НАЧАЛЬНАЯ АЛГЕБРА.

СОСТАВИЛЪ Н. В. БУГАЕВЪ.

Ординарный профессоръ Императорскаго Московскаго Университета.

Изданіе второе, исправленное и дополненное.

МОСКВА.

Книжные магазины Н. И. Мамонтова.

Москва, Кузнецкій мостъ, д. Фирсанова.

С.-Петербургъ, Невскій проспектъ, № 46.

1881.

Предисловіе.

При изложеніи алгебры мы держались тѣхъ же воззрѣній на отношеніе учебника къ преподаванію, какъ и при изложеніи ариѳметики. Мы строго различали методическіе пріемы преподаванія въ классѣ отъ систематическаго изложенія науки въ книгѣ.

Мы считаемъ также болѣе полезнымъ, когда задачи для упражненія въ вычисленіяхъ собраны въ особыхъ задачникахъ. Задачи, разбитыя по учебнику, разрываютъ цѣльность и послѣдовательность изложенія. Онѣ подаютъ учащемуся поводъ смѣшивать главное съ второстепеннымъ, сущность научнаго содержанія съ его примѣненіями.

Кромѣ того самые задачники должны различаться, смотря по тому, будутъ ли они имѣть въ виду одиночное обученіе или обученіе въ классѣ. Число задачъ находится въ неразрывной связи съ числомъ учащихся. Въ учебникѣ трудно принять во вниманіе эту связь. Учебникъ и задачникъ въ отдѣльности лучше достигаютъ педагогическихъ цѣлей преподаванія.

При изложеніи различныхъ алгебраическихъ теорій мы избѣгали выдвигать на первый планъ конкретныя представленія. Конкретныя представленія поясняютъ и дополняютъ выводы алгебры, но никогда ихъ не доказываютъ.

Всякая наука должна твердо стоять на почвѣ своихъ понятій, чтобы имѣть въ самой себѣ всѣ данныя для своего развитія. Логическая послѣдовательность есть самое лучшее мѣрило научной строгости.

Математика развиваетъ способность къ отвлеченію и обобщенію. Однако при переходѣ отъ одного понятія къ другому болѣе общему необходимо соблюдать постепенность. Чтобы обобщеніе имѣло полную силу, нужно, чтобы оно являлось въ свое время и на своемъ мѣстѣ.

Н. Бугаевъ.

Москва.

23 марта 1877 года.

I. Основныя алгебраическія понятія.

§ 1. Въ каждой задачѣ существуютъ данныя и искомыя величины. Искомыя называютъ также неизвѣстными величинами. Рѣшить задачу значитъ опредѣлить искомыя величины по даннымъ. Для рѣшенія задачи надо надъ данными числами совершать опредѣленныя ариѳметическія дѣйствія въ опредѣленномъ порядкѣ. Эти дѣйствія и порядокъ ихъ зависятъ отъ условій задачи. Такимъ образомъ во всякой задачѣ величина неизвѣстнаго числа зависитъ отъ величины данныхъ чиселъ и отъ условій задачи.

Однородныя задачи. Задачи, которыя при одинакихъ условіяхъ отличаются другъ отъ друга только величинами данныхъ чиселъ, называются однородными задачами.

Разнородныя задачи. Задачи, отличающіяся другъ отъ друга условіями или требованіями, называются разнородными.

Къ однороднымъ должны быть отнесены слѣдующія двѣ задачи:

Задача 1. На 10 десятинахъ посѣяно 6 четвертей ржи. Сколько четвертей ржи посѣяно на 5 десятинахъ?

Задача 2. На 14 десятинахъ посѣяно 8 четвертей ржи. Сколько четвертей ржи посѣяно на 7 десятинахъ?

