ТЕМЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА

Математика

Е. А. Бунимович, В. А. Булычев

Основы статистики и вероятность

5-11 КЛАССЫ

ДРОФА

ТЕМЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА

Математика

Е. А. Бунимович, В. А. Булычев

Основы статистики и вероятность

Пособие для общеобразовательных учреждений

5-11 КЛАССЫ

ДРОФА

МОСКВА • 2008

УДК 519.2(075.3) ББК 22.17я7 Б91

Серия основана в 2001 году

Бунимович, Е. А.

Б91 Основы статистики и вероятность. 5—11 кл. : учебное пособие / Е. А. Бунимович, В. А. Булычев. — М. : Дрофа, 2008. — 286, [2] с. : ил. — (Темы школьного курса).

ISBN 978-5-358-04884-3

Пособие содержит необходимый теоретический и практический материал для изучения вероятностно-статистической линии, становящейся сегодня неотъемлемой частью школьного курса математики. Изучение вероятности предполагается в рамках базового курса математики 5—11 классов.

Пособие может быть использовано вместе с любым действующим учебником по математике.

УДК 519.2(075.3) ББК 22.17я7

ISBN 978-5-358-04884-3

© ООО + Дрофа», 2008

От авторов

На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятностно-статистической базе.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов, и даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что «завтра ожидается дождь с вероятностью 40%», оставляя нас в полной растерянности: брать ли зонтик?

И ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизни. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях — все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления и развития личности.

Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет школьный курс математики. Принципиальные решения о включении вероятностно-статистического материала как равноправной составляющей обязательного школьного математического образования приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики 5—9 классов наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры». Продолжение изучения этой линии предполагается в старших классах.

Уже несколько лет в различных регионах России учащиеся основной школы работают по новым учебным комплектам «Математика 5—6» под ред. Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина, «Математика 7—9» под ред. Г. В. Дорофеева. Это первые российские учебники, в которых последовательно с 5 по 9 класс проводится вероятностно-статистическая линия, органично связанная с другими темами курса. В этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы. Накопленный опыт преподавания свидетельствует о безусловной доступности этого материала, очевидном интересе, который он вызывает у учащихся, позитивном влиянии на развитие мышления школьника.

Цель данного пособия — помочь ребенку в формировании вероятностного мышления, в освоении школьного курса «Вероятность и статистика», помочь учителю в постановке преподавания этого нового материала.

Основное содержание пособия предполагает его изучение в курсе математики 5—9 классов, при этом принятая система изложения близка к той, которая использована в указанных выше учебниках.

В книге содержится также дополнительный теоретический материал и соответствующие ему блоки задач, которые могут оказаться полезными для проведения занятий в профильных классах, математических кружках, на факультативах. Опыт показывает, что отдельные главы пособия могут быть успешно использованы при изучении вероятностно-статистического материала и в 10—11 классах.

В учебном пособии 16 глав. В каждой главе после теоретического материала и примеров даются две группы задач:

«А» — типовые задачи, необходимые для усвоения основных теоретических положений курса;

«Б» — задачи более сложные, в которых развиваются идеи и методы теоретической части главы. Исследовательские и особенно сложные задачи отмечены звездочкой «*».

Последняя глава «Аксиоматическое определение вероятности», предлагающая более строгий и формальный подход к понятию вероятности, не является обязательной для изучения и также отмечена звездочкой.

Заметим, что для нормального усвоения курса достаточно владения базовым теоретическим материалом и решения задач группы «А».

Понятно, что при изучении главы «Случайные числа и компьютер» желательно использование компьютера. Необходимые для этого программы приведены в тексте главы и решениях. Однако практически все задачи могут решаться и без компьютера, с использованием приведенной в конце пособия «Таблицы случайных чисел».

Учитывая новизну курса для российской средней школы, ко всем задачам учебного пособия даны ответы, а к большинству задач — подробные указания, комментарии и решения.

Современные стандарты и программы математического образования в основной школе предполагают пропедевтику основных понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями в 5—6 классах, определение основных понятий, построение и изучение базовых вероятностно-статистических моделей — в 7—9 классах. Исходя из этого, можно предложить следующее примерное распределение материала пособия по классам:

• 5—6 класс — главы 1—3;

• 7 класс — главы 4—7;

• 8 класс — главы 8—11;

• 9 класс — главы 12—15.

Что изучает теория вероятностей и математическая статистика

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую вы решали на уроках математики, у всех получался один и тот же ответ — нужно было только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией о них мы ни располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орел» выпадет приблизительно в половине случаев, а в ночные часы количество звонков будет в среднем меньше, чем днем. Обратите внимание на слова «приблизительно» и «в среднем» — вероятностные законы ничего не утверждают наверняка, но дают определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики — теория вероятностей. С ее помощью можно с большой степенью уверенности (но все равно не наверняка!) предсказать и дату выпадения первого снега, и количество телефонных звонков.

Основой таких прогнозов являются числовые данные, накопленные в результате наблюдений за реальными явлениями нашей повседневной жизни. Сбором, изучением и обработкой этих данных занимается статистика.

«Статистика знает все», — утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе «Двенадцать стульев» и продолжали: «Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики... Известно, сколько в стране охотников, балерин... станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок... Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..» Это ироническое описание дает довольно точное представление о статистике (от лат. status — состояние) — науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни. Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления. Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий. Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный). А есть еще статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая...

Статистика имеет многовековую историю. Уже в древнем мире вели статистический учет населения. Однако произвольные толкования статистических данных, отсутствие строгой научной базы статистических прогнозов позволили в конце XIX в. английскому премьер-министру Б. Дизраэли не без основания заметить: «Есть три вида лжи: просто ложь, наглая ложь и статистика».

В XX в. появилась математическая статистика — наука, основанная на законах теории вероятностей. Соединение накопленных к этому времени практических мето-

дов обработки данных с математическим аппаратом теории вероятностей превратило эти две отрасли человеческого знания в мощный инструмент для исследования законов природы и общества.

Теперь знание основных вероятностных законов и статистических методов необходимо каждому, кто хочет успешно ориентироваться в динамично изменяющемся мире.

1. Случайные события

Случайное событие. Невозможное событие. Достоверное событие. Исход эксперимента

Оценивая возможность наступления какого-либо события, мы часто говорим: «Это очень возможно», «Это непременно произойдет», «Это маловероятно», «Это никогда не случится».

Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.

Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.

Мы будем обозначать события заглавными латинскими буквами и заключать их описание в фигурные скобки, например:

А — {в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье};

В = {свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз};

С = {при бросании кубика выпадет шестерка};

D = {при бросании кубика выпадет четное число очков}.

Все перечисленные выше события А, В, С, D— случайные.

Есть и такие события, которые в данных условиях произойти не могут. Их называют невозможными событиями. Например:

Е = {в следующем году снег в Москве вообще не выпадет};

F = {при бросании кубика выпадет семерка}.

Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным. Например:

G={в следующем году в Москве выпадет снег};

Н—{при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

Невозможные и достоверные события встречаются в жизни сравнительно редко. Поэтому можно сказать, что живем мы в мире случайных событий1.

Чтобы доказать, что данное событие — случайное, нужно привести пример такой ситуации, или, как говорят математики, такого исхода, когда событие происходит, и пример такого исхода, когда оно не происходит. При этом достоверное событие происходит при любом исходе, а невозможное — не происходит ни при каком.

Так, например, событие D — случайное, потому что оно происходит, когда на кубике выпадает четверка, и не происходит, когда на кубике выпадает пятерка.

При бросании кубика может выпасть от одного до шести очков (см. рис. 1.1), поэтому событие Я происходит при любом исходе — оно достоверное, а событие F — невозможное.

Рис. 1.1

Пример 1.1. Бросаем два кубика. Какие из следующих событий невозможные, какие — случайные, а какие — достоверные:

1 В теории вероятностей принято все события называть случайными, а невозможные и достоверные рассматривать как их специальные разновидности.

А = {на кубиках выпало одинаковое число очков};

В = {сумма очков на кубиках не превосходит 12};

С = {сумма очков на кубиках равна 11};

D = {произведение очков на кубиках равно 11}?

Исход любого бросания можно описать двумя числами, выпавшими на кубиках. Например, (3, 1) означает, что на первом кубике выпало число 3, а на втором — число 1.

При исходе (1,1) событие А происходит, а при исходе (1, 2) — не происходит. Значит, событие А случайное.

Событие В происходит при любом исходе: ведь каждое из двух чисел на кубиках не превосходит 6, а значит, их сумма не превосходит 12. Следовательно, событие В достоверное.

Событие С происходит при исходе (5, 6), но не происходит при исходе (2, 2). Значит, оно случайное.

Наконец, для события D нет исхода, при котором оно происходит: число 11 нельзя представить в виде произведения двух целых чисел от 1 до 6. Значит, это событие невозможное.

Пример 1.2. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Какие из следующих событий невозможные, какие — случайные, а какие — достоверные:

А = {все вынутые шары одного цвета};

В = {все вынутые шары разных цветов};

С = {среди вынутых шаров есть шары разных цветов};

D — {среди вынутых есть шары всех трех цветов}?

Событие А — невозможное: нельзя вытащить из коробки четыре шара одного цвета, так как в ней только по три шара каждого цвета.

Событие В — тоже невозможное: шары в коробке трех цветов, а вынимаем мы четыре шара.

Событие С — достоверное: ведь все четыре шара, как мы уже выяснили, не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно есть шары хотя бы двух цветов.

Наконец, событие D — случайное. Закодируем исходы опыта первыми буквами цветов, в которые окрашены вынутые шары. Например: КЖЖЗ означает, что вынули один красный, два желтых и один зеленый шар. КЖЖЗ — это пример исхода, при котором событие D происходит, а ККЖЖ — пример исхода, когда событие D не происходит.

А

1.1. Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие — достоверные, какие — случайные:

А = {футбольный матч «Спартак» — «Динамо» закончится вничью};

В = {вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее};

С — {на день рождения вам подарят говорящего крокодила};

D = {завтра будет контрольная по математике};

Е = {30 февраля будет дождь};

F = {вас изберут президентом США};

G = {вас изберут президентом России}.

1.2. Вы купили в магазине телевизор, на который фирма-производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, какие — случайные, какие — достоверные:

А = {телевизор не сломается в течение года};

В = {телевизор не сломается в течение двух лет};

С = {в течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора};

D = {телевизор сломается на третий год после покупки}?

1.3. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из коробки наугад вынимают два предмета. Какие из следующих событий невозможные, какие — случайные, какие — достоверные:

А = {вынуты две красные ручки};

В = {вынуты две зеленые ручки};

С = {вынуты две синие ручки};

D = {вынуты ручки двух разных цветов};

Е = {вынуты две ручки};

F — {вынуты два карандаша}!

1.4. Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они уже в темноте и разобрали шляпы наугад. Какие из следующих событий невозможные, какие — случайные, какие — достоверные:

А = {каждый надел свою шляпу};

В = {все надели чужие шляпы};

С = {двое надели чужие шляпы, а один — свою};

D = {двое надели свои шляпы, а один — чужую}?

1.5. В игре «Любовь с первого взгляда» участвуют трое юношей и три девушки. Каждый юноша выбирает одну из девушек, а каждая девушка — одного из юношей. Если юноша и девушка выбирают друг друга, то образуется пара. Какие из следующих событий невозможные, какие — случайные, какие — достоверные:

А={не образовалось ни одной пары};

В = {образовалась одна пара};

С = {образовалось две пары};

D = {образовалось три пары}?

1.6. Винни-Пух, Пятачок и все-все-все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве всех-всех-всех событие А = {Винни-Пух и Пятачок будут сидеть рядом} является достоверным, а при каком — случайным?

1.7. В школе учится N учеников. При каких значениях событие А = {в школе есть ученики с совпадающими днями рождения} является случайным, а при каких — достоверным? Выясните, произошло ли это событие в вашей школе. А в вашем классе?

1.8. Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20 выигрышных. Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие А = {вы ничего не выиграете} было невозможным?

1.9. В шкафу 10 пар ботинок с 36-го по 45-й размер — по одной паре каждого размера. Ботинки достают из шкафа наугад. Какое наименьшее количество ботинок надо вынуть из шкафа, чтобы событие А = {из вынутых ботинок можно составить хотя бы одну пару} было достоверным?

1.10. В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек. Какие из следующих событий являются для такого класса невозможными, какие — случайными, какие — достоверными:

А = {в классе есть два человека, родившихся в разные месяцы};

В = {в классе есть два человека, родившихся в одном месяце};

С — {в классе есть два мальчика, родившихся в одном месяце};

D = {в классе есть две девочки, родившиеся в одном месяце};

Е = {все мальчики родились в разные месяцы};

F = {вce девочки родились в разные месяцы};

G = {есть мальчик и девочка, родившиеся в одном месяце};

H = {есть мальчик и девочка, родившиеся в разные месяцы}?

Б

1.11. Автобусу, в котором едут 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий невозможные, какие — случайные, какие — достоверные:

А = {все пассажиры выйдут из автобуса на разных остановках};

В = {все пассажиры выйдут на одной остановке};

С = {на каждой остановке хоть кто-то выйдет};

D = {найдется остановка, на которой никто не выйдет};

Е = {на всех остановках выйдет четное число пассажиров};

F = {на всех остановках выйдет нечетное число пассажиров}?

1.12. На координатной прямой в начале отсчета стоит фишка. После каждого бросания монеты она сдвигается на единицу вправо, если выпал «орел», или на единицу влево, если выпала «решка». Какие из следующих событий невозможные, какие — случайные, какие — достоверные:

А = {после 4-х бросаний фишка находится в точке с координатой 0};

В = {после 3-х бросаний фишка находится в точке с координатой 2};

С = {после 5-ти бросаний фишка находится в точке с координатой 5};

D = {после 50-ти бросаний фишка находится в точке с координатой 25};

Е = {после 50-ти бросаний фишка находится в точке с координатой 26}?

Рис. 1.2

1.13. На тетрадный лист в линейку бросают зубочистку. Расстояние между линейками 1 см. При какой

длине зубочистки событие А = {зубочистка пересекла 10 линий} будет невозможным, при какой — случайным, при какой — достоверным?

1.14*. Около школы останавливаются автобусы трех маршрутов: № 1, № 2 и № 3. Интервал в движении автобусов каждого маршрута колеблется от 8 до 10 минут. Когда Саша, Маша, Гриша и Аня подошли к остановке, от нее отошел автобус № 3, а еще через 6 минут подошел автобус № 1. После этого каждый из ребят высказал свое мнение о том, автобус какого маршрута будет следующим:

Саша: Следующим обязательно будет № 2;

Маша: Возможно, что следующим будет № 2;

Гриша: Возможно, что следующим будет № 3;

Аня: Невозможно, что следующим будет № 1.

С кем из ребят вы согласны, а с кем нет? Объясните сделанный выбор.

1.15*. На дорогу от дома до школы Миша тратит от 10 до 15 минут, если идет пешком, и от 2 до 3 минут, если едет на троллейбусе. При каких интервалах движения троллейбусов событие А = {по пути в школу Мишу обгонит хотя бы один троллейбус} будет невозможным, при каких — случайным, при каких — достоверным?

1.16. а) В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад N шаров. Рассмотрим событие А = {среди вынутых шаров окажутся шары ровно трех цветов}. Для каждого N от 1 до 9 определите, какое это событие — невозможное, достоверное или случайное, и заполните таблицу:

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Событие А

б) В коробке снова 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Рассмотрим событие В = {среди вынутых шаров окажутся шары ровно M цветов}. Для каждо-

го M от 1 до 4 определите, какое это событие — невозможное, достоверное или случайное, и заполните таблицу:

M

1

2

3

4

Событие В

в) Все в той же коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад N шаров. Рассмотрим событие С = {среди N вынутых шаров окажутся шары ровно M разных цветов}. Для каждого N от 1 до 9 и каждого M от 1 до 4 определите, какое это событие — невозможное, достоверное или случайное, и заполните таблицу. Какую строку и какой столбец этой таблицы можно заполнить по результатам двух предыдущих задач?

M \ N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

2. Вероятностная шкала

У кого шансов больше? Что происходит чаще? Вероятностная шкала. Противоположные события. Когда из В следует А ?

Итак, случайные события при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. При этом говорят, что у одних событий шансов произойти больше (значит, они более вероятные — ближе к достоверным), а у других меньше (они менее вероятные — ближе к невозможным).

Понятно, что более вероятные события будут происходить чаще, а менее вероятные — реже. Так что сравнивать вероятности можно и по частоте, с которой события происходят. Правда, для этого нужно собрать данные соответствующих наблюдений, которые называются статистическими.

Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале события, приведенные в предыдущей главе:

А = {в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье};

В = {свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз};

С = {при бросании кубика выпадет шестерка};

D = {при бросании кубика выпадет четное число очков};

Е = {в следующем году снег в Москве вообще не выпадет};

F = {при бросании кубика выпадет семерка};

G = {в следующем году в Москве выпадет снег};

H = {при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7}.

Пусть слева, в начальной точке шкалы, будут располагаться невозможные события, справа, в конечной точке, — достоверные, а между ними — случайные.

При этом чем больше у случайного события шансов произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на вероятностной шкале; чем меньше шансов — тем левее. Если два события, на наш взгляд, имеют равные шансы, будем располагать их в одном и том же месте шкалы друг над другом.

Покажем, что перечисленные выше события располагаются на вероятностной шкале так, как изображено на рисунке 2.1.

Рис. 2.1

Проще всего расположить на шкале невозможные и достоверные события. Как уже говорилось, события Е = {в следующем году снег в Москве вообще не выпадет} и F = {при бросании кубика выпадет семерка} — невозможные. У них нет никаких шансов произойти, поэтому они расположены в левом конце шкалы. Достоверные события G = {в следующем году в Москве выпадет снег} и H = {при бросании кубика выпадет число очков, меньшее 7} обязательно произойдут, поэтому они расположены в правом конце шкалы.

А как располагать на шкале случайные события? Начнем с события D = {при бросании кубика выпадет четное число очков}. Когда мы бросаем кубик, каждая из шести граней имеет равные шансы оказаться верхней. Четное число очков — на трех гранях кубика, на трех других — нечетное. Значит, ровно половина шансов (три из шести} за то, что событие D произойдет, и ровно половина (три из шести} за то, что оно не произойдет. Поэтому мы расположили событие D в середине шкалы.

У события С = {при бросании кубика выпадет шестерка} только один шанс из шести, а у события D — три шанса из шести. Поэтому С менее вероятно и расположено на шкале левее события D.

Событие А = {в следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье} еще менее вероятно, чем С, — ведь в неделе 7 дней и в любой из них с равной вероятностью может выпасть первый снег, поэтому у события А один шанс из семи.

Труднее всего расположить на шкале событие В = = {свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз}. Здесь нельзя точно подсчитать шансы, но можно призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд гораздо чаще падает на пол именно маслом вниз (есть даже «закон бутерброда»}, поэтому событие В гораздо вероятнее, чем D.

Построенная вероятностная шкала не совсем настоящая — на ней нет числовых меток, делений. Ведь вы еще не умеете измерять вероятности случайных событий числами, как это происходит с длинами отрезков или величинами углов. Совсем скоро мы узнаем, как вычислять вероятность, — пока же потренируемся в сравнении шансов и взаимном расположении событий на вероятностной шкале.

Пример 2.1. Вова хочет вытянуть наугад одну карту из колоды с 36-ю картами. Маша, Саша, Гриша и Наташа предсказали следующее:

Маша: Это будет король.

Саша: Это будет пиковая дама.

Гриша: Эта карта будет красной масти.

Наташа: Эта карта будет пиковой масти.

Как сравнить между собой шансы предсказателей?

Обозначим все события, предсказанные ребятами, буквами:

А = {Вова достанет короля};

В = {Вова достанет пиковую даму};

С = {Вова достанет карту красной масти};

D = {Вова достанет карту пиковой масти}.

Подсчитаем теперь, сколько шансов за осуществление каждого из этих событий, или, другими словами, сколько в колоде соответствующих карт. Всего в колоде: королей — 4; пиковая дама — 1; карт красных мастей — 18; пик -9.

Чем больше шансов, тем вероятнее будет соответствующее случайное событие. Их расположение на вероятностной шкале показано на рисунке 2.2. Понятно, что шансы предсказателей будут соотноситься между собой так же, как шансы рассмотренных событий.

Рис. 2.2

Пример 2.2. Что вероятнее: А = {получить шестерку при подбрасывании кубика} или В = {вытянуть шестерку из перетасованной колоды карт}?

Как и в предыдущем примере, подсчитаем шансы за осуществление каждого из этих событий. На кубике одна шестерка; в колоде четыре шестерки. Стало быть, событие В более вероятно? Нет, конечно! Просто мы неверно считали шансы. Ведь когда речь идет о шансах, то говорят не просто «два шанса» или «один шанс», а «два шанса из трех» или «один шанс из тысячи».

В примере 2.1 это не могло привести к ошибке, поскольку там все шансы были «из 36». А вот в этом примере ситуация сложнее:

шестерок на кубике — 1, а всего граней у куба — 6;

шестерок в колоде — 4, а всего карт в колоде — 36.

Ясно, что «1 шанс из 6» лучше, чем «4 шанса из 36», ведь

Таким образом, шансы имеет смысл сравнивать как дроби: в знаменателе — сколько всего возможно исходов, а в числителе — сколько из них за осуществление данного события. Понятно, что если знаменатели одинаковые, то можно сравнивать только числители (что и было сделано в примере 2.1).

Пример 2.3. Попробуем на основе нашего опыта общения по телефону сравнить между собой степень вероятности следующих событий:

А = {вам никто не позвонит с 5 до 6 утра};

В = {вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра};

С = {вам кто-нибудь позвонит с 18 до 21};

D = {вам никто не позвонит с 18 до 21}.

Ранним утром звонки бывают очень редко, поэтому событие А — очень вероятное, почти достоверное, а В — маловероятное, почти невозможное.

Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятнее, чем D. Хотя, если вам вообще звонят редко, D может оказаться вероятнее С.

Пары событий А—В и C—D обладают еще одним интересным свойством: если происходит одно из них, — например событие А, — то не происходит другое — событие Б, и наоборот. Такие события называются противоположными. Из двух противоположных событий одно обязательно произойдет, а одновременно они произойти не могут.

Противоположные события размещаются на вероятностной шкале симметрично друг другу относительно центра шкалы: чем более вероятно одно из них, тем менее вероятно другое (см. рис. 2.3). Событие, противоположное достоверному, будет невозможным, а противоположное невозможному — достоверным.

Рис. 2.3

Сравнивая случайные события в примерах 2.1 и 2.2, мы подсчитывали для каждого из них, сколько шансов за то, что оно осуществится, и сколько против. В примере 2.3 такой подсчет был уже невозможен, и мы проводили сравнение на основе опытных данных о том, как часто данные события происходят (точнее, происходили) в нашей реальной жизни.

Иногда удается установить взаимное расположение событий на вероятностной шкале с помощью элементарной логики. Когда из наступления события В обязательно следует наступление события А, то говорят, что В влечет за собой А. В этой ситуации В является частью А и будет, естественно, менее вероятным, чем А. Такое соотношение между А и В показано на рисунке 2.4:

Рис. 2.4 Рис. 2.5

Пример 2.4. Сравним между собой шансы наступления событий:

А = {новый телевизор не сломается в течение месяца};

В = {новый телевизор не сломается в течение года}.

Всякий раз наступление события В означает, что наступило и событие А. Обратное неверно: телевизор может служить исправно в течение ближайшего месяца, а в следующем — сломаться. Поэтому событие А более вероятно, чем событие В, — и это никак не зависит от марки телевизора!

Для изображенных на рисунке 2.4 событий так и хочется сказать «А больше В», однако к событиям этот тер-

мин стараются не применять. Дело в том, что далеко не всегда одно из двух событий больше или меньше другого (как это бывает с числами). Чтобы понять это, достаточно взглянуть на рисунок 2.5 и рассмотреть следующий пример.

Пример 2.5. Попробуем сравнить шансы наступления событий:

А = {новый телевизор не сломается в течение года};

В = {новый компьютер не сломается в течение года}.

Даже если у вас есть оба этих завоевания цивилизации, определить, какое из двух событий вероятнее, будет очень непросто. Никакая логика здесь уже не поможет: для ответа на вопрос нужны статистические данные, которыми, скорее всего, располагают только компании по производству электроники.

А

2.1. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из нее наугад вынимается один предмет. Определите, какие из событий более вероятные, какие — менее вероятные. Расположите их на вероятностной шкале:

А = {будет вынута красная ручка);

В = {будет вынута зеленая ручка};

С = {будет вынута синяя ручка};

D = {будет вынута ручка};

Е = {будет вынут карандаш}.

2.2. Антон учится в 6 «А» классе, Борис — в 6 «Б», Вадим — в 6 «В». От каждого класса по жребию выбирают одного делегата в школьный хор. Как вы думаете, у кого из друзей больше шансов петь в хоре, если в 6 «А» учится 25 человек, в 6 «Б» — 22 человека, а в 6 «В» — 28 человек?

2.3. Из коробки с синими и черными шарами наугад вынимают один шар. Сравните между собой шансы вынуть синий шар из коробок, изображенных на рисунке 2.6, и расположите на вероятностной шкале соответствующие им случайные события.

Рис. 2.6

2.4. Расположите на вероятностной шкале события:

А = {1 января в Москве пойдет снег};

В = {1 января в Москве пойдет дождь};

С = {1 января в Москве будет северное сияние};

D = {1 января над Москвой взойдет солнце}.

2.5. Когда Витя почувствовал себя нездоровым, мама, как обычно, поставила ему термометр. Расположите на вероятностной шкале следующие события:

А = {Витина температура больше 36,6°};

В = {Витина температура равна 36,6°};

С = {Витина температура меньше 36,6°};

D = {Витина температура больше 20°};

Е = {Витина температура меньше 100°}.

2.6. Придумайте примеры случайных событий А, В, С, Д Е, которые расположились бы на вероятностной шкале так, как на рисунке 2.7.

Рис. 2.7

2.7. Винни-Пух и Пятачок обычно решают, к кому идти в гости, с помощью вертушки, изображенной на рисунке 2.8. Если стрелка остановится на черном поле, то они идут к Винни-Пуху, если на белом — к Пятачку. К кому они ходят чаще? Во сколько раз?

2.8. Вы выигрываете, если стрелка вертушки останавливается на черном. Какая из вертушек, изображенных на рисунке 2.9, дает вам больше шансов на выигрыш?

Рис. 2.8

Рис. 2.9

2.9. Малыш наугад показывает пальцем точку на глобусе. Сравните между собой шансы событий:

а) А = {он попадет в Россию};

В = {он попадет в Тихий океан};

С = {он попадет в Западное полушарие};

б) А = {он попадет в Россию};

В = {он попадет в Сибирь};

С = {он попадет в Восточное полушарие}.

2.10. Бросают кубик. Определите, какие из событий более вероятные, какие — менее вероятные, и расположите их на вероятностной шкале:

А = {выпадет четное число};

В = {выпадет нечетное число};

С = {выпадет тройка};

D = {выпадет шестерка};

Е = {выпадет число, больше 3};

F' = {выпадет число, меньше 10}.

Найдите среди этих событий пару противоположных.

2.11. Представьте, что вы купили карточку лотереи «Спортлото», в которой нужно правильно угадать 6 номеров из 49. Сравните между собой шансы событий.

А = {вы угадаете ровно 3 номера};

В= {вы угадаете хотя бы 3 номера}.

2.12. Из перетасованной колоды карт случайным образом вытягивают одну карту. Изобразите на рисунке, аналогичном рисункам 2.4 и 2.5, как соотносятся друг с другом следующие события:

А = {вытянут черную масть};

В = {вытянут даму};

С= {вытянут пику}.

Покажите на этом рисунке, куда попадают дама пик, дама треф, дама червей, дама бубен.

2.13. Перед футбольным матчем «Спартак» — «Динамо» болельщики обсуждают между собой шансы событий:

А = {будет ничья};

В = {не будет забито ни одного мяча};

С= {«Спартак» не выиграет};

D = {«Спартак» выиграет}.

Изобразите на рисунке, аналогичном рисункам 2.4 и 2.5, как эти события соотносятся друг с другом. Какие из них являются противоположными?

Б

2.14. Определите, какие из следующих событий более вероятные, какие — менее вероятные, и расположите их на вероятностной шкале:

А = {при бросании монеты выпадет «орел»};

В = {при бросании кубика выпадет тройка};

С = {при бросании кубика выпадет шестерка};

D = {из колоды карт вытянут карту красной масти};

Е = {из колоды карт вытянут туза};

F = {из колоды карт вытянут пику};

G = {из колоды карт вытянут красную пику}.

2.15. Саша купил в магазине пачку чая и решил взвесить ее на лабораторных весах (их точность — до 1 миллиграмма). На пачке написан вес — 200 г. Расположите на вероятностной шкале следующие события:

А = {вес панки больше 200 г};

В = {вес панки меньше 200 г};

С = {вес панки ровно 200 г};

D = {вес панки меньше 500 г};

Е = {вес панки больше 100 г}.

2.16. Двое играют в вертушку: если стрелка остановится на черном секторе — выигрывает первый, если на белом — выигрывает второй. Если стрелка остановится на каком-то другом секторе, вертушку вращают еще раз. Назовите вертушку (рис. 2.10), для которой:

а) шансы игроков будут равными;

б) у первого больше шансов выиграть;

в) у второго больше шансов выиграть;

г) игра будет наиболее продолжительной.

Рис. 2.10

2.17. Пусть X— это время, которое вы тратите на путь от дома до школы, a Y— время на путь от школы до дома. Расположите на вероятностной шкале события:

A ={Z<20 минут};

В = {X < 40 минут};

C = {Y>X\; D = {Y<X};

E = {Y = X}.

Учтите, что в этой задаче у каждого может получиться свой ответ!

2.18. Решая предыдущую задачу, ученик получил расположение событий на вероятностной шкале, показанное на рисунке 2.11.

Рис. 2.11

а) Куда ученик обычно добирается быстрее: в школу или из школы?

б) Известно, что в школу можно добраться одним из следующих способов:

— пешком (около часа);

— на автобусе (около 15 минут);

— на метро (около 30 минут).

Каким из этих способов чаще всего пользуется ученик?

2.19. Винни-Пух и Пятачок делят пополам 10 конфет, две из которых с сюрпризом. Расположите на вероятностной шкале следующие события:

А = {Пятачку не досталось сюрпризов};

В = {Пятачок получил два сюрприза};

С = {Пятачок не остался без сюрприза}.

Какие из этих событий являются противоположными?

2.20*. Представьте, что вы купили карточку лотереи, в которой нужно правильно угадать 10 номеров из 20. Расположите на вероятностной шкале события:

А = {вы угадаете все 10 номеров};

В = {вы не угадаете ни одного номера}.

Будут ли эти события противоположными?

2.21*. На двери первого подъезда стоит кодовый замок, в котором нужно правильно нажать три цифры из десяти, а на двери — второго подъезда — семь цифр из десяти. Порядок цифр при этом не учитывается. Верно ли, что подобрать шифр ко второму замку труднее?

2.22. В лифт, который может останавливаться на каждом из 10 этажей, вошли 10 человек. Изобразите на рисунке, как соотносятся друг с другом следующие события:

А = {все выйдут на 6-м этаже};

В = {найдется этаж, где никто не выйдет};

С = {на 3-м этаже никто не выйдет}.

2.23. В финальный забег олимпийского турнира вышел российский спортсмен. Можно ли представить рисунком 2.12 соотношение следующих событий:

А={в забеге будет установлен рекорд России};

В = {в забеге будет установлен олимпийский рекорд};

С = {в забеге будет установлен мировой рекорд}?

2.24. Одновременно бросают два кубика. Разбейте следующие события на две группы так, чтобы внутри каждой группы оказались равновероятные события:

Рис. 2.12

А = {сумма выпавших очков будет равна 2};

В = {выпадет хотя бы одна единица};

С = {сумма выпавших очков будет равна 12};

D = {выпадет хотя бы одна шестерка};

Е = {выпадут две шестерки}.

2.25. В последней четверти отличник имел по русскому языку 5, а троечник — 3. Они пишут очередной диктант. Рассмотрим следующие события:

А = {отличник сделает хотя бы одну ошибку};

В = {троечник не сделает ни одной ошибки};

С = {никто в классе не получит пятерку};

D = {отличник и троечник не сделают ошибок}.

Какие пары этих событий можно подставить вместо многоточий в утверждение: «Событие ... более вероятно, чем событие...»?

2.26*. Одновременно подбросили 10 монет. Пусть N— количество монет, на которых выпал «орел». Какое из следующих событий самое вероятное и почему:

A={N = 0};

В = {N=10};

С = {N = 5};

D = {N>0}?

2.27. В Машином классе 10 мальчиков и 10 девочек. Изобразите на рисунке, как соотносятся друг с другом следующие события:

А = {все девочки родились в одном месяце};

В = {есть две девочки, родившиеся в одном месяце};

С = {одна из Машиных подруг родилась с ней в одном месяце};

D = {есть два человека, родившихся в одном месяце}.

Можно ли придумать событие, которое «больше» события D? Почему?

3. Таблицы и диаграммы

Статистические данные. Таблицы: строки и столбцы, итоговые строки и столбцы. Диаграммы: линейные, столбчатые, круговые

Сравнивая шансы случайных событий, мы уже говорили об использовании статистических данных. Так называют данные (чаще всего — числовые), полученные в результате различных наблюдений, опросов, экспериментов. В дальнейшем мы будем довольно часто иметь с ними дело: иногда они будут приводиться в готовом виде, иногда придется собирать их самостоятельно.

Статистических данных всегда нужно много. Чтобы не «утонуть» в этом море цифр, их представляют в удобном для человека виде. Здесь мы познакомимся с двумя формами такого представления: таблицами и диаграммами.

С таблицами вы сталкивались неоднократно: расписание уроков, расписание движения поездов, таблица умножения, таблица первенства России по футболу, программа телепередач и т. д. В самом простом случае таблица делится на строки и столбцы (иногда их называют колонками). Чаще всего каждый столбец имеет название, которое указывается в первой строке таблицы.

Пример 3.1. Перед вами страница из книги регистрации новорожденных детей в поселке Новые Васюки:

Таблица 3.1

Дата рождения

Имя ребенка

Пол ребенка

03.03.2003

Татьяна

жен

03.03.2003

Сергей

муж

04.03.2003

Ольга

жен

06.03.2003

Василий

муж

06.03.2003

Евгений

муж

07.03.2003

Василий

муж

07.03.2003

Николай

муж

07.03.2003

Наталья

жен

08.03.2003

Татьяна

жен

09.03.2003

Василий

муж

Используя такую таблицу, вы без труда ответите на любой из следующих вопросов (ответьте!):

1. Какое имя за этот период было в поселке самым популярным?

2. Сколько всего разных имен было использовано?

3. В какой день родилось больше всего детей?

4. Какой процент составляют среди новорожденных мальчики?

5. В какой день недели родилось больше всего детей?

Заметим, правда, что для ответа на последний вопрос придется привлечь еще одну таблицу — календарь на 2003 год.

А теперь представим, что на те же вопросы вам нужно ответить по статистическим данным за целый год. Тогда понадобится проанализировать около 50 (подумайте, почему?) таких страниц, а это будет уже не так просто

сделать. Попробуем построить по исходной таблице три других:

Таблица 3.2

Число

Количество новорожденных

03.03.2003

2

04.03.2003

1

05.03.2003

0

06.03.2003

2

07.03.2003

3

08.03.2003

1

09.03.2003

1

Таблица 3.3

Имя

Количество новорожденных

Татьяна

2

Сергей

1

Ольга

1

Василий

3

Евгений

1

Николай

1

Наталья

1

Таблица 3.4

Пол

Количество новорожденных

Мужской

6

Женский

4

Таблица 3.51

День недели

Количество новорожденных

понедельник

2

вторник

1

среда

0

четверг

2

пятница

3

суббота

1

воскресенье

1

1 Заметим, что таблицы 3.2 и 3.5 выглядят почти одинаково до тех пор, пока мы находимся в пределах одной недели.

Согласитесь, что отвечать на вопрос № 1 о том, какое имя было самым популярным, гораздо легче по таблице 3.3, а на третий вопрос — по таблице 3.2. То же самое касается и остальных вопросов (укажите для них соответствующие таблицы). И хотя таблица 3.1 содержит гораздо больше информации, чем любая из таблиц 3.2—3.5, эта информация не всегда оказывается полезной.

Таблицы 3.2—3.5 нетрудно составить и для статистических данных за целый год — нужно только правильно организовать подсчет. Покажем, как это сделать, на примере таблицы 3.3. Каждый раз при появлении в книге регистрации нового имени оно заносится в первую колонку таблицы 3.3, а во вторую ставится одна палочка — «/». Если имя уже встречалось ранее, то напротив него во вторую колонку таблицы добавляется еще одна палочка. Когда таких палочек набирается пять, то вместо того, чтобы ставить пятую, зачеркивают последние четыре — «НИ». Это делается для удобства подсчета в самом конце, чтобы от палочек «не рябило в глазах». Вот как может, например, выглядеть часть такой таблицы:

Таблица 3.6

Имя

Подсчет повторений

Количество новорожденных

Татьяна

m Hif ни m

18

Сергей

mi

6

Ольга

m

3

Василий

mmmmiiu

24

Евгений

(III ЦП tttt tttt

10

Николай

m ни-и

12

Наталья

mmmiu

18

Как видите, правильная организация труда и удобный способ представления играют в статистических исследованиях далеко не последнюю роль.

Пример 3.2. Очень часто к обычным строкам и столбцам в таблицах добавляются так называемые итоговые строки или столбцы. Они отмечаются словами ВСЕГО или ИТОГО и содержат суммарные значения соответствующих ячеек таблицы. Вот пример таблицы, учитывающей расходы (в рублях) семьи Кузнецовых на коммунальные услуги за первую половину года.

Таблица 3.7

Месяц

Квартплата

Газ

Свет

Телефон

ВСЕГО

январь

320

88

122

98

628

февраль

426

88

118

128

760

март

426

92

110

204

832

апрель

426

92

98

120

736

май

530

92

92

166

880

июнь

530

92

96

124

842

Итого

2658

544

636

840

4678

Заметьте, что итоговую сумму 4678 рублей (стоимость всех коммунальных услуг за полгода) можно, с одной стороны, получить как сумму всех чисел в последнем столбце, а с другой — как сумму всех чисел в последней строке таблицы. Это свойство часто используют для проверки: если полученные двумя разными способами суммы не совпадают, то нужно искать ошибку!

