Д.В. Фомин

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

(задачи олимпиад 1961—1993 гг.)

ПОЛИТЕХНИКА

ИЗДАТЕЛЬСТВО

Санкт-Петербург 1994

ББК 22.10 Ф76 УДК 52-8

Федеральная целевая программа книгоиздания России

Фомин Д. В.

Ф76 Санкт-Петербургские математические олимпиады. — СПб.: Политехника, 1994. — 309 с: ил.

Приведены материалы последних тридцати трех лет Ленинградских и Санкт-Петербургских математических олимпиад школьников. К большинству из предложенных 1500 задач имеются ответы, указания или полные решения.

Книга предназначена для учащихся 6—11-х классов, интересующихся математикой, а также для преподавателей, ведущих внеклассную работу по математике.

ISBN 5-7325-0363-3

ББК 22.10

ISBN 5-7325-0363-3

© Д. В. Фомин, 1994

60-летию Санкт-Петербургских (Ленинградских) математических олимпиад посвящается

ОТ АВТОРА

В 1965 году вышла в свет замечательная книга А. А. Лемана [92], посвященная Московским математическим олимпиадам. Помимо того что в ней были собраны все (!) олимпиады с 1935 по 1964 год, начиная с самой первой, в ней был также и замечательный вводный раздел, представляющий собой тематический сборник задач, использовавшихся на районных и некоторых других олимпиадах. Книга эта надолго стала главным источником задач для многочисленных энтузиастов, занимающихся внеклассной работой по математике. Однако не менее важен и исторический аспект этого события.

Во-первых, в сборнике фиксировался большой временной промежуток, на котором работа по отысканию вариантов олимпиад была уже проделана. Это дало возможность поклонникам олимпиадной математики следующих поколений, отталкиваясь от книги Лемана как первоисточника, продолжить работу по систематизации истории олимпиад.

Во-вторых, великолепная статья В. Болтянского и И. Яглома, выступающая в качестве предисловия к сборнику и содержащая массу фактического материала, очень художественно и точно отразила дух московских математических олимпиад.

Безусловно, книга, подобная сборнику Лемана, не является лишь околонаучным компилятивным трудом, а есть не что иное, как памятник человеческого мышления и интеллекта и заслуживает не меньшего уважения, чем памятник материальной истории.

Я искренне надеюсь, что через пару веков многих людей будет интересовать не только искусство или быт 20-го века, но и его интеллектуальная культура, к которой можно отнести и культуру математическую. Точно так же, как сейчас литературоведы подробно разбирают произведения Пушкина или Булгакова, так и в 2200 году, например, историки интеллектуальной культуры будут делать самые разнообразные выводы, изучая задачи олимпиад по математике или вступительных экзаменов в Ленинградский государственный университет (ЛГУ) периода 1950—1990 гг.

Блокада и трудные послевоенные годы не позволили издать в свое время сборник задач первых ленинградских олимпиад, которые, хоть и на год, но все же старше московских. Как след-

ствие, в архиве жюри Ленинградских городских олимпиад сейчас полностью отсутствуют варианты олимпиад довоенного времени (1934—41 гг.), и надежда на то, что удастся более или менее полно восстановить их, чрезвычайно мала. Олимпиады первых послевоенных лет (1944—57 гг.) восстановлены также не полностью, хотя большинство их вариантов известно. Варианты олимпиад 1961—93 гг. представлены в этой книге, которая, как я надеюсь, будет интересна и полезна всем, кто любит математику.

Сборник открывается историческим обзором, содержащим в основном информативный и методический материал. Многие факты почерпнуты из воспоминаний членов жюри и участников олимпиад, и всем им — моя искренняя благодарность. Я буду крайне признателен за все сообщения, проливающие новый свет на историю Ленинградских математических олимпиад, равно как и за отзывы об этом сборнике.

В заключение я хотел бы поблагодарить всех, чьей помощью я воспользовался при восстановлении вариантов многих олимпиад прошлых лет. Свои архивы в мое распоряжение любезно предоставили: Л. П. Авотина, С. М. Ананьевский, М. И. Башмаков, О. Н. Бондарева, Т. А. Братусь, Ю. Д. Бураго, С. С. Валландер, И. Я. Веребейчик, С. А. Гольдберг, М. Н. Гусаров, В. А. Залгаллер, О. А. Иванов, Ю. И. Ионин, К. П. Кохась, Л. Д. Курляндчик, Б. А. Лифшиц, А. Р. Майзелис, А. С. Меркурьев, Н. М. Митрофанова, Н. Ю. Нецветаев, А. И. Плоткин, И. С. Рубанов, Н. А. Соколина, С. В. Фомин, В. М. Харламов.

При подготовке рукописи я также воспользовался материалами книг, перечисленных в списке литературы. Особо нужно отметить книги [2—43].

Я также хочу выразить свою благодарность С. А. Генкину, И. В. Итенбергу, А. Л. Кириченко, В. М. Гольховому и И. А. Чистякову за поддержку, оказанную моему замыслу. Некоторые решения задач были любезно сообщены мне Ф. Л. Назаровым и М. Н. Гусаровым.

Заранее благодарю всех, кто сообщит любые сведения о Ленинградских математических олимпиадах. Материалы присылать по адресу: 198097, Санкт-Петербург, а/я 116.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Ленинградская городская математическая олимпиада не является старейшей в мире, хотя не исключено, что она — самая старая городская олимпиада. Впервые она была проведена в 1934 году в основном благодаря усилиям Б. Н. Делоне, О. К. Житомирского, В. А. Тартаковского, Д. К. Фаддеева, Г. М. Фихтенгольца. Однако олимпиада возникла не на пустом месте. В 1933 году была создана «Научная станция для одаренных школьников», располагавшаяся в школе на набережной Фонтанки. Первая заведующая этой станции О. А. Белоглавек также приняла большое участие в организации первых олимпиад.

Математическая олимпиада 1934 года очень сильно отличалась от ее нынешнего варианта. В ней участвовали школьники только старших классов. Для них было организовано несколько математических лекций, которые читались профессорами ЛГУ в промежутке между вторым и третьим турами олимпиады. Поскольку в то время многие юноши и девушки учились на рабфаках, то первый тур олимпиады был организован следующим образом: был составлен список задач, который разослали по школам и рабфакам города. Участие в этом туре могли принять все желающие учащиеся старших классов и рабфаковцы. Затем лучшие [их, по воспоминаниям М. Л. Александровой (Георг) [46], было около 600] приняли участие во втором туре олимпиады (он был письменным, но очным). Его победители (около 100 человек) были приглашены на третий тур, который был уже устным. После окончания третьего тура в газете «Вечерний Ленинград» был опубликован список победителей первой в СССР городской олимпиады по математике: Ананов (23-я школа Центрального р-на), Богомолов и Валландер (2-я школа Нарвского р-на), Георг и Кондрашов (рабфак Университета), Кизевальтер и Таганцев (рабфак Гидротехнического ин-та), Касаткин (рабфак Электротехнического ин-та), Минцберг (15-я школа Смольнинского р-на), Оловянишников (завод «Красный химик»), Санов (7-я школа Володарского р-на). Кроме этих 11 победителей еще 10 человек были премированы. В качестве наград победителям олимпиады были вручены портфели с металлической планкой и гравировкой «Победителю первой математической олимпиады» и книги по математике.

Постепенно характер олимпиады и сама технология ее проведения изменялись. Так, в 1939 году появилась олимпиада учащихся 9-х классов, а в 1940 году в олимпиаде участвовали и восьмиклассники. Примерно в то же время появилась и олимпиада по арифметике для 6-х классов — первое упоминание о такой олимпиаде относится к 1936 году. При этом долгое время олимпиада для семиклассников не проводилась — во вся-

ком случае, такой вывод можно сделать из наличия олимпиадных книжек, о которых речь еще впереди.

Наконец в 1969 году городская математическая олимпиада стала проводиться и среди пятиклассников. С тех пор ежегодно около десяти тысяч школьников 5—10-х классов (в новой нумерации 6—11-х классов) принимают участие в городской олимпиаде по математике.

Изменился не только набор классов, изменился и способ непосредственной организации олимпиады. В самые первые годы проведения олимпиад задачи предлагались сразу и единым списком. Первые два решения выслушивали у участников «всего лишь» обычные преподаватели ЛГУ — доценты и ассистенты, а далее за дело принимались профессора. Кроме перечисленных уже выше членов оргкомитета, среди них были В. А. Кречмар, В. И. Смирнов, Я. С. Безикович, А. Г. Пинскер, И. П. Натансон.

После войны система проведения олимпиады были видоизменена. Теперь олимпиада каждого класса подразделялась на несколько вариантов, которые предлагали участникам. Таких вариантов могло быть три, четыре или шесть. На олимпиаде по арифметике 1953 года их количество достигло рекордной отметки: было предложено 12 вариантов. Так как в олимпиаде участвовало теперь гораздо больше школьников, основная часть нагрузки была переложена на студентов математико-механического факультета ЛГУ, которыми руководили более опытные члены жюри. Участникам олимпиады, которые решили все предварительные задачи, предлагались дополнительные, более каверзные, вопросы. Поскольку задачи вариантов были очень похожи на школьные, то вопросы дополнительного списка подбирались обычно так, чтобы выделить участников, отличающихся логикой, сообразительностью и фантазией.

Но в конце 50-х годов вариантная система была отвергнута, поскольку необходимость готовить несколько одинаковых по сложности вариантов не давала возможности жюри включать в олимпиаду яркие нестандартные задачи. С 1957 года школьникам стали предлагаться шесть задач, обычно делившиеся на «довыводные», или предварительные задачи (их всегда было четыре), и «выводные», более сложные задачи, которые предлагались только тем из участников, кто решил определенное число предварительных задач.

В 1961 году система математических олимпиад расширяется — появилась Всероссийская математическая олимпиада, а в 1967 году проводится Всесоюзная олимпиада по математике. В связи с этим возникает необходимость определения команды Ленинграда для участия в этих олимпиадах. В качестве отборочного соревнования появляется заключительный тур Ленинградской городской олимпиады (или просто «отбор»), который с 1962 по 1983 год и с 1991 года проводился как

соревнование, не включенное в рамки ленинградской олимпиады. Награждение дипломами осуществлялось по результатам городской олимпиады; на отборе лишь определялась команда на Всесоюзную олимпиаду. Разумеется, на этот тур приглашались лишь те, кто завоевал диплом и показал высокий результат на городской олимпиаде.

В 1984 году статус отборочного тура был изменен: он был включен в Ленинградскую городскую олимпиаду как ее последний четвертый тур. На этом заключительном туре олимпиады одновременно проводилось награждение дипломами Ленинградской городской математической олимпиады и определялась команда Ленинграда для участия во Всесоюзной олимпиаде.

Говоря об олимпиадах 30-х годов, стоит упомянуть о трех интересных правилах, которые были введены в систему Ленинградских городских олимпиад того времени. Согласно первому из них количество первых дипломов определялось до олимпиады— их должно было быть 10. Однако это правило было вскоре отменено. Второе правило запрещало победителям участвовать в олимпиадах последующих лет. Таким образом жюри хотело избавиться от возможного (видимо, пугавшего членов жюри) олимпиадного профессионализма. Но уже в 1937 году этот запрет был нарушен. Ученик кружка Ленинградского дворца пионеров Петр Костелянец участвовал в олимпиаде, несмотря на свою победу на олимпиаде 1936 года. Жюри просто проигнорировало этот факт. Однако это повторилось еще раз в 1939 году, когда победитель олимпиады 1938 года Георгий Епифанов (впоследствии кандидат физико-математических наук) совершил тот же «проступок», после чего и это правило было отменено.

Третье правило касалось определения результатов участников. На некоторых первых олимпиадах была введена очковая система, т. е. каждая задача оценивалась жюри определенным количеством очков [причем после (!) олимпиады], и заработанные школьниками очки складывались. После войны это правило также уже не действовало, результат участника определялся только количеством решенных им задач.

Итак, многое менялось в структуре олимпиады, в системе ее проведения, не говоря уже о характере самих задач. Неизменным оставалось только одно, определяющее для Ленинградской математической олимпиады, свойство: она всегда была устной.

Традиция устной олимпиады — сугубо ленинградский феномен. Дело в том, что в Ленинграде была естественным образом перенесена на олимпиаду уже существовавшая к тому времени система работы в математических кружках. Занятия в кружках проводились, конечно, устно (лекции, доклады, решение задач), что и привело к идее проведения олимпиады в аналогичной форме. Надо сказать, что система кружков и школьных факуль-

тативов оказала огромное влияние на все математическое образование в Ленинграде и, в частности, на ленинградскую олимпиаду. Несколько слов о том, как это происходило.

По мере накопления опыта работы кружков стали определяться очертания олимпиадной математики. К 1941 году количество олимпиадных задач достигло такого уровня, что в Ленинграде была издана книга, посвященная деятельности математических кружков [1]. Судя по каталогам Центральной публичной библиотеки и Библиотеки АН СССР, это первая книга в бывшем Советском Союзе по этой тематике.

В 1946 году вышел сборник тренировочных задач для 9— 10-х классов [2], и затем в 1949—57 гг. ежегодное издание аналогичных книжек [3—18] стало традицией, весьма полезной для ленинградских школьников, к сожалению, прервавшейся в 1958 году.

Не случайно, что именно в конце 50-х годов коренным образом изменился стиль олимпиад. На это, безусловно, повлияло то, что старые «околошкольные» темы были практически исчерпаны и стали широко известны школьникам, занимавшимся в кружках и на факультативах, не в последнюю очередь благодаря изданию тренировочных материалов олимпиад и кружковой работе. В отличие от московских олимпиад, которые не претерпели такого резкого изменения, в Ленинграде стиль олимпиадной математики поменялся на буквально противоположный всего за три-четыре года: с 1958-го по 1962-й.

В этот же отрезок времени вместилось несколько событий, изменивших ситуацию с математическим образованием в городе.

Во-первых, сильно обновился состав жюри: из него ушли многие из тех, кто активно участвовал в проведении олимпиад в послевоенные годы.

Во-вторых, в 1961 году появилась Всероссийская олимпиада, а как следствие, и отбор на нее.

В-третьих, в 1962—64 гг. в Ленинграде появились три физико-математические школы: 30-я, 239-я и 45-я школа-интернат при ЛГУ. На протяжении почти 30 лет именно они во многом определяли состояние дел с обучением одаренных школьников математике и физике. Больше половины студентов-ленинградцев, обучавшихся на математико-механическом факультете ЛГУ в последние годы, пришли туда из этих школ. Почти все ленинградские математики, окончившие школу после 1963 года, являются выпускниками этой «большой тройки». Однако подход к обучению одаренных ребят в этих школах был разный. В то время как многие из учеников 239-й и в меньшей степени 30-й школ получали свои основные знания в олимпиадных кружках, в физико-математической школе при ЛГУ кружки такого рода практически не функционировали. Упор делался на более высокий уровень преподавания математики непосредст-

венно на уроках и на систему факультативов, посвященных различным конкретным разделам высшей математики: алгебре, теории чисел, геометрии, топологии.

В-четвертых, именно в это время (в 1962 году) была создана еще одна сеть кружков — юношеские математические школы при ЛГУ и при ЛГПИ им. А. И. Герцена. Хотя в основном это были кружки менее элитарного уровня и в них занимались ребята обычно не столь одаренные, как в кружках Дворца пионеров или в физико-математических школах, но их было довольно много — в 70-х годах их количество достигло 20—25, и многие будущие математики, не имевшие громких олимпиадных успехов, получили свою первоначальную подготовку по «высокой математике» именно там.

Все эти причины, а также наличие достаточно большого числа энтузиастов из числа студентов и преподавателей математико-механического факультета ЛГУ привели к тому, что к началу 70-х годов в Ленинграде была создана уникальная в своем роде система работы со способными школьниками. Те из них, кто имел склонность к математике «спортивного стиля», могли заниматься в кружках и участвовать в олимпиадах; те же, кто был более склонен к медленной исследовательской работе, привлекались к занятиям в факультативах, шли учиться в специализированные школы. Параллельное функционирование двух различных систем: кружки и физматшколы — шло обеим сторонам только на пользу, ибо они, безусловно, обогащали друг друга.

Естественная конкуренция между школами «большой тройки» выливалась в основном в формы математических соревнований. В 1967—88 гг. было проведено более дюжины матбоев между командами этих школ, в том числе и шесть тройных. Впрочем, была и еще одна арена для единоборства — сама Ленинградская городская олимпиада. Количество и качество дипломов ежегодно подсчитывалось и сравнивалось не только в самих школах, но и на официальном уровне — ежегодно оргкомитет присуждал переходящий кубок по итогам городской олимпиады. Были годы, когда преимущество одной из школ становилось очевидным, и такие ситуации становились предметом разговоров на несколько месяцев. Так, в 1978 году ученики 45-й школы-интерната завоевали все дипломы первой степени в 8, 9, 10-х классах, а в 1982, 1985 и 1986 годах ребята из 239-й школы унесли с собой все дипломы первой степени за 9-й и 10-й классы.

Однако в эти же годы наметилась тенденция разрушения этой стройной системы. Чрезмерный упор на спортивную сторону дела, поощрявшийся, безусловно, и в школах, и в кружках, постепенно привел к тому, что Ленинград стал колыбелью еще одного уникального явления: математического спортивного профессионализма. В усугублении ситуации сыграл роль и распад

«большой тройки»: 30-я школа переехала в труднодоступное место в Гавани, 45-й интернат был буквально выброшен из города в Старый Петергоф. Осталась на месте лишь великолепно расположенная 239-я школа, но это, как ни странно, оказало ей не самую добрую услугу. Почти все математически одаренные школьники устремились туда, но из школы ушло несколько прекрасных учителей, в то время как очень активно работал... туристский клуб и процветала комсомольская работа. В результате Ленинград оказался на другом полюсе шкалы математического образования. Вся работа сосредоточилась в небольшом количестве кружков, в которых зачастую бывает трудно выделить индивидуальность каждого учащегося и помочь ему развить свои способности. На это у преподавателя кружка, вынужденного восполнять пробелы, допущенные школой, просто не хватает времени. К тому же, поскольку мотивация занятий математикой в кружке построена на достижении олимпиадных успехов, ребята, не умеющие быстро соображать или не любящие решать «неудобные» задачи, могут выпасть из общего образовательного процесса и разочароваться в математике вообще.

Однако система кружков в Ленинграде имеет один большой плюс: если школьник любит математику и обладает какими-то способностями, то у него есть возможность развить в себе эти задатки, он почти наверняка попадет в орбиту математического просвещения, так как система привлечения одаренных ребят в математику разработана очень основательно. В городе имеется достаточное количество математических кружков и факультативов, в которых школьники, интересующиеся математикой, могут сделать первые (и не только первые) шаги в настоящую науку. Одно из первых мест в этой системе, безусловно, занимают математические кружки Дворца пионеров, переименованного недавно во Дворец творчества юных. За 60 лет своего существования кружковая система Дворца пионеров накопила огромный опыт, в его кружках преподавали многие ленинградские математики: до войны (1935—40 гг.) —М. А. Вержбинский, Г. Е. Цветков, М. К. Гавурин, Д. И. Фукс-Рабинович, С. П. Оловянишников; в первые послевоенные годы (1945— 50 гг.)—З. И. Боревич, В. А. Залгаллер, А. С. Соколин.

Затем система расширяется, во Дворце одновременно функционируют несколько кружков. Их ведут (примерно 1950— 60 гг.) И. Я. Бакельман, Е. Н. Сокирянская, М. З. Соломяк, Г. В. Епифанов, А. А. Зингер, Н. М. Митрофанова, Ю. Д. Бураго, А. В. Яковлев, Б. Б Лурье, О. Н. Бондарева.

В 60-х годах помимо кружков Дворца пионеров работали кружки при математико-механическом факультете ЛГУ. Некоторые преподаватели вели кружки в обеих конкурирующих фирмах. Среди энтузиастов, работавших со школьниками в те годы, можно назвать М. Л. Громова, А. И. Плоткина, Ю. А. Да-

выдова, Б. А. Пламеневского, С. А. Виноградова, А. В. Скитовича, С. Е. Козлова, С. С. Валландера, Ю. В. Матиясевича, И. М. Денискину, Б. А. Лифшица, И. Б. Френкеля, И. Я. Веребейчика.

Количество математических кружков в Ленинграде на протяжении следующего десятилетия было столь велико, что назвать всех преподавателей тех лет просто невозможно. Упомянем лишь некоторых. Это А. Л. Лихтарников, В. П. Федотов, B. В. Некруткин, В. Я. Гершкович, И. Е. Молочников, И. С. Рубанов, О. А. Иванов, О. Я. Виро, Т. А. Братусь, А. Д. Яценко, C. А. Генкин, В. Е. Козырев, С. Е. Рукшин, М. Н. Гусаров. Затем число кружков понемногу стало уменьшаться, и кроме кружков Дворца пионеров в течение 1980—90 гг. в Ленинграде ежегодно проводили свои занятия не больше 10—15 кружков. Во Дворце пионеров преподавали С. Е. Рукшин, А. С. Голованов, А. В. Богомольная, Е. В. Абакумов. Сильные кружки Юношеской математической школы при ЛГУ вели С. А. Генкин, А. А. Боричев, Д. Ю. Бураго, Д. В. Фомин, И. В. Итенберг, И. А. Панин, А. Л. Смирнов, А. Ю. Бураго, А. Л. Кириченко, К. П. Кохась, И. Б. Жуков.

Конечно же, невозможно перечислить всех энтузиастов, внесших свой вклад в благородное дело математического просвещения. Поэтому здесь отмечены лишь основные вехи и названы далеко не все те, кто достоин упоминания, — не в силу личных пристрастий автора, но потому, что многие имена уже забыты, а другие не попали в круг его зрения.

ОЛИМПИАДА ИЗНУТРИ

Ленинградская городская математическая олимпиада проводится в феврале—марте — во всяком случае так скажет вам любой школьник, хоть раз участвовавший в ней. Однако для членов жюри и оргкомитета олимпиада начинается в октябре— ноябре, когда принимается за работу жюри, а оргкомитет организует собрание районных методистов, на которых возлагается ответственность за проведение второго тура олимпиады в 22 районах Ленинграда. К декабрю жюри создает варианты районного тура, который традиционно проводится в начале февраля, а затем собирается в конце января, когда начинается наиболее сложная работа — подготовка городской олимпиады (третьего и четвертого туров). Обычно третий тур проводится в конце февраля для младших классов и в начале марта — для старших классов. Четвертый тур (отборочный) проводится обычно в середине марта.

На протяжении вот уже многих лет городская олимпиада младших классов проводится в помещении Ленинградского педагогического института (ныне Российского педагогического университета) имени А. И. Герцена. В ней участвуют около 300—350 ребят, учащихся 6, 7, 8-х классов ленинградских школ. Нередки и случаи участия пятиклассников; ведь критерий допуска на олимпиаду — «всего лишь» хороший результат на районном туре. Есть, однако, одна категория участников, для которых не обязательно даже участие во втором туре. Это так называемые «персональщики», т. е. дипломанты прошлогодней олимпиады. Достаточно школьнику получить на городской олимпиаде 6-х или 7-х классов диплом первой, второй или третьей степени, и на следующий год он будет персонально приглашен на городской тур, минуя районную олимпиаду.

Таким образом, способные ребята могут не участвовать во втором туре олимпиады, задачи которого в основном не столь интересны и оригинальны, как задачи последующих туров. Некоторые заядлые олимпиадники, получив диплом на первой своей олимпиаде, после этого ни разу не оказываются перед необходимостью пройти через районный тур. Нужно, впрочем, упомянуть о том, что в старших классах персональные приглашения раздаются менее щедро — для того чтобы спокойно ждать городской олимпиады следующего года, нужно получить диплом первой или второй степени.

Войдя в здание института, ребята расходятся по аудиториям, на которых вывешены листки с заглавными буквами фамилий. В каждой из этих аудиторий на доске написаны условия четырех первых задач олимпиады — это предварительные, или «довыводные», задачи. Весь же вариант состоит из шести или семи задач, и с ним знакомятся только те участники, которые

попадают в «выводную» аудиторию. В ней они узнают условия двух (или трех) выводных задач, которые в среднем сложнее, чем задачи довыводные. Но для того чтобы оказаться в «выводе», необходимо решить определенное число довыводных задач — обычно три.

Это разделение полного варианта на две части также является чисто ленинградской традицией и связано со спецификой устной олимпиады. Основные достоинства системы довывод — вывод состоят в том, что, во-первых, в начале олимпиады участники концентрируются на меньшем количестве более простых задач и, во-вторых, благодаря разделению олимпиады на две части работа жюри становится существенно более эффективной.

Необходимо также сказать и о том, что в довыводных аудиториях олимпиада кончается на час раньше, чем в выводных. Общее время, которое отводится на решение задач — 3,5— 4 часа.

Теперь объясним, что же представляет собой устная олимпиада.

Когда школьник, решавший задачу в своей тетради, приходит к выводу, что одна из задач списка им решена, он поднимает руку, и один из проверяющих (кроме постоянных членов жюри на олимпиаду в качестве проверяющих приглашаются многие студенты и выпускники математико-механического факультета ЛГУ, которые помогают активу жюри в проведении олимпиады) выходит вместе со школьником в коридор или в одну из свободных аудиторий, где и выслушивает решение. Никакой необходимости обязательно записывать это решение в тетради у участника нет, хотя он может это сделать для собственного удобства. В течение беседы проверяющий может задавать вопросы или пытаться как-то опровергнуть решение. Если при проверке обнаруживается ошибка, которую школьник не может исправить прямо тут же, подумав некоторое разумное время (около минуты), то на этом диалог заканчивается, участник отправляется обратно на свое место, а в соответствующем месте протокола появляется знак «минус». Это означает, что попытка изложить правильное решение не удалась. Каждому участнику предоставляются по три попытки на каждую задачу. После третьей неудачи в протоколе появляется третий минус, и школьник лишается права излагать решение этой задачи до конца олимпиады.

Но если очередная попытка удалась и проверяющий счел, что представлено верное решение, то он ставит в протоколе знак «плюс». Таким образом, в клетках протокола могут стоять следующие отметки:

+ , ± (первая попытка не удалась, зато вторая была успешной);

Ошибки в оценке решений членами жюри очень редки, но возможны. Если член жюри, поставивший плюс, обдумывая

представленное ему решение, обнаружит в нем серьезный пробел или другой проверяющий, заинтересовавшись положительным результатом в протоколе, решит выяснить, как же была решена задача, и найдет ошибку, то оценка в протоколе исправляется и участник оповещается об этом. Но подобное изменение разрешено только во время олимпиады. Если промах члена жюри вскрылся после окончания олимпиады, это не влияет на запись в протоколе. Ведь теоретически возможно, что решение у школьника было вообще говоря, верным, и если бы проверявший указал бы ему на ошибку, то она могла быть исправлена.

Для того чтобы избегать подобных неприятных казусов и чтобы старшие по классам (специально назначаемые члены жюри, ведающие организацией олимпиады в конкретной параллели) могли контролировать ситуацию, каждый плюс в протоколе помечается инициалами членов жюри, принявших решение. Если старший по классу видит, что в протоколе появился плюс за решение сложной задачи, то он может проверить эту положительную оценку, допросив членов жюри, принявших решение. Например, в 1981 году были перепроверены все решения задачи 81.35 в 10-м классе. Проверка оказалась совсем не лишней: было обнаружено несколько неверных переборных решений, а после окончания олимпиады выяснилось, что множество участников, решивших эту задачу, совпало с множеством участников, получивших первую премию.

Итак, можно сказать, что система устной олимпиады имеет следующие положительные стороны:

непосредственное общение школьников с членами жюри и обучение правильному математическому языку — особенно это важно в младших классах;

возможность исправить неверное решение или даже полностью изменить принцип решения задачи;

время участников не тратится на запись решения и тщательное обоснование всех используемых фактов;

у жюри есть возможность очень быстро подвести итоги олимпиады и определить призеров.

Недостаток такой системы состоит в том, что ошибки принимающих, допущенные ими в ходе олимпиады и не обнаруженные до ее конца, исправить уже нельзя. Неоднократно после олимпиады выяснялось, что проверяющие не нашли ошибки в представленном им решении. Ничего удивительного в этом нет, так как работа проверяющих на олимпиаде очень непроста и требует особой квалификации. Каждое рассказываемое решение нужно тщательно изучить, чтобы выяснить, нет ли в нем «липы» (так на олимпиадном жаргоне называется закамуфлированная ошибка в решении). Если «липа» обнаружена, то школьнику нужно объяснить его ошибку, причем по возможности необходимо сделать это так, чтобы не подсказать ему прямого пути ее исправления. Таким образом, проверяющий дол-

жен знать как стандартные ошибки, которые возникают при решении задач соответствующей параллели, так и способ демонстрации этих ошибок. Обычно участнику предъявляется контрпример к его неверному утверждению.

Олимпиада старших классов проходит в здании математико-механического факультета ЛГУ в Петродворце (до переезда естественно-научных факультетов в пригород олимпиада проводилась в здании старого математико-механического факультета, которое располагается на 10-й линии Васильевского острова). Существенных отличий в стиле проведения олимпиад старших и младших классов нет, хотя проверяющие знают, что со старшеклассниками им надо быть настороже — ведь здесь они имеют дело в основном с профессионалами-олимпиадниками, многие из которых могут придумывать очень хитрые «липы». Олимпиада длится 4 часа.

Что касается структуры олимпиады старших классов, то до 1984 года она была совершенно такой же, как и у малышей. Но в 1984—90-х гг. было проведено нечто вроде эксперимента по раздельному проведению олимпиады для физико-математических и обычных (не специализированных) школ — правда, только в 9-х и 10-х классах. Так, в 1984—88 гг. ученики специализированных школ не участвовали в третьем туре — для них проводилась специальная районная олимпиада. Она была, конечно, письменной, и ее победители (25—30 человек от параллели) проходили прямо на заключительный тур.

Школьники из обычных школ участвовали при этом в устном туре городской олимпиады, задачи которого составлялись так, чтобы отобрать несколько самых сильных ребят (обычно не более пяти-шести человек в каждом классе), попадавших после этого на отбор.

В 1989—90 гг. районная олимпиада физико-математических школ не проводилась, а вместо нее было организована городская олимпиада, на которую ребята из этих школ попадали после обычной районной олимпиады. Городская олимпиада физико-математических школ также была письменной и проводилась одновременно с устным туром для всех остальных участников.

Основной целью жюри при всех этих перекройках структуры олимпиады оставалось стремление дать возможность как можно большему числу ребят из обычных школ пройти через устную олимпиаду и через общение с жюри, в процессе которого им предоставлялась бы возможность если не повысить свою математическую культуру, то по крайней мере улучшить математический язык.

В 1991 году жюри, однако, вернулось к старой «дореформенной» системе проведения олимпиады, ликвидировав олимпиаду физико-математических школ и выведя отборочный тур за рамки официальной структуры городской олимпиады. Это было вы-

звано, во-первых, наличием больших технических трудностей, связанных с проведением олимпиады «на два фронта», а во-вторых, тем, что жюри не смогло добиться реализации тех надежд, которые возлагались на систему раздельного проведения в плане организации более популярной олимпиады для школьников обычных школ. В Ленинграде появилось множество математических классов, школ, работающих по системе школа—вуз, разнообразных лицеев и гимназий; понятие «физико-математическая школа» стало существенно более расплывчатым. Кроме того, жюри пришло к выводу о нецелесообразности разделения олимпиады по формальному признаку учебы в определенной школе.

Заключительный тур (или отбор) —сравнительно небольшая олимпиада, в ней участвует не более 50 школьников (в 1984— 90 гг., когда отбор одновременно являлся и четвертым туром городской олимпиады, в нем принимали участие около 100 учащихся). Поскольку ошибки проверяющих на отборе крайне нежелательны (хотя без них не обходится), то члены жюри работают парами. Старшие по классам, в чьи обязанности входит помимо чисто организационной работы в начале олимпиады также и контроль за простановкой положительных оценок, знают достаточно точно, сколь сложна та или иная задача их варианта, и потому в сомнительных ситуациях обеспечивают дополнительную проверку решений.

На отборе нет деления варианта на «довыводные» и «выводные» задачи. Все они (а их, за редкими исключениями, всегда восемь) предлагаются участникам сразу — каждому школьнику вручается копия варианта. Время решения задач — 5 часов.

В первые двадцать лет своего существования отборы представляли собой единую для всех трех параллелей старших классов олимпиаду, только в 1975 году задачи 8-го класса отличались от задач 9—10-х классов. Однако реформа 1984 года не обошла стороной и этот аспект. Начиная с 1984 года, варианты отбора в трех старших классах отличаются друг от друга. Такое изменение связано со структурой выбора команды Ленинграда: по положению жюри обязано заявить для участия только одного школьника в каждой параллели. Поскольку трудно составить вариант олимпиады, годный одинаково и для отбора одного восьмиклассника, и для отбора одного десятиклассника, жюри перешло на систему разделения вариантов.

Однако и это не исключило всех спорных случаев. Так в 1986 году жюри Ленинградской олимпиады решило не посылать на Всесоюзную олимпиаду в Ульяновск десятиклассника, поскольку все участники олимпиады старших классов, не имевшие персональных приглашений, показали не очень высокие результаты. В Ульяновск поехали победители отборочного тура олимпиады по 8-му классу — семиклассник из 536 школы Сережа Иванов и занявший второе место восьмиклассник 533-й

школы Сережа Берлов. Оба они впоследствии стали участниками Международной математической олимпиады, причем младший Сергей стал первым советским школьником, участвовавшим в трех Международных олимпиадах по математике: на Кубе, в Австралии и в ФРГ, где получил три первые премии. Через два года после него этот рекорд повторила ученица 239-й школы Женя Малинникова, завоевавшая, кроме того, еще и четыре диплома первой степени на Всесоюзных олимпиадах.

Подведение итогов проводится следующим образом. Старшие по классам непосредственно после окончания олимпиады собирают жюри классов на совещание и решают вопрос о награждении участников — это касается третьего тура, но не отбора, где все решается на общем собрании жюри.

В отличие от очковой системы, когда задача может быть решена «нечисто», или наполовину, и участники часто получают очки лишь за какие-то высказанные соображения по решению, в системе устной олимпиады нет такой тонкой градации и единственным критерием для награждения служит количество решенных задач Это зачастую создает трудности с дифференцировкой участников, особенно на заключительном этапе — при отборе команды на Всесоюзную (теперь Всероссийскую) олимпиаду. Количество «минусов», т. е. неверных подходов, сделанных участником, не учитывается. Такая схема подведения итогов исключает случаи, подобные истории Эрика Балаша, описанной Леманом [92]; школьник, решивший одну задачу, не прошел бы даже в «вывод». Стоит, впрочем, заметить, что задача, о которой шла речь (делимость чисел Фибоначчи), скорее всего просто не оказалась бы в списке «довыводных».

Но не стоит думать, что яркие нестандартные выступления остаются непоощренными. На олимпиаде младших классов 1989 года семиклассник Дима Карпов был единственным, кто решил задачу 89.18, и, несмотря на то, что он решил на задачу меньше, чем это было необходимо для получения диплома второй степени, жюри решило поднять его результат до нужного уровня.

В истории Ленинградских математических олимпиад бывали даже случаи, когда жюри вынуждено было голосованием определять победителя. Так, например, в 1987 году, когда у двух кандидатов в команду Левы Новика и Беллы Шефтель был абсолютно одинаковый результат на всех турах, включая также и дипломы, полученные ими в предыдущем году, в чрезвычайно нервной обстановке (предлагалось даже бросить жребий) жюри приняло «соломоново решение» и включило в команду... Машу Рогинскую, имевшую, казалось бы, более низкий результат по сумме двух последних туров. Вся сложность ситуации заключалась в том, что в 1987 году на отборочном туре была предложена задача с пунктами (87.44), и основные разногласия возникли именно по поводу способа учета этих пунктов — как

отдельных задач или же как частей одной задачи. Совершенно бесплодный спор длился три часа, после чего было проведено голосование, также не увенчавшееся успехом: результат был 4:4. Наконец решение было принято председателем жюри. И Маша не подвела: она стала победительницей нескольких всесоюзных олимпиад, получив диплом первой степени, два диплома второй степени, и вошла в команду СССР на Международной математической олимпиаде 1989 года в ФРГ, где получила вторую премию. Впрочем, и ее неудачливых конкурентов не обошел олимпиадный успех: Белла завоевала третью премию на Всесоюзной математической олимпиаде 1989 года, а Лева получил диплом первой степени на Всесоюзной олимпиаде по информатике и вторую премию на 1-й Международной олимпиаде по информатике в Болгарии.

Другой казус произошел в 1979 году, когда на олимпиаде 9-х классов все первые и вторые премии были завоеваны учениками 45-й школы-интерната. По Положению о Всесоюзной олимпиаде, действующему с 1975 года, школа-интернат при ЛГУ имела свою отдельную команду на заключительном туре всесоюзной олимпиады и потому ее ученики не могли быть включены в команду Ленинграда. Пришлось ленинградскому жюри ходатайствовать перед Центральным оргкомитетом Всесоюзной олимпиады, и в результате победитель городской олимпиады 1979 года ученик 45-й физико-математической школы Саша Сивацкий поехал в Тбилиси как член команды Ленинграда.

История Ленинградских городских математических олимпиад знает много случаев, не предусмотренных никакими инструкциями или положениями об олимпиадах, когда жюри вынуждено было решать вопрос голосованием. Есть, однако, некоторые стандартные ситуации, в которых жюри действует традиционно. Это касается, например, участия вне конкурса. Часто кто-то из членов жюри, преподаватель кружка или школьный учитель ходатайствует перед жюри о допуске одного из неудачников районного тура на городскую олимпиаду. Обычно жюри удовлетворяет подобные просьбы. Случается, что на олимпиаде обнаруживаются «зайцы», как-то ухитрившиеся пробраться в аудиторию, им тоже разрешают участвовать в олимпиаде — конечно же, вне конкурса. Что касается награждения внеконкурсников, то здесь вопрос чаще всего решается так: дипломом их не награждают, но гарантируют им персональное приглашение на следующую олимпиаду (если они его заработали).

Другое стандартное правило касается возможности участия младших школьников в олимпиаде старших классов. Поскольку олимпиада старших классов проходит позже, чем младших классов, то по традиции победители (т. е. обладатели первых премий) олимпиады 8-х (ранее 7-х) классов персонально приглашаются на городской или даже на заключительный тур олимпиады 9-х (ранее 8-х) классов. Несмотря на год разницы,

ученики младших классов зачастую не уступают своим старшим коллегам-олимпиадникам. Так, например, в 1981 году семиклассница Аня Богомольная завоевала на олимпиаде 8-х классов диплом первой степени, ухитрившись при этом получить на олимпиаде 7-х классов лишь диплом третьей степени. Через 9 лет та же история произошла с Олей Пламеневской, занимавшейся в кружке Дворца пионеров, которым руководила Анна Владимировна Богомольная, та самая Аня Богомольная, но теперь уже преподаватель Ленинградского электротехнического института связи. А в 1988 году два из трех первых дипломов олимпиады 8-х классов унесли с собой семиклассники Женя Малинникова и Саша Перлин. Самый же невероятный случай произошел в 1963 году, когда шестиклассники Андрей Суслин и Саша Лившиц (ныне оба они профессиональные математики) завоевали дипломы первой степени в параллелях 6-, 8-х и. .. 10-х классов.

Нельзя не сказать о работе жюри, которое непосредственно занимается созданием вариантов олимпиады. Эта работа состоит из двух частей: накопление задач и составление варианта олимпиады.

Реализация первой части во многом зависит от активности членов жюри в придумывании новых задач и в вовлечении в орбиту жюри по возможности большего количества ленинградских математиков. Зачастую новые задачи попадают к жюри неожиданно, пройдя такой длинный путь, что по дороге теряется вообще или изменяется авторство задачи. Авторы большинства задач — это постоянные члены жюри, имеющие большой опыт подобного творчества. Дело в том, что придумать хорошую олимпиадную задачу совсем не просто. Желательно, чтобы задача была неизвестной, идея решения не должна быть избитой и наскучившей, а формулировка — чрезмерно длинной, не вызывающей интереса. Идеальная олимпиадная задача имеет яркую, запоминающуюся формулировку, сам факт, который требуется доказать, должен удивлять и заинтересовывать, основная идея решения должна быть свежей и неожиданной. При этом желательно, чтобы задача не была чрезвычайно сложной и не давала бы преимущества участникам, знающим многое сверх школьной программы.

Несмотря на всю нетривиальность подобного творчества, ежегодно на Ленинградской (Санкт-Петербургской) олимпиаде предлагается несколько задач, близких к только что описанному идеалу.

Вторая часть процесса создания варианта не имеет столь непосредственного отношения к математике, а скорее сродни искусству дизайна. Существует набор естественных требований к полному варианту олимпиады, которому должен удовлетворять список задач, предлагаемых школьникам.

1. Задачи должны быть разнообразными по тематике; например, недопустимо наличие в варианте из шести задач трех задач по геометрии. Стоит также позаботиться о том, чтобы в варианте были представлены арифметика и геометрия, комбинаторика и вычисления, задачи на оценки и точные факты.

2. Необходимо проследить и за разнообразием идей. Совсем ни к чему, если две или три задачи варианта будут решаться применением, например, индукции или если обе геометрические задачи посвящены подсчету углов.

3. Вариант должен быть тщательно сбалансирован по сложности задач. Необходимо одновременно добиться того, чтобы почти каждый участник олимпиады решил хоть что-то и чтобы наиболее сильным школьникам было над чем поломать голову в «выводе». В то же время вариант должен удовлетворять крайне важному требованию: он должен «расслаивать» параллель. Иначе говоря, итоги олимпиады должны быть примерно такими: 1—5 первых, 5—10 вторых и 8—20 третьих премий.

Это, конечно, не означает, что на олимпиаде нельзя предлагать очень сложные задачи. Это делать необходимо, но средний уровень олимпиады не должен быть чрезмерно высок. Обычно подавляющее большинство задач решается как минимум несколькими участниками; особой трудностью для участников отличались, пожалуй, лишь отборочный тур 1981 года и заключительный тур 9-х классов в 1989 году.

Совершенно ясно, что жюри должно обладать буквально провидческим даром, чтобы создать нужный вариант олимпиады. Впрочем, в основном прогноз результатов олимпиады основывается на богатом опыте членов жюри, а также на хорошем знании того, какова средняя степень подготовки данной параллели. Отклонение в ту или иную сторону приводит к таким крайностям, как 34 диплома первой степени на олимпиаде 11-х классов в 1966 году или отсутствие первых дипломов на олимпиаде 6-х классов 1991 года.

4. В вариантах третьего и четвертого туров должно соблюдаться требование новизны задач. Бывали, правда, и накладки. Так, задача 88.14 была предложена на олимпиаде 7-х классов буквально через день после того, как к ленинградским подписчикам поступил очередной номер «Кванта», в одном из разделов которого фигурировала эта задача.

Еще один пример: задача 83.27, придуманная одним из членов жюри в 1983 году, была обнаружена семь лет спустя в варианте Всекитайской олимпиады по математике 1962 (!) года.

5. Должна соблюдаться ориентированность задач на настоящую математику. Участники олимпиад должны понимать, что никакой особой чисто олимпиадной математики не существует. Как любил говорить Б. Н. Делоне, настоящая математическая проблема отличается от олимпиадной задачи только тем, что над первой можно думать в тысячу раз дольше. Добавим: и

без всякой надежды на само существование решения в отличие от задачи на олимпиаде. Задачи, предлагаемые на олимпиаде, всегда имеют решение, не выходящее за рамки школьной факультативной программы.

В то же время в последние годы высшая математика стала одним из основных источников новых изящных олимпиадных задач. Приведем несколько примеров: формулировка и решение задач 80.48 и 88.60 могут быть интерпретированы в терминах так называемой метрики Минковского на плоскости. Задача 81.46 может быть решена и обобщена с привлечением методов линейной алгебры. Задача 82.36 возникла при анализе доказательства основной теоремы алгебры, придуманного еще Гауссом. Традиционно много задач приходит из теории графов. Это задачи 83.12, 85.17, 86.25, 86.42, 88.40, 88.48 и многие другие. Задача 87.24 имеет непосредственное отношение к математическому анализу, а задачи 86.13 и 87.60 — это варианты знаменитой комбинаторной теоремы Шпернера. Другая теорема Шпернера, используемая в алгебраической топологии, нашла свое отражение в задаче 88.18.

Всю основную организационную и непосредственно олимпиадную работу жюри возглавляют его председатель и ответственный секретарь. За всю почти 60-летнюю историю Ленинградских городских олимпиад сменилось всего около десятка председателей жюри. Ими были (перечисление идет примерно в хронологическом порядке; там, где это точно известно, указаны годы председательства): Б. Н. Делоне (1934), В. А. Тартаковский, Г. М. Фихтенгольц, И. П. Натансон, Д. К. Фаддеев, С. Г. Михлин, И. К. Даугавет (около 1965), А. В. Яковлев (1970—1980), Ю. А. Волков (1980), А. Б. Александров (1983), А. С. Меркурьев (1981—82, 84—93).

Поскольку в 1969—79 гг. олимпиада 5-х классов находилась в ведении ЛГПИ имени А. И. Герцена, то задачи олимпиады составлялись отдельным жюри, состоявшим из сотрудников института, а его председателем все эти годы был преподаватель этого института Л. С. Лившиц.

Большая часть непосредственной организационной работы жюри — ведение архива жюри, связь с оргкомитетом и т. д.— падает на плечи секретаря жюри. Обычно именно секретарь ведет протоколы заседаний жюри и ведает всей канцелярской работой.

Старшие по классу, которые часто назначаются уже в ноябре, ответственны за подготовку вариантов второго и третьего туров — в их задачу входит отбор задач, предлагаемых на заседаниях жюри. Непосредственно во время олимпиады старший по параллели подбирает себе помощников из числа пришедших студентов и коллег по жюри, разбирает задачи варианта и указывает на основные «подводные камни», которые могут встретиться при изложении решений — все это происходит на коро-

тенькой летучке для жюри соответствующего класса перед самым началом олимпиады.

Но, конечно, один председатель или секретарь жюри не смогли бы на протяжении многих лет заменять собой всех тех энтузиастов, которые принимают участие в большинстве заседаний жюри, предлагают десятки самых разнообразных задач, проверяют работы районного тура, помогают в организации и проведении олимпиады. За последние 30 лет самое активное участие в деятельности жюри и проведении Ленинградских математических олимпиад принимали: М. И. Башмаков, А. Г. Гольдберг, И. В. Романовский, Б. Б Лурье, Ю. И. Ионин, A. С. Плоткин, И. Я. Веребейчик, Л. Д. Курляндчик, С. С. Валландер, А. Н. Лившиц, Н. А. Широков, В. Е. Лапицкий, B. П. Федотов, С. В. Фомин, М. Н. Гусаров, С. Е. Рукшин, C. А. Генкин, Н. Ю. Нецветаев, О. Т. Ижболдин, Д. Ю. Бураго, Г. Я. Перельман, Ф. Л. Назаров, И. В. Итенберг, А. В. Богомольная, Е. В. Абакумов, К. П. Кохась, С. К. Смирнов и многие, многие другие.

Обычно в заседаниях жюри принимают участие от 5 до 15 человек; на заседании обсуждаются новые задачи, излагаются решения задач, предложенных ранее, составляются списки участников, допущенных на очередной тур, редактируются варианты предстоящей олимпиады. Зачастую во время этих вечерних «мозговых штурмов» до неузнаваемости меняются не только варианты, но и сами условия задач, не говоря уже о возможных решениях. Так, в 1987 году на одном из заседаний была представлена задача 87.12, причем ее автор был абсолютно уверен в отрицательном ответе на поставленный в задаче вопрос. Тут же при проверке выяснилось, что требуемая расстановка чисел существует, и задача с тем же условием, но с абсолютно другим внутренним содержанием была включена в вариант 6-го класса.

ПРЕДИСЛОВИЕ К СБОРНИКУ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ

В сборнике приведены задачи Ленинградских городских олимпиад школьников по математике с 1961 по 1993 год, т. е. от 27-й до 59-й олимпиады. Такой выбор материала объясняется отсутствием у составителя полных вариантов олимпиад 1934— 1960 гг.

По той же причине нет в сборнике и олимпиад 5-го класса 1969—1978 гг. Задачи этих олимпиад не отличаются оригинальностью и представляют в основном лишь исторический интерес.

Необходимо также подчеркнуть, что некоторые олимпиадные варианты восстановлены не с абсолютной достоверностью. Причина этого в том, что в процессе поисков было изучено большое число личных архивов, содержавших как окончательные, так и рабочие варианты олимпиад. Случалось и так, что одна и та же олимпиада была представлена в разных архивах по-разному, нередки небольшие отличия между отпечатанными или переписанными когда-то копиями вариантов.

Ситуация усугубляется и тем, что некоторые изменения вносились непосредственно перед олимпиадой, а иногда и во время самой олимпиады, когда внезапно обнаруживались опечатки в официальных копиях условий. Однако в одних листках условия изменялись, в других — нет, и это почти не дает возможности установить сейчас, какой же вариант — подлинный.

Поскольку многие интересные задачи, предлагавшиеся на математических соревнованиях в Ленинграде (Санкт-Петербурге), не включались в городскую олимпиаду, то в конце сборника помещен специальный раздел «Дополнительные задачи». Предостережение: средний уровень сложности этих задач довольно высок!

Ко многим (но не ко всем) задачам сборника в разделе «Ответы, указания, решения» даны указания. Иногда (особенно в простых, счетных задачах) они состоят лишь в сообщении ответа. Чаще в них дается какая-либо подсказка или полное решение задачи.

В конце книги приведен список литературы, в котором, кроме перечисления аналогичных олимпиадных задачников, даны все известные составителю публикации, касающиеся ленинградских математических соревнований.

Несколько слов об авторстве задач. К сожалению, авторство подавляющего большинства задач ленинградских олимпиад до 1980 года неизвестно, и установить его практически невозможно. Зато известны авторы почти всех задач 1980—1993 гг., и список их приведен также в конце книги.

ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В СБОРНИКЕ

1. п\ обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до п. По определению 0! = 1.

2. ху. .. z обозначает число, десятичная запись которого состоит из указанных цифр.

3. [х] — «целая часть» вещественного числа х, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее х.

4. Нумерация задач организована следующим образом: указан год олимпиады и через точку номер задачи в варианте данного года. Так, например, цифры 73.14 указывают на 14-ю задачу в варианте олимпиады 1973 года. Если же в тексте требуется ссылка на задачу той же олимпиады, то год обычно не указывается. Например: См. задачу 22.

Аналогичным образом указаны номера задач и в разделе «Ответы, указания, решения».

5. Для биномиальных коэффициентов

в тексте выбрано международное обозначение (£).

6. Особенно трудные (по мнению составителя) задачи помечены звездочкой.

7. Все турниры, упоминающиеся в условиях задач, если явно не указано противное, считаются круговыми турнирами, в которых каждые две команды играют друг с другом ровно один раз. При этом необходимо помнить, что в шахматах победа приносит 1 очко, ничья—1/2 очка, а в футболе — соответственно вдвое больше. В волейболе и теннисе ничьих не бывает.

Сборник олимпиадных задач

ОЛИМПИАДА 1961 ГОДА

6-й класс

1. Некоторую работу могут выполнить трое рабочих. Второй и третий могут вместе выполнить ее в два раза быстрее первого; первый и третий могут вместе выполнить ее в три раза быстрее второго. Во сколько раз первый и второй могут выполнить эту работу быстрее, чем третий?

2. Доказать, что наибольший общий делитель суммы двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наибольшему общему делителю самих чисел.

3. На консультации было 20 школьников и разбирались 20 задач. Оказалось, что каждый школьник решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно гак организовать разбор задач, чтобы каждый рассказал одну задачу и все задачи были рассказаны.

4. Два человека А и В должны попасть из пункта M в пункт N, расположенный в 15 км от М. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. А и В отправляются из M одновременно: А — пешком, а В едет на велосипеде до встречи с пешеходом С, идущим из N в М. Дальше В идет пешком, а С едет на велосипеде до встречи с А, передает ему велосипед, на котором тот и приезжает в N. Когда должен выйти из N переход С, чтобы А и В прибыли в N одновременно, если он идет с той же скоростью, что и А, и B?

5. Докажите, что из любых шести человек всегда найдутся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых между собой.

7-й класс

6. См. задачу 1.

7. Даны окружность О и квадрат /С, а также прямая L. Постройте отрезок данной длины, параллельный L и такой, что его концы лежат на О и К соответственно.

8. Трехзначное число ABC делится на 37. Докажите, что сумма чисел ВСА и CAB тоже делится на 37.

9. Точка С — середина отрезка AB. На произвольном луче, проведенном из точки С и не лежащем на прямой AB, выбраны три последовательные точки Р, M и Q так, что PM = MQ. Докажите, что AP + BQ > 2СМ.

10. Дано 2п +1 различных предметов. Докажите, что из них можно выбрать нечетное число предметов столькими же способами, сколькими четное.

8-й класс

11. Построить четырехугольник по длинам сторон и расстоянию между серединами диагоналей.

12. Известно, что А, В и л/А + л/В— рациональные числа.

Докажите, что тогда УЛ и л/В — рациональны.

13. Решите уравнение X3— [Х] = 3.

14. Докажите, что если в треугольнике биссектриса угла при вершине делит пополам угол между медианой и высотой, то треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

15. Дано N чисел х\, *2, . .., хп, каждое из которых равно +1 или —1. При этом XiXo-hX2X3+ ... +Xn-iXn + xnxi = 0. Докажите, что N делится на четыре.

16. На окружности отмечено N точек, причем известно, что для любых двух одна из дуг, соединяющих их, имеет величину, меньшую 120°. Докажите, что все точки лежат на дуге величиной 120°.

9-й класс

17. Постройте треугольник по прямым, на которых лежат биссектрисы, и одной вершине.

18. См. задачу 13.

19. На плоскости дано 2п точек. Докажите, что их можно попарно соединить так, чтобы отрезки не пересекались.

20. Даны угол, равный а, и треугольник ABC такой, что ZA + = а. Найдите траекторию, которую опишет вершина С, если вершины А и В треугольника будут скользить по сторонам угла.

21. Докажите, что шахматную доску 10 X 10 нельзя покрыть фигурками вида, указанного на рис. 1.

Рис. 1

22. Даны три ненулевых целых числа /С, M и N, причем К и M взаимно просты. Докажите, что найдется такое целое х, что Mx+N делится на Д\

23 (доп.)1. Докажите, что все числа вида 1156, 111556, 11115556, ... являются точными квадратами.

1 Дополнительная задача, возможно, была предложена вместо одной из задач основного варианта. В некоторых архивных вариантах эта задача есть, в некоторых — нет.

10—11 -е классы

24. В основании пирамиды объема V лежит трапеция с основаниями m и п. Плоскость отсекает от нее пирамиду объема (У, а в сечении получается снова трапеция с основаниями mi и П\. Докажите, что

25*. В школе изучают 2п предметов. Все ученики учатся на «четыре» и «пять» и никакие два не учатся одинаково. Ни про каких двух нельзя сказать, что один учится лучше другого.

Докажите, что число учеников в школе не превосходит

26. Найдите наименьшее значение выражения (а2 + х2)/х, где а > 0 — константа, ах>0 — переменная.

27. Пусть f(x) = X11 + а\хп~[ + ... +ап — многочлен с целыми коэффициентами, а Р — его рациональный корень. Докажите, что Р — целое число и f{m) делится на Р — m при любом целом га.

28. Докажите, что

29. Каждая грань куба заклеивается двумя прямоугольными треугольниками, один из которых — белый, а другой — черный. Докажите, что существует только два существенно различных (т. е. не совмещающихся при поворотах куба) способа оклеивания таких, что суммы белых и черных углов, сходящихся в каждой вершине, одинаковы.

30. Улитка ползет по столу с постоянной скоростью. Через каждые 15 мин она поворачивает на 90°, а в промежутках между поворотами она ползет по прямой. Докажите, что она может вернуться в исходный пункт только через целое число часов.

ОЛИМПИАДА 1962 ГОДА

6-й класс

1. Из города А в город В одновременно направились три человека, имеющие один двухместный мотоцикл. Как они должны действовать, чтобы время, за которое последний из них доберется до B, было наименьшим? Определите это время. Скорость пешехода — 5 км/ч, мотоцикла — 45 км/ч, расстояние от А до В равно 60 км.

2. Числа A и В взаимно просты. Какие общие делители могут иметь числа А + В и А — B?

3. Возраст человека в 1962 году был на единицу больше суммы цифр года его рождения. Сколько ему лет?

4. 15 журналов лежат на столе, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать восемь из них так, что оставшиеся журналы будут покрывать не менее 7/15 площади стола.

5. Докажите, что шахматную доску 201X201 можно обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.

6. Может ли целое число, две последние цифры которого нечетны, быть квадратом другого целого числа?

7-й класс

7. Докажите, что из сторон произвольного четырехугольника можно сложить трапецию.

8. См. задачу 2.

9. См. задачу 4.

10. В шестизначном числе, которое делится на семь, последнюю цифру переставили в начало. Докажите, что полученное число также делится на семь.

11*. Круг разбит на 49 областей так, что никакие три области не соприкасаются в одной точке. Полученная «карта» раскрашивается в три цвета так, чтобы никакие две соседние области не имели одного цвета. Граница двух областей считается окрашенной в оба цвета. Докажите, что на окружности найдутся две диаметрально противоположные точки, окрашенные в один цвет1.

12. На сторонах AB и ВС треугольника ABC построены квадраты ABDE и BCKL с центрами 0\ и 02, М\ и М2 — середины отрезков DL и АС. Докажите, что OiMiOiMz — квадрат.

8-й класс

13. Четыре окружности размещены на плоскости так, что каждая касается внешним образом двух других. Докажите, что точки касания размещены на одной окружности.

14. Пусть целые числа а и b могут быть представлены в виде X2 — 5у2, где X и у — целые числа. Докажите, что число ab также может быть представлено в таком виде.

15. Решите уравнение x(x+d) (x + 2d) (x + 3d) =а.

16. Пусть a + b + c= 1; т + п + р = 1. Докажите, что

— 1 ^ am + Ъп 4- ср 1.

1 Задача 11 в архивных материалах представлена в различных вариантах, в том числе и в формулировках, почти не имеющих смысла. В представленном виде задача верна, хотя и подозрительно трудна для олимпиады 7-го класса тех лет.

17. Впишите в полукруг треугольник наибольшей площади.

18. Три окружности одного радиуса пересекаются в одной точке. Докажите, что три другие точки пересечения лежат на окружности того же радиуса.

19. Найдите круг наименьшего радиуса, вмещающий данный треугольник.

20. Дан многочлен Jt2n + aix2n-2 + a2x2n_4 + ... + an-iX2 + an, который делится иг х— 1. Докажите, что он делится на х2— 1.

21. Докажите, что для любого простого числа р, отличного от двух и от пяти, существует натуральное k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.

9-й класс1

22. См. задачу 16.

23. См. задачу 20.

24. В единичной квадратной решетке берется произвольный единичный квадрат. Докажите, что одно из расстояний от произвольного узла решетки до вершин этого квадрата иррационально.

25. Сумма десяти чисел равна нулю. Сумма всех их попарных произведений также равна нулю. Докажите, что и сумма кубов этих чисел равна нулю.

26. Внутри остроугольного треугольника взята точка, расстояния от которой до вершин треугольника меньше наименьшей стороны. Докажите, что сумма расстояний от нее до вершин треугольника не превосходит трех четвертей периметра треугольника.

27. См. задачу 21.

28. На плоскости дано п точек, не лежащих на одной прямой. Докажите, что можно найти замкнутую ломаную без самопересечений с концами звеньев в этих точках.

29*. Груз весом 13,5 т разложен в ящики, вес каждого из которых после этого не превосходит 350 кг. Докажите, что весь груз можно увезти на 11 полуторатонках.

10-й класс

30. В единичный квадрат вписан четырехугольник с вершинами на всех сторонах квадрата. Докажите, что одна из его сторон имеет длину не менее 1/У2.

31. Сумма десяти чисел равна нулю. Сумма всех их попарных произведений также равна нулю. Найдите сумму их четвертых степеней.

1 Хотя в единственном архивном варианте 9-го класса содержится восемь задач, однако их, скорее всего, должно быть девять. По всей видимости, девятой задачей этого варианта является задача 37.

32. Освободитесь от иррациональности в знаменателе

33. Решите уравнение (3* + 2)4 + (2х — 4)4 = (2х + 3)4 + (4х — 2)4.

34. Даны угол и два отрезка на его сторонах. Точка О, лежащая внутри угла, соединена с концами этих отрезков, и сумма площадей двух получившихся треугольников равна 5. Найдите геометрическое место точек M таких, что аналогичная сумма площадей равна 5.

35. Найдите сумму

36. Решите в натуральных числах уравнение

37. Дан многогранник. Число сторон всех его граней, кроме одной, делится на данное натуральное я, большее 1. Докажите, что грани этого многогранника нельзя раскрасить двумя красками так, чтобы соседние грани были окрашены в разные цвета.

38. В выпуклом Аг-угольнике все стороны и диагонали продолжены до прямых. При этом никакие две из проведенных прямых не параллельны и никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько у них точек пересечения внутри n-угольника и сколько вне?

11-й класс

39. См. задачу 30.

40. Дан многочлен xkn + axxk<<n-^ + a2xk(<n-^ + ... + an-\Xk + atu который делится на х—1. Докажите, что он делится на xk— 1.

41. См. задачу 33.

42. Найдите сумму

43. См. задачу 32.

44. См. задачу 34.

45. См. задачу 37.

* В некоторых архивных вариантах задача 32 сформулирована для конкретных значений, а именно: а = 2, 6 = 3, с = 4.

46. См. задачу 36.

47. Внутри квадрата 1X1 помещен выпуклый многоугольник площади, большей 7г. Докажите, что в многоугольнике найдется хорда длины большей 7г, параллельная любой заранее выбранной стороне квадрата.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

48. Докажите, что семью кругами радиуса 1 можно покрыть полностью круг радиуса 2, но нельзя покрыть круг большего радиуса.

49. В квадрат площади 5 помещено девять многоугольников, каждый площади 1. Докажите, что какие-то два из них имеют пересечение площади, не меньшей 7э.

50. Сфера разбита на три области, каждая из которых окрашена в свой цвет, а границы областей — в оба цвета. Докажите, что найдется диаметр, концы которого окрашены одинаково.

51. Докажите, что число, записываемое только нулями и единицами, причем количество единиц не меньше двух, не может быть точным квадратом.

52. Докажите, что из k целых чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на k.

53. Решите уравнение (хп^п-1^2 — х^)/(х — 1) = 0.

54*. Рассматриваются бесконечные последовательности, состоящие из чисел 1, 2, ..., N. Два члена в двух последовательностях назовем одинаковыми, если они равны и имеют одинаковые номера. Сколько можно составить последовательностей так, чтобы любые две из них имели ровно k одинаковых членов?

ОЛИМПИАДА 1963 ГОДА

6-й класс

1. Из пункта А в пункт В вышли два человека. Первый шел по шоссе со скоростью 5 км/ч, а второй по тропинке со скоростью 4 км/ч. Первый из них пришел в пункт В на час позже и прошел на 6 км больше. Найдите расстояние от А до В по шоссе.

2. Пешеход идет по шоссе со скоростью 5 км/ч. По этому шоссе в обе стороны с одинаковой скоростью ходят автобусы, встречаясь каждые 5 мин. В 12 часов пешеход заметил, что автобусы встретились около него и, продолжая идти, стал считать встречные и обгоняющие автобусы. В 14 часов около него вновь встретились автобусы. Оказалось, что за это время пеше-

ходу встретилось на четыре автобуса больше, чем обогнало его. Найдите скорость автобуса.

3. Докажите, что разность 4343 — 1717 делится на 10 без остатка.

4. Из шахматной доски вырезаются две клетки на границе доски. В каком случае можно и в каком нельзя покрыть оставшиеся клетки доски фигурами, показанными на рис. 2, без наложения?

5. Расстояние от города А до города В (по воздуху) равно 30 км, от В до С — 80 км, от С до D — 236 км, от D до Е — 86 км, от £ до А — 40 км. Найдите расстояние от Е до С.

6. Можно ли выписать в ряд числа от 1 до 1963 так, чтобы любые два соседних числа и любые два числа, расположенные через одно, были взаимно просты?

7-й класс

7. Площадь четырехугольника равна 3 см2, а длины его диагоналей равны 6 и 2 см. Найдите угол между диагоналями.

8. Докажите, что число 1 +23456789 — составное.

9. В шахматном турнире участвовали 20 человек. Участник, занявший чистое (неразделенное) 19-е место, набрал 9,5 очков. Как могли распределиться очки между другими участниками?

10. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырехугольника равна его полупериметру. Докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм1.

11. В автобусе без кондуктора едут 40 пассажиров, имеющих при себе только монеты достоинством в 10, 15 и 20 коп. Всего у пассажиров 49 монет. Докажите, что пассажиры не смогут уплатить требуемое количество денег в кассу и правильно рассчитаться между собой (стоимость автобусного билета в 1963 году составляла 5 коп.).

12. Некоторое натуральное число А делят с остатком на все натуральные числа, меньшие А. Сумма всех различных (!) остатков оказалась равной А. Найдите А.

13. Из шахматной доски вырезали две клетки. В каком случае можно и в каком случае нельзя покрыть оставшиеся клетки доски доминошками (см. рис. 2) без наложения?

8-й класс

14. На медиане, проведенной из вершины треугольника на основание, взята точка А. Сумма расстояний от А до боковых

Рис. 2

1 Задача 10 предлагалась на олимпиаде 1980 г. — причем в 9-м (!) классе. Совпадения подобного рода могут дать интересный материал для возможного сравнения школьных программ разных лет или уровня подготовки школьников.

сторон треугольника равна S. Найдите расстояния от А до боковых сторон, если длины боковых сторон равны X и Y.

15. Дробь О, ABC... составлена по следующему правилу: А и В — произвольные цифры, а каждая следующая цифра равна остатку при делении на 10 суммы двух предыдущих цифр. Докажите, что эта дробь — чисто периодическая.

16. На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника с M и N сторонами (М > TV). На какое наибольшее возможное число частей они могут разбить плоскость?

17. Сумма трех целых чисел, являющихся точными квадратами, делится на девять. Докажите, что среди них есть два числа, разность которых делится на девять.

18. Дано k + 2 целых числа. Докажите, что среди них найдутся два целых числа таких, что либо их сумма, либо их разность делится на 2k.

19. Прямой угол вращается вокруг своей вершины. Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих точки пересечения сторон угла и данной окружности.

9-й класс

20. Пятизначное число ABC DE делится на 41. Докажите, что если его цифры переставить в циклическом порядке, то полученное число также будет делиться на 41*.

21. Есть две группы чисел:

Докажите, что

22. Постройте трапецию по диагоналям и боковым сторонам.

23. Даны две окружности радиуса R = 1/2я. На одной окружности отмечено 20 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1/20. Докажите, что одну окружность можно наложить на другую так, чтобы ни одна из отмеченных точек не попала внутрь отмеченной дуги.

24. См. задачу 18.

25. Решите в натуральных числах уравнение (г+1)* — г^ =

* Задача 20 является безусловным рекордсменом Ленинградских городских олимпиад по количеству повторов. В первый раз (насколько это известно автору) она была предложена на олимпиаде 1958 г. См. также вариант 1978 г.

10—11-е классы

26. Докажите, что если два уравнения с целыми коэффициентами:

Х2 + Р]Х + д] = 0 и X2 + p2X + q2 = 0

имеют общий нецелый корень, то pi = p2, q\ = qi-

27. Даны трехгранный угол и точка А на его ребре. По двум другим его ребрам скользят точки В и С. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников ABC.

28. Докажите, что уравнению AiXi-{-A2X2+ ... +АпХп = В не может удовлетворять более половины всех наборов (Xu Х2, .. ., Хп), где каждое из Xt равно 0 или 1, если известно, что не все числа Au А2, ..., Ап, В равны нулю.

29. В многограннике плоский угол а называется прилегающим к ребру, если это ребро является стороной угла ос. Докажите, что в любой треугольной пирамиде найдется ребро, к которому прилегают только острые углы.

30. Докажите, что для любых k бесконечных последовательностей натуральных чисел:

найдутся такие номера р и q, что для любого 1 ^ i ^ k имеем

31. Докажите, что на плоскости нельзя расположить 10 равных квадратов так, чтобы ни один из них не залезал внутрь другого, а один из квадратов соприкасался со всеми другими.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

32. Найдите первые 1963 цифры после запятой в десятичной записи числа (V26 + 5)1963.

33. Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?

34. На плоскости даны пять кругов, каждые два из которых пересекаются. Докажите, что какие-то три из них имеют общую точку.

35. Натуральное число А делится на 1, 2, 3, ..., 9. Докажите, что если 2А представлено в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых равно 1, 2, 3, ..., 9, то среди них найдутся несколько слагаемых, сумма которых равна А.

36*. Даны четыре положительных числа, причем сумма любых трех из них больше четвертого. Докажите, что есть тре-

угольная пирамида, для которой эти числа являются площадями ее граней.

37. Решите в целых числах уравнение х4 — 2*/4— 4г4 — 8/4 = 0.

38. Докажите, что замкнутая ломаная длины 1, расположенная на плоскости, может быть накрыта кругом радиуса 1/4.

39. Существует ли треугольник с выраженными целыми числами длинами сторон, высот и биссектрис?

40. При каких значениях п выражение 2п+1 является нетривиальной степенью натурального числа?

41. Дана клетчатая бумага. Через два узла проведены параллельные прямые. Докажите, что в образовавшейся замкнутой полосе находится бесконечно много узлов клетчатой бумаги.

ОЛИМПИАДА 1964 ГОДА

6-й класс

1. Три стрелка Анилов, Борисов и Воробьев сделали по шесть выстрелов по одной мишени и выбили поровну очков. Известно, что Анилов за первые три выстрела выбил 43 очка, а Борисов первым выстрелом выбил три очка. Сколько очков на каждый выстрел выбил каждый стрелок, если в 50 было одно попадание, в 25 — два, в 20 — три, в 10 — три, в 5 — два, в 3 — два, в 2 — два, в 1—три?

2. Докажите, что шахматную доску 10Х10 нельзя покрыть 25 фигурами вида, указанного на рис. 3.

3. В клетках шахматной доски стоят натуральные числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Сумма чисел, стоящих в углах доски, равна 16. Найдите число, стоящее на поле е2.

4. Имеется таблица 100x100. Каково наименьшее число букв, которые можно расставить в ее клетках так, чтобы никакие две одинаковые буквы не стояли рядом?

5. Отряд пионеров выстроен прямоугольником. В каждой шеренге отмечается самый высокий, и из этих пионеров выбирается самый низкий. В каждом ряду отмечается самый низкий, и из них выбирается самый высокий. Какой из этих двух пионеров выше?1

6. Найдите произведение трех чисел, сумма которых равна сумме их квадратов, равна сумме их кубов и равна 1.

Рис. 3

1 Имеется в виду, что два указанных пионера — самый высокий из низких и самый низкий из высоких — должны быть разными. В шеренге стоят плечом к плечу, в ряду стоят в затылок друг другу.

7-й класс

7. Дан выпуклый п-угольник, все углы которого тупые. Докажите, что сумма длин диагоналей в нем больше суммы длин сторон.

8. Найдите все целые значения для X и Y такие, чтобы ^4 + 4K4 было простым числом.

9. Дан треугольник ABC. На его сторонах строятся параллелограммы ABKL, BCMN и ACFG. Докажите, что из отрезков KN, MF и GL можно составить треугольник.

10. См. задачу 2.

11. Найдите наибольшее количество различных натуральных чисел, каждое из которых меньше 50 и каждые два из которых взаимно просты.

12. Дан треугольник ABC; D и Е — середины сторон AB и ВС. Точка M лежит на А С, МЕ>ЕС. Докажите, что MD < < AD.

8-й класс

13. Найдите все простые р, q и г такие, что pqr = 5(p + ç + r).

14. Докажите, что если AB/ВС =А/СУ то

(в каждом числе по N цифр).

15. Постройте треугольник по периметру, высоте и углу при основании.

16. Докажите, что квадрат суммы N различных ненулевых квадратов целых чисел также является суммой N квадратов не равных нулю целых чисел.

17. В четырехугольнике ABCD проведены диагонали АС и BD. Докажите, что если окружности, вписанные в ABC и ADC, касаются друг друга, то и окружности, вписанные в BAD и в BCD, также касаются друг друга.

18. Если числа A и n взаимно просты, то найдутся целые X и Y такие, что

делится на п.

Докажите это.

9-й класс

19. См. задачу 15.

20. Внутри единичного квадрата расположена 51 точка. Докажите, что среди них найдутся три, умещающиеся в круге с радиусом 1/7.

21. Докажите, что если для натурального N

то число N— простое.

22. См. задачу 16.

23. В треугольнике ABC вершина А соединена с точкой Dr лежащей на ВС.

1. Докажите, что центры окружностей, описанных около ABD, ADC, ABC, и точка А лежат на одной окружности.

2. Найдите точку D, для которой радиус этой окружности минимален.

24. См. задачу 18.

10—11-е классы

25. Внутри единичного квадрата расположен выпуклый Л/-угольник Р. Докажите, что найдутся три вершины А, В и С Лг-угольника Р такие, что S (ABC) ^ 100/W2.

26. На плоскости задана система координат. Пусть TV — число точек с целыми координатами (х, */), удовлетворяющих условию х2 + у2<п, где п — целое число. Докажите, что N ^ ^ 3(п— I)2.

27. Даны окружность единичного радиуса и на ней четыре точки. Через каждые две соседние точки проведена окружность единичного радиуса. Докажите, что четыре другие точки пересечения последовательных окружностей лежат на одной окружности.

28. Пусть осп — показатель, с которым число 2 входит в разложение числа п. Положим Sn = ai + a2 + ... +oLn. Докажите, что в последовательности Si, S2, S3, ..., S2n_l количества четных и нечетных чисел отличаются на единицу.

29. На плоскости даны две точки А и В и прямая L. Найдите на прямой L точку Е такую, что AE+BE=d, где d — заданное число.

30. Пусть S — набор натуральных чисел, меньших данного простого числа Р и таких, что если в набор входят числа А и 5, то в него входят и остатки от деления AB, А и В на Р. Докажите, что если в S не менее двух чисел, то сумма чисел, входящих в S, делится на Р.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

31. Вершины двух остроугольных треугольников лежат на разных парах противоположных сторон единичного квадрата. Докажите, что площадь их общей части не больше учетверенного произведения площадей треугольников.

32. Имеется набор натуральных чисел аи а2, ..., ап, среди которых могут быть и одинаковые. Обозначим через fk количество чисел этого набора, не меньших k. Докажите, что fi+f2+ ... =ai + a2+ . .. +an.

33. Единичный квадрат покрыт п фигурами так, что каждая его точка принадлежит по крайней мере q фигурам. Докажите, что хотя бы одна фигура имеет площадь, не меньшую q/n.

34. Пусть все вещественные числа разбиты на две группы. Докажите, что для любого k > 0 найдутся три числа а <Ь < с из одной группы такие, что (с — b)/(b — a) =k.

35. В правильном треугольнике с единичной стороной разместите треугольник с данными углами так, чтобы он имел максимальную площадь.

