Фетисов А. И. Геометрия : ч. 2 : Стереометрия : пробный учебник для 9—10 классов средней школы. — М. : Учпедгиз, 1957. — 120 с.

А. И. ФЕТИСОВ

ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНИК для 9—10 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Часть II

УЧПЕДГИЗ • 1957

А. И. ФЕТИСОВ

ГЕОМЕТРИЯ

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Пробный учебник для 9—10 классов средней школы

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва 1957

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Настоящая книга издаётся как пробный учебник для 9—10 классов средней школы.

Рукопись к изданию рекомендована конкурсной комиссией по отбору учебника геометрии для средней школы. Состав конкурсной комиссии: проф. Фиников С. П., проф. Россинский С. Д., доц. Бескин Н. М., доц. Чичигин В. Г. и учителя-методисты: А. А. Колосов, К. С. Богушевский, С. С. Щербаков и П. А. Фаворский.

Все замечания по данной книге просим направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, редакция математики.

СТЕРЕОМЕТРИЯ

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Основные понятия и аксиомы

1. В первой части геометрии — планиметрии — мы изучали свойства геометрических фигур, расположенных в одной и той же плоскости.

Во второй части геометрии — стереометрии1 — мы будем изучать свойства таких фигур, не все точки которых принадлежат одной и той же плоскости. Такие фигуры называются пространственными, а стереометрия называется также геометрией в пространстве.

Основными элементами геометрии в пространстве являются:

1) точки, которые мы будем обозначать большими латинскими буквами (А, В, С .. At, N, Я,...);

2) прямые, которые мы будем обозначать малыми латинскими буквами (a, Ь, с,... т, п, /?,...).

Прямую мы будем обозначать также двумя большими латинскими буквами, соответствующими каким-нибудь двум точкам этой прямой: прямая АВ, MN, PQ,.. .;

3) плоскости, которые мы будем обозначать малыми греческими буквами (а, р, т,...).

Для того чтобы изображать пространственные фигуры на плоскости, приходится пользоваться рисунками, на которых некоторые части фигуры изображены не такими, каковы они в действительности. Так, например, на изображении прямоугольного стола на чертеже 1 верхняя поверхность стола представляется нам в виде косоугольного параллелограмма, хотя на самом деле этот параллелограмм — прямоугольник.

Плоскость не имеет границ, поэтому при изображении её на чертеже приходится пользоваться условными фигурами, изображаю-

Черт. 1

1 Слово стереометрия составлено из двух греческих слов: атереос (стереос) — пространственный и [хетрео (метрео) — мерю.

щими часть плоскости. Иногда плоскость изображается в виде прямоугольной её части (плоскость а на чертеже 2). В других случаях плоскость изображают в виде куска её неопределённой формы (плоскость р на чертеже 2).

2. Важнейшие свойства плоскости, которыми определяются её соотношения с другими элементами пространства, даются следующими тремя аксиомами.

Аксиома 1. Существует одна и только одна плоскость, проходящая через три точки, не принадлежащие одной и той же прямой. Указанным в этой аксиоме свойством плоскости мы постоянно пользуемся на практике. Например, запертую на замок дверь нельзя открыть потому, что в ней имеются три неподвижные точки: две петли и замок.

Плоскость, определяемую точками А, В и С, мы иногда будем обозначать: плоскость ABC.

Аксиома 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то через эту точку проходит единственная прямая, являющаяся геометрическим местом точек, общих для обеих плоскостей.

Две плоскости, имеющие только одну общую прямую, называются пересекающимися, а общая прямая называется линией пересечения этих плоскостей.

Аксиома 3. Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Каждая прямая, принадлежащая плоскости, разделяет эту плоскость на две области, которые называются полуплоскостями.

Соотношение между прямой и плоскостью, указанное в аксиоме 3, имеет большое практическое значение. Если, например, мы хотим проверить, является ли плоской данная поверхность, то мы прикладываем к ней линейку в различных направлениях и смотрим, совпадает ли линейка с поверхностью всеми своими точками.

Если прямая имеет с плоскостью только одну общую точку, то говорят, что эта прямая пересекает плоскость в этой точке. Например, на чертеже 3 прямая а пересекает плоскость а в точке А.

Черт. 2

Черт. 3

В дальнейшем для сокращения записи мы будем пользоваться следующими условными знаками:

1) знак принадлежности cz; Лс=а обозначает: точка Л принадлежит прямой а; Л си а — точка Л принадлежит плоскости а; а сна — прямая а принадлежит плоскости а;

2) знак тождества =;а = MN — прямая а тождественна с прямой MN\

3) знак пересечения X; # X ^ — прямая а пересекает прямую b\ а Xа — прямая а пересекает плоскость а; а X Р — плоскость а пересекает плоскость р.

3. Непосредственно из аксиом мы выводим ряд следствий. Следствие 1. Существует единственная плоскость, проходящая через данную прямую и точку, не принадлежащую этой прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим прямую а и не принадлежащую ей точку А (черт. 4). Возьмём на прямой а две произвольные несовпадающие точки М и N. Тогда мы будем иметь три точки — Ж, N и Л, не лежащие на одной и той же прямой. Согласно аксиоме 1, существует плоскость (а на чертеже 4), проходящая через эти три точки. На основании аксиомы 3 прямая а принадлежит плоскости а. Эта плоскость будет единственной, независимо от выбора точек М и N на прямой. Действительно, если мы допустим, что через прямую а и точку А проходит другая плоскость а', то этой плоскости должны принадлежать и точки М и N. Но по аксиоме 1 через три точки М, N и А проходит единственная плоскость, следовательно, a' = a.

Следствие 2. Существует единственная плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые.

Пусть мы имеем прямые тип, пересекающиеся в точке А (черт. 5). На прямой т возьмём точку М, отличную от Л, а на прямой п — точку N — тоже отличную от Л. Точки М, N и Л не принадлежат одной и том же прямой, и, согласно аксиоме 1, существует плоскость, проходящая через эти точки (плоскость а на чертеже 5).

Прямые т и п, согласно аксиоме 3, будут принадлежать плоскости а. Эта плоскость будет единственной, независимо от выбора точек М и /V на данных прямых. Действительно, если мы допустим, что существует другая плоскость af, проходящая через те же прямые т и п, то

Черт. 4

Черт. 5

этой плоскости принадлежат и точки М и N, лежащие на этих прямых. Но через три точки М, N и Л по аксиоме 1 может проходить только одна плоскость. Поэтому а' = а.

Следствие 3. Существует единственная плоскость, проходящая через две параллельные между собой прямые.

По самому определению параллельные прямые должны принадлежать одной и той же плоскости.

Поэтому, если мы возьмём две точки на одной из этих параллельных, а третью точку — на другой, то этими точками по аксиоме 1 определится та же самая плоскость, которой принадлежат эти параллельные.

В связи с этим мы можем утверждать, что аксиома параллельности, которой мы пользовались в планиметрии, остаётся в силе и для стереометрии. Действительно, если в пространстве дана прямая а и вне её точка Л, то, как было доказано, существует единственная плоскость а, проходящая через точку Л и прямую а. Согласно же аксиоме параллельности, через точку Л к прямой а можно провести одну и только одну параллельную.

Итак, мы для пространства доказали предложение:

Через точку, не принадлежащую данной прямой, можно к этой прямой провести одну и только одну параллельную.

Глава I. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 2. Параллельность прямых

4, Две различные прямые в пространстве могут занимать по отношению друг к другу следующие возможные положения.

1) Обе прямые принадлежат одной и той же плоскости. Если при этом они умеют одну и только одну общую точку, то они называются пересекающимися.

Если же они, будучи в одной и той же плоскости, не имеют ни одной общей точки, то они называются параллельными.

2) Прямые не принадлежат одной и той же плоскости. В этом случае прямые называются скрещивающимися. Чтобы доказать существование скрещивающихся прямых, возьмём три точки Л, В и С, не лежащие на одной и той же прямой (черт. 6), и точку D — вне плоскости ABC. Прямая АВ принадлежит плоскости АВСУ а прямая CD не может ей принадлежать, так как точка D плоскости ABC не принадлежит. Итак, АВ и CD — скрещивающиеся прямые.

Черт. 6

Черт. 7

Примером может служить диагональ любой грани куба, которая является скрещивающейся со всеми рёбрами противоположной грани.

5. Для того чтобы изучить свойства расположения двух параллельных прямых, необходимо знать признак параллельности, т. е. такую их особенность, которая отличала бы их взаимное положение от взаимного положения скрещивающихся или пересекающихся прямых.

В качестве такого признака нельзя взять отсутствие общих точек, так как и скрещивающиеся прямые не имеют общих точек.

Признаком, отличающим пару параллельных прямых от пары скрещивающихся или пары пересекающихся прямых, является то, что если одну из параллельных пересечь какой-нибудь плоскостью, то эта плоскость непременно пересечёт и другую. Если же взять пару скрещивающихся или пересекающихся прямых, то всегда можно найти такую плоскость, которая одну из них пересекает, а через другую проходит. Это свойство параллельных прямых доказывается в следующей теореме.

Теорема 1. Для того чтобы две данные прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы каждая плоскость, пересекающая одну из них, пересекала и другую.

Признак является необходимым. Это значит, что каждая пара параллельных прямых обладает этим свойством, т. е. что любая плоскость, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую.

Действительно, пусть мы имеем пару параллельных прямых а и Ь, которые, по определению параллельных, лежат в одной и той же плоскости f (черт. 7).

Положим, что некоторая плоскость Ь пересекает прямую а в точке Л. Плоскости 7 и В имеют общую точку Л, значит, они имеют и общую прямую, которую обозначим через /. Прямая /, пересекающая прямую а, пересекает и параллельную ей прямую b (это

доказано в планиметрии). Точка В, в которой прямая / пересекает прямую Ь, есть в то же время точка, в которой плоскость 8 пересекает прямую Ь. Итак, плоскость, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую.

Признак является достаточным. Это значит, что этим свойством обладают только параллельные прямые, а непараллельные прямые этим свойством не обладают. Действительно, если, например, АВ и CD (черт. 6) — скрещивающиеся прямые, то через прямую АВ и точку С, лежащую на другой прямой, можно провести плоскость ABC, которая пересекает прямую CD и проходит через прямую АВ.

Если а и /— пересекающиеся прямые (черт. 7), то можно через прямую / провести плоскость 8, пересекающую прямую а.

Итак, для скрещивающихся и пересекающихся прямых всегда можно найти плоскость, пересекающую одну из них и проходящую через другую.

Понятие о необходимых и достаточных признаках (или условиях) играет очень большую роль в математике. Такие условия выполняются всегда, когда одновременно истинны и прямая и обратная теоремы. Например, мы имеем две теоремы: „Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны" и „Если углы при основании треугольника равны, то треугольник равнобедренный". Эти две теоремы можно соединить в одну, указав на необходимое и достаточное условие: „Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы углы при его основании были равны". Условие необходимо, так как у каждого равнобедренного треугольника углы при основании равны. Условие достаточно, так как треугольник с равными углами при основании равнобедренный.

Приведём ещё примеры. „Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо, чтобы они лежали в одной и той же плоскости" — условие это необходимо, но не достаточно, так как прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть и пересекающимися.

Для того чтобы сумма двух углов равнялась 180°, достаточно, чтобы эти углы были смежными. Условие это не является необходимым, так как такую сумму могут дать и несмежные углы.

Вообще можно дать такие определения: Необходимым мы называем такое условие, без выполнения которого данное предложение безусловно неверно.

Например, без равенства двух углов треугольник не может быть равнобедренным; прямые не могут быть параллельными, если они не лежат в одной плоскости.

Достаточным мы называем такое условие, при выполнении которого данное предложение безусловно верно.

Например, при равенстве двух углов треугольник обязательно будет равнобедренным.

6. Теорема 2. Две прямые, параллельные одной и той же третьей прямой, параллельны и между собой.

Дано: а И ft, с || Ь. Доказать: а\\с (черт. 8).

Черт. 8

Черт. 9

Черт. 10

Для доказательства пересечём прямую а произвольной плоскостью 8. По теореме 1 эта плоскость пересечёт и прямую Ь. Но тогда по той же теореме эта плоскость пересечёт и прямую с.

Итак, всякая плоскость, пересекающая прямую а, пересекает и прямую с. Это означает, что а и с параллельны.

Теорема 3. Если у двух углов, расположенных в пространстве, стороны соответственно параллельны и одинаково направлены, то такие углы равны между собой.

Пусть даны в пространстве два угла: первый с вершиной О и сторонами а и Ь, второй с вершиной О' и сторонами а' и Ь\ причём а || а! и b || b' и направления каждой пары параллельных сторон одинаковы1 (черт. 9).

Отложим на сторонах а и а' отрезки ОА = 0'А\ а на сторонах b и V отрезки ОВ = О'В' и проведём отрезки АВ и А'В\ Так как отрезки OA и О'А' одновременно равны и параллельны, то четырёхугольник О А А'О' — параллелограмм и, значит, А А' || 00' и АА' = 00'. Точно так же отрезки ОВ и О'В' равны и параллельны, и поэтому четырёхугольник ОВВ'О' — тоже параллелограмм, следовательно, и ВВ || 00'; В В' = 00'. На основании теоремы 2 получим, что АА' || ВВ\ а ввиду равенства этих отрезков одному и тому же отрезку 00' будем иметь, что АА' = ВВ\ Итак, четырёхугольник АА'В'В — тоже параллелограмм, и, значит, АВ — АГВ\

Мы видим, что три стороны треугольника АОВ соответственно равны трём сторонам треугольника А'0'В\ поэтому треугольники равны между собой: А АОВ = д Л'О'Я'. Отсюда заключаем, что L АОВ= L А'О'В'.

7. На основании этой теоремы мы можем определить угол между двумя скрещивающимися прямыми. Положим, что даны скрещивающиеся прямые а и Ь, как показано на чертеже 10. Выберем на прямых а и b определённые направления и из произвольной точки О проведём лучи т и л, соответственно параллельные и одинаково направленные с прямыми

1 Два параллельных луча считаются одинаково направленными, если они находятся в одной и той же полуплоскости по отношению к прямой, проходящей через их начальные точки.

а и J, В результате мы получим угол с вершиной О и сторонами тип. Величина этого угла не зависит от выбора произвольной точки О. Действительно, если мы возьмём какую-нибудь другую точку О' и проведём из этой точки О' лучи tri и п\ соответственно параллельные и одинаково направленные с прямыми а и Ьу то получим угол, равный углу при вершине О, так как т || а и rri || а, а значит, т \\ т\ п || b и ri || Ъ, значит, п \\ ri и, следовательно, на основании предыдущей теоремы /, тОп = £ m'O'ri.

Определение. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя лучами с общим началом, которые соответственно параллельны и одинаково направлены с данными прямыми.

Если угол между скрещивающимися прямыми прямой, то такие прямые называются перпендикулярными.

Следствие. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой.

Дано: а \\ b\ I±_а (черт. 11). Доказать:

Для доказательства найдём величину угла между прямыми / и Ь. Из произвольной точки О проведём лучи: т || Ъ и п || /. Согласно определению, угол между прямыми b и / равен углу тОп.

Так как прямые т и а параллельны одной и той же прямой Ь, то т || а. Но тогда угол тОп определяет величину угла между прямыми а и /, а так как a _L /, то и т _L п. Но угол тОп определяет и величину угла между прямыми/и Ь. Следовательно, и l\Jb.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Доказать, что если у двух углов со взаимно-параллельными сторонами направления в обеих парах сторон противоположны друг другу, то такие углы равны между собой.

2) Доказать, что если у двух углов со взаимно-параллельными сторонами направления в одной паре сторон одинаковы, а в другой противоположны, то такие углы дают в сумме 180°.

3) Положим, что плоскость р пересекается с плоскостью ? по прямой а, плоскость 7 пересекается с плоскостью а по прямой плоскость а пересекается с плоскостью Э по прямой с. Доказать, что если а х Ьу то через точку их пересечения проходит и прямая с. Если же а \\ Ь, то и с || а.

Вопросы

4) Когда открывают крышку рояля, то её подпирают в одной точке. Какое свойство плоскости при этом применяется?

5) Когда центры трёх планет лежат в одной и той же плоскости?

6) На модели куба указать параллельные, пересекающиеся и скрещиваю-

Черт. 11

щиеся прямые. Указать такие же прямые в комнате, рассматривая линии пересечения стен, пола и потолка.

7) В пространстве дано п точек, причём известно, что каждые 4 из них лежат в одной и той же плоскости. Доказать, что все п точек лежат в одной и той же плоскости.

8) Точки А, В, С и D не принадлежат одной и той же плоскости. Доказать, что середины отрезков АВ, ВС, CD и DA являются вершинами параллелограмма.

ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

9) Найти геометрическое место точек, принадлежащих отрезкам, соединяющим точки одной из двух пересекающихся прямых с точками другой.

10) Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, пересекающим две данные параллельные прямые.

11) Дана прямая / и вне её точка Р. Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через точку Р и пересекающим прямую /, а также принадлежащих прямой, проходящей через точку Р и параллельной /.

§ 3. Параллельность прямой и плоскости

8. Прямая и плоскость в пространстве могут занимать следующие возможные положения по отношению друг к другу:

1) Прямая принадлежит плоскости.

2) Прямая пересекает плоскость, т. е. имеет с ней одну и только одну общую точку.

3) Прямая не имеет с плоскостью общих точек. Определение. Прямая, не имеющая общих точек с плоскостью, называется параллельной этой плоскости.

Если прямая / параллельна плоскости а, то это записывается так: / || ос или, что всё равно, а || /.

Существование прямой, параллельной плоскости, доказывается следующей теоремой, которая даёт также признак параллельности прямой и плоскости4.

Теорема. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, принадлежащей плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Дано: /||а, ас=а,/сДа1 (черт. 12).

Доказать: /1| а.

Допустим обратное: положим, что / Xа- Но тогда, согласно теореме 1 предыдущего параграфа, мы получим, что аХ», а это противоречит условию теоремы (аса), Итак, мы получаем, что /1| а.

Следствие 1. Если прямая I параллельна плоскости а и если через какую-нибудь точку Р этой плоскости

Черт. 12

1 Знак ф обозначает: не принадлежит.

провести прямую а, параллельную I, то прямая а будет принадлежать плоскости а.

Дано: / || ос, Яса, Ясна, а || /. Доказать: афх.

Допустим, что а не принадлежит плоскости а. Тогда мы должны заключить, что а X а, так как они имеют общую точку Р.

Но если аХа, то, согласно признаку параллельности прямых, а X /, что противоречит условию (а || /). Итак, аса.

Следствие 2. Прямая, параллельная двум пересекающимся плоскостям, параллельна линии их пересечения.

Дано: /1| а, / || р, а и р пересекаются по прямой т.

Доказать: 1\\т (черт. 13). Возьмём какую-нибудь точку Р на прямой т и проведём через неё прямую, параллельную прямой /. Согласно предыдущему следствию, эта прямая должна принадлежать одновременно и плоскости а и плоскости р. Но единственной прямой, принадлежащей одновременно обеим плоскостям, является прямая т (аксиома 2). Итак, т || /.

Таким же путём можно доказать, что если прямая п лежит в плоскости р и параллельна плоскости а, то она тоже параллельна прямой т (черт. 13).

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Если прямая параллельна плоскости, то этой же плоскости параллельна и всякая другая прямая, параллельная данной прямой и не принадлежащая этой плоскости.

2) Если а и Ь — скрещивающиеся прямые, то существует единственная плоскость, проходящая через одну из них и .параллельная другой.

3) Если а и b — скрещивающиеся прямые и Р—не принадлежащая им точка, то существует единственная плоскость, проходящая через точку Р и параллельная одновременно и прямой а и прямой Ь.

ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

4) Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, которые параллельны одной из двух скрещивающихся прямых и пересекают другую.

§ 4. Параллельность плоскостей

9. Две плоскости в пространстве могут занимать следующие возможные положения по отношению друг к другу:

1) Плоскости пересекают друг друга, т. е. имеют одну и только одну общую прямую.

2) Плоскости не имеют друг с другом общих точек.

Черт. 13

Определение. Плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными.

Если плоскости аир параллельны между собой, то это записывается так: а || р или р || а.

В окружающей нас обстановке мы постоянно видим примеры параллельных плоскостей: пол параллелен потолку, параллельны между собой полки шкафа или этажерки, параллельны между собой две поверхности оконного стекла, зеркала.

Непосредственно из определения следует, что каждая из двух параллельных плоскостей параллельна всем прямым, принадлежащим другой плоскости, так как прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, не может иметь общих точек с другой плоскостью.

Следующая теорема доказывает существование параллельных плоскостей.

Теорема 1. Существует единственная плоскость, проходящая через точку, не принадлежащую данной плоскости, и параллельная этой плоскости.

Пусть а — данная плоскость и Q — не принадлежащая ей точка (черт. 14). Возьмём в плоскости а произвольную точку Р и проведём через неё две пересекающиеся прямые тип. Через точку Q проведём две прямые тТ и п\ соответственно параллельные прямым m и п: mr \\ m и п' || п. Пересекающиеся прямые т! и п' определяют проходящую через них плоскость р. Докажем, что р || а.

Допустим противное. Положим, что плоскость р пересекает плоскость а по прямой /. Так как т || т\ то т || р; а так как п || п\ то п || р (на основании признака параллельности прямой и плоскости). Поэтому прямые т и п не пересекают прямой /, так как тогда они пересекали бы и плоскость р. Итак, т \\ I и п || /. Но две пересекающиеся прямые не могут быть параллельны одной и той же прямой — это противоречит аксиоме параллельности. Следовательно, плоскость р не может пересечь плоскость а. Значит, р || а.

Если мы допустим, что через точку Q проходит ещё другая плоскость рг, параллельная а, то получим, что т || р' и п || рг, так как ни т ни п не могут иметь общих точек с плоскостью рг. Поэтому прямая т\ проходящая через точку Q и параллельная прямой т9 должна принадлежать рг. И точно так же прямая п\ параллельная п и проходящая через точку Q, тоже принадлежит Рг. Но через две пересекающиеся прямые т! и пТ может проходить только одна плоскость. Поэтому р' совпадает с Р: Р' = Р.

Черт. 14

Непосредственно из доказательства этой теоремы следует основной признак параллельности плоскостей:

Две плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.

Действительно, если это условие выполнено, то выполнено и то построение, которым мы пользовались при доказательстве теоремы, а отсюда следует параллельность плоскостей.

10.Следствие 1. Две плоскости, параллельные одной и той же третьей, параллельны и между собой. Дано: а тЦ р. Доказать: а \\ 4.

Если мы допустим, что плоскость а пересекает плоскость то получим, что через какую-нибудь общую точку этих плоскостей проходят две различные плоскости, одновременно параллельные третьей плоскости р, а это противоречит только что доказанной теореме.

Следствие 2. Плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую, причём линии пересечения параллельны между собой.

Дано: а||Р; тХа; а —линия пересечения а и? (черт. 15).

Доказать: X Р; а || Ь, где b — линия пересечения Р и

Если плоскость f пересекает плоскость а, то она не может быть параллельна плоскости р, так как при условии 7 || р, а || р мы получили бы на основании предыдущего следствия, что 71| а, а это противоречит условию тХа-

Итак, плоскость т пересекает плоскость р. Обозначим через b линию пересечения тир. Прямые а и b принадлежат одной и той же плоскости ? и в то же время не могут иметь общих точек, так как лежат в двух параллельных плоскостях. Итак, а \\ Ь.

11. Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями равны между собой.

Дано: а || аг, т || пу прямая т пересекает а и а' в точках М и М\ прямая п пересекает а и аг в точках N и Л/7. Доказать: MM — NN' (черт. 16).

Черт. 16

Черт. 15

Так как т || п, то существует плоскость проходящая через эти прямые. Она пересекает плоскости а и а' по параллельным прямым MN и MN' (следствие 2). Поэтому четырёхугольник MNN'M — параллелограмм, следовательно, MM = NNr.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Доказать, что все прямые, пересекающие одну из двух параллельных плоскостей, пересекают и другую.

2) Доказать обратное предложение: если все прямые, пересекающие одну из двух данных плоскостей, пересекают и другую, то эти плоскости параллельны. Получить отсюда условие, необходимое и достаточное для параллельности плоскостей.

3) Доказать, что через две скрещивающиеся прямые можно провести одну и только одну пару параллельных между собой плоскостей.

4) Если две параллельные плоскости пересекают стороны угла, не проходя через вершину, то они на этих сторонах отсекают соответственно пропорциональные отрезки.

ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

5) Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, которые параллельны данной плоскости и проходят через одну и ту же точку, не принадлежащую этой плоскости.

6) Найти геометрическое место точек, делящих в одном и том же отношении все отрезки, соединяющие точки одной плоскости с точками другой плоскости, ей параллельной.

7) На плоскости а начерчена окружность с центром О. Вне плоскости дана точка Р. Найти геометрическое место середин всех отрезков, соединяющих точку Р с точками окружности.

§ 5. Свойства параллельной проекции

12. В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о геометрических построениях в пространстве.

В планиметрии мы производили все построения при помощи известных инструментов: линейки, циркуля, чертёжного треугольника.

Нетрудно убедиться в том, что для построения в пространстве эти инструменты не годятся. Например, даже такое простое построение, как проведение прямой через две данные точки в пространстве нельзя произвести при помощи линейки. Для достижения этой цели приходится прибегать к натянутым нитям, резиновым шнурам, проволоке и т. д. Для более сложных пространственных фигур становится необходимым строить специальные модели. Однако в большинстве случаев и изготовление моделей оказывается слишком затруднительным.

Чтобы преодолеть эти затруднения, в стереометрии пользуются построением на проекционном чертеже.

Возьмём проволочную (каркасную) модель какой-нибудь пространственной фигуры, например куба, и в солнечный день рассмотрим тень этой фигуры на стене или на каком-либо экране. Эта тень даёт нам наглядное представление о проекции данной фигуры на плоскости стены или экране. Эта проекция является

параллельной, так как солнечные лучи можно считать параллельными между собой.

Рассматривая тень при различных положениях модели по отношению к экрану, мы можем установить некоторые основные свойства параллельной проекции путём непосредственного наблюдения. Рассмотрим, например, изображение тени куба на чертеже 17. Из сравнения фигуры с её тенью мы можем сделать следующие выводы:

1) Проекция прямой линии есть прямая. Это видно из того, что рёбра куба все изобразились в виде прямолинейных отрезков. Исключением является тот случай, когда прямая параллельна направлению проектирующих лучей, тогда изображение прямой становится точкой. Таковы, например, изображения четырёх рёбер куба на чертеже 17 с.

2) Изображения параллельных прямых тоже параллельны между собой. На чертеже 17 мы видим, что параллельные рёбра куба изображаются параллельными же отрезками.

3) Если фигура находится в плоскости, параллельной плоскости, на которую производится проектирование, то изображение фигуры равно самой фигуре. На чертеже 17 а и с передняя грань куба параллельна плоскости, на которую её проектировали, и её изображение получилось в виде квадрата, равного этой грани.

Нужно обратить внимание на то, что на изображении многие элементы фигуры оказываются изменившимися; изменяется величина отрезков: одни отрезки оказываются длиннее, другие короче по сравнению с соответствующими отрезками данной фигуры. Изменяется величина углов: например, прямой угол может изобразиться или тупым, или острым.

На чертеже 17 мы видим, что на фигурах a, bud грани куба изображаются косоугольными параллелограммами, тогда как на самом деле они квадраты.

13. Дадим теперь определение параллельной проекции и геометрическое обоснование её свойств.

Определение. Параллельной проекцией фигуры называется совокупность точек, которые получаются от пересечения данной плоскости со всеми прямыми, проходящими через точки этой фигуры и параллельными одной и той же прямой.

Данная плоскость называется плоскостью проекции.

Черт. 17

Параллельные прямые, при помощи которых осуществляется проектирование, называются проектирующими прямыми.

Теорема 1. Если прямая не параллельна проектирующим прямым, то её проекция есть тоже прямая.

Пусть мы имеем плоскость проекции а и прямую /, не параллельную проектирующим прямым (черт. 18). Возьмём на прямой / точку А и проведём через неё проектирующую прямую а, которая пересечёт плоскость а в точке А'. Через пересекающиеся прямые awl проведём плоскость f, которая пересечёт плоскость а по прямой /'. Если теперь через какую-нибудь точку В прямой / провести проектирующую прямую Ьу то b || а и потому b лежит в той же плоскости f и, значит, прямая b пересекает плоскость а в точке В\ принадлежащей прямой Итак, проекция любой точки прямой / должна принадлежать прямой /', т. е. прямая /' есть проекция прямой /.

Приведённое доказательство нельзя было бы применить, если бы прямая / оказалась параллельной проектирующим прямым.

Но в этом случае, очевидно, проекцией прямой / оказалась бы точка пересечения этой прямой с плоскостью проекции а.

Теорема 2. Если две параллельные прямые не параллельны проектирующим прямым, то их проекции либо параллельны между собой, либо совпадают.