Пример 3.3. В особую (и очень популярную) группу можно выделить таблицы спортивных состязаний. Вот так, например, выглядит итоговая таблица отборочных матчей в первой группе чемпионата мира по футболу 1998 года во Франции:

Таблица 3.8

Страна

И

в

H

п

О

M

Бразилия

3

2

0

1

6

1

Норвегия

3

1

2

0

5

2

Марокко

3

1

1

1

4

3

Шотландия

3

0

1

2

1

4

Непосвященному человеку довольно трудно в ней разобраться. Но если разъяснить хотя бы сокращения, использованные в заголовках столбцов (И — игры, В — выигрыши, H — ничьи, П — проигрыши, О — очки, M — место), то многое становится ясным. В частности, нетрудно понять, что за победу каждая команда получала три очка, за ничью — 1, за поражение — 0.

Как видите, различные таблицы позволяют представить статистическую информацию в более удобной для восприятия форме. Еще более удобным для человека способом представления является графический. Давайте внимательно посмотрим на рисунки, построенные по таблицам 3.2—3.4.

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Эти рисунки называют диаграммами. Такие диаграммы, как на рисунке 3.1, называют линейными. Они часто используются, чтобы показать изменение какой-либо величины с течением времени: на горизонтальной прямой через равные промежутки отмечают даты (или моменты времени), а по вертикали — значения изучаемой величины (количество новорожденных детей за каждую дату). Потом соединяют полученные точки ломаной.

Диаграмма 3.2 называется столбчатой. По горизонтали записывают различные значения какого-либо признака (в нашем случае — имени), и над каждым значением ри-

суют столбик, высота которого равна значению интересующей нас величины (количеству новорожденных с данным именем).

Диаграмма 3.3 (пожалуй, самая красивая и наглядная) — круговая. Французы называют ее «камамбером», поскольку она напоминает головку знаменитого французского сыра, разрезанную на дольки. Каждая из долек соответствует одному из значений изучаемого признака (пола ребенка), а ее размер пропорционален интересующей вас величине (количеству новорожденных данного пола).

Как правило, различные виды диаграмм взаимозаменяемы, и одни и те же статистические данные можно представить на различных диаграммах.

Рис. 3.4

Рис. 3.5

А

3.1. В журнале наблюдений регистрировались наблюдения за погодой в течение трех летних месяцев (О — ясно, <► — облачно, Ш — дождь):

Окончание табл.

а) заполните по этим данным сводную таблицу, содержащую данные о том, сколько каких дней было в каждом из трех летних месяцев и за все лето:

Месяц

Ясно

Облачно

Дождь

ВСЕГО

июнь

июль

август

ИТОГО

б) постройте по полученным данным столбчатую диаграмму, показывающую количество ясных дней в каждом месяце;

в) постройте по полученным данным круговую диаграмму, показывающую соотношение ясных, облачных и дождливых дней за весь летний период.

3.2. Редакция заключила на шесть месяцев договор с несколькими разносчиками газет.

Результаты их работы представлены в таблице.

Фамилия

январь

февраль

март

апрель

май

июнь

ВСЕГО

Галкин

1204

1265

2203

2347

1470

1220

Чалкин

1346

1134

2245

2341

1564

1122

9752

Малкин

890

998

1678

1456

1234

990

Палкин

1322

543

1789

1245

1322

1229

7450

Рвалкин

1786

1453

2433

2674

1890

1680

Глоталкин

1123

1256

1988

2200

1560

1263

9390

ИТОГО

7671

12336

9040

а) Заполните недостающие ячейки таблицы и ответьте на вопросы:

1. Сколько газет продал в феврале Палкин?

2. Сколько всего газет продал за полгода Галкин?

3. Сколько всего газет продали за июнь все разносчики?

4. Какой месяц был для редакции самым успешным?

5. Сколько всего газет было продано разносчиками за полгода? Посчитайте результат двумя способами.

б) Постройте столбчатую диаграмму, показывающую общее количество проданных газет по месяцам.

в) Постройте круговую диаграмму, показывающую долю каждого разносчика в общем количестве проданных газет.

3.3. В 6 «Б» классе был проведен опрос с целью определения лучшего отечественного мультфильма. На столбчатой диаграмме показано, как распределились между мультфильмами голоса мальчиков и голоса девочек.

Рис. 3.6

Глядя на диаграмму, ответьте на следующие вопросы:

а) какой мультфильм оказался победителем по мнению девочек;

б) какой мультфильм оказался победителем по мнению мальчиков;

в) какому мультфильму по результатам этого опроса следует присудить абсолютную пальму первенства;

г) сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в опросе?

3.4. На круговой диаграмме показано распределение земной суши, составляющей около 150 млн кв. км, между семью частями света.

Глядя на диаграмму, ответьте на следующие вопросы:

а) какая часть света самая большая по площади;

б) какова приблизительно площадь Африки;

в) какова приблизительно площадь материка Евразия;

г) нарисуйте круговую диаграмму, показывающую распределение земной суши между материками. Какую ин-

Рис. 3.7

формацию вам придется для этого отыскать дополнительно?

3.5. Проведите в своем классе социологический опрос, исследующий количество детей в семьях. Результаты опроса отразите в виде таблицы и столбчатой диаграммы. Семьи с каким количеством детей встречаются чаще всего? Как вы оцениваете такую ситуацию?

3.6. Составьте таблицу расходов на коммунальные услуги, аналогичную примеру 3.2, для вашей семьи за последние несколько месяцев.

а) Постройте по ней столбчатую диаграмму, показывающую стоимость каждой услуги за последний месяц.

б) Постройте линейную диаграмму, показывающую изменение суммарных расходов на коммунальные услуги за последние несколько месяцев. Попробуйте приблизительно оценить расходы на коммунальные услуги в следующем месяце.

3.7. Начертите в своей тетради таблицу, в первом столбце которой запишите три буквы алфавита — а, ж, ы:

Буква

Подсчет повторений

Количество букв

а

ж

ы

Возьмите какую-нибудь книгу (например, эту) и откройте ее на любой странице, заполненной текстом. Подсчитайте количество повторений каждой из трех указанных выше букв на этой странице и заполните таблицу.

Используя полученные данные, ответьте на вопросы:

а) какая из этих трех букв встречалась чаще, а какая реже;

б) сравните свой результат с результатами своих товарищей;

в) как вы думаете, какая из букв алфавита встречается в русском языке чаще всего, а какая реже? Проверьте свои предположения по диаграмме, приведенной в конце главы 5.

Б

3.8. Перед вами страница из классного журнала 6 «А» по географии:

п/п

Фамилия

Имя

январь

Февраль

март

13

20

27

03

10

17

24

02

09

16

23

30

1

Борисова Саша

5

3

4

4

2

Воронцова Марина

4

5

4

5

3

Евграшин Иван

5

4

4

4

Егорова Наташа

4

4

3

4

5

Закруткин Роман

3

3

3

3

6

Звягинцева Аня

4

4

2

4

7

Иванов Алексей

3

3

3

Окончание табл.

п/п

Фамилия Имя

январь

Февраль

март

13

20

27

03

10

17

24

02

09

16

23

30

8

Кузнецов Денис

4

5

5

5

9

Максимова Вера

4

5

5

5

5

10

Никифоров Дима

3

4

2

4

4

11

Николаев Женя

4

3

5

4

5

12

Пущин Иван

3

2

3

3

13

Савина Лена

4

5

4

4

14

Ткаченко Наташа

4

5

3

2

5

15

Хромова Таня

5

4

4

5

16

Шалашников Андрей

3

3

3

4

Ответьте на следующие вопросы:

а) кто лучше всех в этом классе знает географию;

б) в какие дни в классе проводилась контрольная работа;

в) что получит за четверть Егорова Наташа;

г) в какой день у учителя географии было самое плохое настроение;

д) попробуйте выставить четвертные оценки всем ученикам 6 «А». В каких случаях выставление оценки вызвало затруднение? Чем вы решили при этом руководствоваться?

3.9. Перед вами таблица с результатами футбольных матчей группового турнира по футболу на чемпионате мира 1990 года в Италии (2-я отборочная группа):

№ п/п

Страна

1

2

3

4

1

Аргентина

0:1

1:1

2:0

2

Камерун

1:0

2:1

0:4

3

Румыния

1:1

1:2

2:0

4

СССР

0:2

4:0

0:2

а) Как распределились места в этой группе?

б) Какие команды вышли из этой группы в следующий круг соревнований, если для этого нужно было набрать не менее трех очков?

Указание: на этом чемпионате за победу начислялось 2 очка, за ничью — 1, за поражение — 0.

3.10. В таблице показаны результаты решения задач (в баллах) на городской олимпиаде по математике:

№ п/п

Участник

№ задача

1

2

3

4

5

6

1

Васильева Галя

4

6

6

5

2

Галкина Лена

4

2

8

8

3

Горлов Денис

5

6

6

8

4

Дунаева Ольга

3

2

3

5

5

Зиновьев Сергей

4

6

2

5

6

Иванцов Павел

2

5

3

7

Костюхин Тимур

4

2

10

8

Кудрявцев Андрей

2

3

6

9

Кузьмин Виктор

5

6

1

4

10

Носков Алексей

4

8

11

Орлов Дима

2

4

8

12

Портенко Николай

6

6

1

13

Сафаров Ринат

3

3

10

7

14

Якушева Ольга

6

1

6

Используя эту таблицу, ответьте на вопросы.

а) Кто получил дипломы первой, второй и третьей степени?

б) Сколько баллов «стоила» каждая задача, если известно, что каждую задачу решил абсолютно верно хотя бы один из участников?

в) Какая задача оказалась для школьников самой сложной? Как вы это определили?

г)* Подумайте, как можно с помощью столбчатой диаграммы показать «общую степень решенности» каждой из предлагавшихся задач.

3.11. Проведите среди своих знакомых опрос общественного мнения на тему: «Какая телепередача, на ваш взгляд, самая интересная». При опросе регистрируйте возраст опрашиваемого человека. Придумайте наиболее наглядный графический способ представления полученных данных.

3.12*. При открытии в школе специализированного математического класса на 20 мест поступило 36 заявлений, поэтому решено было провести вступительное тестирование, по которому и будут отобраны 20 лучших. В таблице приведены результаты такого тестирования (фамилии учеников зашифрованы):

Шрифт

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

Баллы

12

15

12

13

14

12

16

13

11

5

8

12

Шрифт

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Баллы

13

12

13

11

10

15

15

16

7

12

13

13

Шрифт

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

Баллы

10

16

12

7

9

14

13

11

12

16

9

10

Чему равен проходной балл? Как вы думаете, что такое «полупроходной» балл? Чему он равен в данной ситуации?

3.13*. В таблице приведены данные о количестве междугородних звонков, поступавших на АТС (автоматическую телефонную станцию) каждый час в течение последних суток:

Время суток

сО до 1

с 1 до 2

с2 до 3

сЗ до 4

с4 до 5

с5 до 6

Количество звонков

132

108

76

28

12

34

Время суток

сб до 7

с7 до 8

с8 до 9

с9 до 10

с 10 до 11

с 11 до 12

Количество звонков

98

116

408

414

426

408

Время суток

с12 до 13

с13 до 14

с 14 до 15

с 15 до 16

с 16 до 17

с17 до 18

Количество звонков

408

170

172

396

380

362

Время суток

с 18 до 19

с19 до 20

с 20 до 21

с21 до 22

с 22 до 23

с 23 до 24

Количество звонков

182

168

156

174

176

120

Постройте по этим данным линейную диаграмму. Как вы думаете, почему на АТС устанавливают разную оплату за 1 мин разговора в зависимости от времени суток? В какие интервалы самая «дорогая» минута разговора? Самая «дешевая»? Считая, что «средняя» минута стоит 5 рублей, предложите возможные тарифы на каждый час и постройте соответствующую таблицу. Сравните их с системой тарифов на вашей АТС.

4. Случайные эксперименты и частота событий

Случайный эксперимент. Абсолютная частота события. Относительная частота события. Диаграмма частот

В этой и следующей главе нам пригодятся навыки, полученные в работе с таблицами и диаграммами. На основе собранных статистических данных мы научимся вычислять частоту случайного события и выясним, как она связана с вероятностью.

Вы уже знаете, что теория вероятностей имеет дело с экспериментами, исходы которых непредсказуемы: они зависят от случая. С такими экспериментами мы неоднократно сталкивались — это подбрасывание монеты и кубика, раскручивание рулетки, падение бутерброда на пол и т. д. Для всех этих экспериментов характерно еще и то, что их можно многократно повторять (хотя бы мысленно) в одних и тех же условиях. Иногда эксперименты повторяет за нас кто-то другой или сама природа, а нам остается только наблюдать за их исходами. Например, узнавать итоги еженедельной лотереи, регистрировать уровень весеннего разлива рек и т. д.

Именно эти два условия — непредсказуемость и возможность многократного повторения — мы будем подразумевать на протяжении всей книги, когда будем говорить об эксперименте со случайными исходами или, короче, о случайном эксперименте.

Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, связанное с экспериментом, нужно подсчитать, как часто оно происходит. Для этого используют

две важные величины — абсолютную и относительную частоту.

Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие. Абсолютная частота всегда выражается целым числом.

Относительная частота (которую иногда называют просто частотой) показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события. Относительную частоту можно найти, поделив абсолютную частоту на число проведенных экспериментов. Понятно, что относительная частота выражается числом от 0 до 1. Иногда относительную частоту измеряют в процентах.

Если в серии из N экспериментов интересующее нас событие произошло п раз, то его абсолютная частота равна п, а относительная — -.

Пример 4.1. Проведем 50 экспериментов по подбрасыванию кубика. Исходы экспериментов будем заносить в таблицу. После чего вычислим абсолютную и относительную частоту каждого исхода.

В первом столбце таблицы перечислены все возможные исходы. Во втором столбце производилась регистрация исходов, а в третьем и четвертом — подсчет частот.

Исходы

Подсчет повторений

Абсолютная частота

Относительная частота

1

тип

9

0,18

2

mi

6

0,12

3

mm

8

0,16

4

mm/

11

0,22

5

mim

9

0,18

6

mu

7

0,14

ИТОГО

50

1

Полученная таблица, как и многие другие в этом параграфе, обладает некоторыми замечательными свойствами, которые сохраняются независимо от результатов проведенных экспериментов:

— сумма абсолютных частот в ней равна числу экспериментов (в нашем случае — 50);

— сумма относительных частот равна 1.

Проверка этих свойств поможет вам избежать ошибок при заполнении аналогичных таблиц.

Удобным графическим способом представления абсолютных и относительных частот служат столбчатые диаграммы, на которых каждая из частот изображается в виде столбика соответствующей высоты. Такие диаграммы называют диаграммами частот. Диаграмма относительных частот для рассмотренного примера построена на рисунке 4.1.

Рис. 4.1

По таблице и диаграмме хорошо видно, что четверка выпадала в наших экспериментах чаще остальных исходов, а двойка реже. Но можно ли на этом основании сказать, что исход «4» более вероятен, чем исход «2»? На этот вопрос мы сможем ответить позже, когда поближе познакомимся с поведением частот.

Пример 4.2. По результатам экспериментов примера 4.1 найдем абсолютную и относительную частоты случайных событий:

А - {на кубике выпало четное число очков};

В = {на кубике выпало нечетное число очков};

С = {на кубике выпало число очков больше трех}.

Заметим, что теперь речь идет о частоте событий, а не исходов. Одно интересующее нас событие может наступать при наступлении различных исходов. Например, при бросании кубика четное число очков соответствует трем из шести возможных исходов: может выпасть 2, 4 или 6 очков. Подробнее об исходах и событиях мы поговорим в главе 7.

Абсолютную частоту события А получим как сумму абсолютных частот исходов 2, 4, 6:

6+11 + 7 = 24.

Относительную частоту события А можно получить сложением относительных частот исходов 2, 4, 6:

0,12 + 0,22 + 0,14 = 0,48,

а можно делением абсолютной частоты А на количество экспериментов:

Аналогично получим частоты событий В и С.

События

Абсолютная частота

Относительная частота

А

24

0,48

В

26

0,52

С

27

0,54

В этой таблице сумма абсолютных частот уже не равна числу экспериментов, а сумма относительных частот больше 1. Что это — ошибка? Нет, просто на этот раз

мы вычисляли частоту не взаимоисключающих исходов, а произвольных случайных событий. Некоторые из них могли происходить одновременно (например, А и С) — поэтому и сумма их абсолютных частот больше 50.

В некоторых задачах этой и следующей главы требуется провести несколько сотен случайных экспериментов, а для этого нужно много времени. Его можно сэкономить, если договориться, что каждый из вас проведет свою небольшую серию опытов, а после этого объединить все полученные данные.

Например, чтобы посчитать частоту выпадения «орлов» при проведении двухсот опытов, можно каждому из 20 учеников бросить монету всего 10 раз, а затем сложить полученные абсолютные частоты.

А

4.1. Учениками 7 «А» класса была проведена серия испытаний по подбрасыванию кубика. Полученные результаты представлены в таблице. Найдите относительную частоту каждого исхода.

Исходы

Абсолютная частота

1

26

2

25

3

19

4

27

5

25

6

28

4.2. Ученики 7 «Б» класса провели серию из 300 экспериментов по подбрасыванию кубика. Полученные результаты представлены в таблице. Найдите абсолютную частоту каждого исхода.

Исходы

Относительная частота

1

0,1533

2

0,1933

3

0,16

4

0,1533

5

0,1467

6

0,1933

4.3. В начале XX в. английский математик Карл Пирсон провел серию экспериментов по подбрасыванию монеты, в результате чего получил следующую таблицу.

Исходы

Абсолютная частота

«Орел»

12012

«Решка»

11 988

а) Сколько случайных опытов провел Пирсон?

б) Какова относительная частота выпадения «орлов» в его опытах?

в) Какова относительная частота выпадения «решек»?

4.4. Узнав о результатах эксперимента Пирсона по подбрасыванию монеты (см. предыдущую задачу), Олег провел свою серию экспериментов и получил следующие результаты.

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

«Орел»

141

«Решка»

0,53

В этой таблице он не стал заполнять все клетки, посчитав это излишним. Прав ли Олег? Если да, восстановите недостающие значения.

4.5. Найдите относительную частоту появления каждой из 33 букв русского алфавита на этой странице (все другие

символы не учитывайте). Нарисуйте диаграмму частот. По полученным данным найдите частоты событий:

А = {буква является гласной};

В = {буква является согласной}.

Как вы думаете, на какую особенность языка указывает соотношение этих частот?

4.6. Найдите относительную частоту появления слов различной длины на этой странице. По полученным данным нарисуйте диаграмму частот и найдите частоты событий:

А = {длина слова = 2};

В = {длина слова > 2};

С = {длина слова > 2}.

Какая длина слова имеет наибольшую частоту? Можно ли утверждать то же самое о всей книге?

4.7. Проведите 100 испытаний по подбрасыванию двух одинаковых монет и заполните таблицу. Чем вы объясните, что последний исход повторяется чаще других?

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

Обе монеты выпали на «орла»

Обе монеты выпали на «решку»

Одна на «орла», другая на «решку»

4.8. Перед вами таблица абсолютных частот всех возможных исходов, полученная после проведения 100 экспериментов по подбрасыванию двух кубиков.

2-й кубик \ 1-й кубик

1

2

3

4

5

6

1

6

2

6

4

1

0

2

6

2

3

6

3

3

3

4

2

1

3

4

0

4

2

3

3

2

5

0

5

1

0

7

2

0

1

6

2

2

2

7

3

2

С помощью этой таблицы найдите относительные частоты следующих событий:

А = {на кубиках выпало одинаковое число очков};

В = {сумма очков на кубиках равна 11};

С = {произведение очков на кубиках равно 11};

D = {на 1-м кубике выпало больше, чем на 2-м};

Е = {на 2-м кубике выпало больше, чем на 1~м}.

Придумайте еще три случайных события, связанных с этим экспериментом, и найдите их частоты.

4.9. В урне 3 красных, 3 желтых и 3 зеленых шара. Из нее 150 раз подряд извлекались и возвращались обратно три шара. По результатам испытаний была заполнена таблица. Объясните, как закодированы в этой таблице исходы данного эксперимента.

С помощью этой таблицы найдите относительные частоты следующих событий:

Исходы

Абсолютная частота

Зк

3

Зж

5

Зз

2

2к1ж

16

2к1з

14

2ж1к

27

2ж1з

23

2з1к

15

2з1ж

13

1к1ж1з

32

А = {все вынутые шары одного цвета};

В = {все вынутые шары разного цвета};

С = {среди вынутых шаров нет красных};

D = {среди вынутых шаров есть красные}.

Придумайте какое-нибудь случайное событие, связанное с проведенным экспериментом, относительная частота которого больше 0,5.

Б

4.10. Дано распределение дней рождения жителей города Юрьевска по месяцам и дням недели.

Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Сб

Вс

Январь

21

37

32

28

36

20

14

Февраль

22

23

23

31

30

30

27

Март

25

30

34

25

28

18

27

Апрель

18

28

21

25

26

26

32

Май

27

30

25

26

27

28

25

Июнь

22

19

30

31

29

30

26

Июль

28

27

16

25

31

22

33

Август

28

28

30

22

25

22

20

Сентябрь

22

25

31

32

30

22

28

Октябрь

28

21

25

31

30

25

28

Ноябрь

28

24

22

21

30

26

25

Декабрь

27

29

21

20

28

27

25

Найдите относительные частоты событий:

А = {юрьевец родился в майское воскресенье};

В = {юрьевец родился в зимний четверг};

С = {юрьевец родился в понедельник};

D = {юрьевец родился весной}.

4.11. По таблице из задачи 4.8, полученной при 100-кратном бросании двух кубиков, заполните таблицу абсолютных и относительных частот для всех возможных значений суммы выпадавших очков.

Нарисуйте диаграмму относительных частот. Какие значения суммы выпадали наиболее часто? Какие наименее часто? Как это можно объяснить?

4.12. Проведите 100 испытаний по подбрасыванию трех кубиков. После каждого опыта найдите сумму двух наименьших из выпавших значений и результаты занесите в таблицу.

Сумма двух наименьших

Абсолютная частота

Относительная частота

2

3

...

11

12

Нарисуйте диаграмму относительных частот. Сравните ее с диаграммой, полученной в задаче 4.11. В чем их различие?

4.13. Для проведения случайного эксперимента возьмите тетрадный лист в линейку и зубочистку. Подбросьте зубочистку так, чтобы она упала на лист, и подсчитайте, сколько линеек она пересекла.

а) Какое наименьшее и какое наибольшее количество линеек может пересечь зубочистка? Для ответа на этот вопрос измерьте расстояние между линейками и длину зубочистки.

б) Повторите этот эксперимент 100 раз. Результаты занесите в таблицу.

Количество линеек

Абсолютная частота

Относительная частота

0

1

2

в) Найдите относительную частоту события:

А - {зубочистка пересекла хотя бы одну линейку}.

г) Нарисуйте диаграмму относительных частот. Какое количество линеек чаще всего пересекает зубочистка?

4.14*. Ученики получили задание выяснить, кто чаще страдает близорукостью — мужчины или женщины. Каждый из них, опросив какое-то количество мужчин и какое-то количество женщин, выяснил, что относительная частота близоруких среди мужчин больше, чем среди женщин. Следует ли отсюда, что во всей совокупности опрошенных близорукие мужчины встречались чаще, чем близорукие женщины?

4.15*. Частота пробелов в некотором тексте равна 0,12 (пробел — это пропуск между словами). Какова средняя длина слова в этом тексте?

5. Статистическое определение вероятности

Приближение частоты к вероятности

В предыдущей главе мы находили абсолютные и относительные частоты после завершения всей серии случайных экспериментов. Выясним, что происходит с частотами в ходе такой серии. Для этого будем вычислять частоты после проведения каждой «порции» испытаний. Чем больше экспериментов удастся при этом провести, тем точнее будут наши результаты.

Пример 5.1. Была продолжена серия опытов с кубиком, начатая в примере 4.1, но на этот раз относительная частота исходов вычислялась после каждой очередной сотни экспериментов. В результате была получена следующая таблица.

Количество испытаний

Частота исходов

1

2

3

4

5

6

50

0,18

0,12

0,16

0,22

0,18

0,14

100

0,16

0,16

0,2

0,15

0,19

0,14

200

0,16

0,135

0,185

0,16

0,18

0,18

300

0,167

0,160

0,163

0,153

0,183

0,173

400

0,168

0,153

0,175

0,163

0,185

0,158

500

0,164

0,146

0,182

0,160

0,186

0,162

600

0,152

0,157

0,183

0,153

0,188

0,167

700

0,153

0,164

0,180

0,151

0,186

0,166

800

0,159

0,164

0,181

0,155

0,180

0,161

900

0,156

0,164

0,183

0,166

0,171

0,160

1000

0,158

0,170

0,182

0,165

0,168

0,157

Чтобы понять, что происходило при этом с относительными частотами шести исходов, посмотрим на рисунок 5.1, где изображены их гистограммы после 50, 100, 500 и 1000 опытов. На них хорошо видно, что все шесть частот вначале испытывают значительные колебания, а потом стабилизируются около значений 0,15—0,18.

Рис. 5.1

То же самое можно увидеть, нарисовав график зависимости какой-нибудь из частот от числа экспериментов. На рисунке 5.2 такой график нарисован для частоты выпадения единиц.

Рис. 5.2

Устойчивость частот является скорее не математическим, а экспериментальным фактом. На нем основывается частотное, или статистическое, определение вероятности: за вероятность случайного события можно приближенно принять его относительную частоту, полученную в длинной серии экспериментов. Чем больше число проведенных экспериментов, тем точнее можно оценить вероятность события по его частоте.

Конечно, это определение вероятности не совсем «настоящее»: ведь, какой бы длинной ни была наша серия экспериментов, частота все равно будет колебаться. Например, в рассмотренной выше серии из 1000 экспериментов частота продолжает колебаться между 0,15 и 0,18. Нет также полной уверенности, что в дальнейшем частота не выскочит из этого интервала.

В дальнейшем мы научимся во многих ситуациях точно вычислять вероятность и узнаем, что в рассмотренном примере она равна \ « 0,167. Однако и в дальнейшем мы будем возвращаться к данному выше статистическому оп-

ределению вероятности, как самому универсальному и очень полезному для практического применения.

Пример 5.2. По результатам примера 5.1 проследим, как изменяются частоты следующих событий, и оценим их вероятности:

А = {на кубике выпало четное число очков};

В = {на кубике выпало нечетное число очков}.

Чтобы найти относительную частоту события А, нужно сложить частоты исходов 2, 4 и 6, а для события В — исходов 1, 3 и 5.

Количество испытаний

Частота событий

А

В

50

0,48

0,52

100

0,45

0,55

200

0,475

0,525

300

0,487

0,513

400

0,473

0,528

500

0,468

0,532

600

0,477

0,523

700

0,481

0,519

800

0,48

0,52

900

0,49

0,51

1000

0,492

0,508

Поведение этих частот при увеличении числа испытаний изображено на рисунке 5.3.

Полученные после 1000 опытов значения 0,492 и 0,508 можно взять в качестве приближенных вероятностей событий А и В (как вы уже, наверное, догадались, точные

значения этих вероятностей — 0,5 и 0,5, но об этом только в следующей главе).

Рис. 5.3

При малом количестве опытов полученная частота дает очень искаженное, а иногда и просто ошибочное представление о вероятности.

Пример 5.3. После десяти бросаний двух кубиков сумма 12 не была получена ни разу. Можно ли утверждать, что вероятность этого события равна нулю?

Конечно, нет. Слишком мало было сделано испытаний. Даже возможных значений суммы больше — их 11 (от 2 до 12), поэтому какое-то из них заведомо еще не выпадало.

Еще раз напомним, что относительная частота любого случайного события вычисляется как дробь - , где N — общее число проведенных экспериментов, п — число экспериментов, в которых данное событие произошло.

Из этой формулы легко получить несколько интересных свойств относительной частоты, которыми, очевид-

но, должна обладать и вероятность (как предельное значение частоты):

— для невозможного события /7 = 0, поэтому его частота всегда равна 0;

— для достоверного события п = N, поэтому его частота всегда равна 1;

— для любого случайного события 0 < п < N, поэтому его частота всегда лежит в диапазоне от 0 до 1.

А можно ли, получив нулевую частоту, сделать вывод о невозможности данного события? Разумеется, нет. Точно так же, если частота события равна 1, это еще не означает достоверность данного события. Примеры вы легко сможете привести сами.

А

5.1. Проведите 100 испытаний по подбрасыванию монеты. После каждых 10 испытаний подсчитывайте частоты и заполняйте таблицу.

Кол-во опытов

«Орел»

«Решка»

Разность абс. частот

Разность отн. частот

Частота абс.

Частота отн.

Частота абс.

Частота отн.

10

...

100

Как вы думаете, к каким числам приближается с ростом числа проведенных опытов:

а) относительная частота выпадения «орлов»;

б) относительная частота выпадения «решек»;

в) абсолютная частота выпадения «орлов»;

г) абсолютная частота выпадения «решек»;

д) разность относительных частот «орлов» и «решек»;

е) разность абсолютных частот «орлов» и «решек»?

Если для ответа на эти вопросы, на ваш взгляд, не хватает статистических данных, проведите необходимое количество дополнительных экспериментов.

5.2. Чем можно объяснить симметрию двух графиков на рисунке 5.3? Что будет их осью симметрии?

5.3. Проведите серию испытаний с подбрасыванием кнопки и проследите за изменением относительных частот двух исходов: «кнопка упала острием вверх» и «кнопка упала острием вниз»:

а) нарисуйте графики изменения относительных частот этих исходов;

б) оцените по полученным данным вероятности этих исходов;

в) сохранилась ли симметрия графиков, аналогичная той, что была получена на рисунке 5.3 в испытаниях с монетой? Осталась ли прежней ось симметрии? Почему?

5.4. Пусть вам требуется оценить вероятности исходов в экспериментах по подбрасыванию: а) монеты; б) кнопки; в) кубика; г) пуговицы. В каких из этих ситуаций вы готовы дать ответ, не проводя эксперимента? Почему?

5.5. После 100 испытаний по подбрасыванию монеты частота «орлов» равнялась 0,52.

а) Можно ли утверждать, что после 200 испытаний она будет между 0,5 и 0,52?

б) Найдите минимально и максимально возможные в этой ситуации значения частоты после 200 испытаний.

5.6. Женя купил два лотерейных билета, и один из них оказался выигрышным. Можно ли утверждать, что вероятность выигрыша в лотерею i? Почему?

5.7. За последние 50 тиражей лотереи «6 из 49» в 12 тиражах угадывались все шесть номеров. Можно ли утверждать, что вероятность угадать 6 номеров из 49 будет приблизительно равна —? Ответ обоснуйте.

5.8. За 20 последних тиражей «Спортлото» номер 8 выигрывал три раза, а номер 13 — ни разу. Можно ли утверждать, что шансы номера 13 в предстоящем тираже выше? Ответ обоснуйте.

5.9. Из колоды друг за другом вытянули без возвращения 20 карт, среди которых оказалось три шестерки и ни одного туза. Верно ли, что следующей картой вероятнее будет туз, чем шестерка? Почему?

Б

5.10. Нарисуйте на листе плотного (лучше гофрированного) картона вертушки, изображенные на рисунке 5.4, прикрепите к каждой из них кнопкой булавку и проведите одновременно с двумя вертушками 100 случайных экспериментов. По их результатам заполните таблицу частот для следующих событий:

А = {первая стрелка остановилась на белом};

В = {вторая стрелка остановилась на белом};

С = {обе стрелки остановились на белом}.

Рис. 5.4

а) Как вы думаете, к каким числам приближаются эти частоты с ростом числа опытов?

б)* Попробуйте предсказать, к чему будут приближаться частоты событий:

D = {обе стрелки остановились на черном};

Е = {одна из стрелок остановилась на белом, другая — на черном}.

Проверьте свои предположения, проведя эксперимент.

Кол-во испытаний

Обе стрелки остановились на черном

Обе стрелки остановились на белом

10

20

...

100

5.11. Какое из следующих событий кажется вам более вероятным:

А = {после двух бросаний монеты число «орлов» равно числу «решек»};

В = {после двухсот бросаний монеты число «орлов» равно числу «решек»};

С = {после двух тысяч бросаний монеты число «орлов» равно числу «решек»}?

При ответе на вопрос используйте данные, полученные в задаче 5.1.

5.12. Ребята провели опыты по подбрасыванию монеты. В 100 опытах «орел» выпал 46 раз, «решка» — 54 раза. Ребята поспорили, что вероятней появится в следующем эксперименте: «орел» или «решка»?

«Вероятней появление «орла», — сказал первый, — ведь до этого эксперимента он выпадал реже, чем «решка», значит, теперь должен выпадать чаще».

«Вероятней появление «решки», — сказал второй, — раз она выпадала чаще, то и будет выпадать чаще».

«Мы знаем, что появление «орла» и «решки» в каждом эксперименте равновероятно, — сказал третий, — и вероятность появления «орла» или «решки» одинакова в 101-м опыте, так же как в первом или в любом другом».

Согласны ли вы с кем-то из участников спора и почему?

5.13*. Придумайте пример таких бесконечных серий испытаний с монетой, в которых:

а) разность абсолютных частот «орлов» и «решек» неограниченно возрастает;

б) разность относительных частот уменьшается и приближается к нулю;

в) разность абсолютных частот неограниченно возрастает, а разность относительных частот уменьшается и приближается к нулю.

Указание: нужно придумать такую закономерность чередования О и Р, чтобы были выполнены приведенные условия. Например, в серии

ОРОРОРОРОР...

разность абсолютных частот ведет себя так:

1;0; 1;0; 1;0; 1;0; 1;0;...

а относительных —

Каким из требований задачи удовлетворяет эта серия?

5.14*. Два игрока по очереди бросают одну и ту же монету, причем выигрывает тот, у кого первым выпадет «орел». Оцените вероятность выигрыша каждого из игроков. Для этого проведите необходимое, на ваш взгляд, количество случайных экспериментов.

Указание: каждый эксперимент состоит в бросании монеты до появления первого орла.

5.15. Выполняя задание 5.1, Вова поленился 100 раз бросать монету и выписал, как ему показалось, случайную последовательность «орлов» и «решек» из головы. Маша честно бросила монету все 100 раз. Сравните приведенные результаты со своим и определите, какой из них Вовин, а какой — Машин.

1-й результат:

ОООРОРООРР РРРОООРРРО ОРОРРОРРРО РРОРОРРОРР ОРООООРООО ОРРРРОРРРР ОРОООРРРРО РРОРОРРРРО ОООРОРООРР РРРРООРОРР

2-й результат:

ООРОРРООРР ОРОРОРРООР ОРООРОРОРО РРОРОРООРР ОРОРРОРОРО ОРОРРОРОРР ОРООРРОРРО РООРОРООРО РООРОРООРР РОРРООРОРР

Указание: для сравнения результатов изобразите на графике, как изменяется в вашей серии экспериментов разность абсолютных частот «орлов» и «решек». Такие графики для 1-го и 2-го результатов изображены на рисунке 5.5. Какой из них больше похож на ваш?

Рис. 5.5

5.16. Один из самых древних способов шифровки текста состоит в сдвиге всего алфавита на фиксированное число позиций к. Например, при к = 3 буква «а» заменяется на букву «г», буква «б» на «д», «я» на «в». Этим способом пользовался в своих письмах еще Юлий Цезарь, поэтому его называют кодом Цезаря. Расшифруйте текст, зашифрованный кодом Цезаря:

M ТВНШ ЪН ЬТЭТЧШНСЪИВ ХФ ЯХБШХЮН. ПЮМ ЬЫЧШНУН ЩЫТЦ ЯТШТУЧХ ЮЫЮЯЫМШН ХФ ЫСЪЫРЫ ЪТОЫШЙЕЫРЫ дтщыснън, чыяыэиц сы ЬЫШЫПХЪИ ОИШ ЪНОХЯ ЬАЯТПИЩХ ФНЩТЯЧНЩХ ы РЭАФХХ. ОЫШЙЕНМ ДНЮЯЙ ХФ ЪХВ, ч юднюяхл сшм пню, ьыятэмън, H дтщыснъ ю ЫЮЯНШПЪИЩХ ПТЖНЩХ, ч юднюяхл сшм щтъм, ыюяншюм гтш.

Указание: каждая буква алфавита встречается в нашем языке с определенной частотой. Таблица этих частот следующая.

А

0,062

3

0,016

О

0,090

X

0,009

ь

0,013

Б

0,014

И

0,062

п

0,023

ц

0,004

э

0,003

В

0,038

Й

0,010

р

0,040

ч

0,012

ю

0,006

Г

0,013

К

0,028

с

0,045

ш

0,006

я

0,018

Д

0,025

Л

0,035

Т

0,053

щ

0,003

Е

0,072

M

0,026

У

0,021

ъ

0,001

Ж

0,007

H

0,053

ф

0,002

ы

0,016

По таблице можно построить гистограмму частот для всех букв русского алфавита — она изображена на рисунке 5.6. Попробуйте построить такую таблицу и гистограмму для зашифрованного текста и после этого определить величину сдвига, использованную в коде Цезаря.

Рис. 5.6

5.17. Вы играете в «Поле чудес». Перед вами слово, которое вам абсолютно неизвестно и ни одна буква в нем еще не угадана. Какую букву вы назовете?

6. Классическое определение вероятности

Равновозможность исходов. Благоприятные и неблагоприятные исходы. Классическое определение вероятности. Вероятность противоположного события

Итак, мы научились оценивать вероятность случайного события по относительной частоте его появления в длинной серии одинаковых опытов. Можно назвать такую вероятность экспериментальной или «апостериорной» (от лат. a posteriori — на основании опыта).

Но, во-первых, какой бы длинной ни была проведенная серия испытаний, она даст только приближенное значение вероятности. Во-вторых, далеко не всегда такую серию можно осуществить: скажем, на экспериментальное вычисление вероятности выигрыша в лотерею вам может просто не хватить денег! К счастью, во многих ситуациях существуют более экономичные «априорные» способы расчета вероятностей (от лат. a priori — заранее, независимо от опыта).

Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из п возможных исходов, причем все исходы равновозможны, т. е. нет никаких оснований считать один исход вероятнее другого.

Например:

а) бросаем монету: п = 2;

б) бросаем кубик: п = 6;

в) вытягиваем карту из колоды: п = 36.

Конечно, во всех этих примерах можно говорить о равновозможности только при определенных условиях:

монета и кубик правильные, колода хорошо перетасована и т. д.

Пусть ровно m из этих п исходов приводят к наступлению некоторого события А. Будем называть такие исходы благоприятными для этого события (они ему благоприятствуют, т. е. событие А наступает при любом из этих исходов).

Например:

а) выпадет герб: m = 1;

б) на кубике выпадет четное число: m = 3;

в) из колоды вытянут туза: m = 4.

Вероятностью случайного события А в этой ситуации назовем дробь -, где п — число всех возможных исходов эксперимента, m — число исходов, благоприятных для события А:

Обозначение Р(А) происходит от первой буквы французского слова probabilité — вероятность. Например:

а) Р {выпадет герб} = ^;

б) Р {на кубике выпадет четное число} = - = -;

в) Р {из колоды вытянут туза} = — = -.

Пример 6.1. Колоду из 36 карт хорошо перетасовали и вытянули из нее одну карту. Для каждого из следующих событий найдем его вероятность:

А = {вытянули красную масть};

В = {вытянули пику};

С = {вытянули красную пику};

D = {вытянули даму};

Е = {вытянули даму пик}.