36*. Есть N чеканщиков. Некоторые из них изготовляют только фальшивые монеты, а другие — только настоящие. Вес фальшивой монеты отличен от веса настоящей. Имеются весы с полным набором гирь и одна заведомо настоящая монета. У каждого чеканщика можно взять сколько угодно монет. Как с помощью трех взвешиваний определить всех фальшивомонетчиков?

ОЛИМПИАДА 1965 ГОДА

6-й класс

1. В переплетной мастерской было 92 листа белой бумаги и 135 листов цветной бумаги. На переплет каждой книги уходило по листу белой и по листу цветной бумаги. После переплета нескольких книг белой бумаги оказалось вдвое меньше, чем цветной. Сколько книг было переплетено?

2. Докажите, что если перемножить все целые числа от 1 до 1965, то получится число, последняя ненулевая цифра которого четна.

3. Передние покрышки автомобиля стираются через 25 000 км пути, а задние через 15 000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они стерлись одновременно?

4. Прямоугольник 19 смХ65 см разбит прямыми, параллельными его сторонам, на квадратики со стороной 1 см. На сколько частей разобьется этот прямоугольник, если в нем провести еще и диагональ?

5. Найдите делимое, делитель и частное в примере

6. Нечетные числа от 1 до 49 выписаны в виде таблицы

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

41

43

45

47

49

Выбираются пять чисел, любые два из которых не стоят в одной строке или в одном столбце. Чему равна их сумма?

7-й класс

7. Докажите, что натуральное число, имеющее нечетное число делителей, является точным квадратом.

8. В треугольнике ABC с площадью 5 проведены медианы АК и BE, пересекающиеся в точке О. Найдите площадь четырехугольника СКОЕ.

9. Передние покрышки автомобиля стираются через 25 000 км, а задние через 15 000 км. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы автомобиль проехал возможно большее расстояние с теми же покрышками?

10. Прямоугольник 24x60 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадраты. На сколько частей разобьется этот прямоугольник, если в нем провести еще и диагональ?

11. Пусть [А] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее А. Решите уравнение [(5 + 6х)/8]= (15х — 7)/5.

12. На белую плоскость брызнули черной краской. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1965 метрам.

8-й класс

13. Прямоугольник 24x60 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадраты. Проведите еще одну прямую так, чтобы после этого прямоугольник оказался разбитым на наибольшее возможное число частей.

14. Инженеры всегда говорят правду, а коммерсанты всегда лгут. F и G — инженеры. А объявляет, что В утверждает что С уверяет, что D говорит, что Е настаивает на том, что F отрицает, что G — инженер. С объявляет также, что D — коммерсант. Если А — коммерсант, то сколько всего коммерсантов в этой компании?

15. Через поле идет прямая дорога. Турист стоит на дороге в точке А. Он может идти по дороге со скоростью 6 км/ч и по

полю со скоростью 3 км/ч. Найдите геометрическое место точек, в которые турист может попасть за час ходьбы.

16. См. задачу 11.

17. В некотором государстве каждые два города соединены дорогой. На каждой дороге разрешено движение только в одну сторону. Докажите, что найдется город, выехав из которого можно объехать все государство, побывав в каждом городе ровно один раз.

18. Найдите все восьмерки простых чисел такие, что сумма квадратов чисел в восьмерке на 992 меньше, чем их учетверенное произведение.

9-й класс

19. Дан угол. Двумя отрезками единичной длины нужно отсечь от него четырехугольник наибольшей площади.

20. См. задачу 14.

21. Параллелограмм разбит прямыми, параллельными его сторонам, на несколько частей, причем одна из его сторон разбита на M частей, а другая — на N частей. На какое наибольшее число частей можно разбить параллелограмм, если провести еще одну прямую?

22. Длины сторон треугольника ABC удовлетворяют соотношению |АВ|.|£С|.|ЛС|< 60. На сторонах AB, ВС и АС выбираются соответственно точки С", А' и В'. Докажите, что

23. Пусть Au А2, ..., Ап и Ви B2l ..., Вп — две перестановки чисел 1, 2, 3, . .., п. Докажите, что при четном п какие-то два числа из набора А\ + Ви А2 + В2у .. ., Ап + Вп дают при делении на п одинаковые остатки.

24*. N кругов на плоскости занимают площадь 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько непересекающихся кругов, сумма площадей которых больше 7э.

10—11-е классы

25. Решите в целых числах уравнение 6ху— 4х + 9у — 366 = 0.

26. Найдите сумму

27. См. задачу 23.

28.

Вариант 10-го класса. На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка Ми Из центра А радиусом AMi проводится внутри треугольника ABC дуга MiM2 до стороны АС (M2œAC),

затем из центра С радиусом СМ2 проводится внутри ABC дуга М2М3 до стороны ВС (M3œBC), из центра В радиусом ВМз дуга МзМь до стороны AB и т. д., пока линия дуг не замкнется. Найдите длину полученной замкнутой линии, если даны длины сторон треугольника и величины его углов.

Вариант 11-го класса. Докажите неравенство (А + В)п ^ 2n~l X X (Ап + Вп), где А и В — неотрицательные числа.

29. Дан куб 12X12X12, который разрезан плоскостями, параллельными граням куба, на единичные кубики. На сколько частей разделится куб, если в нем провести сечение в виде правильного шестиугольника?

30. Даны три окружности. Найдите на плоскости такую точку, чтобы правые касательные, проведенные из нее к окружностям, образовывали одна с другой равные углы.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР1

31*. В клетках таблицы пХп стоят неотрицательные целые числа, причем если в какой-то клетке стоит нуль, то сумма всех чисел, стоящих в одной строке или в одном столбце с этой клеткой не меньше п. Докажите, что сумма чисел в таблице не меньше п/2.

32. Про положительные числа а, Ь, с, я\ у, z известно, что a<b<c; a<Lx<y<Lz<c; abc = xyz\ a + b + c = x + y + z. Докажите, что а = х; b =у, c = z.

33. Среди всех многочленов вида х2 + ах + Ь найти такой, у которого максимум модуля на отрезке [—1; 1] минимален.

34. Докажите, что площадь квадрата, помещенного в треугольник, не превосходит половины площади треугольника.

35. На клетчатой плоскости дана фигура площади меньшей 1. Докажите, что эту фигуру можно перенести так, чтобы внутри нее не оказалось ни одного узла решетки.

36*. Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, описанных вокруг данного треугольника.

ОЛИМПИАДА 1966 ГОДА

6-й класс

1. Какое из чисел больше: 1000... 001(1965 нулей)/ 1000... 001(1966 нулей) или 1000... 001(1966 нулей)/ 1000... 001(1967 нулей)?

2. В футбольном чемпионате участвуют 30 команд. Докажи-

1 В 1965 году проводился также и дополнительный отбор для выявления членов команды Ленинграда на Всесоюзную олимпиаду по математике. Его задачи входят в раздел «Дополнительные задачи».

те, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

3. На доске выписаны все целые числа от 1 до 1966. Разрешается стереть любые два числа, записав вместо них их разность. Докажите, что многократным повторением такой операции нельзя добиться, чтобы на доске остались только нули.

4. На белую плоскость брызнули черной краской. Докажите, что найдутся три точки одного цвета, лежащие на одной прямой, причем так, что одна из точек лежит посередине между двумя другими.

5. В шахматном турнире играют более трех шахматистов и каждый играет с каждым одинаковое число раз. В турнире было 26 туров. После 13 тура один из участников обнаружил, что у него нечетное число очков, а у каждого из других участников — четное число очков. Сколько шахматистов участвовало в турнире?

7-й класс

6. См. задачу 3.

7. Докажите, что радиус окружности равен разности длин двух хорд, одна из которых стягивает дугу в 1/10 окружности, а другая — дугу в 3/10 окружности.

8. Докажите, что при любом натуральном п число д(2п+1)Х X (Здг-Ь 1). .. ( 1966/2+ 1 ) делится на каждое простое число, меньшее 1966.

9. Какое число нужно поставить на место *, чтобы следующая задача имела единственное решение: «На плоскости расположено п прямых, пересекающихся в * точках. Найти я»?

10. См. задачу 4.

11. N точек на плоскости расположены так, что любой треугольник с вершинами в этих точках имеет площадь меньше 1. Докажите, что все эти точки можно заключить в треугольник площади 4*.

8-й класс

12. См. задачу 9**.

13. См. задачу 8.

14. См. задачу 11.

15. Докажите, что сумма всех делителей числа п2 нечетна.

16. В четырехугольнике три тупых угла. Докажите, что большая из двух его диагоналей выходит из вершины острого угла.

* В одном из архивных вариантов 7-го класса вместо задачи 11 приведена задача 5.

** В книге [1.22], в приложении к которой даны варианты олимпиад 1964—66 гг., к сожалению, допущено несколько ошибок, в том числе и в вариантах 1966 года вместо задачи 12 приведена задача 4.

17. Числа Xu *2, ... строятся по следующему правилу: *i = 2; аг2= + 1)/5xi; *з = + 1)/5х2, .... Докажите, что сколько бы мы ни продолжали такое построение, все получающиеся числа будут не меньше 1/5 и не больше 2.

9-й класс

18. Вырезать из данного прямоугольника ромб наибольшей площади.

19. Сколько решений в целых числах имеет уравнение

20. Докажите, что можно раскрасить плоскость с помощью девяти красок таким образом, чтобы расстояние между любыми двумя точками одного цвета было отлично от 1966 м.

21. Р и Q — простые числа; Q3—1 делится на Р; Р—1 делится на Q. Докажите, что Р= 1+Q + Q2.

22. На сторонах треугольника ABC как на гипотенузах строятся во внешнюю сторону равнобедренные прямоугольные треугольники ABD, ВСЕ и ACF. Докажите, что отрезки DE и BF равны и взаимно перпендикулярны.

23*. Имеется k красок. Сколькими способами можно раскрасить стороны данного правильного ^-угольника так, чтобы соседние стороны были окрашены в разные цвета (многоугольник поворачивать нельзя)?

10—11-е классы

24. См. задачу 18.

25. См. задачу 19.

26. См. задачу 20 для 11 красок.

27. См. задачу 23.

28. Для каких е можно разбить отрезок длины 2а на п отрезков, каждый из которых имеет длину, не большую а, так, чтобы из них нельзя было составить отрезка, длина которого отличается от а меньше чем на е?1

29. Найдите все комплексные решения системы уравнений:

1 Условие задачи 28 звучит несколько двусмысленно: видимо, на самой олимпиаде давались необходимые пояснения к этой задаче.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

30. m и n — натуральные числа, причем m — нечетно. Докажите, что числа 2п+1 и 2т— 1 взаимно просты.

31*. Пусть Тп — площадь наибольшего по площади п-угольника, содержащегося в данном выпуклом ^-угольнике (при 3<Cn<Ck). Докажите, что для любого п < k имеем 7V-1 + Тп+1 ^ 27\г.

32. Из ряда чисел 1, 2, 3, 4, 2П выбрасывается [(2П — 2)/3] чисел. Докажите, что среди оставшихся чисел найдутся два, одно из которых вдвое больше другого.

33. Разложением квадрата называется разбиение его на конечное число прямоугольников, стороны которых параллельны сторонам квадрата. Разложение называется примитивным, если оно не является разбиением более крупного разложения. При каких п существует примитивное разложение квадрата на п прямоугольников?

34*. На плоскости дано п точек общего положения. Некоторые из них соединены отрезками так, чтобы из каждой точки в любую другую можно было пройти единственным способом. Докажите, что таких способов соединения существует пп~2.

35*. В круг вписан п-угольник со сторонами ai, аз, .. ., ап> причем так, что центр круга лежит внутри n-угольника. Докажите, что этот круг можно покрыть п кругами радиусов

ОЛИМПИАДА 1967 ГОДА

6-й класс

1. Вместимости кубических сосудов относятся как 1 : 8 : 27, а объемы налитой в них жидкости как 1:2:3. После этого из первого во второй сосуд перелили некоторое количество жидкости, а затем из второго в третий так, что во всех трех сосудах уровень жидкости стал одинаковый. После этого перелили из первого сосуда во второй 128— л, а из второго в первый назад столько, чтобы высота столба жидкости в первом сосуде стала вдвое больше, чем во втором. Выяснилось, что в первом сосуде на 100 л меньше, чем вначале. Сколько жидкости было исходно в каждом сосуде?

2. Сколько раз в сутки совпадают все три стрелки на часах, включая секундную?

3. Докажите, что в Ленинграде найдутся два человека, у которых одинаковое количество знакомых ленинградцев.

4. Каждое из восьми данных различных натуральных чисел

меньше 16. Докажите, что среди их попарных разностей есть по крайней мере три одинаковые.

5. Расстояние AB равно 100 км. Из А и В одновременно выезжают навстречу друг другу велосипедисты со скоростями 20 и 30 км/ч соответственно. Вместе с первым из А вылетает муха со скоростью 50 км/ч, она летит до встречи с велосипедистом из В, после чего разворачивается и летит обратно до встречи с велосипедистом из А, после чего разворачивается и т. д. Сколько километров пролетит муха в направлении от А к В до момента встречи велосипедистов?

7-й класс

6. Постройте трапецию по четырем сторонам.

7. Докажите, что (1 + х + х2 + ... + хт) (1+jc102) — 102я-101 ^ ^ 0.

8. В четырехугольнике ABCD M — середина AB, N — середина CD. Прямые AD и ВС пересекают MN в точках Р и Q соответственно. Докажите, что если ZBQM= ZAPM, то ВС =AD.

9. См. задачу 4.

10. Через вершины А и С прямоугольника ABCD проведена дуга окружности, целиком лежащая внутри прямоугольника. Проведите прямую, параллельную AB, пересекающую ВС в точке Р и AD в точке Q, а дугу АС в точке R так, чтобы сумма площадей фигур AQR и CPR была наименьшей.

11. См. задачу 5.

8-й класс

12. X и Y—корни уравнения t2 — et—с =0. Докажите, что выполнено неравенство X3 + Y3+ (XY)3 ^ 0.

13. Две окружности внутренне касаются в точке А. Через точку В внутренней окружности, отличную от А, проведена касательная к этой окружности, пересекающая внешнюю окружность в точках С и D. Докажите, что AB — биссектриса угла CAD.

14. Докажите, что 2 +1 делится на 3101.

15. См. задачу 10.

16. В некоторой группе людей у каждого есть один враг и один друг. Докажите, что этих людей можно разбить на две компании так, что в каждой компании не будет ни врагов, ни друзей.

17. Числа au #2, . . ., Bioo таковы, что:

и при этом ai = aioo^O. Докажите, что все эти числа неотрицательны.

9-й класс

18. Даны последовательные нечетные числа р и q. Докажите, что pp + qq делится на p + q.

19. С центром в точке В проведена окружность, касающаяся стороны АС треугольника ABC. Из вершин А и С проведены к этой окружности касательные AM и СР. Прямая MP пересекает прямую AB в точке Е, а прямую ВС в точке Я. Докажите, что АН и СЕ — высоты в треугольнике ABC.

20. Дана последовательность из k чисел. Разрешается любое число заменить на сумму чисел, стоящих справа от него. Докажите, что если эту операцию проделать достаточно много раз, то какая-нибудь последовательность повторится два раза подряд.

21. Из 106 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, четыре являются вершинами единичного квадрата, а остальные лежат внутри этого квадрата. Докажите, что имеются по крайней мере 107 треугольников с вершинами в этих точках, имеющих площадь не больше 0,01.

22. ai ^ Ü2 ^ ... ^ ап ^ 0; В — наибольшее из чисел | fti |, I&1 + 62I, ..., I&1 + &2+...+&п|. Докажите, что |aièi-fa262 + ... +апЬп\<.Вах.

23. В лесу, имеющем форму выпуклого многоугольника площади 1 км2, заблудился человек. Докажите, что он всегда может выйти из леса, пройдя путь, меньший 2507 м.

10-й класс

24. Даны последовательные нечетные числа р и q. Докажите, что pq + qp делится на p + q.

25. Точка M лежит внутри равностороннего треугольника ABC; Au Bu Ci — ее проекции на стороны ВС, А С, AB соответственно. Докажите, что ABi . BCi + BCi • СЛ1 + CAi • ABi = Ad . BAi + BAi • CBi + CBi. Ad.

26. См. задачу 20.

27. См. задачу 22.

28. См. задачу 23.

29. Докажите, что на плоскости существует такая конечная система точек, что для каждой точки этой системы найдутся по крайней мере сто равноудаленных от нее точек этой системы.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

30. Найдите на клетчатой бумаге фигуру, составленную из наименьшего числа клеток и обладающую тем свойством, что

если двое играют в крестики-нолики на клетках этой фигуры, то начинающий всегда сможет первым поставить три крестика подряд.

31. Две окружности пересекаются в точке А\ AB и АС — их хорды, являющиеся одновременно касательными к другой окружности в точке А. Обозначим вторую точку пересечения окружностей через D. Докажите, что |Л5|2/ИС|2= \BD\I\CD\.

32. Два многочлена с вещественными коэффициентами принимают целые значения в одних и тех же точках. Докажите, что либо их сумма, либо их разность есть константа.

33*. На сторонах треугольника взяли по точке и соединили их отрезками. При этом получилось четыре маленьких треугольника. Известно, что периметры всех этих треугольников равны. Докажите, что взятые точки совпадают с серединами сторон.

34. В компании 18 человек. Докажите, что среди них есть четверо попарно незнакомых людей или среди них есть четверо попарно знакомых.

35*. В квадратной таблице размерами NxN записаны неотрицательные числа так, что их сумма в любой строке, равно как и сумма в любом столбце, равна 1. Докажите, что в этой таблице можно выбрать N положительных чисел, никакие два из которых не будут находиться в одной строке или в одном столбце.

36. Дана последовательность 0 < а0 < ai < ai < ... < агъ <

причем

Докажите,

ОЛИМПИАДА 1968 ГОДА

6-й класс

1. Ученик купил портфель, авторучку и книгу. Если бы портфель стоил в пять раз дешевле, авторучка в два раза дешевле, а книга в 2,5 раза дешевле, то вся покупка стоила бы 2 руб. Если бы портфель стоил в два раза дешевле, авторучка в четыре раза дешевле, а книга в три раза дешевле, то вся покупка стоила бы 3 руб. Сколько же она стоит на самом деле?

2. Какое число больше:

и на сколько?

3. Расстояние между Лугой и Волховом 194 км, между Волховом и Лодейным Полем 116 км, между Лодейным Полем и Псковом 451 км, между Псковом и Лугой 141 км. Каково расстояние между Псковом и Волховом?

4. Имеются четыре предмета попарно различного веса. Как с помощью чашечных весов без гирь пятью взвешиваниями расположить все эти предметы в порядке возрастания весов?

5. Несколько команд приняли участие в волейбольном турнире. Команда А считается сильнее команды B, если либо А выиграла у B, либо имеется команда С такая, что А выиграла у С, а С выиграла у В. Докажите, что если команда Т — победительница турнира, то она сильнее всех остальных команд.

6. В задаче 1 определите, что дороже: портфель или авторучка?

7-й класс

7. В квадрат вписан прямоугольник, не являющийся квадратом. Докажите, что его полупериметр равен диагонали квадрата.

8. Найдите пять чисел, попарные суммы которых равны О, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 17.

9. В 1000-значном числе все цифры, кроме одной, пятерки. Докажите, что это число не является точным квадратом.

10. См. задачу 5.

11. В пятиугольнике ABC DE К — середина АВ\ L — середина ВС; M — середина CD; N — середина DE; Р — середина КМ; Q — середина LN. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне АЕ и равен ее четверти.

12. В круг радиуса 3 произвольным образом помещены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 25. Докажите, что найдется прямая, которая пересекает не менее девяти из этих кругов.

8-й класс

13. В параллелограмме ABCD диагональ АС больше диагонали BD. Точка M на диагонали АС такова, что около четырехугольника BCDM можно описать окружность. Докажите, что BD — общая касательная окружностей, описанных около треугольников АВМ и ADM.

14. А — нечетное число, X и Y — корни уравнения i2 + At — 1=0. Докажите, что ^4 + К4 и X5 + Y5 — целые взаимно простые числа.

15. Правильный треугольник отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Новый треугольник снова отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Это повторяется несколько раз. Оказалось, что полученный в конце концов треугольник совпадает с исходным. Докажите, что было сделано четное число отражений.

16. См. задачу 12.

17. Все двузначные числа, не оканчивающиеся нулем, выписывают одно за другим так, что каждое следующее число начинается с той же цифры, на которую оканчивается предыдущее число. Докажите, что можно это сделать, и найдите сумму наибольшего и наименьшего из всех многозначных чисел, которые можно получить таким способом.

18*. Все 10-значные числа, состоящие из цифр 1, 2 и 3, подписали одно под другим. К каждому числу приписали справа еще одну цифру 1, 2 или 3, причем оказалось, что к числу 111... 11 приписали 1, к числу 222... 22 приписали 2, а к числу 333... 33 приписали 3. Известно, что к любым двум числам, которые отличаются во всех десяти разрядах, приписаны разные цифры. Докажите, что приписанный столбец цифр совпадает с одним из десяти столбцов, написанных ранее.

9-й класс

19. Решите уравнение х=1 — 1968(1 — 1968*2)2.

20. Постройте четырехугольник по серединам трех сторон, про которые заранее известно, что они равны по длине (а также дано, какая из трех данных точек является серединой средней из этих трех сторон).

21. Бесконечный лист клетчатой бумаги закрашен девятью красками так, что каждая клетка закрашена в один цвет, и все краски использованы. Две краски назовем соседними, если найдутся две клетки с общей стороной, закрашенные этими красками. Каково наименьшее возможное число пар соседних красок?

22. В остроугольный треугольник ABC помещены две окружности, касающиеся сторон АС и ВС и сторон AB и ВС соответственно, а также друг друга. Докажите, что сумма их радиусов больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC.

23. Докажите, что при любом натуральном N

24*. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя разрезать на несколько попарно неравных равносторонних треугольников.

10-й класс

25. Треугольники ABC, А\В\С\, АгВчСг с площадями S, Si, 52 таковы, что AB =AiBl+A2B2, BC = BiG + 52С2, AC=AiCi + Л2С2. Докажите, что

26. Сколько решений имеет система уравнений:

27. ABC и AiBiCi — правильные одинаково ориентированные треугольники. AAi = a, BB\ = b. Угол между AAi и BBi равен а. Найдите Cd.

28. См. задачу 21 для 10 красок.

29*. Докажите, что правильный тетраэдр нельзя разрезать на несколько попарно различных правильных тетраэдров.

30*. au «2, ..., ап — положительные числа, k — натуральное число. Докажите, что

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР1

31. В окружности проведены две хорды AB и АС. Из середины M дуги ВАС опущен перпендикуляр на большую из хорд. Докажите, что его основание делит пополам ломаную ВАС.

32. На окружности дано N точек. Двое играют в игру: передвигают карандаш из одной точки в другую по отрезку, соединяющему эти точки. Ходы делаются по очереди, причем запрещается дважды проводить один и тот же отрезок. Проигрывает тот, кто не имеет хода. Докажите, что первый игрок выигрывает при правильной игре.

33. На плоскости дано M точек, причем не все они лежат на одной прямой. Докажите, что можно найти не менее (М— 1) X X (М — 2)/2 треугольников с вершинами в этих точках.

34. au Я2, ..., ар — вещественные числа; M — самое большое из них, a m — самое маленькое. Докажите, что

35. Докажите, что сумма расстояний от точки внутри тетраэдра до его вершин меньше его периметра.

36*. Найдите такое целое я, что среди цифр десятичной записи числа 5" есть по крайней мере 1968 нулей подряд.

37*. Дан выпуклый многогранник, в каждой вершине которого сходятся три грани. Каждая грань закрашена в один из четырех цветов, причем грани с общим ребром имеют разный цвет. Докажите, что число граней первого цвета с нечетным

1 Представленный вариант отборочного тура был обнаружен лишь в одном архиве и потому не может считаться стопроцентно верным.

числом сторон имеет ту же четность, что и число граней второго цвета с нечетным числом сторон.

38. Назовем словом любую конечную последовательность букв А и Б. Есть две операции над словами: первая — в любом месте слова вставить Лив конце слова приписать Б; вторая — в любом месте слова вставить АБ. Докажите, что слова, которые можно получить из слова АБ, используя только первую операцию, — это те слова, которые можно получить из слова АБ, используя только вторую операцию.

ОЛИМПИАДА 1969 ГОДА

6-й класс

1. На шахматной доске стоят восемь ладей так, что никакие две из них не бьют друг друга. Докажите, что на черных полях стоит четное число ладей.

2. В таблице 3x3 расставлены натуральные числа (см. рис. 4). Коля и Петя вычеркнули по четыре числа. Оказалось, что сумма чисел, вычеркнутых Петей, втрое больше суммы чисел, вычеркнутых Колей. Какое число осталось невычеркнутым?

3. Миша и Саша выехали в полдень на велисипедах из города А в город В. Одновременно из В в А выехал Ваня. Все трое едут с постоянными, но различными скоростями. В час дня Саша был ровно посередине между Мишей и Ваней, а в половине второго Ваня был посередине между Мишей и Сашей. Когда Миша будет ровно посередине между Сашей и Ваней?

4. На столе лежат 35 кучек орехов. Разрешается добавлять по одному ореху одновременно к любым 23 кучкам. Докажите, что, повторяя эту операцию, можно уравнять все кучки.

5. На круглом барабане 64 вертикальные полосы, и в каждую полосу можно записать шестизначное число из цифр 1 и 2 так, чтобы все числа были различными и любые два соседних различались ровно в одном разряде. Как это сделать?

6. Двум гениальным математикам сообщили по натуральному числу и сказали, что эти числа отличаются на единицу. После этого они по очереди задают друг другу один и тот же вопрос: «Знаешь ли ты мое число?». Докажите, что рано или поздно один из них ответит положительно.

7-й класс

7. См. задачу 1.

8. Стороны треугольника ABC продолжают так, как показано на рис. 5, и при этом АА'=ЗАВ, ВВ' = ЬВС, СС = ЪСА.

Рис. 4

Во сколько раз площадь треугольника ABC меньше площади треугольника A'B'C't 9. Докажите тождество

10*. В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк, а в вершинах квадрата— четыре собаки. Волк может бегать по всему полю, а собаки — только по сторонам квадрата. Известно, что волк задирает собаку, но две собаки задирают волка. Максимальная скорость каждой собаки в 1,5 раза больше максимальной скорости волка. Докажите, что собаки имеют возможность не выпустить волка из квадрата.

11. Колхоз состоит из четырех деревень, расположенных в вершинах квадрата со стороной 10 км. Он имеет средства на прокладку 28 км дорог. Может ли колхоз построить такую систему дорог, чтобы по ней можно было попасть из любой деревни в любую другую?

12. См. задачу 6.

8-й класс1

13. На основании AD трапеции ABCD нашлась такая точка £, что периметры треугольников ABE, ВСЕ и CDE равны. Докажите, что ВС = AD/2.

14. В выпуклом пятиугольнике длины всех сторон равны. Найдите на наибольшей диагонали точку, из которой все стороны видны под углами, не превышающими прямого.

15. В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно проехать, сделав не более одной пересадки. Какое максимальное число городов может быть в этом государстве?

16. См. задачу 10.

Рис. 5

1 Вариант 8-го класса полностью совпадает с вариантом Всесоюзной олимпиады 1969 г. Дело в том, что эти олимпиады проходили почти одновременно, а команда Ленинграда была отобрана еще до олимпиады младших классов.

17. Четыре различных трехзначных числа, начинающихся с одной цифры, обладают тем свойством, что их сумма делится на три из них без остатка. Найдите эти числа.

18. Дана конечная последовательность нулей и единиц, обладающая двумя свойствами:

1) если в некотором произвольном месте последовательности выделить пять цифр подряд и в любом другом месте тоже выделить пять цифр подряд, то эти пятерки будут различны (они могут и перекрываться);

2) если к последовательности добавить справа любую цифру, то первое свойство перестанет выполняться.

Докажите, что первая четверка цифр нашей последовательности совпадает с последней четверкой.

9-й класс

19. А и В— две точки на окружности, С — середина дуги AB, а точка Р лежит внутри окружности, причем АР < BP. Докажите, что ZAPC > ZBPC.

20. Трамвайный билет называют счастливым по-ленинградски, если сумма первых трех его цифр равна сумме трех последних цифр. Трамвайный билет называют счастливым по-московски, если сумма его цифр, стоящих на четных местах, равна сумме его цифр, стоящих на нечетных местах. Сколько существует билетов, счастливых и по-ленинградски, и по-московски, включая и билет 000000?

21. m, п — натуральные числа, причем

Докажите, что

22. Найдите геометрическое место центров прямоугольников, описанных вокруг данного выпуклого четырехугольника.

23. К > 1—натуральное число. Последовательность (хп) строится следующим образом: аг± = 1, Х2 = К, хп = Кхп-\ — xn-i при п > 2. Докажите, что для любого натурального п существует такое т> п, что хт делится на хп.

24*. В дом отдыха с четырехразовым питанием на 15 дней приехала группа из 60 отдыхающих. За обеденным столом 61 место. На одном месте постоянно сидит директор дома отдыха. Директор хочет сам познакомиться с каждым отдыхающим и перезнакомить их между собой. Для этого он хочет сажать отдыхающих каждый раз по-новому, чтобы ни один из них не сидел дважды на одном и том же месте и чтобы у всех отдыхающих и у директора каждый раз был новый сосед справа. Как это сделать?

10-й класс

25. В тетраэдре ABCD AB перпендикулярно CD, О — произвольная точка пространства. Докажите, что сумма квадратов

расстояний от точки О до середин ребер АС и BD равна сумме квадратов расстояний от точки О до середин AD и ВС.

26. См. задачу 20.

27. См. задачу 24.

28. К > 1 — натуральное число. Последовательность (хп) строится следующим образом: *i = l, хч = К, xn = Kxn-i — xn-i при п > 2. Докажите, что для любого натурального п существует такое т> п, что хт — 1 и хп взаимно просты.

29. Постройте такую последовательность натуральных чисел, что среди разностей между ее членами встречаются все натуральные числа ровно по одному разу.

30*. АА\ ВВГ и СС — высоты остроугольного треугольника ABC с длинами соответствующих сторон a, b и с. А\ и Аг — проекции точки А/ на стороны AB и АС соответственно; В\ и Вг — проекции точки В' на стороны ВС и В А соответственно; Ci и С2 — проекции точки С на стороны CA и СВ соответственно. Докажите, что

где 5 — площадь треугольника ABC, a R — радиус описанного вокруг него круга.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

31. Каким наименьшим чbслом кругов радиуса 1 можно покрыть круг радиуса 1,5?

32*. На площади собралось 50 гангстеров. Они одновременно стреляют друг в друга, причем каждый стреляет в ближайшего к нему или в одного из ближайших. Каково минимальное возможное количество убитых?

33. Сумма положительных чисел ai, ai, . .., ап равна 1. Докажите, что

34. Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что на ней можно найти треугольник площади 1, все вершины которого окрашены в один и тот же цвет.

35*. Из квадрата со стороной 1 ООО ООО вырезан квадратный уголок со стороной 0,001. Оставшаяся часть квадрата разбита на 10 прямоугольников. Докажите, что хотя бы в одном из них отношение длин сторон больше девяти.

36. Центры четырех одинаковых кругов расположены в вершинах квадрата. Постройте четырехугольник наибольшего периметра с вершинами на этих окружностях.

37. Fi, F2, ..., Fn — многочлены с целыми коэффициентами. Докажите, что при некотором целом а все числа Fi (а), Fi (а), ..., F и (а) — составные.

38*. хо < Xi < ... < Хп — натуральные числа. Докажите неравенство

Комментарии

1. Задачи 9-го и 10-го классов, к сожалению, были найдены лишь в одном архиве, поэтому восстановленный вариант, возможно, отличается от истинного.

2. В 1969 г. впервые была проведена олимпиада 5-го класса. Однако ввиду того что до 1979 года составление варианта этой олимпиады возлагалось на преподавателей ЛГПИ имени А. И. Герцена, некоторые варианты олимпиад 5-го класса не попали в архив жюри.

ОЛИМПИАДА 1970 ГОДА

6-й класс

1. Девятизначное число, в записи которого есть все цифры, кроме нуля, после некоторой перестановки цифр уменьшилось в восемь раз. Найдите все такие числа.

2. Длины сторон треугольника — последовательные целые числа. Найдите стороны этого треугольника, если известно, что одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис.

3. В некотором поселке 1970 жителей. Время от времени они меняют друг у друга одну монету в 10 коп. на два пятака или наоборот. Может ли случиться так, что в течение некоторой недели каждый из них отдал при таких обменах ровно 10 монет?

4. Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и т. д. всего 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.

5. В некотором государстве любые два города соединены воздушным или водным путем. Докажите, что из любого города в любой можно добраться по воде или из любого города в любой можно добраться по воздуху.

6. В волейбольном турнире участвовали 12 команд. Никто не набрал семи очков. Докажите, что найдутся три команды А, В и С такие, что А выиграла у В, В — у С, а С — у А.

7-й класс

7. Найдите угол В треугольника ABC, если высота СН равна половине стороны AB, а угол А равен 75°.

8. См. задачу 4.

9. Дан равнобедренный треугольник с углом при вершине 20°. Докажите, что:

а) боковая сторона больше удвоенного основания;

б) боковая сторона меньше утроенного основания.

10. См. задачу 5.

11. Решите систему уравнений:

12. В футбольном турнире участвуют 36 команд, причем каждые две должны сыграть между собой по одному разу. Известно, что каждая команда сыграла не менее 34 игр. Докажите, что команды можно разбить на три группы по 12 команд так, что внутри каждой группы все игры уже сыграны.

8-й класс

13. В угол ABC вписаны две окружности, одна из которых касается стороны AB в точке А, а другая — стороны ВС в точке С. Докажите, что эти окружности высекают на прямой АС равные отрезки.

14. Решите систему уравнений:

15. Вокруг окружности описан пятиугольник, длины сторон которого — целые числа, а первая и третья стороны равны 1. На какие отрезки делит вторую сторону точка касания?

16. В квадрате 5x5 закрашено 16 клеток. Докажите, что в нем можно выбрать квадрат 2x2, в котором закрашено не менее трех клеток.

17. В треугольник вписаны круг и квадрат, все вершины которого лежат на сторонах треугольника. Докажите, что отношение стороны квадрата к радиусу круга заключено между числами 2 и V2.

18. На плоскости даны 35 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые из них соединены отрезками— их всего 100. Докажите, что какие-то два из этих отрезков пересекаются.

9-й класс

19. Две равные окружности Oi и 02 касаются изнутри окружности О в точках А и В; M — произвольная точка окружности О,

С и D — точки пересечения AM и ВМ с окружностями 0\ и Oi соответственно. Докажите, что прямые AB и CD параллельны.

20. См. задачу 16.

21. Около окружности описан девятиугольник, стороны которого имеют целые длины, а первая и третья стороны равны 1. На какие отрезки делит вторую сторону точка касания?

22. Положительные числа а, Ь, с, d таковы, что a2 + è2 = c2 + d2 и a3 + b3 = c3+d3. Докажите, что ab = cd.

23. Найдите все натуральные х, у, г, t при которых

24. Квадрат 100x100 разбит на три вертикальные полосы. Ширина первой (левой) полосы— 19 клеток, а второй — 70 клеток. В первой строчке записаны подряд числа от 1 до 100. Во вторую строчку записываются сначала (слева) числа из третьей полосы первой строчки без изменения порядка, затем из второй полосы и наконец из первой также без изменения порядка. Таким же образом из второй строчки получается третья и т. д., пока не будет заполнен весь квадрат. Докажите, что в каждом столбце встречаются все числа от 1 до 100.

10-й класс

25. В треугольную пирамиду вписаны шар и куб, все вершины которого лежат на гранях пирамиды. Докажите, что отношение ребра куба и радиуса шара заключено между числами

26. Докажите неравенство

27. В равностороннем пятиугольнике все углы меньше 120°. Докажите, что все они тупые.

28. См. задачу 22.

29. Найдите такую функцию /(*), что для любого вещественного X, кроме 0 и 1, f(l/x) +f(l — х) =х.

30*. Квадрат NxN разбит на три вертикальные полосы. Ширина первой слева полосы — k клеток, а третьей — m клеток, причем числа N— k и N— m взаимно просты. В первой строчке слева направо выписаны по порядку числа от 1 до N. Во вторую строчку записывают слева направо сначала числа из третьей полосы первой строки без изменения порядка, затем из второй полосы и, наконец, из первой полосы также без изменения порядка. Таким же образом из второй строки получается третья строка и т. д. до тех пор, пока не будет заполнен весь квадрат. Докажите, что в каждом столбце встречаются все числа от 1 до N.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

31. Натуральное число обладает тем свойством, что при вычеркивании любой его цифры получается число, делящееся на семь. Докажите, что оно либо записано одними четверками, либо в его записи нет ни одной четверки.

32. Числа tu t2y . - -, tn положительны и их произведение равно 1. Докажите, что есть такой номер k < п, что W (frt+i+1) ^ ^ 2 (через tn+i обозначено число t{).

33. Из проволоки согнут плоский выпуклый многоугольник. Докажите, что из этой проволоки нельзя согнуть другой (не конгруэнтный этому) плоский многоугольник так, чтобы расстояния между любыми двумя точками проволоки при этом не увеличились.

34. Натуральные числа ai, а2у ..., таковы, что О <С ai < а2 < < ... и ап < 2п для любого п. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде разности двух чисел из этой последовательности или как число из самой последовательности.

35*. D и С — произвольные точки окружности, касающейся отрезка AB в его середине. AD и ВС пересекают окружность в точках X и Y соответственно, а СХ и DY пересекают AB в точках M и N соответственно. Докажите, что AM = BN.

36*. Началами числа 2345 являются числа 2, 23, 234, 2345; концами — числа 5, 45, 345, 2345. Аналогично эти понятия определяются для всех натуральных чисел. Натуральные числа ai, 0,2, . . ., а^, имеющие nu п2у . . ., пи цифр соответственно таковы, что никакое начало никакого из этих чисел не является никаким концом другого из этих чисел; никакое начало, кроме самого числа, не является его же концом и никакое из чисел а, не является частью другого числа. Докажите, что

если известно, что ni < 2rij для любых i и /.

37*. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги написано вещественное число так, что сумма чисел, стоящих внутри любого квадрата со сторонами, идущими по линиям сетки, по модулю не превосходит 1. Докажите, что сумма чисел внутри любого прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки, не превосходит 10 000.

38*. Допустим, что в задаче 37 известно также, что в одном из прямоугольников сумма чисел максимальна по модулю. Докажите, что в любом прямоугольнике модуль суммы чисел не превосходит четырех.

ОЛИМПИАДА 1971 ГОДА

6-й класс

1. Из города А в город В одновременно выехали два мотоциклиста Петров и Иванов, и в тот же момент из города В навстречу им выехали мотоциклисты Ивановский и Петровский. Иванов едет в два раза быстрее Петрова, а Ивановский в три раза быстрее Петровского. Иванов встретил Петровского в тот же момент, когда Петров встретил Ивановского. Чья встреча произошла ближе к городу А: Иванова с Ивановским или Петрова с Петровским?

2. Среди всех треугольников, имеющих данную сумму медиан, укажите тот, который имеет наибольшую сумму длин высот.

3. Коля, Женя и Надя сдают несколько экзаменов, на которых получают определенное целое число очков в зависимости от занятого места — первого, второго или третьего, причем занявший более высокое место получает больше очков. После всех экзаменов Коля набрал 22 очка, а Женя и Надя — по 9 очков. Женя был первым по алгебре. Кто был вторым по физике?

4. Найдите целое число, если известно, что десятичная запись его шестой степени состоит из цифр 0, 1,2, 2, 2, 3, 4, 4.

5. Двое играют, по очереди бросая кубик, на каждой грани которого написана цифра 1 или 2. В начале игры на доске написано число 200. Каждый игрок по желанию может прибавить или отнять от написанного на доске числа выпавшую на кубике цифру, или пропустить ход. Выигрывает тот, кто первым напишет четырехзначное число. Игра считается закончившейся вничью, если на доске окажется двузначное число или если было сделано три пропуска хода подряд. Докажите, что при правильном ведении игры начинающий сумеет не проиграть.

6. Можно ли покрыть всю плоскость квадратами, среди которых всего два одинаковых?

7-й класс

7. Решите систему уравнений:

8. Среди всех треугольников с данной суммой длин биссектрис найдите треугольник с максимальной суммой длин высот.

9. Внутри квадрата ABCD выбрана точка К. Через вершины А, В, С и D проведены перпендикуляры к прямым ВК, CK, DK и AK соответственно. Докажите, что все они пересекаются в одной точке.

10. См. задачу 5.

11. Докажите, что любой выпуклый многоугольник, отличный от параллелограмма, можно поместить в треугольник, образованный продолжениями трех каких-то сторон многоугольника.

12. Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2x2 и 1X4. Их высыпали из коробки и при этом потеряли одну из плиток размером 2x2. Пришлось заменить ее на запасную плитку 1X4. Докажите, что теперь выложить дно коробки нельзя.

8-й класс

13. Точки А и В равномерно движутся с одинаковыми скоростями по двум пересекающимся прямым. Докажите, что в плоскости существует точка, которая в любой момент равноудалена от точек А и В.

14. Даны числа 51971 и 21971. Они записаны подряд. Каково количество цифр полученного числа?

15. По окружности выписано 100 целых чисел, сумма которых равна 1. Цепочкой назовем несколько чисел, стоящих подряд. Найдите количество цепочек, сумма чисел в которых положительна.

16. В двух кучках по 100 спичек. Двое играют в следующую игру: первый выбрасывает одну из двух кучек, а другую делит на две не обязательно равные кучки. Затем второй производит ту же операцию и так далее. Может ли первый игрок выиграть, если проигравшим считается тот, кто не может разделить кучку на две части? Как для этого должен играть первый игрок?

17. Натуральное число п таково, что п+1 делится на 24. Докажите, что сумма всех делителей п, включая 1 и само число я, делится на 24.

18. ABC — треугольник, BD — его биссектриса. Длина стороны AB— 15, стороны ВС— 10. Докажите, что длина BD не превосходит 12.

9-й класс

19. Решите систему уравнений:

20. См. задачу 13.

21. Число ABC — простое. Докажите, что число В2 — 4АС не может быть точным квадратом.

22. См. задачу 16. Дополнительный вопрос: каким должно быть начальное количество спичек в кучках, чтобы первый не смог выиграть?

23. CD — биссектриса прямого угла треугольника ABC. DE и DK — биссектрисы треугольников ADC и BDC. Докажите, что AD2 + BD2 = (АЕ + ВК)2.

24. Можно ли замостить плоскость попарно различными треугольниками с рациональными длинами сторон?

10-й класс

25. См. задачу 17.

26. В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.

27. По двум скрещивающимся в пространстве прямым ползут мухи с равными постоянными скоростями. Докажите, что существует точка в пространстве, которая все время равноудалена от обеих мух.

28. Докажите, что

29. Докажите, что если числа 21, 22, 24, 28, ... выписать друг за другом после нуля и запятой, то полученное число будет иррациональным.

30*. На плоскости дано N попарно непараллельных прямых и точка Р. Точка Р проектируется на все данные прямые, полученные проекции опять проектируются на все прямые и т. д. Докажите, что все точки, полученные таким образом, можно покрыть одним кругом.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

31. Вещественные числа au аг, ..., ап положительны. Докажите, что уравнение

имеет не более одного положительного корня.

32. Дан набор вещественных чисел au a2, ..., an. Для k ^ п обозначим через Ak наибольшее из чисел:

Докажите, что наименьшее из чисел Au Аг, ..., Ап не больше среднего арифметического чисел ai, a2, ..., ап-

33. Через вершину А треугольника ABC проведена произвольная прямая; В\ и Ci— проекции на нее точек В и С; Вг — проекция точки Bi на АС\ Сч— проекция Ci на AB. Докажите, что точка пересечения прямых В1В2 и С1С2 лежит на одной из высот треугольника ABC или на ее продолжении.

34*. bu bo, .. ., bn — целые числа, сумма которых равна 1. Для k ^ п обозначим через Nu число положительных чисел в наборе:

Докажите, что все числа Nu различны.

35. Квадрат со стороной п—1 и прямоугольник со сторонами а— 1 и b— 1 разбиты на единичные квадратики; ab = п2. Каждому из п2 узлов квадрата сопоставлен один узел прямоугольника, причем разным узлам сопоставлены разные. Известно, что каждый из четырех вершин и центру каждого квадратика 2X2 сопоставлены соответственно четыре вершины и центр параллелограмма с вершинами и центром в узлах сетки прямоугольника (параллелограмм, возможно, вырожден). Докажите, что а = Ь.

36*. Ребра полного графа с 2п+\ вершинами окрашены в три цвета. Докажите, что можно выбрать один из цветов и п+ 1 вершин графа так, что из каждой из них в любую другую выбранную вершину можно добраться по ребрам указанного цвета.

37. Докажите, что уравнение X3 + Y3 + Z3 = 2 имеет бесконечно много решений в целых числах.

38*. По обоих участкам реки, имеющей форму, показанную на рис. 6, проплыла щепка. Докажите, что к щепке можно прибить плот такой формы, что при повторении щепкой того же пути плот проплывет по реке, коснувшись при этом берегов всеми точками своего края.

ОЛИМПИАДА 1972 ГОДА

6-й класс

1. Из города А одновременно вылетели два самолета. Маршрут первого: А—В—D—С—А—D—В—С—Л, а маршрут второго: А—В—C—D—A—В—C—D—A—В—C—D—A. Какой из самолетов раньше завершит полет, если их скорости одинаковы?

Рис. 6

2. На встрече собрались участники двух туристских походов (некоторые из них участвовали в обоих походах). В первом походе было 60% мужчин, а во втором — 75%. Докажите, что на встречу пришло не меньше мужчин, чем женщин.

3. Расположите шесть точек на плоскости так, чтобы любые три из них являлись вершинами равнобедренного треугольника.

4. В произведении всех целых чисел от 1 до 100 вычеркнули все нули. Какой будет последняя цифра получившегося числа — четной или нечетной?

5. Школьники сдавали семь экзаменов и все сдали их только на четыре и пять, причем каждый получил не более двух четверок. Известно, что нет двух учеников, один из которых по каждому предмету получил оценку, не ниже, чем второй. Докажите, что учеников было не более 21.

6. Можно ли расставить на ребрах куба числа от 1 до 12 так, чтобы все суммы в вершинах (суммируются числа, стоящие на ребрах, выходящих из данной вершины) были равны?

7-й класс

7. Можно ли двумя прямолинейными разрезами, проходящими через две вершины треугольника, разрезать его на четыре части такие, что три из них — равновеликие треугольники?

8. См. задачу 2.

9. ABCD — трапеция, (BC)\\(AD). M — точка пересечения биссектрис углов А и В, г N — точка пересечения биссектрис углов С и D. Зная длины сторон трапеции, найдите длину отрезка MN.

10. В вершинах правильного 12-угольника расставлены черные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета, стоящие в вершинах равнобедренного треугольника.

11. См. задачу 5.

12. Докажите, что если четное число можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел, то и его половину можно представить в таком виде.

8-й класс

13. К и M — точки пересечения двух окружностей. Из точки К проведены два луча, один из которых пересекает первую окружность в точке А, а вторую в точке В, другой пересекает первую окружность в точке С, вторую — в точке D. Докажите, что величины углов MAB и MCD равны.

14. Существует ли натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 1972?

15. Докажите, что четырехугольник, диагонали которого делят его на четыре треугольника с равными периметрами — ромб.

16. На плоскости нарисовано несколько кружков, некоторые из которых соединены отрезками. Докажите, что в этих кружках можно расставить целые числа так, чтобы два кружка были соединены отрезком тогда и только тогда, когда стоящие в них числа взаимно просты.

17*. Дан правильный треугольник со стороной 32. От его вершины отрезали правильный треугольник со стороной 1. Оставшаяся часть разрезана на правильные треугольники. Докажите, что их не менее 15.

18. Натуральные числа m, п, а, 6, k, I таковы, что

Докажите, что b ^ п + 1.

9-й класс

19. См. задачу 14.

20. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите что если точка пересечения касательных к окружности в вершинах А и С лежит на прямой BD, то AB • CD = BC • AD.

21. См. задачу 18.

22. АС — наибольшая сторона треугольника ABC. На ней отложены отрезки АС\=АВ и CAi = CB. На сторонах AB и С В отложены отрезки AA2 = AAi и СС2 = ССи Докажите, что точки Au А2у Ci и С2 лежат на одной окружности.

23. Даны натуральные числа т и п. Докажите неравенство

24. Дана конечная последовательность целых чисел. Под каждым из них напишем, сколько раз оно встретилось в этой последовательности. По полученной последовательности аналогично построим новую последовательность и т. д. Докажите, что на некотором шаге мы получим две одинаковые последовательности подряд.

10-й класс

25. Числа а, Ь, с заключены между 0 и 1. Докажите, что

26. Замкнутая пространственная ломаная называется правильной, если равны между собой как звенья ломаной, так и углы между соседними звеньями. Докажите, что для любого N, большего 5, существует правильная N-звенная ломаная, не лежащая в одной плоскости.

27. Простое число р не равно 3. Докажите, что число 4р2+1 можно представить в виде суммы трех квадратов натуральных чисел.

28. См. задачу 22.

29*. Правильный треугольник площади 1 лежит внутри выпуклого семиугольника площади 1,0000001. Докажите, что хотя бы один из углов семиугольника больше 139°.

30. В волейбольном турнире проведено несколько матчей, после чего у каждой команды оказалось по 10 побед и 10 поражений. Докажите, что из сыгранных матчей можно выбрать несколько таких, что в них у каждой команды будет равно одно поражение и ровно одна победа.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

31. Найдите максимум отношения é2/(l,01)fe при натуральных k и укажите все k, при которых он достигается.

32. Докажите, что прямая, которая делит площадь треугольника пополам, делит его периметр в отношении не более чем 3:1.

33. Подряд написано 99 девяток. Докажите, что справа к ним можно приписать 100 цифр так, чтобы получившееся число было точным квадратом.

34. На стороне ВС выпуклого четырехугольника ABCD взята точка М. Докажите, что среди окружностей, вписанных в треугольники ABD, ACD и AMD, найдутся две с разными радиусами.

35. В строго возрастающей последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с третьего, равно сумме каких-то двух предшествующих. Докажите, что в этой последовательности бесконечно много составных чисел.

36. Каждая сторона правильного треугольника разделена на 30 равных частей. Прямые, проведенные через точки деления параллельно сторонам треугольника, разбивают его на 900 маленьких треугольничков. Каково максимальное число вершин разбиения, никакие две из которых не лежат на проведенной прямой или стороне?

37*. В городе Метрополисе 1972 станции метро. Каждая линия метро соединяет лишь две станции. Известно, что при закрытии любых девяти станций система метрополитена сохраняет связность. Известно также, что от некоторой станции А до некоторой станции В не менее 99 пересадок. Докажите, что все станции метро можно разбить на 1000 групп так, что в каждой группе никакие две станции не связаны линией метро.

38*. Город имеет вид клетчатого квадрата 100x100 со стороной клетки равной 500 м. По каждой стороне каждой клетки можно двигаться только в одном направлении. Известно, что по городу можно проехать не более 1 км, не нарушая правил

движения. Докажите, что найдется не менее 1300 перекрестков, с которых нельзя выехать, не нарушив правил движения. (Углы города также являются перекрестками.)

ОЛИМПИАДА 1973 ГОДА

6-й класс

1. В трех магазинах была 1973 учебника. В первые три дня первый магазин продал соответственно 1/47, 1/7 и 1/2 часть своих учебников, второй магазин—1/41, 1/5 и 1/3 часть своих учебников, а третий магазин— 1/25, 1/20 и 1/10 часть своих учебников. Сколько учебников было в каждом магазине?

2. Шоколадка имеет углубления в виде двух продольных и трех поперечных канавок, по которым ее можно разламывать. Какое наименьшее число разломов необходимо, чтобы разломать ее на кусочки, не имеющие канавок, если одним разломом можно ломать и несколько кусков, приложив их друг к другу?

3. Докажите, что число, записываемое с помощью шестисот шестерок и некоторого количества нулей, не может быть точным квадратом.

4. Докажите, что квадрат можно разрезать на 1973 квадрата.

5. На доске написаны три столбца чисел, причем никакое число не написано дважды в одном столбце. В четвертый столбец выписали все числа, встретившиеся ровно один раз в первых двух столбцах, в пятый столбец — числа, встретившиеся ровно один раз в третьем и четвертом столбцах; в шестой столбец — числа, встретившиеся ровно один раз во втором и третьем столбцах, а в седьмой столбец — числа, встретившиеся ровно один раз в первом и шестом столбцах. Докажите, что в пятом и седьмом столбцах написано одинаковое количество чисел.

6. Дан равнобедренный треугольник, один из углов которого равен 108°. Докажите, что его можно разрезать на остроугольные треугольники.

7-й класс

7. См. задачу 2.

8. См. задачу 3.

9. £ и К — середины сторон AD и ВС прямоугольника ABCD, H— произвольная точка отрезка ЕК, M — точка пересечения прямых АН и ВС, Р — точка пересечения прямых ВН и CD. Через точку M проведена прямая, параллельная CD, а через точку Р — прямая, параллельная AD. Докажите, что

точка пересечения проведенных прямых лежит на прямой DH.

10. Докажите, что 210 + 512 — составное число.

11. На каждой стороне параллелограмма выбрали по точке таким образом, чтобы площадь образованного ими четырехугольника равнялась половине площади параллелограмма. Докажите, что одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

12. Стороны а, Ь и с некоторого треугольника удовлетворяют равенству 2(а8 + è8 + c8) = (a4 + fr4 + c4)2. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

8-й класс

13. AD и BE— биссектрисы треугольника ABC. Докажите, что если АС > ВС, то АЕ > DE > BD.

14. Сумма цифр десятизначного числа равна четырем. Какой может быть сумма цифр квадрата этого числа?

15. Для каждых двух точек плоскости А и В через А*В обозначим точку, симметричную точке А относительно точки В. Даны три вершины квадрата. Можно ли, используя операцию *, получить четвертую вершину квадрата?

16. Треугольник разрезан на несколько выпуклых многоугольников. Докажите, что среди них либо есть треугольник, либо найдутся два многоугольника с одинаковым числом сторон.

17. По окружности выписано несколько натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами выписывается их НОД. Затем старые числа стираются и над оставшимися проделывают ту же операцию. Докажите, что через несколько шагов все числа на окружности станут равными.

18. Даны несколько точек, некоторые из которых соединены отрезками, причем так, что по этим отрезкам можно из любой точки попасть в любую другую. Всегда ли можно убрать одну из точек вместе с выходящими из нее отрезками так, чтобы оставшиеся точки по-прежнему были бы связаны между собой путями, идущими по отрезкам?

9-й класс

19. Известно, что для вписанного в окружность четырехугольника ABCD выполнено равенство AB/ВС =AD/DC. Прямая, проходящая через вершину В и середину диагонали АС, пересекает окружность в точке М, отличной от В. Докажите, что AM = CD.

20. Сумма цифр девятизначного числа равна трем. Какой может быть сумма цифр куба этого числа?

21. На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD найдите такие точки К и М, чтобы площадь четырехугольника, полу-

ченного при пересечении треугольников АМВ и CKD, была наибольшей.

22. См. задачу 17.

23. См. задачу 16.

24. 10 белых и 20 черных фишек расставлены по окружности. Разрешается поменять местами любые две фишки, между которыми стоят еще три фишки. Две расстановки фишек (в данных 30 точках) назовем эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько существует неэквивалентных расстановок?

10-й класс

25. См. задачу 13.

26. Докажите, что если из бесконечной арифметической прогрессии с первым членом А и разностью d, не равной нулю, можно выделить бесконечную геометрическую прогрессию, то Aid — рациональное число.

27. Докажите, что

28. Докажите, что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.

29. Даны выпуклый 1973-угольник, точка О внутри него и острый угол а. Известно, что как бы ни построить угол, равный а, с вершиной в точке О, площадь общей части многоугольника и угла будет одной и той же. Докажите, что многоугольник — правильный.

30. См. задачу 24.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

31. Известно, что сумма модулей попарных разностей пяти неотрицательных чисел равна единице. Найдите наименьшее возможное значение суммы этих чисел.

32. На плоскости даны 2k + 3 точки общего положения, никакие четыре из которых не лежат на одной окружности. Докажите, что через три из них можно провести окружность, внутри которой лежит ровно k точек из данных.

33. Дан многочлен Р(х) =аохп+ ... + an-ix + an, все коэффициенты которого — целые числа. Известно, что уравнения Р(х) =1, Р(х) =2, Р(х) =3 имеют целые корни. Докажите, что уравнение Р(х)=5 не может иметь двух или более целых корней.

34. Несколько волейбольных команд провели турнир в один круг. Известно, что если А выиграла у В, то найдется команда С, которая проиграла А, но выиграла у В. Какое наименьшее число команд могло принимать участие в турнире?

35. Дан квадрат со стороной длины 1. В него вписан четырехугольник. В этот четырехугольник вписан квадрат, стороны которого параллельны сторонам большого квадрата. Докажите, что если стороны малого квадрата имеют длину 1/2, то вершины этого квадрата делят стороны вписанного четырехугольника пополам.

36. Дан выпуклый многоугольник площади 9. Его пересекают девять параллельных прямых, отстоящих друг от друга на единичные расстояния. Докажите, что сумма длин отрезков, высеченных многоугольником на этих прямых, не больше 10.

37*. Играют двое. Один задумывает десятизначное число, а второй может спрашивать у него о том, какие цифры стоят на конкретном наборе мест в записи. Первый отвечает ему, но без указания того, какие именно цифры на каких именно местах стоят. За какое минимальное число вопросов заведомо можно отгадать число?

38*. На клетчатую бумагу бросают кубик со стороной А. Докажите, что он не может покрыть более чем (Л-М)2 вершин клеток.

Комментарий. В некоторых архивных вариантах вместо задач 16 и 23 указаны задачи 39 и 40 (см. ниже).

39*. По контуру выпуклого многоугольника ползут в одном направлении с одинаковой скоростью два жука и две мухи. Каким должно быть начальное положение жуков, чтобы при любом начальном положении мух минимальное расстояние между мухами было бы не больше минимального расстояния между жуками? (сравните с задачей 80.40).

40. В единичный квадрат кинули 1973 фигуры, сумма площадей которых больше 1972. Докажите, что все они имеют общую точку.

Не исключено, что эти задачи вместе с другими предлагались участникам олимпиады в качестве дополнительных.

ОЛИМПИАДА 1974 ГОДА

6-й класс

1. Найдите все числа ABC, что АВС = 2(АВ + ВС + АС).

2. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого ровно 1974 диагонали?

3. Из листа картона вырезали несколько правильных треугольников. В вершинах каждого написаны цифры 1, 2 и 3. За-

тем их сложили в стопку. Могло ли оказаться так, что сумма чисел вдоль каждого ребра стопки равна 55?

4. А может ли сумма в задаче 3 всегда равняться 50?

5. На старте три спринтера: А, В и С. С задержался на старте, но затем в процессе бега либо он обгонял, либо его обгоняли ровно шесть раз. В ушел со старта позже Л. В процессе бега либо А обгонял, либо его обгоняли ровно пять раз. К финишу В пришел раньше Л. В каком порядке спринтеры пришли к финишу?

6. В стране 1974 города. Из столицы выходит 101 авиалиния, а из города Дальний — одна авиалиния. Из всех остальных городов выходит по 20 авиалиний. Докажите, что из столицы можно прилететь в Дальний, возможно с пересадками.

7-й класс1

7. Известно, что а + Ь + с = 7,

Найдите

8. О — центр равностороннего треугольника ABC. Найдите множество точек X таких, что любая прямая, проходящая через X, пересекает [AB] или [ОС].

9. Найдите все числа ABCD такие, что ABCD=AD - ADA.

10. Даны окружность и точки А, В и С на ней. D — середина ломаной ABC, лежащая на отрезке ВС, Е — середина дуги ABC. Докажите, что ED перпендикулярна ВС.

11. См. задачу 6.

12. В равнобедренном треугольнике проведены биссектрисы тупого и острого углов. Биссектриса из вершины вдвое меньше биссектрисы угла при основании. Найдите углы треугольника.

8-й класс

13. На плоскости даны два круга, один вне другого. Существует ли такая точка на плоскости, лежащая вне обоих кругов, что всякая прямая, проходящая через эту точку, пересекает хотя бы один из кругов?

14. Решите уравнение в натуральных числах:

15. Из доски 8X8 вырезали угловую клетку. Можно ли оставшуюся часть доски разрезать на 17 равновеликих треугольников?

1 К сожалению, в разных архивах имеются разные варианты олимпиады 7-го класса. Например, в одном из них вместо задачи 8 указана задача 5. В тексте приведен вариант, взятый из архива А. Г. Гольдберга.

16. В клетке a1 шахматной доски 8X8 стоит белая пешка, а в клетке h8 — черная. Белая пешка может ходить только вверх или вправо, а черная — только вниз или влево. Нельзя ходить на клетку, занятую другой пешкой, но пешка может пропускать ход любое число раз. Известно, что через некоторое время пешки поменялись местами. Докажите, что в процессе перемещения пешек был момент, когда прямая, соединяющая центры клеток, на которых стояли пешки, была перпендикулярна прямой, соединяющей центры клеток a1 и h8.

17. Докажите, что на плоскости не существует конечного множества из п точек (п>4), никакие три из которых не лежат на одной прямой, такого, что для любых трех точек этого множества найдется четвертая точка из множества, образующая вместе с ними параллелограмм.

18. Есть бактерия, которая делится в некоторый момент времени на две. Какая-то из половин вновь делится на две и так далее. Образовалось 1000 бактерий. Докажите, что была бактерия, потомство которой содержит не менее 334 и не более 667 потомков.

9-й класс

19. См. задачу 15.

20. См. задачу 14.

21. См. задачу 16 для доски 9x9.

22. На плоскости даны треугольник ABC и окружность S радиуса /?/2, где R — радиус окружности, описанной вокруг ABC. Докажите, что существует точка Т такая, что отрезки ТА, ТВ и ТС делятся окружностью 5 пополам.

23. На окружности, центр которой находится в точке О, лежит точка X. На диаметре, выходящем из точки X, возьмем точку Y так, чтобы О лежала между X и Y. Требуется провести через точку Y хорду AB так, чтобы ZAXB был минимален.

24*. В марсианском языке три слова А, В и С таковы, что слово ААВВ совпадает со словом СС. Докажите, что есть такое слово D, что каждое из слов А, В и С получается выписыванием слова D несколько раз подряд.

10-й класс

25. Существует ли 20-значное число, являющеееся точным квадратом, десятичная запись которого начинается с 11 единиц?

26. Лучи OSi, OS2, OS3, исходящие из точки О, пересекаются с тремя параллельными плоскостями соответственно в точках Au Bu Ci; Л2, В2у С2; Л3, B3, С3. Пусть V — объем пирамиды CMiB2C3. Объемы пирамид OAiBid, OA2B2C2, ОА3В3С3 обозна-

чим соответственно через Vu V2, Vs. Докажите, что {Vi+ V2 + Vs)/3.

27. Найдите максимум выражения

28. Докажите, что в пространстве не существует конечного множества из п точек (п 5> 4) такого, что для любых трех его точек найдется четвертая, образующая с первыми тремя параллелограмм.

29. На плоскости дана точка О, из которой выходят 12 лучей; соседние лучи образуют углы, меньшие я/4. На луче Si отмечена точка Ai на расстоянии 729 от точки О. Из точки Ai проводится прямая, параллельная лучу S12 до пересечения с лучом So в точке Ао. Из точки А2 проводится прямая, параллельная лучу Si до пересечения с лучом S3 в точке Аз и так далее. Наконец строится точка Л13 на луче Su Докажите, что |Oi4i3| ^ < 1.

30. На доске написано число 2П. Под ним написаны два натуральных числа, в сумме составляющие первоначальное. Далее под каждым из последовательно получаемых чисел выписываются два натуральных числа, в сумме составляющих его, пока не встретится единица. Докажите, что сумма всех написанных чисел не меньше п2п.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

31. Над планетой, имеющей форму шара, летают 37 точечных спутников. Докажите, что в любой момент на поверхности планеты есть точка, из которой видно не более 17 спутников.

32. В некоторой группе людей каждые два человека, имеющие там одинаковое число знакомых, не имеют общих знакомых. Докажите, что в этой группе либо никто ни с кем не знаком, либо кто-то имеет ровно одного знакомого.

33. Докажите, что в выпуклом многоугольнике с четным числом сторон есть диагональ, не параллельная ни одной из сторон.

34. В клетки прямоугольной таблицы вписаны натуральные числа. Разрешается удваивать одновременно все числа одного столбца или вычитать по единице из всех чисел строки. Докажите, что с помощью таких операций можно получить таблицу из одних нулей.

35. Стороны квадрата занумерованы последовательно числами 1, 2, 3, 4. Для произвольной точки А и стороны k обозначим через Ак точку, симметричную проекции А на прямую k относительно точки А. Найдите все точки А такие, что каждая

из точек Au An, Л123, Л1234, Л12341, ... лежит внутри нашего квадрата.

36. Сумма ста натуральных чисел, меньших 100, равна 200. Докажите, что из них можно выбрать несколько, сумма которых равна 100.

37. Найдите все натуральные числа k, обладающие тем свойством, что не существует é-угольника, на продолжении любой стороны которого лежала бы другая сторона этого ^-угольника. Рассматриваются лишь многоугольники с непараллельными соседними сторонами.

38*. Дано простое число р. Докажите, что из р+1 попарно различных натуральных чисел можно выбрать два числа таких, что отношение большего из них к их наибольшему общему делителю не меньше р+1.

ОЛИМПИАДА 1975 ГОДА

6-й класс

1. Коля задумал двузначное число, а Вася пытается его отгадать. Для этого он пишет на доске различные двузначные числа, а Коля каждый раз ставит около написанного числа +, если оно совпало с задуманным, и —, если число совпало с задуманным лишь в одном из разрядов. Докажите, что Васе достаточно написать не более 10 чисел, чтобы отгадать задуманное число.

2. 26 костей домино выложили в ряд, а каждую из двух оставшихся костей распилили пополам. Докажите, что среди получившихся четырех половинок есть две одинаковые.

3. Докажите, что

4. В плоскости дан круг радиуса 1 см и прямые а, Ь, с, d, е, пересекающие этот круг, а также точка X на расстоянии 11 см от центра круга. Точку X последовательно симметрично отражают относительно всех пяти прямых и получают точку Е. Докажите, что точка Е не может лежать внутри данного круга.

5. Коля и Вася выписывают 20-значное число, используя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет Коля, вторую— Вася и так далее. Вася хочет получить число, делящееся на девять. Сумеет ли Коля ему помешать?

6. Из цифр 1, 2, 3 составили все возможные четырехзначные числа и присвоили каждому из них номер 1, 2 или 3 так, чтобы

числа, не совпадающие ни в одном разряде, получили разные номера. Оказалось, что у чисел 1111, 2222, 3333 и 1222 номер совпал с первой цифрой. Докажите, что и у остальных чисел номер совпадает с первой цифрой.

7-й класс

7. Коля и Вася пишут поочередно цифры 30-значного числа, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5. Начинает Коля, Вася хочет получить число, делящееся на девять. Сможет ли Коля ему помешать?

8. Р и Рр+1 + 2 — простые числа. Найдите Р.

9. В записи трехзначного числа нет нулей. Найдите максимальное значение произведения этого числа на сумму чисел, обратных его цифрам.

10. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Mi — середина AB; Mo — середина CD; М3 — середина М1М2; М^ — середина EF; Мъ — середина AF; Мв — середина DE; Мч — середина МъМ%; М&— середина ВС. Докажите, что отрезки МзМь и М7М8 обязательно пересекаются.

11. Рассматриваются все возможные семизначные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. К каждому числу приписывается одна из этих цифр так, что если два числа отличаются во всех разрядах, то и приписываемые к ним цифры также различны. Известно также, что к числу 1111111 приписывается цифра 1, к числу 2222222 — цифра 2, к числу 3333333 — цифра 3, а к числу 1222222 — цифра 1. Докажите, что для всех чисел приписываемая к ним цифра совпадает с их первой цифрой.

12. Дана окружность радиуса 1. Постройте на ее произвольной хорде как на стороне квадрат так, чтобы расстояние от центра окружности до дальних вершин квадрата было максимально возможным.

8-й класс

13. Точка пересечения высот равнобедренного треугольника лежит на вписанной в него окружности. Найдите отношение сторон треугольника.

14. Дано пять бесконечных геометрических прогрессий, все члены которых — целые числа. Докажите, что существует натуральное число, не содержащееся ни в одной из этих прогрессий.

15. F — точка пересечения биссектрис AD и СЕ треугольника ABC. Известно, что точки B, D, Е и F лежат на одной окружности. Докажите, что радиус этой окружности не меньше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.

16. Докажите, что точки пересечения парабол Y = X2 + X — 41 и X = Y2 + Y — 40 лежат на одной окружности.

17. Сколько существует натуральных чисел N ^ 1000000 таких, что N делится на [л/Щ?

18. В семи последовательных вершинах правильного 100-угольника поставлены фишки семи цветов. За один ход разрешается переставить любую фишку по часовой стрелке через 10 полей на 11-е, если оно свободно. Требуется собрать фишки в семи вершинах, следующих за исходными. Сколько может получиться различных расположений фишек в этих семи вершинах?

9-й класс

19. В окружности проведены два перпендикулярных диаметра AB и CD. На дуге BD взята точка X, причем АХ и СХ пересекают CD и AB в точках Е и F соответственно. Докажите, что если СЕ/ED — рационально, то и AF/FB — рационально.

20. См. задачу 16.

21. Среди треугольников, вложенных в данный, найдите треугольник с наибольшим отношением площади к периметру.

22. См. задачу 18.

23. Какое наибольшее количество тупых углов могут образовывать 15 лучей, исходящих из одной точки на плоскости?

24. В квадратной таблице 100x100 некоторые клетки закрашены. Каждая закрашенная клетка является единственной закрашенной клеткой либо в своем столбце, либо в своей строке. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?

10-й класс

25. Имеется 1975 геометрических прогрессий, все члены которых целые числа. Докажите, что они не исчерпывают натуральный ряд.

26. См. задачу 21.

27. Решите уравнение х2 + 2 = 4У*3-Ь 1-

28. В пространстве даны четыре шара одинакового радиуса. Докажите, что никакие три из них не покрывают четвертый шар.

29. См. задачу 24.

30. В квадрат 1x1 вложен выпуклый N-угольник. Докажите, что существуют три последовательные вершины этого N-угольника такие, что площадь образованного ими треугольника не больше 8/yV2.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

8-й класс

31. Про числа а, Ъ с, d известно, что a2 + ô2 = c2 + d2 = 1 и ac + bd = 0. Найдите число ab + cd.

32. Какое из чисел больше:

33. Найдите натуральные числа А, В и С, если известно, что числа Лв + С, Вс + А и CA + B — простые.

34. К данному множеству точек на плоскости разрешается добавить точку, симметричную какой-либо из его точек относительно прямой, являющейся серединным перпендикуляром к отрезку с концами в точках этого множества. Можно ли, начав с трех точек, попарные расстояния между которыми меньше 1, получить множество, содержащее две точки, расстояние между которыми больше 1?

35. В группе 30 человек. Каждому нравится ровно k человек из группы. При каком минимальном k можно утверждать, что обязательно найдутся два человека, которые нравятся друг другу?

36. Из вершин правильного 35-угольника выбрали восемь. Докажите, что какие-то четыре из них образуют трапецию или прямоугольник.

37*. В государстве некоторые города соединены дорогами. Длина каждой дороги не более 500 км. Известно, что из любого города можно проехать в любой другой, проехав не более 500 км. Одну из дорог закрыли, причем по-прежнему из каждого города можно проехать в каждый. Докажите, что теперь это можно сделать, проехав не более 1500 км.

38*. На шахматной доске отмечены центры всех 64 клеток. Можно ли тринадцатью прямыми разрезами разбить доску на части так, чтобы в каждой из них было не более одного центра клетки?

9—10-е классы

39. См. задачу 31.

40. Существуют ли в пространстве четыре попарно не пересекающихся шара, не содержащих данную точку А, такие, что любой луч с началом в точке А пересекает хотя бы один из этих шаров?

41. См. задачу 37.

42*. Существует ли биекция /: R-+R такая, что f(x) + f-{(x) =—X для любого X? 43. См. задачу 38.

44*. Последовательность целых чисел хо, хи х2, ... такова, что л:о = 0, а \хп\ = |*n-i + 11 для каждого натурального п. Каково наименьшее возможное значение выражения |xi + x2 + ...

. . . +*1975|?

45. Точки Au Bij Ci на сторонах ВС, АС и AB треугольника АБС выбраны так, что отрезки ААи ВВи Cd пересекаются в точке D. Отрезки Aid и BBi пересекаются в точке Е. Докажите, что если BD = 2BiD, то ВЕ = В\Е.

46*. Каждое из чисел Хо, Хи . • хп равно 0 или 1. Докажите, что

ОЛИМПИАДА 1976 ГОДА

6-й класс

1. По кругу расставлено 300 точек, в одной из которых сидит блоха. Она начинает прыгать по кругу против часовой стрелки, причем первым прыжком она попадает в соседнюю точку, затем прыгает через одну точку, затем через две и так далее. Докажите, что найдется точка, в которую блоха никогда не попадет.

2. Числа от 1 до 9 разбиты на три группы по три числа, после чего числа в каждой группе перемножили. А — наибольшее из трех произведений. Какое наименьшее значение может принимать Л?

3. Деревни А, В и С расположены в вершинах равностороннего треугольника. В деревне А живут 100 школьников, в деревне В — 200, в деревне С — 300. Где нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было бы как можно меньше?

4. Полоска разбита на 30 клеток в один ряд. В крайних клетках стоит по фишке. Два игрока по очереди могут передвигать свои фишки на одну или две клетки в любую сторону. Ходить через фишку соперника нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Как должен играть начинающий, чтобы выиграть?

5. На клетчатой бумаге нарисован квадрат 11X11 клеток. Требуется отметить центры некоторых клеток таким образом, чтобы центр любой другой клетки находился на отрезке, соеди-

няющем какие-либо две отмеченные точки, лежащие на одной вертикали или на одной горизонтали. Какое наименьшее число клеток придется отметить?

6. Квадратный участок обнесен забором и разбит другими заборами на несколько меньших квадратных участков. Длины сторон меньших квадратных участков выражаются целыми числами метров. Докажите, что сумма длин всех заборов в метрах делится на четыре.

7-й класс

7. По кругу расставлена 101 точка, в одной из которых сидит блоха. Она начинает прыгать по кругу в направлении против часовой стрелки, причем первым прыжком она попадает в соседнюю точку, затем прыгает через одну точку, затем через две и так далее. Докажите, что найдется точка, в которую блоха никогда не попадет.

8. См. задачу 2.

9. Кузнечик прыгает по плоскости. Первый прыжок он делает на 1 см, второй — на 2 см, третий — на 3 см и так далее. После каждого прыжка он поворачивает на 90°. В некоторый момент кузнечик решил вернуться в исходную точку. Сможет ли он это сделать?

