РУКОВОДСТВО АРИѲМЕТИКИ

ДЛЯ

среднихъ учебныхъ заведеній и городскихъ училищъ.

СОСТАВИЛЪ

Ѳ. И. Егоровъ.

Издание 4-е (съ измѣненіями).

Ціьна 75 кон.

Изданіе книжнаго магазина В. В. ДУМНОВА.

подъ фирмою Наслѣдн. бр. Салаевыхъ“.

МОСКВА.

Т—во „Печатня С. П. Яковлева“. Петровка, Салтыковой« пер.» д. Т—ва, № 9. 1907.

ВВЕДЕНІЕ.

1. Счетъ. Единица. Число. Числа происходятъ отъ счета. Напр., чтобы узнать, сколько стульевъ въ комнатѣ, сколько разъ во время грозы ударилъ громъ, надо сосчитать стулья, сосчитать удары грома, и мы получимъ числа восемь стульевъ, пять ударовъ грома. Каждый предметъ при счетѣ наз. единицей. Каждое число состоитъ изъ единицъ. Первое изъ приведенныхъ чиселъ состоитъ изъ восьми единицъ, второе — изъ пяти единицъ.

2. Числа именованныя и отвлеченныя. Число наз. именованнымъ, если указано, изъ какихъ единицъ оно состоитъ, и отвлеченнымъ, если этого не указано. Восемь стульевъ, пять ударовъ грома—числа именованныя; восемь, пять—отвлеченныя.

3. Величина. Измѣреніе величинъ. Длина, ширина, высота, вмѣстимость, вѣсъ предметовъ, время и т. п. наз. величинами. Двѣ величины однородны, если онѣ или совершенно одинаковы, или отличаются другъ отъ друга только своимъ размѣромъ; въ противномъ случаѣ онѣ разнородны. Напр., длина и ширина стола — величины однородныя (длина можетъ быть или равна, или больше, или меньше ширины); вѣсъ предмета и продолжительность его существованія—величины разнородныя, и ихъ по размѣру нельзя и сравнивать между собою, т.-е. нельзя даже и задавать вопроса: что больше, вѣсъ предмета или продолжительность его существованія.

Чтобы судить о длинѣ комнаты, откладываютъ по длинѣ комнаты сажень и считаютъ, сколько разъ она уложится. Чтобы опредѣлить вѣсъ головы сахару, ее ставятъ на одну чашку вѣсовъ, а на другую кладутъ гири разнаго вѣса (въ одинъ, три, пять, десять.... фунтовъ) и считаютъ, сколько фунтовъ надо положить на эту чашку, чтобы вѣсы стали ровно. Откладываніе сажени по длинѣ комнаты, взвѣшиваніе головы сахару наз. измѣреніемъ длины комнаты, измѣреніемъ вѣса головы сахару. Величина, кото-

рою измѣряютъ другія величины, съ ней однородныя, наз. единицей или мѣрой. Сажень есть мѣра, или единица длины; фунтъ—мѣра, или единица вѣса.

Сосчитавши, сколько разъ сажевь уложится по длинѣ комнаты, мы получимъ какое-либо число, напр. три сажени; сосчитавши, сколько фунтовъ надо положить на одну чашку вѣсовъ, когда на другую поставлена голова сахару, мы получимъ также какое-либо число, напр. двадцать три фунта. Слѣдовательно, числа, кромѣ счета, происходятъ и отъ измѣренія величинъ.

4. Числа цѣлыя, дробныя и смѣшанныя. Часто измѣряемая величина бываетъ меньше мѣры, которою ее хотятъ измѣрить; напр., ширина стола меньше аршина, вѣсъ булки меньше фунта. Тогда мѣру дѣлятъ на нѣсколько равныхъ долей и измѣряютъ величину этими долями; напр., аршинъ можно раздѣлить на четыре равныя части и измѣрить ширину стола четвертью аршина; фунтъ раздѣлить на восьмыя части (восьмушки) и взвѣсить булку восьмыми частями фунта. Если въ ширинѣ стола четверть аршина уложится три раза, если для взвѣшиванія булки придется на другую чашку вѣсовъ положить пять восьмыхъ фунта, то мы получимъ отъ измѣренія числа: три четверти аршина, пять восьмыхъ фунта. Каждое изъ этихъ чиселъ состоитъ изъ равныхъ долей единицы, или мѣры. Число, состоящее изъ цѣлыхъ единицъ, наз. цѣлымъ; число, состоящее изъ равныхъ долей единицы, наз. дробнымъ или дробью. Четыре—число цѣлое; три четверти и пять восьмыхъ—дроби.

При измѣреніи могутъ также получаться числа, состоящія и изъ цѣлыхъ единицъ, и изъ частей единицы. Напр., при измѣреніи длины комнаты саженью, можетъ случиться, что, отложивъ сажень 3 раза по длинѣ комнаты, мы получимъ остатокъ, который придется измѣрить частью сажени, напр. половиною сажени. Если въ остаткѣ длины комнаты половина сажени уложится ровно одинъ разъ, то мы отъ измѣренія получимъ число: три съ половиною сажени. Такія числа наз. смѣшанными.

5. 1) Какъ происходятъ числа?—2) Что можно считать?—3) Что можно измѣрять?—4) Какія величины наз. однородными?—5) Что наз. единицей при счетѣ?—при измѣреніи?—6) Изъ чего состоитъ каждое число?—7) Какое число наз. именованнымъ? — какое — отвлеченнымъ? 8) Какое число наз. цѣлымъ?—какое—дробью?—какое—смѣшаннымъ?

АРИѲМЕТИКА ЦѢЛЫХЪ ЧИСЕЛЪ.

I.

Счисленіе.

6. Рядъ цѣлыхъ чиселъ. До десяти предметы считаютъ по одному, или единицами. Присчитавъ къ единицѣ еще единицу, составимъ число два; два да единица составятъ три, три да единица составятъ четыре, четыре да единица—пять, пять да единица —шесть, шесть да единица—семь, семь да единица—восемь, восемь да единица—девять, девять да единица—десять.

Къ десяти опять можемъ прибавить единицу, къ составленному числу опять прибавить единицу, къ новому составленному числу—еще единицу и т. д., до безконечности. Такимъ образомъ составляется рядъ цѣлыхъ или натуральныхъ чиселъ. Рядъ цѣлыхъ чиселъ безконеченъ.

7. Единицы различныхъ разрядовъ. Когда предметовъ больше десяти, то изъ единицъ составляютъ десятки, отсчитывая въ каждый по десяти единицъ, пока не останется меньше десяти единицъ. Если при этомъ получится больше десяти десятковъ, то изъ нихъ составляютъ сотни, отсчитывая въ каждую сотню по десяти десятковъ, пока не останется меньше десяти десятковъ. Если получится больше десяти сотенъ, то изъ нихъ составляютъ тысячи, отсчитывая въ каждую по десяти сотенъ и т. д. Простыя единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. наз. соотвѣтственно единицами перваго, второго, третьяго и т. д. разрядовъ. Десять единицъ каждаго разряда составляютъ единицу слѣдующаго высшаго разряда. Единицы второго и высшихъ разрядовъ считаютъ такъ же, какъ и простыя единицы, присоединяя къ названіямъ первыхъ девяти чиселъ названія разрядовъ; напр., пять десятковъ, короче: пятьдесятъ, семь сотенъ, короче: семьсотъ, девять тысячъ и т. п.

8. Такой способъ составленія и счета единицъ второго и высшихъ разрядовъ принятъ въ десятичномъ счи-

сленіи, называемомъ десятичной системой нумераціи. Но можно условиться, что пять единицъ каждаго разряда составляютъ единицу слѣдующаго высшаго разряда, или что двѣнадцать единицъ каждаго разряда составляютъ единицу слѣдующаго высшаго разряда и т. п. Тогда получимъ пятеричное счисленіе, двѣнадцатиричное счисленіе и т. п. Въ первомъ изъ нихъ считаютъ единицами до пяти, а затѣмъ пятками, пятками пятковъ и т. д.; во второмъ—единицами до двѣнадцати, а затѣмъ дюжинами, гроссами (дюжины дюжинъ) и т. д. Послѣднее счисленіе примѣняется къ счету перьевъ, карандашей, стульевъ, бѣлья и т. п. Число, показывающее, сколько единицъ каждаго разряда составляютъ единицу слѣдующаго высшаго разряда, наз. основаніемъ системы счисленія. Въ десятичномъ счисленіи основаніемъ служитъ число десять, въ пятеричномъ—пять, въ двѣнадцатиричномъ—двѣнадцать.

9. Счетъ до тысячи. Если при составленіи десятковъ изъ единицъ и сотенъ изъ десятковъ, получится меньше десяти сотенъ и, кромѣ того, останется нѣсколько десятковъ, не составившихъ полной сотни, и нѣсколько единицъ, не составившихъ полнаго десятка, то надо сосчитать и указать, сколько составилось сотенъ, сколько десятковъ и сколько единицъ. Такимъ образомъ составятся, напр., числа: одинъ десятокъ и четыре единицы, короче: четырнадцать; шесть десятковъ и восемь единицъ, короче: шестьдесятъ восемь; три сотни и четыре десятка, короче: триста сорокъ; пять сотенъ и семь единицъ, короче: пятьсотъ семь, шесть сотенъ, три десятка и двѣ единицы, короче шестьсотъ тридцать два; и самое большое девять сотенъ, девять десятковъ и девять единицъ, короче: девятьсотъ девяносто девять.

10. Счетъ тысячами. Когда при составленіи сотенъ изъ десятковъ получится болѣе девяти сотенъ, то изъ сотенъ составляютъ единицы четвертаго разряда—тысячи, отсчитывая въ каждую тысячу по десяти сотенъ. Тысячами считаютъ такъ же, какъ и единицами, т.-е. изъ тысячъ составляютъ десятки тысячъ (единицы пятаго разряда), изъ десятковъ тысячъ составляютъ сотни тысячъ (единицы шестого разряда), и считаютъ, сколько составилось сотенъ тысячъ, сколько осталось десятковъ тысячъ, не составившихъ полной сотни тысячъ, и сколько осталось

тысячъ, не составившихъ полнаго десятка тысячъ. Такимъ образомъ составятся, напр., числа: двѣсти пять тысячъ, пятнадцать тысячъ, триста шестьдесятъ пять тысячъ.

11. Счетъ милліонами. Изъ десяти сотенъ тысячъ составляется единица седьмого разряда—милліонъ. Милліонъ, слѣд., есть тысяча тысячъ. Милліонами считаютъ, такъ же, какъ простыми единицами и тысячами, т. е. изъ милліоновъ составляютъ десятки милліоновъ (единицы восьмого разряда), изъ десятковъ милліоновъ составляютъ сотни милліоновъ (единицы девятаго разряда), и считаютъ, сколько составилось сотенъ милліоновъ, сколько осталось десятковъ милліоновъ, не составившихъ полной сотни милліоновъ, и сколько осталось милліоновъ, не составившихъ полнаго десятка милліоновъ. Такимъ образомъ составятся, напр., числа: триста пятнадцать милліоновъ, пятьсотъ четыре милліона, восемьсотъ тридцать милліоновъ.

12. Классы десятичной системы. Простыя единицы, десятки и сотни ихъ составляютъ первый классъ десятичной системы—классъ простыхъ единицъ; тысячи, десятки тысячъ и сотни тысячъ—второй классъ— классъ тысячъ; милліоны, десятки и сотни ихъ составляютъ третій классъ—классъ милліоновъ. Каждый классъ состоитъ изъ единицъ трехъ разрядовъ, которыя во всѣхъ классахъ называются одинаково единицами, десятками и сотнями, съ присоединеніемъ названія класса. Тысяча единицъ каждаго класса составляютъ единицу непосредственно слѣдующаго высшаго класса. Такимъ образомъ тысяча милліоновъ есть единица четвертаго класса, называемаго классомъ билліоновъ или милліардовъ и состоящаго изъ единицъ милліардовъ (десятый разрядъ), десятковъ милліардовъ (одиннадцатый разрядъ) и сотенъ милліардовъ (двѣнадцатый разрядъ); тысяча милліардовъ есть единица пятаго класса—класса трилліоновъ; тысяча трилліоновъ есть единица шестого класса—класса кватрилліоновъ и т. д.

13. Если число состоитъ изъ единицъ разныхъ классовъ, то надо указать: 1) какіе классы, 2) какіе разряды изъ этихъ классовъ и 3) сколько единицъ каждаго изъ этихъ разрядовъ

входятъ въ это число; при этомъ послѣдовательно называютъ число сотенъ, десятковъ и единицъ каждаго класса, начиная съ высшаго; напр., триста девяносто милліоновъ семьдесятъ четыре тысячи сто три простыхъ единицы, пятьсотъ три милліарда двадцать пять милліоновъ пятнадцать тысячъ семьсотъ двѣнадцать единицъ.

14. Письменное обозначеніе чиселъ. Для письменнаго обозначенія чиселъ служатъ слѣдующіе девять значащихъ цыфръ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

которыя означаютъ соотвѣтственно числа: одинъ, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, и десятая: 0, называемая нулемъ. Нуль служитъ для обозначенія отсутствія числа. Такъ говорятъ и пишутъ нуль единицъ вмѣсто того, чтобы сказать и написать, что нѣтъ ни одной единицы.

При письменномъ обозначеніи чиселъ цыфры располагаютъ одну за другой, слѣва направо, и принимаютъ, что первая цыфра справа означаетъ простыя единицы, вторая—десятки, третья—сотни, и т. д.; напр., въ числѣ 2547 первая цыфра справа означаетъ семь единицъ, вторая—четыре десятка, третья—пять сотенъ и четвертая—двѣ тысячи, и написанное число есть двѣ тысячи пятьсотъ сорокъ семь. Чтобы написать число семьсотъ восемьдесятъ четыре, состоящее изъ семи сотенъ, восьми десятковъ и четырехъ единицъ, надо цыфру 7 поставить на третьемъ мѣстѣ, цыфру 8—на второмъ и цыфру 4—на первомъ мѣстѣ, считая справа налѣво, т. е. написать:

784

Каждая цыфра въ числѣ имѣетъ значеніе абсолютное, которое выражаетъ число единицъ, независимо отъ ихъ разряда, и значеніе относительное, или мѣстное, которое зависитъ отъ мѣста цыфры въ числѣ и выражаетъ разрядъ единицъ, ею обозначаемыхъ.

При обозначеніи чиселъ, въ которыхъ отсутствуютъ единицы одного или нѣсколькихъ разрядовъ, слѣдующихъ за единицами высшаго разряда, мѣста этихъ отсутствующихъ разрядовъ занимаютъ нулями. Такъ, чтобы написать число четыреста семь, надо цыфру 4 поставить на третьемъ

мѣстѣ, цыфру 7—на первомъ, а мѣсто десятковъ, которыхъ нѣтъ въ этомъ числѣ, занять нулемъ; получимъ:

407.

Написавши

7040 , 8009, обозначимъ числа: семь тысячъ сорокъ и восемь тысячъ девять.

15. Такимъ образомъ для каждаго класса отведено три мѣста для единицъ всѣхъ трехъ его разрядовъ. Для класса простыхъ единицъ 1-е, 2-е и 3-е; для класса тысячъ: 4-е для единицъ тысячъ, 5-е для десятковъ тысячъ и 6-е для сотенъ тысячъ; для класса милліоновъ 7-е, 8-е и 9-е; для класса милліардовъ (билліоновъ): 10-е, для единицъ милліардовъ, 11-е для десятковъ милліардовъ и 12-е для сотенъ милліардовъ и т. д.

Слѣдующая таблица показываетъ порядокъ, въ которомъ идутъ классы и ихъ разряды, а равно и мѣста единицъ различныхъ разрядовъ при письменномъ обозначеніи чиселъ.

Четвертый классъ. Милліарды. Третій классъ. Милліоны. Второй классъ Тысячи. Первый классъ Простыя единицы.

16. При обозначеніи цыфрами каждаго числа, надо его писать по классамъ, начиная съ высшаго, наблюдая, чтобы въ каждый классъ, кромѣ высшаго, входило три цыфры, и занимая для этого мѣста недостающихъ разрядовъ нулями; въ высшемъ классѣ могутъ быть три, двѣ и одна цыфра, смотря по тому, входятъ ли въ него единицы третьяго и второго разряда. Классы другъ отъ друга полезно отдѣлять промежутками. Чтобы написать двадцать семь билліоновъ триста восемь милліоновъ пятьдесятъ четыре тысячи девять

единицъ, пишемъ сперва билліоны, потомъ милліоны, въ которыхъ на мѣстѣ десятковъ ставимъ 0, затѣмъ тысячи, въ которыхъ на мѣстѣ сотенъ ставимъ 0, наконецъ единицы, въ которыхъ ца мѣстахъ сотенъ и десятковъ ставимъ нули:

27 308 054 009.

Чтобы прочитать написанное число, его дѣлятъ мысленно или чертами на классы, по три цыфры въ каждомъ, за исключеніемъ высшаго, въ которомъ можетъ быть и одна, и двѣ цыфры, и читаютъ послѣдовательно каждый классъ. Чтобы прочесть 20507842156 дѣлимъ его на классы

20|507|842|156

и читаемъ: двадцать милліардовъ пятьсотъ семь милліоновъ восемьсотъ сорокъ двѣ тысячи сто пятьдесятъ шесть простыхъ единицъ.

17. Число, для обозначенія котораго требуется только одна цыфра, называется однозначнымъ; число, для обозначенія котораго требуется болѣе одной цыфры, называется многозначнымъ.

18. Число, выраженное въ единицахъ какого-либо разряда, можно выразить въ единицахъ непосредственно слѣдующихъ за нимъ высшаго или низшаго разрядовъ. Это легко сдѣлать, зная, что 10 единицъ каждаго разряда составляютъ единицу слѣдующаго высшаго разряда. Напр., 54 сотни состоятъ изъ 5 десятковъ сотенъ и 4 единицъ сотенъ; такъ какъ каждый десятокъ сотенъ составляетъ тысячу, то 5 дес. сотенъ составятъ пять тысячъ; слѣд., 54 сотни состоятъ изъ 5 тысячъ и 4 сотенъ. 7 тысячъ составляютъ 7 десятковъ сотенъ или 70 сотенъ, потому что каждая тысяча содержитъ въ себѣ десять сотенъ.

На основаніи этого число 350 можно выразить 35 десятками, потому что 3 сотни составляютъ 30 десятковъ; 5600 можно выразить 56 сотнями, потому что 5 тысячъ составляютъ 50 сотенъ; то же число 5600 можно выразить 560 десятками, потому что въ каждой сотнѣ по 10 десятковъ. Число, выраженное въ единицахъ одного какого-либо разряда, если ихъ больше 9, можетъ быть выражено такъ, что въ каждомъ разрядѣ будетъ не болѣе 9 единицъ. Напр., 379 сотенъ составятъ 37 тысячъ и 9 сотенъ, а 37 тысячъ составятъ 3 десятка тысячъ и 7 тысячъ; слѣд., все число 379 сотенъ будетъ состоять изъ 3 десятковъ тысячъ, 7 тысячъ и 9 сотенъ.

19. Въ церковно-славянскихъ книгахъ первыя девять чиселъ, каждый десятокъ и каждая сотня означаются особыми буквами, надъ которыми ставится знакъ"*, называемый титломъ, для указанія, что буква означаетъ число. Знаки славянской системы слѣдующіе:

Для обозначенія тысячъ употребляются тѣ же буквы съ знакомъ * передъ ними. Знаки располагаютъ въ такомъ порядкѣ, въ которомъ произносятся ихъ названія при чтеніи числа по церковно-славянски.

Такимъ образомъ числа 19, 38, 548, 4000, 45606, 1906 соотвѣтственно обозначаются:

20. Римляне для обозначенія чиселъ приняли семь знаковъ:

I, V, X, L, С, D, М,

которые означаютъ соотвѣтственно слѣдующія числа: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Эти цыфры сохраняютъ свое значеніе на всякомъ мѣстѣ. Когда написано нѣсколько цыфръ подъ-рядъ, то значенія ихъ придаются другъ къ другу. Исключеніе составляютъ обозначенія IV, IX, XL, ХС, CD, CM, въ которыхъ значеніе лѣвой цыфры отнимается отъ значенія правой и которыя поэтому обозначаютъ числа: 4, 9, 40, 90, 400, 900. Такимъ образомъ, числа 6, 16, 70, 1553, 4, 9, 90, 1906 соотвѣтственно обозначатся по римской системѣ:

VI, XVI, LXX, MDLIII, IV, IX, ХС, МСМѴІ.

Если въ числѣ нѣсколько тысячъ, то число тысячъ пишется, какъ и число ниже тысячи, только послѣ числа тысячъ внизу съ правой стороны приписывается буква т (mille тысяча). Такимъ образомъ ССІѴш DLXXII обозначаетъ число 204 572.

21. Составныя именованныя числа. Мы выше видѣли, что отъ измѣренія величинъ происходятъ именованныя числа, выражающія эти величины.

Для каждаго рода величинъ въ каждомъ государствѣ установлено нѣсколько единицъ различнаго размѣра, при чемъ каждая единица большаго размѣра, составляется изъ нѣсколькихъ единицъ меньшаго размѣра. Для измѣренія малыхъ ве-

личинъ служатъ мелкія единицы, для измѣренія большихъ величинъ—крупныя единицы. Разстояніе между городами измѣряютъ верстами, разстоянія между строеніями одного и того же двора—саженями. Единицы большаго размѣра наз. единицами высшаго наименованія, единицы меньшаго размѣра единицами низшаго наименованія. Число, показывающее, сколько разъ какая-либо мѣра содержится въ болѣе крупной мѣрѣ, наз. единичнымъ отношеніемъ или знаменательнымъ числомъ этихъ двухъ мѣръ.

Если при измѣреніи величины можно обойтись какой-нибудь одной мѣрой, то получается простое именованное число, состоящее изъ единицъ только одного наименованія; напр. 27 верстъ. Если при измѣреніи величины какой-либо мѣрой остается остатокъ, меньшій этой мѣры, то его измѣряютъ болѣе мелкой мѣрой; если и отъ этого измѣренія остается новый остатокъ, то его измѣряютъ еще болѣе мелкой мѣрой и т. д. Напр., если, измѣряя длину двора, мы найдемъ, что сажень въ ней укладывается 7 разъ и остается остатокъ, меньшій сажени, то его измѣримъ аршиномъ; если аршинъ въ этомъ остаткѣ уложится 2 раза и останется остатокъ, меньшій аршина, то его надо измѣрить вершкомъ, который, положимъ, уложится въ послѣднемъ остаткѣ ровно 8 разъ. Отъ такого измѣренія двора мы получимъ число: 7 саж. 2 арш. 8 вершковъ. Число, состоящее изъ единицъ различныхъ наименованій, но одного рода, наз. составнымъ именованнымъ числомъ. При обозначеніи составныхъ именованныхъ чиселъ между числами различныхъ наименованій иногда ставятъ знакъ плюсъ (прямой крестъ -]-); наприм. 7 саж.-f-2 арш.4-8 вершк. Два именованныхъ числа, выражающихъ величины одного рода, наз. однородными.

Всѣ русскія и метрическія мѣры помѣщены въ особой таблицѣ, находящейся въ концѣ этой книги.

22. 1) Какъ составляется рядъ цѣлыхъ чиселъ?—2) Какъ образуются счетныя единицы въ десятичной системѣ счисленія? 3) Какія названія носятъ различныя единицы счисленія?—4) Какъ считаютъ до тысячи?—5) Какъ считаютъ тысячами?—6) Какъ считаютъ милліонами?—7) Сколько единицъ каждаго класса составляютъ единицу слѣду ющаго высшаго класса?— 8) Какъ словесно обозначаютъ числа?—9) Сколько цыфръ и какъ онѣ называются? —10) Какъ располагаются цыфры при обозначеніи чиселъ?— 11) Какое значеніе дается цыфрѣ по формѣ?—какое—по мѣсту?—12) Для чего служитъ нуль?—13) Какъ написать число?—14) Какъ прочесть напианное число?—15) Что наз. основаніемъ системы?—16) Какія числа наз.

однозначными?—какія—двузначными?—какія—многозначными?—17) Зачѣмъ для измѣренія величинъ каждаго рода установлены единицы различнаго размѣра?—18) Какъ наз. единицы различнаго размѣра?—19) Что наз. единичнымъ отношеніемъ?—20) Какое именованное число наз. простымъ?— какое—составнымъ?—21) Какія именованныя числа наз. однородными?

II.

Понятія о дѣйствіяхъ.

23. Дѣйствіе. Присчитавъ къ 5-ти единицу, получимъ число 6; отсчитавъ единицу отъ 5-ти, получимъ число 4, Здѣсь числа 6 и 4 составлены по даннымъ числамъ 5 и 1. иначе: надъ числами 5 и 1 произведены дѣйствія.

Въ ариѳметикѣ разсматриваются четыре дѣйствія: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дѣленіе.

24. Сложеніе. Чтобы къ 7-ми прибавить 4 единицы, присчитаемъ къ 7-ми одну единицу, получимъ 8; къ 8-ми прибавимъ еще единицу, получимъ 9; къ 9-ти прибавимъ опять единицу, получимъ 10; наконецъ къ 10-ти присчитаемъ еще единицу, получимъ 11. При этомъ надо наблюдать, чтобы такое послѣдовательное прибавленіе единицы было повторено ровно столько разъ, сколько единицъ во второмъ числѣ, въ данномъ примѣрѣ ровно четыре раза. Прибавивъ къ 7-ми 4 единицы, мы надъ числами 7 и 4 произвели сложеніе. Сложить два числа значитъ къ первому числу присчитать столько единицъ, сколько ихъ содержится во второмъ.

Если число 11, полученное отъ сложенія 7-ми и 4-хъ, сложимъ съ 5-ю, то получимъ 16 и произведемъ сложеніе надъ тремя числами 7, 4 и 5. Складывать можно сколько угодно чиселъ. Сложить нѣсколько чиселъ значитъ первое данное число сложить со вторымъ, полученное число сложить съ третьимъ и т. д. до послѣдняго числа включительно.

Числа, данныя для сложенія, наз. слагаемыми; число, которое получается отъ сложенія, наз. суммою. Въ послѣднемъ примѣрѣ 7, 4 и 5—слагаемыя, 16—сумма.

Изъ именованныхъ чиселъ можно складывать только однородныя числа.

25. Для обозначенія сложенія между слагаемыми ставятъ знакъ сложенія — прямой крестъ, а передъ суммою знакъ равенства — двѣ горизонтальныя черточки. Знакъ

сложенія наз. плюсомъ. Приведенные нами примѣры слѣдуетъ обозначить такъ:

7+4 = 11; 74-44-5 = 16.

Обозначенія эти можно читать въ слѣдующихъ выраженіяхъ: къ 7-ми прибавить 4, получится 11; 7 сложить съ 4-мя, получится 11; 7 да 4 да 5 равно 16-ти; 7 плюсъ 4 плюсъ 5 равно 16-ти

26. Сумма содержитъ въ себѣ столько единицъ, сколько ихъ во всѣхъ слагаемыхъ вмѣстѣ; поэтому сумму по отношенію ко всѣмъ слагаемымъ можно назвать цѣлымъ, а каждое слагаемое — частью суммы. Складывая числа, мы, зная всѣ части цѣлаго, находимъ это цѣлое.

27. Сумма не измѣняется отъ перестановки слагаемыхъ. Складывая 7, 4 и 5, мы получили въ суммѣ 16. Если 7 сперва сложимъ съ 5-ю, а потомъ полученную сумму 12 съ 4-мя, то въ суммѣ опять получимъ 16, потому что отъ сдѣланной нами перестановки слагаемыхъ ни въ одномъ слагаемомъ не прибавилось и не убавилось ни одной единицы, и сумма попрежнему заключаетъ въ себѣ всѣ единицы, которыя были въ слагаемыхъ. Такимъ образомъ:

74-4=4+7; 7+4+5=4+7+5=5+4+7=7+5+4.

28. Чтобы быстро производить сложеніе, надо знать таблицу сложенія однозначныхъ чиселъ:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Она составляется слѣдующимъ образомъ: въ верхнемъ ряду пишется 0 и всѣ числа отъ 1 до 10; къ каждому числу присчитываютъ по единицѣ и суммы пишутъ во второмъ ряду, подъ соотвѣтствующими числами перваго ряда; къ каждому числу второго ряда снова прибавляютъ по единицѣ и суммы пишутъ въ третьемъ ряду и т. д., пока въ таблицѣ не будетъ 10 горизонтальныхъ рядовъ. Такъ какъ для полученія чиселъ каждаго новаго ряда, мы присчитываемъ къ числамъ предыдущаго ряда по единицѣ, то, написавъ 10-й рядъ, мы къ каждому числу 1-го ряда приложимъ по 9 единицъ и, слѣд., въ таблицѣ будутъ заключаться суммы всѣхъ однозначныхъ чиселъ, взятыхъ по два. Чтобы по таблицѣ найти сумму двухъ однозначныхъ чиселъ, напр. 6 и 8, надо взять число 14, стоящее въ клѣткѣ, въ которой сходится вертикальный рядъ, начинающійся однимъ числомъ (6), съ горизонтальнымъ, начинающимся другимъ числомъ (8).

29. По этой таблицѣ можно складывать и многозначныя числа, когда они состоятъ изъ единицъ только одного разряда, одинаковаго для обоихъ слагаемыхъ. Чтобы сложить 700 000 и 800 000, замѣчаемъ, что по таблицѣ сложенія 7 какихъ-либо единицъ съ 8-ю такими же единицами составляютъ 15 такихъ же единицъ; поэтому и 7 единицъ 6-го разряда (сотенъ тысячъ) съ 8-ю единицами 6-го разряда дадутъ 15 единицъ того же 6-го разряда, т.-е. 15 сотенъ тысячъ, которыя составятъ 1 милл. и 5 сот. тысячъ, т.-е. 1 500 000. Такъ же найдемъ, что:

5 000+4 000 = 9 000; 800 + 600 = 1 400.

30. Вопросы.—1) Что значитъ произвести ариѳметическое дѣйствіе?— 2) Что значитъ сложить два числа? — что значитъ сложить нѣсколько чиселъ?—3) Какъ наз. числа въ сложеніи?—4) Какія именованныя числа можно складывать?—5) Какъ обозначается сложеніе?—6) Сколько единицъ заключаетъ въ себѣ сумма?—7) Измѣняется ли сумма при перестановкѣ слагаемыхъ?—8) Для чего служитъ таблица сложенія?—9) Какъ она составляется?—10) Какъ по этой таблицѣ найти сумму 5 и 9? 6 и 7-ми? 3-хъ и 8-ми?—11) Какъ найти эти суммы безъ помощи таблицы?—12) Какъ сложить 900 съ 800? 5 000 и 7 000? 80 000 и 70 000? 8 000 000 и 7 000 000?

31. Вычитаніе. Въ сложеніи мы, зная слагаемыя, находили сумму. Положимъ теперь, что сумма намъ дана, напр. 12, и дано одно слагаемое, напр. 4, и требуется найти другое слагаемое. Попробуемъ, не будетъ ли другое слагаемое равно 10. Для этого сложимъ 10 съ 4-мя, получимъ въ суммѣ 14,—больше, чѣмъ требуется слѣд., 10 велико.

Испытаемъ, не будетъ ли другое слагаемое равно 5. Для этого опять сложимъ 5 съ 4-мя, получимъ въ суммѣ 9,— меньше, чѣмъ требуется; слѣд. 5 мало. Значитъ искомое слагаемое меньше 10 и больше 5. Остается испробовать числа между 5-ю и 10-ю. Если возьмемъ 8, то сложивъ 8 съ 4-мя, получимъ какъ разъ 12; слѣд. искомое слагаемое равно 8-ми. Опредѣляя искомое слагаемое, мы надъ числами 12 и 4 произвели вычитаніе. Вычесть значитъ по данной суммѣ и одному слагаемому найти другое слагаемое.

Данная сумма наз. уменьшаемымъ, данное слагаемое — вычитаемымъ, искомое слагаемое — разностью или остаткомъ. Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что уменьшаемое есть сумма вычитаемаго и разности и что для того, чтобы найти вычитаемое, надо изъ уменьшаемаго вычесть разность.

Вычитая 4 изъ 12-ти можно поставить вопросъ двоякимъ образомъ: 1) какое число надо сложить съ 4-мя, чтобы получить въ суммѣ 12; 2) сколько единицъ надо прибавить къ 4-мъ, чтобы получить 12. Въ первомъ случаѣ къ результату вычитанія болѣе подходитъ названіе остатокъ, во второмъ названіе разность.

Такъ какъ сумма есть цѣлое, а слагаемыя—ея части, то въ вычитаніи мы по цѣлому и одной его части, находимъ другую его часть.

При вычитаніи именованныхъ чиселъ уменьшаемое, вычитаемое и разность должны быть однородны.

32. Для обозначенія вычитанія между уменьшаемымъ и вычитаемымъ ставятъ знакъ вычитанія—горизонтальную черточку, которую наз. минусомъ. Чтобы обозначить, что изъ 12 надо вычесть 4 и что въ разности получится 8, надо написать:

Обозначеніе это можно прочесть въ слѣдующихъ выраженіяхъ: изъ 12-ти вычесть 4, получимъ 8; 12 безъ 4-хъ равно 8-ми; 12 минусъ 4 равно 8-ми.

33. Во взятомъ нами примѣрѣ 12—4, мы нашли разность рядомъ испытаній, складывая 4 съ числами 10, 5, 8. Вмѣсто этого, можно отъ 12 послѣдовательно отсчитать 4 раза по единицѣ: 12 безъ единицы 11, 11 безъ 1-цы 10, 10 безъ

единицы 9 и 9 безъ единицы 8. И тотъ и другой пріемъ очень медленны.

Чтобы быстро вычитать, надо умѣть быстро находить однозначныя разности, получаемыя отъ вычитанія однозначныхъ вычитаемыхъ. Ихъ можно опредѣлять по таблицѣ сложенія однозначныхъ чиселъ. Чтобы 8 вычесть изъ 15, надо найти, сколько слѣдуетъ прибавить къ 8-ми, чтобы въ суммѣ получить 15. Для этого въ вертикальномъ ряду таблицы, который начинается съ 8-ми, отыскиваемъ уменьшаемое 15; первое число 7 горизонтальнаго ряда, въ которомъ находятся эти 15, покажетъ, сколько надо прибавить къ вычитаемому 8, чтобы получить уменьшаемое 15; т.-е. 7 будетъ искомая разность.

Но гораздо скорѣе мы опредѣлимъ эти разности, если хорошо запомнимъ таблицу сложенія. Такъ зная наизусть, что 5+ 4 = 9, мы сразу скажемъ, что 9 — 5 = 4 и 9 — 4 = 5; зная что 9+7 = 16, скажемъ сразу, что 16 — 9 = 7 и 16 —7 = 9 и т. п.

34. Умѣя дѣлать вычитаніе въ указанныхъ выше предѣлахъ, не трудно произвести вычитаніе многозначныхъ чиселъ, когда уменьшаемое и вычитаемое состоятъ изъ единицъ только одного разряда, одинаковаго для обоихъ чиселъ, и когда уменьшаемое заключаетъ въ себѣ еще одну единицу слѣдующаго высшаго разряда. Чтобы вычесть 3 000 изъ 8 000, замѣчаемъ, что по таблицѣ сложенія 8 какихъ-либо единицъ безъ 3-хъ такихъ же единицъ составляютъ 5 такихъ же единицъ; поэтому и 8 единицъ 4-го разряда безъ 3-хъ единицъ того же разряда дадутъ 5 единицъ того же 4-го разряда, т.-е. 5 тысячъ; слѣд.

8 000 — 3 000 = 5 000.

Чтобы вычесть 400 изъ 1 200, замѣчаемъ, что тысяча заключаетъ въ себѣ 10 сотенъ, которыя съ остальными 2-мя сотнями составятъ 12 сотенъ, что 12 единицъ безъ 4-хъ единицъ составляютъ 8 такихъ единицъ; поэтому и 12 сот. безъ 4-хъ сот. составятъ 8 сотенъ; слѣд.

1 200 — 400 = 800.

35. Увеличить число на нѣсколько единицъ значитъ прибавить къ нему эти единицы, уменьшить число на нѣсколько единицъ значитъ вычесть изъ него эти единицы. Такъ чтобы 7 увеличить на 3 единицы, надо 7 сложить с 3-мя, получимъ 10; чтобы 7 уменьшить 3-мя единицами, надо изъ 7-ми

вычесть 3, получимъ 4. Поэтому, вмѣсто сложить говорятъ часто увеличить число, а вмѣсто вычесть уменьшить число на нѣсколько единицъ или нѣсколькими единицами.

Узнать, на сколько единицъ одно число больше или меньше другого значитъ узнать, сколько единицъ надо придать къ меньшему изъ нихъ, чтобы получить большее, а для этого надо меньшее число вычесть изъ большаго. Такъ, чтобы узнать, на сколько единицъ 15, больше 9-ти, пли на сколько единицъ 9 меньше 15-ти, надо изъ 15-ти вычесть 9; найдемъ, что 15 на 6 единицъ больше 9-ти и что 9 на 6 единицъ меньше 15-ти.

36. Каждому сложенію двухъ чиселъ соотвѣтствуютъ два вычитанія, посредствомъ которыхъ по суммѣ и одному слагаемому находится другое слагаемое; напр. сложенію 800 + 600 = 1 400 соотвѣтствуютъ вычитанія:

Каждому вычитанію соотвѣтствуетъ сложеніе, посредствомъ котораго по вычитаемому и разности находится уменьшаемое, и вычитаніе, посредствомъ котораго по уменьшаемому и разности опредѣляется вычитаемое; напр. вычитанію 1 500 — — 900 = 600 соотвѣтствуютъ сложеніе 900 + 600 = 1 500 и вычитаніе 1 500 — 900 = 600.

Сравнивая сложеніе съ соотвѣтствующимъ ему вычитаніемъ, мы замѣтимъ, что въ одномъ изъ нихъ дается число, которое въ другомъ ищется, и ищется одно изъ чиселъ, которыя въ другомъ даются. Такія дѣйствія наз. обратными другъ другу.

37. Повѣрка дѣйствій. Повѣрить дѣйствіе значитъ убѣдиться, что въ вычисленіи не сдѣлано ошибокъ. Самый простой пріемъ повѣрки состоитъ въ новомъ повтореніи исполненнаго дѣйствія. Этотъ пріемъ не только указываетъ сдѣланную въ вычисленіи ошибку, но и даетъ возможность немедленно ее исправить. Зато очень часто случается, что ошибка, сдѣланная при первомъ исполненіи дѣйствія, повторяется и при повѣрочномъ его производствѣ; поэтому полезно прибѣгать къ инымъ пріемамъ повѣрки дѣйствій. Каждое дѣйствіе, кромѣ простого его повторенія, можетъ быть провѣрено при помощи того же самаго дѣйствія и при помощи обратнаго ему дѣйствія.

38. Повѣрка сложенія. Чтобы повѣрить сложеніе сложеніемъ же, складываютъ тѣ же числа въ иномъ порядкѣ. Если дѣйствія произведены вѣрно, то въ обоихъ случаяхъ должна получиться одна и та же сумма, такъ какъ перестановка слагаемыхъ не измѣняетъ суммы. Напр., для повѣрки сложенія

располагаемъ слагаемыя въ иномъ порядкѣ:

и если отъ сложенія ихъ въ новомъ порядкѣ получимъ въ суммѣ то же число 24, считаемъ, что сложеніе сдѣлано вѣрно.

Для повѣрки сложенія вычитаніемъ, вычитаютъ изъ суммы одно слагаемое, и если получаютъ другое слагаемое, когда ихъ два, или сумму остальныхъ слагаемыхъ, когда ихъ нѣсколько, то сложеніе сдѣлано вѣрно. Напр., для провѣрки сложенія

вычитаемъ 800 изъ 1 400; получивъ въ разности другое слагаемое 600, считаемъ, что сложеніе сдѣлано вѣрно. Для провѣрки сложенія

вычитаемъ 3 изъ 24, остальныя слагаемыя 5, 7 и 9 складываемъ и, получивъ въ обоихъ случаяхъ число 21, считаемъ, что сложеніе сдѣлано вѣрно.

39. Повѣрка вычитанія. Для повѣрки вычитаніемъ вычитанія

изъ уменьшаемаго 1 200 вычитаемъ разность 700 и, получивъ вычитаемое 500, считаемъ, что вычитаніе сдѣлано вѣрно, такъ какъ вычитаемое равно уменьшаемому безъ разности.

Для повѣрки предыдущаго вычитанія сложеніемъ, складываемъ вычитаемое 500 съ разностію 700 и, получивъ въ суммѣ уменьшаемое 1 200, считаемъ, что вычитаніе сдѣлано вѣрно, такъ какъ уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному съ разностью.

40. Совпаденіе п несовпаденіе результатовъ повѣрки съ установленными правилами не могутъ служить полнымъ подтвержденіемъ вѣрности или ошибочности провѣряемаго дѣйствія, такъ какъ и совпаденіе, и несовпаденіе могутъ произойти отъ ошибокъ въ повѣрочномъ дѣйствіи. Напр., повѣряя сложеніе 800 -ф- 400 = 1 100, гдѣ сдѣлана ошибка на 100, мы можемъ ошибиться на 100 и въ повѣрочномъ вычитаніи 1 100 — 800 и получить въ результатѣ требуемое повѣркой слагаемое 400, откуда должны заключить о вѣрности сложенія 800-4-400 = 1 100.

Также повѣряя вычитаніе 1 700 — 900 = 800, мы можемъ при повѣрочномъ сложеніи 900 и 800 ошибиться и получить 1 600 вмѣсто 1 700, откуда должны заключить о невѣрности совершенно вѣрнаго вычитанія.

Несовпаденіе результата повѣрки съ правилами всегда указываетъ, что или въ провѣряемомъ дѣйствіи, или въ повѣрочномъ дѣйствіи сдѣлана ошибка.

41. Вопросы. 1) Что значитъ вычесть одно число изъ другого?— 2) Какъ наз. числа въ вычитаніи?—3) Въ сколькихъ видахъ можно поставить вопросъ при каждомъ вычитаніи?—что показываетъ разность въ каждомъ изъ этихъ случаевъ?—4) Какія именованныя числа можно вычитать?—5) Какъ обозначается вычитаніе?—6) Какъ по вычитаемому и разности найти уменьшаемое?—7) Какъ по уменьшаемому и разности найти вычитаемое?—8) Какъ по таблицѣ сложенія опредѣлить разности между 15-ю и 6-ю? между 14 и 8? между 17 и 8? между 18 и 9?—9) Какъ опредѣлить эти разности безъ помощи таблицы?—10) Какт> вычесть 6 000 изъ 9 000? 5 000 000 изъ 12 000 000? 9 000 изъ 16 000? 11) Что значитъ увеличить число па нѣсколько единицъ? — что значитъ уменьшить число на нѣсколько единицъ?—12) Что значитъ узнать, на сколько единицъ одно число больше или меньше другого?—13) Какія дѣйствія соотвѣтствуютъ каждому сложенію двухъ чиселъ?—14) Какія дѣйствія соотвѣтствуютъ каждому вычитанію?—Какія дѣйствія наз. обратными другъ другу?—15) Что значитъ повѣрить дѣйствіе?—16) Какъ повѣряется сложеніе?—17) Какъ повѣряется вычитаніе?

42. Умноженіе. Прибавимъ 6 къ 6-ти, къ суммѣ 12 опять приложимъ 6, къ новой суммѣ 18 еще 6 и, наконецъ, къ полученной суммѣ 24 еще 6; тогда 6 будетъ взято слагаемымъ 5 разъ, и въ суммѣ получится 30. Взявъ 6 слагаемымъ 5 разъ, мы надъ числами 6 и 5 прозвели умноженіе. Умножить одно число на другое значитъ первое число сложить само съ собою, къ суммѣ прибавить опять первое число и т. д., пока не сдѣлаемъ столько сложеній, сколько во второмъ числѣ единицъ безъ одной.

Число, которое складывается само съ собою, наз. множимымъ; число, показывающее, сколько разъ надо взять множимое слагаемымъ, наз. множителемъ; получаемая сумма наз. произведеніемъ. Множимое и множитель вмѣстѣ наз. множителями или производителями. Произведенное умноженіе можно записать въ слѣдующемъ видѣ:

6+64-6+ 6 + 6 = 30,

но обыкновенно обозначаютъ его короче слѣдующими двумя способами:

6X5 = 30; 6.5 = 30.

Знакъ умноженія есть косой крестъ или точка. Прочитать записанное можно слѣдующими способами: 6 умножить на 5, получимъ 30; 5 разъ по 6 составитъ 30; пятью 6 — тридцать.

43. Чтобы 3 умножить на 7, можно сперва одну единицу изъ 3-хъ взять слагаемымъ 7 разъ, получимъ 7; потомъ другую единицу взять слагаемымъ 7 разъ, получимъ опять 7; наконецъ, третью единицу взять слагаемымъ 7 разъ, получимъ опять 7; затѣмъ всѣ три полученныхъ числа: 7, 7, и 7 сложить. Такимъ образомъ, чтобы 3 умножить на 7, можно 7 взять слагаемымъ 3 раза, т.-е. 7 умножить на 3. Отсюда видимъ, что произведеніе не измѣняется отъ перестановки множителей. Письменно это свойство для чиселъ 7 и 3 выразится слѣдующимъ образомъ:

ЗХ7 = 7ХЗ.

На основаніи этого 8X1 = 1X8 = 1+1 + 1 + 1 + 14-+1+1+1 = 8, и 5X0=0X5=0+0+0+04-0=0; т.-е. отъ умноженія каждаго числа на единицу въ произведеніи получается множимое, а отъ умноженія каждаго числа на 0, въ произведеніи получается 0.

44. Произведеніе есть сумма равныхъ слагаемыхъ; поэтому произведеніе есть цѣлое, всѣ части котораго равны между собою. Умножая, мы по одной изъ равныхъ частей цѣлаго (множимое) и числу частей (множитель) находимъ цѣлое (произведеніе).

Изъ чиселъ, данныхъ для умноженія, только одно множимое можетъ имѣть наименованіе; множитель же, показывающій, сколько разъ множимое берется слагаемымъ, есть всегда число отвлеченное. Произведеніе имѣетъ одинаковое наименованіе съ множимымъ.

45. Для быстраго производства умноженія, надо умѣть быстро и безошибочно опредѣлять произведенія однозначныхъ

чиселъ. Для этого служитъ таблица умноженія однозначныхъ чиселъ:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

Таблица эта наз. Пиѳагоровой, по имени знаменитаго греческаго философа Пиѳагора. Чтобы составить Пиѳагорову таблицу, въ первой строкѣ пишутъ по порядку всѣ 9 однозначныхъ чиселъ; каждое число этой строки складываютъ само съ собою, и полученныя суммы пишутъ во второй строкѣ, подъ соотвѣтствующими числами первой; каждое число второй строки складываютъ съ стоящимъ надъ нимъ числомъ первой строки, и суммы пишутъ въ третьей строкѣ, подъ соотвѣтствующими числами второй строки, и т. д., пока въ первомъ столбцѣ не получимъ числа 9; вообще, для полученія чиселъ каждой новой строки, складываютъ числа предыдущей строки съ соотвѣтствующими числами первой. Такъ какъ въ этой таблицѣ 9 строкъ, то каждое однозначное число повторено въ ней слагаемымъ и 2, и 3, и 4, и 5, и 6, и 7, и 8, и 9 разъ; слѣд. она заключаетъ въ себѣ произведенія всѣхъ однозначныхъ чиселъ. Чтобы найти въ этой таблицѣ требуемое произведеніе, надо найти одного множителя, напр. 7, въ первой горизонтальной строкѣ, а

другого, напр. 5, въ первой вертикальной строкѣ; произведеніе 35 найдемъ въ клѣткѣ, гдѣ пересѣкаются вертикальная и горизонтальная строки, начинающіяся этими множителями.

По этой же таблицѣ не трудно умножить на однозначное число такое многозначное число, которое состоитъ изъ единицъ только одного разряда. Чтобы 500 умножить на 7, замѣчаемъ, что всякія 5 единицъ отъ умноженія на 7 даютъ 35 такихъ же единицъ; поэтому и 5 единицъ 3-го разряда отъ умноженія на 7 дадутъ также 35 единицъ 3-го разряда, т.-е. 35 сотенъ, которыя составятъ 3 тысячи и 5 сотенъ; слѣд., 500X7 = 3 500.

46. Вопросы. 1) Что значитъ умножить одно число на другое? -т—2) Какъ наз. числа въ умноженіи?—3) Какъ обозначается умноженіе? 4) Измѣняется ли произведеніе отъ перестановки множителей?—5) Показать, что 8 X 4 = 4 X 8, что 5 X 20 = 20 X что 3 X 40 — 40 X 3.—6) Какія числа въ умноженіи могутъ быть именованными?—7) Какъ составляется Пиѳагорова таблица?—8) Какъ по этой таблицѣ опредѣлить произведенія 7-ми на 5? 9-ти на 8? 3-хъ на 7? 9-ти на 9?—9) Какъ эти произведенія можно опредѣлить безъ помощи таблицы?—10) Какъ умножить 800 на 9? 6 000 на 4? 7 000 000 на 8?

47. Дѣленіе. Въ умноженіи мы, зная множителей, находили произведеніе. Положимъ теперь, что произведеніе намъ дано, напр. 32, и данъ одинъ множитель, напр. 4, и требуется найти другого множителя. Испробуемъ, не будетъ ли другой множитель равенъ 5-ти. Для этого умножимъ 4 на 5, получимъ въ произведеніи 20,—меньше чѣмъ требуется; слѣд. 5 мало. Испытаемъ, не будетъ ли другой множитель равенъ 10. Для этого опять умножимъ 4 на 10, получимъ въ произведеніи 40, — больше чѣмъ требуется; слѣд. 10 велико. Значить искомый множитель больше 5 и меньше 10-ти. Остается испробовать числа между 5-ю и 10-ю. Если возьмемъ 8, то умноживъ 4 на 8, получимъ какъ разъ 32; слѣд. искомый множитель равенъ 8-ми. Опредѣляя искомаго множителя, мы надъ числами 32 и 4 произвели дѣленіе. Раздѣлить значитъ по данному произведенію и одному множителю найти другого множителя. Слѣд. дѣленіе есть дѣйствіе обратное умноженію.

Данное произведеніе наз. дѣлимымъ, данный множитель-дѣлителемъ, искомый множитель—частнымъ.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что дѣлимое есть произведеніе дѣлителя и частнаго и что для того, чтобы найти дѣлителя, надо дѣлимое раздѣлить на частное.

Дѣля 32 на 4 можно поставить вопросъ двояко: 1) какое число надо умножить на 4, чтобы получить въ произведеніи 32, т.-е. какое число надо взять слагаемымъ 4 раза, чтобы получить въ суммѣ 32; 2) на какое число надо умножить 4, чтобы получить въ произведеніи 32, т.-е. сколько разъ надо взять слагаемымъ 4, чтобы получить въ суммѣ 32.

Второй вопросъ обыкновенно задается въ слѣдующихъ выраженіяхъ: сколько разъ одно число (4) повторяется или содержится въ другомъ числѣ (32). Слѣд., частное въ этомъ случаѣ показываетъ, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ.

Въ первомъ вопросѣ мы знаемъ сумму 32, знаемъ, что она состоитъ изъ 4-хъ равныхъ слагаемыхъ, а ищемъ, сколько единицъ въ каждомъ слагаемомъ; другими словами: мы знаемъ цѣлое, знаемъ, изъ сколькихъ равныхъ частей состоитъ это цѣлое, а ищемъ, сколько единицъ въ каждой такой части (въ данномъ примѣрѣ: сколько единицъ въ 4-й части цѣлаго).

Въ этомъ случаѣ дѣлимое показываетъ, какое число мы дѣлимъ на равныя части, дѣлитель — на сколько частей дѣлимъ дѣлимое, частное — сколько единицъ получается въ каждой части.

48. Дѣленіе обозначается двумя точками, которыя ставятся между дѣлимымъ и дѣлителемъ, или горизонтальною чертой, при чемъ дѣлимое ставится надъ чертою, а дѣлитель подъ чертою, пли пишется дѣлимое, возлѣ него проводится вертикальная черта и за нею пишется дѣлитель. При первыхъ двухъ обозначеніяхъ частное пишется послѣ знака равенства, а въ послѣднемъ — подъ дѣлителемъ и отдѣляется отъ него горизонтальною чертою. Такимъ образомъ, чтобы обозначить, что 32 раздѣлено на 4 и что въ частномъ получится 8, надо написать:

Читаютъ эти обозначенія въ слѣдующихъ выраженіяхъ: 32 раздѣлить на 4, получимъ въ частномъ 8; 4-я часть 32-хъ равна 8-ми; 4 въ 32-хъ содержится 8 разъ.

49. Дѣлимое можетъ быть именованнымъ числомъ, а дѣлитель—отвлеченнымъ; тогда частное должно быть име-

нованнымъ числомъ, однороднымъ съ дѣлимымъ, ибо оно тогда будетъ выражать часть дѣлимаго. Дѣлимое и дѣлитель оба могутъ быть именованными числами, но непремѣнно однородными; тогда частное должно быть отвлеченнымъ числомъ, такъ какъ оно будетъ выражать, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ.

50. Выше мы нашли частное отъ дѣленія 32-хъ на 4 рядомъ испытаній. Вмѣсто этого, можно отъ 32 послѣдовательно отнимать по 4, пока ничего не останется:

32 — 4 = 28, 28 — 4 = 24, 24-4 = 20, 20 — 4 = 16,

16 — 4 = 12, 12 — 4 = 8, 8 — 4 = 4, 4 — 4 = 0,

и сосчитать, сколько разъ можно сдѣлать такое вычитаніе; получимъ 8. Очевидно столько разъ 4 и будетъ содержаться въ 32-хъ.

Чтобы быстро дѣлить, надо умѣть быстро находить однозначныя частныя при однозначномъ дѣлителѣ. Частныя эти можно опредѣлять по Пиѳагоровой таблицѣ. Чтобы 63 раздѣлить на 7, надо найти, на какое число слѣдуетъ умножить 7, чтобы получить въ произведеніи 63. Для этого въ вертикальномъ ряду Пиѳагоровой таблицы, который начинается 7-ю, отыскиваемъ дѣлимое 63; первое число 9 горизонтальнаго ряда, въ которомъ находится это 63, покажетъ, на что надо умножить дѣлителя 7, чтобы получить дѣлимое 63; т.-е. 9 есть искомое частное. Но гораздо скорѣе опредѣлимъ эти частныя, если хорошо запомнимъ таблицу умноженія. Такъ, зная наизусть, что 7X6=42, мы сразу скажемъ, что 42 : 6 = 7 и 42 : 7 = 6; зная, что 9X1 — 36, скажемъ сразу, что 36 : 4 = 9 и 36 : 9 = 4 и т. п.

51. Умѣя дѣлать дѣленіе въ указанныхъ предѣлахъ, нетрудно раздѣлить на однозначное число такое многозначное, которое въ частномъ даетъ единицы только одного разряда. Чтобы раздѣлить 4 800 на 6, надо найти такое число, которое отъ умноженія на 6 даетъ въ произведеніи 48 сотенъ. По предыдущему мы найдемъ, что для полученія 48 единицъ, на 6 надо умножить 8 такихъ же единицъ; поэтому, чтобы получить 48 сотенъ, надо на 6 умножить 8 сотенъ; слѣд. 4 800:6 = 800.

Также нетрудно сдѣлать дѣленіе и въ томъ случаѣ, когда дѣлимое и дѣлитель состоятъ изъ единицъ только одного разряда, одинаковаго для обоихъ чиселъ, или когда дѣлимое сверхъ единицъ того разряда, изъ которыхъ состоитъ дѣли-

тель, заключаетъ въ себѣ еще нѣсколько единицъ слѣдующаго высшаго разряда, а частное въ обоихъ случаяхъ есть число однозначное. Чтобы раздѣлить 4 800 на 600 надо узнать, на что слѣдуетъ умножить 6 сотенъ, чтобы получить въ произведеніи 48 сот. По предыдущему мы найдемъ, что 6 единицъ надо умножить на 8, чтобы получить 48 такихъ же единицъ; поэтому, чтобы получить 48 сот., надо 6 сот. умножить на 8; слѣд. 4 800 : 600 = 8.

52. Дѣленіе съ остаткомъ. Дѣля 32 на 5, мы найдемъ, что отъ умноженія 6-ти на 5 получается 30, меньше 32-хъ, а отъ умноженія 7-ми на 5 получается 35, больше 32-хъ. Слѣд., нѣтъ такого цѣлаго числа, которое отъ умноженія на 5 давало бы 32. Если бы мы стали отнимать отъ 32-хъ по 5-ти, то нашли бы, что 5 отъ 32-хъ можно отнять 6 разъ и послѣ этого останется еще 2. То же число 2 мы получимъ, если изъ дѣлимаго 32 вычтемъ произведеніе 6-ти на дѣлителя 5. Въ этомъ случаѣ за частное принимаютъ число 6, отъ умноженія котораго на дѣлителя получается ближайшее къ дѣлимому 32, но меньшее его произведеніе 30, а разность 2 между этимъ произведеніемъ 30 и дѣлимымъ 32 наз. остаткомъ отъ дѣленія. Частное 6 наз. неполнымъ частнымъ, а самое дѣленіе дѣленіемъ съ остаткомъ. Про такое дѣленіе говорятъ, что 5 въ 32-хъ содержится 6 разъ съ остаткомъ 2, или что отъ дѣленія 32-хъ на 5 въ каждой части получается по 6 и остается еще 2 единицы. Дѣленіе съ остаткомъ обозначается слѣдующимъ образомъ:

при чемъ произведеніе 30 дѣлителя 5 на частное 6 подписывается подъ дѣлимымъ 32 и вычитается изъ него для опредѣленія остатка 2.

Такъ какъ для опредѣленія остатка изъ дѣлимаго вычитается произведеніе дѣлителя на частное, то чтобы найти дѣлимое въ дѣленіи съ остаткомъ, надо дѣлителя умножить на частное и произведеніе сложить съ остаткомъ, а чтобы найти дѣлителя, нада изъ дѣлимаго вычесть остатокъ и эту разность раздѣлить на частное. Остатокъ долженъ быть меньше дѣлителя.

53. Если мы дѣля 32 на 5, взяли бы въ частное 4, то умножая частное 4 на дѣлителя 5 и вычитая это произведеніе 20 изъ дѣлимаго 32, получили бы остатокъ 12, который больше дѣлителя 5. Отсюда заключили бы что частное 4 мало. Его слѣдуетъ повышать до тѣхъ поръ, пока въ остаткѣ не получимъ число меньше дѣлителя, или вовсе не получимъ остатка. Наоборотъ, если въ томъ же дѣленіи мы взяли бы въ частное 7, то умножая частное 7 на дѣлителя 5, получили бы произведеніе 35, которое больше дѣлимаго. Отсюда заключили бы, что частное 7 велико. Его надо понижать до тѣхъ поръ, пока въ произведеніи дѣлителя на частное не получится число меньше дѣлимаго или равное ему.

54. Когда число 6 умножимъ на 3, то къ 6 единицамъ прибавимъ 6 единицъ и потомъ еще 6 единицъ и, вмѣсто прежнихъ 6 единицъ получимъ 3 раза по 6 единицъ. Говорятъ, что 6 увеличили въ 3 раза. Увеличить число въ 3, 4, 5.. разъ значитъ умножить его на 3, 4, 5 и т. д.

Наоборотъ, когда число 6 раздѣлятъ на 3, то говорятъ, что его уменьшили въ 3 раза. Уменьшить число въ 3, 4, 5... разъ значитъ раздѣлить его на 3, 4, 5........

Уменьшить точно число во сколько-нибудь разъ можно только тогда, когда требуемое для этого дѣленіе совершается безъ остатка. Такъ, 20 мы можемъ точно уменьшить въ 4 раза и получимъ 20 : 4 = 5, но не можемъ точно уменьшить въ 3 раза, такъ какъ 20 на 3 дѣлится съ остаткомъ 2.

Узнать, во сколько разъ одно число больше или меньше другого, — значитъ узнать, на что надо умножить меньшее число, чтобы получить большее, т.-е. узнать, сколько разъ меньшее число содержится въ большемъ, а для этого надо большее число раздѣлить на меньшее. Такъ 360 въ 4 раза больше 90-а и 90 въ четыре раза меньше 360-ти, потому что 360 : 90 = 4. Если требуется узнать, во сколько разъ 43 больше 5-ти, то на этотъ вопросъ точно отвѣтить нельзя, потому что отъ дѣленія 43 на 5 получается въ частномъ 8 и въ остаткѣ 3. Мы можемъ только сказать, что 43 больше 5-ти въ 8 разъ слишкомъ, но меньше, чѣмъ въ 9 разъ.

55. Повѣрка умноженія. Каждому умноженію двухъ чиселъ соотвѣтствуютъ два дѣленія, въ которыхъ по произ-

веденію и одному множителю находится другой множитель; напр., умноженію 600X3 = 1 800 соотвѣтствуютъ два дѣленія 1 800 : 3 = 600 и 1 800 : 600 = 3. Поэтому для повѣрки умноженія 40X8 = 320 дѣленіемъ, дѣлимъ произведеніе 320 на одного множителя 8 и получивъ въ частномъ другого множителя 40, считаемъ, что умноженіе сдѣлано вѣрно. Для повѣрки умноженія 9 X 7 = 63 умноженіемъ же переставляемъ множителей 7 X 9 и получивъ опять то же произведеніе 63, считаемъ, что умноженіе сдѣлано вѣрно.

56. Повѣрка дѣленія. Каждому дѣленію соотвѣтствуютъ умноженіе, посредствомъ котораго по дѣлителю и частному находится дѣлимое, и дѣленіе, посредствомъ котораго по дѣлимому и частному находится дѣлитель. Напр., дѣленію 240 : 60 = 4 соотвѣтствуютъ умноженіе 60 X1 = 240 и дѣленіе 240 : 4 = 60. Поэтому, чтобы дѣленіе 5 600: 7 = 800 повѣрить умноженіемъ, множимъ частное 800 на дѣлителя 7 и получивъ въ произведеніи дѣлимое 5 600, считаемъ что дѣленіе сдѣлано вѣрно. Для повѣрки того же дѣленія дѣленіемъ же, дѣлимъ дѣлимое 5 600 на частное 800 и получивъ въ частномъ дѣлителя 7, считаемъ что данное дѣленіе сдѣлано вѣрно.

Чтобы дѣленіе съ остаткомъ

повѣрить умноженіемъ, множимъ частное 700 на дѣлителя 6 и полученное произведеніе 4 200 складываемъ съ остаткомъ 300; получивъ въ суммѣ дѣлимое 4 500, считаемъ, что дѣленіе сдѣлано вѣрно. Чтобы то же дѣленіе повѣрить дѣленіемъ же, вычитаемъ остатокъ 300 изъ дѣлимаго 4 500 и разность 4 200 дѣлимъ на частное 700; получивъ въ частномъ дѣлителя 6, считаемъ, что дѣленіе сдѣлано вѣрно.

57. Замѣтимъ, что и здѣсь какъ при повѣркѣ сложенія и вычитанія, совпаденіе результата повѣрки съ правиломъ не можетъ еще служить полнымъ ручательствомъ за вѣрность повѣряемаго дѣйствія, а несовпаденіе не всегда указываетъ на ошибку въ немъ. Такъ, повѣряя приведенное выше дѣленіе съ остаткомъ дѣленіемъ же, мы можемъ ошибиться въ вычитаніи остатка 300 изъ дѣлимаго 4 500 и вмѣсто 4 200 получить 3 500, дѣленіе котораго на 700 дастъ въ частномъ 5, а не 6.

Несовпаденіе результата повѣрки съ правилами всегда указываетъ, что или въ повѣряемое, или въ повѣрочныя дѣйствія, или въ тѣ и другія вкрались ошибки.

58. Раздробленіе и превращеніе. Помощію умноженія можно именованное число выражать въ болѣе мелкихъ единицахъ того же рода; напр., чтобы 5 верстъ выразить въ саженяхъ, надо 500 умножить на 5, потому что, въ одной верстѣ 500 саженъ, а въ 5-ти верстахъ 5 разъ по 500 саженъ; получимъ 2500 саженъ. Помощію дѣленія можно именованное число выражать въ болѣе крупныхъ мѣрахъ сравнительно съ тѣми, въ которыхъ оно выражено; напр., чтобы 375 минутъ выразить въ часахъ, надо 375 раздѣлить на 60, потому что въ часѣ 60 минутъ, и изъ 375 минутъ составится столько часовъ, сколько разъ 60 содержится въ 375-ти; получимъ 6 часовъ и 15 минутъ.

Замѣняя 5 верстъ 2500 саженъ и 375 минутъ—6 час. 15 м., мы не измѣнили величинъ, выражаемыхъ этими числами, а только выразили ихъ иначе; поэтому говорятъ что число 5 верстъ преобразовано въ 2500 саж., а 375 мин. преобразовано въ 6 час. 15 мин. Первое преобразованіе наз. раздробленіемъ, второе—превращеніемъ именованныхъ чиселъ.

59. Возвышеніе въ степень. Если 3 умножить на 3, произведеніе 9 снова умножить на 3, полученное число 27 опять умножить на 3, то надъ 3-мя произведемъ новое дѣйствіе

3 . 3 . 3 . 3 = 81,

которое обозначается короче слѣдующимъ образомъ:

З‘ = 81

и наз. возвышеніемъ въ степень.

Возвысить въ степень значитъ одно данное число умножить само на себя столько разъ, сколько въ другомъ данномъ числѣ единицъ безъ одной.

Въ данномъ примѣрѣ 3 возвышено въ 4-ю степень. Число, которое берется множителемъ, наз. основаніемъ степени; число, показывающее, сколько разъ основаніе берется множителемъ, наз. показателемъ степени; число, получаемое отъ возвышенія въ степень, наз. степенью основанія. Въ разобранномъ примѣрѣ 3—основаніе, 4—показатель, 81— четвертая степень 3. Степени получаютъ названія отъ пока-

зателя: если показатель 2, степень наз. второй, или квадратомъ; если показатель 3, степень наз. третьей, или кубомъ; при показателяхъ 4, 5, 6 и т. д. степени соотвѣтственно называются четвертой, пятой, шестой и т. д.

Отъ обращенія возвышенія въ степень происходятъ два новыхъ дѣйствія.

60. Скобки. Иногда требуется обозначить, не производя дѣйствій, что надъ двумя или болѣе числами слѣдуетъ произвести какое-либо дѣйствіе, надъ полученнымъ числомъ произвести еще какое-либо дѣйствіе и т. д. Чтобы условиться въ такихъ обозначеніяхъ, четыре ариѳметическія дѣйствія дѣлятъ на два порядка, относя къ первому сложеніе и вычитаніе, а ко второму—умноженіе и дѣленіе. Если всѣ дѣйствія принадлежатъ къ одному порядку и каждое слѣдующее дѣйствіе слѣдуетъ производить надъ результатомъ предыдущаго дѣйствія, то дѣйствія обозначаютъ въ порядкѣ ихъ производства; сообразно съ этимъ и выполняютъ дѣйствія въ порядкѣ ихъ обозначенія. Напр., если 5 надо умножить на 6, произведеніе раздѣлить на 3, частное умножить на 2 и это произведеніе раздѣлить на 5, то пишутъ:

5X6 : 3X2: 5

и выполняютъ это обозначеніе въ слѣдующемъ порядкѣ:

5X6 = 30, 30 : 3 = 10, 10X2 = 20, 20 : 5 = 4.

Написавши 8 + 4 — 7 — 3 + 9, обозначимъ, что 8 надо сложить съ 4-мя, изъ суммы вычесть 7, изъ разности вычесть 3 и эту разность сложить съ 9, и должны выполнить обозначеніе въ слѣдующей послѣдовательности:

8 + 4 = 12, 12 — 7 = 5, 5 — 3 = 2, 2 + 9 = 11.

Если обозначены дѣйствія разныхъ порядковъ, то дѣйствія второго порядка выполняютъ раньше дѣйствій перваго порядка; дѣйствія же одного и того же порядка выполняютъ въ порядкѣ ихъ обозначенія—безразлично, относятся ли дѣйствія перваго порядка къ даннымъ числамъ въ обозначеніи или къ результатамъ дѣйствій второго порядка, которые по этому правилу должны быть опредѣлены раньше. Такъ, написавши:

60 —9X6 —24 : 8 + 20 : 5,

обозначимъ, что 9 надо умножить на 6, 24 раздѣлить на 8, 20 раздѣлить на 5, затѣмъ полученное произведеніе вычесть изъ 60-ти, изъ этой разности вычесть первое частное и къ

полученной разности прибавить второе частное. Обозначеніе должно быть выполнено въ слѣдующемъ порядкѣ: •9X6=54, 24:8=3, 20:5=4, 60—54=6, 6—3=3, 3+4=7.

Результатъ нисколько не измѣнится, если надъ каждымъ произведеніемъ и частнымъ, тотчасъ послѣ ихъ вычисленія, произведемъ требуемое сложеніе, или вычитаніе. Сообразно съ этимъ, обозначеніе можно прочесть въ слѣдующей формѣ: 9 умножить на 6, произведеніе вычесть изъ 60-ти, 24 раздѣлить на 8, частное вычесть изъ полученной разности, затѣмъ 20 раздѣлить на 5 и это частное прибавить къ разности, полученной отъ второго вычитанія, и выполнить въ слѣдующемъ порядкѣ:

61. Всѣ отступленія отъ этого порядка въ выполненіи дѣйствій обозначаются постановкой скобокъ, которымъ даютъ различныя формы: простыя скобки ( ), квадратныя [ ], волнистыя { } и т. п. Обозначенія дѣйствій, заключенныхъ въ скобки, выполняютъ раньше дѣйствій, знаки которыхъ поставлены внѣ скобокъ. Если бы въ послѣднемъ примѣрѣ требовалось изъ 60 вычесть 9, разность умножить на 6, 24 раздѣлить на 8, 20 раздѣлить на 5 и сумму этихъ частныхъ вычесть изъ полученнаго произведенія, то слѣдовало бы написать

и выполнить это обозначеніе въ слѣдующемъ порядкѣ:

Написавши

обозначимъ, что требуется изъ 5 вычесть 3 и разность умножить на 2, затѣмъ 64 сложить съ 36 и сумму раздѣлить на 5, наконецъ полученное произведеніе сложить съ полученныхъ частнымъ и сумму раздѣлить на 6. Выполнимъ это обозначеніе въ слѣдующемъ порядкѣ:

Замѣтимъ, что въ скобки можно заключать обозначеніе каждаго дѣйствія, надъ результатомъ котораго слѣдуетъ произвести еще какое-либо дѣйствіе, но тогда придется

ставить очень много скобокъ. Такъ послѣдніе два примѣра тогда пришлось бы написать въ слѣдующемъ видѣ:

Для упрощенія обозначеній горизонтальную черту, обозначающую дѣленіе, считаютъ вмѣстѣ съ тѣмъ и скобками. На основаніи этого послѣдній примѣръ можно написать въ слѣдующемъ видѣ:

Во многихъ задачникахъ и руководствахъ обозначеніе дѣленія при помощи двухъ точекъ заключаютъ въ скобки безразлично, какое бы дѣйствіе надъ частнымъ ни приходилось затѣмъ обозначить.

62. Знаки неравенства. Чтобъ обозначить, что одно число больше другого, между ними ставятъ знакъ чтобъ обозначить, что первое число меньше второго, между ними ставятъ знакъ <. Такимъ образомъ, написавши

означимъ, что 12 больше 7-ми и 18 меньше 20-ти.

63. Вопросы. 1) Что значитъ раздѣлить одно число на другое?— 2) Какъ наз. числа въ дѣленіи? - 3) Въ сколькихъ видахъ можно поставить вопросъ при каждомъ дѣленіи?—4) Что показываетъ частное въ каждомъ изъ этихъ вопросовъ?—5) Какъ обозначается дѣленіе?—6) Какъ по дѣлителю и частному найти дѣлимое?—7) Какъ по дѣлимому и частному найти дѣлителя?—8) Какія числа въ дѣленіи могутъ быть именованными?—Какое частное получается при именованномъ дѣлителѣ?—что оно показываетъ?— 10) Какое частное получается при отвлеченномъ дѣлителѣ?—что оно показываетъ?—11) Какъ по Пиѳагоровой таблицѣ опредѣлить частныя отъ дѣленія 36 на 4? 48 на 6? 72 на 8? 81 на 9?—12) Какъ опредѣлить эти частныя безъ помощи таблицы?—13) Какъ раздѣлить 1 800 на 6?—2 400 на 300? 21 000 на 70 0? 72 000 000 на 8? 56 000 на 8?—14) Всегда ли дѣленіе можетъ быть выполнено въ цѣлыхъ числахъ?—15) Что наз. остаткомъ отъ дѣленія? —16) Какъ по дѣлителю, частному и остатку найти дѣлимое?— 17) Какъ по дѣлимому, частному п остатку найти дѣлителя?—18) Какъ узнать, вѣрна ли цыфра частнаго?—19) Что надо дѣлать съ частнымъ, если оно окажется ниже, чѣмъ слѣдуетъ? — выше, чѣмъ слѣдуетъ?— 20) Какъ увеличить число въ нѣсколько разъ?—21) Какъ уменьшить число въ нѣсколько разъ? — 22) Всякое ли число можно уменьшить въ данное число разъ?—23) Какъ узнать, во сколько разъ одно число больше или меньше другого? — 24) Сколько дѣленій соотвѣтствуютъ каждому умноже-

нію? — 25) Какъ повѣрить умноженіе? — 26) Какія дѣйствія соотвѣтствуютъ каждому дѣленію?—27) Какъ повѣрить дѣленіе?—28) Какъ повѣрить дѣленіе съ остаткомъ? — 29) Какія преобразованія можно дѣлать съ именованными числами?--30) Что значитъ раздробить именованное число? — помощію какого дѣйствія производится раздробленіе?—31) Что значитъ превратить именованное число? — помощію какого дѣйствія производится превращеніе? — 32) Что значитъ возвысить въ степень?—33) Для чего служатъ скобки?—34) Въ какомъ порядкѣ слѣдуетъ производить дѣйствія, если въ обозначеніе ихъ не входятъ скобки? — если въ обозначеніе ихъ входятъ скобки?—35) Какъ обозначить, что одно число больше другого?— меньше другого.

III.

Приложеніе дѣйствій къ рѣшенію задачъ.

64. Составъ задачи. Всякій вопросъ, для рѣшенія котораго надо по двумъ или нѣсколькимъ числамъ найти новое число, наз. задачей. Въ задачѣ поясняется значеніе всѣхъ данныхъ чиселъ; такія поясненія наз. условіями задачи. Возьмемъ задачи:

Два поѣзда идутъ навстрѣчу другъ другу: одинъ проходитъ 30 верстъ въ часъ, другой 40 верстъ. На сколько верстъ они сближаются въ часъ?

Два поѣзда идутъ другъ за другомъ: первый идетъ впереди и проходитъ по 30 верстъ въ часъ, второй по 40 верстъ. На сколько верстъ они сближаются въ часъ?

Въ нихъ пояснено, что 30 и 40 верстъ означаютъ, съ какою скоростью идетъ каждый изъ двухъ поѣздовъ; кромѣ того, въ первой задачѣ объяснено, что поѣзда идутъ навстрѣчу другъ другу, а во второй—что они идутъ другъ за другомъ. Поэтому, для рѣшенія первой задачи надо числа 30 и 40 сложить, и мы получимъ, что оба поѣзда сближаются въ часъ на 70 вер.; во второй надо изъ 40 вычесть 30, и мы найдемъ, что они сближаются въ часъ на 10 вер. Условія и данныя числа часто вмѣстѣ наз. данными задачи.

Каждая изъ приведенныхъ задачъ рѣшается однимъ дѣйствіемъ; такія задачи наз. простыми. Задача, требующая для своего рѣшенія болѣе одного дѣйствія, наз. сложной.

65. Простыя задачи. Чтобы рѣшить простую задачу, надо: 1)выбрать дѣйствіе, которымъ она рѣшается, 2) выполнить это дѣйствіе.

Перечислить всѣ простыя задачи, которыя требуютъ того или другого дѣйствія,—невозможно; можно указать только основные вопросы, которые рѣшаются каждымъ дѣйствіемъ.

66. Сумма представляетъ цѣлое, а слагаемыя—всѣ части этого цѣлаго; поэтому, всѣ задачи, гдѣ требуется опредѣлить цѣлое, если извѣстны всѣ его части, рѣшаются сложеніемъ. Прилагая къ данному числу другое, мы увеличиваемъ данное число нѣсколькими единицами; поэтому, сложеніемъ рѣшаются и тѣ задачи, въ которыхъ требуется какое-либо число увеличить на нѣсколько единицъ. Таковы задачи:

1) Работникъ, получивъ мѣсячное жалованье, отослалъ изъ него 8 рублей своей семьѣ, 5 рублей истратилъ на харчи, 3 рубля—на квартиру, и у него осталось еще 4 рубля. Сколько жалованья получаетъ онъ въ мѣсяцъ?

Рѣшеніе: 8 + 5 + 3 + 4 = 20.

2) Дѣвочкѣ 7 лѣтъ, братъ старше ея 5-ю годами; сколько лѣтъ брату?

Рѣшеніе: 7 + 5 = 12.

Въ первой задачѣ искомое мѣсячное жалованье работника есть цѣлое, а отосланныя семьѣ, истраченныя на харчи, истраченныя на квартиру и оставшіяся у работника деньги— части этого цѣлаго. Во второй задачѣ братъ старше сестры 5-ю годами, т.-е. лѣтъ ему на 5 больше, чѣмъ сестрѣ; слѣд. 7 надо увеличить 5-ю единицами.

67. Уменьшаемое представляетъ цѣлое, а вычитаемое и разность двѣ части этого цѣлаго. Поэтому, вычитаніемъ рѣшаются задачи, гдѣ по цѣлому и одной его части надо найти другую часть. Вычитая изъ одного числа другое, мы уменьшаемъ первое число нѣсколькими единицами, а также узнаемъ, на сколько единицъ первое число больше второго, а второе меньше перваго; поэтому вычитаніемъ рѣшаются тѣ задачи, гдѣ требуется уменьшить число на нѣсколько еди-

ницъ, и также всѣ задачи, гдѣ требуется узнать, на сколько единицъ одно число больше или меньше другого. Таковы задачи:

1) Изъ куска сукна въ 15 аршинъ продано 8 аршинъ; сколько аршинъ осталось?

Рѣшеніе: 15 — 8 = 7.

8) Карандашъ стоитъ 9 кои.; ручка для перьевъ 6-ю коп. дешевле. Что стоитъ ручка?

Рѣшеніе: 9 — 6 = 3.

3) Почтовый поѣздъ желѣзной дороги идетъ 40 верстъ въ часъ, а пассажирскій 32 версты. На сколько верстъ почтовый поѣздъ идетъ скорѣе?

Рѣшеніе: 40 — 32 = 8.

68. Произведеніе представляетъ цѣлое, всѣ части котораго равны; поэтому всѣ простыя задачи, въ которыхъ надо составить цѣлое изъ равныхъ частей, рѣшаются умноженіемъ, при чемъ число, означающее часть цѣлаго, помножается на число, показывающее, изъ сколькихъ частей состоитъ это цѣлое. Умножая число на другое число, мы увеличиваемъ первое число во столько разъ, сколько единицъ во второмъ; поэтому, умноженіемъ рѣшаются и тѣ задачи, гдѣ требуется какое-либо число увеличить въ нѣсколько разъ. Таковы задачи:

1) Что стоитъ ящикъ чаю, если въ немъ 7 фунтовъ чаю, и фунтъ стоитъ 2 рубля?

Рѣшеніе: 2X7=14.

2) Одинъ колоколъ вѣситъ 9 пудовъ, другой въ 4 раза тяжеле. Сколько вѣситъ второй колоколъ?

Рѣшеніе: 9X4 = 36.

69. Дѣленіемъ мы находимъ одну изъ равныхъ частей числа, или уменьшаемъ число въ нѣсколько разъ. Поэтому, дѣленіемъ рѣшаются задачи, гдѣ требуется найти одну изъ равныхъ частей цѣлаго, или уменьшить число въ нѣсколько разъ. Посредствомъ дѣленія можно также узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ. Поэтому, дѣленіемъ рѣшаются также и тѣ задачи, въ которыхъ требуется опре-

дѣлить, сколько разъ одно число содержится въ другомъ, или во сколько разъ одно число больше или меньше другого. Таковы задачи:

1) Водовозъ привезъ бочку воды въ 32 ведра и наполнилъ ею 4 равныя кадки. Сколько ведеръ вмѣщала каждая кадка?