Эти двѣ задачи отличаются только величинами данныхъ чиселъ или, выражаясь короче, отличаются только данными; условія же и требованія въ нихъ совершенно одинаковы. Въ обѣихъ задачахъ ищется число десятинъ и въ обѣихъ допускаются одинакія условія. Двѣ такія задачи называютъ однородными.

Разнородными должны быть названы слѣдующія три задачи:

Задача 1. Шесть работниковъ оканчиваютъ нѣкоторую работу въ 10 дней. Во сколько дней окончатъ ту же работу 15 работниковъ?

Задача 2. Съ двухъ десятинъ собрано 7 четвертей ржи. Сколько четвертей ржи собрано съ 9 десятинъ?

Задача 3. Съ трехъ десятинъ собрано 8 четвертей ржи. Съ какого количества десятинъ собрано 5 четвертей ржи?

Во всѣхъ этихъ задачахъ входятъ разныя условія и требованія. Задачи первая и вторая вполнѣ отличаются условіями; задачи вторая и третья при одинаковыхъ условіяхъ различаются требованіями. Во второй ищется число четвертей собранной ржи, въ третьей количество десятинъ земли.

Такія три задачи называютъ разнородными.

При рѣшети однородныхъ задачъ необходимо бываетъ замѣтитъ порядокъ дѣйствій только для одной задачи. Для всѣхъ другихъ однородныхъ задачъ этотъ порядокъ остается неизмѣннымъ.

Первая однородная задача на простое тройное правило можетъ быть написана въ видѣ:

Рѣшая эту задачу, мы прилагаемъ слѣдующій ходъ разсужденій:

Величина неизвѣстнаго будетъ

Наблюдая за тѣмъ, какъ искомое получилось по даннымъ, мы замѣчаемъ опредѣленный порядокъ дѣйствій. Для рѣшенія этой задачи нужно 6, число четвертей первой строки, раздѣлить на 10, число десятинъ первой строки и результатъ умножить на 5 то число, для котораго ищется число четвертей (число десятинъ второй строки).

Вторую однородную задачу можемъ написать въ видѣ:

Для рѣшенія ея мы можемъ уже прямо пользоваться указаннымъ правиломъ. Величина неизвѣстнаго будетъ х = 4 четвертямъ.

Буквы. Чтобы имѣть болѣе ясное понятіе о томъ, какія ариѳметическія дѣйствія необходимы для рѣшенія задачи и въ какомъ порядкѣ они должны бытъ выполнены, изображаютъ числа буквами. Данныя числа изображаютъ начальными, а неизвѣстныя послѣдними буквами латинскаго или греческаго алфавита. Данныя числа изображаютъ буквами а, Ь, с,... искомыя буквами X, у, z и т. д.

Буквы а, b, с не имѣютъ какой нибудь опредѣлённой величины. Подъ буквами а, Ь, с, можно подразумѣвать какія угодно числа.

Въ разсмотрѣнномъ нами случаѣ рѣшенія двухъ однородныхъ задачъ, можно при помощи буквеннаго обозначенія составить такую общую задачу, въ которой заключаются не только двѣ данныя, но и всѣ задачи того же рода. Къ такимъ должна быть отнесена слѣдующая:

Общая задача. На" а десятинахъ посѣяно Ъ четвертей. Сколько четвертей посѣяно на с десятинахъ?

Эта задача простаго тройнаго правила можетъ быть написана въ видѣ:

а дес. — b четв.

Правило, рѣшающее эту задачу, состоитъ въ томъ, что для опредѣленія неизвѣстнаго, нужно число b умножить на число с и полученное произведеніе раздѣлить на а.

При такомъ буквенномъ обозначеніи не обращаютъ вниманія на числовое значеніе изображенныхъ величинъ, то есть отвлекаются отъ числового значенія величинъ.

Опредѣленіе алгебры. Алгебра есть наука о величинахъ, разсматриваемыхъ отвлеченно отъ ихъ числового значенія.

Алгебраическое количество. Числа, изображаемыя буквами, называютъ алгебраическими количествами.

