Г.В. ДОРОФЕЕВ С.В. ПЧЕЛИНЦЕВ

Многочлены с одной переменной

Просвещение

Г.В. ДОРОФЕЕВ С.В. ПЧЕЛИНЦЕВ

Многочлены с одной переменной

Книга для учащихся

Москва

«Просвещение» 2001

УДК 373.167.1:512 ББК 22.14 Д69

Дорофеев Г. В.

Д69 Многочлены с одной переменной: Кн. для учащихся / Г. В. Дорофеев, С. В. Пчелинцев.— М.: Просвещение, 2001.— 143 с. — ISBN 5-09-009924-3.

В книге в расширенном варианте излагается одна из тем школьного курса алгебры. Предназначена для учащихся, проявивших определенные склонности к углубленному изучению математики. Теоретический материал чередуется с разбором примеров и задач для самостоятельного решения.

Особенности изложения материала отражены в третьем разделе книги, где учитель найдет методические рекомендации, ориентированные на интересы школьников, их возможности в восприятии общих теоретических положений, а также решения конкретных задач.

УДК 373.167.1:512 ББК 22.14

ISBN 5-09-009924-3

© Издательство «Просвещение», 2001

© Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2001

Все права защищены

К учителю

Тема «Многочлены с одной переменной», рекомендованная для углубленного изучения математики в школе, является одной из немногих тем, относящихся к алгебре в том смысле, который вкладывается в это слово в математической науке. В отличие от большинства тем школьного курса алгебры, ориентированных в целом на изучение функций, начала теории многочленов представляют собой математический аппарат для решения задач более широкого содержания, прежде всего решения уравнений (необязательно функционального происхождения) и вопросов делимости целых и натуральных чисел.

Основное содержание этой темы тесно примыкает к темам «Квадратные уравнения» и «Квадратичная функция» общеобразовательного курса, алгебраический аспект которых ограничивается изучением квадратного трехчлена — в частности, уравнения третьей и более высоких степеней в курсе не рассматриваются.

Причина этого вполне понятна — в школьном курсе нет возможности получить формулы решения кубических уравнений, однако эта тема отражает лишь определенную (и добавим, несколько устаревшую) чисто алгоритмическую направленность курса. Между тем круг задач, которые целесообразно решать в школе, значительно шире стандартной задачи «Решить уравнение» — можно говорить и о существовании и числе корней, и о нахождении целых или рациональных корней и т. д., а многие из этих вопросов вовсе не требуют умения находить все корни уравнения.

Главное состоит в том, что математические идеи, на которых основаны решения подобных задач, являются общими и не зависят от степени присутствующих в них многочленов. В частности, отсутствие в общеобразовательном курсе самой идеи подбора целых и дробных корней является его недостатком, который, на наш взгляд, становится уже недопустимым, когда речь идет об углубленном изучении математики.

В настоящем пособии предлагается вариант изучения этой темы в школе. Первый раздел представляет собой материал, ориентированный непосредственно на ученика, работающего, естественно, под руководством учителя, и может изучаться как в основной школе, так и на более высоком уровне образования. Последние три параграфа этого раздела, связанные с основной теоремой о делимости многочленов, отмечены звездочкой, поскольку их содержание, формально говоря, не входит в рекомендованную программу.

Мы сочли нужным включить эти параграфы по ряду соображений.

Прежде всего, школы и классы с углубленным изучением математики в настоящее время сильно отличаются друг от друга по уровню математической подготовки учащихся — от «нор-

мальных» классов, где обучаются школьники, просто проявляющие определенный интерес к математике и не испытывающие при ее изучении особых трудностей, до классов, где собраны (или даже отобраны) учащиеся, уже каким-то образом проявившие свою математическую одаренность.

Далее, математическое содержание этих параграфов независимо от общего уровня класса полезно именно с точки зрения углубления изучения математики. Представляется, что главный смысл основной теоремы о делимости многочленов состоит вовсе не в ее применении к многочленам, а прежде всего в «возвращении на новой основе» к делимости целых и натуральных чисел, «изученной» и фактически оставленной без употребления после 6 класса. Поэтому практика работы с многочленами является здесь в действительности работой с целыми числами.

Наконец, сама идея параллельности, «одинаковости» двух внешне совершенно различных теорий — идея из «большой» математики не может не произвести эмоционального впечатления на учащихся и тем самым повысить их интерес к изучению математики.

К каждому параграфу первого раздела приведены задачи различного уровня, к которым в конце пособия даются ответы, указания или решения. Среди задач имеется как достаточное, на наш взгляд, число упражнений для формирований основных знаний и умений по овладению темой, так и некоторое количество задач, требующих от учащихся самостоятельного мышления, самостоятельного, хотя и не сложного, поиска идеи решения.

«Искусство вечно, а жизнь коротка», поэтому многие интереснейшие вопросы, относящиеся к многочленам с одной переменной, и не вошли в рекомендованную программу, и не входят в основной первый раздел. Некоторые из этих вопросов включены в пособие — во второй раздел «Самостоятельные работы для учащихся».

Этот раздел предназначен для организации индивидуальной работы учащихся — для самостоятельного изучения небольших по объему теоретических фрагментов и последующего решения соответствующих задач. Такие работы целесообразно по усмотрению учителя предлагать учащимся, проявляющим особый интерес к изучению математики и не испытывающим трудностей при изучении общего материала.

Третий раздел, названия параграфов в котором дублируют (с одним исключением, касающимся основной теоремы) соответствующие названия параграфов первого раздела, предназначен прежде всего для учителя, хотя в некоторых случаях он может заинтересовать и учащихся. Он содержит методические комментарии и рекомендации, касающиеся возможных вариаций логического уровня изложения, конкретных «дополнительных» приемов решения задач, включения или исключения некоторых фрагментов рассматриваемой темы и т. п.

В конце каждого параграфа сформулированы требования к учащимся по овладению соответствующим материалом. Особо отметим, что, кроме стандартной формулировки «Учащиеся обязаны», мы сочли целесообразным перечислить некоторые знания и умения, желательные с точки зрения изучения темы, с формулировкой «Учащиеся не обязаны». Эти знания и умения касаются, как правило, чисто логических или теоретических аспектов изложения, и таким «ограничением» учителя мы хотели лишний раз подчеркнуть основное — практическую направленность изучения этой темы.

В заключение несколько слов о возможностях использования настоящего пособия в педагогических университетах и институтах. Конкретные особенности изложения материала в пособии, так же как и методические комментарии и рекомендации для учителей, ориентированы, прежде всего, на интересы школьников, на их возможности в восприятии общих теорий, в овладении теорией и ее применениями к решению задач.

Однако стиль обучения в вузе, естественно, несколько иной и, главное, существенно зависит от методических воззрений, вкусов и привычек преподавателей, от их требований к логике изложения.

На наш взгляд, знакомство студентов с многочленами на предложенном в пособии уровне весьма целесообразно и может оказаться более эффективным, нежели «высоко теоретический» и логически абсолютно корректный подход к понятию многочлена на основе простого трансцендентного расширения колец.

Отметим также, что принятый в пособии подход к основной теореме арифметики как к фактически иному языку в этой предметной области, т. е. фактически «вложенный» в более общую структуру евклидовых колец и не требующий специфических «элементарных» арифметических рассмотрений, создает максимально естественную базу для обобщения обеих теорий в рамках евклидовых и факториальных колец. Важно подчеркнуть при этом, что обобщение — построение новых абстрактных алгебраических структур — является при таком построении теории психологически мотивированным и напрашивается снизу, а не возникает как навязанное сверху.

Поэтому данное пособие, по нашему мнению, вполне соответствует целям изучения этой темы в педагогических университетах и институтах и может быть эффективно использовано и студентами, и преподавателями. В частности, при любом уровне преподавания этой темы в вузе в курсе «Алгебра» или «Алгебра и теория чисел» и те и другие должны получить представление о методических особенностях ее изучения в школе.

Авторы

Раздел I

МНОГОЧЛЕНЫ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1.1. Действия с многочленами. Степень многочлена

Из курса алгебры 7 класса известно, что всякий многочлен с одной переменной х с помощью тождественных преобразований может быть приведен к так называемому стандартному виду, т. е.

к записи в виде алгебраической суммы одночленов вида ахк — степеней переменной х с соответствующими коэффициентами, в которых показатели степеней идут в убывающем порядке.

Например, многочлен Ъх2—х+\ записан в стандартном виде, а многочлены 1-х2, 2х+Зх4-х+2 могут быть приведены к стандартному виду:

Действия с многочленами с одной переменной выполняются по общим правилам действия с произвольными алгебраическими выражениями, в частности, при сложении и вычитании приводят подобные члены, при умножении обычным образом раскрывают скобки.

Например,

Мы видим, что в результате вычислений снова получили многочлен от переменной х. Естественно предположить, что и в общем случае, выполняя действия над многочленами с переменной х, мы всегда получим многочлен от х, однако, как ни странно, это неверно. Например,

так что при действии с многочленами в результате могут получиться и одночлены, и даже числа.

Такое положение для математики неудобно, и хотелось бы, чтобы в результате выполнения действий над многочленами всегда получался многочлен. Поэтому в теории многочленов с одной переменной и одночлены, и числа также считаются многочленами.

При этом часто продолжают говорить, что многочлен есть сумма одночленов, тем самым «разрешая» и суммы из одного слагаемого

(например, -4х3), и многочлены «без переменной» (например, -5 и 0).

При таком понимании многочленов с одной переменной после выполнения сложения и умножения любых многочленов всегда получится многочлен.

Другими словами, многочлен с одной переменной х — это выражение вида

где п — любое натуральное число или 0, коэффициенты я0, д„ ап — произвольные числа.

Часто также вместо f пишут f(x). Это более сложное обозначение полезно, если необходимо подчеркнуть, что в качестве переменной рассматривается именно ;с.

Обратим внимание на то, что номера коэффициентов — они называются индексами — начинаются с 0 и идут в возрастающем порядке, так что а0 — коэффициент при х\ ах — коэффициент при л;“-1 и т. д.

Отдельно отметим случай п=0: при этом многочлен f=a0, т. е. является числом. Если к тому же #0=0, то многочлен f имеет специальное название — нулевой многочлен.

Напомним, что степенью многочлена с переменной х называется наибольший из показателей степени одночленов, входящих в его стандартный вид. Поэтому если я0^0, то многочлен

имеет степень п.

Степень многочлена f часто обозначается через deg/ (от английского слова degree — степень). Например,

Особо отметим важный «крайний» случай — когда многочлен является числом: f—a. Здесь придется рассмотреть два случая. Если я^О, то степень f считается равной 0: например, deg 5=0.

Это определение вполне естественно: считая, как обычно, что jc0=1, мы можем записать f—ax, так что 0 — наибольший из показателей степени одночленов, входящих в запись /.

При я=0 считается, что f степени не имеет: нулевой многочлен не имеет степени.

И еще два термина. Коэффициент при наибольшем показателе степени х многочлена называется старшим коэффициентом этого многочлена, а слагаемое, не содержащее х, — свободным членом многочлена.

Из правила перемножения двух многочленов немедленно следует, что старший коэффициент произведения двух ненулевых многочленов равен произведению их старших коэффициентов. Из этого факта следуют, в частности, два важных теоретических утверждения:

1. Произведение двух ненулевых многочленов является ненулевым многочленом.

Можно сказать и иначе: если произведение двух многочленов равно нулевому многочлену, то хотя бы один из этих многочленов нулевой.

Символически можно записать так:

2. Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней этих многочленов.

Формально

Оба этих утверждения, очевидно, остаются верными и для любого числа многочленов.

Отметим еще одно свойство многочленов:

3. Свободный член произведения двух многочленов равен произведению их свободных членов.

Это утверждение также немедленно следует из правила умножения многочленов.

Итак, мы вспомнили в этом пункте определение многочлена с одной переменной, правила действий с многочленами, ввели некоторые основные понятия теории многочленов и доказали несколько простейших теоретических утверждений.

В заключение отметим, что сложение и умножение многочленов обладают теми же свойствами, что и соответствующие арифметические операции над числами в множествах целых и рациональных чисел. Именно: для любых многочленов f, g и А справедливы равенства

Кроме того, сложение многочленов имеет обратную операцию — вычитание. Она определяется так же, как и во всех числовых множествах. Напомним, что число с называется разностью чисел а и 6, если выполняется равенство а=Ь+с. Разность чисел а и b обозначается через а-Ъ.

Другими словами,

с=а—Ь в том и только в том случае, когда а=Ь+с.

Символически:

c=a—bç=>a=b+c.

Буквально так же, только в других обозначениях, выглядит определение разности многочленов:

h=f—g в том и только в том случае, когда /=£+й, h=f-g*=>f=g+h.

Указанные свойства сложения и умножения многочленов и существование разности многочленов позволяют нам употреблять термин из «нешкольной» науки алгебры и называть множество многочленов кольцом.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Заполните таблицу:

2. Сколько коэффициентов у многочлена: степени 46; степени и?

3. Укажите свободный член и старший коэффициент многочлена:

4. Чему равен коэффициент при х в многочлене:

5. Найдите коэффициент при х в многочлене:

6. Какой коэффициент при х2 имеет многочлен:

7. Чему равен коэффициент при хк в многочлене:

8. Приведите многочлен к стандартному виду:

9. Найдите стандартный вид многочлена:

10. Найдите стандартный вид многочлена, применяя формулу разности квадратов:

11. Приведите многочлен к стандартному виду, применяя формулы сокращенного умножения:

12. Вводя новую переменную, преобразуйте многочлен к стандартному виду:

13. Укажите стандартный вид многочлена:

14. Что можно сказать о степени суммы и степени разности двух многочленов?

15. Найдите степень многочлена:

16. Приведите многочлен к стандартному виду:

17. Приведите к стандартному виду многочлен:

Запишите «следующее» аналогичное тождество.

18. Приведите к стандартному виду многочлен:

Придумайте «следующее» аналогичное тождество.

19. Найдите степень многочлена:

Запишите «следующий» аналогичный многочлен и найдите его степень.

20. Найдите степень многочлена:

Запишите «следующий» аналогичный многочлен и найдите его стандартный вид.

21. При каких я, Ъ, с равны многочлены:

22. Докажите, что при всех натуральных п>2 числа:

являются составными.

23. Можно ли заполнить многоточия таким образом, чтобы следующие равенства оказались верными:

24. Объясните, почему ни одно из выражений:

нельзя представить в виде многочлена от х.

25. Какие из заданных выражений:

можно представить в виде многочлена от л:?

§ 1.2. Значения и корни многочленов

В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, т. е. в конечном счете в число. Если многочлен обозначен буквой f, а с — некоторое число, то значение f при х=с обозначается, как известно, через f(c). Число f(c) часто называют также значением многочлена f в точке с.

Например, если f—2x— 5х—6, то

В общем виде если, например, /=а0х“+а]х“ ! + х+ап

и с — некоторое число, то f(c)=a0c“+alcn~] + ...+an_lc+an.

Особо отметим «крайний» случай, когда f — многочлен нулевой степени, т. е. f=a, где а — число, так что f в действительности не содержит переменной. В этом случае считают, естественно, что его значение при любом х равно а.

Поэтому такие многочлены называются постоянными или константами (от латинского constantum — постоянство). Нулевой многочлен также является константой: все его значения равны нулю.

Сделаем два важных для решения задач замечания:

1. Значение f(0) равно свободному члену многочлена.

2. Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.

Действительно, если

то

Нахождение значений многочлена в соответствии с определением не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера — по имени английского математика XVI в. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

Например, чтобы вычислить значение многочлена

при х=7, строка его коэффициентов записывается первой, старший коэффициент «дублируется» во второй строке, а перед ним ставится значение переменной 7, при котором мы вычисляем значение многочлена. Получается таблица, пустые клетки которой и предстоит теперь заполнить:

2

-9

-32

0

-57

7

2

Это делается по единому правилу: стоящее слева от заполняемой клетки число умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над ней. Поэтому в первой пустой клетке ставится число 2 • 7—9=5, во второй клетке ставится 5 • 7—32=3, в третьей — 3 • 7+0=21 и в последней — 21 • 7-57=90.

Полностью заполненная схема Горнера выглядит так:

2

-9

-32

0

-57

7

2

5

3

21

90

Такие «непонятные» вычисления приводят к ответу: f(7)= =90 — это последнее число второй строки. Желающие могут проверить результат непосредственной подстановкой:

и сравнить время, затраченное на вычисление в обоих случаях.

Отметим, что программа для вычисления значений многочлена в электронных машинах составляется именно в соответствии со схемой Горнера. На доказательстве правильности вычисления значений многочлена по схеме Горнера мы останавливаться не будем.

Одной из основных задач, ради которой в математике и развивалась теория многочленов с одной переменной, является решение так называемых целых алгебраических уравнений произ-

вольных степеней и с произвольными коэффициентами, т. е. уравнений вида

В связи с решением уравнений вводится важнейшее понятие — корень многочлена.

Определение. Число с называется корнем многочлена/ если f(с)=0.

Другими словами, число с является корнем многочлена f, если

Это равенство означает, что число с является корнем уравнения

т. е. при подстановке вместо х числа с получается верное равенство. Поэтому корень многочлена f и корень соответствующего уравнения f(jc) = 0 — это одно и то же.

Понятно, что схема Горнера позволяет проверять, является данное число с корнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение f(c).

Если требуется проверить несколько значений с, то для экономии выкладок строят не три отдельные схемы, а одну — объединенную. Например, для многочлена

и чисел с=1; —1; 2 составляется таблица:

3

-5

0

-7

0

12

1

3

-2

-2

-9

-9

3

-1

3

-8

8

-15

15

-3

2

3

1

2

-3

-6

0

Конечно, при заполнении третьей и четвертой строк таблицы «работает» только первая строка — строка коэффициентов многочлена /.

Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только с=2 является корнем данного многочлена.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Используя схему Горнера, вычислите значение f(с):

2. Какие из чисел ±1, ±2, ±3 являются корнями уравнения:

3. Восстановите схему Горнера, заполнив пустые клетки:

4. Заполните схему Горнера для произвольного многочлена степени 3: f=a0x3+alx2+a2 х+а3 — и произвольного числа с и убедитесь, что последнее число второй строки есть значение f(c).

5. Проверьте, что для многочлена

верно равенство

Как это равенство связано со схемой Горнера?

6. Докажите, что многочлен:

не имеет отрицательных корней.

7. Найдите сумму коэффициентов многочлена:

8. Почему коэффициенты многочлена

(jc4+3jc+4) (х3+Пх+\9)

не могут удовлетворять равенству

а0—ах +а2—а3+а4-а5+а6—а1= 1?

9. Известно, что многочлен имеет корни с,, с2, ... . Какие корни имеет многочлен:

10. Зная, что многочлен х5+3х—2 имеет корень с, запишите многочлен с целыми коэффициентами, имеющий корень:

11. Пусть с,, с5 — корни многочлена

jc5-12x4+52x3-100x2+84jc-24.

Постройте многочлен, имеющий корни:

12.* Докажите, что не существует многочлена f с целыми коэффициентами, такого, что:

§ 1.3. Целые и дробные корни многочленов

Как мы уже говорили, одной из основных задач теории многочленов с одной переменной является решение целых алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

Эта задача, однако, чрезвычайно сложна и, как доказано в математике, в определенном смысле вообще неразрешима. Если для уравнений низких степеней — от первой до четвертой — существуют специальные формулы для вычисления корней, то для уравнений пятой и более высоких степеней дело обстоит иначе и их корни, вообще говоря, могут быть найдены лишь приближенными методами.

В то же время полностью может быть решена более узкая задача — нахождение рациональных, т. е. целых и дробных (если они существуют), корней любого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами. Более того, поиск таких корней достаточно прост и основан на простейшем рассуждении, ясном из следующего примера.

Допустим, что возник вопрос: является ли число 7 корнем многочлена

Можно, конечно, вычислить значение f(7) непосредственно, можно по схеме Горнера, что проще. Но легко заметить, что в сумме

все слагаемые, кроме последнего,— целые числа, делящиеся на 7. Отсюда ясно, что эта сумма не равна 0. Действительно, если

то

а этого не может быть, так как левая часть равенства делится на 7, а правая не делится.

Такое рассуждение показывает, что целыми корнями данного многочлена могут быть только числа, являющиеся делителями числа —10. Для любого другого числа мы точно так же, как для 7, приходим к противоречию.

Можно сказать и иначе: целое число, не являющееся делителем — 10, не может быть корнем данного многочлена.

На самом деле верно и общее утверждение, а его доказательство проводится буквально по той же схеме, что в рассмотренном примере.

Теорема 1 (о целых корнях).

Если целое число к — корень многочлена с целыми коэффициентами, то к — делитель его свободного члена.

Доказательство. Пусть

многочлен с целыми коэффициентами и целое число к — его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство f(k)=0:

Вынося общий множитель к за скобки, получим равенство

откуда

Так как числа а0, ах, ап_{9 ап и к — целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно, ап делится на к, что и требовалось доказать. ■

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

На этой теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочередно вычислить значения многочлена от этих чисел.

В то же время проведение этого алгоритма с вычислительной точки зрения может оказаться достаточно трудным: например, если свободный член равен 12, то придется сначала выписать все его делители

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12,

так что в принципе потребуется «просчитать» по крайней мере 12 схем Горнера. Однако этот алгоритм может быть существенно упрощен, если применить дополнительно утверждение, основанное на одной из известных формул сокращенного умножения. Именно: из тождества

вытекает, что для целых чисел Ь и с число Ь — с“ делится на Ь—с. Но для любого многочлена f разность

и, следовательно, для многочлена f с целыми коэффициентами и целых чисел Ъ и с разность f(b)—f (с) делится на Ь—с.

Очень частным, но весьма полезным случаем этого утверждения является следующая теорема:

Теорема 2 (дополнительная теорема о целых корнях). Если целое число к — корень многочлена f с целыми коэффициентами, то k—l — делитель числа f(1), к+\ — делитель числа f(—1).

Доказательство. В самом деле, при с=1 по доказанному выше f(k)-f(\) делится на к— 1, и если f(k)=0, то -f(1), а значит, иf(1) делится на к—1. Аналогично рассматривается второй случай. ■

Итак, задача нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами полностью решена — с помощью теории делимости целых чисел.

Но оказывается, что на той же основе можно получить алгоритм поиска и дробных корней многочленов с целыми коэффициентами. Напомним, что целые и дробные числа вместе составляют множество рациональных чисел.

Теорема 3 (о рациональных корнях).

Пусть рациональное число -у — корень многочлена с целыми коэффициентами, причем дробь — несократима. Тогда числитель дроби р — делитель свободного члена, а знаменатель q — делитель старшего коэффициента многочлена.

Доказательство. Пусть рациональное число несократимая дробь, является корнем многочлена

с целыми коэффициентами.

Это означает, что выполняются равенства

откуда после приведения к общему знаменателю получим

Полученное равенство можно переписать в виде

откуда следует, что а0р“ делится на q. Так как дробь — несократима, то числа р и q не имеют общих простых делителей, а тогда числа р“ и q также не имеют общих простых делителей.

Поэтому а0 делится на q, что и требовалось доказать. Точно так же доказывается, что ап делится на р. ш

Заметим, что теорема о целых корнях является простым следствием только что доказанной теоремы: если положить #=1, то дробь у —р несократима, и поэтому свободный член ап делится на числитель р.

Другим важным следствием этой теоремы является следующее утверждение:

Теорема 4.

Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то всякий рациональный корень многочлена является целым числом.

Доказательство. В самом деле, если — — корень многочлена со старшим коэффициентом 1, то по теореме 3 число 1 делится на q, а это возможно только при q=±l, так что — действительно является целым числом. ■

Доказанная теорема дает алгоритм поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и все положительные делители старшего коэффициента и поочередно вычислить значения многочлена от этих чисел.

Эта теорема может быть сформулирована и другими способами, полезными для решения задач:

Многочлен с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 не может иметь дробных корней.

Корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 либо целые, либо иррациональные.

Обратим, наконец, внимание на то, что утверждения, обратные к теоремам о целых и рациональных корнях, неверны.

В самом деле, утверждение, обратное к теореме о целых корнях, может быть сформулировано следующим образом: «Если целое число к — делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами, то к — корень этого многочлена» или «Всякий делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами является его корнем».

Если бы это утверждение было верно, то, например, уравнение

х2-4=0 имело бы по крайней мере шесть корней: ±1, ±2 и ±4.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Для чисел 5, 11, 17 выпишите все:

а) натуральные делители; б) целые делители. Сколько натуральных делителей имеет простое число?

2. Перечислите натуральные делители каждого из чисел: а) 4, 9, 25, 49, 121; б) 8, 27, 125; в) 25, З6, 54, 73.

3. Дано простое число р. Сколько натуральных делителей имеет число: а) р5\ б) рХ1\ в) ркс!

4. Выпишите все натуральные делители чисел:

15, 16, 18, 30, 935, 899.

5. Пусть р, g, г — различные простые числа. Докажите, что:

а) число pkqm имеет (А;+1)(т+1) натуральных делителей;

б) число pkqmrn имеет (к+1) (га+1) (л+1) натуральных делителей.

6. Какие из чисел 1, 2, —3, —5 являются корнями многочлена:

7. Решите уравнение на множестве М:

8. Докажите, что из данных элементов множества M только один является общим корнем многочленов f и g:

9. Найдите рациональные корни многочлена:

10. Заполните схему Горнера целыми числами:

11. Найдите все рациональные числа, которые являются корнями уравнения при каких-либо целых а и Ь:

12. Докажите, что при любом целом а уравнение не имеет дробных корней:

При каких целых а уравнение имеет целые корни?

13. При каких целых рид многочлены:

имеют общий целый корень?

14. Найдите целые корни многочлена с помощью дополнительной теоремы о целых корнях:

15. Используя дополнительную теорему о целых корнях, докажите, что многочлен:

не имеет целых корней.

§ 1.4. Деление многочленов с остатком

Одним из главных направлений теории многочленов, как мы уже говорили, является решение уравнений. И для этого, в частности, в множестве многочленов рассматриваются понятия, которые раньше встречались вам в множествах натуральных и целых чисел, — делимость и деление с остатком.

Напомним, что если а и b — целые числа, причем &^0, то утверждение «а делится на Ь» означает по определению, что существует такое целое число к, что a=kb. Точно такое же определение принимается и для многочленов.

Определение. Пусть f и g — два многочлена, причем g^O. Многочлен f делится на многочлен g тогда и только тогда, когда существует такой многочлен h, что f—gh.

Например,

Напротив, х+\ не делится на х—\. В самом деле, если бы для некоторого многочлена А выполнялось равенство x2+l = =(х— 1)А, то, подставив в него значение х=19 мы получили бы, что 2=0 • А(1)=0, что неверно.

Основные свойства делимости в множестве многочленов те же, что и в множествах натуральных и целых чисел. Например, если f делится на g и g делится на А, то f делится на А.

В самом деле, если f=gu и g=Av, то f=hvu=h(uv), так что f действительно делится на А. Доказательства этих свойств проводятся точно так же, как и в числовых множествах.

Нетрудно понять, почему делимость многочленов имеет большое значение для решения уравнений: если многочлен f делится на многочлен g, т. е. f представляется в виде f=gh, то уравнение f(jc)=0 равносильно уравнению g (х) А (х)=0. Поэтому дальше надо решить уравнения g (х)=0 и А (х)=0, каждое из которых имеет степень, меньшую степени многочлена f, т. е. существенно проще.

Таким образом, для решения уравнений полезно уметь раскладывать многочлены на множители. Однако эта задача очень трудная, и для ее решения полезным оказывается новое понятие —

деление многочленов с остатком. С этим понятием вы уже встречались в множестве натуральных чисел.

Определение. Остатком от деления многочлена f на многочлен g^O называется такой многочлен г, что:

1) разность f—r делится на g;

2) многочлен г либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень многочлена g.

Отметим сразу же, что утверждения: «Остаток от деления f на g нулевой» и «/ делится на g» — означают одно и то же.

Из определения остатка следует, что если г — остаток от деления f на g, то разность f—r имеет вид gq, где q — некоторый многочлен, и, следовательно, f=gq+r. Это представление многочлена через делимое g и остаток г очень важно для теории и для практики решения задач.

Для нахождения остатка существует специальный прием, алгоритм — деление «уголком». Основа этого алгоритма — последовательное понижение степени делимого. Покажем его на конкретном примере.

Пусть f=4x5—Зх3+х-1, g=2x2—3. Домножим g на такой одночлен, чтобы старшие члены f и g «уравнялись»: это будет, очевидно, одночлен qx—2x, а получить его можно, разделив 4х5 на 2х2. Так как старшие члены многочленов f и gqx оказались равными, то при вычитании из f произведения gqx мы получим многочлен степени меньшей, чем степень многочлена /. Обозначим эту разность через /,, тогда

Теперь вместо f будем рассматривать многочлен f, и уравняем старшие члены f(ng — для этого g надо домножить на

Новая разность /2 равна:

и мы получили многочлен степени 1 — меньшей, чем степень многочлена g.

Оказывается, что этот многочлен /2 и есть искомый остаток. В самом деле, о степени его мы уже сказали, а с другой стороны,

и поэтому откуда

Другими словами, многочлен /2 удовлетворяет определению остатка от деления многочлена f на многочлен g. Итак, мы разделили f на g с остатком:

Таким образом, в процессе деления с остатком мы осуществляем одни и те же действия: на каждом шагу делим старший коэффициент «промежуточного» многочлена f с некоторым индексом на старший коэффициент многочлена g, умножаем g на частное, вычитаем произведение из «промежуточного» многочлена, получаем следующий многочлен — до тех пор, пока не получится «промежуточный» многочлен степени меньшей, чем степень многочлена g, — это и есть остаток.

На практике деление многочленов записывается «уголком»:

Рассмотренным приемом любой многочлен f можно разделить с остатком на любой многочлен g^O. Это верно даже и в том случае, когда степень f меньше степени g. Например,

здесь q=0, r=f=x2—l.

Итак, всякий многочлен f можно разделить с остатком на любой другой многочлен g, отличный от нулевого, и это всегда можно сделать с помощью деления «уголком».

Однако в случае, когда многочлен g линейный, т. е. g=ax+b, вычисления можно провести по схеме Горнера — схема дает одновременно и остаток, и частное. Действительно, оказывается, что во второй строке схемы Горнера, составленной для многочлена f и значения х=с, имеются и остаток, и коэффициенты частного от деления f на х-с\

Так, мы видели в § 1.2, что для многочлена /=2х4-9х3-32х2-57 при х=1 схема Горнера выглядит следующим образом:

2

-9

-32

0

-57

7

2

5

3

21

90

Непосредственным вычислением можно убедиться, что выполняется равенство

Другими словами, если мы положим

то будет выполняться равенство f=(x—7) q+r, и, следовательно, по определению деления с остатком q и г — это соответственно частное и остаток от деления f на многочлен g=x—7.

Более того, схема Горнера позволяет найти частное и остаток от деления на любой линейный двучлен, т. е. на многочлен вида g=ax+b.

Но предварительно решим следующую теоретическую задачу: «Как изменятся частное и остаток от деления многочлена f на многочлен g, если:

а) f умножить на число а;

б) g умножить на число 6?»

Решение этой задачи едва ли не короче ее формулировки: если f=gq+r, то

и, следовательно, при умножении многочлена f на число частное и остаток умножаются на это число, а при умножении многочлена g на число частное делится на это число, а остаток не меняется. Поэтому, например, для деления с остатком многочлена

мы можем построить схему Горнера для значения х=— 2 (это корень многочлена g):

2

-11

0

39

-5

-2

2

-15

30

-21

37

Эта схема показывает частное и остаток от деления /на х+2: ?=2x3-15;c2+30jc-21, г=37, и из теоретической задачи получаем, что частное и остаток от деления f на 2х+4=2 (х+2) равны соответственно

Если бы требовалось разделить с остатком, скажем, многочлен f=x4—x3+2x2-3 на двучлен g=3jc+1, то при построении схемы Горнера для значения х= — пришлось бы преобразовывать дробные выражения.

Однако решенная нами теоретическая задача позволяет таких выражений избежать.

Для этого умножим многочлен f на 34=81 и составим схему Горнера для многочлена 81/ и значения х= —4-:

Эта схема показывает частное и остаток от деления многочлена 81/ на -х+у. Но от умножения f на 81 искомые, «настоящие» частное и остаток, умножились на 81, а от умножения g=3x+l на -у частное разделилось на у, т. е. умножилось на 3, а остаток остался неизменным.