Рѣшеніе: 32: 4 = 8.

2) Книга стоитъ 72 коп., а тетрадь въ 9 разъ дешевле. Что стоитъ тетрадь?

Рѣшеніе: 72 : 9 = 8.

3) Во сколько часовъ можно пройти 24 версты, если въ часъ проходить по 4 версты?

Рѣшеніе: 24 : 4 = 6.

4) Лошадь въ часъ пробѣгаетъ 10 верстъ, а пассажирскій поѣздъ желѣзной дороги въ часъ проходитъ 30 верстъ. Во сколько разъ движеніе по желѣзной дорогѣ совершается быстрѣе, чѣмъ на лошадяхъ?

Рѣшеніе: 30 : 10 = 3.

70. Сложныя задачи. Чтобы познакомиться съ рѣшеніемъ сложныхъ задачъ, рѣшимъ задачу:

Купецъ купилъ нѣсколько ящиковъ товару по 4 рубля за ящикъ. Въ 8 ящикахъ товаръ испортился и не пошелъ въ продажу, а остальной товаръ купецъ продалъ по 6 руб. за ящикъ. Сколько ящиковъ купецъ купилъ, если отъ всей операціи не получилъ ни прибыли, ни убытку?

Рѣшеніе. Зная, что каждый ящикъ обошелся купцу въ 4 рубля, мы можемъ узнать, сколько убытку понесъ купецъ отъ 8 ящиковъ, въ которыхъ товаръ испортился. На каждомъ ящикѣ онъ терялъ 4 рубля, а на 8-ми потерялъ 8 разъ по 4 рубля, т.-е. 4Х8 = 32-

Убытокъ въ 32 рубля купецъ покрылъ прибылью на остальныхъ ящикахъ, которые сталъ продавать по 6 рублей, тогда какъ каждый ящикъ обошелся ему только по 4 рубля. Узнаемъ, сколько прибыли получалъ купецъ на каждомъ изъ остальныхъ ящиковъ; для этого надо 6 — 4 = 2.

Зная, что каждый изъ остальныхъ ящиковъ давалъ купцу 2 рубля прибыли и что всего прибыли получено 32 рубля,

такъ какъ ею купецъ покрылъ весь убытокъ, полученный на 8 ящикахъ, въ которыхъ товаръ испортился, мы можемъ узнать, сколько ящиковъ продано; для этого надо 32 : 2 = 16.

Итакъ продано 16 ящиковъ, да въ 8 ящикахъ товаръ испортился; слѣд. всего было куплено 16 8 = 24 ящика.

Рѣшая эту задачу, мы расчленили ее на 4 простыхъ задачи:

1) Отъ одного ящика, въ которомъ товаръ испортился, купецъ получилъ 4 р. убытку. Сколько убытку получилъ онъ отъ 8 такихъ ящиковъ?

2) Каждый изъ остальныхъ ящиковъ обошелся купцу въ 4 р., а проданъ за 6 р. Сколько прибыли получено на каждомъ ящикѣ?

3) Каждый проданный ящикъ далъ 2 руб. прибыли, а всего на нихъ получено 32 рубля прибыли. Сколько ящиковъ продано?

4) Продано 16 ящиковъ, и 8 ящиковъ въ продажу не пошло. Сколько ящиковъ было куплено?

Для рѣшенія сложной задачи надо: 1) расчленить ее на простыя задачи и 2) рѣшить всѣ эти простыя задачи.

71. При письменномъ рѣшеніи задачъ, необходимо указывать, изъ рѣшенія какихъ простыхъ задачъ слагается рѣшеніе сложной задачи, какимъ дѣйствіемъ рѣшается каждая простая задача, какъ произведено дѣйствіе и какое число получилось отъ рѣшенія каждой простой задачи. Для этого достаточно выписать вопросъ каждой простой задачи и подъ нимъ означить и произвести требуемое дѣйствіе. Рѣшеніе приведенной задачи можетъ быть изложено въ слѣдующемъ видѣ:

1) Сколько убытку получилъ купецъ отъ ящиковъ, въ которыхъ товаръ испортился?

4X8=32.

2) Сколько прибыли онъ получалъ на каждомъ проданномъ ящикѣ?

6 — 4 = 2.

3) Сколько ящиковъ продано?

32 : 2 = 16.

4) Сколько ящиковъ было куплено?

16 + 8 = 24.

72. 1) Что наз. задачей?—2) Изъ чего состоитъ каждая задача?—3) Изъ чего слагается рѣшеніе простой задачи?—4) Какія простыя задачи рѣшаются сложеніемъ?—5) Какія вычитаніемъ?—6) Какія умноженіемъ?— 7) Какія дѣленіемъ?—8) Изъ чего слагается рѣшеніе сложной задачи?

IV.

Измѣненія суммы, разности, произведенія и частнаго.

73. Измѣненія суммы. Сумма содержитъ въ себѣ всѣ единицы, заключающіяся въ слагаемыхъ; поэтому каждая единица, прибавленная къ одному изъ слагаемыхъ, войдетъ и въ сумму; каждая единица, отнятая отъ слагаемаго, не будетъ входить и въ сумму.

Отсюда слѣдуетъ: если къ слагаемому прибавимъ нѣсколько единицъ, то и къ суммѣ прибавится столько же единицъ; если отъ слагаемаго отнимемъ нѣсколько единицъ, то сумма уменьшится на столько же единицъ.

Напр., если въ сложеніи

34-5-4-6 = 14 ко второму слагаемому придадимъ 4 единицы, то сумма увеличится на 4 единицы, обратится въ 18 и мы получимъ:

3-4-9+6 = 18.

Если въ послѣднемъ сложеніи отъ третьяго слагаемаго отнимемъ 2 единицы, то сумма уменьшится на 2 единицы, обратится въ 16 и мы получимъ:

3 + 9+4 = 16.

74. На основаніи этого легко опредѣлить, какъ измѣнится сумма, когда нѣкоторыя слагаемыя увеличатся, а другія уменьшатся. Напр., въ сложеніи

9 + 5 + 6 + 7 + 27

отнимемъ отъ перваго слагаемаго 4 единицы, ко второму придадимъ 3 единицы, третье также увеличимъ 2-мя единицами и четвертое уменьшимъ на 5 единицъ. Отъ уменьшенія перваго и четвертаго слагаемыхъ сумма уменьшится соотвѣтственно 4-мя и 5-ю единицами, а всего на 9 единицъ; отъ увеличенія же второго и третьяго слагаемыхъ она соотвѣтственно увеличится 3-мя и 2-мя единицами, а всего на 5 единицъ. Если же къ суммѣ прибавится 5 единицъ и въ то же время отъ нея отнимется 9 единицъ, то на самомъ дѣлѣ отъ нея отнимется 9 — 5 = 4 единицы, и она обратится въ 27 — 4 = 23. Сдѣлавъ указанныя измѣненія въ слагаемыхъ, получимъ:

5 + 8 + 8 + 2 = 23.

Легко убѣдиться подобнымъ же разсужденіемъ, что если къ одному слагаемому придадимъ нѣсколько единицъ, а отъ другого отнимемъ столько же единицъ, то сумма не измѣнится.

75. Отсюда слѣдуетъ: чтобы придать къ суммѣ какое-либо число, достаточно прибавить его къ одному изъ слагаемыхъ; чтобы отъ суммы отнять какое-либо число, можно отнять его отъ одного изъ слагаемыхъ. Чтобы къ числу 325, которое представляетъ сумму 300, 20 и 5-ти, прибавить 40, можно эти 40 прибавить къ слагаемому 20; тогда получимъ 365. Чтобы отъ числа 836, которое представляетъ сумму 800. 30 и 6-ти, отнять 300, можно эти 300 отнять отъ слагаемаго 800; тогда получимъ 536.

Чтобы къ 500 прибавить 760, можно къ 500 прибавить 700 (получится 1200) и къ полученной суммѣ прибавить 60 (получится 1260), потому что прибавляя 700 вмѣсто 760-ти, мы второе слагаемое уменьшаемъ на 60, отчего и сумма уменьшается на 60. Здѣсь второе слагаемое 760 представляетъ само сумму 700 и 60, и мы видимъ, что для того, чтобы къ какому-либо числу (500) прибавить сумму двухъ чиселъ (700 и 60), можно прибавить къ нему сперва первое слагаемое (700), а затѣмъ къ полученной суммѣ (1200) — второе слагаемое (60). Это правило остается справедливымъ и тогда, когда приходится къ какому-либо числу прибавлять сумму нѣсколькихъ слагаемыхъ, т.-е. чтобы къ какому-либо числу прибавить сумму нѣсколькихъ чиселъ, можно къ этому числу прибавить сперва одно слагаемое, затѣмъ къ полученной суммѣ прибавить другое слагаемое и т. д. до послѣдняго слагаемаго включительно; напр., чтобы къ 800 прибавить число 725, которое представляетъ сумму 700, 20 и 5, можно прибавить сперва 700 (получится 1500), къ суммѣ прибавить 20 (получится 1520) и къ новой суммѣ прибавить 5 (получится 1525).

Чтобы къ 45-ти прибавить 29, можно къ 45-ти прибавить 30 (получится 75) и отъ полученной суммы отнять 1 (получится 74), потому что прибавляя 30 вмѣсто 29, мы второе слагаемое увеличиваемъ на 1, отчего и сумма увеличится на 1-цу. Здѣсь второе слагаемое 29 представляетъ разность между 30-ю и 1-цей, и мы видимъ, что для того, чтобы къ какому-либо числу (45) прибавить разность

двухъ чиселъ (30-ти и 1-цы), можно прибавить къ нему уменьшаемое (30) и изъ полученной суммы (75) вычесть вычитаемое (1). Такъ, чтобы къ 600 прибавить число 398, которое представляетъ разность между 400 и 2-мя, можно прибавить 400 (получится 1000) и изъ суммы вычесть 2 (получится 998).

76. Измѣненія разности. Разность показываетъ, сколько единицъ остается отъ уменьшаемаго послѣ того, какъ мы отнимемъ отъ него всѣ единицы вычитаемаго. Если къ уменьшаемому прибавимъ нѣсколько единицъ, то столько же единицъ прибавится и къ разности, потому что, если уменьшаемое станетъ, напр., на 3 единицы больше, то отъ него и остаться должно на 3 единицы больше. Если отъ уменьшаемаго отнимемъ нѣсколько единицъ, то на столько же единицъ уменьшится и разность, потому что, если уменьшаемое станетъ, напр., на 2 единицы меньше, то отъ него и остаться должно на 2 единицы меньше. Напр., если въ вычитаніи

12 — 7 = 5

прибавить къ уменьшаемому 3 единицы, то и къ разности прибавится 3 единицы, она обратится въ 8 и мы получимъ:

15 — 7 = 8.

Если въ томъ же вычитаніи отнимемъ отъ уменьшаемаго 2 единицы, то и отъ разности отнимется 2 единицы, она обратится въ 3 и мы получимъ:

10 — 7 = 3.

77. Если къ вычитаемому прибавимъ нѣсколько единицъ, то разность уменьшится на столько же единицъ, потому что тогда отъ уменьшаемаго, кромѣ единицъ, заключавшихся въ прежнемъ вычитаемомъ, придется отнять еще прибавленныя къ нему единицы; напр., если въ вычитаніи

14 — 6 = 8

прибавимъ къ вычитаемому 3 единицы, то послѣ того, какъ изъ 14 вычтемъ прежнія 6 единицъ вычитаемаго и получимъ въ разности 8, намъ придется отъ 8-ми отнять еще 3 новыхъ единицы вычитаемаго, и потому въ разности останется 3-мя единицами меньше, чѣмъ прежде, т.-е. 5, и мы получимъ:

14 — 9 = 5.

Если отъ вычитаемаго отнимемъ нѣсколько единицъ, то къ разности прибавится столько же единицъ, потому что тогда единицы, отнятыя отъ вычитаемаго, уже не придется отсчитывать отъ уменьшаемаго, и онѣ останутся въ разности; напр., если въ предыдущемъ вычитаніи отъ вычитаемаго 6 отнимемъ 2 единицы, то намъ уже не придется отнимать отъ уменьшаемаго 14 этихъ 2-хъ единицъ, и потому въ разности останется 2-мя единицами больше, т.-е. 10, и мы получимъ:

78. Въ справедливости предшествующаго можно убѣдиться, разсматривая уменьшаемое какъ сумму вычитаемаго и разности. Напр., въ предыдущемъ вычитаніи уменьшаемое 14 есть сумма вычитаемаго 6 и разности 8. Если мы 6 увеличимъ 3-мя единицами, т.-е. увеличимъ одно изъ слагаемыхъ 3-мя единицами, то чтобы сумма 14 осталась безъ перемѣны, другое слагаемое, т.-е. разность 8, должно уменьшиться на 3 единицы.

79. Зная, какъ измѣняется разность при отдѣльныхъ измѣненіяхъ уменьшаемаго и вычитаемаго, можно опредѣлить, какъ измѣнится разность при одновременномъ измѣненіи уменьшаемаго и вычитаемаго. Напр., если къ уменьшаемому прибавить 3 единицы, а отъ вычитаемаго отнять 2 единицы, то отъ увеличенія уменьшаемаго къ разности прибавятся 3 единицы и отъ уменьшенія вычитаемаго еще 2 единицы; слѣд. всего къ разности прибавится 5 единицъ.

Прибавимъ въ какомъ-либо вычитаніи къ уменьшаемому и вычитаемому поровну. Отъ прибавленія къ уменьшаемому нѣсколькихъ единицъ, къ разности прибавится столько же единицъ, а отъ прибавленія того же числа къ вычитаемому, отъ нея отнимется столько же единицъ; слѣд. она останется безъ перемѣны.

Если отъ уменьшаемаго и вычитаемаго отнимемъ одно и то же число, напр. 3, то, отъ уменьшенія уменьшаемаго на 3 единицы, разность уменьшится 3-мя единицами, а отъ уменьшенія вычитаемаго на 3 единицы, разность снова увеличится 3-мя единицами и слѣд. также останется безъ перемѣны. Разность остается безъ измѣненія, когда къ уменьшаемому и вычитаемому прибавляемъ поровну или когда отъ уменьшаемаго и вычитаемаго отнимаемъ поровну. Напр.

Изъ выведенныхъ правилъ слѣдуетъ: чтобы къ разности прибавить какое-либо число, можно его прибавить къ уменьшаемому или отнять отъ вычитаемаго; чтобы отъ разности отнять какое-либо число, можно отнять его отъ уменьшаемаго или прибавить къ вычитаемому.

80. Чтобы изъ 800 вычесть 740, можно изъ 800 вычесть сперва 700 (получится 100), а затѣмъ изъ полученной разности вычесть 40 (получится 60), потому что вычитая 700 вмѣсто 740, мы вычитаемое уменьшаемъ на 40, отчего разность увеличивается на 40. Здѣсь вычитаемое 740 представляетъ сумму 700 и 40, и мы видимъ, что для того, чтобы изъ какого-либо числа (800) вычесть сумму двухъ чиселъ (700 и 40), можно вычесть изъ него сперва одно слагаемое (700) и затѣмъ изъ полученной разности (100) вычесть другое слагаемое (40). Это правило остается справедливымъ и тогда, когда приходится изъ какого-либо числа вычитать сумму нѣсколькихъ слагаемыхъ; т.-е. чтобы изъ какого-либо числа вычесть сумму нѣсколькихъ слагаемыхъ, можно вычесть изъ него одно слагаемое, изъ полученной разности вычесть другое слагаемое и т. д. до послѣдняго слагаемаго включительно; напр., чтобы изъ 1000 вычесть число 937, которое представляетъ сумму 900, 30 и 7-ми, можно вычесть сперва 900, получится 100; изъ разности 100 вычесть 30, получится 70, и изъ новой разности 70 вычесть 7, получится 63.

Чтобы изъ 500 вычесть 298, можно изъ 500 вычесть сперва 300 (получится 200), а затѣмъ къ полученной разности прибавить 2 (получится 202), потому что вычитая 300 вмѣсто 298, мы къ вычитаемому прибавляемъ 2, отчего разность уменьшается на 2 единицы. Здѣсь вычитаемое 298 представляетъ разность между 300 и 2-мя, и мы видимъ, что для того, чтобы изъ какого-либо числа (500) вычесть разность двухъ чиселъ (300 и 2-хъ), можно вычесть изъ него уменьшаемое (300) и къ полученной разности (200) прибавить вычитаемое (2). Такъ, чтобы вычесть 29, 497, 695, можно вычесть 30, 500, 700 и затѣмъ къ полученнымъ разностямъ прибавить 1, 3, 5, смотря по тому, на сколько мы увеличили вычитаемое и тѣмъ уменьшили разность.

81. Измѣненія произведенія. Множитель показываетъ, сколько разъ надо взять множимое слагаемымъ, чтобы получить произведеніе. Прибавивъ къ множителю 1-цу, мы множимое возьмемъ слагаемымъ лишній разъ; слѣд. къ произведенію прибавится множимое. Если къ множителю прибавимъ еще 1-цу, то къ произведенію прибавится еще множимое, а слѣд. всего прибавится два множимыхъ. Прибавивъ къ множителю третью единицу, мы къ произведенію опять прибавимъ множимое; а такъ какъ раньше къ нему уже прибавилось 2 множимыхъ, то теперь будетъ прибавлено 3 множимыхъ. Вообще, отъ прибавленія къ множителю нѣсколькихъ единицъ, столько же множимыхъ прибавляется къ произведенію.

Прибавивъ въ умноженіи

50.10 = 500

къ множителю 6 единицъ, мы станемъ множимое 50 умножать на сумму 10 и 6, а такъ какъ отъ этого къ произведенію прибавится 6 множимыхъ, т.-е. 50 . 6, то

50 . (10+6) = 50.10 + 50 . 6 = 500 + 300 = 800.

Слѣд., чтобы умножить какое-либо число (50) на сумму (10+6), можно множимое (50) умножить на каждое слагаемое (на 10 и на 6) и полученныя произведенія (500 и 300) сложить. Напр., чтобы 5 умножить на число 234, которое представляетъ сумму 200, 30 и 4-хъ, можно 5 умножить на 200, 5 умножить на 30, 5 умножить на 4 и полученныя произведенія 1 000, 150 и 20 сложить; получимъ 1 170.

82. Отнявъ отъ множителя 1-цу, мы множимое возьмемъ слагаемымъ однимъ разомъ меньше, чѣмъ прежде; поэтому произведеніе станетъ на одно множимое меньше. Такъ же выведемъ, что сколько единицъ отнимемъ отъ множителя, на столько множимыхъ уменьшится произведеніе.

Отнявъ въ умноженіи

5 . 1 000 = 5 000

отъ множителя 4 единицы, мы множимое 5 станемъ умножать на разность между 1 000 и 4, а такъ какъ тогда отъ произведенія отнимется 4 множимыхъ, т.-е. 5.4 = 20, то

5 . (1 000 —4) = 5 . 1 000-5.4 = 5 000 — 20 = 4 980.

Слѣд., чтобы умножить какое-либо число (5) на разность (1 000 — 4), можно множимое (5) умно-

жить на уменьшаемое и вычитаемое (на 1000 и на 4) и изъ перваго произведенія вычесть второе. Поэтому, вмѣсто того, чтобы умножать на 29, 38, 97, 496, можно умножить множимое на 30, на 40, 100, 500, и отъ полученныхъ произведеній отнять множимое, или удвоенное множимое, или утроенное множимое, или учетверенное множимое, смотря по тому, сколько единицъ мы прибавили къ множителю для полученія чиселъ 30, 40, 100, 500.

83. Если въ умноженіи

7X4 = 28

удвоить множителя 4, то это все равно, что прибавить къ нему 4 единицы; отъ этого къ произведенію 28 прибавится 4 раза множимое 7; т.-е. къ произведенію прибавится столько же, сколько въ немъ было, оно удвоится и обратится въ 56. Чтобы утроить множителя 4, надо къ нему прибавить 4 и къ полученному числу 8 еще прибавить 4; отъ этого къ произведенію 28 прибавится сперва 4 раза множимое 7, потомъ еще 4 раза множимое 7, т.-е. произведеніе утроится и обратится въ 84. Отъ умноженія множителя на какое-либо число, на то же число умножается и произведеніе.

Умноживъ въ умноженіи

25X6 = 150

множителя 6 на 3, мы множимое 25 будемъ умножать на произведеніе 6.3, а такъ какъ отъ этого произведеніе умножится на 3, то

25Х(6 • 3) = (25 . 6)ХЗ = 150.3 = 450;

т.-е., чтобы какое-либо число (25) умножить на произведеніе двухъ множителей (6.3), можно это число (25) умножить сперва на одного множителя (6), а потомъ полученное произведеніе (150) умножить на другого множителя (3). На основаніи этого, чтобы умножить на 50, 500, 5 000, можно умножить множимое на 5, а затѣмъ полученное произведеніе умножить соотвѣтственно на 10, 100, 1 000; чтобы умножить на 24, можно умножить множимое на 4, а затѣмъ полученное произведеніе умножить на 6.

84. Раздѣлимъ въ умноженіи

8X6 = 48 множителя на 3. Такъ какъ въ первомъ умноженіи множитель въ 3 раза больше, то, по предыдущему, и первое про-

изведеніе 48 втрое больше второго, а слѣд., наоборотъ, второе произведеніе должно быть втрое меньше перваго, и для полученія второго произведенія надо первое произведеніе 48 раздѣлить на 3, т.-е.

8 . (6 : 3) = 48 : 3 = 16.

Такъ же убѣдимся, что отъ дѣленія множителя на 2, 4, 5 и т. д., произведеніе раздѣлится на 2, 4, 5 и т. д. Отъ дѣленія множителя на какое-либо число, на то же число раздѣлится и произведеніе.

Раздѣливъ въ умноженіи

16X100 = 1 600

множителя 100 на 4, мы множимое 16 станемъ умножать на частное 100 : 4, а такъ какъ отъ этого, по предыдущему, и произведеніе раздѣлится на 4, то

16 X (100 : 4) = (16 . 100) : 4 = 1 600 : 4 = 400;

т.-е., чтобы какое-либо число (16) умножить на частное (100:4), можно множимое умножить на дѣлимое (100) и произведеніе (1 600) раздѣлить на дѣлителя (4). На основаніи этого, чтобы умножить на 125, можно множимое умножить на 1 000 и полученное произведеніе раздѣлить на 8, такъ какъ 125=1 000 : 8.

85. Прибавимъ въ сложеніи

3 + 4 + 5 = 12

къ каждому слагаемому столько единицъ, сколько ихъ въ немъ заключается, т.-е. къ первому—3 единицы, ко второму— 4 единицы, къ третьему — 5 единицъ; тогда къ суммѣ прибавятся 3, 4 и 5 единицъ, т.-е. столько единицъ, сколько въ ней было раньше, и она обратится въ 12 + 12. Если опять къ первому слагаемому прибавимъ—3 единицы, ко второму— 4 и къ третьему—5, то къ суммѣ опять прибавится 12, и она обратится въ 12 + 12 + 12. И каждый разъ, когда къ первому слагаемому станемъ прибавлять 3 единицы, ко второму— 4 и къ третьему—5, къ суммѣ будетъ прибавляться прежняя сумма 12. Если будемъ такъ поступать 5 разъ, то умножимъ каждое слагаемое на 6, и отъ этого къ суммѣ 12 прибавится 12 тоже 5 разъ, т.-е. и сумма умножится на 6. Слѣд., если каждое слагаемое умножимъ на одно и то же число, то и сумма умножится на то же число, и наоборотъ, чтобы сумму умножить на какое-либо число, достаточно умножить на него каждое

слагаемое и полученныя произведенія сложить. Выведенное свойство для разсмотрѣннаго случая можно записать въ слѣдующемъ видѣ:

3.6 + 4.6 + 5 . 6 = (3 + 4 + 5) . 6 = 12 . 6 = 72.

Прибавимъ въ умноженіи 6 \ 5 = 30 къ множимому 4 единицы; тогда придется умножить на 5 сумму 6-ти и 4-хъ, и мы получимъ въ произведеніи 6Х5 + 4Х5, слѣд. къ прежнему произведенію 30 прибавится 4 раза по 5-ти; т.-е. если къ множимому прибавимъ нѣсколько единицъ, то къ произведенію прибавится столько же множителей.

Пользуясь выведеннымъ свойствомъ, можно для умноженія 125 на 8, умножить на 8 отдѣльно 100, 20 и 5 и полученныя произведенія 800, 160 и 40 сложить, потому что 125 есть сумма 100, 20 и 5-ти; получимъ 1 000.

86. Если въ вычитаніи

станемъ къ уменьшаемому прибавлять по 12, а къ вычитаемому по 8, то къ разности будетъ прибавляться по 12—8, т.-е. по 4. Если такъ поступимъ 5 разъ, то уменьшаемое и вычитаемое умножимъ на 6. А такъ какъ къ разности 4 каждый разъ будетъ прибавляться по 4, то и разность умножится на 6. Слѣд., если уменьшаемое и вычитаемое умножимъ на одно и то же число, то и разность умножится на то же число, и наоборотъ: чтобы разность умножить на какое-либо число, достаточно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и изъ перваго произведенія вычесть второе. Напр., чтобы число 98, которое представляетъ разность между 100 и 2-мя, умножить на 5, можно 100 умножить на 5, потомъ 2 умножить на 5 и изъ перваго произведенія 500 вычесть второе 10; получимъ 490.

Отсюда слѣдуетъ, что если отъ множимаго отнимемъ нѣсколько единицъ, то отъ произведенія отнимется столько же множителей.

87. Мы знаемъ, что произведеніе есть сумма одинаковыхъ слагаемыхъ, изъ которыхъ каждое равно множимому; поэтому, если множимое умножимъ на какое-либо число, то произведеніе умножится на то же число; напр. если въ умноженіи

множимое 12 умножимъ на 3, то и произведеніе 60 умножится на 3 и обратится въ 180, т.-е.

(12 . 3) . 5 = (12 . 5) . 3 = 60 . 3 = 180.

Здѣсь намъ надо было 12 умножить на 3 и полученное произведеніе умножить на 5, а изъ написаннаго видимъ, что для этого можно 12 сперва умножить на 5, а потомъ полученное произведеніе умножить на 3. Слѣд. произведеніе трехъ множителей не измѣняется отъ перестановки двухъ послѣднихъ множителей. На основаніи этого легко показать, что въ произведеніи нѣсколькихъ множителей можно множителей переставлять какъ угодно.

88. Дѣйствительно, въ произведеніи 5.4.3.2, мы можемъ 5.4 считать за одного множителя, такъ какъ 5 и 4 можно перемножить, 3 за другого и 2 за третьяго, а въ такомъ случаѣ два послѣднихъ множителя можно перемѣстить, и мы получимъ:

5.4.3.2 = 5.4.2.3.

Затѣмъ произведеніе 5.4.2 = 5.2.4 и слѣд.

5.4.3.2 = 5.4.2.3 = 5.2.4.3.

Наконецъ 5.2 = 2.5, а потому

5.4.3.2 = 5.4.2.3 = 5.2.4.3 = 2.5.4.3.

Здѣсь послѣдній множитель 2 занимаетъ у насъ всѣ мѣста отъ послѣдняго до перваго. А такъ какъ въ послѣднемъ произведеніи послѣдній множитель есть 3, то и его можно переставить на всѣ мѣста; тогда послѣднимъ множителемъ окажется 4, съ которымъ можно сдѣлать опять всѣ перестановки и т. д.

89. Раздѣлимъ въ умноженіи 8X6 = 48 множимое 8 на 4. Такъ какъ въ первомъ умноженіи множимое въ 4 раза больше, то, по предыдущему, и первое произведеніе 48 въ 4 раза больше второго, а слѣд., наоборотъ, второе произведеніе должно быть вчетверо меньше перваго, и для полученія второго произведенія надо первое 48 раздѣлить на 4, т.-е.

(8 : 4)Х6 = 48 : 4 = 12.

Такъ же убѣдимся, что отъ дѣленія множимаго на 2, 3, 5 и т. д., произведеніе раздѣлится на 2, 3, 5 и т. д. Отъ дѣленія множимаго на какое-либо число, на то же число раздѣлится и произведеніе. Отсюда же видимъ, что для умноженія частнаго (8 : 4) на какое-либо число (6), можно дѣлимое (8) умножить на это число (6) и полученное произведеніе (48) раздѣлить на дѣлителя (4).

Всѣ измѣненія произведенія при измѣненіи множимаго можно вывести, пользуясь свойствомъ произведенія не мѣняться отъ перестановки множителей.

90. Изъ выведенныхъ правилъ слѣдуетъ: чтобы умножить произведеніе на какое-либо число, достаточно умножить на это число одного изъ множителей; чтобы раздѣлить произведеніе на какое-либо число, достаточно раздѣлить на это число одного изъ множите лей. Такъ, чтобы умножить произведеніе 4\3 на 2, достаточно умножить на 2 множителя 3; тогда, по предыдущему, и все произведеніе умножится на 2. Чтобы раздѣлить произведеніе 9\6 на 3, достаточно множимое 9 раздѣлить на 3; тогда и все произведеніе раздѣлится на 3.

91. Зная, какъ измѣняется произведеніе при отдѣльныхъ измѣненіяхъ во множимомъ и множителѣ, можно опредѣлить, какъ оно измѣнится при одновременномъ измѣненіи множимаго и множителя. Увеличимъ въ умноженіи 2X3 = 6 множимое въ 4 раза, а множителя въ 3 раза. Отъ увеличенія множимаго въ 4 раза, произведеніе 6 увеличится тоже въ 4 раза и обратится въ 24. Отъ увеличенія множителя въ 3 раза, это учетверенное произведеніе 24 увеличится еще въ 3 раза и обратится въ 72, слѣд. будетъ больше первоначальнаго въ 12 разъ, и мы получимъ:

8X9 = 72.

92. Измѣненія частнаго. Раздѣлимъ въ сложеніи

9 + 15 + 21=45

каждое слагаемое на 3. Такъ какъ въ данномъ сложеніи каждое слагаемое будетъ въ 3 раза больше соотвѣтствующаго слагаемаго въ новомъ сложеніи, то, по предыдущему, данная сумма должна быть втрое больше новой, а слѣд., наоборотъ, новая сумма должна быть втрое меньше данной и, для полученія новой суммы, надо данную раздѣлить на 3, т.-е.

(9 : 3) + (15 : 3) + (21 : 3) = 45 : 3 = 15; слѣд. отъ дѣленія каждаго слагаемаго на одно и то же число, и сумма раздѣлится на то же число, и наоборотъ, чтобы сумму раздѣлить на какое-либо число достаточно раздѣлить на это число каждое слагаемое (если дѣленіе совершается безъ остатка) и полученныя частныя сложить. Напр., чтобы число 1656, которое представляетъ сумму 1600 и 56, раздѣлить на 8, можно 1600 раздѣлить на 8, 56 раздѣлить на 8 и полученныя частныя 200 и 7 сложить; получимъ 207.

93. Раздѣлимъ въ вычитаніи

60 — 48 = 12

уменьшаемое 60 и вычитаемое 48 на 4. Такъ какъ въ данномъ вычитаніи уменьшаемое и вычитаемое соотвѣтственно въ 4 раза больше уменьшаемаго и вычитаемаго въ новомъ вычитаніи, то и данная разность въ 4 раза больше новой, а слѣд., наоборотъ, новая разность въ 4 раза меньше данной, и для полученія новой разности надо данную 12 раздѣлить на 4, т. е.

(60 : 4) — (48 : 4) = 12 : 4 = 3.

Слѣд. отъ дѣленія уменьшаемаго и вычитаемаго на одно и то же число, и разность дѣлится на то же число, и наоборотъ: чтобы разность раздѣлить на какое-либо число, достаточно уменьшаемое и вычитаемое раздѣлить на это число (если дѣленіе совершается безъ остатка) и изъ перваго частнаго вычестть второе. Напр., чтобы число 992, которое можно разсматривать какъ разность между 1000 и 8-ю, раздѣлить на 4, можно 1000 раздѣлить на 4, потомъ 8 раздѣлить на 4 и изъ перваго частнаго 250 вычесть второе 2; получимъ 248.

94. Если въ дѣленіи

24 : 6 = 4

умножить дѣлимое 24 на 3, то это все равно, что къ 24 прибавить 24 и къ полученному числу еще прибавить 24; отъ дѣленія перваго слагаемаго получается въ частномъ 4, отъ дѣленія второго также 4 и отъ дѣленія третьяго еще получится 4; слѣд. всего въ частномъ получится 3 раза по 4, т.-е. частное утроится и обратится въ 12, и мы получимъ:

72 : 6 = 12.

Слѣд. отъ умноженія дѣлимаго на какое-либо число, частное умножается на то же число.

Если въ томъ же дѣленіи раздѣлить дѣлимое 24 на 2, то частное отъ этого раздѣлится на 2, ибо, умноживъ раздѣленное дѣлимое на 2, мы должны получить прежнее частное и оно должно быть больше новаго въ 2 раза:

12 : 6 = 2.

Отъ дѣленія дѣлимаго на какое-либо число, на то же число раздѣлится и частное.

95. Если въ дѣленіи

36 : 4 = 9

умножить дѣлителя на 3, то придется дѣлимое 36 дѣлить на 12 частей вмѣсто прежнихъ 4-хъ; для этого можно каждую прежнюю часть раздѣлить на 3 части, слѣд. въ каждой новой части получимъ втрое меньше, чѣмъ въ прежней, т.-е. 9:3 = 3. Слѣд. отъ умноженія дѣлителя на какое-либо число, частное дѣлится на то же число.

Если въ томъ же дѣленіи раздѣлить дѣлителя на 2, то придется дѣлимое дѣлить только на 2 части, вмѣсто прежнихъ 4-хъ; для этого можно каждыя двѣ прежнія части соединить въ одну; слѣд., въ каждой новой части получится вдвое больше, чѣмъ въ прежней, т.-е. получитоя 9X2 = 18-Слѣд. отъ дѣленія дѣлителя на какое-либо число, частное умножается на то же число.

96. Умноживъ въ дѣленіи

300 : 3 = 100

дѣлителя на 4, мы станемъ дѣлимое 300 дѣлить на произведеніе 3 . 4, а такъ какъ отъ этого частное раздѣлится на 4, то 300 ; (3 . 4) = (300 : 3) : 4 = 100 : 4 = 25,

т.-е., чтобы какое-либо число раздѣлить на произведеніе двухъ множителей, можно раздѣлить его на одного множителя и полученное частное раздѣлить на другого множителя. На основаніи этого, чтобы раздѣлить на 40, 400, 4000, можно дѣлимое раздѣлить сперва на 4, а потомъ полученное частное раздѣлить на 10, 100, 1000, смотря по тому, на сколько надо умножить 4 для полученія 40, 400, 4000. Чтобы 1800 раздѣлить на число 45, которое представляетъ произведеніе 9 на 5, можно 1800 раздѣлить на 9 и полученное частное 200 раздѣлить на 5; получимъ 40.

Раздѣливъ въ дѣленіи

1600 : 100 = 16

дѣлителя на 4, мы станемъ дѣлить дѣлимое 1600 на частное 100 : 4; отъ этого частное 16 умножится на 4 и мы получимъ 1600 : (100 : 4) = (1600 : 100) . 4 = 16 . 4 = 64.

Слѣд. чтобы какое-либо число раздѣлить на частное отъ дѣленія двухъ чиселъ, можно раздѣлить это число на дѣлимое и полученное частное умножить на дѣлителя. На основаніи этого, чтобы расдѣлить на 35, 75, 125, можно раздѣлить дѣлимое на 70, 300, 1000 и полученныя частныя умножить на 2, 4, 8,

смотря по тому, на сколько надо раздѣлить 70, 300, 1000 для полученія 35, 75, 125.

97. Изъ выведенныхъ правилъ слѣдуетъ: чтобы частное умножить на какое-либо число, достаточно или умножить на него дѣлимое, или раздѣлить на него дѣлителя; чтобы частное раздѣлить на какое-либо число, достаточно или раздѣлить на него дѣлимое, или умножить на него дѣлителя. Напр., чтобы умножить на 4 частное отъ дѣленія 72-хъ на 8, достаточно умножить на 4 дѣлимое 72 или раздѣлить на 4 дѣлителя 8, потому что, по предыдущему, частное должно въ обоихъ случаяхъ умножиться на 4.

98. Все сказанное объ измѣненіяхъ частнаго можно объяснить, разсматривая дѣлимое какъ произведеніе дѣлителя и частнаго. Если, напр., дѣлитель умножится на 3, то, чтобы дѣлимое, какъ произведеніе дѣлителя и частнаго, осталось безъ перемѣны, необходимо, чтобы другой множитель—частное—раздѣлился на 3.

99. Зная, какъ измѣняется частное при отдѣльныхъ измѣненіяхъ въ дѣлимомъ и дѣлителѣ, можно опредѣлить какъ измѣнится частное при одновременномъ измѣненіи дѣлимаго и дѣлителя. Если въ дѣленіи

48 : 4 = 12

умножимъ дѣлителя на 3, а дѣлимое раздѣлимъ на 2, то, отъ умноженія дѣлителя на 3, частное раздѣлится на 3 и обратится въ 4; отъ дѣленія дѣлимаго на 2, частное еще раздѣлится на 2 и обратится окончательно въ 2.

Если въ дѣленіи 18 : 3 = 6 умножимъ дѣлимое и дѣлителя на 3, то, отъ умноженія дѣлимаго на 3, частное умножится на 3 и обратится въ 18, а отъ умноженія дѣлителя на 3, это частное 18 раздѣлится на 3 и опять обратится въ 6. Точно такъ же, если дѣлимое и дѣлителя раздѣлимъ на 2, то частное отъ дѣленія дѣлимаго раздѣлится, а отъ дѣленія дѣлителя умножится на 2 ц слѣд. останется безъ перемѣны. Частное остается безъ перемѣны, когда дѣлимое и дѣлитель умножаются на одно и то же число или когда дѣлимое и дѣлитель дѣлятся на одно и то же число.

100. Всѣ выведенныя правила объ измѣненіи частнаго относятся къ случаю, когда дѣленіе совершается безъ остатка.

Когда же отъ дѣленія получается остатокъ, то измѣненія въ частномъ не подчиняются выведеннымъ правиламъ. Напр., если въ дѣленіи

умножимъ дѣлимое на 2, то частное увеличится не въ 2, а слишкомъ въ 2 раза. Въ самомъ дѣлѣ:

Впрочемъ, правило о неизмѣняемости частнаго отъ умноженія и дѣленія дѣлимаго и дѣлителя на одно и то же число остается справедливымъ и для этого случая; только оно должно быть дополнено замѣчаніемъ, что остатокъ умножится или раздѣлится на то же число, на которое были умножены или раздѣлены дѣлимое и дѣлитель. Напр.:

101. Вопросы. 1) Какъ измѣняется сумма при измѣненіи слагаемыхъ? — 2) При какихъ измѣненіяхъ въ слагаемыхъ сумма остается безъ измѣненія? — 3) Какъ къ суммѣ придать какое-либо число? — 4) Какъ отъ суммы отнять какое-либо число?— 5) Какъ къ какому-либо числу придать сумму нѣсколькихъ чиселъ?—6) Какъ къ какому-либо числу придать разность двухъ чиселъ?—7) Какъ измѣняется разность при измѣненіи уменьшаемаго?— 8) Какъ измѣняется разность при измѣненіи вычитаемаго? — 9) При какихъ измѣненіяхъ въ уменьшаемомъ и вычитаемомъ разность остается безъ измѣненія?—10) Какъ можно къ разности придать какое-либо число?—11) Какъ изъ нея вычесть какое-либо число?—12) Какъ изъ какого-либо числа вычесть сумму нѣсколькихъ чиселъ? —13) Какъ изъ какого-либо числа вычесть разность двухъ чиселъ?—14) Какъ измѣняется произведеніе при измѣненіи множителя? — 15) Какъ какое-либо число умножить на сумму нѣсколькихъ чиселъ?—16) На разность двухъ чиселъ?—17) Какъ какое-либо число умножить на произведеніе двухъ чиселъ?—18) На частное отъ дѣленія двухъ чиселъ?—19) Какъ измѣняется произведеніе отъ измѣненія множимаго?—20) Какъ умножить на какое-либо число сумму нѣсколькихъ чиселъ?—21) Разность двухъ чиселъ?—22) Какъ произведеніе умножить на накое-либо число? — 23) Какъ измѣняется частное при измѣненіи дѣлимаго? — 24) Какъ раздѣлить на какое-либо число сумму нѣсколькихъ

чиселъ?—25) Разность двухъ чиселъ? — 26) Какъ измѣняется частное при измѣненіи дѣлителя?—27) Какъ какое-либо число раздѣлить на произведеніе двухъ чиселъ?—28) На частное отъ дѣленія двухъ чиселъ?—29) Какъ частное умножить на какое-либо число?—30) Раздѣлить на какое-либо число?— 31) При какихъ измѣненіяхъ въ дѣлимомъ и дѣлителѣ, частное не измѣняется?

V.

Сложеніе и вычитаніе многозначныхъ чиселъ.

102. Сложеніе. Чтобы къ 678-ми прибавить 294, можно къ 678-ми послѣдовательно прибавить 200, 90 и 4; а для того, чтобы къ 678-ми прибавить 200, можно 200 прибавить къ 6-ти сотнямъ 678-ми; затѣмъ, чтобы къ полученному числу прибавить 90, можно 90 прибавить къ его десяткамъ, т.-е. къ 70-ти; наконецъ, чтобы къ новому полученному числу прибавить 4, можно 4 прибавить къ его единицамъ, т.-е. къ 8-ми. Итакъ, чтобы сложить 678 и 294, надо сложить 6 сотенъ съ 2-мя сотнями, 7 десятковъ съ 9-ю десятками и 8 единицъ съ 4-мя единицами. Отсюда видимъ, что многозначныя числа складываютъ поразрядно, т.-е. складываютъ единицы съ единицами, десятки съ десятками и т. д. Отъ сложенія 6 сотенъ съ 2-мя сотнями получимъ 8 сотенъ, такъ какъ 6 + 2 = 8; отъ сложенія 7 десятковъ съ 9-ю десятками получимъ 16 десятковъ, такъ какъ 7 + 9 = 16; отъ сложенія 8 единицъ съ 4-мя единицами получимъ 12 единицъ; слѣд. сумма будетъ состоять изъ 8 сотенъ, 16 десятковъ и 12 единицъ. Чтобы выразить эту сумму правильно, надо изъ 16 десятковъ исключить одну сотню и присоединить ее къ 8 сотнямъ, а изъ 12 единицъ исключить одинъ десятокъ и присоединить его къ 6 десяткамъ; тогда въ суммѣ будетъ 9 сотенъ, 7 десятковъ и 2 единицы, т.-е. 678 + 294 = 972. Когда при сложеніи единицъ какого-либо разряда получается не болѣе 9-ти, то ихъ прямо вводятъ въ составъ суммы; когда же получается болѣе 9-ти, то изъ нихъ составляютъ единицы слѣдующаго высшаго разряда, къ которому ихъ и присоединяютъ, а оставшіяся единицы складываемаго разряда вводятъ въ составъ суммы.

103. Чтобы письменно сложить число 4260, 883, 5741 и 6422, подписываютъ слагаемыя одно подъ другимъ такъ, чтобы единицы стояли подъ едининицами, десятки подъ десятками и т. д., потому что и складывать надо единицы съ единицами, десятки съ десятками и т. д. Подъ послѣднимъ слагаемымъ проводятъ черту и сумму пишутъ подъ чертою, по мѣрѣ ея полученія, при чемъ единицы суммы подъ единицами слагаемыхъ, десятки подъ десятками и т. д. Начинаютъ сложеніе съ простыхъ единицъ, потому, что сложивъ единицы и выдѣливъ изъ нихъ, если окажутся, десятки, можно оставшіяся единицы записать, такъ какъ отъ сложенія десятковъ, сотенъ и т. д., простыхъ единицъ произойти не можетъ; точно такъ же, сложивъ послѣ этого десятки, присоединивъ къ нимъ десятки, полученные отъ сложенія единицъ, и выдѣливъ,, если окажутся, сотни, оставшіеся десятки можно записать, такъ какъ отъ сложенія слѣдующихъ разрядовъ десятковъ произойти не можетъ; то же слѣдуетъ сказать и про всѣ остальные разряды. Если же начать сложеніе съ единицъ высшаго разряда, то или нужно помнить полученные разряды суммы до окончательнаго ея опредѣленія, или придется цыфры нѣкоторыхъ разрядовъ суммы измѣнять, такъ какъ единицы этихъ разрядовъ могутъ произойти при сложеніи единицъ слѣдующихъ низшихъ разрядовъ.

Итакъ, складываемъ сперва единицы: 3, 1 и 2 простыхъ единицы составятъ 6 простыхъ единицъ, которыя и пишемъ подъ единицами. Отъ сложенія десятковъ получимъ 20 дес., которые составятъ ровно 2 сотни. Поэтому подъ десятками пишемъ нуль, а 2 сотни прикладываемъ къ сотнямъ. Отъ сложенія этихъ 2 сот. и 2, 8, 7 и 4 сот., заключающихся въ слагаемыхъ, получимъ 23 сотни, которыя составятъ 2 тыс. и 3 сотни; 3 сотни пишемъ подъ сотнями, а 2 тыс. прикладываемъ къ тысячамъ. Отъ сложенія этихъ 2 тыс. и 4, 5 и 6 тысячъ, заключающихся въ слагаемыхъ, получаемъ 17 тысячъ, или 1 дес. тыс. и 7 тысячъ; 7 тыс. пишемъ подъ тысячами, а 1 дес. тысячъ на слѣдующемъ мѣстѣ. Такимъ образомъ получимъ въ суммѣ 17 306.

Изъ этого примѣра видимъ, что если въ суммѣ единицъ какого-либо разряда получается не болѣе 9, то она записывается подъ чертою, подъ скла-

даваемымъ столбцомъ; если же въ суммѣ получится больше 9, то изъ нея выдѣляютъ единицы слѣдующаго высшаго разряда, къ которому онѣ и прибавляются, а оставшееся число пишутъ въ суммѣ подъ сложеннымъ столбцомъ; если же послѣ выдѣленія единицъ высшаго разряда ничего не останется, то подъ складываемымъ столбцомъ ставятъ 0.

Также выполнены слѣдующія сложенія:

Цыфры, напечатанныя вверху мелкимъ шрифтомъ, показываютъ, сколько единицъ того разряда, надъ которымъ онѣ стоятъ, получено отъ сложенія единицъ предыдущаго низшаго разряда.

104. Когда слагаемыхъ очень много, то складывать ихъ всѣ разомъ неудобно, потому что отъ сложенія единицъ каждаго разряда могутъ произойти числа, заключающія въ себѣ болѣе двухъ разрядовъ. Въ такомъ случаѣ слагаемыя дѣлятъ на нѣсколько группъ, числа каждой группы складываютъ отдѣльно, а затѣмъ уже складываютъ полученныя суммы.

105. Вычитаніе. Чтобы изъ 824 вычесть 237, вычитаемъ сперва 2 сотни вычитаемаго изъ 8 сот. уменьшаемаго; получаемъ 6 сот., которыя съ остальными разрядами уменьшаемаго составятъ 624. Затѣмъ изъ 624 надо вычесть 3 дес. вычитаемаго; но у насъ въ 624 только 2 дес., и изъ нихъ вычесть 3 дес. невозможно; поэтому прибавляемъ къ 2 дес. 624-хъ одну изъ его 6 сотенъ, которую для этого замѣняемъ 10 десятками. Такимъ образомъ число 624 у насъ будетъ состоять изъ 5 сот., 12 дес, и 4 ед., и мы можемъ изъ его десятковъ вычесть 3 дес. вычитаемаго; получимъ 9 дес., которые съ остальными разрядами составятъ 594. Изъ этого числа намъ остается вычесть 7 единицъ вычитаемаго. Для этого одинъ изъ десятковъ 594-хъ, замѣнивъ его 10 единицами, прибавляемъ къ 4 единицамъ, т.-е. представляемъ число 594 въ видѣ 5 сот. 8 дес. и 14 ед., изъ его единицъ

вычитаемъ 7 ед. и получаемъ требуемую разность 587, т.-е. 824 — 237 = 587. Такимъ образомъ, для опредѣленія разности двухъ многозначныхъ чиселъ, надо вычесть послѣдовательно всѣ разряды вычитаемаго изъ соотвѣтствующихъ разрядовъ уменьшаемаго; если въ какомъ-либо разрядѣ вычитаемаго единицъ окажется больше, чѣмъ въ томъ же разрядѣ уменьшаемаго, то къ этому разряду уменьшаемаго присоединяютъ одну единицу слѣдующаго высшаго разряда, выразивъ ее въ единицахъ вычитаемаго разряда, и выполняютъ вычитаніе. Когда такимъ образомъ единицу высшаго разряда уменьшаемаго присоединяютъ къ единицамъ слѣдующаго низшаго, то говорятъ, что у высшаго разряда уменьшаемаго занимаютъ одну единицу.

106. Чтобы 6 573 письменно вычесть изъ 8 629, вычитаемое 6 573 подписываютъ подъ уменьшаемымъ 8 629 такъ, чтобы единицы стояли подъ единицами, десятки подъ десятками и т. д., потому что и вычитать надо единицы изъ единицъ, десятки изъ десятковъ и т. д. Подъ вычитаемымъ проводятъ черту, подъ которой пишутъ разность по мѣрѣ ея опредѣленія. Начинаютъ вычитаніе съ простыхъ единицъ на томъ же основаніи, какъ и сложеніе. Вычитая 3 ед. изъ 9-ти ед., получимъ 6 единицъ, которыя и запишемъ въ разности подъ единицами вычитаемаго. Изъ 2-хъ десятковъ 7 десятковъ вычесть нельзя; поэтому занимаемъ у 6 сот. уменьшаемаго одну сотню, замѣняемъ ее 10-ю десятками и, присоединивъ къ 2-мъ десяткамъ уменьшаемаго, получаемъ 12 десятковъ, изъ которыхъ и вычитаемъ 7 дес. вычитаемаго. Полученные 5 дес. пишемъ въ разности на мѣстѣ десятковъ, а чтобы отмѣтить сдѣланное преобразованіе въ уменьшаемомъ надъ цыфрой его сотенъ 6 ставимъ точку и въ дальнѣйшемъ вычитаніи будемъ считать эту цыфру за 5. Вычтя 5 сот. вычитаемаго изъ 5 сот. уменьшаемаго, сотенъ не получимъ и потому на мѣстѣ ихъ ставимъ въ разности 0. Вычитая 6 тыс. изъ 8-ми тысячъ, получимъ 2 тыс., которыя и пишемъ подъ тысячами. Такимъ образомъ получимъ въ разности 2 056. Изъ этого примѣра видимъ, что если цыфра какого-либо разряда въ уменьшаемомъ

ниже цыфры того же разряда въ вычитаемомъ, то надо занять единицу у цыфры слѣдующаго высшаго разряда въ уменьшаемомъ, для обозначенія чего надъ ней ставятъ точку, а къ цыфрѣ уменьшаемаго, изъ которой слѣдовало вычитать, надо прибавить 10 и выполнить вычитаніе; цыфру же, отмѣченную точкой при дальнѣйшемъ вычитаніи надо считать единицей ниже.

Если въ уменьшаемомъ на мѣстѣ цыфры, у которой надо занять единицу, стоитъ нуль и нѣсколько слѣдующихъ цыфръ тоже нули, то занимаютъ едицу у первой слѣдующей за ними значащей цыфры, къ цыфрѣ уменьшаемаго, изъ которой надо вычитать, прибавляютъ 10 и выполняютъ вычитаніе, а каждый промежуточный нуль при дальнѣйшемъ вычитаніи считаютъ за 9, для обозначенія чего надъ каждымъ нулемъ, какъ и надъ значащей цыфрой, у которой занята единица, ставятъ точки. Напр. при вычитаніи 4 529 изъ 703 006, чтобы вычесть 9 единицъ вычитаемаго слѣдовало бы занять у десятковъ уменьшаемаго 1 десятокъ и присоединить его къ 6 единицамъ, но въ уменьшаемомъ нѣтъ ни десятковъ, ни сотенъ; поэтому занимаемъ у 3-хъ тысячъ уменьшаемаго 1 тысячу, замѣняемъ ее 10-ю сотнями, изъ этихъ 10 сотенъ занимаемъ 1 сотню, замѣняемъ ее 10-ю десятками, изъ нихъ занимаемъ 1 десятокъ, замѣняемъ его 10-ю единицами и присоединяемъ ихъ къ 6-ти единицамъ уменьшаемаго; т.-е. уменьшаемое представляемъ въ видѣ 702 тыс., 9 сот., 9 дес. и 16 единицъ. Чтобы отмѣтить сдѣланное преобразованіе въ уменьшаемомъ, надъ цыфрами 3, 0 и 0 ставимъ точки. Вычтя 9 единицъ изъ 16 единицъ, получимъ 7 единицъ; вычтя 2 дес. вычитаемаго изъ 9 дес. уменьшаемаго, получимъ въ разности 7 дес.; вычтя 5 сот. изъ 9 сот., получимъ 4 сотни. Вычесть 4 тысячи изъ 2 тысячъ нельзя; поэтому занимаемъ у 7-ми сот. тысячъ уменьшаемаго 1 сотню тысячъ, замѣняемъ ее 10-ю десятками тысячъ, занимаемъ у нихъ 1 дес. тысячъ, замѣняемъ его 10-ю тысячами и, присоединивъ ихъ къ 2 тысячамъ уменьшаемаго, вычитаемъ 4 тысячи изъ 12 тысячъ,

получаемъ 8 тысячъ. Сдѣланное преобразованіе отмѣчаемъ точками надъ цыфрами 0 и 7. Такъ какъ теперь всѣ разряды вычитаемаго вычтены изъ уменьшаемаго, то оставшіеся въ уменьшаемомъ 6 сотенъ тысячъ и 9 дес. тысячъ перейдутъ въ разность безъ измѣненія. Изъ этого примѣра видимъ, что когда въ уменьшаемомъ нѣсколько лишнихъ цыфръ противъ вычитаемаго, то ихъ надо снести въ разность, понижая цыфры, отмѣченныя точкой, на единицу и считая нули, отмѣченные точкой, за 9.

Приводимъ еще нѣсколько примѣровъ.

Въ послѣднемъ примѣрѣ, чтобы вычесть 2 единицы вычитаемаго, занимаемъ у 7 сот. тысячъ уменьшаемаго одну сотню тысячъ, замѣняемъ ее 10-ю дес. тысячъ, занимаемъ у нихъ 1 дес. тыс., замѣняемъ его 10-ю тыс., занимаемъ у нихъ 1 тыс., замѣняемъ еѳ 10-ю сотнями, занимаемъ у нихъ 1 сотню, замѣняемъ ее 10-ю дес., занимаемъ у нихъ 1 дес. и, замѣнивъ его 10-ю единицами, вычитаемъ 2 ед. вычитаемаго изъ 10 ед.; каждую слѣдующую цыфру вычитаемаго придется вычитать изъ 9.

107. Вопросы. 1) Какъ сложить многозначныя числа?—2) Почему письменное сложеніе многозначныхъ чиселъ начинаютъ съ простыхъ единицъ?—3) Для чего слагаемыя подписываютъ другъ подъ другомъ такъ, чтобы единицы стояли подъ единицами, десятки подъ десятками и т. д.?— 4) Какъ найти разность двухъ многозначныхъ чиселъ?—5) Почему письменное вычитаніе начинаютъ съ простыхъ единицъ?—6) Для чего вычитаемое подписываютъ подъ уменьшаемымъ такъ, чтобы единицы стояли подъ единицами, десятки подъ десятками и т. д.?—7) Какъ слѣдуетъ поступать, если цыфра какого-либо разряда въ уменьшаемомъ ниже цыфры того же разряда въ вычитаемомъ?—8) Какъ слѣдуетъ поступать, если въ томъ же случаѣ слѣдующая цыфра въ уменьшаемомъ есть нуль?—если нѣсколько слѣдующихъ цыфръ—нули?—9) Въ какомъ случаѣ письменное сложеніе можно начинать съ единицъ какого угодно разряда? —10) Въ какомъ случаѣ письменное вычитаніе можно начинать съ какого угодно разряда?— 11) Французы, когда какая-либо цыфра уменьшаемаго ниже цыфры того же разряда въ вычитаемомъ, прибавляютъ къ цыфрѣ уменьшаемаго 10, а зато цыфру слѣдующаго разряда въ вычитаемомъ повышаютъ на 1-цу; на чемъ основанъ такой способъ (пріемъ) вычитанія?

VI.

Умноженіе и дѣленіе многозначныхъ чиселъ.

108. Умноженіе на однозначное число. Умножить 425 на 8 значитъ 425 взять слагаемымъ 8 разъ. Чтобы сложить эти 8 слагаемыхъ, мы должны сложить всѣ единицы ихъ, т.-е. взять 5 единицъ слагаемымъ 8 разъ, потомъ всѣ десятки ихъ, т.-е. взять 2 дес. слагаемымъ 8 разъ, наконецъ сложить всѣ сотни, т.-е, взять 4 сотни слагаемымъ 8 разъ. Поэтому, чтобы умножить многозначное число на однозначное, надо единицы каждаго разряда во множимомъ умножить на множителя и полученныя произведенія сложить. Отъ умноженія 4 сотенъ на 8 получимъ 32 сотни, пли 3200, отъ умноженія 2 дес. на 8 получимъ 16 дес., или 160, отъ умноженія 5 ед. на 8 получимъ 40 единицъ; слѣд.

109. Чтобы умноженіе 30 729 па 7 выполнить письменно, множимое и множителя располагаютъ рядомъ, ставя между ними знакъ умноженія, подъ множителями проводятъ черту и умножаютъ на множителя послѣдовательно всѣ разряды множимаго, начиная съ простыхъ единицъ; произведеніе, по мѣрѣ его образованія, пишутъ подъ чертою, подъ соотвѣтствующими разрядами множимаго. Отъ умноженія 9 един. на 7 получимъ 63 ед., или 6 дес. и 3 единицы. Такъ какъ отъ умноженія десятковъ и слѣдующихъ за ними высшихъ разрядовъ не можетъ получиться простыхъ единицъ, то 3 единицы полученнаго произведенія пишемъ подъ чертою, подъ единицами множимаго, а 6 дес. запоминаемъ (держимъ въ умѣ), чтобы прибавить ихъ потомъ къ произведенію десятковъ множимаго. Отъ умноженія 2-хъ дес. на 7 получимъ 14 дес., которые вмѣстѣ съ 6-ю дес., полученными отъ умноженія единицъ, составятъ 20 десятковъ, т.-е ровно 2 сотни. Такъ какъ отъ умноженія сотенъ и слѣдующихъ за ними высшихъ разрядовъ не можетъ произойти десятковъ, то въ произведеніи десятковъ не будетъ; поэтому въ произведеніи на мѣстѣ

то 5 тысячъ и 1 сотню пишемъ въ произведеніи подъ тысячами и сотнями множимаго. Наконецъ, отъ умноженія 3-хъ дес. тысячъ на 7 получаемъ 21 дес. тысячъ, которые составляютъ 2 сотни тысячъ и 1 дес. тысячъ. Ихъ пишемъ въ произведеніи на соотвѣтствующихъ мѣстахъ. Всего получимъ въ произведеніи 215 103.

Словесно ходъ дѣйствія выражаютъ кратко слѣдующимъ образомъ: семью 9 = 63, 3 единицы пишемъ, 6 дес. въ умѣ;

семью 2 = 14, да 6 = 20, 0 дес. пишемъ, а 2 сотни въ умѣ;

семью 7 = 49, да 2 = 51; 1 сотню пишемъ, а 5 тыс. въ умѣ;

семью 0 = 0, да 5 = 5, 5 тыс. пишемъ; семью 3 = 21; это число пишемъ сполна.

Въ этомъ примѣрѣ надъ соотвѣтствующими цыфрами множимаго отмѣчены мелкимъ шрифтомъ тѣ числа, которыя приходится держать въ умѣ и потомъ придавать къ произведеніямъ этихъ цыфръ на множителя. Обыкновенно такихъ отмѣтокъ не дѣлаютъ.

Такъ же выполнены слѣдующія умноженія:

десятковъ ставимъ нуль, а 2 сотни оставляемъ въ умѣ, чтобы потомъ ихъ прибавить къ произведенію сотенъ. Отъ умноженія 7 сот. на 7 получимъ 49 сотенъ, которыя съ 2 сотнями, полученными ранѣе, составятъ 51 сот., или 5 тыс. и 1 сотню. Такъ какъ тысячъ во множимомъ нѣтъ, а отъ умноженія десятковъ тысячъ ни сотенъ, ни тысячъ получиться не можетъ,

Въ послѣднемъ примѣрѣ множитель подписанъ подъ множимымъ и знакъ умноженія поставленъ слѣва отъ множителя. Такое расположеніе дѣйствія практикуется очень часто.

110. Если умноженіе начать съ единицы высшаго разряда, то въ произведеніи придется переправлять многія цифры. Такъ, въ первомъ изъ приведенныхъ сейчасъ примѣровъ отъ умноженія 9 сотъ на 6 получится 54 сотни, что составитъ 5 тыс. и 4 сотни. Записавъ ихъ въ произведеніи на соотвѣтствующихъ мѣстахъ, мы далѣе должны умножить 3 дес. на 6, отъ чего получимъ 18 дес., или 1 сотню и 8 дес. Изъ нихъ 8 дес. надо записать на мѣстѣ десятковъ, а 1 сотню прибавить къ 4 сотнямъ, записаннымъ ранѣе, и, слѣд., цыфру сотенъ 4 переправить

на 5. Затѣмъ, отъ умноженія 5 ед. на 6 получится 30 ед., т.-е. 3 десятка. Въ произведеніи на мѣстѣ единицъ надо поставить 0, а 3 дес. прибавить къ 8 дес., записаннымъ раньше. Это составитъ 11 дес., т.-е. 1 сотню и 1 дес.; поэтому въ произведеніи цыфру сотенъ 5 придется переправить на 6, а цыфру десятковъ 8 на 1.

111. Дѣленіе на однозначное число. Когда при однозначномъ дѣлителѣ частное тоже однозначное, то дѣленіе, какъ мы выше видѣли, производится по Пиѳагоровой таблицѣ; дѣлимое тогда меньше произведенія дѣлителя на 10.

Когда же дѣлимое равно или больше произведенія дѣлителя на 10, то въ частномъ получается многозначное число. Такъ, отъ дѣленія 984 на 4 получается многозначенное частное. Дѣйствительно, раздѣлить 984 на 4 значитъ найти такое число, отъ умноженія котораго на 4 получится 984. Такъ какъ отъ умноженія 10-ти на 4 получится только 40, то, чтобы получить въ произведеніи число 984, которое больше 40-ка, надо на 4 умножить число больше 10-ти; слѣд. отъ дѣленій 984 на 4 получится въ частномъ больше 10-ти и частное будетъ многозначное.

112. Чтобы 984 раздѣлить на 4, раздѣлимъ сперва 9 сот. дѣлимаго. Отъ дѣленія 9 ед. на 4 въ частномъ получается 2 ед. и въ остаткѣ 1 ед., потому что 2\4 = 8 и 9 — 8 = 1; поэтому если при дѣленіи 9 сот. на 4 возьмемъ въ частное 2 сотни, то раздѣлимъ всего 2 сот.Х4 = 8 сот., и отъ 9 сот. останется еще 1 сотня, которая при дѣленіи на 4 уже не дастъ въ частномъ сотенъ. Оставшуюся сотню замѣнимъ десятками и раздѣлимъ на 4 вмѣстѣ съ 8-ю дес. дѣлимаго. Въ сотнѣ 10 дес., слѣд. придется дѣлить 18 десятковъ. Отъ дѣленія 18 ед. на 4 въ частномъ получается 4 ед. и въ остаткѣ 2 ед., потому что 4 X 4 = 16 и 18 — 16 = 2. Поэтому, если возьмемъ въ частное 4 дес., то раздѣлимъ только 4 дес.X 4 = 16 дес., и намъ останется еще дѣлить 2 дес., которые отъ дѣленія на 4 уже не дадутъ въ частномъ десятковъ. Эти 2 десятка замѣнимъ единицами и раздѣлимъ на 4 вмѣстѣ съ 4-мя единицами дѣлимаго. Въ 2-хъ десяткахъ 20 ед., слѣд. всего получимъ 24 ед., которыя дѣлятся на 4 безъ остатка и даютъ въ частномъ 6 единицъ. Такимъ образомъ, мы сперва раздѣлили 8 сот., отъ чего въ частномъ получилось 2 сотни, потомъ 16 дес., что дало въ частномъ 4 дес., и наконецъ 24 единицы, отъ чего въ частномъ получили

6 ед. Такъ какъ отъ умноженія 200 на 4 получается 800, отъ умноженія 40 на 4 получается 160 и отъ умноженія 6 на 4 получается 24, то отъ умноженія 246 на 4 получится 800 + 160 + 24, т.-е. наше дѣлимое 984; слѣд. 984:4 = 246.

113. Дѣйствіе располагаютъ письменно и коротко выражаютъ словами слѣдующимъ образомъ:

Отъ дѣленія 9 сот. на 4 получимъ въ частномъ 2 сотни, раздѣлимъ 2X4 = 8 сот., останется 9 — 8 = 1 сот. Оставшуюся сотню замѣняемъ 10-ю дес. и присоединяемъ къ нимъ 8 дес. дѣлимаго, для чего къ оставшейся сотнѣ сносимъ 8 дес. делимаго; составится 18 десятковъ. Взявъ въ частное 4 дес., раздѣлимъ 4X4 = 16 дес.; останется 2 дес. Къ оставшимся 2 дес. сносимъ 4 единицы дѣлимаго; получится 24 единицы, которыя дѣлятся на 4 безъ остатка и даютъ въ частномъ 6 единицъ. Всего получимъ въ частномъ 246.

Въ этомъ примѣрѣ намъ пришлось дѣлить на 4 послѣдовательно 9 сотенъ, 18 дес. п 24 единицы. Числа эти наз. неполными дѣлимыми. Первое неполное дѣлимое дало намъ цыфру сотенъ частнаго, второе—цыфру его десятковъ, третье цыфру единицъ. Такимъ образомъ, каждое неполное дѣлимое даетъ въ частномъ цыфру того разряда, къ которому принадлежитъ послѣдняя цыфра этого дѣлимаго. Дѣля 9 сотенъ и 18 десятковъ на 4, мы разсматривали ихъ какъ 9 простыхъ единицъ, какъ 18 простыхъ единицъ, т.-е. при дѣленіи каждаго неполнаго дѣлимаго на дѣлителя, первую справа цыфру этого дѣлимаго можно принимать за простыя единицы, а вторую — за десятки.

Для перваго неполнаго дѣлимаго въ этомъ примѣрѣ можно было взять первую слѣва цыфру изъ полнаго дѣлимаго, потому что эта цыфра (9) выше дѣлителя (4). Чтобы образовать каждое изъ слѣдующихъ неполныхъ дѣлимыхъ, надо цыфру частнаго, полученную отъ предыдущаго неполнаго дѣлимаго, умножить на дѣлителя, произведеніе вычесть изъ этого дѣлимаго и къ остатку снести изъ полнаго дѣлимаго цыфру, слѣдующую за той, которая послужила для образованія предыдущаго не-

полнаго дѣлимаго. Послѣднее неполное дѣлимое получится, когда будетъ снесена изъ полнаго дѣлимаго цыфра его единицъ.

114. Чтобы 39 256 раздѣлить на 7, слѣдовало бы раздѣлить на 7 сперва 3 дес. тысячъ, но отъ дѣленія ихъ мы не получимъ въ частномъ десятковъ тысячъ, потому что для этого надо въ дѣлимомъ имѣть по крайней мѣрѣ 1 дес. тысячъ\7 = 7 дес. тысячъ, а у насъ ихъ только 3. Слѣд. отъ дѣленія 3 дес. тысячъ на 7 получатся не дес. тысячъ, а тысячи. А такъ какъ тысячи могутъ получиться и отъ дѣленія тысячъ дѣлимаго, то 3 дес. тысячъ надо замѣнить 30 тысячами и раздѣлить ихъ на 7 вмѣстѣ съ 9-ю тыс., т.-е. придется дѣлить 39 тысячъ. Такимъ образомъ, если высшая цыфра дѣлимаго (3) ниже дѣлителя (7), то для перваго неполнаго дѣлимаго надо брать число, обозначаемое двумя, первыми слѣва цыфрами полнаго дѣлимаго. Отъ дѣленія 39 тысячъ на 7 въ частномъ получимъ 5 тыс., при чемъ раздѣлимъ 5X7 = 35 тысячъ. Пять тысячъ пишемъ въ частное, а 35 тыс. подписываемъ подъ 39-ю тыс. и вычитаемъ изъ нихъ; въ остаткѣ получимъ 4 тысячи. Оставшіяся 4 тысячи замѣняемъ 40 сотнями, присоединяемъ къ нимъ 2 сотни дѣлимаго, для чего цыфру сотенъ 2 сносимъ къ цыфрѣ остатка 4, и дѣлимъ 42 сотни на 7. Въ частномъ получимъ 6 сот. и раздѣлимъ 6 сот.Х7 = 42 сотни. Цыфру сотенъ 6 пишемъ въ частное, а 42 подписываемъ подъ неполнымъ дѣлимымъ 42 и вычитаемъ изъ него; въ остаткѣ получаемъ нуль. Такъ какъ сотенъ у насъ не осталось, то слѣдуетъ дѣлить 5 десятковъ, которые сносимъ къ остатку 0 отъ предыдущаго дѣленія. Отъ дѣленія 5 дес. на 7 въ частномъ десятковъ не получится, потому что для этого въ дѣлимомъ должно быть по крайней мѣрѣ 1 дес-Х7 = 7 дес., а у насъ ихъ менѣе 7-ми. Поэтому въ частномъ на мѣстѣ десятковъ ставимъ О, а 5 дес. замѣняемъ 50-ю единицами, присоединяемъ къ нимъ 6 ед. дѣлимаго, для чего эту цыфру сносимъ къ остатку 5, и дѣлимъ 56 ед. на 7; въ частномъ получимъ 8 ед. и раздѣлимъ 8X7 = 56 единицъ. 8 единицъ пишемъ въ частное, а 56 подписываемъ подъ неполнымъ дѣлимымъ 56 и вычитаемъ изъ него; въ остаткѣ получимъ нуль.

Такимъ образомъ мы сперва раздѣлили 35 тысячъ, отъ чего въ частномъ получилось 5 тыс., потомъ 42 сотни, что дало въ частномъ 6 сот., и затѣмъ 56 ед., отъ чего въ частномъ получили 8 ед., а всего въ частномъ получили 5 608. Такъ какъ 5 000X7 = 35 000, 600X7 = 4 200 и 8X7 = 56, то отъ умноженія 5 608 на 7 получится 35 000 -j- 4 200 + 56, т.-е. дѣлимое 39 256; слѣд. 39 256:7 = 5 608.

Въ этомъ примѣрѣ неполныя дѣлимыя были: 39 тысячъ, 42 сотни, 5 десятковъ и 56 единицъ, при чемъ въ третьемъ неполномъ дѣлимомъ десятковъ оказалось меньше, чѣмъ простыхъ единицъ въ дѣлителѣ; поэтому десятковъ въ частномъ не получилось и на ихъ мѣстѣ поставленъ 0. Такимъ образомъ, если въ неполномъ дѣлимомъ единицъ того разряда, къ которому оно принадлежитъ, окажется меньше, чѣмъ простыхъ единицъ въ дѣлителѣ, то единицъ этого разряда въ частномъ не получится и на ихъ мѣстѣ надо ставить нуль.

115. Приводимъ еще нѣсколько дѣленій:

Въ первомъ примѣрѣ второе неполное дѣлимое 63 дес. раздѣлилось на 9 безъ остатка, а такъ какъ въ дѣлимомъ нѣтъ единицъ, то и въ частномъ единицъ не получилось и на мѣстѣ ихъ поставленъ нуль.

Во всѣхъ остальныхъ примѣрахъ для сокращенія записи произведенія дѣлителя на цыфры частнаго не подписаны подъ соотвѣтствующими неполными дѣлимыми, а вычтены изъ нихъ въ умѣ.

Въ третьемъ примѣрѣ первое неполное дѣлимое 28 дес. тысячъ раздѣлилось на 4 безъ остатка, а такъ какъ въ полномъ дѣлимомъ нѣтъ ни тысячъ, ни сотенъ, то этихъ разрядовъ не получилось и въ частномъ и на ихъ мѣстахъ поставлены нули. Слѣдующее неполное дѣлимое составляютъ 2 десятка, но отъ ихъ дѣленія десятковъ не получается, почему въ частномъ и на мѣстѣ десятковъ поставленъ нуль, а 2 десятка замѣнены 20-ю единицами, которыя съ присое-

диненіемъ 4 единицъ дѣлимаго отъ дѣленія на 4 дали 6 единицъ.

Въ послѣднемъ примѣрѣ отъ дѣленія 12 десятковъ остатка не получилось и потому послѣднее неполное дѣлимое составилось только изъ 2-хъ единицъ полнаго дѣлимаго, которыя на 3 раздѣлить нельзя; поэтому въ частномъ единицъ не получилось и на ихъ мѣстѣ поставленъ нуль, а 2 единицы составили остатокъ отъ дѣленія 2 822 на 3.

116. Умноженіе и дѣленіе на 10, 100, 100О и т. д. основано на томъ, что единица каждаго разряда отъ умноженія на 10 даетъ единицу слѣдующаго высшаго разряда, а отъ дѣленія на 10 даетъ единицу слѣдующаго низшаго разряда; напр. 1X10=10,10X10=100,100X10=1 000, 1 000X10 = 10 000 и т. д.; 100:10 = 10, 1 000:10 = 100, 10 000:10 = 1 000 и т. д.

117. Чтобы умножить 475 на 10, надо умножить на 10 и 4 сотни, и 7 десятковъ, и 5 единицъ. Отъ умноженія одной сотни на 10 получается тысяча, а отъ умноженія 4 сотенъ получится 4 тысячи; отъ умноженія одного десятка на 10 получается сотня, а отъ умноженія 7 десятковъ получится 7 сотенъ; отъ умноженія одной единицы на 10 получается десятокъ, а отъ умноженія 5 единицъ получается 5 десятковъ. Всего получится 4 750. Отсюда видимъ, что отъ умноженія какого-либо числа на 10, единицы его обращаются въ десятки, десятки—въ сотни и т. д., а единицъ въ произведеніи совсѣмъ не получается.

Чтобы 475 умножить на 100, умножимъ 475 сперва на 10; получимъ 4 750. Это произведеніе въ 10 разъ меньше требуемаго, ибо множитель 10 въ 10 разъ меньше даннаго множителя 100; поэтому, чтобы получить требуемое произведеніе, надо 4 750 умножить на 10. Тогда, по предыдущему, 4 тысячи дадутъ 4 десятка тысячъ, 7 сотенъ дадутъ 7 тысячъ, 5 десятковъ дадутъ 5 сотенъ; всего получимъ 47 500. Отсюда видимъ, что отъ умноженія на 100, единицы множимаго обращаются въ сотни, десятки—въ тысячи и т. д., а десятковъ и единицъ въ произведеніи совсѣмъ не получается.

Вообще, отъ умноженія какого-либо числа на 10, 100, 1000 и т. д., единицы его обращаются въ единицы того разряда, къ которому принадлежитъ множитель, десятки въ единицы слѣ-

дующаго высшаго разряда и т. д., а единицъ низшихъ разрядовъ, сравнительно съ множителемъ, въ произведеніи не получается.

На основаніи этого, чтобы письменно умножить какое-либо число на 10, 100, 1000 и т. д., надо къ нему приписать справа столько нулей, сколько ихъ находится во множителѣ. Дѣйствіе располагается слѣдующимъ образомъ:

574 X100 = 57 400; 8 204 X 1 000 = 8 204 000.

118. Чтобы 5 680 раздѣлить на 10, надо раздѣлить на 10 и 5 тысячъ, и 6 сотенъ, и 8 десятковъ. Отъ дѣленія одной тысячи на 10 получается сотня, отъ дѣленія 5 тысячъ получится 5 сотенъ; отъ дѣленія одной сотни на 10 получается десятокъ, отъ дѣленія 6 сотенъ получится 6 десятковъ; отъ дѣленія одного десятка на 10 получается единица, отъ дѣленія 8 десятковъ получится 8 единицъ. Всего получится 568. Чтобы 5 600 раздѣлить на 100, раздѣлимъ это число сперва на 10; получимъ 560. Но это частное больше требуемаго въ 10 разъ, ибо дѣлитель 10 въ 10 разъ меньше дѣлителя 100; поэтому, чтобы получить требуемое частное, надо 560 раздѣлить на 10. Тогда 5 сотенъ дадутъ въ частномъ 5 десятковъ и 6 десятковъ дадутъ 6 единицъ; всего отъ дѣленія 5 600 на 100 въ частномъ получимъ 56. Отсюда видимъ, что отъ дѣленія числа на 10, десятки его обращаются въ единицы, сотни—въ десятки, тысячи въ сотни и т. д.; отъ дѣленія на 100, сотни его обращаются въ единицы, тысячи—въ десятки и т. д.; если въ числѣ есть единицы, то ихъ на 10 раздѣлить пельзя, и онѣ составятъ остатокъ; если въ числѣ есть десятки и единицы, то ихъ на 100 раздѣлить нельзя, и они составятъ остатокъ.

Вообще, отъ дѣленія числа на 10, 100, 1 000 и т. д., единицы одного разряда съ дѣлителемъ обращаются въ простыя единицы, единицы слѣдующаго высшаго разряда въ десятки и т. д., а единицы низшихъ разрядовъ, сравнительно съ дѣлителемъ составляютъ остатокъ.

На основаніи этого, чтобы письменно раздѣлить какое-либо число на 10, 100, 1 000 и т. д., надо въ немъ откинуть справа столько цыфръ, сколько нулей въ дѣлителѣ; оставшееся число

будетъ частнымъ, а откинутое —остаткомъ. Дѣйствіе располагается слѣдующимъ образомъ:

119. Умноженіе на числа, обозначаемыя значащей цыфрой съ нулями. Чтобы 45 умножить на 500, умножимъ 45 сперва на 5; получимъ 225. Но это произведеніе меньше требуемаго въ 100 разъ, ибо множитель 5 въ 10 разъ меньше множителя 500; поэтому, чтобы получить требуемое произведеніе, надо 225 умножить на 100; получимъ 22 500. Отсюда видимъ, что для умноженія какого-либо числа на число, обозначаемое значачащей цыфрой съ нулями, можно множимое умножить на значащую цыфру и полученное произведеніе умножить на единицу того разряда, къ которому принадлежитъ множитель. На основаніи этого, чтобы письменно умножить на число, обозначаемое значащей цыфрой съ нулями, надо множимое умножить на значащую цыфру и къ полученному произведенію приписать справа столько нулей, сколько ихъ находится во множителѣ. Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:

120. Дѣленіе на числа, обозначаемыя значащей цыфрой съ нулями. Чтобы раздѣлить 7 240 на 40, раздѣлимъ его сперва на 10; получимъ 724. Но это частное больше требуемаго въ 4 раза, ибо дѣлитель 10 меньше дѣлителя 40 въ 4 раза; поэтому чтобы получить требуемое частное, надо 724 раздѣлить на 4; получимъ 181. Отсюда видимъ, что для дѣленія какого-либо числа на число, обозначаемое значащей цыфрой съ нулями, можно дѣлимое раздѣлить на единицу того разряда, къ которому принадлежитъ дѣлитель, и потомъ полученное частное раздѣлить на значащую цыфру дѣлителя. На основаніи этого, чтобы раздѣлить письменно на число, обозначаемое знача-

щей цыфрой съ нулями, надо въ дѣлимомъ откинуть справа столько цыфръ, сколько нулей въ дѣлителѣ, и полученное число раздѣлить на значащую цыфру дѣлителя; при этомъ, если получится остатокъ, то къ нему надо приписать откинутыя цыфры дѣлимаго; если остатка отъ дѣленія на значащую цыфру дѣлителя не получится, то въ остаткѣ слѣдуетъ написать откинутыя цыфры дѣлимаго. Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:

121. Умноженіе на многозначное число. Чтобы умножить 412 на 253, т.-е чтобы 412 взять слагаемымъ 253 раза, можно 412 взять слагаемыхъ 200 разъ, потомъ 50 разъ, наконецъ 3 раза и полученныя три суммы сложить, т.-е. можно умножить 412 на 200, умножить 412 на 50, умножить 412 на 3 и полученныя три произведенія сложить. Получимъ: 412\200 = 82 400; 412X50 = 20 600; 412X3 = 1 236; 82 400 Д- 20 600 +1 236 = 104 236.