Величины а, Ъ, с суть алгебраическія количества. § 2. Основныя алгебраическія дѣйствія и знаки. Дѣйствія въ алгебрѣ изображаются знаками.

Къ знакамъ прибѣгаютъ для того, чтобы яснѣе обнаружить ариѳметическую связь между алгебраическими количествами. При этомъ пользуются тѣми же знаками, какіе употребляются въ ариѳметикѣ.

Сложеніе. Дѣйствіе сложенія изображаютъ знакомъ 4- (плюсъ).

Сумму двухъ алгебраическихъ количествъ а и b выражаютъ письменно:

Вычитаніе. Дѣйствіе вычитанія выражаютъ знакомъ — (минусъ).

Разность двухъ количествъ а и b выражаютъ письменно:

Умноженіе. Дѣйствіе умноженія выражаютъ знаками умноженія.

Произведеніе двухъ количествъ а и Ь можно выразить въ видѣ:

а X Ъ или а. Ъ

Знакъ умноженія обыкновенно опускаютъ и произведеніе двухъ алгебраическихъ количествъ изображаютъ письменно:

ab

гдѣ два количества а и Ъ написаны рядомъ.

Въ ариѳметикѣ не допускаютъ такого опущенія знака умноженія, ибо два числа, поставленныя рядомъ, изображаютъ по условіямъ нумераціи число, совершенно отличное отъ произведенія ихъ.

Знакъ умноженія опускаютъ и буквы пишутъ рядомъ даже и тогда, когда приходится перемножить три алгебраическихъ количества или болѣе.

Произведеніе трехъ множителей а, Ъ, с изобража-

ютъ выраженіемъ abc, произведеніе четырехъ множителей а, Ь, с, d выраженіемъ abed, и т. д.

Дѣленіе. Дѣйствіе дѣленія изображаютъ знакомъ дѣленія.

Частное двухъ количествъ а и b выражаютъ письменно:

а : b

Частное выражаютъ также, въ видѣ дроби:

Послѣднее обозначеніе частнаго въ видѣ дроби встрѣчается чаще.

Результаты четырехъ основныхъ дѣйствій выражаютъ словесно:

сумма а плюсъ разность а минусъ 6, произведеніе ob, или а умноженное на 6, частное а на или а дѣленное на Ь.

§ 3. Знаки соотношеній. Въ алгебрѣ, какъ и въ ариѳметикѣ, кромѣ знаковъ дѣйствій пользуются знаками, выражающими, что одна величина равна, болѣе или менѣе другой.

Эти знаки можно назвать знаками соотношеній.

Для обозначенія, что одна величина равна другой, пользуются знакомъ равенства (==).

Равенство. Совокупность двухъ равныхъ количествъ по обѣ стороны знака = называютъ равенствомъ.

Равенство двухъ количествъ а и b выражаютъ письменно:

а = Ь

Части равенства. Двѣ величины, стоящія по обѣ стороны знака =, называются частями равенства.

Части получаютъ названіе лѣвой и правой или первой и второй. Для обозначенія, что величина а болѣе величины &, пишутъ:

о. > Ь, а болѣе Ъ.

Для обозначенія, что величина с менѣе г/, пишутъ: с < d, с менѣе d.

Знаки неравенства. Знаки > (болѣе) и < (менѣе) называются знаками неравенства.

Въ неравенствѣ отверстіе знака неравенства всегда направлено къ большей, а уголъ къ меньшей величинѣ.

Неравенство. Совокупность двухъ неравныхъ количествъ по обѣ стороны знаковъ > или <, называется неравенствомъ.

Части неравенства. Два выраженія по обѣ стороны знаковъ неравенства называются частями неравенства.

Иногда знаками отрицаютъ то или другое соотношеніе между двумя величинами. Такъ, слѣдующимъ образомъ выражаютъ три соотношенія:

Для выраженія этого отрицанія перечеркиваютъ вертикальною чертою три знака соотношеній, =, > и <.

