Давидов А. Ю. Начала тригонометрии. — Изд. 3-е. — М. : изд. кн. маг. наслед. братьев Салаевых, 1885. — 166, II с.

НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРІИ

А. Давидова,

ОРДИНАРНАГО ПРОФЕССОРА

ИМПЕРАТОРСКАГО МОСКОВСКАГО УНИВЕРСИТЕТА,

ИЗДАНІЕ ТРЕТЬЕ.

ИЗДАНІЕ КНИЖНАГО МАГАЗИНА НАСЛѢДНИКОВЪ

БРАТЬЕВЪ САЛАЕВЫХЪ.

МОСКВА.

Типографія Э. Лисснеръ и Ю. Романъ, Арбатъ,

домъ Платонова.

1885.

ОТДѢЛЕНІЕ I.

ГОНІОМЕТРІЯ.

Глава I.

О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХЪ ЛИНІЯХЪ.

ВВЕДЕНІЕ.

§ 1. Треугольникъ, представляя простѣйшій видъ фигуры, служитъ основной формою, къ которой приводятся изслѣдованія свойствъ не только прямолинейныхъ, но и криволинейныхъ фигуръ. Теоретическая также какъ и практическая геометрія съ ея разнообразными приложеніями основываютъ главные свои выводы на свойствахъ треугольниковъ, а потому изученіе ихъ составляетъ одинъ изъ важныхъ отдѣловъ чистой и прикладной математики.

Во всякомъ треугольникѣ непосредственному разсмотрѣнію подлежатъ три стороны и три угла, называемые частями его; остальныя величины, встрѣчающіяся при разсматриваніи треугольника, какъ его высота, площадь, радіусы вписаннаго и описаннаго круговъ и т. п., зависятъ отъ первыхъ, и могутъ быть вычислены, когда первыя извѣстны. Изъ равенства же треугольниковъ слѣдуетъ, что вообще треугольникъ опредѣленъ, когда даны три его части, если но крайней мѣрѣ одна изъ этихъ частей есть сторона, и элементарная геометрія показываетъ, что треугольникъ въ этомъ случаѣ можетъ быть построенъ. Изъ этого мы заключаемъ, что между шестью частями всякаго треугольника существуютъ такія взаимныя отношенія, что три изъ этихъ частей опредѣлены, когда остальныя три извѣстны. Выражаясь алгебраически, мы скажемъ, что части тре-

угольника должны быть связаны между собою тремя уравненіями, посредствомъ которыхъ опредѣляются три изъ нихъ, когда прочія три даны.

Элементарная геометрія указываетъ на одно изъ этихъ уравненій, — что сумма угловъ треугольника равняется двумъ прямымъ, и еще на другое, существующее только для прямоугольнаго треугольника, — что квадратъ гипотенузы равняется суммѣ квадратовъ двухъ катетовъ; объ остальныхъ она умалчиваетъ. Между тѣмъ, если бы эти соотношенія намъ были извѣстны, мы имѣли бы возможность по тремъ даннымъ частямъ вычислить остальныя. Правда, что посредствомъ линейки, циркуля и транспортира мы можемъ построить треугольникъ и опредѣлить неизвѣстныя части непосредственнымъ измѣреніемъ. Но этотъ пріемъ далеко не строгъ, и можетъ быть употребленъ только въ такихъ случаяхъ, которые не требуютъ особой точности; кромѣ неизбѣжныхъ погрѣшностей при самомъ построеніи и измѣреніи данныхъ и искомыхъ частей, неточность увеличивается еще вслѣдстіе того, что построеніе большею частью совершается въ уменьшенномъ масштабѣ, и незначительнымъ, даже совершенно незамѣтнымъ погрѣшностямъ въ чертежѣ могутъ соотвѣтствовать замѣтныя ошибки въ искомыхъ величинахъ. Для опредѣленія неизвѣстныхъ частей треугольника съ желаемой точностью можетъ быть употребленъ только одинъ пріемъ — вычисленіе ихъ. Но для этого необходимо знать алгебраическія соотношенія, связывающія стороны и углы треугольника.

§ 2. Тригонометрія есть ученіе о рѣшеніи треугольниковъ; разрѣшить треугольникъ значитъ по достаточному числу данныхъ опредѣлить неизвѣстныя части его посредствомъ вычисленія.

Для достиженія своей цѣли тригонометрія вводитъ особыя величины, зависящія отъ мѣры угловъ, которыя называются тригонометрическими функціями*).

Тригонометрическія функціи не только служатъ для рѣшенія треугольниковъ, устанавливая извѣстныя соотношенія между его

*) Если два количества находятся въ такой зависимости, что каждой величинѣ одного соотвѣтствуетъ опредѣленная величина другаго, то говорятъ, что одно изъ нихъ есть функція другаго. Напр. площадь круга есть функція его радіуса; пространство, пройденное падающимъ тѣломъ, есть функція времени паденія.

сторонами и углами, но встрѣчаются также во многихъ другихъ вопросахъ чистой и прикладной математики; вслѣдствіе этого тригонометрія распадается на два отдѣла, — на ученіе о свойствахъ тригонометрическихъ функцій, называемое гоніометріею, и рѣшеніе треугольниковъ, называемое собственно тригонометріею. Послѣдняя дѣлится снова на двѣ части,— на прямолинейную тригонометрію, излагающую пріемы для рѣшенія прямолинейныхъ треугольниковъ, и сферическую тригонометрію, показывающую способы рѣшенія сферическихъ треугольниковъ, т. е. треугольниковъ, образованныхъ на поверхности шара тремя дугами большихъ круговъ.

Мѣра угловъ.

§ 3. Углы обыкновенно выражаются чрезъ извѣстное число градусовъ, минутъ и секундъ. Но въ тригонометріи принято кромѣ того еще и другое выраженіе ихъ, а именно: за мѣру угла принимаютъ длину дуги, заключающейся между его сторонами и описанной изъ его вершины радіусомъ равнымъ единицѣ.

Это допущеніе основано на слѣдующихъ соображеніяхъ. Пусть будутъ LM, PQ, RS (черт. 1) дуги различныхъ радіусовъ, соотвѣтствующія центральному углу АОВ, и mn дуга, которой радіусъ Om равняется единицѣ. Основываясь на предложеніи, что дуги, соотвѣтствующія одному и тому же центральному углу, пропорціональны своимъ радіусамъ, находимъ

Отсюда заключаемъ, что отношеніе дугъ центральнаго угла къ своимъ радіусамъ есть величина постоянная, равная длинѣ дуги радіуса единицы. На этомъ основаніи и принимается за мѣру угла отношеніе дуги къ радіусу, или, что все равно, длина дуги радіуса равнаго единицѣ. Вслѣдствіе этого, такъ какъ длина окружности радіуса единицы равняется 2тг, всякій уголъ выражается нѣкоторой частью отъ

Черт. 1.

2іг. Напр. прямой уголъ равняется 90° или-^ = ^=1,57079..., уголъ, составляющій 6-ю часть отъ четырехъ прямыхъ равняется 60° или —= g = 1,04719...; сумма угловъ треугольника будетъ 180° или іг.

На этомъ основаніи разсматриваемъ углы и дуги какъ выраженія тожественныя и употребляемъ ихъ безразлично, разумѣя подъ ними числовыя ихъ величины.

Не трудно преобразовать одно выраженіе угла въ другое. Положимъ, что уголъ содержитъ а градусовъ. Такъ какъ длина всей окружности равняется 2іг и содержитъ 360°, то одному градусу соотвѣтствуетъ длина дуги въ , а углу въ а градусовъ — длина дуги въ . Наоборотъ, если уголъ выражается дугою, которой длина есть а, то замѣтивъ, что вся окружность 2it содержитъ 360°, и дуга, которой длина есть единица, содержитъ градусовъ, заключаемъ, что дуга, которой длина а, содержитъ 360.а —2^— градусовъ.

Выраженія а и — - или a и —г— употребляются безразлично для обозначенія одного и того же угла*).

При измѣреніи угловъ градусами за единицу принимается уголъ въ 1°, т. е. 360-я часть отъ четырехъ прямыхъ. При другомъ же способѣ измѣренія за единицу угловъ принимаемъ такой уголъ, соотвѣтственная дуга котораго равняется 1. Но дуга, равная единицѣ, соотвѣтствуетъ углу въ —— градусовъ или въ 57017,44//,81. Слѣдов., измѣряя углы длиною соотвѣтственныхъ дугъ, за единицу угловъ принимается уголъ въ 57и17'44",81.

*) Для избѣжанія недоразумѣній условимся означать углы чрезъ латинскія буквы а, &, с... когда они выражаются чрезъ градусы, минуты и секунды, а чрезъ греческія а, ß, 7..., когда они измѣряются длиною дуги.

§ 4. Всѣ углы разсматриваются какъ центральные въ кругѣ, котораго радіусъ единица. Пусть будетъ (черт. 2) ALM такой кругъ. Одинъ изъ его радіусовъ, напр., ОА принимается за неподвижный и называется первымъ или начальнымъ радіусомъ; всякій же уголъ, подлежащій нашему разсмотрѣнію, переносится мысленно въ этотъ кругъ такъ, чтобы вершина его совпала съ центромъ, одна изъ сторонъ слилась съ начальнымъ радіусомъ, а дуга, измѣряющая уголъ, легла по окружности по направленію отъ А къ В, т. е. съ права на лѣво. Такимъ образомъ углы, перенесенные въ этотъ кругъ, примутъ положеніе АОВ, AOL, АОМ, измѣряясь дугами AB, AL, ALM. Сторону угла, совпадающую съ начальнымъ радіусомъ ОА, называемъ неподвижной, а другую — подвижной стороною. Увеличеніе угла производится перемѣщеніемъ его подвижной стороны съ права па лѣво; такъ, напр., желая увеличить уголъ АОВ на уголъ ВОС, перемѣщаемъ сторону OB до совпаденія ея съ радіусомъ ОС, и вообще, для того чтобъ увеличить уголъ а на уголъ Ъ, или составить сумму а+Ъ, нужно передвинуть на лѣво подвижную сторону угла а на уголъ Ъ.

Наоборотъ, уменьшеніе угла производится передвиженіемъ подвижной стороны съ лѣва на право. Такъ, желая уменьшить уголъ АОВ на уголъ BOD передвигаемъ сторону OB до совпаденія съ радіусомъ OD, и вообще, для того чтобъ уменьшить уголъ а на уголъ Ъ, т. е. составить разность а — Ъ, нужно передвинуть направо подвижную сторону угла а на уголъ Ъ.

Изъ этого опредѣленія слѣдуетъ, что когда Ъ больше а и разность а—Ъ отрицательна, то ей соотвѣтствуетъ уголъ АОЕ, происшедшій отъ перемѣщенія на право подвижной стороны угла а на весь уголъ Ъ. Отсюда заключаемъ, что уголъ АОЕ нужно принимать отрицательнымъ, и что вообще всякій уголъ, соотвѣтствующая дуга котораго откладывается отъ точки А по направленію AEL, слѣдуетъ на основаніи нашего опредѣленія считать отрицательнымъ. Такъ, если положимъ, что абсолютныя величины угловъ AOD и АОЕ равны, то АОЕ=—AOD.

Черт. 2.

Тригонометрическія функціи и тригонометрическія линіи.

§ 5. Пусть будетъ (черт. 3) АОМ = а острый уголъ, отнесенный къ кругу, котораго радіусъ единица и ОА неподвижный радіусъ его. Опустимъ изъ точки М перпендикуляръ на ОА. Отношеніе перпендикуляра МР къ радіусу или числовая величина его при радіусѣ, равномъ единицѣ, называется синусомъ угла а или дуги AM. И такъ, синусъ угла или дуги есть числовая величина при радіусѣ равномъ единицѣ, перпендикуляра, опущеннаго изъ конца подвижнаго радіуса на неподвижный.

Синусъ угла а означается чрезъ sin а и выговаривается : синусъ а.

Отношеніе отрѣза ОР къ радіусу или числовая величина, при радіусѣ равномъ единицѣ, части неподвижнаго радіуса отъ центра до синуса, называется косинусомъ угла или дуги.

Косинусъ угла а пишется cos а и выговаривается: косинусъ а.

Проведя въ точкѣ А касательную, и продолживъ ее до пересѣченія съ подвижной стороною угла, называемъ числовую величину линіи AT тангенсомъ угла а или дуги AM. Слѣдов. тангенсъ угла или дуги есть числовая величина, при радіусѣ равномъ единицѣ, части касательной въ концѣ неподвижнаго радіуса отъ точки касанія до пересѣченія ея съ подвижной стороною угла.

Тангенсъ угла а пишется tg а и выговаривается: тангенсъ а.

Числовая величина линіи ОТ, т. е. длины подвижной стороны угла отъ центра до тангенса, называется секансомъ угла или дуги. Секансъ угла а пишется: sec а и выговаривается: секансъ а..

Замѣтивъ, что если сумма двухъ угловъ равняется прямому углу, то одинъ называется дополненіемъ другаго, проведемъ радіусъ OB перпендикулярно къ ОА, такъ что ß будетъ дополнительнымъ угломъ для а; опустимъ перпендикуляръ MQ на радіусъ OB и проведемъ касательную BN, тогда MQ представитъ синусъ дополнительнаго

Черт. 3.

угла ß, 0Q его косинусъ и BN его тангенсъ. Такъ какъ MQ= OP, то заключаемъ, что cos а = sin ß или

т. е. косинусъ какого нибудъ угла равняется синусу его дополнительнаго угла. Такъ напр.

На этомъ же основаніи числовая величина линіи BN, т. е. тангенсъ дополнительнаго угла ß, называется котангенсомъ угла а, и числовая величина линіи ON, т. е. секансъ дополнительнаго угла ß, называется косекансомъ угла ß. Котангенсъ и косекансъ угла а означаются чрезъ cotga и coseca. Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что

напр.

§ 6. Синусъ, косинусъ, тангенсъ, котангенсъ, секансъ и косекансъ*) называются тригонометрическими функціями, а линіи ихъ представляющія (черт. 3) MP, OP, AT, BN, ОТ и ON — тригонометрическими линіями.

Существенное различіе между этими выраженіями заключаетея въ томъ, чло первыя суть отвлеченныя числа, а послѣднія именованныя величины, зависящія отъ длины радіуса. Но такъ какъ числовыя величины тригонометрическихъ линій при радіусѣ равномъ единицѣ совпадаютъ съ тригонометрическими функціями, то считаютъ ихъ тождественными, и употребляютъ ихъ безразлично, подразумѣ-вая подъ тригонометрическими линіями числовыя величины ихъ при радіусѣ равномъ единицѣ.

*) Числовая величина отрѣзка АР (черт. 3), т. е. часть неподвижнаго радіуса отъ окружности до синуса, называется синусъ-версусъ и означается чрезъ sinvers, а числовая величина отрѣзка BQ, т. е. синусъ-версусъ дополнительнаго угла, называется косинусъ-версусъ и означается чрезъ cosvers. Но эти выраженія употребляются весьма рѣдко.

Каждая изъ тригонометрическихъ линій можетъ служить для опредѣленія соотвѣтствующаго ей угла. Положимъ, напр., что sin а = -7; уголъ а можно опредѣлить построеніемъ. Для этого пусть будетъ (черт. 4:) ОА начальный радіусъ и OB перпендикулярный къ нему радіусъ. Отложивъ на послѣднемъ часть 00 равную - радіуса, и проведя линію GM параллельно радіусу ОА, соединимъ точку М съ центромъ; тогда образуется уголъ МОР, котораго синусъ МР равняется -• Подобнымъ же образомъ можно построитъ уголъ, когда дана какая ни-будь тригонометрическая линія его.

Не трудно удостовѣриться прямымъ разсмотрѣніемъ чертежа (черт. 5), что всякая хорда MN равняется двойному синусу МР отъ половины соотвѣтствующаго ей центральнаго угла:

Черт. 4.

Это замѣчаніе позволяетъ намъ опредѣлить синусы угловъ въ 45°, 30°, 60° и 18й; они равняются соотвѣтственно половинѣ сторонъ квадрата, правильнаго шестиугольника, треугольника и десятиугольника, вписанныхъ въ кругѣ радіуса единицы. Такимъ образомъ находимъ

Черт. 5.

ЗАДАЧИ.

1. Построить уголъ, котораго а) косекансъ равняется 2; Ь) синусъ равняется половинѣ радіуса; с) синусъ равняется третьей части тангенса.

8. По данному углу а построить уголъ Ъ такъ, чтобы

а) sin Ь = 2 cos а; b) cos Ъ = ^ cos с) tg b = 3 cotg а.

3. Построить уголъ а, если

a) sin а -+- cos а, b) sin а —- cos а, с) tg -+- sec а, d) sec а — tg а равняется данной лиріи р.

4. Выразить съ помощію тригонометрическихъ линій а) сторонну правильнаго многоугольника о п сторонахъ вписаннаго въ кругѣ радіуса г, Ь) сторону правильнаго многоугольника о п сторонахъ описаннаго около него.

5. Опредѣлить X изъ уравненія sin = cos {х — а.

Ѳ. Выразить чрезъ дополнительные углы: а) sin 36° 45' 27", 45;

b) cos^; с) tg 54°17/13",6; d) cosecе) cotg О 7 о *

9. Привести къ угламъ меньшимъ 45° слѣдующія тригонометрическія линіи:

а) sin68°13'43", Ь) cos 76°25'17",45; с) tgfe d) cotg^-

8. Привести углы тригонометрическихъ линій:

а) sin 23°17'26",3; b) cos 53°28'30",15; с) tg 1S°43'26", 3 къ дуговой мѣрѣ, принимая тг = 3,14159.

Ѳ. Выразить углы тригонометрическихъ линій:

а) sin-rS b) cos-^; с) tg0,567; d) cotg—; e) sec 1,234;

f) cosec 0,3456 въ градусахъ, минутахъ и секундахъ, принимая it-3,14159.

Соотношенія между тригонометрическими линіями.

§ 7. Тригонометрическія линіи связаны между собою отношеніями, посредствомъ которыхъ можно, когда одна изъ нихъ дана, опредѣлить всѣ остальныя.

Пусть будетъ (черт. 6) АОМ=а острый уголъ; проведя тригонометрическія линіи его: MP = sina;

UP == cos а; AT = tg a; BN == cotg a ; OT = seca; ON = cosec а, находимъ изъ прямоугольнаго треугольника MOP

или

Черт. 6.

(1)

Изъ подобныхъ треугольниковъ ТОА и МОР получаемъ

отсюда

(2)

Изъ тѣхъ же подобныхъ треугольниковъ имѣемъ

отсюда

(3)

Изъ подобія треугольниковъ OBN и OQM слѣдуетъ

отсюда

(4)

Наконецъ изъ тѣхъ же подобныхъ треугольниковъ получаемъ

отсюда

(5)

Посредствомъ урав. (1), (2), (3), (4), и (5) можно опредѣлить всѣ тригонометрическія линіи угла, когда одна изъ нихъ дана.

Положимъ, напр., что требуется выразить тригонометрическія линіи посредствомъ синуса. Находимъ

Пусть, далѣе, требуется выразить всѣ тригонометр. линіи посредствомъ тангенса. Исключивъ cos а изъ уравненій (1) и (2), находимъ

и отсюда

Исключеніе же sin а изъ тѣхъ же уравненій дастъ

Уравненія (2) и (4) даютъ

Возведя уравненіе (3) почленно въ квадратъ и замѣнивъ cos а, находимъ

sec2a = 1 + tg2a

Опредѣлимъ тригонометрическія линіи 45°, основываясь на томъ, что

Находимъ

Опредѣлимъ тригонометр. линіи 80° и 60°, основываясь на томъ, что

Находимъ

ЗАДАЧИ.

Опредѣлить тригонометрическія линіи угла а, если дано:

17. Сдѣлать зависимыми только отъ sin а выраженія:

18. Выразить чрезъ cos а слѣдующія формулы:

19. Выразить чрезъ tga слѣдующія формулы:

Опредѣлить тригонометрическія линіи угла х, если дано:

23. Опредѣлить sinæ и cos«, когда дано:

Провѣрить формулы:

Опредѣлить sinæ изъ уравненій:

33. Опредѣлить cos х изъ уравненія а -\-Ъ = с. sec х. Опредѣлить sin х и sin у изъ уравненій:

Распространеніе понятія о тригонометрическихъ линіяхъ на углы, которые больше прямаго.

§ 8. Опредѣленія, данныя для тригонометрическихъ линій, относятся исключительно къ предположенію, что разсматриваемый уголъ меньше прянаго. Мы могли бы ограничиться этимъ предположеніемъ, еслибъ имѣлось въ виду только рѣшеніе прямоугольныхъ треугольниковъ или даже косоугольныхъ, такъ какъ послѣдніе всегда могутъ быть раздѣлены на два прямоугольныхъ треугольника. Но для большей общности выводовъ, а также въ виду того, что тригонометрическія функціи не только примѣняются къ рѣшенію треугольниковъ, но встрѣчаются во многихъ другихъ вопросахъ математики, необходимо обобщить понятіе объ этихъ функціяхъ, распространяя ихъ и на тупые углы.

Для достиженія этой цѣли постараемся выразить тригонометрическія линіи чрезъ такія величины, которыя безразлично относятся къ острымъ и тупымъ угламъ.

Пусть будетъ (черт. 7) АОМ = а острый уголъ; означимъ разстояніе конца М подвижнаго радіуса отъ точки А чрезъ а и отъ точки В чрезъ Ъ, разумѣя подъ а и Ъ числовыя величины этихъ разстояній. Изъ треугольника ВОМ находимъ

ВМ 2=ОВ 2-МЖ2—20В. OL или Ъ 2= 2—2sina.

Отсюда

Изъ треугольника МОА находимъ

Черт. 7.

Отсюда

Наконецъ замѣтивъ, что tg а =-------, будемъ имѣть

(В)

Хорды а и Ъ,означающія разстоянія конца подвижнаго радіуса отъ точекъ А и В, очевидно могутъ относиться ко всякому углу; такъ, для угла АОМ,, который измѣряется дугою ABMt, имѣемъ а = AM, и Ь = ВМ1. Основываясь на этомъ, обобщимъ понятіе о тригономтр. линіяхъ, допустивъ, что урв. (1), (2) и (3) относятся къ какому нибудь углу.

§ 9. Разсмотримъ вопервыхъ выраженіе (1), опредѣляющее синусъ:

Продолживъ неподвижный радіусъ ОА (черт. 8) и перпендикулярный къ нему радіусъ до пересѣченія съ окружностью, раздѣлимъ весь кругъ на четыре равныя части АОВ, ВОС, COD и DOA, которыя по порядку назовемъ первымъ, вторымъ, третьимъ и четвертымъ квадрантомъ. Такъ какъ разстояніе точекъ А и С отъ точки В равняется то всякая точка полуокружности АВС отстоитъ отъ точки В на разстояніи меньшемъ 2, а полуокружности ADC — на разстояніи большемъ j/2. Слѣдов. для всякой точки полуокружности АВС будемъ имѣть Ъ < j/2, а для полуокружности CD А — b > |/2. Отсюда заключаемъ, что разумѣя подъ а какой нибудь уголъ, мы должны считать его синусъ положительнымъ, когда подвижная сторона находится въ 1-мъ или 2-мъ квадрантѣ, т. е. когда уголъ меньше двухъ прямыхъ, и отрицательнымъ, когда она въ 3-мъ или 4-мъ квадрантѣ, т. е. когда уголъ, больше двухъ но меньше четырехъ прямыхъ.

Замѣтимъ при этомъ, что числовая величина выраженія —-— , независимо отъ его знака, опредѣляетъ во всѣхъ случаяхъ длину

Черт. 8.

перпендикуляра, опущеннаго изъ конца подвижнаго радіуса на неподвижный діаметръ АС. Такъ, напр., для угла АОМ3, измѣряющагося дугой АВМ3, это выраженіе изображаетъ перпендикуляръ М3 Q, какъ это не трудно усмотрѣть изъ треугольника М3ВО. Въ самомъ дѣлѣ, изъ этого треугольника находимъ M3B2=M30Ï-+-0B2+20B.M3Q, или &2 = 2 H- 2M3Q, и отсюда M3Q = —-—.

Соображая сказанное заключаемъ, что обобщая понятіе о синусѣ, слѣдуетъ его опредѣлить такимъ образомъ: Синусомъ какого нибудъ угла мы называемъ числовую величину перпендикуляра, опущеннаго изъ конца подвижнаго радіуса на неподвижный или на продолженіе его, принимая радіусъ за единицу, причемъ перпендикуляръ, опущенный на неподвижный діаметръ сверху внизъ нужно считать положительнымъ, а опущенный снизу вверхъ— отрицательнымъ. Такимъ образомъ находимъ (черт. 8) sin AOMj =MjQ; sin AOM3 = — M3Q; sin AOM2 = —M2P. Разсмотримъ вовторыхъ выраженіе (2), опредѣляющее косинусъ

Такъ какъ а означаетъ разстояніе какой нибудь точки окружности отъ точки А (черт. 8), то а < ]/2 для всѣхъ точекъ полуокружности BAD и а >-j/2 для точекъ полуокружности BCD. Слѣд., разумѣя подъ а какой нибудь уголъ, должно считать его косинусъ положительнымъ, когда подвижная сторона находится въ 1-мъ или 4-мъ квадрантѣ, т. е. когда уголъ острый или болѣе 8-хъ, но менѣе 4-хъ прямыхъ, и отрицательнымъ, когда подвижная сторона во 2-мъ или 3-мъ квадрантѣ, т. е. когда угодъ болѣе прямаго, но менѣе 3-хъ прямыхъ.