Точно такъ же, чтобы 1 253 умножить на 5 007, надо 1 253 умножить на 5 000, потомъ 1 253 умножить на 7 и эти. два произведенія сложить; получимъ:

Слѣд., чтобы умножить какое-либо число на многозначное число, надо множимое умножить на единицы каждаго разряда во множителѣ и полученныя произведенія сложить. Произведенія множимаго на единицы каждаго разряда множителя наз. частными или неполными произведеніями, а сумма всѣхъ этихъ произведеній наз. общимъ или полнымъ произведеніемъ.

Чтобы не писать множимое нѣсколько разъ и не переписывать частныя произведенія для сложенія, пишутъ множимое, подъ нимъ или рядомъ съ нимъ мно-

жителя, подчеркиваютъ ихъ и умножаютъ множимое на каждую значащую цыфру множителя, начиная съ единицъ; цыфру единицъ перваго произведенія пишутъ подъ цыфрой единицъ множимаго, цыфру десятковъ подъ цыфрой десятковъ множимаго и т. д.; цыфру единицъ каждаго слѣдующаго произведенія подписываютъ подъ цыфрой предыдущаго произведенія, стоящей на томъ же мѣстѣ, какъ и цыфра множителя, на которую умножаютъ, а на оставшихся свободными мѣстахъ ставятъ нули; затѣмъ всѣ произведенія подчеркиваютъ и складываютъ. Къ произведеніямъ множимаго на вторую и слѣдующія цыфры во множителѣ нулей можно и не приписывать, если условиться придавать цыфрамъ этихъ произведеній значеніе тѣхъ цыфръ перваго произведенія, подъ которымъ онѣ стоятъ.

Такимъ образомъ произведены слѣдующія умноженія:

Въ послѣднемъ примѣрѣ во множимомъ и множителѣ откинуты нули, стоящіе справа, перемножены полученныя такимъ образомъ числа 24 и 23 и получено въ произведеніи 552; но это произведеніе меньше требуемаго, ибо, откинувъ два нуля во множимомъ, мы его, а слѣд. и произведеніе, уменьшили въ 100 разъ. Чтобы исправить произведеніе отъ этой ошибки, надо его увеличить въ 100 разъ, а для этого приписать къ нему справа два нуля; получимъ 55 200. Но и это произведеніе меньше требуемаго въ 10 разъ, ибо, откинувъ нуль во множителѣ, мы его, а слѣд. и произведеніе, уменьшили въ 10 разъ. Чтобы получить требуемое произведеніе, надо 55 200 увеличить въ 10 разъ, а для этого приписать къ нему справа нуль; получимъ 552 000. Итакъ, если одинъ или оба множителя оканчиваются нулями, то эти нули откидываютъ, перемно-

жаютъ полученныя такимъ образомъ числа и къ полученному произведенію приписываютъ справа всѣ откинутые нули.

122. Дѣленіе на многозначное число. Раздѣлить 9 389 на 2 457 значитъ найти, на какое число слѣдуетъ умножить 2 457, чтобы въ произведеніи получить 9 389. Отъ умноженія 2 457 на 10 получается число 24 570, которое больше дѣлимаго 9 389; слѣд., 2 457 надо умножить на число меньше 10-ти, чтобы получить дѣлимое 9 389, а потому частное должно быть меньше 10-ти, т.-е должно быть числомъ однозначнымъ. Отъ дѣленія 4 046 на 578 также получается однозначное частное, потому что произведеніе 578.10 = 5 780 больше дѣлимаго 4 046.

Въ первомъ примѣрѣ въ дѣлимомъ столько же цыфръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ, но все дѣлимое 9 389 больше всего дѣлителя 2 457 ; во второмъ примѣрѣ въ дѣлимомъ одной цыфрой больше, чѣмъ въ дѣлителѣ, но зато высшая цыфра дѣлимаго (4) ниже высшей цыфры дѣлителя (5). Отсюда видимъ, что при дѣленіи на многозначное число въ частномъ получается одна цыфра: 1) когда въ дѣлимомъ столько же цыфръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ, и 2) когда въ дѣлимомъ одной цыфрой больше, чѣмъ въ дѣлителѣ, и высшая цыфра дѣлимаго ниже высшей цыфры дѣлителя.

Замѣтимъ, что если въ первомъ случаѣ дѣлимое будетъ равно дѣлителю, то въ частномъ получится единица.

123. Однозначное частное. Чтобы раздѣлить 4 046 на 578, остается опредѣлить, на какую именно цыфру слѣдуетъ умножить 578, чтобы получить 4 046. Отъ умноженія 5-ти сотенъ дѣлителя на искомую цыфру получатся сотни и высшіе разряды дѣлимаго, но часть ихъ можетъ получиться и отъ умноженія остальныхъ разрядовъ дѣлителя; поэтому отъ умноженія 5-ти сотенъ дѣлителя на искомую цыфру частнаго получится самое большее 40 сотенъ. Примемъ, что отъ умноженія 5 сот. дѣлителя на искомую цыфру частнаго получатся всѣ 40 сот. дѣлимаго; тогда мы должны принять, что отъ умноженія 5 ед. на искомую цыфру частнаго получится 40 ед., потому что умножая 5 ед. вмѣсто 5 сот., мы множимое уменьшаемъ въ 100 разъ, отчего

и произведеніе уменьшается въ 100 разъ, т.-е. въ произведеніи должно получиться столько единицъ, сколько было сотенъ. Если же отъ умноженія 5-ти ед. на искомую цыфру частнаго получается 40 ед., то для опредѣленія этой цыфры слѣдуетъ 40 раздѣлить на 5; получимъ въ частномъ 8. Цыфра 8 найдена нами въ предположеніи, что всѣ 40 сот. дѣлимаго произошли отъ умноженія 5 сот. дѣлителя на частное; а на самомъ дѣлѣ часть 40-ка сотенъ могла произойти отъ умноженія остальныхъ разрядовъ дѣлителя на частное; тогда отъ умноженія 5 сот. на частное должно получиться меньше 40 сот., и, слѣд., цыфра 8 будетъ высока. Чтобы узнать, можно ли въ частное взять цыфру 8 или слѣдуетъ ее понизить, надо дѣлителя 578 умножить на 8 и полученное произведеніе сравнить съ дѣлимымъ. Отъ умноженія 578 на 8 получается произведеніе 4624, которое больше дѣлимаго 4046; слѣд. цыфра 8 высока. Беремъ въ частное цыфру 7 и подвергаемъ ее такой же повѣркѣ. Такъ какъ отъ умноженія 578 на 7 получается какъ разъ дѣлимое 4046, то въ частномъ будетъ 7 и дѣленіе совершится безъ остатка.

При дѣленіи 9 389 на 2 457 такъ же, какъ и въ предыщемъ случаѣ, разсудимъ, что отъ умноженія 2 тыс. дѣлителя на цыфру частнаго получится самое большее 9 тысячъ.

Примемъ, что всѣ 9 тысячъ дѣлимаго произошли отъ умноженія 2 тыс. дѣлителя на искомую цыфру частнаго и что, слѣд., отъ умноженія 2 ед. на эту цыфру получается 9 ед.; тогда для опредѣленія цыфры частнаго

надо 9 раздѣлить на 2; получимъ 4. Но эта цыфра высока, потому что отъ умноженія дѣлителя 2 457 на 4 получается число 9 828, которое больше дѣлимаго 9 389. Взявъ въ частное цыфру 3 и умноживъ на нее дѣлителя 2 457, получимъ въ произведеніи число 7 371, которое меньше дѣлимаго на 9 389 — 7 371 = 2 018. Отсюда заключаемъ, что въ частномъ будетъ 3 и въ остаткѣ 2 018.

Изъ этихъ примѣровъ видимъ, что когда въ дѣлимомъ столько же цыфръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ, то для опредѣленія однозначнаго частнаго, надо высшую цыфру дѣлимаго раздѣлить на высшую цыфру дѣлителя; когда же въ дѣлимомъ одной цыфрой больше, чѣмъ въ дѣлителѣ, то надо раздѣлить на высшую

цыфру дѣлителя число, обозначаемое двумя высшими цыфрами дѣлимаго. Опредѣленную такъ цыфру частнаго надо повѣрить, умноживъ на нее дѣлителя и сравнивъ произведеніе съ дѣлимымъ. Если произведеніе равно или меньше дѣлимаго, то найденная цыфра вѣрна; если произведеніе больше дѣлимаго, то найденная цыфра высока и въ частное надо брать послѣдовательно низшія цыфры и ихъ подвергать такой же повѣркѣ.

124. Чтобы судить, не высока ли найденная цыфра частнаго, во многихъ случаяхъ достаточно умножить на нее только единицы двухъ высшихъ разрядовъ дѣлителя и сравнить произведеніе съ соотвѣтствующими разрядами дѣлимаго.

Въ слѣдующихъ примѣрахъ мелкимъ шрифтомъ напечатано опредѣленіе цыфры частнаго и повѣрочныя неполныя умноженія. То и другое слѣдуетъ производить устно.

Въ первомъ примѣрѣ, раздѣливъ 8 на 2, найдемъ для частнаго цыфру 4, но умноживъ на нее 2 сотни и 4 десятка дѣлителя, получимъ 96 десятковъ—больше, чѣмъ ихъ въ дѣлимомъ, и отсюда заключимъ, что цыфра 4 высока. Подвергнувъ такой же провѣркѣ слѣдующую низшую цыфру 3, найдемъ въ произведеніи 72 десятка—меньше, чѣмъ ихъ въ дѣлимомъ, и отсюда заключимъ, что цыфра 3 можетъ быть пригодна. Для окончательной повѣрки слѣдуетъ уже всего дѣлителя 244 умножить на 3; получимъ въ произведеніи 732 и въ остаткѣ 112. Въ третьемъ примѣрѣ, раздѣливъ 12 на 1, найдемъ въ частномъ 12; но такъ какъ частное должно быть однозначное, то слѣдуетъ испробовать самое большое однозначное число 9, которое оказывается по предварительной повѣркѣ велико, потому что отъ умноженія на него тысячъ и сотенъ дѣлителя получается 162 сотни, а въ дѣлимомъ только 129 сотенъ. Такъ же найдемъ, что и слѣдующая

цыфра 8 высока. Взявъ въ частное 7, найдемъ, что эта цыфра пригодна и что дѣленіе совершается безъ остатка.

Замѣтимъ, что какъ въ третьемъ, такъ и въ четвертомъ примѣрахъ для опредѣленія цыфры частнаго лучше было бы повысить на единицу высшую цыфру дѣлителя, т.-е. дѣлить 12 на 2 и 5 на 2; тогда для частнаго въ первомъ случаѣ нашли бы цыфру 6, а во второмъ 2, болѣе близкія къ истиннымъ частнымъ, чѣмъ цыфры 9 и 5. Къ повышенію цыфры дѣлителя на 1-цу выгодно прибѣгать только въ тѣхъ случаяхъ, когда за ней слѣдуетъ цыфра 5 или выше 5-ти. Опредѣленная такимъ путемъ цыфра частнаго будетъ или пригодна, или ее придется повысить, чтобы получить истинное частное.

125. Многозначное частное. Раздѣлимъ 892 242 на 3 627, т.-е. узнаемъ, на какое число слѣдуетъ умножить дѣлителя 3 627, чтобы въ произведеніи получить дѣлимое 892 242. Хотя въ дѣлимомъ и заключаются сотни тысячъ, десятки тысячъ и тысячи, но въ частномъ ни одного изъ этихъ разрядовъ не будетъ, потому что отъ умноженіи дѣлителя только на одну сотню тысячъ получается 362 700 000, а въ дѣлимомъ милліоновъ совсѣмъ нѣтъ; отъ умноженія дѣлители только на 1 дес. тысячъ получается 3 627 дес. тысячъ, а въ дѣлимомъ ихъ гораздо меньше, именно 89 дес. тысячъ; отъ умноженія дѣлителя только на одну тысячу получается 3 627 тысячъ, въ дѣлимомъ же всего 892 тысячи. Сотни въ частномъ получатся, потому что отъ умноженія дѣлителя на 1 сотню получится 3 627 сотенъ, а въ дѣлимомъ ихъ гораздо больше, именно 8 922 сотни.

Чтобы узнать, сколько сотенъ будетъ въ частномъ, примемъ, что отъ умноженія дѣлителя 3 627 на сотни частнаго произошли всѣ 8 922 сотни дѣлимаго, т.-е, 892 200; тогда придется считать, что отъ умноженія дѣлителя на цыфру сотенъ частнаго получается 8 922. Дѣйствстельно, умножая дѣлителя вмѣсто сотенъ частнаго на ихъ цыфру, мы уменьшаемъ этого множителя въ 100 разъ, отчего и произведеніе 8 922 сотни уменьшается тоже во 100 разъ, т.-е. въ произведеніи получается столько единицъ, сколько было сотенъ. Если же отъ умноженія дѣлителя на цыфру сотенъ частнаго должно получиться 8 922, то чтобы опредѣтить эту цыфру, надо 8 922 раздѣлить на 3 627, а для этого по предыдущему слѣдуетъ высшую цыфру дѣлимаго 8 раздѣлить на высшую

цыфру дѣлителя 3. Въ частномъ получимъ 2 и эта цыфра окажется пригодной, потому что отъ умноженія 36 сот. на 2 получается 72 сотни, а въ дѣлимомъ 8 922 ихъ гораздо больше, именно 89 сотенъ. Итакъ, въ частномъ будетъ 2 сотни и отъ умноженія на нихъ дѣлителя 3 627 получимъ 3 627 Х2= 7 254 сотни. Цыфру 2 пишемъ въ частное, а 7 254 подписываемъ подъ первымъ неполнымъ дѣлимымъ 8 922 и вычитаемъ изъ него; въ остаткѣ получаемъ 1 668 сотенъ. Эти 1 668 сотенъ, а равно 4 дес. и 2 единицы дѣлимаго, произошли отъ умноженія дѣлителя на десятки и единицы частнаго.

Такъ какъ отъ умноженія дѣлителя на десятки частнаго не можетъ получиться единицъ, то произведеніе дѣлителя на десятки частнаго должно заключаться въ оставшихся 1 668 сотняхъ и въ 4 десяткахъ полнаго дѣлимаго, т.-е. въ 16 684 десяткахъ, которые получимъ, снеся къ остатку 1 668 цыфру десятковъ 4 изъ полнаго дѣлимаго. Чтобы найти, сколько десятковъ будетъ въ частномъ, примемъ, что всѣ 16 684 дес. произошли отъ умноженія дѣлителя на десятки частнаго; тогда придется принять, что отъ умноженія дѣлителя на цыфру десятковъ получается 16 684 ед. Слѣд., чтобы найти эту цыфру, надо 16 684 раздѣлить на дѣлителя 3 627, а для этого слѣдуетъ число 16, обозначенное двумя высшими цыфрами дѣлимаго 16 684, раздѣлить на высшую цыфру 3 дѣлителя. Въ частномъ получимъ 5, но эта цыфра высока, потому что отъ умноженія 36 сот. дѣлителя на 5 получается 180 сотенъ, а въ дѣлимомъ 16 684 только 166 сотенъ. Взявши въ частное 4, найдемъ, что эта цыфра пригодна, потому что отъ умноженія 36 сот. дѣлителя на 4 получается 144 сотни, а въ нашемъ дѣлимомъ ихъ гораздо больше, именно 166 сотенъ. Итакъ, въ частномъ будетъ 4 дес. и отъ умноженія на нихъ дѣлителя получимъ 3 627 X 4 = 14 508 десятковъ. Цыфру десятковъ 4 пишемъ въ частное вправо отъ цыфры сотенъ 2, а 14 508 подписываемъ подъ вторымъ неполнымъ дѣлимымъ 16 684 и вычитаемъ изъ него; въ остаткѣ получаемъ 2 176 десятковъ.

Такъ какъ все, что произошло отъ умноженія дѣлителя на сотни и десятки частнаго, мы вычли изъ полнаго дѣлимаго, то оставшіеся 2176 дес. и заключающіяся въ дѣлимомъ

2 единицы, т.-е. число 21 762, которое получимъ, снеся къ остатку 2 176 цыфру единицъ 2 изъ полнаго дѣлимаго, произошло отъ умноженія дѣлителя 3 627 на единицы частнаго. Поэтому для опредѣленія единицъ частнаго надо 21 762 раздѣлить на 3 627. Раздѣливъ для этого 21 на 3, получимъ 7, но эта цыфра высока, потому что отъ умноженія 36 сот. дѣлителя на эту цыфру получается 252 сотни, а въ нашемъ дѣлимомъ только 217 сотенъ. Взявши въ частное 6, найдемъ, что эта цыфра можетъ оказаться пригодной, потому что отъ умноженія на нее 36 сот. дѣлителя получается 216 сот., а въ дѣлимомъ ихъ 217. Чтобы окончательно судить, можно ли для единицъ взять цыфру 6, умножаемъ на нее всего дѣлителя и, получивъ въ произведеніи какъ разъ дѣлимое 21 762, убѣждаемся, что въ частномъ будетъ 6 единицъ и что отъ .умноженія на нихъ дѣлителя происходятъ всѣ оставшіяся отъ полнаго дѣлимаго 21 762 ед. Цыфру единицъ 6 пишемъ въ частное вправо отъ цыфры десятковъ 4, а 21 762 подписываемъ подъ послѣднимъ неполнымъ дѣлимымъ 21 762 и вычитаемъ изъ него; въ остаткѣ получаемъ нуль.

Всего въ частномъ получимъ 246, при чемъ отъ умноженія дѣлителя 3627 на 2 сотни частнаго произошли 7 254 сотни, отъ умноженія на 4 дес. произошли 14 508 дес. и отъ умноженія на 6 ед. произошли 21 762 ед.; поэтому отъ умноженія дѣлителя 3 627 на все частное получится 725 400 + 145 080 + 21 762, т.-е. дѣлимое 892 242.

Неполныя дѣлимыя здѣсь были 8 922 сотни, 16 684 дес. и 21 762 ед.

126. Раздѣлимъ еще 2 950 750 на 725. Въ частномъ не будетъ ни милліоновъ, ни сотенъ тысячъ, ни десятковъ тысячъ, потому что единицъ каждаго изъ этихъ разрядовъ въ дѣлимомъ меньше, чѣмъ простыхъ единицъ въ дѣлителѣ, а будутъ тысячи и низшіе разряды, потому что тысячъ въ дѣлимомъ больше, чѣмъ простыхъ единицъ въ дѣлителѣ.

Чтобы-узнать, сколько тысячъ будетъ въ частномъ, примемъ, что всѣ 2 950 тысячъ дѣлимаго, т.-е. 2 950 000 произошли отъ умноженія дѣлителя 725 на тысячи частнаго; тогда отъ умноженія дѣлителя на цыфру тысячъ должно произойти 2 950 единицъ и для опредѣленія этой цыфры надо 2 950 раздѣлить на 725. Раздѣливъ здѣсь 29 на 7, получимъ въ частномъ 4 и эта цыфра окажется пригодной, потому что отъ умноженія на нее всего дѣлителя получается число 2 900, которое меньше

дѣлимаго 2 950. Цыфру тысячъ 4 пишемъ въ частное, а 2 900 подписываемъ подъ неполнымъ дѣлимымъ 2 950 и вычитаемъ изъ него; въ остаткѣ получимъ 50 тысячъ. Отъ дѣленія 50 тысячъ въ частномъ тысячъ не получимъ, потому что для этого надо въ дѣлимомъ имѣть по крайней мѣрѣ 725 тысячъ. Чтобы раздѣлить 50 тысячъ, замѣнимъ ихъ 500 сотенъ и раздѣлимъ ихъ на 725 вмѣстѣ съ 7-ю сотнями дѣлимаго, для чего цыфру сотенъ 7 изъ полнаго дѣлимаго снесемъ къ остатку 50; получимъ 507 сотенъ. Отъ дѣленія 507 сотенъ на 725 въ частномъ сотенъ не получится, потому что для этого въ дѣлимомъ должно быть не менѣе 725 сотенъ. Поэтому въ частномъ на мѣстѣ сотенъ вправо отъ цыфры тысячъ ставимъ нуль, 507 сотенъ замѣнимъ 5 070 десятками и раздѣлимъ на 725 вмѣстѣ съ 5-ю дес. полнаго дѣлимаго, для чего цыфру дес. 5 изъ этого дѣлимаго сносимъ къ остатку 507; получимъ 5 075 дес. Чтобы узнать, сколько десятковъ будетъ въ частномъ, примемъ, что всѣ 5 075 дес. произошли отъ умноженія дѣлителя 725 на десятки частнаго; тогда отъ умноженія 725 на цыфру десятковъ должно получиться 5 075 ед. и для опредѣленія этой цыфры надо 5 075 раздѣлить на 725. Для этого дѣлимъ 50 на 7; въ частномъ получимъ 7 и эта цыфра окажется пригодной; раздѣлимъ же всего 725\7 = 5 075 дес. Цыфру десятковъ 7 пишемъ въ частное вправо отъ цыфры сотенъ 0, а 5 075 подписываемъ подъ неполнымъ дѣлимымъ 5 075 и вычитаемъ изъ него; въ остаткѣ получимъ нуль. Такимъ образомъ въ данномъ случаѣ всѣ 5 075 дес., согласно нашему предположенію, произошли отъ умноженія дѣлителя на десятки частнаго. Такъ какъ въ полномъ дѣлимомъ единицъ нѣтъ, а десятковъ у насъ не осталось, то и въ частномъ единицъ не будетъ и на ихъ мѣстѣ, вправо отъ цыфры десятковъ 7, надо поставить нуль. Всего въ частномъ будетъ 4 070, при чемъ отъ умноженія дѣлителя на 4 тысячи происходятъ 2 900 тысячъ, а отъ умноженія на 7 десятковъ происходятъ 5 075 дес.; поэтому отъ умноженія дѣлителя 725 на частное 4 070 получится 2 900 000 + 50 750, т.-е. дѣлимое 2 950 750.

Неполныя дѣлимыя здѣсь были 2 950 тысячъ, 507 сотенъ, 5 075 дес. и 0 единицъ. Изъ нихъ во второмъ (507 сот.) сотенъ, а въ послѣднемъ (0 ед.) единицъ было меньше, чѣмъ

простыхъ единицъ въ дѣлителѣ; поэтому въ частномъ на мѣстѣ сотенъ и на мѣстѣ единицъ пришлось поставить нули.

127. Изъ этихъ двухъ примѣровъ видимъ, что дѣленіе на многозначнаго дѣлителя въ случаѣ многозначнаго частнаго производится точно такъ же, какъ и дѣленіе на однозначнаго дѣлителя, съ тою только разницей, что для перваго неполнаго дѣлимаго надо отдѣлять въ полномъ дѣлимомъ не одну или двѣ цыфры слѣва, а столько цыфръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ, если число, обозначенное этимя цыфрами превышаетъ дѣлителя, и одной цыфрой больше, чѣмъ въ дѣлителѣ, если число, содержащее столько цыфръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ, меньше дѣлителя. Для опредѣленія каждой цыфры частнаго слѣдуетъ пользоваться пріемомъ, указаннымъ выше для опредѣленія однозначнаго частнаго при многозначномъ дѣлителѣ (§ 122, стр. 71).

Для сокращенія записей произведенія дѣлителя на различныя цыфры частнаго можно не писать, а по мѣрѣ полученія цыфръ этихъ произведеній вычитать ихъ изъ соотвѣтствующихъ цыфръ неполныхъ дѣлимыхъ и писать только одни остатки. Напр., при дѣленіи 2 610 645 на 647 отдѣливъ для перваго неполнаго дѣлимаго число 2 610 и найдя цыфру тысячъ 4, умножаемъ на нее дѣлителя и вычитаемъ въ то же время произведеніе изъ 2 610 слѣдующимъ образомъ: 4-жды 7 = 28, 8 изъ 10-ти даетъ 2, что и пишемъ въ остаткѣ подъ нулемъ, а 2 дес. оставляемъ въ умѣ; 4-жды 4 дес. = 16 дес., да 2 дес., удержанные въ умѣ, = 18 дес.; 8 дес. вычитаемъ изъ 10-ти дес., получимъ 2 дес., которые пишемъ въ остаткѣ подъ 1-цей, а 1 сотню держимъ въ умѣ; 4-жды 6 сот.=24 сот., да 1 сот., удержанная въ умѣ, = 25 сот., ихъ вычитаемъ изъ 25 сот., получаемъ 0; всего въ остаткѣ получимъ 22 тысячи. Къ остатку сносимъ цыфру сотенъ 6, получаемъ второе неполное дѣлимое 226 сот., но оно даетъ въ частномъ цыфру 0. Поэтому къ остатку 226 сносимъ цыфру десятковъ 4 и получаемъ третье неполное дѣлимое 2 264, которое даетъ въ частномъ цыфру десятковъ 3. Умножаемъ на нее дѣлителя и вычитаемъ произведеніе изъ 2 264: 3-жды 7 ед. =21 ед., 1 ед. вычитаемъ изъ 4 и остатокъ 3 пишемъ подъ 4, а 2 дес.

держимъ въ умѣ; 3-жды 4 дес. = 12 дес., да 2 дес., удержанные въ умѣ, = 14 дес.; 4 дес. вычитаемъ изъ 6 дес., остатокъ 2 дес. пишемъ подъ 6-ю дес., а 1 сотню держимъ въ умѣ; 3-жды 6 сот. = 18 сот., да 1 сотня въ умѣ=19 сот.; ихъ вычитаемъ изъ 22 сот. и остатокъ 3 сотни пишемъ подъ 2-мя сотнями; всего въ остаткѣ 323 дес. Къ этому остатку сносимъ цыфру единицъ 5 и получаемъ послѣднее неполное дѣлимое 3 235, которое даетъ намъ цыфру единицъ 5. Умножаемъ на нее дѣлителя и вычитаемъ послѣдовательно цыфры этого произведенія изъ послѣдняго неполнаго дѣлимаго, получаемъ въ остаткѣ нуль. Въ частномъ получимъ 4 035.

128. Такъ же выполнены слѣдующія дѣленія:

Въ первомъ дѣленіи отъ второго неполнаго дѣлимаго 432 сот., давшаго въ частномъ цыфру сотенъ 8, ничего не осталось, а такъ какъ въ полномъ дѣлимомъ нѣтъ ни десятковъ, ни единицъ, то и въ частномъ этихъ разрядовъ не получилось и на ихъ мѣстахъ поставлены нули. Во второмъ дѣленіи дѣлимое раздѣлено сперва на 100, а затѣмъ полученное частное 168 504 раздѣлено на 56, потому что дѣлитель 100 меньше даннаго дѣлителя 5 600 въ 56 разъ, а потому и частное 168 504 больше искомаго частнаго въ 56 разъ.

Третье дѣленіе отличается отъ второго тѣмъ, что при дѣленіи дѣлимаго на 100 получился остатокъ 25, а при дѣленіи частнаго 168 507 на 56 получился остатокъ 3. Такъ какъ послѣдній остатокъ при дѣленіи 16 850 725 на 5 600 принадлежитъ къ разряду сотенъ, то для составленія полнаго остатка надо къ 3 сот. прибавить остатокъ 25, для чего эти 25 снесены къ остатку 3 и получено въ остаткѣ 325. Отсюда видимъ, что если дѣлитель оканчивается нулями, то эти нули можно отбросить, отбросивъ въ то же время въ дѣлимомъ справа столько цыфръ, сколько нулей въ дѣлителѣ, и раздѣлить полученные такимъ образомъ числа. Если отъ этого дѣленія останется остатокъ, то къ нему слѣдуетъ снести откинутыя въ дѣлимомъ цыфры; если же остатка не получится, то его составятъ откинутыя въ дѣлимомъ цыфры.

129. Дѣленіе, въ противоположность первымъ тремъ дѣйствіямъ, начинаютъ съ высшихъ разрядовъ. Если начать дѣленіе съ простыхъ единицъ, то нѣкоторые разряды частнаго опредѣляются по частямъ и эти части приходится складывать; все это значительно замедляетъ вычисленіе. Для примѣра раздѣлимъ 798 на 6, начиная съ единицъ. Отъ дѣленія 8 единицъ на 6, получимъ въ частномъ 1 ед. и въ остаткѣ 2 ед. Отъ ленія 9 дес., получимъ въ частномъ 1 дес. и и въ остаткѣ 3 дес., которые съ оставшимися 2 единицами составятъ 32. Раздѣливши 32, получимъ въ частномъ опять единицы, именно 5 ед., и въ остаткѣ 2 единицы. Раздѣливши 7 сот., получимъ въ частномъ 1 сотню и въ остаткѣ 1 сотню. Замѣнивъ ее 10 дес. и раздѣливши на 6, получимъ въ частномъ 1 дес. и въ остаткѣ 4 дес., которые вмѣстѣ съ прежде оставшимися 2 единицами составятъ 42, отъ дѣленія которыхъ получимъ послѣднюю часть частнаго — 7 единицъ. Для опредѣленія полнаго частнаго слѣдуетъ сложить всѣ полученныя частныя 1 ед., 1 дес., 5 ед., 1 сот., 1 дес. и 7 ед., что дастъ 133.

130. Число цыфръ въ произведеніи и частномъ. Пусть дано умножить 5 674 на 425; множитель меньше 1000 и больше 100; слѣд., произведеніе 5 674 на 425 меньше 5 674Х1000 и больше 5 674Х100. Въ произведеніе же 5 674X1000, кромѣ 4-хъ цыфръ множимаго, войдутъ три нуля множителя 1000, т.-е. въ немъ столько цыфръ, сколько въ данныхъ множимомъ и множителѣ; въ произведеніе же 5 674Х100, кромѣ 4-хъ цыфръ множимаго, войдутъ 2 нуля множителя, т.-ѳ. въ немъ одной цыфрой меньше. Слѣд. въ искомомъ произведеніи 5 674X^25 или столько цыфръ, сколько ихъ во множимомъ и во множителѣ вмѣстѣ, или одной цыфрой меньше, т.-е. 7 или 6 цыфръ. Выполнивъ умноженіе 5 674 на 425, увидимъ, что въ произведеніи получится 7 цыфръ.

Въ частномъ всегда столько цыфръ, сколько неполныхъ дѣлимыхъ, т.-е. число цыфръ частнаго одной больше, чѣмъ число цыфръ, остающихся въ полномъ дѣлимомъ послѣ выдѣленія изъ него перваго неполнаго дѣлимаго. Такъ, при дѣленіи восьмизначнаго числа на пятизначное въ частномъ будетъ 4 цыфры, если для перваго неполнаго дѣлимаго придется отдѣлить пять цыфръ, и 3 цыфры, если придется отдѣлить 6 цыфръ.

131. Вопросы. 1) Какъ умножаютъ многозначное число на однозначное?—2) какъ располагаютъ числа при умноженіи?—3) Почему умноженіе начинаютъ съ простыхъ единицъ?—4) Когда въ частномъ получается многозначное число?—5) Съ единицъ какого разряда начинаютъ дѣленіе мно-

гозначнаго числа на однозначное?—6) Что даетъ въ частномъ каждое неполное дѣлимое?—7) Сколько цыфръ надо брать для перваго неполнаго дѣлимаго при дѣленіи на однозначнаго дѣлителя?—8) Какъ образуются второе, третье и т. д. неполныя дѣлимыя?—9) Когда въ частномъ на мѣстѣ единицъ какого-либо разряда надо ставить нуль?—10) На чемъ основано умноженіе и дѣленіе на 10, 100, 1000 и т. д.?—11) Во что обращаются единицы, десятки, сотни и т. д. множимаго при умноженіи на 10, 100, 1000 и т. д.?— 12) Какъ умножаютъ письменно на 10, 100,1000 и т. д.?—13) Во что обращаются единицы различныхъ разрядовъ дѣлимаго при дѣленіи на 10, 100, 1000 и т. д.?—14) Какъ раздѣлить число письменно на 10, 100, 1000?— 15) Какъ умножить число на 30, на 400, на 9000?—16) Какъ умножаютъ на числа, обозначаемыя значащей цыфрой съ нулями?—17) Какъ раздѣлить на 40, на 500, на 7000?—18) Какъ дѣлятъ на числа, обозначаемыя значащей цыфрой съ нулями?—19) Какъ умножаютъ многозначное число на многозначное?—20) Какъ располагаютъ множимое, множителя и частныя произведенія при умноженіи на многозначное число?—21) Какъ перемножаютъ числа, оканчивающіяся нулями?—22) Когда при дѣленіи на многозначнаго дѣлителя получается однозначное частное?—23) Какъ найти однозначное частное при многозначномъ дѣлителѣ?—24) Какъ узнать, не высока ли найденная цыфра частнаго?—25) Какой пріемъ можно установить для предварительной повѣрки цыфры частнаго?—26) Какъ узнать, какой высшій разрядъ будѳть въ частномъ при дѣленіи на многозначнаго дѣлителя?—27) Когда для перваго неполнаго дѣлимаго слѣдуетъ отдѣлять въ полномъ дѣлимомъ столько же цыфръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ, и когда одной цыфрой больше?—28) Какъ опредѣляютъ цыфры частнаго при многозначномъ дѣлителѣ?—29) Какъ образуются второе, третье и т. д. неполныя дѣлимыя?—30) Какъ производятъ дѣленіе, когда дѣлитель оканчивается нулями?—31) Почему дѣленіе начинаютъ съ единицъ высшаго разряда въ дѣлимомъ?—32) Сколько цыфръ можетъ получиться въ произведеніи?—33) Сколько цыфръ можетъ получиться въ частномъ?

VII.

Преобразованія и дѣйствія съ составными именованными числами.

132. Выше (§§ 3 и 21) мы уже говорили объ измѣреніи величинъ и о составныхъ именованныхъ числахъ. Таблица мѣръ помѣщена ниже въ приложеніи, здѣсь сдѣлаемъ нѣсколько замѣчаній объ измѣреніи нѣкоторыхъ величинъ.

133. Мѣры поверхностей и площадей. Для измѣренія поверхностей за единицы приняты площади квадратовъ, стороны которыхъ равны линейнымъ единицамъ. Квадратомъ наз. четыреугольникъ, всѣ стороны котораго равны между собою и углы — прямые. Каждая сторона перваго квадрата, представленнаго на чертежѣ, равна вершку, онъ наз. квадратнымъ вершкомъ; каждая сторона второго равна дюйму, онъ наз. квадратнымъ дюймомъ; каждая сторона третьяго квадрата равна одному центиметру, онъ наз. квадратнымъ центиметромъ. Вмѣсто слова квадратный часто ставятъ знакъ |~|.

Чтобы квадратнымъ аршиномъ измѣрить площадь прямоугольнаго четыреугольника, достаточно измѣрить его длину и ширину линейнымъ аршиномъ и полученныя числа перемножить; произведеніе покажетъ, сколько квадратныхъ аршинъ укладывается въ площади четыреугольника. Дѣйствительно, если въ длинѣ четыреугольника 7 аршинъ, то по длинѣ въ немъ можно уложить 7 квадр, аршинъ, и эти 7 квадр, аршинъ составятъ рядъ шириною въ 1 аршинъ; если въ ширинѣ четыреугольника 3 аршина, то такихъ рядовъ можно въ немъ уложить 3, и слѣд. четыреугольникъ будетъ заключать въ себѣ 7\3=:21 квадр, аршин. Если бы длина четыреугольника тоже была равна 3 аршинамъ, то четыреугольникъ представилъ бы квадратную сажень. Чтобы найти, сколько въ ней квадратныхъ аршинъ, слѣдуетъ, по предыдущему, 3 умножить на 3, что дастъ 9 квадр, аршинъ. Такъ же найдемъ,

что квадр, аршинъ заключаетъ въ себѣ 16X16=256 квадр, вершковъ, что квадр, дециметръ заключаетъ въ себѣ 10X10=100 кв. центиметровъ. Вообще, чтобы найти единичное отношеніе между двумя квадр, мѣрами, надо единичное отношеніе между двумя одноименными линейными мѣрами помножить само на себя, т.-е. вызвысить въ квадратъ.

Для измѣренія участковъ земли, кромѣ квадр, мѣръ, употребляется особая мѣра—десятина. Десятина есть прямоугольникъ, длина котораго равна 80 или 60 саж., а ширина соотвѣтственно 30 или 40 саж., и который заключаетъ въ себѣ

134. Мѣры объемовъ. Тѣло ограниченное сверху, снизу и со всѣхъ четырехъ сторонъ 6-ю равными между собою квадратами, наз. кубомъ. У каждаго куба длина, ширина и вышина между собою равны. Кубъ, который и въ длину, и въ ширину, и въ вышину имѣетъ по одному вершку, наз. кубическимъ вершкомъ; кубъ, длина, ширина и вышина котораго заключаютъ въ себѣ по одному аршину, наз. кубическимъ аршиномъ; кубъ, котораго ребро равно одному центиметру, наз. кубическимъ центиметромъ. Объемы такихъ кубовъ принимаются за мѣры объемовъ и наз. кубическими мѣрами. Чтобы измѣрить кубическимъ аршиномъ объемъ тѣла, ограниченнаго 6-ю прямоугольными четыреугольниками, достаточно измѣрить линейнымъ аршиномъ его длину, ширину и вышину и полученныя отъ этихъ измѣреній три числа перемножить; произведеніе покажетъ, сколько кубическихъ аршинъ содержится въ измѣряемомъ тѣлѣ. Дѣйствительно, если въ длинѣ тѣла

окажется 6 аршинъ и въ ширинѣ 3 аршина, то нижній прямоугольникъ его будетъ содержать 6X3=18 квадр, аршинъ; слѣд. на нижній прямоугольникъ можно поставить 18 куб.

аршинъ, такъ какъ нижній квадратъ каждаго куб. аршина представляетъ собою квадр, аршинъ. Всѣ эти 18 куб. аршинъ составятъ вмѣстѣ слой, который займетъ по вышинѣ измѣряемаго тѣла только 1 аршинъ; поэтому, если высота измѣряемаго тѣла содержитъ 4 аршина, то такихъ слоевъ въ немъ помѣстится 4; слѣд. всего въ измѣряемомъ тѣлѣ будетъ содержаться 18X4, или 6X3X4 = 72 куб. аршинъ. Если бы длина, ширина и высота въ измѣряемомъ тѣлѣ были одинаковы между собою и каждая содержала бы по 3 аршина, то тѣло, которое тогда представило бы куб. сажень, содержало бы 3X3X3 = 27 куб. аршинъ. Такъ же найдемъ, что куб. аршинъ содержитъ въ себѣ 16X16X16=4 096 куб. вершк.; что куб. дециметръ содержитъ въ себѣ 10 . 10 . 10 = 1 000 куб. центиметровъ. Вообще, чтобы найти единичное отношеніе между двумя кубическими мѣрами, надо единичное отношеніе между одноименными линейными мѣрами взять множителемъ три раза, т.-е. возвысить въ кубъ.

135 Мѣры времени. Основныхъ единицъ времени двѣ: сутки и годъ. Сутками наз. время, протекающее отъ одного солнечнаго полдня до другого, слѣдующаго за нимъ. Полднемъ наз. тотъ моментъ дня, въ который солнце достигаетъ наибольшей высоты. Въ теченіе сутокъ земля совершаетъ немного болѣе полнаго оборота около своей оси, отъ чего зависитъ смѣна дня и ночи. Годомъ наз. время, протекающее отъ одного весенняго равноденствія до другого, слѣдующаго за нимъ. Весеннимъ равноденствіемъ наз. моментъ, въ который солнце весною изъ южной половины неба переходитъ въ сѣверную. Въ теченіе года земля совершаетъ почти полный оборотъ около солнца, отъ чего зависитъ смѣна временъ года (весна, лѣта, осень, зима).

Сутки дѣлятъ на 24 часа, каждый часъ на 60 минутъ, каждую минуту на 60 секундъ. Годъ заключаетъ въ себѣ приблизительно 365 сутокъ 5 часовъ 48 минутъ и 48 секундъ, почти 365 сутокъ 6 часовъ. Такой счетъ времени былъ бы крайне неудобенъ въ общежитіи; поэтому въ году считаютъ цѣлое число сутокъ, и такой годъ наз. гражданскимъ. Принимая въ году ровно 365 сутокъ, мы дѣлаемъ въ счетѣ времени ошибку, которая въ теченіе 4 лѣтъ достигаетъ почти цѣлыхъ сутокъ. Чтобы устранить эту ошибку, Юлій Цезарь, по совѣту астронома Созигена, предписалъ Римлянамъ считать въ теченіе трехъ лѣтъ годъ въ 365 сутокъ и прибавлять къ послѣднему году каждаго четырехлѣтія по одному лишнему дню, т.-е. считать этотъ годъ въ 366 сутокъ. Такое счисленіе времени называется Юліанскимъ; оно принято Православной Церковью на Никейскомъ соборѣ въ 325 году по Рождествѣ Христовомъ. Три года, изъ которыхъ каждый содержитъ 365 сутокъ, называются простыми; а слѣдующій за ними четвертый въ 366 дней—високоснымъ. Годъ Рождества Христова считается високоснымъ; поэтому високоснымъ послѣ Рождества Христова будетъ каждый годъ, число котораго дѣлится на 4 безъ остатка. 1907-й годъ простой, ибо 1907 не дѣлится на 4 безъ остатка, а 1908 високосный, ибо 1908 дѣлится на 4 безъ остатка.

Всѣ христіанскіе народы ведутъ счетъ времени отъ Рождества Христова. Часы въ суткахъ считаются по полудни и по полуночи, и слѣд. счетъ часовъ ведется только до 12. За начало сутокъ въ общежитіи принимается 12 часовъ ночи; за начало гражданскаго года принимается полночь съ 31-го декабря на 1-е января.

136. Въ году заключается не 365 сутокъ 6 часовъ, а приблизительно 365 сут. 5 час. 48 мин. 48 сек.; поэтому Юліанскій годъ длиннѣе истиннаго приблизительно на 11 мин. 12 секундъ, и въ 400 лѣтъ происходитъ въ счетѣ времени ошибка, простирающаяся почти до 3 сутокъ 2 ч. 40 минутъ (11 м. 12 сек. X 400 z=3 сут. 2 час. 40 м.). Въ 1582 г., т.-е. черезъ 1257 лѣтъ послѣ Никейскаго собора, погрѣшность въ счетѣ времени мало-по-малу достигла до 9 сутокъ и 18 часовъ, почти до 10 сутокъ. Для устраненія этого отступленія, папа Григорій XIII установилъ для католическихъ народовъ исключить 10 дней изъ 1582 года и считать въ этомъ году 5-е октября 15-мъ. Чтобы впослѣдствіи не было надобности въ подобныхъ поправкахъ, принято за правило не считать високосными тѣ годы, которыми начинается каждое изъ трехъ послѣдовательныхъ столѣтій, начальный же годъ идущаго за ними четвертаго столѣтія считать високоснымъ. Такое счисленіе времени наз. Григоріанскимъ и отличается отъ Юліанскаго

тѣмъ, что въ Юліанскомъ начальный годъ каждаго столѣтія считается високоснымъ, между тѣмъ какъ по Григоріанскому високосными считаются только тѣ начальные годы столѣтій, которые, какъ напр. 1600-й, 2000-й, соотвѣтствуютъ числу столѣтій 16, 20 и т. д., дѣлящемуся на 4. Оттого Юліанское счисленіе отстаетъ отъ Григоріанскаго въ каждыя 400 лѣтъ на 3 дня, и въ XIX столѣтіи отставаніе достигло уже 12 дней; въ XX вѣкѣ, котораго начальный годъ (1900-й) по Григоріанскому счисленію есть простой, а по Юліанскому високосный, отставаніе достигаетъ 13 дней. Впрочемъ, и Григоріанское лѣтосчисленіе нельзя считать совершенно вѣрнымъ, и въ немъ принятая длина года больше истинной.

Юліанское лѣтосчисленіе наз. старымъ а Григоріанское новымъ стилемъ. Въ то время, какъ по старому стилю считается 1-е число какого нибудь мѣсяца, по новому, начиная съ марта 1900-го года, считается уже 14-е число того же мѣсяца; 12-му января стараго стиля соотвѣтствуетъ 25-е января по новому стилю; 25-му августа стараго стиля соотвѣтствуетъ 7-е сентября новаго; 25-му февраля простого года по старому стилю соотвѣтствуетъ 10-е марта по новому стилю, и т. д.

137. Метрическая система мѣръ. Изъ всѣхъ системъ мѣръ, принятыхъ въ другихъ государствахъ, заслуживаетъ особеннаго вниманія по своей простотѣ и распространенію французская метрическая система мѣръ. Эта система выработана во Франціи въ 1699 году особой комиссіей ученыхъ, во главѣ которой стояли Борда, Лапласъ, Лагранжъ, Монжъ и другіе.

За основную линейную единицу въ ней принята одна десятимилліонная часть четверти парижскаго меридіана и названа метромъ (mètre); но такъ какъ во время установленія этой системы въ измѣреніе меридіана вкралась ошибка, то метръ не представляетъ вполнѣ точно длину указанной доли меридіана. На наши мѣры метръ приблизительно равняется 22 съ половиною вершкамъ (въ десятичныхъ доляхъ метръ=1,4061 арш.). Для полученія болѣе мелкихъ мѣръ метръ дѣлится послѣдовательно на 10, 100, 1 000 долей, которыя соотвѣтственно наз. дециметромъ, центиметромъ (иначе сантиметромъ), миллиметромъ. Для полученія болѣе крупныхъ мѣръ метры соединяются по 10, по 100, по 1 000, по 10 000; эти мѣры соотвѣтственно наз. декаметръ (10 метровъ), гектометръ (100 метровъ), километръ (1 000 метровъ), миріаметръ (10 000 метровъ). Для измѣренія большихъ разстояній употребляется преимущественно километръ, который немного меньше нашей версты (километръ=0,9374 версты т.-е. около 469 саж.).

Для измѣренія поверхностей служатъ квадратный метръ, квадратный декаметръ, квадратный миллиметръ и т. д. Изъ нихъ для измѣренія полей употребляется квадратный декаметръ, который иначе наз. аръ, и квадратный гектометръ, или гектаръ (приблизительно 9 десятыхъ нашей десятины).

Для измѣренія объемовъ служатъ кубическій метръ (стеръ), куб. миллиметръ и т. д. Изъ нихъ для измѣренія сыпучихъ и жидкихъ тѣлъ употребляется куб. дециметръ, который наз. литромъ (приблизительно 3 десятыхъ гарнца).

Основной единицей вѣса служитъ граммъ, представляющій вѣсъ одного куб. центиметра чистой воды. На наши мѣры граммъ немного менѣе четверти золотника (въ десятичныхъ доляхъ граммъ равенъ 0,2344 золотника). Болѣе крупныя и болѣе мелкія мѣры получаются изъ грамма такъ же, какъ и изъ метра. Изъ нихъ наиболѣе употребительна килограммъ, или сокращенно кило (приблизительно 21/, фунта, въ десятичныхъ доляхъ килограммъ — = 2,4419 фунта).

Монетною единицей служитъ франкъ. На наши деньги франкъ приблизительно равенъ 37 копейкамъ.

Съ 1899 года у насъ допущено пользованіе метрической системой мѣръ.

188. Преобразованія именованныхъ чиселъ. Чтобы раздробить простое именованное число, надо на это число умножить единичное отношеніе мѣры, въ которой оно выражено, къ мѣрѣ, въ которой его требуется выразить; напр., чтобы 15 десятинъ раздробить въ квадр, сажени, надо 2 400 умножить на 15, потому что въ одной десятинѣ 2 400 квадр, саж., а въ 15 десятинахъ 15 разъ по 2 400 квадр, саженъ; получимъ 36 000 квадр, саженъ. Чтобы раздробить составное именованное число, надо на число, выраженное въ единицахъ высшаго наименованія, умножить единичное отношеніе этой единицы къ слѣдующей за ней по величинѣ и къ произведенію прибавить единицы одного съ нею наименованія, если онѣ есть въ данномъ составномъ именованномъ числѣ; затѣмъ на полученное число умножить единичное отно-

шеніе къ слѣдующей по величинѣ единицѣ и т. д. пока не получимъ единицъ того наименованія, въ которыхъ требуется выразить данное составное именованное число. Вычисленіе располагается слѣдующимъ образомъ:

139. Чтобы превратить именованное число, надо его раздѣлить на единичное отношеніе мѣры, въ которой его желаемъ выразить, къ мѣрѣ, въ которой оно выражено; частное покажетъ, сколько единицъ высшаго наименованія заключается во взятомъ числѣ, а остатокъ— сколько останется еще единицъ даннаго наименованія, не составляющихъ единицы высшаго наименованія; напр., чтобы 2 345 часовъ превратить въ сутки, надо 2 345 раздѣлить на 24, потому что въ въ суткахъ 24 часа, и изъ 2 345 часовъ выйдетъ столько сутокъ, сколько разъ 24 содержится въ 2 345; получимъ 97 сутокъ и останется еще 17 часовъ. Если не указано, въ какихъ именно единицахъ требуется выразить данное именованное число, то превращеніемъ выражаютъ его въ возможно крупныхъ мѣрахъ того же рода. Вычисленіе располагается слѣдующимъ образомъ:

140. Сложеніе. Складывать можно только однородныя именованныя числа. При сложеніи составныхъ именованныхъ чиселъ слагаемыя пишутъ другъ подъ другомъ такъ, чтобы мѣры одного наименованія во всѣхъ слагаемыхъ находились въ одномъ столбцѣ и чтобы одинаковые разряды въ числахъ каждаго наименованія стояли другъ подъ другомъ. Сложеніе начинаютъ съ мѣръ низшаго наименованія и сумму мѣръ каждаго наименованія подписываютъ подъ мѣрами того же наименованія въ слагаемыхъ; затѣмъ если возможно, полученную сумму превращаютъ. Такъ выполнены слѣдующія сложенія:

Во второмъ примѣрѣ сумма единицъ каждаго наименованія превращена устно тотчасъ послѣ ея опредѣленія, такъ какъ числа получились сравнительно небольшія.

141. Вычитаніе. Вычитать можно только однородные именованные числа. При вычитаніи составныхъ именованныхъ чиселъ, вычитаемое подписываютъ подъ уменьшаемымъ такъ же, какъ слагаемыя при сложеніи. Разность пишутъ подъ вычитаемымъ и отдѣляютъ отъ него чертой. Вычитаютъ послѣдовательно единицы каждаго

наименованія вычитаемаго, начиная съ низшаго, изъ соотвѣтствующихъ чиселъ уменьшаемаго. Если единицъ какого-либо наименованія въ уменьшаемомъ меньше, чѣмъ въ вычитаемомъ, то занимаютъ единицу непосредственно слѣдующаго высшаго наименованія въ уменьшаемомъ, раздробляютъ ее въ единицы низшаго наименованія и, прибавивъ ихъ къ единицамъ того же наименованія въ уменьшаемомъ, выполняютъ вычитаніе. Если единицъ непосредственно слѣдующаго высшаго наименованія въ уменьшаемомъ нѣтъ, то занимаютъ единицу у слѣдующаго, болѣе высшаго, наименованія, занятую единицу раздробляютъ въ въ единицы непосредственно низшаго наименованія, у нихъ занимаютъ одну единицу и раздробляютъ въ единицы непосредственно низшаго наименованія и т. д., —до тѣхъ поръ, пока не дойдутъ до единицъ того наименованія, которыя надо вычитать; тогда ихъ прибавляютъ къ единицамъ того же наименованія въ уменьшаемомъ и выполняютъ вычитаніе. Такъ же поступаютъ и тогда, когда въ уменьшаемомъ нѣтъ единицъ какого-либо наименованія, которыя находятся въ вычитаемомъ. Такимъ образомъ выполнены слѣдующіе примѣры:

142. Умноженіе. Умножать можно только на отвлеченное число, потому что множитель показываетъ, сколько разъ множимое берется слагаемымъ, и именованнымъ быть не можетъ. При умноженіи составного именованнаго числа на отвлеченное, умножаютъ на него послѣдовательно числа всѣхъ наименованій множимаго, затѣмъ, если возможно, превраща-

ютъ полученное произведеніе. Умноженіе чиселъ каждаго наименованія во множимомъ при однозначномъ множителѣ производится непосредственно тамъ, гдѣ эти числа написаны; при многозначномъ множителѣ эти умноженія удобнѣе производить въ сторонѣ, гдѣ одновременно можно сдѣлать и превращенія получаемыхъ произведеній. Множителей и произведеніе располагаютъ такъ же, какъ при умноженіи отвлеченныхъ чиселъ. Такимъ образомъ выполнены примѣры:

143. Дѣленіе. При дѣленіи именованныхъ чиселъ могутъ быть два случая: 1) дѣленіе именованнаго числа на отвлеченное и 2) дѣленіе именованнаго числа на однородное съ нимъ именованное число.

Раздѣлить именованное число на отвлеченное значитъ опредѣлить часть дѣлимаго; частное получается именованное, однородное съ дѣлимымъ. При дѣленіи составного именованнаго числа на отвлеченное, сперва дѣлятъ на дѣлителя единицы высшаго наименованія въ дѣлимомъ. Если получится остатокъ, то его раздробляютъ въ единицы слѣдующаго низшаго наименованія и прибавивъ къ полученному числу единицы того же наименованія изъ дѣлимаго, если онѣ въ немъ есть, дѣлятъ полученное число на дѣлителя. Если остатка отъ дѣленія единицъ высшаго наименованія не получится, то переходятъ прямо къ дѣленію единицъ слѣдующаго наименованія въ дѣлимомъ. Такъ же посту-

паютъ и съ единицами всѣхъ остальныхъ наименованій въ дѣлимомъ. По этому же правилу дѣлится и простое именнованное число на отвлеченное.

144. Раздѣлить именованное число на однородное съ нимъ именованное значитъ узнать, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ; частное въ этомъ случаѣ получается отвлеченное. Чтобы раздѣлить именованное число на именованное, надо и дѣлимое, и дѣлителя раздробить въ единицы одного наименованія и раздѣлить другъ на друга полученныя числа. Дѣйствіе располагается слѣдующимъ образомъ:

145. При производствѣ дѣйствій надъ числами, выраженными въ метрическихъ мѣрахъ, гораздо удобнѣе данныя числа раздроблять въ единицы низшаго наименованія, производить надъ полученными числами назначенныя дѣйствія и результаты ихъ превращать, потому что раздробленіе и превращеніе именованныхъ чиселъ, выраженныхъ въ метрическихъ мѣрахъ, сводятся къ приписыванію и откидыванію нулей.

Напр., чтобы 5 гектолитр. 7 литр. 8 децилитр.. умножить на 25, раздробляемъ множимое въ децилитры:

Полученное число 5 078 дцл. умножаемъ на 25 и полученное произведеніе превращаемъ:

Чтобы 125 гектар. 75 ар. 4 кв. м. раздѣлить на 24, раздробляемъ дѣлимое въ кв. метры:

Полученное число дѣлимъ на 24 и частное превращаемъ:

146. Особенности при вычисленіяхъ времени. При раздробленіи и превращеніи чиселъ, выражающихъ время, надо не упускать изъ виду, что единичныя отношенія между нѣкоторыми мѣрами времени непостоянны. Такъ, гражданскій годъ содержитъ то 365 сутокъ (простой), то 366 сутокъ (високосный); изъ мѣсяцевъ одни содержатъ по 31 дню, другіе по 30, и, наконецъ, февраль въ простомъ году содержитъ 28 сутокъ, а въ високосномъ 29 сутокъ. Пока раздробленіе и превращеніе касаются мѣръ времени, единичныя отношенія между которыми остаются постоянными, преобразованія эти не заключаютъ въ себѣ никакой особенности. Но если встрѣчается надобность въ превращеніи и раздробленіи мѣръ времени, единичное отношеніе которыхъ непостоянно, то необходимо принимать во вниманіе это непостоянство и сообразно съ нимъ исправлять результаты. Напр., если тебуется превратить 1 500 сутокъ въ годы, то раздѣливъ 1500 на 365 и получивъ въ частномъ 4 и въ остаткѣ 40, мы должны изъ оставшихся 40 сутокъ однѣ сутки откинуть, потому что изъ 4-хъ лѣтъ одинъ непремѣнно високосный, и для его образованія надо взять не 365 сутокъ, а 366. Такимъ образомъ найдемъ, что 1 500 сут. = 4 год. 39 сут.

При превращеніи 2 600 сутокъ въ годы, мы, считая въ каждомъ году по 365 сутокъ, получимъ 7 лѣтъ 45 сутокъ, изъ которыхъ придется отбросить однѣ или двое сутокъ, потому что въ числѣ 7 лѣтъ могутъ встрѣтиться 1 или 2 високосныхъ. Такимъ образомъ найдемъ, что 2 600 сут. = 7 год. 44 сут. или 2 600 сут. = 7 год. 43 сут. Чтобы вполнѣ точно рѣшить вопросъ, надо знать, отъ какого числа, мѣсяца и года слѣдуетъ начать отсчитывать эти 2 600 сутокъ. Если ихъ слѣдуетъ отсчитывать, напр., отъ какого-либо числа января 1888 года, то 2 600 сут. = 7 год. 43 сут.; если же отъ какого-либо числа марта того же года, то 2 600 сут. = 7 год. 44 сут.

Еще болѣе поправокъ приходится дѣлать при превращеніи сутокъ въ мѣсяцы, и для рѣшенія вопроса необходимо знать, отъ какого мѣсяца, числа и года ведется счетъ времени. Такъ, превращая 257 сутокъ въ мѣсяцы, мы считая въ мѣсяцѣ 30 сутокъ, получимъ 8 мѣс. и 17 сут., но этотъ результатъ необходимо исправить сообразно съ тѣмъ, сколько въ числѣ 8-ми мѣсяцевъ встрѣтится мѣсяцевъ въ 31 день и будетъ ли въ ихъ числѣ февраль и какого года—високоснаго или простого. Если счетъ ведется съ 1 января простого года, то къ 17 надо прибавить 2 дня за февраль, въ которомъ только 28 дней, тогда какъ мы взяли для его образованія 30 дней, и отнять 5 дней для января, марта, мая, іюля и августа, въ которыхъ по 31 дню; слѣд. получимъ, что 257 сут. = 8 м. 14 сут. Если счетъ ведется отъ января високоснаго года, то за февраль придется прибавить только однѣ сутки, и мы найдемъ, что 257 сут. = 8 мѣс. 13 сут. Если счетъ ведется отъ 1-го мая, то найдемъ, что 257 сут. =8 мѣс. 12 сут.

147. Подобныя же поправки приходится дѣлать при раздробленіи. Напр., раздробляя 5 лѣтъ въ сутки, слѣдуетъ принять во вниманіе, что въ числѣ этихъ 5-ти лѣтъ могутъ встрѣтиться одинъ или два високосныхъ года; въ первомъ случаѣ найдемъ, что 5 лѣт. =1826 сут., во второмъ 5 лѣт. = 1827 сут.

При раздробленіи 3-хъ мѣсяцевъ въ сутки, надо принять во вниманіе, съ какого числа и какого мѣсяца ведется счетъ времени. Если съ 1-го января простого года, то получимъ 90 сутокъ (первая четверть простого года); если съ 1-го апрѣля, то получимъ 91 сутки (вторая четверть каждаго года); если съ 1-го іюля, то получимъ 92 сут. (третья четверть каждаго года); если съ 1-го октября, то получимъ также 92 сут. (послѣдняя четверть каждаго года); если съ 1-го января високоснаго года, то получимъ 91 сутки (первая четверть високоснаго года). Приводимъ для примѣра двѣ задачи.

1) Сколько полныхъ сутокъ прошло между двумя событіями, если первое совершилось 31 іюля простого года (2-го послѣ високоснаго), а второе черезъ 16 лѣтъ 3 мѣсяца?

Рѣшеніе. Второй, шестой, десятый и четырнадцатый годы послѣ перваго событія были високосные; поэтому, умноживъ 365 на 16, мы должны къ произведенію 5 840 прибавить 4 сутокъ за високосные годы и 92 сутокъ, полученныхъ отъ раздробленія въ сутки 3 мѣсяцевъ (августъ, сентябрь и октябрь); получимъ 5 936 сутокъ,

2) Сколько лѣтъ, мѣсяцевъ и сутокъ прошло между двумя событіями, если первое произошло 31 декабря високоснаго года, а второе черезъ 5000 сутокъ?

Рѣшеніе. Превративъ 5000 сутокъ въ годы, получимъ 13 лѣтъ 255 сутокъ, изъ которыхъ должны откинуть 3 сутокъ для високосныхъ годовъ (4-й, 8-й и 12-й); затѣмъ, превративъ 252 сутокъ въ мѣсяцы, получимъ 8 мѣсяцевъ и 12 сутокъ, къ которымъ надо прибавить 2 сутокъ за февраль и откинуть 5 сутокъ за январь, мартъ, май, іюль и августъ. Такимъ образомъ найдемъ, что между событіями прошло

13 лѣтъ 8 мѣс. 9 сут.

148. При указаніи времени событія называютъ или столѣтіе, или годъ, или день, или часъ дня, въ которые событіе совершилось; напр. говорятъ, что событіе совершилось въ XII вѣкѣ, что событіе произошло въ 1735 году, что событіе совершилось 25 мая 1832 года, что событіе совершилось въ половинѣ 11-го пополудни 29 сентября 1873 года. Такое обозначеніе времени, называемое обыденнымъ, или календарнымъ, не можетъ быть непосредственно введено въ вычисленія (нельзя къ 25-му маю 1832 года прибавить 27 сутокъ, нельзя изъ 1735-го года вычесть 40 лѣтъ). При рѣшеніи задачъ на вычисленіе времени, календарное обозначеніе надо замѣнять ариѳметическимъ обозначеніемъ, указывающимъ, сколько времени протекло отъ начальнаго событія (въ большей части случаевъ отъ Рождества Христова) до даннаго событія. Такъ, приведенныя календарныя обозначенія времени должны быть для вычисленій замѣнены ариѳметическими: отъ Р. Хр. до событія прошло XI полныхъ столѣтій; 1734 полныхъ года; 1831 полныхъ лѣтъ (1832-й годъ еще шелъ), 4 полныхъ мѣсяца (пятый мѣсяцъ, май, еще шелъ), 24 полныхъ сутокъ (двадцать-пятыя сутки шли); 1872 полныхъ года (1873-й годъ еще шелъ), 8 полныхъ мѣсяцевъ (9-й мѣсяцъ, сентябрь, еще шелъ), 28 полныхъ сутокъ (29-я еще шли), 22 часа (12 часовъ до полудня, да 10 часовъ послѣ

полудня) и 30 минутъ. Когда требуется выразить время только въ годахъ, суткахъ и подраздѣленіяхъ сутокъ, то приходится мѣсяцы раздроблять въ сутки. Послѣднія два обозначенія тогда придется замѣнить слѣдующими: 1831 полныхъ лѣтъ, 145 полныхъ сутокъ (въ январѣ 31 сут., въ февралѣ 29 сут., ибо 1832-й годъ—високосный, въ мартѣ 31 сут., въ апрѣлѣ 30 сут., и въ маѣ 24 сут.) и 1872 года 271 сут., 22 ч. 30 мин. Въ послѣднемъ примѣрѣ, считая въ мѣсяцѣ по 30 сутокъ, найдемъ, что въ 8 мѣсяцахъ заключаются 30 X 8 = 240 сутокъ, къ которымъ надо прибавить по однимъ суткамъ за январь, мартъ, май, іюль и августъ и отнять 2 сутокъ за февраль 1873-го года, а затѣмъ прибавить еще 28 сутокъ, которыя прошли до событія, кромѣ 8-ми мѣсяцевъ.

Ариѳметическое обозначеніе времени, полученное послѣ вычисленія, иногда, по смыслу вопроса, должно быть преобразовано въ календарное. Такъ, найдя, что отъ Р. Хр. до нѣкотораго событія прошло 1852 года 6 мѣс. 27 сут., мы должны это ариѳметическое обозначеніе времени замѣнить календарнымъ и сказать, что событіе совершилось въ 1853 году, въ іюлѣ мѣсяцѣ, 28 числа, или короче: 28 іюля 1853 года. Найдя, что отъ Р. Хр. до нѣкотораго событія прошло 1511 лѣтъ 312 сутокъ, скажемъ, что событіе произошло 8 ноября 1512 года, потому что изъ 312 сутокъ, дѣленіемъ на 30, получимъ 10 мѣсяцевъ, и у насъ останется 12 сутокъ, изъ которыхъ должны взять 6 сутокъ для января, марта, мая, іюля, августа и октября и прибавить за февраль високоснаго года 1 сутки.

149. Задачи на вычисленіе времени могутъ требовать: 1) опредѣленія времени одного событія по времени другого событія и промежутку времени, протекшему между этими событіями, и 2) опредѣленія промежутка времени между двумя событіями, время которыхъ дано. Въ задачахъ перваго рода можетъ быть дано время болѣе ранняго событія (начало промежутка времени) и продолжительность промежутка, а искаться время болѣе поздняго событія (конецъ промежутка времени), или можетъ быть дано время болѣе поздняго событія (конецъ промежутка времени) и продолжительность промежутка времени, и искаться время болѣе ранняго событія (начало промежутка).

Приводимъ нѣсколько задачъ каждаго рода.

1) Гимназистъ уѣхалъ на каникулы домой 12 іюня въ 2 часа 35 мин. пополудни, а вернулся

въ гимназію черезъ 64 дня 17 часовъ 45 мин. Когда онъ вернулся?

Рѣшеніе. За начальный моментъ беремъ 12 час. ночи съ 31 мая на 1-е іюня и говоримъ, что отъ него до отъѣзда гимназиста прошло 11 сут. 14 час. 35 мин. и что слѣд. отъ начала іюня до пріѣзда гимназиста прошло:

Превращая 76 сутокъ въ мѣсяцы, принимаемъ во вниманіе, что это будутъ іюнь и іюль, и находимъ, что отъ начала іюня до возвращенія гимназиста прошло 2 мѣсяца 15 сут. 8 час. 20 мин.; слѣд., онъ вернулся 16 августа въ 8 ч. 20 м. утра.

Иначе: черезъ 61 день будетъ 12 авг. 2 час. 35 мин. пополудни; еще черезъ 3 дня будетъ 15 авг. 2 час. 35 мин. пополудни; черезъ 9 час. 25 мин. наступитъ 16 августа, и изъ этого дня пройдетъ еще 8 час. 20 мин. (17 час. 45 мин. безъ 9 час. 25 мин.); слѣд. гимназистъ возвратился 16 авг. въ 8 час. 20 мин. утра.

2) Мальчикъ началъ учиться 16 авг. 1856 г. Когда онъ окончилъ ученье, если учился 15 лѣтъ 8 мѣс. 29 дней?

Рѣшеніе. За начальный моментъ беремъ Рождество Христово и говоримъ, что отъ Рождества Христова до начала ученія прошло 1855 лѣтъ 7 мѣс. 15 сут., а слѣд. до окончанія ученія прошло:

Здѣсь сначала мѣсяцы обращены въ годы; послѣ этого становится яснымъ, что изъ сутокъ надо образовать 4-й мѣсяцъ года (апрѣль), который заключаетъ въ себѣ 30 сут. Переводя это ариѳметическое обозначеніе времени въ календарное, найдемъ что мальчикъ кончилъ ученье 15 мая 1872 г.

Иначе: черезъ 15 лѣтъ, считая отъ 16-го августа 1856 года, будетъ 16-е августа 1871 года; спустя 5 мѣсяцевъ наступитъ 16 января 1872 года, еще черезъ три мѣсяца будетъ 16 апрѣля 1872 года, черезъ 15 дней наступитъ 1 мая 1872, а спустя еще 14 дней, наступитъ 15 мая 1872 года.

3) Военный корабль возвратился изъ плаванія въ Крондштадтъ 16 сентября 1884 года въ 10 часовъ пополуночи. Когда онъ вышелъ изъ Кронштадта, если пробылъ въ плаваніи 2 года 346 сут. 5 час?—1200 сутокъ?—3 года 6 мѣс. 20 сутокъ 10 часовъ?

Рѣшеніе. Отъ Рождества Христова до возвращенія корабля прошло 1883 года 8 мѣс. 15 сут. 10 часовъ, или 1883 г. 259 сут. 10 часовъ (до іюля прошло 182 сут., въ іюлѣ и августѣ 62 сут. и изъ сентября 15 сутокъ). Слѣд. въ первомъ случаѣ отъ Рождества Христова до выхода корабля прошло:

т.-е. корабль вышелъ изъ Крондштадта 6 октября 1881 года въ 5 часовъ утра.

Во второмъ случаѣ надо изъ 1883 лѣтъ 259 сут. 10 час. вычесть 1200 сутокъ; для этого 3 года изъ 1883 лѣтъ раздробляемъ въ сутки и вычитаемъ:

т.-е. корабль вышелъ изъ Кронштадта 4 іюня 1881 года въ 10 час. утра.

Въ третьемъ случаѣ до выхода корабля прошло:

т.-е. корабль вышелъ изъ Кронштадта въ 12 час. ночи съ 26 на 27-е февраля 1881 года.

Иначе: во второмъ случаѣ за 3 года, или за 1096 сутокъ, считая отъ 16 сентября 1884 года, было 16 сентября 1881 года; 3 мѣсяца (92 сутокъ) назадъ, было 16 іюня 1881 г., а еще 12 дней назадъ было 4 іюня 1881 года. Въ третьемъ случаѣ 10 часовъ назадъ было 12 часовъ ночи 16 сентября 1884 года, 20 дней назадъ было 27-е августа 1884 года, 6 мѣ-

сяцевъ назадъ было 27 февраля 1884 года и, наконецъ, 3 года назадъ было 27 февраля 1881 года.

4) Постройку деревяннаго флигеля начали 18 апрѣля въ 6 час. 30 мин. утра. Сколько времени строился флигель, если его окончили 15 ноября въ 5 час. вечера?

Рѣшеніе. Отъ начала апрѣля до окончанія постройки прошло 7 мѣсяцевъ 14 сут. 17 часовъ, а до начала постройки 17 сут. 6 час. 30 минутъ; слѣд. флигель строился:

Если мы время, протекшее отъ начала апрѣля до окончанія постройки, выразимъ въ суткахъ, тогда получимъ въ 7 мѣсяцахъ (съ апрѣля по ноябрь) 30\7+ 4 = 214 сутокъ, да изъ ноября 14 сутокъ, всего 228 сутокъ, и найдемъ:

Оба отвѣта тождественны, ибо, обративъ 6 мѣсяцевъ въ сутки и принявъ при этомъ во вниманіе, что 3 мѣсяца изъ нихъ (съ 18-го мая по 18-е іюня, съ 18 іюля по 18-е авг. и съ 18-го авг. по 18-е сент.) заключаютъ по 31 сут., найдемъ, что 6 м. 28 сут. 10 ч. 30 м.= 30 с.ХбфЗ с.28 с. +10 ч. 30 м. = 211 с. 10 ч. 30 м. Но эту тождественность можно установить только потому, что намъ извѣстно, съ какого момента слѣдуетъ отсчитать эти 6 м. 28 дн. 10 ч. 30 м.; въ противномъ случаѣ выраженія времени въ мѣсяцахъ и суткахъ страдаютъ нѣкоторою неопредѣленностью.

Иначе: съ 6 час. 30 м. утра 18 апрѣля до 6 час. 30 м. утра 18 ноября прошло ровно 7 мѣсяцевъ, или 214 сутокъ, а до 5 час. вечера 18 ноября прошло 214 сутокъ и 17 час.—6 час. 30 м. = 10 час. 30 минутъ; но постройка окончена 3-мя днями раньше; слѣд. флигель строился 211 сутокъ 10 час. 30 мин.

5) Нѣкто переѣхалъ на квартиру 25 сентября 1863 года. Сколько времени онъ жилъ на этой квартирѣ, если съѣхалъ съ нея 4 іюня 1873 года?

Рѣшеніе. Отъ Рождества Христова до оставленія квартиры прошло 1872 года 5 мѣс. и 3 дня, или 1872 года

154 дня, а до переѣзда на квартиру 1862 года 8 мѣс. 24 дня или 1862 года 267 дней; слѣд. квартира была занята въ теченіе:

Въ заключеніе замѣтимъ, что превращеніе чиселъ, выражающихъ время, всегда слѣдуетъ начинать съ обращенія мѣсяцевъ и сутокъ въ годы, потому что тогда, какъ это мы видѣли во 2-й задачѣ, при превращеніи сутокъ въ мѣсяцы будетъ совершенно ясно, какіе мѣсяцы мы получаемъ и, слѣд., сколько надо взять сутокъ для ихъ образованія.

150. 1) Какія именованныя числа можно складывать?-- 2) Какъ складываютъ составныя именованныя числа?—3) Почему сложеніе начинаютъ съ единицъ низшаго наименованія?—4) Какія именованныя числа можно вычитать?—5) Какъ вычитаютъ составныя именованныя числа?—6) Почему вычитаніе начинаютъ съ единицъ низшаго наименованія?—7) На какое число можно умножать именованное число?—8) Какъ дѣлается умноженіе составныхъ именованныхъ чиселъ при однозначномъ множителѣ?—при многозначномъ множителѣ?—9) Сколько случаевъ представляетъ дѣленіе именованныхъ чиселъ?—Что показываетъ частное въ каждомъ случаѣ?—10) Какъ раздѣлить составное именованное число на отвлеченное?—11) Какъ раздѣлить именованное число на именованное?—12) Въ какихъ дѣйствіяхъ съ именованными числами пользуются раздробленіемъ и въ какихъ превращеніемъ?—13) Какъ перевести обыденное выраженіе времени въ выраженіе, годное для вычисленій?—14) Какъ сдѣлать обратный переводъ?

АРИѲМЕТИКА ДРОБЕЙ.

I.

Предварительныя понятія.

1. Понятіе о дроби. Чтобы измѣрить ширину стола, которая меньше аршина, можно раздѣлить аршинъ на нѣсколько равныхъ частей, напр. на 10, и измѣрить ширину стола десятой долей аршина; чтобы взвѣсить кусокъ хлѣба, въ которомъ меньше фунта, фунтъ дѣлятъ на нѣсколько равныхъ частей, напр. на 8, и взвѣшиваютъ кусокъ хлѣба восьмыми долями фунта. Если въ ширинѣ стола десятая доля аршина уложится 7 разъ, если для уравновѣшиванія куска хлѣба придется на свободную чашку вѣсовъ положить пять восьмыхъ долей фунта, то отъ измѣренія ширины стола и вѣса куска хлѣба получатся числа: 7 десятыхъ аршина, пять восьмыхъ фунта. Числа, получаемыя отъ такого измѣренія состоятъ изъ равныхъ долей единицы и наз. дробями. Дробью наз. число, состоящее изъ равныхъ долей (частей) единицы.

2. Обозначеніе дробей. Доли единицы получаютъ свои названія отъ числа, которое показываетъ, на сколько равныхъ частей раздѣлена единица.

Отъ дѣленія единицы на 2 равныя части получаются вторыя доли, или половины; отъ дѣленія единицы на 3 равныя части получаются третьи доли, или трети; отъ дѣленія единицы на 4 равныя части получаются четвертыя доли, или четверти; отъ дѣленія на 5 равныхъ частей—пятыя доли, отъ дѣленія на 6 частей—шестыя доли и т. д.

Для выраженія дроби надо указать не только, изъ какихъ долей она состоитъ (на сколько равныхъ частей раздѣлена единица), но и сколько такихъ долей въ ней заключается, слѣд. для выраженія каждой дроби требуется два числа: знаменатель и числитель. Знаменатель показываетъ, на сколько равныхъ частей раздѣлена единица (изъ какихъ долей составлена дробь);

числитель — сколько такихъ долей заключается въ дроби. Въ дроби семь десятыхъ знаменатель 10, а числитель 7; въ дроби пять восьмыхъ знаменатель 8, числитель 5. Числитель и знаменатель наз. членами дроби.

Чтобы письменно обозначить дробь пишутъ числителя, подъ нимъ проводятъ черту и подъ чертою пишутъ знаменателя. Приведенныя дроби обозначатся слѣдующимъ образомъ:

3. Правильныя и неправильныя дроби. Въ дроби 6/8 содержится долей меньше (5), чѣмъ въ цѣлой единицѣ (8); поэтому дробь % меньше единицы. Дробь п/8 содержитъ въ себѣ долей больше (11), чѣмъ цѣлая единица (8); поэтому дробь п/8 больше единицы. Дробь % содержитъ въ себѣ ровно столько долей (8), сколько ихъ заключается въ цѣлой единицѣ (8); поэтому она равна единицѣ. Дробь, которая меньше единицы, наз. правильной; дробь, которая больше единицы или равна единицѣ, наз. неправильной.

Въ правильной дроби числитель меньше знаменателя, потому что въ ней должно заключаться меньше долей, чѣмъ ихъ содержится въ цѣлой единицѣ; въ неправильной дроби числитель больше знаменателя или равенъ знаменателю, потому что въ ней должно заключаться или больше долей, чѣмъ ихъ содержится въ единицѣ, или ровно столько же долей, сколько ихъ содержится въ единицѣ.

4. Смѣшанныя числа. Иногда при измѣреніи какой-либо величины цѣлой единицей, получается остатокъ, который меньше этой единицы; напр., при измѣреніи куска матеріи аршиномъ, отмѣривъ 14 аршинъ, мы можемъ получить остатокъ, меньшій аршина. Если этотъ остатокъ измѣримъ какой-либо долей аршина, напр., четвертью аршина и найдемъ въ немъ 3/, арш., то весь кусокъ будетъ заключать въ себѣ 14 и 3/4 арш. Такое число наз. смѣшаннымъ и обозначается слѣдующимъ образомъ: 143/4.

Смѣшаннымъ наз. такое число, которое состоитъ изъ цѣлыхъ единицъ и изъ долей единицы.

5. Происхожденіе дроби отъ дѣленія. Чтобы 5 раздѣлить на 8, можно раздѣлить на 8 отдѣльно каждую изъ 5-ти единицъ; отъ дѣленія каждой единицы получимъ по 1/8, а отъ дѣленія 5-ти единицъ получимъ ®/8. Чтобы 40 раздѣлить на 7, можно раздѣлить на 7 каждую изъ 40 единицъ; отъ дѣленія каждой единицы получимъ по */„ а отъ дѣленія 40 единицъ получимъ 4%. Такимъ образомъ, каждое частное отъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ можно представить въ видѣ дроби, числитель которой есть дѣлимое, а знаменатель—дѣлитель, и наоборотъ, каждую дробь можно разсматривать какъ частное отъ дѣленія числителя на знаменателя.

Когда при дѣленіи цѣлыхъ чиселъ получается остатокъ, то частное можно представить въ видѣ смѣшаннаго числа. Напр. получивъ при дѣленіи 23 на 4 въ частномъ 5 и въ остаткѣ 3, мы можемъ этотъ остатокъ раздѣлить на 4, отъ чего по предыдущему получимъ 3/4, и слѣд. будемъ имѣть:

6. Исключеніе цѣлаго числа изъ неправильной дроби и обратное преобразованіе. Отъ дѣленія 23 на 4 получимъ 23/4, если станемъ послѣдовательно дѣлить на 4 каждую изъ 23-хъ единицъ; но если раздѣлимъ на 4 сперва 20, а потомъ остальныя 3 единицы, то получимъ смѣшанное число 53/4. Такимъ образомъ неправильная дробь 23/4 можетъ быть выражена цѣлымъ числомъ 5 съ правильной дробью 3/4, и, наоборотъ, смѣшанное число 53/4 можно быть выражено неправильной дробью 23/4. Эти преобразованія дробныхъ чиселъ наз. исключеніемъ цѣлаго числа изъ неправильной дроби и обращеніемъ смѣшаннаго числа въ неправильную дробь.

7. Исключить цѣлое число изъ неправильной дроби значитъ найти, сколько цѣлыхъ единицъ и какая правильная дробь, кромѣ этихъ цѣлыхъ единицъ, содержатся въ неправильной дроби.