Пусть а || bt а! — проекция прямой а на плоскость 7, V — проекция прямой b на плоскость 7 (черт. 19). Докажем, что прямые о! и Ь' либо параллельны, либо совпадают. Для этого проведём из точки А прямой а проектирующую прямую AN, а через точку В прямой b проектирующую прямую ВВ\ Прямые а, а' и AN лежат в плоскости а, прямые bf bf и ВВГ лежат в плоскости р. Так как а \\ b и AN || ВВ\ т. е. две пересекающиеся прямые плоскости а соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости р, то на основании признака параллельности плоскостей заключаем, что а Ц р. Две параллельные

Черт. 18

Черт. 19

плоскости аир пересекаются третьей плоскостью ч по параллельным прямым а' и ft'. Итак, а! || ft'.

Если бы прямая ft оказалась в плоскости а, то проекции а' и ft' слились бы в одну и ту же прямую.

14. Теорема 3. Отношение отрезков, принадлежащих одной и той же прямой, равно отношению проекций этих отрезков на проекции прямой.

На чертеже 18 дан отрезок АВ и на нём точка С. А\ В' и С — проекции точек Л, В и С на плоскость а. АА' || BBf || СС.

Так как прямые / и /' находятся в одной и той же плоскости f, то мы можем применить к ним теорему об отрезках прямых, определяемых тремя параллельными прямыми на двух секущих прямых. На основании этой теоремы мы получаем пропорцию:

АВ _ АН ВС~В'С '

Теорема остаётся справедливой и для того случая, когда отрезки расположены не на одной и той же прямой, а на двух параллельных прямых.

Пусть, например, на двух параллельных прямых а и ft (черт. 19) имеются отрезки АС и BD; отрезки АС и В'П — их проекции. В плоскости параллельных прямых а и ft проведём прямую DM || АВ, Тогда параллельными будут и их проекции: D'M || А'В\ Но свойству параллелограмма, AM = BD \\А'М' =B'D\ Как уже доказано, имеем: ^ = . Заменяя отрезки AM и А'М равными, получим:

АС _АС BD B'D' *

15. Теорема 4. Если фигура находится в плоскости, параллельной плоскости проекции, то проекция этой фигуры равна самой фигуре.

На чертеже 20 треугольник ABC находится в плоскости 8, параллельной плоскости проекции у, А', В', С — соответственно проекции точек Д В, С; АЛ' = ВВ' = СС, как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями.

Четырёхугольник АА'В'В — параллелограмм, поэтому АВ = А'В\ Таким же образом докажем, что и ВС = В'С и АС = А'С. Отсюда следует, что А ЛВС=А А'В'С, т.е. треугольник равен своей проекции. Если бы в плоскости 8 был не треугольник, а многоугольник, то его можно было бы разбить на треугольники. Тогда проекция его оказалась бы разбитой на такое же число соответственно

Черт. 20

равных и одинаково расположенных треугольников, а такие многоугольники равны, в чём легко убедиться, если данный многоугольник наложить на его проекцию соответственными точками. Значит, и проекция многоугольника равна самому многоугольнику.

Если же проектируемая фигура криволинейная, то параллельная проекция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками фигуры и точками её изображения. При этом расстояние между точками фигуры равно расстоянию между соответствующими точками проекции. Если данную фигуру перемещать так, чтобы её плоскость оставалась параллельной плоскости проекции и приближалась к ней, то в конце концов каждая точка фигуры совпадёт с соответствующей точкой проекции.

Следовательно, фигуры при наложении совпадают всеми своими точками, т. е. являются равными.

Если, в частности, данная фигура — окружность, то, очевидно, равным радиусам окружности соответствуют равные радиусы её изображения. Поэтому если окружность расположена в плоскости, параллельной плоскости проекции, то её проекцией будет тоже окружность.

16. Установленные в четырёх предыдущих теоремах соотношения между пространственной фигурой и её параллельной проекцией позволяют пользоваться проекцией этой фигуры для того, чтобы на проекционном чертеже производить построения, являющиеся точным отображением пространственных построений.

Однако для построений на проекционном чертеже недостаточно, чтобы этот чертёж был геометрически правильным. Необходимо также, чтобы он давал правильные представления о соответствующей геометрической фигуре. Это значит, что чертёж должен быть наглядным. Например, на чертеже 17 изображения куба с и d неудобны для построений: в первом из них не видно всех рёбер, а на втором форма куба сильно искажена. При построениях на проекционном чертеже нужно, чтобы этот чертёж был и геометрически правильным и наглядным.

Можно доказать, что для выполнения всех пространственных построений достаточно уметь производить следующие основные построения:

1) отмечать положение любой точки пространства;

2) проводить плоскость через три точки, не лежащие на одной и той же прямой;

3) находить точку пересечения прямой с плоскостью;

4) в каждой плоскости производить все планиметрические построения.

Посмотрим, как эти построения отображаются на проекционном чертеже. Прежде всего, познакомимся с тем, как отмечать на проекционном чертеже положение данных для построения

точек. Представим себе в пространстве постоянную плоскость а, которую назовём основной (черт. 21). Положение всякой точки пространства мы будем определять при помощи параллельной проекции этой точки на основную плоскость. Тогда на проекционном чертеже мы получим изображение основной плоскости а, изображение точки А, изображение её проекции N на плоскость а и изображение проектирующей прямой AN. Так это и сделано на чертеже 21, на котором мы видим изображение плоскости а и изображение точек Д В, С и D с их проекциями А', В\ С, D' на основную плоскость. Это изображение даёт достаточно ясное и наглядное представление о расположении точек в пространстве. Мы, например, видим, что точка С находится ближе к основной плоскости, чем точки А и В, что точка D находится под этой плоскостью, а точки А В и С — над плоскостью. Точка же М находится на самой плоскости а.

17. Решим теперь основные задачи на построение на проекционном чертеже.

Заметим при этом, что под словами „дана точка", „дана прямая" и т. д. мы подразумеваем, что дано изображение соответствующих геометрических элементов на проекционном чертеже.

Построение 1. Провести прямую, проходящую через две данные точки.

Пусть А и В — данные точки, N и В! — их проекции на основную плоскость а (черт. 22).

Так как проекцией прямой служит тоже прямая, то изображение искомой прямой / мы получим, проводя прямую через точки Л и Б, а изображение её проекции /' — проводя прямую через точки N и В'.

Пересечение прямых I и Г — точка Р — есть в то же время точка пересечения прямой / с плоскостью а, так как Pcz/'cua. Точка Я называется следом прямой / на плоскости а.

Построение 2. Провести плоскость через три данные точки А, В и С, не лежащие на одной и той же прямой.

Л, В и С — данные точки, N, В\ С — их проекции на основную плоскость а (черт. 23). Находим след X прямой ВС на основной плоскости, а также след Z прямой АВ на той же плоскости.

Черт. 21

Черт. 22

Точки X и Z — общие точки основной плоскости а и искомой плоскости. Прямая /, проходящая через точки X и Y> есть след искомой плоскости на плоскости а.

Изображение искомой плоскости наглядно даётся треугольником ABC и следом плоскости — прямой /.

На той же прямой / лежит точка Y — след прямой АС на основной плоскости.

Построение 3. Найти точку пересечения данной плоскости с проектирующей прямой.

Пусть плоскость р задана своим следом / на основной плоскости а и точкой Р. Кроме того, дана проектирующая прямая q, пересекающая основную плоскость в точке Q' (черт. 24).

Для получения искомой точки проведём плоскость через параллельные прямые РР' и q. Эта плоскость пересекает основную плоскость по прямой P'Q'. С плоскостью р та же плоскость имеет общую точку Р и точку My в которой прямая P'Qr пересекает след /. Отсюда мы заключаем, что полученная плоскость пересекает плоскость р по прямой MP.

Прямые MP и q лежат в одной и той же плоскости. Прямая MP пересекает прямую РРТ в точке Р, поэтому она пересекает и параллельную ей прямую q в точке, которую мы обозначим через Q. А так как МЯсгр, QczMPy то Qcnp. Итак, прямая q пересекает плоскость р в точке Q.

18. Приведём примеры некоторых задач, решаемых на проекционном чертеже. При решении этих задач нужно иметь в виду следующее. Когда в тексте задачи мы будем говорить, что некоторая фигура дана, то это будет обозначать, что дано изображение фигуры в параллельной проекции. Когда в задаче будет содержаться требование произвести некоторое построение, то речь будет идти о построении на проекционном чертеже.

Задача 1. Данную четырёхугольную призму пересечь плоскостью, заданной тремя точками на трёх её боковых рёбрах.

Черт. 23

Черт. 24

Решение. Пусть дана четырёхугольная призма и три точки Л, В и С на её боковых рёбрах (черт. 25). Нужно определить фигуру плоского сечения, проходящего через точки Л, В и С. Будем рассматривать проекцию, проектирующие прямые которой параллельны боковым рёбрам призмы. Тогда вершины нижнего основания Л', 5' и С мы можем считать проекциями точек Л, В и С на плоскости этого основания. Припоминая построение 2, мы можем найти след / плоскости ABC. Остаётся найти пересечение этой плоскости с четвёртым ребром. Обозначая через D' четвёртую вершину нижнего основания, мы получим на четвёртом ребре искомую точку D при помощи построения 3. Для этого находим точку М пересечения прямой СП со следом /. Потом проводим прямую МС до пересечения с четвёртым ребром в искомой точке D. Таким образом мы получили в сечении четырёхугольник ABCD.

Показанный способ построения сечения может оказаться неприменимым в том случае, когда отрезки ЛЛ', ВВ' и СС будут мало отличаться друг от друга по величине. В этом случае плоскость сечения будет очень близка к параллельности с плоскостью основания и след плоскости / на чертеже может не получиться. Чтобы найти сечение в этом случае, поступают следующим образом. Пусть мы по-прежнему имеем четырёхугольную призму с заданными на её боковых рёбрах точками Л, В и С (черт. 26).

Как и раньше, точки Л', В' и С мы будем рассматривать как проекции точек Л, В и С на плоскость основания. Четвёртая вершина основания П есть проекция искомой точки D сечения. Пересечение диагоналей АС и В П определяют точку Р'— проекцию точки Р пересечения диагоналей сечения. Проводя через точку Рт прямую, параллельную рёбрам, мы найдём в пересечении её с прямой АС точку Р. Наконец, проводя прямую BP, мы получим в пересе-

Черт. 25

Черт. 26

чении её с четвёртым боковым ребром призмы искомую точку сечения D.

19. Во многих случаях приходится пользоваться и тем и другим способами построения сечения. Таково, например, построение в следующей задаче.

Задача 2. Данный куб пересечь плоскостью, проходящей через три точки, заданные на трёх скрещивающихся между собой рёбрах.

Решение. Пусть Д В и С — заданные точки на рёбрах куба (черт. 27). Если направление проектирующих прямых параллельной проекции принять параллельным вертикальным рёбрам куба до точки А и В' являются проекциями точек А и В. Прямая АВ, принадлежащая искомому сечению, пересекается со своей проекцией АВ' в точке Р.

Точка С тоже принадлежит искомому сечению, поэтому прямая PC = / есть след плоскости сечения на плоскости основания куба. След / пересекает ребро основания в точке D. Прямая AD пересекает продолжение верхнего ребра этой грани в точке Q, принадлежащей плоскости верхней грани. Поэтому прямая QB пересекает одно ребро верхней грани в точке Я, а продолжение другого ребра той же грани — в точке М.

Наконец, прямая СМ пересекает вертикальное ребро куба в точке F. Итак, мы получили в сечении шестиугольник AEBFCD.

Задача 3. Найти линию пересечения двух данных плоскостей.

Решение. Пусть плоскости а и р заданы своими следами а и b на основной плоскости т и принадлежащими им точками А и В (черт. 28). Для определения линии пересечения этих плоскостей достаточно найти, по крайней мере, две их общие точки. Одной из этих точек является точка Р, в которой пересекаются следы этих плоскостей. Для отыскания второй

Черт. 27

Черт. 28

общей точки проведём плоскость через проектирующие прямые AN и ВВ\ Эта плоскость пересекает плоскость а в точке М, в которой след а пересекается с прямой NB'. Следовательно, прямая МА есть линия пересечения этой плоскости с плоскостью а. Та же плоскость имеет с плоскостью р общую прямую NB. Прямые МА и NB принадлежат одной и той же плоскости и пересекаются в точке Q, являющейся второй общей точкой плоскостей аир, так как МА cz a, NB с= р. Итак, прямая PQ и есть линия пересечения.

20. В предыдущих задачах мы находили пересечения прямых и плоскостей между собой. Такие задачи, в которых приходится находить только пересечения основных элементов пространства, называются позиционными.

Перейдём теперь к решению задач другого рода — таких, в которых требуется производить построения, определяемые величиной элементов. Сюда относятся задачи, в которых требуется строить отрезки или углы данной величины, проводить перпендикуляры, биссектрисы углов, строить окружности по данному радиусу и центру и т. д.

Задачи, в которых требуется построить фигуру с определённой величиной её элементов, называются метрическими.

Для решения метрических задач необходимо уметь производить планиметрические построения на изображении любой плоскости. Посмотрим сначала, как можно производить такое построение на изображении основной плоскости. При этом необходимо помнить, что проекции фигур на основной плоскости являются искажёнными по сравнению с самими фигурами; например, на чертеже 27 квадратное основание куба изображается косоугольным параллелограммом. Возникает вопрос: можно ли по изображению фигуры найти её действительный вид и обратно — по данной фигуре построить её изображение на основной плоскости? Ответом на этот вопрос служит следующая теорема:

Теорема 5. Если на изображении основной плоскости даны точки А, В и С, не лежащие на одной и той же прямой и являющиеся изображениями точек А0, В0 и С0 данной плоской фигуры, то, зная истинный вид треугольника А0В0С0, мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между точками фигуры и точками её изображения.

Другими словами, при этих условиях мы можем по каждой точке любой плоской фигуры построить соответствующую точку изображения, а по каждой точке изображения — соответствующую точку фигуры.

Пусть на основной плоскости а мы имеем точки А, В, С, которые являются изображениями точек А0, В0, С0. Вид проекции фигуры на основной плоскости показан на чертеже 29а, а истинный вид фигуры показан на чертеже 29£. Если нам дана точка Р на основной плоскости и нужно найти положение соответствующей

точки Р0 на данной фигуре, то мы сделаем следующее построение. Проведём прямую BP, которая пересечёт прямую АС в точке М. Точку М0, соответствующую точке М, мы найдём, зная, что на основании теоремы 3 -^q=-j^q- Поэтому для получения точки М0 мы разделим отрезок А0С0 в данном отношении. И точно так же для отыскания точки Р0 достаточно разделить отрезок В0М0 внешнним образом в отношении -^р. Таким образом мы можем перенести с изображения фигуры на основной плоскости любую точку и найти истинный вид фигуры по её изображению. И обратно: тем же способом каждую точку фигуры мы можем перенести на изображение.

Благодаря возможности установить такое соответствие мы можем произвести все планиметрические построения на изображении основной плоскости. Положим, например, что нужно построить изображение перпендикуляра, проведённого из точки М на прямую ВС на чертеже 29а. Для этого мы опустим из точки М0 перпендикуляр на прямую В0С0 и найдём точку Q0 — основание этого перпендикуляра на прямой В0С0. Зная, в каком отношении точка Q0 делит отрезок В0С0, мы разделим в том же отношении отрезок ВС и найдём точку Q, соответствующую точке Q0. Прямая MQ и будет искомым изображением перпендикуляра.

Умение находить плоскую проекцию пространственной фигуры и по проекции фигуры определять её истинный вид и размеры имеет чрезвычайно большое значение в технике. Каждая новая конструкция появляется сначала в виде проекционного чертежа, который поступает на производство, где по этому чертежу определяют соответствующую пространственную фигуру.

21. Из доказанной теоремы следует, что для того чтобы производить построение на изображении плоскости, достаточно знать истинный вид треугольника, который определяется данными тремя точками, не лежащими на одной и той же прямой и изображающими проекции его вершин.

Черт. 29

Например, известно, что точки А, В и С (черт. 30) являются проекциями вершин равнобедренного прямоугольного треугольника, причём точка В есть проекция вершины прямого угла. Зная это, мы легко построим изображение квадрата, проведя через точки Л и С прямые, параллельные прямым ВС и АВ. Пересечение этих прямых определяет точку D — изображение четвёртой вершины квадрата.

Построим изображение окружности, вписанной в этот квадрат. Вписанная окружность касается сторон квадрата в их серединах. Поэтому изображение окружности должно пройти через точки Mf Р, N, Q — середины сторон квадрата. Отрезки ММ и PQ являются изображениями двух взаимно-перпендикулярных диаметров окружности. Пересечение этих прямых — точка О — есть проекция центра окружности. Чтобы найти другие точки изображения окружности, проведём отрезок BP и пересечём его отрезком QE> где Е есть середина отрезка ВМ. Точка пересечения F есть точка изображения окружности.

Для доказательства рассмотрим квадрат A0B0C0D0 (черт. 306), изображением которого служит параллелограмм ABCD (черт. 30а).

£А0Р0В0= £P0B0Q0 = * (внутренние накрестлежащие углы при параллельных A0D0h В0С0). £A0B0P0=£B0Q0E0= = Р (стороны углов взаимноперпендикулярны). Но a-f-p = 90°, как острые углы прямоугольного треугольника А0В0Р0. Тогда в lsB0F0Q0 угол B0F0Q0 прямой, так как острые углы при вершинах В0 и Q0 дают в сумме 90°. Точка F0 лежит на окружности, так как стороны прямого угла P0F0Q0 опираются на диаметр P0Q0.

Точка F0 получилась в пересечении прямых В0Р0 и E0Q0, следовательно, её изображение — точка F, полученная пересечением прямых BP и EQ, есть точка на изображении окружности.

Подобным же построением мы можем найти ещё несколько точек окружности (на чертеже 30а ещё три). Соединяя полученные точки плавной кривой от руки или по лекалу, получим изображение окружности.

Кривая, полученная параллельной проекцией окружности, называется эллипсом. Точка О — проекция центра окружности — называется центром эллипса, проекции диаметров окружности на-

Черт. 30

зываются диаметрами эллипса, проекции хорд окружности называются хордами эллипса.

Проекции двух взаимно-перпендикулярных диаметров окружности образуют два взаимно-сопряжённых диаметра эллипса.

Каждый из них есть геометрическое место середин хорд, параллельных другому диаметру. Это объясняется тем, что каждый из двух взаимно-перпендикулярных диаметров окружности проходит через середины хорд, параллельных другому, а проекции середины отрезка есть середина его проекции.

На чертеже 30а сопряжёнными диаметрами эллипса являются отрезки MN и PQ. Заметим также, что прямые, проходящие через концы одного из сопряжённых диаметров и параллельные другому — касательные к эллипсу. Наибольший из диаметров эллипса называется большой осью, наименьший — малой осью. Они являются сопряжёнными и перпендикулярными друг к другу диаметрами (черт. 30с).

22. Пользуясь изображением окружности на изображении основной плоскости, можно производить все планиметрические построения. Приведём примеры.

Задача 4. Пользуясь изображением окружности, построить изображение перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную точку.

Решение. На изображении основной плоскости даны: эллипс, являющийся проекцией окружности, прямая / и точка Р (черт. 31).

Черт. 31

Проведём прямую параллельную данной прямой /, пересекающую эллипс в точках Л и Ж и не проходящую через центр О. Далее проводим диаметр АВ. Угол АМВ есть проекция прямого угла, так как вершина его лежит на окружности, а стороны проходят через концы диаметра. Если теперь через точку Р провести прямую, параллельную прямой MB, то эта прямая (PQ) и будет искомой проекцией перпендикуляра.

Задача 5. Пользуясь изображением окружности, построить на данной прямой изображение отрезка, равного другому данному отрезку.

Решение. На чертеже 32 дана проекция окружности с центром О и проекция отрезка АВ на прямой р.

На прямой q дана точка М. Требуется на этой прямой найти такую точку N,чтобы MN и АВ были проекциями равных отрезков.

Для построения проводим сначала через центр О лучи рт и qf, соответственно параллельные прямым р и q. Лучи р' и q' пересекают эллипс в точках А и МУ чем определяется хорда AM. АОЛ'Ж' есть проекция равнобедренного треугольника. Посредством проведения параллельных АА и ВВ' отложим отрезок АВГ — АВ. Далее, через точку В' проведём прямую, параллельную AM, чем определится точка /V' на прямой q'. A OBW — тоже проекция равнобедренного треугольника. Поэтому А В' и MN' — проекции равных отрезков. Наконец, проведением параллельных прямых через точки М и N' мы находим искомый отрезок MN на прямой q.

Подобным же образом используется проекция окружности и для решения других метрических задач на изображении плоскости в параллельной проекции.

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

Во всех последующих задачах слово „дано" обозначает, что дано изображение соответствующей пространственной фигуры в параллельной проекции.

1) Данную пятиугольную призму пересечь плоскостью, проходящей через три данные точки на её боковых рёбрах.

2) Данную треугольную призму пересечь плоскостью, заданной следом на плоскости основания и точкой на одном из боковых рёбер.

3) Данную четырёхугольную призму пересечь плоскостью, проходящей через точки А, В и С, причём точки А и В даны на боковых рёбрах, а точка С на боковой грани, которая не содержит эти рёбра.

4) Данный куб пересечь плоскостью, заданной тремя точками, находящимися соответственно на трёх гранях куба, имеющих общую вершину.

5) Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой.

6) Через данную точку провести плоскость, параллельную другой плоскости, заданной своим следом и точкой.

7) Даны две скрещивающиеся прямые и не принадлежащая им точка. Провести через данную точку прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые.

8) Через данную точку провести плоскость, параллельную двум данным скрещивающимся прямым.

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

9) Точки А, В и С являются проекциями смежных вершин правильного шестиугольника на основную плоскость. Построить проекцию этого шестиугольника.

Черт. 32

10) Точки At В, С — проекции вершин равностороннего треугольника на основную плоскость. Построить проекцию окружности, вписанной в этот треугольник.

И) Точки My Nt Р—проекции трёх несмежных вершин правильного шестиугольника на основную плоскость. Построить проекцию этого шестиугольника и проекцию вписанной в него окружности.

12) На основной плоскости дано изображение окружности, на котором не указан центр. Найти построением этот центр.

13) Дана проекция окружности. Построить проекцию правильного треугольника, вписанного в эту окружность, если дана проекция одной из его вершин.

14) Данный эллипс есть проекция окружности на основной плоскости. Построить проекцию правильного вписанного восьмиугольника, если дана проекция одной из его вершин.

15) На основной плоскости дано изображение окружности. Пользуясь этим изображением, построить биссектрису угла между двумя данными пересекающимися прямыми.

16) Параллелограмм ABCD является изображением квадрата на основной плоскости. Построить изображение окружности, описанной около этого квадрата.

17) Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо, чтобы параллельны были их проекции. Является ли это условие достаточным?

Глава II. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 6. Перпендикулярность прямой и плоскости

23. Определение 1. Прямая, перпендикулярная ко всем прямым, принадлежащим данной плоскости, называется перпендикулярной к этой плоскости.

Взаимно эта плоскость называется перпендикулярной к данной прямой.

Взаимная перпендикулярность прямой р и плоскости а, записывается так: р _]__ а или а р.

Примером перпендикуляра к плоскости может служить вертикальная нить отвеса, которая перпендикулярна к горизонтальной поверхности пола. Боковые рёбра куба перпендикулярны к плоскости его основания.

Непосредственно из определения перпендикуляра можно получить следующие его свойства.

1) Прямая пересекает плоскость, к которой она перпендикулярна.

Действительно, если бы эта прямая находилась в данной плоскости или была ей параллельна, то в этой плоскости всегда можно

было бы найти прямую, параллельную данной. А это противоречит определению перпендикуляра.

2) Прямая, параллельная перпендикуляру к плоскости, тоже перпендикулярна к данной плоскости.

Это следует из того, что все прямые этой плоскости перпендикулярны к данной прямой и потому они перпендикулярны и ко всякой прямой, ей параллельной.

3) Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна и ко всякой плоскости, параллельной данной.

Действительно, если р _]__ а и р || а, то, проведя в плоскости р любую прямую by мы можем в плоскости а провести прямую а || Ь. Но по определению р _L а, а в силу параллельности а и b р _Lb. Итак, прямая р перпендикулярна ко всякой прямой плоскости р. Значит, р _L р.

24. Существование перпендикуляра к плоскости доказывается следующей теоремой.

Теорема 1. Геометрическое место точек пространства, равноудалённых oni двух данных точек, есть плоскость, перпендикулярная к прямой, проходящей через эти точки.

Пусть Р и Р' — данные точки (черт. 33). По условию теоремы точка О — середина отрезка РР' — принадлежит искомому геометрическому месту. Если в любой плоскости, проходящей через прямую РР\ провести через точку О прямую т перпендикулярно к РР', то все точки этой прямой равноудалены от точек Р и Р\ так как т есть ось симметрии этих точек. Таким же образом мы можем провести через точку О другую прямую— п, тоже перпендикулярную к РР'. Все точки этой прямой тоже одинаково удалены от точек Р и Р\

Плоскость а, проходящая через пересекающиеся прямые тип, и есть искомое геометрическое место. Действительно, возьмём на плоскости а произвольную точку Q и проведём через неё прямую, пересекающую прямые т и п в точках М и N. Соединим отрезками точки РиР'с точками М, N и Q.

&PMN=AP'MN, так как РМ==Р'М, PN=P'N и сторона MN общая. Поэтому Z PMN= Z FMN. Отсюда получим, что и д РМQ = А Р'МQ, так как РМ = Р'М, сторона MQ общая и £ PMQ= L P'MQ. Значит, PQ = P'Q.

Черт. 33

Итак, всякая точка плоскости а одинаково удалена от точек Р и Р.

Пусть точка А не принадлежит плоскости а и положим, что отрезок АР' пересекает эту плоскость в точке К. Из Л АРК находим, что РК-\-КА>РА, но РК=Р'К и, значит, РК+ + КА^>РА, т. е. РА^>РА. Следовательно, точка, не принадлежащая плоскости а, не одинаково удалена от точек Р и Р. Поэтому плоскость а есть искомое геометрическое место.

Вместе с тем имеем ОР = ОР и QP=QP', значит, Q принадлежит оси симметрии точек Р и Р, поэтому OQ JL РР, т. е. прямая РР перпендикулярна ко всякой прямой плоскости а, проходящей через точку О. Но эта же прямая РР перпендикулярна и ко всякой прямой плоскости а, не проходящей через точку О, так как через точку О можно провести к этой прямой параллельную, к которой прямая РР перпендикулярна, как уже доказано.

Итак, прямая РР есть перпендикуляр к плоскости а.

25. Определение 2. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек пространства, называется плоскостью симметрии этих точек, а самые точки называются симметричными по отношению к этой плоскости.

Если каждая точка одной фигуры симметрична с каждой точкой другой фигуры по отношению к одной и той же плоскости, то фигуры называются симметричными по отношению к данной плоскости.

Если каждой точке данной фигуры соответствует симметричная с ней точка той же фигуры по отношению к одной и той же плоскости, то такая фигура называется симметричной, а плоскость называется плоскостью симметрии этой фигуры.

Наглядным примером симметрии относительно плоскости может служить отражение предмета в плоском зеркале. Предмет и его отражение являются симметричными фигурами, а отражающая поверхность зеркала плоскостью симметрии.

Многочисленные примеры симметричных предметов мы можем видеть в предметах окружающей нас обстановки; мебель, посуда, здания, многие инструменты и приборы, украшения и т. д. являются симметричными формами (рис. 1). Необходимо заметить, что симметрия является важнейшим фактором, вызывающим эстетическое чувство и обусловливающим красоту пространственных форм.

Непосредственно из определения плоскости симметрии следует:

1) Отрезок, соединяющий две симметричные точки, перпендикулярен к плоскости симметрии и делится ею пополам.

2) Плоскость симметрии есть геометрическое место прямых, перпендикулярных к данной прямой в данной её точке (точка О на чертеже 33).

Рис. 1

Действительно, как было показано при доказательстве теоремы 1, каждая точка перпендикуляра к прямой РР\ проходящего через точку О, одинаково удалена от концов отрезка РР' и потому принадлежит плоскости а.

26. Признак перпендикулярности прямой к плоскости даётся в следующей теореме, которую называют иногда теоремой о двух перпендикулярах.

Теорема 2. Прямая, перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, принадлежащим данной плоскости, перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: т\п, т cz а, /гса, / l_Ln.

Доказать: /1а (черт. 34). Проведём через точку О, в которой пересекаются прямые тип, прямую р || /. Так как I ±_ т и р \\ I, то р±_т. И на таком же основании Р±п.

Если отложим от точки О на прямой р равные отрезки ОР = = ОР', то мы увидим, что прямые тип являются осями симметрии точек Р и Р\ Поэтому по предыдущей теореме а есть плоскость симметрии точек Р и Р\ Итак, р ±_ь. Отсюда, согласно второму свойству перпендикуляра, мы утверждаем, что

Черт. 34

прямая /, параллельная прямой р, тоже перпендикулярна к плоскости а: / J_ а.

