И. И. ГАЙДУКОВ

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

ПРОСВЕЩЕНИЕ-1968

И. И. ГАЙДУКОВ

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

ИЗДАНИЕ 2-е

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»

Москва 1968

Гайдуков И. И.

Г 14 Абсолютная величина. Пособие для учителей. Изд. 2-е. М., «Просвещение», 1968. 96 с. с илл.

Решение уравнений и неравенств, построение графиков, различного рода математические исследования в пределах курса средней школы требуют от учащихся умения оперировать понятием абсолютной величины. В настоящей брошюре учитель найдет необходимый материал для изложения этих вопросов как на уроках, так и на занятиях математического кружка.

2-2-2 512(07)

152-68

Иван Иванович Гайдуков

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

Редактор Г. С. Уманский. Художественный редактор В. С. Эрденко. Обложка художника Г. С. Богачева. Технические редакторы Г. Л. Татура, Т. А. Семей-кина. Корректор Г. М. Графовская.

Сдано в набор 15/1 1968 г. Подписано к печати 26/VII 1968 г. 84Х108'/з2. Типогр. Ni 2. Печ. л. 5,04 (3). Уч.-изд. л. 3,85. Тираж 100 тыс. экз. (Т. п. 1968 г. Кя 152.)

Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Отпечатано с матриц Саратовского полиграфкомбината полиграфкомбинатом им. Я. Коласа Государственного комитета Совета Министров БССР по печати. Минск, Красная, 23. Заказ № 1264. Цена 10 коп.

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Существенной характеристикой числа как в действительной, так и в комплексной области является понятие его абсолютной величины (модуля).

Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических и технических наук. Так, в математическом анализе одно из первых и фундаментальных понятий — понятие предела — в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений первым, важнейшим понятием является понятие абсолютной погрешности приближенного числа, определяемое через понятие абсолютной величины числа. В механике основным первоначальным понятием является понятие вектора, важнейшей характеристикой которого служит его абсолютная величина (модуль).

В практике преподавания математики в средней школе и других средних учебных заведениях понятие абсолютной величины числа (модуля числа) встречается неоднократно.

В VI классе, в курсе приближенных вычислений, при уяснении понятия абсолютной погрешности приближенного числа формируется понятие абсолютной величины числа. Во втором полугодии VI класса вводится определение абсолютной величины числа и с помощью этого понятия формулируются правила действий над рациональными числами.

В VIII классе при рассмотрении свойств арифметического квадратного корня находит свое новое приложение понятие абсолютной величины числа.

Например: и другие.

В IX классе в теме «Степень с рациональным показателем» рассматриваются свойства корней л-й степени, где

также используется понятие абсолютной величины числа; так, например,

В IX классе при изучении предела последовательности учащиеся необходимо встречаются с выражениями вида:

В X классе понятие абсолютной величины числа встречается при изучении предела функций, при исследовании функции на ограниченность и при изучении комплексных чисел, где понятие абсолютной величины получает свое дальнейшее развитие в более общей числовой области.

Таким образом, во всех классах, в соответствии с учебной программой, следует включать и рассматривать упражнения, содержащие знак абсолютной величины числа.

В VI классе можно решать уравнения вида:

В VII классе имеется возможность рассматривать решения уравнений вида: | k • | х \ + b | = с; | kx + b \ = ах+с и т. п., систем уравнений вида:

а также построение графиков функций вида:

В VIII классе приложения понятия абсолютной величины распространяются на квадратные уравнения, график квадратного трехчлена и др. Можно решать уравнения вида:

можно рассмотреть построение графиков функций:

При построении графиков целесообразно пользоваться методом преобразования графиков (параллельный перенос, симметрия и др.).

В IX—X классах решение уравнений, систем уравнений и неравенств и построение графиков функций, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины, рассматриваются для трансцендентных функций и уравнений, изучаемых в школе.

При изучении комплексных чисел можно рассмотреть простейшие упражнения на равенство и неравенство модулей комплексных чисел.

В настоящей работе разобраны решения лишь таких вопросов, связанных с понятием абсолютной величины числа, какие могут быть рассмотрены в средней школе.

К каждому параграфу подобраны примеры различной степени трудности, из которых можно выбрать подходящие упражнения для различных классов.

Вместе с этим в настоящей работе имеются и такие вопросы и примеры, рассмотрение которых целесообразно в системе внеклассной работы. Эта работа может быть рекомендована и наиболее любознательным учащимся для самостоятельного ознакомления их со всеми рассмотренными здесь вопросами.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

Рассмотрим последовательно понятие абсолютной величины числа, или, что то же самое, модуля числа для действительных, а затем и для комплексных чисел.

Определение 1. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется неотрицательное число, взятое из двух чисел а или —а.

Абсолютную величину числа а обозначают | а | и читают «абсолютная величина числа а», или «модуль числа а».

Из определения абсолютной величины числа следует:

Примечание. Будем обозначать:

— систему, как пересечение (общую часть) множеств А и В\

— совокупность, как объединение множеств А и В,

Примеры: 1. 181 = 8.

2. 3. 4.

5.

Tеорема 1. Противоположные числа имеют равные абсолютные величины, т. е. | а | | —а |.

В самом деле, по определению абсолютной величины, имеем:

Следовательно, | — а| = |а|.

Геометрическая интерпретация понятия \а\.

Известно, что каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец — в данной точке. Это расстояние, или длина отрезка, рассматривается всегда как величина неотрицательная.

Вместе с этим каждой точке числовой прямой можно поставить в соответствие направленный отрезок (вектор), который характеризуется длиной и направлением.

Множеству действительных чисел соответствует множество точек ориентированной прямой, т. е. такой прямой, на которой, кроме начала отсчета и масштаба, установлено положительное направление.

Тогда можно считать, что геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией абсолютной величины данного действительного числа.

Черт. 1.

Геометрическое толкование смысла \а\ наглядно (см. черт. 1) подтверждает, что |—а | = | а |.

Отсюда легко понять, что | V5 — К 2 1= \ V 2—УЩ\ \х— а I = I а — х\ и т. д.

Примеры.

6. Если |а| = 5, то а{ = 5 и ai = — 5, или а = ± 5.

Следовательно, данному равенству удовлетворяют два числа, которым на числовой прямой соответствуют две точки (см. черт. 2).

Черт. 2.

7. Если |jc| = ft, где необходимо &^0, то xU2 =±6.

8. Если \х\ =|6|, то jcb2 = ± Ь.

9. Если I a JJ < 8, то

а < 8, если а > 0, т. е. О < а < 8; — а<8, или а > — 8, если а<0, т. е. — 8 < а < О, откуда— 8 < а < 8.

Черт. 3.

Следовательно, данному неравенству удовлетворяет множество чисел интервала (— 8; 8), а на числовой прямой—множество точек промежутка (—8; 8) (см. черт. 3).

10. Если I а I > 10, то

а > 10, если а > 0, — а > 10, или а < — 10, если а < 0,

откуда а > 10 и а < — 10, или

Следовательно, данному неравенству удовлетворяет множество чисел двух интервалов: (—оо; —10) и (10; со), а на числовой прямой — два промежутка, соответствующие этим интервалам (см. черт. 4).

Упражнения. Найти значения х и сделать соответствующий чертеж, если:

Черт. 4.

Определение 2. Абсолютной величиной (модулем) комплексного числа z = a -f- Ы называется неотрицательное значение квадратного корня из (а2 + Ь2), т. е. |z| = Va2 + b2.

Из этого определения следует, что абсолютной величиной, или модулем, комплексного числа является длина вектора, соответствующего точке, которая изображает данное число.

Точка M (а\ Ь) служит изображением числа г = а+ + Ы (см. черт. 5), а величина г = I г I = V а2+Ь2 — геометрическая интерпретация \z\.

Черт. 5.

Если b = О, то г = а и \г\ = \а\.

Следовательно, так введенное понятие абсолютной величины комплексного числа не противоречит рассмотренному ранее понятию абсолютной величины действительного числа, являясь его развитием и обобщением.