Это же самое можно выразить, написавъ одновременно оба знака.

Такъ

§ 4. Показатель. Произведеніе выражаютъ коро-

че, если въ него входятъ нѣсколько равныхъ множителей. Въ такомъ произведеніи сосчитываютъ число равныхъ множителей и ставятъ это число надъ буквой. Такимъ образомъ вмѣсто аа пишутъ «2, вмѣсто ааа пишутъ вмѣсто ааааа пишутъ а*.

Количество «3 называется степенью числа а. Число 5 называется показателемъ степени. Выраженіе а3 будетъ пятою степенью числа а.

Степень. Степенью называется произведеніе равныхъ множителей.

Показатель. Показателемъ степени называется число, которое ставится надъ буквою и означаетъ, сколько разъ эта буква берется множителемъ въ произведеніи. Показателъ относится только къ той буквѣ, надъ которою онъ поставленъ.

Квадратъ. Произведеніе двухъ равныхъ множителей называется квадратомъ или второю степенью.

Кубъ. Произведеніе трехъ равныхъ множителей называется кубомъ или третью степенью. Произведеніе четырехъ равныхъ множителей называется биквадратомъ и т. д.

Количество т? будетъ квадратомъ м, количество т3 кубомъ т.

Согласно съ этимъ обозначеніемъ, выраженіе aaaabbbcccdde изображаютъ выраженіемъ ad/c^e. Обратно выраженіе а2// сокращенно изображаетъ количество aabbbbbbb.

Число а берется одинъ разъ и называется первою степенью. Вмѣсто а можно было бы написать а1. Единицу въ показателѣ не пишутъ, а только подразумѣваютъ.

§ 5. Возвышеніе въ степень. Дѣйствіе, посредствомъ котораго по данному количеству получается его степень., называется возвышеніемъ въ степень.

Найти по данному количеству а количество а3 значитъ возвести количество а въ третью степень.

Для возведенія числа въ какую нибудъ степень надо число взять множителемъ въ произведеніи столько разъ, какова его степень.

Количество по отношенію къ своей степени называется корнемъ. Количество а по отношенію къ количеству в2 есть корень второй степени или квадратный корень числа а2. Число а по отношенію къ а3 будетъ его корнемъ третьей степени.

Корень. Корнемъ называется такое число, которое, будучи умножено само на себя нѣсколько разъ, дастъ самое число.

Для означенія корня употребляется знакъ \/ .

Показатель корня. Надъ знакомъ корня ставятъ число, называемое показателемъ корня.

Такимъ образомъ для означенія, что а есть корень второй степени числа а2, пишутъ:

Если показателемъ корня бываетъ число 2, его обыкновенно не пишутъ.

Такъ вмѣсто того, чтобы писать /4 пишутъ \/ 4.

Для означенія, что а есть корень пятой степени числа а3, пишутъ:

По этому опредѣленію |/ 8 будетъ такое число, которое, будучи взято множителемъ три раза, даетъ въ произведеніи 8. Такое число есть 2, слѣд.

Подкоренное количество. Число, стоящее подъ знакомъ корня, называется подкореннымъ количествомъ.

Извлеченіе корня. Дѣйствіе, посредствомъ котораго отыскивается корень, называется извлеченіемъ корня.

§ 6. Коеффиціентъ. Знакъ -Ь употребляется также для сложенія нѣсколькихъ количествъ. Сумму трехъ количествъ а, Ь, с выражаютъ письменно:

а -Н & + с

Сумму пяти количествъ а, Ь, с, d, е выражаютъ письменно:

а У' b с У d'У е

Сумму нѣсколькихъ равныхъ слагаемыхъ

ab 4- ab + ab

изображаютъ короче. Обыкновенно для этого пересчитываютъ число одинаково повторяющихся слагаемыхъ. Въ этой суммѣ слагаемое ab повторяется три раза, поэтому вмѣсто ab ab ab пишутъ ЗаЬ. Число 3 называется коеффиціентомъ.