В результате частное умножилось на 243, а остаток умножился на 81, и для нахождения частного и остатка от деления f на g мы должны провести обратные операции. Таким образом,

Конечно, выкладки все равно получились довольно громоздкими, однако следует иметь в виду, что те же натуральные числа появились бы при прямом решении — без предварительного умножения f на 81, но при этом еще пришлось бы складывать и умножать дроби.

Кроме того, предложенный способ решения позволяет легко провести вычисления с помощью обычного калькулятора, который, как известно, с обыкновенными дробями «работать не умеет».

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Выполнив деление «уголком», убедитесь, что многочлен f делится на многочлен g:

Чему равно частное q от деления f на g?

2. Верно ли утверждение: «Если какие-то два из трех многочленов f, g, f+g делятся на многочлен А, то и третий также делится на А»? Сформулируйте и докажите аналогичные свойства делимости для целых чисел.

3. Напишите несколько делителей нулевой, первой и второй степени многочлена:

4. Сколько делителей: а) нулевой степени; б) положительной степени имеет многочлен x3+3x+l?

5. Пусть f — ненулевой многочлен, с — ненулевое число. Докажите, что: а) f делится на с; б) f делится на cf.

6. Какие из многочленов

7. Выпишите многочлены, кратные

8. Укажите многочлены, делящиеся на

9. Может ли:

а) многочлен хъ+ах2+\ делиться на дс3+(я+1)л:+1;

б) многочлен 2хЛ-ах+Ь делиться на х3+(а+1).х+1?

10. а) Могут ли многочлены положительной степени делиться друг на друга? Когда это бывает?

б) Что можно сказать о многочленах, имеющих равные старшие коэффициенты и делящихся друг на друга?

в) Как связаны между собой натуральные (целые) числа, делящиеся друг на друга?

11. Разделите с остатком многочлен f на многочлен g:

12. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. Выделить из дроби целую и правильную части — это значит представить ее в виде суммы многочлена («целой части») и правильной дроби («правильной части»).

Выделите правильную часть из дроби —, где:

13. При каких целых значениях п выражение:

является целым числом?

14. При каких целых п сократима дробь:

15. Докажите единственность частного и остатка от деления f на g, т.е. если f—gq\-^rx и /=gtf2+r2> гДе г\> гг — остатки, то qx=q2, r{=r2.

16. Докажите, что «целая часть» и «правильная часть» рациональной дроби определяются однозначно.

17. Для каких чисел а и Ъ первый многочлен делится на второй:

18. Существует ли число с, при котором f делится на g:

19. Зная частное q и остаток г от деления f на g, найдите частное и остаток от деления: a) cf на g; б) f на eg, где с — ненулевое число.

20. Пусть f и g — ненулевые многочлены с целыми коэффициентами. Можно ли утверждать, что частное q и остаток г от деления f на g имеют:

а) рациональные коэффициенты;

б) целые коэффициенты, если старший коэффициент многочлена g равен 1?

21. Найдите частное и остаток от деления многочлена f на многочлен g, используя в промежуточных вычислениях только целые числа:

22. Может ли многочлен jc17+...+2 с целыми коэффициентами делиться на многочлен х2+Ьх+3 (Ь — целое число)?

§ 1.5. Корни и линейные множители многочленов

Главной целью изучения многочленов исторически было решение целых алгебраических уравнений. Из своей школьной практики вы хорошо знаете, что для решения уравнения вида f(х)=0 очень полезно разложить f(x) на множители: если f(x)=g(x) • h (х), то дальнейшее сводится к решению двух более простых уравнений g (х)=0 и h(x)=0.

В предыдущих параграфах мы научились находить рациональные корни уравнений с рациональными коэффициентами. При этом, понятно, всегда можно считать коэффициенты многочлена целыми — в противном случае обе части уравнения достаточно умножить на некоторое число.

Однако, найдя даже несколько корней уравнения, мы далеко не всегда решим уравнение. Например, для уравнения

X4—л;3—6х2-х+3=0 легко подобрать корни — 1 и 3, но, что делать дальше, неясно.

Между тем небольшое продвижение в теории существенно поможет нам в решении уравнений. Дело в том, что понятие корня тесно связано с разложением многочленов на множители, точнее, с выделением в многочлене линейного множителя. Но если, решая уравнение f(x)=0, мы сможем разложить многочлен f на множители, то далее остается решать уравнения меньших степеней.

Основной здесь является следующая теорема, состоящая из двух утверждений и носящая имя французского математика XVIII в. Ж. Безу. Вы скоро убедитесь, что ее доказательство чрезвычайно просто, а практическое и теоретическое значение очень велико.

Теорема 1 (Безу).

Пусть f — многочлен, с — некоторое число.

1. f делится на двучлен х—с тогда и только тогда, когда число с является его корнем.

2. Остаток от деления f на х—с равен f(c).

Доказательство. Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим f с остатком на х—с.

f=(x-c) q+n

по определению остатка многочлен г либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени х—с, т.е. меньшую 1.

Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях г на самом деле является нулем или отличным от нуля числом.

Подставив теперь в равенство f=(x—c) q+r значение х=с, мы получим

f(c)=(c-c)q(c)+r,

так что действительно г=f(с), и второе утверждение доказано.

Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение «/ делится на х—с» означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток по доказанному равенf(с), так что «/ делится на х—с» означает то же самое, что и f(с)=0. ■

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если f(с)=0, то f=(x—c)q, и остается решить уравнение q(x)=0. Иногда этим приемом — он называется понижением степени — можно найти все корни многочлена. В частности, подобрав один корень кубического уравнения, можно его полностью решить — после понижения степени достаточно решить полученное квадратное уравнение.

При решении таких задач большую пользу приносит все та же схема Горнера. Напомним, что в конце второй строки этой схемы получается значение многочлена f при х=с. Однако на

самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего), — это коэффициенты частного от деления на х—с.

В § 1.2 мы построили схему Горнера для многочлена

3

-5

0

-7

0

12

1

3

-2

-2

-9

-9

3

-1

3

-8

8

-15

15

-3

2

3

1

2

-3

-6

0

Желающие могут самостоятельно убедиться, что, составив по каждой из трех «вторых» строк соответствующий многочлен степени 4, мы действительно получим частные:

Решим в качестве примера уравнение

Целые корни многочленаf=x4—x3-6x2—х+3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть только числа ±1 и ±3. При этом 1 не является корнем многочлена/, поскольку сумма его коэффициентов, очевидно, не равна 0.

При х= — 1 имеем схему:

1

-1

-6

-1

3

-1

1

-2

-4

3

0

Мы видим, что —1 — корень f и в частном получается многочлен g=x3—2х2-4х+3.

Значение х=\ второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем/, что неверно. Значение х= — 1 проверить обязательно — ничто не мешает ему быть также и корнем частного g:

1

-2

-4

3

-1

1

-3

-1

4

Следовательно, g (-1)^0.

Составим схему Горнера для х=3:

1

-2

-4

3

3

1

1

-1

0

Следовательно, g(3)=0, и при делении g на х—3 получается многочлен X -fx—1, корни которого —=— .

Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеют 4 корня: —1, 3 и —^—•

Теорема Безу позволяет частично ответить и на важный теоретический вопрос: сколько корней может иметь многочлен?

Теорема 2.

Многочлен степени п имеет не более п корней.

Доказательство. Пусть многочлен f степени п имеет к корней и с — один из его корней. Предположим противное: пусть к>п.

По теореме Безу f=(x—c)g и частное g имеет степень п—1. Всякий корень f, отличный от с, является одновременно и корнем g: если f(я)=0, то (а—с) g (а)=0, откуда g (я)=0, так как а^с. Другими словами, многочлен g имеет по меньшей мере к—1>п—1 корней, т. е. число его корней также больше его степени.

Но с многочленом g можно провести те же рассуждения и на втором шагу получить новый многочлен А, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким же образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше двух корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположение к>п неверно, и, следовательно, к не больше п. ш

Нетрудно привести примеры, когда многочлен степени п имеет ровно п корней и когда он имеет меньше п корней, в частности, вообще не имеет корней. Эти примеры полезно придумать самостоятельно.

При этом следует иметь в виду, что число корней многочлена существенно зависит от того, какое числовое множество мы рассматриваем.

Например, многочлен f=x —2 не имеет корней в множестве рациональных чисел Q — не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. В то же время в множестве действительных чисел R он имеет два иррациональных корня (±72).

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительно важных и для теории, и для практики утверждения.

Теорема 3.

Два многочлена степени, не большей п, принимают одинаковые значения по меньшей мере при п+1 значениях х тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.

Доказательство. «В одну сторону» это утверждение очевидно: если многочлены имеют одинаковые коэффициенты, то при всех значениях х они, естественно, принимают одинаковые значения.

И наоборот, если многочлены f и g имеют степень не больше и, то их разность А либо является нулевым многочленом, а

тогда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты, либо отлична от нуля и имеет степень не больше п. Но тогда эта разность имеет не меньше чем п+1 корень — это те значения переменной x=xi9 при которых

h(x)=f(x}-g(x)=0,

что противоречит теореме 2 о числе коней: число корней разности больше ее степени. ■

Теорема 4.

Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях X тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.

Доказательство. Это утверждение моментально следует из предыдущего: если многочлены принимают одинаковые значения при всех значениях х, то они принимают одинаковые значения при числе значений, большем наибольшей из их степеней. ■

Итак, мы решили общую теоретическую задачу нахождения рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами. Если же многочлен не имеет рациональных корней, то задача нахождения его корней может оказаться неразрешимой.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Для каких чисел а многочлен делится на (х+1)2:

2. Используя схему Горнера, приведите многочлен к стандартному виду:

3. Подбирая целые корни, разложите многочлен на множители с помощью схемы Горнера:

4. Разложите многочлен на множители, которые сами на множители уже неразложимы:

5. Решите уравнение:

6. Используя замену t—ax для подходящего значения я, решите уравнение:

7. Решите уравнение:

8. Докажите, что для любых целых чисел я, Ь, с выражение:

9. Зная остатки г (/, g) и г (/, К) от деления f на g и на h соответственно, найдите остаток г (/, gh):

10. Найдите остаток от деления многочлена f на многочлен: а) (х-а) (х-Ь); б) (х-а) (х-Ь) (х-с), если числа а, Ъ, с попарно различны и f(д)=1, f(b)=2, Дс)=3.

11. Найдите квадратный трехчлен f по трем значениям:

12. Укажите кубический многочлен f по его значениям:

13. Приведите устно многочлен к стандартному виду:

14. После преобразований уравнение

сводится, очевидно, к квадратному. В то же время легко проверить, что три числа а, Ь, с являются его корнями. Объясните полученное противоречие.

15. Решите уравнение:

16. Докажите тождество

17. Решите систему методом подстановки:

18. Решите систему:

19. Решите систему:

20. Пусть f и g — многочлены с рациональными коэффициентами и многочлен f(x2)+ xg (х2) делится на х—2. Докажите, что многочлены f и g делятся на х—2.

21. Найдите все многочлены f, для которых выполняется равенство:

22*. Докажите, что если выполнено одно из условий:

а) /С*5) делится на х— 1;

б) /С*3) делится на х— Их+Ю,

то многочлен f(x5) делится на х5—1.

§ 1.6. Разложение многочленов на множители

В предыдущем параграфе мы привели один из самых простых примеров многочленов, которые нельзя разложить на множители с рациональными коэффициентами, — это х—2. Примеры многочленов, которые нельзя разложить на множители с действительными коэффициентами, вам тоже хорошо известны — это, прежде всего, х2+\ и вообще все квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом.

Вопрос о возможности разложения данного многочлена на множители играет и на практике, и в теории очень большую роль. Поэтому следующее понятие является одним из главных понятий теории многочленов.

Определение 1. Многочлен степени, большей или равной 1, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение многочленов меньшей степени.

Конечно, более естественно было бы так и называть многочлен неразложимым, но термин приводимый сложился исторически (буквальный перевод с французского языка) и является общепринятым. Мы будем употреблять оба термина.

Остальные многочлены степени, большей или равной 1, называются, естественно, приводимыми. Отметим, что согласно этим определениям многочлены нулевой степени не считаются ни приводимыми, ни неприводимыми.

У вас может возникнуть в памяти аналогия этих определений с определениями простого и составного натурального числа, и вы можете вспомнить, что для числа 1 также сделано «исключение»: оно не является ни простым, ни составным.

Вы сможете убедиться ниже, что эта аналогия в действительности чрезвычайно глубока — до такой степени, что при всей непохожести многочленов и натуральных чисел друг на друга теории делимости в этих множествах почти одинаковы.

Ясно, что многочлены степени 1 неприводимы.

Если многочлен степени, большей 1, имеет корень, то по теореме Безу (см. § 1.5) в нем может быть выделен линейный множитель, т. е. многочлен раскладывается в произведение многочленов меньшей степени и является поэтому приводимым. Обратное неверно: например, многочлен (х2+1)2 разложен на множители меньшей степени, но корней не имеет.

Однако для многочленов степени 2 и 3 обратное все же верно: если такой многочлен разложен на множители меньшей степени, то хотя бы один из них имеет степень 1, а такой многочлен всегда имеет корень.

Здесь мы приведем приемы разложения на множители для многочленов двух полезных, хотя и весьма частных видов — биквадратных и возвратных многочленов.

Определение 2. Биквадратным трехчленом называется многочлен вида ах4+Ьх2+с, где а^О.

Этот многочлен можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно переменной у=х2: если f=ax2+bx+c, то

Способ разложения биквадратного трехчлена на множители зависит от знака дискриминанта соответствующего квадратного трехчлена.

Пример 1. Разложить на множители многочлен 2хщ +3jT -14.

Квадратный трехчлен 2у2+3у—14 имеет корни 2 и — у и равен поэтому произведению (у—2) (2у+7), а данный многочлен равен (х2-2) (2х2+7).

Пример 2. Разложить на множители многочлен ЪС+3jc+14. Выделим в данном многочлене полный квадрат, но иным способом, чем это делается для получения формулы корней. Для этого рассмотрим старший член 2х4 и свободный член 14 как квадраты некоторых выражений и дополним сумму квадратов до квадрата суммы:

Обратим внимание на то, что наш прием привел к цели потому, что число 3-4^/7 отрицательно, а это, в свою очередь, оказалось так, потому что дискриминант соответствующего квадратного трехчлена отрицателен: он равен З2—4 • 2 • 14=32—16 • 1 =(3+4л/7) (Ъ—AJÎ ), т.е. отличается от 3—477 положительным множителем.

Определение 3. Возвратным называют многочлен, у которого строка коэффициентов слева направо и справа налево читается одинаково.

Пример 3. Разложить на множители многочлен

Заметим сначала, что если

то

и поэтому

Обратим внимание на то, что этот прием привел к цели только потому, что получившийся квадратный трехчлен относительно переменной у—х+— может быть разложен на множители — он имеет действительные корни. Однако решить уравнение f(x)=0 для возвратного многочлена f мы можем всегда: если получился трехчлен, не имеющий корней, то и заданное уравнение корней, очевидно, не имеет.

Для многочленов с целыми коэффициентами существует один специальный прием разложения многочлена — так называемый метод неопределенных коэффициентов. Мы покажем его также на примере.

Пример 4. Разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен х4+3х2—14.

Заметим, что многочлен не имеет целых корней, поэтому «отщепить» линейный множитель не удастся.

Попробуем разложить его на два множителя степени 2, т. е. представить его в виде

Мы будем искать неопределенные коэффициенты множителей— целые числа а, Ъ, с, /?, q, г.

Старшие коэффициенты многочленов в левой и правой частях равны соответственно 1 и ар, а равенство ар=\ выполняется только при а=р=\ и при а=р= — \. Рассмотрим два случая:

1) а=р=1. В этом случае

Раскрыв скобки в правой части, мы получим равенство

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, получаем

Отсюда b=—q, а тогда остальные равенства можно переписать в виде

Если Ь=0, то г+с=3, и поскольку ст = — 14, то с и г (по теореме, обратной теореме Виета) являются корнями уравнения /2-3/-14=0. Однако это уравнение целых корней не имеет.

Если же Ь^О, то г—с=0, г—с, что противоречит равенству сг=-Ы.

Таким образом, в случае а=р=1 искомых целых коэффициентов не существует.

2) а—р— — 1. В этом случае делать уже, оказывается, ничего не нужно — он сводится к первому случаю.

В самом деле, равенство вида

не нарушится, если мы изменим знаки всех коэффициентов в обоих множителях в правой части (т. е. умножим оба на —1, а все произведение, следовательно, на 1). Но тогда это равенство примет вид

а в первом случае мы уже видели, что такое равенство с целыми коэффициентами невозможно.

Следовательно, данный многочлен на множители с целыми коэффициентами разложить невозможно.

Однако на два множителя с действительными коэффициентами его разложить можно, поскольку он является биквадратным.

А вот можно ли его разложить на множители с рациональными коэффициентами, остается неясным.

Отметим при этом, что, если даже мы фактически разложим его на множители с действительными коэффициентами, среди которых будут иррациональные числа, мы не будем иметь права заключить, что его нельзя разложить на множители с рациональными коэффициентами каким-либо иным способом.

В действительности такой вывод можно было бы сделать после некоторого развития теории, однако здесь мы этого делать не будем.

Пример 5. Решить уравнение х -5х +8х -5х~+х+2=0. Числа 1 и —1 не являются корнями данного уравнения, а проверяя по схеме Горнера значение 2, мы получим:

1

-5

8

-5

1

2

2

1

-3

2

-1

-1

0

Следовательно, 2 — корень данного уравнения, и остается решить уравнение

Разложим левую часть на два квадратных трехчлена с целыми коэффициентами:

Так же, как и в предыдущем примере, получаем сначала, что ар=\, откуда а =р=1 или а=р= — 1. Но теперь мы знаем уже, что второй случай можно не рассматривать, так что будем считать, что а=р=1, т. е.

Ясно, что после раскрытия скобок в правой части мы получим то же самое выражение, что и в примере 4, а приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях, получаем такую же систему, только с другими числами в правой части — в соответствии с коэффициентами многочлена, данного в этой задаче.

Поэтому мы получим систему

Из последнего уравнения возникают два случая: с=1, г— — 1 и с= — 1, г=1. В обоих случаях с+г=0, и второе уравнение принимает вид bq=2, а отсюда и из первого уравнения получаем, что либо 6= —1, q=—2, либо b=—2, q= — \.

В первом случае третье уравнение принимает вид — г—2с = — 1, и, учитывая, что с+г=0, получаем с=1, г= —1.

Во втором же случае, наоборот, с— — 1, г=1.

Таким образом, найденный набор коэффициентов b= — 1, q=-2, с=1, г=-1 либо b=-2, q=~l, с= —1, г=1 удовлетворяет системе и ввиду их симметрии (è и с и г) приводит к единственному разложению

Теперь остается решить два уравнения:

Первое из них корней не имеет, второе имеет корни 1±72, и, следовательно, исходное уравнение имеет эти два корня и найденный в начале решения корень 2.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Решите уравнение:

2. Используя подстановку t=ax2+bx+c, решите уравнение:

3. Решите уравнение, полагая /=

4. Решите уравнение, используя подходящую рациональную подстановку t= — , где р и q — многочлены:

5. Дополняя выражение до полного квадрата, представьте его в виде разности квадратов двух многочленов:

6. Найдите корни уравнения, используя подстановку вида t=x+— при некотором с:

7. Решите уравнение, подобрав сначала целый корень:

8. Найдите корни уравнения, используя подходящую подстановку:

9. Представьте многочлен в виде произведения квадратных трехчленов с целыми коэффициентами:

10. Разложите на множители многочлены:

11*. Разложите многочлен в произведение квадратного и кубического многочленов с целыми коэффициентами:

12*. Докажите, что нет таких целых я, Ь и с, при которых было бы верно равенство:

§ 1.7. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов

В множестве многочленов, так же как и в множестве натуральных чисел, можно ввести два основных понятия, связанные с делимостью: наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух (или более) многочленов.

Однако это делается не совсем так, как в множестве натуральных чисел. Наибольшим общим делителем (НОД) двух натуральных чисел называется, как известно, самый большой из их общих делителей, однако в множестве многочленов такое определение было бы бессмысленным, так как нельзя говорить о «самом большом» из делителей. Выход из положения подсказывает понятие степени многочлена.

Определение 1. Наибольшим общим делителем (НОД) двух или нескольких многочленов называется многочлен наибольшей степени, на который делятся эти многочлены.

Иначе говоря, наибольший общий делитель двух (или более) многочленов — это такой их общий делитель, который среди всех их общих делителей имеет наибольшую степень.

Данное определение само по себе не подсказывает никакого способа нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов. Аналогия с натуральными числами здесь также ничего не дает: для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел мы сначала раскладываем их на простые множители, что не всегда просто.

Однако разложить многочлен на множители — это, как вы уже знаете, обычно гораздо более трудная задача. Попробуйте, например, разложить на множители многочлены f=x414— 1 и g=x342— 1 (конечно, не на два множителя, а на такие множители, которые дальше разложить было бы нельзя). Именно такие множители позволили бы действовать так же, как в множестве натуральных чисел.

И тем не менее эта задача, оказывается, решается совсем просто.

Наибольший общий делитель двух любых многочленов может быть найден с помощью вычислений, образующих так называемый алгоритм Евклида. Этот алгоритм состоит в следующем.

Пусть даны многочлены f и g, отличные от 0. Разделим f с остатком на g\ f=gq\+r].

Если а*!=0, то на этом все закончим, а если г^О, то разделим g с остатком на rx\ g=r{q2+r2.

Если а*2=0, то на этом все закончим, а если г2^0, то разделим г, с остатком на r2. f]=r2q3+ry

Продолжая далее таким же образом, мы заканчиваем вычисления, как только получается остаток, равный 0.

Такой остаток на некотором шаге обязательно получится. В самом деле, степень остатка всегда меньше степени делителя, так что

Если бы процесс деления с остатком не оборвался, то мы получили бы бесконечную убывающую последовательность натуральных чисел — степеней остатков, а такой последовательности не может быть: для любого натурального числа к>\ существует только к— 1 натуральное число, меньшее его.

Чтобы не усложнять обозначений, будем считать, что нулевой остаток получился на пятом шаге, т. е.

Последнее деление получилось без остатка, т. е. с нулевым остатком. Оказывается, что последний ненулевой остаток г4 и является искомым наибольшим общим делителем многочленов/и g.

Для доказательства надо убедиться, прежде всего, в том, что f и g делятся на г4. Для этого «пройдем» по полученным равенствам «снизу вверх».

Последнее равенство показывает, что гъ делится на г4, тогда в предпоследнем равенстве r2=r3q4+r4 оба слагаемых в правой части делятся на r4, а значит, и г2 делится на г4.

Тогда в предыдущем равенстве rl=r2q3+r1) оба слагаемых в правой части делятся на r4, а значит, и гх делится на г4.

Поэтому в предыдущем равенстве g=rxq2+r2 оба слагаемых в правой части делятся на r4, а значит, и g делится на г4.

Наконец, в первом равенстве f—gqx+rx оба слагаемых в правой части делятся на г4, а значит, и f делится на г4.

Таким образом, оба многочлена f и g действительно делятся на г4, т. е. г4 является их общим делителем, и остается доказать, что среди всех их общих делителей он имеет наибольшую степень.

Мы докажем даже более сильное утверждение: г4 не только имеет наибольшую степень, но и делится на все остальные общие делители данных многочленов. Для доказательства мы «пройдем» те же равенства, но на этот раз «сверху вниз».

Пусть h — произвольный общий делитель многочленов f и g. Записав первое равенство в виде rx=f—gqx, замечаем, что оба слагаемых в правой части делятся на А, так что и гх делится на h. Точно так же из второго равенства получаем, что г2 делится на А, из третьего — что г3 делится на А, и, наконец, из четвертого равенства — что г4 делится на h.

Наше утверждение полностью доказано: последний ненулевой

остаток в алгоритме Евклида для многочленов f и g есть их наибольший общий делитель.

Покажем применение алгоритма Евклида на примере двух приведенных в начале параграфа многочленов. Реализовать алгоритм всегда можно с помощью деления «уголком», но для удобства записи мы будем применять достаточно очевидную группировку.

Пример 1. Найти наибольший общий делитель многочленов

Первый шаг:

Второй шаг:

Третий шаг:

Четвертый шаг:

Пятый шаг:

Шестой шаг:

Следовательно, наибольший общий делитель многочленов

Попробуем теперь выполнить алгоритм Евклида в совершенно иной ситуации — для натуральных чисел. Рассмотрим два числа 1588 и 4016 и будем делить с остатком по той же системе:

Точно так же как и для многочленов, именно 4 и будет наибольшим общим делителем чисел 1588 и 4016. Почему? Потому что можно почти буквально повторить то же самое рассуждение, только вместо слова «многочлен» говорить «натуральное число», а вместо степени многочлена говорить о самом натуральном числе.

Таким образом, наибольший общий делитель двух натуральных чисел можно искать двумя способами: школьным, раскладывая числа на простые множители, и новым — с помощью алгоритма Евклида.

Чтобы ощутить разницу между этими способами, представьте себе нахождение школьным способом наибольшего общего делителя чисел 3 568 673 и 47 665 231 — легко ли эти числа разложить на простые множители, даже если у вас есть под рукой калькулятор? Благодаря же алгоритму Евклида эта задача решается делением многозначных чисел с остатком, что с помощью калькулятора не так уж и сложно.

Поэтому в каждом случае следует стремиться выбирать более удобный способ рассуждений.

Так, наибольший общий делитель чисел 56 136 и 144 удобнее искать школьным способом, правда слегка его видоизменив. Так как 144=24-32, то в искомый делитель могут войти только простые делители 2 и 3; но

56 136:4=14 034, 14 034:2=7017, 7017:3=2339,

и 2339 не делится на 3. Поэтому наибольший общий делитель этих чисел равен 8 • 3=24.

Видоизменение школьного способа состоит в том, что одно из данных чисел мы не разложили на простые множители «до конца» — так, мы не знаем даже, является ли простым число 2339.

А для чисел 56 136 и 56 142 более простым, очевидно, является применение алгоритма Евклида:

56 142=56 136+6, 56 136=6 • 9356,

так что 6 и есть искомый наибольший общий делитель.

Отметим, что последнее деление можно было и не производить — число 56 136 делится на 6: по признакам делимости оно делится и на 2, и на 3. Однако строгого обоснования этого привычного школьного рассуждения в школе не дается, а общее утверждение «Если а делится на Ь и на с, то а делится на Ьс» неверно: например, 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8. Поэтому здесь имеется некоторый логический пробел.

Вернемся к многочленам. Из алгоритма Евклида можно получить еще одно важное утверждение.

Теорема (о линейном представлении НОД).

Если d — наибольший общий делитель многочленов f и g, то существуют такие многочлены и, v, что выполняется равенство

Мы не будем доказывать это утверждение в общем виде, поскольку способ доказательства — «подъем» по алгоритму Евклида — ясен из следующего примера.

Пример 2. Выразить наибольший общий делитель многочленов

через эти многочлены.

Деление с остатком проведем «уголком»:

Так как /*, на 1 делится, то наибольший общий делитель данных многочленов равен 1.

Для упрощения вычислений это равенство сначала умножим на 2: 2x2+4x+4=(2;t+2)(jc+l)+2, или 2g=(x+l) г,+2. Отсюда имеем

а из самого первого равенства г,=/— (х—2) g, и поэтому

Положив

получим, наконец,

Мы видим, что решение такого типа задач требует достаточно длинных вычислений, однако этот недостаток способа решения возмещается возможностью решать весьма сложные задачи.

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Обозначим l/2 через с. Тогда данное выражение принимает вид

и, кроме того, с3=2.

На основании только что решенного примера (вместо х подставляем число с)

Отсюда

и, следовательно, данное выражение равно

Напомним теперь, что при рассмотрении алгоритма Евклида мы доказали, что наибольший общий делитель двух многочленов делится на любой их общий делитель.

Это свойство легко следует и из возможности линейного представления наибольшего общего делителя. В самом деле, если d — наибольший общий делитель многочленов f и g и многочлены f и g оба делятся на некоторый многочлен А, т. е. f=hs, g=ht, то d=fu+gv=hsu+htv=zh (su+tv).

Свойство наибольшего общего делителя часто принимают за его определение.

Определение 2. Наименьшим общим кратным (НОК) многочленов называется многочлен наименьшей степени, который делится на эти многочлены.

Наименьшее общее кратное обладает свойством, аналогичным только что сформулированному свойству наибольшего общего делителя, только «наоборот»: оно является делителем любого другого кратного этих многочленов.

В самом деле, если к — наименьшее кратное многочленов f и g, а f — какое-либо еще их общее кратное, то, разделив f на к с остатком, получим

l=kq+r, r=l—kq,

откуда следует, что остаток г делится на f и на g, т. е. также является общим кратным f и g. Но его степень меньше степени к, а это противоречит определению наименьшего общего кратного.

Для нахождения общего кратного двух или нескольких многочленов можно применять два приема. Если многочлены разложены на далее неразложимые множители, то можно действовать так же, как с натуральными числами, в противном случае используется связь между наибольшим общим делителем и наименьшим общим кратным:

НОД (У, g) • НОК (/, g)=f-g.

Это утверждение можно доказать непосредственно, однако оно легко следует из так называемой основной теоремы о делимости многочленов, которую мы рассмотрим ниже.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

Далее наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов f и g обозначаются соответственно через (/, g) и [/, g], аналогичные обозначения применяются для целых чисел.

1. Докажите утверждение:

а) для любых целых чисел а, Ъ, с (а, Ь)=(а, Ь-ас);

б) для любых многочленов f, g, h (/, g)=(f, g—fli).

2. Докажите, что:

а) каждое натуральное число, большее 6, можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, больших 1;

б) каждый многочлен степени п>\ представим в виде суммы двух взаимно простых многочленов степени п.

3. Для взаимно простых чисел a, b докажите справедливость следующих свойств:

а) если be делится на а, то с делится на а\

б) если с делится на а и на 6, то с делится на ab.

4. Докажите, что если числа а и Ь взаимно просты, то:

5. Докажите, что для любых чисел я, 6, с справедливо равенство:

6. Сформулируйте и докажите для многочленов свойства, аналогичные рассмотренным в двух предыдущих задачах.

7. Найдите все целые числа я, для которых сократима дробь:

8. Какие натуральные числа при делении:

а) на 2, на 3 и на 5 дают остаток 1;

б) на 3, на 4 и на 5 дают соответственно остатки 2, 3 и 4;

в) на 5 и на 7 дают соответственно остатки 1 и 2;

г) на 4, на 5 и на 7 дают соответственно остатки 3, 4 и 2?

9. Докажите, что дробь J2 ' 2 сократима на некоторый многочлен положительной степени в том и только в том случае, когда f(0)=0.

10*. Для каких многочленов f дробь:

сократима на некоторый многочлен положительной степени?

11. Для каких многочленов f дробь -1995 нельзя сократить на многочлен положительной степени?

12. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов:

13. Найдите наибольший общий делитель и его линейное представление для многочленов:

14. Найдите наибольший общий делитель и его линейное представление для многочленов f и g:

15. Пусть fn=x“ х+хп 2+...+ Докажите, что:

а) As и /8 взаимно просты; в)* (/48, /20)=/4;

б) (/15, /ю)=/5; г)* „у

16. Докажите, что для многочленов gn{x)=xn— 1 справедливы следующие свойства:

а) (gi3, g7)=«i; в)* (#396> ^164)=W

б) fe15, g6)=g3> Г)* fem, „)•

17. Найдите натуральные числа, удовлетворяющие системе уравнений:

18. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

§ 1.8*. Основная теорема о делимости многочленов

Еще с младших классов вы знакомы с основными понятиями делимости в множестве натуральных чисел — со свойствами делимости, с понятиями наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, с простыми и составными числами, с

взаимно простыми числами, т. е. с основами теории делимости натуральных чисел.

Вы хорошо знаете и главное утверждение этой теории — так называемую основную теорему арифметики, хотя это название слышите, скорее всего, в первый раз:

Теорема 1.

Всякое натуральное число единственным образом раскладывается в произведение простых чисел.

Разложением натурального числа на простые множители вы пользовались, например, для нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух или нескольких чисел.

Есть и более тонкие примеры использования этой теоремы, на которые ваше внимание просто никогда не обращали. Так, проводимое в курсе математики доказательство иррациональности числа Jl на самом деле также опирается на эту теорему, причем необходимость такой ссылки становится очевидной, как только вы попытаетесь доказать, что иррациональным является, например, число Jb.