Все пять событий относятся к одному и тому же случайному эксперименту — вытягиванию карты из полной

колоды. Общее число исходов в этом эксперименте равно 36 (по числу разных карт), причем, поскольку колода хорошо перетасована, все они равновозможны, следовательно, п = 36.

Для события А благоприятный исход — любая карта красной масти. В колоде 18 карт красной масти, значит, m =18.

Следовательно, Р(А) = — = - = 0,5.

Для события В благоприятный исход — любая пика. Таких исходов 9 (столько в колоде карт пиковой масти): m = 9. Отсюда Р(В) = f~6 = \ = 0,25.

Совершенно аналогично находим число благоприятных исходов и вероятности для оставшихся событий:

для события С

для события D

для события Е

Рассмотренное выше определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим. Использовать его можно только для опытов с равновозможными исходами!

Другой великий француз — Даламбер — вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов.

Пример 6.2. Ошибка Даламбера. Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Решение, предложенное Даламбером. Опыт имеет три равновозможных исхода:

1) обе монеты упали на «орла»;

2) обе монеты упали на «решку»;

3) одна из монет упала на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными для нашего события будут 2 исхода, поэтому искомая вероятность равна |.

Правильное (!) решение. Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1) первая монета упала на «орла», вторая тоже на «орла»;

2) первая монета упала на «решку», вторая тоже на «решку»;

3) первая монета упала на «орла», а вторая — на «решку»;

4) первая монета упала на «решку», а вторая — на «орла».

Из них благоприятными для нашего события будут 2 исхода, поэтому искомая вероятность равна - = -.

Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два принципиально разных исхода в один. Чтобы не повторить эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы. Рассмотрим более сложный пример.

Пример 6.З. Из коробки, в которой 2 белых и 2 черных шара, вытаскивают два шара. Какова вероятность, что они окажутся одного цвета?

Для этой задачи мы приведем целых четыре разных решения (с разными ответами!).

Решение 1. В коробке четыре шара: О О Ф Ф Возможные исходы:

Благоприятными для нашего события будут исходы 1 и 3. Отсюда:

В этом решении мы считали, что шары вынимались одновременно, поэтому не различали, какой из них вынут первым, а какой — вторым. Попробуем считать, что шары вынимаются друг за другом.

Решение 2. В коробке четыре шара: О О Ф Ф Возможные исходы:

Благоприятными для нашего события будут исходы 1 и 4. Отсюда:

Получили другой ответ! А теперь пронумеруем (хотя бы мысленно) шары, которые находятся в коробке.

Решение 3. В коробке четыре шара: Q © © © Возможные исходы:

Благоприятными для нашего события будут исходы 1 и 6. Отсюда:

Третье решение — третий ответ! А можно привести еще и четвертое, в котором пронумерованные шары будут выниматься не одновременно, а друг за другом (запишите его самостоятельно).

Каждое из приведенных решений кажется убедительным. Однако понятно, что, как и в задаче Даламбера, какие-то из них ошибочны — ответы-то получились разные! Причем ошибку надо искать не в вычислениях (они очень простые), а в выбранных моделях.

Вслед за Даламбером мы забыли о том, что при определении равновозможных исходов нужно различать все предметы, участвующие в эксперименте, а не только их цвета. Значит, правильными следует считать только решения 3 и 4 (убедитесь, что 1 четвертое решение даст тот же самый ответ — Р(А) = ^).

Если приведенные здесь рассуждения вас все-таки не убедили, советуем воспользоваться уже испытанным способом: взять четыре шара и провести описанный в задаче эксперимент. Повторив его многократно, вы сможете оценить неизвестную вероятность по полученной частоте.

Надеемся, что полученный результат будет близок к К

В главе 2 было введено понятие противоположного события. Напомним его: событие В называется противоположным к событию А, если оно происходит всякий раз, когда не происходит А, и наоборот.

Это означает, что исходами, благоприятными для события В, будут все исходы, неблагоприятные для А. Значит, если из п исходов эксперимента m исходов благоприятны для А, то остальные п-т исходов будут благоприятны для В, и вероятность события В может быть вычислена по формуле:

Эта формула называется формулой вероятности противоположного события.

Пример 6.4. Из коробки, в которой 2 белых и 2 черных шара, вытаскивают два шара. Какова вероятность, что они окажутся разного цвета?

Эту задачу можно решать аналогично примеру 6.3: выписать множество всех равновозможных исходов и подсчитать, сколько из них благоприятны для интересующего нас события. Но можно и гораздо короче: ведь событие из примера 6.4 противоположно событию из примера 6.3, поэтому его вероятность будет:

Итак, в этой главе, вычисляя вероятности событий, мы не проводим экспериментов, а опираемся только на симметрию объектов опыта и равновозможность всех исходов. Замечательно при этом, что вычисленная a priori вероятность случайного события оказывается тем самым числом, к которому будет стремиться относительная частота этого события при неограниченном увеличении числа опытов.

Ничего «мистического» в этом совпадении нет: ведь если все п возможных исходов эксперимента равновозможны, то их относительные частоты должны быть приблизительно равны. Поскольку в сумме они всегда дают 1, то каждая из частот с ростом числа экспериментов будет приближаться к JL Относительная частота события А будет равна сумме m из этих п частот и, значит, будет приближаться к 2. Поэтому наше новое, классическое определение вполне согласуется с данным ранее статистическим.

А

6.1. Для каждого из следующих событий найдите число всех равновозможных исходов, число благоприятных исходов и вероятность.

а) В урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

б) Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

в) Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

г) Из 365 дней 2001 года случайно выбирается один. Какова вероятность, что он будет воскресеньем, если известно, что 2001 год начинается в понедельник?

6.2. Определите вероятности следующих событий:

А = {при бросании монеты выпал «орел»};

В = {при бросании кубика выпала тройка};

С = {при бросании кубика выпало четное число};

D = {из колоды карт вытянули туза};

Е = {из колоды карт вытянули шестерку};

F={из колоды карт вытянули не туза}.

6.3. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера и набрал ее наудачу, помня только, что эта цифра нечетная. Найдите вероятность того, что номер набран правильно.

6.4. Федя хочет определить, с какой вероятностью при бросании двух кубиков можно получить сумму в 12 очков. Он рассуждает так: сумма очков на двух кубиках может равняться любому из 11 чисел от 2 до 12. Значит, вероятность получить 12 очков будет ^. Прав ли Федя?

6.5. Какова вероятность того, что у случайно выбранного жителя Земли день рождения приходится на:

а) 1 января; б) 28 февраля; в) 29 февраля?

6.6. Вы должны получить квартиру в строящемся 40-квартирном доме.

а) Какова вероятность того, что в ее номере не будет нечетных цифр?

б) Вам сообщили, что в номере вашей будущей квартиры не будет нечетных цифр. С какой вероятностью вы может угадать этот номер?

6.7. В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек.

а) На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдет девочка?

б) Учитель истории знает, что 3 мальчика и 5 девочек из класса были накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске — мальчика или девочку?

в) Федя не решил домашнюю задачу по математике. Какова вероятность, что учитель этого не узнает, если за урок он успевает спросить пятерых?

6.8. Какова вероятность того, что «доминошка», наудачу извлеченная из полного набора домино, имеет сумму очков, равную 5 (рис. 6.1)?

Рис. 6.1

6.9. 1) Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет заканчиваться:

а) на тройку; б) на девятку?

2) В условиях задачи 1) Вова получил пригласительный билет с номером 33, а Таня — 99. Верно ли, что у Вовы больше шансов получить главный приз?

6.10. Даны отрезки длиной 2, 5, 6 и 10 см. Какова вероятность того, что из наудачу выбранных трех отрезков можно составить треугольник?

Б

6.11. Наудачу выбрано двузначное число. Определите вероятность того, что оно оказалось:

а) простым;

б) составным;

в) кратным пяти;

г) взаимно простым с числом 100?

6.12. Наудачу выбрано число от 1 до 1 000 000. Какова вероятность того, что оно является полным квадратом?

6.13. 1) В корзине яблоко и груша. Вытаскиваем из нее один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

2) В корзине 2 яблока и груша. Вытаскиваем из нее 2 фрукта. Какова вероятность того, что оба фрукта яблоки?

3) В корзине N яблок и груша. Вытаскиваем из нее N фруктов. Какова вероятность, что все они яблоки?

6.14. 1) У маленькой Вари две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад берет две варежки. Какова вероятность того, что они окажутся парными (т. е. на разные руки)?

2) Варя потеряла одну из варежек на улице, и теперь их у нее три. Уходя на улицу, она по-прежнему выбирает две варежки случайным образом. Какова на этот раз вероятность, что они окажутся парными?

6.15.1) Бросили два кубика. Какова вероятность, что сумма очков на них равна 5?

2) Из колоды домино изъяли все «доминошки» с пустышками (чтобы возможное число очков на каждой из половинок было такое же, как на кубике) и после этого наудачу выбрали одну «доминошку». Какова вероятность, что сумма очков на ней равна 5?

6.16. 1) В лотерее участвует 100 билетов и разыгрывается один приз. Какова вероятность того, что вы ничего не выиграете на свой единственный билет?

2) Участвуя в той же лотерее, вы купили 20 билетов. Какова вероятность, что вы опять останетесь ни с чем?

6.17. Монету бросают до первого появления «орла». Какова вероятность, что для этого понадобится:

а) ровно одно бросание;

б) ровно два бросания;

в) ров-но три бросания; г)* не менее трех бросаний; д)* не более трех бросаний?

6.18. Кубик бросают до первого появления шестерки. Какова вероятность, что для этого понадобится:

а) ровно одно бросание;

б) ровно два бросания;

в) ров-но три бросания; г)* не менее трех бросаний; д)* не более трех бросаний?

6.19*. Придумайте такие длины четырех отрезков, чтобы вероятность составить треугольник из наудачу выбранных трех отрезков получилась равной:

а)0; б)±; в) h г) 1. 4 4

6.20*. Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они уже в темноте и разобрали шляпы наугад. Найдите вероятности следующих событий:

А = {каждый надел свою шляпу};

В — {все надели чужие шляпы};

С = {двое надели чужие шляпы, а один — свою};

D = {двое надели свои шляпы, а один — чужую}.

7. Еще раз об исходах и событиях

Исход или элементарное событие. Множество всех исходов эксперимента. Случайное событие как подмножество в множестве всех исходов. Дерево вариантов

Говоря в предыдущих главах об исходах случайного эксперимента, мы имели в виду, что в результате эксперимента один (и только один!) из этих исходов обязательно произойдет. То есть, с одной стороны, не могут произойти сразу два исхода, с другой — эксперимент не может завершиться вообще без какого-либо исхода. Именно эти два свойства выделяют исходы среди всех остальных случайных событий.

Например, при бросании кубика обязательно выпадет ровно одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. В то же время из двух случайных событий:

А = {выпало четное число очков};

В = {выпало число очков, больше трех}

может не произойти ни одного или, наоборот, могут произойти сразу оба.

Чтобы подчеркнуть это отличие исходов от обыкновенных событий, математики называют исходы элементарными событиями. Они элементарны в том смысле, что состоят из одного исхода. А вот любое неэлементарное событие будет состоять из некоторого множества исходов, которые в предыдущей главе мы называли благоприятными для этого события.

На этом языке рассмотренные выше события А и В запишутся как множества исходов:

А = {2, 4, 6};

В = {4, 5,6}.

Поскольку каждый эксперимент всегда заканчивается только одним из возможных исходов, сумма их абсолютных частот будет равна числу проведенных экспериментов, а сумма относительных — всегда равна 1. Об этом уже говорилось в главах 4 и 5. Там же было отмечено, что частота случайного события складывается из частот входящих в него исходов: ведь событие происходит всякий раз, когда эксперимент заканчивается одним из благоприятных для него исходов.

То же самое справедливо и для вероятностей: вероятность случайного события складывается из вероятностей входящих в него исходов. При равновозможных исходах это следует из классического определения вероятности: если всего исходов п, то вероятность каждого из них -, а вероятность события, состоящего из m исходов, равна сумме их вероятностей - Если исходы опыта не равновозможны, сформулированное свойство все равно остается справедливым. К этому вопросу мы вернемся в заключительной главе, где будет рассмотрено самое общее определение вероятности.

Систему исходов в одном и том же эксперименте можно выбирать по-разному. От выбора будет зависеть, как мы уже видели, их равновозможность, а также то, какие случайные события мы сможем потом через них выражать.

Немалую роль играют и обозначения исходов — чем они удачнее, тем легче перечислять исходы и выражать через них события.

Пример 7.1. Бросаем 2 кубика. В качестве множества всех возможных исходов возьмем все возможные пары чисел, которые могут выпасть на первом и втором кубиках.

Перечислить все такие исходы удобно с помощью таблицы.

2-й кубик \ 1-й кубик

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

Каждый исход мы обозначили двузначным числом: первая цифра показывает, сколько очков выпало на первом кубике, вторая цифра — на втором кубике. Всего таких исходов будет 36. Через них можно выразить, например, следующие события:

А = {на кубиках выпало одинаковое число очков} = {11,22, 33,44, 55,66};

2-й кубик \ 1-й кубик

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

В = {на 1-м кубике выпало больше, чем на 2-м} = {21,31, 32,41, 42, 43, 51, 52, 53, 54, 61, 62, 63, 64, 65}.

2-й кубик \ 1-й кубик

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

С = {сумма очков на кубиках равна 9} = {36, 45, 54, 63}.

2-й кубик \ 1-й кубик

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

D = {сумма очков на кубиках четная} — {11, 13, 15, 22, 24, 26, 31, 33, 35, 42, 44, 46, 51, 53, 55, 62, 64, 66}.

2-й кубик \ 1-й кубик

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

Пример 7.2. Снова бросаем 2 кубика. Но на этот раз выберем в качестве множества элементарных исходов все возможные значения суммы чисел на кубиках.

Перечислим все возможные значения суммы: 2,3,4,5,6, 7, 8,9, 10, 11, 12.

Через эти 11 исходов можно выразить только события Си Я:

С = {сумма очков на кубиках равна 11} ={11};

D = {сумма очков на кубиках четная} = {2, 4, 6, 8, 10, 12},

но нельзя выразить события А и В:

А—{на кубиках выпало одинаковое число очков};

В = {на 1-м кубике выпало больше, чем на 2-м},

ведь по сумме очков не определишь, какое число выпало на каждом из кубиков.

Таким образом, чем «мельче» исходы, тем «богаче» набор случайных событий, которые можно через них выразить.

Выбор более мелких исходов имеет еще одно большое преимущество: они очень часто оказываются равновозможными (если, конечно, в опыте вообще присутствует какая-то симметрия). Так, в примере 1 все 36 исходов равновозможны, а 11 исходов примера 2 не равновозможны, и мы уже неоднократно в этом убеждались.

Пример 7.3. На шести карточках написаны цифры от 1 до 6. Карточки перемешивают и вытаскивают сначала одну из них, а затем другую. Здесь опять удобно использовать таблицу — только теперь она не будет содержать диагональных элементов 11, 22, 33, 44, 55, 66, поскольку цифры на карточках должны быть различны.

2-я карточка \ 1-я карточка

1

2

3

4

5

6

1

21

31

41

51

61

2

12

32

42

52

62

3

13

23

43

53

63

Окончание табл.

2-я карточка \ 1-я карточка

1

2

3

4

5

6

4

14

24

34

54

64

5

15

25

35

45

65

6

16

26

36

46

56

Исходов получилось не 36, как в примере 1, а только 30. Понятно, что все они равновозможны. (Если вы с этим не согласны, попробуйте выделить среди них более вероятные!)

Пример 7.4. Из тех же самых шести карточек вытаскивают две карточки одновременно. Теперь нет понятия «первая карточка — вторая карточка», поэтому исходов станет ровно в два раза меньше: например, исходы 12 и 21 будут теперь одним исходом.

Получается, что мы сворачиваем приведенную выше таблицу исходов по диагонали.

21

31

41

51

61

32

42

52

62

43

53

63

54

64

65

Поскольку каждому исходу этой таблицы соответствуют ровно два исхода из предыдущей, то все 15 ее исходов также равновозможны.

Отметим одну интересную особенность последних двух примеров. Во многих задачах, где происходит случайный выбор из некоторой совокупности, не поясняется сама «технология» выбора: одновременно или последова-

тельно выбираются предметы. Дело в том, что это абсолютно не влияет на результат, поэтому для решения задачи можно принять как одну, так и другую модель. Важно только не путать их в процессе решения: например, нельзя перечислять все возможные исходы, следуя примеру 7.3, а благоприятные исходы выбирать по примеру 7.4.

Еще один удобный способ перечисления всех исходов эксперимента — построение дерева возможных вариантов. Так называют специальную схему, действительно напоминающую дерево, только перевернутое и растущее «корнем вверх».

Пример 7.5. Подбрасывают три монеты. Какие равновозможные исходы у этого эксперимента и сколько их? Найдите вероятность того, что все монеты упадут на одну сторону.

Перечислим все исходы эксперимента с помощью дерева возможных вариантов. Корень дерева обозначим «*». От корня протянем вниз и в разные стороны две ветки — они соответствуют двум возможным вариантам для первой монеты — О и Р («орел» и «решка»). От каждой из этих двух веток протянем еще по две — это два возможных варианта для второй монеты. Наше дерево разделилось уже на четыре ветви. Наконец, каждая из этих четырех ветвей делится еще на две — это возможные варианты для третьей монеты.

Рис. 7.1

«Крона» нашего дерева заканчивается восемью ветками, каждой из которых соответствует один из возможных исходов всего эксперимента. Все эти исходы выписаны

под соответствующими ветками дерева на рисунке 7.1. Остается найти среди них исходы, благоприятные для интересующего нас события А: ООО, РРР.

Получаем ответ:

А

7.1. Проводится эксперимент по подбрасыванию кубика. Запишите каждое из следующих событий в виде множества благоприятных исходов. Найдите их вероятности:

А = {выпало нечетное число};

В = {выпало число больше 1};

С = {выпало число меньше 1};

D = {выпало простое число};

Е = {выпало число меньше 10}.

7.2. Результаты 40 экспериментов по вытягиванию одной карты из перетасованной колоды представлены следующей последовательностью:

Найдите относительные частоты следующих событий:

А = {вытянули красную масть};

В = {вытянули пику};

С = {вытянули даму};

D = {вытянули пиковую даму}.

Какие из них можно назвать элементарными событиями?

7.3. Петя и Саша провели 100 экспериментов по одновременному подбрасыванию двух одинаковых монет.

Петя считал, что монеты неразличимы, и получил в результате следующую таблицу.

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

Два «орла»

19

0,19

«Орел» и «решка»

52

0,52

Две «решки»

29

0,29

Саша заметил на каждой из монет «особые приметы» и в процессе эксперимента различал их, называя про себя «первой» и «второй». У него получилась такая таблица.

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

«Орел» — «орел»

19

0,19

«Орел» — «решка»

28

0,28

«Решка» — «орел»

24

0,24

«Решка» — «решка»

29

0,29

Рассмотрите случайные события:

А = {монеты выпали одной стороной};

В = {на первой монете выпал «орел»};

С = {хотя бы на одной из монет выпал «орел»}.

а) Какие из этих событий можно выразить через исходы первой таблицы? Выразите и найдите их частоты.

б) Какие из этих событий можно выразить через исходы второй таблицы? Выразите и найдите их частоты.

в) Какие и сколько исходов второй таблицы соответствуют каждому из исходов первой таблицы?

г) Исходы какой таблицы являются равновозможными?

7.4. Из урны, в которой 2 красных, 2 желтых и 2 зеленых шара, наугад достают два шара. Такой эксперимент

повторяют 100 раз и по его результатам заполняют две различные таблицы.

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

7

0,07

6

0,06

9

0,09

1к1ж

27

0,27

1к1з

26

0,26

1ж1з

25

0,25

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

КК

7

0,07

кж

14

0,14

КЗ

15

0,15

ЖК

13

0,13

жж

6

0,06

жз

10

0,10

зк

11

0,11

зж

15

0,15

33

9

0,09

При заполнении первой таблицы учитывался только состав вынутой пары шаров, а при заполнении второй — порядок, в котором шары вынимались. Рассмотрите случайные события:

А = {вынуты шары разного цвета};

В = {первым вынут красный шар};

С = {среди двух вынутых шаров нет красных}.

а) Какие из этих событий можно выразить через исходы первой таблицы? Выразите и найдите их частоты.

б) Какие из этих событий можно выразить через исходы второй таблицы? Выразите и найдите их частоты.

в) Какие и сколько исходов второй таблицы соответствуют каждому из исходов первой таблицы?

г) Как вы думаете, являются ли исходы какой-либо из этих таблиц равновозможными?

7.5. Одновременно бросают три одинаковые монеты. Рассмотрите для этого опыта две разные системы исходов:

а) {ООО, OOP, ОРО, ОРР, POO, POP, РРО, РРР};

б) {Зо, 2о1р, 1о2р, Зр}.

В какой из них исходы равновозможны? Найдите вероятность каждого исхода в обеих системах.

7.6. Одновременно бросают два кубика. Предложите для этого опыта систему равновозможных исходов. Запишите каждое из следующих событий в виде множества благоприятных исходов и найдите вероятности этих событий:

А = {разность очков на кубиках не превосходит по модулю 2};

В = {сумма очков на кубиках является простым числом};

С = {произведение очков на кубиках больше их суммы}.

7.7. Проводится эксперимент по определению дня рождения случайно выбранного человека. Придумайте систему исходов для такого эксперимента, которая содержала бы:

а) 7 исходов; б) 12 исходов; в) 366 исходов. В какой из них исходы можно считать равновозможными?

7.8. На шахматной доске случайным образом выбирают две разные клетки. Будем обозначать исходы такого эксперимента, указывая «шахматные» координаты первой и второй клеток, например a5g6. Выпишите по одно-

му благоприятному исходу для каждого из следующих событий:

А = {из первой клетки во вторую можно попасть ходом ладьи};

В = {из первой клетки во вторую можно попасть ходом слона};

С = {из первой клетки во вторую можно попасть ходом коня};

D = {из первой клетки во вторую нельзя попасть ходом никакой фигуры}.

Как вы думаете, какое из этих событий содержит больше всего исходов?

7.9. В шкафу находится 5 пар ботинок с 41-го по 45-й размеры. Из них случайно выбирают 2 ботинка. Придумайте, как можно обозначить равновозможные исходы такого эксперимента. Для события А = {вынутые ботинки окажутся парными}:

а) выпишите все благоприятные исходы и найдите их количество;

б) выпишите хотя бы один неблагоприятный исход;

в)* найдите общее количество возможных исходов и вероятность события А.

7.10. Винни-Пух и Пятачок делят пополам 4 конфеты, две из которых с сюрпризом. Придумайте, как можно обозначить равновозможные исходы такого эксперимента. Запишите каждое из следущих событий в виде множества благоприятных исходов и найдите их вероятности:

А = {Винни-Пуху не досталось конфет с сюрпризом};

В = {Пятачку не досталось конфет с сюрпризом};

С = {Винни-Пуху и Пятачку досталось по одной конфете с сюрпризом}.

Есть ли у этих событий общие исходы? Есть ли исходы, которые не попадают ни в одно из этих событий?

Указание: перед решением задачи прочитайте еще раз пример 6.3 из предыдущей главы.

Б

7.11. В задаче 7.4 пронумеруем каждую группу шаров одного цвета так, чтобы их можно было различать между собой: красные — к1, к2; желтые — ж1, ж2; зеленые — з1, з2. Теперь проведем тот же самый эксперимент по извлечению двух шаров.

а) Выпишите несколько исходов эксперимента, различая между собой все шары и порядок, в котором они вынимаются. Сколько всего таких исходов?

б) Выпишите несколько исходов эксперимента, различая все шары, но не учитывая порядок, в котором они вынимаются. Сколько всего таких исходов?

в) Сколько исходов пункта а) соответствует каждому из исходов пункта б)?

г) Будут ли исходы выбранных систем равновозможны?

7.12. В автобусе едет 8 пассажиров. Каждый из них может с равными шансами выйти на любой из шести остановок. Маша и Никита спорят, что лучше взять в качестве исходов такого эксперимента.

Маша: каждый из 8 пассажиров может выйти на одной из 6 остановок. Предположим, что первый пассажир вышел на 3-й остановке, второй пассажир — на 6-й, третий — на 1-й и т. д. Тогда исходом эксперимента будет последовательность из восьми чисел, в которой каждому пассажиру соответствует номер его остановки, например: 36126441.

Никита: каждый исход нашего эксперимента — это разбиение числа 8 в сумму 6 неотрицательных целых чисел, например: 2+1 + 1 + 2 + 0-1-2. В этом исходе на 1-й остановке вышло 2 пассажира, на 2-й — один пассажир и т. д.

Чьи исходы кажутся вам равновозможными и почему?

7.13*. Случайный эксперимент состоит в одновременном подбрасывании 5 монет. Опишите систему исходов и найдите их количество, если:

а) монеты считаются различимыми;

б) монеты считаются неразличимыми.

Исходы какой системы являются равновозможными?

7.14. Три человека пришли в ресторан в одинаковых шляпах, сдали их в гардероб, а уходя, надели их наугад. Какое множество исходов можно выбрать в таком эксперименте, чтобы они были равновозможны?

7.15*. Два человека по очереди бросают монету, причем выигрывает тот, у кого раньше выпадет «орел». Возможные исходы эксперимента следующие:

О, РО, РРО, РРРО, РРРРО, ....

а) Будут ли они равновозможными?

б) При каких исходах выигрывает первый игрок? При каких второй?

в) Как вы думаете, у кого из игроков больше шансов на выигрыш?

7.16*. 1) Ольга, Маша и Ирина каждый день тянут жребий — кому из них сегодня мыть посуду. Для этого они кладут в шляпку три бумажки, одна из которых помечена крестиком, а потом по очереди их вытаскивают: Ольга — первой, Маша — второй, а Ирина — третьей.

Каждая из сестер закодировала возможные исходы эксперимента по-своему. Ольга: X, IX, 2х, 12х, 21Х; Маша: Х12, Х21, 1x2, 2x1, 12х, 21Х; Ирина: X, Ох, ООх.

Объясните, что каждая из них имела в виду. В каких случаях исходы будут равновозможными?

2) Ирина предлагает изменить жребий следующим образом: каждая из них по очереди бросает монету, и у кого первой выпадет «орел», тому и мыть посуду. Очередность бросаний она предлагает оставить ту же.

Возможные исходы: О, РО, РРО, РРРО, РРРРО, ....

Будут ли они равновозможными? При каких исходах дежурить будет Ольга, при каких — Маша, при каких — Ирина?

3) Какой из двух жребиев — 1) или 2) кажется вам справедливым?

7.17*. «Любовь с первого взгляда».

В игре участвуют трое юношей и три девушки. Каждый юноша выбирает одну из девушек, а каждая девушка — одного из юношей. Если юноша и девушка выбрали друг друга, то образуется пара. Придумайте, как выбрать исходы этого эксперимента, чтобы они были равновозможны. Сколько всего таких исходов получится?

7.18. 1) Стержень длиной 1 м случайно ломают на три части. Закодируем исход такого опыта двумя числами Хи Y из отрезка [0, 1], где X— координата первой точки излома, Y— координата второй точки.

Какие из следующих исходов благоприятны для события А={из полученных кусков можно составить треугольник}:

a) Q; D; б) (]; |) ; в) (0,54; 0,36); г) (0,4; 0,9); д) (0,4; 0,8)?

Какие треугольники при этом получаются?

2)* Какое соотношение между X и Y должно выполняться для всех благоприятных исходов события AI Нарисуйте множество таких I и У на координатной плоскости Оху

8. Случайная выборка и ее представление

Случайная величина. Случайная выборка. Генеральная совокупность. Ранжированный ряд. Таблица частот. Полигон. Интервальная таблица частот. Гистограмма. Накопленные частоты

Конечно, каждому участнику лотереи «Спортлото» хочется знать, каковы шансы на выигрыш у той конкретной комбинации чисел, которую он отметил на карточке. А вот для организаторов этой лотереи гораздо важнее не то, какая комбинация выпадет, а каким приблизительно будет суммарный выигрыш всех участников в предстоящем тираже.

В случае, когда нас интересуют не шансы конкретного исхода или события, а поведение какой-нибудь числовой величины, удобнее фиксировать не исход эксперимента, а то значение, которое приняла в результате эксперимента эта величина. Тем более, что иногда перечислить и зафиксировать все возможные исходы эксперимента практически невозможно или слишком обременительно.

Пример 8.1. Представим себе, что мы наблюдаем за стрельбой по мишени (рис. 8.1) и фиксируем результат каждого выстрела.

Сколько возможных исходов у каждого такого эксперимента? Стрелок может попасть в любую точку мишени и даже за ее пределы. Значит, результатом выстрела будет точка на плоскости мишени. На рисунке 8.2 это точки А, В, С. Такую точку, как вы знаете, можно задать парой действительных чисел — ее координат:

Ж-3; 3), 5(4; -6), С(0,5; 0,2).

Рис. 8.1 Рис. 8.2

Рис. 8.3

Можно обойтись и одним действительным числом, если измерять только расстояние от точки попадания до центра мишени (рис. 8.3), — ведь количество выбитых очков полностью определяется этим расстоянием: 4,24; 7,21; 0,54.

Наконец, можно сразу записывать, сколько очков выбил стрелок при каждом выстреле: 6, 3, 10. Именно эти значения (а не рассмотренные выше исходы — точки А, В, Q и являются наиболее важными при анализе результатов стрельбы. Ведь при подведении итогов соревнований учитываются очки, а не точки или их координаты.

В теории вероятностей величина, значение которой зависит от исхода эксперимента, называется случайной

величиной. Подробное изучение случайных величин выходит за рамки данной книги, однако мы часто будем рассматривать ряд числовых значений такой величины, полученных в какой-либо серии экспериментов. Такой числовой ряд называется случайной выборкой.

Представим себе, что из всех школьников вашего региона случайным образом выбирается 1000 человек и фиксируется их оценка по математике в последней четверти. В статистике множество всех школьников региона будет называться генеральной совокупностью, а случайно выбранная 1000 школьников — случайной выборкой. Однако математики предпочитают иметь дело не со школьниками, а с числами, поэтому мы с вами будем называть случайной выборкой только числовой ряд — т. е. в нашем случае не самих выбранных школьников, а их оценки.

О том, как правильно организовать случайный выбор, мы будем говорить позже, в главе о статистических исследованиях. Пока же займемся числовыми рядами, полученными в результате описанной процедуры.

Пример 8.2. Среди школьников седьмых классов был проведен выборочный опрос: из скольких человек состоят их семьи? В результате такого опроса была получена следующая выборка:

Здесь каждое число означает количество человек в семье соответствующего ученика. Числа выписаны в том порядке, в котором ученики сдавали свои ответы. А что если упорядочить эти числа по возрастанию?

Не правда ли, этот ряд (он называется ранжированным) воспринимается уже лучше: теперь мы ясно видим, что минимальное значение в нем равно 2, а максимальное -5. Видно, как часто повторяется каждое из значений.

А вот как выглядит представление выборки в виде частотной таблицы:

Состав семьи (кол-во человек)

Абсолютная частота

Относительная частота

2

14

0,35

3

19

0,475

4

5

0,125

5

2

0,05

Первый столбец частотной таблицы содержит различные значения наблюдаемой величины (по возрастанию), второй — сколько раз это значение повторилось в выборке, т. е. его абсолютную частоту, третий — какую долю эти значения составляют от всей выборки, т. е. его относительную частоту.

Разумеется, сумма абсолютных частот будет равна объему выборки (т. е. количеству опрошенных учеников — 40), а сумма относительных —1.

Еще более наглядной формой представления результатов выборки является их графическое изображение. Для

Рис. 8.4

этого используется так называемый полигон частот — линейная диаграмма, на которой по горизонтальной оси откладываются различные значения, полученные в выборке, а по вертикальной — их относительная частота. После этого полученные точки соединяются ломаной линией (отсюда и название — полигон в переводе с греческого означает многоугольник). Полигон частот для примера 8.2 изображен на рисунке 8.4.

Пример 8.3. На школьниках 1 «А» класса было проведено исследование для выяснения того, сколько весит портфель первоклассника. В результате взвешиваний был получен следующий числовой ряд (вес каждого портфеля в кг):

2,1; 2,45; 1,9; 2,6; 3,1; 1,95; 3,4; 4,3; 1,15; 2,7; 2,2; 3,2; 2,4; 2,2; 1,8; 1,5; 2,4; 2,25; 2,6; 1,75.

Чем принципиально отличаются результаты этой выборки от примера 8.2? Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем составить для нее таблицу частот:

Вес портфеля (в кг)

Абсолютная частота

Относительная частота

1,15

1

0,05

1,5

1

0,05

1,75

1

0,05

1,8

1

0,05

1,9

1

0,05

1,95

1

0,05

2,1

1

0,05

2,2

2

0,1

2,25

1

0,05

2,4

2

0,1

2,45

1

0,05

Окончание табл.

Вес портфеля (в кг)

Абсолютная частота

Относительная частота

2,6

2

0,1

2,7

1

0,05

3,1

1

0,05

3,2

1

0,05

3,4

1

0,05

4,3

1

0,05

Как видите, частота каждого значения оказалась равной 1 или 2. Это неудивительно, ведь точные совпадения в такой выборке маловероятны, а если измерять вес портфелей еще точнее, то совпадений не будет вовсе. Ясно, что составлять для такой выборки таблицу частот или рисовать полигон бессмысленно — никакого наглядного представления мы при этом не получим.

В такой ситуации для представления результатов выборки используют интервальную таблицу частот: весь диапазон значений выборки разбивают на интервалы (чаще всего равные) и подсчитывают частоту попадания в каждый интервал. Вот как будет выглядеть такая таблица в нашем примере, если разбить диапазон от 1 до 5 кг на четыре равных интервала:

Вес портфеля (в кг)

Абсолютная частота

Относительная частота

от 1 до 2

6

0,3

от 2 до 3

10

0,5

от 3 до 4

3

0,15

от 4 до 5

1

0,05

При попадании значения на границу интервалов его относят к какому-то одному из них (например, левому), чтобы не считать дважды. Так, если бы у кого-то из пер-

воклассников портфель весил ровно 3 кг, мы включили бы это значение в интервал от 2 до 3 кг.

Данные интервальной таблицы частот принято представлять уже не полигоном, а гистограммой частот: по горизонтальной оси откладываются интервалы значений, а над каждым интервалом строится столбик, площадь которого равна относительной частоте попадания в данный интервал. Обратите внимание: именно площадь, а не высота. Хотя, если интервалы равные, то высоты всех столбиков отличаются от соответствующих частот только постоянным множителем — длиной интервала. Гистограмма частот для примера 8.3 изображена на рисунке 8.5.

Рис. 8.5

В некоторых задачах таблицу частот удобно дополнить еще одной характеристикой, получившей название накопленной частоты. Рассмотрим ее использование на примере.

Пример 8.4. Перед вами еще одна интервальная таблица частот — распределение семей по уровню доходов:

Доход на человека (в р.)

Относительная частота

менее 500

2%

от 500 до 1000

6%

Окончание табл.

Доход на человека (в р.)

Относительная частота

от 1000 до 1500

7%

от 1500 до 2000

12%

от 2000 до 2500

36%

от 2500 до 3000

27%

свыше 3000

10%

Предположим, вы услышали по телевизору фразу: «Около 12% семей живет сейчас за чертой бедности». Попробуем определить по имеющейся у нас таблице эту «черту». Для этого нам придется суммировать относительные частоты в правом столбце таблицы до тех пор, пока мы не наберем сумму частот, превышающую 12%. Остановимся в этой строке и посмотрим, чему в это время равно значение в первом столбце — от 1000 до 1500 рублей. Если мы хотим определить эту черту более точно, поделим отрезок от 1000 до 1500 в нужной пропорции. Для этого заметим, что к началу этого отрезка сумма частот составляла 8%, а к концу стала равна 15%. Значит, интересующее нас значение х можно найти из пропорции:

1285 рублей — это и есть та самая черта, которую диктор назвал «уровнем бедности».

Решая эту задачу, мы должны были производить накопительное суммирование относительных частот до тех пор, пока не будет достигнут заданный уровень — 12%. Поскольку эти результаты можно использовать и для решения других задач, удобно хранить полученные результаты — накопленные частоты — в отдельном столбце таблицы:

Доход на человека (вр.)

Относительная частота

Накопительная частота

менее 500

2%

2%

от 500 до 1000

6%

8%

от 1000 до 1500

7%

15%

от 1500 до 2000

12%

27%

от 2000 до 2500

36%

63%

от 2500 до 3000

27%

90%

свыше 3000

10%

100%

Отметим, что последняя накопленная частота всегда равна 1 (или 100%). Объясните сами, почему.

А

8.1. В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учет размеров купленной обуви. Были получены следующие результаты: 43, 42, 42, 41, 44, 40, 43, 39, 42, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42,43,44, 44,41,42.

а) Представьте эти данные в виде таблицы абсолютных и относительных частот.

б) Постройте полигон относительных частот.

в) Какой размер обуви, судя по этой выборке, наиболее распространен? Какой процент мужчин его носит?

8.2. В том же исследовании, о котором шла речь в предыдущей задаче, регистрировались также цены на проданную обувь (в рублях): 1200, 1110, 2300, 890, 320, 1200, 560, 1340, 1400, 1050, 1050, 4700, 3200, 2900, 2100, 2450, 890, 1110, 1200, 1200, 2300, 1050, 1400, 1200, 890, 320, 1320, 890, 1100, 1050.

а) Представьте эти данные в виде интервальной таблицы абсолютных и относительных частот, разбив диапазон цен от 0 до 5000 рублей на интервалы длиной по 1000 рублей.

б) Постройте гистограмму относительных частот.

в) Какой интервал цен оказался самым популярным?

г)* Общая стоимость всей проданной за день обуви составила 43 690 р. (это сумма всех чисел, приведенных в условии задачи). Как хотя бы приближенно получить этот результат по составленной вами интервальной таблице абсолютных частот? Получите его и сравните с точным значением суммы. Чем объясняется полученная разница?

8.3. Заполните в данной таблице столбец абсолютных частот, используя относительные и зная, что объем выборки равен 60:

Значения ряда

Абсолютная частота

Относительная частота

1

0,05

2

0,1

3

0,25

4

0,35

5

0,2

6

0,05

8.4. Заполните в данной таблице столбец относительных частот, используя накопленные:

Значения ряда

Абсолютная частота

Относительная частота

1

0,2

2

0,4

3

0,5

4

0,65

5

0,95

6

1

8.5. Группу из 20 восьмиклассников опросили, какое количество времени они тратят на приготовление домашних заданий. Их ответы представлены на гистограмме:

Рис. 8.6

Представьте эти данные в виде интервальной таблицы абсолютных и относительных частот. Сколько учеников тратят на приготовление заданий больше часа?