Примеры.

Из последнего примера видно, что противоположные и сопряженные комплексные числа имеют равные модули (см. черт. 6).

Черт. 6.

14. Если И = 5, то этому равенству удовлетворяют все комплексные числа, модули которых равны 5. Этим числам соответствуют точки плоскости, одинаково удаленные от начала координат на расстояние, равное 5; это равенство может служить уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 5 (см. черт. 7).

15. Если \z\ <С 3, то этому неравенству удовлетворяет множество чисел, для которых соответствующие

Черт. 7.

точки лежат внутри круга с центром в начале координат и радиусом, равным 3 (см. черт. 8).

Если |г| < 3, то множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, состоит из внутренних точек круга и точек окружности, ограничивающей этот круг.

16. |г| > 4. Этому неравенству удовлетворяют все комплексные числа, для которых соответствующие точки расположены на плоскости вне круга с центром в начале координат и радиусом, равным 4, причем точки окружности также удовлетворяют этому неравенству (см. черт. 9).

17. J J *j ^ g Эта система графически выражает множество точек плоского кругового кольца с центром в начале координат и радиусами, равными 2 и 3 (см. черт. 10).

Черт. 8. Черт. 9.

Черт. 10.

Упражнения. Установить вид геометрического места точек, соответствующих числам z, и построить чертеж.

§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ НАД АБСОЛЮТНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ.

а) В области действительных чисел.

Теорема 1. Абсолютная величина суммы конечного числа действительных чисел не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых, т. е.

Доказательство: Пусть av а2, ah—неотрицательные числа и ak+l, ak+2, а,,—неположительные числа, где 0<&<л.

Тогда

Складывая эти равенства и неравенства, получим:

(1)

Знак «меньше» будет иметь место, если не все неположительные числа — нули. Знак равенства будет иметь место, если k = п или все неположительные числа — нули. Ясно, что при k = п все слагаемые будут неотрицательные числа.

(2)

или

Знак «меньше» будет иметь место, если не все неотрицательные числа — нули. Знак равенства будет иметь место, если k = 0 или все слагаемые — неположительные числа.

По определению абсолютной величины действительного числа, выражение

будет равно либо либо

Тогда, принимая во внимание неравенства (1) и (2), получим:

Примеры.

Теорема 2. \а — &|<|а|+|&|. По теореме 1-й будем иметь:

\а+(-Ь)\<\а\+ \-Ь\. Следовательно, | а — Ь | < | а \ + \ Ь |.

Теорема 3.

Пусть

тогда

откуда

По определению, выражение | | а \ — | Ъ \\ равно либо I а I — I Ь I, либо I Ь I — I а |.

Следовательно, | | а \ — |fc||< | а — Ь |, а по теореме 2 получим:

Теорема 4. |а-&|=|а|-|&| (теорема верна для любого конечного числа сомножителей).

1. Если а = 0 и 6 = 0 или а = 0, но b ф 0, или а =7^0, но b = 0, то очевидно, что \ab\ = \а\ • \Ь\ = 0.

2. Если а > 0 и 6 > 0, тогда а = |а|, 6 = и аЬ >0. Значит, = ab = |а| •

3. Если а < 0 и ô < 0, тогда — а = |а|, — 6 = |6| и ab > 0.

Значит, |а6| = ab = (—а) • (—fc) = |а| •

4. Если а > 0 и b < 0, тогда а = |а|, — = |6| и ab<0.

Значит, \ab\ = — ab = а • ( —fc) = |а| • и теорема доказана.

Теорема 5.

1. Если а = 0, то I а| = О,

2. Если а > 0 и & > 0, тогда — > 0. Значит,

3. Если а < 0 и b < 0, тогда — > 0. Значит,

4. Если а > 0 и b < 0, тогда

и теорема доказана.

Примеры.

4. Доказать неравенство:

Так как

(если Ь > а > 0 и х > 0), то

что и требовалось доказать.

5. Решить уравнение:

После простейших преобразований получим:

откуда

По определению абсолютной величины,

откуда xt = — 5 и х2 =* — 1.

б) В области комплексных чисел.

Теорема 6. \ zt + гг \ < | zt \ +1 гг \ (теорема верна для любого конечного числа слагаемых).

Согласно определению модуля комплексного числа, полагая zt = at + bti и z2 = а2 + b2i, докажем, что

Возьмем очевидное неравенство:

тогда или

Примечание. Эта теорема имеет простую геометрическую интерпретацию. В самом деле, ведь геометрическое сложение комплексных чисел представляет собой сложение векторов, для которых имеет место правило параллелограмма (для двух векторов). По этому Правилу \гх + г2\ есть длина диагонали параллелограмма, сторонами которого служат | гг \ и !z2', а по свойству треугольника (см. черт. 11)

Черт. 11.

Знак равенства будет иметь место тогда, когда комплексные числа имеют равные аргументы. При разных аргументах имеет место знак «меньше».

Теорема 7. \гх-г2\ = |*il По. Требуется доказать, что

В самом деле, в левой части имеем:

В правой части в связи с неотрицательностью подкоренных выражений имеем:

Следовательно, теорема доказана.

Примечание. Аналогично теореме (6) доказывается, что I *i — Ч 1<| Ч + 2,1 и аналогично теореме (7) легко доказывается, что

Примеры.

6. Найти геометрическое место точек, соответствующих числу z, если;

Аналитическое решение

По определению модуля комплексного числа, будем иметь:

или (х — а)2 + (у — Ь)2 < 4. Уравнение (х — а)2+(у—6)2= = 4 представляет собой уравнение окружности с центром в точке (а; Ь) и радиусом, равным 2 (см. черт. 12).

Геометрическая интерпретация

Черт. 12.

Искомым г. м. т. будет

круг, ограниченный этой окружностью (включая и точки самой окружности).

б)

Данное неравенство можно переписать так:

Тогда, исходя из результатов предыдущего примера, следует сказать, что этому неравенству удовлетворяют

все точки плоскости, расположенные вне окружности, центр которой в точке (—а; — Ь), a радиус равен 3, и точки этой окружности (см. черт. 13).

Черт. 13.

в)

По определению абсолютной величины действительного числа, получим:

или

т. е. имеем систему:

Этой системе удовлетворяет множество чисел г, для которых соответствующие точки образуют плоское кольцо с центром в точке (а: Ь) и радиусами 7 и 1 (см. черт. 14).

Черт. 14.

7. Среди чисел г, удовлетворяющих условию |г — 6*|<3, найти числа, имеющие наименьший и наибольший аргументы.

Точки, соответствующие числам z, заполняют круг, центр которого находится в точке (0; 6), а радиус равен 3 (см. черт. 15).

Из чертежа видно, что искомые числа будут изображены векторами касательных, проведенных к полученному кругу из начала координат.

Из д OßC, в котором катет ВС = 3, а гипотенуза ОС = 6, следует, что Z- СОВ = 30°, значит, <vt = 60°, а Ф2 = 120° и

Тогда

8. Найти геометрическое место точек, соответствующих числам г, если:

Из чертежа 16 легко видеть, что это равенство имеет место для точек, одинаково удаленных от точек А (ах;

Черт. 15. Черт. 16.

и В (а2; Ь^). Следовательно, искомым геометрическим местом точек будет медиатриса отрезка AB.

б) 1 < 1. Из этого неравенства следует, что \г— г2 к— *i\ < I 2 — z2|, а этому неравенству, как это видно из чертежа 16, удовлетворяют числа, для которых соответствующие точки плоскости представляют собой полуплоскость АОМ, исходящую из прямой ОМ (включая прямую ОМ).

в)

откуда

Точки, соответствующие числам г, удовлетворяющим этому неравенству, представляют геометрическое место точек, расстояния которых от точки А (а; Ь) в три раза больше, чем расстояния их до точки В (аг; bz).

Напомним, что этим геометрическим местом точек будет окружность с центром на AB и диаметром, равным CD, где С и D — точки пересечения AB с биссектрисами внутреннего и внешнего углов д АМВ при вершине M (см. черт. 17).

Черт. 17.

