѣе: недѣля или мѣсяцъ?

Мѣсяцъ продолжительнѣе (больше) недѣли, потому что въ мѣсяцѣ мы считаемъ въ среднемъ 30 дней (вѣрнѣе сказать— сутокъ), а въ недѣлѣ 7 сутокъ. Здѣсь за единицу сравненія принимаются сутки.

Вообще, чтобы имѣть точное понятіе о величинѣ какого-либо предмета, мы должны этотъ предметъ сравнить съ другимъ подобнымъ предметомъ, величину котораго мы хорошо знаемъ. Этотъ хорошо намъ извѣстный по величинѣ предметъ, съ которымъ мы сравниваемъ другіе подобные предметы, и называется единицей сравненія. Вотъ у насъ здѣсь нарисованъ маленькій кубикъ, который примемъ за единицу сравненіи. Если мы хорошо знаемъ его величину, то будемъ имѣть правильное понятіе о величинѣ тѣла (предмета), состоящаго, напримѣръ, изъ 100 такихъ кубиковъ. Оно нарисовано здѣсь, какъ часть (низъ), большаго куба.

Изъ десяти сотенъ такихъ кубиковъ можно построить въ свою очередь кубъ, равный по величинѣ большему, нарисованному здѣсь, кубу.

Сравнивать между собой можно только величины подобныя, или однородныя, т. е. можно сравнивать, напримѣръ, длину съ длиной, площадь съ площадью, вмѣстимость, или емкость, ведра съ емкостью бутылки или стакана, продолжительность времени съ временемъ и т. д. Это понятно, но объ этомъ надо всегда помнить, особенно начинающимъ. За единицу же сравненія однородныхъ величинъ можно взять какую угодно изъ этихъ величинъ. Необходимо только, чтобы величина, принятая за единицу сравненія, была хорошо и отчетливо извѣстна.

Единицы сравненія однородныхъ величинъ могутъ быть различны по величинѣ. Обыкновенно, когда идетъ рѣчь о небольшихъ величинахъ, то и единицы сравненія берутся небольшія и, наоборотъ, для большихъ величинъ и единицы сравненія берутся большія. Сейчасъ, напримѣръ, мы увидимъ, что длину можно сравнивать и съ такъ называемымъ вершкомъ, и съ четвертью (пядью), и съ аршиномъ, и съ другими большими единицами длины.

Сравнить какую-либо величину съ другой однородной величиной, принятой за единицу сравненія, значитъ измѣрить взятую величину.

Итакъ, слово измѣрить заключаетъ въ себѣ смыслъ слова сравнить; а единица сравненія называется единицей мѣры, или просто мѣрой.

Если мы производимъ измѣреніе, то сравниваемъ хорошо намъ извѣстную единицу мѣры съ другой однородной величиной.

Длина начерченной здѣсь линіи

носитъ особое названіе—вершокъ. Постарайтесь замѣтить эту длину, такъ какъ это наша русская единица мѣры длины, или погонная мѣра. Вершкомъ удобно измѣрять предметы небольшой длины.

Сдѣлайте полоску бумаги или палочку длиной въ 1 вершокъ. Вы получите погонную мѣру, которой можете измѣрить длину, напримѣръ, ручки для пера, которой вы пишете, или длину карандаша, или длину другого какого-либо предмета.

Для такого измѣренія вы прикладываете вплотную вершокъ, напр., къ карандашу такъ, чтобы начало вершка и начало карандаша совпадали. Отмѣтимъ на карандашѣ другой конецъ приложеннаго вершка и такимъ образомъ получимъ на длинѣ карандаша одинъ вершокъ, — первый. Второй вершокъ мы получимъ, откладывая нашу мѣру отъ того мѣста, гдѣ былъ конецъ перваго вершка. Третій вершокъ мы получимъ, отъ того мѣста, гдѣ былъ конецъ второго вершка и т. д. Такъ продолжимъ, пока не достигнемъ другого конца карандаша, и сосчитываемъ число полученныхъ на измѣряемомъ предметѣ дѣленій.

Если по длинѣ ручки мы можетъ уложить вершокъ четыре раза, то, значитъ, ручка имѣетъ 4 вершка длины, или 4 погонныхъ вершка. Если по длинѣ подоконника вершокъ уложится, скажемъ, тридцать разъ, то, значитъ, длина подоконника равна 30 вершкамъ. Сдѣлайте еще нѣсколько измѣреній, принявъ за единицу мѣры длины вершокъ.

Что же получается въ результатѣ каждаго измѣренія, т. е. сравненія предмета со взятой единицей мѣры?

Число.

Что означаетъ это число?

Это число означаетъ, сколько разъ единица мѣры содержится въ измѣренной величинѣ.

То же самое выражаютъ иначе, говоря:

Число, полученное отъ измѣренія, выражаетъ отношеніе измѣряемой величины къ единицѣ мѣры.

Если, напримѣръ, въ какой-либо длинѣ вершокъ укладывается шесть разъ, то число 6 выражаетъ отношеніе всей этой длины къ единицѣ-вершку. Если, напримѣръ, за единицу мѣры емкости (или вмѣстимости) примемъ стаканъ и, наполняя самоваръ, убѣдимся, что въ него входитъ 15 стакановъ, то число 15 и показываетъ отношеніе емкости самовара къ емкости единицы-стакана.

Итакъ, сравненіе, т. е. измѣреніе величинъ другой однородной величиной-единицей даетъ понятіе объ отношеніи величинъ къ единицѣ. Это отношеніе выражается числомъ, которое указываетъ, сколько разъ единица мѣры содержится въ величинѣ, или во сколько разъ величина больше своей единицы,—вообще, какъ данная величина относится къ принятой единицѣ мѣры.

Такимъ образомъ, чтобы быть въ состояніи что-либо измѣрить, мы должны прежде всего составить ясное понятіе о единицѣ мѣры; а затѣмъ получить число, выражающее отношеніе измѣряемой величины къ принятой единицѣ.

Понятія объ единицѣ и объ отношеніи къ единицѣ—это такія основныя понятія, безъ которыхъ мы не могли бы ни считать, ни измѣрять, т. е. не имѣли бы представленія о числѣ. Прежде чѣмъ исчислить число, напримѣръ, зеренъ въ кучкѣ, камешковъ, спичекъ, деревьевъ, коровъ и т. д., мы должны имѣть понятіе объ одномъ зернѣ, одномъ камешкѣ, одной спичкѣ, одномъ деревѣ и т. д. Прежде чѣмъ измѣрить какую-либо длину, площадь, емкость сосуда, время и т. д., необходимо имѣть понятіе о единицѣ длины, единицѣ площади, единицѣ емкости, единицѣ времени и т. д. Только имѣя понятіе о единицѣ, можно составить число; и смыслъ числа заключается именно въ сравненіи его съ единичнымъ предметомъ, т. е. отношеніи его къ единицѣ. Поэтому иногда просто выражаются такъ:

Число есть отношеніе къ единицѣ нѣкоторой сборной группы единицъ.

Уясненіе и усвоеніе понятія о числѣ, какъ объ отношеніи къ единицѣ, тѣмъ болѣе необходимо, что единицы, какъ это не разъ указывалось, принимаемыя для счета, и мѣры—не всегда однѣ и тѣ же. Возьмемъ, напримѣръ, горсть спичекъ, станемъ ихъ считать по одной, и пусть окажется 70 спичекъ. Полученное число 70 есть отношеніе взятой совокупности спичекъ къ одной спичкѣ. Эту же горсть спичекъ свяжемъ сначала въ пучки по 10 спичекъ, а затѣмъ пересчитаемъ пучки. Окажется 7 пучковъ. Число 7 есть отношеніе всей совокупности взятыхъ спичекъ къ пучку—десятку, принятому за единицу. Такихъ примѣровъ можно наблюдать, сколько угодно.

О нѣкоторыхъ единицахъ мѣры длины. (Погонныя мѣры).

Уже указано выше, что у насъ, русскихъ, для измѣренія небольшой длины за единицу мѣры часто принимаютъ такую длину:

Называютъ эту единицу мѣры—вершкомъ. Вершокъ нѣсколько короче двухъ верхнихъ суставовъ указательнаго пальца средняго взрослаго человѣка, отсюда получилось и его названіе: верхъ перста = вершокъ. Сравнивать съ вершкомъ (измѣрить вершкомъ) большія длины, очевидно, неудобно: уходитъ много времени, и получаются большія числа. Поэтому приняты и большія единицы длины. Если отмѣрить въ длину 4 вершка, то получится новая единица длины, изображенная нарисованной на 63 стр. линейкой. Эта единица длины называется пядью (пяденью) или четвертью. Величина ея равна приблизительно разстоянію между концами протянутыхъ указательнаго и большого паль-

цевъ руки средняго взрослаго человѣка, отсюда и названіе пядь, или пядень.

Измѣрьте четвертью, напримѣръ длину и ширину вашего стола.

Отмѣрьте ниткой или обозначьте на палкѣ черточками 4 пядени (или четверти) и вы получите новую единицу мѣры для измѣренія длины—аршинъ. Это самая употребительная единица длины въ нашей повседневной жизни. На аршины мѣряютъ, напримѣръ, полотна, сукна, ситцы и вообще всякія «матеріи». Точно также обыкновенно аршинами опредѣляютъ длину, ширину и высоту комнаты, ростъ человѣка, длину бревна и т. д. Приблизительно аршинъ равенъ вольному шагу человѣку, или длинѣ руки отъ плеча, но это, конечно, только приблизительно.

Образецъ настоящаго, узаконеннаго, аршина хранится въ Палатѣ Мѣръ и Бѣсовъ въ Петербургѣ, а металлическія или деревянныя копіи съ него продаются по всей Россіи. Врядъ ли кто изъ читателей не видалъ, напр., деревяннаго «складного» аршина. На приложенной къ этой книгѣ таблицѣ нарисована линейка въ половину аршина, т. е. въ двѣ четверти (или пяди) съ дѣленіями на вершки. Отмѣривъ двѣ такихъ линейки, получимъ цѣлый аршинъ.

Длину въ 3 аршина тоже принимаютъ за единицу погонной мѣры, имѣющую также особое названіе, — сажень. Это уже довольно большая единица, и ею пользуются для измѣренія болѣе значительныхъ величинъ, напр., длины и ширины полей, улицъ, размѣровъ большихъ зданій, деревьевъ и т. д.

Такимъ образомъ, ограничиваясь пока саженью, какъ наибольшей мѣрой длины, имѣемъ:

сажень = 3 аршинамъ, аршинъ = 4 четвертямъ, или пядямъ, четверть (пядь) = 4 вершкамъ.

Необходимо выработать въ себѣ точное и ясное представленіе о величинѣ—длинѣ сажени и ея подраздѣленій (т. е. объ аршинѣ, четверти и вершкѣ). Достигается это скорѣе всего измѣреніями на самомъ дѣлѣ различныхъ длинъ вершкомъ, пядью, аршиномъ и саженью.

Народныя поговорки, въ которыхъ встрѣчаются мѣры: Мѣра дѣлу вѣра.—Аршинъ не солжетъ.—Аршинъ на сукно, кувшинъ на вино |Одно другому не замѣна |. — Поутру въ сажень, въ полдень въ пядень, а къ вечеру черезъ поле хватаетъ [Загадка. Тѣнь].—Уступить на пядень, а потянуть на сажень.— Нааршинничать — наторговать.—Проаршиннпчать = проторговаться.

Выше уже показано, что сажень = 3 аршинамъ = 12 четвертямъ (пяденямъ) = 48 вершкамъ. Кромѣ этихъ подраздѣленій сажень имѣетъ еще и другія, понятіе о которыхъ молено составить слѣдующимъ образомъ.

Возьмемъ линейку такой длины:

Эта длина также принимается за единицу длины и носитъ особое названіе дюймъ. Какъ видимъ, дюймъ меньше вершка. Онъ немного длиннѣе его половины.

Если отмѣрить въ длину 12 такихъ дюймовъ, то получимъ новую единицу длины, носящую названіе футъ; и ровно 7 такихъ футовъ составятъ опять-таки извѣстную намъ сажень.

Значитъ, съ одной стороны:

1 сажень = 3 аршинамъ = 48 вершкамъ

и съ другой:

1 сажень = 7 футамъ = 84 дюймамъ.

Сопоставляя эти подраздѣленія, можно получить понятіе объ относительныхъ размѣрахъ этихъ единицъ длины. Такъ, напр., очевидно, что футъ слишкомъ вдвое меньше аршина, что въ аршинѣ ровно 28 дюймовъ и т. под. (См. приложенную таблицу мѣръ).

Мѣры футъ и дюймъ перешли къ намъ отъ англичанъ. Вообще до послѣдняго времени каждый народъ (а иногда даже отдѣльныя области и города) имѣли свои особыя единицы мѣръ. Такъ что при торговлѣ, напр., или вообще при сношеніяхъ съ другими народами мало знать свои мѣры. Надо усвоить также чужеземныя и умѣть переводить однѣ мѣры на другія. Это создаетъ многія затрудненія и неудобства. Поэтому всѣ образованные народы рѣшили установить одинаковыя мѣры для всѣхъ странъ. Дальше мы увидимъ, какъ и когда это было сдѣлано.

Понятіе о длинѣ, какъ протяженіи въ одномъ и томъ же направленіи (прямая линія), усваивается человѣкомъ съ самыхъ раннихъ лѣтъ и знакомо каждому. Для ясности и вразумительности рѣчи нѣкоторыя измѣряемыя длины, или разстоянія получаютъ особыя названія. Такъ: длина предмета возвышающагося, напр., надъ поверхностью земли называется его высотой, разстояніе отъ поверхности земли до дна, наприм., колодца называется его глубиной. Высота или глубина предмета называется также иногда его толщиной. Говоря о поверхности или площади какого-либо предмета, мы различаемъ два направленія: длину и ширину.

Длина, ширина, высота, глубина, толщина и т. п.—все это понятія одного и того же порядка (протяженіе въ длину) и измѣряются они принятыми единицами мѣры длины. Во всякомъ доступномъ нашему осязанію предметѣ мы различаемъ три главныхъ протяженія, или измѣренія: длину, ширину и высоту. Послѣдняя (высота), какъ упомянуто, называется иногда глубиной или толщиной. Если мы знаемъ

три главныхъ измѣренія предмета, то можемъ опредѣлить и его величину, или размѣры.

При измѣреніи различныхъ длинъ естественнѣе всего выбирать такую единицу мѣры, которая соотвѣтствовала бы измѣряемой величинѣ. Т. е., для большихъ длинъ брать большія единицы мѣры, а для меньшихъ—меньшія.

Если, напр., требуется знать длину, ширину и высоту (толщину) лежащей предъ вами книги, то нѣть смысла брать для измѣренія сажень или даже аршинъ, или футъ. Въ данномъ случаѣ лучше всего за единицу сравненія (т. е. за мѣру) взять вершокъ или дюймъ. Съ другой стороны, высоту, напр., дерева или длину бревна естественнѣе всего измѣрять саженями или аршинами.

Для большихъ. разстояній существуютъ единицы мѣры большія, чѣмъ сажень. Такъ, землемѣры промѣриваютъ разстояніе обыкновенно цѣпью въ 10 саженей длины—десятисаженкой. 50 такихъ десятисаженокъ даютъ длину, которая называется верстой. Разстояніе въ 7 верстъ называютъ географической милей.

Объ измѣреніи времени.

Все существующее на Землѣ зависитъ главнымъ образомъ отъ Солнца. Оно же направляетъ и жизнь человѣка. Съ восходомъ Солнца начинается денъ—время дѣятельности и труда. Съ закатомъ Солнца день оканчивается. Начинается время отдыха, ночъ, продолжающаяся до слѣдующаго восхода Солнца. День и ночь вмѣстѣ составляетъ промежутокъ времени, который мы называемъ, сутками. «День да ночь—сутки прочь»,—говоритъ народъ.

Когда, поднимаясь по небосводу, Солнце для мѣста, гдѣ мы живемъ, достигаетъ самаго высокаго положенія на небѣ, то въ этотъ моментъ наступаетъ нашъ истинный полденъ.

Время отъ одного истиннаго полудня до слѣдующаго называется истинными солнечными сутками.

Но истинныя солнечныя сутки не одинаково продолжительны. Они бываютъ то немного короче, то длиннѣе; хотя эта разница и не велика, но для единицы сравненія необходима совершенно опредѣленная, всегда одинаковая, постоянная величина. Поэтому за единицу времени приняли среднія солнечныя сутки, заключающіяся по продолжительности между самыми длинными и самыми короткими истинными солнечными сутками.

Эти среднія сутки дѣлятъ на 24 равныхъ промежутка времени, каждый изъ которыхъ называется часомъ.

Часъ дѣлится на 60 равныхъ промежутковъ, называемыхъ минутами.

Минута въ свою очередь дѣлится на 60 равныхъ промежутковъ, называемыхъ секундами.

Среднія солнечныя сутки, раздѣленная на часы, минуты и секунды, и составляютъ единицы измѣренія времени въ нашей повседневной жизни. Это—такъ называемое среднее или гражданское время.

Для показанія истекающаго отъ начала сутокъ времени устраиваются нынѣ извѣстные всѣмъ приборы, — часы.

Современные часы представляютъ наборъ (систему) зубчатыхъ колесъ, приводимыхъ въ движеніе грузомъ (опускающимися гирями) или пружиной. Ходъ часовъ регулируется маятникомъ (въ случаѣ груза) или балансиромъ (въ пружинныхъ часахъ).

Къ осямъ извѣстныхъ колесъ прикрѣплены стрѣлки, круговое передвиженіе которыхъ можно отсчитывать по дѣленіямъ находящагося подъ стрѣлками круга, нарисованнаго на покрывающей механизмъ пластинкѣ. Эта пластинка съ дѣленіями круга и проставленными у этихъ дѣленій цифрами носитъ нѣмецкое названіе «циферблатъ».

12 часовъ и 5 минутъ (пять минутъ перваго).

12 часовъ и 16 минутъ (четверть перваго).

12 часовъ и 30 минутъ (половина перваго).

Чаще всего надъ циферблатомъ движутся двѣ стрѣлки: часовая (болѣе короткая) и минутная (болѣе длинная).

Окружность круга на циферблатѣ чаще всего дѣлится на 12 равныхъ частей, а колесо, движущее часовую стрѣлку, устраиваютъ такъ, что оно дѣлаетъ полный оборотъ въ 12 часовъ. Такъ что передвиженіе конца часовой стрѣлки

12 час. и 45 мин. (три четверти перваго, безъ четверти часъ).

Ровно 1 часъ.

на — часть окружности соотвѣтствуетъ одному истекшему часу времени.

Минутная стрѣлка (вѣрнѣе — движущее ее колесо) совершаетъ свой полный оборотъ въ теченіе одного часа. Такъ что часть дѣленія циферблата она проходитъ въ 5 минутъ.

На прилагаемомъ рисункѣ часового циферблата и стрѣлокъ вы найдете поясненіе сказанному, равно какъ можете поупражняться въ отсчитываніи показанія часовъ и ознакомиться съ римскими цифрами, если такого знакомства не было раньше. Обычай употреблять на часовыхъ циферблатахъ римскія цифры сохранился до сихъ поръ. Вотъ эти цифры въ послѣдовательномъ порядкѣ отъ 1 до 12:

Съ какого мгновенія времени (момента) надо считать начало сутокъ? Различные народы различно рѣшали этотъ вопросъ. Одни за начало сутокъ принимали моментъ восхода Солнца, другіе—моментъ его заката и т. д. Великій астрономъ древности, грекъ Гиппархъ (родился около 150 г. до P. X.), предложилъ начинать сутки съ момента полуночи. Такой счетъ гражданскаго времени принятъ теперь во всей Европѣ, при чемъ сутки дѣлятся на 2 равныя части по 12 часовъ въ каждой, т. е., отъ момента полуночи до момента средняго полудня (12 часовъ дня) и начиная съ этого момента опять до полуночи (12 часовъ ночи).

Не менѣе знаменитый древній астрономъ Птолемей (128—168 г.) предложилъ раздѣлять сутки на 24 часа, начиная съ полудня (и до слѣдующаго полудня). Такой счетъ времени сохраняется и посейчасъ у астрономовъ.

Семь сутокъ (часто вмѣсто «сутокъ» говорятъ просто «дней») составляютъ промежутокъ времени недѣлю. Порядокъ дней недѣли такой: воскресенье, понедѣльникъ, вторникъ, среда, четвергъ, пятница, суббота.

30 сутокъ (дней) составляютъ такъ называемый гражданскій мѣсяцъ, а 12 мѣсяцевъ годъ.

Названія мѣсяцевъ по порядку слѣдованія въ году таковы: Январь, Февраль, Мартъ, Апрѣль, Май, Іюнь, Іюль, Августъ, Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь. Первыя сутки Января—вмѣстѣ съ тѣмъ и первыя сутки Новаго года.

Вѣсъ и взвѣшиваніе.

Если какой-нибудь предметъ (тѣло) положить на другой, то этотъ первый предметъ давитъ на тотъ другой предметъ, на который онъ упирается. Это давленіе тѣла, испытываемое другимъ тѣломъ, на которое первое упирается, называется вѣсомъ даннаго тѣла.

Одно тѣло можетъ давить на другое больше, а другое меньше, т. е. вѣсъ одного тѣла можетъ быть больше или меньше другого; или, какъ обыкновенно говорятъ, одни тѣла бываютъ тяжелѣе, а другія легче.

Для сравненія, или измѣренія, вѣса различныхъ тѣлъ употребляется особый приборъ, — извѣстные всѣмъ вѣсы.

Главная часть вѣсовъ это коромысло (или рычагъ), подпертое по серединѣ, на концахъ котораго (см. рисунки) подвѣшены или укрѣплены неподвижно двѣ чашки, или подставки вѣсовъ.

Если подставки вѣсовъ пусты, то вѣсы находятся въ равновѣсіи. Стрѣлка, придѣланная къ коромыслу, стоитъ въ такомъ случаѣ прямо. Но если на чашку вѣсовъ положить грузъ, т. е. какое-либо тѣло, то это тѣло окажетъ давленіе на подставку, и чашка съ грузомъ опустится, а противоположная ей чашка подымется.

Чтобы, теперь, уравновѣситъ вѣсы, необходимо на пустую чашку вѣсовъ тоже положить грузъ и притомъ грузъ равный по вѣсу положенному на первую чашку вѣсовъ. Если, затѣмъ, мы сумѣемъ сосчитать вѣсъ одного груза, то будемъ знать и вѣсъ другого.

Такъ производится взвѣшиваніе тѣла.

Но какъ сосчитать вѣсъ тѣла, или, другими словами, какъ его измѣрить? Для этого, какъ и всегда, нужна единица счета, единица сравненія. Такія единицы мѣры вѣса существуютъ въ каждомъ государствѣ.

У насъ въ Россіи основной единицей вѣса принята нѣкоторая тяжесть, которую называютъ фунтъ. Куски чугуна, мѣди или иного металла вѣсомъ въ одинъ фунтъ нарочно изготовляются, провѣряются правительствомъ и продаются всѣмъ, которымъ приходится взвѣшивать. Такіе нарочно для взвѣшиванія изготовленные куски металла называются гирями.

Есть сколько угодно тѣлъ тяжелѣе фунта и сколько угодно тѣлъ легче фунта. Поэтому для удобства и гири дѣлаются разнаго вѣса. Гирю вѣсомъ въ 40 фунтовъ называютъ пудъ. Для болѣе же легкихъ предметовъ дѣлаютъ небольшія гирьки или разновѣски, представляющія части фунта. Такъ, дробятъ фунтъ на 32 части, каждая изъ которыхъ называется лотомъ. Лотъ дробятъ на 3 золотника, а золотникъ на 96 долей.

Золотники и доли это очень маленькія единицы вѣса. Употребляются они для взвѣшиванія или очень легкихъ, или очень дорогихъ предметовъ и притомъ на особыхъ, такъ называемыхъ, чувствительныхъ вѣсахъ.

О деньгахъ.

Деньги придуманы для облегченія купли - продажи и, вообще, для удобства торговыхъ и хозяйственныхъ отношеній между людьми.

Положимъ, что у меня есть большой запасъ хлѣба, а нѣтъ дровъ. У моего же сосѣда есть запасъ дровъ, но не хватаетъ хлѣба. Тогда мы можемъ сдѣлать обмѣнъ. За извѣстное количество хлѣба, которое я дамъ сосѣду, онъ дастъ мнѣ соотвѣтственное количество дровъ; и каждый изъ насъ будетъ имѣть, что ему нужно. Такая мѣна товарами (мѣновая торговля) сохранилась кое-гдѣ еще и до сихъ поръ, но она имѣетъ очень большія неудобства. Возьмемъ хотя бы нашъ примѣръ. Пусть у меня есть излишекъ хлѣба, a у сосѣда излишекъ нужныхъ мнѣ дровъ, но ему нуженъ не хлѣбъ, а что-либо другое, такъ что онъ не пожелаетъ дать мнѣ дрова за мой хлѣбъ. Въ такомъ случаѣ мнѣ придется искать другого такого человѣка, которому именно нуженъ былъ бы хлѣбъ и который бы вмѣстѣ съ тѣмъ имѣлъ запасъ дровъ. Если такого человѣка нѣтъ въ моемъ селеніи, то придется везти хлѣбъ въ другое селеніе или городъ и опять искать тамъ нужнаго человѣка и т. д. Неудобно, хлопотливо и теряется время.

Поэтому проще всего имѣющіеся у человѣка избытки чего-либо обращать въ такую вещь, въ обмѣнъ за которую можно получать какой угодно предметъ. Такой вещью у современныхъ образованныхъ народовъ считаются благородные металлы: золото и серебро,—въ особенности золото. Произведенія природы, все получаемое человѣческимъ трудомъ и самый трудъ—все нынче расцѣнивается на золото.

Обыкновенно, чѣмъ больше труда затрачено на какую либо вещь, или чѣмъ она рѣже, тѣмъ большее количество золота зе нее даютъ, т. е. тѣмъ такая вещь дороже.

Изъ золота же и серебра (и отчасти мѣди и другихъ металловъ) дѣлаютъ и деньги, т. е. тѣ монеты, которыя чичателю извѣстны и рисунки которыхъ приложены къ этой книжкѣ. Выдѣлка монеты называется «чеканкой» монеты, и вмѣсто словъ «дѣлаютъ монету» говорятъ обыкновенно чеканятъ монету.

Извѣстное количество золота (кусочекъ извѣстнаго вѣса) принимается за единицу цѣнности, или монетную единицу. Этой единицей и ея подраздѣленіями и измѣряютъ стоимость, или цѣнность всѣхъ предметовъ. Приготовленіе, т. е. чеканка монеты установленной стоимости производится государствомъ въ особыхъ казенныхъ фабрикахъ, называемыхъ монетными дворами. Частнымъ лицамъ чеканка монеты строго воспрещается. Этимъ достигается то, что каждый житель можетъ быть увѣренъ, что попадающаяся въ его руки монета полноцѣнна, т. е. заключаетъ въ себѣ установленное количество металла, а съ другой стороны, государство можетъ всегда вести счетъ деньгамъ, т. е. знать, сколько денегъ обращается въ странѣ, что очень важно и необходимо.

Купля-продажа на наличное золото или вообще на металлическую монету есть въ сущности тотъ же обмѣнъ всякаго предмета на соотвѣтствующее количество металла. При оживленныхъ торговыхъ сношеніяхъ и если приходится платить очень большія суммы, чувствуется потребность въ болѣе легкихъ и подвижныхъ деньгахъ, чѣмъ тяжелая металлическая монета, которую трудно носить или возить съ собой въ мѣшкахъ и ящикахъ. Поэтому государство печатаетъ бумажныя деньги, такъ называемые кредитные билеты. Деньги эти легки и занимаютъ мало мѣста, такъ что очень удобны для обращенія. При чемъ, если въ томъ окажется кому надобность, то государство изъ своего казна-

чейства выдаетъ вмѣсто каждаго кредитнаго билета соотвѣтственное количество звонкой (т. е. металлической) монеты. Печатанье бумажныхъ денегъ также производится только правительствомъ государства на особыхъ казенныхъ фабрикахъ. Если бы кто другой вздумалъ печатать деньги, то за это ему грозитъ самое суровое и тяжелое наказаніе. Фабрика, гдѣ печатаются наши русскія бумажныя деньги, находится въ Петербургѣ и носитъ названіе Экспедиція заготовленія государственныхъ бумагъ.

Русскія деньги.

Основной единицей цѣнности у насъ считается золотой рубль, т. е. кусочекъ чистаго золота вѣсомъ около 171/» долей1). Золотыхъ монетъ въ 1 рубль, впрочемъ, не чеканятъ. Онѣ были бы слишкомъ мелки, а потому неудобны для обращенія и счета. Поэтому чеканятъ изъ золота самое меньшее монету въ 5 рублей. Кромѣ того для прочности (чтобы не стерлось) подмѣшиваютъ къ монетному золоту немного иныхъ металловъ, такъ называемой, лигатуры.

Изготовляются деньги двухъ родовъ: металлическія (въ монетѣ) и бумажныя (кредитные билеты). Монета чеканится изъ золота, серебра и мѣди.

Изъ золота чеканятъ монеты въ 10 рубл. и въ 5 рубл. Встрѣчаются также въ обращеніи прежнія монеты въ 15 руб. и 7 руб. 50 коп., но теперь ихъ не чеканятъ.

Изъ серебра чеканятъ монеты: въ 1 рубль, 50 коп. (полтинникъ), 25 коп. (четвертакъ), 20 коп. (двугривенный), 15 коп. (пятіалтынный), 10 коп. (гривенникъ), 5 коп. (пятачокъ, пятакъ).

1) Точно 17 полныхъ доли и 424 тысячныхъ части доли

Изъ мѣди чеканятъ монету въ 5 коп. (пятакъ), 3 коп. (алтынъ), 2 коп. (семишникъ), 1 коп. и ~ коп. (деньга).

Болѣе удобны для расплатъ и передвиженій, особенно большихъ суммъ, бумажныя деньги или кредитные билеты. Билеты печатаются въ 3 руб., 5 руб., 10 руб., 25 руб., 50 руб., 100 руб., а также въ 5 сотенъ, или въ пятьсотъ рублей.

Сдача и размѣнъ.—Если я покупаю, напр., карандашъ за 4 коп. и въ уплату даю торговцу серебряную монету въ 10 коп. (гривенникъ), то онъ долженъ возвратить мнѣ 6 коп., или дать 6 коп. сдачи. Если мнѣ въ магазинѣ приходится платить за товаръ 16 рубл., а у меня нѣтъ мелкихъ денегъ, а только 25-ти-рублевый кредитный билетъ, то я даю его въ уплату, а торговецъ обязанъ, получивъ свои 16 рублей, дать мнѣ 9 рублей сдачи.

Сдача есть излишекъ денегъ, полученный продавцомъ и возвращаемый имъ покупателю.

Бываетъ и такъ, что у кого-либо есть деньги одного рода, а ему нужны деньги другого рода. Напр., есть крупныя деньги, т. е. кредитные билеты въ 25, 50, 100 руб., а нужны болѣе мелкія деньги, въ 1, 3 или 5 рублей. Или, наоборотъ, есть много «мелкихъ» денегъ, которыя надо бы замѣнить «крупными», или вмѣсто кредитныхъ билетовъ иногда требуется «звонкая монета» и т. п. Въ такихъ случаяхъ приходится дѣлать размѣнъ или размѣнивать деньги.

Размѣнъ есть перемѣна денегъ одного рода (достоинства) на такую же сумму денегъ другого рода.

Упражненіе.—Размѣнять одинъ 25-рублевый кредитный билетъ на 10 кредитныхъ билетовъ меньшей стоимости притомъ такихъ, чтобы ими можно было уплатить любую сумму рублей отъ 1 до 25 руб. Отвѣт: 10 + 54-34-14-14-14-14-1 + 1 + 1=25.

Придумайте сами нѣсколько задачъ, подобныхъ этой.

Задачи.

Если кому предлагаютъ вопросъ, значитъ, задаютъ ему задачу.

Отвѣтъ на вопросъ есть рѣшеніе задачи.

Если вопросъ таковъ, что отвѣтить на него надо числомъ, то, значитъ, задается ариѳметическая задача.

Напр., на вопросъ: Сколько въ этомъ домѣ оконъ? — надо эти окна сосчитать и отвѣтить числомъ. Слѣдовательно, предложенный вопросъ есть ариѳметическая задача.

Чтобы отвѣтить на вопросъ:

Сколько аршинъ имѣетъ эта комната въ длину? Необходимо на самомъ дѣлѣ измѣрить длину комнаты аршиномъ; и результатъ измѣренія, число, дастъ отвѣтъ — на вопросъ, или рѣшеніе предложенной опять-таки ариѳметической задачи.

Подобныхъ задачъ можно предложить сколько угодно, и для рѣшенія ихъ достаточно только сосчитать, или измѣрить предметъ. Обыкновенно чуть не ежедневно намъ приходится рѣшать такія ариѳметичскія задачи, хотя часто мы сами этого не замѣчаемъ.

Кромѣ задачъ, для рѣшенія которыхъ достаточно сосчитать предметы или что-либо измѣрить, существуетъ безчисленное множество задачъ, въ которыхъ числа даются, а, чтобы получить рѣшеніе, необходимо надъ этими числами произвести ариѳметическія дѣйствія. Какія именно дѣйствія надо произвести надъ данными числами, на это указываетъ сама задача.

Напримѣръ:

I. — Ваня имѣетъ 10 кои., а Сеня 20 кои. Сколько денегъ у нихъ обоихъ вмѣстѣ?

Здѣсь для рѣшенія задачи данныя числа надо сложить, т. е., имѣемъ:

10 + 20 = 30.

Сумма чиселъ 10 и 20 равная 30 показываетъ, что оба мальчика вмѣстѣ имѣютъ 30 коп. денегъ. Число 30 есть рѣшеніе задачи, пли отвѣтъ на задачу.

II. — Пришло 3 артели рабочихъ, въ каждой артели по 20 человѣкъ. Сколько всего рабочихъ пришло?

Для рѣшенія задачи нужно данное число 20 взять 3 раза, т. е. задача рѣшается умноженіемъ:

3X20=60.

Число 60 есть рѣшеніе задачи.

III. —На лугу было 58 копенъ сѣна. 39 копенъ увезли. Сколько еще осталось копенъ сѣна на лугу?

Задача, очевидно, рѣшается вычитаніемъ:

58 — 39 —19.

IV. —Сколько лимоновъ можно купить на 60 коп., если каждый лимонъ стоитъ 5 коп.?

Очевидно столько, сколько разъ по 5 копѣекъ содержится въ въ 60 коп., т. е. задача рѣшается дѣленіемъ:

60:5 = 12.

Предложенныхъ примѣровъ достаточно, чтобы понять, изъ чего должна состоять всякая ариѳметическая задача. Въ нее входятъ: 1) числа, 2) условія, связывающія эти числа, т. е. поясненіе словами, для чего даны эти числа, и 3) вопросъ, который нужно рѣшить посредствомъ дѣйствій надъ данными числами.

Если для рѣшенія задачи достаточно произвести только одно дѣйствіе надъ числами, то задача называется простой. Таковы приведенныя только что выше задачи. И задачи подобнаго рода намъ приходится рѣшать постоянно, не отдавая себѣ даже въ этомъ отчета.

Но часто случается и такъ, что для рѣшенія задачи надъ числами надо въ извѣстномъ порядкѣ сдѣлать не одно, а нѣсколько дѣйствій. Такія задачи называются сложными.

Каждое отдѣльное дѣйствіе надъ числами соотвѣтствуетъ рѣшенію какой-либо простой задачи. Поэтому сложная задача всегда разбивается на нѣсколько простыхъ. И все искусство рѣшенія сложныхъ задачъ состоитъ въ умѣньи разбить сложную задачу на простыя и рѣшить эти простыя задачи въ порядкѣ, требуемомъ условіями задачи.

Возьмемъ задачу:

У Ивана и Петра вмѣстѣ было 99 руб. Они купили по коровѣ, заплативъ за нихъ одинаковыя цѣны. Послѣ этого у Ивана осталось 7 руб., а у Петра—8 руб. Сколько денегъ въ отдѣльности было у каждаго до покупки?

При рѣшеніи задачи необходимо прежде всего вникнуть въ вопросъ и разобраться въ данныхъ числахъ задачи,—что къ чему.

Такъ, во взятой задачѣ спрашивается, сколько у Ивана и Петра было денегъ въ отдѣльности. Дано же, что вмѣстѣ у нихъ было 99 руб. Кромѣ того указано, что деньги они тратили на покупку, h что послѣ этого у нихъ еще остались деньги.

Само собой напрашиваются прежде всего два вопроса: сколько же денегъ у нихъ всего осталось и сколько всего истрачено.