Чтобы исключить цѣлое число изъ неправильной дроби, числителя дѣлятъ на знаменателя; частное показываетъ, сколько цѣлыхъ единицъ заключается въ неправильной дроби, а остатокъ —сколько остается данныхъ долей, не составляющихъ цѣлой единицы. Напр., чтобы исключить цѣлое число изъ неправильной дроби 43/8, надо 43 раздѣлить на 8, потому что въ одной единицѣ 8 восьмыхъ долей, а изъ 43-хъ восьмыхъ долей выйдетъ столько цѣлыхъ единицъ, сколько разъ 8 содержится въ 43-хъ; раздѣливъ 43 на 8, найдемъ, что 8 въ 43-хъ содержится 5 разъ съ остаткомъ 3; слѣд. изъ 43/8 выйдетъ 5 цѣлыхъ единицъ и останется еще 3/8. Такъ же найдемъ:

8. Чтобы смѣшанное число обратить въ неправильную дробь, надо цѣлое число умножить на знаменателя дроби, къ произведенію прибавить числителя и эту сумму сдѣлать числителемъ неправильной дроби, а знаменателемъ сдѣлать знаменателя данной дроби. Напр., каждая изъ 6-ти единицъ смѣшаннаго числа 62/3 состоитъ изъ 3-хъ третей; поэтому въ 6-ти единицахъ будетъ 6 разъ по 3 трети, т.-е. 18/3, да кромѣ того, въ данномъ смѣшанномъ числѣ есть еще 2/3; слѣд. всего въ немъ будетъ 20/3. Такъ же найдемъ:

9. Когда требуется цѣлое число обратить въ неправильную дробь, то надо опредѣлить заранѣе, какой долженъ быть у нея знаменатель; тогда, для обращенія цѣлаго числа въ неправильную дробь, надо числителемъ сдѣлать произведеніе цѣлаго числа на даннаго знаменателя, а знаменателемъ—даннаго знаменателя. Напр., чтобы 9 обратить въ пятыя доли, надо 5 умножить на 9, потому что въ одной единицѣ 5 пятыхъ, а въ 9 единицахъ 9 разъ по 5-ти пятыхъ; получимъ 45/к. Такъ же найдемъ:

10. Сравненіе дробей. Изъ двухъ дробей съ одинаковыми знаменателями та больше, у которой числитель больше; ®/8 больше 3/8, потому что въ первой дроби содержится больше долей, чѣмъ во второй (въ первой дроби 2 лишнихъ доли противъ второй), самыя же доли въ обѣихъ дробяхъ одинаковы (восьмыя).

Изъ двухъ дробей съ одинаковыми числителями та больше, у которой знаменатель меньше; напр.5/8 больше потому что въ первой дроби доли (восьмыя) крупнѣе, чѣмъ во второй (двѣнадцатыя); число же долей въ обѣихъ дробяхъ одинаковое (5). Дѣйствительно, на каждую восьмую долю единицы приходится больше одной двѣнадцатой (въ одной восьмой 12:8 = l1/î двѣнадцатыхъ доли), а слѣд. въ 5/8 заключается больше двѣнадцатыхъ долей, чѣмъ въ 712-

Отсюда слѣдуетъ: что съ возрастаніемъ числителя дроби, возрастаетъ и сама дробь, потому что тогда возрастаетъ число долей въ дроби, доли же остаются безъ перемѣны; что съ уменьшеніемъ числителя, уменьшается и сама дробь, потому что уменьшается число долей въ дроби, доли же остаются безъ перемѣны; что съ возрастаніемъ знаменателя, дробь уменьшается, потому что въ дроби остается столько же долей, сколько и было, но доли становятся мельче; что съ уменьшеніемъ знаменателя, дробь увеличивается, потому что въ дроби остается столько же долей, сколько и было, а самыя доли становятся крупнѣе.

11. Умножить дробь на цѣлое число значитъ увеличить дробь въ нѣсколько разъ. Чтобы умножить дробь на цѣлое число, можно умножить на это число ея числителя, оставивъ знаменателя безъ измѣненія, или можно раздѣлить на это число знаменателя (если только это дѣленіе совершается безъ остатка), оставивъ числителя безъ измѣненія, потому что въ первомъ случаѣ число долей въ дроби станетъ во столько разъ больше, сколько единицъ во множителѣ, а во второмъ самыя доли сдѣлаются крупнѣе во столько разъ, сколько единицъ, во множителѣ. Напр., чтобы 3/17 умножить на 4, надо умножить на 4 числителя 3, оставивъ знаменателя 17 безъ измѣненія, потому что въ полу-

ченной отъ этого дроби 12/17 въ 4 раза больше долей, чѣмъ въ данной дроби 3/17, самыя же доли въ обѣихъ дробяхъ одинаковы. Чтобы 5/12 умножить на 4, можно знаменателя 12 раздѣлить на 4, оставивъ числителя 5 безъ перемѣны, потому что въ полученной отъ этого дроби 5/g столько же долей, сколько и въ данной дроби 5/12, самыя же доли (трети) въ 4 раза крупнѣе, чѣмъ въ данной дроби (двѣнадцатыя), такъ каждая треть содержитъ съ себѣ 12:3 = 4 двѣнадцатыхъ доли. Дѣйствіе располагается слѣдующимъ образомъ:

12. Раздѣлить дробь на цѣлое число значитъ уменьшить дробь во столько разъ, сколько единицъ въ дѣлителѣ. Чтобы раздѣлить дробь на цѣлое число, можно числителя ея раздѣлить на это число (если только это дѣленіе совершается безъ остатка), оставивъ знаменателя безъ измѣненія, или можно умножить на это число знаменателя дроби, оставивъ числителя безъ измѣненія, потому что въ первомъ случаѣ въ дроби долей станетъ во столько разъ меньше, сколько единицъ въ дѣлителѣ, а во второмъ самыя доли сдѣлаются во столько разъ мельче, сколько единицъ въ дѣлителѣ. Напр., чтобы раздѣлить 15/1Э на 5, можно раздѣлить на 5 числителя 15, а знаменателя 19 оставить безъ перемѣны, потому что въ полученной отъ этого дроби 3/19 въ 5 разъ меньше долей, чѣмъ въ данной 15/)9, самыя же доли въ обѣихъ дробяхъ одинаковы. Чтобы 2/3 раздѣлить на 5, надо знаменателя 3 умножить на 5, а числителя 2 оставить безъ перемѣны, потому что въ полученной отъ этого дроби 2/15 столько же долей, сколько и въ данной, а самыя доли (пятнадцатыя) въ 5 разъ мельче, чѣмъ въ данной дроби (трети), такъ какъ каждая треть содержитъ въ себѣ 15:3 = 5 пятнадцатыхъ. Дѣйствіе располагается слѣдующимъ образомъ:

Дѣленіе дроби на цѣлое число, какъ увидимъ ниже, имѣетъ еще и другое значеніе.

18. Измѣненіе вида дробей. Если числителя и знаменателя дроби умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же число, то измѣнится только

видъ дроби, величина же ея останется безъ перемѣны. Дѣйствительно, раздѣливъ числителя какой-либо дроби, напр. ^/jg, на 3, мы и самую дробь раздѣлимъ на 3, а раздѣливъ знаменателя полученной дроби 8/36 на 3, мы эту дробь снова умножимъ на 3; слѣд. полученная дробь 8/12 будетъ по величинѣ одинакова съ данной м/36. Иначе: раздѣливъ числителя и знаменателя ,24/36 на 3, мы возьмемъ долей втрое меньше, чѣмъ прежде, зато самыя доли сдѣлаемъ втрое крупнѣе. Умноживъ числителя и знаменателя какой-либо дроби, напр. 3/5, на 2, мы въ одно и то же время и увеличимъ ее вдвое (отъ умноженія числителя) и уменьшимъ вдвое (отъ умноженія знаменателя), слѣд. величина дроби отъ этого не измѣнится, и полученная дробь 6/10 будетъ равна данной 3/5. Иначе: умноживъ числителя и знаменателя 3/5 на 2, мы возьмемъ вдвое больше долей, чѣмъ прежде, зато самыя доли сдѣлаемъ вдвое мельче. Такимъ образомъ:

14. Умножая и дѣля числителя и знаменатели дроби на одно п то же число, мы каждую дробь можемъ представить въ различныхъ видахъ, не измѣняя ея величины. На этомъ основаны два весьма важныхъ преобразованія сокращеніе дробей и приведеніе дробей къ одному знаменателю.

Сократить дробь значитъ, не измѣняя ея величины, представить ее въ возможно простомъ видѣ. Такъ, мы дробь м/36 представили въ болѣе простомъ видѣ 2/3, раздѣливъ ея числителя и знаменателя на 12. Для сокращенія дроби надо дѣлить ея числителя и знаменателя на одно и то же число. Сокращеніе дробей обозначается слѣдующимъ образомъ:

Привести нѣсколько дробей къ одному знаменателю значитъ, не измѣняя величины каждой дроби, выразить ихъ всѣ въ одинаковыхъ доляхъ единицы; напр., умноживъ числителя и знаменателя

дроби 3/4 на 3, а числителя и знаменателя дроби 2/3 на 4, мы дроби 3/4 и 2/3 выразимъ соотвѣтственно черезъ 9/іг и 8/12 въ одинаковыхъ доляхъ (12-хъ) единицы, не измѣнивъ ихъ величины, и слѣд. приведемъ ихъ къ одному знаменателю 12.

15. Если къ числителю и знаменателю дроби прибавимъ поровну, то дробь приблизится къ единицѣ, слѣд. правильная дробь увеличится, а неправильная уменьшится. Напр., прибавимъ по 4 къ числителю и знаменателю 5/8; получимъ 9/12. Чтобы узнать на сколько долей дробь 5/8 отличается отъ единицы, надо изъ 8-ми вычесть 5, а чтобы узнать, на сколько долей э/і2 отличается отъ единицы, надо изъ 12-ти вычесть 9; въ обоихъ случаяхъ получимъ въ разности 3, потому что разность не измѣнится, когда къ уменьшаемому 8 и вычитаемому 5 прибавимъ поровну (по 4). Но 3 доли, на которыя первая дробь отличается отъ единицы, не одинаковы съ 3-мя долями, на которыя вторая дробь отличается отъ единицы: вторая дробь отличается отъ единицы на 3 двѣнадцатыхъ, а первая на 3 восьмыхъ, восьмыя же доли крупнѣе двѣнадцатыхъ; слѣд. вторая дробь 9/12 ближе къ единицѣ и больше первой 5/8.

Прибавивъ къ числителю и знаменателю 8/3 по 2, мы получимъ дробь 10/5, которая, какъ и данная, больше единицы на 5 долей, но эти доли мельче тѣхъ, на которыя данная дробь отличается отъ единицы; слѣд. полученная дробь 10/5 ближе къ единицѣ и меньше данной дроби 8/5.

Такъ же найдемъ, что отъ вычитанія одного и того же числа изъ числителя и знаменателя дроби, дробь удаляется отъ единицы, слѣд. правильная дробь уменьшается, а неправильная увеличивается.

16. Вопросы. 1) Въ какихъ случаяхъ приходится прибѣгать къ измѣренію величинъ долями единицы?—2) Что такое дробь?—3) Изъ чего состоитъ каждая дробь?—4) Отъ чего получаютъ свое названіе доли единицы?—5) Сколько чиселъ требуется для выраженія дроби?—6) Что показываетъ числитель дроби?—7) Что показываетъ знаменатель дроби?—8) Какая дробь наз. правильной?—9) Какая—неправильной?—10) Каковы между собою числитель и знаменатель правильной дроби?—11) Каковы они въ неправильной дроби?—12) Что наз. смѣшаннымъ числомъ?—13) Отъ какого дѣйствія надъ цѣлыми числами можетъ получаться дробь?—14) Въ какомъ видѣ можно представить каждое частное отъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ?— 15) Когда отъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ можетъ получиться смѣшанное число?—16) Что значитъ исключить цѣлое число изъ неправильной дро-

би?—17) Какъ исключить цѣлое число изъ неправильной дроби?—18) Какъ смѣшанное число обратить въ неправильную дробь?—19) Какъ цѣлое число обратить въ неправильную дробь?—20) Изъ двухъ дробей съ одинаковыми знаменателями какая больше?—почему?—21) Изъ двухъ дробей съ одинаковыми числителями какая больше?—почему?—22) Какъ измѣняется дробь съ измѣненіемъ числителя?—23) Какъ измѣняется дробь съ измѣненіемъ знаменателя?—24) Что надо сдѣлать съ знаменателемъ дроби, чтобы доли, изъ которыхъ она состоитъ, стали крупнѣе? — чтобы онѣ стали мельче?— 25) Какъ умножить дробь на цѣлое число?—26) Какъ раздѣлить дробь на цѣлое число?—27) Почему отъ умноженія знаменателя дробь уменьшается, а отъ дѣленія знаменателя увеличивается?—28) Всякую ли дробь можно умножить на цѣлое число, раздѣливъ на это число ея знаменателя? — а умноживъ на это число числителя?—29) Всякую ли дробь можно раздѣлить на цѣлое число, раздѣливъ на это число ея числителя? — а умноживъ на это число знаменателя? —30) При какихъ измѣненіяхъ въ числителѣ и знаменателѣ измѣняется только видъ дроби?—31) Во сколькихъ видахъ можно представить каждую дробь? — 32) Что значитъ сократить дробь? —33) Что значитъ привести нѣсколько дробей къ одному знаменателю? —34) Какъ измѣняется дробь, когда къ ея числителю и знаменателю придаютъ поровну?—35) Какъ измѣняется дробь, когда отъ ея числителя и знаменателя отнимаютъ поровну?—36) Какая дробь отъ прибавленія къ ея числителю и знаменателю поровну не измѣняетъ своей величины?

II.

Дѣлимость цѣлыхъ чиселъ.

17. Точный дѣлитель. Кратное. Если одно цѣлое число дѣлится на другое безъ остатка, то первое число наз. кратнымъ второго, а второе — точнымъ дѣлителемъ или просто дѣлителемъ перваго; напр. 12 есть кратное 2-хъ, а 2—точный дѣлитель 12-ти; 340 есть кратное 68-ми, а 68 — дѣлитель 340-ка. Чтобы найти цѣлый рядъ кратныхъ даннаго числа, стоитъ только это число умножать послѣдовательно на 2, на 3 и т. д. Гораздо труднѣе найти точныхъ дѣлителей даннаго числа. Кратныхъ для даннаго числа существуетъ безчисленное множество, точныхъ же дѣлителей ограниченное число; напр. 12 имѣетъ всего 6 точныхъ дѣлителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Числа кратныя 2-хъ наз. четными; числа же, не дѣлящіяся на 2,—нечетными; 24—четное число, 25—нечетное.

Общимъ дѣлителемъ двухъ или нѣсколькихъ чиселъ наз. такое число, на которое каждое изъ нихъ дѣлится безъ остатка; напр. 4 есть общій дѣ-

литель 60-ти и 72-хъ, 5 есть общій дѣлитель 60-ти, 75-ти и 105-ти. Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ двухъ или нѣсколькихъ чиселъ наз. самый большій изъ всѣхъ ихъ общихъ дѣлителей. Напр. числа 60 и 72 имѣютъ слѣдующихъ общихъ дѣлителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12; 12 есть большій изъ нихъ, а потому 12 есть общій наибольшій дѣлитель 60-ти и 72-хъ; 15 есть оощій наибольшій дѣлитель 60-ти, 75-ти и 105-ти, потому что 15 есть большій изъ всѣхъ ихъ общихъ дѣлителей: 1, 3, 5, 15.

Единица есть общій дѣлитель всѣхъ цѣлыхъ чиселъ.

Числа, имѣющія общимъ наибольшимъ дѣлителемъ единицу, наз. взаимно-первыми; числа, общій наибольшій дѣлитель которыхъ больше единицы, наз, взаимно-составными. Числа 32 и 45 — взаимно первыя, ибо ихъ общій наибольшій дѣлитель равенъ единицѣ; числа 12 и 15— взаимно-составныя, потому что ихъ общій наибольшій дѣлитель 3 больше единицы.

Общимъ кратнымъ двухъ или нѣсколькихъ чиселъ наз. такое число, которое на каждое изъ нихъ дѣлится безъ остатка; напр. 120 есть общее кратное 12-ти, 15-ти и 20-ти. Сколько бы ни было данныхъ чиселъ, всегда можно найти ихъ общее кратное; стоитъ только всѣ данныя числа перемножить. Прилагая этотъ способъ къ числамъ 12, 15 и 20, мы нашли бы для нихъ общее кратное 12.15.20 = 3 600, которое гораздо больше, чѣмъ указанное нами выше 120. Имѣя одно общее кратное для нѣсколькихъ чиселъ, можно найти для нихъ цѣлый рядъ общихъ кратныхъ, умножая найденное общее кратное на 2, на 3 и т. д.; напр., умножая 120 на 2, на 3 и т. д., получимъ рядъ общихъ кратныхъ для 12-ти, 15-ти и 20-ти: 240, 360, 480, 600 и т. д. Самое меньшее изъ всѣхъ общихъ кратныхъ для данныхъ чиселъ наз. ихъ наименьшимъ кратнымъ. Для взятыхъ чиселъ 12-ти, 15-ти и 20-ти наименьшее кратное есть 60.

Признаками дѣлимости наз. способы узнавать, дѣлится ли одно число на другое безъ остатка, не производя самаго дѣленія.

18. Дѣлимость суммы, разности, произведенія и остатка отъ дѣленія. Если каждое слагаемое дѣлится безъ остатка на какое-либо число, то и сумма дѣлится на то же число безъ остатка. Дѣйствительно, если каждое слагаемое дѣлится

напр. на 12, то каждое изъ нихъ состоитъ изъ полныхъ дюжинъ, и при сложеніи къ полнымъ дюжинамъ перваго слагаемаго прибавятся полныя же дюжины второго, затѣмъ полныя дюжины третьяго и т. д.; поэтому и сумма будетъ состоять изъ полныхъ дюжинъ, т.-е. будетъ дѣлиться на 12 безъ остатка.

Точный дѣлитель каждаго числа дѣлитъ безъ остатка и всѣ произведенія этого числа на другія числа, т.-е. всѣ кратныя этого числа, потому что каждое такое произведеніе есть сумма нѣсколькихъ слагаемыхъ, изъ которыхъ каждое равно данному числу.

Если одно изъ двухъ слагаемыхъ и ихъ сумма дѣлятся безъ остатка на какое-либо; число, то и другое слагаемое дѣлится на то же число безъ остатка. Дѣйствительно, если сумма и одно изъ 2-хъ слагаемыхъ дѣлятся безъ остатка напр. на 5, то для полученія другого слагаемаго придется отъ полныхъ пятковъ суммы откинуть полные же пятки перваго слагаемаго, а потому второе слагаемое должно состоять тоже изъ полныхъ пятковъ, т.-е. должно дѣлиться на 5 безъ остатка. То же самое правило можно выразить еще въ слѣдующихъ словахъ: если уменьшаемое и вычитаемое дѣлятся безъ остатка на какое-либо число, то и разность на это число дѣлится безъ остатка.

Если одно изъ двухъ слагаемыхъ дѣлится на какое-либо число, а другое не дѣлится на это число, то сумма на это число не можетъ дѣлиться, потому что если бы сумма раздѣлилась, то по предыдущему и другое слагаемое должно бы было дѣлиться.

Если два числа дѣлятся безъ остатка на одно и то же число, то и остатокъ отъ ихъ дѣленія раздѣлится на это число; напр. 75 и 20 оба дѣлятся на 5, и остатокъ отъ дѣленія 75 на 20 раздѣлится на 5. Дѣйствительно, дѣлимое 75 равно произведенію дѣлителя 20 на частное 3, сложенному съ остаткомъ 15; т.-е. 75=20X3+15. Здѣсь сумма 75 дѣлится на 5, одно слагаемое 20X3 тоже дѣлится на 5, потому что 20 дѣлится на 5; слѣд. и другое слагаемое—остатокъ 15 раздѣлится на 5.

Если дѣлитель и остатокъ дѣлятся на какое-либо число, то и дѣлимое раздѣлится на то же число, потому что дѣлимое представляетъ сумму двухъ слагаемыхъ, изъ которыхъ каждое дѣлится на это число.

19. Признаки дѣлимости. На 10, 100, 1 000 и т. д. дѣлятся безъ остатка такія числа, которыя оканчиваются соотвѣтственно однимъ, двумя, тремя и т. д. нулями, потому что такія числа состоятъ или только изъ десятковъ, или только изъ сотенъ, или только изъ тысячъ.

20. На 2 дѣлится безъ остатка такое число, единицы котораго дѣлятся безъ остатка на 2 или которое оканчивается нулемъ, потому что десятки и всѣ высшіе разряды въ каждомъ числѣ непремѣнно дѣлятся безъ остатка на 2 (дѣйствительно 10: 2 = 5, а всѣ остальные разряды состоятъ изъ десятковъ); слѣд., если и единицы дѣлятся на 2 безъ остатка или ихъ совсѣмъ нѣтъ, то и все число должно раздѣлиться на 2 безъ остатка; напр. числа 73 524 и 7 830 дѣлятся на 2 безъ остатка, ибо въ первомъ числѣ единицы дѣлятся на 2, а во второмъ единицъ совсѣмъ нѣтъ.

21. На 5 безъ остатка дѣлится такое число, которое оканчивается 5-ю или нулемъ, на томъ же основаніи, какъ и въ предыдущемъ признакѣ дѣлимости; напр. число 7 235 и 39 540 дѣлятся безъ остатка на 5, ибо первое оканчивается 5-ю, а второе нулемъ.

22. На 4 безъ остатка дѣлится такое число, у котораго десятки вмѣстѣ съ единицами дѣлятся безъ остатка на 4 или которое оканчивается двумя нулями, ибо сотни и всѣ высшіе разряды дѣлятся въ каждомъ числѣ на 4 (дѣйствительно 100 :4 = 25, а всѣ высшіе разряды состоятъ изъ сотенъ); слѣд., если и десятки вмѣстѣ съ единицами дѣлятся на 4, или если въ числѣ совсѣмъ нѣтъ ни десятковъ, ни единицъ, то и все число раздѣлится на 4 безъ остатка; напр. 57 932 и 35 700 раздѣлятся безъ остатка на 4, потому что въ первомъ числѣ десятки вмѣстѣ съ единицами, т.-ѳ. 32, дѣлятся безъ остатка на 4, а второе оканчивается двумя нулями.

23. На 25 безъ остатка дѣлится такое число, которое оканчивается или 25-ю, или 50-ю, или 75-ю, или двумя нулями, на томъ же основаніи какъ и въ предыдущемъ признакѣ дѣлимости; напр. числа 7 925, 8 350, 53 275, 203 400 дѣлятся безъ остатка на 25, ибо первое оканчивается 25-ю, второе 50-ю, третье 75-ю и послѣднее двумя нулями.

24. На 8 безъ остатка дѣлится такое число, единицы, десятки и сотни котораго, взятые вмѣстѣ, дѣлятся безъ остатка на 8, или которое оканчивается тремя нулями, ибо тысячи и всѣ высшіе разряды въ каждомъ числѣ делятся безъ остатка на 8 (дѣйствительно 1 000:8 = 125, а всѣ высшіе разряды состоятъ изъ тысячъ); слѣд., если единицы, десятки и сотни, взятые вмѣстѣ, дѣлятся безъ остатка на 8, или ихъ совсѣмъ нѣтъ, то и все число должно раздѣлиться на 8 безъ остатка; напр., числа 57 312 и 89 000 дѣлятся безъ остатка на 8, потому что въ первомь числѣ единицы, дѣсятки и сотни, т.-е. 312, дѣлятся на 8, а второе оканчивается тремя нулями.

25. На 125 безъ остатка дѣлится такое число, которое оканчивается или 125-ю, или 250-ю, или 375-ю или 500-ми, или 625-ю, или 750-ю, или 875-ю, или тремя нулями, на томъ же основаніи, какъ и въ предыдущемъ признакѣ дѣлимости; напр., числа 57 125, 734 250, 89 375, 102 500, 374 625, 19 750, 304 875, 2 533 000 дѣлятся безъ остатка на 125, потому что оканчиваются перечисленными выше числами.

26. На 9 безъ остатка дѣлится такое число, сумма цыфръ*) котораго дѣлится на 9 безъ остатка. Дѣйствительно: единица каждаго разряда, напр. 10, 100, 1 000 000, при дѣленіи на 9, даетъ въ остаткѣ простую единицу, ибо, отнявъ отъ 10, 100, 1 000 000 простую единицу, получимъ число, въ которомъ единицъ каждаго разряда будетъ по 9-ти и которое, слѣд., раздѣлится на 9 безъ остатка; напр.

10—1=9, 100—1=99, 1 000—1=999, 1 000 000—1=999 999

Поэтому, если станемъ дѣлить поразрядно на 9 число, 52 713, то отъ каждаго десятка тысячъ останется по простой единицѣ, а отъ 5 дес. тысячъ останется 5 простыхъ единицъ; отъ каждой тысячи останется по простой единицѣ, а отъ 2 тысячъ останется 2 простыхъ единицы; отъ 7 сотенъ останется 7 простыхъ единицъ, отъ 1 десятка останется 1 простая единица, а всего, послѣ дѣленія всѣхъ разрядовъ до десятковъ включительно, останется дѣлить 5+2+7+1+3=18 простыхъ единицъ. Такъ какъ эти 18 единицъ дѣлятся на

*) Суммою цыфръ числа наз. сумма однозначныхъ чиселъ, которыя получимъ, если всѣ цыфры числа напишемъ отдѣльно.

9 безъ остатка, то отъ дѣленія 52 713 на 9 остатка не получится. Точно также найдемъ, что отъ поразряднаго дѣленія на 9 числа 23 405, послѣ дѣленія десятковъ, останется еще раздѣлить 2 + 3 + 4 + 0 + 5 = 14 простыхъ единицъ, и такъ какъ эти 14 единицъ даютъ отъ дѣленія на 9 въ остаткѣ 5, то и отъ дѣленія 23 405 на 9 получится въ остаткѣ 5.

27. На 3 безъ остатка дѣлится такое число, сумма цыфръ котораго дѣлится на 3 безъ остатка, на томъ же основаніи, какъ и въ предыдущемъ признакѣ дѣлимости; напр. число 2 856 дѣлится безъ остатка на 3, ибо сумма цыфръ его 2+8+5+6=21 дѣлится безъ остатка на 3.

28. На 6 безъ остатка дѣлится такое число, которое порознь дѣлится на 2 и на 3 безъ остатка; напр. 654 дѣлится безъ остатка на 6, потому что оно дѣлится и на 2 (единицы дѣлятся на 2), и на 3 (сумма цыфръ его 15 дѣлится на 3). Дѣйствительно, если 654 дѣлится безъ остатка на 3, то оно состоитъ изъ троекъ, т.-е.

654 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3+..

Сложимъ первое 3 со вторымъ, третье съ четвертымъ, пятое съ шестымъ и т. д., иначе соединимъ эти тройки по двѣ; тогда у насъ не останется ни одной тройки, и 654 будетъ состоять только изъ шестерокъ, т.-е.

654 = 6 + 6+....,

потому что, если бы осталась одна тройка, то данное число 654 состояло бы изъ нѣсколькихъ шестерокъ, которыя всѣ дѣлятся на 2 безъ остатка, и одной тройки, которая при дѣленіи на 2 даетъ въ остаткѣ единицу, и слѣд. не могло бы дѣлиться на 2 безъ остатка. Если же 654 состоитъ только изъ шестерокъ, то оно должно дѣлиться на 6 безъ остатка.

29. Опредѣленіе общаго наибольшаго дѣлителя способомъ послѣдовательнаго дѣленія. Общій наиб. дѣлитель двухъ чиселъ 1260 и 630 не можетъ быть больше меньшаго изъ нихъ 630-ти, потому что 630 не можетъ дѣлиться на число, больше самого себя; слѣд. общій наиб. дѣлитель 1260 и 630 или равенъ меньшему числу 630-ти, или меньше его. Чтобы узнать, не будетъ ли 630 общимъ наиб. дѣлителемъ, достаточно испытать, раздѣлится ли на него безъ остатка боль-

шее изъ данныхъ чиселъ 1260, ибо само на себя меньшее число несомнѣнно дѣлится безъ остатка. Такъ какъ 1 260 на 630 дѣлится безъ остатка, то 630 и есть общій наиб. дѣлитель 1 260-ти и 630-ти.

Если бы мы взяли числа 1 470 и 630, то подвергнувъ ихъ такому же испытанію, т.-е. раздѣливъ 1 470 на 630, нашли бы въ частномъ 2 и въ остаткѣ 210, и отсюда заключили бы, что меньшее число 630 не есть общій наиб. дѣлитель 1 470-ти и 630-ти и что, слѣд., ихъ общій наиб. дѣлитель меньше меньшаго изъ нихъ, т,-е. меньше 630-ти. Легко убѣдиться, что общій наиб. дѣлитель двухъ чиселъ 1 470-ти и 630-ти не можетъ превышать остатка 210, который получается отъ дѣленія большаго изъ нихъ на меньшее, и который при отысканіи общаго наиб. дѣлителя наз. первымъ остаткомъ. Дѣйствительно, и 1 470, и 630 должны дѣлиться на искомаго общаго наиб. дѣлителя, а въ такомъ случаѣ, какъ мы видѣли, и остатокъ отъ дѣленія ихъ т.-е. первый остатокъ 210, долженъ дѣлиться на искомаго общаго наиб. дѣлителя; слѣд. общій наиб. дѣлитель не можетъ быть больше 210-ти, и долженъ или равняться первому остатку 210, или быть меньше его. Чтобы узнать, не будетъ ли первый остатокъ 210 общимъ наиб. дѣлителемъ, достаточно испытать, раздѣлится ли на него безъ остатка меньшее изъ данныхъ чиселъ 630, потому что если 630 раздѣлится на 210, то и 1 470 раздѣлится на 210, какъ дѣлимое въ такомъ дѣленіи, гдѣ и дѣлитель 630, и остатокъ 210 дѣлятся на 210. Отъ дѣленія 630-ти на 210 получаемъ въ частномъ 3 и въ остаткѣ 0; отсюда заключаемъ, что 210 есть общій наиб. дѣлитель 1 470 и 630.

Если бы вмѣсто 1 470 было дано 1 458, то при испытаніи, не будетъ ли меньшее число общимъ наиб. дѣлителемъ, мы получили бы въ частномъ 2 и въ остаткѣ 198, и затѣмъ намъ слѣдовало бы испытать, не будетъ ли этотъ первый остатокъ 198 общимъ наиб. дѣлителемъ, для чего меньшее число 630 раздѣлить на 198. Отъ этого дѣленія получимъ частное 3 и остатокъ 36, который наз. вторымъ остаткомъ. Отсюда заключимъ, что первый остатокъ 198 не есть общій наиб. дѣлитель 1 458-ми

и 630-ти и что, слѣд., общій наиб. дѣлитель меньше перваго остатка. Нетрудно убѣдиться, что общій наиб. дѣлитель не можетъ превышать второго остатка 36-ти. Дѣйствительно, искомый общій наиб. дѣлитель чиселъ 1 458-ми и 630-ти долженъ дѣлить и остатокъ отъ ихъ дѣленія, т.-е. первый остатокъ 198, а если меньшее число 630 и первый остатокъ 198 дѣлятся на искомаго общаго наиб. дѣлителя, то и остатокъ отъ ихъ дѣленія, т.-е. второй остатокъ 36, долженъ дѣлиться на искомаго общаго наиб. дѣлителя. Отсюда заключаемъ, что общій наиб. дѣлитель двухъ чиселъ 1458 и 630 или равенъ второму остатку 36, или меньше его. Чтобы узнать, не будетъ ли второй остатокъ 36 общимъ наиб. дѣлителемъ, достаточно испытать, раздѣлится ли на него первый остатокъ 198. Въ самомъ дѣлѣ, если 198 раздѣлится на 36, то и меньшее число 630 раздѣлится на 36, какъ дѣлимое въ такомъ дѣленіи, гдѣ и дѣлитель 198, и остатокъ 36 дѣлятся на 36; если же меньшее число 630 и первый остатокъ 198 раздѣлятся на 36, то и большее число 1458 тоже раздѣлится на 36, какъ дѣлимое въ такомъ дѣленіи, гдѣ и дѣлитель 630 и остатокъ 198 дѣлятся на 36. Отъ дѣленія 198-ми на 36 получимъ частное 5 и третій ос та токъ 18. Отсюда заключимъ, что 36 не есть общій наиб. дѣлитель 1458-ми и 630-ти и что общій наиб. дѣлитель ихъ меньше 36-ти. Такъ же, какъ и относительно второго остатка, убѣдимся, что общій наибольшій дѣлитель не можетъ быть больше третьяго остатка 18-ти и что слѣд. онъ или долженъ равняться третьему остатку, или долженъ быть меньше его. Чтобы узнать, не будетъ ли третій остатокъ 18 общимъ наиб. дѣлителемъ, достаточно испытать, раздѣлится ли на него второй остатокъ 36. Дѣйствительно, если второй остатокъ 36 раздѣлится на 18, то и первый остатокъ 198 раздѣлится на 18, какъ дѣлимое въ такомъ дѣленіи, гдѣ и дѣлитель 36, и остатокъ 18 дѣлятся на 18; если же первый остатокъ раздѣлится на 18, то, какъ выше видѣли, оба данныхъ числа 630 и 1 458 раздѣлятся на 18. Отъ дѣленія 36-ти на 18 получимъ въ частномъ 2 и въ остаткѣ 0; слѣд. 18 есть общій наибольшій дѣлитель 1 458-ми и 630-ти.

Легко сосчитать, не производя дѣленія, сколько разъ найденный общій наиб. дѣлитель 18 содержится въ каждомъ

данномъ числѣ. Въ первомъ остаткѣ 198 второй остатокъ 36 содержится 5 разъ съ остаткомъ 18. Такъ какъ въ 36-ти 18 содержится 2 раза, то въ 5-ти такихъ числахъ 18 содержится 2.5 = 10 разъ, да еще въ остаткѣ 18 одинъ разъ; слѣд. всего въ 198-ми 18 содержится 10 + 1 = 11 разъ. Первый же остатокъ 198 въ меньшемъ числѣ 630 содержится 3 раза съ остаткомъ 36. Такъ какъ въ 198-ми 18 содержится 11 разъ, то въ 3-хъ такихъ числахъ 18 содержится 11.3 = 33 раза, да въ остаткѣ 36 еще 2 раза; слѣд. всего въ 630-ти 18 содержится 33 + 2 = 35 разъ. Меньшее же число 630 въ большемъ 1 458 содержится 2 раза съ остаткомъ 198. Такъ какъ въ каждомъ 630-ти 18 содержится 35 разъ, то въ 2-хъ такихъ числахъ 18 содержится 35.2 = 70 разъ, да еще въ остаткѣ 198 оно содержится 11 разъ; слѣд. всего въ большемъ числѣ 18 содержится 70 + 11 = 81 разъ.

Изъ всего сказаннаго слѣдуетъ: чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ, надо большее число раздѣлить на меньшее; если дѣленіе не дастъ остатка, то меньшее число и будетъ общимъ наиб. дѣлителемъ; если же получится остатокъ, который наз. первымъ остаткомъ, то надо меньшее число дѣлить на первый остатокъ; если при этомъ получится опять остатокъ, который наз. вторымъ остаткомъ, то первый остатокъ надо дѣлить на второй; если получится третій остатокъ, то второй остатокъ надо дѣлить на третій и т. д., — до тѣхъ поръ, пока дѣленіе не совершится безъ остатка; послѣдній остатокъ и будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ. Такой способъ отысканія общаго наибольшаго дѣлителя наз. способомъ послѣдовательнаго дѣленія и располагается въ двухъ видахъ:

Такъ же выполнены и слѣдующіе примѣры:

30. Дѣля большее число на меньшее, меньшее число на первый остатокъ, первый остатокъ на второй и т. д., мы всегда дойдемъ до такого дѣленія, которое совершится безъ остатка, и слѣд. всегда найдемъ общаго наиб. дѣлителя для взятыхъ чиселъ; въ крайнемъ случаѣ это будетъ единица. Въ самомъ дѣлѣ, каждый остатокъ меньше своего дѣлителя; поэтому первый остатокъ меньше меньшаго числа, второй остатокъ меньше перваго и, вообще, каждый остатокъ меньше предыдущаго; слѣд. остатки при отысканіи общаго наибольшаго дѣлителя идутъ все уменьшаясь; между ними не можетъ быть одинаковыхъ, и всѣ они меньше меньшаго числа, а потому остатковъ во всякомъ случаѣ будетъ не больше, чѣмъ единицъ въ меньшемъ числѣ безъ одной; напр. при отысканіи общаго наибольшаго дѣлителя между 1 751 и 324, остатковъ, а слѣд. и послѣдовательныхъ дѣленій, не можетъ быть больше 323. Въ дѣйствительности какъ видно изъ послѣдняго примѣра, ихъ гораздо меньше.

31. Частныя отъ дѣленія данныхъ чиселъ на ихъ общаго наибольшаго дѣлителя суть числа взаимно-первыя. Если бы эти частныя были числа взаимно-сложныя и дѣлились оба напр. на число 5, то каждое изъ нихъ можно бы было замѣнить произведеніемъ 5-ти на нѣкоторое число, а каждое данное число тогда представляло бы произведеніе трехъ множителей: найденнаго общаго наиб. дѣлителя, 5-ти и нѣкотораго числа, полученнаго отъ дѣленія соотвѣтствующаго частнаго на 5; слѣд. каждое данное число дѣлилось бы безъ остатка

произведеніе 5-ти и найденнаго общаго наиб. дѣлителя; т.-е. вышло бы, что найденный общій наиб. дѣлитель есть только общій дѣлитель, а настоящій общій наиб. дѣлитель долженъ быть въ 5 разъ больше его.

32. Первоначальныя и составныя числа. Каждое цѣлое число дѣлится безъ остатка на единицу и на само себя. Затѣмъ, нѣкоторыя изъ цѣлыхъ чиселъ имѣютъ еще иныхъ дѣлителей; напр. 12, кромѣ единицы и самаго себя, дѣлится еще на 2, 3, 4, 6. Другія же числа, кромѣ единицы и самихъ себя, иныхъ точныхъ дѣлителей не имѣютъ; напр. 11 дѣлится безъ остатка только на само себя и на единицу. Первыя числа наз. составными, вторыя— первоначальными. Первоначальнымъ наз. такое число, которое дѣлится безъ остатка только на само себя и на единицу; составнымъ—такое число, которое, кромѣ единицы и самаго себя, дѣлится безъ остатка и на другія числа. Первоначальныхъ чиселъ, меньшихъ ста, всего 26:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Рядъ первоначальныхъ чиселъ безконеченъ т.-е. нѣтъ такого первоначальнаго числа, выше котораго всѣ числа были бы уже составными.

33. Чтобы узнать, есть ли взятое число первоначальное или составное, надо дѣлить его послѣдовательно на всѣ числа начиная съ 2-хъ и до числа, предшествующаго взятому для испытанія; если какое-либо изъ этихъ дѣленій совершится безъ остатка, то взятое число—составное, и испытаніе окончено; если же всѣ дѣленія дадутъ остатки, то взятое числопервоначальное. Напр., подвергая такому испытанію число 323, найдемъ, что оно составное, ибо раздѣлится безъ остатка на 17; число же 109 окажется первоначальнымъ, потому что при дѣленіи на всѣ числа, меньше 109-ти, оно даетъ остатки, а на числа, больше 109-ти, оно, очевидно, дѣлиться не можетъ.

Испытаніе можно ограничить одними первоначальными дѣлителями. Въ самомъ дѣлѣ, если взятое число не дѣлится на 3, то оно не раздѣлится ни на 6, ни на 9, ни на 12, вообще ни на одно составное число, которое само дѣлится на 3, потому что всякое число, дѣлящееся напр. на 12, должно, какъ кратное 12-ти, дѣлиться и на 3.

Кромѣ того, испытаніе можно продолжать только до тѣхъ поръ, пока въ частномъ не получимъ числа, которое меньше дѣлителя; напр. испытаніе 109-ти можно кончить дѣленіемъ на 11, которое въ частномъ даетъ число 9, меньше 11-ти. Дѣйствительно, если при дѣленіи на 11 въ частномъ получилось 9, то при дѣленіи на число, большее 11-ти, частное ни въ какомъ случаѣ не можетъ быть больше 9-ти; поэтому если бы 109 раздѣлилось на число больше 11, то оно должно раздѣлиться и на частное отъ этого дѣленія, которое не больше 9-ти и слѣд. меньше 11-ти, а на всѣ числа, меньшія 11-ти, мы пробовали дѣлить 109 и видѣли, что оно не дѣлится.

Но и при такомъ сокращеніи, испытаніе беретъ много времени; поэтому съ давнихъ поръ стали составлять таблицы первоначальныхъ чиселъ въ извѣстномъ предѣлѣ, напр. до 100, до 1000 и т. п. Первая такая таблица принадлежитъ древнему александрійскому ученому Эратосѳену (въ III вѣкѣ до Р. Хр.) и извѣстна подъ именемъ Эратосѳенова рѣшета. Таблица Буркгардта содержитъ всѣ первоначальныя числа до 3 036 000.

34. Разложеніе чиселъ на первоначальныхъ множителей. Разложить число на слагаемыя значитъ представить его въ видѣ суммы нѣсколькихъ чиселъ; разложить число на множителей значитъ представить его въ видѣ произведенія нѣсколькихъ чиселъ.

Всякое число (и первоначальное, и составное) можно разложить на слагаемыя; для этого стоитъ только отъ взятаго числа отнять какое-либо меньшее число, отъ разности отнять другое меньшее ея число и т. д. Напр., отнявъ 20 отъ 37-ми и получивъ въ разности 17, найдемъ, что 37 можно представить въ видѣ суммы двухъ слагаемыхъ: 20-ти и 17-ти. Отнявъ 10 отъ 17-ти и получивъ въ разности 7, разложимъ 37 на три слагаемыхъ: 20, 10 и 7. Точно также найдемъ, что 36 состоитъ изъ слагаемыхъ: 20, 10 и 6. Письменно разложеніе обозначается слѣдующимъ образомъ:

37 = 20 + 10 + 7; 36 = 20 + 10 + 6.

Всякое составное число можно разложить на множителей, отличныхъ отъ единицы и самого числа. Дѣйствительно, всякое составное число дѣлится на какое-либо число, отличное отъ единицы и самого

себя, и слѣд. представляетъ произведеніе этого дѣлителя на частное; напр. 36, какъ составное число, имѣетъ дѣлителя 4 и потому можетъ быть представлено въ видѣ произведенія 4-хъ на частное 9, которое получится отъ дѣленія 36-ти на 4. Письменно разложеніе обозначается слѣдующимъ образомъ:

36 = 4.9.

Первоначальное число дѣлится безъ остатка только на единицу и на само себя и отъ перваго дѣленія даетъ въ частномъ само себя, а отъ второго—единицу; поэтому первоначальное число можно представить только въ видѣ произведенія этого числа на единицу; т.-е. первоначальное число нельзя разложить на множителей, отличныхъ отъ единицы и отъ взятаго числа.

35. Если мы разложимъ составное число на двухъ множителей, и каждый изъ этихъ множителей или одинъ изъ нихъ будетъ составнымъ числомъ, то въ первомъ случаѣ обоихъ множителей, а во второмъ составного, можно въ свою очередь замѣнить произведеніемъ двухъ множителей; тогда взятое число будетъ представлено въ видѣ произведенія трехъ или четырехъ множителей. Если какой-либо изъ нихъ окажется составнымъ числомъ, то его можно опять замѣнить произведеніемъ двухъ множителей, и такую замѣну можно продолжать до тѣхъ поръ, пока всѣ множители не будутъ первоначальными. Напр., разложивъ 36 на множителей 4 и 9, мы можемъ перваго изъ нихъ разложить на множителей 2 и 2, а второго—на множителей 3 и 3, и такимъ образомъ представить 36 въ видѣ произведенія четырехъ множителей:

36 = 2.2.3.3.

Далѣе разложеніе уже нельзя продолжать, такъ какъ всѣ найденные множители—первоначальные. Отсюда видимъ, что каждое составное число есть произведеніе первоначальныхъ множителей, или, какъ говорятъ часто: составное число разлагается на первоначальныхъ множителей, или состоитъ изъ первоначальныхъ множителей.

36. Чтобы составное число разложить на первоначальныхъ множителей, можно поступать такъ же, какъ мы поступали при разложеніи 36-ти, т.-е. данное составное число можно разложить спе-

рва на какихъ-либо двухъ множителей, затѣмъ каждаго множителя, если онъ составной, замѣнять произведеніемъ двухъ чиселъ и продолжать такую замѣну до тѣхъ поръ, пока всѣ множители не будутъ первоначальными. Напр., чтобы разложить 48 на первонач. множителей, замѣчаемъ, что 48 = 6.8, что 6 = 2.3 и 8 = 2.2.2; слѣд. 48 = 2.3.2.2.2. Также найдемъ:

Изложенный пріемъ удобенъ, когда данное число не велико или легко разлагается на множителей, напр. оканчивается нулями, 25-ю и т. п. Вообще же при разложеніи на первоначальныхъ множителей дѣлятъ взятое число, если можно, на 2, полученное частное снова дѣлятъ на 2 и т д., пока не получится число, не дѣлящееся на 2; тогда полученное число дѣлятъ на 3, если оно дѣлится безъ остатка, новое полученное число снова дѣлятъ на 3 и т. д., пока не получится число, не дѣлящееся на 3; затѣмъ такъ же поступаютъ относительно слѣдующихъ по величинѣ первоначальныхъ чиселъ 5, 7 и т. д.,—до тѣхъ поръ, пока въ частномъ не получится единица; произведеніе всѣхъ первоначальныхъ дѣлителей представитъ разложеніе взятаго числа на первоначальныхъ множителей. Вычисленіе располагаютъ слѣдующими двумя способами:

Въ первыхъ двухъ примѣрахъ дѣлимыя отдѣлены отъ дѣлителей общею вертикальною чертой; въ двухъ послѣднихъ примѣрахъ частныя расположены справа отъ дѣлимыхъ и

отдѣлены отъ нихъ вертикальными чертами, а дѣлители написаны надъ этими чертами.

Чтобы убѣдиться, что 2 100 есть произведеніе найденныхъ первонач. дѣлителей, разсуждаемъ слѣдующимъ образомъ: изъ перваго дѣленія слѣдуетъ, что 2100 = 2.1050; изъ второго же имѣемъ: 1050 = 2.525; слѣд. 2100 = 2.2.525; изъ третьяго дѣленія имѣемъ: 525=3.175; слѣд. 2100=2.2.3.175; изъ четвертаго дѣленія имѣемъ: 175 = 5.35; слѣд. 2100 = 2.2.3.5.35; изъ пятаго дѣленія имѣемъ 35 = 5.7; слѣд. 2100 = 2.2.3.5.5.7. Такъ же убѣдимся, что

1800=2.2.2.3.3.5.5; 10 659=3.11.17.19; 6325=5.5.11.23.

Для каждаго числа существуетъ только одно разложеніе на первоначальныхъ множителей; т.-е. накъ бы мы ни разлагали взятое число на первонач. множителей, всѣ полученныя разложенія могутъ отличиться другъ отъ друга только порядкомъ множителей, самые множители во всѣхъ разложеніяхъ одни и тѣ же, и каждый изъ нихъ во всѣ разложенія входитъ одинаковое число разъ.

37. Составъ точнаго дѣлителя числа. Чтобы одно число дѣлилось на другое безъ остатка, во второе число должны входить только тѣ первоначальные множители, которые входятъ въ первое, и каждый первоначальный множитель можетъ входить во второе число, самое большее, столько разъ, сколько разъ онъ входитъ въ первое число, а слѣд. въ первое число должны входить всѣ тѣ первоначальные множители, которые входятъ во второе, и каждый первоначальный множитель въ первое число долженъ входить по крайней мѣрѣ столько же разъ, сколько разъ онъ входитъ во второе. Такъ въ точныхъ дѣлителей числа 420 = 2.2.3.5.7 могутъ входить только первоначальные множители 2, 3, 5 и 7, притомъ 2 можетъ входить не болѣе двухъ разъ, 3, 5 и 7 не болѣе одного раза. Легко видѣть, что на число, составленнное такимъ образомъ, 420 раздѣлится безъ остатка. Дѣйствительно, 420 можно разложить на два множителя, изъ которыхъ первый представитъ произведеніе первонач. множителей дѣлителя, а второй—произведеніе остальныхъ первонач. множителей 420-ти, и слѣд. при дѣленіи 420-ти на перваго множителя въ частномъ долженъ получиться второй; напр. для

дѣлителя 28, состоящаго изъ множителей 2, 2 и 7, мы разложимъ 420 на два множителя, изъ которыхъ въ первый будутъ входить первонач. множители 2, 2 и 7, а во второй— остальные первонач. множители 420-ти т.-е. 3 и 5; перемноживъ отдѣльно тѣхъ и другихъ множителей, найдемъ, что 420 = 28.15 и что слѣд. 420:28 = 15. Нетрудно убѣдиться также и въ томъ, что 420 не можетъ раздѣлиться безъ остатка ни на какое число, въ которое войдетъ хотя одинъ первонач. множитель, не входящій въ 420, или въ которомъ одинъ изъ первонач. множителей 420-ти повторится большее число разъ, чѣмъ въ самомъ 420-ти. Дѣйствительно, если предположить, что 420 дѣлится безъ остатка на такое число, въ которое входитъ напр. множитель 11 или въ которое множитель 5 входить два раза, то придется допустить, что и въ 420 входитъ первонач. множитель 11, или что въ 420 первонач. множитель 5 входитъ два раза, потому что въ 420 какъ дѣлимое, должно равняться произведенію дѣлителя на частное и слѣдовательно должно заключать въ себѣ всѣхъ первонач. множителей дѣлителя.

38. Составъ общаго наибольшаго дѣлителя изъ первоначальныхъ множителей. Въ общаго наиб. дѣлителя нѣсколькихъ чиселъ могутъ входить только тѣ первонач. множители, которые входятъ въ каждое изъ данныхъ чиселъ, т.-е. первонач. множители, общіе всѣмъ даннымъ числамъ, потому что общій наиб. дѣлитель есть вмѣстѣ съ тѣмъ точный дѣлитель каждаго даннаго числа; при томъ въ общаго наиб. дѣлителя обязательно должны войти всѣ первонач. множители, общіе даннымъ числамъ, иначе онъ не будетъ наиб. дѣлителемъ. Поэтому, чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ или нѣсколькихъ чиселъ, можно разложить данныя числа на первоначальныхъ множителей и перемножить тѣхъ изъ нихъ, которые входятъ въ каждое данное число. Напр., чтобы опредѣлить общаго наиб. дѣлителя чиселъ 3060 и 3400, разлагаемъ ихъ на первонач. множителей:

и перемножаемъ множителей 2, 2, 5 и 17, общихъ обоимъ числамъ; получаемъ общаго наиб. дѣлителя 2.2.5.17 = 340. Дѣйствительно, и 3060, и 3400 дѣлятся на 340 безъ остатка,

потому что въ 340 входятъ только тѣ первонач. множители, которые входятъ и въ 3060, и въ 3400; кромѣ того, 3060 и 3400 не могутъ имѣть общаго дѣлителя, больше 340-ка, ибо въ число, превышающее 340, должны войти или совсѣмъ иные первонач. множители, или хотя одинъ изъ первонач. множителей 340-ка долженъ повториться большее число разъ сравнительно съ 340-ка; но на такое число не будутъ дѣлиться безъ остатка или оба данныхъ числа, или по крайней мѣрѣ, одно изъ нихъ.

Найти частное отъ дѣленія 3060-ти на 340 значитъ узнать на какое число слѣдуетъ умножить 340, чтобы получить 3060. Сравнивая разложенія на первонач. множителей 3060-ти и 340-ка, мы видимъ, что 340-ка до 3060 недостаетъ первонач. множителей 3 и 3; слѣд. 340 надо умножить на 3.3 = 9 для того, чтобы получить 3060, т.-е. 3060 : 340 = 9. Такъ же найдемъ, что 3400 : 340 = 2.5 = 10. Чтобы найти частное отъ дѣленія одного изъ данныхъ чиселъ на ихъ общаго наибольшаго дѣлителя, надо перемножить тѣхъ первоначальныхъ множителей этого числа, которые не вошли въ составъ общаго наибольшаго дѣлителя.

Вычисленія располагаютъ слѣдующимъ образомъ:

Отысканіе общаго наиб. дѣлителя двухъ чиселъ при помощи разложенія ихъ на первонач. множителей, располагаютъ иногда въ слѣдующемъ видѣ:

выдѣляя общихъ первонач. множителей изъ обоихъ данныхъ чиселъ и перемножая ихъ между собою. Такъ, замѣтивъ, что 840 и 1750 оба дѣлятся на 2, дѣлимъ ихъ на 2 и смотримъ, какого общаго первонач. дѣлителя имѣютъ полученныя частныя 420 и 875. Такимъ дѣлителемъ оказывается 5. Общихъ первонач. множителей 2 и 5 перемножаемъ, а 420 и 875 дѣ-

лимъ на 5; получаемъ частныя 84 и 175, и такимъ образомъ первое число 840 разлагаемъ на множителей 10 и 84, а второе 1750—на множителей 10 и 175. Частныя 84 и 175 имѣютъ общаго первонач. множителя 7. Раздѣливъ ихъ на этого множителя и перемноживъ 10 и 7, разложимъ первое число на множителей 70 и 12, а второе на множителей 70 и 25. Такъ какъ 12 и 25 болѣе не имѣютъ общихъ первонач. множителей, то отысканіе общаго наиб. дѣлителя окончено: общій наиб. дѣлитель есть 70, а частныя отъ дѣленія на него данныхъ чиселъ —12 и 25. Опредѣленіе общаго наиб. дѣлителя значительно сократится, если сразу выдѣлимъ изъ данныхъ чиселъ общаго составного множителя 10, котораго не трудно угадать по виду взятыхъ чиселъ.

Въ нѣкоторыхъ случаяхъ общаго наиб. дѣлителя двухъ чиселъ можно найти, выдѣляя изъ данныхъ чиселъ тѣхъ первоначальныхъ множителей, которыя входятъ только въ въ одно изъ нихъ; напр.

Отсюда совершенно ясно, что общій наиб. дѣлитель данныхъ чиселъ есть 329.

39. Наименьшее кратное двухъ чиселъ. Возьмемъ два числа 540 и 840 и разложимъ ихъ на первонач. множителей:

Чтобы какое-либо число дѣлилось и на 540 и на 840, въ него должны входить всѣ первонач. множители 540-ка и 840-ка. Если возьмемъ произведеніе первонач. множителей 540-ка, т.-е. 2.2.3.3.3.5, то оно, безъ сомнѣнія, раздѣлится на 540, но на 840 дѣлиться не будетъ, потому что въ число дѣлящееся на 840, первонач. множитель 2 долженъ входить по крайней мѣрѣ 3 раза, а въ произведеніе 2.2.3.3.3.5 онъ входитъ только 2 раза; кромѣ того, въ число, дѣлящееся на 840, долженъ входить первонач. множитель 7, а въ произведеніе 2.2.3.3.3.5 этотъ множитель совсѣмъ не входитъ. Поэтому, изъ произведенія 2.2.3.3.3.5 = 540, которое дѣлится на 540, мы получимъ число, дѣлящееся и на 840, если умножимъ его на 2 и на 7. Тогда составится число:

Оно раздѣлится на 540, потому что получилось отъ умноженія 540-ка на 2 и 7; раздѣлится и на 840, потому что въ него входятъ всѣ первонач. множители 840-ка. Никакое число, меньшее 7560-ти, не можетъ раздѣлиться одновременно и на 540 и на 840, потому что въ число 7560 входятъ только тѣ первонач. множители, которые необходимы для того, чтобы оно дѣлилось безъ остатка на каждое изъ взятыхъ нами чиселъ. Дѣйствительно, если мы изъ состава 7560-ти выкинемъ какого-либо изъ его первонач. множителей, то оставшееся произведеніе перестанетъ дѣлиться или на одно изъ данныхъ чиселъ или на оба; напр., если откинемъ множителя 3, то оставшееся произведеніе 2.2.3.3.5.2.7, въ которое множитель 3 входитъ только два раза, не раздѣлится на 540, куда множитель 3 входитъ три раза; если откинемъ множителя 5, то оставшееся произведеніе 2.2.3.3.3.2.7, въ которое совсѣмъ не входитъ множитель 5, не раздѣлится ни на 540, ни на 840, въ которыхъ содержится этотъ множитель. Отсюда заключаемъ, что 7560 = 2.2.3.3.3.5.2.7 есть наименьшее кратное взятыхъ нами чиселъ 540 и 840; слѣд., чтобы составить наименьшее кратное двухъ чиселъ, надо одно изъ нихъ умножить на тѣхъ первонач. множителей другого числа, которые не входятъ въ первое число.

Всякое другое общее кратное 540-ка и 840-ка должно содержать въ себѣ всѣхъ тѣхъ первонач. множителей, которые входятъ въ составъ ихъ наим. кратнаго 7560-ти, потому что иначе оно не будетъ дѣлиться или на одно изъ данныхъ чиселъ или на оба. Напр., число, въ которое множитель 2 входитъ только два раза, не раздѣлится на 840, потому что въ 840 множитель 2 входитъ три раза; число, въ которое совсѣмъ не входитъ множитель 5, не раздѣлится ни на 540 ни на 840, въ которыя этотъ множитель входитъ. Если же въ общее кратное должны входить всѣ первонач. множители наим. кратнаго, то общее кратное двухъ чиселъ должно безъ остатка дѣлиться на ихъ наим. кратное.

40. Найдемъ наим кратное чиселъ 3400 и 3060, для чего разлагаемъ ихъ на первонач. множителей:

3400 = 2.2.2.5.5.17; 3060 = 2.2.3.3.5.17.

Произведеніе первонач. множителей 2.2.5.17 = 340, общихъ обоимъ числамъ, есть ихъ общій наиб. дѣлитель, про-

изведеніе 2.5 = 10 первонач. множителей 3400, которые не входятъ въ составъ общаго наиб. дѣлителя, есть частное отъ дѣленія 3400 на общаго наиб. дѣлителя 340; произведеніе 3.3 = 9 тѣхъ первонач. множителей 3060-ти, которые не входятъ въ общаго наиб. дѣлителя 340, есть частное отъ дѣленія 3060-ти на общаго наиб. дѣлителя 340; такъ что:

Поэтому, когда мы для опредѣленія наим. кратнаго 3400 и 3060, первое число 3400 умножимъ на тѣхъ первонач. множителей 3.3 = 9, которыхъ нѣтъ въ первомъ, то полученное произведеніе 340.10.9 = 30 600 представитъ произведеніе 3400 и частнаго отъ дѣленія 3060-ти на общаго наиб. дѣлителя . Отсюда видимъ, что для опредѣленія наим. кратнаго двухъ чиселъ надо найти ихъ общаго наибольшаго дѣлителя, раздѣлить на него одно изъ данныхъ чиселъ и на полученное частное умножить другое данное число. Когда при этомъ общаго наиб. дѣлителя находятъ послѣдовательнымъ дѣленіемъ, то все вычисленіе располагаютъ слѣующимъ образомъ:

41. Наименьшее кратное нѣсколькихъ чиселъ. Чтобы найти наим. кратное трехъ чиселъ 420, 360 и 240, найдемъ сперва наим. кратное двухъ первыхъ, т.-е. 420 и 360-ти:

Наим. кратное трехъ чиселъ 420, 360 и 240 должно дѣлиться на 420 и на 360 безъ остатка, т.-е. оно есть ихъ общее кратное, а потому должно дѣлиться безъ остатка на ихъ наим. кратное 2520. А такъ какъ оно должно дѣлиться безъ остатка и на третье число 240, то наименьшее кратное всѣхъ трехъ чиселъ должно быть общимъ кратнымъ 2520-ти и 240-ка, и

мы найдемъ наим. кратное трехъ чиселъ 420, 360 и 240, если найдемъ наим. кратное для 2520-ти и 240-ка; получимъ:

Найденное число дѣлится безъ остатка на каждое данное число, какъ это очевидно изъ самаго способа его опредѣленія; оно есть наименьшее кратное данныхъ чиселъ, потому что есть наименьшее изъ кратныхъ 2520-ти и 240-ка, а мы видѣли сейчасъ, что наименьшее кратное чиселъ 420-ти, 360-ти и 240-ка должно дѣлиться и на 2520, и на 240.

Если бы были даны четыре числа, то точно такъ же можно показать, что наим. кратное ихъ должно дѣлиться на наим. кратное двухъ первыхъ и на наим. кратное первыхъ трехъ и слѣд. для отысканія наим. кратнаго четырехъ чиселъ надо найти наим. кратное первыхъ двухъ, затѣмъ найти наим. кратное для найденнаго наим. кратнаго и третьяго числа, при чемъ найденное число будетъ наим. кратнымъ трехъ первыхъ чиселъ, и наконецъ найти наим. кратное для наим. кратнаго первыхъ трехъ чиселъ и для четвертаго числа. Вообще, чтобы найти наименьшее кратное нѣсколькихъ чиселъ, надо найти наименьшее кратное для двухъ изъ нихъ, затѣмъ найти наименьшее кратное для найденнаго числа и третьяго изъ данныхъ чиселъ, потомъ наим. кратное для второго найденнаго числа и четвертаго даннаго числа и т. д. до послѣдняго даннаго числа включительно; послѣднее найденное наименьшее кратное есть наименьшее кратное для всѣхъ данныхъ чиселъ.

42. Когда при опредѣленіи наим. кратнаго нѣсколькихъ чиселъ пользуются разложеніемъ ихъ на первонач. множителей, то удобнѣе сперва всѣ данныя числа разложить на первонач. множителей; тогда сразу можно видѣть, изъ какихъ первонач. множителей слѣдуетъ составить наим. кратное, а такъ же легко опредѣлить, изъ какихъ первонач. множителей должны состоять частныя отъ дѣленія наим. кратнаго на каждое данное число. Чтобы найти частное отъ дѣленія наименьшаго кратнаго на одно изъ

данныхъ чиселъ, надо узнать, на какое число слѣдуетъ умножить это данное число, чтобы получить наим. кратное, а для этого надо перемножить тѣхъ первоначальныхъ множителей наименьшаго кратнаго, которые не входятъ въ это данное число. Для чиселъ 220, 280, 350 и 300 вычисленіе можетъ быть расположено слѣдующимъ образомъ:

Здѣсь справа отъ данныхъ чиселъ, за чертою выписаны соотвѣтствующія частныя отъ дѣленія наим. кратнаго на данныя числа.

43. Когда при опредѣленіи наим. кратнаго пользуются способомъ послѣдовательнаго дѣленія, то вычисленіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:

44. При разложеніи чиселъ на первонач. множителей можетъ встрѣтиться число, относительно котораго признаки дѣлимости не даютъ возможности судить, есть ли оно первонач. или составное. Хотя таблица первонач. чиселъ и можетъ разрѣшить этотъ вопросъ, но она не всегда подъ руками, да и при ея помощи мы все-таки не найдемъ первонач. числа, на которое встрѣтившееся число, если оно составное, дѣлится безъ остатка. Такое число приходится или принимать за первонач., или подвергать испы-

танію, дѣля его послѣдовательно на 2, 3, 5, 7 и т. д. Въ первомъ случаѣ мы можемъ сдѣлать ошибку, и тогда, если мы разлагали на первоначальи, множителей для опредѣленія общаго наиб. дѣлителя или наим. кратнаго, то, вмѣсто общаго наиб. дѣлителя, найдемъ только общаго дѣлителя, а вмѣсто наимен. кратнаго — общее кратное. Поэтому при опредѣленіи общаго наиб. дѣлителя и наим. кратнаго для чиселъ, которыя заключаютъ въ себѣ достаточно большихъ первонач. множителей, лучше пользоваться способомъ послѣдовательнаго дѣленія. Чтобы нагляднѣе убѣдиться въ этомъ, возьмемъ числа 4 982 и 4 558 и найдемъ общаго наиб. дѣлителя и наим. кратное обоими способами.

45. При отысканіи наим. кратнаго вычисленія значительно сокращаются, когда одно изъ данныхъ чиселъ дѣлится безъ остатка на каждое изъ остальныхъ.

Въ такомъ случаѣ данное число, дѣлящееся на каждое изъ остальныхъ безъ остатка, очевидно, и есть наименьшее кратное; для опредѣленія частныхъ придется дѣлить его на каждое изъ остальныхъ чиселъ. Напр. для чиселъ 1200, 400 и 300 наим. кратное есть 1200, потому что оно дѣлится безъ остатка и на 300, и на 400; частныя получимъ, раздѣливъ 1200 на 300 и на 400.

46. Когда данныя числа совсѣмъ не имѣютъ общихъ первонач. множителей, то наименьшее кратное равно произведенію ихъ, идля опредѣленія частнаго отъ дѣленія наименьшаго кратнаго на какое-либо изъ данныхъ чиселъ, надо перемножить остальныя данныя числа. Наприм., для опредѣленія наим. кратнаго 175, 88 и 117 надо перемножить данныя числа, потому что если бы мы ихъ разложили на первонач. множителей:

175 = 5.5.7, 88 = 2.2.2.11, 117 = 3.3.13,

то въ составъ наим. кратнаго пришлось бы взять не только всѣхъ множителей перваго числа, но и всѣхъ множителей второго и всѣхъ множителей третьяго числа, такъ что наим. кратное равнялось бы

5.5.7X2.2.2.11X3.3.13, т.-е. 175 . 88 . 117.

47. Какое число наз. кратнымъ даннаго числа? — 2) Какое число наз. точнымъ дѣлителемъ даннаго числа?—3) Какія числа наз. четными?—какія— нечетными?—4) Что наз. общимъ дѣлителемъ двухъ или нѣсколькихъ чиселъ?—5) Что наз. общимъ наибольшимъ дѣлителемъ двухъ или нѣсколькихъ чиселъ?—6) Какія числа паз. взаимно-первыми?—какія—взаимно-составными?—7) Что наз. общимъ кратнымъ двухъ или нѣсколькихъ чиселъ?— 8) Какъ можно найти общее кратное нѣсколькихъ чиселъ?—9) Что назыв. наименьшимъ кратнымъ двухъ или нѣсколякихъ чиселъ?—10) Что наз. признакомъ дѣлимости? —11) Какія числа дѣлятся безъ остатка на 10, 100, 1000 и т. д.?—12) Какія числа дѣлятся безъ остатка на 2?—на 5?—13) Какой признакъ дѣлимости на 4? — на 25? — 14) Какія числа дѣлятся безъ остатка на 8? — на 125? — 15) Какой признакъ дѣлимости на 9? — на 3? — 16) Какое число дѣлится безъ остатка на 6? —17) На чемъ основано отысканіе общаго наиб. дѣлителя? —18) Какъ найти общаго наиб. дѣлителя двухъ чиселъ способомъ послѣдовательнаго дѣленія?—19) Всегда ли этимъ способомъ можно найти общаго наиб. дѣлителя?—20) Каковы между собою частныя отъ дѣленія данныхъ чиселъ на ихъ общаго наиб. дѣлителя?— 21) Какое число наз. первоначальнымъ?—какое—составнымъ?—22) Каковъ рядъ первонач. чиселъ?—23) Какъ узнать, есть ли данное число первонач., или составное? — 24) Какъ можно разложить всякое число? — какъ можно разложить составное число? — какъ можно разложить первонач. число? — 25) Какъ разложить составное число на первоначальныхъ множителей?— сколько такихъ разложеній существуетъ для каждаго числа?—26) Изъ какихъ первонач. множителей состоитъ точный дѣлитель даннаго числа?— 27) Какъ найти общаго наиб. дѣлителя помощію разложенія данныхъ чиселъ на первонач. множителей?—какъ найти при этомъ частныя отъ дѣленія данныхъ чиселъ на общаго наиб. дѣлителя?— 28) Какъ найти наимен. кратное двухъ чиселъ? — 29) Какъ найти наим. кратное нѣсколькихъ чиселъ?—30) Какъ найти частныя отъ дѣленія наим. кратнаго на данныя числа?—31) Въ какихъ случаяхъ отысканіе наим. кратнаго можетъ быть упрощено?—32) Какъ въ этихъ случаяхъ найти наим. кратное?

III.

Сокращеніе дробей и приведеніе дробей къ одному знаменателю.

48. Сокращеніе дробей есть такое преобразованіе вида дробей, помощію котораго данная дробь выражается въ болѣе крупныхъ доляхъ единицы. Чтобы сократить дробь, можно послѣдовательно дѣлить ея числителя и знаменателя на ихъ общихъ дѣлителей. Напр., чтобы сократить дробь 432%5605 замѣчаемъ, что числитель и знаменатель ея оканчиваются нулями и, слѣд., дѣлятся безъ остатка на 10, поэтому сокращаемъ ее на 10 и получаемъ 432/756. Въ полученной дроби числитель и знаменатель дѣлятся на 4, потому что въ обоихъ десятки вмѣстѣ съ единицами дѣлятся на 4; поэтому сокращаемъ ее на 4 и получаемъ 108/189. Въ этой дроби числитель и знаменатель дѣлятся безъ остатка на 9, ибо въ каждомъ изъ нихъ сумма цыфръ дѣлится на 9; поэтому сокращаемъ ее на 9 и получаемъ 12/21. Наконецъ, въ послѣдней дроби числитель и знаменатель дѣлятся на 3; сокративъ ее на 3, получаемъ окончательно 4/7. Вычисленіе располагается слѣдующимъ образомъ:

49. Когда по виду числителя и знаменателя трудно опредѣлить ихъ общихъ дѣлителей то надо найти ихъ общаго наибольшаго дѣлителя и сократить дробь на этого общаго наиб. дѣлителя. Напр., если бы, пользуясь признаками дѣлимости, стали сокращать дробь 14532/242205 то могли бы сократить ее только на 4 и нашли бы, что

Найдя же общаго наибольшаго дѣлителя между числителемъ и знаменателемъ:

можемъ сократить ее на 4844 и найдемъ, что

Здѣсь мы нашли общаго наиб. дѣлителя между числителемъ и знаменателемъ послѣдовательнымъ дѣленіемъ; при отысканіи же общаго наиб. дѣлителя помощію разложенія на первоначальныхъ множителей, вычисленіе можетъ быть расположено слѣдующимъ образомъ:

50. Сокращая дробь на общаго наиб. дѣлителя между числителемъ и знаменателемъ, мы получаемъ дробь, числитель и знаменатель которой — числа взаимно - первыя и которая уже больше не можетъ быть сокращена. Дробь, числитель и знаменатель которой — числа взаимно-первыя, наз. несократимой или неприводимой. Всѣ дроби, получаемыя при вычисленіяхъ, слѣдуетъ приводить къ несократимымъ дробямъ.

51. Приведеніе дробей къ одному знаменателю есть такое преобразованіе вида дробей, помощью котораго двѣ или большее число дробей выражаются въ одинаковыхъ доляхъ единицы.

Выразить несократимую дробь въ иныхъ доляхъ сравнительно съ тѣми, въ которыхъ она выражена, можно только помощью умноженія ея числителя и знаменателя на одно и то же число; поэтому каждую несократимую дробь можно выражать только въ такихъ доляхъ, знаменатели которыхъ суть числа кратныя ея знаменателя; напр. 5/12 можно выраразить въ 24-хъ, 36-хъ, 48-хъ и т. д. доляхъ, но нельзя выразить ни въ 25-хъ, ни въ 40-хъ доляхъ. Чтобы выразить какую-либо несократимую дробь въ доляхъ, знаменатель которыхъ есть кратное ея знаменателя, надо новаго знаменателя раздѣлить на знаменателя дроби и на полученное частное умножить ея числителя и знаменателя; напр. чтобы 5/12 выразить въ 60-хъ доляхъ, дѣлимъ 60 на 12 и умножаемъ числителя и знаменателя 5/і2 на. полученное частное 5; получаемъ 25/в0.

Отсюда слѣдуетъ, что нѣсколько несократимыхъ дробей можно выразить только въ такихъ одинаковыхъ доляхъ единицы, знаменатель которыхъ есть кратное для знаменателя

каждой изъ этихъ дробей; т.-е. общій знаменатель нѣсколькихъ несократимыхъ дробей есть общее кратное знаменателей всѣхъ этихъ дробей. Поэтому, для приведенія дробей къ одному знаменателю находятъ наименьшее кратное ихъ знаменателей и умножаютъ числителя и знаменателя каждой дроби на частное, получаемое отъ дѣленія найденнаго кратнаго на ея знаменателя; отъ этого величина дроби не измѣнится, а знаменателемъ ея сдѣлается наименьшее кратное.

52. Когда даны двѣ дроби, то вычисленіе располагаютъ однимъ изъ слѣдующихъ способовъ:

Примѣръ 1. Привести къ одному знаменателю дроби

Примѣръ 2. Привести къ общему знаменателю

Примѣръ 3. Привести къ одному знаменателю

53. Когда дано болѣе двухъ дробей, то можно сперва привести къ одному знаменателю двѣ изъ данныхъ дробей, потомъ одну изъ приведенныхъ и третью и т. д. до послѣдней дроби включительно. Послѣ приведенія послѣднихъ двухъ дробей, нетрудно уже докончить преобразованіе тѣхъ изъ

данныхъ дробей, которыя при этомъ были преобразованы только отчасти. Напр., чтобы привести къ одному знаменателю дроби 25/и, 37/40, 17/’72 и 19/50, приводимъ двѣ первыя дроби:

Затѣмъ приводимъ къ одному знаменателю 125/240 и третью дробь 17/72:

Наконецъ, приводимъ къ одному знаменателю

четвертую дробь

Окончательно находимъ:

Вычисленіе займетъ меньше мѣста, если мы начнемъ съ приведенія къ одному знаменателю дробей 17/72 и 1э/50. Тогда будемъ имѣть:

54. Можно такъ же сразу найти наименьшее краткое для всѣхъ знаменателей данныхъ дробей и привести всѣ дроби къ этому знаменателю. Для взятаго нами примѣра будемъ имѣть:

55. Когда знаменатели данныхъ дробей не заключаютъ въ себѣ общихъ первоначальныхъ множителей, то наименьшее кратное всѣхъ знаменателей равно ихъ произведенію, и для приведенія дробей къ одному знаменателю надо умножить числителя и знаменателя каждой дроби на произведеніе знаменателей остальныхъ дробей. Напр. для приведенія къ одному знаменателю дробей 3/5, 2/7 и %, надо умножить числителя и знаменателя первой дроби на 7.8, числителя и знаменателя второй на 5 . 8 и числителя и знаменателя третьей на 5.7. Такимъ образомъ найдемъ:

Этимъ пріемомъ можно привести къ одному знаменателю и такія дроби, знаменатели которыхъ содержатъ общихъ первоначальныхъ множителей, но только общій знаменатель будетъ не наименьшимъ.

56. Когда одинъ изъ знаменателей взятыхъ дробей дѣлится безъ остатка на каждаго изъ остальныхъ, то этотъ знаменатель есть наименьшее кратное всѣхъ знаменателей и слѣд. есть общій наименьшій знаменатель данныхъ дробей; для приведенія къ нему надо только числителя и знаменателя каждой дроби умножить на частное отъ дѣленія общаго знаменателя на знаменателя этой дроби. Напр. для дробей эт/зоо> 41Аоо и іоз/і2оо общимъ знаменателемъ будетъ 1200, ибо 1200 дѣлится безъ остатка и на 300, и на 400. Такъ какъ 1200:300=4, а 1200:400 = 3, то найдемъ:

57. Совершенно такъ же, какъ къ одному знаменателю, можно приводить дроби и къ одному числителю, но этимъ преобразованіемъ дробей почти никогда не приходится пользоваться; оно можетъ быть замѣнено (когда напр. надо сравнить по величинѣ двѣ дроби съ разными знаменателями и разными числителями) приведеніемъ дробей къ одному знаменателю.

58. Вопросы. 1) Какое преобразованіе дроби наз. сокращеніемъ?— 2) На какомъ свойствѣ дробей основано ихъ сокращеніе? — 3) Какъ сокращаютъ дроби?—4) Всякую ли дробь можно сократить?—5) Какая дробь наз. несократимой?—6) Какъ надо поступать, чтобы получить послѣ сокращенія неприводимую дробь?—7) Какое преобразованіе дробей наз. приведеніемъ къ одному знаменателю? — 8) Ко всякому ли знаменателю можно привести данную дробь?—9) Каковъ долженъ быть общій знаменатель по отношенію къ знаменателямъ данныхъ дробей?—10) Какъ привести къ одному знаменателю двѣ дроби?—11) Какъ привести къ одному знаменателю нѣсколько дробей? —12) Какъ привести къ одному знаменателю дроби, знаменатели которыхъ не имѣютъ общихъ первоначальныхъ множителей? —13) Какъ привести къ одному знаменателю дроби, одинъ изъ знаменателей которыхъ есть кратное остальныхъ? —14) Какъ приводить дроби къ одному числителю?

IV.

Четыре дѣйствія съ дробями.

59. Сложеніе. Чтобы сложить дроби съ одинаковыми знаменателями, надо сложить ихъ числителей; полученное число будетъ числителемъ искомой суммы, а знаменателемъ ея будетъ знаменатель данныхъ дробей; напр.

Чтобы сложить дроби съ разными знаменателями, надо привести ихъ къ одному знаменателю и затѣмъ складывать, какъ въ предыдущемъ случаѣ; напр.

Чтобы сложить смѣшанныя числа, надо цѣлыя числа сложить съ цѣлыми, а дроби съ дробями: напр.

60. Въ очень многихъ случаяхъ полезно привести къ одному знаменателю и сложить сперва двѣ изъ данныхъ дробей, затѣмъ полученную дробь сложить съ третьей дробью и т. д. до послѣдней дроби включительно. Вычисленіе можетъ упроститься вслѣдствіе того, что отъ сложенія двухъ дробей можетъ получиться дробь сократимая или неправильная; сокративъ полученный результатъ или исключивъ изъ него цѣлое число, мы можемъ значительно облегчить дальнѣйшее вычисленіе. Можно сложить сперва двѣ дроби, которыя нетрудно привести къ одному знаменателю, затѣмъ сложить двѣ другія и т. д. и наконецъ сложить полученныя суммы. Приведемъ нѣсколько примѣровъ.

Прим. 1-й.

Прим. 2-й.

Прим. 8-й.

61. Вычитаніе есть дѣйствіе обратное сложенію; поэтому, при вычитаніи дробей съ одинаковыми знаменателями надо изъ числителя уменьшаемой дроби вычесть числителя вычитаемой дроби; полученное число будетъ числителемъ искомой разности, а знаменателемъ ея будетъ знаменатель данныхъ дробей; напр.

При вычитаніи дробей съ разными знаменателями надо привести ихъ къ одному знаменателю и затѣмъ поступать какъ въ предыдущемъ случаѣ; напр.

При вычитаніи смѣшанныхъ чиселъ, надо цѣлыя вычитать изъ цѣлыхъ, а дроби изъ дробей. Если уменьшаемая дробь меньше вычитаемой, то въ уменьшаемомъ надо занять единицу у цѣлаго числа и, обративъ ее вмѣстѣ съ уменьшаемой дробью въ неправильную дробь, выполнить вычитаніе; такъ же слѣдуетъ поступать, когда уменьшаемое—цѣлое, а вычитаемое—смѣшанное число; напр.

62. Сумма и разность дробей сохраняютъ всѣ свойства суммы и разности цѣлыхъ чиселъ. Такъ, сумма дробей не измѣняется отъ перестановки слагаемыхъ; чтобы къ какой-либо дроби прибавить сумму нѣсколькихъ дробей, можно прибавить сперва одно слагаемое, къ полученной суммѣ— другое слагаемое и т. д., до послѣдняго слагаемаго включительно; чтобы изъ какой-либо дроби вычесть сумму нѣсколькихъ дробей, можно сперва вычесть первое слагаемое, изъ полученной разности вычесть второе слагаемое и т. д. до послѣдняго слагаемаго включительно; чтобы къ какому-либо числу прибавить разность двухъ дробей, можно къ этому числу прибавить уменьшаемую дробь и вычесть вычитаемую дробь; а чтобы изъ какого-либо числа вычесть разность двухъ дробей можно къ этому числу прибавить вычитаемую дробь и изъ полученной суммы вычесть уменьшаемую дробь и т. д;. Дѣйствительно, напр. двѣ суммы:

отличающіяся другъ отъ друга порядкомъ слагаемыхъ, равны между собою, потому что онѣ соотвѣтственно равны дробямъ:

у которыхъ знаменатель одинъ и тотъ же 18, а числители равны, какъ суммы цѣлыхъ чиселъ, отличающіяся другъ отъ друга только порядкомъ слагаемыхъ. Чтобы изъ ®/15 вычесть сумму 4/15 и 3/15, можно изъ 8/15 сперва вычесть 4/15, а потомъ изъ полученной разности вычесть 3/15, потому что:

Такъ же можно показать и справедливость остальныхъ свойствъ суммы и разности въ примѣненіи къ дробямъ.