Мы также неявным образом ссылались на эту теорему при доказательстве теоремы о рациональных корнях.

Оказывается, что аналогичная теорема справедлива и для многочленов, и именно поэтому теории делимости в этих совершенно различных множествах почти одинаковы. Многие утверждения одной теории являются «переводом» соответствующих понятий и утверждений другой теории.

При этом роль простых чисел играют неприводимые многочлены, составных чисел — приводимые многочлены, роль «исключения» числа 1 (не являющегося ни простым, ни составным) играют многочлены степени 0, т. е. числовые многочлены, или константы.

В этом параграфе мы сформулируем основную теорему о делимости многочленов, а в следующем параграфе выведем из нее важнейшие следствия. Доказательство основной теоремы мы приведем в § 1.10. В силу «параллельности» двух теорий делимости вы получите при этом одновременно и доказательство основной теоремы арифметики.

Теорема 2 (основная теорема о делимости многочленов). Всякий многочлен степени, большей или равной 1, единственным образом раскладывается в произведение неприводимых многочленов.

В этой теореме содержатся, очевидно, два утверждения: во-первых, всякий многочлен может быть разложен в произведение неприводимых многочленов и, во-вторых, такое разложение единственно.

Если, однако, немного подумать, то становится совершенно очевидно, что оба этих утверждения неверны.

В самом деле, никакой неприводимый многочлен нельзя разложить на неприводимые множители — потому он и называется неприводимым. Конечно, любой многочлен f можно представить в виде /'1, но 1 не является по определению неприводимым многочленом.

С другой стороны, ясно, например, что многочлен 4х2-12.х+8 можно записать в виде (4х—4) (jc—2) и в виде (2х—2) (2х—4), т. е. по крайней мере двумя способами представить в виде произведения неприводимых многочленов.

Однако первый вопрос в действительности относится к области терминологии. В самом деле, считая, например, с самого начала, что одночлен является многочленом, мы как бы договариваемся «разрешать» сумму из одного слагаемого — она равна этому единственному слагаемому. Точно так же и одночлену (произведению нескольких чисел, обозначенных цифрами или буквами) «разрешается» состоять из одного сомножителя.

Такие договоренности относительно особых, крайних случаев являются характерной особенностью математического языка, отличающей его от обычного, естественного языка. Поэтому здесь мы будем следовать этой математической традиции.

Другими словами, говоря о существовании разложения любого многочлена на неприводимые множители, мы будем подразумевать, что для неприводимого многочлена разложение состоит из одного сомножителя.

Несколько более тонко обстоит дело с единственностью. Заметим, прежде всего, что, говоря о единственности разложения натурального числа на простые множители, мы уже пренебрегаем различием порядка множителей — считаем, например, что 6=2-3 и 6=3 • 2 — одно и то же разложение. И странно было бы иное решение этого вопроса, поскольку ни в каких содержательных задачах различать такие разложения не требуется.

Точно так же и в задачах, связанных с многочленами, и прежде всего в уравнениях, не имеет значения постоянный множитель, т. е. многочлены f и cf — это почти один и тот же многочлен.

Поэтому два разложения многочлена на неприводимые множители считаются совпадающими, если они содержат одно и то же число таких множителей, и в одном из разложений можно так переставить множители, что они будут отличаться от соответствующих множителей другого разложения только постоянными множителями.

Например, разложения

совпадают с разложением

Именно в указанном смысле мы и говорим о единственности разложения. Можно было бы все эти договоренности включить в основную теорему, но это слишком усложнило бы ее формулировку.

Ясно, что в таком разложении некоторые сомножители могут отличаться лишь постоянным коэффициентом. Если договориться считать «основными» множители со старшим коэффициентом 1, а все остальные выразить через них, то одинаковые множители обычно объединяют в степень, и, таким образом, каждый многочлен f можно представить в виде

где а0 — старший коэффициент f, к{9 к2, кп— натуральные числа. Эти числа называют кратностями соответствующих неприводимых множителей.

Такое разложение многочлена называют каноническим. Оно является единственным в более строгом смысле слова, чем мы имели в виду раньше: два разложения одного и того же многочлена могут отличаться только порядком множителей.

Часто удобно рассматривать «почти» каноническое разложение — добавлять к каноническому разложению неприводимые множители с нулевыми кратностями. В частности, это дает возможность при рассмотрении двух или нескольких многочленов считать, что их разложения состоят из одних и тех же неприводимых множителей. При этом мы будем говорить, что отсутствующий в каноническом разложении многочлена неприводимый множитель имеет в нем кратность 0.

В то же время, допуская некоторую вольность речи, мы не будем злоупотреблять добавлением «почти» — всегда будет ясно, идет речь о «почти» или в точности каноническом разложении.

§ 1.9*. Следствия основной теоремы

Наибольший интерес для практики основная теорема о делимости многочленов представляет с точки зрения ее следствий. В их формулировках мы рассматриваем многочлены f, g, h и их «почти» канонические разложения:

А. О наибольшем общем делителе и наименьшем общем кратном.

Следствие 1. f делится на g тогда и только тогда, когда кратность каждого неприводимого множителя в многочлене f больше или равна кратности этого множителя в многочлене g.

Действительно, если f=gq, то к неприводимым множителям g

добавляются множители частного </, от чего кратности множителей в многочлене g могут только увеличиться.

Отметим также важный частный случай этого следствия: если /делится на g, то каждый из неприводимых множителей g входит в разложение f— многочлен g не имеет (по сравнению с J) лишних множителей. Обратное, однако, неверно: если g не имеет лишних множителей, то f необязательно делится на g — можно взять, например, f—x и g=x“.

Следствие 2. Канонические разложения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного многочленов f и g состоят только из неприводимых множителей f и g. Причем кратность каждого множителя в наибольшем общем делителе есть меньшая из кратностей этого множителя в данных многочленах, а кратность каждого множителя в наименьшем общем кратном есть большая из кратностей этого множителя в данных многочленах.

Например, если

т. е. то

Следствие 3. Произведение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного многочленов f и g равно произведению этих многочленов:

НОД(/, g) НОК(f g)=fg.

Это равенство немедленно вытекает из следствия 2. В самом деле, пусть множитель р входит в разложения f и g с кратностью к и I соответственно. Если к<1, то к — меньшее из них, f — большее, так что сумма большего и меньшего из них равна к+1. С этим показателем степени множитель р входит в обе части написанного равенства.

Ясно, что так же обстоит дело и при к>1, а при к=1 множитель р входит в обе части равенства с показателем 2к.

Такие рассуждения верны для каждого неприводимого множителя, и поэтому каждый из них входит в произведения НОД (/, g) • НОК (/, g) ufg с одним и тем же показателем степени. Следовательно, эти произведения равны.

Благодаря этому следствию мы получаем возможность находить наименьшее общее кратное двух многочленов: их наибольший общий делитель можно найти с помощью алгоритма Евклида, после чего из доказанного равенства находится наименьшее общее кратное.

Следствие 4. Каждый многочлен степени большей или равной 1 имеет по крайней мере один неприводимый множитель.

Это утверждение логически немедленно следует из основной теоремы, однако оно используется в ее доказательстве при обосновании существования разложения. Чтобы не допустить логически «порочного» круга, сошлемся не на теорему, а на ее доказательство, добавив к нему одну деталь: процесс разложения на множители, рассмотренный при доказательстве, оборвется, поскольку степени множителей — натуральные числа — не могут убывать бесконечно.

Определение. Многочлены f и g называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Следствие 5. Два многочлена взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют одинаковых неприводимых множителей.

Это утверждение сразу же вытекает из следствия 2 — из правила нахождения наибольшего общего делителя.

Следствие 6. Наименьшее общее кратное двух многочленов равно их произведению тогда и только тогда, когда они взаимно просты.

Это утверждение сразу же вытекает из следствия 3 и определения взаимно простых многочленов.

Следствие 7. Если многочлены разделить на их наибольший общий делитель, то полученные частные будут взаимно простыми многочленами.

Это утверждение также сразу же вытекает из следствия 2. Действительно, каждый неприводимый множитель после деления на наибольший общий делитель «исчезает» из одного из многочленов (из того, в который он входил с меньшим показателем). Поэтому общих неприводимых множителей у частных не будет, и, следовательно, они взаимно просты.

Б. Дополнительные свойства делимости многочленов.

Следствие 8. Если произведение fg делится на неприводимый многочлен р, то хотя бы один из сомножителей делится на р.

В самом деле, если fg делится на неприводимый многочлен /?, то р содержится в каноническом разложении fg. Но в этом произведении он мог появиться только в случае, если он содержится хотя бы в одном из сомножителей. Поэтому хотя бы один из них делится на р.

Подчеркнем, что требование неприводимости многочлена р является здесь существенным: если его не учитывать, утверждение окажется неверным — например, при f=x, g=x— 1 произведение fg делится на х (х-1), однако ни х, ни х—\ не делятся на х (х— 1).

Следствие 9. Если многочлены f и g оба взаимно просты с h, то их произведение fg также взаимно просто с h.

В самом деле, если каждый из двух многочленов не имеет общих неприводимых множителей с третьим, то их произведение также не может иметь с ним общих множителей.

Следствие 10. Если произведение fg делится на h, a f и А взаимно просты, то g делится на А.

Так как fg делится на А, то все неприводимые множители, входящие в разложение А, входят в произведение fg. С другой стороны, так как f и А взаимно просты, то они не имеют общих неприводимых множителей. Следовательно, все множители многочлена А содержатся в разложении многочлена g, так что g делится на А.

Следствие 11. Если f делится на g и на h, a g и h взаимно просты, то f делится на gh.

Если f делится на g и на А, то f содержит все их неприводимые множители, а поскольку g и А взаимно просты, то общих множителей они не имеют. Поэтому f содержит все неприводимые множители произведения gh.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Найдите каноническое разложение чисел:

391, 851, 1772, 1995, 14 400,

22- З3- ... -77, 10!, НОК (1, 2, 3, ... , 13).

2. Делится ли 20! на 220?

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) (5!, 1995); в) (10!, 10 • 20 • 30 • 40 • 50);

б) (2ю- З3, 10!); г) (2100- З29, 100!).

4. Докажите, что всякое составное число п имеет простой делитель, не превосходящий Jn.

5. Для взаимно простых многочленов f, g докажите справедливость следующих свойств:

а) если многочлен gh делится на f, то А делится на /;

б) если многочлен А делится на f и g, то А делится на fg\

в) [/, g]=fg; г) (A gh)=h; д) [Jh, gh]=fgh.

Как изменятся утверждения г) и д), если не предполагать, что многочлены f и g взаимно просты?

6. Докажите, что если произведение двух многочленов делится на неприводимый многочлен, то один из сомножителей делится на этот многочлен.

7. Докажите, что для любых многочленов f, g, А выполнены равенства:

8*. Докажите, что для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного многочленов выполняются равенства:

9. Пять последовательных чисел 24, 25, 26, 27, 28 являются составными. Укажите 100 последовательных составных чисел.

10. Докажите, что число является дробным:

11. Пусть р и q — простые числа. Докажите иррациональность числа: a) JI ; б) Jp\ в) Jp2 + q2 .

12. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

§ 1.10*. Доказательство основной теоремы

Первая часть основной теоремы — утверждение о существовании разложения любого многочлена на неприводимые множители — практически очевидна.

Действительно, возьмем произвольный многочлен. Если он неприводим, он сам является своим разложением в произведение неприводимых множителей, состоящее из одного сомножителя. Если же он приводим, то раскладывается в произведение двух многочленов меньшей степени, каждый из которых либо неприводим, либо сам раскладывается в произведение двух многочленов меньшей степени и т. д.

Этот процесс последовательного разложения на множители обязательно закончится, поскольку степени сомножителей — натуральные числа — на каждом шагу убывают. Тем самым мы и получим разложение данного многочлена на неприводимые множители.

Основную же трудность в доказательстве теоремы представляет собой вторая часть — единственность разложения. Прежде чем перейти к непосредственному доказательству, нам придется доказать некоторые предварительные утверждения.

В § 1.7 мы показали, что наибольший общий делитель d многочленов f и g может быть представлен в виде d=fu+gv, где и и V — некоторые многочлены.

Поэтому если многочлены/и g взаимно просты, то существуют многочлены и и v, такие, что fu+gv=l.

Доказательство. Пусть р — неприводимый многочлен, f — произвольный многочлен. Предположим, что/и р не являются взаимно простыми, т. е. их наибольший общий делитель d имеет степень, большую 0: degd>0.

Так как р делится на d, то p=dh, где h — некоторый многочлен. Многочлен h не может иметь положительной степени — в противном случае многочлен р разложен в произведение двух многочленов степени, меньшей, чем степень /?, а это противоречит неприводимости р.

Следовательно, h — числовой многочлен, число (конечно, отличное от нуля), и выполняется равенство d=ph~l. Но f также делится на d, f—dq, а тогда f=dq=pqh~\ т. е. f делится на р, что и требовалось доказать. ■

Лемма 2. Если произведение многочленов делится на неприводимый многочлен р, по крайней мере один из сомножителей делится на р.

Доказательство. Сначала рассмотрим произведение из двух сомножителей. Пусть произведение fg делится на р, но, например, f на р не делится. Тогда по лемме 1 многочлены f и р взаимно просты, а по критерию взаимной простоты существуют многочлены и и v, такие, что fu+pv=l.

Умножив это равенство на g, получим (fg) и+р (gv)=g, и в левой части этого равенства оба слагаемых делятся на р. Следовательно, и его правая часть g делится на р.

Таким образом, из двух многочленов f и g хотя бы один делится на р.

Случай же, когда в произведении более двух множителей, легко сводится к рассмотренному: например, если fghk делится на /?, то произведение fghk=(fgh) к и по доказанному либо fgh, либо к делится на р. Если при этом к не делится на /7, то fgh делится на р и от этого произведения также можно «отщепить» один множитель. Ясно, что аналогично можно рассуждать при любом числе сомножителей. ■

Обратное утверждение также справедливо: если существуют многочлены ми v, такие, что fu+gv=l, то f и g взаимно просты.

В самом деле, если fu+gv=l и некоторый многочлен h — общий делитель f и g, то и 1 делится на А. Это значит, что многочлен h имеет нулевую степень. Следовательно, НОД (f9g)=l.

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

Теорема (критерий взаимной простоты).

Многочлены f и g взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют многочлены и, v, такие, что fu+gv=l.

Лемма 1. Если р — неприводимый многочлен, f — произвольный многочлен, то либо f и р взаимно просты, либо f делится на р.

Теперь можно перейти непосредственно к доказательству единственности разложения. Заметим сначала, что если неприводимый многочлен р делится на неприводимый многочлен то эти многочлены отличаются лишь числовым множителем: если бы в равенстве p=qh многочлен h имел ненулевую степень, то многочлен р не был бы неприводимым.

Пусть многочлен f имеет два разложения на неприводимые множители. Если мы в каждом из них вынесем за скобки его старший коэффициент, то получим равенство

в котором все неприводимые множители имеют старший коэффициент 1. Поэтому числа а и b оба являются старшими коэффициентами многочлена f, так что а=Ь.

Предположим, что во втором разложении есть множитель, которого нет в первом. Поскольку нумерация множителей не имеет значения, то можно считать, что qx — такой множитель. Тогда произведение Р\Р2Ру..рп делится на g,, и по лемме 2 один из сомножителей, например рх, делится на ql9 т. е. отличается от qx числовым множителем. Но старшие коэффициенты рх и qx оба равны 1, так что px=qx, т.е. в первом разложении также есть множитель qx, и мы пришли к противоречию.

Следовательно, два данных разложения состоят из одних и тех же множителей, но может случиться, что эти множители входят в разложения в разном количестве. Но на самом деле и этого не может быть: если, например, в первом разложении есть г множителей /?, а во втором таких множителей s и r&s, то, сократив равенство на нужное количество множителей /?, мы получим два новых разложения, в одном из которых есть множитель /?, а в другом нет. А мы уже доказали, что такого быть не может.

Таким образом, оба данных разложения состоят из одних и тех же множителей, причем в одном и том же количестве, а это и требовалось доказать. ■

Теорема полностью доказана, т. е. доказаны и существование, и единственность разложения любого многочлена на неприводимые множители.

Раздел II

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

§ 2.1. Формула Тейлора

Если ненулевой многочлен имеет неотрицательные коэффициенты, то он, очевидно, не имеет положительных корней: при подстановке в такой многочлен положительного числа получается положительное число. Другими словами, корни такого многочлена, если они существуют, являются отрицательными. Но задача резко осложняется, если требуется сравнить корни не с нулем, а с некоторым другим числом.

Так, вовсе не очевидно, что корни многочлена

/=3x3-12x2+16jc-16

меньше 3.

Оказывается, что эти трудности во многих случаях можно преодолеть с помощью все той же схемы Горнера, но, как говорят, расширенной.

Составим сначала некоторую таблицу, которая, казалось бы, не имеет отношения к поставленному вопросу, но в действительности приводит к решению задачи:

3

-12

16

-16

3

3

-3

7

5

3

3

6

25

3

3

15

3

3

Ясно, что первые две строки этой таблицы — это схема Горнера для данного многочлена f и числа 3. И если мы вспомним, что во второй строке между выделенными черточками стоят коэффициенты частного от деления f на х—3, то уже нетрудно догадаться, что третья строка таблицы — это также схема Горнера, но для этого частного — многочлена g=3x -Зл:+7 и того же числа 3. А четвертая строка — это схема Горнера для нового частного A = 3jc+6 и числа 3.

Понятно, почему таблица оказывается «усеченной»: получающиеся при выполнении схемы Горнера остатки от деления далее не используются. Однако именно эти остатки нам и нужны: корни многочлена меньше 3, потому что все остатки положительны,

так что многочлен к=Ъх + 15х +25х+5, построенный по диагонали таблицы «снизу вверх», не имеет положительных корней.

Почему же такие вычисления приводят к нужному результату? Ответ на этот вопрос вытекает из обоснования схемы Горнера. Действительно, первая строка таблицы дает нам равенство /=(х—3)g+5, вторая означает, что g=(x—3) й+25, и, наконец, h=(x—3) • 3 + 15. Поэтому

есть тот самый «диагональный» многочлен к, о котором мы говорили, только вместо х в нем участвует х—3.

А теперь ясно, что многочлен f действительно не имеет корней, больших 3: при х>3 его значения положительны.

Но главное — это то, что на самом деле мы решили сейчас значительно более важную задачу, чем поставили вначале: мы разложили многочлен по степеням двучлена х—3, а фактически получили алгоритм — расширенную схему Горнера — для разложения произвольного многочлена f по степеням х—с.

Получаемое при этом равенство называется формулой Тейлора — по имени английского математика XIX в. Эта формула широко используется в математике, а мы ее применим еще раз в самостоятельной работе, посвященной биному Ньютона.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Представьте многочлен в виде многочлена от х—с:

2. Используя схему Горнера, представьте многочлен в стандартном виде:

3. Докажите, что многочлены:

не имеют корней, больших -у.

4. Докажите, что корни уравнения х3—5х2—5л;+20=0 удовлетворяют неравенствам — 3<х<6.

5. Докажите, что многочлен х“—ахх“~1 — ...— ап_хх—ап (а(>0) имеет не более одного положительного корня.

6. а) Докажите, что если

б) Докажите, что если выполнены равенства

7. Докажите, что многочлен х5+ах4+Ьх*—Ьх — ах+1 ни при каких а и Ъ не делится на (x+lf.

8. Пусть несократимая дробь — является корнем многочлена / с целыми коэффициентами. Докажите, что для любого целого числа m значение f(m) делится на p—mq.

9*. Найдите рациональные корни уравнения:

10*. Пусть f — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что если для трех различных целых чисел я, Ъ, с выполнены равенства f(я)=f(b)=f (с)=1, то многочлен f не имеет рациональных корней.

11*. Пусть f — многочлен с целыми коэффициентами и f(a)= =f(£)= 1, где а и Ъ — различные целые числа. Докажите, что при \а—Ъ\>2 f не имеет рациональных корней, а при I а—Ъ |<2 имеет не более одного рационального корня, причем корнем может быть только число -у- .

§ 2.2. Бином Ньютона

Вам хорошо известны формулы сокращенного умножения — квадрата и куба суммы:

Первая из них доказывается раскрытием скобок, после чего приводятся подобные члены, а для доказательства второй формулы куб (a+bf рассматривается, естественно, как произведение

квадрат заменяется по первой формуле, раскрываются скобки и приводятся подобные члены.

Точно так же может быть выведена и формула

но выкладки, ясно, будут еще сложнее. Попробуйте представить, сколько труда потребуется для доказательства формулы, скажем, для показателя степени 7 или 10.

Между тем эта формула в общем виде — для показателя п — имеет для математики исключительно важное значение, и для ее получения мы используем все ту же схему Горнера, но в расширенном виде.

Рассмотрим для примера многочлен (х+1)5. Наша задача состоит в том, чтобы разложить его по степеням переменной х. Однако мы поступим несколько иначе: разложим сначала многочлен л5 по степеням двучлена х— 1. Это делается с помощью расширенной схемы Горнера:

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

1

1

3

6

10

1

1

4

10

1

1

5

1

1

Мы видим отсюда, что

Подставляя в это равенство вместо х двучлен х+1, будем иметь

и искомая формула получена.

Ясно, что точно так же могут быть получены и все остальные формулы для степени вида (х+1)“, причем один лишь дополнительный внимательный взгляд на только что полученную таблицу показывает, как это проще всего делать.

Именно на диагоналях этой таблицы нетрудно обнаружить коэффициенты для степеней: (х+1)2 — это (1, 2, 1), (х+1)3 — это (1, 3, 3, 1), (х+1)4 — это (1, 4, 6, 4, 1). Подмеченной закономерностью можно воспользоваться с целью почти автоматического получения формул для всякого показателя п многочлена (х+1)“.

В самом деле, как вычисляется каждый элемент очередной диагонали? По правилу построения схемы Горнера он получается, если сложить стоящее над ним число с произведением стоящего перед ним, умноженным на 1, т. е. равен сумме этих двух чисел — «соседей» слева и сверху.

Поэтому для вычисления коэффициентов многочлена (x+l)“ при степенях х, т. е. в его стандартном виде, более удобно расположить запись иначе, вообще забыв о схеме Горнера, следующим образом:

Здесь для красоты вверху поставлена единица (поскольку (х+1)°=1), далее поставлены две единицы (поскольку (х+1)1 = 1 • каждая следующая строка начинается с единицы

и заканчивается ею, а каждое из промежуточных чисел — это сумма двух стоящих над ним чисел предыдущей строки. Многоточие показывает, что продолжать эту таблицу можно сколько угодно далеко.

Эта таблица называется треугольником Паскаля — по имени великого французского ученого XVII в., религиозного философа и писателя, внесшего одновременно огромный вклад в математику и физику.

Например, если с помощью треугольника Паскаля мы хотим узнать коэффициенты степени (х+1)8, а знаем при этом только формулу куба суммы, то строим треугольник, начиная с известной строки:

Таким образом,

Осталось теперь совсем немного: от двучлена jc+1 перейти к двучлену более общего вида а+Ь. Это делается совершенно формально: в любую формулу для Сх+1)“ вместо х надо подставить ■|- и провести очевидные преобразования. Сделайте это самостоятельно.

Формулу для степени (а+Ь)п обычно называют формулой бинома Ньютона, хотя она была известна математикам задолго до Ньютона. Зато Ньютон сумел получить гораздо более общую формулу — для степени (а, где п — любое действительное число. Без введения новых математических понятий даже трудно

себе представить, что означает, например, хотя бы степень (а + Ь)2 и как ее можно выразить через степени а и Ъ.

Однако этот вопрос относится уже не к алгебре и тем более не к теории многочленов, а к математическому анализу.

Коэффициенты разложения степени (а+b)“ по степеням а и b называют биномиальными коэффициентами и обозначают через С* (читается «цэ из эн по ка»); более точно, Скп — это коэффициент, стоящий в разложении степени (а+b)“ при одночлене a~kbk. Таким образом, формула бинома Ньютона имеет вид

Вернемся к треугольнику Паскаля. Число, стоящее в строке с номером п и имеющее в этой строке номер к (обратим внимание на то, что мы начинаем нумерацию с 0), есть по определению С*. По правилу построения треугольника это число есть сумма двух его верхних «соседей», стоящих в предыдущей строке и имеющих в ней номера к—1 и к.

Поэтому правило построения треугольника Паскаля можно записать в виде

Некоторые биномиальные коэффициенты легко вычисляются в общем виде — при любом п: например, достаточно ясно, что

Можно подметить также, что строки треугольника Паскаля справа налево читаются так же, как и слева направо, т. е. биномиальные коэффициенты, равноотстоящие от концов строки, равны. На языке формул это можно записать в виде равенства

Биномиальные коэффициенты обладают рядом интересных свойств. Некоторые из них приведены в упражнениях.

В заключение отметим, что утверждение, что треугольник Паскаля «выдает» биномиальные коэффициенты, строго говоря, нами не доказано — мы проверили его только на частных случаях. Этих примеров вполне достаточно, чтобы поверить в такое утверждение, но никакого, даже очень большого, числа частных случаев недостаточно, чтобы доказать его. Для доказательства надо провести наши рассуждения в общем виде.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. а) По треугольнику Паскаля убедитесь на примерах, что всякое число третьей диагонали равно сумме чисел второй диагонали, начиная от 1 и кончая числом, стоящим в строке перед исходным числом. Например, 15=1+2+3+4+5.

б) Выпишите общую формулу для закономерности, подмеченной в задаче а), и получите из нее формулу для числа С2„.

2. Докажите равенство:

3. Если привести многочлен (х+1)“ к стандартному виду, мы получим равенство

Подсчитав коэффициенты при хп к в обеих частях равенства

(x+l)w=(x+l)w_l(x+l), получите формулу, похожую на формулу для построения треугольника Паскаля. Что вытекает из этого равенства?

4. а) Сколькими способами из четырех различных шаров можно выбрать один шар, два шара, три шара, четыре шара? Запишите полученные числа как последовательность. Что она вам напоминает?

б) Решите задачу а) для пяти шаров.

в) Докажите, что коэффициент при хп~к в стандартном виде многочлена (х+1)“ равен числу способов выбора к предметов из данных п предметов.

5. Докажите справедливость равенства:

§ 2.3. Формула Кардано

Вам хорошо известны формулы для решения квадратных уравнений. В этой работе вы можете познакомиться с методом решения кубических уравнений с произвольными коэффициентами, основой которого является так называемая формула Кардано — по имени итальянского математика, философа и врача Джероламо Кардано, опубликовавшего ее в 1545 г., изобретателя принципа карданной передачи, знакомой не только автомобилистам.

Точная история открытия метода решения кубических уравнений до конца не выяснена и является подлинной «драмой людей и идей». Что касается людей, то «формулу Кардано» в 1539 г.

сообщил ему Николо Тарталья, однако еще раньше Сципион дель Ферро нашел способ решения неполных кубических уравнений — уравнений вида х3+тх=п9 а мы увидим ниже, что переход к неполному уравнению делается почти очевидным образом, тогда как прием его решения абсолютно неожидан и, можно сказать, даже остроумен.

Что же касается «драмы идей», то именно благодаря работе над кубическими уравнениями в математику вошли комплексные числа. А настоящая драма состояла в том, что полученные формулы не давали корней в «самом хорошем» случае, когда уравнение имело три «нормальных», действительных корня.

В этом случае требовалось уметь делать невозможное — извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. И заслуга Кардано прежде всего в том, что он не побоялся рассмотреть мнимые, воображаемые (imaginary) числа, названные так в противоположность действительным, реальным (real) числам, научился проводить с ними вычисления и получать из несуществующих чисел существующие корни уравнений.

Итак, пусть дано кубическое уравнение x3+ax2+bx+c=0. Мы сведем его к неполному уравнению, «уничтожив» коэффициент при X2, а сделаем это с помощью формулы Тейлора — разложим кубический многочлен по степеням двучлена х-s, подобрав нужным образом число s. Запишем расширенную схему Горнера:

(Для экономии вычислений мы поставили звездочки в тех клетках, которые не оказывают влияния на результат.)

Мы видим, что при разложении рассматриваемого многочлена по степеням x—s коэффициент при (xs)2 будет равен a+3s, и если мы положим s= — -у, то добьемся нужного результата — коэффициент при квадрате переменного будет равен нулю. Другими словами, нам достаточно научиться решать уравнения

вида jc3+/?x+qr=0, а уравнение общего вида мы всегда сможем привести к такому виду с помощью замены переменной.

И именно для такого уравнения применяется упомянутый выше остроумный прием: вместо одного неизвестного вводятся... два неизвестных. Запишем х как сумму м+v и подставим x=u+v в данное уравнение:

Используя формулу куба суммы в виде получаем

И если 3wv+/?=0, то последнее уравнение принимает вид

w3 + v3+#=0.

Если теперь мы найдем такие значения и и v, что

то их сумма jc=w+v и будет корнем исходного уравнения.

А эта система легко решается: возведя в куб второе уравнение системы, получаем wV= — w3+v3=— q, по теореме, обратной теореме Виета, и3 и v3 — корни квадратного уравнения

Если а и Ъ — корни этого уравнения, то и —a, v =6, и для нахождения и и v остается извлечь кубический корень из чисел а и Ь. Дискриминант полученного квадратного уравнения равен

и для корней исходного уравнения мы получаем формулу

Это и есть формула Кардано.

Как видим, все оказалось не так сложно, но это только лишь с первого взгляда. А в действительности здесь возникает масса проблем. Самая главная из них появляется сразу: полученная формула дает один корень, а кубическое уравнение может иметь и два, и три корня. Уже это показывает, что в проведенном рассуждении что-то не так.

Заметим также, что дискриминант D может оказаться отрицательным, а тогда полученное выше квадратное уравнение не будет иметь корней. Однако из графических соображений ясно, что кубическое уравнение всегда имеет корень: кубическая функция изменяется от —оодо +осэ принимает сколь угодно большие по модулю и отрицательные, и положительные значения и ее график пересекает ось абсцисс. Именно для преодоления этих трудностей Кардано пришлось изобрести комплексные числа.

Отметим, наконец, и одну несомненную пользу формулы Кардано: если уравнение имеет единственный корень, то он дается именно этой формулой. Так всегда бывает при положительном коэффициенте р — в этом случае левая часть уравнения X +px+q=0 является возрастающей функцией и не может поэтому дважды принять нулевое значение.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Решите по формуле Кардано уравнение х3+Зл:-4=0.

2. Придумайте несколько кубических уравнений, имеющих единственный целый или дробный корень, решите их по формуле Кардано и получите числовые равенства, аналогичные равенству в ответе к задаче 1.

3. Докажите равенство:

4. Упростите выражение

5. Решите уравнение х3—Зх2+6х—6=0.

6. Решите уравнение х3—х=0 и выпишите для него формулу Кардано.

§ 2.4. Еще раз о пользе комплексных чисел

Способ рассуждений, использованный при доказательстве теоремы Безу, может быть применен и в более общих ситуациях. Например, найдем остаток от деления многочлена

Ясно, что деление «уголком» здесь не поможет. Пусть

Так как остаток от деления на многочлен степени 2 имеет степень не выше 1, то г можно записать в виде r=ax+b, так что

Подставив в это равенство по очереди значения х=1 и лг= — 1, получим равенства f(\)=a+b, f(—l)=—a+b, т.е.

a+b=4, -a+b=-2.

Отсюда я=3, b=l, так что искомый остаток равен 3jc+1.

Но приведенный здесь способ рассуждений «не проходит» в почти таком же примере — если требуется найти остаток от деления f на многочлен х2+1, который не имеет корней среди действительных чисел.

Выход из положения дает удачная группировка членов многочлена /:

а поскольку числа 1992 и 56 делятся на 4, то многочлены хт2— 1 и л:56—1 делятся на x4-l, т.е. и на х2+\, и теперь надо найти остаток от деления на ;с2+1 многочлена х3+2х+\:

Отсюда уже видно, что искомый остаток равен х+1.

Трудности в применении элементарного приема группировки возросли бы многократно, если бы вместо х2+1 требовалось разделить, например, на х2+х+\.

А теперь представим себе, что многочлен х2+1 имеет корень, и мы обозначим этот корень буквой i и будем рассуждать далее, как в первом примере.

