Математика

ТЕМЫ школьного КУРСА

Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова

Процентные вычисления

10-11 классы

УЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

ДРОФА

Математика

ТЕМЫ школьного КУРСА

Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова

Процентные вычисления

Учебно-методическое пособие

10-11 КЛАССЫ

ДРОФА

МОСКВА • 2003

УДК 372.851 ББК 74.262.21 Д69

Серия основана в 2001 году

Дорофеев Г. В.

Д69 Процентные вычисления. 10—11 кл.: Учебно-метод. пособие / Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова. — М.: Дрофа, 2003. — 144 с: ил. — (Темы школьного курса).

ISBN 5—7107—6549—X

Пособие содержит теоретический и практический материал по теме «Проценты». Практическая направленность задач затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие сферы. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простых упражнений на применение изученных формул до достаточно трудных примеров расчета процентов в реальной банковской ситуации.

При постановке и решении задач естественным образом возникают математические понятия, например прогрессии, степени с произвольным действительным показателем и логарифмы. Это дает дополнительную возможность понять их глубинную суть.

Книга с успехом может использоваться как в общеобразовательных школах, так и в классах экономического профиля, а также в качестве пособия для самостоятельной работы над темой.

УДК 372.851 ББК 74.262.21

ISBN 5—7107—6549—X

© 000 «Дрофа», 2003

К учителю

Основное содержание темы «Процентные вычисления» составляет часть общеобразовательного курса математики для старших классов, иногда не совсем точно называемого «математикой для гуманитариев».

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку. Однако практика показывает, что очень и очень многие окончившие школу не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов как доли от некоторой заданной величины.

Показательный пример. Не так давно, когда по телевидению передавали предварительные результаты выборов в Государственную Думу, в одном из сообщений было сказано, что одна из партий получила 4,92% голосов, а в следующем сообщении уже были названы другие цифры — 4,81%.

На телевидение поступило тогда много телефонных звонков, в которых выражалось удивление, что цифры изменились. Действительно, «странно»: число поданных за партию голосов уменьшиться не может, как же тогда уменьшилось число процентов? Вряд ли звонившие были людьми без образования, во всяком случае среднее образование они, наверное, имели...

Определенная ответственность за такой уровень «процентной образованности» общества лежит, конечно, на системе обучения математике в школе. Проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5—6 классах,

когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.

Поэтому представляется необходимым возвращение к процентам на старшей ступени. Основное содержание пособия составляют задачи различного уровня сложности, сюжеты подавляющего большинства которых, в отличие от обычных искусственных текстовых задач, непосредственно взяты из действительности, окружающей современного человека, в том числе и старшеклассника, — финансовая сфера (платежи, налоги, прибыли), демография, экология, социологические опросы и пр. Уровень сложности задач варьируется от простых упражнений на применение изучаемых формул до достаточно трудных примеров расчета процентов в реальной банковской ситуации.

При постановке и решении задач, возникающих в повседневной практике и непосредственно связанных с процентами, в том числе и со сложными процентами, самым естественным образом возникают математические понятия — как известные учащимся из основной школы (например, прогрессии), так и новые (степени с произвольным действительным показателем и логарифмы).

Более того, для решения этих задач требуется не только введение самих понятий, но и создание минимального математического аппарата, объем которого в некоторых отношениях может служить ориентиром для определения содержания общеобразовательного курса математики.

Например, столь любимое авторами наших учебников и экзаменаторами вузов основное логарифмическое тождество, важное с дидактической точки зрения, практического значения не имеет. Напротив, без правила перехода от логарифма при произвольном основании к натуральному логарифму невозможно решать именно практические задачи на проценты — обычные, массовые калькуляторы чаще всего «вычисляют» только натуральные логарифмы. Точно так же подход «от процентов» позволяет логичным естественным путем подвести учащегося к определению числа е как предела последовательности

Таким образом, математический материал темы имеет выраженную практическую направленность. Кроме того, предлагаемая в пособии система задач и упражнений по экономической тематике позволяет использовать его не только в общеобразовательной школе, но в классах экономического профиля.

Дело в том, что в последние годы этот профиль обрел широкую популярность. Но вот уровень математической подготовки учащихся зачастую не соответствует даже требованиям общеобразовательного курса. В частности, умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все учащиеся экономического профиля, хотя все они, как правило, ориентированы на поступление в высшие учебные заведения.

Задачи к каждому параграфу разделены на 2 группы: I — для работы с учителем — сравнительно кратко сформулированные, охватывающие ситуации, различные в первую очередь с точки зрения математики, II — дополнительные задачи для самостоятельной или домашней работы (поэтому к ним приведены ответы).

Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова

Глава I

Проценты и процентное отношение

§ 1. Простейшая задача на проценты

Проценты — одно из таких математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, вы часто читаете или слышите, что, например, в выборах приняли участие 56,3 процента избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 74 процентам, промышленное производство сократилось на 11,3 процента, банк начисляет 20 процентов годовых, молоко содержит 1,5 процента жира, материал содержит 100 процентов хлопка и т. п. Ясно, что понимание такого рода информации в современном обществе совершенно необходимо.

Еще с младших классов вам известно, что процентом от любой величины — денежной суммы, массы добытой в стране нефти, числа учащихся школы и т. п. — называется ее одна сотая часть. Обозначается процент знаком %. Приведем пример:

1% от минимальной заработной платы 300 р. (июль 2001 г.) — это 300 : 100 = 3 р.;

1% от населения России 147 млн человек (1999 г.) — это 1,47 млн человек;

концентрация раствора (смеси) 1% — это 1 г данного компонента в 100 г раствора (смеси).

Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. По-

этому, например, надпись на этикетке «хлопок 100% » означает, что ткань состоит из чистого хлопка, стопроцентная успеваемость в классе означает, что в классе нет неуспевающих учеников.

Те из вас, кому встречались проценты при чтении на английском или французском языке, возможно, обратили внимание на то, что соответствующие слова per cent и pourcent не имеют множественного числа, а в английском языке даже термин «процент» пишется в два слова. Это связано с тем, что слово «процент» происходит от латинского pro centum, означающего «от сотни», или «на сто».

На самом деле такая грамматическая особенность слова «процент» совершенно естественна и вполне соответствует распространенному в повседневной жизни — в газетах, телевизионных и радиопередачах — выражению типа «Из каждых ста школьников старших классов только 23 не имеют отклонений в состоянии здоровья». Если понимать это выражение буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 полностью здоровых учащихся. В действительности точный его смысл состоит в том, что полностью здоровы 23% учащихся, и именно это выражение соответствует происхождению слова «процент» — 23% — это 23 из 100, 23 человека на 100 человек.

Само определение процента позволяет легко решить так называемую простейшую задачу на проценты: найти заданное число процентов от заданной величины. Так, например, от дохода в 350 тысяч рублей:

а) 1% составляет 350 000 : 100 = 3500 р.;

б) 12% составляют 3500 • 12 = 42 000 р.

Другими словами, для нахождения заданного числа р процентов от заданной величины S можно сделать два шага: найти сначала один процент —

он равен и полученный результат умножить на р — получится £^. Таким образом, р% от величины S составляют .

При этом в записи часто допускают некоторое отступление от строгих требований математического языка и пишут так:

Эту формулу иногда называют формулой процентов^ и ею можно пользоваться непосредственно — не делая «двух шагов», а просто подставляя вместо букв нужные числовые значения. Например, 12% от 150 000 р. составляют 12 *150000 = 18 000 р.

На практике, однако, наряду с обыкновенной дробью со знаменателем 100 используют десятичные дроби: 1% = 0,01, 23% = 0,23; 100% = 1; 40,8% = 0,408; 150% = 1,5; 300% = 3 и т. д.

В этом случае для нахождения заданного числа р процентов от заданной величины S проценты переводят в десятичные дроби и затем перемножают два числа. Рассмотрим следующие примеры:

43% от 2,3 млн р. = 0,43 • 2,3 = 0,989 млн р.;

313% от 13 млн р. = 3,13 • 13 = 40,69 млн р.;

в 150 г 12% -го раствора содержится 0,12 • 150 = = 18 г данного вещества (здесь и далее долевая концентрация рассматривается только по массе1); 53,4% от 321 345 человек равно 0,534 • 321 345 = 171 598,23 человек.

Обратите внимание на явную бессмысленность результата в последнем примере. Но такая ситу-

1 Хотя в ряде случаев удобнее рассматривать концентрацию растворов или смесей по объему.

ация является совершенно типичной в статистике. Например, в отчете избирательной комиссии могли быть приведены именно такие данные: в выборах приняли участие 321 345 человек, и победил кандидат, набравший 53,4% голосов.

Выход из этого противоречия между результатом вычислений и здравым смыслом очевиден: разумеется, процент проголосовавших за этого кандидата подсчитан лишь приближенно, и за него голосовали примерно 171 600 человек. Округления неизбежны и в большинстве других ситуаций.

Как вы знаете из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Эта форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей, можно сказать, существенность, значимость произошедшего изменения.

Например, если уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного еще нет — быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Но если он повысился на 30%, это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятия соответствующих мер.

Для вычисления значения величины после ее изменения на некоторое число процентов, естественно, применяются те же самые рассуждения, что и выше.

Задача 1. Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 13%. Какую сумму может получить через год человек, вложивший в этот банк 320 тыс. р.?

Решение. Через год банк должен начислить на счет вкладчика 13% от суммы 320 тыс. р., т. е. 0,13 • 320 = 41,6 тыс. р., так что на счете будет находиться 320 + 41,6 = 361,6 тыс. р.

Эту задачу можно решить и по-другому. Положив в банк некоторую сумму, вкладчик получает

13% от нее, а поскольку сама сумма составляет 100%, то через год на счете оказывается 113% от этой суммы. Поэтому при внесении вкладчиком 320 тыс. р. в конце года на его счете окажется 1,13 -320 = 361,6 тыс. р.

Если имеется необходимость производить аналогичные одинаковые вычисления для различных исходных сумм и процентных ставок, можно составить формулу и проводить необходимые расчеты с помощью вычислений, а не рассуждений.

Но для этого следует решить задачу в общем виде. А именно, если в банк, дающий р% в год, вложена сумма S р., то, рассуждая точно так же, как в рассмотренном примере, мы получим, что проценты составят f-^-l S р., а всего на счете вкладчика будет

Поэтому, обозначив сумму, которая должна быть на счете вкладчика по истечении одного года, через S I, мы получим, что

Подставляя в эту формулу конкретные числовые значения р и S, мы будем получать и соответствующие значения Sv

Например, при валютном вкладе в S = 1560 у. е. под 25% годовых, т. е. при S = 1560, р = 25, получим

Отметим, что практические вычисления становятся более простыми, если пользоваться десятичными дробями.

Например, если заработная плата S повысилась на 40%, это значит, что прибавка составляет 0,4S, а новая зарплата равна, следовательно, 1,4S; если цена k снижена на 15%, то новая цена равна 0,85k.

В данном случае мы имеем дело с типичным примером появления математических формул. Если на практике приходится решать много однотипных задач, т. е. фактически одну и ту же задачу, но с различными числовыми данными, то эта задача решается «в общем виде» — с буквенными данными, и в результате получается формула. Теперь для решения конкретной задачи в эту формулу подставляют конкретные числовые данные.

Это позволяет отчасти заменять рассуждения вычислениями, что значительно экономней с точки зрения затрат времени и сил: формулу, даже если она забыта, можно всегда найти в каком-нибудь справочнике, а вычисления провести на калькуляторе. Единственное, что при этом надо сделать самому, — это определить, какие числа вместо каких букв надо подставить.

Задача 2. Фирма покупает товар оптом по цене 23 р. за 1 кг и продает его в розницу с надбавкой в 25%. Какова розничная цена товара?

Решение. Эту задачу также можно решить двумя способами. Можно сначала подсчитать величину надбавки: 25% от оптовой цены 23 р. составляют 0,25 • 23 = 5,75 р., так что розничная цена равна 23 + 5,75 = 28,75 р.

Можно рассуждать и по-другому: рассматриваемая оптовая цена составляет 100%, надбавка — 25% от нее, и поэтому розничная цена составляет 125% от оптовой цены. А 125% от 23 р. составляют 1,25 • 23 = 28,75 р.

Второй способ подсчета более полезен в тех случаях, когда величина розничной надбавки постоянна для разных товаров.

Для задач такого рода также можно составить формулу, показывающую зависимость розничной цены от оптовой цены и торговой надбавки.

Если оптовая цена товара равна S р., а торговая надбавка составляет р%, то розничная цена — ее мы обозначим через Sx — равна

Мы получили, таким образом, ту же самую формулу, что и для роста вклада, только буквы S и Sx в каждой задаче имеют свой смысл.

Вообще, эта формула применима для каждой задачи, где требуется найти значение величины после ее прироста на р%. Ее можно записать и в другом виде. В математике приращение величины S часто обозначают символом AS, и тогда при увеличении S на р% имеем AS = -2^-. Но новое значение величины — это ее старое значение плюс приращение, и следовательно, новое значение равно

Встречающиеся в практике величины, разумеется, не всегда увеличиваются, и поэтому приращение заданной величины может оказаться отрицательным. Если, например, число ДТП (дорожно-транспортных происшествий) S за год снизилось на р%, то «новое» количество ДТП равно S - , а разность между «новым» и «старым» количествами равна --E*L :

В таких случаях часто говорят не об уменьшении, а об отрицательном росте — и не только в математике, но и в экономических текстах, и в газетах. При этом в табличных данных часто приводят отрицательное число процентов. Например, в таблице изменения курсов валют «ближнего зарубежья» относительно российского рубля в строке «украинская гривна» может встретиться значение

-2,3%, которое означает, что курс гривны относительно рубля уменьшился, «упал» на 2,3%.

Таким образом, отрицательные числа встречаются не только в математике, но и в повседневной жизни человека — далеко не всегда удобно говорить об увеличении или уменьшении. Тогда говорят об изменении, но в этом случае надо понимать, что изменение может быть и отрицательным.

Ясно, что в реальной жизни величины изменяются не равномерно, а по сложным законам. Поэтому часто возникает задача определить изменение какой-то величины — роста или падения цен, производства, численности населения города или страны — за длительный период. Эти задачи решаются с помощью тех же рассуждений, что мы проводили выше, но «поэтапно».

Задача 3. В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля — на 20%. На сколько процентов поднялась цена за два месяца?

Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку «первые» 30% подсчитываются относительно цены в конце декабря, тогда как «вторые» 20% — относительно цены на конец января. Следовательно, за 100% при первом и втором расчетах принимаются разные величины — цены соответственно в конце декабря и в конце января. Поэтому будем рассуждать последовательно.

Решение. Если цена на яблоки в конце декабря была равна S, то в конце января она стала 1,3S. В течение февраля она повысилась на 20% и стала равной 1,2*1,35 = 1,56S. Следовательно, она выросла на 56%.

В практической жизни полезно знать наизусть связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, пятая часть — 20% и т. п. Полезно также уметь «автоматически» понимать разные формы выражения од-

ного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов, и самостоятельно говорить «двумя способами».

Например, об одном и том же говорится в сообщениях: «Минимальная заработная плата с 1 февраля повышена на 30%» и «Минимальная заработная плата с 1 февраля повышена в 1,3 раза»; та же самая смесь получится, если «20 г соли развести водой до 100 г» или «на 1 часть соли взять 4 части воды».

Точно так же: увеличиться в 2 раза — это значит увеличиться на 100%, увеличиться в 3 раза — это значит увеличиться на 200%, уменьшиться в 2 раза — это значит уменьшиться на 50%.

Аналогично: увеличиться на 300% — это значит увеличиться в 4 раза, увеличиться на 200% — это значит увеличиться в 3 раза, уменьшиться на 50% — это значит уменьшиться в 2 раза.

Когда речь идет об «очень больших» процентах, иногда вполне сознательно, а чаще по непониманию, допускают следующую математическую ошибку. Например, если за какой-то период цены на продукт повысились в 10 раз, то говорят, что цены повысились на тысячу процентов: 10 • 100% = = 1000%.

Это неверно. В самом деле, если продукт стоил S р., то после повышения цен в 10 раз он стал стоить 10S р., и поэтому стал дороже на 9S р., т. е. на 900%. А после повышения цен на тысячу процентов он стал стоить

S + 1000% от S = S + 10S = 11S, то есть стал дороже в 11 раз.

Упражнения и задачи

1. Найти 1% от:

а) 34 000 р.; д) 6 тыс. жителей;

б) 1 км; е) 6 га;

в) 0,3 л; ж) 12 р.;

г) 200 г; з) 700 овец.

2. Верно ли, что:

а) 345 человек составляют меньше одного процента от 10 тыс. человек;

б) 345 р. составляют больше одного процента от 20 тыс. р.;

в) 3 г составляют один процент от 250 г;

г) 150 км составляют менее одного процента от 20 тыс. км;

д) 330 р. отличаются от 300 р. менее, чем на 1% ;

е) масса 990 г отличается от 1 кг не более, чем на1%?

3. Найти целое, если 1% от него составляет:

а) 0,2 л; в) 10 р.;

б) 30 м3; г) 38 человек.

4. Верно ли, что:

а) 1 см = 1% от 1 м; в) 1 а = 1% от 1 га;

б) 1 г = 1% от 1 кг; г)1л = 1% от 1 м3?

5. Верно ли, что выплачена вся сумма, если:

а) в первый раз выплачено 75% от суммы, а во второй 15% ;

б) в первый раз выплачено 37%, во второй 48%, а в третий 15% от остатка?

6. В первый день велогонки участники преодолели 40% маршрута гонки, во второй — 35%, а в третий — 20% от оставшейся части. Какую часть маршрута прошли за три дня?

7. Найти:

а) 200% от 200 л; е) 10% от 140 экз.;

б) 25% от 10 км; ж) 57% от 3 тыс. р.;

в) 5% от 15 л; з) 75% от 45 т;

г) 0,3% от 0,3 кг; и) 20% от 600 штук;

д) 50% от 30 чел.; к) 0,1% от 0,1%.

8. Что больше:

а) 15% от 17 или 17% от 15;

б) 1,2% от 17 или 12% от 170;

в) 115% от 657 или 117% от 715;

г) 72% от 150 или 70% от 152?

9. Сколько будет, если:

а) 100 р. увеличить на 300% ;

б) 500 р. уменьшить на 5% ;

в) 70% увеличить на 30% ;

г) 40% уменьшить на 40% ?

10. Сравните результаты:

а) 150 р. увеличили на 50% и 100 р. увеличили на 100% ;

б) 100 р. уменьшили на 50% и 150 р. уменьшили на 75%;

в) 100 р. увеличили на 25% и 150 р. уменьшили на 20%?

11. В первом квартале цены выросли на 5%, во втором — на 10%, в третьем — на 15%, в четвертом — на 20% . На сколько процентов выросли цены за год?

12. В первом случае тариф сначала был увеличен на 10%, а затем снижен на 10%, во втором — сначала увеличен на 20%, а затем снижен на 20%. В каком случае изменение тарифа более существенно?

13. Выразите в процентах:

а) 1/4 всех жителей города;

б) 1/5 грузооборота железнодорожного транспорта.

14. На сколько процентов изменилась величина, если она:

а) увеличилась в 2,4 раза;

б) увеличилась в 3,5 раза;

в) увеличилась в 10 раз;

г) уменьшилась в 8 раз;

д) уменьшилась в 4 раза;

е) уменьшилась в 10 раз?

15. Верно ли, что:

а) 30% = 1/3; в) 78% > 3/4;

б) 49,5% < 1/2; г) 25% = 1/5;

д) увеличение на 200% — более значительно, чем увеличение в 2 раза;

е) уменьшение на 40% — менее значительно, чем уменьшение в 2 раза?

16. Соедините стрелками утверждения, означающие одно и то же:

расходы увеличились на 100% ;

расходы увеличились на 50% ;

расходы уменьшились на 50;

расходы уменьшились на 30;

расходы уменьшились наполовину;

расходы уменьшились вдвое;

расходы уменьшились примерно в полтора раза;

расходы уменьшились примерно на треть;

расходы увеличились наполовину;

расходы увеличились вдвое;

расходы увеличились в полтора раза;

расходы удвоились.

