Фетисов А. И. Геометрия : учебник для 8 и 9 классов. — Изд. 2-е, перераб. — М. : Учпедгиз, 1957. — 92 с.

А. И. ФЕТИСОВ

ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНИК ДЛЯ 8 и 9 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

УЧПЕДГИЗ • 1957

А. И. ФЕТИСОВ

ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНИК ДЛЯ 8 и 9 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Издание второе, переработанное

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва—1957

ОТ РЕДАКЦИИ

Данная книга издаётся вторым изданием в качестве пробного учебника для учащихся 8—9 классов.

При подготовке второго издания автором использованы материалы итогов широкого обсуждения первого издания учебника на совещаниях учителей и научных работников, а также значительного числа письменных рецензий, полученных автором и редакцией математики Учпедгиза.

Ряд ценных советов по улучшению книги дал кандидат физико-математических наук И. М. Яглом.

Все замечания и пожелания по книге просьба направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учпедгиз, редакция математики.

ГЛАВА I. ОТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ

§ 1. ОТНОШЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

1. Действия над отрезками

В начале курса геометрии VI класса мы познакомились с некоторыми действиями над отрезками. Напомним эти действия. Во-первых, можно складывать отрезки, т. е. по нескольким данным отрезкам находить их сумму. Во-вторых, можно посредством вычитания найти разность двух данных отрезков. Наконец, в-третьих, можно умножать отрезок на целое число. Это значит, мы должны данный отрезок повторить слагаемым столько раз, сколько единиц содержит данное целое число. Если, например, отрезок АВ нужно умножить на число 5, то мы должны найти отрезок MN> удовлетворяющий равенству:

MN = АВ + АВ + АВ + АВ + АВ = 5АВ.

Позднее, уже в курсе VII класса, было показано, как разделить отрезок на несколько равных частей. Если при делении отрезка АВ на семь равных частей получился отрезок MN, то соотношение между этими отрезками записывается так:

Посредством деления отрезка на равные части можно умножать его на дробь. При этом нужно поступать так же, как при умножении числа на дробь в арифметике. Если, например, нам нужно умножить 21 не у, томы делим 21 на 7 и полученное число 3 умножаем на 5.

Подобным же образом мы поступаем и при умножении отрезка на дробное число.

Если нужно отрезок А В (черт. 1) умножить на —, то делим его на семь равных частей и берём таких частей пять. В результате получим отрезок CD, удовлетворяющий равенству: CD = —АВ9

Черт. 1.

Итак, для того чтобы умножить отрезок на число — , нужно этот отрезок разделить на п равных частей и взять т таких частей.

2. Отношение отрезков

Если при умножении отрезка Ь на число k получился отрезок а, то число k называется отношением отрезка а к отрезку Ь. Отношение отрезков записывается так:

Например, отношение — = 5 показывает, что отрезок Ь содержится в отрезке а пять раз, т. е. а = 5Ь. CD 5

Отношение — = — (см. черт. 1) показывает, что одна седьмая часть отрезка АВ содержится в отрезке CD пять раз.

Отношение — = — показывает, что — часть отрезка Ь содержится в отрезке а т раз. В таком случае существует отрезок, который содержится целое число раз и в отрезке айв отрезке Ь.

Определение. Отрезок, который содержится в каждом и данных отрезков целое число раз, называется общей мерой этих отрезков.

Отрезки, имеющие общую меру, называются соизмеримыми.

Если общая мера содержится в отрезке а т раз, а в отрезке Ь— п раз, то отношение этих отрезков равно — , так как — часть отрезка Ь содержится т раз в отрезке а.

3. Несоизмеримые отрезки

Не для всякой пары отрезков существует общая мера, т. е. не всегда отношение двух отрезков есть рациональное число. Оказывается, существуют такие отрезки, отношение которых не может быть выражено никаким рациональным числом. Такие отрезки не имеют общей меры и называются несоизмеримыми. Для доказательства существования несоизмеримых отрезков достаточно привести хотя бы один пример такой пары отрезков. Для этого докажем следующую теорему.

Теорема. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Рассмотрим квадрат ABCD с диагоналями АС и BD (черт. 2), пересекающимися в точке О. Обозначим через а отрезок, равный стороне квадрата, а через с — отрезок, равный его диагонали. Предположим, что отношение— равно числу —, где тип — взаимно-

простые числа. Тем самым мы допускаем, что существует общая мера, которая откладывается т раз на стороне квадрата и п раз на его диагонали (на чертеже 2:т = 5, п = 7). Так как точка О делелит диагонали пополам, то отрезок ВО — , Следовательно, ВС: ВО*=т :-^Или^= —; таково отношение стороны квадрата к половине его диагонали. Проведём через точки деления (т. е. точки, которые получились при откладывании общей меры) на стороне ВС прямые, параллельные диагонали Л С. Тогда отрезок ВО разделится на т равных частей.

Если через точки деления на диагонали АС проведём прямые, параллельные стороне CD, то сторона AD разделится нал равных частей. Деления на отрезке ВО равны делениям на стороне AD. Это следует из того, что AAMN=&BPQ, так как у них острые углы содержат по 45° и гипотенузы равны между собой: АМ~ВР, так как по предположению каждый из этих отрезков равен общей мере диагонали и стороны.

Итак, AN = BQ и каждый из этих отрезков есть общая мера стороны квадрата AD и половины его диагонали, т. е. ВО. Но AD — BC. Следовательно, — = —.

Сравнивая это равенство с полученным ранее, находим:

Число 2т2 — чётное. А так как квадрат всякого чётного числа есть число чётное, а квадрат нечётного числа — нечётное, то мы заключаем отсюда, что п есть тоже число чётное: п = 2k. Значит, 2т2 = 4k2, или т2 = 2k2. Но отсюда следует, что и т — число чётное. А это противоречит тому, что числа тип — взаимно-простые. Полученное противоречие показывает, что отношение — не есть рациональное число, отрезки с и а не имеют общей меры и, значит, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной*).

Несоизмеримость двух отрезков, доказанная на примере диагонали квадрата и его стороны, не является исключительным случаем.

Черт. 2.

Можно привести многочисленные примеры несоизмеримых отрезков. Несоизмеримыми являются: сторона равносторон-

*) Открытие несоизмеримых величин представляет собой одно из величайших открытий древних математиков. Полагают, что это открытие сделано учениками греческого математика Пифагора примерно в V в. до н. э.

него треугольника с его высотой, боковая сторона равнобедренного треугольника с его основанием, если угол при вершине содержит целое число градусов, не равное 60; катеты прямоугольного треугольника несоизмеримы с гипотенузой, если отношение катетов есть целое число и т. д.

4. Иррациональные числа

В предыдущем пункте было установлено, что существуют такие пары отрезков, отношения которых не могут быть выражены никаким рациональным числом.

Чтобы выразить отношение между несоизмеримыми отрезками, пришлось расширить понятие числа и ввести новые числа, называемые иррациональными, в противоположность ранее известным — рациональным числам.

Как определяется иррациональное число, будет видно из следующего примера. Рассмотрим отношение диагонали с квадрата к его стороне а. Так как в треугольнике гипотенуза больше катета, но меньше суммы двух катетов, то из треугольника А ВС получим неравенства: а < с < 2а, откуда следует: 1 < — < 2.

Можно получить более точные неравенства*), дающие соотношения между стороной и диагональю квадрата. Эти неравенства следующие:

1,4 <—< 1,5 (с точностью до 0,1); а

1,41 < —< 1,42 (с точностью до 0,01); а

1,414 <—< 1,415 (с точностью до 0,001); а

1,4142 < —< 1,4143 (с точностью до 0,0001); а

1,41421 < — < 1,41422 (с точностью до 0,00001); а

1,414213<—<1,414214 (с точностью до 0,000001); а

Ряд этих неравенств не может закончиться, так как отношение — не выражается никаким рациональным числом.

Рассмотрим две полученные последовательности чисел:

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; ...

2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; 1,414214; ...

*) Способ получения этих неравенств показан в приложении, помещенном в конце книги.

Сравним эти последовательности с теми, которые получаются при обращении в десятичную дробь обыкновенных дробей -i- и 1— . При этом тоже получаются бесконечные последовательности:

0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; 0,33333; ...

0,4; 0.34; 0,334; 0,3334; 0,33334;. . .

и

1,7; 1,71; 1,714; 1,7142; 1,71428; 1,714285; 1,7142857; ...

1,8; 1,72; 1,715; 1,7143; 1,71429; 1,714286; 1,7142858; ...

Нетрудно убедиться в том, что все эти пары последовательностей обладают следующими свойствами:

1) Каждое число первой последовательности меньше любого числа второй.

2) Числа первой последовательности возрастают, числа второй убывают.

3) Разности между числом второй последовательности и соответствующим числом первой уменьшаются так, что всегда можно найти разность меньшую любого данного положительного числа.

В двух последних случаях для каждой пары последовательностей существует единственное рациональное число, которое больше любого числа первой последовательности и меньше любого числа второй. Например, — больше чисел 0,3; 0,33; 0,333; ... и меньше чисел 0,4; 0,34; 0,334; 1— больше чисел 1,7; 1,71; 1,714; ... и меньше чисел 1,8; 1,72; 1,715; ...

В этом случае говорят, что данные бесконечные последовательности определяют рациональное число (в наших примерах — и 1—).

В том же случае, когда последовательности являются десятичными приближениями, получающимися при определении отношения двух несоизмеримых отрезков, такого рационального числа не существует. Тогда говорят, что эти последовательности определяют иррациональное число. Принимают, что это иррациональное число больше любого числа первой последовательности и меньше любого числа второй.

Например, отношение— диагонали квадрата к его стороне больше чисел 1; 1,4; 1,41; 1,414; ... и меньше чисел 2; 1,5; 1,42; 1,415;. ..

Рациональные и иррациональные числа вместе называются действительными (или вещественными) числами.

Обычно последовательности, определяющие иррациональное число, записываются в виде одной десятичной дроби, которая явля-

ется бесконечной и непериодической* Например, мы можем отношение диагонали квадрата к стороне записать так: — = 1,4142135...

Многоточие в конце указывает на то, что дробь не заканчивается последней цифрой. Сохраняя в этом числе только две цифры после запятой, получим 1,41 — приближённое значение по недостатку, а увеличивая на единицу последнюю из оставленных цифр, получим 1,42 — приближённое значение по избытку. Разность между приближённым значением по избытку и по недостатку, т. е. 1,42—1,41 = 0,01 определяет степень точности.

Бесконечность дроби мы понимаем в том смысле, что за каждой цифрой этой дроби можно найти следующую цифру.

5. Отыскание отношения двух отрезков

При отыскании отношения двух отрезков пользуются следующей аксиомой.

Аксиома Архимеда*). Если даны два неравных отрезка а и Ъ, причём а > Ь,то всегда существует такое целое число п, при котором nb > а.

Другими словами, как бы ни был велик отрезок а и как бы мал ни был отрезок Ьу всегда можно повторить слагаемым меньший отрезок достаточно большое число раз и получить отрезок, превосходящий а.

Пусть даны отрезки А В и CD (черт. 3). Отложим отрезок CD на отрезке АВ. По аксиоме Архимеда при этом всегда можно получить отрезок, больший АВ. Положим, например, что 3CD < АВ, a 4CD > АВ, т. е. 3CD < АВ < 4CZ?, следовательно, 3 < — < 4.

Разделим CD на 10 равных частей и будем откладывать — CD на остатке. Пусть, например, — CD отложится четыре раза с остатком, получим: 3,4CD <ЛВ < 3,5СД следовательно:

Продолжая дальше, делим — CD опять на 10 частей, аналогично получим: 3,42 < — < 3,43.

Черт. 3.

*) Архимед Сиракузский (287—212 гг. до н. э.) — величайший математик древности. Жил и работал в Сиракузах на о. Сицилия. Им открыты законы рычага, законы равновесия тел в жидкости, найдены формулы для вычисления поверхностей и объёмов различных геометрических тел, дан способ вычисления отношения длины окружности к длине диаметра и т. д. Убит римскими воинами при взятии ими Сиракуз.

Такое построение можно продолжать до тех пор, пока мы имеем возможность делить полученные отрезки. Однако несовершенство наших инструментов заставляет окончить построение на втором или третьем десятичном знаке. Таким образом, это построение даёт приближённое значение отношения с той степенью точности, какую допускают наши инструменты. Числа 3,42 и 3,43 называются десятичными приближенными значениями отношения — .

6. Умножение отрезка на бесконечную десятичную дробь

Пусть данный отрезок а (черт. 4) нужно умножить на бесконечную десятичную дробь 2,236068 ... Возьмём луч с вершиной О и отложим отрезок OAi = 2а и отрезок ОВг = За. Потом отложим отрезок ОАг = 2,2а и ОВг = 2,3а. Далее, отложим ОА%= ^=2,23а и ОВз = 2,24а и т. д. Каждый раз мы берём приближённое значение числа по недостатку и приближённое значение по избытку. Получается бесконечная последовательность отрезков: AiBi, АгВъ, AzBz> ... Эта последовательность обладает следующими свойствами:

1) Каждый последующий отрезок находится внутри предыдущего.

2) В этой последовательности всегда можно найти отрезок, меньший любого данного отрезка.

Такая последовательность отрезков называется системой вложенных стягивающихся отрезков. Примем следующую аксиому*):

Существует единственная точка, принадлежащая одновременно всем вложенным стягивающимся отрезкам.

Пусть на чертеже 4 такой точкой будет точка М, которая определяет конец искомого отрезка ОМ.

На практике приближённое положение этой точки находится очень быстро с достаточной точностью, так как отрезки получаются настолько маленькими, что мы не в состоянии отличить друг от друга их концы. Например, на чертеже 4 черта, которая опре-

Черт. 4.

*) Эта аксиома называется аксиомой Кантора. Георг Кантор (1845—1918)— известный немецкий математик — основоположник современной теории бесконечных множеств.

деляет точку М, покрывает отрезок AiB* и все последующие отрезки АЪВЪ, ЛвВв и т. д.

Если мы будем находить отношение отрезка ОМ к отрезку а тем построением, каким мы пользовались в предыдущем пункте, то, очевидно, получим то же самое число 2,236068...

§ 2. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ

7. Длина отрезка

Определение. Измерить отрезок — это значит найти его отношение к некоторому постоянному отрезку, принимаемому за единицу длины.

Число, полученное в результате измерения, называется длиной отрезка.

Если через а обозначить измеряемый отрезок, через е—единицу длины, через а — отношение данного отрезка к единичному, то получим: а = ае*).

Так, например, в результате измерения получаем: длина тетради равна 20,5 см, ширина реки равна 78 м, расстояние от Москвы до Подольска равно 35 км и т. д. Знаками слс, м, км обозначены единицы длины, а числа 20,5; 78; 35 обозначают отношения соответствующих отрезков к единичным, они являются множителями (коэффициентами) при единичных отрезках.

8. Связь между длиной отрезков и их отношением

Теорема. Отношение отрезков равно отношению ах длин (при условии, что отрезки измерены одной и той же единицей).

Положим, что отрезки а и Ь измерены одной и той же единицей е9 в результате чего получились числа а и 6. Итак>

а = ае и Ь = be.

Пусть отношение отрезков а и Ь равно числу k, т. е.-^- = А, или а = кЬ. Отсюда следует: ае = kbe.

Так как при умножении отрззка е на числа а и kb получились равные отрезки, то, значит, а = kb или k = —, т. е. — = —, что и требовалось доказать.

*) Чтобы отличить обозначение отрезка от обозначения его длины, в первой и второй главах отрезки обозначены полужирным курсивом, их длины — той же буквой, но светлым курсивом. При записи на доске или в тетради обозначения отрезков нужно подчёркивать.

§ 3. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ

9. Основные свойства пропорций

Определение. Две пары отрезков называются пропорциональными, если отношение отрезков одной пары равно отношению отрезков другой пары.

Если два отрезка а и Ь пропорциональные двум отрезкам си*/,то это значит, что существует равенство: — = —.

Например, на чертеже 5 — = — и — «.—; значит, эти четыре отрезка d 3 пропорциональны. Равенство двух отношений называется пропорцией.

Обозначим длины отрезков а, Ь, с, d соответственно теми же буквами. Так как отношение отрезков равно отношению их длин, то получаем числовую пропорцию: — = —.

Из алгебры известно, что в пропорции можно менять местами крайние или средние члены. Поэтому из пропорции — = — следуют пропорции — = — или — = —.

Напомним ещё, что в числовой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: из пропорции — = — следует, что ad=bc.

Нам часто придётся пользоваться следующим свойством пропорции:

Если в пропорции равны предыдущие члены отношений, то равны и последующие.

Если в пропорции равны последующие члены отношений, то равны и предыдущие.

Пусть, например, нам дано, что — = —. Если поменять местами средние члены, то получим: — = —. Но—= 1; значит, и — = 1; поэтому о = с.

Совершенно так же мы докажем, что из пропорции = -f- следует, что а = с.

Черт. 5

10. Основная теорема о пропорциональных отрезках

Для того чтобы получить пропорциональные отрезки при помощи геометрического построения, мы будем пользоваться следующей основной теоремой.

Теорема 1. Если три параллельные прямые пересечь двумя секущими прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной секущей, равно отношению двух соответствующих отрезков другой секущей.

На чертеже 6 даны три взаимно-параллельные прямые: а || b || с. Прямая / пересекает эти прямые соответственно в точках А, В и С, а прямая Г —в точках А\ В', С. Докажем, например, что - =--.

Найдём сначала отношение -. Для этого отложим отрезок ВС на АВ, потом разделим ВС на 10 равных частей и отложим — часть на остатке; потом разделим ВС на 100 равных частей и отложим — на новом остатке и т. д.

В результате мы получим приближённое числовое значение отношения в виде десятичной дроби. Например, на чертеже 6 -= 2,35...

Проведём теперь через точки деления на прямой / прямые, параллельные прямым а, Ь и с. Тогда эти параллельные пересекут прямую V в таких точках, что равным отрезкам на прямой/ будут соответствовать равные отрезки на прямой /', как это было доказано в курсе VII класса. Сколько раз отложился отрезок ВС на АВ, столько же раз отложится и отрезок В'С на А'В'. Сколько десятых долей отрезка ВС отложилось на остатке отрезка АВ, столько же десятых долей отрезка В'С отложится на остатке отрезка А'В' и т. д. Отсюда следует, что отношение выражается той же самой десятичной дробью (в нашем примере на чертеже 6 — дробью 2,35...), как и отношение АВ—. Следовательно,

Черт. 6.

Может случиться, что одна из точек деления на прямой / совпадёт с точкой А у тогда соответствующая точка деления на прямой /' совпадёт с точкой А '. В этом случае отношения будут выражаться одной и той же конечной десятичной дробью. Если же ни одна из точек деления не совпадёт с точкой А на прямой /, то и на прямой Г ни одна из точек деления не совпадёт с точкой А'. В этом случае отношения выражаются одной и той же бесконечной десятичной дробью.