Пусть /=(jt +1) q+ax+b. Подставив в обе части этого равенства значение х=/, получимf(/ )=ш+6, т. е. выполняется равенство

Мы не умеем вычислять степени корня f, однако сообразить, как это делать, нетрудно: так как /2+1=0, то i2= — 1, отсюда

; =(—1) =1, а тогда i =1 • 1=1, i —i • i =1- f • i=—i,

и наше равенство принимает вид

—/+2/+1=ш+6, или ш+6=/+1.

Нам нужен еще второй корень многочлена х2+1. Ясно, однако, что вместе с i он имеет и противоположный корень —/. Его мы также подставим в равенство /=(x2+l) q+ax+b. Получим

и, так же как и выше, придем к равенству —ai+b=—i+l.

В результате для нахождения а и b мы получили два равенства:

ai+b=i+\ и —ai+b=—i+\.

Складывая их, получаем 6=1, тогда ш=/, так что я=1, а искомый остаток равен х+1 — тот же самый, что мы получили группировкой.

Тот факт, что мы получили правильный ответ, конечно, не случаен — такие рассуждения с несуществующим корнем многочлена л'2+1 всегда приведут к правильному ответу. Однако от этого они не становятся «законными», логически строгими.

Но именно на этом пути Кардано и изобрел комплексные числа. Если мы введем i как новое, уже, естественно, не действительное число, то вместе с ним появятся и другие но-

вые числа — прежде всего, произведения вида yi, где у — действительное число, и суммы вида x+yi, где х и у — действительные числа.

Перемножаются такие суммы как обычно — просто раскрываются скобки, а выражение i2 заменяется на число — 1. Например,

(2+0 (3-20=6-4/+3/-4/2=10-/.

При этом оказывается, что в множестве новых (комплексных) чисел вида x+yi можно также производить все четыре арифметических действия, в том числе и деление (кроме деления на 0), и остаются справедливыми законы действий — перестановочный (коммутативный), сочетательный (ассоциативный) и распределительный (дистрибутивный).

Поэтому они образуют, как говорят в алгебре, поле, так же как и множества рациональных и действительных чисел, которое является естественным расширением поля действительных чисел, получаемое присоединением к нему мнимой единицы.

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Вычислите:

2. Найдите действительные числа л' и у, для которых выполняется равенство:

3. Число а называется действительной частью комплексного числа а+Ы, число Ь называется мнимой частью этого комплексного числа. При Ь=0 комплексное число а+Ы является действительным, а при а=0 оно называется чисто мнимым. Какие из чисел являются действительными или чисто мнимыми:

4. Комплексное число а -Ы называется сопряженным с числом а+Ы, его обозначение: а+Ы=а—Ы. Докажите, что для любых комплексных чисел z и t:

5. Докажите, что следующие числа являются сопряженными друг другу:

6. Решите систему с комплексными переменными z и t:

7. С помощью комплексных чисел докажите тождество Эйлера: (a2+b2) (c2+d2)=(ac-bd)2+(ad+bc)2.

8. Какие из чисел 13, 15, 25, 325, 433, 325-433 можно представить в виде суммы квадратов натуральных чисел?

9. Пусть многочлен f с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z. Докажите, что число z также является корнем многочлена /.

10. Выпишите многочлены, делящиеся на х2+1:

11. Какие из многочленов делятся на х +jc+l:

12. Используя предыдущие задачи, выясните: а) какие из чисел делятся на 7:

б) какие из чисел делятся на 26:

в) какие из чисел делятся на 101:

г) какие из чисел делятся на 111:

Раздел III

МЕТОДИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

§ 3.0. Общий подход к изучению темы «Многочлены с одной переменной»

МОТИВЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «МНОГОЧЛЕНЫ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» В КЛАССАХ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ

Тема «Многочлены с одной переменной» является одним из основных разделов элементарной математики и длительное время в эпоху учебника А. П. Киселева входила в содержание обучения на старшей ступени. В дальнейшем во время реформы 60—70-х гг. в связи, в частности, с включением в курс математики основ математического анализа из школьной программы эта тема была исключена.

Существенные изменения в концепции школьного математического образования, произошедшие в последние десятилетия, заставляют вернуться к обсуждению вопроса об изучении многочленов в средней школе. В настоящее время рассматриваемая тема предлагается в системе углубленного изучения математики, однако в соответствии с программой не является обязательной: она связана с расширением существующего содержания по сравнению с общеобразовательным курсом, и учитель имеет право ее не изучать.

Между тем, не имея достаточных знаний и умений, связанных с многочленами от одной переменной, выпускник школы встретится с серьезными трудностями при дальнейшем обучении в вузе, а может, уже и на более раннем этапе — при сдаче вступительных экзаменов по математике. Аппарат многочленов в так называемой высшей математике и приложениях математики имеет исключительную важность и входит в «азбуку» таких, например, разделов, как интегрирование рациональных функций, линейные операторы, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, базового курса математики большинства вузов.

При этом в подавляющем большинстве вузов как бы предполагается, что данный материал студентам известен, и во всяком случае вуз не располагает временем для его изучения с той же степенью тщательности, с какой это принято делать в школе. И неудивительно, что на вступительных экзаменах систематически встречаются задачи, сводящиеся к решению кубических уравнений, которые могут быть решены с помощью группировки, и поэтому, строго говоря, не выходят за рамки программы экзаменов.

Между тем группировка практически всегда является, как известно, чисто эвристическим, внеалгоритмическим приемом, и поиск удачной группировки далеко не всегда оказывается успешным. Отметим, что соответствующие упражнения в общеобразовательном курсе слишком примитивны с точки зрения формирования умения решать кубические уравнения и имеют другую цель — активизацию формул сокращенного умножения.

В то же время совершенно элементарная и вполне доступная учащимся теория в данном случае вооружает учащихся простым алгоритмом для решения кубических уравнений, т. е. превращает подобные задачи в алгоритмические. Разумеется, сказанное относится к кубическим уравнениям, имеющим хотя бы один рациональный корень, однако остальные уравнения не могут быть решены и с помощью группировки, если, конечно, учащийся не откроет самостоятельно способ решения, как это сделали итальянские математики XVI в.,— формулу Кардано или какой-либо еще способ.

Нельзя не отметить также, что имеется целый класс задач, где фактически требуется доказать, что кубическое уравнение не имеет рациональных корней. Такие задачи иногда встречаются и на вступительных экзаменах в вузы «высокого уровня», обычно на устных экзаменах. Они не выходят за пределы программы вступительных экзаменов, если считать, что теорема о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами — это не слишком сложная задача, которую абитуриент должен уметь решить самостоятельно.

Однако для выпускника, знакомого с основами теории многочленов, эта задача является алгоритмической и не представит, очевидно, никаких трудностей. Таким образом, одним из мотивов включения темы «Многочлены с одной переменной» в программу углубленного изучения математики является обеспечение преемственности средней и высшей школы, вооружение учащихся простым и эффективным средством решения более широкого по сравнению с общеобразовательной школой класса задач.

Этот мотив представляется достаточно значимым, поскольку система углубленного изучения направлена, в частности, и на подготовку будущих студентов. Изучение предлагаемой темы на средней, а не на старшей ступени, как это было ранее, представляется целесообразным ввиду ее очевидных тесных связей именно с материалом, изучаемым в средней школе, по общему кругу идей и по содержанию решаемых задач — квадратные уравнения, биквадратный трехчлен, тождественные преобразования, разложение на множители.

Кроме того, теория многочленов по своей математической сущности примыкает к теории делимости целых и натуральных чисел и, таким образом, может рассматриваться как продолжение соответствующей линии, начатой в более младших классах. В этом плане нельзя не отметить также, что теория многочленов является в определенном смысле прикладной по отношению к теории делимости целых чисел. Это соответствует и историческому процессу развития математики, где разложение многочленов на множители применялось к решению различных задач теории чисел.

Простейшие подходы к решению таких задач имеют элементарный характер, и их целесообразно использовать именно на этом этапе обучения. Следует иметь в виду также и еще один аспект: на старшей ступени учащиеся уже сконцентрированы на проблеме сдачи вступительных экзаменов, и поэтому внутриматематические, эстетические, исторические аспекты теории для них уже гораздо менее значимы, чем чисто прагматический аспект подготовки к экзаменам, центром которых являются уравнения и неравенства, связанные с более широким классом функций.

Наконец, изучение многочленов с одной переменной уже в 8 классе, овладение учащимися основными применениями этой теории дают им

возможность на протяжении всего дальнейшего обучения решать более широкий круг задач и, что особенно важно, осваивать новые математические идеи, т. е. качественно повышать уровень своей математической подготовки.

В этом плане значение темы «Многочлены с одной переменной» вполне сравнимо с изучением квадратного трехчлена и квадратных уравнений: сравнительно небольшой объем теории и практических навыков дает возможность решать разнообразные задачи, осваивать новое математическое содержание — решение уравнений высших степеней, рациональные числа, комплексные числа, бином Ньютона.

Разумеется, существует, во всяком случае чисто логически, опасность, что изучение многочленов с одной переменной окажется для учащихся 8 класса чрезмерно трудным, даже в классах с углубленным изучением математики. Однако при соответствующей методике изучения этой темы, ориентированной прежде всего на овладение практическими навыками на основе минимального объема теории, такая опасность не представляется, на наш взгляд, реальной в силу объективной простоты рассматриваемых в теме понятий и теорем.

Например, необходимо возникающие в этой теме и фактически единственные трудности теоретического характера, связанные с делением многочленов с остатком и теоремой Безу, не находятся на более высоком уровне сложности по сравнению с остальным материалом алгебры 8 класса. А самый трудный с вычислительной точки зрения алгоритм — деление «уголком» — многие учителя и в настоящее время рассматривают с учащимися. Кроме того, этот алгоритм является существенно более простым и формализованным, чем, например, алгоритм деления многозначных чисел, входящих в обязательную программу, причем на значительно более раннем этапе обучения.

Мотив подготовки учащихся к поступлению в вуз, в котором от выпускников школы требуется достаточно высокая математическая квалификация, представляется в определенном смысле внешним по отношению к школьному курсу математики и при всей его практической значимости не является в то же время определяющим для включения темы «Многочлены с одной переменной» в содержание школьного обучения.

В действительности изучение этой темы имеет высокую дидактическую ценность и с точки зрения внутренних задач школьного курса является необходимой частью нормального, полноценного математического образования выпускника средней школы. Более того, изучение многочленов имеет высокую значимость и в гуманитарных аспектах — общеобразовательном и общекультурном, в частности в историческом и даже в эстетическом, хотя последний может выявиться только для школьников, для которых математика и эстетика субъективно еще не являются полярными противоположностями.

Эта тема создает в школьном курсе стройную и в определенном смысле вполне законченную в рамках элементарной математики линию целых алгебраических уравнений, не только представляющую собой необходимый для математики и ее приложений аппарат, но и служащую практически идеальной иллюстрацией исторического процесса развития математики.

Возникнув из решения практических задач, по существу, при зарождении математики как науки, задача решения алгебраических уравнений привела, с одной стороны, к созданию аппарата для решения

прикладных задач (например, в теории устойчивости), а с другой — послужила источником возникновения и развития современных разделов математической науки (например, теория групп).

В то же время этот прикладной аспект изучения многочленов фактически лишен мотивационной значимости, поскольку довести изучение многочленов в школе до реального их приложения к указанным теориям невозможно и вряд ли целесообразно. Ну а те, кто способен, например, на факультативном курсе усвоить соответствующий материал, скорее всего не нуждаются в мотивации изучения многочленов.

Тем не менее рассматриваемая тема предоставляет учителю богатые возможности реализации одной из важных целей школьного математического образования — освоение учащимися представлений о роли математики в жизни человечества, о внешних и внутренних источниках развития математики. Этот мотив включения темы «Многочлены с одной переменной» в содержание обучения представляется тем более значимым, что содержание общеобразовательного курса, в особенности курса алгебры 7—9 классов, существенно ограничено в возможностях достижения целей общекультурного характера.

Прежде всего содержание темы дает возможность провести историческую, точную внутриматематическую мотивацию целесообразности построения теории комплексных чисел, связанную с поисками способа решения кубических уравнений. При этом очевидно, что абстрактные рассуждения о пользе применения комплексных чисел в науке и технике достаточно убедительны, но не могут быть продемонстрированы учащимся.

В связи с этим отметим, что распространенная мотивация введения комплексных чисел, связанная с необходимостью решения любого квадратного уравнения, искажает историческую истину: решение квадратных уравнений — следствие введения комплексных чисел, а не источник их возникновения. Более того, такое «оправдание» комплексных чисел ущербно и с психологической точки зрения: вряд ли учащиеся испытывают дискомфорт из-за того, что какие-то уравнения не имеют решения, и поэтому изучение искусственных, «мнимых» объектов для преодоления несуществующих трудностей психологически неоправданно.

Напротив, при решении простых учебных задач, связанных с делением многочленов с остатком, учитель может создать такую проблемную ситуацию, в которой сам учащийся почувствует ограниченность своих возможностей, «пожалеет» о том, что не всякое квадратное уравнение имеет корень.

При разрешении этой ситуации учащийся сможет убедиться, как действия с «несуществующими» объектами загадочным образом приводят к правильному решению задачи, и тем самым оказаться в том же психологическом состоянии, что и математики XVI в., создавшие основы теории комплексных чисел. Эмоциональное воздействие этой ситуации, на наш взгляд, трудно переоценить.

Наконец, изучение многочленов с одной переменной существенно расширяет круг решаемых учащимися задач, создавая одновременно алгоритмические (или полуалгоритмические) методы и приемы решения традиционных задач. В этой связи особенно важно подчеркнуть, что традиционные задачи, связанные с тождественными преобразованиями рациональных дробей, с математической точки зрения относятся к теории многочленов (и рациональных дробей) с несколькими переменными.

Однако теория многочленов с одной переменной в действительности предоставляет учащимся все возможности для решения и этих задач, во всяком случае на школьном уровне. Если в настоящее время многие задачи такого рода решаются в школе с помощью группировки, т. е. с помощью случайных, искусственных приемов, то знание элементарных подходов теории многочленов позволяет, по очень точному выражению Н. Бурбаки, «внести идеи в вычисления», в данном случае увидеть, если возможно, в искусственных приемах их более глубинную сущность.

Такое стремление не только представляет собой один из мощных внутренних стимулов развития математики, но и является существенным воспитательным фактором в обучении математике.

Нельзя не указать также, что рассмотрение многочленов с одной переменной как алгебраических объектов, непосредственно связанных с уравнениями — функциональными объектами, позволяет решить и некоторые дидактические задачи логического характера, например: уточнить терминологический вопрос о числе корней алгебраического уравнения, логически корректно рассматривать условие равенства многочленов и т. п.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ОРИЕНТАЦИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗЛОЖЕНИЯ МАТЕРИАЛА

Как мы уже говорили, основной целью изучения многочленов в школе является не столько изучение самой теории многочленов с одной переменной, сколько совершенствование изучения математики с помощью элементарных понятий и методов теории многочленов.

Поэтому главной задачей изучения темы является формирование прочных и устойчивых навыков использования соответствующего математического аппарата при решении задач. Это относится в особенности к работе с учащимися 8—9 классов, однако, на наш взгляд, вполне соответствует изучению темы на старшей ступени школы.

В силу этого оперативные навыки, приобретаемые учащимися в процессе изучения темы, и их использование на протяжении всего дальнейшего обучения имеют безусловный приоритет по сравнению с логическими аспектами изложения теории, с уровнем строгости и общности определений, теорем и доказательств.

Такой подход к изучению темы связан с рядом обстоятельств. Прежде всего на первом году углубленного изучения математики, когда для многих учащихся выбор предмета специализации носит зачастую случайный характер, теоретический уровень обучения математике не должен значительно отличаться от уровня общеобразовательных классов.

Нельзя не учитывать также и объективные возрастные особенности учащихся, их ограниченные возможности в усвоении абстрактных теоретических построений и, быть может, самое главное — еще не сложившуюся внутреннюю потребность в более высоком, чем ранее, уровне строгости — в строгой форме определений, в необходимости доказательств теоретических утверждений в общем виде, в теоретическом обосновании алгоритмов решения задач, ориентированных на практические применения.

Наконец, существенное значение имеют и общедидактические и методические соображения о значимости логики в курсе математики, о роли формальных доказательств в процессе обучения математике, о точности языка преподавания математики. Мы не будем детально вдаваться

в эту исключительно деликатную тему и ограничимся лишь двумя замечаниями.

Во-первых, даже для профессионала-математика некоторые доказательства на примере, абсолютно неприемлемые с чисто логической точки зрения, могут быть настолько убедительными, что их логически необходимое формальное доказательство отличается от примера лишь общими обозначениями.

Такими являются, например, доказательства признаков делимости на 3 и на 9 в младших классах, правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную, основанное на домножении на степень числа 10.

В этих теоремах частные примеры настолько адекватно моделируют общее формальное доказательство, что в справедливости общих утверждений после таких доказательств, рассчитанных на младших школьников, не будет сомневаться и профессионал-математик. В то же время доказательства в общем виде в данных случаях отличаются от примеров лишь громоздкостью обозначений и с дидактической точки зрения не дают ничего нового, кроме чисто формальной логической строгости.

Между тем одна из характерных особенностей рассматриваемой темы, определяемая и ее содержанием, и целью изучения, состоит именно в том, что большая часть теории допускает дидактически допустимое обоснование с помощью примеров, адекватно отражающих сущность формального общего доказательства. Это позволяет практически всегда избежать громоздких обозначений и выкладок, существенно облегчая погружение учащихся в «мир многочленов».

Кроме того, теоретические обоснования некоторых алгоритмов, ориентированных на практическое применение, могут быть проведены сравнительно несложно, что предоставляет учителю богатые возможности для дифференцированного подхода к учащимся: тем из них, кто испытывает хотя бы некоторый дискомфорт от сниженного уровня теоретических обоснований, соответствующие задания могут быть предложены для самостоятельной работы, поскольку модельные примеры им уже известны из объяснений учителя и решения соответствующих вводных задач.

Во-вторых, недостатки в овладении школьниками тем или иным конкретным математическим материалом, как правило, в наименьшей степени связаны с логическим уровнем его изложения. К примеру, слабые умения школьников в выполнении тождественных преобразований числовых и буквенных выражений определяются чем угодно, но только не отсутствием доказательств истинности законов арифметических действий и правил оперирования с многочленами.

Для особых ревнителей логической «чистоты» изложения математики приведем показательный пример: вряд ли кто-нибудь из учителей и тем более учащихся сомневается в возможности записи любого произведения чисел без скобок, считая очевидным, что это вытекает из сочетательного закона. А логический пробел — отсутствие доказательства столь важного для всего обучения математике утверждения — мало кого заботит.

Между тем это доказательство вовсе не тривиально. Например, даже для четырех сомножителей требуется выписать все возможные произведения со скобками:

((xy)z) U (x(yz)) U (ху) (zt\ х ((yz) 0, х (у (zt))

и кропотливо доказывать их совпадение. Очевидно, что для пяти со-

множителей такой примитивный подход уже менее эффективен, поскольку произведений уже не 5, а 14. Что же касается доказательства в общем виде, то не так просто даже сформулировать требуемое утверждение в виде, позволяющем провести такое доказательство.

Еще раз подчеркнем тем не менее, что выбор логического уровня изложения теории полностью отдается на усмотрение учителя.

§ 3.1. Действия с многочленами. Степень многочлена

Изложение материала этого параграфа, одновременно достаточно строгое, но не перегруженное «слишком тонкими» логическими деталями, является, на наш взгляд, не такой простой задачей. Рассматриваемые в нем понятия и теоретические утверждения объективно не слишком сложны, однако дать логически строгое определение основного понятия— многочлена с одной переменной — на школьном уровне практически невозможно и во всяком случае совершенно нецелесообразно.

Поэтому в изложении необходимо найти дидактически оптимальный уровень логической строгости, имея в виду основные цели изучения рассматриваемой темы. Ниже в специальном комментарии мы выявляем теоретические тонкости, связанные с определением многочлена, что даст учителю возможность дифференцировать подход к различным учащимся.

С начальными понятиями теории многочленов с одной переменной — стандартный вид многочлена, сложение, вычитание и умножение многочленов, степень многочлена — учащиеся уже знакомы из общего курса алгебры, и поэтому вводная часть имеет, по существу, повторительный характер.

В то же время во втором дополнительном комментарии мы приводим два новых для учащихся способа вычисления произведения многочленов, специфические именно для многочленов с одной переменной.

Что касается степени, то здесь важно только обратить внимание на многочлены нулевой степени и на отсутствие степени у нулевого многочлена. Можно обратить внимание на тот факт, что степень нулевого многочлена и не может быть определена, если полагать истинным утверждение о том, что степень произведения равна сумме степеней сомножителей.

Наконец, мы не считаем необходимым вводить термин «кольцо многочленов» и поэтому не даем формального определения алгебраическому понятию кольца. Тем не менее этот термин представляется полезным, так же как и осознание учащимися самого подхода к нему: мы имеем право употреблять его при наличии в множестве операций сложения и умножения, обладающих определенными свойствами.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ

Об определении многочлена. Давая определение многочлена, следует иметь в виду, что понятия многочлена в 7 классе и в теории многочленов несколько отличаются по объему: если ранее для учащихся имелось четкое противопоставление многочлен — одночлен, вполне целесообразное с точки зрения выработки оперативных навыков, то в теории многочленов одночлен рассматривается как частный случай многочлена.

Это обстоятельство должно быть подчеркнуто явным образом, в том числе должен быть указан и «крайний» случай — когда многочлен является числом.

К целесообразности такого подхода учащиеся могут быть подведены в процессе решения начальных чисто повторительных упражнений на действия с многочленами, например такого типа:

Привести к стандартному виду многочлен

(х-2) (jc-3)-8 (jc-l) (jc-3)+9 (х-\) (х-2).

При этом учитель тем или иным образом может объяснить цель именно такого расширения понимания многочлена: для построения теории многочленов важно, чтобы в результате выполнения действия над многочленами всегда получался многочлен. Желательно также, чтобы в таком объяснении прозвучала мысль о том, что это различие между понятиями в двух местах курса является чисто терминологическим и служит только для удобства построения теории, для экономности языка.

Например, при различении понятий многочлена и одночлена утверждение о степени произведения состояло бы из трех частей: степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней этих многочленов, степень произведения одночлена на многочлен равна сумме степеней этих одночлена и многочлена, степень произведения двух одночленов равна сумме степеней этих одночленов.

Общее определение многочлена можно сформулировать так, как это сделано нами выше. В то же время следует иметь в виду, что такая формулировка не совсем точно отражает суть понятия: например, если следовать ей буквально, то выражения х—х2 и (х2— I)3 не будут многочленами.

Конечно, можно дать и более сложную формулировку, определив многочлен как выражение, которое с помощью тождественных преобразований можно привести к указанному виду. Однако следует иметь в виду, что и такая формулировка не совсем спасает положение, поскольку возникают еще большие сложности: многочленом оказывается, например, выражение

но убедиться в этом можно, только заметив, что подкоренное выражение

равно (л:2+2.х+1)2.

Поэтому приведенная нами форма определения представляется более целесообразной. В то же время на все возникающие здесь тонкости не следует обращать внимание учащихся и рекомендуется пройти их «по касательной», оставляя «точку касания» как возможность задать тонкие вопросы для учащихся с повышенными требованиями к логике изложения, если таковые найдутся. Но такие учащиеся, очевидно, требуют индивидуального подхода.

Дав это определение, полезно лишний раз подчеркнуть, что одночлен

также является многочленом, например x2=l.x2+0jt+0. Следует решить небольшую серию задач типа:

Выписать строку коэффициентов многочлена

В процессе освоения учащимися определения многочлена следует учи-

тывать два относительно новых для учащихся момента: «многоточие» и индексацию. Понимание здесь можно считать полностью достигнутым, если учащийся может:

а) записать слагаемое, стоящее перед многоточием;

б) записать слагаемое, стоящее после многоточия;

в) указать общий вид слагаемых, стоящих «внутри» многоточия —

г) указать коэффициент перед заданной степенью х .

Последние два умения — более высокого уровня — свидетельствуют о том, что учащийся осознает общую зависимость между степенью переменной и индексом соответствующего коэффициента — их сумма равна п. Желательно, чтобы эти умения были освоены учащимися, однако вовсе не обязательно обращать их внимание на эту зависимость сразу же после определения. Напротив, они могут осваивать их постепенно в процессе развития теории и решения задач.

После проведенного анализа определения многочлена нельзя не подчеркнуть, что допустимо в принципе и полное отсутствие общего определения в указанной или аналогичной форме. Именно: общее понятие многочлена с одной переменной может быть сформировано исключительно на основе примеров.

С точки зрения логики как науки о мышлении такой подход также считается определением — в так называемой остенсивной форме: понятие формируется с помощью предъявления типичных примеров. Эта форма имеет важнейшее значение для дидактики: по существу, именно на основе остенсивных определений ребенок осваивает внешний мир, учится, например, различению понятий «кошка» и «собака».

Разумеется, математика как наука не допускает остенсивных определений, однако при обучении математике, учитывающем не только формальные требования базовой науки, но и возрастные особенности учащихся, конкретные цели изучения той или иной темы и другие дидактические параметры, остенсивные определения имеют полное право на существование и часто используются в школьном курсе.

В то же время следует иметь в виду, что отсутствие общего определения многочлена уменьшит потенциальные возможности учащихся в доказательстве теоретических утверждений — не имея общего вида многочлена, все доказательства придется проводить только на примерах, и в еще большей степени при таком подходе будет ограничен круг решаемых задач.

Это ограничит возможности учителя в дифференциации обучения, сузит перспективу для продвинутых учащихся. Поэтому, на наш взгляд, общее определение привести все же следует, однако рассмотрение связанных с ним тонкостей может быть предоставлено желающим для самостоятельной работы.

Отметим, что именно для таких учащихся предназначается задача типа «Почему данное выражение не является многочленом?». Совершенно очевидно, например, что — — не многочлен, хотя почти наверняка многие учащиеся скажут, что это «многочлен минус первой степени» — с такой ошибкой, конечно, надо бороться. Но как доказать, что это — выражение и не может быть приведено к нужному виду?

Оказывается, что это совсем просто, хотя нельзя сказать, что нужный аргумент лежит на поверхности: выражение, являющееся многочленом,

имеет смысл при любом значении х, а — при х=0 смысла не имеет, и поэтому никакими тождественными преобразованиями нельзя преобразовать к нужному виду. Аналогичные рассуждения проводятся и для Jx .

Однако для кубического корня этот аргумент уже не действует. Тем не менее, рассуждая от противного, можно получить совершенно доступное и легко обобщаемое доказательство, с помощью которого можно решить целую серию занимательных примеров, весьма полезных не с «узкой» точки зрения усвоения понятия многочлена, но прежде всего для усвоения общего математического приема «сведения к предыдущему».

В самом деле, если /=1/х — многочлен, то /3=х, а этого быть не может: степень многочлена в левой части не меньше 3, а многочлена в правой части равна 1.

Следующий пример также решается от противного: если l/x* +2х2 есть некоторый многочлен f, то ifx* =f—2x2 также многочлен, а тогда в равенстве x4=(f-2x2f справа стоит многочлен, степень которого делится на 3, а слева — многочлен степени 4.

С дробью же —-— проще всего применить новый аргумент: в равенстве x2+l=xf при х=0 левая часть равна 1, а правая 0.

Наконец, дробь *2 + Х * * может быть представлена в виде многочлена. В самом деле,

и поэтому данная дробь равна х2(х—1)+1, или х — х2+1.

Задачи такого рода вряд ли целесообразно решать со всем классом, но для продвинутых учащихся они могут быть интересны с двух точек зрения: во-первых, оказывается, «очевидные» утверждения могут (а в действительности и должны) быть строго доказаны, а во-вторых, приемы решения этих задач представляются вполне простыми, если не сказать изящными.

О технике умножения многочленов. Освоение техники вычислений с многочленами — одна из основных целей, которая стоит перед учащимися при изучении данной темы. Наряду с обычной техникой, которую они приобрели ранее, целесообразно показать им еще два приема. Первый из них отличается от обычного перемножения многочленов только формой записи.

Например, для вычисления произведения

мы располагаем их столбиком и умножаем первый многочлен на каждый член второго, явно записывая при этом некоторые отсутствующие слагаемые — с нулевым коэффициентом:

Вычисления, конечно, выглядят несколько громоздко, но зато они позволяют при необходимости сравнительно легко найти допущенную ошибку. Разумеется, при вычислении слагаемые с нулевыми коэффициентами можно не писать, но при записи оставлять для них место, чтобы одинаковые степени располагались друг под другом.

Этот прием описан в алгебре еще в XVI в. английским математиком Горнером. Однако запись, которую употреблял сам Горнер и другие английские математики того времени, значительно более экономна — вместо самих многочленов записываются только строки их коэффициентов:

При такой записи перемножение проводится почти механически: сначала пишется строка коэффициентов первого многочлена, умноженная на старший коэффициент второго. Далее она умножается на соответствующие коэффициенты второго многочлена и сдвигается вправо на нужное число шагов — в соответствии со степенью произведения: вторая строка соответствует степени 8, т. е. меньше предыдущей степени на 1, третья строка соответствует степени 5, т. е. меньше предыдущей на 3.

С точки зрения записи еще более экономным является второй прием, по существу комбинаторный. При его применении сразу же без промежуточных записей может быть получен нужный результат, но за счет определенных умственных усилий. Так, для вычисления произведения

мы замечаем прежде всего, что старший член произведения есть

2х5 • 3x4=6jc9,

и подсчитываем последовательно коэффициенты при остальных степенях х.

Степень х8 может получиться только при перемножении 2х5 на х3, так что в произведении будет слагаемое 2х%. Степень х1 при перемножении получиться не может, а х6 получится только из произведения — х2 на Зх4, откуда в произведении многочленов получаем слагаемое — Зх6.

Степень х5 получается тремя способами:

так что в произведение войдет сумма —4х5—х5-3х5, т. е. — Sx5.

Аналогично получаем, что степень х4 появляется два раза: (— х) • х3 и 1- Зх4, степень л:3 — один раз (1- л:3), х2 и х — по одному разу. Наконец, свободный член произведения равен 2)=—2. Таким образом,

Требования к учащимся. После изучения материала этого параграфа учащиеся должны:

— уметь выписывать строку коэффициентов и определять степень многочлена по его стандартному виду, называть старший коэффициент и свободный член многочлена, знать, что число коэффициентов многочлена на единицу больше его степени;

— уметь выполнять сложение, вычитание и умножение многочленов, приводя результат к стандартному виду;

— знать, что старший коэффициент произведения двух ненулевых многочленов равен произведению их старших коэффициентов;

— знать, что степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней этих многочленов;

— знать, что произведение двух ненулевых многочленов является ненулевым многочленом и что если произведение двух многочленов равно нулевому многочлену, то хотя бы один из этих многочленов нулевой.

Но учащиеся не обязаны:

— формулировать определение многочлена;

— формулировать правила действий с многочленами;

— формулировать определение степени и старшего коэффициента многочлена;

— доказывать, что заданное выражение не является многочленом.

Другими словами, мы рекомендуем учителю вообще не задавать учащимся вопросы такого рода, во всяком случае на уровне контроля. Если же они возникают в процессе изучения, то учитель должен в первую очередь реагировать на понимание или непонимание учеником соответствующего содержания, а не на точность его высказываний.

§ 3.2. Значения и корни многочленов

В отличие от предыдущего фрагмента теории материал, связанный со значениями и корнями многочленов, не представляет каких-либо принципиальных и логических трудностей и не требует поэтому столь же пространных комментариев.

Дав определение значений многочлена f при х=с (или в точке с — целесообразно использовать оба выражения) и воспользовавшись для значения уже известным учащимся символом f(с), можно выделить особые, самые важные для теории и решения задач значения переменной — корни многочлена.

Выделение этих значений естественным образом связано с привычной для школьников задачей решения уравнений. В контексте полезно под-

черкнуть, что многочлен f и уравнение f(x)=0— это разные объекты, хотя в ряде словосочетаний «многочлен» можно заменить на «уравнение»: например, «корень многочлена» и «корень уравнения», «степень многочлена» и «степень уравнения». В то же время вместо «корень многочлена» иногда говорят «нуль многочлена», но выражение «нуль уравнения» не употребляется. Однако в плане точности подобных выражений не следует быть слишком придирчивым к учащимся.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ

О технике вычислений. Задача вычисления значений многочлена является, очевидно, абсолютно алгоритмической, но не всегда легкой: непосредственная подстановка даже для многочленов небольшой степени требует обычно большого объема вычислений и к тому же промежуточных записей. Эти вычислительные трудности целесообразно использовать в качестве проблемной ситуации, подводящей к основному рабочему приему — схеме Горнера.