10. Периметр пятиконечной звезды с вершинами в вершинах данного выпуклого пятиугольника F, периметр самого F и периметр внутреннего пятиугольника звезды — простые числа. Докажите, что их сумма не меньше 20.

11. См. задачу 5.

12. См. задачу 6.

8-й класс

13. хи Хг, . . ., Х25 — некоторые целые числа, а уи Уг, ... . .., У25 — перестановка этих чисел. Докажите, что число (*i — У\) (*2 — Уг). .. (*25 — У25) — четно.

14. А и В— трехзначные числа. Из них составили два шестизначных числа, приписав сначала А к В справа, а затем слева. Докажите, что разность этих шестизначных чисел не делится на 1976, если А не равно В.

15. По кольцевой автостраде бежит бегун и едут два велосипедиста и мотоциклист — все движутся с постоянными скоростями, каждый со своей, причем бегун и один из велосипедистов — в одном направлении, а мотоциклист и другой велосипедист— в другом. Бегун встречает второго велосипедиста каждые 12 мин, первый велосипедист обгоняет бегуна каждые 20 мин, а мотоциклист обгоняет второго велосипедиста каждые 5 мин. Как часто мотоциклист встречает первого велосипедиста?

16. Точка А лежит внутри правильного 1976-угольника, а точка В — вне его. ХА — сумма векторов, проведенных из точки А в вершины 1976-угольника, Хв — сумма векторов, проведенных из точки В в вершины 1976-угольника. Может ли длина вектора ХА быть больше длины вектора Хв?

17. В четырехугольнике ABCD угол С — наибольший. К — точка пересечения прямой AD и прямой, проходящей через С и параллельной AB; M — точка пересечения прямой AB и прямой, проходящей через С и параллельной AD\ Р — точка пересечения прямых ВК и MD. Докажите, что площади четырехугольников АМРК и BCDP равны.

18. В множестве натуральных чисел выбрали три попарно непересекающихся подмножества. Докажите, что можно выбрать числа X и Y, принадлежащие двум различным выбранным подмножествам таким образом, что сумма X + Y не принадлежит третьему подмножеству.

9-й класс

19. В треугольнике ABC АС = (АВ + ВС)/2. Докажите, что радиус вписанной окружности треугольника ABC втрое меньше одной из его высот.

20. Докажите, что для любых различных натуральных m и п меньшее из чисел

21. См. задачу 14.

22. Докажите, что для любого п ^ 5 существует выпуклый n-угольник с различными по длине сторонами такой, что сумма расстояний от точки внутри многоугольника до его сторон (или их продолжений) не зависит от выбора точки.

23. Царь Бюрократ имеет 12 замов и из них образует комиссии так, чтобы любые две комиссии имели хотя бы одного общего члена, но обязательно отличались по составу. В некоторый момент Бюрократ образовал 1000 комиссий. Докажите, что он может образовать еще одну такую комиссию с выполнением всех описанных условий.

24*. Даны треугольник ABC и окружность, описанная вокруг него. К — точка пересечения биссектрис внутреннего угла В и внешнего угла С; L — точка пересечения биссектрис внутреннего угла С и внешнего угла 5; M — середина отрезка KL Докажите, что M — середина дуги CAB.

10-й класс

25. В пространстве дана четырехзвенная замкнутая ломаная, все звенья которой имеют одинаковую длину. Докажите, что расстояние от любой точки пространства до любой вершины

ломаной меньше суммы расстояний от этой точки до трех других вершин.

26. Найдите функцию /, определенную на множестве всех вещественных чисел, если известно, что f2(x + y) = f2(x) + f2(y) для любых X и у.

27. Найдите все вещественные решения уравнения

если известно, что у него есть решения.

28. Длины сторон некоторого треугольника равны а, &, с. Докажите, что

29. Таблица 5x5 заполнена нулями и единицами. Известно, что в левом верхнем и правом нижнем углах стоят единицы, а в двух других углах стоят нули. Докажите, что в таблице можно выбрать два разных квадрата 2x2 (возможно, пересекающихся) с одинаковой расстановкой чисел.

30*. К — точка пересечения биссектрис внутреннего угла В и внешнего угла С треугольника ABC; L — точка пересечения биссектрис внутреннего угла С и внешнего угла В. Докажите, что середина отрезка KL лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

31. В выпуклом пятиугольнике ABCDE все стороны равны, а угол АСЕ равен половине угла BCD. Найдите угол АСЕ.

32. Пространство разбито на пять непустых подмножеств. Докажите, что есть прямая, пересекающая по крайней мере три из них.

33. Решите систему в вещественных числах:

34. Двое играют в игру с конечным числом позиций, причем для любой позиции сумма числа позиций, в которые из нее можно перейти, и числа позиций, из которых можно перейти в нее, одна и та же. Игрок проигрывает, если у него нет хода. Дока-

жите, что число позиций, в которых начинающий проигрывает при правильной игре второго, не больше половины числа всех позиций.

35. Имеется таблица 100x100, все клетки которой покрашены в три цвета. Разрешается перекрашивать любой квадратик 2x2 в тот цвет, который в нем преобладает, а если такого нет, то в тот цвет, которого нет в квадратике. Докажите, что весь квадрат можно перекрасить в один цвет.

36. Плоскость разбита на равные равносторонние треугольники (см. рис. 7). Сто треугольников покрашены в черный цвет так, что они образуют связную фигуру. Докажите, что из этой фигуры можно вырезать не менее 33 непересекающихся ромбиков, составленных из двух треугольников каждый.

37. Докажите, что среди 1976-значных чисел, десятичная запись которых состоит из 1975 единиц и одной семерки, найдется не менее 658 составных.

38*. F — некоторая биекция плоскости на себя, причем такая, что если ABCD — выпуклый невырожденный четырехугольник, то четырехугольник F (A) F (В) F (С) F (D) также является невырожденным и выпуклым. Докажите, что если точки А, В и С лежат на одной прямой, то и точки F(A), F(B), F(C) лежат на одной прямой.

ОЛИМПИАДА 1977 ГОДА

6-й класс

1. Можно ли разбить квадрат на 1977 треугольников так, чтобы на сторонах квадрата лежало поровну вершин этих треугольников, и чтобы никакая вершина одного треугольника не оказалась внутри стороны другого?

2. На шахматной доске расположены 20 ладей так, что каждое поле находится под ударом хотя бы одной из них (поле, на котором стоит ладья, также бьется ею). Докажите, что можно снять 12 ладей так, чтобы оставшиеся восемь ладей попрежнему били всю доску.

3. Правильный восьмиугольник двумя прямыми разрезами разбит на четыре части равной площади. Докажите, что эти прямые взаимно перпендикулярны.

4. Число 111... 11 (100 единиц) представлено в виде

Рис. 7

где а0, ai, ..., аэ9 — неотрицательные целые числа, сумма которых не больше 100. Докажите, что они все равны 1.

5. Последовательность целых чисел 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 42, 63, 94, ... начинается с двойки, а каждое следующее число получается из предыдущего умножением на 3/2 и округлением по недостатку. Докажите, что в этой последовательности есть целое шестизначное число.

6. Двое игроков поочередно ставят цифры в полоску из 12 клеток до тех пор, пока не получится 12-значное число. При этом цифры 0 и 9 ставить запрещено. Докажите, что второй игрок может добиться того, чтобы полученное число делилось на 77.

7-й класс

7. См. задачу 1.

8. Число 197719771977 представлено в виде

где ao, ai, ..., an — неотрицательные целые числа, сумма которых не превосходит 72. Найдите эти числа.

9. На сторонах AB, ВС, CD и DA квадрата ABCD взяты соответственно точки /С, L, М, N. Докажите, что KL + LM +MN + NK > 2АС.

10. См. задачу 6.

11. См. задачу 5.

12. Точка О внутри выпуклого многоугольника Р такова, что любая проходящая через нее прямая разбивает Р на две части равной площади. Докажите, что О — центр симметрии многоугольника Р.

8-й класс

13. Точка D лежит на стороне ВС треугольника ABC. Е — произвольная точка на стороне АС, К— на стороне AB. Прямые AD и BE пересекаются в точке М, прямые BE и CK — в точке Р, прямые CK и AD — в точке Т. Докажите, что если ВМ = РЕ, AT=MD, то CP > ТК.

14. Ai, Аг, ..., Ап — подмножества множества натуральных чисел. Докажите, что существуют такие натуральные X и Y, что каждое из этих подмножеств либо содержит и X, и Y, либо не содержит ни X, ни Y.

15. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого обе координаты каждой вершины — целые числа, а у любой другой точки внутри или на границе хотя бы одна из координат не целая?

16. Рассматриваются всевозможные ломаные, идущие по сторонам клеток и соединяющие кратчайшим путем два проти-

воположных угла квадратного листа клетчатой бумаги размерами 100X100. Какое наименьшее число таких ломаных нужно взять, чтобы их объединение содержало все вершины клеток?

17. Отрезки Au А2, ..., Л1977, В и В2, ..., £1977 лежат на одной прямой. Известно, что каждый отрезок Ak имеет общую точку с каждым из отрезков Bk-u Bk+i- Кроме того, отрезок .41977 имеет общую точку с Bi, a Ai — с 5ш7. Докажите, что при каком-то k отрезки Ak и Bk имеют общую точку.

18. au û2, ..., ап — векторы на плоскости, никакие два из которых не .коллинеарны. Известно, что для любых двух различных номеров i и / среди данных векторов есть вектор вида xaL + yaj, где х и у — какие-то отрицательные числа. Докажите, что п — нечетно.

9-й класс

19. См. задачу 13.

20. См. задачу 16.

21. См. задачу 17.

22. См. задачу 18.

23. Функция jp определена на [0; 1 [ по следующему правилу:

Докажите, что для любого отрезка ]а; b [cz [0; 1 [ найдутся точка X из этого отрезка и такое натуральное п, что точка f (/(/(•••/(*))■• •) (п Раз) находится в отрезке ]а\ Ь[.

24*. Есть несколько точек, некоторые из которых соединены дугами так, что из любой точки в любую другую можно добраться по этим дугам. Докажите, что на любой дуге можно поставить синюю и красную стрелки в противоположных направлениях так, чтобы из любой точки в любую можно было пройти таким путем, на котором цвет стрелки меняется не более одного раза. Идти при этом разрешаетося только в направлении, указываемом стрелкой какого-либо цвета.

10-й класс

25. Докажите, что если 0<х< л/2, то sinx-tg.r > х2.

26*. Сколько вершин может иметь выпуклый многогранник, у которого все координаты каждой вершины — целые числа,

а у любой другой точки внутри или на границе хотя бы одна из координат не целая?1

27. Р — натуральное число, большее 1; п, k — натуральные числа. Докажите, что хотя бы одно из чисел

не делится на Р.

28. Докажите, что сумма величин всех двугранных углов треугольной пирамиды больше 360°.

29. Вещественные числа au ai, • • -, 01977 таковы, что ai ^ ^ а2 ^ ... ^ ai977. Докажите, что

30. См. задачу 23.

Комментарий. В 1977 году отборочный тур не проводился, а команда Ленинграда на Всесоюзную олимпиаду по математике была отобрана сразу по результатам городского тура.

ОЛИМПИАДА 1978 ГОДА

6-й класс

1. В вершинах правильного треугольника расставлены цифры 1, 2, 3. Можно ли сложить несколько таких треугольников в стопку так, чтобы сумма чисел в каждой вершине равнялась 55?

2. Многоугольник разбит диагоналями на треугольники, которые раскрашены в черный и белый цвета так, что любые два треугольника, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Докажите, что количество черных треугольников не превосходит утроенного числа белых треугольников.

3. Верно ли, что 57599 — простое число?

4. Какое наименьшее число королей нужно взять, чтобы после их произвольной расстановки на шахматной доске 8X8 обязательно нашлись бы два короля, бьющие одно поле?

5. Можно ли расставить натуральные числа от 1 до 1978 в строку так, чтобы любые два числа, стоящие рядом или через одно, были взаимно просты?

6. Угол В при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 20°. Докажите, что 3|ЛС|>|ЛВ| и 2|ЛС|<|Л5|.

7-й класс

7. Пять целых чисел дают десять попарных сумм. Могут ли они образовывать 10 последовательных целых чисел?

1 Задача 26 в разных архивных вариантах имеет различные формулировки: либо приведенную выше, либо дословно совпадающую с формулировкой задачи 15.

8. Л— натуральное число. После того как его разделили с остатком на все числа, меньшие его, и сложили остатки, получилось А. Чему равно Л?

9. См. задачу 4.

10. Внутри квадрата взята произвольная точка и соединена отрезками со всеми вершинами квадрата. После этого из каждой вершины квадрата опущен перпендикуляр на отрезок, выходящий из соседней по часовой стрелке вершины. Докажите, что эти четыре перпендикуляра пересекаются в одной точке.

11. По кругу в вершинах правильного 100-угольника расставлено сто трехзначных чисел. Докажите, что существует диаметр, разность сумм чисел по разные стороны от которого не превосходит по модулю 900.

12. Дан выпуклый N-угольник (N ^ 5). Докажите, что у него есть три стороны, продолжения которых образуют треугольник, содержащий наш N-угольник.

8-й класс

13. Диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника одинакового периметра. Докажите, что этот четырехугольник — ромб.

14. Пятизначное число делится на 41. Докажите, что любое пятизначное число, полученное из него круговой перестановкой цифр, также делится на 41.

15. Трасса велоэстафеты — шестиугольник, все углы которого— 120°, а длины сторон выражаются целыми числами километров. Каждый этап эстафеты — одна из сторон шестиугольника, причем первый, третий и пятый этапы проезжают женщины, а второй, четвертый и шестой — мужчины. После эстафеты женщины утверждали, что суммарная длина их участков на 3 км больше, чем суммарная длина участков для мужчин, а мужчины утверждали, что суммарная длина их участков на 5 км больше суммарной длины участков для женщин. Кто из них явно неправ?

16. Существует ли расстановка целых чисел в клетках бесконечного листа клетчатой бумаги такая, что в любом прямоугольнике 1918x1978 сумма чисел равна 60?

17. На плоскости нарисовано шесть окружностей, причем первая касается шестой и второй; вторая касается первой и третьей; третья касается второй и четвертой и т. д. Докажите, что существует новая окружность, пересекающая все шесть данных окружностей.

9-й класс

18. См. задачу 14.

19. Многочлен с положительным старшим коэффициентом принимает простые значения только при простых натуральных

значениях аргумента. Докажите, что при всех простых значениях аргумента значения многочлена просты.

20. Про положительные числа au 02, аз, bu Ьг, Ьз известно, что выполнены неравенства:

Докажите, что

21. См. задачу 16.

22. См. задачу 17. Верно ли соответствующее утверждение для восьми окружностей?

10-й класс

23. См. задачу 19.

24. Какое максимально возможное количество равносторонних треугольников может образоваться на плоскости при пересечении шести прямых?

25. См. задачу 14.

26. См. задачу 20.

27. Дан выпуклый шестиугольник, каждая большая диагональ которого делит его площадь пополам. Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР

28. Клетки доски 100X100 окрашены в четыре цвета, причем клетки, окрашенные в один цвет, не имеют общих вершин. Докажите, что клетки в углах доски окрашены в разные цвета.

29. Пусть А и В— два конечных множества на плоскости. Положим ан(А, В) =max (A; di), где di — максимальное из расстояний от точек множества А до множества B, a di — максимальное из расстояний от точек множества В до множества А. Докажите для dH неравенство треугольника, т. е. докажите, что для любых трех конечных множеств X, Y и Z на плоскости имеет место неравенство

30. В вершинах правильного 100-угольника расставлены целые числа. Каждую минуту каждое из чисел заменяется на свою разность с числом, следующим за ним по часовой стрелке. Докажите, что через 5 минут сумма чисел в вершинах нашего 100-угольника будет делиться на пять.

31. На прямой даны 1978 отрезков, никакие два из которых не имеют общих концов. Докажите, что эти отрезки нельзя занумеровать так, чтобы для любого k от 1 до 1978 k-и отрезок содержал бы ровно k концов других отрезков.

32*. Последовательность (ап), все члены которой равны О или 1, такова, что если k < 2П, то аъ. не равно cik+2n* Докажите, что она непериодична.

33. M — выпуклый многоугольник, а Я — гомотетия с коэффициентом (—1/2). Докажите, что существует параллельный перенос Т такой, что многоугольник Т(Н(М)) лежит внутри многоугольника М.

34*. Вершины конечного графа раскрашены в два цвета. Каждую секунду каждая точка меняет свой цвет на тот, в который окрашено большинство ее соседей. Докажите, что для любой точки найдется момент времени, после которого она либо не меняет цвета, либо меняет его каждую секунду.

35*. Дан выпуклый многоугольник M такой, что длины всех его сторон и диагоналей — целые числа. К — данный квадрат. Докажите, что есть конечный набор многоугольников, конгруэнтных М, такой, что их объединение содержит К и любая точка квадрата, не лежащая на стороне одного из многоугольников, покрыта одним и тем же количеством многоугольников из этого набора.

Комментарий. В 1978 году городской тур олимпиады проводился письменно в отличие от предыдущих лет. Победители этого тура приняли участие в заключительном (устном) туре олимпиады, по результатам которого было проведено награждение дипломами, а также была отобрана команда Ленинграда на Всесоюзную олимпиаду.

ОЛИМПИАДА 1979 ГОДА

5-й класс (выводные задачи)

1. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 13x7. Вырежьте из него 15 прямоугольников размером 2X3.

2. В каком году родился человек, которому в этом году исполнится столько лет, какова сумма цифр года его рождения?

3. В прямоугольнике 6x7 закрашены какие-то 25 клеток. Докажите, что можно найти квадрат 2x2, в котором закрашено не менее трех клеток.

4. В мешке лежат 10 карточек с цифрами 0, 1,2,..., 9:

а) Наугад вынимают три карточки. Докажите, что из этих карточек можно составить число (однозначное, двузначное или трехзначное), которое делится на три.

б) Сколько карточек нужно вынуть из мешка, чтобы из них наверняка можно было составить число, делящееся на девять?

5. В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка — с двумя мальчиками. В классе 19 парт и 31 пионер. Сколько учеников в этом классе?

6-й класс

6. а, Ь, с — простые числа, причем а + Ь и ab делятся на с. Докажите, что а3 — Ь3 делится на с.

7. Дан прямоугольный треугольник, один из углов которого равен 30°. Из середины его гипотенузы восстановлен перпендикуляр к ней. Докажите, что длина отрезка этого перпендикуляра, лежащего внутри треугольника, равна трети длины большего катета.

8. Как при помощи двух штук песочных часов, отмеряющих соответственно 5 и 7 минут, отмерить 9 минут?

9. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. Разрешается удваивать все числа любой строки и вычитать единицу из всех чисел любого столбца. Докажите, что можно добиться того, чтобы все числа в таблице оказались равными нулю.

10. Какое наибольшее количество натуральных чисел, меньших 50, можно взять так, чтобы любые два были взаимно просты?

11. Найдите сумму цифр куба числа, состоящего из трех единиц и некоторого количества нулей.

7-й класс

12. Решите систему уравнений:

13. В треугольнике ABC АА\, ВВ\, СС\ — высоты, а АА0г ВВ0, ССо—медианы. Докажите, что длина ломаной А0В\С0А\В0С\А0 равна периметру треугольника ABC.

14. Прямоугольник 1000X 1979 разбит на клетки. На сколько частей он разобьется, если в нем провести еще и одну диагональ?

15. Найдите все целые А, если известно, что А6 — восьмизначное число, записываемое цифрами 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4.

16. Треугольник ABC вписан в окружность. А\ — середина дуги ВС, В\ — середина дуги АС, С\ — середина дуги AB. Стороны треугольника ABC высекают на отрезках А\В\, В\С\, А\С\ меньшие отрезки с серединами М\, М2, М3 соответственно.

Докажите, что точки В\, С\ и точки Мь М3 лежат на одной окружности.

17. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы квадрата целого числа и простого числа.

8-й класс

18. Докажите, что для любого натурального k > 1 число 1010... 0101 (k -f 1 единица и k нулей) является составным.

19. Длины сторон некоторого треугольника равны а, 6, с. Докажите, что

20. В треугольнике ABC угол В равен 60°, АК и СЕ — биссектрисы, причем точки К и Е лежат на соответствующих сторонах. Отрезки АК и СЕ пересекаются в точке О. Докажите, что OK = ОЕ.

21. На плоскости дано 2п векторов, ведущих из центра правильного 2n-угольника в его вершины. Сколько из них нужно взять, чтобы их сумма имела максимальную длину?

22. Дано п попарно взаимно простых натуральных чисел au а2, ..-, ап, причем 1 <а/<(2и—I)2. Докажите, что среди них есть хотя бы одно простое.

23. В каждой клетке таблицы пУ^т стоит единица. Разрешается взять произвольный квадратик 2X2 и поменять в нем знак у всех чисел. Можно ли с помощью таких операций получить шахматную расстановку знаков в таблице? Ответ должен зависеть от m и п.

9-й класс

24. Докажите, что если &-значное число (k ^ 2) простое, то либо все числа, получающиеся из него циклической перестановкой цифр, различны, либо это число записывается одними единицами.

25. Рассмотрим все попарно неконгруэнтные треугольники с вершинами в точках, делящих окружность на N равных дуг (N>2). При каких N ровно половина этих треугольников — равнобедренные?

26. Натуральные числа ai, a2, ..., ап, где п ^ 12, все большие 1 и меньшие 9я2, попарно взаимно просты. Докажите, что среди них найдется простое число.

27. В центре ящика, имеющего форму квадрата 5X5, сделано квадратное отверстие 1X1- Какую наименьшую площадь должна иметь выпуклая фигура («заслонка»), чтобы при любом ее положении на дне ящика она закрывала отверстие?

28. Точка В лежит между точками А и С. В полуплоскости

с границей (АС) взяты такие точки К и Я, что АК = КВГ ВН = HC, ZAKB = a, ZBHC = n — a. Найдите углы треугольника КНМ, где M — середина отрезка АС. 29. Решите систему уравнений:

10-й класс

30. См. задачу 24.

31. См. задачу 27.

32. При каких натуральных у число у2 + Зу является точным квадратом?

33. В круге закрашено п секторов так, что угловая величина каждого меньше чем п/{п2 — п+\). Докажите, что круг можно повернуть так, что все закрашенные сектора перейдут в незакрашенную часть круга.

34. Дан выпуклый многогранник. Докажите, что если все его грани, не считая одной, являются центрально симметричными многоугольниками, то и эта последняя грань также является центрально симметричной.

35*. В окружности проведены два диаметра AB и CD. Докажите, что для любых двух точек Е и F, лежащих на окружности, точка пересечения прямых АЕ и DF, центр окружности и точка пересечения прямых СЕ и BF лежат на одной прямой.

Комментарий. 1. В некоторых архивных вариантах олимпиады 9—10-х классов вместо задачи 24 приведена задача 18, вместо задачи 30 — задача 24, а вместо задачи 31—задача 26.

2. В 1979 г. отборочный тур не проводился. Команда Ленинграда на Всесоюзную олимпиаду по математике была определена по результатам городского тура.

3. На олимпиаде 6-х и 7-х классов школьникам, решившим все задачи, предлагались для решения дополнительные задачи. В 6-м классе — задачи 17 и 36 (см. ниже), а в 7-м классе — задачи 36 и 9.

36. В треугольнике ABC длины сторон — последовательные целые числа, а некоторая биссектриса треугольника перпендикулярна какой-то медиане. Найдите длины сторон треугольника. (См. задачу 70.2).

ОЛИМПИАДА 1980 ГОДА

5-й класс

1. Можно ли все натуральные числа от 1 до 30 записать в таблицу 5X6 так, чтобы суммы чисел, стоящих в столбцах, были равны?

2. В отряде пионерского лагеря собраны ребята 10, 11, 12 и 13 лет. Их 23 человека, и им вместе 253 года. Сколько в отряде 12-летних ребят, если известно, что их в полтора раза больше, чем 13-летних?

3. 200 точек на отрезке AB расположены симметрично относительно середины этого отрезка. Некоторые 100 из них окрашены в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что сумма расстояний от красных точек до точки А равна сумме расстояний от синих точек до точки В.

4. Среди девяти монет две фальшивые. Определите фальшивые монеты за четыре взвешивания на двухчашечных весах без гирь, если известно, что обе фальшивые монеты весят одинаково, причем тяжелее настоящих.

5. Разрежьте квадрат на выпуклые пятиугольники.

6. В вершинах и пересечениях диагоналей выпуклого многоугольника расположены трамвайные остановки, причем известно, что никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. На некоторых диагоналях-улицах введено трамвайное движение так, что мимо каждой остановки проходит хотя бы один трамвайный путь. Докажите, что от любой остановки до любой другой можно добраться на трамвае, сделав не более двух пересадок.

6-й класс

7. См. задачу 1.

8. См. задачу 3.

9. Можно ли числа 1, 2, 3, 1980 выписать в таком порядке, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, делилась на три?

10. См. задачу 4.

11. 2п конфет как-то разложены по п коробкам. Девочка и мальчик по очереди берут по конфете: первой выбирает девочка. Докажите, что мальчик может выбирать конфеты так, чтобы две последние конфеты были из одной коробки.

12. Укажите такую раскраску клетчатого листа бумаги

Рис. 8

в пять цветов, что в любой фигуре типа 1 (рис. 8, а) будут клетки всех пяти цветов, a в любой фигуре типа 2 (рис. 8,6) — не всех пяти цветов.

7-й класс

13. Найдите все наборы из целых чисел А, В и С, для которых

14. См. задачу 9.

15. Около окружности описан n-угольник. Произвольная точка внутри окружности соединена отрезками со всеми вершинами и точками касания. Полученные треугольники последовательно занумерованы числами от 1 до 2п. Докажите, что произведение площадей треугольников с четными номерами равно произведению площадей треугольников с нечетными номерами.

16. Квадрат ABCD размером 9X9 разбит на квадратики 1X1. Все вершины этих квадратиков раскрашены в четыре цвета, по 25 точек каждого цвета. Рассматриваются все возможные векторы вида MA, где M — точка первого цвета, вида MB, где M — точка второго цвета, вида MB, где M — точка третьего цвета, и вида MB, где M — точка четвертого цвета. Докажите, что сумма всех этих векторов равна нуль-вектору.

17. Докажите, что число 53-83-109 + 40-66-96 — составное.

18. См. задачу 11.

19. См. задачу 12.

8-й класс

20. Сумма четырех положительных чисел а, Ъ, с и d равна 1. Докажите, что

21. Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На сторонах АС и ВС выбрали соответственно точки M и К такие, что \ВК\ • \АВ\ = \ВО\2 и \АМ\ • \АВ\ = \АО\2. Докажите, что точки М, О и К лежат на одной прямой.

22. Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 10 партий, а второй — 21. Сколько партий сыграл третий игрок?

23. Можно ли расставить в клетках шахматной доски 8X8 натуральные числа от 1 до 64 так, чтобы сумма чисел в любой фигурке вида, указанного на рис. 9, делилась на пять?

24. Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника. Суммы квадратов площадей треугольников, прилежащих противоположным сторонам, равны между собой. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей делится в точке пересечения пополам.

25. При каком наименьшем п в десятичной записи дроби: т/п после запятой может встретиться набор цифр ...501...?

26. Среди девяти монет две фальшивые. Настоящая монета весит 10 г, а фальшивая—11 г. Как обнаружить фальшивые монеты за пять взвешиваний на одночашечных весах? (Цена деления — 1 г).

9-й класс

27. Угол А треугольника ABC в два раза больше угла В. Докажите, что \ВС\2 = (\АС\ + \АВ\) \АС\.

28. Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 10 партий, второй—15, третий—17. Кто проиграл во второй партии?

29. Найдите два различных натуральных числа, среднее арифметическое и среднее геометрическое которых являются двузначными числами, одно из которых получается из другого перестановкой цифр.

30. Докажите, что если для любого значения х из отрезка [0; 1] выполняется неравенство | ах2 + Ьх + с\ ^ 1, то а| + |&| + |с|< 17.

31. Назовем средней линией выпуклого четырехугольника отрезок, соединяющий середины противоположных сторон. Докажите, что если сумма длин средних линий четырехугольника равна его полупериметру, то этот четырехугольник — параллелограмм.

32. См. задачу 25.

33. В клетках квадратной таблицы 8X8 записаны вещественные числа. Разрешается вместо любых двух чисел записать в обе клетки их среднее арифметическое. Докажите, что такими операциями можно добиться того, чтобы во всех клетках были записаны одинаковые числа.

10-й класс

34. Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок выиграл 10 партий,

Рис. 9

второй—12, третий—14. Сколько партий сыграл каждый игрок?

35. Сколько различных чисел встречается в последовательности:

36. Существуют ли числа а и Ь такие, что при всех х из отрезка [0; 2л] выполнено неравенство f2(x) — f(x)cosx<C < -^-sin a-, где f(x) = ax + b?

37. См. задачу 31.

38. В клетках квадратной таблицы NX^N записаны вещественные числа. Разрешается вместо любых двух чисел записать в обе клетки их среднее арифметическое. Найдите все натуральные числа N, при которых для любой начальной расстановки чисел в таблице такими операциями можно добиться того, чтобы во всех клетках были записаны одинаковые числа.

39*. Докажите, что любые две точки на поверхности правильного тетраэдра с ребром длины 1 можно соединить ломаной, идущей по поверхности тетраэдра, длина которой не превосходит 2/УЗ.

40*. На контуре выпуклого многоугольника сидят два таракана. Одновременно они начинают двигаться по контуру в одном направлении с одинаковой скоростью. При каком начальном расположении тараканов минимальное расстояние между ними в процессе движения будет наибольшим?

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

(8—9-е классы)

41. Во Всесоюзной олимпиаде участвуют школьники 8, 9-х и 10-х классов. В команду Ленинграда входят k победителей городской олимпиады и победители Всесоюзной олимпиады прошлого года. Каково максимально возможное число членов команды?

42. Докажите, что для любых ху у, z из отрезка [0; 1] выполнено неравенство 3 (х2у2 + x2z2 + y2z2) — 2xyz (х + у + z) ^ 3.

43. Найдите внутри данного треугольника точку с максимальным произведением длин перпендикуляров, опущенных из нее на стороны треугольника.

44. В стране провели анкету, в которой требовалось назвать любимого писателя, художника и композитора. Оказалось, что каждый упомянутый хоть раз деятель искусств является любимым ровно k людьми. Докажите, что всех проанкетированных можно разделить на 3k— 2 группы так, что

в каждой группе любые два человека имеют совершенно разные вкусы.

45. Докажите, что длина биссектрисы, проведенной к наибольшей стороне треугольника, не превосходит длины высоты, опущенной на наименьшую сторону треугольника.

46. Вершины выпуклого многоугольника с нечетным числом сторон окрасили в три цвета так, что любые две соседние вершины окрашены в разные цвета. Докажите, что многоугольник можно разрезать непересекающимися диагоналями на треугольники так, чтобы у каждого треугольника цвета всех вершин были различны.

47. Какое наибольшее число параллелепипедов 1X1X4 можно поместить внутрь куба 6X6X6 так, чтобы их грани были параллельны соответствующим граням куба?

48*. О — центр симметрии выпуклого многоугольника F; Ai и А2у В\ и В2— пары точек многоугольника, симметричных относительно точки О. Известно, что объединение многоугольников, полученных из F параллельными переносами на векторы ОА\ и ОА2у не покрывает точек В\ и В2. Докажите, что объединение многоугольников, полученных из F параллельными переносами на векторы ОАи ОА2, ОВ\ и ОВ2, покрывает весь многоугольник F.

ОЛИМПИАДА 1981 ГОДА

5-й класс

1. Пятиклассники Коля и Вася подсчитывали отметки, полученные в течение четверти. Оказалось, что Коля получил столько пятерок, сколько Вася четверок; столько четверок сколько Вася троек; столько троек, сколько Вася двоек, и столько двоек, сколько Вася пятерок. Кроме того, выяснилось, что каждый из них получил по 54 отметки и что средний балл у них одинаковый. Докажите, что они ошиблись в подсчетах.

2. Можно ли составить из цифр 1,2, ..., 9 такое девятизначное число, что между 1 и 2 стоит нечетное число цифр, между 2 и 3 — также нечетное число цифр, ..., между 8 и 9—нечетное число цифр?

3. А, В и С — три точки, не лежащие на одной прямой. Расположите внутри треугольника ABC еще девять точек и соедините некоторые из полученных 12 точек отрезками так, чтобы эти отрезки не пересекались, треугольник ABC был разбит на треугольники и каждая из 12 точек была соединена ровно с пятью другими.

Рис. 10

4. На клетчатой бумаге нарисован квадрат 12X12. Какое наименьшее число его клеток нужно закрасить, чтобы в незакрашенную часть нельзя было поместить фигуру указанного на рис. 10 вида?

5. Существует ли натуральное число п такое, что десятичная запись числа п2 начинается с цифр 123456789?

6. Имеются 4 рубля монетами достоинством 1 коп., 2 коп., 5 коп., 10 коп. Докажите, что этими монетами можно набрать 3 рубля.

6-й класс

7. Докажите, что при любом натуральном п числа целое.

8. Точка С лежит внутри прямого угла XOY. На луче ОХ выбрана точка А и на луче OY — точка В. Докажите, что периметр треугольника АБС больше чем 2|ОС|.

9. См. задачу 4.

10. См. задачу 6.

11. Натуральное п таково, что число я2 + 1—десятизначное. Докажите, что в его записи встречаются две одинаковые цифры.

12. В вершинах куба записаны целые числа. Разрешается одновременно увеличить на 1 любые два числа, стоящие в концах одного ребра куба. Можно ли с помощью таких операций добиться, чтобы все числа делились на три, если исходно в одной из вершин была написана единица, а в остальных — нули?

7-й класс

13. Существует ли натуральное число, которое уменьшается в 1981 раз при зачеркивании первой цифры его десятичной записи?

14. См. задачу 8.

15. См. задачу 4.

16. Пусть M — произвольное натуральное число, большее 3, a S — сумма всех таких натуральных чисел де, не превосходящих М, что X2 — X + 1 делится на М. Докажите, что 5 делится на Af+l. (В том случае, когда таких чисел х нет, полагаем 5 равной нулю).

17. Через точку M внутри треугольника АБС проведены три отрезка Р1Р2, Q1Q2 и R1R2 с концами на сторонах треугольника, параллельных соответственно сторонам ВС, АС и AB. Докажите, что

18. См. задачу 12.

8-й класс

19. Существует ли набор чисел из 1981 последовательного целого числа, сумма которых есть куб натурального числа?

20. Квадрат разбит на несколько прямоугольников со сторонами, параллельными сторонам квадрата. Для каждого прямоугольника вычислили отношение длины меньшей стороны к длине большей. Докажите, что сумма полученных чисел не меньше 1.

21. Докажите, что если х2 + ху + хг < 0, то у2 > 4xz.

22. На стороне AB треугольника ABC выбраны точки Ci и С2, на стороне ВС — Ах и Л2, на стороне CA—В\ и В2 так, что АС\ = С{С2 = С2В = ЛЯ/3, В А ! = А ХА2 = Л2С = ВС/3, СВ{ = В\В2 = В2А = СЛ/3. Докажите, что при пересечении треугольников ЛijBiCi и А2В2С2 образуется шесть конгруэнтных треугольников.

23. На бесконечном клетчатом листе бумаги со стороной клетки 1 построен треугольник ABC с вершинами в узлах. Докажите, что если AB > АС, то AB — АС>\/р, где р — периметр треугольника ABC.

24*. Поля квадратной доски 8X8 раскрашены в два цвета в шахматном порядке. Фишка ходит по черным полям, причем за один ход она может перейти на любое из соседних по диагонали полей. Какое наименьшее число ходов потребуется, чтобы обойти все черные поля?

9-й класс

25. В выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от любой точки внутри четырехугольника до четырех прямых, на которых лежат его стороны, постоянна. Докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм.

26. См. задачу 20.

27. См. задачу 24 для доски 9X9 (левое нижнее поле — черное).

28. 1 < а\ < а2 <С ... <CLn < ... — последовательность натуральных чисел такая, что ап+ап = 2ап при любом натуральном п. Докажите, что найдется такое натуральное число с, что ап = п-{- с для любого п.

29. Целые числа а, Ъ, с, d и А таковы, что а2 + А = Ь2, c2 + A = d2. Докажите, что число 2(а + Ь) (с + d) (ас + bd — А)—квадрат натурального числа.

30. См. задачу 23,

10-й класс

31. В каждом из двух правильных конгруэнтных 16-угольников отмечено по семь вершин. Докажите, что можно так наложить эти многоугольники друг на друга, чтобы не менее че-

тырех отмеченных вершин одного многоугольника совпали с отмеченными вершинами другого.

32. См. задачу 23.

33. См. задачу 29.

34. На боковых ребрах АА\, ВВ\, СС\ треугольной призмы АВСА\В\С\ отмечены точки А0, В0 и С0 так, что АА0 = ау ВВ0 = Ь, ССо = с. Пусть M — точка пересечения плоскостей А0ВС, В0АС, CqAB, из которой проведен отрезок MP, параллельный боковым ребрам призмы, причем точка Р принадлежит основанию ABC и MP = d. Докажите, что l/d=l/a +

35. См. задачу 24 для доски 10 X 10.

36*. Существует ли натуральная степень числа пять, в ста младших разрядах десятичной записи которой встретятся по крайней мере 30 нулей подряд?

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

37. Найдите все натуральные р, при которых число

(в записи участвуют р двоек)—простое.

38. На сторонах AB, АС и ВС равностороннего треугольника ABC, сторона которого имеет длину 2, выбрали точки Си В\ и А\ соответственно. Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники АВхСи АхВСх и A\B\Cï

39. Есть куча, состоящая из m камней. Двое игроков по очереди берут из нее камни, причем на k-м ходу можно брать от 1 до k камней. Выигрывает тот, кто берет последний камень. При каких m у первого игрока есть выигрышная стратегия?

40. Докажите, что не существует рациональных чисел а, Ь, c и d таких, кто (а + bУЗ)4 + (с + do/З)* = 1 + д/37

41. 16 клеток белого квадрата 8X8 закрашены в черный цвет, причем в каждом столбце и в каждой строке ровно две черные клетки. Докажите, что перекрашиваниями строк и столбцов нельзя уменьшить число черных клеток.

42*. Существуют ли шесть шестизначных чисел, состоящих из цифр от 1 до 6 без повторений, таких, что любое трехзначное число, в записи которого участвуют лишь цифры от 1 до 6 без повторений, можно получить из одного из этих чисел вычеркиванием трех цифр?

43. В ряд выписано р чисел, каждое из которых равно +1 или —1. За одну операцию разрешается сменить знак одновременно у нескольких подряд идущих чисел. За какое наименьшее количество подобных операций любой такой набор можно превратить в набор из одних единиц?

44*. Найдутся ли в пространстве пять точек, попарные расстояния между которыми различны, такие, что периметр любого пространственного пятиугольника с вершинами в этих пяти точках всегда один и тот же?

45. Числа а, &, с лежат в отрезке [0; 1]. Докажите неравенство

46*. Пусть аи а2, ..., а7\ Ьи Ь2, ..., Ъ7\ си с2, ..., с7 — три набора целых чисел. Докажите, что можно выбросить несколько троек чисел с одинаковыми индексами (но не все!) так, чтобы в каждом наборе сумма оставшихся чисел делилась на три.

ОЛИМПИАДА 1982 ГОДА

5-й класс

1. Дан шестизначный телефонный номер. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, из которых при зачеркивании одной цифры получается данный шестизначный номер?

2. Кузнечик прыгает на 1 см, затем прыгает на 3 см в том же или в противоположном направлении, затем в том же или в противоположном направлении на 5 см и т. д. Может ли он после 25-го прыжка оказаться в исходной точке?

3. Некоторые из клеток таблицы 5X5 окрашены в красный цвет, а остальные — в синий. Докажите, что можно найти четыре клетки, окрашенные одним цветом, которые находятся на пересечении двух строк и двух столбцов.

4. Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равно 770, то их произведение не делится на 770.

5. Расставьте на ребрах куба числа 1, 2, 3, 12 так, чтобы суммы чисел, стоящих на каждой грани, были одинаковы.

6. Двое играют в следующую игру. Имеется несколько кучек камней. Игрок своим ходом должен разбить каждую кучку, состоящую более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Игроки ходят поочередно до тех пор, пока во всех кучках не станет ровно по одному камню. Победителем считается тот, кто сделал последний ход. Докажите, что начинающий может выиграть, если исходно была одна кучка из 100 камней.

6-й класс

7. А и В — различные двузначные числа, последние цифры которых совпадают. Известно, что неполное частное от деления А на девять равно остатку от деления В на девять, а неполное частное от деления В на девять равно остатку от деления А на девять. Найдите все такие пары чисел А и В.

8. См. задачу 3.

9. Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна 30030, то их произведение не делится на 30030.

10. На плоскости даны 1982 точки и окружность радиуса 1. Докажите, что на этой окружности найдется точка, сумма расстояний от которой до данных 1982 точек больше чем 1982.

11. Кузнечик совершает прыжок длины 1, поворачивает под прямым углом, совершает прыжок длины 2, поворачивает под прямым углом, совершает прыжок длины 3 и т. д. Может ли он через 1982 прыжка оказаться в исходной точке?

12. На танцевальном вечере в школе ни один мальчик не танцевал со всеми девочками, но каждая девочка танцевала по крайней мере с одним мальчиком. Докажите, что найдутся две такие пары Ми D\ и М2, D2y что мальчик М\ танцевал с девочкой öi, а мальчик М2 — с девочкой D2, но М\ не танцевал с D2y а М2 не танцевал с Di.

7-й класс

13. Про два числа а и Ь известно, что

Докажите, что одно из чисел А и В больше 1, а другое меньше.

14. Докажите, что для любых четырех углов выпуклого многоугольника сумма величин двух из них больше разности величин двух других.

15. Докажите, что число 222... 22 (1982 двойки) нельзя представить в виде XY(X+Y), где X и У — целые числа.

16. В турнире по настольному теннису участвовали шестиклассники и семиклассники, причем шестиклассников было в два раза больше, чем семиклассников. Турнир проходил в один круг. Количество встреч, выигранных семиклассниками, на 40 % больше, чем количество встреч, выигранных шестиклассниками. Сколько ребят участвовало в турнире?

17. В клетках квадрата 3X3 расставьте девять различных натуральных чисел, не больших 40, так, чтобы произведения чисел в любом столбце, в любой строке и в любой из двух диагоналей были одинаковы.

18. См. задачу 12.

8-й класс

19. Пусть pu Р2, Рз — квадратные трехчлены с положительными старшими коэффициентами. Докажите, что если каждые

из них имеют общий корень, то квадратный трехчлен р\ ++ р2 + Рз имеет корень.

20. В треугольнике ABC величина угла С в два раза больше величины угла А и |ЛС| = 2|5С|. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

21. Пишется последовательность цифр, первыми четырьмя членами которой являются 1, 9, 8, 2, а каждая следующая цифра является последней цифрой суммы четырех предыдущих. Встретится ли в этой последовательности четверка подряд идущих цифр 3, 0, 4, 4?

22. Угол между любыми двумя диагоналями выпуклого 180-угольника измеряется целым числом градусов. Докажите, что многоугольник — правильный.

23. Клетки прямоугольника 5X41 раскрашены в два цвета. Докажите, что можно выбрать три строки и три столбца так, что все девять клеток, находящиеся на их пересечении, будут иметь один цвет.

24. Плоскость разбита на части 2п прямыми (п > 1), никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Докажите, что среди этих частей не более 2/2 — 1 углов.

9-й класс

25. См. задачу 20.

26. См. задачу 21.

27. См. задачу 22. 28.

Докажите, что из трех данных дробей две равны 1, а одна равна —1.

29. Докажите, что для любого натурального k найдется натуральное п такое, что

30*. На плоскость поставлено несколько фишек, причем они не стоят все на одной прямой. Можно переставлять любую фишку в точку, симметричную ей относительно любой другой фишки. Докажите, что за несколько таких операций можно добиться того, чтобы фишки стояли в вершинах некоторого выпуклого многоугольника.

10-й класс

31. См. задачу 21.

32. См. задачу 23.

33. См. задачу 28.

34. В тетраэдре ABCD сумма величин углов ВАС и BAD равна 180°. АК — биссектриса угла CAD. Найдите величину угла ВАК.

35. Докажите, что в вершинах правильного л-угольника можно расставить не равные нулю числа так, чтобы для любого множества вершин исходного многоугольника, являющихся вершинами правильного é-угольника (k^n), сумма стоящих в них чисел была равна нулю.

36*. На окружности отметили 4п точек и раскрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары и точки каждой пары соединили отрезком того же цвета, что и эти точки (никакие три отрезка при этом не пересеклись в одной точке). Докажите, что найдется по крайней мере п точек пересечения красных отрезков с синими.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

37. Существует ли такое натуральное число k, что из любых 180 вершин правильного 360-угольника с центром в точке О можно выбрать две вершины А и В такие, что величина угла АОВ равна k градусам?

38. Квадрат разбили на 9801 = 992 равных квадратиков и отметили их центры во всех квадратиках, кроме одного углового. Отмеченные точки разбили на пары, и точки каждой пары соединили вектором. Докажите, что сумма полученных векторов не равна нуль-вектору.

39. На окружности взяли 10 точек. Какое наибольшее число отрезков с концами в этих точках можно провести, чтобы никакие три не образовывали треугольника с вершинами в отмеченных точках?

40. Петя купил восемь пирожков с рисом и капустой и заплатил за них 1 руб. Вася купил девять пирожков и заплатил 1 руб. 1 коп. Сколько стоит пирожок с рисом, если известно, что он дороже пирожка с капустой и пирожки стоят дороже 1 коп.?

41. D и Е — точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со сторонами ВС и АС. На биссектрису угла ВАС опустили перпендикуляр ВК. Докажите, что точки D, Е и К лежат на одной прямой.

42. (Ап)—бесконечная последовательность натуральных чисел такая, что An+k — Ak делится на Ап при любых п и k. Обозначим через Вп произведение А\А2... Ап. Докажите, что Bn+k делится на BnBk при любых п и k.

43*. На плоскости дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие четыре — на одной окружности. Докажите, что найдется не более N — 2 окружностей, каждая из которых проходит через три из данных точек и содержит внутри себя все остальные точки.

44*. Докажите, что множество всех натуральных чисел, больших единицы, нельзя разбить на два непустых множества так, что если числа а и b лежат в одном множестве, то и число ab — 1 лежит в том же множестве.

ОЛИМПИАДА 1983 ГОДА

5-й класс

1. В шахматном турнире участвовали 30 человек. Разряд присвоили тем, кто набрал не менее 60 % возможных очков. Какому наибольшему числу участников мог быть присвоен разряд?

2. 10 плиток размером 10 см X 20 см распилили на 20 треугольных плиток. Как сложить из них квадрат?

3. Каждый из четырех гномов — Беня, Веня, Сеня и Женя — либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Мы подслушали такой разговор:

Беня (Вене): Ты врун. Женя (Бене): Сам ты врун.

Сеня (Жене): Да они оба вруны. (Подумав). Впрочем, и ты тоже.

Кто же из гномов правдив, а кто всегда говорит неправду?

4. Из мешка с белыми и черными фишками взяли восемь фишек и расставили их по кругу. Теперь можно взять какие-нибудь три подряд стоящие фишки и поменять каждую из них на фишку другого цвета. Докажите, что, повторив эту операцию несколько раз, можно добиться того, что все фишки станут белыми.

5. Машина времени позволяет переноситься из 1 марта в 1 ноября любого другого года, из 1 апреля — в 1 декабря, из 1 мая — в 1 января и т. д. Дза раза подряд пользоваться машиной запрещено. Барон Мюнхгаузен отправился в путешествие во времени 1 апреля. Вернувшись через мгновение, он сообщил, что путешествовал 26 месяцев. Докажите барону, что он неправ.

6. Из четырех различных цифр составили два четырехзначных числа — наибольшее из всех возможных и наименьшее из всех возможных (цифры в числе не могут повторяться). Сумма этих чисел равна 10 477. Какими могли быть исходные цифры?

6-й класс

7. Четное число А обладает следующим свойством: если оно делится на простое число Р, то А—1 делится на Р—1. Докажите, что число А является степенью числа два.

8. Прямолинейный прут длиной 2 м разрезали на пять кусков, длиной не менее 17 см каждый. Докажите, что среди них найдутся три, из которых можно составить треугольник.

9. В пятиугольной звезде, изображенной на рис. 11, угол А равен углу Ь, угол В равен углу С и отрезок AB равен отрезку CD. Докажите, что отрезки АЕ и DE равны.

10. По кругу расставлены восемь чисел, каждое из которых равно +1 или —1. За один ход можно поменять знаки на противоположные у любых трех подряд идущих чисел. Докажите, что с помощью нескольких таких ходов из любой начальной расстановки можно получить любую другую.

11. См. задачу 5.

12. Можно ли внутри треугольника с синими вершинами отметить 10 синих и 20 красных точек так, чтобы никакие три синие точки не лежали на одной прямой и чтобы внутри любого треугольника с синими вершинами была хотя бы одна красная точка?

7-й класс

13. См. задачу 9.

14. Каждая из клеток квадратного листа клетчатой бумаги размером 100 X Ю0 закрашена в белый или в черный цвет; при этом количество черных и белых клеток одинаково. Докажите, что этот квадрат можно разрезать по линиям сетки на два многоугольника так, чтобы в каждом из них числа белых и черных клеток были одинаковы.

15. Прямолинейный прут длиной 2 м разрезан на пять кусков, длиной не менее 19 см каждый. Докажите, что из каких-то четырех из них можно составить четырехугольник.

16. См. задачу 12.

17. Докажите, что число 258 + 1 можно представить как произведение трех натуральных чисел, больших 1.

18. В каждой клетке таблицы размером 24X24 записано число, равное +1 или —1. За один ход можно поменять знаки на противоположные у одного из этих чисел, а также одновременно и у всех чисел, которые находятся с ним либо в одной строке, либо в одном столбце. Докажите, что с помощью нескольких таких ходов можно из любой начальной расстановки чисел получить любую другую.

Рис. 11

8-й класс

19. Число А получено перестановкой цифр числа В. Докажите, что сумма цифр числа 5А равна сумме цифр числа 5B.

20. Двое шахматистов сыграли матч из 24 партий. Известно, что ни одна нечетная партия не закончилась вничью и ни одному из участников матча не удалось выиграть три партии подряд. Какое наибольшее число очков мог набрать победитель?

21. Точка, лежащая внутри данного правильного шестиугольника, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что из этих отрезков можно составить шестиугольник, площадь которого не меньше двух третей площади исходного шестиугольника.

22. Прямая Р параллельна медиане СМ треугольника ABC. Прямые AB, ВС и АС пересекают прямую Р в точках Си А\у В\ соответственно. Докажите, что площадь треугольника АА\С\ равна площади треугольника ВВ\С\.

23. Правильный 400-угольник разрезан на параллелограммы. Докажите, что среди этих параллелограммов есть не менее 100 прямоугольников.

24*. На окружности расположено несколько точек. Они начинают двигаться с постоянными, равными по величине, скоростями (некоторые по часовой стрелке, а некоторые — против). Столкнувшись, две точки разлетаются, сохраняя при этом прежнюю величину скорости и оставаясь на окружности. Докажите, что наступит момент, когда каждая точка окажется в первоначальном положении.

9-й класс

25. В треугольнике ABC проведены высоты АН и СР. Найдите величину угла B, если известно, что |ЛС| = 2|Р#|.

26. Точка координатной плоскости называется целой, если обе ее координаты — целые числа. Целая точка называется простой, если обе ее координаты — простые числа. Квадрат, вершины которого целые точки, называется простым, если всякая целая точка на его контуре является простой. Найдите все простые квадраты.

27. По кругу стоят несколько ребят, у каждого из них несколько конфет. По сигналу ведущего каждый передает половину своих конфет стоящему справа от него (если число конфет у кого-либо нечетное, то ведущий предварительно добавляет ему одну конфету). Это повторяется много раз. Докажите, что когда-нибудь у всех будет поровну конфет.

28. Для каких п^2 неравенство

справедливо при всех вещественных значениях переменных x{f

29. Два круга К\ и К2 не имеют общих внутренних точек. Прямые L\ и L2 касаются этих кругов внешним образом в четырех точках, являющихся вершинами описанного четырехугольника. Докажите, что круги К\ и К2 касаются друг друга.

30. См. задачу 24.

10-й класс

31. Две последовательности чисел (хп) и (уп) построены так, что X] = х2 = 10, г/1 = у2 = —10 и при всех натуральных п. Докажите, что любое натуральное число встречается не более чем в одной из этих последовательностей.

32. См. задачу 27.

33. См. задачу 28.

34. Дан трехгранный угол. Известно, что биссектрисы двух его плоских углов взаимно перпендикулярны. Докажите, что проходящая через эти биссектрисы плоскость перпендикулярна плоскости третьего плоского угла.

25. В правильной 20-угольной пирамиде центр вписанного шара совпадает с центром описанного шара. Найдите плоские углы боковой грани (в градусах).

36. См. задачу 24.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

37. В правильном 20-угольнике отметили девять вершин. Докажите, что найдется равнобедренный треугольник с вершинами в отмеченных точках.

38. Докажите, что для любой точки плоскости площадь многоугольника, полученного в пересечении данного треугольника ABC с треугольником, симметричным ему относительно этой точки, не превосходит 2/3 площади треугольника ABC.

39. Двое игроков по очереди ставят крестики и нолики в клетки бесконечного листа клетчатой бумаги. Первый стремится к тому, чтобы какие-то четыре крестика образовывали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй старается помешать ему. Может ли первый игрок выиграть?

40. Угол А при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 100°. На луче AB отложен отрезок AM, равный основанию ВС. Найдите величину угла ВСМ.

41. При каких п можно расставить на окружности п чисел au а2у ап (не все равные нулю) так, чтобы для любого k ^ п сумма k подряд стоящих чисел, начиная с au, равнялась нулю?

42. Бесконечный клетчатый лист бумаги покрыт слоем прямоугольных плиток размером 1 X 2 со сторонами, идущими по линиям сетки. Докажите, что его можно покрыть еще тремя слоями плиток аналогичным образом так, чтобы никакая плитка не лежала в точности над какой-то другой.

43*. Возрастающая последовательность натуральных чисел (ап) такова, что любое натуральное число, не равное члену последовательности, можно представить в виде а* + 2k для некоторого натурального k. Докажите, что при всех k выполнено неравенство ak < У2&.

44. В Стране Дураков jV2 городов, расположенных в виде квадрата, причем расстояние между соседними городами равно 10 км. Города соединены системой дорог, состоящей из прямолинейных участков, параллельных сторонам квадрата. Какова минимальная длина такой системы дорог, если известно, что из любого города можно проехать в любой другой?

ОЛИМПИАДА 1984 ГОДА

5-й класс

1. Докажите, что в 400-значном числе 84198419... 8419 можно вычеркнуть несколько цифр в начале и несколько цифр в конце так, чтобы сумма оставшихся цифр была равна 1984.

2. В клетках таблицы 4X4 расставьте числа, не равные нулю, так, чтобы сумма чисел, стоящих в углах каждого квадрата 2X2, ЗХЗи4Х4, была равна нулю.

3. На прямой отмечены 45 точек, лежащие вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки А не равна сумме расстояний от этих точек до точки В.

4. Клетки тетрадного листа раскрашены в восемь цветов. Докажите, что найдется фигура вида, указанного на рис. 12, внутри которой есть две клетки одного цвета.

Рис. 12 Рис. 13

5. Круг разделен на шесть секторов, и в них расставлены числа так, как это показано на рис. 13. Разрешается одновременно увеличивать на один любые два стоящих рядом числа. Докажите, что с помощью таких операций нельзя добиться равенства всех шести чисел.

6. В ряд выписаны числа от 1 до 100. Два игрока по очереди вставляют между этими числами знаки +, — и X (игроки сами выбирают, на какое место из оставшихся поставить очередной знак). Докажите, что игрок, делающий первый ход, может добиться того, чтобы окончательный результат был нечетным числом.

6-й класс

7. См. задачу 3.

8. В точке О пересекаются диагонали АС и BD четырехугольника ABCD. Периметры треугольников ABC и ABD равны. Равны и периметры треугольников ACD и BCD. Докажите, что АО = ВО.

9. а) См. задачу 2.

б) Докажите, что для любой такой расстановки сумма чисел, стоящих в каждом столбце, равна нулю.

10. 175 Шалтаев стоят дороже, чем 125, но дешевле, чем 126 Болтаев. Докажите, что на трех Шалтаев и одного Болтая рубля не хватит.

11. См. задачу 6.

12. Из листа клетчатой бумаги размером 29X29 клеток вырезали 99 квадратиков, каждый из которых состоит из четырех клеток. Докажите, что можно вырезать еще один квадратик.

7-й класс

13. Могут ли отрезки длиной 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15 быть сторонами и диагоналями выпуклого пятиугольника?

14. Найдите численное значение выражения

если известно, что х не равно у и сумма первых двух слагаемых равна третьему.

15. На сторонах AB и АС треугольника ABC построены равнобедренные треугольники ADB (AD = AB) и АСЕ (АС = АЕ), причем угол DAE равен сумме углов ABC и АСВ. Докажите, что отрезок DE в два раза длиннее медианы AM треугольника ABC.

16. На прямой отмечены 45 точек, лежащие вне отрезка AB, некоторые из которых окрашены в красный цвет, а остальные— в синий. Докажите, что результат сложения суммы расстояний от красных точек до точки А и суммы расстояний от синих точек до точки В не равен результату сложения суммы расстояний от красных точек до точки В и суммы расстояний от синих точек до точки А.

17. См. задачу 12 для листа размерами 31 Х31.

18. В какое наименьшее количество цветов можно раскрасить клетки бесконечного клетчатого листа бумаги так, чтобы в любой фигуре из четырех клеток указанного на рис. 14 вида все клетки были различных цветов?

8-й класс

19. Квадрат 100 X 100 сложен из прямоугольников размером 1x2. Докажите, что какие-то два из них образуют квадрат 2x2.

20. Разность шестизначных чисел abcdef и fdebca делится на 271. Докажите, что Ъ = d и с = е.

21. Вещественные числа Х\, *2> . • -, *юо таковы, что х\ + х2 = х\ + хг = ... = Xioü + Xioi = *?oi+ Х\. Докажите, что все эти числа равны между собой.

22. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.

23. Известно, что для некоторой внутренней точки К медианы ВМ треугольника ABC углы ВАК и ВСК равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

24. Множество А состоит из натуральных чисел, причем среди любых 100 идущих подряд натуральных чисел есть число из А. Докажите, что в А найдутся четыре различных числа а, Ь, с, d такие, что а + Ъ = с + d.

9-й класс

25. См. задачу 21.

26. См. задачу 22.

27. Найдите наименьшее натуральное число, которое можно тремя разными способами представить в виде 13x + 73y, где X и у — натуральные числа.

28. Отрезки ААи ВВ\ и СС\ — высоты треугольника ABC. Найдите углы этого треугольника, если известно, что он подобен треугольнику А\В\С\.

Рис. 14

29. См. задачу 24.

30. Сумма целых чисел А, В и С равна нулю. Докажите, что число 2(Л4 + B4 + С4)—квадрат целого числа.

10-й класс

31. См. задачу 22 для произвольной точки пространства.

32. См. задачу 24.

33. Докажите, что разность квадратов длин смежных сторон параллелограмма меньше произведения длин его диагоналей.

34. После нескольких операций дифференцирования и умножения на х+1, выполненных в каком-то порядке, многочлен Xs + X7 превратился в ах+Ь. Докажите, что разность целых чисел а и Ь делится на 49.

35. Какое наибольшее значение может принимать сумма

если xi, х2у ..., *бз — это некоторым образом переставленные числа 1, 2, 3, ..., 63?

36. В вершинах 50-угольной призмы расставлены числа 1, 2, 3, 100. Докажите, что у призмы найдется такое ребро, что стоящие в его концах числа различаются не более чем на 48.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР

(8—9-е классы)

37. На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD даны точки Е и Н. Докажите, что если треугольники AB H и CDE равновелики и \AE\:\BE\ = \DH\:\CH\, то прямая ВС параллельна прямой AD.

38. Двое играют в такую игру. Первый игрок пишет какую-либо цифру, второй игрок приписывает к ней слева или справа еще одну цифру, первый игрок приписывает к образовавшемуся числу еще одну цифру и т. д. Докажите, что первый игрок может играть так, чтобы ни одно число, получающееся после хода второго игрока, не было квадратом целого числа.

39. На координатной плоскости даны четыре точки с целыми координатами. Разрешается заменять любую из этих точек на точку, симметричную ей относительно любой другой из этих точек. Можно ли за несколько таких операций перейти от точек с координатами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) к точкам с координатами (0; 0), (1; 1), (3; 0), (2; —1)?

40. Даны числа: единица и девять нулей. Разрешается выбрать два числа и заменить каждое их средним арифметическим. Какое наименьшее число может оказаться на месте единицы после серии таких операций?

41. Положительные числа ai, а2у ..., a*; b\, b2y ..., bn таковы, что

Докажите, что в прямоугольной таблице размером k X п можно расставить неотрицательные числа, среди которых по крайней мере (k—1)(/г—1) нулей, так, чтобы суммы чисел в строках были равны аь а2, ..., а*, а в столбцах — bly Ь2у ...

42. Фишка может находиться в одной из 169 точек (х\ у)у где X и у — целые числа, 0^x^12, О^.у^.12. Фишка может пойти из точки (хиух) в точку (х2уу2)у только если каждое из чисел 1*1 — х2\у \х\ — t/21, \у\ — х2\у \у\ — у2\ не меньше двух и не больше девяти. Докажите, что фишка не может обойти все 169 точек, побывав в каждой из них ровно по разу.

43. На окружности, касающейся сторон угла с вершиной О, выбраны две диаметрально противоположные точки А и В (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке В пересекает стороны угла в точках С и D, а прямую OA — в точке Е. Докажите, что ВС = DE.

44*. Докажите, что существует такое множество А, состоящее из натуральных чисел, что любое не принадлежащее ему натуральное число является средним арифметическим двух различных чисел из А, а никакое число из А этим свойством не обладает.

10-й класс

45. См. задачу 40.

46. Докажите, что если сумма плоских углов при вершине пирамиды больше 180°, то каждое боковое ребро пирамиды меньше полупериметра ее основания.

47. Целое число a таково, что число За можно представить в виде х2 + 2у2у где х и у — целые числа. Докажите, что и число a можно представить в таком виде.

48. См. задачу 39.

49. См. задачу 43.

50. См. задачу 44.

51*. Целые числа а, Ьу с, d, е таковы, что числа a+ 6 + с + d + е и а2 + Ь2 + с2 + d2 + е2 делятся на нечетное число п. Докажите, что число а5 + Ьъ + с5 + d5 + еъ — babcde также делится на п.

52. В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре суммы шести

предыдущих членов. Докажите, что в этой последовательности не встречаются подряд шесть чисел 0, 1,0, 1,0, 1.

Комментарий. В 1984 г. проведение заключительных туров олимпиады было реформировано: отборочный тур был включен в городскую олимпиаду и стал ее заключительным (четвертым) этапом, по результатам которого происходило награждение дипломами Ленинградской математической олимпиады. В 1984—90 гг. в заключительном туре принимали участие от 50 до 100 школьников трех старших классов.

ОЛИМПИАДА 1985 ГОДА

5-й класс

1. Имеется 68 монет, различных по весу. За 100 взвешиваний на чашечных весах без гирь найдите самую тяжелую и самую легкую монеты.

2. 45-значное число составлено из одной единицы, двух двоек, трех троек, ..., девяти девяток. Докажите, что оно не является точным квадратом.

3. Путешественник отправляется из своего родного города А в самый удаленный от него город страны — город В; затем из В — в самый удаленный от него город С и т. д. Докажите, что если С и А — разные города, то путешественник никогда не вернется домой.

4. Найдите 1000 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению.

5. В кладовой лежит 300 сапог — по 100 сапог 40-го, 41-го и 42-го размеров, причем левых и правых поровну — по 150 штук. Докажите, что из имеющихся сапог можно составить по крайней мере 50 пар (в каждой паре — левый и правый сапоги одного размера).

6. См. задачу 18 при п = 10.

6-й класс

7. На доске написано число 1. Каждую секунду к числу на доске прибавляют сумму его цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456?

8. Высота АК, биссектриса BL и медиана СМ треугольника ABC пересекаются в одной точке О, причем АО = ВО. Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.

9. Простые числа р, q и натуральное число п удовлетворяют соотношению

Найдите эти числа.

10. См. задачу 5.

11. На прямой сидят три кузнечика. Они начинают играть в чехарду, прыгая друг через друга (но не через двух сразу). Могут ли они через 1985 прыжков оказаться на исходных местах?

12. См. задачу 18 при п = 10.

7-й класс

13. Точки Р и Q на сторонах ВС и CD квадрата ABCD соответственно выбраны так, что треугольник APQ — равносторонний. Прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная стороне AQ, пересекает AD в точке Е. Точка F вне треугольника APQ выбрана так, что треугольники PQF и AQE равны. Докажите, что отрезок FE в два раза длиннее отрезка FC.

14. Натуральное число возвели в квадрат и от результата отняли 600, с полученным числом проделали то же самое и т. д. Каким могло быть исходное число, если известно, что после нескольких таких операций было получено снова это же число?

15. Две точки, выбранные на противоположных сторонах прямоугольника, соединены отрезками с вершинами этого прямоугольника. Докажите, что площади семи частей, на которые разбился при этом прямоугольник, не могут оказаться все одинаковы.

16. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2, 3, ..., 1985 так, что разность любых двух из выбранных чисел не является простым числом?

17. На плоскости расположены 1985 точек красного, синего и зеленого цветов так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек разного цвета соединены отрезками, причем оказалось, что изо всех точек выходит одно и то же число отрезков. Докажите, что найдется красная точка, соединенная отрезками и с синей, и с зеленой точками.

18. На складе в два штабеля сложены в произвольном порядке п контейнеров, которые имеют номера 1, 2, 3, п. Автопогрузчик подъезжает к одному из штабелей, снимает сверху несколько контейнеров и устанавливает их на другой штабель. Докажите, что за 2п—1 таких операций можно расположить все контейнеры в одном штабеле по порядку номеров (внизу № 1, затем № 2 и т. д.).

8-й класс

19. Арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит точный квадрат. Докажите, что она содержит бесконечно много точных квадратов.

20. Решите систему уравнений:

21. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол ABD равен 65°, угол CBD равен 35°, угол ADC равен 130° и AB = ВС. Найдите углы четырехугольника ABCD.

22. Про положительные числа au bu С\, а2, b2, с2 известно, что Ъ ?^ й\С\, Ъ\ ^ а2с2. Докажите, что (ai + а2 + 5) (с\ + с2 + 2)>(ôi + ft2 + 3)2.

23. Окружность с центром О касается сторон угла в точках А и В. Через произвольную точку M отрезка AB, отличную от точек А и В, проведена прямая, перпендикулярная прямой ОМ и пересекающая стороны угла в точках С и D. Докажите, что MC = MD.

24. Игра для двух участников состоит из прямоугольного поля 1X25, разбитого на 25 квадратных клеток, и 25 фишек. Клетки занумерованы последовательно числами 1, 2, 25. За один ход игрок либо выставляет новую фишку в одну из свободных клеток, либо передвигает ранее выставленную фишку в ближайшую свободную клетку с большим номером. В начальной позиции все клетки свободны. Игра заканчивается, когда все клетки будут заняты фишками, причем победителем считается игрок, сделавший последний ход. Игроки ходят поочередно. Кто победит при правильной игре: начинающий или его соперник?

9-й класс

25. В выпуклом четырехугольнике A BCD, диагонали которого пересекаются в точке О, равны между собой углы ВАС и CBD, а также углы ВСА и CDB. Докажите, что касательные, проведенные к окружности (AOD) из точек В и С, имеют равную длину.

26. Вещественные числа а, Ъ, с, х, у, z таковы, что х = by + cz, у = cz+ ах, z = ах+ by, причем хотя бы одно из чисел X, у, z не равно нулю. Докажите, что 2abc + ab + ас + 6с=1.

27. Длины сторон выпуклого четырехугольника не больше 7. Докажите, что четыре круга с радиусами 5 и центрами в вершинах четырехугольника полностью покрывают четырехугольник.

28. Вещественные числа а, Ь, с таковы, что a + Ь + с > 0, ab + ас + be > 0, abc > 0. Докажите, что числа а, Ь, с положительны.

29*. Последовательность х\, х2, ... задана условиями Х\ = 0,001, Хп+1 = Хп — х2п. Докажите, что Jtiooi < 0,0005.

30. См. задачу 24.

10-й класс

31. Вещественные числа а, Ъ, с, х, у, z таковы, что ах = Ьсу Ьу = са, cz = ab, причем числа а, Ь, с положительны и хотя бы одно из них не равно 1. Докажите, что + y + г — xyz — целое число.

32. См. задачу 23.

33. Прямые, проведенные перпендикулярно граням тетраэдра через центры вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке. Докажите, что суммы длин противоположных ребер этого тетраэдра равны между собой.

34. Докажите неравенство

35. См. задачу 29.

36. См. задачу 24.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР

8-й класс

37. Число 1584 обладает следующими свойствами:

а) не является квадратом целого числа;

б) отлично от своего обращенного 4851;

в) произведение чисел 1584 и 4851 является квадратом целого числа.

Найдите 20-значное число, обладающее теми же свойствами.

38. Периметр треугольника равен 100 см, а площадь — 100 см2. Три прямые, проведенные параллельно сторонам треугольника на расстоянии 1 см от них, разбивают треугольник на семь частей, три из которых — параллелограммы. Докажите, что сумма площадей параллелограммов меньше 25 см2.

39. 15 волейбольных команд разыграли турнир в один круг, причем каждая команда одержала ровно семь побед. Сколько в этом турнире таких троек команд, которые во встречах с собой имеют по одной победе?

40. Каждая клетка доски 100 X 100 окрашена в один из четырех цветов, причем в любом квадрате 2X2 встречаются все четыре цвета. Докажите, что угловые клетки доски окрашены в разные цвета.

41. Трапеция с основаниями а и b описана около окружности радиуса R. Докажите, что ab ^ AR2.

42. Последовательность натуральных чисел ai, a2, ... такова, что ai = 1 и a*+i — ak равно 0 или 1 при всех k. Докажите, что если ат = т/1000 при некотором m, то найдется п такое, что ап = я/500.

43. В последовательности /i, /2, ... первые два члена равны 1, а каждый из остальных равен сумме двух предыдущих. Докажите, что

44. Каждому натуральному числу k ^ 100 сопоставлено некоторое натуральное число /(&), также не превосходящее 100. Строится последовательность ai = 1, a2 = /(ai), a3 = /(a2) и т. д. Докажите, что найдется номер п ^ 100, для которого ап = а2п.

9—10-е классы

45. См. задачу 38.

46. См. задачу 40.

47. 20 волейбольных команд разыграли турнир в один круг. Пусть Т— число троек команд, которые во встречах между собой имеют по одной победе. Докажите, что:

а) если каждая команда выиграла не менее 9 и не более 10 встреч, то Т = 330.

б) Г< 330.

48. См. задачу 41.

49. См. задачу 42.

50. См. задачу 43.

51. Последовательность ai, a2, ... натуральных чисел такова, что а„+2 = ап+\ап+ 1 при всех п. Докажите, что при любом п> 10 число ап — 22 — составное.

52*. В классе поровну мальчиков и девочек. Каждый мальчик дружит с четным числом девочек. Докажите, что можно выбрать группу из нескольких мальчиков так, чтобы с каждой девочкой дружило четное число мальчиков из этой группы.

ОЛИМПИАДА 1986 ГОДА

5-й класс

1. В ряд лежат карточки, на которых написаны числа: 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Разрешается взять несколько подряд лежащих карточек и переставить их в обратном порядке. Как за три такие операции добиться расположения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

2. На шахматной доске стоят 44 ферзя. Докажите, что каждый из них бьет какого-нибудь другого ферзя.

3. Натуральные числа а и b таковы, что 34а = 43Ô. Докажите, что число а + b — составное.

4. Как расположить на плоскости стола несколько пятаков, чтобы каждый из них касался ровно трех других?

5. По окружности расположено 55 чисел, каждое из которых равно сумме соседних с ним чисел. Докажите, что все числа равны нулю.

6. а) Найдите семизначное число, все цифры которого различны и которое делится на все эти цифры.

б) Существует ли такое восьмизначное число?

6-й класс

7. См. задачу 1.

8. См. задачу 2.

9. В шестиугольнике ABCDEF треугольники ABC, ABF, FEA, FED, CDB, CDE равны. Докажите, что равны диагонали AD, BE, CF.

10. См. задачу 5.

11. Улитка выползла из начала координат и поползла по плоскости с постоянной скоростью, поворачивая каждые полчаса на 60°. Докажите, что вернуться в начало координат она сможет только за целое число часов.

12. См. задачу 6.

13. Одиннадцать пионеров посещают пять кружков. Докажите, что среди них есть двое, А и В, таких, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.

7-й класс

14. См. задачу 5.

15. Натуральные числа а, Ь, с таковы, что

Докажите, что

16. В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен 108°. Биссектриса угла АСВ пересекает сторону AB в точке D. Перпендикуляр к этой биссектрисе в точке D пересекает основание А С в точке Е. Докажите, что АЕ = BD.

17. См. задачу 6.

18. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяты точки К и H так, что \КС\ = 2\КВ\ и \HC\ = \HD\. Докажите равенство углов A KB и А КН.

19. Кучка из 25 камней произвольным образом делится на две кучки, любая из имеющихся кучек снова делится на две

и т. д., пока каждая кучка не будет состоять из одного камня. При каждом делении какой-либо кучки на две записывается произведение чисел камней в получающихся двух кучках. Докажите, что сумма всех записанных чисел равна 300.

8-й класс

20. Найдите все трехзначные числа, которые в 11 раз больше суммы своих цифр.

21. В квадрате ABCD на стороне ВС взята точка Е, на стороне CD — точки К и М, на стороне AD — точка Я. При этом СЕ = С/С, DM = DH. Докажите, что вокруг четырехугольника, образованного пересечением углов НВМ и ЕАК, можно описать окружность.

22. Найдите какие-нибудь целые числа А и В такие, что

23. В выпуклом пятиугольнике ABCDE точки Н, /, /С, М, О являются серединами сторон AB, ВС, CD, DE и ЕА соответственно. Докажите, что длина замкнутой ломаной HKOIMH меньше, чем длина ломаной ACEBDA.

24. Квадратные трехчлены х2 + Ь\х + С\ и х2 + Ь2х + с2 имеют целые коэффициенты и общий нецелый корень. Докажите, что эти трехчлены совпадают.

25*. 200 футбольных команд проводят чемпионат. В первый день все команды сыграли по одной игре, во второй день вновь все сыграли по одной игре и т. д. Докажите, что после шестого дня можно указать 34 команды, никакие две из которых не играли друг с другом.

9-й класс

26. См. задачу 20.

27. См. задачу 21.

28. Решите систему уравнений:

29. На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы АА'ВПВ, ВВ'С'С, ССА"А с равными по длине боковыми сторонами АА' = ВВ' = С С = а. Найдите а, если известно, что А'А" = 3, В'В" = 4, С С" = 5.