Подобным же способом мы могли бы доказать, что

или

Итак, на прямых I и Г получились пары пропорциональных отрезков.

11. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 2. Если две стороны треугольника (или их продолжения) пересечь прямой, параллельной третьей стороне, то получим новый треугольник, стороны которого соответственно пропорциональны сторонам первоначального.

Рассмотрим /\АВО (черт. 7); пэресгчём его стороны (черт. 7, а или их продолжения (черт. 7, Ь) прямой А'В', параллельной АВ, мы получим новый треугольник А 'В 'С. Проведём через точку С прямую, параллельную АВ. Тогда получим три параллельные прямые, пересечённые двумя секущими. По основной теореме получим:

Проведём прямую В'М || 4С, получим параллелограмм А'В'МА, в котором А'В' — AM. Применяя те же рассуждения, получим, что--■ = —. Но AM = А В и потому -= —.

Итак, мы получили, что в этих треугольниках- = — == — , т. е. три стороны одного треугольника соответственно АС пропорциональны трём сторонам другого.

Черт. 7.

Теорема 3. (Обратная.) Если от вершины треугольника на двух его сторонах (или на их продолжениях) отложить отрезки, соответственно пропорциональные этим сторонам, то прямая, проходящая через концы этих отрезков, параллельна третьей стороне.

Пусть мы имеем, что-=- (черт. 7).

Проведём через точку Л' прямую, параллельную АВ, и допустим, что она пересечёт сторону ВС в точке В". Согласно предыдущей теореме получим: -=- . Но, по условию, -=- , следовательно, -=- , т. е. В"С = В'С и, значит, точка В" совпадает с точкой В', поэтому ArBr || АВ.

Вместе с тем на основании предыдущей теоремы заключаем, что стороны треугольника А 'В 'С пропорциональны соответственным сторонам треугольника ABC.

12. Задача на построение пропорциональных отрезков

На основании доказанных предложений решается следующая основная задача на построение.

Задача. Даны три отрезка: а, Ь, с. Найти четвёртый отрезок xt который относился бы к отрезку а так же, как Ь относится к с. Другими словами, нам нужно найти неизвестный отрезок из пропорции:

Решение этой задачи, которая называется также построением четвёртого пропорционального отрезка к трём данным отрезкам, осуществляется следующим образом.

На одной стороне произвольного угла с вершиной S отложим отрезки: SC = с и SB = b, а на другой стороне этого угла отложим отрезок SA=a (черт. 8). Проведём прямую АС и через точку В проведем прямую ВХ || АС. Точка X и будет концом искомого отрезка; SX = х, так как на основании следствия 1 будем иметь:

Черт. 8.

Если обозначить буквой г числовое значение отношения — , т. е. положить — = г, то получим — = г, или х = га. с а

Таким образом, этим же построением решается задача: данный отрезок а умножить на число, заданное отношением отрезков b и с.

Ввиду изложенного в предыдущем параграфе, число г вполне определяется отрезками Ь и с, а при умножении отрезка а на число г может получиться только один отрезок.

Итак, задача имеет единственное решение.

13. Свойство биссектрисы угла треугольника

Теорема 4. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ним сторонам.

Возьмём Л ABC и проведём биссектрису CP угла С (черт. 9).

Через вершину В проведём ВМ || СР.

^ СМВ = ^ АСР (как соответственные);

^ СВМ = ^ ВСР (как внутренние накрест лежащие).

Но ^.АСР = ^ ВСР; значит, ^СВМ = ^.СМВ и в АВСМ ВС = СМ.

На основании теоремы 2 имеем: — = — , но СМ — ВС, следовательно, — = — .

Справедлива и обратная теорема. Сформулировать и доказать её предлагается самим учащимся.

Черт. 9.

14. Поперечный масштаб

Свойства пропорциональных отрезков позволяют решить важную практическую задачу о построении поперечного масштаба.

Мы уже видели, с какими затруднениями приходится встречаться на практике, когда нужно измерить отрезок с возможно большей степенью точности или, обратно, отложить отрезок заданной длины. Значительное облегчение в этом отношении даёт поперечный масштаб. Для построения поперечного масштаба берём прямую и от произвольно выбранной на ней нулевой точки О откладываем вправо единичные отрезки (черт. 10), при которых ставим отметки: 1, 2, 3... Влево от нулевой точки О отложим единичный отрезок ОР и разделим его на 10 равных частей, которые пометим цифрами от 1 до 9 справа налево. В конце Р этого отрезка восставим перпендикуляр и на нём отложим 10 произвольных, но равных между собой делений, через которые проведём прямые, параллельные первоначальной прямой. На последней из этих параллельных нанесём деления, в точности соответствующие делениям на отрезке ОР. Параллельные прямые пронумеруем цифрами от 1 до 10,

поставленными слева от перпендикуляра. Соединим точки десятичного деления нижнего отрезка с точками такого же деления верхнего отрезка, но так, чтобы нулевая точка нижнего деления была соединена отрезком с первой точкой верхнего, первая точка нижнего — со второй точкой верхнего и т. д. Восставим перпендикуляры в точках 0, 1, 2, 3 первоначальной прямой до пересечения с последней параллельной.

Черт. 10.

Если нужно отложить отрезок с точностью до десятых долей единицы, например 2,3 единицы, то мы помещаем одну ножку циркуля в точку, помеченную цифрой 2 на основной прямой, а другую ножку циркуля в точку, помеченную цифрой 3 на отрезке ОР.

Таким образом, мы получили отрезок, равный 2,3 единицы.

Если же нам нужно отложить отрезок с точностью до сотых долей единицы, например 2,37, то мы помещаем одну ножку циркуля в точке Е, где перпендикуляр, восставленный в точке 2, пересекается с 7-й параллельной, а другую ножку циркуля — в точку F9 где 7-я параллельная пересекается с наклонной, идущей от третьего деления отрезка ОР. Длина отрезка EF равна 2,37 единицы.

Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник OA В (на чертеже 10 он изображён отдельно справа, причём для ясности сторона АВ несколько увеличена). Так как сторона OA разделена на 10 равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ9 то на основании теоремы 2 получим: MiNi = 0,1 АВ, M2N2 = 0,2ЛВ, М9М9 = 0,9ЛВ. Но АВ = -=0,1 ед.; поэтому MiNi = 0,01 ед., M2N2 = 0,02 ед., M3N3 = = 0,03 ед. и т. д.

Отсюда следует, что все точки деления на первой параллельной сдвинуты влево на 0,01 ед., на второй — на 0,02ед., на третьей — на 0,03 ед. и т. д.

Поэтому и точка F сдвинута влево от 3-го деления на 0,07 ед.

Упражнения

1. Доказать, что отрезок, заключённый между боковыми сторонами треугольника и параллельный его основанию, делится пополам медианой, проведённой к основанию.

Указание. Выразить отношение каждой части отрезка к половине основания через отношение отрезков медианы.

2. Доказать, что отрезок, заключённый между боковыми сторонами трапеции, параллельный её основанию и проходящий через точку пересечения её диагоналей, делится этой точкой пополам.

Указание. Отношение каждой части отрезка к одному и тому же основанию равно отношению отрезков боковых сторон. Далее применить основную теорему.

3. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции и точку пересечения диагоналей, делит пополам основание трапеции.

Указание. Использовать результаты двух предыдущих упражнений.

4. Пользуясь предыдущим упражнением, показать, что если даны две параллельные прямые, то всякий отрезок на одной из них можно разделить пополам при помощи одной только линейки, не пользуясь циркулем.

5. Доказать, что всякий луч, проведённый внутри угла из его вершины, есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых от сторон угла постоянно.

Задачи на построение

1. Данный отрезок а разделить на три части, пропорциональные отрезкам т, п и р.

2. Через данную точку провести прямую, которая отсекла бы на сторонах данного угла два отрезка, пропорциональные двум данным отрезкам т ил.

3. Через точку, данную внутри угла, провести прямую так, чтобы её отрезок между сторонами угла этой точкой разделился в отношении, равном отношению данных отрезков тип.

4. Внутри треугольника найти такую точку, чтобы отношение её расстояний от трёх сторон треугольника было пропорционально данным отрезкам т, п и р.

Указание. Использовать упражнение 5.

Практическая работа

Построить поперечный масштаб на листе плотной бумаги размером 20 х 12 см. В качестве единичного отрезка взять отрезок длиной 5 см.

При помощи полученного масштаба отложить отрезки, например, длиной 3 ед.; 3,6 ед.; 3,68 ед. и т. д.

Измерить несколько начерченных отрезков. Найти приближённое значение отношения диагонали квадрата к его стороне.

ГЛАВА II. ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ

§ 4. ГОМОТЕТИЯ

15. Геометрические преобразования

Если возьмём прямую s и из какой-нибудь точки плоскости проведём перпендикуляр к этой прямой, а затем продолжим его на такое же расстояние, то получим новую точку, которая называется симметричной с данной по отношению к оси симметрии s. На чертеже 11 MM'J_s, МР=М'Р и, значит, точка М' симметрична сточкой М по отношению к оси s. Таким же образом можно поступить с каждой точкой плоскости. В этом случае говорят, что каждая точка плоскости преобразуется в симметричную с ней точку. Если такое преобразование произвести над всеми точками какой-нибудь фигуры, то получим новую фигуру, симметричную с данной. На чертеже 11 четырёхугольник А'В'CD' симметричен с четырёхугольником A BCD. Точки самой оси s (например, точка Р) преобразуются в самих себя, они называются

Черт. 11. Черт. 12.

неподвижными точками преобразования. В ссевой симметрии существуют и неподвижные прямые, это прямые, перпендикулярные к оси симметрии (например, ММ', АА', ВВ'9 СС, DD '), так как каждая точка такой прямой преобразуется в точку той же прямой.

Возьмём теперь точку О (черт. 12) и данную точку М преобразуем в новую точку М' так, чтобы точка О была серединой отрезка ММ'. Точка О в этом случае называется центром симметрии, а точки М и М' — симметричными по отношению к центру О. Таким образом, всякая точка плоскости преобразуется в симметричную ей точку по отношению к центру О. Если такое преобразование произвести над всеми течками данной фигуры, то получим новую фигуру, симметричную с данной относительно центра. На чертеже 12 четырёхугольник А 'В 'С 'D' симметричен с четырёхугольником A BCD по отношению к центру О. В этом преобразовании есть только одна неподвижная точка—центр О.

Неподвижными являются все прямые, проходящие через центр.

Рассмотрим ещё одно преобразование. Пусть каждая точка плоскости перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, равное данному отрезку (отрезок ММ' на чертеже 13). Такое преобразование называется параллельным переносом. Посредством этого преобразования четырёхугольник ABCD преобразуется в четырёхугольник A'B'C'U (черт. 13).

Неподвижных точек в этом преобразовании нет, так как каждая точка плоскости сдвигается со своего положения и переходит в новое. Неподвижными прямыми яеляются все прямые, параллельные направлению переноса (на чертеже 13 неподвижными прямыми являются ММ', АА', ВВ',СС\DD').

16. Точечные преобразования

Рассмотренные в предыдущем пункте преобразования называются точечными, так как посредством этих преобразований каждая точка плоскости преобразуется в новую точку.

В выше приведённых примерах способами получения новых точек являлись определённые геометрические построения. Общим свойством рассмотренных преобразований являются следующие.

1) Взаимно-однозначное соответствие между точками. Это значит, что каждой точке плоскости соответствует одна и только одна

Черт. 13.

точка, в которую она преобразуется. И обратно, каждой преобразованной точке соответствует одна и только одна точка, которая в неё преобразовалась. На чертежах 11, 12, 13 точкам М, Л, В, С, D соответствуют точки М\ A't В', С, и обратно, точкам М\ Л', В', С, Ъ' соответствуют точки М, А, В, С, D.

2) Равенство новой фигуры с первоначальной. Например, на чертежах 11, 12 и 13 четырёхугольник ABCD равен четырёхугольнику А 'В'CD '. Для осевой симметрии это можно доказать путём перегибания плоскости по прямой s. Тогда точка А совпадёт с точкой А ', В — с В', С -с С, D — с D '.

При центральной симметрии нужно повернуть плоскость на 180* около точки О, тогда точка А совпадёт с точкой А', В — с В \ С — с С и т. д.

При параллельном переносе нужно переместить всю плоскость так, чтобы каждая точка её сместилась в одном и том же направлении на расстояние, равное данному отрезку. Тогда точка А попадает в точку А ', В — в В', С — в С и т. д. Говорят, что при параллельном переносе получаются равные и параллельно расположенные фигуры.

3) Существование обратных преобразований. Для каждого из рассмотренных преобразований существует обратное, возвращающее все точки плоскости в исходное положение.

Действительно, при осевой симметрии достаточно это преобразование повторить ещё раз, тогда все точки плоскости вернутся в исходное положение: точка М' вернётся в точку М, А' — в Л, В' — в В и т. д.

Поэтому говорят, что две последовательные осевые симметрии относительно одной и той же оси равносильны тождественному преобразованию, при котором все точки остаются неподвижными.

Тождественному преобразованию равносильны и две последовательные центральные симметрии относительно одного и того же центра.

При параллельном переносе обратным преобразованием будет перенос по направлению от М' к М на расстояние, равное ММ. При этом точка М' вернётся в точку М, А' — в Л, В' — в В ш т. д.

17. Гомотетия

Изучим теперь новое преобразование, производящее более глубокие изменения в преобразуемых фигурах.

Возьмём на плоскости постоянную точку S (черт Л4) и каждую точку А преобразуем в новую точку А' так, чтобы точка а всегда лежала на прямой А А' и чтобы отношение = k было постоянно. Такое преобразование называется гомотетией (homothetie — от греческого сГцо; — подобный и veto? —расположенный — «подобное расположение»).

Гомотетия есть такое точечное преобразование, при котором дан постоянный центр S и каждая точка А преобразуется в новую точку А ', лежащую на прямой SA и удовлетворяющую отноше-

Черт. 14.

нию — = k, где k~ постоянное число для данного преобразования.

Точка S называется центром гомотетии, число k — коэффициентом гомотетии.

Если коэффициент k положительный, то отрезки SA и SA9 откладываются в одном и том же направлении от центра S. Если коэффициент k отрицательный, то отрезки SA и SA' откладываются в противоположных направлениях от центра S.

Например, на первой фигуре чертежа 14 показана гомотетия с положительным коэффициентом (k =—), а на второй фигуре— гомотетия с отрицательным коэффициентом =--—^ .

Если k = 1, то каждая точка плоскости преобразуется сама в себя, т. е. преобразование будет тождественным. При k = —1 гомотетия станет центральной симметрией.

Единственной неподвижной точкой гомотетии является её центр, тогда как неподвижными прямыми являются все прямые, проходящие через центр.

Если гомотетия с центром S и коэффициентом k преобразует точки А, Ь,С . . . в течки А*', В', С то обратным преобразованием будет гомотетия с тем же центром и коэффициентом— .преобразующая точки Л', В7,С, ... в точки Л, В, С, . . .

Например, на первой фигуре чертежа 14 точки А', В', С, ... преобразуются в точки А, В, С, ... гомотетией с центром 5 и коэффициентом — .

18. Свойства гомотетии

Из определения гомотетии следует, что это преобразование устанавливает взаимно-однозначнее соответствие между точками плоскости. Если точка А преобразуется в точку А', то эти точки называются соответственными. Если гомотетия преобразует точку А в точку А ' и точку В — в точку В', то отрезки АВ и А'В' называются сходственными.

Теорема 1. При гомотетии сходственные отрезки параллельны (или лежат на одной и той же прямой) и отношение их равно коэффициенту гомотетии.

Пусть гомотетия преобразует точку А в точку Аг и точку В в точку Я'и, положим сначала, что АВ не проходит через центр б1 (черт. 14). S A' SB'

Так как — = — = то на основании теорем о пропорциональных отрезках имеем: А'В' \\ АВ и = k.

Если прямая АВ проходит через центр S, то, по определению, на той же прямой будут лежать и точки А ' и В'. При этом SA ' = = kSA и SB' = kSB. Вычитая почленно эти равенства, получим: SA' — SB' = k(SA —SB) или А'В' = kAB, т. е. J^|Le*.

Следствие. Углы, образуемые сходственными отрезками, равны между собой.

Например, на чертеже 14 ^:АВС=^А 'В 'С, так как АВ \\ А'В' и ВС || В'С. При гомотетии с положительным коэффициентом сходственные отрезки одинаково направлены, а при гомотетии с отрицательным коэффициентом они противоположно направлены. Поэтому и в том и в другом случае углы равны.

19. Гомотетия прямой

Теорема 2. Прямая, не проходящая через центр гомотетии, преобразуется в параллельную ей прямую.

Пусть дана прямая а и центр гомотетии S. Точки М, N и Р прямой а (черт. 15) преобразуются в точки М\ N' и Р\ По первому свойству гомотетии, М 'N' II MN и М'Р' || MP, т. е. M'N' II а и М'Р' || а, следовательно, прямая совпада-

ет с прямой М 'Р \ так как, по аксиоме параллельности, через точку М' можно провести только одну прямую, параллельную прямой а. Поэтому если точка Р пробегает прямую а, то точка Р' будет пробегать прямую а', параллельную а.

Отсюда следует, что для преобразования прямой а с помощью гомотетии достаточно преобразовать только одну её точку (например, точку М в точку М ' на черт. 15) и через полученную точку провести прямую а'9 параллельную данной.

Ранее мы видели, что прямая, проходящая через центр гомотетии, преобразуется сама в себя.

Отсюда следует, что всякая прямолинейная фигура (например, многоугольник) преобразуется гомотетией в прямолинейную фигуру.

Черт. 15.

20. Гомотетия окружности

Столь же просто гомотетия преобразует окружность. Теорема 3. Окружность преобразуется гомотетией в окружность.

Пусть мы имеем окружность с центром О (черт. 16). Преобразуем её с центром гомотетии S и коэффициентом k. При этом центр О преобразуется в точку О' и точка М данной окружности преобразуется в точку М'. По свойству гомотетии О'М' = k-OM. Отсюда следует, что если точка М пробегает по данной окружности, то соответствующая ей точка М' будет описывать окружность с центром О', так как точка М' находится от точки О' на постоянном расстоянии О'М' = k-OM.

Поэтому для преобразования окружности в гомотетичную достаточно преобразовать центр и одну из её точек, а потом, зная центр и радиус, описать циркулем искомую окружность. На чертеже 16 показано преобразование окружности при положительном и отрицательном коэффициенте гомотетии.

Теорема 4. Каждые две окружности гомотетичны между собой.