Если у Ивана осталось 7 руб., а у Петра 8 руб., то у обоихъ вмѣстѣ осталось 7 —|- 8 = 15 руб.

У обоихъ вмѣстѣ до покупки коровы было 99 руб. Значитъ, на покупку оба истратили 99 — 15 = 84 руб.

Задача говоритъ, что истратили они денегъ поровну. Значитъ каждый истратилъ половину 84 руб., т. е. 84 :2 = 42 руб.

Итакъ, у Ивана осталось 7 руб. да истратилъ онъ на корову 42 руб. Значитъ, до покупки у него было 42 -Д- 7 = 49 руб.

У Петра осталось 8 руб. да истратилъ онъ на корову 42 руб. Значитъ, до покупки у него было денегъ 42 —8 = 50 руб.

Если разобраться въ изложенномъ только что рѣшеніи задачи, то окажется, что нашу сложную задачу мы свели къ рѣшенію такихъ простыхъ, задачъ:

I) У Ивана и Петра вмѣстѣ осталось денегъ: . 7 8 = 15 р.

II) Иванъ и Петръ вмѣстѣ истратили » . 99 — 15 = 84 р.

III) Каждый изъ нихъ истратилъ отдѣльно . . 84 : 2 = 42 р.

IV) У Ивана было денегъ до купли..........42 Ц- 7 = 49 р.

V) У Петра » » » »............ 42 + 8 + 50 р.

О правилахъ и пріемахъ рѣшенія задачъ.

Чѣмъ больше развивается человѣкъ, тѣмъ больше появляется различныхъ задачъ, которыя ему приходится рѣшать. Задачи эти такъ разнообразны по составу и содержанію, что нельзя найти такое общее правило или такой пріемъ, примѣняя который можно было бы рѣшить всякую задачу.

Нельзя также всѣ задачи разбить, напр., на нѣсколько отдѣловъ или классовъ, или разрядовъ (т. е., какъ говорятъ, систематизировать ихъ по типамъ) и затѣмъ научиться рѣшать по опредѣленнымъ правиламъ задачи каждаго подобнаго отдѣла. Нельзя этого сдѣлать потому, что такихъ отдѣловъ можно ввести, сколько угодно, или, какъ говорятъ,—безконечно много, а это и значитъ, что невозможно распредѣлить всѣ задачи на нѣсколько (хотя бы и много) опредѣленныхъ отдѣловъ или классовъ.

Отсюда слѣдуетъ, что умѣнье правильно и возможно быстро рѣшать задачи достигается главнымъ образомъ практикой, т. е. по возможности постоянными упражненіями въ рѣшеніи различныхъ задачъ. Вмѣстѣ съ тѣмъ необходимо подходить къ рѣшенію каждой задачи вполнѣ сознательно, а не путемъ попытокъ и «пробъ» наугадъ. Поэтому раньше, чѣмъ рѣшать какую-нибудь задачу, слѣдуетъ сначала ее хорошенько продумать, или, какъ говорятъ, произвести анализъ задачи.

Надо отчетливо усвоить вопросъ задачи, т. е. по возможности уяснить свойства искомаго числа; надо, затѣмъ разобраться въ данныхъ задачи,—въ какомъ отношеніи онѣ находятся между собой и къ искомому числу. Необходимо, затѣмъ, составить планъ рѣшенія задачи, т. е. данную сложную задачу разбить на рядъ простыхъ въ такой послѣдовательности, чтобы рѣшеніе этихъ простыхъ задачъ привело къ нахожденію искомаго числа, заданнаго вопросомъ,

Итакъ, нѣтъ такихъ общихъ правилъ и пріемовъ, по которымъ можно научиться рѣшать каждую задачу «по правиламъ».

Ариѳметика для рѣшенія задачъ совѣтуетъ только одно: данную задачу сначала продумать («проанализировать»), а затѣмъ и рѣшить или показать, что ее нельзя рѣшить.

Но если нельзя научить рѣшать всѣ безъ исключенія задачи, то можно изъ безконечнаго разнообразія ихъ выдѣлить такіе образцы, или типы, которые наиболѣе часто встрѣчаются въ жизни или наукѣ. Знакомство съ пріемами рѣшенія подобныхъ задачъ весьма полезно. Оно сберегаетъ трудъ и время въ дальнѣйшемъ.

Укажемъ два-три примѣрныхъ типа задачъ и пріемы ихъ рѣшенія. Болѣе подробно этотъ вопросъ будетъ развита въ дальнѣйшемъ.

Пріемъ приведенія къ единицѣ. — Задача. За пятокъ яицъ заплачено 15 кои. Сколько пришлось бы уплатить за 8 такихъ же яицъ?

Рѣшеніе. Узнаемъ сначала, сколько стоитъ одно яйцо. Если 5 яицъ стоятъ 15 коп., то одно стоитъ 15:5 = 3 коп. А 8 яицъ, значитъ, стоятъ 8 X 3 = 24 коп.

Задача. За 7 фунтовъ керосина заплатили 28 коп. Сколько фунтовъ керосина дадутъ на 40 коп.?

Рѣшеніе. Узнаемъ сначала цѣну одного фунта керосина. Эта цѣна опредѣлится дѣленіемъ 28:7 — 4. Итакъ, цѣна одного фунта керосина 4 коп. А на 40 коп. дадутъ столько фунтовъ керосина, сколько разъ 4 содержится въ 40, т. е. 40:4 = 10. На 40 коп. дадутъ 10 фунтовъ керосина.

Задача. Трое рабочихъ въ 6 дней заработали 36 руб. Сколько на такой же работѣ заработаютъ четверо рабочихъ въ 5 дней.

Рѣшеніе. Опредѣляемъ сначала, сколько на такой работѣ получаетъ одинъ рабочій въ одинъ день. 3 рабочихъ за 6 дней получили 36 руб. Значитъ одинъ рабочій за 6 дней получить 36: 3=12 руб. За 6 дней одному рабочему пришлось 12 руб. Значитъ, за одинъ день одному рабочему пришлось получить 12 : 6=2 руб. Теперь не трудно расчитать, сколько заработаютъ 4 рабочихъ въ 5 дней. Если одинъ рабочій получаетъ въ 1 день 2 руб., то 4 ра-

бочихъ получать за день 4x2 = 8 руб., а за 5 дней они получать 5X8 = 40 руб.

Во всѣхъ этихъ задачахъ мы дѣлаемъ такъ называемое приведеніе къ единицѣ, т. е. въ первой и второй задачѣ, напр., узнаемъ сначала стоимость, или цѣну, одного предмета, въ третьей опредѣляемъ сначала заработокъ одного человѣка въ одинъ день и такимъ пріемомъ облегчаемъ себѣ рѣшеніе вопроса.

Задачи, при рѣшеніи которыхъ примѣнимъ этотъ способъ приведенія къ единицѣ, встрѣчаются очень часто въ житейской практикѣ и наукѣ. Поэтому полезно ознакомиться съ нимъ при первой же возможности.

Соразмѣрное распредѣленіе.—Задача. Ваня рѣшилъ 3 задачи, Анна 2, а Петя одну. Мать дала имъ за это 18 грецкихъ орѣховъ и сказала, чтобы они подѣлили между собой эти орѣхи такъ, чтобы каждый получилъ по заслугамъ. Какъ должны дѣти подѣлить орѣхи?

Рѣшеніе. — Каждый долженъ получить по заслугамъ. Это значитъ, что тотъ получитъ больше орѣховъ, кто больше рѣшилъ задачъ; а кто меньше рѣшилъ задачъ, тотъ получить меньше. Всего есть 18 орѣховъ,—сколько же приходится дать орѣховъ за каждую рѣшенную задачу? Приходимъ къ новому вопросу: сколько рѣшено всего задачъ? Отвѣтъ на этотъ вопросъ получается сложеніемъ чиселъ рѣшенныхъ задачъ Ваней, Анной и Петей вмѣстѣ, т. е., 3 + 2 +1 = 6. Итакъ, на 6 рѣшенныхъ задачъ приходится 18 орѣховъ, поэтому 18 орѣховъ надо раздѣлить па 6 равныхъ кучекъ,— по кучкѣ орѣховъ за задачу. Дѣлимъ 18:6 = 3 и находимъ, что за каждую рѣшенную задачу приходится дать по 3 орѣха.

Ваня рѣшилъ 3 задачи,—ему слѣдуетъ 3 X 3 = 9 орѣховъ.

Анна рѣшила 2 » ей » 2x3 = 6 »

Петя рѣшилъ 1 » ему » 1x3 = 3 »

Задача. — Брать далъ 40 кои., а сестра 35 коп., и на общія деньги они купили 15 апельсиновъ. По скольку апельсиновъ придется каждому?

Рѣшеніе. Апельсины надо подѣлить сообразно внесеннымъ деньгамъ. Братъ и сестра дали вмѣстѣ 40 Д- 35 = 75 коп. Значитъ каждый апельсинъ стоилъ 75 :15 = 5 коп. Братъ за свои деньги получитъ 40:5 = 8 апельсиновъ; сестра 35: 5 = 7 апельсиновъ.

Въ задачахъ подобнаго рода приходится какое-нибудь число распредѣлять на части, величина которыхъ соразмѣрна (или соотвѣтственна) величинѣ другого ряда чиселъ.

Прибыль и убытокъ. — Если, напримѣръ, купецъ покупаетъ самъ дрова по 5 руб. за сажень, а продаетъ ее за 7 руб., то онъ получаетъ на каждой сажени прибыль, или выгоду, въ 2 рубля (7 — 5 = 2). Если, наоборотъ, тотъ же купецъ купилъ бы дрова по 7 руб. за сажень, а цѣны бы упали, и ему пришлось продать ихъ по 5 руб. за сажень, то купецъ получилъ бы на каждой сажени 2 рубля убытку.

Вообще, если я продаю вещь дороже, чѣмъ она стоитъ мнѣ самому, то я продаю съ прибылью; если же продаю дешевле ея стоимости, то продажа совершается съ убыткомъ. Говорятъ также, что то пли иное дѣло выгодно, или прибыльно, если оно даетъ денегъ больше, чѣмъ на него затрачено, и наоборотъ,—дѣло убыточно, или невыгодно, если изъ него получается меньше, чѣмъ на него тратится.

Вмѣсто слова «прибыльный» говорятъ часто доходный. Вообще все, что человѣкъ получаетъ въ свою пользу, это его доходъ. Все, что онъ отдаетъ другимъ, это его расходъ. Если доходъ человѣка постоянно больше его расхода, онъ богатѣетъ; если, наоборотъ, расходъ больше дохода, человѣкъ бѣднѣетъ. Человѣкъ, какъ говорятъ, «сводитъ концы съ концами», если его доходъ равенъ расходу, т. е., что онъ наживаетъ, то и проживаетъ.

Съ понятіями о прибыли и убыткѣ, о доходѣ и расходѣ, о выгодѣ и тому подобное приходится постоянно встрѣчаться въ жизни, а потому они очень часто входятъ и въ задачи самаго разнообразнаго содержанія. Необходимо, поэтому, эти понятія каждому осмыслить и уяснить, чтобы не путаться, встрѣчая ихъ въ задачахъ.

Смѣси. —Если взять мѣшокъ пшеничной муки и такой же мѣшокъ ржаной, ссыпать ихъ вмѣстѣ и перемѣшать, то что получится? Получится тоже мука, но какая? Ни пшеничная, ни ржаная, а смѣшанная изъ той и другой муки. Получится смѣсь муки, которая будетъ хуже пшеничной и лучше ржаной.

Положимъ, что мѣшокъ ржаной муки стоятъ 3 рубля, а мѣшокъ пшеничной 5 рублей. Сколько будетъ стоить мѣшокъ смѣси?

Узнаемъ сначала, сколько стоитъ вся смѣсь, и затѣмъ, сколько всего получилось смѣси. Если одинъ мѣшокъ ржаной муки стоилъ 3 руб., а мѣшокъ пшеничной 5 руб., то оба мѣшка вмѣстѣ стоятъ

3 4- 5 — 8 рублей. Это цѣнность всей смѣси, на которую пошло 1 4~ 1 = 2 мѣшка. Итакъ, 2 мѣшка смѣси стоитъ 8 рублей, значитъ 1 мѣшокъ будетъ стоить вдвое меньше 8:2 = 4 рубля.

Задача. — Смѣшали мѣру хорошаго полновѣснаго овса въ I пудъ вѣса съ 2-мя мѣрами легковѣснаго овса по 25 фунтовъ каждая мѣра. Какого вѣса получилась смѣсь?

Рѣшеніе. — Полновѣснаго овса пошло на смѣсь 40 фунтовъ, а легковѣснаго 2 X 25 = 50 фунтовъ.

Всего овса по вѣсу вошло въ смѣсь 40 4* 50 = 90 фунтовъ. Всего мѣръ вошло въ смѣсь 14-2 = 3 мѣры.

Значитъ, вѣсъ 1 мѣры смѣси будетъ 90 :3 = 30 фунтовъ.

Чаще всего смѣшиваютъ сыпучія и жидкія вещества, но можно смѣшивать даже такія твердыя тѣла, какъ металлы. Для этого ихъ сначала приводятъ въ жидкое состояніе, т. е. плавятъ. Если, напримѣръ, расплавить кусокъ мѣди и кусокъ олова и затѣмъ смѣшать ихъ вмѣстѣ, то послѣ остыванія получится кусокъ смѣси металловъ. Такая смѣсь носить названіе сплава.

Многія смѣси и сплавы получаютъ особое названіе. Такъ, напримѣръ, сплавъ мѣди, олова и свинца называется бронзой. Смѣсь спирта съ водой называется водкой и представляетъ собой вреднѣйшую для человѣка отраву. На горе и позоръ русской земли, эта отрава сдѣлалась у насъ распространеннымъ напиткомъ и причиняетъ неисчислимыя бѣдствія. О прекращеніи продажи и распространенія этого губительнаго напитка стараются теперь лучшіе русскіе люди.

Разныя задачи.

Сыну было 8 лѣтъ, когда отцу былъ 31 годъ. А теперь отецъ старше сына вдвое. Сколько сыну лѣтъ теперь?

Рѣшеніе. — Разница лѣтъ отца и сына всегда одна п та же,— она равна 31 — 8 = 23 годамъ. Значитъ, отецъ можетъ быть вдвое старше сына только черезъ 23 года послѣ его рожденія. Значитъ, сейчасъ сыну и есть 23 года, а отцу 2 X 23 = 46 лѣтъ.

На яблони виситъ 10 яблокъ; ежедневно съ нея срываютъ по 2 яблока. На который день сорвутъ съ яблони послѣднія яблоки?

Отвѣтъ. — На 5-й день.

Отъ куски полотка въ 10 аршинъ длины ежедневно отрѣ заютъ по 2 аршина. На который день отрѣжутъ послѣдній кусокъ полотна?

Отвѣтъ. — На 4-й день, а не на пятый, какъ, не подумавъ, можетъ сказать иной, имѣя въ виду предыдущую задачу.

Уясните, почему отвѣтъ этой задачи разнится отъ отвѣта предыдущей, хотя условія задачъ будто бы сходны.

Два путника сѣли обѣдать. У одного было 5 лепешекъ, а у другого 3; и всѣ лепешки одинаковой стоимости. Подошелъ къ нимъ третій путникъ, не имѣвшій, что ѣсть, и предложилъ пообѣдать этими лепешками сообща и уплатить имъ деньгами за ту часть лепешекъ, которая придется на его долю. Пообѣдавъ, онъ отдалъ обоимъ, имѣвшимъ лепешки, 8 копѣекъ. Спрашивается, какъ два другихъ путника должны раздѣлить эти деньги?

Рѣшеніе.—По условію задачи выходитъ, что всѣ лепешки стоили 24 коп., такъ какъ расходъ каждаго путника опредѣлился въ 8 коп. Отсюда слѣдуетъ, что каждая лепешка стоитъ 3 коп. Итакъ, тотъ путникъ, который далъ 5 лепешекъ, издержалъ 15 коп., и если вычесть отсюда 8 коп. за лепешки, съѣденныя имъ самимъ, то выходитъ, что ему нужно изъ денегъ третьяго путника получить 7 коп. Разсуждая точно также, находимъ, что второй путникъ имѣлъ лепешекъ на 9 коп., и что ему приходится изъ денегъ третьяго путника получить 1 коп.

Два пастуха варили кашу. Одинъ далъ для этого 2 фунта крупъ, а другой 3 фунта. Когда каша была готова, подошелъ третій человѣкъ и попросилъ позволенія съѣсть съ ними кашу за плату. Послѣ ѣды онъ уплатилъ 5 коп. Какъ раздѣлили эти деньги пастухи?

Отвѣтъ.—Разсуждая подобно, какъ въ предыдущей задачѣ, найдемъ, что одинъ получилъ 1 коп., а другой 4 коп.

Теперь сынъ вдвое моложе отца, а родился онъ, когда отцу было 24 года. Сколько лѣтъ сыну теперь?

Отвѣтъ. Имѣя въ виду первую задачу этой главы, будетъ не трудно разсчитать самостоятельно, что сыну теперь 24 года.

У меня есть нѣкоторая сумма денегъ, у моего пріятеля половина столько, сколько у меня, а у другого пріятеля 10 рублей. Всего же у насъ денегъ оказывается 100 рублей. Сколько у каждаго?

Отв. 60, 30 и 10 р.

Шелъ дѣдъ, отецъ и сынъ, а навстрѣчу имъ знакомый и спрашиваетъ: «Сколько каждому изъ васъ лѣтъ?»—«Намъ всѣмъ вмѣстѣ 100 лѣтъ, сказалъ дѣдъ и пошелъ дальше. «Мнѣ вмѣстѣ съ сыномъ 45 лѣтъ»,—сказалъ отецъ и тоже зашагалъ дальше. «А л на 25 лѣтъ моложе папы»,—сказалъ сынъ и послѣдовалъ за отцомъ и дѣдомъ. Смогъ-ли по этимъ отвѣтамъ встрѣчный знакомый опредѣлить, сколько каждому лѣтъ?

Рѣшеніе.—Прежде всего ясно, что дѣду 100 — 45 = 55 лѣтъ. Затѣмъ оказывается что если къ лѣтамъ сына прибавить 25, то получатся лѣта отца, и если сложить эти лѣта отца и лѣта сына, то получитъ число 45, значитъ: лѣта сына да 25 да еще разъ лѣта сына даютъ вмѣстѣ число 45. Отсюда слѣдуетъ, что двойныя лѣта сына дадутъ число 45 — 25 = 20, и слѣдовательно сыну 20:2 = = 10 лѣтъ, а отцу 45 — 10 = 35 лѣтъ.

Сошлось стадо гусятъ и стадо поросятъ. У всѣхъ вмѣстѣ оказалось 25 головъ и 70 ногъ. Сколько было гусятъ и сколько поросятъ?

Рѣшеніе. Гусятъ и поросятъ вмѣстѣ 25 штукъ (головъ). Еслибы это все были гусята, то у нихъ было бы 50 ногъ (2 X 25 = 50). Ногъ же на 20 больше (70 — 50 = 20) потому, что есть еще поросята. Но у каждаго поросенка на 2 ноги больше, чѣмъ у гусенка. Значетъ, 20 «лишнихъ» ногъ придется на 10 поросятъ (20 :2 = 10). Итакъ, было 10 поросятъ и 15 гусятъ (25—10 = 15).

Задачи-развлеченія.

Вотъ рядъ изъ 24 спичекъ, а подъ нимъ другой рядъ спичекъ, въ которомъ на 1 спичку меньше:

Отнимемъ отъ верхняго ряда, напр. 13 спичекъ. Сколько въ немъ останется спичекъ? Если это число оставшихся въ верхнемъ ряду спичекъ отнять отъ нижняго ряда, сколько въ немъ останется спичекъ? Можете ли вы сказать это, не отнимая въ самомъ дѣлѣ спичекъ внизу и даже не смотря на нихъ? Объясните, почему это можно. Какое число спичекъ останется внизу сравнительно съ тѣмъ, которое вы отняли отъ верхняго ряда (т. е. въ данномъ случаѣ съ 13)?

Продѣлайте все то же, отнимая отъ верхняго ряда не 13, а какія-нибудь другія числа спичекъ, и замѣчайте, какая зависимость получается между числомъ отнимаемыхъ вами сверху спичекъ съ числомъ спичекъ, остающимся въ нижнемъ ряду.

Если вы все это хорошо себѣ уясните, то можете удивить другихъ угадкой навѣрняка слѣдующимъ образомъ.

Отойдя въ сторону, попросите кого-нибудь изъ присутствующихъ разложить въ 2 ряда произвольное число спичекъ, но такъ, чтобы въ нижнемъ ряду было одной спичкой меньше, чѣмъ въ верхнемъ. Затѣмъ попросите отобрать изъ верхняго ряда назначенное вами число спичекъ (напримѣръ, 12). Дальше попросите отобрать изъ нижняго ряда столько спичекъ, сколько ихъ осталось въ верхнемъ ряду, и, наконецъ, забрать весь оставшійся верхній рядъ.

Теперь вы можете сразу сказать, сколько спичекъ осталось на столѣ. Вы уже знаете, что ихъ будетъ на 1 меньше того числа, которое вы сказали вначалѣ отнять отъ перваго ряда, т. е., если вы сказали вначалѣ отнять отъ перваго ряда 12 спичекъ, то на столѣ останется 11 спичекъ. Здѣсь, конечно, не угадка, а чистый ариѳметическій расчетъ.

Не глядя, и даже находясь въ другой комнатѣ, узнать, сколько очковъ заключается въ трехъ картахъ, взятыхъ кѣмъ-либо изъ полной колоды.

Уходя въ другую комнату, вы говорите, чтобы кто-либо изъ полной колоды въ 52 карты взялъ 3 какія ему угодно карты. Затѣмъ къ каждой такой картѣ онъ долженъ прибавить изъ колоды по стольку картъ, чтобы число прибавленныхъ картъ вмѣстѣ съ числомъ очковъ взятой карты составило число 15 (Фигуры считаются по 10). Пусть онъ, затѣмъ, принесетъ оставшіяся у него карты и отдастъ вамъ, не говоря ни слова. По этому остатку вы тотчасъ можете сказать, сколько всего очковъ въ 3-хъ вытянутыхъ картахъ.

Для этого вамъ нужно только сосчитать, сколько картъ осталось, и изъ полученнаго числа вычесть 4. Остатокъ покажетъ вамъ точную сумму очковъ 3-хъ картъ, взятыхъ кѣмъ-либо изъ колоды.

Наприм., пусть кто-либо возьметъ изъ колоды четверку, семерку и девятку. Тогда по заданію къ четверкѣ онъ долженъ добавить 11 картъ, къ семеркѣ 8 картъ и къ девяткѣ 6 картъ. Остальныя карты онъ принесетъ вамъ,—ихъ 24, отнимая отсюда 4, находите 20, т. е. дѣйствительно сумму очковъ взяыхъ четверки семерки и девятки (4 4- 7 4- 9 = 20).

Объясните, почему должно бытъ непремѣнно такъ?

Вотъ нѣкоторыя указанія для такого объясненія, еслибы вы почему-либо затруднялись его дать.

Положимъ, что выбранныя кѣмъ-либо карты суть три наименьшія, т. е.три туза, считаемые по 1. Тогда очевидно, что для полученія числа 15 нужно къ каждой взятой картѣ прибавить еще 14 картъ. Всего, значитъ, съ тремя взятыми тузами составится 45 картъ, и отъ колоды въ 52 карты останется только 7 картъ. Если, теперь, отъ 7 отнять 4, то и получится 3, т. е. число очковъ взятыхъ трехъ тузовъ. Но не трудно показать, что всегда достаточно отнять 4 отъ числа остающихся картъ, чтобы узнать число всѣхъ очковъ любыхъ 3-хъ взятыхъ картъ. Въ самомъ дѣлѣ, если взять 3 другія высшія карты, то насколько увеличиться число ихъ очковъ, настолько именно уменьшиться число тѣхъ картъ, которыя нужно добавлять къ каждой взятой, чтобы получить число 15, и настолько же именно увеличится число остающихся картъ Такъ что, отнимая отъ числа остающихся картъ 4, получимъ остатокъ, который всегда равенъ числу очковъ трехъ отобранныхъ картъ. Напримѣръ, если вмѣсто туза возьмемъ шестерку, то сумма трехъ взятыхъ нами картъ (полагая, что двѣ остальныя—тузы) будетъ 8, т. е. увеличится на 5. Но зато къ шестеркѣ для полученія числа 15 нужно прибавлять не 14, а только 9 картъ, т. е. на 5 картъ меньше. Значитъ, остатокъ картъ увеличится на 5 картъ, и отнимая отъ этого остатка 4, получимъ опять точную сумму очковъ всѣхъ взятыхъ картъ и т. д. Такимъ образомъ доказывается рѣшеніе данной задачи.

Нахожденіе частей цѣлаго и нахожденіе цѣлаго по данной его части.

Каждый предметъ, а также каждое количество или число можно дѣлить на 2, 3, 4, 5 и т. д. равныхъ частей, или долей, какъ это показано на стран. 24 — 26 и слѣд. этой книги. Очень часто въ задачахъ требуется найти часть или нѣсколько частей какой-либо величины или числа, и

наоборотъ,—дается часть какой-либо величины или числа и требуется по этой части найти цѣлую величину, или цѣлое число.

Задача. —Изъ 12-ти рублей своихъ денегъ я истратилъ одну третью часть. Сколько я истратилъ денегъ?

Чтобы отвѣтить на вопросъ, нужно найти отъ 12, т. е. вопросъ рѣшается дѣленіемъ 12:3 = 4. Истрачено 4 рубля.

Задача. — Отъ куска полотна въ 25 аршинъ отрѣзали одну нятую часть. Сколько отрѣзали аршинъ?

Чтобы найти g отъ 25. надо 25 раздѣлить на 5, т. е. 25:5 = 5. Отрѣзали 5 аршинъ.

Задача. — Въ хуторѣ 48 десятинъ земли. Четвертую часть ея засѣяли подъ рожь. Сколько десятинъ пошло подъ рожь?

Вопросъ рѣшается дѣленіемъ: 48 : 4 — 12.

Отсюда правило:

Чтобы найти одну половину, одну треть, одну четверть, одну пятую и т. д. часть числа, надо это число раздѣлить на 2, 3, 4, 5 и т. д. Полученное частное и покажетъ искомую нами часть числа.

Задача. — Я истратилъ двѣ трети своихъ денегъ, а у меня было 24 рубля. Сколько рублей я истратилъ?

Вопросъ рѣшается такъ:

2 отъ 24 рубл. = 8 руб. (дѣленіе — 24: 3 = 8).

Но намъ нужно узнать не одну, а двѣ трети 24-хъ. Значитъ нужно 8 взять два раза: 2x8 = 16 (умноженіе). И такъ,

I отъ 24 рубл. = 2 X 8 = 16 руб.

Задача. — Три пятыхъ поля въ 15 десятинъ вспахано. Сколько десятинъ вспахано?

Вспахано девять десятинъ.

Задача. — Сколько будетъ три четверти отъ 32?

Рѣшая такія задачи, легко вывести правило:

Чтобы найти нѣсколько частей числа, надо сначала найти одну часть даннаго числа (дѣленіе), а затѣмъ повторить ее требуемое число разъ (умноженіе).

Найти:

Если мы знаемъ половину какого-нибудь количества или числа, то цѣлое получимъ, взявъ эту половину два раза, т. е., умножая половину на 2. Точно также, если мы знаемъ одну третъ величины или числа, то цѣлое получимъ, умножая одну треть на 3. Зная одну четверть какой-либо величины или числа, цѣлое найдемъ, умножая одну четверть на 4 и т. д. Вообще:

Если извѣстна 1 -, —, J и т. д. какого-нибудь количества, то цѣлое находятъ соотвѣтственно умноженіемъ на 2, 3, 4, 5 и т. д.

Задача. — Третья часть куля муки вѣситъ 2 пуда. Сколько вѣситъ весь куль? (3x2 = ?).

Задача. — Когда въ бочку влили 10 ведеръ, то оказалось, что наполнили всего одну четверть бочки. Сколько ведеръ въ цѣлой бочкѣ? (4X10 = ?).

Задача. — 2 аршина составляютъ пятую часть длины бревна. Какой длины все бревно? (5x2 = ?).

Задача.—Третья часть моихъ денегъ равна 25 рублямъ. Сколько у меня денегъ? (3 X 25 = ?).

Задача. — Найти число, одна седьмая котораго равна 3 ? 9 ?

11 ? 6 ? Одна девятая котораго равна 5?8?3?7?9? Одна шестая котораго равна 12? 9? 16?

Точно также не трудно найти цѣлое количество, если дана не одна, а нѣсколько равныхъ частей этого количества. Для этого сначала находимъ (дѣленіемъ) одну часть искомаго количества, а затѣмъ по предыдущему находимъ (умноженіемъ) и цѣлое количество.

Задача. — Когда я отдалъ за покупку 16 рублей, то оказалось, что я отдалъ двѣ пятыхъ своихъ денегъ. Сколько у меня было денегъ?

Рѣш. —16 рубл. составляютъ двѣ пятыхъ моихъ денегъ, значитъ, одна пятая денегъ будетъ 16:2 = 8 руб.

8 рубл. это одна пятая моихъ денегъ, — значитъ всего денегъ у меня было 5 X 8 = 40 руб.

Задача. — Когда крестьянинъ продалъ одну треть своей ржи, то у него осталось 18 мѣръ ея. Сколько у него было ржи до продажи?

Рѣш. — Крестьянинъ продалъ одну треть своей ржи. Значитъ себѣ оставилъ двѣ трети, и эти двѣ трети составляютъ 18 мѣръ. Значитъ, одна треть составитъ 18 : 2 = 9 мѣръ, а все количество ржи до продажи было 3 X 9 = 27 мѣръ.

Задачи. — Найти число, двѣ пятыхъ котораго = 8? Пять восьмыхъ котораго = 10? Три четверти котораго 15?36?75? Пять девятыхъ котораго равны 55? 45? 35? 20? 10?

Подготовка къ понятію о дробяхъ.

Задача. Раздѣлитъ поровну 5 пряниковъ между 6-ю мальчиками, не разрѣзывая ни одного пряника, на 6 равныхъ частей.

Рѣшеніе.—Если мы изъ 5 данныхъ пряниковъ 3 разрѣжемъ пополамъ, то получимъ 6 равныхъ кусковъ, каждый изъ которыхъ и отдадимъ мальчикамъ; затѣмъ 2 куска остальныхъ пряника разрѣжемъ каждый на 3 равныхъ части и получимъ опять 6 равныхъ кусковъ, которые и отдадимъ мальчикамъ. Такимъ образомъ задача рѣшена, при чемъ ни одного пряника не пришлось разрѣзывать на 6 частей.

Вмѣсто чиселъ 5 и 6 въ этой задачѣ взять числа 7 и 12, 7 и 6, 7 и 10, 9 и 10, 13 и 10, 5 и 12, 11 и 12, 13 и 12, 9 и 14, 11 и 14 и т. д. и рѣшать задачу.

Можно ли 5 листовъ бумаги раздѣлить поровну между 8-ю учениками, не дѣля ни одного листа на восьмыя доли (осьмушки)?

Число.

Знаменитый американскій писатель Маркъ Твэнъ (Клеменсъ), описывая улицы турецкой столицы, Константинополя1), обратилъ вниманіе на продавца гусей и на способъ, какимъ онъ провѣрялъ, всѣ ли его гуси въ сохранности.

«Еще былъ здѣсь продавецъ гусей,—малый, который гналъ передъ собою по городу сотню гусей на продажу. Въ рукахъ у него былъ шестъ, длиной въ десять футовъ, съ крючкомъ на концѣ. Случалось, что одинъ изъ гусей отбивался отъ стаи и пытался махнуть за уголъ, распустивъ крылья и елико возможно вытянувъ шею. Тревожился ли по этому случаю погонщикъ? Нисколько. Онъ съ величайшимъ хладнокровіемъ протягивалъ свой шестъ вслѣдъ за гусемъ, ловилъ его крючкомъ за шею и притягивалъ къ стаѣ, безъ всякаго усилія. Онъ управлялъ своими гусями при помощи шеста такъ же ловко, какъ лодочникъ управляетъ яликомъ. Спустя нѣсколько часовъ мы увидѣли его на камнѣ въ уголку, среди суетящейся толпы: онъ спалъ на припекѣ, а гуси сидѣли вокругъ него или увертывались отъ прохожихъ и ословъ.

Черезъ часъ мы снова зашли сюда и увидѣли, что онъ провѣряетъ, всѣ ли его гуси налицо? Способъ провѣрки былъ единственный въ своемъ родѣ. Онъ поставилъ шестъ на разстояніи семи или восьми дюймовъ отъ каменной стѣны и заставилъ гусей пройти по-одиночкѣ между стѣной и шестомъ. При этомъ онъ пересчитывалъ ихъ. При такомъ способѣ подсчета невозможно было ошибиться».

1) Въ книгѣ «Простаки заграницей».

Почему авторъ такъ увѣренно говоритъ, что при такомъ способѣ счета невозможно ошибиться?

Какъ считалъ свою сотню гусей продавецъ?

Онъ пропускалъ гусей между стѣной и палкой по одному. И это правильно.

Устный счетъ и состоитъ въ послѣдовательномъ прибавленіи къ единицѣ еще единицы и еще единицы, и еще единицы и т. д. и въ называніи получающихся при такомъ прибавленіи чиселъ.

Итакъ, продавецъ, когда проходилъ первый гусь, говорилъ одинъ, проходилъ второй гусь, продавецъ говорилъ два, слѣдующій — онъ говорилъ три, слѣдующій — онъ говорилъ четыре, слѣдующій онъ говорилъ пятъ, слѣдующій—шестъ и т. д. При прохожденіи каждаго слѣдующаго гуся продавецъ произносилъ соотвѣтствующее названіе

числа, или числительное имя, и когда, наконецъ, проходилъ послѣдній гусь, онъ говорилъ сто и утверждалъ, что у него сотня гусей.

Положимъ, что черезъ нѣкоторое время продавцу опять потребуется провѣрить, всѣ ли гуси налицо, и онъ опять начнетъ ихъ пропускать по-одиночкѣ и называть числительныя: одинъ, два, три и т. д.

Но гуси, конечно, пройдутъ теперь передъ нимъ не въ прежнемъ порядкѣ. Раньше, скажемъ, первымъ прошелъ бѣлый гусь, а теперь сѣрый и т. д. Словомъ, все стадо пройдетъ по одному, но порядокъ гусей будетъ иной. Продавецъ же считаетъ по прежнему: одинъ, два, три и т. д., и если все стадо въ цѣлости, то при прохожденіи послѣдняго гуся продавецъ опять назоветъ число сто.

При слѣдующемъ подсчетѣ гуси опять пройдутъ по одному въ иномъ порядкѣ, но если всѣ они въ цѣлости, то продавецъ, начавъ считать съ одного, при прохожденіи послѣдняго гуся скажетъ опять сто. Если бы вмѣсто ста ему пришлось назвать другое меньшее число, то это значило бы, что гусей не хватаетъ. Если послѣ того, какъ продавецъ скажетъ сто, появится еще одинъ гусь, то это значитъ, что къ стаду присталъ еще одинъ чужой гусь.

Значитъ, когда мы утверждаемъ, что какая-нибудь совокупность (группа) вещей состоитъ изъ ста вещей, то мы вмѣстѣ съ тѣмъ утверждаемъ и другое, а именно, что при счетѣ этихъ вещей послѣднее имя числительное будетъ «сто», въ какомъ бы порядкѣ мы ни размѣстили эту группу для счета.

Сказанное здѣсь о совокупности ста предметовъ относится къ совокупности какого угодно числа предметовъ.

Для быстроты и простоты провѣрки этого возьмите, напр., 5 камешковъ, или палочекъ, или иныхъ предметовъ. Въ какомъ бы порядкѣ вы ихъ ни считали, послѣднимъ словомъ числительнымъ будетъ «пять». То же най-

дете для 6, 7, 8 и т. д.—вообще для любой совокупности предметовъ. Итакъ:

Во всякой совокупности вещей число ихъ будетъ одно и то же, въ какомъ бы порядкѣ мы вещи ни считали.

Съ этого начинается и на этомъ стоитъ вся наука о числѣ.

Искусство устнаго счета.

Если намъ не нужно и не важно названіе какого-нинибудь предмета, то мы обозначаемъ его просто словомъ единица.

Возьмемъ единицу и прибавимъ къ ней еще единицу, получаемъ совокупность одинъ и одинъ; прибавимъ сюда еще одну единицу, получимъ совокупность одинъ и одинъ и еще одинъ. Прибавляя сюда еще единицу, получаемъ совокупность одинъ и одинъ, и еще одинъ, и еще одинъ и т. д. Каждая такая совокупность есть число,— и притомъ такое, въ которомъ названіе единицъ для насъ значенія не имѣетъ, мы отъ него отказываемся, отвлекаемся. Это есть отвлеченное число.