В самом деле, точки С и D данному неравенству удовлетворяют.

Произвольная точка M искомого г. м. т. вместе с данными точками А и В образует треугольник, у которого

следовательно, MC и MD — биссектрисы, угол между которыми прямой, и, значит, точка M принадлежит окружности с диаметром CD (окружность Аполлония),

Примечание. Нетрудной аналитически показать, что уравнением геометрического места точек, удовлетворяющих условию

будет окружность, а при k = 1 — медиатриса.

9. Найти комплексные числа z, если

Аналитическое решение.

Геометрическая иллюстрация (черт. 18).

Черт. 18.

Г. м. т. I соответствует равенству

Г. м. т. II соответствует равенству

Общие точки этих двух линий, точки А и В, являются решениями данной системы (см. черт. 18).

Упражнения. (Задачи 13, 14 и 15-— для действительных чисел.)

13. Решить неравенство: а)

б)

14. Решить уравнение: а) |

б)

в)

15. Доказать неравенство:

16. Среди комплексных чисел г найти числа, имеющие наименьший и наибольший аргументы, если (сделать чертеж):

17. Среди комплексных чисел г, удовлетворяющих условию:

найти числа, имеющие наименьший и наибольший модули (сделать чертеж).

18. Найти геометрическое место точек, соответствующих комплексным числам г, если:

д)

19. Решить систему:

§ 3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ КОТОРЫХ СОДЕРЖИТ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

В настоящем параграфе будем рассматривать только такие функции, областями определения которых служат множества действительных чисел.

1. График функции y = f\x\.

Нетрудно показать, что функция у = / |дг| является четной.

В самом деле, так как \х\ = |—Д то

Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси у-ов. Отсюда следует, что достаточно построить график функции

У - f (X)

для X > 0, а затем достроить его левую часть, симметричную правой относительно оси у-ов.

Если графиком функции

У = f M

является кривая, изображенная на чертеже 19, то графиком функции

у = / kl

будет кривая, изображенная на чертеже 20.

Примеры.

1. Построить график функции у = \х\.

а) Строим график функции у=* для X > 0 (см. черт. 21).

Черт. 19.

б) Строим для x<U часть графика, симметричную построенной относительно оси у-ов. 2. у = 2- |jc| — 2.

а) Строим график функции у = 2х — 2 для х > О (см. черт. 22).

б) Достраиваем для х < 0 часть графика, симметричную построенной относительно оси у-ов.

а) Для х> О строим график функции у = — х2 — х — 3.

Известно, что это парабола, обращенная вогнутостью вверх. Ось у-ов она пересекает в точке (0; —3). Ось х-ов пересекает в точках (—2; 0) и (6; 0), что следует из уравнения — X2 — X — 3 = 0. Вершина параболы находится в

Черт. 20.

Черт. 21.

Черт. 22.

точке (m, п), где m =

(см. черт. 23).

Черт. 23.

б) Достраиваем для х < О часть графика (левую половину), симметричную построенной (правой части) относительно оси у-ов.

4. Построить график функции у = 2]х].

а) Для X > 0 строим график функции у = 2х (см. черт. 24).

б) Для X <С 0 строим левую часть графика симметрично правой относительно оси у-ов.

5. Построить график функции у = log2 |лг I.

а) Для X > 0 строим график функции y = log2A: (см. черт. 25).

б) Для *<0 строим график, симметричный построенному относительно оси у-ов.

6. Построить график функции у = sin

а) Для х>0 строим график функции y=sin X (см. черт. 26).

б) Для л:<0 строим график, симметричный построенному относительно оси у-ов.

Черт. 24.

Для построения графика функции у = f\x\ можно, применить другой способ. По определению абсолютной величины числа, можно данную функцию представить совокупностью двух функций

Следовательно, можно строить графики самостоятельно на правой и левой полуплоскостях относительно оси у-ов.

7. Построить график функции у = - |*|+ —.

По предыдущему замечанию

а) Для X > О строим график функции

Черт. 25.

Черт. 26.

б) Для X < 0 стопим график функции

(см. черт. 27).

Черт. 27.

8. Построить график функции у = tg\x\.

а) Для X > О строим график функции у = tg х.

б) Для X < 0 строим график функции у = tg (— х) = = — tg л: (см. черт. 28).

Черт. 28.

9. Построить график функции у = Для х>0 строим график функции

Для X <3 О строим график функции у =--- (см. черт. 29).

Черт. 29.

Упражнения. 20. Построить графики функций:

21. Построить графики функций:

22. Построить графики функций:

2. График функции у = |f(x)|.

Под абсолютной величиной функции / (х) (т. е. под записью \f(x)\) принято понимать функцию вида:

Отсюда вытекает практическое правило построения графика функции

У = №1

а) Строим график функции у = / (х) (см. черт. 30).

Черт. 30.

б) На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т. е. где / (х) <. 0, строим кривые, симметричные построенным относительно оси х-ов (см. черт. 31).

Значит, на промежутках (— оо; а)\ {Ь\ с) и (d\ ос) график функции у = / (jc) остается без изменения, а на промежутках (а; Ь) и (с\ d) график снизу преобразовывается вверх симметрично оси х-ов (см. черт. 30 и 31).

Черт. 31.

Примечание. График функции у = | /(*)| + k следует рассматривать как перемещение графика функции у = по вертикали на величину k (k —действительное число).

Примеры.

1. Построить график функции У = |х-2|.

а) Строим график функции у = х — 2 (см. черт. 32, а).

б) График нижней полуплоскости преобразовываем вверх (см. черт. 32, б) симметрично оси х-ов.

Ломаная ABC является графиком данной функции (см. черт. 32, б).

Черт. 32.

Примечания. 1) Можно строить график совокупности функций:

2) Полезно обратить внимание на то, что график данной функции симметричен относительно прямой х = 2, а точку, абсцисса которой находится из условия х —2=0, будем называть точкой перелома графика.

2. Построить график функции

а) Строим график функции

у = X2 — X — 6.

Графиком этой функции будет парабола, пересекающая оси координат в точках (0; — 6), (— 2; 0) и (3; 0), имеющая вершину в точке — и обращенная вогнутостью вверх.

На участке, где у<0, чертим график пунктиром.

б) Симметрично пунктирной кривой относительно оси л:-ов достраиваем линию графика данной функции (см. черт. 33). Графиком служит кривая ABC.

3. Построить график функции

У = |log2*|.

а) Строим график функции

у = log.,*,

причем на участке (0; 1) проводим график пунктирной линией.

б) Строим кривую, симметричную пунктирной линии относительно оси jt-ов.

Черт. 33.

Графиком да иргой функции является кривая MAB (см. черт. 34).

4. Построить график функции у = Isin х\.

а) Строим график функции у = sin дг.

б) Участки графика, где sînr<0, преобразовываем вверх (см. черт. 35).

Черт. 34.

Черт. 35.

Упражнения.

23. Построить графики функций:

Примечание. Графики функций б), г) и ж) строить перемещением вверх или вниз на ± 1, 2 и т. д.

24. Построить графики функций:

3. График функции у = |/| х\ |.

График данной функции может быть построен в следующем порядке:

а) Строим график функции у = / (х), для х ^ 0.

б) Строим график функции y=f (—х), для X < 0 (или строим кривую графика, симметричную построенной относительно оси у-ов, так как данная функция четная).

в) Участки графика, расположенные в ниж ней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси jc-ob.

Примеры.

1. Построить график функции у = |log2|jt||.

а) Строим график функции у = log2*, где х > 0 (черт. 36).

б) Строим график функции у = logs |jc| (черт. 37).

Черт. 36.

Черт. 37.

в) Строим график функции у = |log2pc|| (черт. 38).

2. Построить график функции

(черт. 39).

Черт. 38.

Черт. 39.

Примечание. В данном случае рассмотрен лишь один из возможных способов построения графика функции вида у =|Н*Н« В дальнейшем будут показаны другие приемы.

Упражнения.