Замѣтимъ при этомъ, что числовая величина выраженія, независимо отъ его. знака, опредѣляетъ во всѣхъ случаяхъ длину отрѣзка неподвижнаго радіуса или продвиженія его отъ центра до синуса. Такъ напр., для угла АОМ3 это выраженіе изображаетъ отрѣзокъ OQ, какъ это легко видно изъ треугольника ОАМ3. Въ самомъ дѣлѣ, изъ этого треугольника находимъ АМ3 2 = ОМ3 2 + ОА2 -+- 20A.0Q или a2=2 + 2.0Q; отсюда OQ =——.

Соображая сказанное заключаемъ, что обобщая понятіе о косинусѣ, слѣдуетъ его опредѣлить такимъ образомъ: косинусомъ какого нибудь угла называемъ числовую величину отрѣзка неподвижнаго радіуса или продолженія его отъ центра до синуса, принимая радіусъ за единицу, при чемъ отрѣзокъ находящійся по правой сторонѣ отъ центра нужно считать положительнымъ, а по лѣвой сторонѣ — отрицательнымъ. Такимъ образомъ находимъ (черт. 8)

cos AOMj = — OQ; cos AOM3 = — OQ; cos AOM2 = OP.

Разсмотримъ наконецъ выраженіе (3), опредѣляющее тангенсъ

Такъ какъ для всякой точки 1-го и 3-го квадранта разности 2—Ь2 и 2 — а2 имѣютъ одинакіе знаки, а для 2-го и 4-го разные, то заключаемъ, что тангенсъ нужно считать положительнымъ, когда подвижная сторона угла находится въ 1-мъ или 3-мъ квадрантѣ, и отрицательнымъ, когда она во 2-мъ или 4-мъ квадрантѣ. Замѣтимъ при этомъ, что обсолютная величина выраженія 2 — Ь2 представляетъ во всѣхъ случаяхъ длину касательной въ точкѣ А (черт. 9) отъ точки касанія до пересѣченія съ подвижнымъ радіусомъ или съ продолженіемъ его. Такъ, напр., для угла АОМ' это выраженіе представляетъ длину линіи AT,, какъ это видно изъ подобныхъ треугольниковъ ОАТ, и OQM'. Отсюда заключаемъ, что обобщая понятіе о тангенсѣ, слѣдуетъ его опредѣлить такимъ образомъ : тангенсомъ какого нибудь угла мы называемъ числовую величину длины касательной, проведенной въ концѣ неподвижнаго радіуса, отъ точки касанія до пересѣченія ея съ подвижнымъ радіусомъ или съ продолженіемъ его, принимая радіусъ за единицу, при чемъ тангенсъ нужно считать положительнымъ, когда онъ направленъ отъ точки касанія вверхъ и отрицательнымъ, когда онъ направленъ внизъ.

Такъ напр.

Черт. 9.

Что касается до трехъ другихъ тригонометрическихъ линій: cotg, sec и cosec, то будемъ считать ихъ опредѣленными посредствомъ уравненій (4), (8) и (5) § 7:

такъ что тангенсъ и котангенсъ, секансъ и косинусъ, косекансъ и синусъ имѣютъ одинакіе знаки.

Мы можемъ вообразить дуги, которыя больше цѣлой окружности; но очевидно, что тригонометрическія линіи дугъ, различающихся цѣлой окружностью, одинаковы, такъ что эти линіи не измѣняются, когда дугу увеличимъ на цѣлую окружность. На этомъ основаніи, означая чрезъ а какой-нибудь уголъ, будемъ имѣть

sin (2тс + а) = sin а; COS (2тг -+- а) = COS а; tg (2іг + а) = tg а; и т. д.

и вообще, разумѣя подъ п цѣлое положительное число

sin(2mr+a) = sina; cos(2wit-ba) = cos a;tg(2«ir + a)=tg а; и т. д.

§ 10. Приведенныя въ предъидущемъ § соображенія о знакахъ тригонометрическихъ функцій, соотвѣтствующихъ различнымъ направленіямъ тригонометрическихъ линій, примѣняются также къ отрицательнымъ угламъ.

Означимъ уголъ АОМ (черт. 10) чрезъ a и пусть будетъ AON уголъ по абсолютной величинѣ равный ему. Проведя синусы и тангенсы обоихъ угловъ, замѣтимъ, что оба угла имѣютъ одинъ и тотъ же косинусъ ОР, синусы же ихъ, также какъ и тангенсы, по абсолютной величинѣ равны между собою, но имѣютъ противуположные знаки. Слѣдов.

sin (— a) = — sin a; cos (— a) = cos a; tg (— a) = — tg a

Это значитъ, что при перемѣнѣ знака угла или дуги синусъ и тангенсъ, сохраняя абсолютную свою величину, мѣняютъ свои знаки, а косинусъ не мѣняетъ ни своей величины ни своего знака. Это заключеніе очевидно справедливо и въ томъ случаѣ, когда a означаетъ уголъ, который больше прямаго.

§11. Не трудно удостовѣриться, что основныя соотношенія между тригонометрическими линіями (§ 7), выведенныя въ предположеніи

Черт. 10.

остраго угла, имѣютъ мѣсто также при обобщенномъ значеніи этихъ линій. Въ самомъ дѣлѣ три послѣднія изъ этихъ уравненій (3), (4) и (5) существуютъ по предложенію, служа опредѣленіемъ секанса, котангенса и косеканса. Выраженіе же , принятое въ основаніи для опредѣленія обобщеннаго значенія тангенса, прямо приводитъ къ урв. (2): tga=~~* Что же касается до урв. (1), то замѣтивъ, что синусъ и косинусъ всякаго угла суть катеты прямоугольнаго треугольника, котораго гипотенуза есть 1, заключаемъ, что для всякаго a будемъ имѣть

Обобщеніе тригонометрическихъ линій позволяетъ также объяснить значеніе двойныхъ знаковъ, которые встрѣчаются при опредѣленіи нѣкоторыхъ изъ этихъ линій посредствомъ другихъ. Такъ напр., опредѣляя cos чрезъ sin, находимъ

Черт. 11.

Двойственность знака въ этомъ случаѣ указываетъ, что всякому данному синусу МР (черт. 11) соотвѣтствуютъ два угла АОМ и АОМ,, которыхъ косинусы ОР и ОР, по величинѣ равны, но имѣютъ противоположные знаки.

Подобнымъ же образомъ опредѣляя sin чрезъ tg, нахидимъ (§ 7)

Двойной знакъ указываетъ также, что данному тангенсу, напр., AT (черт. 12) соотвѣтствуетъ два угла АОМ и АОМ,, которыхъ синусъ МР и М,Р, по величинѣ равны, но имѣютъ противоположные знаки.

Черт. 12.

Измѣненія тригонометрическихъ линій при возрастаніи угла отъ 0 до 2π.

§ 12. Разсмотримъ постепенное увеличеніе угла отъ 0 до 2и и прослѣдимъ за измѣненіями, которыя при этомъ происходятъ въ его тригонометрическихъ линіяхъ.

Замѣтивъ, что для весьма малаго угла синусъ и тангенсъ тоже весьма малы, а косинусъ весьма близокъ къ единицѣ, допускаемъ въ предѣлѣ

sin0 = 0; cos0 = 1 ; tg0 = 0.

При постепенномъ увеличеніи угла и приближенія его къ прямому, синусъ увеличивается, приближаясь къ 1, косинусъ уменьшается приближаясь къ 0, а тангенсъ безпредѣльно возрастаетъ, такъ что для прямаго угла въ предѣлѣ будемъ имѣть

sin 90° = 1 ; cos 90° = 0; tg 90° = со .

Такъ какъ при дальнѣйшемъ возрастаніи угла тангесъ его становится отрицательнымъ, то тангенсу прямаго угла слѣдуетъ собственно приписать двойное значеніе:

tg90°= ± со

смотря потому, происходитъ - ли прямой уголъ отъ увеличенія остраго или отъ уменьшенія тупаго.

Когда уголъ отъ прямаго приближается къ двумъ прямымъ, то синусъ постепенно уменьшается, приближаясь къ 0, косинусъ, становясь отрицательнымъ, по абсолютной величинѣ возрастаетъ, приближаясь къ — 1, а тангенсъ, перешедшій отъ 4-со въ — оо, по абсолютной величинѣ уменьшается, приближаясь къ нулю. Въ предѣлѣ получимъ

sin 1800 = 0; cos 180° = — 1; tgl80° = 0.

При дальнѣйшемъ возрастаніи угла и приближеніи его къ 3-мъ прямымъ, синусъ становится отрицательнымъ, и увеличиваясь по абсолютной величинѣ, приближается къ— 1, косинусъ, оставаясь отрицательнымъ, по абсолютной величинѣ уменьшается, приближаясь къ 0, а тангенсъ, становясь положительнымъ, безпредѣльно возрастаетъ; въ предѣлѣ получимъ

sin270° = — 1; cos270° = 0; tg270° = ±°o

Двойное значеніе tg 270° зависитъ отъ того, что съ приближеніемъ угла къ 270° его тангенсъ приближается къ+со, но при дальнѣйшемъ возрастаніи угла, его тангенсъ станавится отрицательнымъ, такъ что tg 270° слѣдуетъ принимать за-І- со или — оо, смотря потому, образовался-ли уголъ въ 270° отъ увеличенія или уменьшенія другаго угла.

Наконецъ, когда уголъ увеличиваясь далѣе, приближается къ 4-мъ прямымъ, то синусъ его приближается къ нулю, его косинусъ къ единицѣ, а тангенсъ, перешедшій съ+оовъ—оо, по абсолютной величинѣ уменьшается, приближаясь къ 0. Въ предѣлѣ получимъ

sin 860° = 0; cos 360° = 1; tg360° = 0.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что sin и cos содержатся всегда между +1 и — 1, но tg можетъ имѣть всѣ величины отъ — со до + со.

Что касается до трехъ другихъ линій, замѣтивъ, что

заключаемъ, что и cotg можетъ имѣть всѣ величины отъ— оо до + °о; но sec и cosec, будучи всегда больше радіуса, могутъ имѣть только всѣ величины отъ—со до — 1 и отъ 1 до +-СО.

Приведеніе тригонометрическихъ линій угла, который больше прямаго, къ тригонометрическимъ линіямъ остраго угла.

§ 13. Тригонометрическія линіи тупаго угла могутъ быть приведены къ линіямъ остраго угла. При объясненіи этого свойства мы ограничимся разсмотрѣніемъ только sin, cos и tg, такъ какъ другія линіи приводятся къ этимъ.

Докажемъ прежде всего, что основное выраженіе § 5

выведенное въ предположеніи, что а острый уголъ, существуетъ также для всякаго а, какъ положительнаго такъ и отрицательнаго.

Въ самомъ дѣлѣ, замѣтивъ, что двѣ дуги а и а — — разнятся на четверть окружности, отложимъ дугу а по окружности (черт. 13), начиная съ точки А, а дуга а — -. начиная съ точки В, тогда концы этихъ двухъ дугъ очевидно совпадутъ. Пусть будетъ М общая точка ихъ концовъ.

Если изъ точки М опустимъ перпендикуляръ MN на діаметръ АС и перпендикуляръ ML на діаметръ BD, то линія MN будетъ синусъ дуги а, и равная ей линія OL косинусъ дуги а — слѣдов. sin x = cos^x —a такъ какъ по § 10 cos [ex. — = cos — а j, то находимъ для всякаго а

Черт. 13.

Если въ этомъ уравненіи положимъ

то находимъ дополнительное выраженіе cos ß = sin (-—ßj, или употребивъ прежнюю букву а

При раздѣленіи почленно втораго равенства на первое, находимъ

Замѣнивъ въ этихъ равенствахъ а чрезъ — а находимъ:

Если же въ этихъ послѣднихъ выраженіяхъ подставимъ-— вмѣсто а, получимъ

sin (т: — а) — sin а; cos(u — а) = — cos а; tg(ir — а) = — tg а . . (2).

Въ уравн. (1) и (2) а означаетъ какой нибудь уголъ; но если предположимъ, что въ нихъ а острый уголъ, и замѣтимъ, что въ

этомъ предположеніи выраженія -+ а и и — а представляютъ уголъ, который больше прямаго, но меньше двухъ прямыхъ, то находимъ, что урв. (1) и (2) приводятъ тригонометр. линіи такого угла къ тригонометр. линіямъ остраго угла.

Не трудно впрочемъ прямымъ разсмотрѣніемъ чертежа удостовѣ-в риться въ справедливости урв. (1) и (2), когда а острый уголъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ (черт. 14) АОМ = -+а; находимъ:

Черт. 14.

Черт. 15.

Пусть будетъ далѣе(черт. 15) АОМ=~—а; находимъ:

Должно при этомъ замѣтить, что геометрическое построеніе какъ въ этомъ случаѣ, такъ и въ слѣдующихъ случаяхъ представляетъ простѣйшій пріемъ для приведенія тригонометр. линій къ острому углу.

Перемѣнивъ въ уравненіяхъ (2) а па — а, находимъ:

sin(TC+a) = —sin а; COs(u+ а) =—COS a;tg(rt + a)=tga; (3)

и подставивъ въ эти урав. -х — a вмѣсто а, имѣемъ

Если предположимъ, что въ урав. (3) и (4) а означаетъ острый уголъ и замѣтимъ, что ттЧ-а и ~ — а изображаютъ уголъ, который больше двухъ, но менѣе трехъ прямыхъ, то заключаемъ, что урав. (3) и (4) приводятъ тригонометр. линіи такого угла къ три-гонометрич. линіямъ остраго угла. Это заключеніе можно вывести также изъ прямаго разсмотрѣнія чертежа. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ (черт. 16) АОМ = и-+-а, находимъ:

Пусть будетъ далѣе (черт. 17) АОМ = — — а* находимъ:

Наконецъ перемѣнимъ въ урав. (4) а па—а, a затѣмъ подставимъ^ — а вмѣсто а, находимъ:

Черт. 16.

Черт. 17.

(5)

(6)

Если въ этихъ уравненіяхъ чрезъ а означимъ острый уголъ, то ——I-а и 2и — а представятъ уголъ, который больше 3-хъ, но

менѣе 4-хъ прямыхъ, и урав. (5) и (6) приводятъ тригонометрическія линіи такого угла къ тригонометрическимъ линіямъ остраго угла. Это заключеніе не трудно провѣрить па чертежѣ.

Пусть будетъ (черт. 18) АОМ=—-Нс, находимъ:

Пусть будетъ (черт. 19) АОМ = 2тт —а, находимъ:

Приведеніе котангенса, секанса и косеканса тупаго угла къ острому совершается на основаніи урав. (3), (4) и (5) § 7. Такъ напр., находимъ:

Если данный уголъ а больше 360°, то вычтя изъ него 360° столько разъ, сколько можно, представимъ его въ видѣ 360° п-Ѵ-а^, означая чрезъ at уголъ, который мемьше 4-хъ прямыхъ, и приводимъ тригонометр. линіи угла а къ тригонометр. линіямъ угла а,. Замѣтимъ при этомъ, что если въ равенствахъ sina=cos (90°—а); cosa=sin (90°—а); tga=cotg (90* — а) а означаетъ острый уголъ, то одинъ изъ двухъ угловъ и 90°—а

Черт, 18.

Черт. 19.

будетъ меньше 45°, а потому тригонометр. линіи угла превышающаго 45" приводятся къ тригонометр. линіямъ угла, который меньше 45°. Напр.

Обратныя тригонометрическія функціи.

§ 14. Уравненія

у = sin X; у = cos X ; у = tg .(1)

въ которыхъ X означаетъ дугу круга радіуса 1, часто изображаютъ въ видѣ

X = arc sin у;х = arc cos arc tg ...................(2)

и выговариваютъ: х равняется аркусъ синусъ у, — аркусъ косинусъ у,— аркусъ тангенсъ у; точнѣе слѣдовало бы сказать х равняется дугѣ, которой синусъ есть у и т. д. Выраженія arc sin у, arc cos у, arc tg у называются обратными тригонометрическими функціями.

Въ урав. (1) предполагается, что дуга х дана и по ней опредѣляется тригонометрическая линія у, а въ урав. (2), наоборотъ, предполагается, что дана тригонометрическая линія у и опредѣляется соотвѣтствующая дуга.

Существенное различіе между уравненіями (1) и (2) заключаетея въ томъ, что всякой дугѣ принадлежатъ опредѣленныя тригонометрическія линіи, между тѣмъ какъ данной тригонометрической линіи соотвѣтствуетъ безчисленное множество дугъ. Положимъ напр., что у въ уравненіи х = arc sin у, изображаетъ линію MN (черт. 20), и означимъ чрезъ наименьшую дугу AM, имѣющую у своимъ синусомъ. Проведя линію параллельно діаметру АС, находимъ, что дуга АММХ = it — имѣетъ тотъ же синусъ M,N, = у. Если же къ дугамъ хх и it — прибавимъ произвольное число окружностей 2mr, гдѣ п означаетъ какое нибудь цѣлое положительное число, то находимъ, что всѣ дуги 2wit + æ, и 2ии-+-тг— (2я-ь l)it— имѣютъ одинъ и тотъ же синусъ у.

Черт. 20.

Для устраненія этой неопредѣленности разумѣютъ большею частью подъ обратной тригонометрической функціей (2) наименьшую дугу, положительную или отрицательную, которая соотвѣтствуетъ данной тригонометрической линіи. Такъ, напр.,

Задачи.

Опредѣлить выраженія :

Привести къ тригонометрическимъ линіямъ остраго угла:

Упростить выраженія.

Провѣрить формулы.

ГЛАВА II.

СЛОЖЕНІЕ, УМНОЖЕНІЕ И ДѢЛЕНІЕ ДУГЪ.

Сложеніе дугъ.

§ 15. Подъ сложеніемъ дугъ разумѣемъ выраженіе тригонометр. линій суммы и разности двухъ дугъ посредствомъ тригоном. линій этихъ дугъ.

Пусть будутъ а и ß два острыхъ угла, которыхъ сумма меньше ^ > и положимъ (черт. 21), что АОМ=а и MON=ß, такъ что уголъ AON=а +ß. Опустивъ изъ точекъ М и N перпендикуляры на радіусъ ОА и изъ точки N перпендикуляръ NL на .радіусъ ОМ, будемъ имѣть

NQ = sin (a-t-ß); MP = sin a; NL = sin ß

OQ = cos (a-f-ß); OP = cosa; OL = cosß.

Проведемъ линію LT параллельно радіусу ОА и линію LR параллельно радіусу OB. Изъ подобія треугольниковъ LRO и МРО находимъ

отсюда LR = sin a cos ß.

Черт. 21.

Изъ подобія треугольниковъ NLT и МОР, которыхъ стороны взаимно перпендикулярны, находимъ

Замѣтивъ притомъ, что

находимъ

Изъ подобія тѣхъ же треугольниковъ имѣемъ

a такъ какъ

то получимъ

cos (a + ß) = cos a. cos ß — sin a. sin ß..... (2)

Формулы (1) и (2) опредѣляютъ синусъ и косинусъ суммы двухъ угловъ посредствомъ синуса и косинуса этихъ угловъ, въ предположеніи, что эти углы острые и сумма ихъ меньше прямаго.

Не трудно обнаружить, измѣнивъ нѣсколько построеніе, что формулы справедливы и въ такомъ случаѣ, когда a и ß означаютъ острые углы, которыхъ сумма больше прямаго. Но можно доказать это также независимо отъ чертежа.

Въ самомъ дѣлѣ, положимъ, что a + ß> ^ и означимъ чрезъ а, и ß. дополненія этихъ угловъ:

Очевидно, что сумма a, + ß, будетъ меньше прямаго, а потому на основаніи формулъ (1) и (2) получимъ

sin (a, + ß,) = sin a, cos ß, + cos a, sin ß, cos (a, + ß,) = cos a, cos ß, — sin a, sin ß,

Вставляя въ эти уравненія ^ — a и ^ — ß вмѣсто а, и ß, и замѣтивъ, что

sin (a, + ß,) = sin [u — (a 4- ß)] = sin (a 4- ß) cos (a, -+• ßt) = cos [u — (a+ ß)] = — cos (a + ß)

находимъ

sin (a + ß) = sin a cos ß + cos a sin ß cos (a 4- ß) = cos a cos ß — sin a sin ß.

Слѣдов. формулы (1) и (2) существуютъ и въ томъ случаѣ, когда а и ß означаютъ острые углы, которыхъ сумма больше прямаго.

§ 16. Далѣе замѣтимъ, что если формулы (1) и (2) предъидущаго § имѣютъ мѣсто для извѣстныхъ угловъ а и ß, то онѣ остаются вѣрными, когда одинъ изъ угловъ увеличимъ на ^. Въ самомъ дѣлѣ, мы имѣемъ

Если въ этихъ уравненіяхъ вмѣто sin а подставимъ равное выраженіе — cos -+- а j, a вмѣсто cos а равное выраженіе sin ^ -+- аj ?

то получимъ

Итакъ, если формулы (1) и (2) существуютъ для суммы какихъ нибудь двухъ угловъ а и ß, то онѣ вѣрны также для суммы двухъ угловъ - +аи ß.

На основаніи этого свойства заключаемъ, что эти формулы существуютъ для всякихъ положительныхъ величинъ а и ß.

Въ самомъ дѣлѣ, какія бы величины а п ß ни означали, ихъ всегда можно представить въ видѣ

разумѣя подъ т и п цѣлыя положительныя числа, а подъ а, и ß, острые углы; но такъ какъ формулы (1) и (2) имѣютъ мѣсто для суммы а, -f- ß,, то прибавляя къ этой суммѣ послѣдовательно по -, найдемъ, что онѣ существуютъ также для суммы a + ß.

§ 17. Далѣе докажемъ, что формулы (1) и (2) § 15 существуютъ также для отрицательныхъ угловъ; при этомъ мы получимъ два новыхъ выраженія, опредѣляющія синусъ и косинусъ разности двухъ угловъ.

Означивъ чрезъ к цѣлое положительное число такъ, что было больше ß, и подставимъ въ формулы (1) и (2) 2к-к — ß на мѣсто ß, замѣтивъ при этомъ, что

sin (а -+- 2 кт: — ß) = sin ( а— ß); cos (а -+- 2 — ß) = cos (а — ß)

sin (2кп — ß) = — sin ß; cos ( — ß) = cos ß

находимъ

sin (a — ß) = sin a cos ß — cos a sin ß. . . . (3)

cos (a — ß) = cos a cos ß + sin a sin ß. . . . (4)

Сличая эти формулы съ формулами (1) и (2) § 15 находимъ, что они получаются изъ послѣднихъ перемѣною знака угла ß. Замѣтивъ при томъ, что

заключаемъ, что въ формулахъ (1) и (2) можно принимать углы также отрицательными.

Формулы (3) и (4) опредѣляютъ синусъ и косинусъ разности двухъ угловъ.

§ 18. Формулы (1) и (2) § 15 можно доказать въ самомъ общемъ видѣ для какихъ-нибудь угловъ посредствомъ слѣдующаго построенія. Положимъ (черт. 22), что дуга АМ=а и дуга MN = ß, такъ что уголъ AON = a -+- ß. Разстояніе конца N подвижнаго радіуса этого угла отъ точки В, т. е. хорда NB опредѣляетъ, какъ мы видѣли въ § 8, синусъ этого угла

NB* = 2 — 2 sin (a + ß)

Этотъ выводъ получается впрочемъ непосредственно изъ треугольника NOB.

Черт. 22.

Отложимъ дугу MN = ß отъ точки В по направленію къ А, и пусть BN, = MN. Замѣтивъ, что вслѣдствіе этого построенія хорда MN, = хордѣ NB, опустимъ изъ точки М перпендикуляръ на радіусъ ОА и изъ точки Nt перпендикуляръ на радіусъ OB, тогда

MP = sina; OP = cos а;

NtQ = sinß; OQ = cosß.

Изъ прямоугольнаго треугольника JMNt находимъ MNj 2 = MJ2 +JN,2

а такъ какъ

MJ = МР — JP == sin а — cos ß; Nj J == NjQ — JQ = sin ß — cos а; и MNj = NB, то находимъ

2 — 2 sin (a ß) = (sin a — cos ß)2 + (sin ß — cos a)2

Отсюда по раскрытіи скобокъ и сокращеніи

sin (a -+- ß) = sin a cos ß -f- cos a sin ß

Замѣтимъ, что приведенное построеніе примѣняется ко всякимъ угламъ a и ß. Какія положенія точки М и N на окружности ни имѣли, если дугу MN отложимъ отъ точки В по направленію къ А, и конецъ ея означимъ чрезъ N,, то хорда MNt всегда равняется хордѣ NB, а когда изъ точки М опустимъ перпендикуляръ на діаметръ АС и изъ точки Nt перпендикуляръ на діаметръ BD, то образуется прямоугольный треугольникъ, котораго гипотенуза будетъ хорда MNt, одинъ изъ катетовъ — разность между sin a и cos ß, а другой катетъ разность между sin ß и cos a.

