МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КАЛУЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГАОУ ДПО «КАЛУЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ МОДЕРНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ»

Ю.А. ДРОБЫШЕВ И.В. ДРОБЫШЕВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ ОБУЧАЮЩИХСЯ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Министерство образования и науки Калужской области

ГАОУ ДПО «Калужский государственный институт модернизации образования»

Ю.А. Дробышев И.В. Дробышева

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ ОБУЧАЮЩИХСЯ

Калуга 2015

ББК 74.262 Д75

Рецензенты:

В.А. Романов, доктор педагогических наук, профессор кафедры педагогических дисциплин и методик начального обучения ФГБОУ ВПО «Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого»;

В.И. Глинзбург, доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор общеинститутской кафедры математики и информатики дошкольного и начального образования ГБОУ ВПО г. Москва «Московский городской педагогический университет», доцент

Дробышев Ю.А., Дробышева И.В.

Математические олимпиады как средство развития исследовательских способностей обучающихся: учебно-методическое пособие / Ю.А. Дробышев, И.В. Дробышева. — Калуга: Калужский государственный институт модернизации образования, 2015. — 208 с. — (Серия «Работаем по ФГОС»).

ISBN 978-5-905374-33-3

В пособии представлен двадцатилетний опыт работы с одаренными детьми в г. Калуге.

В него включены материалы, которые можно использовать при организации и проведении математических олимпиад, конкурсов, кружковых занятий для младших школьников, дополнительной работы с учащимися, увлеченными математикой.

Книга будет полезна учителям, студентам педагогических вузов и родителям, заинтересованным в повышении уровня математических знаний детей и развитии их способностей.

ББК 74.262

ISBN 978-5-905374-33-3 © Дробышев Ю.А., Дробышева И.В., 2013

© Калужский государственный институт модернизации образования, 2013

Талантливым учителям и учащимся г. Калуги посвящается

ПРЕДИСЛОВИЕ

Формирование конкурентоспособного специалиста, способного к решению нестандартных задач, выявлению и постановке проблем, поиску оптимальных способов их разрешения, является основной задачей, стоящей перед системой образования. Решение этой задачи должно охватывать все уровни общего и профессионального образования. Мотивация к исследовательской деятельности, овладение ее компонентами являются тем фундаментом, на котором должна строиться система компетенций и в целом компетентность специалиста.

Одно из направлений, обеспечивающих решение обозначенных задач, связано с использованием форм работы, повышающих мотивацию обучающихся к изучению математики. Это кружковые занятия, олимпиады, конкурсы. Для проведения таких форм работ могут быть использованы материалы калужских олимпиад по математике, которые авторы пособия проводили более двадцати лет.

Данное учебное пособие направлено на реализацию ФГОС начальной школы в плане обеспечения «условий для эффективной реализации и освоения обучающимися основной образовательной программы начального общего образования, в том числе обеспечение условий для индивидуального развития всех обучающихся».

Ознакомление с материалами пособия позволит учителям и родителям понять уровень сложности и характер олимпиадных задач, что, без сомнения, даст возможность им лучше подготовить своих учеников и детей к олимпиадам. Задания, которые предлагаются в пособии, позволяют осуществлять учет индивидуальных особенностей одаренных детей, обеспечивают рост творческого потенциала, познавательных мотивов.

На основе этого пособия для развития потенциала обучающихся, прежде всего одаренных детей и детей с ограниченными возможностями здоровья, могут разрабатываться с участием родителей индивидуальные учебные планы.

Не менее важно и то, что решение различных видов олимпиадных задач ориентировано на овладение обучающимися такими компетенциями, как восприятие и анализ информации, постановка цели, выдвижение гипотезы, ее обоснование, лежащими в основе исследовательской деятельности.

Полезным в плане развития гибкости мышления является то, что обсуждаются различные способы решения задач. Задачи с недостающими данными способствуют формированию критичности мышления и уме-

нию проводить мини-исследования. Часть заданий носит комплексный характер, и для их решения необходимо использование материалов нескольких тем. Формированию творческой личности способствуют задачи, предполагающие как различные способы решений, так и дающие возможность на основе анализа имеющихся данных выдвигать гипотезы и в дальнейшем подвергать их проверке. Целью большинства этих задач является формирование таких мыслительных операций, как анализ, синтез, сравнение, аналогия, обобщение.

С точки зрения структуры пособие содержит 23 независимых модуля, каждый из которых включает четыре части: условия задач, предлагаемых на первом туре соответствующей олимпиады, решения задач первого тура, условия задач второго тура, решения задач второго тура. Задания, включенные в каждый тур олимпиады, как правило, подобраны так, что они максимально охватывают основные разделы школьного курса математики начальных классов, причем среди них обязательно есть такие, которые доступны для всех учащихся.

Среди заданий, включенных в материалы для проведения олимпиад, следует выделить:

1. Задачи на разрядный состав числа.

2. Задачи на деление нацело и с остатком.

3. Задачи на поиск закономерностей.

4. Комбинаторные задачи.

5. Логические задачи.

6. Сюжетные задачи.

7. Задачи, связанные с нахождением величин (длина, периметр, площадь, время).

8. Задачи на разрезание.

9. Числовые ребусы, связанные с восстановлением записи.

10. Задачи на принцип Дирихле.

11. Задачи, имеющие краеведческую направленность.

12. Старинные и исторические задачи.

Первые десять видов задач направлены как на реализацию предметных результатов освоения основной образовательной программы «Математика» начального общего образования, связанных с развитием математической речи, логического и алгоритмического мышления, воображения, так и на формирование наиболее важных метапредметных результатов, таких, как овладение логическими действиями сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации по родовидовым признакам, установления аналогий и причинно-следственных связей, построения рассуждений, отнесения к известным понятиям.

На установление причинно-следственных связей и построение рассуждений больше всего ориентированы логические задачи и числовые ребусы, связанные с восстановлением записи. В силу того, что при решении логических задач учащимся трудно разобраться во всех тонко-

стях рассуждений, проводящихся при решении логических задач, мы предлагаем использовать табличный метод, позволяющий наглядно представить информацию. Это позволяет при решении логических задач исходя из данных, содержащихся в условиях, устанавливать взаимнооднозначное соответствие между элементами двух заданных конечных множеств и тем самым находить решение задачи.

Для формирования анализа и синтеза кроме логических задач используются сюжетные и геометрические задачи. Для развития гибкости мышления использованы задачи, допускающие несколько способов решения, требующие изменения условий, при которых задача будет иметь одно, несколько решений или совсем не будет иметь решения. Для развития критичности мышления — задачи с лишними и недостающими данными.

Для развития сравнения и обобщения предлагаются задания, связанные с поиском закономерностей, которые дают возможность с помощью сравнения различных выражений и неполной индукции высказать гипотезу, проверить ее правильность на примерах, сформулировать обобщенный вывод. На формирование классификации по родовидовым признакам направлены комбинаторные задачи и задачи, связанные с разбиением множества на непересекающиеся подмножества, обладающие определенными свойствами, на нахождение объектов, обладающих заданными свойствами.

Задачи, имеющие краеведческую направленность, и старинные задачи направлены на формирование личностных результатов освоения основной образовательной программы начального общего образования, связанных с формированием основ российской гражданской идентичности, чувства гордости за свою Родину, осознание своей этнической и национальной принадлежности. Решая задачи этих видов, учащиеся знакомятся с наиболее знаменитыми математиками нашей страны, уроженцами Калужской области, историей развития основных математических понятий у разных народов, изучают историческое наследие российских и зарубежных ученых.

Материалы данного пособия могут быть использованы как для организации кружковых занятий, так и для проведения математических олимпиад среди младших школьников, как на уровне класса, школы, так и района. Кроме того, задания, включенные в пособие, можно использовать на уроках в качестве дополнительных или для домашней работы учащимся, увлеченным математикой. Материал пособия также обеспечивает возможность решения математических задач в семейном кругу. Все необходимые пояснения учителя и родители найдут в разделах «Решение заданий».

Данное пособие написано на основе 25-летнего опыта работы авторов с учителями начальных классов. Организованная нами олимпиада по математике для младших школьников уже 23 года проводится в Калуге. На основе этого уникального опыта и создано данное пособие.

Уверены, что олимпиада так долго бы не существовала без поддержки руководителей Управления образования г. Калуги. Шло время, менялись руководители, но всегда мы чувствовали их поддержку и внимание. Мы с благодарностью вспоминаем этих людей: Николай Андреевич Никитин, Александр Викторович Храбров, Александр Сергеевич Аникеев, Владимир Владимирович Тылкин, Снежана Анатольевна Терехина.

Надо сказать, что начало нашей работы выпало на 90-е годы XX века. Тогда практически невозможно было осуществить проведение олимпиад без поддержки спонсоров, которые делали все, чтобы юные таланты были награждены грамотами и подарками. Замечательно, когда есть люди, понимающие, что талантливым ребятам надо помогать, потому что именно эти дети прославят наш город и сделают все, чтобы он стал еще лучше.

В те трудные годы основными нашими помощниками в проведении олимпиад были различные компании и неравнодушные люди: «Кока-Кола», 000 «ВИЛСИ» — руководитель Валерий Александрович Кутин, Благотворительный фонд «Планета» — руководитель Виктор Васильевич Борсук, КО 000И «Факел» — управляющий Сергей Михайлович Моисеев, ЗАО «Эверест» — генеральный директор Александр Викторович Еремеев, начальник Департамента образования и науки Калужской области Геннадий Иванович Ловецкий, депутат Городской Думы Карп Иванович Диденко.

Основными помощниками в организационных вопросах были методисты по начальному обучению городского Управления образования. Это настоящие профессионалы, которые очень ответственно относятся к своему делу, любят свою работу и умеют все возникающие вопросы решать быстро и оперативно. Нам посчастливилось работать с Ниной Семеновной Губиной, Валентиной Ивановной Волосовской, Галиной Васильевной Гордиенко, Оксаной Юрьевной Ткачевой

За 23 года нам удалось сделать самое главное — наладить в школах города систематическую работу с одаренными детьми. Сложился круг учителей-единомышленников, с которыми мы каждый год обсуждаем результаты олимпиады, делимся опытом работы. В разные годы учителям начальных классов при подготовке ребят к олимпиаде помогали школьные учителя математики. Среди них особо хочется выделить Нину Николаевну Хомякову — учителя математики школы № 46 г. Калуги. В подготовке школьников к олимпиадам активное участие принимали преподаватели Калужского государственного университета им. К.Э. Циолковского — Анастасия Вячеславовна Антипова, Наталья Владимировна Боброва, Ольга Геннадьевна Булычева, Ольга Владимировна Головина, Михаил Иванович Деркач, Юрий Александрович Дробышев.

Отдельно хочется отметить тех учителей начальных классов, которые систематически занимаются с одаренными детьми, чьи воспитанники регулярно занимают высокие места на олимпиаде. Самую результа-

тивную работу в этом направлении — четыре победителя олимпиады — показала Валентина Александровна Митюшенкова (гимназия № 24). Это уникальный результат, и его трудно будет кому-то превзойти. По два победителя олимпиады подготовили Ольга Владимировна Микайлова и Антонина Ивановна Козлова (гимназия № 24) и учитель математики школы № 46 Нина Николаевна Хомякова. По одному победителю подготовили Наталья Михайловна Каребина — средняя школа № 7, Наталья Гавриловна Свирина — лицей № 9, Ольга Павловна Орлова (Жилина), Нина Ивановна Терехова, Елена Николаевна Фрольцова — средняя школа № 12, Лидия Григорьевна Алексанова — школа № 13, Елена Юрьевна Мельситова — школа № 18, Лариса Александровна Козлова — средняя школа №21, Галина Анатольевна Федорова и Вера Ивановна Линникова — гимназия № 24, Анна Алексеевна Алехина и Инна Георгиевна Соболевская — средняя школа № 46, Людмила Ивановна Тряпицына и Наталия Ивановна Масленникова — средняя школа № 49, Марина Ивановна Тришкина — средняя школа № 50.

Эти замечательные люди, отдающие все свое свободное время работе с талантливыми учениками, составляют золотой фонд учителей начальных классов города Калуги.

В настоящее время работа, начатая четверть века назад, продолжается. В весенние каникулы 2014 года состоится очередная Калужская олимпиада по математике среди учащихся начальных классов. Мы надеемся, что созданная нами книга поможет учащимся в подготовке к ней.

Авторы будут признательны всем, кто выскажет замечания и предложения о данной работе.

Отзывы можно отправить по электронному адресу:

drobyshev.yury2011@yandex.ru

ПЕРВАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

22 марта 1991 года

1. Сколько получится, если сложить:

а) наименьшее трехзначное и наибольшее двузначное число;

б) наименьшее нечетное однозначное и наибольшее четное двузначное число.

2. На весах, которые находятся в равновесии, на одной чашке лежит одно яблоко и две одинаковых груши. На другой чашке — два таких же яблока и одна такая же груша. Что легче — яблоко или груша? Как Вы узнали?

3. В одном классе учатся Иван, Петр, Сергей. Их фамилии: Петров, Иванов и Сергеев. Установите фамилию каждого из ребят, если известно, что Иван — не Иванов, Петр — не Петров, Сергей — не Сергеев и что Сергей живет в одном доме с Петровым. Как Вы рассуждали?

4. Периметр листа картона, имеющего форму квадрата, равен 28 дм. Сколько квадратных сантиметров содержит его площадь?

5. Из металлической заготовки вытачивают деталь. Стружки, которые получились при вытачивании 8 деталей, можно переплавить в одну заготовку. Сколько можно сделать деталей из 64 заготовок?

6. Назовите четыре геометрические фигуры, размещенные внутри каждого квадрата. Проследите за тем, как изменяется расположение четырех фигур в первых трех квадратах. Заполните пустые клетки. Объясните, на основании чего Вы это сделали.

7. Как изменится площадь прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 3 см, а другую — уменьшить на 3 см?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1.

а) Наименьшее трехзначное число — 100, а наибольшее двузначное число — 99.

100 + 99= 199.

б) Наименьшее нечетное однозначное число — 1, а наибольшее четное двузначное число — 98.

1 + 98 = 99.

Ответ: а) 199; б) 99.

2. Исходя из условия задачи, сделаем рисунок

Уберем с левой и правой чаш весов по одному яблоку. При этом весы останутся в положении равновесия, так как яблоки были одинаковыми.

Уберем с обеих чаш весов по одной груше. Получим, что масса яблока и груши одинаковы. Эту же задачу можно было решить, не прибегая к иллюстрации, используя лишь рассуждения.

Уберем с обеих чаш весов по одному яблоку и по одной груше. В этом случае весы останутся в положении равновесия. На левой чашке будет лежать одно яблоко, а на правой одна — груша. Таким образом, масса груши равна массе яблока.

Ответ: масса яблока равна массе груши.

3. В этой задаче речь идет об именах трех ребят (Иван, Петр, Сергей) и их фамилиях (Иванов, Петров, Сергеев). Нарисуем таблицу.

и

п

с

и

п

с

Прописные буквы слева обозначают имена мальчиков, а прописные буквы сверху обозначают фамилии мальчиков. По условию задачи «Иван — не Иванов», «Петр — не Петров», «Сергей — не Сергеев». Отметим это в таблице.

и

п

с

и

-

п

с

-

Последнее условие задачи говорит о том, что «Сергей живет в одном доме с Петровым». Значит, Сергей — не Петров.

и

п

с

и

-

п

-

с

-

-

Тогда, согласно таблице, Сергей может быть только Ивановым.

и

п

с

и

п

-

с

-

-

А это означает, что никто другой из мальчиков фамилию Иванова носить не может.

и

п

с

и

п

-

с

-

-

Согласно таблице Петр может носить только фамилию Сергеев.

и

п

с

И

-

п

-

-

+

с

+

-

-

Тогда фамилия Ивана — Петров.

и

П

с

И

-

+

-

П

-

-

+

с

+

-

-

Ответ: Иван Петров, Петр Сергеев, Сергей Иванов.

4.1 ) 28:4 = 7 (дм) — длина стороны квадрата;

2) 7x7 = 49 (кв. дм) — площадь квадрата;

3) 100x49 = 4900 (кв. см).

Ответ: площадь квадрата равна 4900 кв. см.

5. 1) 64:8 = 8 (заготовок) — можно изготовить из отходов при вытачивании 64 деталей;

2) 8:8 = 1 (заготовка) — может быть изготовлена из отходов при вытачивании 8 деталей;

3) 64 + 8+1 = 73 (детали).

Ответ: из 64 заготовок можно изготовить 73 детали.

6. Внутри каждого квадрата размещены одни и те же геометрические фигуры: квадрат, круг, треугольник, отрезок. Проследим сначала, как меняется расположение одной и той же фигуры в различных квадратах.

Круг сначала был в левом верхнем квадрате, затем в левом нижнем и, наконец, в правом нижнем квадрате. Таким образом, при рассмотрении первых трех рисунков видна закономерность его движения — он двигается по квадратам против часовой стрелки.

Проверим подмеченную закономерность на расположении других фигур. Треугольник был в левом нижнем квадрате, затем переместился в правый нижний квадрат, после чего оказался в правом верхнем. Аналогично проверяется гипотеза для отрезка и квадрата.

На основании подмеченной закономерности делаем вывод о расположении фигур в четвертом квадрате. Однако две из рассмотренных фигур — треугольник и отрезок на трех первых рисунках расположены по-разному относительно сторон квадрата. На первом рисунке отрезок параллелен верхней и нижней сторонам квадрата. На втором — боковым сторонам. На третьем — верхней и нижней сторонам. Очевидно, что в силу подмеченной

закономерности в четвертом квадрате он должен располагаться параллельно боковым сторонам. Аналогичная закономерность может быть подмечена и для треугольника.

Подмеченные закономерности позволяют заполнить четвертый квадрат.

7. Пусть а и Ъ — стороны прямоугольника. Тогда его площадь равна: S= a*b. Стороны измененного прямоугольника будут

(а-3) и (* + 3),

а площадь соответственно будет равна:

Si = (а-3)(Ь + 3) = аЬ-ЗЬ + За-9.

Вычислим разность между S и Sj. Она равна:

S} -S = (ab-3b + 3a-9)-ab = -3b + 3a-9 = 3(-b + a-3).

Исследуем полученный результат.

Если - й + а- 3 = 0, то площади будут равны. Это окажется возможным при а - Ъ - 3 = О или а = Ъ + 3.

Если S\ - S > 0, то площадь второго прямоугольника будет больше площади исходного. Это возможно при а - Ъ — 3 > 0, т. е. при а > b + 3.

Аналогично рассуждая, получим, что S\—S<0 при а < b + 3.

Очевидно, что так задачу в начальной школе решать нельзя. Поэтому рассмотрим, как следовало решать ее в начальной школе.

Мы предполагаем, что эту задачу ученик может решить практически. Проведя вычислительный эксперимент с различными прямоугольниками, он должен сделать вывод о том, что площадь прямоугольника может увеличиться или уменьшиться, а может и остаться без изменения.

5=5x2= 10 см2.

51 = 5x2= 10 см2.

Вывод: площадь не изменилась.

5 см

5=5x4 = 20 см2.

5/ = 2x7= 14 см2.

Вывод: площадь уменьшилась.

5=5x1 =5 см2.

5/ = 2x4 = 8 см2.

Вывод: площадь увеличилась.

Ответ: площадь может увеличиться, уменьшиться или таться прежней.

ВТОРАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

21 марта 1992 года

1. Сколько всего ударов в сутки делают часы, если они бьют каждые полчаса по одному разу, а каждый час 1, 2, 3... 12 раз?

2. Три подружки — Вера, Оля и Таня пошли в лес по ягоды. Для сбора ягод они имели корзину, лукошко и ведерко. Известно, что Оля была не с корзиной и не с лукошком, Вера — не с лукошком. Что с собой взяла каждая девочка для сбора ягод? Свои ответы обоснуйте.

3. На трех ветках 24 воробья. Когда с первой ветки перелетели на вторую 4 воробья, а со второй перелетели на третью 3 воробья, то на всех ветках воробьев оказалось поровну. Сколько воробьев сидело на каждой ветке первоначально?

4. Периметр квадрата равен 20 см. На сколько квадратных сантиметров увеличится площадь квадрата, если его периметр увеличить на 12 см?

5. Каково наименьшее из чисел, больших 1 992, которое при делении на 9 дает в остатке 7?

6. Найдите сумму всех четных чисел от 10 до 31. Вычислить разными способами.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1.(1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10+11 + 12)х2 + 24= 180.

Ответ: 180 ударов.

2. В задаче речь идет о трех подружках (Вере, Оле, Тане) и трех предметах для сбора ягод (корзина, лукошко, ведерко). Составим таблицу.

В

О

Т

к

л

в

Оля была не с корзинкой и не с лукошком. Следовательно, Оля была с ведерком.

В

О

Т

к

-

л

-

в

+

Значит, ведерко не могло быть у Веры и Тани.

В

О

т

к

-

л

-

в

-

+

-

Так как Вера была не с лукошком, то ей остается только корзинка.

В

О

т

к

+

-

л

-

-

в

-

+

-

Из этого следует, что у Тани была не корзинка. Таким образом, Таня была с лукошком.

В

О

т

к

+

-

-

л

-

-

+

в

-

+

-

Ответ: Вера была с корзинкой, Оля — с ведром, Таня — с лукошком.

3.1) 24:3 = 8 (вор.) — было на каждой ветке после перелета;

2) 8-3 = 5 (вор.) — было на третьей ветке первоначально;

3) 8 + 4 = 12 (вор.) — было на первой ветке;

4)5 + 12=17 (вор.) — было на первой и третьей ветках до перелета;

5) 24 —17 = 7 (вор.) — было на второй ветке первоначально. Можно решить задачу другим способом. Для этого оставим первые три действия те же, а четвертое и пятое заменим на следующие:

4) 4 - 3 = 1 (вор.) — было на столько меньше первоначально на второй ветке;

5)8-1=7 (вор.) — было на второй ветке первоначально.

Ответ: первоначально 12 воробьев сидели на первой ветке, 7 — на второй, 5 — на третьей.

4. Так как у квадрата все стороны равны, то

1 ) 20:4 = 5 (см) — длина одной стороны;

2) 5x5 = 25 (см2) — площадь квадрата;

3) 12:4 = 3 (см) — на столько увеличилась сторона;

4) 5+3 = 8 (см) — сторона нового квадрата;

5) 8x8 = 64 (см2) — площадь нового квадрата;

6) 64 - 25 = 39 (см2).

Можно решить эту задачу иначе.

Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, следует найти сумму площадей заштрихованных прямоугольников.

1 ) 20:4 = 5 (см) — длина стороны квадрата;

2) 5+3 = 8 (см) — длина верхнего прямоугольника;

3) 8x3 = 24 (см2) — площадь верхнего прямоугольника;

4) 5x3 = 15 (см2) — площадь нижнего прямоугольника;

5) 24 + 15 = 39 (см2) — площадь двух прямоугольников.

Ответ: площадь увеличилась на 39 см .

5. Разделим 1 992 на 9 с остатком

В остатке получили 3. Для того, чтобы остаток был равен 7, необходимо делитель увеличить на четыре:

1992 + 4= 1996.

Ответ: 1996.

6. Выпишем все четные числа от 10 до 31 :

10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.

а) Сложим полученные числа 10+12+14+16+18 + 20 + 22 + 24 + 26 +28 + 30 = 220.

б) Можно обратить внимание на то, что сумма чисел, равноудаленных от концов, равна 40

10 + 30= 12 + 28= 14 + 26 =... = 40.

Таких пар будет пять, и останется число 20. Вычислим сумму:

40x5 + 20 = 220.

в) Можно группировать слагаемые таким образом, чтобы их сумма была круглым числом:

10 + 12 + 14+16+18 + 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 30 =

= 10+ (12 + 18)+ (14+ 16)+ 20+ (22+ 28)+ (24+ 26)+ 30 =

= 10 + 30 + 30 + 20 + 50 + 50 + 30 = 220.

Ответ: сумма всех четных чисел от 10 до 31 равна 220.

ТРЕТЬЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

20 марта 1993 года

1. Сколько получится, если сложить наибольшее нечетное двузначное число и наименьшее четное трехзначное число?

2. Написать цифрами число, равное сумме 22 миллионов, 22 тысяч, 22 сотен и 22 единиц.

3. Нарисуйте прямоугольник, площадь которого 12 кв. см, а сумма длин сторон 26 см.

4. Сколько понадобится времени, чтобы записать подряд все числа от 5 до 105, если на запись каждой цифры требуется одна секунда. В ответе записать количество минут.

5. В двузначном числе количество десятков в два раза меньше числа единиц. Если из этого двузначного числа вычесть сумму его цифр, то получится 18. Найдите это число.

6. Три друга — Винни-Пух, Пятачок и Кролик пошли гулять в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Винни-Пуха цвет рубашки и туфель совпадали, у Пятачка ни туфли, ни рубашка не были красными, а Кролик был в зеленых туфлях. Как были одеты друзья?

7. Если пронумеровать буквы в алфавите и в некотором слове заменить буквы соответствующими числами, то получится число 222122111121. Какое это слово?

Алфавит:

АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Наибольшее нечетное двузначное число — 99, а наименьшее четное трехзначное число — 100.

99+100= 199.

Ответ: сумма наибольшего нечетного двузначного числа и наименьшего четного трехзначного числа равна 199.

2. Многие считают, что это будет число 22 022 222.

На самом деле это число равно 22 024 222, так как если к 22 миллионам, то есть к 22 000 000 добавить 22 тысячи, то есть 22 000 и 22 сотни, то есть 2200 и 22 единицы, то будет 22 024 222.

Ответ: 22 024 222.

3. Так как площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, то нам нужно представить число 12 в виде произведения двух множителей. Это можно сделать следующим образом:

12= 1x12, 12 = 2x6, 12 = 3x4.

Стороны прямоугольника могут быть равны:

а = 1 ; а = 2; а = 3;

6 = 12. 6 = 6. 6 = 4.

Выберем из них те, которые удовлетворяют второму условию. Для этого вычислим сумму их длин

1x2 + 12x2 = 2 + 24 = 26 — удовлетворяет условию; 2x2 + 6x2 = 4+12=16 — не удовлетворяет; 3x2 + 4x2 = 14 — не удовлетворяет.

Ответ: а =1 см, 6=12 см.

4. Узнаем, сколько однозначных, двузначных и трехзначных чисел находится в промежутке от 5 до 105. Однозначных: 5 (от 5 до 9). Двузначных: 90 (от 10 до 99). Трехзначных: 6 (от 100 до 105).

Теперь узнаем, сколько времени понадобится для записи всех чисел от 5 до 105:

1 х5 + 2x90 + 3x6 = 5 + 180 + 18 = 203 (с). Выразим ответ в минутах:

Ответ: 3 минуты.

5. По условию в двузначном числе число десятков в два раза меньше числа единиц, т. е. число единиц в 2 раза больше числа десятков.

Двузначные числа, удовлетворяющие этому условию:

12; 24; 36; 48.

Сумма цифр каждого из полученных чисел:

1+2 = 3; 2 + 4 = 6; 3 + 6 = 9; 4 + 8=12.

Вычтем из данных чисел сумму цифр.

12-3 = 9; 24-6=18; 36-9 = 27; 48- 12 = 36.

Таким образом, условию задачи удовлетворяет число 24.

Ответ: 24.

6. В этой задаче речь идет о трех друзьях (Вини-Пухе, Пятачке и Кролике) и трех цветах их туфель и рубашек. Узнаем сначала цвет туфель каждого из друзей. Составим таблицу:

В

П

К

к

3

с

Исходя из условия задачи, заполним таблицу. У Пятачка туфли были не красными.

В

П

К

к

-

3

с

Кролик был в зеленых туфлях.

В

П

К

к

-

3

+

с

Таким образом, Кролик не мог быть в красных и синих туфлях.

В

П

К

к

-

-

3

+

с

-

Следовательно, Вини-Пух был в красных туфлях.

В

П

К

к

+

-

-

3

+

с

-

-

А Пятачок в синих.

В

П

К

к

+

3

-

-

+

с

-

+

-

Так как цвет рубашки и туфель у Вини-Пуха совпадал, то он был в красной рубашке. Значит, Кролик был в синей рубашке, а Пятачок — в зеленой.

Ответ: Вини-Пух в красной рубашке и красных туфлях, Пятачок в зеленой рубашке и синих туфлях, Кролик в синей рубашке и зеленых туфлях.

7. Выпишем все буквы алфавита

А

Б

В

Г

Д

Е

Ё

Ж

3

и

Й

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

К

Л

M

H

О

П

Р

С

т

У

Ф

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

X

ц

ч

Ш

щ

Ъ

Ы

Ь

э

ю

Я

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

Слово может начинаться на вторую либо двадцать вторую букву алфавита (Б или Ф).

Вторая буква тогда может быть в первом варианте — Б или Ф, во втором варианте — Б или У.

Рассмотрим сначала первый варинат: ББ или БФ. Третьей буквой может быть либо Б (2), либо У (21), то есть получаем буквосочетания БББ или БФУ. Очевидно, что случай БББ можно исключить.

Тогда четвертая буква для буквосочетания БФУ будет либо Б (2), либо У (21), то есть получаем БФУБ или БФУУ. Очевидно, что последний случай БФУУ можно исключить.

Пятой буквой для сочетания БФУБ будет либо Б, либо У, то есть получаем буквосочетания БФУББ или БФУБУ. Очевидно, что случай БФУББ можно исключить.

Шестой буквой может быть А (1) или Й (11). Оба полученных буквосочетания БФУБУА и БФУБУИ можно исключить.

Пусть теперь слово начинается с буквы Ф, тогда второй буквой в этом случае может быть либо У (21), либо Б (2). Получаем два буквосочетания ФУ и ФБ. Рассмотрим первое из них.

В буквосочетании ФУ на третьем месте может стоять буква Ф (22) или Б (2), то есть имеем ФУФ или ФУБ. Для буквосочетания ФУФ четвертой буквой может быть либо А (1), либо И (11). Очевидно, что остается одно словосочетание ФУФА.

Для него пятой буквой может быть либо А (1), либо И (11).

Получается буквосочетание ФУФАИ. Следующей буквой может быть А (10), либо К (12). Очевидно, что буквосочетание ФУФАЙА не подходит. Таким образом, получаем слово ФУФАЙКА.

Рассматривая последний случай — ФБ, убеждаемся, что из полученных буквосочетаний слова не получается.

Ответ: фуфайка.

ЧЕТВЕРТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

19 марта 1994 года

1. Вставьте пропущенное слово

2. Какое наибольшее число суббот может быть в году?

3. Сумма цифр двузначного числа равна некоторому двузначному числу, а цифра, стоящая в разряде десятков, в четыре раза меньше цифры в разряде единиц. Найти это число.

4. Сколькими нулями оканчивается произведение чисел от 1 до 100 включительно?

5. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

6. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на 3?

7. Найти сумму всех возможных различных двузначных чисел, все цифры которых нечетны.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Решим первое уравнение:

Справа написан месяц февраль. Он является вторым месяцем в году. Проверим подмеченную закономерность на следующем примере. Для этого решим второе уравнение:

18-2х = 10; 2х = 18-10; 2х = 8; х = 4.

Апрель является четвертым месяцем в году. Значит, найденная закономерность правильная. Решаем третье уравнение:

48 = 5х + 3; 5х = 48-3; 5х = 45; x = 9.

Следовательно, справа должен стоять девятый месяц. Им является сентябрь.

Ответ: сентябрь.

2. Так как в году может быть 365 или 366 дней, то для расчета наибольшего количества суббот выберем большее из этих чисел — 366. Суббота встречается один раз в семь дней. Следовательно, чтобы узнать число суббот в году, необходимо 366 разделить на 7 с остатком. Получаем

Таким образом, в году будет 52 субботы и еще 2 дня, на один из которых тоже может выпасть суббота. Следовательно, наибольшее количество суббот будет 52 + 1 = 53.

Ответ: 53 субботы.

3. Первый способ решения. Выпишем те однозначные числа, для которых выполняется второе условие, — одно их них в четыре раза меньше другого. Эти числа: 1 и 4, 2 и 8.

Из полученных пар выберем ту, которая удовлетворяет первому условию — сумма цифр должна равняться некоторому двузначному числу:

1 +4 = 5 — не удовлетворяет;

2 + 8 = 10 — удовлетворяет.

Второй способ решения. Представим условие задачи в виде чертежа.

Пусть x — число десятков. Тогда 4х — число единиц. Наименьшее двузначное число 10. Составим уравнение:

x + 4х = 10; 5х = 10; х = 2.

Тогда 2x4= 8.

Следовательно, число 28 удовлетворяет условию. Аналогично можно составить уравнение для других чисел от 11 до 18 и сделать вывод.

Третий способ решения. Исходя из условия задачи, сумма цифр должна делиться на 5. Таких чисел два:

10:5 = 2; 2x4 = 8.

Получим число 28.

15:5 = 3; 3x4= 12.

В этом случае не получим двузначного числа.

Ответ: 28.

4. Первый способ решения. Для того, чтобы узнать на сколько нулей оканчивается произведение чисел от 1 до 100, нам необходимо узнать, сколько раз будет встречаться множителем пятерка. Среди сомножителей числа 1х2хЗх-... х99хЮ0 на 5 делятся 20 чисел (100:5 = 20).