17. Какие из следующих утверждений означают одно и то же:

а) каждое восьмое издание выходит на английском языке;

б) на английском языке выходит 12,5% всех изданий;

в) на каждые восемь изданий приходится одно на английском языке;

г) на английском языке печатается 8% всех изданий;

д) из каждых 25 изданий 2 печатаются на английском языке;

е) издания на английском языке составляют восьмую часть от всех изданий;

ж) на каждые семь изданий только одно выходит на английском языке;

з) издания на английском языке составляют седьмую часть от всех изданий?

18. Какие из утверждений означают одно и то же? Соедините их стрелками:

величины относятся как 1 : 2;

величины относятся как 1 : 4;

одна величина вдвое меньше другой;

вторая величина на 300% больше первой;

первая величина на 300% меньше второй;

вторая величина на 100% больше первой;

первая величина на 75% меньше второй;

одна величина составляет от другой 50% ;

одна величина в четыре раза меньше другой;

первая величина составляет от второй 25%.

19. В автобусном парке 50% составляют городские автобусы, 75% остальных — автобусы междугородного класса. Каких автобусов больше: городских или междугородного класса?

20. В результате опроса оказалось, что 35% горожан города N слушают радио постоянно, 20% — время от времени, остальные никогда не слушают радио. Кого больше — тех, кто хотя бы иногда слушает радио, или тех, кто не слушает его никогда?

21. Сколько соли получится при полном выпаривании:

а) 375 г 12% -го раствора соли;

б) 450 г 9% -го раствора соли;

в) 20 г 17% -го раствора соли;

г) 75 г 3% -го раствора соли?

(Здесь и далее рассматривается только долевая концентрация по массе.)

22. Сколько сахара потребуется для получения:

а) 500 г 10% -го сиропа;

б) 200 г 70% -го сиропа;

в) 150 г 5% -го сиропа;

г) 75 г 30% -го сиропа?

23.12%-й раствор соли наполовину разбавили водой. Какова концентрация полученного раствора?

24. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?

25. Килограмм соли растворили в 9 литрах воды. Какова концентрация раствора?

II

26. За участие в заключении договоров на сумму свыше пятнадцати тысяч рублей фирма предлагает вознаграждение 10%. На какое вознаграж-

дение может рассчитывать дилер, если он нашел подходящий заказ на сумму 2 млн р.?

27. В городе N постоянно живут 10 тыс. граждан. Из них 85% еще не достигли пенсионного возраста. Сколько граждан в этом городе достигли пенсионного возраста?

28. Дорога длиной 600 км требует замены 40% покрытия. В течение недели заменено 100 км. Сколько километров покрытия еще осталось заменить?

29. В результате мелиоративных мероприятий увеличились посевные площади под зерновые — они составили 230% от прошлогодних. Найдите величину всех посевных площадей этого года, если в прошлом году под зерновыми было занято 64 га, или половина всех посевных площадей.

30. При выдаче наличных по дорожным чекам American Express банк удерживает 2% в качестве комиссионных. Какова будет сумма в рублях, если требуется выдать 2350 долларов и курс обмена 30 р. за доллар; а р. за доллар?

31. По расчетам предпринимателей предприятие принесет 150% чистой прибыли. Какую прибыль может получить каждый из трех предпринимателей, затратив соответственно 200 тыс. р., 3 млн р. и 900 тыс. р.?

32. В городе N ежегодный налог за участок земли под индивидуальными гаражами в пределах нормы (0,0015 га) установлен в размере 3% от ставки земельного налога. Налог на часть площади сверх нормы, но не более двойной нормы, устанавливается в размере 15% от ставки земельного налога, а налог на часть площади свыше двойной нормы — по полной ставке земельного налога. Зная,

что в городе N ставка ежегодного земельного налога составляет 328 р./га, вычислите величину ежегодного налога за изображенные на рисунках участки земли под индивидуальными гаражами (рис. 1).

Рис. 1

33. В референдуме приняли участие 60% всех жителей города N, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе около 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83%?

34. Подоходный налог в городе N установлен в размере 13%. До вычета подоходного налога 1% от заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 50 000 р. Сколько он получит после указанных вычетов?

35. Все 16 тыс. жителей на острове положительно относятся к спорту; 75% из них занимаются спортом активно. Из пассивных любителей спорта 20% являются заядлыми болельщиками, но только 10% этих болельщиков не пропускают ни одного выступления любимого спортсмена или команды. Сколько жителей на острове являются пассивными любителями спорта, притом заядлыми болельщиками, но считающими возможным пропустить некоторые из любимых соревнований?

36. По данным N-го горкомстата в результате остановок производств на предприятиях города было потеряно около 1 млн человеко-дней рабочего времени, из которых 86% приходилось на предприятия машиностроения и металлообработки. Основной причиной простоев является необеспеченность материальными ресурсами (53%). Сколько человеко-дней рабочего времени было потеряно на предприятиях машиностроения и металлообработки из-за необеспеченности материальными ресурсами?

37. В общественном транспорте города N 14% пассажиров читают фантастику. Из них 73% — мужчины, из которых 70% в возрасте до 35 лет. Сколько процентов всех пассажиров составляют мужчины в возрасте до 35 лет, читающие фантастику?

38. Фонд общественного мнения города N опубликовал следующие данные о зрителях популярных телесериалов:

«Просто Мария»

«Санта-Барбара»

Время эфира

9.40

19.05

14.25

20.35

Зрители телесериалов (в процентах к общему числу жителей)

44%

36,5%

45%

67%

Можно ли на основании этих данных утверждать, что:

— хотя бы один житель города N смотрит оба телесериала;

— хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал «Просто Мария»;

— хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал «Санта-Барбара»;

— телесериал «Санта-Барбара» смотрит большее число жителей города N?

39. 60% жителей города N ежедневно пользуются метрополитеном, 30% — наземным общественным транспортом и 10% — каждый день ездят на личных автомобилях. Можно ли сказать, что все жители города ежедневно пользуются каким-либо видом транспорта?

40. Из всех предприятий, зарегистрированных городской регистрационной палатой в течение месяца, 53% составили муниципальные предприятия, 10% производственные кооперативы, остальные — акционерные общества, причем из них 80% закрытых акционерных обществ. Каких предприятий зарегистрировано больше, муниципальных или закрытых акционерных обществ?

41. Какой будет заработная плата после повышения ее на 65%, если до повышения она составляла:

а) 10 000 р.;

б) 50 000 р.?

42. Фирма дала следующее объявление в газету:

Офисная мебель более 40 модификаций

стулья — от 30 у. е. столы — от 78 у. е. шкафы — от 135 у. е. стеллажи — от 150 у. е. Для оптовых покупателей скидка 10%.

Вычислите минимальную сумму, в которую оптовику обойдется комплект мебели из 6 стульев, 6 столов, 1 шкафа и 3 стеллажей.

43. В магазине идет распродажа товаров со скидкой 15%. Заполните таблицу.

Старая цена

1000 р.

2000 р.

4500 р.

10000 р.

Новая цена

44. В городе N при внесении квартирной платы на один день позже установленного срока начисляется пеня в размере 0,1% от суммы платежа. Сколько придется заплатить в этом случае, если квартирная плата составила:

а) 600 р.; б) 800 р.; в) 105,8 р.?

45. Пачка бумаги стоит 4,5 у. е. Что будет дешевле: 222 пачки или 223 пачки этой бумаги, если при покупке товара на сумму свыше 1000 у. е. магазин предоставляет скидку в 3% ?

46. Стоимость жилья в городе N:

Средняя цена 1 м2 общей площади в у. е.

Номер зоны

Количество комнат

1

2

3

1

875

906

931

2

628

647

659

3

639

659

668

4

596

624

635

5

574

604

622

6

611

631

664

7

605

624

648

8

616

635

652

9

713

728

743

10

721

742

769

11

622

639

658

12

669

684

679

Поправочные коэффициенты, влияющие на стоимость квартиры

Параметры

Примечание

%

этаж

первый

-3

последний

-1

не крайний

0

лифт

нет

-1

есть

+1

балкон

балкон или лоджия

+1

без балкона

-1

мусоропровод

нет

-1,5

есть

0

окна

двор

+2,5

двор, улица

0

улица

-2

а) Оцените, сколько примерно будет стоить один квадратный метр площади в трехкомнатной квартире на втором этаже пятиэтажного дома с балконом, мусоропроводом, окнами во двор и без лифта, если она находится в четвертой зоне.

б) Что дороже: один квадратный метр в самой плохой однокомнатной квартире в первой зоне или в самой хорошей трехкомнатной в десятой зоне?

47. Хозяйка купила три килограмма яблок по 40 р. за килограмм. На следующий день цены на яблоки в этом магазине были снижены на 20%, и хозяйка купила еще пять килограммов яблок. Какова средняя цена купленных хозяйкой яблок?

48. Три человека в течение дня пользовались мобильной связью и звонили по одному и тому же номеру. Первый звонил вечером, второй днем по увеличенному на 50% тарифу и третий в ночное время со скидкой в 75%. Все они говорили по 5 минут. Телефонная станция прислала общий счет на 66 р. Сколько должен заплатить каждый?

49. Объездная дорога в два с половиной раза длиннее прямой. Расход бензина на одну поездку по объездной дороге увеличивается на 150%. Сравнить расход бензина в расчете на один километр на прямой и объездной дорогах.

50. Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом из них цены на 10% ниже, но и количество проданных изделий в день на 10% больше. В каком из этих магазинов выручка за день больше?

51. Как изменятся расходы на оплату электроэнергии, если:

а) потребление возрастет на 15%, а стоимость одного кВт • ч увеличится на 20% ;

б) потребление снизится на 15%, а стоимость одного кВт • ч увеличится на 20% ;

в) потребление возрастет на 15%, а стоимость одного кВт • ч уменьшится на 20% ;

г) потребление снизится на 15%, а стоимость одного кВт • ч уменьшится на 20% ?

52. В одном сообщении говорится, что примерно половина жителей города хотя бы один раз в месяц посещает театр, в другом, что ежемесячно 40% жителей смотрят оперу или балет, а 20% драматические постановки. Противоречат ли эти сообщения друг другу?

53. На предприятии работают 200 человек. Из них 50% знают английский язык, 30% французский и 40% немецкий. Можно ли на основании этих данных утверждать, что на этом предприятии найдется хотя бы один человек, знающий эти три языка?

54. Один ученик сказал: «Одна треть всех учащихся школы — это 30% всех учащихся школы». Каково ваше мнение?

55. На совете акционеров говорилось: «Две трети планируемых инвестиций направлены в производство, и на развитие социальной сферы остается 30% ». Каково ваше мнение?

56. Три человека организовали собственное предприятие и договорились, что первый из них будет получать третью часть прибыли, двое других по 20%, а остальные деньги они будут вкладывать в развитие своего предприятия. Сколько процентов от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия?

57. Биржевые цены на дизельное топливо увеличились на 50%. Во сколько раз увеличились цены?

58. За последний год в городе N самыми быстро растущими были цены на услуги пассажирского транспорта — цены выросли в 2,7 раза. На сколько процентов увеличены цены?

59. В первом квартале доля реализации непродовольственных товаров в общем товарообороте магазина увеличилась с 25% до 30%, а во втором с 30% до 35%. В каком квартале увеличение было более значительно?

60. В одном магазине висит объявление: «Цены снижены в 1,2 раза», а в другом — «Цены снижены на 20%». В каком магазине цены снижены сильнее?

61. Согласно статистике в городе N не более 75% выпускников пединститута собираются работать по специальности. Остальные собираются уехать за границу или уйти в бизнес. Журналист в своей статье написал об этом так: «Как минимум каждый четвертый выпускник пединститута будет потерян для нашего образования». Прав ли он?

62. Согласно статистике в городе N пенсионеры составляют 20% всех жителей. Можно ли сказать, что на каждых четверых работающих в городе N приходится один пенсионер?

63. В магазине А цены сначала были повышены на 10%, а потом снижены на 15%. В магазине В цены сначала были снижены на 15%, а потом повышены на 10%. Сравните цены в этих магазинах после указанных изменений, если до этого они были одинаковыми.

64. В микрорайоне 876 совершеннолетних жителей. Из них 75% имеют по одному автомобилю. Из остальных 25% половина не имеет автомобилей, а другая половина имеет по два автомобиля.

Сколько всего автомобилей находится в личной собственности совершеннолетних жителей?

65. В новогоднем обращении к своим сотрудникам директор обещал им в течение года повысить заработную плату на 75%. В первом полугодии зарплата была увеличена на 40%, а во втором на 25%. Выполнил ли директор свое обещание?

66. Потребность в сне у всех людей различна, но безопасным для организма минимумом считается 5 часов сна в сутки. Медиками было установлено, что в городе N каждый совершеннолетний житель в возрасте до 40 лет спит в среднем на 60% больше установленного минимума, а к 60 годам продолжительность сна снижается на 25%. Определите оптимальное время «отбоя», если надо проснуться в 7 часов утра:

а) среднестатистическому тридцатилетнему жителю города N в нормальных условиях;

б) пенсионеру в нормальных условиях;

в) студенту, которому надо еще многое повторить, но и успеть выспаться перед экзаменом.

67. В двух городах с одинаковым количеством жителей на нужды образования выделен одинаковый процент бюджетных средств. Можно ли на основании этих данных утверждать, что и приток денежных средств в образование будет примерно равным?

68. Верно ли, что для приготовления 150 г 12%-го раствора потребуется больше соли, чем для приготовления 120 г 15% -го раствора?

69. Сколько соли требуется для приготовления 25 кг 20% -го раствора?

70. Сколько частей воды надо добавить к одной части водного раствора, чтобы концентрация уменьшилась вдвое?

71. На сколько надо выпарить солевой раствор, чтобы концентрация соли увеличилась вдвое?

72. К 25 г 50% -го раствора соли долили 75 г воды. Определить концентрацию полученного раствора.

73. Сколько граммов спирта нужно долить к 500 г 16%-го спиртового раствора йода, чтобы получить 10% -й раствор?

74. Сколько граммов соли надо добавить к 200 г 10%-го раствора соли, чтобы получить 20%-й раствор?

§ 2. «Обратные задачи» на проценты. Процентные отношения

Если в основной формуле процентов обозначить р% от S через S1, то формула примет вид

Из последнего равенства можно видеть, что величины S1, S, р и 100 составляют пропорцию.

Задача 1. В городе 100 000 жителей и из них 80% составляют коренное население. Узнать количество коренных жителей в этом городе.

Решение. Для определения числа коренных жителей в этом городе можно составить пропорцию:

100 000 чел. (общее население города) — 100% ; X чел. (коренное население города) — 80% ;

При составлении пропорции можно рассуждать иначе. Так как 80% жителей составляют коренные жители, то можно сказать, что на каждые 100 чел. приходится 80 коренных жителей.

Тогда пропорция примет вид: 100 чел. — 80 коренных жителей; 100 000 чел. — X коренных жителей;

Задача 2. Сколько соли содержится в 145 г 80% -го раствора?

Решение. Чтобы ответить на этот вопрос, составим пропорцию:

100 г раствора — 80 г соли;

145 г раствора — х г соли;

Еще более удобным становится применение пропорций при решении так называемых обратных задач на проценты.

Например, известна не исходная величина, а заданное число процентов от нее, и требуется найти саму исходную величину.

Задача 3. Какое количество 10%-го раствора может получиться из 25 г соли?

Решение. Составим пропорцию: 10 г соли — 100 г раствора; 25 г соли — X г раствора;

Задача 4. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1 млн р.?

Решение. По условию, годовой доход на вклад составит 25%, так что через год на счете вкладчика станет 125% от внесенной суммы. Другими словами, она увеличится в 1,25 раза. По-

этому в банк следует внести 1000 000 : 1,25 = = 800 000 (р.).

Можно рассуждать и другим, «более математическим» образом: если внесенная сумма равна S тыс. р., то проценты за год составят 0,25S, и через год на счете вкладчика окажется 1,25S тыс. р. Тогда и из условия задачи получаем уравнение 1,25S = 1 000 000. Отсюда S = 1 000 000 : 1,25 = = 800 000 (р.).

Решение с помощью пропорции имеет вид:

S (р.) — 100% ;

1000 000 (р.) —125%;

Задача 5. Человек обычно получает за работу «чистыми», т.е. после вычета налога в 13%, но ему интересно узнать, сколько же «по-настоящему» стоит сделанная им работа, если он получил за нее 1087,73 р.

Решение. Для вычисления он должен заметить, что полученная им сумма составляет 100 -- 13 = 87 (процентов) от «настоящей» стоимости работы. Если эту стоимость обозначить через S, то 87% от S — это 1087,73 р.

По формуле процентов получаем

откуда

Последнее равенство, естественно, приближенное, округленное до целых копеек.

Решение с помощью составления пропорции:

Примечание. Так же, как и в первом пункте, можно решить рассмотренные задачи с помощью формулы

Подставляя в

эту формулу конкретные числовые значения р и S1, мы будем получать из этой формулы соответствующие значения S.

В различных ситуациях не только в науке, но и в повседневной жизни возникает задача сравнения данных экономического, политического, демографического характера.

Например, в Москве, очевидно, намного больше врачей, чем в Твери, но ведь и Москва намного больше Твери, так что из сопоставления числа врачей в двух городах нельзя сделать вывода о том, что москвичи лучше обеспечены медицинским обслуживанием, чем тверичи.

Поэтому важно сравнить число врачей в этих городах с числом их жителей, учитывая, кроме того, временно находящихся в городе. А для этого надо найти, как говорят, отношение числа врачей к числу жителей: это означает, что надо разделить число врачей на число жителей, и полученное частное — это и есть нужное отношение.

Такие отношения для наглядности чаще всего выражают в процентах — естественно, округленно — и называют тогда процентными отношениями. Таким образом, процентное отношение двух величин — это отношение этих величин, выраженное в процентах.

Пример такого рода мы уже видели в п. 1: если из 321 345 избирателей за кандидата проголосовало примерно 171 600 человек, то 171 600 делят на 321 345 и получают приближенное значение частного: 171 600 : 321 345 = 0,5340055. Результат умножают на 100 и затем округляют. Поэтому можно сказать, что за кандидата проголосовало 53,4% избирателей.

Задача 6. В городе А с населением 100 тыс. жителей граждане в возрасте до 18 лет составляют 40 тыс., а в городе В с населением 200 тыс. жите-

лей соответственно 60 тыс. В каком городе население моложе?

Решение. Составим пропорции:

Город А:

100 тыс. чел. — 100% ; 40 тыс. чел. — х% ;

Город В:

200 тыс. чел. — 100% ; 60 тыс. чел. — х% ;

Таким образом, население города А относительно моложе (хотя несовершеннолетних граждан в нем на 20 тыс. меньше).

Задача 7. В 200 г воды растворили 50 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение. Учтем, что масса полученного раствора 200 + 50 = 250 г, и составим пропорцию:

250 г — 100% ;

50 г — х% ;

Рассмотрим еще один пример. Государственный бюджет состоит из двух основных частей: доходы и расходы. Например, бюджет предусматривает расходы 2,1 трлн (триллионов) р., а доходы должны составить 1,4 трлн р. Превышение бюджетных расходов над доходами образует так называемый бюджетный дефицит (от лат. deficit — «недостает»), который равен 2,1 - 1,4 = 0,7 трлн р.

Ясно, что для оценки экономической ситуации важна не сама величина дефицита, а ее отношение, например, к величине расходов — надо знать, какая часть расходов не подкреплена соответствующими доходами. Проделав вычисления, получаем:

Это процентное отношение, особенно в устной речи, также часто называют бюджетным дефицитом.

Равенство, здесь, конечно, приближенное. Но при процентных расчетах равенства являются приближенными практически всегда, и поэтому принято, отступая от строгих норм математического языка, вместо знака приближенного равенства ~ писать обычный знак равенства =.

Понятно, что бюджет может и не иметь дефицита. Так, на 2001 г. в нашей стране был принят бездефицитный бюджет. Если же доходная часть бюджета превышает расходную, то говорят уже о профиците (от фр. profit — прибыль), который так же может быть выражен и в денежных единицах, и в процентах.

Итак, процентное отношение двух величин — это частное от деления первой величины на вторую, выраженное в процентах. Для его вычисления надо разделить первую величину на вторую и полученный результат умножить на 100.

Другими словами, процентное отношение А к Б равно (А : В) • 100%.