Когда коеффиціентъ число цѣлое, онъ показываетъ число равныхъ слагаемыхъ.

Подобнымъ образомъ въ выраженіи g а числовой множитель g также называется коеффиціентомъ. Онъ обыкновенно пишется передъ выраженіемъ.

Коеффиціентъ. Коеффиціентомъ называется числовой множитель выраженія. Онъ обыкновенно ставится передъ выраженіемъ.

Въ выраженіи, не имѣющемъ числового множителя, подразумѣваютъ коеффиціентомъ единицу.

Такимъ образомъ вмѣсто а можно бы написать Іа.

Единицу коеффиціентомъ обыкновенно не пишутъ.

Польза коеффиціента и показателя. При помощи коеффиціента и показателя значительно сокращается письменное изображенніе алгебраическихъ количествъ.

Такъ выраженіе За5#2 сокращенно замѣняетъ выраженіе:

Обратно, пользуясь свойствомъ показателя вмѣсто суммы

можно написать сумму

Эту же сумму при помощи коеффиціента можно замѣнить выраженіемъ 4a2ôV.

§ 7. Алгебраическое выраженіе. Всякій результатъ, въ которомъ числа изображены буквами, а дѣйствія знаками, называется алгебраическимъ выраженіемъ или формулой.

Къ числу такихъ выраженій нужно отнести формулы:

Членъ. Части алгебраическаго выраженія, соединенныя между собою знаками-]- или—, называются членами.

Алгебраическія выраженія представляютъ собою результаты дѣйствій надъ алгебраическими количествами. Алгебраическія выраженія называютъ также алгебраическими количествами.

Раздѣленіе алгебраическихъ выраженій. Алгебраическія выраженія по числу входящихъ въ нихъ членовъ называются одночленами, двучленами и вообще многочленами.

Формулы

будутъ одночленами.

Формулы

будутъ двучленами.

Формулы

называютъ тричленами. Тричлены также называютъ многочленами.

Формулы

называются многочленами.

Одночленъ. Одночленъ есть выраженіе, состоящее изъ одного члена.

Двучленъ. Двучленъ есть выраженіе, состоящее изъ двухъ членовъ.

Многочленъ. Многочленъ есть выраженіе, состоящее изъ трехъ и болѣе членовъ. Одночлены называются также мономами, двучлены—биномами, многочлены— полиномами.

Члены какою нибудь многочлена разсматриваютъ вмѣстѣ съ тѣмъ знакомъ, который предшествуетъ члену.

Такимъ образомъ въ многочленѣ

находятся три члена:

Передъ всякимъ членомъ, не имѣющимъ знака, подразумѣвать обыкновенно знакъ +.

Въ данномъ примѣрѣ передъ членомъ а1 подразумѣваютъ знакъ +. Количество аг замѣняетъ выраженіе +

Знакъ + обыкновенно опускаютъ при одночленѣ или при первомъ членѣ многочлена.

Классификація алгебраическихъ выраженій. Алгебраическія выраженія раздѣляются на раціональныя и ирраціональныя, цѣлыя и дробныя.

Раціональное выраженіе. Выраженіе называется раціональнымъ, когда оно не имѣетъ корней.

Ирраціональное выраженіе. Алгебраическое выраженіе называется ирраціональнымъ, если оно зависитъ отъ корней.

Выраженія

будутъ раціональными.

Выраженіе а + |/&, ]/ab + у а будутъ ирраціональными.

Цѣлое выраженіе. Алгебраическое выраженіе называется цѣлымъ, если въ немъ не встрѣчается дѣйствія дѣленія.

Дробное выраженіе. Алгебраическое выраженіе называется дробнымъ, если въ немъ встрѣчается дѣйствіе дѣленія.