25. Построить графики функций:

4. График функция | у | = / (х), где / (лг) > О. По определению абсолютной величины, будем иметь:

Следовательно, данная функция является двузначной, а график ее будет симметричен относительно оси х-ов.

Областью определения данной функции являются промежутки значений аргумента х, на которых функция у = / (х) неотрицательна.

Примерный порядок построения графика данной функции.

а) Установить область определения функции из условия:

/ (х) > 0.

б) На промежутках определения функции построить график функции

у = f (X).

в) Построить кривые, симметричные построенному графику относительно оси х-ов.

Примеры.

1. Построить график функции |у | = у • * + 1.

а) Область определения: ~х+1>0 или х> — 2.

б) Для X ^—2 строим график функции у= ^х+1.

в) Строим кривую, симметричную построенной относительно оси х-ов, и график данной функции построен (см. черт. 40).

Проверим: пусть х = 2,

тогда |у | = 1.2 + 1 =*2.

Из |у| = 2 следует, что у = ±2, что подтверждает и график.

Примечание. Из I— у\ = | у | следует, что график функции I у I = / (х) симметричен относительно оси дг-ов.

2. Построить график функции |у| = sin jc.

Черт. 40.

а) Область определения. Из sin х ^ 0 следует, что 2k л < X < л + 2£л.

б) График данной функции (см. черт. 41).

Черт. 41.

3. Построить график функции |у — 2| = х2 — 1.

а) Область определения: х2 — 1 > О или х <; — 1 и х^ 1.

б) По определению абсолютной величины, у — 2 = = ± (х* — 1), или у = 2 ± (хъ — 1). или у 13-х8.

Следовательно, нужно построить графики совокупности этих двух функций для одной и той же области определения (см. черт. 42).

Примечание. Можно было поступить, как в предыдущих примерах:

построить график функции I ух I = я2— 1;

из у — 2 = yv или у =* = 2 + следует, что построенный график надо переместить вверх на 2 ед.

Из построения и графика видно, что кривая графика симметрична относительно прямой у—2=0, или у —2.

Черт. 42.

Упражнения.

26. Построить графики функций:

5. График функции | у | = | / (л:) |. По определению абсолютной величины, будем иметь:

Порядок построения графика этой функции:

а) Строим график функции у = |/ (х)\ (весь расположен в верхней полуплоскости).

б) Строим график функции у = — I/(*)!; он будет представлять собой кривую, симметричную графику функции у = |/ (*)| относительно оси х-ов.

Пример. Построить график функции |у| = |log2|jc||.

а) Строим график функции у = |log2 (см. черт. 38).

б) Строим график функции у = — |log2 |jc||, т. е. кривую, симметричную построенной относительно оси х-ов (см. черт. 43).

Черт. 43.

Упражнения.

27. Построить графики функций.

6. Графики некоторых простейших функций, заданных явно, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

1. у = \kx + Ь\.

По определению абсолютной величины функции,

Строим прямые на двух участках (см. черт. 44, случаи а и-6).

Черт. 44.

Примечание: b

а) Прямая х =— -—служит осью симметрии для графика данной функции.

б) При построении графика данной функции можно построить только одну половину графика, а затем достроить его другую половину, симметричную первой относительно прямой х = — -—.

2. Построить график функции у = \2х— 4|.

а) Строим график функции у = 2х — 4 для X :>2.

б) Проводим ось симметрии: X = 2.

в) Достраиваем график: проводим прямую, симметричную первой относительно оси симметрии (см. черт. 45).

Рассмотрим другой порядок построения графиков подобных функций, который будет более удобным и общим для построения графиков в дальнейшем.

3. Построить график функции у = а) Найдем точку перелома графика. Из условия \х — 21 = 0 получим х = 2. Следовательно, данную функцию следует рассматривать на двух промежутках (— со ; 2] и [2; со).

б) Для X < 2 у = 2(2 —л:) — 3 (по определению абсолютной величины). Для х^2 у=2(х — 2) — 3. Или для X < 2 у = 1 — 2лг, для X 5* 2 у - 2х — 7.

в) Строим графики прямых на соответствующих промежутках (см. черт. 46).

Примечание. Нетрудно видеть, что графи» функции у=2 • | х—2 | — 3 отличается от графика функции у = = I 2х—4 I только смещением его вдоль оси у-оъ вниз на 3 ед.

Черт. 45.

Черт. 46.

4. Построить график функции у = \х— 1| + \х — 3|.

а) Из условий \х — 11 = 0 и \х — 31 = 0 находим абсциссы точек перелома графика: xt = 1 и х2 = 3.

Следовательно, данную функцию следует рассматривать на трех промежутках: (— оо; 1], [1; 3] и [3; оо) и на них по частям строить график. ...

Построение графика просто (см. черт. 47).

Черт. 47.

Построение графиков функций вида или

осуществляется одним и тем же приемом, поэтому в данном случае мы ограничимся рассмотрением лишь частных случаев.

5. Построить график функции

Точки перелома (вершины):

Xi= 1; х2=2\ х$ = 3; х^ =4; хь = 5.

Промежутки задания функции: (—оо; 1]; [1; 2]; [2; 31;

Черт. 48.

Построение графика выполняется по промежуткам (см. черт. 48).

6. Построить график функции

Способ 1. Для

Построение графика выполняется на четырех промежут-ках:

Способ 2. Последовательно выполняются следующие графики.

а) График функции б) График функции в) График функции

Черт. 49.

Способ 3. Данная функция четная, так как | — *| = = 1*1; значит, график ее симметричен относительно оси у-ов. Поэтому достаточно построить график для х > О, а затем достроить ему симметричную часть для х <С 0.

Черт. 50.

7. Построить график функции у = |2— |1 — И||. Данная функция четная, поэтому будем строить график для X > 0, тогда у = |2 — 11 — х\\.

Левую часть графика, т. е. для х < 0, достраиваем симметрично правой части (см. черт. 51).

Черт. 51.

8. Построить график функции

График этой функции симметричен относительно прямой X = 2, поэтому будем строить график лишь правой половины, т. е. для х ^ 2, а затем достроим левую половину.

Следовательно, на

График данной функции (см. черт. 52).

Черт. 52.

Для построения графиков функции вида

целесообразнее использовать второй способ, рассмотренный при решении примера 6. В этом способе не выполняются тождественные преобразования аналитического выражения данной функции, а осуществляются лишь геометрические преобразования графиков.

С идеей преобразования графиков учащиеся встречаются при рассмотрении графиков линейной функции и квадрат-

ного трехчлена в VIII классе. В данном пособии эта идея находит свое простое применение. В сознании учащихся идея преобразований закрепляется, проявляя свои особенности и преимущества.

Для иллюстрации сказанного покажем (см. черт. 52 а) последовательность построения графика функции, рассмотренной в примере 8:

Черт. 52 а.

9. Построить график функции

Следовательно, график нужно строить по промежуткам: (_оо; _4j; [_4; 1]; [ 1 ; 4 ] и [4; оо).

(см. черт. 53).

Черт. 53.

Парабола У = *2 + * — б пересекает оси координат в точках: (0; — 5); (— 4; 0) и (2,5; 0), а вершина ее находится в точке--;--.

10. Построить график функции

Построим график функции у = Функция не существует при

Построим ряд точек

График будет иметь вид, как на чертеже 54.

Черт. 54.

Тогда графиком функции у = |-—- будет график, изображенный на чертеже 55.

Черт. 55.

11. Построить график функции

Преобразуем данную функцию к виду:

Следовательно, необходимо график функции

переместить вверх на 2 единицы, а затем нижнюю часть графика преобразовать вверх (см. черт. 56).

Черт. 56.

12. Построить график функции

Рассмотрим функцию

Графиком этой функции будет кривая, изображенная на чертеже 57, log2y i существует при условии, что yt > 0.

X -— 2

->0, откуда jc<2

X — 3

и X > 3, что видно из чертежа 57.

Черт. 57.

На (—со; 2) функция у2 = log2y i убывает от 0 до — со, так как 1 > yt > 0. На (3; со) функция у 2 убывает от со до 0, так как оо >yt > 1.