Можно сказать также, что процентное отношение показывает, какую часть от одной величины составляет другая величина, и выражает эту часть в процентах.

Ясно, что процентное отношение двух величин зависит от того, какая принимается за исходную: отношение А к В — это не то же самое, что отношение В к А.

Например, если А составляет 125% от Б, т. е. А = 1,25В = -Б, то В = -А = 0,8А, так что Б составляет 80% от А.

При составлении пропорции мы всегда выписываем величину, которую принимаем за 100%, и это помогает избежать многих ошибок.

Задача 8. Сколько процентов одна тонна составляет от десяти тонн? Решение. 10 т— 100% ; 1 т— р% ;

Задача 9. Сколько процентов десять тонн составляют от одной тонны? Решение. 1 т — 100% ; 10т-р%;

Мы видим, что при нахождении процентного отношения очень важно правильно определить, какую из величин принять за 100%.

Задача 10. После снижения цен на 20% товар стоит 100 р. Сколько он стоил до снижения цен?

Решение. За 100% мы принимаем старую цену. Тогда после снижения цен стоимость товара составит 100% - 20% = 80% :

X р. (старая цена) — 100% ;

100 р. (новая цена) — 80% ;

Задача 11. Товар стоит 100 р. Сколько он будет стоить после повышения цен на 20% ?

Решение. За 100% мы принимаем старую цену. Тогда после повышения цен стоимость товара составит 100% + 20% = 120% :

100 р. (старая цена) — 100% ;

X р. (новая цена) — 120% ;

Последние два примера показывают, что если снизить цену на р процентов, а затем повысить на р процентов, то мы не получим начальную цену.

В самом деле, при снижении цены S на р процентов мы получаем цену: S — ^qö)' а при по~ следующем увеличении на те же р процентов мы получаем

Примечание. Естественно, при проведении необходимых расчетов для ряда аналогичных задач разумнее, с помощью той же пропорции или без нее, составить формулу и свести решение к подстановке в эту формулу различных данных.

Задача 12. Предприятию необходимо увеличить выпуск продукции с 2500 до 3500 единиц в год. На сколько процентов надо увеличить производительность предприятия, чтобы обеспечить такое увеличение выпуска продукции?

Решение. Чтобы ответить на вопрос, можно сначала узнать, сколько процентов должно составить новое количество продукции от старого:

(3500 : 2500) • 100% = 140%,

а затем вычислить величину приращения:

140% - 100% =40%.

Можно, наоборот, сначала узнать, на сколько должно увеличиться производство продукции, а затем определить, сколько процентов это составляет от старой величины:

3500 - 2500 = 1000 (ед.); (1000 : 2500) • 100% = 40% .

Если предприятие имеет несколько линий по производству продукции, и для каждой известно количество выпускаемой продукции в настоящее время S и необходимое увеличение AS, то можно составить формулу, с помощью которой легко узнать, на сколько процентов надо увеличить производительность каждой линии:

Упражнения и задачи

I

75. Найти, от какой величины:

а) 0,015% составляют 0,1 кг;

б) 7% составляют 7 р.;

в) 849% составляют 1600 штук;

г) 25% составляют 10 г;

д) 50% составляют 15 тыс. км;

е) 75% составляют 15 т;

ж) 5% составляют 40 экз.;

з) 10% составляют 5 л.

76. Сравнить величины, если:

а) 20% от первой величины составляют 300 р., а 30% от второй составляют 200 р.;

б) 150% от первой составляют 120 р., а 120% от второй составляют 110 р.;

в) 0,2% от первой составляют 20 у. е., а от второй 25 у. е.

77. Сколько было, если:

а) после увеличения на 10% стало 100 р.;

б) после уменьшения на 10% стало 500 р.?

78. Найти, в каком случае первоначальная цена больше:

а) при скидке 5% заплачено 100 р.;

б) при скидке 10% заплачено 90 р.;

в) при скидке 20% заплачено 80 р.

79. Сколько процентов составляют:

а) 0,5 кг от 6 кг;

б) 375 р. от 100 р.;

в) 250 р. от 200 р.;

г) 15 г от 1 кг;

д) 1048 чел. от 3764 чел.;

е) 3 мм от 4 м?

80. Верно ли, что:

а) 37 р. составляют меньше, чем 25% от 137 р.;

б) 486 человек составляют меньше, чем 60% от 600 человек;

в) 1 млн р. составляет больше, чем 150% от 800 тыс. р.?

81. В каком случае процентное отношение больше:

а) 8 отличников из 40 учащихся или 9 из 42;

б) 10 разбитых лампочек из 50 или 15 разбитых лампочек из 55?

82. Сколько процентов от величины составляют:

а) половина от ее 30% ;

б) четверть от ее 200% ;

в) пятая часть от трех четвертей;

г) 10% от ее половины;

д) половина от ее четверти;

е) 25% от половины?

83. На сколько процентов изменилась цена, если она:

а) была 100 р., а стала 250 р.;

б) была 100 р., а стала 120 р.?

84. На сколько процентов уменьшилась масса, если она:

а) была 450 г, а стала 441 г;

б) была 300 кг, а стала 250 кг?

85. Какое изменение более значительно в процентном отношении:

а) подорожание с 400 р. до 500 р. или с 500 р. до 600 р.;

б) похудание с 75 кг до 70 кг или с 70 кг до 65 кг?

86. Как изменилась величина, если она:

а) сначала увеличилась на 10%, а потом увеличилась на 15%;

б) сначала увеличилась на 10%, а потом уменьшилась на 15% ;

в) сначала уменьшилась на 10%, а потом уменьшилась на 15% ;

г) сначала уменьшилась на 10%, а потом увеличилась на 15%?

87. В магазине цены сначала были повышены на 10%, а потом снижены на 10%. Как изменились цены?

88. На сколько процентов новая цена меньше старой и на сколько процентов старая цена больше новой, если:

а) цена снижена наполовину;

б) цена повышена наполовину;

в) цена увеличена в 4 раза;

г) цена уменьшена в 3 раза?

II

89. Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ, чтобы заработать 1 тыс. р.?

90. На предприятии работает 600 человек с высшим образованием. Это составляет 75% всех работников. Сколько человек не имеют высшего образования?

91. В промышленных месторождениях содержание меди в медных рудах составляет от 0,3% до 6%.

а) Сколько надо взять медной руды, чтобы получить не менее 12 т меди?

б) Сколько меди может получиться из 12 т руды?

92. Атмосферный воздух содержит (по объему) 77% азота, 21% кислорода, около 1% нейтральных газов и небольшие количества других примесей. В каком количестве воздуха содержится 1 м3 чистого кислорода?

93. За первую квартиру платят 80% от полной величины квартплаты, что составляет 1200 р., а за вторую 50% и соответственно 800 р. За какую из квартир величина полной квартплаты больше?

94. При доставке от поля до магазина портится 15% овощей. Сколько овощей надо собрать, чтобы 10 т поступило в продажу?

95. Городская дума города N утвердила городской бюджет по доходам в сумме 2 226 636 тыс. р., в том числе недоимка в сумме 157 816 тыс. р., по расходам — 2 449 300 тыс. р. Предельный размер дефицита бюджета был установлен в сумме 222 664 тыс. р. Сколько процентов от доходной части бюджета составляет предельный дефицит? Есть ли в условии задачи лишние данные?

96. На сайте AREA.ru опубликована информация: «В среднем на одного жителя N-й области на текущий год запланировано по 22 тыс. 199 р. 86 к. доходов и по 22 тыс. 405 р. 60 к. расходов». Можно ли по этой информации оценить дефицит областного бюджета?

97. В ходе утверждения городского бюджета были сокращены на 10% планируемые ассигнования на социальные нужды. Какую сумму предполагалось выделить на социальные нужды первоначально, если в окончательном варианте бюджета эта статья расходов составила 2,5 млн р.?

98. Какой должна быть заработная плата, чтобы после уплаты налогов и процентов по кредитам, составляющих в сумме 25%, получать:

а) 6000 р.; б) 1500 р.?

99. При использовании в системе охлаждения автомобиля воды вместо ТОСОЛа образуется накипь, и расход топлива может возрасти на 10%.

Какой расход топлива можно ожидать после удаления накипи, если сейчас расход топлива составляет 8,5 л на 100 км?

100. Во всех магазинах торговой фирмы висят объявления:

По субботам — скидка 3%.

Во вторник в одном из таких магазинов был куплен паркетный лак на сумму 1,25 тыс. р. Сколько стоило бы такое же количество лака в субботу?

101. До введения нового налогового кодекса размер подоходного налога регламентировался Законом «О подоходном налоге...». Для вычисления налога по совокупному доходу применялись ставки:

Размер облагаемого совокупного дохода граждан, полученного в 2000 г.

Сумма налога

До 50 000 р.

12%

От 50 001 до 150 000 р.

6000 р. + 20% с суммы, превышающей 50 000 р.

От 150 001 р. и выше

26 000 р. + 30% с суммы, превышающей 150 000 р.

После вычета 12%-го налога в течение 2001 г. гражданин получил всего 49 327,48 р. Превысил ли его совокупный доход 50 000 р.? Если да, то какую сумму он обязан доплатить в налоговой инспекции?

102. Завод по сборке автобусов выпустил 300 машин в течение первого года. Это составило 75% от запланированной величины. На сколько больше автобусов в год сможет выпускать этот завод, когда выйдет на полную мощность?

103. По данным N-го горкомстата по сравнению с прошлым годом товарооборот организаций, осуществляющих торговую деятельность, увеличился на 53% и составил 902 млн р. На какую сумму увеличился их товарооборот?

104. В 5 тыс. из выпущенных 20 тыс. коробочек с жевательной резинкой находится сюрприз. Сколько процентов составили коробочки с сюрпризами?

105. В городе N проездной билет на все виды городского транспорта стоит 300 р. Сколько процентов от зарплаты составляет цена проездного билета, если после вычета 13%-го подоходного налога работником получено:

а) 5220 р.; б) 1305 р.?

106. За год было продано 90 тыс. отечественных и импортных джипов из общего числа реализованных 750 тыс. новых легковых автомобилей. Сколько процентов составили отечественные джипы, если известно, что их продано вдвое больше, чем импортных джипов?

107. Прожиточный минимум жителя города, рассчитанный по методике, утвержденной правительством города N, составил 3330 р., из них расходы на питание — 2274 р., на непродовольственные товары — 636 р. Сколько процентов от прожиточного минимума по этим расчетам человек тратит на питание?

108. В городе N кражи личного имущества граждан составили 29% всех преступлений, из них каждая третья кража — квартирная. Сколько процентов от числа всех преступлений составляют квартирные кражи?

109. За последний год в городе N правоохранительными органами выявлено 11,1 тыс. лиц, со-

вершивших преступления (прирост за год 25%), в том числе несовершеннолетних — 1,5 тыс.

а) Сколько процентов составили несовершеннолетние?

б) Сколько их было в прошлом году, если соотношение совершеннолетних и несовершеннолетних не изменилось?

110. В капитальном строительстве предприятиями и организациями всех форм собственности введены в действие основные фонды стоимостью 269,1 млн р., в том числе 79,3 млн р. — на объектах производственного назначения и 189,8 млн р. — на объектах непроизводственного назначения. Сколько процентов составила стоимость объектов производственного назначения от стоимости всех введенных в действие объектов?

111. В течение недели магазин получил 60 000 р. дохода. Из них 15 000 р. от продажи продовольственных товаров. Сколько процентов составил доход от продажи непродовольственных товаров?

112. В традиционном марафоне приняли участие 10 тыс. горожан. До финиша добрались 50% участников. Из них 80% составили пенсионеры, бежавшие по укороченному маршруту. Сколько процентов от числа всех участников составили пенсионеры, добравшиеся до финиша?

113. При наблюдении в течение пяти минут за дорожным движением было подсчитано, что из проехавших 250 транспортных средств было 200 машин, 125 из которых были грузовыми. Сколько процентов от числа проехавших машин составили грузовики?

114. В одном банке вклад в 125 тыс. р. за год принес 87 500 р. чистого дохода, а в другом вклад в 108 тыс. р. — 81 000 р. В каком банке процентная ставка выше?

115. Себестоимость товара 30 р. За счет транспортных расходов и торговой наценки стоимость этого товара в магазине (розничная цена) увеличивается на 50%.

а) Сколько процентов от себестоимости составляет розничная цена?

б) Сколько стоит товар в магазине?

116. После уплаты налогов годовой доход от дома стоимостью 15 млн р. составил 1,15 млн р. Сколько процентов чистого дохода он принес, если расходы по его содержанию за это время составили 325 000 р.?

117. В связи с отменой отправлений, внеплановыми сходами с маршрута и другими причинами не было выполнено 1,4 млн рейсов, или 19%; с опозданием на конечный пункт маршрута прибыло 14 тыс. автобусов. Сколько процентов от числа всех рейсов составили рейсы с опозданиями?

118. Тарифы на проезд в наземном транспорте города N возросли с 2 до 10 р., соответственно с 2,5 до 15 р. — в городском метрополитене. Какие тарифы возросли больше?

119. Цена одной пластинки жевательной резинки 3 р. Цена упаковки (10 пластинок) 24 р. На сколько процентов цена пластинки в упаковке меньше, чем цена отдельной пластинки? На сколько процентов цена отдельной пластинки больше, чем цена одной пластинки в упаковке?

120. Цена льготного билета составляет 20% от его полной стоимости. После увеличения тарифов новая цена льготного билета стала равна прежней цене полного. На сколько процентов увеличились тарифы?

121. От пункта А до пункта В через пункты С и Е идет асфальтированная дорога. В результате ремонтных работ на участке от пункта С до пункта В

движение запрещено и надо пользоваться объездной проселочной дорогой через пункт D. Расход топлива при езде по проселочной дороге увеличивается на 10%. На сколько процентов увеличится расход топлива на одну поездку из пункта А в пункт Б, если известно, что пункт С расположен на середине пути от А до Б и расстояние от пункта С до пункта Б через пункт D в полтора раза больше расстояния от пункта С до пункта Б через пункт Е (рис. 2)?

Рис. 2

122. Стоимость одной акции некой фирмы увеличилась за неделю с 10,56 р. до 13,72 р. На сколько процентов вырос курс акций этой фирмы?

123. В магазинах А и Б цены в январе были одинаковыми. Изменение цен в течение следующих четырех месяцев показано в таблице:

Февраль

Март

Апрель

Май

магазин А

ув. на 50%

ум. на 10%

ув. в 2,5 раза

ум. в 2 раза

магазин В

ув. в 2 раза

ум. в 2,5 раза

ув. на 40%

ум. на 20%

Сравните цены в этих магазинах в мае: в каком из них цены ниже и на сколько процентов?

124. Цены на подержанные автомобили в городе N (в немецких марках) приведены в таблице:

Год вып.

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

Цена

3600

4000

4700

5600

6700

7500

9000

10 500

13 300

а) Сколько процентов от цены автомобиля выпуска 2000 г. составляет цена автомобиля выпуска 1992 г.?

б) Сколько процентов от цены автомобиля выпуска 1992 г. составляет цена автомобиля выпуска 2000 г.?

в) На сколько процентов цена автомобиля выпуска 2000 г. больше цены автомобиля выпуска 1992 г.?

г) На сколько процентов цена автомобиля выпуска 1992 г. меньше цены автомобиля выпуска 2000 г.?

д) Можно ли на основании приведенных данных утверждать, что ежегодно рыночная стоимость автомобиля снижается на определенное число процентов?

125. В промышленности города N работает 30 государственных унитарных предприятий, 30 закрытых акционерных обществ, 70 открытых акционерных обществ и 20 обществ с ограниченной ответственностью. На сколько процентов государственных предприятий меньше, чем предприятий других форм собственности?

126. По данным N-го горкомстата в процессе разгосударствления и приватизации в легкой промышленности города в госсобственности остается лишь 29% предприятий. На долю смешанной формы собственности (акционерные общества, производственные кооперативы, общества с ограниченной ответственностью) приходится 71% предприятий и 80% продукции, выпускаемой предприятиями отрасли. Сколько процентов составляет продукция предприятий смешанной формы собственности от продукции госпредприятий?

127. В городе N зарегистрировано 15,8 тыс. родившихся и 38,6 тыс. умерших. В прошлом году коэффициент рождаемости (число родившихся в

расчете на 1000 человек населения) возрос с 6,7 до 7,3. Также продолжал возрастать коэффициент смертности, который увеличился с 16,0 до 17,8. На сколько процентов увеличились коэффициенты рождаемости и смертности?

128. Доля реализации товаров личного гардероба, реализуемых через традиционную торговую сеть, снизилась с 25 до 13 процентов. Во сколько раз произошло снижение? На сколько процентов произошло снижение?

129. Установка гидрокомпенсаторов клапанных зазоров снижает содержание СО в выхлопе в 2—5 раз. На сколько процентов снижает гидрокомпенсатор содержание СО?

130. Во время эпидемии резко (в 3,6 раза по сравнению с обычным уровнем) возросло число заболеваний дифтерией. В результате лечебно-профилактических мероприятий число заболеваний снизилось на 75%. Когда заболеваемость была ниже, до или после эпидемии, и на сколько процентов?

131. Стоимость акций за первый квартал упала на 30%, а за второй выросла на 40%. Когда стоимость акций была выше, в начале года или в конце второго квартала, и на сколько процентов?

132. В 10-х классах учится 100 человек. Успеваемость составляет 85%. Сколько процентов составит успеваемость в случае, если:

а) придут еще 10 двоечников;

б) придут еще 10 отличников?

133. В двух магазинах с одинаковым ассортиментом цены на товары указаны в условных единицах. При этом в одном магазине расчеты с покупателями происходят в рублях по официальному курсу, причем торговая наценка составляет 5%.

Во втором — продажа без наценки, но по курсу, превышающему официальный на 5%. Покупка в каком из магазинов обойдется дешевле?

134. На диаграмме представлен процесс инфляции в 1994 г., данные приведены в процентах к декабрю 1993 г. (рис. 3). Используя эту диаграмму:

а) составьте график ежемесячной инфляции (изменения потребительских цен за месяц в процентах);

б) определите, в какие месяцы инфляция составляла меньше 10% в месяц.

135. В 100 г 3%-го водного раствора вещества содержится 3 г сухого вещества. В каком количестве 6% -го раствора содержится такое же количество этого вещества?

136. Какое количество сухого вещества содержится в 150 г 3%-го водного раствора этого вещества? В каком количестве 8%-го раствора содержится такое же количество этого вещества?

137. Какое количество 8% -го водного раствора сухого вещества надо взять, чтобы его можно было

Рис. 3

развести водой до получения 100 г 3%-го раствора этого же вещества?

138. Какое процентное содержание сухого вещества в готовом растворе получится, если к 100 г 10%-го водного раствора этого вещества добавить еще 100 г воды?

139. Перед употреблением 70% -ю пищевую уксусную кислоту разбавляют двадцатью частями воды. Сколько процентов уксусной кислоты содержит полученный раствор?

140. Концентрация уксусной кислоты в столовом уксусе составляет девять процентов. Перед употреблением его развели водой в соотношении 1:2. Какова концентрация полученного раствора?

Глава II

Процентные изменения

§ 3. Простой процентный рост

Если человек не вносит своевременно плату за квартиру, аренду земельного участка, автомобиля и т. п., то на него может налагаться штраф, который называется «пеня» (от лат. poena — «наказание»).

Если, например, пеня составляет 1% от суммы платежа за каждый день просрочки, то за 19 дней просрочки штраф составит 19% от суммы платежа, и вместе, скажем, с 50 р. самого платежа человек должен будет внести пеню 0,19*50 = 9,5 р., а всего 59,5 р.

Ясно, что платежи все разные; в разных местах пеня за просрочку также не одинаковая, а время просрочки вообще зависит от большого количества факторов. Поэтому имеет смысл составить общую формулу платежей для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S — ежемесячный платеж, пеня составляет р% за каждый день просрочки уплаты за некоторый месяц, а п — число просроченных дней.

Сумму, которую должен заплатить человек после п дней просрочки, обозначим через Sn.

Тогда за п дней просрочки пеня составит рп% от суммы S, т. е. SH^., а всего заплатить за этот

месяц придется S + , или, что то же самое,

Таким образом,

Задача 1. Сколько надо заплатить, если платеж 5000 р. просрочен, пеня равна 1% за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой:

а) на 5 дней;

б) на 30 дней;

в) на 4 месяца?