Какъ уже знаемъ, вмѣсто такихъ повтореній, какъ «одинъ и одинъ», «одинъ и одинъ да еще одинъ» и т. д., употребляютъ слова два, три, четыре и т. д. Слова эти называются числительными именами.

Прибавлять къ единицѣ единицу, къ полученной совокупности еще единицу, къ полученной совокупности еще единицу и т. д. можно сколько угодно разъ. Значитъ, и чиселъ существуетъ сколько угодно. Другими словами это выражаютъ такъ: существуетъ безконечно много чиселъ; или: рядъ чиселъ безконеченъ.

Числа, начиная съ единицы, которыя получаются послѣдовательнымъ прибавленіемъ къ единицѣ еще одной единицы, къ полученному числу еще одной единицы и т. д ,

составляютъ такъ называемый натуральный рядъ послѣдовательныхъ чиселъ.

Рядъ такихъ чиселъ, какъ указано, безконеченъ, и если бы мы вздумали каждое число такого ряда называть новымъ отдѣльнымъ словомъ, то не хватило бы ни словъ, ни человѣческой памяти, чтобы назвать и запомнить большое количество чиселъ. Если бы кому-нибудь показалось такое утвержденіе невѣроятнымъ, то пусть онъ обдумаетъ и сообразитъ слѣдующеее:

Всѣ наши мысли, впечатлѣнія и ощущенія мы выражаемъ рѣчью, состоящей изъ отдѣльныхъ словъ. Но много ли словъ въ нашей рѣчи? Иной, пожалуй, скажетъ, что такихъ словъ есть, молъ, сколько угодно, или безчисленное множество. Это ошибочно. Простой подсчетъ показываетъ, что въ обыкновенной разговорной нашей рѣчи мы пользуемся всего двумя—тремя десятками сотенъ различныхъ словъ, т. е. двумя—тремя тысячами словъ, хотя всѣхъ словъ въ языкѣ, особенно такомъ богатомъ, какъ нашъ русскій, и нѣсколько больше. Но рѣдко кто знаетъ всѣ слова даже своего языка, хотя онъ учитъ и усваиваетъ ихъ, начиная съ колыбели. Память человѣческая ограничена. Она имѣетъ свои предѣлы и не можетъ вмѣстить больше опредѣленнаго числа словъ. Чиселъ безконечно много, поэтому придумывать и заучивать для каждаго числа особое слово было бы непосильнымъ, напраснымъ и безплоднымъ трудомъ.

Искусство устнаго счета состоитъ въ томъ, чтобы немногими различными словами называть сколь возможно больше чиселъ.

Мало того:

Эти названія чиселъ таковы, что указываютъ на мѣсто числа въ натуральльномъ ряду послѣдовательныхъ чиселъ.

Такъ что, произнося число, мы можемъ судить о величинѣ совокупности единицъ, составляющихъ число, т. е. о его составѣ.

Искусство устнаго счисленія сводится къ слѣдующему: Первымъ числамъ натуральнаго ряда даютъ особыя названія:

одинъ, два, три, четыре, пятъ, шесть, семь, восемь, девять

и называютъ ихъ простыми единицами.

Слѣдующему числу даютъ также особое названіе десять или десятокъ.

Дальнѣйшія числа ряда стараются называть соединеніями уже извѣстнаго слова «десять» съ названіями первыхъ девяти чиселъ. Такъ что девять чиселъ, слѣдующихъ за десятью, будутъ: одинъ и десять, т. е. число, получаемое отъ прибавленія одного къ десяти,—одинъ на десять, или одиннадцать; затѣмъ два и десять, или два-на-десять, или просто двѣнадцать, три и десять, или три-на-десять, или тринадцать и подобно же, какъ знаемъ изъ предыдущаго (стран. 27—28), четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать, семнадцать, восемнадцать, девятнадцать.

Слѣдующее число есть десять и десять, т. е., сумма десяти плюсъ десять, или два раза десять, два—десять, или просто двадцать.

Девять чиселъ, слѣдующихъ за двадцатью, называютъ словомъ двадцать съ прибавленіемъ именъ первыхъ девяти чиселъ: двадцать одинъ, двадцать два, двадцать три и т. д., что означаетъ двадцать плюсъ одинъ, двадцать плюсъ два и т. д. до двадцати плюсъ девять, или двадцати девяти.

Послѣ двадцати девяти можно было бы сказать двадцать и еще (плюсъ) десять, т. е. три раза десять. Но вмѣсто этого просто говорятъ три-десять, или тридцать-, а затѣмъ продолжаютъ счетъ по предыдущему, присоединяя къ слову тридцать названія первыхъ девяти чиселъ: тридцать одинъ, тридцать два, и т. д. до тридцать девять.

Слѣдующее по порядку число есть тридцать и десять, или четыре раза десять, т. е. четыре-десять по принятому у насъ словообразованію числительныхъ именъ. Здѣсь,

однако, у насъ оказывается отступленіе: вмѣсто русскаго четыредесять въ языкѣ усвоилось для обозначенія четырехъ десятковъ греческое слово сорокъ. Дальнѣйшій счетъ ведется такъ; сорокъ одинъ, сорокъ два, сорокъ три и т. д. до сорокъ девять.

Для пяти десятковъ имѣемъ уже принятое словообразованіе пять-десять, или пятьдесятъ со слѣдующими: пятьдесятъ одинъ, пятьдесятъ два и т. д. до пятьдесятъ девять.

И подобно же:

Шестьдесятъ, шестьдесятъ одинъ и т. д. до шестьдесятъ девять.

Семьдесятъ, семьдесятъ одинъ и т. д. до семьдесятъ девять.

Восемьдесятъ, восемьдесятъ одинъ и т. д. до восемьдесятъ девять.

Но для девяти десятковъ вмѣсто ожидаемаго слова «девятьдесятъ» берутъ слово девяносто съ послѣдующими: девяносто одинъ, девяносто два и т. д. до девяносто девять.

Наконецъ, для десяти десятковъ вводятъ новое слово сто, или сотня.

Слова сорокъ и девяносто, какъ мы видѣли, составляютъ уклоненія отъ правильнаго образованія числительныхъ именъ. Это «вольности» или «капризы» живой рѣчи, уже освященные временемъ. Вмѣсто этихъ словъ правильнѣе и естественнѣе было бы употреблять слова четыредесять (или четыредцать) и девятьдесять.

Въ этомъ послѣднемъ случаѣ мы видимъ, что для названія всѣхъ первыхъ чиселъ отъ единицы до девяносто девяти достаточно всего десяти различныхъ словъ, а именно названій первыхъ десяти чиселъ. Чтобы называть соединеніемъ этихъ словъ всѣ первыя девяносто девять чиселъ, мы придерживаемся такого порядка, или системы:

1) Первыя девять чиселъ называемъ отдѣльными именами. Это—простыя единицы.

2) Слѣдующему числу даемъ также новое названіе десять,—десятокъ. Но затѣмъ уже считаемъ десяткомъ или десятками совмѣстно съ простыми единицами: одинъ и десять (одиннадцать), два и десять (двѣнадцать) и т. д.; два-десять (двадцать) одинъ, два-десять два и т. д., три-десять (тридцать), тридцать одинъ и т. д.; четыре-десять (сорокъ), и т. д. до девять-десять (девяносто) девять и затѣмъ для десяти десятковъ вводимъ новое одиннадцатое слово—сто.

Значитъ, отсчитавши, или составивъ, десятокъ, мы принимаемъ его за новую сложную единицу и считаемъ эти десятки, какъ простыя единицы: десять, два-десять, тридесять и т. д. до девять-десять (девяносто), присоединяя къ цѣлому («круглому») числу десятковъ послѣдовательно простыя единицы.

Десять десятковъ называютъ словомъ сто, или сотней.

Чтобы назвать послѣдовательно всѣ числа, слѣдующія за сотней, мы ставимъ вначалѣ слово «сто» и присоединяемъ къ нему уже извѣстныя намъ названія девяносто девяти первыхъ чиселъ. Получаемъ: сто одинъ, сто два, сто три и т. д. до сто девяносто девять.

Сто девяносто девять плюсъ единица — это все равно, что сто да сто,—два раза сто, или два ста, что обратилось у насъ въ одно слово двѣсти.

Названія девяносто девяти чиселъ, слѣдующихъ за двумя стами, получаются, ставя впереди слово двѣсти, а затѣмъ извѣстныя намъ названія девяносто девяти первыхъ чиселъ, т. е. имѣемъ:

Двѣсти одинъ, двѣсти два и т. д. до двѣсти девяносто девять.

Двѣсти девяносто девять плюсъ одинъ—это все равно, что двѣсти да еще сто, т. е. три сотни, или три ста, что

обратилось въ одно слово триста. Далѣе, подобно предыдущему, для названій послѣдовательныхъ чиселъ имѣемъ:

Триста одинъ, триста два и т. д. до триста девяносто девять.

И подобно же:

Четыреста, четыреста одинъ и т. д. до четыреста девяносто девять.

Пятьсотъ, пятьсотъ одинъ и т. д. до пятьсотъ девяносто девять.

Шестьсотъ, шестьсотъ одинъ и т. д. до шестьсотъ девяносто девять.

Семьсотъ, семьсотъ одинъ и т. до семьсотъ девяносто девять.

Восемьсотъ, восемьсотъ одинъ и т. д. до восемьсотъ девяносто девять.

Девятьсотъ, девятьсотъ одинъ и т. до девятьсотъ девяносто девять.

Девятьсотъ девяносто девять плюсъ единица составитъ девятьсотъ и еще сто, или десять разъ сто, т. е. десять сотенъ. Эту совокупность единицъ въ десять сотенъ называютъ новымъ словомъ—тысяча.

Оглянемся теперь назадъ и дадимъ себѣ еще разъ отчетъ въ томъ, какъ мы получили названія первой тысячи чиселъ съ помощью немногихъ словъ. Для этого:

1) Первыя девять послѣдовательныхъ чиселъ (простыя единицы) названы каждое особымъ словомъ.

2) Совокупность десяти единицъ также названа особымъ словомъ—десять.

Итого, для первыхъ десяти чиселъ имѣетъ десять особыхъ словъ,—числительныхъ именъ.

3) Вслѣдъ затѣмъ ведемъ счетъ десятками и простыми единицами, не прибѣгая къ новымъ словамъ: одинъ и десять (одиннадцать;, два и девять (двѣнадцать) и т. д. При-

чемъ десятки считаемъ, какъ простыя единицы: десять, два-десять (двадцать), три-десять (тридцать), четыре-десять (сорокъ), пятьдесятъ и т. д.

Слова сорокъ и девяносто представляютъ отступленія отъ правила, или вольности языка, и могутъ быть смѣло замѣнены словами «четыредесять» и «девятьдесять». Значитъ, для названія девяносто девяти первыхъ чиселъ, достаточно всего десяти различныхъ словъ.

4) Для названія десяти десятковъ вводится новое (одиннадцатое) слово «сто», или сотня.

о) Съ помощью этого слова «сто» и десяти первыхъ числительныхъ именъ называются всѣ девятьсотъ девяносто девять первыхъ чиселъ. При чемъ сотни считаются, какъ простыя единицы: сто, два-ста (двѣсти), триста, че-реста и т. д.

6) Десять сотенъ единицъ называютъ новымъ словомъ «тысяча». Это двѣнадцатое новое числительное имя.

Слѣдовательно, мы видимъ, что для названія первыхъ тысячи чиселъ достаточно всего двѣнадцати различныхъ словъ.

Если же принять вошедшія въ обычай вольности языка, то надо къ этимъ словамъ присчитать еще слово «сорокъ»— четыредесять. Такъ что въ нашемъ языкѣ для названія первой тысячи чиселъ существуетъ тринадцать отдѣльныхъ словъ (Слово девяносто можно не считать «новымъ», ибо, очевидно, оно состоитъ изъ словъ «девять» и «сто»).

Необходимо отмѣтить и то, что послѣ названій простыхъ единицъ каждое новое слово вводится для того, чтобы обозначить число въ десять разъ большее предыдущаго:

Десятокъ есть совокупность десяти единицъ;

Сотня » » » десятковъ;

Тысяча » » » сотенъ.

Переходимъ къ дальнѣйшему устному счету.

Тысячами считаютъ такъ, какъ до сихъ поръ мы считали простыми единицами, десятками и сотнями, т. е. говорятъ: одна тысяча (или просто—тысяча), двѣ тысячи, три тысячи и т. д., десять тысячъ, одиннадцать тысячъ.....

двадцать тысячъ, двадцать одна тысяча и т. д., тридцать тысячъ и т. д., девяносто девять тысячъ, сто тысячъ, сто одна тысяча, сто двѣ тысячи,....... сто девяносто девять тысячъ девятьсотъ девяносто девять, двѣсти тысячъ, двѣсти одна тысяча,......... девятьсотъ девяносто девять тысячъ девятьсотъ девяносто девять.

И затѣмъ только для тысячу разъ взятой тысячи, т. е., для тысячи тысячъ создаютъ новое слово милліонъ.

Разсмотримъ счетъ отъ тысячи до милліона болѣе подробно.

Чтобы назвать всѣ послѣдовательныя числа за тысячью, ставятъ сначала слово тысяча, а за нимъ по порядку извѣстныя намъ девятьсотъ девяносто девять начальныхъ чиселъ. Т. е. говорятъ: тысяча одинъ, тысяча два, тысяча три и т. д. до тысяча девятьсотъ девяносто девять. Такъ мы называемъ девятьсотъ девяносто девять чиселъ, слѣдующихъ за тысячью.

Тысяча девятьсотъ девяносто девять плюсъ одинъ—это все равно, что тысяча плюсъ тысяча, т. е. двѣ тысячи.

Подобно предыдущему, считаемъ отъ двухъ до трехъ тысячъ. Т. е. двѣ тысячи одинъ, двѣ тысячи два, двѣ тысячи три и т. д. до двѣ тысячи девятьсотъ девяносто девять. Если къ этому числу прибавить еще единицу, получимъ три тысячи.

Совершенно подобно предыдущему считаемъ:

отъ десяти тысячъ до ста тысячъ

девятисотъ девяносто девяти тысячъ девятьсотъ девяносто девяти.

Наконецъ, прибавляя къ послѣднему числу единицу, получаемъ десять сотенъ тысячъ, или тысячу тысячъ, которую называемъ однимъ словомъ милліонъ.

Дальше считаютъ милліонами, говоря: одинъ милліонъ, два милліона, три милліона и т. д. до девятьсотъ девяносто девять милліоновъ девятьсотъ девяносто девять тысячъ девятьсотъ девяносто девять.

Для тысячи милліоновъ вводится новое слово милліардъ, или билліонъ.

Отъ одного милліона до двухъ милліоновъ слѣдуетъ девятьсотъ девяносто девять тысячъ девятьсотъ девяносто девять послѣдовательныхъ чиселъ. Чтобы назвать ихъ, мы ставимъ сначала слово «милліонъ», а затѣмъ извѣстныя намъ названія чиселъ одинъ, два, три и т. д. до девятьсотъ девяносто девяти тысячъ девятьсотъ девяносто девяти.

Такъ что при послѣдовательномъ счетѣ говоримъ: милліонъ одинъ, милліонъ два, милліонъ три и т. д. до милліонъ девятьсотъ девяносто девять тысячъ девятьсотъ девяносто девять. Число слѣдующее за этимъ есть два милліона. И опять начинаютъ счетъ: два милліона одинъ, два милліона два и т. д. до трехъ милліоновъ.

Подобно же считаютъ:

Отъ трехъ милліоновъ до четырехъ милліоновъ; » четырехъ » » пяти »

и т. д. до девяти сотъ девяносто девяти милліоновъ девятьсотъ девяносто девяти тысячъ девятьсотъ девяносто

девяти. Прибавляя къ послѣднему числу единицу, получаемъ тысячу милліоновъ, или милліардъ, или еще иначе билліонъ.

Милліардами считаютъ такъ же, какъ мы считали раньше тысячами и милліонами, не вводя никакихъ новыхъ словъ. Но для тысячи милліардовъ (или билліоновъ) вводятъ новое слово трилліонъ.

Послѣдовательныя числа отъ одного милліарда до двухъ милліардовъ называютъ такъ: ставятъ вначалѣ слово милліардъ, а затѣмъ идутъ милліардъ одинъ, милліардъ два, милліардъ три и т. д. до милліарда девятьсотъ девяносто девяти милліоновъ девятьсотъ девяносто девяти тысячъ девятьсотъ девяносто девяти. Вслѣдъ за этимъ послѣднимъ числомъ слѣдуетъ два милліарда и опять послѣдовательный счетъ: два милліарда одинъ, два милліарда два и т. д., и т. д. до трилліона.

Далѣе надо считать трилліонами, для тысячи трилліоновъ вводить новое слово и т. д. Но въ этомъ нѣтъ нужды. Милліарды въ жизни встрѣчаются весьма рѣдко, въ трилліонахъ, пожалуй, на практикѣ и совсѣмъ нѣтъ нужды. Что же касается очень большихъ чиселъ, встрѣчающихся въ наукѣ, то тамъ ихъ просто пишутъ, что выходитъ гораздо проще и удобнѣе, чѣмъ устный счетъ, потому что, какъ скоро увидимъ, въ письменномъ счисленіи при помощи десяти всего знаковъ можно изобразить какое угодно число.

Итакъ, устный счетъ ведется нами по слѣдующему плану пли схемѣ:

Такимъ путемъ дѣйствительно достигается то, что немногими словами можно назвать очень много чиселъ. Очень много, но не всѣ числа.

Чиселъ, какъ знаемъ, безконечно много, а, значитъ, для названія ихъ всѣхъ потребовалось бы и безконечное количество словъ, что, конечно, немыслимо да и не нужно, такъ какъ письменное счисленіе даетъ все, чего не хватаетъ устному.

Письменное счисленіе.

Письменное счисленіе учитъ изображать какое угодно число съ помощью немногихъ знаковъ.

Эти знаки, какъ знаемъ, называются цифрами. Ихъ десять: 9 значащихъ и одна незначащая:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Цифры этой формы называются арабскими, потому что полагаютъ, что онѣ перешли въ Европу отъ арабовъ, которые въ свою очередь переняли ихъ отъ древнихъ индусовъ. Это однако не вполнѣ достовѣрно. Цифры подобной формы были въ употребленіи въ Европѣ уже около тысячи лѣтъ тому назадъ и, быть можетъ, онѣ европейскаго происхожденія.

Чтобы понять, какъ съ помощью десяти всего цифръ можно изобразить (написать) любое число, припомнимъ опять основы нашего устнаго счета.

Основа этого счета заключается въ образованіи единицъ различныхъ разрядовъ, при чемъ десять единицъ какого-либо разряда составляютъ одну единицу слѣдующаго высшаго разряда. Т. о. при счетѣ мы различаемъ единицы: 1-го разряда, 2-го разряда, 3-го разряда, 4-го разряда и т. д., или соотвѣтственно:

Эту послѣдовательность разрядовъ необходимо усвоить такъ, чтобы всегда безошибочно знать, что, наприм., единицы пятаго разряда—это десятки тысячъ, единицы девятаго разряда — сотни милліоновъ, единицы третьяго разряда—сотни простыя, единицы десятаго разряда—единицы милліардовъ и т. д.

Поступимъ, теперь, такъ, какъ поступали счетчики древнихъ народовъ (грековъ и римлянъ), а за ними вычислители и позднѣйшихъ среднихъ вѣковъ. Раздѣлимъ доску на столбцы (колонны) и надъ каждымъ столбцомъ напишемъ названіе разряда чиселъ, начиная съ перваго и идя справа налѣво:

Такая раздѣленная на столбцы доска называлась въ древности абакомъ.

Древніе не знали нуля, а имѣли только значащія цифры, и цифры эти у древнихъ счетчиковъ были разъ навсегда написаны на отдѣльныхъ маленькихъ круглыхъ или четыреугольныхъ дощечкахъ (жетонахъ). Съ помощью этихъ дощечекъ съ цифрами, или жетоновъ, легко изобразить на абакѣ любое число.

Пусть, напр., надо изобразить число тысяча девятьсотъ тринадцать.

Отмѣчаемъ, что въ числѣ: 1 единица тысячъ, 9 сотенъ, 1 десятокъ и 3 простыхъ единицы. Значитъ, — на столбецъ абака съ надписью «единицы тысячъ» кладемъ жетонъ съ цифрой 1, на слѣдующій столбецъ съ надписью «сотни» кладемъ жетонъ съ надписью 9, на столбецъ де-

сятковъ опять жетонъ съ цифрой 1 и, наконецъ, на столбецъ единицъ жетонъ съ цифрой 3. Получается

Положимъ надо изобразить число четыреста пять.

Въ такомъ случаѣ, очевидно, надо въ абакѣ на столбецъ сотенъ положить жетонъ съ цифрой 4, а жетонъ съ цифрой 5 положить на столбецъ единицъ. Получается

Столбецъ десятковъ въ абакѣ пустой. Почему? Да потому, что въ заданномъ числѣ пѣтъ простыхъ десятковъ, а есть только сотни и единицы. Итакъ, если въ заданномъ числѣ какихъ-нибудь разрядовъ нѣтъ, то соотвѣтственныя этимъ разрядамъ колонны абака будутъ пусты. Слѣдовательно, если имѣемъ на абакѣ хотя бы жетоны съ одинаковыми цифрами, напр.:

изображаемыя ими числа могутъ быть, все-же, различны. Дѣйствительно, въ первомъ случаѣ здѣсь имѣемъ тридцать семь, во второмъ—триста семь, въ третьемъ—три тысячи семь.

Жетонъ съ цифрой 3, какъ видимъ, въ данномъ случаѣ можетъ означать и тридцать, и триста, и три тысячи, въ зависимости отъ мѣста, которое онъ занимаетъ на

абакѣ, т. е. въ зависимости отъ того, на какой колоннѣ абака онъ помѣщенъ, считая отъ правой руки къ лѣвой.

Если хорошо усвоить (что необходимо) послѣдовательность единицъ разныхъ разрядовъ чиселъ, то надписи надъ столбцами абака не нужны, а самые столбцы можно замѣнить рядомъ клѣтокъ:

При чемъ мы всегда помнимъ, что первая клѣтка, считая справа, соотвѣтствуетъ разряду простыхъ единицъ, вторая клѣтка (влѣво)—разряду простыхъ десятковъ; третья влѣво—разряду простыхъ сотенъ и т. д.

Поэтому, если требуется, напр., изобразить число двадцать тысячъ семьсотъ пятьдесятъ, то мы прежде всего опредѣляемъ, что наивысшій разрядъ единицъ этого числа есть десятки тысячъ, т. е. пятый разрядъ единицъ чиселъ, а потому, взявъ пять клѣтокъ, мы изобразимъ требуемое число такъ:

Т. е. въ первой клѣткѣ слѣва (пятой, считая справа) ставимъ цифру десятковъ тысячъ 2, слѣдующая вправо клѣтка пуста, такъ какъ единицъ тысячъ нѣтъ, далѣе въ клѣткѣ сотенъ ставимъ цифру 7, въ клѣткѣ десятковъ — цифру 5, а крайняя клѣтка справа опять пустая, потому что въ заданномъ числѣ простыхъ единицъ нѣтъ.

Старинное изображеніе чиселъ на абакѣ мѣчеными жетонами имѣетъ очень большія неудобства. Прежде всего это,

въ сущности, не письменное счисленіе. Абакъ съ жетонами, представляетъ не что иное, какъ счетный инструментъ, или счетную машину, которую не всегда можно имѣть подъ рукой и не всегда и всюду можно съ собой носить. Абакъ былъ изобрѣтенъ и употреблялся въ тѣ времена, когда нынѣшней бумаги еще не было, а писчій матерьялъ, въ родѣ пергамента, былъ очень дорогъ и мало кому доступенъ. Поэтому, волей-неволей, прибѣгали не къ письменному, а къ инструментальному, или машинному, счету чиселъ и къ такого же рода дѣйствіямъ надъ ними.

Но точно также неудобенъ способъ письменнаго изображенія чиселъ по клѣткамъ. Мало того, что необходимо постоянно имѣть клѣточную бумагу или самому рисовать клѣтки, становятся чрезвычайно затруднительными многія дѣйствія надъ числами. Послѣ многихъ и долгихъ усилій люди одолѣли, однако, и это затрудненіе:

Они ввели незначащую цифру, — извѣстный намъ нуль, 0.

И вотъ этотъ-то изображающій ничто значокъ даетъ полную возможность безъ всякихъ затрудненій написать какое угодно число, чѣмъ удивительно облегчается вся письменная ариѳметика. Чтобы уяснить это, возвратимся на минуту опять къ клѣткамъ.

Мы знаемъ, что, если первую, считая справа налѣво, клѣтку предназначить для единицъ 1-го разряда (простыхъ единицъ), вторую—для единицъ 2-го разряда (простыхъ десятковъ) и т. д., то изобразить требуемое число сравнительно не трудно.

Нужно только знать, какая клѣтка соотвѣтствуетъ каждому разряду единицъ, и въ соотвѣтствующую клѣтку ставить цифру соотвѣтствующаго разряда требуемаго числа.

Такъ, число двадцать четыре тысячи семьсотъ шестьдесятъ девять напишемъ по клѣткамъ такъ:

Здѣсь: наивысшій разрядъ единицъ даннаго числа пятый (десятки тысячъ),—значитъ, для изображенія числа нужно пять клѣтокъ. Начиная съ пятаго разряда, въ этомъ числѣ есть всѣ разряды единицъ до послѣдняго (перваго), а потому всѣ пять клѣтокъ заполнены соотвѣтствующими цифрами,—пяти разрядамъ единицъ числа соотвѣтствуетъ пять цифръ; и цифры эти, считая справа, расположены въ порядкѣ послѣдовательнаго возрастанія разрядовъ даннаго числа.

Сотремъ теперь нарисованныя клѣтки и оставимъ цифры. Получимъ

2 4 7 6 9.

Если мы запомнимъ, что первая цифра справа означаетъ единицы, вторая—десятки, третья—сотни п т. д., то опять здѣсь не получается недоразумѣнія: очевидно, что написано требуемое число двадцать четыре тысячи семьсотъ шестьдесятъ девять.

Затрудненій, чтобы написать число прямо безъ клѣтокъ, въ данномъ случаѣ нѣтъ. Но они возникаютъ, когда при изображеніи числа по клѣткамъ встрѣчаются пустыя клѣтки.

Возьмемъ, напр., 3 клѣтки и проставимъ въ нихъ различнымъ образомъ цифру 5:

Здѣсь, по нашему условію, въ первомъ случаѣ цифра 5 означаетъ пять простыхъ единицъ (первая клѣтка справа); во второмъ—написано пять десятковъ (пятьдесятъ), такъ

какъ цифра 5 стоитъ въ клѣткѣ десятковъ; въ третьемъ случаѣ цифра 5 стоитъ въ клѣткѣ сотенъ, а значитъ, написано число пятьсотъ.

Итакъ, цифрой 5 въ данномъ случаѣ мы можемъ обозначить и пять единицъ, и пять десятковъ, и пять сотенъ, смотря по тому, на какомъ мѣстѣ, или въ какой клѣткѣ, считая справа, стоитъ эта цифра.

Но если въ данномъ случаѣ стереть клѣтки, то во всѣхъ случаяхъ останется просто цифра 5, означающая сама по себѣ, какъ знаемъ, число пять (простыхъ единицъ).

Такимъ образомъ, казалось бы, мы встрѣчаемся со случаемъ, гдѣ нельзя обойтись безъ клѣтокъ, и ихъ приходится, волей-неволей, рисовать. Но это неудобство, оказывается, устранимо:

Слѣдуетъ только ввести знакъ, замѣняющій пустую клѣтку.

Этотъ знакъ и есть извѣстный намъ нуль, 0, носящій названіе незначащей цифры.

Итакъ, если намъ нужно изобразить число пять (единицъ), то мы и ставимъ просто цифру 5.

Если же нужно изобразить число пятьдесятъ (пять десятковъ), то мы замѣчаемъ, что простыхъ единицъ здѣсь нѣтъ, и цифру 5 надо поставить во второй клѣткѣ, считая справа. Поэтому пишемъ цифру 5, а справа отъ нея вмѣсто пустой клѣтки цифру 0, получаемъ 50. Это обозначеніе ясно показываетъ, что цифра 5 обозначаетъ здѣсь единицы второго разряда (десятки), такъ какъ она стоитъ на второмъ мѣстѣ, считая справа.

Точно также, если мы желаемъ написать пятьсотъ, то опять ставимъ цифру 5, а справа два нуля, которые показываютъ, что простыхъ единицъ нѣтъ. Получаемъ 500. Здѣсь цифра 5 стоитъ на третьемъ мѣстѣ, считая справа, и, значитъ, по условію означаетъ единицы третьяго разряда, т. е. сотни.

Подобно предыдущему, пусть требуется написать числа триста семь и четыре тысячи два. Если прибѣгнуть къ помощи клѣтокъ, то получимъ:

И эти же числа напишутся съ помощью нуля, безъ всякихъ клѣтокъ такъ:

Усвоившему сказанное выше не трудно будетъ овладѣть искусствомъ писать какія угодно числа съ помощью десяти извѣстныхъ цифръ, — девяти значащихъ и одной незначащей. Для этого прежде всего необходимо помнить:

1) Послѣдовательность разрядовъ единицъ чиселъ, которую можно представить слѣдующей табличкой, гдѣ разряды слѣдуютъ одинъ за другимъ справа налѣво:

Для удобства числа разбиваютъ на классы, —по три разряда въ классѣ. Такъ что различаютъ классы: простыхъ единицъ,тысячъ, милліоновъ, милліардовъ (билліоновъ), трилліоновъ и т. д., какъ это показано на прилагаемой табличкѣ.

2) Если называютъ какое-нибудь число, то необходимо умѣть тотчасъ разбить его на разряды и опредѣлить мѣсто единицъ наивысшаго разряда въ общей послѣдовательности разрядовъ.

3) Наивысшій разрядъ числа укажетъ, сколькими цифрами надо написать число. Т. е., если, напримѣръ, наивысшій разрядъ въ числѣ десятки тысячъ (5-й разрядъ), то число необходимо написать 5-ю цифрами; если наивысшій разрядъ числа сотни тысячъ (6-й разр.), то число напишемъ 6-ю цифрами и т. д.

Послѣ всего сказаннаго не трудно понять и усвоить слѣдующее общее правило:

Чтобы написать цифрами любое данное число, называемъ сначала единицы наивысшаго разряда, содержащагося въ числѣ, и пишемъ соотвѣтствующую цифру, затѣмъ называемъ слѣдующій низшій разрядъ и пишемъ соотвѣтствующую цифру вправо отъ первой, затѣмъ пишемъ справа цифру, соотвѣтствующую слѣдующему низшему разряду и т. д., пока напишемъ цифру простыхъ единицъ числа. Если какихъ-либо разрядовъ въ числѣ нѣтъ, то на ихъ мѣстѣ ставимъ нули.

Упражненія.—Написать цифрами числа: сто; стопятъ, сто девяносто одинъ; сто сорокъ; пятьсотъ; девятьсотъ; четыреста; семьсотъ двадцать; четыреста одинъ; двѣсти шестьдесятъ три; девятьсотъ девяносто девять; шестьсотъ шестьдесятъ шесть; тысячу; двѣ тысячи; три тысячи и т. д. до девяти тысячъ; десять тысячъ.

Написать послѣдовательныя числа, начиная съ двухъ тысячъ до двухъ тысячъ пятнадцати.

Написать числа: девять тысячъ восемьдесятъ одинъ; десять тысячъ сто; семьдесятъ пять тысячъ триста двадцать девять; сорокъ тысячъ четыреста сорокъ; сто тысячъ.

Сколько будетъ (сказать и написать): сотня+пять десятковъ+ +три единицы? двѣ сотни + четыре десятка + пять единицъ? три

сотн0+три десятка-ргри единицы? четыре сотнп+два десятка-ро единицъ? пять сотенъ + 0 десятковъ + одна единица? шесть сотенъ+пять десятковъ+O единицъ? семь сотенъ+0 десятковъ+0 единицъ? восемь сотенъ-[-семь десятковъ+восемь единицъ? девять сотенъ + восемь десятковъ + двѣ единицы? десять сотенъ + О десятковъ+0 единицъ? двѣ тысячи-ргри сотнп+четыре десятка+двѣ единицы? девять тысячъЦ-0 сотенъ+четыре десятка+0 единицъ?

Если мы умѣемъ написать любое заданное число, то легко справимся и съ обратной задачей,—прочесть любое написанное цифрами число.

Пусть, напримѣръ, написано число

7608003

Мы видимъ, разсматривая справа, что въ этомъ числѣ содержатся:

3 единицы простыхъ нѣтъ десятковъ нѣтъ сотенъ

8 тысячъ

нѣтъ десятковъ тысячъ

6 сотенъ тысячъ

7 милліоновъ.

Теперь уже легко прочесть (начиная слѣва), что написано число:

семь милліоновъ—шестьсотъ восемь тысячъ—три.

Для облегченія чтенія большихъ написанныхъ чиселъ на практикѣ обыкновенно прежде всего разбиваютъ, начиная справа, написанное число на группы—по три цифры въ каждой группѣ, при чемъ въ крайней слѣва можетъ оказаться не три, а двѣ или одна цифра. Группу отъ группы можно отдѣлять точкой или запятой, которыя лучше ставить сверху. Напримѣръ,

21/587’368.

Очевидно, каждая такая группа соотвѣтствуетъ классу единицъ числа, т. е. первая группа справа представляетъ классъ единицъ простыхъ, слѣдующая влѣво—классъ тысячъ, слѣдующая—классъ милліоновъ и т. д.

Вслѣдъ затѣмъ называютъ каждый классъ, начиная съ высшаго (т. е. читаютъ число слѣва направо). Поэтому написанное только что выше число прочтется такъ:

двадцать одинъ милліонъ,

пятьсотъ восемьдесятъ семь тысячъ, триста шестьдесятъ восемь.

Для облегченія чтенія большихъ чиселъ и для собственной провѣрки лучше всего сразу пріучаться писать числа по классамъ, т. е., отдѣляя небольшими промежутками цифры каждаго класса.

Напримѣръ, числа

215 823 578; 75 006 070 и т. п.,

уже самымъ написаніемъ раздѣлены на классовыя группы (грани), а потому чтеніе ихъ облегчается.

Число, которое пишется одной цифрой (арабской), называется однозначнымъ-, если же число пишется двумя цифрами, оно называется двухзначнымъ-, если оно пишется тремя цифрами,—называется трехзначнымъ и т. д. Вообще, многозначнымъ числомъ называется такое, для написанія котораго надобно нѣсколько цифръ.

Если извѣстно число цифръ (знаковъ) числа, то сейчасъ же можно опредѣлить наивысшій разрядъ единицъ, входящихъ въ число. Такъ, если, напримѣръ, говорится, что число трехзначное, то значитъ въ немъ есть сотни (простыя); если число пятизначное, то въ немъ непремѣнно есть десятки тысячъ и т. д.

Для упражненія сообразите: сколько всего существуетъ въ нашемъ счетѣ однозначныхъ чиселъ? двухзначныхъ? трехзначныхъ? четырехзначныхъ чиселъ?

Все сказанное выше приводитъ къ заключенію, что искусство нашего письменнаго счета основано главнымъ образомъ на двухъ началахъ:

1) Одна и та же цифра можетъ изображать единицы различныхъ разрядовъ (или порядковъ) въ зависимости отъ мѣста, которое она занимаетъ въ ряду написанныхъ цифръ.

Поэтому различаютъ абсолютное и относительное значеніе цифры. Цифра, напримѣръ, 7 сама по себѣ обозначаетъ число семь (простыхъ единицъ),—это ея абсолютное значеніе. Но та же цифра, какъ знаемъ, въ ряду цифръ можетъ обозначать и семь десятковъ, и семь сотенъ, и семь тысячъ и т. д.,—это ея относительное значеніе.

2) Если въ числѣ, которое надо написать, нѣтъ единицъ какого-либо разряда, то на мѣстѣ этого разряда ставятъ незначащую цифру нуль.

Значки, соотвѣствующіе нашимъ значащимъ цифрамъ, встрѣчаются въ европейской математической литературѣ еще у римскаго сенатора и ученаго Боэція, жившаго въ 4-мъ столѣтіи послѣ Рождества Христова. Что касается незначащей цифры, нуля, то у насъ въ Европѣ онъ, насколько извѣстно, начинаетъ распространяться только съ 12-го столѣтія по P. X. Но арабамъ нуль былъ извѣстенъ раньше.

Русскіе торговые счеты.

Мы уже говорили о счетной машинѣ древнихъ временъ,— абакѣ. Машина эта теперь не употребляется ни однимъ народомъ. Но взамѣнъ абака въ настоящее время приду-

мано очень много различныхъ счетныхъ машинъ—отъ самыхъ простыхъ до самыхъ сложныхъ.