Из них на 25 делятся 4 числа (20:5 = 4). Значит, все пятерки встречаются множителем 24 раза. Среди множителей числа 1х2хЗх ... х99х100 имеются 50 четных чисел, поэтому двойка 24 раза встретится обязательно. Откуда следует, что произведение оканчивается 24 нулями.

Второй способ решения (Сойкина Анна, ученица За класса школы № 24).

Разложим все составные числа на простые множители. Нам надо узнать теперь, сколько в разложении пятерок. Они есть в числах 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. Всего круглых чисел 10; по два числа при разложении дают две пятерки. Это 50 и 100. Получается 12 пятерок. Чисел, оканчивающихся на 5, тоже 10, но два числа при разложении дают две пятерки. Это 25 и 75. Получается 12 пятерок. Всего получается 24 пятерки. Двоек в разложении больше, чем 24. Значит, произведение оканчивается 24 нулями. Остальные числа в произведении нулей не дают.

Ответ: 24 нулями.

5. Обозначим вершины прямоугольника и треугольника буквами А, В, С, Д Е, F.

Так как одна сторона прямоугольника содержит 8 единиц, а вторая 6, то площадь прямоугольника ABCD равна 8x6 = 48 квадратных единиц. Для нахождения площади треугольника EFD нам необходимо из площади прямоугольника ABCD вычесть площадь треугольников AED, EBF, FCD. Площадь каждого из этих треугольников равна половине прямоугольника, построенного на его сторонах. Таким образом, площадь треугольника EFD может быть вычислена следующим образом:

Ответ: 23 ед .

6. Первый способ решения. В задаче речь идет о четырех ребятах (Ане, Боре, Вере, Гале) и четырех возрастах детей (5 лет, 8 лет, 13 лет и 15 лет).

Представим условие задачи в виде таблицы.

Аня

Боря

Вера

Галя

5, 8, 13, 15

5, 8, 13, 15

5, 8, 13, 15

5, 8, 13, 15

Так как одна девочка ходит в детский сад и Аня старше Бори то, следовательно, Ане и Боре не может быть 5 лет.

Аня

Боря

Вера

Галя

8, 13, 15

8, 13, 15

5, 8, 13, 15

5, 8, 13, 15

По условию сумма лет Ани и Веры делится на 3. Исходя из этого, девочкам может быть 13 и 5 или 8 и 13 лет. Но 15 лет ни одной из них быть не может.

Аня

Боря

Вера

Галя

8, 13

8, 13, 15

5, 8, 13

5, 8, 13, 15

Так как Аня старше Бори, то ей может быть только 13 лет, Боре — 8, а Вере — 5. Гале в таком случае будет 15.

Второй способ решения. Можно рассуждать по-другому. Так как одна из девочек ходит в детский сад, то, следовательно, Боре не может быть 5 лет. По условию Аня старше Бори. Значит, ей может быть 13 или 15 лет. По третьему условию сумма лет Ани и Веры делится на 3. Но на 3 делится только сумма 13 и 5. Таким образом, Анне — 13 лет, Вере — 5 лет, Гале — 15 лет. Следовательно, Боре 8 лет.

Ответ: Вере 5 лет, Боре 8 лет, Ане 13 лет, Гале 15 лет.

7. Для того, чтобы узнать, сколько таких чисел, попробуем определить, какие цифры могут стоять в разряде десятков. Таких цифр пять: 1, 3, 5, 7, 9.

Вторая цифра тоже должна быть нечетной, следовательно, ее тоже можно выбрать пятью способами.

Всего таких чисел будет 5x5 = 25. Выпишем эти числа и найдем их сумму.

11 + 13 + 15 + 17+... + 93 + 95+ 97+ 99 = (11 + 99)х12 + 55 = 1375.

Ответ: 1375.

ПЯТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (11 марта 1995 года)

1. На каком расстоянии от точки А на отрезке AB надо поставить точку К так, чтобы сумма длин отрезков АК и KB была наименьшей? Длина отрезка AB равна 9 см.

2. Сколько можно составить четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна 3? Перечислите эти числа.

3. Летели утки. Одна спереди, две позади, одна позади и две спереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?

4. На полке стояли тарелки. Сначала из всех тарелок без двух взяли 1/3 часть, а потом Vi оставшихся тарелок. После этого на полке осталось 9 тарелок. Сколько тарелок было на полке?

5. На первой грядке росло в 5 раз больше кустов клубники, чем на второй. Когда с первой грядки пересадили 22 куста на вторую грядку, то количество кустов клубники на каждой грядке стало одинаковым. Сколько было кустов на каждой грядке?

6. Лошадь съедает стог сена за 1 месяц, коза — за 2 месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же стог сена?

7. Учитель проверил работы трех учеников — Алексеева, Васильева и Сергеева, но не захватил их с собой. Ученикам он сказал: «Все вы написали работу, причем получили различные отметки («3», «4», «5»). У Сергеева не «5», у Васильева не «4», а вот у Алексеева, по-моему, «4». Впоследствии оказалось, что учитель правильно назвал отметку только одному из учеников. Какую отметку получил каждый из ребят?

8. Фигура состоит из 12 одинаковых квадратов. Сколько всего квадратов в этой фигуре? Перечерти ее и раздели на четыре равные по площади и по форме части.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Так как всегда сумма длин отрезков АК и KB равна длине отрезка AB, то точка К может быть любой точкой отрезка AB.

Ответ: на любом.

2. Для записи чисел используем цифры О, 1,2,3,4, 5, 6, 7, 8,9

Так как по условию сумма цифр равна трем, то можно исключить все цифры, начиная с четырех.

О, 1,2,3,1,5, 6, 7, 8,9

Начинаться число с нуля не может, следовательно, на первом месте может стоять одна из трех цифр 1, 2, 3. Дальнейшее решение представим в виде схемы:

Теперь надо выбрать вторую цифру для каждого из трех случаев.

Аналогично определим третью и четвертую цифры.

Получены числа:

3. Изобразим схематически, как летели утки.

Как видно из рисунка, речь в задаче идет о трех утках.

Ответ: 3 утки.

4. Представим условие задачи в виде чертежа

1 ) 9x2 = 18 (тар.) — осталось после того, как первый раз взяли тарелки;

2) 18-2=16 (тар.) — приходится на 2/3;

3) 16:2 = 8 (тар.) — приходится на 1/3;

4) 8x3 = 24 (тар.) — приходится на все тарелки без двух;

5) 24 + 2 = 26 (тар.) — было.

Ответ: 26 тарелок.

5. Первый способ решения.

Построим графическую модель условия задачи

1) 22:2 = 11 (кустов) — приходится на 1/5 всех кустов (было на второй грядке);

2) 11x5 = 55 (кустов) — было на первой грядке.

Второй способ решения (Жеребцов Николай — ученик школы № 46).

1 ) 5 + 1=6 (частей) — всего;

2) 6:2 = 3 (части) — приходится на каждую грядку;

3) 5-3=2 (части) — пересадили с первой грядки на вторую;

4) 22:2 =11 (кустов) — приходится на одну часть (было на второй грядке);

5) 11x5 = 55 (кустов) — было на первой грядке.

Третий способ решения (Семикин Виталий — ученик школы № 48).

1 ) 22 + 22 = 44 (куста) — на столько меньше на второй грядке, чем на первой;

2) 44:4 = 11 (кустов) — приходится на одну часть (было на второй грядке);

3) 11x5 = 55 (кустов) — было на первой грядке.

Ответ: 11 кустов было на второй грядке, 55 кустов было на первой.

6.1 ) 6:1 =6 (стогов) — съедает лошадь за полгода;

2) 6:2 = 3 (стога) — съедает коза за полгода;

3) 6:3 = 2 (стога) — съедает овца за полгода;

4) 6 + 3 + 2=11 (стогов) — съедят все животные за 6 месяцев. Следовательно, стог сена они съедят за 6/11 месяца.

Ответ: один стог сена животные съедят за 6/11 месяца.

7. Так как в данной задаче не ясно, какое из утверждений истинно, то нужно рассмотреть три случая.

Случай 1. Пусть учитель сказал верно Сергееву. Тогда, исходя из условия задачи, заполним таблицу. «У Сергеева не «5». Поставим в соответствующей клетке «-». «У Васильева не «4» — это утверждение неверно. Следовательно, Васильев получил «4». Поставим «+» в соответствующей клетке. «У Алексеева — «4» — это утверждение неверно. Следовательно, Алексеев получил не «4». Поставим «-» в соответствующую клетку.

А

С

В

3

4

-

+

5

-

Так как Васильев получил «4», то он не мог получить «3» или «5», а Сергеев не мог получить «4». Отразим это в таблице.

А

С

В

3

4

-

-

5

-

-

Анализ таблицы позволяет сделать вывод, что Сергеев получил «3», а Алексеев — «5».

А

С

В

3

-

+

-

4

+

5

+

-

-

Случай 2. Пусть учитель сказал правду Васильеву, а двум другим ученикам назвал неверную отметку. Тогда, исходя из условия, заполним таблицу. У Васильева не «4». Поставим «-» в соответствующей клетке. У Сергеева не «5» — это ложное утверждение. Значит, Сергеев получил «5». Поставим «+» в соответствующей клетке. У Алексеева — «4» — это ложное утверждение. Следовательно, у Алексеева не «4». Поставим знак «-» в соответствующую клетку.

А

С

В

3

4

-

-

5

+

Так как Сергеев получил «5», то он не мог получить ни «4», ни «3». Отразим это в таблице.

А

С

В

3

-

4

-

-

-

5

-

+

-

Из таблицы видно, что «4» не получил ни один из учеников. Это противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение было ошибочным.

Случай 3. Рассмотрим предположение, что верна третья часть ответа, а именно: «Алексеев получил «4» и неверны первые два

утверждения: «У Сергеева не «5», у Васильева не «4». Заполним таблицу исходя из этих условий:

А

С

В

3

4

+

+

5

+

Видим, что двое ребят одновременно получили «4», что противоречит условию. Следовательно, это предположение ошибочно.

Ответ: Алексеев получил «5», Сергеев — «3», Васильев — «4».

8. Фигура содержит 12 маленьких и 5 больших квадратов. Таким образом, всего в фигуре 17 квадратов.

1) 4 + 4 + 4=12 (ед2) — площадь исходной фигуры;

2) 12:4 = 3 (ед") — площадь искомой фигуры.

Так как площадь фигуры равна 3 ед", то она может иметь следующую форму:

При составлении исходной фигуры из фигур вида I остаются незаполненными клетки.

Используя фигуру II, получаем решение задачи:

ПЯТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур ( 18 марта 1995 года)

1. Между числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 расставьте знаки арифметических действий и скобки так, чтобы полученное выражение имело значение 100.

2. Как от куска материи 2/3 метра отрезать полметра, не имея под руками метра.

3. Фотографию прямоугольной формы с размерами 30 см и 4 дм увеличили во много раз для изготовления прямоугольного рекламного щита. Площадь щита 48 м2. Какова его длина и ширина?

4. Пусть 2 чашки и 2 кувшина весят столько, сколько 14 блюдец, 1 кувшин весит столько, сколько 1 чашка и 1 блюдце. Сколько блюдец уравновесят кувшин?

5. Группа третьеклассников решила после математической олимпиады поехать 19 марта на экскурсию в Москву. Ежемесячно каждый ученик вносил одинаковую сумму денег, и за 9 месяцев было собрано 22 725 рублей. Сколько было учеников в классе и какую сумму вносил каждый ученик ежемесячно?

6. Решите числовой ребус, в котором одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры. Объясните, как Вы это сделали.

7. Вставьте пропущенное число

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

2. Изобразим условно отрезок длиной в 1 метр и разделим его на три равные части.

Для того, чтобы получить полметра, нам нужно от данного куска отрезать Va часть. Поэтому поступим следующим образом: перегнем кусок пополам так, чтобы его конец и начало совпали. Повторим эту операцию еще раз. Получим Va часть данного куска материи, которую необходимо отрезать, чтобы получить кусок материи длиной в полметра.

3. 1) 30x40 = 1200 (см2) — площадь фотографии;

2) 480000:1200 = 400 (раз) — площадь щита больше площади фотографии.

Так как при увеличении каждой стороны прямоугольника в к раз его площадь увеличивается в к*к раз, то, следовательно, в нашем случае каждая сторона увеличивается в 20 раз (20x20 = 400)

3) 30x20 = 600 (см) — ширина щита;

4) 40x20 = 800 (см) — длина щита.

Ответ: ширина щита 6 м, длина — 8 м.

4. Первый способ решения (графический).

Уменьшим в 2 раза количество предметов на каждой чаше весов.

Теперь заменим на левой чаше весов кувшин на блюдце и чашку.

Уберем с обеих чаш весов по блюдцу.

Уменьшим количество предметов на каждой чаше весов в 2 раза.

Так как один кувшин весит столько, сколько одна чаша и одно блюдце, то получим:

Второй способ решения (аналитический).

По условию задачи 2 ч. + 2 к. = 14 6. Разделив обе части равенства на 2, получим 1 ч. + 1 к. = 7 б. Согласно второму условию 1 к = 1 ч + 1 б. Из последующих двух равенств имеем:

Третий способ решения (арифметический).

1) 14:2 = 7 (б.) — уравновесят 1 чашку и 1 блюдце;

2) 7-1=6 (б.) — уравновесят 2 чашки;

3) 6:2 = 3 (б.) — уравновесят чашку;

4) 3 + 1=4 (б.) — уравновесят кувшин.

Ответ: один кувшин уравновесили 4 блюдца.

5. 1) 22725:9 = 2525 (руб.) — сдали ребята за один месяц.

Для того, чтобы определить, сколько каждый из ребят сдавал ежемесячно, нужно знать количество учеников в классе. Это в задаче неизвестно. Однако из условия задачи следует, что это натуральное число, являющееся делителем числа 2525.

2525:5 = 505; 505:5 = 101.

Таким образом, в классе могло быть 5, 25 или 101 ученик. Так как в классе 101 человек быть не может, то учеников было 5 или 25.

2) 2525:5 = 505 (руб.)

3) 2525:25 = 101 (руб.)

Ответ: 5 учеников сдавали по 505 рублей или 25 учеников сдавали по 101 рублю.

6. При сложении цифр в разряде десятков имеем два случая

И + С = С или (И+1) + С = 10 +С. В первом случае И = 0.

Это противоречит условию С + И = К (С + 0 = К). Из второго случая получаем, что И = 9. Таким образом, получаем:

Так как 9 сотен результата равны сумме двух одинаковых цифр слагаемых и единицы, то К + К = 8, К = 4.

Анализируя сложение в разряде единиц, определим С (С = 5).

7. Попробуем сначала найти какую-то связь между записанными уравнениями и дробью.

Для этого преобразуем уравнения, стоящие в первой строке.

7х + 3 = 12; 8-7х = 5;

7х = 9. х = 3.

Сравним теперь полученные уравнения с числом 6/7. Заметим, что коэффициенты при х и знаменатель равны одному и тому же числу 7, а разность между девятью и тремя численно равна числителю дроби.

Проверим подмеченную закономерность на выражениях, записанных во второй строке.

5х-7=15; 4/5; 2 + 5х = 20;

5х = 22; 5х= 18.

Видим, что коэффициенты при х в обоих уравнениях равны знаменателю дроби, а разность между правыми частями первого и второго уравнения равна числителю дроби (22 — 18 = 4). Следовательно, мы правильно подметили закономерность. Согласно найденной закономерности определим недостающее число

11х-2= 10; 11х + 4 = 7;

11х = 12. 11х = 3.

Таким образом, знаменатель дроби равен 11, а числитель — 9 (12-3 = 9).

Ответ: 9/11.

ШЕСТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (16 марта 1996 года)

1. Напишите наименьшее четырехзначное число, в котором все цифры различные.

2. Выделите фальшивую монету среди восьми монет двумя взвешиваниями, если известно, что фальшивая монета тяжелее каждой из остальных.

3. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, а при делении на 3 дает остаток 2.

4. Периметр прямоугольника равен 48 см, а длина его на 2 см больше ширины. Найдите площадь этого прямоугольника.

5. Вместо звездочек поставьте такие цифры, чтобы получилось верное равенство 5* + **3 = **01.

6. Мотоциклист за три дня проехал 980 км. За первые два дня он проехал 725 км, при этом он во второй день проехал на 123 км больше, чем в третий день. Сколько километров он проехал в каждый из этих трех дней?

7. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас имеет белые, один черные и один рыжие волосы, но ни у одного из нас нет волос того цвета, на которые указывает его фамилия», — заметил черноволосый. «Ты прав», — сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. По условию задачи для записи четырехзначного числа следует использовать четыре различные цифры. Их можно выбирать из 0, 1,2,3,4,5,6, 7, 8,9.

В разряде тысяч наименьшим может быть 1:1***.

В разряде сотен наименьшим может быть 0:10**.

Так как 1 и 0 мы уже использовали, то цифра десятков будет равна 2:102*.

В результате получаем число 1023.

Ответ: 1023.

2. Разделим все монеты на три группы: две группы по три монеты и одну по две. Кладем на весы по три монеты из первых двух групп. Если весы в равновесии, то фальшивая монета среди двух оставшихся, и вторым взвешиванием мы сможем ее определить.

Если же одна из чашек весов при первом взвешивании перевесила, то фальшивая монета среди них. Положим по одной монете из этих трех на весы. Если окажется, что весы находятся в положении равновесия, то оставшаяся монета фальшивая, если одна из чашек весов перевесит, то, следовательно, фальшивая монета лежит на ней.

3. Выпишем сначала числа, дающие при делении на 2 остаток 1 :

3,5, 7, 9, 11...

Затем выпишем числа, дающие при делении на 3 остаток 2: 5, 8, 11, 14, 17...

Выберем из полученных чисел то, которое удовлетворяет обоим условиям и является наименьшим. Это число 5.

Можно было рассуждать несколько иначе. После того как выписаны числа, дающие при делении на 2 остаток 1, находим, какие из них будут давать при делении на 3 остаток 2, а затем выбираем среди них наименьшее (5, 11, 17...) или сначала выписываем числа, дающие при делении на 3 остаток 2, а затем среди них выбираем наименьшее, которое при делении на 2 даст остаток 1.

Ответ: 5.

4. Данную задачу можно решить как аналитически, так и арифметически.

Первый способ решения. По условию

0 + Z>)x2 = 48,

отсюда можем сделать вывод, что а + Ъ = 24.

Используя второе условие а = Ъ + 2, получим уравнение для определения Ъ\

й + 2 + й = 24, 2Й = 22, й = 11 (см).

Из условия а = Ъ + 2 находим значение а(а= 13). Перемножая значения а и й, получим площадь прямоугольника.

S= 13x11 = 143 (см2). Второй способ решения.

Сделаем краткую запись условия задачи в виде чертежа:

1. 48:2 = 24 (см) — сумма длины и ширины;

2. 24-2 = 22 (см) — удвоенная ширина;

3. 22:2 = 11 (см) — ширина;

4. 11+2=13 (см) — длина;

5. 11x13 = 143 (см2) — площадь прямоугольника.

Третий способ решения.

Сделаем другую краткую запись условия задачи:

1 ) 48 - 4 = 44 (см) — четыре ширины;

2) 44:4 = 11 (см) — ширина;

3) 11+2 = 13 (см) — длина;

5) 11 x13 = 143 (см2) — площадь прямоугольника.

Ответ: площадь прямоугольника равна 143 см2.

5. Определим сначала цифру единиц в первом слагаемом. Исходя из условия задачи, к трем следует прибавить такое слагаемое, чтобы получилось число, оканчивающееся на 1. Этому условию удовлетворяет число 8, так как 8 + 3 = 11 (58 + **3 = **01).

Теперь будем определять цифру десятков во втором слагаемом. Один десяток мы получили, когда складывали единицы. Прибавив к нему еще 5 десятков, мы должны получить число,

оканчивающееся на 0. Этому условию удовлетворяет 4, так как 5 + 1 + 4= 10, (58 + *43 = **01). При сложении десятков мы получили одну сотню, поэтому для того, чтобы получились тысячи, следует прибавить 9 сотен. Таким образом, получаем 58 + 943 = 1001.

Ответ: 58 + 943 = 1001.

6. Представим условие задачи в виде чертежа

Ответ: в первый день проехал 347 км, во второй — 378 км, в третий — 255 км.

7. Данную задачу можно решить с помощью рассуждений или с помощью табличного метода.

Первый способ решения. Белов разговаривал с черноволосым, значит цвет волос у него не черный и не белый (в силу того, что цвет волос не должен указывать на фамилию). Таким образом, у Белова цвет волос рыжий. Так как с Беловым разговаривал черноволосый, то он не мог быть Черновым, а значит, он был Рыжов. Получаем, что художник Рыжов имел черный цвет волос.

Второй способ решения. В этой задаче речь идет о трех друзьях (Белов, Рыжов, Чернов) и трех цветах их волос (белые, рыжие, черные). Составим таблицу:

б

Р

ч

Б

Р

Ч

Исходя из того, что ни у одного из друзей нет волос того цвета, на которые указывает его фамилия, заполним таблицу:

б

Р

ч

Б

-

Р

Ч

-

Белов разговаривал с человеком, который имел черный цвет волос. Значит, Белов имел не черный цвет волос.

Таким образом, Белов имел рыжий цвет волос.

б

Р

ч

Б

+

Р

Ч

Следовательно, Чернов не мог иметь рыжий цвет волос.

б

Р

ч

Б

+

Р

Ч

Анализ таблицы позволяет сделать вывод, что Чернов имел цвет волос белый, а значит, у Рыжова был черный цвет волос.

б

Р

ч

Б

+

Р

+

Ч

+

Ответ: у художника Рыжова черные волосы.

ШЕСТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (23 марта 1996 года)

1. Сколько кафельных плиток размерами 15x15 см необходимо иметь, чтобы облицевать кафелем стену, имеющую длину 3 м 6 дм и ширину 27 дм?

2. Для начинок пирогов имеется: рис, мясо, яйца. Сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов? (При этом не надо забывать, что начинку можно приготовить из различного числа продуктов).

3. Разность двух чисел равна 157, а их частное равно 2. Найдите эти числа.

4. Дан ряд чисел 0, 1,2, 6, 16, 44, 120,... Продлите его и запишите два последующих числа.

5. Сколько дней прошло, начиная с 19 марта 1990 года по 23 марта 1996 года включительно?

6. Известно, что периметр одного прямоугольника больше периметра другого прямоугольника. Сравните площади этих прямоугольников.

7. Трем военным необходимо добраться до штаба, находящегося на рассстоянии 60 км от передовой, за 3 часа. Смогут ли они это сделать, если известно, что пешеход идет со скоростью 5 км/ч и в их распоряжении есть мотоцикл, на котором можно ехать не более чем двоим со скоростью не больше, чем 50 км/ч?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Первый способ решения.

1 ) 15x15 = 225 (см2) — площадь одной плитки;

2) 360x270 = 97200 (см2) — площадь стен;

3) 97200:225 = 432 (плитки).

Второй способ решения (Рухов Арсений, ученик школы № 25). 1 ) 360:15 = 24 (плитки) — уложатся в один ряд по длине стены;

2) 270:15 = 18 (плиток) — уложатся в один ряд по ширине стены;

3) 24x18 = 432 (плитки).

Ответ: потребуется 432 плитки.

2. Для того чтобы узнать, сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов, мы сначала определим, из скольких компонентов может состоять начинка для пирога.

Начинки из одного компонента можно приготовить тремя способами (рис, мясо, яйцо). Начинки из двух компонентов можно приготовить тремя способами (рис-яйцо, рис-мясо, мясо-яйцо); из трех — одним способом (рис-мясо-яйцо). Таким образом, всего можно приготовить семь начинок.

Ответ: семь начинок.

3. Из условия, что частное чисел равно 2, следует, что уменьшаемое в 2 раза больше вычитаемого. Тогда их разность равна вычитаемому, то есть вычитаемое есть число 157, а уменьшаемое в 2 раза его больше — 314.

Аналитически решение может быть оформлено так: из второго условия а\Ъ = 2 следует, что а = 2Ь. Используя первое условие, получим:

Ответ: 157 и 314.

4. Все числа, начиная с третьего, составляющие данный ряд, образованы по закону:

Таким образом, получаем следующий ряд чисел: О, 1,2, 6, 16, 44, 120,328...

5.1) 365x6 + 2 = 2192 (дня) — прошло с 19.03.1990 по 19.03.1996;

2)23-19 = 4 (дня) — прошло дней с 19.03.1990 по 23.03.1996;

3) 2192 + 4 = 2196 (дней) — прошло дней с 19.03.1990 по 23.03.1996.

Ответ: всего прошло 2 196 дней.

6. Решение данной задачи ученики могут получить в результате проведения вычислительного эксперимента с различными прямоугольниками, например:

Таким образом, имеем три варианта отношений между площадями прямоугольников.

Ответ: площадь одного прямоугольника может быть больше, меньше или равна площади другого прямоугольника.

7. За один час двое военных проедут на мотоцикле 50 км, а один пешком пройдет 5 км. Далее один из двух, ехавших на мотоцикле, может оставшиеся 10 км пройти за 2 часа, то есть он за 3 часа доберется до штаба. Второй из ехавших на мотоцикле может вернуться за пешеходом, двигаясь со скоростью 40 км/час. Пешеход за это время (2 часа) пройдет 10 км. Военные оставшиеся 50 км могут проехать на мотоцикле за 1 час. Таким образом, все трое военных доберутся до штаба за 3 часа.

Ответ: трое военных доберутся за три часа до штаба.

СЕДЬМАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (1 марта 1997 года)

1. Какой из следующих промежутков времени наибольший? а) 1500 минут б) 10 часов в) 1 сутки.

2. Найти трехзначное число, состоящее из трех различных цифр, следующих в порядке возрастания, в названии которого все слова начинаются с одной и той же буквы.

3. В коробке лежат геометрические фигуры: треугольники, квадраты и круги. Всего 24 фигуры. Треугольников в 7 раз больше, чем квадратов. Какое возможное число каждой из фигур лежит в коробке?

4. 12 корзин с яблоками и 14 корзин с грушами весят 6 ц 92 кг. Причем вес одной корзины груш на 10 кг меньше веса одной корзины яблок. Сколько весят по отдельности одна корзина груш и одна корзина яблок?

5. Вера, Нина и Оля играли в куклы. Они надели на своих кукол по одной вещи: либо одно пальто, либо одну куртку, либо одно платье. Когда мама спросила девочек, во что они одели своих кукол, то те решили пошутить, и одна из них сказала: «Вера надела на куклу платье, а Оля пальто». Вторая ответила: «Вера надела на куклу пальто и Нина тоже пальто». Затем девочки сказали, что в первом и втором ответе одна часть ответа верна, а другая неверна. Узнайте, чья кукла в платье, а чья — в пальто.

6. На сколько наибольшее пятизначное число больше наименьшего пятизначного?

7. Прямоугольный лист железа разделили на 2 части так, что первая часть оказалась в 4 раза больше второй. Чему равна площадь всего листа, если первая часть на 2 208 см" больше второй?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Для сравнения промежутков времени необходимо выразить их в единицах одного наименования, например, в часах:

1500:60 = 25 (часов); 1 сутки = 24 часам.

Таким образом, наибольший промежуток времени равен 1 500 минутам.

Ответ: наибольший промежуток времени равен 1 500 минутам.

2. Выясним, с каких букв начинаются названия чисел, стоящих в различных разрядах:

1 — один (сто);

2 — два;

3 — три;

4 — четыре (сорок);

5 — пять;

6 — шесть;

7 — семь;

8 — восемь;

9 — девять.

Отсюда можно сделать вывод, что повторяются названия только на букву «с». Второму условию задачи (цифры следуют в порядке возрастания) удовлетворяет число 147.

Ответ: 147.

3. Первый способ решения. Представим условие задачи в виде чертежа.

Отсюда видно, что сумма треугольников и квадратов должна делиться на восемь. Чисел меньших 24 и делящихся на восемь всего два — это 16 и 8. Проверим каждое из них.

1) 16:8 = 2 (кв.); 1)8:8 = 1 (кв.);

2) 2x7=14 (треуг.); 2) 1 х7 = 7 (треуг.);

3) 24 - 16 = 8 (круг.). 3) 24 - 8 = 16 (круг.).

Второй способ решения. Так как, по условию, треугольников в 7 раз больше, чем квадратов, то квадратов могло быть не больше трех, иначе получилось бы, что всех фигур больше 24.

Пусть был всего 1 квадрат, тогда треугольников было в 7 раз больше, то есть 7. Количество кругов определим, вычислив разность 24 и 8. Кругов было 16.

Пусть квадратов было 2, тогда треугольников было 14 = 2><7, а кругов 8 (24-(14+ 2)) = 8.

Пусть квадратов было 3, тогда треугольников было бы 21, и их сумма равнялась бы 24. В этом случае не осталось бы кругов, что противоречит условию задачи.

Третий способ решения (Вязьмина Елена ученица школы № 46).

Треугольников больше, чем квадратов в 7 раз. Всего таких частей 8. 24 делится на 8, но у нас есть еще круги. Мы берем ближнее число, которое делится на 8. Это число 16.

1) 16:8 = 2 (кв.);

2) 2x7= 14(треуг.);

3) 24- 16 = 8 (круг.).

Ответ: 2 квадрата, 14 треугольников, 8 кругов или 1 квадрат, 7 треугольников, 16 кругов.

4. Данную задачу можно решить как аналитически, так и арифметически.

Первый способ решения. Исходя из того, что вес одной корзины груш на 10 кг меньше веса одной корзины с яблоками, можно составить следующее уравнение:

Я = Г+ 10.

Используя первое условие задачи ( 12Я + 14Г = 692), можем получить уравнение для определения веса одной корзины с грушами:

12х(Г+10)+ 14хГ = 692; 26хГ+ 120 = 692; 26хГ = 572; Г = 22 (кг).

Тогда корзина с яблоками весит 32 кг (22+10 = 32). Второй способ решения.

1) 10x14 = 140 (кг) — на столько меньше весят 14 корзин с грушами, чем 14 корзин с яблоками;

2) 692 + 140 = 832 (кг) — было бы, если все ящики были с яблоками;

3) 832:26 = 32 (кг) — вес одной корзины с яблоками;

4) 32 - 10 = 22 (кг) — вес корзины с грушами.

Третий способ решения (Белокопытов Андрей, ученик школы № 12).

1) 10x12 = 120 (кг) — на столько больше весят 12 корзин с яблоками;

2) 692 - 120 = 572 (кг) — яблок и груш, если бы их было одинаково;

3) 572:26 = 22 (кг) — вес одной корзины с грушами;

4) 22 + 10 = 32 (кг) — весит корзина с яблоками.

Ответ: 22 кг весит корзина с грушами и 32 кг с яблоками.

5. Пусть в первом ответе верной была первая часть (Вера надела на куклу платье). Отсюда можно сделать вывод, что Олина кукла не была в пальто. Во втором ответе первая часть будет неверной, так как нам известно, что Вера надела на куклу платье, а, следовательно, одеть ее в пальто она не могла. Это позволяет сделать вывод о том, что Нина надела на куклу пальто, а значит, Оля — куртку.

Если в первом ответе будет верной вторая часть (Оля надела на куклу пальто), то получим противоречие с условием, о том, что во втором ответе одно из высказываний верно (Вера и Нина-надели на куклы пальто).

Ответ: кукла Веры в платье, а кукла Нины в пальто.

6. Наибольшим пятизначным числом является 99999, а наименьшим — 10 000.

99999-10 000 = 89999.

Ответ: больше на 89999.

7. Выполним краткую запись задачи:

1 ) 2208:3 = 736 (см2) — приходится на одну часть;

2) 736x4 = 2944 (см ) — площадь первой части листа;

3) 2944 + 736 = 3680 (см2) — вся площадь.

Вместо второго и третьего действий можно сразу получить ответ, исходя из краткой записи:

736x5 = 3680 (см2).

Ответ: площадь прямоугольника равна 3680 см .

СЕДЬМАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур ( 15 марта 1997 года)

1. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 так, чтобы в каждом числе все цифры были разные.

2. В записи 123456789 поставьте между некоторыми цифрами знаки «плюс» или «минус» так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

3. Однажды в вагоне Таня стала зашифровывать слова, заменяя буквы их номерами в алфавите. Когда она зашифровала пункты прибытия и отправления поезда, то с удивлением обнаружила, что они записываются с помощью лишь двух цифр: 211221 — 21221 .Откуда и куда идет поезд?

4. Антоше подарили весы, и он начал взвешивать свои игрушки. Машину уравновесили мяч и два кубика, а машину с кубиком — два мяча. Сколько кубиков уравновешивают машину? (Все мячи у Антоши одинаковые, кубики — тоже.)

5. Вася должен прочитать занимательную книгу по математике за три дня. В первый день он прочел полкниги, во второй — треть оставшихся страниц, а в третий день прочитал количество страниц, равное половине страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Вася прочесть книгу за три дня?

6. Плитка шоколада состоит из 5x8 квадратных долек. Плитка разламывается по прямым, разделяющим дольки до тех пор, пока не получится 40 отдельных долек. Сколько раз придется ломать плитку?

7. Дан квадрат со стороной 8 см. Каждая сторона квадрата разделена точкой на два отрезка, длины которых равны 2 см и 6 см. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются построенные точки.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Определим сначала трехзначные числа, которые можно составить с помощью цифр 1,2,3 так, чтобы в каждом числе все цифры были разными.