8.6. Медицинский кабинет школы в течение года вел учет заболеваемости каждого из учеников. В конце года на стенде был вывешен полигон частот, показывающий, как распределились учащиеся по количеству заболеваний за год:

Рис. 8.7

Зная, что в школе учатся 800 учеников, представьте эти данные в виде таблицы абсолютных, относительных и накопленных частот. Сколько учеников в течение года ни разу не болели?

8.7. В задаче 4.9 приведена таблица с результатами 150 экспериментов по вытаскиванию трех шаров из урны, в которой лежат 3 красных, 3 желтых и 3 зеленых шара. Заполните по этим результатам частотную таблицу и нарисуйте полигон частот для величины, равной количеству красных шаров среди вынутых. Какое количество красных шаров встречалось наиболее часто? Попробуйте дать этому объяснение.

8.8. Результаты последнего тиража лотереи «Спортлото», в которой нужно правильно угадать б номеров из 49, таковы:

Количество правильно угаданных номеров

Количество карточек

0

5200

1

4950

2

1626

3

211

4

12

5

1

6

0

а) Сколько карточек участвовало в тираже?

б) Дополните эту таблицу столбцом относительных частот и постройте по ним полигон. Если вы будете участвовать в очередном тираже, то сколько номеров вы, скорее всего, угадаете?

в) Дополните эту таблицу столбцом накопленных частот. Какой приблизительно процент участников лотереи остается без выигрыша, если выигрыши начинают выплачиваться с трех угаданных номеров?

Б

8.9. Следующая таблица содержит данные о количестве забитых мячей в матчах 1-го круга чемпионата России по футболу:

Число забитых мячей

Количество матчей

0

29

1

42

2

40

3

37

4

22

5

9

6

6

7

3

8

1

11

1

а) Дополните ее столбцами относительных и накопленных частот.

б) Постройте полигон относительных частот.

в) В каком проценте матчей было забито не более трех мячей?

г)* Сколько всего команд участвовало в чемпионате?

д)* Можно ли из этой таблицы определить, сколько матчей закончилось вничью? Можно ли оценить количество ничьих снизу и сверху? Найдите эти оценки.

8.10. В интервальной таблице частот показано распределение новобранцев N-ской части по росту:

Рост (в см)

Абсолютная частота

от

до

152

156

2

156

160

6

Окончание табл.

Рост (в см)

Абсолютная частота

от

до

160

164

18

164

168

69

168

172

107

172

176

109

176

180

96

180

184

64

184

188

22

188

192

7

а) Дополните таблицу столбцами относительных и накопленных частот.

б) Постройте гистограмму относительных частот.

в) В части имеется равное количество плащ-палаток трех ростов — коротких, средних и длинных. Распределите их между новобранцами наиболее подходящим образом.

Указание: используя столбец накопленных частот, разбейте новобранцев на три равные по численности «ростовые» группы.

8.11. На рисунке 8.8 представлены три полигона частот, показывающие распределение по возрасту учеников 7 класса, 9 класса и участников школьного хора. Определите, какой из трех полигонов какой выборке соответствует. Ответ обоснуйте.

8.12. Для оценки эффективности новой методики преподавания математики были проведены контрольные работы в обычном классе и в классе, занимающемся по новой методике. В результате были получены следующие оценки:

Обычный: 4, 5, 5, 5, 2, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 5, 3, 5, 5, 4, 5, 2, 5, 5,5,2, 4, 2,4,5,3,4, 4, 5.

Рис. 8.8

По новой методике: 2, 4, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 2, 5, 5, 5, 4,5,5,4,5,4,5,4,5,4,3.

Попробуйте сделать по этим данным обоснованный вывод об эффективности новой методики.

8.13. В таблице представлены данные социологического опроса о количестве времени, проводимого у телевизора:

Среднее время, проводимое у телевизора в день

Доля зрителей (в %)

менее 1 часа

10,1

от 1 до 2

15,1

от 2 до 3

17,1

от 3 до 4

16,0

более 4

41,7

При каких X следующее высказывание не противоречит данным таблицы: «Половина опрошенных проводит

у телевизора до х часов в день, другая половина — свыше X часов»?

Указание: добавьте к таблице столбец накопленных частот.

8.14. В задаче 4.11 мы рассматривали эксперимент по подбрасыванию двух кубиков и выясняли, с какой частотой на них выпадает та или иная сумма очков. Теперь нас будет интересовать произведение очков, выпавших на кубиках. Используя классическое определение вероятности, найдите вероятность каждого из возможных значений произведения:

Произведение

Вероятность

Относительная частота

1

2

36

Проверьте свое предсказание экспериментально, используя таблицу из задачи 4.8 и вычислив по ней относительные частоты каждого из значений.

8.15. Была проведена серия экспериментов по одновременному подбрасыванию десяти монет. В каждом эксперименте подсчитывалось количество монет, выпавших на «орла». Результаты представлены следующим числовым рядом:

5,4,5,6,2,6,8,6,3,4,5,8,5,2,5,2,5,7,3,3,5,4,5,5,6,5,7,6,3,5,5,5, 5,6,5,5,5,4,7,4,5,4,5,7,7,7,6,6,4,4.

а) Составьте по нему таблицу относительных частот и нарисуйте полигон.

б) Какое количество орлов выпадало чаще всего?

в) Как вы думаете, как приблизительно будет выглядеть аналогичный полигон для серии опытов со 100 монетами? Нарисуйте его.

8.16. Перед вами данные из задачи 5.15, полученные в результате 100-кратного бросания монеты: ОООРОРООРРРРРОООРРРООРОРРОРРРОРРОРОРРОРР ОРООООРООООРРРРОРРРРОРОООРРРРОРРОРОРРРРО ОООРОРООРРРРРРООРОРР.

а) Попробуйте по этим данным заполнить таблицу и нарисовать полигон относительных частот для величины, равной количеству бросаний монеты до появления первого орла:

Количество бросаний

Абсолютная частота

Относительная частота

1

2

Указание: разбейте всю серию из О и Р на блоки, которые заканчиваются на О: О О О РО РО О РРРРРО О О РРРО...

б) Какое количество бросаний монеты до появления первого «орла» по этим данным наиболее вероятное? Попробуйте объяснить, почему.

9. Статистические характеристики среднего

Среднее арифметическое. Мода. Медиана

В главе 3 вы уже столкнулись с проблемой, как справедливо выставить оценку за четверть (задача № 3.9). Обсудим эту ситуацию подробнее.

Пример 9.1. Пусть ученик получил в течение года следующие отметки по алгебре:

5,2,4,5,5,4,4,5,5,5.

Какую четвертную отметку поставит ему учитель? Многих школьников волнует подобная проблема, и чаще всего ученики решают ее следующим естественным образом: складывают все отметки и делят сумму оценок на их количество. В нашем случае:

Число 4,4, которое получается в результате, называется средним арифметическим. Поскольку такую оценку в журнал ставить не принято, учитель, скорее всего, округлит ее до 4.

Средним арифметическим (или выборочным средним) ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Среднее арифметическое, конечно, является важной характеристикой ряда чисел, в нашем случае — отметок за четверть, но иногда полезно рассматривать и другие

средние. Например, претендуя на «5», ученик наверняка будет использовать такой аргумент: «Чаще всего в четверти я получал пятерки!». Статистик в этом случае сказал бы иначе: «Модой этого рада является число 5».

Модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Можно сказать, что оно в этом ряду самое «модное».

В отличие от среднего арифметического, которое можно вычислить для любого числового ряда, моды может вообще не быть. Например, пусть тот же ученик получил по русскому языку следующие отметки: 4, 2, 3, 5. Каждая отметка встречается в этом ряду только один раз, и среди них нет числа, встречающегося чаще других. Значит, у этого ряда нет моды. А вот среднее арифметическое, конечно, есть:

Кстати, интересно, в какую сторону учитель округлит это среднее при выставлении оценки за четверть?

Такой показатель, как мода, можно использовать не только в числовых рядах. Вы уже знакомы с социологическими опросами. Если, например, опросить большую группу учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется тот предмет, который будут называть чаще остальных.

Это одна из причин, по которой мода широко используется при изучении спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода — наиболее часто встречающийся заказ. И даже выборы президента, с точки зрения статистики, не более, чем определение моды.

Еще одной важной статистической характеристикой ряда данных является его медиана. Рассмотрим следующий пример.

Пример 9.2. В конце года 11 учеников 8 класса сдавали норматив по бегу на 100 метров. Были зафиксированы следующие результаты:

Ученик

Результат(с)

Данила

15,3

Петя

16,9

Лена

21,8

Катя

18,4

Стае

16,1

Аня

25,1

Оля

19,9

Боря

15,5

Паша

14,7

Наташа

20,2

Миша

15,4

После того как все ребята пробежали дистанцию, к преподавателю подошел Петя и спросил, какой у него результат.

«Самый средний результат: 16,9 секунды», — ответил учитель.

«Почему? — удивился Петя. — Ведь среднее арифметическое всех результатов — примерно 18,3 секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И вообще, результат Кати (18,4) гораздо ближе к среднему, чем мой».

«Твой результат средний, потому что пять человек пробежали лучше, чем ты, и пять — хуже. То есть ты как раз посередине», — сказал учитель.

На языке статистики результат Пети называется медианой исходного ряда данных. Для того чтобы найти медиану ряда чисел, нужно сначала их упорядочить — со-

ставить ранжированный ряд. В нашем примере он выглядит так:

14,7; 15,3; 15,4; 15,5; 16,1; 16,9; 18,4; 19,9; 20,2; 21,8; 25,1.

Средним (шестым по счету) числом является 16,9: пять чисел меньше него, пять чисел больше. Значит, 16,9 — медиана.

А что считать медианой, если школьников будет не 11, а 12 человек?

Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить. Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда, если этот ряд упорядочить.

Достоинством медианы является ее большая по сравнению со средним арифметическим «устойчивость к ошибкам». Представим себе, что в наши наблюдения вкралась досадная оплошность: например, при записи одного из результатов соревнований мы пропустили десятичную запятую и вместо 20,2 написали 202. Тогда среднее арифметическое результатов возрастет с 18,1 секунды до 34,6 секунды, а медиана будет по-прежнему 16,9 секунды!

В разных ситуациях имеет смысл использовать разные средние. Поясним это на примерах. Перед нами ранжированный ряд, представляющий данные о времени дорожно-транспортных происшествий на улицах Москвы в течение одних суток (в виде час:мин):

0:15, 0:55,1:20, 3:20, 4:10, 6:10, 6:30, 7:15, 7:45, 8:40, 9:05, 9:20, 9:40, 10:15, 10:15, 11:30, 12:10, 12:15, 13:10, 13:50, 14:10, 14:20, 14:25, 15:20, 15:20, 15:45, 16:20, 16:25, 17:05, 17:30, 17:30, 17:45, 17:55, 18:05, 18:15, 18:45, 18:50, 19:45, 19:55, 20:30, 20:40, 21:30, 21:45, 22:10, 22:35.

Как и для любого ряда в данном случае мы можем найти среднее арифметическое — оно равно 13:33. Однако вряд ли имеет какой-то смысл утверждение типа «аварии на улицах Москвы происходят в среднем в 13 часов 33 минуты». В то же время, если сгруппировать данные этого ряда в интервалы, можно найти такой временной интервал, когда происходит наибольшее количество ДТП (такую

характеристику называют интервальной модой). Получив такую характеристику, соответствующим службам имеет смысл серьезно проанализировать, почему именно в этот временной интервал происходит наибольшее количество происшествий, и попытаться устранить их причины.

Рассмотрим другой пример. Вот данные, полученные в результате измерения интервалов времени между звонками на АТС (в с):

23,12,14,20,8,24,12,15,23,20,7,2,28,8,9,14,13,19,23,16.

Здесь вполне оправдано вычисление среднего арифметического. Информация о том, что «звонки поступают в среднем через каждые 15,5 секунд, дает наглядное представление о загруженности телефонных линий. Для этого ряда можно найти также и моду, и медиану, однако практического смысла в данном случае они не имеют.

Рассмотрим теперь более трудный, но важный для практических целей вопрос. Мы знаем, что статистические данные могут быть представлены разными способами — например, может быть дана не сама выборка, а таблица частот. Как в этом случае найти среднее арифметическое, моду и медиану?

Конечно, можно пойти по такому пути: восстановить по таблице саму выборку (точнее, ранжированный ряд) и «свести задачу к предыдущей»1. К счастью, в этом случае есть более рациональный способ вычислений.

Вернемся к примеру, с которого начиналась эта глава: ученик получил в течение года следующие отметки по алгебре:

1 По этому поводу есть забавный «математический» анекдот: физику и математику предлагают вскипятить воду, предоставив в распоряжение пустой чайник, газовую горелку и водопроводный кран. Оба решают эту задачу одинаково: зажигают газ, наливают воду в чайник и ставят его на плиту. Тогда им предлагают решить ту же задачу, но при условии, что газ уже зажжен, а вода налита. Физик просто ставит чайник на плиту. Математик гасит горелку, выливает воду и сводит задачу к предыдущей.

Представим эти данные в виде таблицы частот:

Отметка

Абсолютная частота

Относительная частота

Накопленная частота

2

1

0,1

0,1

4

3

0,3

0,4

5

6

0,6

1

ИТОГО

10

1

Мы уже знаем, что для вычисления среднего арифметического надо сложить все числа ряда и поделить полученную сумму на их количество — получится 4,4.

Но если мы знаем, сколько раз повторяется в выборке каждое значение (т. е. знаем его абсолютную частоту), вместо многократного сложения одного и того же числа можно умножить его на абсолютную частоту. Отсюда получается формула для среднего арифметического, использующая абсолютные частоты значений ряда:

Поделим теперь каждое слагаемое в этой формуле на знаменатель — получим формулу для среднего арифметического с помощью относительных частот: 2 • 0,1 + 4 • 0,3 + 5 • 0,6 = 4,4.

Особенно ощутим выигрыш от использования приведенных формул, когда чисел в выборке много и они многократно повторяются.

Что касается моды и медианы, то их вычисление по таблице частот происходит еще проще. Понятно, что для вычисления моды нужно найти максимальное значение в столбце абсолютных или относительных частот и выбрать соответствующее ему значение числового ряда. В нашем случае максимальная частота равна 6, значит, модой выборки будет 5. Если максимальных частот в таблице несколько, то выборка не имеет моды.

Для вычисления медианы нужно найти первое значение накопленной частоты, превосходящее 0,5, и выбрать соот-

ветствующее ему значение числового ряда. В нашем случае накопленная частота впервые превосходит 0,5 только в последней строке таблицы, значит, медианой выборки будет 5. А что будет медианой выборки, если одна из накопленных частот в точности равна 0,5? На этот вопрос попробуйте ответить сами, решив задачу 9.14.

Вычисление числовых характеристик выборки по интервальной таблице частот нуждается в дополнительном комментарии. Ведь в такой таблице первый столбец занимают не числовые значения ряда, а целые интервалы. Каким образом умножать их на абсолютные или относительные частоты? В этом случае вместо интервалов используют их середины, т. е. полусуммы концов интервала.

Пример 9.3. Вычислим, сколько в среднем весит портфель первоклассника по данным, приведенным в примере 8.3 предыдущей главы:

Вес портфеля (в кг)

Абсолютная частота

Относительная частота

от 1 до 2

6

0,3

от 2 до 3

10

0,5

от 3 до 4

3

0,15

от 4 до 5

1

0,05

С использованием абсолютных частот:

С использованием относительных частот:

1,5 • 0,3 + 2,5 • 0,5 + 3,5 • 0,15 + 4,5 • 0,05 = 2,45.

Конечно, при вычислении числовых характеристик выборки по интервальной таблице частот получаются только их приближенные значения, ведь мы заменяем целую группу чисел, попадающих в интервал, его серединой. Но с таким приближением вполне можно смириться: во-первых, величина интервалов небольшая; во-вторых, исходные значения выборки, как правило, лежат как

слева, так и справа от середины; наконец, в-третьих, все статистические характеристики все равно носят изменчивый характер — в другой выборке они получатся иными. Так, в нашем примере с портфелями точное (до грамма) значение среднего арифметического будет 2,283 кг, в чем вы можете убедиться, если посчитаете его не по интервальной таблице частот, а по самой выборке, приведенной в примере 8.3. Но вряд ли такая точность имеет смысл в реальных статистических исследованиях.

Для вычисления моды и медианы по интервальной таблице частот в качестве моды берется целый интервал или его середина (в зависимости от постановки задачи), а для вычисления медианы используют пропорциональное деление отрезка, на котором происходит «перевал» накопленной частоты через 0,5.

Разберем это на нашем примере с портфелями. Переход накопленной частоты через 0,5 происходит на интервале от 2 до 3. При этом в левом конце интервала накопленная частота равна 0,3, а в правом — 0,8 (см. рис. 9.1). Обозначив неизвестную нам медиану через х, составим следующую пропорцию:

Рис. 9.1

откуда л: =2,4.

А

9.1. На стадионе «Локомотив» была зафиксирована следующая посещаемость первых четырех футбольных матчей: 24 ООО, 18 ООО, 22 ООО, 24 ООО.

а) Какова была средняя посещаемость (среднее арифметическое) этих матчей?

б) Сколько зрителей должно посетить следующий матч, чтобы средняя посещаемость выросла?

9.2. Найдите медиану следующих рядов данных:

а) 8, 4, 9, 5, 2; б) -; ±; I

9.3. Президент компании получает 100 ООО р. в год, четверо его заместителей получают по 20 000 р. в год, а 20 служащих компании получают по 10 000 р. в год. Найдите все средние характеристики (среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании. Как вы думаете, какую из этих характеристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях?

9.4. В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по алгебре: три «двойки», две «тройки», четыре «четверки» и одну «пятерку». Найдите среднее арифметическое, моду и медиану этих данных. Какую из полученных характеристик Лена предпочла бы использовать при выставлении годовой оценки?

9.5. Столбчатая диаграмма, изображенная на рисунке 9.2, показывает число книг, прочитанных каждым из ребят за летние каникулы (не путайте ее с гистограммой частот!).

а) Найдите среднее арифметическое, моду и медиану этого ряда данных.

б) Оцените по этим данным, какое приблизительно количество книг прочитали за лето все ученики этой школы, если всего их 1200 человек?

Рис. 9.2

9.6. В таблице приведены данные о возрастном составе участников школьного хора:

Возраст (кол-во лет)

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Число участников

3

6

5

1

2

3

2

2

1

Найдите среднее арифметическое, моду и медиану возрастов участников хора.

9.7. В таблице приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований:

Рост(см)

[160; 165)

[165; 170)

[170; 175)

[175; 180)

[180; 185)

[185; 190)

[190;

Число участников

5

12

19

25

10

7

2

Найдите среднее арифметическое, интервальную моду, медиану ростов участников соревнований.

9.8. На полигоне частот представлены результаты контрольной работы по математике:

Рис. 9.3

Найдите среднее арифметическое, моду и медиану всех оценок.

9.9. Группу из восьмиклассников опросили, какое количество времени они тратят на приготовление домашних заданий. Их ответы представлены на гистограмме:

Рис. 9.4

Найдите по этим данным среднее арифметическое, интервальную моду и медиану для времени, которое восьмиклассники тратят на приготовление домашнего задания.

9.10. Следующая таблица содержит данные о количестве забитых мячей в матчах 1-го круга чемпионата России по футболу:

Число забитых мячей

Количество матчей

0

29

1

42

2

40

3

37

4

22

5

9

6

6

7

3

8

1

11

1

а) Сколько мячей в среднем забивалось за одну игру?

б) Сколько мячей забивалось за одну игру чаще всего?

в) Какой счет в матчах 1-го круга был самый популярный?

9.11. Можно ли утонуть в реке, средняя глубина которой 25 см?

Б

9.12. Каждое число исходного числового ряда увеличили на 10. Что произойдет с его средним арифметическим? модой? медианой?

9.13. Все числа исходного числового ряда увеличили в два раза. Что произойдет с его средним арифметическим? модой? медианой?

9.14. Перед вами таблица частот некоторого ряда, в одной из строк которой накопленная частота в точности равна 0,5:

Значения ряда

Накопленная частота

1

0,2

2

0,4

3

0,5

4

1

а) При каком количестве членов ряда — четном или нечетном — это возможно?

б) Можно ли по этим данным определить медиану ряда? Если да, то чему она равна?

9.15. Имеются выборочные данные по количеству детей в 15 ООО московских семей:

Число детей

Число семей (в тыс.)

0

6074

1

3664

2

3353

3

1359

4 и более

550

а) Какова доля многодетных семей (трое и более детей)?

б) Каков процент бездетных семей?

в) Некоторый пансионат планирует принять летом около 500 московских семей. На скольких детей ему следует рассчитывать свою культурную программу?

9.16. Директор фирмы решил начать борьбу с курением и провел анализ заболеваемости своих сотрудников, выписав количество рабочих дней, пропущенных в течение года по болезни каждым сотрудником. При этом он разбил их на две группы: курящие и некурящие. В результате получилось две выборки:

Курящие: 7, 5, 2, 6, 4, 4, 6, 7, 9, 7, 0, 8, 11, 8.

Некурящие: 3, 3, 6, 0, 3, 6, 2, 2, 4, 5, 13, 4, 3, 2, 2, 3, 4, 5,6,4.

Помогите директору сделать по этим результатам убедительные выводы о вреде курения.

9.17. По данным социологического опроса, проведенного в одном из регионов России, были получены сведения о месячном доходе на одного члена семьи:

Доход на человека (р.)

Доля семей

от

до

0

500

0,04

50

1000

0,19

1000

1500

0,36

1500

2000

0,3

2000

2500

0,08

2500

3000

0,02

3000

3500

0,01

Вычислите и подставьте вместо многоточий соответствующие числовые характеристики выборки.

а) Наиболее часто встречаются семьи с доходом около ... рублей на человека.

б) Средний доход на одного человека в данном регионе составляет... рублей.

в) Около половины семей имеют доход свыше ... рублей на человека.

г) Около ...% всех семей живут за чертой бедности, т. е. имеют доход менее 1000 рублей на человека.

9.18. На одной из станций метрополитена были замерены интервалы времени между поездами и получены следующие результаты (мин:с):

2:16, 1:59, 2:05, 2:10, 2:05, 2:08, 2:03, 1:58, 1:56, 2:12.

Найдите среднее значение интервала времени между поездами метро. Ответ получите в виде мин:с.

Указание: помните, что в минуте 60, а не 100 секунд, поэтому с числами данного ряда нельзя оперировать, как с десятичными дробями.

9.19. Постройте ряд из четырех или более чисел, у которого:

а) все три средние характеристики — среднее арифметическое, мода и медиана — совпадают;

б) все три средние характеристики — среднее арифметическое, мода и медиана — различны;

в) равны между собой только среднее арифметическое и медиана;

г) равны между собой только среднее арифметическое и мода;

д) равны между собой только мода и медиана.

9.20. Дан числовой ряд:

100, 120, 80, 120, 145, 100, 120, 80, 120, 150.

а) Найдите среднее арифметическое, моду и медиану этого ряда.

б)* К этому ряду добавили число х. Найдите среднее арифметическое, моду и медиану нового ряда.

9.21*. Найдите для числового ряда 1, 2, 3, 4, х все возможные значения х, при которых:

а) среднее арифметическое ряда равняется 3;

б) мода равняется 3;

в) медиана равняется 3.

9.22. В таблице представлен возрастной состав учителей в школе № 1:

Возраст

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

[45; 50)

[50; 55)

[55; 60)

[60; 65)

Процент учителей

7

9,5

12

18

22

17,5

10,5

3,5

Через сколько лет около половины из них выйдет на пенсию, если средний возраст, в котором учитель уходит на пенсию, составляет 62 года?

9.23. При подсчете баллов на соревнованиях по фигурному катанию сначала из полученных фигуристом оценок выбрасываются минимальная и максимальная оценки, а затем вычисляется среднее арифметическое оставшихся.

а) Как вы думаете, для чего это делается?

б) Почему нельзя вместо среднего арифметического использовать моду?

в) Как вы думаете, не лучше ли вместо среднего арифметического использовать медиану полученного ряда оценок? Нужно ли будет в этом случае отбрасывать минимальную и максимальную оценку?

9.24. Вова покупает билеты лотереи «Спринт» и каждый раз записывает свой выигрыш (в рублях):

100,250,0,0,1000,0,0,0,100,0,100,0,0,0,100,0,0,0,0,0.

а) Сколько денег он уже проиграл, если цена одного билета — 100 рублей.

б) Оцените приблизительный годовой доход устроителей лотереи, если общее число проданных за год билетов составляет около 500 000.

10. Статистические характеристики разброса

Размах. Дисперсия.

Среднее квадратичное (стандартное) отклонение

В предыдущей главе мы рассмотрели так называемые средние характеристики числового ряда, позволяющие оценить его поведение «в среднем». Но это далеко не всегда полностью характеризует выборку. Например, на планете Меркурий средняя температура +15°. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от -150° до +35°.

Значит, чтобы получить представление о поведении числового ряда, помимо средних характеристик надо знать характеристики разброса, показывающие, насколько значения ряда различаются между собой, как сильно они «разбросаны» вокруг средних. Простейшей такой характеристикой является размах.

Размах — это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных.

Для температуры на Меркурии, например, размах равен 350° — (—150°) = 500°. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.

Размах очень просто вычисляется, но не всегда несет достоверную информацию, так как на его величину может сильно повлиять какое-то одно (возможно, ошибочное) значение статистического ряда.

Вот почему в реальных статистических исследованиях чаще используют другую характеристику разброса, которая сложнее вычисляется, но зато меньше подвержена та-

ким колебаниям. Прежде чем определять эту величину, рассмотрим на примере, какой самый естественный способ вычисления «среднего отклонения от среднего».

Пример 10.1. Дан числовой ряд, который представляет собой стоимость одного литра бензина на 10-ти автозаправочных станциях (в рублях):

10,2; 9,8; 10; 9,9; 10; 10,5; 9,8; 10; 10,2; 9,8.

Найдем среднее арифметическое этих цен:

Самым естественным, на первый взгляд, кажется посчитать отклонение от среднего для каждого члена ряда и затем найти их среднее арифметическое:

Мы получили нуль совсем не случайно: при вычислении «среднего разброса» по такой формуле часть отклонений входит в сумму со знаком «плюс», часть — со знаком «минус», а в сумме всегда получается нуль. Строгое доказательство этого факта вам предлагается провести самостоятельно (задача 10.9).

Какой же выход? Можно суммировать, например, модули отклонений — тогда уж нуля точно не будет. Иногда так и поступают, но с модулем не всегда удобно работать. Поэтому математики решили, что лучше складывать не модули отклонений, а их квадраты — они ведь тоже неотрицательные. Так появилось понятие дисперсии числового ряда.

Дисперсией числового ряда называется среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего арифметического.

Найдем дисперсию числового ряда из нашего примера с ценами на бензин. Среднее арифметическое мы уже вычислили — оно равно 10,02. Найдем теперь дисперсию,

т. е. среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего:

Есть другой способ вычисления дисперсии: нужно сначала вычислить среднее арифметическое самих чисел, затем — среднее арифметическое их квадратов, и наконец, из среднего арифметического квадратов вычесть квадрат среднего арифметического.

Проверим справедливость этой формулы на нашем примере:

Действительно, мы получили тот же самый результат.

У дисперсии есть один существенный недостаток: если исходные значения ряда измеряются в каких-то единицах (например, в рублях), то у дисперсии эти единицы возводятся в квадрат («квадратные» рубли). В нашем примере среднее значение цены получилось 10 рублей 2 копейки, а вот дисперсия цен — около 4-х ... «квадратных копеек».

Избавиться от таких странных единиц измерения можно, если использовать другую характеристику разброса — стандартное отклонение.

Стандартным (или средним квадратичным) отклонением числового ряда называется квадратный корень из дисперсии.

За стандартным отклонением в статистике закрепилось «стандартное обозначение»: его всегда обозначают греческой буквой а («сигма»). В рассмотренном примере стандартное отклонение будет а = 70,0456 « 0,213, т. е. приблизительно 21 коп.

Как и при изучении средних характеристик, попробуем найти характеристики разброса по таблице частот. Воспользуемся для этого уже знакомым нам примером 9.1 из предыдущей главы.

Пример 10.2. Найдем размах, дисперсию и стандартное отклонение отметок ученика, заданных следующей частотной таблицей:

Отметка

Абсолютная частота

Относительная частота

Накопленная частота

2

1

0,1

0,1

4

3

0,3

0,4

5

6

0,6

1

ИТОГО

10

1

Проще всего вычислить размах — он равен разности последнего и первого значений числового ряда (ведь в таблице частот эти значения упорядочены), т. е.

5-2 = 3.

Дисперсию, как и среднее арифметическое, можно вычислять с использованием либо абсолютных, либо относительных частот. А если вспомнить, что у нас уже есть две формулы для определения дисперсии, получаем целых четыре разных способа вычисления (среднее арифметическое мы уже вычислили в примере 9.1 — оно равно 4,4):

1-й способ:

2-й способ:

3-й способ:

4-й способ:

Естественно, во всех четырех случаях получаем одинаковый результат: дисперсия равна 0,84. Стандартное отклонение будет л/0,84 ~ 0,92.

Отметим еще, что если для представления выборки используется интервальная таблица частот, то как и при вычислении средних характеристик, в качестве значений выборки берут середины интервалов.

А

10.1. Найдите размах, дисперсию и стандартное отклонение числового ряда:

1,2,3,4,5.

Для каких значений этого ряда их отклонение от среднего не превышает стандартного отклонения?

10.2. а) Размах некоторого числового ряда равен 0. Что можно сказать про этот ряд?

б) Дисперсия некоторого числового ряда равна 0. Что можно сказать про этот ряд?

10.3 (продолжение задачи 9.5). Столбчатая диаграмма, изображенная на рисунке 10.1, показывает число книг, прочитанных каждым из ребят за летние каникулы.

Определите имена тех ребят, для которых отклонение количества прочитанных ими книг от среднего арифметического превышает стандартное отклонение.

Рис. 10.1

10.4 (продолжение задачи 9.6). В таблице приведены данные о возрастном составе участников школьного хора:

Возраст (кол-во лет)

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Число участников

3

6

5

1

2

3

2

2

1

Вычислите размах, дисперсию и стандартное отклонение возрастов участников школьного хора.

10.5 (продолжение задачи 9.7). В таблице приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований:

Рост (см)

[160; 165)

[165; 170)

[170; 175)

[175; 180)

[180; 185)

[185; 190)

[190;

Число участников

5

12

19

25

10

7

2

Вычислите размах, дисперсию и стандартное отклонение ростов участников соревнований. Определи-

те процент участников, у которых рост попадает в интервал:

а) (т — о, m + а);

б) (т -2с, m + 2а);

в) (т — За, m + За),

где m — среднее арифметическое, а а — стандартное отклонение.

10.6. В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по алгебре: одну «двойку», три «тройки», четыре «четверки» и три «пятерки», а Наташа — одну «двойку», четыре «тройки», четыре «четверки» и две «пятерки». Кто из них учится стабильнее? Какие числовые характеристики нужно вычислить, чтобы ответить на этот вопрос?

10.7. Президент компании «Альфа» получает 100 ООО р. в год, четверо его заместителей получают по 20 000 р. в год, а 20 служащих — по 10 000 р. в год.

Президент компании «Бета» получает 200 000 р. в год, пятеро его заместителей получают по 20 000 р. в год, а 20 служащих — по 9 000 р. в год.

а) Не используя расчетов на бумаге, попробуйте определить, на каком предприятии больше средний уровень зарплаты, а на каком — разброс зарплаты.

б) Проверьте свои предположения, вычислив соответствующие числовые характеристики числовых рядов.

г) В какой из этих двух компаний вы бы предпочли работать?

10.8. В таблице приведены расходы студента за 4 дня:

День

Понедельник

Вторник

Среда

Четверг

Расходы (р.)

18

25

24

25

Определите, какая статистическая характеристика находится в каждом из следующих заданий (подставьте ее название вместо многоточия):

Б

10.9. Докажите, что для произвольного числового ряда хи х2, х3, ... хп среднее отклонение от среднего равно нулю, т. е.:

где буквой а обозначено среднее арифметическое данного ряда.

10.10. Докажите, что для произвольного числового ряда хь х2, х3, ... хп дисперсия может быть вычислена по формуле:

где буквой а обозначено среднее арифметическое данного ряда.

10.11. Каждое число исходного числового ряда увеличили на 10. Что произойдет с его размахом? дисперсией? средним квадратичным отклонением?

10.12. Все числа исходного числового ряда увеличили в два раза. Что произойдет с его размахом? дисперсией? средним квадратичным отклонением?

10.13. Ребятам было поручено провести статистические наблюдения над ростом одноклассников. Коля записал рост всех ребят в сантиметрах:

162, 181, 179,...

а Оля — в метрах:

1,62; 1,81; 1,79;...

Затем они посчитали средний рост, дисперсию и стандартное отклонение. У Коли эти результаты составили соответственно 172,16 и 4. Какие результаты получила при этом Оля?

Указание: используйте результаты задачи 10.12.

10.14. Для ускорения вычислений Оля из предыдущей задачи ввела свои данные в компьютер, но при наборе одного из чисел ошиблась, неправильно поставив десятичную запятую:

1,62; 18,1; 1,79;...

Таким образом, рост одного из ее одноклассников увеличился в 10 раз и получился больше 18 метров. Оцените, как это повлияло на вычисление среднего арифметического, моды, медианы, размаха, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.

10.15. Числовой ряд содержит 10 единиц и некоторое число х:

1, 1,1, 1,1, 1,1, 1,1,1, X.

Найдите для этого ряда все известные вам числовые характеристики: среднее арифметическое, моду, медиану, размах, дисперсию, среднее квадратичное отклонение. Какие из них зависят от jc? Нарисуйте графики этих зависимостей.

10.16*. Докажите, что для любого числового ряда стандартное отклонение не больше, чем его размах.

11. Вероятность и комбинаторика

Многоэтапный эксперимент.

Выбор с возвращением и без.

Правило умножения. Правило сложения.

Правило вычитания. Факториал.

Число сочетаний из N по k

Вы уже умеете вычислять вероятности многих событий, не прибегая к статистическому эксперименту, a priori. Для этого нужно только, чтобы все исходы эксперимента были равновозможны. Напомним, что в этом случае вероятность любого события вычисляется как дробь

где п — число всех возможных исходов эксперимента, m — число исходов, при которых наступает событие А (они называются благоприятными для А).

Самый надежный способ найти п и т — выписать все возможные и все благоприятные исходы, придумав для них подходящие обозначения. Этим вы занимались в предыдущих главах. Но во многих задачах исходов оказывается слишком много, тогда на помощь приходит комбинаторика — наука о переборе и подсчете комбинаций.

Рассмотрим случайный эксперимент из нескольких действий, производимых одновременно или друг за другом (такие эксперименты называют многоэтапными).

Например:

а) одновременно бросают две монеты;

б) два раза бросают одну и ту же монету;

в) друг за другом из колоды вынимают две карты, не возвращая карту обратно («выбор без возвращения»);

г) друг за другом из колоды вынимают две карты, возвращая карту обратно («выбор с возвращением»).

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ: если первое действие в эксперименте можно выполнить а способами, после чего второе действие — Ь способами, после чего третье — с способами и т. д., то общее число исходов всего эксперимента будет

п = а*Ь*ст....

Например, в рассмотренных экспериментах:

а) одновременно бросают две монеты:

« = 2*2 = 4;

б) два раза бросают одну и ту же монету:

п = 2-2 = 4;

в) друг за другом из колоды вынимают две карты, не возвращая карту обратно («выбор без возвращения»):

л = 36* 35 = 1260;

г) друг за другом из колоды вынимают две карты, возвращая карту обратно («выбор с возвращением»):

п = 36 -36= 1296.

Пример 11.1. Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что они одного цвета? Решим эту задачу в двух вариантах.

а) «Выбор без возвращения».

Подсчитаем общее количество исходов по правилу умножения: для первой карты у нас 36 вариантов, для второй — 35 вариантов (одну уже вытянули). Отсюда общее количество исходов

« = 36-35 = 1260.

Теперь подсчитаем исходы, при которых обе карты одного цвета: для первой карты — 36 вариантов, для вто-

рой карты (если мы хотим, чтобы она была того же цвета, что и первая) — 17 вариантов. Отсюда количество благоприятных для нашего события исходов будет

m = 36* 17 = 612.

И искомая вероятность

б) «Выбор с возвращением».

Отличие от пункта а) только в том, что можно повторно вытянуть ту же самую карту. Поэтому общее количество исходов будет

,2 = 36*36= 1296,

а количество благоприятных

« = 36* 18 = 648.

Вероятность, что карты окажутся одного цвета,

Попробуйте объяснить, почему в пункте а) эта вероятность оказалась меньше.

Следующее правило выглядит совсем очевидным, но его применение оказывается полезным при решении многих комбинаторных задач.

ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ: если все исходы эксперимента можно разбить на непересекающиеся классы, содержащие а, Ь, с, ... возможных исходов, то общее число исходов всего эксперимента будет

л = а + о + с+....

Пример 11.2. На книжной полке случайным образом расставляют 6 учебников. Какова вероятность, что учебник математики и учебник литературы окажутся рядом?

Общее количество всех возможных вариантов расположения 6-ти книг на полке легко подсчитать с помощью правила умножения: на первое место можно пос-

тавить любую из 6 книг, на второе — любую из 5 оставшихся и т. д. Всего получаем

6»5в4#Зв2*1 = 6! исходов.

Напомним, что через N1 обозначается факториал числа N, равный произведению всех натуральных чисел от 1 до N:

и т. д. При этом договорились считать, что 0! = 1.

А вот для подсчета благоприятных исходов одного правила умножения будет уже недостаточно: поставить на полку учебник математики можно 6-ю различными способами, после чего поставить рядом с ним учебник литературы можно ... одним или двумя различными способами. Это зависит от того, куда мы поставили учебник математики —- на крайнее место или нет.

Вот в этом случае и используют правило сложения. Разобьем все множество благоприятных исходов на два класса.

1-й класс: учебник математики стоит на краю, учебник литературы рядом с ним;

2-й класс: учебник математики стоит где-то в середине, учебник литературы рядом с ним.

Заметим, что эти классы действительно не пересекаются и исчерпывают все множество благоприятных исходов — ведь, в конце концов, учебник математики стоит либо на краю, либо где-то в середине.

Посчитаем число исходов в первом классе: место с краю для учебника математики можно выбрать двумя способами, после чего учебник литературы можно поставить рядом с ним только одним способом, после чего ос-

тавшиеся 4 места можно занять 4! способами. Значит, в этом классе будет

2 • 1 • 4! = 48 исходов.

Посчитаем число исходов во втором классе: место в середине для учебника математики можно выбрать 4-мя способами, после чего учебник литературы можно поставить рядом с ним 2-мя способами, после чего оставшиеся 4 места можно занять 4! способами. Значит, в этом классе будет

4* 2е4! = 192 исхода.