Къ числу такихъ простѣйшихъ счетныхъ машинъ принадлежатъ очень распространенные и полезные паши торговые счеты, съ устройствомъ и употребленіемъ которыхъ полезно, а то, пожалуй, и необходимо, ознакомиться каждому.

Счеты представляютъ собой (см. рисунокъ) четыреугольную продолговатую рамку съ натянутыми проволоками на равномъ разстояніи одна отъ другой.

На каждой проволокѣ находятся круглыя «косточки» («костяшки», хотя они могутъ быть выточены и не изъ кости), которыя свободно движутся по проволокамъ. Перемѣщеніемъ этихъ костяшекъ на счетахъ кладутся (изображаются) числа, а также производятся надъ числами различныя дѣйствія.

Счеты бываютъ различной величины и съ различнымъ количествомъ проволокъ. Впрочемъ, счеты съ большимъ, чѣмъ 15, количествомъ проволокъ встрѣчаются рѣдко,— такіе счеты слишкомъ велики и громоздки. Различаютъ верхнюю и нижнюю часть счетовъ (см. рисунокъ). Нижняя часть состоитъ изъ 4-хъ проволокъ, верхняя—изъ всѣхъ остальныхъ.

На каждой проволокѣ помѣщено по 10-ти костяшекъ, кромѣ 1-й и 4-й, считая снизу, на которыхъ находится только по 4 костяшки. Впрочемъ, первую снизу проволоку дѣлаютъ иногда и съ 8-ю костяшками.

Для удобства отсчитываній 5-я и 6-я костяшки каждой полной (т. е. съ 10-ю костяшками) проволоки дѣлаются черными. Это помогаетъ быстро схватывать глазомъ нужное въ предѣлахъ десятка число костяшекъ.

Разсмотримъ верхнюю часть счетовъ. Каждая проволока соотвѣтствуетъ здѣсь извѣстному разряду единицъ: 1-я (считая снизу) разряду простыхъ единицъ, 2—десяткамъ, 3-я—сотнямъ, 4-я—единицамъ тысячъ, 5-я—десяткамъ тысячъ и т. д., какъ это обозначено на рисункѣ.

Каждая же костяшка соотвѣтствуетъ единицѣ, и притомъ единицѣ того разряда, который изображенъ проволокой. Т. е. каждая костяшка 1-й (считая снизу) проволоки изображаетъ простую единицу, 2-й проволоки — десятокъ,... 4-й—тысячъ и т. д.

Десять единицъ низшаго разряда составляютъ, какъ извѣстно, одну единицу высшаго разряда. На счетахъ это выражаютъ такъ: вмѣсто того, чтобы класть (т. е. передвигать справа налѣво) всѣ 10 костяшекъ какой-либо проволоки, достаточно передвинуть (отложить) одну костяшку непосредственно слѣдующей высшей проволоки, какъ это показано на рисункѣ.

На счетахъ числа, конечно, не пишутъ, а кладутъ, какъ говорятъ. Положить число значитъ передвинуть нужное число костяшекъ справа налѣво.

Сбросить или скинуть значитъ передвинуть костяшки слѣва направо.

Числа кладутъ на счетахъ въ томъ же порядкѣ, какъ пишутъ или выговариваютъ, т. е. сначала кладутъ костяшки, соотвѣтствующія единицамъ самаго высшаго разряда въ числѣ, затѣмъ слѣдующаго низшаго и т. д. Если единицъ какого-нибудь разряда въ числѣ нѣтъ, то на соотвѣтствующей проволокѣ костяшекъ налѣво не передвигаютъ. Такъ, напримѣръ, на прилагаемыхъ рисункахъ положены на счетахъ 74, 5 038 и 619 458.

Достаточно небольшого числа упражненій для того, чтобы быстро и вѣрно класть числа на счетахъ. Люди же, которые имѣютъ дѣло со счетами постоянно, какъ, напримѣръ, конторщики, бухгалтеры, торговцы и т. п., часто поражаютъ той быстротой, съ которой они кладутъ на счетахъ числа. Они дѣлаютъ это быстрѣе всякой скорописи.

Нижняя часть счетовъ — вспомогательная. Она помогаетъ при отсчитываніи болѣе мелкихъ долей именованныхъ чиселъ (см. главу объ именованныхъ числахъ). Чаще всего на счетахъ подсчитываются суммы денегъ—рубли и копѣйки. Въ такомъ случаѣ верхняя часть счетовъ служитъ для откладыванія рублей, а нижняя—копѣекъ. А именно, гривенники кладутъ на 3-й (считая снизу) проволокѣ, а копѣйки на второй. Такъ, напримѣръ, суммы 63 рубля 42 коп. и 20 937 руб. 68 коп. кладутъ на счетахъ такъ:

Славянскія и римскія цифры.

Нашъ способъ писанія чиселъ посредствомъ такъ называемыхъ «арабскихъ» цифръ и нуля есть самый совершенный и простой, до котораго додумались люди по настоящее время. Теперь этотъ способъ извѣстенъ всѣмъ образованнымъ народамъ міра.

Но раньше каждый народъ, имѣвшій письменность, имѣлъ и свое особое письменное счисленіе. Общимъ недостаткомъ всѣхъ этихъ счисленій было прежде всего то, что въ нихъ не было знака, соотвѣтствующаго нулю. Нѣкоторыя изъ этихъ старинныхъ письменныхъ счисленій, или нумерацій, употребляются иногда по обычаю и до сихъ поръ. Укажемъ вкратцѣ на славянскую и римскую нумераціи.

Предки наши, славяне, для обозначенія чиселъ пользовались буквами своей азбуки. Именно: они употребляли различныя буквы для обозначенія первыхъ 9-ти чиселъ (простыя единицы), 9-ти простыхъ десятковъ и 9-ти простыхъ сотенъ.

Буквы эти указаны въ особой табличкѣ ниже. Чтобы показать, что буква означаетъ число, а не звукъ, надъ ней ставили значокъ, титло (»-).

Числа, которыя надо было записывать разными буквами, славяне записывали въ томъ порядкѣ, какъ они слышались въ ихъ произношеніи числа.

Такъ, одиннадцать (одинъ и десять) они писали д(, то есть, букву означающую 1 (д) и букву означающую 10 (7), а надъ ними титло. Подобно же 25 = не (двадцать, к, и пять (g). Для обозначенія тысячъ передъ соотвѣтствующей буквой ставили особый знакъ *. Такъ, напримѣръ, * ешдк значитъ 5832. Славянскія обозначенія чиселъ сохранились въ нашихъ церковныхъ книгахъ.

Древній народъ, римляне, для обозначенія чиселъ имѣлъ семь различныхъ знаковъ:

1=1, V = 5, Х = 10, І_=50, С = 100, D = 500, М = 1000

Остальныя числа писали повтореніемъ или сочетаніемъ этихъ знаковъ, придерживаясь начала сложенія. Такъ: 1=1, 2 = II, 3 = III, что касается знака, соотвѣтствующаго нашему 4, то у римлянъ или ставили четыре палочки: ІІІІ, или ставился знакъ пяти, V, а слѣва отъ него палочка, что означало, что отъ пяти надо отнять одинъ. Такимъ образомъ: 4 = ІІІІ = IV. Далѣе: 5 = V, 6 = VІ, 7 = VII, 8 = VІІІ, 9=VПП=ІХ, 10 = Х, 11=ХІ, 12 = XII, 13 = XIII, 14 = XIV, 15= XV и т. д., 20 = XX, 30 = XXX, 40 = XL, 50 = L, 60 = LX и т. д., 90 = ХС, 100 = С, 101 = СІ, 102 = СП и т. д. . ., 199 = СХС1Х, 200 =СС, ....

Для болѣе подробнаго ознакомленія прилагаемъ слѣдующую сравнительную таблицу арабскихъ, славянскихъ и римскихъ цифръ:

Арабскія. Славянскія. Римскія. Арабскія. Славянскія. Римскія.

Сложеніе многозначныхъ чиселъ.

Повторимъ и распространимъ на многозначныя числа то, что уже извѣстно о сложеніи изъ страницъ 4, 18—19, 29—33 и 44—45 этой книги.

Сложеніе есть ариѳметическое дѣйствіе, посредствомъ котораго нѣсколько данныхъ чиселъ соединяются въ

одно число, содержащее всѣ единицы всѣхъ данныхъ чиселъ.

Числа, данныя для сложенія, называются слагаемыми.

Число, получаемое отъ сложенія, называется суммой.

Можно короче сказать, что сумма—это итогъ, или результатъ, сложенія.

Знакъ сложенія плюсъ (+).

Сумма не мѣняется отъ перемѣны порядка слагаемыхъ.

Т. е., если, наприм., надо сложить два числа 8 и 5, то присчитаемъ ли мы къ 8 число 5 или къ 5-ти число 8, сумма все равно получится одна и та же: 13.

Для быстраго сложенія многозначныхъ чиселъ необходимо прежде всего безошибочно и быстро слагать однозначныя числа, т. е. требуется отчетливое знаніе таблицы сложенія (стр. 31). Мы предполагаемъ, что читающій эту книгу такое знаніе уже пріобрѣлъ.

Пусть требуется сложить два многозначныхъ числа напр., 7 943 и 684, т. е.,

Первое число состоитъ изъ

7 тысячъ 9 сотенъ 4 десятковъ 3 единицъ.

Второе состоитъ изъ

6 сотенъ 8 десятковъ 4 единицъ.

Мы можемъ части этихъ чиселъ складывать въ какомъ угодно порядкѣ, потому что сумма не измѣняется отъ перемѣны мѣста слагаемыхъ.

Условимся начинать сложеніе съ самыхъ низшихъ разрядовъ, т. е. съ простыхъ единицъ.

Будемъ имѣть:

3 единицы да 4 единицы составляютъ 7 единицъ (3—|—4=7). 4 десятка да 8 десятковъ составляютъ 12 десятковъ (4+8=12); но 12 десятковъ это все равно, что одна сотня и 2 десятка. Цифру десятковъ 2 запишемъ, а одну сотню прибавимъ къ тѣмъ сотнямъ, которыя намъ придется сейчасъ сложить, т. е. къ 9 и 6 сотнямъ. Значитъ имѣемъ 1 + 9 + 6 сотенъ, всего 16 сотенъ, или одну тысячу и 6 сотенъ. Эти 6 сотенъ запишемъ, а одну тысячу придадимъ къ тысячамъ, получимъ 1 + 7=8 тысячъ. Итакъ, сумма данныхъ слагаемыхъ равна 8 627.

На практикѣ дѣйствіе располагается такъ:

Т. е. слагаемыя пишутъ одно подъ другимъ такъ, чтобы единицы стояли подъ единицами, десятки подъ десятками и. д.—вообще, чтобы единицы одного и того же разряда были въ одномъ столбцѣ. Такъ что будемъ различать столбецъ единицъ, столбецъ десятковъ, сотенъ, тысячъ и т. д. Такая запись облегчаетъ сложеніе единицъ съ единицами, десятковъ съ десятками и т. д. Предъ слагаемыми ставимъ знакъ дѣйствія +, а подъ слагаемыми проводимъ черту.

Вслѣдъ затѣмъ начинаемъ сложеніе справа, т. е. съ низшихъ разрядовъ. Складываемъ единицы съ единицами и результатъ подписываемъ подъ чертой подъ столбцомъ единицъ, какъ указано выше. Если при такомъ сложеніи получатся и десятки, то цифру этихъ десятковъ относимъ къ слѣдующему столбцу десятковъ, а подъ столбцомъ единицъ (подъ чертой) пишемъ только цифру единицъ.

Затѣмъ складываемъ цифры столбца десятковъ и результатъ подписываемъ подъ чертой подъ столбцомъ десятковъ. Если при этомъ сложеніи получится болѣе девяти десятковъ, т. е. сотни, то цифру сотенъ приписываемъ къ столбцу сотенъ, а подъ стобцомъ десятковъ подписываемъ только цифру десятковъ.

Подобно же складываемъ числа столбца сотенъ, затѣмъ столбца тысячъ и т. д., какъ указано въ написанномъ выше примѣрѣ. Маленькія цифры надъ столбцами сотенъ и тысячъ въ этомъ примѣрѣ обозначаютъ, что при сложеніи десятковъ кромѣ двухъ десятковъ получилась еще 1 сотня, которую мы и отнесли къ столбцу сотенъ; а вслѣдъ затѣмъ при сложеніи сотенъ получилось 16 сотенъ, т. е. 6 сотенъ и 1 тысяча. Эту тысячу мы и отнесли къ столбцу тысячъ.

Совершенно подобно предыдущему поступаютъ и въ томъ случаѣ, если складываютъ не два, а три, четыре и больше многозначныхъ чиселъ. Пусть, напр., надо сложить 7 634, 63 918 и 5 471.

Подписываемъ ихъ сначала одно подъ другимъ, какъ разсказано выше, т. е. такъ, чтобы получились столбцы единицъ, десятковъ и т. д.; ставимъ знакъ плюсъ и подводимъ черту.

Начинаемъ сложеніе со столбца единицъ (простыхъ). Говоримъ: 4 да 8. . . 12, да 1. . . 13, что составляетъ 1 десятокъ и 3 единицы. Цифру единицъ, 3, подписываемъ подъ столбцомъ единицъ, а 1 десятокъ приписываемъ сверху къ столбцу десятковъ.

Складываемъ десятки: 1 (приписанный десятокъ) да 3...4, да 1...5, да 7... 12 десятковъ, т. е. 2 десятка и 1 сотня. Цифру десятковъ, 2, подписываемъ подъ столбцомъ десятковъ, а 1 сотню относимъ къ столбцу сотенъ (приписываемъ 1 сверху столбца сотенъ).

Затѣмъ складываемъ числа столбца сотенъ: 1 (приписанная сотня) да 6...7, да 9... 16, да 4...20 сотенъ, т. е. простыхъ сотенъ нѣтъ, а получается 2 десятка сотенъ пли 2 тысячи. Поэтому подъ столбцомъ сотенъ пишемъ цифру 0, а цифру 2 приписываемъ сверху къ столбцу тысячъ и переходимъ къ сложенію чиселъ этого столбца: 2 да 7.. .9, да 3.. .12, да 5.. .17 тысячъ. Цифру 7 подписываемъ подъ тысячами, 1 десятокъ тысячъ приписываемъ къ столбцу десятковъ тысячъ, гдѣ и получаемъ 1 + 6 = 7 десятковъ тысячъ.

Итакъ, искомая сумма равна 77 023.

Изъ предыдущихъ объясненій можно вывести такое общее правило сложенія многозначныхъ чиселъ:

Правило:—Для того, чтобы сложить нѣсколько чиселъ, пишутъ ихъ одно подъ другимъ такимъ образомъ, чтобы цифры, изображающія единицы одного и того же разряда, находились въ одномъ п томъ же столбцѣ. Назовемъ эти столбцы: столбцами простыхъ единицъ, столбцами десятковъ, столбцами сотенъ, столбцами тысячъ и т. д...Подъ послѣднимъ слагаемымъ проводится горизонтальная черта, которая должна отдѣлить послѣднее число отъ искомой общей суммы. Затѣмъ складываютъ послѣдовательно однозначныя числа, находящіяся въ столбцѣ простыхъ единицъ. Если результатъ изображается только одной цифрой, то пишутъ эту цифру па мѣстѣ, предназначенномъ для общей суммы, подъ столбцомъ простыхъ единицъ. Это будетъ цифра простыхъ единицъ общей суммы. Если же результатъ изображается нѣсколькими цифрами, то пишутъ только послѣднюю цифру справа, которая п въ этомъ случаѣ должна быть цифрой простыхъ единицъ общей суммы, а къ числу, образуемому совокупностью остальныхъ цифръ, прибавляютъ послѣдовательно однозначныя числа, находящіяся въ столбцѣ десятковъ. Если результатъ изображается

только одной цифрой, то пишутъ эту цифру въ общей суммѣ подъ столбцомъ десятковъ. Если же результатъ изображается нѣсколькими цифрами, то пишутъ на этомъ же мѣстѣ только послѣднюю справа цифру этого результата, а къ числу, образуемому совокупностью остальныхъ цифръ, прибавляютъ однозначныя числа, находящіяся въ столбцѣ сотенъ; если результатъ изображается только одной цифрой, то пишутъ его въ общей суммѣ, на мѣстѣ сотенъ; если получаются нѣсколько цифръ, то пишутъ на этомъ же мѣстѣ только первую цифру справа, а къ числу образуемому совокупностью остальныхъ цифръ, постепенно прибавляютъ цифры тысячъ. Такимъ образомъ продолжаютъ до послѣдняго столбца слѣва, включительно.

Самые опытные счетчики могутъ иногда ошибаться. Поэтому всякое ариометическое дѣйствіе нуждается въ повѣркѣ.

Повѣркой какого-нибудь дѣйствія называется другое дѣйствіе, результатъ котораго позволяетъ судить, правильно ли сдѣлано первое дѣйствіе или нѣтъ.

Сложеніе провѣряютъ новымъ сложеніемъ тѣхъ же слагаемыхъ, но расположенныхъ въ иномъ порядкѣ. Такая повѣрка основана, очевидно, на томъ, что сумма не измѣняется отъ перемѣны мѣстъ слагаемыхъ.

Чтобы не переписывать лишній разъ всѣхъ слагаемыхъ чиселъ, повѣрку обыкновенно дѣлаютъ такъ: Если сначала слагали числа столбцовъ, напр., сверху внизъ, то при повѣркѣ ихъ слагаютъ снизу вверхъ и обратно.

Мы выполняемъ дѣйствіе сложенія, начиная справа, т. е. сначала находимъ единицы искомой общей суммы, затѣмъ десятки, затѣмъ сотни и т. д. Поэтому если изъ единицъ низшаго разряда получаются единицы высшаго разряда, то мы сейчасъ же и относимъ эти послѣднія къ соотвѣтствующимъ столбцамъ влѣво.

Сущность дѣла не мѣняется, если начинать сложеніе съ высшихъ разрядовъ, т. е. слѣва. Но при этомъ можетъ получиться чисто практическое неудобство: приходится зачеркивать разъ написанную цифру и ставить новую. Это случается всякій разъ, когда, сложивъ числа

какого либо столбца, напр., тысячи, и перейдя къ столбу сотенъ, мы найдемъ, что онъ даетъ также тысячи, которыя надо придать къ полученнымъ уже тысячамъ. Значитъ, прежнюю цифру тысячъ суммы надо зачеркнуть и писать новую.

Подобное постоянное поправленіе уже разъ написаннаго неудобно. Но если сумма цифръ каждаго столбца не превышаетъ 9-ти, то все равно—дѣлать сложеніе, начиная справа или слѣва.

При сложеніи на торговыхъ счетахъ, какъ увидимъ дальше, сначала складываютъ высшіе разряды чиселъ.

При рѣшеніи задачъ сложеніе примѣняется въ 2-хъ случаяхъ: 1) когда требуется узнать сумму данныхъ чиселъ; 2) когда одно число надо увеличить на другое число (другимъ числомъ).

Вычитаніе.

Вычитаніе чиселъ въ предѣлахъ до 20-ти разсмотрѣно выше (на стран. 19, 20, 33, 34 и слѣд.). Оно основано на знаніи наизусть таблицы сложенія. Такъ, если надо, наприм., вычесть изъ числа 12 число 5, то стоитъ только вспомнить, что къ 5 надо прибавить 7, чтобы получить 12. Значитъ, 12 — 5 = 7. Поэтому ариѳметическое дѣйствіе вычитанія можно опредѣлить такъ:

Вычесть одно число изъ другого значитъ по данной суммѣ и одному изъ слагаемыхъ найти другое слагаемое.

Припомнимъ, что данная сумма (большее число) называется уменьшаемымъ, данное слагаемое (меньшее число)— вычитаемымъ, а искомое слагаемое (число, получаемое отъ вычитанія) — остаткомъ, или разностью. Знакъ вычитанія есть минусъ (—).

Вычитаніе многозначныхъ чиселъ сводится къ тому, что сказано о вычитаніи чиселъ до 20 на стран. 33 — 34 этой книги. Усвоившему же вдобавокъ вычитаніе въ предѣлахъ до 100 (стран. 45—48) оно не можетъ представить никакихъ затрудненій.

Пусть, напр., изъ числа 8357 (уменьшаемое) надо вычесть число 3549 (вычитаемое).

Для удобства вычитаній пишутъ вычитаемое, а подъ нимъ уменьшаемое такъ, чтобы единицы одинаковыхъ разрядовъ стояли въ одномъ столбцѣ; проводятъ внизу черту и ставятъ предъ вычитаемымъ знакъ минусъ:

Вслѣдъ затѣмъ начинаютъ вычитаніе (опять таки для удобства) справа, т. е. вычитаютъ единицы вычитаемаго изъ единицъ уменьшаемаго, десятки изъ десятковъ, сотни изъ сотенъ и т. д., подписывая результатъ каждаго такого вычитанія (цифру) подъ чертой и подъ соотвѣтствующимъ столбцомъ.

Если окажется, что единицы какого-либо разряда въ уменьшаемомъ меньше единицъ соотвѣтствующаго разряда въ вычитаемомъ, то «занимаютъ» (см. стр. 45 — 48) въ уменьшаемомъ одну единицу слѣдующаго высшаго разряда и придаютъ десять къ соотвѣтствующему непосредственно низшему разряду единицъ уменьшаемаго («Заемъ» этотъ обыкновенно обозначаютъ точкой надъ единицами того разряда, гдѣ занято). Такимъ образомъ всегда достигается возможность вычитанія по разрядамъ.

Такъ, во взятомъ нами примѣрѣ получаемъ

Написанное здѣсь обыкновенно выражаютъ словами такъ: 9 изъ 7 нельзя вычесть, поэтому «занимаемъ» (въ уменьшаемомъ) десятокъ, прибавляемъ его къ 7 и вычитаемъ 9 изъ 17, — получаемъ 8 единицъ. Цифру единицъ

8 подписываемъ подъ столбцомъ единицъ, подъ чертой. (Этотъ «заемъ» десятка обозначается точкой надъ цифрой десятковъ, 5. Точка эта напоминаетъ, что въ уменьшаемомъ остается уже не 5 десятковъ, а всего 4). Вычитаемъ далѣе десятки изъ десятковъ, имѣя въ виду точку надъ цифрой 5 въ уменьшаемомъ. Поэтому говоримъ: 4 изъ 4-хъ.....О,—цифру 0 подписываемъ подъ столбцомъ десятковъ. 5 изъ 3 нельзя вычесть: занимаемъ въ слѣдующемъ высшемъ разрядѣ уменьшаемаго единицу (1 тысяча= 10 сотенъ), 5 изъ 13-•••8. Цифру 8 пишемъ подъ столбцомъ сотенъ. 3 изъ 7-•••4. Цифру 4 пишемъ подъ соотвѣтствующимъ столбцомъ (тысячъ). Получилась разность 4808.

Въ случаѣ займа единицы высшаго разряда въ уменьшаемомъ для раздробленія ея на 10 единицъ низшаго разряда можетъ оказаться, что вмѣсто значащей цифры слѣдующаго высшаго разряда стоитъ цифра 0. Въ такомъ случаѣ заемъ одной единицы дѣлается у слѣдующаго за этимъ высшаго разряда. Эту единицу раздробляютъ на 10 единицъ низшаго разряда, такъ что вмѣсто нуля въ уменьшаемомъ теперь предполагаемъ сначала десятокъ единицъ соотвѣтствующаго рязряда. Но отъ этого десятка въ свою очередь занимаемъ 1 единицу (такъ что вмѣсто нуля теперь предполагаемъ цифру 9). Послѣднюю занятую единицу въ свою очередь раздробляемъ на 10 единицъ низшаго разряда и этотъ десятокъ придаемъ къ единицамъ того рязряда уменьшаемаго, для котораго нуженъ былъ заемъ.

Если въ уменьшаемомъ стоитъ нѣсколько нулей подрядъ, то въ случаѣ надобности заемъ единицы высшаго разряда дѣлается у первой значащей цифры слѣва отъ нулей, затѣмъ эту единицу раздробляютъ въ десятокъ единицъ низшаго разряда, занимаютъ въ свою очередь отсюда одну единицу, раздробляютъ ее въ десятокъ еди-

ницъ низшаго разряда и т. д., какъ только что указано.

Примѣры наилучше пояснятъ случаи такого рода:

Изложенныя выше объясненія позволяютъ вывести слѣдующее общее правило для вычитанія многозначныхъ чиселъ:

Правило.—Чтобы вычесть изъ большаго числа (уменьшаемаго) меньшее (вычитаемое), пишутъ вычитаемое подъ уменьшаемымъ такъ, чтобы единицы одинаковыхъ разрядовъ обоихъ данныхъ чиселъ стояли въ одномъ столбцѣ, т. е. единицы подъ единицами, десятки подъ десятками, сотни подъ сотнями и т. д. Предъ вычитаемымъ ставятъ знакъ дѣйствія — минусъ, а подъ вычитаемымъ проводятъ черту. Подъ этой чертой надо записать остатокъ (или разность) цифра за цифрой, по мѣрѣ ихъ полученія, и эти цифры пишутъ подъ соотвѣтствующими столбцами написанныхъ данныхъ чиселъ, т. е. единицы разности подъ столбцомъ единицъ (подъ чертой), десятки разности подъ столбцомъ десятковъ и т. д. Начинаютъ дѣйствіе справа. Вычитаютъ цифру простыхъ единицъ вычитаемаго изъ цифры простыхъ единицъ уменьшаемаго,—полученный результатъ даетъ цифру простыхъ единицъ разности. Если цифра простыхъ единицъ уменьшаемаго окажется меньшей, чѣмъ соотвѣтственная цифра вычитаемаго, то къ цифрѣ единицъ уменьшаемаго придаютъ десятокъ, а надъ цифрой десятковъ ставятъ точку, чтобы показать, что одинъ десятокъ отсюда занятъ, т. е. цифра десятковъ уменьшаемаго понижается на 1. Послѣ этого совершаютъ вычитаніе единицъ и пишутъ цифру единицъ разности подъ чертой. Затѣмъ переходятъ къ вычитанію изъ десятковъ уменьшаемаго десятковъ вычитаемаго, при чемъ поступаютъ совершенно подобно предыдущему,—т. е., если цифра десятковъ уменьшаемаго больше соотвѣтственной цифры вычитаемаго, то изъ первой вычитаютъ вторую, и полученный результатъ даетъ цифру десятковъ разности. Если же цифра десятковъ уменьшаемаго окажется меньшей соотвѣтственной цифры вычитаемаго, то къ ней прибавляютъ 10, т. е. занимаютъ 1 сотню изъ слѣдующаго разряда (этотъ заемъ означаютъ точкой надъ цифрой сотенъ) и затѣмъ, произведя вычитаніе, получаютъ цифру десятковъ разности. Вслѣдъ затѣмъ совершенно подобно предыдущему находятъ цифру сотенъ разности,

цифру тысячъ и т. д.. пока исчерпаютъ всѣ цифры. При этомъ необходимо имѣть въ виду, что занимать единицу можно только, конечно, у значащей цифры уменьшаемаго. Поэтому, въ случаѣ займа, если цифра слѣдующаго высшаго разряда окажется нулемъ, то слѣдуетъ занять единицу у слѣдующаго высшаго разряда, изображеннаго значащей цифрой. Въ такомъ случаѣ каждый нуль (или рядъ нулей) читается послѣ займа, какъ 9.

Такимъ образомъ условная точка, которую мы ставимъ надъ цифрами уменьшаемаго, когда занимаемъ, показываетъ, что отмѣченную точкой значащую цифру нужно считать уменьшенной на 1, а отмѣченный точкой нуль читается, какъ 9.

Изложенный выше способъ вычитанія многозначныхъ чиселъ и соотвѣтствующее «правило» уже издавна укоренились въ нашей школѣ и учебникахъ. Но можно вычитаніе многозначныхъ чиселъ производить и безъ «заниманія», или «займа», единицы высшаго разряда и раздробленія ея въ десятокъ низшаго разряда и не разсматривая особо, стоитъ ли въ уменьшаемомъ значащая цифра или незначащая, нуль. Правило такого вычитанія выводится изъ слѣдующаго положенія, которое можно принимать очевиднымъ:

Если къ двумъ даннымъ числамъ прибавить одно и то же число, то разность этихъ двухъ данныхъ чиселъ не измѣнится.

Уяснивъ это, произведемъ, наприм., вычитаніе числа 3786 изъ 4364. Пишемъ уменьшаемое и вычитаемое по предыдущему одно подъ другимъ:

Разсуждаемъ такъ: 6 изъ 4 нельзя вычесть. Придаемъ къ 4 единицамъ уменьшаемаго десятокъ и вычитаемъ 6 изъ 14, получаемъ цифру единицъ разности 8. Но къ уменьшаемому мы прибавили десятокъ, значитъ, чтобы разность не измѣнилась, надо прибавить десять къ вычитаемому. Поэтому къ цифрѣ десятковъ вычитаемаго прибавляемъ 1 п говоримъ: 9 изъ 6-ти нельзя вычесть,—прибавляемъ къ 6 десятокъ (т. е.—десять десятковъ, — сотню), 9 изъ 16 даетъ цифру десятковъ разности, 7. Но мы увеличили опять уменьшаемое на 1 сотню, поэтому въ дальнѣйшемъ вычитаніи въ вычитаемомъ вмѣсто 7 сотенъ беремъ 8 сотенъ и говоримъ: 8 изъ 3 нельзя вычесть, прибавляемъ къ 3 десятокъ (т. е. тысячу),—8 изъ 13» •••5, и этимъ заканчивается данное вычитаніе, такъ какъ, прибавляя тысячу къ вычитаемому, получаемъ для послѣдняго столбца слѣва 4 - 4 = 0. Итакъ, искомая разность = 578.

Изъ опредѣленія вычитанія (стран. 127) слѣдуетъ:

1) Уменьшаемое равно вычитаемому плюсъ разность.

2) Вычитаемое равно уменьшаемому минусъ разность.

Отсюда ясно, что повѣрку вычитанія можно произвести сложеніемъ вычитаемаго съ разностью (остаткомъ). Если при такомъ сложеніи получится уменьшаемое, значитъ вычитаніе сдѣлано вѣрно.

Точно также повѣрку вычитанія можно сдѣлать вычитаніемъ изъ уменьшаемаго разности. Если при этомъ получится вычитаемое, значитъ сложеніе сдѣлано вѣрно. Напримѣръ:

Сложеніе и вычитаніе на торговыхъ счетахъ.

Сложеніе на счетахъ производится механически слѣдующимъ образомъ:

«Кладутъ» (посредствомъ передвиженія костяшекъ справа налѣво) на счетахъ сначала первое слагаемое и затѣмъ прибавляютъ къ нему всѣ остальныя слагаемыя, сколько бы ихъ ни было. Въ результатѣ получается сумма всѣхъ чиселъ. При такомъ сложеніи необходимо пріобрѣсти слѣдующіе навыки:

а) Числа кладутъ на счетахъ, начиная со «старшихъ цифръ» (съ высшихъ разрядовъ), т. е. съ верхнихъ проволокъ, а не съ нижнихъ;

б) Если при сложеніи, на какой-либо проволокѣ будутъ передвинуты всѣ десять костяшекъ, то ихъ нужно скинуть съ этой проволоки, т, е. передвинуть назадъ слѣва направо, а вмѣсто нихъ положить на вышележащую проволоку одну костяшку. Если же эта костяшка на слѣдующей проволокѣ будетъ также десятою,—слѣдуетъ скинуть костяшки и съ этой проволоки, а взамѣнъ ихъ положить одну костяшку на проволокѣ слѣдующаго порядка и т. д.;

в) Когда при сложеніи на проволокѣ не хватитъ потребнаго количества костяшекъ, напримѣръ: нужно къ наложеннымъ уже 9 костяшкамъ данной проволоки прибавить еще 6, а между тѣмъ изъ ко-

стяшекъ этой проволоки остается не передвинутою только одна костяшка—тогда дѣлается такъ: прибавляется одна костяшка на слѣдующую проволоку, лежащую выше данной; а такъ какъ этимъ самымъ мы, вмѣсто 6, прибавляемъ 10,—то для исправленія ошибки скидываемъ съ первой проволоки лишнихъ 4 костяшки, и у насъ получится 15,—т. е. вмѣсто 9 4-6= 15, мы дѣлаемъ, за неимѣніемъ костяшекъ, такъ: 9 4- Ю — 4 = 15.

Точно такъ же для сложенія 7 съ 8-ю мы оставляемъ 7 на своемъ мѣстѣ, передвигаемъ справа налѣво одну костяшку на слѣдущей проволокѣ и, затѣмъ, скидываемъ съ имѣющихся семи 2, получимъ 7 4~ Ю —2 — 15.

Напримѣръ, сложимъ 59 съ 78.

Положивъ на счетахъ сначала 59, прикладываемъ къ 5 десяткамъ 7 десятковъ; но такъ какъ на этой проволокѣ такого количества костяшекъ нѣтъ, мы, по вышеуказанному, кладемъ на проволокѣ сотенъ одну костяшку, т. е. десять десятковъ, и скидываемъ съ имѣющихся пяти десятковъ—три костяшки; такимъ образомъ, у насъ получилось число 129. Теперь намъ нужно прибавить къ имѣющимся 9 единицамъ числа 129 восемь единицъ; но такъ какъ мы на проволокѣ единицъ для этого костяшекъ не имѣемъ, то кладемъ, по предыдущему, на проволоку десятковъ одну костяшку, т. е. 10 единицъ, и скидываемъ съ имѣющихся на проволокѣ единицъ костяшекъ 2 костяшки, получимъ число 137. Такимъ образомъ мы вмѣсто 5970 положили на счетахъ 59 4~ ЮО — 30 = 129, и вмѣсто 129 4- 8 положили 129-1-10 — 2 = 137.

Указанныхъ выше правилъ совершенно достаточно для сложенія любыхъ отвлеченныхъ чиселъ.

Вычитаніе на счетахъ состоитъ въ отниманіи (скидываніи) меньшаго числа отъ положеннаго на счетахъ большаго числа.

Скинуть съ числа на счетахъ—значитъ передвинуть извѣстное количество костяшекъ съ положеннаго уже на счетахъ числа слѣва направо. Вычитаніе на счетахъ производится всегда съ верхнихъ проволокъ.

При вычитаніи необходимо помнить, что когда, по расположенію чиселъ, приходится съ одной изъ проволокъ снять количество костей, большее того, что имѣется на проволокѣ, тогда нужно скинуть одну костяшку съ проволоки старшаго порядка; а такъ какъ въ послѣднемъ случаѣ мы непремѣнно скидываемъ болѣе чѣмъ слѣдуетъ,— намъ должно разницу добавить къ костяшкамъ той проволоки, съ которой мы не могли скинуть потребнаго количества костяшекъ.

Напримѣръ, требуется скинуть 156 со 145.

Положивъ на счетахъ 145, скидываемъ 100 со 100, 30 съ 40; послѣ второго вычитанія у насъ остается 15, съ которыхъ мы должны скинуть 6. Такъ какъ количество единицъ на проволокѣ выражается 5-ю костяшками, а нужно снять 6, то мы скидываемъ, вмѣсто 6 единицъ, одинъ десятокъ. Но, сдѣлавши это, мы неправильно увеличили вычитаемое на 4 единицы; слѣдовательно, для того, чтобы исправить эту неправильность, намъ должно къ оставшемуся на счетахъ количеству костяшекъ, въ данномъ случаѣ къ 5 единицамъ, прибавить еще 4 единицы,—получимъ 9 единицъ, что будетъ выражать собою искомую разность.

Вычесть 28 679 изъ 110022.

Прежде всего положимъ на счетахъ число 110 022, затѣмъ начнемъ вычитаніе съ цифръ высшаго порядка. Вычитаемъ со 110 тысячъ 20 тысячъ. По предыдущему, скидываемъ 100 тыс. и, для исправленія ошибки, прибавляемъ къ оставшимся 10 тыс. еще 80 тыс.; слѣдовательно, на мѣстѣ вычитаемаго у насъ уже осталось число 90 022. Скидываемъ 8 тыс. съ 90 тыс. По предыдущему, скидываемъ 10 тыс. съ 90 тыс., имѣемъ 80 тыс.; а такъ какъ мы этимъ самымъ увеличили вычитаемое на 2 тыс.,—прибавимъ къ уменьшаемому 2 тыс., получимъ 82 022. Теперь намъ нужно съ третьей проволоки, гдѣ нѣть ни одной костяшки, скинуть 6 сотенъ. Для этого мы скидываемъ съ четвертой проволоки 1 тысячу, и, для исправленія ошибки, кладемъ на 3-ю проволоку 4 сотни,—получаемъ число 81 422. Со второй проволоки намъ нужно скинуть 7 десятковъ, между тѣмъ на ней имѣется только 2 десятка. Скидываемъ съ 3 проволоки 1 сотню и добавляемъ на вторую проволоку, для исправленія ошибки, 3 десятка,— будемъ имѣть число 81 352. Теперь скидываемъ съ первой проволоки отъ низу счетовъ 9 единицъ. Такъ какъ на этой проволокѣ имѣется только 2 костяшки, скидываемъ 1 десятокъ и добавляемъ къ единицамъ 1 костяшку,—получимъ число 81343, которое и будетъ выражать собою разность отъ вычитанія 28 679 изъ 110 022.