Пусть мы имеем окружности с центрами О и О' (черт. 16). Положим сначала, что радиусы их не равны между собой. Возьмём на первой окружности произвольную точку М и проведём радиус ОМ. Из центра О' проведём радиус О'М', параллельный и одинаково направленный с радиусом ОМ (черт. 16,а). Прямые 00' и ММ' пересекаются в точке 5 (если 00' \\ ММ', то четырёхугольник 00'ММ' — параллелограмм и тогда ОМ = О'М', но это противоречит нашему предположению). Примем точку S за центр гомотетии, преобразующей точку О в точку О'. Так как ОМ || О'М', то точка, в которую преобразуется точка М, совпадает с точкой М'. Но тогда на основании предыдущей теоремы вся окружность с центром О преобразуется в окружность с центром О'.

Если через центр О' провести радиус О'М', параллельный, но противоположно направленный с радиусом ОМ (черт. 16,6), то точка пересечения прямых 00' и ММ' определит центр S отрицательной гомотетии, преобразующей точку О в точку О' и точку М — в точку М'.

Таким образом, для двух неравных окружностей всегда существуют два центра гомотетии — один при положительном, другой при отрицательном коэффициенте, по отношению к которым эти окружности преобразуются друг в друга. 23

Черт. 16.

Если данные окружности равные, то гомотетия с положительным коэффициентом не может быть определена, так как ОМ \\ О'М' В этом случае окружности можно преобразовать друг в друга параллельным переносом. Гомотетия с отрицательным коэффициентом в этом случае тождественна с центральной симметрией, т. е. её коэффициент равен —1,

21. Пантограф

Для практики имеет большое значение специальный инструмент, осуществляющий гомотетию. Такой инструмент называется пантографом. Он представляет собой шарнирный параллелограмм MNQP (черт. 17). Так как MN = PQ и MP = NQ, то мы имеем всегда MN || PQ. Если закрепить неподвижно точку S так, чтобы прямая PS могла вращаться около этой точки, и взять на сторонах MN и PQ соответственно точки А и А' так, чтобы точка S лежала на прямой АА то получим:

Черт. 17.

Так как, кроме того, всегда AM || А 'Р, то точки S, А и А ' должны оставаться на одной и той же прямой и, следовательно, если в точке А закрепить штифт, а в точке А' — карандаш, то, обводя штифтом контур какой-нибудь фигуры, мы убедимся, что карандаш будет чертить фигуру, ей гомотетичную. Центром гомотетии будет точка S, а коэффициентом число k = — . Меняя положение почки S на планке MP, мы можем получить различные коэффициенты преобразования.

Пантограф является удобным инструментом при копировании географических карт, планов, рисунков, чертежей и т. д.

22. Решение задач методом гомотетии

При помощи гомотетии можно осуществить решение задачи о делении отрезка в данном отношении.

Задача 1. Данный отрезок АВ разделить на части, пропорциональные данным отрезкам т, п, р, q.

Решение. Пусть А В — данный отрезок, который нужно разделить на части, пропорциональные данным отрезкам т, п, р, q (черт. 18). Проведём произвольную прямую, параллельную А В, и на ней от произвольной точки А' отложим последовательно отрезки Л'ЛГ = m, M'N' = п, N'P' = р, Р'В' = q. Точку S, в которой

пересекутся прямые А А , и ВВ', примем за центр гомотетии. Проведя прямые SM', SN', SP', найдём точки М, N, Р на прямой АВ. По теореме 1 будем иметь:

или иначе:

Задача 2. Провести прямую через данную точку и точку пересечения двух данных прямых, которая недоступна.

Эта задача довольно часто встречается в землемерной и чертёжной практике. Например, при измерениях на местности часто случается, что две прямые подходят к какому-нибудь препятствию: большому зданию, реке, озеру, лесной чаще и т. д., так что нельзя найти точку их пересечения. В то же время требуется провести прямую через некоторую данную точку и недоступную точку пересечения этих прямых.

Решение. Пусть а и Ь — данные прямые, С — данная точка (черт. 19). Возьмём на прямой а две произвольные точки А и А' и примем недоступную точку S, в которой пересекаются прямые а и 6, за центр гомотетии, преобразующей точку А в точку А'. Проведём через точку А прямую, пересекающую прямую Ъ в точке В и не проходящую через точку С. Прямая А 'В', параллельная АВ, гомотетична этой прямой и точка В' гомотетична точке В. Проведём прямые АС и ВС. Точка С, гомотетичная точке С, долж-

Черт. 18.

Черт. 19. Черт. 20.

на лежать на прямой, параллельной АС и проходящей через точку Л'. В то же время она принадлежит и прямой, параллельной ВС и проходящей через точку В'. Следовательно, точка С есть точка пересечения этих прямых. Так как гомотетия преобразует точку С в точку С, то прямая СС должна пройти через центр гомотетии S.

Задача 3. В данную окружность вписать треугольнику стороны которого были бы параллельны сторонам данного треугольники.

Решение. Пусть АБС — данный треугольник, дана также окружность с центром О' (черт. 20). Так как две окружности всегда гомотетичны между собой, то, описав около треугольника ABC окружность, найдём на окружности О' точки, соответствующие точкам А, Ву С. Для этого проведём радиусы О'А' || OA, О'В' || OJ3, О'С || ОС. Точки А В'у С определяют искомый треугольник. В силу гомотетии: А'В' \\ АВУ В'С II ВС, С А' || СА (см. теорему 3).

Задача 4. Через точку, данную внутри угла, провести окружность, которая касалась бы сторон угла.

Решение. Пусть внутри угла с вершиной S дана точка А (черт. 21). Всякая окружность, касательная к сторонам угла, будет гомотетична искомой окружности по отношению к центру S. Впишем в угол произвольную окружность с центром О'. Проведём луч SA и найдём на вспомогательной окружности точку А ', гомотетичную точке А.

Для того, чтобы найти центр О искомой окружности, проведём через точку А прямую, параллельную А'0\ до пересечения с биссектрисой. Точка пересечения и будет искомым центром О, гомотетичным О'.

Если возьмём вторую точку пересечения луча SA с вспомогательной окружностью, то будем иметь второе решение.

23. Мензульная съёмка

Гомотетия находит себе непосредственное практическое применение при землемерных работах на местности, при так называемой мензульной съёмке.

Положим, нам нужно снять на план земельный участок, имеющий форму многоугольника ABCDEF (черт. 22). Выбираем внутри многоугольника такую точку S, из которой можно было бы видеть веху, поставленную у каждой вершины многоугольника. Над этой точкой на треноге устанавливается мензула, которая представ-

Черт. 21.

Черт. 22.

ляет собой планшет размером 50x50 см с натянутым на него листом чертёжной бумаги.

На этой бумаге отмечают точку S, соответствующую точке на местности, затем, прикладывая визирную линейку к этой точке, визируют на вершину А и проводят на бумаге луч SA, на котором в избранном нами масштабе откладывают отрезок SA'.

То же самое проделывают с остальными вершинами многоугольника. В результате чего получаем на планшете фигуру, гомотетичную данному многоугольнику.

Гомотетией приходится пользоваться и тогда, когда бывает необходимо ориентироваться на местности, если имеется карта этой местности. Для этого находят на карте тот пункт, на котором мы в данный момент находимся, и принимают его за центр гомотетии.

Далее, кладут карту на какую-нибудь горизонтальную поверхность и располагают её так, чтобы направление от центра к какому-нибудь пункту на карте совпало с направлением к соответствующему пункту на местности. Тогда направления на местности и на карте будут соответствовать друг другу.

Упражнения

1. Если соединить отрезками все точки окружности с какой-нибудь постоянной точкой и каждый из отрезков разделить в одном и том же отношении, то геометрическим местом точек деления будет окружность. Доказать.

2. Точка пересечения высот треугольника, точка пересечения его медиан и центр описанной окружности лежат на одной и той же прямой*). При этом точка пересечения медиан делит отрезок между точкой пересечения высот и центром описанной окружности в отношении — . Доказать.

Указание. Рассмотреть гомотетию, определяемую данным треугольником и треугольником, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника.

Задачи на построение

1. В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы одна сторона квадрата лежала на основании треугольника, а две вершины — на двух боковых сторонах.

*) Прямая, на которой лежат три вышеуказанные точки, называется «прямой Эйлера». Леонард Эйлер— великий математик XVIII в., член Петербургской и Берлинской академий наук. Родился в 1707 г. в Базеле (Швейцария). С 1727 по 1741 г. жил в Петербурге, потом до 1766 г. в Берлине и, наконец, снова в Петербурге, где умер в 1783 г. Ему принадлежат крупнейшие работы во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Предложение, которое дано в упражнении 2, опубликовано им в 1765 г.

2. Вписать квадрат в данный сектор так, чтобы две вершины квадрата лежали на дуге сектора, а две другие — на радиусах, ограничивающих сектор.

3. Вписать квадрат в данный сегмент так, чтобы две вершины квадрата лежали на хорде, а две другие на дуге сегмента.

4. Через точку, данную вне круга, провести секущую так, чтобы внешняя часть секущей оказалась вдвое меньше внутренней.

5. Построить треугольник по углу, отношению сторон, заключающих этот угол, и медиане, проходящей через вершину этого угла.

Указание. Принять вершину угла за центр гомотетии и построить вспомогательный треугольник с заданным отношением сторон.

Практические работы

1. Изготовление пантографа. Приготовить 4 деревянные планки шириной 2 см и толщиной 0,5 см. Длина первой планки 50 см, второй и третьей по 30 см, четвёртой 20 см. Планки скрепить винтиками так, чтобы получился параллелограмм со сторонами по 28 см и по 18 см, как это показано на чертеже 17. На расстоянии 18 см от точки М просверлить отверстие S около 0,4 см в диаметре для закрепления пантографа в точке. Просверлить такие же отверстия в точках А и А' для штифта и карандаша. Пантограф закрепляют на столе, надевая его отверстием в точке S на гвоздь, вбитый в небольшую доску остриём вверх.

2. Мензульная съёмка. Провести её или на учебном школьном участке, или в зале. В качестве предмета съёмки взять многоугольник—«полигон» — с небольшим числом вершин (6—8), которые отметить вехами. Точку S отметить сначала на бумаге, а потом при помощи отвеса определить положение соответствующей точки на местности. Визировать на вершины полигона при помощи трёхгранной визирной линейки или линейки с диоптрами. Откладывать длины отрезков на плане нужно при помощи ранее изготовленного поперечного масштаба.

§ 5. ПОДОБИЕ

24. Подобные фигуры

В окружающей нас обстановке мы часто встречаем фигуры, одинаковые по форме, но различные по величине. Такие фигуры мы называем «подобными». Например, подобны между собой два любых равносторонних треугольника, два любых квадрата, две копии одной и той же картины, две карты одной и той же местности и т. д.

Выясним точнее сущность понятия подобия. На чертеже 23 даны две карты Крыма в различных масштабах. Заметим прежде всего, что между точками этих фигур можно установить взаимно-однозначное соответствие. Например, точке Syr (Симферополь) на первой карте соответствует точка S'f на второй, точке S„ (Севастополь) на первой карте соответствует точка S'n на второй. Точно так же соответствуют друг другу точки Л и Л' (Артек), D и D' (Джанкой), точки F и F' (Феодосия). Вообще любой точке первой карты можно найти соответствующую ей точку на второй.

Можно заметить, что расстояния между точками изменяются пропорционально: путём измерения можно убедиться, что, например, ^ = ^ = ^ . Далее, измеряя транспортиром углы треугольников ADF и A'D'F', мы убедимся, что ^:А=^А\

Отрезки, определяемые соответственными точками подобных фигур, называются сходственными и углы, определяемые сходственными отрезками, тоже называются сходственными.

Черт. 23.

Определение. Подобными называются такие фигуры, между точками которых существует взаимно-однозначное соответствие, и притом такое, что сходственные отрезки их пропорциональны и сходственные углы равны.

Подобие двух фигур обозначается знаком иг} который происходит от буквы S — начальной буквы латинского слова similis —подобный.

Постоянное число, равное отношению отрезка данной фигуры к сходственному отрезку подобной ей фигуры, называется коэффициентом подобия.

Из определения подобия следует, что равенство фигур есть частный случай подобия, когда коэффициент подобия равен единице.

Гомотетия фигур есть то же частный случай подобия, так как у гомотетичных фигур сходственные отрезки пропорциональны и сходственные углы равны. Коэффициент подобия равен абсолютной величине коэффициента гомотетии.

Так как две окружности всегда гомотетичны между собой, то отсюда следует, что все окружности подобны между собой.

25. Подобие трёх фигур

Теорема 1. Две фигуры, подобные одной и той же третьей, подобны и между собой.

Пусть имеем три фигуры (черт. 24), причем точкам Ai, Вг, первой фигуры соответствуют точки Ач, Вг, Сг, ... подобной ей второй фигуры, а точкам Л 2, Вг, Сг, ... второй фигуры соответствуют точки Аз, Вз, С3, ... подобной ей третьей фигуры.

Докажем, что первая фигура подобна третьей. Прежде всего установим соответствие между точками Ai, Ви Ci, ... первой фигуры и точками Аз, Вз, Сз, ... третьей фигуры.

Так как точка Л] преобразуется в точку Лг, а точка А*—в точку Аз, то отсюда следует, что точка Ах преобразуется в точку Аз- Рассуждая аналогично относительно других точек, получим, что точка В\ преобразуется в точку Вз, точка & в точку Сз и т. д.

В силу подобия имеем: ^AiBiC\=^ А2В2С2: ^АгВгСч, следовательно, ^ А1В1С1 = ^АзВзСз. Подобным же образом можно показать, что каждый угол первой фигуры равен сходственному углу третьей.

Положим, что коэффициент подобия при переходе от первой фигуры ко второй равен k, т. е. А2В2 = kAiBi. Коэффициент подобия при переходе от второй фигуры к третьей равен k', т. е. АзВз = к'.АгВг. Следовательно, АзВз = kk'AiBi или = kk' и, значит, отношение сходственных отрезков первой и третьей фигур постоянно. Итак, первая и третья фигуры подобны между собой.

Черт. 24.

26. Подобие треугольников

Рассмотрим теперь признаки подобия простейших многоугольников — треугольников.

Теорема 2 (первый признак подобия треугольников). Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Даны два треугольника: Л ABC и д А'В'С\ в которых ^ А = ^ А' и ^С = ^.С (черт. 25). Отложим на стороне СА отрезок СМ = С А' и примем точку С за центр гомотетии, преобразующей точку А в точку М. Тогда точка В преобразуется в точку N и мы получим MN || АВ. д ABC со Д MNC, так как они гомотетичны. Но д MNC = Д А'В'С, так как СМ = СА\ ^С = ^С, ^CMN = ^А' CMN = ^:Л,а^Л=^ А'). Следовательно, по предыдущей теореме, Д ЛВСсо сл Д А'В'С'.

Теорема 3 (второй признак подобия треугольников). Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между ними, равны.

Пусть в д ABC и д А'В'С (черт. 25) — = — и ^ С = ^ С. Отложим на стороне С А отрезок СМ = С А' и примем точку С за центр гомотетии, преобразующей точку А в точку М, тогда точка Б преобразуется в точку N.

Отсюда следует, что дЛВСсодЛШС. Поэтому существует CM CN л. С A' CN пропорция — = — ; но СМ = С А' и ^~ = ±| ; сравнивая эту пропорцию с условием теоремы, получим: =— т. е. CN^C'B'. Значит, Д MNC = д Л'Я'С по двум сторонам и углу между ними. Итак, д АВСы д А'В'С.

Теорема 4 (третий признак подобия треугольников). Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Пусть в A ABC и д А'В'С (черт. 25) дано, что = ~СА = Тв ' Отложим на стороне С А отрезок С/И = С А' и

Черт. 25.

примем точку С за центр гомотетии, преобразующей точку А в точку М. Тогда точка В преобразуется в точку .V и, значит, Д ABC A MNC. Отсюда следует: = — = , но СМ = СА\ поэтому-= — = -• Сравнивая эту пропорцию с условием теоремы, получим: -=-, т.е. В'С = NC9 далее, Ш- = , значит, MN= А'В'. Итак, Д MNC^ Д А'В'С АВ АВ по трём сторонам и, следовательно, Д ABC с/э Д А 'В'С.

27. Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 5. Два прямоугольных треугольника подобны, если:

1) острый угол одного треугольника равен острому углу другого;

2) катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

3) гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Первые два случая являются следствиями первого и второго признаков подобия треугольников. Рассмотрим третий случай. Пусть даны треугольники ABC и А'В'С у в которых ^. С - ^ С = 90° и - - = А С (черт. 26). Отложим на стороне АВ отрезок AN = А'В' и примем точку А за центр гомотетии, преобразующей точку В в точку N. Тогда точка С преобразуется в точку М. Отсюда следует, что д АВСсп Д AMN и, значит, д AMN — прямоугольный, так как AMN =х ^lC.

Черт. 26.

На основании подобия имеем:

сравнивая эту пропорцию с условием теоремы, получим:

Отсюда следует, что Д AMN = Д А'В'С, так как гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого. Итак, Д ABC со д А 'В'С.

28. Применение теорем о подобии треугольников к решению задач

При помощи теорем о подобии треугольников решаются многие задачи. Приведём примеры.

Задача 1. Найти расстояние от данной точки А до точки С, предполагая, что точка С видима из точки А, но недоступна.

Решение. Выберем на местности какую-нибудь точку В так, чтобы она не лежала на прямой АС, из этой точки были видимы и точка Л и точка С и чтобы отрезок А В можно было непосредственно измерить. Отметив такую точку, измерим отрезок АВ. После этого при помощи угломерного инструмента измеряем CAB и ^ ЛВС. Эгих данных достаточно, чтобы построить д Л'В'С, подобный А ABC. Для этого на листе бумаги проводим прямую и на ней откладываем отрезок Л 'В' в определённом масштабе. Положим, например, что длина А В равна 37 м. Принимая масштаб, равный —■, отложим А'В' = 37 см. Далее, при точках Л'и В' строим углы, соответственно равные ^.САВ и ^АВС. Точка С пересечения их сторон есть третья вершина треугольника А'В'С. Если измерим теперь отрезок Л 'С, то длина его в сантиметрах даст длину отрезка АС в метрах. Если, например, измерение на чертеже дало нам длину 78,3 см, то это значит, что искомое расстояние до недоступной точки А от точки С равно 78,3 м.

Ввиду несовершенства наших чертёжных инструментов, указанный способ даёт сравнительно небольшую степень точности. Позднее при изучении тригонометрии, будут показаны более точные способы определения расстояний до недоступных предметов.

Задача 2. Доказать, что высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым они проведены.

Решение. Пусть ABC — данный остроугольный треугольник, в котором проведены высоты: АМ±_ВС и BN±CA. Д АМСсо со д BNC, так как оба они — прямоугольные и ^ ACM = ^ BCN. На основании подобия мы получим пропорцию: = . Из этой пропорции мы видим, что высоты AM и BN обратно пропорциональны сторонам ВС и С А: большей стороне соответствует меньшая высота.