Подобное же построеніе опредѣляетъ cos (a -+- ß). Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ(черт. 28)АМ=а и MN=ß, такъ что уголъ AON=a+ß.

Разстояніе конца N подвижнаго радіуса этого угла отъ точки А, т. е. хорда AN опредѣляетъ, какъ мы видѣли въ § 8; косинусъ этого угла

AN2 = 2 — 2 cos (a + ß)

Этотъ выводъ получается, впрочемъ, непосредственно изъ треугольника AON.

Отложимъ дугу MN отъ точки А по направленію отъ А къ D, и пусть ANt = MN;

Черт. 22.

Черт. 23.

тогда хорда MN, равняется хордѣ AN. Если же изъ точки М опустимъ перпендикуляръ на діаметръ АС и продолжимъ его, а изъ точки Nt — перпендикуляръ на діаметръ BD, то

MP = sina; OP = cos а; PL = sin ß; QN,=cosß

Изъ прямоугольнаго же треугольника MLN, находимъ

MN,2 = ML2 + LN,2

а такъ какъ

ML = MP+PL = sin a+sin ß; LN^QN, — QL=cos ß —cos a,

MN, = AN,

то получимъ

2 — 2 cos (a -bß) = (cos ß — cosa)2 -t- (sina -t- sin ß)2

и отсюда

cos (a -+-ß) = cos a cos ß — sin a sin ß

Это построеніе примѣняется также ко всѣмъ величинамъ a и ß. § 19. На основаніи предъидущихъ выводовъ не трудно опредѣлить тангенсъ суммы и разности двухъ угловъ.

Замѣтивъ, что

раздѣлимъ числители и знаменатели на cos a, cos ß; находимъ

Умноженіе дугъ.

§ 20. Подъ умноженіемъ дугъ разумѣемъ выраженіе тригонометр. линій кратной дуги посредствомъ тригонометр. линій простой дуги. Принимая a = ß въ формулахъ

находимъ

(1)

(2)

(В)

Эти выраженія опредѣляютъ sin, cos и tg двойной дуги.

Принимая въ тѣхъ же формулахъ послѣдовательно ß = 2 а, За, 4а и т. д. опредѣлимъ sin, cos и tg отъ За, 4а и т. д. Такъ, при ß = 2 а находимъ

Дѣленіе дугъ.

§21. Подъ дѣленіемъ дугъ разумѣемъ выраженіе тригонометр. линій части дуги посредствомъ тригонометр. линій цѣлой дуги.

Если въ урв. (2) предъидущаго § примемъ 2 а =» ß, слѣдов. а =

то получимъ

Присоединивъ уравненіе

сложивъ и вычтя почленно, находимъ

и отсюда

(1)

(2)

Относительно знака радикаловъ въ этихъ уравненіяхъ слѣдуетъ

замѣтить, что когда ß < тс, то sin ~ и cos^ будутъ положительны и оба радикала нужно брать со знакомъ Н-; но когда ß больше -а но меньше 2 т:, то sin ~ положителенъ, а cos^ отрицателенъ, а потому при первомъ корпѣ нужно удержать знакъ + а при второмъ —*).

Можно выразить синусъ и косинусъ половины дуги также чрезъ синусъ цѣлой дуги. Если въ урв. (1) § 20.

sin 2а = 2 sina cosa

примемъ 2 а = ß, слѣд. а = | > то получимъ

Сложивъ и вычтя почленно это уравненіе и равенство

находимъ, по извлеченіи квадратнаго корня,

(a)

(b)

и отсюда

(3)

(4)

*) Когда ß больше 2тг но меньше Зтг, то sin £ и cos ~ будутъ отрицательны, и оба корни должны имѣть знакъ — ; наконецъ, когда ß больше Зтг, но меньше 4тг, то при первомъ радикалѣ слѣдуетъ удержать знакъ — а при второмъ -4-.

**) Если то cos sin и оба радикала нужно взять со знакомъ какъ это видно изъ выраженій (а) и (6).

Если ^ < ß < тг, то наоборотъ cos | < sin jL и первый радикалъ (а) слѣдуетъ брать со знакомъ 4-, а второй со знакомъ —.

Когда тг < ß < —, то sin ^ будетъ положителенъ, а cos £ — отрицателенъ; но

Для опредѣленія тангенса половины дуги вставимъ въ формулу

вмѣсто sin „ и cos п ихъ выраженія (1) и (2), паходимъ

(5)

Это выраженіе упрощается, если помножимъ числителя и знаме-нателя подкореннаго количества на 1—cos ß. Послѣ нѣкоторыхъ простыхъ преобразованій находимъ

Если же умножимъ числителя и знаменателя подкореннаго количества на 1 -+- cos ß, то находимъ

§ 22. Опредѣленіе тригонометр. линій третьей, пятой и т. д. части дуги зависитъ отъ рѣшенія уравненій высшихъ степеней. Положимъ, напр., что требуется опредѣлить cos|’ Если въ урв. § 20

cos 3 а = 4 cos3a — 3 cos а

примемъ 3ct = ß, то получимъ

Отсюда видно, что опредѣленіе cos ^ зависитъ отъ рѣшенія уравненія 3-й степени. Подобнымъ же образомъ находимъ, что опре-

по обсолютной величинѣ cos^>sin^; слѣдов. оба радикала нужно брать со знакомъ —, какъ это видно изъ выраженій (а) и (6).

Наконецъ, когда ^ < ß < 2яг, то sin ~ и cos ^ отрицательны, и по обсолютной величинѣ sin cos слѣдов. радикалъ (а) нужно брать со знакомъ —, а радикалъ (Ь) со знакомъ -ь.

дѣленіе cos 7 приводится къ биквадратному уравненію, cos — къ уравненію 5-й степени и вообще опредѣленіе cos ^ къ урав. т-ой степени.

Хотя рѣшеніе общаго вопроса о дѣленіи дугъ выходитъ изъ предѣловъ элементарной математики, но въ частности можно послѣдовательнымъ примѣненіемъ формулъ (1) и (2) предъидущаго § раздѣлить дугу на 4, 8, 16 и т. д. частей.

Такъ, замѣтивъ, что cos 45# = -L (§ 7), находимъ по формуламъ

(1) и (2) § 21

Замѣтивъ, что sin 30° = -, находимъ по формуламъ (8) и(4)§ 21

Такъ какъ sin 18° = ~(ѴЬ — 1) (§ 7), то по формул. (3) и (4) § 21

Выраженіе суммы и разности тригонометрическихъ линій чрезъ произведеніе.

§ 23. Свойства тригонометрич. линій приводятъ къ весьма разнообразнымъ и многочисленнымъ равенствамъ, между которыми особое вниманіе заслуживаетъ выраженіе суммы и разности чрезъ произведеніе, такъ какъ это преобразованіе часто употребляется при логариѳмическихъ вычисленіяхъ.

Сложивъ и вычтя почленно уравненія

находимъ

Если положимъ

то получимъ

(1)

(2)

Эти выраженія опредѣляютъ сумму и разность синусовъ чрезъ произведеніе.

Далѣе, сложивъ и вычтя почленно уравненія

cos (а — Ъ) — cos а cos -+- sin а sin Ь cos {а -+- Ь) = cos а cos Ъ — sin а sin Ъ

находимъ

cos (аЧ- Ь)4- cos ( а— 2 cos « cos b

cos {а — Ъ) — cos (а-Ь = 2 sin a sin b

и положивъ какъ прежде а-+- b = т\а — Ъ — п, получимъ

(3)

(4).

Эти выраженія опредѣляютъ сумму и разность косинусовъ чрезъ произведеніе

Для вывода формулъ, выражающихъ сумму и разность тангенсовъ чрезъ произведеніе замѣтимъ, что

Отсюда находимъ

Раздѣливъ почленно урв. (1) и (2) получим

Если числителя и знаменателя раздѣлимъ на cos

то найдемъ

(6)

Подобнымъ же образомъ находимъ изъ урв. (3) и (4)

или

Задачи.

63. Опредѣлить а) sin (а±fr); b) tg(a±fr); если sin а——; sinfr=

64. Опредѣлить a) sec (a± fr) ; b) cosec (« ± fr) посредствомъ секанса и косеканса отъ а и 6.

65. Опредѣлить a) sin (бч-fr-t-c) ; b) cos (a+fr+c); c) tg (я+fr+c).

66. Выразить sin Xи cos xчрезъ tg -.

69. Выразить sin ^ и cos ^ чрезъ tg а.

65. Дано tg ^ опредѣлить cosæ.

66. Дано cos х= О, 5 ; опредѣлить а) cos 2 ; fr) tg 2 х.

Провѣрить слѣдующія формулы, предполагая, что а ч- ß + у = 2it.

Обратить въ произведеніе слѣдующія выраженія:

Рѣшить уравненія:

110. Исключить ß изъ уравненій:

Провѣрить равенства:

Опредѣлить X изъ уравненій

Опредѣлить сумму: Опредѣлить сумму: Опредѣлить сумму:

ГЛАВА III.

О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХЪ ТАБЛИЦАХЪ.

Вычисленіе тригонометрическихъ линій.

§ 24. Для приложенія тригонометрическихъ формулъ къ рѣшенію треугольниковъ или какихъ нибудь численныхъ вопросовъ необходимо или знать или умѣть опредѣлять тригонометр. линіи для даннаго угла и наоборотъ соотвѣтствующій уголъ для данной тригонометр. линіи. Для этой цѣли вычислены такъ называемыя тригонометрическія таблицы, съ помощію которыхъ можно найти тригонометр. линіи всякаго даннаго угла. Эти таблицы въ практическомъ отношеніи чрезвычайно важны и составляютъ одну изъ самыхъ существенныхъ принадлежностей тригонометріи. Значеніе ихъ становится понятнымъ, если замѣтимъ, что синусы и косинусы суть катеты прямоугольныхъ треугольниковъ, которыхъ гипотенуза есть 1, и что вслѣдствіе этого таблицы содержатъ всевозможные треугольники этого рода. Какой прямоугольный треугольникъ не подлежалъ бы нашему разсмотрѣнію, мы всегда найдемъ въ таблицахъ подобный ему треугольникъ, части котораго напередъ вычислены. Отсюда понятно, какую выгоду можно извлечь изъ этихъ таблицъ для рѣшенія какъ прямоугольнаго такъ вообще и всякаго треугольника.

Объяснимъ способъ, посредствомъ котораго тригонометр. таблицы могутъ быть составлены, замѣтивъ при этомъ, что достаточно распространять ихъ на углы отъ 0° до 45°, потому что тригонометр. линіи какого-бы то ни было угла могутъ быть приведены къ тригонометр. линіямъ угла, который меньше 45° (§ 13).

§ 25. Вычисленіе тригонометр. линій основывается на слѣдующихъ двухъ положеніяхъ.

1. Всякая дуга, не превышающая- , больше своего синуса но меньше своего тангенса.

Въ самомъ дѣлѣ, означимъ дугу AM (черт. 24) чрезъ а, и отложимъ дугу AN=AM ; проведемъ хорду MN и касательныя МТ и NT. Такъ какъ хорда MN меньше дуги MN и ломанная линія MTN больше этой дуги, то половина дуги MAN будетъ больше половины хорды MN, но меньше половины ломанной линіи MTN. Отсюда и слѣдуетъ

sin а < а ; tg а > а.

2. Разность между дугою, не превышающей и ея синусомъ меньше четвертой части куба этой дуги.

Въ самомъ дѣлѣ, если въ уравненіи

замѣнимъ tg - чрезъ меньшую величину и чрезъ меньшую величину 1------ то получимъ

или

Изъ этого неравенства заключаемъ, что если синусъ замѣнимъ его дугою, то дѣлаемъ ошибку, которая меньше четвертой части куба этой дуги.

Если въ уравненіи (§21)

замѣнимъ sin -X чрезъ большую величину—, то выраженіе 1 — 2 sin* — уменьшится, и мы получимъ

Если въ той же формулѣ замѣнимъ sin чрезъ меньшую величину — — ( -) = — — т-, то выраженіе 1 — 2 sin2 увеличится, и мы получимъ

и такъ какъ

то тѣмъ болѣе будетъ имѣть мѣсто неравенство

Отсюда заключаемъ, что разность между cos а и 1 — -- меньше и замѣняя cos а чрезъ 1-— , мы дѣлаемъ ошибку, которая меньше .

§ 26. На основаніи предъидущихъ положеній можно вычислить sin 10" и cos 10" съ точностью 13 десятичныхъ знаковъ.

Означивъ чрезъ а дугу въ 10" и принимая

находимъ

и такъ какъ

то замѣнивъ sin а чрезъ а и cos er.чрезъ 1 — — мы дѣлаемъ ошибки, которыя меньше единицы 13-го и 18-го десятичнаго мѣста, а потому

sin 10" = 0,00004 84813 681

cos 10" = 0,99999 99988 248

Зная sin 10" и cos 10" можно опредѣлить синусы и косинусы всѣхъ угловъ чрезъ каждыя 10". Въ самомъ дѣлѣ, если въ формулахъ § 23

примемъ а — mb, то находимъ*)

Посредствомъ этихъ равенствъ можно опредѣлить sin (m 1 ) ft и cos(m-l-1)6, когда извѣстны cos b и синусы и косинусы двухъ дугъ mb и (т — 1) Ь.

Положивъ 6 = 10" и принимая за т послѣдовательно числа 2,3,4... найдемъ

Такимъ образомъ можно опредѣлить sin и cos всѣхъ угловъ чрезъ каждыя 10" до 45°.

Впрочемъ достаточно распространить вычисленіе до 30“, потому что, если въ формулахъ

примемъ а = 30°, то находимъ уравненія

которыя доставляютъ простое средство для опредѣленія синусовъ и косинусовъ угловъ, превышающихъ 30° посредствомъ синусовъ и косинусовъ угловъ, которые меньше 30.

*) Эти формулы были предложены Томасомъ Симсономъ.

Составленіе тригонометрическихъ таблицъ.

§ 27. Изложенный въ предъидущихъ §§ способъ вычисленія три-гонометр. линій былъ первоначально употребленъ для составленія первыхъ тригонометрическихъ таблицъ. Впослѣдствіи математика выработала болѣе простые и удобные пріемы для этой цѣли, основанные на разложеніи тригонометрическихъ линій въ безконечные ряды*).

Такъ какъ тригонометрическія вычисленія большею частью производятся посредствомъ логариѳмовъ, то въ таблицахъ помѣщаются не самыя тригонометрическія линіи, называемыя натуральными, а логариѳмы ихъ. Опредѣливъ синусы и косинусы угловъ отъ 0° до 45°, и взявъ логариѳмы ихъ изъ обыкновенныхъ логариѳмическихъ таблицъ, вычисляютъ затѣмъ логариѳмы тангенсовъ и котангенсовъ посредствомъ формулъ:

lg tg X = lg sin X — lg cos X ; lg cotg = lg cos — lg sin x

Логариѳмы sec и cosec обыкновенно не помѣщаются въ таблицахъ, потому что

lg sec x = — lg cos x и lg cosec = — lg sin

Такъ какъ синусы и косинусы также тангенсы угловъ отъ 0° до 45° и котангенсы угловъ отъ 45° до 90° меньше единицы, то логариѳмы ихъ отрицательны, или, если примемъ мантиссы положительными, имѣютъ отрицательныя характеристики. Для избѣжанія же въ таблицахъ отрицательныхъ величинъ, къ каждому изъ такихъ логариѳмовъ прибавлено число 10, а потому, взявъ такой логариѳмъ изъ таблицы, слѣдуетъ помнить, что его нужно уменьшить на 10.

Употребительнѣйшія таблицы суть таблицы Лаланда и таблицы Каллета и Вега.

Таблицы Лаланда.

§ 28. Таблицы Лаланда содержатъ логариѳмы съ 5-ю десятичными знаками синусовъ, косинусовъ, тангенсовъ и котангенсовъ угловъ отъ 0° до 90° чрезъ каждую минуту. Отъ 0° до 45° число градусовъ указано вверху страницы, а число минутъ въ первомъ столбцѣ; слѣ-

*) Смотр. приложенія.

дующіе столбцы съ надписью Sin, Tang, Cot, Cos содержатъ логариѳмы соотвѣтственныхъ линій. Отсчитываніе производится сверху внизъ. Но отъ 45° до 90° порядокъ таблицы становится обратный: отсчитываніе производится снизу вверхъ, число градусовъ отмѣчено внизу страницы, а минуты въ послѣднемъ столбцѣ, притомъ столбцы съ надписью вверху Sin, Tang, Cot и Cos отмѣчены внизу Cos, Cot, Tang, Sin, такъ какъ синусъ и тангенсъ какого нибудь угла равняются косинусу и котангенсу дополнительнаго угла.

Рядомъ со столбцами Sin, Tang, Cos находятся столбцы подъ литерою D, содержащіе табличныя разности, т. е. разность двухъ послѣдовательныхъ чиселъ соотвѣтственнаго столбца. Нужно только замѣтить, что эти разности для sin и tg положительны, а для cos и cotg отрицательны, потому что первые увеличиваются, а послѣдніе уменьшаются съ возрастаніемъ дуги; разности же tg съ обратнымъ знакомъ служатъ также разностями для cotg, потому что

Посредствомъ тригонометрическихъ таблицъ рѣшаются два вопроса: 1) для даннаго угла отыскать его тригонометрическія линіи, 2) для данной тригонометрической линіи отыскать соотвѣтственный уголъ.

§ 29. Отыскать тригонометрическія линіи даннаго угла.

Если данный уголъ содержитъ только цѣлое число градусовъ и минутъ, то лагориѳмы его тригонометрическихъ линій находимъ прямо въ таблицахъ. Но когда онъ содержитъ также секунды и доли ея, то нужно воспользоваться табличными разностями, какъ при подъискиваніи обыкновенныхъ логариѳмовъ. Нѣкоторые примѣры разъяснятъ этотъ пріемъ.

1. Требуется отыскать lg sin 23°18'27",5.

Отбросивъ секунды, подъискиваемъ въ таблицахъ

Замѣтивъ при этомъ табличную разность 29, и допустивъ, что небольшія измѣненія угла пропорціональны измѣненіямъ соотвѣтствующихъ логариѳмовъ, разсуждаемъ такъ: когда уголъ увеличится на 1 , то lg sin увеличится на --, а когда уголъ увеличится на 2 7", 5, то lg sin увеличится на 18,3 (единицъ 5-го де-

сятичнаго мѣста). Слѣдов., къ lg sin 23°18' пужно прибавить 13, чтобы получить lg sin 23°18'27",5.

Дѣйствіе располагается такимъ образомъ:

2. Отыскать lg cos 34°29'16Г,,4.

Подъискиваемъ въ таблицахъ

lg cos34°29' = T, 91608

и, отмѣчая табличную разность 9, разсуждаемъ такъ: когда уголъ увеличится на 1", то lg cos уменьшится на а когда онъ увеличится на 16",4, то lg cos уменьшится на = 2,4 (единицъ 5-го десятичнаго мѣста). Слѣдов., изъ lg cos 34°29' нужно вычесть 2:

3. Отыскать lgtg 59°17'38",3

Вмѣсто того, чтобы взять табличный логариѳмъ непосредственно меньшій даннаго, бываетъ иногда выгоднѣе взять логариѳмъ непосредственно большій; но тогда lg sin и lgtg должны быть исправлены чрезъ вычитаніе, а lg cos и lgcotg чрезъ сложеніе.

§ 30. Употребленіе пропорціональныхъ частей основано на допущеніи, что логариѳмы измѣняются пропорціонально измѣненію угловъ. Прямое разсмотрѣніе табличныхъ разностей показываетъ, что это предположеніе вообще справедливо. Только въ началѣ таблицы, для угловъ весьма малыхъ и близкихъ къ 90°, замѣчаемъ быстрое измѣненіе логариѳмовъ, такъ что къ нимъ нельзя примѣнить правило пропорціональныхъ частей; это правило можно считать вѣрнымъ

только для угловъ отъ 1°30' до 88°30'. Для опредѣленія же тригонометрическихъ линій весьма малыхъ угловъ, нужно обращаться къ болѣе полнымъ таблицамъ, содержащимъ углы чрезъ каждую секунду или чрезъ каждыя 10", которыя большею частью прибавляются къ таблицамъ Лаланда. Но въ нѣкоторыхъ изданіяхъ таблицъ Лаланда эти дополнительныя таблицы опущены; желая же ими пользоваться для опредѣленія синусовъ и тангенсовъ малыхъ угловъ, можно допустить, что такіе синусы и тангенсы пропорціональны самымъ дугамъ.

Положимъ, напр., что требуется опредѣлить lg sin 1°12'43",8. Допустивъ

и взявъ логариѳмы, находимъ:

lg sin 1°12'43",8 = lg sin l°12'+lg 4363,8—lg 4320=2,32541.

Пусть требуется опредѣлить lgtg 89 Vil",4. Замѣтивъ, что дополненіе даннаго угла есть 52'48",6 и что вслѣдствіе этого

lgtg89°7'll",4 = — lgtg 5248",6

допустимъ какъ прежде

и взявъ логариѳмъ, находимъ:

lg tg52'48",6 = lgtg 52' +lg 3168,6—lg 3120 = 2,18648

§31. Отыскать уголъ по данному логариѳму тригонометрической линіи.

Если дается lg sin или lg tg, то въ таблицахъ подъискиваемъ непосредственно меньшій логариѳмъ, если же — lg cos или lg cotg, то непосредственно большій логариѳмъ, и исправляемъ ихъ съ помощію пропорціональныхъ частей.

1. Пусть дано lg sinа?= 1,80293.

Непосредственно меньшій табличный логариѳмъ 1,80290 соотвѣтствуетъ 39°26' и разнится отъ даннаго на 3 единицы 5-го десятичнаго мѣста. Замѣтивъ табличную разность 15, разсуждаемъ такъ: если логариѳмъ увеличится па 15, то уголъ увеличится на 60 ,

если логариѳмъ увеличится на 1, то уголъ увеличится на ——, а если логариѳмъ увеличится на 3, то уголъ увеличится на ———=12". Слѣд. искомый уголъ будетъ х— 39"26'12". Дѣйствіе располагается такъ:

2. Пусть дано log eotga?= 1,13355.

Непосредственно большій табличный логариѳмъ 1,13384 соотвѣтствуетъ 82015' и разнится отъ даннаго на 29. Замѣтивъ табличную разность 95, разсуждаемъ такъ: когда логариѳмъ уменьшится на 95, уголъ увеличится на 60", когда логариѳмъ уменьшится на 1, уголъ увеличится на > а когда логариѳмъ уменьшится на 29, уголъ увеличится па ——= 18",3. Слѣдовательно искомый уголъ будетъ х = 82°15'18". Дѣйствіе располагается такъ:

Для опредѣленія весьма малыхъ угловъ, при неимѣніи дополнительныхъ таблицъ, допускаютъ, какъ въ § 30, что синусы и тангенсы малыхъ дугъ пропорціональны этимъ дугамъ.

Положимъ, напр., что дано lg sin æ = 3,00229.

Подъискавши непосредственно меньшій табличный логариѳмъ

lg sin 3' = 4,94085

допускаемъ пропорцію

и взявъ логариѳмы, находимъ:

а потому

я=207",3 = 3'27",3

§ 32. Посмотримъ, съ какой точностью опредѣляются углы по таблицамъ Лаланда.

Означимъ чрезъ D табличную разность синусовъ и замѣтимъ, что увеличенію логариѳма синуса на единицу 5-го десятичнаго мѣста соотвѣтствуетъ увеличеніе угла на • Отсюда заключаемъ, что если два угла разнятся другъ отъ друга менѣе чѣмъ на > то пятизначные логариѳмы ихъ синусовъ равны. Слѣдов. ошибка въ углѣ, опредѣленномъ по синусу, можетъ простираться до • Но изъ прямаго разсмотрѣнія таблицъ находимъ, что до 12° дробь —- меньше 1"; далѣе же она увеличивается; при 45° она простирается уже до 5", при 70“ до 12", при 85° до Г, а далѣе даже до нѣсколькихъ минутъ. Отсюда заключаемъ, что углы близкіе къ 90°, очень дурно опредѣлены чрезъ ихъ синусы. Подобнымъ образомъ находимъ, что малые углы дурно опредѣляются чрезъ ихъ косинусы. Тангенсы же не представляютъ этого неудобства. Въ самомъ дѣлѣ, дробь для тангенсовъ имѣетъ наибольшую величину при 45° и равняется въ этомъ мѣстѣ таблицы 2'',4. Слѣдов., если уголъ опредѣляется посредствомъ его тангенса, то ошибка будетъ всегда меньше 3". Вслѣдствіе этого должно по возможности стараться опредѣлять неизвѣстные углы посредствомъ ихъ тангенсовъ, или котангенсовъ.