При рѣшеніи задачъ дѣйствіе вычитанія примѣняется въ слѣдующихъ случаяхъ: 1) когда требуется данное число уменьшить на другое число (другимъ числомъ); 2) когда требуется узнать, на сколько одно число болѣе или менѣе другого.

Покажите на примѣрахъ, что въ обоихъ этихъ случаяхъ приходится по данной суммѣ и одному изъ слагаемыхъ искать другое слагаемое, т. е. вопросъ приводится къ вычитанію.

Общія замѣчанія о сложеніи и вычитаніи. — Измѣненія суммы и разности.

Сложеніе и вычитаніе называются дѣйствіями обратными другъ другу, потому что при сложеніи искомое число есть сумма, а данными служатъ слагаемыя; при вычитаніи же, наоборотъ, искомое число есть одно изъ слагаемыхъ при данной суммѣ и другомъ слагаемомъ.

Основное свойство сложенія, какъ знаемъ, состоитъ въ томъ, что сумма не зависитъ (не мѣняется) отъ порядка слагаемыхъ, т. е. въ какомъ бы порядкѣ мы ни складывали данныя слагаемыя, сумма остается одна и та же. Поэтому въ случаѣ большого числа слагаемыхъ мы для удобства можемъ разбить ихъ на группы по нѣсколько слагаемыхъ въ каждой группѣ. Найдемъ суммы каждой изъ этихъ группъ и сложимъ эти суммы,—тогда получимъ общую сумму всѣхъ данныхъ слагаемыхъ.

Напримѣръ, пусть требуется сложить 10 чиселъ: 247, 536, 902, 1075, 1409, 27, 36, 9001, 781, 625.

Чтобы не выписывать длинныхъ столбцевъ чиселъ (при чемъ легче сдѣлать нечаянную ошибку въ сложеніи длиннаго ряда, хотя бы и однозначныхъ, чиселъ), сложимъ сначала эти числа по тремъ ниженаписаннымъ группамъ и затѣмъ найдемъ сумму суммъ этихъ группъ:

Число 14 639 есть общая сумма данныхъ выше 10-ти чиселъ, въ чемъ желающій можетъ убѣдиться, сложивъ всѣ эти числа непосредственно, а не по группамъ.

Иногда изъ одного и того же числа (уменьшаемаго) приходится вычитать нѣсколько чиселъ (вычитаемыхъ). Можно при этомъ поступать такъ: Изъ даннаго уменьшаемаго вычитаемъ сначала 1-е число (вычитаемое), изъ полученной разности вычитьемъ 2-е число, изъ полученной разности вычитаемъ 3-е число и т. д. до послѣдняго. Но результатъ получится тотъ же и притомъ быстрѣе, если сначала сложимъ всѣ данныя вычитаемыя и сумму ихъ вычтемъ изъ даннаго числа (уменьшаемаго).

Убѣдитесь въ вѣрности этого на примѣрахъ и объясните, почему такъ должно быть.

Вычитать возможно только меньшее число изъ большаго.

Если два числа равны, то разность ихъ равняется нулю. (7 — 7 = 0; 36 — 36 = 0 и т. д.).

Такъ какъ дѣйствія сложенія и вычитанія обратны, то сложеніе можно провѣрять вычитаніемъ и наоборотъ.

Повѣрку вычитанія сложеніемъ мы уже знаемъ (стр. 132). Сложеніе же провѣряется вычитаніемъ такъ: Получивъ сумму всѣхъ слагаемыхъ, находятъ новую сумму всѣхъ слагаемыхъ безъ одного, которое отбрасываютъ. Если, теперь, изъ первой суммы вычесть вторую, то должно получиться отброшенное слагаемое. Напримѣръ:

При письменномъ сложеніи и вычитаніи мы начинаемъ дѣйствіе, для удобства, справа, т. е. съ низшихъ разрядовъ. При устныхъ вычисленіяхъ, наоборотъ, обыкновенно удобнѣе начинать дѣйствія съ высшихъ разрядовъ данныхъ чиселъ.

Отъ сложенія слагаемыхъ получается сумма. Поэтому, если измѣняются слагаемыя, то можетъ измѣняться и сумма. Напр.:

1) Если одно изъ слагаемыхъ увеличить на нѣсколько единицъ, то на столько же единицъ увеличится и сумма.

Прибавляя къ какому-либо слагаемому новое число, мы, въ сущности, къ прежнимъ слагаемымъ прибавляемъ еще одно слагаемое; и всѣ единицы этого новаго слагаемаго должны войти въ сумму, какъ это слѣдуетъ изъ опредѣленія дѣйствія сложенія.

2) Если одно изъ слагаемыхъ уменьшить на нѣсколько единицъ, то на столько же единицъ уменьшится и сумма.

Уменьшить какое-либо слагаемое на нѣсколько единицъ значитъ, въ сущности, отбросить одно изъ слагаемыхъ, составляющихъ сумму. Слѣдовательно, отброшенныя единицы въ сумму не войдутъ.

Изъ 1 и 2 слѣдуетъ:

Если одно слагаемое увеличить на нѣсколько единицъ, а другое уменьшить на столько же единицъ, то сумма не измѣнится.

На основаніи предыдущаго рѣшите слѣдующіе вопросы:

Что сдѣлается съ суммой, если одно слагаемое увеличимъ, наприм., на 5, а другое тоже увеличимъ, напр., на 25?—Что сдѣлается съ суммой если одно слагаемое увеличимъ на 20, а другое уменьшимъ на 7 единицъ? и т. п.

Уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному съ разностью. Отсюда нетрудно вывести:

1) Если прибавить нѣсколько единицъ къ уменьшаемому, то на столько же единицъ увеличится и разность.

2) Если отъ уменьшаемаго отнять нѣсколько единицъ, то на столько же единицъ уменьшится и разность.

3) Если увеличить вычитаемое на нѣсколько единицъ (уменьшаемое остается безъ перемѣны), то разность уменьшится на столько же единицъ.

4) Если вычитаемое уменьшимъ на нѣсколько единицъ (уменьшаемое не измѣняется), то разность увеличится на столько же единицъ.

5) Если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить или уменьшить на нѣсколько единицъ, то разность не измѣнится.

На основаніи только что изложеннаго рѣшить вопросы:—Что сдѣлается съ разностью, если уменьшаемое увеличить на 25, а вычитаемое увеличить на 5?—Что сдѣлается съ разностью если уменьшаемое увеличить на 13, а вычитаемое уменьшить на 8?—Что сдѣлается съ разностью, если уменьшаемое уменьшить на 2, а вычитаемое уменьшить на 22?

Ариѳметическое дополненіе. Возьмемъ, напр., число 6; если мы прибавимъ къ нему 4, то получимъ 10, т. е. одну единицу слѣдующаго (но сравненію съ 6) высшаго разряда.

Число 4 называется ариѳметическимъ дополненіемъ числа 6 до 10.

Возьмемъ число 72; если къ этому числу прибавимъ 28, то получимъ 100, т. е. одну единицу ближайшаго высшаго разряда (по сравненію съ числомъ 72).

Число 28 есть ариѳметическое дополненіе числа 72 до 100.

Возьмемъ число 791; если къ нему добавить 209, то получимъ 1000, т. е. одну единицу ближайшаго высшаго разряда.

209 есть ариѳметическое дополненіе числа 791 до 1 000.

Подобно же, напр., если взять число 6503, то ариѳметическое дополненіе его есть число 3497, и сумма взятаго числа и его дополненія даетъ 10000, (6503 -ф- 3497 —10000).

Вообще:

Ариѳметическимъ дополненіемъ даннаго числа называется такое другое число, которое вмѣстѣ съ даннымъ, (сложенное съ нимъ) даетъ одну единицу ближайшаго высшаго разряда.

Отсюда ясно, что если къ какому-либо числу прибавить его дополненіе, то получится единица съ столькими нулями справа, сколько во взятомъ числѣ цифръ.

Число и его ариѳметическое дополненіе даютъ въ суммѣ единицу ближайшаго высшаго разряда, т. е. единицу съ соотвѣтствующимъ числомъ нулей справа. Отсюда не трудно убѣдиться, что ариѳметическое дополненіе любого однозначнаго числа получимъ, вычитая это число изъ 10. Ариѳметическое дополненіе любого двузначнаго числа получимъ, вычитая это число изъ 100; ариѳметическое дополненіе любого трехзначнаго числа получимъ, вычитая это число изъ 1000 и т. д. Вообще, для полученія ариѳметическаго дополненія любого даннаго числа слѣдуетъ запомнить такое практическое правило:

Чтобы найти ариѳметическое дополненіе даннаго числа нужно каждую цифру этого числа вычесть (мысленно) изъ 9, кромѣ послѣдней справа, которая вычитается изъ десяти.

Скобки.

Рядъ чиселъ, соединенныхъ знаками ариѳметическихъ дѣйствій, напр., знаками сложенія и вычитанія, называется ариѳметическимъ выраженіемъ. Такъ,

G 4-7, 23-7 4-8 4-4 — 5; 2 4-3+75 представляютъ собой ариѳметическія выраженія.

Какія ариѳметическія дѣйствія надо производить надъ числами, входящими въ ариѳметическое выраженіе,—на это указываютъ написанные знаки дѣйствіи.

Дѣйствія же обыкновенно производятся въ томъ порядкѣ, (или послѣдовательности), какъ они записаны даннымъ ариѳметическимъ выраженіемъ

Такъ, напр., выраженіе

23 -7-1-84-4—5

означаетъ, что мы сначала изъ 23 должны вычесть 7, къ полученной послѣ этого вычитанія разности, 16, придать число 8, получимъ 24, къ этому числу придать 4, получимъ 28, изъ послѣдняго числа вычесть пять, получимъ 23, т. е.:

Если же мы желаемъ указать, что порядокъ сложеній или вычитаній надъ тѣми же числами нужно измѣнить, то вводимъ новое обозначеніе, — скобки. Употребляютъ скобки трехъ видовъ: круглыя ( ), квадратныя [ ] и фитурныя { }.

Такъ, наприм., возьмемъ предыдущее ариѳметическое выраженіе

23 — 7 + 8 + 4—6.

Но положимъ, что изъ 23 требуется вычесть не 7, а потомъ придать 8, придать 4 и т. д., а требуется вычесть сначала изъ 23 сумму чиселъ 7 + 8 и къ полученному числу придать 4 и т. д. Такой, уже иной, порядокъ дѣйствій обозначается съ помощью скобокъ такъ:

23 — (7 + 8) + 4 — 5.

И чтобы выполнить указанныя здѣсь знаками дѣйствія, намъ нужно сначала сложить числа, стоящія въ скобкахъ, (7 + 8), получаемъ 15. Число 15 вычитаемъ изъ 23 и получаемъ 8; къ этому числу надо придать 4,—получается 12; отнимая отъ 12 число 5, получаемъ 7. Итакъ,

23 —(7 + 8)+4— 5 = 7.

Подобно же, если имѣемъ выраженіе со скобками:

(2 + 3) + (1 + 5),

то оно указываетъ намъ, что нужно сначала произвести требуемыя сложенія надъ числами въ скобкахъ, а затѣмъ уже полученныя суммы сложить. Такъ что:

(2 + 3) + (1+5) = 5 +6 = 11.

Каждая скобка (т. е. ариѳметическое выраженіе, стоящее внутри скобокъ) разсматривается, какъ одно отдѣльное число, или количество.

Если надъ ариѳметическимъ выраженіемъ, стоящимъ внутри скобокъ, произвести всѣ указанныя знаками дѣй-

ствія, то получится просто одно число, которое и можно поставить вмѣсто этого выраженія, и скобки надо при этомъ отбросить. Такъ въ предыдущемъ примѣрѣ

(2 + 3) +(1 + 5),

когда мы сдѣлаемъ указанныя сложенія внутри скобокъ, то вмѣсто (2 + 3) пишемъ просто 5, а вмѣсто (1 4~ 5) пишемъ просто 6, т. е.

(2 + 3) + (14-5)=5 + б.

Такой переходъ отъ ариѳметическаго выраженія со скобками къ выраженію безъ скобокъ называется раскрытіемъ скобокъ, или, еще лучше, уничтоженіемъ скобокъ. Итакъ:

Чтобы раскрыть (или уничтожитъ) скобки, надо надъ ариѳметическимъ выраженіемъ въ скобкахъ на самомъ дѣлѣ произвести указанныя знаками дѣйствія.

Буквенныя обозначенія.

Знаменитый французскій математикъ Віета (жившій отъ 1640 до 1603 года) предложилъ вмѣсто числа, написаннаго цифрами, ставить въ иныхъ случаяхъ просто какую-либо букву азбуки.

Такое буквенное обозначеніе очень удобно тогда, когда наши разсужденія относятся не къ какому-либо опредѣленному числу, а вообще ко всякому числу. Такъ, мы знаемъ, что сумма не измѣнится отъ измѣненія порядка слагаемыхъ. Это положеніе для двухъ, наприм., чиселъ мы поясняемъ, если пишемъ, что

5-4-7 = 7+5, 19 4- 37 = 37 4~ 19 и т. д.

Но ясно, что найденное нами свойство сложенія относится не къ этимъ написаннымъ числамъ 5 и 7, 19 и 37,

а вообще ко всякимъ двумъ числамъ. Поэтому если во взятыхъ примѣрахъ будемъ вмѣсто перваго числа писать букву а, а вмѣсто второго букву б, то основное свойство сложенія изобразится такимъ ариометическимъ выраженіемъ (формулой):

а+б = б+ а.

Благодаря этому способу обозначенія, нашъ выводъ о сложеніи относится уже не только къ какимъ-нибудь двумъ опредѣленнымъ числамъ, но вообще ко всякимъ двумъ числамъ. Такое пользованіе буквами а и б уподобляетъ ихъ до нѣкоторой степени тѣмъ наименованіямъ, которыя мы придаемъ различнымъ предметамъ (примѣромъ чего можетъ служить, скажемъ, слово лошадь). Когда мы говоримъ, что у лошади четыре ноги, утвержденіе это имѣетъ силу по отношенію ко всякой опредѣленной произвольно выбранной нами лошади. Мы указываемъ такимъ образомъ, что у каждой такой лошади четыре ноги. Если же мы говоримъ, что «у лошади столько же ногъ, сколько и у коровы», мы уже говоримъ не объ опредѣленной лошади или объ опредѣленной коровѣ, а о любой коровѣ и любой лошади. Точно такъ же, утверждая, что а+ б = = б + а, мы говоримъ не о двухъ опредѣленныхъ числахъ, а вообще о всякихъ двухъ числахъ.

То же свойство независимости суммы отъ порядка составляющихъ ее слагаемыхъ для случая всякихъ трехъ чиселъ при буквенномъ обозначеніи получитъ видъ

Такимъ образомъ, если въ ариѳметическихъ обозначеніяхъ мы встрѣчаемъ или сами ставимъ букву, то подъ этой буквой подразумѣваемъ какое угодно число.

Упражненія.

1. Сколько есть различныхъ двузначныхъ чиселъ? Сколько трехзначныхъ чиселъ? Сколько существуетъ чиселъ, имѣющихъ не болѣе 4 цифръ?

2. Въ книгѣ 10 страницъ. Сколько надо цифръ, чтобы перенумеровать эти страницы? Сколько надо цифръ, чтобы перенумеровать книгу въ 20 страницъ? книгу въ 100 страницъ?

3 Найти сумму ряда десяти первыхъ послѣдовательныхъ чиселъ? Найти сумму ряда 20-ти первыхъ послѣдовательныхъ чиселъ? сумму ряда 100 первыхъ послѣдовательныхъ чиселъ?

4. Сложить:

5. Вычесть:

6. Вычесть изъ 10 000 слѣдующія числа: 3 457, 2 982, 3 728, 9 771, 8 991, 5 649. (Вопросъ, очевидно, идетъ объ ариѳметическихъ дополненіяхъ данныхъ чиселъ).

7. Ариѳметическимъ дополненіемъ чиселъ можно пользоваться для замѣны вычитанія сложеніемъ.

Пусть, напр., надо произвести вычитаніе

4526 — 3457 = ?

Мы знаемъ, что разность не измѣнится, если уменьшаемое и вычитаемое увеличить на одно и то же число. Прибавимъ въ данномъ примѣрѣ къ уменьшаемому и вычитаемому ариѳметическое дополненіе вычитаемаго, т. е. число 6 543. Тогда уменьшаемое обратится въ 4 526 + 6 543, а вычитаемое въ 10 000 (ибо 3 457 6 543 — 10 000). Значитъ имѣемъ:

Отсюда можно вывести такое правило: чтобы найти разность двухъ чиселъ, нужно къ уменьшаемому прибавить ариѳметическое дополненіе вычитаемаго и изъ полученной суммы вычесть единицу тою разряда, до котораго было дополнено вычитаемое.

8. Руководствуясь упражненіями 6 и 7, замѣнить сложеніями слѣдующія вычитанія:

9. Показать, что всѣ послѣдовательныя числа отъ 1 до 63 получаются сложеніемъ всѣхъ или нѣкоторыхъ изъ чиселъ 1, 2, 4, 8, 16, 32. Напримѣръ:

и —14-24-8.

15— 1 + 2 + 44-8 и т. д.

10. При помощи 4-хъ гирь вѣсомъ въ 1, 3, 9 п 27 фунтовъ можно взвѣсить въ цѣлыхъ фунтахъ всѣ тѣла до 1 пуда (“40 ф.) вѣсомъ, причемъ въ случаѣ необходимости можно класть гири на обѣ чашки вѣсовъ.

Умноженіе.

Умноженіе, какъ мы уже знаемъ (стран. 21, 22, 34 и слѣд.) есть сокращенное сложеніе. Умножить, напр., 5 на 4 это значитъ одно и то же слагаемое, 5, сложить 4 раза.

4X5 = 5 + 5 + 54-5 = 20.

Такое понятіе объ умноженіи иными словами выражаютъ такъ:

Умножить одно число на другое значитъ одно число повторить слагаемымъ столько разъ, сколько въ другомъ числѣ содержится единицъ.

Припомнимъ, что число, повторяемое слагаемымъ, называется множимымъ; число, показывающее, сколько разъ множимое надо сложить, называется множителемъ; результатъ же перемноженія двухъ чиселъ называется произведеніемъ.

Если нѣтъ нужды особенно отличать множимое отъ множителя, то оба эти перемножаемыя числа носятъ общее названіе сомножителей.

Знакъ умноженія косой крестикъ, X, или точка, •, поставленная между сомножителями. Такъ что умноженіе числа 8 на 7 обозначается письменно такъ: 7X8, или 7-8, и читается: семью восемь, или семь разъ восемь, или восемь, умноженное на семь.

Число, которое повторяется слагаемымъ, т. е. множимое, можетъ выражать совокупность какихъ либо извѣстныхъ предметовъ, напр., яблокъ, грушъ, копѣекъ, аршинъ и т. д. Другими словами, множимое число можетъ сопровождаться наименованіемъ единицъ, изъ которыхъ оно составлено, т. е., говоря иначе,—множимое можетъ быть именованнымъ числомъ. Напр., 5 копѣекъ, 5 яблокъ и т. д.

Множитель же показываетъ только, сколько разъ надо сложить множимое, т. е. множитель есть просто совокупность единицъ безъ названія, или, говоря иначе, множитель есть отвлеченное число.

Произведеніе всегда состоитъ изъ единицъ того же наименованія, что и множимое. Это слѣдуетъ изъ изложенныхъ только что выше понятій о числахъ, даваемыхъ для умноженія.

Вмѣсто «выраженій» умножить число па 2, на 3, на 4 и т. д... говорятъ часто: удвоить, утроить, учетверить, упятерить, ушестерить, усемерить,.., удесятерить число.

Подобно же: найти число вдвое (въ 2 раза), втрое (въ 3 раза), вчетверо и т. д., въ 10 разъ и т. д. большее даннаго числа,—это значитъ умножить данное число на 2, на 3, на 4 и т. д., на 10 и т. д.

Возьмемъ, наприм., число 3 и будемъ умножать его послѣдовательно па 2, на 3, на 4 и т. д.

Получаемыя отъ такого перемноженія числа 6, 9, 12, 15. 18 и т. д. называются числами кратными 3-хъ. Вообще:

Кратныя числа какого-либо даннаго числа получаются отъ умноженія этого даннаго числа на всевозможные множители.

Умноженіе однозначныхъ чиселъ разобрано выше на стран. 48—51. Таблица Пиѳагора (стр. 49) содержитъ произведенія всѣхъ однозначныхъ чиселъ. Эти произведенія необходимо усвоить наизусть, чтобы не встрѣчать постоянныхъ затрудненій въ дальнѣйшемъ.

При изученіи таблицы Пиѳагора мы уже отмѣчали (стр. 51) основное свойство умноженія, а именно:

Произведеніе двухъ чиселъ не измѣняется отъ перемѣны мѣстъ сомножителей.

Можно это же выразить и такъ: произведеніе не зависитъ отъ порядка сомножителей.

Это свойство умноженія настолько важно, что необходимо его разъяснить подробнѣе.

Возьмемъ, напр., шесть совокупностей (группъ) предметовъ, при чемъ каждая такая совокупность состоитъ, скажемъ, изъ 5-ти предметовъ. Требуется опредѣлить число предметовъ въ той общей сборной совокупности, которая получится, если соединить всѣ эти предметы вмѣстѣ.

Для ясности положимъ, что эти предметы—точки, изображенныя здѣсь такъ, что каждая совокупность изъ 5 предметовъ представлена 5-ю точками, поставленными въ рядъ, въ одной строкѣ (горизонтально), и всего такихъ строкъ получается шесть.

Изображенную здѣсь совокупность всѣхъ точекъ, очевидно, можно разсматривать двояко: или 1) какъ шесть рядовъ (строкъ), въ каждомъ изъ которыхъ заключается по пяти точекъ, или 2), какъ пять столбцовъ, содержащихъ по шести точекъ. Такимъ образомъ всѣ точки могутъ быть размѣщены какъ въ пять группъ по шести точекъ каждая, такъ и въ шесть группъ по пяти точекъ. Все число предметовъ, заключающихся въ шести группахъ по пяти предметовъ каждая, носитъ названіе: «шестью

пять», или «шесть разъ пять». Эти соображенія приводятъ насъ, слѣдовательно, къ тому, что «шестью пять» есть то же число, что и «пятью шесть». Т. е.

Сказанное здѣсь относительно двухъ опредѣленныхъ чиселъ (6 и 5) можно распространить на два какія угодно числа, т. е., употребляя вмѣсто опредѣленныхъ чиселъ буквы, ложно всегда показать, что

Т. е. число предметовъ, содержащихся въ а группахъ, по б предметовъ въ каждой, равно числу предметовъ, содержащихся въ б группахъ, по а предметовъ каждая, каковы бы ни были числа а п б.

Итакъ, произведеніе 2-хъ чиселъ не мѣняется отъ перестановки сомножителей. Поэтому, если изъ опредѣленія умноженія слѣдуетъ, что, напр.,

4 X 0 = 0 + 0 + 04-0 = 0, (или 4-0 = 0),

то и 0X4 = 0, (или по другому обозначенію 0-4 = 0). Иначе говоря:

Если одинъ изъ сомножителей равенъ нулю, то и произведеніе равно нулю.

Подобно же:

Есла одинъ изъ 2-хъ сомножителей равенъ единицѣ, то произведеніе равно другому сомножителю.

Т. е., напр.:

7Х1 = 1Х7 = 7, 3 X 1 = 1 X 3 = 3 и т. п.

Слѣдуетъ имѣть поэтому въ виду, что если ни одинъ изъ сомножителей не равенъ нулю, то и произведеніе ни въ коемъ случаѣ не можетъ быть равно нулю.

Произведеніе двухъ чиселъ можетъ бытъ равно нулю только въ томъ единственномъ случаѣ, когда одинъ изъ сомножителей равенъ нулю.

Покажемъ теперь, какъ дѣлается на практикѣ перемноженіе двухъ какихъ угодно цѣлыхъ чиселъ. Для уясненія «механизма» дѣйствія нужно постоянно помнить, что умноженіе есть сокращенное сложеніе. Кромѣ того, какъ сейчасъ увидимъ, практика перемноженія какихъ угодно чиселъ сводится къ перемноженію чиселъ однозначныхъ. Поэтому необходимо знать таблицу умноженія этихъ чиселъ.

Прежде чѣмъ перейти къ общему случаю умноженія многозначнаго числа на многозначное, разсмотримъ три слѣдующихъ частныхъ случая умноженія:

1) Умноженіе многозначнаго числа на однозначное — Пусть, напр., требуется уножить число б 896 на 4, т. е.

4 X 5 896 = ?

Умножить 5 896 на 4 это значитъ число 5 896 повторить слагаемымъ 4 раза:

При такомъ сложеніи приходится, очевидно, повторить по 4 раза всѣ разряды единицъ, входящихъ въ данное многозначное число, т. е. надо взять четыре раза 6 единицъ (простыхъ) даннаго числа, 4 раза 9 десятковъ, 4 раза 8 сотенъ и 4 раза 5 единицъ тысячъ. Другими словами: каждую цифру даннаго числа приходится множить на 4.

Все это гораздо быстрѣе и удобнѣе записывать и дѣлать такъ: Пишутъ

Произведеніе подписываютъ подъ чертой цифра за цифрой, начиная справа; разсуждая такъ:

4-жды 6... 24, т. е. 2 десятка и 4 единицы. Цифру 4 (единицъ) пишу подъ чертой (подъ единицами), а 2 десятка держу въ умѣ (или «замѣчаю», или запоминаю, пли записываю въ сторонѣ).

4-жды 9 (десятковъ)... 36 десятковъ да 2 десятка въ умѣ 38 десятковъ. Цифру десятковъ 8 пишу йодъ чертой (подъ десятками), а 3 сотни замѣчаю.

4-жды 8 (сотенъ)... 32 сотни да 3 въ умѣ 35 сотенъ. Цифру сотенъ 5 пишу подъ чертой (подъ сотнями), а 3 тысячи замѣчаю.

4-жды 5 (тысячъ)... 20, да 3 въ умѣ 23 тысячи: обѣ этп цифры и подписываю подъ чертой, такъ какъ умножена послѣдняя слѣва цифра множимаго.

Итакъ: 4 x 5 896 = 23 584.

То же болѣе коротко:

Итакъ, можно для даннаго случая установить такое правило:

Чтобы умножитъ многозначное число на однозначное, нужно, начиная справа, каждую цифру множимаго умножить на множителя, при чемъ необходимо прибавлять къ каждому такому произведенію число, замѣченное при предыдущемъ умноженіи.

2) Умноженіе числа на разрядную единицу (т. е. на 10, 100, 1000,... вообще -на единицу съ нулями).—

Положимъ, что требуется умножить 425 на 10, или 10 на 425,—мы уже знаемъ, что это все равно, такъ какъ произведеніе не зависитъ отъ порядка соможителей. Итакъ,

10 X 425 = 425 X 10 = ?

Точно также положимъ, что требуется умножить то же число 425 на 100, на 1000 и т. д.

Здѣсь слѣдуетъ припомнить положенія, на которыхъ основано наше устное и письменное счисленіе. Главное изъ нихъ состоитъ въ томъ, что 10 единицъ низшаго разряда составляютъ одну единицу высшаго разряда. Это значитъ, что, напр., простая единица, повторенная 10 разъ, другими словами,—умноженная на 10, обращается въ десятокъ, т. е. единицу второго разряда. Десятокъ, повторенный 10 разъ,—или, другими словами, умноженный на 10, обратится въ сотню, т. е. единицу 3-го разряда. Сотня, умноженная на 10, обращается въ тысячу, т. е. единицу четвертаго разряда и т. д.

Если мы будемъ умножать на 10 не одну единицу, а, напр., 5, то получимъ 5 десятковъ, т. е. 50. Если на 10 умножимъ не одинъ десятокъ, а, напр., 2 десятка (20), то получимъ 2 сотни (10X20 = 200) и т. д.

Такимъ образомъ умноженіе числа 425 на 10 обратитъ 5 единицъ этого числа въ 5 десятковъ, 2 десятка — въ 2 сотни, 4 сотни—въ 4 тысячи, т. е. получится число четыре тысячи двѣсти пятьдесятъ.

Значитъ, если къ написанному цифрами числу 425 прибавимъ справа одинъ пуль, то и получимъ:

10 X 425 = 425 X 10 = 4250.

Итакъ, если къ написанному цифрами числу приписать справа 0, то это все равно, что умножить это число на 10, такъ какъ прежнія единицы станутъ обозначать теперь десятки, десятки станутъ обозначать сотни и т. д.— вообще, значеніе каждой цифры увеличится въ 10 разъ, значитъ, и все число увеличится въ 10 разъ, т. е. умножится на 10. Это, впрочемъ, прямо слѣдуетъ изъ понятія о помѣстномъ значеніи цифръ, на которомъ основано наше письменное счисленіе.

Умноженіе чиселъ на 100, 1000, 10 000 и т. д. совершенно подобно только что разобранному случаю умноженія числа на 10.

При умноженіи на 100 единицы даннаго числа станутъ сотнями, десятки тысячами и т. д., т. е. число 426 послѣ умноженія на 100 обратится въ сорокъ двѣ тысячи пятьсотъ.

Письменно это выразится прибавленіемъ къ данному множимому (425) двухъ нулей справа:

100 X 425 = 425 X 100 = 42 500.

Подобно же

1000X425 = 425X1000 =425 000 и т. д.

Вообще:

Чтобы умножить данное число на 10, 100, 1000 и т. д., т. е. на единицу съ нулями, достаточно къ этому числу приписать справа столько нулей, сколько ихъ стоитъ при единицѣ.

Въ частности, если требуется, напр., перемножить 10 000 на 100, будемъ имѣть

100 X 10000 = 1000000,

т. е. число нулей произведенія равно суммѣ чиселъ нулей сомножителей.

3) Умноженіе многозначнаго числа на число, состоящее изъ одной значащей цифры съ нулями справа.

Требуется, напр., умножить 347 на 500.

500 X 347 = 347 X 500 = ?

Множитель 500 = 5 X 100 = 100 X 5. Значитъ, повторить данное множимое 347 слагаемымъ 500 разъ—это все равно, что повторить его, взятое 5 разъ, еще 100 разъ. Но умножить 347 на 5 мы умѣемъ. Точно также умѣемъ лю-

бое число умножить на 100. Итакъ:

Отсюда выводимъ правило:

Чтобы умножитъ число на значащую цифру съ нулями справа, надо множимое умножить на значащую цифру множителя и приписать справа столько нулей, сколько ихъ во множителѣ.

Общій случай. — Умноженіе многозначнаго числа на многозначное. — Пусть требуется помножить, напр., 847 на 396.

396 X 847 = 847 X 396=?

Число 847 нужно повторить слагаемымъ 396 разъ. Мы уже знаемъ (стр. 135), что если слагаемыхъ много, то ихъ можно разбить на группы и найти сумму каждой группы отдѣльно; вслѣдъ затѣмъ надо сложить эти «частичныя суммы», и тогда получится общая сумма всѣхъ слагаемыхъ.

Въ данномъ случаѣ, чтобы число 847 сложить 396 разъ, проще всего поступить такъ:

Т. е. при умноженіи на многозначное число сначала находятъ частичныя произведенія даннаго множимаго на каждый разрядъ множителя, а затѣмъ эти частичныя произведенія складываютъ и получаютъ искомое произведеніе двухъ чиселъ.

Вычисленіе обыкновенно располагаютъ такъ: пишутъ

2-е частичное произведеніе (на десятки) оканчивается нулемъ, 3-е частичное произведеніе (на сотни) оканчивается двумя нулями. Но этихъ нулей не ставятъ, чтобы избѣгнуть лишняго писанья.

Теперь можно было бы установить общее правило умноженія любого многозначнаго числа на многозначное. Но полезно во избѣжаніе всякихъ сомнѣній разобрать раньше еще слѣдующіе случаи:

Сомножители оканчиваются нулями.—Требуется, напр., умножить 6 900 на 340. Ничто не мѣшаетъ и въ данномъ случаѣ поступать по изложенному уже выше способу умноженія многозначнаго числа на многозначное. Но можно для даннаго случая примѣнить болѣе удобный и быстрый пріемъ, если принять во вниманіе слѣдующее:

Множимое 6900 равно 69 X 100, т. е. 69 сотнямъ; а множитель 340 = 34 X 10 = 34 десяткамъ. Если умножать сотни на десятки, то въ произведеніи, какъ знаемъ (стр.150), должны обязательно получиться тысячи, т. е. число, оканчивающееся 3-мя нулями. Итакъ, если, не обращая вниманія на нули въ концѣ чиселъ, мы перемножимъ просто 69 на 34, то, получивъ произведеніе этихъ чиселъ, мы должны приписать къ нему справа три нуля. Это и покажетъ, что мы перемножили не просто числа 69 и 34, а 69 сотень и 34 десятка, т. е. числа 6900 и 340.

Дѣйствіе на практикѣ располагаютъ такъ:

Т. е. Подписываютъ одну подъ другой только значащія части сомножителей, а нули оставляютъ въ сторонѣ. Послѣ этого эти значащія части перемножаютъ, какъ обыкновенно, и къ полученному произведенію сносятъ столько нулей, сколько ихъ есть всего на концѣ множимаго и множителя.

Среди цифръ множителя встрѣчаются нули.—Напр., требуется умножить 57 891 на 3 004.

Подписываемъ множитель подъ множимымъ, какъ обыкновенно. Находимъ первое частичное произведеніе множимаго на 4, равное 231 564 един.

Затѣмъ говоримъ: на нуль десятковъ множителя не умножаемъ (ибо въ произведеніи получится, все равно, нуль). Точно также не умножаемъ и на нуль сотенъ множителя и переходимъ къ умноженію на слѣдующую цифру множителя 3, означающую тысячи. 3X1 = 3, но эту цифру 3 надо писать въ столбцѣ тысячъ. Затѣмъ 3X9 = 27, цифру 7 пишемъ въ столбцѣ десятковъ тысячъ, 2 замѣчаемъ и т. д.

Такимъ образомъ въ данномъ случаѣ самое важное состоитъ въ томъ, чтобы, опуская умноженіе на 0, поста-

вить правильно цифры частичныхъ произведеній на значащія цифры множителя.

Теперь мы можемъ установить общее правило для перемноженія двухъ любыхъ многозначныхъ чиселъ:

Правило. — Чтобы перемножить два многозначныхъ числа, пишутъ множимое, а подъ нимъ множитель. Обыкновенно выбираютъ множителемъ то число, въ которомъ меньше цифръ. Если же въ сомножителяхъ есть нули на концѣ, то ихъ оставляютъ въ сторонѣ, а подписываютъ только значащія части сомножителей. Ставятъ передъ множителемъ знакъ умноженія и подводятъ подъ нимъ черту. Помножаютъ послѣдовательно множимое на цифры множителя, идя справа налѣво. Каждое частичное произведеніе пишутъ подъ предыдущимъ, перемѣщая его на одно мѣсто влѣво, т. е. ставятъ цифру единицъ каждаго частичнаго произведенія подъ цифрой, десятковъ предыдущаго частичнаго произведенія, цифру десятковъ подъ цифрой сотенъ предыдущаго частичнаго произведенія, и т. д. Если во множителѣ встрѣчается нуль, то соотвѣтствующаго частичнаго произведенія не пишутъ, а перемѣщаютъ слѣдующее частичное поризведеніе на два мѣста влѣво; если бы во множителѣ было два слѣдующихъ одинъ за другимъ нуля, то перемѣщали бы слѣдующее частичное произведеніе на три мѣста влѣво и т. д.

Когда всѣ частичныя произведенія написаны, то подъ ними проводятъ черту и складываютъ ихъ: полученная сумма есть искомое произведеніе. Если какъ во множимомъ, такъ и во множителѣ были на концѣ нули, то всѣ они ставятся справа отъ произведенія.

Повѣрку умноженія можно сдѣлать, перемѣняя мѣста сомножителей и перемножая числа вновь. Если въ обоихъ случаяхъ получится одно и то же произведеніе, то можно думать, что умноженіе сдѣлано вѣрно (Произведеніе не измѣняется отъ перемѣны мѣстъ сомножителей).