Итого 240 благоприятных исходов. Вероятность интересующего нас события будет

Можно сформулировать и комбинаторное ПРАВИЛО ВЫЧИТАНИЯ: для любого события число благоприятных исходов можно найти вычитанием числа неблагоприятных исходов из числа всех исходов эксперимента. По существу мы уже использовали это правило при вычислении вероятности противоположного события (см. главу 6): если событие В противоположно событию А, то его вероятность может быть найдена по формуле:

Эта формула оказывается особенно полезной в задачах, где найти вероятность противоположного события проще, чем вероятность заданного события.

Пример 11.3. Вы получаете 6 карт из колоды. Какова вероятность, что среди них есть хотя бы один туз?

Обозначим событие, о котором идет речь в задаче, через А и найдем вероятность противоположного события

В = {среди шести вынутых карт нет ни одного туза}.

Число всех равновозможных исходов данного эксперимента будет

л = 36-35*34*33-32*31,

а число исходов, благоприятных для события В: 32-31 -30-29-28-27.

32 • 31 • 30 • 29 • 28 • 27

Отсюда Р(В) = 36.35.34.33.32.31 й 0,465, а значит, /ХЛ) = 1 - 0,465 = 0,535.

Вообще запомните, что во всех задачах, где в условии присутствует фраза «хотя бы один ...», проще найти ответ через вероятность противоположного события — «ни один ...».

При вычислении вероятностей самых разных событий возникает необходимость определить, сколькими способами можно выбрать к предметов из N? Например:

а) одновременно вынимают две карты из колоды;

б) наугад зачеркивают 6 чисел из 49;

в) случайно отбирают трех человек из 25.

Число комбинаций, о которых идет речь в этих экспериментах, часто используется в математике. Оно называется числом сочетаний из N по к и обозначается CkN (читается «цэ из эн по ка»).

Чтобы найти, чему оно равно, применим правило умножения: первый предмет можно выбрать N способами, после этого второй предмет — (N-1) способом, следующий— (N—2) способами и т.д. Последний, к-й по счету предмет можно выбрать (N— к + 1) способами. Значит, по правилу умножения всего таких вариантов выбора будет:

Но это еще не ответ: дело в том, что мы учитывали при таком подсчете не только состав выбранной комбинации, но и порядок, в котором выбираются предметы. Поэтому каждое сочетание из к предметов было подсчитано к\ раз. Нас же интересует только состав выбранного множества, поэтому для получения ответа нужно поделить найденное

выражение на к\ (если угодно — применить «правило деления»):

Теперь можно найти общее количество исходов в каждом из приведенных выше экспериментов а)—в): а) одновременно вынимают две карты из колоды:

б) наугад зачеркивают 6 чисел из 49-ти:

в) случайно отбирают трех человек из 25:

Пример 11.4. Класс, в котором учится 12 девочек и 12 мальчиков, случайным образом делят на две равные группы для занятий на компьютерах. Какова вероятность того, что мальчиков и девочек в них окажется поровну?

Переформулируем задачу: из 24 учеников этого класса случайно отбирают 12. Какова вероятность, что среди них ровно 6 мальчиков? (Убедитесь, что это действительно та же задача!) Всего способов выбора 12 человек из 24 будет

причем все эти способы равновозможны. Благоприятные исходы: среди выбранных 12 человек находится ровно 6 мальчиков. Как сформировать любой такой исход? Сначала нужно выбрать любые 6 из 12 мальчиков, а потом добавить к ним любые 6 из 12 девочек. Общее количество таких вариантов выбора можно найти по правилу умножения:

Искомая вероятность будет равна

А

11.1. Одновременно бросают 3 монеты.

а) Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента?

б) С какой вероятностью все монеты выпадут на одну сторону?

в) С какой вероятностью выпадет хотя бы один «орел»?

11.2. Одновременно бросают 2 кубика.

а) Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента?

б) Какова вероятность того, что на кубиках выпадет равное количество очков?

в) Какова вероятность, что число, выпавшее на первом кубике, больше числа, выпавшего на втором кубике?

г) Какая сумма будет выпадать чаще — 5 или 6?

д) Какое самое вероятное значение суммы выпавших очков?

11.3. Одновременно бросают 6 кубиков.

а) Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента?

б) Какова вероятность того, что сумма очков на кубиках меньше 8?

11.4. Из коробки с двумя белыми и двумя черными шарами вынимают, не глядя, два шара. Какова вероятность того, что они оба белые?

11.5. В ящике 2 красных и 2 синих шара. Какова вероятность вынуть из него два шара одного цвета? Выберите правильный ответ: а) -; б) -; в) -. Какими неправильными рассуждениями можно получить другие два ответа?

11.6. Кодовый замок имеет 10 кнопок с цифрами от 0 до 9 и открывается одновременным нажатием на определенные три кнопки. Какова вероятность, что человеку, не знающему код, удастся открыть его с первого раза?

11.7. Замок на сейфе открывается набором определенной комбинации из 5 цифр от 0 до 9 (при этом учитывается порядок цифр в комбинации). С какой вероятностью мы откроем сейф в течение часа, если будем тратить на набор каждой новой комбинации около секунды?

11.8. Какова вероятность, что в компании из 12 человек все дни рождения придутся на разные месяцы года?

11.9. Дед Мороз и Снегурочка празднуют Новый год в компании из 10 человек (их двое да еще восемь). Какова вероятность, что их места окажутся рядом, если вся компания случайным образом садится:

а) за круглый стол; б) на диван?

11.10. Одновременно бросают 3 кубика. Какова вероятность того, что:

а) на всех кубиках выпадут одинаковые числа;

б) все числа на кубиках разные;

в) выпало ровно два одинаковых числа?

11.11. Какова вероятность того, что при игре в домино вы не получите при раздаче ни одного дубля (каждый из четырех игроков получает по 7 «доминошек»)?

11.12. В урне 10 шаров. Вероятность вытащить из нее два белых шара равна —. Сколько в урне белых шаров?

11.13. Номера автомашин состоят из трех цифр. Найдите вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не будет содержать пятерок.

11.14. Машина двухлетняя сестра Ира играет в кубики.

а) На трех кубиках написаны буквы А, И, Р. С какой вероятностью она может получить из них слово ИРА

(т. е. первым окажется кубик с буквой И, вторым — с буквой Р, третьим — с А)?

б) С какой вероятностью она может получить из кубиков с буквами А, А, М, Ш слово МАША?

в) С какой вероятностью она может получить из кубиков с буквами A, A, M, M слово МАМА?

Б

11.15. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется набирать номер не более трех раз.

11.16. Некто задумал число от 1 до 10. Вы должны угадать его с трех попыток.

а) Каковы ваши шансы на успех?

б) Сколько вам нужно попыток, чтобы шансы были больше -? 2

11.17*. Какое наименьшее число раз нужно:

а) бросить монету, чтобы вероятность появления «орла» была больше -;

б) бросить кубик, чтобы вероятность появления шестерки была больше -;

в) вытянуть карту из колоды (без возвращения), чтобы вероятность появления туза была больше i?

11.18. Среди билетов лотереи «Спринт» половина выигрышных. Сколько билетов надо купить, чтобы вероятность хоть что-то выиграть была больше 0,95?

11.19. На один ряд из 7 мест случайным образом рассаживаются 4 мальчика и 3 девочки. Какова вероятность того, что все девочки будут сидеть рядом?

11.20*. За круглый стол садятся 5 мальчиков и 5 девочек. Какова вероятность того, что никакие два мальчика

и никакие две девочки не окажутся рядом, если места занимаются ими случайно?

11.21. Колоду из 36 карт раздают на двоих. Какова вероятность, что тузов у них окажется поровну?

11.22. В классе, где учится 10 мальчиков и 10 девочек, разыгрывают по жребию 10 билетов на концерт. Какова вероятность того, что на концерт пойдут поровну мальчиков и девочек?

11.23*. Восемь футбольных команд тянут жребий, кому с кем играть в четвертьфинале. Победители этих матчей выходят в полуфиналы, а победители полуфиналов — в финал. Команда «Спартак» самая сильная, она обыгрывает любого из своих соперников. Команда «Динамо» обыгрывает любого, кроме «Спартака». Какова вероятность, что в финале встретятся «Спартак» и «Динамо»?

11.24*. В классе 10 мальчиков и 10 девочек. Их случайно рассадили за 10 парт. Какова вероятность того, что за каждой партой оказались мальчик и девочка?

11.25. В шкафу находится 5 пар ботинок различных размеров. Из них случайно выбирают 2 ботинка. Найдите вероятность того, что они парные.

11.26. Найдите вероятность того, что случайным образом поставленные на шахматное поле:

а) две ладьи не бьют друг друга; б)* два слона не бьют друг друга.

11.27. Винни-Пух и Пятачок делят пополам 10 конфет, две из которых с сюрпризом. Пусть N— число конфет с сюрпризом, доставшихся Винни-Пуху. Найдите вероятности следующих событий:

А = {N = 0};

В = {N = I};

С = {N = 2}.

11.28. Проводится серия испытаний с подбрасыванием монеты. Найдите и сравните вероятности событий:

А = {после 2 испытаний число выпавших «орлов» равно числу «решек»};

В = {после 3 испытаний число выпавших «орлов» равно числу «решек»};

С = {после 20 испытаний число выпавших «орлов» равно числу «решек»}.

Как вы думаете, как будет вести себя эта вероятность с ростом числа испытаний?

11.29*. Монету бросают 10 раз подряд. Какова вероятность, что «орлов» выпадет больше, чем «решек»?

11.30*. Монету бросают 100 раз подряд. Найдите вероятность того, что количество «орлов» нечетно. Изменится ли ответ, если монету бросают 101 раз?

12. Случайные числа и компьютер

Моделирование случайного эксперимента. Таблица случайных чисел. Датчик случайных чисел. Электронная таблица. Программа. Случайная перестановка

Классическое определение вероятности позволяет вычислить вероятность случайного события без проведения серии экспериментов. Но, к сожалению, применить его можно только к опытам с равновозможными исходами, — да и тогда не так-то просто эти исходы пересчитать.

Вот почему в этой главе мы снова вернемся к статистическому определению вероятности. Только на этот раз мы не будем бросать жребий или тасовать колоду карт. Мы научимся моделировать случайный эксперимент.

Моделирование играет в современной науке важнейшую роль. Наблюдение реальных процессов зачастую не только дорого, но и просто невозможно. Именно благодаря моделированию можно правильно рассчитать траекторию космического аппарата или спланировать бюджет страны на следующий год. Правильно построенная модель позволяет изучить все особенности реального процесса и даже предсказать его поведение в будущем.

Это в полной мере касается и моделирования случайных экспериментов. Инструментами такого моделирования могут служить обыкновенная монета, кубик, рулетка — короче говоря, какой-нибудь регулярный источник случая. Еще удобнее использовать в качестве такого источника специальную таблицу — таблицу случайных чисел.

Чаще всего в этой таблице приводится последовательность случайных цифр от 0 до 9, которая была получена в результате многократного повторения следующего эксперимента: в ящике лежит 10 шаров с написанными на них цифрами от 0 до 9; наугад вытаскиваем один шар и записываем его номер, после чего возвращаем шар обратно в ящик.

Пример такой таблицы приведен в конце книги. Покажем, как с ее помощью можно «поставить» многие из рассмотренных выше случайных экспериментов.

Пример 12.1. С помощью таблицы случайных чисел проведем 50 случайных экспериментов по подбрасыванию кубика.

Для этого будем последовательно выбирать из таблицы цифры:

если это 1, 2, 3, 4, 5, 6 — будем считать это числом очков, выпавших на кубике;

если 0, 7, 8, 9 — будем эту цифру пропускать.

Таким образом, для получения 50 экспериментов нам может понадобиться больше 50 цифр (для приведенной в приложении таблицы — 77 цифр).

По результатам эксперимента получим таблицу.

Исход

Подсчет повторений

Абсолютная частота

Относительная частота

1

m m 1

11

0,22

2

m

5

0,10

3

m un

9

0,18

4

III! if/1 il il titî

10

0,20

5

m 1

6

0,12

6

m un

9

0,18

ИТОГО:

50

1

Сравните ее с данными «натурного» эксперимента, приведенными в примере 4.1.

Если у вас есть компьютер, то таблицу случайных чисел может заменить датчик случайных чисел, которым снабжены многие программы и языки программирования. Такой датчик по вашему требованию выдает случайное число. При этом оно не обязательно лежит в диапазоне от 0 до 9, как в таблице. Чаще всего этот диапазон вы можете «заказать» датчику сами.

Компьютер может мгновенно повторить указанный эксперимент любое число раз, да еще подсчитать частоту интересующего вас события (нужно только научиться его об этом просить, т. е. писать программы).

Пример 12.2. Смоделируем те же 50 бросаний кубика с помощью компьютера.

Решение 1. Используем для этих целей электронную таблицу Excel. В этой таблице есть функция СЛЧИСО, которая дает случайное число от 0 до 1 в виде десятичной дроби. Если умножить его на 6, получим случайное число от 0 до 6. Остается взять от него целую часть и прибавить единицу — получится случайное целое число от 1 до 6:

=ОКРУГЛВНИЗ(СЛЧИС()*6;0)+1.

Для моделирования 50 бросаний кубика заполним этой формулой любые 50 ячеек электронной таблицы, например, ячейки AI : А50:

А

1

=ОКРУГЛВНИЗ(СЛЧИС()*6;0)+1

2

=ОКРУГЛ ВНИЗ(СЛЧИС()*6;0)+1

50

=ОКРУГЛВНИЗ(СЛЧИС()*6;0)+1

Несмотря на одинаковую формулу, мы получим в указанных ячейках 50 случайных чисел от 1 до 6, которые можно интерпретировать, как результаты 50-ти экспериментов с кубиком.

С помощью таблицы Excel можно автоматически найти абсолютную и относительную частоту каждого исхода в наших испытаниях. Это может выглядеть, например, так.

А

В

С

D

1

4

1

=СЧЕТЕСЛИ(А1:А50;Т')

=С1/С7

2

1

2

=СЧЕТЕСЛИ(А1 :А50;"2")

=С2/С7

3

3

=СЧЕТЕСЛ И(А1 :А50;"3")

=СЗ/С7

4

4

=СЧЕТЕСЛИ(А1:А50;"4И)

=С4/С7

5

5

=СЧЕТЕСЛИ(А1:А50;"5")

=С5/С7

6

6

=СЧЕТЕСЛИ(А1:А50;"6")

=С6/С7

7

=СУММ(С1:С6)

=СУММ(D1:D6)

50

3

В столбце А расположены 50 случайных чисел — результатов эксперимента, в столбце В— сами исходы, в столбце С— их абсолютные частоты, в столбце D — относительные.

Решение 2. В любом языке программирования есть датчик случайных чисел. Например, в языке Turbo Pascal эта функция называется random(N) и дает целое случайное число от 0 до N — 1. Значит, для получения искомой последовательности достаточно написать программу, которая 50 раз вызовет функцию random(6)+l:

А

1

4

2

1

...

50

3

program Cube;

const N=50; {Количество испытаний} var i,r:integer;

Rarray[1 ..6] of integer; {Массив абсолютных частот}

begin

for i:=1 to N do begin

r:=random(6)+1 ; {Получение очередного исхода} write(r};

inc(F[r]); {Подсчет частоты} end; writeln;

for i:=1 to 6 do

writeln(i:2,F[i]:6,F[i]/N:8:3) end.

Программа выдаст на экран исходы 50 бросаний: 11622521331316126352565212325231625636511141415455

и посчитает абсолютную и относительную частоту каждого исхода:

1 13 0,260

2 10 0,200

3 7 0,140

4 3 0,060

5 10 0,200

6 7 0,140

Интересно, что при повторном запуске эта программа выдаст ту же последовательность случайных исходов, чего никогда не бывает с настоящим кубиком. От этого недостатка легко избавиться, если провести в самом начале программы так называемую рандомизацию датчика случайных чисел — вызвать процедуру randomize. Теперь каждый новый запуск нашей программы будет давать новую последовательность исходов.

Не всякий случайный эксперимент состоит в получении одного случайного числа, как мы делали это при подбрасывании кубика. В многоэтапном эксперименте таких случайных чисел может быть несколько. К тому же они могут быть каким-то образом связаны друг с другом, на-

пример, все должны быть различны. Такие эксперименты моделировать, конечно, сложнее.

Пример 12.3. Рассмотрим задачу, неоднократно встречавшуюся нам ранее: три человека пришли в ресторан в одинаковых шляпах, сдали их в гардероб, а уходя, надели их наугад. Найдите вероятность события В = {все надели чужие шляпы} с помощью статистического эксперимента.

Попробуем смоделировать ситуацию с помощью компьютера. Для этого нам необходимо разыграть, какую шляпу надел первый господин, какую — второй и какую — третий. Все шляпы занумеруем. Нам нужно получить три случайных числа от 1 до 3, причем все они должны быть различны (ведь в одной шляпе не могут уйти сразу двое!). Такая тройка называется случайной перестановкой.

Если нам удастся смоделировать такую случайную перестановку, то, повторив ее многократно, мы сможем оценить вероятность события В по его частоте. Вот так будет выглядеть программа на Паскале:

program Hats;

const k=3; {Количество человек} var N.i.Rlongint;

j,r,x,Count:integer;

H:array[1..k] of integer;

begin

randomize;

{Задаем число испытаний}

write(,N=,);readln(N);

R=0;

for i:=1 to N do begin

{Генерация случайной перестановки из к чисел}

for j:=1 to kdo H[j]:=j; for j:=kdownto 1 do begin

r:=random(j)+1;

x:=H[]];H[j]:=H[r];H[r]:=x; end;

{Сколько шляп надето на свои головы?} Count:=0;

for j:=1 to к do if H[j]=j then inc(Count); {Подсчет частоты} if Count=0 then inc(F};

end;

writeln(F/N:7:5); end.

А вот ее результаты при возрастающих значениях N:

N

Относительная частота

10

0,20000

100

0,29000

1000

0,35100

10000

0,34000

100000

0,33316

Заметьте, что компьютер дал возможность почти мгновенно провести 100 000 экспериментов! Разумеется, проделать то же самое с реальными шляпами невозможно: даже если тратить на один эксперимент всего секунду, то понадобится около 27 часов непрерывных надеваний и снятий шляп.

По таблице несложно догадаться, что частота события В приближается к К Еще одно достоинство этой программы (и компьютерного моделирования вообще): мы можем моделировать более общую ситуацию для произвольного количества людей, для этого достаточно изменить значение константы к (обязательно попробуйте!).

А

12.1. Вам необходимо провести 100 случайных экспериментов по подбрасыванию монеты. Опишите, как это можно сделать, если в вашем распоряжении:

а) только кубик; б) только колода карт.

12.2. Винни-Пух и Пятачок всегда решали, к кому идти в гости, с помощью вертушки, изображенной на рисунке 12.1. Если стрелка останавливалась на белом поле, то они шли в гости к Пятачку, если на синем — к Винни-Пуху. При очередном жребии вертушка сломалась. Как им бросить точно такой же жребий:

а) с помощью двух одинаковых монет;

б) с помощью одной монеты?

12.3. Каким образом с помощью таблицы случайных чисел можно случайным образом выбрать одного из:

а) 100 человек; б) 80 человек; в) 120 человек?

12.4. Используя компьютер, повторите опыт Пирсона по подбрасыванию монеты. Сравните результаты Пирсона со своими. У кого относительная частота исходов получилась ближе к ^: у вас или у Пирсона?

12.5. Продолжите серию опытов, начатую в примере 12.1, и доведите ее до 100 испытаний (напомним, что начинать нужно с 78-й цифры таблицы случайных чисел, так как первые 77 цифр уже использованы).

а) Сколько всего цифр вы использовали? Оцените количество цифр, которое понадобится для проведения 1000 таких опытов.

б) Найдите относительную частоту каждого из шести исходов. Сравните отклонения частот от - после 50 и после 100 испытаний. Что с ними произошло?

12.6. Объедините результаты 50 опытов примера 12.1 и 50 опытов примера 12.2. По этим данным найдите относительную частоту каждого из шести исходов. Сравните получившиеся у вас отклонения частот от вероятностей с отклонениями в примерах 12.1 и 12.2. Что с ними произошло?

Рис. 12.1

12.7. Измените программу, приведенную в примере 12.3, так, чтобы с ее помощью можно было оценить вероятности следующих событий:

А = {каждый надел свою шляпу};

В = {все надели чужие шляпы};

С = {двое надели чужие шляпы, а один — свою};

D = {двое надели свои шляпы, а один — чужую}.

12.8. Двое по очереди бросают монету, причем выигрывает тот, у кого раньше выпадет «орел». Оцените вероятность выигрыша для первого и второго игроков. Для этого проведите необходимое, на ваш взгляд, количество случайных экспериментов с помощью:

а) таблицы случайных чисел;

б) компьютера.

12.9. Случайный эксперимент состоит в измерении температуры у заболевшего мальчика. Можно ли смоделировать этот эксперимент с помощью таблицы случайных чисел так: выбираем из нее три цифры подряд и составляем из них температуру? Например, если выбраны цифры 3, 8, 2, то температура будет 38,2 °С.

12.10. Случайный эксперимент состоит в покупке двухсотграммовой пачки чая и взвешивании ее на лабораторных весах с точностью до 1 миллиграмма. У нас нет ни пачки чая, ни весов, и мы хотим смоделировать этот эксперимент с помощью кубика: бросить его 6 раз подряд и составить из шести выпавших цифр вес пачки. Например, если выпали цифры 2, 3, 4, 1, 3, 2, то вес будет 234,132 грамма. Правильно ли это?

12.11. Стержень случайным образом ломают на три части. Какова вероятность, что из этих обломков можно составить треугольник? Ответ найдите через случайное моделирование с помощью:

а) таблицы случайных чисел;

б) компьютера.

Б

12.12. Вам нужно провести эксперимент по вытягиванию наугад одной карты из колоды, в которой отсутствуют шестерки (в такой колоде 32 карты). Карт у вас нет, но есть монета. Придумайте, как с ее помощью провести этот эксперимент.

12.13. В автобусе, которому предстоит сделать 10 остановок, едет 8 пассажиров. Каждый из них может с равными шансами выйти на любой из остановок. Смоделируйте серию рейсов такого автобуса с помощью:

а) таблицы случайных чисел; б) компьютера.

По результатам моделирования оцените вероятности событий:

А = {все пассажиры выйдут на разных остановках};

В = {все пассажиры выйдут на одной остановке};

С = {на 5-й остановке кто-нибудь выйдет};

D = {на 5-й остановке никто не выйдет};

Е = {на 1-й остановке кто-нибудь выйдет}.

12.14. Из коробки, в которой 2 красных, 2 желтых и 2 зеленых шара, наугад достают два шара. Смоделируйте серию таких испытаний с помощью:

а) таблицы случайных чисел;

б) компьютера.

По результатам испытаний заполните таблицу.

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

1к1ж

1к1з

1ж1з

Сравните результаты, полученные вами, с результатами из таблицы, полученной в задаче 7.3.

12.15. Бросают три кубика — белый, черный и красный. Пусть S— это сумма очков на белом и черном кубиках, a M — сумма двух наибольших очков. Например, если на белом кубике выпало 4 очка, на черном — 1 очко, на красном — 3 очка, то

5=4+ 1 = 5, Л/=4 + 3 = 7.

Проведите серию таких испытаний с помощью:

а) таблицы случайных чисел; б) компьютера.

По полученным данным оцените и сравните вероятности событий:

P{S = 2} и Р{М= 2};

P{S= 3} и Р{М= 3};...; P{S= 12} и Р{М= 12}.

Замечание: вероятность каждого из значений суммы S мы уже вычисляли раньше.

12.16. 1) Ольга, Маша и Ирина каждый день тянут жребий — кому из них сегодня мыть посуду. Для этого они кладут в шляпку три бумажки, одна из которых помечена крестиком, а потом по очереди их вытаскивают: Ольга — первой, Маша — второй, а Ирина — третьей. Справедливый ли это жребий? Для ответа на вопрос проведите серию случайных экспериментов на компьютере.

2) Ирина предложила изменить жребий так: каждая из них по очереди бросает монету: у кого первым выпадет «орел», тому и мыть посуду. Очередность бросаний она предлагает оставить ту же. Соглашаться ли ее сестрам на это предложение? Ответ подтвердите серией случайных экспериментов с помощью компьютера.

12.17. «Любовь с первого взгляда». В игре участвуют трое юношей и три девушки. Каждый юноша выбирает одну из девушек, а каждая девушка — одного из юношей. Если юноша и девушка выбрали друг друга, то образуется пара. Какое количество образовавшихся пар наиболее вероятно? Ответ найдите с помощью компьютера.

12.18. Из 100 килограммов стекла делают 100 бутылок. В массе стекла 100 камешков. Какова вероятность того, что в случайно выбранной бутылке:

а) не будет камешков;

б) будет ровно один камешек;

в) будет два и более камешков?

Ответ найдите с помощью таблицы случайных чисел или компьютера.

12.19. С помощью компьютера найдите относительную частоту появления каждой из 33 букв русского алфавита в каком-нибудь русскоязычном текстовом файле. По полученным данным оцените вероятность события:

А = {случайно выбранная из текста буква является гласной}.

Можно ли вычислить эту вероятность по формуле Р(А) = ^? Вероятность какого события будет равна этой дроби?

12.20. С помощью компьютера оцените, с какой частотой в русском языке используются слова длиной в 1, 2, 3 и т. д. букв. Для этого, как и в предыдущей задаче, проанализируйте какой-нибудь достаточно длинный русскоязычный текстовый файл.

13. Геометрическое определение вероятности

Случайная точка. Геометрическая вероятность

Как вы уже знаете, равновозможность исходов случайного эксперимента позволяет вычислять вероятность любого связанного с ним события без обращения к частоте. Такая ситуация возникает и в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве. Однако здесь вычисление по знакомой формуле

уже невозможно — ведь даже на отрезке количество точек (а значит, и количество возможных исходов опыта — п) бесконечно! Посмотрим, как все же и в этом случае вычислить вероятность априорно, без проведения опыта.

Выберем на географической карте мира, изображенной на рисунке 13.1, случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем в нее указкой). Какова вероятность,

Рис. 13.1

что эта точка окажется в России? Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия. Точнее, какую часть всей площади карты составляет площадь России. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

А какова вероятность попасть при этом в Гринвичский меридиан? Как ни странно, придется положить ее равной нулю, так как площадь меридиана равна нулю (это ведь линия, а не фигура: у нее есть только длина). На самом деле ничего странного в этом факте нет — попасть указкой точно в меридиан невозможно.

Такую же картину мы имеем и в общем случае, когда в некоторой области G (рис. 13.2) случайно выбирается точка. Если предположить, что попадание в любую точку области равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в любую подобласть А будет равна отношению площадей

(через Р мы, как и раньше, обозначаем вероятность, а через S— площадь).

Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю. Например, вероятность попадания на отрезок L будет нулевой.

Такое определение вероятности называется геометрическим.

Ситуация напоминает классическое определение вероятности: как и там, здесь важна равновозможность всех исходов, т. е. всех точек области. Но теперь число исходов эксперимента бесконечно, поэтому приходится считать не их количество, а занимаемую ими площадь1.

Рис. 13.2

1 Надо отметить, что равновозможность исходов в геометрической вероятности - дело совсем непростое. Достаточно познакомиться с классическим парадоксом Бертрана, описание которого вы можете найти в литературе.

Точно так же можно определить геометрическую вероятность в пространстве (вместо площадей здесь надо брать объемы тел) и на прямой (а здесь — длины отрезков).

Пример 13.1. С какой вероятностью стрелка вертушки, изображенной на рисунке 13.3, остановится на черном секторе?

Для ответа на этот вопрос можно:

1) вычислить площадь черных секторов и разделить ее на площадь всего круга, или

2) найти суммарную длину дуг, ограничивающих черные секторы, и поделить ее на длину всей окружности.

Способ 2 лучше отражает суть нашего эксперимента, ведь фактически мы выбираем точку на окружности, в которой остановится острие стрелки. Напомним, что длина дуги находится по формуле

L = aR,

где а — центральный угол дуги, выраженный в радианах. Отсюда искомая вероятность будет

Рис. 13.3

Заметим, что для нашей вертушки тот же результат можно было получить и без привлечения геометрической вероятности, ведь вертушка поделена на 8 равных (а значит, равновозможных!) секторов, из которых 2 выкрашены в черный цвет. Отсюда

Но если секторы, на которые поделена вертушка, сделать неравными, без геометрического определения уже не обойтись.

Пример 13.2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?

Изобразим квадрат со стороной 4 см и закрасим в нем множество точек, удаленных от ближайшей стороны квадрата меньше, чем на 1 см (рис. 13.4). Площадь закрашенной части квадрата можно легко вычислить 16 см2 — 4 см2 = 12 см2. Отсюда искомая вероятность будет

Рис. 13.4

Пример 13.3. Коля и Оля договорились встретиться в Центральном парке с 12.00 до 13.00. Пришедший первым ждет другого в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся?

На первый взгляд в этой задаче геометрическая вероятность вообще ни при чем. Но не будем торопиться с выводами.

Обозначим время прихода в парк Коли через х, а Оли — через у (для удобства будем выражать время в минутах, прошедших после 12 часов). Тогда точка с координатами (х, у) будет случайной точкой в квадрате на плоскости Оху, изображенном на рисунке 13.5.

Каждая точка этого квадрата — это один из возможных исходов нашего эксперимента. Эксперимент завершается встречей, если выполняется условие \х — у\ < 30. Множество таких точек закрашено на рисунке 13.6.

Рис. 13.5 Рис. 13.6

Площадь закрашенной части можно найти, вычитая из площади квадрата площади двух равных треугольников:

Искомую вероятность встречи находим как отношение «благоприятной» площади ко всей площади квадрата:

А

13.1. На шахматной доске случайным образом выбирают точку. Какова вероятность, что она попадет:

а) на белую клетку;

б) на черную клетку;

в) на границу черной и белой клеток?

13.2. Малыш наугад показывает пальцем точку на глобусе. Какова вероятность, что он попадет:

а) в Россию;

б) в Тихий океан;

в) в Восточное полушарие?

Указание: для решения этой задачи вам придется обратиться к энциклопедии или учебнику географии.

13.3. Реклама на канале «МММ» занимает около 20% времени телевизионных трансляций. Какова вероятность, что, переключив телевизор на этот канал, вы попадете на рекламу?

13.4. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Ремонтная бригада, обслуживающая этот участок, располагается на 50-м километре. В какую сторону ей лучше

выезжать? С какой вероятностью ваш совет окажется правильным?

13.5. На шахматную доску со стороной клетки 5 см бросают монету радиусом 1 см. Какова вероятность, что монета целиком окажется внутри:

а) какой-то клетки;

б) белой клетки?

13.6. На шахматную доску со стороной клетки 5 см бросили монету радиусом 1 см. Она закрыла белую площадь А и черную площадь 2?. Какова вероятность, что:

а) А больше В;

б) В больше А;

в) А равно В?

13.7. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен:

а) 10 см; б) 5 см?

13.8. Найдите вероятность того, что для двух чисел, наудачу взятых из отрезка [-1; 1]:

а) их сумма положительна;

б) их произведение отрицательно;

в) их сумма положительна, а произведение отрицательно.

13.9. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение суток. Найдите вероятность того, что ни одному из них не придется ждать освобождения причала, если время разгрузки каждого парохода 1 час.

13.10. На окружности радиуса R наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше Л?

13.11. Перед тем как ставить пирог в печку, в него воткнули 4 ореха так, как показано на рисунке 13.7. После того как пирог испекли, его поделили на три равные части, одна из которых досталась вам. Какова вероятность того, что в вашей части:

а) нет орехов;

б) один орех;

в) два ореха?

Рис. 13.7

Б

13.12. Четыре ореха (см. задачу 13.11) бросили прямо в тесто и все хорошенько перемешали. После выпечки пирог снова разрезали на три равные части и одну дали вам. Какова вероятность того, что в вашей части:

а) нет орехов; б) один орех; в) два ореха; г) три ореха; д) четыре ореха?

Указание: считается, что сначала пирог режут на три части, а потом выбирают 4 случайные точки для размещения орехов.

13.13. Из отрезка [0; 1] наудачу выбирают три числа а, Ь, с. Какова вероятность, что а< Ь< с?

13.14*. В квадрат «брошена» точка А. Найдите вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем до ближайшей диагонали.

13.15*. На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной а, брошена монета радиусом г. Какова вероятность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников?

13.16*. Центр окружности радиусом 5 находится в точке с координатами (6; 8). Какова вероятность того, что:

а) случайная прямая, проходящая через начало координат, пересечет данную окружность;

б) случайный луч, выпущенный из начала координат, пересечет данную окружность?

13.17. Через станцию метро поезда следуют в двух направлениях — в каждом направлении с интервалом ровно 5 минут. В одном направлении у Феди живет бабушка, а в другом — дедушка. Федя приходит на станцию после школы и садится на тот поезд, который подойдет первым. При этом оказывается, что у бабушки он бывает приблизительно в 4 раза чаще, чем у дедушки. При каких условиях это может произойти?

13.18. Два друга живут в одном доме, а учатся в разных классах. Уроки в школе заканчиваются в интервале от 16 до 17 часов. После занятий они договариваются ждать друг друга на автобусной остановке в течение 20 минут. Сколько приблизительно раз за год им удастся поехать домой вместе, если в году 200 учебных дней?

13.19*. Расстояние от остановки «Стадион» до остановки «Школа» автобус проходит за 2 минуты, а Андрей — за 15 минут. Интервал движения автобусов — 25 минут. В случайный момент времени Андрей выходит со стадиона, опаздывая в школу. Что ему лучше делать — идти пешком или подождать автобус?

13.20*. Стержень случайным образом ломают на три части. Какова вероятность того, что из них можно составить треугольник?

14. Статистическое оценивание и прогноз

Прогнозирование частоты. Наиболее вероятный исход. Статистическая гипотеза

В этой главе мы еще раз поговорим о том, какую практическую пользу можно извлечь из подсчета вероятностей. Точнее, вы научитесь решать три важнейших типа статистических задач:

• оценивать частоту по известной вероятности;

• предсказывать наиболее вероятный исход данного опыта;

• проверять статистические гипотезы.

Вы знаете, что с ростом числа экспериментов частота стремится к вероятности. Значит, по известной вероятности можно прогнозировать частоту повторения интересующего нас события в будущем. При этом вероятность может быть найдена любым из известных нам способов (в том числе оценена по уже имеющейся частоте).

Пример 14.1. При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать среди 25 ООО деталей?

По результатам контроля можно оценить вероятность события А = {произведенная деталь бракованная}. Приближенно она будет равна его частоте:

Следует ожидать такую частоту и в будущем, поэтому среди 25 ООО деталей окажется около 25 000*0,005 = 125 бракованных.

Пример 14.2. Население города Калуги составляет около 400 000 жителей. Сколько калужан родились 29 февраля?

Заметим прежде всего, что вопрос задачи не совсем корректен: мы можем ответить на него лишь приближенно, ибо реальная частота даже в такой большой выборке из 400 000 жителей не обязана совпадать с вероятностью.

29 февраля бывает только в високосном году — один раз в четыре года, следовательно, для случайно выбранного человека его день рождения попадает на 29 февраля с вероятностью

Это значит, что среди 400 000 жителей Калуги следует ожидать около

которым приходится праздновать свой день рождения раз в четыре года.

На прогнозировании частоты основан один интересный способ определения численности популяций, используемый в биологии.

Пример 14.3. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов — на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере?

Оказывается, найти ответ на этот неожиданный вопрос совсем несложно. В самом деле: обозначим неизвестную нам численность рыб в озере через N Тогда вероятность поймать помеченную рыбу в озере будет —.

С другой стороны, эта вероятность должна приближенно равняться полученной во втором улове частоте:

Отсюда

Сравнивая вероятности всех возможных исходов эксперимента, иногда полезно знать, какой из них самый вероятный. Именно на него следует «ставить», если вас просят предсказать, каким исходом закончится скорее всего ваш эксперимент. Обратите внимание, что мы говорим «скорее всего», а не «наверняка» — ведь любой статистический прогноз может оказаться ошибочным.

Пример 14.4. Какая сумма, скорее всего, выпадет при бросании двух кубиков?

Поскольку мы уже считали вероятности всех возможных исходов в таком эксперименте, то знаем, что максимальную вероятность имеет сумма 7, а ее вероятность составляет i. Разумеется, сама по себе эта вероятность не слишком велика, и ожидать, что при первом же бросании выпадет сумма 7, вряд ли стоит. Тем не менее из всех возможных сумм она наиболее вероятная.

Если в основу вычисления вероятности была положена некоторая гипотеза, а полученные в реальном эксперименте частоты с ней явно расходятся, то есть повод усомниться в этой гипотезе.

Пример 14.5. В 10 бросаниях монеты вы получили 9 «орлов». Следует ли считать монету правильной?

Если бы монета была правильной (это и есть та гипотеза, в которой мы усомнились), то получить 9 или 10 «орлов» в 10 бросаниях можно было бы с вероятностью

Значит, в результате опыта произошло очень редкое, маловероятное1 событие.

В то же время, если предположить, что монета неправильная и вероятность выпадения «орла» на ней больше i, то произошедшее событие уже не будет таким невероятным. Это дает нам все основания считать, что монета несимметричная.

В большинстве приводимых ниже задач вам придется отвечать на некорректные вопросы типа «Сколько изюма в булке?» или «Сколько рыб в пруду?». Помните, что во всех задачах речь идет лишь о вероятностной оценке неизвестной величины, но сделать ее нужно наилучшим образом.

А

14.1. В коробке 100 шаров белого и черного цвета. Из нее 60 раз вынули шар, возвращая его каждый раз обратно. При этом белый шар появился в 18 случаях. Сколько белых шаров в коробке?

14.2. Включая в течение месяца телевизор около 150 раз, Вова в 30 случаях попадал на рекламу. Какой процент от времени телевизионных трансляций занимает реклама?

14.3. В Москве около 10 млн жителей. Сколько жителей Москвы празднуют свой день рождения 1 января?

14.4. Воспользовавшись календарем, посчитайте, какому проценту российских школьников в этом году не нужно идти в школу в свой день рождения.

14.5. Среднестатистический житель России ежедневно проводит у телевизора около двух с половиной часов.

1 Какие события считать маловероятными, во многом зависит от договоренности. Мы будем считать маловероятными события, вероятность которых не превышает 0,01.

Можно ли по этим данным оценить, сколько часов вы проведете у телевизора в ближайший месяц?

14.6. Будем считать вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми. Ответьте на следующие некорректные вопросы, подразумевая, что в них добавлена фраза «скорее всего».

а) В семье два ребенка. Какого они пола?

б) В семье три ребенка. Сколько из них имеет одинаковый пол?

в) В семье четыре ребенка. Сколько из них мальчиков?

14.7. Средняя частота попадания в мишень в тире — 0,6. За день около 100 пуль улетели «в молоко». Сколько всего выстрелов было сделано?