Решение. В случае а) всего надо будет заплатить

В случае б) пеня составит 30% от суммы платежа:

В случае в) за каждые 30 дней просрочки пеня составит 30% от суммы платежа, поэтому за весь срок плата возрастет до

Рассмотрим еще одну ситуацию.

Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц р% от внесенной в банк суммы. Поэтому, если клиент внес сумму S, то через п месяцев на его счете будет

и мы в результате получаем, что

Задача 2. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 тыс. р. Какая сумма будет на его счете:

а) через 5 лет; б) через 10 лет?

Решение. Применим полученную формулу. В случае а) получим

в случае б)

Мы получили в точности ту же самую формулу, что и в примере с просроченными платежами, хотя буквы в этих двух примерах имеют разный смысл: скажем, в первом примере п — число лет, а S — сумма, первоначально внесенная в банк.

Полученная формула применима, конечно, не только для расчета просроченных платежей и нахождения суммы на банковском счете, но и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста. Она показывает значение, которое принимает величина через п промежутков времени, если в каждый из промежутков она увеличивается на одно и то же число процентов, считая от ее начального значения S.

Задача 3. При покупке товара в рассрочку выплачивается сразу половина стоимости, а вторая половина выплачивается по 5% от нее ежемесячно. Какая часть стоимости товара будет выплачена:

а) через 6 месяцев; б) через 8 месяцев?

Решение. Для вычисления размера выплаченной суммы можно применить формулу простого процентного роста. Через шесть месяцев будет выплачено:

(полной стоимости товара).

Через восемь месяцев будет выплачено:

Заметим, что формула простого процентного роста описывает на самом деле не только ситуации, когда рассматриваемая величина действительно возрастает, но и случай, когда она убывает в каждый период на одно и то же число процентов, считая от ее начального значения.

Но в таких случаях, как мы уже говорили в § 1, речь идет об отрицательном росте, и число процентов р становится отрицательным.

Например, при погашении беспроцентной ссуды ежегодно выплачивается 4% от суммы ссуды. Поэтому ежегодно размер долга уменьшается на 4% (увеличивается на (-р)%).

На практике человек всегда интересуется такими вопросами, как, например, насколько быстро растет та или иная величина, в особенности, если эта величина имеет «экономический» характер — скажем, платеж, если его не внести вовремя, сумма денег на его счете в банке и т. п.

Такие расчеты можно провести арифметически, однако, как правило, сделать такие оценки можно более просто, если использовать графики. Именно, формула простого процентного роста показывает зависимость величины Sn от я, и если представить ее в виде

то можно заметить, что Sn является линейной функцией от п.

Если к некоторой сумме, скажем, 300 тыс. р. ежемесячно прибавлять по 20% от нее, то такая зависимость выражается формулой простого процентного роста:

или линейной функцией

Sn = 60м + 300.

Напомним, что изучавшаяся еще в 7 классе линейная функция — это функция вида у = kx + b, где X — аргумент функции у, a k и Ъ — некоторые действительные числа. В данном случае у нас обозначения несколько иные: вместо х — я, вместо у — Sny вместо k — , вместо Ъ — S.

Но наиболее существенное отличие состоит в том, что аргумент «обычной» линейной функции X — это любое действительное число, а у нас число п — обязательно натуральное.

Как известно из курса алгебры 7 класса, графиком функции у = kx + b является прямая с угловым коэффициентом fe, а число b показывает, какой отрезок отсекает эта прямая на вертикальной оси — оси ординат. Эта прямая идет тем круче, чем больше ее угловой коэффициент k (рис. 4).

Если теперь мы рассмотрим линейную функцию у = X + S, то ее график будет представлять собой прямую с угловым коэффициентом

Рис. 4 Рис. 5

и эта прямая отсекает на оси ординат отрезок длины Ь = S (рис. 5).

При натуральных значениях X = /г, на графике (рис. 6) мы сможем увидеть значения рассматриваемой величины Sn:

У(п) = Sn.

Поэтому график рассматриваемой величины Sn — это, строго говоря, есть совокупность отдельных изолированных точек, отмеченных на графике кружочками. Однако на практике график «обычной» линейной функции у = х + S называют также графиком величины Sn.

В некоторых случаях графики помогают нагляднее представить процесс изменения тех или иных величин — это касается в первую очередь скорости изменения этих величин.

Задача 4. На первый счет положены 100 тыс. р. под 30% годовых, а на второй 300 тыс. р. под 10% годовых. На каком из счетов через 50 лет сумма будет больше?

Решение. Составим формулы и рассмотрим линейные функции, описывающие данные процессы.

Первый счет:

Второй счет:

Рис. 6

На графике (рис. 7) мы можем видеть (хотя это видно уже по виду формул), что прямые параллельны, и через 50 лет, как и через 50 млн лет, сумма на втором счете будет больше — скорости увеличения вкладов оказались одинаковыми.

Рис. 7

Свойства простого процентного роста связаны со свойствами линейной функции и, следовательно, с основными свойствами прямой: прямая определяется любыми двумя ее точками и две прямые пересекаются только один раз. Сформулируем соответствующие свойства простого процентного роста.

1. Достаточно знать любые два значения величины, подчиняющейся правилу простого процентного роста, чтобы найти любое третье значение.

Задача 5. Для всех рабочих предприятия в зависимости от их разряда установлены различные тарифные ставки, причем для каждого последующего разряда тарифная ставка увеличивается на одно и то же число процентов от тарифной ставки работника первого разряда. Сколько получает работник, имеющий четвертый разряд, если работник первого разряда получает 5 тыс. р. в месяц, а шестого разряда — в четыре раза больше?

Решение. Увеличение тарифных ставок в зависимости от разряда на этом предприятии подчи-

няется правилу простого процентного роста. Примем ставку рабочего первого разряда за 100%, тогда ставка рабочего шестого разряда составит 400%. Поскольку между первым и шестым разрядами 5 = 6-1 квалификационных ступеней, то разница между соседними ставками будет равна ^6 ~ Г~ = ^0//° ' Поэтому рабочий четвертого разряда получит на 3 • 60% = 180%, или на 5000 X X 1,8 = 9000 р. в месяц больше, чем рабочий первого разряда. То есть его заработок составит 14 000 р. в месяц.

2. Если две различные величины, изменяющиеся по правилу простого процентного роста, один раз «пересеклись», то мы можем быть уверены в том, что больше этого никогда не произойдет.

В заключение рассмотрим несколько примеров «обратных задач» на простой процентный рост.

Задача 6. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650 р.?

Подставим в формулу простого процентного роста величину начального вклада, конечной суммы и количество месяцев:

Таким образом получено уравнение с неизвестным р. Решим это уравнение:

/? = (650:500- 1)-100:6; р = 5%.

Задача 7. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33 тыс. р.?

Подставим в формулу простого процентного роста величину процентной ставки, конечной суммы и количество месяцев:

Таким образом, получено уравнение с неизвестным S. Решим это уравнение:

S = 33 000 : 1,32; S = 25 000 (р.).

Задача 8. Новый компьютер был куплен за S р.; и каждый год на его амортизацию списывается р%. Через сколько лет этот компьютер можно списать как полностью потерявший первоначальную стоимость?

Выражение «списывать на амортизацию р% в год» означает, что каждый год первоначальная стоимость компьютера считается уменьшившейся на р%, или увеличившейся на (гр)%.

Поэтому через п лет его новая стоимость (она называется остаточной стоимостью) согласно формуле простого процентного роста будет равна

Отсюда видно, что компьютер будет иметь нулевую балансовую стоимость, и его можно «списать», если 1 - = 0, т.е. рп = 100, откуда получаем п =--

Заметим, что, как правило, это число будет дробным, а списание оборудования проводится обычно через целое число лет, и поэтому, например, при проценте амортизации р = 15% списать компьютер можно не ранее, чем через лет, что составляет 6 лет 8 месяцев, т. е. фактически 7 лет.

Примечание. В математике рассматривается специальная функция — целая часть, полезная и в школьном курсе для записи ответов к таким задачам «в общем виде». Эта функция обозначается через у = [х] и определяется как наибольшее целое число, меньшее или равное числу X.

Например,

Используя это обозначение в случае, когда число не является целым, ответ к рассмотренной задаче можно записать в виде J + 1 — единица появляется потому, что само число J в этом случае меньше, чем , так что через это время компьютер еще нельзя списать, а через год, т. е. как раз через i221 + 1 лет, списать его уже можно.

Упражнения и задачи

I

141. Начальная сумма составляет 50 тыс. р. Ежемесячно она увеличивается на 10%. Какой будет эта сумма через:

а) 3 месяца; в) 2 года;

б) 8 месяцев; г) 3 года?

142. Начальная сумма составляет 500 тыс. р. Ежемесячно она уменьшается на 10%. Какой будет эта сумма через:

а) 2 месяца; в) 7 месяцев;

б) 5 месяцев; г) 1 год?

143. Начальная сумма составляет 100 тыс. р. Ежемесячно она увеличивается на 25%. Через сколько месяцев эта сумма возрастет до:

а) 250 тыс. р.;

б) 500 тыс. р.;

в) 1 млн р.;

г) 2 млн р.?

144. Начальная сумма составляет 1 млн р. Ежемесячно она уменьшается на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится до:

а) 750 тыс. р.; в) 250 тыс р.;

б) 500 тыс. р.; г) 50 тыс. р.?

145. Какой была начальная сумма, если при ежемесячном увеличении на 20% она за три месяца возросла до:

а) 160 тыс. р.; в) 800 тыс. р.;

б) 48 тыс р.; г) 64 тыс. р.?

146. Какой была начальная сумма, если при ежемесячном уменьшении на 20% она за три месяца сократилась до:

а) 160 тыс. р.; в) 800 тыс. р.;

б) 48 тыс. р.; г) 64 тыс. р.?

147. Верно ли начислена пеня, если при сумме платежа 100 р., величине пени в сумме 1% за день просрочки и просрочке на 5 дней сумма к оплате составила 150 р.?

148. На сколько процентов в год увеличивается сумма, если за 10 лет она возросла:

а) вдвое; б) в 1,5 раза; в) в 10 раз?

149. Начальная сумма составляет 2 тыс. р. Ежемесячно она увеличивается на 5%. Какая из перечисленных ниже формул соответствует данному условию:

150. Считая, что данная формула или уравнение описывает накопление денег на счете в банке, определить начальную сумму и процентную ставку:

151. Соответствуют ли формулы уравнениям прямой:

152. Указать все пары параллельных прямых:

а : у = 4,8* + 1; d : у = 9,6х + 1;

Ъ : у = 9,6jc + 2; е : у = 48* + 10;

с : у = 4,8х + 2; / : у = 48* + 1.

153. На диаграмме (рис. 8) показано изменение величины S. На сколько процентов в неделю (по отношению к первой неделе) увеличивается значение S?

Рис. 8

154. С помощью диаграммы (рис. 9) изменения балансовой стоимости компьютера, купленного в 2000 г., определить:

а) срок его службы;

б) процент амортизации;

в) стоимость при покупке.

Рис. 9

155. Вычислить срок службы оборудования, зная, что процент амортизации составляет:

а) 10%; 6)11%; в) 17%.

II

156. Для нормальной работы пансионата требуется 600 электролампочек. Каждый месяц требуют замены 10% лампочек. Сколько лампочек надо иметь в запасе, чтобы обеспечить работу пансионата в течение четырех месяцев?

157. В городе N в случае неуплаты земельного налога городу в установленный срок (не позднее 15 сентября) начисляется пеня в размере 0,2% неперечисленных сумм за каждый день просрочки (полный месяц считается равным 30 дням). Какая пеня будет начислена в случае уплаты земельного налога в сумме 436 тыс. р.:

а) 25 сентября того же года;

б) 15 октября того же года;

в) 15 февраля следующего года?

158. Цена нереализованного товара через каждые 5 дней уменьшается на 3% от первоначальной. Считал первоначальную цену равной 200 р., вычислить цену этого товара:

а) на шестой день;

б) на пятнадцатый день;

в) на двадцатый день;

г) на тридцать второй день.

159. В одной камере хранения содержание багажа в течение первых суток стоит 85 р., а за каждые следующие на 10% меньше первого взноса. В другой — 100 р. в первые сутки и на 25% меньше первого взноса за каждые следующие. В какой из камер хранения содержание багажа в течение десяти суток обойдется дешевле?

160. Определить размер пени за каждый день просрочки при несвоевременной оплате аренды, если за 20 дней просрочки сумма платежа увеличилась:

а) с 40 до 44 р.; в) со 100 до 104 р.;

б) с 80 до 96 р.; г) с 70 до 79,8 р.

161. Под какой процент годовых (простой процентный рост) надо вложить сумму 1 тыс. р., чтобы по истечении 8 месяцев получить:

а) 2 тыс. р.; в) 5 тыс. р.;

б) 1,4 тыс. р.; г) 9 тыс. р.?

162. Пеня за несвоевременную квартирную плату в городе N начисляется в размере 0,1% от неуплаченной суммы за каждый день просрочки. На сколько дней была задержана квартирная плата, если на сумму 200 р. была начислена пеня:

а) 10 р.; б) 4,4 р.; в) 6 р.; г) 1,8 р.?

163. В автохозяйстве для каждой модели автомобилей установлена норма износа. По «Волгам» она составляет 11,1% в год. Какова норма износа этого автомобиля в месяц? Каков срок службы этого автомобиля?

164. Господин N решил похудеть, и для этого он стал заниматься на велотренажере. В первый день он «проехал» 5 километров. Каждый следующий день он решил «проезжать» на 10% больше. На какой день занятий он должен будет «проехать» 15 километров? Сколько всего километров он «проедет» к этому дню?

165. В первый день после болезни спортсмен смог выполнить 30% своей обычной нормы тренировок. Когда он сможет вернуться к полноценным нагрузкам, если врачи не рекомендовали ему за один день увеличивать нагрузки более, чем на 3% от его обычной нормы?

166. Определить максимальный срок погашения беспроцентной ссуды, если заемщик должен выплачивать каждый месяц сумму в размере не менее 15% от величины займа.

167. Срок уплаты налога с владельцев транспортных средств в городе N истекает 31 июля. Пеня за задержку платежа начисляется, начиная с первого августа и по день оплаты включительно (по 31 декабря без дополнительных штрафных санкций, полный месяц считается равным тридцати дням) из расчета 0,7% в день. Определить, во сколько раз увеличивается сумма налога к 31 декабря. Узнать величину налога, если:

а) 20 августа заплачено 889,2 р.;

б) 14 августа заплачено 549 р.;

в) 7 сентября заплачено 1007,2 р.

168. По закону о защите прав потребителя продавец несет ответственность за каждый день за-

держки выполнения требований потребителя о замене некачественного товара в размере одного процента стоимости товара. Какова была стоимость товара, если:

а) с учетом задержки на 15 дней продавец вынужден был заплатить 1840 р.;

б) с учетом задержки на 45 дней продавец вынужден был заплатить 1203,5 р.;

в) с учетом задержки на 3 дня продавец вынужден был заплатить 10,3 тыс. р.?

169. Стоимость еженедельного журнала в день выпуска составляет S0 рублей. Каждый следующий день в течение недели его стоимость уменьшается на р% от первоначальной стоимости. Вычислить стоимость Sk журнала через k дней.

а) Составить формулу для решения задачи.

б) Решить задачу при S0 = 40, р = 15%, k = 3, 5, 6.

в) С помощью составленной формулы заполнить таблицу.

S0 (р.)

Sk (р.)

Р(%)

k (дн.)

20

15

12,5

20

15

5

40

10

2

25

15

4

170. Стоимость килограмма овощей в течение месяца после сбора составляет S0 рублей. Каждый следующий месяц до нового урожая стоимость увеличивается на р% от первоначальной. Вычислить стоимость Sk килограмма овощей через k месяцев.

а) Составить формулу для решения задачи.

б) Решить задачу при S0 = 20, р = 20%, k = 3, 5.

в) С помощью составленной формулы заполнить таблицу.

S0 (p.)

Sk (p.)

P(%)

k (мас.)

30

36

20

20

25

2

64

15

4

50

85

10

171. Составить таблицу значений величин S и Т, зная, что исходное значение S = 100, и за каждый промежуток времени оно увеличивается на 40% от исходной величины, а исходное значение Т = 200, и за такой же промежуток времени оно увеличивается на 15%.

Построить графики зависимости S(t) и T(t) и определить:

1) какая из этих величин растет быстрее;

2) когда эти величины сравняются.

172. График какой из перечисленных ниже линейных функций идет круче всех:

а) у = ОЛх + 1; г) у = 0,08* + 2;

б) у = 0,75х + 2,5; д) у = 0,18jc + 1,5;

в) у = 0,06л; + 0,5; е) у = 0,06* 4- 3?

173. Считая, что перечисленные в предыдущем упражнении функции при неотрицательных целых значениях аргумента описывают рост денежной суммы (в тысячах рублей) во времени (в годах), определить:

1) в каком случае начальная сумма наибольшая, в каком — самая большая процентная ставка;

2) в каких случаях процент увеличения в единицу времени совпадает;

3) какая из сумм будет наибольшей через три месяца; через три года.

174. Два предпринимателя в один и тот же день организовали свои предприятия. У одного из них начальный капитал 3 млн р. и чистый доход составляет 20% в год от начальной суммы, а у другого 0,5 млн р. и 120% в год соответственно.

а) Определить, настанет ли такой момент, когда оба предпринимателя будут иметь одинаковые капиталы.

Указание. Можно составить зависимости суммы на счете от времени в виде функций и воспользоваться свойством линейных функций с одинаковым угловым коэффициентом.

б) В течение скольких лет капитал первого предпринимателя будет превышать капитал второго более, чем в 2 раза?

175. За хорошую работу в течение недели предприятие выплачивает работнику в конце этой недели премию в размере 15% от его оклада; за хорошую работу в течение следующей еще 15% сверх этой надбавки и т. д. Сколько может заработать добросовестный человек за 50 недель, если его начальный недельный оклад составлял 5 тыс. р.?

176. Номинальная стоимость одной акции первого предприятия в начале года составляла 100 р., но в течение первого полугодия ее рыночная стоимость падала на 3% от начальной стоимости в месяц. Стоимость одной акции второго предприятия на начало года была 60 р., и в течение первого полугодия ее стоимость увеличивалась на 2% от этой величины в месяц. Ожидая в дальнейшем продолжение падения курса акций первого предприятия и более резкое увеличение курса акций второго, брокер решил продать акции первого и купить акции второго. Сколько примерно времени осталось у него для того, чтобы не потерять деньги при обмене акций (т. е. до того, как акции второго предприятия станут дороже акций первого)?

177. Номинальная стоимость одной акции первого предприятия 200 р., и за три месяца их рыночная стоимость возросла на 30%. Номинальная стоимость акций второго предприятия 300 р., и за четыре месяца их рыночная стоимость возросла на 40%. Скорость роста каких акций выше?

178. Какую сумму надо положить в банк, начисляющий проценты из расчета 6% в месяц, чтобы скорость роста этого вклада была такой же, что и у вклада в 5 тыс р. с начислением 3% в месяц?

179. Под какие проценты надо положить 30 000 рублей, чтобы приращения вклада за месяц хватало на оплату квартиры, если сумма квартплаты составляет 800 р., а квартиросъемщик имеет льготы и платит за квартиру на 20% меньше?

180. Какую сумму надо положить в Сбербанк под 4% в месяц, чтобы по истечении года приращение вклада было бы не меньше, чем:

а) 1 тыс р.; б) 350 р.?

§ 4. Сложный процентный рост

В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система начисления денег на сумму, внесенную в банк. За первый год нахождения внесенной суммы на счете она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги — «проценты», как их обычно называют.

Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т. е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе

начисляются «проценты на проценты». В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положил на счет в банк 1500 р. и ни разу не будет брать деньги со счета, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10% :

10% от этой суммы составляют 0,1 • 1500 = 150 р., и, следовательно, через год на его счете будет

1500+ 150 = 1650 р.

10% от новой суммы составляют 0,1е 1650 = = 165 р., и, следовательно, через два года на его счете будет

1650+ 165 = 1815 р.