Предлагается самостоятельно доказать это предложение для треугольников тупоугольного и прямоугольного (напомним, что в прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами).

Упражнения

1. Соединив основания двух высот остроугольного треугольника, получим новый треугольник, подобный первоначальному. Доказать.

2. Если стороны одного треугольника соответственно параллельны сто» ронам другого, то такие треугольники подобны. Доказать.

3. Если стороны одного треугольника соответственно перпендикулярны сторонам другого, то такие треугольники подобны. Доказать.

Задачи на построение

1. Построить треугольник, подобный данному треугольнику ABC, и притом так, чтобы одна сторона нового треугольника, сходственная со стороной BCt лежала на данной прямой, сторона, сходственная с СА, проходила через данную точку М, а сходственная с АВ — через данную точку N.

2. В данную окружность вписать треугольник, подобный данному треугольнику.

3. Около данной окружности описать треугольник, подобный данному треугольнику.

29. Подобие многоугольников

Непосредственно из определения подобия фигур следует, что если два многоугольника подобны, то внутренние углы одного многоугольника соответственно равны внутренним углам другого, а сходственные стороны пропорциональны.

Теорема 6. Периметры подобных многоугольников относятся как сходственные стороны.

Положим, что мн. ABCDE сомн. A'B'CD'E', тогда А'В' = = k-AB, В'С = k • ВС, CD'=k-CD, D'E' = k • DE и E'A' = = k-EA. Складывая почленно эти равенства, получим: А'В' + В'С + CD' + D'E' + Е'А' = k • CD+DE + EA),

или

что и требовалось доказать.

30. Признак подобия многоугольников

Докажем теорему, устанавливающую признак подобия многоугольников.

Теорема 7. Если у двух одноимённых многоугольников внутренние углы одного соответственно равны внутренним углам другого, а стороны, заключающие равные углы, пропорциональны, то такие многоугольники подобны.

Пусть даны многоугольники ABCDE и A'B'CD'E' (черт. 27), у которых ^Л = ^Л', ^.В= ^.В', ^.С= ^.С, ^U= ^.U и ^£=-^£' и, кроме того,

На произвольной прямой, параллельной стороне АВ, отложим отрезок A\Bi = А'В'. Положим, что k ф 1, тогда АВ Ф А'В' и АВ Ф Л]Вь Пусть S — точка пересечения прямых ААг и ВВХ. Примем точку S за центр гомотетии, преобразующей точку А в точку А '. Тогда точка В преобразуется в точку В' (так как AiB\ |! АВ, и точка, гомотетичная точке В, должна лежать и на прямой SB и на прямой Л1В1). Эта гомотетия преобразует многоугольник

ABCDE в подобный многоугольник A'B'C'D'E'. Поэтому ^ Л= и т. д. Вместе с тем, ^=^-=~" отсюда следует, что 1 1 =- и, значит, BiCi я= В'С. Таким же путём докажем, что и Сфх = CD', DiE! = D£ и £ХЛ, = Е'Л'. Итак, все стороны и внутренние углы многоугольника AiB\C\DiEi соответственно равны сторонам и внутренним углам многоугольника А'В С D'E\ но такие многоугольники равны (при наложении они совпадут). Итак, мн. AiBiCtDiEj = = мн. ABCDE' и, значит, мн. A'B'C'D'E' сомн. ABCDE.

При k = 1 стороны многоугольника A'B'C'D'E' будут соответственно равны сторонам многоугольника ABCDE. Но так как эти многоугольники имеют и соответственно равные углы, то они равны между собой и, следовательно, мн. ABCDEю mh.A'B'C'D'E'.

Из теоремы 7 следует, что если даны два подобных многоугольника, то всегда можно построить третий многоугольник, равный одному и гомотетичный другому.

31. Решение задач методом подобия

Подобием многоугольников пользуются на практике при съёмке плана методом обхода окружной межи*). Этим методом пользуются обычно при съёмке довольно больших земельных участков, когда внутри такого участка нельзя найти точек, из которых были бы видны все вершины.

При съёмке плана методом обхода окружной межи измеряют угломерным инструментом все внутренние углы снимаемого на план многоугольника и одновременно измеряют все его стороны. При нанесении подобного ему многоугольника на план строят сначала первую сторону, откладывая её длину соответственно масштабу; к этой стороне пристраивают при помощи транспортира прилегающий угол, на стороне этого угла в том же масштабе откладывают

Черт. 27.

*) Окружной межой называется граница земельного участка. В данном случае предполагается, что участок имеет форму многоугольника.

новую сторону и т. д. В результате такого построения (если оно произведено достаточно точно) получают на плане многоугольник, подобный многоугольнику на местности.

На свойствах подобия фигур основано решение многих геометрических задач. Приведём примеры.

Задача 1. Принимая данный отрезок за сторону многоугольника, построить многоугольник, подобный данному.

Решение. Пусть ABCDE — данный многоугольник и А 'В'—данный отрезок, соответствующий стороне будущего многоугольника.

Отложим на стороне Л В данного многоугольника отрезок АВи равный данному отрезку А'В'. Потом, принимая А за центр гомотетии, строим многоугольник AB\C\DXEU гомотетичный данному.

После этого на отрезке А 'В' строим многоугольник А В 'С 'D 'Е', равный многоугольнику AB\C\D\E\.

Итак, мн. A 'B'C'D'E' = мн. ABiCiDiEu а мн. A Bi CiD, Z^c/dmh. ABCDE, следовательно, мн. A'B'CDfE'zs> со мн. ABCDE.

Задача 2. Построить треугольник по двум углам и медиане, которая проведена к стороне, заключённой между данными углами.

Решение. Положим, что даны два угла треугольника и отрезок, равный его медиане (черт. 28). Так как нам известны два угла искомого треугольника, то мы можем построить треугольник, подобный искомому, на произвольном отрезке В'С. В полученном треугольнике АВ'С проводим медиану AM'. Нам остаётся теперь так изменить размеры лЛВ'С, чтобы медиана нового треугольника равнялась данному отрезку. Для этого на прямой AM' от точки Л откладываем отрезок AM, равный данному, и через точку М проводим прямую, параллельную основанию В'С Эта прямая в пересечении со сторонами АВ' и АС или с их продолжениями определяет точки В и С. Треугольник ABC будет искомый, так как углы его при вершинах В и С равны данным углам. Кроме того, отрезок AM, равный данному отрезку, служит в Д ABC медианой. Действительно, мы имеем пропорцию:

Но В'М' = СМ' (так кш AM' — медиана). Поэтому и ВМ = = СМ и, значит, AM — тоже медиана.

Только что рассмотренное решение задачи даёт нам пример применения метода подобия для решения задач на построение. Эгот метод удобно применять в тех случаях, когда по условию задачи можно построить фигуру, подобную искомой. Так, при ре-

Черт. 28.

шении предыдущей задачи оказалось, что мы можем построить тре угольник, подобный искомому. Если, кроме того, нам ещё известна величина какого-нибудь отрезка искомой фигуры, то мы можем преобразовать полученную фигуру в искомую. В нашем примере таким отрезком является медиана треугольника.

Методом подобия можно решить и такие задачи: построить квадрат по сумме или разности диагонали и стороны; построить равносторонний треугольник по сумме высоты с основанием и т. д.

Приведём пример решения более сложней задачи на построение многоугольника, подобного данному.

Задача 3. Построить четырёхугольник AECD, подобный данному четырёхугольнику А 'В'CD ', так, чтобы стороны АВ, ВС у CD и AD проходили соответствен но через данные точки Мъ N9 Р и Q.

Допустим, что задача решена, т. е. четырёхугольник A BCD подобен четырёхугольнику А'В'CD' и проходит через точки М9 N, Р и Q (черт. 2^).

Так как ^ ABC = ^lA'B'C\ то точка В находится на дуге сегмента, построенного на отрезке MN и вмещающего угол, равный А'В'С.

Точно так же ADC= ^lA'D'C и потому точка D находится на дуге сегмента, построенного на отрезке PQ и вмещающего угол, равный ^lA'D'C. Окружности, частью которых являются дуги сегментов, пересекают диагональ BD в точках Е и F.

Кроме того, ABD = ^ A'B'D\ но ^MNE = ^ ABD как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Аналогично, QPF = = ^ A DB = ^.A'D'B'. Точки пересечения прямой EF с окружностями определяют вершины В и D. Точка пересечения прямых ВМ и DQ определяет вершину At а точка пересечения прямых BN и DP — вершину С.

Таким образом, определены все четыре вершины искомого четырёхугольника.

Итак, построение производится в следующем порядке:

1) На отрезках MN и PQ строим сегменты, вмещающие углы, соответственно равные А'В'С и ^ A'D'C% чем определяются две окружности.

2) На луче MN при вершине N строим MNE = ^ A 'B'D'% чем определяется точка £. Подобным же образом находим точку F*

Черт. 29.

3) Находим точки В и D пересечения прямой EF с окружностями. И, наконец, находим вершины Л и С как точки пересечения прямых ВМ и DQ и прямых BN и DP.

Докажем, что четырехугольники ABCD и A'B'C'D' подобны-

по первому признаку.

и вместе с тем

Если точки Е и F совпадут, то задача будет иметь бесчисленное множество решений.

Упражнение

Доказать предложения:

1. Все квадраты подобны между собой.

2. Два подобных многоугольника можно разбить на одинаковое число соответственно подобных и одинаково расположенных треугольников.

3. Доказать предложение, обратное предыдущему.

Задачи на построение

1. Построить квадрат по сумме (или разности) диагонали и стороны.

2. Построить треугольник по двум углам и биссектрисе.

3. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и сумме основания с высотой.

Указание. Построить сначала треугольник, подобный искомому.

4. Построить ромб по стороне и отношению диагоналей.

5. В данный квадрат вписать прямоугольник, у которого одна сторон» вдвое больше другой.

6. В данный ромб вписать квадрат.

7. Построить равнобедренную трапецию по углу, отношению боковой стороны к основанию и диагонали.

Указание. Построить сначала трапецию, подобную искомой.

Практические работы

Черт. 30.

1. Копирование при помощи сетки. На чертеже 30 показаны рисунки, нанесённые на квадратные сетки. Этот чертёж показывает, как можно, пользуясь заранее начерченной сеткой (например, клетчатой бумагой), копировать различные рисунки.

В качестве упражнения предлагается скопировать на квадратную сетку одну из фигур, показанных на чертеже.

Доказать, что при таком копировании получается подобная фигура. Как найти коэффициент подобия?

Скопировать при помощи сетки ещё какой-нибудь несложный рисунок.

2. Съёмка плана участка обходом окружной межи. Выбрать на местности участок в виде многоугольника. Отметить и пронумеровать его вершины. При помощи угломерного инструмента измерить его углы и одновременно измерить все его стороны. Согласно полученным данным нанести участок на план при помощи транспортира и поперечного масштаба.

ГЛАВА III. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУРАХ

§ 6. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В КРУГЕ И В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

32. Степень точки по отношению к окружности

В этой главе мы будем рассматривать зависимости, существующие между длинами отрезков в различных фигурах. В дальнейшем изложении мы будем иногда слово «длина» опускать для сокращения речи. Например, вместо слов «произведение длин отрезков» мы будем говорить просто «произведение отрезков», вместо слов «квадрат длины отрезка» будем говорить «квадрат отрезка» и т. д. Вместе с тем мы условимся также в дальнейшем принимать, что запись: AB-CD, АВ2,— — и т. д. означает соответствующие действия над числами, выражающими длины отрезков.

Теорема 1. Если из какой-нибудь точки провести к окружности секущую, то произведение двух отрезков этой секущей от данной точки до точек пересечения с окружностью есть величина постоянная, независимая от положения секущей.

Черт. 31.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что величина произведения одинакова для каких-нибудь двух секущих. Рассмотрим одновременно два случая — когда точка М находится внутри окружности и когда — вне её; сохраним для обоих случаев одни

Черт. 32.

и те же обозначения (черт. 31). Пусть первая секущая пересекает окружность в точках Л и Б, а вторая — в точках А ' и В '. Докажем, что МА-МВ = МА'-МВ'.

Соединим концы хорд А с В' н В с А'. Д АМВ' сю Д А 'М В по равенству углов при вершине М и при вершинах В и В' (вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу АА'). На основании подобия треугольников пишем пропорцию: МА = MZT_ МА MB Применяя главное свойство пропорции, получим нужное равенство:

МА-МВ = МА'.МВ'.

Определение 1. Произведение двух отрезков секущей от данной точки до точек пересечения с окружностью называется степенью точки по отношению к окружности.

Степень точки считается положительной, если данная точка лежит вне окружности (в этом случае отрезки МА и MB имеют одинаковое направление); степень точки считается отрицательной, если данная точка лежит внутри окружности (отрезки МА и МБ имеют противоположное направление). Если данная точка взята на окружности, то степень этой точки равна нулю.

Теорема 2. Степень внутренней точки (по абсолютной величине) равна квадрату наименьшей полухорды, проходящей через эту точку.

Степень внешней точки равна квадрату отрезка касательной, проходящей через эту точку к окружности.

Если М — внутренняя точка, то из всех хорд, проходящих через эту точку, наименьшей будет та, которая перпендикулярна к радиусу, проходящему через эту точку, так как она находится на наибольшем расстоянии от центра. На чертеже 32.а эта хорда ТТ\ а её расстояние от центра ОМ. Любая другая хорда находится от центра на расстоянии, меньшем ОМ\ на чертеже З2.а хорда А А' находится от центра на расстоянии ON', причём ОМ > ON (гипотенуза в д ОМ N больше катета). По доказанной теореме МА - МА' = = МТ-МТ', но МТ = МТ'\ поэтому MA-MA' = МТ2.

Если М — внешняя точка, то, проведя через неё секущую МА' и касательную МТ и соединив отрезками точку Т с точками Л и Л', получим (черт. 32, б):

Это следует из того, что угол у них при вершине М — общий и ^ МТА = MA'Ту так как каждый из них измеряется половиной дуги AT.

На основании подобия мы получаем пропорцию:

Итак,

33. Среднее пропорциональное

Определение 2. Если в пропорции последующий член одного отношения равен предыдущему члену другого отношения, то пропорция называется непрерывной.

Такова, например, пропорция:

Отрезок х называется средним пропорциональным двух отрезков а и 6.

Обозначим через х, а и Ь соответственно длины этих отрезков, тогда, пользуясь главным свойством пропорций, получим х2 = ab, или х = \fab.

Задача. Построить отрезок, равный среднему пропорциональному двух данных отрезков а и Ь.

Решение. Задача решается применением теоремы 2. Пусть а и Ъ — данные отрезки (черт. 33). На одной и той же прямой отложим последовательно два отрезка MP = а и PN = b и на полученном отрезке MN, как на диаметре, построим окружность. Проведём хорду ТТ'у перпендикулярную к диаметру в точке Р. Тогда, по доказанному, MP-PN = РТ2.

Следовательно, РТ есть средний пропорциональный отрезок, удовлетворяющий равенству х2 = ab.

Для построения можно воспользоваться свойством степени внеш-

Черт. 33.

Черт. 34.

ней точки. На одной и той же прямой в одном и том же направлении от точки Р отложим РМ = а и PN = Ь (черт. 34) и проведём через точки М и N произвольную окружность. Тогда касательная РТ будет искомым отрезком, так как по доказанному:

PM-PN =РТ*.

Непосредственно из этих построений можно получить следующие важные предложения.

Черт. 35. Черт. 36.

Следствие 1. Если в прямоугольном треугольнике провести высоту к гипотенузе, то эта высота есть средняя пропорциональная между проекциями катетов на гипотенузу.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник (черт. 35). Введём обозначения: с — длина гипотенузы А В, а — длина катета ВС, Ь — длина катета СЛ, h — длина высоты CP, а' и Ь' — соответственно длины проекций катетов а и b на гипотенузу с. Построим на гипотенузе Л В, как на диаметре, окружность, которая пройдёт через очку С—вершину прямого угла. Тогда на основании предыдущей задачи можно записать: а'Ь' = йа. Что и требовалось доказать.

Следствие 2. Катет прямоугольного треугольника есть средняя пропорциональная между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

На катете ЛС, как на диаметре, построим окружность, которая пройдёт через точку Р — основание высоты (черт. 36). Так как ВС 1 ЛС, то, следовательно, ВС — отрезок касательной. Поэтому ВС2 = ВРВА. Пользуясь принятыми обозначениями, получим:

а*=-а'-с.

34. Метрические соотношения в треугольнике

На основании третьего следствия доказывается одно из важнейших предложений геометрии — теорема Пифагора*).

*) Числовая зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника была известна в глубочайшей древности китайским, индусским,

Теорема 3. Квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин его катетов.

Короче эта теорема формулируется так: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

Согласно следствию 2 напишем равенства:

Складывая почленно эти равенства, получим:

Но сумма проекций катетсв на гипотенузу равна гипотенузе:

Следовательно, окончательно имеем: а2 + Ь* = с*.

Теорема Пифагора даёт возможность установить соотношения между длинами сторон произвольных треугольников. Условимся в следующих обозначениях: в треугольнике ABC длину стороны, лежащей против угла Ау обозначим через а, против угла Б — через 6, против угла С — через с. Проекции сторон а и Ъ на сторону с обозначим соответственно через а' и Ь'.

Докажем теперь следующую теорему.

Теорема 4. Квадрат стороны, лежащей против острого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию на неё другой стороны.

Квадрат стороны, лежащей против тупого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию на неё другой стороны.

египетским и вавилонским учёным. Пифагор Самосский (564—473 гг. до н. э.)— греческий учёный, много путешествовавший в Вавилоне и Египте, сумел дать доказательство этого предложения путём сравнения площадей квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника. Доказательство Пифагора до нас не дошло. Наиболее известным в древности доказательством было доказательство Евклида Александрийского (около 300 г. до и. э.), поместившего это доказательство в своей книге «Начала». Теорема Пифагора даёт простое доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Если катеты прямоугольного треугольника равны каждый единице, то квадрат гипотенузы равен 2, длина же гипотенузы выражается числом ^2, которое иррационально.

Доказательства этих предложений проведём параллельно.

В Д ABC угол Л —острый (черт. 37). Длину высоты СН обозначим через А.

Тогда из прямоугольного Д ВСН по теореме Пифагора получим:

Из Д АСН получим:

Подставляя эти значения в первое равенство, получим: а* = Ь* - b'2 + с2 — 2Ь'с + Ь'\ Окончательно имеем: а* = Ь2 + с2-2Ь'с.

Это равенство определяет квадрат стороны, лежащей против острого угла треугольника.

В Д ABC угол А — тупой (черт. 38). Длину высоты СН обозначим через h. Тогда из прямоугольного д ВСН по теореме Пифагора получим:

а* = Л8 + а'«. Из Д АСН получим: Л« = 6* — Ь'\а' = с + Ь';а* = = с2 + 2/?' с + й/2. Подставляя эти значения в первое равенство, получим: а2 = b2 - Ъ'2 + с2 + 26' с т Окончательно имеем:

а2 = 6*-f-с8+ 26'с. Это равенство определяет квадрат стороны, лежащей против тупого угла треугольника.