14.8. На шахматную доску 100 раз бросили монету радиусом 1 см. В 64 случаях монета целиком оказывалась внутри какой-нибудь клетки. Оцените размер одной клетки шахматной доски.

14.9. В изгородь, состоящую из тонких вертикальных прутьев, 50 раз бросили мяч диаметром 10 см. При этом 18 раз мяч пролетел сквозь изгородь, не задев прутья. Оцените расстояние между прутьями.

14.10. Комитет по проведению лотерей утверждает, что среди билетов лотереи «Спринт» половина выигрышных. Женя купил два билета этой лотереи и ничего не выиграл. Есть ли у Жени повод усомниться в честности ее устроителей?

14.11. При бросании кубика три раза подряд выпала шестерка. Есть ли основания думать, что он неправилен?

14.12. Экзамен по истории включает 60 вопросов. Вова утверждает, что подготовил 80% всех вопросов экзамена. Папа задал ему три вопроса, ни на один из которых он не ответил. Есть ли у папы основания подозревать сына во лжи?

Б

14.13. Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов — на этот раз поймали 78 рыб, среди которых не оказалось ни одной помеченной! Что можно сказать о количестве рыб, живущих в озере?

14.14. Перед тем как начать серию испытаний с кубиком, ребята высказали такие предположения:

Егор: Шестерка впервые появится в 6-м испытании.

Олег: Шестерка впервые появится в 1-м испытании.

Глеб: Шестерка впервые появится в 3-м испытании.

У кого из них больше шансов, что сделанный им прогноз оправдается?

14.15. Вам сдают из колоды 6 карт. Сколько тузов вы, скорее всего, получите?

14.16. Бросают три кубика. Каково наиболее вероятное значение суммы?

14.17. Абонент забыл последнюю цифру в номере телефона и набирает ее наугад. Сколько попыток, скорее всего, ему придется сделать?

14.18*. 5 шариков разбрасывают по 5 ящикам. Каково наиболее вероятное число пустых ящиков?

14.19*. 100 шариков случайно разбрасывают по 100 ящикам. Оцените, сколько приблизительно ящиков окажутся пустыми.

14.20*. Из 100 килограммов стекла делают 100 бутылок. В массе стекла 100 камешков. Оцените, сколько приблизительно бутылок окажется:

а) без камешков;

б) с одним камешком;

в) с двумя и более камешками.

14.21*. У вас есть некоторые подозрения, что шестерка на кубике вашего соперника выпадает чаще обычного. Сколько шестерок должно выпасть в десяти бросаниях кубика, чтобы ваши предположения подтвердились?

14.22. Цех по производству лампочек должен производить не более 2% брака. Из очередной партии было выбрано 10 лампочек, среди которых 2 оказались бракованными. Есть ли у службы контроля основания забраковать всю партию?

14.23. 1) Замок на подъезде имеет 10 кнопок с цифрами от 0 до 9 и открывается одновременным нажатием на определенные три кнопки. Подошедший к подъезду человек открыл замок с третьего раза. Знал ли он что-либо о коде замка?

2) На сколько цифр нужно закрывать замок из предыдущей задачи, чтобы подобрать к нему шифр было труднее всего?

14.24*. Женя купил в магазине булочку с изюмом, но изюма в ней не обнаружил. Есть ли у Жени основания подозревать, что изюм воруют, если средняя норма изюма на одну булку — 30 штук?

14.25. Комитет по проведению лотерей утверждает, что среди билетов лотереи «Спринт» половина являются выигрышными. Сколько билетов нужно купить и ничего на них не выиграть, чтобы усомниться в честности устроителей?

14.26. Школьник уже три месяца участвует в еженедельной лотерее, но ни разу не выиграл. Однако он продолжает играть, утверждая: «Лотерея — случайная игра, иногда выигрываешь, иногда проигрываешь. Я уже долго не выигрывал, поэтому уверен, что выиграю в одном из следующих розыгрышей». Согласны ли вы с его рассуждением? Почему?

14.27*. Главный санитарный врач города получил информацию о том, что среди завезенной в магазины большой партии консервов более 10% испорченных. Как ему проверить поступившую информацию?

14.28*. Тест содержит 25 вопросов. На каждый вопрос предлагается два варианта ответа, из которых нужно выбрать правильный. За сколько правильных ответов следует ставить положительную оценку?

15. Статистические исследования

Используются все понятия, введенные в предыдущих главах

Вы уже немало знаете о вероятности случайных событий, знакомы со статистическими характеристиками, с разнообразными способами представления данных. Поэтому теперь мы можем перейти к рассмотрению комплексных статистических исследований, в процессе которых будут использоваться все знания, накопленные вами при изучении предыдущих глав.

Пример 15.1. Как исследуют качество знаний школьников.

В качестве первого примера статистического исследования рассмотрим хорошо знакомую каждому из вас ситуацию — изучение математической подготовки школьников.

Представим себе, что в одном из российских регионов решили выяснить, каков уровень знаний девятиклассников по математике, для чего составили специальную контрольную работу из шести заданий. Конечно, для получения точных результатов необходимо, чтобы эту работу писали все учащиеся 9 классов в этом регионе. Однако рассылка текста контрольной работы во все школы всех населенных пунктов региона, одновременное ее проведение, проверка и обработка полученных результатов являются делом хотя и возможным, но весьма трудоемким и дорогостоящим.

В то же время, как утверждает статистика, для получения вполне достоверной информации по интересующему

нас вопросу достаточно провести выборочное обследование, ограничившись проверкой знаний сравнительно небольшой части школьников. А чтобы по ее результатам можно было с достаточной уверенностью судить о свойствах всей генеральной совокупности обследуемых (т. е. о математической подготовке девятиклассников региона в целом), эта выборка должна быть, как говорят статистики, репрезентативной (представительной). Построение репрезентативной выборки — это тонкий и сложный процесс; его рассмотрение выходит за рамки школьного курса. Заметим только, что в ситуациях, подобных нашей, обычно ограничиваются обследованием 5—10% всей изучаемой совокупности. Кроме того, осуществляют случайный отбор учащихся, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.

Рассмотрим возможные результаты такого выборочного обследования по некоторому городу региона. Допустим, что в этом городе проживают 710 девятиклассников, из которых случайным образом было выбрано 50.

В алфавитном списке этих пятидесяти учеников возле каждой фамилии проставили число верно решенных задач. Получился следующий ряд чисел (напомним, что в работе было 6 заданий):

4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.

Чтобы удобнее было анализировать информацию, числовые данные ранжируют:

0;0;0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6.

Мы видим, что ряд разбился на 7 групп. Каждая группа представляет определенный результат эксперимента: не решено ни одной задачи, решена одна задача, решены две задачи и т. д.

Теперь представим полученные результаты в виде таблицы частот:

Число верно решенных задач

0

1

2

3

4

5

6

Абсолютная частота

3

4

12

15

8

3

5

Относительная частота (в %)

6

8

24

30

16

6

10

Накопленная частота (в %)

6

14

38

68

84

90

100

Напомним, что, составив таблицу, полезно себя проверить: сложив все абсолютные частоты, мы должны получить объем выборки, т. е. число 50, а сложив все относительные частоты, мы должны получить 100%. Накопленные частоты должны возрастать, а последняя из них — равняться 100%.

Наконец, от таблицы частот можно перейти к графическому представлению результатов и построить полигон относительных частот:

Рис. 15.1

Так как мы полагаем, что выборка была репрезентативной, то на основании полученных результатов можно

с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех девятиклассников города.

Например, в выборке 10% школьников решили все задачи. Значит, можно ожидать, что и из 710 учеников примерно 10% справятся со всеми шестью задачами. Это означает, что около 70 девятиклассников города обладают высоким уровнем математической подготовки.

Далее, считается, что школьник достиг обязательного уровня знаний по математике, если он верно решил не менее двух задач. Таковых в выборке 12 + 15 + 8 + 3 + 5 = = 43 человека, что составляет 86% от ее общего объема. Значит, можно обоснованно предполагать, что и среди всех девятиклассников города примерно 86% имеют минимально необходимый уровень знаний по математике. Хорошую математическую подготовку (решены не менее четырех задач) имеют примерно 32% учеников.

С помощью ранжирования ряда, таблицы и графических иллюстраций мы уже получили первоначальные сведения о закономерностях интересующего нас ряда данных. Но вам известны такие статистические характеристики ряда данных, которые позволяют сделать более качественный статистический анализ.

Так, например, интересно знать наиболее типичный результат выполнения предложенной работы. Используя представленные в таблице данные, легко видеть, что наиболее часто встречающийся результат — «решены три задачи». Как вы знаете, на языке статистики это означает, что число 3 является модой данного числового ряда.

Также полезно найти среднее арифметическое этого ряда:

Значит, можно сказать, что в среднем девятиклассник решает три задачи. (В данном случае среднее арифметическое ряда данных совпало с его модой, но, конечно, это происходит совсем не всегда.)

Вы видите, что результаты подобных исследований представляют несомненный интерес для многих людей: руководителей образования, учителей, родителей, школьников и др. На основании полученных данных каждый извлекает ту часть информации, которая ему необходима, и делает соответствующие выводы. Например, городское управление образованием могут интересовать средние результаты по школам, процент учеников, не справляющихся с программой. Высшие учебные заведения наверняка заинтересует количество учеников с высоким уровнем математической подготовки, так как именно они являются потенциальными абитуриентами математических факультетов.

В заключение отметим, что в данном случае, как уже отмечалось выше, можно было бы провести обследование всей совокупности школьников. Именно так и поступают, например, при проведении выпускных экзаменов в 9 классе, когда важно знать результат каждого ученика. Но в ряде случаев статистический анализ всей совокупности объектов вообще невозможен или не имеет никакого смысла. Например, перед инспекцией стоит задача контроля за качеством продукции, выпускаемой большими партиями. Как проверить — пропечен ли хлеб, годны ли консервы, прочна ли ткань? Сплошная проверка всей партии товара не только сложна, но и абсолютно бессмысленна. Ведь при такой проверке придется вскрыть все консервы, разрезать весь хлеб и порвать всю ткань, фактически испортив и уничтожив саму продукцию. Поэтому в этих и многих других случаях применяется именно выборочный метод статистического исследования.

Пример 15.2. Удобно ли расположена школа?

В одной городской школе было проведено следующее статистическое исследование. Выбранных наугад 100 учеников попросили замерить, сколько минут каждый из них тратит на дорогу в школу.

В результате получили следующий ряд данных:

27, 52, 43, 38, 47, 8, 21, 40, 32, 53, 45, 54, 35, 28, 40, 18, 31, 45, 24, 30, 37, 15, 39, 34, 48, 25, 30, 7, 32, 12, 26, 35, 48, 19, 33, 26, 17, 30, 42, 22, 53, 28, 42, 36, 23, 10, 34, 46, 16, 29, 35, 52, 41, 32, 21, 39, 55, 25, 29, 8, 36, 44, 26, 55, 34, 19, 42, 54, 27, 10, 45, 20, 31, 50, 18, 9, 41, 14, 38, 40, 23, 49, 33, 15, 24, 46, 36, 28, 32, 37, 51, 20, 29, 47, 33, 27, 41, 22, 39, 40.

Мы видим, что одинаковые значения здесь встречаются редко, а число различных вариантов довольно велико, и поэтому использование обычной таблицы частот не позволит нам выявить характерные черты ряда данных.

В таких случаях для обработки данных, как вы уже знаете, строят интервальную таблицу частот. Для построения такой таблицы найдем среди данных наибольшее значение (это число 55) и наименьшее значение (это число 7). Вычислим размах ряда данных: он равен 55 - 7 = = 48. Теперь весь промежуток значений ряда данных разобьем на несколько интервалов и подсчитаем, сколько данных попадет в каждый интервал.

Вопрос о количестве интервалов не такой уж простой: если их взять слишком мало, мы не почувствуем характерных особенностей ряда; если слишком много — в каждый интервал попадет всего по одному-два значения. Обычно диапазон значений разбивают на 5—10 интервалов.

Кроме того, за начало первого интервала принято брать число, расположенное несколько левее наименьшего значения в ряду (аналогично для наибольшего значения).

Наконец, не последнюю роль при выборе интервалов играют и соображения простоты: лучше, если концы (и середины) интервалов будут целыми числами — это упростит составление таблицы частот и последующие вычисления.

Учитывая все вышесказанное, построим для нашего ряда интервальную таблицу частот, разбив диапазон ряда на 7 интервалов по 8 минут каждый:

Интервалы времени (в мин)

Подсчеты

Абсолютная частота

Относительная частота

Накопленная частота

3-11

mi

6

0,06

0,06

11-19

m ni

8

0,08

0,14

19-27

m mm и

17

0,17

0,31

27-35

mmmm un

24

0,24

0,55

35-43

m mm m ni

23

0,23

0,78

43-51

mm ni

13

0,13

0,91

51-59

m un

9

0,09

1

Для интервальной таблицы графическим представлением служит гистограмма:

Рис. 15.2

Напомним, что при вычислении параметров ряда по интервальной таблице частот в соответствующие формулы подставляют середины интервалов. Вот как, к при-

меру, будет выглядеть вычисление среднего арифметического:

Мы видим, что в среднем школьники тратят на дорогу в школу больше получаса — 33 минуты. Для городских условий это достаточно большое время, и может быть, стоит задуматься о постройке новой школы ближе к месту жительства ребят. Но для того чтобы найти наилучшее, наиболее удобное расположение новой школы, нужно провести другие, более детальные статистические исследования.

Пример 15.3. Куда пойти работать?

Перед вами данные о зарплате (в рублях) специалистов на двух конкурирующих малых предприятиях А и В:

А: 5130, 5900, 9340, 5410, 5350, 4920, 9720, 10 420, 5090, 10 920, 9950, 5760, 5180, 9630,5970;

В: 6840, 10 880, 7910, 6170, 5290,6980, 7860, 5740, 5340, 9910, 7020, 10 020, 8360, 9550, 8980.

Как сравнить два этих ряда? Прежде всего, можно отметить, что на обоих малых предприятиях одинаковое число работающих и что их зарплаты находятся в одной и той же «вилке» — примерно от 5000 до 11 000 р. Значит, размах данных примерно одинаков.

Посчитав среднее арифметическое зарплат на первом предприятии (здесь удобно воспользоваться калькулятором или компьютером), получим: а = 7246 р., а на втором предприятии: b — р.

Средняя зарплата на втором предприятии несколько выше. Но это далеко не вся информация, которую можно получить, анализируя эти ряды. Даже «на глазок» видно, что на втором предприятии зарплаты группируются «кучнее» вокруг средней, а вот на первом предприятии разброс зарплат вокруг среднего арифметического больше. Чтобы выразить этот разброс численно, посчитаем дисперсию и стандартное отклонение обоих рядов.

Для вычисления дисперсии для первого ряда составим следующую таблицу:

X

\х-а\

|х-а|2

5130

2116

4 477 456

5900

1346

1 811 716

9340

2094

4 384 836

5410

1836

3 370 896

5350

1896

3 594 816

4920

2326

5 410 276

9720

2474

6 120 676

10 420

3174

10 074 276

5090

2156

4 648 336

10 920

3674

13 498 276

9950

2704

7311 616

5760

I486

2 208 196

5180

2066

4 268 356

9630

2384

5 683 456

5970

1276

1 628 176

Для того, чтобы найти сумму квадратов отклонений, просуммируем числа последней строки таблицы, получим 78 491 360. Теперь, поделив полученное число на 15 (общее число данных), найдем дисперсию и, округлив ее, получим 5 232 757. Значит, среднее квадратичное отклонение для зарплат на первом предприятии будет равно:

а, = 75232757 « 2287,52.

Выполнив с помощью калькулятора аналогичные расчеты для второго предприятия, получим о2 ~ 1734,06.

Теперь проанализируем полученные результаты.

Во-первых, средняя зарплата специалистов на втором предприятии примерно на 550 р. выше, чем на первом. Это означает, что человек, поступающий работать на второе предприятие, может ожидать большей зарплаты, чем человек, поступающий на первое, хотя, конечно, это лишь прогноз.

Во-вторых, разброс зарплат на первом предприятии больше, чем на втором. Это значит, что для работающего на втором предприятии больше вероятность получать зарплату, близкую к средней, больше стабильность, зато на первом предприятии больше возможностей получать высокую зарплату, но и больший риск получать зарплату, существенно меньшую средней.

А

15.1. Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом (в порядке вытаскивания):

П, О, Л, С, Я, П, К, О, 3, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О, П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, 3, К, Я, П, 3, С, О, О, Я, П, П, О, Л, С, Л, С, П, О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л, П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, 3.

Буквами обозначены: 3 — золотая рыбка; К — карась; Л — лещ; О — окунь; П — пескарь; С — сом; Я — язь.

а) Произведите ранжирование ряда данных в алфавитном порядке.

б) Составьте таблицу относительных частот.

в) Какой процент пойманной рыбы составляют золотые рыбки?

г) Используя полученную стариком выборку, оцените, какие виды рыб наиболее и наименее распространены в местах, где старик закинул невод.

д) Имеет ли смысл говорить о среднем арифметическом данной выборки? о ее моде? медиане?

15.2. В детском обувном магазине за декаду было куплено 750 пар обуви. Кладовщик Калошин проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пятой из купленных пар. Эти числа составили следующий ряд данных:

23, 24, 16, 21, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18, 24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22, 16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18, 23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19, 24, 16, 20, 23, 24, 18, 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23, 24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 15, 24, 19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21, 24, 17, 15, 20, 22, 21, 24, 22, 18,22, 18,24, 15,21.

а) Постройте таблицу абсолютных, относительных и накопленных частот и нарисуйте полигон относительных частот.

б) Определите все средние характеристики ряда — среднее арифметическое, моду, медиану. Какие из них могут оказаться дробными числами, а какие будут обязательно целыми?

в) Сколько приблизительно пар обуви 20 размера продает магазин за год?

г) Объясните, какие практические выводы может сделать управляющий магазина из полученных в этом исследовании результатов.

15.3. Фирма «Буренка и компания» производит молоко разной жирности. За последний месяц было продано 40 000 литров молока. Относительные объемы продаж сведены в диаграмме частот на рисунке 15.3.

а) Определите наиболее популярный сорт молока.

б) Сколько литров полностью обезжиренного молока было продано за месяц?

Рис. 15.3

в) Определите средний процент жирности потребляемого молока.

15.4. Администрация города опубликовала данные о числе комнат в квартирах горожан. Результаты показаны на диаграмме (рис. 15.4).

Рис. 15.4

Чтобы проверить эти данные, представители независимой общественной организации задали пятидесяти случайным прохожим вопрос: «Сколько комнат в вашей квартире?» Ниже приведены их ответы в порядке поступления:

2,1,1,2,2,1,1,6, 2,4,1,2,3,1,2, 2,3,2,

2,5,1,1,2,5,1,2, 2,3,3,4, 2,6,1,1,6, 2,3,1,2,

1,4,2,1,1,3,1,2, 2,5,4.

Соответствуют ли данные, полученные в выборке, приведенной диаграмме?

15.5. Статистика аварий говорит о том, что за последние 10 лет количество происшествий на самолетах авиакомпании ABC в три раза больше, чем у компании DEF, но в два раза меньше, чем на лайнерах компании GHI.

Можно ли на основании этого утверждать, что летать на самолетах ABC в три раза опаснее, чем на самолетах DEF, но в два раза безопаснее, чем на самолетах GHP. Ответ объясните. Как вы считаете, что можно считать более объективной характеристикой безопасности полетов?

15.6. На стройку с кирпичного завода привезли 20 упаковок кирпича. Чтобы проверить качество партии, из каждой упаковки вытащили случайным образом по кирпичу и замерили длину каждого. Ниже представлены полученные величины (в см):

20,5; 20,1; 21,3; 20,3; 19,8; 19,2; 20,1; 19,6; 20,2; 20; 20,5; 19,7; 19,9; 20,5; 19,6; 20,1; 19,4; 19,8; 19,1; 20,3.

а) Определите среднюю длину кирпича я.

б) Найдите величину среднеквадратичного отклонения а.

в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от а меньше, чем на а?

г) Найдите величину интервала с центром в точке ау в который попадает 90% всех кирпичей.

15.7. В таблице приведены данные о максимальной ежедневной температуре в городе N в июне 1980 и в июне 1990 года:

Максимальная температура (°С)

Июнь 1980 г.

Июнь 1990 г.

[14; 18)

2

1

[18; 22)

9

6

[22; 26)

12

15

[26; 30)

6

3

[30; 34)

1

5

а) Постройте для каждого года гистограмму относительных частот.

б) В каком году было больше дней, когда температура превышала 26°?

в) В каком году июнь выдался более жарким? По каким числовым характеристикам выборок об этом можно судить?

г) В каком году погода в июне была более устойчивой? По каким числовым характеристикам об этом можно судить?

15.8. Определите, являются ли репрезентативными следующие выборки.

а) Автомобильные аварии в июне, если необходимо составить статистический отчет по авариям в городе за год.

б) Городские жители при подсчете числа автомобилей на душу населения в стране.

в) Городские жители при выяснении среднего размера обуви.

г) Люди в возрасте от 40 до 50 лет при выяснении рейтинга молодежной телепрограммы.

д) Девушки в возрасте от 15 до 25 лет при выяснении рейтинга молодежной телепрограммы.

15.9. Проведите статистическое исследование по успеваемости в вашем классе. Для этого выпишите из классного журнала оценки каждого ученика, полученные им за последний месяц по всем предметам.

а) Найдите все статистические характеристики среднего и разброса по каждому ученику и по классу в целом.

б) Найдите все статистические характеристики среднего и разброса по каждому предмету.

в) Кто из учеников имеет наилучшие показатели успеваемости? Какие статистические характеристики об этом говорят?

г) По какому из предметов ваш класс имеет наилучшие показатели успеваемости? Какие статистические характеристики об этом говорят?

д) Кто из учеников занимался в последний месяц наиболее стабильно? Какие статистические характеристики об этом говорят?

е) По какому предмету оценки за последний месяц наиболее изменчивы? Какие статистические характеристики об этом говорят?

Б

15.10. Известно, что О — самая распространенная гласная в русском языке. Прочтите отрывок из петербургской повести А. С. Пушкина «Медный всадник»:

На берегу пустынных волн

Стоял он, дум великих полн,

И вдаль глядел.

Пред ним широко

Река неслася; бедный челн

По ней стремился одиноко.

По мшистым, топким берегам

Чернели избы здесь и там,

Приют убогого чухонца;

И лес, неведомый лучам

В тумане спрятанного солнца,

Кругом шумел.

И думал он:

Отсель грозить мы будем шведу,

Здесь будет город заложен

Назло надменному соседу.

Природой здесь нам суждено

В Европу прорубить окно,

Ногою твердой стать при море.

Сюда по новым им волнам

Все флаги в гости будут к нам,

И запируем на просторе.

а) Подтверждает ли этот отрывок правильность утверждения, приведенного в условии задачи?

б) Сравните относительные частоты гласных У и И в стихотворении.

в) Постройте полигон относительных частот появления всех гласных в этом отрывке (за 100% возьмите общее количество гласных букв в этом отрывке). Соответствует ли он данным, приведенным в задаче 5.16? Если нет, то чем объяснить отличие?

15.11. На гистограмме (рис. 15.5) представлены данные о жилой площади квартир в одном из микрорайонов города N, полученные по выборке из 1500 квартир.

Рис. 15.5

Глядя на гистограмму, попробуйте ответить, что больше — мода или медиана данной выборки. Проверьте свои предположения вычислениями.

15.12. На некотором маршруте метрополитена провели исследование пассажиропотока. Для этого каждый час в случайно выбранном вагоне электропоезда на протяжении всего пути считали число пассажиров разных возрастов. Результаты исследования представлены в следующей таблице:

Возраст \ Время

6 ч 30 мин

7 ч 30 мин

8 ч 30 мин

9 ч 30 мин

10 ч 30 мин

11 ч 30 мин

До 7 лет

1

3

5

13

16

11

7-10

3

5

15

20

11

5

10-20

9

11

20

18

15

7

20-30

15

25

38

35

17

15

30-40

12

36

50

42

37

18

40-50

15

31

43

36

29

12

50-60

4

9

24

17

16

14

60-70

1

4

5

5

6

6

Старше 70

0

2

0

3

1

2

а) Определите час пик — время, когда в вагоне едет максимальное число людей.

б) Найдите время, когда относительная частота возрастной категории от 30 до 40 лет максимальна. Чем это можно объяснить?

в) Нарисуйте гистограммы относительных частот распределения пассажиров по возрастам в поездах, отправлявшихся в 8:30 и в 11:30. В чем их отличие? В каком поезде разброс по возрастам больше? Проверьте свои предположения, вычислив средние квадратичные отклонения.

г) Найдите средний возраст пассажиров в каждом из шести поездов и нарисуйте график его изменения с течением времени. Попробуйте объяснить эти изменения.

д) Как вы думаете, зависят ли результаты проведенного исследования от дня недели? от времени года? от ветки метро?

15.13. На рисунке 15.6 изображен график, показывающий ежедневное количество дорожно-транспортных происшествий на улицах города Nb марте текущего года.

Рис. 15.6

а) Постройте по этим данным интервальную таблицу частот, разбив диапазон значений от 25 до 50 на 5 равных интервалов.

б) Нарисуйте гистограмму относительных частот.

в) Определите среднее количество ДТП в день.

г) Можно ли увидеть в случайных колебаниях графика на рисунке 15.6 какую-нибудь закономерность?

15.14. В таблице приведены данные о возрасте женихов и невест, зарегистрировавших свой брак в одном из ЗАГСов Москвы.

Возраст жениха

Возраст невесты

33

33

18

18

38

30

58

45

39

38

Окончание табл.

Возраст жениха

Возраст невесты

18

20

23

22

23

20

39

28

34

33

39

24

27

27

33

30

19

18

28

22

27

21

22

33

18

18

64

47

36

24

а) Найдите средний возраст женихов и средний возраст невест.

б) На сколько лет по этим данным жених в среднем старше (или моложе) невесты?

в) Отвечая на вопрос б), первый ученик вычел из среднего возраста жениха средний возраст невесты, а второй — сначала вычислил для каждой пары разность возрастов, а потом нашел их среднее арифметическое. Кто из них прав?

г) У кого разброс по возрасту больше — у женихов или невест? Какие числовые характеристики позволяют сделать такой вывод?

15.15. Пасечник заметил, что пчелы в двух его ульях производят мед неравномерно. Раз в 10 дней он вынимал

соты из улья и заносил в таблицу массу (в кг) снятого меда, выработанного пчелами за десять дней.

Интервалы времени

Масса меда (в кг)

1 -й улей

2-й улей

С 20 по 30 апреля

11,4

11,9

С 30 апреля по 10 мая

12

10,8

С 10 по 20 мая

11,5

13,2

С 20 по 30 мая

11,7

12,6

С 30 мая по 10 июня

11

11,1

С 10 июня по 20 июня

10,6

11,4

С 20 июня по 30 июня

13,1

13.2

С 30 июня по 10 июля

12,8

12,9

С 10 по 20 июля

11,9

13,5

С 20 по 30 июля

13

10,9

С 30 июля по 10 августа

12,5

12,3

С 10 по 20 августа

12,9

11,7

С 20 по 30 августа

11,6

12

С 30 августа по 10 сентября

12

10,5

а) Пчелы какого из ульев работают более стабильно?

б) Если в первом улье живет 100 пчел, а во втором 75 пчел, то сколько меда добывает в среднем за день каждая пчела из 1-го и из 2-го улья?

15.16. Проведите самостоятельное статистическое исследование на тему «Сколько весит портфель школьника?». Самостоятельно придумайте вопросы, на которые интересно найти ответ в процессе такого исследования. Вот приблизительный перечень вопросов.

а) У кого портфель тяжелее — у мальчиков или девочек?

б) Как ведет себя вес портфеля с увеличением класса?

в) Зависит ли вес портфеля от времени года?

г) Зависит ли вес портфеля от дня недели? Самостоятельно разработайте форму опросного бланка для проведения такого исследования.

15.17. Проведите среди своих родственников и знакомых статистическое исследование на тему «Кто когда встает?». Заполните по результатам исследования таблицу:

Возраст \ Время

5:00-6:00

6:00-6:30

6:30-7:00

7:00-7:30

7:30-8:00

8:00-

До 3 лет

3-7

7-17

17-22 22-30

30-50

50-60

60-70

Старше 70

Самостоятельно придумайте вопросы, на которые интересно найти ответ в результате такого исследования. В качестве образца используйте вопросы к задаче 15.16.

16. Аксиоматическое определение вероятности*

Множество исходов.

Распределение вероятности. Случайное событие как подмножество множества исходов. Вероятностное пространство

Мы знаем уже три определения вероятности случайного события А:

• статистическое: вероятность приближенно равна частоте появления события А в длинной серии экспериментов (глава 5);

• классическое: вероятность — это отношение числа благоприятных для события А исходов к числу всех исходов эксперимента (глава 6);

• геометрическое: вероятность — это отношение площади события А ко всей площади области, где случайно выбирается точка (глава 13).

При этом только два последних определения по-настоящему математические — они позволяют точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. В свою очередь, частотное определение наполняет классическое и геометрическое определения реальным смыслом: именно к указанным в них априорным величинам будет стремиться частота в статистических экспериментах (если, конечно, выбранная модель соответствует реальной ситуации).

В этой главе мы попробуем обобщить математическое определение вероятности, объединив классическое и геометрическое определения и расширив рамки нашей математической модели реальных явлений. Это определение называют аксиоматическим и связывают с именем одного

из величайших математиков XX столетия — Андрея Николаевича Колмогорова.

Пусть Q1 — множество всех возможных исходов некоторого случайного эксперимента. Будем считать, что множество Q конечно, и обозначать его элементы (т. е. исходы эксперимента) col5 со2,соЛ:

П = {ю15ю2, ...,со„}.

Зададим на элементах множества Q неотрицательную числовую функцию /?(со), для которой

/?(с0,) +/7(с02) + ... +/>(ю„) = 1.

Эту функцию будем называть распределением вероятности на Q, а пару (Q, р) — вероятностным пространством.

Случайным событием А назовем любое подмножество элементов из множества со, а его вероятностью Р(А) — сумму вероятностей входящих в него исходов. В частности, вероятностью элементарного события {со} будет сопоставленное ему число р(ю}.

Пример 16.1. В опыте с бросанием монеты множество Q состоит из двух исходов, причем их вероятности равны.

со

«Орел»

«Решка»

/?(со)

1

2

1

2

Пример 16.2. В опыте с бросанием кнопки множество ß также содержит всего два исхода, но они уже неравновероятны.

со

Острие вверх

Острие вниз

/Ксо)

0,56

0,44

1 Q — греческая буква омега, точнее омега прописная, со — омега строчная. В теории вероятностей традиционно очень популярен греческий алфавит.

В примере 16.1 мы выбрали распределение вероятности, исходя из симметрии монеты и равновозможности исходов. В примере 16.2 никакой симметрии уже нет, и единственное, что можно использовать при выборе распределения вероятности, — это полученные ранее частоты этих исходов.

Пример 16.3. Опыт с бросанием двух кубиков мы описывали двумя разными вероятностными моделями.

Модель 1. Исходы — все возможные пары чисел, которые могут выпасть на кубиках:

со

11

12

13

66

/>(со)

1

36

1

36

1

36

1

36

Таких исходов 36, и все они равновозможны.

Модель 2. Исходы — все возможные суммы очков, которые могут выпасть на кубиках.

со

2

3

4

12

p((ù)

1

36

2

36

3

36

2

36

Таких исходов только 11, и вероятности их различны. Заметим, что каждый из этих 11 исходов выражается через приведенные выше равновероятные, которые с этой точки зрения оказываются «более элементарными».

Рассмотренные примеры позволяют заключить следующее. Чтобы построить вероятностное пространство, нужно прежде всего описать множество исходов Q. Затем нужно определить вероятности всех исходов. Здесь можно выделить три основных способа вычисления этих вероятностей.

1-й способ. Если нет оснований предполагать противное, все исходы считают равновозможными и их вероятности полагаются равными j-, где п — число исходов.

2-й способ. Если есть основания предполагать, что исходы неравновозможны, нужно попытаться разбить их на более мелкие, равновозможные. Если в эксперименте есть какая-то симметрия, то это обычно удается. После этого их вероятности выражаются через вероятности равновозможных исходов.

3-й способ. Если случайный эксперимент не содержит никакой симметрии, то вероятности всех исходов оценивают приближенно по их частоте.

В математике изучаются и более сложные вероятностные пространства, содержащие бесконечные множества исходов:

но при этом все равно требуется, чтобы

(примером такой бесконечной суммы может служить сумма членов геометрической прогрессии, знаменатель которой по модулю меньше 1).

Вероятностью случайного события А в таком пространстве по-прежнему будет сумма вероятностей входящих в него исходов, но теперь такая сумма может содержать уже бесконечное число слагаемых (хотя ее значение все равно остается меньше или равно 1).

Пример 16.4. Бросаем монету до первого появления «орла». Множество всех возможных исходов будет бесконечно:

Q = {О, РО, РРО, РРРО, РРРРО,...}.

Вероятности этих исходов будут соответственно

Легко сообразить, что они образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем -, сумма которой равна - •-j- = 1.

Наконец, пространство Q может содержать настолько большое количество исходов, что их нельзя даже перенумеровать (например, нельзя перенумеровать точки на отрезке вещественной прямой), а значит, и нельзя составить из них сумму.

Тогда вероятность каждого отдельного исхода приходится считать равной нулю, а вероятность случайного события вычислять как длину, площадь, объем (математики говорят — меру) всех входящих в это событие исходов. С примером такого вероятностного пространства мы сталкивались при изучении геометрической вероятности.

А

16.1. Одновременно бросают три монеты. Найдите распределение вероятностей для каждой системы исходов:

1-я система

со

ООО

OOP

OPO

POO

OPP

POP

PPO

ррр

p((û)

2-я система

со

3 «орла»

2 «орла», 1 «решка»

1 «орел», 2 «решки»

3 «решки»

p((û)

16.2. Из урны, в которой 2 красных и 2 желтых шара, извлекают друг за другом два шара (без возвращения).

Найдите распределение вероятностей для каждой системы исходов.

1-я система

со

кк

КЖ

ЖК

ЖЖ

p((û)

2-я система

со

2 красных

1 красный, 1 желтый

2 желтых

/>(со)

Указание: постройте свою систему, в которой все исходы равновозможны.

16.3. В семье трое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, опишите множество всех возможных исходов и распределение вероятностей на этом множестве. Найдите вероятность того, что в семье:

а) все дети мальчики;

б) все дети одного пола;

в) есть хотя бы один мальчик.

В задачах 16.4—16.18, прежде, чем находить вероятность событий, постройте пространство всех возможных исходов и найдите распределение вероятностей на этом пространстве.

16.4. а) На карточках написаны буквы А, Е, К, Р. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить слово РЕКА (т. е. первой окажется буква Р, второй — Е, третьей — К и четвертой — А)?

б) На карточках написаны буквы A, A, M, М. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить слово МАМА?

в) На карточках написаны буквы M, M, М, У. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить слово МММУ?

г) На карточках написаны буквы M, M, M, М. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить слово ММММ?

16.5. а) Из 7 карточек ПРСТУФХ наудачу выбираются три и в случайном порядке раскладываются в ряд. Найдите вероятность того, что получится слово ПУХ.

б) Из 7 карточек ПРСТУФХ наудачу выбираются три и по алфавиту раскладываются в ряд. Найдите вероятность того, что получится слово ПУХ.

16.6. Три метких (т. е. никогда не промахивающихся) охотника одновременно стреляют по трем вальдшнепам. Какова вероятность того, что хотя бы один вальдшнеп уцелеет, если каждый охотник выбирает себе цель наугад?

16.7. Среди 25 экзаменационных билетов 20 «хороших» и 5 «плохих». Экзамен сдают 25 учеников. Определите вероятность, что «плохой» билет вытащит:

а) первый ученик; б) второй ученик.

Как вы думаете, какой эта вероятность будет для остальных?

16.8. Ученик пришел на экзамен, зная 20 вопросов из 25. В билете 2 вопроса. Найдите вероятности событий:

А = {ученик знает оба вопроса в билете};

В = {знает ровно один вопрос};

С = {знает хотя бы один вопрос};

D = {не знает ни одного из двух вопросов}.

16.9. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наугад вынули два шара. Какова вероятность того, что они одного цвета?

16.10. Два друга бросают жребий, кому первому нырять с вышки. Для этого каждый из них должен случайно «выбросить» на одной руке любое количество пальцев от 1 до 5. Затем оба числа складываются и ведется счет — на кого выпадет, тот и будет прыгать. Перед жребием они заспорили, с кого начинать счет. Имеет ли это значение?

16.11*. а) В вашем распоряжении есть три необычных кубика, развертки которых показаны на рисунке 16.1. Ваш соперник предлагает вам первому выбрать любой из них. После этого он берет себе один из оставшихся, и вы начинаете играть. Выигрывает тот, у кого на кубике выпало больше очков. Какой кубик вы выберете?

Рис. 16.1

б) С теми же кубиками играть будут трое. Вы опять выбираете первым. На каком кубике вы остановите свой выбор на этот раз?

16.12*. Спортсмен-биатлонист должен поразить 3 мишени пятью выстрелами. Каждый выстрел попадает в цель с вероятностью i. Какова вероятность того, что биатлонист не побежит штрафные круги (т. е. поразит все мишени)?

16.13*. а) Два игрока договорились подбрасывать монету и записывать исходы бросаний: О — «орел», Р — «решка». Как только в этой последовательности встретится 00 или ОР, игра заканчивается, причем если она закончилась на 00, выигрывает первый игрок, а если на ОР — второй.

Например:

РРРРРРРОР — выиграл второй,

РРОО — выиграл первый,

РРРРР — игра еще не закончена, надо бросать дальше.

Кто из них будет чаще выигрывать?

б)* Второй игрок предложил изменить правила: теперь он будет выигрывать, как только встретится PO, а не ОР. Первый игрок сразу согласился — ведь монета симметричная. Не погорячился ли он?

16.14*. Вы купили в магазине три магнитофонные кассеты. На одной записана с двух сторон музыка Баха, на другой — с двух сторон музыка Моцарта, а на третьей—с одной стороны Бах, а с другой Моцарт. Придя вечером домой, вы не стали включать свет, а сразу поставили одну из кассет. Зазвучал Бах. Какова вероятность того, что на обратной стороне также записана его музыка?

16.15*. В коробке лежат три диска, раскрашенных в красный и синий цвета. При этом на одном диске обе стороны красные, на другом — обе синие, а на третьем — одна сторона красная, а другая синяя. Из коробки достают диск и показывают одну из сторон. Вам нужно угадать цвет обратной стороны. Как вы будете действовать?

Рассмотрите следующие стратегии:

а) называть всегда синий цвет;

б) называть всегда красный цвет;

в) называть попеременно то красный, то синий;

г) называть цвет случайно, с помощью монеты;

д) называть тот цвет, который видим;

е) называть красный цвет, если видим синий, и наоборот.

Найдите для каждой из стратегий вероятность угадывания.