Выраженія

будутъ цѣлыми.

Выраженія

будутъ дробными.

§ 8. Скобки. При дѣйствіяхъ съ алгебраическими выраженіями употребляютъ скобки.

Назначеніе скобокъ. Чтобы означитъ, что какое нибудь дѣйствіе нужно выполнить надъ алгебраическимъ двучленомъ или многочленомъ, помѣщаютъ его между скобками, или, какъ обыкновенно выражаются, заключаютъ его въ скобки.

При этомъ скобкамъ даютъ начертаніе:

Такъ напр., чтобы показать, что двучленъ нужно умножить на а2. пишутъ:

Чтобы показать, что членъ ab нужно умножить на тричленъ аb — с, пишутъ:

Если нужно выполнить дѣйствіе надъ нѣсколькими многочленами, заключаютъ ихъ всѣхъ въ скобки.

Такъ, если изъ произведенія ab нужно вычесть произведеніе разности а—b на сумму b + с, пишутъ:

Если это послѣднее выраженіе нужно раздѣлить на сумму а2 + Ь2, пишутъ:

Дѣленіе изображаютъ въ видѣ дроби. Послѣдній результатъ чаще изображаютъ въ видѣ:

При дѣленіи черта, проведенная подъ числителемъ, освобождаетъ отъ необходимости заключатъ числителя въ скобки.

Вообще скобки можно опускать всякій разъ, когда вводится такой знакъ, который устраняетъ недоразумѣніе о томъ, къ чему относится означенное дѣйствіе. Такъ, при извлеченіи корня изъ многочлена пишутъ:

помѣщая а + Ъ + с въ скобки, или опуская скобки, протягиваютъ черту корня и пишутъ:

§ 9. Численная величина. Выраженіе, въ которомъ буквы замѣнены числами, называется ариѳметическимъ выраженіемъ. Величина этого ариѳметическаго выраженія называется численною величиною.

Опредѣленіе численной величины. Численною величиною называется число, которое получится, если въ алгебраическомъ выраженіи буквы замѣнены числами и надъ ними произведены всѣ показанныя дѣйствія.

Вычислить алгебраическое выраженіе значитъ найти его численную величину.

Полагая въ алгебраическомъ выраженіи

получимъ ариѳметическое выраженіе:

Вычисляя его, находимъ:

Число 26'1’Д будетъ численною величиною алгебраическаго выраженія

при значеніяхъ: а = 5, 6 = 1, с = 2.

§ 10. Отличіе и преимущества алгебры предъ ариѳметикою. Въ алгебрѣ числа изображаются буквами, а дѣйствія знаками. Этимъ она отличается отъ ариѳметики. Изъ этого отличія вытекаютъ всѣ преимущества алгебры предъ ариѳметикою.

Замѣняя числа буквами, въ алгебрѣ отвлекаются отъ числоваго значенія величинъ. Буква есть только общій знакъ, которому можно приписать какую угодно числовую величину. Подъ буквою подразумѣваютъ какое угодно число. Буквы или алгебраическія количества называются поэтому общими числами.

Дѣйствія въ алгебрѣ обозначаются знаками. При вычисленіи въ алгебрѣ буквы не сливаются подобно числамъ. Каждая величина, означенная буквою, оставляетъ свой слѣдъ при вычисленіяхъ. Въ алгебрѣ поэтому обращаютъ вниманіе болѣе на порядокъ и послѣдовательность дѣйствій, чѣмъ на числовую величину результата. Въ алгебрѣ находятъ формулы, въ ариѳметикѣ ихъ вычисляютъ.

Въ этомъ обозначеніи чиселъ буквами и дѣйствій знаками, обнаруживается болѣе отвлеченный и болѣе общій характеръ алгебры. Алгебру называютъ иногда общей ариѳметикой.