30. См. задачу 24.

31. Найдите какие-нибудь целые числа А, В и С такие, что

10-й класс

32. См. задачу 20.

33. См. задачу 21.

34. Какое минимальное значение может принимать произведение двух положительных чисел а и Ь, если известно, что ab = a + b?

35. Найдите все положительные решения уравнения

36. См. задачу 31.

37. Найдите угол между ребром AB и гранью ACD в трехгранном угле ABCD с вершиной А, если величина угла ВАС — 45°, CAD — 90°, BAD — 60°.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР

8-й класс

38. Пусть а\ = 2 и ап+\ = а\а2 ... ап + 1 для п = 1, 2, ... . Докажите, что

39. Докажите, что в любом многоугольнике найдутся сторона ВС и вершина А, отличная от В и С, такие, что основание перпендикуляра, опущенного из А на прямую ВС, лежит на отрезке ВС.

40. Марсианин рождается в полночь и живет ровно 100 суток. Известно, что за всю историю вымершей ныне марсианской цивилизации родилось нечетное число марсиан. Докажите, что было по крайней мере 100 дней, когда число жителей Марса было нечетным.

41. На стороне AB квадрата ABCD выбрана точка /С, на стороне CD — точка Я, и на отрезке КН — точка М. Докажите, что вторая (отличная от М) точка пересечения окружностей, описанных вокруг треугольников АКМ и МНС, лежит на диагонали АС.

42*. В Швамбрании закрыли одну беспосадочную авиалинию. Известно, что после этого от любого швамбранского аэропорта до любого другого можно долететь, быть может, с пересадками. До закрытия линии это можно было сделать, совер-

шив не более чем п посадок. Докажите, что теперь можно долететь из любого аэропорта в любой другой не более чем с 2п посадками (при их подсчете учитывается и посадка в пункте назначения).

43. Последовательность из 36 нулей и единиц начинается с пяти нулей. Среди пятерок подряд стоящих цифр встречаются все 32 возможных комбинации. Найдите пять последних цифр в последовательности.

44*. Докажите, что на плоскости можно провести несколько прямых и отметить несколько точек так, чтобы на любой прямой лежали ровно четыре отмеченные точки и через каждую отмеченную точку проходили бы ровно четыре прямые.

45*. Имеется лист клетчатой бумаги размером 30X45 клеток. Двое играют в следующую игру: за один ход (ходят по очереди) производится разрез по линии, соединяющей два соседних узла сетки. Первый игрок начинает резать от края листа, а каждый следующий разрез должен продолжать линию, образованную предыдущими разрезами. Выигрывает игрок, после хода которого лист распадается на два куска. Кто выигрывает при правильной игре?

9-й класс

46. См. задачу 38.

47. См. задачу 39.

48. См. задачу 40.

49. См. задачу 41.

50. Множество А состоит из положительных чисел. Известно, что сумма любых двух его элементов также является его элементом и любой отрезок [а; Ь] (0 < а < Ь) содержит отрезок, целиком состоящий из элементов множества А. Докажите, что множество А содержит все положительные вещественные числа.

51. Рассмотрим следующий алгоритм. Шаг 0. Положить п = т.

Шаг 1. Если п четно, уменьшить п в два раза. Если п нечетно, увеличить п на единицу.

Шаг 2. Если п> 1, перейти к Шагу 1. Если п=1, закончить выполнение алгоритма. Сколько существует натуральных чисел га, для которых при выполнении этого алгоритма Шаг 1 будет выполняться ровно 15 раз?

52. См. задачу 44.

53*. Король обошел доску 9X9, побывав ровно один раз на каждом ее поле. Маршрут короля не замкнутый и, возможно, самопересекающийся. Какова максимально возможная длина такого маршрута, если длина хода по диагонали равна У2, а длина хода по вертикали и горизонтали равна 1?

10-й класс

54. Диаметром множества на плоскости называется наибольшее из расстояний между двумя ее точками (если такое существует). Известно, что сумма диаметров многоугольников Ми М2, Мп меньше, чем диаметр их объединения. Докажите, что существует прямая, не пересекающая ни один из многоугольников, по каждую сторону от которой лежит хотя бы один из них.

55. Функция F: R-^R непрерывна. Для любого вещественного X существует натуральное п такое, что F(F(.. .F(x) )...) = 1 (символ F написан п раз). Докажите, что F(l)= 1.

56. Докажите, что

57. В параллелограмме ABCDy не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла BAD; X и Y — точки ее пересечения с прямыми ВС и CD соответственно. Докажите, что центр окружности, проведенной через точки С, X и У, лежит на окружности, проведенной через точки Ву С и D.

58. Вычислите интеграл

59*. Докажите, что на плоскости можно расположить несколько непересекающихся по внутренним точкам кругов так, чтобы всякий круг касался ровно пяти других.

60. Дано:

где а, Ъ, с, х, у, z — вещественные числа. Известно, что u\U2u3 = v\V2v3. Докажите, что перестановкой чисел в тройке (uu U2, и3) можно получить тройку (V\, ü2y v3).

61*. См. задачу 45 для листа бумаги размером 30X30 клеток.

Комментарий. Для окончательного определения команды Ленинграда на Всесоюзную олимпиаду были проведены еще два дополнительных отборочных тура, варианты которых приведены в разделе «Дополнительные задачи».

ОЛИМПИАДА 1987 ГОДА

5-й класс

1. В клетках таблицы 4X4 расставлены числа от 1 до 16 так, как это показано на рис. 15, а. Разрешается прибавить единицу одновременно ко всем числам любой строки или вычесть единицу из всех чисел любого столбца. Как с помощью таких операций получить таблицу, приведенную на рис. 15,6?

2. В стране Анчурии в обращении имеются купюры четырех достоинств: 1 доллар, 10 долларов, 100 долларов и 1000 долларов. Можно ли отсчитать миллион долларов так, чтобы получилось ровно полмиллиона купюр?

3. Король хочет построить шесть крепостей и соединить каждые две из них дорогой. Начертите такую схему расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было только три перекрестка и на каждом из них пересекались две дороги.

4. Если каждый мальчик купит пирожок, а каждая девочка — булочку, то они потратят вместе на 1 коп. меньше, чем если бы каждый мальчик купил булочку, а каждая девочка — пирожок. Известно, что мальчиков больше, чем девочек. На сколько?

5. Сколько билетов подряд надо приобрести в автобусной кассе, чтобы наверняка попался счастливый? Билет называется счастливым, если сумма первых трех его цифр равна сумме трех последних. Количество билетов в кассе не ограничено.

6. Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки квадрата 9X9 (начинающий ставит крестики, его соперник — нолики). В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов,— это очки, набранные первым игроком. Количество строк и столбцов, где ноликов больше,— очки второго игрока. Как первому выиграть (набрать больше очков)?

Рис. 15

6-й класс

7. См. задачу 1.

8. В остроугольном треугольнике ABC проведены высота СН и медиана ВК, причем ВК = СН, а также равны углы КВС и НСВ. Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.

9. См. задачу 4.

10. В странах Диллии и Даллии денежными единицами являются диллеры и даллеры соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 даллеров, а в Даллии даллер меняется на 10 диллеров. Начинающий финансист имеет 1 диллер и может свободно переезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих странах. Докажите, что количество даллеров у него никогда не сравняется с количеством диллеров.

11. См. задачу 5.

12. Можно ли расставить числа от 0 до 9 (каждое по разу) в кружках на рис. 16 так, чтобы все суммы чисел в вершинах заштрихованных треугольников были одинаковы?

7-й класс

13. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, делят его на четыре четырехугольника одинакового периметра. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

14. См. задачу 4.

15. См. задачу 10.

16. Вершины замкнутой несамопересекающейся ломаной, имеющей восемь звеньев, — это вершины некоторого куба. Докажите, что одно из звеньев этой ломаной совпадает с ребром куба.

17. Ремонтно-строительная контора «Рога и копыта» взялась построить дорогу длиной 100 км из Арбатова в Черноморск. План строительства таков: за первый месяц будет построен 1 км дороги, а далее, если к началу какого-то месяца уже готов А км, то за этот месяц будет построено еще 1/Л10 км дороги. Построит ли контора дорогу?

18. Имеется инструмент для геометрических построений на плоскости (угольник), позволяющий делать следующее:

Рис. 16

а) если даны две точки, то можно провести проходящую через них прямую;

б) если даны прямая и точка на ней, то можно восставить перпендикуляр к этой прямой в данной точке.

Как с помощью этого инструмента опустить перпендикуляр из данной точки на прямую, не проходящую через эту точку?

8-й класс

19. На доске размером 10 X 10 расставлено 50 шашек: 25 в левой нижней четверти и 25 в правой верхней четверти. За один ход любая шашка может перепрыгнуть через шашку, соседнюю с ней по горизонтали, вертикали или диагонали на следующее поле, если оно свободно. Могут ли через несколько ходов все шашки оказаться на левой половине доски?

20. Имеется неограниченный запас монет достоинством 1, 2, 5, 10, 20, 50 коп., и 1 руб. Известно, что А коп. можно разменять при помощи В монет. Докажите, что тогда В руб. можно разменять при помощи А монет.

21. Даны произвольные вещественные числа a, ft, с, d. Докажите, что (1 + ab)2 + (l + cd)2 + (ac)2 + (bd)2^ 1.

22. Дан треугольник ABC. Точки А\ и А2 делят на три равные части сторону А С, а точки Bi и В2 — сторону ВС. Докажите, что если углы А\ВА2 и В\АВ2 равны, то треугольник ABC равнобедренный.

23. На ветвях большого дуба сидят несколько ворон. По сигналу они начинают пересаживаться. Каждую минуту одну из ворон прогоняют соседки, сидящие на той же ветке, и эта ворона перелетает на следующую по высоте (более высокую) ветку; если сверху веток нет, ворона улетает. Все ветки расположены на различной высоте. Докажите, что время, через которое процесс закончится (т. е. на каждой ветке будет не более одной вороны), не зависит от порядка перелетов, а зависит только от начального расположения ворон.

24. 64 кубика уложили в виде квадрата 8X8. Можно ли эти же кубики уложить в виде куба 4X4X4 таким образом, чтобы кубики, которые были раньше соседними, соседними бы и остались? Соседними считаются два куба, имеющие общую грань.

9-й класс

25. Клетки доски 8X8 раскрашены в шахматном порядке. Разрешается менять местами любые две горизонтали или любые две вертикали. Можно ли при помощи этих операций получить доску, вся левая половина которой окрашена в черный цвет, а правая половина — в белый?

26. Вычислите

27. В точках А и В пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перпендикулярны. Пусть M — произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки AM и ВМ за точку M до пересечения в точках X и Y с окружностью, содержащей M внутри себя. Докажите, что XY — диаметр этой окружности.

28. См. задачу 21.

29. Найдите наибольшее натуральное число, каждая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического соседних с ней цифр.

30. Астроном, наблюдая на небе 50 звезд, обнаружил, что сумма всех попарных расстояний между ними равна S. Набежавшее облако заслонило 25 звезд. Докажите, что сумма попарных расстояний между видимыми звездами меньше S/2.

10-й класс

31. См. задачу 20.

32. См. задачу 26.

33. См. задачу 27.

34. См. задачу 21.

35. Найдется ли такое натуральное я, что пп +(п+\)п делится на 1987?

36. См. задачу 30.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР

8-й класс

37. В остроугольном треугольнике ABC угол В равен 60°, а высоты СЕ и AD пересекаются в точке О. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на общей биссектрисе углов АОЕ и COD.

38. Даны положительные числа a, è, с, d. Докажите, что если cd = 1, то на промежутке с концами ab и (а + с) (Ь + d) найдется по крайней мере один квадрат целого числа.

39. На доске нарисовано поле для игры в цифры:

Играют двое. Ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самого левого) пробела _ какую-нибудь цифру. Каждый следующий ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного пробела и заменить стоящую слева от нее звездочку * на знак сложения или умножения. При этом никакая цифра не может встречаться дважды. В конце игры вычисляется значение полученного выражения. Если это четное число, то выигрывает первый игрок, если нечетное— то второй. Кто выигрывает при правильной игре?

40. В городе Райземнойске разрешается производить только обмены квартирами (но не размены!). Две семьи, обменявшиеся квартирами, не имеют права в этот же день участвовать в других обменах. Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.

41. В шестиугольнике А\А2АЪАААЪА^ нашлась точка О, из которой все стороны видны под углом 60°. Докажите, что если ОАх>ОАъ>ОАъ и ОА2 > ОАА > ОЛ6, то А{А2 + АгА4+-+ А5А6 < А2АЪ + ААА5 + Л6Л1.

42. Разложите число 989-1001-1007 + 320 на простые множители.

43*. Плоскость разрезали по нескольким окружностям, среди которых есть пересекающиеся; но окружности не лежат друг в друге. Докажите, что вырезанные при этом из плоскости куски не удается сложить в виде нескольких непересекающихся кругов.

44*. Стража ловит забравшегося во дворец к султану Багдадского вора. Чтобы поймать вора, стражнику нужно оказаться с ним в одной комнате. Дворец состоит из 1000 комнат, соединенных дверьми. Планировка дворца такова, что из комнаты в соседнюю комнату нельзя пройти иначе, как через соединяющую их (всегда единственную) дверь.

а) Докажите, что при любой планировке дворца 10 стражников могут составить план действий, гарантирующий поимку вора.

б) Докажите, что пяти стражникам это может не удаться.

в) Докажите, что для поимки заведомо достаточно шести стражников.

9-й класс

45. См. задачу 37.

46. См. задачу 38.

47. Восемь неотрицательных вещественных чисел, сумма которых равна единице, расставлены в вершинах куба. Для каждого ребра стоящие в его концах числа перемножили. Дока-

жите, что сумма всех полученных таким образом произведений не превосходит 1/4.

48. Дана последовательность натуральных чисел аь а2, • • •> в которой а\ < 1987 и ak + = а*+2 для всех натуральных k. Докажите, что если для некоторого п числа а\ — ап и а2 + делятся на 1987, то число п нечетно.

49. См. задачу 41.

50. См. задачу 42.

51. Дана стопка из 2п + 1 карточек, с которой разрешается производить следующие две операции:

а) сверху снимается часть карточек и перекладывается вниз с сохранением порядка;

б) верхние п карточек с сохранением порядка вкладываются в п промежутков между нижними п + 1 карточками.

Докажите, что при помощи указанных операций из исходного расположения карточек в стопке нельзя получить более 2/г(2/г + 1 ) различных расположений карточек.

52. См. задачу 44.

10-й класс

53. См. задачу 37.

54. Непрерывные функции f, g: [0; 1]->[0; 1] обладают тем свойством, что f(g(x)) = g(f(x)) для любого X из [0;1]. Докажите, что если / возрастает, то найдется ag[0; 1] такое, что f(a) = g(a)= а.

55. См. задачу 47.

56. Даны последовательность вещественных чисел Хи Х2у ХЪу ... и натуральное число Т. Докажите, что если среди всевозможных упорядоченных Г-элементных наборов вида (Xk+i* Xk+2, •.Xk+т) имеется не более Т различных, то последовательность Хи Х2у Х3, ... периодична.

57. Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что

58. См. задачу 42.

59. См. задачу 51.

60*. В iW-элементном множестве выделили 5 подмножеств, содержащих ai, a2, ..., as элементов соответственно. Известно, что среди этих подмножеств ни одно не содержится в другом. Докажите, что

ОЛИМПИАДА 1988 ГОДА

5-й класс

1. В клетках таблицы 3X3 стоят нули. Можно выбрать квадрат 2 X 2 и увеличить на единицу все стоящие в нем числа. Докажите, что за несколько таких операций не удастся получить таблицу, изображенную на рис. 17.

2. Ведущий и каждый из 30 игроков записывают числа от 1 до 30 в некотором порядке. Затем записи сравнивают: если у игрока и у ведущего на одном и том же месте стоят одинаковые числа, то игрок получает очко. Оказалось, что все набрали различные количества очков. Докажите, что чья-то запись совпала с записью ведущего.

3. Можно ли натуральные числа от 1 до 100 выписать в строчку так, чтобы разность любых двух соседних (из большего вычитают меньшее) была не меньше 50?

4. Существуют ли такие целые числа А и B, отличные от нуля, что одно из них делится на их сумму, а другое — на их разность?

5. На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней?

6. Замок состоит из 64 одинаковых квадратных комнат, имеющих по двери в каждой стене и расположенных в виде квадрата 8X8. Полы в комнатах покрашены в белый цвет. Каждое утро маляр совершает прогулку по замку, причем, проходя через комнату, он перекрашивает пол в ней из белого цвета в черный, а из черного — в белый. Возможно ли, что когда-нибудь полы в замке окажутся покрашенными в шахматном порядке в черный и белый цвета?

6-й класс

7. См. задачу 3.

8. См. задачу 1.

9. Каждое из натуральных чисел а, ft, с и d делится на натуральное число ab— cd. Докажите, что ab — cd=\.

10. Докажите, что звезду (см. рис. 18) нельзя нарисовать так, чтобы выполнялись неравенства AB < BC, CD < DEy EF < FGt GH < HI, IK < KA.

Рис. 17

11. За круглым столом сидят 25 человек. Им роздано по две карточки. На каждой из 50 карточек написано одно из чисел 1, 2, 3, 25, причем каждое из чисел встречается дважды.

Раз в минуту по сигналу ведущего каждый из сидящих передает своему соседу справа ту из своих карточек, на которой написано меньшее число. Если же у кого-то на руках окажутся две карточки с одинаковыми номерами, то процесс заканчивается. Докажите, что это рано или поздно произойдет.

12. На столе лежат 500 спичек. Двое играющих ходят по очереди. За один ход можно взять со стола 1, 2, 4, 8, ... (любую степень двойки) спичек. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

7-й класс

13. Вещественные числа х и у таковы, что 0 ^ х, y^l.

Докажите, что

14. В остроугольном треугольнике ABC высота АН пересекается с медианой ВМ в точке L, а с биссектрисой CK в точке N. Медиана ВМ и биссектриса CK пересекаются в точке Р (точки L, N, Р различны). Докажите, что треугольник LNP не может быть равносторонним.

15. См. задачу 9.

16. См. задачу 11.

17. См. задачу 10.

18*. На клетчатом листе бумаги размером 21X21 вершины клеток раскрашены в красный и синий цвета. При этом все вершины, находящиеся на верхнем краю листа, и все вершины, находящиеся на правом краю листа, за исключением самой нижней, окрашены в красный цвет. Все остальные вершины на крае окрашены в синий цвет. Докажите, что на этом листе есть клетка с двумя красными и двумя синими вершинами, причем красные вершины находятся на концах одной стороны клетки.

8-й класс

19. abc =1, а + Ъ + с = 1/а + \/Ь + 1/с. Докажите, что одно из чисел а, Ь, с равно 1.

20. ВВ\ и СС\ — высоты остроугольного треугольника ABC с углом А, равным 30°; В2 и С2 — середины сторон АС и AB

Рис. 18

соответственно. Докажите, что отрезки В\С2 и В2С\ перпендикулярны.

21. Найдите 100-значное число без нулевых цифр, делящееся на сумму своих цифр.

22. Имеется стопка из п разноцветных кирпичей. За одну операцию разрешается взять несколько кирпичей снизу и положить их наверх в том же порядке, после чего перевернуть всю стопку. Докажите, что количество разных стопок, которые можно получить с помощью таких операций, не превосходит 2п.

23. В 120-квартирном доме живут 119 человек. Квартира называется перенаселенной, если в ней живут по крайней мере 15 человек. Каждый день жильцы одной из перенаселенных квартир ссорятся и разъезжаются по разным квартирам. Верно ли, что когда-нибудь переезды прекратятся?

24. а) X, у, z ^ 0; х + у + z = 1/2. Докажите, что

б) хи х2у ..., Хп ^ 0; Х\ + ... + Хп = 1 /2. Докажите, что

9-й класс

25. a, ft, с и d такие целые числа, что

Найдите a, ft, с и d.

26. Ha сторонах AB и ВС треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты ABDE и BCFG. Оказалось, что прямая DG параллельна прямой АС. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

27. Известно, что а < Ъ < с. Докажите, что уравнение

имеет два корня х\ и х2, причем а < Х\ < Ь < х2 < с.

28. а) См. задачу 246 при п = 2. б) См. задачу 24 б при п = 4.

29. а, Ъ и с — натуральные числа такие, что а3 делится на &, Ь3 делится на с, а с3 делится на а. Докажите, что (а + Ъ + с)13 делится на abc.

30. Все диагонали параллелепипеда равны. Докажите, что он прямоугольный.

10-й класс

31. См. задачу 28а.

32. См. задачу 20.

33. См. задачу 29.

34. Функции f(x) и g(x) заданы на всей вещественной оси и принимают вещественные значения. Для любых вещественных X и у выполнено равенство f(x + g (у) ) = 2х + у + 5. Найдите функцию g(x + f{y)) (выразите явно через х и у).

35. Дано 100 последовательных натуральных чисел. Можно ли расставить их по окружности так, чтобы произведение любых двух соседних чисел было точным квадратом?

36. В правильной шестиугольной пирамиде центр описанной сферы лежит на поверхности вписанной сферы. Найдите отношение радиуса описанной сферы к радиусу вписанной сферы.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР

8-й класс

37. Прямая, содержащая сторону АС остроугольного треугольника ABC, симметрично отражается относительно прямых AB и ВС. Две полученные прямые пересекаются в точке К. Докажите, что прямая В К проходит через точку О — центр описанной окружности треугольника ABC.

38. Вещественные числа х\, х2, х3, х4, х$, х6 лежат в отрезке [0; 1]. Докажите, что

39. Найдите два взаимно простых четырехзначных натуральных числа А и В таких, что для любых натуральных m и п числа Ат и Вп отличаются по крайней мере на 4000.

40. N городов соединены друг с другом 2N—1 дорогами с односторонним движением. При этом из любого города можно проехать в любой другой, не нарушая правил. Докажите, что есть дорога, после закрытия которой это свойство сохранится.

41. В трапеции ABCD (с основаниями ВС и AD) на сторонах AB и CD взяты точки К и L. Докажите, что если углы BAL и CDK равны, то равны и углы BLA и CKD.

42. На столе лежат две кучки спичек: в одной—100 спичек, в другой — 252. Два игрока делают ходы по очереди. За один ход разрешается взять из одной кучки несколько спичек, количество которых является делителем числа спичек в дру-

гой кучке. Выигрывает взявший последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его соперник?

43. Словом называется произвольная конечная последовательность из нулей и единиц. Утроением слова А называется его троекратное повторение AAA. Например, если А = 101, то его утроение — это слово 101101101. Над словами разрешается производить одну из следующих двух операций:

1) вставить в произвольном месте (в том числе приписать в начале или в конце) утроение любого слова;

2) вычеркнуть утроение любого слова.

Так, из слова 0001 можно, например, получить слова 0111001 и 1. Можно ли такими операциями получить слово 01 из слова 10?

44*. В лесу барона Мюнхгаузена растут елки и березы, причем на расстоянии ровно 1 км от каждой елки растет в точности 10 берез. Барон утверждает, что в его лесу елок больше, чем берез. Может ли такое быть?

9-й класс

45. См. задачу 37.

46. На шахматной доске расставлено несколько фишек. За один ход одна из фишек сдвигается на свободное соседнее (по вертикали или по горизонтали) поле. После нескольких ходов оказалось, что каждая фишка побывала на всех полях ровно по одному разу и вернулась на исходное поле. Докажите, что был момент, когда ни одна из фишек не стояла на своем исходном поле.

47. а, 6, с, d — положительные вещественные числа. Докажите, что

48. Каждая улица города Фоминска соединяет два перекрестка. На улицах города введено одностороннее движение. Исполком провел конкурс на проект строительства такой сети бензоколонок, чтобы от каждого перекрестка можно было, не нарушая правил, доехать до одной из бензоколонок, но ни от какой бензоколонки нельзя было доехать ни до какой другой. Докажите, что во всех представленных на конкурс проектах предусматривается строительство одного и того же числа бензоколонок.

49. В квадрате ABCD на сторонах AB и CD взяты точки M и N. Отрезки СМ и BN пересекаются в точке Р, а отрезки AN и MD — в точке Q. Докажите, что \PQ\^\AB\/2.

50*. Последовательность аь а2, ... состоит из натуральных чисел, меньших 1988. При этом для любых пит число ат +

+ ап делится на ат+п- Докажите, что эта последовательность — периодическая.

51. См. задачу 43.

52. См. задачу 44.

10-й класс

53. Улитка ползет по плоскости, поворачивая после каждого метра пути на 90°. На каком максимальном расстоянии от исходной точки она могла оказаться после того, как проползла 300 м, сделав всего 99 левых и 200 правых поворотов?

54. Функция /: R-+R непрерывна. Для каждого вещественного X имеет место равенство f(x)-f(f(x))= 1. Известно, что /(1000) = 999. Найдите /(500).

55. См. задачу 39.

56. См. задачу 40.

57. В остроугольном треугольнике ABC на сторонах AB и АС взяты точки M и N. Окружности, построенные на отрезках BN и СМ как на диаметрах, пересекаются в точках Р и Q. Докажите, что Р, Q и точка Я пересечения высот треугольника ABC лежат на одной прямой.

58*. Дан многочлен Р(х) с вещественными коэффициентами. Докажите, что если Р(х) — Р'(х)— Р"(х)+ Р'"(х) ^ 0 для любого вещественного х, то P(x)Z^0 для любого вещественного х.

59. См. задачу 43.

60*. На плоскости дан выпуклый n-угольник. Пусть а*— длина его &-й стороны, a dk — длина его проекции на прямую, содержащую эту сторону (k=l, 2, 3, ..., п). Докажите, что

Комментарий. В качестве дополнительных (только для тех участников, кто решил все задачи варианта) предлагались задачи 61 и 62 (для семиклассников) и 63 (для восьмиклассников). Однако при официальном сравнении результатов участников эти задачи не учитывались.

61. а) См. задачу 6.

б) Докажите, что маляр может изменить любую раскраску замка размерами пУ^п на любую другую, сделав не более 2п2 переходов из одной комнаты в другую.

62. Можно ли числа от 1 до 1000 разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе нашлось число, равное трети суммы остальных чисел группы?

63. На доске пУ^п сидят п—1 жуков так, что никакие два из них не находятся в соседних (по стороне) клетках. Докажите, что один из них может переползти в соседнюю клетку так, что это условие сохранится.

ОЛИМПИАДА 1989 ГОДА

5-й класс

1. Жюри составляет варианты олимпиады для 5, 6, 7, 8, 9, 10-х классов. Члены жюри договорились, что в каждом варианте должно быть семь задач, ровно четыре из которых не встречаются ни в одном другом варианте. Какое максимальное число задач можно включить в такую олимпиаду?

2. Трамвайные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Номер называется счастливым, если у него сумма трех первых цифр равна сумме трех последних цифр. Докажите, что количество счастливых номеров равно количеству номеров с суммой цифр 27.

3. В комплект детской железной дороги входит несколько рельсовых участков вида 1 и 2, каждый из которых помечен стрелкой (см. рис. 19). Дорогу разрешается собирать только так, чтобы направления всех стрелок совпадали с направлением движения паровоза. Из комплекта можно правильно сложить замкнутый путь, используя все рельсы. Докажите, что если заменить один из участков вида 1 участком вида 2, то правильный замкнутый путь из всех участков составить не удастся.

4. Имеется 32 камня попарно разного веса. Докажите, что за 35 взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить самый тяжелый и второй по весу камни.

5. Найдите хотя бы одну пару различных шестизначных чисел такую, что если первое число приписать ко второму, то полученное 12-значное число будет делиться на произведение исходных шестизначных чисел.

6. В клетки доски 10X 10 двое по очереди ставят крестики и нолики (каждый может поставить либо крестик, либо нолик). Выигравшим считается игрок, после хода которого на доске окажутся три крестика (или нолика) в ряд — по вертикали, горизонтали или диагонали, причем ряд должен быть без про-

Рис. 19

пусков. Может ли кто-нибудь из игроков всегда обеспечить себе выигрыш и если может, то кто: начинающий или его соперник?

6-й класс

7. См. задачу 1 для олимпиады только 6—10-х классов.

8. В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и BD пересекают диагональ АС в точках К и M соответственно. Докажите, что если АЕ = ЕК = KB и АК = MC, то ЕМ = ВС.

9. См. задачу 4 для 64 камней и 68 взвешиваний.

10. Найдите все возможные тройки целых чисел А, В и С такие, что

11. Имеется 99 копий правильного 101-угольника, вершины каждой из которых занумерованы по порядку числами от 1 до

101 (см. рис. 20). Можно ли сложить эти 99 многоугольников в стопку (их можно и переворачивать) так, чтобы суммы чисел вдоль ребер стопки были одинаковы?

12. Найдите наименьшее натуральное число, большее 1, которое по крайней мере в 600 раз больше каждого своего простого делителя.

13. Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешается стереть любые два числа А и В и записать вместо них числа А+В/2 и В — А/2. Докажите, что после нескольких таких операций нельзя вновь получить исходный набор чисел.

7-й класс

14. За круглым столом сидят 2п человек: п физиков и п химиков, причем некоторые из них всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Известно, что количество химиков-лжецов равно количеству физиков-лжецов. На вопрос: «Кто ваш сосед справа?» все сидящие за столом ответили: «Химик». Докажите, что п четно.

15. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Известно, что AB = OD, AD = СО, и ZBAC=ZBDA. Докажите, что ABCD — трапеция.

16. Докажите, что если х+ у + zZ^z xyz, то

17. См. задачу 5.

Рис. 20

18. Библиотекарь каждую минуту подходит к полке, на которой стоит восьмитомное собрание сочинений, и меняет местами какие-то два соседних тома. Может ли он делать это так, чтобы по истечении некоторого времени оказалось, что все возможные варианты расстановки томов уже реализованы, причем каждый — по разу?

19. Двое играют в следующую игру: на центральном узле клетчатого квадрата 10 X 10 стоит фишка. За один ход каждый из игроков имеет право переставить ее на любой другой узел квадрата, но при этом длина его хода (т. е. расстояние, на которое он передвинул фишку) должна быть больше, чем длина предыдущего хода, сделанного его партнером. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто из партнеров выигрывает при правильной игре?

20. Существует ли набор из ста различных натуральных чисел, произведение любых пяти из которых делится на сумму этих же пяти чисел?

8-й класс

21. Докажите, что система уравнений x+y+z = 0\ \/х++ 1/у + I/2 = 0 не имеет решений в вещественных числах.

22. А — натуральное число, большее 1, а В — натуральный делитель числа Л2+1. Докажите, что если В — А > 0, то В — А> уХ

23. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Точки /С, L, M и N лежат на сторонах AB, ВС, CD и DA соответственно так, что точка О лежит на отрезках КМ и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

24. В клетках бесконечной шахматной доски расставлено m фишек. Для каждой фишки вычисляется произведение количества фишек в ее строке на количество фишек в ее столбце. Докажите, что количество фишек, для которых это число не меньше Ют, не превосходит т/10.

25. По окончании шахматного турнира, проходившего в k кругов, оказалось, что количество очков, набранных участниками, образуют геометрическую прогрессию с натуральным знаменателем, большим 1. Сколько могло быть участников:

а) при k = 1989;

б) при k= 1988?

26. На плоскости проведено N прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. При каких N заведомо можно поставить у каждой точки пересечения прямых одно из чисел 1, 2, ..., N—1 так, чтобы на любой прямой все эти числа встречались ровно по разу?

9-й класс

27. См. задачу 21.

28. На стороне АС треугольника ABC выбрана точка X. Докажите, что если вписанные окружности треугольников АВХ и ВСХ касаются друг друга, то точка X лежит на окружности, вписанной в треугольник ABC.

29. См. задачу 22.

30. Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис. 21). Чему равен периметр внутреннего пятиугольника ABCDE, если длина исходной ломаной равна 1?

31. Можно ли расставить в клетках таблицы 10Х10 числа +1, —1 и 0 так, чтобы все 20 сумм в строках и столбцах были различны?

32. См. задачу 25.

9-й класс (физико-математические школы)

33. См. задачу 21.

34. Хорды ХК и ХМ окружности делят ее диаметр AB на три равные части. Докажите, что 5|/СЛ4| ^ 3|Л5|.

35. См. задачу 25.

36. См. задачу 30.

37. Выясните, может ли операция *, сопоставляющая каждым двум натуральным числам X и Y натуральное число X*Y, обладать одновременно тремя следующими свойствами:

а) А*В = \А — В\*(А + В) при А ф В;

б) (АС) * (ВС) = (А* В) (С* С);

в) (2е+1)»(2Л+1) = 2А+1.

10-й класс

38. Докажите, что ни при каких вещественных а, & и с три числа (Ь — с) (be — а2), (с — a)(ca — &2), (а — Ъ) (ab — с2) не могут быть положительными одновременно.

39. См. задачу 28.

40. Изобразите на плоскости множество точек с координатами (х\у)у для которых найдутся два неотрицательных числа А и В таких, что наибольшее из чисел Л2, В равно ле, а наименьшее из чисел В2, А равно у.

41. В основании пирамиды лежит равносторонний многоугольник. Докажите, что если все плоские углы при вершине

Рис. 21

пирамиды равны между собой, то среди треугольных боковых граней пирамиды найдутся две равные.

42. См. задачу 25.

10-й класс (физико-математические школы)

43. См. задачу 21.

44. Дана операция *, сопоставляющая каждым двух целым числам X и У целое число X * У. Известно, что каждое целое число равно X*Y при некоторых целых X и У. Докажите, что такая операция, не может обладать одновременно двумя следующими свойствами:

а) А*В = —(В*А);

б) (А *В)«С = А*(В*С).

45. См. задачу 41.

46. См. задачу 25.

47. Докажите, что если уравнение Ах2-{-(С— В)х+(Е — D) = 0 имеет вещественный корень, больший 1, то уравнение Ах4 + Вх3 + Сх2 + Dx + Е = 0 имеет хотя бы один вещественный корень.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР

8-й класс

48. Внутри треугольника ABC взята точка M такая, что ZBMC = 90°+ l/2ZBAC и прямая AM содержит центр окружности, описанной около треугольника ВМС. Докажите, что M — центр вписанной окружности треугольника ABC.

49. Дан конечный набор различных натуральных чисел, обладающих следующим свойством: все их простые делители не превосходят данного числа п. Докажите, что сумма величин, обратных к этим числам, не превосходит п.

50. k — натуральное число, большее 1. Докажите, что в клетках таблицы размером & нельзя расставить числа 1, 2, 3, ... ..., k2 так, чтобы все суммы чисел в строках и столбцах являлись степенями двойки.

51. На полях доски 10Х10 стоит 91 белая шашка. Маляр берет одну из них, перекрашивает в черный цвет и ставит на любое свободное поле доски. Затем он опять берет одну из белых шашек, перекрашивает ее в черный цвет и т. д. до тех пор, пока все шашки не станут черными. Докажите, что в какой-то момент на некоторых двух соседних (по стороне) клетках будут стоять шашки разных цветов.

52. Какую максимальную площадь может иметь четырехугольник, длины сторон которого равны 1, 4, 7, 8?

53. Двое играют в следующую игру. На доске написано число 2. Каждый из игроков своим ходом заменяет число п> написанное на доске, на число n+d, где d — произвольный делитель числа /г, меньший его. Проигрывает тот, кто напишет на доске число, большее 19891989. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

54*. В языке племени Тру-ля-ля словом является любая последовательность из 10 цифр 0 и 1. Известно, что два слова являются синонимами тогда и только тогда, когда одно можно получить из другого серией операций такого вида: из слова вычеркивается несколько подряд стоящих цифр, сумма которых четна, после чего вычеркнутые цифры вписываются на то же самое место, но в обратном порядке. Сколько можно выписать слов языка племени Тру-ля-ля, различающихся по смыслу?

55*. В квадратном зале с зеркальными стенами стоит профессор Смит. Профессор Джонс хочет расставить в зале несколько студентов так, чтобы со своего места Смит не мог увидеть собственного отражения. Удастся ли профессору Джонсу это сделать? (Профессор и студенты считаются точками. Студенты могут стоять у стен и в углах).

9-й класс

56. См. задачу 48.

57. Все возможные последовательности из семи цифр (от 0 000 000 и до 9 999 999) выписаны одна за другой в некотором порядке. Докажите, что получившееся 70 000 000-значное число делится на 239.

58. X, у, z— вещественные числа из отрезка [0; 1]. Докажите, что

59. См. задачу 51.

60. Числовой треугольник, первая строка которого состоит из п единиц, а вторая — из п—1 произвольных целых чисел (см. пример для п = 6 на рис. 22), обладает следующим свойством: для любых четырех чисел, образующих четырехуголь-

Рис. 22

ник а . с (а и с — соседние в строке), выполняется равенство ac = bd+l. Известно, что все числа в треугольнике отличны от нуля. Докажите, что тогда они все — целые.

61. Последовательность вещественных чисел аь а2, а3, ... такова, что для любого натурального k выполняется равенство

Докажите, что в этой последовательности бесконечно много как положительных, так и отрицательных чисел.

62*. В треугольнике ABC точка M лежит на стороне АВ, точка N— на стороне ВС, О — точка пересечения отрезков СМ и AN. Известно, что AM + AN = CM + CN. Докажите, что АО + АВ = СО + СВ.

63*. Для каких k можно расположить на окружности 100 дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с k другими?

64*. Докажите, что если треугольник в задаче 60 составлен из натуральных чисел, то количество различных чисел, встречающихся в нем, не меньше п/4.

10-й класс

65. См. задачу 48.

66. См. задачу 49.

67. См. задачу 60.

68. См. задачу 52.

69. Сколько решений в вещественных числах имеет уравнение

70. Микрокалькулятор «ФН-89» выполняет только две операции: Х*—>2Х—1 и Х>-^2Х. В микрокалькулятор введено некоторое натуральное число. Докажите, что, нажимая кнопки, из него можно получить число, являющееся точной пятой степенью.

71. Последовательность вещественных чисел ai, a2, a3, ... такова, что для любых тип выполняется неравенство

Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.

72*. Двое играют в следующую игру. Имеются доска, на которой написано число 1000, кучка из 1000 спичек. За ход каждый из игроков (ходят по очереди) может либо взять из кучки,

либо положить в нее не более пяти спичек (исходно у обоих игроков нет ни одной спички), а затем на доску записывается число спичек в кучке после данного хода. Проигрывает тот, после чьего хода на доске появится уже имеющееся на ней число. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

73. См. задачу 64.

ОЛИМПИАДА 1990 ГОДА

6-й класс

1. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради какие-то 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Докажите, что у него не могла получиться сумма 1990.

2. Имеется 101 монета. Среди них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся от них по весу. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как сделать это с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

3. Можно ли прямоугольник размером 55X39 разрезать на прямоугольники размером 5X11?

4. Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано число, и ход состоит в том, чтобы вычесть из числа какую-либо его ненулевую цифру и написать получившееся число на месте старого. Ходят по очереди. Выигрывает тот, у кого получается ноль. На доске исходно написано число 1234. Первым ходит Волк. Кто выиграет при правильной игре?

5. Петя, Коля и Вася решили 100 задач, причем каждый решил 60 задач. Назовем задачу трудной, если ее решил только один из мальчиков. Назовем задачу легкой, если ее решили все трое. Докажите, что трудных задач больше, чем легких, ровно на 20.

6. В деревне Мартышкино у каждого мальчика все знакомые с ним девочки знакомы между собой. У каждой девочки среди ее знакомых количество мальчиков больше, чем количество девочек. Докажите, что в Мартышкино мальчиков живет не меньше, чем девочек.

7-й класс

7. Джон и Мэри живут в небоскребе, на каждом этаже которого по 10 квартир. Номер этажа Джона равен номеру квартиры Мэри, а сумма номеров их квартир равна 239. В какой квартире живет Джон?

8. 30 стульев стоят в ряд. Время от времени подходит человек и садится на один из свободных стульев. При этом один из его соседей (если такие есть) встает и уходит. Какое максимальное число стульев может оказаться занятым, если сначала все они свободны?

9. На экране компьютера — число 123. Компьютер каждую минуту прибавляет к числу на экране 102. Программист Федя в любой момент может изменить число на экране, переставив произвольным образом его цифры. Может ли Федя действовать так, чтобы на экране всегда оставалось трехзначное число?

10. В четырехугольнике ABCD ВС = AD; M — середина AD; N — середина ВС. Серединные перпендикуляры к AB и CD пересекаются в точке Р. Докажите, что Р лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку MN.

11. Квадрат 2X2 разрезан на прямоугольники. Докажите, что можно заштриховать несколько из них так, чтобы проекция заштрихованной фигуры на одну из сторон квадрата имела длину не меньше 1, а на другую — не больше 1.

12. См. задачу 6.

13. В некоторых клетках квадратной таблицы 50X50 расставлены числа +1 и —1 таким образом, что сумма всех чисел в таблице по абсолютной величине не превосходит 100. Докажите, что в некотором квадрате 25X25 сумма чисел по абсолютной величине не превосходит 25.

8-й класс

14. Дима купил в магазине тетрадь объемом в 96 листок и пронумеровал по порядку все ее страницы числами от 1 да 192. Сережа вырвал из этой тетради 24 листа и сложил все написанные на этих листах 48 чисел. Могло ли у него получиться число 1990?

15. См. задачу 10.

16. Найдите все тройки натуральных чисел (А, В, С) такие, что

17. В стране Далекой 101 город; города соединены дорогами с односторонним движением так, что любые два города соединены не более чем одной дорогой. Известно также, что из любого города выходит ровно 40 дорог и в любой город входит ровно 40 дорог. Докажите, что из каждого города в любой другой можно попасть, проехав не более чем по трем дорогам.

18. Среди 103 монет две фальшивые, отличающиеся по весу от настоящих. Известно, что все настоящие монеты весят одинаково, равно как и обе фальшивые. За три взвешивания на

двухчашечных весах без гирь определите, что тяжелее: настоящая или фальшивая монета.

19. На острове Логика каждый человек либо лжец, всегда говорящий неправду, либо рыцарь, всегда говорящий правду. Каждый островитянин произнес следующие две фразы:

все мои знакомые знакомы между собой; среди моих знакомых лжецов не меньше, чем рыцарей. Докажите, что на острове рыцарей не меньше, чем лжецов.

20. Сколько существует пар натуральных чисел (m, п) таких, что га, п ^ 1000 и

9-й класс

21. X и У — произвольные натуральные числа. Может ли число Х\ + К! оканчиваться цифрами ...1990?

22. Существует ли треугольник, все длины сторон которого— целые числа, а длина одной из медиан равна единице?

23. Докажите, что в любой арифметической прогрессии, члены которой — натуральные числа, есть два члена с одинаковой суммой цифр.

24. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол В — прямой, а длина диагонали АС, являющейся биссектрисой угла А, равна длине стороны AD. В треугольнике ADC провели высоту DH. Докажите, что прямая ВН делит отрезок CD пополам.

25. Вещественные числа А, В и С лежат в отрезке [0; 1]. Докажите, что

26. См. задачу 37 (а и б).

10—11-е классы

27. Найдите все решения системы уравнений:

28. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит его сторону AB на отрезки AD и DB с длинами 5 и 3 соответственно. Величина угла А — 60°. Найдите длину стороны ВС.

29. См. задачу 23.

30. См. задачу 22.

31. Дано четыре различных натуральных числа. Докажите, что их удвоенное произведение больше, чем сумма всех попарных произведений этих чисел.

32. Можно ли плоскость покрыть без наложения квадратами с длинами сторон 1, 2, 4, 8, 16, ..., если каждый квадрат разрешается использовать не более: а) 10 раз; б) 1 раза?

10-й класс (физико-математические школы)

33. Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, использовав каждую по разу, составить шестизначное число, делящееся на 11?

34. См. задачу 24.

35. Дан многочлен F с целыми коэффициентами такой, что F(2) делится на пять, а F(5) делится на два. Докажите, что F(7) делится на 10.

36. См. задачу 25.

37. Клетчатая доска 10Х10 покрыта п квадратиками 2X2, стороны которых идут по линиям сетки. Докажите, что один из квадратиков можно убрать так, что оставшиеся будут попрежнему покрывать всю доску, если:

а) п = 55;

б) л = 45;

в)* Постарайтесь найти как можно меньшее значение п, при котором утверждение задачи верно (естественно, в том случае, если формулировка осмысленна).

11-й класс (физико-математические школы)

38. См. задачу 33.

39. См. задачу 24.

40. См. задачу 35.

41. Положительное вещественное число X таково, что

Докажите, что 2 > X > 2--

42. Докажите, что пространство можно разбить на правильные октаэдры и тетраэдры с целыми длинами ребер так, чтобы среди них не нашлось десяти многогранников с одинаковыми длинами ребер.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР

9-й класс

43. Натуральные числа а и Ъ таковы, что а2 + ab + 1 делится на 62 + Ьа + 1. Докажите, что а = Ь.

44. В отрезке находится несколько меньших отрезков, покрывающих его. Докажите, что левые половины этих отрезков покрывают не менее половины длины исходного отрезка.

45. На стороне ВС квадрата ABCD взята произвольная точка Р, через А, В и Р проведена окружность, пересекающая диагональ BD еще раз в точке Q. Через С, Р и Q проведена окружность, которая пересекается с BD еще раз в точке R. Докажите, что точки А, R и Р лежат на одной прямой.

46. Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества {1, 2, ..., iV}, не содержащие двух соседних чисел. Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна (N+l)\— 1.

47. Вершины вписанного четырехугольника ABCD находятся в узлах сетки листа бумаги в клетку (с длиной стороны клетки 1). Известно, что ABCD — не трапеция. Докажите, что \AC-AD — BC'BD\^ 1.

48. В государстве Л£, которое состоит из двух республик А и Б, любая дорога соединяет два города из разных республик. Известно, что из любого города выходит не более 10 дорог. Докажите, что на карте государства АБ каждую дорогу можно покрасить одним из 10 данных цветов так, чтобы любые две дороги, выходящие из одного города, были покрашены в разные цвета.

49*. Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо р человек, либо q> где р и q взаимно просты. На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?

50*. По окружности расставлено двадцать чисел. Разрешается заменить тройку идущих подряд чисел х, у, z на тройку х+уч —у, г+у (именно в таком порядке). Можно ли при помощи этих операций получить из набора {1, 2, 3, ..., 9, 10, — 1, —2, —3, —9, —10} набор {10, 9, 8, ..., 2, 1, —10, —9, —8, ..., —2, —1} (числа указаны по ходу часовой стрелки)?

10-й класс

51. См. задачу 43.

52. См. задачу 44.

53. См. задачу 45.

54. Алеша и Сережа играют в следующую игру (первым ходит Алеша; ходы делаются поочередно). Каждый ход состоит в том, что игрок красит одно из еще не покрашенных полей доски 25 X 25, причем Алеша пользуется только белой краской, а Сережа — черной. Может ли Алеша независимо от того, как играет партнер, добиться того, чтобы в конце игры (т. е. когда вся доска полностью покрашена) все белые поля можно было

обойти королем (вставать на одно и то же поле несколько раз разрешается)?

55. Вершины четырехугольника ABCD находятся в узлах сетки листа бумаги в клетку (с длиной стороны клетки 1). Известно, что углы А и С в четырехугольнике равны, а углы В и D различны. Докажите, что \AB-BC — CD-DA\^l.

56*. На полке в беспорядке стоит 100-томное собрание сочинений Л. Н. Толстого. Разрешается взять любые два тома с номерами разной четности и поменять их местами. За какое минимальное число таких перестановок всегда можно расставить тома по порядку?

57*. Дан многочлен F(x) с целыми коэффициентами, причем известно, что F (п) делится на одно из целых чисел au а2, ..., ат для любого целого п. Докажите, что из этих чисел можно выбрать одно число так, что для любого целого п F(n) будет делиться на него.

58*. В отрезке [0; 1] отмечено 22 точки. Разрешается заменять любые две из этих точек на середину соединяющего их отрезка. Докажите, что, выполнив 20 таких операций, можно добиться того, чтобы две оставшиеся точки находились на расстоянии, не превышающем 0,001.

11-й класс

59. А и п — натуральные числа, большие единицы. Докажите, что количество натуральных чисел, меньших числа Ап— 1 и взаимно простых с ним, делится на п.

60. В отрезке находится несколько меньших отрезков, покрывающих его. У каждого из них отбросили половину: левую или правую. Докажите, что оставшиеся половины покрывают не менее трети длины исходного отрезка.

61. Существует ли на плоскости шестиугольник (возможно, невыпуклый), все диагонали которого, кроме одной, равны по длине?

62. У клетчатой доски 100 X Ю0 склеили верхний край с нижним, а также правый край с левым, после чего доска приобрела вид бублика. Можно ли в ее клетках расставить 50 ладей — красных, синих и зеленых — так, чтобы каждая красная ладья била не менее двух синих, каждая синяя — не менее двух зеленых и каждая зеленая — не менее двух красных ладей?

63. В треугольнике ABC, величина угла А которого равна 120°, провели биссектрисы AF, BG и CH. Докажите, что угол GFH — прямой.

64*. В королевстве Олимпия 100 городов, и каждые два из них соединены ровно одной дорогой с односторонним движением. Выяснилось, что не из каждого города можно проехать в любой другой с соблюдением правил движения. Докажите,

что король может выбрать один из городов и, изменив направления всех дорог, входящих и выходящих из него, добиться того, чтобы из каждого города в каждый можно было проехать с соблюдением правил движения.

65. Непрерывная функция f: такова, что для любого вещественного х выполняется равенство f(x+ f(x)) = f{x). Докажите, что функция f постоянна.

66*. По окружности расставлено несколько чисел, сумма которых положительна. Разрешается заменить тройку идущих подряд чисел х, у, z на тройку х + у, —у, z + у (именно в таком порядке). Докажите, что при помощи этих операций из данного набора чисел можно получить ровно один набор, состоящий только из неотрицательных чисел.

ОЛИМПИАДА 1991 ГОДА

6-й класс

1. В кружке тяжелого ракетостроения занимаются 40 школьников. У каждого из них есть болтики, винтики и гвоздики. Известно, что кружковцев, у которых количество гвоздиков не равно количеству болтиков, ровно 15 человек. Количество тех, у кого число винтиков равно числу гвоздиков—10. Докажите, что есть не менее 15 кружковцев, у которых число винтиков не равно числу болтиков.

2. На черном рынке в деревне Перестройкино, если постараться, можно обменять любые два продовольственных талона на три других и наоборот. Может ли кооператор Вася обменять 100 талонов на масло на 100 талонов на колбасу, отдав в процессе обмена ровно 1991 талон?

3. По круговому замкнутому шоссе одновременно и из одной точки начинают ехать четыре автомобиля: А, B, С и D. Первые два едут по часовой стрелке, другие два — против, причем все автомобили едут с постоянными (возможно, различными) скоростями. Известно, что А и С встречаются впервые в тот момент, что и В и D. Докажите, что А и В поравняются впервые в тот же момент, что и С и D.

4. Вот уже много лет барон Мюнхгаузен ежедневно ходит к озеру охотиться на уток. Начиная с 1 августа 1991 года, он каждый день говорит своему повару: «Сегодня я подбил уток больше, чем два дня назад, но меньше, чем неделю назад». Какое наибольшее количество дней барон может произносить эту фразу? (Не забывайте, что Мюнхгаузен никогда не лжет).

5. Есть три одинаковых прута метровой длины: красный, синий и белый. Коля ломает первый прут на три части, после чего Вася поступает так же со вторым прутом. И, наконец,. Коля ломает третий прут тоже на три части. Может ли Коля

действовать так, чтобы независимо от того, как ломал прут Вася, из полученных девяти кусков можно было бы сложить три треугольника, у каждого из которых одна сторона была бы красная, вторая — синяя, а третья — белая?

6. Девять команд сыграли однокруговой волейбольный турнир. Обязательно ли выполняется следующее свойство: найдутся две команды А и В такие, что любая другая команда проиграла в турнире либо команде А, либо команде B?

7-й класс

7. Расставьте на двенадцати отрезках, изображенных на рис. 23, числа от 1 до 12 так, чтобы суммы чисел на сторонах каждого маленького квадрата были одинаковы.

8. Ныряльщики добыли несколько жемчужин в количестве, не большем 1000. Дележ жемчуга происходит у них следующим образом: они по очереди подходят к куче жемчуга, и каждый ныряльщик берет либо ровно половину, либо ровно треть от числа оставшихся в куче жемчужин. После того, как все ныряльщики взяли свою долю, остаток жемчуга был пожертвован морскому богу. Какое наибольшее число ныряльщиков могло участвовать в добыче жемчуга?

9. За круглым столом сидит 1991 представитель четырех племен: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы никогда не сидят рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного и того же племени сидят рядом.

10. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы А и В равны по величине. Известно также, что ВС=1, a AD = 3. Докажите, что длина стороны CD больше чем 2.

11. Условие задачи в задачнике выглядит следующим образом: «Имеется N чисел, сумма любых десяти из которых больше, чем сумма остальных чисел. Докажите, что все числа положительны». Известно, что вместо N в условии должно было стоять некоторое натуральное число, не равное 20, однако при наборе была допущена ошибка. Какое это число? Нужно найти все возможные варианты.

12. В некотором государстве каждые два города соединены ровно одной дорогой: это либо шоссе, либо железная дорога. Докажите, что можно выбрать один вид транспорта — автомобиль или поезд — так, чтобы из любого города в любой другой можно было проехать, заезжая по дороге не более чем в два других города и используя только этот вид транспорта.

Рис. 23

13. Квадрат 7X7 разрезан на фигурки трех типов (см. рис. 24). Докажите, что в разрезании участвует ровно одна фигурка из четырех клеток [т. е. типа (2) или (3)].

8-й класс

14. См. задачу 9.

15. Натуральное число X не имеет нулей в десятичной записии удовлетворяет равенству Х-Х = 1000 + Р(Х). Здесь через X обозначено число, записанное теми же цифрами, что и Л', но в обратном порядке, а Р(Х)—произведение цифр числа X. Найдите все такие числа.

16. См. задачу 5.

17. Из вершины А треугольника ABC опущены перпендикуляры АХ и AY на биссектрисы внешних углов В и С. Докажите, что длина отрезка ХУ равна полупериметру треугольника ABC.

18. Докажите равенство

19. Квадрат (2л—1)Х(2я—1) разрезан на фигурки трех типов (см. рис. 24). Докажите, что в разрезании участвует не менее Ап—1 фигурок типа (1) (т. е. «уголков»).

20. Имея набор А из 10 различных вещественных чисел, можно построить набор Л(5), состоящий из всевозможных сумм по пять различных чисел из набора А. Существуют ли два разных набора А и В такие, что наборы А (5) и B(5) совпадают?

9-й класс

21. Даны неотрицательные вещественные числа А, В и С. Докажите неравенство

тах(Л2-Я, В2 — С, С2 — А) > max {А2 - Д В2 — B, С2-С).

Здесь через max(X, У, ...) обозначено наибольшее число из набора (X, У, ...).

22. В остроугольном треугольнике ABC AB > ВС. На сторонах AB и ВС взяты точки X и У и соответственно так, что АХ = BY. Докажите, что XY ^ АС/2.

Рис. 24

23. Треугольник имеет целые длины сторон х, у и г, причем известно, что длина одной из его высот равна сумме длин двух других высот. Докажите, что х2 + У2 + г2 — квадрат целого числа.

24. Последовательность натуральных чисел (ап) строится по следующему правилу. Каждый ее член с четным номером а2п получается из а2п-\ вычитанием из него какой-либо цифры этого числа, а каждый член с нечетным номером а2п+\ получается из а2п прибавлением к нему какой-либо цифры числа а2п. Докажите, что все члены данной последовательности не превосходят Юа\.

25. Точка Р находится вне окружности с центром О. Прямые Li и L2 проходят через точку Р, причем L\ касается окружности в точке A, a Ь2 пересекает окружность в точках В и С. Касательные к окружности в точках В и С пересекаются в точке X. Докажите, что АХ и РО перпендикулярны.

26. На симпозиуме каждый делегат знаком хотя бы с одним из остальных участников, но при этом для любых двух делегатов найдется третий, не знакомый с ними обоими. Докажите, что всех делегатов можно разбить на три группы так, чтобы каждый участник симпозиума был знаком хотя бы с одним человеком из своей группы.

27. По окружности расставлены целые числа. Разрешается делать следующее: стереть любое четное число, после чего заменить соседние с ним числа на их сумму (см. рис. 25). Такие операции производятся до тех пор, пока на окружности либо не останется ни одного четного числа, либо количество чисел станет равным 1 или 2. Докажите, что количество чисел, оставшихся на окружности, не зависит от способа действия, а зависит лишь от исходной расстановки чисел.

10-й класс

28. Даны неотрицательные вещественные числа А, Ву С и D. Докажите неравенство

Рис. 25

29. Две окружности с центрами 0\ и 02 пересекаются в точках А и В. Окружность (0\В02) пересекает вторую окружность также в точке Р. Докажите, что точки Ou А и Р лежат на одной прямой.

30. На симпозиуме каждый делегат знаком хотя бы с одним из остальных участников, но не со всеми. Докажите, что всех делегатов можно разбить на две группы так, чтобы каждый участник симпозиума был знаком хотя бы с одним человеком из своей группы.

31. Непрерывная и строго монотонно возрастающая функция / такова, что /(0) = 0 и /(1) = 1. Докажите, что

32. Компьютер «КПК-1991» умеет выполнять следующие две операции над натуральными числами:

а) возведение в квадрат;

б) /г-значное (п > 3) число X переходит в число А + 5, где А — число, образованное последними тремя цифрами числа Ху а В — число, образованное первыми п — 3 цифрами числа X.

Можно ли при помощи компьютера получить число 703 из числа 604?

33. На плоскости расположены прямая L, точка Р и п-угольник М. Прямая L пересекает все стороны многоугольника M во внутренних точках, причем известно, что эти точки есть основания перпендикуляров, опущенных на стороны M из точки Р. Докажите, что п = 4.

34*. Поля доски размерами NY^N раскрашены в красный, синий и зеленый цвета, причем так, что рядом с любой красной клеткой есть синяя, рядом с любой синей есть зеленая и рядом с любой зеленой есть красная клетка (т. е. соответствующие клетки имеют общую сторону). Докажите, что для количества красных клеток k выполняются неравенства:

а) k^2N2/3;

б) k^N2/\\.

11-й класс

35. См. задачу 28.

36. Можно ли разбить числа 1, 2, 3, 100 на три группы так, чтобы в первой группе сумма чисел делилась на 102, во второй — на 203, а в третьей — на 304?

37. См. задачу 25.

38. Последовательность натуральных чисел (ап) строится по следующему правилу. Каждый ее член с четным номером

а2п получается из а2п-\ прибавлением к нему какой-либо цифры числа а2п~и а каждый член с нечетным номером а2п+\ получается из а2п вычитанием из него какой-либо цифры этого числа. При этом и прибавлять, и вычитать на каждом шагу разрешается лишь ненулевые цифры. Докажите, что все члены данной последовательности не превосходят 4ai + 44.

39. Существуют ли четыре различных числа такие, что любые два из них — X и у — связаны соотношением

40. На сторонах AB и ВС треугольника ABC выбраны точки X и У соответственно так, что ZAXY = 2ZACBr ZCYX = 2ZBAC. Докажите неравенство

41*. На планете Транай 1991 город, каждые два из которых соединены дорогой. Каждый день Министерство строительства закрывает три дороги на ремонт, после чего Министерство транспорта вводит на одной из незакрытых дорог одностороннее движение. Те дороги, на которых такое движение уже введено, Министерство строительства не закрывает. Докажите, что Министерство транспорта может добиться того, чтобы из любого города в любой другой можно было проехать, двигаясь только в разрешенном направлении.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

9—10-е классы

42. Дано 70 различных натуральных чисел, не превосходящих 200. Докажите, что какие-то два из них различаются на четыре, пять или девять.

43. Две окружности одинакового радиуса пересекаются в точках А и В. Произвольная прямая, проходящая через точку B, пересекает окружности еще и в точках X и У. Найдите геометрическое место середин отрезков XY.

44. Натуральные числа Ль А2у ..., Ап таковы, что для любого натурального k<n сумма любых k чисел из данного набора не меньше k(k—1), а сумма всех чисел в наборе равна п(п—1). Докажите, что футбольный однокруговой турнир п команд мог закончиться так, что количества очков, набранных командами, совпадут с числами Ai.

45. Найдите восемь натуральных чисел a, таких, что

46. Существует ли функция /: N-+N такая, что /(/(/(•• •/(*))• ••) = *+ 1 Для любого натурального х (/ применена f(x) раз)?

47*. В ряд выписано 26 ненулевых цифр. Докажите, что этот ряд можно разбить на несколько частей так, чтобы сумма чисел, образованных цифрами каждой из частей, делилась на 13.

48. ABCD— выпуклый четырехугольник, диагонали которого пересекаются в точке М. Пусть Р и Q — центры окружностей, описанных вокруг треугольников АВМ и CDM. Докажите, что AB + CD ^ 4PQ.

49*. Тасовкой колоды из п карт называется следующая операция: колода делится на некоторое (произвольное) число частей, которые без изменения положения карт внутри них перекладываются в обратном порядке. Докажите, что колоду из 1000 карт можно перевести из любого положения в любое другое не более чем за 56 тасовок.

11-й класс

50. В верхнем правом углу доски 8X8 стоит черная фишка. За ход разрешается поставить на любое поле доски белую фишку и перекрасить все фишки, стоящие на полях, соседних с данным (т. е. имеющих с этим полем общую вершину). Можно ли добиться того, чтобы вся доска была заполнена белыли фишками?

51. AB — хорда окружности, делящая ее на два сегмента. M и N — середины дуг, на которые делят окружность точки А и В. При повороте вокруг точки А на некоторый угол точка В переходит в точку В', а точка M — в точку М'. Докажите, что отрезки, соединяющие середину отрезка ВВ/ с точками Ш и N, перпендикулярны.

52. Вещественные числа Х\, х2у ..., хп лежат в отрезке [—1;1], причем сумма кубов этих чисел равна нулю. Докажите, что сумма х\ + х2 + ... + хп не превосходит п/3.

53. С натуральным числом разрешается делать следующие две операции:

а) умножать его на любое натуральное число;

б) вычеркивать в его десятичной записи нули. Докажите, что при помощи этих операций из любого числа можно получить однозначное число.

54*. Даны две непрерывные функции f, g: [0; 1]->-[0; 1], лричем функция f монотонно возрастает. Докажите неравенство

55*. Назовем конечную последовательность р-уравновешенной, если все суммы вида ak + я*

(k=ly 2, ..., p) равны между собой. Докажите, что если 50-членная последовательность р-уравновешенна для р = 3, 5, 7, 11, 13, 17, то все ее члены равны нулю.

56*. Докажите, что число 5123 + 6753 + 7203 — составное.

57*. Назовем шаблоном произвольный набор из п вершин правильного 2n-угольника. Верно ли, что заведомо существуют 100 поворотов 2n-угольника таких, что образы шаблона при этих поворотах покрывают все множество из 2п вершин?

Комментарий. После заключительного тура был проведен также и дополнительный отборочный тур — см. раздел «Дополнительные задачи».

ОЛИМПИАДА 1992 ГОДА

6-й класс

1. В турнире по крестикам-ноликам за победу дается одно очко, за ничью — ноль очков, а за проигрыш одно очко вычитается. Несколько школьников сыграли турнир по крестикам-ноликам так, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Один из участников набрал семь очков, а другой — 20 очков. Докажите, что в турнире была хоть одна ничья.

2. Замок имеет вид семиугольника, в каждой вершине которого находится сторожевая башня. Каждую из семи стен замка охраняют стражники в башнях, находящихся в концах этой стены. Какое наименьшее количество стражников нужно разместить в башнях, чтобы каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками?

3. Дано натуральное число N. Докажите, что у чисел N(N—1) и (jV+1)2 разные суммы цифр.

4. В коллекции у нумизмата Феди все монеты имеют диаметр не более 10 см. Федя хранит все свои монеты в плоской коробке размером 30X70 см. Докажите, что он может уложить их в другую плоскую коробку размером 40X60 см.

5. 27 точек на окружности разбивают ее на равные дуги. Точки покрашены в белый и черный цвета, причем известно, что никакие две черные точки не находятся рядом или через одну. Докажите, что найдутся три белые точки, лежащие в вершинах равностороннего треугольника (т. е. делящие окружность на три равные дуги).

6. Три фальшивомонетчика напечатали много разных купюр— на 100 руб. каждый. Известно, что каждый из них может уплатить любому другому любую сумму от 1 до 25 руб. (может быть, со сдачей). Докажите, что они вместе могут уплатить любую сумму от 100 до 200 руб.

Примечание. Купюры фальшивые и могут быть любого достоинства. Всюду в задаче речь идет о суммах, выражающихся целым числом рублей.

7-й класс

7. В универмаге города Гайдаровска продавалось (1 января) девять товаров по цене 1 руб. каждый. Начиная со второго января, ежедневно стоимость каждого товара увеличивалась в два или в три раза. Известно, что 1 февраля все товары имели различные цены. Докажите, что цены каких-то двух товаров различаются по крайней мере в 25 раз.

8. Для каких натуральных чисел вида 111... 11 существует делящееся на них число вида 1000... 001?

9. Стороны треугольника ABC продолжены за вершины треугольника так, что ВС\ = ЛС, АВХ = АВ, СА\=АВ (см. рис. 26). Известно, что треугольник А\В\С\ — равносторонний. Докажите, что и исходный треугольник ABC — равносторонний.

10. На клетчатой бумаге отмечено 100 узлов решетки. Докажите, что найдутся два из них — А и В — таких, что прямоугольник AXBY со сторонами, параллельными линиям сетки, содержит не менее 20 отмеченных узлов (считая и узлы, лежащие на сторонах прямоугольника).

11. Решите систему уравнений:

12. Все монеты в коллекции нумизмата Феди имеют диаметр не больший 10 см. Он хранит их в плоской коробке размером 30X70 см. Ему подарили монету диаметром 25 см. Докажите, что теперь он сможет разместить все свои монеты в плоской коробке размером 55 X 55 см.

13. Круг разделен на N секторов, в которых как-то рассажена yv+l лягушка. Каждую секунду какие-то две лягушки, сидящие в одном секторе, прыгают в соседние (разные) сектора. Докажите, что в какой-то момент времени лягушками будет занято не менее половины секторов.

8-й класс

14. См. задачу 7.

15. См. задачу 5.

16. В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция — равнобедренная.

Рис. 26

17. См. задачу 11.

18. Даны натуральные числа k и я, разность которых больше 1. Известно, что 4£я+1 делится на k+n. Докажите, что числа 2п—1 и 2k + 1 имеют общий делитель, больший 1.

19. Клетки квадрата 7X7 раскрашены в два цвета. Докажите, что найдется по крайней мере 21 прямоугольник с вершинами в центрах клеток одного цвета и со сторонами, параллельными сторонам квадрата.

20. См. задачу 13.

9-й класс

21. Даны два различных квадратных трехчлена f(x) и g(x), старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что /(19) + /(92) = g(19) + g(92). При каких х выполнено равенство f{x) = g(x)?

22. С натуральным числом А разрешается выполнять следующую операцию: разбить его на два натуральных слагаемых, больших 1, и заменить А на их произведение. Докажите, что из любого числа, большего 4, такими операциями можно получить точную степень десяти.

23. Все 120 граней двадцати одинаковых кубиков с длиной ребра 1 покрасили в черный и белый цвета, причем граней каждого цвета — по 60. Докажите, что кубики можно поставить на стол так, что их нижние грани образуют граничную кайму квадрата 6X6, а среди тех граней, которые видны, количество черных равно количеству белых.

24. Подобные прямоугольные треугольники ЛВС и А'В'С (углы при вершинах В и В' — прямые; соответствующие вершины обозначены одинаковыми буквами; вершины перечислены по часовой стрелке) расположены на плоскости так, что А = С, а точка А' лежит на луче [ВС) за точкой С. Докажите, что центр окружности, описанной вокруг треугольника А M С, лежит на прямой А'В'.

25. В клетках таблицы NXN расставлены числа так, что на пересечении /-го столбца и /-й строки стоит число l/(î + /—1). Затем в клетках таблицы расположили N ладей так, что никакие две ладьи не бьют друг друга. Докажите, что сумма чисел под ладьями не меньше единицы.

26. Внутри стороны AB некоторого треугольника ABC нашлась точка D такая, что AD/DC = AB/ВС. Докажите, что угол АСВ — тупой.

27. Даны два десятизначных числа А и B, в записи которых участвуют только 1 и 2. Докажите, что 20-значных чисел, из которых вычеркиванием цифр можно получить число А, столько же, сколько и тех, из которых можно получить число В.

10-й класс

28. См. задачу 21.

29. Внутри единичного квадрата с отмеченными вершинами отмечена еще одна точка. Докажите, что найдутся три отмеченные точки, образующие треугольник с площадью не больше 1/8.

30. На каждой из jV ^ 3 карточек написана цифра. Располагая эти карточки в ряд всеми возможными способами, мы получаем М = 1-2-3- ... • (N—l)N натуральных чисел. Может ли их произведение быть числом, десятичная запись которого состоит из одних единиц?

31. Окружность, вписанная в угол с вершиной О, касается его сторон в точках А и В. Луч ОХ пересекает эту окружность в двух точках С и D так, что ОС = CD = 1. Если M— точка пересечения луча ОХ и отрезка AB, то чему равна длина отрезка ОМ?

32. В куче лежат 1992 камня. Двое играют в следующую игру: за ход каждый из них может взять из кучи произвольное количество камней, являющееся делителем того количества камней, которое взял предыдущим своим ходом противник. Первый игрок первым своим ходом может взять любое число камней, но не все сразу. Выигрывает тот, кто берет последний камень. Кто побеждает при правильной игре?

33. На плоскости дан правильный л-угольник с центром О.

Через vu v2i ..., vn обозначены векторы, ведущие из О в вершины многоугольника, причем занумерованы они по порядку,, считая от какой-то вершины. Докажите, что если а\ < а2 ... < On — некоторые вещественные числа, то вектор a\V\ + ^2^2 + ... + anVn — ненулевой.

34*. Во взводе национальной гвардии служат сержанты и рядовые, причем каждый рядовой подчинен одному или двум сержантам. Докажите, что можно уволить в запас не более половины взвода так, что каждым оставшимся рядовым будет командовать ровно один сержант.

11-й класс

35. См. задачу 29.

36. Даны различные квадратные трехчлены f(x) и g(x)r старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что f(l)+/(10) + /(100) = g(l) + g(10) + fir(100). При каких х выполнено равенство f(x) = g(x)?

37. По окружности расставлено некоторое количество черных и такое же количество белых шашек. Пусть А — количество тех троек подряд стоящих шашек, в которых преобладает белый цвет, а В — количество троек подряд стоящих шашек, в которых преобладает черный цвет. Докажите, что А ^ ЗВ.

38. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AD, BE и CF. Точки I, У и Z таковы, что D, Е и F являются серединами отрезков ВХ, CY и AZ соответственно. Докажите, что центры окружностей, описанных вокруг треугольников АСХУ ABY и BCZ, являются вершинами треугольника, равного треугольнику ABC.

39. Последовательность (Fn) определяется следующим образом: Fo = 0, Fi = 1, и Fn = Fn-i + Fn-2 при любом п>1. Докажите, что среди членов этой последовательности нет чисел вида 7k.

40. Докажите, что при любых положительных а, 6, с выполнено неравенство

41. Все клетки таблицы 10Х10 окрашены в черный и белый цвета, причем имеются клетки и того, и другого цвета. Докажите, что в клетках можно расставить вещественные числа так, что число в любой белой клетке будет больше среднего арифметического чисел в соседних клетках, а число в любой черной клетке будет меньше среднего арифметического чисел в соседних клетках (клетки называются соседними, если у них есть общая сторона).

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

9—10-е классы

42. Внутри стороны ВС правильного треугольника ABC взята точка D. Прямая, проходящая через точку С и параллельная AD, пересекает прямую (AB) в точке Е. Докажите, что СЕ/CD ^ 2д/3.

43. К натуральному числу каждую секунду прибавляют 54 или 77. Докажите, что через некоторое время получится число, две последние цифры которого совпадают.

44. Имеется пк камней, которые как-то разложены в п кучек. Разрешается удвоить любую кучку, переложив в нее произвольным образом камни из других кучек. При каких k такими операциями всегда (для любого п) можно добиться того, чтобы во всех оставшихся кучках было поровну камней?

45. Докажите, что если натуральное число А не является точным квадратом, то найдется натуральное п такое, что А =

46. Правильный n-угольник M повернули вокруг своего центра на угол л/п и получили n-угольник М*'. На какое минимальное количество выпуклых многоугольников можно разрезать фигуру M U ЛГ?

47. Последовательность (Fn) определяется так: F\ = l9 F2 = 2, Fn+2 = Fn+i + Fn для любого n > 0. Докажите, что при любом натуральном п выполнено неравенство

48*. Плоскость раскрашена в 1992 цвета, и на ней дан некий треугольник Т. Докажите, что на плоскости найдется треугольник, равный Г, такой, что на любой паре его сторон есть внутренние точки одного цвета.

49*. На доске написано 128 единиц. За ход можно заменить пару чисел а и Ь на число аб + 1. Пусть А— максимальное число, которое может получиться на доске после 127 таких операций. Какова его последняя цифра?

11-й класс

50. Даны п отрезков такие, что из любых п—1 из них можно сложить (п—1)-угольник. Докажите, что из каких-то трех из них можно сложить треугольник.

51. Найдите все тройки натуральных чисел такие, что произведение любых двух чисел в тройке, увеличенное на 1, делится на удвоенное третье число.

52. См. задачу 45.

53. Даны натуральные числа п и k такие, что п > k. Докажите, что каждое натуральное число, меньшее

можно ровно одним способом представить как сумму

где 0 < ai < а2 < ... < ak<n.

54. Известно, что для любых четырех прямых общего положения на плоскости (т. е. таких, из которых никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке) окружности, описанные вокруг четырех треугольников, получающихся при пересечении этих прямых, проходят через одну точку. Существует ли набор из 45 прямых общего положения, для которых все окружности, описанные вокруг треугольников, получающихся при их пересечении, проходят через одну точку?

55. В стране 100 городов, соединенных друг с другом дорогами так, что даже если любой город А закроет все дороги, выходящие из него, то и в этом случае из любого города можно будет проехать в любой другой (не считая, конечно, самого города А). Докажите, что страну можно разбить на два су-

веренных государства по 50 городов в каждом так, что в обоих государствах из любого города можно проехать в любой Другой.

56*. Пусть L(ab a2, ..., a*) — число способов расставить в клетках таблицы тУ^п а\ единиц, а2 двоек, ан чисел k так, чтобы в каждой строке числа возрастали слева направо нестрого монотонно, а в каждом столбце числа возрастали сверху вниз строго монотонно. Докажите, что значение функции L не зависит от порядка аргументов.

57*. На плоскости расположено несколько единичных кругов. Верно ли, что всегда можно отметить несколько точек так, что внутри каждого круга будет находиться ровно одна отмеченная точка?

ОЛИМПИАДА 1993 ГОДА

6-й класс

1. За круглым столом сидят семь человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит только правду, либо лжец, который всегда лжет. Каждый из них говорит: «Мои соседи — лжец и рыцарь». Докажите, что все они — лжецы.