27. Теорема 3. Существует единственная плоскость, проходящая через данную точку и перпендикулярная к данной прямой.

Пусть О — данная точка и р — данная прямая. Рассмотрим два случая.

1) Точка О принадлежит прямой р: Oczp. Отложим на прямой р от точки О равные отрезки OP = ОР'. Искомая плоскость а есть плоскость симметрии точек Р и Р\ как это показано на чертеже 33 при доказательстве теоремы о плоскости симметрии, следовательно, а _)_/?. Эта плоскость единственная, так как является геометрическим местом перпендикуляров, проведённых через точку О к прямой р.

2) Точка О не принадлежит прямой р: Офр. Тогда из точки О на прямую р опустим перпендикуляр, который пересечёт прямую р в точке М. Через точку М проведём плоскость а, перпендикулярную р так, как это было показано при доказательстве предыдущего случая, т. е. отложим МР = МР' и найдём плоскость симметрии точек Р и Р'. Так как ОМ _Lp и М есть середина отрезка РР\ то МО есть ось симметрии точек Р и Р' и, значит, точка О принадлежит плоскости а. Единственность полученной плоскости доказывается так же, как и в предыдущем случае.

Следствие 1. Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны между собой. Дано: а _]_/?, р_!_/>. Доказать: а || р.

Допустим, что плоскость а не параллельна плоскости р. Проведём через точку М> принадлежащую плоскости р, плоскость р', параллельную плоскости а. Так как Р' || а и р J_ а, то по третьему свойству перпендикуляра, указанному в начале этого параграфа, р _1_ р\ Мы получили, что через точку М проходят две различные плоскости р и р', перпендикулярные к одной и той же прямой р, что противоречит предыдущей теореме. Итак, Р || а.

28. Теорема 4. Существует единственная прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная к данной плоскости.

Пусть Р — данная точка и а —данная плоскость (черт. 35). Проведём на плоскости а произвольную прямую а и через точку Р проведём к этой прямой перпендикулярную плоскость р, как это было показано в предыдущей теореме. Плоскость р пересечёт

Черт. 35

прямую а в точке Л, а плоскость а по прямой т. Если через точку Р провести на плоскости р перпендикуляр р к прямой т, то прямая р и будет искомым перпендикуляром к плоскости а.

Действительно, по построению, а_]_р и, значит, а _[_/?. Итак, р _]_ /я и р J_a, причём т и а пересекаются, так как а ±_т. По теореме о двух перпендикулярах получаем: р JL а.

Построение остаётся одним и тем же, независимо от того, принадлежит или не принадлежит точка Р плоскости а.

Если допустить, что через точку Р к плоскости а проходят два различных перпендикуляра р и р\ то через эти пересекающиеся прямые можно провести плоскость 7. Эта плоскость пересекает плоскость а по некоторой прямой с. По определению перпендикуляра р _1_ с и р' J_ с. Мы получили, что в плоскости 7 через точку Р к прямой с проходят два различных перпендикуляра, что противоречит доказанным в планиметрии теоремам о единственности перпендикуляра. Поэтому перпендикуляр р единственный.

Следствие 2. Две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны между собой.

Дано: р X a, q _L а. Доказать: р ||

Допустим, что прямая q не параллельна прямой р. Тогда через какую-нибудь точку Q на прямой q мы можем провести прямую q\ параллельную р. Так как р _1_ а и || /?, то, согласно установленному в начале этого параграфа свойству перпендикуляра, заключаем, что q' J_ а. Мы получили, что через точку Q к плоскости а проходят два различных перпендикуляра q и q\ что противоречит предыдущей теореме. Поэтому, прямая qr совпадает с q: q' = q> следовательно, q\\p.

Вопросы и упражнения

1) Являются ли симметричными фигурами стол, стул, диван, шкаф и др.? Как проходит в них плоскость симметрии? Является ли симметричным автомобиль? самолёт? Как проходит в них плоскость симметрии? Укажите другие примеры симметричных предметов.

2) Является ли куб симметричной фигурой? Сколько можно в нём провести плоскостей симметрии?

3) Какова должна быть наименьшая величина зеркала, чтобы человек мог видеть в нём себя во весь рост?

4) Железный стержень нужно пропустить сквозь деревянную доску так, чтобы он был перпендикулярен к поверхности доски. Как при помощи двух чертёжных треугольников проверить перпендикулярность стержня к поверхности доски?

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

5) Доказать, что прямая, перпендикулярная к двум сторонам треугольника, перпендикулярна и к третьей его стороне.

6) Доказать, что прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна и ко всем прямым, параллельным этой плоскости.

7) Доказать, что прямая и плоскость, перпендикулярные к одной и той же прямой, либо параллельны между собой, либо прямая принадлежит плоскости.

8) Доказать, что существует единственная прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная к двум данным скрещивающимся прямым.

9) Дана плоскость а и вне её точки Л, Ву С, не лежащие на одной и той же прямой. Точки Л', В', С соответственно симметричны с точками Л, В, С по отношению к плоскости а.

Доказать: ДЛ'В'С = ДABC.

10) Для того чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна к двум прямым, принадлежащим этой плоскости. Является ли это условие также и достаточным?

ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

11) Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через данную точку и перпендикулярным к данной прямой.

12) Найти геометрическое место точек, равноудалённых от трёх данных точек, не лежащих на одной и той же прямой.

13) Прямая / не перпендикулярна к плоскости а и не принадлежит ей. Найти геометрическое место точек, симметричных с точками прямой /, по отношению к плоскости о.

§ 7. Перпендикуляр и наклонные

29. Определение 1. Если при параллельной проекции какой-нибудь фигуры проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекции, то такая проекция называется ортогональной.

В изложении этого параграфа мы часто вместо слов „ортогональная проекция" будем употреблять для сокращения одно слово „проекция".

Так как ортогональная проекция является частным видом параллельной проекции, то она обладает всеми свойствами параллельной проекции, рассмотренными в предыдущей главе.

Определение 2. Если через какую-нибудь точку провести перпендикуляр к плоскости, то все остальные прямые, проходящие через ту же точку и пересекающие плоскость, называются наклонными к той же плоскости.

В дальнейшем мы будем словом „перпендикуляр" называть отрезок перпендикулярной прямой от данной точки до пересечения её с плоскостью. Всю же прямую мы будем называть перпендикулярной прямой. И точно так же „наклонной" мы будем называть отрезок наклонной прямой от данной точки до пересечения этой прямой с плоскостью.

Теорема 1. Если из некоторой тонки к плоскости провести перпендикуляр и наклонные, то:

1) Перпендикуляр короче всякой наклонной.

2) Наклонные, имеющие равные проекции, равны между собой.

3) Наклонная, имеющая большую проекцию, больше наклонной, имеющей меньшую проекцию.

Докажем каждое из этих предложений.

1) Пусть ЯО_[_а (черт. 36), РА— наклонная. АРОА прямоугольный при вершине О, и, значит, катет РО меньше гипотенузы РА: РО<РА.

2) Положим, что проекция наклонной РА — отрезок OA — равна проекции наклонной РВ — отрезку ОВ: ОА = ОВ. Тогда в прямоугольных треугольниках РОА и РОВ равны катеты — OA = ОВ, а катет РО общий. Значит, &РОА= АРОВ и РА = РВ.

3) Положим, что проекция наклонной PC — отрезок ОС — больше отрезка OA — проекции наклонной РА: ОС^>ОА. Тогда на отрезке ОС отложим отрезок ОА' = ОА. По доказанному РА'=РА. В то же время по соответствующей теореме планиметрии о наклонных и их проекциях имеем: ОС^>ОА', поэтому РС>РА\ Но РАГ = РА. Итак, ЯС>ЯЛ.

Теорема 2 (обратная).

1) Кратчайшее расстояние от данной точки до плоскости есть перпендикуляр, проведённый из этой точки к плоскости.

2) Равные наклонные имеют и равные проекции.

3) Большая наклонная имеет и большую проекцию. Все эти предложения доказываются методом от противного.

1) Пусть отрезок РО есть кратчайшее расстояние от точки Р до плоскости а. Допустим, что РО не перпендикуляр. Из точки Р к плоскости а проведём перпендикуляр РО'. Тогда отрезок РО — наклонная и по предыдущей теореме РО^>РО\ Но это означает, что РО не есть кратчайшее расстояние, что противоречит условию. Итак, PO_La.

2) Пусть наклонная РА равна наклонной РВ (черт. 36). Если бы оказалось ОА^>ОВ, то по предыдущей теореме было бы и РА^>РВ, но это противоречит условию. Точно так же из предположения ОА<^ОВ мы получили бы РА<^РВ, что тоже противоречит условию. Итак, возможно только, что ОА = ОВ.

3) Пусть РС^>РА. Как и в предыдущем случае, можно доказать, что предположения ОС —OA и ОС<С,ОА приводят к противоречию, следовательно, ОС^>ОА.

30. Определение 3. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого от этой точки до плоскости.

Черт. 36

Целесообразность такого определения расстояния обусловлена тем, что перпендикуляр короче всех других отрезков, соединяющих данную точку с точками плоскости.

Следствие 1. Расстояние между двумя параллельными плоскостями везде одинаково.

Пусть даны параллельные плоскости а и а'. Возьмём на первой из них точки М и N и проведём перпендикуляры ММ и NN' ко второй плоскости. Согласно выводам предыдущего параграфа, ММ || NN', а согласно теореме об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями, MM = NN'. Итак, расстояния точек плоскости а от плоскости а' равны между собой.

Следствие 2. Точки прямой, параллельной плоскости, находятся на одинаковых расстояниях от этой плоскости.

Если прямая а параллельна плоскости р, то через эту прямую можно провести плоскость а, параллельную плоскости р. Согласно предыдущей теореме, расстояние между плоскостями а и р везде одинаково. А так как все точки прямой а принадлежат плоскости а, то, значит, и расстояния точек прямой а до плоскости р везде одинаковы.

Следствие 3. Геометрическим местом точек, отстоящих от данной плоскости на расстояние, равное данному отрезку, являются две плоскости, параллельные данной.

Пусть а — данная плоскость, MN — данный отрезок. Возьмём на плоскости а произвольную точку О и проведём через неё перпендикуляр р к этой плоскости. По обе стороны от точки О отложим на прямой р отрезки OP — OP' = MN. Проведём через точки Р и Р' плоскости р и р', параллельные плоскости а. Согласно предыдущей теореме, все точки плоскостей р и Р' отстоят от плоскости а на расстояния, равные отрезку ММ.

Обратно: всякая точка, отстоящая от плоскости а на расстояние, равное отрезку ММ, должна находиться либо на плоскости Р, либо на плоскости р\ Если бы, например, она оказалась между плоскостями аир (соответственно р'), то её расстояние от плоскости а было бы меньше отрезка ММ и такая точка не удовлетворяла бы условию. Если же эта точка оказалась бы по другую сторону от плоскости р (соответственно р'), чем плоскость а, то её расстояние было бы больше отрезка ММ.

31. Теорема 3. Если одна из двух взаимно-перпендикулярных прямых параллельна данной плоскости (или принадлежит ей), а другая наклонна, то ортогональные проекции этих прямых на плоскость перпендикулярны друг к другу.

Пусть прямая а параллельна плоскости Ъ — наклонная к этой плоскости, aj_b, а' —проекция прямой а на плоскость т,

V — проекция прямой b на плоскость Докажем, что а!±_Ь' (черт. 37).

Проведём плоскость р через прямую b и её проекцию Ь\ Какая-нибудь точка В на прямой b имеет проекцией точку В' на прямой Ь'. Так как проекция ортогональная, то Bfi'J_7, поэтому 5B'_La\ Но а' || а, значит, 5B'J_a. Итак, а±_ВВ' и aj_6 (по условию), поэтому aj_p. А так как а' || а, то и a'J_p. Отсюда следует, что a!AV (по определению перпендикуляра к плоскости).

Если прямая а принадлежит плоскости то она совпадает со своей проекцией а', т. е. а' = а. Мы по-прежнему будем иметь aj_b и а\_ВВ\ т. е. а_1_р и поэтому а_1_£'. В этом частном случае доказанная теорема называется также теоремой о трёх перпендикулярах. Она может быть сформулирована так:

Прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная к наклонной, перпендикулярна и к проекции наклонной на эту плоскость.

Теоремой о трёх перпендикулярах это предложение называется потому, что мы трижды пользуемся соотношением перпендикулярности: в условии alft и alВВ' и в заключении a_Lb\

Столь же просто доказывается и обратная теорема:

Теорема 4. Прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная к проекции наклонной, перпендикулярна и к самой наклонной.

Если aczf и а А_Ь\ где bf есть проекция наклонной Ь, то по-прежнему, проводя плоскость р через прямые b и V и находя проекцию В! точки By принадлежащей прямой by получим: a_Lb\ а±_ВВ\ откуда a J_ р. Следовательно, a _L b.

32, Рассмотрим теперь вопрос об определении угла между прямой и плоскостью.

Теорема 5. Острый угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость есть наименьший из всех углов, образуемых этой наклонной с прямыми, проходящими в этой плоскости через точку пересечения наклонной с плоскостью.

Черт. 37

Черт. 38

Пусть наклонная / пересекает плоскость а в точке О (черт. 38). Через точку Р прямой / проведём перпендикуляр р к плоскости а, который пересечёт плоскость а в точке Р'. Прямая ОР = Г есть проекция прямой / на плоскость а. Проведём в плоскости а через точку О прямую а, не совпадающую с

Докажем, что /JPOP< LPOA. Для этого отложим на прямой а от точки О отрезок ОА = ОР. Сравним треугольники: POP и РОА. У них ОА = ОР\ ОР — общая сторона, РР<^РА% так как перпендикуляр короче наклонной. Отсюда по теореме о треугольниках с попарно равными сторонами1 мы заключаем, что A POP < А РОА.

Определение 4. Острый угол между наклонной и её проекцией на плоскость называется углом между этой наклонной и плоскостью.

33. Теорема 6. Существует единственная прямая, перпендикулярная к двум данным скрещивающимся прямым и пересекающая каждую из них. Отрезок общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми есть кратчайшее расстояние между ними.

Рассмотрим две скрещивающиеся между собой прямые а и b (черт. 39). Проведём через прямую а плоскость а, параллельную прямой Ь. Для этого через какую-нибудь точку прямой а проведём прямую ту параллельную прямой Ь. Пересекающиеся прямые а и т определяют проходящую через них плоскость а, которая является единственной плоскостью, проходящей через прямую а и параллельной прямой Ь. Если бы существовала другая плоскость а', проходящая через прямую а и параллельная прямой bf то эта плоскость проходила бы и через прямую т. Действительно, если плоскость а' пересечёт прямую ту то по признаку параллельности прямых она должна пересечь и прямую by но этого быть не может, так как а' || Ь. Итак, плоскость а' проходит через прямые а и ту следовательно, она тождественна с плоскостью а: а' = а.

Ортогональная проекция прямой b на плоскость а есть прямая Vу пересекающая прямую а в точке Д которая есть проекция точки В прямой Ь. Прямая АВ и есть общий перпендикуляр к прямым а и Ь. Это следует из того, -что в силу ортогональности проекции ЛВ_1_а, поэтому АВ ±_а и АВ \_Ь\ но V || bt зна-

Черт. 39

1 Напомним эту теорему. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а третьи стороны не равны, то против большей стороны лежит и больший угол.

чит, ABA-b. Итак, прямая АВ есть перпендикуляр к прямым а и Ь9 пересекающий обе прямые.

Если через какую-нибудь точку одной из скрещивающихся прямых провести прямую NN', перпендикулярную к обеим прямым, то мы будем иметь: NNr _L_ a, NN' 1й, а поэтому NN9 ± Ь\ следовательно, NN' Хаи, значит, MV' || АВ. Точка ЛЛ находится на прямой bf и отлична от точки А и потому не может принадлежать прямой а. Итак, NNf не может пересекать одновременно прямую а и прямую Ь. Значит, АВ есть единственный перпендикуляр, одновременно пересекающий скрещивающиеся прямые.

Соединив теперь произвольную точку N прямой b с произвольной точкой М прямой а (отличной от ЛЛ), мы видим, что отрезок NM есть наклонная, а отрезок NN' — перпендикуляр к плоскости а. Поэтому NN'<^NM. Но NN' = ABy следовательно, AB<^NM. Итак, отрезок АВ есть кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.

Понятие о расстоянии между скрещивающимися прямыми и об угле между ними играет большую роль в электродинамике. Известно, что если по двум прямолинейным непересекающимся проводникам проходят электрические токи, то влияние одного тока на другой зависит от расстояния проводников и от угла между ними. Наибольшее влияние друг на друга оказывают токи в параллельных проводниках.

При этом оказывается, что если направление токов одинаково, то проводники притягиваются друг к другу, а если противоположно, то отталкиваются. Сила притяжения или отталкивания обратно пропорциональна расстоянию. Если скрещивающиеся проводники перпендикулярны друг к другу, то точки друг на друга не влияют.

Вопросы и упражнения

1) В полдень в Москве 21 июня телеграфный столб высотой 6 м отбрасывает тень длиной 3,8 м. Определить высоту солнца над горизонтом, т. е. величину угла, который образуют солнечные лучи с горизонтальной плоскостью.

2) Какова длина тени от телеграфного столба высотой 6 ж в полдень 21 декабря в Москве, если высота солнца в этот день равна 10° 48'?

3) При изображении куба в так называемой кабинетной проекции передняя грань куба помещается параллельно плоскости проекции и потому изображается без искажения — в виде квадрата. Рёбра, перпендикулярные к этой грани, изображаются отрезками, проходящими под углом в 45° к изображениям рёбер передней грани, причём длина этих отрезков уменьшается вдвое по отношению к их истинной длине. Определить, какой угол образуют проектирующие прямые с плоскостью проекции.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

4) Доказать, что угол между перпендикуляром и наклонной к плоскости дополняет до 90° угол между наклонной и плоскостью.

5) Доказать, что тупой угол между наклонной прямой и её проекцией на плоскость есть наибольший из углов, образуемых наклонной с прямыми, проходящими по плоскости через точку7 её пересечения с плоскостью.

6) Доказать: если прямая перпендикулярна к плоскости, то её ортогональная проекция перпендикулярна к следу данной плоскости на плоскость проекции.

7) Доказать: если из одной и той же точки проведены к плоскости две равные наклонные, то угол между наклонными меньше угла между их проекциями.

8) От вершины О данного угла отложим на его сторонах равные отрезки: OA = OA' — и найдём плоскость симметрии точек А и А'. Доказать, что эта плоскость есть геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через вершину О и образующим равные углы с лучами OA и OA'1.

ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

9) Найти геометрическое место точек плоскости, находящихся от данной точки, не принадлежащей плоскости, на расстоянии, равном данному отрезку.

10) Найти геометрическое место точек, расстояние которых от двух данных пересекающихся плоскостей равно данному отрезку.

11) Найти геометрическое место точек, равноудалённых от трёх лучей, имеющих общую вершину.

12) Отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум взаимно-перпендикулярным скрещивающимся прямым. Какую линию описывает середина отрезка?

13) Найти геометрическое место ортогональных проекций данной точки на все плоскости, проходящие через данную прямую, при условии, что данная точка не лежит на этой прямой.

14) Дана плоскость о и точка Р вне её. Найти геометрическое место точек плоскости а, расстояние которых от точки Р меньше данного отрезка MP или равно ему.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

15) На изображении куба в вершине О пересекаются рёбра ОAt ОВ, ОС. Построить изображение ортогональной проекции точки О на плоскость ABC.

16) На изображении куба построить кратчайшее расстояние между непараллельными диагоналями двух противоположных граней куба.

17) На изображении куба построить кратчайшее расстояние между непересекающимися диагоналями двух соседних граней куба.

18) На плоскости дана окружность и вне этой плоскости точка Р. Найти наименьшее и наибольшее расстояния между точкой Р и точками окружности, при условии, что проекция Р точки Р не совпадает с центром окружности.

Глава III. ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

§ 8. Двугранные углы

34. Каждая прямая, принадлежащая плоскости, делит эту плоскость на две области, называемые полуплоскостями. Разделяющая прямая называется ребром этих полуплоскостей. Отрезок,

1 Заметим, что эта плоскость называется плоскостью симметрии для сторон данного угла,

соединяющий две точки одной и той же полуплоскости, не пересекает ребро. Отрезок, соединяющий две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, пересекает ребро. Две пересекающиеся прямые разделяют плоскость на четыре области, каждая из этих областей называется углом. Совершенно аналогичные соотношения мы имеем в пространстве.

Каждая плоскость разделяет всё пространство на две области, называемые полупространствами.

Если две точки принадлежат одному и тому же полупространству, то соединяющий их отрезок не пересекает разделяющую плоскость.

Если же точки принадлежат к разным полупространствам, то соединяющий их отрезок пересекает эту плоскость.

Если данную плоскость пересечь новой плоскостью, то секущая плоскость разделяет каждое из полупространств, определяемых первой плоскостью, на две области.

Таким образом, две пересекающиеся плоскости разделяют всё пространство на четыре области (черт. 40). Каждая из этих четырёх областей называется двугранным углом.

Определение 1. Двугранным углом называется часть пространства, ограниченная двумя полуплоскостями, имеющими общее ребро. Эти полуплоскости называются гранями двугранного угла. Общее ребро граней называется ребром двугранного угла.

Двугранный угол мы будем обозначать, указывая названия граней и линии их пересечения. Например, двугранный угол, изображённый на чертеже 41, мы обозначим так:

Определение 2. Линейным углом двугранного угла называется плоский угол, который получится от пересечения двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к его ребру.

Например, на чертеже 41 угол аОЬ является линейным углом двугранного угла а/р.

Теорема 1. Все линейные углы одного и того же двугранного угла равны между собой.

Чтобы доказать это, пересечём двугранный угол а/р (черт. 41) двумя плоскостями | и *|', перпендикулярными к его ребру /. В результате мы получим два линейных угла: j^aOb и ^а'О'Ь'. Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны между собой.

Черт. 40

Черт. 41

Поэтому 11| f и вместе с тем а\\а' и b || 6'. Кроме того, лучи Оа и О'а' одинаково направлены, так как лежат в одной и той же полуплоскости по отношению к прямой /. И точно так же одинаково направлены лучи Ob и 0'Ъ\

Мы видим, что стороны углов аОЬ и а'О'Ь' параллельны и одинаково направлены, поэтому эти углы равны между собой: LaOb= La-'О'Ь'.

Следствие 1. Стороны линейного угла, определяемого данным двугранным углом, перпендикулярны к ребру этого двугранного угла.

Например, на чертеже 41 по определению IJLL поэтому / _|_а и l±b.

35. Определение 3. Двугранные углы называются равными, если равны их линейные углы.

Непосредственно из этого определения получим: Следствие 2. Два двугранных угла, каждый из которых равен одному и тому же третьему, равны между собой.

Если построить линейные углы всех трёх двугранных углов, то мы убедимся, что линейные углы первых двух двугранных углов равны линейному углу третьего двугранного угла, следовательно, эти линейные углы равны между собой. Но если равны линейные углы, то по определению равны и двугранные.

Определение 4. Двугранные углы, имеющие общее ребро и общую грань и не находящиеся один внутри другого, называются прилегающими. Двугранный угол, определяемый несовпадающими гранями прилегающих двугранных углов, называется суммой этих углов, а прилегающие углы называются слагаемыми.

Теорема 2. Линейный угол суммы двугранных углов равен сумме линейных углов слагаемых.

Положим, что прилегающие двугранные углы а/р и р/? имеют общее ребро / и общую грань р. Пересечём ребро / плоскостью 8, перпендикулярной к этому ребру. Обозначим через а, Ь, с линии пересечения 8 с а, р с 7, а через О точку пересечения / с 8. По определению углы аОЬ, ЬОс, аОс являются соответственно линейными углами двугранных углов а/р, p/f и а/f. Вместе с тем /_аОЬ-\- /_ЬОс = £аОс, что и требовалось доказать.

Доказанные предложения позволяют привести измерение двугранных углов к измерению соответствующих линейных углов. Для этого достаточно за единицу измерения двугранных углов принять, например, двугранный угол, линейный угол которого равен одному угловому градусу fgg часть прямого угла|. Отсюда следует, что если двугранный угол содержит п°, то и его линейный угол тоже содержит п°.

36. Определение 5. Двугранный угол называется острым, прямым или тупым в зависимости от того, будет ли

его линейный угол соответственно острым, прямым или тупым.

Если двугранный угол прямой, то плоскости, которым принадлежат его грани, называются перпендикулярными между собой.

Если плоскость а перпендикулярна к плоскости (J, то это записывается так: aj_(3 или PJL&.

Признак перпендикулярности плоскостей определяется следующей теоремой.

Теорема 3. Для того чтобы две плоскости были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы одна из них проходила через перпендикуляр к другой.

Условие необходимо. Действительно, пусть плоскость а перпендикулярна к плоскости р (черт. 42). Обозначим через / линию пересечения плоскостей аир. Через какую-нибудь точку О ребра / проведём перпендикуляры: в плоскости а — прямую а J_ I, в плоскости р — прямую b ±_1. Так как ^аОЬ — линейный угол прямого двугранного угла, то a_Lb.

Если a JL Ь и а _1_ /, то a _L р и, значит, плоскость а проходит через перпендикуляр а к плоскости р. Если b JL a, b J_ /, то b JL а и, значит, прямая b перпендикулярна к плоскости а. Итак, каждая из перпендикулярных плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости.

Условие достаточно. Действительно, пусть a J_ Р и аса, Докажем, что a J_ р (черт. 42). Обозначим через / линию пересечения аир, через О — точку пересечения а и /. Проведём через точку О в плоскости р прямую b J_ /. Тогда получим: a JL р, значит, а ±_1 и a J_ Ь. Поэтому прямой угол аОЬ есть линейный угол двугранного угла а/р и, значит, a j_ р.

Следствие 3. Если через точку, принадлежащую одной из перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой, то этот перпендикуляр принадлежит первой плоскости.

Дано: a J_p, Pcza, Pczp, р JLp (черт. 42). Доказать: pcza.

По предыдущей теореме плоскость а проходит через перпендикуляр а к плоскости р. Так как aJ_P и /?J_p, то а\\р и потому прямая р должна лежать в плоскости, определяемой прямой а и точкой Р, т. е. в плоскости а. Итак, р с= а.

Следствие 4. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны к одной и той же третьей, то к этой плоскости перпендикулярна и линия пересечения этих плоскостей.

Черт. 42

Дано: alf, р J_ 7, / — линия пересечения аир. Доказать: /_]_ т-

Для доказательства через какую-нибудь точку Р прямой / проведём перпендикуляр к плоскости 7. По предыдущему следствию он должен принадлежать и плоскости а и плоскости р, и потому он совпадает с прямой /.

Вопросы и упражнения

1) Тело, весом в р кг, находится на совершенно гладкой плоскости, образующей с горизонтальной плоскостью угол в 55°. Какая сила, параллельная наклонной плоскости, требуется для удержания этого тела в равновесии?

2) Каков должен быть угол совершенно гладкой наклонной плоскости с горизонтальной, чтобы сила, удерживающая тело в равновесии и параллельная наклонной плоскости, была равна половине веса тела?

3) Два плоских зеркала служат гранями двугранного угла. Луч света, идущий перпендикулярно к ребру двугранного угла и параллельный первому зеркалу, отражается от второго зеркала, потом отражается от первого, потом вновь от второго, потом вновь от первого и, наконец, последний (пятый) раз отразившись от второго зеркала, возвращается обратно по той же самой прямой. Какова величина двугранного угла между зеркалами?

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

4) Дан острый двугранный угол a/j3. На грани а взята точка. А. Доказать, что из всех прямых, принадлежащих грани а и проходящих через точку Л, наибольший угол образует с гранью (3 та прямая, которая перпендикулярна к ребру /.

Заметим, что указанная в этой задаче прямая называется линией наибольшего уклона. По этой линии должен двигаться лыжник, съезжая с горы, если он хочет развить наибольшую скорость.

5) Прилегающие двугранные углы называются смежными, если их несовпадающие грани принадлежат одной и той же плоскости. Доказать, что если смежные двугранные углы равны, то грани их перпендикулярны.

6) Если грани одного двугранного угла являются продолжением граней другого двугранного угла, то такие двугранные углы называются вертикальными.

Доказать, что вертикальные двугранные углы равны между собой.

7) Если в данном двугранном угле построить линейный угол и провести в нём биссектрису, то плоскость, проходящая через ребро и биссектрису, разделит данный угол на два равных угла. Эта плоскость называется биссекторной плоскостью двугранного угла. Доказать, что биссекторные плоскости двух смежных двугранных углов перпендикулярны между собой.

8) Доказать, что площадь проекции плоского многоугольника равна площади этого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

9) Найти геометрическое место точек, равноудалённых от граней двугранного угла.

10) Найти геометрическое место точек, ортогональными проекциями которых на две данные пересекающиеся плоскости являются две прямые линии.

11) Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, образующим равные углы с двумя данными пересекающимися прямыми и проходящим через точку пересечения этих прямых.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

При решении задач на построение довольно часто бывает достаточно указать ряд простейших построений, которые необходимо произвести, чтобы получить нужный результат. К таким простейшим построениям, которые мы в дальнейшем будем называть элементарными, мы будем причислять следующие:

1) Провести прямую через две данные точки.

2) Провести плоскость: а) через три точки, не принадлежащие одной и той же прямой, б) через две пересекающиеся прямые, в) через прямую и точку вне её, г) через две параллельные прямые.

3) Провести прямую, параллельную данной прямой.

4) Провести плоскость, параллельную данной плоскости.

5) Найти точку пересечения прямой с плоскостью и линию пересечения двух плоскостей.

6) Провести перпендикуляр к данной плоскости.

7) Провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой.

8) Провести плоскость симметрии двух данных точек.

9) На плоскости производить все планиметрические построения. Например, чтобы решить задачу: „Через данную точку провести прямую, перпендикулярную к двум данным скрещивающимся прямым", мы должны произвести следующие построения. Если а и b — данные прямые и Р — данная точка, то через точку Р проводим прямые а' и Ь\ соответственно параллельные прямым а и Ь (построение 3). Через пересекающиеся прямые а' и Ь' проводим плоскость а (построение 2). Через точку Р проводим прямую р, перпендикулярную к плоскости а (построение 6).

В нижеследующих задачах указать, какие нужно произвести элементарные построения для получения нужного результата.

12) По данному линейному углу построить соответствующий двугранный угол.

13) На грани двугранного угла дана прямая, не перпендикулярная к его ребру. Через точку пересечения этой прямой с ребром Провести по другой грани прямую, перпендикулярную к данной прямой.

14) На прямой, пересекающей грани двугранного угла и не пересекающей его ребро, найти точку, находящуюся на одинаковом расстоянии от его граней.

15) Дан двугранный угол a/j3. На грани а дана точка Л, на грани ? дана точка В. Найти на ребре / такую точку М, чтобы угол АМВ был прямой.

16) Наклонная т пересекает плоскость а в точке М. Провести через точку М прямую а в плоскости а, притом так, чтобы угол тМа был равен данному острому углу.

Черт. 43

§ 9. Многогранные углы

37. Три плоскости, имеющие одну и только одну общую точку, разделяют пространство на восемь областей, каждая из которых называется трёхгранным углом (черт. 43).

Определение 1. Часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами, имею-

щими общую вершину и попарно общие стороны, называется трёхгранным углом.

Плоские углы, ограничивающие трёхгранный угол, называются его гранями, стороны плоских углов называются его рёбрами, общая вершина называется вершиной трёхгранного угла.

На чертеже 43 один из восьми трёхгранных углов выделен штриховкой.

На чертеже 44 трёхгранный угол выделен отдельно. О — его вершина, а, р, ?— его грани, а, Ь, с — его рёбра. При этом а — пересечение р и 7, Ь — пересечение 7 и а, с — пересечение аир.

Трёхгранный угол с вершиной О и рёбрами a, b и с мы будем обозначать символом Oabc.

Основное соотношение между плоскими углами трёхгранного угла даётся следующей теоремой.

Теорема 1. Сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего плоского угла.

Рассмотрим трёхгранный угол О abc (черт. 45). Если бы все плоские углы были равны между собой, то теорема была бы справедлива, так как в этом случае сумма двух углов, очевидно, всегда больше третьего. Положим, что не все три угла равны между собой и что угол аОс наибольший. Если мы докажем, что наибольший угол меньше суммы двух остальных углов, то теорема будет справедлива во всех случаях. Для доказательства построим на угле аОс угол аОЬ\ равный углу аОЬ. Далее на лучах Ob и Ob' отложим отрезки ОВ = ОВ! и через прямую ВВ' проведём плоскость, пересекающую прямые а и с соответственно в точках А и С.

Мы получили, что А АОВ= А АОВ\ так как сторона АО общая, ОВ = ОВг и Z АОВ = Z АОВ\ Следовательно, ABf = AB. В треугольнике ABC сторона ВС больше разности двух других сторон: ВС > АС — АВ, т. е. ВС> АС — АВ! и, значит, ВС>В'С.

Сравнивая теперь треугольники ВОС и В'ОС, получим: ОС — общая сторона, 05 = (Ж, но ВС^>В'СУ следовательно, по известной теореме планиметрии, и /_ВОС^> LB'OC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства равные величины

Черт. 44

Черт. 45

Z AOB = L AOB\ получим: Z AOB + Z BOC > Z ЛОВ' 4-+ Z£'OC, т. e. Z ^40fi + LBOC^> Z ЛОС, что и требовалось доказать.

38. Трёхгранный угол является частным видом многогранного угла.

Определение 2. Многогранным углом называется часть пространства, ограниченная плоскими углами, имеющими общую вершину.

Каждая сторона этих углов является общей для двух и только двух углов.

Плоские углы называются гранями многогранного угла, их стороны — его рёбрами, общая вершина — вершиной многогранного угла.

По числу граней многогранный угол называется трёхгранным, четырёхгранным, пятигранным,..., /г-гранным.

На чертеже 46 показан пятигранный угол с вершиной О и рёбрами a, b, с, d, е. Он обозначается символом Oabcde.

Многогранные углы называются равными друг другу, если число рёбер у них одинаково и если соответственно равны плоские углы и двугранные углы при соответственных рёбрах.

Определение 3. Многогранный угол называется выпуклым, если он находится в одном полупространстве по отношению к плоскости каждой из своих граней.

Если это условие не выполняется, то многогранный угол называется невыпуклым.

На чертеже 46 показан выпуклый многогранный угол. Мы видим, что он находится в одном полупространстве по отношению, например, к плоскости угла аОЬ. Так же он расположен и по отношению к плоскостям всех остальных его граней.

На чертеже 47 показан невыпуклый пятигранный угол с вершиной О и рёбрами af Ь, сУ d, е. Плоскость угла аОЪ разрезает этот угол на две части, находящиеся по разные стороны от этой плоскости.

Теорема 2. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Черт. 46

Черт. 47

Рассмотрим выпуклый я-гранный угол О аха^аъ...ап (черт. 48). Некоторая плоскость пересекает все рёбра этого угла соответственно в точках Аи Аъ Л3,..., Ап, которые являются вершинами выпуклого я-угольника. Обозначим через S сумму плоских углов данного многогранного угла и докажем, что 5<360°.

Каждая из точек А\, Л2, Л3,..., Ап является вершиной трёхгранного угла.

Применяя к каждому из этих углов предыдущую теорему, получим ряд неравенств:

Черт. 48

В левых частях этих неравенств находятся углы при основаниях п треугольников, основаниями которых служат стороны я-угольника, а общей вершиной — точка О.

Если мы сложим левые части этих неравенств, то в сумму войдут все внутренние углы п треугольников, за исключением углов, имеющих вершиной точку О. Но сумма углов при вершине равна S. Поэтому сумма левых частей неравенств равна /г • 180° — S. Суммируя же правые части неравенств, мы получим сумму внутренних углов выпуклого я-угольника, которая равна (п — 2)180°. Итак, мы получим: п- 180° —S>(rt —2) 180°, т. е. п 180° — S > п 180° — 360°, и окончательно: 5 < 360°.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Доказать, что в трёхгранном угле против равных плоских углов лежат и равные двугранные углы.

2) Доказать, что при пересечении многогранного угла плоскостью, не проходящей через его вершину, в сечении получается выпуклый многоугольник, если данный многогранный угол был выпуклый, и невыпуклый при сечении невыпуклого многогранного угла.

3) Если четыре точки А, В, С и D не лежат в одной и той же плоскости, то четырёхугольник ABCD называется пространственным (иногда его называют косым). Углы ABC, BCD, CDA и DAB называются углами этого четырёхугольника. Доказать, что сумма всех углов этого четырёхугольника меньше 360°.

4) Доказать, что если два плоских угла в данном трёхгранном угле прямые, то и противоположные им двугранные углы тоже прямые.

5) Трёхгранный угол, все плоские углы которого прямые, называется ортогональным.

Доказать: 1) если ортогональный трёхгранный угол пересечь плоскостью, не проходящей через вершину и пересекающей три его ребра, то в сечении может получиться только остроугольный треугольник; 2) проекция вершины трёхгранного угла на плоскость сечения есть ортоцентр этого остроугольного треугольника,

6) Доказать: если два плоских угла в трёхгранном угле равны между собой, то равны и противоположные им двугранные углы.

7) Доказать предложение, обратное предложению предыдущей задачи.

8) Два трёхгранных угла считаются равными между собой, если соответственно равны их плоские углы и если также соответственно равны двугранные углы при соответственных рёбрах.

Доказать (ограничиваясь случаем, когда все плоские углы острые), что два трёхгранных угла равны между собой если три плоских угла одного соответственно равны трём плоским углам другого.

ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

9) Найти геометрическое место точек, равноудалённых от трёх рёбер трёхгранного угла.

10) Найти геометрическое место точек, равноудалённых от трёх граней трёхгранного угла.

11) Ряд параллельных между собой плоскостей пересекает данный трёхгранный угол. Найти геометрические места:

а) точек пересечения медиан треугольников, получающихся в сечениях,

б) ортоцентров этих треугольников,

в) центров окружностей, описанных около этих треугольников.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

В нижеследующих задачах на построение установить, при помощи каких элементарных построений можно получить соответствующие результаты.

12) Данный трёхгранный угол пересечь плоскостью, которая была бы одинаково наклонена ко всем трём рёбрам.

13) На плоскости, пересекающей данный трёхгранный угол, найти точку, одинаково удалённую от трёх его граней.

14) Данный выпуклый четырёхгранный угол пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

15) Построить трёхгранный угол по трём данным острым плоским углам его.

16) Ортогональный трёхгранный угол пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился треугольник, равный данному остроугольному треугольнику.

Глава IV. МНОГОГРАННИКИ

§ 10. Призмы

39. Определение 1. Многогранником называется тело, ограниченное многоугольниками.

Эти многоугольники называются гранями многогранника, их стороны — рёбрами многогранника, их вершины — вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие к одной и той же грани, называется диагональю многогранника.

Два многогранника считаются равными между собой, если число их вершин одинаково и если соответственно равны их грани и соответственные двугранные углы.

Многогранник называется выпуклым, если он находится в одном и том же полупространстве по отношению к плоскости каждой из своих граней. В противном случае многогранник называется невыпуклым.

Мы уже знакомы с примерами простейших многогранников: кубом, призмой, пирамидой. Нетрудно убедиться при этом, что» например, куб является выпуклым многогранником.

Практически выпуклый многогранник можно охарактеризовать тем, что его можно поставить на плоскую поверхность (например, на стол) любой гранью.

Чтобы по данному изображению многогранника мы могли установить его истинный вид и чтобы на этом изображении мы могли производить построения, соответствующие действительным построениям в пространстве, достаточно:

1) чтобы изображение многогранника было задано проекциями всех его вершин на основную плоскость;

2) чтобы была известна истинная величина трёх непараллельных отрезков, данных на изображении, и истинные углы между ними;

3) чтобы два этих отрезка лежали в основной плоскости, а третий был параллелен направлению проектирующих прямых на основную плоскость.

Это предложение доказывается совершенно так же, как теорема 5 § 5 о построении на изображении основной плоскости.

Рассмотрим в качестве примера чертёж 49. Пусть известно, что ОМ, ON и ОР — изображения трёх попарно-перпендикулярных и равных между собой отрезков, причём каждый из них равен единице длины. АВСА'В'С — изображение некоторого многогранника.

По этому изображению мы можем совершенно точно построить модель искомого многогранника. Для этого уже известным нам построением мы можем определить истинный вид треугольника А В'С. Далее из того, что АА || ВВГ || СС || ОМ, мы заключаем, что рёбра АА, ВВ' и СС перпендикулярны к плоскости этого треугольника. Длина этих рёбер определяется отношением этих рёбер к единичному отрезку ОМ. Отсюда сле-

Черт. 49

дует, что мы можем на модели построить рёбра АА, ВВ' и СС и этим найти вершины А, В и С. Таким образом мы построим модель данного многогранника.

Далее, чтобы производить построения на изображении этого многогранника, мы можем воспользоваться тем, что нам известны истинные размеры рёбер и истинные углы между ними. На основании той же теоремы 5 § 5 мы заключаем отсюда, что на плоскости каждой грани мы можем производить все планиметрические построения.

40. Изучим теперь некоторые виды многогранников. Если через каждую точку некоторой плоской ломаной линии провести прямую, параллельную одной и той же прямой, пересекающей плоскость данной ломаной, то геометрическое место точек, принадлежащих этим прямым, является поверхностью, называемой призматической (черт. 50).

Данная ломаная называется направляющей призматической поверхности, параллельные прямые называются образующими этой поверхности. Прямые, проходящие через вершины ломаной, называются рёбрами призматической поверхности.

Параллельные прямые, пересекающие одно и то же звено направляющей, лежат в одной и той же плоскости. Полоса, т. е. часть плоскости, заключённая между параллельными, проходящими через концы этого звена, называется гранью призматической поверхности.

Можно наглядно представить, что призматическую поверхность описывает прямая, которая скользит по данной ломаной линии, оставаясь в то же время параллельной одной и той же прямой.

Призматическая поверхность называется замкнутой, если направляющая ломаная замкнута.

Определение 2. Призмой называется многогранник, ограниченный замкнутой призматической поверхностью и двумя многоугольниками, которые получаются от пересечения рёбер призматической поверхности двумя параллельными плоскостями.

Многоугольники, получающиеся в сечении, называются основаниями призмы. Расстояние между секущими плоскостями называется высотой призмы. Грани и рёбра, принадлежащие призматической поверхности, называются боковыми гранями и рёбрами призмы (черт. 51).

По числу сторон основания призма называется треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, п-угольной.

Черт. 50

Черт. 51 Черт. 52

Призма называется прямой, если плоскости оснований перпендикулярны к боковым рёбрам (черт. 52). Непрямые призмы называются наклонными.

Призма называется правильной, если она прямая и основанием её служит правильный многоугольник.

Непосредственно из определения мы можем получить следующие основные свойства призмы:

1) Боковые грани призмы — параллелограммы, так как все боковые рёбра призматической поверхности параллельны между собой, а также параллельны и соответственные рёбра оснований, так как каждая пара таких рёбер получилась от пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

2) Многоугольники, являющиеся основаниями призмы, равны между собой, так как каждый из них является параллельной проекцией другого, причём плоскость каждого параллельна плоскости проекции.

3) Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Это есть следствие перпендикулярности оснований к боковым рёбрам.

41. Площадь боковой поверхности призмы можно определить, пользуясь следующей теоремой.

Теорема 1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

Возьмём призму ABCDEAB'C'D'E' (черт. 51) и произведём в ней сечение, перпендикулярное к боковым рёбрам. Все боковые рёбра имеют одну и ту же длину а, как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Каждая боковая грань есть параллелограмм, за основание которого можно принять боковое ребро. Тогда высотой каждого параллелограмма будет служить сторона перпендикулярного сечения. В результате вся боковая поверхность будет выражаться суммой:

S6 = ahx -f ahi -J-... + ahn = a(hx -f Л2 + ... + hn)

или Sc=apt где р есть периметр перпендикулярного сечения:

Заметим, что эта теорема практически непригодна для призмы, у которой высота очень мала по сравнению со сторонами основания и угол между боковыми рёбрами и плоскостью основания также очень мал (черт. 53). Очевидно, что в такой призме перпендикулярное сечение не пересечёт всех боковых рёбер. В этом случае приходится вычислять отдельно площадь каждой боковой грани и суммировать полученные результаты.

Следствие 1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину высоты.

Очевидно, в прямой призме перпендикулярное сечение параллельно основанию, и потому периметр его равен периметру основания. В то же время рёбра призмы перпендикулярны к основанию, и потому длина их равна высоте.

42. Определение 3. Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.

Параллелепипед ограничен шестью параллелограммами, имеет двенадцать рёбер и восемь вершин (черт. 54).

Следствие 2. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны между собой.

На чертеже 54 грани ABCD и АВ'СьУ параллельны по определению призмы, как её основания. В гранях же AA'D'D и ВВ'ССимеем: AD || ВСк АА \\ ВВ'— две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Отсюда следует, что грани параллельны. Таким же способом можно доказать и параллельность граней ABB'А и DCCD'. Очевидно, любую грань параллелепипеда можно принять за его основание, поэтому противоположные грани его не только параллельны, но и равны.

Теорема 2. Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся ею пополам.

Рассмотрим параллелепипед ABCDAB'C'D' (черт. 54). Из соотношений AD || В'С и АО = В'С получим, что четырёхуголь-

Черт. 53

Черт. 54

ник AB'CD — параллелограмм. Поэтому его диагонали АС и DB' пересекаются в точке О и делятся ею пополам. Подобным же образом мы заключаем, что четырёхугольник CD А'В' — тоже параллелограмм, в силу чего диагональ СА' проходит через середину диагонали DB\ т. е. через ту же точку О, и также делится ею пополам. Таким же путём докажем, что через эту же точку О проходит и четвёртая диагональ BD'.

Определение 4. Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если основанием его служит прямоугольник.

Заметим, что прямоугольный параллелепипед является наиболее распространённой формой среди предметов окружающей нас обстановки: корпусы зданий, кирпичи, из которых эти здания сложены, комнаты, ящики и коробки, шкафы, сундуки, чемоданы и т. д. — все эти предметы имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

Длины трёх рёбер, выходящих из одной и той же вершины прямоугольного параллелепипеда, называются также его измерениями— длиной, шириной и высотой. Например, на чертеже 55 ребро А'В' определяет длину а прямоугольного параллелепипеда, ребро А'ГУ — его ширину Ь, ребро А А — его высоту с.

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны между собой.

Теорема 3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

В прямоугольном параллелепипеде (черт. 55) проведём диагональ Л'С, длину которой обозначим через dy и диагональ основания А'С\ длину которой обозначим через т. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника А'В'С получим /я* = = а?-\-Ь*. Далее из прямоугольного треугольника А'С С получим: d* = m* + c* = a*-{-b*-\-c\ т. е. rfa = a*-f-£* + ^-

Следствие 3. Четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

Это следствие вытекает из того, что все диагонали прямоугольного параллелепипеда имеют одну и ту же длину, квадрат которой равен сумме квадратов трёх измерений параллелепипеда.

Черт. 55

Объём призмы

43. Ещё в курсе арифметики, при изучении кубических мер, мы познакомились с измерением объёмов. Из этого курса мы знаем, что если каждое измерение прямоугольного параллелепипеда выражается целым числом единиц, то объём такого параллелепипеда

выражается числом кубических единиц, равным произведению этих трёх чисел. Например, если длина комнаты равна 6 ж, ширина равна 4 м, высота равна 3 м, то объём её равен 6-4-3 = 72 (м3).

Дадим теперь более общее определение объёма.

Определение 1. Объёмом тела называется число, которое получается в результате измерения тела кубической единицей.

Мы принимаем, что объём куба, ребро которого равно единице длины, равен одной кубической единице.

Имея это в виду, мы при измерении объёма поступаем аналогично тому, как это делается при измерении площадей. Припомним, что при измерении площади произвольной фигуры мы накладываем на фигуру квадратную масштабную сетку и находим приближённое значение площади по недостатку и по избытку, считая, во-первых, число квадратов, которые всеми своими точками принадлежат фигуре, а во-вторых, число квадратов, которые хотя бы одной точкой принадлежат фигуре. При дроблении сетки на всё более мелкие квадраты мы получаем новые, более точные приближённые значения, дающие возможность определить площадь с заданной степенью точности.

При измерении объёма мы должны на данное тело наложить кубическую масштабную сетку. Такую сетку мы можем получить, взяв прямоугольный параллелепипед, измерения которого выражаются целыми числами, и проведя сечения, параллельные граням, через точки деления на его рёбрах. Этим мы разобьём весь параллелепипед на единичные кубы, число которых равно произведению трёх его измерений. Параллелепипед должен быть настолько большим, чтобы измеряемое тело поместилось внутри его. После этого мы должны сосчитать, во-первых, число кубов, которые всеми своими точками находятся внутри тела, а во-вторых, число кубов, которые хотя бы одной точкой принадлежат этому телу. Первое число даёт приближённое значение объёма по недостатку, второе — по избытку. Если каждый из кубов сетки разделить на более мелкие кубы, то получим более точные приближённые значения объёма.

В результате получаются две числовые последовательности. Можно доказать (такие доказательства приводятся в подробных курсах геометрии), что для тел, рассматриваемых в элементарной геометрии, эти последовательности всегда имеют общий предел, причём этот предел не зависит от способа наложения масштабной сетки.

Это число и определяет объём тела. Далее можно доказать, что:

1) Равные тела имеют и равные объёмы.

2) Если тело состоит из нескольких частей, то его объём равен сумме объёмов составляющих частей.

Однако такой непосредственный подсчёт числа единичных кубов и их более мелких долей на практике встречает ещё боль-

шие затруднения, чем непосредственное измерение площадей палеткой. Поэтому основной задачей теории измерения объёмов является приведение измерения объёмов к измерению длин. Докажем прежде всего следующую теорему. Теорема 1. Объём прямой призмы равен произведению площади её основания на длину её высоты: V—Sh.

Здесь V обозначает объём призмы, S — площадь её основания, h — длину её высоты.

Для доказательства наложим на призму кубическую масштабную сетку так, чтобы основание призмы оказалось на одной из плоскостей сетки (черт. 56). Для подсчёта числа единичных кубов, находящихся внутри призмы, мы на каждом квадрате, расположенном внутри основания, строим колонку из кубов. Число всех внутренних кубов равно числу таких колонок, умноженному на число кубов в колонке. Но число колонок равно числу квадратов, которые помещаются на основании призмы, т. е. числу S{—приближённому значению площади основания по недостатку. Число же внутренних кубов в каждой колонке равно hx—приближённому значению длины высоты по недостатку. Поэтому приближённое значение объёма по недостатку Vt выражается формулой:

Vx=Sxhx.

Подобным же образом, считая число квадратов, которые хотя бы одной точкой принадлежат основанию, получим число 5! — приближённое значение площади основания по избытку. Строя на каждом из этих квадратов колонку кубов, которые хотя бы одной своей точкой принадлежат призме, мы увидим, что число кубов в каждой колонке равно h[ — приближённому значению длины высоты по избытку. Отсюда следует, что приближённое значение объёма по избытку выражается формулой:

V\=S[hl

Если каждое ребро единичного куба разделить на 10 равных частей и через точки деления провести плоскости, параллельные его граням, то куб разделится на 1000 равных кубов.

Разделив каждый единичный куб сетки на 1000 равных частей, вновь произведём такой же подсчёт числа кубов, определяющих

Черт. 56

приближённые значения объёма по недостатку и по избытку. В результате получим формулы:

Vr9 = .S2Aa и V2=SiA2*

где S% и 5г — более точные значения площади основания по недостатку и по избытку, А2 и Кч— более точные значения длины высоты по недостатку и по избытку.

Продолжая далее этот процесс, мы получим последовательности приближённых значений объёма:

1/з = 5зА3, 1/4 = 54А4, Vn = Snhay ...

и

Уз = 5зАз, V^ = 5iAi, Vn=Snh'n, ... .

Из планиметрии мы знаем, что последовательности SuSit... ... Sn,... й 51,02,..., S'n,... имеют общим пределом число S — площадь основания:

Iim5„ = lim5i =5.

п —*■ оо п -* оо

И точно так же последовательности hu h%9..НП9 ... и Ai, А2,..h'n,... имеют общим пределом число Л — длину высоты. Следовательно, мы получим:

Y\mSnhn = \\mSnh'n =Sht

п -* оо п -* ОО

lirnKrt = liml/;=K=5A,

где V—объём призмы.

Из этой теоремы мы получаем предложение о вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда, если известна длина его рёбер.

Следствие 1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

V=abc,

где а — длина, b — ширина, с — высота.

Это следствие вытекает из того, что прямоугольный параллелепипед есть прямая призма с прямоугольным основанием. Из формулы V=Sh получим: S = ab, h = c и, значит, V=abc.

Здесь а, Ь, с могут быть любыми положительными действительными числами.

44. Определение 2. Два тела, имеющие равные объёмы, называются равновеликими.

Для вывода формулы объёма наклонной призмы докажем следующую лемму.

Лемма. Объём прямоугольного параллелепипеда равен объёму наклонного параллелепипеда, имеющего с данным одно и то же основание и одну и ту же высоту.

Рассмотрим прямой параллелепипед ABCDA'B'CD' (черт. 57 а) и переместим верхнюю грань по направлению ребра АВ в положение A\B\C\Dx. У нас получился наклонный параллелепипед ABCDAxBiCiDi. Объёмы этих параллелепипедов равны между собой.

Действительно, объём треугольной призмы AA'A\DD'D\ равен объёму треугольной призмы ВВ'В\СС'Си так как эти призмы равны между собой: у них равны соответственные грани и соответственные двугранные углы. Если отделить от первого параллелепипеда первую призму и приставить к нему вторую, то получим второй параллелепипед. На основании предложения о том, что объём тела равен сумме объёмов составляющих его частей, мы заключаем, что объёмы обоих параллелепипедов равны между собой.

В полученном параллелепипеде ABCDAxBxCxDi верхнюю грань можно перенести по направлению ребра AD в положение А*В%С%0% (черт. 57 Ь). Совершенно так же, как и в предыдущем случае, можно доказать, что параллелепипед ABCDA^B^D^ равновелик параллелепипеду ABCDAXBXCXDU а значит, и первоначальному параллелепипеду ABCDAB'CD*.

Заметим, наконец, что наклон параллелепипедов можно сделать каким угодно. Например, от параллелепипеда ABCDA\BxCxDx (черт. Ы с) можно таким же путём перейти к параллелепипеду ABCDAzBzCzDd. Обратно: если дан наклонный параллелепипед ABCDAbBzCzD*, то, произведя те же преобразования в обратном порядке, мы можем всегда перейти к равновеликому с ним прямо-

Черт. 57

угольному параллелепипеду ABCDA'B'CD', имеющему такое же основание и высоту.

45. Теорема 2. Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на длину высоты.

Возьмём наклонную призму (черт. 58) и наложим на её основание квадратную масштабную сетку с единичными квадратами. На каждом из этих квадратов построим наклонную колонку, боковые рёбра которой параллельны боковым рёбрам призмы. Колонку мы разобьём параллельными сечениями на параллелепипеды, каждый из которых имеет высотой единицу. Тогда объём каждого из таких параллелепипедов, согласно лемме, тоже равен единице.

Так же, как при доказательстве предыдущей теоремы, произведём подсчёт числа внутренних единичных параллелепипедов. Это число равно числу квадратов, находящихся внутри основания, умноженному на число параллелепипедов, помещающихся внутри призмы; первое число даёт приближённое значение площади основания по недостатку, а второе число — приближённое значение длины высоты по недостатку. Произведение же даёт приближённое значение объёма призмы по недостатку. Как и в предыдущей теореме, мы получим: V1=S1/Y1. И совершенно так же для приближённого значения объёма призмы по избытку мы получим: V[ = S\H[f где S\—приближённое значение площади основания по избытку, Н\ — приближённое значение длины высоты по избытку.

Далее мы производим дробление параллелепипедов на более мелкие доли и повторяем этот же подсчёт. В результате мы для объёма призмы получим те же самые числовые последовательности Vn — SnHn и V'n =S'nHn, которыми определяется то же самое число lim Vn = l\m V'n = SH.

Черт. 58

Вопросы и упражнения

1) Сколько плоскостей симметрии можно провести в прямоугольном параллелепипеде?

2) Прямоугольный параллелепипед имеет измерения в 9, 12 и 16 линейных единиц. Нельзя ли его разрезать на такие две части, из которых можно сложить равновеликий куб?

3) При каких условиях косоугольный параллелепипед является симметричной фигурой?

4) Может ли существовать косоугольный параллелепипед, все грани которого были бы равны между собой?

5) Сделанная из дерева правильная треугольная призма плавает в воде, причём плоскость одной боковой грани находится над поверхностью воды и ей параллельна. Определить, на какую глубину погрузилась призма, если удельный вес дерева равен 0,7, а длина ребра основания равна а.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

6) Доказать, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

7) Два прямоугольных параллелепипеда равны между собой, если соответственно равны их измерения. Доказать.

8) Доказать: если диагонали параллелепипеда равны между собой, то этот параллелепипед прямоугольный.

9) Доказать, что плоскость, проходящая через концы трёх рёбер параллелепипеда, имеющих общую вершину, отсекает — диагонали, выходящей из той же вершины.

10) Доказать, что сумма квадратов диагоналей всякого параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер.

И) Доказать, что призма является выпуклым или невыпуклым многогранником в зависимости от того, будет ли выпуклым или невыпуклым основание.

12) Доказать, что объём треугольной призмы равен половине произведения площади её боковой грани на расстояние от этой грани до противоположного бокового ребра.

13) Доказать, что объём наклонной призмы равен объёму прямой призмы, основанием которой служит перпендикулярное сечение наклонной призмы, а высотой боковое ребро этой призмы.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

В следующих задачах указать, при помощи каких элементарных построений можно получить требуемую в задаче фигуру.