16.16*. Из 100 килограммов стекла делают 100 бутылок. В массе стекла 100 камешков. Какова вероятность, что в случайно выбранной бутылке:

а) не будет камешков;

б) будет ровно один камешек;

в) будет два и более камешков?

Указание: размерами камешков пренебречь.

16.17. В урне N шаров, из которых M белых. Из урны вынули К шаров без возвращения. Какова вероятность, что при этом в урне не осталось белых шаров?

16.18*. В игре «Любовь с первого взгляда» трое юношей и три девушки выбирают друг друга. Если выбор юноши и девушки совпал, то образуется пара. Постройте вероятностное пространство и найдите вероятности следующих событий:

А = {не образовалось ни одной пары};

В = {образовалась одна пара};

С = {образовалось две пары};

D = {образовалось три пары}.

Ответы и решения

Глава 1

1.1. В — достоверное; С, Е, F (чтобы иметь возможность быть избранным президентом США, надо в США родиться) — невозможные; А, Д G — случайные. Хотя если вы решаете эту задачу накануне выходного дня, то событие D можно считать невозможным.

1.2. А, В, D— случайные; С — достоверное.

1.3. у4, С, D— случайные; В, F— невозможные; Е— достоверное.

1.4. А, В, С — случайные; D — невозможное.

1.5. Все события случайные.

1.6. Если всех-всех-всех всего 1, то событие А — достоверное; если больше 1, то А — случайное событие.

1.7. При N < 366 событие А — случайное; при N > 366 событие А — достоверное.

1.8. 81 билет. 1.9. 11 ботинок.

1.10. А, С, Е, G, Н— случайные; В, D— достоверные; F— невозможное.

1.11. В, С, D— случайные; А, Е, F— невозможные.

1.12. А, С, Е— случайные; В, D— невозможные.

1.13. а) Меньше 9 см; б) больше 9 см; в) ни при какой.

1.14. Не прав только Саша.

1.15. Больше 7 минут — случайным, меньше 7 минут — достоверным.

1.16. а)

N

Событие Л

1

невозможное

2

невозможное

3

случайное

4

случайное

5

случайное

6

случайное

7

достоверное

8

достоверное

9

достоверное

б)

M

Событие В

1

невозможное

2

случайное

3

случайное

4

невозможное

в)

M / N

1

2

3

4

1

д

н

H

H

2

с

с

H

H

3

с

с

с

H

4

н

с

с

H

5

н

с

с

H

6

н

с

с

H

7

н

H

д

H

8

н

H

д

H

9

н

H

д

H

Глава 2

2.1.

2.2. 2.3.

2.4. 2.5.

2.6. См. предыдущие задачи.

2.7. К Пятачку. В три раза чаще.

2.8. Все три вертушки дают одинаковые шансы.

2.9. а) Шансы С больше, чем В\ шансы В больше, чем А. б) Шансы С больше, чем А; шансы А больше, чем В.

2.10.

Противоположными будут события А и В. 2.11. Шансы В больше, чем А.

2.12. 2.13.

Противоположными будут события Си D.

2.14. 2.15.

2.16. а) 1,2, 3,6; б) 5; в) 4; г) 3,4,6.

2.18. а) Быстрее добирается в школу; б) на метро.

2.19.

Противоположными будут события А и С.

2.20.

Эти события не противоположные. Они очень маловероятные и при этом имеют одинаковые шансы (подумайте почему).

2.21. Одинаково.

2.22.

2.23. Нельзя. Из С действительно вытекает В, поэтому С является частью В. Но из В не следует А, поскольку рекорд мог установить не обязательно российский спортсмен.

2.24. 1-я группа: А, С, Е\ 2-я группа: В, D.

2.25. А—С, В— D. Все остальные нельзя — для этого не хватает сведений о сложности диктанта.

2.26. Событие D. Поскольку монета симметрична, то события А и В имеют равные шансы. В то же время, события В и С входят в D, поэтому D вероятнее, чем А, В и С.

2.27.

Нельзя, потому что D — достоверное событие.

Глава 3

3.1. а)

Месяц

Ясно

Облачно

Дождь

ВСЕГО

июнь

18

8

4

30

июль

23

5

3

31

август

19

6

6

31

ИТОГО

60

19

13

92

в)

3.2. а) 1) 543; 2) 9709; 3) 7504; 4) март; 5) 55 463. б)

3.3. а) «Винни-Пух»; б) «Ну, погоди!»; в) «Чебурашка»; г) 13 мальчиков и 13 девочек.

3.4. а) Азия; б) около 30 млн км2; б) около 55 млн км2; в) вам нужно выяснить, как относятся между собой площади Северной и Южной Америки.

3.8. а) Максимова Вера; б) 10 февраля и 23 марта; в) 4; г) скорее всего, 9 марта.

3.9. а) 1 место — Камерун; 2—3 места — Аргентина и Румыния; 4 место — СССР; б) Камерун, Аргентина, Румыния.

3.10. а) Горлов Денис, Сафаров Ринат, Галкина Лена; б) 4,6,6, 8, 10, 8 баллов; в) четвертая; г) можно, например, вычислить «средний балл» по каждой задаче и найти его отношение к максимальному баллу за эту задачу.

3.12. Проходной балл — 13, полупроходной балл — 12. 3.13.

Самая дорогая минута — с 10 до 11 ч (больше всего звонков), самая дешевая — с 4 до 5 ч (меньше всего звонков). Чтобы построить тарифную таблицу, следует прежде всего вычислить среднее число звонков в час — оно получится 213,5 (среднее арифметическое чисел в таблице). Значит, если в каком-то интервале поступает приблизительно такое число звонков, то оплата за минуту разговора должна быть 5 рублей. Если число звонков значительно больше (например, в 2 раза), то и оплата должна быть больше (например, тоже в 2 раза). Если число звонков значительно меньше, то оплата должна быть меньше. Такая экономическая политика будет «заставлять» клиентов АТС отказываться от звонков, когда линия перегружена, и звонить, когда она свободна. Тарифная таблица может выглядеть так:

Время суток

сО до 1

с1 до 2

с2 ДОЗ

сЗ до 4

с4 до 5

с5 до 6

Цена за мин (р.)

3,09

2,53

1,78

0,66

0,28

0,80

Время суток

сб до 7

С7 до 8

с8 Д09

с9 до 10

с 10 дол

с 11 до 12

Цена за мин (р.)

2,30

2,72

9,56

9,70

9,98

9,56

Время суток

с12 до 13

с 13 до 14

с 14 до 15

с 15 до 16

С16

до 17

с17 до 18

Цена за мин (р.)

9,56

3,98

4,03

9,27

8,90

8,48

Время суток

с18 до 19

с 19 до 20

с 20 до 21

с21 до 22

с 22 до 23

с 23 до 24

Цена за мин (р.)

4,26

3,93

3,65

4,07

4,12

2,81

Замечательно, что среднее арифметическое чисел в построенной таблице будет 5 рублей (проверьте!).

Глава 4

4.1.

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

1

26

0,173

2

25

0,167

3

19

0,127

4

27

0,180

5

25

0,167

6

28

0,187

4.2.

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

1

0,1533

46

2

0,1933

58

3

0,16

48

4

0,1533

46

5

0,1467

44

6

0,1933

58

4.3. а) 24 ООО; б) 0,5005; в) 0,4995. 4.4.

Исходы

Абсолютная частота

Относительная частота

«Орел»

141

0,47

«Решка»

159

0,53

4.7. Частота последнего исхода должна получиться приблизительно в два раза больше — ведь его можно получить двумя разными способами: «орел» — «решка» и «решка» — «орел».

4.8. Относительные частоты: А — 0,13; В — 0,04; С — 0; D-0,41; £-0,46.

4.9. Относительные частоты: А - 0,0667; 5-0,2133; С— 0,2866; D— 0,7133.

4.10. Относительные частоты: А - 0,0114; В-0,0359; С— 0,1345; D- 0,2505.

4.11.

Сумма

Абсолютная частота

Относительная частота

2

6

0,06

3

8

0,08

4

12

0,12

5

11

0,11

6

12

0,12

7

11

0,11

8

18

0,18

9

9

0,09

10

7

0,07

11

4

0,04

12

2

0,02

4.13. а) Минимальное количество — 0, максимальное количество зависит от расстояния между линейками и длины зубочистки.

Это знаменитый опыт Бюффона, правда, проводил он его не с зубочисткой, а с иглой. Подробнее об этом опыте можно прочитать в литературе.

4.14. Нет, не следует. Приведем только один пример. Пусть первый ученик опросил 5 мужчин (из них 4 близоруких) и 10 женщин (из них 7 близоруких), получив соотношение - > —. Пусть второй ученик опросил 10 мужчин (из них 3 близоруких) и 5 женщин (из них 1 близорукая), получив соотношение — > При этом всего было опрошено 15 мужчин (из них 7 близоруких) и 15 женщин (из них 8 близоруких). Для всей совокупности получаем обратное соотношение — < — !

4.15. Около 7 букв. Будем считать словом любую последовательность символов, не содержащую пробелов. Тогда текст, содержащий N символов, среди которых п пробелов, будет содержать (п + 1) слово. Мы не сильно ошибемся (зато упростим вычисления), если будем считать, что наш текст содержит п слов. Суммарная длина этих слов — (N— п) символов, а средняя длина одного слова-= - - 1. По условию задачи частота пробелов в тексте т; ~ 0,12, поэтому средняя длина слова будет —--1 = 7,33.

Глава 5

5.1. а) к-; б)

в) к бесконечности; Д)к0;

г) к бесконечности; е) к бесконечности.

5.2. Сумма этих частот всегда равна 1. Осью симметрии будет прямая у — -.

5.3. Симметрия сохранилась. Осью симметрии осталась прямая у = -, так как сумма частот этих исходов по-прежнему равна 1.

5.4. В ситуациях а) и в) — только здесь мы имеем дело с симметричными объектами.

5.5. а) Нет; б) от 0,26 до 0,76.

5.6. Нет. Одного испытания недостаточно, чтобы по частоте оценить вероятность.

5.7. Нет. Дробь — — это частота события «Кто-нибудь из участников тиража угадает 6 номеров». Этих участников, видимо, очень много, поэтому и частота события оказалась такой большой.

5.8. Нет. Шансы у всех номеров в каждом очередном тираже одинаковые. У природы нет памяти!

5.9. Да, верно. Состав колоды изменился: среди 16 оставшихся карт 4 туза и только 1 шестерка. Именно в этом принципиальное отличие этой задачи от предыдущей.

5.10. а) Частота события Л должна приближаться к -, частота В— тоже к -, а частота С— к -.

б) Частота D — к - , а частота Е — к -.

5.11. Событие А

5.12. Если считать монету идеально симметричной (как мы всегда и поступали), то прав, безусловно, третий из ребят. А вот если монета не симметричная, то вполне разумно предположение второго — хотя результаты проведенных опытов вряд ли дают для этого достаточные основания. И в любом случае неверны рассуждения первого.

5.13. а) Например, 000000 ... ;

б) Например, 0Р0Р0Р0Р ... ;

в) Например, О OOP ОООРР ООООРРР .... В этой серии после одного «орла» идет нуль «решек», после двух «орлов» — одна «решка», после трех «орлов» — две «решки» и т. д. Несложно доказать, что разность абсолютных частот здесь неограниченно возрастает, а разность относительных — убывает к нулю.

5.14. Для первого игрока--, для второго--.

5.15. Вова ошибочно полагал, что разность абсолютных частот «орлов» и «решек» будет колебаться около нуля. В реальной серии экспериментов (проверьте!) она будет неограниченно возрастать, поэтому Машин график гораздо сильнее отклоняется от нуля.

5.16. Если вы правильно найдете величину сдвига, то прочитаете отрывок из повести А. С. Пушкина «Путешествие в Арзрум во время похода 1829 года».

5.17. Букву о (см. диаграмму на рис. 5.6).

Глава 6

6.1.

Ответ - = 0,143 тоже годится, но он неточный! Каждый год содержит лишь приблизительно одинаковое количество понедельников, вторников и т. д. На самом деле эти количества могут отличаться на 1.

6.2. 6.3.

6.4. Нет. На самом деле ~ = 0,028.

6.5. а) Обыкновенный год содержит 365 дней, а високосный — 366 дней. Какой же ответ правильный: г~т = 0,002740 или ^ = 0,002732? Правильнее взять четырехлетие, включающее високосный год: ;———— = 0,002738 — получим нечто среднее. Но и этот ответ не совсем точный: ведь високосными не считаются годы, делящиеся на 100, поэтому лучше взять столетие: ~—————— = 0,00273793. А вот если год делится на 400, то он все-таки считается високосным, поэтому абсолютно правильный ответ будет только, если взять двухтысячелетие:

б) см. пункт а);

в) этот пункт без учета високосных лет вообще решать нельзя:-~—— = 0,000685, точнее

или, еще точнее,

6.6.

6.7. а) — = - = 0,667; б) — > —, поэтому лучше вызвать мальчика; в) — = - = 0,833.

6.9. 1) а) На тройку - — = 0,104;

б) на девятку — — = 0,096; 2) нет, неверно. У обоих шансы

6.10. 6.11.

6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16.

6.17. В пунктах а)—г) можно легко выписать ту единственную комбинацию из «орлов» и «решек», которая приводит к наступлению указанного события: а) О; б) РО; в) РРО; г) РРР.

Отсюда искомые вероятности будут: а) - = 0,5; б) ^ = 0,25; в) ^ = 0,125; г) ^ = 0,25. В пункте д) проще найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы: в) 1 - \ = 0,875.

6.19. 6.20.

Глава 7

7.1.

7.2. Частота А = — = 0,475; частотаВ= — = 0,325;

частота С = ~- = 0,075; частота D = 7- = 0,025.

Событие D является элементарным.

7.3. а) А = {2 «орла», 2 «решки»} — частота 0,48;

С = {2 «орла», «орел» и «решка»} — частота 0,71 ;

б) А = {ОО, РР} - частота 0,48; В = {ОО, ОР} - частота 0,47; С = {ОО, ОР, РО} - частота 0,71;

в) 2 «орла» = {ОО}, «орел» и «решка» = {ОР, РО}, 2 «решки» = {РР};

г) исходы второй таблицы равновозможны.

7.4. а) А = {\к\ж, \к\з, \ж\з} — частота0,78;

С = {2ж, 2з, \ж\з} — частота 0,4;

б) А = {КЖ, КЗ, ЖК, ЖЗ, ЗК, ЗЖ} - частота 0,78; В = {КК, КЖ, КЗ} - частота 0,36; С = {ЖЖ, ЖЗ, ЗЖ, 33} - частота 0,4;

в) 2к = {КК}, 2ж = {ЖЖ}, 2з = {33}, 1к1ж = {КЖ,ЖК}, 1к1з = {КЗ, ЗК}, 1ж1з = {ЖЗ, ЗЖ};

г) в обеих таблицах исходы неравновозможны! Например, вероятность исхода КЖ больше, чем КК (ведь после того, как один красный шар уже вытащили, красных шаров в урне осталось меньше, чем желтых).

7.5. а) Вероятности всех исходов равны К Исходы равновозможны, б) Р{30} = ЛЗР} = h Р{20Щ = Р{Ю2Р} = \. Исходы неравновозможны.

7.6. m- I = 1-0,667; РЩ = =0,417;

7.7. а) {ПН, ВТ, CP, ЧТ, ПТ, СБ, ВС};

б) {январь, февраль,декабрь};

в) {1 января, 2 января, ...,31 декабря}.

Только в первой системе исходы равновозможны. Во второй системе месяцы имеют разное количество дней, поэтому вероятность февраля будет меньше, чем марта. В третьей системе один из исходов — 29 февраля — имеет в 4 раза меньшую вероятность, чем остальные.

7.8. А — alfl; В — alc3; С - alb3; D - ald2. Больше всего исходов содержит событие D.

7.9. Обозначим каждый ботинок специальным «кодом», в котором укажем, какого он размера и на какую ногу:

41л, 41п, 42л, 42п, 43л, 43п, 44л, 44п, 45л, 45п.

Тогда исходом нашего опыта будут любые 2 из 10-ти перечисленных кодов (их порядок учитывать не будем).

а) Благоприятные исходы: {41л41п, 42л42п, 43л43п, 44л44п, 45л45п}.

б) 41л43п — один из неблагоприятных исходов.

в) Общее количество возможных исходов будет —^ - = 45 — столькими способами можно выбрать из 10-ти ботинок любые два (см. главу 11). Вероятность искомого события Р(А) = ~ = ^ = 0,111.

Интересно, что этот ответ можно было бы получить другим не очень строгим, но зато очень простым рассуждением: пусть один ботинок мы уже вытащили (все равно какой); тогда в шкафу осталось 9 ботинок, из которых

только один нас устраивает (он будет парным для нашего). Значит ответ Р(А) = ^.

7.10. Занумеруем все конфеты цифрами от 1 до 4. Будем считать, что конфеты с сюрпризом получили номера 1 и 2 (можно и другие — это все равно). Исходом эксперимента будем считать любую пару различных цифр от 1 до 4 — это будут номера конфет, доставшихся Винни-Пуху. Тогда искомые события запишутся так:

А = {34};

Д = {12};

С= {13, 14, 23, 24}.

Как видим, общих исходов у этих событий нет. Нет также исходов, которые не попали хотя бы в одно их этих событий (проверьте!). Теперь легко найти их вероятности:

Р(А) = Р(В) = -6 = 0,167; до = * = ~з = 0,667.

7.11. а) к1к2, к2к1, к1ж1,ж1к1 ... ; всего 6 е 5 = 30 исходов;

б) [к1к2], [к1ж1], ... . Квадратные скобки показывают, что порядок следования шаров не учитывается. Всего = 15 исходов;

в) каждому исходу пункта б) соответствуют два исхода пункта а);

г) в каждой из этих систем исходы равновозможны; в пункте а) вероятность каждого исхода равна —, в пункте б)--к 15

7.12. В первой системе (у Маши) исходы равновозможны, во второй (у Никиты) — нет. Например, исходу 8 + 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 соответствует только один исход 11111111, а исходу 2 + 2 + 2 + 2 + 0 + 0 соответствуют исходы 11223344, 12341234 и многие другие.

7.13. а) {ООООО, ООООР, ОООРО, ОООРР, РРРРР}. Всего таких исходов 25 = 32 и они равновозможны,

б) {[ООООО], [ООООР], [ОООРР], [ООРРР], [ОРРРР], [РРРРР]}.

В первой системе исходы равновозможны, во второй — нет.

7.14. Обозначим шляпу первого господина 1, второго — 2, третьего — 3. Тогда исходом эксперимента можно считать любую перестановку из чисел 1, 2, 3. Например, исход 123 означает, что каждый надел свою шляпу. Всего исходов будет 6: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Все они равновозможны.

7.15. а) Нет.

б) Первый игрок: {О, РРО, РРРРО, РРРРРРО,...};

Второй игрок: {РО, РРРО, РРРРРО,...}.

в) У первого. Его шансы будут = -. А шансы второго

К этой задаче мы еще вернемся в следующих главах.

7.16. 1) Ольга: на одной бумажке написано 1, на другой — 2, на третьей — х. Бумажки тянутся до появления х. Маша: на бумажках написано то же самое, но вытягиваются все три бумажки до конца.

Ирина: на одной бумажке написан х, а на двух других — 0. Бумажки тянутся до появления х. Очевидно, что Машины исходы равновозможны. Ольгины исходы неравновозможны: исходу х соответствуют два исхода х 12 и х 21, а всем остальным — по одному.

Иринины исходы равновозможны: каждому из них соответствуют по два Машиных исхода.

2) Множество всех исходов бесконечно: {О, РО, РРО, РРРО, РРРРО, ...}. Они неравновозможные. При следующих исходах посуду будет мыть:

Ольга: О, РРРО, РРРРРРО,

Маша: РО, РРРРО, РРРРРРРО,

Ирина: РРО, РРРРРО, РРРРРРРРО,....

3) Первый жребий (с бумажками) справедливый, второй (с монетами) — нет. При втором жребии чаще всех будет мыть посуду Ольга, реже всех — Ирина. Соответствующие вероятности можно найти как в задаче 7.15:

Ольга:

Маша:

Ирина:

7.17. Обозначим юношей Юи Ю2, Ю3, а девушек — Дь Д2, Д3.

Тогда любой исход можно обозначить словом из шести букв, в котором первые три буквы Д (с произвольными индексами) — это выбор трех юношей, а последние три буквы Ю (также с произвольными индексами) — выбор девушек.

Например, в исходе Д1Д2ДзЮ3Ю2Ю1 совпало две пары: юноша № 2 и девушка № 2 выбрали друг друга, и то же самое сделали юноша № 3 и девушка № 1. Всего таких исходов будет Зв3*3-Зв3*3 = 36 = 729. Все они равновозможны (если считать выбор каждого из участников игры случайным).

7.18. 1) а) Благоприятный; равносторонний треугольник;

б) неблагоприятный;

в) благоприятный; разносторонний треугольник;

г) неблагоприятный (треугольник вырождается в отрезок);

д) благоприятный; равнобедренный треугольник.

2) Должна выполняться одна из двух систем:

Их решением будет множество точек, изображенное на рисунке.

Глава 8

8.1. а)

Размер обуви

Абсолютная частота

Относительная частота

39

2

0,067

40

2

0,067

41

5

0,167

42

10

0,333

43

5

0,167

44

3

0,100

45

2

0,067

46

1

0,033

б)

в) 42-й. Его носит около 33% мужчин.

8.2. а)

Цена (в р.)

Абсолютная

Относительная

от

до

частота

частота

0

1000

7

0,233

1000

2000

16

0,533

Окончание табл.

Цена (в р.)

Абсолютная частота

Относительная частота

от

до

2000

3000

5

0,167

3000

4000

1

0,033

4000

5000

1

0,033

в) От 1000 до 2000 р.

г) Вместо точных цен, которые при таких данных неизвестны, нужно взять середины каждого интервала и умножить на соответствующие абсолютные частоты:

8.3.

Значение ряда

Абсолютная частота

Относительная частота

1

3

0,05

2

6

0,1

3

15

0,25

4

21

0,35

5

12

0,2

6

3

0,05

8.4.

Значение ряда

Абсолютная частота

Накопленная частота

1

0,2

0,2

2

0,2

0,4

3

0,1

0,5

4

0,15

0,65

5

0,3

0,95

6

0,05

1

8.5.

Время (час)

Абсолютная частота

Относительная частота

от

до

0

1

2

0,1

1

2

5

0,25

2

3

7

0,35

3

4

5

0,25

4

5

1

0,05

Больше часа на приготовление домашнего задания тратят 18 из 20 восьмиклассников.

8.6.

Количество заболеваний

Абсолютная частота

Относительная частота

Накопленная частота

0

40

0,05

0,05

1

80

0,1

0,15

2

160

0,2

0,35

3

160

0,2

0,55

4

200

0,25

0,8

5

80

0,1

0,9

6

80

0,1

1

40 учеников в течение года ни разу не болели.

8.7.

Количество красных шаров

Абсолютная частота

Относительная частота

0

43

0,287

1

74

0,493

2

30

0,200

3

3

0,020

Полигон частот:

Наиболее часто вынимали 1 красный шар.

8.8. а) 12 000; б)

Количество правильно угаданных номеров

Количество карточек

Относительная частота

0

5200

0,4333

1

4950

0,4125

2

1626

0,1355

3

211

0,0176

4

12

0,0010

5

1

0,0001

6

0

0,0000

Скорее всего, ни одного номера, в) Около 98%.

Количество правильно угаданных номеров

Количество карточек

Относительная частота

Накопленная частота

0

5200

0,4333

0,4333

1

4950

0,4125

0,8458

2

1626

0,1355

0,9813

3

211

0,0176

0,9998

4

12

0,0010

0,9999

5

1

0,0001

1,0000

6

0

0,000

1,0000

8.9. а)

Число забитых мячей

Количество матчей

Относительная частота

Накопленная частота

0

29

0,153

0,153

1

42

0,221

0,374

2

40

0,211

0,584

3

37

0,195

0,779

4

22

0,116

0,895

Окончание табл.

Число забитых мячей

Количество матчей

Относительная частота

Накопленная частота

5

9

0,047

0,942

6

6

0,032

0,974

7

3

0,016

0,989

8

1

0,005

0,995

11

1

0,005

1,000

б)

в) В 58%.

г) Обозначим неизвестное нам количество команд через N. Тогда за один круг чемпионата должно было быть сыграно —--- матчей. Из таблицы видно, что их сыграно 190. Единственным (натуральным) решением квадратного уравнения является N = 20.

д) В любой ничьей забивается четное количество мячей — это необходимое условие. Поэтому ничьих не может быть больше, чем матчей, где было забито четное число

мячей: 29 + 40 + 22 + 6 + 1 = 98. Если в матче не было забито ни одного мяча, то он закончился в ничью — это достаточное условие. Поэтому ничьих было не менее 29. Таким образом, количество ничьих в первом круге лежит в диапазоне от 29 до 98.

8.10. а)

Рост (в см)

Абсолютная частота

Относительная частота

Накопленная частота

от

до

152

156

2

0,004

0,004

156

160

6

0,012

0,016

160

164

18

0,036

0,052

164

168

69

0,138

0,19

168

172

107

0,214

0,404

172

176

109

0,218

0,622

176

180

96

0,192

0,814

180

184

64

0,128

0,942

184

188

22

0,044

0,986

188

192

7

0,014

1

б)

в) 1-й рост — до 171 см, 2-й рост — от 171 см до 177 см, 3-й рост — выше 177 см.

8.11. Ряд 1 — школьный хор, ряд 2 — 7-й класс, ряд 3 — 9-й класс.

8.12. Для сравнения результатов нужно составить частотные таблицы и построить полигоны относительных частот оценок в одном и в другом классе:

Поскольку относительная частота плохих оценок при использовании новой методики снизилась, а относительная частота хороших оценок возросла, то, по крайней мере, новую методику нельзя назвать вредной. А аргументы в ее пользу нуждаются в дальнейшем исследовании, поскольку различие в указанных частотах все-таки не очень значительное.

8.13. При 3<х<4. 8.14.

Произведение

Вероятность

Относительная частота

1

0,028

0,06

2

0,056

0,08

3

0,056

0,1

Продолжение табл.

Произведение

Вероятность

Относительная частота

4

0,083

0,08

5

0,056

0,02

6

0,111

0,07

7

0

0

8

0,056

0,09

9

0,028

0,01

10

0,056

0,03

11

0

0

12

0,111

0,11

13

0

0

14

0

0

15

0,056

0,11

16

0,28

0,02

17

0

0

18

0,056

0,02

19

0

0

20

0,056

0,07

21

0

0

22

0

0

23

0

0

24

0,056

0,07

25

0,028

0

26

0

0

27

0

0

28

0

0

29

0

0

30

0,056

0,04

31

0

0

Окончание табл.

Произведение

Вероятность

Относительная частота

32

0

0

33

0

0

34

0

0

35

0

0

36

0,028

0,02

Для сравнения можно построить по найденным вероятностям и частотам полигоны:

Значительные отличия частот от вероятностей можно объяснить малым числом опытов.

8.15. а)

Количество «орлов»

Относительная частота

0

0

1

0

2

0,06

3

0,08

4

0,16

5

0,38

Окончание табл.

Количество «орлов»

Относительная частота

6

0,16

7

0,12

8

0,04

9

0

10

0

8.16. а)

Количество бросаний

Абсолютная частота

Относительная частота

1

20

0,455

2

11

0,250

3

5

0,114

4

2

0,045

5

4

0,091

6

1

0,023

7

1

0,023

б) Одно бросание наиболее вероятно.

Глава 9

9.1. а) 22 ООО; б) более 22 ООО.

9.2. а) 5; б) -.

9.3. Среднее арифметическое = 15 200 р.; мода = 10 ООО р.; медиана = 10 000 р.

9.4. Среднее арифметическое = 3,3; мода = 4; медиана = 3,5. 9.5.

а) Среднее арифметическое = 5,125; мода = 8; медиана = = 5,5.

б) Для такой оценки лучше всего умножить среднее арифметическое на количество человек: около 5,125 х ж 1200 = 6150 книг приблизительно прочитали за лето все ученики этой школы.

9.6. Среднее арифметическое = 10,04 года; мода = 8 лет; медиана = 9 лет.

9.7. Среднее арифметическое = 175,75 см. Мода (точнее, интервальная мода) — от 175 до 180 см. Медиана также лежит в интервале от 175 до 180 см, поскольку именно в этом интервале происходит переход накопленной частоты через 0,5. Составив соответствующую пропорцию, можно найти точное значение медианы:

9.8. Среднее арифметическое = 3,7; мода = 4; медиана = 4.

9.9. Среднее арифметическое = 2,4 часа; интервальная мода — от 2 до 3 часов; медиана = 2 + (3 - 2) • ———- = 2,43 часа.

9.10. а) 2,33 мяча; б) 1 мяч; в) 1 :0.

9.11. Чтобы ответить на этот шуточный вопрос, нужно сначала решить нешуточную задачу — определить, что называется средней глубиной реки. Попробуйте дать свои определения. В любом случае ответ на вопрос будет положитель-

ным, так как в такой реке вполне могут быть участки с глубиной несколько метров.

9.12. Среднее арифметическое, мода (если она была) и медиана также увеличатся на 10.

9.13. Среднее арифметическое, мода (если она была) и медиана также увеличатся в два раза.

9.14. а) Поскольку накопленная частота в точке 3 равна -, то ровно половина членов ряда имеют значения меньше или равные трем, и ровно половина — большие трех. Отсюда количество членов ряда четно (иначе у него не будет «ровно половины»).

б) Поскольку ряд состоит из четного числа членов, то медиана будет равна среднему арифметическому чисел 3 и 4, т. е. 3,5.

9.15. а) 0,127; б) 40,5%; в) приблизительно на 1,11-500 ~ 550 детей.

9.16. Можно сравнить средние характеристики первой и второй выборок.

Курящие: среднее арифметическое = 6 дней, мода = 7 дней, медиана = 6,5 дня.

Некурящие: среднее арифметическое = 4 дня, мода = 3 дня, медиана = 3,5 дня.

Сильнее всего различаются моды этих распределений — более, чем в два раза. Директор может сделать примерно такое заявление: «Статистические исследования показали, что в среднем курящий человек болеет в два раза чаще некурящего». Конечно, это заявление не совсем «математическое», поскольку не очень ясно, как понимать в нем термин «в среднем в два раза чаще», но зато звучит очень убедительно.

9.17. а) Наиболее часто встречаются семьи с доходом около 1250 рублей на человека.

б) Средний доход на одного человека в данном регионе составляет 1395 рублей.

в) Около половины семей имеют доход свыше 1375 рублей на человека.

г) Около 19% всех семей живут за чертой бедности, т. е. имеют доход менее 1000 рублей на человека.

9.18. Сначала запишем все интервалы в виде смешанных дробей:

Теперь можно вычислить их среднее арифметическое, которое получится

9.19.

а) 1; 1; 1; 1. Среднее арифметическое = мода = медиана = 1.

б) 1; 2; 3; 4; 4. Среднее арифметическое = 2,8; мода = 4; медиана = 3.

в) 1; 2; 3; 4; 6; 6; 6. Среднее арифметическое = медиана = 4; мода = 6.

г) 1; 2; 3; 6; 6; 18. Среднее арифметическое = мода = 6; медиана = 4,5.

д) 1; 2; 2; 3; 4. Среднее арифметическое = 2,4; мода = медиана = 2.

9.20. Дан числовой ряд:

100, 120, 80, 120,145, 100, 120, 80, 120, 150.

а) Среднее арифметическое = 113,5; мода = медиана = 120.

б) Среднее арифметическое = **^+ *. Мода = медиана = 120.

9.21.

а) Для этого надо решить уравнение

откуда

9.22. Найдем медиану этой выборки:

Значит, у половины учителей возраст меньше 45,8 года, у другой половины — больше. Через 62 - 45,8 ~ 16 лет около половины всех работающих сейчас учителей выйдут на пенсию.

9.23. а) Чтобы не было смысла умышленно завышать или занижать оценку. Но этот метод срабатывает только при условии, что такой «злоумышленник» один.

б) Потому что такой ряд может не иметь моды.

в) Может быть, и лучше. Во всяком случае, не будет необходимости выбрасывать минимальную и максимальную оценки, так как они не влияют на значение медианы.

9.24. а) 100-20- 1650 = 350 рублей.

б) Средний проигрыш по каждому билету составляет — = 17,5 рубля. Значит, приблизительный годовой доход устроителей лотереи составит 500 000* 17,5 = = 8 750 000 рублей. Лучше устраивать лотереи, чем в них играть!

Глава 10

10.1. Размах = 4; дисперсия = 2,5; а = 1,58. Отклонение от среднего не превышает а для значений 2; 3; 4.

10.2. а), б) Все числа этого ряда одинаковые.

10.3. Среднее арифметическое этого ряда равно 5,125 (см. задачу 9.5), о = 3,56. Составим таблицу, в которой найдем абсолютные значения отклонений числа прочитанных книг от их среднего арифметического:

Имя

Число книг

Отклонение от среднего

Аня

8

2,875

Витя

10

4,875

Игорь

6

0,875

Оля

1

4,125

Петя

0

5,125

Катя

8

2,875

Окончание табл.

Имя

Число книг

Отклонение от среднего

Лена

5

0,125

Саша

3

2,125

Отклонение превышает стандартное для Вити, Оли и Пети.

10.4. Размах = 8; дисперсия = 5,8; о = 2,4.

10.5. Размах = 35; дисперсия = 49,44; о = 7,03.

Отсюда первый интервал будет (168,72; 182,78). В него целиком попадают интервалы [170; 175) и [175; 180), т.е. 44 участника. Но кроме этого он частично захватывает интервалы [165; 170) и [180; 185), что тоже необходимо учесть, взяв из каждого интервала количество участников, пропорциональное длине захваченной части интервала:

для первого интервала для второго интервала

Итого: 44 + 8,9 + 5,5 = 58,4, т. е. 73% всех участников. Аналогично находим процент участников для остальных интервалов: а) 73%; б) 93%; в) 100%.

10.6. Размах оценок у них одинаковый — 3. Для более детального исследования нужно вычислить дисперсии и стандартные отклонения.

Лена: дисперсия = 0,88; о = 0,94; Наташа: дисперсия = 0,78; а = 0,88. Судя по этим данным, несколько стабильнее учится Наташа.

10.7. «Альфа»: среднее арифметическое = 15 200; мода = 10 000; медиана = 10 000; размах = 90 000; дисперсия = 313 000 000; о = 17 691.

«Бета»: среднее арифметическое = 18 462; мода = 9 000; медиана = 9 000; размах = 191 000; дисперсия = = 1 340 000 000; а = 36 563.

Как видно из этих характеристик, на втором предприятии намного (более, чем в два раза) выше разброс зарплаты,

а вот средние характеристики практически одинаковые. Очевидно, первое предприятие предпочтительнее.

10.8. а) Среднее арифметическое; б) медиана; в) мода; г) размах; д) дисперсия; е) стандартное отклонение.

10.9.

10.10.

10.11. Не изменится.

10.12. Размах и стандартное отклонение увеличатся в 2 раза, дисперсия увеличится в 4 раза (если только все они не равнялись нулю).

10.13.1,72; 0,0016; 0,04.

10.14. Пусть в Олином классе учится человек. Тогда увеличение

x, + ... + xN

одного из слагаемых в выражении-в 10 раз даст ошибку, равную ——— = — , где л: = 1,81 — правильный рост, в котором была допущена ошибка. Из этой формулы видно, что чем больше в классе учеников, тем меньше повлияет эта ошибка на вычисление среднего арифметического. Если предположить, что в классе около 30 учеников, то ошибка составит 0,3е 1,81 « 0,54, т.е., примерно полметра, и средний рост учеников получится 1,72 + 0,54 = = 2,26 метра («правильное» среднее арифметическое 1,72 мы взяли из предыдущей задачи).

Замечательно, что мода и медиана, скорее всего, вообще не изменятся: мода может измениться (да и то не обязательно) только в том случае, если она равнялась 1,81, а медиана — если она была больше 1,81. Размах составит, по крайней мере, 18,1 - 1,62 = 16,48 метров. Изменение дисперсии и стандартного отклонения будет так же, как и для среднего арифметического, зависеть от количества учеников в классе. Если считать, что их около 30-ти, то ошибка в вычислении дисперсии составит где а — правильное значение среднего арифметического, а А — ошибочное. Мы уже нашли, что А = 2,26, а по результатам предыдущей задачи а = 1,72. Отсюда ошибка в вычислении дисперсии составит 3,ЗЧ,812 - 0,54• 3,98 « 8,66, а сама дисперсия 0,0016 + 8,66 = 8,6616. Ошибочное стандартное отклонение будет 2,94 — все-таки меньше, чем размах.

10.15. Среднее арифметическое = п ; мода = 1; медиана = 1;

размах = |х - 1|; дисперсия

стандартное отклонение

От X не зависят только мода и медиана. Это еще раз говорит об их так называемой «устойчивости» к ошибкам выборки.

10.16. Сначала перейдем от произвольного числового ряда к ряду, у которого минимальное значение равно нулю — для этого вычтем из каждого значения ряда его минимальное значение Xmjn- При этом размах и стандартное отклонение ряда не изменятся (см. задачу 10.11). Так как размах полученного ряда равен его максимальному значению х^, необходимо доказать, что о < хтах. Поскольку оба числа неотрицательные, то можно перейти к их квадратам: о2 < х^ах. Запишем формулу для подсчета дисперсии:

Неравенство доказано.

Глава 11

11.1.

11.2.

г) Вероятность суммы 6 будет —, суммы 5 —-. Сумма 6 будет выпадать чаще.

д) Самое вероятное значение суммы 7. Его вероятность —

11.3.

11.4. \ ~ 0,167. Задачу можно решить двумя способами. 1-й способ: считаем, что шары вынимают одновременно; число всех возможных исходов будет = 6, из которых только один благоприятный. 2-й способ: считаем, что шары вынимают друг за другом; тогда всего исходов будет 4е3 = 12, из которых уже 2 благоприятных.

11.5. Правильный ответ в) i. Помните, что природа различает не цвета, а предметы! Для подсчета исходов — см. предыдущую задачу.

11.6.

11.7. —г = = 0,036. Всего комбинаций — 103. За час мы успеем перебрать 3600 комбинаций. Та единственная комбинация, на которую закрыт замок, окажется среди них с вероятностью —

11.8. —fz « 0,000054. По правилу умножения существует 1212 способов выбрать месяцы рождения для участников компании. Благоприятными будут те 12! способов, в которых все месяцы различные.

11.9.

Для круглого стола эта вероятность больше, что вполне согласуется со здравым смыслом. Перенумеруем все 10 мест. Существует 10! способов рассадить на эти места участников праздника (и для стола, и для дивана). А вот число благоприятных исходов будет разное. За круглым столом 10 способами можно выбрать место для Деда Мороза, после чего остаются 2 способа посадить Снегурочку (по левую и по правую руку от Деда) и 8! способов для всех остальных. Для дивана подсчет будет сложнее —

придется применить правило сложения: если Деда сажаем с краю, то для него — 2 способа, для Снегурочки — только 1, для всех остальных — 8!; если Деда сажаем в середине, то для него — 8 способов, для Снегурочки — 2 способа, для всех остальных — по-прежнему 8!