Таким образом, получили следующие числа, удовлетворяющие условию задачи: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Найдем их сумму.

123 + 132 + 213 + 231 +312 + 321 = 1332.

Ответ: 1332.

2. 123 -45-67 + 89= 100

3. Выпишем все буквы алфавита:

Первое слово может начинаться либо на вторую, либо на двадцать первую букву алфавита (Б или У). Вторая буква тогда может быть либо первая или одиннадцатая, либо первая или двенадцатая (А или И, А или К).

БА или БЙ УА или УК

Рассмотрим сначала первый вариант: БА.

Третьей буквой может быть либо А (первая), либо К (двенадцатая), то есть имеем буквосочетания БАА или БАК.

Тогда четвертая буква для буквосочетания БАА будет либо Б (вторая), либо Ф (двадцать вторая), то есть получаем БААБ или БААФ. Заканчивая анализ этого варианта, имеем БААБУ, БААФА, БААББА. Очевидно, что полученные буквосочетания не являются названиями городов.

Четвертой буквой буквосочетания БАК может быть либо У (двадцать первая), либо Б (вторая). В первом случае имеем слово БАКУ, во втором — название города не получилось. Таким образом, город, из которого идет поезд, это БАКУ.

Второе слово может начинаться либо с буквы Б (вторая), либо с буквы У (двадцать первая). Тогда за буквой Б может следовать либо А (первая), либо К (двенадцатая). В этом случае имеем буквосочетание БА или БК.

За буквой У может следовать либо буква Ф (двадцать вторая), либо Б (вторая). Тогда имеем буквосочетания УФ и УБ. Очевидно, что, присоединяя к буквосочетанию УФ последнюю букву А (первая), получаем город УФА.

Таким образом, поезд следовал по маршруту БАКУ—УФА.

Ответ: БАКУ—УФА.

4. Первый способ решения. В силу того, что машину уравновешивают мяч и два кубика, то машину с кубиком уравновесят мяч и три кубика. Исходя из второго условия, имеем, что 2 мяча уравновесят мяч и 3 кубика, то есть один мяч по массе равен 3 кубикам. Таким образом, машину можно уравновесить 5 кубиками.

Второй способ решения. Эту задачу можно решить аналитически, для этого каждое из условий задачи запишем в виде равенства:

M = Мяч + 2 К; M + К= 2 Мяч.

Подставляя во второе равенство вместо M сумму Мяч + 2К, получим

Мяч + 2К + К = 2 Мяч.

Откуда легко находим, что

ЗК = Мяч.

Из полученного соотношения и первого равенства получим:

M = 2К + ЗК;

М = 5К.

Ответ: машину можно уравновесить 5 кубиками.

5. Изобразим объем книги отрезком некоторой длины.

За первый день Вася прочитал Vi книги, это составляет половину отрезка:

За второй день — 1/3 от оставшейся половины, то есть делим оставшуюся половину на 3 части. Одна из них представляет объем книги, прочитанной во второй день.

За третий день Вася прочитал половину того, что прочитал за первые два дня. Рассматривая геометрическую иллюстрацию этой величины, заметим, что она составляет 2 маленьких отрезка.

Таким образом, за три дня мальчик прочитал всю книгу.

Ответ: Вася успел прочитать книгу за три дня.

6. Для того, чтобы из плитки шоколада получить 40 равных долек, неоходимо сначала по длине разделить её на 8 полосок. Для этого необходимо сделать 7 разломов. Далее каждую из 8 полосок разделить на 5 долек. Для этого в каждой полоске сделать 4 разлома. Всего плитку шоколада придется ломать 28 раз (7x4 = 28).

Ответ: 28 раз.

7. При решении этой задачи небходимо обратить внимание на то, как будет расположена точка, делящая отрезок на две части. В зависимости от этого могут получаться различные решения.

Вычислим площадь квадрата, она равна 64 см" (8x8 = 64). Для нахождения площади неизвестной фигуры необходимо из площади квадрата вычесть площади четырех прямоугольных треугольников, каждые два из которых образуют прямоугольники.

Ответ: 32 см"; 40 см"; 24 см".

ВОСЬМАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (7 марта 1998 года)

1. Значение выражения 72:9 - 3><2 равно 2. Сколько других ответов и каких можно получить, если поставить скобки в выражении 72:9-3x2?

2. Два числа сначала перемножили, а затем большее число разделили на меньшее, в итоге получили равные результаты. Что это за числа? Сколько существует таких пар чисел?

3. Директор Петербургской Академии наук, уроженка Калужской губернии княгиня Е.Р. Воронцова-Дашкова прожила 66 лет. В XVIII веке она прожила на 46 лет больше, чем в XIX веке. В каком году родилась и в каком году умерла Е.Р. Воронцова-Дашкова?

4. Счетчик автомобиля показывал 12921 км. Через два часа счетчик стал показывать число, которое одинаково читалось в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?

5. Три брата — Иван, Дмитрий и Сергей — преподают различные дисциплины в школах Москвы, Санкт-Петербурга и Калуги. Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Санкт-Петербурге. Москвич преподает не историю. Тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподает химию. Дмитрий преподает биологию. Какую дисциплину преподает Сергей и в школе какого города?

6. Переложить 5 спичек так, чтобы получилось два квадрата.

7. Задача простая: деревья в саду. Семь деревьев. По три в ряду. Их посадить нужно в шесть рядов. Задача простая... Ответ ваш готов?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1.1) (72:9-3)х2= 10;

2) 72:(9-3)х2 = 24;

3) 72:((9-3)х2) = 6.

Ответ: три разных ответа — 10, 24, 6.

2. Пусть а и b — два числа, о которых говорится в задаче, причем а > Ъ. По условию задачи

Вынося общий множитель, получим, что

Отсюда можно сделать вывод, что Ь= \ ,а — любое число.

Ученики могут рассуждать следующим образом: найдем число при умножении и делении на которое, получаем один и тот же результат. Это число — единица. Тогда первое число может быть любым, так как при умножении его на единицу и при делении на единицу будем получать это число.

Ответ: Ъ = 1, я — любое число. Таких пар бесконечно много.

3. Первый способ решения. Представим условие задачи в виде чертежа

1 ) 66 - 46 = 20 (л.) — удвоенный промежуток времени, который она прожила в XIX веке;

2) 20:2 = 10 (л.) — прожила в XIX веке;

3) 46 + 10 = 56 (л.) — прожила в XVIII веке;

4) 1800 -56=1746 — год рождения;

5) 1800 +10= 1810 —год смерти.

Второй способ решения (Фролова Лида, ученица школы № 24).

1) 66 + 46 = 112 (л.) — прожила бы Воронцова-Дашкова, если бы в XIX веке прожила столько же, сколько в XVIII веке;

2) 112:2 = 56 (л.) — прожила в XVIII веке;

3) 56 — 46 = 10 (л.) — прожила в XIX веке;

4) 1800 — 56= 1746 — год рождения;

5) 1800 + 10= 1810 —год смерти.

Ответ: 1746-1810 гг.

4. Через два часа счетчик будет показывать число, которое будет начинаться с 13 и оканчиваться 31, так как следующая возможная пара цифр — 14 и 41 — не удовлетворяет условию задачи (автомобиль не может проехать за два часа более 1000 км).

Получаем число вида 13x31. Определим, какая цифра может стоять в разряде сотен. Для этого нам придется проверить цифры 0,1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9.

1. 13031 - 12921 = 110 (км) — проехал автомобиль за 2 часа; 110:2 = 55 (км/час) — скорость автомобиля.

2. 13131-12921=210 (км) — проехал автомобиль за 2 часа; 210:2 = 105 (км/час) — скорость автомобиля.

3. 13231 - 12921 =310 (км) — проехал автомобиль за 2 часа; 310: 2 = 155 (км/час) — скорость автомобиля.

4. 13331 - 12921 =410 (км) — проехал автомобиль за 2 часа; 410:2 = 205 (км/час) — скорость автомобиля.

Исходя из типичных возможностей современных автомобилей, можно остановиться на первых трех случаях.

Ответ: 55 км/час, или 105 км/ час, или 155 км/час.

5. В этой задаче речь идет о трех братьях (Иван, Дмитрий, Сергей); городах, в которых они работают (Москва, Санкт-Петербург, Калуга), и их профессиях (историк, химик, биолог).

Определим сначала профессию каждого жителя. Составим таблицу:

и

X

Б

M

с

к

Исходя из условия задачи, заполним таблицу. Москвич преподает не историю.

и

X

Б

M

с

к

Химию преподает тот, кто работает в Санкт-Петербурге.

и

X

Б

M

-

с

+

к

Таким образом, тот, кто живет в Санкт-Петербурге, не может преподавать историю и биологию, так же как москвич и калужанин не могут преподавать химию.

и

X

Б

M

-

с

-

-

к

-

Следовательно, биологию преподает москвич, а калужанин преподает историю.

И

X

Б

M

-

-

+

с

-

+

-

к

+

-

-

На следующем шаге установим соответствие между городом и именем.

Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Санкт-Петербурге.

и

д

с

M

-

с

к

Как мы выяснили раньше, москвич преподает биологию и, кроме того, Дмитрий преподает биологию. Следовательно, Дмитрий — москвич.

и

д

с

M

+

с

к

Значит, Дмитрий не мог быть жителем Калуги, а Сергей не может работать в Москве.

и

д

с

M

-

+

-

с

-

к

-

Так как больше нет условий, позволяющих нам заполнить таблицу, то нам придется сделать предположение относительно Сергея или Ивана и посмотреть, что из этого получится.

Случай 1. Пусть Иван работает в Санкт-Петеребурге.

и

д

с

M

+

-

с

-

к

-

Это означает, что Иван не работает в Калуге и Сергей не работает в Санкт-Петербурге.

и

Д

с

M

-

+

-

с

+

-

-

к

-

-

Таким образом, Сергей работает в Калуге.

и

Д

с

M

-

+

-

с

+

-

-

к

-

-

+

Случай 2. Пусть Иван работает в Калуге.

и

д

с

M

+

-

с

-

к

-

Тогда Иван не работает в Санкт-Петербурге и в Калуге не работает Сергей.

и

Д

с

M

-

+

-

с

-

-

+

к

+

-

-

Следовательно, Сергей работает в Санкт-Петербурге.

Ответ: Сергей работает в Калуге и преподает историю или Сергей работает в Санкт-Петербурге и преподает химию.

6. Подсчитаем периметр отрезков, из которых составлена данная фигура, он равен 12 отрезкам.

Нам необходимо получить два квадрата. Попробуем определить, каковы должны быть длины сторон этих квадратов. Для этого представим 12 в виде двух слагаемых, каждое из которых выражает периметр некоторого квадрата:

12 = 8 + 4.

Отсюда следует, что один квадрат будет со стороной, равной длине одной спички, а другой со стороной, равной длине двух спичек. Оставляя один квадрат без изменения, получаем два решения:

7. Расположим семь деревьев по три в ряду, предварительно занумеровав каждое из них:

В этом случае имеем 4 ряда (123, 456, 147, 753).

Переместим одно дерево (6) так, чтобы количество рядов увеличилось хотя бы на один. Для этого поместим это дерево между деревьями 4 и 5. В этом случае получим 5 рядов:

Попробуем подвигать дерево 6 так, чтобы количество рядов увеличилось еще на один. Для этого переместим его по прямой, образованной точками 1 и 5, ближе к точке 5 так, чтобы оно образовывало с деревьями 1 и 5, 4 и 3 два ряда.

Получаем ряды 123, 165, 147, 267, 364, 357.

ВОСЬМАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (14 марта 1998 года)

1. Катя в 6 раз моложе своего прадедушки; если между цифрами ее возраста поставить 0, то получится возраст ее прадеда. Сколько ей лет?

2. Сколько существует трехзначных чисел, которые не содержат цифры 8?

3. Яблоки разделили на две неравные кучки. Когда из первой кучки переложили половину имевшихся в ней яблок во вторую, а затем из второй кучки переложили в первую половину яблок, оказавшихся во второй, то в первой стало 18 яблок, а во второй — 8. Сколько яблок было в каждой кучке первоначально?

4. Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делятся на 45 и две средние цифры у них 9 и 7?

5. Во втором туре олимпиады участвуют 30 человек. Во время решения задач один из учеников сделал 12 ошибок, а остальные — меньше. Попробуйте доказать, что на олимпиаде по крайней мере три ученика сделали одинаковое количество ошибок.

6. Дан треугольник, длины сторон которого соответственно равны 7 см, 12 см, 9 см. Объясните, как построить отрезок, соединяющий его вершину и противоположную сторону длиной в 9 см так, чтобы периметры двух полученных треугольников были одинаковыми.

7. Восстановите первоначальную запись

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Первый способ решения. Из условия задачи следует, что возраст Кати записывается двузначным числом, а возраст прадедушки — трехзначным числом. Число единиц в возрасте Кати, будучи умноженным на 6, дает число, в котором число единиц будет таким же, как в возрасте Кати. Найдем такие числа:

1x6 = 6 — не подходит;

2x6 = 12 — не подходит;

3x6 = 18 — не подходит;

4x6 = 24 — подходит;

5x6 = 30 — не подходит;

6x6 = 36 — подходит;

7x6 = 42 — не подходит;

8x6 = 48 — подходит;

9x6 = 42 — не подходит.

Таким образом, возраст Кати заканчивается на 4, 6 или 8. Цифра единиц в возрасте Кати не может быть больше единицы, так как в этом случае получалось бы число, большее ста не содержащее в разряде десятков 0. Следовательно, осталось проверить числа 14, 16, 18. Числа 14 и 16 не подходят в силу того, что при умножении на 6 получаем двузначные числа. Остается одно число — 18.

Второй способ решения (Фролова Лида, ученица гимназии № 24).

Если между цифрами возраста Кати поставить 0, то получится возраст ее прадеда. Значит, Кате двузначное число лет, а прадеду трехзначное число лет и в середине 0.

Числа 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 — не подходят, так как при умножении каждого из них на 6 будут получаться двузначные числа. Остается проверить 17, 18, 19:

17x6= 102 — не подходит;

18x6 = 108 — подходит;

19x6= 114 — не подходит.

Ответ: Кате 18 лет.

2. Первый способ решения. Всего трехзначных чисел 900. Для того, чтобы узнать сколько из них не содержат в записи цифру 8, необходимо из 900 вычесть количество трехзначных чисел, содержащих цифру 8. Определим количество этих чисел. От 800 до 899 таких чисел сто. Других чисел, содержащих восьмерку, будет 152=19x8. Таким образом, количество чисел, не содержащих восьмерку, равно 648 (900 - 100 - 152 = 648).

Второй способ решения (Подковинский Сергей, ученик школы № 46).

От 100 до 199 всего 100 чисел. Девятнадцать из них содержат восьмерку.

100-19 = 81 число — в сотне не содержит восьмерку. Всего таких чисел будет восемь раз по 81.

Числа от 800 — 899 следует исключить так, как там везде 8. В результате получаем

81x8 = 648 чисел.

Ответ: 648 чисел.

3. Первый способ решения.

1) 8x2 = 16 (яб.) — было во второй кучке, после того как из первой переложили половину;

2) 18-8=10 (яб.) — было в первой кучке, после того как из нее переложили половину;

3) 10x2 = 20 (яб.) — было первоначально в первой кучке;

4) 16-10 = 6 (яб.) — было первоначально во второй кучке.

Второй способ решения (Бекесова Софья, ученица гимназии № 24).

I кучка

II кучка

18

8

стало после того, как из второй кучки переложили в первую

10

16

стало после того, как из первой кучи переложили половину

20

6

было первоначально

Ответ: первоначально в первой кучке было 20, а во второй 6.

4. Числа, удовлетворяющие условию задачи, имеют вид а91Ь.

В условии задачи сказано, что эти числа делятся на 45, а значит, они делятся на 5 и на 9. Из первого утверждения можно сделать вывод, что Ъ = 0 или 5:^970 или #975.

Наиболее вероятный путь нахождения цифры, стоящей в разряде тысяч, — это перебор всех возможных значений а (от 1 до 9). Чисел, удовлетворяющих условию задачи, два — 6975, 2970.

Ответ: два числа 6975, 2970.

5. Первый способ решения. Если мы исключим ученика, который совершил 12 ошибок, то оставшиеся 29 человек можно разбить на группы по числу допущенных ошибок: в одну группу по-

падут ученики, сделавшие одну ошибку, в другую попадут те, кто совершил две ошибки, и так далее, в последнюю включим тех ребят, которые совершили 11 ошибок. Можно предположить, что 22 ученика образовали 11 групп, по два человека в каждой, но оставшиеся 7 человек попадут в те же группы. Следовательно, в какой-то из этих групп обязательно окажется три или более учеников, которые совершили одинаковое количество ошибок. Схематически это можно изобразить так:

12, 11, 10, 9, 8, 7, 6,5,4,3,2, 1

11, 10, 9, 8, 7, 6,5,4,3,2, 1

11, 10, 9, 8, 7, 6,5

Второй способ решения (Бекесова Софья, ученица школы № 24). Случаев разных ошибок 12, учеников 30.

30:12 = 2 (ост. 6).

Если из 24 учеников каждые двое делали одинаковое количество ошибок, то у нас остаются еще 6 учеников. Эти 6 учеников сделают ошибки, и у трех учеников обязательно будет одинаковое количество ошибок.

6. Первый способ решения. Так как в полученных треугольниках одна сторона будет общая (AD), то для того, чтобы периметры были равны, необходимо, чтобы сторона в 9 см была разбита на части, разность длин которых равнялась бы разности двух других сторон (12-7 = 5 см). Исходя из этого, число 9 следует представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на 5 больше другого. Числами, удовлетворяющими этому условию, являются 2 и 7. Таким образом, получаем следующее решение:

Второй способ решения. Решение этой задачи будет легко найдено, если периметр представить в виде суммы отрезков:

Paadc =AC + CD + DA. PMBD = AB + BD + DA.

1 ) 12-7 = 5 (см) — на столько BD должно быть больше DC;

2) 9-5 = 4 (см) — два отрезка CD;

3) 4:2 = 2 (см) — длина отрезка CD;

4) 2 + 5 = 7 (см) — длина отрезка BD.

7. Сначала можно определить цифру единиц в первом множителе, она равна 4, так как только при умножении 4 на 3 получим число, оканчивающееся на 2. Теперь определим цифру десятков первого множителя. Анализируя вторую цифру в неполном произведении, приходим к выводу, что произведение 3 на число десятков должно оканчиваться на 1. Отсюда можно сделать вывод, что цифра десятков равна 7. Рассуждая аналогично, определим цифру десятков во втором сомножителе. Она равна 2.

ДЕВЯТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (20 марта 1999 года)

1. Во сколько раз увеличится трехзначное число, если к нему приписать такое же число?

2. У Карлсона насморк. Он пользуется квадратными платками размером 25 см><25 см. За восемь дней Карлсон израсходовал Зм2 ткани. Сколько платков в день тратил Карлсон?

3. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 8 руб., а на 15 тетрадей у него не хватает 12 руб. 24 коп. Сколько денег было у школьника?

4. Вставьте пропущенные знаки

БУРЬЯН

****

******

БУРЯ

ВАЛЕНОК

**

***

ВЕНОК

КИОСК

?

?

ИСК

5. В коробке лежат 7 синих и 5 красных шариков. Какое наименьшее количество шариков необходимо достать, чтобы среди них было, по крайней мере, 2 синих и 1 красный?

6. Каждому из троих ребят родители купили конфеты. Вите — 5 конфет, а Маше меньше, чем Вите, а Саше столько же конфет, сколько Вите и Маше вместе. Сколько конфет могли купить всем ребятам?

7. Ослику пришлось делить корм (овес и сено) и с лошадью, и с коровой.

1 ) Если ослик ест овес, то лошадь ест то же, что и корова.

2) Если лошадь ест овес, то ослик ест то, что не ест корова.

3) Если корова ест сено, то ослик ест то же, что и лошадь. Кто всегда ест из одной и той же кормушки?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Запишем произвольное трехзначное число (531) и припишем к нему такое же число, получим -531531. Найдем их частное

Найденная закономернность справедлива и для других трехзначных чисел.

Ответ: трехзначное число увеличится в 1001 раз.

2. Первый способ решения.

1) 25x25 = 625 (см2) — площадь одного платка;

2) ЗхЮ 000 = 30 000 (см2) — содержится в 3 м2;

3) 30000:625 = 48 (платков) — израсходовал Карлсон за 8 дней;

4) 48:8 = 6 (платков) — тратил Карлсон в один день.

Второй способ решения (Сетов Михаил, ученик школы № 15).

Из 1 м2 можно получить 16 платков (см. рис). Карлсон израсходовал 3 м2, то есть 3x16 = 48 платков за 8 дней. Значит, каждый день он тратил 6 платков (48:8=6).

Третий способ решения (Бабенко Дима, ученик школы №28). 1 ) 300-100 = 30000 (см2) — было в 3 м2;

2) 300:25 = 12 (пл.) — с одной стороны

3) 100:25 = 4 (пл.) — с другой стороны.

4) 12x4 = 48 (пл.) — всего было.

5) 48:8 = 6 (пл.) — тратил Карлсон в один день.

Четвертый способ решения (Селемин Алексей, ученик школы № 9)

1) 25x25 = 625 (см2) — площадь одного платка;

2) Зх 10000 = 30000 (см2) — содержится в 3 кв. метрах;

3) 30000:8 = 3750 (см2) — ткани тратил Карлсон в 1 день;

4) 3750:625 = 6 (пл.) — тратил Карлсон в один день.

Ответ: 6 платков.

3. Представим условие задачи в виде чертежа:

1) 15-11 = 4 (тет.) — разность количества покупаемых тетрадей;

2) 800 + 1224 = 2024 (коп.) — стоят 4 тетради;

3) 2024:4 = 506 (коп.) — стоимость одной тетради;

4) 506x1 1 = 5566 (коп.) — стоили 11 тетрадей;

5) 5566 + 800 = 6366 (коп.) = 63 руб. 66 коп. — было у школьника.

Ответ: у школьника было 63 рубля 66 копеек.

4. Анализируя слова, записанные слева и справа от таблицы, можно заметить, что слово «БУРЯ» получается из слова «БУРЬЯН» путем удаления четвертой и шестой букв. Как раз столько кружков и нарисовано в первой строке. Проверим подмеченную закономерность на словах второй строки. Слово «ВЕНОК» получается из слова «ВАЛЕНОК» путем удаления второй и третьей букв. Таким образом, подмеченная закономерность оказалась правильной. Применим ее к словам третьей строки. Слово «ИСК» получается из слова «КИОСК» путем удаления первой и третьей букв. Следовательно, в первый квадрат нарисуем одни кружок, а во второй — три.

5. Самый плохой случай, если мы вытащим 7 шаров и все они окажутся синими, чтобы появился еще один красный шар, необходимо вынуть еще одни шар. В этом случае обязательно среди шаров будет один красный и 2 синих.

Ответ: 8 шаров.

6. Исходя из условия задачи, Маше могли купить 4, 3, 2 или 1 конфету, но тогда Саше могли купить 9, 8, 7 или 6 конфет. Всего ребятам могли купить 18 (4 + 9 + 5 = 18), 16, 14 или 12 конфет.

Ответ: 18, 16, 14 или 12 конфет.

7. Речь идет в задаче о трех животных — ослике, лошади и корове, которые ели овес и сено. Нарисуем таблицу, в которой отразим все возможные варианты еды животными овса (О) и сена (С).

1

2

3

4

5

6

7

8

Ослик

О

О

О

О

С

с

С

С

Лошадь

О

О

с

с

О

О

с

С

Корова

О

с

О

с

О

с

О

С

Из первого условия следует, что если осел ест овес, то лошадь ест то же, что и корова. Поэтому исключаем варианты 2 и 3.

1

4

5

6

7

8

Ослик

О

О

С

с

С

С

Лошадь

О

С

О

О

с

С

Корова

О

С

О

с

О

С

Согласно второму условию, если лошадь ест овес, то ослик ест то, что не ест корова. Это условие исключает варианты 1 и 6.

4

5

7

8

Ослик

О

С

С

С

Лошадь

С

О

с

С

Корова

С

О

О

С

В третьем условии говорится: если корова ест сено, то ослик ест то же, что и лошадь. Это дает возможность исключить четвертый вариант.

5

7

8

Ослик

С

С

С

Лошадь

О

с

С

Корова

О

О

С

Таким образом, получим 5-й, 7-й и 8-й варианты, которые не противоречат всем трем условиям. Из них следует, что только ослик ест из кормушки с сеном.

Ответ: Ослик ест всегда из кормушки с сеном.

ДЕВЯТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (27 марта 1999 года)

1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми — 70 км, отправились одновременно пешеход и велосипедист со скоростями 5 км/ч и 15 км/ч соответственно. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

2. Мальчик поймал рыбу. Когда у него спросили, сколько весит пойманная рыба, он сказал: «Я думаю, что хвост ее весит 1 кг, а голова весит столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище — сколько голова и хвост вместе». Сколько весит рыба?

3. Данная фигура состоит из 6 одинаковых квадратов. Ее периметр равен 84 см. Найдите, чему равна площадь данной фигуры.

4. Одна из цифр четырехзначного числа равна нулю. При вычеркивании нуля число уменьшается в девять раз. На каком месте стоит нуль? Найти такие числа.

5. Сколько существует чисел меньших 96, которые делятся на 2 и на 3?

6. Как разрезать прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 9 см, на две равные части, из которых можно сложить квадрат?

7. Расшифруйте

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. В этой задаче не указано, в каком направлении движутся велосипедист и пешеход, поэтому возможны четыре различных случая.

Случай 1. Движение навстречу друг другу:

1 ) 5 + 15=20 (км/ч) — скорость сближения;

2) 20x3 = 60 (км) — сблизились за 3 часа;

3) 70 - 60 = 10 (км) — на таком расстоянии окажутся через 3 часа.

Случай 2. Движение в одном направлении:

1 ) 5x3 = 15 (км) — пешеход прошел за 3 часа;

2) 15x3 = 45 (км) — велосипедист проехал за 3 часа;

3) 70 - 45 = 25 (км) — осталось велосипедисту до пункта А;

4) 25 + 15 = 40 (км) — на таком расстоянии окажутся через 3 часа.

Случай 3. Движение в противоположных направлениях:

1 ) 5x3 = 15 (км) — пешеход прошел за Зчаса;

2) 15x3 = 45 (км) — велосипедист проехал за 3 часа;

3) 15 + 45 = 60 (км) — удалились друг от друга;

4) 60 + 70 = 130 (км) — на таком расстоянии окажутся через 3 часа.

Случай 4. Движение в одном направлении:

1 ) 5x3 = 15 (км) — пешеход прошел за 3 часа;

2) 15x3 = 45 (км) — велосипедист проехал за 3 часа;

3) 70-15 = 55 (км) — осталось идти пешеходу до В;

4) 55 + 45 = 100 (км) — на таком расстоянии окажутся через 3 часа.

Ответ: между ними может быть 10, 40, 100 или 130 км.

2. Из условия задачи известно, что хвост (X) весит 1 кг. Вес головы равен весу хвоста плюс еще Vi веса туловища (Т):

Г = X + Т/2 или 2Г = 2Х + Т.

Так как хвост весит 1 кг, то 2Г = 2 + Т.

Из другого условия известно, что Т = Г + X или Т = Г + 1.

Из полученных равенств, имеем:

2Г = 2 + Г + 1,Г = 3,аТ = 4.

Таким образом, рыба весит 1+3+4=8 (кг).

Ответ: 8 кг.

3.1 ) 84:14 = 6 (см) — длина стороны квадрата.

2) 6x6 = 36 (см") — площадь одного квадрата.

3) 36x6 = 216 (см") — площадь всей фигуры.

Ответ: 216 кв. см.

4. Четырехзначное число, одна из цифр которого равна нулю, может иметь вид:

Последнее число можно сразу исключить, так как в этом случае число икс будет в 10 раз меньше числа аксО, что противоречит условию. Получаем, что

Определим последнюю цифру. В силу того, что сх9 должно давать двузначное число, имеющее цифрой единиц с, то с = 5 и получаем:

Проводя аналогичные рассуждения для цифр к и а, найдем пару чисел 2025 и 6075.

Ответ: 2025, 6075.

5. Необходимо выбрать числа от 1 до 95, которые делятся на 2 и на 3, то есть делятся на 6. Такими числами являются: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78,84, 90. Всего таких чисел 15.

Количество чисел можно было определить иначе:

95:6= 15 (ост. 5).

Ответ:\Ъ чисел.

6. Определим сначала площадь прямоугольника. Она равна 144 см2 (16x9 = 144). В силу того, что 144 = 12х 12, то длина стороны квадрата будет равна 12 см. Площадь одной части должна быть 72 см" (144:2 = 72). Разобьём сторону, длина которой 16 см, на две части 12 см и 4 см. Ко второй стороне необходимо прибавить еще 3 см, чтобы получить 12 см. Решение можно представить в виде:

7. Анализируя условие задачи, можно увидеть, что В < 5. Это следует из того, что сумма чисел в разряде десятков и сотен меньше 10 (В + В = Д 25 < 10, то есть В < 5). Таким образом, В может принимать только значения 1, 2, 3 и 4. Подставим последовательно вместо В каждое из этих чисел и выберем среди них то, которое удовлетворяет условию задачи. Получим А = 9, В = 3, Д=6.

ДЕСЯТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (11 марта 2000 года)

1. Если от каждого из двух чисел отнять половину меньшего из них, то остаток от большего втрое больше остатка от меньшего. Во сколько раз большее число больше меньшего?

2. Три команды набрали на олимпиаде 285 баллов. Если бы команда школы № 24 набрала на 8 баллов меньше, а команды школы № 46 на 12 баллов меньше, а команда школы № 12 на 7 меньше, то все они набрали бы поровну. Сколько баллов набрали команды школ № 24 и № 12 вместе?

3. Имеются три сосуда вместимостью соответственно 6, 3, и 7 л. В первом сосуде 4 л, а в третьем — 6 л молока. Используя эти три сосуда, необходимо разлить молоко поровну в два сосуда.

4. Уберите пять из двенадцати цифр так, чтобы оставшиеся числа в сумме составляли 1111.

5. До отправления электрички оставалось 2 мин, когда автомобилист находился в 2 км от станции. Первую минуту он ехал со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью он должен ехать вторую минуту, чтобы успеть на электричку?

6. Одну сторону квадрата увеличили в 5 раз, а другую уменьшили в 2 раза и получили прямоугольник площадью 160 см2. Чему равна сторона квадрата?

7. Миша, Сергей и Володя участвовали в математической олимпиаде. При обсуждении того, кто из них может оказаться победителем, были высказаны такие мнения: Миша и Сергей; Миша и Володя; Сергей, но не Володя.

Оказалось, что двое из ребят получили дипломы победителей. Кто из них стал победителем олимпиады, если из трех предложений одно истинно, другое — частично, третье — полностью оказалось ложным?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Первый способ решения. Представим условие задачи в виде чертежа.

Из рисунка видно, что первое число в 2 раза больше второго.

Второй способ решения. Можно решать эту задачу без опоры на рисунок. Так как остаток от меньшего числа равен половине самого числа, то, следовательно, большее число содержит 4 половины меньшего и оно в 2 раза больше меньшего.

Третий способ решения (Шабанов Константин, учащийся гимназии № 24).

Пусть даны два числа а и й, причем а > Ъ. Тогда

а - Ь/2 = х;

Ь-Ь/2 = у, у = Ь/2.

По условию

X : у = 3, X = Зу,

то есть

х = ЗЬ/2.

В силу того, что a-b/2 = X и х = ЗЬ/2 можно найти a = b/2 + x = x = b/2xa + ЗЬ/2 = 2Ъ.

Большее число а в два раза больше меньшего Ъ.

Четвертый способ решения (Лахов Евгений, учащийся школы № 12).

Стало: большее — Зх, меньшее — х. Было: большее Зх+х = 4х Меньшее х + х = 2х, 4х:2х = 2 (раза).

Ответ: большее число в 2 раза больше.

2. Первый способ решения. Сделаем краткую запись задачи в виде чертежа

1) 7 + 12 + 8 = 27 (баллов) — на столько баллов меньше набрали все школы;

2) 285 - 27 = 258 (баллов) — столько была бы их сумма;

3) 258:3 = 86 (баллов) — набрала бы каждая школа;

4) 86 + 7 = 93 (балла) — набрала школа № 12;

5) 93 + (86 + 8) = 187 (баллов) — набрали школы № 12 и № 24 вместе.

Второй способ решения. Эту задачу можно решить алгебраически. Обозначив за x — количество баллов, набранное школой № 12, можно составить уравнение:

х + (х + 1)+(х + 5) = 285;

Зх = 279;

х = 93;

93x2 + 1 = 187.

Ответ: 187 баллов.

3. Сначала определим, сколько всего молока было:

4 + 6= 10 (л).

Выясним, сколько литров должно быть в одном сосуде:

10:2 = 5 (л).