Изъ опредѣленія вычитанія слѣдуетъ, что если къ разности придать отнятыя отъ уменьшаемаго единицы и доли единицы, т.-е. если придать вычитаемое, то получится уменьшаемое, и что слѣд. для опредѣленія вычитаемаго надо изъ уменьшаемаго вычесть разность; что всякое число, прибавленное или отнятое отъ уменьшаемаго, соотвѣтственно при-

бавляется или отнимается отъ разности; что всякое, число прибавленное къ вычитаемому, отнимается отъ разности, а отнятое отъ вычитаемаго—прибавляется къ разности.

63. 1) Какъ складываютъ дроби?—какъ складываютъ смѣшанныя числа?—2) Какъ вычитаютъ дроби? — какъ вычитаютъ смѣшанныя числа? — какъ изъ цѣлаго числа вычесть смѣшанное?—3) Какими свойствами обладаетъ сумма дробныхъ чиселъ?—4) Какъ измѣняется сумма при измѣненіи слагаемыхъ? — 5) Какъ по вычитаемому и разности опредѣлить уменьшаемое?—6) Какъ по уменьшаемому и разности опредѣлить вычитаемое?— 7) Какъ измѣняется разность при измѣненіи уменьшаемаго? — 8) Какъ измѣняется разность при измѣненіи вычитаемаго? — 9) При какихъ измѣненіяхъ въ уменьшаемомъ и вычитаемомъ разность остается безъ измѣненія?—10) Какъ повѣрить сложеніе и вычитаніе дробныхъ чиселъ?

64. Опредѣленіе части числа. Чтобы найти 3/8 доли 40-ка, сперва опредѣлимъ Vs долю этого числа, для чего 40 раздѣлимъ на 8, получимъ 5; затѣмъ, чтобы найти 3/8 доли 40-ка, останется полученное частное 5 умножить на 3,—получимъ 15. Точно такъ же, для опредѣленія 4/7 долей 2*+, опредѣляемъ сперва */, долю этого числа, для чего дѣлимъ 2*/10 на 7 и получаемъ 3/10, а затѣмъ уже находимъ 4/7 доли 2*/10, умножая полученное частное 3/10 на 4; получаемъ 12/і0 = 6/5 = 11/5. Опредѣленіе нѣсколькихъ долей какого-либо числа станемъ называть опредѣленіемъ части этого числа, при чемъ подъ словомъ часть будемъ разумѣть не только одну долю, но также и нѣсколько долей единицы или какого-либо числа. Такимъ образомъ, чтобы найти часть какого-либо числа, надо это число раздѣлить на знаменателя дроби, показывающей, какую часть числа требуется опредѣлить, и полученное частное умножить на числителя той же дроби. Дѣля данное число на знаменателя дроби, мы опредѣляемъ одну его долю, а умножая полученное частное на числителя, опредѣляемъ требуемое число долей этого числа. Результатъ не измѣнится отъ перемѣны порядка этихъ двухъ дѣйствій; т.-е. данное число можно сперва умножить на числителя, а затѣмъ полученное произведеніе раздѣлить на знаменателя, потому что напр. 5/8 каждаго числа составляютъ столько же, сколько */8 числа, которое въ 5 разъ больше, а чтобы найти у8 числа, которое въ 5 разъ больше даннаго, надо данное число умножить на 5 и это произведеніе раздѣлить на 8.

65. Умноженіе на дробь. Совокупность двухъ дѣйствій, необходимыхъ для опредѣленія части какого-либо числа, т.-е. дѣленіе этого числа на знаменателя дроби и умноженіе частнаго на ея числителя, принимается за одно дѣйствіе — умноженіе взятаго числа на эту дробь. Раздѣливъ 40 на 8 и умноживъ частное на 3, мы 40 умножили на 3/8; раздѣливъ 2*/10 на 7 и умноживъ полученное частное на 4, мы умножили 2‘/10 на 4/7. Такимъ образомъ умножить какое-либо число на дробь значитъ опредѣлить такую часть множимаго, какую показываетъ множитель; для умноженія на дробь надо множимое раздѣлить на знаменателя дроби (опредѣлить одну долю множимаго) и полученное частное умножить на числителя дроби (найти требуемое число долей множимаго).

При умноженіи на дробь произведеніе должно быть меньше множимаго, когда множитель есть дробь правильная, потому что тогда мы отъ множимаго беремъ меньше долей, чѣмъ заключается во всемъ множимомъ; произведеніе должно быть больше множимаго, когда множитель есть дробь неправильная, потому что тогда мы отъ множимаго беремъ больше долей, чѣмы ихъ заключается во всемъ множимомъ.

Произведеніе всякаго числа на единицу ровно множимому, а на нуль равно нулю.

66. Умноженіе цѣлаго числа на дробь. Прилагая выведенное правило къ умноженію цѣлаго числа па дробь, найдемъ, что для умноженія цѣлаго числа на дробь надо цѣлое число раздѣлить на знаменателя дроби и полученное частное умножить на ея числителя. Это правило удобно въ тѣхъ случаяхъ, когда цѣлое число дѣлится безъ остатка на знаменателя дроби, напр. при умноженіи 240 на 5/16. Когда же цѣлое число не дѣлится безъ остатка на знаменателя дроби, то удобнѣе цѣлое число сперва умножить на числителя дроби и уже полученное произведеніе раздѣлить на ея знаменателя; напр., чтобы 25 умножить на 3/10, можно 25 сперва умножить на числителя 3 и полученное произведеніе 75 раздѣлить на знаменателя 10; потому что, раздѣливъ 25 на знаменателя 10, мы получили бы дробь 25/10, для умноженія которой на числителя 3 при-

шлось бы 25 умножить на 3, и слѣд. въ концѣ концовъ пришлось бы произведеніе 25 на числителя 3 раздѣлить на знаменателя 10. Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:

67. Умноженіе дроби на дробь. Чтобы 4/, умножить на 2/5, т.-е. найти двѣ пятыхъ доли отъ 4/7, надо 4/7 сперва раздѣлить на 5 (найти 5-ю долю 4/7), а для этого надо знаменателя 4/7 умножить на 5,—получимъ 4/35; затѣмъ это частное 4/35 надо умножить на 2 (найти 2/5 доли 4/7), а для этого надо числителя 4/35 умножить на 2; получимъ 8/35. Отсюда видимъ, что для умноженія дроби на дробь, надо произведеніе ихъ числителей раздѣлить на произведеніе знаменателей. Дѣйствіе располагается слѣдующимъ образомъ:

Во второмъ примѣрѣ раньше, чѣмъ выполнено перемноженіе числителей и перемноженіе знаменателей, произведено сокращеніе 15-ти съ 25-ю па 5 и 16 съ 12-ю на 4, вслѣдствіе чего вычисленіе значительно облегчилось. Чтобы оправдать такое сокращеніе множителей числителя съ множителями знаменателя, замѣтимъ, что дѣля на одно и то же число, напр. на 5, одного изъ множителей числителя и одного изъ множителей знаменателя, мы дѣлимъ на это число всего числителя и всего знаменателя, ибо для того, чтобы раздѣлить произведеніе цѣлыхъ чиселъ (а таковы множители числителя и множители знаменателя) на какое-либо цѣлое же число, достаточно раздѣлить на это число одного изъ множителей.

68. Умноженіе смѣшанныхъ чиселъ. Умножить 44/11 на 24/д значитъ взять 44/п слагаемыхъ 2 раза и прибавить къ этой суммѣ 4/э доли 44/п; поэтому для умноженія 4‘/и на 24/э можно 44/п умножить на 2, потомъ 44/п умножить на */9 и сложить эти два произведенія. А чтобы 44/п умножить на 2, можно умножить на 2 отдѣльно 4 и 4/и и полученныя произведенія сложить; чтобы 44/и умножить на 4/9, можно умножить на 4/9 отдѣльно 4 и 4/(1 и полученныя произведенія сложить. Такимъ образомъ получимъ:

Замѣтимъ, что про такое умноженіе часто говорятъ, что 44/п взяли 2 и 4/9 раза или увеличили въ 24/9 раза.

Но 24/9 = 22/9, поэтому умножить 44/п на 24/9 все равно, что 44/и умножить на 22/9. Точно такъ же и множимое 44/п можно обратить въ неправильную дробь 48/п. Тогда получимъ:

Отсюда видимъ, что для умноженія смѣшанныхъ чиселъ или можно отдѣльно умножить цѣлое число и дробь множимаго на цѣлое число множителя и на дробь множителя и полученныя произведенія сложить, или можно смѣшанныя числа обратить въ неправильныя дроби и перемножить эти дроби.

Какъ и въ данномъ примѣрѣ, въ большей части случаевъ второй пріемъ ведетъ къ сокращенію вычисленій; но въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ полезно пользоваться первымъ пріемомъ; напр.

69. Свойства умноженія на дробь. Умноженіе па цѣлое число и умноженіе на дробь съ перваго взгляда представляются дѣйствіями различными между собою. Умножая на цѣлое число, мы беремъ множимое слагаемымъ нѣсколько разъ и слѣд. всегда получаемъ въ результатѣ число, большее множимаго въ нѣсколько разъ; умножая же на дробь, мы опредѣляемъ нѣсколько долей множимаго и въ результатѣ можемъ получить и число меньше множимаго, когда множитель—правильная дробь, и число больше множимаго, когда множитель—неправильная дробь. Но, несмотря на это, умноженіе на дробь подчиняется тѣмъ же основнымъ законамъ, что и умноженіе на цѣлое число. Такъ и при дроб-

ныхъ множителяхъ произведеніе не измѣняется отъ перестановки множителей. Дѣйствительно, напр. 4/7Х2/5 — 2/sX4X потому что отъ обоихъ умноженій мы получимъ дроби, числители и знаменатели которыхъ соотвѣтственно будутъ отличаться только порядкомъ цѣлыхъ множителей (числитель первой дроби 4.2, числитель второй 2.4; знаменатель первой дроби 7.5, знаменатель второй 5.7) и потому будутъ равны между собою. Точно такъ же 25 X 3/ю = 3/іо X 25, потому что оба произведенія имѣютъ одного и того же знаменателя 10, числители же ихъ отличаются только порядкомъ цѣлыхъ множителей (числитель перваго произведенія 25.3, числитель второго 3.25). Отъ умноженія одного изъ производителей на какое-либо число, на то же число умножается и произведеніе. Дѣйствительно, если мы въ произведеніи 4/7 на 2/5, которое равно 4‘2/7.5, умножимъ, напр., множителя на 3, то найдемъ:

послѣдняя же дробь получится, если мы прежнее произведеніе 4'2/7,5 умножимъ на 3. Чтобы сумму или разность двухъ чиселъ умножить на дробь, можно умножить на дробь каждое число отдѣльно и полученныя два произведенія въ первомъ случаѣ сложить, а во второмъ вычесть. Напр., чтобы сумму 4/7 и 2/3 умножить на 2/5, надо эту сумму раздѣлить на 5, для чего слѣдуетъ каждое слагаемое раздѣлить на 5 и частныя сложить; затѣмъ полученное число 4/7,5 + 2/3.5 надо умножить на 2, для чего каждое слагаемое надо умножить на 2 и произведенія сложить; получимъ Такимъ образомъ найдемъ:

Прилагая сюда свойство произведенія — не измѣняться отъ перестановки множителей, найдемъ:

т.-е. чтобы какое-либо число умножить на сумму двухъ чиселъ, надо его умножить на каждое

слагаемое отдѣльно и полученныя произведенія сложить. Послѣднія два свойства можно приложить къ умноженію смѣшанныхъ чиселъ.

Множитель и при умноженіи на цѣлое число, и при умноженіи на дробь есть число отвлеченное, потому что показываетъ, сколько разъ множимое слѣдуетъ взять слагаемымъ (цѣлый множитель) или какую часть множимаго требуется опредѣлить (дробный множитель).

70. Дѣленіе дробей. Въ цѣлыхъ числахъ мы видѣли, что въ дѣленіи по произведенію и одному изъ множителей опредѣляется другой множитель. То же соотношеніе между умноженіемъ и дѣленіемъ сохраняютъ и въ дробныхъ числахъ, т.-е. раздѣлить значитъ по произведенію и одному изъ множителей опредѣлить другого множителя, при чемъ данное произведеніе есть дѣлимое, данный множитель—дѣлитель, а искомый—частное. Согласно съ этимъ опредѣленіемъ, каждое дѣленіе рѣшаетъ два вопроса: 1) какое число слѣдуетъ умножить на дѣлителя, чтобы получить дѣлимое; 2) на какое число слѣдуетъ умножить дѣлителя, чтобы получить дѣлимое. Другими словами, частное можно разсматривать или какъ множимое, или какъ множителя.

71. Дѣленіе на цѣлое число. Раздѣлить какое-либо число на 12 значитъ найти: 1) какое число надо умножить на 12, т.-е. какое число надо взять слагаемымъ 12 разъ, чтобы получить дѣлимое; 2) на какое число слѣдуетъ умножить 12, чтобы получить дѣлимое.

Первый вопросъ требуетъ разложенія дѣлимаго на 12 равныхъ слагаемыхъ, другими словами, требуетъ опредѣленія одной изъ столькихъ равныхъ частей дѣлимаго, сколько единицъ въ дѣлителѣ. И относительно дѣленія цѣлаго числа на цѣлое, и относительно дѣленія дроби на цѣлое число, мы этотъ вопросъ уже рѣшали.

72. Второй вопросъ получаетъ различный смыслъ въ зависимости отъ того, будетъ ли дѣлимое меньше, или больше дѣлителя.

Пусть дѣлимое меньше дѣлителя, напр. раздѣлимъ 8 на 12; это, согласно съ требованіемъ вопроса, значитъ узнать, на какое число надо умножить 12, чтобы получить 8. Такъ какъ 8 меньше 12-ти, то 12 надо умножить на дробь, меньшую единицы, чтобы получить 8; слѣд., дѣля 8 на 12, мы

узнаемъ, на какую дробь надо умножить 12, чтобы получить 8, или какую часть надо взять отъ 12-ти, чтобы получить 8; другими словами: какую часть 8 составляетъ отъ 12-ти. Единица отъ 12-ти составляетъ Ѵі2> а 8 единицъ составятъ 8/12 или 2/3; слѣд.

Точно такъ же, при дѣленіи дроби 8/9 на 12, мы узнаемъ, какую часть дѣлимое 8/9 составляетъ отъ дѣлителя 12-ти. Единица отъ 12-ти составляетъ */12 долю, % отъ 12-ти составитъ долю въ 9 разъ мельче, т.-е. Ѵюв» а 8/а составятъ

Отъ 12-ти часть въ 8 разъ больше, т.-е. 8/іт==2/^ слѣд.

Когда дѣлимое больше дѣлителя то для полученія дѣлимаго надо дѣлителя умножитъ на число, большее единицы, т.-е. или на цѣлое число, или на цѣлое число съ дробью. Когда частное есть число цѣлое, то мы узнаемъ, сколько разъ надо взять слагаемымъ дѣлителя, чтобы получить дѣлимое, т.-е. сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ. Какъ производится дѣленіе цѣлыхъ чиселъ въ этомъ случаѣ, мы уже разсмотрѣли въ первой части этой книги.

Когда частное есть число дробное, то, разсматривая его какъ неправильную дробь, можемъ сказать, что и здѣсь ищемъ, на какую дробь надо умножить дѣлителя, чтобы получить дѣлимое, т.-е. узнаемъ, какую часть дѣлимое составляетъ отъ дѣлителя, при чемъ понятіе о части должно быть расширено въ томъ смыслѣ, что часть можетъ быть и больше цѣлаго. Напр., раздѣлить 44 на 12 значитъ узнать, на какую дробь слѣдуетъ умножить 12, чтобы получить 44, т.-е. узнать, какую часть 44 составляетъ отъ 12-ти. Разсуждаемъ по предыдущему: 1-ца отъ 12-ти составляетъ */12, а 44 составятъ 44/12 = 11/î. Исключивъ изъ этой дроби цѣлое число, получимъ 32/3 и скажемъ, что для полученія 44 надо 12 умножить на 32/3, т.-е. надо взять 12 слагаемымъ 3 раза, затѣмъ найти 2/3 отъ 12-ти и полученныя числа сложить; обыкновенно принято говорить, что 12 въ 44-хъ содержится 32/3 раза.

73. Итакъ дѣленіе на цѣлое число рѣшаетъ два вопроса: 1) найти одну изъ столькихъ равныхъ частей дѣлимаго, сколько единицъ въ дѣлителѣ; 2) найти, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ или какую часть дѣлитель составляетъ отъ дѣлимаго. Частное отъ дѣленія двухъ цѣлыхъ чиселъ есть дробь, числитель которой равенъ дѣлимому, а знаменатель— дѣлителю. Чтобы дробь раздѣлить на цѣлое число, надо на это число умножить знаменателя дроби, оставивъ безъ перемѣны ея числителя, или раздѣлить на это число числителя, оставивъ безъ перемѣны знаменателя.

74. Дѣленіе на дробь. Раздѣлить какое-либо число на 3/5 значитъ найти: 1) какое число слѣдуетъ умножить на 3/5, чтобы получить дѣлимое; 2) на какое число слѣдуетъ умножить 3/5, чтобы получить дѣлимое. Такъ какъ умножить искомое число на 3/5 значитъ найти 3/5 искомаго числа, то въ первомъ вопросѣ дѣлимое заключаетъ въ себѣ 3/5 искомаго числа и слѣд. этотъ вопросъ приводится къ опредѣленію такого числа, 3/5 котораго равны дѣлимому. Такъ, дѣля 24 на 3/5, мы найдемъ число, 3/5 котораго равны 24; дѣля 9/20 на 3/5, найдемъ число, 3/5 котораго равны э/20. Для опредѣленія искомаго числа, надо сперва найти ‘Д долю его и для этого дѣлимое (24 или 9/20), въ которомъ заключается 3 доли искомаго числа, раздѣлить на 3 (получимъ 24 : 3 = 8, 9/20 : 3 = 3/20), а затѣмъ, чтобы найти все искомое число, надо полученное отъ этого дѣленія частное (въ первомъ примѣрѣ 8, во второмъ 3Ло)? составляющее */5 долю искомаго числа, умножить на 5; для перваго примѣра получимъ 8.5 = 40, для второго 3/2о • & = 3/4. Отсюда видимъ: чтобы раздѣлить какое-либо число на дробь, надо дѣлимое раздѣлить на числителя (найти одну долю искомаго числа) и полученное частное умножить на знаменателя (найти все искомое число).

Порядокъ этихъ двухъ дѣйствій можетъ быть измѣненъ, т.-е. дѣлимое можно сперва умножить на знаменателя и произведеніе раздѣлить на числителя. Дѣйствителено: такъ какъ въ дѣлимомъ заключается 3/5 доли искомаго числа, то умноживъ дѣлимое на 5, получимъ утроенное искомое число (въ первомъ примѣрѣ 24.5 = 120, во второмъ 9/20 . 5 = 9/4),

а потому раздѣливъ полученное произведеніе на 3, получимъ искомое число (въ первомъ примѣрѣ 120 : 3 = 40, во второмъ 9/4:3 = з/4).

Если 1-цу раздѣлимъ на какую-либо дробь, напр. на 3/5, то получимъ дробь 5/3, числитель который есть знаменатель дѣлителя, а знаменатель—числитель дѣлителя. Такая дробь по отношенію къ дѣлителю наз. обращеннымъ дѣлителемъ или числомъ, обратнымъ дѣлителю. И вообще числомъ, обратнымъ данному, наз. частное отъ дѣленія 1-цы на данное число. Произведеніе даннаго числа на обратное ему есть 1-ца. Сравнивая умноженіе и дѣленіе на дробь, легко видѣть, что дѣленіе каждаго числа на дробь равносильно умноженію того же числа, а умноженіе равносильно дѣленію того же числа на обращенную дробь. Дѣйствительно, чтобы какое-либо число раздѣлить на дробь 3/5 и чтобы то же число умножить на обращенную дробь Б/3, одинаково приходится это число дѣлить на 3 и частное множить на 5. Поэтому правило дѣленія на дробь можно выразить въ слѣдующей формѣ: чтобы какое-либо число раздѣлить на дробь, надо дѣлимое умножить на обращеннаго дѣлителя. Прилагая это правило къ приведеннымъ примѣрамъ, получимъ:

Замѣтимъ, что это правило обнимаетъ и дѣленіе на цѣлое число, ибо раздѣлить на 12 все равно, что умножить на Ѵіз-

75. Второй вопросъ при дѣленіи на дробь приводится, какъ и при дѣленіи на цѣлое число, къ вопросу, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ или какую часть дѣлимое составляетъ отъ дѣлителя. Такъ, дѣля 24 на 3/5, т.-е. находя, на что слѣдуетъ умножить 3/5, чтобы получить 24, мы скажемъ, что 3/5 надо умножить на число, большее единицы, и что, слѣд., мы будемъ опредѣлять, сколько разъ 3/5 содержится въ 24-хъ. Такъ какъ въ каждой единицѣ */6 содержится 5 разъ, то въ 24 единицахъ Vs будетъ содержаться 5 . 24 = 120, а 3/5 въ 24-хъ единицахъ будетъ содержаться въ 3 раза меньше, чѣмъ Ѵ8, т.-е. 120 : 3 = 40 разъ.

Если при дѣленіи въ результатѣ получится смѣшанное число, напр.

то, какъ и при дѣленіи на цѣлое число, говорятъ, что 4/5 въ 30-ти содержится 37 съ половиною разъ.

При дѣленіи 2/7 на 3/5 скажемъ, что 3/5 надо умножить на число, меньшее единицы, для того, чтобы получить 2/7, слѣд. дѣля 2/7 на 3/5, мы опредѣлимъ, какую часть 2/7 составляетъ отъ 3/5. Чтобы понятнѣе рѣшить этотъ вопросъ, приведемъ обѣ дроби къ одному знаменателю; тогда придется опредѣлить, какую часть 10/35 составляетъ отъ 21/35. Такъ какъ У35 составляетъ Ѵ21 отъ 21/35, то 10/35 отъ 21/85—составятъ 10/21.

Относительно перваго примѣра очевидно, что выведенное выше правило дѣленія сохраняется и для второго вопроса дѣленія; то же самое слѣдуетъ сказать и про второй примѣръ, гдѣ частное 10/21 есть произведеніе 2/7 на 5/3, т.-е. произведеніе дѣлимаго на обращеннаго дѣлителя.

76. Итакъ, дѣленіе на дробь рѣшаетъ два вопроса: 1) опредѣлить число, часть котораго, выражаемая дѣлителемъ, равна дѣлимому, или короче опредѣлить цѣлое по его части; 2) опредѣлить, сколько разъ дѣлитель содержится въ дѣлимомъ или какую часть дѣлимое составляетъ отъ дѣлителя. Чтобы раздѣлить какое-либо число на дробь, надо дѣлимое умножить на обращеннаго дѣлителя.

77. Замѣтимъ, что какъ при дѣленіи на цѣлое число, такъ и при дѣленіи на дробь, дѣлитель есть число отвлеченное, когда узнаемъ, какое число надо умножить на дѣлителя, чтобы получить дѣлимое. Дѣлитель указываетъ при рѣшеніи этого вопроса, на сколько слагаемыхъ разлагается дѣлимое или какую часть дѣлимое составляетъ отъ частнаго; частное и дѣлимое въ этомъ случаѣ однородны, ибо одно изъ нихъ есть часть другого. При рѣшеніи другого вопроса дѣленія дѣлимое и дѣлитель однородны и одно изъ нихъ есть часть другого; частное же есть число отвлеченное и показываетъ, во сколько разъ дѣлимое больше дѣлителя или какую часть дѣлимое составляетъ отъ дѣлителя.

Частное можетъ быть и меньше дѣлимаго (когда дѣлитель больше единицы), и равно дѣлимому (когда дѣлитель равенъ единицѣ), и больше дѣлимаго (когда дѣлитель меньше единицы).

Дѣленіе дробныхъ чиселъ сохраняетъ всѣ основныя свойства дѣленія цѣлыхъ чиселъ. Такъ, отъ умноженія дѣлителя на какое-либо число, частное дѣлится на то же число; отъ дѣленія дѣлителя на какое-либо число, частное умножается на то же число; отъ умноженія дѣлимаго и дѣлителя или отъ ихъ дѣленія на одно и то же число, частное не измѣняется и т. д.

Чтобы показать справедливость перваго положенія, умножимъ въ дѣленіи

дѣлителя на 4/5’? тогда найдемъ:

То же число мы получимъ, если прежнее частное зл/4,4 умножимъ на %, т.-е. если раздѣлимъ его на 4/5.

78. Дѣленіе смѣшанныхъ чиселъ. Чтобы смѣшанное число раздѣлить на смѣшанное, надо обратить ихъ въ неправильныя дроби и раздѣлить эти дроби. Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:

Въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ можно съ пользою отступать отъ этого правила, дѣля на дѣлителя отдѣльно цѣлое число дѣлимаго и дробь дѣлимаго и складывая полученныя частныя; напр.

79. 1) Какъ найти часть какого-либо числа?—2) Что больше: 2/7 отъ 8/2і или 8/21 отъ 2/7?— 3) Что больше: 5/8 X 12 или 5/8 отъ 12-ти? — 4) Изъ какихъ двухъ дѣйствій слагается умноженіе на дробь? — 5) Что значитъ умножить на дробь?—6) Какъ умножить на дробь?—7) Что опредѣляютъ, дѣля множимое на знаменателя множителя?-Что опредѣляютъ, умножая это частное на числителя множителя?—8) Какъ умножить цѣлое число на дробь?—9) Какъ умножить дробь на дробь?—10) Какъ умножить смѣшанное число на смѣшанное?—11) Показать, что основныя свойства умноженія цѣлыхъ чиселъ распространяются и на умноженіе дробныхъ чиселъ.—12) Что значитъ раздѣлить одно число на другое?—Сколько вопросовъ рѣшаетъ каждое дѣленіе?—13) Какіе вопросы могутъ рѣшаться дѣленіемъ на цѣлое число?—14) Что представляетъ собою частное отъ дѣленія какихъ угодно цѣлыхъ чиселъ?—15) Какъ дробь раздѣлить на цѣлое число? -16) Какіе вопросы могутъ рѣшаться дѣленіемъ на дробь?—17) Какъ раздѣлить на дробь?—18) Что находятъ, дѣля дѣлимое на числителя дѣлителя?—Что находятъ, умножая полученное частное па знаменателя дѣлителя?—19) Что находятъ, умножая дѣлимое на знаменателя дѣлителя?— Что находятъ, дѣля это произведеніе на числителя дѣлителя?—20) Что назѣвается обращеннымъ числомъ? — 21) Какимъ правиломъ можно замѣнить всѣ правила о дѣленіи на дробь?—22) При рѣшеніи какихъ вопросовъ дѣленія дѣлитель долженъ быть числомъ отвлеченнымъ?—Каковы тогда должны быть между собою дѣлимое и частное?—23) При рѣшеніи какихъ вопросовъ дѣленія частное получается отвлеченное?—Каковы тогда должны быть между собою дѣлимое и дѣлитель?—24) Какія изъ свойствъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ сохраняетъ дѣленіе дробныхъ чиселъ?—25) Какъ раздѣлить смѣшанное число на смѣшанное?

V.

Именованныя дробныя числа.

80. Раздробленіе простого именованнаго дробнаго числа, какъ и раздробленіе цѣлаго именованнаго числа, приводится къ умноженію па это число единичнаго отношенія мѣры, въ которой оно выражено, къ мѣрѣ, въ которой его требуется выразить. Напр., чтобы 25/8 кв. аршина раздробить въ кв. вершки, надо 256 умножить на 25/8, потому что одинъ кв. аршинъ содержитъ въ себѣ 256 кв. вершковъ, 2 кв. аршина содержатъ въ себѣ 2 раза по 256 кв. вершк., да ®/8 кв. аршина содержатъ въ себѣ 5/8 долей 256 кв. вершк., слѣд. 256 кв. вершк. надо взять слагаемымъ 2 раза и къ

этой суммѣ прибавить еще 5/8 долей 256 кв. вершк., т.-е. надо 256 кв. вершк. умножить на 25/8; получимъ:

Раздробленіе составныхъ дробныхъ именованныхъ чиселъ производится такъ же, какъ и раздробленіе цѣлыхъ составныхъ именованныхъ чиселъ.

81. Превращеніе простого дробнаго именованнаго числа, какъ и превращеніе цѣлаго именованнаго числа, производится помощью дѣленія этого числа на единичное отношеніе мѣры, въ которой требуется его выразить, къ мѣрѣ, въ которой оно выражено; напр., чтобы 813/5 час. превратить въ сутки, надо 813/5 раздѣлить на 24, потому что въ суткахъ 24 часа, а изъ 813/5 часовъ выйдетъ столько сутокъ, сколько разъ 24 содержится въ 813/5; получимъ:

Чтобы 1 333Уз кв. саженъ превратить въ десятины, надо 1 333!/з раздѣлить на 2 400, потому что въ десятинѣ 2 400 кв. саженъ, и 1 3331/3 кв. сажени составятъ такую часть десятины, какую 1 ЗЗЗУз составляютъ отъ 2 400; получимъ:

82. При производствѣ дѣйствій надъ составными именованными числами иногда бываетъ полезно выражать ихъ въ единицахъ какого-либо промежуточнаго наименованія между единицами высшаго и низшаго наименованія, входящими въ его составъ; тогда единицы высшаго наименованія придется раздроблять въ единицы промежуточнаго наименованія, а единицы низшаго наименованія превращать въ еди-

ницы того же промежуточнаго наименованія; напр., чтобы 2 пуд. 20 фун. 23 лот. 12/5 зол. выразить въ фунтахъ, надо 2 пуда раздробить въ фунты, а 23 лот. 12/5 золоти, превратить въ фунты; получимъ:

83. Сложеніе и вычитаніе дробныхъ именованныхъ чиселъ можно производитъ такъ же, какъ сложеніе и вычитаніе цѣлыхъ именованныхъ чиселъ, при чемъ слѣдуетъ наблюдать, чтобы дроби находились только при единицахъ низшаго наименованія; но можно также всѣ данныя числа приводить въ единицы одного наименованія и затѣмъ складывать и вычитать ихъ какъ числа отвлеченныя. Напр., чтобы сложить 1 кб. саж. 180 кб. ф. 720 кб. д. съ 1 кб. саж. 22О17/зо кб. ф. и съ ,39/420 кб. сажени, приводимъ всѣ данныя числа въ кб. футы:

затѣмъ складываемъ полученныя числа:

Чтобы изъ 237 пуд. 7 ф. 3 лот. 12/3 зол. вычесть 159 пуд.

122 3 фунт., раздробляемъ 2/3 фунт. въ лоты и золотники:

затѣмъ вычитаемъ:

84. Умноженіе дробныхъ составныхъ именованныхъ чиселъ можно производить такъ же, какъ и умноженіе цѣлыхъ именованныхъ чиселъ, но проще множимое выразить въ единицахъ одного какого-либо наименованія и полученное число умножить на множителя; напр., чтобы умножить 11 чтв. 3 чтк. 8/45 грнц. на б1/^, превращаемъ 3 чтк. 8/45 грнц. въ четверти:

затѣмъ умножаемъ:

85. Дѣленіе дробнаго составного именованнаго числа на отвлеченное число можно производить такъ же, какъ и дѣленіе цѣлаго составного именованнаго числа, но проще дѣлимое выразить въ единицахъ одного какого-либо наименованія и дѣлить на дѣлителя какъ отвлеченное число; напр., чтобы 10 пуд. 35 фунт. 17 лот. 2 -і зол. раздѣлить на 2Ц-, превращаемъ 35 ф. 17 лотовъ 2 -g зол. въ пуды:

затѣмъ дѣлимъ:

Чтобы раздѣлить именованное число на именованное, надо ихъ выразить въ единицахъ одного наименованія и дѣлить какъ отвлеченныя числа; напр.,

выражаемъ дѣлимое и дѣлителя въ квадр, аршинахъ:

затѣмъ дѣлимъ полученныя числа:

86. 1) Какъ раздробляютъ именованныя дробныя числа?—2) Какъ превращаютъ дробныя именованныя числа?—3) Какъ составное именованное дробное число выразить въ единицахъ одного промежуточнаго наименованія?—4) Какъ складываютъ и вычитаютъ именованныя дробныя числа?— 5) Какъ умножить составное дробное именованное число на цѣлое число?— На дробь?—6) Какъ раздѣлить именованное число на отвлеченное?—7) Какъ раздѣлить именованное число на именованное?

VI.

Десятичныя дроби (десятичныя числа).

87. Десятичныя доли. Если единицу раздѣлимъ на 10 равныхъ долей, одну изъ полученныхъ долей снова раздѣлимъ на 10 равныхъ долей, одну изъ вновь полученныхъ долей опять раздѣлимъ на 10 равныхъ долей и т. д., то получимъ десятыя, сотыя, тысячныя и т. д. доли единицы, которыя наз. десятичными долями единицы. Знаменатель каждой десятичной доли есть 10 или степень 10-ти, т.-е. или 10, или 100, или 1 000 и т. д.

Десятичныя доли единицы находятся между собою въ такомъ же отношеніи, какъ и единицы различныхъ разрядовъ въ цѣлыхъ числахъ, а именно: каждыя десять какихъ-либо десятичныхъ долей составляютъ слѣдующую болѣе крупную десятичную долю, (десять стотысячныхъ долей составляютъ одну десятитысячную долю, десять тысячныхъ долей составляютъ одну сотую и т. д.), каждая десятичная доля въ десять разъ больше непосредственно слѣдующей за ней болѣе мелкой десятичной доли и въ десять разъ меньше непосредственно слѣдующей за ней болѣе крупной доли. Самая крупная десятичная доля — десятая — въ такомъ же отношеніи находится къ цѣлой единицѣ, т.-е. десять десятыхъ долей составляютъ цѣлую единицу. Такимъ образомъ, десятичныя доли составляютъ собою единицы разрядовъ, низшихъ, чѣмъ простыя единицы, и ихъ можно назвать единицами дробныхъ разрядовъ. Вслѣдствіе этого обозначеніе и дѣйствія съ дробями, состоящими изъ десятичныхъ долей единицы, допускаютъ значительныя упрощенія сравнительно съ обозначеніемъ и дѣйствіями надъ дробями, состоящими изъ другихъ долей единицы. Дроби, состоящія изъ десятичныхъ долей единицы и потому имѣющія знаменателемъ 10 или степень 10-ти, наз. десятичными дробями; а числа, состоящія

изъ цѣлыхъ единицъ и десятичныхъ долей единицы— десятичными числами.

88. Обозначеніе десятичныхъ чиселъ. Всякое десятичное число можетъ быть разложено на слагаемыя, изъ которыхъ каждое заключаетъ въ себѣ единицы только одного разряда въ количествѣ не больше 9-ти; напр., 2347/100 состоитъ изъ 2-хъ десятковъ, 3-хъ единицъ, 4-хъ десятыхъ долей и 7-ми сотыхъ долей. Поэтому на письменное обозначеніе десятичныхъ чиселъ можно распространить условія, принятыя для обозначенія цѣлыхъ чиселъ. Для этого означаютъ запятой, откуда слѣдуетъ считать мѣста цыфръ, и влѣво отъ запятой обозначаютъ единицы цѣлыхъ разрядовъ, а вправо — единицы дробныхъ разрядовъ. Такимъ образомъ, на первомъ мѣстѣ влѣво отъ запятой ставятъ единицы, на второмъ — десятки, на третьемъ — сотни и т. д., а на первомъ мѣстѣ вправо отъ запятой—десятыя доли, на второмъ—сотыя доли, на третьемъ — тысячныя доли и т. д. Сообразно съ этимъ, написавши

305,4205

мы обозначаемъ 3 сотни, 5 единицъ, 4 десятыхъ доли 2 сотыхъ доли и 5 десятитысячныхъ долей.

Когда въ числѣ нѣтъ единицъ цѣлыхъ разрядовъ, то на мѣстѣ простыхъ единицъ ставятъ нуль. Такимъ образомъ, написавъ

0,0574,

обозначимъ 5 сотыхъ, 7 тысячныхъ и 4 десятитысячныхъ доли.

Цыфры, означающія десятичныя доли единицы, принято называть десятичными знаками.

89. Въ предыдущемъ параграфѣ, при чтеніи обозначеній десятичныхъ чиселъ, мы указывали разрядъ каждой цыфры; но обыкновенно обозначеніе десятичнаго числа читаютъ какъ дробь, числитель которое есть цѣлое число, которое получится, если запятую въ десятичномъ числѣ отбросить, а знаменатель есть знаменатель долей, обозначаемыхъ послѣдней справа цыфрой десятичнаго числа. Напр., послѣднее изъ приведенныхъ обозначеній читаютъ такъ: 574 десятитысячныхъ, потому что по закону десятичной системы цыфра 7 означаетъ единицы въ 10 разъ крупнѣе

тѣхъ, которыя означаетъ цыфра 4, т.-е. обозначаетъ десятки такихъ долей, какія обозначаетъ цыфра 4; цыфра же 5 обозначаетъ единицы въ 100 разъ крупнѣе тѣхъ, которыя означаетъ цыфра 4, т.-е. обозначаетъ сотни такихъ долей, которыя обозначаетъ цыфра 4. Точно такъ же обозначеніе

47,02356

можно прочесть: четыре милліона семьсотъ двѣ тысячи триста пятьдесятъ шесть стотысячныхъ, потому что цыфра 5 означаетъ единицы въ 10 разъ крупнѣе, цыфра 3 — единицы въ 100 разъ крупнѣе, цыфра 2 — единицы въ 1 000 разъ крупнѣе, цыфра 7 — единицы въ 100 000 разъ крупнѣе и цыфра 4 — единицы въ 1 000 000 разъ крупнѣе тѣхъ, которыя обозначены послѣдней слѣва цыфрой 6; т.-е. цыфра 5 обозначаетъ десятки, цыфра 3—сотни, цыфра 2 —тысячи, цыфра 7—сотни тысячъ и цыфра—4 милліоны такихъ долей, какія обозначены послѣдней справа цыфрой 6. На томъ же основаніи обозначеніе

0,005607.

прочтемъ: пять тысячъ шестьсотъ семь милліонныхъ.

Если десятичное число заключаетъ въ себѣ единицы цѣлыхъ и дробныхъ разрядовъ, то можно отдѣльно читать число, составленное изъ единицъ цѣлыхъ разрядовъ, и отдѣльно число, составленное изъ единицъ дробныхъ разрядовъ, при чемъ послѣднее читается такъ же, какъ указано въ предыдущемъ примѣрѣ. Такъ обозначеніе: 47,02356 можно прочесть: 47 цѣлыхъ и 2356 стотысячныхъ.

90. Въ обозначеніи десятичнаго числа всегда столько десятичныхъ знаковъ, сколько нулей въ знаменателѣ. Дѣйствительно, если въ знаменателѣ два нуля (то-есть если знаменатель есть 100), то послѣдняя цыфра слѣва должна означать сотыя доли и слѣдовательно должна стоять на второмъ мѣстѣ вправо отъ запятой; если въ знаменателѣ шесть нулей (то-есть если знаменатель есть 1 000 000), то послѣдняя цыфра слѣва должна стоять на шестомъ мѣстѣ вправо отъ запятой. На основаніи этого можно установить слѣдующее правило для письменнаго

обозначенія десятичныхъ чиселъ. Когда при словесномъ обозначеніи не раздѣлены цѣлые разряды отъ дробныхъ, то для письменнаго обозначенія десятичнаго числа слѣдуетъ написать его числителя и въ написанномъ числѣ отдѣлить запятою столько десятичныхъ знаковъ, сколько нулей въ знаменателѣ; если при этомъ въ знаменателѣ больше цыфръ, чѣмъ въ числителѣ, то къ числителю предварительно слѣдуетъ приписать слѣва столько нулей, сколько въ знаменателѣ лишнихъ цыфръ противъ числителя. Напр., чтобы письменно обозначить пятьдесятъ двѣ тысячи триста семь сотыхъ, надо написать числителя 52307 и отдѣлить запятою въ этомъ числѣ два десятичныхъ знака (знаменатель есть 100); чтобы написать пятьсотъ семь милліонныхъ, надо написать числителя 507, приписать къ нему справа четыре нуля (въ знаменателѣ 1 000 000 четырьмя цыфрами больше, чѣмъ въ числителѣ) и въ обозначеніи 0000507 отдѣлить запятою шесть десятичныхъ знаковъ. Такимъ образомъ напишемъ:

523,07 ; 0,000507.

Когда же въ словесномъ обозначеніи десятичнаго числа цѣлые разряды отдѣлены отъ дробныхъ, то сперва слѣдуетъ написать цѣлое число, отдѣлить его запятою и послѣ запятой писать числителя дроби; если при этомъ въ числителѣ меньше цыфръ, чѣмъ нулей въ знаменателѣ, то послѣ запятой надо сперва поставить столько нулей, сколько цыфръ недостаетъ въ числителѣ сравнительно съ числомъ нулей въ знаменателѣ; напр., чтобы написать 324 цѣлыхъ и 57 десятитысячныхъ, надо написать цѣлое число 324, отдѣлить его запятой, послѣ запятой написать сперва два нуля (въ числителѣ двѣ цыфры, а въ знаменателѣ 10 000 четыре нуля) и затѣмъ числителя. Такимъ образомъ напишемъ: 324,0057.

91. Преобразованія въ обозначеніяхъ десятичныхъ чиселъ. Въ обозначеніи каждаго десятичнаго числа можно справа приписывать сколько угодно нулей и можно откидывать нули, стоящіе справа, не измѣняя величины

обозначеннаго числа. Дѣйствительно, приписавъ къ числу 23,407 одинъ нуль справа, мы получимъ число 23,4070, числитель (234 070) и знаменатель (10 000) котораго въ 10 разъ больше числителя (23 407) и знаменателя (1 000) даннаго числа, а потому полученное число будетъ по величинѣ одинаково съ даннымъ 23,407. Откинувъ въ обозначеніи какого-либо десятичнаго числа нуль, стоящій справа, мы числителя и знаменателя раздѣлимъ на одно и то же число 10, отъ чего величина десятичнаго числа опять не измѣнится.

Неизмѣняемость величины десятичнаго числа отъ приписыванія къ нему справа нулей и откидыванія нулей, стоящихъ справа, можно объяснить еще слѣдующимъ соображеніемъ: мѣста цыфръ въ десятичныхъ числахъ считаются отъ запятой, и потому при приписываніи къ числу нулей справа и при откидываніи нулей, стоящихъ справа, мѣста значащихъ цыфръ, а слѣд. и значенія ихъ, остаются безъ перемѣны. Такимъ образомъ:

25,0750 = 25,075 = 25,07500 = 25,075000,

потому что во всѣхъ этихъ числахъ по 25 цѣлыхъ единицъ, по 7 сотыхъ и по 5 тысячныхъ долей.

92. На этомъ свойствѣ десятичныхъ чиселъ основано ихъ сокращеніе и приведеніе къ одному знаменателю.

Сокращать можно только такія десятичныя числа, обозначенія которыхъ оканчиваются справа нулями. Для сокращенія десятичнаго числа стоитъ только откинуть въ немъ нули, стоящіе справа. Такимъ путемъ мы сократимъ десятичное число на 10, 100, 1 000 и т. д. Сокращеніе на иныя числа приводитъ къ полученію чиселъ, не имѣющихъ десятичной формы; напр., сокративъ 2,5 на 5, получимъ уже не десятичное число 5/г-

Чтобы привести нѣсколько десятичныхъ чиселъ къ одному знаменателю, надо во всѣхъ ихъ сдѣлать одинаковымъ число десятичныхъ знаковъ, для чего къ тѣмъ изъ нихъ, которыя заключаютъ въ себѣ сравнительно съ другими меньшее число десятичныхъ знаковъ, слѣдуетъ приписать справа потребное число нулей. Такъ, чтобы привести къ одному знаменателю числа:

35,7 ; 30,24 ; 27,8045 ,

надо къ первому приписать справа три нуля, а ко второму— два нуля; получимъ:

35,7000 ; 30,2400 ; 27,8045.

93. 1) Какія доли единицы называются дѳсятичпыми?—2) Какимъ условіямъ удовлетворяютъ десятичныя доли?—3) Какая дробь наз. десятичною?—Какое число наз. десятичнымъ?—4) Какое условіе сдѣлано для того, чтобы десятичныя числа можно было обозначать безъ знаменателя?— 5) Какими способами можно читать письменныя обозначенія десятичныхъ чиселъ?—6) Какіе знаки наз. десятичными?—7) Въ какомъ отношеніи находится число десятичныхъ знаковъ въ десятичномъ числѣ и число нулей въ его знаменателѣ?—8) Какъ писать десятичныя числа?—9) При какихъ измѣненіяхъ въ обозначеніи десятичнаго числа величина его остается безъ измѣненія?—10) Какія десятичныя числа можно сокращать и какъ это преобразованіе производится?—11) Какъ десятичныя числа приводятъ къ одному знаменателю?

94. Сложеніе и вычитаніе десятичныхъ чиселъ производится по правиламъ для цѣлыхъ чиселъ, при чемъ въ суммѣ и разности цѣлые разряды отъ дробныхъ отдѣляютъ запятой. Оба дѣйствія начинаютъ съ единицъ низшаго разряда, и данныя числа, чтобы избѣжать недоразумѣній при подписываніи, приводятъ иногда къ одному знаменателю. Приводимъ нѣсколько примѣровъ:

Въ примѣрахъ на сложеніе цыфры, напечатанныя сверху мелкимъ шрифтомъ, показываютъ, сколько единицъ того разряда, надъ которымъ онѣ стоятъ, получено отъ сложенія единицъ предыдущаго низшаго разряда. Въ послѣднемъ примѣрѣ на вычитаніе цѣлое число 7 мы обратили въ десятичное, поставивъ послѣ 7-ми запятую и приписавъ справа отъ запятой столько нулей, сколько десятичныхъ знаковъ въ вычитаемомъ. Самое вычитаніе произведено слѣдующимъ образомъ: чтобы вычесть 5 стотысячныхъ, занимаемъ у 7-ми единицъ уменьшаемаго одну единицу, замѣняемъ ее 10-ю десятыми долями, занимаемъ у нихъ одну десятую, замѣняемъ ее 10-ю сотыми, занимаемъ у нихъ одну сотую,

замѣняемъ ее 10-ю тысячными, занимаемъ у нихъ одну тысячную и, замѣнивъ ее 10-ю десятитысячными, вычитаемъ 5 десятитысячныхъ вычитаемаго изъ этихъ 10-ти десятитысячныхъ уменьшаемаго; тысячныя, сотыя и десятыя доли вычитаемаго придется вычитать изъ 9 тысячныхъ, 9 сотыхъ и 9 десятыхъ, а 5 цѣлыхъ единицъ вычитаемаго изъ 6-ти цѣлыхъ единицъ. Всѣ сдѣланныя въ уменьшаемомъ преобразованія отмѣчены точками.

95. Умноженіе и дѣленіе десятичныхъ чиселъ на 10, 100, 1000 и т. д., на 0,1 , на 0,01 , на 0,001 и т. д. основаны на томъ, что единица каждаго разряда отъ умноженія на 10 даетъ единицу слѣдующаго высшаго разряда, а отъ дѣленія на 10 даетъ единицу слѣдующаго низшаго разряда; напр.

Поэтому отъ умноженія десятичнаго числа на 10, единицы его обращаются въ десятки, десятки — въ сотни и т. д.; десятыя же доли обращаются въ цѣлыя единицы, сотыя доли— въ десятыя, тысячныя доли — въ сотыя и т. д. Отъ дѣленія десятичнаго числа на 10 единицы его обращаются въ десятыя доли, десятки —въ единицы и т. д.; десятыя же доли обращаются въ сотыя, сотыя доли — въ тысячныя и т. д. Чтобы такое обращеніе выполнить письменно, достаточно, въ случаѣ умноженія, перенести во множимомъ запятую вправо на одинъ знакъ, а въ случаѣ дѣленія — переставить запятую въ дѣлимомъ черезъ одинъ знакъ влѣво. Такъ какъ умноженіе и дѣленіе на 100, на 1 000 и т. д. можетъ быть замѣнено послѣдовательнымъ умноженіемъ и дѣленіемъ нѣсколько разъ на 10, то для умноженія и дѣленія десятичныхъ чиселъ на 10, 100, 1 000 и т. д. можно установить слѣдующее правило: чтобы умножить или раздѣлить какое-либо десятичное число на 10, 100, 1 000 и т. д., надо перенести въ немъ запятую, вправо въ случаѣ умноженія и влѣво въ случаѣ дѣленія, на столько знаковъ, сколько нулей въ обозначеніи множителя или дѣлителя; напр.

Умножить на 0,1, на 0,01, на 0,001 и т. д. значитъ найти одну десятую, одну сотую, одну тысячную и т. д. множимаго, а для этого множимое надо раздѣлить на 10, 100, 1 000 и т. д. Раздѣлить на 0,1, на 0,01, на 0,001 и т. д. значитъ найти число, одна десятая, одна сотая, одна тысячная котораго равняется дѣлимому, а для этого дѣлимое надо умножить соотвѣтственно на 10, 100, 1 000 и т. д. Поэтому, чтобы умножить или раздѣлить десятичное число на 0,1, на 0,01, на 0,001 и т. д., надо перенести въ немъ запятую, влѣво въ случаѣ умноженія и вправо въ случаѣ дѣленія, на столько знаковъ, сколько десятичныхъ знаковъ въ обозначеніи множителя или дѣлителя; напр.

5 072,4X0,001 = 5,0724 ; 25,435 : 0,01 = 2 543,5.

Если, при умноженіи или дѣленіи на единицу какого-либо разряда, встрѣтится надобность въ перемѣщеніи запятой на большее число знаковъ, чѣмъ сколько ихъ находится въ данномъ десятичномъ числѣ, то къ его обозначенію слѣдуетъ приписать потребное число нулей съ той стороны, въ которую надо перенести запятую; напр.

2,5 X 0,01 = 0,025 ; 4,75 X1 000 = 4 750.

По выведеннымъ правиламъ можно умножать и дѣлить на единицы различныхъ разрядовъ и цѣлыя числа, разсматривая ихъ какъ десятичныя числа, въ которыхъ запятая стоитъ послѣ цыфры единицъ и въ которыхъ послѣ запятой на всѣхъ мѣстахъ стоятъ нули; напр.

527 : 100 = 5,27 ; 3 875X0,001 = 3,875.

96. Умноженіе какихъ угодно десятичныхъ чиселъ производится по слѣдующему правилу: данныя числа перемножаютъ какъ цѣлыя, не обращая вниманія на запятыя, а затѣмъ въ полученномъ произведеніи отдѣляютъ запятою столько десятичныхъ знаковъ, сколько ихъ находится въ обоихъ множителяхъ; напр.

Правило это вытекаетъ непосредственно изъ правила умноженія простыхъ дробей. Разсматривая десятичныя числа перваго примѣра какъ простыя дроби 425/юо и 24/іо, мы должны для ихъ перемноженія произведеніе числителей 425X24 =10 200 раздѣлить на произведеніе знаменателей 100.10 =1 000; послѣднее же произведеніе содержитъ въ себѣ столько нулей, сколько десятичныхъ знаковъ въ обоихъ множителяхъ, и потому для дѣленія на него 10 200, надо въ 10 200 отдѣлить запятою столько десятичныхъ знаковъ, сколько ихъ въ обоихъ множителяхъ.

Иначе это правило выводится слѣдующимъ образомъ. Перемножая вмѣсто десятичныхъ чиселъ 4,25 и 2,4, цѣлыя числа 425 и 24, мы перваго множителя умножаемъ на 100, а второго на 10, поэтому получаемое произведеніе 10 200 мы должны раздѣлить на 100, чтобы исправить ошибку, произшедшую отъ измѣненія множимаго, а затѣмъ полученное число должны раздѣлить еще на 10, чтобы исправить ошибку, произшедшую отъ измѣненія мпожителя. Для выполненія перваго дѣленія надо въ произведеніи 10 200 отдѣлить два десятичныхъ знака, а для выполненія второго дѣленія въ полученномъ числѣ 102,00 надо переставить запятую еще на одинъ знакъ влѣво; слѣд. всего въ произведеніи придется отдѣлить три десятичныхъ знака, т.-е. столько, сколько ихъ было въ данныхъ множителяхъ.

97. Дѣленіе на цѣлое число производится подобно тому, какъ и дѣленіе цѣлаго числа на цѣлое. Напр., чтобы 315,24 раздѣлить на 80, дѣлимъ сперва 315 цѣлыхъ единицъ на 80; получаемъ въ частномъ 3 единицы и въ остаткѣ 75. Остатокъ 75 обращаемъ въ десятыя доли и приложивъ къ нимъ 2 десятыхъ долп дѣлимаго (для чего достаточно цыфру 2 изъ дѣлимаго снести къ остатку 75), дѣлимъ полученныя такимъ образомъ 752 десятыхъ доли на 80; получаемъ въ частномъ 9 десятыхъ и въ остаткѣ 32 десятыхъ. Этотъ остатокъ обращаемъ въ сотыя доли и, присоединивъ къ нимъ 4 сотыхъ дѣлимаго (для чего опять достаточно къ остатку 32 снести цыфру дѣлимаго 4), дѣлимъ полученныя такимъ образомъ 324 сотыхъ на 80; получаемъ въ частномъ 4 сотыхъ и въ остаткѣ тоже 4 сотыхъ. Этотъ остатокъ обращаемъ въ тысячныя доли (для чего къ нему надо приписать справа

нуль) и полученныя 40 тысячныхъ дѣлимъ на 80. Въ частномъ тысячныхъ не получимъ, почему на ихъ мѣстѣ ставимъ въ частномъ нуль, а 40-тысячныхъ обращаемъ въ десятитысячныя и полученныя 400 десятитысячныхъ дѣлимъ на 80; получаемъ въ частномъ 5 десятитысячныхъ и въ остаткѣ нуль. Всего въ частномъ получимъ 3,9405.

При дѣленіи 3,24 на 15, въ частномъ цѣлыхъ единицъ не получимъ, и потому должны будемъ 3 цѣлыхъ обратить въ десятыя доли и присоединивъ къ нимъ 2 десятыхъ доли дѣлимаго, дѣлить 32 десятыхъ па 15, а затѣмъ продолжать дѣленіе какъ и въ предыдущемъ примѣрѣ.

Такъ же можно производить и дѣленіе цѣлаго числа на цѣлое, когда дѣленіе въ цѣлыхъ числахъ не можетъ быть выполнено. Напр. дѣля 168 на 75, получимъ 2 цѣлыхъ и намъ останется дѣлить 18 цѣлыхъ. Ихъ обращаемъ въ десятыя доли и дѣлимъ 180 десятыхъ на 75. Въ частномъ получимъ 2 десятыхъ и въ остаткѣ 30 десятыхъ. Ихъ обращаемъ въ сотыя доли и дѣлимъ 300 сотыхъ на 75. Въ частномъ получимъ 4 сотыхъ и дѣленіе совершится безъ остатка. Всего въ частномъ получимъ 2,24.

98. Безконечное дѣленіе. Если станемъ дѣлить 225,4 на 12, то послѣ дѣленія 100 сотыхъ получимъ въ остаткѣ 4 сотыхъ, обративъ которыя въ тысячныя, получимъ для дѣленія 40 тысячныхъ. Отъ дѣленія 40 тысячныхъ получимъ въ частномъ 3 тысячныхъ и въ остаткѣ 4 тысячныхъ, которыя дадутъ 40 десятитысячныхъ. Отъ дѣленія 40 десятитысячныхъ въ частномъ получимъ опять 3 десятитысячныхъ и въ остаткѣ 4 десятитысячныхъ, и при каждомъ новомъ дѣленіи будемъ получать въ частномъ все по 3 доли и въ остаткѣ по 4 такихъ же доли, такъ что дѣленіе никогда не окончится. Такое дѣленіе наз. безконечнымъ. Чтобы показать, что дѣленіе безконечное, въ частномъ на концѣ ставятъ нѣсколько точекъ. Частное при безконечномъ дѣленіи не можетъ быть опредѣлено точно въ десятичныхъ доляхъ; для полученія точнаго частнаго, надо привести дѣленіе къ дѣ-

ленію простыхъ дробей; въ нашемъ примѣрѣ тогда получимъ:

99. Опредѣленіе частнаго съ даннымъ приближеніемъ. Если бы 225,4 руб. надо было раздѣлить между 12-ю работниками поровну, то такой раздѣлъ въ дѣйствительности можно было бы выполнить вѣрно только до копѣекъ или до полукопѣекъ, такъ какъ нѣтъ такихъ монетъ, которыми можно уплатить 60-я доли рубля; поэтому при дѣленіи 225,4 рублей на 12 въ этомъ случаѣ надо найти не истинное частное, а такое, которое отъ истиннаго отличалось бы меньше, чѣмъ на одну сотую долю рубля. И во многихъ другихъ вопросахъ, приводящихся къ дѣленію, можетъ встрѣтиться надобность въ опредѣленіи такого частнаго, которое отъ истиннаго отличается меньше чѣмъ на одну какую-либо десятичную долю единицы; или, какъ говорятъ, требуется опредѣлить частное съ приближеніемъ до какой-либо десятичной доли единицы. Въ такомъ случаѣ въ частномъ отбрасываютъ всѣ доли, разрядъ которыхъ ниже требуемаго приближеніемъ, и полученное число принимаютъ за частное. Такъ, въ предыдущемъ дѣленіи 18,7 есть частное, точное до одной десятой доли; 18,78 есть частное, точное до одной сотой доли; 18,783 есть частное, точное до одной тысячной доли и т. д. И дѣйствительно: 18,7 отъ истиннаго частнаго отличается на дробь 0,0833..., которая, очевидно, меньше одной десятой доли; 18,78 отличается отъ истиннаго частнаго на дробь 0,0033..., которая меньше одной сотой доли; 18,783 отличается отъ истиннаго частнаго на дробь 0,00033...., которая меньше одной тысячной, и т. д. Что 18,78 отличается отъ истиннаго частнаго меньше чѣмъ на одну сотую долю, видно еще изъ того, что послѣ дѣленія сотыхъ долей и полученія въ частномъ 8-ми сотыхъ у насъ остался остатокъ, въ которомъ только 4 сотыхъ и отъ дѣленія котораго на 18 въ частномъ получится меньше одной сотой доли.

Для того, чтобы приближенное частное возможно менѣе отличалось отъ истиннаго, послѣднюю цыфру приближеннаго частнаго принято повышать на единицу, если слѣдующая цыфра въ истинномъ частномъ 5 или выше 5-ти.

Такъ, опредѣляя частное, точное до одной десятой доли, мы должны въ предыдущемъ примѣрѣ взять 18,8, потому что въ такомъ случаѣ прибавимъ къ истинному частному меньше двухъ сотыхъ, тогда какъ взявши 18,7 мы отъ истиннаго частнаго откинемъ слишкомъ 8 сотыхъ.

100. Дѣленіе на десятичное число приводятъ къ дѣленію на цѣлое число двумя пріемами; 1) въ дѣлителѣ отбрасываютъ запятую, а въ дѣлимомъ переносятъ запятую вправо на столько знаковъ, сколько десятичныхъ знаковъ въ дѣлителѣ, и дѣлятъ полученныя такимъ образомъ числа; 2) уравниваютъ число десятичныхъ знаковъ въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ, приписывая къ одному изъ нихъ справа потребное число нулей, и дѣлятъ полученныя числа какъ цѣлыя, не обращая вниманія на запятыя. Въ обоихъ способахъ частное получается вѣрное, потому что дѣлимое и дѣлитель умножаются на одно и то же число. Приводимъ нѣсколько примѣровъ:

101. 1) Какъ производятъ сложеніе и вычитаніе десятичныхъ чиселъ?—2) Какъ умножить десятичное число на 10, 100, 1000 и т. д.?— 3) Какъ раздѣлить десятичное число на 10, 100, 1000 и т. д.?—4) Какъ умножить десятичное число на 0,1, на 0,01. на 0,001 и т. д.?—5) Какъ раздѣлить десятичное число на 0,1, на 0,01, на 0,001 и т. д.?—6) Какъ перемножить какія угодно десятичныя числа?—7) Какъ раздѣлить десятичное число на цѣлое?—8) Какъ опредѣлить частное точно до 0,1, до 0,01 и т. д.?— 9) Какъ раздѣлить десятичное число на десятичное?

102. Обращеніе простыхъ дробей въ десятичныя. Когда въ одной и той же задачѣ или въ одномъ и томъ же вычисленіи встрѣчаются дроби простыя и десятичныя, то является необходимость обращать или простыя дроби въ десятичныя, или десятичныя въ простыя. Разсмотримъ сперва первый вопросъ, и для того, чтобы поставить

его опредѣленнѣе, согласимся для обращенія въ десятичныя брать только несократимыя простыя дроби.

Обратить простую дробь въ десятичную—значитъ не измѣняя величины дроби, представить ее въ такомъ видѣ, чтобы знаменатель сталъ 10-ю или степенью 10-ти. Если простая дробь несократима, то достигнуть этого, не измѣняя величины дроби, можно только при помощи умноженія числителя и знаменателя на одно и то же число.

Всѣ степени 10-ти состоятъ только изъ первоначальныхъ множителей 2 и 5, и при томъ оба эти множителя входятъ въ разложеніе каждой степени 10-ти одинаковое число разъ. Напр.

10=2.5, 100=2.2.5.5, 1000=2.2.2.5.5.5, 10000=2.2.2.2.5.5.5.5.

Поэтому знаменатель простой дроби, обращаемой въ десятичную, долженъ быть таковъ, чтобы отъ умноженія его на какое-либо цѣлое число получалось число, содержащее только множителей 2 и 5; а для этого знаменатель не долженъ содержать иныхъ множителей, кромѣ 2 и 5. Чтобы обратить такую дробь, напр. 17/40, въ десятичную, разложимъ ея знаменателя на первоначальныхъ множителей:

40=2.2.2.5.

Такъ какъ въ это разложеніе 2 входитъ три раза, а 5 только одинъ разъ, то чтобы получить изъ 40-ка степень 10-ти, надо 40 умножить на произведеніе 5.5 = 25; а потому для обращенія дроби 17/40 въ десятичную слѣдуетъ числителя и знаменателя умножить на 25; получимъ:

Точно такъ же для обращенія дроби 721/]250 въ Десятичную, разлагаемъ ея знаменателя на первоначальныхъ множителей:

и находимъ, что числителя и знаменателя надо умножить на произведеніе 2.2.2 = 8. Исполнивши это, получимъ:

Отсюда заключаемъ, что въ десятичную обращается такая простая несократимая дробь,

знаменатель которой содержитъ въ себѣ только первоначальныхъ множителей 2 и 5; что для обращенія такой дроби въ десятичную надо ея числителя и знаменателя умножить на произведеніе первоначальныхъ множителей, которыхъ слѣдуетъ добавить въ разложеніе на первоначальныхъ множителей ея знаменателя для того, чтобы въ это разложеніе множители 2 и 5 входили одинаковое число разъ.

103. Такъ какъ каждая дробь есть частное отъ дѣленія числителя на знаменателя, то простыя дроби можно обращать въ десятичныя инымъ способомъ, дѣля числителя на знаменателя по правилу дѣленія десятичнаго числа на цѣлое; тогда получимъ:

Хотя въ каждомъ изъ этихъ примѣровъ дѣлимое совсѣмъ не содержитъ въ себѣ первоначальныхъ множителей 2 и 5, которые входятъ въ дѣлителя (взятыя дроби несократимы), но дѣленіе непремѣнно закончится, потому что, обращая цѣлыя единицы въ десятыя доли, десятыя доли—въ сотыя и т. д., мы съ каждымъ такимъ обращеніемъ вводимъ въ дѣлимое множителей 2 и 5 и, наконецъ, введемъ ихъ столько, что дѣленіе совершится безъ остатка.

104. Безконечныя десятичныя дроби. Если приложимъ послѣдній пріемъ къ простой дроби, знаменатель которой содержитъ въ себѣ, кромѣ 2 и 5, еще иныхъ первоначальныхъ множителей, или совсѣмъ не содержитъ 2 и 5, то дѣленіе будетъ безконечное, потому что дѣлимое не содержитъ въ себѣ первоначальныхъ множителей дѣлителя, и при обращеніи цѣлыхъ единицъ въ десятыя доли, десятыхъ долей въ сотыя и т. д., мы никогда не введемъ тѣхъ первоначальныхъ множителей дѣлителя, которыя отличаются отъ 2 и 5-ти; напр.

Въ первомъ примѣрѣ, для того чтобы дѣленіе совершилось безъ остатка, надо въ дѣлимое ввести первоначальнаго множителя 7, а мы, обращая единицы въ десятыя доли, десятыя въ сотыя и т. д., все вводимъ множителей 2 и 5 и слѣд, никогда не достигнемъ безостаточнаго дѣленія. Во второмъ примѣрѣ, чтобы дѣленіе совершилось безъ остатка, надо въ дѣлимое ввести множителей 2, 2 и 3, а мы, обращая единицы въ десятыя доли, десятыя въ сотыя и т. д., хотя и введемъ множителей 2 и 2, но никогда не введемъ множителя 3 и слѣд. опять не можемъ достигнуть безостаточнаго дѣленія.

Такимъ образомъ отъ */, и 5/п происходятъ такія десятичныя дроби, которыя заключаютъ въ себѣ безконечное множество десятичныхъ знаковъ. Такія десятичныя дроби наз. безконечными въ отличіе отъ дробей, заключающихъ въ себѣ конечное число десятичныхъ знаковъ и называемыхъ конечными десятичными дробями. Простая несократимая дробь, знаменатель которой состоитъ исключительно только изъ первоначальныхъ множителей 2 и 5, обращается въ конечную десятичную, а всякая другая простая несократимая дробь обращается въ безконечную десятичную дробь.

105. Безконечныя десятичныя дроби, происходящія отъ обращенія простыхъ дробей, отличаются отъ другихъ безконечныхъ десятичныхъ дробей свойствомъ періодичности, т.-е. въ нихъ, начиная съ какого - либо мѣста, постоянно повторяются однѣ и тѣ же цыфры въ одномъ и томъ же порядкѣ. Свойство это зависитъ отъ того, что при безконечномъ дѣленіи остатки непремѣнно должны повторяться, такъ какъ каждый остатокъ долженъ быть меньше дѣлителя, и слѣд. различныхъ остатковъ можетъ быть не болѣе, чѣмъ

сколько единицъ въ дѣлителѣ безъ одной. Такъ, при дѣленіи 4 на 7, помощію котораго 4/7 обращается въ десятичную дробь, въ остаткѣ могутъ получаться только слѣдующія шесть чиселъ 1, 2, 3, 4, 5 и 6, и слѣд. по крайней мѣрѣ послѣ шести дѣленій долженъ повториться одинъ изъ прежнихъ остатковъ; при дѣленіи 5 на 12, помощію котораго 5/12 обращается въ десятичную дробь, въ остаткѣ могутъ получаться только числа отъ 1-цы до 11 включительно, и слѣд. по крайней мѣрѣ черезъ 11 дѣленій долженъ повториться одинъ изъ прежнихъ остатковъ. Разъ повторится какой-либо остатокъ (въ первомъ примѣрѣ 4), должно повториться и неполное дѣлимое (40), которое получалось прежде изъ этого остатка, и въ частномъ должна получиться та же цыфра (5), которая прежде получалась отъ такого же неполнаго дѣлимаго, а слѣд. долженъ получиться такой же остатокъ (5), который прежде слѣдовалъ за повторившимся остаткомъ. Если же за первымъ повторившимся остаткомъ (4) повторится слѣдовавшій за нимъ остатокъ (5), то повторится и неполное дѣлимое (50), которое слѣдовало прежде за повторившимся уже неполнымъ дѣлимымъ (40), и въ частномъ получится та же цыфра (7), которая слѣдовала за повторившеюся въ частномъ цыфрой (5). Такимъ образомъ, въ частномъ будутъ повторяться однѣ и тѣ же цыфры въ одномъ и томъ же порядкѣ. Такія безконечныя десятичныя дроби, въ которыхъ, начиная съ какого-либо мѣста, повторяются однѣ и тѣ же цыфры въ одномъ и томъ же порядкѣ, наз. періодическими; повторяющіяся цыфры наз. также періодическими; число, обозначаемое періодическими цыфрами, написанными въ томъ порядкѣ, въ какомъ онѣ слѣдуютъ другъ за другомъ въ дроби, наз. періодомъ. Въ первой полученной нами періодической дроби періодъ есть число 571 428, во второй—6. Если періодъ въ періодической дроби начинается прямо послѣ запятой, то она наз. чистой періодическою дробью; если же періодъ начинается черезъ нѣсколько цыфръ послѣ запятой, такъ что ему предшествуетъ нѣсколько неперіодическихъ цыфръ, то дробь наз. смѣшанной періодической. Дробь 0,571428571428.... чистая періодическая, а дробь 0,41666.... смѣшанная періодическая.

Такъ какъ различныхъ остатковъ при безконечномъ дѣленіи можетъ получиться не болѣе, чѣмъ единицъ въ дѣлителѣ безъ одной, то въ періодѣ періодической

дроби должно быть по крайней мѣрѣ одной цыфрой меньше, чѣмъ единицъ въ знаменателѣ простой дроби, отъ обращенія которой происходитъ періодическая дробь.

Періодическія дроби обозначаются или такъ, какъ мы ихъ обозначали выше, т.-е. періодъ пишется нѣсколько разъ и затѣмъ ставится нѣсколько точекъ, или періодъ пишется одинъ разъ и заключается въ скобки; напр.:

0,575757....= 0,(57); 0,2363636.... = 0,2(36).

106. Обращеніе десятичныхъ дробей въ простыя. Обращеніе конечной десятичной дроби въ простую требуетъ только обозначенія десятичной дроби въ видѣ простой, т.-е. явнаго обозначенія знаменателя десятичной дроби. Обозначивъ конечную десятичную дробь въ видѣ простой, слѣдуетъ, если возможно, сократить эту дробь; напр. :

107. Обращеніе чистой періодической дроби въ простую. Отъ обращенія простой дроби, числитель которой есть единица, а знаменатель число, въ обозначеніе котораго входитъ только цыфра 9, получается чистая періодическая дробь, въ періодѣ которой столько цыфръ, сколько цыфръ въ знаменателѣ простой дроби, при чемъ послѣдняя цыфра періода есть единица, а всѣ предшествующія цыфры— нули; напр.:

На основаніи этого мы можемъ замѣнить простою дробью всякую чистую періодическую дробь, періодъ которой состоитъ изъ 1-цы и нѣсколькихъ предшествующихъ ею нулей; наприм. дробь 0,(00001) можемъ замѣнить дробью .

Чтобы обратить въ простую дробь чистую періодическую дробь иного вида, напр. 0,36 36 36.., раздѣлимъ ее на періодъ 36:

получимъ въ частномъ чистую періодическую дробь 0,010101... про которую знаемъ, что она происходитъ отъ обращенія простой дроби Чоэ? слѣд.

а отсюда на основаніи правила, что дѣлимое есть произведеніе частнаго на дѣлителя, найдемъ:

Такъ же найдемъ, что

Отсюда видимъ, что чистая періодическая дробь обращается въ такую простую дробь, числитель которой есть періодъ, а знаменатель—число, обозначаемое цыфрой 9, написанной столько разъ, сколько цыфръ въ періодѣ.

108. Обращеніе смѣшанной періодической дроби въ простую. Чтобы обратить смѣшанную періодическую дробь 0,24 126 126... въ простую, перенесемъ запятую до періода; тогда получимъ:

А такъ какъ, перенеся запятую до періода, мы умножили періодическую дробь на 100, то

Тамъ же найдемъ, что

Отсюда видимъ, что для обращенія смѣшанной періодической дроби въ простую, надо запятую перенести до періода, въ полученномъ числѣ чистую періодическую дробь обратить въ простую, а затѣмъ полученное смѣшанное число раздѣлить на то число, на которое умножилась смѣшанная періодическая дробь отъ перенесенія запятой до ея періода.

Въ первомъ примѣрѣ въ смѣшанномъ числѣ 24126/999 мы сперва произвели сокращеніе и затѣмъ уже раздѣлили его на 100. Вмѣсто этого, можно смѣшанное число 24126/999 обратить въ неправильную дробь и эту дробь дѣлить на 100. Это тѣмъ удобнѣе, что для обращенія смѣшанаго числа въ неправильную дробь, вмѣсто того чтобы умножать 24 на 999, можно 24 умножить на 1000 и затѣмъ изъ произведенія вычесть 24; тогда будемъ имѣть:

Точно такъ же во второмъ примѣрѣ:

Отсюда видимъ, что смѣшанная періодическая дробь обращается въ такую простую, числитель которой есть разность между числомъ, обозначаемымъ цыфрами, стоящими между запятою и вторымъ періодомъ, и числомъ обозначаемымъ неперіодическими цыфрами, а знаменатель—число, для обозначенія котораго надо написать цыфру 9 столько разъ, сколько цыфръ въ періодѣ, и столько нулей, сколько цыфръ до періода.

109. Совмѣстныя дѣйствія съ десятичными и простыми дробями. Если въ числѣ данныхъ для вычисленія встрѣчаются простыя и конечныя десятичныя дроби, то простыя дроби, если онѣ обращаются въ конечныя десятичныя дроби, можно обращать въ десятичныя дроби; въ противномъ же случаѣ можно десятичныя дроби обращать въ простыя.

110. Дѣйствія съ безконечными десятичными дробями производятъ, ограничиваясь только нѣсколькими десятичными знаками и откидывая всѣ остальные; при этомъ можно разсчитать, на сколько полученные результаты неточны. Напр., если при умноженіи безконечной дроби 3,14159... на 5, мы ограничимся первыми четырьмя десятичными знаками, то полученное произведеніе 15,7075 будетъ отличаться отъ истиннаго меньше чѣмъ на 0,0005, ибо во множимомъ мы откинули дробь 0,00009...., меньшую 0,0001, и слѣд. отъ произведенія откинули 0,00009.... \ 5, что меньше 0,0001X5; вслѣдствіе этого въ произведеніи 15,7075 всѣ три первыхъ десятичныхъ знака будутъ вѣрны, такъ что принявъ, произведеніе равнымъ 15,707, мы ошибемся меньше чѣмъ на 0,001. Если дѣйствія производятся надъ періодическими дробями, то эти дроби можно или обращать въ простыя, или поступать съ ними такъ же, какъ и съ безконечными неперіодическими дробями.

111. Дѣйствія съ десятичными составными именованными числами, выраженными въ метрическихъ мѣрахъ, производятъ, приводя ихъ въ простыя именованныя числа; напр.

3 кб. метр. 25 кб. децим. 12,5 цептим. X 1,6 = 3025,0125 децпм. X 1,6 =4840,02 децим. = 4 кб. м. 840,02 кб. децпм.;

8 килогр. 77 декагр. 5 гр. 2,25 децигр., : 4,5 = 8775,225 гр. :4,5 = 1950,05 гр. = 1 килогр. 950,05 гр.

112. 1) Какія простыя дроби могутъ обращаться въ конечный десятичныя?—2) Какъ обратить простую дробь въ десятичную? — 3) Когда отъ обращенія простой дроби въ десятичную получается безконечная десятичная дробь?—отчего это зависитъ?—4) Отчего безконечная десятичная дробь, получаемая отъ обращенія простой, есть вмѣстѣ съ тѣмъ и періодическая?—5) Какъ велико наибольшее число цыфръ періода?—6) Какъ обратить конечную десятичную дробь въ простую? — 7) Какъ обратить чистую періодическую дробь въ простую?—8) Какъ обратить смѣшанную періодическую дробь въ простую?

ПРИЛОЖЕНІЯ АРИѲМЕТИКИ.

I.

Отношенія.

1. Сравненіе величинъ и чиселъ. При сравненіи двухъ однородныхъ величинъ можно задаваться слѣдующими вопросами: 1) на сколько одна изъ нихъ больше или меньше другой, 2) во сколько разъ одна изъ нихъ больше или меньше другой, 3) какую часть одна изъ нихъ составляетъ отъ другой. Напр., при сравненіи аршина и фута, можно задаться вопросами: 1) на сколько аршинъ больше фута, 2) во сколько разъ аршинъ больше фута, 3) какую часть футъ составляетъ отъ аршина. Для рѣшенія этихъ вопросовъ относительно каждаго рода величинъ существуютъ особые пріемы, одинаковые съ пріемами измѣренія величинъ этого рода; напр. въ геометріи указывается, какъ рѣшить эти вопросы для двухъ какихъ угодно прямыхъ линій, и эти пріемы можно приложить къ выбраннымъ нами прямымъ— аршину и футу. Если же величины измѣрены и выражены числами, то рѣшеніе этихъ вопросовъ относительно величинъ сводится къ рѣшенію подобныхъ же вопросовъ для чиселъ, выражающихъ эти величины. Чтобы рѣшить эти вопросы относительно аршина и фута, выразимъ ихъ числами въ единицахъ одного наименованія, напр. въ дюймахъ. Тогда первый вопросъ рѣшимъ вычитаніемъ:

1 арш. — 1 фут. = 28 дюйм.—12 дюйм. =16 дюйм., и узнаемъ, что аршинъ больше фута на 16 дюймовъ. Второй и третій вопросы рѣшимъ дѣленіями:

1 арш. : 1 ф.=28 д. : 12 д.=2уз; 1 ф. : 1 арш.=12 д. : 28 д.=у-и найдемъ, что аршинъ въ 21/3 раза больше фута и что футъ составляетъ 3/7 аршина.

Такое сравненіе величинъ и чиселъ наз. опредѣленіемъ отношенія между величинами и между числами, при чемъ различаютъ отношеніе разностное, или ариѳметическое, и отношеніе кратное, или геометрическое.

Опредѣлить разностное отношеніе между величинами значитъ узнать, на сколько одна изъ нихъ больше другой; опредѣлить разностное отношеніе между числами значитъ узнать, на сколько единицъ одно изъ нихъ больше другого. Разностное отношеніе между числами опредѣляется вычитаніемъ.

Опредѣлить краткое отношеніе между величинами значитъ узнать, во сколько разъ одна изъ нихъ больше другой или какую часть одна изъ нихъ составляетъ отъ другой; опредѣлить кратное отношеніе между числами значитъ узнать, во сколько разъ одно изъ нихъ больше другого или какую часть одно изъ нихъ составляетъ отъ другого. Кратное отношеніе между числами опредѣляется дѣленіемъ.

Величины и числа, между которыми опредѣляется отношеніе, наз. членами отношенія, при чемъ первая величина или первое число наз. предыдущимъ членомъ, а вторая величина или второе число—послѣдующимъ. Результатъ разностнаго отношенія наз. разностью, а результатъ кратнаго отношенія — знаменателемъ отношенія.

2. Разностное отношеніе. Въ разностномъ отношеніи оба его члена и разность однородны. Разностныя отношенія равны, когда ихъ разности равны. Въ равныхъ разностныхъ отношеніяхъ всѣ члены однородны. Разностное отношеніе обладаетъ всѣми свойствами разности, при чемъ предыдущій членъ есть уменьшаемое, а послѣдующій — вычитаемое. Поэтому въ разностномъ отношеніи: предыдущій членъ есть сумма послѣдующаго и разности отношенія; послѣдующій членъ есть разность между предыдущимъ и разностью отношенія. На основаніи этого по данной разности и одному изъ членовъ отношенія можно опредѣлить другой членъ. Напр., если предыдущій членъ есть 93/5 верст., а разность отношенія = б1/™ верст., то послѣдующій членъ равенъ 93/5 верст.—б1/™ верст. = 31/î верст.

Разсматривая предыдущій членъ какъ уменьшаемое, а послѣдующій членъ какъ вычитаемое, нетрудно прослѣдить

измѣненія разностнаго отношенія при измѣненіяхъ предыдущаго и послѣдующаго членовъ.

3. Кратное отношеніе. Знаменатель кратнаго отношенія есть число отвлеченное и показываетъ, на какое число надо умножить послѣдующій членъ, чтобы получить предыдущій, т.-е. показываетъ, во сколько разъ предыдущій членъ больше послѣдующаго или какую часть предыдущій членъ составляетъ отъ послѣдующаго. Когда знаменатель отношенія больше единицы, то предыдущій членъ больше послѣдующаго; когда знаменатель отношенія есть единица, то члены отношенія равны между собою; когда знаменатель отношенія меньше единицы, то предыдущій членъ меньше послѣдующаго.

Кратное отношеніе, сравнительно съ разностнымъ, даетъ болѣе опредѣленное представленіе объ относительной величинѣ сравниваемыхъ чиселъ. Напр., разностное отношеніе между числами 2 500 005 р. и 2 500 000 р. равно разностному отношенію между числами 7 р. и 2 р., хотя по отношенію къ первымъ двумъ числамъ разность въ 5 р. незначительна, а по отношенію ко вторымъ она имѣетъ существенное значеніе. Кратное же отношеніе первыхъ двухъ чиселъ (1,000002) значительно отличается отъ кратнаго отношенія вторыхъ (З1/^).