Семизначныя таблицы.

§ 33. Лучшія изъ семизначныхъ таблицъ суть таблицы Вега, обработанныя Бремикеромъ, и таблицы Каллета, изданныя въ Парижѣ Дидо; онѣ впрочемъ мало разнятся между собою.

Расположеніе этихъ таблицъ весьма сходно съ расположеніемъ таблицъ Лаланда; онѣ отличаются отъ послѣднихъ тѣмъ, что содержатъ:

1. Углы чрезъ каждыя 10"; минуты и секунды помѣщаются въ двухъ первыхъ и двухъ послѣднихъ столбцахъ.

2. Логариѳмы съ 7-ю десятичными знаками.

3. Небольшія вспомогательныя таблички, въ которыхъ помѣщены десятыя доли табличныхъ разностей.

§ 84. Отыскать тригонометрическія линіи даннаго угла.

1. Требуется отыскать lgsin32°25,36",4.

Беремъ изъ таблицъ lgsin 32°25,30" = 1,7293229, отмѣчаемъ табличную разность 331 и разсуждаемъ какъ прежде: когда уголъ увеличится на 10", логариѳмъ увеличится на 331, когда уголъ увеличится на 6", логариѳмъ увеличится на 33,1 X6 = 198,6 (это число берется прямо изъ маленькаго столбца съ надписью 331), а когда уголъ увеличится на 0",4, логариѳмъ увеличится на 3,31 X 4 = 13,24 (это число также берется прямо изъ того же столбца). И такъ число, на которое нужно исправить табличный логариѳмъ, опредѣляется, раздѣливъ табличную разность на 10 и помножавъ на единицы и доли секунды. Это умноженіе подготовлено въ маленькихъ столбцахъ.

Самое дѣйствіе располагается такъ:

2. Требуется отыскать lgcos 58°26'23",6:

Вслѣдствіе быстраго измѣненія табличныхъ разностей въ началѣ таблицы, употребленіе пропорціональныхъ частей возможно для си-

нуса и тангенса только начиная съ 5°, а для косинусовъ и котангенсовъ не свыше 85°.

Для опредѣленія же синуса и тангенса малаго угла, также косинуса и котангенса угла близкаго къ 90°, прибавлена дополнительная таблица, содержащая углы отъ 0° до 6° чрезъ каждую секунду. Изъ этой таблицы беремъ логариѳмъ ближайшій къ данному и исправляемъ его, какъ въ § 30, допустивъ, что синусы и тангенсы малыхъ дугъ относятся какъ эти дуги.

Положимъ, напр., что нужно опредѣлить lg sin 0°3'27", 355.

Находимъ въ дополнительной таблицѣ lgsinO °3'27"=2,0015451. Затѣмъ, допустивъ

и взявъ логариѳмы, находимъ

lg sin 0°3'27",355 = lg sin 0°3'27" + lg 207,355 — lg 207 = 2,0022893.

§ 35. Отыскать уголъ по данному логариѳму тригонометрической линіи.

1. Пусть дано lg sin а; = 1,2203867.

Подъискиваемъ непосредственно меньшій логариѳмъ:

lgsin9°33'40" = 1,2203683,

который разнится отъ даннаго на 184, и замѣтивъ табличную разность 1249, разсуждаемъ такъ: если логариѳмъ увеличится на 1249, уголъ увеличится на 10", если логариѳмъ увеличится на 1, уголъ 10" увеличится на р249’ а если логариѳмъ увеличится на 184, то уголъ увеличится на -■ —. _ =1 ,о.

Итакъ, для опредѣленія единицъ и долей секунды, нужно разность между даннымъ и табличнымъ логариѳмами помножить на 10 и раздѣлить на табличную разность. Дѣйствіе располагается такъ:

Для опредѣленія малыхъ угловъ по данному синусу или тангенсу подъискиваемъ въ дополнительныхъ таблицахъ цѣлое число секундъ и опредѣляемъ доли секунды какъ въ §31, допустивъ, что синусы и тангенсы малыхъ дугъ пропорціональны этимъ дугамъ.

§ 36. Посмотримъ, съ какой точностью семизначныя таблицы опредѣляютъ углы по даннымъ тригонометр. линіямъ. Означивъ чрезъ d табличную разность, и замѣтивъ, что дробь ——- означаетъ измѣненіе угла, когда логариѳмъ измѣняется на единицу 7-го десятичнаго мѣста, заключаемъ, что ошибка въ опредѣленіи угла можетъ простираться до Таблицы показываютъ, что для синусовъ угловъ близкихъ къ 90°, также для косинусовъ малыхъ угловъ дробь можетъ простираться до 10", такъ что углы близкіе къ 90° дурно опредѣлены чрезъ ихъ синусы, а малые углы — чрезъ ихъ косинусы. Но тангенсы и котангенсы не представляютъ этого неудобства; для нихъ наибольшая величина дроби——, имѣющая мѣсто при 45°, не превышаетъ 0",03. Слѣдов., если уголъ отыскивается по его тангенсу или котангенсу, то ошибка при его опредѣленіи не можетъ быть болѣе 0",03.

Угломѣрные снаряды, употребляемые въ астрономіи и при геодезическихъ работахъ, требующихъ большей точности, опредѣляютъ углы вѣрно до 1"; въ этихъ случаяхъ необходимо употребить семизначные логариѳмы, чтобы вычисленіе не увеличило погрѣшности, происшедшей отъ наблюденія. Но въ обыкновенныхъ топографическихъ работахъ, въ которыхъ углы опредѣляются съ точностью не болѣе 30", пятизначные логариѳмы совершенно достаточны.

Приведеніе формулъ къ виду удобному для логариѳмическаго вычисленія.

§ 37. Численное выраженіе можетъ быть удобно вычислено посредствомъ логариѳмовъ только тогда, когда оно представляетъ произведеніе одночленныхъ множителей. Мы видѣли (§ 23), что въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ сумма и разность тригонометр. линій могутъ быть преобразованы въ произведеніе. Но не трудно показать, что всякую сумму можно представить въ видѣ произведенія съ помощію такъ называемаго вспомогательнаго угла.

Пусть требуется алгебраическую сумму

х = А + В

представить въ видѣ произведенія. Если А и В имѣютъ одинакіе знаки, то изобразивъ эту сумму въ видѣ

положимъ

Уголъ ф называется вспомогательнымъ угломъ и опредѣляется изъ уравненія

Затѣмъ находимъ

Если же А и В имѣютъ разные знаки и мы допустимъ, что по абсолютной величинѣ А больше В, то положивъ

найдемъ

Для примѣра сдѣлаемъ удобнымъ для логариѳмическаго вычисленія корни квадратнаго уравненія

xi-hpx-hq = 0

предполагая, что эти корни дѣйствительны, т. е. ^ > q. Означивъ эти корни чрезъ х. и х„

положимъ, что q положительное количество, и допустимъ

находимъ

Если же q отрицательное количество, то положивъ

находимъ

§ 88. Если формула имѣетъ видъ удобный для логариѳмическаго вычисленія, но содержитъ отрицательныхъ множителей, то производимъ вычисленіе, не обращая вниманія на ихъ знаки, принимая въ соображеніе только абсолютныя ихъ величины, и такъ какъ знакъ опредѣляемаго выраженія извѣстенъ, то возставляемъ его въ окончательномъ результатѣ. Положимъ, напр., что нужно опредѣлить наименьшій положительный уголъ х изъ уравненія

Замѣтивъ, что cos 163°18' и tg 97°12' отрицательны, заключаемъ, что и tgæ отрицателенъ. Приведя затѣмъ тригонометр. линіи къ острому углу, находимъ:

cos 163°18' = — cos 1642'; tg 97°12' = — cotg 7°12'

и производимъ вычисленіе не обращая вниманія на знаки:

Отсюда заключаемъ, что логариѳмъ абсолютной величины tg х равняется 1,92987, а такъ какъ tgx = — tg (180°—х), то lg tg (180u—ж) = 1,92987.

Отсюда слѣдуетъ, что 180°—я=40°23'38", а потому ж=189°36,22".

Задачи.

Подъискать по таблицамъ Лаланда

Опредѣлить уголъ по таблицамъ Лаланда:

Подъискать по семизначнымъ таблицамъ:

Опредѣлить углы:

Опредѣлить тригонометрическія линіи:

Опредѣлить наименьшій положительный уголъ х:

Опредѣлить X

145. Опредѣлить наименьшій положительный уголъ

144. Опредѣлить наименьшій положительный уголъ х изъ уравн. 32 sinæ-j- 247 cosa; = — 12.

143. Опредѣлить наименьшіе положительные углы х и изъ уравн. sin а;.

148. Опредѣлить наименьшіе положит. углы х, у и z изъ уравн.

149. Опредѣлить уголъ х изъ уравн. cos а; — tg = — cos

15«. Опредѣлить X изъ уравн. 3 sin2a;— 4 cos2a: = “Sin2a:.

151. Опредѣлить X изъ уравн. sin 2а: -+- sin За: = 3 sin х.

152. Опредѣлить уголъ изъ условія, что сумма четвертыхъ степеней его синуса и косинуса вдвое болѣе синуса двойнаго угла.

Рѣшить съ помощію тригонометрическихъ таблицъ уравненія:

Привести къ виду удобному для логариѳмическаго вычисленія:

153. Рѣшить посредствомъ вспомогательнаго угла уравненіе:

а sin X-+- Ъcos X = с.

158. Пространство пройденное свободно падающимъ тѣломъ въ первую секунду подъ широтою р равняется въ англійскихъ дюймахъ:

193,088088 — 0,5006307 cos 2р.

Опредѣлить это пространство для Москвы, которой широта равняется ббЧб'ІЗ".

159. Силы тяжести подъ экваторомъ и подъ широтой р относятся какъ

Опредѣлить отношеніе силъ тяжести въ Москвѣ и Петербургѣ. Широта Петербурга равняется бЭ'бб'ЗО".

ОТДѢЛЕНІЕ II.

ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ТРИГОНОМЕТРІЯ.

Глава I.

РѢШЕНІЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХЪ ТРЕУГОЛЬНИКОВЪ.

§ 39. Въ послѣдующемъ мы означимъ углы какого-нибудь треугольника чрезъ А, В и С, а противулежащія имъ стороны чрезъ а, Ъ и с. Въ случаѣ прямоугольнаго треугольника мы будемъ разумѣть подъ С прямой уголъ, слѣдов. подъ с гипотенузу.

Рѣшеніе прямоугольныхъ треугольниковъ основывается на слѣдующихъ трехъ теоремахъ.

1. Теорема. Катетъ равняется гипотенузѣ, умноженной на синусъ противулежащаго угла.

Пусть будетъ АВС (черт. 25) прямоугольн. треугольникъ; изъ точки А радіусомъ AL, равнымъ единицѣ, опишемъ дугу LM, и опустимъ изъ точки L перпендикуляръ на сторону АС, тогда LN = sin А. Изъ подобія треугольниковъ АВС и ALN находимъ

Отсюда

Черт. 25.

2. Теорема. Катетъ равняется гипотенузѣ, умноженной на косинусъ прилежащаго угла.

Въ самомъ дѣлѣ, изъ подобія треугольниковъ АВС и ALN (черт. 25) находимъ

Черт. 25.

Отсюда

(2)

3. Теорема. Катетъ равняется другому катету, умноженному на тангенсъ противулежащаго угла.

Проведя тангенсъ МТ (черт. 25), находимъ изъ подобныхъ треугольниковъ АВС и ATM

Отсюда

а = Ъtg А (3)

Уравненія (1), (2) и (3) не представляютъ независимыхъ между собою соотношеній, но выражаютъ только одно и тоже свойство прямоугольнаго треугольника въ различныхъ видахъ. Такъ урав. (2) есть прямое слѣдствіе перваго соотношенія & = с sin В, изъ котораго оно получается, если В замѣнимъ чрезъ 90° — А; 3-е же урав. получается, раздѣливъ почленно урав. (1) на урав. (2).

Если урав. (3) замѣнимъ А чрезъ 90° — В, то находимъ

а = Ъcotg В,

т. е. катетъ равняется другому катету, умноженному на котангенсъ прилежащаго угла.

§40. Между 5-ю частями прямоугольнаго треугольника:

А и В существуютъ три независимыя соотношенія

А + В = 90°; с1 = а2-+- &2; sin А

изъ которыхъ послѣднее, смотря по удобству, можетъ быть замѣнено уравненіемъ (2) или (3). Изъ этого слѣдуетъ, что если двѣ части прямоугольнаго треугольника даны, а между ними по крайней мѣрѣ одна сторона, то прочія части могутъ быть опредѣлены вычисленіемъ.

Разсмотримъ различные случаи, которые могутъ встрѣтиться при рѣшеніи прямоугольныхъ треугольниковъ.

1. По одной гипотенузѣ с и острому углу А, опредѣлить прочія части а, Ъ, В.

Имѣемъ: В = 90°—А, а по 1-й и 2-й теоремѣ: а = с sin А и Ъ — с cos А, и отсюда

Примѣръ, с = 90,844; А = ЗО^О^ЗО”.

2. По данному катету а и острому углу А опредѣлить прочія части Ъ, с, В.

Имѣемъ: В = 90°—А, а по 1-й и 3-й теоремѣ:

отсюда

Примѣръ. а =982; А = бЗ^іЧб”.

3. По данной гипотенузѣ с и катету а опредѣлитъ прочія части Ъ,А и В.

Катетъ Ъ опредѣляется по формулѣ

Если гипотенуза мало разнится отъ даннаго катета а — случай, который довольно часто встрѣчается на практикѣ, то уголъ В будетъ весьма малъ, а А близокъ къ 90°. Въ этомъ случаѣ углы А и В недостаточно точно опредѣляются чрезъ синусъ и косинусъ (§ 32), а слѣдуетъ ихъ скорѣе опредѣлить чрезъ тангенсъ. Для этого замѣтивъ, что

вставимъ вмѣсто cos В его выраженіе находимъ

4. По даннымъ катетамъ а и Ъ опредѣлитъ прочія части, с, А и В.

Углы опредѣляются на основаніи 3-й теоремы

Опредѣливши уголъ А, находимъ гипотенузу на основаніи 1-й теоремы

Можно опредѣлить гипотенузу изъ формулы с2 = а2Ч-Ь2. Но приводя эту формулу посредствомъ вспомогательнаго угла къ виду, удобному для логариѳмическаго вычисленія, находимъ, что этотъ уголъ будетъ самый уголъ А, и формула обратится въ с = -г~.

ГЛАВА III.

РѢШЕНІЕ КОСОУГОЛЬНЫХЪ ТРЕУГОЛЬНИКОВЪ.

Соотношенія между сторонами и углами косоугольнаго треугольника.

§ 41. Рѣшеніе косоугольныхъ треугольниковъ основывается на слѣдующихъ двухъ теоремахъ.

4. Теорема. Въ косоугольномъ треугольникѣ стороны относятся какъ синусы противулежащихъ .

Опустивъ изъ вершины С (черт. 26) треугольника АВС перпендикуляръ на противуположную сторону, находимъ изъ прямоугольнаго треугольника ACD.

CD = AC sin А = sin А и изъ прямоугольнаго треугольника CBD CD = ВС sinB = a sin В и отсюда Ъ sin А sin В или

(1)

Подобнымъ образомъ находимъ

(2)

Уравненія (1) и (2) справедливы также въ случаѣ тупоугольнаго треугольника.

Черт. 26.

Черт. 27.

Опустивъ изъ вершины С (черт. 27) треугольника АВС перпендикуляръ на продолженіе стороны ВА, находимъ изъ прямоугольнаго треугольника DBC

CD = СВ sin В = « sin В

а изъ прямоугольнаго треугольника DAC

CD = АС sin CAD = Ъsin (180° — А) = sin А

слѣдовательно въ этомъ случаѣ такъ же какъ въ предъидущемъ

Ъsin А = а sin В.

Урв. (1) и (2) соединяютъ иногда вмѣстѣ въ видѣ пропорцій

§ 42. 5. Теорема. Въ косоугольномъ треугольникѣ квадратъ стороны равняется суммѣ квадратовъ двухъ прочихъ безъ удвоеннаго произведенія этихъ сторонъ, умноженнаго на косинусъ угла, заключающагося между ними.

Въ самомъ дѣлѣ изъ остроугольнаго треугольника АВС (черт. 26) находимъ

СВ2 = АС2 -Ь AB2 — 2 AB. AD

Изъ прямоугольнаго же треугольника ACD получаемъ

AD = AC cos А = Ъcos А

а потому

а2 = ft2 + с2 — 2 Ьс cos А....(3)

Подобнымъ же образомъ находимъ

Ь2 = а2 + с2 — 2 ас cos В.....(4)

с2 = а2 Ч- &2 — 2 ab cos С....(5)

Въ случаѣ же тупоугольнаго треугольника (черт. 27) будемъ имѣть

СВ2 = АС2 -+- AB2 + 2 AB. AD

Но замѣтивъ, что

AD = АС cos CAD = Ъcos (180° — А) = — b cos А

находимъ какъ прежде «2 = &2 + с2 — 2 Ъс cos А ;

слѣдовательно, урв. (3), (4) и (5) существуютъ для всякаго треугольника.

§ 43. Такъ какъ треугольникъ опредѣленъ, когда дана одна сторона и еще двѣ какія нибудь части его, то шесть частей треуголъ-

ника могутъ быть связаны между собою только тремя независимыми между собою уравненіями, изъ которыхъ одно состоитъ въ томъ, что сумма его угловъ равняется двумъ прямымъ. Не трудно показать, что уравненія (3), (4) и (5) суть слѣдствія трехъ уравненій.

и наоборотъ, что эти три уравненія могутъ быть выведены изъ уравненій (3), (4) и (5).

Въ самомъ дѣлѣ, замѣтивъ, что

sinC=sin (180° — А — B) = sin (A+B) = sinA cos В Ч-cos А sin В

замѣнимъ cos В чрезъ V 1 — sin2 В и возведемъ въ квадратъ обѣ части уравненія

sin С — cos А sin В = sin А Ѵі — sin2B

Послѣ нѣкоторыхъ сокращеній получимъ

sin2A = sin2B Ч- sin2C — 2 sin В sin C cos A

Если же означимъ отношеніе синуса угла къ противулежащей сторонѣ чрезъ к:

такъ что sin А = а.к; sin В = Ь.к ; sin С = с.к, и подставимъ эти выраженія вмѣсто синусовъ, то по сокращенію на к2, получимъ урв. (3) а2 = Ьа -+- с2 — 2 Ъс cos А

Подобнымъ же образомъ получаются урв. (4) и (5).

Наоборотъ, изъ урв. (3), (4) и (5) могутъ быть выведены уравненія

Въ самомъ дѣлѣ, сложивъ и вычтя почленно урв. (3) и (4), находимъ

и исключивъ с, получимъ

а2 — Ъ2 = а2 cos2 В — Ъ2 cos2 А или а2 sin2 В = è2sin2 А или наконецъ

а sin В = Ъsin А*)

*) Уравненіе с=а cos B-t-Ь cos А, которое не трудно провѣрить на чертежѣ, вмѣстѣ съ двумя подобными ему уравненіями: Ъ=с cos А+а cos С ; а = Ъ cos С-4-с cos В

Подобнымъ образомъ получается и другое уравненіе с sin А=os sin С. Далѣе, предположивъ что С есть наименьшій уголъ треугольника, вставивъ въ предъидущее уравненіе

вмѣсто а, Ъи с выраженія к sin А, к sin В, к sin С, гдѣ означаетъ отношеніе стороны къ синусу противуположнаго угла, находимъ по сокращеніи на к,

Отсюда слѣдуетъ, что или С = А Ч- В или С = 180°— (А -Ь В), а такъ какъ С, означая меньшій уголъ треугольника, не можетъ равняться суммѣ двухъ другихъ угловъ, то С= 180 °—(А+В) или А+В+0= 180 ".

Такимъ образомъ мы видимъ, что система урв. (3), (4) и (5) тождественна съ системой 3-хъ уравненій

и что та и другая вполнѣ опредѣляетъ треугольникъ.

Рѣшеніе косоугольныхъ треугольниковъ.

§ 44. При рѣшеніи косоугольныхъ треугольниковъ представляются тѣ же 4 случая какъ и при равенствѣ ихъ; а именно могутъ быть даны: 1) одна сторона и два угла, 2) двѣ стороны и уголъ между ними, 3) двѣ стороны и уголъ, лежащій противъ одной изъ нихъ, 4) три стороны.

1. Даны сторона с и углы А и В; а, Ъ и С.

Вопросъ всегда возможенъ, когда сумма двухъ данныхъ угловъ меньше 180°.

Уголъ С опредѣляется изъ равенства

С= 180° — А — В

также вполнѣ опредѣляютъ треугольникъ. Изъ нихъ не трудно вывести урв. (3), (4) и (5). Такъ умноживъ первое изъ нихъ на с, второе на Ъ, третье на а, и вычти третье изъ суммы двухъ первыхъ, находимъ Ъ2-\- с2 — а2 = 2 Ъс cos А или а2 = Ь2 -+- с2 — 2 Ъс cos А.

или

Примѣръ, с =24,3105; А = 112°30'48"; В = 22#11'10"

§ 45. Даны двѣ стороны а и Ъ и уголъ между ними С; опредѣлитъ А, В и с. Вопросъ всегда возможенъ. Предположивъ а>Ъи замѣтимъ, что

находимъ

Въ § 28 мы нашли

слѣдов.

Но —-—=90° — -, а потому tg—х— = cotg-. Отсюда заключаемъ, что

Изъ этого уравненія опредѣляемъ разность А — В двухъ неизвѣстныхъ угловъ, а такъ какъ сумма ихъ А + В = 180°—С извѣстна, то можно опредѣлить эти углы. Потомъ находимъ сторону с изъ уравненія

Можно опредѣлить эту сторону также непосредственно чрезъ данныя величины на основаніи формулы (5) § 42

сдѣлавъ ее удобной для логариѳмическаго вычисленія. Для этого замѣнивъ cos С чрезъ cos2- — sin2- (§ 21, и представивъ ее въ видѣ

или въ видѣ

сдѣлаемъ (а -+- Ь) sin - общимъ множителемъ; находимъ:

Затѣмъ, введя вспомогательный уголъ ©:

и замѣтивъ, что этотъ уголъ есть уголъ---------, находимъ

или

Если же въ выраженіи

сдѣлаемъ (а — Ь) cos - общимъ множителемъ, то получимъ

или

Примѣръ 1. а = 601; 6 = 289; С = 100°19,6,,,4

Примѣръ 2. а — 22,1497; Ъ = 9,8276; С = 150°59 59,,,98

§ 46. 3. Даны двѣ стороны а и Ъ и уголъ А, лежащій противъ одной изъ нихъ; опредѣлитъ В С.

Припомнимъ заключенія, къ которымъ приводитъ построеніе треугольника въ этомъ случаѣ. Пусть будетъ LAM = А тупой (черт. 28) или острый уголъ (черт. 29); на сторонѣ его AM откладываемъ часть АС =Ъ и изъ точки С радіусомъ равнымъ а описываемъ дугу, пересѣченіе которой съ другой стороною AL опредѣлитъ третью вершину В искомаго треугольника. Эта дуга пересѣчетъ сторону AL и притомъ только въ одной точкѣ, когда а>Ъ, т. е. когда данный уголъ лежитъ противъ большой изъ данныхъ сторонъ. Въ этомъ случаѣ вопросъ всегда возможенъ и допускаетъ только одно рѣшеніе.

Черт. 28.

Четр. 29.

Когда же а < Ь, т. е. данный уголъ лежитъ противъ меньшей изъ данныхъ сторонъ, то дуга не пересѣчетъ стороны AL, 1) если А уголъ тупой или прямой, 2) когда при остромъ углѣ А сторона а меньше перпендикуляра CD = Ь sin А (черт. 29). Въ этихъ двухъ случаяхъ вопросъ невозможенъ.

Когда же при остромъ углѣ А имѣемъ и > CD, то дуга пересѣчетъ сторону AL въ двухъ точкахъ В и Б, и потому вопросъ допускаетъ два рѣшенія: треугольники АСВ и АСВ,. Нужно впрочемъ замѣтимъ, что если въ этомъ случаѣ а = CD, то вопросъ допускаетъ только одпо рѣшеніе, а именно прямоугольный треугольникъ ACD.

Эти же заключенія вытекаютъ впрочемъ непосредственно изъ формулъ разрѣшающихъ треугольникъ. Искомыя части треугольника В, С и с опредѣляются изъ уравненій

При этомъ слѣдуетъ различать два случая:

1. Когда а>Ъ, т. е. данный уголъ А лежитъ противъ большой изъ данныхъ сторонъ, слѣдов. А > В.