Умноженіе цѣлыхъ чиселъ при рѣшеніи задачъ примѣняется, если требуется:

1) одно и то же число повторить нѣсколько разъ слагаемымъ;

2) увеличить въ нѣсколько разъ данное число.

Случай 3-хъ и болѣе сомножителей.—Запись

3X4X5, или 3*4’5

означаетъ произведеніе трехъ сомножителей и читается такъ: три умноженное на четыре, умноженное на пять. Это значитъ, что надо сначала 3 умножить на 4, т. е. 3 X 4 = = 12, и затѣмъ полученное произведеніе (12) умножить на 5, т. е. 12X5 = 60. Итакъ 3-4-5 = 60.

Если тѣ же три сомножителя написать въ другомъ порядкѣ, напр.: 5X4X3, то опять таки, чтобы получить ихъ произведеніе, надо сначала составить произведеніе первыхъ двухъ (5X4 = 20) и это произведеніе помножить на третій сомножитель (20X3 = 60).

Вообще произведеніемъ трехъ чиселъ называется число, полученное отъ умноженія произведенія двухъ чиселъ на третье число.

Подобно же: произведеніе нѣсколькихъ чиселъ, напр.,

2X3X7X5X24

есть то число, которое получимъ, если умножимъ первое число на второе, полученное произведеніе на третье число, это новое произведеніе умножимъ на четвертое число и т. д., пока не дойдемъ до послѣдняго сомножителя.

Подобно тому, какъ это было сдѣлано для двухъ сомножителей, можно показать, что произведеніе нѣсколькихъ сомножителей не зависитъ отъ порядка, въ которомъ перемножаются эти сомножители, другими словами: это произведеніе не измѣняется при перемѣнѣ порядка сомножителей.

Чтобы убѣдиться въ этомъ, покажемъ сначала слѣдующее:

Произведеніе трехъ сомножителей не измѣнится, если въ немъ два рядомъ стоящихъ сомножителя замѣнить ихъ произведеніемъ.

Если взять, напр., произведеніе

2X3X5

то можно показать, что оно равно произведенію 2X15, которое получается изъ взятаго замѣной рядомъ стоящихъ сомножителей 3 и 5 ихъ произведеніемъ, 3X5 = 15.

Чтобы показать это, сообразимъ, что для полученія произведенія 2X3X5 мы должны сначала найти произведеніе 2X3, пли, что все равно, 3X2, иначе, мы находимъ сумму трехъ чиселъ, каждое изъ которыхъ равно 2:

3X2 = (2 + 2 + 2).

Вслѣдъ за тѣмъ это произведеніе мы умножаемъ на 5, т. е. повторяемъ 5 разъ слагаемымъ

(2 + 2+2) + (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2).

А это, если опустить скобки, и есть 15 разъ повторенное число 2, т. е. 15X2, или 2X15. Значитъ, 2ХЗХ Х5 = 2Х 15, что мы и желаемъ показать.

Отсюда можно сдѣлать обратный выводъ.

Въ произведеніи двухъ сомножителей каждаго изъ сомножителей можно въ свою очередь замѣнить равнымъ ему произведеніемъ двухъ сомножителей. Т. е. по предыдыдущему

2.15 = 2X3X5 = 2X5X3.

Отсюда же слѣдуетъ, что

въ произведеніи трехъ сомножителей можно переставлять любые два рядомъ стоящіе сомножителя,—и окончательное произведеніе отъ этого не измѣнится.

Такъ, напр., беремъ произведеніе

Чтобы показать, что можно безъ нарушенія окончательнаго результата переставить, напр., множители 6 и 8, пишемъ

4X6X8 = 4X48 = 4X8X6.

Въ произведеніи нѣсколькихъ сомножителей можно эти сомножители переставлять, какъ угодно. Отъ этого произведеніе не измѣнится.

Возьмемъ произведеніе чиселъ 5Х2ХЗХ4Х6 и покажемъ, что, наприм.,

Мы знаемъ изъ предыдущаго, что отъ перемѣны мѣстъ двухъ рядомъ стоящихъ сомножителей произведеніе не измѣняется. Покажемъ теперь, что такими перестановками двухъ рядомъ стоящихъ сомножителей мы всѣхъ сомножителей, находящихся во второй части равенства, можемъ привести въ тотъ порядокъ, въ которомъ они находятся въ первой части равенства.

Для этого сначала поставимъ на первое мѣсто число 5, переставляя его послѣдовательно съ рядомъ влѣво стоящими числами. Получимъ

Подобно же въ послѣдней группировкѣ (распорядкѣ) множителей (5-4*3-6-2), переставимъ на второе мѣсто множитель 2, но такъ, чтобы не сдвинуть съ мѣста множителя 5. Получимъ

Въ полученномъ распорядкѣ множителей переставимъ 3 на третье мѣсто, не измѣняя мѣстъ множителей 5 и 2, получимъ:

5Х2Х4ХЗХ6 = бХ2ХЗХ4Х6.

Т. е. получился именно тотъ распорядокъ множителей, который мы хотѣли. Итакъ, произведеніе нѣсколькихъ сомножителей не зависитъ отъ порядка, въ которомъ эти сомножители берутся.

Умноженіе суммы и разности.—Скобки.—Положимъ, что я надѣляю 6 мальчиковъ яблоками: сперва я далъ каждому по 2 яблока, а потомъ по 3 яблока. Сколько всего яблокъ я роздалъ?

На вопросъ можно отвѣтить такъ:

Въ первый разъ я роздалъ 6X2 яблокъ, а во второй разъ 6X3 яблокъ. Значитъ всего яблокъ я роздалъ

6X2+ 6X3, т. е. 12 + 18 = 30 яблокъ.

Но можно разсуждать и такъ: каждый мальчикъ получилъ сначала 2, потомъ 3 яблока, т. е. каждый мальчикъ получилъ (2 + 3) яблока, а 6 мальчиковъ получили значитъ всего яблокъ

6Х(2 + 3).

Если выполнимъ сначала сложеніе въ скобкахъ (2 +3 = 5), а затѣмъ умноженіе на 6, получимъ опять, что роздано 6X5 = 30 яблокъ. Это, конечно, такъ и должно быть, потому что, какъ бы мы ни подсчитывали, но яблокъ роздано одно и то же количество. Но изъ приведеннаго разсужденія ясно, что

6Х(2 + 3) = 6Х2 + 6ХЗ,

т. е., если нужно умножить на какое-нибудь число сумму, то можно на это число умножить каждое слагаемое въ отдѣльности и затѣмъ полученныя произведенія сложить.

Чтобы дать примѣръ, въ которомъ сумма содержитъ болѣе двухъ слагаемыхъ, предположимъ, что отецъ даетъ каждому изъ своихъ пятерыхъ дѣтей въ воскресенье по 4 копѣйки, въ понедѣльникъ по 3 копѣйки, во вторникъ по 2 коп. Сколько копѣекъ долженъ онъ для этого имѣть? Въ воскресенье онъ долженъ дать 5-4, въ понедѣльникъ 5 • 3 и во вторникъ 5 • 2, слѣдовательно, всего:

(5 • 4 + 5 • 3 + 5 • 2) копѣекъ, или

20 —|— 15 —10 = 45 копѣекъ.

Съ другой стороны, каждый ребенокъ получаетъ 4—1-3+2=9 копѣекъ; всѣ пятеро дѣтей вмѣстѣ получаютъ, слѣдовательно, 5 • 9=45 копѣекъ. Результатъ непремѣнно будетъ тотъ же: 45 копѣекъ. Сообразно съ этилъ пишутъ:

5(4 + 3 + 2) = 5-4+5-3 + 5-2.

Для удобства принято знакъ умноженія передъ скобками или послѣ скобокъ опускать, такъ какъ въ данномъ случаѣ это не можетъ подать повода къ ошибкѣ.

Рѣшимъ теперь такую задачу: Пятеро дѣтей имѣютъ каждый по 7 копѣекъ. Каждый ребенокъ расходуетъ по 3 копѣйки. Сколько останется у нихъ всѣхъ вмѣстѣ?

Здѣсь мы можемъ также поступить двоякимъ образомъ. Мы можемъ сказать: дѣти имѣли всѣ вмѣстѣ 5 • 7=35 копѣекъ, истратили 5-3=15 копѣекъ; слѣдовательно, у нихъ осталось 5-7 — 5 • 3 = 20 копѣекъ. Но мы можемъ сказать и иначе: у каждаго ребенка осталось (7 — 3) копѣекъ; слѣдовательно у всѣхъ вмѣстѣ останется 5-(7 — з) = 20 копѣекъ. Результатъ въ обоихъ случаяхъ непремѣнно будетъ одинъ и тотъ же, и потому будетъ имѣть мѣсто равенство:

5-(7 — 3) = 5-7 —- 5-3.

Отсюда выводимъ: Чтобы умножить разность двухъ чиселъ на какое-нибудь число, можно умножить уменьшаемое и вычитаемое на это число и второе произведеніе вычесть изъ перваго.

Если ариѳметическое выраженіе, состоящее изъ ряда чиселъ, соединенныхъ знаками + и —, условиться называть словомъ скобки, то сказанное выше объ умноженіи суммы и разности можно въ общемъ видѣ выразить такъ:

Для умноженія скобокъ на нѣкоторое число, можно умножитъ члены ихъ отдѣльно на это число и соединить полученныя произведенія.

Поэтому, если выраженіе

6-3 + 4-54-2

нужно умножить на 5, то достаточно умножить каждый его членъ на 5 и сохранить знаки.

Слѣдовательно:

Квадраты и кубы чиселъ, степени чиселъ.—Квадратомъ числа называютъ произведеніе двухъ сомножителей, равныхъ этому числу. Напр.,

2x2 = 4; число 4 есть квадратъ числа 2 3x3 = 9; число 9 есть квадратъ числа 3 4X4 = 16; число 16 есть квадратъ числа 4 5x5 = 25; число 25 есть квадратъ числа 5 и т. д.

Кубомъ числа называется произведеніе трехъ сомножителей. равныхъ этому числу. Такъ, напр.,

2 • 2 • 2 = 8; число 8 есть кубъ числа 2

3- 3-3= 27; число 27 есть кубъ числа 3

4- 4-4= 64; число 64 есть кубъ числа 4

5- 5-5 = 125; число 125 есть кубъ числа 5

и т. д.

Вообще:

Произведеніе нѣсколькихъ равныхъ между собой сомножителей называется степенью. При чемъ, если перемножаются 2 равныхъ сомножителя, то это называется второй степенью числа; если перемножаются 3 равныхъ сомножителя, то получается третья степень числа; если перемножаются 4 равныхъ сомножителя, то получается четвертая степень числа и т. д. Такъ

что вмѣсто выраженій квадратъ числа и кубъ числа можно говорить: вторая степень числа и третья степень числа.

Для степеней числа существуетъ особое обозначеніе, а именно степени, напр., числа 13 обозначаютъ такъ:

132, 133, 134, 135, 136 и т. д.

Маленькая цифра, поставленная сверху и направо отъ числа, называется показателемъ степени. Она показываетъ степень числа, т. е. сколько разъ это число нужно повторить сомножителемъ (или говорятъ также: «помножить само на себя»). Значитъ:

132 =13-13; 13s = 13-13-13; 134 = 13-13-13-13 и т. д.

Число, повторяемое нѣсколько разъ сомножителемъ, называется основаніемъ степени. Такъ, въ только что написанныхъ выше примѣрахъ основаніе степени есть число 13; въ выраженіи

3574

357 есть основаніе, а 4 показатель степени.

Упражненія.

1. Обыкновенный (не високосный) годъ заключаетъ 365 сутокъ; сутки дѣлятся на 24 часа, часъ на 60 минутъ; минута на 60 секундъ. Сколько секундъ въ году?

2. Умножить 998 на 10 003. (Обратить вниманіе на то, что 998 = 1000 — 2).

3. Предлагаютъ кому-либо написать три пятизначныхъ числа, предупреждая, что сейчасъ же будутъ написаны три такихъ числа, что общая сумма всѣхъ полученныхъ чиселъ будетъ 299 997. (Подъ каждымъ изъ написанныхъ кѣмъ-либо трехъ чиселъ вы подписываете числа, цифры которыхъ дополняютъ каждую верхнюю цифру до 9. Тогда общая сумма будетъ 3X99 999= = 299 997. (См. упражн. 4 на стр. 143).

4. Умноженіе числа на 11, 111 и 1111,... При умноженіи на 11, чтобы избѣгать лишнихъ выписываній множимаго, множителя 11, и затѣмъ опять двойного переписыванія множимаго, можно для быстраго полученія произведенія поступать такъ: пишемъ цифру единицъ множимаго, прибавляемъ эти единицы къ десяткамъ множимаго и пишемъ полученную цифру въ десятки произведенія (т. е. влѣво отъ написанной цифры единицъ); цифру десятковъ умножаемаго числа прибавляемъ къ цифрѣ его сотенъ, получаемъ сотни произведенія и т. д. Для примѣра возвысимъ 11 въ первыя 4 степени:

Одиннадцать.............. 11

Квадратъ одиннадцати .... 121

Кубъ » .... 1331

Четвертая степ. » .... 14641

5. Умноженіе какого-либо числа на 9, 99, 999,... Чтобы помножить какое-либо число на 9, т. е. на (10—1), прибавляемъ мысленно справа къ этому числу 0, затѣмъ вычитаемъ цифру единицъ числа изъ десяти, цифру десятковъ изъ единицъ, цифру сотенъ изъ десятковъ и т. д., соблюдая, конечно, общія извѣстныя намъ правила вычитанія.

Подобно же для умноженія числа на 99 (т. е. на 100 —1) придаемъ мысленно къ числу справа два нуля и вычитаемъ по общему правилу изъ такимъ образомъ полученнаго числа послѣдовательно цифры даннаго числа, начиная справа. Подобно же для 999 и т. д.

6. Умножить число 12 345 679 на 9.

7. Умножить на 11 числа: 181 818, 272 727, 545 454.

8. Умножить 12 345 679 на 8.

9. Вычислить

10. Найти квадраты чиселъ: 3 004, 2 008, 5 004.

11. Вычислить 210 (т. е. десятую степень 2-хъ).

12. Вычислить З6 (т. е. шестую степень трехъ).

13. Найти квадраты девяти первыхъ послѣдовательныхъ чиселъ и показать, что квадратъ любого цѣлаго числа не можетъ оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8.

14. Число 111 111 умножить само на себя. (Иначе говоря,— найти 111 1112).

Дѣленіе.

На страницахъ 23, 24, 36—39, 51—53 мы уже говорили о дѣйствіи дѣленія, выясняя его съ двухъ сторонъ:

1) Какъ сокращенное вычитаніе, 2) какъ дѣленіе числа, или количества, на равныя части. Уяснимъ теперь это дѣйствіе болѣе обстоятельно и распространимъ его практику на какія угодно числа. Начнемъ съ такого примѣра:

Допустимъ, что у насъ есть мѣшокъ съ яблоками и мы желаемъ опредѣлить, сколько дюжинъ яблоковъ въ этомъ мѣшкѣ. Можно для этого поступить такъ:

Вынемъ сперва изъ мѣшка дюжину яблоковъ и отложимъ эту дюжину въ сторону, затѣмъ вынемъ вторую дюжину и положимъ ее рядомъ съ первой, затѣмъ вынемъ третью дюжину и положимъ ее рядомъ со второй, и т. д. Мы должны прекратить эти дѣйствія только тогда, когда въ мѣшкѣ останется меньше 12 яблоковъ. Число дюжинъ яблоковъ, которые мы въ этомъ случаѣ вынули изъ мѣшка (число кучекъ по 12 яблоковъ, которыя мы отложили въ сторону) есть искомое число (т. е. число дюжинъ яблоковъ въ мѣшкѣ).

Если мы помѣстимъ оставшіяся въ мѣшкѣ яблоки, число которыхъ меньше 12, рядомъ съ кучками по 12 яблоковъ, то мы разложимъ яблоки, бывшія первоначально въ мѣшкѣ, на извѣстное число кучекъ, изъ которыхъ каждая будетъ содержать въ себѣ 12 яблоковъ, и на меньшую кучку, которая будетъ содержать въ себѣ меньше, чѣмъ 12 яблоковъ. Можетъ случиться, что этой послѣдней кучки совсѣмъ не будетъ, т. е. возможно точно распредѣлить вынутыя изъ мѣшка яблоки на кучки по 12 яблоковъ.

Если, напримѣръ, составлено 7 кучекъ по 12 яблоковъ, и если въ мѣшкѣ остается 5 яблоковъ, то значитъ, что число яблоковъ, находившихся первоначально въ мѣшкѣ, было суммой 7 чиселъ, равныхъ 12, увеличенной на 5. Это число можно написать такъ: 7X12 + 5. Если бы послѣ того того, какъ были вынуты 7 дюжинъ яблоковъ, въ мѣшкѣ не оставалось бы ничего, то первоначальное число яблоковъ, значитъ, было бы выражено въ видѣ 7X12, т. е. это число было бы кратнымъ числа 12 (см. стран. 145).

Сдѣлать описанное сейчасъ дѣйствіе значитъ раздѣлить число яблоковъ, содержащихся въ мѣшкѣ, на 12. Это число яблоковъ есть дѣлимое, а 12 есть дѣлитель. Число кучекъ изъ 12 яблоковъ есть частное; оно показываетъ, сколько дюжинъ яблоковъ заключается въ дѣлимомъ. Число

яблоковъ, которое содержитъ въ себѣ послѣдняя кучка, есть остатокъ (Остатокъ, очевидно, долженъ быть меньше 12-ти). Если остатка нѣтъ (т. е. если можно было точно распредѣлить находившіяся въ мѣшкѣ яблоки на кучки по 12 яблокъ), то говорятъ, что остатокъ есть нуль.

Отсюда вообще:

Если даны два числа, изъ которыхъ одно называется дѣлимымъ, а другое дѣлителемъ, то дѣлить первое число на второе значитъ искать, сколько разъ можно вычесть дѣлитель изъ дѣлимаго, а также искать то число, которое остается, когда выполнено послѣднее вычитаніе. Число, показывающее, сколько разъ можно вычесть дѣлитель изъ дѣлимаго, есть частное; результатъ послѣдняго вычитанія есть остатокъ, который, впрочемъ, можетъ быть нулемъ. Этотъ остатокъ всегда меньше дѣлителя.

Изъ всего сказанаго нетрудно вывести, что если раздѣлить одно число на другое, то дѣлимое должно состоять: 1) изъ дѣлителя, повтореннаго слагаемымъ столько разъ, сколько единицъ въ частномъ и 2) плюсъ остатокъ (если онъ не нуль).

Иначе это можно выразить такъ: дѣлимое- равно дѣлителю, умноженному на частное, плюсъ остатокъ.

Такъ, напр., если надо раздѣлить 74 на 8, то имѣемъ

т. е. 74 = 9X8 + 2.

Только что выведенная зависимость между дѣлимымъ, дѣлителемъ, частнымъ и остаткомъ при дѣленіи, т. е. дѣлимое = произведенію дѣлителя на частное + остатокъ, является основной для дѣйствія дѣленія, и, какъ только зайдетъ рѣчь о дѣленіи, ее нужно всегда имѣть въ виду. Если дѣлимое обозначить буквой а, дѣлитель б, частное

s и остатокъ г, то зависимость эта въ общемъ видѣ можетъ быть написана такъ:

а = вХб +г,

при чемъ всегда число г меньше числа б. Число в (частное) указываетъ, сколько всего (самое большое число разъ) число б (дѣлитель) содержится въ числѣ а (дѣлимомъ), т. е. сколько наибольшее число разъ можно изъ а вычитать число б.

Этотъ случай дѣленія соотвѣтствуетъ, очевидно, сокращенному (вѣрнѣе—быстрому) вычитанію. Такое дѣленіе называютъ обыкновенно дѣленіемъ по содержанію.

Къ дѣйствію дѣленія можно подойти и инымъ путемъ, который на первый взглядъ кажется совершенно отличнымъ отъ только что изложеннаго. Въ жизни весьма часто встрѣчаются задачи, въ которыхъ дается какое-нибудь число и спрашивается, можно ли это число раздѣлить на данное число равныхъ частей (т. е. дается число а и требуется его раздѣлить на б равныхъ частей).

Дано, напримѣръ, число 56. Можно ли это число раздѣлить на 8 равныхъ частей, или, иначе говоря, представить его, какъ сумму 8-ми равныхъ чиселъ?

Чтобы такое дѣленіе было возможно, необходимо, чтобы число 56 было кратнымъ (см. стр. 145) числа 8, т. е. чтобы число 56 получалось умноженіемъ числа 8 на другое цѣлое число. Въ данномъ случаѣ съ помощью таблицы умноженія мы тотчасъ можемъ опредѣлить, что 56=8X7, т. е., дѣйствительно, число 56 можно раздѣлить на 8 равныхъ частей, и каждая такая часть состоитъ изъ 7-ми единицъ. Въ такихъ случаяхъ говорятъ, что дѣлимое дѣлится на дѣлителя точно, или безъ остатка, или нацѣло.

Но если данное число, напр. а, не есть кратное другого даннаго числа б, то задача о точномъ дѣленіи числа

а на б равныхъ частей неразрѣшима. Рѣшить ее можно только приблизительно, причемъ дѣйствіе, въ сущности, сводится къ тому, что уже было говорено раньше о дѣленіи по содержанію. Пояснимъ это такимъ примѣромъ:

Положимъ, что въ мѣшкѣ заключается 89 волошскихъ орѣховъ, которые желаютъ раздѣлить между 12 дѣтьми, сколько возможно точно. Для этого можно поступать такъ: пусть возьмутъ изъ мѣшка 12 орѣховъ и раздадутъ каждому ребенку по одному орѣху. Потомъ пусть возьмутъ 12 другихъ орѣховъ и пусть опять раздадутъ каждому ребенку по одному орѣху и такъ далѣе, до тѣхъ поръ, пока уже нельзя будетъ раздавать каждому ребенку по одному орѣху, т. е. въ мѣшкѣ не останется больше орѣховъ или останется меньше, чѣмъ 12 орѣховъ. Въ первомъ случаѣ раздѣлъ былъ бы точный. Но въ данномъ случаѣ число раздачъ (число горстей, по 12 орѣховъ въ каждой, которыя были вынуты изъ мѣшка) не можетъ быть больше числа 7, и это число 7 есть частное отъ дѣленія числа 89 на 12. То, что остается въ мѣшкѣ, есть остатокъ 5 отъ дѣленія. При каждой раздачѣ каждый ребенокъ получаетъ одинъ орѣхъ; всего онъ получилъ 7 орѣховъ; каждая часть состоитъ изъ 7, и такъ какъ есть 12 дѣтей, то число 89 получается въ формѣ

89 = 12X7 + 5.

Или вообще, если примемъ, что въ мѣшкѣ было а орѣховъ, дѣтей было б, горстей по б орѣховъ можно было дать в, послѣ чего въ мѣшкѣ осталось г орѣховъ (причемъ г обязательно меньше б), то получимъ для числа а

а = бХв + г.

Такимъ образомъ, въ обоихъ случаяхъ дѣленія (на равныя части и по содержанію) намъ приходится данное число (дѣлимое) разлагать на: 1) произведеніе двухъ сомножителей (дѣлитель и частное) и 2) остатокъ (который

можетъ быть нулемъ). Вся разница между обоими случаями состоитъ лишь въ томъ, что въ первомъ случаѣ (дѣленіе по содержанію) мы имѣемъ произведеніе в\б, а во второмъ (дѣленіе на равныя части) имѣемъ б\в, т. е. множимое обращается въ множитель и наоборотъ, отъ чего, какъ мы знаемъ, произведеніе не измѣняется.

Изложенное выше позволяетъ сдѣлать такое общее опредѣленіе дѣйствія дѣленія:

Дѣленіе есть дѣйствіе, въ которомъ по двумъ даннымъ числамъ (дѣлимому и дѣлителю) находятъ третье число— частное. И это искомое частное, будучи помножено на данный дѣлитель, должно дать дѣлимое.

Если данное дѣлимое не равно нулю, то и дѣлитель не можетъ равняться нулю, потому что, какъ знаемъ (стр. 147), произведеніе, одинъ изъ сомножителей котораго равенъ нулю, также равно нулю (т. е. такое произведеніе не можетъ быть равно данному дѣлимому, отличному отъ нуля).

Случай, когда дѣлимое и дѣлитель равны нулю, въ ариѳметикѣ не разсматривается, т. е. въ ариѳметикѣ мы всегда предполагаемъ, что дѣлитель отличенъ отъ нуля.

Если дѣлимое равно нулю, то ясно, что и частное равно нулю (при дѣлителѣ, какъ условлено, отличномъ отъ нуля).

Дѣлимое, какъ знаемъ изъ предыдущаго, только въ томъ случаѣ точно (безъ остатка, нацѣло) дѣлится на дѣлителя, если дѣлимое есть число кратное дѣлителя; если этого нѣтъ, то при дѣленіи получается остатокъ, всегда меньшій дѣлителя.

Если дѣлимое нэ дѣлится на дѣлителя нацѣло (безъ остатка), то самое большое число, произведеніе котораго на дѣлителя меньше дѣлимаго, называется частнымъ съ

недостаткомъ. Если, напр., требуется раздѣлить 75 на 8, то имѣемъ:

Въ данномъ случаѣ дѣлитель 8 содержится въ дѣлимомъ 75 самое большое 9 разъ, и получается еще остатокъ 3 (ибо 8X9 = 72, 75 — 72 = 3). Итакъ, частное 9 есть частное съ недостаткомъ (говорятъ иногда: неполное частное).

Чтобы при дѣленіи, напр., 75 на 8, получить остатокъ, надо изъ дѣлимаго вычесть произведеніе дѣлителя на частное, т. е.

75 — 8X9 =3.

Вообще:

Остаткомъ называется разность между дѣлимымъ и произведеніемъ дѣлителя на частное съ недостаткомъ. Если дѣлимое дѣлится на дѣлимое точно, то говорятъ, что остатокъ равенъ нулю.

Написанное только что выше ариѳметическое выраженіе для остатка при дѣленіи:

75 —8X9 = 3

на основаніи того, что уменьшаемое равно вычитаемому плюсъ разность, можно написать въ видѣ

75 = 8X9 + 3,

т. е. получается извѣстное намъ основное равенство дѣленія, выражающее, что дѣлимое равно произведенію дѣлителя на частное плюсъ остатокъ.

Необходимо усвоить слѣдующія выраженія и обозначенія.

Уменьшить число въ 2, 3, 4, 5 и т. д. разъ это значитъ раздѣлить число на 2, 3, 4, 5 и т. д. Въ самомъ

дѣлѣ, раздѣлить число, наприм., на 5—значитъ раздѣлить его на 5 равныхъ частей. Частное, полученное отъ дѣленія даннаго числа на 5 и показываетъ одну изъ такихъ равныхъ частей, т. е. оно въ пять разъ меньше даннаго числа, или, какъ говорятъ, составляетъ пятую часть даннаго числа.

Дѣленіе числа на 2, 3, 4, 5 и т. д. даннаго числа выражаютъ также словами: взять половину, одну треть, одну четверть и т. д. даннаго числа, т. е.

Знакъ дѣленія, какъ намъ извѣстно, двѣ точки ( : ), такъ что, напр., 42:6 читается такъ: 42 дѣленное на 6. Кромѣ двухъ точекъ для обозначенія дѣйствія дѣленія употребляютъ и такія обозначенія:

т. е. а) пишутъ дѣлимое, проводятъ справа вертикальную черту и за ней пишутъ дѣлитель, подъ которымъ проводятъ горизонтальную черту (подъ этой чертой подписываютъ частное); б) пишутъ дѣлимое, подчеркиваютъ его и подъ чертой пишутъ дѣлитель.

Такимъ образомъ дѣленіе, напр., 42 на 6 можно записать трояко:

Дѣлимое или дѣлитель, или оба эти числа вмѣстѣ могутъ быть даны не просто однимъ числомъ, а въ видѣ суммы или разности или произведенія чиселъ,—вообще, въ видѣ ариѳметическаго выраженія. Можно, наприм., предложить сумму 6 + 8+4 раздѣлить на 3. Съ помощью скобокъ это можно записать такъ:

(б + 8 + 4):3,

т. е. раньше, чѣмъ дѣлить на 3, надо произвести сложеніе въ скобкахъ и затѣмъ полученную сумму 18 раздѣлить на 3. Подобно же

(37 — 2) : 5 = 35 : 5 = 7; (75 — 55 + 4) : 8 = 24: 8 = 3 и т. п.

Производство дѣйствія дѣленія (Практика дѣленія). — При дѣленіи цѣлыхъ чиселъ предполагается, что дѣлимое всегда больше или равно дѣлителю, чтобы частное не было нулемъ.

Быстрота и навыкъ въ производствѣ ариѳметическихъ дѣйствій достигаются возможно частыми упражненіями въ этихъ дѣйствіяхъ. Это замѣчаніе въ особенности приложимо къ практикѣ дѣленія, которое начинающимъ иногда кажется труднымъ. Мы начнемъ практику дѣленія чиселъ со случая, когда такое дѣленіе можетъ быть выполнено, какъ говорятъ, непосредственно.

Дѣленіе числа на 10, 100, 1000 и т. д. (на разрядную единицу).—Положимъ, что число 78 632 надо раздѣлить, напр., на 1000. Вопросъ, въ сущности, заключается въ томъ, сколько тысячъ заключается въ данномъ дѣлимомъ 78632. И на этотъ вопросъ даетъ прямой (непосредственный) отвѣтъ наша десятичная система устнаго и письменнаго счета: число 78 632 состоитъ изъ 78 тысячъ и еще получается остатокъ 632, т. е. дѣленіе даетъ въ частномъ 78 и въ остаткѣ 632.

78 632 = 1000X78 + 632.

Слѣдовательно, чтобы раздѣлить 78 632 на 1000 достаточно отдѣлить отъ этого числа 3 послѣднихъ цифры, тогда первыя цифры покажутъ частное, а отдѣленныя послѣднія — остатокъ:

78|632.

Вообще:

Чтобы раздѣлить число на единицу съ послѣдующими нулями, отдѣляютъ въ этомъ числѣ справа столько цифръ, сколько имѣется нулей въ дѣлителѣ. Тогда всѣ цифры влѣво покажутъ частное, а отдѣленныя справа остатокъ.

Дѣлитель и частное—однозначныя числа.—Положимъ, что надо раздѣлить 76 на 9, т. е. 76:9 = ? Въ томъ, что искомое частное состоитъ изъ одной цифры, мы убѣдимся тотчасъ, если припишемъ къ дѣлителю справа нуль, т. е. умножимъ его на 10. Получимъ 90, т. е. число большее дѣлимаго 76. Значитъ, дѣлитель не содержится въ дѣлимомъ 10 разъ, а потому частное имѣетъ только одну цифру.

Такой случай дѣленія основанъ всецѣло на знаніи таблицы умноженія однозначныхъ чиселъ. Такъ, въ данномъ случаѣ дѣленія 76 на 9 таблица умноженія даетъ послѣдовательныя кратныя 9 на однозначныя числа, и мы видимъ, что 76 заключается между 8X9 = 72 и 9X9 = 81. Поэтому 76, дѣленное на 9, дастъ частное 8 (съ недостаткомъ) и остатокъ 4.

76 = 8X9 + 4.

Дѣлитель многозначное и частное—однозначное число.— Требуется, наприм., раздѣлить 3 569 на 427. Искомое частное въ данномъ случаѣ состоитъ изъ одной цифры. Въ этомъ мы убѣдимся, если припишемъ къ дѣлителю

справа нуль (т. е. умножимъ его на 10). Получимъ число 4 270—большее, чѣмъ дѣлимое, т. е. дѣлитель содержится въ дѣлимомъ менѣе, чѣмъ 10 разъ, иначе говоря,—частное будетъ однозначное.

Пишемъ:

Чтобы найти цифру частнаго можно было бы дѣлитель 427 умножить послѣдовательно на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, т. е. получить рядъ чиселъ:

Таблица этихъ чиселъ показываетъ, что дѣлимое 3 560 больше, чѣмъ 8X427 = 3 416, и меньше, чѣмъ 9X427 = = 3 843. Значитъ дѣлитель самое большое заключается въ дѣлимомъ 8 разъ, т. е. 8 и есть искомое частное съ недостаткомъ

Въ остаткѣ получается 153, т. е.

Такой пріемъ дѣленія всегда, конечно, приведетъ насъ къ искомому частному, но онъ для этого простого случая длиненъ: приходится умножать дѣлителя на всѣ 9 первыхъ чиселъ. На практикѣ число такихъ умноженій стараются какъ можно уменьшить. Поэтому обыкновенно стараются найти частное путемъ «пробы» и поступаютъ такъ: Выписавъ дѣлимое и дѣлителя, какъ принято:

берутъ только одну цифру дѣлителя слѣва, т. е. въ данномъ случаѣ 4, не обращая вниманія на остальныя двѣ цифры 2 и 7. Затѣмъ, точно также не обращая вниманія на двѣ послѣднія цифры дѣлимаго (т. е. 6 и 9), спрашиваютъ, сколько разъ 4 содержится въ 35. Находятъ число 8. Цифру 8 ставятъ въ частномъ и умножаютъ дѣлителя 427 на 8. Произведеніе (8-427 = 3416) вычитаютъ изъ дѣлимаго и получаютъ остатокъ 153, меньшій, конечно, дѣлителя.

Можетъ случиться, что цифра частнаго, которую мы подыскиваемъ такимъ пріемомъ, окажется слишкомъ большой. Это должно обнаружиться сейчасъ же при умноженіи дѣлителя на эту цифру: произведеніе получится большее, чѣмъ дѣлимое. Въ такомъ случаѣ испытываемъ ближайшую меньшую цифру и т. д. до тѣхъ поръ, пока найдемъ подходящую цифру, т. е. такую, что произведеніе ея на дѣлителя будетъ меньше дѣлимаго, а получаемый остатокъ будетъ меньше дѣлителя.

Случается иногда и такъ, что для частнаго берутъ слишкомъ малое число. Въ такомъ случаѣ остатокъ окажется больше дѣлителя, и необходимо, значитъ, цифру частнаго увеличить.

Въ общемъ случаѣ дѣленія, когда кромѣ многозначныхъ дѣлимаго и дѣлителя частное также можетъ быть многозначнымъ числомъ, практика дѣленія, какъ увидимъ, сводится къ повторенію нѣсколькихъ дѣленій, подобныхъ указанному выше. Т. е. при каждомъ дѣленіи отыскивается одна цифра искомаго частнаго, и такихъ дѣленій будетъ столько, сколько въ частномъ всѣхъ цифръ. Покажемъ, поэтому, сначала, какъ узнать, сколько цифръ будетъ содержать частное.

Число цифръ частнаго.—Требуется, наприм., раздѣлить 23 457 на 474. Если умножить по предыдущему дѣлитель на 10, т. е. приписать къ нему справа нуль, то получимъ 4 740. Это число меньше дѣлимаго, значитъ ясно, что дѣлитель содержится въ дѣлимомъ болѣе, чѣмъ 10 разъ, т. е. частное будетъ состоять болѣе, чѣмъ изъ одной цифры. Но сколько же именно въ частномъ будетъ цифръ?

Возьмемъ дѣлитель и будемъ множить его на 10, 100, 1000 и т. д. (т. е. будемъ приписывать къ нему справа 1, 2, 3 и т. д. нуля), получимъ рядъ чиселъ:

474, 4 740, 47 400, 474 000 и. т. д.

Данное дѣлимое 23 457 по величинѣ заключается между 4 740 и 47 400. Значитъ, частное отъ дѣленія 23 457 на 474 будетъ больше, чѣмъ 10, и меньше, чѣмъ 100, т. е. частное будетъ двузначнымъ.

Подобно же, пусть требуется, наприм., раздѣлить 485 792 на 782. Беря дѣлитель и умножая его затѣмъ на 10, 100, 1000 и т. д., получаемъ рядъ чиселъ

782, 7 820, 78 200 782 000.

Мы видимъ, что дѣлимое 485 792 больше, чѣмъ 78 200, и меньше, чѣмъ 782 000. Значитъ, частное отъ дѣленія 485 792 на 782 будетъ болѣе, чѣмъ 100, и менѣе, чѣмъ 1000, т. е. это частное будетъ трехзначное.

Вообще получаемъ правило:

Для опредѣленія числа цифръ частнаго приписываютъ справа къ дѣлителю послѣдовательно по нулю, и какъ только получится число большее дѣлимаго, — останавливаются. Количество приписанныхъ такимъ образомъ нулей равно числу цифръ частнаго.

Нахожденіе многозначнаго частнаго.—Требуется, напр., раздѣлить 485 792 на 782. Пишемъ дѣлимое, ставимъ справа вертикальную черту, за ней пишемъ дѣлитель, а подъ нимъ проводимъ горизонтальную черту. По извѣстному намъ правилу опредѣляемъ, что частное будетъ трехзначное число, т. е. состоитъ изъ сотенъ, десятковъ и единицъ.