Следовательно, при последнем переливании возможны варианты 5-0-5, 5-5-0, 0-5-5. Последние два варианта невозможны, так как в трехлитровый сосуд нельзя налить 5 литров. Поэтому при последнем переливании получим 5-0-5. Решение представим в виде последовательности переливаний:

Зл

4

0

6

1

3

6

1

2

7

6

2

2

5

3

2

5

0

5

4. Сумма цифр, стоящих в разряде единиц, — это единица или двузначное число, оканчивающееся на 1.

Случай 1.

Так как три цифры уже вычеркнуты, то в разряде десятков можно вычеркнуть только одну цифру — 9.

Какую бы цифру в разряде сотен мы ни вычеркнули, сумма оставшихся цифр будет больше 10. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2. Вычеркиваем в разряде единиц цифру 9:

Чтобы в разряде десятков сумма цифр оканчивалась на 0 необходимо, либо не вычеркивать ни одной цифры, но тогда в разряде сотен необходимо вычеркнуть все цифры и сумма не будет равна 1111, либо вычеркнуть 1 и 9 или 3 и 7.

Рассуждая аналогично для каждого из случаев, получим:

5. Первый способ решения.

1)2x1 000 = 2000 (м) — необходимо проехать;

2) 30x1 000 = 30000 (м/ч) — скорость автомобиля;

3) 30000:60 = 500 (м/с) — скорость в первую минуту;

4) 2000 — 500 = 1500 (м) — осталось проехать за 1 минуту;

5) 1500x60 = 90000 (м/ч) = 90 (км/ч).

Второй способ решения (Петров Алексей, учащийся школы № 14).

Если скорость 30 км/ч, то за 1 минуту автомобилист проедет Vi км. Ему осталось полтора км. Полтора км ровно 3 раза по Vi. Значит, скорость должна быть в три раза больше 30x3 = 90 (км/ч).

Третий способ решения (Скрынников Денис, учащийся школы № 14).

Чтобы проехать весь путь за 1 минуту автомобилисту, необходимо ехать со скоростью 120 км в час, а чтобы проехать за две минуты, надо ехать со скоростью 60 км в час. Но он ехал со скоростью 30 км/ч одну минуту, поэтому ему надо ехать вторую минуту со скоростью 120 - 30 = 90 (км в час).

Ответ: автомобилист должен ехать со скоростью 90 км в час.

6. Первый способ решения.

1 ) 160:5 = 32 (см") — площадь половины квадрата;

2) 32x2 = 64 (см2) — площадь исходного квадрата;

3) 64:8 = 8 (см) — сторона квадрата.

Второй способ решения. Решение этой задачи алгебраически имеет вид: пусть х — сторона квадрата, тогда х/2 и 5х — стороны прямоугольника. Его площадь равна 160 кв.см.

5ххх/2 = 160 или 5ххх = 320, ххх = 64, х = 8 (см).

Ответ: сторона квадрата 8 см.

7. Если первое предположение — Миша и Сергей оказались победителями — истинно, то второе может быть частично истинным, а третье предположение тогда должно быть ложным, но оно противоречит первому.

Если истинно второе предположение — Миша и Володя оказались победителями, то первое предположение истинно частично (Миша — победитель, а Сергей нет), а третье предположение ложно (Сергей, но не Володя). Аналогично можно рассмотреть третье предположение.

Ответ: Миша и Володя получили дипломы победителей.

ДЕСЯТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (18 марта 2000 года)

1. Вычислить наиболее рациональным способом

12x171 +29x9+ 171x13 +29x16.

2. Периметр треугольников, из которых состоит прямоугольник ABCD, равен 180 см. ВК = КС = АЕ = ED, AK = КД = 17 см. Найти периметр прямоугольника, у которого одна сторона в 2 раза больше AB, а другая сторона равна ВС.

3. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, одновременно выехали два автомобиля. Скорость автомобиля, выехавшего из А, равна 40 км/час. Определите скорость второго автомобиля, если известно, что через два часа расстояние между автомобилями было 100 км.

4. Каким числом может быть первое слагаемое? Ответ обосновать.

5.3а несколько одинаковых книг заплатили 104 рубля. Цена одной книги выражается натуральным числом. Сколько стоит одна книга, если их куплено больше 10, но меньше 60?

6. Фермер в 1996 году купил две овцы. В этом году он не получил приплода. Первая овца каждые три года рожала по 1 овце, а

вторая каждые два года по 1 овце. Все родившиеся овцы ежегодно рожали по 1 овце. Сколько будет овец у фермера в 2000 году? 7. Убрать шесть спичек так, чтобы осталось три квадрата.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

Ответ: 5000.

2. Первый способ решения. Исходя из условия задачи, можно определить периметр одного треугольника. Он равен

AB + ВК + 17.

Тогда можно составить уравнение:

{AB + ВК + 17)х4= 180.

Отсюда находим, что

АВ + ВК=28.

Умножая обе части последнего равенства на 2, получим:

2АВ + 2ВК = 56 или 2АВ + ВС= 56.

Тогда периметр прямоугольника равен 2><56 = 112.

Второй способ решения. Можно дополнить данную фигуру до той, периметр которой необходимо найти.

Периметр фигуры NBC M равен

2АВ +2ВК +2CD + IDE = 2{АВ + ВК) + 2{CD + DE).

Периметр этой фигуры от исходного периметра отличается на длину 4 отрезков АК (17><4 = 68).

Таким образом, периметр искомой фигуры равен

180-68= 112 см.

Ответ: периметр исходного прямоугольника равен 112 см.

3. Так как в условии задачи не сказано, в каком направлении они ехали, то необходимо рассмотреть два случая: движение в одном направлении и движение в разных направлениях.

Первый случай. Движение в одном направлении. Пусть первый автомобиль едет из А в В со скоростью 40 км/ч.

1) 40x2 = 80 (км) — проехал за два часа первый автомобиль (АС);

2) 300 - 80 = 220 (км) — осталось первому доехать до В (СВ).

Так как второй автомобиль двигался не навстречу первому, то в этом случае между первым и вторым автомобилем не может

быть через 2 часа расстояние 100 км и задача в этом случае не имеет решения.

Пусть теперь первый автомобиль едет из А в направлении, противоположном В.

1) 40x2 = 80 (км) — проехал за два часа первый автомобиль (АС);

2) 100 - 80 = 20 (км) — осталось второму доехать до А;

3) 300 - 20 = 280 (км) — проехал за 2 часа второй автомобиль;

4) 280:2 = 140 (км/ч) — скорость второго автомобиля.

Второй случай. Автомобили двигаются в разных направлениях. В этом случае они могут двигаться в противоположных направлениях или навстречу друг другу. В первой ситуации, очевидно, что решения нет. Рассмотрим вторую ситуацию.

1 ) 40x2 = 80 (км) — проехал за два часа первый автомобиль;

2) 300 - 100 - 80 = 120 (км) — проехал за два часа второй автомобиль;

3) 120:2 = 60 (км/ч) — скорость второго автомобиля.

Ответ: в зависимости от направления движения скорость второго автомобиля 60 км/ч или 140 км/ч.

4. Сумма трехзначного числа с двузначным, содержащим 3 десятка, может дать четырехзначное только в том случае, когда в разряде сотен трехзначного числа будет 9. В этом случае у четырехзначного числа цифра в разряде тысяч будет 1.

Цифра, стоящая в разряде десятков в трехзначном числе, должна быть такой, чтобы после сложения ее с 3 или 4 (за счет того, что сумма единиц даст число большее десяти) получалось число большее или равное 10. Это числа 6, 7, 8, 9.

Ответ: 964, 974, 984, 994.

5.1) 104:10= 10 (ост. 4) (руб.) — цена одной книги, если бы книг было 10;

2) 104:60= 1 (ост. 44) (руб.) — цена одной книги, если бы их было 60.

Следовательно, цена одной книги больше 1 руб., но меньше 10 руб. Поэтому цена одной книги может быть равна 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 руб.

Число 104 не делится на 5, 6, 7, 9. Таким образом, цена одной книги может равняться 2, 4 или 8 руб.

Можно при поиске решения исходить из того, на какие множители раскладывается число 104:

104= 1x104; 104 = 2x52; 104 = 4x26; 104 = 8x13.

1x104 не удовлетворяет условию, что книг было больше 10, но меньше 60. Этому условию удовлетворяют числа 13, 26 и 52. Отсюда можно сделать вывод, что стоимость книг могла быть 2, 4 и 8 руб.

Ответ: одна книга может стоить 2 руб., 4 руб. или 8 руб. 6. Нарисуем, согласно условию задачи, схему

Ответ: 9 овец.

ОДИННАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (24 марта 2001 года)

1. Бегун-спринтер пробегает дистанцию 100 м за 10 секунд. Найдите его скорость в м/с, м/мин, км /час.

2. Расставьте порядок действий в выражении

1891 — (1600:я + 8040:я)хс.

и вычислите его значение при а = 40 и с = 4. Покажите, как можно изменить выражение, не меняя его числового значения.

3. В этом веке будет отмечаться 200 лет со дня рождения знаменитого русского математика, уроженца Калужской губернии Пафнутия Львовича Чебышева. В числе, которым записывается его год рождения, сумма цифр, стоящих в разряде сотен и тысяч, в 3 раза больше суммы цифр, стоящих в разряде единиц и десятков, и цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц. Определите год рождения П.Л. Чебышева, если известно, что он родился и умер в одном и том же веке и прожил 73 года.

4. Три мальчика участвовали в розыгрыше «Русского лото». Миша выиграл на 943 рубля больше, чем Коля, Витя — на 127 рублей больше, чем Миша, а Миша и Коля вместе — на 479 рублей больше, чем Витя. Сколько денег выиграл каждый?

5. Каждый из трех греков принес одинаковое количество венков. Встретив девять Муз, они разделили венки таким образом, что каждый грек и каждая Муза имели одинаковое количество венков. Сколько венков имел каждый грек сначала?

6. Антон, Володя и Юра пришли в гости к Мише. Они долго беседовали о том, как им удалось провести каникулы.

— Ну, Боков, ты, наконец, научился плавать? — спросил Володя.

— О, еще как, — ответил Боков, — могу теперь потягаться в плавании с тобой и Антоном.

— Посмотрите, какую коллекцию марок я собрал,— сказал Петров, прерывая разговор друзей, и достал из шкафа альбом с марками.

Всем, особенно Лукину и Антону, марки очень понравились. А Самохин обещал показать товарищам собранную им коллекцию наклеек. Определите имя и фамилию каждого мальчика.

7. От квадрата со стороной в 4 см отпилили четвертую часть так, как показано на рисунке. Разделите оставшуюся часть на четыре равные по площади и по форме части.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

Опираясь на свойства арифметических действий, можно записать:

Ответ: 927'.

3. В силу того, что в XXI веке будет отмечаться 200-летие, то первая цифра в записи числа будет — 1, а вторая — 8 и год рождения имеет вид 1 Sac.

Сумма цифр, стоящих в разряде сотен и тысяч, равна 9, и она в 3 раза больше суммы цифр, стоящих в разряде единиц и десятков (9:3 = 3 — это сумма цифр единиц и десятков). Число 3 можно представить в виде суммы двух слагаемых следующим образом:

3 = 0 + 3 = 1+2.

Отсюда можно сделать вывод о том, что цифрами десятков и единиц могут быть 3 и 0, 1 и 2. Таким образом, год его рождения может быть 1803, 1812, 1821, 1830. В силу того, что цифра десятков больше цифры единиц, остаются две даты: 1821 и 1830. Последний год не удовлетворяет условию, что он родился и умер в одном веке (1830 + 73 = 1903).

Ответ: 1821 год.

4. Первый способ решения. Сделаем краткую запись условия задачи в виде чертежа:

Из чертежа видно, что

1 ) 127 + 479 = 606 (руб.) — выиграл Коля;

2) 606 + 943 = 1549 (руб.) — выиграл Миша;

3) 1549 + 127 = 1676 (руб.) — выиграл Витя.

Второй способ решения (Бурмистрова Алена, учащаяся школы № 24).

1) 943 + 127 = 1070 (руб.) — на столько больше выиграл Витя, чем Коля;

2) 1070 + 479 = 1549 (руб.) — выиграл Миша;

3) 1549 - 943 = 606 (руб.) — выиграл Коля;

4) 1549 + 127 = 1676 (руб.) — выиграл Витя.

Третий способ решения (Михалев Илья, ученик школы № 12). По условию задачи можно составить уравнение:

В = К + 943 + 127илиВ = К+ 1070.

Кроме того, известно, что M + К = В + 479. Используя первое уравнение, получаем:

М + К = К + (1070 + 479).

Так как суммы, стоящие в левой и правой частях равны и у них равны первые слагаемые, то будут равны и вторые слагаемые: M = 1070 + 479 или M = 1549.

Ответ: 606 рублей выиграл Коля, 1549 рублей выиграл Миша, 1676 рублей выиграл Витя.

5. Наименьшее количество венков, которое каждый грек и Муза могли получить после деления, — один. Тогда венков у Муз было 9, а греки всего принесли 12 венков (3+9=12), причем у каждого грека было по 4 венка (12:3 = 4). Если бы все получили по 2 венка, то всего венков у Муз было бы 18 (2><9 = 18). И греки, в этом случае, принесли бы 24 венка (18 + 2x3 = 24), а каждый грек принес бы по 8 венков (24:3 = 8). Если бы все получили по m венков, то у Муз всего венков было бы 9т, а греки тогда принесли бы всего 12т (Зт + 9т = \2т) венков, а каждый грек принес бы Am венков (\2т\Ъ = Am).

Ответ: Am венков, где m = 1, 2, 3...

6. В задаче речь идет о четырех друзьях (Антоне, Володе. Юре и Мише) и их фамилиях (Боков, Петров, Лукин, Самохин). Составим таблицу для установления соответствия между именами и фамилиями ребят.

А

В

ю

M

Б

П

Л

С

Так как Володя спросил Бокова, то Володя не Боков.

А

В

ю

M

Б

-

П

Л

С

В силу того, что Боков может потягаться в плавании с Антоном, то Боков не Антон.

А

В

ю

M

Б

-

-

П

Л

С

Из того, что коллекцию марок достал из шкафа Петров, а ребята пришли в гости к Мише, можно сделать вывод, что у Миши фамилия Петров.

А

В

ю

M

Б

-

-

П

+

Л

С

Из последнего утверждения следует, что никто из оставшихся ребят не может иметь фамилию Петров и никого не зовут Миша.

А

В

ю

M

Б

-

-

-

П

-

-

-

+

Л

С

-

Из таблицы видно, что у Юры фамилия Боков. И никого больше не зовут Юрий.

А

В

ю

M

Б

-

-

+

-

П

-

-

-

+

Л

-

-

С

-

-

Так как Антон не Лукин, то его фамилия Самохин.

А

В

ю

M

Б

-

-

+

-

П

-

-

-

+

Л

-

-

-

С

+

-

-

И, следовательно, фамилия Володи — Лукин.

А

В

ю

M

Б

-

-

+

-

П

-

-

-

+

Л

-

+

-

-

С

+

-

-

-

Ответ: Антон Самохин, Володя Лукин, Юра Боков, Миша Петров.

7. 1) 4x4 = 16 (см2) — площадь исходного квадрата;

2) 16:4 = 4 (см2) — площадь отпиленной части;

3) 16-4=12 (см2) — площадь оставшейся части;

4) 12:4 = 3 (см2) — площадь одной части.

Фигура, имеющая площадь 3 см2 и состоящая из трех клеток по 1 см2, может иметь следующую форму:

Первую фигуру придется исключить, так как не удается разместить четыре таких прямоугольника в требуемой фигуре. Поэтому остается вторая фигура. Решение может быть представлено в следующем виде:

ОДИННАДЦАТАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (31 марта 2001 года)

1. Прямоугольный участок земли длиной 140 м и шириной 60 м необходимо разделить на 4 одинаковых прямоугольных участка. Из трех предложенных вариантов выберите тот, при котором стоимость изгороди для участков будет наименьшей:

2. В этом году отмечается 180-летие знаменитого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева. За выдающиеся научные достижения он был награжден высшей наградой Франции — Командорским крестом Почетного легиона. Определите год, когда это произошло, если известно, что сумма цифр в разрядах тысяч и сотен в записи этого числа равна сумме цифр в разрядах десятков и единиц. Кроме того, это число делится на 3 и 5, и цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц.

3. Запишите любое трехзначное число, в котором во всех разрядах стоят разные цифры. Полученное число запишите в обратном порядке и из большего числа вычтите меньшее. Попробуйте объяснить, какую цифру в разности достаточно знать, чтобы определить, чему равна разность.

4. Определите закон, по которому записаны эти цифры:

8, 2, 9, 0, 1,5, 7, 3,4, 6.

5. В полдень от пристани отошел теплоход. Через три часа от этой же пристани по тому же маршруту отправился катер. Скорость теплохода 30 км в час, скорость катера 75 км в час. Сколько времени понадобится катеру, чтобы догнать теплоход? На каком расстоянии от пристани они будут в этот момент?

6. Сколько всего квадратов изображено на рисунке?

7. Володя утверждает, что позавчера ему было 10 лет, а в будущем году исполнится 13. Возможно ли это?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. 1) 60x2 + 140x5 = 820 (м) — длина изгороди I участка.

2) 140x2+60x5 = 580 (м) — длина изгороди II участка.

3) 140x3+60x3 = 600 (м) — длина изгороди III участка.

Ответ: для второго участка стоимость изгороди будет наименьшей.

2. Первый способ решения. Из первого условия («в этом году отмечается 180-летие») следует, что год, в который наградили П.Л. Чебышева Командорским крестом, имеет вид: \8ас. Второе условие говорит о том, что суммы цифр, входящих в разряд тысяч и сотен (1 + 8 = 9), и цифр, стоящих в разрядах десятков и единиц (а + с), равны, то есть а + с = 9. Так как это число делится на 5, то оно заканчивается 5 или 0 (с = 5 или с = 0) и, следовательно, цифра десятков 4 или 9. С учетом этих условий получаем два числа: 1845 и 1890. В силу того, что цифра десятков больше цифры единиц, получаем год вручения Командорского креста — 1890.

Второй способ решения (Степанов Антон, учащийся школы №21).

2001 - 180 = 1821 (г.) — родился П.Л. Чебышев. Следовательно, ему дали орден в XIX веке. Известно, что сумма цифр сотен и тысяч равна сумме цифр десятков и единиц. Значит, это могут быть числа: 1854, 1845, 1872, 1881, 1863, 1836, 1890. Еще известно, что цифра разряда десятков больше цифры в разряде единиц. Значит, подходят числа: 1854, 1872, 1881, 1863. 1890. Нам известно, что это число делится на 5. Значит, ответ — 1890 год.

Ответ: 1890 год.

3. Запишем произвольное трехзначное число — 158. Число, записанное в обратном порядке, имеет вид — 851. Найдем разность между большим и меньшим числами: 851-158 = 693.

Возьмем число 613 и число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке — 316. Их разность равна 297 (613-316 = 297).

Можно заметить, что в разности цифра десятков равна 9, а сумма цифр сотен и единиц тоже равна 9. Поэтому для определения разности достаточно знать цифру сотен (единиц), а цифра единиц (сотен) будет равна разности 9 и цифры сотен (единиц).

В общем виде это можно обосновать так. Рассмотрим трехзначное число abc (пусть а > с), которое в десятичной системе счисления можно записать следующим образом:

abc = ax\02 + 0x10 +с. Число, записанное в обратном порядке, — сЪа в виде:

сЪа = сх102+6х10 + я. Найдем их разность: abc - сЪа = ях100 + ех10 + с- сх100-ех10-я = = (а-с) х100 + (с-а) = {а-с -1)х100 + 9х(я-с)х10 + (10 + с -а).

Таким образом, вторая цифра равна 9, а сумма цифр сотен и единиц равна 9х(я-с-1 + 10 + с- я = 9).

Ответ: достаточно знать цифру сотен или единиц.

4. 1,2, 9, 0, 1,5,7,3,4, 6. Напишем название каждого из чисел:

8 — восемь; 5 — пять; 2 — два; 7 — семь;

9 — девять; 3 — три;

0 — нуль; 4 — четыре;

1 — один; 6 — шесть.

Ответ: закономерность записи определяется местом первой буквы названия каждого из чисел в алфавите.

5. Первый способ решения.

1 ) 30x3 = 90 (км) — проплыл теплоход до отправления катера;

2) 75 - 30 = 45 км/час — скорость сближения;

3) 90:45 = 2 (ч) — за это время катер догонит теплоход;

4) 30x5 = 150 (км) — от пристани.

Второй способ решения (Шитов Андрей, учащийся школы № 49). 1 ) 30x3 = 90 (км) — проплыл теплоход до отправления катера;

2) 30x2 = 60 (км) — проплыл теплоход за два часа после отплытия катера;

3) 60 + 90 = 150 (км) — проплыл теплоход за 5 часов;

4) 75x2 = 150 (км) — проплыл катер за 2 часа и догнал теплоход.

Третий способ решения (Гращенко Анатолий, учащийся школы №17).

1 ) 30x3 = 90 (км) — проплыл теплоход до отправления катера;

2) 90 + 30 = 120 (км) — проплыл теплоход за 4 часа;

Так как 120 > 75, то катер не догонит теплоход за один час. Берем два часа;

3) 120 + 30 = 150 (км) — пройдет теплоход за 5 часов;

4) 75 х2 = 150 (км) — пройдет катер за 2 часа;

5) 150= 150 — значит, катер догонит теплоход за 2 часа.

Ответ: два часа понадобится катеру, чтобы догнать теплоход

в 150 км от пристани.

6. Количество квадратов со сторонами в 4 клетки — 1, в 3 клетки — 4, в 2 клетки — 9 (4+5), в 1 клетку — 18, в Vi клетки — 8 (4+4). Всего 40 квадратов.

Ответ: 40 квадратов.

7. Так как в следующем году Володе исполнится 13, то в этом году ему должно исполниться 12 лет. Так как позавчера ему было 10 лет, то такая ситуация возможна лишь в период окончания одного года и начала другого. Предположим, что это он говорил 1 января, тогда 30 декабря ему было еще 10 лет. Следовательно, 31 декабря исполнилось 11 лет и сейчас ему идет 12 год. В следующем году ему исполнится 13 лет.

Ответ: возможно, если он родился 31 декабря.

ДВЕНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 225-ЛЕТИЮ КАЛУЖСКОЙ ГУБЕРНИИ

Первый тур (16 марта 2002 года)

1. Если одна лошадь на 10 верст пути стоит 15 копеек, то сколько должны заплатить за 16 лошадей на 730 верст пути?

2. Калужский купец решил проверить, насколько сообразительны его трое сыновей. Взяв три шапки, каждая из которых была или белая или черная, и каждого цвета была по крайней мере одна шапка, он велел сыновьям закрыть глаза, надел каждому на голову шапку и спросил: «Как, видя цвет шапок своих братьев, отгадать цвет своей шапки?» Как сыновья пришли к верному решению?

3. Задумано трехзначное число, у которого с любым из трех чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано?

4. Квадрат со стороной, равной 7 единицам, разбит на 5 прямоугольников так, как изображено на рисунке. Известно, что площади прямоугольников, прилежащих к границе заштрихованного прямоугольника, равны 10 кв. единицам. Длины сторон всех прямоугольников выражены целыми числами. Может ли заштрихованный прямоугольник быть квадратом?

5. Рост Буратино 1 м 4 дм, а длина его носа раньше была 9 см. Каждый раз, когда Буратино обманывал, длина его носа удваивалась. Как только длина его носа стала больше его роста, Буратино перестал обманывать. Сколько раз он обманул?

6. Таблицу нужно заполнить, используя числа 1, 2, 3, 4, 5, так, чтобы каждое число появилось в каждом столбце, каждой строчке и каждой диагонали ровно по одному разу. Первые несколько чисел уже расставлены. Какое число будет в центральной клетке?

3

4

5

2

?

4

7. Сын лесничего помогал отцу вести подсчет зверей в лесу. После подсчета он сказал отцу: «Я считал медведей, зайцев и волков. Всего зверей 1 000, волков на 250 больше, чем медведей, зайцев на 300 больше, чем волков». Услышав такой ответ, лесничий сказал, что такого быть не может. Прав ли лесничий?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Задачу можно решить арифметически двумя способами. Первый способ решения.

1) 730:10 = 73 (раза) содержится 10 верст в 730 верстах;

2) 15x16 = 240 (коп.) — стоимость 16 лошадей на 10 верст пути;

3) 240x73 = 17520 (коп.) = 175 руб. 20 коп. — количество денег, заплаченных за 16 лошадей на 730 верст.

Второй способ решения.

1) 730:10 = 73 (раза) содержится 10 верст в 730 верстах;

2) 15x73 = 1095 (коп.) = 10 руб. 95 коп. — количество денег, заплаченных за 1 лошадь на 730 верст;

3) 1095x16 = 17520 (коп.) = 175 руб. 20 коп. — количество денег, заплаченных за 16 лошадей на 730 верст пути.

Ответ: должны заплатить 175 рублей 20 копеек.

2. Так как хотя бы одна шапка была каждого цвета, то их могло быть две белых и одна черная или одна белая и две черных. Поэтому один из братьев, видя, что цвет шапок у двух других братьев одинаковый — белый (черный), мог сказать, что он знает цвет шапки. Другой брат, видя, что на братьях шапки белого и

черного цветов и один брат, на котором шапка черного (белого) цвета, уже определил цвет своей шапки, то он может сделать вывод, что на нем белая (черная) шапка.

3. Запишем данные числа в столбик:

Выделим несовпадающие цифры, стоящие в разрядах:

Ответ: 163.

4. Первый способ решения.

1 ) 7x7 = 49 (кв. ед.) — площадь исходного квадрата;

2) 10x4 = 40 (кв. ед.) — площадь четырех прямоугольников;

3) 49 - 40 = 9 (кв. ед) — площадь пятого прямоугольника.

Так как 9 = 3x3 или 9 = 1 х9, то этот прямоугольник — квадрат со стороной равной 3, в силу того, что длина стороны 9 единицам равняться не может, так как у исходного квадрата сторона равна 7 единицам.

Второй способ решения (Зорин Костя, учащийся школы № 9).

Если нарисовать квадрат и разделить так же, как на рисунке, то получится, что у прямоугольников ширина будет 2 единицы. И если стереть эти прямоугольники, то квадрат уменьшится на 2 единицы с каждой стороны, то есть уменьшится пропорционально, сохранив форму квадрата.

Ответ: может. Квадрат со стороной 3 см.

5. 1) 9x2 = 18 (см) — длина носа Буратино после того, как он один раз обманул;

2) 18x2 = 36 (см) — длина носа Буратино после того, как он два раза обманул;

3) 36x2 = 72 (см) — длина носа Буратино после того, как он три раза обманул;

4) 72x2 = 144 (см) — длина носа Буратино после того, как он четыре раза обманул.

Так как 144 > 140, то Буратино перестал обманывать.

Ответ: Буратино обманул 4 раза.

6. В левом нижнем углу не может стоять 2, 3, 4, 5, так как каждое число должно быть написано в каждой строчке, в каждом столбце и в каждой диагонали по одному разу. Поэтому там записана цифра 1. В центральной клетке не могут стоять цифры 1,3, 4, 5. Следовательно, там записана цифра 2.

Ответ: 2

7. Представим условие задачи в виде чертежа.

1) 250 + 300 = 550 (зверей) — было больше зайцев, чем медведей;

2) 550 + 250 = 800 (зверей) — было больше зайцев и волков, чем медведей;

3) 1000 - 800 = 200 (зверей) — было бы зверей каждого вида, если бы зайцев и волков было столько, сколько медведей.

4) 200:3 = 66 (ост. 2)

Ответ: лесничий прав, так как количество зверей должно быть числом натуральным.

ДВЕНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (23 марта 2002 года)

1. Ворона и попугай измеряют удава длиной 3 м 60 см шагами. Длины шагов птиц различны, а время, потраченное на измерение, одинаковое. Измерять удава они начали одновременно и пока прошли все расстояние, встретились 20 раз. Шаг вороны 6 см. Найти длину шага попугая, если во время каждой встречи им было сделано на 1 шаг меньше, чем вороной.

2. Разрежьте фигуру на 4 равные части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.

3. Найти количество трехзначных и двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 6, 0, 5, удовлетворяющие следующим условиям:

а) в записи числа не используются одинаковые цифры;

б) количество десятков больше или равно 5.

4. Сколькими нулями оканчивается произведение

1х2хЗх4х5хбх...26.

5. Три машины израсходовали за 660 минут 269 л горючего. Известно, что за это время первая машина израсходовала 60 л, а вторая — каждые два часа тратила 26 л. Найдите, сколько расходовала третья машина за час?

6. Задача Евклида:

Мул и осел под вьюком по дороге с мешками шагали. Жалобно охал осел непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к попутчику с речью:

«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?

Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру,

Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись».

Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

7. Знаменитый российский математик Александр Яковлевич Хинчин родился и провел детство в Кондрове. Он прожил 65 лет. В XX веке он прожил на 53 года больше, чем в XIX веке. В каком году родился Александр Яковлевич Хинчин?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1.1) 360:6 = 60 (шагов) — сделала ворона;

2) 60 - 20 = 40 (шагов) — сделал попугай;

3) 360:40 = 9 (см) — длина шага попугая.

Ответ: длина шага попугая 9 см.

2. Данная фигура состоит из квадрата со стороной, равной 4 см, и треугольника, составляющего половину этого квадрата. 1 ) 4x4 = 16 (см2) — площадь квадрата;

2) 16:2 = 8 (см2) — площадь треугольника;

3) 16 + 8 = 24 (см2) — площадь всей фигуры;

4) 24:4 = 6 (м2) — площадь одной части.

Данную фигуру можно разбить на 4 части, площадь каждой из которых будет 6 см 2, следующим образом:

3. Так как количество десятков в записи числа больше или равно 5, то эти числа могут иметь следующий вид: двузначные — 5Хили 6Х, а трехзначные —Х5Хили Х6Х.

Согласно второму условию в записи числа не используются одинаковые цифры. Исходя из этого условия, можно выписать все трехзначные и двузначные числа:

Двузначные — 56, 51, 50, 65, 61, 60.

Трехзначные— 150, 156, 651,650, 160, 165,560, 561.

Ответ: 14 чисел.

4. Нуль может получаться при умножении на числа, оканчивающиеся нулями. Таких чисел два — 10 и 20.

Кроме того, нуль можно получить при умножении чисел, кратных 5, на четные числа. Это возможно при умножении 5 и 15 на четные числа. Следует также учесть, что при умножении 25 на 4 получится 100. Таким образом, произведение оканчивается шестью нулями.

Ответ: шестью нулями оканчивается произведение.

5. 1) 660:60 = 11 (час) — столько времени ехали три машины;

2) 26:2 = 13 (л) — вторая машина тратила за 1 час;

3) 13x11 = 143 (л) — израсходовала вторая машина;

4) 269 - (60 + 143) = 66 (л) — израсходовала третья машина;

5) 66:11=6 (л) — третья машина тратила за 1 час.

Ответ: 6 литров.

6. Рассмотрим решение этой задачи двумя способами: арифметическим и алгебраическим.

Первый способ решения. Представим условие задачи в виде чертежа:

Из чертежа видно, что мул нес 7 мер (4x2 - 1 = 7), а осел 5 мер (4+1=5).

Второй способ решения. Каждое из условий задачи представим в виде равенства:

М+ 1 = 2х (Ос - 1) и М - 1 =Ос. + 1.

Из второго равенства можно выразить M (M = Ос.+2) и подставляя его в первое равенство, получим:

Используя тот факт, что M = Ос. + 2, найдем M = 7.

Ответ: мул нес 7 мер, а осел — 5 мер.

7. Представим условие задачи в виде чертежа:

1) 65 -53 = 12 (лет);

2) 12:2 = 6 (лет) — прожил Хинчин в XIX веке;

3) 1900 - 6 = 1894 — год рождения.

Ответ: А.Я. Хинчин родился в 1894 году.

ТРИНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 300-ЛЕТИЮ ВЫХОДА В СВЕТ «АРИФМЕТИКИ» ЛЕОНТИЯ ФИЛИППОВИЧА МАГНИЦКОГО

Первый тур (15 марта 2003 года)

1. Вы продаете квас. Затраты на производство и реализацию 1 стакана кваса составляют 1 руб. 60 коп. По цене 3 руб. 60 коп. можно реализовать 130 стаканов в день, а по цене 3 руб. 10 коп. — 200 стаканов. Какую цену вы должны назначить, если хотите получить больше прибыли?

2. Прямоугольник, стороны которого 3 см и 4 см, содержит 12 равных клеток, площадь каждой из которых 1 см". Найдите различные способы разрезания этого прямоугольника на две равные фигуры так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток (способы разрезания считаются различными, если фигуры, полученные при одном способе разрезания, не равны фигурам, полученным при другом способе).

3. Сколько раз к наибольшему однозначному числу надо прибавить наибольшее двузначное, чтобы получить наибольшее трехзначное число?

4. В этом году исполняется 300 лет со дня издания первого русского учебника «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого. Попробуйте решить задачу из этой замечательной книги: «Идет человек от града в другой град, а идет на день по 40 верст, а другой человек идет из другого града в первый град и идет по 30 верст на день, между же городами 350 верст. Ведательно через сколько дней сойдутся оба человека и сколько каждый человек прошел до встречи».

5. Если некоторое число разделить на 10, к частному прибавить 99, а затем у полученного числа отбросить последнюю цифру 6, то получится 12. Найдите это число.