10% от новой суммы составляют 0,1е 1815 = = 181,5 р., и, следовательно, через три года на его счете будет

1815 + 181,5 = 1996,5 р.

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, «лобовом» подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 5 лет. Между тем этот подсчет можно провести значительно более просто.

Именно, через год начальная сумма 1500 увеличится на 10%, и поэтому новая сумма составит 110% от начальной, так что начальная сумма увеличится в 1,1 раза. Но в следующем году именно новая, увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%, т. е. снова увеличится в 1,1 раза. Следовательно, через 2 года начальная сумма увеличится в 1,1 • 1,1 = 1,12 раза.

Но еще через год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в

Поскольку

то через 3 года на счете окажется 1996,5 р.

При таком способе рассуждений совершенно понятно, что через 5 лет на счете будет

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счете через п лет, равна Sn р.

р% от S составляют £^ р., и через год на счете окажется сумма

т. е. начальная сумма увеличилась в 1 + раз.

За следующий год сумма St увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма

Аналогично, S3 = (^1 + j S и т. д. Другими словами, справедливо равенство

Это равенство называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Задача 1. Какая сумма будет на счете вкладчика через 5 лет, если:

а) банк начисляет 12% годовых и внесенная сумма равна 2000 р.;

б) банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 5000 р.?

Решение. В случае а) сумма через 5 лет составит

В случае б) на счете через 5 лет будет:

Разница законов простого и сложного роста состоит в том, что при простом росте процент каждый раз исчисляют, исходя из начального значения величины, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения.

Можно сказать также, что при простом росте 100% — всегда начальная сумма, а при сложном росте 100% каждый раз новые — это предыдущее значение величины.

Задача 2. Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 5000 р. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет:

а) при начислении банком простых процентов;

б) при начислении сложных процентов? Решение. При простом процентном росте через 5 лет сумма составит

а при сложном

Примечание. Желая внести деньги в какой-нибудь банк, человек всегда должен внимательно ознакомиться с условиями: какие проценты выплачивает банк — простые или сложные, платит ли он «проценты на проценты». И судить об этом следует не только по рекламе, которая часто бывает расплывчатой, неточной, но и непосред-

ственно по тексту договора, который перед подписанием надо внимательно изучить.

Формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматриваемая величина за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определенное число процентов, считая от предыдущего его значения.

Задача 3. На сколько процентов увеличится население на острове за 10 лет, если ежегодно оно увеличивается на 2% ?

Решение. За 10 лет население увеличится

или примерно на 22%.

Так же, как и формула простого процентного роста, формула сложных процентов на самом деле может быть применена и в тех случаях, когда рассматриваемая величина в действительности уменьшается, т. е. когда рост отрицательный. В этом случае, как и для простого роста, в формуле появляется знак минус:

Задача 4. За переадресацию вклада банком установлены комиссионные в размере 0,2% от суммы вклада (но не менее 10 р.). Вклад на сумму 100 000 р. был переадресован 12 раз. На сколько уменьшился вклад?

Решение. Процесс уменьшения вклада в ходе последовательной переадресации описывается формулой сложного процентного роста (естественно, последней ее версией со знаком минус):

Таким образом, уменьшение составило 100 000 - 97626,22 = 2373,78 р.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Задача 5. На сколько процентов увеличится сумма, вложенная на 5 лет в банк, начисляющий 30% годовых?

Решение. Примем величину начального вклада за единицу и подставим все известные данные в формулу:

Теперь найдем разность увеличенной суммы и начальной и выразим ее в процентах:

3,71 - 1 = 2,71, т. е. сумма увеличится на 271%.

Задача 6. Каким должен быть начальный вклад, чтобы через 2 года вклад в банке, начисляющем 30% годовых, возрос до 8,45 тыс. р.?

Решение. Обозначим величину начального вклада через х и подставим все данные в формулу:

Полученное уравнение имеет единственное решение:

X = 5 (тыс. р.).

Упражнения и задачи

I

181. В 1992 г. производство упало на 19%, а в 1993 г. — на 16%. На сколько процентов упало производство за два года?

182. Доходы населения увеличились в первом квартале на 5%, а во втором — на 10%. На сколько процентов увеличились доходы населения за два квартала?

183. Цена товара за первый месяц увеличилась на 20%, а за второй уменьшилась на 10%. На сколько процентов изменилась цена за два месяца?

Рис. 10

184. Выпуск продукции в прошлом году снизился на 10%, а в текущем повысился на 20%. Как изменился выпуск продукции за два года?

185. Какая сумма будет на счете через 2 года, если на него положены 20 тыс. р. под 11% годовых?

186. На каком из счетов через три года сумма будет больше, если вложены: на первый счет 10 тыс. р. под 36% годовых, на второй 80 тыс. р. под 19% годовых и на третий 100 тыс. р. под 10% годовых?

187. Уровень инфляции составляет в среднем 7% в месяц. На сколько возрастет инфляция за полгода?

188. Какой капитал надо отдать в рост под 10% годовых, чтобы через три года получить вместе с процентами 1 млн р.?

189. Какая сумма увеличится за пять лет на 100 тыс. р. при ставке 10% годовых?

190. На сколько лет нужно положить вклад в 20 тыс. р. под 10% годовых, чтобы получить не менее 100 тыс. р. дохода?

Указание. Вычислите сумму на счете в течение нескольких первых лет, каждый раз проверяя, не будет ли эта сумма больше начальной на 100.

191. На данной диаграмме (рис. 10) изображен рост вклада в Сбербанке. С помощью диаграммы определите:

а) величину первоначального вклада;

б) примерную процентную ставку;

в) через сколько лет сумма на счете будет больше 20 тыс. р.;

г) примерную сумму на счете через 8 лет?

192. На одном и том же чертеже (рис. 11) изображены рост вклада на сумму 10 000 р. при процентной ставке 20% годовых и рост вклада на сумму 20 000 р. при процентной ставке 10% годовых. Через сколько полных лет суммы вкладов сравняются? Сравнялись бы они когда-нибудь при простом процентном росте?

Рис. 11

II

193. Начальный вклад клиента Сбербанка составил 100 тыс. р. Зная, что процентная ставка Сбербанка 10% годовых, определить, какая сумма будет на счете этого клиента:

а) через год; в) через 5 лет;

б) через 2 года; г) через 6 лет.

194. В первый год фермер обработал 25 га земли. Затем в течение трех лет ежегодно сокращал посевные площади на 5% по сравнению с предыдущим годом, переходя к интенсивным способам земледелия. Сколько гектаров составили посевные площади через три года?

195. Парки и скверы в городе N занимают 20% от площади города. Городскими властями решено ежегодно увеличивать площади зеленых насаждений на 15% от прошлогодних площадей (до достижения нормальной экологической обстановки). На сколько увеличится площадь зеленых насаждений через три года, если площадь города составляет 30 квадратных километров?

196. Фирма в течение пяти лет увеличивала товарооборот на 7,2% в год. На сколько процентов за эти пять лет возрос ее товарооборот?

197. Процентная ставка целевого детского вклада сроком на 10 лет была изменена с 16% до 12% годовых. На сколько меньше окажется в этом случае сумма (первоначальная сумма вместе с процентами), которую мы сможем получить через 10 лет, по сравнению с той суммой, которую мы бы могли получить, если бы процентная ставка не менялась, по вкладу:

а) 10 000 р.; б) 11 000 р.?

198. Коммерческий банк выплачивает доход вкладчику, исходя из следующих годовых процентных ставок: 3 мес.— 15%; 6 мес.— 18%; 9 мес. — 22% ; 12 мес. — 29%. (По условию договора при неполном сроке хранения банк не учитывает сложных процентов и, например, при сроке 3 месяца выплачивает — = 3,75%.)

Какую сумму (чистый доход вкладчика) выплатит банк за хранение 20 000 р. по договору, заключенному:

а) на 3 месяца; в) на 9 месяцев;

б) на 6 месяцев; г) на 12 месяцев?

Сколько процентов годового дохода можно получить, если в течение года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его действия каждый раз все полученные деньги вкладывать опять же на 3 месяца?

199. Южная часть N-й области характеризуется уровнями загрязнения почвы цезием-137, достигающими в некоторых местах значений 5^15 Ки/км2. По оценкам специалистов интенсивность радиационного воздействия цезия-137 на население без проведения специальных мероприятий будет снижаться ежегодно на 10%. Во сколько раз снизится интенсивность воздействия цезия-137 через семь лет; через пятнадцать лет?

200. Население города N за последние 10 лет увеличивалось ежегодно в среднем на 1,4%. На сколько человек возросло население города за эти 10 лет, если сейчас в городе 15 тыс. жителей?

201. Какова была численность населения в городе N, если за 3 года при ежегодном увеличении на 2% население увеличилось на 1,2 тыс. человек?

202. Каждая линза в сложном объективе снижает световой поток на 5%. На сколько процентов снизят световой поток:

а) 2 линзы; б) 4 линзы?

Какое наибольшее число линз можно поставить, чтобы на выходе иметь не менее 75% начального светового потока?

Задачи 203, 204, 209 и 210 требуют довольно трудоемких вычислений, однако к ним можно вернуться после изучения темы «Немного математики» и убедиться, что они стали решаться быстрее.

203. В регионе N число новорожденных увеличивается ежегодно в 1,02 раза. В текущем году на свет появилось около 200 000 младенцев. Если тенденция сохранится, то какое количество детей можно ожидать через 15 лет:

а) в возрасте 6 лет;

б) в возрасте от 6 до 9 лет включительно?

204. Растущий цыпленок в первую неделю нуждается ежедневно в 30 г корма и до двухмесячного возраста каждую неделю потребляет на 20% кормов больше, чем в предыдущую. Сколько надо корма на его содержание в течение первых восьми недель?

205. Ежегодно число жителей города увеличивается на 2%, а число автомобилей — на 20%. Сейчас в городе 80 тыс. жителей и 4,5 тыс. автомобилей. Через сколько лет число автомобилей станет сопоставимо с числом жителей (при условии, что останется неизменным процент увеличения и жителей, и автомобилей)?

206. Предприниматель взял ссуду на 4 недели под 40%. Эти деньги он вложил в свое предприятие, которое приносит еженедельную прибыль 34%. Сможет ли он, увеличивая каждую неделю вложение в свое предприятие за счет набежавших процентов, погасить ссуду в срок?

207. Какую сумму надо положить в банк под 1% в месяц (сложные проценты), чтобы начисленные за год проценты покрывали 13% от годовой зарплаты в 5 тыс. р., т. е. банк оплачивал бы подоходный налог?

208. Семья накопила деньги на новый автомобиль, но решила повременить с покупкой, ожидая снижения цен на выбранную модель на 20%. На

какой срок имеет смысл откладывать покупку, если инфляция составляет 3% в месяц?

209. Гражданин на момент выхода на пенсию имеет на личном счете в банке, начисляющем 10% годовых, 30 тыс. р. и намерен ежегодно в «день выхода на пенсию» добавлять на свой счет еще 1 тыс. р. Сколько денег будет на счете через 5 лет?

210. Некто получил в наследство 1 млн р. и положил все деньги в банк, начисляющий проценты из расчета 5% годовых. На сколько лет хватит этих денег, если их владелец ежегодно снимает со счета 100 тыс. р.? (В первый раз деньги сняли после первого начисления процентов.)

§ 5. Немного математики: арифметическая и геометрическая прогрессии

В предыдущем параграфе мы выяснили главное различие между простым и сложным процентным ростом: при простом росте величина в каждый период времени увеличивается на одно и то же количество по сравнению с предыдущим значением, а при сложном росте — в одно и то же число раз по сравнению с предыдущим значением. Например, при росте вклада 100 тыс. р. на 10% в месяц с начислением простых процентов получим последовательность 100, 110, 120, 130, 140, ... (тыс. р.), а с начислением сложных процентов получим последовательность 100, 110, 121, 133, 146, ... (тыс. р.).

Если, как обычно, обозначить начальное значение величины через S, а ее значение через п промежутков времени — через Sn, то «следующее» значение величины имеет номер п + 1, и поэтому при простом росте

а при сложном росте

Если теперь записать друг за другом, по порядку все значения рассматриваемой величины для п = 1, 2, 3, S19 S2, S3, то получим последовательность, которая в двух рассматриваемых случаях строится по разным правилам. При простом росте мы к каждому уже написанному числу прибавляем , а при сложном росте умножаем его на 1 + JL.

Но это означает, что обе последовательности являются прогрессиями, первая — арифметическая с разностью d = , вторая — геометрическая со знаменателем а = 1 + -2— — в точном соответствии с определениями этих прогрессий в курсе алгебры 9 класса.

Таким образом в рассмотренном в начале параграфа примере первая последовательность является арифметической прогрессией с разностью 10, вторая — геометрической прогрессией со знаменателем 1,1.

Обратим еще раз внимание на особенности терминологии. Термин «прогрессия» происходит от латинского слова progressio, означающего движение вперед, рост, успех. В то же время вы видели, что прогрессии могут быть и убывающими, но при этом не называются, скажем, регрессиями.

Поэтому нет ничего странного в том, что всегда можно говорить о процентном росте, а не отдельно о росте и об убывании. Но для этого приходится рассматривать и отрицательное число процентов.

И поэтому наиболее точно терминологически было бы говорить, что в обеих формулах — простого и сложного роста —

число р может быть и отрицательным.

Конечно, в повседневной жизни в подавляющем большинстве случаев все же говорят, например, что курс американского доллара упал на 0,13% по отношению к японской иене, а не вырос по отношению к ней на -0,13%. Но при проведении практических расчетов и при решении задач удобно говорить именно об отрицательном росте и отрицательном числе процентов роста и всегда применять две последние формулы.

Как вы помните из 9 класса, члены арифметической и геометрической прогрессий обозначались разными буквами — для арифметической использовалась буква а:

а для геометрической — Ь:

Ясно, что это не имеет никакого особого значения и делается в теории только для того, чтобы формулы 71-го члена и суммы п членов было «труднее перепутать» — само обозначение подсказывает, о какой именно прогрессии идет речь.

Напротив, наши последовательности и в случае простого, и в случае сложного роста возникли из практических «денежных» задач, и было бы совершенно неестественно в одних задачах сумму денег обозначать буквой S, а в других, скажем, буквой Т. И конечно же дело не в обозначениях, а в законе изменения величины. Так, буквой а можно обозначить и член арифметической прогрессии, например, в формуле

(d — разность прогрессии, п — номер взятого члена) и член геометрической прогрессии в формуле

(q — знаменатель прогрессии, п — номер взятого члена).

Например, если в банк положены 200 тыс. р. с начислением простых процентов из расчета 10% в год, то последовательность сумм на счете через год, через два, через три и т. д.: 220, 240, 260, ... образует арифметическую прогрессию, имеющую первый член 220 и разность 20 тыс. р. (10% от 200 тыс. р.). И для вычисления суммы на счете через 15 лет можно применить формулу п-го члена арифметической прогрессии:

а15 = 220 + 20 • (15 - 1) = 500 тыс. р.

Если же в банк положены 200 тыс. р. с начислением сложных процентов из расчета 10% в год, то последовательность сумм на счете через год, через два, через три и т. д.: 220; 242; 266,2; ... образует геометрическую прогрессию с первым членом 220 и знаменателем 1,1. И для вычисления суммы на счете через 15 лет можно применить формулу п-го члена геометрической прогрессии:

И еще одно, более существенное замечание по поводу обозначений.

Дело в том, что рассмотренная нами последовательность Sv S29 Ss, ... на самом деле не совсем естественна: в самом деле, почему мы начали эту последовательность с суммы, оказавшейся на счете через год, а не с начальной суммы S?

И если воспользоваться, например, традициями физики, где отсчет времени всегда начинается с 0 и, например, начальная скорость обозначается через и0, и обозначить начальную сумму через S0, то возникает последовательность, начинающаяся не с первого, а с нулевого члена S0, Sv S2, S3, ....

Кстати, при п = 0 обе формулы — и простого, и сложного роста, — принимают вид S0 = S, так что остаются верными и при нулевом значении п.

Вообще, нумерация, начинающаяся с нуля, в математике чаще всего является более удобной, и с ней вы могли встретиться уже в младших классах.

Например, в многозначном числе единицы образуют первый разряд, десятки — второй, сотни — третий и т. д. Но в то же время, 1 = 10°, 10 = 101, 100 = 102, ... и поэтому более естественно было бы считать разряд единиц нулевым, разряд десятков первым, разряд сотен вторым и т. д.

На графике арифметическая прогрессия изображается точками, расположенными по прямой, на диаграмме — равномерными ступеньками. Поэтому возникающие изменения в формуле нахождения любого члена в зависимости от того, с какого члена, первого или нулевого ведется отчет, легко объясняются: действительно, если мы поднимаемся, скажем, на пятую ступеньку лестницы с уровня земли (нулевой уровень или предыдущая ступенька, как угодно), нам надо сделать пять шагов, а если с первой, то четыре.

Теперь вернемся к задаче о начислении пени (см. § 3). Представим себе, что человек не делал положенных ежемесячных платежей в течение года и решил заплатить все сразу в последний срок внесения платы за декабрь. В этом случае с учетом пени он должен заплатить:

за декабрь 5000 р. (пеня еще не начисляется),

за ноябрь 5000 + 0,3 • 5000 = 6500 р.,

за октябрь 5000 + 0,3 • 5000 + 0,3 • 5000 = 8000 р.,

за каждый следующий месяц плата увеличивается на 1500 р.

Таким образом мы получаем прогрессию:

5000, 6500, 8000, 21 500,

где 21500 = 5000 + 0,3-5000 + ... + 0,3-5000 — плата за январь.

Осталось найти сумму всех этих чисел. При этом можно значительно сократить вычисления, если воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии, а именно ее и образуют числа в рассмотренной нами последовательности (разность этой прогрессии d = 1500).

Напомним, что сумма Sn первых п членов арифметической прогрессии выражается формулой

где ах — первый член прогрессии, ап — /1-й член прогрессии; п — число суммируемых членов. Так, например, сумма всех целых чисел от 1 до 1000 включительно равна

Таким образом, сумма всех платежей за 12 месяцев при величине ежемесячного взноса в 5000 р. и пене в размере 1% за каждый день просрочки равна

А теперь рассмотрим такую ситуацию. На банковском счете того гражданина, который не платил по счетам, год назад было 125 000 р. Этот банк выплачивает сложные проценты из расчета 4% в месяц. Выгодно ли было нашему гражданину тянуть с платежами или же стоило аккуратно оплачивать счета?

Проведем необходимые вычисления. Долг за квартиру мы уже знаем: это 159 000 р. Накопленная в банке сумма составила

и после вычета долга осталось 41129,03 р.

А для регулярного внесения квартплаты ему достаточно было ежемесячно снимать проценты (0,04 • 125 000 = 5000), т. е. на счете осталось бы 125 000 р. Но это только через год, а как изменится ситуация в дальнейшем, вы узнаете из следующего параграфа.

Теперь оставим на некоторое время нашего неплательщика и рассмотрим еще одну типовую задачу на проценты.

Студент ежемесячно получает стипендию 500 р., которую не тратит, а сразу кладет в банк, начисляющий, скажем, 1% в месяц. Схема роста вклада выглядит следующим образом:

1 месяц — 500

2 месяц — 500 • 1,01 + 500 = 500 • (1,01 + 1)

3 месяц — (500 • (1,01 + 1)) • 1,01 + 500 = 500 X х(1,012 +1,01 + 1)

Заметим, что выражение в скобках — сумма п членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 1,01, которую можно вычислить по формуле Sn = —— . Тогда сумма на счете по прошествии п месяцев составит

или в общем виде

где Sn — сумма на счете через п временных единиц (чаще всего, месяцев или лет), SA — постоянная величина, на которую сумма на счете увеличивается в единицу времени (соответственно, ежемесячно или ежегодно), р — процентная ставка в банке за соответствующую единицу измерения времени.

Таким образом, если до поступления в университет студент не имел сбережений, то по оконча-

нии учебы — например, через 60 месяцев, — при условии, что все выплаченные стипендии отданы в рост на описанных условиях, составится капитал

А что, если у студента на счете была хотя бы 1000 р.? Проведем расчет:

в общем случае

где S0 — начальная сумма на счете, Sn — сумма на счете через п временных единиц (чаще всего, месяцев или лет), SA — постоянная величина, на которую сумма на счете увеличивается, р — процентная ставка в банке за соответствующую единицу измерения времени.