14) Построить прямую треугольную призму, если заданы три ребра основания и высота.

15) Построить прямоугольный параллелепипед, если дано основание и диагональ.

16) Построить куб по данной диагонали.

17) Данный куб пересечь плоскостью, проходящей через его центр перпендикулярно к диагонали (произвести построение на проекционном чертеже).

18) Построить параллелепипед, рёбра которого лежали бы на трёх данных скрещивающихся прямых.

§ 11. Пирамиды

46. Определение 1. Пирамидой называется многогранник, ограниченный гранями многогранного угла и многоугольником, который получается от пересечения всех граней

этого многогранного угла плоскостью, не проходящей через его вершину.

Вершина многогранного угла называется вершиной пирамиды, его грани и рёбра — боковыми гранями и боковыми рёбрами пирамиды. Многоугольник, полученный в сечении, называется основанием пирамиды. Перпендикуляр, проведённый из вершины к плоскости основания, называется высотой пирамиды (черт. 59).

Черт. 59 Черт. 60

По числу боковых граней пирамиды разделяются на треугольные, четырёхугольные, пятиугольные,..., я-угольные.

Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Если основанием пирамиды служит правильный многоугольник, а высота её проходит через центр основания, то пирамида называется правильной (черт. 60).

Форму пирамиды имеют наиболее грандиозные сооружения древности — гробницы египетских фараонов. Величайшая из них — пирамида Хеопса (рис. 2), имеющая 146 м высоты — построена

Рис. 2

в третьем тысячелетии до н. э. Необычайная прочность и устойчивость сооружения (центр тяжести пирамиды находится на у

её высоты, считая от основания) обеспечила сохранность его до наших дней.

Следствие 1. Боковые грани правильной пирамиды — равные между собой равнобедренные треугольники.

Боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой, так как равны их проекции на основание. Стороны основания также равны между собой, как стороны правильного многоугольника. Итак, стороны одной боковой грани равны соответственно сторонам другой. Следовательно, все боковые грани равны между собой.

Определение 2. Высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная на ребро основания, называется апофемой пирамиды.

Теорема 1. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Обозначим через а длину стороны основания правильной я-угольной пирамиды, а через k — её апофему. Тогда площадь боковой грани выразится формулой: 5 = -^-.

Так как пирамида /г-угольная, то вся площадь боковой поверхности будет в п раз больше: 5$ = —Но па есть периметр основания: па = Р. Поэтому мы получим окончательно: S6 = -^-.

47. Теорема 2. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то полученное сечение будет обладать следующими свойствами:

1) Все боковые рёбра разделяются сечением на соответственно пропорциональные отрезки.

2) В сечении получается многоугольник, подобный многоугольнику основания.

3) Площадь сечения прямо пропорциональна квадрату расстояния плоскости сечения от вершины.

1) Рассмотрим пирамиду с вершиной О и многоугольником ABCD в основании (черт. 61). Пересекая её плоскостью, параллельной основанию, получим в сечении многоугольник A'B'C'D'. Так как две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым, то получим: А'В* || АВ, В'С || ВС, CD' || CD,

Черт. 61

D'A || DA. Отсюда следует: aABOooAA'B'O и, значит, ^ = -g|,. Из подобия следующих пар треугольников получим дальше:

2) Многоугольник AB'CD' подобен многоугольнику ABCD, так как при помощи лучей, выходящих из вершины О между точками обеих фигур можно установить взаимно-однозначное соответствие. Кроме того, все углы, определяемые сходственными отрезками, равны между собой, так как соответственные стороны их параллельны и одинаково направлены. Например, Z. А'В'С = = L ABC, так как АВ \\ АВ' и ВС \\ В'С. Отсюда следует, что многоугольник ABCD подобен многоугольнику AB'CD'.

3) Коэффициент подобия многоугольников ABCD и AB'CD' равен отношению отрезков, отсекаемых их плоскостями на лучах с вершиной О.

АВ OA

Действительно, Л АОВ <\з А О А В' и, значит, = . Но

В частности, это число определяется отношением -^р, где

ОР — расстояние от вершины до плоскости основания, а ОР'— расстояние от вершины до плоскости сечения. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Отсюда мы видим, что площадь сечения Sawcd' пропорциональна квадрату расстояния ОР.

Доказанная теорема раскрывает связи между пространственными свойствами предметов и физическими явлениями. На основании этой теоремы можно вывести физический закон о том, что освещённость плоской поверхности, пересекающей световые лучи, обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света до освещаемой поверхности.

Представим себе, что в вершине пирамиды (точка О на чертеже 61) помещён источник света. Поток световой энергии, распространяющийся внутри многогранного угла с вершиной О, может быть перехвачен либо площадкой AB'CD', либо площадкой ABCD. Количество световой энергии, приходящейся на единицу площади, обратно пропорционально величине этой площади, т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния площадки от вершины О — источника света. Действительно, если площадка невелика по сравнению с расстоянием её от источника света, то можно допустить, что вся энергия Е светового потока распределяется

по этой площадке равномерно. Если площадь равна 5, то на единицу площади приходится количество энергии, равное -g-.

48. Определение 3. Усечённой пирамидой называется часть пирамиды, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Многоугольник сечения называется верхним основанием усечённой пирамиды, а основание полной пирамиды — нижним основанием усечённой пирамиды. Остальные грани называются боковыми гранями усечённой пирамиды. Расстояние между плоскостями оснований называется высотой усечённой пирамиды.

Если первоначальная полная пирамида была правильной, то и полученная из неё усечённая пирамида тоже называется правильной.

Следствие 2. Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции, причём у правильной усечённой пирамиды эти трапеции равны между собой и все они равнобедренные.

Боковые грани пирамиды являются трапециями в силу того, что стороны параллельного сечения пирамиды параллельны соответствующим сторонам основания.

У правильной полной пирамиды боковые грани — равнобедренные треугольники; у них углы при основании равны между собой, и, следовательно, у усечённой пирамиды эти грани— равнобедренные трапеции (черт. 62), которые все равны между собой в силу равенства соответственных сторон и углов.

Определение 4. Высота боковой грани правильной усечённой пирамиды называется апофемой этой пирамиды.

Теорема 3. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на длину апофемы.

На чертеже 62 дана правильная усечённая пирамида. Обозначим длину стороны нижнего основания через а, а длину стороны верхнего основания через а'. Длину апофемы ММ' обозначим через k. Тогда площадь боковой грани выражается формулой

Черт. 62

Так как все боковые грани равны между собой, а число их равно п — числу сторон основания, то вся площадь боковой поверхности пирамиды выразится формулой:

Но па = Р — периметру нижнего основания, па! = Р — периметру верхнего основания. Отсюда получаем окончательно:

Объём пирамиды

49. Теорема 1. Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на длину высоты:

где 5 — площадь основания, h — высота.

Для доказательства разделим высоту пирамиды на п равных частей и через точки деления проведём сечения, параллельные основанию (черт. 63). На каждой из полученных площадок построим вписанную и описанную призмы с высотой, равной —, как это показано на чертеже 63. Объём первой вписанной и первой описанной призмы, считая от вершины, обозначим через vt. Эти призмы равновелики, так как имеют общее основание и равные высоты. Объём второй вписанной и второй описанной призмы обозначим через v<i и т. д. Последняя вписанная призма имеет объём vn_u последняя описанная — объём vn. Объём ступенчатого тела, вписанного в пирамиду, обозначим Vn. Он выражается формулой: Vn = v1-\-vi-\-.. ,-\-vn_i.

Объём описанного ступенчатого тела обозначим уУ. Он выражается формулой: Vn = vl-\-v2-\-.. ,-\-vn_i-{-vn.

Так как все вписанные призмы находятся внутри пирамиды, то число Vn является приближённым значением объёма пирамиды по недостатку.

В то же время пирамида находится внутри всех описанных призм, поэтому число Vn является приближённым значением объёма пирамиды по избытку. При неограниченном увеличении п числа Vn и Vn образуют последовательности, стремящиеся к общему пределу.

Действительно: 1) Vn<^Vny так как V'n — Vn = vn^>0.

2) При увеличении п Vn увеличивается, так как при делении высоты на более мелкие доли к внутренним призмам будут присоединяться новые призмы. При тех же условиях V'n уменьшается, так как от описанных призм удаляются лишние части.

Черт. 63

3) V'n— Vn = vn = — S = — t где S — площадь основания пирамиды. Так как h и 5 постоянны, а п неограниченно-возрастает, то число — стремится к нулю. Итак, мы получаем:

где V—объём пирамиды.

Для вычисления V обозначим через su s2, s3, ..., sn площади полученных сечений (при этом sn = S).

На основании теоремы 2, п. 47 имеем:

Отсюда мы получаем равенства:

Суммируя почленно эти равенства, находим:

Но известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда определяется формулой1

Следовательно:

1 Формула суммы квадратов чисел натурального ряда была найдена Архимедом, поэтому её иногда называют формулой Архимеда. Она легко доказывается методом математической индукции.

Переходя к пределу, получим:

Итак,

50. Теорема 2. Объём усечённой пирамиды равен сумме объёмов трёх пирамид, общей высотой которых служит высота усечённой пирамиды. Основанием первой пирамиды служит нижнее основание усечённой пирамиды, основанием второй — верхнее основание, а площадь основания третьей равна среднему пропорциональному между площадью верхнего и нижнего оснований.

Здесь V обозначает объём усечённой пирамиды, h — её высоту, St — площадь нижнего основания, 5а — площадь верхнего основания.

Продолжая боковые рёбра усечённой пирамиды до их пересечения в вершине О (черт. 61), получим полную пирамиду, высоту и объём которой обозначим соответственно через hx и Vt.

Через А2 и V2 обозначим соответственно высоту и объём малой пирамиды, дополняющей усечённую пирамиду до полной. Тогда получим:

Выразим высоты At и А2 через высоту h усечённой пирамиды. По свойству параллельного сечения пирамиды имеем:

или

Вычитая по единице из обеих частей последнего равенства,

hi —hi VS[ — "L/S7 h VSl — VSl

получим: -~—- =1— *—-, т. е. -г- = 81 *—-.

Следовательно, h^= ^=~^-^==г-. Из пропорции (1) получим:

hx = у—~^у== . Подставляя полученные значения в формулу для определения объёма, получим

И окончательно, пользуясь формулой разности кубов двух чисел, получим:

Вопросы и упражнения

1) Имеется модель правильной четырёхугольной пирамиды. Какие нужно произвести измерения, чтобы вычислить её объём?

2) Тот же вопрос для правильной пятиугольной и шестиугольной пирамиды.

3) Какие измерения нужно произвести, чтобы вычислить объём данной модели правильной усечённой четырёхугольной пирамиды?

4) Каждое ребро основания правильной пирамиды увеличивается вдвое. Одновременно уменьшается вдвое высота. Как изменится объём пирамиды?

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

5) Доказать: три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной и той же точке и делятся ею пополам.

6) Доказать, что шесть плоскостей симметрии четырёх вершин тетраэдра пересекаются в одной и той же точке.

7) Доказать, что шесть биссекторных плоскостей четырёх граней тетраэдра пересекаются в одной и той же точке.

8) Доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, пересекаются в одной и той же точке. Эта точка находится на j- длины каждого отрезка.

(Замечание: если тетраэдр сделан из какого-нибудь однородного материала, то точка, определяемая условием этой задачи, является центром тяжести тетраэдра.)

9) Доказать, что в сечении тетраэдра плоскостью, параллельной двум его противоположным рёбрам, получается параллелограмм.

10) Доказать, что боковая поверхность правильной пирамиды равна площади основания, делённой на косинус угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

11) Доказать, что боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна разности между площадью нижнего и верхнего оснований, делённой на косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.

12) Доказать, что объёмы двух тетраэдров, имеющих общий трёхгранный угол, относятся как произведения длин рёбер тетраэдров, принадлежащих этим трёхгранным углам.

13) Два тетраэдра называются подобными, если все двугранные углы одного соответственно равны двугранным углам другого. Доказать, что объёмы подобных тетраэдров относятся как кубы сходственных рёбер.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

В следующих задачах указать элементарные построения, которые нужно выполнить для получения искомой фигуры.

14) Данный тетраэдр пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился ромб.

15) Построить тетраэдр по данным шести его рёбрам.

16) Построить треугольную пирамиду, если дано её основание и углы, образуемые боковыми гранями с основанием.

17) Построить многогранник, грани которого проходили бы через вершины данного тетраэдра и были бы параллельны его противоположным граням.

Следующие задачи выполнить на проекционном чертеже, задав на нём предварительно три взаимно-перпендикулярных единичных отрезка, как это сделано на чертеже 49.

18) Взять какую-нибудь модель многогранника (призмы или пирамиды) и построить её изображение, которое в точности соответствовало бы действительным размерам модели.

19) По заданному чертежу правильной четырёхугольной пирамиды построить её модель, соблюдая данные на чертеже размеры.

20) Изобразить на чертеже правильную треугольную пирамиду с двугранным углом при основании в 30° и с ребром основания в 5 см. Найти построением и вычислением расстояние от вершины основания до противоположной грани.

ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЁМОВ

21) От куба отделено восемь треугольных пирамид сечениями, проходящими через середины его рёбер. Определить отношение объёма оставшегося тела к объёму куба.

22) Определить объём куба, диагональ которого имеет длину т.

23) Точка, взятая внутри призмы, соединена со всеми её вершинами. Определить отношение к объёму призмы суммы объёмов пирамид, вершиной которых служит данная точка, а основаниями — боковые грани призмы.

24) Определить объём чердачного помещения под четырёхскатной крышей (черт. 64), если длина основания крыши равна а, ширина — Ьу длина конька крыши (MN на чертеже 64) — с, а расстояние его от основания равно Л.

Черт. 64

§ 12. Правильные многогранники

Определение 1. Многогранник называется правильным, если все его грани — правильные и равные между собой многоугольники и если все его многогранные углы равны между собой.

Теорема 1. Существуют только пять видов правильных многогранников.

Докажем прежде всего, что правильных многогранников может быть не более пяти. Для этого рассмотрим, какие правильные многоугольники могут быть гранями и какие многогранные углы — углами правильного многогранника.

При этом мы будем опираться на основное свойство выпуклых многогранных углов — сумма их плоских углов должна быть меньше 360 . Положим сначала, что многогранник ограничен равносторонними треугольниками. Угол равностороннего треугольника содержит 60°. Плоские углы трёхгранного угла могут содержать по 60°, так как 3 • 60°= 180° < 360°. Точно так же плоские углы четырёхгранного угла могут содержать по 60°, так как 4 • 60° = 240° < 360°. Наконец, плоские углы пятигранного угла могут содержать по 60°, так как 5 • 60° = 300° <^ 360°.

Шестигранного угла, имеющего плоские углы по 60°, быть не может, так как 6 • 60° = 360°.

Итак, возможны только три вида правильных многогранников, ограниченных равносторонними треугольниками: с трёхгранными, четырёхгранными и пятигранными углами.

Правильных многогранников, ограниченных квадратами, может быть только один вид — с трёхгранными углами, так как

3. 90° = 270° < 360°. Но уже 4-90° = 360°, и потому не существует многогранник, ограниченный квадратами и имеющий четырёхгранные, пятигранные и т. д. углы.

Наконец, возможен также только один вид многогранников, ограниченных правильными пятиугольниками и имеющих трёхгранные углы. Это следует из того, что внутренний угол правильного пятиугольника содержит 108° и 3 • 108° = 324° < 360°. Многогранник, ограниченный правильными пятиугольниками и содержащий четырёхгранные углы, не существует, так как

4. 108° =432° > 360°.

Не существуют также и многогранники, ограниченные правильными шестиугольниками, семиугольниками, восьмиугольниками и т. д., так как внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°, а 3-120° = 360°, внутренние же углы правильных многоугольников, имеющих более шести сторон, содержат ещё большее число градусов и потому не могут быть плоскими углами даже трёхгранных углов.

Таким образом, мы доказали возможность существования только пяти видов правильных многогранников. Три из них ограничены равносторонними треугольниками, один квадратами и один правильными пятиугольниками.

Предыдущие рассуждения убеждают нас только в возможности существования пяти видов правильных многогранников. Для того чтобы показать, что такие многогранники действительно существуют, необходимо дать способ их построения.

Из пяти видов правильных многогранников легче всего построить гексаэдр (куб). Для этого достаточно построить квадрат ABCD (черт. 65) и из каждой его вершины провести перпендикуляр, длина которого равна стороне квадрата. Концы этих перпендикуляров А\ В\ С\ D' являются остальными вершинами куба.

Построив куб, легко получить правильный тетра-

Черт. 65

эдр1, проведя диагонали АВ\ ВС, СП, D'A, AC, CD'. Полученный тетраэдр показан отдельно на чертеже 66.

Черт. 66 Черт. 67

Октаэдр можно получить, приняв за его вершины центры граней куба. Можно построить его и непосредственно. Для этого построим квадрат PSQT (черт. 67) и из его центра О проведём перпендикуляры ОМ и ОМ, длина которых равна половине диагонали квадрата. Точки М, N, Р, Q, S, Т являются вершинами октаэдра.

Построение правильного додекаэдра и икосаэдра несколько сложнее, но их тоже можно получить из куба (см. задачу 10). Модели правильных многогранников можно склеить из картона или плотной бумаги, пользуясь развёртками их поверхностей. На чертежах 65, 66, 67, 68, 69 даны развёртки и изображения соответствующих правиль-

Черт. 68 Черт. 69

1 Слова „тетраэдр", „гексаэдр", „октаэдр", „додекаэдр" и „икосаэдр" происходят от греческих числительных и обозначают соответственно четырёхгранник, шестигранник, восьмигранник, двенадцатигранник, двадцатигранник.

ных многогранников, название и число элементов которых даны в следующей таблице:

Название

Число граней

Число сторон грани

Число рёбер

Число вершин

Число рёбер многогранного угла

№ чертежа

Тетраэдр

4

3

6

4

3

66

Гексаэдр

6

4

12

8

3

65

Октаэдр

8

3

12

6

4

67

Додекаэдр

12

5

30

20

3

68

Икосаэдр

20

3

30

12

5

69

52. Определение 2. Осью симметрии /i-го порядка называется прямая, при вращении около которой на угол — тело совмещается само с собой.

Рассмотрим, например, правильную шестиугольную пирамиду (черт. 60). Повернём её на угол 60° около её высоты ОО'. При таком повороте (если его произвести в положительном направлении) точка А попадёт на место, занимаемое точкой В, точка В — на место, занимаемое точкой С, точка С — на место, занимаемое точкой D,..., наконец, точка F придёт в положение, занимаемое точкой Л. Так как —g- = 60°, то мы заключаем отсюда, что прямая ОО' есть ось симметрии 6-го порядка в правильной шестиугольной пирамиде.

Нетрудно убедиться и в том, что мы можем произвести ещё пять таких же поворотов около оси ОО', после чего точка А вернётся в исходное положение, совершив полный оборот около оси ОО'.

Определение 3. Каждое положение многогранника, при котором он совмещается с самим собой, называется его самосовмещением.

К числу самосовмещений относится и исходное положение многогранника.

Рассматривая повороты правильной шестиугольной пирамиды около высоты, мы видим, что имеется всего шесть самосовмещений этого многогранника.

Таким же путём мы можем убедиться, что у правильной четырёхугольной пирамиды высота является осью симметрии

четвёртого порядка и этому соответствуют четыре самосовмещения этой пирамиды. У правильной пятиугольной пирамиды высота есть ось симметрии 5-го порядка, — пять самосовмещений и т. д.

Число осей симметрии данного многогранника, их порядок и связанное с ним число самосовмещений определяют симметрию данного многогранника. Симметрия многогранника является понятием, играющим главную роль в кристаллографии — науке о кристаллах. По степени симметрии производится классификация кристаллических форм.

Приведём ещё примеры определения осей симметрии и числа самосовмещений.

В правильной шестиугольной призме (черт. 70) нижнее основание есть ортогональная проекция верхнего основания и потому центр нижнего основания О' есть проекция центра О— верхнего основания. Прямая 00' есть ось симметрии 6-го порядка. Этому соответствуют шесть различных самосовмещений призмы. Если теперь проведём прямую через середины противоположных боковых рёбер, то эта прямая будет осью симметрии 2-го порядка, так как призма совмещается сама с собой поворотом на 180°. Таких осей можно провести три, и каждой из них соответствует новое самосовмещение призмы.

Ещё три оси 2-го порядка мы получим, проводя прямые через центры двух противоположных боковых граней. Вместе с тем мы получим ещё три самосовмещения. Итак, правильная шестиугольная призма имеет одну ось симметрии 6-го порядка и шесть осей симметрии 2-го порядка. Многогранник самосовмещается двенадцатью различными способами.

Рассмотрим куб (черт. 65). Проводя прямые через центры его противоположных граней, мы получим три оси симметрии 4-го порядка (10 различных самосовмещений). Диагонали куба дают ещё четыре оси 3-го порядка (8 новых самосовмещений). Наконец, проведя прямые через середины противоположных рёбер, мы найдём ещё шесть осей 2-го порядка (6 новых самосовмещений). Итого для куба существует 24 различных самосовмещения.

Совершенно такой же симметрией обладает октаэдр (черт. 67). Три прямые, проходящие через три пары противоположных вершин его, являются тремя осями симметрии 4-го порядка. Четыре прямые, проходящие через центры противоположных граней, являются осями 3-го порядка, и, наконец, шесть осей 2-го порядка мы получим, проводя прямые через середины противоположных

Черт. 70

рёбер. Отсюда следует, что октаэдр тоже имеет 24 различных самосовмещения.

Тетраэдр имеет четыре оси симметрии 3-го порядка и три оси симметрии 2-го порядка. Всего тетраэдр имеет 12 различных самосовмещений.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Доказать: если число треугольных граней многогранника обозначить через F5, число четырёхугольных граней — через FAt пятиугольных — через F9 и т. д., то число рёбер А выражается формулой 2А = SF3 + 4FA + 5F8 -]-••••

2) Доказать: если число трёхгранных углсв многогранника обозначить через Р3, число четырёхгранных углов обозначить через РА, число пятигранных — через Ръ и т. д., то число рёбер А выражается формулой 2А = ЗР8 -|-+ 4Р4 + 5Р5 + ... .

3) Доказать, что число плоских углов многогранника вдвое больше числа его рёбер.

4) Доказать, что число самосовмещений правильного многогранника вдвое больше числа его рёбер.

5) Доказать, что додекаэдр и икосаэдр имеют шесть осей симметрии 5-го порядка, десять осей симметрии 3-го порядка и пятнадцать осей симметрии 2-го порядка. Каждый из этих многогранников имеет 60 самосовмещений.

6) Доказать, что у куба и у октаэдра можно провести по девять плоскостей симметрии, у тетраэдра четыре, у додекаэдра и икосаэдра по пятнадцати.

7) Доказать: если точка принадлежит поверхности правильного тетраэдра или находится внутри его, то сумма её расстояний от четырёх граней постоянна.

8) Доказать, что центры граней октаэдра служат вершинами куба.

9) Доказать, что середины рёбер правильного тетраэдра служат вершинами октаэдра.

10) Разделим ребро куба в крайнем и среднем отношении и полученный отрезок поместим на каждой грани куба, как показано на чертеже 71. Доказать, что двенадцать концов этих отрезков являются вершинами икосаэдра.

11) Доказать, что центры граней икосаэдра служат вершинами додекаэдра. Центры граней додекаэдра служат вершинами икосаэдра.

12) Доказать, что высота правильной пирамиды есть геометрическое место точек, равноудалённых от её боковых граней.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

Следующие задачи решить на проекционном чертеже.

13) Построить правильный тетраэдр, если дано его ребро.

14) Построить октаэдр, если дано его ребро.

15) Данный октаэдр пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник.

16) На каждой грани куба построить равные между собой правильные четырёхугольные пирамиды. При этом высота пирамид должна быть такой, чтобы грани двух пирамид, проходящих через одно и то же ребро куба, составляли продолжение одна другой. (Полученный многогранник, ограниченный двенадцатью равными ромбами, называется ромбическим додекаэдром. Такими многогранниками являются, например, кристаллы минерала граната.)

Черт. 71

17) В данную правильную четырёхугольную пирамиду вписать куб так, чтобы нижняя грань куба лежала на основании пирамиды, а вершины верхней грани лежали на её боковых рёбрах.

18) Решить такую же задачу при условии, что вершины верхней грани куба должны лежать на апофемах правильной четырёхугольной пирамиды.

Глава V. ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

§ 13. Цилиндр и конус

53. Если через каждую точку какой-нибудь линии провести прямую, параллельную одной и той же прямой, то геометрическое место всех этих прямых является поверхностью, которая называется цилиндрической (черт. 72).

Данная линия называется направляющей цилиндрической поверхности, параллельные прямые, которым принадлежат точки поверхности— образующими. Если направляющая линия замкнута (т. е. её начальная точка совпадает с конечной), то и цилиндрическая поверхность называется замкнутой.

Можно представить, что образующая движется, оставаясь всё время параллельной одной и той же прямой и скользя при этом по направляющей. При таком непрерывном движении она опишет цилиндрическую поверхность.

Из этого определения мы видим, что призматическая поверхность есть частный случай цилиндрической, когда направляющая является ломаной линией. Если же направляющей будет прямая, то поверхность, очевидно, будет плоскостью.

Определение 1. Цилиндром называется тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя фигурами, которые получаются от пересечения этой поверхности двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие (черт. 73).

Черт. 74

Фигуры сечения называются основаниями цилиндра. Расстояние между сечениями называется высотой цилиндра. Если плоскости сечения перпендикулярны к образующим, то цилиндр называется прямым. Если же они не перпендикулярны к образующим, то цилиндр называется наклонным. Если направляющая прямого цилиндра — окружность, то цилиндр называется прямым круговым, или цилиндром вращения (черт. 74).

Следствие 1. Основания цилиндра равны между собой.

Действительно, если плоскость нижнего основания принять за плоскость проекции, а образующие за проектирующие прямые, то ввиду параллельности плоскостей обоих оснований мы убедимся, что нижнее основание есть параллельная проекция верхнего и потому оба основания равны.

Следствие 2. Если прямоугольник вращается около одной из своих сторон, то остальные его стороны описывают поверхность цилиндра вращения.

Пусть сторона 00' прямоугольника AOO'N (черт. 74) закреплена неподвижно, а весь прямоугольник вращается около оси 00'.

Тогда прямые OA и О'А, оставаясь всё время перпендикулярными к прямой 00', будут описывать плоскости, перпендикулярные к оси вращения.

Образующая АА остаётся всё время параллельной оси 00' и скользит по окружности с центром О. Следовательно, она описывает боковую поверхность прямого кругового цилиндра. Отсюда мы видим также, почему этот цилиндр называется цилиндром вращения.

Поверхность кругового цилиндра представляет собой частный случай поверхности вращения вообще. Произвольная плоская линия, вращающаяся около оси, лежащей в той же плоскости, описывает поверхность вращения (черт. 75). Поверхностями вращения ограничены многие предметы домашнего обихода и техники: вазы, графины, вращающиеся детали многих машин и т. д.

Предметы домашнего обихода и техники, ограниченные поверхностями вращения, изготовляются на гончарном станке (глиняная, фаянсовая и фарфо-

ровая посуда) или на токарных станках (для дерева или для металла).

64. Теорема 1. Площадь боковой поверхности цилиндра вращения равна произведению длины окружности основания на длину высоты;

S6 = 2tzRH.

В этой формуле R обозначает длину радиуса основания, Н — длину высоты. Боковая поверхность цилиндра представляет собой кривую поверхность. Площадь её может быть определена тем же методом последовательных приближений, каким мы пользовались при определении длины окружности и площади круга.

Разделим окружность основания цилиндра на п равных частей и, соединив последовательно точки деления, впишем в эту окружность правильный я-угольник. Примем этот /г-угольник за основание правильной призмы, боковыми рёбрами которой будут образующие, проходящие через вершины многоугольника (черт. 76). Такая призма называется вписанной в цилиндр.

Площадь боковой поверхности вписанной призмы примем за приближённое значение площади боковой поверхности цилиндра. При неограниченном увеличении числа п площадь боковой поверхности призмы стремится к пределу. Действительно, обозначая через Sn эту площадь, а через Рп периметр основания, получим: Sn=PnH. Но ИтРя = 21с/?, поэтому

WmPnH=2TzRH.^C°

Как известно из планиметрии, число 2kR не зависит от выбора исходного многоугольника, лишь бы при неограниченном увеличении п длина его наибольшей стороны стремилась к нулю. Поэтому и число 2nRH тоже не зависит от выбора исходной призмы. Это число 2tzRH по определению принимается за площадь боковой поверхности цилиндра:

S6=2*RH.

Аналогично можно доказать, что, при неограниченном увеличении числа сторон, к тому же пределу стремится площадь боковой поверхности призмы, описанной около цилиндра (черт. 76).