Ищемъ сначала цифру сотенъ частнаго. Для этого въ дѣлимомъ мысленно отдѣляемъ первыя 4 цифры слѣва, т. е. 4 857 сотенъ, ибо ни въ десяткахъ, ни въ единицахъ дѣлитель ни одной сотни разъ содержаться не можетъ. Итакъ, ищемъ, сколько разъ дѣлитель 782 содержится въ 4 857, т. е. приходимъ къ извѣстному уже случаю дѣленія, когда отыскивается частное изъ одной цифры. Пробуемъ 48 (первыя цифры дѣлимаго) дѣлить на 7 (первая цифра дѣлителя): сколько разъ 7 заключается въ 48? 6 разъ. Цифру 6 ставимъ подъ чертой, какъ, первую цифру (сотенъ) искомаго частнаго.

Провѣряемъ эту цифру, умножая дѣлитель 782 на 6 и вычитая полученное произведеніе 4 692 изъ 4857. Получаемъ въ остаткѣ 165, т. е. число меньшее дѣлителя 782. Слѣдовательно, взятая нами цифра сотенъ частнаго 6 не преуменьшена.

Переходимъ къ отысканію цифры десятковъ частнаго. Мы видимъ, что у насъ осталось 165 сотенъ дѣлимаго, т. е. 1650 десятковъ. Къ этимъ десяткамъ мы сносимъ и приписываемъ справа оставленную раньше безъ вниманія цифру десятковъ дѣлимаго 9. Только эту одну цифру, потому что въ простыхъ единицахъ дѣлимаго дѣлитель не можетъ заключаться ни одного десятка разъ. Итакъ, послѣ сноса 9 получаемъ 1659 (десятковъ), которые дѣлимъ на дѣлителя 782. Сколько разъ 782 содержится въ 1659?

По предыдущему (пробнымъ дѣленіемъ 16 на 7) находимъ для цифры десятковъ частнаго 2. Пишемъ эту цифру 2 въ частномъ (справа отъ цифры сотенъ 6) и помножаемъ на нее дѣлителя 782, произведеніе 2X782 = 1564 вычитаемъ изъ 1659 и получаемъ въ остаткѣ 95 десятковъ, т. е. 950 единицъ.

Къ этому остатку сносимъ послѣднюю цифру дѣлимаго (единицы) 2, получаемъ 952 и дѣлимъ это число опять на дѣлителя 782 для полученія цифры единицъ искомаго частнаго. Для этихъ единицъ находимъ цифру 1. Вычитая 1X782 = 782 изъ 952, находимъ въ остаткѣ 170.

Итакъ, мы нашли, что при дѣленіи 485 792 на 782 въ частномъ получится 621, а въ остаткѣ 170, т. е.

Очень часто производятъ дѣленіе, не опредѣляя раньше числа цифръ искомаго частнаго. Для этого сразу съ лѣвой стороны дѣлимаго берутъ (мысленно) столько цифръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ, и дѣлятъ это число на дѣлителя. Если дѣлитель при этомъ окажется больше отдѣленнаго числа, то въ дѣлимомъ мысленно отдѣляютъ слѣва направо число цифръ на единицу большее числа цифръ въ дѣлимомъ,—и дѣленіе становится возможнымъ. Такъ находятъ первую цифру частнаго. Умножаютъ по предыдущему на эту цифру дѣлитель и произведеніе вычитаютъ изъ отдѣленной части дѣлимаго. Получается первый остатокъ.

Къ этому остатку сносятъ слѣдующую цифру дѣлимаго, полученное число дѣлятъ на дѣлителя и находятъ вторую цифру частнаго и т. д. по предыдущему,

пока не снесутъ послѣдней цифры дѣлимаго и не найдутъ послѣдней цифры частнаго.

Необходимо имѣть въ виду слѣдующее:

Можетъ случиться, что послѣ снесенія къ какому-либо остатку соотвѣтствующей цифры дѣлимаго полученное число окажется меньше, чѣмъ дѣлитель. Въ такомъ случаѣ въ частномъ ставятъ нуль, а изъ дѣлимаго къ остатку сносятъ еще слѣдующую цифру и затѣмъ отыскиваютъ по указаннымъ правиламъ слѣдующую цифру частнаго. Напримѣръ:

Такимъ образомъ, въ случаѣ, когда дѣлимое и дѣлитель таковы, что получается многозначное частное, предыдущія объясненія позволяютъ вывести такое правило:

Правило.— Если въ результатѣ дѣленія должно получиться многозначное частное, то дѣленіе разлагается на нѣсколько отдѣльныхъ дѣленій, въ которыхъ дѣлителемъ является одно и то же число, а именно данный дѣлитель, а частное состоитъ всегда изъ одной только цифры. Съ этой цѣлью отдѣляемъ въ данномъ дѣлимомъ, начиная отъ первой слѣва цифры, такое количество цифръ, которое составило бы число, дающее однозначное частное. Затѣмъ образуемъ второе дѣлимое, приписывая справа къ первому остатку слѣдующую цифру дѣлимаго или, какъ обыкновенно говорится, снося слѣдующую цифру. Если раздѣлимъ это второе дѣлимое на дѣлителя, то частное представитъ вторую цифру искомаго частнаго, а остатокъ— второй остатокъ. Съ этимъ вторымъ остаткомъ поступаемъ точно такъ же, какъ и съ первымъ, и такъ далѣе, пока не будутъ исчерпаны всѣ цифры дѣлимаго. Послѣдній остатокъ составитъ остатокъ отъ дѣленія.

При примѣненіи этого правила слѣдуетъ имѣть въ виду слѣдующее. Если какое-нибудь изъ полученныхъ по правилу дѣлимыхъ окажется меньше дѣлителя, то въ частномъ нужно поставить нуль и снести еще одну цифру дѣлимаго.

Если приходится дѣлать, какъ говорятъ, «длинное» дѣленіе, т.е. дѣленіе даетъ въ частномъ сравнительно большое число цифръ, а дѣлимое и дѣлитель тоже большія числа, то весьма полезно для сокращенія времени (во избѣжаніе «пробъ», невольныхъ ошибокъ и т. п.) составить напередъ табличку девяти первыхъ кратныхъ дѣлителя, подобно тому, какъ это указано нами выше на страницѣ 113. Такая табличка даетъ тотчасъ безошибочно соотвѣтствующую цифру частнаго и сводитъ дѣленіе къ ряду вычитаній.

Вотъ примѣръ дѣленія при помощи такой таблички: Надо раздѣлить 7 854 321 786543 на 98 756.

Составляемъ табличку девяти первыхъ кратныхъ числа 98 756.

Дѣленіе съ помощью таблички.

(Въ первомъ столбцѣ написаны цифры 1, 2, 3....9, а противъ нихъ вправо — соотвѣтственныя произведенія 98 756 на 1, 2,...9).

Повѣрка дѣленія производится умноженіемъ дѣлителя на частное; если затѣмъ къ полученному отъ этого перемноженія произведенію прибавить остатокъ, то должно получиться дѣлимое.

Это слѣдуетъ изъ извѣстнаго намъ основного равенства дѣленія (см. стр. 165—166):

а — б Х«+г,

гдѣ а означаетъ дѣлимое, б дѣлитель, в частное и г остатокъ.

Но мы знаемъ, что произведеніе двухъ чиселъ не измѣняется отъ перестановки мѣстъ сомножителей, т. е. предыдущее равенство можно написать и въ видѣ

Т. е. дѣлитель и частное могутъ мѣняться мѣстами безъ нарушенія основного равенства дѣленія. Отсюда слѣдуетъ, что повѣрку дѣленія можно произвести дѣленіемъ же: для этого, получивъ частное, надо на него раздѣлить данное дѣлимое (т. е. сдѣлать его дѣлителемъ); тогда новое полученное частное должно равняться прежнему дѣлителю, а остатокъ долженъ получиться прежній.

Остатокъ при обмѣнѣ мѣстъ дѣлителя и частнаго не мѣняется.

При рѣшеніи задачъ дѣленіе примѣняется въ случаяхъ, когда требуется:

1) раздѣлить число на равныя части; 2) уменьшить число въ нѣсколько разъ; 3) узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ; 4) узнать, во сколько разъ одно число болѣе или менѣе другого.

Во всѣхъ этихъ случаяхъ даютъ произведеніе двухъ сомножителей и одинъ изъ этихъ сомножителей, а ищутъ другой сомножитель, т. е. мы приходимъ къ дѣйствію дѣленія. Пояснимъ это примѣрами:

1) 25 раздѣлить на 5 равныхъ частей. Какъ велика каждая часть?

Если искомую часть умножимъ на число частей, т. е. на 5, то получимъ всѣ 25 единицъ. Значитъ, 25 есть произведеніе искомой части на данное число частей (5). Слѣдовательно, въ этомъ случаѣ данныя числа 25 и 5 представляютъ: первое—произведеніе, а второе— одинъ изъ сомножителей. Искомое же число—другой сомножитель (25:5 = 5).

2) Число 75 уменьшить въ 5 разъ. Сколько получится?

Искомое число въ 5 разъ меньше 75. Значитъ, если искомое число увеличить въ 5 разъ, т. е. умножить на 5, то получится 75. Слѣдовательно, 75 есть произведеніе даннаго числа 5 и искомаго числа (75:5 = 15).

3) Узнать, сколько разъ 9 содержится въ 27.

Искомое число покажетъ, сколько разъ 9 содержится въ 27, или, иначе, сколько разъ надо повторить слагаемымъ число 9, чтобы составилось число 27: значитъ, 27 есть произведеніе даннаго числа 9 и искомаго (27:9 = 3).

4) Узнать, во сколько разъ 24 меньше 48.

Искомое число показываетъ, во сколько разъ 24 меньше 48, пли, иначе, сколько разъ 24 надо повторить, чтобы составилось 48. Слѣдовательно, 48 получится, если 24 умножимъ на искомое число, т. е. 48 есть произведеніе даннаго числа 24 и искомаго (48:24=2).

Какъ видимъ, въ вопросахъ, рѣшаемыхъ дѣленіемъ, всегда по даннымъ произведенію (дѣлимое) и одному изъ сомножителей (дѣлитель) отыскивается другой сомножитель (частное). Но данный сомножитель (дѣлитель) можетъ быть или множителемъ, или множимымъ; и сообразно съ этимъ искомое частное можетъ представлять собой или множимое или множитель даннаго произведенія (дѣлимаго). Поэтому обыкновенно и въ дѣленіи различаютъ два случая:

1) дѣленіе на части и 2) дѣленіе по содержанію.

Вопросы, гдѣ требуется раздѣлить на равныя части или уменьшить въ нѣсколько разъ, относятся къ дѣленію на части. Здѣсь данный дѣлитель представляетъ множитель, на который надо умножить искомое частное, чтобы получить данное дѣлимое.

Вопросы, гдѣ требуется узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ, или во сколько разъ одно число болѣе или менѣе другого, относятся къ дѣленію по содержанію. Здѣсь данный дѣлитель есть множимое, а искомое частное изобразитъ множитель, на который надо умножить дѣлитель, чтобы получить данное дѣлимое.

Предлагаемъ читателю убѣдиться въ этомъ еще на нѣсколькихъ имъ самимъ взятыхъ примѣрахъ, кромѣ данныхъ немного выше.

Общія замѣчанія объ умноженіи и дѣленіи.

О дѣленіи.—Весьма важно уяснить себѣ слѣдующее:

Если умножить дѣлимое и дѣлитель на одно и то же число, то вмѣстѣ съ тѣмъ и остатокъ умножится на это число, а частное останется безъ перемѣны.

Покажемъ это сперва задачами изъ ежедневной жизни. Положимъ, что намъ надо рѣшить два такихъ вопроса:

а) У Павла имѣется 27 руб. денегъ. Сколько книгъ, цѣной по 4 руб. каждая, онъ можетъ купить на эти деньги, и сколько денегъ у него останется?

б) У Петра 27 кредитныхъ билетовъ по 10 руб. каждый. Сколько платья онъ можетъ себѣ купить, если за каждую пару надо заплатить по 4 кредитки въ 10 руб. каждая, и сколько денегъ у него останется?

Не трудно узнать, дѣля 27 на 4 и дѣля 27Х10 на 4X10, что Павелъ можетъ купить G книгъ, а Петръ G паръ платья, при чемъ у Павла останется 3 рубля, а у Петра 3 кредитки по 10 руб., т. е. 30 рублей.

Частное въ обоихъ случаяхъ одно и то же, G. Но второй остатокъ въ 10 разъ больше перваго, потому что дѣлимое и дѣлитель во второй задачѣ въ 10 разъ больше, чѣмъ въ первой.

Если взять основное равенство дѣленія (дѣлимое=дѣлителю хчастное + остатокъ), то получимъ для первой задачи:

27 = 4x6 + 3.................(а)

а для второй:

27X10 = 4X10X6 + 3X10..............(б).

Но второе равенство (б) можно прямо получить изъ перваго (а), если мы припомнимъ показанное на стран. 159—160, что для умноженія суммы чиселъ на данный множитель надо на этотъ множитель помножить каждое слагаемое и полученныя произведенія сложить. Въ равенствѣ (а) число 27 (дѣлимое) представлено въ видѣ суммы: 4x6 + 3. Для умноженія этой суммы на 10 надо каждое слагаемое умножить на 10 и сложить полученныя произведенія, т. е.

Такъ какъ отъ перемѣны мѣстъ сомножителей произведеніе не мѣняется, то только что полученное равенство можно написать такъ:

27X10 = 4X10X6 + 3X10,

т. е. получаемъ основное равенство (б) второго дѣленія, гдѣ остатокъ равенъ 3X10.

Итакъ, мы дѣйствительно показали, что если дѣлимое и дѣлитель умножить на одно и то же число, то остатокъ также умножится на это число, но частное не измѣнится.

Если мы не умножаемъ, а дѣлимъ дѣлимое и дѣлителя на одно и то же число, то можно показать слѣдующее:

Если дѣлимое и дѣлитель раздѣлить на одно и то же число, то и остатокъ раздѣлится на это же число, а частное останется безъ измѣненія.

Чтобы убѣдиться въ этомъ, рѣшите данныя выше задачи о Петрѣ и Павлѣ въ обратномъ порядкѣ, т. е. сначала задачу б), а затѣмъ задачу а), примѣняя соотвѣтственныя разсужденія.

Предыдущія положенія часто приходится примѣнять также на практикѣ дѣленія.—Такъ, вмѣсто того, чтобы дѣлить, напр., 25 000 на 6 000, мы просто можемъ дѣлить 25 на 6 и получаемъ при этомъ въ частномъ 4, а въ остаткѣ 1. Значитъ, при дѣленіи 25 000 на 6 000 также получится частное 4, но остатокъ будетъ 1 000.

Если одно число дѣлится безъ остатка (нацѣло) на другое, то это второе число называется дѣлителемъ перваго числа. Такъ, 6 есть дѣлитель 12, но G не дѣлитель, напр., числа 13; число 25 будетъ дѣлителемъ числа 50, но не будетъ дѣлителемъ числа 65 и т. п.

Вмѣсто того, чтобы говорить, что 6 есть дѣлитель числа 12, говорятъ также, что 6 дѣлитъ 12, или 12 дѣлится на 6 или что 12 есть кратное числа 6 (см. стр. 145).

Измѣняемость и неизмѣняемость произведенія и частнаго.—Усвоившему все изложенное объ умноженіи и дѣленіи не трудно будетъ понять и запомнить случаи измѣняемости произведенія и частнаго, которые мы сейчасъ приведемъ. Нужно только постоянно имѣть въ виду, что дѣйствія дѣленія и умноженія суть дѣйствія обратныя. Т. е. въ умноженіи даются сомножители и ищутъ произведеніе, въ дѣленіи же, наоборотъ,—дается произведеніе и одинъ изъ сомножителей этого произведенія и ищутъ другой сомножитель. Итакъ:

1) Если множимое увеличимъ въ нѣсколько разъ, то произведеніе увеличится во столько же разъ.

2) Если множимое уменьшимъ въ нѣсколько разъ, то произведеніе уменьшится во столько же разъ.

3) Если множитель увеличимъ въ нѣсколько разъ, то произведеніе увеличится во столько же разъ.

4) Если множитель уменьшимъ въ нѣсколько разъ, то произведеніе уменьшится во столько же разъ.

5) Если одинъ изъ сомножителей увеличимъ въ нѣсколько разъ, а другой сомножитель уменьшимъ во столько же разъ, то произведеніе не измѣнится.

6) Если дѣлимое увеличимъ въ нѣсколько разъ, то частное увеличится во столько же разъ.

7) Если дѣлимое уменьшимъ въ нѣсколько разъ, то частное уменьшится во столько же разъ.

8) Если дѣлитель увеличимъ въ нѣсколько разъ, то частное уменьшится во столько же разъ.

9) Если дѣлитель уменьшимъ въ нѣсколько разъ, то частное увеличится во столько же разъ.

10) Если дѣлимое и дѣлитель увеличимъ или уменьшимъ въ одинаковое число разъ, то частное не измѣнится.

Упражненія.

1. Раздѣлить на 11 слѣдующія числа: 111, 1111, 11111.

111 111, 1111111?

2. Раздѣлить на 11 числа: 101, 1001, 10001, 100001?

3. Раздѣлить 40 503 146 на 7 198.

4. Зная, что

1 040 318 228 677 = 2 870 564 X 362 407 + 5 741 129,

найти частное и остатокъ отъ дѣленія числа 1 040 318 228 677, какъ на 2 870 564, такъ и на 362 407.

5. Раздѣлить на 37 числа 1 000, 1 000000, 1 000 000 000 и т. д.

6. Зная, что

1 040 384 968 947 2 870 764 X 362 407 — 1,

найти частное и остатокъ отъ дѣленія числа, находящагося въ лѣвой части этого равенства, на каждый изъ 2-хъ сомножителей, находящихся справа отъ знака равенства.

7. Хозяинъ долженъ уплатить 63 служащимъ каждому по 31 рублю. Но въ его кассѣ находятся только десятирублевые монеты. Сколько такихъ монетъ надо ему взять для расплаты?

8. Дѣлимое 3 457, а частное 15. Найти дѣлитель и остатокъ. Сколько можетъ быть рѣшеній этой задачи?

9. Учитель даетъ 4 урока въ недѣлю въ опредѣленные дни, при чемъ не даетъ двухъ уроковъ въ одинъ и тотъ же день. Сколько самое большое уроковъ сможетъ онъ дать въ теченіе 130 дней?

10. Найти два числа, зная, что ихъ сумма равна 15, а разность равна 1.

11. Пишемъ подрядъ одно за другимъ всѣ послѣдовательныя числа по десятичной системѣ. Какая цифра будетъ находиться на извѣстномъ, заданномъ напередъ, мѣстѣ?

Рѣшеніе. Раздѣлимъ числа на группы по числу входящихъ въ нихъ цифръ, т. е. на числа однозначныя, двухзначныя и т. д. Тогда число цифръ

Отсюда легко вывести, что для написанія всѣхъ чиселъ первыхъ пяти группъ понадобится 54 321X 9 цифръ; число цифръ, нужныхъ для шести первыхъ группъ, будетъ 654 321 X 9 и т. д.

Спросимъ теперь себя, какая же цифра будетъ стоять, наприм., на 75 892-мъ мѣстѣ нашего предположеннаго ряда цифръ? Для рѣшенія вопроса прежде всего замѣчаемъ, что эта цифра должна принадлежать пятизначному числу, т.-е. нахо-

диться въ 5-й группѣ. Число же цифръ первыхъ четырехъ группъ есть 4 321 X 9 = 38 889.

75 892 — 38 889 = 37 003,

но

37 003 = 7400X5 + 3.

Слѣдовательно, искомая цифра есть третья въ 7 401-мъ изъ пятизначныхъ чиселъ, т.-е. въ числѣ 10 000 + 7 400. Искомая цифра, слѣдовательно, есть 4.

Подобно же вычислите, какая цифра въ предположенномъ нами ряду цифръ будетъ стоять, напр., на 647-мъ мѣстѣ? на 1 000-мъ мѣстѣ? на 1 000 000-мъ мѣстѣ? и т. п.

Именованныя числа.

Именованнымъ числомъ, какъ знаемъ, называется число, при которомъ стоитъ названіе (наименованіе) составляющихъ это число единицъ, б лошадей, 8 книгъ, 3 яблока и т. д.—все это именованныя числа, съ которыми мы постоянно встрѣчаемся и которыя постоянно служатъ предметомъ нашихъ вычисленій. Можно сказать даже, что въ повседневной жизни мы чуть ли не исключительно встрѣчаемся съ именованными числами, а не съ отвлеченными, т. е. такими, гдѣ названіе предмета намъ не нужно и замѣнено просто словомъ единица.

Насколько велико разнообразіе окружающихъ насъ предметовъ, настолько же можетъ быть велико и разнообразіе именованныхъ чиселъ. Но наибольшее значеніе въ жизни и наукѣ имѣютъ именованныя числа, получающіяся отъ различнаго рода измѣреній.

Изъ главы «число и мѣра» (стран. 57—62) мы знаемъ, что значитъ слово измѣрить, что такое единица мѣры, или просто мѣра, точно также указано, что результатомъ измѣренія всегда бываетъ число; наконецъ, на страницахъ 62—75 даны понятія о нѣкоторыхъ русскихъ единицахъ мѣры, а именно: о мѣрахъ длины (погонныя мѣры), вре-

мени, вѣса и стоимости (деньги). Дополнимъ теперь все это полной системой русскихъ мѣръ, которую необходимо, конечно, каждому знать. Но прежде всего слѣдуетъ усвоить слѣдующія общія свѣдѣнія.

Если желаютъ что-либо измѣрять,—скажемъ, напр., длину,—то прежде всего на практикѣ устанавливаютъ единицу мѣры, которую называютъ основной единицей. Такъ, напр., у насъ основной единицей длины принимаютъ аршинъ или футъ (см. стр. 63 и слѣд, а также приложенную таблицу мѣръ). Само собой разумѣется, какъ это у насъ уже говорилось, единица мѣры должна быть однородной съ измѣряемой величиной, т. е. длину можно измѣрить только длиной, время временемъ, площадь площадью и т. д.

Но одной основной единицы мѣры недостаточно. Однородныя величины (скажемъ, напр., длины) могутъ быть сравнительно и очень велики, и очень малы. Такъ, сопоставьте, напр., длину большой рѣки съ длиной хотя бы самаго большого дерева, и вы тотчасъ поймете, что если длину дерева и длину рѣки измѣрять аршиномъ, то число аршинъ, показывающее длину рѣки, будетъ столь велико, что его трудно будетъ запомнить, представить, а также трудно будетъ надъ этимъ числомъ производить ариѳметическія дѣйствія.

Во избѣжаніе подобнаго рода неудобствъ къ основной единицѣ мѣры прибавляютъ еще дополняющій ее рядъ однородныхъ второстепенныхъ единицъ (или производныхъ единицъ). Эти второстепенныя единицы — однѣ больше основной единицы въ нѣсколько разъ, а другія въ нѣсколько разъ меньше ея. Т. е. второстепенныя единицы получаются изъ основной—однѣ умноженіемъ этой единицы на нѣкоторое число, а другія—дѣленіемъ главной единицы мѣры на равное число частей. Такъ, напр., мы

знаемъ уже, что помимо основной единицы длины, аршина, для измѣренія большихъ длинъ употребляется саженъ, равная 3 аршинамъ, а для измѣренія небольшихъ длинъ употребляютъ пядъ, или четверть, равную четвертой части аршина.

Эти второстепенныя единицы мѣры носятъ названіе мѣръ кратныхъ основной единицѣ пли подкратныхъ ей. Кратныя—это тѣ мѣры, которыя получаются изъ основной единицы умноженіемъ ея, а подкратныя—это мѣры, получаемыя дѣленіемъ главной единицы на равныя части.

Если взять всѣ какія-либо однородныя единицы мѣры (т. е. основную и всѣ ея производныя,—кратныя и подкратныя), то между этими мѣрами есть связь, или, какъ говорятъ, отношеніе, а именно: каждая болѣе крупная единица мѣры можетъ быть получена изъ болѣе мелкой, умножая эту послѣднюю меньшую единицу на нѣкоторое число. Это число называется единичнымъ отношеніемъ мѣръ, т. е.

Единичное отношеніе есть число, которое показываетъ, во сколько разъ одна единица мѣры болѣе другой меньшей однородной единицы мѣры.

Такъ, наприм., единичное отношеніе между саженью и аршиномъ есть 3; единичное отношеніе аршина и вершка 16 и т. п.

Когда говорятъ о кратныхъ и подкратныхъ мѣрахъ одного наименованія (однородныхъ), то обыкновенно мѣры большія въ отношеніи меньшихъ называютъ мѣрами высшихъ наименованій; и, наоборотъ, меньшія въ отношеніи большихъ — мѣрами низшихъ наименованій. Такъ, наприм., по сравненію съ единицей времени, сутками,— недѣля, мѣсяцъ и годъ будутъ мѣрами высшаго наименованія, и, наоборотъ, по отношенію къ году—мѣсяцъ, недѣля, сутки, часъ и т. д. будутъ мѣрами низшаго наименованія.

Теперь изложимъ систему русскихъ мѣръ.

Мѣры длины.—Основной единицей длины у насъ служитъ аршинъ и на ряду съ нимъ футъ со слѣдующими ихъ производными единицами.

При записываніи чиселъ, получающихся послѣ измѣренія длины, пишутъ сначала цифрами число, показывающее, сколько разъ въ данной длинѣ содержится взятая единица мѣры, а затѣмъ буквами обозначаютъ названіе единицы мѣры, при чемъ для сбереженія времени и мѣста названія единицъ пишутъ сколь возможно сокращенно, если только это не можетъ внести какихъ-либо сомнѣній. Такъ что, напр., записи:

2 с. 1 арш. 12 врш.; 2 врс. 235 с. 6 фут. обозначаютъ соотвѣтственно длины: первая — 2 сажени 1 аршинъ 12 вершковъ, а вторая 2 версты 235 сажень 6 футовъ и т. п.

Мѣры площадей. — Измѣрять площадь можно, конечно, только площадью же (стран. 58, 59). Основной единицей площади у насъ принимаютъ квадратный аршинъ и на ряду съ нимъ квадратный футъ.

Квадратный аршинъ есть площадь квадрата, сторона котораго равна аршину. Подобно же квадратный футъ есть площадь квадрата, сторона котораго равна 1 футу. Мы предполагаемъ, конечно, что читатель знаетъ, что такое квадратъ.

Представимъ себѣ, что, напримѣръ, изъ толстаго картона или листа жести мы вырѣзали квадратъ, каждая сторона котораго равна 1 аршину, т. е. получили квадратный аршииъ.—Допустимъ далѣе, что мы желаемъ узнать величину площади пола нашей комнаты. Для этого мы можемъ, очевидно, поступать такъ:

Наложимъ квадратный аршинъ на полъ (начиная, напримѣръ, съ угла комнаты) и углемъ или мѣломъ очертимъ квадратный аршинъ на полу. Затѣмъ, кладемъ нашъ квадратный аршинъ, сторона къ сторонѣ, рядомъ съ только что отчерченнымъ квадратнымъ аршиномъ пола и отмѣчаемъ новый квадратный аршинъ; затѣмъ, бокъ-о-бокъ съ только что отчерченнымъ квадратнымъ аршиномъ отчерчиваемъ слѣдующій и т. д., пока не заполнимъ всю площадь пола. Если, напримѣръ, 35-ью такими наложеніями квадратнаго аршина площадь пола окажется заполненной, то мы и говоримъ, что его площадь равна 35 квадратнымъ аршинамъ. Число 35 въ этомъ случаѣ называется числомъ, измѣряющимъ данную площадь.

Но если бы площади приходилось измѣрять на самомъ дѣлѣ только что описаннымъ способомъ, то для мало-мальски большихъ площадей такой способъ требовалъ бы очень много времени и труда. Съ возрастаніемъ же размѣровъ площади трудности подобнаго непосредственнаго измѣренія скоро сдѣлались бы просто непреодолимыми. Сейчасъ, однако, увидимъ, что можно всегда обойтись безъ такого непосредственнаго измѣренія площадей. Мы покажемъ, что измѣреніе площади, т. е. опредѣленіе числа, измѣряющаго площадь, сводится къ простому перемноженію двухъ чиселъ, каждое изъ которыхъ выражаетъ извѣстную длину. Мѣры площадей оказываются, такимъ образомъ, въ связи съ мѣрами длины.

Фигуры площадей безконечно разнообразны: площади могутъ быть треугольныя, четыреугольныя, пятиугольныя и

т. д., могутъ быть также ограничены прямыми или кривыми линіями, или тѣми и другими вмѣстѣ; и при данной единицѣ площади точное опредѣленіе числа, измѣряющаго любую данную площадь, часто весьма трудно. Впрочемъ, рѣшеніе подобной задачи во всей ея полнотѣ входитъ въ область иной математической науки—геометріи. Мы же разсмотримъ только одинъ простѣйшій случай, когда измѣряемая площадь имѣетъ фигуру прямоугольника.

Прямоугольникомъ называется четыреугольникъ а б в г (см. рисунокъ), который ограниченъ прямыми линіями и въ которомъ всѣ четыре угла прямые. Четыре прямыя, ограничавающія прямоугольникъ, называются его сторонами. Различаютъ противоположныя и смежныя стороны прямоугольника: противоположныя—ав и бг или аб и вг, стороны же, охватывающія какой-нибудь уголъ, напримѣръ, стороны ав и вг суть смежныя.

Чертежъ даетъ понятіе, что противоположныя стороны прямоугольника равны, т. е. аб=вг и ав = бг. Смежныя стороны вообще не равны. Одну изъ смежныхъ сторонъ прямоугольника обыкновенно называютъ длиною, а другую шириною прямоугольника. Напримѣръ, если аб есть длина, то ав будетъ ширина. Вмѣсто словъ длина и ширина прямоугольника въ геометріи говорятъ основаніе и высота.

Основаніе и высоту называютъ также измѣреніями прямоугольника, т. е. прямоугольникъ имѣетъ 2 измѣренія.

Ясно, что если нарисовать такой прямоугольникъ, въ которомъ длина равна ширинѣ, то получимъ квадратъ, (т. е. квадратъ есть такой прямоугольникъ, у котораго всѣ 4 стороны равны).

Возьмемъ, напримѣръ, прямоугольникъ абвг, длина котораго равняется, напримѣръ, 5 аршинамъ, а ширина 3 аршинамъ, т. е. аб — = ее = 5 аршинамъ и ав — бг — 3 аршинамъ.

Легко показать, что этотъ прямоугольникъ разбивается ровно на 3X5 = 15 такихъ, равныхъ квадратовъ, въ которыхъ каждая сторона равна аршину, т. е. взятый здѣсь прямоугольникъ содержитъ 3X5 = 15 квадратныхъ аршинъ.

Дѣйствительно, раздѣлимъ ширину ав и бг на три равныя части (по 1 аршину длины) и черезъ точки дѣленія проведемъ прямыя линіи. Прямоугольникъ абвг раздѣлится на 3 узкихъ прямоугольника, каждый въ 1 аршинъ ширины и 5 аршинъ длины. Затѣмъ раздѣлимъ длину аб=вг на 5 равныхъ частей (т. е. по 1 аршину каждая). Соединивъ точки дѣленія прямыми, мы раздѣлимъ, очевидно, каждый узкій прямоугольникъ на 5 равныхъ квадратовъ, со сторонами въ аршинъ длины. Значитъ, весь прямоугольникъ содержитъ 3X5 = 15 квадратовъ, въ аршинъ сторона, или проще: площадь прямоугольника содержитъ 15 квадратныхъ аршинъ (или говорятъ: равна 15-ти квадр, аршинамъ).

Число 15, измѣряющее площадь этого прямоугольника, получается отъ перемноженія чиселъ 3 и 5, т. е. отъ перемноженія чиселъ, выражающихъ въ аршинахъ ширину и длину взятаго прямоугольника. Значитъ, вмѣсто того, чтобы непосредственно накладывать квадратный аршинъ на прямоугольникъ и считать, сколько разъ онъ въ немъ уложится, мы просто измѣряемъ аршиномъ длину и ширину прямоугольника и, перемноживъ полученныя числа (въ этомъ примѣрѣ 5 и 3), находимъ число, измѣряющее площадь, т. е. показывающее, сколько въ ней содержится квадратныхъ аршинъ.

Сказаннее приложимо не только ко взятому нами здѣсь для примѣра прямоугольнику, но вообще ко всякому прямоугольнику. Сколько бы аршинъ ни содержала длина и ширина любого прямоугольника, чтобы найти число квадратныхъ аршинъ, содержащихся въ его площади, слѣдуетъ поступать такъ:

Измѣритъ аршиномъ длину прямогоульника и его ширину и полученныя отъ измѣренія числа перемножитъ. Произведеніе и покажетъ, сколько площадь прямоугольника содержитъ въ себѣ квадратныхъ аршинъ.

Измѣрять длину и ширину прямоугольниковъ аршиномъ не всегда удобно, такъ какъ прямоугольники могутъ быть самыхъ различныхъ размѣровъ, — отъ самыхъ маленькихъ, которые мы можемъ, напримѣръ, нарисовать на бумагѣ, до огромныхъ площадей, напримѣръ, полей или лѣсовъ на землѣ. Длину и ширину большихъ прямоугольниковъ приходится измѣрять уже саженями или верстами, или милями; длину же и ширину небольшихъ или даже весьма малыхъ прямоугольниковъ приходится измѣрять подкратными аршина или фута, т. е. вершками, дюймами, линіями и т. д.

Положимъ, что длина прямоугольнаго двора равна, напримѣръ, 7 саженямъ, а ширина 5 саженямъ. Въ такомъ слу-

чаѣ, разсуждая подобно предыдущему, мы убѣдимся, что площадь этого прямоугольника можно разбить на 5X7=35 квадратовъ, и сторона каждаго такого квадрата будетъ равна сажени, т. е. площадь прямоугольнаго двора равна 5 X 7 = 35 квадратнымъ саженямъ. Подобно же: если, напримѣръ, прямоугольное озеро тянется въ длину на 4 версты, а въ ширину на 3 версты, то площадь его будетъ равна 3X4 = 12 квадратнымъ верстамъ. Если страница этой книги имѣетъ въ длину 7 дюймовъ, а въ ширину, 5 дюймовъ, то площадь или поверхность ея равна 5X7 = = 35 квадратнымъ дюймамъ и т. т. д.

Вообще:

1) За единицу мѣры площади, или поверхности, принимаютъ обыкновенно площадь такого квадрата, сторона котораго равна единицѣ длины.

2) Чтобы измѣрить площадь прямоугольника, узнаютъ сначала его длину и ширину въ однихъ и тѣхъ же единицахъ длины, затѣмъ полученныя числа перемножаютъ. Полученное произведеніе и дастъ число, измѣряющее площадь. Т. е. полученное число покажетъ, сколько квадратныхъ аршинъ, или футовъ, или саженъ, или верстъ и т. д. заключается въ измѣряемой площади прямоугольника.

Послѣднее болѣе коротко обыкновенно выражаютъ такъ: Площадь прямоугольника равна произведенію его длины па ширину.

Отсюда же не трудно сообразить, что, если намъ извѣстна площадь прямоугольника и одно изъ его измѣреній (т. е. длина или ширина), то другое неизвѣстное измѣреніе можно найти дѣленіемъ числа, измѣряющаго площадь, на извѣстное измѣреніе.

Такъ, если, напримѣръ, площадь прямоугольнаго огорода моего сосѣда равна 375 квадратнымъ саженямъ, а ширина огорода 15 саж., то длина его найдется дѣленіемъ 375 на 15, т. е. 375:15 = 25 саж.

Мы уже знаемъ, что за единицу площади принимаютъ обыкновенно квадратъ, сторона котораго равна единицѣ длины. Эти мѣры площадей часто называютъ просто квадратными мѣрами. Помимо основныхъ мѣръ площади— квадратнаго аршина или квадратнаго фута — вводятъ еще и дополнительныя: квадратную сажень, квадратную версту, квадратную милю, квадратный вершокъ, квадратный дюймъ и т. д. Словомъ, кратныя и подкратныя основной квадратной мѣры (или мѣры площадей).

При этомъ необходимо всегда имѣть въ виду, что если сторону какого-либо квадрата мы увеличимъ, напримѣръ, вдвое, то площадь квадрата увелится вчетверо (2 Х2=22=4), если сторону квадрата увеличимъ втрое, то площадь квадрата увеличится въ девять разъ (3 X 3 = З2 = 9) и т. д. Такъ что, напримѣръ, квадратная сажень содержитъ 3X3= = 9 квадратныхъ аршинъ, квадратный аршинъ содержитъ 16 X 16= 162 = 256 квадратныхъ вершковъ и т. д., въ чемъ читатель можетъ непосредственно убѣдиться, дѣля площади данныхъ квадратовъ на меньшіе квадраты, какъ это мы дѣлали выше съ площадями прямоугольниковъ.