Построим график функции у2 = log2yi (черт. 58). Строим график данной функции у = |у2| (см. черт. 59).

Черт. 58.

Черт. 59.

Упражнения.

28. Построить графики функций:

7. Графики простейших функций, заданных неявно, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины.

1. Построить график функции |у | + \х \ = а. Здесь необходимо а > 0. Из данного равенства видно, что |jc| < а и |у| <; а, т. е. область определения функции:

— а <[ X «< а и область изменения функции: — а <! у <; а.

Так как |— у| = |у | и |—х\ = = то график данной функции симметричен относительно осей координат. Поэтому строим график в 1-й четверти, а затем достроим его во 2-й, 3-й и 4-й четвертях.

При х ^ 0 и у 5>: 0, у + X = = а; график этой прямой построить легко. Графиком данной функции являются стороны квадрата (см. черт. 60).

Черт. 60.

2. Построить график функции ||у| —\х\\ = а, где а ^ 0. По определению абсолютной величины, имеем: |у| = = \х\ ± а.

График данной функции симметричен относительно осей координат, поэтому строим график для х^Ю и у^О. Тогда у = X + а (1) и у = х — а (2) (см. черт. 61). Достраиваем график во 2-й, 3-й и 4-й четвертях (см. черт. 61).

3. Построить график функции |||;с| — 2| + |у| — 2 |= 2. По определению абсолютной величины, будем иметь:

В силу симметричности графика относительно осей координат построим график для х ^ О и у ^ 0.

(1) (2)

Легко видеть, что уравнению (2) удовлетворяет только одна точка (2; 0).

Уравнение (1) следует рассмотреть на двух промежутках, где 0 < X < 2 и X ^2.

При 0 < X < 2, 2 — х+ + у = 4 или у = X + 2.

При х>2, х - 2 + у= 4 или у =— X + 6.

Достроим график во 2-й, 3-й и 4-й четвертях (см. черт. 62).

Итак, графиком данной функции будет многоугольник AB и две токи M и N.

4. Построить график функции \\\х \ — 21 — 2 f = = III lyl — 3 I — 21 — 2 I. В силу симметричности графика этой функции относительно осей координат рассмотрим график для 1-й четверти, т. е. для х ^ 0 и у > 0.

Тогда И*-21-21 = |||у — 3| —2| — 2|.

Черт. 61.

Черт. 62.

Далее видно, что это равенства следует рассмотреть для 0 < х < 2, х ^ 2; 0 < у < 3 и у > 3, поэтому дальнейшее исследование целесообразно расположить в таблицу.

Строим график по промежуткам и вдоль оси х-ов и вдоль оси у-ов (см. черт. 63) и достроим его во всех четвертях.

5. Построить график функции

Из этого равенства видно, что график данной функции симметричен относительно прямых х = 2 и у = 3.

Достаточно построить график для х ^ 2 и у ^ 3, а затем достроить симметрично относительно названных прямых.

График строим по промежуткам (см. черт. 64).

6. Построить график функции \x-yl + \х\ + |у| =6.

График функции можно строить по четвертям.

Черт. 63. Черт. 64.

В данном случае следует заметить, что смысл равенства не изменится при замене х на у, а у на х\ следовательно, график данной функции симметричен относительно прямой у = X. В 1-й четверти х > О и у ^ 0.

Возможны два случая:

а) х> у, тогда х — у + * + у = 6 и х = 3;

б) X < у, тогда у — х + * + у = 6 и у = 3. Во 2-й четверти х <; 0; у > 0.

Здесь у > х\ значит, у — х — л; + у = 6 и у = х + 3.

В 3-й четверти х < О, у < О. Возможны два случая:

а) X > у, тогда х — у —

— х- у =6 и у =— 3;

б) х < у, тогда у — je —

— X — у = 6 и х = — 3.

В 4-й четверти х >- 0, у < О, здесь je > у, значит, л; — у + + л: — у = 6 и у=лг —3.

Построение графика просто (см. черт. 65).

Черт. 65.

Примечание. В данном случае симметричность графика относительно биссектрисы 1-го квадранта не была использована. Но можно было бы построить лишь половину графика по уравнению, а другую половину достроить по симметричности.

Упражнения.

29. Построить графики функций:

§ 4. УРАВНЕНИЯ (В ОБЛАСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ).

1. Уравнения вида \f(x)\ = а, где а > 0.

По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: f (х) = а и / (х) — — а, все решения которых будут решениями данного уравнения.

Примеры.

1. Решить уравнение: | х — 3 | =2.

По смыслу абсолютной величины имеем совокупность уравнений х ~ ^ = ^ 0 откуда х{ = 5 и х2 = 1.

2. Решить уравнение: | sin л: -f- cos х | = 1. Решению подлежат два уравнения:

sin X + cos je = 1 и sin х + cos х = —- 1.

После преобразования (сложения) получим:

2. Уравнения вида f\x \ = а.

По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

//(*) = я. и //(—*) = е. \х^0 U<0.

В силу четности функции F = f\ х\— а ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т. е. если at — корень данного уравнения, то и (— а{) также будет корнем данного уравнения.

Следовательно, достаточно решить лишь одну из этих двух систем.

Пример. Решить уравнение:

Рассматриваем систему

Уравнению х2— х = 6 удовлетворяют числа х{ =—2 и х2 = 3, из которых условию X > 0 удовлетворяет лишь х2 = 3.

Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и — 3. Геометрическая иллюстрация дана на чертеже 66.

Черт. 66.

Пусть у = я2— \х\ и у = 6, тогда графическому решению подлежит система

Для X > 0 построим параболу у = х2 — х, а для х <; О достроим часть графика симметрично относительно оси у-ов.

у = 6 — прямая, параллельная оси лг-ов.

Решения очевидны: Xt = — 3 и х2 = 3 (см. черт. 66).

3. Уравнения вида | / (л:) | = ф (х).

Данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

//(*) = Ф(х), и //(*) — — ФМ. I Ф W > 0 IФ W > 0.

Примеры.

1. Решить уравнение |2* — 5| = х — 1.

Решению подлежат две системы:

Откуда

Числа Xi = 4 и х2 =2 удовлетворяют данному уравнению.

Этот результат легко проверить графически, решив систему (см. черт. 67).

Черт. 67.

2. Решить уравнение: Решение.

Откуда

Ответ:

Геометрическая иллюстрация подтверждает данное решение (см. черт. 68).

Черт. 68.

3. Решить уравнение: Решение.

Откуда

Ответ. Решений нет. 4.

Решить уравнение: Решение.

Откуда

Ответ. Уравнению удовлетворяют все значения х >2 и X < — 2.

5. Решить уравнение: Решение.

Откуда

Ответ: х = 1.

6. Решить уравнение:

Решение.

Откуда

Ответ.

Решение:

7. Решить уравнение: Область определения уравнения:

Решая I, получим х2 — х — 1 = х2 + х— 2, или 2х = 1 1

Решая II, получим х2 — х—1 = — х2 — х + 2, или

Ответ:

8. Решить уравнение:

Область определения:

Решение:

Проверка: х = 0 не годится (см. область определения); X = — 2 ± |/“6 и X =-— принадлежат области определения; непосредственная подстановка этих значений je в данное уравнение свидетельствует о том, что вычисления выполнены правильно.

Ответ:

4. Уравнения вида | k{x + Ьх\ ± \ k2x+ \Ь2\± ... ± ± \кпх + Ъп\ = а.

Найдем абсциссы точек перелома графика функции — левой части этого уравнения, т. е. хх

Данное уравнение последовательно рассмотрим на промежутках: (—со; Xi]\ \хй Хг\\ [Х2\ х3\\ ...Î ixn\ со). На (— со; Хх\ получим некоторое линейное уравнение fi(x) = О и его корень х = at.

Если <х{ содержится в (—оо; ;с4 ], то а4 корень и данного уравнения, а если не содержится, то а4 не является корнем данного уравнения. На [дг«; хг] получим /г(дг) = 0 и его корень а2, относительно которого делаем заключение аналогично предыдущему и т. д. На [хп\ со) получим /л+1 (х) = 0 и его корень х = ая+|.