Замѣтивъ, что sin (180° — В) = sin В, заключаемъ, что уравненіе

(а)

доставляетъ вообще двѣ величины для угла В: одну, данную тригонометрическими таблицами, которая меньше 90е, ее мы означимъ чрезъ В,, а другую 180° — В,, которая больше 90°; означимъ ее чрезъ В2. Но какъ по условію А > В, то тупой уголъ В2 не соотвѣтствуетъ вопросу, потому что въ треугольникѣ не могутъ быть два тупыхъ угла. Слѣдов., въ разсматриваемомъ случаѣ для В можно принять только табличный уголъ.

2. Когда а< b, т. е. данный уголъ лежитъ противъ меньшей изъ данныхъ сторонъ ; слѣдов. А < В.

Очевидно, что вопросъ въ разсматриваемомъ случаѣ невозможенъ, если А уголъ тупой или прямой, иначе сумма угловъ треугольника была бы больше двухъ прямыхъ; вопросъ также невозможенъ, когда при остромъ углѣ А имѣемъ а < Ъsin А, потому что уравненіе (а) дало бы sin В > 1.

Вопросъ допускаетъ одно рѣшеніе, если при остромъ углѣ А имѣ-

емъ а = Ъsin А, потому что уравненіе (а) даетъ въ этомъ случаѣ В = 90°, и искомый треугольникъ будетъ прямоугольный.

Вопросъ допускаетъ два рѣшенія, если при остромъ углѣ А имѣемъ а> Ъsin А. Въ этомъ случаѣ урв. (а) даетъ для В двѣ величины: табличный уголъ Bj, меньшій 90°, и тупой уголъ В2 = ISO0 —В,, которые оба удовлетворяютъ условіямъ вопроса и соотвѣтствуютъ двумъ различнымъ треугольникамъ.

Означая соотвѣтствующія величины стороны с чрезъ с, и сг и угла С чрезъ С, и С2, будемъ имѣть

§ 47. Сторону с можно также опредѣлить непосредственно чрезъ данныя величины изъ уравненія

разрѣшивъ его относительно с*)

Чтобы это выраженіе сдѣлать удобнымъ для логариѳмическаго вычисленія введемъ вспомогательный уголъ р

*) Изслѣдованіе этого выраженія приводитъ къ предъидущимъ заключеніямъ. Въ самомъ дѣлѣ, когда а^>Ъ, то корни всегда дѣйствительны, а такъ какъ а2 >> &2 (cos2 А -н sin2 А), то &2cos2A <a2— 62sin2A, a потому по абсолютной величинѣ выраженіе Ъ cos А меньше Va? — &2sin2A; изъ этого слѣдуетъ, что въ выраженіи для с можно удержать только верхній знакъ при корнѣ, такъ что въ этомъ случаѣ существуетъ только одно рѣшеніе.

Когда же а < Ь, то на оборотъ выраженіе Ъ cos А по абсолютной величинѣ больше Va2 — 62sin2A и если при этомъ А >»90°, то обѣ величины для с отрицательны и не соотвѣтствуютъ вопросу. При остромъ же углѣ А условіе дѣйствительности корней будетъ a > 5 sin А или а = Ъ sin А; въ первомъ случаѣ оба рѣшенія соотвѣтствуютъ вопросу, а во второмъ два значенія для с сливаются въ одно рѣшеніе.

находимъ по исключеніи

и отсюда

Замѣтивъ, что вспомогательный уголъ © есть не что иное какъ искомый уголъ В, опредѣленный уравненіемъ («), такъ что предидущее выраженіе для с совпадаетъ съ прежде найденнымъ. Примѣръ 1. « = 767; Ъ=242; А = 36°53'2"

(Одно рѣшеніе)

Примѣръ 2. «=72630; 5 = 117480; А = 80°0'50".

уголъ В невозможенъ.

Примѣръ 3. а= 177,01; Ъ= 216,45; А = 35°36'20".

(Два рѣшенія)

§ 48. 4. Даны три стороны опредѣлитъ углы А, В « С. Вопросъ возможенъ, когда большая изъ данныхъ сторонъ меньше суммы двухъ прочихъ.

Опредѣленіе угловъ основывается на 5-ой теоремѣ § 42. Такъ, изъ уравненія

а2 = Ъ2 -+- с2 — 2 cos А

находимъ

Чтобы сдѣлать это выраженіе удобнымъ для логариѳмическаго вычисленія замѣнимъ cos А чрезъ 1 — 2 sin2 — (§ 21); получимъ

и отсюда

Если же периметръ треугольника означимъ чрезъ 2

и замѣтимъ, что то находимъ

и подобнымъ образомъ

(1)

Можно искомые углы опредѣлить также посредствомъ косинусовъ,

замѣнивъ cos А чрезъ 2 cos2 —1 (§ 21); находимъ

и отсюда

Подобнымъ образомъ находимъ

Изъ предъидущихъ выраженій (1) и (2) выводимъ

(В)

Для опредѣленія угловъ А, В и С всего удобнѣе употребить урв. (8), вопервыхъ потому, что они требуютъ подъискиванія только четырехъ логариѳмовъ, между тѣмъ какъ урв. (1), требуютъ шесть логариѳмовъ, а вовторыхъ и потому что неизвѣстные углы всего лучше опредѣляются посредствомъ ихъ тангенсовъ (§ 32).

Замѣтимъ также, что урв. (1), (2) и (3) только тогда возможны, когда большая изъ данныхъ сторонъ меньше суммы двухъ другихъ, потому что только въ этомъ случаѣ три разности —а, р — Ь и р — с положительны — условіе, необходимое для дѣйствительности выраженій (1), (2) и (3).

Примѣръ. «=33,112; 6=44,224; 55,336

Глава II.

ПРИЛОЖЕНІЯ.

§ 49. Опредѣлить площадь треугольника.

Означимъ чрезъ S площадь треугольника АВС (черт. ВО); опустивъ изъ вершины А перпендикуляръ на противуположную сторону, находимъ

Но изъ прямоугольнаго треугольника ACD имѣемъ

слѣдовательно

Черт. 30.

И такъ, площадь треугольника равняется половинѣ произведенія двухъ сторонъ умноженнаго на синусъ угла, заключающагося между ними.

Можно выразить площадь треугольника также посредствомъ трехъ какихъ нибудь другихъ его частей. Такъ, если треугольникъ опредѣленъ стороною а и двумя углами В и С, то изъ пропорціи

опредѣляемъ Ъ, и вставивъ въ предъидущее выраженіе находимъ

Если даны двѣ стороны а и & и уголъ А, противулежащій одной изъ нихъ, то опредѣляемъ сторону с изъ уравненія а2 = ^ + с2— 2&CCOSA

и вставляемъ въ выраженіе S; находимъ такимъ образомъ

Двойной знакъ относится къ тому случаю (§ 46), когда вопросъ допускаетъ два рѣшенія.

Когда же три стороны треугольника даны, то площадь его выражается извѣстною формулою

S = Ѵр{р— а)(—Ь) — с)

въ которой р означаетъ половину периметра треугольника.

§ 50. Рѣшить треугольникъ по данному периметру и даннымъ угламъ А, В и С.

Изъ пропорцій

находимъ

и отсюда

Это выраженіе можно упростить, замѣтивъ, что (§ 23)

Слѣдовательно

Но по § 23 имѣемъ

и такъ какъ

то будетъ

Наконецъ, обративъ вниманіе на формулу

находимъ

§ 51. Рѣшить треугольникъ по даннымъ угламъ А, В и С и данному радіусу г вписаннаго круга.

Вписавъ въ треугольникъ АВС (черт. 81) кругъ и проведя радіусъ OD перпендикулярно къ сторонѣ ВС, соединимъ вершины В и С съ центромъ. Изъ прямоугольныхъ треугольниковъ BOD и COD находимъ

или

Черт. 31.

Отсюда получаемъ

Слѣдовательно

§ 52. По даннымъ сторонамъ четыреугольника, вписаннаго въ кругѣ, опредѣлить его углы, діагонали и площадь.

Означивъ стороны четыреугольника ABCD (черт. 82) чрезъ а, и и углы его чрезъ А, В, С и D, и замѣтивъ, что cos С = cos (180 е — А) = — cos А находимъ изъ треугольниковъ ABD и BCD BD 2=аг-+-Ъ2—2 ab cos А=с2+й 2+2 cd cos А и отсюда

Черт. 32.

Это выраженіе, опредѣляющее уголъ А, можно представить въ другомъ видѣ.

Замѣтивъ, что

положимъ

находимъ

Для опредѣленія діагонали BD вставляемъ выраженіе cos А въ уравненіе:

BD2 = a2 + b2 — 2 ab cos А

находимъ, извлекая квадр. корень,

Наконецъ, означивъ площадь четыреугольника чрезъ S и замѣтивъ, что

находимъ

Но такъ какъ

то будемъ имѣть

§ 53. Опредѣлить разстояніе данной точки отъ неприступной.

Пусть будутъ (черт. 38) А данная и В неприступная точки. Отмѣтивъ на поверхности земли прямую АС и измѣривъ съ помощію цѣпи по возможности точнѣе длину ея, опредѣляемъ посредствомъ угломѣрнаго снаряда углы В АС и ВСА; тогда въ треугольникѣ АВС будутъ извѣстны сторона АС и два прилежащихъ къ ней угла, а потому и сторона AB опредѣлится изъ уравненія

Черт. 33.

Опредѣлить разстояніе между собою двухъ неприступныхъ точекъ.

Пусть будутъ А и В (черт. 34) эти точки. Проведя на поверхности земли прямую CD и измѣривъ ее по возможности точнѣе, опредѣляемъ, какъ въ предъидущей задачѣ, разстоянія АС и ВС и измѣряемъ уголъ АСВ. Если точки А, В, С и D находятся въ одной плоскости, то уголъ АСВ будетъ разность двухъ угловъ ACD и BCD, измѣренныхъ для опредѣленія сторонъ АС и ВС. Въ треугольникѣ АСВ будутъ извѣстны двѣ стороны

Черт. 34.

и уголъ заключающійся между ними, а потому можно вычислить сторону AB.

Опредѣлить высоту башни, которой основаніе доступно.

Пусть будетъ AB искомая высота (черт. 35). Установивъ въ нѣкоторомъ разстояніи отъ башни угломѣрный снарядъ D такъ, чтобы лимбъ его былъ въ одной вертикальной плоскости съ послѣдней, направляемъ одну изъ алидадъ въ точку А, давъ другой горизонтальное положеніе, опредѣляемъ уголъ ADC и измѣряемъ длину линіи DC — разстояніе центра снаряда отъ башни ; затѣмъ вычисляемъ сторону АС изъ прямоугл. треугольн. ACD, въ которомъ катетъ DC и уголъ D извѣстны. Если прибавимъ къ сторонѣ АС высоту снаряда DE, то опредѣлится искомая высота.

Опредѣлить высоту неприступной башни. Пусть будетъ KS (черт. 36) искомая высота. Проведя по поверхности земли прямую линію AB по направленію къ башнѣ, и измѣривъ ея длину, устанавливаемъ угломѣрный снарядъ, какъ въ предъидущей задачѣ, въ точкѣ D, и опредѣляемъ уголъ SDC, переносимъ его потомъ въ точку С и опредѣляемъ уголъ SCK; тогда въ треугольникѣ SCD будутъ извѣстны сторона CD и два прилежащіе къ ней угла, а потому можно вычислить сторону SC. Затѣмъ находимъ изъ нрямо-угол. треугол. SCK сторону KS.

§ 54. Три точки А, В и С (черт.37) извѣстной мѣстности, находящіяся въ горизонтальной плоскости, отмѣчены на картѣ этой мѣстности; требуется нанести на этой картѣ четвертую точку Т той же мѣст-

Черт. 35.

Черт. 36.

Черт. 37.

пости, съ которой линіи ВС и АС видны подъ углами а и ß.

Вопросъ приводится къ опредѣленію направленія линій ВТ и AT или къ опредѣленію угловъ СВТ и CAT. Означимъ эти углы чрезъ Xи у,длины линій ВС и АС чрезъ « и & и уголъ АСВ чрезъ С, и замѣтимъ, что

х-\-у =360° — (C-t-a + ß)

Изъ треугольниковъ ВТС и АТС находимъ

и если положимъ то будетъ Отсюда

и такъ какъ

то находимъ

Изъ этого уравненія опредѣляется разность х — у; зная при томъ сумму а?4 -у,находимъ углы х ш у.

Положеніе точки Т становится неопредѣленнымъ, если C+a-t-ß = 180°. Въ самомъ дѣлѣ, около четыреугольника АТВС можно въ этомъ случаѣ описать окружность, и потому a = BAC и ß = СВА;

слѣд. а : о = sin a : sin ß. Изъ этого заключаемъ, что Ъ = ——- и

b — а, а такъ какъ при этомъtg-------—C = tg90 =оо, то выраженіе tg -■■■— принимаетъ неопредѣленный видъ

§ 55. Триангуляція. Для съемки плана обширной мѣстности воображаютъ ее покрытой сѣтью треугольниковъ, которыхъ вершины находятся въ произвольно избранныхъ точкахъ, измѣряютъ одну сторону какого-нибудь треугольника и углы всѣхъ треугольниковъ. Эта операція называется триангуляціею. Рѣшивъ треугольникъ, котораго сторона измѣрена, находимъ стороны смежныхъ съ нимъ треугольниковъ, которые вслѣдствіе этого могутъ быть рѣшены въ свою очередь, и такимъ образомъ опредѣляются стороны всѣхъ треугольниковъ. Измѣренная линія называется базисомъ. Базисъ долженъ быть опредѣленъ со всей возможной точностью, потому что отъ вѣрности его зависитъ въ значительной степени успѣхъ всей операціи. Направленіе базиса опредѣляется угломъ, который онъ образуетъ съ меридіаномъ; этотъ уголъ называется азимутомъ.

Триангуляцію начинаютъ съ того, что отмѣчаютъ на изслѣдуемой мѣстности нѣсколько точекъ А, В, С, D, О (черт. 38), никакъ не болѣе шести избранныхъ такимъ образомъ, чтобъ одна изъ нихъ О находилась посреди другихъ и была бы хорошо видима съ послѣднихъ, а также, чтобы разстояніе двухъ изъ нихъ, напр., линія AB, могла быть удобно измѣрена и принята за базисъ. Измѣривъ потомъ въ точкѣ А углы DAO и ОАВ, въ точкѣ В углы АВО и ОВС и т. д., рѣшаютъ треугольникъ АОВ, котораго сторона AB и два прилежащихъ угла извѣстны, и опредѣляютъ стороны OB и ОА. Переходя за тѣмъ къ треугольнику ОВС, опредѣляютъ его стороны СВ и ОС и т. д., до послѣдняго треугольника DOA, изъ котораго, кромѣ стороны AD, получится также сторона ОА; она должна быть тождественна съ прежде полученной величиною ОА, и служитъ такимъ образомъ повѣркою точности произведенныхъ измѣреній.

Эта сѣть треугольниковъ называется главною, и каждая сторона ея можетъ служить базисомъ для съемки новыхъ точекъ. Такъ напр., точки К и L могутъ быть присоединены къ сторонѣ СВ основнаго

Черт. 38.

многоугольника, и измѣривъ углы треугольниковъ СВК и CBL, въ точкахъ С и В, вычисляютъ стороны этихъ треугольниковъ. Каждая же изъ сторонъ этихъ второстепенныхъ треугольниковъ можетъ служить базисомъ для присоединенія къ сѣти новыхъ точекъ.

Если мѣстность не позволяетъ принять сторону главнаго многоугольника за базисъ, то выбираютъ его въ другой болѣе удобной мѣстности и соединяютъ его посредствомъ одного или нѣсколько треугольниковъ съ одной изъ сторонъ главнаго многоугольника.

ЗАДАЧИ.

Рѣшеніе прямоугольнаго треугольника. ( означаетъ гипотенузу, а и Ъ катеты, А и В острые углы и Д площадь).

160. Даны а и Ь; опредѣлить А, В, с и Д:

161. Даны с и а; опредѣлить А, В, Ь и Д:

168. Даны с и А; опредѣлить В, а, Ъ и Д:

163. Даны а и А; опредѣлить В, Ъ, с:

164. Опредѣлить хорду, соотвѣтствующую центральному углу въ 75°10'24", если радіусъ круга равенъ 1.

165. Опредѣлить центральный уголъ, соотвѣтствующій хордѣ равной 11,504, если радіусъ круга равенъ 9,994.

166. Опредѣлить центральный уголъ, соотвѣтствующій хордѣ, которая равняется - радіуса.

167. Опредѣлить площадь сегмента, соотвѣтствующаго хордѣ 10,2, если радіусъ круга равенъ 14,9.

168. Опредѣлить вписанный уголъ, составленный хордами въ 21,7 и 37,7, если радіусъ круга равняется 25,25.

169. Площадь правильнаго семиугольника равняется 483,26; опредѣлить сторону его.

170. Правильные девятиугольникъ и десятиугольникъ имѣютъ одинакій периметръ; опредѣлить отношеніе ихъ площадей.

171. Въ кругѣ радіуса г вписанъ и описанъ правильные 27-п угольники; опредѣлить площадь, содержащуюся между периметрами обоихъ многоугольниковъ.

172. На сколько разнится центральный уголъ правильнаго 7-п угольника, вписаннаго въ кругѣ, отъ центральнаго угла, опирающагося на хорду, равную половинѣ стороны равносторонняго треугольника вписаннаго въ кругѣ?

173. Вершина описаннаго угла отстоитъ отъ центра на 5,09 ; радіусъ же круга равняется 4,59. Опредѣлить этотъ уголъ.

174. Радіусы двухъ блоковъ равны 3 п 1 дюйм., а разстояніе ихъ центровъ равняется 6 дюйм. Опредѣлить длину ремня, обхватывающаго оба блока безъ скрещиванія.

175. Діагонали четыреугольника соотвѣтственно равны d и с?, и составляютъ между собою уголъ ѵ. Опредѣлить площадь четыреугольника.

176. Квадраты, построенные на сторонахъ прямоугольника, относятся какъ 1:2. Опредѣлить уголъ между діагоналями прямоугольника.

177. На сторонѣ угла А дана точка, отстоящая отъ вершины его на а; изъ этой точки опущенъ перпендикуляръ на другую сторону угла, изъ основанія этого перпендикуляра опущенъ перпенди-

куляръ на первую сторону, изъ основанія послѣдняго — перпендикуляръ на вторую сторону, и т. д. до безконечности. Опредѣлить сумму всѣхъ перпендикуляровъ.

178. Подъ какимъ угломъ виденъ предметъ въ 45,03 фут. вышины на разстояніи 120 фут., если глазъ находится на 4,9 фут. надъ землею?

179. Принимая діаметръ земли въ 1719 мил., опредѣлить окружность параллельнаго круга, проходящаго чрезъ Москву; широта Москвы равняется 55 °45,13/л.

180. На вершинѣ Чимборасо уголъ между горизонтальной линіею и линіею направленной въ край горизонта равняется 2 °49'50",39. Опредѣлить высоту горы въ метрахъ, принимая 1 геогр. милю въ 7420,16 метр.

181. Крестъ на колокольнѣ виденъ на разстояніи 1144 фут. отъ колокольни подъ угломъ 2'23",5. Опредѣлить длину креста, зная что высота колокольни равняется 47 фут.

182. Дапо: сумма гипотенузы с и катета а, и уголъ В. Опредѣлить катеты и гипотенузу.

183. Дано: разность d двухъ катетовъ а — Ъ и уголъ А; опредѣлить катеты.

184. Дано: сумма s гипотенузы с и высоты h и уголъ А; опредѣлить катеты.

185. Дано: периметръ s и высота h; рѣшить треугольникъ.

186. Дано: периметръ s и площадь д; рѣшить треугольникъ.

187. Одинъ изъ острыхъ угловъ прямоуг. треугольника А=33° 15', а площадь равняется площади сектора, котораго центральный уголъ равняется 2А, и котораго хорда отстоитъ отъ центра на = 48 метр. Опредѣлить катетъ, прилежащій углу А.

188. Сумма діагоналей ромба s — 383 фут., а острый уголъ между ними а=27°22'16". Опредѣлить сторону.

189. Длина перпендикуляра, опущеннаго изъ прямаго угла на гипотенузу 7г=1 метр., а разность отрѣзковъ гипотенузы 7= 1,5 метр. Опредѣлить углы треугольника.

190. Два діаметра образуютъ между собою уголъ 0 = 36°21'40", и одна изъ хордъ, соединяющихъ ихъ концы, на 7 = 409 метр. больше другой. Опредѣлить радіусъ круга.

191. Рѣшить прямоугольный треугольникъ по данному катету 5 = 396 метр. и радіусу вписаннаго круга г =117 метр.

Рѣшеніе косоугольнаго треугольника, («, 5, с означаютъ стороны, А, В, С противулежитъ углы, Д площадь К и г радіусы описаннаго и вписаннаго круговъ).

192. Даны о, А и В ; опредѣлить С:

a) « = 479; А = 82°22'; В = 43°20'

b) « = 408; А = 96°,57'20"; В = 5°43'29".

c) « = 240; А=139°56'17"; В = 8°10'і6".

193. Для опредѣленія разстоянія точки В отъ неприступной точки А измѣрена линія ВС= 500ф.и углы АСВ=123°12' и АВС=46 °36'.

194. Двѣ точки А и В, на разстояніи 109 ф. другъ отъ друга, начинаютъ двигаться одновременно по направленіямъ, составляющимъ съ прямой AB углы въ 66°59'25"и 33°23'55", и встрѣчаются въ точкѣ С. Точка А проходитъ въ секунду 3 фут. Опредѣлить скорость точки В.

195. Даны а, b и С. Опредѣлить с, А и В :

a) « = 0,917; 5 = 0,312; С=30°7'9".

b) «= 13,715; 5= 11,214; С=15°22'36".

c) а =47,99; 5 = 33,14; С= 175°19'10".

196. Для опредѣленія разстоянія двухъ точекъ А и В выбрана третья точка С и измѣрены разстоянія АС = 339 ф., ВС = 1459 ф. и уголъ ACB = 92W11'18".

197. Опредѣлить стороны и углы паралеллограмма, котораго діагонали 218 и 121, а уголъ между ними 66°59'25".

198. На одной изъ сторонъ даннаго угла А взяты двѣ точки, отстоящія отъ вершины угла на « и 5. Опредѣлить радіусъ круга, проходящаго чрезъ эти точки и касательно къ другой сторонѣ угла.

199. Даны «, 5 и В; опредѣлить А, С и с:

200. Одна изъ сторонъ параллелограмма 9,197, одна изъ діагоналей его 18,798, а уголъ между діагоналями 120°85'. Опредѣлить другую діагональ.

201. Двѣ смежныя стороны четыреугольника, вписаннаго въ кругѣ, равны 888,65 и 411,92; діагональ, проходящая чрезъ ихъ общую точку, равна 695, а одинъ изъ угловъ между извѣстной и неизвѣстной сторонами равенъ 42°28/50,/. Опредѣлить другія стороны четыреугольника.

202. Даны: а, 5и с;опредѣлить А, В и С:

a) « = 51; 5 = 65; с = 20 ;

b) «=14,493; & = 55,4363;с = 66,9129;

c) « = 79,51117; 5 = 89,364; с = 89,88.

203. Подъ какимъ угломъ виденъ предметъ длиною въ 7,4 дюйм., котораго одинъ конецъ отстоитъ отъ глаза на 13 дюйм., а другой на 18,6 дюйм.?

204. Стороны треугольника соотвѣтственно равны а, 5 и с; сторона с раздѣлена на три равныя части. Опредѣлить длину линій, соединяющихъ точки дѣленія съ вершиною противоположнаго угла.

205. Опредѣлить площадь четыреугольника, котораго углы А, В, С и D, а двѣ противуположныя стороны 5 и

Провѣрить формулы:

218. Даны углы А, В, С треугольника и радіусъ В, описаннаго круга. Опредѣлить стороны.

219. Даны: сторона а, противуположный уголъ А и сумма двухъ другихъ сторонъ; рѣшить треугольникъ.

220. Даны углы треугольника и площадь его. Рѣшить треугольникъ.

221. Даны: основаніе Ъ, противуположный ему уголъ В и высота 1і; рѣшить треугольникъ.

222. Даны: сторона Ъ, сумма двухъ другихъ сторонъ а + с = s и уголъ А; рѣшить треугольникъ.

223. Даны : периметръ р, высота h и уголъ В, противулежащій основанію; рѣшить треугольникъ.

224. Даны : перимѣтръ р, площадь Л и уголъ А ; рѣшить треугольникъ.

225. При точки А, В и С такимъ образомъ расположены, что АВ = 8227,32; ВС = 7014,28 и уголъ АВС - Н5°39'50",5. Изъ четвертой точки 0 были наблюдаемы углы АОВ = 52°44'22",2 и ВОС = 38°37'38",3. Опредѣлить разстояніе точки 0 отъ точекъ А, В и С.

226. Углы четыреугольника соотвѣтственно равны А, В, С и D, а двѣ смежныя стороны равняются и Опредѣлить площадь четыреугольника.

227. Двѣ стороны треугольника относятся какъ 8:13, а противуположные углы какъ 1:2. Опредѣлить углы треугольника.