Черт. 37.

Черт. 38.

Итак, мы получили:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, если сторона лежит против прямого угла (гипотенуза); меньше суммы квадратов двух других сторон, если сторона лежит против острого угла; больше суммы квадратов двух других сторон, если сторона лежит против тупого угла.

Верно и обратное предложение:

Угол треугольника будет прямым, острым или тупым в зависимости от того, будет ли квадрат стороны, лежащей против этого угла, соответственно равен, меньше или больше суммы квадратов двух других сторон.

Теорема 5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (черт. 39). Введём обозначения длин отрезков. Обозначим длину сторон АВ и CD через а, сторон AD и ВС через Ъ, диагональ АС через т, диагональ BD через п, проекцию стороны ВС на сторону CD через Ь\ Если U острый, то С — т> пой (т ак как С -f- D = 180°). По теореме 4 имеем: из AACD

m2=a2 + b2-2ab';

из ABCD

п2 = а2 + Ь2 + 2аЬ'. Складывая почленно полученные равенства, найдём требуемое соотношение:*

т2 + п2 = 2а2 4- 2Ь2.

Черт. 39.

Найденные метрические соотношения позволяют определить длины некоторых отрезков по данным длинам других отрезков. Приведём примеры.

35. Вычисление длин некоторых элементов треугольника

Задача 1. Вычислить длину медианы треугольника, если даны длины всех его сторон.

Решение. Пусть в д ABC (черт. 40) к стороне ВС проведена медиана AM, длину которой обозначим через та (значок л указывает на то, что медиана проведена к стороне а). Продолжим медиану на её длину за точку М и полученную точку А' соединим с точками В и С, Мы получим параллелограмм ABA 'С, в котором диагональ АА ' является удвоенной медианой. Применяя теорему 4, получим:

Отсюда:

Окончательно:

Задача 2. Вычислить длину высоты треугольника, зная длины трёх его сторон.

Решение. Обозначим через ha длину высоты АН, опущенной на сторону ВС. Длины проекций сторон Ъ и с на сторону а обозначим соответственно через Ьг и с'. Вычисления проведём для остроугольного (черт. 41) и тупоугольного (черт. 42) треугольников.

Из прямоугольного треугольника АСН получим hi = b2 —б'8. Определим Ъ'2. Согласно теореме 4 имеем:

с2 = а2 + Ъ2 + 2ab' (знак минус—-для острого угла при вершине С, знак плюс — для тупого угла). Отсюда получим:

Итак,

Положим а + Ъ -Тогда а+& — с =

И окончательно:

Полученные метрические соотношения позволяют решать и некоторые практические задачи.

Черт. 40.

Черт. 41.

Черт. 42.

Черт. 43.

Задача 3. Найти расстояние между точками А и В, разделёнными препятствием (черт. 43). Для решения этой задачи провешиваем из точки А прямую, на которую из точки В при помощи эккера опускаем перпендикуляр ВС.

В полученном прямоугольном треугольнике ABC искомая сторона АВ служит гипотенузой и по теореме Пифагора её длина определяется формулой: с = Va2 4- b2, где а и Ь—соответственно длины сторон ВС и СА9 которые мы можем непосредственно измерить.

Упражнения

1. Доказать теорему: если MA-MB = MA'-MB' и М—точка пересечения прямых АВ и А'В', то точки А, В, А', В' лежат на одной и той же окружности.

2. Доказать, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, есть геометрическое место точек, степень которых по отношению к двум данным окружностям одна и та же. Доказать это же предложение для общей касательной двух касающихся друг друга окружностей, проходящей через их точку касания.

Примечание. Заметим, что указанное в этой задаче геометрическое место точек называется радикальной осью двух окружностей.

3. Доказать, что произведение двух сторон треугольника равно произведению диаметра описанной окружности на высоту, опущенную на третью сторону.

Указание. Описать около треугольника ABC окружность, опустить высоту АН из вершины А и через эту же вершину провести диаметр AD. Точку D соединить с вершиной В и доказать подобие прямоугольных треугольников АСН и ADB.

4. Разность квадратов двух сторон треугольника равна разности квадратов их проекций на третью сторону. Доказать.

5. Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению гипотенузы на опущенную на неё высоту. Доказать.

6. Вывести формулу для вычисления радиуса описанной окружности по трём сторонам треугольника.

Указание. Воспользоваться результатом упражнения 3 и формулой, определяющей высоту треугольника по сторонам.

Задачи на построение

1. Через две данные точки провести окружность, которая касалась бы данной прямой.

Указание. Найти точку пересечения данной прямой с прямой, проходящей через данные точки. Степень этой точки одна и та же по отношению ко всем окружностям, проходящим через две данные точки.

2. Построить треугольник по радиусу описанной окружности, стороне Я высоте, опущенной на другую сторону.

3. Построить равнобедренную трапецию по двум основаниям при условии, что в эту трапецию можно вписать окружность.

Указание. Предварительно доказать, что диаметр вписанной окружности есть среднее пропорциональное между основаниями.

§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА

36. Определение тригонометрических функций

В предыдущем параграфе выведены формулы, при помощи которых можно по длине одних отрезков вычислить длину других отрезков. Однако эти формулы не устанавливают точной числовой зависимости между величинами отрезков и углов.

В этом параграфе мы будем изучать такие зависимости между отрезками и углами, которые позволят нам по величине углов и некоторых отрезков определять другие отрезки, а по длине отрезков определять углы. Эти соотношения имеют очень большое теоретическое и практическое значение. Например, в практике землемерных работ часто бывает гораздо удобнее измерять углы, так как оптические приспособления угломерных инструментов дают возможность производить такие измерения с точностью, превосходящей точность измерения длин. А, например, в астрономии мы некоторые длины вообще не можем измерить непосредственно (расстояния до Луны, Солнца, планет и т. д.), и поэтому в этих случаях приходится пользоваться возможно более точным измерением углов.

Соотношения между отрезками и углами мы выведем из свойств прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике ABC введём следующие обозначения: величину угла при вершине А обозначим через а, при вершине В — через р. Длину гипотенузы АВ обозначим через с, длину катета ВС — через а, длину катета АС — через Ь. Угол при вершине С будем считать прямым.

Из подобия прямоугольных треугольников следует, что у всех прямоугольных треугольников, имеющих равные острые углы, равны и отношения сходственных сторон: если ААВС сюдЛ 'Б'С', то

Иначе мы можем сказать: величина острого угла прямоугольного треугольника однозначно определяет отношение его сторон.

Если по данному числовому значению одной переменной величины однозначно определяется числовое значение другой переменной величины, то такая связь между величинами называется функциональной зависимостью.

Если числовое значение величины х однозначно определяет числовое значение величины у, то величина х называется независимой переменной, или аргументом, а величина у—зависимой переменной, или функцией величины х.

Следовательно, можно сказать, что отношения сторон прямоугольного треугольника являются функциями его острого угла.

Зависимость между величиной острого угла и отношениями сторон прямоугольного треугольника определяется посредством функций, называемых тригонометрическими.

Тригонометрические функции определяются следующим образом: 1) Отношение катета, лежащего против острого угла а, к гипотенузе называется синусом этого угла и обозначается sin а (sinus, сокращённо—sin):

2) Отношение катета, прилежащего к острому углу а, к гипотенузе называется косинусом этого угла и обозначается cos а (cosinus, сокращённо — cos):

3) Отношение катета, лежащего против острого угла а, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом этого угла и обозначается tga (tangens, сокращённо — tg;;

4) Отношение катета, прилежащего к острому углу а, к катету, лежащему против этого угла, называется котангенсом этого угла и обозначается ctga (cotangens, сокращённо — ctg):

Из последних двух определений следует, что тангенс и котангенс величины взаимно-обратные.

Для того чтобы по данной величине угла найти соответствующие числовые значения тригонометрических функций, достаточно построить острый угол и из точки, взятой на одной из сторон этого угла, опустить перпендикуляр на другую сторону. Мы получим прямоугольный треугольник с заданным острым углом. Зная отношения сторон этого треугольника, получим значения тригонометрических функций. Однако малая точность наших построений и измерений не позволяет получить значения тригонометрических функций с достаточной степенью точности.

Более глубокое изучение тригонометрических функций средствами математического анализа дало возможность вычислить значения тригонометрических функций с достаточной степенью точности и составить соответствующие таблицы.

Для того чтобы уяснить значение этих таблиц, решим такую практическую задачу.

Черт. 44.

Задача. Определить ширину реки, не измеряя непосредственно расстояния между ее берегами.

Для решения этой задачи отметим на противоположном берегу какую-нибудь точку В (черт. 44), а на нашем берегу отметим против неё точку С. Далее при помощи эккера восставим перпендикуляр в точке С к прямой ВС. На этом перпендикуляре от точки С отложим отрезок СА=Ь определённой длины, например 20 м. После этого при помощи угломерного инструмента измеряем угол ВАС — ос. Положим, что у нас получилось а = 74°.

Итак, для определения расстояния ВС = а имеем следующие данные: Ь = 20 м и а = 74°. Из прямоугольного треугольника ABC получаем: — = tga, откуда a = 6-tga, т. е. a = 20-tg74°. ь

По таблице находим, что tg 74° = 3,487, и окончательно: а = 20-3,487 м к 70 м.

Мы определили ширину реки, не измеряя её непосредственно.

Таким же методом, только при помощи весьма точных измерительных инструментов, астрономами были определены расстояния от Земли до Луны, Солнца, планет и ближайших звёзд.

37. Изменение тригонометрических функций

Чтобы лучше проследить процесс изменения тригонометрических функций, возьмём прямой угол с вершиной О (черт. 45) и представим себе, что подвижный радиус ОР вращается около точки О, причём точка Р сначала совпадает с точкой Л, потом описывает дугу в четверть окружности и приходит в точку В. Опустив перпендикуляр PQ на сторону OA прямого угла, получим прямоугольный треугольник OPQ, в котором ^ POQ = a; = sin а; cos а.

При этом, расширяя наше первоначальное определение тригонометрических функций, мы будем принимать во внимание и случаи, когда точка Р совпадёт с точкой А или с точкой В. Прямоугольный треугольник при этом уже не будет существовать, но мы по-прежнему будем принимать отношение за синус, а — за косинус соответствующего угла.

1) Когда точка Р совпадает с точкой Л, отрезок PQ обращается в нулевой и отношение тоже становится равным нулю. Вместе

с тем совпадают и стороны угла POQ, т. е. этот угол обратится в нулевой угол*). Это мы запишем так: sin 0° = 0. При движении точки Р по дуге от точки А к точке В угол а увеличивается и вместе с тем увеличивается отрезок PQ. А так как величина радиуса ОР остаётся неизменной, то отношение = sin а всё время увеличивается.

Наибольшего своего значения синус достигнет, когда точка Р совпадёт с точкой В. В этот момент отрезок PQ станет равен отрезку ОР и отношение станет равно единице, тогда как угол а станет прямым. Итак, мы получим:

sin 90° = 1. Таким образом, мы приходим к выводу:

При изменении угла от 0° до 90° синус увеличивается от нуля до единицы.

Так как катет прямоугольного треугольника всегда меньше гипотенузы, то —^ < 1, и мы получаем: синус острого угла есть положительное число, меньшее единицы.

2) Чтобы выяснить, как изменяется косинус, мы должны проследить за изменением отрезка OQ, так как

—— =- cos а. ОР

Когда точка Р совпадает с точкой А, то совпадают точки А и Q, и мы получим, что -9- = 1 т. е. cos 0° = 1. ОР

При увеличении угла а точка Р приближается к точке В, а точка Q к точке О, т. е. отрезок OQ уменьшается и, значит, всё время уменьшается и косинус. Когда точка Р совпадёт с В, то Q совпадёт с О и отрезок OQ обратится в нулевой, а угол а станет равен прямому. Поэтому отношение -22- будет равно нулю, и мы получим: cos 90° = 0.

Итак, при изменении угла от 0° до 90° косинус уменьшается от единицы до нуля.

Вместе с тем в прямоугольном треугольнике OPQ катет OQ всегда меньше гипотенузы; поэтому, так же как и синус, косинус острого угла меньше единицы.

Черт. 45.

*) Нулевым отрезком называется отрезок, концы которого совпадают. Нулевым углом называется угол, стороны которого совпадают.

3) Так как тангенс острого угла есть отношение катетов прямоугольного треугольника, то, для того чтобы проследить за изменением тангенса с изменением угла, удобнее рассмотреть прямоугольный треугольник с постоянным катетом. Возьмём прямую и примем точку О на этой прямой за вершину переменного угла а, из другой точки N этой прямой восставим к ней перпендикуляр (черт. 46). Если на этом перпендикуляре возьмём точку М и соединим её с точкой О, то получим прямоугольный треугольник OMN, в котором ^ NOM = а и — = tgcc.

При совпадении точки М с точкой N угол NOM обращается в нулевой; при этом и отрезок MN тоже становится нулевым. Это мы запишем так: tg 0° = 0.

Черт. 46.

Черт. 47.

При движении точки М вверх по перпендикуляру угол а будет всё время увеличиваться и вместе с тем будет неограниченно увеличиваться и катет MN. А так как катет ON при этом остаётся постоянным, то отношение — тоже увеличивается неограниченно.

Нетрудно доказать, что можно найти острый угол, тангенс которого равен данному положительному числу. Для этого возьмём любое положительное число т и, умножив на него отрезок ON, отложим на перпендикуляре отрезок MN = mON.

Тогда получим: tg а =- = т .

Угол а и будет искомым углом, тангенс которого равен числу т.

Итак, при увеличении угла от 0° до 90° тангенс увеличивается от О неограниченно.

4) Так как котангенс — величина, обратная тангенсу, то изменение его при изменении угла происходит в обратном порядке: если tg а с увеличением а увеличивается, то ctg а с увеличением а уменьшается. Чтобы проследить за изменением котангенса с изменением угла, сделаем следующее построение. В какой-нибудь точке О прямой О/С (черт. 47) восставим к ней перпендикуляр ON и через точку N проведём прямую, параллельную ОК. На этой прямой возьмём

точку М и соединим её с точкой О, получим прямоугольный треугольник OMN, в котором OMN = ^.МОК = а, ^ = ctga.

Когда точка Л1 совпадёт с то ^ a = 90°, МЛ/ = 0 и поэтому ctg 90° = 0. Будем теперь перемещать точку М по прямой, параллельной О/С, вправо отточки N. При этом угол а будет уменьшаться, а отрезок MN неограниченно увеличиваться и, значит, ctg a = ^ будет неограниченно увеличиваться. Так же как и для тангенса, можно доказать, что котангенс острого угла может быть равен любому положительному числу.

Итак, при уменьшении острого угла а котангенс неограниченно увеличивается, а при увеличении угла a ctg а уменьшается и обращается в нуль при a = 90°.

38. Построение острого угла по значению тригонометрической функции

Для решения обратной задачи — отыскания острого угла по заданной тригонометрической функции этого угла — достаточно построить прямоугольный треугольник с данным отношением сто рон. Пусть, например, надо найти угол a , если sina= — .

Проведём перпендикуляр к произвольной прямой в какой-нибудь точке С и на этом перпендикуляре отложим отрезок СВ, равный двум произвольным единичным отрезкам (черт. 48). Далее найдём отрезок, равный пяти таким же отрезкам, и полученным радиусом опишем из центра В дугу окружности, которая пересечёт первоначальную прямую в точке Л. Мы получим прямоугольный треугольник ABC, в котором АВ = 5 ед. и ВС = 2 ед. Следовательно, угол ВАС есть искомый угол а, так как sina=^=A. АВ 5

Подобным же образом можно построить острый угол по данному тангенсу. Положим, что tg a = —, найдём острый угол а.

Так как тангенс острого угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему, то нам нужно построить прямоугольный треугольник с катетами, отношение которых равно — .

Черт. 48.

Черт. 49.

Для этого мы на произвольной прямой отложим отрезок Л С, равный трём единичным отрезкам (черт. 49). Затем в точке С восставим перпендикуляр к прямой АС и отложим на нём отрезок СВ = 5 ед. В результате мы получим прямоугольный треугольник ЛВС, в котором ^ ВАС и есть искомый угол а, так как

39. Тригонометрические функции дополнительных углов

При изучении тригонометрических функций острого угла, в частности при употреблении таблиц, очень важно знать соотношения между функциями острых углов, дающих в сумме 90°. Такие углы называются дополнительными по отношению друг к другу.

Теорема. Синус данного угла равен косинусу дополнительного угла, а косинус данного угла равен синусу дополнительного угла.

Тангенс данного угла равен котангенсу дополнительного угла, а котангенс данного угла равен тангенсу дополнительного угла.

Для доказательства рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (черт. 50). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому а + (3=90° и р=90°— а.

Для угла р катет Ь является противолежащим, а катет а—прилежащим. Поэтому по определению тригонометрических функций острого угла получим:

Черт. 50.

Если заменить р через 90° — а, а отношения — соответствующими тригонометрическими функциями угла а, то получим:

40. Употребление таблиц

Таблицы тригонометрических функций имеются в книге В. М. Брадиса «Четырёхзначные математические таблицы» (стр. 19—25). Таблица синусов (таблица VIII) содержит значения синусов углов от 0° до 90°. С левой стороны таблицы показано число

градусов, а сверху — число минут через каждую десятую долю градуса, т. е. через 6 минут. Например, чтобы найти sin 38°24', мы находим слева число 38°, а сверху число 24' и в пересечении соответствующих горизонтальной и вертикальной строк находим значение синуса 0,6211.

Эта же таблица служит и для отыскания значений косинуса. При этом нужно помнить свойства функций дополнительных углов. Например, cos 27° = sin (90° — 27°) = sin 63° = 0,8910. Но, чтобы не прибегать каждый раз к такому вычислению, в той же самой таблице справа и снизу указаны числа градусов и минут для дополнительных углов. Поэтому, чтобы найти, например, значение cos 52°18/, мы находим справа число 52°, а снизу число 18' и в пересечении соответствующих горизонтальной и вертикальной строк находим число 0,6115 — значение косинуса угла 52°18/.

По такому же принципу устроены таблицы IX и X для тангенсов и котангенсов. Подробное руководство к пользованию этими таблицами дано в той же книге на странице 21.

41. Решение прямоугольных треугольников

Пользуясь таблицами значений тригонометрических функций, можно вычислить все элементы прямоугольного треугольника, если даны два его элемента (из которых хотя бы один должен быть отрезком).

Рассмотрим следующие случаи:

1) Даны гипотенуза с и острый угол а. Определить р, а и 6.

Решение. [3=90° — а; — = sin а, следовательно, а = с- sin а, — = cosa; следовательно, 6 = c-cosa. с

2) Даны катет а и острый угол а. Определить р, b и с.