Как уже указывалось в планиметрии, число 2nR — длина окружности — не зависит от вида исходных многоугольников. Поэтому мы можем утверждать, что и число 2nRH не зависит от вида тех вписанных и описанных призм, последовательности площадей боковых поверхностей которых определяют числовое значение искомой площади.

Черт. 76

Только что доказанное предложение можно сделать вполне наглядным, если рассмотреть развёртку боковой поверхности цилиндра. Для получения развёртки разрежем боковую поверхность цилиндра по образующей АВ (черт. 77). Развернув поверхность на плоскость, мы получим прямоугольник АхАъВъВх. Основанием этого прямоугольника служит отрезок ВХВЪ длина которого равна длине окружности основания, т. е. 2tzR. Высотой прямоугольника служит отрезок АХВХ = АВ = Н— высота цилиндра. Площадь полученного прямоугольника равна площади боковой поверхности цилиндра, т. е. числу 2тс/?#.

Понятно, конечно, что получение развёртки цилиндра и полученный вывод формулы для площади боковой поверхности являются лишь практическим приёмом, делающим наглядной найденную формулу и не могут заменить вышеизложенного доказательства.

55. Теорема 2. Объём всякого цилиндра равен произведению площади основания на длину высоты:

V=SH,

где 5 — площадь основания, Н—длина высоты.

Для доказательства этой теоремы мы поступим в точности так же, как поступали при выводе формулы для объёма призмы. Если цилиндр прямой, то мы накладываем на него кубическую масштабную сетку, как это делали с прямой призмой на чертеже 56. Если цилиндр наклонный, то мы помещаем его основание на квадратную масштабную сетку и на каждом квадрате этой сетки строим наклонную колонку из единичных параллелепипедов, боковые рёбра которых параллельны образующим цилиндра (черт. 78).

И в том и в другом случае мы получим, что число внутренних кубов или параллелепипедов равно SVHU где Sx — прибли-

Черт. 77

Черт. 78

жённое значение площади основания по недостатку, Нх — длины высоты по недостатку. При подсчёте же числа кубов или параллелепипедов, которые хотя бы одной точкой принадлежат цилиндру, мы в обоих случаях получим число S\H\y где 51 — приближённое значение площади основания по избытку, Н[ — приближённое значение длины высоты по избытку.

Произведя последовательно дробление сетки на более мелкие доли и повторяя такой подсчёт, мы получим последовательности приближённых значений объёма по недостатку и по избытку:

S\H\> S^Hta 53//3,..., SnHn,... S\H\9 S^H^ S^H^y..., SnHn,.. •

Так как Нт5л=5 и Пт5Л'=5, где S — площадь основания, a lim#„ = lim Hn' = Hf где Я —длина высоты, то lim SnHn = UmS'nH'n = SH.

Итак, окончательно получим и для прямого и для наклонного цилиндра общую формулу объёма

V=SH.

Для цилиндра вращения с радиусом R и высотой Н эта формула принимает вид:

Конус

56. Если через каждую точку какой-нибудь линии провести прямую, проходящую через постоянную точку, то геометрическое место всех этих прямых является поверхностью, которая называется конической (черт. 79).

Данная линия называется направляющей конической поверхности, постоянная точка называется вершиной, прямые, проходящие через точки направляющей и вершину, называются образующими конической поверхности.

Если направляющая линия замкнута, то коническая поверхность называется замкнутой.

Из этого определения следует, что боковая поверхность пирамиды есть частный случай конической поверхности, когда направляющая является ломаной линией1.

Определение 1. Конусом называется тело, ограниченное конической поверхностью и фигурой, которая получается от пересечения конической поверхности плоскостью, пересекающей все образующие и не проходящей через вершину.

Фигура сечения называется основанием конуса, вершина конической поверхности — его вершиной, часть конической поверхности от вершины до плоскости основания — его боковой поверхностью. Перпендикуляр, проведённый из вершины к плоскости основания, называется высотой конуса (черт. 80).

Определение 2. Прямым круговым конусом, или конусом вращения, называется конус, основанием которого служит круг, а высота проходит через центр основания (черт. 81).

Теорема 1. Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то в сечении получится фигура, подобная основанию.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью, параллельной основанию (черт. 80). При помощи лучей, проходящих через вершину О, мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между точками основания и точками сечения. Например, на чертеже 80 точке А соответствует точка А', точке В— точка В\ точке Q — точка Q' и т. д. Вместе с тем АВ || А'В\ AQ || A'Q\ BQ \\ B'Q и т. д. Поэтому LABQ= LA'B'Q', £BAQ= LB'A'Q', £AQB = Z.A'Q'B' и т. д. Как и при параллельном сечении пирамиды, будем иметь:

Черт. 80

Черт. 81

И точно так же

1 Очевидно, что в том случае, когда направляющей будет прямая, коническая поверхность станет плоской.

следовательно:

Итак, между точками основания и точками сечения существует взаимно-однозначное соответствие, сходственные углы равны и сходственные отрезки пропорциональны. Поэтому фигура сечения подобна фигуре основания и коэффициент подобия равен отношению расстояний плоскостей сечений от вершины.

Следствие 1. Если прямоугольный треугольник вращается около одного из своих катетов, то остальные стороны его описывают поверхность конуса вращения.

Пусть прямоугольный треугольник 00'А вращается около катета 00' (черт. 81). Тогда второй катет, будучи перпендикулярным к оси вращения, остаётся всё время в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Точка А при этом опишет окружность с центром О'. Эта окружность есть направляющая конической поверхности с образующей OA.

Мы получили конус с круговым основанием, у которого проекция вершины совпадает с центром основания, т. е. мы получили конус вращения.

57. Теорема 2. Площадь боковой поверхности конуса вращения равна половине произведения длины окружности основания на длину образующей боковой поверхности: S6 = tzRI.

Здесь R — длина радиуса основания, / — длина образующей.

Для доказательства разделим окружность основания конуса на п равных частей (черт. 82) и проведём через точки деления касательные к окружности основания. Каждая из этих касательных вместе с образующей, проходящей через точку касания, определяет плоскость, которая с конической поверхностью имеет только те общие точки, которые принадлежат образующей. Такая плоскость называется касательной к конической поверхности. Эти плоскости вместе с правильным описанным я-угольником определяют правильную л-угольную пирамиду, описанную около данного конуса.

При неограниченном увеличении п площадь боковой поверхности этой пирамиды стремится к пределу. Действительно, если обозначить через Sn эту поверхность, мы получим:

Черт. 82

где через Рп обозначен периметр основания. Образующая / совпадает с апофемой пирамиды, так как сторона основания пирамиды перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Но этот радиус есть проекция образующей.

limS„ = lim lpn/ = l2ir/?Z = */?/.

Этот предел по определению принимается за площадь боковой поверхности конуса вращения: 5^ = ^/?/.

Такой же точно результат мы получим, если в конус впишем правильную я-угольную пирамиду (черт. 82) и будем находить предел площади её боковой поверхности при неограниченном увеличении п.

Если сравнить это число с площадью основания конуса S = kR*, то получим: ^ = = у = cos а .

В этой формуле а обозначает угол между образующей и плоскостью основания конуса. Отсюда мы можем получить ещё одну формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса: S6 = ^^. Наглядно формулу боковой поверхности конуса вращения можно получить, рассматривая развёртку конуса (черт. 83). Для этого разрежем боковую поверхность конуса по образующей и развернём эту поверхность на плоскость. При этом получится круговой сектор с центром 0%, ограниченной радиусами Oi Ai и Ot Л2, длина которых равна длине образующей /. Площадь сектора равна половине произведения радиуса на длину дуги. Радиус равен /, а длина дуги равна 2тг/?, следовательно, боковая поверхность выражается формулой 5^= ]^2^Rl = ^RL

58. Определение 3. Усечённым конусом называется часть конуса, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Теорема 5. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вращения выражается формулой

S6 = iz(R + r)L

Здесь R обозначает длину радиуса нижнего основания, г — длину радиуса верхнего основания, / — длину образующей боковой поверхности (черт. 84).

Черт. 83

Черт. 84

Согласно последней формуле предыдущей теоремы, площадь боковой поверхности полного конуса равна (а — угол между образующей и плоскостью основания).

Боковая поверхность отделившейся части равна Отсюда следует, что боковая поверхность усечённого конуса равна разности S6=^—?£-==iz Щ=Л. но cos а = £=±- (черт. 84).

COS а COS а COS а / 4 г '

Следовательно, S6 = тг ^zzj/ =15 (R+г)

Итак, для усечённого конуса: S<j=ic(/?-|-r)/.

59. Теорема 3. Объём всякого конуса равен одной трети произведения площади основания на длину высоты:

v=\sh.

Доказательство этой теоремы представляет собой почти дословное повторение доказательства при выводе соответствующей формулы для объёма пирамиды.

Разделим высоту конуса на п равных частей и через точки деления проведём секущие плоскости, параллельные основанию (черт. 85). На каждой из полученных площадок построим вписанный и описанный цилиндры с высотой —, как это показано на чертеже 85. Объём первого вписанного и первого описанного цилиндра, считая от вершины, обозначим vlf объём второго вписанного и второго описанного цилиндров обозначим v% и т. д. Последний вписанный цилиндр имеет объём vn_lf а последний описанный— объём vn. Объём вписанного ступенчатого тела Vn выражается формулой

Vn=v1 + Vi + ... + vn_i.

Объём описанного ступенчатого тела определяется формулой Vn = vt +г>2 +... + vn_x + vn.

Так же как и при выводе формулы объёма пирамиды (см. теорему 1, п. 49), мы докажем, что при неограниченном увеличении п числа Vn и Vn стремятся к общему пределу, так как выполняются условия: 1) Vn < V'n, 2) Vn увеличивается, V'n уменьшается, 3) разность Vn — Vn = vn = стремится к нулю. Обо-

Черт. 85

значая через sly s2,..., sn = S площади сечений и помня (теорема 1), что в сечении получаются подобные фигуры и коэффициент подобия равен отношению расстояний плоскостей сечений от вершины, получим: sx = -2; = ;... sn_i = —; sn =. Следовательно, vt = ; v% — ; ... vn_x = v-J—; vn = —3—. Суммируя почленно эти равенства, находим:

Переходя к пределу, получим:

Итак,

Следствие 2. Объём конуса вращения выражается формулой У = где R — длина радиуса основания, h — длина высоты.

Для доказательства достаточно в общую формулу подставить вместо площади S площадь круга тс/?2.

60. Теорема 4. Объём усечённого конуса равен сумме объёмов трёх конусов, общей высотой которых служит высота усечённого конуса. Основанием первого конуса служит нижнее основание усечённого конуса, основанием второго — верхнее основание, а площадь основания третьего равна среднему пропорциональному между площадями верхнего и нижнего оснований.

Здесь Sx и S2— площади нижнего и верхнего оснований, h — длина высоты. Обозначая через h{ длину высоты полного конуса (ОР на чертеже 80), через Л2 — длину высоты удаляемого конуса (ОРг на чертеже 80), vv—объём полного конуса, v± — объём удаляемой части, получим: h = hx—А2 и V=Vi— К2. Все дальнейшие вычисления являются буквальным повторением вычислений при выводе формулы объёма усечённой пирамиды (теорема 2, п. 50).

Следствие 3. Объём усечённого конуса вращения выражается формулой

где /? — радиус нижнего основания, г — радиус верхнего основания, h — высота.

Для доказательства достаточно положить в общей формуле:

Вопросы и упражнения

1) На данной модели конуса вращения произвести необходимые измерения и вычислить площадь его боковой поверхности, полной поверхности и объёма.

2) Деревянный цилиндр вращения плавает в воде так, что его ось горизонтальна. На сколько он погрузится в воду, если удельный вес дерева равен 0,5, а диаметр равен 20 см?

3) Почему катящаяся поверхность всякого колеса является боковой поверхностью цилиндра вращения?

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

4) Два цилиндра вращения называются подобными между собой, если радиусы их оснований и высоты пропорциональны друг другу. Доказать, что боковые поверхности двух подобных цилиндров относятся как квадраты радиусов оснований или как квадраты высот, а объёмы относятся как кубы тех же величин.

5) Два конуса вращения называются подобными между собой, если образующие их боковых поверхностей наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Доказать, что боковые поверхности подобных конусов относятся как квадраты радиусов оснований, или как квадраты образующих, или как квадраты высот, а объёмы относятся как кубы тех же величин.

6) Доказать, что при пересечении боковой поверхности цилиндра вращения плоскостью, образующей угол ср с высотой, получается эллипс. Определить его большую и малую оси, если радиус основания цилиндра равен R.

7) Доказать: если плоскость, параллельная оси цилиндра вращения, находится от этой оси на расстоянии, меньшем радиуса основания R, то плоскость пересекает поверхность цилиндра и в сечении получается прямоугольник. Если это расстояние равно R, то плоскость касается боковой поверхности цилиндра. Если это расстояние больше R} то плоскость не имеет с цилиндром общих точек.

8) Доказать, что геометрическое место точек пространства, отстоящих от данной прямой на расстояние, равное данному отрезку, есть цилиндрическая поверхность вращения.

9) Доказать: если получить развёртку конуса вращения с радиусом R и образующей /, то радианная мера угла полученного сектора выражается формулой a = —j—,

10) Цилиндр вращения пересечён плоскостью, не параллельной основанию и пересекающей его образующие. Доказать, что объём части цилиндра между основанием и секущей плоскостью равен произведению площади основания на длину отрезка оси от центра до секущей плоскости.

11) Доказать, что объём тела, полученного от вращения прямоугольника вокруг оси, параллельной его стороне и не пересекающей прямоугольник, равен произведению площади прямоугольника на длину окружности, описываемой точкой пересечения его диагоналей.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

Следующие построения произвести на проекционном чертеже.

12) Через точку, данную вне боковой поверхности цилиндра вращения, провести к этому цилиндру касательную плоскость.

13) Через точку, данную вне боковой поверхности конуса, провести к этому конусу касательную плоскость.

14) Оси двух цилиндрических поверхностей вращения параллельны между собой. Провести к ним общую касательную плоскость.

15) В данную правильную пирамиду вписать конус.

16) Если диаметр основания цилиндра равен его высоте, то цилиндр называется равносторонним. В данный конус вписать равносторонний цилиндр, чтобы основание цилиндра лежало на основании конуса.

17) На изображении цилиндра вращения получить изображение его сечения плоскостью, заданной следом на основной плоскости и точкой на высоте.

18) На изображении конуса вращения построить сечение его плоскостью, заданной следом на основной плоскости и точкой на оси.

19) Данный конус разделить плоскостью, параллельной основанию, на две равновеликие части.

ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЁМОВ

20) Определить объём конуса вращения, вписанного в правильный тетраэдр, длина ребра которого равна а.

21) Равносторонний треугольник, длина стороны которого равна д, вращается около своей стороны. Определить объём тела вращения.

22) Определить объём конуса вращения, если площадь его основания равна S, а боковая поверхность равна S'.

§ 14. Сфера и шар

61. Определение 1. Геометрическое место точек пространства, расстояние которых от данной точки равно данному отрезку, называется сферой. Данная точка называется центром сферы, постоянное расстояние от точек сферы до центра называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется её диаметром.

Точки, расстояния которых от центра меньше радиуса, называются внутренними по отношению к сфере. Точки, расстояния которых от центра больше радиуса, называются внешними по отношению к сфере.

Часть пространства, ограниченная сферой, называется шарсм.

Определение сферы, как мы видим, вполне аналогично определению окружности в планиметрии. Эта аналогия проявляется и в целом ряде свойств сферы.

Так, например, в планиметрии мы без доказательства принимаем очевидное предложение, в котором утверждается, что отрезок, соединяющий внутреннюю точку окружности с внешней, пересекает окружность в одной и только одной точке. Для сферы мы принимаем без доказательства аналогичное предложение:

Отрезок, соединяющий внутреннюю точку сферы с внешней, пересекает сферу в одной и только в одной точке.

На основании этого свойства сферы можно доказать следующую теорему:

Теорема 1. Если расстояние плоскости от центра сферы меньше радиуса, то плоскость и сфера имеют общие точки, геометрическим местом которых является окружность.

Рассмотрим сферу радиуса R (черт. 86) и положим, что расстояние центра О сферы от плоскости а равно OP<^R. Проведём из точки Р на плоскости а произвольный луч / и отложим на нём отрезок PQ = R. Соединив отрезком точки О и Q, получим, что OQ^>PQ, так как OP J.а и, значит, OP _LPQ, поэтому отрезок OQ есть гипотенуза, a PQ — катет прямоугольного треугольника OPQ. Так как OP<^R, OQ^>R, то точка Р является внутренней, a Q внешней по отношению к сфере. Следовательно, отрезок PQ пересекает сферу в единственной точке, которую обозначим через А. Если из центра Р описать на плоскости а окружность радиусом РА, то все точки этой окружности принадлежат одновременно и плоскости а и сфере. Действительно, всякая точка В окружности определяет проекцию РВ наклонной ОВ, но РВ = РА, следовательно, OB = OA = R, т. е. точка В принадлежит сфере. Внутренние точки окружности являются и внутренними точками сферы, так как их расстояния от центра Р меньше радиуса РА, а значит, и расстояния их от центра О меньше радиуса сферы. Подобным же образом легко установить, что внешние точки окружности являются и внешними точками сферы. Итак, одни только точки окружности являются общими точками плоскости и сферы.

Определение 2. Большим кругом называется круг, который получается от пересечения сферы плоскостью, проходящей через её центр.

Концы диаметра, перпендикулярного к плоскости большого круга, называются полюсами этого круга.

Следствие 1. Если секущая плоскость не проходит через центр сферы, то радиус окружности сечения меньше радиуса большого круга.

Согласно предыдущему определению, радиус большого круга равен радиусу сферы. Сечение, не проходящее через центр (черт. 86), определяет окружность с меньшим радиусом, так как катет РА меньше гипотенузы OA.

Следствие 2. Если две точки сферы не являются концами одного и того же диаметра, то этими точками определяется единственный большой круг.

Действительно, если точки М и N принадлежат сфере и в то же время не являются концами одного и того же диаметра, то

Черт. 86

эти точки и центр сферы О не лежат на одной и той же прямой. Поэтому через полученные три точки проходит единственная плоскость, которая пересекает сферу и определяет большой круг.

Сферическая форма является весьма распространённой в природе и в окружающей нас обстановке. К сферической форме весьма близки поверхности большинства небесных тел: Солнца, Луны, Земли и планет. Форму шара принимают мыльный пузырь, дождевая капля, масляная капля в смеси воды и спирта (опыт Плато) и т. д.

Сферическая форма Солнца, Земли, Луны, планет и т. д., а также мыльного пузыря и дождевой капли объясняется тем, что внутренние силы, действующие на частицы этих тел (сила тяжести для небесных тел и сила молекулярного притяжения для частиц жидкости), стремятся уменьшить поверхность тела. Оказывается, что из всех тел, имеющих данный объём, наименьшую поверхность имеет шар.

Необходимо обратить внимание на то, что при изображении шара приходится пользоваться только ортогональной проекцией. Это объясняется тем, что всякая другая (не ортогональная) параллельная проекция даёт изображение контура шара в виде эллипса, а не в виде окружности, что совершенно не соответствует привычному восприятию сферической формы нашим глазом. Контур шара представляется нашему глазу в виде круга. Причиной этого служит то, что лучи, идущие от предметов к нашему глазу, падают на сетчатку глаза перпендикулярно к её поверхности.

Если мы будем проектировать шар параллельными лучами (черт. 87), то лучи, проектирующие внутренние точки шара, будут проходить внутри цилиндрической поверхности, направляющей которой служит окружность большого круга, плоскость которого перпендикулярна к направлению лучей, а образующие проходят через эту окружность. Пересекая плоскостью полученную цилиндрическую поверхность, мы получим в сечении проекцию контура (т. е. границы, отделяющей проекции внутренних точек шара от остальных точек плоскости) шара на секущую плоскость. Эта проекция будет окружностью только в том случае, когда секущая плоскость будет перпендикулярна * к направлению проектирующих лучей, т. е. при ортогональной проекции.

Чтобы изображение сферы не смешать с изображением окружности, обычно на изображении сферы даётся ещё проекция одного или нескольких плоских сечений этой сферы.

Черт. 87

62. Теорема 2. Если расстояние плоскости от центра сферы равно радиусу сферы, то сфера и эта плоскость имеют одну и только одну общую точку.

Пусть мы имеем плоскость а, расстояние которой от центра О сферы равно радиусу сферы R: ОР = R (черт. 88). По условию теоремы ОР _|_ а. Возьмём какую-нибудь точку Q плоскости а, отличную от точки Р. Так как ОР перпендикулярна к плоскости а, то отрезок OQ — наклонная и поэтому OQ > ОР, т. е. OQ>R.

Следовательно, все точки плоскости а, за исключением точки Р, являются внешними по отношению к данной сфере. Точка Р принадлежит сфере, так как OP = R.

Следствие 3. Если расстояние плоскости от центра сферы больше радиуса, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Если расстояние ОР центра О сферы до плоскости а больше радиуса R сферы, то для любой точки Q плоскости а будем иметь OQ^>R, так как OQ^>OP^> R. Значит, все точки плоскости а являются внешними по отношению к сфере.

Определение 3. Если плоскость и сфера имеют одну и только одну общую точку, то плоскость называется касательной к сфере, а общая точка называется точкой касания.

Теорема 3 (обратная). Если сфера и плоскость касаются друг друга, то радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.

Положим, что плоскость а касается сферы с центром О в точке Р (черт. 88). По условию OP = R, а для всякой другой точки плоскости, например для точки Q, будем иметь OQ^>R, так как остальные точки плоскости а являются внешними. Итак, отрезок ОР есть кратчайшее расстояние от центра О до плоскости а. По обратной теореме о перпендикуляре и наклонных получим, что OP _J_ а.

63. Рассмотрим теперь вопрос об измерении площади поверхности сферы и её частей. Для определения площади её поверхности мы опять прибегнем к способу последовательных приближений. Докажем прежде всего следующую лемму:

Лемма. Если отрезок вращается вокруг оси, лежащей с ним в одной плоскости, причём он эту ось не пересекает и к ней не перпендикулярен, то площадь полученной поверхности вращения равна длине проекции

Черт. 88

отрезка на ось, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит часть оси симметрии отрезка от середины его до точки пересечения с осью вращения.

Обозначим через h длину проекции данного отрезка на ось вращения п. Через а обозначим длину части оси симметрии отрезка от его середины до пересечения с осью п. Нам нужно доказать, что S = 2^ahf где 5 обозначает площадь поверхности вращения. Рассмотрим три возможных случая.

1) Отрезок параллелен оси (черт. 89а). В этом случае полученная поверхность является боковой поверхностью цилиндра вращения. Проекция h отрезка равна высоте цилиндра, а отрезок оси симметрии равен радиусу цилиндра. По формуле площади боковой поверхности цилиндра мы получим: S = 2^ah.

2) Конец отрезка находится на оси вращения (черт. 89).

Черт. 89

В этом случае отрезок описывает боковую поверхность конуса вращения. Обозначая длину отрезка OA через /, длину радиуса АО' через /?, получаем по определению площади боковой поверхности конуса: S = tzRL Если через MN обозначим часть оси симметрии отрезка OA, то получим: д 00'А Л OMN, так как оба они прямоугольные и имеют равные углы при вершине О.

Так как MN = a, ОМ = ~> 00'= h, то мы получим пропорцию:

a:R = ~\h. Из этой пропорции мы находим: Rl = 2ah. Подставляя это значение для /?/ в формулу S = nRl, получим: S = 2Tzah.

3) Положим, наконец, что отрезок не имеет с осью общих точек и не параллелен ей (черт. 89с). В этом случае отрезок опи-

сывает боковую поверхность усечённого конуса вращения. Обозначая через г длину радиуса верхнего основания, через R длину радиуса нижнего основания, через / длину образующей, получим:

Опустим из середины образующей М перпендикуляр MP на ось; получим, что по свойству средней линии трапеции МР= ^ • Из конца А радиуса верхнего основания опустим перпендикуляр АС на параллельный ему радиус нижнего основания и получим: AC=00' = h. Обозначим, наконец, через а отрезок MN оси симметрии. Тогда получим: Л АВС<лз A MNP, так как оба они прямоугольные и ^BAC= /_PMN в силу того, что MN ±АВ и MP 1_АС.

Поэтому мы имеем пропорцию: MP: АС = MN: АВ, или —±—:h = a:l, т. е. (R-\- r)l = 2ah. Подставляя это значение для (R-\-r)l в формулу S = iz(R-\-r)l, получим: 5 = 2тгаЛ.

Итак, во всех рассмотренных случаях площадь поверхности вращения выражается одной и той же формулой: 5 = 2тсаА.

64. Определение 4. Часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостями, которые могут быть касательными или секущими, называется сферическим поясом.

Расстояние между параллельными плоскостями называется высотой пояса.

Теорема 4. Площадь поверхности сферического пояса равна произведению длины окружности большого круга на длину высоты пояса.

S = 2izRH.

Рассмотрим сферический пояс, заключённый между двумя параллельными плоскостями. Проведём диаметр d сферы, перпендикулярный к этим плоскостям, и рассмотрим фигуру, которая получится от пересечения сферы плоскости, проходящей через этот диаметр (черт. 90). Мы имеем в сечении большой круг, пересечённый двумя параллельными прямыми, которые получи-

Черт. 90

лись от пересечения параллельных плоскостей с секущей плоскостью.

Разделим дугу окружности большого круга между параллельными прямыми на п равных частей и, последовательно соединив отрезками точки деления, получим правильную вписанную ломаную линию At А* ... Ап Ап+1.

Представим себе, что эта фигура вращается около диаметра d. Тогда звенья ломаной линии опишут конические или цилиндрические поверхности вращения, а дуга окружности Ах Лл+1 опишет поверхность сферического пояса, так как каждая точка этой дуги при этом вращении сохраняет неизменное расстояние от центра, равное радиусу сферы. Будем рассматривать площадь поверхности вращения вписанной ломаной линии как приближённое значение площади поверхности сферического пояса.

Обозначим через Sn площадь поверхности вращения вписанной ломаной линии и найдём её предел при неограниченном увеличении п.

На основании леммы мы имеем:

Sn = 2тгаЛ + 2тгалА2 +... + 2капНп,

где ап — расстояние от середины каждой хорды до центра, Аь А.2, ...Д, — проекции хорд на ось вращения d. Вынося 2тса„ за скобки, получим: Sn = 2nan(hl -f- к,г-\- ... -\- 11п) = 2ъс1пН. Из планиметрии известно, что \\man = R.

Следовательно, 1\т2'капИ= 2kRH.

Полученный предел по определению принимается за площадь поверхности сферического пояса.

К такому же результату мы пришли бы, если вместо правильной вписанной ломаной линии взяли бы правильную описанную ломаную линию (черт. 90) и нашли бы предел площади поверхности вращения, описываемой этой ломаной.

Следствие 4. Полная площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого круга:

Если обе параллельные плоскости, которыми определяется сферический пояс, являются касательными, то между ними помещается вся сфера. Расстояние между плоскостями равно диаметру сферы 2R.

Применяя предыдущую теорему, мы получим: Sc4> = 2tzR.2R = 4tzR\

Следствие 5. Площади поверхности двух сфер относятся между собой как квадраты их радиусов.

Пусть мы имеем сферы с радиусами Rx и Тогда для

площади их поверхностей получим: S1 = AtzR21 и Si = Ar:R2i.

Следовательно: | = gg = g.

65. Рассмотрим теперь несколько важнейших задач на построение на изображении сферы в ортогональной проекции.

Задача 1. По данному полюсу построить изображение большого круга на сфере.

Решение. Пусть на изображении сферы даны точки Р и Р — проекции концов диаметра (черт. 91). Чтобы найти проекцию окружности большого круга, перпендикулярного к этому диаметру, рассмотрим вид той же фигуры сбоку („в профиль"). Для этого найдём ортогональную проекцию той же сферы на плоскость, параллельную диаметру PP. В силу параллельности проекция диаметра РР равна самому диаметру (см. чертёж 91Ь, на котором все точки чертежа 91а обозначены теми же буквами). Большой круг, перпендикулярный к диаметру РР, на чертеже 9\Ь изображается отрезком MN, перпендикулярным к отрезку PP. Отсюда следует, что на чертеже 91а окружность этого круга изобразится эллипсом, большой осью которого служит диаметр АВ, а малой — отрезок MN.

На практике можно не прибегать к построению вспомогательного чертежа 91 b и необходимые построения произвести прямо на чертеже 91а. Для этого достаточно провести полухорду РР\ перпендикулярно к РР и найти диаметр РХР\. Радиус ON', перпендикулярный к диаметру Р\Р\> определяет точку N*, и, наконец, полухордой N'N, перпендикулярной к прямой РР', определяется точка N — конец малой оси искомого эллипса. В силу равенства прямоугольных треугольников ОРРу и N'NO, можно не делать и этого построения, так как ON=PPu а просто найти отрезок РРХ и отложить равный ему отрезок ON.

Если обратно нужно найти полюс данного большого круга (например, на чертеже 91а), то достаточно через конец N малой оси эллипса провести полухорду NN' параллельно большой оси. Тогда отрезок NN' определит расстояние ОР точки Р от центра О.