Для ответа отбираются только те значения а, которые содержатся в соответствующих промежутках области определения уравнений, определяющих эти значения.

Примеры. 1. Решить уравнение: \х—\ \+\х— 2|=1.

Точки перелома: Х\ = 1; дг2 = 2. Промежутки задания уравнения: ( — со; 1 ]; (1; 2] и [2; со).

Для X < 1 получим 1 — X + 2 — х = 1, или 2х = 2, или X = 1, X = 1 принадлежит ( — со; 1], значит, х = 1 — корень данного уравнения. Для 1 <; х <; 2 получим X — 1 +2 — X = 1, или 1 = 1; X — любое число, но из 1 < X < 2. Для X > 2 получим х — 1 + д: — 2 = 1, или 2л: = 4, откуда * = 2.

Ответ. Все значения х сегмента [1; 21.

2. Решить уравнение: 2 • \х + 11 + \х — 31 = 6.

Для X 1 имеем — 2х— 2 + 3— л: = 6, или —3jc ==5,

откуда X = — -5- (корень). 3

Для — 1 < X < 3 имеем: 2л:+ 2 + 3 — л: = 6, или X = 1 (корень). Для je > 3 имеем: 2jc + 3 + * — 3 = 6, или 3jc = 7,

т. е. X = — (не может быть корнем).

Ответ.

3. Решить уравнение:

Точки перелома:

Ответ. xt = — 5; дг2 = 1.

4. Решить уравнение: ||||дг| — 2| — 11 — 2| = 2.

Способ 1. По определению абсолютной величины, имеем: \\\х\ — 2\ — 11 — 2 = ±2, т. е. два уравнения.

Решаем первое: |||дг| — 2| — 11 = 4, откуда ||х| — 2| — - 1 = ±4. Или ||*| — 2| = 5 и ||jc| — 2| = — 3 (последнее уравнение решений не имеет).

Ответ. ±1; ±3; ±7.

Способ 2. Так как |—х\ = \х\, то достаточно найти лишь положительные решения, а уравнению будут удовлетворять пары противоположных чисел.

Ответ: ±1; ±3; ±7. Графическое решение системы

представляющее собой иллюстрацию решения данного уравнения, показано на чертеже 69, а способы построения графиков рассмотрены ранее.

Черт. 69.

5. Решить уравнение:

Находим промежутки знакопостоянства данных трехчленов.

Значит, уравнение следует рассмотреть на следующих промежутках: (—оо; 1 ]; [1; 2J; [2; 3J; [3; 4 ] и [4; оо). Для X -< 1, где оба трехчлена неотрицательны, получим:

или X2 — 5х + 4 = 0, откуда Xi = 1 и х2 = 4.

Xi = 1 содержится в (—оо; 1] и является корнем, а х2 = 4 не является корнем.

Для 1 < X < 2, где первый трехчлен неположителен, а второй — неотрицателен, получим

или — X + 1 =0, откуда х = 1 (корень).

Для 2 <; X <. 3, где оба трехчлена неположительные, получим:

или — х2 + Ъх — 7 = 0, откуда Xi и х2 — мнимые.

Для 3 X < 4, где первый трехчлен неотрицателен, а второй — неположителен, получим

или X — 4 = 0, откуда х = 4 (корень).

Для X > 4, где оба трехчлена неотрицательны, получим: X2— Ъх + 4 = 0, откуда х{ = 1 и х2 = 4, здесь л: = 4 — корень, а х = 1 не является корнем.

Ответ. Xi = I и *2 = 4.

6. Рассмотрим подобное уравнение, изменив лишь правую часть.

Тогда для X < 1 получим:

Для 1 < X < 2 получим:

Для 2 < X < 3 получим:

Для 3 < X < 4 получим:

Для X > 4 получим:

Ответ:

Упражнения.

30. Решить уравнения:

5. Решение некоторых простейших частных примеров уравнении в области комплексных чисел.

Пример.

1. Решить уравнение: \г — 3| = 2. Будем искать г в виде: г = х + yi, где х и у — действительные числа. Тогда будем иметь:

Легко видеть, что у2< 4, т. е. — 2 < у < 2 и 1 < х < 5. Решение, г = х + yi, где

Геометрическая иллюстрация.

Известно, что графиком уравнения (х—3)2+ + у2 = 4 является окружность с центром в точке (3; 0) и радиусом, равным 2.

Из чертежа 69а видно, что заданному уравнению удовлетворяют числа г, изображением которых являются точки окружности.

Черт. 69 а.

Пример.

2. Решить уравнение: \z — 2i\ = 3. Полагая г = х + yi, где х и у — действительные числа, получим:

или

Х2 _|_ (у — 2)2 = 9.

Ясно, что X2 < 9.

Решение уравнений будет иметь вид: г = х + yi, где

(см. черт. 696).

Черт. 696.

Пример.

3. Решить уравнение:

22_5.|2|+6==0.

Полагая г = х + yi, где х и у — действительные числа, получим:

Из условия равенства нулю комплексного числа будем иметь:

(1)

(2)

а) Если у = 0, то X2 — 5 • \х\ + 6 = 0, откуда имеем:

Решая эту совокупность, получим:

х± —- 2, х2 == 3; х$ = — 2 и X^ == — 3.

б) Если * = 0, то — у2 — 5- |у| + 6 = 0, или у2 + + 5 • |у| — 6 = 0, откуда

Решая эту совокупность, получим: у4 = 1 и у2 = — 1.

в) При X = 0 и у = 0 решений нет (не удовлетворяется уравнение (1).

г) При X ф О и у Ф 0 решений нет (не удовлетворяется уравнение (2).

Решения. г1>2 = ± 2; г3|4 =± 3; гм = ±t.

Упражнения.

31. Решить уравнения, полагая искомое г комплексным числом.

§ 5. НЕРАВЕНСТВА.

1. Неравенства с одним неизвестным.

Прежде всего рассмотрим неравенства вида:

\f(x)\<a и ■/(*)! > 6,

где а и ft— действительные неотрицательные числа, а / (*)— функция одного аргумента.

1. Если |/ (х)\ <3 а, тогда, по определению абсолютной величины,

откуда следует, что данное неравенство эквивалентно системе неравенств:

— а < / (х)< а.

2. Если |/ (jc)| > ft, то, по определению абсолютной величины,

откуда следует, что данное неравенство эквивалентно совокупности неравенств

f(x) > b и / (х)< - Ь.

Проверка верности решения выполняется по общим правилам, т. е. состоит из двух пунктов: установления верности найденного предела и установления верности выбора знака > или <С.

Пусть, например, х >а — решение неравенства / (х) > >Ф (ж), тогда:

I. Число а (предел) найдено верно, если

/ (а) = Ф (а).

II. Знак неравенства взят верно, если для хх >а

/l*i)><P(*i).

Примеры.

1. Решить неравенство: \2х — 5| < 7.

По смыслу данного неравенства переходим к системе:

- 7 < 2* - 5 < 7,

откуда — 2 < 2х < 12 (после прибавления числа 5 к обеим частям неравенств), или — 1 < х < 6.

Проверка. 1. При х = — 1 |2 ( — 1) — 5| = 7 и при X = 6 |2 • 6 — 5| = 7.

II. При х{ = 0, так как — I < 0 < 6, |2 • 0 — 5| = = 5 < 7 (все верно).

Ответ: — 1<*<6.

2. Решить неравенство: \3х — 5| > 10.

По смыслу данного неравенства переходим к совокупности неравенств

откуда

Проверка.

II. При

Предельные значения для х и знак неравенства найдены верно.

Ответ:*<--и х>5.

3. Решить неравенство:

По смыслу данного неравенства

— 1 <х2 — 2х — 2< 1. Из неравенства х2 — 2х — 2 < 1, или х2 — 2х — 3 <3 О (где Xi = — 1 и х2 = 3 — корни трехчлена), следует, что — 1 <х<3.