Так, после утомительного непосредственного вычисления значения многочлена типа

f=2x5-4x4-29x2+26x+\5

при х=3 (проведенного желательно дома) учащиеся не смогут не оценить эффективности вычислений по схеме Горнера.

При изложении схемы Горнера следует особо обратить внимание на правильность записи первой строки для многочленов, у которых имеются нулевые коэффициенты. Подготовка к этому должна быть проведена ранее, а учащиеся должны были научиться выписывать строку коэффициентов многочлена, не забывая о нулевых коэффициентах.

При записи схемы полезно проводить полужирную или двойную черту для отделения числа с от первого числа во второй строке и для отделения значения f(c) от предыдущих чисел. В первом случае эта черта подчеркивает, что с не входит во вторую строку, во втором случае мы не только графически отделяем нужный результат, но и показываем учащимся, что между этими полужирными черточками стоят коэффициенты частного от деления f на х—с с остатком.

Разумеется, эта рекомендация имеет чисто методический характер, и соблюдение ее необязательно, особенно после того как учащиеся освоят схему Горнера на уровне, когда графическое усложнение схемы не может сказаться на ее применении.

Применяя схему Горнера, полезно обращать внимание на развитие вычислительной культуры учащихся. Для этого, в частности, при нахождении корней не следует проводить лишних точных вычислений в тех случаях, когда очевидные грубые оценки приводят к нужному результату.

Например, схема Горнера для проверки значений 31 и —31 как «кандидатов в корни» многочлена jc5—41 хА+Ъ2х2—4х+31 может выглядеть следующим образом:

1

-41

0

32

-4

31

31

1

-10

-310

-31

1

-71

+

-

+

-

Конечно, такие недостаточно точные вычисления можно применять далеко не всегда, и анализ соответствующих возможностей и тактика учителя здесь зависят от его вкуса, такта и вообще от математической и методической культуры.

Следует обратить внимание на упражнения, связанные с восстановлением схемы Горнера по ее фрагментам. Эти упражнения представляются несколько «игрушечными», искусственными, но то из них, где требуется восстановить верхнюю строчку по нижней, полезно чисто практически: оно может быть использовано для быстрого и компактного умножения многочлена на линейный двучлен.

Так, для умножения многочлена 2л:4—9л:3—Зл:2—5 на х+2 его можно рассмотреть как частное и записать его коэффициенты в нижней строке, т. е. начать вычисления с таблицы:

-2

2

-9

-3

0

-5

0

Далее идет заполнение. В первой клетке первой строки стоит 2, затем, чтобы получить —9 после сложения с 2 • (—2)=— 4, во вторую клетку ставим —5 и, рассуждая аналогично, постепенно получаем нужную схему:

2

-5

-21

-6

-5

-10

-2

2

-9

-3

0

-5

0

Таким образом, (2х4—9л:3—З*2—5) (л-+2)=2л-5—5х4—21.x3—6х2—5х—10.

Можно сформулировать и правило умножения по схеме Горнера: для получения «верхнего» числа (кроме первого) надо из «нижнего» вычесть произведение предыдущего на число, стоящее слева вне строки коэффициентов.

Вопросы теории. Материал этого параграфа имеет в целом чисто технический, вычислительный характер, и в теоретическом плане заслуживает обсуждения лишь один вопрос: следует ли формально доказывать, что вычисления по схеме Горнера действительно приводят к нужному результату?

Разумеется, с чисто логической точки зрения это необходимо, однако, учитывая узкую практическую направленность такого приема, представляется вполне возможным допустить в этом месте логический пробел, если подобный вопрос в классе вообще не возникает.

Тем не менее в отличие от ряда других теорем, где доказательство на примере имеет модельный характер (например, признак делимости на 3 или деление многочленов с остатком «уголком»), т. е. частный пример достаточно ярко показывает механизм общего доказательства, схема Горнера внешне ничем не напоминает обычный прямой способ вычисления значения многочлена.

Поэтому при соответствующем уровне подготовки учащихся следует все же обосновать эту схему или, еще лучше, показать источник ее возникновения. Доказательство правильности схемы Горнера не столько сложное, сколько громоздкое, особенно в общем виде.

Поэтому в случае его приведения вполне достаточно ограничиться рассмотрением частного примера. При этом пример будет иметь модельный характер: полное формальное доказательство отличается от него

«орнаментом» — общими индексами и многоточиями. Более того, он вполне может быть рассмотрен учащимися самостоятельно.

В самом деле, представляется вполне достаточным рассмотреть схему Горнера для общего многочлена третьей степени:

И мы видим, что последнее число во второй строке — это действительно значение f(p).

Можно провести доказательство и «с другого конца»: сначала, последовательно вынося р за скобки, представить значение f(p) в следующем виде:

а затем интерпретировать полученные в скобках выражения как элементы второй строки схемы Горнера.

Это рассуждение несколько сложнее, поскольку требует большей работы мысли, чем работы рук, но его преимущество в том, что оно как бы открывает способ вычисления значений, а не обосновывает способ, взятый с потолка.

В связи с этими вопросами полезно сравнить примерное количество арифметических операций, требуемых для вычисления значения многочлена при прямой подстановке и по схеме Горнера. Если считать, что для вычисления степени с показателем к требуется к— 1 операций, то при подстановке числа в многочлен степени п необходимо п+(п—1)+... + 1 = - ^2 ~ умножений и п-\ сложений. В то же время схема Горнера требует всего лишь п умножений и п сложений. Поэтому она более экономна, в особенности для «ручного» счета, поскольку число умножений в ней существенно меньше.

Следует отметить также, что именно схема Горнера как более экономная используется при вычислениях на компьютерах и что она может использоваться как один из наиболее простых примеров алгоритма, содержащего цикл, при обучении программированию, в том числе и на калькуляторе.

Требования к учащимся. После изучения материала этого параграфа учащиеся должны:

— уметь применять схему Горнера для вычисления значений многочлена и нахождения корней многочленов и целых алгебраических уравнений.

Но учащиеся не обязаны:

— проводить доказательство правильности схемы Горнера как приема для вычисления значений многочлена.

§ 3.3. Целые и дробные корни многочленов

Нахождение корней многочленов, т. е. решение целых алгебраических уравнений, является одной из основных задач изучения этой темы, вытекающей из применения теории многочленов в математическом и прикладном плане.

При этом нахождение рациональных (целых и дробных) корней в школьной практике необходимо как для решения собственно уравнений, так и для решения задач, связанных с целыми числами.

К началу освоения данной темы уже должны быть изучены квадратные уравнения, и если учитель заранее активизировал применение теоремы Виета как основы для устного нахождения корней, то учащиеся могут самостоятельно прийти к мысли о поиске целых корней среди делителей свободного члена. В противном случае можно обсудить подсказку, приведенную в начале § 1.3.

Может оказаться полезным получить теорему о целых корнях из схемы Горнера: по правилу ее построения f(k)=bf1_lkJt-an, так что если f(k)=0, то ап делится на к. Для экономии времени можно также не проводить отдельное доказательство этой теоремы, а получить ее в качестве следствия теоремы о рациональных корнях, хотя, на наш взгляд, с дидактической точки зрения этот путь менее целесообразен.

В связи с теоремой о целых корнях представляется совершенно необходимым поставить и решить с учащимися вопрос об обратном утверждении. Естественно, что это утверждение неверно, хотя, как показывает практика, учащиеся часто полагают противное. Опровергнуть его полезно двумя способами — привести простой контрпример (х — 4=0 или даже 2х—1=0) и «привести к абсурду» саму мысль о его справедливости: в этом случае квадратное уравнение имело бы не максимум два корня, а столько корней, притом целых, сколько делителей у его свободного члена.

Дополнительную теорему о целых корнях можно и не рассматривать, хотя сама идея ее доказательства весьма полезна для решения задач. Например, с ее помощью легко решается одна достаточно сложная задача, в некотором смысле «опорная» для определенного типа олимпиадных задач:

Доказать, что если f — многочлен с целыми коэффициентами и значения f(0) и f( 1 ) — нечетные числа, то f не имеет целых корней.

Действительно, поскольку свободный член f(0) многочлена— нечетное число, то f не имеет четных корней по теореме о целых корнях. Если же корень к нечетный, то нечетное f ( 1 ) по дополнительной теореме делится на четное число к— 1, что также невозможно.

Поэтому мы рекомендуем все же доказать эту теорему именно ради самого метода доказательства, опирающегося на важное тождество, причем несколько неожиданным в данной ситуации способом. Этот способ рассуждения оказывается полезным и для решения задач, совершенно не связанных с нахождением корней. Такие задачи приведены в упражнениях.

Отметим еще, что теорема о целых корнях также может быть получена этими рассуждениями: так как f(b)—f(c) делится на Ъ—с, то при f(b)=0 и с=0 получаем, что —/ (0) делится на b, а f(0) — это и есть свободный член.

Наконец, применяя эту теорему, учащиеся вычисляют значения многочлена не в качестве тренировочной, т. е. чисто дидактической, задачи, а в качестве элемента совершенно другой задачи, что придает задаче вычисления корней многочленов необходимый мотивационный характер.

Сама дополнительная теорема о целых корнях может быть естественно мотивирована приведением примера типа:

Найти целые корни уравнения х Ч12Х+41* +22х-40=0, где свободный член имеет 16 делителей, и поэтому проводить прямую проверку всех делителей по схеме Горнера совершенно нецелесообразно.

В то же время в данном случае f(1)=36, f(—1)=—32, и поэтому

если к — корень f, то число к+\ как делитель 32 должно быть либо четным, либо равным ±1. Другими словами, число к либо нечетно, т. е. равно 5 или —5 (как делитель числа 40), либо равно 0 или —2.

«Кандидат в корни» — число 5 легко отвергается без вычислений: ясно, что при X=5 левая часть уравнения положительна. Такими рассуждениями, т. е. оценкой, также следует активно пользоваться. Достаточно, таким образом, проверить только числа —5 и -2. Оба они оказываются корнями уравнения.

По аналогии с дополнительной теоремой о целых корнях можно рассмотреть и аналогичную теорему о рациональных корнях.

Теорема.

Пусть рациональное число ^- — корень многочлена с целыми коэффициентами, причем дробь — несократимая. Тогда p—q — делитель f(1), p+q — делитель f(—\).

Доказательство этой теоремы проводится по той же схеме, что и для целых корней, однако рассуждать надо несколько более аккуратно, поскольку говорить о делимости можно только в связи с целыми числами:

например, нельзя сказать, что (как сумма слагаемых вида

делится на

Поэтому сначала надо рассмотреть целое число )~/0))- Это число делится на p—q, а числа q и p—q не имеют общих простых делителей — в противном случае эти общие делители имели бы числа q и p—q, а тогда и числа q и p—(p—q)+q, а это противоречит несократимости дроби — .

Впрочем, с точки зрения основных целей изучения многочленов рассмотрение этой теоремы является совершенно необязательным и даже вряд ли целесообразным, но она вполне может быть предложена наиболее продвинутым учащимся в качестве задачи.

Теорема о целых корнях является простым частным случаем теоремы о рациональных корнях, и на это обязательно следует обратить внимание учащихся. Тем не менее именно такой неэкономный порядок рассмотрения этих теорем, на наш взгляд, более целесообразен: более «слабая» теорема о целых корнях имеет для учащихся самостоятельное значение и доказывается совсем простыми рассуждениями, доступными пониманию ученика с минимальной подготовкой.

Более того, в классе, в целом недостаточно сильном, представляется возможным (и даже целесообразным) не приводить доказательства теоремы о целых корнях в общем виде, а ограничиться лишь частными примерами, которые здесь, очевидно, имеют модельный характер.

Заметим в заключение, что рассмотрение алгоритма поиска целых корней многочленов тесно связано с интересной комбинаторной задачей о числе делителей натурального числа — это требуется для предварительной оценки объема предстоящих вычислений. Такую работу проделывает (выполняет) каждый грамотный математик перед выбором — решать задачу «в лоб» или искать упрощающие соображения.

Поэтому задача о числе делителей также может быть предложена учащимся для самостоятельного решения. Подход к ее решению может подсказать учитель, посоветовав перечислять делители не по возрастанию, что не дает пути к обобщению, а более разумным в данном случае способом.

Например, для числа 1568=25- 72 все делители можно записать в виде таблицы:

1

2

4

8

16

32

7

14

28

56

112

224

49

98

196

392

784

1568

В первой строке таблицы записаны все степени числа 2 (от нулевой до пятой), вторая строка получается умножением первой строки на 7, а третья — умножением второй строки на 7. Такая запись делает почти очевидным утверждение, что число делителей числа вида ркд1, где р и q — простые числа, равно (&+1)(/+1).

Эта формула легко переносится и на общий случай — на любое число простых делителей числа. Так, число 27 • 53 • 13 • 192 • 374 имеет 8 • 4 • 2 • 3 • 5=960 делителей.

Требования к учащимся. После изучения материала этого параграфа учащиеся должны:

— уметь решать квадратные уравнения с помощью теоремы Виета;

— уметь находить целые и дробные корни многочленов и уравнений любых степеней с целыми коэффициентами;

— знать формулировки теорем о целых и дробных корнях;

— уметь доказывать теорему о целых корнях, приводить примеры, показывающие ложность обратного утверждения;

— уметь перечислять делители небольших целых чисел. Однако учащиеся не обязаны:

— знать и применять дополнительную теорему о целых корнях;

— знать доказательство теоремы о дробных корнях;

— знать формулу числа делителей натурального и целого числа.

§ 3.4. Деление многочленов с остатком

Обратим прежде всего внимание на то, что определение деления многочленов с остатком, приведенное в тексте, несколько отличается по форме от привычного и перед его введением полезно провести аналогию с натуральными числами.

Именно: разделить, например, 39 тетрадей на 5 человек так, чтобы все получили поровну, невозможно, но можно выдать каждому по 7 тетрадей, после чего останутся неразделенными 4 тетради. Но если сначала «убрать» остаток, то оставшаяся часть 39—4 уже будет делиться на 5. Кроме того, из тех же содержательных соображений ясно, что остаток должен быть меньше делимого.

После изучения метода деления многочленов с остатком полезно явным образом обратить внимание учащихся на его очень существенные недостатки. Так, из него совершенно неясно, всегда ли существует остаток от деления одного многочлена на другой, и даже остается логическая возможность существования нескольких остатков.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ

О технике вычислений. Схему деления «уголком» учащиеся должны освоить, однако чрезмерного внимания ей уделять все же не следует. Дело в том, что в задачах «разумной» трудности непосредственно делить с остатком на многочлен степени, большей 1, приходится сравнительно редко, а на линейные многочлены следует делить по схеме Горнера.

Обоснование схемы Горнера для многочлена g со старшим коэффициентом, отличным от 1, можно проводить не только с помощью теоретической задачи, как сделано нами выше, но и на моделирующих примерах — ясно, что выбор конкретных многочленов /и g и множителей а и b для убедительности рассуждения не играет никакой роли.

Подготовить учащихся к «проблеме дробей» и ее решению можно на примере типа «Разделить с остатком многочлен на Зх+З», в котором деление «уголком» достаточно неприятно, тогда как рассматриваемый прием проводится без всяких трудностей. Более того, если поставить задачу найти только остаток, то он вычисляется мгновенно как f(—1) и даже без схемы Горнера.

Самым неприятным моментом деления «уголком» является появление дробей, причем они могут появиться не на первом шаге (как это и было в разобранном примере), несмотря на то что старший коэффициент f делится на старший коэффициент g.

В действительности появления дробей можно вообще избежать, для чего перед делением «уголком» многочлена f степени п на многочлен g степени к со старшим коэффициентом Ь0 достаточно умножить f на Ь“о ~к +1 . Мы не будем приводить доказательство — оно весьма громоздко, и вполне достаточно, на наш взгляд, указать учащимся только на сам этот факт для использования его в необходимых случаях.

Подбор множителя, однако, нетрудно объяснить. Каждый шаг схемы понижает степень f по крайней мере на 1, и нужно, чтобы на каждом шаге при вычитании получалась бы разность со старшим коэффициентом, делящимся на Ь0. При этом все коэффициенты вычитаемого делятся на Ь09 и нам следует гарантировать, чтобы и все коэффициенты уменьшаемого делились на Ь0. Чтобы добраться от многочлена f степени п до остатка степени, меньшей /с, потребуется не более чем п—к+\ шаг. Поэтому множителя Ьп0~к + ] «хватит», чтобы обеспечить целочисленность коэффициентов на каждом шаге.

Особо отметим, что при вычислениях весьма целесообразно использовать калькулятор — в данном случае вычислительные сложности имеют непринципиальный характер, и учащимся следует максимально облегчить усвоение основного материала. С использованием калькулятора, кроме того, лучше «заиграет» прием нахождения частного и остатка по схеме Горнера, основанный на избавлении от дробей.

Вопросы теории. 1) Как и в § 3.2, здесь возникает вопрос о необходимости обоснования применения схемы Горнера для нахождения частного и остатка при делении на линейный двучлен. На наш взгляд, в данном случае вполне допустимо ограничиться частным примером, рассмотренным в тексте, хотя числовой пример и не имеет модельного характера: числовые коэффициенты в отличие от буквенных при совершении арифметических действий «склеиваются», и поэтому совпадение многочленов (х—с) q+r и f может показаться случайным.

В то же время всякому здравомыслящему человеку ясно, что вероятность такого случайного совпадения для случайно взятого многочлена чрезвычайно мала, и Фома неверующий может проверить требуемое утверждение на любом другом примере, им самим выбранном.

С другой стороны, можно провести соответствующее доказательство и в «почти» общем виде (на модельном примере) для многочлена степени 3. Составив схему Горнера для многочлена

/= а^х*+а, X2+а 2х+а 3

и значения х=с:

рассмотрим многочлен q=aox“Ji-(a0c+al)x+(a0c^+alc+a2), а последнее число во второй строке таблицы обозначим через г. Тогда

Можно предложить, наконец, и еще одно решение всех теоретических вопросов, связанных со схемой Горнера. Ее полная «разгадка», правила ее построения в действительности непосредственно вытекают из алгоритма деления «уголком».

Именно: представим себе, как при делении «уголком» постепенно появляются коэффициенты частного от деления многочлена

на х-с. Когда на очередном шаге процесса деления получен одночлен вида bsx“~s~l (заметим, что частное имеет степень л-1), то влево от «уголка» переносится произведение

и вычитается из предыдущего многочлена.

При этом старшие члены, естественно, взаимно уничтожаются, а слагаемое — сЬ^х“'*'1 вычитается из одночлена той же степени as+lx“~s~\ и на следующем шаге разность (as+i+cbs)x“~s~] делится на х. Поэтому следующий коэффициент частного bs+] равен as+l+cbs:

bs+\=as+{+cbs.

Но это и есть правило построения схемы Горнера: каждый коэффициент частного получается умножением предыдущего коэффициента на г и сложением результата с коэффициентом делимого, имеющего тот же номер в многочлене f, т. е. стоящим над ним.

Разумеется, для упрощения доказательства его можно провести на модельном примере — скажем, для многочлена небольшой степени. Однако и в этом случае доказательство может оказаться для учащихся достаточно трудным «стилистически» — в их практике подобного типа рассуждений скорее всего не было.

Тем не менее попытка провести в том или ином виде предложенное рассуждение представляется целесообразной даже и в том случае, когда оно будет воспринято не всеми учащимися,— хотя бы потому, что одно это рассуждение снимает все вопросы, связанные с теоретическим обоснованием схемы Горнера.

Главное, однако, не в уровне логической строгости. Это рассуждение представляется ценным потому, что оно «открывает» происхождение схемы Горнера, и очень правдоподобно, что именно им и пользовались английские математики XVII в., включая и самого Горнера.

2) Тонкие теоретические вопросы возникают также при введении определения деления с остатком, хотя учащиеся даже с хорошей подготовкой вряд ли осознают необходимость их выяснения. Дело в том, что определение частного и остатка не дает никакой информации о существовании и единственности частного и остатка при делении одного многочлена на другой.

Поэтому при рассмотрении определения, указав на этот его недостаток, целесообразно провести естественную параллель с определениями степени и корня с натуральным показателем. Первое из них конструктивно в том смысле, что существование и единственность нового объекта — степени — заложены в самом определении, тогда как второе этим свойством не обладает — именно поэтому и приходится проводить специальные рассуждения о существовании корня и изучать вопросы его единственности, а для корня четной степени вводить особое понятие арифметического корня.

Обращение умеренного внимания на подобные тонкости и проведение необходимых параллелей должно стать, на наш взгляд, одной из характерных черт углубленного изучения математики.

Обратим также внимание на задачу 15, в которой идет речь о единственности частного и остатка. Приведем ее решение. Если /*, и г2 — два различных остатка от деления f на g, то

f=g4\+T\> f=gq2+r2,

откуда rx-r2=g(q2-qx).

Обе части этого равенства отличны от 0, так что имеют некоторые степени, но степень г,— г2 меньше степени g, а степень правой части больше или равна степени g. Полученное противоречие показывает, что г, и г2 должны совпадать.

Если эта задача рассмотрена с учениками, то целесообразно подвести итог, сформулировав теорему о делении с остатком.

Теорема.

Для любых многочленов f и g, где g^O, существуют единственные многочлены q и г, такие, что:

а) f=gq+n

б) степень г меньше степени g или г=0.

Короче, можно говорить, что всякий многочлен f однозначно делится с остатком на любой многочлен g^O. Именно эта однозначность и позволяет ввести термины «остаток» и «частное» (или, как и в натуральных числах, «неполное частное»).

Отметим, в частности, что и в случае, когда f делится на g (без остатка или с нулевым остатком), единственность частного, говоря строго логически, также не вытекает из самого определения и подлежит до-

казательству. Разумеется, это утверждение уже следует из сформулированной теоремы, но может быть доказано и непосредственно.

Из равенств f=gh]=gh2 сразу же получается, что g (h}— h2)=0, а мы специально отмечали, что если произведение многочленов равно 0, то один из сомножителей равен 0. Но g^O по условию, и, следовательно, й,—/г2=0, т.е. hx—hv Тем не менее обсуждать с учащимися этот вопрос при работе с делением многочленов мы не считаем целесообразным, если, конечно, кто-нибудь из них сам не обратит внимание на логический пробел.

3) Полезно обратить внимание на задачу 10: могут ли два различных многочлена делиться друг на друга? Эта задача имеет большое теоретическое значение, а ее решение, хотя и совершенно непосредственное, наверняка вызовет у учащихся определенные трудности. Приведем его.

Пусть f делится на g, a g делится на f, т. е. f=gh, g=fk. Но тогда

f=(fk)h=f(khl f(\-kh)=0.

Так как /^0, то 1— kh—0, так что kh=l. Но тогда степень произведения kh равна 0, т. е. сумма степеней этих многочленов равна 0, а значит, и степень каждого равна 0. Другими словами, многочлены к и h постоянные, отличные от 0, т. е. f и g отличаются постоянным множителем. Обратное очевидно: если f и g отличаются постоянным множителем:

f=cg, то g=c~xf, так что многочлены f и g делятся друг на друга.

Можно провести и другое доказательство: если f=gh и g=fk, то f=fkh, и поэтому deg/=deg/+deg /с+deg /г, deg &+deg й=0, deg /r=deg /z=0, так что многочлены к и h действительно являются числовыми.

Полезно провести параллель с ситуацией в числовых множествах: в множестве натуральных чисел разные числа не могут делиться друг на друга, в множестве целых чисел такие числа отличаются только знаком.

Как показывает первое из приведенных доказательств, все зависит от того, какие решения имеет уравнение вида fg=l, где f и g — натуральные числа, целые числа или многочлены. Второе доказательство в этом плане менее целесообразно: оно не вскрывает механизма делимости элементов множества друг на друга.

Требования к учащимся. После изучения материала этого параграфа учащиеся должны:

— уметь находить частное и остаток от деления многочлена на многочлен, пользуясь этими терминами;

— уметь применять схему Горнера для нахождения частного и остатка от деления многочлена на линейный двучлен;

— знать теорему о возможности деления с остатком — о существовании и единственности частного и остатка;

— уметь применять деление с остатком для выделения целой части рациональной дроби.

Но учащиеся не обязаны:

— формулировать определение остатка;

— уметь доказывать теорему о возможности деления с остатком;

— знать условие делимости двух многочленов друг на друга;

— знать обоснование схемы Горнера.

§ 3.5. Корни и линейные множители многочленов

Материал, изложенный в соответствующем параграфе для учащихся, является, по существу, центральным во всей теме «Многочлены с одной переменной», поскольку главным в ее ориентации является обучение школьников алгоритмическому решению алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Поэтому решение уравнений является основным содержанием предлагаемых здесь упражнений.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ

, О технике вычислений. Следует обратить внимание на технику решения задач на выделение целой части из дроби с линейным знаменателем. Эти задачи решаются проще всего по схеме Горнера. Поскольку

по теореме Безу

то, например, для дроби

решение может выглядеть следующим образом:

2

0

-11

7

-2

2

-4

-3

13

Эти же идеи следует использовать и для преобразования дробно-линейного выражения при построении графика дробно-линейной функции, в том числе и в общем виде.

Действительно, если f—ax-Vb, g=cx+d, то частное от деления f на g равно, очевидно, —, а остаток равен /Г---!- Поэтому, например,

Подчеркнем также важность овладения учащимися «длинной» схемой Горнера. «Длинная» схема особенно удобна для записи окончательного, чистового решения.

При подборе целых и дробных корней многочленов многие попытки, естественно, оказываются неудачными. Они не должны включаться в окончательное, чистовое решение, а при его оформлении как раз удобна «длинная» схема.

Так, для уравнения л*5 — 5х4— 19д:3+45х2—78л*+56=0 корни 1, —4 и 7 находятся, конечно, не с первых же попыток, поэтому в окончательном решении появляется «длинная» схема:

1

-5

-19

45

-78

56

1

1

-4

-23

22

-56

0

-4

1

-8

9

-14

0

7

1

-1

2

0

Вопросы теории. 1) Практическая ориентация рассмотренного в этом параграфе материала позволяет, на наш взгляд, принять без доказательства тот факт, что нижняя строка схемы Горнера показывает коэффициенты частного точно так же, как это сделано в § 3.2. В частности, моделирующий пример здесь тоже достаточно убедителен.

Тем не менее доказательство этого факта совсем несложно, и его, пожалуй, единственная трудность состоит в наличии индексов и многоточий: от учащихся требуется лишь уметь определять соответствие индексов и показателей степеней. Проведем это доказательство.

Пусть f=a0xn+axxn~x + ...+ап_хх+ап — многочлен, с — число, и частное от деления f на х—с равно g=b0x“~] +blx“~2+...+bn_2x+bn_l, а остаток от деления равен г. Тогда выполняется равенство f=(x—c)g+r, или

Сразу же заметим, что старшие коэффициенты многочленов в левой и правой частях этого равенства равны соответственно а0 и Ь0, так что b0=aQ. Точно так же совпадают и свободные члены: ап= — cbn_x+r.

Приравняем коэффициенты, стоящие при х“~к (к=\, 2, п). В левой части этот коэффициент есть ак, а в правой части х“~к получается двумя способами — из произведения х на степень х“~к~] и из произведения —с на степень х“~к.

Подчеркнем связь между индексами коэффициентов и показателей степеней соответствующих одночленов многочлена g: их сумма равна /1—1. Поэтому первая из этих степеней входит в g с коэффициентом Ьк, вторая — с коэффициентом Ьк_х, так что в правую часть одночлен х“~к входит с коэффициентом bk—cbk_x.

Следовательно, ak=bk—cbk_x, bk=ak+cbk_x, а это и есть правило построения схемы Горнера: очередной коэффициент частного равен стоящему над ним коэффициенту делимого, сложенному с произведением предыдущего коэффициента частного на данное число.

2) Изложенный в этом параграфе материал имеет важное теоретическое значение не только для самой теории многочленов, но и для логического обоснования некоторых рассуждений при решении задач. Речь идет прежде всего о понятии равенства многочленов.

На этом вопросе мы подробно не останавливались и опирались на естественное представление о том, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда при одинаковых степенях переменной они имеют равные коэффициенты. В частности, равные многочлены имеют одну и ту же степень.

Это определение равенства соответствует пониманию многочленов как чисто алгебраических, можно сказать, формальных объектов, и такое равенство многочленов называется алгебраическим равенством. Подобный подход подчеркивается нами и в символике — мы обозначаем многочлен буквой f, а не f(х), как обычно делается.

Между тем в курсе школьной алгебры многочлены чаще всего рассматриваются наряду с другими выражениями с переменной, т. е. в основном в функциональном аспекте. Поэтому совершенно естественно было бы и другое понимание равенства многочленов, происходящее от равенства произвольных функций: два многочлена называются равными,

если при каждом значении переменной они принимают одно и то же значение — определение функционального равенства многочленов.

Фундаментальное значение доказанного в § 1.5 следствия и состоит в совпадении, в эквивалентности этих определений: оно означает, что два многочлена равны функционально тогда и только тогда, когда они равны алгебраически. Или иначе:

f—g тогда и только тогда, когда равенство f (x)=g (х) является тождеством.

Обратим внимание на то, что при традиционном обозначении многочленов формулировка последнего утверждения была бы несколько странной.

Надо сказать, что в современной школьной практике даже при изучении квадратного трехчлена чаще всего не обращают особого внимания на строгость рассуждений, в которых фактически используется равносильность двух подходов к равенству многочленов. В частности, эта равносильность существенно используется при разложении многочленов на множители с методом неопределенных коэффициентов — этот вопрос рассматривается в следующем параграфе.

3) Доказательство теоремы о числе корней можно провести и в менее формальном стиле, чем приведено нами: если для каждого корня мы можем «отщепить» от многочлена линейный множитель, а больше чем п линейных множителей у многочлена степени п «отщепить» нельзя, то число корней не может быть больше п.

Можно, разумеется, воспользоваться и методом математической индукции. Для п=\ теорема очевидна, и, сделав предположение индукции, после применения теоремы Безу к многочлену f мы получаем частное — многочлен g степени п—1.

Далее, из равенства f=(x—c)g вытекает простая связь между корнями многочленов f и g: всякий корень g является корнем f и, наоборот, всякий корень f, отличный от с, является корнем g. Поэтому f имеет корней либо на 1 больше, либо столько же, сколько и g (последнее в случае, когда с является также корнем g).

Но многочлен g имеет по предположению индукции не более чем п—\ корень, а значит, f имеет не более п корней.

4) В заключение параграфа весьма уместно рассказать об истории решения алгебраических уравнений. Впрочем, эта история, связанная с итальянской математической школой XVI в., с именами Тартальи, Кардано, дель Ферро и Феррари, широко описана в самой разнообразной литературе, и мы на ней останавливаться не будем.

Подчеркнем только два момента. Если до получения формулы корней кубического уравнения прошли века, то алгоритм решения уравнения четвертой степени был создан всего примерно через 15 лет после открытия этой формулы.

Этот факт нельзя считать удивительным, поскольку решение кубических уравнений требовало от математиков фантастического по смелости, неожиданности и важности шага — изобретения комплексных чисел. А при наличии этих чисел самые принципиальные трудности были сняты.

Естественно, что поиски формул корней для уравнений произвольных степеней получили сильный стимул, но оставались безуспешными до XIX в. и имели совершенно неожиданное завершение. Оказалось, что

эти поиски не могут привести к цели — формул, выражающих корни уравнения степени 5 и выше через его коэффициенты, просто не существует. Сделал это открытие великий норвежский математик Нильс Генрик Абель.

Самое удивительное в том, что задача получения формул корней, в конце концов, является чисто теоретической, поскольку для вычисления корней уравнений степени 3 и 4 этими формулами никто не пользуется — настолько они сложны и неудобны.

Однако, учитывая, что формулы корней для степеней 2, 3 и 4 найдены более или менее «хитрыми» группировками, трудно даже представить себе, как можно строго доказать, что для уравнений более высокой степени никакая группировка не приведет к цели!

Результаты Абеля получили продолжение и определенное завершение в работах другого математического гения — французского математика Эвариста Галуа, основные моменты жизненного пути которого также многократно описаны. Идеи Абеля и Галуа оказали огромное влияние на математику, в том числе и на математику XX в.