Черт. 91

66. Задача 2. На изображении сферы построить изображение окружности сечения, плоскость которого перпендикулярна к данному диаметру в данной на нём точке.

Решение. Пусть мы имеем изображение сферы с центром О и проекцию диаметра РР (черт. 92а), на котором дана точка М. Как и при решении предыдущей задачи, построим вид этой фигуры сбоку (черт. 92ft). На этом изображении диаметр РР получается без искажения. Проекция сечения, проходящего через точку М перпендикулярно к диаметру, изобразится в виде хорды EF, перпендикулярной к PP. На чертеже 92а точки Е и F определяют концы малой оси эллипса, являющегося изображением окружности сечения. Хорда EF на чертеже 92ft определяет диаметр окружности сечения и в то же время длину большой оси эллипса на чертеже 92а. Точка Т на чертеже 92ft есть проекция точки пересечения окружности большого круга, перпендикулярного к плоскости проекции, и окружности искомого сечения. На чертеже 92а точке Т соответствуют точки Г и Т\ в которых эллипс, изображающий окружность сечения, касается окружности, изображающей контур сферы. Этих данных достаточно, чтобы начертить эллипс, изображающий окружность сечения.

Как и в предыдущей задаче, можно всё построение проделать на чертеже 92а, как это показано пунктирными линиями.

67. Задача 3. На изображении сферы построить изображение окружности большого круга, проходящего через концы данного диаметра.

Решение. Пусть мы имеем изображение сферы с центром О (черт. 93). Р и Р — проекции концов диаметра. Как уже было указано при решении первой задачи, находим эллипс, изображающий окружность большого круга, перпендикулярного к диаметру PP. Положим, что искомое сечение должно пересечь этот круг по диаметру ММ. Проведя через точки М и М

Черт. 92

прямые, параллельные РР\ а через точки Р и Р' прямые, параллельные ММ\ мы получим изображение квадрата, лежащего в плоскости искомого сечения. Окружность большого круга, изображение которой мы должны построить, вписана в этот квадрат. Пользуясь ранее указанным способом, мы можем вписать в полученный параллелограмм эллипс, являющийся искомым изображением окружности большого круга.

Чтобы найти большую ось этого эллипса, а вместе с тем получить точки касания его к окружности, изображающей контур сферы, построим диаметр, перпендикулярный к плоскости сечения. Он изобразится диаметром QQ', сопряжённым с диаметром ММ'. На основании решения первой задачи диаметр AW, перпендикулярный к QQ', и будет большой осью искомого эллипса.

На чертеже 94 изображена сфера с системой сечений, перпендикулярных к диаметру РР, и системой сечений, проходящих через PP.

Черт. 93

Черт. 94

68. Теорема 5. Объём шара, длина радиуса которого, равна R, выражается формулой

Для вывода этой формулы воспользуемся тем же методом, какой мы применяли при получении формул объёма пирамиды и конуса. Возьмём полушар (черт. 95) и, разделив радиус, перпендикулярный к плоскости большого круга, на п равных частей, проведём через точки деления секущие плоскости, параллельные плоскости большого круга. На каждой из полученных площадок построим вписанные и описанные цилиндры вращения с высотой -. Число вписанных цилиндров равно п—1. Объёмы их обозначим через vu Vt,...,vn_i. Число описанных цилиндров равно пу а объёмы их обозначим через vu 1>2,..., vn_u vn. Объём Vn вписанного ступенчатого тела выражается формулой Vn = vx -j- ^« + • • • + vn-i- Объём описанного ступенчатого тела Vn выражается формулой V'n = = V1 -f- V% -f- • • • 4~ vn-i + vn- Числа Vn и Vn являются приближёнными значениями объёма полушара по недостатку и по избытку и при неограниченном увеличении числа п стремятся к общему пределу ™— объёму полушара.

Действительно, для чисел Vn и V'n выполняются условия: 1) Vn<^V'n, 2) Vn увеличивается, так как цилиндры с меньшей высотой плотнее заполняют полушар; V'n уменьшается, так как при увеличении п удаляются части прежних цилиндров; 3) Vn—Vn = vn =-=--. Так как числитель этой дроби постоянный, а знаменатель неограниченно возрастает, то дробь стремится к нулю.

Для вычисления общего предела вычислим сначала значение V'n, для чего найдём объёмы цилиндров vu v%,..., vn_u vn. Обозначим через su s%, ... , 6Vi> sn площади оснований соответствующих цилиндров.

Величина этих площадей выражается формулой S = irr*, где г — радиус основания цилиндра. Из прямоугольного треугольника OMN получим: MN* = ON* — ОМ2. Здесь MN = rt ON= /?, OM = R— xt где х — расстояние сечения от верхней точки полушара (точка О' на чертеже 95).

Итак, г2 = /?2 — (/? — x)* = 2Rx — х\ S = 2kRx — kx\ Подставляя вместо х последовательно числа —, —, . . . , —, получим;

Черт. 95

Суммируя почленно эти равенства, получим:

Заменяя находящиеся в скобках суммы по известным формулам, получим:

И, наконец,

Окончательно для объёма шара получим формулу

Если обозначить через D диаметр шара, то, подставляя в полученную формулу вместо R число -у, получим: V=^-.

Следствие 6. Объёмы шаров относятся друг к другу как кубы их радиусов или как кубы их диаметров.

Пусть /?! — радиус первого шара, /?2 — радиус второго шара, Vt — объём первого шара, V* — объём второго шара.

Иначе:

Вопросы и упражнения

1) Как определить при помощи построения циркулем и линейкой диаметр данной модели шара?

2) Каков радиус видимого на море горизонта с маяка высотой в 70 м. Диаметр земного шара равен приблизительно 12 700 км.

3) Какова скорость движения точки земного шара на широте Москвы (55° 45') при суточном вращении Земли?

4) Три точки, не лежащие на одной и той же прямой, вполне определяют положение проходящей через них окружности. Сколько нужно задать точек в пространстве, чтобы вполне определить положение проходящей через них сферы?

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

5) Доказать: если расстояние между центрами двух сфер меньше суммы окружности раЗН°СТИ ИХ РадиУС0В> то эти сферы пересекают друг друга по

6) Доказать, что плоскость, проходящая через центр сферы, есть плоскость симметрии этой сферы.

7) Доказать: если расстояние между центрами двух сфер равно сумме их радиусов, то сферы имеют одну и только одну общую точку. В этом случае говорят, что сферы касаются друг друга извне.

8) Доказать: если расстояние между центрами двух сфер равно разности их радиусов, то сферы имеют одну и только одну общую точку на линии центров этих сфер. Говорят, что в этом случае сферы касаются друг друга изнутри.

9) Доказать: если через данную точку провести секущую прямую к сфере, то произведение отрезков от данной точки до точек пересечения со сферой есть величина постоянная, не зависящая от положения секущей. Эта величина называется степенью точки по отношению к сфере.

10) Доказать, что существует единственная сфера, проходящая через четыре вершины произвольного тетраэдра.

11) Доказать, что существует единственная сфера, касающаяся четырёх граней данного тетраэдра.

12) Доказать, что около каждой правильной призмы можно описать сферу.

13) Доказать, что около каждой правильной пирамиды можно описать сферу.

14) Доказать аналогичное предложение для цилиндра и конуса вращения.

15) Доказать: если две окружности, лежащие в разных плоскостях, имеют две общие точки, то существует единственная сфера, которой принадлежат эти окружности.

16) Доказать: если две сферы пересекаются по окружности, то всякая точка, лежащая в плоскости этой окружности, имеет одну и ту же степень по отношению к обеим сферам.

17) Доказать: если расстояние прямой от центра сферы меньше радиуса, то прямая пересекает сферу в двух точках. Если расстояние прямой от центра сферы равно радиусу, то прямая и сфера имеют одну и только одну общую точку—прямая является касательной к сфере. Если расстояние прямой от центра сферы больше радиуса, то прямая и сфера не имеют общих точек.

18) Доказать, что все прямые, касающиеся сферы в одной и той же точке, лежат в одной и той же плоскости, касающейся сферы в той же точке.

19) Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы около призмы можно было описать сферу.

20) Такой же вопрос для пирамиды.

ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЁМОВ

21) Найти отношение объёма и поверхности шара, вписанного в куб, к объёму и поверхности шара, описанного около этого куба.

22) Такой же вопрос для шара, вписанного в правильный тетраэдр и описанного около него.

23) Такой же вопрос для шара, вписанного в октаэдр и описанного около него.

24) Объём одного шара в п раз больше объёма другого. Как относятся поверхности этих шаров?

25) Определить объём шара, вписанного в усечённый конус, радиусы оснований которого имеют длины R и г.

26) Шаровым сегментом называют часть шара, заключённую между двумя параллельными секущими плоскостями (одна из плоскостей может быть и касательной). Выразить объём шарового сегмента через радиусы окружно-

стей сечений и г) и расстояние между секущими плоскостями (Л — высота сегмента).

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

27) Через прямую, проходящую вне сферы, провести плоскость, касательную к этой сфере.

28) Дано изображение сферы в ортогональной проекции и на этом изображении дана проекция одной из точек сферы. Построить изображение куба, описанного около этой сферы, и притом так, чтобы данная точка была точкой касания одной из граней куба.

29) Дано изображение сферы в ортогональной проекции. Построить изображение правильного тетраэдра, вписанного в эту сферу.

30) Дано ребро правильного тетраэдра. Найти построением радиус сферы, вписанной в этот тетраэдр.

ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ

31) Найти геометрическое место точек касания прямых, проходящих через данную точку и касающихся данной сферы. Что представляет собой геометрическое место точек, принадлежащих этим прямым?

32) Найти геометрическое место точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом.

33) Найти геометрическое место середин всех отрезков, соединяющих точки сферы с некоторой постоянной точкой.

34) Через данную прямую проходят всевозможные секущие плоскости, пересекающие данную сферу. Найти геометрическое место центров окружностей сечения.

35) Найти геометрическое место центров сфер, проходящих через три данные точки, не лежащие на одной и той же прямой.

36) Через данную точку (отличную от центра сферы) проводим к сфере всевозможные секущие. Найти геометрическое место середин всех отрезков секущих, находящихся внутри сферы.

ОБЗОР ПРОЙДЕННОГО КУРСА

1. Геометрия есть наука, в которой предметом изучения являются пространственные формы материального мира. Как и все науки, геометрия возникла на основе практических потребностей человека.

Так как вся деятельность человека протекает в пространстве и ему на каждом шагу приходится иметь дело с пространственными свойствами предметов, то знание этих свойств является совершенно необходимым для того, чтобы эта деятельность была разумной и целесообразной.

Исторические документы свидетельствуют о возникновении геометрии во времена глубочайшей древности. Людям нужно было сооружать постройки, проводить дороги и каналы, измерять площади земельных участков, определять объёмы сосудов, кубатуру хозяйственных построек и т. д. В процессе этой трудовой деятельности люди узнавали пространственные свойства вещей, эти знания накапливались, постоянно систематизировались и передавались от поколения к поколению. Немалую роль при этом сыграли и эстетические потребности человека: все изобразительные искусства — живопись, ваяние, архитектура— имеют самую непосредственную связь с пространственными формами и поэтому также в значительной степени способствовали развитию геометрии.

Накопление геометрических истин продолжалось длительный период времени, исчисляемый десятками столетий. В настоящее время найдены многочисленные письменные документы, свидетельствующие о существовании геометрических знаний в древнем Египте, Ассирии, Вавилоне, Индии, Китае и т. д.

Все эти знания были получены путём наблюдений и опытов над весьма многочисленными группами предметов и явлений.

Закономерности, которые удалось установить на очень большом числе фактов, обобщались и распространялись на новые объекты и явления.

Весь этот процесс является типичным примером того, какими путями человеческий разум познаёт окружающий мир. Первоначальная стадия этого познания заключается в том, что люди, наблюдая большое число отдельных частных случаев, находят в них некоторые общие черты и устанавливают найденные при этом закономерности. Этот путь получения общих выводов из рассмотрения многочисленных частных случаев называется индукцией (от латинского слова inductio — наведение: частные случаи наводят нас на мысль о существовании общих законов).

Другим путём мы идём тогда, когда, уже заранее зная некоторые общие законы, прилагаем это знание к частным случаям. Этот путь называется дедукцией (от латинского слова deductio — выведение). В правильном научном мышлении индукция и дедукция всегда сочетаются друг с другом.

Именно таким путём идёт и наше познание пространственных форм в геометрии. Первоначальные геометрические знания были получены при помощи индукции из большого числа разнообразных фактов. Однако по мере накопления геометрических истин обнаружилось, что многие Из них могут быть получены из других истин при помощи умозаключения, т. е. путём дедукции, не прибегая к специальному опыту. Так, например, многократные наблюдения и опыт убеждают нас в том, что „через две точки можно провести одну и только

одну прямую линию". А на основании этой истины мы уже без всякого опыта можем утверждать, что „две различные прямые могут иметь не более одной общей точки-. Действительно, если мы допустим, что две различные прямые могут иметь две общие точки, то отсюда мы можем сделать вывод, что через две точки могут проходить две различные прямые, а это противоречит ранее установленной истине.

2. Практическая деятельность людей привела к открытию большого числа геометрических истин, являющихся отображениями объективно существующих закономерностей пространства. Внимательное изучение этих истин показало, что одни из них можно получить путём логических выводов из других. Это привело к мысли выделить из всех геометрических истин небольшую часть наиболее простых и общих, которые можно принять без доказательства, а остальные геометрические свойства выводить дедуктивным путём из этих истин.

Такая мысль возникла ещё у геометров древней Греции, которые стали приводить в систему известные им геометрические истины, выводя их из сравнительно небольшого числа геометрических предложений. Наиболее совершенной из этих геометрических систем явилась система греческого геометра Евклида, жившего в Александрии за 300 лет до нашей эры. Система Евклида изложена им в сочинении „Начала". В этом сочинении в первую очередь выделены основные предложения, к которым относятся определения, аксиомы и постулаты.

Определения представляют собой предложения, при помощи которых выделяется тот класс предметов или отношений между предметами, о котором будет идти речь в изложении. Так, например, определяя параллелограмм как четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны, мы тем самым из множества всех четырёхугольников выделим класс, обладающий вышеуказанным признаком.

Аксиомы (от греческого слова a-ws—-достойный, заслуживающий доверия) и постулаты (у Евклида термин aixrjjxaxa — обозначает „требование"; впоследствии он был заменён латинским словом postulatum, имеющим то же значение) представляют собой предложения, принимаемые без доказательства. Это те наиболее простые и общие истины, в которых выражены результаты многовекового опыта всего человечества по изучению пространственных свойств вещей.

Чтобы дать представление о системе основных предложений Евклида,1 приведём примеры.

Определения

1) Точка есть то, что не имеет частей.

2) Линия — длина без ширины.

3) Концы линии — точки.

4) Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

5) Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6) Концы поверхности — линии.

7) Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.

Далее идут определения угла, перпендикуляра, круга и его элементов и т. д. — всего 23 определения. Постулаты Допустим:

1) От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2) Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать.

3) Из всякого центра и всяким раствором можно описать круг.

4) Все прямые углы равны между собой.

5) Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых углов, то эти прямые при

1 Текст предложений даётся по последнему изданию книги Евклида в переводе проф. Д. Д. Мордухай-Болтовского, ОГИЗ, 1948.

продолжении встретятся с той стороны, где сумма углов меньше дзух прямых.

Аксиомы

1) Равные одному и тому же равны между собой.

2) Если к равным прибавляются равные, то и суммы равны.

3) Если от равных отнимаются равные, то и разности равны.

4) Если к неравным прибавляются равные, то суммы не равны.

5) Удвоенные одного и того же равны между собой.

6) Половины одного и того же равны между собой.

7) Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8) Целое больше части.

На основе этих предложений остальные предложения геометрии — теоремы (от глагола ^сорео — обдумываю) выводятся дедуктивным путём.

3. „Начала" Евклида сыграли совершенно исключительную роль в истории геометрии. В течение многих столетий геометрия изучалась только по этой книге. Даже ещё в начале текущего столетия в некоторых странах (например, в Англии) геометрию в школе изучали по переводам книги Евклида. Система изложения Евклида долгое время считалась непревзойдённым образцом логической строгости и точности.

Но ещё древнегреческими геометрами было обращено внимание на пятый постулат, довольно сложно сформулированный и не вполне очевидный. Причина недостаточной очевидности этого постулата кроется в том, что по отношению к нему нельзя осуществить опытную проверку. Действительно, если сумма внутренних односторонних углов очень мало отличается от двух прямых углов, то прямые могут пересекаться так далеко (например, за пределами солнечной системы), что мы никаким опытом не сможем установить факт этого пересечения; такой случай пересечения мы не сумеем отличить от случая параллельности.

В связи с этим начались попытки доказать пятый постулат при помощи остальных основных предложений системы Евклида. Эти попытки продолжались в течение более 2 ООО лет, но все они неизменно кончались неудачей. Попутно выяснилось, что пятый постулат можно заменить другими предложениями, с более простой формулировкой, доказав которые можно было бы доказать и пятый постулат, но и эти новые предложения по-прежнему оставались недоказанными. В настоящее время вместо пятого постулата пользуются аксиомой параллельности в формулировке английского математика Плейфера (Playfair, Elements of Geometrie, London, 1797, стр. 364): „Через данную точку к данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной".

4. К началу XIX столетия наиболее выдающиеся учёные того времени пришли к мысли о том, что бесплодность попыток доказательства пятого постулата обусловлена тем, что этот постулат доказать нельзя, что он не зависит от остальных постулатов и аксиом Евклидовой системы. Впервые эта мысль со всей полнотой была высказана нашим великим соотечественником — Николаем Ивановичем Лобачевским, профессором (впоследствии и ректором) Казанского университета, в его докладе физико-математическому факультету 12 февраля 1826 года. Впоследствии Н. И. Лобачевский выпустил ряд книг, посвященных этому же вопросу.

В своих работах Н. И. Лобачевский опирается на всю совокупность аксиом Евклидовой геометрии, но вместо пятого постулата он принимает за истинное противоречащее ему предложение: он допускает, что через данную точку можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Приняв это, мы неизбежно приходим к выводу, что существует целый пучок прямых, проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую. Границами этого пучка служат две прямые, которые называются параллельными геометрии Лобачевского. Ими определяется угол, внутри которого проходят все прямые, не пересекающие данную прямую.

Логически развивая это основное предложение, Н. И. Лобачевский создал новую систему геометрии, столь же строгую и логически безупречную, как и система Евклида. Однако большинство предложений геометрии Лобачевского существенно отличаются от предложений Евклидовой геометрии. Так, напри-

мер, в геометрии Лобачевского сумма внутренних углов треугольника не является постоянной величиной и всегда меньше 180°. Геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой, есть не прямая, а некоторая кривая, называемая эквидистантой. В геометрии Лобачевского при равенстве трёх углов одного треугольника соответственно трём углам другого равны и соответственные стороны. Поэтому в этой геометрии нет подобных треугольников с неравными сторонами, и потому теория подобия в ней отсутствует. Площадь треугольника пропорциональна разности между 180° и суммой внутренних углов его.

Несколько позднее Н. И. Лобачевского с такой же системой неевклидовой геометрии выступил венгерский математик Янош Бояи (J. Bolyai, 1802—1860). В настоящее время установлено, что к основным принципам неевклидовой геометрии пришёл выдающийся немецкий математик Гаусс (К. F. Gauss, 1777—1855), который, однако, не опубликовал своей работы.

5. Неевклидова геометрия, многие предложения которой находятся в резком противоречии с повседневным опытом, на первых порах не встретила ни поддержки, ни сочувствия со стороны большинства учёных того времени. И только уже в конце прошлого столетия появился ряд работ, в которых было установлено огромное принципиальное значение открытия неевклидовых геометрий. Одновременно было обнаружено, что существует такая поверхность (так называемая псевдосфера), на которой осуществляются предложения планиметрии Лобачевского.

Позднее были найдены и другие системы геометрических объектов, соотношения между которыми удовлетворяют всем аксиомам и теоремам неевклидовой геометрии. Таким образом, было установлено, что эта геометрия является столь же совершенной и реальной геометрической системой, как и геометрия Евклида.

Чтобы убедиться в том, что основная аксиома геометрии Лобачевского имеет такое же право на существование, как и пятый постулат Евклида, будем рассуждать следующим образом.

Возьмём прямую т и вне её точку N (черт. 96), а на прямой т возьмём произвольную точку М. Проведём прямую MN и при точке N построим угол, равный накрестлежащему с ним углу при точке М. Тогда прямая п не может пересечься с прямой т ни справа, ни слева от прямой MN, так как и в том и в другом случае мы получили бы треугольник, в котором внешний угол равен внутреннему, не смежному с ним.

В то же время мы могли бы доказать, не пользуясь свойствами параллельных, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего, не смежного с ним. Итак, прямые т и п не пересекаются.

Но мы можем на прямой т взять другую точку М' и вновь повторить такое же построение, в результате чего мы получим новую прямую п\ проходящую через точку и не пересекающую т.

А так как на прямой т мы можем взять ещё точки М", М'" и т. д., то, значит, мы можем получить бесконечное множество прямых п", ri",..., проходящих через точку Af и не пересекающих прямую т.

Если мы практически проделаем все эти построения, то обнаружим, что прямые п, ri, п",..., по-видимому, совпадают друг с другом. Однако это совпадение могло получиться в результате несовершенства наших чертёжных инструментов. Быть может, произведя эти построения в большем масштабе и с более точными приборами, мы заметили бы различие между полученными прямыми. Ведь мы, например, считаем за прямую линию, проведённую с севера на юг на земельном участке, хотя на самом деле это не прямая, а дуга меридиана, проходящего через Северный и Южный полюсы.

Геометрия Евклида изучается в школе и находит себе постоянное применение в механике, физике, технике, землемерии и т. д. только потому,

Черт. 96

что в тех небольших масштабах, в которых мы производим наши измерения и расчёты, предложения этой геометрии с достаточной степенью точности отображают пространственные отношения. Но вместе с тем возникает вопрос о том, годится ли эта геометрия для отображения пространственных отношений в Большой Вселенной, в галактиках и метагалактиках.

Вполне возможно, что геометрия космических пространств окажется неевклидовой. Ответ на этот вопрос могут дать только систематические наблюдения и измерения, т. е. опять-таки опыт.

6. Открытие неевклидовых геометрий и дальнейшее развитие всей математики заставили пересмотреть все основные предложения геометрии. В конце прошлого и в начале текущего столетия появился ряд работ, посвященных вопросам обоснования предложений геометрии. Одной из наиболее важных работ в этом направлении была книга немецкого математика Д. Гильберта „Основания геометрии", вышедшая в 1899 году и неоднократно переиздававшаяся.

Познакомимся вкратце со взглядами современной науки на основные предложения геометрии.

Начнём с определений. Как уже было указано выше, определением называется такое предложение, посредством которого выделяется класс объектов, охватываемых данным понятием и обозначаемый определённым словом. При определении всякого нового понятия мы обычно пользуемся понятием, более широким и общим, чем определяемое понятие. Так, для определения понятия „параллелограмм" мы пользовались более общим понятием „четырёхугольник", для определения понятия „четырёхугольник" мы воспользуемся более общим понятием „многоугольник", для определения понятия „многоугольник" воспользуемся ещё более общим понятием „геометрическая фигура" и т. д. Отсюда следует, что мы в конце концов должны прийти к наиболее широким и общим понятиям, какие уже не нуждаются в формальном определении. Такие понятия называются основными.

В геометрии в качестве основных понятий берут понятия „точка", „прямая" и „плоскость", которые достаточно наглядны и основные свойства которых достаточно хорошо известны. В связи с этим нужно признать логически несостоятельной попытку Евклида дать определение этим понятиям.

Установив основные понятия, необходимо установить и основные соотношения между ними. Это осуществляется при помощи системы аксиом, т. е. предложений, принимаемых без доказательства.

В настоящее время известно очень большое число геометрических предложений, которые столь часто подвергались практической проверке, что едва ли кто-нибудь усомнится в их истинности. Из этих предложений нужно отобрать наиболее общие и простые, притом так, чтобы из них можно было дедуктивным путём вывести всё содержание науки. Чтобы получить такую совокупность аксиом, мы должны выполнить ряд весьма важных условий.

Необходимо прежде всего иметь в виду, что нельзя этот отбор производить поочерёдно, рассматривая одну аксиому за другой, вне связи с другими аксиомами. Принимать мы должны не одну изолированную аксиому, а целую систему аксиом, так как только сочетание аксиом может правильно отобразить основные пространственные свойства.

Далее, принимая систему аксиом, мы должны следить, чтобы в неё не вошли аксиомы, противоречащие друг другу, так как такие предложения не могут быть одновременно истинными. Это требование носит название условия непротиворечивости системы аксиом. Второе условие, которому должна удовлетворять система аксиом, называется условием независимости. Оно заключает в себе требование, чтобы ни одну аксиому системы нельзя было доказать при помощи остальных аксиом. Например, при наличии обычных аксиом Евклидовой геометрии предложение о том, что сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны, не является аксиомой, так как это предложение можно доказать, опираясь на остальные аксиомы.

В то же время аксиома параллельности есть при тех же условиях независимая аксиома, так как мы можем получить непротиворечивую систему геометрии, принимая аксиому параллельности Евклида или аксиому Лобачевского.

Отсюда следует, что мы должны стремиться сделать систему аксиом минимальной, исключая из неё все предложения, какие мы можем доказать при помощи остальных аксиом.

Однако, стремясь сделать систему аксиом минимальной, мы не должны из неё устранять аксиомы, на которые мы будем опираться при изложении геометрии.

В этом заключается условие полноты системы. Точнее его можно сформулировать так: система аксиом геометрии является полной, если при помощи неё можно доказать или опровергнуть любое геометрическое предложение.

Например, если устранить из системы аксиом аксиому параллельности, то предложение „сумма внутренних углов треугольника меньше двух прямых углов" нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Поэтому такая система будет неполной.

7. Познакомимся теперь в самых общих чертах с системой аксиом геометрии. В современной геометрии рассматривают следующие группы аксиом.

Аксиомы соединения. Эта группа аксиом относится к тем соотношениям, которые определяются выражениями: „прямая принадлежит плоскости", „точка лежит на прямой" и т. д. В эту группу входят аксиомы:

1) Существует единственная прямая, проходящая через две данные точки.

2) Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной и той же прямой.

3) Существует единственная плоскость, проходящая через три точки, не лежащие на одной и той же прямой. Каждой плоскости принадлежит по крайней мере одна точка.

4) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат плоскости.

5) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере и ещё одну общую точку.

6) Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной и той же плоскости.

Мы видим, что в эту группу аксиом включены аксиомы, как уже известные нам из курса геометрии, так и такие, которые в этом курсе не упоминались (например, аксиома 2). По существу, мы этой аксиомой неоднократно пользовались в неявном виде. Однако в полной системе аксиом должны быть выявлены все предложения, на которые мы в той или иной степени опирались.

В неявной форме мы пользовались в курсе геометрии и другой группой аксиом — аксиомами порядка. Эти аксиомы определяют расположение точек на прямой и на плоскости. Эти аксиомы связаны с основным понятием „предшествовать" и с определяемыми отсюда понятиями „следовать" и „между".

1) Из двух различных точек одной и той же прямой любую можно принять за предшествующую, тогда вторая будет следующая.

2) Если А, В и С — точки одной и той же прямой и если А предшествует В, а В предшествует С, то А предшествует С.

Если А предшествует В, а В предшествует С, то говорят, что В лежит между А и С.

3) Между каждыми двумя точками прямой всегда существует ещё точка той же прямой.

При помощи этой аксиомы доказывается, что на каждом отрезке существует бесчисленное множество точек.

4) На прямой нет точки, которая предшествовала бы всем точкам прямой, и нет точки, которая следовала бы за всеми остальными.

Эта аксиома указывает на бесконечность прямой. Наконец, расположение точек на плоскости даётся следующей аксиомой Паша (по имени впервые высказавшего её немецкого математика).

5) Если даны три точки, не лежащие на одной и той же прямой, то всякая прямая той же плоскости, не проходящая через эти точки и пересекающая

один из определяемых этими точками отрезков, пересекает и ещё один и только один отрезок.

При помощи этой аксиомы доказывается предложение, на которое тоже в неявном виде мы постоянно опирались в курсе геометрии. Мы имеем в виду предложение о том, что всякая прямая, проходящая по плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости. При этом если концы отрезка принадлежат одной и той же полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую, а если разным полуплоскостям, то пересекает.

Третью группу аксиом составляют аксиомы конгруэнтности, которыми определяется равенство фигур.

Следующие аксиомы устанавливают свойства равенства отрезков:

1) На данной прямой в данном направлении от данной точки можно отложить один и только один отрезок, равный данному.

2) Каждый отрезок равен самому себе. Если первый отрезок равен второму, а второй третьему, то первый отрезок равен третьему.