6. Первая черепаха догоняет вторую. Скорость первой черепахи 13 дм/мин, а скорость второй — 9 дм 7 см/мин. Сейчас расстояние между ними 1 м 9 дм 8 см. Чему будет равно расстояние, пройденное до встречи первой черепахой?

7. При наборе телефонного номера своего друга Вы забыли последние три цифры. Удалось вспомнить, что каждая из них меньше 4, и они не повторяются. Сколько попыток набора номера Вам придется сделать в самом худшем случае?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. 1) 360 - 160 = 200 (коп.) — прибыль от продажи стакана кваса при цене 3 руб. 60 коп. за стакан;

2) 200x130 = 26000 (коп.) = 260 (руб.) — прибыль за день продажи кваса по цене 3 руб. 60 коп. за стакан;

3) 310 - 160= 150 (коп.) — прибыль от продажи стакана кваса при цене 3 руб. 10 коп.;

4) 150x200 = 30000 (коп.) = 300 (руб.) — прибыль за день продажи кваса при цене 3 руб. 10 коп. за стакан;

5) 300 руб > 260 руб. — сравнение прибылей при продаже кваса по 3 руб. 10 коп. и 3 руб. 60 коп. за стакан.

Ответ: цена стакана кваса 3 руб. 10 коп.

2. Данная фигура представляет собой прямоугольник. Вычислим сначала его площадь (3x4 = 12 см"). Узнаем площадь каждой из двух равных фигур, на которые его надо разрезать. Площадь каждой фигуры должна быть равна 6 см" (12:2 = 6 см"). Таким образом, каждая из фигур будет состоять из 6 квадратиков.

Рассмотрим различные варианты:

Ответ: четырьмя способами можно разрезать прямоугольник на две равные фигуры.

3. Наибольшее однозначное число — 9, наибольшее двузначное — 99, наибольшее трехзначное — 999.

1) 999-9 = 990;

2) 990:99= 10 (раз).

Ответ: 10 раз.

4. 1 ) 40 + 30 = 70 (верст в день) — скорость сближения за один день;

2) 350:70 = 5 (дней) — прошли до встречи;

3) 40x5 = 200 (верст) — прошел до встречи первый;

4) 350 - 200 = 150 (верст) — прошел до встречи второй.

Ответ: 5 дней, 200 верст, 150 верст.

5. Для нахождения искомого числа будем выполнять все действия в обратном порядке.

1) Припишем к числу 12 цифру 6. Получим число 126.

2) Вычтем из полученного числа 99. Получим 27 ( 126 - 99 = 27).

3) Умножим полученное число на 10. Получим 270. Сделаем проверку: 270:10 + 99 = 126, 126- = 12.

Ответ: 270.

6. 1) 130 - 97 = 33 (см) — на эту величину сокращалось расстояние между черепахами за 1 минуту;

2) 198:33 = 6 (минут) — время, за которое первая черепаха догонит вторую;

3) 130x6 = 780 (см) — расстояние, пройденное первой черепахой до встречи.

Ответ: 780 см.

7. Выпишем числа меньшие 4: 0, 1, 2, 3. Первую цифру можно выбрать четырьмя способами (0, 1, 2, 3). Нарисуем схему

Из полученного рисунка видно, что для одной цифры придется сделать 6 попыток (012, 013, 021, 023, 031, 032). Рассуждая аналогично, получим по шесть вариантов для цифр 1, 2, 3. Так как используются четыре цифры, то всего вариантов 24 (6x4 = 24).

Ответ: 24 попытки.

ТРИНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 300-ЛЕТИЮ ВЫХОДА В СВЕТ «АРИФМЕТИКИ» ЛЕОНТИЯ ФИЛИППОВИЧА МАГНИЦКОГО

Второй тур (22 марта 2003 года)

1. Существует ли такое число, произведение цифр которого равно 2004? Ответ объясните.

2. В городской олимпиаде по математике участвуют Кондратьев, Давыдов и Федоров. Один из них учится в За, другой в 36, а третий — в Зг классах. Федоров и Кондратьев родственники. Недавно участник олимпиады, который учится в 36 классе, попросил участника олимпиады из За класса принести ему книгу. Но тот не пришел в условленный час. Ученик из 36 класса сам пошел к нему домой, но родители сказали, что сын ушел к внезапно заболевшему участнику олимпиады из Зг класса. Известно также, что Федоров никогда не слышал о Давыдове. Определите, кто в каком классе учится?

3. Расшифруйте запись

4. Найдите наибольшее двузначное натуральное число, дающее при делении на 17 частное 12.

5. Ящик заполнен одинаковыми коробками, в каждой коробке лежит одинаковое количество конфет. Сколько всего коробок в ящике, если известно, что конфет в нем 104 и количество коробок меньше, чем количество конфет в каждой коробке.

6. Два автомобилиста строят гаражи. Первый строит гараж в форме куба со стороной 4 метра, а второй — в форме прямоугольного параллелепипеда с высотой в 4 метра и со сторонами 3 и 5 метров. Они решили нанять каменщиков, чтобы те выложили им стены. Ворота для гаражей были одинаковы. Каждый из автомобилистов считал, что ему придется платить меньше, чем другому. Как Вы думаете, кто из них прав?

7. На доске написаны выражения:

В них, как Вы уже успели заметить, используются числа от единицы до девяти. Вы должны их переставить так, чтобы все четыре выражения были истинными.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Найдем множители, на которые раскладывается число 2004.

1) 2004:2= 1002;

2) 1002:2 = 501;

3) 501:3 = 167;

4) 167:167= 1;

5) 2004 = 2x2x3x167.

Так как число 167 в качестве делителей имеет только числа 1 и 167, то его невозможно представить в виде произведения однозначных чисел. Следовательно, число 2004 нельзя представить в виде произведения однозначных чисел.

Ответ: Не существует числа, произведение цифр которого равно 2004.

2. Из условия задачи следует, что ученик из За класса пошел к ученику из 36 класса, а тот ушел к ученику из Зг класса. Схематично эти условия можно представить в виде:

36 —> За —> Зг.

Так как Федоров никогда не слышал о Давыдове, то в За учится Кондратьев. Таким образом, в 36 мог учиться Федоров, а в Зг — Давыдов или наоборот.

Ответ: Федоров — 36 (Зг), Кондратьев — За, Давыдов — Зг (36).

3. Из того, что сумма А+А = Г и нет перехода через десяток, можно сделать вывод, что А + А < 10. Таким образом, А не может принимать значение большее 4. Так как Г является цифрой разряда сотен в первом слагаемом и Г = А + А, то А не может быть равно 0. Если проанализировать числа, стоящие в разряде еди-

ниц, то можно сделать вывод, что А может быть только четным числом. Эти два условия дают нам возможность сделать вывод о значениях А:А = 2 или А = 4. Рассмотрим случай, когда А = 2. Подставив значение А = 2 в условие, получим:

Из полученного примера можно сделать вывод, что В = 1 или В = 6. Подставляя найденные значения В, имеем два варианта:

Аналогично рассматривается второй случай, когда А = 4:

Из полученного примера можно сделать вывод, что В = 2 или В = 7. Подставляя найденные значения В, имеем два варианта:

Ответ: 421 + 21 = 442, 526 + 26 = 552, 842 + 42 = 884, 947 + 47 = 994.

4. Наибольшее двузначное число 99. Разделим его на 17 с остатком. Получим 99: 17 = 5 (ост. 14). Нам нужен остаток 12. Определим, на сколько 14 больше 12:

14-12 = 2.

Вычитая из числа 99 число 2, получим искомое число 97. Выполним проверку: 97:17 = 5 (ост. 12).

Ответ: 97.

5. Чтобы определить количество конфет в ящике, необходимо знать количество коробок в ящике и количество конфет в одной коробке. Для этого нам придется разложить число 104 на множители. Определим делители этого числа:

Таким образом, 104 = 2x2x2x13 = 2x52 = 4x26 = 8x13. Так как коробок было меньше, чем конфет в каждой коробке, то их могло быть 2, 4 или 8.

Ответ: 2, 4, 8 коробок.

6. 1) 4x4x4 = 64 (м2) — площадь поверхности четырех стен первого гаража;

2) 5x4x2 + 4x3x2 = 64 (м~) — площадь поверхности четырех стен второго гаража;

3) Так как ворота в гаражах одинаковые, то площади стен обоих гаражей будут уменьшены на одинаковую величину, равную площади ворот. Следовательно, каменщикам при строительстве гаражей предстоит выполнить одинаковый объем работы.

Ответ: ни один из автомобилистов не прав.

7. Из условия задачи следует, что произведение двух различных однозначных чисел должно быть числом однозначным. Следовательно, это число меньшее 9. Этому условию удовлетворяют две пары чисел:

8 = 2x4 = 4x2,6 = 2x3 = 3x2. Проверим каждый из вариантов. Вариант 1.

Частное 4 может получиться только в результате деления 8 на 2, но эти числа уже задействованы. Поэтому данный вариант не приведет к решению задачи.

Вариант 2.

Частное 2 может быть получено в результате деления 6 на 3.

Из оставшихся чисел сумму, равную 8, могут иметь только 1 и 7.

Разность, равную 4, можно получить из чисел 9 и 5.

Аналогично можно рассмотреть второй случай: 6 = 2*3 = 3x2.

Ответ:

ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 60-ЛЕТИЮ ОБРАЗОВАНИЯ КАЛУЖСКОЙ ОБЛАСТИ

Первый тур (20 марта 2004 года)

1. Трое школьников имели некоторое количество денег: у первого и второго вместе — 70 рублей, у второго и третьего — 230 рублей, у первого и третьего — 170 рублей. Сколько денег было у каждого школьника?

2. Сколько существует трехзначных чисел, которые одинаково читаются справа налево и слева направо?

3. Известно, что длины сторон прямоугольника ABCD соответственно равны: AB = 18 см, ВС = 36 см. Точки Е и F соответственно являются серединами сторон ВС и AD. Найти площадь четырехугольника AECF.

4. Запишите последовательно в порядке возрастания по одному разу 6 первых чисел натурального ряда, которые делятся только на 1 и сами на себя (1 не учитывать). В полученном числе вычеркните половину цифр так, чтобы оставшиеся цифры выражали наименьшее возможное число.

5. Найдите частное, если оно в тринадцать раз меньше делимого и в восемнадцать раз больше делителя.

6. На острове находятся четыре государства. Каждое из них граничит с тремя другими. Нарисуйте карту этого острова.

7. За победу в олимпиаде по математике команде вручили торт и предложили тремя движениями большого ножа разрезать его на восемь равных кусков. Как это сделать?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1.1) 170 + 230 + 70 = 470 (руб.) — удвоенная сумма денег всех ребят;

2) 470:2 = 235 (руб.) — столько денег было у трех ребят;

3) 235 - 230 = 5 (руб.) — было у первого;

4) 235 - 170 = 65 (руб.) — было у второго;

5) 235 - 70 = 165 (руб.) — было у третьего.

Ответ: у первого школьника 5 руб., у второго — 65 руб., у третьего — 165 руб.

2. Для того, чтобы трехзначные числа читались одинаково необходимо, чтобы в их записи первая и последняя цифра были одинаковыми. На первом месте может стоять одна из девяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Подсчитаем количество таких цифр в первой сотне

101, 111, 121, 131 141, 151, 161, 171, 181, 191,

а затем найденное число (10) умножим на девять (10><9 = 90).

Ответ: 90.

3. Известно, что длины сторон прямоугольника ABCD соответственно равны: AB = 18 см, ВС = 36 см. Используя это условие, мы можем определить площадь прямоугольника ABCD. Так как Е и F середины сторон ВС и AD, то из чертежа мы видим, что в исходном прямоугольнике находятся четыре одинаковых треугольника, а фигура AECF содержит два таких же треугольника. Таким образом, можно сделать вывод, что площадь AECF в два раза меньше площади ABCD.

1) 18x36 = 648 (см2) — площадь ЛЯСД

2) 648:2 = 324 (см2) — площадь

Ответ: 324 см2.

4. Выпишем числа, удовлетворяющие условию задачи: 2,3,5, 7, 11, 13.

Получилось число 235711 13. Наименьшее число должно начинаться с единиц. Исключая первые четыре цифры, получим: 1113.

Ответ: 1113.

5. Пусть а — делимое, в — делитель, с — частное. Используя первое условие «частное в тринадцать раз меньше делимого» можем записать:

а = 13с.

Используя второе условие «частное в восемнадцать раз больше делителя», можем записать следующее выражение:

с = 18в.

Из этих двух равенств получаем, что

а= 13х18в.

Частное а и в равно

13x18 = 234.

Ответ: 234.

6. Один из возможных вариантов

7. Двумя разрезами ножа торт можно разделить на четыре части. Затем разрезать торт по горизонтали

ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 60-ЛЕТИЮ ОБРАЗОВАНИЯ КАЛУЖСКОЙ ОБЛАСТИ

Второй тур (2 апреля 2004 года)

1. Некий человек покупал масло. Когда он отдал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 60 копеек. Чтобы заплатить за девять бочек, ему не хватило 160 копеек. Сколько тысяч копеек у него было?

2. Расшифруйте запись

3. Из посаженных деревьев не принялось 38 березок и 20 елей. В результате берез оказалось на 18 больше, чем елей. Каких деревьев было посажено больше и на сколько? Изменится ли смысл задачи, если вместо числа 38 поставить слово «несколько»? Какие возможны ответы в этом случае?

4. Используя ровно пять раз цифру 3, знаки действий и скобки, представьте числа 0 и 11 (достаточно привести по одному примеру для 0 и 11).

5. Замените буквы в слове ТРАНСПОРТИРОВКА цифрами (разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым буквам — одинаковые цифры) так, чтобы выполнялись неравенства

Т>Р>А>Н,Р>0>П>С>Н,

Т>И>Р>0,АЖ>В>0.

6. Прямоугольник со сторонами 4 см и 9 см требуется разрезать на две части, из которых можно сложить квадрат. Покажите, как это можно сделать.

7. Сколько всего дедушек и бабушек было у всех ваших бабушек и дедушек?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Сделаем краткую запись условия задачи:

Из рисунка видно, что стоимость одной бочки 220 коп. (160 + + 60 = 220).

220x8 + 60= 1820 (коп.) или 220x9- 160= 1820 — было у этого человека.

Ответ: одна тысяча.

2. Из того, что сумма У + У = M и нет перехода через десяток, можно сделать вывод, что У+ У < 10. Таким образом, У не может принимать значения большее 4 и не равняется 0. Если проанализировать числа, стоящие в разряде единиц, то можно сделать вывод, что У может быть только четным числом. Эти два условия дают нам возможность сделать вывод о значениях У:У = 2 или У = 4. Рассмотрим первый случай, когда У = 2. Подставим значение У в исходный пример, получим:

Из полученного примера можно сделать вывод, что Р = 1 или Р = 6. Подставляя найденные значения Р, имеем два варианта:

Аналогично рассматривается второй случай, когда У = 4.

Ответ: 421 + 21 = 442, 526 + 26 = 552, 842 + 42 = 884, 947 + 47 = 994.

3. Выполним краткую запись задачи.

Из рисунка видна идея решения задачи:

1)38 + 18 = 56 (березок) — на столько берез было больше, чем было первоначально;

2) 56 - 20 = 36 (деревьев) — на столько берез было больше посажено, чем елей.

Возможен другой путь рассуждения: 38 - (20 - 18) = 36.

Если в условии вместо числа 38 будет стоять слово «несколько», то в результате второго действия можем получить 0 (2 + 18 = 20, 20 - 20 = 0), и тогда деревьев первоначально было одинаково. Аналогично можно рассмотреть случай, если вместо слова «несколько» будет 1. В этом случае решения нет.

Ответ: на 36 деревьев больше было посажено берез, чем елей.

4. Нуль можно получить либо в результате вычитания одинаковых чисел, либо в результате умножения на 0:

(33 - 33)хЗ = (3 - 3 + 3 - 3)хЗ = 0 и т. д. Число 11 можно получить в результате деления 33 на 3, умножения 11 на 1, путем сложения различных чисел и т. д.

(33:3) x (3:3) = 11

5. Из анализа условий

Т>Р>А>Н,Р>0>П>С>Н,Т>И>Р>0,А>К>В>0

можно сделать вывод о том, что числа расположены по убыванию следующим образом:

Т>И>Р>АЖ>В>0>П>С>Н.

Это позволяет определить числа:

Т = 9, И = 8, Р = 7, А = 6, К = 5, В = 4, О = 3, П = 2, С = 1, H = 0.

Заменяя буквы цифрами, получим:

ТРАНСПОРТИРОВКА 976012379873456

Ответ: 976012379873456.

6. Определим площадь этого прямоугольника: 9x4 = 36 см2. Так как мы должны получить квадрат, то его стороны должны быть 6 см (6x6 = 36). Ширина прямоугольника 4 см, поэтому следует добавить еще 2 см.

7. У каждого из нас были бабушки и дедушки по маминой и по папиной линии и того их 4 (Бм, Дм, Бп, Дп). Рассмотрим одну из них — бабушку по линии мамы. У нее было тоже две бабушки и два дедушки — итого 4. Всего получается 16 человек.

Ответ: шестнадцать бабушек и дедушек.

ПЯТНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 60-ЛЕТИЮ ПОБЕДЫ В ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЕ

Первый тур (26 марта 2005 года)

1. Найдите наименьшее двузначное число, которое при делении на 3 дает остаток 1, а при делении на 5 дает остаток 2.

2. Всадник проехал на лошади расстояние между двумя городами за 20 часов. За сколько часов проедет мотоциклист в 17 раз большее расстояние, если его скорость в четыре раза больше скорости лошади?

3. Великий полководец, Маршал Советского Союза Георгий Константинович Жуков родился в деревне Стрелковка Калужской губернии. Он прожил 78 лет. В XX веке он прожил на 70 лет больше, чем в XIX веке. В каком году родился Г.К. Жуков?

4. В нашем распоряжении имеется 3 флажка: синий, белый и красный. Для передачи некоторого сообщения на мачте корабля вывешивают три флажка, причем имеет значение порядок, в котором они вывешены: если сверху находится красный флажок, ниже — синий, еще ниже — белый, это одно сообщение, а если сверху синий, потом красный, а затем белый — совсем другое. Сколько различных сообщений можно закодировать таким образом?

5. У Наташи вчетверо больше марок с животными, чем у Евгении, а у Евгении на 2091 марку меньше, чем у Наташи. Сколько марок у Евгении?

6. В клетках квадрата 3x3 записаны натуральные числа так, чтобы суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой диагонали были равны 33. Некоторые числа стерлись. Осталось число 10 в верхнем левом углу, 11 — в центре и 8 — в левом нижнем углу. Восстановите стертые числа.

7. Дан прямоугольник со сторонами, равными 8 см и 7 см. Каждая сторона прямоугольника разделена точкой на два отрезка, длина одного из которых равна 6 см. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются построенные точки.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. При решении этой задачи возможно несколько различных вариантов рассуждений.

Первый способ решения. Берется наименьшее двузначное число — 10 и делится на 3. Проверкой устанавливается, что при делении остаток равен 1. Первое условие выполнено, затем проверяют второе условие, т.е. после того как выписаны числа, дающие при делении на 3 остаток 1, выбирают из них те, которые при делении на 5 дают остаток 2.

Второй способ решения. Сначала выписываем двузначные числа, которые при делении на 3 дают остаток 1, затем те, которые при делении на 5 дают остаток 2:

10, 13, 16, 19, 22, 25, ... 12, 17, 22, 27...

Из полученных чисел выбирают наименьшее число, которое удовлетворяет обоим условиям.

Ответ: 22.

2. Первый способ решения.

1 ) 20:4 = 5 (ч) — будет ехать мотоциклист то же расстояние; 2) 5х 17 = 85 (ч) — будет ехать мотоциклист.

Второй способ решения.

1) 20^17 = 340 (ч) — будет ехать всадник такое же расстояние, как мотоциклист;

2) 340:4 = 85 (ч) — будет ехать мотоциклист.

Ответ: 85 часов.

3. Для решения этой задачи сначала необходимо выполнить чертеж:

Из полученного чертежа видно, что два одинаковых промежутка времени, которые прожил Жуков в XIX и XX веках, приходятся на 78 - 70 = 8 лет. Таким образом, чтобы узнать, сколько лет он прожил в XIX веке, необходимо 8 разделить на два (8:2 = 4). На последнем шаге узнаем год рождения ( 1900 -4=1896).

Ответ: 1896 год.

4. Первый флажок может быть красного, белого или синего цвета. Составим схему всевозможных вариантов:

Таким образом, имеем следующие сообщения: КБС, КСБ, БСК, БКС, СБК, СКБ.

Ответ: шесть сообщений.

5. Решение этой задачи надо начинать с краткой записи. Ее анализ укажет путь решения (2091:3 = 697).

Ответ: 697 марок.

6. Заполним таблицу известными числами

10

11

8

Найдем сумму чисел, стоящих в первом столбце, 10 + 8=18. Определим неизвестный элемент, стоящий в первом столбце (33- 18= 15).

10

15

11

8

Вычислим, чему равен неизвестный элемент во второй строке 33 - (15 + 11) = 7.

10

15

11

7

8

Проводя аналогичные рассуждения для других неизвестных элементов, заполним таблицу:

10

9

14

15

11

7

8

13

12

7. При решении этой задачи небходимо обратить внимание на то, как будет расположена точка, делящая отрезок на две части. В зависимости от этого могут получаться различные решения.

Вычислим площадь прямоугольника, она равна 56 кв. см (7x8 = = 56). Для нахождения площади прямоугольника неизвестной фигуры необходимо из площади прямоугольника вычесть площади четырех прямоугольных треугольников, каждые два из которых образуют прямоугольники:

Ответ: 38 см", 28 см", 18 см".

ПЯТНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 60-ЛЕТИЮ ПОБЕДЫ В ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЕ

Второй тур (апреля 2005 года)

1. Требуется разгадать, какие числа зашифрованы, если одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами:

ХА+ХА = УХ.

2. Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько сейчас отцу лет?

3. Шесть карасей тяжелее десяти лещей, но легче пяти окуней. Десять карасей тяжелее восьми окуней. Что тяжелее — два карася или три леща?

4. Несколько ложек стоят 2 рубля, а то же количество вилок стоит 1 рубль 76 копеек. Сколько стоят 5 ложек, если каждая ложка стоит меньше 50 копеек?

5. После урока математики на доске остались шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум прибавить по 1. Можно ли, проделав эту операцию несколько раз, сделать все числа равными?

6. Мартышка пригласила в гости Слоненка. Расстояние до домика Мартышки, равное 34 км, Слоненок прошел за 5 часов, так как по пути собирал бананы в подарок Мартышке. Первые 2 часа он шел со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость на оставшейся части пути. Определите скорости на первой и второй частях пути.

7. Расставьте в клетках квадратной таблицы четные числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 так, чтобы в любом направлении получилось в сумме 30.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Из анализа условия видно, что складываются два одинаковых двузначных числа, причем их сумма тоже двузначное число. Так как А + А = X или А + А = 10 + X, то можно сделать вывод, что X число, которое делится на 2 (0, 2, 4, 6, 8). Нулем оно быть не может, так как тогда не получилось бы двузначного числа. По

этой же причине исключим 8 и 6 (в этом случае сумма была бы трехзначным числом). Осталось рассмотреть числа 2 и 4.

Пусть А= \, тогда Х= 2 и получаем 21 +21 =42. Пусть А = 6, тогда Х= 2 и получаем 26 + 26 = 52.

Аналогично рассматривается ситуация с числом 4.

Ответ: 21 + 21 = 42, 26 + 26 = 52, 42 + 42 = 84, 47 + 47 = 94.

2.1)31 - 8 = 23 (года) - разность лет отца и сына или возраст сына;

2) 23x2 = 46 (лет) - возраст отца.

Эту задачу можно решить с помощью уравнения. Пусть х -количество прошедших лет, тогда возраст отца 31 + х, возраст сына — х + 8. Возраст отца в два раза больше, то есть

31 +х = 2х(х + 8),х= 15.

Сложив 31 и 15, определим возраст отца 46 лет.

Ответ: Отцу сейчас 46 лет.

3. Из условия задачи известно, что

10 л. < 6 к. < 5 ок. и 8 ок. < 10 к.

Вместо того, чтобы сравнивать массу двух карасей и трех лещей, мы будем сравнивать массу 6 карасей и 9 лещей. Так как 6 карасей тяжелее, чем 10 лещей, то они подавно будут тяжелее 9 лещей. Уменьшив количество карасей и лещей в три раза, мы получим, что два карася тяжелее трех лещей.

Ответ: 2 карася тяжелее 3 лещей.

4. Определим, на какие числа делятся 200 и 176:

200 = 2x2x2x5x5, 176 = 2x2x2x2x11.

Так как количество ложек и вилок одинаковое, то их может быть две, четыре или восемь. Определим возможную стоимость ложки:

200:2 = 100, 200:4 = 50, 200:8 = 25.

По условию сказано, что каждая ложка дешевле 50 копеек. Этому условию удовлетворяет только одно число — 25. Таким образом, цена одной ложки 25 копеек, а пять ложек будут стоить 125 копеек.

Ответ: 125 копеек.

5. Найдем сумму этих чисел (1 + 2 + 3+ 4 + 5 + 6 = 21). Когда мы будем прибавлять по два, то в сумме всегда будем получать

нечетное число. Так как в результате мы должны получить одинаковые числа, то и их сумма должна делиться на 6, но это невозможно.

Ответ: невозможно.

6. 1 ) 2 + 2 = 4 (км) — на столько больше прошел слоненок за два часа, чем на втором участке пути; 2) 34-4 = 30 (км) — такое расстояние прошел слоненок, если бы шел все время с одинаковой скоростью; 3)30:5 = 6 (км/ч) — скорость на втором участве пути; 4) 6 + 2 = 8 (км/ч) — скорость на первом участве пути.

Ответ: скорость на первом участке 8 км/ч, а на втором — 6 км/ч.

7.

8

18

4

6

10

14

16

2

12

ШЕСТНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (18 марта 2006 года)

1. Сколько квадратных плиток со стороной 20 см понадобится для того, чтобы застелить пол в комнате прямоугольной формы длиной 5 м 6 дм и шириной 4 м 40 см?

2. В двух пачках всего 102 тетради. Если бы из первой переложили во вторую 6 тетрадей, то в первой стало вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке первоначально?

3. Какие два числа должны быть следующими в этом ряду:

18, 24,21,28, 24,32, 27?

4. Вставьте числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... 15, 16 в клетки квадрата так, чтобы сумма чисел в каждом горизонтальном, вертикальном и диагональном рядах была одинакова.

16

13

11

12

4

15

1

5. Виктор, Алексей и Игорь были на олимпиаде по математике. Каждый из них набрал разное количество баллов. Алексей и Виктор вместе набрали 6 баллов, Игорь и Виктор вместе набрали 4 балла. Сколько баллов набрал каждый мальчик?

6. Найдите закономерность и заполните пропущенные буквы и цифры

875 - 739 яблоко — бок

902 - 898 карета — карта

434-389 детали — ?

197-141 барсук — ?

561 -1 = 1 скатерть — катер

475 - девочка — ?

7. На улице после окончания олимпиады, около школы № 15, став в кружок, беседуют девочки: Катя, Валя, Лена и Ира. Девочка в зеленом платье (не Катя и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Ирой. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какого цвета платье у каждой из девочек?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Первый способ решения.

1) 20x20 = 400 (см2) или 2x2 = 4 (дм2) — площадь одной плитки;

2) 560x440 = 246400 (см2) или 56x44 = 2464 (дм2) — площадь пола;

3) 246400:400 = 616 (плиток), 2464:4 = 616 (плиток). Второй способ решения.

1) 560:20 = 28 (плиток) — количество плиток в одном ряду;

2) 440:20 = 22 (ряда) — количество рядов; 3)28x22 = 616 (плиток).

Ответ: 616 плиток.

2.

1) 102:3 = 34 (тетради) — было во второй пачке после перекладывания;

2) 34x2 = 68 (тетрадей) — было в первой пачке после перекладывания;

3) 68 + 6 = 74 (тетради) — было в первой пачке;

4) 34 - 6 = 28 (тетрадей) — было во второй пачке.

Ответ: 74 тетради и 28 тетрадей.

3. Первый способ решения. При решении этой задачи ее можно заменить двумя задачами, но более простыми.

Рассмотрим два ряда, которые можно образовать из данного

18, 24,21,28, 24, 32, 27,?

18, 21, 24, 27 и 24, 28, 32. Каждое число первого ряда получается из предыдущего путем прибавления 3. Следовательно, в нем должно быть следующим число 30 (27 + 3 = 30). Каждое число второго ряда получается из

предыдущего путем прибавления 4. За числом 32 тогда идет число 36 (32 + 4 = 36).

Второй способ решения. Можно не разбивать данный ряд на два, а начать анализировать все числа подряд

18, 24,21,28, 24, 32, 27?

Второе число получается из первого путем прибавления 6, третье получается из второго путем вычитания из второго 3, четвертое число получается из третьего путем прибавления 5, а пятое число получается из четвертого путем вычитания 4 и т. д. Из этих рассуждений видна закономерность — числа, стоящие на четных местах, получаются путем прибавления 6, 5, 4 и т.д. к предыдущему, а на нечетных путем вычитания из предыдущего числа 3, 4, 5 и т. д.

Ответ: 30, 36

4. Определим сначала, чему равна сумма чисел, стоящих в каждом ряду. Для этого найдем сумму чисел от 1 до 16 и разделим на 4. Получим, что сумма должна равняться 34

(1 + 2 + 3 +...+ 16):4= 136:4 = 34.

Рассмотрим последовательно последнюю строку и последний столбец. Сумма известных чисел, стоящих в последней строке, равна 20. Неизвестное число, стоящее в этой строке, будет равно 14 (34 - 20 = 14). В последнем столбце в пустой клетке будет стоять число 8 (34 - (13 + 12+ 1) = 8).

16

13

11

8

12

4

15

14

1

Аналогично рассуждая, определим число, стоящее на диагонали — 6 (34 - (4 + 11 + 13) = 6).

16

13

11

8

6

12

4

15

14

1

Выпишем числа, которые остались неиспользованными, — 2, 3, 5, 7, 9, 10. Число 10 не может стоять в первом и третьем столбце. В первом случае понадобилась бы еше одна 4, а во втором сумма будет больше 34. Следовательно, 10 стоит во втором столбце.

16

13

10

11

8

6

12

4

15

14

1

Анализируя вторую строку, первый столбец, третью строку и первую строку, заполним таблицу:

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

5. Пронализируем каждое из условий задачи. Игорь и Виктор вместе набрали 4 балла. Представим число 4 в виде суммы двух слагаемых. Получим следующие возможные варианты:

Игорь

Виктор

0

4

1

3

2

2

3

1

4

0

Так как каждый набрал разное количество баллов, то исключим пару (2; 2).

Игорь

Виктор

0

4

1

3

3

1

4

0

Таким образом, Виктор может набрать только 4,3, 1 или 0 баллов. Алексей и Виктор вместе набрали 6 баллов. Исходя из этого условия, возможны следующие варианты:

Алексей

Виктор

0

6

1

5

2

4

3

3

4

2

5

1

6

0

Так как каждый из них набрал разное количество баллов, то исключим пару (3; 3):

Алексей

Виктор

0

6

1

5

2

4

4

2

5

1

6

0

Ранее мы установили, что Виктор мог набрать 4, 3, 1 или О баллов. Следовательно, он не мог набрать 6, 5, 2 баллов. Исключая эти случаи из таблицы, получим:

Алексей

Виктор

2

4

5

1

6

0

Проанализуем каждую строку полученной таблицы и сравним с таблицей для Игоря и Виктора.

Если Алексей набрал 2, а Виктор 4, то, согласно таблице для Игоря и Виктора, Игорь мог набрать только 0 баллов.

Если же Алексей набрал 5 баллов, а Виктор 1, то Игорь мог набрать только 3 балла.

Если же Алексей набрал 6 баллов, а Виктор 0, то согласно таблице Игорь мог набрать только 4 балла.

Ответ: Игорь — 0, Виктор — 4, Алексей — 2 балла;

Игорь — 4, Виктор — 0, Алексей — 6 баллов; Игорь — 3, Виктор — 1, Алексей — 5 баллов.

6. Вычисляя разность чисел 875 и 739, мы получим 136. Рассмотрим теперь, как можно получить слово «бок» из слова «яблоко». Для этого необходимо вычеркнуть в исходном слове первую, третью и шестую букву.

Проверим найденную закономерность на втором примере. Она подтверждается (902 - 898 = 4, вычеркнута четвертая буква). Применим эту закономерность к третьему примеру 434-389 = 45. Вычеркивая четвертую и пятую буквы, получаем слово «дети». При рассмотрении следующего примера, определим, какие буквы были вычеркнуты. Для этого вычислим разность 197 и 141 (197- 141 =56). Вычеркивая пятую и шестую буквы, получаем слово «барс».

Для решения предпоследнего примера определим сначала разность. Для этого по словам определим номера вычеркнутых букв (1-7-8). После чего находим вычитаемое (561 - 178 = 383).