Требования к учащимся. После изучения материала этого параграфа учащиеся должны:

— применять теорему Безу для «отщепления» линейного множителя и уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратному с помощью подбора рациональных корней;

— знать, что число корней многочлена не превосходит его степени, приводить примеры многочленов, у которых число корней меньше степени и равно степени;

— знать, что тождественное равенство многочленов равносильно совпадению коэффициентов при одинаковых степенях х.

Но учащиеся не обязаны:

— доказывать следствия из теоремы Безу.

§ 3.6. Разложение многочленов на множители

Изучение соответствующего параграфа преследует две основные цели. Первая из них — более широкая — освоение учащимися идеи неприводимости многочлена как невозможности разложить его на множители меньшей степени.

Эта идея является общематематической, и с ней учащиеся уже знакомы в связи с понятием простого числа. И вообще демонстрация учащимся параллельности двух таких внешне непохожих теорий, как делимость многочленов и делимость натуральных чисел, является одной из общеинтеллектуальных, развивающих целей изучения темы «Многочлены с одной переменной».

Надо отметить также, что аналогично строится и теория делимости в множестве целых чисел, которая имеет по сравнению со случаем натуральных чисел определенные особенности, свойственные именно делимости в множестве многочленов. К сожалению, в настоящее время делимость целых чисел на теоретическом уровне практически не рассматривается, и большинство школьников даже не знают исходного понятия простое число в применении к целым числам и полагают, что это понятие вообще относится только к натуральным числам.

Впрочем, это совершенно естественно: в существующем подходе простое число определяется как число, имеющее ровно два делителя (один из которых — единица), а таких целых чисел не бывает, поскольку любое целое число имеет, кроме двух натуральных, еще два противоположных им делителя.

Между тем главная особенность простого натурального числа — невозможность разложить его на множители «разумным», нетривиальным образом. Говоря чисто формально, каждое натуральное число может быть разложено на множители: п=п • 1, но именно потому, что это верно для любого числа, такая возможность ничего не дает для решения содержательных задач (хотя это разложение с теоретической точки зрения также важно: оно показывает, что каждое число делится само на себя).

Такой подход — различение по возможности или невозможности именно «разумного» (а не какого-нибудь) разложения и оказывается перспективным для развития теории делимости в множестве многочленов: появляется алгоритмическое решение алгебраических уравнений — а именно так дело обстояло исторически и именно так оно представляется в курсе углубленного изучения математики. При этом «разумным» в данном случае является именно разложение многочленов на множители меньшей степени. Что же касается разложения конкретного целого числа на множители, то вариации знаков сомножителей представляются несущественными, так что «разумное» разложение целого числа — это разложение его на множители, меньшие его по абсолютной величине.

Напомним, что все эти три теории являются «проекциями» на конкретные множества общей теории так называемых евклидовых колец, изучение которых входит в программу педагогических институтов уже по крайней мере в течение трех последних десятилетий.

Вторая цель этого параграфа более практическая: здесь в определенном смысле заканчивается несколько ограниченный, однако, на наш взгляд, вполне достаточный для школьной математики объем алгоритмических приемов решения алгебраических уравнений.

На протяжении веков, в особенности в XIX в., было накоплено много искусственных приемов решения уравнений различных специальных видов, однако их ценность в общеобразовательном смысле невелика и в школьной математике их рассматривать, конечно, нецелесообразно.

Поэтому мы рассматриваем лишь два «самых» классических вида многочленов — биквадратные и возвратные. Биквадратные уравнения рассматриваются и в обычных классах, однако применяемый чаще всего для их решения прием — замена х2 на у— не всегда приводит к цели. Что касается возвратных уравнений, то приведенный нами прием, на наш взгляд, просто красив сам по себе, что мы также считаем немаловажным для обучения школьников математике. В связи с этим мы хотим обратить внимание на упражнение, в котором рассматриваются возвратные уравнения степени 5.

Такое уравнение всегда имеет корень —1, что позволяет понизить его степень до 4. И возникает естественный вопрос: будет ли уравнение, полученное после понижения степени, также возвратным? Ответ на этот вопрос можно получить, конечно, самым примитивным образом, построив схему Горнера для произвольного такого многочлена:

Однако более интересным и обобщаемым на возвратные многочлены любой степени является рассуждение на основе не внешнего свойства таких многочленов (симметрию коэффициентов), а внутреннего. Действительно, нетрудно доказать, что если число с — корень возвратного многочлена, то — также является его корнем: это можно показать непосредственно или опираясь на равенство f (x)=x“f^-^-^, которое на самом деле и отражает симметрию коэффициентов многочлена.

Мы рассматриваем также метод неопределенных коэффициентов. Он не является специфическим для многочленов, а, напротив, используется в самых разных разделах математики. Но и в этой теме основную пользу метода для учащихся мы видим скорее не столько в разложении многочленов на множители, сколько в дополнительной практике работы с целыми числами, с решением в целых числах систем уравнений.

Существо применяемых здесь рассуждений чисто комбинаторное, требует высокой логической аккуратности в переборе возможностей. Существенно также и развитие чисто математической интуиции, помогающей определить случаи, которые нужно рассматривать и которые рассматривать не надо, поскольку они сводятся к предыдущим.

Так, в рассмотренном нами примере 4 можно было сразу записать разложение в виде xA+3x2-\4=(x2+bx+c) (x2+qx+r), поскольку произведение старших коэффициентов сомножителей равно 1, то либо они оба равны 1, либо -1.

Тем не менее метод неопределенных коэффициентов является весьма громоздким, и ему вряд ли следует уделять много времени — на наш взгляд, достаточно рассмотрения одного примера (не считая домашнего задания).

Подчеркнем еще, что перед применением этой «тяжелой артиллерии» всегда необходимо убеждаться сначала, что многочлен не имеет рациональных корней.

В нашем примере мы показали самое стандартное для метода неопределенных коэффициентов рассуждение — приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Между тем возможны и другие способы рассуждений — прежде всего подстановка в обе части равенства произвольно выбранных значений переменной.

Рассмотрим конкретный пример применения метода неопределенных коэффициентов с другим сюжетом, но также из теории многочленов.

Требуется узнать, делится ли многочлен х5-3х2 + 5х—4 на х2—х— 1.

Деление «уголком» будет здесь технически достаточно сложным. Поэтому мы запишем равенство х5-Зх2+5х-Л=(х2—х-1) (ax3+bx2+cx+d) с неопределенными коэффициентами и будем придавать переменной различные значения. Запись удобно вести в виде таблицы:

Отсюда

Сложив второе и третье равенства, получаем Ь= —10, а+с=1, а последнее равенство принимает вид 4а+с=31. Теперь легко получаем, что с= — 1, a=S.

Здесь возникает тонкий логический момент. Мы доказали фактически следующее: если написанное разложение многочлена имеет место, то коэффициенты таковы, какими мы их получили. Однако совершенно неясно, верно ли обратное, т. е. будет ли при этих значениях неизвестных выполняться равенство левой и правой частей многочленов.

Более того, из теоретических соображений следует, что это маловероятно: для совпадения двух многочленов степени 5 надо иметь их совпадение согласно следствию 1 из теоремы о числе корней по крайней мере в шести точках, а мы рассмотрели только четыре точки. Поэтому обратное утверждение нуждается в проверке. Она показывает, что равенство

неверно, например, при х=-2. Проще, однако, заметить, что после раскрытия скобок коэффициент при старшем члене в правой части равен 8, тогда как в левой части 1.

Таким образом, ответ на поставленный в задаче вопрос отрицательный.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ

Вопросы теории. 1) Обратим также внимание читателей на один тонкий момент решения примера 5, мы рассмотрели в нем только случай b= — l, q=—2 и «забыли» о второй возможности: b=—2, q= — \.

Однако (и это очень важно подчеркнуть) при разложении многочленов на множители методом неопределенных коэффициентов речь идет о том, чтобы подобрать хотя бы один нужный набор, т. е. хотя бы одно решение системы, а не о том, чтобы решить систему, т. е. найти все ее решения.

Можно, конечно, непосредственно убедиться, что во втором случае получится то же самое разложение, только множители при этом будут переставлены — и это также важно, поскольку речь идет о единственности разложения многочлена на множители. Однако еще более важно, на наш взгляд, приучать школьников к тому, что задачи, связанные с уравнениями и системами уравнений, могут быть более разнообразными, чем задачи решения уравнений и системы уравнений, которые предлагаются им в подавляющем большинстве случаев.

2) Советуем обратить внимание учащихся на один тонкий момент в решении примера 3, который они сами, скорее всего, не заметят: для разложения возвратного многочлена степени 4 мы временно выходим из множества многочленов в более широкое множество рациональных дробей. Тем самым лишний раз показывается полезность постепенного расширения математического аппарата.

3) В тех задачах, где оказывается невозможным разложить многочлен с целыми коэффициентами на множители также с целыми коэффициентами, совершенно естественно попытаться разложить его на множители с рациональными коэффициентами: если множество коэффициентов рас-

сматривать более широким, то расширяются и возможности для разложения многочленов.

Так обстоит дело, например, для многочленов с рациональными и действительными коэффициентами — многочлен может быть неприводим в первом случае и приводим во втором: классический пример — многочлен X2—2.

Но в данном случае дело обстоит не так:

если многочлен с целыми коэффициентами нельзя разложить на множители меньшей степени с целыми коэффициентами, то его нельзя разложить и на множители меньшей степени с рациональными коэффициентами.

В самом деле, если многочлен f разложен в произведение многочленов меньшей степени с рациональными коэффициентами: f=gh, то, приведя коэффициенты каждого из многочленов g и h к наименьшему общему знаменателю и освободившись от дробей, мы получим равенство вида cf=ag • bh, в котором множители ag и bh имеют целые коэффициенты.

Тем самым многочлен с/ оказался разложенным в произведение многочленов меньшей степени с целыми коэффициентами. Но вот можно ли утверждать то же самое относительно многочлена f, неясно.

В случае, когда речь идет о решении уравнения f(x)=0, в котором числовой множитель у многочлена f не играет роли, это затруднение можно преодолеть: если нам не удалось разложить данный многочлен f, остается надежда подобрать нужное число с. И если мы используем метод неопределенных коэффициентов, то искомое число с можно рассматривать как еще один «неопределенный коэффициент».

Как следует из более продвинутой теории многочленов с целыми коэффициентами, разложение будет либо успешным при любом с (в частности, при с=\), либо безуспешным также при любом с. Поэтому поиск такого числа с в действительности всегда бесперспективен.

Соответствующее развитие теории, на наш взгляд, является несколько чрезмерным вторжением в так называемую высшую алгебру, однако здесь границу между высшей алгеброй и элементарной математикой разумным образом провести просто невозможно.

Основой доказательства является следующее утверждение:

Лемма Гаусса. Если каждый из многочленов g и h имеет взаимно простые в совокупности коэффициенты, то их произведение также имеет взаимно простые в совокупности коэффициенты.

Доказательство. Предположим противное, и пусть р — простое число, являющееся общим делителем коэффициентов произведения gh. Выделим в многочленах g и h слагаемые, в которых коэффициенты делятся на р, и слагаемые, в которых коэффициенты не делятся на р:

g=g\+Pg2' h=hl+ph2.

При этом многочлены g{ и hx оба отличны от 0. В противном случае все коэффициенты одного из них делятся на р и он не является примитивным.

Так как gh = (g]+pg2) (h]+ph2)=g]h]+pg2h]+pg]h2+p2g2h2,

то все коэффициенты g{h{ делятся на р. Однако старший коэффициент этого произведения равен произведению старших коэффициентов сомножителей, а они оба не делятся на р, и мы пришли к противоречию, чем и доказана лемма. ■

Пусть теперь многочлен с целыми коэффициентами разложен в произведение gh многочленов с рациональными коэффициентами, среди которых есть дробные числа. Приведя коэффициенты каждого из многочленов g и h к наименьшему общему знаменателю и вынося наибольшие общие делители полученных коэффициентов за скобки, мы получим равенства

где g* и h* — многочлены с целыми и в совокупности взаимно простыми коэффициентами, причем по крайней мере одно из чисел Ъ и d не равно 1. Будем считать для определенности, что именно Ъ отлично от 1. Из этих двух равенств получаем, что

acg*h*=bdgh.

Теперь можно считать, что произведения ас и bd взаимно просты — при необходимости можно сократить равенство на их наибольший общий делитель.

Пусть р — некоторый простой делитель числа Ъ. Тогда а и с не делятся на р. С другой стороны, по лемме Гаусса многочлен g*И* примитивный, и поэтому по крайней мере один его коэффициент q не делится на р.

Но все коэффициенты произведения acg*h* делятся на bd, а значит, и делятся на р, в частности acq, хотя ни один из трех сомножителей на р не делится, и мы пришли к противоречию.

Таким образом, если многочлен f разложен в произведение gh многочленов с рациональными коэффициентами, то все коэффициенты этих сомножителей в действительности целые.

Нам не кажется тем не менее, что эти вопросы с учащимися следует рассматривать, тем более с доказательствами, поскольку они весьма далеки от основных целей изучения темы. Единственное важное в теоретическом отношении следствие, вытекающее из их рассмотрения,— это доказательство того, что при всяком натуральном п многочлен х“—2 неприводим в поле рациональных чисел, т. е. в этом поле существуют неприводимые многочлены любой степени.

В этом отношении оно существенно отличается от поля действительных чисел, где неприводимыми являются только линейные многочлены и квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом. Однако доказать это утверждение можно только с использованием теории комплексных чисел, так что более естественно оставить все эти вопросы до их появления.

Требования к учащимся. После изучения материала этого параграфа учащиеся должны:

— уметь понижать степень уравнения после нахождения корня;

— уметь решать уравнения с целыми коэффициентами;

— уметь преобразовывать дробно-линейные выражения с помощью схемы Горнера;

— знать теорему о целых корнях и ее следствия. Но учащиеся не обязаны:

— ссылаться на следствия теоремы о числе корней;

— уметь доказывать теорему о числе корней и ее следствия;

— уметь доказывать, что нижняя строка схемы Горнера показывает коэффициенты частного.

§ 3.7. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов

1. О корректности языка изложения. Как известно, точность реального языка преподавания математики далеко не всегда соответствует точности строгого математического языка — язык преподавания всегда учитывает некоторые дидактические параметры, несущественные для языка математики. Поэтому учитель сам выбирает меру точности языка в соответствии с конкретными возможностями учащихся и особенностями изучаемого материала.

Это касается и строгости проводимых рассуждений, где следует определиться в отношении некоторых рассматриваемых моментов — являются они существенными или, напротив, перегружающими рассуждение деталями. Все это не может быть определено однозначно, и разрешать возникающие вопросы учителю, как правило, приходится самостоятельно, учитывая, конечно, различные рекомендации, но прежде всего опираясь на собственный вкус и такт, опыт и математическую культуру.

Надо сказать, что выбранная нами мера точности языка далеко не абсолютная: например, мы говорим просто «наибольший общий делитель многочленов» и обозначаем его через НОД (f, g), тогда как у двух многочленов имеется не один, а бесконечное множество наибольших общих делителей, отличающихся постоянным множителем, и этот символ некорректен.

Конечно, можно было бы договориться, например, что наибольший общий делитель всегда должен иметь старший коэффициент 1, однако это далеко не всегда удобно — пришлось бы вообще «слишком внимательно» следить за старшими коэффициентами многочленов, зрительно усложнять формулировки и обозначения. Например, при аналогичной договоренности относительно наименьшего общего кратного утверждение о связи между НОД и НОК выглядело бы явно сложнее:

а0Ь0 НОД (/, g) • НОК (/, g)=fg,

где а0 и Ь0 — старшие коэффициенты многочленов f и g.

Другими словами, мы считаем, что выбранная нами точность языка и строгость изложения являются допустимым компромиссом между строгим математическим формализмом и дидактическими требованиями.

2. Дополнение к алгоритму Евклида. Одно из важнейших следствий алгоритма Евклида и для теории, и для практики — это теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя и вытекающий из нее критерий взаимной простоты многочленов. В особенности важными являются соответствующие теоремы для натуральных и целых чисел.

В частности, благодаря первой теореме алгоритм Евклида может быть применен для освобождения от иррациональности в знаменателе в случаях, когда примитивный прием домножения на «сопряженное выражение» не срабатывает, например в дроби

Решение этой задачи легко получится, если найти многочлены u и v, такие, что

Между тем нахождение многочленов с помощью алгоритма Евклида технически весьма затруднительно даже в этом сравнительно простом случае. Поэтому мы приведем еще один прием рассуждений, основанный на методе неопределенных коэффициентов.

Он позволяет вообще избежать применения алгоритма Евклида даже для нахождения наибольшего общего делителя, но, как мы увидим ниже, требует более высокого уровня теоретического мышления и определенного опыта работы с системами линейных уравнений.

Мы не будем искать многочлены и и v в общем виде — это было бы практически очень трудно — и положим, что степень и меньше степени g=x~+2x+2, т. е. и — линейный двучлен, а степень v меньше степени f=x3—2, т.е. v — квадратный трехчлен. Запишем равенство

и составим таблицу для приравнивания коэффициентов:

Мы получили не слишком приятную систему — в ней 8 неизвестных и всего 5 уравнений. Для подхода к ее решению вспомним, что px2+qx+r — это наибольший общий делитель многочленов /и g и его можно найти алгоритмом Евклида, а если это сделать, то переменные р, q и г станут известны и получится система из пяти уравнений с пятью неизвестными.

Находить этот наибольший общий делитель, как мы увидим, необязательно, но сам факт подсказывает идею дальнейшего решения — можно для начала считать, что коэффициенты р, q и г известны, и выражать через них остальные коэффициенты.

Подставив а=-с в остальные уравнения, запишем полученную систему в стандартном виде — с неизвестными в алфавитном порядке:

b+2c+d=0, 2c+2d+e=p, 2c+2d+2e=q, -2b+2e=r.

Из второго и третьего уравнений сразу же получаем, что e=q-p, а тогда из четвертого имеем 2b=2e—r-—2pJc2q—r.

Далее, вычитая из второго уравнения первое, получим

-b+d+e=p,

откуда 2d=2p+2b-2e=2p-2p+2q-r-2q+2p=2p—r.

И наконец, из первого уравнения получаем

4c=-2b~2d=-(-2p+2q-r)-(2p-r)=-2q+2r.

Вспомним теперь, что наибольший общий делитель f и g — это многочлен наименьшей степени, который можно представить в виде fu+gv,

и заметим, что значения переменных а, Ь, с, d и е мы можем найти при любых р, q и г. Поэтому положим р=0, q=0, г=1, тогда имеем

е=0, 26=-1, 2</=-1, 2с=1, 2я=-1.

В результате получаем равенство

или

Из этого равенства при х=1/2 получаем

Поэтому исходная дробь равна

Напомним теперь, что в самом начале этого примера мы ограничились поиском многочленов и и v низких степеней. Однако тот факт, что мы смогли найти такие многочлены, не случаен. Дело в том, что теорема о линейном представлении наибольшего общего делителя может быть существенно уточнена.

Именно: наибольший общий делитель d многочленов f и g может быть не просто представлен в виде d=fu+gv, но всегда можно найти такие и и v, что степень и меньше степени g, а степень v меньше степени /

Доказательство достаточно просто: если уже найдены некоторые многочлены и и v, такие, что d=fu+gv, то, разделив и на g с остатком: u=gq+r, будем иметь

d=f(gq+r)+gv=fr+g (fq+v).

При этом степень «коэффициента» при g оказывается меньшей, чем степень /,— в противном случае степень g (fq+v) больше или равна сумме степеней многочленов g и f, т. е. больше степени слагаемого fr, так что степень правой части равенства, а следовательно, и наибольшего общего делителя d больше степени обоих многочленов g и f чего не может быть.

Требования к учащимся. После изучения материала этого параграфа учащиеся должны:

— уметь находить наибольший общий делитель двух многочленов с помощью алгоритма Евклида;

— уметь находить наибольший общий делитель двух натуральных чисел с помощью алгоритма Евклида;

— уметь в конкретных примерах выбирать лучший из двух способов нахождения наибольшего общего делителя — в случаях, когда это ведет к существенному сокращению вычислений.

Но учащиеся не обязаны:

— уметь приводить обоснование алгоритма Евклида.

§ 3.8. Основная теорема о делимости многочленов

Формально говоря, материал этого параграфа в настоящее время не входит в программу классов с углубленным изучением математики. Поэтому можно считать, что он весь предназначен не столько для учащихся, сколько для учителей. Однако в настоящее пособие он включен по нескольким причинам. Прежде всего основная теорема в определенной степени логически завершает изучение многочленов. Без этой идеи, без идеи неприводимости и разложения многочлена на неприводимые множители, не только нарушается внутренняя стройность самой теории, но учащиеся лишаются яркого и перспективного впечатления о параллельности двух совершенно непохожих внешне теорий.

Между тем именно подобные «совпадения» различных теорий являлись стимулом для создания общих алгебраических понятий и теорий. Как известно, и общеобразовательный, и углубленный курс математики имеют значительный крен в сторону математического анализа, тогда как алгебра в современном ее понимании в этих курсах фактически не представлена. Поэтому ознакомить учащихся на примере рассмотренной темы с алгебраическими подходами вполне целесообразно.

Далее, именно в силу упомянутого параллелизма учащиеся фактически, хотя и на другом языке, воспроизводят соответствующие понятия и утверждения теории делимости в множестве натуральных чисел. В настоящее время эта теория в курсе представлена лишь на самом примитивном уровне в младших классах, и, как показывает практика, учащиеся весьма слабо ориентируются в задачах, связанных с делимостью, в частности с решением уравнений в целых числах, поскольку им незнаком ни алгоритм Евклида, ни критерий взаимной простоты натуральных и целых чисел.

Наконец, одной из целей включения данного материала в пособие является его достаточно полное и, на наш взгляд, вовсе не фантастически трудное изложение, с тем чтобы каждый учитель мог сам решить, следует ли ему приводить его в конкретном классе, и определить при необходимости уровень изложения. Вполне допустимо, например, считать, что все соответствующие идеи и утверждения знакомы учащимся в теории делимости натуральных чисел, и опираться на их знания.

Более высокая мера точности языка потребует, однако, и более точной формулировки основной теоремы. Ее можно сформулировать тогда примерно следующим образом:

Теорема.

Каждый многочлен f со старшим коэффициентом а0 степени, большей или равной 1, либо неприводим, либо может быть представлен в виде произведения а0р]р2р3 ... рп, где рх, р2, ръ, рп — неприводимые многочлены со старшим коэффициентом 1, причем любые два таких произведения либо совпадают, либо отличаются только порядком сомножителей.

Нам не кажется, что эта строгая формулировка приемлема при обучении школьников, хотя, конечно, можно найти и «промежуточные» варианты строгости.

Что касается конкретных математических особенностей изложения, отметим, что все следствия мы вывели из основной теоремы. Между тем большая часть их может быть доказана и непосредственно, что

особенно важно для учителей, которые не будут рассматривать основную теорему с учащимися. Утверждения этих следствий часто используются для решения задач, связанных и с многочленами, и с натуральными и целыми числами, поэтому мы приведем соответствующие доказательства.

(4) Каждый многочлен степени, большей или равной 1, имеет по крайней мере один делитель, являющийся неприводимым многочленом.

В силе остается прежнее рассуждение.

Обратим внимание на некоторое изменение формулировки следствия: вне идей основной теоремы не имеет смысла говорить о неприводимых множителях.

(5) Два многочлена взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих делителей, являющихся неприводимыми многочленами.

Доказательство. Если многочлены имеют общий делитель, являющийся неприводимым многочленом, то он имеет степень больше 1, так что многочлены не являются взаимно простыми.

Обратно: если многочлены не взаимно просты, т. е. их наибольший общий делитель отличен от 1 и имеет степень, большую или равную 1, то по следствию 4 он имеет неприводимый делитель, который и будет общим для данных многочленов.

(6) Наименьшее общее кратное двух многочленов равно их произведению тогда и только тогда, когда они взаимно просты.

Это утверждение легко вытекает из теоремы о линейном представлении НОД.

(7) Если многочлены разделить на их наибольший общий делитель, то полученные частные будут взаимно простыми многочленами.

Доказательство. Пусть d — наибольший общий делитель f и g: f=dk, g=dl. По теореме о линейном представлении НОД его можно представить в виде d=fu+gv, откуда, разделив обе части на d, получаем ku+lv=\, так что частные к и f взаимно просты по критерию взаимной простоты.

(3) Произведение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного многочленов f и g равно произведению этих многочленов:

нод (/; g)-HOK(A g)=fg.

Доказательство. Пусть d — наибольший общий делитель f и g: f=dk, g=dl. Тогда по следствию 7 многочлены к и f взаимно просты. Произведение kl по следствию 6 является их наименьшим общим кратным. Таким образом, НОД (/, g) • НОК (/, g)=d • (kld)=f- g.

(10) Если произведение fg делится на h, a f и h взаимно просты, то g делится на h.

Доказательство. Если/ и h взаимно просты, то по критерию взаимной простоты существуют многочлены и и v, такие, что fu+hv=\. Умножив обе части этого равенства на g, получим, что fgu+ghv=g.

Оба слагаемых в левой части этого равенства делятся на h, а значит, и g делится на h.

(8) Если произведение fg делится на неприводимый многочлен р, то хотя бы один из сомножителей делится на р.

Доказательство. Это следствие вытекает из предыдущего: если f не делится на р, то по лемме 1 эти многочлены взаимно просты, а тогда g делится на р.

(9) Если многочлены f и g оба взаимно просты с h, то их произведение fg также взаимно просто с h.

Доказательство. Если fg и h не взаимно просты, то по следствию 4 они имеют общий делитель — неприводимый многочлен р,

т. e. fg и h оба делятся на р. По следствию 8 либо f, либо g делится на /?, а тогда один из этих многочленов не является взаимно простым с h.

(11) Если f делится на g и на h, a g и h взаимно просты, то f делится на gh.

Доказательство. Если f=gq, a g и h взаимно просты, то по следствию 10 второй сомножитель q делится на Л, т. е. q=hs, а тогда f=gq=ghs, так что f делится на gh.

Мы видим, таким образом, что непосредственные доказательства этих следствий — важнейших свойств делимости многочленов (и натуральных чисел) — достаточно непросты, каждое из них требует особого, далеко не всегда очевидного подхода. Напротив, выведение их из основной теоремы практически алгоритмическое рассуждение.

Поэтому мы бы не рекомендовали учителю вообще опустить изучение основной теоремы, и минимальный уровень мог бы состоять в приведении ее формулировки с необходимыми пояснениями и в выведении следствий.

Требования к учащимся. После изучения материала этого параграфа учащиеся должны:

— знать основную теорему на содержательном уровне;

— понимать ссылки на основную теорему;

— применять следствия из основной теоремы. Но учащиеся не обязаны:

— знать точную формулировку основной теоремы;

— знать доказательство основной теоремы.

Ответы, указания и решения

§ 1.1

1.

2. 47, /1+1.

3. а) 3 и 1; б) 0 и -2; в) -8я3 и 1; г) ас и 6 при 6^0, 1 при 6=0; д) 1 и 1; е) -1 и-1; ж) (-\)“п\, где п\ — произведение всех натуральных чисел от 1 до л, и 1; з) п\ и (-1)“.

4. а) я3; б) 63; в) аяНк; г) ак.

5. Коэффициент при х в произведении получается только из коэффициентов при X и свободных членов, и поэтому вместо остальных слагаемых в многочленах ставится многоточие, а) 3; (...+.*+1)3=

введем обозначения: fl=(x—2)2, коэффициент при х в многочлене /к. Свободный член каждого многочлена /к равен 4, поэтому fk+l = (+akx+2)2=+4akx+4, так что ак+]=4ак, и поскольку я, = -4, то далее последовательно или с помощью формулы общего члена геометрической прогрессии получаем

6. Эта задача аналогична предыдущей, но ее решение оформим иначе: если раньше мы писали многоточие вместо суммы одночленов степени >1, то теперь — вместо суммы одночленов степени >2. Более того, это многоточие не будем ставить и вместо знака равенства будем писать

знак = — смысл этого знака в данном случае не имеет, конечно, никакого отношения к тождественному совпадению многочленов и означает просто, что два многочлена имеют одинаковые слагаемые степени <2. Другими словами, f=g в том и только в том случае, когда разность f—g не имеет слагаемых степени, меньшей 3.

7. а) 2; б) 1, 2; в) 0, 6, 1, 0, 0, 0, 0; г) 0, 6, -1, 0, 0, 0, 0; можно заметить, что данный многочлен получается из предыдущего заменой х на — х; д) 5, 5; представить степень в виде произведения пяти сомножителей и заметить, что при их перемножении первая степень х получается, если в одном сомножителе взять х, а в остальных 1; аналогично получается х4; е) 15 и 15; ж) 0, Ь0с0, ^0с,+^,с0, Ь^+Ь^с^+^с^

11. Во всех задачах можно применить формулы куба суммы или разности, или формулы суммы или разности кубов, а) 2х34-6х; б) 2х34-24х; в) 15x415x4-35; г) 2х3-6х24-30х-26.

12. а) Положим /=х24-1, тогда многочлен равен (/4-х)(г—х)—12= — х2; б) -4х2—4х-5; положить /=х24-х; в) -1; перемножить первый сомножитель с четвертым, второй — с третьим и положить t=х2- 3x4-1;

14. Степень суммы и разности двух многочленов не выше степеней слагаемых. Если они имеют разные степени, то степень суммы и разности равна наибольшей из них. Если же степени равны, то при выполнении операции старшие члены многочленов могут взаимно уничтожиться, а при этом степень понизится.

15. а) 7; б) 26; в) ^996; г) 100; старшие члены слагаемых равны соответственно х100, -х100 и х1 , и поэтому старший член данного многочлена равен x100, так что степень многочлена равна 100; д) п при п четном и л-1 при п нечетном; старшие члены слагаемых равны соответственно х“ и (-l)V и при п нечетном взаимно уничтожаются; степень с показателем п—\ в оба слагаемых входит с коэффициентом 2п и при сложении «не исчезает»; е) п при п нечетном и п—\ при п четном.

на х-1, применить нужное число раз формулу разности квадратов и затем воспользоваться равенством, аналогичным полученному в задаче в).

17. а) X2. Положив t=x+l, заметить, что многочлен есть квадрат разности; б) л:3. Положив г=х+1, заметить, что многочлен есть куб разности; в) х4; г) х5. В полученных тождествах видны, в частности, следующие закономерности: знаки коэффициентов чередуются; коэффициенты, равноотстоящие от концов, равны; второй коэффициент противоположен степени рассматриваемого многочлена; данный многочлен в стандартном виде есть х в соответствующей степени. Если положить f=jc+l, то «следующее» аналогичное тождество будет иметь вид

Подставляя в это тождество значения t=\ и f= —1, получаем 2я-6~10=0, 2а+Ь+14=64,

откуда й=15, Ь=20.

Значит, «следующее» тождество имеет вид

18. а), б), в), г) 1. Решение аналогично решению предыдущей задачи: «следующее» тождество имеет такие же коэффициенты.

19. а), б), в), г) 0. «Следующий» многочлен имеет такие же коэффициенты, как в задаче 17.

20. а), б), в), г) 0. «Следующий» многочлен имеет при соответствующих произведениях коэффициенты 1, -5, 10, -10, 5, — 1, и его стандартный вид есть 6.

21. а) а=0,6=3. Перемножить многочлены в левой части и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях;

б) а=0, 6=1, с=2; в) я=1, 6=2, с=3; г) а=2, 6=0, с=1.

22. а) Заметить, что данный многочлен равен п — (п-\)2, разложить разность квадратов и заметить, что при п>2 оба множителя больше 1;

в) добавить и вычесть п и разложить полученную разность квадратов;

г) добавить и вычесть 4л2; д) разбить Ъп на два слагаемых; е) разбить — Ъп на два слагаемых; ж) данный многочлен равен 8л3-(л+1) ; з) записать многочлен в виде 8 л3—(я— I)3.

23. Если в условии подразумевается, что множители в левой части записаны в стандартном виде, то нельзя, а) Многочлены в левой и правой частях имеют разные степени; б) свободные члены многочленов в левой и правой частях различны; в) многочлены в левой и правой частях имеют разные коэффициенты при х“

24. а), е) Выражения не определены в точке х=0; б) выражение не определено в точке х= — \; в) если \[х =/ — многочлен степени п, то

корень. Но многочлен х2+1 корней не имеет — противоречие; б) если х- Jx2 + 1 =f — многочлен, то Jx2 + 1 =x—f — многочлен, что противоречит выводам задачи а); в) избавиться от иррациональности в знаменателе и рассуждать, как в задаче б); г) это выражение не определено в точке х=\; д) имеем

и поэтому данная дробь равна х3-х2+\, т. е. представима многочленом; е) имеем

§ 1-2.