3) Если А, В и С — точки одной и той же прямой и если А', В' и С — тоже точки одной и той же прямой и если АВ = А'В', ВС = В'С, то и АС = Л'С.

Аналогичные аксиомы имеют место для углов.

4) При данном луче в данной полуплоскости можно отложить один и только один угол, равный данному.

5) Каждый угол равен самому себе. Если первый угол равен второму, то и второй равен первому. Если первый угол равен второму, а второй третьему, то и первый угол равен третьему.

6) Если а, Ь и с— лучи с общей вершиной, а\ Ь\ с' — другие лучи с общей вершиной и если Lab = Lab\ Lbc = LVc\ то и Lac = La'c'.

Наконец, для обоснования равенства треугольников вводится ещё одна аксиома.

7) Если две стороны и заключённый между ними угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и заключённому между ними углу второго треугольника, то у этих треугольников соответственно равны и другие углы.

Эта аксиома даёт возможность установить все известные в курсе геометрии условия равенства фигур, не прибегая к процессу наложения одной фигуры на другую.

Четвёртую группу составляют аксиомы непрерывности. Из них в курсе была упомянута лишь одна аксиома Архимеда:

1) Если даны отрезки а и Ъ, причём а > Ь, то всегда существует такое натуральное число л, при котором nb>a. Этой аксиомой мы пользовались при измерении отрезков.

В неявной форме мы пользовались и второй аксиомой непрерывности — аксиомой Кантора1:

2) Если имеется система отрезков, в которой каждый последующий находится внутри предыдущего и если в этой системе всегда можно найти отрезок, меньший любого данного отрезка, то существует единственная точка, лежащая внутри всех этих отрезков.

При помощи аксиом непрерывности можно доказать, что отрезок, соединяющий внутреннюю точку окружности с внешней, пересекает эту окружность. Ими же приходится пользоваться и при доказательстве того, что на числовой оси существует единственная точка, соответствующая данному действительному числу.

Последняя — пятая — группа состоит из единственной аксиомы параллельности, которая приведена выше в формулировке Плейфера.

Более точно эту аксиому можно сформулировать так:

„Если дана прямая и не принадлежащая ей точка, то в определяемой ими

1 Обратим внимание на то, что аксиомой Кантора в её аналитическом выражении мы пользуемся постоянно при определении действительного числа последовательностями его приближённых значений по избытку и по недостатку.

плоскости существует не более одной прямой, проходящей через данную точку и не пересекающей данную прямую".

Подробное исследование показывает, что опираясь на приведённые нами аксиомы, можно получить все предложения системы геометрии, которая будет содержать все теоремы геометрии Евклида.

Если же в этой системе аксиом одну — аксиому параллельности — заменить аксиомой Н. И. Лобачевского, т. е. допустить существование в данной плоскости хотя бы двух прямых, проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую, то получим новую геометрическую систему — неевклидову геометрию Лобачевского.

Заметим в заключение, что одним из наиболее важных понятий современной геометрии является понятие о преобразовании. В школьном курсе планиметрии нами были изучены следующие преобразования: симметрия осевая, симметрия центральная, гомотетия.

Все эти преобразования являются примерами точечных преобразований, так как каждое из них даёт определённый способ по каждой данной точке плоскости найти ей соответствующую точку.

В более подробных курсах геометрии изучаются другие преобразования, как, например, параллельный перенос и вращение около точки. Аналогичные точечные преобразования изучаются и в стереометрии. К ним принадлежат: симметрия относительно плоскости, относительно прямой, относительно точки, параллельный перенос, вращение около оси и др.

Изучение преобразований позволяет глубже познать пространственные свойства и в то же время даёт весьма сильные методы для решения теоретических и практических задач.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

§ 2

3. Прямые а и Ъ принадлежат одной и той же плоскости у, следовательно, они либо пересекаются, либо параллельны. Допустим сначала, что прямые а и b пересекаются в точке О.

Точка О является общей для плоскостей a J и у, значит, через точку О проходит и прямая с, по которой пересекаются плоскости аир, так как с содержит все общие точки этих плоскостей.

Если а || Ъ, то прямая с не может пересечь ни д, ни Ь, так как через полученную точку должны пройти и прямая а и прямая Ь, как уже было доказано.

7. Пусть Аи А2, ..., Ап — данные точки. По условию точки Ль Л2, Ля, А\ лежат в одной и той же плоскости а. Любая точка Л# той же совокупности принадлежит плоскости а, так как, согласно условию, она лежит в одной и той же плоскости с точками Ль А*, Л3.

8. Обозначим через Af, N, Р, Q середины отрезков АВ, ВС, CD, DA.

В Л ABC отрезок ММ есть средняя линия, поэтому MN \\ АС и MN = ~- АС. В Д ACD отрезок PQ есть средняя линия, поэтому PQ || АС и PQ =

9. Искомое геометрическое место есть плоскость а, проходящая через данные пересекающиеся прямые. Действительно, по аксиоме 3 каждая точка отрезка, соединяющего точки одной прямой с точками другой, принадлежит плоскости а. Обратно: через каждую точку плоскости а можно провести отрезок, соединяющий точки данных прямых.

Такие же рассуждения нужно провести и при решении двух следующих задач.

§ 3

2. Возьмём на прямой а точку М и проведём через неё прямую т || Ь. Через пересекающиеся прямые а и т проводим плоскость а. Так как т \\ b и т CZ а, ТО а || Ь.

Если допустим, что существует ещё плоскость а', удовлетворяющая условию a cz а' и а' || Ь, то, согласно следствию 1, т CZ а', поэтому а'ее а.

§ 4

2. Для того чтобы две плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы всякая прямая, пересекающая одну из них, пересекала и другую. Условие необходимо: пусть а \\ р и IX а. Проведём через / плоскость у, которая пересечёт плоскости а и р по параллельным прямым а || b (следствие 2). Так как / Xfl, то / X b (аксиома параллельности). Значит, / X % Условие достаточно: если плоскости пересекаются, то всегда существует прямая, принадлежащая одной из них и пересекающая другую.

3. Использовать решение задачи 2 предыдущего параграфа.

5. Искомое геометрическое место — плоскость, параллельная данной. Для доказательства использовать задачу 2.

6. Пусть а || р, Aczct и Вс^.$. Возьмём на отрезке АВ точку М, удовлетворяющую условию J^ft—b, где k — данное значение отношения. Проведём через М плоскость у, параллельную плоскостям аир. Эта плоскость и будет искомая. Для доказательства используем теорему 2 и задачу 4.

1. 2, 3 — решаются двумя способами, указанными в тексте учебника.

4. Пусть точка Л дана на верхней грани куба, В— на передней, С — на правой. А\ В\ С — их проекции на плоскость нижней грани. Найдём точку Д в которой искомая плоскость пересекает правое вертикальное ребро куба, принадлежащее задней грани. Нам известна проекция П точки D на плоскость основания. Прямая B'D' пересекает прямую А'С в точке Р, которая есть проекция точки Р на прямой АС. Прямая BP пересекает правое вертикальное ребро куба в искомой точке D.

6. Достаточно через данную точку провести две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым, принадлежащим данной плоскости.

9. Припомнить, что каждая диагональ правильного шестиугольника параллельна двум его сторонам.

11. Доказать, что медианы ДЛ4ЛГР лежат на проекциях диагоналей правильного шестиугольника.

12. Использовать свойство сопряжённых диаметров.

17. Условие необходимо, но не достаточно: проекции двух скрещивающихся прямых могут оказаться параллельными, если параллельны будут их проектирующие плоскости.

§ 6

2. Девять плоскостей симметрии: три проходят параллельно граням, каждая из шести остальных проходит через две диагонали.

3. Минимальный размер зеркала по высоте — вдвое меньше роста.

4. Использовать одновременно два чертёжных треугольника, совмещая катет со стержнем.

8. Через данную точку проводим две прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым. Этими пересекающимися прямыми определяется плоскость. Искомая прямая проходит через данную точку и перпендикулярна к этой плоскости.

12. Прямая, по которой пересекаются плоскости симметрии этих точек, взятых попарно.

13. Искомое геометрическое место — прямая /', симметричная с / по отношению к данной плоскости. Нужно доказать, что любые гри точки Л, В и С прямой / этой симметрией преобразуются в три точки Л', В' и С', тоже лежащие на одной и той же прямой.

§ 7

3. Так как проекция отрезка, перпендикулярного к плоскости проекции, сокращается вдвое, то мы получим tg а = 2, где а— угол проектирующих прямых с плоскостью проекции. Отсюда а ^ 63° 26'.

6. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна и к её следу. На основании теоремы о трёх перпендикулярах проекция прямой тоже перпендикулярна к следу плоскости.

7. Нужно доказать, что у двух равнобедренных треугольников с равными основаниями большей высоте соответствует меньший угол при вершине.

8. Так как OA = ОА\ то искомая плоскость проходит и через точку О и через точку М — середину отрезка ЛЛ'. Отсюда следует, что плоскость проходит через биссектрису ОМ данного угла. Из произвольной точки Q этой плоскости, отличной от О, проведём перпендикуляры ОР и ОР' к прямым OA и OA' и докажем, что Д OPQ = Д OPQ.

11. Искомое геометрическое место есть прямая пересечения плоскостей, являющихся геометрическим местом, установленным в задаче 8.

12. Через середину Р данного отрезка проводим прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, и через полученные пересекающиеся прямые проведём плоскость. Проекции данных прямых на эту плоскость взаимноперпендикулярны, проекция данного отрезка имеет постоянную длину, а его

середина всегда принадлежит полученной плоскости. Задача приводится к планиметрической: отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум взаимно-перпендикулярным прямым; какую линию описывает середина отрезка?

17. ABCDAB'CU — данный куб. Диагонали АВ и ВС лежат в двух параллельных плоскостях AB'D' и BCD. Диагональ А'С перпендикулярна к этим плоскостям (доказать). Если рассмотреть ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную к диагонали Л'С, то отрезки АВ' и ВС спроектируются без искажения. Искомый перпендикуляр проектируется в точку пересечения этих проекций, а расстояние будет равно расстояния А'С% что легко доказать, рассматривая сечение куба плоскостью А'ССА.

18. Пусть Р — проекция точки Р на плоскость окружности с центром О. Прямая РО пересекает окружность в точках А и В (РА <РВ). РА — кратчайшее, РВ — наибольшее расстояние точки Р до точек окружности.

§ 8

3. Докажем сначала, что все лучи лежат в одной и той же плоскости, перпендикулярной к ребру двугранного угла. При этом ну^но иметь в виду, что луч падающий и луч отражённый лежат в плоскости, перпендикулярной к плоскости зеркала, и образуют с ним равные углы. Далее нужно принять во внимание, что после второго отражения луч идёт перпендикулярно к плоскости первого зеркала. Рассматривая соотношения между углами, получим, что искомый угол равен 30°.

4. Из точки Л, принадлежащей первой грани, проведём перпендикуляр АР к плоскости р и перпендикуляр АО к ребру /. Любая прямая, проходящая через точку А и пересекающая / в точке N, образует с плоскостью р угол ANP. Рассматривая прямоугольные треугольники АОР и ANP, находим, что AN > АО и PN> РО. Если отложим на отрезке PN отрезок РО' = РО, то /\АО'Р=ДАОР. L ЛО'Р> L AMP (по свойству внешнего угла в Д ANO'), значит, и L АОР> L AN Р.

8. Возьмём сначала Д ABC, в котором сторона ВС\\ а — плоскости проекции. Пусть АН — высота Д ABC. Л', В\ С, И' — проекции соответствующих^ точек на плоскости а. ВС = В'С и АН' _!_ В'С. Вместе с тем А'Н' = АН. cos <р, где <р — угол между плоскостями ABC и а.

WC' • АН1 ВС • АН Sa'B'C =-2-—-2- COScp = S^flC cos?-

Если стороны Д ABC не параллельны плоскости а, то его разбиваем на два треугольника, имеющие одну сторону, параллельную плоскости а, и к каждому применим полученную формулу.

Если проектируемая фигура — многоугольник, то разбиваем его на треугольники и к каждому из них вновь применяем ту же формулу.

9. Искомое геометрическое место — биссекторная плоскость двугранного угла.

11. Использовать решение задачи 8 предыдущего параграфа.

13. Через точку пересечения данной прямой а с ребром проводим плоскость перпендикулярно к прямой а. Пересечение этой плоскости с гранью, которой не принадлежит а, и будет искомая прямая.

15. Так как Д АМВ прямоугольный, то его медиана MP равна половине гипотенузы АВ. Проведём через точку Р и ребро / плоскость и в этой плоскости проведём окружность с центром Р и радиусом АР. Эта окружность пересечёт / в искомой точке М. Задача может иметь два решения, одно или ни одного.

16. Предположим, что задача решена и прямая аг проходящая через точку М, искомая.

Возьмём на прямой т произвольную точку Р и обозначим через Q её проекцию на плоскость а. Далее проведём перпендикуляр QA к прямой а. Треугольники AMP и AMQ прямоугольные, причём в первом из них известна гипотенуза MP и острый угол AMP. Отсюда следует, что построением можно определить величину отрезка AM и построить Д AMQ по гипотенузе и катету.

Задача имеет два решения, если данный угол больше угла PMQ.

§ 9

3. Провести диагональ АС и рассмотреть трёхгранные углы при вершинах А и С.

6 и 7. Использовать решение задачи 11 (§ 8).

8. Пусть Oabc и О'а'Ь'с' — данные трёхгранные углы, у которых L ЬОс = = L Ь'О'с', Z сОа = Z. c'O'a' и L aOb =Z a'O'b'. Отложим отрезки АО = О'А'. Через точку А проведём плоскость, перпендикулярную к ребру а, которая пересечёт рёбра Ъ и с в точках В и С. Таким же образом через точку Л' проведём плоскость, перпендикулярную к ребру а', которая пересечёт рёбра Ь' и с' в точках В' и С.

Докажем, что Д ЛВС = Д А'В'С, для чего нужно будет предварительно доказать равенство треугольников АОВ и А'О'В, АОС и А'О'С, ВОС иВ'О'С

Отсюда следует равенство двугранных углов при ребре а и ребре а'. Аналогично доказывается равенство двугранных углов при рёбрах Ъ и Ь', с и с'.

9. Искомое геометрическое место — прямая, по которой пересекаются три плоскости симметрии трёх рёбер данного угла.

10. Искомое геометрическое место есть линия пересечения трёх биссекторных плоскостей граней.

11. Доказать сначала, что все треугольники, полученные в сечениях, подобны между собой.

14. Проведём в четырёхгранном угле две диагональные плоскости через противоположные рёбра. На линии их пересечения возьмём произвольную точку и через неё проведём по этим двум плоскостям два отрезка, которые делились бы этой точкой пополам. Секущая плоскость, определяемая этими отрезками, и будет искомой.

15. На произвольной плоскости а из точки О проводим лучи т, Ь, с, т' так, чтобы углы тОЬ, ЬОс, сОт' были соответственно равны данным плоским углам трёхгранного угла. На лучах От и От' соответственно отложим равные отрезки ОМ и ОМ'. Обозначим через В и С соответственно проекции точек М и М' на прямых Ь и с. Прямые MB и М'С пересекаются в точке Р. Проведём через точку Р перпендикуляр р к плоскости а. Этот перпендикуляр с прямой РМ определяют плоскость {*, перпендикулярную к плоскости а. Если по плоскости (3 из центра В описать окружность радиусом ВМ, то эта окружность пересечёт перпендикуляр р в точке А. Прямая а~ОА и есть третье ребро искомого трёхгранного угла.

Задача разрешима, если наибольший из данных углов меньше суммы двух других.

16. Пусть ABC — данный остроугольный треугольник. Построим на каждой его стороне извне полуокружность. Продолжения высот, проведённых из точек Л, В и С, пересекают полуокружности соответственно в точках М, N и Р. При этом оказывается, что AN = АР, ВР=ВМ, CM = CN (доказать).

Полученные отрезки определяют длину тех трёх отрезков, которые нужно отложить от вершины О данного трёхгранного угла на его рёбрах. Полученные три точки и будут вершинами искомого треугольника.

§ 10

2. Рассмотрим грань параллелепипеда, измерения которого равны 9 и 16 единиц. Разделим короткое ребро на 3 равные части, длинное — на 4 равные части и через точки деления проведём прямые, параллельные рёбрам

(черт. 97 а). Проведём ломаную линию, как показано на чертеже и произведём но этой ломаной разрез параллелепипеда плоскостями, параллельными граням. После этого сложим параллелепипед, как показано на чертеже 97 Ь. В результате получим куб, все рёбра которого будут по 12 ед.

Черт. 97

3. Параллелепипед будет симметричным, если две его грани являются ромбами и диагональная плоскость, проходящая через диагональ ромба, перпендикулярна к его плоскости.

4. См. предыдущую задачу.

5. Припоминая закон Архимеда, получим, что вес воды, вытесненной погружённой частью призмы, равен весу всей призмы. Если высоту призмы обозначить через Л, а длину ребра основания призмы в погружённой части через то получим: а J^J h • 0,7= - ^ - h f следовательно, 0Ja2 = b2 и b = я ]/^0,7. Величина погружения (расстояние от поверхности воды до нижнего ребра) определяется высотой основания погружённой части: - HJL = ^J/S^0,72 а.

6. Доказать, что всякий отрезок соединяющий две точки поверхности параллелепипеда и проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам.

9. Пересечь параллелепипед диагональной плоскостью и рассмотреть параллелограмм, полученный в сечении. Секущая плоскость должна проходить через данную вершину и данную диагональ.

10. Применить теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

12. Дополнить эту призму до параллелепипеда и сравнить объёмы этих многогранников.

16. Пусть d — данная диагональ. Построим произвольный куб с ребром а' и диагональю d'. Если а — ребро искомого куба, то будем иметь: а: а' = = d:d' (доказать). Ребро а найдём построением четвёртой пропорциональной.

17. Доказать, что плоскость пройдёт через середины шести рёбер куба. В сечении получится правильный шестиугольник.

18. Через каждую прямую проводим плоскости, параллельные двум другим прямым. Эти плоскости определяют шесть граней искомого параллелепипеда.

5. Использовать решение задачи 8 из § 2.

7. Припомнить, что биссекторная плоскость есть геометрическое место точек, равноудалённых от граней двугранного угла.

8. Использовать решение задачи 5.

10. Воспользоваться решением задачи 8 из § 8.

12. Пусть тетраэдры ОАВС и ОА'В'С удовлетворяют условию задачи и имеют общий трёхгранный угол при вершине О. Обозначим через V и V их объёмы. Тогда получим:

V _ АН Sqbc

V ~ А'Н' ' Sob1 с ' где АН и А'Н' — высоты тетраэдров.

Д О АН со Д О А'И' (доказать), значит, = -qj\. Далее имеем

Sobc ЬМ • ОС где вм в,м, _ высоты треугольников ОВС и ОВ'С. Sob'C В'М'-ОС ' _ _

Но & |^=^Ц,_ И „_я«

13. См. решение предыдущей задачи.

14. Пусть ABCD — данный тетраэдр, в котором AD и ВС — противоположные рёбра. Через произвольную точку N' на ребре АС проводим по грани ACD прямую, параллельную AD, которая пересечёт ребро CD в точке Р. Через ту же точку N' проводим по грани ABC прямую, параллельную ВС, и на ней отложим отрезок N'M' = N'P. Прямая СМ' пересекает ребро АВ в точке М. Через точку М проводим по грани ABC прямую, параллельную ВС, которая пересечёт ребро АС в точке N. Через точку N проводим по грани ACD прямую, параллельную AD, которая пересечёт ребро CD в точке Р. Плоскость MNP определяет искомое сечение, так как Д MNPca Д M'N'P (доказать).

17. Получится тетраэдр, подобный данному.

21. Доказать, что объём каждой из отделяемых пирамид равен -j^- объёма куба.

23. Определить сначала, какую часть объёма призмы составляет сумма объёмов двух пирамид, основаниями которых служат основания призмы, а вершины находятся в данной точке.

24. Через точку М (черт. 64) проводим сечение, параллельное противоположному скату крыши. Этим сечением многогранник разобьётся на четырёхугольную пирамиду и треугольную призму.

§ 12

1 и 2 — доказать, что при таком подсчёте каждое ребро считают дважды.

3. Использовать первую задачу.

4. Пусть многогранник имеет / граней и каждая грань — /г-угольник. Поставим многогранник на плоскость какой-нибудь гранью и произведём п самосовмещений, совмещая эту грань самоё с собой. Потом поставим многогранник на плоскость другой гранью и снова произведём п самосовмещений и т. д. Такую операцию мы можем повторить / раз. Таким образом, мы получим fn самосовмещений. Но это же число fn есть удвоенное число рёбер, так как при таком подсчёте мы каждое ребро считаем дважды, совмещая ребро с каким-нибудь отрезком на плоскости.

10. Обозначим через АВ отрезок на правой боковой грани, через CD — на левой боковой. Пусть АВ = CD = х. Определим длину х так, чтобы АВ = ВС.

Продолжение АВ пересекает нижнее ребро в точке Л4, проекция точки D на нижнее основание есть точка N. BP\\MN и BP=MN. Ребро куба обозначим через а. Тогда MQ — —^—, NQ = - ^ * ■ , где Q — нижняя вершина куба, общая для рассматриваемых граней. По теореме Пифагора:

_ _ _ д2 flt« v-2 у-2

И далее: ВС2 = BP2 + СР\ или л:2 = ---у -f — + —,

т. е. х2 + ах — я2 = 0. Отсюда следует, что л: = а-1—^- есть большая часть отрезка я, разделённого в крайнем и среднем отношении.

13. Задача есть частный случай построения тетраэдра по шести рёбрам. 15. Секущая плоскость проходит через середины шести рёбер.

17. Данную четырёхугольную пирамиду пересечём плоскостью, параллельной основанию. На полученном квадрате MNPQ строим внутри пирамиды куб MNPQM'N'P'Q'- Лучи ОМ\ ON\ OF, OQ' с началом в вершине пирамиды О пересекают основание пирамиды в точках M1N1P1Q1. Квадрат M1N1P1Q1 и есть основание искомого куба (доказать).

18. Решается тем же методом, как и предыдущая задача.

§ 13

2. Цилиндр погрузился наполовину.

3. Потому, что расстояние от оси вращения до точки касания поверхности с землёй постоянно.

6. Сечение кругового цилиндра плоскостью есть эллипс, так как он является параллельной проекцией окружности основания на плоскость сечения. Малая ось эллипса есть проекция диаметра окружности, параллельного секущей плоскости. Большая ось есть проекция диаметра, перпендикулярного к первому. Длина большей равна ^ , где R— радиус основания цилиндра.

10. Через точку пересечения оси цилиндра с секущей плоскостью проведём плоскость, параллельную основанию. Эта плоскость отделяет от усечённого цилиндра часть, повернув которую на 180° около линии пересечения плоскостей, мы преобразуем усечённый цилиндр в полный.

16. См. решение задачи 17 из § 12.

19. Отношение объёмов подобных конусов равно отношению кубов их высот.

§ 14

1. Возьмём на поверхности шара произвольную точку Р и радиусом г, меньшим радиуса шара, опишем по поверхности шара окружность. На полученной окружности возьмём три точки А, В и С и на листе бумаги построим треугольник, равный треугольнику ABC. Около этого треугольника опишем окружность, радиус которой обозначим через а. Если, наконец, построим равнобедренный треугольник с основанием, равным 2а, и боковыми сторонами, равными г, то диаметр окружности, описанной около этого треугольника, будет равен диаметру шара (доказать).

2. Если обозначить через 2^ диаметр Земли, через Л — высоту предмета, через а — расстояние от вершины предмета до точки на горизонте, то получим: а2 = h {2R h). Подставляя данные числа получим: а =^29,8 км.

5, 6, 7, 8, 9. Провести секущую плоскость через центры сфер и рассмотреть полученные окружности.

15. Центр искомой сферы есть точка пересечения перпендикуляров, проходящих через центры окружностей к их плоскости.

18. Необходимо сначала доказать, что радиус, соединяющий точку касания с центром сферы, перпендикулярен к касательной.

19. Призма должна быть прямая, и основанием должен быть многоугольник, около которого можно описать окружность.

21. Обозначая через V и V\ S и S' соответственно объёмы и поверхности описанного и вписанного шаров, получим:

22. 23. 24.

25. Обозначая через р радиус вписанного шара, докажем, что р2 = Rr.

26. При определении объёма шарового сегмента поступим так же, как при определении объёма шара. Возьмём сначала сегмент с высотой Л, заключенной между секущей и касательной плоскостью. Радиус окружности сечения обозначим через радиус шара через р. Разделим высоту на п равных частей и через точки деления проведём секущие плоскости, параллельные плоскости сечения сегмента. На каждом из полученных сечений построим вписанный и описанный цилиндры вращения с высотой —.

Объем вписанного ступенчатого тела обозначим Vm объём описанного — Vn. При неограниченном увеличении п эти числа стремятся к общему пределу — объёму сегмента.

Итак,

В общем случае объём V сегмента с высотой h и радиусом сечений R и г рассмотрим как разность объёмов двух сегментов уже рассмотренного вида с высотами hx и h2 (hi < Ло) и соответствующими радиусами сечений г и R.

Имея в виду, что h = h2 — hl} получим:

Так как

Подставляя эти значения в формулу для объёма, получим:

Окончательно:

Полученная формула, найденная Архимедом, показывает, что объём шарового сегмента равен сумме объёмов трёх тел: двух цилиндров вращения с основаниями, равными кругам сечений, и высотой, равной половине высоты сегмента, и шара с диаметром, равным высоте сегмента.

28. Примем данную точку за полюс и найдём изображение окружности большого круга, перпендикулярного к диаметру, проходящему через полюс. Концы двух сопряжённых диаметров этого эллипса являются точками касания граней куба.

30. Доказать предварительно, что центр сферы лежит на расстоянии, равном — высоты, считая от основания.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................... 3

§ 1. Основные понятия и аксиомы......................... —

Глава I. Параллельность в пространстве

§ 2. Параллельность прямых............................. 6

Задачи на доказательство........................... 10

Вопросы....................................... —

Задачи на отыскание геометрических мест ................ 11

§ 3. Параллельность прямой и плоскости..................... —

Задачи на доказательство............................ 12

Задачи на отыскание геометрических мест................. —

§ 4. Параллельность плоскостей........................... —

Задачи на доказательство............................ 15

Задачи на отыскание геометрических мест................. —

§ 5. Свойства параллельной проекции ....................... —

Позиционные задачи на построение..................... 28

Метрические задачи на построение ..................... —

Глава II. Перпендикулярность в пространстве

§ 6. Перпендикулярность прямой и плоскости................. 29

Вопросы и упражнения............................. 34

Задачи на доказательство ........................... —

Задачи на отыскание геометрических мест................. 35

§ 7. Перпендикуляр и наклонные.......................... —

Вопросы и упражнения............................. 40

Задачи на доказательство............................ —

Задачи на отыскание геометрических мест................. 41

Задачи на построение ............................... —

Глава III. Двугранные и многогранные углы

§ 8. Двугранные углы................................. —

Вопросы и упражнения............................. 45

Задачи на доказательство ........................... —

Задачи на отыскание геометрических мест ................ —

Задачи на построение .............................. 46

§ 9. Многогранные углы............................... —

Задачи на доказательство ........................... 49

Задачи на отыскание геометрических мест ................ 50

Задачи на построение .............................. —

Глава IV. Многогранники

§ 10. Призмы...................................... ~

Вопросы и упражнения............................ 61

Задачи на доказательство........................... 61

Задачи на построение ............................. —

§11. Пирамиды..................................... ~

Вопросы и упражнения............................ оУ

Задачи на доказательство ...........................

Задачи на построение ............................. ~~

Задачи на вычисление объёмов ..................... 70

§ 12. Правильные многогранники..........................

Задачи на доказательство........................... 75

Задачи на построение ......... ....................

Глава V. Цилиндр, конус и шар

§ 13. Цилиндр и конус................................ 7|>

Вопросы и упражнения............................ °°

Задачи на доказательство...........................

Задачи на построение ............................. ~~

Задачи на вычисление объёмов....................... 87

§ 14. Сфера и шар................................... —

Вопросы и упражнения............................ jg

Задачи на доказательство........................... 99

Задачи на определение объёмов......................

Задачи на построение ............................. 110

Задачи на отыскание геометрических мест ............... —

Обзор пройденного курса..............................

Указания к решению задач.............................. 10У

Антонин Иванович Фетисов Геометрия. Учебник для 9—10 классов

Редактор Н. М. Остиану Технический редактор Г. И. Смирнов Корректоры: Глебова и А. Рукосуева

Сдано в набор 9/V 1957 г. Подписано к печати 12/VII1 1957 г. 60х 9271в. Печ. л. 7,5. Уч.-изд. л. 8,11. Тираж 10000 экз. А-06260.

* * *

Учпедгиз. Москва, Чистые пруды, 6.

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 2-я типография „Печатный Двор" имени А. М. Горького. Ленинград, Гатчинская, 26.

Цена без переплёта 1 р. 05 к. Переплёт 50 к. Заказ № 425.