228. Даны двѣ стороны а и Ъ треугольника, уголъ же С, содержащій между ними, составляетъ половину угла, противуположнаго сторонѣ а. Опредѣлить уголъ С.

229. Дана одна изъ сторонъ треугольника =87,0014, отношеніе т:п= 9:8 двухъ другихъ сторонъ и разность D = 42°28' противуположныхъ имъ угловъ; опредѣлить стороны и углы треугольника.

230. Дана одна изъ сторонъ треугольника; тангенсы прилежащихъ къ ней угловъ относятся какъ а косинусы этихъ угловъ относятся какъ г : s. Рѣшить треугольникъ.

231. Даны: основаніе Ъ треугольника, его высота Ті и сумма s двухъ другихъ сторонъ. Опредѣлить уголъ, противоположный основанію.

232. Данъ периметръ треугольника 2 р = 650 и два угла А = 33°23'54",5 и В = 15°11'21",5. Опредѣлить стороны.

233. Дано: сторона с треугольника, разность D двухъ прилежащихъ угловъ и разность d двухъ другихъ сторонъ. Опредѣлить площадь треугольника.

234. Даны углы А, В и С треугольника и площадь его Л. Опредѣлить радіусъ R описаннаго круга.

235. Въ кругѣ, котораго радіусъ R, вписанъ треугольникъ, котораго углы А, В и С. Опредѣлить радіусъ г круга, вписаннаго въ этотъ треугольникъ.

236. Даны углы А, В, С треугольника и его периметръ 2 р. Опредѣлить радіусъ г вписаннаго круга.

237. Діагонали параллелограмма равняются 24 и 18, а большая изъ сторонъ его равна 16. Опредѣлить его углы.

238. Опредѣлить площадь четыреугольника, вписаннаго въ кругѣ радіуса г, котораго стороны раздѣляютъ окружность на четыре части въ отношеніи 1: 2 : 8 : 4.

239. Двѣ хорды пересѣкаются подъ угломъ А такъ, что одна изъ нихъ дѣлится въ точкѣ пересѣченія пополамъ, а другая дѣлится на двѣ части, которыя суть корни уравнннія Опредѣлить діаметръ круга.

240. Для опредѣленія высоты колокольни наблюдатель, находящійся на нѣкоторомъ разстояніи отъ нея, нашелъ, что лучъ зрѣнія, направленный къ вершинѣ колокольни, составляетъ съ горизонтальной плоскостью уголъ въ 22°2(У; отойдя по направлеію къ коло-

кольнѣ на 162 фута отъ перваго мѣста, онъ нашелъ, что уголъ, который лучъ зрѣнія, направленный къ вершинѣ колокольни, составляетъ въ этомъ мѣстѣ съ горизонтальной плоскостью, равняется 48°10'; глазъ его при измѣреніи угловъ отстоялъ отъ поверхности земли на 5^ фут. Опредѣлить высоту колокольни.

241. Діаметръ воздушнаго шара, равный 25 метр., виденъ подъ угломъ 30'; а лучъ зрѣнія, направленный къ шару, составляетъ съ горизонтальной плоскостью уголъ въ 15°. Опредѣлить разстояніе шара отъ наблюдателя.

242. Наблюдатель, находящійся на высотѣ h надъ уровнемъ озера, нашелъ, что лучъ зрѣнія, направленный къ извѣстному облаку, составляетъ съ горизонтальной плоскостью уголъ е, а лучъ зрѣнія направленный къ изображенію этого облака въ озеро, составляетъ съ горизонтальной плоскостью уголъ d. Опредѣлить высоту облака надъ поверхностью озера.

243. Наблюдатель, находящійся на вершинѣ горы въ 450 метр. высоты, видитъ разстояніе двухъ башенъ у подошвы горы подъ угломъ 21°40'20/,5 углы же, которые составляютъ лучи зрѣнія, направленные къ башнямъ, съ горизонтальной плоскостью, равны 8°42'80'' и 6°22'10". Опредѣлить разстояніе между башнями.

244. По берегу рѣки проведена прямая линія длиною въ 41,2 метр.; линіи же, проведенныя съ концовъ ея къ столбу на противуположномъ берегу, образуютъ съ ней углы въ 68°4'13" и 71°13'10". Опредѣлить ширину рѣки.

245. Четыре точки А, В, С и D находятся на одной прямой, притомъ АС = т и BD = п.Съ нѣкоторой точки Р опредѣлены углы АРС = а; BPD = Ъ, и CPD = c. Опредѣлить разстояніе CD.

ОТДѢЛЕНІЕ III.

СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРІЯ.

Глава I.

СООТНОШЕНІЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ СФЕРИЧЕСКАГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Сферическій треугольникъ.

§ 56. Сферическимъ треугольникомъ называется часть поверхности шара АВС (черт. 39), ограниченная тремя дугами AB, ВС и АС большихъ круговъ. Эти дуги называются сторонами треугольника, а точки ихъ пересѣченія А, В и С вершинами его. Если въ вершинѣ А проведемъ касательныя AM и AN къ дугамъ AB и АС, то уголъ MAN принимается за уголъ сферическаго треугольника между его сторонами AB и АС. Углы сферическаго треугольника АВС означаются чрезъ А, В и С, а противуположныя имъ стороны чрезъ и Каждому сферическому треугольнику соотвѣтствуетъ трегранный уголъ ОАВС, составленный тремя плоскостями большихъ круговъ, проходящихъ чрезъ стороны треугольника; вершина его находится въ центрѣ шара О. Очевидно, что стороны треугольника служатъ мѣрою плоскихъ угловъ этого треграннаго угла; двугранные же углы его измѣряются углами треугольника, такъ какъ касательныя AM и AN находятся соотвѣтственно въ плоскостяхъ ВАО и CAO и перпендикулярны къ линіи ихъ пересѣченія ОА, вслѣдствіе чего MAN есть линейный уголъ двуграннаго САОВ.

Черт. 39.

Стороны сферическаго треугольника, также какъ и углы его, выражаются большею частью въ градусахъ, минутахъ и секундахъ.

§ 57. Опустимъ изъ какой нибудь точки О, (черт. 40) лежащей внутри треграннаго угла ОАВС, перпендикуляры OjAj, О, В, и OtCj на стороны его ВОС, АОС и АОВ, и вообразимъ при точкѣ О, трегранный уголъ OjAjBjC,; этотъ уголъ называется дополнительнымъ угломъ треграннаго ОАВС. Очевидно, что плоскіе углы перваго: AjOjBj, A^Cj и В, О, С, служатъ дополненіями до двухъ прямыхъ двуграннымъ угламъ послѣдняго АОСВ, АОВС и ВО АС.

Такъ какъ линіи OtA, и О, В, перпендикулярны къ плоскостямъ ВОС и АОС, то плоскость А, О, В, также перпендикулярна къ нимъ и вслѣдствіе этого перпендикулярна и къ линіи ихъ пересѣченія ОС.

Изъ этого заключаемъ, что ребра треграннаго угла ОАВС соотвѣтственно перпендикулярны къ плоскостямъ треграннаго угла OjA^C,, а потому первый будетъ также дополнительнымъ угломъ втораго, и его плоскіе углы служатъ дополненіями до двухъ прямыхъ двуграннымъ угламъ послѣдняго.

Сферическіе треугольники, соотвѣтствующіе двумъ дополнительнымъ треграннымъ угламъ, называются дополнительными треугольниками.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что если означимъ чрезъ и стороны и чрезъ А, В и С углы сферическаго треугольника, то стороны дополнительнаго треугольника будутъ 180° — А; 180° — В и 180° — С, а углы его 180°—а, 180*—Ъ и 180" — с.

§ 58. Разсматривая стороны и углы сферическаго треугольника какъ мѣры плоскихъ и двугранныхъ угловъ треграннаго, котораго вершина находится въ центрѣ шара, заключаемъ:

1. Каждая сторона сферическаго треугольника меньше суммы двухъ другихъ сторонъ.

2. Сумма всѣхъ сторонъ треугольника меньше окружности большаго круга.

3. Сумма угловъ треугольника болѣе двухъ, но менѣе шести прямыхъ. Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ сумма трехъ угловъ А, В и С

Черт. 40.

вмѣстѣ съ сторонами дополнительнаго треугольника составляетъ 6 прямыхъ, то сумма А+В-+-С будетъ меньше 6-ти прямыхъ. Далѣе замѣтивъ, что стороны дополнительнаго треугольника суть 180°—А, 180° — В, 180° — С, и что сумма ихъ менѣе 860°, находимъ 180°—А4-1800 — В-НІ800—С<860° или А+В+О180*.

4. Сумма двухъ угловъ менѣе третьяго сложеннаго съ двумя прямыми. Въ самомъ дѣлѣ, какая нибудь изъ сторонъ дополнительнаго треугольника, напр. 180°—А, меньше суммы двухъ другихъ сторонъ 180"—В и 180°—С, т. е. 180°-А<180°-В+1800-С, и отсюда В + С <А-Ь180°.

Далѣе заключаемъ на основаніи свойствъ треграннаго угла, что сферическій треугольникъ вообще опредѣленъ, если даны какія нибудь три изъ его частей, при чемъ нѣтъ надобности предполагать, какъ въ прямолинейномъ треугольникѣ, чтобы по крайней мѣрѣ одна изъ сторонъ была дана. Изъ этого слѣдуетъ, что шесть частей сферическаго треугольника связаны между собою тремя независимыми соотношеніями, посредствомъ которыхъ опредѣляются три части, если прочія три извѣстны.

Основныя формулы сферической тригонометріи.

§ 59. Пусть будетъ АВС (черт. 41) сферическій треугольникъ на поверхности шара, котораго радіусъ равенъ 1 и центръ находится въ точкѣ О. Соединимъ центръ съ вершинами треугольника и проведемъ къ сторонамъ AB и АС въ точкѣ А касательныя AD и АЕ, которыя пересѣкутъ продолженія радіусовъ OB и ОС, положимъ, въ точкахъ D и Е.

Изъ треугольниковъ DAE и DOE находимъ

Черт. 41.

Вычтя почленно изъ втораго равенства первое, и замѣтивъ, что DAE = А, DOE = а и

0D2— AD2 = 1; ОЕ2 — АЕ2= 1 ;

AD = tgc; AE = tgb; OE = secb; OD = secc

находимъ по сокращеніи на 2

1 — sec Ъ.sec с. cos аЧ- tg Ъ. tg с .cos А — О

и отсюда, помноживъ на cos Ъ. cos с,

cos а = cos Ъcos с + sin Ъ sin с cos А.

Чертежъ преднолагаетъ, что стороны и с меньше 90°; иначе касательныя AD и АЕ пе пересѣкутся съ продолженіями радіусовъ OB и ОС; но полученный выводъ вѣренъ для всякаго треугольника. Въ самомъ дѣлѣ, положимъ, что въ треугольникѣ АВС (черт. 42) сторона & > 90", а с <90°. Продолживъ дуги большихъ круговъ СА и СВ до ихъ пересѣченія въ точкѣ С,, составимъ треугольникъ С, AB, котораго стороны АС, и AB меньше 90°. Означивъ сторону АС, чрезъ &,, сторону С,В чрезъ а, и уголъ ВАС, чрезъ А,, т. е. положивъ а, = 180° — а, &, = 1800— и А, = 180°—А, находимъ на основаніи предъидущаго вывода

cos а, = cos &, cos с+sin &, sin c cos А,

и вставляя вмѣсто о,, Ь, и А, ихъ выраженія чрезъ и А, получаемъ какъ прежде

cos а = cos Ъcos с + sin Ь sin с cos А

Положимъ далѣе, что въ треугольникѣ АВС (черт. 48) обѣ стороны & и с больше 90°. Продолживъ дуги AB и АС до ихъ пересѣченія въ точкѣ А,, составимъ треугольникъ В А, С, въ которомъ стороны А, В и А, С будутъ меньше 90°, и положивъ

Ъ, = 180" —Ь; с, =180" —с

и замѣтивъ, что А, = А, находимъ изъ треугольника А, ВС

Черт. 42.

Черт. 43.

и вставляя вмѣсто Ь, и сх выраженія ихъ чрезъ & и с, находимъ какъ прежде

cos я — cos Ъcos с -Ь sin sin с cos А

Предъидущей выводъ вмѣстѣ съ подобными же выраженіями для двухъ другихъ сторонъ

cos « = cos Ъcos с-+- sin sin с cos А

cos & = cos « cos с-f- sin sin c cos B (1)

cos c = cos a cos b -+- sin « sin Ъ cos C

составляютъ основныя формулы сферической тригонометріи.

§ 60. Хотя урв. (1) достаточны для рѣшенія треугольника, потому что посредствомъ ихъ могутъ быть опредѣлены три части его, когда остальныя три даны, но они не всегда удобопримѣнимы къ различнымъ случаямъ, которые могутъ представиться, а потому выводятъ изъ нихъ другія выраженія, въ нѣкоторыхъ случаяхъ болѣе удобныя.

Если первыя два изъ урв. (1) почленно сложимъ и изъ перваго вычтемъ второе, то получимъ два равенства

(cos а + cos Ъ)(1 —cos с) = sin с (sin Ъ cos А 4- sin cos В)

(cos а — cos Ъ)(1 —- cos с) = sin с (sin b cos А — sin а cos В)

Перемноживъ почленно это равенство и сокративъ sin2c, находимъ

cos2« — cos2fc = sin2& cos2A — sin2« cos2B или

и отсюда извлекая квадратный корень

Не трудно такимъ же образомъ вывести соотношеніе между сторонами « и с и противоположными углами

Уравненія

выражаютъ, что въ сферическомъ треугольникѣ синусы сторонъ пропорціональны синусамъ противолежащихъ угловъ.

Примѣняя уравненія (1) къ дополнительному треугольнику, котораго стороны 180° — А; 180° — В; 180° — С, и углы 180° — а, 180° — Ъ и 180° — с, получимъ три новыхъ уравненія:

cos А = — cos В cos С + sin В sin С cos а

cos В = — cos А cos С -+- sin А sin С cos Ъ (3)

cos С = — cos А cos В -+- sin А sin В cos с

Наконецъ если въ урв. (1)

cos а = cos Ъcos e + sinb sin с cos А

исключимъ cose и sine посредствомъ уравненій

то находимъ

и раздѣливъ на sin а sin Ъ :

cotg а sin Ъ = cos Ъ cos С -f- sin С cotg А

Чрезъ перемѣщенія буквъ въ этой формулѣ получаемъ еще пять подобныхъ выраженій:

cotg а sin Ъ = cos Ъcos С -t- sin С cotg А

cotg Ъsin а = cos а cos С -+- sin С cotg В

cotg а sin с = cos с cos В Ч- sin В cotg А

cotg с sin а = cos а cos В -+- sin В cotg С (4)

cotg Ъsin с = cos с cos А H- sin А cotg В

cotg с sin Ъ = cos Ъcos А + sin А cotg С

Каждое изъ уравн. (1), (2), (3) и (4), число которыхъ 15, содержитъ по 4 части треугольника, а такъ какъ изъ 6 элементовъ могутъ только быть 15 сочетаній по 4, то какія бы три части треугольника ни были даны, мы всегда найдемъ между этими уравненіями такія, которыя непосредственно опредѣляютъ остальныя три части.

§ 61. Уравн. (1), (3) и (4) неудобны для логариѳмическаго вычисленія, а потому преобразуютъ ихъ въ другія, удобныя для этой цѣли. Первое изъ уравн. (1) даетъ

Подобныя же выраженія находимъ для угловъ В и С. Положивъ,

а-\~Ъ-±с = 2 р

будемъ имѣть

Такимъ же образомъ положивъ

А + В + С—180°= 2е

гдѣ 2г называется сферическимъ избыткомъ треугольника, находимъ изъ уравн. (3)

(6)

Формулы Деламбра.

§62. Замѣтивъ что

находимъ на основаніи уравн. (5) предъидущаго §

Но такъ какъ

и кромѣ того sin с = 2 sin - cos ä ,то находимъ

Уравненія (7), въ первый разъ предложенныя приписываются иногда Гаусу, который часто ими пользовался въ своемъ сочиненіи Theoria motus. Каждое изъ этихъ уравненій, содержа всѣ 6 частей треугольника, удобно для повѣрки вычисленій.

Неперовы аналогіи.

§ 63. Чрезъ непосредственное дѣленіе почленно уравн. (7) находимъ слѣдующія четыре равенства, называемыя Неперовыми аналогіями:

(8)

Этими уравненіями весьма удобно замѣнить въ нѣкоторыхъ случаяхъ уравненія (4) § 60, а именно, когда даны двѣ стороны и уголъ, содержащійся между ними, или одна сторона и два прилежащіе къ ней угла; первый случай разрѣшается двумя первыми, второй — двумя послѣдними равенствами.

Глава II.

РѢШЕНІЕ СФЕРИЧЕСКИХЪ ТРЕУГОЛЬНИКОВЪ.

Рѣшеніе прямоугольнаго треугольника.

§ 64. Сферическій треугольникъ называется прямоугольнымъ, когда одинъ изъ его угловъ прямой. Сферич. треугольн. можетъ имѣть два и три прямыхъ угла; въ первомъ случаѣ двѣ его стороны равняются 90° и третья служитъ мѣрою противуположнаго ей угла, а во второмъ — всѣ три стороны равны 90°. Эти случаи не требуютъ особаго разсмотрѣнія, а потому подъ прямоугольнымъ треугольникомъ будемъ разумѣть такой, въ которомъ только одинъ изъ угловъ прямой. Мы примемъ, притомъ, что А = 90°. Сторона, лежащая противъ прямаго угла называется гипотенузою, стороны, заключающія прямой уголъ—катетами, а противуположные имъ углы—косыми.

Формулы, служащія для рѣшенія прямоугольнаго треугольника, получаются изъ уравненій (1), (2), (3) и (4), предполагая въ нихъ А = 90°. Такимъ образомъ находимъ слѣдующія 10 уравненій:

Эти уравненія, заключая по три части треугольника, содержатъ всѣ сочетанія изъ пяти частей его по три.

Эти уравненія получаются весьма просто такимъ образомъ: на катетахъ прямоугольнаго треугольника (черт. 44) пишемъ вмѣсто бис, и составляемъ изъ пяти величинъ по порядку С, а,В,|—си|—б сомкнутый рядъ (черт. 4 5), тогда всѣ предъидущія уравненія получаются посредствомъ слѣдующаго правила: Косинусъ какой нибудь изъ этихъ пяти частей равняется произведенію котангенсовъ смежныхъ съ ней частей или произведенію синусовъ двухъ противулежащихъ ей частей. Такъ напр., взявши часть ^ — Ъ (черт. 45) находимъ:

Черт. 44. Черт. 45.

т. е. уравненія (6) и (2).

§65. При рѣшеніи прямоугольныхъ сферическихъ треугольниковъ могутъ встрѣтиться шесть случаевъ.

1. Даны гипотенуза а и катетъ опредѣлитъ с, В и С. Вопросъ рѣшается на основаніи формулъ (1), (2) и (5):

Уравненіе, опредѣляющее sin В, даетъ для В двѣ величины, одну, которая меньше 90° и другую, которая больше 90°, но такъ какъ В и Ъ или оба меньше 90° или оба больше 90°, какъ это видно изъ уравненія (6), то уголъ В можетъ имѣть только одну величину.

Въ случаѣ, когда опредѣленіе неизвѣстныхъ с, В и С посредствомъ синуса и косинуса было бы не достаточно точно, можно вмѣсто предъидущихъ уравненій употребить слѣдующія:

Предъ радикаломъ послѣдняго уравненія нужно удержать знакъ + или —, смотря потому, будетъ ли Ъ меньше или больше 90°.

2. Даны катеты Ь и с; опредѣлить В С. Вопросъ рѣшается посредствомъ уравненій (1) и (6)

3. Даны гипотенуза а и уголъ В; опредѣлить С. Вопросъ рѣшается посредствомъ уравненій (2), (5) и (4)

Хотя уравненіе, опредѣляющее sin Ъ, даетъ двѣ величины для Ъ, но изъ нихъ одна только соотвѣтствуетъ вопросу, такъ какъ и В или оба меньше или оба больше 90°.

4. Даны катетъ Ъ и прилежащій уголъ С ; опредѣлить а, с и В. Вопросъ рѣшается посредствомъ уравненій (5), (6) и (3)

5. Даны углы В и С; опредѣлить стороны а, Ъ и с. Вопросъ рѣшается посредствомъ уравн. (4) и (3)

Въ случаѣ недостаточной точности этихъ уравненій можно употребить слѣдующія:

§ 66. 6. Даны катетъ Ъ и противуположный уголъ В; опредѣлитъ а, с и С.

Вопросъ рѣшается посредствомъ уравненій (2), (6) и (8)

Эти уравненія доставляютъ для каждаго изъ искомыхъ количествъ по двѣ величины, изъ которыхъ одна больше, другая меньше 90°. При этомъ слѣдуетъ различать два случая:

1. Когда данный уголъ В < 90°. Для того, чтобы sin а, sine и sin С въ этомъ случаѣ были возможны, необходимо допустить, что Ъ <В, и тогда существуютъ два треугольника, отвѣчающіе на вопросъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ АВС (черт. 46) искомый треугольникъ, въ которомъ уголъ В <90°; продолживъ дуги ВА и ВС до ихъ пересѣченія въ точкѣ В,, составимъ другой прямоугольный треугольникъ AB, С, который имѣетъ тѣже данныя части какъ треугольникъ АВС, потому что сторона Ъ общая и уголъ В, равняется углу В.

Черт. 46.

2. Когда данный уголъ В> 90°. Для того, чтобы sin а, sine и sin С въ этомъ случаѣ были возможны, необходимо допустить, что Ъ >В, а тогда существуютъ также два треугольника, отвѣчающіе на вопросъ.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ АВС (черт. 47), искомый треугольникъ, въ которомъ уголъ В > 90°.

Продолживъ дуги большихъ круговъ ВС и ВА до пересѣченія ихъ въ точкѣ В,, составимъ другой прямоугольный треугольникъ АСВ,, который имѣетъ тѣже данныя части какъ треугольникъ АВС. Если

Черт. 47.

соединимъ середины полуокружностей ВСВ, и В AB, дугою большаго круга LM, измѣряющей уголъ В или соотвѣтствующій ему двугранный уголъ, то по условію вопроса АС > LM, а потому дуги АС и LM необходимо пересѣкутся; слѣдов. въ одномъ изъ двухъ треугольниковъ, отвѣчающихъ на вопросъ, гипотенуза а больше, а катетъ с и уголъ С меньше 90°, въ другомъ же наоборотъ гипотенуза а меньше, а катетъ с и уголъ С больше 90°.

Вмѣсто предъидущихъ уравненій иногда удобнѣе употребить слѣдующія

Замѣчаніе. Рѣшеніе косоугольнаго треугольника, въ которомъ одна изъ сторонъ равняется 90°, приводится къ рѣшенію прямоугольнаго, если вмѣсто даннаго треугольника разсматривать дополнительный треугольникъ.

Рѣшеніе косоугольныхъ сферическихъ треугольниковъ.

§ 67. При рѣшеніи косоугольныхъ сферическихъ треугольниковъ могутъ также встрѣтиться шесть случаевъ.

1. Даны стороны а,Ь и с; опредѣлить углы А, В С. Вопросъ рѣшается посредствомъ уравненій (5) § 61:

гдѣ 2 р = а-\-Ъ-\-с.Вопросъ всегда возможенъ, когда сумма данныхъ сторонъ меньше 360° и наибольшая изъ нихъ меньше суммы двухъ другихъ.

§ 68. 2. Даны углы А, В и С; опредѣлить стороны а, Ъ и с. Вопросъ рѣшается посредствомъ уравненій (6) § 61:

гдѣ 2 г = А н— Ъ —f— С — 180°. Вопросъ возможенъ, когда сумма данныхъ угловъ больше двухъ и менѣе шести прямыхъ, и наименьшій изъ нихъ сложенный съ 180° больше суммы двухъ другихъ.

§ 69. 8. Даны стороны а и Ь и уголъ С, содержащійся между ними; опредѣлить А, В и Вопросъ рѣшается посредствомъ Неперовыхъ аналогій (8) §63:

Первыя два изъ этихъ уравненій опредѣляютъ сумму А + В и разность А — В, слѣдов. и самые углы А и В, а затѣмъ находимъ изъ послѣдняго урв. сторону с. Вопросъ всегда возможенъ.

Можно вычислить сторону с безъ предварительнаго опредѣленія угловъ А и В, пользуясь уравненіемъ (1) § 59

и сдѣлавъ его удобнымъ для логариѳмическаго вычисленія. Положивъ для этой цѣли

находимъ

Подобнымъ образомъ можно опредѣлить каждый изъ угловъ АиВ отдѣльно, воспользовавшись урвн. (4) § 60. Такъ, имѣемъ для опредѣленія угла А уравненіе

cotga sin Ъ = cos bcos С -j- sin C cotg A

и положивъ, какъ прежде,

tg р = tg a cos C

находимъ

§ 70. 4. Даны сторона с и два прилежащіе къ ней угла А и В ; опредѣлитъ а, Ь и С. Вопросъ рѣшается посредствомъ Неперовыхъ аналогій (8) § 68:

Первыя два изъ этихъ уравненій опредѣляютъ сумму а-\-Ъ и разность а — Ъ, слѣдов. и самыя стороны а и Ь, а затѣмъ находимъ изъ послѣдняго урв. уголъ С. Вопросъ всегда возможенъ.