2. В порядке возрастания выписаны числа 1, 2, 3, ..., 100. Разрешается стереть несколько подряд стоящих чисел и записать вместо них число, равное их количеству (например, стереть числа 13, 14, 15 и написать вместо них число 3). Можно ли добиться того, чтобы после нескольких таких операций на доске остались числа 50, 51?

3. За столом сидят несколько мальчиков и пять девочек, а на столе на тарелке лежат 30 булочек. Каждая девочка дала по булочке (с тарелки) каждому знакомому ей мальчику, а затем каждый мальчик дал по булочке (с тарелки) каждой незнакомой ему девочке. После этого оказалось, что все булочки розданы. Сколько было мальчиков?

4. Существует ли пять различных натуральных чисел таких, что произведение двух наибольших из них равно сумме всех пяти чисел?

5. У весов три чашки, и при взвешивании опускается та чашка, на которой расположен средний по весу предмет из взвешиваемых трех. Дано семь предметов, причем все они разного веса. Как определить за восемь взвешиваний средний по весу из данных семи предметов? При каждом взвешивании на каждой чашке должно быть по одному предмету.

6. На плоскости расположено 1993 треугольника, причем известно, что каждый из них содержит по крайней мере четыре вершины других треугольников. Докажите, что какие-то три треугольника имеют общую точку.

7-й класс

7. Можно ли расставить числа от 1 до 16 в клетках квадрата 4X4 так, чтобы суммы по строкам и по столбцам давали бы восемь последовательных натуральных чисел?

8. В Васюках прошло три шахматных круговых турнира с одним и тем же составом участников. Известно, что любые двое участников сыграли все свои три партии в этих турнирах по-разному, т. е. по одному выигрышу и ничья. Остап Бендер набрал меньше всех очков в каждом из первых двух турниров. Какое место он занял в последнем турнире?

9. Четырехзначное число делится на сумму двух двузначных чисел, образованных первыми двумя и последними двумя его цифрами. Может ли эта сумма равняться 94?

10. Внутри выпуклого пятиугольника ABCDE взята точка О. Оказалось, что все пять образовавшихся треугольников равны друг другу. Докажите, что либо они все равнобедренные, либо они все прямоугольные.

11. Какое наибольшее значение может принимать выражение

aek — afh + bfg — bdk + cdh — ceg,

если каждое из чисел а, ..., k равно 1 или —1?

12. Назовем человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовем человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных.

13. В прямоугольной таблице некоторые клетки отмечены: в них нарисована звездочка. Известно, что для любой отмеченной клетки количество звездочек в ее столбце совпадает с количеством звездочек в ее строке. Докажите, что число строк таблицы, в которых есть хоть одна звездочка, равно числу столбцов таблицы, в которых есть хоть одна звездочка.

8-й класс

14. В турнире по настольному теннису (ничьих не бывает) участвовали шестиклассники и семиклассники, причем семиклассников было втрое больше. Известно, что количество побед, одержанных шестиклассниками, равно числу побед, одержанных семиклассниками. Докажите, что в турнире победил шестиклассник.

15. См. задачу 3.

16. Точка M взята на стороне АС равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны ВС за вершину С отмечена точка N так, что ВМ = MN. Докажите, что AM = CN.

17. Натуральные числа х и у таковы, что сумма дробей

есть целое число. Докажите, что каждая из двух указанных дробей есть целое число.

18. См. задачу 6.

19. Точка M— середина стороны ВС выпуклого четырехугольника ABCD. Известно, что величина угла AMD—120°.

Докажите неравенство

20. На одном из полей доски 7X7 стоит фишка. Разрешается последовательно ставить на пустые поля новые фишки, но так, чтобы каждое поле, на которое выставляется очередная фишка, имело общую сторону не более чем с одним уже занятым полем. Какое максимальное количество фишек может оказаться на доске после нескольких таких операций?

9-й класс

21. Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что из них можно получить другую степень двойки, приписав какую-то цифру спереди.

22. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в точке M, а прямые ВС и AD — в точке N. Известно, что ВМ = DN. Докажите, что СМ = CN.

23. Несколько человек делят доставшееся им наследство. Будем называть наследника бедным, если он получил при разделе менее 99 руб., и богатым, если он получил более 10 тыс. руб. Известно, что при любом разделе наследства количество денег у богатых наследников не меньше, чем у бедных. Докажите, что при любом разделе наследства количество денег у богатых наследников по крайней мере в 100 раз больше, чем у бедных наследников.

24. Натуральные числа а, Ь и с таковы, что = с-

Известно также, что числа а, Ь и с не имеют общего для них всех натурального делителя, большего 1. Докажите, что а — Ъ есть точный квадрат.

25. На плоскости даны несколько точек. Разрешается заменить пару данных точек А, В на пару новых точек С, D, если отрезки АС и BD имеют одинаковую длину, перпендикулярны AB и при этом точки С и D лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что после серии таких операций мы не сможем вернуться к исходному набору точек.

26. Докажите, что для любых положительных чисел х, у и z выполнено неравенство

27*. Даны два правильных 10-угольника, в каждой вершине каждого из которых написано какое-то натуральное число.

Известно, что сумма чисел на каждом 10-угольнике равна 99. Докажите, что на обоих многоугольниках можно отметить несколько подряд стоящих вершин (но не все) так, что суммы отмеченных чисел будут одинаковы.

10-й класс

28. Полиномы Р(х) и Q(x) таковы, что для любого вещественного X выполняется равенство Р (х2 — х + 1 ) = Q (х2 + 1). Докажите, что оба полинома — константы.

29. Внутри треугольника ABC расположена окружность, которая касается его сторон AB и ВС, а также проходит через точку Р — центр вписанной окружности треугольника ABC. Через точки А, Я и С проведена другая окружность. Докажите, что эти окружности касаются друг друга.

30. См. задачу 23.

31. См. задачу 24.

32. Точка M находится внутри диаметра AB окружности S, причем она не является центром окружности. По одну сторону от диаметра AB на окружности взяты произвольные различные точки Р и Q такие, что отрезки РМ и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.

33. В квадратной таблице 17X17 закрашены в черный цвет 80 клеток, остальные — белые. Разрешается закрасить строку или столбец в черный цвет, если большинство клеток на этой линии — черные. Докажите, что при помощи таких операций нельзя сделать всю таблицу черной.

34*. На множестве M натуральных чисел от 1 до 1993 определена операция *, которая каждым двум числам а и & из множества M ставит в соответствие некоторое число а * &, также принадлежащее М. Известно, что для любых чисел а и Ь из M выполнено равенство (а*Ь)*а = Ь. Докажите, что найдется число а такое, что а*а = а.

11-й класс

35. На сторонах AB и ВС треугольника ABC отмечены точки D и Е соответственно так, что BD + DE = ВС и BE + -{-ED = AB. Известно также, что четырехугольник ADEC — вписанный. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

36. Докажите, что никакое число вида 3000.. .001 не является точным квадратом.

37. Функция f(x) = xz — Зл: задана на всей вещественной оси. Докажите, что функция f{f(f(f(f(f(f{x))))))) принимает некоторое значение не менее чем 1993 раза.

38. См. задачу 32.

39. В стране п городов, некоторые из которых соединены друг с другом дорогами, причем любые два города соединены не более чем одной дорогой. Назовем степенью города количество дорог, которые из него выходят. Пусть 2 ^ k ^ п — некоторое натуральное число. Докажите, что в стране обязательно найдется k городов, степени которых отличаются друг от друга менее чем на k — 1.

40*. Дифференцируемые функции fug, заданные на отрезке [0;1], таковы, что функция /(0) = /(1)=1 и функция I9f'g + 93fgf неотрицательна. Докажите, что g(l)^g(0).

41*. Пусть п — произвольное натуральное число, и на доске выписаны все натуральные числа от п до Зп—1. Разрешается стереть с доски любые два числа а и Ъ (а ^ Ь) и записать вместо них число а/2. Докажите, что когда после серии таких операций на доске останется одно число, оно будет меньше единицы.

ОТБОРОЧНЫЙ ТУР

9-й класс

42. Последовательность (а*) состоит из положительных чисел и такова, что (a^+i + k)a,k = 1 для любого k. Докажите, что все ее члены — иррациональны.

43. Точки Д Е и F выбраны на сторонах АС, AB и ВС равнобедренного треугольника ABC (AB = ВС) так, что DE = DF и при этом АЕ + FC = АС. Докажите, что углы ВАС и FDE равны.

44. В клетках четвертого столбца прямоугольной таблицы размером 6X7 записаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 7. Можно ли заполнить и другие клетки цифрами так, чтобы образовавшиеся в строках семизначные числа составляли арифметическую прогрессию и чтобы образовавшиеся в столбцах шестизначные числа также составляли арифметическую прогрессию?

45. Докажите, что квадрат нельзя разрезать на равнобедренные треугольники с углом при вершине, равным 10°.

46. На поле Л8 шахматной доски — стопка из п различных шашек. Шашки разрешено снимать со стопки и двигать по доске на одно поле вниз или влево. При этом запрещается ставить одну шашку на другую на любом поле, кроме поля al. При каком максимальном п из исходной стопки шашек на поле Л8 можно получить любую стопку на поле a1 (имеется в виду порядок шашек в стопке)?

47. В круговом турнире по волейболу участвовали 93 команды. Известно, что какие бы 19 из них мы ни взяли, среди них найдется команда, выигравшая у всех 18 остальных, а также

среди них есть команда, проигравшая всем 18 остальным. Докажите, что все команды набрали по разному числу очков.

48. На доске написано натуральное число. Каждую секунду к нему прибавляется сумма его цифр, стоящих на четных местах его десятичной записи (цифра десятков, цифра тысяч и т. д.). Докажите, что рано или поздно число на доске перестанет изменяться.

49*. Внутри выпуклого четырехугольника отмечены четыре точки. Докажите, что на периметре четырехугольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше, чем сумма расстояний до отмеченных точек.

10-й класс

50. Точки D, Е и F выбраны на сторонах АС, AB и ВС равнобедренного треугольника ABC (AB = ВС) так, что DE = DF и при этом углы ВАС и F DE равны. Докажите, что AE + FC = АС.

51. Можно ли расставить в клетках таблицы 10Х10 ненулевые цифры так, чтобы все 10-значные числа, образовавшиеся в строках, были бы больше 10-значного числа на главной диагонали, а оно, в свою очередь, было бы больше всех 10-значных чисел в столбцах таблицы?

52. На плоскости дан квадрат ABCD. Найдите минимум частного

где О — произвольная точка плоскости.

53. Докажите, что существует функция f(x), которая определена на [0; +оо] и такова, что

(функция / применяется 239 раз).

54. На бумаге отмечены 1993 точки, и некоторые из них соединены непересекающимися отрезками, причем так, что из этих отрезков нельзя выбрать несколько, образующих замкнутую ломаную. Двое по очереди ставят фишки на отмеченные точки, причем каждая следующая фишка должна накрывать точку, соседнюю с предыдущей (точки являются соседними, если они соединены отрезком). Тот, кто не может сделать хода, проигрывает. Докажите, что первый игрок может выиграть.

55. Числа а\, 02, ctn лежат в отрезке [—1; 1]. Докажите неравенство

56. В вершинах правильного n-угольника расставлены числа: п—1 нулей и одна единица. Разрешается увеличить на 1 все числа в вершинах любого правильного é-угольника, впи-

санного в данный многоугольник. Можно ли такими операциями сделать все числа равными?

57*. В двух урнах лежит 2р -f 1 шар. Каждую секунду половина шаров из той урны, где лежит четное количество шаров, перекладывается в другую урну. Пусть k < 2р + 1—некоторое натуральное число и известно, что числа р и 2р + 1 — простые. Докажите, что рано или поздно в одной из урн будет ровно k шаров.

11-й класс

58. См. задачу 42.

59. Докажите, что существует функция f(x), которая определена на [0; + оо] и такова, что /(/(... (х) ...)) = 1 + х + 2л/х (функция / применяется 45 раз).

60. На сторонах AB и ВС треугольника ABC отмечены точки D и F соответственно, Е — середина отрезка DF. Докажите, что AD + FC <^ АЕ + ЕС.

61. В королевстве есть три вида дорог, соединяющих города: шоссе, проселок и железная дорога. Из каждого города выходит ровно по одной дороге каждого из трех типов. Известно, что из любого города можно доехать до любого другого. Докажите, что можно посетить все города, не проезжая ни по какой дороге в разных направлениях.

62. Докажите, что для любых положительных чисел bk (k = 1, 2, ..., п) выполнено неравенство

63*. Выпуклый шестиугольник таков, что на трех его «четных» сторонах можно построить вовнутрь прямоугольники с вершинами, совпадающими так, как показано на рис. 27. Докажите, что на трех других сторонах тоже можно построить аналогичную тройку прямоугольников.

64*. По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муха (таким образом, мух столько же, сколько граней), и все они двигаются, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1 мм/ч. Докажите, что рано или поздно какие-то две мухи столкнутся.

65*. На краю доски 1993 X 1993 отмечено два поля А и B, разделенные нечетным числом полей. Докажите, что количество способов покрыть доминошками 1 X 2 всю доску без поля А равно количеству способов покрытия доминошками доски без поля В.

Рис. 27

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

61.1. Ответ. В 7/5 раза.

61.4. Ответ. С должен выйти за 3/11 часа до А и В.

61.5. Рассмотрим любого из этих людей. Очевидно, что среди пяти остальных у него есть либо трое знакомых, либо трое незнакомых. Не теряя общности, можно считать, что он знаком по крайней мере с тремя другими: А, В и С. Если хоть какие-то два из них знакомы между собой, то мы получаем тройку попарно знакомых людей. Если же они все незнакомы между собой, то мы получаем тройку попарно незнакомых: А, В и С.

61.7. Перенесем окружность О параллельно прямой L на данное расстояние. Эта операция легко может быть выполнена при помощи циркуля и линейки. Полученную окружность О' пересечем с квадратом К. Любая из точек пересечения M будет одним из концов нужного отрезка.

61.8. Указание. ÄBC + ~BCÄ + CÄB = 111 (Л + В + С), а 111 = 3-37.

61.10. Каждому выбору некоторого набора предметов X из данного множества из 2п + 1 предметов соответствует выбор набора У, состоящего в точности из тех предметов, которые не вошли в X. Поскольку набору X из четного числа элементов обязательно соответствует набор У, содержащий нечетное число элементов, то и количества способов выбора равны.

61.12. Пусть

Следовательно, числа — корни квадратного уравнения

т. е. равны

Так как

то получаем, что Уг<\ — 4г2 — рациональное число и, следовательно, корни указанного квадратного уравнения также рациональны.

61.13. Ответ. $4.

61.15. Поскольку сумма N слагаемых, каждое из которых равно 1 или —1, равна нулю, то слагаемых, равных 1, и слагаемых, равных —1, должно быть равное количество, т. е. N = 2k. Так как произведение всех слагаемых равно (Х\Х2 .. .Хп)2 — положительно, то количество (—1) должно быть четным, т. е. число k — четно и, следовательно, N делится на четыре.

61.16. Указание. Индукция по N. Пусть все точки, кроме одной (точки X), лежат на дуге AB величиной меньше 120° (где А и В — какие-то две из данных точек). Если X лежит на дуге

AB, то индукционный переход завершен, если же нет, то очевидно, что одна из дуг ХА, ХВ, содержащих AB, имеет величину, меньшую 120°.

61.19. Рассмотрим все возможные варианты соединения точек N отрезками и выберем из них тот, для которого сумма длин отрезков минимальна. Если в нем какие-то два отрезка AB и CD пересекаются, то, заменив их на пару АС, BD, получим набор отрезков меньшей длины, что противоречит выбору минимального набора.

61.20. Ответ. Отрезок XY, где X и Y— положения вершины С в случаях, когда одна из точек А и В совпадает с вершиной угла.

61.21. Допустим, что такое покрытие возможно, и рассмотрим шахматную раскраску доски в черный и белый цвета. Поскольку каждая фигурка указанного вида содержит три клетки одного цвета и одну клетку другого, а всего черных и белых клеток поровну, то общее количество фигурок должно быть четным (количество фигурок, содержащих три белые клетки и одну черную, должно совпадать с количеством фигурок, содержащих три черные клетки и одну белую). Однако это невозможно, так как общее количество фигурок — 25.

61.22. Так как К и M взаимно просты, то существуют целые а и Ъ такие, что Ка + МЬ=—1. Умножая это равенство на N, получаем KNa + MNb = —N. Отсюда следует, что M(Nb) + N делится на К»

61.23. Все указанные числа являются квадратами чисел вида 333... 334.

61.25. См. решение задачи 87.60.

61.26. Ответ. 2а. Указание, (а2 + *2)/х=а(а/х + х/а) ^ 2а.

61.27. Пусть р = r/s, где г и 5 — целые взаимно простые числа. Подставляя р в многочлен, получаем, что

Поскольку все слагаемые, начиная со второго, делятся на s, то и первое слагаемое — гп — делится на s. Однако, поскольку г и 5 взаимно просты, это возможно только, если 5=1. Следовательно, р — целое число. Разделим теперь многочлен f(x) на X — р с остатком: f(x) = g(x) (х — р) + А, где А — целое число. Подставляя х = р, получаем, что А = 0 и, следовательно, f(x)=g(x) (х — р), откуда следует и то, что f(m) делится на р — m при любом целом га.

61.29. Ясно, что если отметить диагонали граней, разделяющие их на треугольники, то из каждой из восьми вершин выходят либо одна, либо три диагонали. Перебором нетрудно установить, что есть ровно две вершины, из которых выходят по три диагонали. После этого легко увидеть, что есть ровно две раскраски, не совмещающиеся при поворотах куба.

61.30. Указание. Докажите, что время, затраченное улиткой на движение вперед-назад, совпадает со временем, затраченным на движение влево-вправо, а каждая из этих величин выражается целым числом получасов.

62.2. Ответ. Общие делители могут быть равны лишь 1 и 2.

62.3. Ответ. 23 года.

62.5. Указание. Докажите, что конем можно обойти кайму шириной в четыре клетки, а затем при помощи этого факта докажите по индукции, что такой обход существует для любой доски размером (4л+1) X (4дг+1).

62.6. Нет, не может. Одна из двух последних цифр точного квадрата обязательно четна.

62.10. Указание. Используйте то, что 106— 1 делится на семь.

62.11. Концы кривых — границ областей — делят окружность на несколько дуг. Рассмотрим любую из них — скажем, дугу AB, окрашенную в первый цвет. Диаметрально противоположная ей дуга А'В' может содержать 0, 1 или более точек деления. Если их более одной, то картинка выглядит так, как указано на рис. 28, а. Изменим тогда области, соединив их так, как показано на рис. 28, б — число точек деления уменьшится. Если на дуге А'В' нет точек деления, то она целиком лежит внутри дуги CD, где С и D — точки деления. Тогда А и В лежат внутри дуги CD' и можно произвести операцию, аналогичную указанной выше. Уменьшая таким образом количество точек деления, мы получим в конце концов разбиение на области такое, что для любой дуги AB (А и В — концы кривых-границ) на дуге А'В' лежит ровно один конец кривой. Отсюда нетрудно вывести, что общее количество концов кривых — нечетно, что невозможно. (Решение сообщено М. Н. Гусаровым.)

62.12. Так как точки Оь M и 02 и М2 — середины сторон четырехугольника ADLC, то 0\М\02М2 — параллелограмм. Осталось доказать, что отрезки AL и CD перпендикулярны и

Рис. 28

равны по длине. В самом деле, они получаются друг из друга поворотом вокруг точки В на 90°.

62.13. Центры окружностей А, В, С и D дают описанный четырехугольник ABCD. Обозначим точки касания окружностей Ку L, M, N — они лежат на отрезках AB, ВС, CD и DA соответственно. Тогда ZNKL = 180° — (90° — ZNAK/2) — (90° — ZKBL/2) = (ZDAB+ ZABQ/2. Аналогично получаем ZNML = (ZADC + ZDCB)/2, и сумма ZNKL+ ZNML равна полусумме углов четырехугольника ABCD, т. е. 180°, следовательно, четырехугольник KLMN — вписанный.

62.16. Рассмотрим векторы v\=(a, b, с), и2 = {ту п, р). По условию их длины равны 1, а следовательно, абсолютная величина их скалярного произведения, равного am + Ьп+ ср, не превосходит произведения их длин, равного 1.

62.20. Указание. Рассмотрите значение многочлена при х =

62.21. Рассмотрим числа 1, 11, 111, ..., 111 ... 11 (р + 1 единица). Поскольку их больше, чем р, то какие-то два из них имеют одинаковый остаток при делении на р. Их разность имеет вид 111 ... 11000 ... 00. Но так как р взаимно просто с 10, то из того, что 111 ... 11000 ... 00 делится на р, следует, что 111 ... 11 делится на р.

62.24. Пусть координаты данной точки равны (га, п). Выберем из четырех точек — вершин квадрата — такую [с координатами (х, у)], что числа га— х, п — у нечетны. Тогда число (га— х)2 + (п — у)2 не может быть квадратом рационального числа, так как оно имеет вид Ak + 2.

62.25. Если вычесть из квадрата суммы всех чисел удвоенную сумму всех попарных произведений, то получим сумму квадратов чисел. Однако из условия вытекает, что эта сумма равна нулю. Следовательно, все десять чисел равны нулю.

62.28. Решение совершенно аналогично решению задачи €1.19.

62.29. Назовем ящик малым, если он весит не более 300 кг. Остальных ящиков, очевидно, не более 44, и мы можем положить их по четыре в 11 полуторатонок. Осталось доказать, что малый ящик всегда можно положить в одну из машин. В самом деле, если это не так, то груз в каждой из них больше чем 1500 — а, где а — вес данного малого ящика. Но тогда, складывая соответствующие 11 неравенств, мы получаем, что груз в машинах больше, чем 16500— Па, при том, что он не превосходит 13500 — а. Но это противоречит тому, что а ^ 300.

62.31. См. решение задачи 62.25.

62.34. Ответ. Данное геометрическое место точек является отрезком с концами на сторонах данного угла. Положение концов очевидным образом определяется по условию.

62.35. Ответ. Сумма равна нулю при п > 1, (—х) при /1=1.

62.36. Ответ. Х\ = Х2 = 1, Xk = k при k>2.

62.37. Допустим, что такая раскраска возможна, причем упомянутая особая грань окрашена в белый цвет. Подсчитаем сумму количеств сторон черных граней — это будет, с одной стороны, число всех ребер многогранника, а с другой стороны, некоторое натуральное число, делящееся на п. Аналогичный подсчет для белых граней даст то же самое число ребер, но сумма, очевидно, на п не делится. Полученное противоречие доказывает невозможность такой раскраски.

62.40. Указание. Докажите, что многочлен делится нал: — а, где а — произвольный комплексный корень k-и степени из 1.

62.42. Ответ. Сумма равна нулю при п > 2; (—1) при п = 1; 2 при /г = 2.

62.47. Допустим, что это не так. Проведем через все вершины многоугольника прямые, параллельные данной стороне квадрата. Они разобьют многоугольник на треугольники и трапеции с основаниями, не превосходящими 1/2. Поскольку сумма высот в этих трапециях и треугольниках не превосходит 1, то, складывая неравенства для площадей, получаем, что площадь всего многоугольника не превосходит 1/2 — противоречие.

62.48. Чтобы покрыть круг радиуса 2, разделим окружность точками А, В, С, D, Е, F на шесть равных дуг и построим шесть кругов радиуса 1 на диаметрах AB, ВС, CD, DE, EF и FA. Добавим один круг с центром в центре большого круга, и получим семь кругов, покрывающих данный круг радиуса 2.

Больший круг нельзя покрыть, так как один из кругов должен содержать центр большого круга и потому не может пересекать граничную окружность. Тогда окружность покрывают шесть кругов, каждый из которых высекает на ней дугу, меньшую, чем 1/6 ее длины — противоречие.

62.49. Это следует из неравенства

где через Si обозначена площадь /-го многоугольника, а через Sa— площадь пересечения /-го и /-го многоугольников.

62.52. Обозначим эти числа Х\, х2, ..., xk и рассмотрим суммы Х\, Х\ + Х2, Х\ + Х2 + Л'з, . . ., Х\ + Х2 + ... +Xk. Если ни одна из них не делится на k, то какие-то две из них имеют одинаковые остатки при делении на k и их разность делится на k. Поскольку их разность представляет собой сумму нескольких чисел данного набора, то тем самым доказательство завершено.

63.1. Ответ. AB =4 км.

63.2. Ответ. Скорость автобуса — 30 км/ч.

63.3. Указание. Найдите последние цифры каждого из двух данных чисел.

63.4. См. решение задачи 63.13.

63.5. Поскольку по неравенству треугольника CD ^ СВ + ВА + АЕ + ED, а равенство имеет место лишь в том случае, когда точки В, А, Е лежат в указанном порядке на отрезке CD, то получаем, что ЕС = 150 км.

63.6. Ответ. Нет, нельзя. Указание. Рассмотрите четные числа.

63.7. Ответ. Величина угла 30°.

63.8. Данное число делится на три.

63.9. Возможны два варианта распределения очков: участник, занявший 20-е место, набрал либо 0, либо 0,5 очков; участник, занявший первое место (или одно из первых мест), набрал 10,5 либо 10 очков (соответственно), а все остальные участники набрали по 10 очков.

63.10. Введем необходимые обозначения. Пусть ABCD — данный четырехугольник, M, N, Р и Q — середины сторон АВТ ВС, CD и DA соответственно. Так как имеются векторные равенства AB + DC = 2QN, ВС + AD = 2МР, то равенство для длин AB + ВС + CD + DA = 2(QN + MP) может выполняться лишь в том случае, если вектор AB и DC, ВС и AD параллельны между собой, т. е. ABCD — параллелограмм.

63.11. Ясно, что после уплаты у каждого пассажира должна остаться на руках хотя бы одна монета. С другой стороны, в кассу должно быть уплачено 2 руб., т. е. истрачено по крайней мере 10 монет. Таким образом, менее чем 50 монетами не обойтись.

63.12. Ответ. А = 10.

63.13. Если две вырезанные клетки — одного цвета, то ответ отрицателен. В самом деле, каждая доминошка покрывает одну белую клетку и одну черную и, следовательно, количество покрытых белых клеток должно быть равно количеству покрытых черных клеток. Если же обе вырезанные клетки одного цвета, то эти два числа различны.

Если вырезанные клетки — разного цвета, то соответствующее покрытие возможно. Это легко проверить перебором случаев.

63.15. Рассмотрим все пары вида (X, У), где X и У — две последовательные цифры из записи данной дроби. Поскольку их бесконечно много, то среди них найдутся две одинаковые пары. Двигаясь по последовательности цифр назад, получаем, что можно считать, что одна из этих пар — это пара (Л, В). Поскольку в каком-то другом месте десятичной записи эта пара повторилась, то, начиная с этого места, повторяются и все последующие цифры — следовательно, имеется чистый период.

63.16. Ответ. 2N+2. Указание. Оцените количество точек пересечения этих многоугольников.

63.17. Точные квадраты дают при делении на девять только следующие остатки: 0, 1,4, 7. Очевидно, что сумма трех различных остатков такого вида не может делиться на девять.

63.18. Рассмотрим пары остатков при делении на 2k: (1, 2k— 1), (2, 2k — 2), ..., (k— 1, k + 1), a также остатки О и k. Всего мы получили k + 1 набор остатков. Поскольку нам дано k + 2 числа, то какие-то два из них имеют остатки из одного и того же набора. Это и есть требуемые числа.

63.19. Ответ. Пусть О — центр данной окружности, R— ее радиус, С — вершина угла. Тогда указанное в условии геометрическое место точек есть окружность с центром в середине отрезка ОС и диаметром ^2R2— |ОС|2.

63.20. Так как bcdea = lOabcde + а— 100000а = lOabcde —99999а и 99999 делится на 41, то и число bcdea делится на 41. Продолжая аналогично переставлять цифры в циклическом порядке, получаем требуемое свойство и для всех остальных таких чисел.

63.21. Разобьем члены неравенства на пары следующим образом:

Это неравенство верно, так как (Л,— Л/) (Bi — В,)^0 при любых i и /. Складывая все такие неравенства, получаем требуемое.

63.23. Отождествим данные нам окружности и вместо наложений будем рассматривать повороты окружности. Рассмотрим все возможные углы поворота как числа из отрезка [0; 1], т. е. величина поворота измеряется длиной дуги, которую проходит точка на окружности при выполнении данного поворота.

Выделим для каждой из отмеченных точек множество углов в этом отрезке, поворот на которые переводит эту точку внутрь одной из отмеченных дуг. Каждое из таких множеств состоит из нескольких отрезков суммарной длиной меньше 1/20. Поскольку мы получили 20 таких множеств, то они вместе не могут покрывать весь отрезок [0; 1] и, следовательно, найдется поворот, при котором ни одна из отмеченных точек не попадает внутрь отмеченной дуги.

63.25. Ответ. X = 1, у = 2, z = 2.

63.26. Указание. Два иррациональных числа вида а\ + л/Ь\ и а2+ У^2> где au а2, bu b2 рациональны, совпадают тогда и только тогда, когда а\ = а2, Ь\ = Ь2.

63.27. Ответ. Часть плоскости, параллельной грани ВОС и отстоящей от нее на d(A, ВОС)/3, лежащая внутри угла.

63.28. Не теряя общности, можно считать, что А\ не равно нулю. Тогда очевидно, что для каждого набора (Х\, Х2, . .., Хп)т являющегося решением данного уравнения, набор (1—Хи Х2, . .., Хп) не является его решением. Следовательно, решений не более половины от общего числа наборов.

63.29. Рассмотрим самое длинное ребро пирамиды. Так как в любой грани, содержащей его, ему противолежит наибольший угол, то прилежащие к нему углы могут быть только острыми.

63.32. Так как сумма (л/26 + 5)1963 + (5— л/Щ 1963 есть целое число (это проверяется при помощи бинома Ньютона), а также выполняется неравенство —0,1 <5—У26<0, то — Ю-1963 < (5—д/26)1963 <0 и, следовательно, первые 1963 цифры числа (V26 + 5)1963 после запятой — нули.

63.33. Коробок-параллелепипед должен располагаться так, чтобы плоскость, проходящая через вторые концы его ребер, выходящих из одной вершины, была горизонтальна.

65.35. Допустим, что это не так. Тогда, как нетрудно проверить, в данном наборе чисел не более семи единиц — иначе, складывая другие числа, можно получить число от А — 8 до Л. Далее, среди них не более семи двоек — это доказывается так же. Рассуждая аналогично, получаем, что в наборе не более десятка троек, четверок, ..., девяток. Тогда сумма чисел в наборе не больше чем 10-45, что заведомо меньше 2-2520 =5040 (2520 — первое число, делящееся на 1, 2, ..., 9).

63.37. Ответ. X = у — z = t = 0. Указание. Рассмотрите целое решение с наименьшим значением абсолютной величины х и постарайтесь найти другое решение с Х\ = х/2.

63.38. Рассмотрим две точки на ломаной А и В такие, что длина ломаной между этими точками равна 1/2. Тогда круг радиуса 1/4 с центром в середине отрезка AB покрывает всю ломаную. В самом деле, если ломаная пересекает окружность в какой-то точке С, то, поскольку АС + ВС > AB = 1/2, это противоречит тому, что длина обеих частей ломаной, заключенных между точками А и B, равна 1/2.

63.40. Только при п = 3. В самом деле, если 2п + 1 = Лр, то 2п = Ар— 1 = (А — \)(Ар-1+Ар-2+... + А + 1). Тогда Ар-1+Ар~2+. . —степень двойки, не равная 1, а поскольку А — нечетно, а указанная сумма четна, то четно количество слагаемых в ней. Пусть р = 2q. Тогда 2п = A2q— 1 = (А« — 1) 1), т. е. и А<* — 1 и А" + 1 — степени двойки, причем отличающиеся на два. Следовательно, это два и четыре, т. е. 2п = 8.

63.41. Указание. Если коэффициент k наклона прямых рационален, то есть бесконечно много узлов на границе полосы. Пусть k — иррационален. Тогда задача сводится к доказатель-

ству существования бесконечно многих пар целых X и Y таких, что

где (mu п\), (tf*2, п2) — координаты данных точек, т. е. p<q— фиксированные числа.

64.1. Ответ. Анилов: 25 + 20 + 20+ 3 + 2 + 1;

Борисов: 50+10+5 + 3 + 2+1; Воробьев: 25 + 20+ 10+ 10+ 5 + 1.

64.2. См. решение задачи 61.21.

64.3. Рассмотрим наибольшее число, стоящее в одной из клеток. Очевидно, что все соседние с ним числа равны ему. Соседние с ними также равны им и т. д. Следовательно, все числа на доске равны. Отсюда получаем, что на поле е2 написано число 4.

64.4. Ответ. Четыре.

64.5. Пусть фамилия самого низкого из великанов — Иванов, а фамилия самого высокого из карликов — Петров. Рассмотрим шеренгу, в которой стоит Иванов, и ряд, в котором стоит Петров. На их пересечении стоит некоторый пионер, который ниже Иванова, но выше Петрова. Значит, Иванов выше Петрова.

64.6. Ответ. Это произведение равно нулю.

64.7. Так как все углы — тупые, то п ^ 5. Рассмотрим теперь все диагонали, соединяющие вершины n-угольника через одну. Они образуют /2-угольную звезду, длина границы которой, очевидно, больше периметра многоугольника. Отсюда и следует нужное неравенство.

64.8. Поскольку X4 + 4Y4= (X2 + 2XY + 2Y2) (X2 — 2XY+ 2У2), то это число просто лишь при X=Y=\ или при X = Y = —1.

64.9. Указание. Покажите, что при подходящих параллельных переносах отрезки KN, MF и GL переходят как раз в стороны некоторого треугольника.

64.11. 16 чисел.

64.12. Так как медиана ME в треугольнике МВС больше половины стороны ВС, то угол ВМС — острый. Следовательно, угол BMA — тупой и в треугольнике АВМ медиана MD меньше половины стороны AB.

64.13. Ответ. Тройка (р, q, г) совпадает с тройкой (7, 5, 2).

64.16. Напишем очевидное тождество

Ясно, что нулевым может быть лишь первый квадрат. Однако, выбрав число а\ минимальным, можно, очевидно, добиться того, что и первый квадрат не будет равен нулю.

64.17. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается диагонали в точке X, а вторая окружность — в точке У (в данном случае X=Y). Тогда АХ=АВ+АС — ВС; AY= АС + AD — CD. Приравнивая АХ и ЛУ, получаем AB + CD = AD + ВС, т. е. четырехугольник — описанный. Проводя аналогичные рассуждения в другую сторону для диагонали BD, получаем, что другая пара вписанных окружностей касается диагонали BD в одной точке.

64.18. Указание. Рассмотрим все пары (X, У) неотрицательных целых чисел таких, что \Х\ <С л/п, |У| < Уя, и соответствующие выражения АХ — У. Воспользуйтесь принципом Дирихле.

64.20. Разобьем квадрат на 25 квадратиков с длиной стороны 1/5. По принципу Дирихле, в один из квадратиков попадут по крайней мере три точки. Поскольку такой квадратик можно накрыть кругом радиуса 1/7, доказательство завершено.

64.21. Сокращая [N/1] + [N/N] и 2+[(N— 1)/1], получаем, что должны выполняться равенства [Nik] = [(N—l)/k] для всех k от 2 до N— 1. Но если N — составное число и делится на р ^ 2, то [N/p]>[(N—1)/р]—противоречие. Следовательно, N — простое число.

64.25. См. решение задачи 75.30.

64.28. Положим do = 0, So = 0. Тогда набор (So, Si, ..., S2n_! дает набор (S2n , ..., S2n+i_{ ) при прибавлении S2n (если рассматривать только остатки при делении на два), так как ak=ak+2n (при 0<é<2"). Рассуждая по индукции, получаем, что в наборе (So, ..., S2n_{ ) равное количество четных и нечетных чисел.

64.30. Обозначим сумму всех чисел в наборе через N. Тогда, если а — произвольное число из набора S, то aN и N имеют одинаковые остатки при делении на Р ввиду того, что умножение на а просто переставляет местами остатки чисел, входящих в набор S. Выберем число а, не равное 1, и получим, что так как (а — l)N делится на Р, то и N делится на Р.

64.31. Пусть длины оснований треугольников равны а и Ъ. Рассмотрим для каждого из этих треугольников параллелограмм, три вершины которого совпадают с вершинами треугольника, а одна из сторон совпадает с основанием треугольника. Тогда пересечение треугольников лежит внутри пересечения параллелограммов, которое является параллелограммом с площадью, не большей величины ab, что нам и требовалось доказать.

64.32. Представим числа аь а2, ..., ап как столбцы некоторой диаграммы, идущие в монотонном порядке (см. пример на

Рис. 29

рис. 29). Тогда ai + а2 + ... + ап есть общее число клеток на диаграмме, а /ь f2, ... представляют собой не что иное, как количества клеток в строках, и их сумма, конечно, также равна общему количеству клеток.

64.33. Разобьем квадрат на части, являющиеся наиболее мелкими пересечениями данных фигур. Тогда его площадь 5 равна сумме S\ + s2 ... ... + Sn, где через si обозначена площадь i-и части. Так как каждая часть покрыта не менее чем q фигурами, то сумма площадей всех фигур не меньше qs\ + qs2 + ... ... -f qsn = qS. Следовательно, одна из фигур имеет площадь не менее qS/n = q/n.

64.34. Сначала необходимо доказать этот факт для k = 1. Это нетрудно и решается перебором. Далее возьмем произвольное k. Поскольку найдутся три точки А, В и С, принадлежащие одной группе (скажем, группе 1), такие, что В — середина отрезка А С, можно считать, что эти точки соответствуют числам 0, 1, 2, и тогда числа k + 1, k + 2, 2k + 2 либо должны принадлежать группе 2, либо, если одно из них — в группе 1, то оно образует нужную нам тройку с двумя из чисел О, 1, 2. Если же все эти числа лежат в группе 2, то они сами образуют нужную тройку.

65.1. Ответ. 49 книг.

65.3. Ответ. После 9375 км пути.

65.4. Диагональ пересекает 19 + 65—1 клеток, и, следовательно, к исходному разбиению добавляются 83 части. Общее количество частей равно 19-65 + 83 = 1318.

65.5 Ответ. 110768 : 112 = 989.

65.6. Ответ. Независимо от выбора сумма будет равна 125.

65.7. Разобьем все делители числа N на пары (d, Nid). Поскольку их нечетное количество, то один из делителей обязан образовывать пару сам с собой.

65.8. Ответ. S/3.

65.10. Ответ. 24-60 + 72 = 1512. См. решение задачи 65.4.

65.11. Ответ. X = 7/15 или х = 4/5.

65.12. Рассмотрим вершины равностороннего треугольника с длиной стороны 1965 м. Какие-то две из его вершин окрашены в один и тот же цвет.

65.13. Указание. См. решение задачи 65.4.

65.14. Ответ. Коммерсантов всегда трое. Возможные варианты распределения профессий в компании (ABCDEFG):

кикикии, кииккии, кккииии, ккикиии.

65.15. Ответ изображен на рис. 30. Прямые AB, AF, DC и DE — касательные к окружности, углы BAF и CDE имеют величину 60°, а длина отрезка AD — 12 км.

65.17. Докажем это индукцией по числу городов. База очевидна. Теперь, если отделить от данных п городов некий город А, то остальные п—1 городов можно объехать по маршруту вида Bi—>-B2->- ... -+Вп-\. Если имеется дорога А -+В\ или Вп+> ~>-Л, то индукционный переход, очевидно, доказан. Если же эти дороги направлены в противоположную сторону, то обязательно найдется индекс k такой, что есть дороги Bk-+A и A^Bk+\. Тогда можно объехать все города по маршруту Bi ->B2 ... ->Ä*->i4 ->B*+i -> ... -+Bn-\.

65.18. Ответ. Имеется лишь один такой набор, состоящий из восьми двоек.

65.21. Ответ, тип + m + п — 1.

65.23. Если все остатки различны, то их сумма равна 0 + 1 + ... + (N— 1) = N(N— 1)/2, т. е. сумма не делится на .N. С другой стороны, сумма таких чисел равна 2(1 + 2 + ... + N) = N(N + 1) и делится на N. Получаем противоречие.

65.24. Увеличим радиусы всех кругов в три раза, оставив прежние центры. После этого, если какие-то два из исходных кругов пересекаются, удалим круг с меньшим радиусом. При этом сохранится следующее свойство: утроенные круги по-прежнему покрывают то множество, которое было покрыто малыми кругами. Удалив таким образом несколько кругов, мы получим набор непересекающихся кругов, утроения которых покрывают множество площади 1. Следовательно, сумма их площадей не меньше (1/3)2 = 1/9.

65.25. Ответ, х = 3, у = 14 или х = —24, у = —2.

65.26. Ответ. Сумма равна 2 sin ((п—1)a/sin 2a cos па.

65.28. Проведем доказательство индукцией по п. База п = 1 очевидна. Переход:

Рис. 30

65.29. Указание. Введем декартову систему координат с началом координат в одной из вершин куба. Тогда интересующая нас плоскость х + у + 2 = 18 пересекает кубик с углом в точке (a, by с) тогда и только тогда, когда 15 < а + b + с < 18, т. е. а + b Лг с — 16 или 17 (имеется в виду тот угол кубика, который менее других удален от начала координат). Осталось найти число решений уравнений а + 6 + с = 16, 17 в неотрицательных целых числах, не превосходящих 11. Их всего 216.

65.31. Рассмотрим строку с минимальной суммой S чисел в ней. Тогда в ней как минимум п — S нулей и в соответствующих столбцах (их п — k штук; k ^ S) сумма чисел не меньше п — S в каждом. В остальных же k столбцах сумма по крайней мере не меньше S. Значит, сумма всех чисел в таблице не меньше чем (п — k) (п — S) + kS = п2 + k (2S — п) — Sn ^ ^ п2 +5(2S — п) — Sn (так как 2S — п ^ 0, иначе сумма всех чисел не меньше чем Sn ^ п2/2) = п2 + 2S(S — п) ^ п2/2, поскольку (п — 5)S ^ /г2/4 — это следует из неравенства (/г — 2S)2^0.

65.33. Ответ. X2— 1/2.

65.35. Допустим, что это не так, и занумеруем все узлы решетки, находящиеся на расстоянии, не большем 2 от данной фигуры F. Рассмотрим единичный квадрат /С, левый нижний угол которого — начало координат О. Для каждой точки M этого квадрата рассмотрим вектор ОМ и подвергнем данную фигуру параллельному переносу на вектор ОМ. После этого пометим точку M номером того узла решетки, который оказался внутри полученной фигуры. Если внутри смещенной фигуры окажутся сразу несколько узлов, пометим точку всеми такими номерами. Тогда нетрудно проверить, что множество точек внутри квадрата /С, помеченных номером /г, центрально симметрично множеству, получающемуся при пересечении фигуры F и единичного квадрата с правым верхним углом в узле с номером п. Отсюда следует, что сумма площадей помеченных множеств внутри квадрата К равна площади фигуры F и, следовательно, эти множества не могут покрывать весь единичный квадрат К.

65.36. Ответ. Построим на сторонах треугольника дуги величиной 120°, обращенные внутрь треугольника. Тогда окружность, проходящая через середины этих дуг, и есть искомое геометрическое место точек. Указание. Проведите вычисление с использованием комплексных чисел. Для этого необходимо знать, как выглядят комплексные уравнения прямой и окружности.

66.1. Ответ. Первое число больше.

66.2. Всего может быть 30 возможных вариантов — от 0 до 29 сыгранных матчей. Ясно, что не может одновременно быть двух команд, сыгравших 0 и 29 матчей соответственно. Итак, у нас имеется 30 команд и не более 29 возможных одновременно

вариантов. Следовательно, какие-то две команды сыграли по одинаковому числу матчей.

66.3. Проследим за суммой чисел. Исходно она равна 1965 X X 983 и нечетна. Обратим внимание на то, что замена пары чисел А и В на разность А — В не меняет четности суммы всех чисел. Следовательно, сумма всех чисел на доске всегда нечетна и, значит, одни нули на доске остаться не могут.

66.4. Рассмотрим две точки одинакового (скажем, белого) цвета, лежащие на одной прямой (вещественной оси) и удобства ради будем считать, что они соответствуют числам 0 и 1. Если точки 2 или — 1 имеют белый цвет, то требуемая тройка найдена; то же и для точки 1/2. Однако, если все три эти точки — черные, то они сами образуют нужную тройку.

66.5. Ответ. В турнире принимали участие 14 шахматистов.

66.7. Рассмотрим шесть последовательных точек деления окружности на 10 равных дуг: Ль Л2, Л3, Л4, Л5 и Л6. Тогда прямая Л2Л5 параллельна диаметру А\А6 и прямой Л3Л4, а прямая Л3Л6 параллельна прямой Л4Л5. Обозначим точку пересечения прямых А2А$ и Л3Л6 через Р и получим, что РЛ3Л4Л5— параллелограмм, и потому нам остается доказать, что длина отрезка А2Р равна радиусу. Но так как А2ОА6Р — также параллелограмм (О — центр окружности), то Л2Р = ОЛ6, что требовалось доказать.

66.8. Указание. Воспользуйтесь теоремой Вильсона: для любого простого числа р выражение (р— 1)! + 1 делится на р.

66.9. Ответ. 2.

66.11. Рассмотрим треугольник АБС максимальной площади с вершинами в данных точках. Тогда очевидно, что каждая из данных N точек лежит в треугольнике А'В'С (см. рис. 31), где А'В'\АВ, В'С'\ВС, АГС'\АС. Поскольку площадь треугольника А'В'С ровно в четыре раза больше площади ABC, каковая не превосходит 1, то А'В'С и есть нужный нам треугольник.

66.15. Указание. Это достаточно проверить для случая нечетного п. Тогда все делители разбиваются на пары (d, n2/d) с четной суммой, кроме «одинокого» нечетного п.

66.17. Поскольку X4 + 1 > X для любого вещественного х, то (хл + 1)/5х^ 1/5 при положительном х. Поскольку функция X4— 10x+ 1 выпукла, то свое наибольшее значение на отрезке [1/5; 2] она принимает на его концах. В точках 1/5 и 2 ее значения отрицательны. Следовательно, если 1/5 ^ х ^ 2, то (х4 + 1 ) /5л: ^ 2, что требовалось доказать.

66.19. Ответ. Всего 15 решений.

66.20. Указание. Замостите плоскость правильными шестиугольниками с длиной стороны 982 м. После этого окрасьте

Рис. 31

каждый шестиугольник в свой цвет так, чтобы любые два шестиугольника одного цвета были отделены друг от друга по крайней мере двумя другими шестиугольниками.

66.21. Q3 — 1 = (Q — 1) (Q2 + Q + 1) делится на Р. Так как Р > Q, то Q2 + Q + 1 делится на P = éQ+l. Пусть (kQ + \)т = Q2 + Q+ 1, т. е. m = Q2 + Q — kmQ+ 1. Тогда либо m = 1, либо m ^ Q + 1. Но во втором случае Q2 + Q + 1 ^ (Q + I)2 — абсурд. Следовательно, m = 1.

66.22. Рассмотрим точку M как середину отрезка AB. Тогда нетрудно доказать, что отрезки MF и ME равны по длине и перпендикулярны. Это следует из того, что треугольники СУ А и CBU получаются друг из друга поворотом на 90° вокруг точки С (здесь У и U — вершины квадратов CBXY и ACÙV, центрами которых являются точки Е и F). Отсюда получаем, что при повороте на 90° вокруг точки M вершина В переходит в точку D, a F переходит в Е. Это означает, что отрезки BF и DE равны и перпендикулярны.

66.23. Обозначим это количество способов через хп. Тогда, как нетрудно видеть, х\ = 0, х2 = k(k— 1) и для любого п выполнено соотношение хп= (k — 2)хп-\ + (k—\)хп-2. В самом деле, покрасим стороны с первой и до (п — 2)-й. Количество таких раскрасок, при которых цвет (п — 2)-й стороны не совпадает с цветом первой — хп-и и (п—1)-ю сторону тогда можно покрасить в один из k — 2 цветов. Количество раскрасок, при которых цвет (п — 2)-й стороны совпадает с цветом первой стороны, равно хп-2> и (п—1)-ю сторону тогда можно покрасить в k — 1 цветов. Из доказанного соотношения по индукции следует, что

66.29. Ответ. Одно из неизвестных равно 1, все остальные — нулю.

66.30. Допустим, что существует простое число р такое, что 2п + 1 и 2Ш — 1 делятся на р, т. е. 2п и 2т имеют соответственно остатки (—1) и 1 при делении на р. Найдем НОД (/г, m) = d. Поскольку существуют натуральные а и Ь такие, что ап — Ьт = d, то 2d имеет остаток 1 или —l(modp). Но если 2d = 1 (mod р), то и 2"= 1 (mod/?). Значит, 2d=—l(modp). Однако, так как m — нечетно, то k=m/d — нечетно и 2m=(2d)k= (—\)k = — 1 (mod р) —противоречие.

66.33. Ответ. При п=Ъ и при п^1'. На рис. 32, а проиллюстрировано разбиение на произвольное нечетное, большее 4, число прямоугольников — пример для п = 9. На рис. 32,6 левая половина квадрата разбита в соответствии с рис. 32, a, a разбиение правой половины на четыре прямоугольника фиксировано.

Рис. 32

67.1. Ответ. 350, 700 и 1050 л.

67.2. Ответ. Два раза.

67.4. Возможных разностей всего 14 — от 1 до 14 = 15— L Для данных восьми чисел имеется всего 28 возможных попарных разностей. Ясно, что число 14 может быть представлено как разность натуральных чисел, меньших 16, единственным способом (см. выше). Следовательно, другие 13 чисел соответствуют оставшимся 27 попарным разностям. Если каждое из них встречается не более двух раз, то мы получим лишь не более 26 разностей. Противоречие.

67.5. Ответ. 70 км.

67.7. Раскрывая скобки, мы получаем сумму всех четных степеней х от 1 до х202. Осталось только написать неравенства вида 1 + X202 ^ 2хш\ X2 + ле200 ^ 2хш и т. д., которые эквивалентны очевидным неравенствам (1 —я101)2 ^ 0, (х — хш)2 ^ 0 и т. д. Сложение этих неравенств и даст нам требуемый результат.

67.8. Отразим вершины В и С относительно прямой MN и получим точки В' и С соответственно. Прямые AD и В'С должны быть параллельны. Но так как обе прямые AB' и DC параллельны MN, то получаем, что AB'CD — параллелограмм и, в частности, AD = В'С = ВС.

67.10. Указание. Прямую надо провести так, чтобы PQ = RQ.

67.12. Поскольку X + У = с> XY = —с, то короткое вычисление показывает, что X3 + У3 + {XY)3 = 2с2 ^ 0.

67.13. Проведем общую касательную к обеим окружностям в точке А. Точку пересечения этой касательной и прямой CD обозначим Е. Ясно, что ZED А = ZCAE, ZECA = ZDAE, поскольку треугольники СЕА и DEA подобны. Треугольник ВЕА

равнобедренный, значит, 2ZBAE = 180°— ZBEA = ZDAE + ZEDA = ZDAE + ZCAE, что требовалось доказать.

67.14. Достаточно доказать, что 2Ш + 1 делится на 3k+l. Доказательство проводится по индукции. База k = 1 — очевидна. Индукционный переход проводится при помощи тождества 23х + 1 = (2х + 1) (22х — 2х + 1); второй множитель в правой части делится на три при нечетном х.

67.16. Разобьем сначала всех на две компании произвольным образом и рассмотрим следующую величину S: для каждого человека определим количество его друзей и врагов в той же компании, в которой находится он сам, после чего сложим все эти числа. Рассмотрим теперь некоторого человека А, для которого соответствующее слагаемое больше нуля. Если и его друг, и его враг находятся в той же компании № 1, где и он сам, то, переведя А в компанию № 2, можем уменьшить значение величины S. Допустим теперь, что его друг В находится в той же компании № 1, а его враг С — в другой № 2. Если D — друг человека С — также находится в компании № 2, то мы можем перевести С в компанию № 1 (значение 5 не изменится), а затем перевести А в компанию № 2 (значение 5 уменьшается на два). Допустим, что D находится в компании № 1. Тогда его враг Е находится в компании № 2 — иначе мы такими же операциями перевода сможем уменьшить значение S. Далее, друг Е — назовем его F — находится в компании № 1 и т. д. Ясно, что рано или поздно цепочка должна замкнуться, т. е. мы придем к В. Но это невозможно, так как в цепочке, с одной стороны, должно быть четное число людей — дружба и вражда чередуются, а с другой стороны, чередование номеров компаний нарушается ровно один раз (см. рис. 33), следовательно, число людей в цепочке должно быть нечетно.

Итак, в любой ситуации, когда S > 0, перестановками людей можно уменьшить значение 5. Следовательно, можно добиться такого разбиения на компании, когда S = 0, что нам и требуется.

Рис. 33

67.17. Если в наборе есть отрицательное число, то минимальное среди чисел набора — пусть это щ — не стоит на краю. Но так как щ > (a.+i + a/_i)/2, то оба числа af+i и щ-\ равны а/. Продолжая рассуждать аналогично, получаем, что все числа равны и отрицательны.

67.18.

и если q = 2k + 1, p = 2k — 1, и это равно

что делится на 4k = р + q.

67.20. Пусть t2 — момент, в который подобная операция проведена в первый раз со вторым справа числом. Ясно, что больше подобная операция не должна выполняться, иначе последовательность повторится. Если же операция никогда не выполняется над вторым справа числом, положим t2 = 0. Далее, пусть U — момент, когда впервые после момента t2 операция выполняется над третьим справа числом (если этого не было, то положим /3 = t2). Аналогично определим t5i ..., tk. После момента tk выполнение следующей операции неминуемо влечет повторение последовательности.

67.22. Рассмотрим выражение

Раскрыв скобки, нетрудно заметить, что оно равно а\Ь\ + CL2b2 + ... + anbn. С другой стороны, так как а* — a>k+\ неотрицательно, а любое выражение вида Ь\ + Ь2 + ... + bk по абсолютной величине не превосходит B, то

67.23. Указание. Человеку надо пройти по полуокружности радиуса 2507/я метров.

67.24. Решение проводится совершенно аналогично решению задачи 67.18.

67.29. Докажем, что для любого k существует система точек такая, что для любой ее точки есть по крайней мере k точек системы, удаленных от нее на единичное расстояние. Индукция по k. База k = 1 в доказательстве не нуждается. Чтобы доказать переход от k = п — 1 к k = пу рассмотрим систему точек для k = п — 1 и сдвинем ее на единичное расстояние так, чтобы новые точки не совпадали со старыми. В получившейся системе точек для каждой точки можно найти уже п точек, удаленных от нее на единичное расстояние.

67.30. Ответ. Такая фигура состоит из семи клеток — см. рис. 34.

67.31. Пусть центры первой и второй окружностей находятся в точках Oi и 02 соответственно. Тогда, как нетрудно видеть, треугольники 0\BD и 02AD подобны (так же, как и треугольники 02CD и 0\AD). Это дает нам равенства

где г и R — радиусы окружностей. Перемножив эти равенства и учитывая, что r2/R2 = АВ2/АС2, получаем требуемый результат.

67.32. Обозначим эти многочлены через F и G, причем можно считать, что F возрастает при х > х0. Пусть е = 1 или — 1 так, что и eG возрастает при х > х0. Рассмотрим F — eG и допустим, что это не константа. Пусть ^(^1) = a, G(xi) = ft, где Х\ > Хо\ а и b — некоторые целые числа. Положим H(x) = F(x) — eG(x) — (а — eb). Пусть х2>х\—точка, для которой F(x2) = a+l. Тогда, очевидно, zG(x2)= гЬ + 1, т. е. Н(х2) = 0. Аналогично, если точка х3 > х2 такова, что F (х3) = а + 2, то eG (х3) = eb + 2, и H(лг3) = 0 и т. д. Таким образом, Н(х) имеет бесконечно много корней и, значит, Н(х) = 0, что требовалось доказать.

67.34. У любого человека среди других 17 людей есть не менее девяти знакомых или не менее девяти незнакомых. Без потери общности можно считать, что у данного конкретного человека А не менее девяти знакомых в компании. Рассмотрим любого из них В. Если среди остальных восьми найдутся шестеро, с которыми он не знаком, то задача сведется к задаче 61.5. Значит, знакомых у него трое, а с пятью он не знаком (в противном случае мы бы получили четверку попарно незнакомых людей — ведь если хоть какие-то двое из тех, с кем знаком В в девятке, знакомы между собой, то мы получим требуемую четверку).

Подсчитаем теперь количество знакомств в девятке — всего там девять человек, и каждый знаком ровно с тремя другими. Поскольку каждое знакомство считается дважды, то всего пар знакомых людей должно быть 3-9/2 = 14.5! Это противоречие и завершает решение.

67.35. Указание. Назовем столбцы таблицы «юношами», а строки — «девушками» и будем говорить, что юноша знаком с девушкой, если на пересечении соответствующих линий стоит положительное число. Тогда результат задачи сводится к хорошо известной «лемме о девушках»: есть N юношей и N де-

Рис. 34

вушек, причем известно, что любые k юношей (k — любое число от 1 до N) знакомы в совокупности не менее чем с k девушками. Тогда юношей можно поженить на девушках так, чтобы в каждой паре были только знакомые между собой юноша и девушка.

Условие «леммы о девушках» следует здесь из того, что если нам даны k столбцов, то сумма чисел в них равна k. Следовательно, все положительные числа из этих столбцов не могут находиться менее чем в k строках.

Попробуйте доказать «лемму о девушках» самостоятельно индукцией по N.

68.1 Ответ. 7 руб.

68.2. Ответ. Правое число больше на 444... 44 (19 четверок) .

68.3. Ответ. 335 км. Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника.

68.5. Допустим, что команда Т выиграла у N команд. Если какая-то команда X не входит в их число, а также не проиграла ни одной из них, то она набрала не менее N + 1 очков, что противоречит тому, что Г — победительница турнира. Следовательно, X проиграла либо самой Г, либо одной из команд, у которой Т выиграла.

68.7. Указание. Докажите, что две параллельные хорды квадрата имеют одинаковую длину, только если они симметричны относительно центра квадрата или если они соединяют противоположные стороны квадрата.

68.8. Ответ. Это числа: —1; 1; 3; 6; 11.

68.12. Спроектируем все круги на произвольный диаметр большого круга. Сумма длин проекций, очевидно, равна сумме диаметров кругов, т. е. 50. Поскольку длина большого диаметра — 6, то в случае, если каждая его точка покрывается проекциями не более восьми раз, сумма их длин не превосходит 6-8 = 48 < 50. Следовательно, найдется точка, покрытая по крайней мере девятью проекциями. Прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная большому диаметру, — искомая.

68.13. Докажем, что BD касается окружности, описанной вокруг треугольника АВМ. Для этого достаточно проверить, что угол ABD равен углу, стягиваемому дугой АМВ на указанной окружности. Ясно, однако, что этот угол равен углу ВМС, так как они оба дополняют угол АМВ до 180°. Так как четырехугольник BCDM — вписанный, то ZBMC = ZBDC. Но так как ABCD — параллелограмм, то ZBDC = ZABD, что нам и требовалось доказать. Совершенно аналогично доказывается, что BD касается и окружности, описанной вокруг ADM.

68.14. Используя теорему Виета, можно подсчитать,

— 4Л3 — ЗА2. Поскольку AS + Т = —А, то НОД (5, Т) = НОД (Л, 5)=НОД (Л, 2) = 1, так как А нечетно.

68.15. Обозначим вершины треугольника А, B, С и раскрасим плоскость так, как это показано на рис. 35, — в черный и белый цвета. Заметим, что при каждом переворачивании цвет плоского треугольника, на котором лежит наш треугольник ABC, меняется с черного на белый или наоборот. Так как в конце концов цвет оказался прежним, то, очевидно, количество переворачиваний было четным.

68.18. Указание. Рассмотрите числа 1222222222, 2122222222, ... ..., 2222222221 и докажите, что к одному из них приписана 1. Пусть это будет число 1222222222. Тогда, очевидно, 2333333333 -+2, 3111111111-^3 (так мы будем обозначать приписывание цифры к числу).

Докажем, что тогда к числу всегда приписывается его первая цифра. Лемма. Это верно для чисел, в записи которых участвуют только две цифры.

В самом деле, если в записи числа только две цифры 1 и 2, а первая цифра, скажем, 1, то очевидно, что к этому числу приписывается не 3, а так как 2333333333 -> 2, то и не 2.

Теперь возьмем любое число, начинающееся, например, с двойки. Рассмотрим числа lab... с и Зху... z, оба записанные только единицами и тройками так, что они оба отличаются от данного числа во всех разрядах. Так как им по лемме сопоставлены единица и тройка, то к нашему числу приписывается двойка, что требовалось доказать.

68.19. Два решения — это корни уравнения х = 1 — 1968 х2, два других — это корни «остающегося» квадратного трехчлена 1968л:2 — 1968а:— 1967.

68.21. Ответ. Восемь.

68.22. Проведем из вершины А отрезки AD и АЕ, касающиеся первой и второй окружностей соответственно, так что D и Е лежит на ВС. Тогда, очевидно, треугольники ACD и АЕВ покрывают треугольник ABC и, значит, сумма радиусов данных окружностей равна

Последнее выражение как раз и равно радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC.

68.24. Допустим, что такое возможно. Расклассифицируем тогда концы внутренних сторон треугольников разбиения по трем типам: точки, лежащие на стороне большого треугольника

Рис. 35

(в них сходятся четыре внутренние стороны — см. рис. 36, а); точки внутри треугольника, в которых сходятся шесть треугольничков разбиения, т. е. 12 сторон — см. рис. 36,6; точки, лежащие внутри какой-либо внутренней стороны треугольника разбиения, в которых сходятся шесть внутренних сторон — см. рис. 36, е. Если обозначить через Ль Л2, Л3 количества точек каждого типа, то число внутренних сторон равно (4Л1 + 12Л2+ 6Л3)/2 = 2Л1 + 6Л2 + ЗЛ3. В то же время каждой точке третьего типа соответствуют три внутренние стороны — та, внутри которой она лежит, и те две, которые примыкают к первой. Нетрудно видеть, что любая внутренняя сторона разбиения соответствует какой-либо из точек третьего типа — иначе найдутся два равных треугольника. Отсюда число внутренних сторон не больше ЗЛ3. Следовательно, Л1=Л2 = 0, т. е. треугольники разбиения не имеют вершин на сторонах большого треугольника и, значит, все разбиение состоит из одного исходного треугольника.

68.26. Ответ. Одно решение.

68.28.

Ответ. Девять.

68.30. Обозначим д/2 через р, а 1/р через t. Тогда указанное неравенство можно переписать так:

Подставляя t вместо 1/р, получаем

Поскольку

то имеем цепочку неравенств

что и требовалось.

68.31. Допустим, что AB > ВС, и обозначим основание опущенного перпендикуляра через Н. Теперь на продолжении от-

Рис. 36

резка AB отметим точку С, такую, что ВС = ВС. Нетрудно увидеть, подсчитав углы, что ВМ — биссектриса угла СБС\ Так как треугольник ВСС — равнобедренный, то MB JL СС> МС=МС, т. е. МА=МС, значит, МН — медиана в треугольнике MAC, т. е. H — середина АС, что требовалось доказать.

68.33. Указание. Индукция по М. Рассмотрим M + 1 точек; возьмем наименьший многоугольник, содержащий их все (это так называемая «выпуклая оболочка» данного набора точек), и удалим одну из его вершин А так, чтобы оставшиеся M точек не лежали на одной прямой. После этого остается лишь доказать, что треугольников с вершиной А имеется не менее М— 1.

68.34. Указание. Каждое из неравенств можно доказать следующим образом. Изменяя числа ai так, что сумма их попарных расстояний соответственно не уменьшается (или не увеличивается), можно загнать почти все ai в концы отрезка, после чего проверка неравенства существенно упрощается.

68.35. Спроектируем тетраэдр на произвольную прямую. Тогда получим отрезок AB, внутри которого лежат точки С, D и О, где А, В, С, D — проекции вершин тетраэдра, а О — проекция данной точки. Перебором вариантов нетрудно убедиться, что сумма расстояний от О до точек А, В, С и D не превосходит суммы попарных расстояний между этими четырьмя точками. Осталось лишь использовать следующее неэлементарное соображение: интеграл проекций пространственного отрезка длины d по всем направлениям равен kd, где k — некая константа, не зависящая от расположения отрезка и от его длины.

68.36. См. решение задачи 81.36.

68.37. Давайте мысленно объединим грани первого и второго цветов в один общий пятый цвет. Рассмотрим области пятого цвета на поверхности многогранника. Двигаясь по границе такой области мы видим, что по другую сторону цвета примыкающих области (третьего и четвертого цветов) чередуются и, следовательно, граница каждой такой области содержит четное число вершин, не общих для граней первого и второго цветов — см. рис. 37. Отсюда заключаем, что для каждой области пятого цвета четность числа вершин граней первого цвета в ней совпадает с четностью числа вершин граней второго цвета. Суммируя по всем областям пятого цвета, получаем, что четность числа вершин на гранях первого цвета (т. е. четность числа граней первого цвета с нечетным числом сторон) совпадает с четностью

Рис. 37

числа вершин на гранях второго цвета (т. е. с четностью числа граней второго цвета с нечетным числом сторон).

68.38. Указание. Докажите, что и в том, и в другом случае мы получим в точности те слова, которые содержат одинаковое количество букв А и Б и обладают следующим свойством: среди любых нескольких первых букв слова количество букв А не меньше, чем количество букв Б.

69.1. Поле доски является белым тогда и только тогда, когда сумма номера его столбца и его строки — нечетна. Поскольку сумма всех номеров строк и столбцов для данных восьми ладей равна 2(1 + ... + 8) =72 — четна, то полей, вносящих нечетный вклад в эту сумму, четное количество. Значит, и количество черных полей под ладьями тоже четно.

69.2. Ответ. 14. Указание. Рассмотрите остатки при делении на четыре.

69.3. Ответ. В 3 часа дня.

69.6. Допустим, что было задано по N подобных вопросов. Докажем, что тогда каждый из математиков может быть уверен в том, что число его напарника не меньше N. Индукция по N. База N = 1 очевидна. После того как задано по N — 1 такому вопросу, каждый из них уверен, что число его партнера не меньше N—1. Если теперь предположить, что чье-то число равно N— 1, то, зная, что у его партнера число не может быть равно N— 2, этот математик на N-Й вопрос ответил бы: «Да, знаю. У тебя число N». Следовательно, после N вопросов каждый из математиков уверен, что число его партнера не меньше N.

Теперь ясно, что если данному математику сообщено число /С, то не позже чем после К-го вопроса мы услышим положительный ответ от него или от его коллеги.

69.8. Ответ. В 64 раза.

69.9. Левое выражение можно переписать так:

Объединяя теперь слагаемые этой суммы по-другому, получаем

69.10. Проведем через точку, в которой находится волк, две прямые, параллельные диагоналям квадрата. Чтобы не выпустить волка, собаки должны находиться в точках пересечения этих прямых со сторонами квадрата. Нетрудно видеть, что скорость собак в этом случае будет не более чем в д/2 раз превосходить скорость волка.

69.11. Да, может. Рассмотрите внутри квадрата ABCD, в вершинах которого расположены наши деревни, точки Р и Q такие, что АВР и CDQ — равнобедренные треугольники с тупым углом при вершинах Р и Q, равным 120°. Тогда система дорог АР, BP, PQ, CQ и DQ имеет длину примерно 27 км 321 м.

69.13. Пусть X — точка на [AD] такая, что ВХ \\ CD. Тогда, очевидно, р(АВХ) = р(ВСХ), где через р(Т) обозначен периметр треугольника Т. Но так как то же верно и для треугольников ABE и ВСЕ, то р(АВХ) — р(ВСХ) = ХЕ ±\СЕ — СХ\ и по неравенству треугольника получаем, что эта разность периметров больше ХЕ — ХЕ = 0 — противоречие. Значит, X = Е. Аналогично, СХ \\ AB. Следовательно, Е — середина AD и АЕ = ВС, что требовалось доказать.

69.15. Ответ. 10 городов.

69.18. Где-то в последовательности должны встретиться пятерки abed 0 и abcdX, где abed — последние четыре цифры последовательности. Значит, четверка abed встречается трижды, но перед ней могут стоять только 0 и 1. Чтобы избежать повтора пятерки цифр, перед одной из четверок abed не должно ничего стоять, т. е. она — начальная.

69.20. Таких билетов имеется 6700. Указание. Вторая цифра номера должна совпадать с пятой.

69.21. В самом деле,

что и требуется доказать.

69.23. Если Xn-i = —a (mod хп), то xn+i = axt (mod*n). Следовательно, х2п делится на хп.

69.24. Занумеруем всех отдыхающих числами от 0 до 59 и в первый день посадим их в таком порядке (считая от директорского места по часовой стрелке) :

где (mod 60) означает остаток по модулю 60 (т. е. при делении на 60). На (£+1)-й день их можно посадить в следующем порядке:

69.25. Обозначим векторы AB, АС и AD через Ь, с и d соответственно. Условие перпендикулярности AB и CD дает равенство be = bd для скалярных произведений. Если обозначить

радиус-вектор точки M через г, то требуемое равенство перепишется так: (7— d/2)2+ (г— (о + с)/2)2 = (г — с/2)* + (г — (ft + d)/2)2, которое после сокращений приводится к уже известному равенству bc = bd.

69.28. См. решение задачи 69.23.

69.29. Будем последовательно строить последовательность, получая на п-м шагу набор из 2п чисел такой, что среди разностей между его членами будут по разу встречаться числа 1, 2, ..., л, а также некоторые другие натуральные числа без повторов. На первом шагу рассмотрим набор 1, 2. На (п + 1)-м шагу выясним, каково наименьшее натуральное число X, которого нет среди разностей между числами уже имеющегося набора. Добавим теперь к данному набору числа N и N + X, N > 2МУ где M — наибольшее из чисел старого набора. Продолжая так бесконечно, мы получим последовательность, удовлетворяющую указанному условию.

69.30. Выразив площади треугольников через a, ft, с и углы а, B и у треугольника (ZBACt ZABC и ZACB), получим, что левая часть равенства преобразуется в выражение

Правая же часть может быть переписана как (abc)2 sin a sin B X X sin y/4S, поскольку R = abc/4S. Сокращая, получаем, что нам нужно доказать равенство

Поскольку

получаем, что это равенство равносильно равенству sin (а + B ++ у) =0, которое безусловно верно.

69.32. Ответ. Минимальное количество убитых гангстеров — 10.

69.33. Положим Xi = l/at. Тогда получаем неравенство

Воспользуемся неравенством 4/(х + у) ^ 1/х + \/у, верным для любых положительных чисел х и у, и получим

69.34. Допустим, что такого треугольника нет. Рассмотрим две точки А и В одного (скажем, первого) цвета, стоящие друг

от друга, на расстоянии d. Проведем прямые L\ и L2, параллельные AB, на расстоянии 2/d от нее. На них, очевидно, нет ни одной точки первого цвета. Докажем, что на плоскости есть одноцветная прямая. Если L\ и L2 не являются таковыми, то точки на них, отстоящие друг от друга на расстояние d/2, должны быть разного цвета, а следовательно, точки, отстоящие на расстояние dy — одинакового цвета. Но тогда на прямой AB не должно быть точек второго и третьего и она — одноцветная. Итак, доказано существование некоторой одноцветной прямой L (окрашенной, скажем, в первый цвет). Ясно, что на плоскости больше нет точек первого цвета. Берем любые две точки одного цвета X и Y такие, что XY параллельна L. Аналогично мы получаем прямую M, параллельную XY и L, окрашенную в один (скажем, в третий) цвет. Все остальные точки плоскости тогда окрашены во второй цвет, и выбрать одноцветный треугольник площади 1 не представляет труда.

69.37. Пусть хо — целое число такое, что у\ = | F\ (х0) | > > 1, ..., уп = \Fn(xo) I > 1. Рассмотрим тогда число а = х0 + ку\У2 . • • Уп- По стандартному свойству многочленов с целыми коэффициентами F(p) —F(q) делится на р — q для любых целых чисел р и q. Следовательно, F\(a)—F\(xo) делится на ку\У2 •.. Уп и, значит, F\(a) делится на у\. Аналогично F2(a) делится на у2 и т. д. Выбирая k достаточно большим так, чтобы числа Fi (а) были больше чем max(*/i, у2у ..., уп)у получаем нужное значение а.

69.38. Если xk > n2, то

и, значит, сумма соответствующих слагаемых не больше 1. Если же Xk ^ л2, то

Складывая все такие неравенства, получаем, что сумма соответствующих слагаемых не больше чем 1/2 + 1/3 + ... + \/п2. Добавляя единицу, получаем требуемую оценку.

70.1. Поскольку 123456789-8 = 987654312, то единственная пара —это (123456789, 987654312). При любом увеличении меньшего числа пары (скажем, х) число 8х будет больше чем 987654321.

70.2. Ответ. Длины сторон равны 2, 3 и 4.

70.3. Нет, это невозможно. В самом деле, в каждом обмене участвуют ровно три монеты, стало быть, число монет, которые участвовали в обменах, должно делиться на три. Если же каждый житель отдал ровно 10 монет, то получится, что в обменах принимали участие 19700 монет, а это число на три не делится.

70.5. Индукция по числу городов п. База очевидна. Допустим, что городов п + 1. Выберем вид транспорта, который связывает все города, кроме некоего выделенного города Л. Если А связан хотя бы с одним из других городов тем же видом транспорта, то и все п + 1 городов связаны этим транспортом. Если же А связан со всеми другими городами вторым видом транспорта, то, очевидно, этот вид транспорта связывает все п + 1 городов.

70.6. Допустим, что это не так и для любых команд А, В и С известно, что если А выиграла у В, г В выиграла у С, то А выиграла у С. Но тогда ясно, что команда X, набравшая наибольшее число очков, выиграла у всех команд. Далее, команда У, занявшая второе место, выиграла у всех команд, кроме X, и т. д. Следовательно, в этом турнире команда, занявшая более высокое место, обязательно выиграла у команды с худшим общим результатом. Теперь нетрудно убедиться, что команда, занявшая пятое место, набрала ровно семь очков.

70.7. Ответ. Величина угла В — 30°.

70.9. Отложим на боковой стороне AB отрезок BE, равный основанию ВС — см. рис. 38, а. Тогда ZCEB = ZECB = 50°, ZACE = 30°, а поскольку в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то АЕ > СЕ и далее СЕ > СВ. Следовательно, AB = АЕ + BE > 2 СВ.

Чтобы доказать б, «утроим» этот треугольник так, как показано на рисунке 38,6. Поскольку длина ломаной BCXY больше, чем длина отрезка BY, то получаем нужное неравенство.

70.11. Подставляя х2 = 2у—1 во второе уравнение, получаем у4 + 4у2 — 4у — 1 = 0. Разделив на у — 1, получаем (*) У3 + У2 + % + 1 = 0. Но так как 2у—1=х2^0, то у положительно. Но положительных решений у уравнения (*), очевидно, нет. Итак у = 1 — единственный вариант. Соответственно, X = 1 или X = —1.