Когда не оговорено, какое именно отношеніе имѣется въ виду, то подъ словомъ отношеніе всегда разумѣютъ отношеніе кратное.

Кратныя отношенія равны, когда у нихъ одинъ и тотъ же знаменатель отношенія. Въ равныхъ кратныхъ отношеніяхъ члены одного отношенія могутъ быть неоднородны съ членами другого отношенія; напр. отношенія:

12 мин. : 30 мин. = 2/5 ,1У2 верст. : 33/4 верст.=2/5 равны, потому что у нихъ одинъ и тотъ же знаменатель, но члены перваго отношенія неоднородны съ членами второго.

4. Опредѣленіе неизвѣстнаго члена въ краткомъ отношеніи. Въ краткомъ отношеніи предыдущій членъ есть дѣлимое, послѣдующій—дѣлитель, знаменатель отношенія—частное. Поэтому, предыдущій членъ есть произведеніе послѣдующаго на знаменателя отношенія; чтобы найти послѣдующій членъ,

надо предыдущій раздѣлить на знаменателя отношенія. На основаніи этого, если послѣдующій членъ есть 7%, а знаменатель отношенія = 4/5, то предыдущій равенъ 71/2Х4/5 = 6; если предыдущій членъ 52/5, а знаменатель отношенія 22/5, то послѣдующій членъ равенъ 52/5 : 22/5 = 2Ѵ4.

5. Измѣненія кратнаго отношенія при измѣненіи его членовъ одинаковы съ измѣненіями частнаго при измѣненіи дѣлимаго и дѣлителя. Знаменатель кратнаго отношенія умножается на то число, на которое умножается предыдущій членъ или дѣлится и послѣдующій членъ; знаменатель дѣлится на то число, на которое дѣлится предыдущій членъ или умножается послѣдующій членъ; знаменатель отношенія остается безъ перемѣны, когда предыдущій и послѣдующій члены умножаются или дѣлятся на одно и то же число.

Прибавимъ въ отношеніи:

къ предыдущему члену послѣдующій. Для полученія прежняго предыдущаго члена надо послѣдующій умножить на 34/3; для полученія послѣдующаго члена надо послѣдующій умножить на единицу; слѣд. для полученія суммы предыдущаго и послѣдующаго членовъ, послѣдующій членъ придется умножить на зуз + 1, такъ что:

Отсюда слѣдуетъ: если къ предыдущему члену прибавимъ послѣдующій, то къ знаменателю отношенія прибавится единица.

Такъ же выведемъ, что если отъ предыдущаго члена отнимемъ послѣдующій, то отъ знаменателя отношенія отнимется единица.

Если къ обоимъ членамъ отношенія станемъ прибавлять поровну, то знаменатель отношенія будетъ приближаться къ единицѣ. Прибавимъ, напр., въ отношеніи

гдѣ знаменатель отношенія больше единицы, къ обоимъ членамъ по 50-ти. Знаменатель полученнаго отношенія

(100 + 50) : (25 + 50)

тоже будетъ больше единицы, ибо предыдущій членъ все-таки останется больше послѣдующаго. Умножимъ новый послѣдующій членъ 25 + 50 на прежняго знаменателя отношенія 4. Отъ умноженія 25-ти получится прежній предыдущій членъ 100, а отъ умноженія 50-ти получится больше 50-ти, т.-е. больше, чѣмъ было прибавлено къ прежнему предыдудущему члену 100, чтобы получить новый предыдущій членъ 100+50; слѣд. отъ умноженія всего новаго послѣдующаго члена на знаменателя даннаго отношенія получается число, которое превышаетъ новый предыдущій членъ. Отсюда заключаемъ, что для полученія новаго предыдущаго члена, новый послѣдующій членъ надо умножить на число, меньшее знаменателя даннаго отношенія; т-.е. знаменатель новаго отношенія, хотя и больше единицы, но меньше знаменателя даннаго отношенія и слѣд. ближе къ единицѣ, чѣмъ знаменатель даннаго отношенія. И дѣйствительно:

(100+50) : (25 +50) = 2.

Подобнымъ же путемъ можно разсмотрѣть и тотъ случай, когда знаменатель отношенія меньше единицы.

6. Преобразованія въ краткомъ отношеніи. Если оба члена отношенія имѣютъ общаго дѣлителя, то ихъ по предыдущему можно, не измѣняя отношенія, раздѣлить на этого дѣлителя. Такое преобразованіе наз. сокращеніемъ отношенія.

Другое, болѣе важное, преобразованіе кратнаго отношенія состоитъ въ замѣнѣ отношенія дробныхъ чиселъ отношеніемъ цѣлыхъ чиселъ. Для этого предыдущій и послѣдующій члены отношенія надо умножить на общаго знаменателя дробей, входящихъ въ члены отношенія. Напр., чтобы замѣнить отношеніе дробныхъ чиселъ 5®/6 и 13/4 отношеніемъ цѣлыхъ чиселъ, надо оба числа умножить на 12-общаго знаменателя дробей 5/6 и 3/4; тогда отъ умноженія каждой дроби на число, кратное ея знаменателю, получится цѣлое число, и мы будемъ имѣть:

7. Обращеніе отношенія. Если въ кратномъ отношеніи переставимъ предыдущій и послѣдующій члены, то знаменатель полученнаго отношенія будетъ равняться частному отъ дѣленія единицы на знаменателя даннаго отношенія; напр.

Такія два отношенія наз. обратными одно относительно другого. Произведеніе двухъ обратныхъ отношеній равно единицѣ.

8. 1) Какіе вопросы можно задавать при сравненіи двухъ однородныхъ величинъ?—двухъ чиселъ?—2) Что значитъ опредѣлить разностное отношеніе?—какимъ дѣйствіемъ оно опредѣляется?—3) Что значитъ опредѣлить кратное отношеніе?—какимъ дѣйствіемъ оно опредѣляется?—4) Что показываетъ разность отношенія?—5) Каковы между собою (однородны или неоднородны) члены и разность разностнаго отношенія?—6) Каковы между собою члены въ равныхъ разностныхъ отношеніяхъ?—7) Чему равенъ предыдущій членъ разностнаго отношенія?— какъ найти послѣдующій членъ?— 8) Какъ измѣняется разностное отношеніе при измѣненіи предыдущаго члена?—при измѣненіи послѣдующаго члена?—9) При какихъ измѣненіяхъ въ предыдущемъ и послѣдующемъ членахъ разностное отношеніе остается безъ перемѣны?—10) Что показываетъ знаменатель кратнаго отношенія?— 11) При какомъ знаменателѣ отношенія предыдущій членъ больше послѣдующаго?—при какомъ знаменателѣ оба члена равны между собою?—при какомъ знаменателѣ предыдущій членъ меньше послѣдующаго?—12) Каковы между собою могутъ быть (однородны или неоднородны) члены равныхъ кратныхъ отношеній?—13) Чему равенъ предудущій членъ кратнаго отношенія?—чему равенъ послѣдующій членъ?—14) Какъ измѣняется кратное отношеніе при измѣненіи предыдущаго члена?—при измѣненіи послѣдующаго члена?—15) При какихъ измѣненіяхъ въ предыдущемъ и послѣдующемъ членахъ кратное отношеніе остается безъ перемѣны?—16) Какъ измѣняется кратное отношеніе, когда къ обоимъ членамъ придаютъ поровну?— 17) Какъ сокращаютъ кратное отношеніе?—18) Какъ замѣнить отношеніе дробныхъ чиселъ отношеніемъ цѣлыхъ чиселъ?—19) Какія отношенія наз. обратными по отношенію другъ къ другу?—20) Каковы знаменатели въ двухъ обратныхъ другъ другу отношеніяхъ?

II.

Тройное правило.

9. Пропорціональность величинъ. Когда продолжительность дня отъ 12 часовъ достигнетъ до 18 часовъ, то говорятъ, что продолжительность дня измѣнилась въ

отношеніи 18-ти къ 12-ти, т.-е. увеличилась въ I1/» раза. Когда скорость поѣзда желѣзной дороги отъ 40 верстъ въ часъ переходитъ къ 25 верстамъ въ часъ, то говорятъ, что скорость поѣзда измѣнилась въ отношеніи 25-ти къ 40-ка, т.-е въ отношеніи 5/8, и слѣд. уменьшилась въ 13/5 раза.

Вообще, когда кака я-л ибо величина измѣняется и извѣстны числа, выражающія ея начальный размѣръ и достигнутый ею размѣръ, то говорятъ, что величина измѣняется въ отношеніи второго числа къ первому.

Если съ измѣненіемъ одной величины въ какомъ-либо отношеніи, другая величина измѣняется въ томъ же или въ обратномъ отношеніи, то такія двѣ величины наз. пропорціональными. Если вторая величина измѣняется въ томъ же отношеніи, какъ и первая, то величины наз. прямопропорціональными; если же вторая величина измѣняется въ отношеніи обратномъ измѣненію первой, то величины наз. обратно-пропорціональными, Стоимость каждаго товара прямо-пропорціональна его количеству, потому что если количество товара измѣнится въ какимъ-либо отношеніи, напр. станетъ больше въ 2*/2 раза, въ 5 разъ, то и стоимость еі’о измѣнится въ томъ же отношеніи, т.-е. тоже станетъ въ 21/2 раза, въ 5 разъ больше. Пространство, проходимое человѣкомъ при равномѣрной ходьбѣ, прямо-пропорціонально времени ходьбы, потому что если время ходьбы измѣнится въ какомъ-либо отношеніи, напр. станетъ меньше въ 3 раза, въ 2Ѵ3 раза, то и пространство измѣнится въ томъ же отношеніи, т.-е. станетъ меньше въ 3 раза, въ 2Х/3 раза. Время, необходимое для того, чтобы пройти извѣстное разстояніе при равномѣрной ходьбѣ, обратно-пропорціонально скорости ходьбы, потому что если скорость ходьбы измѣнится въ какомъ-либо отношеніи, напр. станетъ больше въ 2 раза, въ I1/2 раза, то время измѣнится въ обратномъ отношеніи, т—е. станетъ меньше въ 2 раза, въ I1/«, раза. Количество матеріи, потребное для какого-либо платья, обратнопропорціонально ширинѣ матеріи, потому что если ширина матеріи измѣнится въ какомъ-либо отношеніи, напр. станетъ меньше въ 11/і раза, въ 3 раза, то количество матеріи измѣнится въ обратномъ отношеніи, т.-е. такой матеріи для того же платья потребуется больше въ іу2 раза, въ 3 раза.

Въ большей части случаевъ одна и та же величина бываетъ пропорціональна нѣсколькимъ другимъ величинамъ. Напр., время, необходимое для исполненія какой-либо работы, прямо-пропорціонально количеству работы, прямо-пропорціонально трудности работы и обратно-пропорціонально числу рабочихъ; скорость при равномѣрной ходьбѣ прямопропорціональна проходимому пространству и обратно-пропорціональна времени ходьбы. Такая зависимость между величинами наз. сложной пропорціональностью.

10. Простое тройное правило. Если извѣстно, какой размѣръ одной изъ двухъ пропорціональныхъ величинъ соотвѣтствуетъ данному размѣру другой, то можно найти размѣръ одной изъ нихъ, соотвѣтствующій любому размѣру другой; напр., если извѣстно, что поѣздъ желѣзной дороги разстояніе въ 67!/2 верстъ проходитъ въ 24/4 часа, то можно найти, во сколько времени такой поѣздъ пройдетъ разстояніе въ 175 верстъ.

Задачи, въ которыхъ по соотвѣтствующимъ другъ другу размѣрамъ двухъ пропорціональныхъ величинъ требуется опредѣлить размѣръ одной изъ нихъ, соотвѣтствующій какому-либо данному размѣру другой, наз. задачами простого тройного правила. Названіе это произошло отъ того, что въ каждой задачѣ простого тройного правила даются три числа, изъ которыхъ два выражаютъ соотвѣтствующіе другъ другу размѣры двухъ пропорціональныхъ величинъ, а третье—размѣръ одной изъ нихъ, для котораго требуется опредѣлить соотвѣтствующій размѣръ другой. Задачи простого тройного правила можно рѣшать различными, способами.

11. Способъ приведенія къ единицѣ получилъ свое названіе отъ того, что въ немъ прежде, чѣмъ опредѣлить требуемый размѣръ одной изъ пропорціональныхъ величинъ, опредѣляется размѣръ одной изъ нихъ, соотвѣтствующій единичному размѣру другой. Напр., чтобы рѣшить приведенную нами задачу о поѣздѣ желѣзной дороги, опредѣляемъ сперва, во сколько часовъ поѣздъ проходитъ 1 версту, для чего 24/4 часа дѣлимъ на 67*/2; получимъ Ѵзо часа. Зная же, что 1 версту поѣздъ проходитъ въ Ѵзо часа, найдемъ, умноживъ 1/30 на 175, что разстояніе въ 175 верстъ поѣздъ пройдетъ въ 55/6 часа.

Или сначала можемъ опредѣлить, сколько верстъ проходитъ поѣздъ въ 1 часъ, для чего слѣдуетъ Ql1/^ раздѣлить на 2J/4; получимъ 30 верстъ. Тогда, чтобы узнать, во сколько часовъ поѣздъ пройдетъ 175 верстъ, останется 175 верстъ раздѣлить на 30 верстъ; найдемъ опять 55/с часа. Данныя задачи и ея рѣшенія располагаются въ слѣдующемъ порядкѣ:

1-е рѣшеніе. Во сколько часовъ поѣздъ проходитъ 1 версту?

Во сколько часовъ поѣздъ пройдетъ 175 верстъ?

2-е рѣшеніе. Сколько верстъ поѣздъ проходитъ въ 1 часъ?

Во сколько часовъ поѣздъ пройдетъ 175 верстъ?

Когда, какъ въ первомъ рѣшеніи, къ единицѣ приводится величина, оба размѣра которой даны, то способъ наз. способомъ прямого приведенія къ единицѣ; когда же, какъ во второмъ рѣшеніи, къ единицѣ приводится величина, для которой данъ одинъ размѣръ, то способъ наз. способомъ обратнаго приведенія къ единицѣ.

12. Величины, входящія въ рѣшенную задачу, прямопропорціональны. Рѣшимъ задачу, въ которую входятъ обратно - пропорціональныя величины : для перевозки хлѣба съ поля въ овинъ работало 48 лошадей въ теченіе 155/с часовъ; сколько потребуется лошадей, чтобы перевезти хлѣбъ въ теченіе ч.?

1-е рѣшеніе. Чтобы перевезти весь хлѣбъ въ 1 часъ, лошадей нужно въ 155/6 раза больше 48-ми, т.-е.

А чтобы перевезти тотъ же хлѣбъ въ 9% часовъ, лошадей нужно въ 9’/2 разъ меньше 760-ти, т.-е.

2-е рѣшеніе. Чтобы перевезти весь хлѣбъ, одна лошадь должна работать въ 48 разъ дольше 155/6 часовъ, т.-е.

Если для перевозки всего хлѣба въ 760 часовъ должна работать одна лошадь, то для перевозки хлѣба въ 9% часовъ нужно столько лошадей, сколько разъ 91/2 содержится въ 760-ти, т.-е.

13. При рѣшеніи задачъ простого тройного правила могутъ получаться числа, несогласныя съ дѣйствительностью. Напр., если бы въ рѣшенной сейчасъ задачѣ было дано, что 48 лошадей работали 105/э час., а требовалось узнать, сколько лошадей нужно для перевозки хлѣба въ 6*/3 часа, то нашли бы, что для перевозки всего хлѣба въ теченіе 1 часа должны работать 48 X Ю5/9 = 5062/3 лошадей, и что, слѣд., для перевозки хлѣба въ 6Ѵ3 час. нужно 5062/3 : буз = 1520 :19 = 80 лошадей. Встрѣтившейся въ этомъ рѣшеніи несообразности (2/3 лошади) можно избѣжать, если примѣнить способъ обратнаго приведенія къ единицѣ. Впрочемъ, и при прямомъ приведеніи къ единицѣ, мы избѣжимъ отмѣченной несообразности, если примѣнимъ приведеніе къ сложной единицѣ, принявъ за единицу такой размѣръ времени, который содержится безъ остатка въ данныхъ его размѣрахъ, т.-е въ 105/д час. и въ 6*/3 час.

Такой единицей въ нашей задачѣ можетъ служить число 2% часа, которое содержится въ 10% часа 5 разъ и въ 6% часа—3 раза. Тогда найдемъ, что для исполненія работы въ 2% часа лошадей нужно въ 5 разъ больше 48-ми, т.-е. 240, а для исполненія работы въ 6% часовъ лошадей нужно въ 3 раза меньше 240-ка, т.-е. 80.

Число 2% = 19/д мы нашли, взявъ числителемъ этой дроби общаго наиб. дѣлителя числителей неправильныхъ дробей 9% и 19/3, въ которыя обращаются данныя числа 10% и 6%, а знаменателемъ—наим. кратное знаменателей этихъ дробей.

Еще большую несообразность встрѣтимъ въ рѣшеніи задачи: для исполненія нѣкоторой работы 24 человѣка должны работать ежедневно по 10% часа; по скольку часовъ ежедневно должны работать 40 человѣкъ, чтобы исполнить ту же работу въ тотъ же срокъ? Здѣсь, приводя къ единицѣ число рабочихъ, найдемъ, что одинъ человѣкъ для того, чтобы исполнить работу къ назначенному сроку, долженъ работать ежедневно по 105/дХ24, т.-е. по 253% часовъ тогда какъ въ суткахъ всего 24 часа; а приводя къ единицѣ время, найдемъ, что при ежедневной работѣ въ теченіе одного часа нужно 24Х10%, т.-е. 253% человѣка.

Въ этой задачѣ не поможетъ и приведеніе къ сложной единицѣ (за такую единицу можно бы было взять 8 рабочихъ), а необходимо введеніе особой составной единицы. Примемъ за такую единицу количество работы, которое можетъ исполнить 1 рабочій въ теченіе 1 часа, и назовемъ ее рабочимъ часомъ. Тогда найдемъ, что для исполненія работы къ назначенному сроку, ежедневно требуется такихъ единицъ 10% X 24, т.-е. 253*/3 рабочихъ часовъ (каждый рабочій въ день затрачивалъ по 10% рабочихъ часа, а 24 затратили 24 раза по 10% рабочихъ часа). Все это количество рабочихъ часовъ должно быть распредѣлено между 40-ка рабочими; слѣд., каждый изъ нихъ долженъ ежедневно затрачивать по 253% : 40 = 6% рабочихъ часа, т.-е. ежедневно долженъ работать въ теченіе 6% часовъ.

Въ нѣкоторыхъ задачахъ для избѣжанія несообразныхъ чиселъ можно значительно видоизмѣнять способъ рѣшенія. Покажемъ такой пріемъ на слѣдующей задачѣ: чтобы исполнить полученный фабрикантомъ заказъ миткаля къ назначенному сроку, каждый изъ

48-ми ткачей долженъ ежедневно приготовлять по 10®/9 арш.; сколько нужно рабочихъ, чтобы исполнить заказъ къ назначенному сроку, если каждый ткачъ можетъ ежедневно приготовлять только по 6Ѵз арш.?

Рѣшеніе. Опредѣляемъ, сколько аршинъ миткалю должна приготовлять фабрика ежедневно, чтобъ исполнить заказъ къ назначенному сроку. Для этого надо 105/9 аршинъ умножить на 48; получимъ 5062/3 арш. А такъ какъ каждый рабочій можетъ ежедневно приготовлять только бУз аРш-, то рабочихъ нужно столько, сколько разъ 6*/3 арш. содержится въ 5062/3 арш., т.-е. 80 человѣкъ.

14. Если въ окончательномъ отвѣтѣ получается несообразное число, то или ему можно придать приличное толкованіе, или самая задача представляется невозможною. Такъ, если мы найдемъ, что для перевозки нѣкотораго товара въ извѣстное время должны работать 5062/3 лошадей, или что число рабочихъ должно быть равно 25373, то скажемъ, что 506 лошадей должны работать все время и еще одна лошадь 2/3 этого времени, что 253 человѣка должны работать все время и еще одинъ человѣкъ */3 этого времени. Если же требуется дать прямые отвѣты на вопросы, поставленные въ задачѣ, то должно дроби въ отвѣтахъ откинуть, а вмѣсто нихъ прибавить по единицѣ и сказать, что для перевозки товара нужно 507 лошадей, для исполненія работы требуется 254 человѣка. Если же мы получимъ въ отвѣтѣ, что работа на фабрикѣ должна продолжаться ежедневно по 37 часовъ, то такому отвѣту нельзя дать никакого толкованія и задача должна быть признана невозможною.

15. При рѣшеніи задачъ простого тройного правила обыкновенно не вычисляютъ размѣра одной изъ пропорціональныхъ величинъ, соотвѣтствующаго единичному размѣру другой, а только обозначаютъ дѣйствія, необходимыя для его опредѣленія; затѣмъ надъ полученнымъ выраженіемъ обозначаютъ дѣйствія, необходимыя для опредѣленія требуемаго въ задачѣ размѣра; наконецъ, производятъ въ этомъ сложномъ обозначеніи возможныя сокращенія и тогда уже производятъ вычисленія, необходимыя для опредѣленія окончательнаго отвѣта. Такой пріемъ значительно сокращаетъ вычисленія. Тогда рѣшенія задачи о поѣздѣ желѣзной дороги

и задачи о лошадяхъ, перевозившихъ хлѣбъ, представятся въ слѣдующемъ видѣ:

16. Способъ пропорціональнаго измѣненія. Задачи простого тройного правила можно рѣшать еще слѣдующимъ способомъ: опредѣлить отношеніе данныхъ размѣровъ одной величины и измѣнить въ этомъ отношеніи или въ обратномъ, смотря по тому, входятъ ли въ задачу величины прямо-пропорціональныя или обратно-пропорціональныя, данный размѣръ другой величины. Такой способъ рѣшенія можно назвать способомъ пропорціональнаго измѣненія. Чтобы рѣшить этимъ способомъ задачу о поѣздѣ желѣзной дороги, замѣчаемъ, что время хода поѣзда и разстояніе, имъ проходимое, величины прямо-пропорціональныя, и что съ измѣненіемъ пространства въ отношеніи 175 : 67у2, т.-е. въ отношеніи 7%7, и время должно измѣниться въ томъ же отношеніи; поэтому для опредѣленія искомаго размѣра времени надо 27/4 часа умножить на 7%7; получимъ, какъ и прежде, 55/6. Вычисленія располагаются въ слѣдующемъ порядкѣ:

Для рѣшенія задачи о числѣ работниковъ, требующихся для исполненія къ назначенному сроку заказа миткаля, замѣчаемъ, что число рабочихъ и количество работы, исполняемое каждымъ изъ нихъ, при выполненіи одного и того же заказа къ одному и тому же сроку, находятся въ обратномъ отношеніи. Такъ какъ количество работы, исполняемое каждымъ рабочимъ, у насъ измѣнилось въ отношеніи б7/3:105/э, т--е. въ отношеніи 3/5, то число рабочихъ должно измѣниться въ обратномъ отношеніи, т.-е. въ отношеніи 5/3. Поэтому для опредѣленія требуемаго числа рабочихъ надо 48 умножить на 73; получимъ 80. Вычисленія располагаются въ слѣдующемъ порядкѣ:

17. Сложное тройное правило. Задачи, въ которыхъ по данному ряду соотвѣтствующихъ другъ другу размѣровъ нѣсколькихъ пропорціональныхъ величинъ требуется найти размѣръ одной изъ нихъ, соотвѣтствующій другому ряду данныхъ размѣровъ остальныхъ величинъ, наз. задачами сложнаго тройного правила. Названіе это произошло отъ того, что рѣшеніе каждой задачи сложнаго тройного правила сводится къ рѣшенію ряда задачъ простого тройного правила. Примѣнимъ сперва способъ пропорціональнаго измѣненія.

Задача. 24 работника въ теченіе 15 дней приготовили полотно желѣзной дороги па разстояніе 2/3 версты, работая ежедневно по 93/8 часа. По скольку часовъ ежедневно должны работать 18 работниковъ, чтобы приготовить полотно желѣзной дороги на протяженіи 250 саж. 2 арш. въ теченіе 12 дней?

Рѣшеніе. Располагаемъ данныя въ слѣдующемъ порядкѣ:

п составляемъ сперва задачу:

въ которой требуется опредѣлить, по скольку часовъ должны работать 18 работниковъ, чтобы выполнить ту же работу, какъ и 24 работника, и при всѣхъ тѣхъ же остальныхъ условіяхъ, при которыхъ работали 24 работника. Задача эта равносильна задачѣ простого тройного правила:

Такъ какъ число работниковъ и время работы обратнопропорціональны, то для рѣшенія этой задачи надо 93/8 умножить на отношеніе, обратное отношенію чиселъ 18 и 24. Находимъ это отношеніе и выполняемъ умноженіе:

Пользуясь найденнымъ числомъ 121/, час., составляемъ вторую задачу:

въ которой требуется опредѣлить, по скольку часовъ должны работать 18 работниковъ, чтобы приготовить полотно на томъ же протяженіи 2/3 версты, какъ и 24 работника, но уже не въ теченіе 15 дней, а въ теченіе 12 дней, и которая равносильна задачѣ простого тройного правила:

Такъ какъ продолжительность всей работы находится въ обратномъ отношеніи съ продолжительностью ежедневной работы, то для опредѣленія искомаго числа часовъ надо 12*/г умножить на отношеніе, обратное отношенію чиселъ 12 и 15. Находимъ это отношеніе и выполняемъ требуемое умноженіе:

Пользуясь найденнымъ числомъ 155/8, составляемъ третью и послѣднюю задачу:

въ которой ищется, по скольку часовъ ежедневно должны работать 18 работниковъ, чтобы въ теченіе 12 дней приготовить полотно желѣзной дороги на протяженіи 250 саж. 2 арш., т.-е. ищется искомое число данной задачи сложнаго тройного правила, и которая равносильна задачѣ простого тройного правила:

Такъ какъ время работы прямо-пропорціонально количеству работы, то для рѣшенія этой задачи надо 155/8 часа умножить на отношеніе чиселъ 250 саж. 2 арш. къ 2/3 верст.

Находимъ это отношеніе и выполняемъ требуемое умноженіе:

Слѣд. 18 работниковъ должны ежедневно работать по 11% часовъ, чтобы въ теченіе 12 дней приготовить полотно желѣзной дороги на протяженіи 250 саж. 2 арш.

Число задачъ простого тройного правила, къ которымъ сводится задача сложнаго тройного правила, одинаково съ числомъ величинъ, пропорціональныхъ величинѣ, размѣръ который ищется.

Рѣшеніе каждой задачи нѣтъ надобности доводить до конца, гораздо удобнѣе обозначить дѣйствія, необходимыя для рѣшенія первой задачи, надъ полученнымъ выраженіемъ обозначить дѣйствія, необходимыя для рѣшенія второй задачи и т. д., въ полученномъ выраженіи сдѣлать всѣ возможныя сокращенія и затѣмъ уже вычислить окончательный отвѣтъ.

18. Рѣшимъ ту же задачу способомъ приведенія къ единицѣ.

Если 24 работника исполняютъ работу, работая по 9% часа въ день, то вся работа требуетъ

рабочихъ часовъ ежедневно. Когда работу станутъ выполнять 18 человѣкъ, то каждому придется работать по

часовъ въ день. Такъ будетъ, когда работа продолжается въ теченіе 15 дней и когда, слѣд., на каждаго работника приходится по

рабочихъ часовъ во все время исполненія работы. Эти

рабочіе часы должны быть распредѣлены на 12 дней; поэтому каждому работнику придется работать по

часовъ ежедневно. Столько часовъ въ день долженъ работать каждый изъ 18-ти работниковъ, чтобы устроить полотно желѣзной дороги на разстояніи 333уз саж. (2/3 верст.); чтобы устроить то же полотно на протяженіи одной сажени, они должны работать по

часовъ въ день. А чтобы устроить то же полотно на протяженіи 2502/3 саж. (250 саж. 2 арш.), они должны работать по

часовъ въ день. Произведя въ полученномъ выраженіи возможныя сокращенія и выполнивъ затѣмъ дѣйствія, получимъ, какъ и прежде, въ отвѣтѣ 113/4 часа.

19. Чтобы избѣжать введенія составной единицы (рабочаго часа), задачу можно рѣшить слѣдующимъ пріемомъ.

24 работника приготовляютъ полотно желѣзной дороги на разстояніи 3331/, саж.; при тѣхъ же условіяхъ, т.-е. въ теченіи 15 дней, работая ежедневно по 93/8 часа, одинъ работникъ приготовитъ полотно желѣзной дороги на протяженіи въ 24 раза меньшемъ, т.-е. на протяженіи

Одинъ работникъ въ 1 день, работая въ этотъ день 93/8 часа, приготовитъ полотно желѣзной дороги на протяженіи въ 15 разъ меньшемъ, т.-е. на протяженіи

А въ 1 часъ онъ можетъ приготовить полотно на протяженіи

Но должны работать 18 человѣкъ; они въ 1 часъ приготовятъ полотно на протяженіи

А имъ нужно приготовить полотно желѣзной дороги на протяженіи 2502/3 саж.; для этого они должны работать въ теченіе

часовъ. Это количество часовъ должно быть распредѣлено на 12 дней; слѣд. ежедневно 18 работниковъ должны работать по

20. Иногда въ задачахъ сложнаго тройного правила, вмѣсто двухъ размѣровъ одной изъ пропорціональныхъ величинъ, дается прямо ихъ отношеніе; напр., въ нашей задачѣ можетъ быть прибавлено, что трудность работы на участкѣ въ 250 с. 2 арш. къ трудности работы на участкѣ въ 333Ѵ3 саж. относится какъ 5 : 4,7. При способѣ пропорціональнаго измѣненія тогда придется прямо умножить найденное выраженіе на это отношеніе или на обратное ему, смотря по тому, прямо или обратно пропорціональна эта величина искомой; въ нашей задачѣ придется найденное число часовъ работы 113/4 умножить на отношеніе 5 : 4,7 = 50/47; получится 5% = 12*/2. Рѣшая задачу способомъ приведенія къ единицѣ, скажемъ, что если 18 работниковъ могутъ приготовить въ часъ

при той же трудности работы, какъ и на первомъ участкѣ, то если работа на новомъ участкѣ будетъ въ 4,7 разъ легче, они будутъ въ состояніи приготовить въ часъ

А если трудность работы возрастетъ въ 5 разъ, то они будутъ въ состояніи приготовить въ 1 часъ только

Далѣе рѣшеніе пойдетъ такъ же, какъ и прежде.

21. 1) Какія величины наз. пропорціональными?—какія величины прямопропорціональны?—какія величины обратно-пропорціональны? — 2) Какая зависимость между величинами наз. сложной пропорціональностью?—3)Что дается и что ищется въ задачахъ простого тройного правила?—4) Въ чемъ состоитъ способъ приведенія къ единицѣ при рѣшеніи задачъ простого тройного правила?—чѣмъ отличается способъ прямого приведенія къ единицѣ отъ способа обратнаго приведенія къ единицѣ? — 5) Какъ можно избѣжать несообразныхъ чиселъ при рѣшеніи задачъ простого тройного правила способомъ приведенія къ единицѣ? — 6) Въ чемъ состоитъ способъ пропорціональнаго измѣненія при рѣшеніи задачъ простого тройного правила?—7) Что дается и что ищется въ задачахъ сложнаго тройного правила?—8) Къ чему приводится рѣшеніе каждой задачи сложнаго тройного правила?—отъ чего зависитъ число задачъ простого тройного правила, къ которымъ приводится задача сложнаго тройного правила?—9) Какъ рѣшаются задачи сложнаго тройного правила способомъ пропорціональнаго измѣненія?—10) Какъ рѣшаются задачи сложнаго тройного правила способомъ приведенія къ единицѣ?

III.

Правило пропорціональнаго дѣленія. (Правило товарищества).

22. Дѣленіе на цѣлое число даетъ возможность раздѣлить каждое число на сколько угодно равныхъ частей или, выражаясь иначе, даетъ возможность разложить каждое число на сколько угодно равныхъ слагаемыхъ. Но часто встрѣчаются такіе вопросы, для рѣшенія которыхъ требуется разложить данное число на нѣсколько неравныхъ между собою слагаемыхъ. Напр., чтобы узнать, сколько получитъ каждый изъ двухъ столяровъ, если одинъ изъ нихъ работалъ 2 дня, а другой 3 дня и оба вмѣстѣ заработали 2% рубля, надо 2% разложить на два неравныхъ слагаемыхъ; чтобы узнать, сколько вѣсу въ каждомъ изъ 3-хъ мѣшковъ муки, если всѣ они вмѣстѣ вѣсятъ 15% пуд. и 1-й тяжелѣе 2-го на 1 пудъ, а 2-й тяжелѣе 3-го на 1% пуда, надо 15% разложить на три неравныхъ слагаемыхъ.

Для того, чтобы задача о разложеніи числа на неравныя слагаемыя была вполнѣ опредѣленною, необходимо знать, въ какой зависимости другъ отъ друга должны находиться искомыя слагаемыя. Разсмотримъ два простѣйшихъ случая:

1) между искомыми слагаемыми дается разностное отношеніе;

2) между искомыми слагаемыми дается кратное отношеніе; а также разсмотримъ и смѣшанный случай, когда между

нѣкоторыми слагаемыми дано разностное отношеніе, а между остальными—кратное отношеніе. Разложеніе числа на неравныя слагаемыя въ 1-мъ случаѣ можно назвать дѣленіемъ числа въ разностномъ отношеніи, во второмъ случаѣ—дѣленіемъ числа въ кратномъ отношеніи. Второй случай болѣе извѣстенъ подъ именемъ пропорціональнаго дѣленія; практическія же задачи, рѣшаемыя при помощи пропорціональнаго дѣленія, принято называть задачами на правило товарищества.

23. Дѣленіе числа въ разностномъ отношеніи. Пусть дано разложить число 100 на три слагаемыхъ такъ, чтобы первое было больше второго на 5 единицъ, а второе больше третьяго на 10 единицъ. Условимся искомыя слагаемыя обозначать по порядку римскими цыфрами I, II, III; тогда условія задачи запишемъ въ такомъ видѣ:

Приведемъ задачу къ разложенію числа на равныя слагаемыя, для чего уравняемъ первое и третье слагаемыя со вторымъ. Чтобы первое слагаемое сравнять со вторымъ, надо отъ перваго слагаемаго отнять 5 единицъ, на которыя оно больше второго; тогда и отъ суммы 100 отнимется 5 единицъ, и она обратится въ

Чтобы третье слагаемое сравнять со вторымъ, надо къ третьему слагаемому прибавить 10 единицъ, на которыя оно меньше второго; тогда и къ суммѣ 95 прибавится 10 единицъ, и она обратится въ

Теперь число 105 представляетъ сумму трехъ чиселъ, изъ которыхъ каждое равно второму искомому слагаемому; слѣд., для опредѣленія второго слагаемаго надо 105 раздѣлить на 3. Сдѣлавъ это, найдемъ:

Чтобы опредѣлить остальныя два слагаемыя, остается къ 35 прибавить 5 и отъ 35 отнять 10. Сдѣлавъ это, найдемъ:

Для рѣшенія задачи можно также второе и третье слагаемыя сравнять съ первымъ, или первое и второе сравнять съ третьимъ. По существу рѣшеніе не измѣнится, только въ первомъ случаѣ мы сперва найдемъ первое слагаемое, а при его помощи уже остальныя; во второмъ же случаѣ сперва опредѣлимъ третье слагаемое и при его помощи остальныя.

Чѣмъ больше слагаемыхъ, на которыя требуется разложить данное число, тѣмъ больше измѣненій приходится въ немъ сдѣлать, чтобы уравнять между собою всѣ слагаемыя, но пріемъ рѣшенія остается тотъ же.

24. Пропорціональное дѣленіе. Пусть дано число 100 разложить на три слагаемыхъ такъ, чтобы первое относилось ко второму какъ 2 : 3, а второе къ третьему какъ 3:5. Обозначивъ искомыя слагаемыя, какъ и въ предыдущей задачѣ, запишемъ условія ея въ такомъ видѣ:

Для рѣшенія задачи замѣчаемъ, что если первое слагаемое относится ко второму какъ 2:3, то первое слагаемое составляетъ отъ второго такую же часть, какую 2 составляетъ отъ 3, т.-е. первое слагаемое составляетъ 2/3 второго. Поэтому, если бы второе слагаемое намъ было извѣстно, то для опредѣленія перваго пришлось бы второе слагаемое раздѣлить на 3 и частное повторить 2 раза. Отсюда заключаемъ, что одно и то же число содержится въ первомъ слагаемомъ 2 раза и во второмъ 3 раза. Точно такъ же изъ того, что второе слагаемое относится къ третьему какъ 3 : 5, выведемъ, что второе слагаемое составляетъ 3/5 доли третьяго, и что то число, которое во второмъ слагаемомъ содержится 3 раза, должно въ третьемъ слагаемомъ содержаться 5 разъ; слѣд. во всей суммѣ (100) оно содержится:

разъ, и потому первое слагаемое составляетъ 2/10 суммы, второе 3/10 суммы и третье б/10 суммы. Опредѣляемъ это число:

а затѣмъ по порядку и всѣ слагаемыя:

Такое разложеніе числа на слагаемыя наз. дѣленіемъ числа на части, пропорціональныя числамъ даннаго ряда, въ разсмотрѣнномъ примѣрѣ на части, пропорціональныя числамъ 2, 3 и 5-ти. Слѣд. раздѣлить число на части, пропорціональныя числамъ даннаго ряда, значитъ разложить его на такія слагаемыя, чтобы первое относилось ко второму, какъ первое данное число ко второму, второе слагаемое относилось къ третьему, какъ второе данное число къ третьему и т. д. Отношенія между искомыми слагаемыми при такомъ дѣленіи принято записывать въ слѣдующемъ видѣ:

I : II : ІІІ = 2 : 3 : 5,

называемомъ иногда сложнымъ отношеніемъ.

25. Если бы мы при разложеніи числа 415 на три такихъ слагаемыхъ, чтобы 1:11 = 3:8, а II: III = 12 : 25, захотѣли бы тѣмъ же пріемомъ, какъ и въ предыдущемъ примѣрѣ, выразить всѣ слагаемыя въ доляхъ суммы, то нашли бы, что то число, которое въ первомъ слагаемомъ содержится 3 раза, должно во второмъ слагаемомъ содержаться 8 разъ, а то число, которое въ третьемъ слагаемомъ содержится 25 разъ, должно во второмъ слагаемомъ содержаться 12 разъ; слѣд. эти два числа неодинаковы и всѣ три слагаемыхъ не могутъ быть непосредственно выражены въ однѣхъ и тѣхъ же доляхъ суммы. Происходитъ это отъ того, что послѣдующій членъ 8 перваго отношенія не одинаковъ съ первымъ членомъ 12 второго отношенія. Поэтому надо преобразовать данныя отношенія такъ, чтобы уравнять эти числа. Такъ какъ общій наибольшій дѣлитель 8 и 12 есть 4, а частныя отъ дѣленія ихъ на этого дѣлителя соотвѣтственно 2 и 3, то для того, чтобы уравнять числа, соотвѣтствующія второму слагаемому въ обоихъ отношеніяхъ, надо члены перваго отношенія умножить на 3, а члены второго отношенія на 2. Тогда получимъ, что

и приведемъ задачу къ дѣленію 415-ти на части, пропорціональныя 9, 24 и 50, которое и выполняемъ по предыдущему:

При разложеніи числа болѣе чѣмъ на три слагаемыхъ, для уравниванія чиселъ, соотвѣтствующихъ въ данныхъ отношеніяхъ одному и тому же слагаемому, можетъ потребоваться гораздо больше преобразованій, чѣмъ въ приведенномъ нами примѣрѣ.

26. Когда отношенія между слагаемыми выражены въ дробныхъ числахъ, то отношенія дробныхъ чиселъ надо предварительно замѣнить отношеніями цѣлыхъ чиселъ. Напр., чтобы разложить число 372 на четыре слагаемыхъ такъ, чтобы

I : 11 = 1% : 1%, II : 111 = 1% : 1%, III : ІѴ = 3% : 44/15,

замѣнимъ отношенія дробныхъ чиселъ отношеніями цѣлыхъ чиселъ; найдемъ, что

Затѣмъ уравняемъ послѣдній членъ (3) перваго отношенія съ первымъ членомъ (2) второго отношенія, для чего члены перваго отношенія надо умножить на 2, а члены второго на 3; получимъ:

Наконецъ, уравняемъ послѣдній членъ (9) преобразованнаго второго отношенія съ первымъ членомъ (3) третьяго отношенія, для чего достаточно члены третьяго отношенія умножить на 3; получимъ:

Такимъ образомъ приведемъ данную задачу къ дѣленію числа 372 на четыре части такъ, чтобы I : II : III : ІѴ= 4:6:9:12, которое и выполняемъ по предыдущему:

27. Замѣтимъ, что отношенія между искомыми числами не всегда даются въ такой послѣдовательности, какъ въ приведенныхъ примѣрахъ, но отъ этого пріемъ рѣшенія не измѣняется. Пусть въ приведенномъ примѣрѣ дано отношеніе между первымъ и вторымъ слагаемыми I : II = іУд : 1% и отношенія второго и третьяго къ четвертому; II : IV = 1:2, III : IV = 3% : 44/15. Замѣнивъ отношенія дробныхъ чиселъ отношеніями цѣлыхъ чиселъ, найдемъ, что

Уравняемъ послѣдній членъ перваго отношенія съ первымъ второго; найдемъ, что

Затѣмъ здѣсь надо уравнять послѣдній членъ второго отношенія съ послѣднимъ членомъ третьяго, для чего члены второго отношенія надо умножить на 2, а члены третьяго на 3. Но такъ какъ тогда послѣдній членъ перваго отношенія будетъ разниться отъ перваго члена второго, то мы и члены перваго отношенія умножимъ на 2; получимъ:

Такимъ образомъ мы привели задачу, какъ и въ предыдущемъ случаѣ, къ дѣленію 372 на части пропорціонально числамъ: 4, 6, 9 и 12-ти.

28. Въ предыдущихъ примѣрахъ искомыя слагаемыя мы выражали въ доляхъ суммы. Вмѣсто этого всѣ слагаемыя можно выразить въ доляхъ одного изъ нихъ. Чтобы рѣшить этимъ пріемомъ послѣднюю задачу, выразимъ всѣ слагаемыя въ доляхъ второго. Изъ того, что

1 : II = 2 : 3,

слѣдуетъ, что первое слагаемое составляетъ 2/3 второго; изъ того, что II : III = 2 : 3 слѣдуетъ, что третье слагаемое составляетъ 3/2 второго. Теперь слѣдуетъ опредѣлить, какую часть второго составляетъ четвертое слагаемое. Непосредственно этого сдѣлать нельзя, но изъ отношенія III : IV* = 3 : 4 мы найдемъ, что четвертое слагаемое составляетъ 4/3 третьяго; а такъ какъ третье составляетъ 3/2 второго, то чтобы узнать, какую часть четвертое слагаемое составляетъ отъ второго, надо 3/2 помножить на 4/3; найдемъ, что четвертое слагаемое составляетъ 4/3Х3А второго, т.-е., что оно равно удвоенному второму слагаемому. Сосчитаемъ, сколько разъ второе слагаемое содержится въ суммѣ 372. Въ первомъ слагаемомъ этой суммы оно содержится 2/3раза, во второмъ 1 разъ, въ третьемъ 1*/2 раза и въ четвертомъ 2 раза; слѣдов. во всей суммѣ оно содержится

разъ. Поэтому, чтобы опредѣлить второе слагаемое, надо сумму 372 раздѣлить на 5*/6; найдемъ:

Для опредѣленія остальныхъ слагаемыхъ остается 72 умножить соотвѣтственно на 2/3, на 1% и на 2; найдемъ:

29. Для рѣшенія задачъ на пропорціональное дѣленіе существуетъ еще особый пріемъ, наз. методомъ подобія. Методъ подобія состоитъ въ томъ, что для одного изъ искомыхъ слагаемыхъ берется произвольное числовое значеніе, опредѣляются по этому значенію числовыя значенія всѣхъ остальныхъ слагаемыхъ и суммы; затѣмъ опредѣляется отношеніе данной суммы къ найденной и въ томъ же отношеніи измѣняются всѣ числовыя значенія слагаемыхъ. Напр., для разложенія числа 372 на четыре слагаемыхъ такъ, чтобы 1:11 = 2:3, 11:111 = 2:3, III : IV = 3 : 4, можно принять, что третье слагаемое равно 18; тогда найдемъ, что

Такъ какъ данная сумма 372 больше найденной 62 въ 372 : 62 = 6 разъ, то для полученія данной суммы надо найденную сумму умножить на 6, а для этого, какъ мы знаемъ, надо каждое ея слагаемое умножить на 6; при этомъ отношенія между слагаемыми не измѣнятся. Такимъ образомъ найдемъ, что для 372 искомыя слагаемыя будутъ:

30. Иногда въ задачахъ, относящихся къ пропорціональному дѣленію, требуется данное число раздѣлить обратно-пропорціонально числамъ даннаго ряда. Подъ такимъ дѣленіемъ слѣдуетъ понимать разложеніе даннаго числа на такія слагаемыя, чтобы первое относилось ко второму, какъ второе данное число относится къ первому, чтобы второе слагаемое относилось къ третьему, какъ третье данное число относится ко второму, и т. д. Напр., раздѣлить 164 обратно-пропорціонально числамъ 9, 15 и 20-ти значитъ разложить его на три слагаемыхъ такъ, чтобы

Чтобы уравнять послѣдній членъ перваго отношенія съ первымъ членомъ второго, здѣсь можно члены каждаго отношенія раздѣлить на ихъ произведеніе. Получимъ:

и приведемъ задачу къ такому дѣленію даннаго числа, въ которомъ искомыя слагаемыя пропорціональны числамъ, обратнымъ съ данными, т.-е. къ такому дѣленію даннаго числа 164, чтобы I : II : III = Ѵэ: Vis : Vîo- Чтобы выполнить это дѣленіе, замѣняемъ отношенія дробныхъ чиселъ отношеніями цѣлыхъ, для чего всѣ члены отношеній умножаемъ на ихъ общаго знаменателя 180; получаемъ:

Опредѣляемъ одну долю суммы:

и находимъ искомыя слагаемыя:

Иначе. Сократимъ отношенія

первое на 3, а второе на 5, получимъ:

тогда, чтобы уравнять второй членъ 3 перваго отношенія съ первымъ членомъ 4 второго, придется члены перваго отношенія умножить на 4, а члены второго на 3; получимъ:

и приведемъ задачу попрежнему къ дѣленію числа 164 на части пропорціональныя 20, 12 и 9.

31. Умѣя производить пропорціональное дѣленіе, мы можемъ найти сумму и всѣ ея слагаемыя, если

между всѣми слагаемыми будутъ даны кратныя отношенія и между двумя изъ нихъ будетъ дано разностное отношеніе. Пусть дано найти сумму и каждое изъ трехъ слагаемыхъ, если 1:11 = 3:5, II : III = 5:7 и III — I = 20. Тогда мы скажемъ, что въ первомъ слагаемомъ заключается 3, во второмъ 5 и въ третьемъ 7 такихъ долей суммы, какихъ въ ней содержится 3 + 5 + 7 = 15. Если въ третьемъ слагаемомъ 7 долей суммы, а въ первомъ 3 такихъ же доли, то въ разности 20 между третьимъ и первымъ слагаемыми эта доля суммы будетъ заключаться 7 — 3 = 4 раза. Поэтому одна доля суммы равна 20:4 = 5, вся сумма = 5.15 = 75, а слагаемыя по порядку равны:

1 = 5.3 = 15, 11 = 5.5 = 25, 111 = 5.7 = 35.

32. При разложеніи числа на слагаемыя, изъ которыхъ между одними дано разностное отношеніе, а между другими —кратное отношеніе, слагаемыя, между которыми дано разностное отношеніе, уравниваются между собою, при чемъ ихъ приравниваютъ къ тому слагаемому, кратное отношеніе котораго къ одному изъ остальныхъ въ задачѣ дается. Напр., чтобы число 144 разложить на 3 слагаемыхъ, изъ которыхъ первое больше второго на 12 единицъ, а второе относится къ третьему какъ 4 : 3, надо первое слагаемое сравнять со вторымъ. Для этого отъ перваго слагаемаго надо отнять 12 единицъ, на которыя оно больше второго; тогда и отъ суммы 144 отнимется 12 единицъ, и она обратится въ

Это число 132 надо разложить на три слагаемыхъ такъ, чтобы первое и второе были равны между собою и чтобы второе относилось къ третьему какъ 4 : 3, или, что то же самое, надо 132 разложить на три слагаемыхъ такъ, чтобы I : II = 1 :1, а II : III = 4 : 3. Умноживъ члены перваго отношенія на 4, найдемъ, что для этого 132 надо раздѣлить пропорціонально числамъ 4, 4 и 3, что и выполняемъ по предыдущему:

Но по задачѣ первое слагаемое должно быть больше второго на 12 единицъ, слѣд. для числа 144 требуемыя слагаемыя будутъ:

33. Простое правило товарищества. Какъ мы уже замѣтили выше, практическія задачи, рѣшаемыя помощію пропорціональнаго дѣленія, носятъ названіе задачъ на правило товарищества. Въ задачахъ на простое правило товарищества требуется найти размѣры одной величины, соотвѣтствующіе даннымъ размѣрамъ другой, ей пропорціональной, величины, если сумма искомыхъ размѣровъ первой величины извѣстна; въ задачахъ на сложное правило товарищества требуется найти размѣры одной величины, соотвѣтствующіе даннымъ размѣрамъ нѣсколькихъ величинъ, пропорціональныхъ первой, если сумма искомыхъ размѣровъ первой величины извѣстна. Задачи перваго рода могутъ рѣшаться помощію пропорціональнаго дѣленія, способомъ приведенія къ единицѣ, методомъ подобія и другими пріемами. Приводимъ нѣсколько задачъ.

Задача 1. Три извозчика перевезли одинаковые грузы: первый на разстояніе 7% верстъ, второй на разстояніе 8% верстъ и третій на разстояніе 5% верстъ, и получили всѣ вмѣстѣ за перевозку этихъ грузовъ 3 р. 90 коп. Сколько получилъ каждый изъ нихъ?

Рѣшеніе способомъ пропорц. дѣленія. Плата за перевозку одного и того же груза пропорціональна разстоянію, на которое грузъ перевозится; поэтому 3 р. 90 коп. надо раздѣлить на три части пропорціонально числамъ 7%, 8‘/3 и 5%. Замѣняемъ отношенія дробныхъ чиселъ отношеніями цѣлыхъ:

и затѣмъ дѣлимъ по предыдущему:

Рѣшеніе способомъ приведенія къ единицѣ

Одинъ извозчикъ получилъ бы тѣ же 3 р. 90 коп., если бы такой же грузъ перевезъ на разстояніе

верстъ. Слѣд. за перевозку этого груза на разстояніе 1 версты платилось:

Первому извозчику слѣдуетъ получить за перевозку груза на разстояніе 77/2 верстъ, второму на разстояніе 8% верстъ и третьему на разстояніе 55/6 верстъ; поэтому они должны изъ 3 р. 90 коп. получить соотвѣтственно слѣдующія суммы:

Задача 2. При постройкѣ полотна желѣзной дороги, его раздѣлили на три одинаковыхъ участка и на каждый участокъ поставили отдѣльную партію рабочихъ: первая партія окончила работу на своемъ участкѣ въ 32 дня, вторая въ 48 дн., и третья въ 30 дн. Сколько рабочихъ было въ каждой партіи, если во всѣхъ трехъ было 205 человѣкъ?

Рѣшеніе способомъ пропорц. дѣленія. При исполненіи одной и той же работы число рабочихъ обратнопропорціонально времени работы; поэтому, если мы обозначимъ черезъ I, II, III соотвѣтственно числа рабочихъ въ первой, второй и третьей партіяхъ, то

т.-е. числа рабочихъ во всѣхъ трехъ партіяхъ обратно-пропорціональны числамъ 32, 48 и 30; слѣд. 205 надо раздѣлить на 3 части такъ, чтобы I : II : III = 1/3Î : У48 : Ѵзо- Умноживъ всѣ члены этого отношенія на ихъ общаго знаменателя 480, найдемъ, что

и по предыдущему рѣшимъ задачу слѣдующимъ образомъ:

Рѣшеніе способомъ приведенія къ единицѣ. Первая партія, строя третью часть полотна въ 32 дня, ежедневно выполняла 7з : 32, т.-е. 7эб часть всего полотна; вторая выполняла 7з: 48, т.-е. 7144 всего полотна; третья выполняла 7з : 30, т.-е. 7эо всего полотна. Слѣд., всѣ три партіи вмѣстѣ, т.-е. 205 рабочихъ, въ одинъ день выполняли

всего полотна, а каждый рабочій выполнялъ въ день

всего полотна. А такъ какъ первая партія рабочихъ ежедневно исполняла Ѵэв часть полотна, то въ ней было

человѣкъ. Такъ же найдемъ, что во второй партіи было 7144: 7т2оо — 50 человѣкъ и въ третьей 7эо: Ѵтаоо = 80 человѣкъ.

Задача 3. Тугоплавкое стекло состоитъ изъ кремнезема, извести и поташа, при чемъ количество по вѣсу кремнезема относится къ количеству извести какъ 71/г : 13/4, а количество поташа къ количеству кремнезема какъ 4373 : 100. Сколько вѣситъ аптекарская склянка изъ такого стекла, если для ея приготовленія кремнезема потребовалось на 10,2 золотника больше, чѣмъ поташа?

Рѣшеніе. Обозначимъ количества кремнезема, извести и поташа соотвѣтственно римскими цифрами I, II, III и замѣнимъ отношенія дробныхъ чиселъ отношеніями цѣлыхъ чиселъ; получимъ:

слѣд. I : II : 111 = 30 : 7 :13. Отсюда видимъ, что кремнезема надо взять 30 долей, извести 7 долей и поташа 13 долей, и

тогда составимъ 30 + 7 +13 = 50 долей стекла. Но при этомъ кремнезема мы возьмемъ на 30 —13 = 17 долей больше, чѣмъ поташа; слѣд. въ 10,2 зол. заключается 17 долей всего стекла, пошедшаго на склянку. Одна доля равна

а вся склянка вѣситъ

Задача 4. За двѣ бочки сахару, изъ которыхъ въ одной былъ сахаръ въ 6 р. 75 коп., а въ другой въ 7 р. 20 коп. за пудъ, торговецъ заплатилъ поровну. Сколько сахару въ каждой бочкѣ, если въ одной на 3 п. 25 ф. больше, чѣмъ въ другой?

Рѣшеніе способомъ подобія. Пусть въ первой бочкѣ 29 пуд. сахару; тогда она стоитъ 6,75 р. X 29 = 195,75 р. Столько же должна стоить и вторая бочка; слѣд. въ ней было 195,75 : 7,20 = 273/16 пуд. сахару, на

меньше, чѣмъ въ первой. А по требованію задачи во второй бочкѣ должно быть на 3% пуд. меньше, чѣмъ въ первой; слѣд. разность между количествами сахару въ обѣихъ бочкахъ у насъ получилась въ 3%:113/16 = 2 раза меньше, чѣмъ слѣдуетъ. Чтобы разность увеличить вдвое, надо уменьшаемое и вычитаемое увеличить вдвое, т.-е. въ первой бочкѣ должно быть 29 пуд. X 2 = 58 пуд. сахару, а во второй 273/16 пуд. X 2 = 54% пуд.

Иначе. Уравняемъ количества сахару въ первой и второй бочкѣ. Для этого во вторую бочку надо прибавить 3% пуд. сахару, которые стоятъ 7,2 р. Х3% = 26,1 руб. На эту сумму тогда вторая бочка будетъ стоить больше первой. Эта разница произойдетъ только отъ того, что въ ней каждый пудъ сахару дороже, чѣмъ въ первой, на 7,2 р. — 6,75 р.= 0,45 р.; слѣд. тогда въ каждой бочкѣ будетъ по 26,1 р. : 0,45 р. = 58 пуд. сахару. Но такъ какъ во вторую бочку прибавили 3% пуд., то въ ней на самомъ дѣлѣ было 58 пуд. — 3% пуд. = 54% пуд.

34. Сложное правило товарищества. Задачи на сложное правило товарищества приводятъ къ простому правилу товарищества двумя пріемами: 1) введеніемъ составныхъ единицъ и 2) приведеніемъ размѣровъ одной изъ про-

порціональныхъ величинъ къ единицѣ. Кромѣ того, эти задачи можно рѣшать методомъ подобія.

Задача 1. За провозъ трехъ грузовъ по желѣзной дорогѣ взяли 17 р. 50 коп. Первый грузъ въ 175 пудовъ былъ перевезенъ на разстояніе 144 верстъ, второй въ 225 пудовъ на разстояніе 98 верстъ, третій въ 125 пудовъ на разстояніе 63 верстъ. Сколько взяли за провозъ каждаго груза?

Рѣшеніе способомъ приведенія къ единицѣ. Плата за перевозку груза по желѣзнымъ дорогамъ прямопропорціональна вѣсу груза и прямо-пропорціональна разстоянію, на которое грузъ перевозится. Поэтому, если бы всѣ три груза были перевезены на одно и то же разстояніе, то для рѣшенія задачи 17 руб. 50 коп. надо бы было раздѣлить пропорціонально числамъ 175, 225 и 125; если бы всѣ три груза были одинаковы, то для рѣшенія задачи надо бы было 17 р. 50 коп. раздѣлить пропорціонально числамъ 144, 98, и 63. А намъ надо принять во вниманіе и различіе въ грузахъ и различіе въ разстояніяхъ, на которыя они перевезены, или, какъ иногда говорятъ, надо 17 р. 50 коп. раздѣлить пропорціонально двумъ рядамъ чиселъ 175, 225, 125 и 144, 98, 63.

Измѣнимъ условія задачи такъ, чтобы искомыя части числа 17 р. 50 коп. остались безъ измѣненія, а дѣленіе пришлось бы произвести пропорціонально числамъ одного ряда. Для этого надо уравнять или разстоянія, на которыя перевезены грузы, или уравнять самые грузы. Уравняемъ послѣдніе, именно приведемъ ихъ къ единицѣ. Первый грузъ въ 175 пудовъ за нѣкоторую часть 17 р. 50 коп. перевеземъ на разстояніе 144 верстъ; за тѣ же деньги грузъ въ 1 пудъ можно перевезти на разстояніе въ 175 разъ большее, т.-е. на разстояніе

За тѣ же деньги, за которыя перевезенъ второй грузъ въ 225 пудовъ на разстояніе 98 верстъ, грузъ въ 1 пудъ можно перевезти на разстояніе

За тѣ же деньги, за которыя перевезенъ третій грузъ

въ 125 пудовъ на разстояніе 63 верстъ, грузъ въ 1 пудъ можно перевезти на разстояніе

63 верстъX125 = 7875 верстъ.

Слѣд. за перевозку всѣхъ этихъ трехъ грузовъ, въ 1 пудъ каждый, на найденныя нами разстоянія придется заплатить тѣ же 17 р. 50 коп., которые уплачены за грузы, назначенные въ задачѣ; поэтому для рѣшенія задачи остается 17 р. 50 коп. раздѣлить на три части такъ, чтобы

Для этого сокращаемъ полученное сложное отношеніе на общаго наиб. дѣлителя 1575 всѣхъ трехъ его членовъ:

и такимъ образомъ находимъ, что за перевозку перваго груза взяли 8 руб., за перевозку второго —7 руб. и за перевозку третьяго — 2 р. 50 коп.

Изъ этого рѣшенія видимъ, что, если число надо раздѣлить пропорціонально числамъ двухъ рядовъ, то соотвѣтственныя числа обоихъ рядовъ надо перемножить и дѣлить данное число пропорціонально полученнымъ произведеніямъ.

Замѣтимъ, что сократить полученное отношеніе было бы гораздо удобнѣе, если бы въ него ввели произведенія 144.175, 98.225 и 63.125, не выполнивши умноженій.

Рѣшеніе способомъ введенія составной единицы. Плата за перевозку грузовъ по желѣзнымъ дорогамъ назначается съ пуда и версты, т.-е. опредѣляютъ, какую сумму слѣдуетъ брать за перевозку 1 пуда на разстояніе 1 версты. Назовемъ такую единицу пудо-верстой. Тогда скажемъ, что за перевозку перваго груза возьмутъ плату съ 175.144, т.-е. съ 25 200 пудо-верстъ, за перевозку второго груза — съ 225.98, т.-е. съ 22 050 пудо-верстъ, и за перевозку третьяго груза — съ 125.63, т.-е. съ 7 875 пудо-верстъ. Слѣд. 17 р. 50 коп. взяты съ

пудо-верстъ. За одну пудо-версту брали

за перевозъ перваго груза взяли

за перевозъ второго груза

за перевозъ третьяго груза

Рѣшеніе методомъ подобія. Положимъ, что за перевозъ одного пуда на разстояніе одной версты брали 0,01 руб., тогда за перевозъ перваго груза въ 175 пуд. на разстояніе 144 верстъ взяли бы

руб. За перевозъ второго груза на разстояніе 98 верстъ взяли бы:

За перевозъ третьяго груза взяли бы:

А за перевозъ всѣхъ трехъ грузовъ:

руб., т.-е. въ 551,25 : 17,5 = 55 125 : 1750 = 31,5 разъ больше, чѣмъ въ дѣйствительности; слѣд. въ дѣйствительности и за перевозъ каждаго груза взяли тоже въ 31,5 разъ меньше, чѣмъ это вышло по нашему предположенію. А потому въ дѣйствительности за перевозъ перваго груза взяли 252 р. : 31,5 = 2 520 руб. : 315 = 8 руб.

За перевозъ второго груза 220,5 руб. : 31,5 = 7 руб.

За перевозъ третьяго груза 78,75 руб. : 31,5 = 2,5 руб.

Задача 2. Хлѣбный торговецъ купилъ 539 пудовъ муки трехъ сортовъ, при чемъ за муку перваго сорта заплатилъ 467 руб. 50 коп., за муку второго сорта —495 руб. и за муку третьяго сорта — 237 руб. 60 коп. Сколько муки каждаго сорта онъ купилъ, если 1 пудъ 5 ф. перваго сор-

та обошлись ему во столько же, во сколько 1 пуд. 10 фунт. второго, а 2 пуда второго сорта — во столько же, во сколько 2 пуда 20 фунт. треть я г о ?

Рѣшеніе. Количество товара прямо - пропорціонально суммѣ, на него затрачиваемой, и обратно-пропорціонально цѣнѣ товара. Слѣд. 539 пудовъ надо раздѣлить прямо-пропорціонально суммамъ, затраченнымъ на муку каждаго сорта, и обратно-пропорціонально цѣнамъ муки каждаго сорта. Суммы, затраченныя на муку каждаго сорта, намъ даны; найдемъ, въ какихъ отношеніяхъ находятся цѣны. Если 1 пудъ 5 ф. муки перваго сорта стоятъ столько же, сколько 1 пуд. 10 фунт. второго, то цѣна перваго сорта во столько разъ больше цѣны второго, во сколько 1 пуд. 10 ф. больше 1 пуда 5 ф., т.-е. цѣна 1-го сорта относится къ цѣна второго, какъ

Цѣна второго сорта относится къ цѣнѣ третьяго, какъ

Умноживъ члены перваго отношенія на 5, а члены второго на 9, найдемъ, что цѣны всѣхъ трехъ сортовъ муки относятся между собою, какъ 50 : 45 : 36. Слѣд. 539 пуд. надо раздѣлить прямо-пропорціонально числамъ 467,5 , 495 , 237,6 и обратно пропорціонально числамъ 50, 45, 36. Но такъ какъ обратно-пропорціональное дѣленіе приводится къ прямопропорціональному дѣленію обратнымъ величинамъ, то число 539 пуд. надо раздѣлить пропорціонально числамъ двухъ рядовъ:

Какъ мы видѣли, для этого числа обоихъ рядовъ надо соотвѣтственно перемножить и раздѣлить 539 пропорціонально произведеніямъ: 467,5 X 1/50, 495 X ih& > 237,6 X Ѵзв- Находимъ отношеніе между этими числами и упрощаемъ его:

а затѣмъ выполняемъ самое дѣленіе:

Для объясненія, почему 539 надо раздѣлить пропорціонально произведеніямъ 467,5.760, 495.745 и 237,6.у86, слѣдуетъ замѣтить, что если цѣны всѣхъ трехъ сортовъ муки относятся между собою, какъ 50 : 45 : 36, то для уравненія цѣнъ всѣхъ трехъ сортовъ муки надо уменьшить цѣну перваго сорта въ 50 разъ, цѣну второго сорта въ 45 разъ, и цѣну третьяго сорта въ 36 разъ; тогда тѣ же количества муки всѣхъ трехъ сортовъ соотвѣтственно будутъ стоить 467,5.750 руб., 495.745 руб. и 237,6.736 руб., и такъ какъ цѣны ихъ одинаковы, то для опредѣленія количества муки каждаго сорта надо 539 раздѣлить пропорціонально этимъ произведеніямъ.

Иначе. За первый сортъ муки уплачено 467,5 руб.; за такое же количество муки второго сорта придется заплатить въ 10/э = 17э Раза меньше, такъ какъ мука второго сорта дешевле муки перваго сорта во столько разъ, во сколько 1 пуд. 10 ф. больше 1 пуд. 5 ф., т.-е. придется заплатить

Если вмѣсто муки 3-го сорта будетъ куплено такое же количество муки 2-го сорта, то за него придется уплатить

Слѣд., если бы торговецъ купилъ всѣ 539 пудовъ муки одного второго сорта, то заплатилъ бы за нихъ

Одинъ пудъ муки второго сорта стоитъ 1 212,75 р. : 539 = 2,25 руб. и ея дѣйствительно куплено 495 : 2,25 = 49 500 : 225 = 220 пудовъ.

Пудъ муки перваго сорта стоитъ 2,25.179 руб., т.-е. 2,5 руб. и ея куплено 467,5 : 2,5 т.-е. 187 пуд.; пудъ муки третьяго сорта стоилъ 2,25 :б/4, т.-е. 1,8 руб., и ея куплено

= 237,6 :1,8 = 132 пуда.

Иначе. Примемъ, что пудъ муки перваго сорта стоитъ 1 руб. Тогда 1 п. 5 ф. ея стоятъ IX 178 = 17s РУ6- Столько же стоятъ 1 и. 10 ф. муки второго сорта, слѣд. пудъ ея стоитъ 178 :174 = 9/8 : 5/4 = 0,9 руб., а 2 пуда ея стоятъ 0,9X2 = 1,8 руб. Столько же стоятъ 2 и. 20 ф. муки третьяго сорта, слѣд. пудъ ея стоитъ 1,8 : 2,5 = 18 : 25 = 0,72 руб.

Если пудъ муки перваго сорта стоитъ 1 руб., то ея куплено 467,5:1 = 467,5 пуд.; если пудъ муки второго сорта стоитъ 0,9 руб., то ея куплено 495:0,9 = 550 пуд.; если пудъ муки третьяго сорта стоитъ 0,72 руб., то ея куплено 237,6:0,72 = 330 пуд. Итакъ при сдѣланномъ нами предположеніи всей муки было бы куплено 467,5 + 550 + 330 = 1 347,5 пуд.; въ дѣйствительности же куплено 539 пуд., въ 1 347,5:539 = 2,5 раза меньше; слѣд. и каждаго сорта въ дѣйствительности куплено въ 2,5 раза меньше, чѣмъ въ сдѣланномъ нами предположеніи, т.-е. муки перваго сорта куплено 467,5 : 2,5 = 187 пуд.; муки второго сорта 550 : 2,5 = 220 пуд.; муки третьяго сорта 330 : 2,5 = 132 пуда.

36. 1) Что зпачитъ раздѣлить число въ разностномъ отношеніи?—2) Что значитъ раздѣлить число въ кратномъ отношеніи?—Какъ иначе наз. такое дѣленіе?—3) Какъ раздѣлить число въ разностномъ отношеніи?—4) Что значитъ раздѣлить число пропорціонально числамъ даннаго ряда? — какъ производится такое дѣленіе?—5) Какъ производится пропорціональное дѣленіе въ тѣхъ случаяхъ, когда числа, соотвѣтствующія одному и тому же искомому слагаемому въ данныхъ отношеніяхъ, не одинаковы? — 6) Что значитъ раздѣлить число обратно-пропорціонально числамъ даннаго ряда?— къ чему приводится такое дѣленіе?—7) Какія задачи относятся къ простому правилу товарищества?—8) Сколькими пріемами рѣшаются эти задачи?—9) Какія задачи относятся къ сложному правилу товарищества?— 10) Какими пріемами рѣшаются эти задачи?

IV.

Процентныя вычисленія.

36. Процентомъ*) наз. сотая доля каждой величины и каждаго числа. Въ процентахъ принято выражать возрастаніе, убываніе величинъ и составъ однѣхъ величинъ изъ другихъ. Такъ, если къ населенію какой-либо страны въ теченіе года прибавится 0,01 всего числа жителей, то говорятъ, что населеніе страны возрасло въ этотъ годъ на 1 процентъ; если цѣна какого-либо товара уменьшится на 0,03 своей величины (напр. вмѣсто 2 руб. за фунтъ станетъ 1 р. 94 к.), то говорятъ, что цѣна товара по-

*) Слово процентъ—латинское и состоитъ изъ двухъ словъ: pro, что значитъ за, и centum, что значитъ сто.

низилась на 3 процента; если 0,75 всего населенія государства принадлежитъ къ господствующей національности, а остальныя 0,25—къ другимъ національностямъ, то говорятъ, что господствующая національность составляетъ 75 процентовъ, а остальныя національности—25 процентовъ всего населенія. А потому выраженіи: „ежегодный приростъ лѣса составляетъ 4% процента“, „ежегодная добыча золота уменьшается на 23/4 процента“, „въ классѣ 85 процентовъ успѣшныхъ“ означаютъ, что количество матеріала въ лѣсу ежегодно возрастаетъ на 4% сотыхъ своей величины, что количество добываемаго золота уменьшается на 2% сотыхъ этого количества, что число успѣшныхъ учениковъ составляетъ 85 сотыхъ всего числа учениковъ въ классѣ.

Слово процентъ означаютъ знакомъ %, который ставятъ справа отъ числа, означающаго требуемое число процентовъ.

Когда данъ размѣръ величины и опредѣлено въ процентахъ ея измѣненіе, то нетрудно вычислить измѣненіе величины въ тѣхъ же единицахъ, въ которыхъ выраженъ ея размѣръ, а равно опредѣлить и размѣръ, который она приметъ послѣ своего измѣненія. Напр., если принять, что населеніе Россіи составляетъ приблизительно 120 000 000 и что оно ежегодно возрастаетъ на 1,2%, то легко вычислить, на сколько человѣкъ увеличится оно къ началу будущаго года и до какого размѣра тогда достигнетъ. Для этого опредѣляемъ сперва 1 %, т.-е. одну сотую долю отъ 120 000 000; это будетъ 1 200 000. А такъ какъ въ теченіе года число жителей возрастастаетъ на 1,2%, то къ началу будущаго года населеніе Россіи увеличится на

1 200 000X1,2 = 1 440 000

человѣкъ и слѣд. достигнетъ до

120 000 000 + 1 440 000 = 121 440 000. человѣкъ.

Данный размѣръ величины (120 000 000) принято называть начальной величиной, а по отношенію къ деньгамъ—начальнымъ капиталомъ; измѣненіе начальной величины (1 440 000), выраженное въ тѣхъ же единицахъ какъ и начальная величина,—наращеніемъ или уменьшеніемъ (смотря по тому, растетъ или убываетъ величина), а по отношенію къ деньгамъ—процентными деньгами;

размѣръ (121 440 000), который принимаетъ величина послѣ своего измѣненія, соотвѣтственно наращенной или уменьшенной величиной, а по отношенію къ деньгамъ—наращеннымъ или уменьшеннымъ капиталомъ. Наращенная величина есть сумма начальной величины и наращенія; уменьшенная величина есть разность между начальной величиной и уменьшеніемъ.

Когда начальная величина содержитъ въ себѣ 100 единицъ, то каждый процентъ съ нея содержитъ въ себѣ одну такую единицу, и потому наращеніе или уменьшеніе величины содержитъ въ себѣ столько же единицъ, сколько процентовъ на нее нарастаетъ или изъ нея убываетъ. Такъ 7% со 100 единицъ составляютъ 7 единицъ, 12%% со 1^0 единицъ составляютъ 12*/2 единицъ и т. д. Поэтому выраженіямъ: „населеніе города возрасло на 15%“, „число успѣшныхъ въ учебномъ заведеніи составляетъ 78%“, „торговый оборотъ принесъ 8,25% убытку“ можно дать такое толкованіе: на каждыхъ 100 человѣкъ населенія прибавилось 15 человѣкъ, изъ каждыхъ ста учениковъ успѣшно учатся 78 человѣкъ, съ каждыхъ ста рублей капитала, пущеннаго въ оборотъ, получено 8,25 руб. убытку.

Большая часть величинъ измѣняется въ зависимости отъ времени, при чемъ измѣненіе многихъ изъ нихъ совершается пропорціонально времени измѣненія. Опредѣляя въ процентахъ измѣненіе такихъ величинъ, необходимо указывать, въ теченіе какого промежутка времени это процентное измѣненіе совершилось. Единицей времени въ такихъ случаяхъ обыкновенно служитъ годъ, а иногда мѣсяцъ или сутки, при чемъ для простоты вычисленій принимается въ году 360 сутокъ и въ каждомъ мѣсяцѣ по 30 сутокъ. Если въ задачѣ не оговорено, въ теченіе какого промежутка времени совершилось данное или искомое процентное измѣненіе величины, то подразумѣвается, что это измѣненіе совершилось въ теченіе года.

Когда величина растетъ вмѣстѣ съ временемъ, то могутъ быть два случая: или наращеніе происходитъ только на начальную величину, или наращеніе происходитъ и на начальную величину, и на всѣ ея наращенія. Напр., при займѣ денегъ можно условиться начислять проценты только на начальный капиталъ, а на процентныя деньги не начислять; или можно условиться, чтобы начислялись проценты и на

начальный капиталъ, и на наросшія процентныя деньги. Въ послѣднемъ случаѣ процентныя деньги за опредѣленный промежутокъ времени причисляются къ капиталу, и за слѣдующій такой же промежутокъ времени проценты начисляются на всю образовавшуюся сумму. Въ первомъ случаѣ проценты наз. простыми, во второмъ случаѣ—с ложными.

При денежныхъ оборотахъ лицо, дающее деньги взаймы, наз. заимодавцемъ или кредиторомъ; лицо берущее въ долгъ, наз. должникомъ или дебиторомъ. Письменное условіе, по которому дѣлается заемъ, наз. вообще долговымъ обязательствомъ, а въ частныхъ случаяхъ распискою, заемнымъ письмомъ и т. п. Когда деньги вносятся въ банкъ для приращенія изъ процентовъ, то внесенный капиталъ наз. вкладомъ; когда деньги занимаются въ банкѣ то занятый капиталъ наз. ссудой.

Кромѣ долговыхъ обязательствъ частныхъ лицъ, существуютъ долговыя обязательства государства, компаній желѣзныхъ дорогъ, банковъ п т. п. Такія обязательства носятъ общее назнаніе процентныхъ бумагъ, государственныхъ или частныхъ, и свободно обращаются среди публики. Въ частности процентныя бумаги носятъ названіе облигацій, билетовъ государственнаго банка, ренты, свидѣтельствъ государственнаго крестьянскаго земельнаго банка, закладныхъ листовъ и т. п. Всѣ эти процентныя бумаги слѣдуетъ строго отличать отъ акцій и паевъ различныхъ компаній. Акція или пай даетъ право участвовать въ веденіи предпріятія и приноситъ доходъ или убытокъ сообразно съ успѣшностью предпріятія; облигаціи же, закладные листы и т. п. приносятъ опредѣленные проценты, которые получаются обыкновенно по купонамъ, приложеннымъ къ этимъ % бумагамъ.

37. Простые проценты. Въ задачи на простые проценты могутъ входить пять величинъ. Для денежныхъ оборотовъ, которые мы и будемъ имѣть преимущественно въ виду, эти величины слѣдующія: начальный капиталъ, процентное измѣненіе капитала, время оборота капитала, процентныя деньги и наращенный или уменьшенный капиталъ.

Изъ нихъ прямо пропорціональны между собою: процентныя деньги и начальный капиталъ, процентныя деньги и процентное измѣненіе капитала, процентныя деньги и время оборота капитала; и обратно-пропорціональны: начальный капиталъ и процентное измѣненіе капитала, начальный капиталъ и время оборота капитала; процентное измѣненіе капитала и время оборота капитала. По тремъ изъ этихъ величинъ можно опредѣлить четвертую, п такимъ образомъ на правило простыхъ процентовъ могутъ быть задачи слѣдующихъ четырехъ типовъ: 1) опредѣлить процентныя деньги по начальному капиталу, процентному измѣненію капитала и времени оборота; 2) опре-

дѣлить процентное измѣненіе (обыкновенно годовое) капитала по начальному капиталу, времени оборота и процентнымъ деньгамъ; 3) опредѣлить время оборота капитала по начальному капиталу, процентному измѣненію капитала и процентнымъ деньгамъ; 4) опредѣлить начальный капиталъ по процентному измѣненію капитала, времени оборота и процентнымъ деньгамъ.

Наращенный или уменьшенный капиталъ находится въ пропорціональной зависимости только отъ начальнаго капитала, съ остальными же величинами находится въ болѣе сложной зависимости. Но такъ какъ наращенный или уменьшенный капиталъ легко опредѣляется по начальному капиталу и процентнымъ деньгамъ (наращенный капиталъ есть сумма начальнаго капитала и процентныхъ денегъ, уменьшенный—разность между начальнымъ капиталомъ и процентными деньгами), то во всѣхъ приведенныхъ четырехъ задачахъ легко опредѣлить наращенный или уменьшенный капиталъ или непосредственно по даннымъ задачъ (2-я и 3-я задачи), или послѣ рѣшенія ихъ (1-я и 4-я). Если во всѣхъ четырехъ задачахъ замѣнимъ одно изъ данныхъ, начальный капиталъ или процентныя деньги, измѣненнымъ капиталомъ, то 2-я и 3-я задачи не потерпятъ существенного измѣненія, такъ какъ въ нихъ будутъ даны измѣненный капиталъ и начальный капиталъ или измѣненный каоиталъ и процентныя деньги, а слѣд. легко будетъ найти третью изъ этихъ величинъ и такимъ образомъ привести задачу къ прежнему виду. Что касается 1-й и 4-й задачъ, то онѣ при такой замѣнѣ существенно измѣнятся и потребуютъ иныхъ пріемовъ рѣшенія. Но такъ какъ при данномъ измѣненномъ капиталѣ безразлично, искать ли процентныя деньги или начальный капиталъ, ибо, опредѣливъ одну изъ этихъ величинъ, легко уже найти другую, то обѣ задачи могутъ быть соединены въ одну, и къ перечисленнымъ четыремъ типамъ задачъ слѣдуетъ прибавить еще задачу пятаго типа: 5) опредѣлить начальный капиталъ или процентныя деньги по наращенному или уменьшенному капиталу, процентному измѣненію капитала и времени оборота.

Кромѣ этихъ задачъ, могутъ быть рѣшены еще слѣдующія двѣ: 6) по данному процентному измѣненію капитала опредѣлить время, потребное для кратнаго измѣненія (удвоенія, утроенія и т. д.) капитала; 7) по данному времени оборота капитала опредѣлить процентное измѣненіе, при которомъ капиталъ возрастетъ въ данномъ кратномъ отношеніи.

Задача 1. Опредѣленіе процентныхъ денегъ. Сколько процентныхъ денегъ принесетъ въ 3 года 2 мѣс. 12 дн. капиталъ въ 3 250 руб., отданный въ ростъ по б+Ѵо?