Отсюда становится видно, что начальный вклад растет сам по себе, накопление стипендий — само по себе, по прежней схеме.

В заключение заметим, что если с растущего счета снимать равные суммы после каждого начисления процентов, формула примет вид

Упражнения и задачи

I

211. Указать пять первых членов последовательности с первым членом 2 и вторым 3, которая:

а) являлась бы арифметической прогрессией;

б) являлась бы геометрической прогрессией;

в) не являлась бы ни арифметической, ни геометрической прогрессиями.

212. Найти разности следующих арифметических прогрессий:

а) 7,5; 9; 10,5; 12; ...;

б) 0,01; -0,34; -0,69; -1,04; ...;

в) 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; ...;

г) 51,75; 41,4; 31,05; 20,7;...;

д) -1,5; -1,44; -1,38; -1,32; ...;

е) 100; 98; 96; 94; ... .

213. Найти знаменатели следующих геометрических прогрессий:

а) 7,5; 9; 10,8; 12,96; ...;

б) 0,01; -0,34; 11,56; -393,04; ...;

в) 0,01; 0,02; 0,04; 0,08; ...;

г) 51,75; 41,4; 33,12; 26,496; ...; д)-1,5; -1,44;-1,3824;...;

е) 100; 98; 96,04; 94,1192; ... .

214. С помощью формулы для нахождения п-го члена ап = аг + d(n - 1) найти десятый член арифметической прогрессии:

а) 10; 15; 20; ...; б) 20; 18,5; 17; ... .

215. С помощью формулы для нахождения п-го члена Ьп = bxqn ~1 найти десятый член геометрической прогрессии:

а) 10; 100; 1000; ...; б) 1; 0,5; 0,25; ... .

216. Найти разность арифметической прогрессии, зная,что:

217. Найти знаменатель геометрической прогрессии, зная, что:

218. Какие из следующих арифметических прогрессий с первым членом аг и разностью d являются возрастающими и какие убывающими, если:

219. Какие из следующих геометрических прогрессий с первым членом Ъх и знаменателем q являются возрастающими, какие убывающими и какие знакочередующимися, если:

Закончите фразы: «геометрическая прогрессия является знакочередующейся, если ее знаменатель...»; «геометрическая прогрессия возрастает, если ее знаменатель...»; «геометрическая прогрессия убывает, если ее знаменатель...».

220. Из перечисленных ниже последовательностей выбрать те, которые не являются ни арифметическими, ни геометрическими прогрессиями:

а) 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ...;

б) 100; 200; 300; 400;...;

в) 121; 232; 343; 454; ...;

г) 101; 1001; 10001; 100001; ...;

д) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ...;

е) 1; 122; 122333; 1223334444; ... .

221. Какой из графиков (рис. 12) описывает следующую закономерность: в первый день было получено 100 р., во второй 120 р. и так далее в течение шести дней — каждый день в 1,2 раза больше предыдущего?

Рис. 12

II

222. По условию первого договора некоторая сумма увеличивается каждый месяц в 1,04 раза. По условию второго договора к такой же сумме ежемесячно прибавляется одна и та же сумма, составляющая 5% от начальной. Изобразить схематически рост капитала в этих двух случаях. В каком из них сумма больше в течение первого года; по истечении первого года? Когда разность сумм более значительна?

223. Заполнить пропуски в таблице, считая, что сх — первый член арифметической прогрессии, ck — k-й член арифметической прогрессии и Sk — сумма k первых ее членов.

с1

сk

k

sk

1,8

3,6

10

2,3

8

10,4

3,2

18

42,4

15

6

72

224. Заполнить пропуски в таблице, считая, что ck — k-й член геометрической прогрессии, Sk — сумма k первых ее членов.

с1

сk

к

q

Sk

3

81

4

2,4

18,225

1,5

75

2,5

117

7

2

25,4

225. При первом испытании новое оборудование, предназначенное для круглосуточной работы, было запущено всего на 1,5 часа, после чего был произведен осмотр, требуемая отладка и т. п. Каждый следующий день длительность работы увеличивалась на полчаса. Сколько времени работало оборудование:

а) на шестой день;

б) на шестидесятый день?

226. На диаграмме (рис. 13) представлены данные о выпуске продукции кооперативом. Считая,

что кооператив работает «без сбоев», определить примерное количество выпущенной продукции за 3-ю и 4-ю недели и составить прогноз на следующие две недели.

Рис. 13

227. Мяч, ударяясь о землю, подскакивает на половину той высоты, с которой он падает. На какую высоту подскочит мяч после третьего удара о землю, если в первый раз он упал с высоты в 4 метра? Образует ли последовательность этих высот геометрическую прогрессию?

228. Вклад ежегодно увеличивается на 30% от начальной суммы (простой процентный рост). Записать последовательность значений суммы на счете в течение первых шести лет, считая, что начальная сумма составляет 100 000 р. На какую сумму увеличивается вклад за год? С помощью формулы n-го члена арифметической прогрессии определить сумму на счете по истечении 20 лет.

229. Вклад ежегодно увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом (сложный процентный рост). Записать последовательность зна-

чений суммы на счете в течение первых шести лет, считая, что начальная сумма составляет 100 000 р. Во сколько раз увеличивается вклад каждый год? С помощью формулы n-го члена геометрической прогрессии определить сумму на счете по истечении 20 лет.

230. Под какие проценты сделан вклад в банк, если сумма на счете каждый год увеличивается:

а) в 1,2 раза; в) в 1,5 раза;

б) в 1,05 раза; г) в 1,15 раза?

В каждом случае определить сумму на счете через 4 года, считая, что начальный вклад составляет 100 000 р.

231. На грядке длиной 4 м с интервалом в 25 см посажены растения, под каждое из которых требуется вылить 5 л воды. Бочка находится рядом с первым растением. Записать последовательность расстояний, которые надо пройти человеку для поливки каждого растения, если в его распоряжении одна лейка емкостью 5 л. Используя формулу суммы арифметической прогрессии, вычислить длину пути, пройденного для поливки всех растений на этой грядке.

232. На предприятии установлена индексация зарплаты в зависимости от инфляции. В течение года инфляция ожидается около 4% в месяц. Во сколько раз будет ежемесячно повышаться зарплата? Превысит ли годовой доход работника этого предприятия 100 тыс. р., если в январе ему начислено 8 тыс. р.? Для вычисления годового дохода примените формулу суммы геометрической прогрессии.

233. Себестоимость первой партии товара на предприятии составила 1 миллион рублей, а каждой следующей — на 4% меньше предыдущей.

В течение года было выпущено 4 партии этого товара. Вычислить среднюю себестоимость одной партии товара за год.

234. Техническое обследование производства включает 6 этапов. Стоимость первого — 20% от стоимости всего обследования, каждого из следующих трех — на 5% больше предыдущего. Сколько процентов от общей стоимости составляют первые четыре этапа?

235. Одного человека спросили, какова его зарплата. Он ответил, что за 10 предыдущих лет он заработал 75 тыс. р.; в течение каждого года оклад оставался неизменным, но каждый следующий год месячный оклад увеличивался на 50 р. Какова была его зарплата при поступлении на работу и какова сейчас?

236. Предприниматель, не имея возможности выплатить своим кредиторам 80 тыс. р. сразу, договорился с ними выплачивать части долга ежемесячно: в первый месяц 2 тыс. р. и в каждый следующий раз на 400 р. больше, чем в предыдущий. Через сколько месяцев будет выплачен весь долг?

237. Во время благотворительной лотереи покупатель купил 2 лотерейных билета на 1 р. и, не выиграв ничего, купил во второй раз 4 билета; не выиграв и в этот раз ничего, купил 8 билетов; и так после каждого проигрыша покупал билетов в 2 раза больше предыдущего. За 12 раз он так ничего и не выиграл. Какую сумму он пожертвовал в лотерею?

238. В городе N продается участок земли под постройку аквапарка. Первый претендент предлагает за землю 30 000 у. е. наличными; второй обязуется заплатить 33 500 у. е. через 3 года; третий готов заплатить 40 000 у. е., но только по проше-

ствии 7 лет. Какое предложение наиболее выгодно, если банковские ставки в городе N считаются по 5% годовых?

239. Какую сумму надо положить в банк, начисляющий 3% в год, чтобы в течение 12 лет пользоваться годовым доходом 10 000 р.?

240. В банке, выплачивающем 4% годовых, 15 лет назад открыт счет на сумму 30 000 р. Ежегодно с этого счета из набежавших процентов брали 800 р., остальные оставляя на счете. Какова сейчас величина счета?

§ 6. Что растет быстрее?

Как выгоднее положить деньги в банк: под небольшие проценты с начислением процентов на проценты — «под сложные проценты», или без такого начисления, но под несколько большие проценты — «под простые проценты»? Короче говоря, какие проценты выгоднее: сложные, но маленькие, или простые, но большие?

Естественно, ответ на этот вопрос зависит от того, каковы именно начисляющиеся «простые» и «сложные» проценты. И поскольку, как мы знаем, соответствующий рост происходит по формулам арифметической и геометрической прогрессий, то мы и рассмотрим некоторые вопросы, связанные со скоростью роста этих прогрессий. Как мы увидим, для ответа нам потребуется рассмотреть некоторые чисто математические задачи.

Рассмотрим две прогрессии — арифметическую и геометрическую: 1; 1,2; 1,4; 1,6; ... и 1; 1,2; 1,44; 1,728; ... .

Эти прогрессии имеют один и тот же первый член и один и тот же второй. Нетрудно заметить, что геометрическая прогрессия возрастает гораздо быстрее арифметической.

Рассмотрение прогрессии необходимо, например, при решении следующей «экономической» задачи: как выгоднее положить деньги под 20% годовых — «простых» или «сложных»!

В самом деле, по формулам простого и сложного процентного роста при р = 20% исходная сумма S через п лет превратится в

а это и есть наши прогрессии — для S = 1 и п > 0.

Разумеется, совершенно очевидно, что при начислении одних и тех же процентов выгоднее использовать сложные проценты. Но трудность поставленной задачи состоит в том, что главное в ней — именно случай разных процентов. При этом число q «сложных» процентов, естественно, следует считать меньше, чем число р «простых» процентов — иначе сразу ясно, что «сложные» проценты более выгодны.

Снова рассмотрим две прогрессии: 1; 1,2; 1,4; 1,6; ... и 1; 1,14; 1,2996; 1,481544; ... .

Они соответствуют «экономической» задаче с рассмотренным выше сюжетом, но для «сложных» процентов предполагается, что начисляется всего 14% годовых.

Мы видим, что вначале первый вариант выгоднее. Но что будет дальше?

Продолжить арифметическую прогрессию не составляет труда, а для геометрической необходимые вычисления мы проведем с помощью калькулятора, округляя результаты до сотых:

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

...

1

1,14

1,30

1,48

1,69

1,93

2,19

2,50

2,85

...

Из этой таблицы видно, что при вкладе на 7 лет более выгодным оказывается использовать небольшие «сложные» проценты, чем большие «простые» проценты.

Теперь можно поставить и общую математическую задачу.

Пусть имеются арифметическая и геометрическая прогрессии с одинаковым первым членом S0, разность арифметической прогрессии равна d > О, знаменатель геометрической прогрессии равен q > 1.

1. Существует ли такое значение п, при котором выполняется неравенство Тп > Sn, где

где г — начисляемые сложные проценты.

2. Если требуемое значение п существует, то как его найти?

3. Как найти все решения этого неравенства? Данное неравенство можно, очевидно, записать в виде qn > 1 + dn, и поэтому первый вопрос означает: имеет ли неравенство qn > 1 + dn хотя бы одно решение (с переменной п и двумя параметрами — си d)? Или, в переводе на «экономический язык» — всегда ли сложные проценты оказываются выгоднее, чем простые?

Ответ на поставленные вопросы — задача очень трудная: ни уравнений, ни тем более неравенств такого вида в школе не решают. В математике доказано, что при любых q > 1, d > О существует такое значение п, при котором данное неравенство выполняется, так что ответ на первый поставленный вопрос — положительный. Доказательство этого утверждения требует достаточно глубоких знаний — показательной функции, пределов и производной, — которые, впрочем, не выходят за пределы школьного курса начал анализа.

В то же время даже математическая наука не располагает средствами для того, чтобы в общем

виде решить это неравенство «в школьном смысле» этого слова — записать его решения в виде, например, п > f (q, d), где f(q, d) — некоторое выражение, зависящее от g и d.

Для конкретных значений g и d это неравенство можно решить примерно так же, как мы это сделали выше в примере. Однако, строго говоря, мы ответили в нем только на первый вопрос — нашли значение п = 7, при котором данное неравенство выполняется, но вовсе не доказали при этом, что далее — при п > 7 — оно также будет выполняться. Разумеется, это вполне правдоподобно, но математически строго мы в этом не убедились, так что неравенство мы не решили.

Ясно, что такое решение практически невозможно, например, при d = 10 000, q = 1,01. Однако, как мы уже сказали, в действительности существует такое значение п, при котором

Это значение очень велико, но, как это ни удивительно, через некоторое количество лет сумма, положенная под 1% годовых «сложных» процентов, станет больше, чем в случае, если положить ее под 1 000 000% годовых простых процентов.

Примерно так же дело обстоит и с нашим примером о просроченном платеже и растущем вкладе на сберкнижке (с. 84). Последовательность невыплаченных сумм за каждый месяц с учетом начисленной пени является арифметической прогрессией:

5000, 6500, 8000, 21 500, ... .

Последовательность общих платежей за все прошедшие месяцы: 5000, 11 500, 19 500, 159 000, ... — это уже не арифметическая прогрессия, и наступит час, когда сумма на счете очень сильно отстанет от задолженности за квартиру. Но не стоит отчаиваться, т. к. графики пересекаются дважды и после второго пересечения сумма на сче-

Рис. 14

те уже навсегда обгонит задолженность (но свидетелями этого события смогут стать только внуки нашего персонажа).

Доказательство этого факта также выходит за пределы возможностей нашего курса, но графики, приведенные ниже, дают наглядное представление о скоростях роста обеих величин: если увеличение суммы вклада описывается показательной функцией, то задолженность по платежу — степенной функцией с показателем, большим единицы (график напоминает параболу), которая сначала растет значительно быстрее (рис. 14), но скоро выравнивается, тогда как показательная продолжает увеличивать свою крутизну (рис. 15).

Рис. 15

Упражнения и задачи

I

241. Доказать, что существует такой номер я, при котором выполняется неравенство Sn<Tn, если:

Указание. Для доказательства здесь достаточно будет указать любое конкретное значение, при котором выполняется данное неравенство.

242. Сравнить я-е члены последовательностей Sn = (1 + 0,7ri) • 10 и Тп = 1,4П • 10 и средние значения их первых я членов, если:

а) я = 3; б) я = 4; в) я = 5; г) я = 10.

Указание. Воспользуйтесь таблицей значений Sn, Sn ср, Тп и Тп ср для первых десяти членов этих последовательностей.

п

sn

Sn, ср.

Тп

Тп, ср.

0

10

10

10

10

1

17

13,5

14

12

2

24

17

19,6

14,5

3

31

20,5

27,44

17,76

4

38

24

38,42

21,89

5

45

27,5

53,78

27,21

6

52

31

75,30

34,08

7

59

34,5

105,41

42,99

8

66

38

147,58

54,61

9

73

41,5

206,61

69,81

10

80

45

289,25

89,76

243. Первый банк начисляет р% в месяц (простой процентный рост), а второй q% в месяц (сложный процентный рост). Верно ли, что через 5 месяцев сумма вклада во втором банке станет больше, чем в первом, если известно, что начальные вклады в эти банки равны и процентные ставки этих банков составляют:

а) р = 20, a q = 10; в) р = 50, a q = 30;

б) р = 40, a q = 20; г) р = 70, a q = 40?

244. Банки начисляют следующие проценты:

а) простые проценты из расчета 1% в месяц;

б) простые проценты из расчета 14% в год;

в) сложные проценты из расчета 12% в год.

В какой из этих банков выгоднее положить деньги:

а) на 1 год; б) на 3 года; в) на 5 лет?

II

245. Составить таблицу роста вклада в размере 100 тыс. р. на 12 лет при процентной ставке 10% в год (сложный процентный рост). С помощью таблицы определить, какой должна быть минимальная ставка простого процентного роста для того, чтобы простой процентный рост опережал сложный в течение:

а) 3-х лет; в) 10-ти лет;

б) 6-ти лет; г) 12-ти лет?

246. На двух предприятиях себестоимость первых партий товаров составила по 1 млн р. Вследствие увеличения стоимости электроэнергии себестоимость каждой следующей партии на первом предприятии увеличивалась в 1,2 раза, а на втором — на 25% от себестоимости первой. Какова средняя себестоимость выпущенных партий на обо-

их предприятиях и на каком из предприятий себестоимость последней партии выше, если выпущено:

а) 4 партии; б) б партий.

247. В январе в двух магазинах телевизоры стоили по 6 тыс. р. Каждый месяц эти магазины реализовывали по 10 телевизоров, но в первом магазине цена ежемесячно увеличивалась на 500 р., а во втором — на 7%. В каком из магазинов:

а) была выше цена на эти телевизоры в июне;

б) была больше выручка от продажи телевизоров за полгода?

248. Совокупный оборот фирмы в течение четырех последних лет увеличивался ежегодно на 20% (простой процентный рост), а оборот этой фирмы за рубежом ежегодно увеличивался в 1,2 раза. Какой оборот, совокупный или зарубежный, рос быстрее? Какой процент составляет сейчас зарубежный оборот от совокупного, если четыре года назад он составлял 25% ?

249. Численность сотрудников фирмы составляет 192 сотрудника штатного персонала и 460 консультантов. В течение ближайших трех лет планируется ежегодное увеличение штатного персонала на 20% (простой процентный рост), а консультантов на 10% (сложный процентный рост). Каким через три года будет процентное соотношение штатных сотрудников и консультантов?

250. В течение десяти последних лет объем гонораров от новых клиентов увеличивался ежегодно в 1,1 раза, в то время как число новых клиентов увеличивалось на 12% в год (простой процентный рост). Что происходит быстрее: увеличение числа новых клиентов или увеличение объема выплаченных ими гонораров?

251. Стоимость изготовления буклетов в одной типографии определяется по правилу: первая сотня — 1 тыс. р. и каждая следующая на 4% дешевле предыдущей. В другой типографии — первая сотня 1 тыс. р. и на каждую следующую предоставляется скидка 10%. В какой типографии выгоднее разместить заказ на 300 буклетов? При каком наименьшем количестве экземпляров (с точностью до сотен) выгоднее разместить заказ в первой типографии?

252. В городе N диски с компьютерными играми сейчас стоят 40 р., но каждый месяц дорожают в среднем на 1 р. У школьника только 20 р. собственных денег, однако он изобрел способ честным путем увеличивать свой капитал каждый месяц на 15%. Через какое время он сможет купить диск?

Глава III

Степени и логарифмы

§ 7. Корни и степени

До сих пор мы использовали формулу сложных процентов только в самых простых случаях — для вычисления значения величины по истечении п заданных промежутков времени. Между тем на практике часто возникают и более сложные задачи.

Задача 1. Человек, располагая суммой в миллион рублей, хочет через год иметь полтора миллиона и для этого вложить деньги в какой-нибудь банк, предлагающий ежемесячные проценты с учетом «процентов на проценты». Какие проценты он при этом должен выбрать?

Решение. В этих условиях в формуле сложных процентов известны три значения: п = 12, S = 1, S12 = 1,5, а значение р нужно выбрать. Оно и находится с помощью формулы сложных процентов, т. е. из равенства

Другими словами, нужно решить полученное уравнение с неизвестным р. «Чисто математически» решать его мы умеем:

Однако для фактического решения задачи, т. е. для получения ответа на поставленный воп-

рос, надо еще суметь вычислить гу1959 т. е. указать положительное число, двенадцатая степень которого равна 1,5.

В настоящий момент вы не располагаете математическими средствами для этого вычисления — даже алгоритм извлечения квадратного корня представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу, не говоря уже о корнях высших степеней. Однако на практике это можно легко сделать с помощью, например, любого калькулятора, в котором есть клавиша ху.