Можно вычислить уголъ С безъ предварительнаго опредѣленія сторонъ а и Ъ,пользуясь уравненіемъ (В) § 60

cos С = — cos А. cos В -ь sin А. sin В. cos

и сдѣлавъ его удобнымъ для логариѳмическаго вычисленія. Для этой дѣли положимъ

cotg ф = tg А cos с

находимъ

Подобнымъ образомъ можно опредѣлить каждую изъ сторонъ а и Ъ отдѣльно, воспользовавшись урвн. (4) § 60. Такъ, для опредѣленія а имѣемъ уравненіе

cotg а sin с = cos с cos В + sin В cotg А и положивъ, какъ прежде,

cotg р = tg А cos с

находимъ

§71. 5. Даны стороны а и Ь и уголъ А, лежащій противъ одной изъ нихъ; опредѣлитъ В. С Вопросъ рѣшается посредствомъ урв. (2) § 60 и двухъ Неперовыхъ аналогій:

Изъ перваго уравненія опредѣляется уголъ В, а затѣмъ находимъ изъ втораго и третьяго уголъ С и сторону с.

Вопросъ возможенъ только тогда, когда

sin а >sin А. sin Ь

иначе sin В былъ бы больше 1 ; первое изъ предъидущихъ уравненій даетъ для В двѣ величины, изъ которыхъ одна меньше, другая больше 90°. Притомъ, такъ какъ cotg- и cotg- положительны, то разности А — В и а — Ъ,какъ это видно изъ послѣднихъ двухъ уравненій, имѣютъ одинакіе знаки. Слѣдов., если ни одна изъ величинъ В не удовлетворяетъ этому условію, то вопросъ невозможенъ; онъ, напротивъ того, допускаетъ одно или два рѣшенія, смотря потому, удовлетворяется-ли это условіе одной или обѣми величинами В.

Можно вычислить неизвѣстныя с и С непосредственно съ помощію уравненій (1) и (4)

положивъ для перваго и для втораго находимъ

§ 72. 6. Даны два угла А и В и сторона лежащая противъ одного изъ нихъ; опредѣлитъ С. Вопросъ рѣшается посредствомъ уравненія (2) § 60 и двухъ изъ Неперовыхъ аналогій :

Первое уравненіе опредѣляетъ сторону Ь, а затѣмъ находимъ изъ втораго и третьяго сторону с и уголъ С.

Вопросъ возможенъ только, когда

sin А > sin а sin В

и тогда получаемъ двѣ величины для Ъ. Если для обѣихъ значеній Ъ разности А — В и а — Ь имѣютъ одинакіе знаки, то вопросъ допускаетъ два рѣшенія, если только для одной изъ величинъ Ъ эти разности имѣютъ одинакіе знаки, то онъ допускаетъ только одно рѣшеніе, а когда для обѣихъ величинъ Ъ эти разности имѣютъ противуположные знаки, то вопросъ невозможенъ.

Можно вычислить неизвѣстныя п С также непосредственно изъ уравненій (4) и (3) § 60

cotg Ъ sin с — cotg В sin А = cos с cos А cos В = — cos А cos С + sin А sin С cos Ь

положивъ для перваго tgcp=tg Ъ.cos А, а для втораго cotg^=cos і. tg А; находимъ

Опредѣленіе поверхности сферическаго треугольника.

§ 78. Пусть будетъ АВС (черт. 48) сферическій треугольникъ и S его поверхность. Продолжимъ стороны его до полныхъ окружностей и замѣтимъ, что образовавшійся при этомъ треугольникъ EFD равенъ треугольнику АВС, потому что сторопы ихъ соотвѣтственно равны; такъ, стороны СВ и EF равны, потому что служатъ дополненіемъ дуги СЕ до 180°. Если же въ двусторонникѣ CEFDC замѣнимъ треугольникъ EFD чрезъ АВС, прибавимъ къ нему двусторонники ВАЕСВ и ACDBA, то получится поверхность полушара, сложенная съ удвоенной поверхностью треугольника АВС. Но такъ какъ поверхность двусторонника относится къ поверхности всего шара, какъ уголъ его къ 360°, то означая радіусъ шара чрезъ г, находимъ, что поверхности двусто-

Черт. 48.

ронниковъ CEFDC, ВАЕСВ и ACDBA равняются

а потому

или означая, какъ прежде, сферическій избытокъ чрезъ 2г А + В + С - 180° = 2 г,

находимъ

Можно выразить сферическій избытокъ, слѣдов. и поверхность треугольника, посредствомъ другихъ частей его. Такъ, замѣтивъ, что (§61 урв. 6)

находимъ, перемноживъ почленно,

или

и отсюда

Это уравненіе опредѣляетъ сферическій избытокъ посредствомъ двухъ сторонъ и угла, заключающагося между ними.

Далѣе замѣтивъ, что

находимъ изъ 1-го и 8-го уравненій Деламбра (§ 62)

Первое изъ предъидущихъ уравненій даетъ

или

и положивъ а-\-Ь-\- а= 2 р, находимъ

Такимъ же образомъ находимъ изъ втораго уравненія

Помноживъ почленно и извлекая квадратный корень, получаемъ

Эта формула, данная Симономъ Уилье, опредѣляетъ сферическій избытокъ посредствомъ трехъ сторонъ треугольника.

§ 74. Опредѣлить объемъ параллелепипеда, когда извѣстны три ребра, составляющихъ трегранный уголъ, и плоскіе углы, которые эти ребра образуютъ между собою.

Пусть будутъ (черт. 49) ОС = ^; ОВ = ж; АО = га;АОВ = с; АОС = Ъи ВОС = а. Означимъ объемъ параллелепипеда чрезъ У. Опустивъ изъ вершины С высоту CN, замѣтимъ, что площадь параллелограмма AB равняется т. пsin с. Слѣдов. У = п. CN sine.

Проведя чрезъ линію CN плоскость перпендикулярную къ ребру ОА, находимъ СМ = СО sin Ъ — Isin fr;

CN = CM sin CMN = l sin fr. sin CMN а потому

V = m.n. I sin c. sin fr sin CMN.

Если же около точки О, какъ центра, вообразимъ поверхность шара радіуса 1,

Черт. 49.

то трегранный уголъ О АВС обозначитъ на этой поверхности треугольникъ, котораго стороны будутъ и одинъ изъ угловъ, а именно уголъ, противулежащій сторонѣ а. будетъ CMN. По формуламъ (5) § 61 имѣемъ

§ 75. Опредѣлить разстояніе двухъ точекъ на поверхности земли, зная долготы и широты ихъ и принимая землю за шаръ.

Пусть будетъ (чер. 50) EQ экваторъ, Р полюсъ, А и В данныя точки, РМ и PN меридіаны, проходящіе чрезъ эти точки. Вообразивъ дугу AB большаго круга, составимъ сферич. треугольникъ АРВ, въ которомъ стороны РА и PB будутъ дополненія широтъ данныхъ мѣстъ до 90°, а уголъ Р, или измѣряющая его дуга MN — разность ихъ долготъ. Слѣдов. въ треугольникѣ АРВ извѣстны двѣ стороны РА и PB и уголъ, содержащійся между ними, а потому можно вычислить сторону AB въ градусахъ; и такъ какъ извѣстно, сколько метровъ содержитъ одинъ градусъ большаго круга земной поверхности, то найдемъ длину дуги AB.

Примѣръ. Опредѣлить разстояніе Москвы отъ Парижа. Широта Москвы 55° 45' 13", а Парижа — 48° 50' 12", разность же долготъ Парижа и Москвы 35° 17' 30".

По § 69 имѣемъ

Принимая въ этихъ уравненіяхъ

Черт. 50.

находимъ:

Опредѣленіе ф: Опредѣленіе с:

Такъ какъ дуга большаго круга пъ 1" содержитъ

метр., то

метр.== 2487131 метр. = 2487 киллометр.

ЗАДАЧИ.

246. Доказать, что въ равностороннемъ сфер. треугольникѣ

247. Доказать, что въ прямоуг. сфер. треугольникѣ, въ которомъ А = 90°

248. Доказать, что въ сфер. треугольникѣ, въ которомъ a-\-b-\-c=--2s

249. Опредѣлить угловой радіусъ г круга, вписаннаго въ сферическій треугольникъ.

250. Опредѣлить угловой радіусъ R круга, описаннаго около сферическаго треугольника.

Рѣшеніе прямоугольнаго сферическаго треугольника:

Рѣшеніе косоугольнаго сфрч. треугольника:

ПРИБАВЛЕНІЕ.

I. Обратныя тригонометрическія функціи.

§ 76. Опредѣлимъ различныя значенія обратныхъ тригонометрическихъ функцій, соотвѣтствующія данной тригонометрической линіи. Начнемъ съ функціи arcsin, положивъ

Если у положительная величина и равняется MN (черт. 51), то означивъ чрезъ хх наименьшую дугу AM, имѣющую своимъ синусомъ у, и проведя лпнію MMt параллельно діаметру АС, найдемъ, что дуга АММ, т. е. тс — хх имѣетъ тотъ же синусъ М, N, = у, и что вообще всѣ дуги вида

гдѣ k означаетъ какое - нибудь цѣлое число положительное, отрицательное или нуль, имѣютъ одинъ и тотъ же положительный синусъ у.

Если же данный синусъ отрицательный и равняется NL, то означивъ чрезъ — хх наименьшую дугу AL, которой принадлежитъ этотъ синусъ, находимъ, что дуга ABCLt = tt -+- имѣетъ тотъ же синусъ, и вообще всѣ дуги вида

Черт. 51.

имѣютъ одинъ и тотъ же отрицательный синусъ.

Для избѣжанія этой неопредѣленности условились разумѣть подъ выраженіемъ arc sin у наименьшую по абсолютной величинѣ дугу, положительную или отрицательную, которой синусъ равняется у.

Изъ этого слѣдуетъ, что arc sin заключаетея между ^ п — 4, и имѣетъ всегда тотъ же знакъ какъ у, т. е. arcsin (—у) = — arcsin^/. Положимъ во вторыхъ

х = arc tg у

Если у положительная величина и равняется AT (черт. 52), то означивъ чрезъ ж, наименьшую дугу AM, которой соовѣтствуетъ тангенсъ AT, найдемъ, что дуга АВСМ, = имѣетъ тотъ же тангенсъ, и что вообще всѣ дуги вида

имѣютъ одинъ и тотъ же положительный тангенсъ у.

Если же у отрицательный и равняется AS, то означивъ чрезъ — хл наименьшую дугу AL, которой принадлежитъ тангенсъ AS, находимъ, что дуга ABL,=-rc— я, имѣетъ тотъ же тангенсъ, п вообще всѣ дуги вида

2 к-— X, и (2к-\ 1)

имѣютъ одинъ и тотъ же отрицательный тангенсъ.

Для избѣжанія этой неопредѣленности условились разумѣть подъ выраженіемъ arc tg у наименьшую по абсолютной величинѣ дугу, положительную пли отрицательную, которой тангенсъ есть у. Изъ этого слѣдуетъ, что arc tg у заключаетея между ^ и — £ и имѣемъ всегда тотъ же знакъ какъ у, т. е. arc tg (—у) = — arctgy. Положимъ наконецъ

X = arc cos у

Если у положительная величина и равняется ON (черт. 5В), то означивъ чрезъ х1 наименьшую дугу AM, которой соотвѣтствуетъ косинусъ ON, и замѣтивъ, что дуга АВСМ, = 2 ти — ж, имѣетъ тотъ же косинусъ, заключаемъ что всѣ дуги вида

имѣютъ одинъ и тотъже положительный косинусъ?/.

Если же у отрицательная величина и равняется ON,, то пусть хх будетъ наименьшая дуга

Черт. 52.

Черт. 53.

AML, которой соотвѣтствуетъ косинусъ ON,. Замѣтивъ, что дуга ABL, =~—.г, имѣетъ тотъ же косинусъ ON, заключаемъ, что всѣ дуги вида 2Ы+хі и 2 к~—ж, имѣютъ одинъ и тотъ же отрицательный косинусъ.

Для избѣжанія этой неопредѣленности условились разумѣть подъ выраженіемъ arc cos у наименьшую положительную дугу, которой косинусъ есть у. Изъ этого слѣдуетъ, что arc cos у меньше ö » когда у положительная величина, и больше когда у отрицательная величина.

§ 77. Обратныя тригонометрическія функціи связаны уравненіями, которыя соотвѣтствуютъ соотношеніямъ между прямыми тригонометрическими функціями.

Пусть будетъ i/=sin х, слѣдов. æ=ars sinÿ; находимъ

(1)

Далѣе замѣтивъ, что

получимъ

(2)

Положивъ у=tg X, слѣдов. æ=arc tgу, находимъ

и отсюда

(3)

§ 78. Пусть будутъ «и» дуги, которыя меньше и положимъ

Замѣтивъ что

находимъ, когда

а когда

Но условіе и-+-ѵ или и_ „ — ѵ значитъ, что sin и = cost’,или sin2 и^ 1 — sinV, или наконецъ ж2 -Ь y2fy 1 ; условіе же и-\-ѵ> | значитъ ж2+у2> 1. Вслѣдствіе этого, замѣнивъ и ѵ чрезъ arc sin и arc sin у, находимъ.

Подобнымъ же образомъ будетъ безъ всякаго ограниченія arc sin x—arc sin у=arc sin {xV\ —у2—у V1 — 2) потому что разность arc sin x — arc sin у всегда меньше

Далѣе пусть и и г> будутъ также двѣ дуги, которыя менѣе ^, и положимъ

Такъ какъ

то будемъ имѣть

или

и подобнымъ образомъ

Наконецъ, положивъ

и замѣтивъ, что

находимъ

когда

когда и-\-ѵ> Но условіе и ѵ^ ^ значитъ, что tg cotg г или X~ і или наконоцъ ху а условіе и-\~ѵ > ^ значитъ 1. Вслѣдствіе этого, замѣнивъ и и ѵ чрезъ arc tgæ и arc tg получимъ

когда ху < 1 и

когда ху> 1.

Такимъ же образомъ будетъ безъ всякаго ограниченія

потому что разность arc tg х — arc tg у всегда меньше

II. Формула Моавра.

§ 79. Формула Моавра заключаетея въ равенствѣ

въ которомъ ш означаетъ какое нибудь число.

Докажемъ эту формулу во первыхъ, когда т означаетъ цѣлое положительное число. Непосредственнымъ умноженіемъ находимъ

Помноживъ обѣ части этого равенства на cosc+sinc V — 1, получимъ

и т. д. Если положимъ, что всѣ множители равны и означимъ число ихъ чрезъ т, то найдемъ

Далѣе, разумѣя подъ т цѣлое положительное число, имѣемъ

и помноживъ числителя и знаменателя послѣдней дроби на сопряженное выраженіе cos та—sin та У— 1, нааходимъ

Эго равенство показываетъ, что формула Моавра существуетъ также для отрицательнаго показателя.

Наконецъ можно ее провѣрить и для дробнаго показателя. Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ

то извлекая корень m-ой степени находимъ

Если же возводимъ обѣ части послѣдняго равенства въ ю степень, то получаемъ

Это равенство повѣряетъ формулу Моавра для дробнаго показателя.

§ 80. Должно замѣтить, что формула Моавра для дробнаго показателя можетъ считаться вѣрной только при извѣстномъ ограниченіи; не трудно доказать, что первая часть равенства

имѣемъ т различныхъ величинъ, между тѣмъ такъ вторая часть представляетъ только одну изъ нихъ. Въ самомъ дѣлѣ, если означаетъ какое нибудь цѣлое положительное или отрицательное число, то будемъ имѣть

а потому, какое бы цѣлое число к ни означало,

Слѣдов., извлекая т-й корень, находимъ

Замѣтимъ, что въ этомъ уравненіи можно к разсматривать какъ цѣлое положительное число. Въ самомъ дѣлѣ, означивъ чрезъ і цѣлое положительное число, будемъ имѣть для отрицательнаго к

гдѣ А'( = іт — к,а такъ какъ і произвольное цѣлое положительное число, то его можно всегда выбрать такимъ, чтобы kt было положительнымъ.

Принимая во второй части предъидущаго равенства (а) за к послѣдовательно 0,1, 2... до т— 1, получаемъ для корня т величинъ

которые всѣ различны, потому что дуги какихъ нибудь двухъ изъ нихъ разнятся между собою менѣе чѣмъ на 2тг, а потому синусы и косинусы ихъ не могутъ быть одинакіе. Замѣтимъ при томъ, что если для к примемъ числа т, т- 1,... большія т— 1, то не найдемъ новыхъ величинъ для корня, потому что получаются прежнія дуги увеличенныя одной или нѣсколькими окружностями.

На основаніи сказаннаго заключаемъ, что для дробнаго показателя формулу Моавра нужно замѣнить слѣдующую

въ которой к означаетъ какое нибудъ цѣлое число отъ 0 до m — 1.

Перемѣнивъ въ предъидущемъ равенствѣ V— 1 на — V- 1, находимъ

III. Умноженіе и дѣленіе дугъ.

§ 81. Если разложимъ по формулѣ бинома вторую часть равенства cos та ■+■ sin ma V— 1 = (cos ■+■ sin — 1)т разумѣя подъ т цѣлое положительное число, и сравнимъ дѣйствительныя и мнимыя части, то получаемъ два уравненія

которыя содержатъ общее рѣшеніе вопроса объ умноженіи дугъ. Принимая т равнымъ 2,3..., находимъ

§ 82. Уравненія предъидущаго § содержатъ также общее рѣшеніе вопроса о дѣленіи дугъ. Положимъ, что требуется опредѣлить cos — по данному cos а.

Замѣнивъ въ первомъ изъ предъидущихъ уравненій та чрезъ а и sm — чрезъ 1 — cos — и расположивъ по нисходящимъ степенямъ cos — > найдемъ уравненіе вида

опредѣляющее cos — » когда cos а извѣстенъ. Это уравненіе доставлляетъ ш дѣйствительныхъ величинъ для cos—* Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ а наименьшая дуга, которой соотвѣтствуетъ данный cos а, п к какое нибудь цѣлое число, тогда (§76) дуга а будетъ вида 2тг& + а или 2ък — а, слѣдов. дуга-----вида----------или

Замѣтимъ, что можно, какъ въ § 80, считать положили

Принимая въ cos--------за к послѣдовательно числа 0,1,2... до т — 1, находимъ слѣдующія т величинъ для cos — удовлетворяющихъ предъидущему уравненію. Если за к примемъ числа т, т-\- 1,.... большія т—1, то новыхъ величинъ для cos — не найдемъ, потому что получатся прежнія дуги, увеличенныя одной или нѣсколькими окружностями.

§ 83. Положимъ далѣе, что требуется опредѣлить sin — по дан ному sin а. При рѣшеніи этого вопроса нужно различать два случая.

1. Когда т означаетъ нечетное число. Замѣнивъ во второмъ изъ уравненій § 81 выраженіе та чрезъ и cos2 ~ Чрезъ 1 —sin2 ^и расположивъ по нисходящимъ степенямъ sin — находимъ уравненіе вида

опредѣляющее sin—> когда sine извѣстенъ. Это уравненіе доставляетъ т дѣйствительныхъ величинъ для sm — Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ а наименьшая положительная дуга, которой соотвѣтствуетъ данный sin а,и к какое нибудь цѣлое число, тогда (§ 76) дуга а будетъ видна 2 пк-+- а или (2к-+-1) -ге — а, слѣдов. — — вида

Можно, какъ въ § 80, к считать положительнымъ, и ограничиться разсмотрѣніемъ только дугъ вида 2uÆ + a потому что

Слѣдов. всѣ выраженія

заключаются въ выраженіи

если к означаетъ какое-нибудь цѣлое число. Принимая въ sin —------- за к послѣдовательно числа 0,1,2... до т—1, находимъ слѣдующія т величинъ для sin — :

удовлетворяющихъ предъидущему уравненію. Если за к примемъ числа т, «+ 1,... большія т — 1, то новыхъ величинъ для sin — не найдемъ, потому что получатся прежнія дуги, увеличенныя одной или нѣсколькими окружностями.

2. Когдя т означаетъ четное число. Сдѣлавъ въ правой части втораго урав. § 81 общимъ множителемъ cos а, замѣнивъ am чрезъ а и cos2 — чрезъ 1—sin2 —, найдемъ для опредѣленія sin — уравненіе вида

Если же возведемъ обѣ части въ квадратъ, то получится уравненіе

которое будетъ 2т-ой степени относительно sin — и содержитъ это количество только въ четныхъ степеняхъ. Это уравненіе доставляетъ 2т дѣйствительныхъ величинъ для sin *, когда sin а данъ.

Въ самомъ дѣлѣ, означая, какъ прежде, чрезъ а наименьшую положительную дугу, которой соотвѣтствуетъ данный sina, находимъ, что а будетъ вида 2-кк-\-а или (2 1) іг — а. Хотя и въ этомъ случаѣ можно считать положительнымъ, но выраженіе вида

не заключаетея въ выраженіи sin-----------, какъ въ предъидущемъ случаѣ, а потому слѣдуетъ разсматривать каждое отдѣльно. Принимая въ sin-----------за к послѣдовательно О, 1, 2 —1, находимъ, какъ прежде, твеличинъ для sin — изъ которыхъ по двѣ равны но съ противоположными знаками, по тому что, положивъ кл = --\-кг, находимъ

Принимая же за к послѣдовательно 0,1,2.. до т — 1, находимъ новыхъ величинъ для

изъ которыхъ также по двѣ равны и съ противуположными знаками.

И такъ для даннаго sin а существуютъ 2т величинъ sm—, если т четное число.

Подобнымъ же образомъ можно доказать, что sin — опредѣляется по данному cos а изъ уравненія да-ой степени, и имѣетъ т величинъ

a cos —по данному sin« опредѣляется изъ уравненія или т-й или т-ой степени, смотря потому будетъ ли т нечетное или четное число.

§ 84. Такъ какъ по § 80

то находимъ

Эти формулы представляютъ общее алгебраическое выраженіе корней уравненій, опредѣляющихъ cos — и sin — по даннымъ cos а и sin а.

IV. Корни уравненія: xm = 1

§85. Всякое мнимое выраженіе А + вѴ—1, въ которомъ А и В означаютъ какія-нибудь дѣйствительныя величины, можно всегда представить въ видѣ

разумѣя подъ г положительное количество. Для этого полагаемъ А = г cos а;В = г sin а

и опредѣляемъ

Въ выраженіи г (cos а + sin а У—1) положительное количество г называется модулемъ и дуга а аргументомъ. Очевидно, что модуль количество совершенно опредѣленное, но аргументъ не вполнѣ опредѣленъ, такъ какъ его можно увеличить и уменьшить па произвольное число окружностей.

Мнимое выраженіе обращается въ положительное количество равное модулю, когда аргументъ равняется нулю или цѣлому числу окружностей, потому что

г (cos 2 и к -+- sin 2 —1) =г

и оно обращается въ отрицательное количество, равное модулю съ обратнымъ знакомъ, когда аргументъ равняется нечетному числу полуокружностей, потому что

§ 86. Положимъ, что требуется извлечь й корень изъ мнимаго выраженія г (cos а -+-sin а V—1), или, что все равно, рѣшить уравненіе

хт = г (cos а -+- sin 1)

Означивъ ариѳметическій т-й корень изъ г чрезъ р, находимъ

Но по § 80 уравн. (а)

гдѣ подъ к разумѣемъ цѣлое число отъ 0 до —1. Изъ этого заключаемъ, что X имѣетъ т величинъ, получаемыхъ изъ выраженія

когда за к примемъ послѣдовательно О, 1, 2. . . до т—1. Разсмотримъ въ частности уравненіе

соотвѣтствующее г = 1, р=1 и а —о, или что все равно, выраженіе V1,

На основаніи предъидущаго заключаемъ, что У1 имѣетъ т величинъ. изображенныхъ формулою

а именно

Всѣ эти величины различны, потому что дуги какихъ нибудь двухъ изъ нихъ разнятся менѣе чѣмъ на 2 а потому не могутъ имѣть одинакіе синусы и косинусы. Замѣтимъ при томъ, что когда т четное число, то хсоотвѣтствующее к — — равняется —1, такъ какъ

Не трудно доказать, что мнимыя выраженія полученныя для х суть по парно сопряженныя величины. Въ самомъ дѣлѣ, исключая изъ предъидущаго ряда величинъ для х первую: х=1, находимъ, что к-й членъ отъ начала будетъ к-и членъ съ конца или, что все равно, (ж — А;)-й членъ отъ начала, будетъ

Слѣдов. члены равно отстоящіе отъ начала и конца суть величины сопряженныя.