70.13. Обозначим другие точки касания, лежащие на сторонах AB и ВС, через D и Е соответственно, а вторые точки пере-

Рис. 38

сечения первой и второй окружностей с отрезком АС через X и У соответственно. Тогда по свойству секущих СХ-СА = СЕ2, AY-АС = AD2. Но так как СЕ = AD, то получаем СХ = AY, т. е. АХ = СУ, что требовалось доказать.

70.14. Ответ. X = 1, у = 2, z = 4.

70.15. Ответ. Длины обоих отрезков равны 1/2.

70.16. Допустим, что это не так. Рассмотрим самый правый столбец и самую нижнюю строку таблицы. В них должно быть закрашено не менее восьми клеток (но, очевидно, и не все девять). Отсюда получаем, что клетки, отмеченные на рис. 39 звездочками, должны быть не окрашены. Тогда в левом верхнем угловом квадрате 3 X 3 окрашено восемь клеток, что автоматически влечет наличие там квадрата 2X2 с тремя или более закрашенными клетками внутри.

70.18. Указание. Докажите, что для любой картинки такого вида имеет место неравенство X ^ ЗУ — 6, где X — число отрезков, а У — число точек.

70.21. Ответ. Длины обоих отрезков равны 1/2.

70.23. Ответ, х = 1, у = 3, г = 2, / = 4.

70.24. См. решение задачи 70.30.

70.26. Положим X = sin 1, у = cos 1. Тогда необходимо доказать неравенство

Перепишем его

Это верно, так как х < 1, а у < х.

70.29. Решая систему уравнений:

получаем

70.30. Достаточно доказать, что ни одно из чисел не окажется на своем прежнем месте в строках с номерами 2, 3, ..., N. Ясно, что у каждого числа при переходе в следующую строку номер увеличивается на одно из чисел m — N, N — k, m — k. Допустим, что за несколько шагов данное число А раз побывало в левой группе, В раз — в средней и С раз — в правой. Тогда

Рис. 39

оно сдвинулось вправо на X = A(N — k) + В (m — k) + С (m — N) мест. Если же оно вернулось на свое место, то X = 0, причем O^A^k, O^B^N — m — k, O^C^m. Теперь нетрудно проверить, что каждый вектор (Л, В, С), дающий решение уравнения Х= 0, будет целочисленной линейной комбинацией векторов, V\ = (0; N — m; m — k) и u2 = (1; —1; 1). Остается доказать, что вектор y\Vi + y2v2 (у\ и у2 — целые числа) не может иметь целочисленных координат, удовлетворяющих приведенным выше неравенствам.

70.32. Допустим, что 0 < 2 при любом k. Перемножив все эти неравенства, получим, что

Но так как

для любого положительного t, то имеем

— противоречие.

70.34. Среди чисел ах а2, ..., ат есть либо число, делящееся на m, либо два числа с одинаковыми остатками (mod m). Так как am<2m, то а* (равно, как и uk — ai), если и делится на га, то лишь если оно равно га, что требовалось доказать.

70.35. Рассмотрим окружность, проходящую через точки А, D и N и пересекающую данную окружность второй раз в точке Е. Прямая NE пересекает исходную окружность еще и в точке X, а прямую АХ — в точке О — см. рис. 40. Тогда по известному свойству вписанных углов треугольники ODE и ON А подобны, равно, как и треугольники ODE и ОХХ.

Следовательно, подобны треугольники ON А и ОХХ, значит, прямые NA и XX параллельны. Проведем прямую АЕ, которая пересечет исходную окружность еще раз в точке У. Аналогично, УУ II NA. Следовательно, прямые А У и BY симметричны относительно диаметра окружности, перпендикулярного AB. Значит, симметричны точки С и Е, а раз прямые ЕХ и СХ симметричны, то это влечет и симметричность точек N и М, что требовалось доказать.

Рис. 40

70.37. Операция, использованная в решении задачи 70.38 (см. ниже), по прямоугольнику размерами А X В (А > В) позволяет получить прямоугольник размером |Л— 2В\ X В. Докажите, что рано или поздно мы получим либо квадрат, либо «пустой» прямоугольник.

70.38. Указание. Допустим, что сумма чисел в некотором прямоугольнике равна 4 + а. Рассмотрим четыре квадрата, три стороны каждого из которых лежат на трех сторонах прямоугольника. Их четвертые стороны ограничивают некий новый прямоугольник. Несложная оценка показывает, что сумма чисел в нем по абсолютной величине не меньше чем 4+За. Таким образом, если мы рассмотрим в качестве исходного прямоугольник с максимальной суммой чисел, то, как следствие, а ^ 0, что и требовалось доказать.

71.1. Ответ. Ближе к городу А произойдет встреча Иванова с Ивановским.

71.2. Ответ. Это равносторонний треугольник.

71.3. Указание. Всего набрано 40 очков. Значит, 40 = Sn9 где S — сумма очков за один экзамен, п — число экзаменов. При этом S^6 и, следовательно, S=8, 10 или 20. Так как Женя был первым по алгебре, то экзаменов было больше двух, иначе 22 должно быть меньше, чем 9-2 = 18. Далее перебором нетрудно убедиться, что /г = 5, S = 8 = 5 + 2+ l и вторым по физике был Коля.

71.4. Ответ. 18.

71.6. Ответ. Да, можно — см. рис. 41.

71.7. Ответ. X = —2, у = —1/2.

71.8. Ответ. Это равносторонний треугольник.

71.9. Рассмотрим поворот на 90°, переводящий квадрат в себя. Тогда прямые Л/С, ВК> CK и DK перейдут как раз в опущенные перпендикуляры, а точка К — в общую точку этих перпендикуляров.

Рис. 41 Рис. 42

71.12. Считая дно коробки разбитым на единичные квадраты, отметим некоторые из них так, как это показано на рис. 42. Тогда каждая плитка 2X2 накрывает ровно один отмеченный квадратик, а каждая плитка 1X4 накрывает ноль или два квадратика, т. е. четность числа плиток 2X2 должна совпадать с четностью числа квадратиков на дне коробки. Ясно, что при замене одной из плиток 2X2 четность их количества изменилась.

71.14. Ответ. 1972 цифры, так как произведение этих чисел равно 101971.

71.15. Ответ. 4951. Используйте то, что из двух цепочек, одна из которых дополняет другую, сумма чисел ровно в одной из них положительна.

71.16. Да, первый может выиграть, и для этого ему нужно каждый раз делить кучку с четным числом спичек на две кучки, в каждой из которых содержится по нечетному числу спичек. Эта стратегия, очевидно, приводит его к победе.

71.18. Рассмотрим на стороне ВС точку Е такую, что BE = ED. Тогда прямые AB и DE параллельны, треугольники ABC и DEC подобны и, значит, BE = ED = 6. Следовательно, по неравенству треугольника BD < BE + ED = 12.

71.19. Ответ. Всего имеется 202 решения. Основная серия: jc0=0, **=±1/2, Xj=0 при \Фк (200 решений). Еще одно решение: все Xi равны нулю, и последнее решение таково: хо= 1, xi = 0 при i > 0.

71.21. Допустим, что В2 — 4АС = п2. Тогда имеем 4А(Ах2 + Вх+ С) = (2Ах + В + п) (2Ах + В — п). Отсюда, подставив X = 10, получим, что 20Л + В + п или 20Л + 5 — п делится на простое число ABC. Но тогда, очевидно, 20Л + В + п ^ 100Л + 10B + С, что невозможно, так как п < В.

71.22. Ответ. Для того чтобы начинающий не мог выиграть, в обеих кучках должно быть нечетное количество спичек.

71.24. Да, можно. Рассмотрим разбиение прямоугольника 12 X 16, указанное на рис. 43, а, после чего покроем плоскость подобными прямоугольниками — см. рис. 43,6, каждый из ко-

Рис. 43

торых разобьем аналогично. Проверьте, что все полученные треугольники различны.

71.27. Указание. Используйте векторную запись равномерного движения.

71.28. Положим, X = 1/2200 + ... + 1/201. Тогда

Следовательно,

71.30. Заключим все точки пересечения прямых и точку Р в круг радиуса R. Теперь рассмотрим / < 1 такое, что косинусы всех углов между данными прямыми меньше чем t. Тогда указанные в условии точки не могут появиться вне круга с тем же центром О и радиусом А . В самом деле, пусть точка А лежала на прямой L, и мы спроектировали ее на прямую М, получив проекцию В. При этом прямые L и M пересекаются в точке /С, лежащей в исходном круге радиуса R. Тогда \ВК\ < ЛЛ/С1.

Далее

Последнее неравенство следует из того, что

71.31. Перепишем уравнение так: хп + а\хп~х = а2хп~2 + ... + ап и разделим его на хп~]. Получим х + а\ = а2/х +. . .+ап/хп. Поскольку слева мы имеем монотонно возрастающую функцию, а справа монотонно убывающую на положительной полуоси функцию, то более одного положительного корня уравнение иметь не может.

71.34. Указание. Будем говорить, что индекс р мажорирует индекс q, если сумма чисел Ьр + Ьр+\ + ... + bq-\ положительна. Очевидно, что для любых двух индексов р и q верно, что либо р мажорирует q, либо q мажорирует р, причем одновременное выполнение и того, и другого невозможно. Также нетрудно проверить, что для любых трех индексов р, q и г выполнено следующее свойство: если р мажорирует q и q мажорирует г, то р мажорирует г. Осталось только заметить, что число Nk, указанное в условии задачи, есть не что иное, как количество индек-

сов, мажорируемых индексом k. Следовательно, для любых двух индексов р и q, если р мажорирует q, то, очевидно, Np > Nq.

71.36. Индукция по п. Выберем множество X из п вершин, связанных ребрами, скажем, первого цвета. Удалим теперь одну из них и из оставшихся вершин выберем еще одну п-ку У, связанную одним цветом.

1-й случай. Этот цвет — первый. Тогда выбранные два набора по п вершин не должны пересекаться и одна оставшаяся вершина А соединена с этими 2п вершинами только ребрами второго и третьего цветов. Но тогда ребер одного из этих двух цветов по крайней мере п и соответствующие п вершин вместе с А образуют нужный нам набор из п + 1 вершины.

2-й случай. Этот цвет — второй (или третий). Разобьем тогда все 2п + 1 вершин на два набора: первый состоит из тех вершин, которые находятся ровно в одном из множеств X и У, а второй — из остальных. Легко видеть, что за исключением одного тривиального варианта каждый из этих наборов распадается на две части так, что вершины из разных частей набора могут быть соединены между собой только ребрами третьего цвета (соответственно второго) — иначе нужное нам множество из п + 1 вершины мгновенно строится. В одном из этих наборов, по крайней мере, я+1 вершина, которые соединены только ребрами третьего цвета, что требовалось доказать.

71.37. Для любого целого / тройка X = 1 + б/3, Y=l—б/3, Z = —6t2 есть решение нашего уравнения.

71.38. Прикрепим к щепке плот-плоскость и заставим щепку повторить свой путь еще один раз. При этом будем считать, что те части плота, которые в какой-нибудь момент задевают берег, сгорают. Ясно, что тот плот, который останется от исходной плоскости к концу повторного путешествия щепки, удовлетворяет предъявленным требованиям.

72.1. Ответ. Первый самолет прилетит раньше. Воспользуйтесь неравенством треугольника.

72.3. Рассмотрите пять вершин и центр правильного пятиугольника.

72.4. Ответ. Последняя цифра будет четной.

72.5. Внимательно прочтите решение задачи 86.13.

72.6. Нет, нельзя. Просуммируем все такие суммы в вершинах, если расстановка возможна. С одной стороны, результат должен иметь вид 8é, а с другой стороны, каждое число на ребре входит в эту сумму дважды и она должна быть равна 12-11.

72.7. Нет, нельзя. Чтобы выполнялось равенство S(AOB) = S(BOD) = S(AOE) (см. рис. 44), необходимо, чтобы АО = OD, ВО = ОЕ. Но это означало бы, что О лежит на двух средних линиях треугольника ABC, что невозможно.

72.9. Если \АВ\ = а, \ВС\ = b, \CD\ = с, \DA\ = d, то \MN\ = (b + d — a — с)/2.

72.12. Так как 2м = х2 + у2, где п, х и у— целые числа, то X и у имеют одинаковую четность. Следовательно, равенство п = ((х + у)/2)2 + ((х — у)/2)2 дает нам требуемое представление.

72.13. Поскольку четырехугольник АКСМ вписанный, то ZKAM = 180° — ZMCD. Но так как ZMAB = 180°— ZKAM, то ZMAB = ZMCD.

72.16. Проведем мысленно кривые, которыми соединим в точности те из кружков, которые не соединены отрезками. На каждой кривой напишем простое число, выбрав все эти числа различными. После этого напишем в каждом кружке число, равное произведению всех простых чисел, написанных на кривых, соединяющих этот кружок с другими. Это и будет требуемая расстановка.

72.17. Определим функцию f(x) по формуле

где ф = (1 + У5)/2 — «золотое сечение». Тогда выполнено неравенство: при разрезании треугольника со стороной п и вырезанным верхним треугольничком количество треугольников не меньше чем 2 log<p п + f(x), где х = а/п, а — длина стороны меньшего из треугольников, содержащих две нижние вершины большого треугольника. При этом разрешается разрезать даже на трапеции, сужающиеся книзу. Неравенство нетрудно доказать по индукции, отрезая нижние а полос большого треугольника.

Так как 2 logv 32> 14, поскольку ф7<32, то тем самым нужное неравенство доказано.

Следует отметить, что предлагаемое доказательство явно чересчур сложно для олимпиады 8-го класса. Авторское решение нам неизвестно, а приведенное выше решение сообщено Ф. Л. Назаровым.

72.18.

72.20. Поскольку S(ADB)/S{CDB) = AD sin Z AD В/CD X X sin ZCDBy а с другой стороны, S(ADB)/S(CDB) = zlBsin ZABD/CB sin ZCBD, то достаточно доказать, что sin ZADB/sin ZABD = sin ZCDB/s'm ZCBD. Применяя теорему синусов для треугольников АВХ и СВХ, где X — точка пе-

Рис. 44

ресечения касательных к окружности в точках А и В, получаем, что эти отношения синусов равны ВХ/АХ и ВХ/СХ соответственно (считаем, что на прямой BD точка В находится между точками X и D). Так как АХ = СХ, то все доказано.

72.23.

так как

(используйте бином Ньютона). Аналогично Итак,

что требовалось доказать.

72.24. Очевидно, что, начиная с третьей последовательности, каждое число не превосходит того, под которым оно написано. Поскольку невозрастающая последовательность натуральных чисел в некоторый момент становится постоянной, то из этого и следует требуемый результат — начиная с некоторого момента tu первое число последовательности будет одним и тем же, затем, начиная с некоторого момента t2, второе число в последовательности будет постоянно и т. д. После момента времени /я, где п — длина последовательности, обязательно повторится и вся последовательность.

72.26. Построим такую ломаную, все углы между звеньями которой равны 90°. Если уже построена такая ломаная с N звеньями, в которой есть три последовательных звена AB, ВС и CD, лежащих в одной плоскости, то ломаная с N + 2 звеньями строится следующим образом: ребро ВС удаляется, а вместо него добавляются ребра ВХ, XY и УС, причем ребра ВХ и УС перпендикулярны плоскости ABC. Обратите внимание, что в новой ломаной ребра ВХ, XY и УС лежат в одной плоскости и, значит, конструкцию можно повторять. Осталось лишь построить ломаные нужного вида для N = 6 и N = 7 — это мы оставляем читателю.

72.27. Если p = 3k+l, то 4р2 + 1 = (4ft + 2)2 + (4ft + 1)2+ (2ft)2. Если р = 3ft + 2, то 4р2+ 1 = (4ft + 3)2 + (4ft + 2)2+ (2ft+ 2)*

72.30. Изобразим прошедшие матчи турнира картинкой, где точки будут соответствовать командам, а сыгранным матчам будут сопоставляться отрезки со стрелкой, соединяющие точки-команды (стрелка направлена от выигравшей команды к проигравшей). Возьмем любую точку-команду А и выйдем из нее по какой-нибудь стрелке А -> В, затем выйдем из точки В в какую-нибудь точку С и т. д. Так двигаться мы всегда сможем, поскольку количество входящих стрелок в каждой точке равно количеству выходящих. Рано или поздно мы окажемся в точке, в которой мы уже были, и образуется несамопересекающийся

цикл из стрелок. Соответствующие им матчи и надо выбрать.

72.31. Ответ, k = 201.

72.33. Обозначим число 999 ... 99 (99 девяток) через X. Нам нужно доказать, что существует натуральное п такое, что X X X Ю100^а12< ЛМ0100 + 10100. Допустим, что это не так. Тогда найдется натуральное k такое, что &2<Х-10100, и (é+1)2^ S> ЛМ0100 + 10100. Но тогда (к + 1 )2 — k2 > 10100, т. е. 2k + 1 > > 10100, и, значит, k ^ 10100/2, что противоречит тому, что k2 < < 10100.

72.35. Допустим, что это неверно. Тогда в последовательности конечное количество четных чисел и ясно, что каждый нечетный член последовательности получается прибавлением одного из этих четных чисел к какому-то другому члену последовательности. Обозначим наибольший из четных членов последовательности через М. Тогда, очевидно, если п достаточно велико, то п-й член данной последовательности превосходит (я—1)-й член не более чем на М. Поскольку в множестве натуральных чисел сколь угодно далеко можно найти M подряд идущих составных чисел, то в этом куске натурального ряда обязательно должен находиться, по крайней мере, один из членов последовательности.

72.36. Ответ. 21. В самом деле, для каждой вершины можно определить три ее координаты: номера линий, параллельных одной из сторон треугольника, отсчитанные от вершины, не принадлежащей соответствующей стороне (см. рис. 45). Ясно, что сумма координат любой вершины равна 30. Поскольку у любых двух отмеченных вершин первые (также вторые или третьи) координаты должны быть различны, то их сумма не меньше чем 0 + 1 + 2 + ... + (п — 1) = п(п— 1)/2, а сумма всех координат не меньше Зп(п—1)/2, где п — число всех отмеченных вершин разбиения. Но, с другой стороны, эта сумма равна ЗОп. Следовательно, ЗОп ^Зп(п — 1)/2, или п — 1 ^ 20. Пример с 21 вершиной оставляется читателю как упражнение.

72.37. Для доказательства нам понадобится одна трудная лемма, которую можно доказать по индукции.

Лемма. Любые две станции метро в Метрополисе связаны, по крайней мере, 10 непересекающимися путями.

Рассмотрим станции А и В такие, что от А до В можно добраться, сделав не менее 99 пересадок. Пусть А — Х\ — Х2 — ... — Л99 — В, А — Y\ — Y2 — ... У99 — В, ..., А — Z\ — Z2 — ... Z99 — В — это десять путей, существование которых следует

Рис. 45

из леммы (то, что длины путей здесь в точности равны 100, не существенно). Рассмотрим остальные 980 станций, не входящих ни в один из путей. Возьмем любую из них и обозначим ее С. Она не может быть соединена одновременно и с Х\> и с Х99. Поэтому с одной из этих станций С образует группу, в которой станции не соединены между собой. Так мы можем образовать 97-10 + 2 = 972 такие пары. Если же, например, из Xi остаются три станции XkiXk+\ и ^+2,то Xk и Xk+2 образуют нужную пару. Оставшиеся 1972—2-972 = 28 станций можно рассматривать как 28 отдельных групп. Итого мы получим 1000 групп — 972 пары и 28 одиночных станций, удовлетворяющих нашим требованиям.

72.38. Будем называть перекресток «источником», если с него можно только уехать, «стоком», если с него нельзя уехать, и «проездом», если на него можно въехать и с него можно уехать. Тогда никакие два перекрестка одного типа не могут находиться рядом — для стоков и источников это очевидно, а если рядом находятся два проезда, то это означает, что есть путь длиной 1500 м, который можно проехать по правилам.

Рассмотрим теперь фигуру, изображенную на рис. 46, содержащую восемь перекрестков. Перебором нетрудно убедиться в том, что один из этих перекрестков обязан быть стоком. Читателю предоставляется в качестве нетрудного упражнения покрыть план города 1300 подобными фигурами без наложения.

73.1. Ответ. В первом магазине было 658 учебников, во втором — 615, и в третьем — 700.

73.2. Ответ. Четыре. Меньшим числом разломов невозможно отделить от остальных частей одну из двух центральных долек шоколадки.

73.3. Указание. Рассмотрите остатки, которые могут давать квадраты при делении на четыре.

73.4. Указание. Любой квадрат можно разрезать на четыре и на шесть меньших квадратов.

73.6. Пример разрезания приведен на рис. 47.

Рис. 46 Рис. 47 Рис. 48

73.11. Поскольку треугольники, оставшиеся вне построенного четырехугольника, тоже должны покрывать ровно половину площади параллелограмма, то параллелограммы, содержащие эти треугольники, как свои половинки (см. рис. 48), должны иметь суммарную площадь, равную площади параллелограмма. Однако тогда образованный их сторонами четырехугольник (на рисунке он заштрихован) должен иметь нулевую площадь. Это равносильно тому, что одна из диагоналей исходного четырехугольника содержит одну из сторон параллелограммов и, значит, параллельна стороне большого параллелограмма.

73.12. Раскладывая выражение 2(Л8 + B8 + С8) — (Л4 + B4 + C4)2 на множители, получаем

Поскольку значение этого выражения — ноль, то один из множителей равен нулю.

73.13. Так как АЕ/ЕС = AB/ВС > АВ/АС = BD/DC, то Е удалена от прямой AB больше, чем D. Отсюда точка Р = AB П П DE расположена на прямой AB так, что В лежит между А и Р. Значит, ZABE < ZBEP, т. е. Z.DBE < Z_BED, и потому DE > BD. Аналогично имеем ZED А > PAD, т. е. ZDAE < < ZEDA и DE < АЕ.

73.14. Ответ. Сумма равна 7 или 16.

73.15. Нет, нельзя. Если ввести на плоскости декартову систему координат так, чтобы три данные вершины квадрата имели координаты (0; 0), (0; 1) и (1; 0), то точки с целочисленными координатами, которые нельзя получить, применяя операцию *, это в точности точки, обе координаты которых нечетны.

73.16. Допустим, что треугольника нет, а всего имеется п многоугольников. Тогда среди них обязательно есть многоугольник с не менее чем п + 3 сторонами. Три его стороны могут выходить на край, а оставшиеся стороны выходят на границу остальных п — 1 многоугольников. Однако у двух выпуклых многоугольников, полученных при разрезании, не может быть более одной общей стороны.

73.17. Если среди чисел на окружности есть различные, то после выполнения описанной операции сумма чисел на окружности уменьшится. Это следует из того, что НОД двух чисел, вписываемый между ними, не превосходит каждого из них и равен им, только если эти числа совпадают. Поскольку эта сумма не может уменьшаться бесконечно много раз, то рано или поздно все числа на окружности станут равными.

73.18. Да, можно. Удалим сначала мысленно максимально возможное количество отрезков так, чтобы указанное свойство связности сохранилось. После этого найдем точку, из которой выходит ровно один отрезок — ее существование нетрудно доказать, рассмотрев две точки, соединенные ломаной, состоящей

из оставшихся отрезков и имеющей наибольшую возможную длину. Каждый из концов этой ломаной является такой точкой.

Осталось удалить любую подобную точку вместе со всеми отрезками, выходящими из нее.

73.20. Ответ. Сумма равна 9, 18 или 27.

73.21. Ответ. Точки К и M можно взять произвольно так, чтобы АК = DM.

73.24. Ответ. 11. Все определяется тем, сколько белых фишек стоит на местах с нечетными номерами. Их количество может лежать в пределах от 0 до 10.

73.26. Пусть А + kdy А + md, А + nd — три последовательных члена этой геометрической прогрессии со знаменателем q. Тогда имеем (А + md)/(A + kd) = qy т. е. если обозначить A/d через /, то:

Но поскольку (qk — m)/(l — q) = (qm — n)/(l—q) (второе выражение тоже равно t), то получаем, что qk — m = qm — пу т. е. q=(n — m)/(m — k)—рационально, а отсюда рационально и число /.

73.28. Если в многограннике N граней, то у каждой может быть от 3 до N — 1 сторон, т. е. не более N — 3 вариантов. Отсюда какие-то две грани обязательно имеют одинаковое число сторон.

73.31. Ответ. Наименьшее значение равно 1/4.

73.33. Указание. Используйте тот факт, что если многочлен Р(х) имеет целые коэффициенты, то Р(а)—Р(Ь) делится на а — b для любых целых чисел а и Ь.

73.36. Обозначим длины высеченных отрезков через аь а2у .. ., а\о. Тогда мы имеем два неравенства для площади:

которые следуют из сравнения площадей трапеций, определенных проведенными прямыми, и площади многоугольника. Складывая эти неравенства, получаем, что ал + а2 + ... + аю ^ 10.

73.37. Ответ. 10. Докажем, что за девять вопросов нельзя отгадать даже число, записанное нулями и единицами. В самом деле, указание набора мест (например, первое, четвертое, седьмое и девятое) и ответ на вопрос равносильны указанию вектора (1001001010) с десятью координатами и сообщению о том, чему равно скалярное произведение задуманного вектора и указанного. Ясно, что для точного определения вектора, вообще говоря, недостаточно знать его скалярные произведения на девять каких-то векторов.

73.38. Рассмотрим все вершины, покрытые квадратом, и наименьший выпуклый многоугольник Fy содержащий их. Обозна-

чим его площадь через 5, а периметр через Р, тогда 5<Л2, а Р^4А. Пусть на границе F лежит х вершин, а внутри — у вершин. Тогда х + у = (х/2 + У — 1) + */2 +1, а по известной формуле Пика 5 = х/2 + у—1. Следовательно, получаем jc + t/ = 5 + Jc/2+l^S + 2^ + l^(^ + I)2.

73.39. См. решение задачи 80.40.

74.1. Ответ. 134, 144, 150, 288, 294.

74.2. Ответ. Нет, не существует. Если у выпуклого многоугольника N вершин, то у него N(N— 3)/2 диагонали, а число 1974 нельзя представить в виде N(N — 3)/2.

74.3. Нет, не могло. Сумма всех чисел должна быть равна 6ft, где ft — количество треугольников, а 55-3 = 165 — нечетно!

74.4. Ответ. Да, может.

74.5. Ответ. Первым прибежал B, вторым А, третьим С.

74.6. Рассмотрим тогда все города, до которых можно добраться от столицы (возможно, с пересадками). Если среди них нет Дальнего, то сумма количеств авиалиний, выходящих изо всех этих городов (включая саму столицу) — нечетна. С другой стороны, каждая авиалиния учитывается дважды и поэтому такая сумма должна быть четной. Это противоречие и доказывает, что Дальний должен находиться среди рассмотренных городов.

74.7. Ответ. 19/10.

74.9. Ответ. 1010, 1221, 1452, 1703, 1974.

74.10. См. решение задачи 68.31.

74.12. Ответ. 36°, 36° и 108°.

74.13. Да, такая точка существует — например, точка M на рис. 49.

74.14. Ответ, х = 2, у = 3.

74.15. Нет, нельзя. В самом деле, рассмотрим стороны треугольников, примыкающих к внутренним сторонам вырезанной клетки. Ясно, что длина одной из них не превосходит 1. Поскольку высота, опущенная в этом треугольнике на эту сторону,

Рис. 49 рис 50

очевидно, не больше семи, то его площадь не превосходит 7/2, что меньше, чем 63/17.

74.17. Рассмотрим самый большой треугольник ABC с вершинами в данных точках. Допустим, D — точка из нашего множества такая, что ABCD — параллелограмм (см. рис. 50). Все точки данного конечного множества лежат внутри треугольника DEF. Пусть еще одна точка X из нашего множества лежит внутри треугольника АЕС (другие случаи рассматриваются аналогично). Тогда ХВС может быть дополнен до параллелограмма только точкой У, a Y BD — только точкой Z (см. рис. 50). Осталось лишь заметить, что тройка XYZ может быть дополнена только точкой, лежащей вне треугольника DEF.

74.18. Пусть Х\ — это число потомков первой бактерии, т. е. Х\ = 1000. У одной из двух ее «дочерей» число потомков не меньше XJ2. Обозначим это число через Х2. Аналогично определим число Хз, не меньшее, чем Х2/2, и т. д. Рассмотрим первое k такое, что Xk ^ 667. Ясно, что тогда Хк ^ 334, так как при Xk ^ 333 имеем Хк-\ ^ 666, что противоречит выбору номера k.

74.22. Поскольку окружность S и окружность, описанная вокруг ABC, гомотетичны с коэффициентом гомотетии 1/2, то существует центр гомотетии — это и есть требуемая точка Т.

74.23. Ответ. Хорду AB надо провести перпендикулярно прямой ОХ.

74.24. Указание. Пусть А состоит из m букв, а В — из п букв. Докажите, что любые буквы в слове СС, которые стоят на местах с номерами, отличающимися на m или на п, совпадают. Тогда то же верно и для букв с номерами мест, отличающимися на m — п (если, например, m ^ п) и так далее.

Следовательно, если d = НОД (m, п), то буквы с номерами мест, отличающимися на d, совпадают и, значит, в качестве слова D можно взять слово, образованное первыми d буквами слова А.

74.25. Ответ. Нет, не существует.

74.26. Указание. Используйте тот факт, что если на фиксированных лучах OSi, OS2 и 053 взяты точки X, Y и Z, то объем пирамиды OXYZ равен k\OX\\OY\\OZ\, где k — константа, не зависящая от выбора точек X, У, Z.

74.27. Указанное выражение можно переписать следующим образом:

Поскольку (1 — х\) ( 1 — х2) ( 1 — л'з) ( 1 — хА) — неотрицательное число, которое может быть равным нулю, то максимум выражения равен 1.

74.30. Докажем по индукции, что эта сумма не меньше X\ogX (логарифм берется по основанию 2), где X — это написанное исходное число. Пусть первый шаг — это запись Х = А + В. Тогда по предположению индукции сумма чисел, за-

писанных под А, не меньше А log А, а под В— не меньше В log В. Таким образом, достаточно доказать неравенство

или, что то же,

(где Р и Q обозначают числа 2Л и 2B), которое вытекает из выпуклости функции f(x) = xlogjc.

74.31. Проведем через пару спутников и центр планеты плоскость П и найдем две точки на планете, являющиеся концами ее диаметра, перпендикулярного плоскости П. Тогда никакой спутник нельзя наблюдать одновременно из обеих точек, а оба выбранных спутника также не видны из этих точек. Следовательно, из одной из них нельзя наблюдать более чем [35/2] = 17 спутников.

74.33. Поскольку диагоналей в 2&-угольнике всего k(2k— 3)„ то, предполагая противное, получаем, что какая-то из сторон параллельна не менее чем (2k — 3)/2 диагоналям, т. е. по крайней мере k— 1 диагоналям. Но это означает, что все 2k вершин являются концами этой стороны и этих диагоналей, а тогда одна из них должна быть стороной.

74.34. Добьемся того, что все числа первой строки станут нулями. Удвоим все столбцы, в которых стоят числа, равные минимальному числу первой строки, после чего вычитанием добьемся того, что в некоторых полях первой строки будут стоять нули. При этом сумма чисел первой строки уменьшится. Продолжая аналогично, мы «обнулим» всю первую строку. Затем то же сделаем со второй строкой и т. д., причем, так как операции удвоения не влияют на строки с нулями, мы можем делать это, не обращая уже внимания на «обработанные» строки таблицы. В конце концов мы получим таблицу из одних нулей.

74.35. Введем в квадрате координаты так, что начало координат находится в вершине, принадлежащей сторонам 1 и 2. Тогда существует единственная точка А, обладающая нужным свойством. Это точка с координатами (1/3; 1/3). Указание. Обратите внимание на то, что операции Л-^Л2, Л-^Л4 не влияют на одну, а операции А-*Аи Л->Л3— на другую координату.

74.36. Допустим, что это не так. Удалим одно из чисел и занумеруем остальные. Тогда их суммы вида Х\, Х\+Х2, ..., ^1 + ^2+ ... + Х99 дают разные ненулевые остатки при делении на 100 — иначе, вычитая одну сумму из другой, мы получим несколько чисел, сумма которых делится на 100 и, значит, равна 100.

Сумма всех этих остатков сравнима с 50 по модулю 100 (так как имеет тот же остаток при делении на 100, что и 4950). С другой стороны, эта сумма сравнима с 99À'i + 98^2 + ... +

Переставив эти 99 чисел по циклу, аналогично можем получить, что

Вычтем это сравнение из предыдущего и получим

т. е. Xi = —S(mod 100), где 5 — сумма всех 99 чисел. Аналогично и все другие Хи сравнимы с —S по модулю 100, а значит, они равны между собой, так как они все меньше 100. Отсюда либо они равны 1, а удаленное число равно 101, что невозможно, либо они все равны 2, и сумма пятидесяти из них равна 100.

74.37. Ответ. Это все четные числа, большие девяти, и все нечетные числа, большие 14.

В самом деле, рассмотрим произвольную прямую, на которой лежит не меньше двух сторон AB и CD данного е-угольника. Тогда имеются еще по крайней мере четыре прямые, на которых лежат стороны n-угольника — конкретно те стороны, одним из концов которых являются точки А у В, С и D (но не AB и не CD). Стало быть, таких прямых не менее пяти и сторон не меньше десяти.

Если же k — нечетно, то на одной из таких прямых должны лежать по крайней мере три стороны n-угольника, откуда следует, что прямых не менее семи, т. е. k ^ 15.

Отыскание конкретных примеров таких ^-угольников оставляется читателю в качестве упражнения.

75.2. Если все четыре половинки различны (например, 0, 1, 2, 3), то в цепи должны участвовать семь нулей, семь единиц, семь двоек и семь троек. Так как внутри цепи все цифры встречаются парами, то в силу нечетности числа семь на краю цепи должен быть, по крайней мере, один ноль, по крайней мере, одна единица, одна двойка и одна тройка. Но на краю всего два числа. Противоречие.

75.4. Докажите, что если при отражении относительно прямой, пересекающей круг, точка Р переходит в точку Q, то \OQ\ ^ \ОР\ — 2, где О —центр круга.

75.5. Ответ. Да, сумеет. Первым ходом Коля пишет единицу, а затем дополняет все цифры, написанные Васей (конечно, за исключением последней), до шести. Тогда общая сумма цифр будет равна 55 + х, где х — последняя Васина цифра. Так как X = 1, 2, 3, 4 или 5, то сумма цифр не делится на девять.

75.6. См. решение задачи 68.18.

75.7. Ответ. Нет, не сможет. Воспользуйтесь той же идеей, что и при решении задачи 75.5.

75.8. Ответ. Р=3.

75.9. Ответ. Максимальное значение достигается, когда это число 911; значение выражения при этом равно 91Ы9/9.

75.10. Указание. На обоих указанных отрезках лежит центр масс множества вершин шестиугольника.

75.11. См. решение задачи 68.18.

75.13. Ответ. 3:3:4.

75.14. Пусть {Aqn}—одна из этих прогрессий, N — некоторое натуральное число. Тогда на отрезке [0; N] не более logç N + 1 членов этой геометрической прогрессии. Следовательно, пять прогрессий покрывают не более чем 51ogaAf + !> чисел, не больших N, где а — минимальный из знаменателей прогрессии (можно считать, что а^2). Ясно, что, выбрав N достаточно большим, мы обеспечим неравенство N > 5 \0g2N + 5 и, следовательно, прогрессии не покроют весь отрезок [0; N].

75.15. Из условия следует, что ZB=60°. Следовательно, радиус окружности (BDEF) не меньше ВЕ/2 = BE sin ZFBE (так как ZFBE = 30°). Последнее же число есть не что иное, как длина перпендикуляра, опущенного из точки F — центра вписанной окружности — на сторону AB, т. е. радиус вписанной окружности.

75.16. Сложим уравнения и получим X2+Y2 = 8\. Этому уравнению должны удовлетворять координаты точек пересечения парабол, а значит, все они лежат на окружности X2 + У2 = 81.

75.17. Ответ. 2998.

75.18. Ответ. Всего возможны семь вариантов расположения.

75.19. Поскольку ХЕ — биссектриса угла CDX, то

где через а обозначен угол DCX. Аналогично

где B = ZXAB. Если первое отношение обозначить через t, то второе будет равно (1 + 0/(1 — t)9 что доказывает утверждение задачи.

75.21. Это сам данный треугольник.

75.23. Ответ. 75.

75.24. Ответ. 198. Отметим для каждой закрашенной клетки ту линию, в которой она — единственная. Тогда среди отмеченных линий — не все столбцы, иначе закрашенных клеток не больше 100. Аналогично отмечены не все строки. Следовательно, отмеченных линий не больше 198. С другой стороны, если закрасить все клетки в любой строке и в любом столбце, кроме клетки на их пересечении, то получим требуемую раскраску со 198 клетками.

75.25. См. решение задачи 75.14.

75.30. Пусть ai — угол между i-й и (i+ 1)-й сторонами многоугольника, и ai — длина его i-й стороны. Площадь треугольника, образованного тремя последовательными вершинами, равна щщ+х sin at/2. Произведение этих площадей равно

По неравенству о средних

так как а\ + а2 + ... + aN — это периметр iV-угольника, а он не превосходит периметра квадрата, равного 4. Итак, произведение указанных площадей не превосходит (l/2)N (4/N)2N. Следовательно, одна из площадей не больше чем (1/2) • (4/N)2 = 8/N2, что требовалось доказать.

75.31. Ответ. Это число равно нулю.

75.32. Ответ. Второе число больше.

75.34. Ответ. Да, это возможно.

75.35. При k = 15. В самом деле, если мы рассмотрим граф с 30 вершинами, каждые две из которых соединены ребром, и будем ставить на ребре AB стрелку от А к B, если человек В нравится человеку А, то мы должны расставить 30-15 = 450 стрелок, в то время как общее количество ребер 30 X X 29/2 = 435. Следовательно, на каком-то ребре появятся две стрелки (конечно же, с противоположными направлениями). Пример для k < 15 строится так: расположим всех людей по кругу, после чего будем считать, что каждому нравятся в точности k людей, следующих за ним по часовой стрелке.

75.38. Отметим 28 центров граничных клеток и соединим их последовательно отрезками, образовав контур квадрата 7X7. Любой разрез пересекает два отрезка, и, следовательно, 13 разрезов перережут не более 26 отрезков и не смогут отделить центры друг от друга.

75.40. Да, существуют. Рассмотрим тетраэдр с центром в точке А и для каждой его грани построим шар, содержащий ее, но не содержащий точку А. После этого при помощи четырех гомотетий отправим эти четыре шара столь далеко от точки А и на столь разные расстояния, что полученные шары не будут пересекаться. Ясно, что эти шары полностью заслоняют вид из точки Л.

75.42. Обозначим /_1(*) через у. Тогда условие можно переписать так:

Положим /(0)=0. Разобьем теперь прямую на отрезки шести типов:

где k — произвольное целое число, а ф = (У5+1)/2 удовлетворяет уравнению ф2 = ф-|-1. Определим теперь функцию / по формуле

75.44. Ответ. 20. Поскольку

то, сложив все эти равенства, получаем

Поскольку ближайший к 1976 квадрат четного (*i976— четно!) числа это 442=1936, то Xi\^20. В том, что это точное значение, читатель может убедиться сам, так как построить последовательность {*,}, для которой JC1976 = 44, совсем несложно.

75.46. Определим последовательность е0, £ь • • • по следующему правилу:

Теперь индукцией по п нетрудно доказать, что выполнено неравенство

где (х0, Х\, • • -, хп) — произвольный набор нулей и единиц, в котором есть хотя бы одна единица. Индукционный переход следует из неравенства

если X ^ а.

Примечание. Обратите внимание на то, что еп-+0 при п->оо.

76.1. Например, блоха никогда не попадет в точку, которая является соседней с исходной по часовой стрелке.

76.2. Ответ. 72.

76.3. Ответ. В деревне С. Если построить ее в любой другой точке X, то при переносе ее в С суммарное расстояние, проходимое школьниками, изменится на

т. е. очевидно, уменьшится, так как

76.4. Первым ходом начинающий должен сдвинуть свою фишку на одно поле — между фишками останется 27 свободных полей. После этого на ходы соперника ему надо отвечать так: при сдвиге на одно поле — сдвигать свою фишку на два поля, а при сдвиге на два поля — отвечать ходом на одно поле.

76.5. Ответ. 22 клетки.

76.6. Пусть au а2у ..., аш — размеры меньших квадратных участков, п — длина стороны большого квадрата, a S — сумма длин внутренних заборов. Тогда, очевидно, 4 £ а, = 2S + \п, £ а \ = п2. Из второго равенства следует, что £ ai и п имеют одинаковую четность, а значит, 2 £ а; и 2я имеют одинаковые остатки при делении на четыре. Получаем, что 5 = 2 J] а,— 2п делится на четыре, а значит, и сумма длин всех заборов S + 4я делится на четыре.

76.7. Указание. Докажите, что блоха может попасть не более чем в 51 точку.

76.9. Ответ. Да, сможет.

76.10. Пусть периметр внутреннего пятиугольника равен Ху периметр звезды равен X + У, а периметр самого F равен Z. Тогда в силу неравенства треугольника выполняются соотношения: X < Z < У, X + У < 2Z. Поскольку X, X + У, Z — простые числа, то результат задачи следует из этих неравенств после короткого перебора.

76.13. Если это произведение нечетно, то xk — tjk нечетно для любого k. Но тогда (хх — у\) + (х2 — у2) + ... + (х2$ — у2Ъ) = 0 — тоже нечетно.

76.14. Эта разность равна 999 (А — B), а так как 999 и 1976 взаимно просты, то это число может делиться на 1976 только в случае, если А —В делится на 1976, что возможно лишь при А — В.

76.15. Ответ. Каждые три минуты.

76.16. Ответ. Да, это возможно.

76.17. Складывая равенства S(ВСК) = S(MKA)yS(CDK) = S(MDK) и сокращая площади частей, попавших в обе части равенства, получаем требуемый результат.

76.18. Обозначим эти множества Ми М2 и М3. Пусть А и В — два последовательных натуральных числа, принадлежащих разным множествам (без потери общности можно считать, что A œ Ми В œ М2у а также, что А — нечетно, aB — четно). Теперь, если мы предположим обратное утверждению задачи, то из этого следует, что А + В œ М3, А + 2B œ Mu ..А + 2kB œ œMu A+ (2k + 1)BœM3j 2A + BœM2, ЗА + B œ Af3, ... ..2kA + В œ M2, (2k + \)A + В œ MZi ... и т. д. Рассмотрим число AB + А + В = (2m + \)А + B, где 2m = B. Оно совпадает с числом 2mB + А. Таким образом, число AB + А + В должно входить и в множество М3, и в множество Mi, что невозможно.

76.19. Обозначим а = \ВС\9 Ь = |ЛС|, с= \АВ\. Так как Ь = (а + с) 12, то (а + b + с)/2 = 36/2 и л = 2S/(a + & + с) = 2S/3è = (2S/b)/3, т. е. радиус вписанной окружности равен трети высоты, опущенной на АС.

76.22. Рассмотрите произвольный выпуклый n-угольник с углами, равными углам правильного n-угольника.

76.23. Всего у 12-элементного множества заместителей 212 = 4096 подмножеств, которые можно разбить на 211 пар типа (Л, Ä), где Ä — дополнение до множества А. Поскольку 211 = 2048 > 1000 + 2, то найдется пара (Л, Ä), где А и А — непустые множества, которые не выбраны еще в качестве комиссий. Если А не годится в качестве комиссии, то оно не пересекается с одной из уже выбранных комиссий В. Но тогда Ä содержит В и поэтому пересекается с каждой из уже назначенных комиссий. Следовательно, можно создать еще одну комиссию: А или Ä.

76.24. Поскольку Л/С — биссектриса внешнего угла А, равно как и Л/,, то А лежит на отрезке KL. Видно, что эта биссектриса проходит через середину дуги CAB, поскольку биссектриса внутреннего угла А проходит через диаметрально противоположную точку — середину дуги СВ. Осталось доказать, что \КН\ = \LH\. Спроектируем их на прямую С В и докажем, что проекция отрезка CK равна проекции BL. В самом деле, они равны 25tg(v/2)/(a + с — Ь) и 25 tg(B/2)/(a + Ь — с) соответственно, где а = \ВС\, b = \АС\, с = \АВ\; B = ZABC, у = ZACB. Поскольку

(через г обозначен радиус вписанной окружности треугольника ABC), то указанные проекции равны, что и завершает доказательство.

76.25. См. решение задачи 84.22.

76.26. Обозначим f2(x) через g(x). Пусть х и у — произвольные числа, и а = у — х. Тогда g (у) = g (х) + g (а) и к тому же g(x) = g(y — a) = g(y) +g(—a). Так как g(a)^0, g(—a)^0, то мы получаем, что g (у) ^ g(x) ^ g (у) - Итак, g — константа, причем, очевидно, нулевая. Итак, g(x) = 0 и f(x) = 0.

76.27. Ответ. Если числа а, Ь, с неотрицательны и хотя бы одно из них отлично от нуля, то X = 0. Если же а = b = с = 0, то X — любое вещественное число. Другие варианты невозможны, если известно, что у уравнения есть решение.

76.29. Допустим, что все 16 вариантов встречаются по разу. Пусть количество единиц в центральном квадрате 3X3 равно X, а на границе (кроме углов) —а. Тогда, суммируя количества единиц в левом верхнем и правом нижнем квадратах 4X4, получаем 2я' + я + 2=16, так как в каждом из этих квадратов должно быть по восемь единиц (в самом деле, например, числа

в левом верхнем квадрате — это числа из левых верхних углов всех квадратиков 2 X 2, и значит, там должно быть восемь единиц). Аналогично, для левого нижнего и правого верхнего квадратов 4X4 получаем 2х + а = 16 — противоречие.

76.30. См. решение задачи 76.24.

76.31. Ответ. 30°. Указание. Приложите к данному пятиугольнику треугольник CDA\ равный треугольнику СБА.

76.32. Указание. Во-первых, считаем, что можно выбрать пять точек — по одной из каждого подмножества — так, чтобы никакие четыре из них не лежали в одной плоскости. Соединим попарно эти точки десятью прямыми и допустим, что каждая из них окрашена лишь в два цвета. Рассмотрим плоскость, которая не параллельна ни одной из этих прямых. Тогда среди точек пересечения этой плоскости и проведенных прямых будет не менее четырех точек из разных подмножеств. Через эти четыре точки и проведем шесть прямых, после чего остается взять прямую, пересекающую их все.

76.33. Рассмотрим сначала случай, когда все неизвестные неотрицательны. Если обозначить через X и Y наибольшее и наименьшее числа в наборе неизвестных, то, очевидно, что X2 ^ ^ 2А\ У2 ^ 2У, т. е. при ненулевых X и У получаем 2 ^ У ^ ^ X ^ 2, откуда видим, что система имеет два решения: Х\ = х2 = . . • = Хъ = 2 и х\ — х2 = . . . = Хъ = 0.

Осталось доказать, что среди х\ нет отрицательных чисел. Допустим, например, хъ— минимальное из чисел набора и Хз < 0. Тогда, вычитая из первого уравнения второе, получаем х\—Хз = х1 — х\. Так как х\ — jk3 ^ 0, то |x3| ^ |*4| и, следовательно, хз + Х4 = xi ^ 0, т. е. Xs = 0 (и лишь в том случае, если х\ =хз). Тогда пятое уравнение приводит к очевидному противоречию.

76.34. Допустим, что число проигрышных позиций X больше, чем число выигрышных позиций У. Докажем тогда, что есть пара проигрышных позиций А и В таких, что из А можно перейти в B за один ход. В самом деле, если это не так, то позиций, соседних с проигрышными пХу причем каждая из них учтена не более п раз (здесь п — это та самая постоянная сумма, которая указана в условии). Следовательно, У ^ пХ/п = X — противоречие.

Такой пары А и B, однако, существовать не может, так как если из какой-то позиции А можно перейти в проигрышную, то позиция А — выигрышная.

76.36. Указание. Докажите по индукции следующий факт. Если в дереве (т. е. в графе без простых циклов) степень каждой вершины не больше трех, то можно выбрать не менее чем [{п+ 1)/3] непересекающихся ребер.

76.37. Рассмотрите остатки этих чисел при делении на 7 и на 13.

77.2. Если допустить, что на каждой вертикали стоит ладья, то все ладьи, кроме этих восьми, можно убрать. Если же на какой-то вертикали нет ладей, то ясно, что на каждой горизонтали должна стоять ладья. Тогда можно произвести аналогичную операцию по снятию ладей.

77.3. Если эти прямые пересекаются не в центре восьмиугольника, то, передвинув их параллельно так, чтобы обе они проходили через центр, получим новое расположение прямых такое, что противоположные части имеют одинаковую площадь. Однако очевидно, что при таком сдвиге в одной из пар противоположных частей площадь одной увеличится, а другой — уменьшится. Противоречие показывает, что прямые пересекаются в центре восьмиугольника. Если они не перпендикулярны, то повернем одну из них до положения перпендикулярности, когда, очевидно, площади всех четырех частей равны и аналогичным образом получим противоречие.

77.4. Сравните с задачей 77.8.

77.5. Ясно, что последовательность не может «перескочить» через промежуток [100000; 999999].

77.6. Стратегия второго игрока такова: он разбивает (мысленно) 12 позиций на две шестерки и на любой ход первого, состоящий во вписывании цифры X, ставит на то же место в другой шестерке цифру 9 — X. Полученное число будет иметь вид А • 106 + В, где А + В = 999999. Так как 106— 1 делится на 77, то Л-106 + В = Л(106 — 1) + А + В = ( 106 — 1 ) (А + 1) делится на 77.

77.8. Рассмотрим такую запись числа 197719771977, для которой сумма чисел щ минимальна. Если одно из чисел а, больше 10, то его можно заменить на а* — 10, при этом добавив единицу к a;+i (при i < 11). Отсюда следует, что в этом случае будем иметь десятичную запись числа 197719771977 с суммой цифр 72. Следовательно, ответ таков: это числа 1, 9, 7, 7, 1, 9, 7, 7, 1, 9, 7, 7.

77.9. Указание. Пусть О — центр данного квадрата. Спроектируем отрезки /CL, LM, MN и NK на диагонали АС и BD. Тогда проекции совпадут с объединениями проекций отрезков О/С, OL, ОМ и ON на соответствующие диагонали. Остается лишь воспользоваться тем, что для любой точки X на контуре квадрата сумма длин проекций отрезка ОХ на обе диагонали равна |ЛС|/2. Отсюда сумма длин проекций наших четырех отрезков не меньше 2|ЛС|, а значит, это верно и для суммы длин самих отрезков.

77.12. Указание. Докажите сначала, что если M — вершина многоугольника, то существует вершина N такая, что О œ œ [MN], а затем докажите, что для любой такой пары МО = ON.

77.14. Если А — некоторое подмножество N, то через А будем обозначать его дополнение. Одно из множеств А\ и А\ — беско-

нечно. Выберем его и обозначим через С\. Одно из множеств Л2 П С\ и Л2 П С — бесконечно. Назовем его С2 и т. д. В результате мы получим бесконечное множество Сп. Выберем из него два числа. Это и есть требуемые X и У.

77.15. Ответ. Три или четыре вершины.

77.16. Ответ. 101 ломаная. То, что ломаных не меньше 101, следует из того, что если мы рассмотрим все вершины, лежащие на диагонали, соединяющей две другие противоположные вершины квадрата (их 101 штука), то никакая ломаная указанного типа не может содержать две вершины из этого набора. Пример для 101 ломаной очевиден.

77.17. Допустим, что ни при каком k отрезки Ак и Вк не пересекаются. Пусть А\ лежит слева от В\. Так как B2 пересекается с Ль а Л2 пересекается с Bi, то легко видеть, что В2 обязан лежать слева от Л2. Продолжая рассуждать аналогично, получаем, что А\977 лежит левее В\977, a Bi лежит левее А\. Полученное противоречие завершает доказательство.

77.18. Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат О и точки ее пересечения с прямыми, параллельными данным векторам, причем если точка А такова, что OA сонаправлен соответствующему вектору, то покрасим точку А в красный цвет, а если противонаправлен, то — в синий. Из условий следует, что красные и синие точки на окружности чередуются, а диаметрально противоположные точки окрашены в разные цвета. Занумеруем точки по порядку: Ль Л2, ..., А2п> считая, что точка А\ имеет красный цвет. Тогда Ап+\ — синяя и, значит, количество точек в наборе Ль Л2, ..., Ап+\ — четно. Следовательно, п — нечетно.

77.23. Выберем натуральное число п такое, что

Обозначим 1 — 1N2 через t. Тогда f(x) = {х + /}, где фигурные скобки обозначают дробную часть числа. Таким образом,

где функция / применена п раз. Поскольку t — иррационально, то дробные части чисел х + Г, х + 2t, ..., х + nt различны и, следовательно, какие-то две из них — {х + at} и {х + Ы} — отличаются меньше чем на 1/п. Следовательно, если k = \а — Ь\, то \{х} — {х + kt) I < 1/п. Значит, получаем, что f(f...(x)...) (f применена k раз) лежит в отрезке ]а; Ь[.

Примечание. Обратите внимание, что мы доказали требуемый факт для любой точки х из отрезка ]а; Ь[.

77.25. Обозначим f{x) = sin x tg x, g(x) = x2. Так как /(0) = g(0), то достаточно доказать неравенство /'(x) ^ g'(x).

Поскольку /'(О) =g'(0), то достаточно доказать неравенство f"(x) ^g"(x). И в самом деле

так как для любого положительного 1ф \ имеем t + \/t > 2.

77.26. Ответ. Не более восьми. Указание. Иначе середина отрезка, соединяющего какие-то две из его вершин, также является целочисленной точкой. Построение примеров очевидно.

77.27. Допустим, что все эти числа делятся на Р. Тогда числа

также делятся на Р. Аналогично на Р делятся и все числа где i ^ j — произвольные неотрицательные целые числа. Но среди них есть число ^ j (i = / = 0), которое равно 1, — противоречие.

77.28. Рассмотрим плоское сечение любого трехгранного угла пирамиды. В сечении получается треугольник, углы которого не больше соответствующих двугранных углов пирамиды. Следовательно, сумма трех двугранных углов любого трехгранного угла пирамиды больше 180°. Складывая четыре таких неравенства, получаем требуемую оценку.

77.29. Указание. Докажите по индукции, что для любых чисел а\ ^ а2 ^ .. . ^ ^2^4-1 верно неравенство

78.1. См. решение задачи 74.3.

78.2. Поскольку любой черный треугольник граничит хотя бы с одним белым, то их количестве не превосходит общего числа сторон белых треугольников, которое равно утроенному количеству белых треугольников.

78.3. Нет, неверно. 57599 = 2402 — 1 = 239-241.

78.4. Ответ. 10 королей.

78.5. Ответ. Нет, нельзя.

78.6. См. решение задачи 70.9.

78.7. Ответ. Нет, не могут. Рассмотрите остатки при делении на два.

78.8. Ответ. А = 8.

78.10. См. решение задачи 71.9.

78.11. Предположим, что это не так, и проведем произвольный диаметр, по обе стороны от которого лежит по 50 чисел. Допустим, что разность сумм этих чисел по обе стороны диаметра положительна (мы фиксируем одну из сторон нашего диаметра и вычитаем из суммы чисел по эту сторону сумму чисел, лежащих по другую сторону от диаметра). Теперь повернем его так, чтобы его концы прошли через одно число каждый. Обозначим эти диаметрально противоположные числа А и В. Тогда разность сумм по разные стороны от диаметра изменится на 2(А — В). Это число, очевидно, не превосходит 2(999— 100) = 1798 < 1800. Теперь рассмотрим отрезок [—900; 900]. Разность сумм, разделяемых диаметром, после 50 поворотов диаметра, очевидно, поменяет знак. Поскольку исходно она была положительна и больше 900, то теперь она отрицательна и меньше —900. Однако ясно, что поскольку при каждом из 50 поворотов она изменялась не более чем на 1800 — это длина отрезка [—900; 900], то в какой-то момент эта разность будет лежать в данном отрезке, что требовалось доказать.

78.14. См. решение задачи 63.20.

78.15. Ответ. Заведомо неправы мужчины. Докажите, что превосходство одной суммы длин над другой обязано делиться на три.

78.16. Да, такая расстановка существует. Чтобы описать ее, введем на плоскости стандартную систему координат. Теперь в клетках с суммой координат, делящейся на 1918, поставим единицы, а в клетках с суммой координат, делящейся на 1978, поставим числа —1. Если в клетку нужно поставить оба числа, то мы впишем туда их сумму, равную 0. Во всех остальных клетках листа нужно написать нули.

78.17. Проведите окружность через точки касания следующих пар окружностей: первой и второй, третьей и четвертой, пятой и шестой.

78.19. Во-первых, очевидно, что степень данного многочлена / нечетна. Далее, пусть f(p) = 2, тогда р ^ 2. Пусть у — большое простое число такое, что для любого п < х = /_1 (у) имеем f(n) </(*) и на луче [де; оо[ f монотонен. Тогда для всех простых чисел от 2 до у их прообразы лежат на отрезке от р до х и являются простыми числами. Так как р ^ 2, а х < у [f{x), конечно, не может иметь вид х — с], а разным простым числам из отрезка [2; у] должны соответствовать разные простые числа из отрезка [р\ х] ; то 2 = р, х = у и, следовательно, f (х) = х, что требовалось доказать.

78.20. Складывая очевидные равенства

получаем

Теперь заметим, что

Если предположить теперь, не теряя общности, что а\ + а2 + а3 ^ Ьх + Ь2 + &з, то получаем неравенство

поскольку, очевидно,

78.22. Рассмотрите окружности радиуса с центрами в точках (0;0), (0; 1), (1;0) и (1; 1), окружности радиуса е с центрами в точках (1/2; 0), (1/2; 1) и (1; 1/2), а также окружность радиуса с центром в точке

78.24. Ответ. Восемь.

78.27. Допустим, что в шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF не пересекаются в одной точке (см. рис. 51). Тогда, поскольку должны выполняться равенства

то имеют место неравенства

Перемножая их, получаем неверное неравенство. Итак, диагонали пересекаются в одной точке.

78.28. Указание. Докажите индукцией по сумме размеров доски, что если клетки доски 2m X 2п раскрашены указанным образом, то угловые клетки окрашены в разные цвета.

78.30. Если обозначить шесть подряд идущих чисел через ak, ük+\, ..., Я/н-5, то через 5 мин на месте числа ак будет стоять число ak — 5a*+i + Юа^+г + Юа*+3 + Ьак+* — ak+s- Просуммировав все подобные выражения и отбросив слагаемые, заведомо делящиеся на пять, получим ^(а* — а*+5)=0 (здесь aioi=ab

d\02 = a2 и т. д.), следовательно, искомая сумма делится на пять.

78.31. Если отрезок AB содержит х концов отрезка CD, а отрезок CD содержит у концов отрезка AB, то, как нетрудно получить простым перебором, числа х и у имеют одинаковую четность. Отсюда следует, что если просуммируем все числа ак, где ük обозначает количество концов других отрезков, которые содержат k-Pi отрезок, то получим четное число. С другой стороны, сумма 1 + 2 + 3 + . . . + 1978 нечетна. Следовательно, занумеровать отрезки требуемым образом нельзя.

78.32. Допустим, что это не так, и будем удобства ради считать, что а\ = 1. Из определения последовательности следует, что если в двоичной записи числа п имеется четное число единиц, то ап = 0; в противном случае ап=1. Если период имеет длину р, то при достаточно больших k имеем a,k+nP = ak для любого п. Положим, п = 2kq, где q нужно подобрать так, чтобы в двоичной записи числа pq было нечетное число единиц. Тогда получим, что ak+nP ф Ф ak — противоречие.

78.33. Рассмотрим треугольник /С, вершины которого лежат в вершинах многоугольника Му имеющий максимально возможную площадь. Тогда M лежит внутри треугольника /(', получаемого из К гомотетией с коэффициентом (—2). Чтобы убедиться в этом, нужно провести через вершины К прямые, параллельные его сторонам. Теперь ясно, что образ M при гомотетии с коэффициентом (—1/2) можно перенести так, что он попадает внутрь треугольника К.

78.35. Расположим многоугольник так, чтобы одна из его вершин Л1 оказалась в начале координат, а сторона А\А2 легла вдоль оси абсцисс (см. рис. 52). Так как все длины диагоналей и сторон рациональны, то рациональны косинусы углов AkA\Aif а следовательно, так как cos (а — B) =cos а cos B+sin а sin B, то все синусы углов AkA\A2 есть рациональные кратные некоторого фиксированного числа t. Следовательно, можно считать, что все точки Au А2у ..., Ап лежат в узлах прямоугольной решетки с горизонтальным шагом 1 и вертикальным шагом h, так как от рациональных координат можно перейти к целым при помощи гомотетии. Рассмотрим после этого все многоугольники, получающиеся из M параллельным переносом ЛiP, где Р — произвольный узел решетки, а также все многоугольники, получающиеся при. тех же переносах из многоугольника М', центрально симметричного M относительно начала координат. Тогда набор таких многоугольников, пересекающихся с квадратом К, даст тре-

Рис. 52

буемое покрытие, так как в него вместе с любым многоугольником N со стороной ЛТ, пересекающейся с /С, входит и многоугольник N, центрально симметричный N относительно середины отрезка XY. Следовательно, при переходе через сторону XY кратность покрытия не изменяется, что требовалось доказать. (Решение сообщено Ф. Л. Назаровым.)

79.2. Ответ. В 1957 году.

79.5. Ответ. В классе 35 учеников.

79.6. Поскольку а3 — Ь3= (а — b) (a2+ab+b2) = (а — Ь) X X ( {а + Ь)2 — ab), то в силу того, что a -f b и ab делятся на с, получаем, что (а+6)2 — ab делится на с, а значит, делится на с и разность а3 — &3.

79.9. См. решение задачи 74.34.

79.10. Ответ. 16. Указание. Замените каждое число, кроме 1, на любой свой простой делитель.

79.11. Ответ. 27.

79.12. Ответ. Л=2, B=3, С=4 или Л=0, В=— 1, С= —2.

79.13. Каждое из звеньев этой ломаной есть медиана в некотором прямоугольном треугольнике (например, А0В\ — медиана треугольника ВВХС), и потому его длина равна половине длины гипотенузы соответствующего треугольника (А0В\ = ВС/2). Сложив все эти равенства, получим требуемый результат.

79.14. См. решение задачи 65.4.

79.15. Ответ. 18.

79.16. Пусть P=AlClÇ}AB, Q=A[Clf]BC. Тогда ABPQ — равнобедренный треугольник, откуда следует, что медиана ВМ3 в нем совпадает с биссектрисой, лежащей на прямой ВВ\. Далее ВМз _1_ А\С\ и, значит, угол ZC\MZB\ = 90° так же, как и ZC\M\B\ = 90°, т. е. М\ и М3 лежат на окружности с диаметром В\С\.

79.17. В качестве таких чисел можно взять (3&-+2)2. В самом деле,

Такое разложение возможно лишь тогда, когда первый множитель равен 1, но тогда р = 3k + 2 + 3k + 1 = 6k + 3, что невозможно при k > 0, так как р — простое число.

79.18. При нечетном k>\ данное число, очевидно, делится на 101. При четном k после домножения на И мы получаем число, которое делится на А=111... 11 (£+1 единица). Так как А взаимно просто с 11, то и исходное число делится на. Л.

79.20. Прямой подсчет углов показывает, что ZEOK=120°. Следовательно, четырехугольник ВЕОК — вписанный. Так как ВО — биссектриса угла B, то ZOBE = ZOBK, а значит, равны по длине хорды ОЕ и ОК.

79.21. Ответ. Нужно взять п последовательных векторов.

79.22. Если все эти числа составные, то у каждого из них обязательно найдется простой делитель, меньший чем 2п—1. Но таких простых чисел не больше чем п— 1, и, значит, какие-то два из них совпадают, что противоречит взаимной простоте.

79.23. Ответ. Только, если пит одновременно делятся на четыре.

79.25. Ответ. При N = 10 и при N = 11.

79.27. Ответ. Минимальная площадь заслонки равна пяти. Пример — см. рис. 53.

79.28. Ответ. Величины углов равны 90°, а/2 и 90° —а/2.

79.29. Указание. Рассмотрите сумму квадратов левых частей уравнений. Ответ. X = 0, Y = 1 или X = 2, Y = — 1.

79.32. Допустим, что у2 + Зу = х2, т. е. X2,— у2 = Зу. Отсюда получаем, что х — у и х + у — степени числа три, а именно 3* и Зу-*. Тогда у = (3* — 3^)/2. Так как (3* — 3y~k) /2 ^ З"-*-1 ^ 3<*-3>/2, а при у ^.7 это число больше, чем у (это нетрудно доказать по индукции), то остается перебрать значения у, меньшие семи. Ответ: у = 1 или t/ = 3.

79.33. Рассмотрим всевозможные углы поворота окружности от 0 до 2л. Если один из секторов имеет величину a, a другой — величину B, то углы поворотов, при которых образ первого сектора пересекается со вторым, заполняют отрезок длины а + B ^ ^ 2л/(п2 — п+\). Рассмотрев все такие пары, которых имеется п(п— 1), видим, что соответствующие отрезки имеют суммарную длину, не большую чем 2лп(п— 1)/(п2 — п + 1) < 2л. Следовательно, искомый угол поворота существует.

79.34. Указание. Докажите, что для любой стороны последней грани можно найти другую сторону этой грани, параллельную ей и равную по длине.

79.35. Самое, пожалуй, короткое, но не самое элементарное доказательство использует проективные преобразования. Удалив точку пересечения прямых ЕА и BF на бесконечность, мы получим чертеж, симметричный относительно центра окружности, откуда и следует нужный нам факт.

79.36. См. решение задачи 70.2.

80.1. Ответ. Нет, нельзя. В противном случае сумма чисел в таблице была бы четной.

80.2. Ответ. В отряде трое двенадцатилетних ребят.

80.3. Разобьем все точки на пары симметричных. Все пары делятся на три типа: обе точки — красного цвета; обе точки — синего цвета; точки имеют разный цвет. Ясно, что пар первого типа и пар второго типа поровну. Осталось заметить, что сумма

Рис. 53

расстояний от точек пары первого (второго) типа до точки А (до точки В) равна длине отрезка AB, а в паре третьего типа расстояние от красной точки до А равно расстоянию от синей точки до В.

80.5. Пример такого разрезания приведен на рис. 54.

80.6. Рассмотрим любые две остановки А и В, через которые проходят трамвайные маршруты XY и MN соответственно. Либо эти две диагонали пересекаются, и тогда от А до В можно добраться с одной пересадкой, либо в четырехугольнике XYMN пересекаются диагонали— скажем, XN и YM пересекаются в точке О. Тогда по одной из этих диагоналей (допустим, по YM) ходит трамвай и от А до В можно добраться с двумя пересадками следующим образом: ЛY -+В.

80.9. Ответ. Нет, нельзя.

80.11. Мальчик должен действовать следующим образом: если девочка берет конфету из коробки, в которой лежит единственная конфета, то мальчик берет конфету из коробки, в которой больше одной конфеты. Если девочка берет конфету из коробки, в которой ровно две конфеты, то мальчик берет оставшуюся конфету из той же коробки. Если же девочка берет конфету из коробки, в которой больше двух конфет, то мальчик берет конфету из коробки, в которой лежит ровно одна конфета— такая коробка обязательно есть!

80.12. Введем стандартные координаты на клетчатой плоскости, после чего окрасим в цвета 0, 1, 2, 3, 4 клетки плоскости по следующему правилу: если клетка имеет координаты (х, у), то она окрашивается в цвет, номер которого равен остатку от деления числа X + 2у на пять.

80.13. Ответ. А = 9, В = 8, С = 4 или А = 9, В = 4, С = 8, или А = —3, В = 2, С = —2, или А = —3, В = —2, С = 2.

80.15. Указание. Эти 2п треугольников можно разбить на пары последовательных треугольников с равными площадями.

80.17. Заметим, что 53 + 96 = 83 + 66 = 109 + 40 = 149. Введем следующие обозначения: А = 53, В = 83, С = 109, х = 149. Тогда наше число равно

т. е. оно делится на х = 149 и частное, конечно, отлично от 1.

80.20. Указание. Используйте очевидное неравенство для любого положительного х.

Рис. 54

80.22. Ясно, что любой игрок принимает участие, по крайней мере, в одной из любых двух сыгранных подряд партий. Так как первый сыграл 10 партий, то всего было сыграно не более 21 партии, а значит, их было ровно 21, откуда следует, что третий игрок сыграл 11 партий (а второй все время стоял за столом) .

80.25. Можно считать, что т/п = 0,501 .... Рассмотрим разность т/п— 1/2. С одной стороны, т/п— 1/2 < 0,502 — 0,5 = 0,002 = 1/500, а с другой — т/п — 1/2 = (2т — п)/2п ^ ^ 1/2/г, поскольку 2т — п является натуральным числом. Итак, отсюда получаем п > 250. При п = 251 искомая дробь существует — это 126/251.

80.26. За одно взвешивание можно определить число фальшивых монет в любом данном наборе. Расположим девять монет в клетках таблицы 3X3. За четыре взвешивания определим количество фальшивых монет в первых двух строках и в первых двух столбцах таблицы. Если при одном из этих взвешиваний в строке или столбце оказались две фальшивые монеты, то результаты остальных взвешиваний определяют их местонахождение и без пятого взвешивания. При любых показаниях весов определяем пару строк и пару столбцов, в каждом из которых находится по одной монете, т. е. обе фальшивые монеты находятся в четырех клетках пересечения этих линий. Взвесив теперь любую из этих четырех монет, определим фальшивые монеты.

80.27. Проведем биссектрису АК угла А. Из условия следует, что углы САК, КАВ и АВК равны и, значит, АК = ВК и треугольники АСК и ABC подобны. Отсюда получаем, что АС/ВС = ВК/АВ. Но по свойству биссектрисы имеем АС/(ВС — ВК) = АВ/ВК. Из этих двух соотношений и следует нужное равенство.

80.29. Ответ. Это числа 98 и 32.

80.30. Указание. Подставьте в неравенство из условия задачи три значения: 0; 1/2 и 1.

80.31. См. решение задачи 63.10.

80.35. Ответ. В этом ряду 1486 различных чисел.

80.39. Рассмотрим бесконечную развертку правильного тетраэдра с ребром 1 на плоскости — см. рис. 55, след каждой вершины отмечен одной и той же буквой. Пусть M и N — две точки на поверхности тетраэдра. Рассмотрим все их образы на развертке. Точки Ми М2у ..., соответствующие точке Му лежат в узлах решетки правильных треугольников с длиной стороны 2. Рассмотрим тот из «образов» вершины N, который лежит внутри одного из этих треугольников М1М2М3 — точку N\. Осталось доказать, что одно из расстояний от N\ до вершин треугольника М\М2МЪ не больше 2УЗ. Это следует из того, что треугольник разбивается на три четырехугольника ОР\Р2М3у ОР\РъМ2 и ОР2Р3Ми где О —центр треугольника МхМ2МЪу

Рис. 55

Рис. 56

Pu ^2, Pz — основания перпендикуляров, опущенных из О на стороны, так как точка N\ лежит в одном из них.

80.40. Искомое расположение тараканов — когда они делят периметр многоугольника пополам. Предположим, что в таком случае минимум расстояния между тараканами в процессе движения достигается в точках А и B, где А и B, конечно, делят периметр пополам. Допустим, что при другом начальном расположении тараканов минимальное расстояние между ними в процессе движения равно d>\AB\. Тогда, очевидно, при этом существуют два момента времени, когда тараканы находятся в вершинах отрезка, параллельного AB (обозначим эти отрезки А\В\ и А2В2)У они находятся по разные стороны от AB, и их длины больше, чем длина отрезка AB (так как их длины не меньше d)— см. рис. 56. Однако длина средней линии трапеции AiB\B2A2, очевидно, не больше длины AB и при этом не меньше одного из оснований трапеции — противоречие.

80.41. Ответ. 3k.

80.42. Указание. Рассмотрите выражение в левой части неравенства как функцию от одной из переменных х, у, г. Обратите внимание на то, что это квадратная функция с положительным старшим коэффициентом и, следовательно, ее наименьшее значение достигается на концах промежутка [0;1].

80.43. Ответ. Это центр тяжести треугольника.

80.44. Рассмотрим 3k— 2 пустые комнаты и начнем разводить по ним всех людей так, чтобы выполнялось указанное условие. Докажем, что в любой момент очередного человека можно добавить в одну из групп так, чтобы условие выполнялось по-прежнему. В самом деле, поскольку людей, которые любят того же композитора или того же художника, или того же писателя, не более 3(k—l) = 3k — 3, то среди данных 3k — 2 комнат найдется та, в которой нет никого из этих людей. В нее-то и надо поместить очередного человека.

80.46. Докажем индукцией по N — числу вершин многоугольника— немного более общий факт: такое разрезание возможно, если известно, что в раскраске использованы все три цвета, a N— любое натуральное число. База N = 3 очевидна. Рассмотрим вершину А такую, что ее соседи В и С имеют разные цвета (такая вершина обязательно есть). Отрезав треугольник ABC у мы получим (N—1)-угольник, вершины которого окрашены либо в три цвета (тогда применимо индукционное предположение), либо в два цвета. Тогда нужно сделать следующее: вернуть на место треугольник ABC и разрезать N-угольник на треугольники, одной из вершин каждого из р;оторых является А, а две другие вершины — это две соседние вершины iV-угольника.

80.47. Разобьем куб на 27 кубиков 2X2X2 и раскрасим их в шахматном порядке в черный и белый цвета так, что угловые кубики — черные. Тогда в любом параллелепипеде содержатся ровно два черных и ровно два белых кубика 1X1 XL Поскольку черных кубиков 1X1X1 на восемь больше, чем белых, то при любом расположении параллелепипедов они не покроют, по крайней мере, восемь кубиков. Отсюда ответ: максимальное количество параллелепипедов — 52.

81.2. Нет, нельзя. В противном случае все цифры стояли бы на местах одинаковой четности.

81.4. Ответ. 72 клетки.

81.5. Да, например, п = 111111111.

81.8. Отразим точку С относительно обоих лучей и получим точки С и С". Тогда периметр треугольника ABC равен длине ломаной CfABC"у которая, очевидно, не меньше длины отрезка С С" у равной 2\ОС\.

81.11. Если все цифры этого числа различны, то их сумма равна 45 и, значит, это число делится на три. Однако ни для какого натурального п число п2 + 1 не делится на три.

81.12. Вершины куба можно раскрасить в черный и белый цвета так, чтобы вершины на концах любого ребра имели разную окраску. Рассмотрим теперь разность между суммой чисел в черных вершинах и суммой чисел в белых вершинах. При любой операции описанного в условии типа эта разность не меняется. Поскольку исходно эта разность равна 1 или —1, то

добиться того, чтобы все числа делились на три (а значит, и разность также делилась бы на три), нельзя.

81.13. Ответ. Нет, такого числа не существует.

81.16. Нетрудно видеть, что вместе с числом х в указанный набор входит и число М+\—х. Если х = (М+\)/2, то отсюда следует, что M = 3. Следовательно, все числа в наборе разбиваются на пары с суммой M + 1.

81.19. Сумма 1981 последовательных целых чисел, начиная с /г, равна 1981л + 990-1981 = 1981 (п + 990). Осталось только взять п= 19812 — 990.