Именно, если взять х = 1,5, у = — , то на дисплее калькулятора появится искомое значение корня двенадцатой степени из 1,5: 1,0343661. Сомневающиеся могут проверить это «обратным вычислением» — возвести это число в двенадцатую степень (например, последовательным умножением) и убедиться в достаточно точном совпадении.

Аналогичным образом можно извлечь корень любой степени п из любого положительного числа x — для этого следует положить

Например,

Зададим теперь себе вопрос: почему же применявшаяся нами клавиша калькулятора обозначена именно так — ху? Ведь так обозначается степень числа x с показателем у, и действительно, легко убедиться «экспериментально», что использование этой клавиши вычисляет степени.

Например, при х = 2, у = 3 она дает ответ 8, при x = 3, у = 2 результат будет 9. При х = 29 у = -калькулятор покажет 1,4142..., т.е. квадратный

корень из 2, т. е. опять-таки 2 . Последний пример еще раз показывает, что извлечь квадратный корень — это то же самое, что возвести в степень со «странным» показателем i.

И поскольку мы уже знаем, что при значениях у вида - калькулятор «выдает» корень степени я, то нетрудно сообразить, что корень степени п он рассматривает как степень с показателем - .

Ясно, конечно, что это не калькулятор «сам» так рассматривает корни, но такая система заложена в нем программистами, опирающимися, конечно, на математическую теорию. И в действительности в математике рассматривается более общее понятие степени, чем у нас было до сих пор.

Определение 1. Пусть а — положительное число, п — натуральное число. Тогда

Здесь символ \[а означает положительный корень степени п из числа а — положительное число, которое в степени п дает а. При дальнейшем рассмотрении степеней с дробными показателями мы всегда будем рассматривать только положительные числа. Только при этом условии из каждого числа можно извлечь единственный корень степени п.

Разумеется, в математике не ограничиваются возведением в дробную степень только с показателем вида -, но рассматривают и произвольные дробные показатели — и положительные, и отрицательные.

Определение 2. Пусть а — положительное число, В- — дробь с положительными числителем и знаменателем. Тогда

При р = 1 мы, естественно, получаем предыдущее определение: степень с показателем - — это корень степени q.

Например,

Это определение позволяет возвести любое положительное число в степень с любым положительным дробным показателем. Определение степени с отрицательным показателем дается точно так же, как раньше для целых показателей.

Определение 3. Пусть а и Ъ — положительные числа. Тогда

Например,

Данные определения дают возможность вычислять степени с любыми целыми и дробными, положительными и отрицательными показателями, т. е. степени, в показателе которых стоят любые рациональные числа.

При этом, как и для целых показателей, выполняются два основных свойства степени: для любого числа а и любых чисел х и у

Примечание 1. Когда в 5 или 6 классе вы изучали действия с положительными и отрицательными числами, вам не только говорилось, как с ними обращаться — складывать, вычитать и т. д., — но и подчеркивалось, что именно при таких правилах действий продолжают оставаться в силе основные свойства арифметических действий — перестановочное и сочетательное свойства для сложения и умножения и распределительный закон.

Такое сохранение «старого» при введении «нового» — один из основных принципов расширения знаний в математике. Он называется принципом продолжения, или принципом непрерывности. Этот принцип и привел математиков к данному выше определению: степень с показателем - — это корень степени п.

В самом деле, до этого определения вы умели возводить числа только в степени с целым показателем. И при этом выполнялись указанные выше два основных свойства степени: для любого числа а и любых целых чисел х и у

Эти свойства должны быть выполнены и после введения понятия степени с показателем вида -.

Поэтому, хотя мы — до определения степени с дробным показателем — и не знаем, что это за число ап, но хотим, чтобы выполнялось равенство

Другими словами, если число ап возвести в степень с показателем л, то должно получиться само число а. Однако это и означает, что ап — это ко-

рень степени п из числа а (напомним, что мы рассматриваем только положительные числа).

Принцип продолжения позволяет понять и второе, более общее определение. Например, чему надо считать равным число а ? Поскольку должно выполняться равенство ^a3j = я5, то это число должно быть корнем степени 3 из а5, т. е. должно быть равно — но именно такое определение мы и приняли.

Примечание 2. В начале данного параграфа мы показали, зачем понадобилось в математике понятие степени с показателем вида - , и в Примечании 1 привели чисто математические соображения, почему математики приняли именно указанные выше определения. Осталось объяснить, зачем нужно более общее понятие — степень с любым дробным показателем. Оказывается, что необходимость этого понятия также вытекает из естественных практических задач (и все того же принципа непрерывности).

Попробуем определить условия выплаты по банковскому вкладу (с учетом «процентов на проценты»), если клиент банка хочет забрать вклад не в конце года, когда ему должны выплатить р% годовых, а, скажем, через 8 месяцев.

Эти условия должны быть «справедливыми»: ведь весь этот срок банк уже вкладывал куда-то деньги клиента и получал определенную прибыль, и поэтому сумма на счете клиента также должна возрасти на какую-то часть. Но на какую именно? Математический ответ на этот вопрос дают расчеты все по той же формуле сложных процентов.

Пусть за каждые 8 месяцев сумма S возрастает на q%. Тогда через 8 месяцев она станет равной

через 16 месяцев — а еще через 8 месяцев, т. е. за 24 месяца (за 3 срока) она станет равной

Однако 24 месяца — это 2 года, и по условию хранения вклада (р% годовых) сумма на счете должна оказаться равной

Поэтому должно выполняться равенство

из которого можно найти коэффициент возрастания вклада за 8 месяцев:

Если воспользоваться данным выше определением дробной степени, то мы будем иметь равенство

и, следовательно, на счете вкладчика через 8 месяцев должна оказаться сумма

Другими словами, через - года сумма на счете увеличивается в раз.

Мы получили, если вдуматься, совершенно замечательный результат: оказывается, имея общее математическое понятие с дробным показателем, формулу сложных процентов можно применять не только для целого числа лет, но и для любого срока хранения вклада.

Например, можно рассчитать месячный процент при объявленных банком р% годовых: через 1 месяц начальная сумма S на счете должна превратиться в

т. е. увеличиться в раз.

На практике, однако, часто пользуются более простыми расчетами и при р% годовых (с учетом «процентов на проценты») за 1 месяц выплачивают iL %. Возникает очень интересный практический вопрос — кто выигрывает от такого упрощения: банк или вкладчик?

Ответить на этот вопрос дает возможность так называемое неравенство Бернулли, из которого, в частности, следует, что для любых х > О и любого О < г < 1 справедливо неравенство

При

получаем, что

Следовательно, в этом случае реальный рост суммы вклада за месяц несколько больше, чем объявленный банком, и поэтому от такого упрощения расчетов выигрывает клиент банка.

В то же время на самом деле можно было обойтись и без неравенства Бернулли. Действительно, если бы за 1 месяц банк выплачивал ^ %, то при простом процентном росте за 12 месяцев он должен был бы выплатить как раз р%, т. е. сумма на счете составила бы (l + j^q) S, sl тогда при сложном процентном росте эта сумма была бы, естественно, больше.

Упражнения и задачи

I

253. Вычислить без калькулятора:

254. Представить степень в виде корня (например, и вычислить без калькулятора:

255. Вычислить с помощью калькулятора:

256. Представить корень в виде степени и вычислить с помощью калькулятора:

257. Решить уравнение:

258. Вычислить с помощью калькулятора:

II

259. Какая сумма будет на счете вкладчика через 3 месяца (сложный процентный рост), если:

а) начальный вклад 50 тыс. р. и процентная ставка 40% в год;

б) начальный вклад 100 тыс. р. и процентная ставка 30% в год;

в) начальный вклад 150 тыс. р. и процентная ставка 60% в год;

г) начальный вклад 200 тыс. р. и процентная ставка 60% в год?

260. Какая сумма будет на счете вкладчика при начальном вкладе 100 тыс. р. и процентной ставке 50% в год (сложный процентный рост) через:

а) 3 мес; в) 22 мес;

б) 18 мес; г) 28 мес?

261. Составить таблицу роста вклада по месяцам для 30% годовых, считая начальный вклад равным 800 тыс. р. Через сколько месяцев на счете будет миллион?

262. При вложении денег на 3 мес под 20% годовых в конце срока хранения банк обычно выплачивает 5% от суммы вклада. Если бы банк пользовался более точными расчетами, то больше или маньше был бы выплачиваемый процент? При какой сумме вклада разница в выплате будет не менее 10 тыс. р.?

263. Каким был начальный вклад, если через 8 месяцев при сложном начислении процентов при ставке 20% годовых на счете было: 226 тыс. р.; 339 тыс. р.?

264. Каким был начальный вклад, если при сложном начислении процентов при ставке 10% годовых на счете было 1 065 600 р.: через 8 месяцев; через 1 год и 4 месяца?

265. Определить годовую процентную ставку, если сумма на счете увеличилась (приближенно):

а) за 4 месяца в 1,03 раза;

б) за 5 месяцев в 1,15 раза;

в) за 7 месяцев в 1,11 раза;

г) за 8 месяцев в 1,19 раза.

266. Сумма вклада через три месяца была 106 779 р., а через семь месяцев стала 116 538 р. Считая, что вклад увеличивается по правилу сложного процентного роста, определить годовую процентную ставку и величину начального вклада.

267. Построить график роста вклада в течение четырех лет (с шагом в 1 год), считая, что начальная сумма 100 тыс. р. и процентная ставка 20% в год (сложный процентный рост). С помощью графика определить (приблизительно) сумму на счете:

а) через 8 мес;

б) через 28 мес;

в) через 40 мес.

Проверить результаты с помощью вычислений.

268. По диаграмме роста вклада (рис. 16) методом линейной интерполяции определить приблизительно сумму на счете через 5 мес, через 11 мес. Определить процент увеличения вклада за месяц и проверить результаты с помощью вычислений.

Рис. 16

269. Объем оборота фирмы составляет 57 млн у. е. При каком годовом росте объема оборота (имеется в виду сложный процентный рост) фирма может достичь шестикратного увеличения объема оборота за десятилетие? При каком проценте простого процентного роста будет получен тот же результат? В каком случае суммарный оборот за десять лет будет больше?

270. На предприятии всем работникам присваивают определенный квалификационный разряд, в соответствии с которым определяется их зарплата. Всего 12 разрядов; зарплата по каждому следующему разряду отличается от разряда по предыдущему в определенное число раз, так что из всех 12 зарплат составляется геометрическая прогрессия, причем самая маленькая зарплата 1000 р., а самая большая 3000 р. Какова зарплата по второму разряду?

§ 8. Степень с иррациональным показателем

Рассмотрим пример из практики.

Задача. Вкладчик внес в банк, предлагающий 30% годовых, некоторую сумму S. Через сколько лет эта сумма удвоится?

Решение. По формуле сложных процентов

должно выполняться равенство

откуда, сократив на S, получаем уравнение

Однако ясно, что такого натурального числа п не существует:

и поэтому через 1 год сумма еще не удвоилась, а через 2 года увеличилась более чем вдвое.

Более того, не существует и дробного числа и, для которого равенство (1,3)л = 2 выполняется:

в самом деле, если п а это равенство невозможно, поскольку число, стоящее в его левой части, нечетно, а число в правой части — четно.

Так можно ли «поймать» момент, когда сумма на банковском счете стала в точности в два раза больше вложенной суммы? Оказывается, это сделать можно, но сначала снова нужно заняться математикой.

В настоящий момент вы умеете возводить любое положительное число а в степень с любым рациональным показателем г. Возьмем для примера а = 2 и, вычислив (с помощью калькулятора) зна-

Рис. 17

чения функции при нескольких значениях аргумента, построим график функции у = 2х для рациональных значений х (рис. 17).

Этот график не является сплошной линией, потому что абсциссы его точек — только рациональные числа, а они не заполняют всю числовую прямую, поскольку существуют еще и иррациональные числа. Поэтому, например, вертикальная прямая X = л/з не пересекает построенный график (так как число л/3 — иррациональное).

Однако построенные точки расположены достаточно «хорошо», и если мы проведем через них плавную кривую (рис. 18), то эта кривая будет уже сплошной и «мимо» нее не пройдет ни одна вертикальная прямая, в частности, прямая х = л/3. Эта сплошная кривая является графиком новой функции, область определения которой есть все множество действительных чисел, вся числовая прямая.

Эта функция при рациональных значениях х совпадает с нашей исходной функцией у = 2х, и поэтому обозначается точно так же. Она определена для любого действительного числа X и является, очевидно, возрастающей функцией: чем больше значение аргумента, тем больше значение

Рис. 18

функции — при движении х слева направо график идет вверх.

Из этих графических рассмотрений понятно, как возводить в степень и с любым иррациональным показателем, какое следует принять определение степени с иррациональным показателем.

Именно, по графику видно, что число 2^ должно быть больше, чем любая степень 2Г при рациональном числе г < и меньше, чем любая степень при рациональном числе s > J3 .

Другими словами, для рациональных чисел г и s таких, что г < Уз < s, должно выполняться двойное неравенство 2Г < 2^ <2S.

Точно так же обстоит дело и для любого основания степени а > 1. Например,

Иная ситуация с основаниями а < 1. На следующем рисунке (рис. 19) представлен график функции у = I - J , построенный при помощи точно таких же, как ранее, рассуждений. Но в этом случае функция является убывающей, и поэтому, например, для рациональных чисел г и s таких, что г < должно выполняться «противоположное» двойное неравенство

Например,

Рис. 19

Из таких «графических соображений» и вводится формальное определение степени положительного числа с иррациональным показателем.

Определение. Пусть а > 0 и а 1, а — действительное число. Тогда аа — это число, которое лежит между всеми степенями вида аг и as, где r и s — рациональные числа такие, что г < а < s.

Тем самым степень, т. е. выражение ах, теперь имеет у нас смысл для любого положительного числа а и любого действительного числа х. При этом продолжают выполняться основные свойства степени: для любого числа а > О и любых чисел X и у

Значение любой степени (разумеется, приближенное) может быть вычислено на калькуляторе, имеющем клавишу ху.

Например,

Другими словами, теперь при любом а > О и а ф 1 каждому действительному числу х мы можем поставить в соответствие число ах и получить тем самым функцию у = ах. Эта функция называется показательной функцией с основанием а.

Ее область определения — множество всех действительных чисел. Кроме того, при а > 1 — эта функция возрастающая, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а при а < 1 — убывающая, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (напомним, что мы рассматриваем здесь только положительные числа а). Геометри-

чески это означает, что всякая вертикальная, т. е. параллельная оси Oy, прямая пересекает график показательной функции ровно в одной точке.

Показательную функцию часто называют экспонентой (от латинского exponens — показывающий). Собственно говоря, и сам давно знакомый вам термин показатель (степени) является буквальным переводом этого латинского слова.

Вспомним теперь, что в исходном примере, ради которого мы так долго занимались «чистой математикой», нам требовалось найти такое значение я, чтобы выполнялось равенство (1,3)Л = 2. Мы обнаружили, что такое число не может быть ни целым, ни дробным, т. е. может быть только иррациональным, — это нас и вынудило рассматривать степени с иррациональным показателем.

Однако и этого понятия еще недостаточно для решения уравнения в привычном школьном смысле этого слова — мы не можем записать ответ в виде п = ... . Хуже того, мы не знаем, как найти требуемое значение п.

Между тем на калькуляторе имеется еще одна незнакомая клавиша с надписью In. Именно она и служит для решения уравнений рассматриваемого типа, а «устроена» она на новом для нас математическом понятии — логарифм.

Упражнения и задачи

I

271. С помощью графика функции у = 2х (рис. 20) найти такие два рациональных числа г и s, что г < х < s, HS - г = 0,1, если известно, что:

Рис. 20

272. С помощью определения степени с иррациональным показателем расположить в порядке возрастания числа:

273. С помощью графика функции у = 2х определить, является ли значение х = к решением неравенства:

274. С помощью свойств степени записать уравнение в виде 2х = а у где а — число:

275. Найти наименьшее натуральное /г, при котором:

(Вычисления с помощью калькулятора.)

II

При решении задач 276—278 использовать рис. 21 (для удобства каждая единица на оси абсцисс разделена на 6 делений, т. е. можно считать, что 1 деление — это 2 месяца).

276. На счет в банке положили 1 млн р. под 30% годовых. С помощью графика функции у = = 1,3* (рис. 21) определить, через какое время сумма на счете увеличится:

а) в 1,5 раза; в) в 8 раз;

б) в 2,5 раза; г) в 6 раз.

277. В какой промежуток времени сумма на счете при процентной ставке 30% годовых будет больше 1 млн р., но меньше 2 млн р., если величина начального вклада:

а) 500 тыс. руб.;

б) 1 млн р.;

в) 400 тыс. р.?

278. Через сколько полных месяцев при ставке 30% годовых вклад увеличится:

а) с 2 тыс. р. до 10 тыс. р.;

б) с 5 тыс р. до 40 тыс. р.;

в) с 300 тыс. р. до 1,5 млн р.?

279. На один счет положены 10 тыс. р. под 43% годовых, а на другой 20 тыс. р. под 10% годовых.

Рис. 21

Через сколько месяцев сумма на первом счете превысит сумму на втором?

280. Через сколько лет число жителей города N увеличится в 10 раз, если ежегодное увеличение составляет 3% ?

§ 9. Логарифмы

В предыдущем параграфе для любого положительного числа а > 0 и а ф 1 мы построили показательную функцию у = ах. Как уже говорилось, эта функция в зависимости от основания а является или возрастающей (рис. 22), или убывающей (рис. 23), и всякая вертикальная, т. е. параллельная оси Oy у прямая пересекает ее график ровно в одной точке.

Рис. 22 Рис. 23

Однако график показательной функции обладает еще одним важным свойством. А именно, всякая горизонтальная, т. е. параллельная оси Ох, прямая у = by расположенная выше оси Ох (т. е. Ь > 0), также пересекает ее график ровно в одной точке.

Это означает, что, взяв любое значение у = Ъ > 0, мы можем найти единственное значение х = с, при

котором ас = b. Это число с называется логарифмом числа b по основанию а и обозначается символом loga&.

Напротив, горизонтальная прямая у = &, расположенная ниже оси Ох (т. е. b < 0), не пересекает ее графика. Поэтому отрицательные числа логарифмов не имеют.

Например,

Утверждение, что равенство с = logab означает то же самое, что ас = &, можно более коротко записать с помощью специального математического знака равносильности <=>:

Этот знак читается «равносильно» и означает, что справа и слева от него стоят предложения, означающие одно и то же, хотя и записаны они по-разному. В данном случае «правое» предложение записано на «старом» языке — языке степеней, а «левое» предложение на «новом» языке — языке логарифмов.

Из этой равносильности, которая является, по существу, определением логарифма, вытекает одно важное равенство:

Это равенство выполняется для любых рассматриваемых значений а (т. е. для а>0ио^1)и для любых положительных значений b (отметим, что для остальных значений а и & оно вообще не имеет смысла) и называется основным логарифмическим тождеством.

Все свойства логарифмов, необходимые для работы с ними, легко доказываются с помощью перевода с языка логарифмов на язык степеней и обратно и использования основного логарифмического тождества. Перечислим эти свойства.

1) Логарифм произведения положительных чисел равен сумме их логарифмов:

2) Логарифм частного положительных чисел равен разности их логарифмов:

3) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания:

Докажем, например, свойство 1. Для этого запишем его чуть по-другому, «справа налево»:

и сопоставим его с правилом перевода

Наше предложение записано на языке логарифмов, причем logax + logay — это с, а ху — это Ь. Поэтому, по правилу перевода, оно означает, что

Именно это равенство мы и будем доказывать. По свойству степеней и, затем, по примененному к каждому из полученных двух множителей основному логарифмическому тождеству имеем:

С помощью аналогичных рассуждений докажем третье свойство. Именно, по свойству степеней и основному логарифмическому тождеству

Но, согласно, правилу перевода, отсюда следует, что

а это и есть равенство из свойства 3. Например,

Итак, мы ввели понятие логарифма, рассмотрели его свойства, однако не знаем еще, что означает надпись ln на клавише калькулятора, которая внешне и непохожа на обозначение логарифма. Тем не менее читается символ ln как натуральный логарифм и действительно изображает логарифм по некоторому особому, самому важному для математики основанию — числу, которое обозначается специальной буквой е — в честь одного из величайших математиков в истории — Леонарда Эйлера (1707—1783), швейцарца по происхождению, более тридцати лет проработавшего в Петербургской академии наук.