Решение. 8 = 90° — а; ~ = sin а; значит, с =^—-— ; —= = ctga, поэтому & = a-ctga.

3) Даны катет а и гипотенуза с. Определить a, р и 6.

Решение. sina = — ; по таблицам находим угол а, зная величину его синуса — . Определив угол а, находим угол р = 90°- а. Далее, из равенства — = cosa получаем: fc = c-cosa.

Катет b можно найти и по теореме Пифагора: b = у с2 — а2.

4) Даны катеты а и Ь. Определить a, (J и с.

Решение. tgcc= —; по таблицам находим угол а по величине его тангенса. Определив угол а, находим угол р = S0° — a. Далее, из равенства — = sin а, находим гипотенузу: с=--. Гипотенузу можно найти и по теореме Пифагора: c=j/a'-f- Ь2.

Пример. Пусть имеем прямоугольный треугольник, в котором дано: а = 53,8 см, a = 38°36'.

Определить остальные элементы треугольника. Находим угол (J. р = 90° — 38°36' = 51°24'.

Далее, из равенства — = sin а определяем с.

Удерживать большое число десятичных знаков не имеет смысла, так как катет а измерен только с точностью до миллиметра. Катет b определим из равенства— = ctga;

42. Практические задачи с применением тригонометрии

Задача. Найти высоту предмета, к основанию которого нельзя подойти.

Решение. Допустим, что нам необходимо найти высоту башни MN = Л (черт. 51). Помещаем угломерный инструмент в точке А и, визируя на высшую точку предмета М, находим угол а между этим направлением и горизонтальным. Потом помещаем инструмент в точку В на прямой линии между точкой А и предметом и измеряем угол [J, вновь визируя на точку М. Вместе с тем тщательно измеряем расстояние АВ = а.

Из прямоугольного треугольника AMN получим: AN = Л-ctg a.

Из прямоугольного треугольника BMN получим: BN = Л ctg р. Вычитая почленно второе равенство из первого, получим:

Черт. 51.

Следовательно,

Пусть при измерении получили следующие данные:

Применяя полученную формулу, найдём:

Упражнения

1. Вычислить тригонометрические функции угла в 30° с четырьмя десятичными знаками после запятой и сравнить полученные результаты с таблицей.

2. Вычислить тригонометрические функции угла в 60° с той же степенью точности.

Указание. Использовать свойства дополнительных углов.

3. Вычислить с той же степенью точности тригонометрические функции угла 45°.

Указание. Вспомнить, что прямоугольный треугольник с углом 45е равнобедренный.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, высота равна 15 см. Вычислить угол при вершине.

5. Стороны прямоугольника равны 36 см и 16 см. Определить угол между диагоналями.

6. Доказать, что квадрат стороны, лежащей против острого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

7. Стороны треугольника равны 25 см и 34 см. Угол между ними 63°24\ Вычислить третью сторону.

Указание. Применить результат предыдущего упражнения.

8. Вычислить хорду окружности, зная, что радиус равен 30 см, а соответствующий центральный угол равен 73°.

Практические работы

1. Пользуясь указанным на странице 162 способом, определить расстояние до какой-нибудь точки на местности, не подходя к этой точке. Проверить полученный результат непосредственным измерением. Применить этот же способ для определения расстояния до какой-нибудь недоступной точки.

2. Определить высоту какого-нибудь предмета двумя способами: измеряя расстояние до основания предмета и не измеряя его (в этом случае нужно пользоваться формулой А =--а - ).

Сравнить полученные результаты.

§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

43. Основные построения

Применение алгебры к решению геометрических задач основано на том, что числа, входящие в некоторые алгебраические выражения, можно рассматривать как длины определённых отрезков, а алгебраические действия над этими числами можно заменить геометрическими построениями.

Простейшими алгебраическими выражениями, допускающими соответствующие геометрические построения, являются следующие:

1. Построение суммы или разности:

х = а + Ь\ х = а — Ь.

2. Построение четвёртой пропорциональной, т. е. отыскание неизвестного из пропорции:

— = — , откуда х = — . ас с

3. Построение средней пропорциональной, т. е. отыскание неизвестного из пропорции — = —, откуда

4. Построение корня квадратного из суммы квадратов двух чисел х = \fa2 -f- b2.

Чтобы найти х, строим прямоугольный треугольник с катетами длиной а и Ь. Гипотенуза будет иметь длину х (по теореме Пифагора).

5. Построение корня квадратного из разности квадратов двух чисел: х =угс2 — Ь2 . Здесь х есть длина катета прямоугольного треугольника с гипотенузой длиной с и катетом длиной 6.

Пользуясь этими формулами, можно построить более сложные выражения.

Пусть требуется построить отрезок, длина которого х определяется выражением:

где а, Ь и с — длины данных отрезков.

Чтобы получить отрезок х, произведём следующие построения:

IJy^а& + ^==|/Га [ь + "7J ; положим~= т, тогда т

найдём построением четвёртой пропорциональной: т:с = с:Ь\

2) положим Ь + т = п; отрезок п находим суммированием отрезков;

3) отрезок х находим построением средней пропорциональной:

Решение геометрической задачи на построение алгебраическим методом производится следующим образом. Сначала проводят анализ, для чего строят примерный чертёж фигуры, удовлетворяющий условию задачи. Рассматривая этот чертёж, находят, какие отрезки этой фигуры известны по данным задачи и какие неизвестные отрезки фигуры нужно найти, чтобы эту фигуру построить. После этого находят зависимости между длинами данных отрезков и искомыми. Обычно эти зависимости выражаются одним или несколькими уравнениями (число уравнений, конечно, должно равняться числу неизвестных). Решая полученные уравнения, находят выражения, определяющие длины искомых отрезков. Если полученные выражения можно привести к тем, которые допускают соответствующие построения, то эти построения производят и находят нужные отрезки. При помощи этих отрезков и строят искомую фигуру.

44. Примеры решения задач на построение алгебраическим методом

Задача 1. Принимая вершины треугольника за центры трёх окружностей, построить эти окружности так, чтобы они касались друг друга извне.

Решение. Допустим, что задача решена и что нами построены искомые окружности (черт. 52), центрами которых являются вершины треугольника ABC. Обозначим через х радиус окружности с центром А, через у радиус окружности с центром В, через г радиус окружности с центром С.

Черт. 52 Черт. 53.

Сторону ВС обозначим через а, сторону СА через Ь, сторону АВ через с. Так как при внешнем касании двух окружностей точка касания лежит на линии центров, то расстояние между центрами равно сумме радиусов. Поэтому мы получим уравнения:

Складывая почленно все три уравнения, получим:

2(х + у + z) = а + Ъ + с.

Периметр треугольника обозначим через 2р, тогда х + у + г=р.

Так как у + г = а, то* + а = Р и х = р — а.

Аналогично получим у = р — Ъ и z = р — с.

Итак, радиусы искомых окружностей определены.

Задача 2. Через две данные точки А и В провести окружность так, чтобы при пересечении её с данной прямой I получилась хорда данной длины п.

Решение. Допустим, что задача решена и что мы получили искомую окружность (черт. 53), которая проходит через точки А и В и пересекает прямую / в точках М и N так, что MN = п.

Предполагая, что прямая / пересекает прямую АВ вне отрезка АВ в точке S, обозначим: SA = a, SB = Ь и SM = х.

Тогда, применяя теорему о степени точки по отношению к окружности, получим: SM-SN = SASB или х(х + п) = ab.

Преобразуя это выражение, получим квадратное уравнение:

х2 + пх — аЬ = 0.

Решая это уравнение, получим для определения отрезка х вы ражение:

Для построения этого выражения найдём сначала отрезок т2 = 4а6 как среднее пропорциональное между отрезками 2а и 26. Далее построением прямоугольного треугольника находим У п2 + т2, как гипотенузу треугольника с катетами т и п. Наконец, из полученного отрезка вычитаем отрезок п и разность делим пополам. Найденный отрезок отложим на прямой / от точки S и получим точку М. Окружность, проходящая через точки Л, В и УИ, и будет искомой окружностью. Докажем это.

Отрезок SM == х удовлетворяет равенству х(х + п) = ab. В то же время мы получили окружность, для которой справедливо равенство SMSN — ab или x-SN = ab; следовательно, x-SN = = jc(a: + п); сокращая на xt получим SN = *+п, но SAf = SM + т. е. х + п = SM + МЛ/, или а: + п = дс + МЛ/, откуда MN = п.

Мы взяли радикал со знаком плюс. Если возьмём радикал со знаком минус, то получим второе решение. В этом случае длина искомого отрезка отрицательна и его нужно будет отложить на прямой I в направлении, противоположном отрезку SM. Получится точка N\ симметричная с точкой N по отношению к точке S. Окружность, проходящая через точки А% В и N' даёт второе решение задачи. Так как дискриминант уравнения n2-\-4ab положителен, так как п2 > 0 и ab > 0 (степень положительная), то задача разрешима и имеет два решения.

45. Однородность формул, выражающих длину отрезков

При решении геометрической задачи на построение алгебраическим методом необходимо обратить внимание на одну существенную особенность тех выражений, которые мы получаем при определении искомых отрезков. Эта особенность заключается в следующем.

Пусть отрезок, длина которого равна х> выражен через данные отрезки а, 6, с, ...

При этом мы имеем в виду, что найденная формула, выражающая х, получена на основании соотношений равенства и подобия между рассматриваемыми отрезками.

Это выражение (например, выражение х =-г—- в предыдущей задаче) получено при установлении соотношений в некоторой геометрической фигуре. Подвергнем эту фигуру подобному преобразованию с коэффициентом подобия k. Тогда длины всех отрезков будут kx, ka, kb, kc, ...

Но, в силу подобия, в новой фигуре сохраняются те же самые соотношения между отрезками и потому отрезок kx будет выражаться через отрезки ka, kb, kc, ... той же самой формулой. Отсюда мы заключаем, что формула, выражающая искомый отрезок через данные, обладает тем свойством, что если все входящие в это выражение длины отрезков умножить на k, то и всё выражение приобретает множитель £. Например, для формулы предыдущей задачи получим:

Выражение, которое после умножения всех входящих в него букв на число k приобретает множитель k, называется однородным выражением первой степени по отношению к этим буквам.

Итак, мы получили очень важный вывод:

Всякая формула, выражающая длину искомого отрезка через длины данных отрезков, должна быть однородным выражением первой степени по отношению к длинам этих отрезков.

Этим выводом можно пользоваться для проверки правильности полученных формул: если у нас в результате наших вычислений не получилось однородное выражение, то это указывает на то, что в вычислении сделана ошибка.

Таково, например, выражение: x=*Y а2 -\-Ь .

Умножая все буквы выражения в правой части на число kt получим V k2a2 + kb. Множитель k нельзя вынести из-под знака радикала, поэтому выражение неоднородно.

Упражнения

1. Доказать, что если в треугольник вписать окружность, то отрезки сторон треугольника от вершины до точек касания вписанной окружности равны р — at р — ь и р — с, где а, Ь и с — длины сторон, р — полупериметр треугольника.

Указание. Использовать результаты решения задачи 1.

2. Возьмём единичный отрезок ОАх и из точки Ах восставим перпендикуляр AtA2 (черт. 54), также равный единице; соединим отрезком точки О и Л2.

Далее в точке А2 восставим перпендикуляр ЛаЛ3 к прямой ОЛ2, также равный единице, и соединим отрезком точки О и Л3. Потом в точке А3 вновь восставим перпендикуляр Л3Л4, также равный единице, и т. д.

Доказать, чтоОЛ2= V 2ед., ОЛ3 = у^З ед., ОА4 = ед., ... и вообще 0Ап = у/~пед.

3. Построить выражения:

4. Построить треугольник, если известно его основание я, высота h и произведение двух боковых сторон, которое равно произведению отрезков т и п.

Указание. Определить сначала радиус описанной окружности.

5. Данный отрезок а разделить на такие две части, чтобы весь отрезок так относился к большей части, как большая часть относится к меньшей*).

Указание. Обозначить через х большую часть отрезка и найти х из пропорции:

Черт. 54.

6. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности катетов.

*) Деление отрезка, указанное в этом упражнении, называется также «делением в крайнем и среднем отношениях». В древности оно также называлось «золотое сечение» (seclio aurea). Было замечено, что деление различных частей фигуры в крайнем и среднем отношениях производит наиболее приятное впечатление для глаза. Этим обстоятельством пользовались художники, скульпторы и архитекторы для создания наиболее красивых форм.

ГЛАВА IV. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

§ 9. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ

46. Основные понятия

Из курса арифметики мы получили первоначальные сведения об измерении площадей. Мы знаем, что за единицу при измерении площадей принимается площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Известно также, что площадь прямоугольника, длина сторон которого выражается целыми числами, равна произведению его длины на ширину. Если, например, длина комнаты равна б м, а ширина 4 м, то площадь её равна 24 м2, так как прямоугольник легко разбить на 24 единичных квадрата.

Однако при измерении площадей прямоугольников, стороны которых несоизмеримы с единицей, многоугольников, отличных от прямоугольника, и фигур, ограниченных кривыми линиями, мы встречаем затруднение, вызванное тем, что такие фигуры нельзя разбить на единичные квадраты.

При измерении площадей таких фигур можно поступить совершенно так же, как поступали при измерении длины отрезка. Для измерения длины отрезка мы прикладывали к нему масштабную линейку, совмещая нулевое деление линейки с одним концом отрезка, и смотрели, между какими делениями попадает другой его конец. Если, например, он находился между 5-м и 6-м делениями, то приближённое значение длины по недостатку было равно 5 ед., а по избытку 6 ед. Далее находили приближённые значения длины с точностью до одной десятой (например, 5,7 и 5,8), потом с точностью до одной сотой (например, 5,73 и 5,74) и т. д.

В результате получали последовательности приближённых значений длины, которыми это число определялось с той степенью точности, какую могут дать наши измерительные инструменты.

Подобным же образом можно определить и площадь фигуры. Наложим на фигуру (черт. 55) квадратную масштабную сетку и сосчитаем, сколько квадратов полностью помещается на фигуре. Полученное при этом число даёт приближённое значение площади по

Черт. 55.

недостатку (на чертеже эти квадраты заштрихованы). Далее подсчитаем, сколько имеется квадратов, которые хотя бы одной точкой принадлежат фигуре (на чертеже эти квадраты обведены внешней ломаной линией). Это число даёт приближённое значение площади по избытку. Для получения более точного значения площади надо квадраты нашей сетки разбить на более мелкие доли (например, если разделить стороны квадрата на 10 равных частей, то каждый квадрат разделится на 100 равных квадратов) и вновь произвести такой же подсчёт и т. д.

Такой способ непосредственного измерения площадей иногда применяется в землемерной практике, когда хотят определить на плане площадь фигуры, ограниченной неправильным криволинейным контуром (как, например, на чертеже 55).

Масштабная сетка наносится на прозрачную пластинку.

Такая пластинка, называемая палеткой, накладывается на данную фигуру, и производится подсчёт квадратов. На практике за числовое значение площади обычно принимают число внутренних квадратов, к которому прибавляют половину числа квадратов, пересекаемых контуром фигуры.

Таким образом, площадью фигуры называется действительное число, которое получается при измерении фигуры квадратной единицей.

Способ непосредственного подсчёта числа единичных квадратов является в большинстве случаев очень кропотливым и утомительным. Поэтому одной из задач геометрии является определение способов, которые позволили бы измерение площадей свести к измерению длин отрезков.

Измерение площадей приводится к измерению длин отрезков на основании следующих предложений, которые мы здесь доказывать не будем ввиду сложности этих доказательств, но которые доказываются в более подробных курсах геометрии.

1. Равные фигуры имеют равные площади.

2. Если фигура состоит из нескольких частей, то её площадь равна сумме площадей составляющих её частей.

47. Площадь прямоугольника

Докажем теорему о вычислении площади прямоугольника по длине его сторон, причём будем рассматривать общий случай, когда стороны могут быть и несоизмеримы с единицей длины. При этом одну из сторон прямоугольника назовём основанием, а перпендикулярную к ней сторону — его высотой.

Теорема 1. Площадь прямоугольника равна произведению длины его основания на длину его высоты.

Рассмотрим прямоугольник, основание которого имеет длину а, а высота длину Ь (черт. 56). Согласно указанному нами способу определения площади наложим на прямоугольник квадратную масштабную сетку так, чтобы две взаимно-перпендикулярные линии сетки совпали с двумя смежными сторонами прямоугольника.

Черт. 56.

Чтобы получить приближённое значение площади по недостатку, нужно подсчитать число внутренних квадратов. Для этого достаточно сосчитать число квадратов в одном ряду и умножить это число на число рядов.

Но первое число есть приближённое значение по недостатку длины а основания (а,), а второе число есть приближённое значение по недостатку длины Ь высоты (bi).

Тогда приближённое значение площади по недостатку выражается произведением ajbi (на чертеже 56 ах = 7, bi = 9, аА = 63).

Точно так же для получения приближённого значения площади по избытку нужно приближённое значение длины а по избытку (а\) умножить на приближённое значение длины b по избытку (Ь\), получим число ар\ (на чертеже 56 а\ = 8, Ь\ = 10, ар\ = 80).

Далее берём приближённые значения длин а и ft с точностью до 0,1 и получим более точные приближённые значения по недостатку — аЬ2 и по избытку — аф2.

После этого берём приближённые значения длин а и b с точностью до 0,01 и получаем новые, ещё более точные значения площади по недостатку — а3Ь3 и по избытку — d6 b's.

Продолжая так дальше, мы получим последовательные приближённые числовые значения площади:

по недостатку axb^ a2b2f a3b3, а464, по избытку a\b'v a'2b'2, d,Jb'v dAb'v ....

Согласно правилу умножения действительных чисел полученными приближёнными числовыми значениями определяется число ab — произведение чисел а и Ь, так как числа аи а2у а3, ... и а\, а2, а'г, ... определяют число а, а числа bu b2> Ь3, ... и Ь\, ь2» » определяют число Ь.

Итак, площадь прямоугольника с основанием длиной а и высотой длиной b выражается формулой:

S = ab.

Поясним сказанное примером. Пусть длина а=7,63543... ед., длина 6=9,71235... ед. Тогда последовательные приближённые значения площади данного прямоугольника будут таковы:

Мы видим, что первое приближение даёт очень малую степень точности (17 ед.2), второе даёт площадь с точностью до 2,04 ед.я, третье до 0,17 ед.2, четвёртое до 0,02 ед.2, пятое до 0,002 ед.2. Таким образом, измеряя достаточно точно длину сторон прямоугольника, мы можем с необходимой для нас степенью точности найти его площадь.