Рѣшеніе. Опредѣляемъ, сколько рублей въ 1% съ капитала 3 250 р.:

Опредѣляемъ процентныя деньги за годъ:

Опредѣляемъ процентныя деньги за 3 года 2 мѣс. 12 дн., для чего 2 мѣс. 12 дн. обращаемъ предварительно въ доли года:

Всѣ дѣйствія можно сперва обозначить, въ полученномъ обозначеніи произвести сокращеніе и затѣмъ уже произвести вычисленія. Тогда рѣшеніе представится въ слѣдующемъ видѣ:

Иначе. Опредѣляемъ, сколько процентовъ принесетъ капиталъ въ теченіе 3% года, получимъ

затѣмъ, принявъ во вниманіе, что 20% состтвляютъ 0,2 капитала 3250 руб., найдемъ процентныя деньги умноженіемъ:

Для опредѣленія наращеннаго капитала надо къ 3250 руб. прибавить 650 руб.; получимъ

Если бы капиталъ приносилъ убытокъ, то уменьшенный капиталъ былъ бы

Иначе. Когда капиталъ отданъ въ ростъ по 6%%, каждая сотня рублей даетъ въ годъ 6% руб. прибыли; на основаніи этого задача можетъ быть представлена въ видѣ задачи сложнаго тройного правила:

и рѣшена однимъ изъ пріемовъ, прилагаемыхъ къ рѣшенію задачъ этого правила.

Задача 2. Опредѣленіе процентнаго измѣненія капитала. П о скольку процентовъ отданъ въ ростъ капиталъ 2520 руб., если онъ въ теченіе 2 лѣтъ 9 мѣс. 10 ди. принесъ 385 руб. процентныхъ денегъ?

Рѣшеніе. Опредѣляемъ, сколько процентныхъ денегъ приносилъ капиталъ ежегодно, для чего предварительно 9 мѣс. 10 дней обращаемъ въ доли года:

Опредѣляемъ, сколько рублей въ 1% съ капитала 2520 руб.:

Затѣмъ узнаемъ, по скольку процентовъ былъ отданъ капиталъ:

Иначе. Узнавъ, что капиталъ ежегодно приноситъ 138,6 р. процентныхъ денегъ, узнаемъ въ десятичныхъ доляхъ, какую часть 138,6 руб. составляютъ отъ 2520 руб.:

и заключаемъ, что капиталъ отданъ по 5,5%.

Если въ рѣшеніи всѣ дѣйствія сперва обозначить, то рѣшеніе приметъ видъ:

Иначе. Чтобъ узнать, по скольку процентовъ отданъ капиталъ въ ростъ, надо узнать, сколько рублей въ годъ приносятъ каяедые 100 рублей; на основаніи этого наша задача можетъ быть представлена въ видѣ задачи сложнаго тройного правила:

и рѣшена, какъ указано въ этомъ правилѣ.

Задача 3. Опредѣленіе времени оборота капитала. Насколько времени надо отдать капиталъ 5760 руб., чтобы онъ, принося ежегодно по далъ 1 440 руб. процентныхъ денегъ?

Рѣшеніе. Опредѣляемъ, сколько рублей въ 1% съ капитала 5760 руб.:

Опредѣляемъ процентныя деньги за годъ:

Опредѣляемъ, на сколько лѣтъ надо отдать капиталъ:

Раздробивъ % г°Да въ мѣсяцы, найдемъ, что капиталъ долженъ быть отданъ на 3 года 4 мѣс.

Если всѣ дѣйствія сперва обозначить, то рѣшеніе приметъ видъ:

Иначе. Подобно предыдущимъ и эта задача можетъ быть представлена въ видѣ задачи на сложное тройное правило:

Задача 4. Опредѣленіе начальнаго капитала по процентнымъ деньгамъ. Какой капиталъ надо отдать въ ростъ по 5%%, чтобы онъ въ 4 года 4 мѣс. 15 дн. принесъ 735 руб. процентныхъ денегъ?

Рѣшеніе. Опредѣляемъ процентныя деньги за годъ, для чего 4 мѣс. 15 дн. предварительно обращаемъ въ доли года:

Эти 168 руб. составляютъ 5%% съ искомаго капитала; опредѣляемъ, сколько рублей въ 1%:

А затѣмъ опредѣляемъ и весь начальный капиталъ:

Если всѣ дѣйствія сперва обозначить, то рѣшеніе приметъ видъ:

Иначе. Опредѣляемъ, сколько процентовъ нарасло на капиталъ въ теченіе 4 лѣтъ 4 мѣс. 15 дней:

Эти 23%% составляютъ 23% сотыхъ доли, или

начальнаго капитала. А такъ какъ процентныхъ денегъ всего надо получить 735 руб., то %0 всего начальнаго капитала составляютъ 735 руб., и самый начальный капиталъ есть

Иначе. Какъ задача на сложное тройное правило, эта задача представится въ слѣдующемъ видѣ:

Задача 5. Опредѣленіе начальнаго капитала по наращенному капиталу. Какой капиталъ надо отдать въ ростъ по 41/а%, чтобы черезъ 2 года 2 мѣс. 20 дн. онъ обратился въ 687 руб. 50 коп.?

Рѣшеніе. Наращенный капиталъ 687 р. 50 коп., или 687,5 р., состоитъ изъ начальнаго капитала, который заключаетъ въ себѣ 100%, и изъ процентныхъ денегъ. Опредѣлимъ, сколько процентовъ заключается въ процентныхъ день

гахъ, т.-е. сколько процентовъ нарасло въ теченіе 2 лѣтъ

2 мѣс. и 20 дн., для чего 2 мѣс. 20 дн. обращаемъ въ доли года:

процентовъ; слѣд. въ наращенномъ капиталѣ слѣдуетъ считать

опредѣляемъ 1% искомаго начальнаго капитала:

а затѣмъ и весь начальный капиталъ:

Процертныя деньги 62,5 руб. опредѣлимъ, или вычтя нач. капиталъ 625 руб. изъ наращеннаго 687,5 руб., или умноживъ 6,25 руб. на 10.

Если всѣ дѣйствія сперва обозначить, то рѣшеніе представится въ слѣдующемъ видѣ:

Иначе. Въ теченіе 2 лѣтъ 2 м. и 20 дней на начальный капиталъ нарасло 4 у°/« X 2 = 10%,

т.-е. къ нему прибавилось 0,10 долей, слѣд. наращенный капиталъ составляетъ 1+0,10 = 1,1 начальнаго капитала, для опредѣленія котораго поэтому надо 687,5 раздѣлить на 1,1; получимъ: 687,5 руб. : 1,1 = 625 руб.

Задача 6. Опредѣленіе начальнаго капитала по уменьшенному капиталу. Капиталъ, вложенный въ нѣкоторое промышленное предпріятіе, продолжавшееся въ теченіе 4 лѣтъ 6 мѣс., приносилъ ежегодно 2‘/2% убытку. Какой капиталъ былъ вложенъ въ предпріятіе, если отъ него осталось 1775 руб.?

Рѣшеніе. Изъ начальнаго капитала въ теченіе 4 лѣтъ 6 мѣс., или 4% лѣтъ, пошло на покрытіе убытка

процентовъ; слѣд. осталось отъ него 100%—11%%, т.-е. 88%%, которые по условію составляютъ 1775 руб. Опредѣляемъ 1% начальнаго капитала:

а затѣмъ и весь начальный капиталъ:

Если всѣ дѣйствія сперва обозначить, то рѣшеніе приметъ видъ:

Иначе. На покрытіе убытка изъ начальнаго капитала пошло 11 74%5 или 0,1125 доли его; слѣд. въ 1775 руб. заключается

начальнаго капитала; а весь начальный капиталъ равенъ 1775 руб. : 0,8875 = 17750000 : 8875 руб. = 2 000 руб. Иначе. Обѣ послѣднія задачи могутъ быть обращены въ задачи простого тройного правила. Для этого въ обѣихъ надо разсчитать, во что обратятся каждые 100 рублей начальнаго капитала.

Въ первой задачѣ за все время нарастаетъ 10%, слѣд. 100 руб. обратятся въ 110 руб., и задача приметъ видъ:

Во второй задачѣ пошло на покрытіе убытка 11%%, слѣд. каждые 100 рублей обратятся въ 88% руб., и задача приметъ видъ:

Задача 7. Опредѣленіе времени измѣненія капитала въ кратномъ отношеніи производится на томъ основаніи, что для удвоенія капитала на него должно нарасти 100% (тогда въ наращенномъ капиталѣ будетъ 100% начальнаго капитала и 100% наросшихъ, слѣд. всего 200%, т.-е. вдвое больше, чѣмъ въ начальномъ), что для утроенія капитала на него должно нарасти 200% и т. д. Поэтому, чтобы узнать, во сколько времени увеличится въ 2% раза капиталъ, отданный по 6%%, надо 150%, которые должны для этого нарасти на начальный капиталъ, раздѣлить на 6% 0/05 которые нарастаютъ ежегодно; получимъ

Задача 8. Опредѣленіе процентнаго измѣненія, необходимаго для удвоенія, утроенія и т. д. капитала, производится на томъ же основаніи; напр., чтобы узнать, по скольку процентовъ надо отдать капиталъ, чтобы онъ увеличился въ 41/3 раза въ теченіе 33 лѣтъ 4 мѣс., замѣчаемъ, что для этого на капиталъ должно нарасти 333%% (тогда 100% начальнаго капитала да 333%% наросшихъ составятъ 4331/3%, т.-е. въ 4% раза больше, чѣмъ въ начальномъ капиталѣ). А такъ какъ это наращеніе должно совершиться въ теченіе 33 лѣтъ 4 мѣс., т.-е. въ теченіе 33% лѣтъ, то ежегодно должно нарастать.

38. Сложные проценты. Въ задачи на сложные проценты могутъ входить тѣ же пять величинъ, что и въ задачи на простые проценты. Хотя задачъ па сложные проценты можетъ быть столько же и тѣхъ же типовъ, какъ и на простые проценты, но изъ нихъ помощію четырехъ ариѳметическихъ дѣйствій могутъ быть рѣшены только двѣ: опредѣлить наращенный капиталъ и опредѣлить начальный капиталъ; остальныя же задачи требуютъ умѣнья извлекать корни и логариѳмировать. Такъ какъ вычисленія въ задачахъ на сложные проценты очень длинны, то для рѣшенія ихъ часто пользуются таблицами наращенія 100 руб. по сложнымъ процентамъ. Приводимъ примѣры упомянутыхъ нами двухъ задачъ.

Задача 1. Во что обратится капиталъ 750 руб., отданный по 4%%, черезъ 3 года, если процентныя деньги присчитываются къ капиталу въ концѣ каждаго года?

Рѣшеніе. Въ первый годъ на капиталъ нарастетъ 4%%, и всего въ немъ будетъ заключаться 100% % 4%% = 104%%; слѣд. онъ обратится въ

Во второй годъ на этотъ капиталъ 783,75 руб. опять нарастаетъ 4%%; слѣд. онъ обратится въ

Въ третій годъ на этотъ капиталъ опять нарастетъ 4%%, и онъ обратится въ

Въ виду того, что всѣ расчеты принято производить точно до копѣйки, на задачу слѣдуетъ отвѣтить, что 750 руб. обратятся черезъ 3 года въ 855,87 руб.

Иначе. Разсчитаемъ сперва, во что обратятся 100 руб. черезъ 3 года. Черезъ годъ они обратятся въ 104,5 руб. Во второй годъ нарастетъ опять 4%%, и слѣд. 100 руб. черезъ 2 года обратятся въ

Въ третій годъ опять нарастетъ 41/2%, и слѣд. 100 руб. черезъ 3 года обратятся въ

Если же 100 руб. обращаются въ такую сумму, то 1 рубль обратится въ 1,141166125 руб., а 750 руб. обратятся въ

1,141166125 X 750 = 855,87459875 руб.,

или въ 855,87 руб., если ограничиться копѣйками и откинуть доли копѣйки.

Послѣднее рѣшеніе показываетъ, какъ можно пользоваться таблицами наращенія 100 руб. по сложнымъ процентамъ. Въ этихъ таблицахъ мы найдемъ, во что обращаются 100 руб. черезъ 3 года, отданные по 41/2%; слѣд. останется только вычислить, во что обратится 1 рубль и затѣмъ 750 руб.

Задача 2. Какой капиталъ надо отдать по5%, чтобы онъ черезъ 4 года обратился въ 388,96 руб.?

Рѣшеніе. Разсчитаемъ, во что обратятся 100 руб. черезъ 4 года. Черезъ 1 годъ они обратятся въ 105 руб.; черезъ 2 года въ

черезъ 3 года въ

черезъ 4 года въ

Если 100 руб. обращаются въ 121,550625 руб., то 1 руб. обратится въ 1,21550625 руб. Искомый же капиталъ обра-

тился въ 388,96 руб.; слѣд. въ немъ было столько рублей, сколько разъ 1,21550625 руб. содержатся въ 388,96 руб. Произведя дѣленіе, найдемъ безконечное десятичное число 319,9983... Ограничивая точность отвѣта копѣйками, скажемъ, что искомый капиталъ равенъ 320 руб.

Изъ рѣшенія ясно, какъ для рѣшенія задачъ этого типа можно пользоваться таблицами наращенія 100 руб. по сложнымъ процентамъ.

Зная начальный и наращенный капиталы, можемъ въ обѣихъ задачахъ опредѣлить процентныя деньги.

39. Учетъ векселей. Векселемъ наз. долговое обязательство, въ которомъ обозначены подлежащая уплатѣ сумма и срокъ платежа; размѣръ же процентнаго вознагражденія за заемъ и размѣръ занятой суммы не обозначены*). Сумма, обозначенная въ векселѣ, наз. валютой или цѣной векселя.

Векселя получили свое начало въ торговыхъ оборотахъ. При оптовой покупкѣ товаровъ, покупатель въ большей части случаевъ уплачиваетъ наличными деньгами только часть стоимости товара, остальную же сумму условливается уплатить позже, когда уже самъ успѣетъ продать часть купленнаго товара. На эту сумму онъ продавцу товара выдаетъ векселя, которые и уплачиваетъ по мѣрѣ наступленія ихъ сроковъ. Такъ какъ векселя представляютъ нѣкоторыя преимущества сравнительно съ другими долговыми обязательствами, то подъ нихъ стали впослѣдствіи совершать займы и наличными деньгами.

Векселя обыкновенно выдаются на краткіе сроки: 3 мѣс., 6 мѣс., 9 мѣс. и т. п.

Должникъ (векселедатель) обязывается произвести уплату по выданному имъ векселю въ назначенный въ этомъ векселѣ срокъ. Поэтому, когда владѣлецъ векселя (векселедержатель) встрѣтитъ надобность въ деньгахъ ранѣе наступленія срока платежа по векселю, то онъ или долженъ вступить въ соглашеніе съ должникомъ о досрочной уплатѣ

*) Форма векселя: Городъ N, число, мѣсяцъ, годъ. Вексель на такую-то сумму. Отъ такого-то числа, мѣсяца, года черезъ столько-то времени по сему моему векселю повиненъ я заплатить такому-то NN, или кому онъ прикажетъ, столько-то рублей, которые я отъ него получилъ сполна наличными деньгами (или товарами). Подпись выдающаго вексель.

по векселю, или долженъ продать вексель третьему лицу (для чего въ векселѣ и прибавляется формула: или кому онъ, т.-е. давшій деньги подъ вексель, прикажетъ). При этомъ съ валюты векселя дѣлается нѣкоторая скидка въ вознагражденіе лицу, принявшему вексель, за то, что оно не будетъ пользоваться затраченными деньгами въ теченіе всего времени, остающагося до срока векселя. Новый владѣлецъ векселя или держитъ его у себя до назначеннаго срока платежа и тогда получаетъ съ векселедателя всю валюту векселя сполна, или передаетъ вексель въ другія руки также съ соотвѣтствующей скидкой съ валюты. Эта скидка съ валюты векселя называется учетомъ, почему и самая операція перехода векселей изъ однѣхъ рукъ въ другія наз. учетомъ векселей. Размѣръ учета увеличивается вмѣстѣ съ временемъ, остающимся до срока платежа по векселю, и опредѣляется въ процентахъ по соглашенію лицъ, участвующихъ въ операціи. Проценты назначаются обыкновенно годовые, при чемъ принимается во вниманіе общее состояніе денежныхъ оборотовъ во время перехода векселя изъ однѣхъ рукъ въ другія и состояніе торговыхъ дѣлъ векселедателя. Проценты эти наз. учетными процентами; лица, производящія учетъ векселей, наз. дисконтерами. Многіе банки, въ числѣ другихъ своихъ операцій, занимаются также и учетомъ векселей.

При краткосрочныхъ займахъ въ большей части случаевъ выдается не та сумма, которую проситъ занимающій, а съ нея сбрасываются процентныя деньги за все время займа; занимающій же долженъ возвратить всю сумму сполна. Такъ, занимая 1000 руб. на 3 мѣсяца по 8%, мы получимъ только 980 рублей,—а 20 рублей будутъ удержаны заимодавцемъ, какъ процентныя деньги съ 1000 р. за 3 мѣс. по 8%; возвратить же мы должны будемъ ровно 1000 руб. Если такой заемъ будетъ совершенъ подъ вексель, то валютой векселя будетъ 1000 руб., а получено подъ него только 980 руб.

При продажѣ такого векселя до срока, вполнѣ умѣстно будетъ сбросить соотвѣтствующія процентныя деньги съ 1000 р., принимая эту сумму за начальный капиталъ. Такой способъ учета наз. коммерческимъ учетомъ векселей и практикуется почти повсюду въ виду его полнаго соотвѣтствія распространенному способу взиманія процент-

ныхъ денегъ при краткосрочныхъ займахъ и сравнительной легкости вычисленій.

Но иногда занимающему выдается вся просимая имъ сумма, онъ же, по окончаніи срока займа, долженъ возвратить эту сумму съ наросшими на нее процентными деньгами. Занимая на такихъ условіяхъ 1000 руб. по 8% на 3 мѣс., мы при заключеніи займа получимъ 1000 руб., а возвратить должны будемъ 1020 руб., т.-е. занятые 1000 руб. и 20 руб. процентныхъ денегъ на нихъ за 3 мѣсяца по 8%. Если такой заемъ будетъ совершенъ подъ вексель, то валютой векселя будетъ 1020 руб. При учетѣ такого векселя до срока, будетъ болѣе справедливо разсматривать валюту его какъ наращенный капиталъ, при чемъ слѣдуетъ сбросить процентныя деньги за время, оставшееся до срока векселя. Такой способъ учета наз. математическимъ учетомъ векселей.

Такимъ образомъ, при коммерческомъ учетѣ валюта векселя разсматривается какъ начальный капиталъ; учетъ представляетъ собою процентныя деньги съ этого капитала за время, остающееся до срока векселя, а уплачиваемая за вексель сумма есть уменьшенный капиталъ. При математическомъ учетѣ валюта векселя разсматривается какъ наращенный капиталъ, уплачиваемая за вексель сумма какъ начальный капиталъ, а учетъ представляетъ процентныя деньги съ этого капитала за время, остающееся до срока векселя.

Математическій учетъ векселей нельзя считать правильнѣе коммерческаго, какъ это можно предполагать по ихъ названіямъ. Напротивъ, коммерческій учетъ, какъ мы уже замѣтили выше, вполнѣ соотвѣтствуетъ наиболѣе распространенному способу сдѣлокъ при краткосрочныхъ займахъ, и въ немъ, какъ при выдачѣ векселя, такъ и при всѣхъ его переходахъ изъ рукъ въ руки, проценты считаются съ одной и той же суммы; въ математическомъ же учетѣ при каждомъ переходѣ векселя изъ рукъ въ руки проценты считаются все съ новой суммы*).

*) Оба способа учета представляютъ приближеніе болѣе точнаго учета по сложнымъ процентамъ. Точный учетъ долженъ быть производимъ по

Для дисконтера коммерческій учетъ выгоднѣе математическаго, потому что въ коммерческомъ учетѣ проценты считаются со всей валюты, а при математическомъ съ меньшей суммы, такъ какъ валюта разсматривается какъ наращенный капиталъ. Чтобы нагляднѣе убѣдиться въ этомъ, учтемъ тѣмъ и другимъ способомъ вексель въ 2550 р. за 4 мѣсяца до срока по 6%. Если въ годъ слѣдуетъ учесть 6%, то въ 4 мѣсяца 6% X Ѵз = 2% при томъ и другомъ способѣ учета. Но въ коммерческомъ учетѣ эти 2% надо сбросить съ 2550 р., что составитъ 51 р., потому что 1% составляетъ 25,5 р., а 2% составятъ 25,5X2 = 51 р. Въ математическомъ же учетѣ мы должны 2550 р. разсматривать какъ наращенный капиталъ, который заключаетъ въ себѣ 102% начальнаго; слѣд. 1% начальнаго капитала равенъ 2550:102 = 25 р., а 2% составятъ 25 р. X 2 = 50 руб. Итакъ, при коммерческомъ учетѣ дисконтеръ сброситъ съ валюты векселя 51 руб. и заплатитъ за вексель 2550 р. — 51 р. = 2499 р., а при математическомъ онъ сброситъ 50 р. и заплатитъ за вексель 2550 р. — 50 р. = 2500 р., т.-е. при коммерческомъ учетѣ за тотъ же вексель дисконтеръ заплатитъ 1 р. меньше, чѣмъ при математическомъ.

Кромѣ этихъ двухъ способовъ учета векселей, предлагаются и другіе способы, но всѣ они представляютъ собою только видоизмѣненія этихъ двухъ, не имѣютъ никакихъ преимуществъ сравнительно съ ними и не вошли въ практику.

Изъ сказаннаго выше о коммерческомъ и математическомъ учетахъ векселей [ясно, что задачи на учетъ векселей представляютъ собою только особеннымъ образомъ выраженныя задачи на простые проценты. Такихъ задачъ на каждый родъ

формулѣ а=А : (l-J-^/ioo)", гдѣ А—валюта векселя, а—сумма, уплачиваемая за вексель, р—проценты за періодъ времени, по прошествіи котораго процентныя деньги присчитываются къ капиталу, и п—число такихъ періодовъ времени, остающихся до срока векселя. Если (І+^/юо)" разложимъ по формулѣ

Ньютона и въ полученной формулѣ

ограничимся двумя первыми членами, то получимъ формулу математическаго учета

принадлежащую Гофману. Если формулу

точнаго учета представимъ въ видѣ

разложимъ по формулѣ Ньютона и въ полученной формулѣ

ограничимся тоже двумя первыми членами, то получимъ формулу коммерческаго учета

принадлежащую Карпову.

учета можетъ быть 5 типовъ: 1) опредѣленіе учета и суммы, платимой за вексель, 2) опредѣленіе учетныхъ процентовъ, 3) опредѣленіе срока векселя, 4) опредѣленіе валюты по данному учету, и 5) опредѣленіе валюты по суммѣ, уплаченной за вексель.

40. Коммерческій учетъ. Задача 1. За сколько слѣдуетъ продать вексель въ 2450 р. съ учетомъ по 7%% за 4 мѣс. 24 дня до срока?

Рѣшеніе. Опредѣляемъ, сколько процентовъ слѣдуетъ учесть за 4 мѣс. 24 дня до срока векселя, если за годъ учитывается 71/2%. Для этого 4 мѣс. 24 дня приводимъ въ доли года и на полученное число умножаемъ 7%%:

Такъ какъ 1% съ валюты есть 24,5 руб., то всего слѣдуетъ учесть

и слѣд. вексель надо продать за

Если сперва обозначить всѣ дѣйствія, то рѣшеніе приметъ видъ:

Задача 2. По скольку процентовъ учтенъ вексель въ 3240 р., если за 2 мѣс. 12 дн. до срока онъ проданъ за 3199,5 руб.?

Рѣшеніе. Съ векселя учтено

за 2 мѣс. 12 дн. до срока, т.-е. за 22/5 мѣс. или за % года до срока; слѣд., за цѣлый годъ учли бы

А такъ какъ 1% съ валюты составляетъ 32,4 руб., то учетъ векселя произведенъ по стольку процентовъ, сколько разъ 32,4 руб. содержатся въ 202,5 руб.; поэтому дѣлимъ 202,5 на 32,4; получаемъ:

процентовъ. Если сперва обозначимъ всѣ дѣйствія, то рѣшеніе приметъ видъ:

Задача 3. За сколько времени до срока сдѣланъ учетъ векселя въ 375 руб., если съ него по 3Ѵз% учтено 10 руб.?

Рѣшеніе. Если въ годъ учитывается ЗУд0^, то въ мѣсяцъ слѣдуетъ учесть

процентовъ. А такъ какъ 1% съ валюты 375 руб. составляетъ

3,75 руб., то за каждый мѣсяцъ до срока учитывали по

Всего же было учтено 10 руб.; слѣд. учетъ произведенъ за столько мѣсяцевъ до срока, сколько разъ 25/24 руб. содержатся въ 10 руб. Раздѣливъ 10 на 25/24, найдемъ

мѣсяца, или 9 мѣс. 18 дней.

Если сперва обозначимъ всѣ дѣйствія, то рѣшеніе приметъ видъ:

Задача 4. На какую сумму написанъ вексель, если учетъ съ него по 44/6% за 4 мѣс. 15 дн. до срока составляетъ 44,1 руб.?

Рѣшеніе. Если за 4 мѣс. 15 дн., или за 4% мѣс., до срока учтено 44,1 руб., то за годъ до срока слѣдуетъ учесть съ того же векселя:

Въ этой суммѣ заключается 44/6% съ валюты векселя; опредѣляемъ 1%:

а затѣмъ валюту:

Если всѣ дѣйствія сперва обозначить, то рѣшеніе приметъ видъ:

Задача 5. Найти валюту векселя, за который уплачено 1460 р. съ учетомъ по 6% за 5 мѣс. 10 дней до срока?

Рѣшеніе. Въ годъ учитывается 6%, въ 1 мѣс. а за 5 мѣс. 10 дн., т.-е. за 5% мѣс. до срока, учли:

процентовъ. Слѣд. въ суммѣ 1460 руб., уплаченной за вексель, заключается

валюты. Опредѣляемъ 1% съ валюты

а затѣмъ и самую валюту:

Если сперва обозначить всѣ дѣйствія, то рѣшеніе приметъ видъ:

Всѣ задачи на коммерческій учетъ векселей, за исключеніемъ послѣдней, могутъ быть приведены къ сложному тройному правилу. Чтобы сдѣлать это для 4-й задачи, замѣчаемъ, что при учетѣ по 44/5% съ каждыхъ 100 руб. валюты сбрасывается по 44/5 руб. въ теченіе года, или 12 мѣсяцевъ, и такимъ образомъ составляемъ задачу сложнаго тройного правила:

Пятая же задача можетъ быть обращена въ задачу простого тройного правила:

для чего предварительно надо вычислить, сколько слѣдуетъ уплатить за вексель, валюта котораго есть 100 руб., при тѣхъ условіяхъ, при которыхъ учитывается данный вексель.

41. Математическій учетъ. Задача 1. Какую сумму выручили отъ продажи векселя въ 2944 р. 80 коп. за 7 мѣс. 6 дн. до срока съ учетомъ по з%7о?

Рѣшеніе. За вексель слѣдуетъ уплатить такую сумму, которая черезъ 7 мѣс. 6 дн. по 33/4% обратится въ 2944,8 р. Опредѣляемъ, сколько процентовъ нарастаетъ на искомую сумму въ теченіе 7 мѣс. 6 дн.:

Слѣд. въ валютѣ заключается 100%+21/і% искомой суммы; опредѣляемъ 1% этой суммы:

а затѣмъ всю искомую сумму:

Учетъ найдемъ, вычтя 2880 руб. изъ 2944,8 руб.

Задача 2. По скольку процентовъ произведенъ учетъ векселя въ 2742 руб., если съ него при продажѣ за 3 мѣс. 15 дн. до срока сброшено 42 руб.?

Рѣшеніе. Вексель проданъ за

2742 руб. — 42 руб. = 2700 руб.,

и 42 рубля представляютъ процентныя деньги съ этой суммы за 3 мѣс. 15 дн. Опредѣляемъ процентныя деньги съ 2700 р. за годъ:

1% съ 2700 руб. составляетъ 27 руб.; слѣд. вексель учтенъ по стольку процентовъ, сколько разъ 27 руб. содержатся въ 144 руб. Произведя это дѣленіе, найдемъ:

Задача 3. Вексель въ 1274 руб. 70 коп. съ учетомъ по 41/5% проданъ за 1260 руб. За сколько времени до срока былъ произведенъ учетъ?

Рѣшеніе. Съ валюты векселя учтено:

и эта сумма составляетъ процентныя деньги съ 1260 руб. за все время, остающееся до срока векселя. Опредѣлимъ процентныя деньги съ 1260 руб. за 1 мѣс. Съ 1260 руб. 1% составляетъ 12,6 руб., слѣд. процентныя деньги за годъ составятъ

а процентныя деньги за мѣсяцъ

процентныя же деньги за время, оставшееся до срока векселя, составляютъ 14,7 р.; слѣд. учетъ произведенъ за столько мѣсяцевъ до срока, сколько 4,41 руб. содержатся въ 14,7 р. Произведя это дѣленіе, найдемъ, что вексель учтенъ за

мѣсяца, или за 3 мѣс. 10 дн. до срока.

Задача 4. Съ векселя за 2 мѣс. 12 дн. до срока по 62/3% учтено 30 руб.; на какую сумму написанъ вексель?

Рѣшеніе. Опредѣлимъ, сколько процентовъ учтено за 2 мѣс. 12 дн., т.-е. за % года до срока, если въ годъ учитывается 62/3%:

Столько процентовъ отъ суммы, уплаченной за вексель, заключается въ 30 руб. Опредѣляемъ 1% съ этой суммы:

Слѣд. за вексель уплачено:

А въ векселѣ была написана сумма:

Задача 5. Вексель, учтенный за 1 мѣс. 10 дн. до срока по 7%о/о, проданъ за 1250 руб.; на какую сумму былъ написанъ вексель?

Рѣшеніе. Опредѣлимъ, сколько процентовъ учтено за 1 мѣс. 10 дн., т.-е. за % года до срока, если за годъ учитывается 7%%:

Слѣд. въ валютѣ векселя надо считать 100% 4-0,8% съ 1250 руб.; 1% съ этой суммы есть 12,5 руб., а валюта векселя равна

12,5 руб. Х1°°58 = 1260 РУб.

Изъ задачъ на математическій учетъ 1-я и 5-я могутъ быть приведены къ задачамъ простого тройного правила, для чего придется предварительно вычислить валюту такого векселя, за который уплачивается 100 руб. при тѣхъ же условіяхъ, при которыхъ учтенъ данный вексель; всѣ же остальныя задачи (2-я, 3-я и 4-я) приводятся къ задачамъ сложнаго тройного правила.

42. 1) Что наз. процентомъ?—Что выражаютъ въ процентахъ?—2) Какъ наз. величины, встрѣчающіяся при вычисленіи процентовъ?—4) Сколько единицъ содержитъ въ себѣ 1% отъ величины, состоящей изъ 100 единицъ?—сколько единицъ содержатъ нѣсколько процентовъ отъ такой величины?—5) Во сколько дней при процентныхъ вычисленіяхъ принимаются годъ и мѣсяцъ ?—6) Когда проценты наз. простыми?—когда сложными?—7)Сколько величинъ могутъ входить въ задачи на простые проценты?—какія изъ нихъ прямо-пропорціональны?—какія обратно-пропорціональны?—8) Перечислить типы задачъ на простые проценты и указать пріемы рѣшенія каждой задачи?—9) Сколько величинъ могутъ входить въ задачи на сложные проценты?—10) Сколько задачъ можетъ быть на сложные проценты?—какія изъ нихъ могутъ быть рѣшены ариѳметически?—11) Указать пріемы рѣшенія этихъ задачъ?—12) Что наз. векселемъ?—что наз. валютой векселя ?—13) Въ чемъ состоитъ операція учета векселей?—14) За что принимается валюта векселя при коммерческомъ учетѣ?—что представляетъ собою учетъ векселя?—что представляетъ собою сумма, уплачиваемая за вексель?—15) За что принимается валюта векселя при математическомъ учетѣ?—что представляетъ собою сумма, уплачиваемая за вексель?—что представляетъ собою учетъ?—16) Какому способу займа соотвѣтствуетъ коммерческій учетъ?—какому способу займа соотвѣтствуетъ математическій учетъ?—17) Можно ли математическій учетъ считать вѣрнѣе коммерческаго? —18) Сколько типовъ задачъ можетъ быть на учетъ каждаго рода?—указать пріемы рѣшенія этихъ задачъ?—19) Какія изъ задачъ на учетъ векселей могутъ быть приведены къ простому тройному правилу?—какія къ сложному?

V.

Рѣшеніе нѣкоторыхъ болѣе сложныхъ задачъ.

43. Всѣ другія задачи, которыя могутъ рѣшаться помощію 4-хъ ариѳметическихъ дѣйствій, приводятся, какъ и процентныя вычисленія, или къ тройному правилу, или къ правилу пропорціональнаго дѣленія. Разсмотримъ нѣкоторыя изъ нихъ.

44. Задачи на смѣшеніе могутъ быть двухъ родовъ. Въ задачахъ перваго рода по количествамъ смѣшиваемыхъ веществъ и достоинству каждаго изъ нихъ требуется опредѣлить достоинство смѣси, или же по количествамъ смѣшиваемыхъ веществъ, достоинству смѣси и достоинствамъ всѣхъ смѣшиваемыхъ веществъ, кромѣ одного, требуется опредѣлить достоинство этого послѣдняго. Въ задачахъ второго рода по достоинствамъ смѣшиваемыхъ веществъ, достоинству смѣси и по количествамъ всѣхъ смѣшиваемыхъ веществъ, кромѣ одного, требуется опредѣлить количество этого послѣдняго, или же по достоинствамъ всѣхъ смѣшиваемыхъ веществъ, по количеству и достоинству смѣси требуется опредѣлить количество каждаго изъ смѣшиваемыхъ веществъ.

Достоинство вещества можетъ выражаться цѣною, пробою для сплавовъ благородныхъ металловъ, градусами для смѣсей спирта съ водой и т. и. Пробой наз. число, показывающее, сколько частей чистаго благороднаго металла заключается въ опредѣленнномъ числѣ частей сплава. У насъ принято пробой обозначать, сколько золотниковъ чистаго благороднаго металла заключается въ фунтѣ сплава, т.-е. сколько частей чистаго благороднаго металла заключается въ 96 такихъ же частяхъ сплава. Впрочемъ, въ послѣднее время при чеканкѣ полноцѣнной монеты проба опредѣляется числомъ частей благороднаго металла въ 1000 такихъ же частей сплава. Металлъ (большею частью мѣдь), приплавляемый къ благородному металлу для того, чтобы придать ему большую способность сохранять форму (чистые благородные металлы, золото и серебро, слишкомъ мягки и вещи, изъ нихъ сдѣланныя, легко теряютъ приданную имъ форму), наз. лигатурой. Градусами опредѣляютъ процентное содержаніе чистаго спирта въ смѣсяхъ его съ водой.

Задача 1. Золотыхъ дѣлъ мастеръ сплавилъ 12 золотниковъ золота 93-й пробы, 4% золотника золота 88-й пробы и 4% золотника мѣди. Какой пробы получился сплавъ?

Рѣшеніе. Опредѣляемъ, сколько чистаго золота содержится въ 12 золотникахъ золота 93-й пробы. Мы знаемъ, что въ фунтѣ такого золота содержится 93 золотника чистаго золота; слѣд. въ 12 золотникахъ заключается чистаго золота:

Опредѣляемъ, сколько чистаго золота содержится въ 41/2 золоти, золота 88-й пробы:

Опредѣляемъ, сколько чистаго золота заключается въ сплавѣ:

Опредѣляемъ вѣсъ сплава въ фунтахъ:

Опредѣляемъ пробу этого сплава:

Задача 2. Смѣшали 50 ведеръ вина 1-го сорта съ 30-ю ведрами второго сорта и 90 ведрами третьяго сорта, и получили вино въ 48 градусовъ. Во сколько градусовъ было вино третьяго сорта, если вино перваго сорта было въ 60, а вино второго сорта въ 52 градуса?

Рѣшеніе. Всего смѣшаннаго вина было 50 ф- 30 ф- 90 = 170 ведеръ. Въ немъ чистаго спирта содержалось 48%, т.-е.

ведра. Вино перваго сорта содержало чистаго спирта

ведеръ. Вино второго сорта

ведеръ. Оба сорта вмѣстѣ содержали чистаго спирта 30 + 15,6 = 45,6 ведра; слѣд. 90 ведеръ третьяго сорта содержали чистаго спирта 81,6 — 45,6 = 36 ведеръ. Для рѣшенія задачи надо узнать, сколько процентовъ 36 ведеръ составляютъ отъ 90 ведеръ. Одинъ процентъ отъ 90 есть 0,9; слѣд. 36 ведеръ составляютъ

36 : 0,9 = 40

процентовъ, поэтому вино третьяго сорта было въ 40 градусовъ.

Задача 3. Сколько фунтовъ чаю, по 2,25 руб. за фунтъ, надо смѣшать съ 24 фунтами чаю, по 3,2 руб. за фунтъ, чтобы полученную смѣсь можно было продавать безъ прибыли и убытка по 2,5 руб. за фунтъ?

Рѣшеніе. Чай въ 3,2 руб. за фунтъ въ смѣси будетъ продаваться по 2,5 рублей за фунтъ и слѣдовательно дастъ на каждомъ фунтѣ 3,2 руб. — 2,5 руб. =0,7 руб. убытка, а на 24 фунтахъ дастъ 0,7 руб. X 24 = 16,8 руб. убытка. Столько же прибыли долженъ дать чай въ 2,25 руб. за фунтъ. А такъ какъ каждый фунтъ его даетъ 2,5 руб. — 2,25 руб. = 0,25 руб. прибыли, то чаю въ 2,25 руб. за фунтъ надо взять столько фунтовъ, сколько разъ 0,25 руб. содержатся въ 16,8 руб., т.-е. 67,2 фунта.

Иначе. Чай въ 3,2 руб. за фунтъ даетъ на каждый фунтъ 0,7 руб. убытка, а чай въ 2,25 руб. за фунтъ даетъ на каждый фунтъ 0,25 руб. прибыли. Чтобы прибыль покрыла убытокъ, надо чаю второго сорта взять во столько разъ больше перваго, во сколько 0,7 руб. больше 0,25 руб., т.-е. чаю второго сорта надо взять въ 2,8 разъ больше, чѣмъ перваго. Перваго взято 24 фунта, второго надо взять

24 ф. X 2,8 = 67,2 фунта.

Замѣтимъ, что какъ сейчасъ рѣшенная задачи, такъ и слѣдующая за ней возможны только тогда, когда достоинство смѣси выше достоинства одного сорта и ниже достоинства другого.

Задача 4. Изъ двухъ сортовъ кофе, въ 75 коп. и въ 58 к. за фунтъ, требуется составить 34 фунта такого кофе, который безъ прибыли и убытка можно продавать по 70 коп. за фунтъ. Сколько фунтовъ кофе каждаго сорта надо взять?

Рѣшеніе. Фунтъ кофе перваго сорта, при продажѣ его по цѣнѣ смѣси, даетъ 5 коп. убытка, а фунтъ кофе второго сорта даетъ 12 коп. прибыли. Смѣсь надо составить такъ, чтобы убытокъ, получаемый на первомъ сортѣ кофе, покрылся прибылью на второмъ сортѣ. Такъ какъ убытокъ на одномъ фунтѣ перваго сорта меньше прибыли на фунтѣ второго сорта, то кофе перваго сорта надо взять больше, чѣмъ кофе второго сорта, и во столько разъ, во сколько прибыль на одномъ фунтѣ второго сорта больше убытка на одномъ фунтѣ перваго сорта, т.-е. количества обоихъ сортовъ кофе должны быть обратно-пропорціональны прибыли и убытку, получаемымъ съ одного фунта каждаго сорта при продажѣ ихъ по цѣнѣ смѣси. Поэтому для рѣшенія задачи 34 фунта надо раздѣлить обратнопропорціонально 5 и 12; тогда найдемъ, что перваго сорта надо взять 24 фунта, а второго 10 фунтовъ. Условія задачи и ея рѣшеніе часто записываются въ такой формѣ:

Иначе. Если въ составъ смѣси возьмемъ только одинъ первый сортъ, то вся смѣсь будетъ стоить дороже, чѣмъ требуется, на 5 коп. \ 34 = 1 р. 70 коп., потому что каждый фунтъ перваго сорта дороже фунта требуемой смѣси на 75 коп. - 70 коп. =5 коп. Стоимость полученнаго такимъ образомъ кофе надо понизить на 1 р. 70 коп., не измѣняя его количества (34 фунта). Для этого нѣкоторое количество перваго сорта надо замѣнить такимъ же количествомъ второго сорта. Отъ замѣны одного фунта кофе перваго сорта однимъ фунтомъ второго сорта стоимость смѣси понижается на 75 коп.—58 к. = 17 коп.; слѣд. чтобы стоимость смѣси понизить на 1 р. 70 коп., надо столько фунтовъ перваго сорта замѣнить вторымъ, сколько разъ 17 коп. содержатся въ 1 р. 70 к., т.-е. надо 10 фунтовъ перваго сорта замѣнить 10-ю фунтами второго. Слѣд. въ смѣсь должно взять 10 фунтовъ второго сорта и 34 —10 = 24 фунта перваго сорта.

Этотъ пріемъ рѣшенія наз. способомъ произвольнаго допущенія.

Иначе. Если перваго сорта возьмемъ столько фунтовъ, сколько копеекъ прибыли получено на второмъ, т.-е. 12 фунт., а второго — столько фунтовъ, сколько копеекъ убытку получено на первомъ, т.-е. 5 фунт., то составимъ смѣсь безъ прибыли и убытку, потому что убытокъ на первомъ сортѣ будетъ одинаковъ съ прибылью на второмъ, такъ какъ они выразятся произведеніями 5.12 и 12.5, отличающимися только порядкомъ множителей. Но тогда мы составимъ только 12 + 5 = 17 фунтовъ смѣси, въ 34:17 = 2 раза меньше, чѣмъ требуется; слѣд., чтобы составить требуемую смѣсь, надо каждаго сорта взять въ 2 раза больше, т.-е. перваго 12X2 = 24 фунт., второго 5X2 = 10 фунт.

Задача 5. У разносчика были груши и яблоки. Продавъ 60 штукъ, онъ выручилъ за нихъ 3руб. Сколько разносчикъ продалъ яблокъ и сколько грушъ, если яблоки продавалъ по 3 коп., а груши по 8 коп. за штуку?

Рѣшеніе. Допустивъ, что разносчикъ продавалъ и яблоки, и груши по цѣнѣ яблокъ, т.-е. по 3 коп., мы найдемъ, что онъ долженъ былъ выручить 3 коп. X 60 =1 р. 80 коп., на 3 р. — 1 р. 80 к. = 1 р. 20 коп. меньше, чѣмъ выручилъ въ дѣйствительности. Эта разность произошла отъ того, что каждую грушу мы считали на 8 коп. — 3 коп. = 5 коп. дешевле чѣмъ она стоила на самомъ дѣлѣ; слѣд. грушъ было продано 120 : 5 = 24 штуки, а яблокъ 60—24 = 36 штукъ

Задача 6. Изъ двухъ сортовъ муки, въ 1 р. 75 коп. и въ 1 р. 55 к. за пудъ, составлена смѣсь въ 1 руб. 68 коп. за пудъ. Сколько пудовъ муки каждаго сорта взято, если перваго сорта вошло въ смѣсь на 1 % пуда больше, чѣмъ второго?

Рѣшеніе. Убытокъ на пудъ перваго сорта равенъ 1 р. 75 к. — 1 р. 68 коп. = 7 коп., прибыль на пудъ второго сорта равна 1 р. 68 коп.—1 р. 55 коп.=13 коп. Слѣд. количества обоихъ сортовъ въ смѣси относятся между собою какъ 13 : 7, и первый составляетъ 13 долей смѣси, а второй 7 долей. Такъ какъ перваго сорта взято на 13—7=6 долей больше, чѣмъ второго, и по условію задачи эти 6 долей составляютъ 1% пуда, то одна доля смѣси равна 1‘/6 пуд. : 6 = ‘/5 пуда; муки перваго сорта заключается въ смѣси пуда, а муки второго сорта

Иначе. По условію задачи смѣсь содержитъ 1*/8 пуда муки перваго сорта и еще одинаковыя количества муки перваго и второго сортовъ; первая часть смѣси даетъ 7 коп. Х1% = 4% коп. убытка, слѣд. на второй ея части, состоящей изъ одинаковыхъ количествъ муки обоихъ сортовъ, получено столько же прибыли, т.-е. 42/6 коп. прибыли. Прибыль эта произошла отъ того, что пудъ муки второго сорта давалъ на 13 — 7 = 6 коп. больше прибыли, чѣмъ пудъ перваго убытка; слѣд. муки второго сорта было 4% : 6 = 7/5 = 1% пуда, а муки перваго сорта 12/5 + іуб = 23/6 пуд.

Иначе. Если возьмемъ перваго сорта 13 пуд., авторого 7 пуд., то составимъ смѣсь безъ прибыли и убытку, но въ ней перваго сорта будетъ на 13 — 7 = 6 пуд. больше, чѣмъ второго; намъ же надо, чтобы перваго сорта было только на 1% пуд. больше, чѣмъ второго. Такъ какъ 1% пуд. меньше 6 пуд. въ 6 : 1 */5 — 5 разъ, то для составленія требуемой смѣси и каждаго сорта надо взять въ 5 разъ меньше, т.-е. перваго сорта надо взять 13 : 5=2% пуд., а второго 7:5 = 1% пуда.

Задача 7. Изъ трехъ сортовъ пшеницы, въ 13 р. 75 коп., въ 13 р. 50 коп. и въ 12 р. 40 коп. за четверть, составлена смѣсь по 13 р. 40 коп. за четверть. Сколько пшеницы второго сорта вошло въ смѣсь, если перваго сорта взято 50 четвертей, а третьяго — 20 четвертей?

Рѣшеніе. Каждая четверть перваго сорта давала 13 р. 75 коп.— 13 р. 40 коп. =35 коп. убытка, слѣд. весь первый сортъ далъ 35 коп. X 50 = 17 р. 50 коп. убытка. Каждая четверть третьяго сорта давала 13 р. 40 коп .—12р. 40 к. = 1 руб. прибыли, слѣд. весь третій сортъ далъ 1 р. Х20 = 20 руб. прибыли. Оба сорта вмѣстѣ дали 20 руб. —17 р. 50 коп. =2 р. 50 коп. прибыли. Столько же убытка долженъ дать второй сортъ. А такъ какъ каждая четверть его давала 13 р. 50 коп. —13 р. 40 коп. =10 коп. убытка, то второго сорта вошло въ смѣсь 250 : 10 = 25 четвертей.

Задача 8. Смѣшано три сорта табаку, въ 2 р., въ 1 руб. 80 коп. и въ 90 коп. за фунтъ, и получено 70 фунтовъ табаку по 1 р. 20 коп. за фунтъ. Сколько фунтовъ табаку каждаго сорта вошло въ смѣсь?

Рѣшеніе. Такъ какъ цѣна смѣси заключается между цѣнами перваго и третьяго сортовъ и между цѣнами второго и третьяго сортовъ, то для рѣшенія задачи часть требуемой смѣси, напр. 55 фунтовъ, можно составить изъ перваго и третьяго сортовъ, а остальную часть, 70 — 55 = 15 фунтовъ, изъ второго и третьяго сортовъ, и затѣмъ обѣ полученныя смѣси соединить вмѣстѣ; тогда получимъ смѣсь изъ трехъ сортовъ въ 70 фунтовъ по 1 р. 20 коп., въ которой перваго сорта будетъ столько фунтовъ, сколько войдетъ его въ первую смѣсь, второго сорта—столько фунтовъ, сколько его войдетъ во вторую смѣсь, а третьяго—столько, сколько войдетъ его въ обѣ эти смѣси. По предыдущему найдемъ, что для составленія 55 фунтовъ смѣси по 1 р. 20 коп. за фунтъ изъ перваго и третьяго сортовъ, надо перваго сорта взять 15 фунтовъ и третьяго 40 фунтовъ; что для составленія 15 фунтовъ смѣси такой же цѣны изъ второго и третьяго сортовъ надо второго сорта взять 5 фунтовъ и третьяго 10 фунтовъ; слѣд. чтобы составить 70 фунтовъ смѣси по 1 р. 20 коп. за фунтъ, надо перваго сорта взять 15 фунтовъ, второго 5 фунтовъ, а третьяго 40 + 10 = 50 фунтовъ.

Для рѣшенія задачи требуемое количество смѣси 70 фунтовъ мы разбили на двѣ части въ 55 фунтовъ и въ 15 фунтовъ; но 70 фун. можно разложить на два слагаемыхъ безчисленнымъ множествомъ способовъ, и для каждаго разложенія мы получимъ новыя рѣшенія нашей задачи. Слѣд. задача эта неопредѣленная, т.-е. имѣетъ безчисленное множество рѣшеній.

Чтобы получить возможно простое ея рѣшеніе, напр. рѣшеніе въ цѣлыхъ числахъ, надо 70 разложить такъ на два слагаемыя, чтобы первое возможно проще дѣлилось на части въ отношеніи 3 : 8 (убытокъ на фунтъ перваго сорта равенъ 80 коп., а прибыль на фунтъ третьяго сорта равна 30 коп.), а второе въ отношеніи 1 : 2 (убытокъ на фунтъ второго сорта равенъ 60 коп., а прибыль на фунтъ третьяго 30 коп.), а для этого 70 надо раздѣлить процорціонально 11 (сумма 8 и 3) и 3 (сумма 2 и 1). Мы именно эти слагаемыя 70-ти и взяли для рѣшенія задачи.

45. Переводъ мѣръ (цѣпное правило). При рѣшеніи задачъ этого рода данныя числа располагаютъ въ такой послѣдовательности, которая напоминаетъ послѣдовательность звеньевъ цѣпи.

Задача. Вѣнскій купецъ долженъ заплатить въ Лондонѣ 36 000 флориновъ, для чего дѣлаетъ переводъ черезъ Берлинъ и Парижъ. Сколько фунтовъ стерлинговъ заплатитъ онъ въ Лондонѣ, если по курсу 10 флориновъ составляютъ 19 марокъ, 4 марки 80 пфенниговъ равны 5 франкамъ 90 сантимамъ и 50 франковъ равны 2 фунтамъ стерлинговъ.

Рѣшеніе. Замѣтивъ, что въ маркѣ 100 пфенниговъ и въ франкѣ 100 сантимовъ, располагаемъ условія задачи въ такомъ порядкѣ, чтобы неизвѣстное было въ первой строкѣ и каждая новая строка начиналась такими мѣрами, которыми оканчивается предыдущая.

Если 50 франковъ равны 2 фунт. стерлинговъ, то 1 франкъ равенъ 2/60 фунт. стерлинговъ, а 5,9 франковъ, иначе 4,8 марки, равны

Если 4,8 марки равны такому количеству фунт. стерлинг., то 1 марка равна

а 19 марокъ, иначе 10 флориновъ равны

Если такому числу фунт. стерлинговъ равны 10 флориновъ, то одинъ флоринъ равенъ

а 36 000 флориновъ равны

Вычисливъ это выраженіе, найдемъ, что вѣнскій купецъ долженъ въ Лондонѣ заплатить 3 363 фунт. стерлинговъ.

Разсматривая полученное выраженіе, замѣчаемъ, что его можно составить, раздѣливъ произведеніе всѣхъ чиселъ,

стоящихъ въ нашей записи задачи вправо отъ знаковъ равенства, на произведеніе чиселъ, стоящихъ съ лѣвой стороны знаковъ равенства.

46. Задачи, не относящіяся непосредственно къ одному изъ разсмотрѣнныхъ выше правилъ, или легко распадаются на задачи, относящіяся къ этимъ правиламъ, или требуютъ для приведенія къ означеннымъ правиламъ особыхъ соображеній и пріемовъ. Приведемъ нѣсколько задачъ съ ихъ рѣшеніями.

Задача 1. Три брата получили въ наслѣдство 29 114 рублей. Когда первый отдалъ свою долю по 4% на 2 года, второй свою долю по 6% на 2 года 6 мѣс., третій свою долю по 5% на 1% года, то имъ по истеченіи этихъ сроковъ возвратили одинаковыя суммы. Сколько рублей получилъ каждый братъ при раздѣлѣ наслѣдства?

Рѣшеніе. На капиталъ перваго наросло въ теченіе 2-хъ лѣтъ 4%Х2 = 8%, и слѣд. онъ по окончаніи срока займа получилъ 108%, т.-е. 1,08 своего начальнаго капитала; на капиталъ второго въ теченіе 2% лѣтъ наросло 6%Х 2% = 15%, и слѣд. по окончаніи срока займа онъ получилъ 115%, т.-е. 1,15 своего начальнаго капитала; на капиталъ третьяго въ теченіе 1‘/2 года наросло 5%Х 172 = 7%%, и слѣд. по окончаніи срока займа онъ получилъ 107,/î%, т.-е. 1,075 своего начальнаго капитала. Такъ какъ наращенные капиталы всѣхъ троихъ братьевъ одинаковы, то 1,08 начальнаго капитала перваго равны 1,15 начальнаго капитала второго, равны 1,075 начальнаго капитала третьяго. Отсюда находимъ, что капиталъ второго составляетъ

капитала перваго; а капиталъ третьяго

капитала перваго; слѣд. въ 29 114 р. содержатся

долей капитала перваго, весь капиталъ перваго равенъ

Капиталъ второго равенъ

Капиталъ третьяго равенъ

Задача 2. Одинъ торговецъ началъ нѣкоторое промышленное предпріятіе съ капиталомъ 12 000 рублей; черезъ годъ для расширенія предпріятія онъ вступилъ въ компанію съ другимъ торговцемъ, который въ то же предпріятіе вложилъ капиталъ 15 000 руб.; по прошествіи двухъ лѣтъ со дня вступленія второго торговца, предпріятіе было окончено и дало въ результатѣ 3 429 руб. прибыли. Какую сумму изъ этой прибыли слѣдуетъ получить каждому торговцу?

Рѣшеніе. Первый торговецъ въ теченіе 3 лѣтъ получилъ нѣкоторую прибыль съ капитала 12 000 рублей; ту же прибыль онъ получитъ въ 1 годъ, если вложитъ въ предпріятіе 12 000 руб. X т.-е. 36 000 рублей; ту же прибыль, какую второй получилъ въ 2 года съ капиталомъ 15 000 руб., онъ получитъ въ 1 годъ, если вложитъ въ предпріятіе 15 000 руб. X т.-е. 30 000 руб. Слѣд. общая прибыль 3 429 руб. должна быть распредѣлена между пайщиками пропорціонально 36 000 и 30 000. Произведя это пропорціональное дѣленіе точно до копеекъ, найдемъ, что первому пайщику слѣдуетъ получить изъ общей прибыли 1 870 р. 36 коп., а второму—остальные 1 558 руб. 64 коп.

Примѣчаніе. Приведенное рѣшеніе имѣетъ нѣсколько произвольный характеръ. Въ немъ прибыль за всѣ три года распредѣлена между обоими пайщиками, тогда какъ второй не участвовалъ въ предпріятіи въ теченіе всего перваго года, и вся прибыль за этотъ годъ должна бы по всей справедливости принадлежать одному первому пайщику.

Для болѣе правильнаго рѣшенія задачи слѣдовало бы ежегодную прибыль, приходящуюся на долю каждаго пайщика, считать новымъ вкладомъ въ предпріятіе, но для такого рѣшенія требуется предварительно опредѣлить, сколько процентовъ прибыли приноситъ предпріятіе ежегодно. Въ разсматриваемой задачѣ можно найти, что предпріятіе давало ежегодно 5% прибыли. По этому расчету за первый годъ первый пайщикъ долженъ получить прибыли 600 руб.; за второй годъ первый пайщикъ долженъ получить 630 руб. (съ капитала 12600 руб.), а второй—750 руб.; за третій годъ первый пайщикъ долженъ получить 661,5 руб. (съ капитала 13230 р.),

а второй 787,5 руб. (съ капитала 15750 руб.). Слѣд. всего первому пайщику изъ общей прибыли придется получить 1891,5 руб., на 21 р. 14 коп. больше найденнаго нами въ приведенномъ выше рѣшеніи, а второму 1537,5 руб., на 21 р. 14 коп. меньше найденнаго нами рѣшенія.

Опредѣленіе процента, приносимаго ежегодно предпріятіемъ, въ самыхъ простыхъ задачахъ этого рода приводится къ рѣшенію квадратнаго уравненія, а въ болѣе сложныхъ къ рѣшенію уравненій высшихъ степеней.

Задача 3. Помѣщикъ продалъ 75 десятинъ луговой и 55 десятинъ пахотной земли, и 2/3 денегъ, вырученныхъ отъ этой продажи, помѣстилъ въ одинъ банкъ по 5%, а остальные въ другой банкъ по 41/2%- Черезъ 10 мѣсяцевъ онъ получилъ изъ обоихъ банковъ 19 661,25 руб., считая въ томъ числѣ и внесенный капиталъ, и наросшія на него процентныя деньги. Почемъ продана каждая десятина пахотной земли и каждая десятина луговой земли, если цѣна первой относилась къ цѣнѣ второй какъ 0,75 : 0,5?

Рѣшеніе. Задача распадается легко на задачу на проценты (опредѣленіе начальнаго капитала по наращенному) и задачу на пропорціональное дѣленіе. Рѣшимъ первую.

Двѣ трети капитала, отданныя по 5%, въ теченіе 10 мѣсяцевъ принесутъ.

процентовъ со всего начальнаго капитала. Одна треть капитала, отданная по И/^/о, въ 19 мѣсяцевъ принесетъ

процентовъ со всего начальнаго капитала. Слѣд. весь капиталъ, отданный въ оба банка, принесъ помѣщику

процентовъ, и онъ получилъ изъ банковъ

процентовъ, а отдалъ въ нихъ

руб. Эта сумма выручена за пахотную и луговую землю; чтобы узнать сколько стоитъ та и другая, надо 18 900 руб.

раздѣлить прямо-пропорціонально 55 и 75 и прямо-пропорціонально 0,75 и 0,5. Упрощаемъ оба отношенія:

55 : 75 = 11 : 15; 0,75 : 0,5 = 75 : 50 = 3 : 2 и дѣлимъ 18 900 руб. пропорціонально произведеніямъ 11.3 и 15.2, т.-е. пропорціонально 33 и 30 или 11 и 10. 11+10=21; 18900:21=900; 1=900.11=9900; 11=900.10=9000. Итакъ вся пахотная земля стоила 9 900 руб., а десятина ея

9 900 руб. : 55 = 180 руб.;

вся луговая земля 9 000 руб., а десятина ея

9 000 руб. : 75 = 120 руб.

Цѣну пахотной земли можно найти, высчитавъ сколько всей пахотной земли можно было бы продать за 18 900 руб. Вмѣсто одной десятины луговой земли можно продать только 2/3 десятины пахотной, ибо цѣна пахотной относится къ цѣнѣ луговой какъ 3 : 2, а вмѣсто 75 десятинъ луговой можно продать

2/зХ75 = 50

десятинъ пахотной. Всего на 18 900 рублей можно было бы продать пахотной земли 55 + 50 = 105 десятинъ, и слѣд. десятина ея стоитъ

18 900 р. : 105 = 180 руб.

Задача 4. Два векселя на одну и ту же сумму проданы за 4*/2 мѣс. до срока, одинъ съ комм. учетомъ по 6'/4%, а другой съ математическимъ. По скольку % сдѣланъ матем. учетъ, если за оба векселя выручено поровну?

Рѣшеніе. За 4‘/2 мѣс. до срока учтено 6l/4% X 3/8 = 2П/32°/О; при коммерческ. учетѣ это составляетъ 2П/32:100 = 3/128 валюты. По условію задачи такая же часть валюты учтена со второго векселя математически. При математическомъ учетѣ за начальный капиталъ принимается сумма, за которую вексель проданъ. Если учтено 3/128 валюты, то вексель проданъ за 1 — 3/128 = 125/128 валюты. Одинъ процентъ съ этой суммы есть 125/128 : 100 = 5/512 валюты; слѣд. математически учтено въ 4‘/2 мѣс. 3/128 * 5/б12 - 12/5%5 а въ годъ

12/5:3/в = 62/5о/о.

Задача 5. Что выгоднѣе, продать ли вексель, подлежащій уплатѣ черезъ 2‘/2 мѣс., съ коми, учетомъ по 525/27%, или съ матем. по 6%?

Рѣшеніе. Коммерчески по 525/27% годовыхъ за 2’/2 мѣс. слѣдуетъ учесть 525/27 Х5/24 = 100/81%, что составляетъ 100/81:100 = у81 валюты векселя. Математически по 6% годовыхъ за 2*/2 мѣс. слѣдуетъ учесть 6 X 7st = 747о> что составитъ % : (100 + 74) = 781 валюты векселя. Слѣд. оба учета одинаково выгодны.

Задача 6. Нѣкто обязался заплатить по векселю 3 500 р. черезъ 8 мѣс., но затѣмъ вошелъ съ кредиторомъ въ соглашеніе объ уплатѣ одной части этой суммы черезъ 5 мѣсяцевъ, а остальной части черезъ годъ. Сколько рублей онъ долженъ уплатить въ каждый изъ этихъ сроковъ?

Рѣшеніе. 3 500 руб. въ 8 мѣс. принесутъ должнику такую же прибыль, какую 3 500 X 8 = 28 000 р. въ 1 мѣс. Если бы онъ всю сумму 3 500 р. уплатилъ кредитору черезъ годъ, то она дала бы ему такую же прибыль, какая получится въ 1 мѣс. съ 3 500 X 12 = 42 000 руб., и такимъ образомъ онъ получилъ бы прибыли больше, чѣмъ слѣдуетъ, и на столько, сколько получается прибыли въ 1 мѣс. съ 42 000 — 28 000 = 14 000 руб. Чтобы эту прибыль возвратить кредитору, должникъ отдаетъ часть 3 500 р. на 12 —5 = 7 мѣс. раньше; слѣд. эта часть должна быть такова, чтобы въ 7 мѣс. могла принести такую же прибыль, какую 14 000 руб. приносятъ въ 1 мѣс., т.-е. она должна равняться 14 000 руб. ; 7 = 2 000 руб. Слѣд. черезъ 5 мѣс. должникъ долженъ уплатить кредитору 2 000 руб., а черезъ годъ остальные 3 500 руб. — 2 000 = 1 500 руб.

Задача 7. Нѣкто отдалъ 1 200 руб. въ одинъ банкъ по 3%о/0, 800 руб. въ другой банкъ по 4% и 1 600 руб. въ третій банкъ по 5%%. Поскольку процентовъ онъ долженъ отдать всѣ эти деньги въ одинъ банкъ, чтобы получать столько же процентныхъ денегъ, сколько онъ получаетъ теперь?

Рѣшеніе. Съ 1 200 р. по 3‘/2% онъ получаетъ теперь столько же процентныхъ денегъ, сколько получается съ 1 200X3% = 4 200 р., отданныхъ по 1%; съ 800 р. по 4%

онъ получаетъ столько же процентныхъ денегъ, сколько съ 800X4 = 3 200 р., отданныхъ по 1%; съ 1 600 Р- по бу^/о онъ получаетъ столько же процентныхъ денегъ, сколько съ 1 600Х5'/2 = 8 800 р., отданныхъ по 1%; слѣд. со всей суммы 1 200 + 800 + 1 600 = 3 600 онъ получаетъ теперь столько же процентныхъ денегъ, сколько съ 4 200 + 3 200 + 8 800 = 16 200 руб., отданныхъ по 1%- Чтобы получить такія же процентныя деньги съ 3 600 р., ихъ надо отдать по 16 200 : 3 600 = 4%%.

Эти 41/3 наз. среднимъ процентомъ.

Задача 8. Купецъ обязался уплатить фабриканту 450 руб. тотчасъ послѣ доставки товара на мѣсто, а остальные 300 руб. черезъ 5 мѣс., но уплатилъ весь долгъ съ процентами, всего 753,75 руб., черезъ 3 мѣс. Сколько % получилъ фабрикантъ?

Рѣшеніе. На 300 руб. въ 5 мѣс. купецъ получилъ столько же процентныхъ денегъ, сколько въ 1 мѣс. получается съ 300.5 = 1 500 руб.; поэтому всю сумму 750 руб. онъ могъ отдать заразъ черезъ 1 500 : 750 = 2 мѣс., а отдалъ ее черезъ 3 мѣс., т.-е. пользовался ею лишній мѣсяцъ. За этотъ мѣсяцъ онъ уплатилъ 753,75 — 750 = 3,75 руб. процентныхъ денегъ, слѣд. въ годъ долженъ былъ бы уплатить 3,75X12=45 р., что составитъ 45 : 7,5 = 6%.

Задача 9. Если поѣздъ желѣзной дороги будетъ итти 40 верстъ въ часъ, то на все разстояніе между двумя городами употребитъ 3 часами 46 мин. 30 сек. меньше времени, чѣмъ назначено; если же онъ будетъ итти по 30 верстъ въ часъ, то ему потребуется на 1 часъ 15 мин. 30 сек. больше времени, чѣмъ назначено. Сколько верстъ между этими городами?

Рѣшеніе. Проходя 40 верстъ въ часъ, поѣздъ на каждую версту затрачиваетъ 1 часъ : 40 = 1% мин., а проходя 30 верстъ въ часъ, на версту затрачиваетъ 1 час. : 30 = 2 мин. Затрачивая на 1 версту на 2 мин. — 1 % мин. = % мин. меньше времени, поѣздъ выгадываетъ на всемъ разстояніи 3 час. 46‘/2 мин. +1 час. 15% мин. = 5 час. 2 мин.; слѣд. разстояніе между городами заключало въ себѣ столько верстъ, сколько разъ ‘Д мин. содержится въ 5 час. 2 мин., т.-е. 604 версты.

Задача 10. Хозяйка за 1% фунта чаю и за голову сахару заплатила 7 р. 2 коп.; на другой

мѣсяцъ, когда цѣна чая повысилась на 4%%, а цѣна сахара понизилась на ей за то же количество чаю и сахару пришлось заплатить 6р. 81 коп. Найти первоначальную цѣну чая и сахара, если голова сахару вѣсила въ оба раза по 22% фун.

Рѣшеніе. Допустимъ, что оба товара повысились въ цѣнѣ на 4%%; тогда во второй мѣсяцъ хозяйкѣ пришлось бы заплатить (702 : 100) . 4%=29% коп. лишнихъ противъ перваго, т.-е. во второй мѣсяцъ всего пришлось бы заплатить 702 + 29% = 731% коп., на 731% - 681 = 50% коп. больше дѣйствительно уплаченной суммы. Этотъ излишекъ произошелъ отъ того, что на сахарѣ, вмѣсто пониженія въ цѣнѣ на 8%%, мы предположили повышеніе въ 4% %; слѣд. 50% коп. составляютъ 4‘/6 -ф- 8% = 12’/2% первоначальной стоимости сахару; а потому сахаръ стоилъ 50% :12% X 100 = 402 коп. Дальнѣйшее рѣшеніе понятно.

Задача 11. Банкиръ 120 000 руб. помѣстилъ въ три предпріятія: первое давало 7‘/2%, второе 8%% и третье 6%%. Сколько денегъ помѣстилъ банкиръ въ каждое предпріятіе, если съ перваго въ 1 г. 25 дн. онъ получилъ столько же прибыли, сколько со второго въ 7 мѣс. 10 дн. и сколько съ третьяго въ 5 м. 18 дн.?

Рѣшеніе. Положимъ, что прибыль, приносимая первымъ предпріятіемъ въ 1 г. 25 дн., вторымъ въ 7 м. 10 дн. и третьимъ въ 5 м. 18 дн., равна 770 руб. Тогда въ первое предпріятіе былъ бы помѣщенъ капиталъ 770 :1%2 : 7‘/2Х100 = 9 600 р., во второе (770 :‘%8 : 8%)Х™0 = 14 400 руб., въ третье (770 :7/15 : 67/8)Х100 = 24 ООО руб., а во всѣ три предпріятія было бы помѣщено 9 600 -ф-14 400 -ф- 24 000 = 48 000 руб Въ задачѣ же сказано, что во всѣ три предпріятія помѣщено 120 000, т.-е. въ 120 000 : 48 000 = 2% раза больше; слѣд. и въ каждое предпріятіе помѣщено въ 2% раза больше, т.-е. въ первое 9 600X2% = 24 000 р., во второе 14 400 X 2*/2 = 36 000 р. и въ третье 24 000Х 2% = 60 000 руб.

Задача 12. Чтобы провести шоссе на разстояніи 4% версты, были наняты двѣ артели рабочихъ; первая, въ 60 человѣкъ, занимаясь ежедневно по 7% час., въ 12 дней устроила шоссе

на разстояніи 2 в. 250 саж., а вторая, въ 40 человѣкъ, остальную часть шоссе устроила въ 8 дней, при чемъ 10 человѣкъ изъ нея работали только въ теченіе 3-хъ дней. По скольку часовъ въ день работала вторая артель, если 5 рабочихъ первой артели въ 2*/2 часа могли устроить шоссе на такомъ же протяженіи, на какомъ 3 рабочихъ второй артели въ 1% часа?

Рѣшеніе. Вторая артель устроила 43/4 — 2% = 2% версты шоссе, при чемъ 30 человѣкъ изъ нея работали 8 дней, а 10 человѣкъ—3 дня. Работа 30 человѣкъ въ 8 дней равносильна работѣ 30.8 = 240 человѣкъ въ одинъ день, а работа 10 человѣкъ въ 3 дня равносильна работѣ 10.3 = 30 человѣкъ въ одинъ день; слѣд. работа всей второй артели равносильна работѣ 240 + 30 = 270 человѣкъ въ одинъ день, а потому каждый рабочій второй артели устраивалъ шоссе въ одинъ день на протяженіи 2‘/4 : 270 = х/120 версты, а 30 человѣкъ изъ нея въ теченіе 8-ми дней устроили шоссе на протяженіи */120 X 30 X 8 = 2 верстъ. Каждый рабочій первой артели устраивалъ шоссе въ одинъ часъ на протяженіи 2% : 60 : 12 : 7*/2 = ‘/2160 версты. Если 5 рабочихъ первой артели въ 2‘/2 часа устраивали шоссе на такомъ же протяженіи, на какомъ 3 рабочихъ второй въ 17/8 час., то въ 5 X 2‘/2 = 12‘/2 час. одинъ рабочій первой артели устраивалъ шоссе на такомъ же протяженіи, на какомъ въ ßXl’+^/s час. одинъ рабочій второй артели. Рабочій первой артели въ 12% час. устраивалъ шоссе на протяженіи %ібоХ121/2 = %64 версты; слѣд. рабочій второй артели устраивалъ шоссе въ 1 часъ на протяженіи %64 : 5% = %72 версты, а 30 человѣкъ устраивали въ 1 часъ на протяженіи %72X30 = ’/ifi2 версты. Всего же имъ надо было устроить 2 версты; слѣд. они работали въ теченіе 2 : 5/16î = 64% часовъ, а въ день по 64% : 8 = 8,1 час.

Задача 18. Купецъ купилъ 53,75 пуд. сахарнаго песку трехъ сортовъ, по 5 р. 90 коп., по 5 р. 50 коп. и по 4 р. 80 коп. за пудъ, и разсчиталъ, что если онъ весь первый сортъ смѣшаетъ со вторымъ и продастъ смѣсь по 5 руб. 4 коп. за пудъ, то получитъ 12%% убытку, а если весь второй сортъ смѣшаетъ съ третьимъ и продастъ смѣсь по 5 р. 67 коп. за пудъ, то получитъ 8%

прибыли. Сколько песку каждаго сорта было куплено?

Рѣшеніе. Смѣсь перваго сорта со вторымъ стоитъ по [5 р. 4 коп. : (100 — 12'/2)] \ 100 = 5 р. 76 коп. за пудъ; слѣд. количество перваго сорта относится къ количеству второго какъ

(5, 76 _ 5? 50) : (5, 90 — 5, 76) = 26 : 14 = 13 : 7.

Смѣсь второго сорта съ третьимъ стоитъ по

[(5 р. 67 к. : (100 4- 8)] X ЮО = 5 р. 25 коп.

за пудъ; слѣд. количество второго сорта относится къ количеству третьяго, какъ

(5,25 — 4,80) : (5, 50 —5, 25) = 45 : 25 = 9 : 5.

Умноживъ члены перваго отношенія на 9, а члены второго на 7, найдемъ, что количества всѣхъ трехъ сортовъ относятся между собою какъ 117 : 63 : 35. Раздѣливъ пропорціонально этимъ числамъ 53,75 пуд., найдемъ, что перваго сорта было 29,25 пуд., второго 15,75 пуд. и третьяго 8,75 пуд.

Задача 14. Отцу 40 лѣтъ, сыну 6 лѣтъ; черезъ сколько лѣтъ отецъ будетъ втрое старше сына?

Рѣшеніе. Узнаемъ, сколько лѣтъ будетъ отцу и сыну, когда первый будетъ втрое старше второго. Разность между ихъ лѣтами все время остается постоянной и равна 40—6 = 34 годамъ, а отношеніе между лѣтами будетъ равно 3:1; слѣд. надо найти два числа, разность которыхъ есть 34, а отношеніе 3:1. Въ первомъ числѣ 3 доли, во второмъ 1 доля, въ разности 2 доли. Одна доля равна 34 : 2 = 17, слѣд. сыну будетъ 17 лѣтъ, а отцу 17X3 = 51 годъ. Отецъ будетъ втрое старше сына черезъ 17 — 6 = 11 лѣтъ.

Задача 15. Смѣшано 9 фунтовъ орѣховъ одного сорта съ 11 ф. другого и съ 7 ф. третьяго сорта. Что стоитъ фунтъ каждаго сорта, если вся смѣсь стоитъ 6 р. 61 к. и фунтъ перваго сорта дороже фунта второго на 15 к., а фунтъ второго дороже фунта третьяго на 2 коп.?

Рѣшеніе. Замѣнимъ орѣхи перваго и третьяго сорта вторымъ, тогда стоимость смѣси понизится на 15.9 — 2.7 = 1 р. 21 к., и она будетъ состоять изъ 9 + 11 + 7 = 27 фунтовъ 2-го сорта, стоимостью въ 6 р. 61 к. — 1 р. 21 к. =

= 5 р. 40 коп.; слѣд. 1 фунтъ второго сорта стоитъ 5 р. 40 коп. : 27 = 20 коп.; фунтъ перваго 20 +15 = 35 к. и фунтъ третьяго 20 — 2=18 коп.

Задача 16. Яблоко дороже сливы на 9 коп., а 3 яблока дешевле 10 сливъ на 1 коп. Что стоитъ яблоко?—что стоитъ слива?

Рѣшеніе. Если одно яблоко дороже сливы на 9 коп., то за 3 яблока придется заплатить на 9.3 = 27 к. больше, чѣмъ за 3 сливы. Слѣд. если 10 сливъ оказываются на 1 коп. дороже 3 яблокъ, то это происходитъ отъ того, что стоимость остальныхъ 10 — 3 = 7 сливъ не только покрываетъ эти 27 коп., но и даетъ еще 1 коп. лишку, а потому 7 сливъ стоятъ 27^1 = 28 коп.; одна слива стоитъ 28 коп. : 7 = 4 коп., а яблоко 4 + 9 = 13 коп.

ПРИБАВЛЕНІЕ 1-е.

Теоремы объ общемъ наибольшемъ дѣлителѣ и о первоначальныхъ числахъ.

1. Общій наибольшій дѣлитель. Дѣлимое больше удвоеннаго остатка. Пусть А — дѣлимое, В — дѣлитель, Q — частное и R— остатокъ; тогда A — BQ+R. Здѣсь Q или равно 1-цѣ, или больше ея; поэтому, замѣнивъ Q единицей, мы или не нарушимъ равенства, или обратимъ его въ неравенство, такъ какъ вторую часть уменьшимъ; слѣд. А^В R. Замѣнивъ же здѣсь В черезъ R, мы вторую часть еще уменьшимъ. Итакъ во всякомъ случаѣ А> R R, т.-е. Л>2_Е.

2. Число дѣленій при опредѣленіи общ. наиб. дѣлителя послѣдовательнымъ дѣленіемъ меньше удвоеннаго показателя такой степени 2-хъ, которая превышаетъ большее изъ данныхъ чиселъ. Пусть А большее данное число, В — меньшее и R^ R3...,Rn—послѣдовательные остатки, полученные при опредѣленіи общ. наиб. дѣлителя, такъ что число всѣхъ дѣленій есть »+1 и Rn, какъ послѣдній остатокъ, есть общій наиб. дѣлитель А и В. Пусть п — число нечетное; тогда

H>2Äb Rl'>2R3, Я3> 2Я5„.......Яп_2>2Яя.

Перемноживъ эти неравенства, получимъ неравенство

A»R^.R3 Rn—22Л3.............2j?M—*.2Rnf

а сокративъ его на произведеніе Й1.В3..Rn—2., найдемъ

Л > 2.2.2....2j?w.

Здѣсь 2 повторяется множителемъ столько разъ, сколько остатковъ нечетнаго порядка. Если число п всѣхъ остатковъ есть нечетное число, то остатковъ нечетнаго порядка однимъ больше, чѣмъ остатковъ порядка четнаго; прибавивъ къ п единицу, мы число тѣхъ и другихъ сравняемъ, а раздѣливъ п-ф-1 на 2, найдемъ число остатковъ нечетнаго порядка. Поэтому п + 1 полученное неравенство можно написать въ видѣ А ^>2 2 Вп. Замѣнивъ здѣсь Rn единицей, мы неравенство сохранимъ безъ измѣненія, если я + 1 Вп = 1, или усилимъ, если поэтому А>2 2 Возьмемъ такую степень 2-хъ, которая превышаетъ А; пусть напр. 2Р^>А; тогда и подавно 2Р>»+1 и слѣд. И w_|_ 1>2р.

Если п — четное число, то неравенства будутъ A^>2Ri, Ri >3Ä3...., Rn—z 2Rn—i>

отъ перемноженія ихъ получимъ

А . Ri Вз---Вп—з>22 BiR3....Rn—3.Rn—i^

ибо если п четное, то остатковъ нечетнаго порядка столько же, сколько

и четнаго. Сокративъ это неравенство на произведеніе R^ .R3.... Rv-^ и замѣнивъ J?w-i единицей, отчего неравенство усилится, ибо Rn—i всегда больше 1, найдемъ, что Л Если опять возьмемъ 2^>Л, то 2Р и подавно >2“4 слѣд. и п<^2р. ЗдЬсь п и 2р — числа четныя и отличаются другъ отъ друга по крайней мѣрѣ на 2 единицы; слѣд., прибавивъ къ п единицу, мы получимъ число, которое меньше 2р, а потому и въ этомъ случаѣ п + 1 2р.

3. Всякій общій дѣлитель двухъ чиселъ дѣлитъ и ихъ общаго наиб. дѣлителя. Выше (стр. 111, § 18) было показано, что если дѣлимое и дѣлитель дѣлятся на какое-либо число, то и остатокъ дѣлится на то же число; поэтому если числа А и В дѣлятся на число С, то и первый остатокъ Rif полученный при опредѣленіи общ. наиб. дѣлителя между А и В, раздѣлится на С; если же В и R{ дѣлятся на (7., то и второй остатокъ _К2 раздѣлится на С; если же Rx и R% дѣлится на С, то и третій остатокъ _R3 раздѣлится на С и т. д., т.-ѳ. всѣ остатки, получаемые при опредѣленіи общ. наиб. дѣлителя между А и В, будутъ дѣлиться на С, а слѣд. на С раздѣлится и послѣдній остатокъ, который есть общ. наиб. дѣлитель чиселъ А и В.

4. Если дѣлимое и дѣлителя умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же число, то частное не измѣнится, а остатокъ соотвѣтственно умножится или раздѣлится на то же число. Чтобы найти частное Q и остатокъ R при дѣленіи АнаВ, можно послѣдовательно вычитать В изъ А, пока это возможно;

сосчитавъ, сколько разъ можно В вычесть изъ Л, опредѣлимъ Q, а послѣдняя разность есть R. Умноживъ А и В на ш, мы въ первомъ изъ этихъ вычитаній умножимъ уменьшаемое и вычитаемое на ш; отъ этого и первая разность А—В умножится на т. Далѣе придется изъ (А—В). т вычитать В . т\ отъ этого и вторая разность А—2В умножится на т. Такъ же убѣдимся, что и всѣ послѣдовательныя разности умножатся на т, а слѣд. и послѣдняя разность R тоже умножится на т. Эта разность R.m меньше В.М, потому что R<^B; слѣд. вычитаній придется сдѣлать столько же, что и прежде, т.-е. частное Q не измѣнится, а послѣдняя разность будетъ R.m, т.-е. остатокъ умножится на т. Совершенно такъ же можно разсмотрѣть и тотъ случай, когда дѣлимое и дѣлителя раздѣлимъ на одно и то же число.