81.20. Поскольку длины всех сторон прямоугольников не больше единицы, то каждое такое отношение не меньше площади соответствующего прямоугольника, а сумма этих площадей равна 1.

81.23. AB —АС = (AB2 —АС2)/(AB + АС) ^ 1/(АВ + АС)У так как AB2 и АС2 — целые и неравные друг другу числа. Поскольку 1/(AB + АС)> 1/р, то требуемая оценка доказана.

81.24. Раскрасим все черные поля, находящиеся ниже диагонали, соединяющей левый верхний и правый нижний углы доски, в красный и синий цвета следующим образом: если сумма номера строки и номера столбца (номера отсчитываются снизу и слева) делится на четыре, то красим клетку в красный цвет, если не делится на четыре, то в синий цвет. Теперь отразим эту раскраску симметрично относительно упомянутой выше диагонали и раскрасим все поля над ней. Каждым своим ходом, кроме ходов, пересекающих диагональ, фишка переходит с синего поля на красное и наоборот. Поскольку синих полей на восемь больше, чем красных, а переходов с синего поля на синее всего четыре, то фишка должна сделать не менее трех ходов на поля, на которых она уже бывала. Итак, ответ: наименьшее число ходов 31 + 3 = 34.

81.27. Указание. Рассмотрите раскраску, указанную в первой фразе предыдущего решения *ia всей доске 9X9. Ответ. 48 ходов.

81.28. Последовательность Ьп= ап — п неубывающая, так как ал+1^аЛ+1. Условие задачи можно переписать как равенство Ьп = Ь2п+ъп. Но отсюда следует, что число bu например, встречается в последовательности {Ьп} бесконечно много раз и, значит, эта последовательность постоянна. Следовательно, найдется такое число С, что ап — п = С для любого п.

81.29.

81.31. Наложим один 16-угольник на другой произвольным образом и рассмотрим 16 поворотов верхнего многоугольника на углы, кратные 360°/16. Если при каждом из соответствующих наложений совпадает не более трех отмеченных вершин, то всего совпадений будет не более 48. В то же время ясно, что любая отмеченная вершина верхнего многоугольника в какой-то момент окажется над любой заранее выбранной отмеченной вершиной нижнего многоугольника, т. е. всего совпадений должно быть 49.

81.35. Решение совершенно аналогично решению задачи 81.24. Ответ. 53 хода.

81.36. Прежде всего найдем степень k числа пять такую, что 5k— 1 делится на 2100. Можно считать при этом, что число знаков в десятичной записи числа 5k больше 100, иначе рассмотрим показатель 2£, ЗА и т. д.

Рассмотрим теперь число А = 5*+100. Разность А — 5100 = 5100(5* _ 1) делится на 51002100 = 10100, т. е. младшие 100 разрядов десятичной записи чисел А и 5100 совпадают. Заметим теперь, что 5100 < 1070, так как 2100 = 102410 > 1030 = 230530 и, значит, 270 > 530.

Отсюда получаем, что не более чем 70 из младших 100 разрядов десятичной записи числа А заполнены ненулевыми цифрами.

81.37. Ответ, р = 1, 2. Указание. Рассмотрите остатки при делении на пять.

81.40. Допустим, что такие а, 6, с, d существуют. Тогда обязательно должно быть выполнено и равенство

(*)

В самом деле, раскрыв скобки в равенстве из условия, мы видим, что левая часть может быть представлена в виде х + */УЗ, где X и у — рациональные числа, причем левая часть равенства (*) равна х — */УЗ. Ясно, однако, что если х + 1/УЗ=1 + УЗ, то х=1, у=1—это следует из рациональности чисел X и у. Однако равенство (*) невозможно, так как число 1 — УЗ отрицательно.

81.42. Ответ. Нет, таких шести чисел не существует.

81.43. Указание. Назовем серией не продолжаемую ни в одну из сторон последовательность одинаковых выписанных подряд чисел. Рассмотрим количество таких серий в данном наборе. Ясно, что каждая операция описанного в задаче вида уменьшает эту величину не более чем на 2. Отсюда следует

оценка снизу — требуемое число не меньше чем [(р+1)/2]. Это и есть точный ответ.

81.44. Да, найдутся. Рассмотрим в пространстве четыре попарно касающихся шара с разными радиусами и впишем в пространство между ними пятый шар, касающийся остальных четырех. Центры этих пяти шаров и есть нужные нам пять точек.

81.45. Сделаем подстановку a = cosx, Ь = cos у, c = cosz. Тогда получим неравенство

которое, безусловно, верно, так как в левой части написана число — cos (л: -f у + z).

81.46. Рассмотрим многочлен

степени 12 от семи переменных Xi, принимающих значения О, 1 и 2, т. е. остатки (mod3). Значения многочлена также будем приводить по модулю 3. Тогда, если просуммируем значения F на всех З7 наборах переменных, то получим 0 — это следует из того, что во всех мономах, входящих в F> есть переменная, входящая в моном в степени, не большей единицы. С другой стороны, F(0> 0, ..., 0)= 1. Значит, найдется другой набор {xi), для которого F(x\9 *2, х7)Ф0, т. е. F{x\, х2у ... ..х7)= 1, так как множители F принимают лишь значения 0 и 1 (mod3). Это означает, что

Осталось вычеркнуть тройки (ai, bt, с*), для которых xt■ = 0 — здесь необходимо учесть, что x2=l(mod3) при x^0(mod3). (Решение сообщено А. С. Меркурьевым.)

82.1. Ответ. Их всегда 64.

82.2. Нет, не может. После 25-го прыжка кузнечик сдвинется по отношению к исходному положению на нечетное число сантиметров.

82.4. Так как 770 = 2-5-7-11, то для того чтобы jc(770 — х) делилось на 770, нужно, чтобы один из множителей делился на два, один — на пять и т. д. Заметим теперь, что если один из множителей делится на делитель числа 770, то и второй также делится на этот множитель. Следовательно, если произведение делится на 770, то и каждый из множителей делится на 770, что невозможно, если х и 770 — х — натуральные числа.

82.6. Выигрывает первый, разбивая своим первым ходом 100 камней на две кучки по 63 и 37 камней соответственно. После этого ему нужно следить за выполнением следующего условия: после его хода количество камней в максимальной кучке должно иметь вид 2п— 1.

82.7. Ответ. (85, 75), (25, 65), (15, 55).

82.10. Указание. Рассмотрите пару диаметрально противоположных точек на окружности и используйте тот факт, что длина медианы меньше полусуммы разделяемых ею сторон треугольника.

82.1. Ответ. Нет, не может.

82.12. Занумеруем мальчиков и обозначим через Ап множество девочек, с которыми танцевал п-и мальчик Мп. Тогда, если предположить, что утверждение задачи неверно, получим, что для любых тип либо А m CZ An, либо АпаАт. Следовательно, получаем цепочку

где Aik—самое большое из At. Но так как Aik не совпадает с множеством всех девочек D, то найдется девочка, не танцевавшая ни с кем (это любая девочка из множества D\Aik).

82.13. Возводя в квадрат, получаем 1 + а2Ь2 < а2 + Ъ2 или, эквивалентно, (1 — а2) ( 1 — Ь2) < 0.

82.14. Достаточно доказать, что сумма любых трех углов при вершинах А, В и С больше, чем четвертый угол при вершине D. В самом деле, сумма углов А, В и С не меньше, чем сумма углов треугольника АВСУ равная 180°, в то время как угол D меньше 180°.

82.16. Пусть X—число семиклассников. Тогда число очков N7, набранных семиклассниками, не больше чем х-2х + (х2— х)/2, а также 2х(2х—1)/2. Получаем

откуда следует, что х ^ 3.

Перебором (или иначе) получаем, что х = 3, N7 = 2l, Ns= 15. Всего участников было девять.

82.17. Вот пример расстановки:

82.19. Возможны два случая. Либо все трехчлены имеют общий корень (и доказательство очевидно), либо есть числа а <С Ь < с такие, что каждое из них есть корень двух трехчленов. Пусть Ь есть корень первого и второго трехчленов. Тогда

значение третьего трехчлена в точке b отрицательно и, следовательно, отрицательно значение их суммы в точке Ь. Отсюда следует существование корня.

82.20. Указание. Проведите биссектрису. CK угла С. Тогда треугольники СКВ и ABC подобны, а треугольник АСК равнобедренный. Отсюда можно найти отношение АВ/ВС.

82.21. Да, встретится. В самом деле рано или поздно какая-то четверка подряд идущих чисел повторится. Двигаясь по последовательности назад, нетрудно убедиться, что первой повторится четверка 1, 9, 8, 2. Найдем четыре цифры, стоящие перед ней. Это и будут цифры 3, 0, 4, 4.

82.23. В любом столбце из пяти клеток по крайней мере три имеют один цвет. Отметим эту тройку и соответствующие три строки. Поскольку всего столбцов 41, а возможных троек строк — 20 (с учетом и цвета), то какая-то тройка будет отмечена три раза, что нам и нужно.

82.24. Построим окружность, содержащую внутри себя все точки пересечения прямых. Они высекают на ней 4п дуг, причем две соседние дуги не могут одновременно принадлежать двум углам — убедитесь в этом. Следовательно, углов не более 2/2 и их может быть ровно 2п только в том случае, если все дуги через одну принадлежат углам. Но в этом случае, так как прямых четное количество, две противоположные дуги принадлежат углам одновременно, что невозможно.

82.29. Возведем число 1 + У1982 в k-ю степень. Приводя подобные члены, получим а + Ь<^1982, где а и b — целые числа.

При возведении в k-ю степень числа 1—У1982 получим а — ôyi982. Перемножая эти степени, имеем равенство (—1981)* = а2— 198262, т. е. числа а2 и 1982ft2 отличаются друг от друга на 1981*. Осталось обозначить меньшее из них за п.

82.30. Если А у В и X — три фишки, то, отражая X последовательно относительно А и 5, сдвинем X на вектор 2АВ. Выберем теперь фишки А, В и С, не лежащие на одной прямой.

Ясно, что, применяя сдвиги на векторы 2АВ, 2ЛС, 2ВС, можно перевести любую фишку внутрь большого круга фиксированного радиуса R. Рассмотрим выпуклый (п — 2)-угольник, одна из вершин которого лежит в точке А, а его угол при вершине А лежит внутри угла ВАС. Построим теперь малые круги с центрами в каждой из вершин этого многоугольника такие, что если мы каждую вершину (п — 2)-угольника заменим на любую точку внутри соответствующего круга, то многоугольник останется выпуклым. Рассмотрим гомотетию с центром А такую, что образы всех малых кругов будут иметь радиус больше /?, а преобразованный (п — 2)-угольник будет порождать вы-

пуклый л-угольник при добавлении вершин В и С. После этого можем перевести все фишки, кроме В и С, внутрь полученных кругов — по одной фишке в каждый круг. Теперь фишки стоят в вершинах выпуклого n-угольника.

82.34. Ответ. Угол ВАК равен 90°.

82.35. Занумеруем вершины по порядку от 0 до п—1 и в k-й вершине напишем число cos(kn/n + а), k = 0, 1, 2, ... ..., п—1, где а — некоторый угол, подбираемый так, чтобы среди указанных чисел не было нулей. Это и есть требуемый набор. Указание. Эти числа есть проекции векторов, ведущих из центра n-угольника в его вершины на некоторую ось, проходящую через его центр.

82.36. Допустим, что какие-то два отрезка AB и CD одного цвета пересекаются. Заменим их тогда на отрезки АС и BD того же цвета. При этом количество точек пересечения синих отрезков с красными не увеличится. Добьемся такими операциями того, что никакие два отрезка одного цвета не пересекаются. Осталось только заметить, что на каждом красном отрезке есть, по крайней мере, одна точка пересечения с синим отрезком.

82.37. Да, существует. Например, годится k =120.

82.38. Каждый такой вектор вида можно представить как разность OAj — ОЛ/, где О — центр квадрата. Отсюда следует, что если рассмотрим четность абсциссы суммы проведенных векторов, то она такая же, как у суммы всех векторов, проведенных из точки О во все отмеченные центры клеток. Осталось лишь убедиться, что у этой суммы нечетная абсцисса.

82.39. Ответ. 25 отрезков.

82.40. Ответ. Пирожок с рисом стоит 13 коп., а пирожок с капустой — 9 или 11 коп.

82.42. Докажем это индукцией по n+k. Итак, нам нужно проверить, что Ап+\Ап+2 ••• An+k делится на А\А2 ... Ak. Поскольку Ап+1Ап+2 ... An+k = An+iAn+2 ... An+k-\ [An+k — An) +AnAn+\ ... An+k-\, причем второе слагаемое делится на А\А2 ... Ak по индукционному предположению, то нам достаточно доказать то же про первое слагаемое. Но Ап+\Ап+2 ... ... An+k-i делится на А\А2 ... Ak-u а разность An+k — Ап делится на А^ откуда все и следует.

82.44. Допустим, что такое разбиение на два множества А и В возможно и число два входит в множество А. Обозначим через п минимальное число в множестве B, а через р— минимальное простое число, не делящее п. Ясно, что р < п.

Лемма. Если х<Ср> то для любого числа b из В число xb также принадлежит множеству В.

В самом деле, достаточно доказать это для простых х. Если xb лежит в А, то и число п/х лежит в А. Но (xb) (п/х) = х-ху что, очевидно, противоречит условию.

Далее, поскольку п не делится на р, то найдется k <С р такое, что kn4-l делится на р. Но тогда число (kn+l)/p принадлежит множеству А и ( (kn + \)/р) -р—1 = kn также принадлежит А, что противоречит лемме.

83.1. Ответ. Разряд мог быть присвоен не более чем 23 участникам.

83.3. Ответ. Веня и Женя говорят правду, а Беня и Сеня — лжецы.

83.5. Использование машины времени сдвигает номер месяца на четыре, если рассматривать остатки при делении на 12. Поскольку 26 не делится на четыре, то такое путешествие невозможно.

83.6. Ответ. Это цифры 7, 4, 3, 0.

83.7. Если А делится на нечетное простое число p = 2k+\r то А — 1 делится нар — 1 = 2£, т. е. А нечетно.

83.8. Пусть a<.b<Cc<Zd<C е — длины этих кусков. Предполагая обратное утверждению задачи, получаем с ^ а + Ъу d^b + c^a+2b1 е ^ с + d ^ 2а + 36. Тогда длина прута не меньше чем 5а + lb ^ 12-17 = 204 — противоречие.

83.12. Ответ. Нет, нельзя. Указание. При любом расположении синих точек треугольник можно разбить на маленькие треугольники с синими вершинами. Их количество не зависит от способа разбиения и равно 2k+\, где k— число синих вершин внутри треугольника.

83.17.

83.18. Выполним такие операции для всех клеток произвольного креста из строки и столбца. Как нетрудно убедиться, результатом будет в точности изменение знака у клетки, стоящей на пересечении этих линий. Следовательно, мы можем менять знак у любого числа в таблице.

83.19. Указание. Пусть А = аха2 ... ап. Если s* — сумма цифр числа 5а*, то достаточно доказать, что сумма цифр числа 5Л равна Si + sn. Проверьте, что при умножении пяти на А в столбик переносов при сложении не будет.

83.20. Ответ. 18,5 очков.

83.21. Пусть 5 — площадь правильного шестиугольника А\А2АгАААъА^— см. рис. 57, а. Допустим для определенности, что

Рассмотрим правильный треугольник ABC со сторонами, равными сторонам данного шестиугольника. Пусть треугольники АС'В, ВА'С и АВ'С равны соответственно треугольникам АхОА2, АъОАА и Л5ОЛ6. Тогда площадь шестиугольника AB'С А'ВС (см. рис. 57,6) больше или равна S/2 + S(ABC) = 25/3.

83.23. Рассмотрим две противоположные стороны 400-угольника. Ясно, что они соединены цепочкой примыкающих друг к другу параллелограммов. Рассмотрим теперь другую пару противоположных сторон, перпендикулярных сторонам первой пары, и соответствующую цепочку. Так как эти две цепочки пересекаются, то на их пересечении обязан лежать некий прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам из указанной четверки сторон 400-угольника. Таких четверок можно выбрать 100, и соответствующие прямоугольники не могут совпадать.

83.24. Будем считать, что при столкновении точки не разлетаются, а проходят друг сквозь друга, сохраняя скорости, но меняя номера. Тогда через время Г, которое нужно точке для полного оборота, точки займут свои исходные места, имея при этом другие номера. По истечении еще одного промежутка времени Т точки опять окажутся на своих местах, но перестановка номеров будет произведена еще раз. Ясно, что через время п\Т (п — количество точек) все номера у точек будут прежними.

83.25. Ответ. 60°.

83.26. Ответ. Существует только один «простой» квадрат с вершинами (2; 2), (2,3), (3;2), (3; 3).

83.27. Указание. Если через пгп обозначим наименьшее число конфет у участников в момент времени /г, то гп\ ^ m2 ^ ... ... ^M-j-l, где M — наибольшее число конфет у участников в начале игры.

Рис. 57

83.28. Ответ. Неравенство верно только при п = 2, 3, 4, 5. Указание. Перепишите неравенство следующим образом:

83.29. Пусть для определенности радиус К\ не больше радиуса Къ обозначим точки касания К\ и К2 с прямыми L\ и L2 через А, B, С и D — см. рис. 58. Ясно, что AC\\BD. Проведем касательные А\С\ и B\D\, параллельные прямой АС и касающиеся кругов Ki и К2 в точках Е и F соответственно. Тогда ЛЛ^Л^, Cd = d£, BBi = B\Fy FDX = DDX. Ясно, что АА{ = CCi < BBi = DDu если точки £ и F не совпадают. Построим точки В' и D' такие, что Л1— середина отрезка AB', В\ — середина отрезка CD'. Ясно, что прямая B'D' параллельна прямой BD и не совпадает с ней. Трапеция AB'D'C — описанная и поэтому в трапецию ABDC нельзя вписать окружность — противоречие.

83.31. Указание. Рассмотрите остатки при делении на 101.

83.34. Отложим на ребрах трехгранного угла единичные векторы а, &, с. Допустим, перпендикулярны биссектрисы, идущие вдоль векторов а + b и b + с. Тогда (а + Ь) (Ь + с) = 0, т. е. ab + be + са = —1, откуда (а + с) (6 + с) = 0 и (а + &)(а + с) = 0. Следовательно, все три биссектрисы плоских углов попарно перпендикулярны, откуда и следует нужное утверждение.

83.35. Ответ. 9°; 85° 30'; 85° 30'.

83.37. Множество вершин правильного 20-угольника можно представить как объединение множеств вершин четырех пра-

Рис. 58

вильных пятиугольников. Ясно, что в одном из них отмечено не менее трех вершин. Осталось только при помощи небольшого перебора убедиться, что любые три вершины правильного пятиугольника образуют равнобедренный треугольник.

83.38. Указание. Если в качестве центра симметрии выбрать центр тяжести треугольника, то площадь получающегося шестиугольника как раз равна 2/3 от площади исходного треугольника.

83.39. Ответ. Да, первый игрок выигрывает при правильной игре.

83.40. Ответ. 10°. В самом деле, отложим на луче AM отрезок BN, по длине равный ВС. Тогда в равнобедренном треугольнике BNC линия СМ — биссектриса угла С. Это следует из того, что BM/BN = CB/CN. Так как ZBCN = 20°, то ZBCM = 10°.

83.41. Ответ. Такая расстановка возможна тогда и только тогда, когда п не является степенью числа два. Указание. Положим s* = cl\ + û2+ • • • + Тогда равенства, указанные в условии, можно переписать так: для любого k имеем s* = s2k (а также имеется и равенство Si = 0). Поскольку имеется п независимых переменных sk и п уравнений для них указанного вида, то равенство всех ak нулю равносильно равенству между собой всех переменных s*, т. е. тому, что для любых индексов k и m найдутся степени числа два 2а и 2Ь такие, что 2ak = 2bm(moà n) ; или, что то же самое, для любого k найдется степень числа два 2е такая, что 2ck делится на п.

83.42. Второй слой мы уложим следующим образом: разобьем всю плоскость на квадратики 2X2, каждый из которых покроем либо двумя горизонтальными, либо двумя вертикальными плитками. Затем положим третий слой так: соединим отрезками те соседние клетки, которые еще не были покрыты одной плиткой. Очевидно, что из каждой клетки выходят два отрезка. Линии, образованные этими отрезками, делятся на два типа: это либо замкнутые линии четной длины, либо бесконечные незамкнутые линии. Линии того и другого типа можно разбить на непересекающиеся отрезки единичной длины, соответствующие плиткам третьего слоя. Четвертый слой кладется однозначно: каждая клетка соединена отрезком ровно с одной соседней клеткой.

83.43. Допустим, что ак — первый член последовательности, не удовлетворяющий указанному неравенству. Тогда ясно, что ak—1 не есть член последовательности и потому найдется s такое, что as + 2s + 1 = ak. Положим

так как

Тогда имеем

Поставим теперь в соответствие каждому натуральному числу X от as + 1 до а* тот член последовательности а*, из которого получилось число Ху т. е. либо ai = х, либо at + 2i = X. Как следует из доказанных выше неравенств, каждому х соответствует не более одного числа из промежутка от я+1 до k и потому ak — (is ^ k — п или (*) ац — (as — n)^k.

Положим

Тогда

и, значит, s ^2 w, откуда получаем, что

Итак, мы доказали, что ак/{2 +л/2)^ w или, что то же, eis — п < а*/(2 + У2)- Складывая это с неравенством (*), получаем, что ak ^ У2£. (Решение сообщено Ф. Л. Назаровым.)

83.44. Ответ. 10(Af2—1). Указание. Рассмотрите произвольный отрезок такой системы, который начинается и кончается не в городе. Допустим, что с одной стороны к нему примыкает а отрезков, а с другой 6, причем а^Ь. Двигая его в первую сторону, мы не увеличим длину системы. Его движение может закончиться либо тем, что он наложится на какой-то другой отрезок — тогда уменьшится длина дорог системы, либо тем, что он превратится в отрезок большей длины, который также можно двигать в какую-то сторону (конечно, если ни один из его концов не является городом). Действуя таким образом, можно добиться того, что преобразованная система дорог будет иметь не большую длину, чем исходная система, но при этом все ее дороги будут начинаться и кончаться в городах.

84.2. Расставьте числа 1 и —1 следующим образом:

84.3. Разность между расстоянием от любой такой точки до А и расстоянием от нее до В равна длине отрезка AB. Ясно, что сумма 45 чисел вида ±|ЛВ| не равна нулю.

84.5. Указание. Раскрасим сектора в черный и белый цвета в шахматном порядке. Тогда разность между суммой чисел в черных секторах и суммой чисел в белых секторах не меняется при указанных операциях.

84.6. Первый игрок ставит знак умножения между единицей и двойкой после чего мысленно разбивает все пустые места, начиная с пробела между тройкой и четверкой на пары последовательных пробелов и на каждый ход второго в одно

из пустых мест ставит знак умножения в другой пробел той же пары. Если второй ставит какой-то знак в пробел между двойкой и тройкой, то первый ставит знак умножения в любой из оставшихся пробелов. Таким образом, в конце игры мы получим сумму нескольких четных слагаемых.

84.8. Из этих равенств следует, что АС = BD, AD = ВС. Но тогда равны треугольники ABC и BAD. Равенство углов ОСВ, АСВ, BD А и ODA дает нам равенство треугольников OAD и ABC, откуда и вытекает равенство OB = OA.

84.10. Перепишем данные неравенства так: 7Ш > 5Б, 25Ш < 18Б. Отсюда следует, что 7Ш ^ 5Б + 1, 25Ш ^ 18Б—1. Умножая теперь эти неравенства на 25 и 7 соответственно, мы получим 175Ш > 125Б+ 25, 175Ш<126Б —7. Вычитая, получаем Б ^ 32. Из первого неравенства следует, что Ш ^ 23. Тогда ЗШ + Б^ 101.

84.12. Отметим на листе все клетки, для которых и номер столбца, в котором они находятся, и номер строки дают остаток 1 при делении на три (номера отсчитываются слева и снизу). Теперь для каждой отмеченной клетки построим отмеченный квадрат 2X2, левый нижний угол которого находится в этой клетке. Ясно, что никакой квадратик 2X2 не может пересекаться с двумя разными отмеченными квадратами. Так как отмечено 100 квадратов, то с каким-то из них не пересекается ни один из вырезанных квадратиков 2X2. Этот отмеченный квадрат и надо вырезать.

84.13. Ответ. Нет, не могут. Используйте неравенство треугольника.

84.14. Ответ. Сумма равна двум.

84.16. Указание. Докажите, что разность данных сумм есть нечетное кратное длины отрезка AB.

84.18. Ответ. В восемь цветов.

84.19. Указание. Рассмотрите угол квадрата.

84.21. Допустим, что х2 > Х\. Тогда из первого равенства получаем, что Хг < х2, из второго равенства получаем х3 > х4 и т. д. и, наконец, х2 <. Х\ — противоречие. Значит, Х\ = х2, а отсюда следует и равенство других чисел хь.

84.22. Пусть А, В, С и D — вершины данной трапеции, ВС II AD. Докажем, что OA + OB + ОС > OD для любой точки О. В самом деле, OA + OB ^ AB, AB = CD, а OC + CD ^ CD, причем одно из неравенств строгое. Другие случаи аналогичны.

84.24. Разобьем натуральный ряд на последовательные сотни и выберем в каждой из них по элементу множества А. Рассмотрим разности между парами последовательных выбранных чисел. Они не превосходят 200 и, значит, рано или поздно повторятся. Следовательно, найдутся числа а, Ь, с, d из множества А такие, что а — с = b — d или а + d = b + с, что и требовалось доказать.

84.27. Ответ. Это число 1984.

84.30. В самом деле,

Отсюда

84.33. Пусть нам дан параллелограмм ABCD. Тогда

84.34. Сделаем подстановку х = у—1. Данные многочлены превратятся в у8 — 7у7 + ... и ау — (а — Ь), операция умножения на х+1—в умножение на у, а дифференцирование по X — в дифференцирование по у. Ясно, что свободный член а — b есть результат операций, примененных к многочлену 7у7. Ясно, что в некоторый момент степень этого многочлена понизилась с семи до шести и при этом коэффициент при нем умножился на семь и стал кратен 49, каковым он и останется при всех дальнейших операциях. Значит, а — b кратно 49, что требовалось доказать.

84.35. Ответ. 1984.

84.36. Допустим, что такого ребра нет. Рядом с числом 50 могут стоять лишь три числа: 1, 99 и 100, причем у чисел 99 и 1 другого общего соседа быть не может. Поэтому на другом конце того вертикального ребра, на котором находится число 50, стоит 100. Допустим, число 1 стоит справа от 50, 99 — слева. Местоположение чисел 2 и 51 восстанавливается после этого однозначно. Далее мы можем восстановить положение всех остальных чисел, обходя призму, например, вправо. После полного обхода призмы, как нетрудно проверить, мы получим, что число 99 должно стоять на другом месте.

84.39. Ответ. Нет, не может. В самом деле, итоговая четверка такова, что для любой точки этой четверки разность ее координат делится на три. Это свойство сохраняется при описанных в задаче преобразованиях, поэтому и начальная четверка должна была бы им обладать.

84.40. Рассмотрим наименьшее ненулевое число А. При операции усреднения эта величина либо не уменьшается, либо уменьшается вдвое, если произведено усреднение с нулем. Отсюда следует, что величина А уменьшится не более чем в 29 = 512 раз. Ответ. 1/512.

84.41. Рассмотрим отрезок длины S = а\ + а2+ ... + ak = b\ + b2 + ... + bn. После этого разобьем этот отрезок красными точками на отрезки с длинами ai, a2, ..., a^, а затем синими точками на отрезки с длинами Ь\, Ь2, ..., Ьп. Поставим теперь в клетку таблицы на пересечении i-й строки и /-го

столбца число, равное длине пересечения /-го отрезка с красными концами (длины aï) и /-го отрезка с синими концами (длины bj). Это и будет требуемая расстановка чисел.

84.43. Рассмотрим случай, когда окружность расположена вне треугольника OCD (см. рис. 59). Пусть С и D' — точки пересечения сторон угла с касательной к окружности в точке А, так что окружность вписана в треугольник OCD''. Очевидно, что этот треугольник гомотетичен с центром в О треугольнику OCD. Следовательно, Е — точка касания вписанной окружности треугольника OCD со стороной CD. Пусть Му М\ N9 N'— точки касания этих двух окружностей с прямыми ОС и OD.

По теореме о равенстве касательных имеем 2ВС + BE = ВС + СЕ = М'С +СМ = М'М = ОМ' — ОМ = ON'—ON = N'N= N'D + DN = DB + DE = 2DE + BE. Отсюда ВС = DE.

84.44. Указание. В качестве такого множества можно взять множество всех натуральных чисел, в троичной записи которых нет цифры 2.

84.46. Пусть SA\A2 ... Ап — данная пирамида. Разрежем ее боковую поверхность по самому длинному ребру, например SAU и развернем на плоскости. Из условия следует, что точка 5 лежит внутри многоугольника А\А2 ... АпА\. Пусть В — вторая точка пересечения прямой SA\ с ломаной А\А2 ... АпА\. Она разбивает ломаную А\А2 ... АпА \ на ломаную А\ ...В длины а и ломаную А\ ... B длины Ь. Неравенства SA\<a + SB, A\S + SB = A'iB<b дают нам, что 2SAX = SAx + SA[ < а + SB -f Als < а + b. Осталось только заметить, что последнее число — это периметр пирамиды.

Рис. 59

84.47. Рассмотрим тождество

Ясно, что числа х и у делятся или не делятся на три одновременно (в первом случае доказательство очевидно). Если их остатки при делении на три одинаковы, то выберем верхние знаки; если различны, то нижние — тогда дроби будут целыми числами.

84.51. Рассмотрим многочлен Р(х) = (х — а) (х — Ь) (х — с)Х X (х — d) (х — е). Пусть Р (х) = х5 + рх4 + qxz + rx2 + sx + t. Тогда по теореме Виета имеем р = —(а + b + с + d + е), q = ((a + b + c + d + e)2 — (а2 + b2 + с2 + d2 + é2))/2, и оба эта числа делятся на п. Складывая равенства Р(а) = 0, Р(Ь) = 0, Р(е) = 0, получаем, что а5 + Ь5 + с5 -f d5 + е5 + 5t + г (а2 + Ь2 + с2 + d2 + е2) + s (а + b + с + d + е) делится нал. Осталось воспользоваться равенством t = —abcde.

84.52. Пусть хи ...» х7 — семь подряд идущих членов нашей последовательности. Рассмотрим функцию S (а, Ьу с, d, е, f) = 2а + Ab + 6с + 8d + 10e + 12/. Последние цифры чисел 5(л'ь ..., Хб) и S(x2y ..., ху) совпадают — проверьте это. Отсюда следует, что для всех k последняя цифра числа S(xk+\, ... ..., Xk+б) принимает одно и то же значение. Для исходной шестерки число 5(1, 0, 1, 0, 1,0) = 18, а для шестерки 0, 1,0, 1, 0, 1 оно равно 24. Эти числа имеют разные последние цифры, что и завершает доказательство.

85.1. Разобьем 68 монет на 34 пары и сравним монеты в парах. Затем среди 34 тяжелых монет найдем самую тяжелую за 33 взвешивания, а среди 34 легких за 33 взвешивания найдем самую легкую монету.

85.3. Ясно, что расстояние между В и С больше, чем расстояние между В и А — иначе путешественник вернулся бы в А. Аналогично следующий город удален от С на не меньшее расстояние, чем В, и т. д. Поэтому расстояние, проезжаемое на каждом этапе путешественником, становится все больше и больше. Если же он когда-нибудь попадет в А, то затем он поедет в В и расстояние опять станет равно AB, что невозможно.

85.4. Например, можно взять набор, содержащий 998 единиц, одну двойку и одно число 1000.

85.5 В каждом размере каких-то сапог — правых или левых— не больше, чем сапог другого типа. Выпишем эти типы сапог по размерам. Какой-то из них, например левый, повторяется дважды, скажем, в 40 и 41 размерах. Так как количество левых сапог в этих двух размерах суммарно не меньше 100, то мы имеем не менее 100 годных пар обуви этих размеров.

85.6. См. решение задачи 85.18.

85.7. Ответ. Нет, не может. Рассмотрите остатки при делении на три.

85.9. Ответ, р = 2, q = 3, /1=1; р = 3, 9 = 2, я = 1.

85.11. Обозначим этих кузнечиков А, B и С. Есть всего шесть вариантов их расположения на прямой (слева направо): ABC, ВСА, CAB, АСВ, ВАС, СБА. Назовем первые три варианта правильными, а остальные — неправильными. Тогда при каждом прыжке тип расположения будет меняться — проверьте! Таким образом, после 1985 прыжков тип расположения будет отличаться от исходного.

85.14. Ответ. Исходное число равно 25.

85.16. Ответ. 497 чисел.

85.17. Допустим, что это не так, и рассмотрим все красные точки (если они есть). Каждая из них соединена либо только с синими, либо только с зелеными точками. В первом случае перекрасим ее в зеленый, а во втором — в синий цвет. Мы получим рисунок без красных точек. Обозначив через k число отрезков, выходящих из каждой точки, а через А и В — количества синих и зеленых точек соответственно, мы получим, что число всех отрезков равно M и в то же время равно kB, т. е. А = В, что невозможно, так как А + В = 1985.

85.18. Допустим, что в одном из штабелей уже установлены первые k контейнеров в нужном порядке — внизу № 1, затем № 2 и т. д. до № k. Тогда сделаем следующее: снимем все остальные контейнеры с этого штабеля и установим их на другой, после чего возьмем с этого другого штабеля все контейнеры, лежащие не ниже (é-fl)-ro, и установим их на первый штабель. Таким образом, за две операции мы добьемся того, что в правильном порядке в основании одного из штабелей будут установлены уже k + 1 контейнеров. Ясно, что на последний, п-й контейнер нам понадобится не более одной операции, значит, все будет выполнено за 2п— 1 операций.

85.19. Допустим, что в арифметической прогрессии {а + nd} нашелся точный квадрат х = у2. Тогда все числа вида (у + kd)2 являются членами той же арифметической прогрессии.

85.20. Ответ.

85.21. Ответ. ZDAB = 57° 30', ZABC = 100°, ZBCD = 72° 30'. Используйте то, что точки А, С и D лежат на окружности с центром В.

85.22. Указание. Рассмотрите квадратные трехчлены а\х2 + 2Ь\х + С\9 а2х2 + 2Ь2х + с2.

85.23. Указание. Докажите, что четырехугольник АСОМ вписан в окружность с диаметром ОС.

85.24. Указание. Побеждает первый игрок. Основная идея его стратегии следующая: первым ходом он ставит фишку на поле 25, а затем следит за тем, чтобы после любого его хода

между любыми соседними группами фишек, а также между крайними группами и границами поля находилось четное число незанятых клеток.

85.27. Пусть О — любая точка внутри четырехугольника ABCD. Ясно, что один из четырех углов АОВ, ВОС, COD и DOA (пусть это для определенности угол АОВ) не больше 90°. Тогда Л02 + В02< ЛЯ2 < 72 = 49, значит, либо Л02< 25, либо ВО2 < 25, т. е. точка О лежит внутри одного из кругов радиуса 5 с центрами в вершинах А и В.

85.29. Для каждого i ^ 1 выполнено неравенство

Из этих неравенств следует, что

т. е.

янин < 0,0005.

85.33. Пусть О — точка пересечения прямых, указанных в условии, а точки /С, L, M, N— основания перпендикуляров, опущенных из О соответственно на ребра АВУ AC, CD и BD, F — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Ясно, что FK-LAB, FL LAC, \FK\ = \FL\. Значит, прямоугольные треугольники AKF и AFL равны и \АК =\AL\. Аналогично доказывается, что \BK\ = \BN\, \СМ\= CL\, \DM\ = \DN\. Складывая эти равенства, получаем, что |Л£| + |Со| = |ЛС| + |В£>|. Другое равенство доказывается аналогично.

85.34. Рассмотрим график функции f(x) = y х* + 1, который делит квадрат 3X3 на две части площадью Si и S2 (см. рис. 60). При этом имеем

и, учитывая, что функция

обратна к функции /(х), получаем, что

Поэтому сумма интегралов равна S\ + S2 + S3, и поскольку S3 меньше, чем площадь прямоугольника ABCD, которая не превосходит 0,0001, то требуемые неравенства доказаны.

Рис. 60

85.37. Например, годится число 15841584158415841584.

85.39. Все тройки команд можно разбить на два типа: те, которые во встречах между собой набрали по очку, и те, которые во встречах между собой набрали 2, 1 и 0 очков. Если троек первого типа — a, a второго типа — &, то а+ 6 = 455. С другой стороны, троек, в которых данная команда набрала ровно 1 очко, очевидно, ровно 49; в каждой тройке первого типа три таких команды, и, значит, каждая такая тройка участвует в подсчете три раза, а каждая тройка второго типа участвует в подсчете ровно один раз. Итого За + Ь = 49-15 = 735. Отсюда получаем а = 140.

85.40. См. решение задачи 78.28.

85.42. Рассмотрим разность 500а,— i. При i= 1 она равна 499, а при i = m она равна (—500am). Очевидно, что при переходе от i к i + 1 эта разность либо возрастает на 499, либо убывает на 1. Пусть п — первый номер, для которого наша разность неположительна. Тогда, очевидно, она равна нулю, т. е. ап = я/500.

85.43. Указание. Докажите по индукции, что

85.51. Указание. Докажите, что ап — 22 делится на an_6.

85.52. Поставим в соответствие каждой группе мальчиков группу девочек, образованную всеми девочками, которые дружат с нечетным числом мальчиков из данной группы. Из условия следует, что в каждой такой группе четное число девочек. Если мальчиков и девочек — по /г, то имеется 2п—1 непустых групп мальчиков и 2"—1 непустых групп девочек. Но групп, состоящих из четного числа девочек, меньше (их 2п~1— 1), и потому найдутся две разные группы мальчиков, которым будет сопоставлена одна и та же группа девочек. Это означает, что для любой девочки в классе количества ее друзей-мальчиков в этих группах имеют одинаковую четность. Теперь осталось рассмотреть тех мальчиков, которые входят ровно в одну из двух рассматриваемых групп. Они-то и образуют нужную группу.

86.3. 77a = 34a + 43a = 436 + 43a = 43(a+6). Итак, 43(а+ 6) делится на 77. Поэтому и число a + & делится на 77, а значит, оно составное.

86.5. Указание. Докажите, что сумма любых двух чисел, разделенных двумя другими числами, равна нулю.

86.6. а) 7639128. б) Ясно, что в записи не должно быть нуля. Так как наше число, очевидно, должно быть четным, то оно не может делиться и на пять — иначе бы оно оканчивалось

на нуль. Остаются восемь цифр, сумма которых не делится на три, а цифра 3 должна входить в запись числа — противоречие. Итак, такого числа не существует.

86.11. Улитка ползает по ребрам треугольной решетки, изображенной на рис. 61, причем если она выползла из точки О, то через каждый час она оказывается в точке, обведенной в кружок. Если ее путь длился п + х часов, где 0 < х< 1, то за х часов она не смогла бы доползти из точки, обведенной кружком, в начало координат.

86.13. Занумеруем эти кружки цифрами от одного до пяти. Всего имеется 32 подмножества множества всех кружков. Разобьем их на 10 наборов:

Обратите внимание на то, что в каждом наборе для любых двух его множеств одно из них содержит другое.

Теперь для каждого пионера выпишем множество кружков, в которых он занимается. Поскольку пионеров 11, то какие-то два множества лежат в одном наборе, а значит, одно из них содержится в другом.

86.16. Отразим точку В относительно биссектрисы CD и получим точку M на отрезке СЕ. Подсчитав углы, убеждаемся, что треугольники DEM и AED — равнобедренные, и потому имеем BD = DM = DE = АЕ.

86.19. Рассмотрим величину S как полусумму квадратов чисел камней в кучках. Исходно S = 312,5, в конце S = 12,5. Если кучка, в которой было х + у камней, разбивается на две кучки, содержащие х и у камней соответственно, то S уменьшается на ху. Таким образом, величина уменьшения 5 совпадает с записываемым числом. Следовательно, сумма всех вы-

Рис. 61

писанных чисел равна общему уменьшению величины S, которое равно 312,5— 12,5 = 300.

86.20. Ответ. 198.

86.22. Перепишем равенство в виде 1001Л + 999S = 1. Отсюда видно, что в качестве А и В можно взять А = 500, В = —501.

86.23. Указание. Каждое звено ломаной HKOIMH не превосходит суммы длин двух отрезков, соединяющих середины соседних сторон пятиугольника, а значит, не превосходит полусуммы двух определенных диагоналей пятиугольника.

86.24. См. решение задачи 63.26.

86.25. Докажем, что для любого п= 1, 2, ..., 33 можно построить две непересекающиеся группы команд — в первой п команд, а во второй 5п + 1 команд — такие, что все команды, игравшие с командами первой группы, находятся во второй группе (это означает, в частности, что команды первой группы не играли между собой). Для п=1 в первую группу включим любую команду, а во вторую группу — те шесть команд, с которыми она играла.

Допустим теперь, что для некоторого п < 33 такие группы построены. Так как в обеих группах вместе нечетное число команд, то имеется команда А, не принадлежащая ни к одной из этих групп, которая сыграла в первый день матч с одной из команд второй группы. Найдется еще не более пяти команд, не входящих в наши группы, с которыми играла команда Л. Добавим теперь команду А в первую группу, а эти пять (или менее) команд — во вторую группу. Теперь добавим, если это нужно, несколько команд (из числа не входящих в обе группы) ко второй группе так, чтобы она содержала ровно Ъп + 6 = 5(/г+ 1)+ 1 команд. Поскольку п < 33, это возможно, и таким образом, мы построили требуемые группы для я+1.

Рассмотрим теперь обе построенные группы при п = 33. Поскольку 6/2+1 = 199 < 200, т. е. еще одна команда, не входящая ни в одну из групп. Добавляя ее к 33 командам первой группы, получаем 34 команды, не игравшие друг с другом.

86.28. Ответ. А = 1/42, В = 1/7, С = 1/3, D = 1/2.

86.31. Ответ. А = 500, В = — 1, С = —500.

86.34. Ответ. 4.

86.35. Перепишем уравнение в виде х1985(х—1) = 19861985(1986— 1). Так как х = 1986 — решение уравнения, а левая часть есть возрастающая функция при х> 1, то других решений нет.

86.37. Ответ. 30°.

86.38. Указание. Воспользуйтесь равенством

86.40. Примем условно продолжительность марсианского года за сто дней. В жизни каждого марсианина был ровно один первый день года. Так как всего марсиан было нечетное число, то в первый день какого-то года население Марса было нечетно. Аналогично во второй день какого-либо года население Марса было нечетно и т. д. Следовательно, таких дней было не менее ста.

86.41. Указание. Докажите, что ZNCH = ZKAN.

86.42. Допустим, что закрыта авиалиния АВУ и предположим, что теперь самый короткий путь из города X в город У имеет длину в 2п + 1 посадок. Занумеруем города в этом перелете от Х0 = X до Х2п+\ = У. Ранее имелся кратчайший перелет от X до Xit+u требовавший не более п посадок, и перелет от Хп до У, также требовавший не более п посадок. Ясно, что оба они проходили через линию АВУ причем можно считать, что перелет по ней происходил в направлении от А к В. Пусть число посадок в перелете X — Хп+\ от X до А равно Su а от B до Хп+\ —1\\ в перелете Хп — Х2п+\ от В до Х2п+\ равно s2i а от Хп до А — t2.

Тогда по условию S\ + 1 + h ^ л, s2 + 1 + t2 ^ п. Складывая эти неравенства, получаем (s\ + t2) + (s2 + t\) ^ 2n — 2, и, следовательно одно из слагаемых в левой части не превосходит п—1. Но это означает, что есть перелет из X в Хп или из Хп+\ в Х2п±\ длины меньше п и не включающий линию AB — противоречие.

86.43. См. решение задачи 69.18.

86.45. Ответ. Выигрывает первый игрок.

86.50. Рассмотрим любое число с>0 и докажем, что cœA. Ясно, что найдутся числа a, b такие, что а < b < с, и отрезок [a\b]czA. Точно так же отрезок [с — а; с — Ь] содержит интервал \x;y]czA. В частности, xœA. Так как с — xœA, то и с = (с — х)+х принадлежит множеству А.

86.51. Ответ. Таких чисел 610.

86.53. Ответ. 16 + 64V2.

86.55. Из условия следует, что уравнение F(x) = x может иметь решение лишь при х=\. Допустим, однако, что F(\)>\ (другой случай аналогичен). Тогда из непрерывности F(x) следует, что для всех х имеем F(x)i>x. Но тогда F(F(.. .(1)...) > 1, сколько бы раз мы ни применяли функцию F. Это противоречие и завершает доказательство.

86.56. Указание. Рассмотрите выражение

86.58. Основная идея решения состоит в использовании «не-

четности» функции

а именно:

86.59. Рассмотрим сферу, вписанную в каркас правильного додекаэдра, и окружности, высекаемые на ней гранями многогранника. При стереографической проекции на плоскость эти окружности перейдут в окружности, а требуемое свойство следует из того, что каждая из граней додекаэдра окружена пятью другими.

86.60. Легко проверить, что и\ + и2 + и3 = V\ + v2 + ^з, U\U2 + U2U3 + UzU\ = V)V2 + V2Vz + t'3t>l. поскольку UiU2U3 = V\V2V3, то многочлены (x — U\) (x — u2) (x—из) и (x—t>i)X X(* — v2) (x — V3) совпадают. Следовательно, совпадают и множества их корней.

87.2. Ответ. Нет, нельзя. Указание. Рассмотрите остатки при делении на три или на девять.

87.4. Если количества мальчиков и девочек обозначить соответственно x и уу а цены пирожка и булочки — а и &, то получаем ха + yb = хЬ + уа — 1, т. е. (х — у) (Ь — а) = 1. Отсюда x = у+ 1.

87.5. Ответ. 1001 билет.

87.6. Указание. Первому нужно использовать центральную симметрию. Максимальное гарантированное количество его очков равно 10, т. е. он может гарантированно выиграть у второго два очка.

87.10. Нетрудно видеть, что разность между количеством даллеров и количеством диллеров всегда дает остаток 1 при делении на 11.

87.12. Ответ. Да, можно. Например (сверху вниз и слева направо): 8; 2, 4; 9, 3, 7; 0, 5, 6, 1.

87.16. Допустим, что это не так, и рассмотрим раскраску вершин куба в черный и белый цвета так, что любые две соседние вершины имеют разные цвета. Тогда любое ребро ломаной либо соединяет вершины одного цвета, либо является большой диагональю куба. Ясно, что в нашей ломаной должно

быть по крайней мере два ребра, соединяющих вершины разного цвета. Но тогда эти ребра пересекаются в центре куба — противоречие!

87.17. Если допустить, что длина дороги все время меньше 100 км, то каждый месяц строится не менее 1/10010 км. Таким образом, через 10011 месяцев строительство будет закончено.

87.18. Допустим, что даны точка А и прямая L. Проведем через точку А произвольную прямую, пересекающую L, и восставим к ней перпендикуляр в точке А. Две полученные перпендикулярные прямые пересекают L в точках В и С соответственно. Восставив перпендикуляры к ним в точках В и Су получим две прямые, пересекающиеся в точке D, причем, как нетрудно убедиться, проекции точек А и D на L симметричны относительно середины отрезка ВС. Теперь нужно повторить проведенную только что операцию, построив по точке D симметричную ей точку G — воспользуйтесь при этом прямой Uу которая параллельна L (см. рис. 62). Очевидно, прямая AG и есть искомый перпендикуляр.

87.19. Ответ. Нет, не могут. Указание. Проследите за цветом полей, на которых стоят шашки.

87.20. Допустим, что А = х + 2у + 5z + 10/ + 20и + 50v + lOOw и x + y + z + t + u + v + w = B. Тогда, умножив второе уравнение на 100, имеем 100B = IOOjc + 50(2#) + 20(5z) + 10(100+ 5(20w) + 2(50i>) + 1(100ау). Объединяя это равенство с первым уравнением, получаем требуемый размен.

87.23. Указание. Докажите индукцией по числу ветвей, что время, через которое закончится процесс, а также количество улетевших ворон не зависят от порядка перелетов.

87.26. Ответ. 100/101.

87.27. По свойству вписанных и центральных углов имеем ZMAB + ZMBA = ZAO'B/2; так как OALO'A (здесь О и О' —центры окружностей), OB 1 O'B, то ZAO'B = 180° — ZAOBy т. е. ZXAB + ZYBA + ZAOB/2 = 90°. Следовательно, величина дуги XBAY равна 180°, т. е. XY — диаметр.

87.29. Ответ. 96433469.

87.30. Пусть Ль А2у ...у А2$— звезды, заслоненные облаком, Bi, B2, ..., В2Ъ — остальные звезды. Сложим всевозможные неравенства треугольника §§ ^ BiAu + BjAk для всех 1 ^ i Ф ф \у k^. 25. Левая часть получившегося неравенства равна 257\ где Т — сумма попарных расстояний между видимыми

Рис. 62

звездами. В правых частях складываемых неравенств каждый отрезок BiAk встретится 24 раза. Поэтому правая часть не меньше чем 24(5 —Г). Отсюда 257^24(5 — Г), 49Г < 24S, Т <С 245/49 < 5/2.

87.35. Да, найдется. Например, п = 993.

87.38. Указание. Докажите, что

87.39. Ответ. Выигрывает первый игрок.

87.40. Представим произвольный сложный обмен как некую перестановку квартир, которая распадается на несколько циклических обменов. Каждый циклический обмен можно наглядно представить как поворот многоугольника, в вершинах которого «расставлены квартиры». Однако любой поворот многоугольника можно представить как композицию двух осевых симметрий, каждая из которых представляет собой набор парных обменов.

87.41. Рассмотрим угол, равный 60°, и на его сторонах отметим точки Bi на расстоянии OAt от вершины угла, причем четные точки — на одной стороне угла, а нечетные точки — на другой (см. рис. 63). Тогда нам нужно доказать, что

Но это неравенство получается при сложении трех очевидных неравенств:

87.42. Обозначим 991 через х и перепишем данное выражение

Эти три числа — простые, и разложение закончено.

87.44. Указание, а) Во дворце всегда найдется комната, закрыв которую, мы разделим дворец на несколько частей, каждая из которых содержит не более половины от общего числа комнат дворца. Ставим в эту комнату стражника, после чего оставшиеся стражники обыскивают каждую из частей. Действуя таким образом, нетрудно по индукции доказать, что п стражников могут поймать вора во дворце, состоящем не более чем из 2п комнат.

Рис. 63

Указание, в) Найдите цепочку комнат такую, что части, на которые она разбивает дворец, содержат менее трети от числа всех комнат дворца.

87.47. Раскрасим вершины куба в черный и белый цвета так, что никакие две одноцветные вершины не соединены ребром. Тогда интересующая нас сумма не превосходит произведения ху, где x — сумма чисел в черных вершинах, а у = 1—х — сумма чисел в белых вершинах. Так как х(\—*)^1/4, то неравенство доказано.

87.51. Занумеруем исходно карточки по порядку числами от О до 2п. Тогда условие, при котором для любых трех последовательных карточек с номерами а, Ъ и с имеем, что а — 2Ь + с делится на 2az + 1, сохраняется при описанных операциях. Отсюда следует, что номера первой и второй карточек в колоде определяют расположение других карточек. Так как имеется 2я(2п+ 1) пар из двух номеров, то и расположений карточек в колоде не больше.

87.54. Рассмотрим точку х0 такую, что g(x0) = xo. Положим X\ = f(xo), x2 = f(x\) и т. д. Тогда, во-первых, g(xn) = xn для любого п, и, во-вторых, последовательность {хп} монотонна — это следует из возрастания функции f(x). Монотонная ограниченная последовательность {хп} имеет предел а, который и надо взять в качестве искомой «неподвижной точки», общей для f и g.

87.56. Указание. Докажите это индукцией по Т. Используйте также то, что если набор из Т последовательных членов данной последовательности определяет следующий за ними член последовательности, то последовательность периодична.

87.60. Обозначим подмножества буквами Аи А2, ..., As. Для каждого А от 1 до M рассмотрим множество Си цепочек подмножеств вида

где каждое В; содержит ровно i элементов, а множество Ва k совпадает с Ak. Очевидно, что число таких цепочек равно произведению числа цепочек вида

и числа цепочек вида

которые равны а*! и (М — ak)\ соответственно. Так как по условию никакие два исходных множества Ak не содержатся друг в друге, то множества С* попарно не пересекаются и, следовательно, количество элементов в их объединении, равное

не превосходит количества всех цепочек, равного М\ Отсюда

88.1. В конце обязательно должна получиться таблица, у которой число в центральной клетке есть сумма чисел в угловых клетках.

88.3. Ответ. Да, можно. 51, 1, 52, 2, 53, 49, 100, 50.

88.4. Ответ. Нет, не существуют. Для любых двух ненулевых чисел либо их сумма, либо их разность имеют абсолютную величину больше, чем у обоих данных чисел.

88.5. Ответ. Нет, нельзя. Указание. Рассмотрите величину 5, равную сумме числа куч и числа оставшихся камней.

88.9. Если ab — cd = p, то а, 6, с, d делятся на р и потому р = ab — cd делится на р2. Отсюда р= 1.

88.10. Указание. Используйте тот факт, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.

88.12. Ответ. Выигрывает первый. Его стратегия состоит в том, чтобы, забирая каждым ходом либо один, либо два камня из кучки, добиваться того, чтобы число оставшихся камней делилось на три.

88.18. Рассмотрим все возможные типы раскраски вершин одной клетки (см. рис. 64). Подсчитаем теперь количество отрезков с концами красного цвета для всех клеток. Каждый отрезок внутри листа учитывается дважды, а на краю листа таких отрезков 41, т. е. общая сумма нечетна. С другой стороны, каждая клетка типов 1, 2, 4, 5, 6 дает четный вклад и лишь клетки типа 3 дают нечетный вклад в сумму. Следовательно, существует нечетное число клеток типа 3, что требовалось доказать.

88.19. Указание. Проверьте, что (а—1) (Ь—I) (с—1) = 0.

88.21. Ответ. Например, число 111 ... 11995125 (запись начинается с 94 единиц).

88.23. Ответ. Да, это верно. Если каждое утро любые два человека, живущие в одной квартире, обмениваются рукопожатиями, то при переезде общее число рукопожатий уменьшается. Если в некоторый день разъезжается п ^ 15 человек

Рис. 64

в квартиры, где уже живут au а2, . •ап жильцов соответственно, то общее число рукопожатий уменьшится на число

так как а\ + а2 + ... + ап ^ 119 — п ^ 104.

88.24. Указание. Используйте неравенство

88.27. Перепишем уравнение в виде

По условию f(a) = (a — b)(a — с) > 0, f(b) = (b — a) (b — с)<0 и f(c) = (c — а) (с — Ь) > 0. Следовательно, на отрезках [а\Ь\ и [Ь\ с] имеется хотя бы один корень уравнения. Но, с другой стороны, у квадратного уравнения не может быть более двух корней и, значит, эти корни лежат в указанных отрезках, что и требовалось доказать.

88.29. Указание. Докажите, что все произведения вида а'Ь*ску где /, /, k— неотрицательные целые числа, сумма которых равна 13, делятся на abc.

88.34. Ответ, g(х + /(у) ) = х/2 + у + 5/2.

88.35. Ответ. Нет, нельзя. В самом деле, если произведение двух чисел есть точный квадрат, то двойка входит в разложения этих чисел на простые множители с показателями одинаковой четности. В то же время среди 100 последовательных натуральных чисел, очевидно, есть числа вида 2k+ I и вида 4£ + 2.

88.36. Ответ. 1 + л/Т]Ъ.

88.39. Например, годятся числа А =4001 и B = 8001. Разность любых двух их степеней делится на 4000 и при этом отлична от нуля.

88.40. Докажем это индукцией по числу городов N. База очевидна. При N >2 начнем объезжать города, начав с любого. Ясно, что рано или поздно мы вернемся в город, в котором уже бывали, т. е. получим цикл из k > 2 городов. Объявим эти k городов вместе с соответствующими дорогами одним большим городом и получим систему из N+1 —k городов, соединенных при помощи 2N — k — 1 дорог (если внутри большого города есть хотя бы одна дорога, не входящая в цикл, то ее, конечно, можно закрыть). Так как 2N — k — 1 ^2(jV + 1 — k) — 1, то осталось воспользоваться предположением индукции.

88.41. Из условия следует, что четырехугольник AKLD— вписанный. Следовательно, ZABL + ZAKL = \80°. Тогда, очевидно, Z-BKL + Z-BCL = 180° и, значит, четырехугольник BCLK — также вписанный. Отсюда ZABL = ZLCK и, значит, ZBLA = ZCKD.

88.42. Ответ. Выигрывает второй игрок.

88.43. Сопоставим каждому слову А = а^аг... ап число Т(А) =ai +2а2+ ... +пап- Проверьте самостоятельно, что при указанных операциях остаток Т(А) при делении на три не меняется. Но так как Г(01)=2, а Г(10)=1, то получить одно из другого нельзя.

88.44. Ответ. Как ни странно, барону можно поверить. Такой лес существует.

88.46. Допустим, фишка А первой вернулась на свое исходное поле. Тогда в предыдущий момент ни одна из фишек не стояла на своем исходном поле. В самом деле, они все должны были сойти со своих мест—иначе А не могла бы обойти всю доску. С другой стороны, ни одна из них на свое место еще не вернулась.

88.47. Указание. Воспользуйтесь неравенством

88.50. Указание. Пусть k — максимальное число, встречающееся бесконечно много раз среди членов последовательности, и N— натуральное число такое, что ai^k при i^N. Выберем любое m>N такое, что a\ = k. Тогда m — период данной последовательности {а,}, т. е. aum = ai при всех i> N.

88.53. Ответ. 100л/2 метров. Поскольку улитка сделала 99 поворотов, то мы можем разбить ее путь на 100 участков, состоящих из целого числа метров каждый (некоторые, возможно, имеют нулевую длину), двигаясь по которым, улитка поворачивала только направо или не поворачивала вовсе. Легко видеть, что расстояние между началом и концом такого участка не превосходит V2. Поэтому расстояние между началом и концом пути не больше 100У2. Отыскать пример предоставляется читателю.

88.54. Ответ. /(500) = 1/500. В самом деле, /(999) = /(/(1000))= 1//(1000)= 1/999. Следовательно, функция принимает значения 999 и 1/999, а значит, найдется число а такое, что /(а) =500. Но тогда /(500) =/(/(а)) = 1//(а) = 1/500.

88.58. Указание. Воспользуйтесь следующей леммой: если P(x)+kP' (х) всегда неотрицательно, то и Р(х)^0 при любом X.

88.60. Пусть Л1Л2... Ап — наш многоугольник М\ i-я сторона— это отрезок AiAi+i(An+i=Ai). Рассмотрим векторы vi = AiAi+i и добавим к их набору еще и векторы — vi = At+\Ai.

Теперь отложим эти векторы из начала координат и занумеруем их по часовой стрелке, начав с vi: tu, ^2, ..., u2n. После этого

рассмотрим концы векторов

Легко видеть, что они образуют выпуклый и центрально симметричный 2м-угольник N такой, что любой стороне многоугольника M соответствуют две равные и параллельные ей стороны многоугольника N, причем проекция N на любую прямую имеет длину ровно в два раза больше, чем проекция M на ту же прямую. Отсюда получаем, что выражение £ CLildi имеет для N то же значение, что и для М. Осталось доказать наши неравенства для центрально симметричного многоугольника N. Пусть N = BiB2... В2п. Обозначим через А* проекцию N на направление, перпендикулярное i-й стороне N. Тогда dihi^S(N) (S обозначает площадь), и мы получаем, что

где О — центр симметрии N.

Левое неравенство доказывается так: £ ai/di ^ (£ я<)/А где D — диаметр многоугольника, т. е. наибольшее из расстояний между его вершинами. Так как 2 щ — это периметр, то очевидно, что £ щ > 2D.

89.1. Ответ. 33 задачи.

89.2. В самом деле, если заменим первые три цифры счастливого билета на их дополнения до девяти, то получим билет с суммой цифр 27 и наоборот.

89.3. Указание. Докажите, что разность между количеством участков первого типа и количеством участков второго типа должна делиться на четыре (а на самом деле она должна быть равна четырем).

89.5. Это числа 166667 и 333334.

89.6. Ответ. Выигрывает второй игрок. Для этого ему нужно повторять ходы первого игрока симметрично относительно центра, меняя крестики на нолики и нолики на крестики, до тех пор, пока ему не представится возможность выигрыша. То, что такая возможность обязательно возникнет, устанавливается небольшим перебором в рамках центрального квадрата 2X2.

89.11. Ответ. Нет, нельзя. Рассмотрим грань стопки, на которую ни один из 101-угольников не выходит стороной (1 —101) —таких граней не менее двух. Тогда суммы чисел на двух вертикальных ребрах этой грани имеют разную четность и не могут быть равны.

89.12. Ответ. Это число 1944 = 23. З5.

89.13. Поскольку сумма квадратов чисел в наборе уменьшается при указанных операциях, то исходный набор повториться не может.

89.14. Ясно, что число лжецов равно числу физиков, т. е. равно п. Но, с другой стороны, число лжецов четно.

89.16. Если числа x, у, z по модулю не меньше 1, то х2 + у2++z2^x + y + z и неравенство очевидно. Если же одно из них (например, х) имеет абсолютную величину, меньшую 1, то x2 + y2+z2 ^ y2 + z2 ^\yz\^\xyz\.

89.18. Ответ. Да, библиотекарь может так действовать. Указание. Докажите это индукцией по числу томов.

89.19. Выигрывает второй игрок. Он должен каждым своим ходом переставлять фишку на узел, симметричный тому, на котором она стоит, относительно центра квадрата.

89.20. Ответ. Да, существует. Для его построения достаточно рассмотреть произвольные сто натуральных чисел, после чего домножить их все на число, равное произведению сумм всевозможных пятерок чисел из исходного набора.

89.22. Пусть B=A+k. Тогда Л2 + 1 = (A + k) (А — k) + £2 + 1 и, следовательно, &2+1 делится на A + k = B. Но если k ^ д/Л, то k2^A и k2+ 1 ^ А + 1<В(ВФА + 1, так как А2+1 не делится на А + 1) —противоречие.

89.24. Допустим, что все фишки расположены в k столбцах: по au û2, ..., au фишек соответственно. Вычислим произведение для каждой фишки первого столбца — их сумма не больше чем а\гп — и аналогично для остальных столбцов. Следовательно, сумма всех произведений не превосходит а\т + агт + ... + aktn = m2, что, очевидно, нарушалось бы, если бы фишек, для которых произведение не меньше 10/л, было бы больше т/10.

89.25. Ответ. Если k =1989, то в турнире было два участника, а если £=1988, то в турнире могло участвовать два или три шахматиста.

Допустим, участников было п: первый набрал А очков, второй— Ар очков, ..., победитель — Ар71-1 очков. Победитель не может набрать более 2k (п—1) очков, а все остальные участники набрали не менее чем k(n—1)(п — 2) очков. Сравнивая эти числа, мы видим, что при п ^ 4 2k (п—1) ^.k(n—1)Х Х(п — 2). С другой стороны, Арп~1 > А +Лр + ... +Лрп~2. Следовательно, п < 4. Более того, при р ^ 3 очки победителя более чем вдвое превосходят сумму очков всех остальных, что невозможно при п = 3. Отсюда получаем, что п = 3 возможно лишь при р = 2, т. е. игроки набрали А, 2Л и 4Л очков, т. е. общая сумма очков, равная, очевидно, 6&, должна делиться на семь. Отсюда k должно делиться на семь. Число 1989 на семь не делится и потому п = 2 — единственный вариант в этом случае. Пример для £ = 1988 и п = 3 построить совсем нетрудно.

89.26. Ответ. Это возможно лишь при четных N. Рассмотрим все точки, помеченные единицей. Через каждую из них проходят две прямые и потому N должно делиться на два.

Пусть теперь N — четно. Занумеруем прямые числами от 1 до Л/ и для любых i и /, меньших N, на пересечении i-й и /-й прямых напишем положительный остаток числа i+j при делении на N (т. е. вместо 0 будем писать N). Около точки пересечения iV-й прямой и i-й прямой напишем остаток от деления числа 21 на N.

89.30. Ответ. Периметр равен 1 — 1/(1 +sin 18°).

89.31. Ответ. Да, можно.

89.37. Рассмотрите операцию, сопоставляющую каждым двум натуральным числам их наибольший общий нечетный делитель.

89.38. Сумма этих чисел равна нулю.

89.41. Указание: Докажите, что равны грани, прилегающие к самому короткому боковому ребру.

89.44. Пользуясь попеременно свойствами а и б, получаем <A*B)*C = — (С*(Л*В)) = — ((С*Л)*В) = В * (С*Л) = — (Л*(В*С)) = — ((Л* В)*С), откуда (Л*В)*С = 0. Но по условию А * В может принимать любое целое значение X, равно как и Х*С9 что и дает противоречие.

89.47. Пусть t> 1 — квадратный корень из числа, являющегося решением упомянутого квадратного уравнения. Тогда Л^4 + (С — B)t2+(E — D)=0, т. е. Afi + Ct2+E = Bt2+D. Обозначим левую и правую части этого равенства через F и G(F = G) и положим f(x) =Axlk + Bx3 + Cx2+Dx + E. Тогда имеем f(±/) = FdztG. Так как t>l, то эти два значения имеют разные знаки и, следовательно, на промежутке [—/; /] многочлен f имеет корень.

89.48. Указание. Докажите, что четырехугольник АВОС (где О — центр описанной окружности треугольника ABC)—вписанный.

89.50. Допустим, что такая расстановка существует. Пусть 2а — наименьшая сумма чисел в строке. Тогда 2а^1+2 + .. . +k = k(k+ 1)/2. С другой стороны, сумма всех чисел в таблице должна делиться на 2а и получаем, что k2(k2+l)/2 делится на 2а. Если k нечетно, то kz(k2+l)/2 — нечетно. Если же k — четно, то 2а должно делить k2/2, но k2/2 < k{k + 1)/2 ^ 2° — противоречие.

89.51. Допустим, что это не так. Тогда в любой момент времени есть строка и столбец, целиком заполненные шашками, и весь этот крест должен состоять из шашек одного цвета. Осталось заметить только, что исходно цвет креста был белый, а за одну перекраску не может исчезнуть крест одного цвета и возникнуть крест другого цвета. Значит, крест в конце не может быть черным — противоречие.

89.52. Ответ. 18.

89.53. Выигрывает первый, каждым своим ходом прибавляя единицу к числу, написанному на доске.

89.54. Ответ. 56 слов. Указание. Рассмотрите все слова языка племени Тру-ля-ля вида 11... 100... 0100... 0. Докажите, что любое слово можно привести к такому виду. Для доказательства того, что эти слова различны, используйте следующую величину, определяемую для любого слова в языке Тру-ля-ля: количество нулей, справа от которых стоит нечетное число единиц. Докажите, что эта величина не меняется при выполнении описанных в условии задач и операций.

89.57. Указание. Используйте тот факт, что число 107— 1 делится на 239.

89.58. Указание. Воспользуйтесь очевидным неравенством

89.60. Указание. Проверьте, что числа в первых четырех строках целые, после чего докажите требуемый факт индукцией по номеру строки.

89.61. Рассмотрим последовательность (bk) такую, что 6, = arctg аи bk+\ = bk + arctg(l/£). Тогда при помощи формулы для тангенса суммы углов получаем au = \gbk и bk+\ = bk + arctg(l/k). Осталось лишь воспользоваться тем, что последовательность (bk) неограниченно возрастает, а разность между двумя ее последовательными членами стремится к нулю.

89.62. Указание. Как равенство AM+AN=CM+ CN, так и равенство АО + AB = СО + СВ равносильны тому, что в «четырехсторонник» ХАОСУ (см. рис. 65) можно вписать окружность, т. е. четырехугольник OMBN (или АВСО) является «внеописанным».

89.63. Ответ. Для всех меньших 100 и таких, что k+l не делится на восемь.

89.64. Указание. Сначала рассмотрим квадрат размером /г/2Xл/2, наклоненный на 45° и вписанный в наш треугольник. Докажем, что в нем не менее /г/4 разных чисел. Для этого убедитесь, что для любых четырех чисел а, &, с и d из этого квадрата, которые находятся на пересечении любых двух строк и двух

Рис. 65

столбцов квадрата (а— над b и cf d — под бис), выполнено неравенство ad < be.

После этого заметим, что если в квадрате менее чем п/4 разных чисел, то обязательно найдутся два разных столбца и две разные строчки квадрата такие, что для четырех чисел в клетках их пересечения верно следующее: те из них, которые стоят в одной строке, совпадают. А это, безусловно, противоречит указанному выше свойству.

89.69. Ответ. Три решения. Указание. Воспользуйтесь выпуклостью функции sin (sin (sin (sin (sin (x))) )) на промежутке [0; 3].

89.71. Зафиксируем натуральное число k и рассмотрим произвольное натуральное п. Тогда

Следовательно,

для любого натурального п.

Устремляя п к бесконечности, получаем, что предел последовательности {ап+\ — ап) равен ак+\ — ak. Но точно так же для любого другого натурального m этот предел равен am+i — am. Так как предел последовательности единственен, то am+i — am = ak+i — ah для любых k и m и, значит, последовательность (ап) — арифметическая прогрессия.

89.72. Ответ. Выигрывает второй игрок. Он заранее мысленно разбивает все числа от 0 до 999 на 125 восьмерок последовательных чисел, а затем действует следующим образом: после того, как первый игрок выписывает на доску первое (не обязательно наибольшее) число в какой-либо восьмерке, второй игрок делает ответный ход, выписывая на доске минимально возможное число этой же восьмерки (при этом он берет три, четыре или пять спичек). Оставшиеся шесть спичек второй игрок мысленно разбивает на три пары (по порядку), а на каждый ход первого игрока, заключающийся в выписывании одного из этих чисел, второй игрок отвечает ходом в другое число той же пары; легко проверить, что спичек, взятых вторым игроком при первом ходе внутри этой восьмерки, в любом случае хватает ему для этого (подразумевается, что эти спички второй игрок откладывает в отдельную кучку и использует их только при игре внутри данной восьмерки). Таким образом, у второго игрока всегда есть ответ и, следовательно, он выигрывает.

90.1. Используйте то, что сумма номеров страниц на одном листе всегда нечетна.

90.3. Нет, нельзя, так как число 39 нельзя представить в виде суммы нескольких слагаемых, равных 5 или 11.

90.4. Выигрывает Волк. Ему для этого достаточно каждым своим ходом вычитать из числа его последнюю цифру, делая его делящимся на 10.

90.6. См. решение задачи 90.19, считая мальчиков рыцарями, а девочек — лжецами.

90.7. Ответ. Джон живет в квартире номер 217.

90.8. Ответ. Может быть занято 29 стульев.

90.9. Да, может. В самом деле, обозначая действия компьютера стрелкой а действия Феди — стрелкой можно написать

и далее повтор уже описанных действий.

90.10. Указание. Докажите, что треугольники ADP и ВСР равны.

90.13. Разобьем квадрат на четыре четверти. Если суммы чисел в них имеют одинаковые знаки, то очевидно, что одна из них по модулю не больше 25. Если есть две четверти, суммы чисел в которых (скажем, а и Ь) имеют разные знаки, то соединим эти две четверти цепочкой квадратов 25x25 так, что каждые два соседних квадрата в цепочке перекрываются по прямоугольнику 24x25. Тогда суммы чисел в любых двух соседних квадратах цепочки отличаются друг от друга не более чем на 50. С другой стороны, так как а и b — разного знака, то в цепочке должны быть два соседних квадрата, суммы чисел в которых также разного знака. Ясно, что в одном из них модуль суммы чисел не превосходит 25.

90.14. Указание: Сумма номеров страниц на одном листе всегда имеет остаток 3 при делении на 4.

90.16. Ответ, а = 12, 6 = 13, с = 57.

90.17. Рассмотрим два произвольных города А и В. Допустим, что нет дороги А -> B, а также, что нет города С такого, что имеются дороги Л->С и С-+В. Найдем 40 городов Аи Л2, ..., Л4о, в которые ведут дороги из А, и другие (!) 40 городов Ви В2у . .., /?4о, из которых дороги ведут в В. Из городов Ai выходит всего 1600 дорог. В то же время суммарное число дорог между самими городами Л/ не превосходит 20-39 = 780, а число дорог, ведущих из них в оставшиеся 19 городов, не более 20-38 = 760. Так как 1600 > 1540 = 780 + 760, то найдется дорога вида Ai->Bj, что и требовалось доказать.

90.18. Выделим три кучки по 34 монеты в каждой и сравним вес первой и второй кучек, а затем второй и третьей. Ясно, что все они равными быть не могут. Допустим, что при первом

взвешивании вес кучек различен, а при втором равен, и будем считать для определенности, что первый набор тяжелее. Тогда либо во второй и третьей кучках все монеты настоящие и, значит, фальшивая монета тяжелее настоящей, либо же в обеих этих кучках имеется по одной фальшивой монете — и она более легкая. Осталось лишь выяснить, имеется ли в третьем наборе фальшивая монета, что можно сделать, разделив его пополам и сравнив вес двух половин (по 17 монет в каждой). Другие случаи разбираются аналогично.

90.19. Выберем нескольких лжецов (назовем их главными) так, чтобы никакие два главных лжеца не были знакомы друг с другом и чтобы каждый лжец был знаком хотя бы с одним главным лжецом. Это можно сделать следующим образом: рассмотрим одного любого лжеца и объявим его главным. Затем, если есть хотя бы один лжец, не знакомый с ним, объявим этого второго лжеца главным и т. д. Если на очередном шагу существует хотя бы один лжец, не знакомый ни с одним из уже назначенных главных, то нужно объявить и этого лжеца главным.

Далее, число всех лжецов, очевидно, не превосходит суммы û1 + û2+ ... +ап> где п — число главных лжецов, а щ — количество лжецов, знакомых с i-м главным лжецом, включая самого /-го главного лжеца. Обозначим через bi количество рыцарей, знакомых с /-м главным лжецом. Тогда по условию bi ^ au Также нетрудно видеть, что никакой рыцарь не может быть знаком с двумя главными лжецами — иначе эти лжецы должны быть знакомы между собой. Отсюда количество всех лжецов не больше а\ + а2+ ... +ап ^ + ... +&п, что не превосходит количества всех рыцарей.

90.20. Ответ. 1706. Указание. Пара (m, п) удовлетворяет неравенствам из условия тогда и только тогда, когда прямая у = л/2х пересекает на координатной клетчатой плоскости клетку, левый нижний угол которой имеет координаты (га, п).

90.23. Пусть А — какой-либо член арифметической прогрессии, d — ее разность. Тогда все члены прогрессии вида A + \0kd, где 10fe > А, имеют одинаковую сумму цифр.

90.24. Равенство треугольников AHD и ABC дает нам равенство АВ = АН. Отсюда равнобедренные треугольники АВН и ACD подобны и поэтому ZHCD = ZBHA = ZCHK, т. е. СК = НК. Так как ZKDH = 90°— ZHCD =90°— ZCHK= ZKHD, то HK = KD, а значит, CK = HK = KD.