11.10.

Сложнее всего определить число благоприятных исходов в пункте в). Сначала выберем пару кубиков, на которых выпадут одинаковые числа. Это можно сделать тремя способами: 1-й и 2-й, 1-й и 3-й, 2-й и 3-й. Теперь нужно указать два различных числа: первое — для выбранной пары, второе — для оставшегося кубика. Это можно сделать 6 • 5 способами.

11.11.

Всего «доминошек» в колоде — 28, дублей — 7, не дублей — 21. Дальше остается применить правило умножения.

11.12. Обозначим неизвестное количество шаров через к. Тогда

11.13.

11.14.

Помните, что природа различает кубики, а не написанные на них буквы.

11.15. Противоположным событием будет: «все три попытки оказались неудачными». Его вероятность легко вычислить, посчитав число всех комбинаций из трех разных цифр и число неудачных комбинаций: ~~~~ = ~. Теперь легко найти искомую вероятность: 1 - — = — = 0,3. Есть и дру-

гое решение. Из 10 цифр одна «счастливая». Вы наугад выбрали три (различные) цифры. С какой вероятностью в их число попала «счастливая» цифра? При такой формулировке ответ ~ получается сразу.

11.16. а) 1 " Ï5~T^8 = Т0= °'3; б) 6 попыток: Ш > Г См. решение предыдущей задачи.

11.17. Обозначим искомое число испытаний через Nn рассмотрим в каждой из задач противоположное событие: а) выпадет ТУрешек; б) выпадет не шестерок; в) вытянут Nue тузов. Вероятности этих событий легко посчитать: а) — ; б) — ; в) -*-L. Остается вычесть их из единицы и решить соответствующие неравенства: а) 2 раза: 1 - — >-; б) 4 раза: 1 - — > -; в) 6 раз:

11.18. Обозначим неизвестное количество билетов через к. Тогда

11.19.——1 = 1- = 0,143. Поясним, как производился подсчет благоприятных исходов: указать 3 места рядом (для девочек) можно 5 способами, после чего усадить на эти 3 места девочек, а на оставшиеся 4 места мальчиков можно 3! • 4! способами.

11.20.-—-= — « 0,0079. 10 человек можно посадить на 10 мест 10! способами. Чтобы никакие два мальчика и никакие две девочки не оказались рядом, все мальчики должны сидеть на четных местах, а девочки на нечетных или наоборот. Для каждого из этих двух вариантов мальчиков и девочек можно рассадить 5! • 5! способами.

11.21 " 4 = —^---=i—.101 10! = i££ Œ л 397 Переформулируем задачу: вы берете себе 18 карт из 36; какова вероятность, что среди них окажется ровно 2 туза? Всего исходов — С^. Для благоприятного исхода мы должны выбрать 2 карты из 4 тузов, а затем 16 карт из 32 не тузов — по правилу умножения это можно сделать С32 ' С4 способами.

11.22.-—— « 0,344. Выбрать 10 человек, которые пойдут в театр, из 20 учеников можно C^q способами. Для благоприятного исхода нужно выбрать 5 из 10-ти мальчиков и 5 из 10-ти девочек — это можно сделать С^0 • С^0 способами.

11.23.- = 0,571. Задачу можно решить без всякой комбинаторики, если нарисовать «дерево четвертьфиналов» (спросите у футбольных болельщиков, что это такое) и посеять на нем «Спартак». Для «Динамо» на этом дереве останется 7 мест, из которых ровно 4 благоприятных (т. е. таких, что посеянное на них «Динамо» не встретит «Спартак» вплоть до финала).

11.24.-:-1 « 0,0055. 20 человек можно посадить на 20 мест 20! способами. При благоприятном исходе за каждой из 10 парт сидит ровно один мальчик — эти места для мальчиков можно выбрать 210 способами (два варианта для каждой из 10 парт). Теперь мальчиков можно рассадить по своим местам 10! способами и девочек по своим — тоже 10! способами.

10.25. Yo^~9 = с == 0,111. Вытащить друг за другом 2 ботинка из 10 можно 10 • 9 способами (с учетом порядка). Для бла-

гоприятного исхода первый ботинок можно вытащить 10 способами, второй — только одним (иначе они не будут парными — ведь все пары разных размеров!).

11.26.а)

б)

= 0,861. Если поставить на шахматную доску ладью, она будет держать под боем 14 клеток и на одной клетке стоять сама — значит, для второй ладьи благоприятных (не находящихся под боем) клеток останется 64 -- 15 = 49. Если поставить на доску слона, то число находящихся под боем клеток будет зависеть от того, в какую часть доски мы его поставили, поэтому в пункте б) приходится применить комбинаторное правило сложения.

11.27.

Выбрать 5 конфет из 10-ти можно Ц0 способами. Для события А благоприятными будут исходы, в которых все 5 конфет выбраны из 8 «бессюрпризных» — это можно сделать способами. Аналогично подсчитывается число благоприятных исходов для событий В и С.

11.28. Р(А)=\ = 0,5; 1\В)=0; до = -55 =0,176. Для 20 испытаний имеется 220 возможных исходов. Чтобы сформировать благоприятный исход, нужно указать 10 из 20 испытаний, в которых выпадет «орел» — это можно сделать способами. Легко сообразить, что для нечетного числа испытаний вероятность этого события всегда равна нулю. Для четного числа она монотонно убывает и тоже приближается к нулю.

11.29. —-— = 0,377. При 10-кратном бросании монеты всего существует 210 исходов. При этом в С^0 из них число «орлов» равно числу «решек». Значит, в (210 — C^q) исходах эти два числа не равны. Ровно в половине из них «орлов» больше, чем «решек».

11.30. ^ = 0,5. Ответ не зависит от количества испытаний. Эту задачу можно решить интересным методом, довольно часто используемым в математике. При «-кратном бросании монеты имеется 2" возможных исходов. Все они делятся на благоприятные (где количество «орлов» нечетно) и неблагоприятные (количество «орлов» четно). Докажем, что их поровну. Заменим в каждом из исходов результат первого бросания на противоположный (например, исход ОРРО... превратится в РРРО...). Докажите, что это отображение, во-первых, взаимно-однозначно, а во-вторых, переводит любой благоприятный исход в неблагоприятный и наоборот.

Глава 12

12.1. а) Четное число — «решка», нечетное число — «орел»; б) красная масть — «решка», черная масть — «орел».

12.2. а) ОО — к Винни-Пуху, иначе — к Пятачку;

б) бросить монету дважды и сделать как в пункте а).

12.3. а) Берем две цифры и к полученному числу прибавляем 1; для нашей таблицы получится число 3;

б) делаем то же самое, что в пункте а), но если получится число больше 80, то берем следующие две цифры и т. д.; для нашей таблицы получится число 3;

в) берем три цифры и к полученному числу прибавляем 1; если получится число больше 120, то берем следующие три цифры и т.д.; для нашей таблицы получится число 22.

12.4. Текст программы на языке Turbo Pascal:

program Pirson;

const N=24000;

var H,T,i: integer; begin

randomize;

H:=0;T:=0;

for i:=1 to N do

if random(2)=0 then H:=H+1 else T:=T+1;

write I n ( ' Абс .частоты : ' ) ;

writelnCO-'.H/P-M);

write I n ( 'Отн. частоты : ' ) ;

writelnCO-'.H/N.'P-'.T/N); end.

12.5. а) Для 100 опытов понадобится 175 цифр. Для 1000 опытов понадобится приблизительно 1000 : ^ « 1667 цифр (точный подсчет для данной таблицы даст 1671 цифру — отличие от нашей оценки очень небольшое).

б)

1

2

3

4

5

6

0,19

0,16

0,14

0,2

0,14

0,17

12.6.

1

2

3

4

5

6

0,24

0,15

0,16

0,13

0,16

0,16

12.7. Текст программы на языке Turbo Pascal:

program Hats; const k=3;

var N,i,A,B,C,D:longint; j,r,x,Count:integer; H:array[1 ..k] of integer;

begin

randomize;

writeCN-^readlnfN); A:=0; B:=0; C:=0; D:=0; for i:=1 to N do begin

for j:=1 tokdoH[j]:=J;

for j:=kdownto 1 do

begin

r:=random(j)+1; x:=H[j];HÜ]:=H[r];H[r]:=x;

end;

Count:=0;

for j:=1 to к do if H[j]=j then inc(Count); case Count of

3:inc(A);

0:inc(B);

1:inc(C);

2:inc(D); end; end;

writeln('P(A)=\A/N:7:5); writelnCPîBJ^.B/N:?^); writeln('P(C)=\C/N:7:5); m\Xe\n{'P(D}=\D/N:7:5}] end.

12.8. Будем считать четную цифру выпадением «орла», а нечетную — «решки». Тогда таблица случайных чисел даст результаты:

Выиграл первый

Выиграл второй

После 10 партий

0,6

0,4

После 50 партий

0,66

0,34

После 100 партий

0,68

0,32

Программа позволяет провести любое количество экспериментов практически мгновенно:

program OP;

varP1,P2,N,k,i:longint; begin

randomize;

write('N='); readln(N);

P1:=0; P2:=0;

for i:=1 to N do begin k:=0;

while random(2)=1 do lnc(k); if к mod 2=1 then inc(P1) else inc(P2); end;

\ллт1е1п('Первый игрок:*, P1/N); writeln('BTopoM игрок:\P2/N); end.

Результаты программы достаточно наглядно показывают, что шансы первого игрока равны приблизительно -, а второго — i.

12.9. Нет, нельзя. Цифры в показании термометра имеют совершенно другое распределение. Так, первой цифрой может быть только 3 или 4, а в таблице — любая цифра от 0 до 9. Скажем, в нашей таблице первым показанием термометра была бы температура 2,1. Не поможет здесь и пропускание некоторых цифр, как это было в опыте с кубиком.

12.10. Нет, неправильно. По тем же причинам, что и в предыдущей задаче.

12.11. Будем считать, что стержень имеет единичную длину, и вычислим координаты точек изломов с точностью до 0,001. Тогда нам нужно получить три случайные цифры одного числа — Хи три случайные цифры другого — Y Вот что дает таблица случайных чисел:

1-я пара точек: 0,021; 0,393; Р=0;

10-я пара точек: 0,413; 0,366; Р=0,3;

50-я пара точек: 0,016; 0,256; Р= 0,22.

Более точную картину можно получить с помощью программы:

program Pivot;

var N,i,k:longint; x,y,z,p:real;

begin

randomize;

write(,N-);readln(N);

k:=0;

for i:=1 to N do begin

x:=random; y:=random;

if x>y then

begin z:=x;x:=y;y:=z end;

if (x<1/2)and(y-x<1/2)and(y>1/2) then

k:=k+1; end; p:=k/N; writeln(p);

end.

12.12. Закодируем все карты последовательностями из пяти нулей и единиц:

00000, 00001,00010,11111.

Всего таких последовательностей будет 25 = 32, и их как раз хватит на все карты. Теперь пять раз подряд бросим монету и запишем результат в виде пяти нулей и единиц (например 0 — «орел», 1 — «решка»). Это и будет код выбранной карты.

12.13. Будем выбирать из таблицы восьмерки случайных цифр: первая цифра — номер остановки для первого пассажира, вторая цифра — для второго пассажира и так до восьми. Цифрой 0 договоримся обозначать 10-ю остановку. После 100 таких «поездок» будут выбраны 800 цифр, и получится такой результат:

Р(А) =0,03; Р(В) =0; Р(С) =0,57; P(D) =0,43; Р{Е} =0,69.

Как всегда, более точные оценки можно получить с помощью программы:

program Bus;

const k=8; L=10;

var N,i AB.C.D.Eilongint;

j,Max:integer;

Num:array[1 ..k] of integer;

Count:array[1 ..L] of integer;

begin

randomize; write('N=,);readln(N); for i:=1 toNdo begin

for j:=1 to к do Num[j]:=random(L)+1 ; {Кол-во пассажиров на каждой остановке} for j:=1 toLdo Countfj]:=0; for j:=1 tokdo inc(Count[Num[j]]};

Max:=Count[1]; for j:=2 toLdo

if Count[j]>Maxthen Max:=Count[j]; if Max=1 then inc(A); if Max=kthen inc(B); if Count[5]>0 then inc(C); if Count[5]=0 then inc(D); if Count[1]>0 then inc(E); end;

writeln('P(A)=\A/N); writelnfPfBK.B/N); writeln(P(C)=\C/N); writeln('P(D)=\D/N); writeln('P(E)=',E/N); end._

12.14. Будем считать красными шарами цифры 1 и 2, желтыми — 3 и 4, зелеными — 5 и 6. Все остальные цифры будем пропускать. Если в выбранной паре цифр вторая совпадает с первой, мы также будем ее пропускать. По нашей таблице получим следующую серию опытов:

21-КК; 32-ЖК; 63-ЗЖ; 13-КЖ; 61-ЗК; 63-ЗЖ;....

Для моделирования на компьютере можно использовать следующую программу:

program Balls;

var NJ.RR.ïYGG.RYRG.YGHongint; M,b2,j:byte; Color:array[1 ..3] of byte;

begin

randomize;

write('N=*);readln(N);

RR:=0;YY:=0;GG:=0;RY:=0;RG:=0;YG:=0;

for i:=1 to N do begin

for j:=1 to 3 do Color[j]:=0;

b1:=random(6)+1;

repeat

b2:=random(6)+1; until b2<>b1; inc(Color[(M+1)div 2]); inc(Color[(b2+1)div 2]); if Color[1]=2 then inc(RR) else if Color[2]=2 then inc(YY) else if Color[3]=2 then inc(GG) else if Color[3]=0 then inc(RY) else if Color[2]=0 then inc(RG) else if Color[1 ]=0 then inc(YG) end;

writeln('2K — \RR/N); writeln('2x —\YY/N); writeln('23 — \GG/N); writeln('lKlx — \RY/N); writeln('lKl3 — \RG/N); writeln('1xl3 —\YG/N); end.

12.15. Как моделировать бросание кубиков с помощью таблицы случайных чисел, вы уже знаете, поэтому приведем только моделирующую программу:

program СиЬеЗ; var N.klongint; s,m:byte; k1,k2,k3,x:1..6; Ps,Pm:array[2..12] of longint;

begin

randomize; writeCN^readlnfN); for i:=1 to N do begin

k1:=random(6)+1;

k2:=random(6)+1;

s:=k1+k2;

if k1 <k2 then x:=k1 else x:=k2;

k3:=random(6)+1;

if k3<xthen x:=k3;

m:=k1+k2+k3-x; inc(Ps[s]); inc(Pm[m]); end;

fori:=2 to 12 do

writeln(i:2,' — '.PsUJ/N,' \Pm[i]/N);

end.

12.16. a) Следующая программа докажет вам справедливость описанного жребия:

program Sisters; const k=3; var N,i:longint; j,r,x:byte;

H:array[1..k] of byte; P:array[1 ..k] of longint;

begin

randomize; write('N=,);readln(N); for i:=1 to N do begin

for j:=1 tokdoH[j]:=i; forj:=kdownto 1 do begin

r:=random(j)+1; х:=НШ;НШ:=Н[г];Н[г]:=х; end;

if H[1]=1 then inc(P[1]) else if H[2]=1 then inc(P[2]) else inc(P[3]); end;

writeln(P[1]/N:7:4,P[2]/N:7:4,P[3]/N:7:4); end._

б) Несправедливость жребия докажет программа:

program SistersNew; const k=3; var N,i,m:longint;

P:array[1 ..k] of longint;

begin

randomize; write(*N-);readln(N); for i:=1 toNdo

begin m:=0;

while random(2)=1 do inc(m); inc(P[m mod k+ 1]); end;

writeln(P[1]/N:7:4,P[2]/N:7:4,P[3]/N:7:4); end.

12.17. Следующая программа продемонстрирует, что наиболее вероятное число образовавшихся пар — 1:

program Love; const к=3; var N,i:longint; j,Count:byte; M,W:array[1 ..к] of byte; P:array[0..k] of longint;

begin

randomize; write('N=');readln(N); for i:=1 toNdo begin

for j:=1 to к do begin

M[j]:=random(3)+4; W[j]:=random(3)+1; end;

Count:=0; for j:=1 to к do

if W[M[j]-3]=j then inc(Count); inc(P[Count]); end;

for j:=0 to к do

writeln(j,' nap — \P[j]/N:7:4); end.

12.18. Провести с помощью таблицы случайных чисел даже один такой эксперимент непросто: нужно выбрать 100 последовательных пар случайных цифр. Каждую пару можно рассматривать как номер бутылки, в которую попал очередной камешек. Случайно выбранной бутылкой можно считать бутылку с номером 00. Остается подсчитать, сколько раз этот номер встретился в нашей сотне чисел. Теперь этот эксперимент нужно повторить до-

статочно много раз (хотя бы 100). Гораздо выгоднее, как всегда, использовать компьютер:

program Bottles; var N,l:longint; j:byte;

Count:array[1..100] of byte; P0,P1,P2:longint;

begin

randomize; write('N-);readln(N); for i:=1 toNdo begin

forj:=1 to 100 do Count[j]:=0; for j:=1 to 100 do

inc(Count[random( 100)+1 ]); if Count[1]=0 then inc(PO) else if Count[1 ]=1 then inc(P1 ) else inc(P2); end;

writeln(P0/N:7:4,P1/N:7:4,P2/N:7:4); end._

12.19. Частоты русских букв в любом тексте может найти следующая программа (мы не рассматриваем в ней букву «ё», так как во всех печатных текстах она заменяется на «е»):

program Letters;

const Letter:string[64]=

'абвгдежзи й кл м ноп рстуфхцч ш щъы ьэюя'+

'АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ'; var Countlongint;

L:array[1 ..32] of longint;

i:byte;

f:text;

Name:string; c:char;

begin

write('MMq файла: ');readln(Name);

assign(f,Name);reset(f);

while not eof(f) do

begin

read(f.c);

i:=pos(c,Letter);

if ioO then begin

if i>32 then i:=i-32; inc(Count); inc(L[i]); end; end; close(f); for i:=1 to 32 do begin

write(Letter[i]:2,'—\L[i]/Count:6:4); if i mod 8 =0 then writeln end;

end

Вероятность, что случайная буква текста будет гласной, должна получиться около 0,36. Хотя она не сильно отличается от величины — « 0,303, вычислять эту вероятность по приведенной формуле нельзя — ведь мы выбираем букву из текста, а не из алфавита!

12.20. Приведенная ниже программа находит частоты 1-буквенных, 2-буквенных и т.д. слов в произвольном русском тексте. Переносы слов при этом не учитываются:

program Words;

const Letter:string[66]=

,абвгдеёжзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя'+

'АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ'; var Countlongint;

Larray[ 1.. 100] of longint;

i,w,Maxw:byte;

f:text;

Name:string; c:char;

begin

write('Mivm файла: ');readln(Name);

assign(f,Name);reset(f);

Maxw:=0; w:=0;

while not eof(f) do

begin

read(f.c);

i:=pos(c,Letter); if iOO then inc(w) else if w>0 then begin

inc(Count);

inc(L[w]);

if w>Maxwthen Maxw:=w; w:=0; end; end; close(f);

forw:=1 to Maxwdo

writeln(w:2/—\L[w]/Count:8:6); end._

Глава 13

13.1. 13.2. 13.3.

13.4. В сторону 70-го километра. С вероятностью

13.5. 13.6. 13.7. 13.8.

13.9.

13.10.

13.11.

13.12.

13.13. 13.14.

13.15. Вероятность равна 0 при г > -^=, вероятность равна

13.16.

13.17. Вот пример расписания, при котором такое возможно:

в бабушкином направлении: 12.00 — 12.05 — 12.10 —

в дедушкином направлении: 12.01 — 12.06 — 12.11 —

Тогда вероятность попасть к бабушке будет ^, к дедушке — К

13.18. Вероятность поехать вместе будет -,— = -. Следовательно, за год им удастся поехать вместе приблизительно

13.19. Вероятность, что Андрея обгонит автобус, составит — > -.

Следовательно, лучше подождать автобус (хотя отклонение от - столь незначительное, что можно и пройтись пешком).

13.20.-.

Глава 14

14.1. 30 белых шаров.

14.2. Около 20%.

14.3. Около 27 400.

14.4. Около 47%.

14.5. Нет, нельзя. Вы можете слишком сильно отличаться от среднестатистического жителя.

14.6. а) Мальчик и девочка; б) двое; в) двое.

14.7. Около 250.

14.8. 10 см.

14.9. 15-16 см.

14.10. Нет. Произошло событие, вероятность которого - — его никак нельзя считать маловероятным.

14.11. Есть. Произошло событие, вероятность которого равна \ = — = 0,005, — по нашей договоренности маловероятное.

14.12. Есть. Произошло событие, вероятность которого равна 12 - 11 • 10 Л лл.А -= 0,0064, — маловероятное.

14.13. Более 6700.

14.14. У Олега.

14.15. Ни одного (с вероятностью

14.16.10 и 11 (та и другая суммы имеют вероятность ^ .

14.17. Вероятность угадать номер с первой, второй, десятой попытки одна и та же ——.

14.18.2 ящика. Для точного решения задачи нужно найти вероятности пяти событий:

Р{нет пустых ящиков} = -j = — = 0,0384;

Р{один пустой} =-^-= — = 0,384;

Р{три пустых} =-5-= — = 0,096;

Р {четыре пустых} = р = ^ = 0,0016;

Р{два пустых} = 1--------Г0,т.

Можно решить задачу менее точно, но зато намного проще: вероятность, что конкретный ящик (например, первый) останется пустым, будет р = 0,328. Значит, из пяти ящиков пустыми окажутся 5 • 0,328 = 1,64 « 2 ящика.

14.19.0коло 37 ящиков. Решать эту задачу так же точно, как предыдущую, слишком сложно (нужно будет посчитать вероятность 100 событий!). А вот оценить количество ящиков приближенно можно так же, как объяснялось выше: вероятность, что конкретный ящик (например, первый) останется пустым, будет юо = 0,366. Значит, из ста ящиков пустыми окажутся приблизительно 100 • 0,366 = 36,6 « 37 ящиков.

14.20.а)37; 6)37; в) 26.

14.21.Шесть и более — вероятность такого события будет 0,002.

14.22. По нашим правилам — нет. Обнаружить 2 и больше бракованных лампочек из 10 можно с вероятностью 0,016 — это еще не маловероятное событие. Хотя лучше всего подвергнуть эту партию дополнительному контролю.

14.23.а) Открыть такой замок с трех и менее попыток можно с вероятностью ~ = 0,025 — это еще не маловероятное событие. Возможно, этому человеку просто повезло, б) На пять цифр.

14.24.Есть. Произошло событие вероятности 9 • 10~13 — слишком маловероятное.

14.25.7 билетов.

14.26. В каждом очередном тираже у него те же самые шансы, что и в предыдущих: как уже неоднократно говорилось раньше — «у природы нет памяти».

14.27. Чтобы проверить поступившую информацию, нужно произвести выборочный контроль партии. Вопрос только, сколько банок для этого нужно вскрыть? Разумеется, наилучшим с точки зрения здоровья потребителей было бы изъять из торговой сети всю партию. Но вдруг поступившая информация — это только происки конкурентов? Договоримся действовать так: если после вскрытия N банок брак не обнаружен, то остальные консервы остаются в продаже, т. е. поступившая информация считается ложной. Остается найти такое N, при котором вероятность ошибки будет достаточно мала — по нашей договоренности меньше 0,01. Для этого решим неравенство: — < 0,01. Это можно сделать с помощью логарифмов (если вы уже знаете, что это такое) или простым подбором (ведь нас интересуют только натуральные N). Получим: N> 44. Значит, если среди 44-х вскрытых банок не будет обнаружено ни одной испорченной, то поступившую информацию можно считать ложной. Риск ошибиться при этом составляет 0,01. Если такая степень риска вас не устраивает (что вполне возможно, когда речь идет о здоровье людей), задайтесь другой вероятностью ошибки.

14.28.3а 18 и более правильных ответов.

Глава 15

15.1.

а) 3333 кккккккк ллллллллллллл

00000000000000.

пппппппппппппппппппппп сссссссссс яяяяяя.

б)

Вид рыбы

3

К

Л

0

П

С

Я

Относительная частота

0,05

0,1

0,1625

0,2125

0,275

0,125

0,075

в) 5%.

г) Наиболее распространены пескари, наименее — золотые рыбки.

д) О среднем арифметическом и медиане — нет, так как это не числовая выборка. О моде — да, это будет пескарь.

15.2. а)

Размер обуви

Абс.частота

Отн. частота

Накопл.частота

15

12

0,080

0,080

16

8

0,053

0,133

17

11

0,073

0,207

18

16

0,107

0,313

19

19

0,127

0,440

20

15

0,100

0,540

21

14

0,093

0,633

22

19

0,127

0,760

23

20

0,133

0,893

24

16

0,107

1,000

Полигон относительных частот:

б) Среднее арифметическое = 20; мода = 23; медиана = 20.

в) Поскольку за декаду (т. е. за 10 дней) было продано 750 пар обуви, то за год следует ожидать около 750 х ж 36 = 27 000 проданных пар. Пары 20-го размера встречаются среди них с частотой 0,1, поэтому их будет продано около 27 000 »0,1 = 2700 пар.

г) Например, он может оценить, сколько пар обуви и каких размеров следует ежемесячно заказывать на обувной фабрике, чтобы все покупатели были удовлетворены, и при этом избыток обуви не скапливался в магазине.

15.3. а) Молоко с жирностью 3,5%; б) 40 000 • 10% = 4000 литров; в)

15.4. Чтобы ответить на вопрос задачи, следует построить и сравнить между собой два полигона частот — опубликованный администрацией и полученный в результате опроса.

Даже без дополнительных исследований видно, что совпадение очень хорошее.

15.5. В качестве объективной характеристики безопасности полетов следует взять не абсолютную, а относительную частоту аварий на рейсах данной авиакомпании, т.е. большее значение имеет не количество, а процент аварийных рейсов.

15.6. а) а = 20; б) о = 0,513; в) 80%; г) 0,8 см.

15.7. а)

б) В 1990 г.

в) В 1990 г. июнь был более жарким: средняя температура 24,7°, а в 1980 г.-23,3°.

г) В 1980 г. погода была более устойчивой: стандартное отклонение 3,7°, а в 1990 г. — 4,1°.

15.8. а) Нет: очевидно, что в июне дорожные условия лучше, чем в зимние месяцы, а значит, аварийность должна быть ниже.

б) Нет: в городе автомобилей на душу населения больше, чем в деревне (по крайней мере, в нашей стране в настоящее время).

в) Да: размер обуви не зависит от места жительства.

г) Нет: молодежная передача рассчитана на другую категорию зрителей.

д) Вряд ли: у девушек могут быть особенные вкусы, которые отличаются от вкусов мужской половины молодежной аудитории.

15.10.а) Да: буквы О составляют 28% от всех остальных гласных.

б) Я встречается чаще У.

в) В целом соответствует. Для сравнения оба полигона показаны на одном графике:

Гласные буквы ♦ В «Медном всаднике» ■ В русском языке

15.11. Медиана больше: мода = 40 м2, медиана = 45 м2. Догадаться об этом без вычислений можно с помощью следующих рассуждений. Моде соответствует самый высокий столбик, хорошо видный на гистограмме (точнее, его середина). Медиана должна делить гистограмму на две части равной площади. Суммарная площадь столбиков слева от моды явно меньше, чем справа — значит, медиана смещена вправо от моды. Такое распределение выборки называется «асимметричным».

15.12.а) 8 ч 30 мин; б) 7 ч 30 мин;

Разброс в 11:30 больше, г)

15.13.3)

Кол-во происшествий

Абсолютная частота

Относительная частота

[25; 30)

6

0,194

[30; 35)

11

0,355

[35; 40)

7

0,226

[40; 45)

5

0,161

[45; 50)

2

0,065

в) 35, 24; г) наблюдается некоторая 7-дневная периодичность, связанная, видимо, с недельным циклом.

15.14. а) Средний возраст женихов = 31,8 года; средний возраст невест = 27,55 года.

б) На 4,25 года.

в) Оба правы — получатся одинаковые результаты.

г) У женихов разброс больше:

женихи — размах = 46; дисперсия = 157,3; о = 12,5;

невесты — размах = 29; дисперсия = 74,3; о = 8,6.

15.15. а) Стабильнее работают пчелы из первого улья:

1-й улей — размах = 2,5; дисперсия = 0,595; о = 0,77;

2-й улей — размах = 3; дисперсия = 0,966; о = 0,98.

б) Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти суммарное количество добытого меда и поделить его на количество пчел и количество дней. Если вы хотите быть абсолютно точными, то должны учесть, что не все строки таблицы содержат ровно 10 дней: например, с 30 мая по 10 июня их 11, так как есть еще 31 мая (правую границу интервала — 10 июня — мы договорились включать в следующий интервал):

1-й улей: . jQQ = 0,012, т. е. около 12 г меда в день;

2-й улей: j43. ^ = 0,016, т. е. около 16 г меда в день.

Глава 16

16.1. 1-я система.

2-я система.

16.2. 1-я система.

2-я система.

Равновозможные исходы можно получить, если различать все 4 шара, а не только их цвета.

16.3. 16.4. 16.5.

16.6.

16.7.

б) рассмотрим пространство из четырех исходов, приведенное в таблице (П — плохой билет, X — хороший билет).

Благоприятными исходами будут ПП и ХП, поэтому искомая вероятность будет — + - = -. Поясним, как вычислить вероятность каждого из четырех указанных в таблице исходов. Вытащить друг за другом 2 билета из 25-ти можно 25 • 24 способами. Из них 5 • 4 способов соответствуют исходу ПП, 5 • 20 способов — исходу ПХ, 20 • 5 способов — исходу ХП, 20 • 19 способов — исходу XX.

16.8. Как и в предыдущей задаче, рассмотрим пространство из четырех исходов (П — плохой билет, X — хороший билет) — только их вероятности теперь будут другими:

Отсюда вероятности событий будут:

16.9. Рассмотрим пространство из четырех исходов:

Тогда искомая вероятность будет

16.10.Имеет. Вероятность, что жребий выпадет на того, с кого начинается счет, будет — < -. Чтобы получить этот ответ, рассмотрите в качестве исходов все возможные значения суммы очков на двух руках и найдите их вероятности.

16.11.а) Какой бы кубик вы ни выбрали, ваш соперник все равно будет в выигрыше. Точнее, он всегда сможет выбрать из оставшихся кубиков такой, что вероятность его выигрыша будет больше -: 2

Р {второй выиграет у первого} = ~ ;

Р {третий выиграет у второго} = ~ ;

Р {первый выиграет у третьего} = ^.

Это так называемый «парадокс нетранзитивности», хорошо известный вам по спортивным состязаниям: «Спартак» выигрывает у «Динамо», «Динамо» у ЦСКА, а ЦСКА у «Спартака» — кто же из них самый сильный? Самое разумное, что вы можете сделать в задаче с «нетранзитивными» кубиками, — выбрать из трех кубиков тот, что сильнее снизит ваш проигрыш. В данном случае это будет первый или второй кубик, б) Теперь бросать будут сразу три кубика, поэтому надо найти три вероятности:

Р {максимум очков будет на 1 -м кубике} = ^7;

Р {максимум очков будет на 2-м кубике} = — ;

Р {максимум очков будет на 3-м кубике} =

16.12. Как ни странно, У, Но вовсе не потому, что у этого опыта всего два исхода: либо попадет, либо промахнется. Будем считать, что вместо стрельбы по мишени биатлонист бросает монету: «орел» — попал, «решка» — промазал. Такая замена вполне допустима, поскольку вероятность попадания каждого выстрела -. Попробуем выписать благоприятные исходы (при которых будут поражены все три мишени):

ООО — потрачено 3 патрона;

ООРО, ОРОО, РООО — потрачено 4 патрона;

ООРРО, ОРОРО, РООРО, ОРРОО, РОРОО, РРООО - потрачено 5 патронов.

Вероятность исхода ООО — -, каждого из исходов в следующей строке — ~, а в третьей строке —-. Складывая вероятности всех благоприятных исходов, получим:

16.13. а) Шансы на выигрыш одинаковые — по -.

б) Теперь шансы разные: первый игрок выигрывает с вероятностью второй игрок — с вероятностью К

16.14. Вероятность равна -. Чтобы получить этот ответ, нужно взять в качестве пространства исходов не три кассеты, а шесть разных сторон этих кассет — ведь, случайно вставляя кассету в магнитофон, мы выбираем не только одну из трех кассет, но и одну из ее двух сторон: Б1, Б2, Ml, М2, Б, M (Б — Бах, M — Моцарт, цифра — номер стороны). Вероятности всех шести исходов одинаковые и равны -. Поскольку зазвучал Бах, то был выбран один из трех исходов Б1, Б2, Б. Два из них благоприятны

для того, чтобы с другой стороны снова зазвучала музыка Баха.

16.15.

16.16. Занумеруем все бутылки числами от 1 до 100. Исход нашего эксперимента — это последовательность из 100 чисел: номер бутылки для первого камешка, номер бутылки для второго и т.д. Всего таких последовательностей 100100, и все они равновероятны. Отсюда можно найти вероятности:

16.17.

16.18. Интересно, что наиболее вероятное число пар — одна:

Легче всего найти P(D) и Р(С) — с них лучше и начать. Потом найти Р(А), а Р(В) вычислить по правилу вычитания.

Таблица случайных чисел

1

2

3

4

5

6

1

0213937286

3191361863

4478130729

1835164006

5258974864

0505413366

2

2771141785

7496744205

7638114898

6039690224

7910962020

5671274455

3

5777938196

7244302088

8404081714

8599791745

0667999078

2532216068

4

1007277247

4583113048

2866521572

4221632857

2769559644

1958539644

5

6931119545

2638325080

3103884582

5363759078

9591183254

7124016256

6

7076926810

4611474898

1408243542

2473101346

0441590178

8970410704

7

0516798322

7589594344

9519328489

1438363016

8276451074

5139270324

8

4887131810

8634779234

4280134780

7316945286

1832932311

3341499092

9

8975857471

4009502118

9433572543

9229223137

2313703561

4995945204

10

7291127597

8277401208

4470543476

7320750474

9203679265

1447339350

11

6433031684

0917445000

2340617992

9322576258

9134706968

4070407172

12

7582108205

5997955562

8034852416

2398852662

1245266267

1873281121

13

9607163693

4067899927

2958456589

7115435159

2801975590

0315541359

14

1044960448

4669831308

4526550169

7362486207

9090315584

8102623577

15

7979428975

8085238162

7237262242

9265749635

1040444412

0317845177

16

3670758372

2631245430

3574643679

8688850601

5315024761

0971451381

17

2737292103

5059017065

6719866484

7922010255

4175986291

4474637415

18

7527326073

7982633960

9561396969

4592909179

9074320088

1010860434

19

9773601945

8657977636

2111636670

0497008363

3232411326

7624904505

20

6300416828

8506943311

8803535139

1631878112

8788211371

1137151578

(2400 случайных цифр от 0 до 9)

1

2

3

4

5

6

21

0078918298

7169882292

7527263491

7368022004

3457373629

6979683878

22

9588637698

2124109004

2987803806

5334456225

1807860998

7116139631

23

9720592284

8050097258

2118447796

7389081764

0285283840

3885869726

24

5239857623

2754987365

8844189405

0897416855

5644204074

3841485455

25

9341926012

9168638076

7307816613

2180228344

4135837810

0176403522

26

4572268050

6357796522

2032920129

7421859004

2190554250

5546565688

27

4934900428

7770376489

4980774428

8298936986

5973418194

7053355223

28

3114922558

3767716827

4860231595

4447767203

3634973349

1186535072

29

5074213826

5967261767

6591083710

3146386267

2772803019

3811723949

30

7054181723

1231980752

1396239320

4579633434

8693230005

8325156619

31

3476430139

4133674842

8933895388

1899884566

0879593497

0601007988

32

4612721110

3647294857

2196067393

9691141000

8809040139

5696484801

33

7290504115

2154190013

8413391492

0031113863

7682527512

2215974616

34

5199975446

1072133949

1540783674

4149739674

6706613834

7767742321

35

9110606441

7379131523

2563960715

2771455647

0579180241

0242420544

36

2925438163

2841477327

8262105895

4255267393

3094337103

1597963322

37

5711055642

0390737810

9549309184

5878775209

7564599761

4047527059

38

2876516899

2385735483

2421458044

3252722091

7096930548

1068191423

39

2821239399

9505416419

4807924720

0741945908

8764042143

3771157408

40

8650182099

5551672315

5087077538

2301779995

7894604961

5028601381

Содержание

От авторов.................................. 3

Что изучает теория вероятностей и математическая статистика .............. 6

1. Случайные события...................... 9

2. Вероятностная шкала..................... 18

3. Таблицы и диаграммы.................... 32

4. Случайные эксперименты и частота событий . 50

5. Статистическое определение вероятности .. 61

6. Классическое определение вероятности..... 73

7. Еще раз об исходах и событиях............. 84

8. Случайная выборка и ее представление...... 99

9. Статистические характеристики среднего .... 116

10. Статистические характеристики разброса . . 132

11. Вероятность и комбинаторика............. 141

12. Случайные числа и компьютер.............. 153

13. Геометрическое определение вероятности. ... 165

14. Статистическое оценивание и прогноз....... 173

15. Статистические исследования ............. 181

16. Аксиоматическое определение вероятности*........................... 202

Ответы и решения........................... 212

Таблица случайных чисел...................... 284

Учебное издание

Серия «Темы школьного курса»

Бунимович Евгений Абрамович

Булычев Владимир Александрович

ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ И ВЕРОЯТНОСТЬ

5—11 классы

Учебное пособие

Зав. редакцией Г.Н.Хромова Ответственный редактор Г. Н. Хромова Художественный редактор A.A. Абрамова Технический редактор Е. В. Баева Компьютерная верстка Н. В. Зайцева Корректор Г. И. Мосякина

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.008763.07.07 от 25.07.2007.

Подписано к печати 11.02.08. Формат 84 х 108 1/В2. Бумага офсетная. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,8. Тираж 6000 экз. Заказ № 662.

ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.

Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»: 127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru

По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76. Сеть магазинов «Переплетные птицы».

Тел.: (495) 912-45-76. Интернет-магазин: http://www.drofa.ru ОАО «Типография «Новости». 105005, Москва, ул. Фр. Энгельса, 46.

Если вы хотите с легкостью освоить школьный курс «Основы статистики и вероятность», то вам обязательно поможет данное пособие.

Основное содержание пособия станет прекрасным дополнением к учебникам математики 5-9 классов. А благодаря новому теоретическому и практическому материалу книга может быть с успехом использована для занятий в профильных классах, математических кружках, на факультативах.

Больше нет сложных тем!

ДРОФА