5. Если данныя числа А и В умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же число М, то ихъ общій наиб. дѣлитель соотвѣтственно умножится или раздѣлится на то же число Пусть послѣдовательные остатки при опредѣленіи общ. наиб. дѣлителя между А и В будутъ Riy В%, R3... Rn. Если А и В умножимъ или раздѣлимъ на ЛГ, то и ихъ остатокъ Rt умножится или

раздѣлится на М. Въ первомъ случаѣ намъ далѣе придется дѣлить В. М на Кр М, т.-е. во второмъ дѣленіи дѣлимое и дѣлитель будутъ умножены на М, слѣд. и остатокъ отъ ихъ дѣленіи умножится на М. Во второмъ случаѣ придется дѣлить В : М на Rt : М, т.-е. во второмъ дѣленіи дѣлимое и дѣлитель будутъ раздѣлены на М, слѣд. и остатокъ отъ ихъ дѣленія В<2 раздѣлится на М. Такимъ же путемъ докажемъ, что и всѣ остальные остатки R2....Rn соотвѣтственно умножатся или раздѣлятся на М. Остатокъ же Rn есть общій наиб. дѣлитель А и В.

6. Частныя отъ дѣленія данныхъ чиселъ А и В на ихъ общаго наиб. дѣлителя В суть числа первыя между собою. Отъ дѣленія А и В на D, и ихъ общ. наиб. дѣлитель, по предыдущей теоремѣ раздѣлится на D и обратится въ 1-цу; слѣд. частныя А : D и В : D имѣютъ общ. наиб. дѣлителемъ 1-цу, т.-е. суть числа взаимнопервыя.

7. Число С, дѣлящее произведеніе А.В двухъ множителей и первое съ однимъ изъ нихъ А, дѣлитъ другого множителя В безъ остатка. По условію А и С имѣютъ общимъ наиб. дѣлителемъ 1-цу; умноживъ ихъ на В, получимъ числа AB и СВ, которя будутъ имѣть общ. наиб. дѣлителемъ 1.В — В. По условію AB дѣлится на С, СВ дѣлится на С, какъ кратное С; слѣд. и общій наиб. дѣлитель ихъ В дѣлится на С.

8. Наименьшее кратное. Показанный нами выше составъ наим.

кратнаго двухъ чиселъ (стр. 127—128, § 40) можно вывести независимо отъ разложенія данныхъ чиселъ на первонач, множителей. Пусть А и В—данныя числа, .D—ихъ общ. наиб. дѣлитель, At и Вг—частныя отъ дѣленія данныхъ чиселъ на общ. наиб. дѣлителя, М—общее кратное и N— наим. кратное данныхъ чиселъ. М должно дѣлиться на А безъ остатка; обозначивъ частное черезъ Q, найдемъ, что M—AQ, но A=DA^ слѣд. M—DA^Q. Кромѣ того, М должно дѣлиться и на B — DBi, слѣд. DAXQ должно дѣлиться на DB{. Въ этомъ дѣленіи дѣлимое и дѣлителя можно раздѣлить на В; тогда получимъ, что произведеніе двухъ множителей AVQ должно дѣлиться на Bt. Но Ві и Aif какъ частныя отъ дѣленія данныхъ чиселъ на ихъ общ. наиб. дѣлителя, суть числа взаимно первыя; слѣд. другой множитель Q долженъ дѣлиться на В{. Обозначивъ частное отъ дѣленія Q на черезъ найдемъ, что Q = слѣд. ÆT=BA1B1Q1. Здѣсь множители D, Alt Ві вполнѣ опредѣленны; множителю же можемъ давать произвольныя цѣлыя значенія; такимъ образомъ изъ этой формулы получимъ всѣ возможныя общія кратныя А и В. Наименьшее кратное # получимъ, давъ Qt наименьшее цѣлое значеніе, т.-е, положивъ — слѣд. N—DA^B^ или какъ DAi — А и DBt = В, то ABt =АХВ. И такъ наимен. кратное двухъ чиселъ есть произведеніе ихъ общаго наиб. дѣлителя и частныхъ отъ дѣленія ихъ на общ. наиб. дѣлителя, или произведеніе одного изъ данныхъ чиселъ и частнаго отъ дѣленія другого даннаго числа на ихъ общаго наиб. дѣлителя. Частныя отъ дѣленія наим. кратнаго на данныя числа тѣ же, что и отъ дѣленія данныхъ чиселъ на ихъ общаго наиб. дѣлителя, только въ обратномъ порядкѣ.

Сравнивая составъ общаго кратнаго двухъ чиселъ M — DA^B^^ съ составомъ ихъ наим. кратнаго #=ВЯ1В1, видимъ, что каждое общее кратное двухъ чиселъ дѣлится на ихъ наим. кратное.

9. Чтобы найти наим. кратное нѣсколькихъ чиселъ, A, В, С...., надо найти наим. кратное N для двухъ изъ нихъ А и В, затѣмъ найти наим. кратное N\ для найденнаго числа .У и третьяго даннаго числа (7, и т. д. до послѣдняго даннаго числа включительно; послѣднее найденное наим. кратное есть наим. кратное всѣхъ данныхъ чиселъ А, В, С....., Докажемъ что есть наим. кратное А, В и С. По условію дѣлится на С и на N, но N дѣлится на Л и В; слѣд. и N\ дѣлится на Л и В. Итакъ дѣлится на Л, В, С, слѣд. оно есть для нихъ общее кратное. Остается показать, что Nx есть наим. кратное Л, В, С. Для этого возьмемъ какое-либо другое общее кратное А, В и (7; пусть это будетъ М. Такъ какъ М дѣлится на Л и В, то оно есть для этихъ двухъ чиселъ общее кратное; слѣд. М должно дѣлиться на ихъ наим. кратное N. Если же М дѣлится на N и (7, то оно для N и С есть общее кратное и потому должно дѣлиться на ихъ наим. кратное Nv Если же всякое другое общее кратное М для чиселъ Л, В и С должно дѣлиться на ихъ же кратное Nit то меньше всякаго другого общ. кратнаго Л, B, С и есть ихъ наим. кратное.

10. Первоначальныя числа. Всякое цѣлое число N имѣетъ въ числѣ своихъ точныхъ дѣлителей по крайней мѣрѣ одного первоначальнаго дѣлителя, не равнаго единицѣ. Если N есть само первонач. число, то оно и будетъ для себя первонач. дѣлителемъ, не равнымъ единицѣ. Если N есть составное число, то самый меньшій его дѣлитель а, не равный единицѣ, будетъ его первоначальнымъ дѣлителемъ. Если допустимъ, что а есть непервоначальное число, то у а долженъ быть точный дѣлитель Ь, отличный отъ а и отъ 1-цы. Но N, какъ кратное а, должно тоже дѣлиться на Ъ, слѣд. тогда а уже не будетъ наименьшимъ дѣлителемъ N, ибо Ъ<^а.

11. Рядъ первонач. чиселъ безпредѣленъ, т.-е. всегда есть первонач. число, большее произвольно взятаго первонач. числа р. Для доказательства перемножимъ всѣ первонач. числа отъ 1-цы до р включительной къ этому произведенію 1.2.3.5.7....р прибавимъ 1-цу. Сумма У=1.2.3.5.7.... р-]-1 не можетъ дѣлиться ни на одно изъ первонач. чиселъ отъ 1-цы до р включительно, потому что первое ея слагаемое 1.2.2.5.7.... р дѣлится на каждое изъ нихъ, второе же, 1-ца, пи на одно изъ нихъ не дѣлится. Поэтому наименьшій первонач. дѣлитель числа N долженъ быть непремѣнно больше р, т.-е. всегда есть первоначальное число, большее произвольно взятаго первонач. числа. Если N само окажется первонач., то его наим. первонач. дѣлителемъ будетъ N.

Формула 1.2.3.5.7.... р+1 даетъ для нѣкоторыхъ значеній р первонач. числа, а для другихъ—составныя.

12. Чтобы узнать, есть ли число N первоначальное, или составное, кромѣ указаннаго выше способа (стр. 120, § 33), можно дѣлить взятое число на всѣ первонач. числа, начиная съ 2-хъ, до тѣхъ поръ, пока квадратъ дѣлителя не превыситъ взятаго для испытанія числа; если всѣ дѣленія дадутъ остатки, то взятое число есть первоначальное. Положимъ, что мы дѣлили N на первонач. числа 2, 3,5... а, что всѣ дѣленія дали остатки и что a*>N. Предположивъ, что N есть

составное число и дѣлится на первонач. число Ъ, большее а, и что въ частномъ получается число Q, мы найдемъ, что N—bQ и что N дѣлится безъ остатка на Q и даетъ въ частномъ Ъ. Но a2^>N; слѣд. a2^>bQ. Раздѣливъ первую часть этого неравенства на а, а вторую на Ъ, мы усилимъ неравенство, ибо а<Ъ; слѣд. а^> Q, т.-е. дѣлится на число Q, меньшее а, а слѣд. и на всѣхъ первонач. дѣлителей Q, которые меньше Ç, а потому и подавно меньше а. Выводъ нелѣпый, ибо на всѣ первонач. числа до а включительно мы пробовали дѣлить N и всѣ дѣленія дали остатки.

13. Пользуясь этой теоремой можно составлять таблицы первонач. чиселъ въ небольшомъ предѣлѣ. Напр., чтобы составить таблицу первонач. чиселъ до 200, надо испробовать дѣлимость всѣхъ чиселъ до 200 на всѣ первоначальныя числа до 17 включительно, ибо 172>200. Для этого поступаютъ слѣдующимъ образомъ: пишутъ всѣ числа отъ 1-цы до 200, и начиная отъ 2-хъ, вычеркиваютъ каждое второе число; затѣмъ, начиная отъ 3-хъ, вычеркиваютъ каждое третье число, начиная отъ 5-ти, вычеркиваютъ каждое 5-е число и т. д.; наконецъ начиная отъ 17-ти вычеркиваютъ каждое 17-е число. Такимъ образомъ удаляютъ изъ таблицы всѣ числа, дѣлящіяся на 2,3... 17; оставшіяся числа будутъ первоначальныя.

14. Всякія два взаимн о-с ложныя числа А и В имѣютъ общаго первонач. дѣлителя. Этимъ общимъ первонач. дѣлителемъ будетъ или ихъ общій наиб. дѣлитель В, если онъ есть число первоначальное, или первоначальный дѣлитель р общ. наиб. дѣлителя Р, если D не первонач. число, потому что А и В, какъ кратныя В, должны дѣлиться на р.

15. Первонач. число, дѣлящее произведеніе нѣсколькихъ множителей, дѣлитъ по крайней мѣрѣ одного изъ нихъ. Пусть первонач. число р дѣлитъ произведеніе АВС. Если А дѣлится на р, то теорема справедлива. Если А не дѣлится на р, то А и р имѣютъ общ. наиб. дѣлителемъ 1-цу, ибо р ни на какое другое число, кромѣ 1-цы и р, дѣлиться не можетъ. Разлагаемъ произведеніе АВС на двухъ множителей А и ВС и говоримъ: если р дѣлитъ произведеніе этихъ множителей А. (ВС) и первое съ однимъ изъ нихъ А, то раздѣлитъ другого множителя ВС. Если В дѣлится на р, то теорема справедлива. Если же В не дѣлится на р, то В и р — числа взаимно-первыя, и слѣд. если р дѣлитъ ВС, то должно дѣлить другого множителя С. Итакъ, или А дѣлится на р; если же А не дѣлится на р, то можетъ раздѣлиться В; если же ни А, ни В не дѣлятся на р, то С уже непремѣнно раздѣлится на р.

16. Слѣдствія: 1) Первонач. число, дѣлящее степень к а к о г о-л ибо числа, раздѣлитъ и основаніе степени, ибо степень есть произведеніе и первонач. число, дѣлящее ее, должно раздѣлить одного изъ множителей, т.-е. основаніе. 2) Степени двухъ взаимно-первыхъ чиселъ суть числа взаимн о-п е р в ы я. Пусть А и В—числа взаимно-первыя; допустимъ, что степени ихъ Ат и Вп— числа взаимно-составныя; тогда Ат и Вп должны имѣть общаго первонач. дѣлителя и этотъ первонач. дѣлитель раздѣлитъ, на основаніи предыдущаго слѣдствія, А и В, т—е. А и В будутъ числа взаимно-составныя, а это противорѣчитъ нашему условію.

17. Число, первое съ множителями какого-либо произведенія, будетъ первымъ и съ произведеніемъ. Если 2^ первое съ А, первое съ В, первое съ С, то оно будетъ первымъ и съ прозведеніемъ АВС, ибо, допустивъ обратное, мы найдемъ, что у АВС и N долженъ быть общій первонач. дѣлитель р и этотъ дѣлитель долженъ раздѣлить, на основаніи предыдущей теоремы, одного изъ множителей произведенія АВС, т.-е. одинъ изъ этихъ множителей будетъ числомъ взаимно-составнымъ съ N.

Слѣдствіе. Наим. кратное чиселъ, изъ которыхъ каждыя два суть числа взаимно-первыя, есть произведеніе этихъ чиселъ. Если А первое съ С и В первое съ С, то и AB первое съ С. Общій наиб. дѣлитель А и В есть 1-ца, поэтому наим. кратное ихъ N—І.А.В.—АВ\ общій наиб. дѣлитель AB и С есть 1-ца, поэтому ихъ наименьшее кратное Nÿ=A. А.В.С.—АВС, а N^ есть наим. кратное всѣхъ трехъ чиселъ А, В и С.

18. Если какое-либо число N дѣлится порознь на нѣсколько чиселъ А, В, С..., изъ которыхъ каждыя два— числа взаимно-первыя, то оно раздѣлится и на ихъ произведеніе АВС.... Пусть N : А = Q; тогда N = AQ и слѣд. AQ дѣлится на В. Но В и А числа взаимно-первыя; слѣд. Q дѣлится на В. Пусть Q:B=Çb тогда Q = BQ^ и N=^AQ = ABQi; слѣд. ABQ{ дѣлится на С. Но С первое съ А и В, будетъ первымъ и съ произведеніемъ ЛВ; а потому, разложивъ ABQ{ на два множителя AB и можемъ сказать, что С, дѣлящее произведеніе двухъ множителей ÇAB)Qi и первое съ однимъ, изъ нихъ AB, раздѣлитъ другого множителя Q{. Пусть Qr : С= Ç2; тогда Q1=CQ2 и ABCQ2, т.-е. N:ABC=Q2.

На основаніи этой теоремы можно составить цѣлый рядъ признаковъ дѣлимости для чиселъ, разлагающихся на множителей, первыхъ между собою. Такъ, на 6 дѣлится число, которое порознь дѣлится на 2 и на 3; на 18 дѣлится число, которое порознь дѣлится на 2 и на 9; на 60 дѣлится число, которое порознь дѣлится на 4, 3 и 5 и т. п.

19. Всякое составное число N есть произведеніе первоначальныхъ чиселъ. N, какъ составное число, дѣлится на какое-либо первонач. число а; пусть «Ѵ:а = Лі; тогда NzzzaTVp Если Ni—число первонач., то теорема справедлива. Если Ni—число составное, то оно должно имѣть какого-либо первонач. дѣлителя Ъ; пусть Ni : &=Ѵ2; тогда Nt=bN2, а Если N%—число первонач., то теорема справедлива. Если ТѴ2—число составное, то оно дѣлится на какое-либо первонач. число с; пусть N2 : с=Лз; тогда N2=cN3, а N~abcN3. Про N3 и про всякое слѣдующее частное можно дѣлать такія же предположенія, какъ и относительно Ni и N2. Если станемъ предполагать что Ni9 N2, N3... все числа составныя, то получимъ безконечный рядъ чиселъ 2ѴІ ТѴ2 N3..., меньшихъ N и различныхъ между собою, а этого быть не можетъ ибо всѣхъ чиселъ, меньшихъ N, всего только N— 1. Значитъ одно изъ чиселъ Ni, N2, N3.... есть число первонач., пусть это будетъ N; тогда N—abc.... N, гдѣ всѣ множители первоначальные.

20. Для каждаго составного числа N существуетъ только одно разложеніе на первонач. множителей. Допустивъ два различныхъ разложенія а b с... и мы должны до-

пустить, что эти два произведенія равны между собою, какъ равныя порознь числу N. Первое произведеніе дѣлится на а, слѣд. и второе дѣлится на а. Первонач. число а, дѣлящее произведеніе а^Ъ^.., должно дѣлить одного изъ его множителей, а такъ какъ всѣ множители произведенія первонач. и первонач. число, кромѣ единицы, можетъ дѣлиться только на само себя, то въ числѣ множителей произведенія долженъ быть множитель а. Точно такъ же докажемъ, что каждый множитель второго произведенія долженъ входить и въ первое; слѣд. множители въ обоихъ разложеніяхъ должны быть одни и тѣ же. Допустимъ, что какой-либо множитель а входитъ въ оба разложенія неодинаковое число разъ, напр. въ первое 4 раза, а во второе только 3 раза. Тогда второе произведеніе а3. Ъ. с.... должно дѣлиться на а4, потому что первое произведеніе аМ)с.... дѣлится на а4. Но а4 есть число первое съ произведеніемъ öc..., потому что оно первое съ каждымъ изъ множителей ö,c... этого произведенія, и мы, разложивъ второе произведеніе на два множителя а3 и Ъс..., придемъ къ нелѣпому заключенію, что меньшее число а3 должно дѣлиться на большее а4 безъ остатка.

21. Въ точный дѣлитель D каждаго числа N~ambncP...t могутъ входить только тѣ первонач. множители а, Ъ, с. .., изъ которыхъ состоитъ само взятое число N, и каждый изъ этихъ множителей можетъ входить въ точный дѣлитель въ степени не выше той, въ которой онъ входитъ во взятое число N. Положивъ N : Z)=Q, найдемъ, что N=.DQ и что слѣд. всѣ первонач. множители D должны -входить и въ N. Поэтому допустивъ, что въ D входитъ какой-либо множитель Z, посторонній N, или какой-либо изъ множителей числа У, напр. с, въ степени q высшей, чѣмъ онъ входитъ въ У, мы придемъ къ заключенію, что для числа N существуютъ два разложенія на первонач. множителей, отличающіяся другъ отъ друга или множителями, или ихъ степенями. Итакъ, высказанное условіе необходимо. Оно и достаточно. Дѣйствительно, если J)T=arbscf, гдѣ r<jm, и такъ что n=s-{-v, p=t+w, то

N=ambncp=av+ubs-1rvct+w=avbsct. aubvcw—D. aubvcw и слѣд. У : D=aubvcw.

22. На основаніи этой теоремы можно составить всѣхъ точныхъ дѣлителей всякаго числа. Чтобы составить точныхъ дѣлителей числа

360 =23.32.5.

говоримъ, что множитель 2 можетъ или совсѣмъ не входить въ точнаго дѣлителя 360-ти, или входить въ первой степени, т.-е. 2, или во второй, т. -е. 22=4, или въ третьей степени, т.-е. 23=8. Когда множитель 2 совсѣмъ не входитъ въ точнаго дѣлителя, то мы вмѣсто 2-хъ будемъ брать множителемъ 1-цу, и тогда будеиъ въ правѣ утверждать, что въ каждаго точнаго дѣлителя 360-ти множитель 2 входитъ однимъ изъ слѣдующихъ способовъ:

1, 2, 4, 8.

Такъ же найдемъ, что множитель 3 въ каждаго точнаго дѣлителя 360-ти входитъ однимъ изъ слѣдующихъ способовъ:

1, 3, 9;

и множитель 5 однимъ изъ слѣдующихъ способовъ:

1, 5.

Теперь имѣемъ право сказать, что каждый точный дѣлитель 360-ти есть произведеніе трехъ множителей, одного изъ первой строки, однго изъ второй и одного изъ третьей; слѣд. чтобы найти всѣхъ точныхъ дѣлителей 360-ти, надо составить всѣ возможныя произведенія, по три множителя въ каждомъ, и при томъ такъ, чтобы одинъ множитель былъ взятъ изъ первой строки, другой изъ второй и третій изъ третьей строки. Для этого надо всѣ числа первой строки помножить на каждое число второй и полученныя произведенія

1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72

умножить на каждое число третьей строки, получимъ:

1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72.

5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120, 45, 90, 180, 360.

Такъ какъ въ первой строкѣ 3—1-1 чиселъ, а во второй 2+1, то умноживъ всѣ числа первой строки на каждое число второй строки, получимъ (34-1). (24~1) чиселъ, а такъ какъ въ третьей строкѣ 14-1 чиселъ, то умноживъ всѣ эти произведенія на каждое число третьей строки, получимъ (34-1) . (24-1) . (14-1 )=4.3.2=24 точныхъ дѣлителя для 360-ти. Итакъ, чтобы найти число точныхъ дѣлителей взятаго числа, надо къ показателю каждаго изъ первоначальныхъ множителей, входящихъ въ это число, прибавить по 1-цѣ и полученныя суммы перемножить. Такъ число 400=24.52 имѣетъ (44-1). (24-1)=5.3=15 точныхъ дѣлителей.

23. Признаки дѣлимости на нѣкоторыя числа, не заключающія въ себѣ первонач. множителей 2 и 5, можно установить, пользуясь слѣдующими соображеніями:

Къ взятому для испытанія числу можно прибавлять и отъ него можно отнимать кратныя дѣлителя, для котораго желаемъ вывести признакъ дѣлимости, не измѣняя дѣлимости на этого дѣлителя. Такъ #±mD дѣлится или не дѣлится на D въ зависимости отъ того, дѣлится ли N на Р, или нѣтъ. Дѣйствительно, если N дѣлится на D, то N ± mD дѣлится на Р, на основаніи теоремъ: если каждое слагаемое N и mD дѣлится на Р, то и сумма N+mD раздѣлится на Р; если уменьшаемое # и вычитаемое mD дѣлятся на D, то и разность N—mD дѣлится на D. Если же N не дѣлится на D, то и N ±mD не раздѣлится на D, на основаніи теоремъ: если одно слагаемое mD дѣлится на Р, а другое # не дѣлится, то и сумма N 4- mD не раздѣлится; если вычитаемое mD и разность #— —mD дѣлятся на Р, то и уменьшаемое N, какъ сумма вычитаемаго и разности, должно раздѣлиться на Р.

2) Отъ взятаго для испытанія числа можно откидывать нули, стоящія справа, и къ взятому числу можно справа приписывать нули, не измѣняя дѣлимости на такого дѣлителя, который не заключаетъ въ себѣ первонач. множителей 2 и 5. Чтобы взятое число оканчивалось нулями, оно должно представлять произведеніе 7Ѵ. 10™. Если N. 10™ дѣлится на Р, въ которомъ нѣтъ первонач. множителей 2 и 5, то и N должно дѣлиться на Р, потому что число Р, дѣлящее произведеніе .У. 10™ и первое съ одимъ изъ множителей 10™, раздѣлитъ другого множителя N. Что 10™ и Р числа первыя между собою—слѣдуетъ изъ того, что 10™ состоитъ

только изъ множителей 2 и 5, Р же этихъ множителей не заключаетъ совсѣмъ. Если ІѴ.ІО™ не дѣлится на Р, то и У не можетъ раздѣлиться, потому что въ противномъ случаѣ и jV.IO™, какъ кратное N, дѣлилось бы на D.

Приписать справа нѣсколько нулей къ взятому числу N значитъ умножить его на 10™. Если # дѣлится на D, то и .У. 10™, такъ кратное У, раздѣлится на D. Если У не дѣлится на D, то и У. 10™ не раздѣлится на Р, потому что если Р раздѣлитъ произведеніе У. 10™, то Р, какъ первое съ 10™, должно дѣлить и У.

Чтобы узнать, дѣлится ли 27951 на 11, вычтемъ изъ него П; тогда получимъ число 27940, оканчивающееся нулемъ и одинаковое по дѣлимости на 11 съ числомъ 27951. Въ числѣ 27940 нуль, стоящій справа откидываемъ и получаемъ число 2794, одинаковое съ 27591 по дѣлимости на 11. Чтобы изъ числа 27951 получить число, одинаковое съ нимъ по дѣлимости на 11 и оканчивающееся нулемъ, мы изъ 27951 вычли 11, потому что 27951 оканчивалось 1-цей. Число 2794 оканчивается 4-мя; чтобы изъ него получить число, одинаковое съ нимъ по дѣлимости на 11 и оканчивающееся нулемъ, надо изъ 2794 вычесть 11.4 = 44; получимъ число 2750, въ которомъ по предыдущему можемъ отбросить нуль справа. Чтобы изъ полученнаго числа 275 получить число, одинаковое съ нимъ по дѣлимости на 11 и оканчивающееся нулемъ, надо отъ 275 отнять 11 X 5 = 55; получимъ число 220, въ которомъ можемъ откинуть нуль. Такъ какъ 22 дѣлится на 11, то и 27951 дѣлится на 11. Соображая все сдѣланное нами съ числомъ 27951, можемъ составить слѣдующій признакъ дѣлимости на 11: надо во взятомъ числѣ зачеркнуть послѣднюю цыфру справа и вычесть ее изъ оставшагося числа, въ полученномъ числѣ снова зачеркнуть послѣднюю цыфру справа и вычесть ее изъ оставшагося числа, и продолжать такъ до тѣхъ поръ, пока не получимъ двузначнаго числа; если это число раздѣлится на 11, то и взятое число раздѣлится на 11; если же это число не раздѣлится на 11, то и взятое число не раздѣлится на 11.

Напр., 36794 не раздѣлится на 11, потому что сдѣлавъ все указанное сейчасъ, мы получимъ число 34, которое не дѣлится на 11.

Чтобы узнать, дѣлится ли 71421 на 19, прибавимъ къ нему 19, получимъ 71440; въ этомъ числѣ отбросимъ 0 и къ полученному числу 7144 прибавимъ 19X4 = 76; въ полученномъ числѣ 7220 отбросимъ 0 и къ полученному числу 722 прибавимъ 19 X 2 = 38; отбросивъ въ полученномъ числѣ 760 нуль, получаемъ число 76, которое дѣлится на 19. Такъ какъ все, что мы дѣлали съ даннымъ числомъ 71421, не измѣняло его дѣлимости на 19, то 71421 дѣлится на 19. Замѣтимъ, что каждый разъ, когда къ числу прикладываемъ 19 или кратное 19-ти, то каждое 19 вмѣстѣ съ одной простой единицей даетъ 2 десятка. На основаніи этого можно установить слѣдующій признакъ дѣлимости на 19: надо во взятомъ числѣ зачеркнуть послѣднюю цыфру справа и удвоенную ее прибавить къ образовавшемуся числу, въ немъ снова зачеркнуть послѣднюю цыфру справа и удвоенную ее прибавить къ образовавшемуся числу, и продолжать такъ до тѣхъ поръ, пока не получимъ двузначнаго числа; если оно раздѣлится на 19, то и взятое число раздѣлится на 19.

Подобнымъ же путемъ можно найти, что для испытанія, дѣлится ли взятое число (напр. 26313) на 7, надо въ немъ зачеркнуть послѣднюю цыфру справа и удвоенную ее вычесть изъ образовавшагося числа, въ немъ снова зачеркнуть послѣднюю цыфру справа и удвоенную ее вычесть изъ образовавшагося числа, и такъ продолжать до тѣхъ поръ, пока не получимъ двузначнаго числа; если оно раздѣлится на 7, то и взятое число дѣлится на 7. Для испытанія дѣлится ли число 48867 на 13, надо зачеркивать послѣдвюю цыфру справа и учетверенную ее прибавлять къ образовавшемуся числу до тѣхъ поръ, пока не получимъ двузначнаго числа; если оно дѣлится на 13, то и взятое число дѣлится на 13. Для испытанія, дѣлится ли число 63903 на 17, надо зачеркивать послѣднюю цыфру справа и упятеренную ее отнимать отъ образовавшагося числа до тѣхъ поръ, пока не получимъ двузначнаго числа; если оно дѣлится на 17, то и взятое число дѣлится на 17.

ПРИБАВЛЕНІЕ 2-е.

Нѣкоторыя дополненія къ ученію о дробяхъ.

1. Несократимыя дроби. Если дробь, числитель и знаменатель которой—числа взаимно-первыя, равна другой дроби, то числитель и знаменатель второй дроби суть произведенія числителя и знаменателя первой дроби на одно и то же число. Пусть въ дроби числитель а и знаменатель Ъ—числа взаимно-первыя и пусть дробь

Умножимъ обѣ дроби на &!, тогда получимъ = т.-е. abt должно дѣлиться на Ъ безъ остатка, а такъ какъ а и b числа взаимно-первыя, то должно дѣлиться на b безъ остатка. Допустивъ, что bx : b — т, найдемъ, что Ь^ — Ъ.т, ab, а изъ равенства = -у- = —-— найдемъ, что и = am. Числитель и знаменатель дроби равной дроби , соотвѣтственно больше числителя и знаменателя дроби слѣд. дробь, у которой числитель и знаменатель — числа взаимно-первыя, не можетъ быть представлена въ болѣе простомъ видѣ; поэтому дробь, числитель и знаменатель которой—числа взаимно-первыя, наз. несократимой или неприводимой.

2. Если равны между собою двѣ несократимыя дроби, то у нихъ и числители равны между собою, и знаменатели равны между собою. Пусть равны между собою несократимыя дроби и Прилагая къ дроби предыдущую теорему, найдемъ, что а не можетъ быть больше и Ъ не можетъ быть больше а прилагая ту же теорему къ дроби найдемъ, что а не можетъ быть меньше и b не можетъ быть меньше Ьѵ Если же а не можетъ быть ни больше, ни меньше аъ то а-а^, если b не можетъ быть ни больше, ни меньше &ь то 0 =

3. Обращеніе простыхъ дробей въ десятичныя. Чтобы простая несократимая дробь обращалась въ конечную десятичную, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель просто й дроби заключалъ въ себѣ только первонач. множителей 2 и 5. Пусть гѣ а и b числа взаимно-первыя и N число цѣлое. Умноживъ обѣ части равенства на 10w, найдемъ,

Такъ какъ а и Ь числа взаимно-первыя, то 10w должно дѣлиться на Ъ, а для этого необходимо, чтобы въ Ъ входили только тѣ первонач. множители, которыя входятъ въ 10™ т.-е. 2 и 5. Пусть Ь—2Р.№. Здѣсь могутъ быть три случая: P—q и p<Jl-

Если p^>q, то взявъ т=^р, найдемъ

Если p=q, то данная дробь есть десятичная. Если р<^Ъ то взявъ m=ç, найдемъ

Значитъ это условіе и достаточно.

4. Обращеніе періодическихъ дробей въ простыя. Обозначимъ черезъ «ь аъ а3... ап—дроби, которыя получатся, если мы ограничимся въ періодической дроби 0,(36) однимъ, двумя, тремя.... п періодами. Тогда.

«1=0,36; «2=0,36 36; «3=0,36 36 36.

Умножимъ каждое изъ этихъ равенствъ на 100 и изъ полученныхъ равенствъ

100«і=36; 100«2=36,36; 100«3=36,36 36

вычтемъ равенства, изъ которыхъ они получены; получимъ:

99«!=36—0,36; 99«2=36—0,0036; 99«3=36—0,000036.

Отсюда найдемъ что

Если то же самое сдѣлаемъ съ «м, то получимъ:

При увеличеніи числа періодовъ n, 36/gg измѣняться не будетъ, а (1/юо)п и слѣд. 36/от. (1/юо)” будетъ постепенно уменьшаться, и въ предѣлѣ, когда п=со, обратится въ нуль. Принимая за величину чистой періодической дроби передѣлъ ап, найдемъ, что періодическая дробь 0,(36)=3e/99.

Если черезъ ап обозначимъ дробь, которую получимъ изъ смѣшанной періодической 0,2(36), когда ограничимся п періодами, то умноживъ равенство «п=0,23636... 36 на 1000 и на 10, получимъ

при чемъ въ первомъ равенствѣ будетъ п—1 періодовъ, а во второмъ п, періодовъ. Поэтому, вычтя изъ перваго равенства второе, найдемъ:

и слѣд.

А отсюда въ предѣлѣ, когда п= со, получичъ

Принимая за величину смѣш. період. дроби предѣлъ «п, найдемъ, что

Знаменатель простой дроби, получаемой отъ обращенія чистой періодической дроби, оканчивается 9-ю и слѣд. не заключаетъ въ себѣ первоначальныхъ множителей 2 и 5. Очевидно, что и послѣ сокращенія такой дроби знаменатель ея не будетъ заключать въ себѣ множителей 2 и 5. Числитель простой дроби, получаемой отъ обращенія смѣшанной періодической дроби, не можетъ оканчиваться нулемъ, потому что для этого послѣдняя цыфра періода и послѣдняя неперіодическая цыфра должны быть одинаковы, а въ такомъ случаѣ послѣдняя неперіодическая цыфра будетъ уже принадлежать къ періоду, и періодъ слѣд. будетъ начинаться раньше чѣмъ на самомъ дѣлѣ; напр., чтобы числитель 24126—24 простой дроби, полученной при обращеніи 0, 24 126 126..., оканчивался нулемъ, необходимо, чтобы числа 24126 и 24 оканчивались одной и той же цыфрой; если это будетъ 4, то значитъ смѣшанная періодическая дробь будетъ 0,241 241 2..., гдѣ періодъ 241 будетъ начинаться не съ третьей цыфры послѣ запятой, а съ первой. Если же числитель простой дроби, получаемой отъ обращенія смѣшанной періодической, не можетъ оканчиваться нулемъ, то эта простая дробь не можетъ сокращаться на 10, т.-е. на 2 и 5 заразъ, а только на одного изъ множителей 10-ти, т.-е. или на 2, или на 5. Если же она можетъ сократиться или только на 2, или только на 5, то въ знаменателѣ ея, оканчивающемся нулями, непремѣнно послѣ сокращенія будетъ заключаться или множитель 2, или множитель 5, или оба вмѣстѣ. Отсюда можно заключить: 1) простая дробь, знаменатель которой не заключаетъ въ себѣ множителей 2 и 5, обращается въ чистую періодическую; 2) простая дробь, знаменатель которой, кромѣ другихъ множителей, заключаетъ въ себѣ или множителя 2, или множителя 5, или обоихъ вмѣстѣ, обращается въ смѣшанную періодическую. Иначе придется допустить что равны двѣ несократимыя дроби, знаменатели которыхъ заключаютъ въ себѣ различныхъ первоначальныхъ множителей и слѣд. между собою не равны.

Безконечныя неперіодическія десятичныя дроби не могутъ быть обращены въ простыя; напр. безконечная десятичная дробь 3,14159...., выражающая отношеніе окружности къ діаметру, не можетъ быть точно обращена въ простую, потому что, предположивъ, что она равна какой-либо простой дроби, напр. 3^7, которая обращается въ чистую періодическую дробь 3,(142857), мы должны допустить, что равны между собою десятичныя дроби 3,14159... и 3,(142857), которыя уже по одному тому не могутъ быть равными, что въ одной изъ нихъ 1 тысячная, а въ другой 2 тысячныхъ. Къ подобному же нелѣпому выводу приведетъ и всякое другое предположеніе.

5. Дробь какъ символъ частнаго. Понятіе о числѣ возникаетъ изъ потребности сосчитать отдѣльные предметы или отдѣльныя явленія; считаемые предметы и явленія признаются какъ бы тождественными между собою и каждая единица принимается за недѣлимое. Поэтому отъ счета могутъ получаться исключительно цѣлыя числа.

Желая примѣнить счетъ къ выраженію размѣра величинъ, изъ которыхъ большая часть суть величины непрерывныя (сплошныя), мы каждую измѣряемую величину стараемся представить какъ бы состоящею изъ

отдѣльныхъ величинъ опредѣленнаго размѣра (единица измѣренія), которыя можно было бы затѣмъ подвергнуть счету подобно тому, какъ мы считаемъ предметы или явленія. Такимъ образомъ, измѣреніе слагается изъ спеціальнаго для каждаго рода величинъ процесса, при при помощи котораго мы непревывную величину разбиваемъ на отдѣльныя величины одного и того же размѣра, и изъ счета этихъ величинъ. Для линій первый процессъ состоитъ въ наложеніи одной линіи на другую; для другихъ величинъ онъ гораздо сложнѣе и требуетъ часто примѣненія особыхъ приборовъ, напр. вѣсовъ при измѣреніи вѣса предметовъ, часовъ при измѣреніи времени и т. п.

Если намъ удается измѣряемую величину разбить на величины, равныя единицѣ измѣренія, то въ результатѣ измѣренія получается цѣлое число. Если же этого не удается, то прибѣгаютъ къ дѣленію выбранной единицы на одинаковыя доли и къ измѣренію при помощи этихъ долей. Результатъ такого измѣренія выражается дробью.

Какъ результатъ измѣренія, дробь представляетъ собою совокупность одинаковыхъ долей единицы. Такимъ образомъ, установленіе понятія о дроби требуетъ установленія понятія о д о л ѣ единицы и видоизмѣненія всѣхъ понятій о дѣйствіяхъ въ примѣненіи къ числамъ, состоящимъ изъ долей единицы. Вслѣдствіе этого признается два способа происхожденія чиселъ—счетъ и измѣреніе, и такимъ образомъ вводится въ ариѳметику нѣкоторая двойственность.

Можно избѣгнуть этой двойственности, если смотрѣть на дробь какъ на символъ, къ установленію котораго мы приходимъ, желая выразить результатъ дѣленія, въ тѣхъ случаяхъ, когда онъ не можетъ быть выраженъ цѣлымъ числомъ.

Въ этомъ смыслѣ дробь есть символъ частнаго двухъ цѣлыхъ чиселъ, когда дѣленіе не можетъ быть выполнено въ цѣлыхъ числахъ. Придавая такое значеніе дроби, можно все ученіе о дробяхъ построить независимо отъ того, имѣетъ ли этотъ символъ какое-либо конкретное значеніе, или нѣтъ.

Разсматривая дробь какъ символъ частнаго и условившись этотъ символъ обозначать въ формѣ -у, гдѣ а и Ъ суть цѣлыя числа, мы прежде всего должны установить, что слѣдуетъ разумѣть подъ равенствомъ этихъ символовъ. Если мы примемъ, что два символа — и равны, когда =0.«!, другими словами, что двѣ дроби равны, когда произведеніе числителя первой на знаменателя второй равно произведенію знаменателя первой на числителя второй, то введемъ условіе, которое выполняется и тогда, когда каждый изъ этихъ символовъ обращается въ цѣлое число, т.-е. когда дѣленіе а на Ъ и аг и Ъі можетъ быть выполнено въ цѣлыхъ числахъ. Дѣйствительно, если два цѣлыхъ частныхъ равны, то произведеніе перваго дѣлимаго на второго дѣлителя равно произведенію перваго дѣлителя на второе дѣлимое, и наоборотъ, если первое произведеніе равно второму, то частныя равны. Пусть напр., отъ дѣленія с на d и отъ дѣленія q на dt получается одно и то же цѣлое число ш; тогда чтобы изъ произведенія c.dr получить произведеніе dq, надо перваго множителя с раздѣлить на т, а второго умножить на т, а отъ этого произведеніе цѣлыхъ чиселъ не мѣняется.

Наоборотъ, если c.di = d.Ci и отъ дѣленія с на d получается цѣлое число т, то и отъ дѣленія q на получается въ частномъ то же цѣлое число т, потому что если первый множитель с перваго произведенія въ т разъ больше перваго множителя d второго произведенія, то для равенства этихъ произведеній необходимо, чтобы второй множитель второго произведенія былъ въ т разъ больше множителя d{ перваго произведенія, т.-е. необходимо, чтобы q : dx — m.

Равенство дробей, понимаемое въ указанномъ смыслѣ, подчиняется всѣмъ аксіомамъ, которымъ подчиняется равенство цѣлыхъ чиселъ; напр., подчиняется аксіомѣ: двѣ величины, равныя порознь третьей, равны между собою. Пусть — = — и — — тогда и — = -тА Дѣйствительно, первое paвенство означаетъ, что a.d — b.c, а второе, что ai-d = Ьі.с; перемноживъ эти равенства крестъ на крестъ, получимъ a.d.bi.c — b.c.ai.d, откуда, выбросивъ одинаковыхъ множителей, будемъ имѣть a.bi = b.ah а это и составляетъ условіе равенства символовъ у и у.

Изъ этого условія непосредственно слѣдуетъ, что если равны двѣ дроби съ равными знаменателями, то у нихъ и числители равны; если равны двѣ дроби съ равными числителями, то у нихъ и знаменатели равны; если числителя и знаменателя умножить или раздѣлить на одно и то же цѣлое число, то получимъ дробь, равную данной. Такъ, напр., ~^ = дѣйствительно а.Ь.т — Ъ.а.т, такъ какъ эти два произведенія цѣлыхъ чиселъ отличаются другъ отъ друга только порядкомъ множителей.

Для сложенія разсматриваемыхъ символовъ можно установить слѣдующее опредѣленіе: сумма дробей съ одинаковыми знаменателями есть дробь, числитель которой есть сумма числителей, а знаменатель — общій знаменатель данныхъ дробей; сумма дробей съ разными знаменателями есть сумма дробей, которыя получатся, когда данныя дроби приведемъ къ общему знаменателю. Такимъ образомъ:

Для умноженія дробей опредѣленіе можетъ быть дано въ такой формѣ: произведеніе дробей есть дробь, числитель которой есть произведеніе числителей, а знаменатель—произведеніе знаменателей данныхъ дробей.

Легко видѣть, что, при такомъ опредѣленіи, сложеніе и умноженіе дробей подчиняются тѣмъ же законамъ, которымъ подчиняются сложеніе и умноженіе цѣлыхъ чиселъ.

Вычитаніе и дѣленіе могутъ быть опредѣлены какъ обратныя дѣйствія сложенію и умноженію.

ПРИБАВЛЕНІЕ 3-е

Пропорціи и примѣненіе ихъ къ рѣшенію задачъ.

1. Разностная пропорція. Два равныхъ разностныхъ отношенія составляютъ разностную, или ариѳметическую пропорцію; напр. разностныя отношенія 37 — 25 = 12 и 45 — 33 = 12 составляютъ разностную пропорцію, которая записывается въ видѣ равенства

37 — 25 = 45 — 33

и читается: 37 на столько единицъ больше 25-ти, на сколько 45 больше 33-хъ. Предыдущій членъ перваго отношенія и послѣдующій членъ второго наз. крайними членами пропорціи, а послѣдующій членъ перваго отношенія и предыдущій членъ второго — средними членами пропорціи. Такъ какъ въ равныхъ разностныхъ отношеніяхъ всѣ члены однородны, то и всѣ члены разностной пропорціи между собою однородны.

Главное свойство разностной пропорціи состоитъ въ томъ, что сумма крайнихъ членовъ равна суммѣ среднихъ; напр., въ пропорціи

a — b — C — d

имѣемъ а + d = Ъ + с, потому что первое слагаемое а первой суммы на столько же единицъ больше перваго слагаемаго b второй суммы, на сколько единицъ второе слагаемое d первой суммы меньше второго слагаемаго с второй суммы.

На основаніи этого свойства легко найти неизвѣстный членъ разностной пропорціи; напр., чтобы въ пропорціи

X — 37і/2 = 50 — 27і/2

найти неизвѣстный крайній членъ, надо изъ суммы среди. 37і/2 + 50 вычесть извѣстный крайній 27і/2; найдемъ, что ж = 60.

2. Непрерывной разностной пропорціей наз. такая, въ которой равны между собою или крайніе члены, или средніе члены; напр.

12 — 8 = 8 — 4; 12-8 = 16 — 12, а — Ъ — Ъ — d; « —ö = c —«.

Одинъ изъ равныхъ членовъ непрерывной пропорціи наз. ариѳметической серединою или ариѳметическимъ среднимъ двухъ остальныхъ ея членовъ. Въ двухъ послѣднихъ пропорціяхъ имѣемъ:

т.-е. ариѳметическая середина двухъ чиселъ равна ихъ полусуммѣ. Подобно этому, частное отъ дѣленія суммы нѣ-

сколькихъ чиселъ на ихъ число наз. ариѳметической срединой этихъ чиселъ; напр.

есть ариѳметическая середина чиселъ 26, 24, 37, 43 и 50.

3. Кратная пропорція. Равенство двухъ кратныхъ отношеній наз. кратной или геометрической пропорціей; напр.

Первую пропорцію можно прочесть: 48 во столько разъ больше 12-ти, во сколько 60 больше 15-ти; вторую: 18 составляетъ такую же часть 24-хъ, какую 15 составляетъ отъ 20-ти; третью, какъ и каждую изъ двухъ первыхъ: а такъ относится къ Ь, какъ с относится къ d. Члены кратной пропорціи носятъ такія же названія, какъ и члены разностной пропорціи. Такъ какъ члены одного изъ двухъ равныхъ кратныхъ отношеній могутъ быть неоднородны съ членами другого, то и въ кратной пропорціи члены перваго отношенія могутъ быть неоднородны съ членами второго. Четыре числа, составляющія кратную пропорцію, наз. пропорціональными, а каждое изъ нихъ четвертымъ пропорціональнымъ къ остальнымъ тремъ.

Въ кратной пропорціи можно сокращать каждый крайній членъ съ каждымъ среднимъ и можно каждый крайній и каждый средній члены одновременно умножать на одно и то же число, не нарушая пропорціи. Въ самомъ дѣлѣ, если напр. первый крайній и второй средній раздѣлимъ на одно и то же число, то въ каждомъ отношеніи пропорціи раздѣлимъ на одно и то же число предыдущіе члены, а отъ этого знаменатели обоихъ отношеній раздѣлятся на одно и то же число, и слѣд. отношенія останутся равными. Если первый крайній и первый средній умножимъ на одно и то же число, то въ первомъ отношеніи предыдущій и послѣдующій члены умножимъ на одно и то же число, а отъ этого оно не измѣнится и слѣд. останется равнымъ второму.

4 Главное свойство кратной пропорціи. Въ каждой кратной пропорціи произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ. Пусть дана пропорція а : Ъ — с : d и знаменатель отношеній равенъ q. Тогда, если мы въ произведеніи ad перваго множителя раздѣлимъ на q, а второго умножимъ на q, то получимъ произведеніе (а : q). ( d . q\ равное первому. Но а : q — Ь, потому что послѣдующій членъ кратнаго отношенія равенъ частному отъ дѣленія предыдущаго члена на знаменателя отношенія, а d . q — C, потому что предыдущій членъ кратнаго отношенія равенъ произведенію послѣдующаго члена па знаменателя отношенія; слѣд. произведеніе (« : q). (d . q) равно произведенію be, а потому и ad~bc.

Обратно: если произведеніе двухъ чиселъ равно произведенію двухъ другихъ чиселъ, то эти четыре числа пропорціональны, при чемъ множители одного произведенія будутъ крайними, а множители другого произведенія — средними членами пропорціи. Пусть mq = пр.

Раздѣлимъ оба произведенія на произведеніе nq, получимъ:

Но въ первомъ частномъ дѣлимое и дѣлителя можно раздѣлить на q, а во второмъ на п, и мы получимъ окончательно:

Основное свойство кратной пропорціи позволяетъ перемѣщать ея члены, не нарушая пропорціи; именно можно: перемѣщать крайніе члены, средніе, тѣ и другіе одновременно; наконецъ, можно перемѣстить самыя отношенія и въ полученной пропорціи сдѣлать всѣ перечисленныя выше перемѣщенія; напр. если

Это же свойство позволяетъ по тремъ членамъ пропорціи опредѣлять четвертый. Такъ въ пропорціи 15 : 25 = 8 : х произведеніе неизвѣстнаго члена на 15 должно быть равно произведенію 25.8, т.-ѳ. 200, слѣд. неизвѣстный членъ ж = 200 : 15 = 131/3.

Въ пропорціи 24 : ж = 30 : 18 произведеніе неизвѣстнаго члена х на 3 0 должно быть равно произведенію 24 X 18, т.-ѳ. 432; слѣд. неизвѣстный членъ х = 432 : 30 = 142/5.

Изъ этихъ примѣровъ слѣдуетъ, что крайній членъ равенъ частному отъ дѣленія произведенія среднихъ на другой крайній, а средній членъ равенъ частному отъ дѣленія произведенія крайнихъ на другой средній.

5. Этимъ правиломъ пользуются для рѣшенія задачъ простого тройного правила. Возьмемъ задачу:

Для перевозки хлѣба съ поля въ овинъ работало 48 лошадей въ теченіе 155/6 часовъ; сколько потребу ется лошадей, чтобы перевезти хлѣбъ въ теченіе 9^2 часовъ?

Замѣчаемъ, что искомое число лошадей должно быть больше 48 во столько разъ, во сколько 9^2 часовъ меньше 155/6 час., или во сколько разъ 155/в больше 9^; обозначивъ искомое число черезъ х, составляемъ пропорцію

сс:48 = 155/6:9і/2,

изъ которой находимъ, что ж = (48.155/в) : 91/2 = 80.

6. Производными пропорціями наз. такія, которыя можно составлять изъ данной пропорціи и члены которыхъ отличаются отъ членовъ данной не только мѣстами, но и величиной. Изъ производныхъ пропорцій отмѣтимъ слѣдующія:

1) Въ каждой кратной пропорціи сумма (или разность) членовъ перваго отношенія относится къ своему послѣдующему (или предыдущему), какъ сумма (или разность) членовъ второго отношенія относится къ своему послѣдующему (или предыдущему). Такъ, если

Справедливость первой и третьей пропорцій вытекаетъ изъ выведеннаго нами выше свойства кратнаго отношенія: если къ предыдущему члену прибавимъ или отъ него отнимемъ послѣдующій, то въ первомъ случаѣ къ знаменателю отношенія прибавится единица, а во второмъ отъ знаменателя отношенія отнимется единица. Справедливость остальныхъ легко показать на основаніи того же свойства, обративъ оба отношенія данной пропорціи.

2) Въ каждой кратной пропорціи сумма (или разность) предыдущихъ членовъ относится къ суммѣ (или разности) послѣдующихъ, какъ одинъ изъ предыдущихъ относится къ своему послѣдующему. Такъ, изъ пропорціи а : Ъ = с : d найдемъ, что а <^с. Справедливость этихъ пропорцій докажемъ, если данную пропорцію напишемъ въ видѣ а : с — Ъ : d, примѣнимъ къ ней выше выведенныя свойства и въ полученныхъ пропорціяхъ

перемѣстимъ средніе члены.

3) Въ ряду равныхъ кратныхъ отношеній сумма предыдущихъ относится къ суммѣ послѣдующихъ, какъ каждый предыдущій относится къ своему послѣдующему. Пусть

Обозначивъ знаменателя отношенія черезъ g, будетъ имѣть:

а — bq, c = dq, т = nq, r = sq.

Сложивъ первыя части этихъ равенствъ и сложивъ вторыя ихъ части, получимъ:

a+c+m+r:=bq+dq+nq+sq.

Во второй части каждое изъ чисель b, d, п и s умножено на q и взята сумма этихъ произведеній; вмѣсто этого можно сумму чиселъ b, d, п и s умножить на q; тогда получимъ:

т.-е. въ отношеніи, предыдущій членъ котораго есть сумма предыдущихъ, а послѣдующій—сумма послѣдующихъ членовъ данныхъ отношеній, такой же знаменатель, какъ и въ каждомъ изъ данныхъ, слѣд.

7. Это свойство ряда равныхъ отношеній даетъ возможность рѣшать задачи на пропорціональное дѣленіе. Раздѣлить число 372 на части пропорціонально числамъ 4, 6, 9 и 12 значитъ раздѣлить его на такія части X, у, 2, t, чтобы

Переставивъ средніе члены въ каждой пропорціи, найдемъ, что

слѣд.

Воспользовавшись свойствомъ ряда равныхъ отношеній, получимъ:

поэтому для опредѣленія х, у, z, t будемъ имѣть слѣдующія пропорціи: 372 : 31 = х : 4, 372 : 31 = у : 6, 372 : 31 = z : 9, 372 : 31 = t : 12, изъ которыхъ найдемъ:

8. Сложными пропорціями наз. такія, которыя получаются отъ почленнаго сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія нѣсколькихъ пропорцій. Произвести какое-либо дѣйствіе съ пропорціями почленно значитъ произвести это дѣйствіе надъ первыми, надъ вторыми, надъ третьими и надъ четвертыми членами пропорцій и результаты этихъ дѣйствій принять за соотвѣтствующіе члены новой пропорціи. Всякія кратныя пропорціи можно умножать и дѣлить почленно; напр., изъ двухъ пропорцій

можно составить пропорціи:

Чтобы доказать первую пропорцію, замѣчаемъ, что изъ данныхъ пропорцій слѣдуетъ:

и потому:

addidi = bcb{c{.

Переставивъ здѣсь среднихъ множителей, будемъ имѣть

acLiddi = bbtcci или (aa^dd^ = (bb^fcci),

откуда видимъ, что четыре числа aalf bbi9 eq и dd^ пропорціональны. Подобнымъ же путемъ можно доказать и вторую пропорцію.

Почленно складывать и вычитать можно только такія пропорціи, знаменатели отношеній которыхъ одинаковы или въ которыхъ знаменатели отношеній становятся равными, если перемѣстить члены пропорцій. Доказательство этой теоремы о пропорціяхъ сложно, а такъ какъ почленнымъ сложеніемъ п вычитаніемъ пропорцій приходится пользоваться очень рѣдко, то мы его здѣсь и не приводимъ.

Если раздѣлимъ почленно одну на другую двѣ пропорціи:

то получимъ пропорцію

изъ которой слѣдуетъ, что Ъ : = d : dh т.-е. если въ двухъ пропорціяхъ предыдущіе члены равны, то послѣдующіе пропорціональны. Точно такъ же можно показать, что если въ двухъ пропорціяхъ послѣдующіе члены равны, то предыдущіе пропорціональны.

9. Почленнымъ перемноженіемъ пропорцій пользуются для рѣшенія задачъ сложнаго тройного правила. Рѣшимъ помощію пропорцій задачу:

24 работника въ теченіе 15 дней приготовили полотно желѣзной дороги на протяженіи 2/3 версты, работая ежедневно по 93/8 часа. По скольку часовъ ежедневно должны работать 18 работниковъ, чтобы приготовить полотно желѣзной дороги на протяженіи 250 саж. 2 арш. въ теченіе 12 дней?

Разбиваемъ задачу на задачи простого тройного правила и составляемъ для каждой изъ нихъ соотвѣтствующую пропорцію, для чего неизвѣстныя въ этихъ задачахъ обозначаемъ соотвѣтственна черезъ х, у, z.

Мы могли бы опредѣлить х изъ первой пропорціи, тогда могли бы у опредѣлить изъ второй и z изъ третьей. Вмѣсто этого, перемножаемъ почленно всѣ три пропорціи:

Производимъ въ этой сложной пропорціи сокращенія:

и опредѣляемъ изъ нея z:

10. Для рѣшенія задачъ сложнаго тройного правила и сложнаго правила товарищества можно установить слѣдующую теорему: если величина А пропорціональна нѣсколькимъ величинамъ В, С, D, то всякія два числа, выражающія какія-либо размѣры первой величины, относятся между собою, какъ произведенія чиселъ, выражающихъ соотвѣтствующіе размѣры величинъ прямо пропорціональныхъ ей, на числа обратныя тѣмъ, которыя выражаютъ соотвѣтствующіе размѣры величинъ обратно пропорціональныхъ ей.

Пусть величина А прямо пропорціональна В и С и обратно пропорціональна величинѣ D, и пусть размѣру первой величины а соотвѣтствуютъ размѣры Ь, с, d величинъ В, С, D, а размѣру первой величины соотвѣтствуютъ размѣры öt, с1} di величинъ ей пропорціональныхъ. Возьмемъ для величины А размѣръ а%, соотвѣтствующій размѣрамъ Ьі9 с, d величинъ В, С, D, и размѣръ а^, соотвѣтствующій размѣрамъ с,, d величинъ В, С, D. Тогда по опредѣленію пропорціонал. величинъ будемъ имѣть:

Перемноживъ эти пропорціи и сокративъ первое отношеніе полученной пропорціи на произведеніе получимъ

На основаніи этого для рѣшенія предыдущей задачи можемъ сразу написать пропорцію:

откуда найдемъ

Возмемъ задачу сложнаго правила товарищества:

Банкиръ весь свой капиталъ въ 120 000 руб. помѣстилъ въ три предпріятія, изъ которыхъ первое давало 7і/2%, второе 83/4% и третье 67/8%, и отъ перваго въ I г. 25 дн. получилъ столько же прибыли, сколько отъ второго въ 7 м. 10 дн. и сколько отъ третьяго въ 5 м. 18 дн.; сколько денегъ онъ помѣстилъ въ каждое предпріятіе?

Говоримъ, что капиталъ, при однихъ и тѣхъ же процентныхъ деньгахъ и при одномъ и томъ же времени обращенія, обратно пропорціоналенъ процентному измѣненію, а при одномъ и томъ же процентномъ измѣненіи и при однихъ и тѣхъ же процентныхъ деньгахъ, обратно пропорціоналенъ времени обращенія. Поэтому, обозначивъ черезъ х, у, z размѣры капиталовъ, помѣщенныхъ въ каждое предпріятіе, будемъ имѣть:

Слѣд.

Откуда, зная что х + у + z = 120 000, получимъ:

11. Непрерывной кратной пропорціей наз. такая пропорція, въ которой равны или крайніе, или средніе члены; напр.

36 : 12 = 12 : 4; 25 : 10 = 62і/2 : 25.

Одинаковый членъ непрерывной пропорціи наз. среднимъ геометрическимъ или среднимъ пропорціональнымъ между остальными двумя членами. Среднее пропорціональное число между двумя данными числами требуетъ для своего вычисленія умѣнья извлекать квадратные корни. Въ самомъ дѣлѣ изъ пропорціи а : х = х : Ъ найдемъ, что

ПРИБАВЛЕНІЕ 4-е.

Непрерывныя дроби.

1. Обращеніе простой дроби въ непрерывную. Исключимъ изъ дроби 81/з5 цѣлое число и въ полученной дроби раздѣлимъ числителя и знаменателя на числителя, получимъ:

Въ дроби 2/п опять раздѣлимъ числителя и знаменателя на числителя, получимъ:

и такимъ образомъ обратимъ 81/35 въ непрерывную дробь. Слѣд. непрерывной дробью наз. такая, которая состоитъ изъ цѣлаго числа (если цѣлаго нѣтъ, то можно взять нуль) и дроби, числитель который есть единица, а знаменатель цѣлое число съ дробью, числитель которой есть опять единица, а знаменатель цѣлое число или цѣлое число съ дробью, числитель которой опять единица, а знаменатель цѣлое число или цѣлое число съ дробью и т. д.

Цѣлое число непрерывной дроби и каждая ея дробь, въ которой отъ знаменателя откинута дробь, наз. звеньями непрерывной дроби. Получен нами непрерывная дробь состоитъ изъ четырехъ звеньевъ: 2, і/3, і/5, */2.

При обращеніи 81/35 въ непрерывную дробь намъ пришлось 81 раздѣлить на 35, затѣмъ 35 на полученный остатокъ 11 и т. д., т.-е. намъ пришлось найти общаго наиб. дѣлителя между знаменателемъ и числителемъ данной дроби:

и первое частное взять за цѣлое число непрерывной дроби, а остальныя за знаменателей ея звеньевъ. Если бы дробь была правильная, то цѣлая часть непрерывной дроби была бы 0, и всѣ частныя надо бы было взять знаменателями ея звеньевъ. Такъ какъ между числителемъ и знаменателемъ каждой простой дроби всегда можно найти общаго наибольшаго дѣлителя, то всякую простую дробь можно обратить въ непрерывную.

2. Обращеніе непрерывной дроби въ простую. Чтобы непрерывную дробь

обратить въ простую, надо только выполнить всѣ дѣйствія, обозначенныя въ непрерывной дроби. Прибавивъ */5 къ 3-мъ, получимъ 16/5; раздѣливъ 1 на 16/5, получимъ б/1б; прибавивъ б/16 къ 7-ми, получимъ 117/16; раздѣливъ 1 на 117/іб5 получимъ 16/117; прибавивъ 16/117 къ 2-мъ, получимъ раздѣливъ 1 на 2б0/117, получимъ 117/25о> наконецъ прибавивъ 117/25() къ 5-ти, получимъ простую дробь 1367/25о? которая равна данной непрерывной дроби.

3. Приближенія непрерывной дроби. Первое звено 5 предыдущей непрерывной дроби, очевидно, меньше всей непрерывной дроби, а слѣд. меньше и простой дроби 1367/25о> которая обращается въ эту непрерывную дробь. Если мы возьмемъ два первыя звена непрерывной дроби 5 4- = у, то откинемъ отъ знаменателя 2 нѣкоторую дробь, т.-е. уменьшимъ его, слѣд. къ 5-ти прибавимъ больше, чѣмъ слѣдуетъ, и дробь п/2 будетъ больше дроби 1367/250- Если возьмемъ три первыя звена непрерывной дроби 5 4- —і и обратимъ эту дробь въ простую 82/15, то эта простая дробь будетъ меньше дроби 1367/2so> потому что, откинуть отъ 7-ми нѣкоторую дробь, мы знаменателя у дроби 7 , 1 уменьшили, а всю дробь увеличили; прибавивъ эту увеличенную дробь къ 2 и раздѣливъ 1 на число большее, чѣмъ слѣдуетъ, мы получимъ дробь меньше, чѣмъ слѣдуетъ, и слѣд. прибавимъ къ 5-ти меньше, чѣмъ слѣдуетъ. Такъ же покажемъ, что если возьмемъ четыре первыя звена непрерывной дроби, обратимъ эту дробь въ простую, то полученная дробь 257/47 будетъ больше дроби 1367/25о. Числа, которыя получаются, когда мы беремъ въ непрерывной дроби одно, два, три и т. д. первыхъ звена, наз. соотвѣтственно первымъ, вторымъ, третьимъ и т. д. приближеніями непрерывной дроби. Изъ сказаннаго видимъ, что каждое приближеніе нечетнаго порядка (первое, третье и т. д.) меньше непрерывной дроби, а каждое приближеніе четнаго порядка (второе, четвертое ит. д.) больше непрерывной дроби. Такъ какъ изъ каждыхъ двухъ рядомъ стоящихъ приближеній одно больше непрерывной дроби, а другое меньше, то непрерывная дробь отличается отъ каждаго своего приближенія меньше, чѣмъ это приближеніе разнится отъ слѣдующаго за нимъ. Поэтому первое приближеніе 5 отличается отъ 1367/25о меньше, чѣмъ на */2, ибо п/2 — 5 = */2; второе приближеніе п/2 отличается отъ меньше, чѣмъ на Ѵзо» ибо п/2 — 82/is = ^'зо; третье приближеніе 82/15 отличается отъ 1367/2бо меньше, чѣмъ на 1/705, ибо 257/47-82/15 = 1/70б, и т. д.

Поэтому, взявъ вмѣсто несократимой дроби одно изъ ея приближеній, напр. мы получимъ дробь, которая проще данной и довольно точно (съ точностью до Ѵзо) выражаетъ ту же величину, что и данная дробь.

ТАБЛИЦА РУССКИХЪ И МЕТРИЧЕСКИХЪ МѢРЪ.

1. Линейныя мѣры.

1 верста = 500 саж.= 1,066781 киломтр.= 1067 мтр., съ точн. до % мтр.

1 сажень = 3/ арпі.= 7 фут.=2,133561 мтр. = 213 центим. съ точн. до % центим.

1 аршинъ = 16 вершк.= 28 дюйм.= 0,7111870 мтр. = 71 центимтр. съ точн. до */5 центимтр.

1 вершокъ = 4,44492 центимтр.= 44 миллимтр. съ точн. до */2 мил.

1 футъ = 12 дюйм. = 30,47945 центимтр. = 305 центим. съ точн. до 1 миллимтр.

1 дюймъ = 10 лин.= 2,539954 центимтр. = 25 миллимтр. съ точн. до 0,4 миллимтр.

1 километръ = 1000 мтр.= 0,937399 верст. = 468,6999 саж.= 468,7 саж. съ точн. до 0,001 саж.

1 метръ = 1,406099 аріп.= 22,5 вер. съ точностью до % вершк.= 39 дюйм. съ точн. до 1 дюйм.

1 центиметръ = 0,01 мтр.= 0,22498 вершк.=4 лин. съ точн. до 0,1 линіи.

2. Мѣры поверхностей.

1 кв. верста = 250000 кв. саж.= 1,13802 кв. киломтр. = 113,8 гектар. съ точн. до % ара.

1 кв. сажень = 9 кв. арш.= 49 кв. фут.= 4,552082 кв. мтр.= 455 кв. децимтр. съ точн. до Ѵ4 кв. децимтр.

1 кв. аршинъ = 256 кв. вершк.= 784 кв. дюйм.= 0,505787 кв. мтр.= 0,5 кв. мтр. съ точн. до 0,01 кв. мтр.

1 кв. вершокъ = 1976 кв. миллимтр. съ точн. до 1 кв. миллиметра =20 кв. центимтр. съ точн. до 1 кв. центим.

1 кв. футъ = 144 кв. дюйм.= 0,092900 кв. мтр.

1 десятина = 2400 кв. саж.= 1,09250 гектар.= 109 ар. съ точн. до % ара.

1 кв. километръ = 1000000 кв. мтр. =0,879 кв. версты= 219680 кв. саж. съ точи, до 1 кв. саж.

1 гектаръ = 100 ар.= 0,91533 десят. = 2196, 8 кв. саж. съ точи, до 0,01 кв. саж.

1 аръ = 1 кв. декамтр. = 100 кв. мтр.= 21,967969 кв. саж.= 22 кв. саж. съ точн. до 0,1 кв. саж.

1 кв. метръ = 0,2196797 кв. саж.= 2 кв. арш. съ точн. до 0,1 кв. арш.

1 кв. центиметръ = 0,0001 кв. мтр.= 0,050614 кв. вершк.= 15,5 кв. лин. съ точн. до 0,001 кв. лин.

8. Мѣры объемовъ.

1 куб. сажень = 27 куб. арш.= 343 куб. фут.=9,71215 куб. мтр.= 10 куб. мтр. съ точн. до 1 куб. мтр.

1 куб. аршинъ = 4096 куб. вершк. = 21952 куб. дюйм.= 0,359710 куб. метр.= 360 куб. децимтр. съ точн. до 1 куб. децимтр.

1 куб. вершокъ = 88 куб. центимтр. съ точн. до У5 куб. центимтр.

1 куб. футъ=1728 куб. дюйм. =0,028315 куб. мтр.=28 куб. децимтр. съ точн. до 1 куб. децимтр.

1 куб. метръ = 1 стеръ = 0,102964 куб. саж.= 2,8 куб. арш. съ точн. до 0,1 куб. арш. =35 куб. фут. съ точн. до 72 куб. фут

1 куб. центиметръ = 0,000001 куб. мтр. = 0,11387 куб.верш.= 0,061 куб. дюйм. съ точн. до 0,0001 куб. дюйм.

4. Мѣры жидкихъ и сыпучихъ тѣлъ.

1 четверть = 8 четверик.= 2,0990175 гектолитр. = 210 литр. съ точн. до 0,1 литр.

1 четверикъ (мѣра) = 1600 куб. дюйм.= 8 гарнц.=26,1627 лит.

1 гарнецъ = 3,270340 литр. = 327 центилитр. съ точн. до 75 центилитра.

1 бочка = 40 вед.= 491,9573 литр. = 5 гектолитр. съ точн. до 0,1 гектолитр.

1 ведро = 75О куб. дюйм. = 10 штоф. =12,298932 литр. = 123 децилитр. съ точн. до 1 центилитр.

1 штофъ = 1,229893 литр.

1 гектолитръ = 100 литр.=0,1 куб. мтр.= 3,81131 четверик.= 8,13079 ведр.

1 литръ = 1 куб. децимтр. =0,001 куб. мтр.= 0,30490 грнц.= 0,081308 ведр.= 0,8 штоф. съ точн. до у штофа.

5. Мѣры вѣса.

1 пудъ = 40 фунт.= 16,3804 килогр.

1 фунтъ (вѣсъ 25 куб. дюйм. воды) = 32 лот.= 96 зол. =409,51156 грамм.= 0,41 килогр. съ точн. до 0,01 килогр.= 410 грамм. съ точн. до 1 грамм.

1 золотникъ = 96 долямъ = 4,2657 грамм.

1 тонна = 1000 килогр.= 61,05 пуд.= 2442 фунт. съ точн. до 0,1 фунт.

1 килограммъ = 2,441933 ф.= 2,5 фунт. съ точн. до 0,1 ф.= 2 ф. 42 зол. съ точн. до 0,5 зол.

1 граммъ (вѣсъ 1 куб. центимтр. воды) = 0,23442557 зол.= 22,5 дол. съ точн. 0,01 доли.

6. Монеты.

Русская монетная единица есть рубль . Рубль раздѣляется на 100 копѣекъ.

Изъ золота чеканятся монеты: въ 15 руб. (имперіалъ), въ 10 руб., въ 7 руб. 50 коп. (полуимперіалъ) и въ 5 руб.

Изъ серебра чеканятся монеты: въ рубль и въ 50 коп. (полтинникъ).

Эти монеты чеканятся изъ такого сплава, въ которомъ на каждыя тысячу частей приходится 900 частей чистаго золота или серебра и 100 частей мѣди (900-й пробы).

Кромѣ того, изъ сплава, въ которомъ на каждыя тысячу частей приходится 500 частей чистаго серебра и 500 частей мѣди (500-й пробы) чеканятся монеты: въ 20 коп. (двугривенный), въ 15 коп. (пятиалтынный), въ 10 коп. (гривенникъ) и въ 5 коп. (пятачокъ).

Изъ мѣди чеканятся монеты: въ 5 коп., 3 коп., 2 коп., 1 коп., въ полкопѣйки, въ четверть копѣйки.

Каждый рубль въ золотой монетѣ содержитъ 17,424 долей чистаго золота. Тысяча рублей въ серебряной монетѣ, достоинствомъ въ 1 р. и въ 50 коп., вѣситъ 1 и. 8 ф. 79 зол. 48 дол., а въ монетѣ достоинствомъ въ 20, 15, 10 и 5 коп. тысяча рублей вѣситъ 1 п. 3 ф. 90 зол. 72 доли. Пятьдесятъ руб. въ мѣдной монетѣ вѣсятъ 1 пудъ.

Кромѣ того, въ обращеніи находятся кредитные билеты: въ 500 руб., въ 100 руб., въ 50 руб., въ 25 руб., въ 10 руб., въ 5 руб., въ 3 руб. и въ 1 руб.

Французская монетная единица франкъ = 100 сантимамъ =37 коп.; су = 5 сант.

7. Мѣры бумаги

Стопа = 20 дестямъ. Десть = 24 листамъ.

8. Мѣры времени.

Вѣкъ (столѣтіе)=100 годамъ. Простой годъ=365 суткамъ. Високосный годъ=366 сут.

Сутки=24 часамъ.

Часъ=60 минутамъ.

Минута 60 секундамъ.

Простой годъ=52 недѣлямъ

1 суткамъ.

Високосный годъ=52 недѣлямъ 2 суткамъ.

Недѣля= 7 суткамъ.

Годъ=12 мѣсяцамъ.

Мѣсяцы.

Январь=31 суткамъ.

Февраль=28 суткамъ въ простомъ и 29 сутк. въ висок. г.

Мартъ=31 суткамъ.

Апрѣль=30 суткамъ.

Май=31 суткамъ.

Іюнь=30 суткамъ.

Іюль=31 суткамъ.

Августъ=31 суткамъ. Сентябрь=30 суткамъ.

Октябрь=31 суткамъ.

Ноябрь=30 суткамъ.

Декабрь=31 суткамъ.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Стр.

Введеніе.............................................. 3-4

Счетъ (3).—Величина (3).—Числа цѣлыя, дробныя и смѣшанныя (4).

Ариѳметика цѣлыхъ чиселъ.

I. Счисленіе......................................... 5—12

Рядъ цѣлыхъ чиселъ (5).—Единицы различныхъ разрядовъ (5).—Счетъ до тысячи (6).—Счетъ тысячами (6).— Счетъ милліонами (7).—Классы десятичной системы (7).— Письменное обозначеніе числа (8).—Таблица нумераціи (9).— Славянское обозначеніе чиселъ (11).—Римское обозначеніе чиселъ (11).- Составныя именованныя числа (11).

II. Понятія о дѣйствіяхъ............................ 13—32

Сложеніе (13).—Таблица сложенія (14). — Вычитаніе (15).—Повѣрка сложенія (19).—Повѣрка вычитанія (19).— Умноженіе (20).—Таблица умноженія (22).—Дѣленіе (23).— Дѣленіе съ остаткомъ (26).—Повѣрка умноженія (27).— Повѣрка дѣленія (28).—Раздробленіе и превращеніе (29).— Возвышеніе въ степень (29).—Скобки (30).

III. Приложеніе дѣйствій къ рѣшенію задачъ ... 33—37

Составъ задачи (33).—Простыя задачи (34).— Сложныя задачи (36).

IV. Измѣненія суммы, разности, произведенія и частнаго............................................ 38—52

Измѣненія суммы (38).—Измѣненія разности (40).— Измѣненія произведенія (43).—Измѣненія частнаго (48).

V .Сложеніе и вычитаніе многозначныхъ чиселъ. 53—58

Сложеніе (53).—Вычитаніе (55).

VII. Умножено и дѣленіе многозначныхъ чиселъ. 59—79

Умноженіе на однозначное число (59).—Дѣленіе на однозначное число (61).-Умноженіе и дѣленіе на 10, 100, 1000 и т. д. (65).—Умноженіе на числа, обозначаемыя значащей цыфрой съ нулями (67).—Дѣленіе на числа, обозначаемыя значащей цыфрой съ нулями (67).—Умноженіе на многозначное число (68).—Дѣленіе на многозначное число (70).—Однозначное частное (70).—Многозначное частное (73).—Число цыфръ произведенія и частнаго (79).

VII. Преобразованія и дѣйствія съ составными именованными числами............................... 80—100

Мѣры поверхностей и площадей (81).—Мѣры объемовъ (82). — Мѣры времени (83). — Метрическая система мѣръ (85).—Преобразованія именованныхъ чиселъ (86).—

Сложеніе (88).—Вычитаніе (88).—Умноженіе (89).—Дѣленіе (90).—Дѣйствія надъ числами, выраженными въ метрическихъ мѣрахъ (92).—Особенности при вычисленіяхъ времени (93).

Ариѳметика дробей.

Стр.

I. Предварительныя понятія....................... 101—108

Понятіе о дроби (101).—Обозначеніе дробей (101).— Правильныя и неправильныя дроби (102). — Смѣшанныя числа (102). — Происхожденіе дроби отъ дѣленія (103). — Исключеніе цѣлаго числа изъ неправильной дроби и обратное преобразованіе (103).—Сравненіе дробей по величинѣ (105). — Умноженіе дроби на цѣлое число (105).—Дѣленіе дроби на цѣлое число (106).—Измѣненіе вида дробей (106).

II. Дѣлимость цѣлыхъ чиселъ....................... 109—132

Точный дѣлитель (109).—Дѣлимость суммы, разности, произведенія и частнаго (ПО).—Признаки дѣлимости(112).— Опредѣленіе общаго наиб. дѣлителя послѣдовательнымъ дѣленіемъ (114). — Первоначальныя и составныя числа (119).—Разложеніе на первоначальныхъ множителей (120).— Составъ точнаго дѣлителя (123).—Составъ общаго наиб. дѣлителя изъ первонач. множителей (124).—Наименьшее кратное двухъ чиселъ (126).—Наименьшее кратное нѣсколькихъ чиселъ (128).

III. Сокращеніе дробей и приведеніе дробей къ одному знаменателю........................... 133—138

Сокращеніе дробей (133). — Приведеніе дробей къ одному знаменателю (134).

IV. Четыре дѣйствія съ дробями.................... 138—153

Сложеніе (138).—Вычитаніе (140).—Опредѣленіе части числа (142).—Умноженіе на дробь (143).—Умноженіе цѣлаго числа на дробь (143). — Умноженіе дроби на дробь (144).—Умноженіе смѣшанныхъ чиселъ (144). — Свойства умноженія на дробь (145).—Дѣленіе дробей (147).—Дѣленіе на цѣлое число (147).—Дѣленіе на дробь (149).—Дѣленіе смѣшанныхъ чиселъ (152).

V. Именованныя дробныя числа..................... 153—157

Раздробленіе (153).—Превращеніе (154).—Сложеніе и вычитаніе (155).—Умноженіе (156).—Дѣленіе (157).

VI. Десятичныя дроби (десятичныя числа)............ 158—177

Десятичныя доли (158).—Обозначеніе десятичныхъ чиселъ (159).—Преобразованія въ обозначеніяхъ десятичныхъ чиселъ (161).—Сложеніе и вычитаніе десятичныхъ чиселъ (163).—Умноженіе и дѣленіе на 10, 100, 1000 и т. д., на 0,1; 0,01; на 0,001 и т. д. (164).—Умноженіе какихъ угодно десятичныхъ чиселъ (165).—Дѣленіе на цѣлое число (166).—Безконечное дѣленіе (167).—Опредѣленіе частнаго съ даннымъ приближеніемъ (168).—Дѣленіе на десятичное число (169).—Обращеніе простыхъ дробей въ десятичныя (169).—Безконечныя десятичныя дроби (171).— Періодическія дроби (172).—Обращеніе десятичныхъ дробей въ простыя (174).—Обращеніе чистой періодической дроби въ простую (174).—Обращеніе смѣшанной періодической дроби въ простую (175).—Совмѣстныя вычисленія съ десятичными и простыми дробями (177).—Дѣйствія съ безконечными десятичными дробями (177).—Дѣйствія съ именованными десятичными числами (177).

Приложенія ариѳметики.

Стр.

I. Отношенія...................................... 178—183

Сравненіе величинъ и чиселъ (178)—Разностное отношеніе (179).—Кратное отношеніе (180).—Опредѣленіе неизвѣстнаго члена въ кратномъ отношеніи (180).—Измѣненія кратнаго отношенія (181).—Преобразованія въ кратномъ отношеніи (182).—Обращеніе отношенія (183).

II. Тройное правило............................... 183—196

Пропорціональность величинъ (183).—Простое тройное правило (185).—Способъ приведенія къ единицѣ (185).— Способъ пропорціональнаго измѣненія (190). — Сложное тройное правило (191).

III. Правило пропорціональнаго дѣленія (правило товарищества)................................ 196—214

Дѣленіе числа въ разностномъ отношеніи (197).— Пропорціональное дѣленіе (198).—Дѣленіе числа на части, пропорціональныя числамъ даннаго ряда (198).—Выраженіе искомыхъ слагаемыхъ въ доляхъ суммы (199).—Замѣна отношеній дробныхъ чиселъ отношеніемъ цѣлыхъ чиселъ (200).—Выраженіе искомыхъ слагаемыхъ въ доляхъ одного изъ нихъ (201).—Методъ подобія (202).—Дѣленіе числа обратно-пропорціонально числамъ даннаго ряда (202). — Простое правило товарищества (205).— Сложное правило товарищества (208).

IV. Процентныя вычисленія........................ 214—236

Простые проценты (217).—Сложные проценты (225).— Учетъ векселей (227).—Коммерческій учетъ (231).—Математическій учетъ (234).

V. Рѣшеніе нѣкоторыхъ болѣе сложныхъ задачъ 237—254

Задачи на смѣшеніе (237).—Переводъ мѣръ (цѣпное правило) (243).—Вычисленіе сроковъ (249).—Средній процентъ (250).

Прибавленіе 1-е. Объ общемъ наибольшемъ дѣлителѣ и о первоначальныхъ числахъ................ 255—264

Общій наибольшей дѣлитель (255). — Наименьшее кратное (257).—Первоначальныя числа (258).—Признаки дѣлимости на числа, не заключающія въ себѣ первонач. множителей 2 и 5 (262).

Прибавленіе 2-е. Къ ученію о дробяхъ.............. 265—269

Несократимыя дроби (265). — Обращеніе простыхъ дробей въ десятичныя (265). — Обращеніе періодическихъ дробей въ простыь (266).—Дробь какъ символъ частнаго (267).

Прибавленіе 3-е. Пропорціи........................ 270—276

Разностная пропорція (270). — Кратная пропорція (271).—Производныя пропорціи (272)—Сложныя пропорціи (274).

Прибавленіе 4-е. Непрерывныя дроби................ 277—278

Обращеніе простой дроби въ непрерывную (277).— Обращеніе непрерывной дроби въ простую (277). — Приближенія непрерывной дроби (278).

Таблица русскихъ и метрическихъ мѣръ.............. 279—284