48. Площадь треугольника

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Рассмотрим треугольник ABC (черт. 57). За основание примем сторону ВС, длину которой обозначим через а, и проведём к ней высоту длиной А. Через середину Р высоты проведём прямую параллельно основанию и из точек В и С опустим на неё перпендикуляры. В результате получим прямоугольник ВСС'В', площадь которого равна площади данного треугольника.

Действительно, д ABC состоит из трапеции MNCB и двух прямоугольных треугольников AMP и ANP.

Прямоугольник ВССВ' состоит из той же трапеции MNCB и двух прямоугольных треугольников В'MB и CNC. Но

Черт. 57.

Следовательно, площадь треугольника ABC равна площади прямоугольника ВСС'В'.

Сокращённо это запишем так: SABC = SBCCB.

Но, как доказали ранее, площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту.

У полученного прямоугольника основанием служит основание треугольника а, а высотой служит половина высоты треугольника —. Итак,

Если ha — высота, проведённая к стороне a, hb — высота, проведённая к стороне 6, то, по доказанному в § 5 (пункт 28 задача 2), имеем: — = —, т. е. aha = bhb. Значит, формула площади треугольника справедлива для любого основания и соответствующей высоты.

Формула Герона. Если нам необходимо вычислить площадь треугольника по данной длине его сторон а, 6, с> то для этого воспользуемся ранее выведенной формулой, выражающей длину высоты треугольника, опущенной на сторону а:

Если 5д=^£-, то, подставляя сюда значение haJ получим:

Эта формула называется формулой Герона, по имени греческого учёного, жившего в Александрии около 100-го года до н. э.

Благодаря тому что любой многоугольник можно разбить на треугольники, площадь всякого многоугольника можно получить как сумму площадей составляющих его треугольников.

49. Площадь параллелограмма

Теорема 3. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Возьмём параллелограмм ABCD (черт. 58) и проведём в нём диагональ АС. Эта диагональ разбивает параллелограмм на два треугольника ABC и Л CD. Положим, что длина основания CD равна с, а длина высоты, опущенной на это основание, равна Л.

Так как треугольники равны, то площадь параллелограмма вдвое больше площади каждого из них.

Но SACD^=—ah. Следовательно,

Теорема 4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей*).

Рассмотрим ромб A BCD (черт. 59). Пусть тип — длины его диагоналей АС и BD.

Диагональ BD разбивает ромб на два равных треугольника ABD и BCD. Площадь ромба вдвое больше площади /\ABD.

Черт. 58. Черт. 59.

В силу перпендикулярности диагоналей ромба высотой AABD служит половина диагонали АС.

Поэтому

50. Площадь трапеции и описанного многоугольника

Теорема 5. Площадь трапеции равняется произведению полусуммы оснований на высоту.

Пусть трапеция A BCD (черт. 60) имеет основания А В — a, CD = Ь. Длину высоты трапеции обозначим через А. Диагональ АС разбивает трапецию на треугольники АБС и ACD с общей высотой А. Рассматривая площадь трапеции как сумму площадей этих треугольников, получим:

Черт. 60. Черт. 61.

*) Понятно, что площадь ромба можно опрзделять и как площадь всякого параллелограмма, произведением стороны на высоту.

Теорема 6. Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Пусть около окружности с радиусом г описан п-угольник (на чертеже 61 п = 5), стороны которого имеют длины аи (Ь> а3у...,ап.

Отрезками пряых, проведёнными из центра вписанной окружности к вершинам, многоугольник разбиватся на п треугольников.

В каждом из таких треугольников за основание можно взять сторону вписанного многоугольника, за высоту — радиус вписанной окружности. Тогда площадь многоугольника выразится формулой.

В частости, площадь треугольника выражается формулой:

где'* — радиус вписанной окружности, р—полупериметр треугольника.

51. Отношение площадей подобных многоугольников

Теорема 7. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Докажем эту теорему сначала для треугольников. Пусть дЛВСоодЛ'В'С', k — коэффициент подобия.

Обозначим длину ВС через а и длину опущенной на неё высоты через А; тогда длина стороны В 'С' равна ka, а длина опущенной на неё высоты kh.

Черт. 62.

Следовательно,

Возьмём теперь два подобных многоугольника ABCDE hA'B'C'D'E' с коэффициентом подобия k (черт. 62). Первый из них разобьём на треугольники:

ABE с площадью Su BED с площадью S2, BCD с площадью 5з.

Второй многоугольник разобьём на подобные и сходственно расположенные треугольники А'В'Е' с площадью S\, B'E'D' с площадью S2, В'CD' с площадью S3.

Пользуясь только что доказанным предложением для треугольников, получим:

Складывая почленно эти равенства, получим:

Следовательно,

Упражнения

1. Доказать, что площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на синус острого угла между ними.

Указание. Обозначая через h высоту параллелограмма, через а — острый угол между сторонами и через а — одну из сторон, доказать, что h ~ a sin а.

2. Доказать, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус острого угла между ними.

Указание. Использовать предыдущее упражнение.

3. Доказать, что площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на удвоенный диаметр описанной окружности.

Указание. Выразить высоту треугольника через произведение двух сторон и диаметр описанной окружности.

4. Если через четыре вершины выпуклого четырёхугольника провести прямые, параллельные его диагоналям, то получим параллелограмм, площадь которого вдвое больше площади данного четырёхугольника. Доказать.

5. Площадь всякого выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. Доказать.

Указание. Использовать результаты упражнений 1 и 4.

Практические работы

1. Приготовить палетку из кальки, целлофана или промасленной бумаги. Наложив этот материал на клетчатую бумагу, нанести на нём квадратную масштабную сетку. Пользуясь указанным в тексте правилом, измерить площадь какой-нибудь неправильной фигуры. Изменяя положение палетки, произвести это измерение несколько раз и сравнить полученные результаты.

2. Определение площади взвешиванием. Вырезать из куска бумаги или картона квадрат размером 10x10 см и взвесить его на достаточно точных весах (до 0,01 г).

Из этой же бумаги вырезать фигуру, площадь которой хотим определить, и тоже взвесить её с той же степенью точности. Сравнивая результаты взвешивания, определить площадь фигуры.

Проверить результат, определяя площадь фигуры другими средствами (например, палеткой).

3. Определение площади земельного участка. Используя земельный участок, который был заснят на план на предыдущих практических занятиях, определить его площадь измерением на местности (разбиением на треугольники) и измерением на плане. Сравнить полученные результаты.

§ 10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ В РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ

52. Равновеликость фигур

Определение. Фигуры, имеющие одинаковые площади, называются равновеликими.

Следует обратить внимание на то, что равные фигуры всегда равновелики, в то время как равновеликие фигуры могут и не быть равными. Например, если даны два прямоугольника, причём у одного основание равно 2 ед., высота 12 ед., у другого основание равно 4 ед., высота 6 ед., то площадь каждого из них равна 24 еда., т. е. эти прямоугольники равновелики. В то же время эти прямоугольники не равны между собой, так как при наложении друг на друга они не совпадут.

Следствие 1. Два треугольника, имеющие равные основания и равные высоты, проведённые к этим основаниям, равновелики.

Черт. 63. ерт. 64.

Это непосредственно следует из формулы площади треугольника. В частности, отсюда следует также, что если вершину треугольника переносить по прямой, параллельной основанию, то площадь треугольника остаётся неизменной (черт. 63):

Следствие 2. Два параллелограмма с равными основаниями и равными высотами, проведёнными к этим основаниям, равновелики.

Это есть следствие формулы площади параллелограмма. Отсюда также следует, что если одно основание параллелограмма переме-

щать по прямой, параллельной другому основанию, то площадь останется неизменной. На чертеже 64 ^ABCD = ^A'B'CD ~ ^A"B"CD.

53. Преобразование многоугольника в равновеликий квадрат

Теорема. Всякий многоугольник можно преобразовать в равновеликий квадрат.

Для этого данный многоугольник сначала преобразуют в равновеликий треугольник. Полученный треугольник преобразуют в равновеликий прямоугольник. Прямоугольник преобразуют в равновеликий квадрат. Рассмотрим последовательно эти построения.

Черт. 65. Черт. 66.

1) Пусть ABCDE (черт. 65) — данный многоугольник, DA, DB— его диагонали. Продолжим в обоих направлениях сторону АВ и в треугольнике ADE переместим вершину Е параллельно стороне AD до точки Е' на прямой АВ; в д BCD точно так же переместим вершину С параллельно стороне BD до точки С на прямой АВ. Согласно следствию 1 SAED = SA£,D и SBCD « SBC,D.

Черт. 67.

Поэтому SABCDE = SCDE.

Итак, мы преобразовали многоугольник ABCDE в равновеликий треугольник CDE'.

2) Треугольник CDE' преобразуем в равновеликий прямоугольник (черт. 66). Для этого строим прямоугольник E'C'NM с таким же основанием £'С'ис высотой, вдвое меньшей высоты треугольника.

scde' = se'cnm » так как и та ДРУгая площади определяются величиной — Е'С• Л, где А—высота треугольника CDE'.

3) Прямоугольник C'E'MN преобразуем в равновеликий квадрат (черт. 67). Для этого продолжим сторону CN и на луче CN отточки С отложим отрезок C'L = СЕ'. На отрезке CL, как на диаметре, построим полуокружность и продолжим сторону MN до пересечения с полуокружностью в точке К- Отрезок С'К есть среднее пропорциональное между отрезками CL и CN, так как в прямоугольном треугольнике C'KL катет С 'К есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и его проекцией C'N на гипотенузу. Следовательно, С'К2 = C'NC'E'.

Поэтому квадрат C'KPQ, построенный на отрезке C7f» имеет площадь, равную площади прямоугольника C'E'MN.

Итак, многоугольник ABCDE преобразован в равновеликий ему квадрат C'KPQ

54. Примеры решения задач

Полученные методы преобразования фигур позволяют решить ряд задач. Приведём примеры.

Задача 1. Данный треугольник разделить на две равновеликие части прямой, проведённой параллельно основанию.

Решение. Пусть ABC — данный треугольник.

Предположим, что задача решена и MN—искомая прямая (черт. 68). Очевидно, для решения задачи достаточно найти отрезок СМ, который обозначим через х. Сторону АС обозначим через Ь. Зная, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения сходственных сторон, можем написать:

Черт. 68.

Отсюда х% — — б2. Следовательно, х есть среднее пропорциональ-

ное между Ъ и — Ь. Это даёт возможность найти х известным построением: на отрезке АС, как на диаметре, строим полуокружность и из центра этой полуокружности восставляем перпендикуляр к АС до пересечения с полуокружностью в точке Р. Отрезок PC = х. На стороне СА от точки С откладываем отрезок СМ = CP и через точку М проводим прямую MN у АВ; эта прямая делит треугольник на две равновеликие части.

Задача 2. Поле, имеющее форму неправильного четырёхугольника, разделить на две равновеликие части при помощи межи, проходящей через заданную точку на его стороне.

Решение. Пусть четырёхугольник A BCD (черт. 69) даёт изображение этого поля на плане. Р — данная точка на стороне А В.

Черт. 69. Черт. 70.

Соединив точку Р с вершинами С и D, преобразуем четырёхугольник ABCD в равновеликий треугольник РА'В' (см. доказательство теоремы § 10).

Медиана РМ этого треугольника делит его на два равновеликих треугольника, так как у них равны основания и общая высота. Вместе с тем эта медиана делит и четырёхугольник на две равновеликие части. Действительно:

^рма' =$рмв\ н0 spma' ^$рм~) И SpMB' =^рмсв.

Итак, отрезок РМ определяет положение искомой межи. Предлагается исследовать решение. Упражнения

1. Доказать, что диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.

2. Доказать, что треугольники, вершиной которых служит точка пересечения диагоналей трапеции, а основаниями боковые стороны, равновелики.

3. Прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая её основания, делит эту трапецию на две равновеликие части. Доказать.

4. Если два треугольника имеют по равному углу, то площади их относятся между собой, как произведения сторон, заключающих эти углы. Доказать.

5. Доказать теорему Пифагора в той формулировке, которая была дана древними геометрами: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Для доказательства использовать фигуру, данную на чертеже 70*).

6. Если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми вершинами, то треугольник разделится на три равновеликие части. Доказать.

Задачи на построение

1. Данный треугольник разделить на две части в отношении — при помощи прямой, проходящей через его вершину.

2. Данный параллелограмм разделить на три равновеликие части посредством двух прямых, проходящих через одну и ту же вершину.

3. На данном отрезке, как на гипотенузе, построить прямоугольный треугольник, равновеликий другому данному треугольнику.

4. Данный треугольник преобразовать в равновеликий равносторонний треугольник.

Указание. Сначала перенести вершину параллельно основанию и преобразовать данный треугольник в треугольник с углом 60° при основании, а потом применить предложение, доказанное в упражнении 4.

5. Данный треугольник разделить на две равновеликие части прямой, проходящей через данную точку на стороне треугольника.

*) Фигура, изображённая на чертеже 70, помещена в книге «Лилавати» индусского математика Бхаскара Ачарья, вышедшей в 1150 г. Индусы обычно не давали подробных доказательств теорем, как это делали греческие геометры, а к чертежу теоремы приписывали только слово: «Смотри»

ГЛАВА V. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ, ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА

§ 11. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

55. Основные свойства

Определение 1. Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны между собой и все его внутренние углы тоже равны между собой.

Существование правильных многоугольников доказывается следующей теоремой.

Теорема 1. Если окружность разделена на п равных частей, то:

1. Точки деления служат вершинами правильного вписанного п-угольника.

2. Отрезки касательных, проведённых в точках деления, служат сторонами правильного описанного п-угольника.

Пусть окружность с центром О разделена на п равных частей (черт. 71). Точки деления Ль Л2, Л3,..., Ап последовательно соединим отрезками прямых, получим вписанный n-угольник. Повернём всю фигуру вокруг центра О на угол, равный -в направлении движения стрелки часов.

Тогда точка Л1 совпадёт с A2t А2 — с Л3, А3 — с Л4, Ап — с Аг. Следовательно, каждая сторона вписанного многоугольника совпадает с соседней -стороной и каждый угол с соседним углом. Поэтому АХА2 = Л2Л3 = Л3Л4 = ... = АпАг и ^Аг= / Л2 = = ^ Л3 = ... = Лл, т. е. вписанный многоугольник правильный.

При этом же повороте касательная в каждой точке деления совместится с соседней касательной. Но если совместятся прямые, то совместятся и точки их пересечения, т. е. вершины описанного многоугольника. Поэтому описанный многоугольник будет тоже правильный. На чертеже 71 окружность разделена на шесть равных частей, и потому повернуть фигуру около центра нужно на 60°.

Теорема 2. Около всякого правильного многоугольника можно описать единственную окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать единственную окружность. Центры обеих окружностей совпадают.

Пусть AiA2...An_x Ап — данный правильный многоугольник (черт. 72). Проведём ось симметрии / точек Ах и А2. Благодаря равенству сторон и углов симметричными будут и точки А3 с Ап, ^4 с Ап_х к т. д. в этом нетрудно убедиться, сгибая плоскость чертежа по оси / и накладывая левую половину чертежа на правую.

Черт. 71. Черт. 72.

Действительно, точка Ai совпадает с точкой А2. В силу равенства углов при вершинах А\ и А2 прямая Ах Ап пойдёт по прямой А2А3. В силу равенства сторон АгАп и А2А3 точка Ап совпадает с точкой As и т.д. Проведём ещё ось симметрии /' точек А2 и А3. Обе оси пересекутся в точке О. По отношению к оси V симметричными будут точки: А2 с A3t Ах с Л4, Ап с А5 и т. д. Так как всякая точка, лежащая на оси симметрии, одинаково удалена от двух взаимно-симметричных точек, то будем иметь для первой оси: OAi=-OA2\ ОА3=ОАп; ОАА^ОАп_х и т. д., для второй оси: ОА2=ОА3\ 0Аг9= 0АА\ 0Ап = 0А5 и т. д. Сравнивая оба ряда равенств, получим: 0АХ = ОА2^ОА3 = 0АХ = ...= 0ЛЛ_1 = 0Ап.

Другими словами, расстояния всех вершин многоугольника от точки О равны между собой; следовательно, эта точка есть центр окружности, описанной около точек А и А2, ... Ап. Эта точка единственная, так как в силу равенства расстояний всех вершин от этой точки ось симметрии любой пары вершин пройдёт через эту же точку и другого центра получиться не может.

Так как равные хорды равно удалены от центра, то эта же точка О служит центром вписанной окружности, радиус которой есть общее расстояние от центра до хорд.

Определение 2. Центр описанной окружности называется центром правильного многоугольника, радиус её называется радиусом правильного многоугольника.

Перпендикуляр, опущенный из центра на сторону, называется апофемой правильного многоугольника.

Следствие 1. Правильные одноимённые многоугольники подобны; коэффициент подобия равен отношению радиусов.

Для доказательства достаточно совместить друг с другом центры и радиусы двух правильных я-угольников, чтобы преобразовать их в гомотетичные фигуры.

Следствие 2. Из данного правильного п-уголъника всегда можно получить правильный 2п-угольник.

Для этого достаточно около правильного я-угольника описать окружность и все полученные дуги разделить пополам. Тогда описанная окружность разделится на 2п равных дуг, хордами которых определится правильный вписанный 2п-угольник.

56. Построение некоторых правильных многоугольников

1. Если в окружности провести два взаимно-перпендикулярных диаметра, то окружность разделится на четыре равные части. Соединяя точки деления хордами, получим правильный вписанный четырёхугольни к— квадрат.

Обозначив длину стороны квадрата через а4, а длину радиуса окружности через R, по теореме Пифагора получим: а\ = R2J[-R2 т. е. о\ = 2/?2, откуда а4= R\f 2.

2. В правильном вписанном шестиугольнике два радиуса, проведённые к концам одной стороны, образуют с этой стороной равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным — = 60°. Но такой треугольник будет и равносторонним, так как углы при основании тоже будут по 60°. Итак, мы имеем для стороны я6 правильного шестиугольника формулу а6 = R. Следовательно, чтобы построить правильный шестиугольник, достаточно отложить по окружности хорды, равные радиусу.

3. Соединяя вершины правильного вписанного шестиугольника через одну, получим правильный вписанный треугольник.

Чтобы выразить сторону треугольника через радиус, проведём диаметр через одну из его вершин. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 2R, катетом а3 и катетом а6= R. Применяя теорему Пифагора, получим al=4R2 —R2 = 3R2; следовательно,

57. Формулы для вычисления сторон правильных n-угольников

Теорема 3. Если длину стороны правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса R, обозначить через ап, то длина стороны правильного 2п-угольника, вписанного в ту же окружность, определяется формулой:

где qn—отношение стороны правильного вписанного п-угольника к диаметру:

Черт. 73.