Такимъ путемъ не трудно убѣдиться, что для полученія единичнаго отношенія двухъ квадратныхъ мѣръ надо помножитъ само на себя (возвыситъ въ квадратъ) единичное отношеніе соотвѣтствующихъ линейныхъ мѣръ.

Послѣ этихъ замѣчаній легко будетъ усвоить общую таблицу нашихъ квадратныхъ мѣръ, или мѣръ площадей. Основной единицей площади у насъ служитъ квадратный аршинъ или квадратный футъ.

Въ сельско-хозяйственной жизни Россіи для измѣренія площадей земельныхъ участковъ принята особая единица площади—десятина.

Десятина (казенная) это площадь земли, заключающая въ себѣ 2400 квадратныхъ саженей. Значитъ, десятину можно представить какъ прямоугольникъ, имѣющій 80 саженей длины и 30 ширины: 80 X 30 = 2,400 кв. саж., или же, какъ прямоугольникъ, имѣющій 60 саж. длины и 40 саж. ширины, 60 X 40 = 2400 кв. саж. Кромѣ указанной казенной десятины въ сельской жизни Россіи измѣряютъ землю и такъ называемой хозяйственной десятиной, величина которой принимается въ 3200 или 3600 квадр, саженъ, смотря по мѣстности.

Мѣры объемовъ.—Часть пространства, занимаемая какимъ-либо предметомъ (говорятъ вообще: тѣломъ), называется объемомъ этого предмета. Видъ, или формы предмеметовъ отличаются неисчислимымъ разнообразіемъ; и общіе способы измѣрять объемы всякихъ тѣлъ даются въ геометріи. Мы здѣсь разсмотримъ только самый простѣйшій случай измѣренія объемовъ.

За единицу объема принимаютъ объемъ куба, ребро котораго равно единицѣ длины. Поэтому единицы объема часто называютъ кубическими единицами.

Хотя мы и предполагаемъ, что читатель имѣетъ понятіе о кубѣ (см. рисунокъ), тѣмъ не менѣе напомнимъ, что кубъ есть часть пространства, ограниченная шестью равными квадратами. Эти квадраты называются сторонами или гранями куба. Стороны куба пересѣкаются по 12 прямымъ линіямъ, которыя называются ребрами куба. Всѣ ребра куба равны.

Кубъ, ребра котораго равны 1 аршину, называется кубическимъ аршиномъ; кубъ съ ребрами въ 1 футъ называется кубическимъ футомъ; кубъ съ ребрами въ 1 вершокъ называется кубическимъ вершкомъ и т. д.

Такимъ образомъ, сообразно съ нашими (русскими) мѣрами длины, мы имѣемъ такія кубическія мѣры: кубическая миля, кубич. верста, кубич. сажень, куб. аршинъ, куб. вершокъ, куб. футъ, куб. дюймъ, кубическая линія.

Покажемъ теперь, что для полученія единичнаго отношенія двухъ кубическихъ мѣръ надо единичное отношеніе одноименныхъ съ ними погонныхъ мѣръ взятъ три раза множителемъ.

Возьмемъ, напримѣръ, кубическій дюймъ и кубическую линію (см. рисунокъ). Дно (основаніе) большаго куба (куб.

дюймъ) есть, какъ знаемъ, квадратный дюймъ, т. е. въ немъ содержится 10 X 10=100 квадр, линій. На каждую такую квадр, линію можно, очевидно, поставить кубикъ, кубическую линію, и такихъ кубиковъ умѣстится ровно 100. Итакъ, получается слой, высотой въ одну линію, содержащій 10 X 10 = 100 кубич. линій. Если же мы наложимъ одинъ на другой 10 такихъ слоевъ, то и получимъ кубическій дюймъ, который будетъ, значитъ, содержать 10 X 10 X 10 = 1000 кубическихъ линій.

Разсуждая подобнымъ же образомъ, мы получимъ для нашихъ кубическихъ мѣръ:

На практикѣ очень часто приходится измѣрять объемы прямоугольныхъ параллелопипедовъ. Понятіе объ этомъ тѣлѣ даетъ прилагаемый рисунокъ (стр. 199). Прямоугольный параллелопипедъ лучше всего сравнить съ ящикомъ, у котораго всѣ шесть сторонъ (4 боковыя стѣнки, дно и крышка) прямоугольники. Четыреугольная комната тоже представляетъ собой прямоугольный параллелопипедъ.

Въ параллелопипедѣ (см. чертежъ) такія стороны (или грани), какъ абвг и дежз называются противоположными (Точно также противоположны стороны абед и гвжз, агзд и бежв).

Противоположныя стороны (грани) прямоугольнаго параллелопипеда равны.

12 линій, по которымъ пересѣкаются стороны параллелопипеда, называются его ребрами. Точки, въ которыхъ сходятся ребра параллелопипеда, называются его вершина-

ми. Такихъ вершинъ 8. Очевидно, что въ каждой вершинѣ параллелопипеда сходятся по 3 ребра. Такъ, напримѣръ, въ вершинѣ а сходятся ребра аб, аг, ад. Такія 3 сходящихся въ одной вершинѣ ребра прямоугольнаго параллелопипеда называются его измѣреніями. Эти три измѣренія часто носятъ отдѣльныя названія, а именно: одно называютъ длиною, другое—шириною, а третье—высотою (иногда глубиной или толщиной) прямоугольнаго параллелопипеда.

Положимъ, что во взятомъ нами прямомъ параллелопипедѣ 3 его измѣренія таковы:

длина = дз = 13 аршинамъ, ширина = де = 6 аршин. и высота = да = 8 аршинамъ.

Если мы помножимъ длину на ширину, то получимъ дз = де = 13 X 6 = 78, т. е. число, измѣряющее площадь одной изъ граней параллелопипеда (въ данномъ случаѣ нижнюю площадь,—дно). Это число 78, какъ знаемъ, показываетъ, что площадь дежз содержитъ въ себѣ 78 квадратныхъ аршинъ.

На каждомъ такомъ квадратномъ аршинѣ поставимъ по кубическому аршину, такъ что получимъ слой, высотой въ одинъ аршинъ, содержащій 13X6 = 78 кубич. аршинъ. Но высота взятаго нами параллелопипеда равна 8 аршинамъ,—слѣдовательно въ немъ можно наложить

одинъ на другой 8 такихъ слоевъ по 13X6 = 78 кубическихъ аршинъ. Всего, значитъ, данный прямоугольный параллелопипедъ заключаетъ въ себѣ 13 X 6 X 8 — 624 кубическихъ аршинъ, т. е. объемъ его равенъ 624 куб. арш.

Такимъ образомъ, если мы желаемъ знать, сколько въ какомъ либо прямоугольномъ параллелопипедѣ заключается кубическихъ аршинъ, то измѣряемъ аршиномъ его длину, ширину и высоту и полученныя 3 числа перемножаемъ. Полученное число и покажетъ, сколько куб. аршинъ содержится въ параллелопипедѣ, т. е. укажетъ объемъ взятаго параллелопипеда въ кубическихъ аршинахъ.

3 измѣренія прямоугольнаго параллелопипеда (длину, ширину и высоту) можно, конечно, измѣрять не только аршиномъ, а всякой мѣрой длины. Такъ, если 3 измѣренія параллелопипеда мы выразимъ въ футахъ, то, перемноживъ полученныя 3 числа, мы найдемъ число, выражающее объемъ взятаго параллелопипеда въ кубическихъ футахъ. Если представить себѣ такой громадный параллелопипедъ, что длину, ширину и высоту его пришлось бы измѣрять верстами или милями, то, перемноживъ полученныя 3 числа, мы нашли бы объемъ этого параллелопипеда въ кубическихъ верстахъ или кубическихъ миляхъ и т. д. Слѣдовательно, можно вообще установить такое правило:

Чтобы найти объемъ прямоугольнаго параллелопипеда, надо найти длину 3-хъ его измѣреній (въ какихъ-либо одинаковыхъ единицахъ длины) и 3 полученныя числа перемножить. Произведеніе покажетъ, сколько въ прямоугольномъ параллелопипедѣ содержится кубическихъ единицъ, соотвѣтствующихъ взятой единицѣ длины.

Все вышесказанное часто сокращенно выражаютъ такъ:

Объемъ прямоугольнаго параллелопипеда равенъ произведенію трехъ его измѣреній.

Извѣстный намъ кубъ есть, очевидно, такой параллелопипедъ, въ которомъ всѣ три измѣренія равны. Поэтому,

если взять кубъ, ребро котораго равно, напримѣръ, 5 вершкамъ, то объемъ такого куба равенъ 53 = 125 куб. вершк.

Мѣры емкости.—Къ мѣрамъ объемовъ непосредственно примыкаютъ мѣры для объема жидкостей, зерна и т. п. сыпучихъ веществъ. Мѣры эти носятъ общее названіе мѣръ емкости, при чемъ у насъ различаютъ мѣры сыпучихъ тѣлъ и мѣры жидкихъ тѣлъ.

Основной единицей мѣры жидкостей у насъ считается ведро. Ведро представляетъ собой сосудъ обыкновенно цилиндрической (круглой) формы, равный по объему 750 кубич. дюймамъ, въ него входитъ 30 фунтовъ чистой (дистиллированной) воды. Мѣра кратная ведра есть бочка, содержащая 40 ведеръ. Мѣры подкратныя ведра суть: штофъ, или кружка (десятая часть ведра), полуштофъ, или бутылка (половина штофа или — часть ведра) и чарка часть бутылки, или полуштофа). Такъ что имѣемъ такую табличку:

Мѣры жидкостей.

1 бочка = 40 ведрамъ.

1 ведро =10 штофамъ.

1 штофъ = 2 полуштофамъ (или бутылкамъ).

1 полуштофъ (бутылка) = 5 чаркамъ.

При измѣреніи сыпучихъ тѣлъ за основную единицу емкости принимаютъ четверикъ (сокращенно пишутъ: чк.), или мѣру. Мѣры кратныя четверика: четверть (чт.), содержащая 8 четвериковъ, и ластъ, содержащій 12 четвертей. Подкратныя четверика суть гарнецъ часть четверика) и доля часть гарнца

Мѣры сыпучихъ тѣлъ.

1 ластъ =112 четвертямъ (кулямъ).

1 четверть (чт.) = 8 четвериками».

1 четверикъ (чк.)=8 гарнцамъ.

1 гарнецъ = 30 долямъ.

Мѣры вѣса. О томъ, что такое вѣсъ и взвѣшиваніе, мы уже говорили на стр. 70—72 этой книги. Дополнимъ сказанное таблицей русскихъ мѣръ торговаго вѣса и мѣръ аптекарскаго вѣса:

Торговый вѣсъ:

1 берковецъ =10 пудамъ.

1 пудъ = 40 фунтамъ.

1 фунтъ = 32 лотамъ.

1 лотъ = 3 золотникамъ.

1 золотникъ = 96 долямъ.

Аптекарскій вѣсъ:

Аптекарскій фунтъ=12 унціямъ. 1 унція = 8 драхмамъ.

1 драхма = 3 скрупуламъ.

1 скрупулъ = 20 гранамъ.

Мѣры бумаги. Бумага продается или на вѣсъ, или по листамъ. Въ послѣднемъ случаѣ для нея принимаются за единицы мѣры, помимо листа, стопа и десть, а именно: стопа содержитъ 20 дестей, а десть 24 листа.

Проба.—Содержаніе драгоцѣннаго металла въ сплавѣ обозначается пробой, которая показываетъ, сколько золотниковъ чистаго драгоцѣннаго металла приходится на 1 фунтъ сплава (т. е. на 96 золотниковъ). Такъ, если говорятъ, напримѣръ, о серебрѣ 84-й пробы, то это значитъ, что въ 1 фунтѣ такого серебра содержится только 84 золотника чистаго серебра, а остальные 12 золотниковъ приходятся на лигатуру (т. е. примѣсь другихъ металловъ).

Иногда проба выражается не въ золотникахъ, а въ промилляхъ (тысячныхъ доляхъ). Эта проба показываетъ, сколько частей чистаго металла содержится въ тысячѣ такихъ же частей сплава.

Процентъ.—Градусъ.—Сотая часть какого-либо числа называется процентомъ этого числа и обозначается значкомъ %. Такъ что 1%, 2%, 3% и т. д. читаются: одинъ процентъ, два процента, три процента п т. д. Чтобы найти 1% числа, надо, очевидно, данное число раздѣлить на 100. Нашедши 1% числа, умноженіемъ его на 2, 3, 4 и т. д. найдемъ и 2%, 3%, 4% и т. д. этого числа. Если говорятъ, напримѣръ, что въ 1000 пудахъ зерна заключается 2%

сору, то значитъ сору въ 1000 пудахъ зерна 20 пудовъ (одинъ процентъ отъ 1000 равняется 1000:100=10; слѣдовательно 2% равняется 2X10 = 20).

Если говорятъ о смѣси чистаго спирта съ водой, т. е. о такъ называемой водкѣ, то процентъ называется градусомъ. Водка въ 40 градусовъ—это значитъ, что въ смѣси спирта съ водой содержится 40% чистаго спирта.

Вычисленія съ именованными числами.

Мы уже знаемъ, что однородныя единицы мѣры могутъ быть разныхъ наименованій. Такъ, для измѣренія длины мы имѣемъ наименованія мѣръ: аршинъ, сажень, верста, миля, вершокъ, футъ, дюймъ, линія; для измѣренія вѣса существуютъ наименованія мѣръ: фунтъ, пудъ, берковецъ, лотъ и т. д. Подобно же и для другихъ мѣръ.

Величину какого-либо измѣряемаго предмета можно выразить въ однородныхъ съ ней единицахъ (мѣрахъ) одного какого-либо наименованія. Такъ, напримѣръ: длина въ 5 аршинъ, длина въ 6 верстъ, вѣсъ въ 7 пуд., вѣсъ въ 2 фунта, промежутокъ времени въ 2 мѣсяца и т. д.

Но можно величину выразить и единицами однородныхъ мѣръ различныхъ наименованій. Напримѣръ: вѣсъ въ 2 пуда 35 фунт., длина въ 4 саж. 1 арш. 12 вершк., длина въ 6 фут. 7 дюйм. 8 линій, промежутокъ времени въ 2 года 3 мѣсяца 10 дней, площадь въ 2 десятины 100 квадр, саж. и т. под.

Если именованное число составлено изъ единицъ только одного наименованія, оно называется простымъ именованнымъ числомъ.

Если именованное число составлено изъ однородныхъ единицъ различныхъ наименованій, оно называется составнымъ именованнымъ числомъ.

Различаютъ также составныя именованныя числа правильнаго вида и составныя именованныя числа неправильнаго вида.

Составное именованное число будетъ правильнаго вида, если каждое изъ составляющихъ его чиселъ меньше единицы слѣдующей высшей мѣры. Въ противномъ же случаѣ получается составное именованное число неправильнаго вида. Напримѣръ:

7 саж. 5 фут. 3 дюйм. 7 лин. есть число правильнаго вида. Число же 3 саж. 1 арш. 19 вершк. есть составное именованное число неправильнаго вида, такъ какъ входящіе въ него 19 вершковъ болѣе аршина. Сейчасъ мы увидимъ, что составное именованное число неправильнаго вида всегда можно привести къ правильному виду.

Раздробленіе и превращеніе.—Очень часто приходится именованное число, составленное изъ единицъ высшихъ наименованій, замѣнять числомъ, составленнымъ изъ однородныхъ единицъ низшаго наименованія. Дѣйствіе, которымъ это достигается, называется раздробленіемъ, т. е.

Раздробить именованное число значитъ составляющія его единицы мѣръ высшихъ наименованій замѣнить однородными мѣрами низшаго наименованія (т. е. болѣе мелкими мѣрами).

Для дѣйствія раздробленія именованныхъ чиселъ необходимо знаніе единичнаго отношенія мѣръ (см. стр. 188).

Покажемъ, какъ производится дѣйствіе раздробленія, на примѣрахъ. При этомъ будемъ различать два случая: а) раздробленіе простыхъ именованныхъ чиселъ и б) раздробленіе составныхъ именованныхъ чиселъ.

а) 4 аршина раздробить въ вершки.

Такъ какъ въ 1 аршинѣ 16 вершковъ, то въ 4 аршинахъ 4 раза по 16 вершк., т. е.

Еще примѣръ:

5 милъ раздробитъ въ сажени.

Въ 1 милѣ 7 верстъ, слѣдовательно въ 5 миляхъ 5 разъ по 7 верстъ, т. е.

7 верстъ X 5 = 35 верстъ.

Въ 1 верстѣ 500 саженъ, слѣдовательно въ 35 верстахъ 35 разъ по 500 саж., т. е.

500 саж. X 35 = 17 500 саж.

Итакъ:

чтобы высшія мѣры раздробитъ въ слѣдующія за ними низшія, надо единичное ихъ отношеніе умножитъ на число высшихъ мѣръ.

б) 5 саж. 2 арш. 14 вершковъ раздробитъ въ вершки. Сначала высшія мѣры (5 саж.) раздробляемъ въ слѣдующія за ними (арш.)

3 арш.х5 = 15 арш.

Но въ данномъ числѣ есть еще 2 арш.,—ихъ надо прибавить къ 15 аршинамъ.

15 арш. + 2 арш. = 17 арш.

17 арш. раздробляемъ въ вершки:

16 вершк.Х17 = 272 вершка.

Но въ данномъ числѣ есть еще 14 вершковъ. Ихъ надо прибавить къ 272 вершкамъ:

272 вершк. + 14 вершк. = 286 вершк.

Дѣйствіе для удобства можно расположить слѣдующимъ образомъ:

Еще примѣръ:

4 пуда 12 (ß. 23 лот. 2 зол. 35 долей раздробить въ доли.

Дѣйствіе расположится такъ:

Приведенные примѣры позволяютъ установить такое правило:

Для раздробленія составного именованнаго числа раздробляемъ сначала мѣры самаго высшаго наименованія, входящія въ число, въ непосредственно слѣдующія низшія мѣры и къ полученному произведенію прибавляемъ тѣ мѣры этого же низшаго наименованія, которыя есть въ данномъ числѣ. Полученное число опять раздробляемъ въ мѣры слѣдующаго низшаго наименованія и т.д., пока не придемъ къ мѣрамъ требуемаго наименованія.

Дѣйствіе обратное раздробленію называется превращеніемъ составныхъ именованныхъ чиселъ, т. е.

Превращеніе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго именованное число, состоящее изъ мѣръ низшаго наименованія, мы замѣняемъ числомъ, состоящимъ изъ мѣръ однородныхъ даннымъ, но высшаго наименованія.

Очевидно, что превращеніе, возможно въ тѣхъ случаяхъ, когда данное именованное число больше единичнаго отношенія къ слѣдующей высшей мѣрѣ.

Пояснимъ дѣйствіе превращенія примѣрами:

1920 золотниковъ превратитъ въ высшія мѣры вѣса.

Разсуждаемъ такъ: 3 золотника составляютъ лотъ; поэтому 1920 зол. дадутъ столько лотовъ, сколько разъ въ 1920 зол. содержится 3 зол.; раздѣливъ 1920 на 3, находимъ 640 лот. Далѣе, 32 лота образуютъ фунтъ, а изъ 640 лот. получится столько фунтовъ, сколько разъ въ 640 лот. содержится 32 лота. Раздѣливъ 640 на 32, получаемъ 20 фунт.

Слѣдовательно 1920 золотниковъ = 20 фунтамъ.

Дѣйствіе обыкновенно располагаютъ на практикѣ такъ:

Чаще всего при превращеніи получается составное именованное число. Напримѣръ.

25 гарнцевъ превратитъ въ высшія мѣры.

Находимъ (такъ какъ четверикъ = 8 гарнцамъ):

т. е. 25 гарнцевъ = 3 чк. 1 гарн.

Еще примѣръ:

2264 линіи превратитъ въ высшія мѣры.

т. е. 2264 линіи — 2 саж. 4 фут. 10 дюйм. 4 линіи. Приведенные примѣры позволяютъ вывести такое правило:

Для превращенія мѣръ низшаго наименованія въ однородныя мѣры высшаго наименованія надо данное именованное число дѣлитъ на его единичное отношеніе къ слѣдую-

щей высшей мѣрѣ. Полученное частное опятъ (если можно) дѣлитъ на слѣдующее единичное отношеніе и т. д. Послѣднее частное и всѣ остатки съ принадлежащими имъ наименованіями и дадутъ искомое число.

Сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе именованныхъ чиселъ.—При производствѣ надъ именованными числами четырехъ основныхъ ариѳметическихъ дѣйствій необходимо принять къ руководству нижеслѣдующія замѣчанія:

1) Складывать и вычитать можно только такія именованныя числа, для которыхъ существуетъ общее наименованіе, иначе говоря, — только однородныя именованныя числа.

2) Изъ опредѣленія умноженія, какъ сокращеннаго сложенія, слѣдуетъ, что въ произведеніи двухъ чиселъ второе число отвѣчаетъ на вопросъ, сколько разъ нужно взять первое число слагаемымъ. Второе число должно быть поэтому отвлеченнымъ и только первое можетъ быть именованнымъ:

6 шаровъХ3 = б шаровъ-(-б шаровъ + 5 шаровъ.

Поэтому въ вычисленіяхъ именованныхъ чиселъ эти числа различаются, какъ множитель и множимое. Въ ариѳметикѣ же вообще оба числа могутъ быть переставлены и называются поэтому сомножителями.

Произведеніе сохраняетъ наименованіе множимаго.

3) Задача. — Требуется уложить 15 шаровъ въ три одинаковыя коробки поровну. Сколько шаровъ будетъ въ каждой коробкѣ? Отвѣтъ будетъ: (15 шаровъ) : 3 = 5 шаровъ.

Говорятъ, что именованное число 15 шаровъ раздѣлено на 3 равныя части; 5 шаровъ составляютъ третью часть 15-ти шаровъ. Дѣлитель отвѣчаетъ, слѣдовательно, на вопросъ, на сколько частей требуется раздѣлить дѣлимое. Дѣлитель долженъ, поэтому, быть числомъ отвлеченнымъ.

Изъ основного равенства дѣленія:

17 шаровъ = 5 шаровъ Х3 + 2 шара слѣдуетъ:

Если при дѣленіи дѣлимое—именованное число, а дѣлитель — отвлеченное, то частное и остатокъ будутъ также именованными числами, а именно будутъ носить наименованіе дѣлимаго; дѣленіе будетъ въ такомъ случаѣ дѣленіемъ на части.

4) Отъ предыдущей задачи существенно отличается слѣдующая:

Задача.— Имѣются 24 шара и ихъ требуется разложить въ коробки, изъ которыхъ каждая должна заключать по 6 шаровъ. Сколько коробокъ потребуется?

Очевидно, столько, сколько разъ 6 шаровъ заключается въ 24 шарахъ, т. е. 4. Изъ равенства:

24 шара =6 шаровъ X 4

слѣдуетъ въ формѣ записи дѣленія:

(24 шара) : (6 шаровъ) =4.

Дѣленіе означаетъ въ данномъ случаѣ слѣдующее: требуется опредѣлить, сколько разъ можно отнимать по 6-ти шаровъ отъ 24-хъ шаровъ, пока не останется ни одного шара, или, другими словами, нужно опредѣлить число, которое бы показывало, сколько разъ 6 шаровъ заключается въ 24-хъ шарахъ. Такъ какъ частное отвѣчаетъ на вопросъ сколько разъ, то оно будетъ числомъ отвлеченнымъ. Итакъ:

Дѣленіе возможно и въ томъ случаѣ, когда и дѣлимое и дѣлитель—числа именованныя, въ предположеніи, что можно найти общее для обоихъ наименованіе. Въ частномъ получается отвлеченное число. Дѣленіе въ этомъ случаѣ имѣетъ значеніе распредѣленія или дѣленія по содержанію.

Если дѣлимое—число отвлеченное, то и дѣлитель дол-

женъ быть отвлеченнымъ числомъ. Задача дѣленія относится тогда уже не къ счету именованныхъ, а къ ариѳметикѣ отвлеченныхъ чиселъ. Въ ариѳметикѣ дѣленіе можно понимать въ томъ или другомъ смыслѣ: и какъ дѣленіе на части, и какъ дѣленіе по содержанію. Но въ случаѣ, когда дѣлителемъ служитъ единица, слѣдуетъ всегда выбирать второе объясненіе дѣленія (дѣленіе по содержанію), такъ какъ въ этомъ случаѣ невозможно говорить о дѣленіи на равныя части.

Что касается самаго выполненія (практики) 4-хъ ариѳметическихъ дѣйствій надъ именованными числами, то дѣйствія эти надъ простыми именованными числами ничѣмъ не отличаются отъ дѣйствій надъ отвлеченными числами.

Нѣкоторыя особенности въ производствѣ дѣйствій существуютъ только для составныхъ именованныхъ чиселъ. Разсмотримъ эти особенности для каждаго дѣйствія отдѣльно.

Сложеніе. Подписываютъ слагаемыя одно подъ другимъ такъ, чтобы единицы одинаковыхъ мѣръ стояли въ одномъ вертикальномъ столбцѣ. Если въ одномъ изъ слагаемыхъ нѣтъ единицъ какого-нибудь наименованія, то на ихъ мѣстѣ пишутъ нуль. Подъ послѣднимъ слагаемымъ проводятъ черту, а слѣва ставятъ знакъ плюсъ. Складываютъ по частямъ, начиная дѣйствіе съ единицъ наименьшаго наименованія. Результатъ сложенія даетъ составное именованное число вообще въ неправильной формѣ. Превращеніе въ правильную форму выполняется въ умѣ во время производства дѣйствія, если числа небольшія, или же особо въ сторонѣ.

Примѣры.

. . (сумма въ видѣ составного им. числа неправильн. формы). (Та же сумма въ видѣ составного им. числа правильной формы).

Вычитаніе. Подписываютъ вычитаемое подъ уменьшаемымъ такъ, чтобы единицы одинаковыхъ мѣръ стояли въ одномъ вертикальномъ столбцѣ; если въ одномъ изъ составныхъ именованныхъ чиселъ, данныхъ для вычитанія, нѣтъ единицъ какого-нибудь наименованія, то на мѣстѣ ихъ ставятъ нуль. Подъ вычитаемымъ проводятъ черту, а слѣва ставятъ знакъ минусъ. Вычитаніе выполняютъ по частямъ, начиная дѣйствіе съ единицъ меньшей мѣры.

Если въ уменьшаемомъ нѣтъ единицъ какой-нибудь мѣры или ихъ меньше, чѣмъ тѣхъ же единицъ въ вычитаемомъ, то въ уменьшаемомъ занимаютъ одну единицу непосредственно большей мѣры, раздробляютъ ее въ единицы данной мѣры и складываютъ съ единицами той же мѣры, находящимися въ уменьшаемомъ. Послѣ этого приступаютъ къ вычитанію.

Разность получается всегда въ правильной формѣ.

Примѣры.

Умноженіе. Мы уже знаемъ, что при умноженіи множитель всегда есть число отвлеченное. Такъ что въ случаѣ именованныхъ чиселъ возможенъ только одинъ случай: умноженіе именованнаго числа на отвлеченное. Если именованное число—простое, то умноженіе ничѣмъ не отличается отъ извѣстнаго намъ умноженія отвлеченныхъ чиселъ. Въ случаѣ составного именованнаго числа:

Пишутъ множимое, подъ нимъ множителя, проводятъ горизонтальную черту и ставятъ слѣва знакъ умноженія. Затѣмъ умножа-

ютъ отдѣльно единицы каждой мѣры, начиная съ мѣръ наименьшаго наименованія. Въ произведеніи обыкновенно получается составное именованное число неправильнаго вида (формы). Поэтому при производствѣ дѣйствія выполняютъ превращеніе произведенія въ правильную форму или въ умѣ, если числа небольшія, или здѣсь же отдѣльно на бумагѣ, какъ указано въ нижеслѣдующихъ примѣрахъ:

Примѣры.

Произведеніе въ этой правильной формѣ получилось послѣ такихъ дополнительныхъ дѣйствій (см. начиная съ праваго столбца):

При умственныхъ вычисленіяхъ и небольшихъ числахъ иногда дѣлаютъ и такъ:

Данное составное именованное число раздробляютъ въ единицы наинизшаго наимонованія, содержащагося въ числѣ. Полученное простое именованное число умножаютъ на данный множитель, и полученное произведеніе превращаютъ въ составное именованное число правильной формы.

Дѣленіе. Изъ стран. 208—211 мы знаемъ, что при дѣленіи именованныхъ чиселъ возможны два случая: 1) дѣленіе именованнаго числа на отвлеченное (въ частномъ получается именованное

число) и 2) дѣленіе именованнаго числа на именованное (въ частномъ получается отвлеченное число).

1 ) Чтобы раздѣлить составное именованное число на отвлеченное, надо высшія мѣры дѣлимаго раздѣлить на дѣлителя, остатокъ (если будетъ) раздробить въ слѣдующія мѣры, сложить ихъ съ такими же мѣрами дѣлимаго и опять дѣлить на данный дѣлитель. Такъ надо продолжать до тѣхъ поръ, пока не раздѣлимъ все дѣлимое.

Примѣры.

Можно также въ данномъ случаѣ данное составное именованное число обратить въ простое именованное, раздробивъ его на самыя низшія мѣры, какія входятъ въ число, затѣмъ полученное число раздѣлить на данный дѣлитель, а частное превратить въ составное именованное число.

2) Чтобы раздѣлить составное именованное число на однородное, надо дѣлимое и дѣлитель раздробить въ низшія мѣры одного наименованія и полученныя числа раздѣлить одно на другое.

Наприм., требуется узнать, сколько разъ 248 саж. 2 арщ. 7 вершк. содержится въ 5 верст. 485 саж. 2 арш. 4 вершк.

Раздробляя, находимъ, что

5 верстъ 485 саж. 2 арш. 4 верш. = 143 316 верш. 248 саж. 2 арш. 7 верш. = 11943 верш.

Дѣля первое число на второе, находимъ

143 316 : 11 943 = 12.

Вычисленіе времени.

Объ измѣреніи времени уже говорилось на стран. 66—70 настоящей книги, гдѣ и указано, что за основную единицу времени приняты среднія солнечныя сутки. Кратныя и подкратныя сутокъ даютъ остальныя единицы времени, которыя заключаются въ слѣдующей табличкѣ:

Кратныя сутокъ.

1 недѣля = 7 суткамъ.

1 мѣсяцъ =30 и 31 суткамъ (февраль=28 и 29 суткамъ).

1 годъ=365 и 366 суткамъ. =12 мѣсяцамъ.

1 вѣкъ (столѣтіе)=100 годамъ.

1 тысячелѣтіе=1000 годамъ.

Подкратныя сутокъ.

1 сутки=24 часамъ.

1 часъ=60 минутамъ

1 минута—60 секундамъ.

Годъ, содержащій 365 сутокъ называется простымъ, а годъ, содержащій 366 сутокъ, называется високоснымъ. За тремя простыми годами слѣдуетъ четвертый—високосный годъ. Число, представляющее високосный годъ, дѣлится на 4; такъ, напр., года 1908, 1912,1916—високосные, а 1913 годъ—простой.

Счетъ годамъ христіане ведутъ отъ Рождества Христова. Это событіе есть наша христіанская эра, при чемъ различаютъ годы до Рождества Христова (до P. X.) и послѣ Рождества Христова (по P. X.).

По 31 дню (сутокъ) имѣютъ мѣсяцы: январь, мартъ, май, іюль, августъ, октябрь и декабрь. Мѣсяцы: апрѣль, іюнь, сентябрь и ноябрь содержатъ по 30 дней. Мѣсяцъ же февраль содержитъ 28 сутокъ въ простомъ году и 29 сутокъ въ високосномъ.

Задачи на вычисленіе времени при общемъ изученіи именованныхъ чиселъ обыкновенно разсматриваются отдѣльно, такъ какъ имѣютъ нѣкоторыя свои особенности.

Число, состоящее изъ единицъ времени, можетъ отвѣчать: пли на вопросъ «когда?», или на вопросъ «сколько времени?».

На вопросъ «когда?» отвѣчаетъ такъ называемое календарное время, обозначающее моментъ событія.

На вопросъ «сколько времени?» отвѣчаетъ число, дающее промежутокъ времени.

Наприм., Петербургъ основанъ 16 мая 1703 года,—здѣсь данъ моментъ событія (календарное время). Лѣтнія школьныя каникулы продолжались 2 мѣс. 3 недѣли,—здѣсь данъ промежутокъ времени.

Моментъ («дата») событія не величина, а потому ариѳметическія дѣйствія можно производить только надъ промежутками времени. Если же въ задачахъ дано календарное время, то надо его преобразовать въ промежутокъ времени. Для этого выбираютъ опредѣленный моментъ и считаютъ, сколько полныхъ лѣтъ, мѣсяцевъ, дней и часовъ прошло съ этого момента до момента, въ который происходитъ данное въ задачѣ событіе. За такой моментъ принимаютъ обыкновенно нашу эру, Рождество Христово (начало нашего лѣтосчисленія).

Задачи на время подраздѣляются на три группы (или типа), смотря по тому, что дано и что ищется въ задачѣ:

1) Задачи, въ которыхъ дается: начало событія (въ календарномъ времени), продолжительность событія (въ промежуткѣ времени). Требуется опредѣлить конецъ событія (въ календарномъ времени).

2) Задачи, въ которыхъ дается начало и конецъ событія (въ календарныхъ временахъ). Требуется опредѣлить продолжительность событія (промежутокъ времени).

3) Задачи, въ которыхъ дается конецъ событія (въ календарномъ времени) и продолжительность его (въ промежуткѣ времени), а требуется опредѣлить начало событія (въ календарномъ времени).

Приведемъ примѣры рѣшеній задачъ всѣхъ трехъ типовъ:

1) Морякъ отправился въ плаваніе 20 іюля 1907 года въ 2 часа пополудни. Плаваніе продолжалось 2 года 7 мѣсяцевъ 12 дней и 10 часовъ. Опредѣлитъ, когда морякъ закончилъ плаваніе?

Для рѣшенія задачи сначала календарное время обращаемъ въ промежутокъ времени. Задаемся вопросомъ: сколько полныхъ лѣтъ, мѣсяцевъ, дней и часовъ прошло отъ начала нашего лѣтосчисленія до момента, когда морякъ отправился въ плаваніе. Получаемъ 1904 полныхъ года 6 мѣсяцевъ 19 дней и 14 часовъ (начало сутокъ считается съ полуночи). Къ этому промежутку времени надо приложить данный промежутокъ продолжительности плаванія моряка, получается

Итакъ, плаваніе моряка окончилось въ тотъ моментъ, когда отъ P. X. прошло ровно 1909 лѣтъ да еще 2 мѣсяца и 2 дня. Переводя этотъ промежутокъ времени на календарную дату, находимъ, что морякъ возвратился, слѣдовательно, въ 1910 году, когда прошло уже 2 мѣсяца и 2 дня этого года, т. е. онъ возвратился въ 1910 году ровно въ полночь со 2-го на 3-е марта.

2) Императоръ Петръ Великій вступилъ на престолъ 15 мая 1682 г., а умеръ 28 января 1725 года. Сколько времени онъ царствовалъ?

Отъ P. X. до восшествія на престолъ Петра I прошло полныхъ

1681 годъ 4 мѣс. 14 дней.

Отъ P. X. до смерти Петра прошло

Вычитаніе даетъ:

Т. е. Петръ I царствовалъ 42 года 8 мѣс. 13 дней.

3) Крѣпостное право въ Россіи было уничтожено 19 ферваля 1861 года, ровно черезъ 188 лѣтъ 8 мѣсяцевъ и 20 дней спустя послѣ рожденія Петра Великаго. Когда родился Петръ Великій?

Отъ P. X. до уничтоженія крѣпостного права прошло полныхъ 1860 лѣтъ 1 мѣсяцъ 18 дней. Вычитаніе даетъ

Т. е. Петръ I родился 30 мая 1672 года. Замѣтимъ, что въ данномъ примѣрѣ мы при вычитаніи «занимая» 1 мѣсяцъ раздробили его въ 31 день, такъ какъ «занятый» мѣсяцъ есть январь.

При точномъ вычисленіи времени всегда слѣдуетъ обращать вниманіе, сколько дней содержитъ тотъ или иной мѣсяцъ. Въ частности, содержитъ ли февраль 28 дней (годъ простой) или 29 дней (годъ високосный). Но слѣдуетъ замѣтить также, что во многихъ вычисленіяхъ (напр. въ торговыхъ расчетахъ) для простоты и удобства вычисленій принимаютъ годъ въ 360 дней, а мѣсяцъ въ 30 дней.