Из неравенства х2 — 2х — 2 > —1, или х2 — 2х — 1 >0

Объединяя эти решения, находим решение системы.

Геометрическая иллюстрация к решению данного неравенства дана на чертеже 70.

Пусть fi (х) = \х2 — 2х — 2\ и /2 (х) = 1.

Требуется найти участки значений х, где /А (х) < /2 (*)» а на графиках — где точки графика функции fi (х) ниже прямой /2 (х) = 1 (см. черт. 70).

Черт. 70.

4. Решить неравенство:

Способ 1. По смыслу данного неравенства имеем совокупность двух неравенств:

Решая первое неравенство, получим:

откуда 1 < X < 4.

Решая второе неравенство, получим:

откуда 0<л;< 1.

Способ 2. По теореме об абсолютной величине дроби будем иметь:

а по свойству неравенств получим:

Рассмотрим это неравенство по промежуткам: (-со; -2]; [-2; 1) и (1; со).

Для X < — 2, — X —2> 2 — 2*, откуда х > 4, это не решение, так как х — 2.

Для — 2 < X < 1, а: + 2 > 2 — 2л:, откуда 3* >0 и х>0, значит, 0<л:<1.

Для * > 1, л: + 2 > 2jc — 2, откуда х < 4, значит, 1<л:<4.

Ответ: 0 < л: < 4, но # ^ 1.

Геометрическая иллюстрация.

Пусть у =

и у = 2. Требуется по графику указать участки оси х-ов, на которых точки графика функции выше прямой у = 2 (см. черт. 71).

Черт. 71.

5. Решить неравенство:

Будем рассматривать это неравенство по промежуткам: ( — со; 1]; [1; 2]; [2; 31; [3; 4 1; [4; 5] и [5; со).

Ответ:

6. Решить неравенство:

Прежде всего необходимо отметить, что х > 0. По смыслу абсолютной величины получим совокупность двух неравенств:

Откуда

Так как функция у = log^ — монотонно возрастающая, то X < 4 и X > 64.

Ответ: 0 < Jt < 4 и х>64.

2. Неравенства с двумя неизвестными.

Рассмотрим решения неравенств с двумя аргументами — неизвестными.

Решениями таких неравенств чаще всего являются плоские фигуры.

7. Решить неравенство \х — у| < 2.

По смыслу неравенства имеем:

или

Каждому значению х соответствует целый промежуток значений у.

Графическое представление решений данного неравенства.

Неравенству у < х +2 удовлетворяет пол у плоскость вниз от прямой у = X + 2, а неравенству у > X — 2— полуплоскость вверх от прямой у = х — 2. Следовательно, данному неравенству удовлетворяет множество точек полосы, заключенной между прямыми у = х + 2 и у = х — 2 (см. черт. 72).

Черт. 72.

8. Решить неравенство: у + \х — 2| < 3.

Графическое представление решения этого неравенства есть угол между прямыми у = ж + 1 и у= = — X + 5, внутренняя область его содержит начало координат (см. черт. 73).

Ответ. Множество систем чисел х и у из условий

Черт. 73.

9. Решить неравенство: |у| + |дг — 2|<3.

Ответ лучше выразить графически. Данному неравенству удовлетворяют точки внутренней области квадрата, ограниченного прямыми у = х + 1;у = 5 — х\ у = — х —1 и у = X — 5 (см. черт. 74).

10. Решить неравенство: |у — 2|> \х — 3|.

По определению абсолютной величины, имеем:

или

Данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные внутри вертикальных углов, образованных графиками функций у = 2 ± \ х — 3 I (см. черт. 75).

Черт. 74.

Черт. 75.

Упражнения.

32. Решить неравенства:

§ 6. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.

1. Решить систему уравнений:

Первое уравнение приводит к совокупности двух уравнений:

I х-У=1> или \У = х-\> (1)

I х — у= — 1, \у = х+ I. (2)

Анализ второго уравнения приводит к совокупности четырех уравнений по промежуткам определения.

По виду уравнения легко видно, что \х — 11 < 3 и |у — 21 < 3, откуда — 2 < # < 4 и — 1 < у < 5,

Для— 2 < X < 1 имеем:

(I) (II)

(III)

(IV)

Решению подлежат 8 систем линейных уравнений:

Система (1; I)

— это решение, так как содержится в промежутках определения.

Система (1; II) Система (1; III) Система (1; IV)

Система (2; I)

Система (2, II) Система (2, III)

Система (2, IV)

Итак, ответ:

Черт. 76.

Графическое решение данной системы.

а) Строим график первого уравнения \х—у| = 1, т. е. совокупность двух прямых у = ж ± 1.

б) Строим график второго уравнения, т. е. в промежутках — 2 <] х < < 4 и —1 < у < 5 четыре уравнения: х + у =0; у—лг=4; X—у=2 и лг-f-y=6. Получится квадрат.

в) Находим координаты пересечения квадрата с двумя параллельными прямыми (см. черт. 76). Графическое решение подтверждает решение аналитическое.

Примечание. Уравнение вида \ х — а \ ± \ у — b \ = с можно представить как совокупность четырех уравнений с условиями, наложенными на неизвестные, так:

если X > а и у > Ь% то х — а ±(у — Ь) = с; если X < а и у > Ь, то а — х ± (у— Ь) = с\ если X > а и у < Ь, то х — а ± (Ь — у) = с, если X < а и у < Ь, то а — х ± (Ь — у) — с. Группируя эти уравнения с другими уравнениями заданной системы, следует образовать совокупность систем, решение которых необходимо согласовать с ограничениями, наложенными на неизвестные при уравнениях написанной совокупности.

2. Решить систему неравенств:

По смыслу абсолютной величины будем иметь:

Следовательно, заданной системе удовлетворяет множество систем значений х и у из указанных промежутков. Графическим пред давлением этого решения будет множество точек плоского прямоугольника, ограниченного прямыми X + 1 = 0; X = 5; у = — 3; у = 5 (см. черт. 77).

Черт. 77.

3. Решить систему неравенств:

Рассмотрим графическое решение, а) Построим график функции

и укажем промежутки, где у <С 5 (если они есть).

(график см. на чертеже 78).

Черт. 78.

По графику

(1)

б) Построим график функции и укажем промежутки, где у < 4.

Множество значений х, удовлетворяющих неравенствам (1) и (2),

4. Решить систему неравенств:

По смыслу абсолютной величины

Решение находим графически (см. черт. 79). Множество точек параллелограмма ABCD, где

причем этому множеству принадлежат все точки внутренней области и контура этого параллелограмма.

Черт. 79.

Упражнения, 33. Решить системы:

§ 7. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ВОПРОСЫ, ПРИ РЕШЕНИИ КОТОРЫХ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ПОНЯТИЕ АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

При решении некоторых практических задач часто возникает необходимость рассматривать абсолютные значения исследуемых величин и, следовательно, требуются точные знания и умения производить действия с абсолютными величинами.

1. Задача. Смежные стороны четырехугольника равны 3 и 2. Две другие стороны вместе с одной диагональю образуют правильный треугольник. Найти наибольшее значение второй диагонали.

Пусть AB = 2, СВ = 3, АС= = CD = AD\ обозначим BD=yt угол ABC = X (см. черт. 80). причем 0 < X < 2л.

Черт. 80.

Будем стремиться выразить величину у через х.

Из А ABC найдем АС:

Из A BDK найдем у :

Из AADC найдем DE:

Из Л ABF найдем BF:

Тогда

Из Л ABF найдем AF:

Тогда Итак,

Из этого выражения видно, что утах будет при sin (л:—30°) = = 1, т. е. при X = 120° и утах = 5, причем х = 120° принадлежит

Из этого выражения видно, что утах будет при sin (х — — 60°) = 1, т. е. при X = 150° и утах^ 6,46, но х= 150° не принадлежит промежутку

и, значит, этот результат не является решением данной задачи (это легко проверить построением).

Ответ. Наибольшее значение диагонали равно 5.

2. Найти наименьшее значение функции

По определению арифметического корня, имеем:

Для исследования этой функции ее следует рассмотреть по промежуткам.