Число е иррационально и записывается непериодической бесконечной десятичной дробью:

е = 2,718281828459045... .

«Основным источником» для этого числа является последовательность

чем больше значение п, тем ближе член этой последовательности с номером п к числу е. В таких

случаях в математике говорят о пределе последовательности и пишут lim fl + il = е.

Тем же свойством обладает и другая, совершенно не похожая на эту, последовательность с общим членом

где выражение ni есть произведение всех натуральных чисел от 1 до п.

Итак, натуральный логарифм числа — это логарифм этого числа по основанию е:

Найти натуральный логарифм любого (положительного) числа можно с помощью калькулятора, но как найти логарифм числа по другому основанию?

Ответ на этот вопрос дает еще одно тождество — формула перехода к новому основанию. Именно, согласно основному логарифмическому тождеству

Ясно, что логарифмы обеих частей этого равенства — по любому основанию с — также равны. По свойству 3:

и следовательно,

Отсюда

Эта формула дает возможность вычислять логарифмы по одному основанию, если известны логарифмы по другому основанию. В частности, при с = е из нее получаем:

Таким образом, для вычисления логарифма данного числа по данному основанию натуральный логарифм этого числа надо разделить на натуральный логарифм этого основания.

Это означает, в частности, что логарифм любого (положительного) числа по любому (положительному и не равному единице) основанию можно вычислить с помощью калькулятора с клавишей In — «натуральный логарифм».

Например,

Теперь мы можем решить последнюю задачу на сложные проценты.

Задача. Через сколько лет сумма на счете достигнет Ъ рублей, если банк начисляет сложные проценты из расчета р% годовых, а начальный вклад равен S рублям?

Решение. Подставим в формулу сложного процентного роста величины начальной и конечной суммы вкладов и процентную ставку и через х обозначим число лет. Тогда мы получим уравнение с неизвестной величиной х:

Решение этого уравнения

Например, увеличение вклада со 100 тыс. р. до одного миллиона при ставке 10% годовых произойдет за

а при ставке 40% годовых за

Упражнения и задачи

I

281. Какие из уравнений имеют положительный корень:

282. Вычислить:

283. Вычислить, пользуясь свойствами логарифмов:

284. Вычислить с помощью калькулятора, используя формулу перехода к новому основанию:

285. Решить уравнение:

286. Решить неравенство:

II

287. Вычислить период удвоения капитала при начислении сложных процентов:

а) 10% годовых; г) 3% в месяц;

б) 20% годовых; д) 5% в месяц;

в) 50% годовых; е) 9% в месяц.

288. Через сколько полных лет на счете клиента банка будет не меньше 1 млн р., если этот банк начисляет 30% годовых, а начальная сумма вклада составила 10 тыс. р.?

289. На сколько лет нужно отдать в рост 20 тыс. р. под 20% годовых, чтобы получить не менее 100 тыс. р. дохода?

290. Численность популяции составляет 5 тыс. особей. За последнее время в силу разных причин (браконьерство, сокращение ареалов обитания) она ежегодно сокращалась на 8%. Через сколько лет (если не будут предприняты меры по спасению данного вида и сохранятся темпы его сокращения) численность животных достигнет предела — 2 тыс. особей, за которым начнется вымирание этого вида?

291. Процентная ставка банка 18% годовых. Через сколько лет вклад увеличится не менее, чем:

а) в 2 раза;

б) в 3 раза;

в) примерно в сто раз?

292. Численность населения в городе N увеличивается ежегодно на 2%. Через сколько лет можно ожидать увеличение населения вдвое? в 10 раз?

293. Стоимость нереализованного товара уменьшается каждую неделю на 5%. Через какое время товар, начальная стоимость которого 100 р., подешевеет более, чем на 20 р.?

294. На один счет положили 100 тыс. р. под 20% годовых, на другой 200 тыс. р. под 10% годовых. Через какое время суммы вкладов сравняются?

В задачах 295—297 используется физическое понятие период полураспада — это время, в течение которого распадается половина атомов данного радиоактивного вещества.

295. Период полураспада радиоактивного вещества 3 мин. На сколько процентов уменьшится его масса через 3 мин? Через сколько минут его масса уменьшится на 87,5% ?

296. За какое время масса радиоактивного вещества, период полураспада которого равен 10 ч, уменьшится в 100 раз?

297. За 15 мин от 30 мг радиоактивного вещества осталось 3,75 мг. Найти его период полураспада.

298. В банк, начисляющий 100% годовых (простой процентный рост), положены 100 000 р. Таким образом по истечении года на счете окажется сумма 200 000 р. Но если через полгода вклад «снять» вместе с «процентами»:

100 000-1,5 = 150 000 p.

и положить еще на полгода, то в конце года эта сумма составит:

150 000-1,5 = 225 000 р.

Если вклад «перекладывать» каждые i года, то сумма в конце года будет составлять:

Какая сумма будет на счете в конце года, если вклад перекладывать:

а) каждые четверть года;

б) каждые 0,1 года;

в) каждую секунду?

Указание. Вспомните, чему равен предел выражения

Ответы, указания и решения

§ 1. Простейшая задача на проценты

26. 200 тыс. р. 27. 1,5 тыс. граждан. 28. 140 км. 29. 211,2 га. 30. 69 090 р.; 2303а р. 31. 300 000 р., 4 500 000 р. и 1350 000 р. 32. а) 15 505 р.; б) 1 967 105 р.; в) 215 585 р. 33. Примерно 75 тыс. человек. 34. 43 065 р. 35. Около 700 островитян. 36. Около 450 тыс. человеко-дней. 37. Примерно 7%. 38. Нет; нет; да; нет. 39. Нет. 40. Больше муниципальных предприятий. 41. а) 16 500 р.; б) 8250 р. 42. 1 109,7 условных единиц. 43. 850 р., 1700 р., 3825 р., 8500 р. 44. а) 600,6 р.; б) 800,8 р.; в) 105,91 р. 45. 223 пачки. 46. а) ~ 651 у. е.; б) второе. 47. 35 р. 48. 24 р., 36 р. и 6 р. 49. Одинаковый. 50. Во втором. 51. а) Возрастут на 38% ; б) возрастут на 2% ; в) снизятся на 8% ; г) снизятся на 32%. 52. Нет. 53. Нет. 54. Ученик округлил число процентов до десятков. 55. Допустимая вольность речи, но в официальной беседе, как правило, указывают точные данные. 56. Приблизительно 27%. 57. В 1,5 раза. 58. На 170%. 59. В первом. 60. Во втором. 61. Да. 62. Нет. 63. Цены одинаковые. 64. 876 автомобилей. 65. Да. 66. а) 23.00; б) 1.00; в) 2.00. 67. Нет. 68. Нет. 69. 5 кг соли. 70. Одну часть воды. 71. Наполовину. 72. 12,5%. 73. 300 г. 74. 25 г. Обратите внимание на то, что при добавлении соли увеличивается и масса полученного раствора.

§ 2. «Обратные задачи» на проценты. Процентные отношения

89. 20 тыс. р. 90. 200 человек. 91. а) 4000 т; б) 720 кг. 92. -4,8 м3. 93. За вторую. 94. -11,8 т. 95. -10%. 96. Да. 97. -2,8 млн р. 98. а) 8000 р; б) 2000 р. 99. -7,7 литра на 100 км. 100. 1212 р. 50 к. 101. Да, 485 р., так как гражданин уже заплатил налоги в сумме 6726 р., а должен заплатить всего 6000 + 0,2(56 053,96 - 50 000) -« 7211 (р.). 102. На 100 автобусов. 103. «312 млн р. 104.25%. 105. а) 5%; б) 20%. 106. 8%. 107. -68%. 108. -9,7%. 109. а) 13,5%; б) 1,2 тыс. 110. -29,5%. 111. 75%. 112. 40%. 113. 62,5%. 114. Во втором. 115. а) 150%; б) 45 р. 116. 5,5%. 117. 0,19%. 118. Тарифы на проезд в метрополитене. 119. На 20%. На 25%. 120. На 400%. 121. На 32,5%. 122. На 30%. 123. В магазине В цены ниже на 47%. 124. а) 27%; б) 369%; в) на 269% ; г) на 73% ; д) нет. 125. На 75%. 126. 400%. 127. «9%, «11%. 128. В 1,9 раза, на 48%. 129. На 50—80%. 130. Ниже после эпидемии, на 10%. 131. В начале года, на 2%. 132. а) 77,2%; б) 86,4%. 133. Одинаково. 134. а) 21%, 9,9%, 9%, 9,6%, 8,1%, 4,7%, 5,6%, 4,7%. 135. В 50 г. 136.4,5 г. 56,25 г. 137. 37,5 г. 138. 5%. 139. 3,3%. 140. 3%.

§ 3. Простой процентный рост

156. 240 электролампочек. 157. а) 8720 р.;

б) 26 160 р.; в) 104 640 р. 158. а) 194 р.; б) 188 р.;

в) 182 р.; г) 164 р. 159. В первой. 160.

а) 0,5%; 6)1%; в) 0,2%; г) 0,7%. 161. а) 150%; 6)60%; в) 600%; г) 1200%. 162. а) 50 дней;

б) 22 дня; в) 30 дней; г) 9 дней. 163. 0,925%, 10 лет. 164. На 21-й день; 195 км. 165. На 24 день. 166. 6 месяцев. 167. Примерно в 2 раза, а) 780 р.; б) 500 р.; в) 800 р. 168. а) 1600 р.; б) 830 р.;

171.

S: 100, 140, 180, 220, T: 200, 230, 260, 290, ... . Быстрее растет величина S — на десятом шаге значения данных величин сравняются. 172. б). 173. Для решения задачи формулы удобно переписать в виде

1) Наибольшая начальная сумма в случае е) — 3 тыс. р., наибольшая процентная ставка в случае б) — 30% ; 2) в случаях в) и д); 3) через 3 месяца — 3 тыс. р. по 2% годовых (случай е)), а через 3 года— 2,5 тыс. р. по 30% годовых (случай б)). 174. а) Нет; б) в течение трех лет. 175. Задача состоит в вычислении суммы 50 слагаемых: 5,75 + 6,5 + + 7,25 +......+ 42,5 = 1 206,25 (тыс. р.) — подробнее о суммировании первых п членов арифметической прогрессии см. в п. 5.

176. Изменения стоимости акций представлены в таблице:

Месяц

Стоимость акции первого предприятия

Стоимость акции второго предприятия

Декабрь

100

60

Январь

97

61,2

Февраль

94

62,4

Март

91

63,6

Апрель

88

64,8

Окончание

Месяц

Стоимость акции первого предприятия

Стоимость акции второго предприятия

Май

85

66

Июнь

82

67,2

Июль

79

68,4

Август

76

69,6

Сентябрь

73

70,8

Октябрь

70

72

177. И те и другие акции ежемесячно дорожают на 10%, но первые при этом растут на 20 р., а вторые — на 30 р. в месяц. Поэтому выше скорость роста акций второго предприятия. 178. 2,5 тыс. р. 179. Не меньше 26% годовых. 180. а) Не меньше 676 р.; б) не меньше 237 р. (в обоих случаях округление производится с избытком, чтобы выполнялось условие «не меньше»).

§ 4. Сложный процентный рост

193. а) 110 000 р.; б) 121 000 р.; в) 161 051 р.; г) 177 156 р. 194. 21,4 га. 195. Примерно на 3 км2. 196. На 42%. 197. а) На 13 056 р.; б) на 14 362 р. 198. а) 750 р.; б) 1800 р.; в) 3300 р.; г) 5800 р.; примерно 16%. 199. -2 раза; ~5 раз. 200. На 2 тыс. чел. 201. -20 тыс. чел. 202. а) Около 10%; б) ~ 19%; 5 линз. 203. а) -240 тыс.; б) -930 тыс. Примерное число новорожденных по годам представлено в таблице.

Годы

Число новорожденных (конец года) (тыс. чел.)

0

200

1

204

2

208

3

212

4

216

5

221

6

225

7

230

8

234

9

239

10

243

11

249

12

254

13

259

14

264

15

269

204. -3,5 кг. 205. Процесс увеличения числа жителей и автомобилей представлен в таблице (округление по правилам до сотых).

Годы

Число жителей (тыс. чел.)

Число автомобилей (тыс. шт.)

0

80

4,5

1

81,6

5,4

2

83,23

6,48

3

84,90

7,78

4

86,59

9,33

5

88,33

11,20

6

90,09

13,44

7

91,89

16,12

8

93,73

19,35

9

95,61

23,22

10

97,52

27,86

11

99,47

33,44

12

101,46

40,12

13

103,49

48,15

14

105,56

57,78

15

107,67

69,33

16

109,82

83,20

17

112,02

99,84

18

114,26

119,80

206. Да. 207. Не менее 62 тыс. р. 208. Не более 7 месяцев. 209. 54 420 р. Можно считать «по шагам» или составить формулу Sn = S0( 1 + -£-1 + где S0 — начальная сумма, SA — постоянная сумма, прибавляемая каждый раз после начисления процентов, р — процентная ставка, Sn — сумма после /i-кратного изменения суммы — начисления процентов и прибавления SA (А — греческая буква дельта). 210. На неполных 15 лет. Через 14 лет остаток вклада составит около 20 тыс. р. Можно считать «по шагам» или по формуле (по формуле можно прикинуть результат и начать, например, с 10-го раза), проверяя каждый раз, выполняется ли неравенство Sn > SA.

§ 5. Немного математики: арифметическая и геометрическая прогрессии

222. Рост капитала в этих двух случаях представлен ниже. В первом договоре сумма незначительно отстает в течение первого года (рис. 24), но зато более существенно опережает соответствующую сумму во втором договоре по истечении первого года.

225. 4 часа; 24 часа. 227. 0,5 м. Да, в условиях задачи, которые, разумеется, не соответствуют реальной ситуации. 228. 100 000, 130 000, 160 000, 190 000, 210 000, 240 000. На 30 000 р. 700 000 р. 229. 100 000, 130 000, 169 000, 219 700,

Рис. 24

285 610, 371293. В 1,3 раза. 63 016 545 р. 230. а) 20%, 207 360 р.; б) 5%, 121 551 р.; в) 50%, 506 250 р.; г) 15%, 174 901 р. 231. На грядке посажены 17 растений, последовательность расстояний: 0; 0,25; 0,75; 1,25, ... Если исключить первый член, последовательность будет арифметической прогрессией; 64 м. 232. В 1,04 раза. Да (примерно 120 тыс.). 233. «941584 р. 234. «86,2%. 235.400 р., 850 р. 236. Через 16 месяцев. 237. 8190 р. 238. Первое. 239. Не меньше 99 524 р. 240. 38 009,44 р.

§ 6. Что растет быстрее?

245. а) 12% в год; б) 13% в год; в) 16% в год; г) 18% в год. 246. Себестоимость и средняя себестоимость для шести первых партий приведены в таблице.

n

1 предприятие

2 предприятие

Себестоимость n-й партии

Средняя себестоимость п партий

Себестоимость n-й партии

Средняя себестоимость n партий

1

1

1

1

1

2

1,2

1,1

1,25

1,125

3

1,44

1,213

1,5

1,25

Окончание

п

1 предприятие

2 предприятие

Себестоимость n-й партии

Средняя себестоимость п партий

Себестоимость n-й партии

Средняя себестоимость п партий

4

1,728

1,342

1,75

1,375

5

2,0736

1,488

2

1,5

6

2,48832

1,655

2,25

1,625

247. а) В первом; б) в первом. 248. Зарубежный оборот рос быстрее; —29%. 249. 33% штатных сотрудников и 67% консультантов. 250. Объем гонораров увеличится примерно на 159%, число новых клиентов — на 120%. Быстрее происходит увеличение доли гонораров. 251. Во второй; 600 экземпляров. 252. Через 6 месяцев.

§ 7. Корни и степени

259. а) 54 388 р.; б) 106 779 р.; в) 156 995 р.; г) 224 937 р. 260. а) 110 668 р.; б) 183 712 р.; в) 210 013 р.; г) 257 213 р. 262. 2 972 тыс. р. 263. -200 тыс. р.; -300 тыс. р. 264. 1 млн р.; 938 464 р. 265. а) 10%; б) 40%; в) 20%; г) 30%. 266. 30%, 100 тыс. р. 269. 20% в год, 50% в год. Во втором (разница будет очень маленькой). 270.

§ 8. Степень с иррациональным показателем

276. а) 19 мес; б) 42 мес; в) 96 мес; г) 82 мес.

277. а) 32—63 мес; б) по 31 мес; в) 42—73 мес.

278. а) 74 мес; б) 96 мес; в) 74 мес. 279. 32 мес. 280. Почти через 78 лет.

§ 9. Логарифмы

287. а) ~7 лет; б) ~4 года; в) ~2 года; г) -24 мес.; д) -15 мес; е) -9 мес. (во всех случаях округление с избытком). 288. 18 лет. 289. 10 лет. 290. 11 лет. 291. 1) 5 лет; 2) 7 лет; 3) 28 лет. 292. 35 лет; 116 лет. 293. Через 5 недель. 294. Примерно через 8 лет. 295. На 50%. Через 9 мин. 296. Примерно за 66,5 ч. 297. 5 мин.

Оглавление

К учителю................................ 3

Глава I. Проценты и процентное отношение

§ 1. Простейшая задача на проценты......... 6

§ 2. «Обратные задачи» на проценты. Процентные отношения.................... 29

Глава II. Процентные изменения

§ 3. Простой процентный рост............... 50

§ 4. Сложный процентный рост.............. 68

§ 5. Немного математики: арифметическая и геометрическая прогрессии............... 79

§ 6. Что растет быстрее?................... 94

Глава III. Степени и логарифмы

§ 7. Корни и степени...................... 103

§ 8. Степень с иррациональным показателем ... 115

§ 9. Логарифмы......................... 122

Ответы, указания и решения............... 132

Учебное издание

Серия «Темы школьного курса»

Дорофеев Георгий Владимирович Седова Елена Александровна

ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 10—11 классы

Учебно-методическое пособие

Редакторы Л. О. Рослова, И. М. Бокова Оформление А. А. Абрамова Технические редакторы В.Ф.Козлова, С. А. Толмачева Компьютерная верстка К. В. Пирязев Корректор Г. И. Мосякина

Изд. лиц. № 061622 от 07.10.97.

Подписано в печать 26.03.03. Формат 84x108^/32. Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,56. Тираж 7 000 экз. Заказ Х° 7516.

000 «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.

По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52.

Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76. Магазин «Переплетные птицы». 127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1. Тел.: (095) 912-45-76.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в Тульской типографии. 300600,г. Тула,пр. Ленина, 109.

Учительская страничка

ТЕМЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА

Е. А. Бунимович, В. А. Булычев. «Вероятность и статистика». 5—9 классы.

Вероятностно-статистическая линия становится сегодня неотъемлемой частью школьного курса математики. Ее изучение предполагается в рамках базового курса математики 5—9 классов. Для успешного усвоения достаточно овладения базовым теоретическим материалом и решения задач группы А.

Пособие может быть использовано вместе с любым из действующих учебников по математике.

Г. К. Муравин, О. В. Тараканова. «Элементы тригонометрии». 10 класс.

В пособии представлен полный курс тригонометрии в объеме школьной программы. Курс предназначен для изучения в 10 классах общеобразовательных школ в соответствии с новой программой по математике. Изучение материала пособия рассчитано на 33 академических часа, что позволяет компенсировать нехватку учебного времени для изучения тригонометрии в старших классах.

Пособие рекомендовано Министерством образования РФ и может быть использовано вместе с любым из действующих учебников по алгебре для 10 класса.

С. Н. Олехник и др. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения». 10—11 классы.

Основная цель книги — познакомить школьников с различными методами решения задач, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо освоенных школьных знаний и привить учащимся навыки употребления различных методов рассуждений.

Для школьников, абитуриентов, руководителей математических кружков, учителей.

Предлагаемое пособие содержит задачи различного уровня сложности. Сюжеты большинства из них непосредственно связаны с деятельностью современного человека - финансовая сфера, демография, экология, социологические опросы...

Экономическая тематика позволит использовать книгу не только в общеобразовательной школе, но и в классах экономического профиля

ДРОФА