1. а) f(-1)=-13, f(-2)=-38, f(-3)=-85, f(4)=-8; б) f(1)=7, f(2)=33, f(3)=115, f(-2)=25; в) f(-2)—162, f(-3)=-702, f(2)=-2, f(3)=78.

2. а) 1, 2, 3; б) ±2, -3; в) 1, 3; г) -2, 3; д) -1, -2; е) 1, ±2.

3. а) Нам необходимо найти неизвестные числа ах, а4.

Последовательно находим:

Таким образом, получаем таблицу:

Для решения задач, указанных в пунктах д) — з), заметим, что достаточно найти с. Для определения с решаем каждый раз либо линейное, либо квадратное уравнение: д) 2с-3=-1, с=1; е) 12с—7=-19, с=-1; ж) 2с2-12с+1 = -17, (с-3)2=0, с=3; з) Зс2-12с-1 = -13, (с-2)2=0, с=2. После определения числа с схема Горнера заполняется обычным образом.

6. а) Коэффициенты при четных степенях х положительны, а при нечетных степенях отрицательны, поэтому значение f(с) при отрицательном с положительно; б) этот пункт аналогичен предыдущему.

7. Сумма коэффициентов многочлена f(x) равна f(1), поэтому: а) З2; б) З3; в) 3,2+1; г) 537-1.

8. Знакопеременная сумма коэффициентов многочлена f(x) равна f(-1). В данном случае это значение равно 2, а не -1.

12. а), б) 1995 + 1996=2 (ап+ап_2+...). Противоречие: в левой части стоит нечетное число, а в правой — четное; в) допустим, что существует многочлен f(х)=а0хп+...+ап с целыми коэффициентами ai9 такой, что f(1)=2,f(3)=5 (одно из условий в задаче лишнее). Тогда 3=f(3)-f(1)= = ...=а0(3“—\)+а1 (3я-1 —1)+...+а„_, (3— 1). Получено противоречивое равенство, поскольку число 3 нечетно, а все разности вида 3я—1 являются четными числами.

§ 1.3.

1. Простое число р имеет ровно два натуральных делителя 1, р (это определение простого числа) и четыре целых делителя ±1, ±р.

2. Если р — простое число, то: а) р2 имеет делители 1, р, р2; б) ръ имеет делители 1, р, р2, ръ\ в) 25 имеет делители 1, 2, 22, 23, 24, 25; З6 имеет делители 1, 3, З2, З3, З4, З5, З6; 54 имеет делители 1, 5, 52, 53, 54; 73 имеет делители 1, 72, 73.

3. Все делители числа рк для простого р имеют вид 1, р, р2,... , рк~\ рк (этих чисел &+1)

4. Делители 15: 1, 3, 5, 15. Делители 16: 1, 2, 4, 8, 16. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Число 30=2 '3-5 имеет 8 делителей, и их удобно записать в виде таблицы:

1

2

3

6

5

10

15

30

Сначала записываем числа 1, 2, потом умножаем каждое из них на 3 и получаем первую строку таблицы; умножая каждое из чисел первой строки на 5, заполняем вторую строчку. В большой таблице содержатся три маленькие таблицы (количество простых делителей числа 30 равно трем). Числа 935 = 5 • 11 • 17 и 899=29 • 31 имеют 8 и 4 делителя соответственно.

5. Если m — натуральный делитель числа N, то т=р1 р2 ... рп , где 0<1(<кг Значит, чисел m столько же, сколько наборов (/,, /2, /я). Поскольку f, принимает одно из значений 0, 1, к]9 то для f, имеется

/с, +1 возможностей. Аналогично для /2 имеется к2+1 возможностей и т. д. Значит, число натуральных делителей числа N равно произведению

10. а) -1. Пусть f — многочлен, коэффициенты которого записаны в верхней строке схемы Горнера, тогда фактически в задаче требуется найти целые корни уравнения f(x)=0; б) 2 (здесь речь идет об уравнении f(х)=1); в) -1; г) -3.

Заметить, что положительных корней уравнение

3jc5+ 13jc4+ 15х3+ 10х2+7х+ 12=0

не имеет — все его коэффициенты положительны.

11. а) ±1, ±2, ±4, ±8. Переписав уравнение в виде jc4-7jc3+ + 3jc2-ajc-8=0, заметим, что его старший коэффициент равен 1, так что все его рациональные корни целые и являются делителями числа 8. С другой стороны, если с — целый корень уравнения, то после подстановки его в уравнение получается верное равенство, которое можно рассматривать как уравнение относительно а. Это уравнение всегда имеет решение, поскольку с^О. Поэтому всякий делитель числа 8 при некотором а является корнем уравнения; б) ±1, ±7, ± -у,

12. а) —2, 0. Заметить, что старший коэффициент уравнения равен 1, так что всякий его рациональный корень должен быть целым;

б) -7, 3, -51, -49. Если уравнение 2х3+ях+5=0 имеет дробный корень •Е- (<7>1), где числа р и q взаимно просты, то 2p3+apq2+q3=0, так что 2р делится на q . По теореме о рациональных корнях 2 делится на q, так что q=2, и, значит, 2р3 делится на 8, т. е. р делится на 2. Следовательно, р и q имеют общий делитель 2, что противоречит предположению о том, что эти числа взаимно просты. Отметим, что, повторяя

почти дословно приведенные рассуждения, можно доказать общее утверждение:

Если старший коэффициент и свободный член многочлена с целыми коэффициентами взаимно просты, то все рациональные корни многочлена целые;

в) -4, -10. Эти значения получаются при подстановке вместо х чисел ±1. Числа ±7 не являются корнями ни при каких а: если, например, 3 • 15+а • 72+7=0, т. е. 3 • 74+7я+1=0, то 1 делится на 7 — противоречие, г) -1, -17, -145, -143. Уравнение может иметь только корни ±1, ±2.

13. a)p+q= 1. Многочлен х5-2х3+1 имеет единственный целый корень х=\, который и должен быть корнем первого многочлена; б) p=l, q—\ или р=5, q=3. Целыми корнями многочлена jc5-3jc3+<7jc+1 могут быть только 1 и -1. Число 1 является общим корнем при p+q=2 и q=\, т.е. при /7=1, q=l, а -1 — при -p+q+2=0, q=3, откуда р=5, q=3.

14. а) —2. Если к — целый корень многочлена f, то 26 делится на к, а f(1)=123 делится на к—\. «Большие» делители числа 26: ±13 и ±26 — второму условию не удовлетворяют; б) 2. Так как f(1)=-1, то к —1 = ±1, так что к равно 0 или 2.

15. а) Если к — целый корень данного многочлена f, то по дополнительной теореме о целых корнях f(1)=17 делится на к—\, а f(—1)=13 делится на к+\. Следовательно, к—\^{±\, ±17}, к+\^{±\, ±13}, т.е. к^{2, 0, 18, —16}, /с^{0, —2, 12, —14}. Единственное общее для этих множеств число 0 не является корнем уравнения, так что уравнение не имеет целых корней; б) данный многочлен не имеет положительных корней: если к>\ — целый корень f, то f (к)>76—Л0>0. Пусть к<0 — корень /; выпишем в таблицу отрицательные делители числа 40 — в нее входит и число к:

-1

-2

-4

-8

-5

-10

-20

-40

Составим еще две таблицы — для первой из них увеличим все делители числа 40 на 1, а для второй — уменьшим на 1:

0

-1

-3

-7

-4

-9

-19

-39

-2

-3

-5

-9

-6

-11

-21

-41

В первой таблице имеются числа к+\ — делители числа f(—1)= —32, во второй — числа к—\ — делители числа f(1)=36. Поэтому к+1 равно -1 или -4, а значит, к равно —2 или -5. Тогда к—1 равно -3 либо —6. Оба этих числа входят во вторую таблицу, так что дополнительная теорема о целых корнях «исчерпала свои возможности». Однако решение легко заканчивается из других соображений: —2 не является корнем данного многочлена, поскольку при х=-2 сумма первых трех слагаемых делится на 8, а сумма последних двух слагаемых равна -84, так что на 8 не делится. Точно так же при х= — 5 сумма первых трех слагаемых делится на 125, а сумма последних двух слагаемых равна —150.

§ 1.4.

1. a) q=x—2; б) q=x+3; в) q=х2—2х+2; г) д=.х2+2л;+3; д) q—x2—2\

е) #=х2+2; ж) ?=2jc3+2;c+ 1; з) ?=jc3-2jc-1.

2. а) Утверждение верно. Если многочлены f и g делятся на А, т. е. f=hqlf g=hq2, то их сумма и разность f+g=hql+hq2=h (qx+q2), f-g=hql—hq2=h(q]—q2) также делятся на h. Если f и f+g делятся на А, то их разность (f+g)—f=g делится на А; б) достаточно в формулировках и рассуждениях задачи а) заменить слово «многочлен» на «целое число».

4. а) Бесконечно много: f=c*y-^f j, т.е. любой многочлен делится на любое число, не равное 0; б) бесконечно много: /= (с/), т. е. любой многочлен f делится на любой многочлен с/, где с — любое число, не равное 0.

5. См. решение задачи 4.

6. а) /2, /з, /4, /7; б) /„ /з, U

7. g„ g2-

8. А„ /г4.

9. а) Не может. Так как данные многочлены имеют одинаковые степени, то в частном от деления должно получиться ненулевое число, а поскольку старшие коэффициенты многочленов равны, то это число равно 1, так что многочлены должны быть равны. Однако они имеют разные коэффициенты при х2; б) может. Так же как в задаче а), данные многочлены отличаются множителем, и из сравнения старших коэффициентов следует, что этот множитель равен 2. Тогда должны выполняться равенства а=2(а+1), Ъ-2.

10. а) Два многочлена делятся друг на друга в том и только в том случае, когда они отличаются ненулевым числовым множителем (в частности, совпадают). Если f=hxg, g=h2f, то f=hxh2f, deg/=deg A,A24-deg/ deghxh2=0, т.е. hxh2 — ненулевое число. Сравнивая старшие коэффициенты f и л,/22/, получаем А,А2=1, т.е. А, — ненулевое число; б) из решения задачи а) следует, что такие многочлены отличаются ненулевым числовым множителем, а поскольку их старшие коэффициенты равны, то этот множитель равен 1; в) натуральные числа, делящиеся друг на друга, равны. Целые числа, делящиеся друг на друга, либо равны, либо отличаются знаком.

+; д) q=x+х+\, г=0; е) q=x +х +х + ...+jt +1, г=0. Разбиваем слагаемые многочлена f на 20 групп по 20 слагаемых, последнее из которых равно g, предпоследнее равно gjc20, затем gx40 и т. д.;

ж) q—x +х +х +х + 1, г=0. Представить f в виде разности пятых степеней (x399)5-l, тогда

f=(x -\)((х ) +(х )+(х )+дс + 1);

з) так как f=x (х]995—\)+х—\, то частное равно х<?, где q — частное из задачи ж), а остаток равен х— 1; и) <7=х5(л;1()5+л'98+л'91 + ...+ 1), r=x5—1.

12. Если f—gq+r, то — =q+ — , где дробь — правильная. Поэтому для выделения целой части дроби следует разделить ее числитель на знаменатель с остатком.

13. а) -3, -1, 3, -7. Разделив 2л-1 на «4-2 с остатком, получим 2п— 1 =2 (и+2)-5, так что целая часть данной дроби равна 2, а правильная часть равна • Поэтому данная дробь будет целым числом, если делится на и+2, что выполняется при п+2=±\, ±5; б) -1, -5. При делении числителя f на знаменатель g появляются дроби, и, для того чтобы их избежать, домножим сначала числитель на 27 — при делении «уголком» придется 3 раза делить на старший коэффициент знаменателя

3. Тогда получим равенство 54/=(Зл+4) (18л2-24я+23)-11, так что правильная часть дроби ^ равна » и эта дробь будет целым числом при 3/7+4= ± 1, ±11, т.е. при п=-\ и при п=— 5. Так как f(-5)=-242 делится на g (—5)= —11, то оба найденных значения удовлетворяют условию задачи; в) 0, 1, 2, 3; г) -1.

14. а) 5т—4. Данная дробь сократима при тех же значениях л, что и обратная дробь. Пусть обе они сократимы на некоторое натуральное число к^\. Разделив числитель обратной дроби на ее знаменатель с остатком, будем иметь л2+л-7=(л+4) (л-3)+5, так что к является делителем 5, т.е. к—5. Тогда /1+4=5т, п=5т—4, п2+п-1=25т2-35т+5, так что числитель и знаменатель данной дроби делятся на 5, т. е. она сократима на 5; б) ЗА:— 1 ; в) ни при каких п. Пусть натуральное число к^\ — общий делитель числителя и знаменателя дроби. Так как ai3-5/z2+5/z-2=(«2-3/z+1)(/2-2)-2/2; 2(л2-3л+1)=2л (л-3)+2, то А: — делитель 2, т. е. к равно 2. Однако знаменатель данной дроби при любом п является нечетным числом, так что полученное значение к не удовлетворяет условию задачи; г) ни при каких п.

15. При q^q2 из равенств f=gq\+rl=gq2+r2 получаем, что g (q\—q2)=r2—rl, а тогда многочлен в левой части имеет степень, большую или равную степени g, а в правой части — меньшую степени g, что невозможно. Значит, q\—q2, а тогда г,=г2.

16. Доказательство аналогично проведенному в предыдущей задаче.

17. а) я=-2, Ь=\; б) а=2, 6=0; в) а=-2, Ъ=-\\ г) а=2, Ь=\.

18. а) с=3. Если в произвольный многочлен f подставить любые многочлены р и q, то разность f(p)~f(q) будет делиться на p—q: эта разность является суммой выражений вида p—q с некоторыми коэффициентами, а всякая такая разность делится на p-q. Теперь представим данный многочлен f в виде х4+5х2+6—х (Зх24-9) и положим g=х2 4-5x4-6 и h = 3x+9. Тогда f—g (x2)-xh (х2). Разности g (x2)-g (—с) и h (x2)-h (-с) делятся на^х24-с, и поэтому (g (x2)-xh (x2))—(g (~c)-xh (-с)) также делится на х2+с. Следовательно, f делится на х +с в том и только в том случае, когда g (-c)-xh (-с) делится на х2+с, что возможно только при g (—c)=h(—с)=0. В нашем случае должны выполняться равенства с -5с+6=0 и — Зс4-9=0, откуда с=3. Значительно более простое решение получается методом, описанным в самостоятельной работе 4; б) не существует. Провести рассуждение такое же, как в задаче а), которое в данном случае приведет к двум уравнениям относительно с, не имеющим общего решения.

19. а) cq, er; б) c~xq, г.

20. Эти утверждения следуют из правила деления «уголком».

21. a) 81?=27х3-9х24-66х+38, 81г= - 170jc-157. Рассмотреть многочлен 81/ и применить утверждение задачи 19; б) 8 lg=27x3+ 18х2 4- 138x4-23, 81г=322х4-127; в) 32#= 16х4+24х2-8х+76, 32г=64х2-188х-44; г) 32<?= = 16х4+48х2+8х+48, 32r= -64х2-244-16.

22. Не может. При делении «уголком» многочлена с целыми коэффициентами на многочлен с целыми коэффициентами получается многочлен с целыми коэффициентами. Поскольку при этом свободный член произведения f=gh равен произведению свободных членов сомножителей, то свободный член f делится на свободный член g. Однако 2 не делится на 3.

§ 1-5.

1. а) д=-5; б) а=-1.

2. а) X4—X3—X —х—2. Заметить, что верхнюю строку схемы Горнера можно восстановить по ее нижней строке; б) х4+х3+х2+х+1; в) х5-5л:4+

4. а) (х—а)2 (х2+ах+а2). Заметить, что а является корнем многочлена, и дважды применить схему Горнера с числом —а. Получившийся квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант и на множители не раскладывается; б) (х+а)2 (х2-ха+а2). Заметить, что —а является корнем многочлена; в) (х—2а) (х-а) (х+а) (х+2d). Если вынести за скобки множитель а и ввести переменную *=~> то получится многочлен

aV-5/2+4)=u4(/2-l) (t2-4)=a4(t-\) (/4-1) (/-2) (/+2);

г) (х4-а) (х4-2я) (х2—ах+а2). Проще всего сгруппировать первые два и последние два слагаемых и затем разложить на множители сумму кубов.

7. а) 1, -у; б) -1, ~~2> —2—' в) ^* Скобки в правой части удобно раскрыть с помощью схемы Горнера снизу вверх. После преобразований получится уравнение 4х4— 11х3+8х2—7х+6=0, у которого следует подобрать рациональные корни; г) -5, -2, -~, -j-. После необходимых преобразований получается уравнение 6jc4+37jc3 + 26х2-43;с+10=0.

8. а) Рассмотреть данное выражение как многочлен от переменной а и доказать, что число —Ъ является его корнем; в) рассмотрим многочлен с целыми коэффициентами/=хъ+а+ЬЪ— ЪаЬх. Тогда f(—a-b)= —(a+b)3 +a3+b3 + 3ab (a+b)=0, т. e. —a—b — корень f, и по теореме Безу найдется многочлен g с целыми коэффициентами, такой, что f=(x+a+b) g. Поэтому f(c)=(c+a+b) g(c), т. е. f(c) делится на с+а+Ь; д) применение рассуждений, аналогичных использованным выше, здесь нецелесообразно: вычислить значение данного выражения при а=Ь+\ практически невозможно. Однако нужное утверждение нетрудно доказать с помощью тождественных преобразований. Именно, обозначив произведение двучленов через h, после многократного применения формулы разности квадратов получим, что (а—Ь)Ь=ат—Ьш, и, умножив данное выражение f на а-Ь, будем иметь (a-b)f=(a-b) (ат-Ьт)-(ат-Ьт)= =(am-bm) (а-Ь-\). п ч (а-Ь)х , а + Ь

9. а) —2--1—2~~ ' определению деления с остатком существует многочлен q, такой, что /=(jc—1) q+a, sl по теореме Безу остаток от деления q на х+1 равен #(-1), так что q=(x+1) u+q (— 1), и поэтому

и остается найти значение #(-1). Второе условие задачи означает по теореме Безу, что f(— l)=b, а тогда из полученного выше равенства при х= — 1 получаем, что b=f(— \)=—2q откуда q (—1)= -у- .

Подставляя это значение в выражение для f, получаем искомый остаток r(/; x2—1); б) (a—b)x+2a—b. Задачу можно решать так же, как и предыдущую, но мы покажем еще один путь решения. По определению деления с остатком многочлен f можно представить в виде /=(х+1) (jc+2) u+px+q, а по теореме Безу f(-1)=я, f(-2)=6, т.е. a=-p+q, b=-2p+q9 откуда и находятся коэффициенты р и q;

10. а) ^—^ +2 7^7^. Покажем два новых приема решения задач такого типа. Положим g=x—a, h—х—Ь. Тогда по теореме Безу f=gpl + l=hp2+2, ?=ghpx+h, fg=ghp2+2g, f(h-g)=gh(p-p2)+h-2g.

Так как h—g=a—b — число, отличное от 0, то искомый остаток есть частное от деления линейного многочлена h-2g на. это число. Второй прием основан на следующей идее: искомый остаток является линейным многочленом и каким-то образом, естественно, связан с заданными многочленами g и h. Поэтому его разумно искать в виде так называемой линейной комбинации многочленов g и А, т. е. в виде ug+vh, где u и v — некоторые числа. Тогда по определению деления с остатком мы имеем равенство f=ghq+ug+vh, из которого при х=а и при х=Ь получаем, что \=f(a)=v (a-b), 2=f(b)=u(b-a), откуда и получается искомый остаток; б) (* ~ ^ ~ С] +2 +3 fc^g . Остаток от деления многочлена f на кубический многочлен (ле—а) (х—Ь) (х—с) является многочленом степени, не большей 2, и по аналогии со вторым решением предыдущей задачи его разумно искать в виде линейной комбинации квадратных трехчленов, «сконструированных» из линейных двучленов х-а, х—Ь и х—с. Тогда будем иметь равенство

f=(x—a) (х—Ь) (х—с) q+u (х—Ь) (х—c)+v (х—а) (х—c)+w(x—а) (х—Ь),

откуда f(a)=\=u (а~Ь) (а~с), f(b)=2=v (Ь~а) (Ь~с), f(c)=3=w (с-а) (с~Ъ).

Из этих равенств сразу же находятся неизвестные коэффициенты u, v, w, а следовательно, и искомый остаток.

12. а) /=8 (х2+х2+\). Обратите внимание на структуру выражения полученного для остатка в предыдущей задаче и попробуйте написать аналогичное выражение для четырех линейных двучленов. Если вам это удастся, вы откроете так называемую интерполяционную формулу Лагранжа для построения многочлена по его значениям. В действительности так можно найти и многочлен любой степени п, если известны его значения в п+1 точках; б) /=^-(—4х +30х -65х+45).

13. а) X. Данный многочлен f имеет степень не выше 2 и при значениях X, равных а, Ь, с, принимает значения а, Ь, с. Поэтому многочлен f(x) имеет три различных корня, что возможно только в случае, когда этот многочлен — нулевой; б) х1.

14. Первое же утверждение в условии неверно: можно лишь утверждать, что многочлен в левой части имеет степень не больше 2, так что получаемое после преобразований уравнение необязательно будет квадратным. В действительности рассматриваемое равенство является тождеством.

15. a) ±ljl. Многочлен в левой части уравнения равен х\ б) 1,0.

Многочлен в левой части уравнения равен х2, многочлен в правой части равен X.

16. Это тождество означает, что 0 — корень уравнения 156).

17. а) (1, 0), (1, -1). Из первого уравнения выражаем х=у2+у+\ и после подстановки во второе и преобразований приходим к уравнению у4+4у3+1у2+4у=0, имеющему корни 0 и -1; б) (1, 0), (1, 1). После подстановки х=у2—у+1 в первое уравнение и преобразований получаем уравнение /+/-2у=0; в) (z, t)=(29 1) и (z, t)=(2, 2); г) (-1, 1), (-1, 2).

18. а) (1, 0), (2, 1); б) (1, 1), (2, -1); в) (1, 1), (2, -1); г) (2, 2), (3, 0).

Приведем подробное решение двух последних пунктов. Заметим вначале, что после выделения полных квадратов и замен переменных:

Выражая переменную f через переменную

и подставляя это значение f во второе равенство, получим уравнение

Используя схему Горнера, находим корни этого уравнения:

Следовательно, получаем четыре решения вспомогательной системы:

Отсюда, переходя к исходным переменным:

получаем ответ:

20. По условию f (x2)+xg (х2)=(х2-2) h для некоторого многочлена h. Подставляя в это равенство вместо х число Jl, получим f(2)+ Jig (2)=0. Поскольку числа f(2) и g (2) рациональны, а число 72 иррационально, то f(2)=g (2)=0, тогда по теореме Безу многочлены f и g делятся на х—2.

21. а) Числовые многочлены. Если многочлен f имеет степень п и а0 — его старший коэффициент, то многочлен f(3jc+2) имеет старший коэффициент 3“я0, равный я0, только при п=0. Следовательно, многочлен f — числовой; б) f=ax, где а — любое число или /=0. Если многочлен / имеет степень п, то f(x2) имеет степень 2«, a xf(x) — степень и+1. Поэтому п=\ и f=ax+b. Тогда выполняется тождественное равенство многочленов ах2+b=ax2+bx, откуда b=0, а — любое число; в) /=ях3, где а — любое число. Если многочлен f имеет степень п, то Зл=л+6, откуда я=3, т. е. f=ax3+bx2+cx+d и ax9+bx6+cx3+d=x6 (ax3+bx2+cx+d). Сравнивая коэффициенты левой и правой частей при jc8, jc7, jc6 и jc3, получаем b=c=d=0; г) многочлен f — нулевой. Если число является корнем многочлена f, то и а+3 является его корнем — при х=а+3 имеем (я+4)f(я+3)=(я-3)f(я)=0. Так как число 6 является корнем f, то он имеет бесконечно много корней и, следовательно, является нулевым; д) числовые многочлены. При х=1, 2, 3,... получим, что f(0)=f(1)=f(2)= =..., т.е. многочлен f принимает значение f (0) бесконечно много раз, а следовательно, многочлен /-f(0) имеет бесконечно много корней. Но это может быть только в случае, когда эта разность является нулевым многочленом; е) /=х“ или /=0. Запишем многочлен f в виде xn+g (jc). Тогда имеем равенство многочленов x2n+g (x2)=x2n+2xng (x)+(g (jc))2, или g (x2)=2xng (x)+(g (x))2. Если многочлен g имеет степень к, то левая часть имеет степень 2к, а в правой части первое слагаемое имеет степень п+к, второе — степень 2к <п+к, так что степень правой части равна п+к и больше степени левой части. Это противоречие показывает, что многочлен g — нулевой.

22. а) Так как f(xs) делится на jc—1, т.е. f(x5)=(x-\)g, то f(1)=0, и по теореме Безу f=(x-\)h, так что f (х5)=(х5-\) h (х5); б) запишем многочленf(jc3) в видеf(jc3)=(jc7- 1 \х+10) g (jc). Тогда, заметив, что число 1 является корнем многочлена jc7— 11jc+10, получаем f(1)=0. Значит, многочлен f делится на jc—1, т. е. /=(х— 1)А, откуда и следует, что f(x5) делится на jc5-1.

§ 1.6.

Прибавить и вычесть х , «свернуть» первые три слагаемых как квадрат разности и положить

Прибавить и вычесть 4х2, «свернуть» первые три слагаемых как квадрат суммы и положить

3. а) 1, -2±л/3. Пусть t=x+-, тогда t2—2=x2+ —, и получается квадратное уравнение относительно /; б) - ±^ , — 3± л/Л). При t=x—-^- имеем t2+2=x2+ \, и относительно t получается квадратное уравнение; в) —-z— . При t=x+-имеем x~ + —=t — 3t, и получается кубическое уравнение t -3t=6t; г) —^— > -2- '

4. а) 1±72, 2±7б. Положим f= ^ - j , тогда после деления обеих частей на (2х+\)2 получим уравнение /2-3/+2=0; б) 1± 73 . Подстановка i= ~jr[ приводит к уравнению 2/2-3/-2=0; в) 2± JI , - Положим f= ^ + 2 и введем еще одну переменную w=x-\. Тогда ;c+2=w+l и f= - - 2 • Затем решаем квадратные уравнения относительно f и w; г) —-z—. Использовать подстановку /=—2-•

5. а) (х2+1)2-12. Прибавить и вычесть 1; б) (jc2+1)2-jc2. Прибавить и вычесть х2\ в) (х2+1)2-(*72 )2. Прибавить и вычесть 2х2; г) х*+2хъ + 2х2+2х+1 =(х2+х)2+х2+2х+1 =((х2+х)+ \)2-2(х2+х)-1 +х2+ +2jc+1=(;c2+.x+1) 2-х2.

6. а) 2± 73 , - • Разделить обе части уравнения на х2 и положить t=x+-^-; б) - ±^>, 1±72. После деления обеих частей уравнения на je2 получится уравнение, для решения которого используется подстановка t=x—-^-; в) 3±7П, ^ ± ТЗЗ ^ разделить 05е части уравнения на х2 и положить t=x— — ; г) —3±272, —-. Разделить обе части уравнения на X и положить --.

7. а) 1, 2±л/3, —?—• После деления на х-1 получается возвратное уравнение; б) -1, —2±л/5, - j —. После деления на х+1 получается уравнение х4+5х3+2х2-5х+1 =0, для решения которого положить f=x— ; в) 1, ±72, 1± л/3 . После деления на х -1 получается уравнение x4—2х3-4х2+4х+4=0, для решения которого положить t—x— -у ; г) -1, -2±72, ^ • После деления на х+1 получается уравнение х4+9х3+24х2+18х+4=0, для решения которого положить t=x+ —. — 3 it л/5

8. а) —=—, -3±2*j2. Положив f=(x+l)2, получим уравнение fx= — (/+2х)2 и, разделив обе его части на х2, придем к уравнению z2+5z+4=0, где z=-у; б) 7, -у, 2± J5. Положить z=(x-l)2, t=x+\, записать уравнение в виде zt=2 (z-3t)2 и перейти к “=у ; в) —у— .

Положить у=(х+\)2; г) ^ ' ^ ' Положить Z=(-T~2)2, /=х+3.

9. а) (х2+Зх+1) (х2-2х+3). Из равенства х4+х3-2х2+7х+3=(х2+дх+1) (х2+6х+3), приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получаем

12. б) Если при некоторых аи b верно равенство х4+5х3+х2- 12х+6= =(х2+ях+2) (х2+6х+3), то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему: 5=а+Ь, \=5+аЬ, — \2=За+2Ь. Из первого и третьего равенств имеем я=-22, 6=27, но при этих а и b не выполнено второе равенство; г) пусть х5-х4-4х3+4х+3=(х3+ях2+6х+3) (х2+сх+1). Тогда —\=а+с9 — 4=1+дс+6, 0=д+6с+3, 4=Ь+Зс. Из первого и четвертого равенств с=—а—\, 6=4-3с=4+3 (я+1)=Зя+7, и, подставляя полученные значения во второе и третье равенства системы, после соответствующих преобразований получаем, что а2—2я—12=0, Зя2+9а+4=0. Однако эти уравнения не имеют общих корней.

§ 1.7.

1. а) Пусть s=(a, b), t=(a, b-ac). Докажем, что числа s и t делятся друг на друга. Так как а и b оба делятся на s, то ас и Ь-ас также делятся на s; следовательно, t делится на s. С другой стороны, числа а и Ь—ас делятся на f, поэтому b=(b—ac)+ac делится на t, так что и а, и b делятся на а значит, и их наибольший общий делитель s делится на /. Но два натуральных числа, делящиеся друг на друга, равны, т. е. s=t; б) доказательство буквально повторяет предыдущее. Однако приведенное утверждение в действительности не совсем точно: равенство имеет место, только если считать наибольший общий делитель нормированным многочленом, т. е. имеющим старший коэффициент 1. В общем случае можно утверждать только, что указанные наибольшие общие делители ассоциированы, т. е. отличаются числовым множителем.

2. а) Пусть п>6. Если п нечетно: п=2т+\, то п=т+(т+\), а числа m и т+1 взаимно просты. Если п=4т, то имеем представление п=(2т— \)+(2т+1), причем в соответствии с пунктом 1а) (2т— 1, 2т+\)=(2т—\, 2т+\-(2т-\))=(2т—\,2)=\. Если же п=Лт+2, то п=(2т—\)+(2т+3), причем (2т-1, 2m+3) = (2m-l, 4)=1; б) пусть f — данный многочлен и а0 — его старший коэффициент. Так как каждый многочлен имеет конечное число корней, то существуют целые числа 6,, ... , Ьп, не являющиеся его корнями. Положим g=b0(x—b})...(x—bn), где b0^a0. Каждый делитель (положительной степени) многочлена g является произведением многочленов вида x—bk, а многочлен f на такие многочлены (по теореме Безу) не делится. Следовательно, (/, g)=l, а тогда (g, f—g)=(f, g)=l и f=g+(f—g) — сумма взаимно простых многочленов той же степени, что и /.

3. а) Пусть (а, Ь)=\. Тогда по теореме о линейном представлении НОД для некоторых целых чисел и, v выполняется равенство au+bv=\. Умножив это равенство на с, получим acu+bcv=c. Так как все слагаемые в левой части делятся на а, то и с делится на а; б) если с делится на а и Ь, то ас делится на ab, be делится на ab, и, значит, левая часть равенства acu+bcv=c (см. решение задачи а)) делится на ab, откуда следует, что с делится на ab.

4. а) Если d=(ac, be), то d делится на с. С другой стороны, числа ас и be оба делятся на d, а тогда и c—acu+bcv делится на d, поэтому c=d; б) положим s=(a, be), t=(a, с). Тогда а и be делятся на s, и, следовательно, c=acu+bcv делится на s, так что (a, c)=t делится на s. С другой стороны, а делится на t, be делится на с, а значит, и на любой его делитель, в частности на /. Следовательно, s делится на f, откуда s=t; в) пусть к=[а, Ь]. Так как к делится на а и на b, а числа а и b взаимно простые, то к делится на ab. Обратно: поскольку ab кратно и а, и Ь, то ab делится на наименьшее общее кратное к, поэтому к—ab; г) положим s=[a, be], t=[a, с] b. Так как [а, с] делится на с и на а, то t делится на be и на а, так что t делится и на их наименьшее общее кратное s. С другой стороны, s делится на be и на а, т. е. s=kbc делится на а, и поскольку а и b взаимно просты, то по задаче За) кс делится на а. Так как кс делится на с и на а, то кс делится на [а, с],

а произведение kbc делится на произведение [а, с] 6, т. е. s делится на t и s=t; д) пусть к=[ас, Ьс]. Число к делится на ас и be, k=mac=nbc, т. е. ma=nb, и это число делится и на а, и на Ь. Но тогда оно делится на ab — по задаче 36), так что к-mac также делится на abc. И наоборот, abc делится как на ас, так и на Ьс и, значит, делится на их наименьшее кратное к, и, следовательно, k=abc.