Пусть А В — сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром О (черт. 73), D — середина хорды АВ, ВС— сторона правильного вписанного 2п-угольника. Угол АОВ имеет наибольшее значение в 120° при п=3; поэтому для любого 2п-угольника ^. ВОС острый. Из А ВСО> применяя теорему о квадрате стороны, лежащей против острого угла, получим:

Из прямоугольного Л BDO имеем:

Но

Поэтому

Вынося R за знак радикала, получим:

Полученная формула называется формулой удвоения.

Пользуясь этой формулой, легко получить длину стороны правильного вписанного 2л-угольника в зависимости от радиуса и стороны правильного вписанного дг-угольника.

Пример 1.

поэтому

Пример 2.

Таким, же образом мы можем последовательно вычислить стороны 48, 96, 192, ...-угольников.

Теорема 4. Если обозначить через ап сторону правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса R, то сторона Ьп правильного описанного п-угольника выражается формулой:

Пусть А'В1 — сторона правильного описанного п-угольника (черт. 73). Так-как вписанный и описанный правильные многоугольники одноимённые, то они подобны, следовательно:

Откуда

Пример.

следовательно,

Упражнения

1. Доказать, что диагонали правильного пятиугольника при пересечении делят друг друга в крайнем и среднем отношениях.

Указание. Рассмотреть треугольник, образуемый двумя смежными сторонами и диагональю, и путём сравнения углов доказать его подобие с треугольником, отсекаемым от данного другой диагональю.

2. Если на сторонах правильного шестиугольника извне построить квадраты, то вершины этих квадратов (не принадлежащие шестиугольнику) являются вершинами правильного 12-угольника. Доказать.

3. Проблема паркета. Установить, какими правильными и равными между собой многоугольниками можно сплошь (без просветов) покрыть всю плоскость. Доказать, что существует только три вида таких многоугольников.

4. Доказать, что сторона правильного вписанного десятиугольника равна большей части радиуса, разделённого в крайнем и среднем отношениях.

Указание. Рассмотреть сначала равнобедренный треугольник с углом в 72э при основании и доказать, что биссектриса этого угла делит противоположную сторону в крайнем и среднем отношениях. После этого рассмотреть треугольник, образуемый двумя радиусами и стороной правильного вписанного 10-угольника.

Задачи на построение

1. Пользуясь выводом упражнения 1 (на доказательство), построить правильный пятиугольник по данной диагонали.

2. Срезать углы данного квадрата так, чтобы получился правильный 8-угольник.

3. Пользуясь выводом упражнения 4, вписать в окружность правильный 10-угольник.

§ 12. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА

58. Основное предложение

Длину окружности и её дуги нельзя определить, как длину отрезка, непосредственным наложением масштабной линейки. Вместе с тем, если вписывать в окружность правильные многоугольники с неограниченно увеличивающимся числом их сторон (например, 6, 12, 24, 48, 96-угольник), то можно заметить, что контур правильного многоугольника с достаточно большим числом его сторон очень близко прилегает к описанной окружности. Поэтому вполне естественно допустить, что длина периметра такого многоугольника весьма мало отличается от длины окружности.

Постараемся более строго обосновать эти соображения. Для этого докажем предварительно следующие предложения.

Лемма. Если разделить окружность на п равных частей, то при неограниченном увеличении, п хорда,

стягивающая — -ю часть окружности, может стать меньше любого данного отрезка.

Для доказательства впишем в окружность правильный л-угольник и отложим в круге хорду, равную данному отрезку. Этой хорде соответствует некоторая дуга. Если теперь мы будем увеличивать число сторон правильного я-угольника, то вместе с тем и окружность

будет делиться на всё более и более мелкие дуги, которые при достаточно большом п станут меньше данной дуги, но тогда и хорды, соответствующие этим дугам, станут меньше данного отрезка.

Следствие 1. При неограниченном увеличении числа сторон правильного вписанного п-угольника разность между радиусом и апофемой при достаточно большом п может стать меньше любого данного отрезка.

Радиус /?, апофема k и половина стороны правильного вписанного я-угольника образуют прямоугольный треугольник. По свойству сторон треугольника имеем:

Черт. 74.

Но согласно доказанной лемме ап может стать меньше любого данного отрезка; следовательно, это и подавно можно сказать относительно разности R—kn.

Для определения длины данной окружности впишем в неё и одновременно опишем правильные /г-угольники. Периметр вписанного многоугольника обозначим через РПУ а периметр описанного — через Рп- На произвольном луче с вершиной О отложим отрезок OAi = Pn и отрезок ОВх = = Р'п (на чертеже 74 п=6). После этого удвоим число сторон обоих /г-угольников и вновь отложим ОА7=Р2п и ОВг = Р'2п. Продолжая процесс удвоения числа сторон многоугольников и откладывая соответствующие отрезки на луче от точки О, мы получим систему вложенных стягивающихся отрезков AiBu А2В2, ...

Черт. 75.

Действительно, мы имеем:

1) Р'п > Рп, так как каждая сторона правильного описанного я-угольника больше стороны правильного вписанного я-угольника. Например, на чертеже 75 АР+ РВ > АВ. Но АР и РВ — две половины стороны описанного я-угольника, а АВ — сторона вписанного я-угольника.

2) При переходе к многоугольнику с удвоенным числом сторон Рп увеличивается, так как при удвоении числа сторон каждая сторона, например АВ, заменяется суммой АС + СБ, но АС + + СВ > АВ . При тех же условиях Рп уменьшается, так как ломаная АРБ (черт. 75) заменяется ломаной AMNB, но MP + PN > >MN.

3) Для оценки разности Рп—Рп напишем пропорцию, исходя из подобия вписанного и описанного многоугольников: _1 = — (R — радиус, kn — апофема).

Вычитая из обеих частей равенства по единице, получим:

Дробь — уменьшается, так как R постоянно, а Р'п уменьшается, разность же R — kn может быть меньше любого данного числа, как это было доказано в следствии 1. Поэтому и всё произведение —-(Я — kn) может стать меньше любого данного числа.

Итак, существует единственная точка М (см. черт. 74), принадлежащая всем полученным отрезкам. Длину отрезка ОМ обозначим через С. Зная длину периметров Рп, Р2п, РпР2п'---> можно определить С с любой степенью точности.

Приведём пример. Возьмём в качестве исходных многоугольников правильные вписанный и описанный шестиугольники. Будем последовательно вычислять, пользуясь формулой удвоения и формулой для вычисления стороны описанного многоугольника, периметры многоугольников с удвоенным числом сторон. Радиус окружности примем за единицу.

Результаты вычислений даны в следующей таблице:

п

Рп

Р —Р

6

6,00000

6,92820

0,92820

12

6,21160

6,48078

0,26912

24

6,26526

6,31932

0,05406

48

6,27870

6,29218

0,01348

96

6,28206

6,28542

0,00336

192

6,28290

6,28364

0,00084

384

6,28312

6,28332

0,00020

768

6,28316

6,28322

0,00006

1536

6,28318

6,28320

0,00002

Из этой таблицы мы видим, что последовательные значения периметров с точностью до 0,00002 определяют число С= 6,28318...

59. Определение длины окружности

В подробных курсах геометрии доказывается, что число, определяемое последовательными значениями периметров вписанных и описанных правильных многоугольников, получается для данной окружности всегда одно и то же, независимо от выбора исходных многоугольников.

Положим, например, что в ту же окружность с радиусом, равным единице, мы впишем и одновременно около неё опишем квадрат. Последовательно вычисляя периметры многоугольников, полученных удвоением числа сторон, мы найдём следующие числа.

п

Рп

Р'п

Р — Р

1 п 1 п.

4

5,65385

8,00000

2,34615

8

6,12294

6,62742

0,50448

16

6,24289

6,36519

0,12230

32

6,27310

6,30345

0,03035

64

6,28068

6,28825

0,00757

128

6,28257

6,28445

0,00188

256

6,28303

6,28350

0,00047

512

6,28314

6,28326

0,00012

1024

6,28317

6,28320

0,00003

2048

6,28318

6,28319

0,00001

С точностью до 0,00001 мы получили то же самое число: С = 6,28318 ...

Можно было бы доказать, что то же самое число мы получим, если исходными вписанными и описанными многоугольниками взять произвольные (неправильные) многоугольники и увеличивать число их сторон совершенно произвольным образом, не обязательно путём удвоения, при условии, что длина наибольшей стороны может стать меньше любого положительного числа.

Определение 1. Постоянное число С, определяемое последовательностями периметров вписанных и описанных многоугольников, называется длиной данной окружности.

60. Число π

Теорема 1. Длины окружностей пропорциональны их радиусам и диаметрам.

Пусть имеем две окружности с радиусами R и R'. В каждую окружность впишем и около каждой окружности опишем правильные л-угольники. На основании следствия 1 предыдущего параграфа эти правильные многоугольники подобны между собой, причём — = k—коэффициенту подобия, откуда R' = kR. Поэтому, если для первой окружности периметры вписанного и описанного многоугольников будут Рпи Р'п, то для второй эти периметры будут равны kPn и kP'n .

Поэтому, если первые приближённые значения определяли число С, то вторые определяют число С = kC.

Итак, С = R' = 2R> =k

Следствие 2. Отношение длины окружности к длине диаметра постоянно.

Если в пропорции — = — переставить средние члены, то получим требуемое равенство: —- = — .

Число, равное отношению длины окружности к длине диаметра, обозначается греческой буквой те (пи). Число тс, играющее очень большую роль в математике, можно вычислить элементарным путём, определяя периметры вписанных и описанных многоугольников. Например, в наших таблицах мы получили для длины окружности с единичным радиусом число С = 6,28318. Так как диаметр равен 2, то число тг с точностью до пяти десятичных знаков будет равно те = 3,14159...

Однако такой способ вычисления те очень длительный и кропотливый. Методами математического анализа число те вычисляется

гораздо быстрее. В настоящее время тс вычислено с достаточно большим числом десятичных знаков. Первые пятнадцать десятичных знаков числа тс таковы: тс = 3,14159 26535 89793 ...

Первое, довольно точное, вычисление числа ~ было произведено Архимедом, который определил тс при помощи неравенства:

3 — < тс < 3 —. 71 70

Во второй половине V в. китайский математик Цзу Чун-чжи получил для тс приближенное значение —, точное до шести десятичных знаков. Позднее это же значение было найдено в Европе голландским инженером Адрианом Мецием (1543—1620). Для запоминания этой дроби достаточно взять три пары первых нечётных чисел: 113 355.

Для вычислений, не требующих большой точности, можно брать Архимедово приближение: тс^З —, или тс^3,14.

Для более точных вычислений с четырёхзначными таблицами нужно помнить тс с четырьмя знаками после запятой: тс = 3,1416 (три, четырнадцать, шестнадцать).

Доказано, что тс есть число иррациональное и вместе с тем трансцендентное, т. е. такое, которое не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. На основании этого можно доказать, что при помощи циркуля и линейки нельзя построить отрезок, равный по длине данной окружности. По той же причине нельзя циркулем и линейкой решить задачу о квадратуре круга, т. е. построить квадрат, равновеликий данному кругу.

61. Формула длины окружности

Теорема 2. Длина окружности с радиусом R определяется формулой С= 2тс/?в

Эта формула получается из равенства — = тс, т. е. С=*2тс/?.

Следствие 3. Длина дуги, содержащей п°, определяется формулой Sno = .

Действительно, вся окружность, длина которой равна 2тс/?, содержит 360°. Поэтому дуга в Г имеет длину = — , а длина дуги в п° будет в п раз больше. Следовательно,

Определение 2. Если длина дуги окружности равна радиусу, то соответствующий центральный угол называется радианом.

Чтобы определить число градусов радиана, достаточно решить уравнение:

R = 1*!L , откуда п° = — - 57° 17' 44", 1 . .. 180 7i

В математике (например, в тригонометрии) часто принимают радиан за единицу при измерении углов. В этой мере развёрнутый угол будет выражаться числом те, полный угол — числом 2тс, прямой угол — числом . Вообще угол в п°—числом а= . Обратно, п°= Отсюда также следует, что если величина центрального угла в радианной мере выражается числом а, то длина соответствующей дуги выражается числом S = Ra.

62. Площадь круга и его частей

Для определения площади круга мы будем пользоваться тем же методом, что и при определении длины окружности. Если в окружность вписать и одновременно около неё описать правильные я-угольники, то все точки вписанного многоугольника будут принадлежать кругу, а все точки круга будут принадлежать описанному многоугольнику. Относительно площадей этих многоугольников мы докажем следующую теорему.

Теорема 3. Если в окружность вписать и около неё описать правильные п-угольники, то при неограниченном увеличении числа их сторон путём удвоения площади Sn и Sn этих многоугольников дают последовательные приближённые значения по недостатку и по избытку, которыми определяется число, постоянное для данного круга.

Площадь описанного многоугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности. Обозначим через Рп и Рп периметры вписанного и описанного многоугольников, через R — радиус круга, через k — апофему вписанного многоугольника. Тогда площади многоугольников определятся формулами:

При неограниченном удвоении числа сторон многоугольников числа Рп и Рп с любой степенью точности определяют длину окружности — 2тг#, тогда как число kn при увеличении п сколь угодно мало будет отличаться от числа R.

Таким образом, мы будем иметь неравенство:

Итак, числа Sn и Sn являются приближёнными значениями числатг/?2 по недостатку и по избытку.

Число тг/?2, очевидно, не зависит от выбора исходных я-угольников.

Определение 3. Число те /?2, определяемое при помощи последовательных приближений площадей вписанных и описанных правильных ^-угольников, называется площадью круга.

Итак, SKpym=izR\

Следствие 4. Площадь сектора с центральным углом в п° определяется формулой:

Действительно, угловыми градусами круг разбивается на 360 равных секторов. Площадь каждого такого сектора равна (равные секторы имеют и равные площади), а площадь сектора с углом в п° будет в п раз больше, т. е.

Отсюда получаем, что если центральный угол сектора в радианной мере выражается числом а, то площадь сектора определяется формулой:

Для получения площади сегмента достаточно из площади соответствующего сектора вычесть площадь треугольника, ограниченного хордой и радиусами, проведёнными к концам хорды.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Черт. 76.

Покажем, как можно найти числовые последовательности, определяющие отношение диагонали квадрата к его стороне. Рассмотрим вновь квадрат ABCD (черт. 76) со стороной а и диагональю с. Построим биссектрису AM угла ВАС и проведём перпендикуляр MN к диагонали АС. А АВМ=ь ANM по гипотенузе и острому углу. Поэтому АВ = AN и ВМ = MN.A CMN равнобедренный и прямоугольный, так как ^CNM = 90°, ^ MCN ~ ^CMN = 45°, значит, CN =■- MN. Достроим равнобедренный прямоугольный aCMN до квадрата CPMN. Обозначим через а' его сторону, а через с' — диагональ. Установив это, получим: а' = ЛС — AN = -с—а; с' *= ВС — ВМ = а — (с — а) = = 2 а — с.

Согласно основному неравенству, справедливому для всякого квадрата, имеем: а'<с' или с — а<2а — с, значит, 2с<3а или — < —. Итак, мы имеем: а 2 1 < — < —. Но неравенство 2с<3а мы можем получить для любого квадрата, значит, оно справедливо и для квадрата CPMN. Поэтому 2с'<3а', или 2 (2 а — с) < 3 (с — а); 4 а —2 с< о с —За, значит, 7а<5с или 7 с

Пользуясь такими же рассуждениями, получим далее: 7а'<5с', поэтому 7(с — а)<5(2а — с); 7с— 7а< 10а— 5с; 12с< 17а; значит, — < -jy. Мы получаем новое неравенство: — < — < —— .

Нетрудно установить закон, по которому получаются последовательные коэффициенты при а и с. Пусть мы имеем: pa<qct откуда следует pa!<qc\ р{р — а)<а(2а — с); рс — ра<2 аа — qct (Р+а)с< (2a-f-p)a. Значит,

Итак, мы видим, что знаменатель новой дроби равен сумме числителя и знаменателя предыдущей, а числитель равен сумме удвоенного знаменателя и числителя предыдущей.

Таким образом, мы получаем последовательность дробей с неограниченно возрастающими знаменателями:

Если возьмём разность двух последовательных дробей, то увидим, что числителем у неё будет всегда положительная или отрицательная единица.

р 2 о + Р Р24- PQ — 2 q2 — ра

Чтобы доказать это, найдем разность:----=--=

Найдем дальше следующую разность:---—

Мы видим, что числители разностей равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Но для первой разности мы имеем: 1 ——— = =--~, т. е. числитель равен — 1, значит, во второй разности он равен 4- 1, в третьей он вновь равен — 1, в четвёртой +1 и т. д. Действительно, — — — = — ; — — —— = — — и т. д. Отсюда следует, что в последовательности дробей, стоящих на нечётных местах, т. е. 1; — ; -—- ; —— ; . ., дроби увеличиваются, а в последовательности дробей, стоящих на чётных местах, т. е. — ; —— ; ; 1 ^ ;. ., дроби уменьшаются.

Итак, мы имеем:

Иначе говоря, получаем неравенства:

с 3 ( 1 \

1 < — < — (с точностью до — ; а 2 \ 2 /

7 с 17 / 1 \

— < — < —- [ с точностью до —) ; б а 12 V 60/

41 с 99 / 1 \

ЯГ<Т<15" (сточностьюдо—);

239 с 577 / 1 \

т<~<Ш с точностью до« •

Если заменить обыкновенные дроби их десятичными приближениями, то получим те самые неравенства, которыми мы пользовались в § 1, п.4.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Отношение и пропорциональность отрезков

§ 1. Отношение отрезков...................... 3

§ 2. Измерение отрезков...................... 10

§ 3. Пропорциональные отрезки................... 11

Глава II. Гомотетия и подобие

§ 4. Гомотетия........................... 18

§ 5. Подобие............................ 28

Глава III. Метрические соотношения в геометрических фигурах

§ 6. Метрические соотношения в круге и в треугольнике...... 40

§ 7. Тригонометрические функции острого угла........... 49

§ 8. Применение алгебраических методов к решению геометрических задач на построение....................... 59

Глава IV. Измерение площадей многоугольников

§ 9. Основные формулы измерения площадей............. 64

§ 10. Преобразование многоугольников в равновеликие фигуры .... 72

Глава V. Правильные многоугольники, длина окружности и площадь круга

§ 11. Правильные многоугольники.................. 77

§ 12. Длина окружности и площадь круга.............. 82

Приложение.......................... 90

Антонин Иванович Фетисов

Геометрия, Учебник для 8 и 9 классов средней школы

Редактор С. В. Пазельский Художественный редактор

Техническчй редактор Н. Н. Махова Корректор В. А. Глебова

Сдан» в набор 5/VbI 1957 г. Подписано к печати 23fX 1957 г.

60Х921/,,. 5.75. п. л. Уч.-изд. л. 5,09 Тираж 10 тыс. экз. А10148

Учпедгиз. Москва, Чистые пруды, 6. Заказ № Цена 65 к. переплет 50 к.

Типография Связьиздата, Москва, ул. Мирова, 40. Зак. типогр. 503