На этомъ основаніи можно представить всѣ величины х формулою

принимая за к числа О, 1, 2 . . до - , если т четное число, и числа О, 1, 2 . . до —-—, если т нечетное число.

§ 87. Означимъ чрезъ хх первое изъ мнимыхъ выраженій, полученныхъ для X

и замѣтивъ, что

заключаемъ, что мнимые корни уравненія хт = 1, выражаются чрезъ

т. е. чрезъ послѣдовательныя степени перваго корня.

Пусть будетъ к цѣлое число меньшее т и первое съ нимъ, и означимъ чрезъ хк соотвѣтствующій ему корень

тогда послѣдовательныя степени хк

представятъ также всѣ корни уравненія хш = 1. Въ самомъ дѣлѣ, если означимъ чрезъ г цѣлое число меньшее т и замѣтимъ, что

то заключаемъ, что хкгесть корень этого уравненія, п принимая за г послѣдовательно 1, 2, 3 до т — 1, получимъ т — 1 величинъ, которыя всѣ различны, и потому представляютъ т — 1 корней предъидущаго уравненія. Что эти величины дѣйствительно всѣ различны, можно доказать такимъ образомъ: пусть будутъ и г2 два значенія г, и положимъ, что при дѣленіи на т получается частное g, и остатокъ р,, а при дѣленіи кгг на т — частное д2 и остатокъ р2.

слѣдов.

Отсюда видно, что р, не можетъ равняться р2, иначе произведеніе к(гх—г2) должно бы дѣлиться на т, а это невозможно, потому что к и т первыя между собою, а г, — г2 меньше т.

Если же ки т имѣютъ общій дѣлитель, положимъ то послѣддовательныя степени корня хк даютъ только — корней уравненія хт = 1. Въ самомъ дѣлѣ, положивъ .it, и = .да,, такъ что и «г, будутъ первыя между собою, находимъ

Отсюда видно, что хк есть корень уравненія х’"> = 1, и такъ какъ к1 и да, первыя между собою, то послѣдовательныя степени хк дадутъ

только да, корней этого уравненія, слѣдоват. ^ корней даннаго.

Корень уравненія хт = 1, послѣдовательныя степени котораго представляютъ всѣ корни этого уравненія, называется первичнымъ корнемъ. Очевидно, что если показатель да число простое, то всѣ корни уравненія, за исключеніемъ 1, будутъ первичными, если же да число не простое, то уравненіе имѣетъ столько первичныхъ корней, сколько есть чиселъ меньшихъ да и первыхъ съ нимъ.

§ 88. Когда показатель да уравненія %' = 1 есть произведеніе двухъ первыхъ между собою чиселъ, то корни его получаются перемноживъ по парно корни уравненія.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть будутъ

два корня перваго уравненія и

два корня другаго, тогда произведенія ихъ

въ которыхъ pq = да, представятъ два корня уравненія х"‘ = ]. Эти два корня не могутъ быть равны между собою. Для доказатель-

ства пусть при дѣленіи kq -+- кхр на pq или на т частное будетъ Qx и остатокъ гх, а при дѣленіи lq-h 1хр на т частное Q2 и остатокъ г2

тогда

Отсюда видно, что гх не можетъ равняться г2, иначе разность —I должна бы дѣлиться на р, а это невозможно, потому что она меньше р.

Замѣтимъ при этомъ, что произведеніе двухъ первичныхъ корней уравненій хр=1 и хі=\будетъ первичнымъ корнемъ уравн. хт = 1. Въ самомъ дѣлѣ, если

представляютъ пару первичныхъ корней первыхъ уравненій, т, е. к и р также I и q числа первыя между собою, то произведеніе этихъ корней

будетъ первичнымъ корнемъ уравн. хт = 1, потому что m=pq, а pq и kq-hlp числа первыя между собою, такъ какъ всякій дѣлитель т дѣлитъ или р или q, а потому не можемъ дѣлить сумму kq-^-lp.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что если разложить показателя урв. хт = 1 на множителей первыхъ между собою: т =p.q.r...и опредѣлить по первичному корню каждаго изъ уравненій = 1 ; = 1 ;... то произведеніе ихъ доставитъ первичный корень уравн. хт=1, а послѣдовательныя степени его — всѣ корни этого уравненія.

Такимъ образомъ рѣшеніе этого уравненія приводится къ рѣшенію болѣе простыхъ уравненій хр = 1 ; = 1 ;... .

V. О правильныхъ многоугольникахъ.

§ 89. Положимъ, что окружность раздѣлена на равныхъ частей, и пусть будутъ Aj Аа . .. А„, послѣдовательныя точки дѣленія. Если соединимъ точки по порядку: А, съ А.2; А2 съ А3, н т. д., то составится правильный вписанный многоугольникъ о т сторонахъ. Но если, означивъ чрезъ к число меньшее т и первое съ нимъ, соединимъ точки дѣленія чрезъ к точекъ: А, съ А*, Ак съ А,*; и т. д., то вернемся къ начальной точкѣ, прошедши чрезъ всѣ точки дѣленія, и получимъ также правильный многоугольникъ о т сторонахъ, который въ отличіе отъ обыкновеннаго, называется звѣздообразнымъ. Очевидно, составится тотъ же многоугольникъ, если соединимъ дѣленія чрезъ т — к точекъ, потому что линія, идущая, напр., отъ А, къ А*, соединяетъ два дѣленія чрезъ к или чрезъ т — к точекъ. Если же к число не первое съ т, то соединивъ дѣленія чрезъ к точекъ, мы не вернемся къ начальной точкѣ и заключимъ многоугольникъ, не прошедши чрезъ всѣ точки дѣленія; въ этомъ случаѣ получится правильный звѣздообразный многоугольникъ, число сторонъ котораго меньше т. Изъ этого слѣдуетъ, что правильныхъ многоугольниковъ о т сторонахъ можетъ быть столько, сколько есть чиселъ меньшихъ—, которыя первыя съ т. Такъ, замѣтивъ, что есть только три числа первыхъ съ 9 и меньшихъ -» а именно 1, 2 и 4, заключимъ, что могутъ быть только три правильныхъ девятиугольника: одинъ обыкновенный, другой звѣздообразный (черт. 54), который получается, если соединить дѣленія чрезъ двѣ точки, и третій также звѣздообразный (черт. 55), который получается, если соединить дѣленія чрезъ 4 точки.

Черт. 54. Черт. 55.

§ 90. Опредѣленіе сторонъ правильныхъ многоугольниковъ о сторонахъ приводится къ рѣшенію уравненія Въ самомъ дѣлѣ, означивъ чрезъ к число первое съ т и меньшее—5 находимъ, что сторова правильнаго многоугольника о т сторонахъ выразится чрезъ 2sin —• Когда к— 1 мы получимъ обыкновенный правильный многоугольникъ, а при другихъ значеніяхъ к — звѣздообразные многоугольники. Но такъ какъ

и cos есть дѣйствительная часть первичныхъ корней уравненія хт = 1, то и заключаемъ, что опредѣленіе сторонъ правильныхъ многоугольниковъ приводится къ нахожденію первичныхъ корней уравненія хт = 1. Опредѣливъ эти корни, и означивъ дѣйствительныя части ихъ чрезъ а,, а2, а3..., находимъ, что стороны многоугольниковъ будутъ Ÿ2— 2ôft; Ÿ2 — 2а2;....

1. Опредѣлимъ сторону правильнаго треугольника. Для этого рѣшаемъ уравненіе х = 1, и нашедши корни его: 1; — - ± — • — 1, замѣчаемъ, что дѣйствительная часть его первичныхъ корней есть — ^ а потому заключаемъ, что есть только одинъ правильный треугольникъ, сторона котораго равняется ^2+24=1/3.

2. Опредѣленіе стороны правильнаго шестиугольника зависитъ отъ рѣшенія уравненія ж®= 1. Такъ какъ первичные корни этого урв. получаются чрезъ умноженіе первичныхъ корней уравненій = 1 и X3 = 1, т. е. — 1 на — - ± — — 1, то дѣйствительная часть первичныхъ корней разсматриваемаго уравненія будетъ^) а по-

тому заключаемъ, что есть только одинъ правильный шестиугольникъ, сторона котораго равняется!^2 — = 1.

3. Опредѣленіе сторонъ правильныхъ пятиугольниковъ зависитъ отъ рѣшенія уравненія ха = 1. Раздѣливъ хл— 1 на — 1, находимъ

или раздѣливъ на хг:

Если положимъ

то получится квадратное уравненіе

изъ котораго находимъ

Рѣшивъ затѣмъ уравненіе х2— х 1 = 0, и означивъ четыре корня чрезъ хл хг х3 xt, будемъ имѣть

Отсюда слѣдуетъ, что дѣйствительныя части первичныхъ корней — 1 ± ^5 суть:----------? а потому заключаемъ, что есть два правильныхъ пятиугольника, которыхъ стороны равняются:

одинъ обыкновенный, другой, который получается, если соединить дѣленія чрезъ двѣ точки (черт. 56).

4. Для опредѣленія стороны десятиугольника рѣшаемъ уравн. æ1# = 1, или уравненія ж4= 1 и £с5 == 1, и находимъ, что дѣйствительныя части его первичныхъ корней будутъ 1 ± ^5 —? а потому заключаемъ, что есть два правильныхъ десятиугольника, стороны которыхъ равны

одинъ обыкновенный, другой (черт. 57) происшедшій отъ соединенія точекъ дѣленія чрезъ три точки.

5. Наконецъ опредѣлимъ еще стороны правильныхъ пятнадцатиугольниковъ, зависящія отъ первичныхъ корней уравненія æls = l. Перемноживъ первичные корни уравненій хл — 1 иж5=1, находимъ 8 первичныхъ корней уравненія

которые имѣютъ четыре различныя дѣйствительныя части, а потому заключаемъ, что есть 4 правильныхъ пятнадцатиугольника, которыхъ стороны равняются

Черт. 56.

Черт. 57.

Одинъ изъ нихъ обыкновенный правильный 15-ти угольникъ, а три другіе, полученные отъ соединенія чрезъ 2, 4 и 7 точекъ дѣленія (черт. 58, 59 и 60), суть звѣздообразные.

Черт. 58. Черт. 59. Черт. 60.

VI. Рѣшеніе уравненія 3-й степени съ помощію тригонометрическихъ линій.

§ 91. Всякое уравненіе 3-й степени

х3 ах3-ь + О а

подстановкою х — g- вмѣсто х приводится къ виду

x3r^-px-\-q = 0 (1)

Для рѣшенія этого уравненія полагаемъ

x = y-\-z

и возведя обѣ части въ кубъ, находимъ

ж3 = у3+z3 + Ъуг (у + е) = у3 + г3

или

X3—Syz X — (у3z3) = О

Сличивъ это уравненіе съ даннымъ уравн. (1) полагаемъ

3yz = —p; y3-irz3=—q

Отсюда заключаемъ, такъ какъ

что у3и z3 можно разсматривать какъ корни квадратнаго уравненія

Слѣдов.

или

Величины у и г,завися отъ кубичныхъ корней, имѣютъ но три значенія ; но такъ какъ произведеніе у. г равняется дѣйствительному количеству—то не всѣ эти значенія удовлетворяютъ вопросу. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ т одно изъ значеній и соотвѣтствующее значеніе г, такъ чтобы т. п = —и положимъ

(2)

принимая кубичные корни въ одномъ опредѣленномъ смыслѣ.

Если означимъ чрезъ а одинъ изъ мнимыхъ корней выраженія 1- наприм. а== — - + — V— 1, и замѣтимъ, что другой корень будетъ а2 = — ^--------V—1, то три значенія будутъ m, am и a*w, три значенія з будутъ п,*п и а2», а такъ какъ и произведеніе уг должно равняться —^, то х можетъ быть только одна изъ трехъ слѣдующихъ величинъ

т-\-п\ ma + wa2; ma2-t-wa

или, вставляя

вмѣсто a

Когда Пн + положительное количество, то каждый изъ кубическихъ корней (2) имѣетъ по одной дѣйствительной величинѣ; принимая ихъ за ти да, можно вычислить корни уравненія (1), и привести ихъ къ виду А -H В V— 1. Но когда j -t- (^j отрицательное количество, то кубичные корни (2) мнимы и ихъ нельзя вычислить алгебраически, приведя къ виду А + В V— 1. Въ этомъ случаѣ выраженія (3) не могутъ служить для алгебраическаго вычисленія корней уравн. (1). Посредствомъ же тригонометрическихъ величинъ эти корни могутъ быть опредѣлены во всѣхъ случаяхъ съ помощію выраженій (3).

§ 92. Разсмотримъ два случая:

1-й случай, когда ~ <О, при чемъ очевидно р должно быть отрицательное число.

Положивъ

т. е.

находимъ,

Слѣдов.

Такъ какъ одна пара величинъ и будетъ

то, принявъ ихъ за и

находимъ, на основаніи формулъ (3), что корни уравненія (1) будут

или, такъ какъ cos 60° = ^ и sin 60 =—-, то эти корни равняются

Эти формулы показываютъ, что три корня въ разсматриваемомъ случаѣ дѣйствительны; они удобно могутъ быть опредѣлены посредствомъ логариѳмовъ и съ помощію вспомогательнаго угла (4).

Если — Н- = 0 или — = — ^, то въ предъидущихъ выраженіяхъ слѣдуетъ принимать <р = 0, какъ это видно изъ уравненій (4), и мы находимъ, что урв. (1), кромѣ корня—, имѣетъ еще два равныхъ корня — щ.

Замѣтивъ, что въ разсматриваемомъ случаѣ уравненіе

х3 4* Vх-+■ 2 = О

можно также очень просто рѣшить на основаніи формулы § 22

опредѣляющій cos £ по данному cos ©. Въ самомъ дѣлѣ, если примемъ

то находимъ для опредѣленія у уравненіе

Сличивъ его съ предъидущей формулою, и допустивъ

а это всегда возможно, потому что по предположенію имѣемъ

то находимъ « = cos?-; слѣдов.

Если чрезъ р, означимъ наименьшую положительную дугу, которой косинусъ есть данное количество

и чрезъ к цѣлое положительное число, то двѣ дуги вида 2 пк ± р, имѣютъ тотъ же косинусъ, а потому положивъ находимъ

Принимая к послѣдовательно равнымъ О и 1, получаемъ для cos^ слѣдующія три величины

или

Если к будетъ какое-нибудь другое число, то найдемъ одну изъ этихъ же величинъ для cos g. Отсюда заключаемъ, что три корня даннаго уравненія будутъ, какъ прежде,

§ 93. 2-й случай, когда

Принимая для т и п дѣйствительныя величины кубичныхъ корней (2), видимъ, что уравн. (1) въ разсматриваемомъ случаѣ имѣетъ одинъ дѣйствительный корень т+п и два мнимыхъ.

Для опредѣленія ихъ посредствомъ тригонометрическихъ линій различаемъ два случая:

а) Когда р отрицательное количество. Введя вспомогательный уголъ р, полагая

а это всегда возможно, такъ какъ по условію — — < у, и вставляя вмѣсто I выраженіе

находимъ

Затѣмъ вводимъ новый вспомогательный уголъ ф, полагая

находимъ

Слѣдов., три корня уравн. (1) будутъ

или

Для опредѣленія ихъ вычисляемъ вспомогательные углы р и ф посредствомъ уравненій

b) Когда p положительное количество. Введя въ этомъ случаѣ вспомогательный уголъ р, полагая

и замѣняя - чрезъ У ~ : tg р, находимъ

Затѣмъ вводимъ новый вспомогательный уголъ ф, полагая

получаемъ

а потому три корня уравненія (1) будутъ

или

Для опредѣленія ихъ вычисляемъ вспомогательные углы р и ф посредствомъ уравненій

VII. Разложеніе тригонометрическихъ линій въ ряды.

§94. Тригонометрическія функціи sinæ и cosæ, въ которыхъ X означаетъ длину дуги при радіусѣ равномъ 1, могутъ быть выражены чрезъ безконечныя строки, расположенныя по восходящимъ степенямъ х. Эти строки доставляютъ удобное средство для непосредственнаго опредѣленія этихъ функцій безъ предварительнаго вычисленія функцій меньшихъ дугъ.

Разложеніе sin х и cos а; въ ряды можно основывать на формулахъ умноженія дугъ (§81). Замѣнивъ въ этихъ формулахъ та чрезъ X, слѣдоват. а чрезъ —, представимъ ихъ въ видѣ

Если примемъ т весьма большимъ числомъ, замѣтимъ, что косинусъ весьма малой дуги равняется 1, а синусъ равенъ самой дугѣ, положимъ поэтому cos — = 1 и sin — = — , и принебрежемъ въ сравненіи съ 1 дробями, которыхъ знаменатель т, то получимъ въ предѣлѣ при т= со

Эти формулы представляютъ разложеніе since и coscc въ ряды по восходящимъ степенямъ дуги. Такъ какъ для каждой величины отношеніе какого нибудь члена къ своему предшествующему тѣмъ болѣе приближается къ нулю, чѣмъ дальше этотъ членъ отстоитъ отъ начала ряда, то обѣ предъидущія строки сходящіяся для всѣхъ величинъ X.

§ 95. Можно получить тѣ же выраженія посредствомъ способа неопредѣленныхъ коэффиціентовъ. Замѣтивъ, что sin 0=0 и cos 0=1, положимъ

означая чрезъ а, Ъ, с... и а, ß, у.... числа, не зависящія отъ х, и постараемся опредѣлить эти коэффиціенты.

Пусть у будетъ какая нибудь дуга при радіусѣ равномъ 1 ; будемъ такъ же имѣть

Вычтя эти равенства почленно изъ предъидущихъ, получаемъ

и отсюда, раздѣливъ на х—

Но замѣтивъ, что по § 23

положимъ въ предъидущихъ уравненіяхъ х — у. Такъ какъ вообще при весьма малой дугѣ и отношеніе ~~~~ приближается къ 1, то принимая х = у получимъ въ предѣлѣ

а потому предъидущія равенства при х = у дадутъ

Сравнивая эти выраженія cosæ и sinæ съ первыми, составляемъ два равенства

которыя должны существовать тождественно при всѣхъ значеніяхъ X, а это возможно только, когда коэффиціенты при разныхъ степеняхъ X въ каждомъ уравненіи соотвѣтственно равны между собою. Сравнивая коэффиціенты, получимъ двѣ системы уравненій

Отсюда находимъ послѣдовательно

Такимъ образомъ получаемъ прежнія строки

§ 96. Разложимъ въ рядъ по способу неопредѣленныхъ коэффиціентовъ выраженіе arctg и. Замѣтивъ, что arc tg 0 = 0, положимъ

Пусть будетъ такимъ же образомъ

Вычтя почленно и раздѣливъ на и — ѵ, находимъ

Положимъ на время

будемъ имѣть

Если положимъ и = V, слѣдов. X = у, и замѣтимъ, что въ этомъ предположеніи

предѣлъ

то находимъ

предѣлъ

На этомъ основаніи получаемъ при и — ѵ

Чрезъ непосредственное же дѣленіе имѣемъ

Слѣдов.

Отсюда, сравнивая коэффиціенты, получаемъ

а потому

Этотъ рядъ сходящійся для и< 1, потому что отношеніе какого нибудь члена къ своему предшествующему тѣмъ болѣе приближается въ — и2, чѣмъ больше онъ отстоитъ отъ начала ряда.

§ 97. Если примемъ въ разложеніи arctg и предъидущаго § и = Іи замѣтимъ, что arc tg 1=7, то получимъ

Хотя этотъ рядъ и можетъ служить для опредѣленія п, но нужно вычислить весьма большое число членовъ, чтобы получить тс съ нѣкоторой точностью. Гораздо удобнѣе употребить для этой цѣли другія болѣе сходящіяся строки, которыя не трудно вывести изъ уравненія предъидущаго §.

Одно изъ такихъ разложеній, указанное Ейлеромъ, получается слѣдующимъ образомъ. Пусть будутъ и двѣ дуги, которыхъ сумма равняется -, и положимъ, что tg = г ; тогда

Слѣдов.

потому

Разложивъ arc tg ~narctg—по формулѣ предъидущаго §, получимъ

Machin указалъ на другую болѣе сходящуюся строку, которая весьма удобна для вычисленія іг. Пусть будетъ а дуга, которой тангенсъ равняется -

и означимъ чрезъ b такую дугу, чтобы

Замѣтивъ, что

находимъ

Слѣдов. а потому

Разложивъ arc tg — и arc tg —- въ строки, получаемъ

Вычисливъ 15 членовъ первой строки и 4 члена второй, находимъ тс съ 20-ю десятичными знаками:

РѢШЕНІЕ ЗАДАЧЪ.

I. а) Построить прямоугол. треугольникъ по данной гипотенузѣ=2, и данному катету = 1 (Геом. зад. 29); Ь) построить прямоугл. тре-угольн. по данной гипотенузѣ = 1, такъ чтобъ одинъ катетъ былъ вдвое болѣе другаго (Г. задач. 188); с) построить прямоугольн. тре-

угольн. по данной гипотенузѣ = 1 и данному катету = - (Г. з. 29).

3. Построить прямоугол. треугол. а) по данной гипотенузѣ и суммѣ двухъ катетовъ. (Г. з. 108); Ъ) по данной гипотенузѣ и разности двухъ катетовъ (Г. з. 109); с) по данному катету и суммѣ гипотенузы и другаго катета (Г. з. 32); d) по данному катету и разности гипотенузы и другаго катета (Г. з. 31).

Замѣнить чрезъ sin 60°.

Возводить обѣ части въ квадратъ. Замѣнить сумму чрезъ произведеніе.

Замѣнить у

Взять тангенсъ обѣихъ частей.

Помножить данный рядъ на

2 sin Ъи замѣнить произведеніе синусовъ чрезъ разность косинусовъ.

а, Ъ и с — центральные углы, соотвѣтствующіе сторонамъ четыреугольника.

ОГЛАВЛЕНІЕ

ОТДѢЛЕНІЕ I.

Гоніометрія.

Стран.

Глава I. О тригонометрическихъ линіяхъ............................... 3

Введеніе................................................. 3

Мѣра угловъ................................................ 5

Тригонометрическія функціи и тригонометрическія линіи.... 8

Задачи.................................................... 11

Соотношеніе между тригонометрическими линіями............. 11

Задачи.................................................... 14

Распространеніе понятія о тригонометрическихъ линіяхъ.... 15

Измѣненія тригонометрическихъ линій при возрастаніи угла отъ 0 до 2тг.......................................... 21

Приведеніе тригонометрическихъ линій угла, который больше прямаго, къ тригонометрическимъ линіямъ остраго угла... 22

Обратныя тригонометрическія функціи....................... 27

Задачи.................................................... 28

Глава II. Сложеніе, умноженіе и дѣленіе дугъ............................ 30

Сложеніе дугъ............................................. 30

Умноженіе дугъ............................................ 35

Дѣленіе дугъ.............................................. 36

Выраженіе суммы и разности триг. линій чрезъ произведеніе. 39

Задачи.................................................... 41

Глава III. О тригонометрическихъ таблицахъ.............................. 45

Вычисленіе тригонометрическихъ линій...................... 45

Составленіе тригонометрическихъ таблицъ................... 49

Таблицы Лаланда........................................... 49

Семизначныя таблицы....................................... 54

Приведеніе формулъ къ виду удобному для логариѳмическаго вычисленія.............................................. 58

Задачи.................................................... 60

ОТДѢЛЕНІЕ II.

Прямолинейная тригонометрія.

Стран.

Глава I. Рѣшеніе прямоугольныхъ треугольниковъ...................... 63

Глава II. Рѣшеніе косоугольныхъ треугольниковъ...................... 68

Соотношенія между сторонами и углами косоугольнаго треугольника................................................ 68

Рѣшеніе косоугольныхъ треугольниковъ..................... 71

Глава III. Приложенія................................................. 82

Задачи................................................... 90

ОТДѢЛЕНІЕ III.

Сферическая тригонометрія.

Глава I. Соотношенія между сторонами и углами сферическаго треугольника............................................................. 98

Сферическій треугольникъ................................. 98

Основныя формулы сферической тригонометріи.............. 100

Формулы Деламбра........................................ 105

Неперовы аналогіи....................................... 107

Глава II. Рѣшеніе сферическихъ треугольниковъ...................... 108

Рѣшеніе прямоугольнаго сфер. треугольника............... 108

Рѣшеніе косоугольныхъ сфер. треугольниковъ.............. 112

Опредѣленіе поверхности сферическаго треугольника....... 117

Задачи.................................................. 121

ПРИБАВЛЕНІЕ.

Обратныя тригонометрическія функціи..................... 123

Формула Моавра.......................................... 128

Умноженіе и дѣленіе дугъ................................ 130

Корни уравненія хт = 1.................................. 135

О правильныхъ многоугольникахъ.......................... 141

Рѣшеніе уравненія 3-ей степени съ помощію тригонометрическихъ линій............................................. 145

Разложеніе тригонометрическихъ линій въ ряды............ 152

Рѣшеніе задачъ.......................................... 158