Последний пример предполагает, что сначала надо получить всевозможные слова из слова «девочка», а затем проделать то, что мы уже совершали при решении предыдущего примера. Например, если использовать слово «дочка», то вычеркнутыми окажутся вторая и третья буквы. Найдем вычитаемое: 475 - 23 = 452. Таким образом, получаем ответ: 475 - 452 девочка - дочка. В последнем примере можно рассмотреть и другие слова, которые получились после преобразования, например: дева, ева, дока.

7. Согласно условию задачи было четыре девочки — Катя, Валя, Лена, Ира, которые были одеты в платья зеленого, голубого, белого и розового цвета.

1 ) Так как девочка в зеленом платье не Катя и не Валя и стоит рядом с Ирой, то она может быть только Леной. Следовательно, Лена одета в зеленое платье, и никто другой не мог быть в платье этого цвета.

2) Так как Лена стоит между девочкой в голубом платье и Ирой, то Ира не в голубом платье.

3) Из условия «девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей» следует, что цвет Валиного платья не розовый и не белый.

4) Цвет Валиного платья голубой.

5) У Кати цвет платья не голубой.

Отметим в таблице приведенные выше утверждения

К

В

Л

И

Зел.

—1

—1

+1

—1

Гол.

—5

+4

—1

—2

Бел.

—3

—1

Роз.

—3

—1

6) Предположим, что у Кати платье белого цвета, тогда Ира одета в платье розового цвета.

К

В

Л

И

Зел.

—1

-1

+1

—1

Гол.

—5

+4

—1

~2

Бел.

+6

—3

—1

~6

Роз.

~6

—3

—1

+

Найденное решение (Лена — зеленое, Валя — голубое, Катя — белое, Ира — розовое) удовлетворяет всем условиям задачи.

7) Предположим, что у Кати платье розового цвета, тогда Ира одета в платье белого цвета.

К

В

Л

И

Зел.

—1

-1

+1

—1

Гол.

—5

+4

—1

~2

Бел.

—7

—3

—1

+

Роз.

+7

—3

—1

—7

Найденная комбинация (Лена — зеленое, Валя — голубое, Катя — розовое, Ира — белое) не удовлетворяет условию, что девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей.

Ответ: Лена — зеленое, Валя — голубое, Катя — белое, Ира — розовое.

ШЕСТНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (25 марта 2006 года)

1. Было 139 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на три части. Всего стал 181 лист. Сколько листов бумаги разрезали?

2. Прямоугольную шоколадку разломали на четыре прямоугольных кусочка (смотри рисунок). Первый кусочек состоит из 12 квадратных долек, второй из 18, третий из 6. Сколько квадратных долек в четвертом кусочке?

3. За три дня собрали 1002 кг фруктов. Во второй день собрали в 2 раза больше, чем в первый, а в третий — на 72 кг больше, чем во второй. Сколько фруктов собрали в первый день?

4. Можно ли из 11 карандашей длиной 1, 2, 3...11 см сложить прямоугольник, у которого одна из сторон не будет меньше 28 см?

5. Сколько существует натуральных чисел среди чисел от 1 до 57 включительно, которые при делении на 3 и на 5 одновременно дают остаток 1.

6. В пустые клетки впишите подходящие числа от 1 до 9 таким образом, чтобы результаты всех заданий на сложение были истинными.

7. Разрежьте фигуру на две равные части

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1.1) 181-139 = 42 (листа) — получилось в результате разреза;

2) 42:2 = 21 (лист) — разрезали.

Ответ: 21 лист.

2. Определим стороны прямоугольников. Для этого разложим на множители числа 6, 12, 18.

6 = 6x1 =2x3, 12= 12x1 =6x2 = 4x3, 18= 18x1 = 9 х 2 = 6x3.

Пусть общая сторона у первых двух прямоугольников равна 6 см, тогда другая общая сторона с правым прямоугольником равна 2 см. Следовательно, прямоугольник с площадью 18 см" имеет другую сторону, равную 9 см. Таким образом, последний прямоугольник имеет размеры 9 и 1 см, в нем 9 долек. Всего в шоколадке будет (2 + 9)х(2 + 1) = 33 дольки. Аналогично рассматриваются другие варианты.

Ответ: в четвертом кусочке 9 долек.

3. Выполним краткую запись задачи:

Пользуясь краткой записью, можно получить решение задачи

1) 1002 - 72 = 930 (кг) — в пять раз больше, чем в первый день;

2) 930:5 = 186 (кг) — собрали в первый день.

Ответ: 186 кг.

4. Определим периметр данного прямоугольника:

1+2 + 3+4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+ 10+ 11 =66

Сумма двух смежных сторон будет равна 33 (66:2 = 33). Так как одна из сторон не меньше 28, то возможны варианты:

28, 29,30,31,32.

Если предположить, что сторона будет 32 см, то мы не сможем найти два карандаша по 1 см. Аналогично исключим случай, когда сторона равна 31 см, так как не сможем сложить две стороны по 2 см. Для 28 см, 29 см и 30 см такой вариант возможен

(28 = 7+10+11=9 + 8 + 6 +5; 5 = 1+ 4 = 3+2).

Ответ: возможно.

5. Первый способ решения. Выпишем числа от 1 до 57, которые при делении на 5 дают остаток 1 :

1,6, 11, 16,21,26,31,36,41,46,51,56

Выпишем числа от 1 до 57, которые при делении на 3 дают остаток 1:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37,

40, 43,46, 49, 52,55.

Выберем из полученных чисел одинаковые (они выделены жирным шрифтом):

1, 16,31,46.

Можно было после первого шага из полученных чисел 1,6, 11, 16, 21,26, 31,36,41,46, 51,56 выбрать те, которые при делении на 3 дают остаток 1 :

1, 16,31,46.

Второй способ решения. Выпишем числа от 1 до 57, которые при делении на 15 дают остаток 1 :

1, 16,31,46.

Ответ: четыре — 1, 16, 31, 46.

6. Суммы трех чисел, стоящих в последней строке и последнем столбце, должны быть одинаковы. В самом простом случае это возможно, если все слагаемые одинаковые. Пусть они равны 3. Тогда все остальные числа, в самом простом случае, могут быть 1. Получаем решение:

Рассуждая аналогично, можно получить другие решения.

7. Подсчитаем количество клеток в данной фигуре — 20 (14 + 6 = 20). Так как фигуры одинаковы, то и их площади тоже равны. Определим площадь каждой фигуры — 10 (20:2 = 10). Таким образом, нам нужно получить фигуры, которые содержат по 10 клеток и при совмещении совпадают.

СЕМНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 150-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Первый тур (24 марта 2007 года)

1. Периметр четырехугольника ABCD равен 100 см. Длина стороны AB равна 41 см, сторона ВС короче стороны AB на 18 см, но длиннее стороны CD на 6 см. Найти длину стороны AD.

2. «Ну. Заяц, погоди!» — закричал волк и бросился за зайцем. Каждый шаг зайца был в два раза короче шага волка, но заяц делал шаги в три раза чаще, чем волк. Догонит ли волк зайца?

3. Сегодня 24 марта 2007 года. Сумма цифр года равна 9. Через какое наименьшее количество лет повторится такая же сумма цифр? Сколько раз будет такая же сумма до 2107 года включительно?

4. Роман, Федя, Лиза, Катя и Андрей пришли на занятие кружка. Роман пришел позже Лизы, Федя раньше Романа и сразу за Катей. Катя пришла раньше Лизы, но не была первой. Кто из ребят пришел на занятия третьим?

5. Разделите одиннадцать тортов поровну между шестью девочками, не разрезая ни один торт на шесть равных частей.

6. Сначала три, а потом четыре человека пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий? Найдите закономерность в подсчете числа рукопожатий и определите их количество для 7 человек.

7. Из 16 м ткани сшили 4 мужских и 2 детских пальто. Сколько метров ткани необходимо для пошива одного мужского и одного детского пальто, если из 18 м той же ткани можно сшить 2 мужских и 6 детских пальто?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Первый способ решения.

1)41-18 = 23 см — длина стороны ВС;

2) 23 - 6 = 17 см — длина стороны CD;

3) 41 +23 + 17 = 61 см — сумма сторон AB, ВС и CD;

4) 100 — 61 = 19 см — длина стороны AD.

Второй способ решения. Можно при решении этой задачи рассуждать иначе. Сначала определить утроенную длину стороны AB. Затем из полученного числа вычесть лишнюю длину

41хЗ-(18х2 + 6) = 81.

На последнем шаге определить AD

100-81 = 19.

Для того, чтобы это решение было более понятным, необходимо сделать соответствующую краткую запись условия задачи.

Ответ: длина стороны AD равна 19 см.

2. Первый способ решения. Пусть шаг зайца имеет некоторую единицу длины, тогда шаг волка — 2 такие же длины. Если волк, сделав один шаг, пробежит 2 единицы, то заяц за это время сделает 3 шага и пробежит 3 такие же единицы. Так как 3 больше 2, то волк не догонит зайца.

Второй способ решения. При решении этой задачи будем использовать краткую запись. Исходя из условия, что каждый шаг зайца в два раза короче шага волка, мы имеем:

Так как заяц делал шаг в 3 раза чаще, то за одно и то же время они пройдут соответственно следующее расстояние:

Таким образом, волк никогда не догонит зайца.

Ответ: волк не догонит зайца.

3. В записи года не меняется первая цифра, следовательно, сумма второй, третьей и четвертой цифр должна быть равна 7 (9 - 2 = 7). Так как самый большой год 2107, то нам необходимо рассмотреть числа вида 20ХХ и 21 ОХ. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.

Выпишем все числа первого вида — 20ХХ, удовлетворяющие условию задачи:

2007, 2016, 2025, 2034, 2043, 2052, 2061, 2070.

Ближайший год к 2007 будет 2016. Следовательно, через 9 лет повторится сумма цифр (2016 - 2007 = 9). Выпишем числа второго вида —210Х:2106.

Всего до 2107 года данная сумма будет повторяться 8 раз.

Ответ: наименьшее количество лет равно 9, сумма будет повторяться 8 раз.

4. Первый способ решения. Исходя из условия, что Роман пришел позже Лизы, а Федя сразу за Катей, имеем: ЛР, КФ. Так как Катя пришла раньше Лизы, а Федя пришел раньше Романа, то получаем следующую ситуацию: КФЛР. Так как Катя не была первой, то получается, что первым был Андрей: АКФЛР. Третьим был Федя.

Второй способ решения. Можно эту задачу решить с помощью таблицы. Для этого выделим элементы двух множеств, о которых идет речь в задаче: множество имен ребят (Р, Ф, Л, К, А) и множество порядковых номеров их прихода на занятие (1, 2, 3, 4, 5). Используя условие задачи, установим сначала, что последним пришел Роман. Это дает возможность сделать вывод о том, что он не мог уже прийти 1, 2, 3 или 4. Аналогично рассуждая, мы заполним всю таблицу, из которой определим, кто пришел третьим.

Ответ: третьим пришел Федя.

5. Из 11 тортов дадим каждой девочке по одному, тогда у нас останется 5 тортов — 11:6=1 (ост. 5). Разделим каждый из 5 тортов на две равные половины. Получим всего 10 частей. Их можно разделить поровну между 6 девочками следующим образом: 10:6 = 1 (ост. 4). Таким образом, каждая девочка получит еще по одной половинке торта.

Затем каждую из оставшихся 4 половинок поделим еще на две части. Восемь полученных четвертушек разделим между 6 девочками — 8:6 = 1 (ост. 2). Каждая из них получит еще по одной четвертушке. Каждую из полученных двух частей разделим на три части, тем самым всем достанется поровну. Окончательно получаем: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/12.

Ответ: 1 + 1/2+ 1/4+ 1/12.

6. При решении этой задачи следует использовать неполную индукцию. Проанализируем первую ситуацию и попробуем най-

ти закономерность в определении числа рукопожатий от количества участвующих в этом процессе. В первом случае, когда было трое человек, возможны следующие варианты:

1-2, 1-3,2-3.

Число рукопожатий равно трем (1 +2 = 3).

Таким образом, можно выдвинуть гипотезу, что число рукопожатий равно сумме чисел, меньших на 1 числа участвующих в рукопожатиях. Проверим эту гипотезу для второго случая. Если в рукопожатиях участвовали четверо человек, то возможны следующие варианты:

1-2, 1-3, 1-4, 2-3,2-4,3-4.

Всего рукопожатий будет 6(1 +2 + 3 = 6). Гипотеза подтвердилась.

Теперь мы можем определить число рукопожатий для 7 человек:

1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Ответ: 21 рукопожатие.

7. Сделаем краткую запись условия задачи: 4 м, 2 д — 16 м;

2 м, 6 д — 18 м.

Для того, чтобы в краткой записи присутствовали одинаковые величины, удвоим второй заказ

4 м, 2 д — 16 м;

4 м,12 д — 36 м.

1) 12 - 2 = 10 (п.) — на столько больше заказали детских пальто во второй раз;

2) 36 - 16 = 20 (м) — на столько больше ткани истратили на детские пальто во второй раз;

3) 20:10 = 2 (м) — количество ткани, которое необходимо для пошива одного детского пальто;

4) 16-2x2 = 12 (м) — количество ткани, оставшееся при первом заказе на 4 мужских пальто;

5) 12:4 = 3 (м) — количество ткани, которое необходимо для пошива одного мужского пальто.

Ответ: для пошива мужского пальто необходимо 3 метра ткани, а детского — 2 метра.

СЕМНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 150-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Второй тур (31 марта 2007 года)

1. Учитель разрезал квадратный листок бумаги со стороной 5 см на два прямоугольника. Периметр одного из этих прямоугольников равен 16 см. Чему равен периметр другого?

2. Сумма трех чисел равна 1281. От первого числа отняли 329, ко второму прибавили 401. Что надо сделать с третьим, чтобы сумма не изменилась? Изменится ли решение задачи, если слово «сумма» заменить на «разность»?

3. Из двух городов одновременно выходят два поезда. Первый проходит 40 км/ч, а второй 48 км/ч. На каком расстоянии окажутся эти поезда один от другого через 8 часов, если они движутся в одном направлении и расстояния между городами 892 км?

4. 15 мешков картофеля и 12 мешков муки весят 1 т 710 кг, причем вес одного мешка картофеля на 30 кг меньше веса одного мешка муки. Сколько весит один мешок картофеля и один мешок муки?

5. Известно, что сумма двух трехзначных чисел, в записи которых нет одинаковых цифр, равна трехзначному числу, у которого число сотен не превышает 7 и больше 5, число десятков — нечетное, а число единиц равно 1. В одном из слагаемых число десятков равно 9, а в другом число единиц равно 0. Найти эти числа.

6. Если Грушам дать по груше,

То одна в избытке груша.

Если дать по паре груш,

То не хватит пары груш.

Сколько Груш и сколько груш?

7. Прямоугольный лист железа разделили на две части так, что первая часть оказалась в четыре раза больше второй. Чему равна площадь всего листа, если первая часть на 2208 см2 больше второй?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Первый способ решения.

1 ) 16:2 = 8 см — полупериметр первого прямоугольника;

2) 8 - 5 = 3 см — ширина первого прямоугольника;

3) 5-3=2 см — ширина второго прямоугольника;

4) (2 + 5)х2 = 14 см — периметр второго прямоугольника.

Второй способ решения. Перед решением вторым способом необходимо выполнить чертеж.

1 ) 16:2 = 8 см — полупериметр первого прямоугольника;

2) 8 - 5 = 3 см — ширина первого прямоугольника;

3) 5x4 = 20 см — периметр квадрата;

4) 3x2 = 6 см — удвоенная ширина первого прямоугольника;

5) 20 - 6 = 14 см — периметр второго прямоугольника.

Ответ: 14 см.

2. Первый способ решения. Узнаем, насколько увеличилась сумма (401 - 329 = 72). Чтобы сумма осталась прежней, необходимо из третьего числа вычесть 72.

Второй способ решения. Пусть а, й, с — первое, второе и третье числа. По условию, их сумма равна 1281

а + Ь + с= 1281.

От первого числа отняли 329 (а - 329), ко второму прибавили 401 (Ь + 401). Их сумма равна

я-329+ 6 + 401 =а + Ь+ 72.

Чтобы сумма трех чисел а, Ъ, с не изменилась и была равна 1281, третье число необходимо уменьшить на 72 (с - 72).

Если в условии слово «сумма» заменить на «разность», то первым действием мы узнаем, насколько уменьшится разность а и Ь (329 + 401 = 770). Чтобы разность а, Ъ и с не изменилась, из последнего числа необходимо вычесть 770.

Ответ: третье число необходимо уменьшить на 72. Решение задачи изменится.

3. Поезда двигаются в одном направлении, следовательно, они могут двигаться в направлении AB или ВА. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Поезда двигаются в направлении AB.

1 ) 40x8 = 320 км — проехал первый поезд;

2) 48x8 = 384 км — проехал второй поезд;

3) 384 - 320 = 64 км — на столько увеличилось расстояние между ними;

4) 892 + 64 = 956 км — расстояние между поездами. Поезда двигаются в направлении ВА.

1 ) 40x8 = 320 км — проехал первый поезд;

2) 48x8 = 384 км — проехал второй поезд;

3) 384-320 = 64 км — на столько сократилось расстояние между ними;

4) 892 - 64 = 828 км — расстояние между поездами. Вместо первых трех действий можно было выполнить два:

48 - 40 = 8 км — на такую величину расстояние между поездами увеличивалось (уменьшалось) за один час. Умножив на 8, мы узнаем, на какую величину увеличилось (уменьшилось) расстояние между поездами за восемь часов: 8x8 = 64 км.

Ответ: расстояние между поездами 956 км или 828 км.

4. Первый способ решения.

1) 30x12 = 360 кг — на столько больше весят 12 мешков муки;

2) 1710-360 = 1350 кг — весят картошка и мука, если бы они были одинакового веса;

3) 15 + 12 = 27 м. — всего мешков, если бы они были одинаковы;

4) 1350:27 = 50 кг — вес одного мешка картошки;

5) 50 + 30 = 80 кг — вес одного мешка муки.

Второй способ решения. Пусть К — вес одного мешка картофеля, M — вес одного мешка муки. Тогда согласно условию:

К = М-30, 15К+12М= 1710.

Получаем

15х(М-30)+ 12М= 1710, 15М-450+12М=1710,

27М = 1710 + 450, 27М = 2160, M = 80.

Ответ: один мешок муки весит 80 кг, а картошки — 50 кг.

5. Согласно условию задачи, первое слагаемое имеет вид — А9В, а второе — СК0. В сумме число единиц равно 1, следовательно, это число имеет вид: МХ\, т. е. получаем пример

А9В + СШ = МХ\.

Отсюда можно сделать вывод о том, что В = 1

А9\ +СК0 = МХ1.

Число десятков в сумме должно быть нечетное, а это возможно только тогда, когда К = 2, 4, 6, 8:

А9\ +С20 = Ml 1,^91 + С40 = М31,

,491 + С60 = М51,^91 + С80 = М71.

Кроме того, известно, что в сумме число сотен не больше 7 и превышает 5. Следовательно, число сотен в сумме равно 6 или 7. Рассмотрим первый случай —,491 + С20 = 611. Так как

9 + 2 = 11,тоЛ + С=6-1,Л + С=5.

Это возможно только в том случае, если А и С равны 1 и 4 или 2 и 3. Ни одна из этих пар не удовлетворяет условию, что цифры в слагаемых не повторяются. Также не удовлетворяет этому условию последний случай —,491 + С80 = 671.

Аналогично рассматривая случаи — ,491 + С40 = 631, ,491 + + С60 = 651, получим

240 + 391 =631,340 + 291 =631,260 + 391 =651,360 + 291 =651.

Теперь рассмотрим случай, когда число сотен в сумме равно 7: ,491 +С20 = 71 \,А9\ +С40 = 731,

,491 +С60 = 751,^91 +С80 = 771.

Последовательно проанализировав каждый из этих случаев, получим:

280 + 491 =771,480 + 291 =771,260 + 491 =751 460 + 291 =751.

Ответ: 240+ 39\ =631,340 + 291 =631,260 + 391 =651, 360 + 291 =651,280 + 491 =771,480 + 291 =771, 260 + 491 =751,460 + 291 =751.

6. Если количество девочек с именем Груша обозначим за Г, то, согласно условию, имеем Г + 1 = 2Г - 2. Отсюда находим, что Г = 3. Количество груш равно 4 (3 + 1 = 4).

Для наглядности можно использовать краткую запись условия задачи.

Ответ: Груш три, а груш четыре.

7. 1 ) 4 - 1 = 3 ч — приходится на 2208 см2;

2) 2208:3 = 736 см" — приходится на одну часть; 3)4+1=5ч — всего равных частей в прямоугольнике; 4) 736x5 = 3680 см" — площадь прямоугольника.

Ответ: площадь прямоугольника 3680 см".

ВОСЕМНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 60-ЛЕТИЮ КАЛУЖСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Первый тур (22 марта 2008 года)

1. В сказке A.C. Пушкина «О попе и о работнике его Балде» говорится: «Сел Балда на кобылу верхом да версту проскакал так, что пыль столбом». Определите, сколько десятков метров содержится в длине пути, который проскакал Балда верхом на кобыле. (1 верста = 500 саженям, 1 сажень = 3 аршинам, 1 аршин = 71 см).

2. Отметьте на листе бумаги четыре точки. Сколько через них можно провести прямых?

3. На олимпиаде по математике в двух турах необходимо решить 14 задач. За каждую правильно решенную задачу дают 7 баллов, а решенную неверно снимают 12 баллов. Сколько задач решил правильно ученик, если он набрал 60 баллов?

4. Три друга пошли учиться на повара, столяра, маляра. При встрече с одноклассниками они сказали о месте своей учебы: Виктор — повар; Андрей — не повар; Петр — не столяр. Известно, что Петр или Андрей ошиблись. Определить профессию, которой каждый из них пошел учиться.

5. Найти четыре последовательных четных числа, сумма которых равна 3924.

6. Сторона одного прямоугольника 5 см, а другая — наименьшее двузначное число, которое делится на 3. У второго прямоугольника одна сторона равна меньшей стороне первого. Площадь одного прямоугольника больше площади другого на 25 см". Определить неизвестную сторону второго прямоугольника.

7. Для нумерации страниц в учебнике математики потребовалось 390 цифр. Сколько страниц в учебнике математики?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1.1)3х500 = 1500 аршин — в одной версте;

2) 71x1500 = 106500 см — в одной версте;

3) 106500:100 = 1065 м — в одной версте;

4) 1065:10 = 106 десятков (ост. 5) — количество десятков метров.

Ответ: в одной версте 106 десятков метров.

2. Для начала необходимо вспомнить, что через две точки проходит одна единственная прямая. После этого следует рассмотреть три случая:

1 ) четыре точки лежат на одной прямой — одна прямая;

2) три точки лежат на одной прямой, а одна не принадлежит этой прямой — 4 прямых;

3) четыре точки лежат в вершинах четырехугольника — 6 прямых.

Ответ: можно провести одну, четыре, шесть прямых.

3. Определим количество задач, решенных учеником, при условии, что он получал за каждую задачу 7 баллов: 60:7=8 (ост. 4). В силу того, что за неправильно решенную задачу снималось 12 баллов, то правильно решенных задач было больше 8. Дальше можно подбором установить, что их было 12.

Ответ: ученик решил правильно 12 задач.

4. Нам известны три утверждения, причем сказано, что Андрей или Петр ошиблись. Рассмотрим каждый из этих случаев.

1 случай. Пусть ошибся Андрей. Тогда Андрей — повар. И по первому условию Виктор тоже повар. Два человека не могут быть одновременно поваром. В этом случае решения нет.

2 случай. Пусть ошибся Петр. Тогда Петр — столяр. И по первому условию Виктор — повар. Следовательно, Андрей — маляр.

Ответ: Петр — столяр, Виктор — повар, Андрей — маляр.

5. Так как каждое четное число отличается от предыдущего четного числа на два, то второе число отличается от первого на

два, третье — на четыре, четвертое — на шесть. Все вместе они превосходят первое число на 12 (2 + 4 + 6 = 12).

Определим их сумму, если все они были бы равны первому числу: 3924 - 12 = 3912. Так в этом случае все четыре числа одинаковы, то мы можем определить первое число: 3912:4 = 978.

Следующее за ним четное число будет 980 (978 + 2 = 980). Аналогично определим третье (980 + 2 = 982) и четвертое числа (982 + 2 = 984).

Ответ: 978, 980, 982, 984.

6. Сначала определим неизвестную сторону прямоугольника. Для этого найдем наименьшее двухзначное число, которое делится на 3, — это 12. Исходя из условия задачи, у второго прямоугольника одна сторона равна 5 см. Определим площадь первого прямоугольника (12x5 = 60). Так как в условии не сказано, площадь какого прямоугольника больше площади другого на 25 см , то необходимо рассмотреть два случая.

Первый случай. Пусть площадь первого прямоугольник на 25 см" больше площади второго прямоугольника. В этом случае площадь второго прямоугольника равна 35 см" (60 - 25 = 35). Зная, что одна сторона второго прямоугольника равна 5 см и его площадь равна 35 см", определим вторую сторону — 7 см (35:5 = 7).

Второй случай. Пусть площадь второго прямоугольник на 25 см" больше площади первого прямоугольника. В этом случае площадь второго прямоугольника равна 85 см" (60 + 25 = 85). Зная, что одна сторона второго прямоугольника равна 5 см и его площадь равна 85 см", определим вторую сторону — 17 см (85:5 = 17).

Ответ: 7 см или 17 см.

7. Для записи первых девяти страниц понадобится 9 цифр (1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9).

Для нумерации страниц с 10 до 99 понадобится 90 двузначных чисел, для записи которых используется 90x2 = 180 цифр.

На следующем шаге определим, сколько цифр использовалось для записи трехзначных чисел (390 - 180 - 9 = 201). Узнаем теперь, сколько было страниц, которые были записаны с помощью трехзначных чисел (201:3 = 67).

На последнем шаге находим ответ на вопрос задачи (9 + 90 + + 67= 166).

Ответ: в учебнике математики 166 страниц.

ВОСЕМНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 60-ЛЕТИЮ КАЛУЖСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

Второй тур (29 марта 2008 года)

1. У прямоугольника длина одной стороны равна 5 см, а другая 4 дм 8 см. Каждую из больших сторон разделили тремя точками на равные части. Середину нижней стороны соединили с первой точкой верхней стороны. Определите площадь меньшего полученного четырехугольника.

2. Страницы материалов для проведения занятий математического кружка пронумерованы. На последней странице стоит число 128. Сколько потребовалось цифр для нумерации всех страниц?

3. Если задуманное число умножить на 6, затем к произведению прибавить 382, то в результате получится наибольшее трехзначное число, записанное двумя одинаковыми четными числами и одной нечетной. Найти задуманное число.

4. Периметр прямоугольника равен 126 см, а разность его сторон равна 37 см. Найти площадь прямоугольника.

5. Вставьте слова, которым могут предшествовать буквы слева, причем первые три слова содержат по четыре буквы, два следующих — по пять букв и последние — шесть.

6. Можно ли с помощью фигуры, изображенной на рисунке, сложить квадрат? Фигурки можно брать в неограниченном количестве.

7. На рисунке изображены треугольники, которые пересечены прямыми. Сколько при этом получилось треугольников?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. 1) 48:4 = 12 см2 — приходится на одну часть;

2) 12x5 = 60 см2 — площадь одной части;

3) 60:2 = 30 см2 — площадь половины одной части;

4) 30 + 60 = 90 см2 — площадь четырехугольника.

Ответ: 90 см2.

2. Для нумерации первых девяти страниц понадобится 9 чисел.

Для нумерации страниц с 10 по 99 понадобится 90 двузначных чисел, для записи которых используется 90x2 = 180 цифр.

Узнаем, сколько трехзначных чисел использовалось для нумерации страниц. Их будет 29 (128 - 99 = 29). Определим, сколько цифр использовалось для записи 29 трехзначных чисел (29x3 = 87). Для нумерации всех страниц книги понадобилось 276 цифр (9 + + 180 + 87 = 276).

Ответ: 276 цифр.

3. Определим наибольшее трехзначное число, записанное двумя одинаковыми четными числами и одной нечетной, — это 988. Вычтем из полученного числа 382, получим 606. Это увеличенное в шесть раз задуманное число. Разделив 606 на 6, определим задуманное число — 101.

Ответ: 101.

4. 1 ) 126:2 = 63 см — сумма длины и ширины прямоугольника;

2) 63 + 37 = 100 см — удвоенная длина прямоугольника;

3) 100:2 = 50 см — длина прямоугольника;

4) 63 - 50 = 13 см — ширина прямоугольника;

5) 50x13 = 650 см2— площадь прямоугольника.

Ответ: площадь прямоугольника 650 см2.

5. Эта задача имеет различные решения. Вот одно из них:

В — ВРАЧ_

M — МАМА_

Г — ГОРА_

ЯГ —ЯГОДА_

ШК —ШКОЛА_

БОР — БОРОДА_

6. Данная фигура состоит из четырех клеточек. Для того, чтобы получился квадрат, необходимо, чтобы стороны были одинаковы. Этому условию удрвлетворяет квадрат со стороной в четыре клеточки, его площадь равна 16 кв. ед. Его можно составить из четырех известных нам фигур

Ответ: можно.

7. В первом треугольнике 3 маленьких, один, составленный из двух, и большой. Итого пять. Во втором треугольнике 3 маленьких, 4 побольше и один большой. Итого восемь.

Ответ: пять и восемь треугольников.

ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (21 марта 2009 года)

1. Лист картона длиной 48 см и шириной 36 см необходимо разрезать на карточки длиной 16 см и шириной 12 см. Как это сделать, чтобы получить наибольшее количество карточек?

2. Сумма трех чисел 121 526. Одно слагаемое — наибольшее пятизначное число, все числа которого четные; второе — наименьшее четырехзначное, все числа которого нечетные. Чему равно третье число?

3. В каждом из четырех пакетов лежат шары: белые, красные, желтые и зеленые. На каждом пакете бирка, но ни одна из них не соответствует действительности. Определите цвет шаров, которые лежат в пакетах.

4. (Древнеиндийская задача 3-4 в. н.э.). Из четырех жертводателей второй дал вдвое больше монет, чем первый, третий — втрое больше второго, четвертый — вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132 монеты. Сколько дал первый?

5. Николай шел на олимпиаду по математике, проходя за минуту 100 метров. Через 36 минут он переступил порог школы № 15. И тут он вспомнил, что забыл дома ручку, с помощью которой он победил в школьной олимпиаде, и побежал домой со скоростью 3 метра в секунду. Сколько времени он затратил на обратный путь?

6. Зоя купила ленты — желтые и голубые. За желтые ленты она заплатила 24 рубля, а за голубые — 36 рублей. Какая лента дешевле?

7. Разрезать квадрат со стороной 13 см на пять прямоугольников так, чтобы все десять чисел, выражающих стороны прямоугольников, были бы различными натуральными числами.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. На первом шаге необходимо определить, сколько карточек поместится, если длина каждой из них будет 16 (48:16 = 3). Затем определить, сколько карточек поместится в ширину (36:12 = 3).

В заключение узнать количество карточек (3x3 = 9). После чего провести аналогичные рассуждения для случая, если карточки укладывать по ширине (48:12 = 4, 36:16 = 2 (ост. 4), 4x2 = 8). Теперь можно сделать вывод о том, что наибольшее количество карточек равно 9.

Ответ: длину разрезать на три равные части по 16 см, а затем каждую из полученных частей разрезать еще на 3 части — по 12 см.

2. Будем последовательно рассматривать все условия задачи. Исходя из того, что первое слагаемое — пятизначное число, следует, что для его записи будут использоваться пять цифр (ХХХХХ). Так как оно должно быть наибольшим и все его числа четные, то это будет число 88888. Второе слагаемое является четырехзначным числом (ХХХХ), и так как оно наименьшее, все числа которого нечетные, то это будет 1111. Определив их сумму (88888 + 1111 = 89999), мы можем найти неизвестное слагаемое. Для этого из известной суммы мы вычитаем сумму двух найденных слагаемых ( 121526 - 89999 = 31527).

Ответ: 31527.

3. Из первого условия, говорящего о том, что на каждом пакете бирка не соответствует действительности, можно сделать вывод, что в желтом пакете нет желтых шаров, в белом белых, в красном красных, в зеленом зеленых.

Предположим, что белый с красной биркой, тогда желтый в белом или зеленом.

Предположим, что желтый в белом, тогда зеленый с желтой, а красный с зеленой.

Пусть теперь желтый в зеленом, тогда красный в белом или желтом и т. д.

Для того чтобы облегчить рассуждения, можно использовать таблицы или графы.

Ответ: белый в красном, желтый в белом, зеленый в желтом, красный в зеленом.

4. Первый способ решения. Проанализировав условие задачи, можно прийти к выводу, что число монет, котырые дал первый, не будет больше 10. Далее путем подбора будем его уточнять. Попробуем число 5

5 + 5x2 + 5x2x3 + 5x2x3x4 = 5 + 10 + 30 + 120 = 165.

Так как полученное число больше данного, то мы ошиблись в выборе числа. Возьмем число 4. Проверка показывает, что оно удовлетворяет условиям задачи.

Второй способ решения. При решении этой задачи полезно сделать чертеж, изобразив каждое число отрезком. При этом сразу будет видно, что 33 одинаковых отрезка равны 132. Отсюда легко определить количество денег, подаренных первым жертводателем.