90.27. Ответ. А =В = С = 0 или А =В = С = 3.

90.28. Ответ. ВС= 13.

90.32. Ответ. Вариант а: можно; вариант б: нельзя. Указание. Вариант б: докажите, что каждая вершина любого квадрата лежит на стороне большего квадрата. Рассмотрите теперь

квадрат с минимальной длиной стороны, участвующий в «замощении». Тогда для одного из четырех граничащих с ним квадратов указанное свойство не выполнено.

90.35. Указание. Используя то, что F(n) —F (m) делится на п — m, докажите, что F (7) делится и на два, и на пять.

90.37, а. Всего в таблице имеется девять горизонтально расположенных прямоугольников 2x10. Следовательно, в одном из них находится не менее семи квадратиков 2X2. Очевидно, что один из них покрыт двумя другими.

90.37,6. Отметим в квадрате 12 белых и четыре черные клетки так, как это показано на рис. 66. Тогда мы можем выбрать 12 квадратов, покрывающих белые клетки, причем на краю доски остается ровно восемь непокрытых клеток. Взяв еще восемь квадратов, накрывающих эти клетки, мы получим 20 квадратов, покрывающих в точности кайму шириной 2. Рассмотрим теперь четыре квадрата, покрывающих четыре черные клетки. В центральном квадрате 6X6 они покроют 16 клеток, и для оставшихся 20 мы можем найти по квадрату, покрывающему и их. Таким образом, некоторые 24 квадратика будут покрывать центральный квадрат 6X6. Итого мы имеем 44 квадратика 2x2, накрывающих всю доску, и, стало быть, мы можем убрать один из данных нам 45 квадратиков.

90.37, в. Ответ. Это наименьшее значение равно 39.

90.42. Указание. Рассмотрите стандартное разбиение тетраэдра с длиной ребра 1 на четыре тетраэдра с длиной ребра 1/2 и на октаэдр с длиной ребра 1/2.

90.43. Из тождества Ъ(a2+ab+l)— a(b2+ba+\) = b— а следует, что а — b делится на fe2 + 6a+l, что возможно только при а — 6=0.

90.45. Указание. Рассмотрите точку R' =АР []BD и докажите, что четырехугольник CPR'Q — вписанный.

90.47. Воспользуемся хорошо известным и легко доказываемым фактом: площадь любого треугольника с вершинами в узлах сетки есть число вида п/2, где п — натуральное. Тогда АС • AD sin ZDAC равно, как и ВС • BD sin ZDBC — целое. Следовательно, \АС • AD — ВС . BD\ = m/sin а, где а= ZDAC = ZDBC, a m — ненулевое целое число. Отсюда и следует требуемое неравенство.

Рис. 66

90.48. Указание. Докажите этот факт индукцией по числу дорог.

90.49. Ответ, p + q—1. Построение примера оставляется читателю, а мы докажем, что на меньшее число кусков торт разрезать нельзя. Допустим, что в комнате собрались все p + q гостей (будем считать, что среди гостей, которые должны были прийти в числе р человек, нет тех, которые должны были прийти в ^-варианте). Положим на стол произвольный кусок пирога и пригласим к столу тех двух гостей, которые должны были получить его либо при делении на р частей, либо при делении на q частей. Затем положим на стол все куски, которые должны были получить эти два гостя, и пригласим к столу тех гостей, кому должен был достаться хотя бы один из этих кусков в одном из вариантов раздела, и т. д. Нетрудно видеть, что если у стола стоит k человек, то на столе лежит не более k+\ куска пирога. Отсюда получаем, что в конце концов не все гости окажутся у стола. Это означает, что на столе в конце этого процесса лежит доля пирога (но не весь пирог!), представляющая собой как объединение нескольких р-х частей, так и нескольких q-x частей, что невозможно в силу взаимной простоты р и q.

90.50. Ответ. Да, это возможно. Указание. Рассмотрите набор из 20 целых чисел Хи х2, ..., х2о таких, что разности х2 — Xi, Хз — *2, ..., Xi — Х20 дают в точности набор чисел, стоящих на окружности; выясните, как указанное в задаче преобразование влияет на набор {хь}.

90.56. Ответ. 124 перестановки. Указание. Разбейте всю перестановку томов на циклы. Назовем операцию обмена томов из разных циклов слиянием, а операцию обмена томов из одного цикла — разрывом. Докажите, что, применив не более 25 операций слияния и не более 99 операций разрыва, можно расставить тома в правильном порядке. Пример, когда менее чем за 124 обмена не удастся расставить тома по порядку, таков: перестановка состоит из одного цикла длины 50, составленного исключительно из томов с четными номерами, и из 25 циклов длины 2, составленных из томов с нечетными номерами.

90.57. Докажем это от противного. Пусть есть числа Хи А'2, ..., Хш такие, что F(xk) не делится на ак для любого £ = 1, 2, ..., m. Это означает, что найдутся числа dk = Pk , где рк — простые числа такие, что au делится на du, но F(Xh) не делится на dh- Если среди этих чисел есть степени одного и того же простого числа, то выкинем все, кроме минимальной — ведь если F (х) не делится на нее, то не делится и на остальные. Таким образом, мы получили набор du d2, ..., ds, состоящий из попарно взаимно простых чисел. По известной китайской теореме об остатках найдется целое N такое, что для любого £ = 1,2,... ..., s оно имеет тот же остаток по модулю du, что и хи- Отсюда

с применением свойства: F(m) —F(n) делится на m — п (верного для многочленов с целыми коэффициентами, и вообще говоря, неверного для многочленов, принимающих целые значения в целых точках, но имеющих рациональные коэффициенты), получаем, что F (N) не делится ни на одно из чисел dk, а значит, и ни на одно из ak — противоречие.

90.60. Указание. Исключим поочередно отрезки, целиком содержащиеся в других. Теперь подвергнем — опять-таки поочередно — каждый отрезок гомотетии с центром в его середине и с минимально возможным коэффициентом — так, чтобы отрезки по-прежнему покрывали исходный. Тогда каждый отрезок будет иметь общие внутренние точки не более чем с одним другим отрезком и, таким образом, достаточно доказать нужный факт для отрезка, покрытого двумя другими, меньшими, отрезками.

90.61. Ответ. Нет, не существует.

90.62. Ответ. Нет, нельзя. Указание: Докажите, что количества красных, синих и зеленых ладей в такой расстановке должны быть равны.

90.63. Указание. Докажите, что H — центр вневписанной окружности треугольника ACF, касающейся стороны AF.

90.64. Указание: Докажите это индукцией по числу городов п, начиная с п = 7. Для индукционного перехода используйте лемму: существует город, из которого выходит не менее двух дорог и в который входит не менее двух дорог.

Обращаем ваше внимание на то, что доказательство базы в данном случае представляет собой едва ли не самый трудный момент в решении.

90.65. Указание: Допустим, что есть вещественные х и у такие, что f (х) < f(y) и при этом х < у < x+f (х). Тогда, очевидно, существует прямая L с уравнением х + пу = с (п — натуральное число), отделяющая точку (у, f(y)) от точек (х, f(x)) и (x + f(x)f f(x+f(x))) графика. Такая прямая должна пересекать график функции f(x) по крайней мере в двух разных точках.

90.66. Указание. Рассмотрите последовательность . . ., Х-и хо, Хи х2у х3у ... такую, что xk+\ — xk = a*(mod п) (здесь а0, au ..., an-i — числа, стоящие по окружности, перечисляемые по часовой стрелке; é(modn) обозначает остаток числа k при делении на п]. Выясните, какие преобразования такой последовательности соответствуют преобразованиям набора {ak}, указанным в задаче.

91.1. Ясно, что тех кружковцев, у которых количество гвоздиков равно количеству болтиков, а количество винтиков не равно количеству гвоздиков, не менее чем 40— 15— 10= 15 человек. С другой стороны, у каждого такого кружковца число винтиков не равно числу болтиков.

91.2. Ответ. Нет, не может. Указание. Число обменов типа три — на два должно быть равно числу обменов два — на три.

91.4. Ответ. Шесть дней.

91.5. Ответ. Да, может. Ему надо сломать оба прута (первый и третий) одинаково: каждый на части с длинами 50 см, 25 см и 25 см.

91.6. Нет, не обязательно. Рассмотрите такой турнир: команды Au Л2, Аз набрали во встречах между собой по одному очку так же, как и команды в тройках В и В2у Вз и Ci, С2у Сз. Затем все команды Лг- выиграли у всех команд Bj, все команды Bj — у всех команд С*, а все команды С* — у всех команд Ai.

91.8. Ответ. 12 ныряльщиков.

91.9. Допустим, что это не так. Пусть все гномы и эльфы уйдут из-за стола. Тогда ясно, что между любыми двумя оставшимися стоит ровно один пустой стул, а значит, мест за столом — четное число.

91.11. Ответ. # = 19.

91.12. Допустим, что из А в В нельзя проехать по железной дороге не более чем с двумя пересадками, а из С в D нельзя проехать по шоссе, заехав по дороге не более чем в два других города (может быть, какие-то два города из четырех перечисленных совпадают). Рассмотрим тогда только дороги, связывающие города А, B, С и D. Нетрудно видеть, что какой-то из типов транспорта обязательно связывает все четыре города, и тогда из любого из них можно добраться при помощи этого вида транспорта в любой другой, заехав не более чем в два остальных города четверки — противоречие.

91.13. См. решение задачи 91.19.

91.15. Ответ. 24, 42.

91.17. Указание. Продолжим отрезки АХ и AY до пересечения с прямой ВС в точках К и L. Докажите, что отрезок XY есть средняя линия в треугольнике AKL.

91.18. Указание. Воспользуйтесь тем, что если f(x) = х2 + х + 1» g(x) = х2 — х+1, то g(x) =f(x— 1).

91.19. Отметим звездочками клетки, номера столбца и строки которых нечетны. Пусть в разрезании участвует х фигурок типа (1) и у фигурок типов (2) и (3), тогда Зх + 4у= (2п— I)2. Поскольку каждая фигурка, как нетрудно проверить, содержит не более одной звездочки, то х + у ^ п2. Отсюда 4х-{-4у ^ 4п2 и потому x ^ 4п2 — (2п — 1 )2 = 4п — 1.

91.20. Ответ. Да, такие наборы существуют. Например, годятся наборы А = {1, 2, 9, —45} и B={—1, —2, —9, 45}. Для любого числа х из набора А (5), очевидно, в наборе В есть пять чисел, сумма которых равна —х. Тогда сумма остальных пяти чисел из набора В равна х.

91.22. Проведем дополнительное построение — рассмотрим прямую, параллельную ВС, проходящую через точку Л. Отме-

тим на ней точку Z такую, что AZ = BX. Нетрудно видеть, что YZ^AC и по неравенству треугольника XZ + XY^YZ^AC. Так как треугольники AXZ и BXY равны, то XY = XZ и, таким образом, 2XY^AC.

91.23. Указание. Докажите, что x2+y2+z2= (jc + у— z)2, где z — наименьшая сторона треугольника.

91.24. Указание: Проверьте, что при ai ^ 10р ни один из членов последовательности не может быть больше 10?.

91.26. Рассмотрим граф знакомств и удалим из него все лишние ребра, т. е. оставим лишь столько, чтобы каждая компонента связности осталась связной. После этого найдется вершина Хо, соединенная ровно с одной вершиной У, и мы можем рассмотреть те вершины Хо, Хи . •., Xk, которые соединены ребром только с Y. Эти вершины вместе с Y будут образовывать группу номер 1. Среди оставшихся вершин, очевидно, ни одна не соединена со всеми другими — иначе для нее и для Y не найдется третьей, не соединенной с ними. В то же время каждая из оставшихся вершин соединена хотя бы с одной вершиной, не входящей в группу номер 1. Осталось доказать, что эти вершины можно разбить на две группы так, чтобы каждая вершина была соединена в своей группе хотя бы с одной другой. Это доказывается аналогичным построением — см. первые три фразы вышеизложенного рассуждения.

91.29. Есть несколько способов взаимного расположения окружностей и точек на них. Рассмотрим способ, указанный на рис. 67. Допустим, что прямая 0\А пересекает вторую окружность в некоторой точке Р'. Тогда /LAP'02 = /-Р'А02 = 180° — ZOiA02= 180°— ZOiB02, т. е. четырехугольник OiB02P' — вписанный и, значит, точки Р и Р' совпадают.

91.30. См. решение задачи 90.26.

Рис. 67

91.31. Указание. Оцените две половины указанной суммы через площади подграфика и надграфика функции f(x) внутри квадрата [0; 1]Х [0; 1].

91.32. Ответ. Нет, нельзя. Указание. Проследите за остатком при делении на 37.

91.34. Указание. Если обозначить через А, В и С количества красных, синих и зеленых клеток соответственно, то очевидны неравенства А ^ 3B, В ^ ЗС, С ^ ЗЛ. Докажите теперь неравенства Л<В + 4С, В ^ С + 4Л, С^Л + 45. Используйте такое построение: для каждой красной клетки Xi рассмотрим цепочку из трех клеток — самой клетки Х\, соседней с ней синей Х2 и соседней с Х2 — зеленой Аз, причем по возможности необходимо выбрать их так, чтобы их центры не находились на одной прямой. Затем в каждой цепочке отметим клетку: синюю, если цепочка — прямая, и зеленую, если цепочка — изогнутая. Тогда любая синяя клетка отмечена не более одного раза, а любая зеленая — не более четырех раз, и это доказывает неравенство А ^ B + 4C.

91.38. Указание: Проверьте, что при ai ^ 10р— 10 для любого п имеем ап < Юр, а при ai ^ 4 • 10р для любого п имеем ап ^ 4- 10Р + 8.

91.39. Ответ. Нет, не существует. Домножая на х — у, получаем, что xil— уп = х — у, т. е. л:11 — х = уп — у. Отсюда многочлен f(t)=til — t+C должен иметь четыре различных корня, что невозможно, так как f"(t) имеет лишь один корень.

91.40. Указание. Проведите биссектрисы углов AXY и XYC> пересекающиеся в точке Р и пересекающие сторону АС в точках R и Q соответственно. Используйте то, что треугольники AXRy QYC и XYP подобны треугольнику ABC и покрывают его.

91.41. Указание. За первые 500 дней Минтранс должен создать замкнутый цикл длины не меньше чем 400. Тогда городов, из которых в города цикла идет не больше 300 не закрытых еще дорог, не более 15. Теперь нужно за 30 дней соединить эти города двумя дорогами (туда и обратно) с любыми другими городами. Далее Л1интранс должен действовать по следующему правилу: нужно каждый из остальных городов соединить двумя дорогами (туда и обратно) с циклом, причем это можно сделать, соединяя каждый день именно тот город, из которого к этому дню в города цикла выходит минимальное количество не закрытых еще дорог.

91.43. Ответ. Это окружность с диаметром AB.

91.44. Указание: Докажите это индукцией по числу команд.

91.45. Рассмотрите числа аь=(2£+1)2 при &=1, 2, .. ., 8.

91.46. Ответ. Такой функции не существует. Указание. Рассмотрите последовательность ai = 1, a2 = /(ai), ..., an = f(an-i), ... и докажите, что каждое натуральное число ровно один раз встречается среди ее членов и при этом последовательность монотонна.

91.47. Воспользуемся следующей леммой, доказательство которой оставляется читателю в качестве упражнения на применение индукции.

Лемма. Пусть 5 — множество из k ^ 13 целых чисел, не делящихся на 13; A(S) —множество остатков при делении на 13 всевозможных сумм нескольких чисел из 5. Тогда в множестве A (S) не менее k элементов.

Теперь разобьем наше 26-значное число на 13 двузначных чисел aibi, агЬг, ..., «13613. Рассмотрим множество S, состоящее из 13 чисел 9at, 9а2, ..., 9ai3. По лемме множество A (S) состоит из всевозможных 13 остатков при делении на 13. В частности, выполняется равенство

где M — сумма всех 13 двузначных чисел, а [х] обозначает остаток числа х при делении на 13. Разобьем теперь каждое из двузначных чисел atxbix ai 2bi2> •••» aip)ip на цифры. Сумма полученных однозначных и оставшихся двузначных чисел равна M — 9ai{ — 9а;2 — ... — 9aip и, значит, делится на 13.

91.49. Указание. Тасовку можно воспринимать как разбиение колоды на несколько частей, каждая из которых переворачивается, оставаясь на том же месте, после чего переворачивается вся колода. Исключим переворачивание колоды и вместо тасовки будем выполнять лишь переворачивание частей, на которые разбивается колода — назовем эту операцию флопом. Пусть F(п) обозначает число флопов, достаточное для того, чтобы привести колоду из п карт в любое положение. Неравенство F(x) ^ F (у) при х<у очевидно. Докажите, что F(2h) ^ ^ 77(2fe_1) + k. Отсюда будет следовать, что F(1000) ^ ^ Т7 ( 1024) ^ 55. Добавляя, если это необходимо, еще одну тасовку, состоящую в разбиении колоды на части по одной карте (приводящую просто к переворачиванию колоды), получаем необходимое нам упорядочение карт в колоде.

91.51. Обозначим середину отрезка ВВ' через D. Так как ZANM' = ZABB\ то прямые ММ' и ВВ' пересекаются в точке N', лежащей на нашей окружности. Короткое вычисление показывает, что NM/ММ' = NB/BD, а равенство углов NMM' и NBD влечет подобие треугольников NMM' и NBD. Следовательно, ZMM' N = ZBDN и ZNM'N' = ZNDN'. Значит, M'DN'N— вписанный четырехугольник и потому ZM'DN = - ZM'N'N=ZMN'N = 90°.

91.52. Указание. Используйте то, что для любого х ^ —1 имеем

91.54. Указание: Для любого t œ [0; 1] имеем неравенство»

Подставьте g(x) вместо t и учтите, что f(t) ^ 1. После этого остается лишь еще раз проинтегрировать полученное неравенство.

91.55. Пусть z— комплексный корень из единицы степени рг т. е. zP = l. Так как 0=2? — 1 = (г— 1) (г*>-1+2*>-2+ ... +2+1), то получаем, что гр~1+гр~2+ ... +2+1=0 при 2=^1. Рассмотрим теперь многочлен /(/) = ai + a2t + a3tz+ ... + antn~{. Если последовательность (au) является р-уравновешенной, то любой комплексный корень из единицы степени р, не равный 1„ является корнем этого многочлена. В самом деле,

где

откуда и следует, что f(z) =0.

Поскольку для каждого р имеется р — 1 комплексных корней из 1, отличных от 1, то по условию задачи многочлен f(t) имеет 2 + 4 + 6+10+12+16 = 50 > 49 различных (!) корней. Так как ненулевой многочлен не может иметь корней больше, чем его степень, то /(/)=0 и все его коэффициенты равны нулю.

91.56. Положим, х = 512, (/ = 675, 2 = 720. Тогда 2z2 = 3xy и делится на х + у— 2 = 467. Более точно данное число равно 229-467.7621.

91.57. Ответ. Нет, неверно. Указание: Положим, 2м=Ю2р, где р — достаточно большое натуральное число. Занумеруем все вершины 2/2-угольника по порядку и в шаблон включим все вершины, номер которых, записанный в 102-ичной системе счисления, содержит хотя бы один нуль в качестве цифры.

92.1. Допустим, что ничьих не было. Тогда команда, набравшая 20 очков, должна была сыграть четное число игр (так как у нее количество выигранных матчей на 20 превосходит число проигранных), а команда, набравшая семь очков, должна была

сыграть нечетное число игр. Это дает противоречие, так как любые две команды в круговом турнире должны сыграть одинаковое количество матчей.

92.2. Ответ. 25 стражников.

92.3. Разность двух данных чисел равна 3N+1. Однако одно из этих чисел делится на три и сумма его цифр делится на три. Следовательно, другое число не делится на три и сумма его цифр не может быть такой же, как и у первого числа.

92.4. Указание. Воспользуйтесь идеей, аналогичной той, которая применена в решении задачи 92.12.

92.6. Так как первый фальшивомонетчик может уплатить второму ровно 25 руб. (возможно, со сдачей), то у кого-то из них обязательно найдется несколько купюр на общую сумму не менее 25 и не более 50 руб. В самом деле, если бы первый дал второму X руб. и получил сдачи у руб., то х — у = 25, причем х, у ^ 100. Ясно, что если х ^ 75, то у ^ 25, но при этом у ^ 75. Значит, одно из чисел х и у (например, х) лежит в промежутке от 25 до 75 руб. Наконец, если х > 50, то мы можем взять все остальные купюры первого фальшивомонетчика.

Пусть искомая сумма S в купюрах найдется у первого фальшивомонетчика. Так как второй может уплатить третьему любую сумму от 0 до 25 руб., то второй и третий вместе могут уплатить любую сумму от 75 до 125 руб. (если, например, нужно уплатить 119 руб., то второй платит третьему 19 руб., после чего третий может уплатить имеющиеся у него 119 руб. и т. д.). Добавляя к этим деньгам S руб. первого фальшивомонетчика, заведомо получим все возможные суммы от 100 до 150 руб. Вычитая эти числа из 300, получаем все числа от 100 до 200, что и требовалось.

92.7. Расставим новые цены по порядку возрастания. Тогда понятно, что каждые два последовательных числа различаются не менее чем в полтора раза. Поэтому самый дорогой товар стоит по крайней мере в (3/2)8 раза дороже, чем самый дешевый. Осталось только заметить, что (3/2)8= (2.25)4 > 52 = 25.

92.8. Ответ. Только для 11.

92.10. Заключим все отмеченные узлы в минимально возможный прямоугольник П со сторонами, идущими по линиям сетки. Тогда на каждой стороне этого прямоугольника имеется один из отмеченных узлов — обозначим их в порядке обхода периметра прямоугольника А, 5, С и D. Тогда пять прямоугольников, определяемых парами точек (Л, 5), (В, С), (С, D), (Д Л) и (Л, С), заведомо покроют весь прямоугольник П и, значит, в одном из них содержится не менее 20 отмеченных узлов.

92.11. Сложив все уравнения, получаем (а+1)2+ (& + 1)2+ (с + 1)2 = 0. Отсюда а = Ь = с = — 1. Это единственное решение системы.

92.12. Покроем прямоугольник 30x70 двумя перекрывающимися прямоугольниками 30X55 и 30X25 — см. рис. 68. Ясно, что каждая монета целиком лежит в одном из этих прямоугольников. Располагая их внутри квадрата 55x55, видим, что внутрь непокрытого квадрата 25x25 как раз можно поместить новую монету из Фединой коллекции.

92.13. Указание. Прежде всего докажите, что лягушки рано или поздно побывают в каждом секторе. Теперь осталось сделать еще одно замечание: если в одном из двух соседних секторов сидит лягушка, то один из секторов этой пары всегда будет занят лягушками и в дальнейшем.

92.16. Указание: Отложите на прямой AD отрезок DE, равный основанию ВС.

92.18. Так как Ak(k + n) и An(k + n) делятся на k + n, то получаем, что на k+n делятся числа Ап2—1 и Ak2—1, равные (2п — 1) (2л+1) и (2k— 1) (2k+l). Допустим, что числа 2п — 1 и 2k+l взаимно просты. Верно также, что числа в парах (2k— 1, 2п— 1) и (2k + 1, 2n+ 1) не могут иметь общие делители, являющиеся одновременно и делителями числа k + п. В самом деле, если, например, 2k—1 и 2п—1 делятся на простое нечетное число р, то ясно, что произведение 2k • 2п дает при делении на р остаток 1 и Akn+l не может делиться на р. Отсюда получаем, что 2п+1 и 2k—1 делятся на k + n. Но при \k — п\> 1 одно из этих чисел меньше, чем k + n, что дает нужное нам противоречие.

92.21. Ответ. Лишь при х = 55—.

92.23. Указание. Выложим сначала кубики произвольным образом. Допустим, что на виду оказалось а черных и Ь белых граней. Докажите, что можно поворачивать кубики так, что разность а — Ь меняется каждый раз на два или не меняется вовсе. После этого останется только преобразовать подобными

Рис. 68

поворотами расстановку так, что все грани, которые были раньше не видны, окажутся теперь на поверхности и наоборот. Тогда разность а — b сменит знак и в силу указанной выше непрерывности, в какой-то момент разность а — b была равна нулю.

92.24. Отразим точку С относительно прямой А'В' и обозначим результат через D. Тогда, очевидно, четырехугольник CA'DC — вписанный. Поэтому центр окружности, описанной вокруг треугольника А'АС, совпадает с центром окружности, описанной вокруг этого четырехугольника, и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к хорде CD, т. е. на прямой А'В'.

92.27. Докажем индукцией по п следующий факт: количество п-значных чисел, из которых вычеркиванием можно получить данное /г-значное число X, записанное единицами и двойками, зависит только от чисел k и п, но не зависит от конкретного числа X — обзначим это количество через F(k, п). База: п = 2 очевидна. Допустим теперь, что наше &-значное число X оканчивается на 1. Каково количество /г-значных чисел, оканчивающихся на 1, из которых можно получить число X? Очевидно, это число равно F(k— 1, п— 1). Аналогично количество чисел, оканчивающихся не на 1, из которых можно получить число X, равно 9F (k, п — 1 ). Оба числа F (k — 1, п — 1 ) и F (k, п — 1 ) не зависят от числа X по предположению индукции, а значит, и число F(k, п) от конкретного X не зависит.

92.30. Указание: Все цифры должны быть нечетными и поэтому все jV! чисел должны иметь вид 4/г+1 или 4k— 1. Докажите, что чисел вида 4k — 1 — четное количество. Примечание. Число 111... 11 имеет вид 4k — 1.

92.31. Ответ. 4/3. Указание: Докажите, что |OD||CM| = \OC\\MD\.

92.32. Выигрывает первый. Своим первым ходом он берет восемь камней, и в куче остается 1984 = 64-31 камней. После этого первый повторяет все ходы второго, а поскольку каждый ход заключается в том, что из кучи берутся один, два, четыре и восемь камней, то в силу того, что 1984 делится на 16, будет сделано четное число ходов (не считая первого хода) и потому последний ход сделает первый игрок.

92.33. Нетрудно доказать, что Vi + v2+ ... + vn = 0. Преобразуем данное в условии выражение следующим образом:

и получим линейную комбинацию п векторов с положительными коэффициентами, причем все эти векторы направлены в одну полуплоскость относительно прямой О Ai (Ai — конец

вектора vi) —докажите это самостоятельно. Линейная комбинация таких векторов с положительными коэффициентами, конечно, не может быть нулевым вектором.

92.34. Разберем случай, когда во взводе четное число сержантов (другой случай рассматривается аналогично). Обозначим через x количество рядовых, подчиненных ровно одному сержанту, а через у — количество рядовых, подчиненных ровно двум сержантам. Пусть имеется 2п сержантов, и мы рассматриваем какой-то вариант увольнения п из них. Тогда следует уволить также:

а) всех рядовых, которые подчиняются только этим уволенным сержантам;

б) всех рядовых, которые подчиняются каким-то двум из оставшихся сержантов.

Допустим, что количество уволенных рядовых больше половины их общего числа. Просуммируем все получаемые таким образом неравенства по всем возможным наборам из п сержантов. Каждый из x рядовых, подчиненных ровно одному сержанту, будет уволен в1 ^ I случаях — когда его командир попадает под увольнение. Каждый же из у рядовых, подчиняющихся ровно двум сержантам, будет уволен в случаях — либо когда оба его командира входят в п увольняемых, либо когда они оба не уволены. Таким образом, мы получим, что

Теперь осталось заметить, что

Получаем противоречие.

92.36. Ответ. х = 37.

92.37. Пусть N — число черных шашек. Ясно, что количество черных шашек не превосходит (3/?+Л)/3, так как в каждую черную тройку входит не более трех черных шашек, а в каждую белую — не более одной, причем каждую шашку учитываем в трех тройках. Отсюда A + B = 2N ^ (6В + 2Л)/3 = 2В + 2Л/3, т. е. А ^ 3B, что требовалось доказать.

92.38. Указание. Проверьте, что указанные центры трех окружностей получаются при отражении центра окружности, описанной вокруг треугольника ABC, относительно его сторон.

92.39. Несложный перебор показывает, что в последовательности Fk (числа Фибоначчи) на семь делятся в точности члены с номерами, делящимися на восемь, а на три делятся в точности члены с номерами, делящимися на четыре. Поэтому если число Фибоначчи делится на семь, то оно делится и на три.

92.43. Расставим по окружности все возможные остатки при делении на 100, причем в таком порядке:

0, 77, 77 + 77 =е 54, 77 + 77 + 77, 77-99 = 23.

Тогда прибавление к числу 77 или 54 означает сдвиг в соседнее число по часовой стрелке или через одно. Ясно, что, двигаясь таким образом, мы не сможем перескочить через пару 0, 77. У чисел с такими остатками (mod 100) две последние цифры одинаковы.

92.44. Ответ. Только при é, являющихся степенью двойки. Разложим 2k камней в две кучки, содержащие 1 и 2k — 1 камней соответственно. Допустим, что мы смогли получить две одинаковые кучки по k камней в каждой (или одну из 2k камней, что то же самое). Как выглядит данная в условии операция? Пара (jc, у) переходит в пару (2х, у — х). Обратная операция выглядит так: пара (а, Ь) переходит в пару (а/2, Ь + а/2). Ясно, что, двигаясь в обратную сторону, мы можем получить лишь пары вида (ra + sb, (1 — г)а+(1—s)b), где г и s — правильные дроби, знаменатель которых — степень двойки. С другой стороны, если из пары (k, k) можно получить пару (1, 2k—1), то l=k(r + s), откуда следует, что k — степень двойки.

Вторая часть доказательства оставляется читателю.

92.45. Указание. Рассмотрите число п=А— [УЛ].

92.46. Ответ, м+1. Пример очевиден. Докажем, что разрезать на меньшее количество многоугольников нельзя. Для этого рассмотрим все внешние вершины фигуры М\]М' и, занумеровав те многоугольники, на которые она разрезана, будем считать, что эти вершины окрашены в соответствующие цвета. Читателю оставляется в качестве упражнения доказательство нижеследующей леммы и вывод утверждения задачи.

Лемма. На окружности отмечено п точек, которые окрашены в несколько цветов так, что любые две соседние точки — разного цвета, и если А, В — точки одного цвета, а С и D — точки другого цвета, то отрезки AB и CD не пересекаются. Тогда количество цветов не меньше чем [(м + 3)/2].

92.47. Рассмотрим числа Fi/F2, F2/F3, ..., Fn/Fn+i и напишем для этого набора неравенство для средних

Поскольку для любого k имеем

то ле-

вую часть можно переписать так:

где через F0 обозначено число l = F2—Fi. Используя еще раз неравенство для средних, получаем

откуда после домножения на знаменатель правой части и получаем требуемое неравенство.

92.48. Расположим данный треугольник Т на плоскости, опишем вокруг него окружность с центром О и рассмотрим все треугольники, получающиеся из Т поворотами вокруг О на небольшой угол. Для каждого из них можно нарисовать таблицу размером ЗХ 1992, на пересечении k-то столбца и /-й строки которой будет стоять звездочка, если на /-й стороне этого треугольника есть точка k-ro цвета; в противном случае клетка таблицы будет пустой. Ясно, что найдутся два треугольника—ЛВС и А'В'С (см. рис. 69) — с одинаковыми таблицами 5. Рассмотрим тогда точку X пересечения сторон AB и В'С. Допустим, она имеет цвет р. Тогда в р~м столбце в первой клетке таблицы S стоит звездочка. Но это означает, что у треугольника А'В'С на первой стороне (А'В') есть точка р-го цвета. Следовательно, для пары сторон А'В' и В'С треугольника А'В'С найдутся точки одного цвета, лежащие на них. Аналогичное рассуждение проводится и для других пар сторон.

92.49. Указание. Докажите, что для получения максимального числа можно действовать по следующей схеме: в каждый момент выполнять операцию над двумя минимальными числами.

Производя теперь вычисления в соответствии с выведенным алгоритмом, получаем, что последняя цифра максимального числа равна двум.

92.51. Такая тройка имеется ровно одна—(1, 1, 1). Указание. Все три числа в тройке — обозначим их а, & и с — должны быть взаимно просты и нечетны. При этом выражение ab + bc + -f са+1 делится на каждое из чисел а, Ь и с, a значит, делится на их произведение.

92.54. Да, такое возможно. Рассмотрим две прямые Li и L2, пересекающиеся в точке О, и произвольную точку Р, не лежащую на них. Теперь проведем 43 различные окружности через

Рис. 69

точки О и Р так, чтобы они пересекали каждую из двух данных прямых в двух точках, одна из которых, конечно же, точка О. Пусть 1-я окружность (/ = 3, 4, .. ., 45) пересекает прямую Li еще и в точке Aiy а прямую L2— в точке Bi. Тогда прямые Li = (AiBi) вместе с прямыми L\ и L2 и дадут нам требуемый набор прямых.

92.55. Указание. Докажите индукцией по £, что страну можно нужным образом разбить на два государства А и В так, что А состоит из k городов, а В из 100 — k городов.

92.56. Проверим, что

Назовем шаблоном набор клеток в таблице тХп такой, что его пересечение с любым столбцом и с любой строкой состоит из нескольких клеток подряд, а также такой, что если две клетки шаблона лежат в верхнем левом и нижнем правом углах некоторого прямоугольника Я, то все остальные клетки в П принадлежат шаблону. Ясно, что при правильной расстановке чисел клетки, занятые числами р и р+1, образуют шаблон. Докажем, что число способов расставить числа 1, 2, ..., k (с указанной кратностью) так, что числа р и р+1 занимают в точности клетки данного шаблона, не изменится, если поменять местами кратности ар и ар+\. В самом деле, если в каком-то столбце шаблон имеет высоту, большую 2, то L=0 независимо от порядка кратностей. Если в каком-то столбце высота шаблона равна 2, то эти две клетки заполняются числами р и р+1 однозначно. Удалив такие пары (допустим, их q штук), получаем набор отдельных полосок вида lXd, в которых надо независимо расставить ар — q чисел р и ар+\ — q чисел р + 1 (или наоборот). Количество способов распределить имеющиеся ар + ap+i— 2q чисел между этими полосками не зависит от того, каких именно чисел аР — q штук, а каких — aP+i — q; важно только, что есть аР — q объектов одного типа и ар+\ — q объектов другого типа. Расставить же d конкретных чисел в полоске 1 X d можно ровно одним способом.

Итак, для любого шаблона порядок чисел ар и аР+\ не влияет на число способов расстановки. Суммируя по всем шаблонам, получаем нужное нам равенство.

92.57. Ответ. Нет, это неверно. Указание. Рассмотрите набор кругов, центрами которых являются все узлы решетки с шагом 1/1 ООО внутри какого-то определенного квадрата 10x10.

93.2. Указанное положение не могло возникнуть в результате записи числа 51, так как чисел, превосходящих 50, у нас было всего 50. Значит, данное число 51 находилось на доске с самого начала, но тогда получается, что все числа справа от 51 бесследно исчезли, что невозможно.

93.3. Пусть мальчиков было п. Тогда существует Ъп различных пар мальчик — девочка. Каждой такой паре соответствует

одна переданная булочка: если эти мальчик и девочка знакомы, то ее передавала девочка, а если не знакомы — мальчик. Отсюда 5п = 30. Ответ. п = 6.

93.4. Ответ. Таких чисел не существует.

93.6. Допустим, что никакие три треугольника не имеют общей точки. Тогда точка, расположенная внутри треугольника, может быть вершиной не более чем одного треугольника и вершина любого треугольника принадлежит не более чем одному другому треугольнику. Сколько же всего вершин? С одной стороны, не более чем 1993-3, так как у каждого треугольника три вершины. С другой стороны, не менее чем 1993 • 4, так как внутри каждого треугольника лежит не менее четырех вершин, и при таком способе подсчета ни одну вершину не считаем дважды. Противоречие.

93.7. Ответ. Нельзя.

93.9. Ответ. Нет.

93.11. Каждое из шести слагаемых указанной суммы равно 1 или —1, поэтому эта сумма четная. Она не может принимать значение шесть, поскольку при этом слагаемые aek, bfg, cdh должны быть равны 1 и, значит, их произведение равно 1, а слагаемые afh, bdky ceg должны быть равны —1, а их произведение равно —1. Однако эти произведения, очевидно, совпадают. Значение 4 достигается, например, при a = b = c = e = h = Ä=1, d = f = g = -l.

93.12. Будем считать малообщительных чудаков нормальными людьми. Посчитаем количество знакомств между остальными малообщительными — пусть их m человек — и остальными чудаками — пусть их k человек. С одной стороны, это количество не меньше чем 10&, так как каждый общительный чудак знаком не менее чем с 10 людьми, причем не чудаками (чудаки вообще могут быть знакомы между собой, только если оба они — малообщительны). С другой стороны, это количество не больше чем Ют, так как каждый малообщительный знаком не более чем с 10 людьми. Поэтому m не меньше а значит, малообщительных не меньше, чем чудаков.

93.13. Поставим в каждой клетке, где есть звездочка, число, обратное количеству звездочек в столбце, содержащем эту клетку. Тогда сумма чисел в любом столбце, содержащем звездочку, равна 1. Также и сумма чисел в любой строке, содержащей звездочку, равна 1. Следовательно, количество таких строк (и столбцов) равно сумме всех написанных чисел.

93.14. Указание: Докажите, что в турнире участвовал всего один шестиклассник, который и победил.

93.16. Возьмем на стороне AB точку К такую, что КМ\\ВС. Нетрудно видеть, что треугольники MCN и МКВ равны по стороне и трем углам. Тогда CN = КМ = AM.

93.17. Пусть и — первая, v — вторая из этих дробей. Их сумма и произведение — целые числа, поэтому и и v — корни квад-

ратного уравнения с целыми коэффициентами, скажем, х2+ тх+п = 0. Так как и и v — рациональные корни, то корень из дискриминанта этого уравнения т2 — 4п — целое число, причем той же четности, что и т. Но тогда и и v— тоже целые, ведь

а в числителе стоит четное число.

93.19. Пусть В' — точка, симметричная В относительно AM, С' —точка, симметричная С относительно MD. Угол В'MC равен 60°, и треугольник В'МС — правильный (см. рис. 70). Длина ломаной AB'CD равна AB + ВС/2 + CD. Это больше длины отрезка AD, соединяющего ее концы.

93.20. Ответ. 36 фишек.

93.21. Ответ. Два, четыре.

93.22. По теореме синусов имеем BM/sin Z.BCM = СМ : : sin Z.CBM и DN/sin ZDCN = CN/sin ZCDN. Однако по условию все эти выражения, очевидно, равны, а принимая во внимание то, что sin ZCBM = sin Z ABC = sin ZADC = s\n ZCDN, получаем равенство MC = NC.

93.24. Допустим, что какое-то простое число р входит в разложение числа а— b в нечетной степени 2k— 1. Тогда, так как ab делится на а — Ь, то одно из чисел а и b (скажем, а) делится на pk. Но тогда, очевидно, и число Ь, равное а — (а — Ь), делится на рк, а значит, частное ab/(a — Ь)=с делится на р, и мы получаем, что a, b и с имеют общий делитель р.

93.25. Указание. Рассмотрите величину 5 = £|ОЛ1;|2, где О — начало координат, а ЬА\ — данные точки, и проследите за поведением величины 5 при выполнении описанной операции.

93.26. Допустим, что неравенство не выполнено. Тогда, очевидно,

Эти неравенства можно переписать так:

Перемножая их, получаем xl6yi6zie < (xyz)16, что невозможно.

93.27. Рассмотрим окружность, разбитую на 99 одинаковых дуг. Среди концов этих дуг отметим 10 точек, разбивающих окружность на 10 дуг, длины которых совпадают с десятью

Рис. 70

числами на первом 10-угольнике (порядок также сохранен). Аналогичным образом построим вторую окружность, моделирующую второй 10-угольник. Наложим теперь вторую окружность на первую так, чтобы точки деления совпадали, и рассмотрим 99 поворотов на углы, кратные 2л/99. Если бы после каждого поворота не более одной отмеченной точки на первой окружности совпадало с отмеченной точкой на второй окружности, то суммарно мы получили бы не более 99 совпадений, что невозможно, так как всего их, очевидно, должно быть ровно 100. Значит, при каком-то наложении первой окружности на вторую есть два совпадения отмеченных точек. Длины дуг между ними на обеих окружностях равны, а это и есть нужные нам суммы нескольких чисел подряд.

93.28. Подставим в равенство F(x2— х+ 1) = Q(x2 + x + 1) аргумент— x вместо x и получим Р(х2 + х + 1) = Q(x2 — х+1). Отсюда следует, что

Значит, Р(1) =Р(7) = Р(21 ) =. . ., т. е. полином Р(х) принимает некоторое значение бесконечно много раз, а следовательно, он — константа.

93.32. Указание. Докажите, что четырехугольник PQOM — вписанный, где О — центр окружности S.

93.33. Допустим, что это возможно. Рассмотрим первый момент, когда будет выполнено девять перекрашиваний линий одного типа (например, девять строк). Допустим, что это произошло после é + 9 операций (&, очевидно, не больше 8). Тогда останется лишь выполнить не более чем 17 — k операций по перекрашиванию столбцов. Таким образом, таблицу удалось бы перекрасить в черный цвет за 26 операций. Но при каждом перекрашивании не более восьми клеток становятся черными, т е. всего за 26 операций не более 208 клеток превратятся из белых в черные, что противоречит тому, что исходно в таблице 209 белых клеток.

93.34. Указание: Рассмотрите все возможные упорядоченные пары (а, Ь) элементов множества M и, предположив обратное к утверждению задачи, укажите естественный способ разбиения этого множества пар на непересекающиеся тройки.

93.36. Допустим, что 300... 001=/г2. Тогда k2 — 1=3- 10^ или (k—1) (k +1) =3 • 2n5n. Ясно, что ровно одно из чисел к— 1, &+1 может делиться на 5 и поэтому одно из этих чисел делится на 5П. Отсюда получаем неравенство 5п^З-2п + 2, которое, очевидно, неверно при п ^ 2, а случай п = \ проверяется непосредственно.

93.37. Указание. Докажите, что количество прообразов точки 0 при отображении f(f(f(f{f(f{f{x))))))) равно З7.

93.39. Допустим, что это не так, и упорядочим степени всех городов в порядке возрастания: di ^ йг ^ •.. ^ dn. Тогда должна выполняться цепочка неравенств:

Нужно рассмотреть два случая: когда п <Z2k — 1 и когда п ^ 2k—1. Для краткости рассмотрим лишь первый случай (второй аналогичен). Тогда при сложении всех неравенств цепочки получим

т. е. сумма степеней одного множества А из п — k + l городов превышает сумму степеней множества В из п — k+\ других городов по крайней мере на (п — k+\)(k—1). Однако сумма степеней городов множества А не превосходит

Аналогично сумма степеней городов из В не меньше чем х.

Отсюда

противоречие.

93.40. Домножим данное нам неравенство на fi8g92 и получим, что

Следовательно, функция fi9g93 не убывает на отрезке [0; 1] и потому

Помня, что /(1) =/(0) = 1, получаем, что g(l) ^ g(0).

93.41. Указание. Рассмотрите сумму величин, обратных к тем, которые в данный момент времени написаны на доске.

93.42. Допустим, что один из членов последовательности равен ak = p/q, где р и q — натуральные числа. Тогда, как нетрудно проверить, следующий член равен (q — kp)/p, и видно, что сумма знаменателя и числителя дроби уменьшилась. Через несколько шагов, когда либо числитель, либо знаменатель впервые станет отрицательным, получим отрицательный член последовательности.

93.43. Рассмотрим на основании АС точку D' такую, что AD'= FC, D'C=AE. Тогда треугольники AED' и F CD' равны по двум сторонам и углу между ними и потому ED' =D'F.

Рис. 71

Отсюда следует, что D = Df. Далее получаем, что угол F DE дополняет сумму углов ZADE = ZCFD и ZCDF до 180° и потому равен ZFCD, что и требовалось доказать.

93.44. Указание. Рассмотрите остатки чисел по модулю 3.

93.45. Указание. Докажите, что если такое разрезание возможно, то доля углов величиной 10° среди всех углов треугольников разрезания составляет более трети.

93.46. Ответ. 50 шашек.

93.49. Отмеченные четыре точки могут лежать в вершинах выпуклого четырехугольника или образовывать треугольник с одной точкой внутри (вырожденные случаи допускаются). Для краткости изложения разберем лишь первый случай (см. рис. 71.). Во-первых, введем следующие обозначения: для произвольной точки Z на контуре четырехугольника обозначим через S(Z) сумму расстояний от нее до вершин, а через T(Z) — сумму расстояний от нее до отмеченных точек M, N, Р, Q, которые лежат внутри четырехугольника ABCD, образуя выпуклый четырехугольник MNPQ. Проведем прямую MP и рассмотрим точки X и У, в которых она пересекает стороны ABCD. Тогда одна из этих двух точек и есть искомая. В самом деле,

Далее, так как

и аналогично

Складывая эти неравенства, получаем, что S(X)+S(Y)> > Т(Х) + T(Y), а значит, для одной из точек X и Y имеем нужное неравенство.

93.51. Ответ. Нет, нельзя. При доказательстве достаточно воспользоваться тем, что любое число-строка больше любого числа-столбца.

93.52. Докажем, что л/2[ОА + ОС) ^ OB + OD. Возведем неравенство в квадрат и избавимся от знаменателя. Так как вы-

полнено равенство OA2 + OC2 = OB2+OD2— это хорошо известный факт, то получаем

или

что очевидно, так как сумма квадратов не меньше удвоенного произведения. Наконец, выбрав 0 = А, получим, что значение 1N2 достигается и, следовательно, минимум равен 1/д/2.

93.53. В качестве такой функции можно взять f (х) =

93.54. Допустим, что на любой начальный ход первого игрока в какую-то точку А у второго есть выигрывающий ответ в точку В. Рассмотрим вариант, когда первым же ходом первый игрок ходит в точку В. Если выигрывающий ответ второго — в точку С, отличную от А, то начало (1) Л—(2)В—(3)С приводило бы к выигрышу первого. Значит, второй отвечает на ход (1) В ходом (2) Л. Но это означает, что все точки разбиваются на пары (Л, 5), что противоречит нечетности числа 1993.

93.55. Для любых положительных чисел х, у имеем

— это доказывается приведением к общему знаменателю. Осталось лишь сложить все неравенства вида

93.56. Пусть О — центр м-угольника, а щ — число, стоящее в i-й вершине. Тогда положим

Нетрудно видеть, что при любой описанной в условии операции вектор S не меняется. Исходно S = OAi; если же все числа в вершинах равны, то 5 = 0. Так как ОЛ/=^0, то ответ на поставленный вопрос отрицателен.

93.57. Перейдем в арифметику остатков по модулю 2р+1. Пусть X — число шаров в первой урне, а у — во второй. Тогда каждую секунду пара (х, у) меняется на пару (х/2, у/2) (не забывайте, что мы рассматриваем лишь остатки по модулю 2р-Н; ясно, что у = —х). Пусть m — наименьшее натуральное

число такое, что 2W= 1 (mod 2р + 1). Тогда остатки 1, 2, 2р распадаются на группы по m остатков вида

а значит, 2р делится на m, т. е. m Œ {1, 2, р, 2р}. Случаи га = 1, 2 очевидны. Если га = 2р, то числа х и k входят в одну группу и, значит, через несколько секунд в первой урне будет ровно k шаров.

Если же га = р, то число (—1)=2р входит в группу, отличную от той, куда входит 1. В самом деле, если 2Г== — 1 (mod2p+l) для какого-то натурального г, то 22г = l(mod2p+l), и тогда 2г делится на /п = р, т. е. г делится на р. Но тогда 2r=2p= 1 (mod 2р+1)— противоречие! Отсюда следует, что остатки k и (—k) входят в разные группы (их всего две) и поэтому х находится в одной группе с одним из них, что нам и требуется.

93.59. Например,

93.60. Указание. Рассмотрите параллельный перенос, сдвигающий точку F в точку £, при котором образом точки С является точка С.

93.62. Доказательство проводится индукцией по п. База (п = 2) равносильна неравенству

которое после многочисленных сокращений превращается в очевидное соотношение (а\Ь2— a2&i)2^0. Индукционный переход тривиален.

93.63. Указание. Условие наличия соответствующей тройки прямоугольников равносильно одновременному выполнению двух условий. Во-первых, сумма векторов BC + DE + FA должна быть равна 0. Во-вторых, если углы шестиугольника при вершинах А, В, ..., F обозначить соответственно аА, ав, . . aF, то

Осталось заметить только, что эти условия «симметричны», т. е. не меняются от перехода от одной тройки сторон к другой тройке сторон шестиугольника.

93.64. Отметим внутри i-й грани ее центр —точку А{ (i = 1, 2, ..., п) и соединим центры соседних граней отрезками.

Обозначим полученный граф G. Зафиксируем произвольный момент времени / и пометим некоторые ребра графа G стрелками следующим образом: если /-я муха находится в данный момент времени на общем ребре i-й и у-й граней, то поставим на отрезке AiAj стрелку в направлении от Л/ к Aj. Теперь из каждой вершины графа G выходит ровно одна стрелка. Следовательно, некоторые из этих векторов образуют цикл, который делит поверхность многогранника на две области (таких циклов в графе G может быть и несколько). Будем измерять площадь такой области количеством вершин графа G, лежащих внутри или на границе цикла. Так как эта величина может принимать лишь конечное число значений, то в какой-то момент времени /0 площадь такой области внутри некоторого цикла Z будет минимальна. Рассмотрим два случая. Случай 1. Ребра в цикле Z не повторяются. Тогда рассмотрим опять-таки два случая: а) при движении по циклу мы обходим минимальную область по часовой стрелке; б) обход происходит в направлении против часовой стрелки. В случае а найдем первый после /0 момент времени, когда одна из стрелок цикла (с началом, скажем, в вершине Л) «перепрыгнет» на соседнее ребро (см. рис. 72). Пойдем по стрелкам от вершины Л. Нетрудно видеть, что рано или поздно мы вернемся в вершину, где мы уже были, и образовавшийся цикл будет ограничивать область меньшей площади, что невозможно. В случае б нужно обратить течение времени и найти последний перед t0 момент «прыжка» стрелки цикла — далее рассуждение аналогично.

Случай 2. В цикле есть повторы ребер. Но тогда, очевидно, какое-то ребро AiAj проходится дважды в разных направлениях, т. е. оно помечено двумя стрелками, а это означает, что /-я и /-я мухи либо только что столкнулись на этом ребре, либо движутся по нему навстречу друг другу и неминуемо столкнутся через некоторое время.

93.65. Раскрасим доску в шахматном порядке в черный и белый цвета и будем считать, что углы доски черного цвета. Тогда можно считать, что оба поля А и В— черные, так как если бы они были белыми, то количество способов раскраски было бы равно нулю в обоих случаях. Рассмотрим произвольное покрытие доминошками всей доски Т без поля А и выберем ту доминошку, которая покрывает поле В = В\ (и некоторое поле Во). Сдвинем ее на одно поле в направлении от Bi к В2. Накрытое ею третье поле Вз также покрыто какой-то доминошкой, накрывающей поля В3 и Вь. Сдвинем ее в направлении от Вз к B4 и т. д. Мы получим цепочку доминошек, которая может окончиться, либо зациклившись, либо уперевшись в поле В{

Рис. 72

(проверьте, что доминошку всегда можно сдвинуть в указанном направлении; это следует из того, что поля огл+1 всегда будут черными полями, причем такими, что номер их столбца и номер их строки будут отличаться соответственно от номера столбца поля Bi и номера строки поля Bi на четное число). Однако и зацикливание невозможно, так как в этом случае внутри цикла находилось бы нечетное количество полей (читатель может доказать это самостоятельно). Итак, данная цепочка упирается в поле А. Тогда можем переделать наше покрытие для Т\А в покрытие для Т\В, разбив эту цепочку на доминошки другим способом — покрыв А, но не покрыв В. Таким образом, каждому покрытию доски Т без поля А соответствует покрытие доски Т без поля В. Есть также и аналогичное обратное соответствие, что и дает нам равенство количеств способов покрытия Т\А и Т\В доминошками.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Приведенные здесь задачи предлагались на различных математических соревнованиях, проводившихся в Ленинграде (Петербурге) в 1960—1993 гг. В среднем это довольно трудные задания, многие из которых в свое время не были выполнены школьниками.

Назовем основные источники задач: дополнительные (как официальные, так и неофициальные) отборы команды города на Всесоюзную и Всероссийскую олимпиады; математические бои; олимпиады физико-математических школ. В скобках после номера задачи указан год проведения математического соревнования в Ленинграде (Петербурге), на котором впервые (по сведениям автора) была предложена задача.

1 (1965). В Р стаканов достаточно большой вместимости налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой столько воды, сколько имеется в этом последнем. При каких Р можно за конечное число шагов слить всю воду в один стакан?

2 (1965). На отрезке AB выбрана произвольно точка С, и на отрезках AB, АС и ВС как на диаметрах построены окружности Oi, 02 и Оз. Через точку С проводится произвольная прямая, пересекающая окружность Oi в точках Е и F, а окружности 02 и Оз в точках M и N соответственно. Докажите, что MF = EN.

3 (1965). Двое играют в следующую игру: из кучки, где имеется 25 спичек, берут по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, кто в конце игры будет иметь четное число спичек. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его противник?

4 (1965). Внутри равностороннего семиугольника А\А2... Ai взята произвольная точка О. Обозначим через Hi, #2, ..., Hi проекции точки О на прямые Л1Л2, АгА3у .. ., AiA\ соответственно. Известно, что точки Hi, Hi, ..., Hi лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. Докажите, что

А{НХ + А2Н2 + . .. + А7Н7 = НХА2 + Н2АЪ + ... + #7Д.

5 (1965). Собрались 2N человек, каждый из которых знаком не менее чем с N присутствующими. Докажите, что можно выбрать из них четырех человек и рассадить их за круглым столом так, чтобы при этом каждый сидел рядом со своими знакомыми.

6 (1965). Докажите, что любое четное неотрицательное число можно единственным образом представить в виде (х + у)2+ Зх + у, где X и у — неотрицательные целые числа.

7 (1965). В треугольнике ABC сторона ВС равна полусумме двух других сторон. Докажите, что биссектриса угла А перпен-

дикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

8 (1965). В городе 10 улиц параллельны, а 10 других пересекают их под прямым углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый маршрут, проходящий через все перекрестки?

9 (1965). Из точки О на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Докажите, что можно выбрать несколько векторов (быть может, только один), длина суммы которых больше 1.

10 (1965). По четырем прямым дорогам, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны, равномерно (каждый со своей скоростью) идут четыре пешехода. Известно, что первый встречается со вторым, третьим и четвертым, а второй — с третьим и четвертым. Докажите, что четвертый встречается с третьим.

11 (1965). При дворе короля Артура собрались 2п рыцарей, причем каждый из них имеет среди присутствующих не более п—1 врага. Докажите, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за Круглым Столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

12 (1967). Заполните трехмерное евклидово пространство окружностями ненулевого радиуса так, чтобы через каждую точку проходила бы ровно одна окружность.

13 (1968). Могут ли числа 27, 84, ПО, 133, 144 удовлетворять уравнению an + bn + cn + dn = tn при некотором натуральном п?

14 (1968). Имеется ряд ОХОХОХ.. . ОХОХ (п пар ОХ). За один ход можно переставить любые два соседних символа в произвольное пустое место (в стороне). Каково минимальное число ходов, за которое можно получить ряд ООО. . . ООХХХ.. . XX?

15 (1968). Докажите неравенство

16 (1969). Круг радиуса 10 см разбит на части 32 прямыми. Докажите, что в одну из этих частей можно поместить круг радиуса 3 мм.

17 (1969). Разложите на два множителя число 2352 + 9722.

18 (1970). Учащиеся одной школы часто собираются группами и ходят есть мороженое. После каждого такого посещения они ссорятся так, что никакие двое из ходивших ранее больше есть мороженое вместе не ходят. К концу года выяснилось, что учащиеся могут ходить есть мороженое уже лишь поодиночке. К этому времени они совершили k посещений кафе (k > 1). Докажите, что k не меньше числа учеников школы.

19 (1970). В множестве, состоящем из р элементов, выделено 2p_l подмножеств, любые три из которых пересекаются. Докажите, что все они имеют общий элемент.

20 (1970). Пусть А + В + С = 0. Докажите, что

21 (1971). Числовой треугольник построен следующим образом. В верхней строке записано k нулей и одна единица, а каждое число в последующих строках равно 0 или 1 в зависимости от того, равны или нет числа над ним. При каких k нижнее число в треугольнике не зависит от того, на каком месте в верхней строке стоит единица?

22 (1972). Отрезки АС и BD пересекаются в точке Е. Точки К и M на отрезках AB и CD таковы, что отрезок КМ проходит через точку Е. Докажите, что длина КМ не превосходит наибольшей из длин АС и BD.

23 (1972). Докажите тождество

24 (1972). На плоскости проведено N прямых общего положения. Докажите, что среди частей, на которые они делят плоскость, не менее N — 2 треугольников.

25 (1973). Имеется бесконечная последовательность лампочек, занумерованных натуральными числами, и бесконечная последовательность переключателей, также занумерованных натуральными числами, причем каждый переключатель имеет конечное число состояний. Известно, что при каждом положении переключателей включена хотя бы одна лампочка. Кроме того, известно, что состояние каждой лампочки зависит от положения лишь конечного числа переключателей. Докажите, что существует конечное множество лампочек такое, что при любом положении переключателей включена хотя бы одна из лампочек этого множества.

26 (1973). f(x) —непрерывная функция периода Г, заданная на вещественной оси; f = g + h, причем g(x), h(x)—непрерывные функции с периодами 7\ и Т2 соответственно. Докажите, что 7\ и Т2 соизмеримы с Т.

27 (1974). Назовем квартетом четверку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. Какое наибольшее число квартетов, не имеющих общих клеток, можно разместить в квадрате 25x25?

28 (1974). Фигура, состоящая более чем из одной точки, является пересечением 20 кругов. Докажите, что граница этой фи-

гуры может быть представлена как объединение 38 дуг окружностей.

29 (1975). Несократимая дробь х/у называется хорошим приближением числа С, если \С — х/у\<С 1/ут. Докажите, что в любом открытом промежутке есть число, имеющее бесконечно много хороших приближений.

30 (1975). На плоскости дано k точек, из каждой проведено несколько лучей так, что никакие два из них не пересекаются. Докажите, что среди всех отрезков, соединяющих исходные точки, можно указать k—1 не имеющих общих внутренних точек ни с одним из лучей и друг с другом.

31 (1976). Имеются магнитофон, 25 бобин с магнитной пленкой и одна пустая бобина. Разрешается перематывать пленку с любой бобины на пустую (при этом она, конечно, окажется намотанной в обратном направлении). Можно ли добиться того, чтобы каждая лента оказалась на той же бобине, что и вначале, но намотанная в другом направлении?

32 (1976). Р— нечетное простое число. Дано Р—1 целых чисел, ни одно из которых не делится на Р. Докажите, что, заменив некоторые из этих чисел на противоположные по знаку, можно получить Р— 1 чисел, сумма которых делится на Р.

33 (1977). В квадрате 2x2 дано девять точек. Докажите, что найдутся две из них на расстоянии не более 1.

34 (1977). Если нам дана функция f:R->R, то через /(п) мы обозначим функцию /(/(/(... f(x)) ... ) (п пар скобок). Если P(t) = antn + dn-it71"1 + ... +ао—некий многочлен, то через P(f) обозначим функцию

а) Пусть P(t) = t2 — t+l, P(f) = 0. Докажите, что р = f.

б) Пусть Р, Q, R — многочлены, Р(/) = 0, Q = P-R. Докажите, что Q(f) = 0.

в) Докажите, что для многочлена Р из п. 1 существует функция f такая, что Р(/) = 0.

г) Верно ли это для любого многочлена?

д) Пусть Q, Р — многочлены, причем

Докажите, что для некоторого многочлена R имеем Q = P-R. В частности, попробуйте это доказать, если Q(t)=tn—1.

35 (1978). Через центр правильного 2дг-угольника проведена прямая. Докажите, что сумма расстояний до этой прямой от вершин 2n-угольника, расположенных по одну сторону от нее, равна сумме расстояний от вершин, расположенных по другую сторону.

36 (1979). Конечное число натуральных чисел назвали счастливыми. Ak — наибольшее количество счастливых чисел, кото-

рые можно записать (при этом одно и то же число можно записывать несколько раз), если имеется по k экземпляров каждой цифры. Докажите, что среди чисел Ah/k есть наибольшее.

37 (1979). Множество X на координатной плоскости удовлетворяет следующим условиям:

а) пересечение множества X с любым единичным квадратом, координаты вершин которого — целые числа, состоит из двух параллельных отрезков с концами в серединах сторон квадрата;

б) множество X переходит в себя при сдвиге на 25 единиц в направлении, параллельном любой координатной оси.

Докажите, что X содержит бесконечно длинную ломаную.

38 (1980). Две точки плоскости с координатами (xi, yi) и (*2, У2) назовем зависимыми, если (xi — x2)2=(yi — 1/2) (xiy2— *2f/i). Даны четыре точки такие, что каждые две из них зависимы. Докажите, что они лежат на одной прямой.

39 (1980). На плоскости даны 2п точек, соединенных дугами красного, синего и зеленого цветов, причем из каждой точки выходит ровно одна дуга каждого цвета. Пусть А, В и С — число соответственно красно-синих, красно-зеленых и сине-зеленых циклов. Докажите, что n+Л ^ В Л-С.

40 (1981). На плоскости проведено N прямых. На каждой из них остальные N—1 прямые высекают N— 2 равных отрезка. Докажите, что N = 3.

41 (1982). Строго возрастающая последовательность (Ak) натуральных чисел такова, что Л2 = 2 и для любых взаимно простых tri и ti имеем Атп — АщАп» Докажите, что Ak = k для всех k.

42 (1982). В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги расставлены вещественные числа так, что:

а) числа в любых двух клетках, находящихся в одной строке или в одном столбце на расстоянии 1982, равны;

б) каждое число есть среднее арифметическое либо двух своих соседей по горизонтали, либо двух своих соседей по вертикали.

Докажите, что либо в каждом столбце все числа одинаковы, либо в каждой строке все числа одинаковы.

43 (1982). Пролив шириной 10 км патрулируется катером, скорость которого в семь раз больше максимальной скорости лодки контрабандистов. Катер обнаруживает лодку, как только расстояние между ними становится не больше 1 км. Может ли катер не пропустить лодку через пролив?

44 (1983). Даны окружность и точка H внутри нее. Докажите, что середины сторон треугольников, которые вписаны в окружность и для которых точка H является ортоцентром, лежат на одной окружности.

45 (1983). Дана строго возрастающая последовательность (хп), состоящая из натуральных чисел и такая, что для всех п > 1982 выполняется равенство

Докажите, что хп = п для всех п.

46 (1983). Найдите минимальное k такое, что существует многочлен степени k от 10 переменных с целыми коэффициентами, дающий при различных наборах натуральных переменных различные значения.

47 (1983). Два комплексных многочлена P(z) и Q(z) таковы, что один из них отличен от константы, и известно, что множества корней Р(г) и Q(z) совпадают, а также совпадают множества корней многочленов P(z) — 1 и Q(z) — 1. Докажите, что P = Q.

48 (1984). Вычислительная машина умеет находить сумму и разность двух чисел, делить их на любые натуральные числа и возводить в десятую степень. Докажите, что с помощью этой машины можно перемножить десять данных чисел.

49 (1984). В некотором графе из любой вершины в любую другую можно пройти по его ребрам, заходя не более чем в п — 1 дополнительную вершину. Известно также, что наименьший циклический маршрут имеет длину 2п+1. Докажите, что из всех вершин графа выходит одинаковое число ребер.

50 (1984). Дана конечная последовательность из нулей и единиц. Одновременно между каждыми двумя соседними нулями ставят единицу, а между каждыми двумя соседними цифрами, среди которых есть единица, ставят ноль. Докажите, что по исходной последовательности можно указать такое число С, что, сколько бы раз мы ни повторяли описанную операцию, модуль разности количества нулей и удвоенного количества единиц не превзойдет С.

51 (1984). В государстве Анчурия в целях сокращения затрат на эксплуатацию дорог было решено сократить их число, закрыв часть дорог, но все же оставив их в таком количестве, чтобы из любого города в любой другой можно было проехать по этим дорогам. Был представлен план такого сокращения, причем в нем сумма длин оставшихся дорог была минимальной. Однако выяснилось, что затраты на эксплуатацию дороги пропорциональны квадрату ее длины. Можно ли утверждать, что при предложенном плане сокращения затраты на эксплуацию также окажутся минимальными?

52 (1984). На планете Р стран (1000 < Ж 2000), некоторые тройки которых образуют трехсторонние союзы, причем каждые две страны входят вместе ровно в один такой союз. Известно, что если тройки ABF, BCG, САН образуют союзы, то и тройка FGH образует союз. Найдите все Р, при которых такое возможно.

53 (1985). Несколько шахматистов разыграли турнир в один круг, в котором не было ничьих. В турнирной таблице расставили 0 и 1 в соответствии с результатами, после чего обнаружилось, что судьи забыли, кто из шахматистов каким номером обозначен. Докажите, что число способов восстановить нумерацию нечетно.

54 (1986). Сумма k чисел равна 0, при этом M — наибольшее, a m — наименьшее из них. Докажите, что сумма их квадратов не превосходит —kmM.

55 (1986). Обозначим через F (А, B, С) центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите или опровергните тождество

56 (1986). Последовательности (щ) и (&,•) строятся следующим образом: а0 и bo— положительные числа; afe+i = min (ah, bh)y bk+i = I ak — bk I. Докажите, что:

а) последовательность (ah) стремится к нулю.

б) ряд 2] я2, сходится; найдите сумму этого ряда через ао и bo.

57 (1986). Среди всех выпуклых четырехугольников с данными диагоналями и данным углом между ними найти четырехугольник наименьшего периметра.

58 (1986). На нижних 50 ступеньках лестницы длиной в 101 ступеньку лежит по камню. Сизиф может взять любой камень и отнести его вверх до ближайшей свободной ступеньки. Аид может скатить любой камень на предыдущую ступеньку, если она свободна. Ходят они по очереди. Может ли Сизиф поднять хоть один камень на верхнюю ступеньку?

59 (1986). Пусть au #2, ..., ап — попарно различные положительные числа. Составим все возможные суммы этих чисел, в каждую из которых каждое число входит не более одного раза. Найдите наименьшее возможное количество различных среди них.

60 (1986). Окружности с центрами А, Ву С и D расположены так, что каждые две из них касаются внешним образом и D лежит внутри треугольника ABC. Пусть Р, Q, R— центры вписанных окружностей треугольников ABD, BCD и ACD соответственно. Докажите, что D — центр вписанной окружности треугольника PQR.

61 (1986). Докажите, что многочлен *6+ 12Хъ + аХк + ЬХ3 + cX2 + dX + 68 не может иметь шесть положительных вещественных корней ни при каких вещественных a, 6, с, d.

62 (1986). У тетраэдра объема V с площадью поверхности 5 все плоскости граней отодвинули на расстояние h во внешнюю сторону. Найдите объем и площадь поверхности получившегося тетраэдра.

63 (1986). Рассмотрим всевозможные 100-значные числа, в которых каждые две соседние цифры различны. Каких среди них больше: четных или нечетных?

64 (1986). Функция f: [0; l]-+R такова, что f(0) =0 = f(l) и для любых различных чисел а и b из отрезка [0; 1] имеем f((a + b)/2) ^f(a)+f(b). Докажите, что у этой функции бесконечно много корней на отрезке [0; 1].

65 (1986). Два многоугольника называются положительно гомотетичными, если один из них можно получить из другого параллельным переносом или гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что если два выпуклых положительно гомотетичных многоугольника имеют общую точку, то один из них содержит вершину другого.

66 (1987). «Хромой» король ходит по доске по обычным правилам, кроме того, что ему запрещено сдвигаться вверх—влево и вниз. Двое игроков ходят им по очереди, причем ходить на поле, на котором уже побывали, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает: начинающий или его противник?

67 (1987). Кубики, из которых сложен куб пХпХп, окрашены в два цвета. Разрешается перекрашивать любой столбик 1X1X3 в тот цвет, который в нем преобладает. Можно ли окрасить весь куб в один цвет?

68 (1987). ABCD — выпуклый четырехугольник, диагонали которого пересекаются в точке О. Точки К, L, M и N— центры окружностей, вписанных в треугольники АБО, ВСО, CDO и DAO. Найдите максимальную константу С, при которой обязательно выполняется неравенство

где через р и s обозначены периметр и площадь соответственно.

69 (1987). В стране Толстопузии в ходу монеты достоинством в 1, m и п пузов, причем m и п — взаимно простые числа, большие 1. Сколькими способами можно разменять купюру достоинством в Ата пузов этими монетами?

70 (1987). Дан выпуклый n-угольник, вершины которого лежат в узлах целочисленной решетки. Докажите, что его периметр больше, чем п^п/ЮО.

71 (1987). Есть N лампочек. Какое наименьшее число переключателей, каждый из которых меняет состояние своего набора лампочек, нужно к ним подключить, чтобы с их помощью можно было зажечь любые две лампочки, имея остальные погашенными?

72 (1987). Два игрока играют в следующую игру: первый каждым своим ходом ставит на плоскость точку и соединяет ее кривыми с некоторыми уже имеющимися точками так, чтобы эти кривые не пересекались с уже имеющимися. Второй игрок

после этого красит новую точку в один из имеющихся у него 10 цветов. Докажите, что первый игрок может заставить второго отметить какие-то две точки, соединенные кривой, одним и тем же цветом.

73 (1987). Докажите, что в пятиугольнике, в котором все углы равны, сумма расстояний от точки до сторон не зависит от точки.

74 (1987). По окружности стоят числа от 1 до N (по порядку). Разрешается заменить любые два соседних числа на их среднее арифметическое. Докажите, что такими операциями нельзя уравнять все числа при N > 4.

75 (1987). В выпуклом четырехугольнике XYZT продолжения сторон XT и YZ пересекаются в точке F, продолжения сторон XY и ZT — в точке G, диагонали XZ и КГ — в точке О, причем точка Y лежит на обоих отрезках FZ и XG. Прямая FO пересекает стороны XY и ZT в точках А и B, а прямая GO пересекает стороны XT и YZ — в точках С и D. Докажите, что

76 (1987). Дано несколько кругов с радиусами п < г2 < < ... < гПу а также прямая L. Как нужно расположить круги на плоскости, чтобы все они касались прямой L и каждый, кроме двух крайних, касался бы двух своих соседей, и чтобы проекция этой системы кругов на прямую L имела бы максимально возможную длину?

77 (1987). Пьяный библиотекарь каждую минуту снимает с полки какой-то том Британской Энциклопедии, стоящий не на своем месте, и ставит его на свое место. Если в некоторый момент все тома окажутся на своих местах, то библиотекарь запишется в Общество Трезвости. Может ли Общество однозначно рассчитывать на пополнение своих рядов?

78 (1987). В королевстве Тише-Едешь-Дальше-Будешь 16 городов. Король хочет соединить некоторые города дорогами так, чтобы из любого города в любой другой можно было добраться, проехав не более чем через один город. Из соображений экономии он также хочет сделать это так, чтобы из каждого города выходило не более k дорог. При каком наименьшем k ему удастся это сделать?

79 (1987). Некто задумал N чисел, после чего написал на N(N—1)/2 карточках их попарные суммы и перетасовал получившуюся колоду. Можно ли по этому набору карточек однозначно восстановить исходный набор чисел?

а) Решите задачу для N = 3, 4.

б) Докажите, что это, вообще говоря, нельзя сделать, если N — степень двойки.

в) Докажите, что это можно сделать, если N не является степенью двойки.

г) Можно ли восстановить исходный набор чисел по набору

всех сумм по три числа?

д) Можно ли восстановить исходный набор чисел по набору

сумм по k чисел?

80 (1987). Есть автомат, который по двум карточкам с числами X и Y выдает карточку с числом XY и возвращает заложенные в него карточки. Другой автомат по карточке с числом А выдает карточку с числом X2 и выдает обратно исходную карточку.

Исходно имеется одна карточка с числом А. Через Р(п) обозначим наименьшее число операций автоматов, которое необходимо для получения карточки с числом А71.

а) Вычислите Р(п) для я=1, 2, ..., 16.

б) Докажите неравенства

в) Докажите, что

г) Докажите, что

81 (1988). Квадратный трехчлен таков, что его значения в точках— 1, 0, 1 лежат в отрезке [0; 1]. Докажите, что любое значение этого многочлена в отрезке [—1; 1] не превосходит 9/8.

82 (1988). Федя хочет разбить множество всех натуральных чисел, больших единицы, на два класса — «хорошие» и «плохие»— так, чтобы произведение любых 239 различных «хороших» чисел было «плохим», а произведение любых 45 различных «плохих» чисел было «хорошим». Докажите, что ему это не удастся.

83 (1988). А\А2... A2k — выпуклый 2n-угольник, длины всех сторон которого равны 1; О — произвольная точка на плоскости. Докажите, что

84 (1988). Рассматривается уравнение f(x) + f~l(x) = g(x), где f(x) —заданная на [0; оо [ строго возрастающая непрерывная неизвестная функция, a g(x)—такая же непрерывно дифференцируемая известная функция. При каких g(x) уравнение имеет решения и сколько их?

а) Покажите, что если уравнение имеет решение, то при любом неотрицательном х имеем

б) Найдите все решения при g(x)=Cx.

в) Докажите, что если g'(0)>2 и для любого положительного x выполнено условие

то существует не более двух решений уравнения.

г) Докажите, что если g'{x)Z^2 при всех х>0 и g(x) линейна в окрестности нуля, то решение существует.

д) Докажите, что для существования решения достаточно условия g' (х) ^ 2.

е) Приведите пример функции g(x), для которой решения не существует, но g(x) > \0х при любом положительном х.

85 (1988). На плоскости дано несколько кругов, причем известно, что любые два из них пересекаются. Докажите, что все их можно проткнуть семью иголками.

86 (1988). Попарно взаимно простые целые числа x, у, z таковы, что х2+y2 = z2n, причем р = Ап— 1 —простое число. Докажите, что одно из чисел х и у делится на р.

87 (1988). Выпуклый многогранник M таков, что в каждой его вершине сходятся три ребра. Докажите, что если число ребер у M равно Зм, то никакая плоскость не может пересекать во внутренних точках более п + 2 ребер этого многогранника, причем эта оценка точная в том смысле, что существует многогранник, удовлетворяющий условиям задачи, для которого найдется плоскость, пересекающая ровно п + 2 ребра во внутренних точках.

88 (1989). В трех городах живет по п человек в каждом, причем каждый из этих людей имеет по крайней мере 2п знакомых среди них. Докажите, что в каждом городе можно выбрать по человеку так, что эти трое будут попарно знакомы между собой.

89 (1989). Последовательность натуральных чисел (tk) определена следующим образом: ^i = 0, /2 = 2, /з = 3, a tn = tn-2 + tn-3 при п > 3. Докажите, что при любом простом р число tP делится на р.

90 (1989). Различные вещественные числа а, 6, с таковы, что а+ \/Ь = Ь+ \/с = с+ \/а = р. Докажите, что abc + p = 0.

91 (1990). Пусть М(р) —число решений уравнения х