5. Заметим, что если d=(a, b) и a=md, b=nd, то числа тип взаимно просты: из равенства d=au+bv легко следует, что \=mu+nv. а) Пользуясь пунктом а) предыдущей задачи, имеем (ас, bc)=(mcd, ncd)=cd-(a,b)c\ б) по пункту д) предыдущей задачи [ас, bc] = [mcd, ncd\=mncd=(mnd) с= =[md, nd\c=[a,b]c; в) согласно решениям задач б) и 4в) [a,b] (я, 6)= [md, nd\d=[m, п] d2=mnd2=(md) (nd)=ab.

7. a) a=lt+\. Используя доказанные свойства, будем иметь (4а+3, 20я+1)=(4я+3, (20а+1)-5 (4я+3))=(4я+3, -14)=(4я+3, 14). Но число 4я+3 нечетно, и поэтому (4а+3, 14)=(4я+3, 2 • 7)=(4я+3, 7) по задаче 46). Значит, дробь сократима тогда и только тогда, когда 4а+3 делится на 7. Разделив а с остатком на 7, a=lq+r, получим, что 4 (lq+г)+3 делится на 7, т. е. 4г+3 делится на 7, а из возможных остатков (от О до 6) это верно только при г=1. Таким образом, данная дробь сократима только при a=lt+\; б) a=\\t+3. Имеем

и далее проводится рассуждение такое же, как и в задаче а); в) a=\\t+7. Имеем

8. а) 307+1. Пусть п при делении на 2, на 3 и на 5 дает в остатке 1. Тогда и=2я+1 = 36+1 = 5с+1, т.е. п— 1 делится на 2, на 3 и на 5, так что делится и на НОК (2, 3, 5)=30, т.е. л-1=30/, п=Ш+\; б) 60/+59. Если п — искомое число, то л=Зя+2=46+3 = 5с+4, и, следовательно, п+1 делится на 3, на 4 и на 5, т.е. п+\ делится на 60; в) 35^+16. Пусть п=5а+1 =76+2, отсюда следует, что 76+1, а значит, и 26+1 делится на 5, и если при делении на 5 число 6 дает остаток г, b=5q+r, то 2r+1 делится на 5, что верно только при г=2, так что b=5q+2, п=35#+16. Ясно, что верно и обратное: число п такого вида при делении на 5 дает остаток 1, а при делении на 7 — остаток 2; г) 140т+79. Пусть л=4я+3 = 56+4=7с+2. Такими же рассуждениями, как в задаче в), из первого равенства получаем, что 6=4/:+3, а тогда второе равенство принимает вид 20&+17=7с, откуда —к+3 делится на 7, т.е. /:=7т+3. Тогда 6=28т+15, л=5(28т+15)+4= 140т+79.

9. Пусть g — отличный от постоянной общий делитель многочленов f+x и f2+x2. Так как (f+x, f2+x2)=(f+x, (f2+x2)-(f+x)(f-x))= =(f+x, 2x2), то 2x2 делится на g, откуда следует, что многочлен g имеет вид ах, так что g (0)=0. Поскольку f+x делится на g, т. е. f+x=gk, то

f(0)=0. И наоборот, если f(0)=0, то f делится на х и данная дробь сократима на х.

10. а) f(0)=0. (/+*. f2+2x2)=(f+x9 f2+2x2-(f2-x2))=(f+x, Зх2); б)f(0)=0 илиf(-4)=8. Так как (f+2x,f2+x3)=(f+2x,f2+x3-(f2-4x2))= =(f+2x, jc3+4jc2), то данная дробь сократима тогда и только тогда, когда сократима дробь --г = —--2, т. е. /+ 2х делится на х или на х+4. По теореме Безу это выполняется, если f+2x обращается в 0 при х=0 или при х=—4, т. е. либо f(0)=0 — тогда дробь сокращается на X, либо f(-4)=8 — тогда дробь можно сократить на х+4; в) f(0)=0. Ясно, что при f(0)=0 данную дробь можно сократить на х. Имеем (f2+x2,f3+x3)=(f2+x2,f+x3-(f2+x2)f)=(f2+x2, x-fx\ Еслиf(0)*0, то (/2+jc2, jc2)=1, и поэтому (/2+х2, jc3-/jc2)=(/2H-x2, f-x)=(f-x, f2+x2-(f2-x2))=(f-x, 2х2). Значит, если данная в условии задачи дробь сократима, то ее числитель и знаменатель обязаны делиться на х, т. е. f(0)=0 — противоречие. Итак, мы доказали, что f(0)=0 и дробь сократима на х; г) f(0)=0. Так как

(/+*. f+x4)=(f+x, /+хА-(/+х)(Г-х)(/2+х2)) = =(/+*, 2х\ то f(0)=0.

11. f=—x+a, где а — любое число. Многочлен /1995+хт5 делится на f+x; дробь не сокращается ни на один многочлен положительной степени только в случае, когда f+x — числовой многочлен.

12. а) х2—\, (х— 1) (х—2) (х2-\). Использовать равенства (fh, gh)= =(/, g)h и {f g) [f g]=fg; 6) (x+2) (x+3), (x2-\) (x+2) (jc+3); в) x2+x+U (x+\)(x+2)(xT+X+1); r) x2+3x+4, (x+\) (x+2) (x2+2x+3) (x2 + 3x+4). Многочлены x2+2;c+3 и (x+\) (x+2) взаимно просты — в противном случае они имели бы общий делитель степени 1, а его корень был бы корнем обоих многочленов, однако первый из них не имеет корней; д) х-1, (jc— 1) (jt+l)2 (jc2+jc+2). Подобрав корни, выделить линейные множители; е) jc+1, (х+\) (х2+\) (х2+х-\): ж) (х+1) (х+2), (х+\)(х+2)х

15. Использовать равенство

Отсюда следует, что г) приведем для чисел т и п алгоритм Евклида

Для многочленов fm справедливы равенства

Сложив эти равенства получим

17. а) (5, 4). Из первого уравнения следует, что числа х и у взаимно просты, так что 20=[х, у]=ху=у (у+1); б) (2, 10) и (10, 2). Из первого уравнения следует, что числа х и у оба четные. Положим х=2а, у=2Ь. Тогда 2=(х, у)=2(а, Ь) и 10=[х, у] = [2а, 2Ь]=2[а, Ь]9 т.е. (а, Ь)=\, [а, Ь]=5. Поскольку число 5 простое, то одно из чисел а и b равно 1, а другое 5; в) (18, 12). Следует найти два делителя числа 36, отличающиеся друг от друга на 6,— это 6 и 12 или 12 и 18; г) (3,66), (6,33), (33,6) (66, 3). Положить х=3а, у=ЗЬ.

18. Пусть с=\[2. Тогда с3=2. а) Разделим многочлен х—2 на jc+3:

х3-2=(х+3) (х2-Зх+9)-29 — и при х=с получим равенство (с+3)х

х(с -Зс+9)=29, откуда —---^-; ж) будем искать рациональные числа х, у, z, такие, что справедливо равенство (с2+2с+3)х x(xc2+yc+z)= 1. Раскрывая скобки и используя равенство с3=2, представим левую часть этого равенства в виде квадратного трехчлена относительно с:

Следовательно, в качестве х, yf z можно взять решение системы 3jc+2y+z=0, 2x+3j>+2z=0, 4jc+2y+3z=l. Вычитая из первого равенства второе, получим x~y~z=0, т. е. x=y+z. Подставляя найденное значение для X во второе и третье равенства исходной системы, получим систему из двух уравнений от двух переменных: 5>>+4z=0, 6>>+7z=l. Отсюда

§ 1.9.

2. Не делится. Показатель числа 2 в каноническом разложении числа 20! равен 18.

3. а) 15; б) 28- 33. (10!, 210 • 33)=(283452 • 7, 210 • 33)=2833; в) 5! • 10 • 24.

(10!, 5! • 105)=5! (6 • 7 • 8 • 9 • 10, 105)=5! • 10 • (24 • З3 • 7, 24 • 54)=5! • 10 • 24;

г) 297 • З29. Подсчитаем показатели, с которыми множители 2 и 3 входят в каноническое разложение числа 100!. В это произведение входят, прежде всего, по 33 тройки от множителей 3, 6, 9, 99, делящихся на 3. Но множители, делящиеся на 9, — это 9, 18, 99 (их всего 11) — дают еще по одной тройке, а делящиеся на 27, т. е. 27, 54 и 81, — дополнительно по одной тройке, и, наконец, число 81 дает еще одну тройку. Поэтому общее число троек равно 33+11+3+1=48. Аналогично подсчитывается число множителей 2: оно равно 50+25+12+6+3 + 1=97. Такими же рассуждениями получается и общая формула: число р входит в произведение п\ с показателем, равным

где [к] — целая часть числа к.

4. Составное число п является произведением n=ab, в котором оба сомножителя больше 1. Если а<Ь, то a2<ab=n, так что a<Jn. Значит, простой делитель числа а также будет не больше Jn.

5. Эти свойства уже были доказаны для делимости целых чисел в решениях упражнений к § 1.4. Их буквальное повторение с заменой слов дает доказательство и для многочленов. Однако сами доказательства, проведенные в этом параграфе, требуют серьезной изобретательности. Основная теорема позволяет получить все необходимые свойства почти автоматически, а) Так как gh делится на f, то все неприводимые множители многочлена f входят в каноническое разложение многочлена gh, причем с не меньшими показателями, чем в /. Но f и g взаимно просты, и поэтому все множители многочлена f входят в разложение многочлена gh, так что h делится на /; б) так как f и g взаимно просты, то их канонические разложения не содержат общих неприводимых множителей, и поскольку многочлен h делится и на f, и на g, то он содержит все эти неприводимые множители в том же числе, в котором они входят в f и g, и поэтому делится на произведение fg; в) по правилу построения наименьшего общего кратного двух многочленов в него входят общие неприводимые множители этих многочленов с большим показателем степени. Так как f и g взаимно просты, то для вычисления наименьшего общего кратного их неприводимые множители надо объединить, так что в результате получится их произведение; г) сначала мы не будем делать предположения о взаимной простоте многочленов f и g. Пусть неприводимый множитель р входит в разложения многочленов f, g, h

с показателями соответственно а, Ь, с. Так как многочлены f и g в условии задачи равноправны, то можно считать, что а<Ь. Тогда в произведение fli множитель р входит с показателем а+с, в gh — с показателем Ь+с, в наибольший общий делитель — с показателем а+с. Поэтому данное в условии равенство выполняется только при а=0, т. е. в случае, когда f и g не имеют общих неприводимых множителей. С другой стороны, с «нужным» показателем а+с множитель р входит именно в произведение (/ g) h, и поэтому мы получили более общее утверждение: для любых многочленов f и g (fli, gh)=(f, g) h — в обе части этого равенства неприводимый множитель р входит с показателем а+с; д) пусть неприводимый множитель р входит в разложения многочленов f g, h с показателями соответственно а, Ь, с. Будем считать, что а<Ь. Тогда в произведение fli множитель р входит с показателем а+с, в gh — с показателем Ь+с, в наименьшее общее кратное [fli, gh] — также с показателем Ь+с. С другой стороны, в произведение fgh множитель р входит с показателем а+Ь+с, и поэтому данное равенство верно только при а=0, т. е. в случае, когда f и g не имеют общих неприводимых множителей. Тем самым утверждение д) доказано, но одновременно получено более общее утверждение: для любых многочленов f и g [fli, gh]= ~[/ S] h — в обе части этого равенства неприводимый множитель р входит с показателем Ь+с.

6. В каноническом разложении произведения имеется данный неприводимый многочлен, и поэтому он имеется в разложении одного из сомножителей.

7. а), б) См. решение задачи 5; в) равенство следует из правил построения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного и из следующего очевидного соображения: сумма большего а и меньшего b из двух различных чисел равна сумме этих чисел. Это утверждение полезно записать символически:

8. а) Пусть неприводимый множитель р входит в разложения многочленов f, g, h с показателями соответственно а, Ь, с. Тогда по формуле, приведенной в решении задачи 7, в левую и правую части равенства он входит с показателями min {min {a, b}, с} и min {a, min {b, с}}. Но каждое из этих чисел — не что иное, как наименьшее из чисел а, Ь, с; б) в решении задачи а) поменять min на max, а «наименьшее» — на «наибольшее»; в) задача сводится к доказательству равенства

Допустим, что a<b, а тогда я<тах {Ь, с}, и равенство принимает вид я=тах {a, min {а, с}}. Но это равенство верно, поскольку а>а, a>min {а, с}. Аналогично рассматривается случай а>Ь; г) задача сводится к доказательству равенства

Доказанные равенства выглядят несколько иначе, если использовать вместо квадратных и круглых скобок другие обозначения — например,

f® g для наибольшего общего делителя и /© g для наименьшего общего кратного:

Не надо обладать большой фантазией, чтобы увидеть в свойствах а), б), в) привычные свойства операций сложения и умножения чисел — два сочетательных закона и распределительный закон. Ясно, конечно, что перестановочные законы также выполняются: f ® g=g <8> f / © g= =g ® f. Стоит обратить внимание и на «лишний» распределительный закон г): аналогичное равенство a+bc=(a+b) х (а+с) для чисел, конечно, не имеет места.

9. Рассмотрим числа т+2, ли+З, га+100, т+101. Если удастся подобрать m так, чтобы первое из них делилось на 2, второе — на 3 и т. д., то все указанные числа будут составными. Для этого достаточно, чтобы само число m делилось на 2, на 3 и так до 101. Ясно, что этим свойством обладает число т=101!

10. а) Если привести все слагаемые к общему знаменателю 7!, то в числителе дроби получится сумма, в которой каждое слагаемое, кроме последнего, содержит множитель 7. Поэтому сумма на 7 не делится, т. е. в каноническом разложении числителя нет простого множителя 7. В то же время этот множитель имеется в знаменателе, и, следовательно, данная сумма целым числом не является; б) обозначив данное число через к, заметим, что произведение W.k есть сумма целого числа и дроби -jc, т. е. не является целым числом; в) в решении задачи а) заменить число 7 числом р; г) предположим, что данное число к целое, и обозначим через m наименьшее общее кратное знаменателей дробей, входящих в запись числа к, а через t — наибольшее число, для которого 2'<п. Умножая обе части равенства к=2~1+ 3~] +...+п~1 на га, получаем km—... . Левая часть последнего равенства является четным числом, в правой части выделенное особо слагаемое нечетно, а все остальные слагаемые четны — противоречие.

11. а) Из равенства v5=~~> где тип взаимно просты, вытекает равенство 5п2=т2. Следовательно, в каноническом разложении числа m имеется простой множитель 5, и поэтому он имеется и в разложении числа т. Но тогда в m число 5 входит с показателем, вдвое большим, т. е. большим 1, и поэтому из равенства 5п=т2 следует, что и л2, а значит, и п содержит множитель 5, т. е. числа тип делятся на 5. Но они взаимно просты и не могут оба делиться на 5— противоречие; б) заменить в решении задачи а) число 5 числом р. Можно, однако, рассуждать и совершенно иначе — с применением теории многочленов. Именно: число Jp является корнем многочлена х2—р, который не имеет целых корней —

простое число не может быть квадратом целого числа. А поскольку старший коэффициент этого многочлена равен 1, то он не имеет и дробных корней, и, следовательно, его корень Jp не является рациональным; в) пусть а= Jp2 + q2 и p<q. Если число а — рациональное, то оно является целым, поскольку оно является корнем многочлена x2-(p2+q2), старший коэффициент которого равен 1. При этом a>q, т.е. a—q>\9 и поскольку

то меньший сомножитель a—q равен 1, а больший a+q равен р2. Значит, число р2 может быть разложено на различные натуральные множители только двумя способами. Таким образом,

a=q+1, p2+q2=(q+1)2, откуда p2=(q+\-p) (q+\+p). Так как p<q, то число q+l-p больше 1. А так как q+1 +р>р, то q+1 —р<р, а такого множителя число р“ не имеет.

12. Предположим, что рх, р2, ps — все простые числа. Число A=pj)2... ps+\ больше каждого из этих чисел, т.е. не совпадает ни с одним из них, и, следовательно, оно составное. Его каноническое разложение содержит хотя бы один простой делитель, содержащийся в приведенном списке всех простых чисел. Однако числа А и А + \ не могут иметь общего простого делителя. Полученное противоречие показывает, что предположение о том, что множество простых чисел конечно, неверно.

§ 2.1.

Разложить данный многочлен по степеням

3. а) После разложения многочлена по степеням х— -у получим

б) разложить многочлен по степеням х— -у. Схему Горнера можно записать в виде:

Так как —^---g- >0, то первая поставленная звездочка изображает положительное число, а тогда и на всех местах, помеченных звездочкой, стоят положительные числа.

4. Обозначим многочлен, стоящий в левой части уравнения, через f, и пусть с — корень f, причем с<-3; положим d=—c. Тогда f(—d)=0 и d>3. Поэтому d — корень уравнения -х3-5;с2+5.х+20=0, т. е. корень многочлена g=x3 + 5x2—5x—20. Но g можно представить в виде (х—3)3+14 (х—3)2+52 (ле—3)+37, и поэтому он не имеет корней, больших или равных 3. Аналогично, разложив многочлен f по степеням ле—6, получаем f=(x—6)3+13 (ле—б)2+43 (ле—6)+26, откуда следует, что/не имеет корней, больших 6.

5. Рассмотрим схему Горнера:

Допустим, что многочлен f=x“—a]x“~l — ...—an(aj>0) имеет корни Ь>а>0. Тогда bn=f(a)=0. Все коэффициенты bl9 b2, ... , bn_x неотрицательны: если bk<0, то bk+l=bka+(—ak+i)<09 и bk+2<09 ... , bn<0 — противоречие. Значит, в третьей, четвертой и последующих строках схемы Горнера участвуют только неотрицательные числа, т. е. многочлен f как многочлен от х—а имеет неотрицательные коэффициенты, так что f(b)>0. 6. а) Утверждение следует из схемы Горнера:

б) Убедитесь, что в разложении многочлена по степеням х—с свободный член и коэффициент при х—с равны нулю.

7. Многочлен делится на (х+1)3 в том и только в том случае, когда в его разложении по степеням х+1 последние три коэффициента равны 0. Убедитесь, что это невозможно ни при каких а и Ъ.

8. В разложении многочлена f по степеням х—т:

f=b0(x-m)n+bl(x-m)n-] + ...+bn все коэффициенты целые и bn=f(m). Подставив в это равенство х= — и умножив обе его части на q“, получаем

K(p-qm)n+bx (p-qm)n~lq+...+bn_x(p-qm) q n~l+bnqn=Q.

Так как все слагаемые, кроме последнего, делятся на p—qm, то и bnq также делится на p—qm. Числа p—qm и q“ взаимно просты — всякий их общий делитель является общим делителем р и q, так что Ьп делится на p—qm. Заметим, что следствием доказанного утверждения при т = ±\ является дополнительная теорема о целых корнях.

9. а) Многочлен /=6х6+7х3-6х2+х+21 имеет не более двадцати четырех рациональных корней: ±1, ±3, ±7, ±21, ±у, ±у, ±у, ± у , ± —, ± —, ±-?-, --^ - Если -у — рациональный корень многочлена /, то по дополнительной теореме о целых корнях число р—q — делитель числа f(1)=29, a p+q — делитель числа f(—1)=13. Первому условию удовлетворяют из перечисленных лишь числа у, у, , но ни одно из них не удовлетворяет второму условию; б) если — — рациональный корень многочлена f, причем числа р и q взаимно просты, то, подставив в уравнение и умножив обе части полученного равенства на q55, получим 24p55-4\p53q2+\26p52q3—92pq5A+S0q55=0. Все слагаемые в левой части, кроме второго, четны, так что произведение p53q2 четно, но так как сомножители р и q взаимно просты, то только одно из чисел р и q четно. Если р четно, то разность 92/7</54—80#55 делится на 253, поскольку на это число делятся первые три слагаемых из левой части указанного равенства. Значит, на 253делится также и разность 92p-S0q. Так как числа р и q не превосходят по модулю 80, то 92/7—80#=0, откуда вытекает, что q делится на 23, что, очевидно, невозможно. Если же q четно (значит, р нечетно), то все слагаемые, кроме второго, делятся на 8, следовательно, число q делится на 4. Но тогда все слагаемые, кроме первого, делятся на 16. Однако первое слагаемое, делящееся на 8, не может делиться на 16 — противоречие.

10. Пусть — — корень f и дробь — несократима. Тогда в соответствии с решением задачи 8f(я) делится на p—aq, т.е.- \p—aq\=\9 и аналогично \p—bq\ = \p — cq\=\. Из трех чисел л, Ь, с найдутся два, на-

пример а и b, для которых p—aq=p—bq, откуда (a—b) q=0, q=0, что невозможно.

11. Пусть -у — корень/ и (р, q)=l. Тогда в силу решения задачи 8

§ 2.2.

2. Подставьте в формулу бинома Ньютона а=Ь=\ и я=1, Ь= — \ соответственно.

3. При сравнении коэффициентов получается равенство сп к= сп_х k+cn_u k_v Другими словами, числа в треугольнике Паскаля и биномиальные коэффициенты вычисляются по одним и тем же правилам, и поэтому биномиальные коэффициенты можно искать с помощью треугольника Паскаля.

4. а) 4, 6, 4, 1. Если шары занумеровать цифрами от 1 до 4, то перебрать все способы выбора двух шаров можно с помощью двузначных чисел — каждое число составлено из номеров выбранных шаров: 12, 13, 14, 23, 24, 34; выбрать три шара — это то же самое, что не выбрать один шар. Полученная последовательность 4, 6, 4, 1 — четвертая строка треугольника Паскаля без первой единицы; б) по аналогии с задачей а) можно предположить, что получится пятая строка треугольника Паскаля: 5, 10, 10, 5, 1. Для ее получения следует перечислить способы выбора двух шаров: это 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45; в) поскольку (jc+l)“=(.x+l) (jc+1)... Сх+1), то при раскрытии скобок одночлен хп~к возникает несколько раз. Такой одночлен появляется, если из п множителей выделить к, в которых взять слагаемое 1, а из остальных множителей взять л:. Следовательно, число Скп равно числу способов выбора к предметов из данных п предметов. В частности, естественно считать, что С°п=\ — коэффициент бинома (х+\)“ при х“ в стандартном виде равен 1.

5. а) Так как С°5 + С\ = С\, то данная сумма равна с\ -f С\ + ..Л С\2, а поскольку сумма двух первых слагаемых равна С7, то можно продолжить аналогичным образом; б) перенести 1 = С°п + х в левую часть и рассуждать, как в задаче а).

§ 2.3.

1. В данном уравнении/?=3, ^=—4, и поэтому л: = + J5 + \jl - J5 . Между тем это уравнение легко решается без формулы Кардано: число 1 является его единственным корнем, а мы вместо единицы получили «очень иррациональное» выражение. Выход из полученного противоречия ясен — это выражение на самом деле равно 1:

Решая задачу разными способами, мы вполне могли получить один и тот же ответ, но в разных формах.

3. а) Очень вероятно, что это равенство «происходит» из теоремы Виета, и поэтому можно попытаться найти уравнение вида x3+px+q=0, корнем которого является левая часть равенства. Сравнивая ее с формулой Кардано, положим

откуда #=-14, р=3, и искомое уравнение есть х3+Зх-\4=0. Оно имеет единственный корень — число 2.

Это же уравнение может быть получено из более простых идей, не связанных с формулой Кардано. Если обозначить левую часть равенства буквой с, то, пользуясь формулой куба суммы в виде (а+Ь)3= =a3+b3 + 3ab (a+b), получим равенство с3 + 3с—14=0, так что с является корнем полученного выше уравнения; в), г) эти равенства, очевидно, не имеют отношения к формуле Кардано, но могут быть решены тем же приемом, что во втором решении задачи а). Нетрудно заметить также, что подкоренные выражения в левой части — полные квадраты чисел l±JI.

4. Применить приемы, использованные в двух предыдущих задачах или в задаче 1. В процессе решения получится уравнение х3+9х—100=0, корнем которого является х=4.

5. Разложив левую часть уравнения по степеням х— 1 с помощью схемы Горнера, получим относительно новой переменной у=х—\ уравнение у3+3j>-2=0. Поскольку левая часть уравнения — возрастающая функция, то это уравнение имеет единственный корень, который и получается по формуле Кардано. В конце решения перейти к неизвестному х.

6. Корни уравнения очевидны — это 1, -1 и 0, а формула Кардано оказывается совершенно бессмысленной:

Именно «самый хороший» случай, когда уравнение имеет три различных действительных корня, и приводит, как оказалось, к необходимости извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, т. е. к введению комплексных чисел. Оставаясь только в рамках действительных чисел, пользоваться формулами Кардано мы не можем.

§ 2.4.

2. а) (-1; 1). Пусть некоторое комплексное число z записано в двух видах: z=a+bi и z=c+di. В этом случае а=с и b=d: из равенства a+bi=c+di получаем (a—c)+(b—d) i'=0, и если b^d, то /=^—^ , т.е. i — число действительное — противоречие, но тогда и а—с=0. Полученное утверждение называется условием равенства комплексных чисел: a+bi=c+di в том и только в том случае, когда а—с и b—d. Данное уравнение можно переписать в виде (x+2y)+i (х+3у)= 1 +2/, откуда получаем систему х+2у=\, х+3у=2; б) (2; 1); в) (2; 3); г) (1; 1).

3. а) Чисто мнимое. Заметить, что 1+2+...+1997= 1997 • 999 — нечетное число; б) чисто мнимое. Заметить, что сумма любых четырех идущих подряд слагаемых равна 0, и поэтому данное число равно первому или последнему слагаемому; в) действительное. После возведения в пятую степень суммы 2+/ и разности 2—i коэффициенты при нечетных степенях числа i оказываются противоположными; г) действительное.

4. г) В силу свойства в) z : t - t = (z : t) ¦ t = z.

6. a) z= 1, t=i. Можно применить любой из способов решения системы линейных уравнений с двумя действительными переменными; б) z=l+/, t=i.

8. 325=13 • 25=(22+32) (32Н-42)=(2 • 3-3 • 4)2+(2 • 4+3 • 3)2=62+172; 433=172+122. Из тождества Эйлера вытекает, что если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то и их произведение является суммой двух квадратов.

9. Проверьте, что действительные числа совпадают со своими сопряженными, и воспользуйтесь задачей 4.

10. g,, g3, g4. Докажем, что g, делится на х2+\. Для этого с учетом задачи 9 достаточно проверить, что число i является корнем многочлена g,. Так как f =1, i =i • i -i =-1, i =-1, то i —2i —1 = —1+2-1=0.

11. A,, A3, A5, A6. Напомним, что формула корней квадратного уравнения получена в учебнике с помощью тождественных преобразований. Эти преобразования сохраняют силу и в поле комплексных чисел, откуда следует, что в поле комплексных чисел всякое квадратное уравнение, т. е. всякий квадратный трехчлен, имеет корень. Если с — любой из

двух корней трехчлена х2+х+\, то из формулы разности кубов получаем, что с3-1=(с— 1) (с2+с+1)=0, т.е. с3=1. Поэтому

12. а) р и г. Идея решения подсказывается равенством 7=22+2+1. Заменяя в каждом из данных чисел основание степени 2 переменной X, мы получим многочлен f, для которого, так же как в задаче 11, проверяем, делится ли он на х2+х+\. Если это верно, то в частном получается многочлен g с целыми коэффициентами, откуда и следует, что данное число делится на 7: f(2)=g (2) (22+2+1). Многочлен /=(jc15-l)2+jc6+l на х2+х+1 не делится, и мы разделим его с остатком:

где а и Ъ — действительные числа. Подставляя в это равенство корень с многочлена jc2+.x+1 и учитывая, что с3=1, получаем 2=ас+Ь. Отсюда следует, что а=0 — в противном случае число с было бы действительным, при этом Ь=2. Следовательно,

и, подставляя в это равенство число 2, получаем q=7g (2)+2. Следовательно, число q на 7 не делится; б) р, q и г. Заметить, что 26=52+1; в) р и s. Заметить, что 101 = 102 +1 ; г) р и s. Заметить, что 111=3-37, и проверить отдельно делимость на 3 и на 37=62+1; можно также воспользоваться равенством 111 = 102 -h 10 -h 1.

Содержание

К учителю...................................... 3

Раздел I. МНОГОЧЛЕНЫ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1.1. Действия с многочленами. Степень многочлена............ 6

§ 1.2. Значение и корни многочленов...................... 13

§ 1.3. Целые и дробные корни многочленов................. 18

§ 1.4. Деление многочленов с остатком.................... 24

§ 1.5. Корни и линейные множители многочленов.............. 31

§ 1.6. Разложение многочленов на множители................ 38

§ 1.7. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов.................................... 45

§ 1.8*. Основная теорема о делимости многочленов............. 52

§ 1.9*. Следствия основной теоремы...................... 55

§ 1.10*. Доказательство основной теоремы.................. 59

Раздел II. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

§ 2.1. Формула Тейлора.............................. 62

§ 2.2. Бином Ньютона............................... 64

§ 2.3. Формула Кардано.............................. 68

§ 2.4. Еще раз о пользе комплексных чисел.................. 71

Раздел III. МЕТОДИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

§ 3.0. Общий подход к изучению темы «Многочлены с одной переменной» ...................................... 75

§ 3.1. Действия с многочленами. Степень многочлена............ 81

§ 3.2. Значения и корни многочленов...................... 86

§ 3.3. Целые и дробные корни многочленов................. 89

§ 3.4. Деление многочленов с остатком.................... 92

§ 3.5. Корни и линейные множители многочленов.............. 97

§ 3.6. Разложение многочленов на множители................ 100

§ 3.7. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов ...................................... 106

§ 3.8. Основная теорема о делимости многочленов............. 109

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ..................... 112

Учебное издание

Дорофеев Георгий Владимирович

Пчелинцев Сергей Валентинович

МНОГОЧЛЕНЫ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Т. Г. Войлокова Младший редактор Н. В. Сиделъковская Художник П. А. Барбаринский Художественный редактор Т. В. Морозова Технический редактор Л. М. Абрамова Корректор Г. М. Махова

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции OK 005-93— 953000. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.96. Сдано в набор 22.09.2000. Подписано к печати 26.04.2001. Формат 60X90 716. Бумага офсетная № 1. Гарнитура Тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л. 9. Усл. кр.-отт. 9,5. Уч.-изд. л. 8,76. Тираж 7000 экз.

Заказ № 1311 <к л>.

Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Издательство «Просвещение» Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 127524, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Государственное унитарное предприятие Смоленский полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1.

ИЗДАТЕЛЬСТВО

«Просвещение»

МЫ ПРЕДЛАГАЕМ:

книги крупным и мелким оптом со складов издательства; контейнерную отгрузку во все регионы России и страны СНГ;

Книгу—почтой :

127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, издательство «Просвещение», «Книга—почтой». Телефон: 289 50 26

E-mail: prosv@online.ru http://www.prosv.ru

Нашу литературу оптом и в розницу можно приобрести в магазине

«Книги

«ПРОСВЕЩЕНИЯ»

127521, Москва, ул. Октябрьская, 89 Телефоны: (095) 289 44 44, 289 60 44

Факсы: (095) 289 60 26, 289 62 35 ПРОЕЗД:

ст. метро «Белорусская»,

далее трол. 18 до ост.

«Гостиница «Северная»;

авт. 12 до ост.

«1-й Стрелецкий пер.»;

ст. метро «Рижская»,

далее трол. 18, 42, авт. 84

до ост. «Гостиница «Северная».

Написанная известными математиками и педагогами, книга отличается:

- доступностью и логической строгостью изложения теоретического материала;

- равномерным сочетанием теории и дидактики;

- наличием методических рекомендаций для учителя.

Просвещение