Третий способ решения. Можно эту задачу решить с помощью уравнения. Для этого обозначим за х — количество денег, которые дал первый жертводатель. Исходя из условия, можно составить следующее уравнение:

X + 2х + (2х)хЗ + (2ххЗ)х4 = 132,

х + 2х + 6х + 24х= 132, 33х= 132, х = 4.

Ответ: первый дал четыре монеты.

5.1) 100x36 = 3600 м — расстояние от дома до школы;

2) 3x60 = 180 м — столько метров в минуту он пробегал на обратном пути;

3) 3600:180 = 20 мин — время, которое он потратил на обратный путь.

Можно было вторым действием определить количество секунд, затраченных на обратный путь (3600:3 = 1200 секунд), а затем перевести их в минуты (1200:60 = 20 минут).

В этой задаче ответ можно представить в секундах, минутах или часах.

Ответ: 1200 секунд (20 мин, 1/3 часа).

6. При решении этой задачи следует использовать представление числа в виде произведения двух чисел. Рассмотрим первое число 24. Его можно представить в виде произведения следующими способами:

1x24 = 2x12 = 3x8 = 4x6.

Аналогично представим в виде произведения двух множителей число 36:

1x36 = 2x18 = 3x12 = 4x9 = 6x6.

Количество желтых и голубых лент может быть одинаковым, а может быть различным. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Если количество лент одинаковое, то желтые ленты дешевле, так как за них заплатили меньше денег.

Если количество лент различное, то как голубые (ж — 1 х24 руб., г — 2x18 руб.), так и желтые (ж — 4x6 руб., г — 3x12 руб.) могут

быть дешевле. В ответе необходимо отразить все три варианта — желтая дешевле голубой, голубая дешевле желтой, голубая и желтая имеют одинаковую цену (ж — 8x3 руб., г — 12x3 руб.).

Ответ: желтая дешевле голубой, голубая дешевле желтой, голубая и желтая имеют одинаковую цену.

7. На первом шаге представим число 13 в виде суммы двух слагаемых:

1 + 12 = 2+11=3 + 10 = 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7.

Пользуясь полученным разложением, будем разбивать последовательно первые три стороны, а четвертую будем подбирать. В результате получаем следующее решение:

ДЕВЯТНАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (28 марта 2009 года)

1. На покраску пола спортзала купили 23 банки краски по 25 кг в каждой, длина спортзала 65 м, а ширина 32 м. Хватит ли краски, если на 1 м~ идет 250 г краски?

2. Два друга вышли после олимпиады из школы № 15 и пошли в разные стороны, обдумывая сложную задачу. Миша проходил за час 8 км, а Вася — в 2 раза меньшее расстояние. Через 45 минут они придумали решение задачи и побежали навстречу друг другу, чтобы поделиться найденным решением. Причем каждый из них увеличил скорость в полтора раза. Через какое время они встретились? Какое расстояние они прошли до встречи?

3. Заменить буквы цифрами так, чтобы равенство было верным. Разным буквам соответствуют разные цифры.

4. От пристаней А и С отплыли две лодки. Скорость лодки, которая плывет из А, — 7 км в час, а из С — 3 км в час. Определить, через какое время лодки встретятся, если расстояние между пристанями 20 км, а скорость течения реки от А к С — 2 км в час.

5. (Старинная занимательная задача). Разделить 46 рублей на 8 частей так, чтобы каждая часть была больше предыдущей на полтинник (50 копеек).

6. Из проволоки 104 сантиметра согнули прямоугольную рамку. Длина и ширина у этой рамки равны целому числу сантиметров. Сколькими способами можно получить рамку?

7. Перед Вами лежит циферблат часов. Разделите его двумя прямыми линиями на три части, так, чтобы сумма чисел в каждой части была одинаковая.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1.1) 65x32 = 2080 м2 — площадь зала;

2) 250x2080 = 520000 г = 520 кг — требуется краски для окрашивания зала;

3) 25x23 = 575 кг — было всего краски;

4) 575 > 520 — краски хватит.

Ответ: краски хватит.

2. Первый способ решения.

1 ) 8:2 = 4 км/ч — скорость Васи;

2) 8 + 4 = 12 км/ч = 12000:60 = 200 м/мин — скорость удаления друг от друга;

3) 200x45 = 9000 м = 9 км — прошли ребята;

4) 8 + 4=12 км/ч — новая скорость Миши;

4) 4 + 2 = 6 км/ч — новая скорость Васи;

5) 12 + 6=18 км/ч = 18000:60 = 300 м/мин — скорость сближения;

6) 9000:30 = 30 мин — время встречи;

7) 9 + 9 = 18 км — прошли до встречи.

Второй способ решения. Так как они прошли и пробежали одинаковое расстояние, то при увеличении скорости в 3/2 раза время должно уменьшиться во столько же раз — 45:3x2=30.

Ответ: встретились через 30 минут, прошли до встречи 18 км.

3. Так как складывали четырехзначное число с трехзначным и получили пятизначное, то первая цифра в сумме равна единице (К=1).

При сложении чисел, стоящих в разряде единиц, должно получиться то же самое число либо сумма этого числа и десяти. Это может быть только в одном случае, если С = 0.

Так как 10 = А + 1, то из этого равенства определим А = 10 - 1 = 9. Получим следующую сумму:

Теперь мы можем определить, чему равно Д (9 + 9 = 18, Д = 8).

В заключение найдем В (В + В = 11 - 1, 2В = 10, В = 5). Получаем следующую сумму:

Ответ: А = 9, В = 5, С = 0, Д = 8, К = 1.

4. Так как в условии задачи не сказано, в каком направлении плывут лодки, то необходимо рассмотреть различные варианты: они плывут навстречу друг другу; они плывут в одну сторону по течению, они плывут в одну сторону против течения, они плывут в разные стороны. Исходя из того, что лодки должны встретиться, исключим последних два случая.

Случай первый — лодки двигаются навстречу друг другу.

1 ) 7 + 2 = 9 км/ч — скорость первой лодки;

2) 3-2=1 км/ч — скорость второй лодки;

3) 9 + 1 = 10 км/ч — скорость сближения;

4) 20:10 = 2 часа.

Случай второй — лодки плывут по течению. 1 ) 7 + 2 = 9 км/ч — скорость первой лодки; 2) 3+2 = 5 км/ч — скорость второй лодки;

3) 9-5=4 км/ч — скорость сближения;

4) 20:4 = 5 часов.

Ответ: встретятся через 2 или 5 часов.

5. Первый способ решения. Пусть первая часть равна х, тогда вторая X + 50, третья — х+50х2, четвертая — х + 50><3, пятая — X + 50x4, шестая — х + 50x5, седьмая — х + 50x6, восьмая — X + 50x7. Вычислим сумму всех частей.

Так как 1400 копеек равно 14 рублям, то получаем 8х + 14. По условию задачи эта сумма равна 46 рублям. Получаем уравнение

8х+ 14 = 46, 8х = 32,х = 4.

Первая часть равна 4 рублям, вторая — 4 руб. 50 копеек (4 руб. + 50 коп. = 4 руб. 50 коп.), третья — 5 руб., четвертая — 5 руб. 50 копеек, пятая — 6 руб., шестая — 6 руб. 50 копеек, седьмая — 7 рублей, восьмая — 7 руб. 50 копеек.

Второй способ решения. Для решения можно использовать краткую запись условия задачи в виде чертежа.

1) 50x28 = 1400 коп. — было больше чем, если бы все части были как первая;

2) 4600 - 1400 = 3200 коп. — приходится на восемь одинаковых частей;

3) 3200:8 = 400 коп. = 4 руб. — первая часть.

Ответ: 4 рубля, 4 руб. 50 копеек, 5 руб., 5 руб. 50 копеек, 6 руб., 6 руб. 50 копеек, 7 рублей, 7 руб. 50 копеек.

6. Определим сначала, чему равна сумма длины и ширины, то есть вычислим полупериметр. Для этого 104 разделим на 2 и получим 52. Представим число 52 в виде суммы двух слагаемых:

52 = 1 + 51 =2 + 50 = 3 + 49 = ...= 25 + 27 = 26 + 26.

Получается 26 способов.

Ответ: 26 способов.

7. Найдем сумму всех чисел, изображенных на циферблате часов. Для этого вычислим сумму первых двенадцати натуральных чисел:

1 +2 + 3+...+ 11 + 12 = 78.

Определим сумму чисел, расположенных в одной части, — 78:3 = 26. Теперь будем подбирать по четыре числа так, чтобы они в сумме давали 26. Получаем следующие варианты:

11 + 12 + 1 + 2 = 26; 10 + 9 + 3 + 4 = 26, 8 + 7 + 6 + 5 = 26.

Исходя из полученного результата, проведем две прямые.

ДВАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ, ПОСВЯЩЕННАЯ 65-ЛЕТИЮ ПОБЕДЫ В ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЕ

Первый тур (20 марта 2010 года)

1. Требуется разгадать, какие числа зашифрованы, если одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами:

КИС + КСИ = ИСК.

2. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, одновременно выехали два автомобиля. Скорость автомобиля, выехавшего из А, равна 40 км/ч. Определите скорость второго автомобиля, если известно, что через два часа расстояние между ними было 100 км.

3. Великий полководец, Маршал Советского Союза Георгий Константинович Жуков родился в деревне Стрелковка Калужской губернии. Он прожил 78 лет. В XX веке он прожил на 70 лет больше, чем в XIX веке. В каком году родился Г.К. Жуков?

4. Если бы школьник купил 11 ручек, то у него осталось бы 8 рублей, а на 15 ручек у него не хватает 12 рублей 24 копейки. Сколько денег было у школьника?

5. За несколько одинаковых картин заплатили 104 рубля. Сколько стоит одна картина, если их куплено больше 10, но меньше 60 и цена одной картины выражается натуральным числом.

6. Дан квадрат со стороной, равной 8. Каждая сторона квадрата разделена точкой на два равных отрезка. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются построенные точки.

7. Алеша утверждает, что позавчера ему было 9 лет, а в будущем году исполнится 12. Возможно ли это?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. КИС+ КСИ = иск.

Из того, что складываются два трехзначных числа и в результате получается опять трехзначное число, можно сделать вывод, что И^0иК<5, то есть К может принимать значения 1, 2, 3 или 4. Получаем следующие варианты:

Рассматривая последовательно каждый из вариантов, найдем решение. Покажем, как следует проводить рассуждения на одном из них:

Число сотен в сумме может равняться 4 или 5. Рассмотрим каждый из варинатов. Пусть И = 4, получим

Из полученного примера легко определить С = 8, но при подстановке С = 8 в число десятков получим противоречие (4 + 8^8-1). Пусть И = 5, получим

Из полученного примера легко определить С = 7, но при подстановке в число десятков получим противоречие (5 + 7^7-1).

Рассматривая аналогично оставшиеся случаи, найдем решение: 495 + 459 = 954.

Ответ: К = 4, И = 9, С = 5.

2. В условии задачи не сказано, в каком направлении движутся автомобили, поэтому следует рассмотреть все возможные варианты: в разные стороны, навстречу друг другу, оба по направлению AB, оба по направлению В А.

Пусть автомобили двигаются в разные стороны. Такой вариант, как и вариант движения в направлении AB, невозможен, так как расстояние между автомобилями будет больше 100 км.

Допустим, что автомобили двигаются навстречу друг другу.

1 ) 40x2 = 80 км — проехал первый автомобиль за два часа;

2) 80 + 100 = 180 км — расстояние от А до второго автомобиля;

3) 300 - 180 = 120 км — проехал второй автомобиль за два часа;

4) 120:2 = 60 км/ч — скорость второго автомобиля.

Допустим, что оба автомобиля двигаются в направлении В А. 1 ) 40x2 = 80 км — проехал первый автомобиль за два часа;

2) 300 + 80 = 380 км — расстояние от В до первого автомобиля;

3) 380 - 100 = 280 км — проехал второй автомобиль за два часа;

4) 280:2 = 140 км/ч — скорость второго автомобиля.

Ответ: скорость второго автомобиля 140 км/ч или 60 км/ч.

3. Сделаем краткую запись условия задачи

1 ) 78 - 70 = 8 лет — удвоенное время жизни в XIX веке;

2) 8:2 = 4 года — прожил Г.К. Жуков в XIX веке;

3) 1900 - 4 = 1896 — год рождения Г.К. Жукова

Ответ: Жуков родился в 1896 году.

4.1) 15 - 11 = 4 ручки — купили больше во второй раз;

2) 8 + 12 = 20 руб. — приходится на четыре ручки;

3) 20:4 = 5 руб. — стоимость одной ручки;

4) 5x11 + 8 = 63 рубля — было у школьника.

Ответ: у школьника было 63 рубля.

5. Первый способ решения. Разложим число 104 на множители: 104 = 2x2x2x13.

Следовательно, стоимость картин могла быть 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104 рубля. Исключим из этих чисел те, которые не удовлетворяют условиям, что их куплено больше 10, но меньше 60.

Это числа 13, 26, 52, 104, так как произведение их на 10 будет больше 104. Таким образом, стоимость картин может быть 2, 4 или 8 рублей.

Второй способ решения. Определим, в каких пределах находится цена картины. Для это разделим 104 на 10 и 60 с остатком (104:10 = 10 руб. (ост. 4), 104:60 = 1 руб. (ост. 44). Следовательно, цена картины больше 1 рубля, но меньше 10 рублей. Цена картины

может равняться 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 рублям. Выберем из полученных чисел те, которые делят нацело 104. Таких чисел три — 2, 4, 8.

Ответ: цена картины 2, 4 или 8 рублей.

6. Площадь внутреннего четырехугольника можно получить путем вычитания из площади большого квадрата четырех площадей треугольников. Каждые два таких треугольника образуют квадрат со стороной 4 см, площадь которого равна 16 см". Таким образом, площадь искомого четырехугольника равна 32 см" (8x8 - 16x2 =32).

Ответ: 32 см2.

7. Так как в следующем году Алеше исполнится 12, то в этом году ему должно исполниться 11 лет. Так как позавчера ему было 9 лет, то такая ситуация возможна лишь в период окончания одного года и начала другого. Предположим, что это он говорил 1 января, тогда 30 декабря ему было еще 9 лет. Следовательно, 31 декабря исполнилось 10 лет и сейчас ему идет 11 -й год. В следующем году ему исполнится 12 лет.

Ответ: возможно, если он родился 31 декабря.

ДВАДЦАТАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (27 марта 2010 года)

1. Сколько всего четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна двадцати, а количество сотен больше 19 и не превышает двадцати двух?

2. Шнурок длиной 60 дм разрезали на три части. Длина одной из них на 1 см больше другой и на 1 см меньше третьей. Найдите длину каждой части.

3. Команда спортсменов одной из школ г. Калуги участвовала в десяти соревнованиях по стрельбе, причем в каждом новом соревновании она набирала на 2 очка больше, чем в предыдущем. На последнем соревновании они набрали в 10 раз очков больше, чем на первом. Сколько очков они набрали в первом и последнем соревнованиях?

4. Самая быстрая черепаха решила участвовать в олимпийских играх. Скорость черепахи 15 метров в минуту. Длина марафонской дистанции 42 км 195 метров. Через сколько недель, суток и часов черепаха придет на финиш?

5. Периметр маленького прямоугольника равен 20 дм. Длина и ширина этого прямоугольника выражены натуральными числами. Каждая сторона большого прямоугольника отстоит от соответствующей стороны маленького треугольника на 2 дм. Определите площадь большого прямоугольника в квадратных сантиметрах.

6. Из класса, в котором 20 человек, формируется команда из трех учащихся на олимпиады по математике, русскому языку и информатике. В этом классе все ребята хорошо учатся. Сколько существует способов составить команду участников олимпиад, если каждый член команды участвует в одной олимпиаде?

7. Квадрат разделен на две равные части (смотри рисунок). Найдите различные способы деления данного квадрата на две равные части, отличающиеся формой получаемой фигуры.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Так как количество сотен больше 19 и не превосходит 22, то первые две цифры могут быть следующими: 20хх, 21хх, 22хх.

Рассмотрим числа первого вида — 20хх.

Так как сумма цифр, стоящих в разрядах, равна двадцати, то сумма последних двух цифр равна 18 (20 — 2= 18). Этому условию удовлетворяет число, у которого цифры, стоящие в разряде десятков и единиц, 9. Первое число, удовлетворяющее условию задачи, 2099.

Рассмотрим числа второго вида — 21хх.

Сумма последних двух цифр в этих числах равна 17 (20 - 3 = 17).

Представим число 17 в виде суммы двух однозначных чисел: 17 = 9 + 8 = 8 + 9. Получаем еще два числа, удовлетворяющие условию задачи: 2198, 2189.

Рассмотрим числа третьего вида — 22хх.

Сумма последних двух цифр в этих числах равна 16 (20 - 4 = 16). Представим число 16 в виде суммы двух однозначных чисел: 16 = 9 + 7 = 7 + 9 = 8 + 8. Получаем еще три числа, удовлетворяющие условию задачи: 2297, 2279, 2288. Всего получили шесть чисел (1+2 + 3 = 6).

Ответ: шесть чисел.

2. Первый способ решения. Выполним чертеж к условию задачи.

1) 600 - 3 = 597 см — длина шнурка, если бы все части были как самая маленькая из них;

2) 597:3 = 199 см — длина первой части;

3) 199 + 1 = 200 см — длина второй части;

4) 200 + 1= 201 см — длина третьей части.

Второй способ решения. Обозначим одну часть веревки через а, тогда другая а - 1, а третья — а + 1 .Так как длина веревки равна 600 см (60 дм = 600 см), то можно составить уравнение: а + а- \+ а+ \= 600, За = 600, а = 200 см. Найдем теперь длину двух других частей 200 - 1 = 199, 200 + 1 = 201.

Ответ: длина первой части 199 см, второй — 200 см, третьей — 201 см.

3. Обозначим количество очков, набранных на первом соревновании, через а, тогда на каждом последующем команда набирала на два очка больше, чем на предыдущем:

На последнем соревновании спортсмены набрали в десять раз больше очков, чем на первом. Получаем уравнение 10а = а + 2><9.

Отсюда находим, что в первом соревновании они набрали 2 очка (9а = 2x9), а в последнем 20 (2x10 = 20).

Ответ: 2 и 20.

4.1) 42195:13 = 2813 минут — потребуется черепахе для преодоления дистанции;

2) 2813:60 = 46 часов (53 минуты) — потребуется черепахе для преодоления дистанции;

3) 46:24 = 1 сутки (22 часа) — потребуется черепахе для преодоления дистанции.

Ответ: через одни сутки 46 часов 53 минуты черепаха достигнет финиша.

5. Сумма длины и ширины маленького прямоугольника равна 10 дм (20:2 = 10). Представим число 10 в виде суммы двух слагаемых: 10=1+9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 5 + 5. Глядя на рисунок, видим, что длина и ширина большого прямоугольника на 4 см больше длины и ширины маленького. Стороны большого прямоугольника могут быть равны: 5 и 13, 6 и 12, 7 и 11, 8 и 10, 9 и 9. Площадь большого прямоугольника равна:

5x13 = 65 дм2 = 6500 см2

6x12 = 72 дм2 = 7200 см2

7x11 =77 дм2 = 7700 см2

8x10 = 80 дм2 = 8000 см2

9x9 = 81 дм2 = 8100 см2

Ответ: 6500 см2, 7200 см2, 77500 см2, 8000 см2, 8100 см2.

6. На олимпиаду по математике мы можем отобрать участника двадцатью способами, на олимпиаду по русскому языку — девятнадцатью способами, на информатику — восемнадцатью способами. Итого получается 6840 способов (20x19x18 = 6840).

Ответ: 6840 способов формирования команды.

7.

Ответ:

ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (19 марта 2011 года)

1. От школы № 15 и школы № 24, расстояние между которыми равно 153 м, одновременно побежали навстречу друг другу два товарища Иван и Петр. Скорость Ивана составляет 46 метров в минуту. Через полторы минуты, после того как они побежали, им осталось пробежать до встречи 24 м. С какой скоростью бежал Петр?

2. Сколько существует трехзначных чисел меньших 500, которые не содержат 1 ?

3. Не меняя порядка расположения цифр, поставьте между ними знаки действий так, чтобы в результате этих действий получилось бы 1

12345678= 1.

4. Сколько на рисунке различных треугольников? Перечислите их, использую обозначения вершин.

5. Три подружки пошли на олимпиаду. Одна из них была в красном, другая — в желтом, а третья — в синем платье. Их тетрадки были тех же цветов. Известно, что только у Светы цвет платья и тетради совпадают. Ни платье, ни тетрадь Тани не были красными, Ира была с желтой тетрадкой. Определите цвет платья и тетради каждой девочки.

6. Египтяне за 300 лет до нашей эры для записи чисел использовали символы I, П, ^.

Что эти символы обозначают, если ^nnnllll — это 234, \ПП I I I — 123. Запишите, используя египетский способ записи чисел, число 341.

7. Найдите стороны прямоугольника, площадь которого 12 см2, а сумма длин его сторон равна 26 см.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. 1) 46:2x3 = 69 м — пробежал Иван за полторы минуты;

2) 153 - (69 + 24) = 60 м — расстояние, которое пробежал Петя;

3) 60:3x2 = 40 м/мин — скорость Пети.

Ответ: скорость Пети 40м/мин.

2. Определим, какой цифрой может быть записано число сотен — 2, 3 или 4. Рассмотрим числа вида 2хх. Всего таких чисел будет сто. Единица может стоять в разряде десятков или единиц. Если единица стоит в разряде десятков (21х), то получим числа: 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219. Всего таких чисел десять. В каждом десятке 1 может стоять в разряде единиц:

201,211,221,231,241,251,261,271,281,291.

Таких чисел тоже десять. Так как число 211 встречается два раза, то всего чисел, содержащих единицу, будет 19(10 + 9= 19). Следовательно, чисел, не содержащих единицу, в трехзначных числах вида 2хх будет 81(100-19 = 81).

Аналогично рассматривая числа вида Зхх и 4хх, установим, что всего трехзначных чисел меньших 500, не содержащих единицу, будет 243 (81 хЗ = 243).

Ответ: 243 числа.

3. Сначала следует вспомнить, как можно получить единицу — путем умножения единицы на единицу, деления единицы на единицу, нахождения разности двух последовательных чисел. Исходя из этого, необходимо проводить поиск решения. Вот одно из решений 12:3:4x56:7:8= 1.

Ответ: 12:3:4x56:7:8= 1.

4. Четыре маленьких треугольника — AMD, DME, МВЕ, ЕВС. Два треугольника побольше, образованных из двух маленьких, — АМЕ,МЕС.

Один треугольник, образованный из трех треугольников, — MDC. Один треугольник, образованный из четырех треугольников, — AMC. Всего треугольников 6.

Ответ: шесть треугольников.

5. Так как Таня была не с красной тетрадкой, а Ира с желтой (тоже не с красной), то красная тетрадка могла быть только у Светы. В силу того, что у Светы красная тетрадь, а у Иры желтая, то у Тани — синяя. Света была в красном платье, потому что у Светы цвет платья и тетради совпадают. Цвет платья у Тани и Иры может быть только желтый и синий. Таким образом, получаем два решения: первое — Света в красном платье и с красной тетрадкой, Ира в синем платье и с желтой тетрадкой, Таня в желтом платье и с синей тетрадкой; второе — Света в красном платье и с красной тетрадкой, Ира в желтом платье и с желтой тетрадкой, Таня в синем платье и с синей тетрадкой. Второе решение не удовлетворяет условию, что только у Светы цвет платья и тетради совпадали.

Ответ: Света в красном платье и с красной тетрадкой, Ира в синем платье и с желтой тетрадкой, Таня в желтом платье и с синей тетрадкой.

6. Анализируя запись числа 234, можно подметить, что знак ^ использовался для записи сотен, П — для записи десятков, а I — для единиц. Проверим найденную закономерность на записи числа 123. Она подтверждается. Следовательно, число 341 египтяне записывали так

7. Определим сначала, чему равна сумма длины и ширины прямоугольника — 26:2= 13 см. Представим число 13 в виде суммы двух слагаемых: 13 = 1 + 12 = 2+11=3 + 10 = 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7. Из полученных пар чисел выберем те, произведение которых равно 12:1x12 = 12.

Решение задачи можно было начинать с разложения числа 12 на произведение двух чисел: 12=1x12 = 2x6 = 3x4. Затем из полученных пар чисел отобрать те, сумма которых равна 13.

Ответ: длина прямоугольника 12 см, а ширина 1 см.

ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (26 марта 2011 года)

1. Периметр прямоугольника равен 40 см, а его площадь не превосходит 40 см". Длина и ширина прямоугольника выражена натуральными числами. На сколько увеличится площадь прямоугольника, если его периметр увеличить на 4 см?

2. Два друга собрали 300 марок. Один собирал по 5 штук в неделю, другой — по 3. Второй мальчик собирал на 20 недель больше, чем первый. Сколько дней собирал марки каждый мальчик?

3. Составьте задачу по краткой записи и решите ее.

4. Часы за каждые сутки убегают вперед на 3 минуты. Их поставили точно. Через какое наименьшее время стрелки часов будут снова показывать точное время?

5. Для шифрования текстов знаменитый щвейцарский математик Леонард Эйлер (1707-1783) использовал латинские квадраты. На рисунке приведен латинский квадрат, содержащий четыре строки и четыре столбца.

1

2

3

4

2

3

4

Заполните оставшиеся клетки в таблице так, чтобы в каждой строке и каждом столбце только один раз было использовано каждое из чисел: 1, 2, 3, 4. Постарайтесь найти как можно больше различных вариантов решения этой задачи.

6. В этом веке будет отмечаться 200-летие со дня рождения знаменитого русского математика, уроженца Калужской губер-

нии П.Л. Чебышева. В числе, которым записывается его год рождения, сумма чисел, стоящих в разряде сотен и тысяч, в 3 раза больше суммы чисел, стоящих в разряде десятков и единиц, и цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц. Определите год рождения П.Л. Чебышева, если известно, что он родился и умер в одном и том же веке и прожил 73 года.

7. Сколько существует чисел меньших 2011, которые делятся на 117 и 2?

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Определим, чему равен полупериметр прямоугольника (40:2 = 20). Так как сумма длины и ширины равна 20, то стороны могут быть 19 и 1, 18 и 2, 17 и 3 и т. д. Второму условию задачи удовлетворяют только первых два случая: 19 и 1 (19х 1 = 19), 18 и 2 (18x2 = 36).

Если периметр увеличить на 4, то полупериметр нового прямоугольника будет 22 (21 и 1, 20 и 2, 19 и 3, 18 и 4). Площадь прямоугольника может увеличиться на:

21x1-19x1 =2 см2; 20x2-19x1 =21 см2; 19x3-19x1 =38 см2;

20x2- 18х2 = 4см2;19хЗ- 18x2 = 21 см2; 18x4- 18x2 = 36 см2.

Ответ: площадь увеличится на 2, 4, 21, 36 или 38 см2.

2.1 ) 20x3 = 60 м — собрал второй мальчик за 20 недель;

2) 300 - 60 = 240 м — собрали мальчики за время, которое собирал первый;

3) 5 + 3 = 8 м — собирали за один день;

4) 240:8 = 30 дней — собирал первый мальчик;

5) 30 + 20 = 50 дней — собирал второй мальчик.

Ответ: первый мальчик собирал марки 30 дней, а второй — 50.

3. По данной краткой записи можно составить большое количество разнообразных задач. Вот одна из них: «Три класса ходили в поход, первый класс прошел на 8 км больше, чем второй, третий в три раза больше, чем второй. Все вместе они прошли 108 км. Сколько километров прошел каждый из классов?»

4. Чтобы часы показывали точное время, необходимо, чтобы они убежали вперед на 12 часов. Узнаем, сколько минут в 12 часах (12 часов = 60 мин. х12 = 720 мин.). Определим количество суток — 720:3 = 240.

Ответ: 240 суток.

5. Приведем одно из решений

1

2

3

4

2

1

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

6. Так как в XXI веке будет отмечаться 200-летие со дня рождения П.Л. Чебышева, то он родился в XIX веке — 1 $ав. Сумма чисел, стоящих в разряде тысяч и сотен, равна 9(1 +8 = 9). Сумма чисел, стоящих в разряде десятков и единиц, в три раза меньше 9. Следовательно, она равна 3 (а + в = 3). Число три можно представить в виде суммы следующих двух слагаемых: 3 = 0 + 3 = 1 + 2. Числа айв могут принимать значения 0 и 3 или 1 и 2. Год рождения может приходиться на 1803, 1830, 1812, 1821 год. Числа 1803 и 1812 следует исключить, так как они не удовлетворяют условию, что число десятков должно быть больше числа единиц. Остаются 1830 и 1821 годы. Согласно последнему условию, П.Л. Чебышев прожил 73 года, родился и умер в одном веке. Этому условию удовлетворяет только число — 1821 год. (1830 + 73 = 1903 — это XX век).

Ответ: 1821 год.

7. При решении этой задачи можно рассуждать следующим образом. Выписать сначала числа, меньшие 2011 и делящиеся на 117 (2), затем среди них выбрать те, которые делятся на 2 ( 117), и определить, сколько их получилось.

В силу того, что число делится на 2 и 117, то оно будет делиться и на их произведение 2x117 = 234. Разделив 2011 на 234, определим количество таких чисел (2011:234 = 8 (ост. 128).

Ответ: восемь чисел.

ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (17 марта 2012 года)

1. Участок дороги прямоугольной формы длиной 800 м и шириной 50 м покрыли асфальтом. На каждые 100 м" дороги расходовали 3 т 800 кг асфальта. Сколько тонн асфальта израсходовали?

2. Какие цифры стоят в натуральном ряду на тринадцатом и сто двадцатом местах?

3. Навстречу друг другу по автостраде Калуга — Москва едут два автомобиля. Скорость первого 60 км/ч, а скорость второго на 1/5 больше, чем первого. До моста длиной 2 км, по которому может проехать только один автомобиль, первому автомобилю остается проехать 120 км, второму — 180 км. Помешают ли автомобили друг другу при проезде через мост?

4. К двузначному числу прибавили 3, оказалось, что сумма делится на 3. К этому же двузначному числу прибавили 7, получившаяся сумма разделилась на 7. Если от данного двузначного числа отнять 4, то полученная разность разделится на четыре. Найдите это двузначное число.

5. В 17-00 скорость движения гоночного автомобиля была равна 30 км/ч. Через каждые следующие 5 минут скорость увеличивалась на 6 км/ч. Определить, какое расстояние прошел автомобиль с 17-00 до 20-00 того же дня.

6. Точка К — середина стороны прямоугольника ABCD. Площадь заштрихованной части равна 76 см2. Чему равна площадь всего прямоугольника?

7. Сумма чисел, записанных вдоль каждой стороны большого квадрата, равна 12. Переставьте числа, записанные в кружочках, не меняя положение чисел, записанных в квадратах, так, чтобы их сумма вдоль каждой стороны большого квадрата была равна 13.

Вписать числа.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1.1 ) 800x50 = 40000 м2 — площадь дороги;

2) 40000:100 = 400 раз — содержится в дороге по 100 м2;

3) 3800x400 = 1520000 кг = 1520 т — израсходовали асфальта.

Ответ: израсходовали 1520 т асфальта.

2. Выпишем первые пятнадцать чисел:

Для заполнения первых девяти мест потребуется 9 цифр, затем для записи каждого двузначного числа требуются две цифры. Начиная с десятого места, записываются двузначные числа. Для записи каждого из них отводится два места. Чтобы определить, какая цифра стоит на тринадцатом месте, надо узнать, какая цифра единиц или десятков какого двузначного числа будет записана. Для этого найдем разность тринадцати и девяти (четыре) и разделим её на два (4:2 = 2). Это означает, что на тринадцатом месте стоит цифра единиц второго двузначного числа, то есть 1. Аналогично на 120-м месте стоит цифра десятков 55 (120 - 9):2 = 55 (ост. 1).

Ответ: 6.

3. 1) 60:5 = 12 км/ч — больше скорость второго автомобиля;

2) 60 + 12 = 72 км/ч — скорость второго автомобиля;

3) 120:60 = 2 ч — время, за которое доедет первый автомобилист до моста;

4) 180:72 = 2 (ост. 36) ч — время, за которое доедет второй автомобилист до моста;

5) 60:2 = 30 км — проедет первый за полчаса;

6) 2 км < 30 км — первый успеет проехать по мосту.

Ответ: не помешают.

4. Так как сумма двузначного числа и трех делится на три и второе слагаемое тоже делится на три, то и неизвестное двузначное число делится на три. Аналогично рассуждая, установим, что двузначное число делится еще на семь и четыре. Таким образом, оно делится на 84 (3x4*7 = 84). Среди двузначных чисел, делящихся на восемьдесят четыре, есть только одно — 84.

Ответ: 84.

5. Запишем последовательность чисел, выражающую, с какой скоростью ехал автомобиль по трассе: 30, 36, 42, 48, 54 ... 240. Для определения расстояния необходимо вычислить сумму:

30:12+ 36:12 + 42:12+.... +234:12+ 240:12 = (30 + 36 + 42 +..+ 234 + 240): 12.