Для х< — 2 у = — X— 2 — X + 1-х + 3—X = = 2— Ах\ значит, на (—со; —2] у убывает и при х= —2

y«in = ю.

Для — 2 < je < 0 у = х + 2 — х+ \ —х + 3 — х = = 6 — 2х\ на [— 2; 0 J у убывает и при х = 0 ymin = 6.

Для 0 <х < 1 y = jc + 2 + jc+l — * + 3 — X = 6; на [0; 1 1 у — постоянная, равная 6.

Для 1<jc<3 у = х + 2 + х + х— 1+3 — х = = 2х + 4; на [1; 31 у возрастает и при х = 1, ymin =6.

Для X 5> 3 y = jc + 2 + x + x—1+ л:—3 = Ах—2; на [3; со) у возрастает и при х = 3 утт= Ю.

Ответ. Наименьшее значение данной функции равно 6, причем это значение функция принимает на отрезке [0; 1].

3. Примеры к понятию предела,

Для е = — найти такое N, чтобы для всех п > N 10*

имело место 4 — у < е.

Следовательно, решению подлежит неравенство:

После преобразования получим:

Для е = 0,0001 найти такое о, чтобы из \х — 4| <с ô следовало бы |у — 11 < е.

Следовательно, если взять ô = 0,00025. то выполняется

Показать, что для любого е > 0 существует такое M, что для всех |jc| > M выполняется неравенство

Подставляя вместо у, получим:

Например, если е = 0,00005, то M =

4. К вопросу об ограниченности функций.

Показать, что функция у = 3sin х — 2cos х является ограниченной. Для этого необходимо показать, что существует такое число M > 0, что 13 sin х — 2cos х\ < М.

По теореме 2 § 2 |3sin х — 2cos х\ <; |3sin х\ + |2cos х|<! < 3 + 2 = 5, так как |sin х\ < 1 и jcos х\ < 1.

Если несколько преобразовать выражение функции, то границу можно уточнить:

Что данная функция ограничена — доказано. Вопрос же о нахождении наименьшего числа M можно рассматривать дальше, введением вспомогательного угла.

5. Найти период функции у = [sin л:|. Пусть / — период, тогда |sin (х + /)| = |sin х\, отсюда sin (jc + 0 = ± lsin *1> или

Откуда равенство sin (х + t) = sin х дает / = 2&л, равенство sin (х + /) = sin (— х) дает / = я+2&л, т. е. наименьший и положительный период при k = 0 /0= я. (Это наглядно подтверждает график, черт. 35). 6. Доказать неравенство:

Левую часть данного неравенства домножим и разделим на сумму этих радикалов, тогда

что и требовалось, так как

7. Упростить выражение:

Если Если

Ответ.

8. Найти функцию, обратную функции у = kl + 2, где ж > 0, и установить область определения новой функции.

Для X ^ 0 у = X + 2, тогда х = у — 2, где у > 2, так как х ^ 0.

Функция у = x — 2, где jc 5^ 2, будет обратной данной, с областью определения х ^ 2, или |у| = * — 2, где у ^ 0.

Известно, что графики данной и обратной функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла.

Графическая иллюстрация данной задачи.

а) Строим график функции у= \х\ + 2 для х>0(см. черт. 81). б) Проводим биссектрису (прямую у = х) и строим график, симметричный построенному относительно этой биссектрисы.

Получим прямую у = X — 2 для X > 2 (см. черт. 81)

Черт. 81.

Упражнения.

34. Найти наименьшее и наибольшее значения функций:

35. а) Для у=- найти такое число ft, чтобы для всех \х\> k выполнялось неравенство |у — 2| < — .

Для г =--найти такое ô > 0, чтобы из \х — 11 < Ô следовало \у — 2| < е.

в) у = —— , где п — натуральное.

Найти такое, чтобы для всех п> N выполнялось

36. Показать, что следующие функции ограниченные.

37. Доказать неравенство:

38. Будут ли уравнения равносильны:

39. Найти функцию, обратную данной, и установить область определения.

40. Написать уравнение квадрата со стороной я, если диагонали его совпадают с осями координат.

ОТВЕТЫ.

1. хх = 5; х2 = 1.

Черт. 82.

2. —2 < X < 4.

Черт. 83.

3. — 7 < X < 3.

Черт. 84.

4. X > 6 и * < — 2.

Черт. 85.

5. ж > 4 и * < 2.

Черт. 86.

6. 1,999 < X < 2,001.

Черт. 87.

7* - 2 < X < 5.

Черт. 88.

8. Окружность с центром в начале координат и радиусом 2 (черт. 89).

9. Точки круга и окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 3 (черт. 90).

10. Две концентрические окружности с центром в начале координат и радиусами 1 и 5 (черт. 91).

11. Точки кольца между окружностями и точки этих окружностей, центры которых в начале координат, а радиусы равны 5 и 17 (черт. 92).

12. Точно то же, что и № 11, только радиусы окружностей равны 2 и 6 (черт. 93).

Черт. 89.

Черт. 90.

Черт. 91.

Черт. 92.

Черт. 93.

Черт. 94.

13. а) — 1 < X < 4, но X + 1. б) — 1 < X <3, но* ф 1, в) — 1 < X < 3, но X + 1 и 2.

14. а) 0. 2, 1, 3. б) 3 и 7. в) ± (- 1)* . - + - .

16. а) 0; ф2= 90е (черт. 94). б) <рх= 45°; qy= 135° (черт. 95) в) ф! = 45°; ф2 = 315° (черт. 96).

Черт. 95.

Черт. 96.

Черт. 97.

Черт. 98.

17. а) 3; 7 (черт. 97). б) 4; 6 (черт. 98). в) 0 и 26 (черт. 99).

Черт. 99.

18. а) Внутренняя область кольца, центр которого в начале координат, с радиусами 2 и 4.

б) Точки круга и окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, кроме точки (0; 0).

в) Полуплоскость, исходящая из медиатрисы точек гг и z2, содержащая точку zv и точки этой медиатрисы.

г) То же геометрическое место точек, но содержащее точку 72-

д) Точки окружности с центром в точке ( — 0,8; 9,6) и радиусом, равным 4.

19. z1== 3,4+12,8i и z2 = —4,6+12,8*.

20. (См. черт. 100.)

Черт. 100.

21. (См. черт. 101.)

Черт. 101.

22. (См. черт. 102).

Черт. 102 (а — в).

Черт. 102 (г — л).

23. (См. черт. 103.)

Черт. 103

24. (См. черт. 104.)

Черт. 104 (а — е).

Черт. 104 (ж — л).

25. (См. черт. 105.)

Черт. 105 (а — в).

Черт. 105 (г — з).

26. (См. черт. 106.)

Черт. 106 (а —. ж).

Черт. 106 (з, и).

27. (См. черт. 107.)

Черт. 107 (а —. к).

Черт. 107 (л — у).

28. (См. черт. 108.)

Черт. 108 (а — в).

Черт. 108 (г — л).

29. (См. черт. 109.)

Черт. 109 (а — в).

Черт. 109 (г—и).

30. а) 4 и — 2; б) 1 < х < 2; в) 2, 3 и 4; г)

и) внутренняя область квадрата A BCD, где А (0; — 2); В (3; 1); С (0; 4) и D (— 3; 1); к) заштрихованная область, см. черт. 110; л) заштрихованная область, см. черт. 111.

Черт. 110. Черт. 111.

33. а)

б) (1; 3); (3; 1); (-3; -1); (-1; -3);

д-з) см. заштрихованную часть на чертеже 112.

Черт. 112.

СОДЕРЖАНИЕ

Абсолютная величина в курсе средней школы.......3

§ I. Определения и основные теоремы..........5

$ 2. Простейшие операции над абсолютными величинами ... 11

§ 3, Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.........22

§ 4. Уравнения (в области действительных чисел)........52

5. Неравенства......................64

$ 6. Системы уравнений а неравенств............71

§ 7. Некоторые другие вопросы, при решении которых используется понятие абсолютной величины .......75

Ответы..........................82