Если сложить первое и последнее слагаемое, второе и предпоследнее и другие аналогичные пары чисел, то всегда будем получать 270 (30 + 240 = 36 + 234 = 42 + 228 и т. д.). Определим, сколько таких пар. За каждый час скорость увеличивалась 12 раз (60:5 = 12). За три часа она увеличивалась 36 раз. Следовательно, таких пар 18. Для определения расстояния умножим 270 на 18 и разделим на 12. Получаем 405 км (270х 18:12 = 4860:12 = 405).

Ответ: 405 км.

6. Оставшаяся часть равна трем заштрихованным. Всего у нас получилось четыре одинаковых части.

1 ) 76x4 = 304 см" — площадь всего прямоугольника.

Ответ: площадь всего прямоугольника 304 см2.

ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (24 марта 2012 года)

1. Петя, Вася, Коля и Толя подсчитали после рыбалки свой улов. Толя поймал больше, чем Коля. Петя и Вася вместе поймали рыбы столько же, сколько поймали Толя и Коля. Петя и Коля вместе поймали меньше, чем Вася и Коля. Кто из рыбаков мог быть первым по количеству пойманной рыбы?

2. Шестизначное число начинается цифрой 1 и кончается цифрой 7. Если цифру, стоящую в разряде единиц, уменьшить на 1 и перенести на первое место, то получится число в 5 раз больше первого. Найдите это число.

3. Четверо ребят — Алеша, Боря, Ваня и Гриша — соревновались в беге. На следующий день они заявили:

Алеша — Я не был ни первым, ни последним; Боря — Я не был последним; Ваня — Я был первым; Гриша — Я был последним.

Известно, что трое сказали правду, а один обманул. Кто был первым? Кто сказал неправду?

4. Куб с ребром 8 см покрасили, а затем разрезали на кубики с ребром 2 см. Сколько кубиков имеют по три окрашенные грани, по две окрашенные грани, по одной окрашенной грани?

5. Коля и Вася живут в одном доме, на каждом этаже которого расположено четыре квартиры. Коля живет на пятом этаже в квартире номер 83, а Вася — на третьем этаже в квартире номер 169. Сколько этажей в доме?

6. Собственная скорость лодки 40 км/ч. Скорость лодки против течения 37 км 500 м в час. Какое расстояние проплывет лодка за 6 часов по течению реки?

7. Не переставляя цифр в левой части равенства, поставьте между ними два знака «+» так, чтобы получилось верное равенство 8 7 8 9 9 2 4 = 1010.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Введем обозначения. Буквами П, В, К, Т обозначим количество рыбы пойманной соответственно Петей, Васей, Колей и Толей. Из условия задачи известно, что Толя поймал рыбы больше, чем Коля (К < Т). Так как Петя и Коля поймали вместе меньше рыбы, чем Вася и Коля (П + К < В + К), то Петя поймал меньше, чем Вася (П < В).

С учетом двух условий запишем возможные соотношения между величинами П, В, К, Т и проверим условие П + В = Т + К.

1. Пусть К < П < Т < В. Условие может быть выполнено.

2. Пусть К < Т < П < В. Условие не выполняется (П + В Ф Т + К).

3. Пусть П < К < Т < В. Условие может быть выполнено.

4. Пусть К < П< В <Т. Условие может быть выполнено.

5. Пусть П < В < К < Т. Условие не выполняется (П + В Ф Т + К).

6. Пусть П < К < В < Т. Условие может быть выполнено.

Из приведенных рассуждений следует, что первым по количеству пойманной рыбы мог быть Вася или Толя.

Ответ: первым по количеству пойманным рыбы мог быть Вася или Толя.

2. Запишем общий вид шестизначного числа, начинающегося цифрой 1 и заканчивающегося цифрой 7, — 1хххх7. Если последнюю цифру уменьшим на 1 и перенесем на первое место, то получим число 61хххх. Оно больше первого в 5 раз. Следовательно, у него последняя цифра 5 (7x5 = 35). Получаем числа 1ххх57 и 61ххх5. Теперь можем определить цифру, стоящую в разряде сотен, — 8 (57x5 = 285). Получаем числа 1хх857 и 61хх85. Определим цифру, стоящую в разряде тысяч, — 2 (857x5 = 4285). Получаем числа 1x2857 и 61x285. Определим последнюю неизвестную цифру. Она равна 4 (2857x5 = 14285). Окончательно получаем 122857.

Ответ: 122857.

3. В этой задаче речь идет об именах четырех ребят (Алеша, Боря, Ваня, Гриша) и местах, которые они заняли в соревнованиях по бегу (1, 2, 3, 4). Нарисуем квадратную таблицу

А

Б

В

Г

1

2

3

4

По условию задачи один из ребят обманул. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1. Пусть Гриша сказал неправду. Тогда он не был последним. Отметим это в таблице

А

Б

В

Г

1

2

3

4

-

Все остальные ребята сказали правду. Алеша — Я не был ни первым, ни последним. Боря — Я не был последним. Ваня — Я был первым. Отметим эти условия в таблице

А

Б

В

Г

1

-

+

2

3

4

-

-

-

Так как Ваня был первым, то он не мог быть последним. Отметим это в таблице

А

Б

В

Г

1

-

+

2

3

4

-

-

-

-

Получилось, что ни один из ребят не прибежал четвертым. Это противоречит условию. В первом случае решения нет.

Случай 2. Пусть Ваня сказал неправду. Тогда он не был первым. Отметим это в таблице

А

Б

В

Г

1

-

2

3

4

Все остальные ребята сказали правду. Алеша — Я не был ни первым, ни последним. Боря — Я не был последним. Гриша — Я был последним. Отметим эти условия в таблице

А

Б

В

Г

1

-

-

2

3

4

-

-

+

Так как Гриша был последним, то никто из ребят больше последним не мог быть и Гриша не мог быть первым, вторым, третьим. Отметим это в таблице

А

Б

В

Г

1

-

-

-

2

-

3

-

4

-

-

-

+

Из таблицы видно, что Боря был первым. Следовательно, он не мог быть вторым, третьим, четвертым. Отметим это в таблице

А

Б

В

Г

1

-

+

-

-

2

-

-

3

-

-

4

-

-

-

+

Так как больше условий нет, то анализ таблицы позволяет сделать вывод, что Алеша мог быть вторым, тогда Ваня был третьим, либо Алеша был третьим, А Ваня вторым.

Получаем следующее решение: Боря — 1, Алеша — 2, Ваня — 3. Гриша — 4 или Боря — 1, Ваня — 2, Алеша — 3, Гриша — 4.

Рассматривая аналогично случай 3 (Боря сказал неправду) и случай 4 (Алеша сказал неправду), легко убедиться, что решения нет.

Ответ: Боря первый, Алеша второй, Ваня третий, Гриша четвертый или Боря первый, Ваня второй, Алеша третий, Гриша четвертый.

4. По три окрашенные грани будут иметь угловые кубики. На грани, изображенной на рисунке, их четыре. На противоположной грани тоже будут четыре. Итого таких кубиков будет восемь.

На одной грани (смотри рисунок) будет восемь кубиков, у которых окрашены две грани. На противоположной грани их тоже восемь, а на двух боковых гранях их будет по четыре. Итого 24 кубика (8x3 = 24).

Одна окрашенная грань будет у кубиков, находящихся в центре (смотри рисунок). Их всего четыре. Всего граней у куба шесть. Таким образом, таких кубиков будет 24 (4x6 = 24).

Ответ: одна грань окрашена у двадцати четырех кубиков, две — у шестнадцати, три — у восьми.

5. 1)4x4= 16 кв. — количество квартир, расположенных на первых четырех этажах, в подъезде, где живет Коля; 2) 83 - 16 = 67 кв. — количество квартир, предшествующих Колиной и расположенных на пятом этаже и в других подъездах;

2) 67:4 = 16 этажей (ост. 3) — количество этажей в подъездах, предшествующих подъезду, в котором проживает Коля;

Шестнадцать делится нацело на 16, 8, 4, 2, 1. Согласно условию количество этажей в подъезде не менее пяти. Таким образом, остается два варианта — 16 и 8. Проверяя каждый из них, получим ответ — 8 этажей.

Ответ: 8 этажей.

6.1) 40000 - 37500 = 2500 м/ч — скорость реки;

2) 40000 + 2500 = 42500 м/ч — скорость лодки по течению;

3) 42500x6 = 225000 м = 225 км — расстояние, которая проплыла лодка.

Ответ: 225 км.

7. Для сужения вариантов поиска следует исходить из того, что сумма единиц каждого числа должна давать десяток. Пример решения: 87 + 899 + 24 = 1010.

Ответ: 87 + 899 + 24 = 1010.

ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Первый тур (16 марта 2013 года)

1. Три одноклассника Витя, Боря и Иван занимаются в спортивных секциях: футбола, хоккея, тенниса. Каждый из них ходит только в одну секцию. Иван и теннисист живут в соседних домах. Борис старше футболиста, а хоккеист — ровесник одному из мальчиков. В какие спортивные секции ходит каждый из них?

2. Куб со стороной 8 дм разрезан на кубики со сторонами по 4 см. Сколько кубиков получится?

3. Каждому из троих ребят родители купили конфеты. Вите — 35 конфет, Марии — меньше, чем Вите, а Саше столько же конфет, сколько Вите и Марии вместе, причем у него четное количество конфет. Какое наибольшее число конфет могли купить ребятам?

4. Учащимся одной из школ поручено изготовить для детских садов города 455 елочных игрушек. Все ученики должны сделать по одному и тому же количеству игрушек. В изготовлении игрушек принимали участие больше 10, но меньше 70 человек. Сколько ребят делали игрушки, и какое количество каждый из них изготовил?

5. Я загадал натуральное число от 1 до 8. Вы хотите отгадать его, задавая вопросы, на каждый их которых я могу отвечать только «да» или «нет». Какие бы три вопроса Вы задали, чтобы отгадать задуманное число?

6. Вычислить сторону (выделенную на чертеже жирным цветом) многоугольника, если известны некоторые из его сторон и площадь всего многоугольника равна 72 см".

7. Сколько различных произведений, которые делятся на 10 (порядок не принимать во внимание), можно составить из чисел 2, 3, 5, 7, 9? Числа в произведении не повторяются!

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. В этой задаче речь идет о трех одноклассниках (Вите, Боре, Иване) и трех спортивных секциях (футбола, хоккея, тенниса). Составим таблицу:

в

Б

И

ф

X

т

Исходя из условия задачи, заполним таблицу. Иван и теннисист живут в соседних домах. Следовательно, Иван не теннисист

в

Б

И

ф

X

т

-

Борис старше футболиста. Следовательно, Борис не футболист

в

Б

II

ф

X

т

-

Будем теперь рассматривать различные случаи (Витя — футболист, Витя — хоккеист, Витя — теннисист) и проверять выполнимость условия, что хоккеист — ровесник одному из мальчиков.

Случай 1. Витя — футболист. В этом случае Витя не может быть ни хоккеистом, ни теннисистом, а Иван не может быть футболистом. Отметим это в таблице

в

I.

II

ф

+

-

X

т

-

Из таблицы можно сделать вывод, что Иван был хоккеистом, а Борис теннисистом

в

Б

И

ф

+

-

-

X

-

-

+

т

-

+

-

Таким образом, Витя — футболист, Борис — теннисист, Иван — хоккеист.

Случай 2. Витя — хоккеист. В этом случае Витя не может быть ни футболистом, ни теннисистом, а Иван и Борис не могут быть хоккеистами. Отметим это в таблице

в

Б

И

ф

-

-

X

+

-

-

т

-

-

Из таблицы можно сделать вывод, что Иван был футболистом, а Борис теннисистом

в

Б

И

ф

-

-

+

X

+

-

-

т

-

+

-

Таким образом, Витя — хоккеист, Борис — теннисист, Иван — футболист.

Случай 3. Витя — теннисист. В этом случае Витя не может быть ни хоккеистом, ни футболистом, а Борис не может быть теннисистом. Отметим это в таблице

в

Б

И

ф

-

-

X

-

т

+

-

-

Из таблицы можно сделать вывод, что Иван был футболистом, а Борис хоккеистом

в

Б

И

ф

-

-

+

X

-

+

-

т

+

-

-

Таким образом, Витя — теннисист, Борис — хоккеист, Иван — футболист.

Ответ: Витя — футболист, Борис — теннисист, Иван — хоккеист; Витя — хоккеист, Борис — теннисист, Иван — футболист; Витя — теннисист, Борис — хоккеист, Иван — футболист.

2. Узнаем, сколько кубиков по 4 см помещается в одной стороне куба (80:4 = 20). Тогда в первом слое кубиков будет 400 (20x20 = 400). Таких слоев у нас 20. Всего кубиков будет 8000 (400x20 = 8000).

Ответ: 8000 кубиков.

3. Согласно условию у Марии меньше конфет, чем у Пети. Следовательно, у нее может быть 34, 33... 1 конфеты. Так как у Саши четное количество конфет, то у Марии должно быть нечетное (33, 31, 29 ... 3, 1). Нам необходимо найти наибольшее количество конфет, поэтому у Маши будет 33 конфеты. У Саши будет 68 конфет (35 + 33 = 68), а у всех ребят вместе 136 (35 + 33 + 68 = 136).

Ответ: наибольшее число конфет 136.

4. Представим число 455 в виде произведения нескольких чисел. Так как запись числа оканчивается пятеркой, то оно делится на 5 (455:5 = 91). Число 91 делится нацело на 7 (91:7 = 13). Таким образом, число 455 можно представить в виде произведения следующих чисел: 455 = 5х7х13.

Теперь представим число 455 в виде произведения двух чисел, одно из которых будет выражать количество игрушек, сделанных одним учеником, а другое — количество учеников, изготовлявших игрушки:

Так как количество учеников больше 10, но меньше 70, то остаются следующие варианты: 455 = 65><7; 455 = 13x35 = 35x13.

Ответ: 65 учеников изготовили по 7 игрушек, 13 учеников изготовили по 35 игрушек, 35 учеников изготовили по 13 игрушек.

5. Все числа от 1 до 8 можно разбить на две группы: 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8. Поэтому первым вопросом мы определим, какой группе чисел будет принадлежать задуманное число. Для этого можно задать вопросы: «Это число больше либо равно 5? Это число больше 4? Это число меньше 5? Это число меньше либо равно 4?».

В результате ответа мы получим числа 1, 2, 3, 4 или 5, 6, 7, 8. Каждый из этих наборов чисел может быть разбит опять на две части 1, 2 и 3, 4 или 5, 6 или 7, 8. Допустим, что на первый вопрос ответили «нет». Тогда у нас остается четыре числа 1, 2, 3 и 4. Зададим второй вопрос: «Это число больше либо равно 3?». Допустим, что ответили «нет». Тогда остается два числа 1 и 2. Зададим последний вопрос: «Это число 1». Допустим, что ответили «нет», тогда задуманное число 2.

Можно провести аналогичные рассуждения для случая, когда на первый вопрос ответят «да».

6. Разобьем наш многоугольник на три прямоугольника. Вычислим сначала площадь верхнего прямоугольника. Она равна 10 см2 (10x1 = 10). Площадь нижнего прямоугольника равна 20 см2 (5x4 = 20). Определим теперь площадь прямоугольника, у которого неизвестна сторона (72 - 10 - 20 = 42). Представим число 42 в виде произведения двух множителей (42 = 42x1 = 21 х2 = 7x6). Так как одна из строи больше 5, но меньше 10, то остается два варианта 7 см или 6 см.

Ответ: 7 см или 6 см.

7. Чтобы число делилось на 10, оно должно делиться на 2 и 5.

Таким образом, в произведении обязательно будут 2 и 5. Получаем первое произведение — 2><5.

Будем теперь добавлять по одному сомножителю к этому произведению:

2x5x3,2x5x7,2x5x9.

Добавим к полученным произведениям еще по одному сомножителю:

2x5x3x7,2x5x3x9,2x5x7x9. Добавим еще один множитель:

2x5x3x7x9.

Всего получилось восемь произведений 1+3 + 3 + 1=8.

Ответ: восемь произведений.

ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ СРЕДИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Второй тур (23 марта 2013 года)

1. Из 2 кг 600 граммов меди сделали три вещи: ложку, подсвечник, чайник. Каждая вещь втрое тяжелее предыдущей. Каков вес чайника?

2. Старинная задача. Помещик, рассчитав, что корова стоит вчетверо дороже собаки, а лошадь вчетверо дороже коровы, захватил с собой в город 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, две коровы и лошадь. Сколько стоит каждое из купленных животных?

3. Из чисел от 1 до 15 включительно составить такие пары чисел, у которых разность между первым и вторым числами делится нацело на 7.

4. В четвертых классах школы № 15 учатся 100 ребят. 37 из них записались в футбольную секцию, 40 — в секцию плавания, 15 человек записались в обе секции. Сколько ребят не записалось ни в одну секцию?

5. Найдите количество трехзначных чисел, оканчивающихся нулем, которые при делении на 3 дают остаток 1, если известно, что число десятков или сотен делится нацело на 4.

6. Продолжите условие задачи «Петя и Коля пошли в лес за грибами. В первый час Петя собрал грибов в два раза больше Коли...» так, чтобы ее решение определялось выражением 30:3+4.

7. Найдите закономерность, которой подчиняется числовой ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 16, 9..., и запишите следующие пять чисел.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ

1. Сделаем краткую запись условия задачи.

1 ) 1+3+9=13 (частей) — приходится на 2 кг 600 граммов;

2) 2600:13 = 200 (граммов) — вес ложки;

3) 200x3 = 600 (граммов) — вес подсвечника;

4) 600x3 = 1800 (граммов) — вес чайника.

Ответ: вес чайника 1800 граммов.

2. Запишем условия задачи в виде равенств:

К = 4С, Л = 4К. Заменив во втором равенстве К на 4С, получим:

Л= 16С.

Так как собака, две коровы и лошадь стоят 200 рублей, то можно записать следующее уравнение:

С + 2К + Л = 200.

Используя установленные ранее соотношения для Л и К, получим уравнение

С + 8С+ 16С = 200.

Приведем подобные (25С = 200) и определим неизвестный множитель в произведении С = 8. Умножая полученное число на 4 и 16, определим цену коровы и лошади (8x4 = 32, 8x16 = 128).

Ответ: собака стоит 8 рублей, корова 32 рубля, лошадь 128 рублей.

3. Чисел от 1 до 15, которые делятся на 7, всего два — 7 и 14. Образуем теперь пары чисел, разность которых равна 7 или 14.

8-1=7; 9-2 = 7; 10-3 = 7; 11-4 = 7; 12-5 = 7; 13-6 = 7; 14-7 = 7; 15-8 = 7; 15-1 = 14. Всего пар получилось девять.

Ответ: 8 и 1, 9 и 2, 10 и 3, 11 и 4, 12 и 5, 13 и 6, 14 и 7, 15 и 8, 15 и 1.

4. 1) 40 - 15 = 25 (учеников) — записались только в секцию

плавания;

2) 37 - 15 = 22 (ученика) — записались только в секцию футбола;

3)25+ 22 + 15 = 62 (ученика) — записались в секции футбола и тениса;

4) 100 - 62 = 38 (учеников) — не записались ни в одну секцию.

Ответ: 38 ребят не записались ни в одну секцию.

5. Согласно условию трехзначные числа оканчиваются нулем. Следовательно, их общий вид: асО. Так как количество десятков или сотен делится нацело на 4, то получим следующие две группы чисел:

аОО, а40, а80 и 4с0, 8с0.

Используя последнее условие (при делении на 3 получается остаток равный 1 ), определим искомые числа:

100, 400, 700; 340, 640, 940; 280, 580, 880; 400, 430, 460, 490; 820, 850, 880.

Получается, что трехначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, будет пятнадцать.

Ответ: пятнадцать.

6. В первый час Петя собрал грибов в два раза больше Коли, и вместе они собрали 30 грибов. Сколько грибов собрал Коля во второй час, если известно, что он собрал на 4 гриба больше, чем в первый час.

7. Разобьем данный числовой ряд на два:

1,3,5,7, 9,... и 2, 4, 8, 16...

Каждый член первого ряда получается из предыдущего путем прибавление двух, а второй — путем умножения на два. Теперь зная закономерность, мы можем продолжить ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 16, 9, 32, 11, 64, 13, 128...

Ответ: 32, 11,64, 13, 128.

ПОБЕДИТЕЛИ ОЛИМПИАД

1991 год

Командное первенство

I Средняя школа № 24.

Личное первенство

I Преображенская Татьяна — средняя школа № 24.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Митюшенкова Валентина Александровна — средняя школа № 24.

1992 год

Командное первенство

I Средняя школа № 7.

II Средняя школа № 36.

III Средняя школа № 15.

Личное первенство

I Астахов Антон — средняя школа № 7. Корнева Анна — средняя школа № 5.

II Куринов Алексей — средняя школа № 19.

III Черепанов Александр — средняя школа № 15. Титкин Павел — средняя школа № 15.

Учителя, подготовившие победителя олимпиады, —

Каребина Наталья Михайловна — средняя школа № 7; Шумачева Ольга Николаевна — средняя школа № 5.

1993 год

Командное первенство

I Средняя школа № 24.

II Средняя школа №11.

III Средняя школа № 12.

Личное первенство

I Булычева Мария — средняя школа № 24.

II Любимов Александр — средняя школа № 12.

III Шкыльников Александр — средняя школа № 5.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Федорова Галина Анатольевна — средняя школа № 24.

1994 год

Командное первенство

I Средняя школа № 24.

II Средняя школа № 46.

III Средняя школа № 7.

Личное первенство

I Сойкина Анна — средняя школа № 24.

II Алексеева Светлана — средняя школа № 24.

III Лихошерст Анатолий — средняя школа № 46.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Митюшенкова Валентина Александровна — средняя школа № 24.

1995 год

Командное первенство

I Средняя школа № 24.

II Средняя школа № 50.

III Средние школы № 12 и № 46.

Личное первенство

I Козырев Дмитрий — средняя школа № 12.

II Жеребцов Николай — средняя школа № 46.

III Чижов Леонид — средняя школа № 24.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Орлова (Жилина) Ольга Павловна — средняя школа № 12.

1996 год

Командное первенство

I Средняя школа № 50.

II Средняя школа № 10.

III Средняя школа № 24.

Личное первенство

I Лахов Александр — средняя школа № 12.

II Кудрявцев Андрей — средняя школа № 48.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады,—

Терехова Нина Ивановна — средняя школа № 12.

1997 год

Командное первенство

I Средняя школа-гимназия № 24.

II Средняя школа № 46.

III Средняя школа № 6.

Личное первенство

I Фролов Павел — средняя школа-гимназия № 24.

II Кирюшина Юлия — средняя школа-гимназия № 24.

III Белокопытов Андрей — средняя школа № 12.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Митюшенкова Валентина Александровна — средняя школа-гимназия № 24.

1998 год

Командное первенство

I Средняя школа-гимназия № 24.

II Средняя школа № 46.

III Средняя школа № 14.

Личное первенство

I Фролова Лидия — средняя школа-гимназия № 24.

II Бекесова Софья — средняя школа-гимназия № 24.

III Иванова Ольга — средняя школа-гимназия № 24.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Козлова Антонина Ивановна — средняя школа-гимназия № 24.

1999 год

Командное первенство

I Средняя школа-гимназия № 24. II-III Средние школы № 46 и № 50.

Личное первенство

I Жеребцова Ирина — средняя школа № 46.

II Шитохин Олег — средняя школа № 46.

III Петрова Юлия — средняя школа № 7.

Учителя, подготовившие победителя олимпиады, —

Соболевская Инна Георгиевна, Хомякова Нина Николаевна — средняя школа № 46.

2000 год

Командное первенство

I Гимназия № 24.

II Средняя школа № 12.

III Средняя школа № 46.

Личное первенство

I Л ахов Евгений — средняя школа № 12.

II Шабанов Костя — гимназия № 24.

III Лылова Светлана — средняя школа № 46.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Фрольцова Елена Николаевна — средняя школа № 12.

2001 год

Командное первенство

I Гимназия № 24.

II Средняя школа № 46.

III Средняя школа № 15.

Личное первенство

I Ларичкин Артем — гимназия № 24.

II Егорова Марианна — гимназия № 24.

III-IV Михалев Илья — средняя школа № 12, Воронковский Георгий — средняя школа № 48.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады,—

Козлова Антонина Ивановна — гимназия № 24.

2002 год

Командное первенство

I Гимназия № 24.

II Средняя школа № 6.

III Средняя школа № 50.

Личное первенство

I Утев Максим — средняя школа № 50.

II Плосконосов Андрей — средняя школа № 6.

III Тарасиков Александр — гимназия № 24.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Тришкина Марина Ивановна — средняя школа № 50.

2003 год

Командное первенство

I Гимназия № 24.

II Средняя школа № 7.

III Средняя школа № 46.

Личное первенство

I Морева Юлия — гимназия № 24.

II Филиппов Алексей — средняя школа № 7.

III Журавлева Екатерина — гимназия № 24.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Митюшенкова Валентина Александровна — гимназия № 24.

2004 год

Командное первенство

I Средняя школа № 12.

II Гимназия № 24.

III Гимназия № 19.

Личное первенство

I Волков Никита — гимназия № 24.

II Меньшова Екатерина — средняя школа № 12.

III Щетинников Кирилл — средняя школа № 47.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Микайлова Ольга Владимировна — гимназия № 24.

2005 год

Командное первенство

I Средняя школа № 7.

II Средняя школа № 48.

III Средняя школа №21.

Личное первенство

I Баринов Константин — средняя школа №21.

II Руденко Надежда — средняя школа № 7.

III Сагдеев Арсений — средняя школа № 7.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Козлова Лариса Александровна — средняя школа №21.

2006 год

Командное первенство

I Гимназия № 24.

II Средняя школа № 16.

III Средняя школа № 7.

Личное первенство

I Костюхин Михаил — гимназия № 24.

II Полубояринов Антон — гимназия № 24.

III Лазарева Екатерина — средняя школа № 14.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Линникова Вера Ивановна — гимназия № 24.

2007 год

Командное первенство

I Средняя школа № 49.

II Гимназия № 24.

III Средняя школа № 46.

Личное первенство

I Гриценко Богдан — средняя школа № 49.

II Груздев Никита — гимназия № 24.

III Лащенова Дарья — средняя школа № 7.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Тряпицина Людмила Ивановна — средняя школа № 49.

2008 год

Командное первенство

I Гимназия № 24.

II Средняя школа № 12.

III Средняя школа № 7.

Личное первенство

I Родин Вячеслав — средняя школа № 46.

II Лобанов Кирилл — средняя школа школа № 7.

III Дзененко Георгий — средняя школа школа № 12.

Учителя, подготовившие победителя олимпиады, —

Алехина Анна Алексеевна, Хомякова Нина Николаевна — средняя школа № 46.

2009 год

Командное первенство

I Гимназия № 19 и средняя школа № 46.

II Гимназия № 24.

III Средняя школа № 7.

Личное первенство

I Семина Ирина — средняя школа № 49.

II Гапонов Тимур — гимназия № 24.

III Лобанов Кирилл — средняя школа № 7.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Масленникова Наталия Ивановна — средняя школа № 49.

2010 год

Командное первенство

I Средняя школа №13.

II Средняя школа № 6.

III Средняя школа № 45.

Личное первенство

I Кудряшов Даниил — средняя школа №13.

II Гаврикова Анна — средняя школа № 30.

III Шмелькова Анастасия — средняя школа № 18.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Алексанова Лидия Григорьевна — средняя школа №13.

2011 год

Командное первенство

I Средняя школа № 18.

II Гимназия № 24.

III Средняя школа № 14.

Личное первенство

I Видулин Иван — средняя школа № 18.

II Кульбицкий Владислав — гимназия № 24.

III Пятышев Кирилл — гимназия № 24.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Мельситова Елена Юрьевна — средняя школа № 18.

2012 год

Командное первенство

I Гимназия № 24.

II Средняя школа № 18.

III Средняя школа № 17.

Личное первенство

I Бузова Валерия — гимназия № 24.

II Колпаков Илья — средняя школа № 7.

III Морозова Наталья — средняя школа № 18.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Микайлова Ольга Владимировна — гимназия № 24.

2013 год

Командное первенство

I Средняя школа № 45.

II Лицей № 9.

III Средняя школа № 6.

Личное первенство

I Васильева Надежда — лицей № 9.

II Сизов Алексей — средняя школа № 45.

III Дурнов Алексей — средняя школа № 7.

Учитель, подготовивший победителя олимпиады, —

Свирина Наталья Гавриловна — лицей № 9.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие...................................................................................3

Первая математическая олимпиада........................................8

Решение заданий............................................................................9

Вторая математическая олимпиада.......................................14

Решение заданий..........................................................................14

Третья математическая олимпиада.......................................18

Решение заданий..........................................................................18

Четвертая математическая олимпиада.................................23

Решение заданий..........................................................................23

Пятая математическая олимпиада........................................28

Первый тур...................................................................................28

Решение заданий..........................................................................29

Второй тур....................................................................................34

Решение заданий..........................................................................34

Шестая городская олимпиада по математике.....................39

Первый тур...................................................................................39

Решение заданий..........................................................................39

Второй тур....................................................................................44

Решение заданий..........................................................................44

Седьмая городская олимпиада по математике....................47

Первый тур...................................................................................47

Решение заданий..........................................................................47

Второй тур....................................................................................51

Решение заданий..........................................................................52

Восьмая городская олимпиада по математике....................56

Первый тур...................................................................................56

Решение заданий..........................................................................57

Второй тур....................................................................................63

Решение заданий..........................................................................64

Девятая городская олимпиада по математике....................68

Первый тур...................................................................................68

Решение заданий..........................................................................68

Второй тур....................................................................................72

Решение заданий..........................................................................73

Десятая городская олимпиада по математике.....................77

Первый тур...................................................................................77

Решение заданий..........................................................................78

Второй тур....................................................................................83

Решение заданий..........................................................................84

Одиннадцатая городская олимпиада по математике.........89

Первый тур...................................................................................89

Решение заданий..........................................................................90

Второй тур....................................................................................95

Решение заданий..........................................................................96

Двенадцатая городская олимпиада по математике............99

Первый тур...................................................................................99

Решение заданий........................................................................100

Второй тур..................................................................................103

Решение заданий........................................................................104

Тринадцатая городская олимпиада по математике.........107

Первый тур.................................................................................107

Решение заданий........................................................................108

Второй тур..................................................................................110

Решение заданий........................................................................111

Четырнадцатая городская олимпиада по математике.....115

Первый тур.................................................................................115

Решение заданий........................................................................115

Второй тур..................................................................................118

Решение заданий........................................................................119

Пятнадцатая городская олимпиада по математике.........122

Первый тур.................................................................................122

Решение заданий........................................................................123

Второй тур..................................................................................127

Решение заданий........................................................................127

Шестнадцатая городская олимпиада по математике.......130

Первый тур.................................................................................130

Решение заданий........................................................................131

Второй тур..................................................................................137

Решение заданий........................................................................138

Семнадцатая городская олимпиада по математике.........141

Первый тур.................................................................................141

Решение заданий........................................................................141

Второй тур..................................................................................145

Решение заданий........................................................................146

Восемнадцатая городская олимпиада по математике......149

Первый тур.................................................................................149

Решение заданий........................................................................150

Второй тур..................................................................................152

Решение заданий........................................................................153

Девятнадцатая городская олимпиада по математике......155

Первый тур.................................................................................155

Решение заданий........................................................................155

Второй тур..................................................................................159

Решение заданий........................................................................160

Двадцатая городская олимпиада по математике..............164

Первый тур.................................................................................164

Решение заданий........................................................................164

Второй тур..................................................................................168

Решение заданий........................................................................169

Двадцать первая городская олимпиада по математике... 172

Первый тур.................................................................................172

Решение заданий........................................................................173

Второй тур..................................................................................175

Решение заданий........................................................................176

Двадцать вторая городская олимпиада по математике... 178

Первый тур.................................................................................178

Решение заданий........................................................................179

Второй тур..................................................................................181

Решение заданий........................................................................182

Двадцать третья городская олимпиада по математике... 186

Первый тур.................................................................................186

Решение заданий........................................................................187

Второй тур..................................................................................192

Решение заданий........................................................................192

Победители олимпиад.............................................................195

Учебно-методическое идание

Юрий Александрович Дробышев Ирина Васильевна Дробышева

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ ОБУЧАЮЩИХСЯ

Учебно-методическое пособие

Редактор Т. С. Кирина Корректоры H.A. Аверьянова, В.И. Виноградова Макет, верстка О. Тихонов Дизайн обложки О. Тихонов

Подписано в печать 02.12.13. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем 13 печ. л. Тираж 1000 экз.

Калужский государственный институт модернизации образования 248000, Калуга, ул. Гагарина, 1.

Отпечатано в ОАО «Можайский полиграфический комбинат», 143200, г. Можайск, ул. Мира, 93 Тел.: 8(495) 745-84-28, (49638) 20-685 www.oaompk.ru, www.oaoмпк.pф

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ ОБУЧАЮЩИХСЯ

В пособии представлен двадцатилетний опыт работы с одаренными детьми в г. Калуге.

В него включены материалы, которые можно использовать при организации и проведении математических олимпиад, конкурсов, кружковых занятий для младших школьников, дополнительной работы с учащимися, увлеченными математикой.

Книга будет полезна учителям, студентам педагогических вузов и родителям, заинтересованным в повышении уровня математических знаний детей и развитии их способностей.