§ 11. Преимущества алгебры предъ ариѳметикой обнаруживаются какъ при рѣшеніи задачъ, такъ и при доказательствѣ теоремъ.

Преимущества при рѣшеніи задачъ. Рѣшая какую нибудь задачу въ ариѳметикѣ, мы по-

лучаемъ опредѣленный числовой результатъ помощію цѣлаго ряда разсужденій. Изъ данныхъ чиселъ образуется новое искомое число. Въ ариѳметикѣ данныя числа не оставляютъ слѣда на результатѣ. Рѣшая другую однородную задачу съ другими данными числами, необходимо повторить снова всѣ тѣже разсужденія. По одному только числовому результату нельзя составить общаго правила для рѣшенія всѣхъ однородныхъ задачъ. Общее правило выводится въ ариѳметикѣ только изъ прямаго разсмотрѣнія самаго хода разсужденій. Словесное выраженіе общаго правила бываетъ иногда очень трудно. Оно бываетъ очень длинно, если въ задачѣ много данныхъ, надъ которыми нужно произвести много дѣйствій. Совсѣмъ не то въ алгебрѣ.

Рѣшая задачу въ алгебрѣ, мы имѣемъ дѣло съ буквами. При вычисленіяхъ дѣйствія только обозначаются. Буквы не сливаются, а всегда сохраняютъ свое значеніе. Это свойство буквъ ведетъ къ слѣдующимъ преимуществамъ алгебры:

1) Результаты рѣшенія задачъ выражаются формулами.

2) Подъ буквами можно подразумѣвать какія угодно числа, поэтому рѣшеніе, выраженное формулою, имѣетъ мѣсто для всѣхъ однородныхъ задачъ.

3) По формулѣ видно, какъ искомое образовалось по даннымъ числамъ.

4) Формула даетъ и общее правило для рѣшенія всѣхъ однородныхъ задачъ, ибо въ ней указаны порядокъ и послѣдовательность дѣйствій.

5) Результатъ, представленный формулою, выражается коротко.

6) При помощи формулъ легче запомнить самое правило.

§ 12. Преимущества при выводѣ теоремъ. При выводѣ теоремъ въ алгебрѣ доказательства также распространяются на всѣ числа безразлично, поэтому

1) алгебраическія доказательства и правила отличаются большею общностію.

2) формулы значительно сокращаютъ доказательства и дѣлаютъ проще самое выраженіе теоремъ.

§ 13. Чтобы нагляднѣе объяснить эти общія соображенія приведемъ нѣсколько задачъ и теоремъ.

Положимъ дана для рѣшенія

Ариѳметическая задача. Найти два числа, которыхъ сумма равна 16, а разность 6.

Одно число болѣе другаго 6 единицами. Отнявъ 6 отъ большаго числа, найдемъ два равныхъ числа. Сумма ихъ на 6 единицъ менѣе 16, то есть равна 10. Каждое изъ этихъ двухъ чиселъ равно меньшему, слѣд. сумма 10 равна двумъ меньшимъ числамъ. Половина этой суммы или меньшее число равно 5. Большее число, будучи на 6 единицъ больше меньшаго, равно 11. Такимъ образомъ первое большее число равно 11, второе меньшее 5. Здѣсь не видно только по результатамъ, какъ числа 11 и 5 образовались изъ чиселъ 16 и 6.

Если бы нужно было рѣшить другую подобную задачу, въ которой сумма двухъ чиселъ равна 12, а разность 3, нужно было бы повторить опять всѣ предыдущія разсужденія. Общее правило для рѣшенія подобныхъ задачъ можно получитъ, разбирая не результаты,, а самый ходъ рѣшенія.

Вникая въ это рѣшеніе, мы замѣчаемъ, что меньшее число получится, если изъ суммы 16 вычтемъ разность 6 и остатокъ раздѣлимъ на 2. Большее число получится, если къ найденному меньшему прибавимъ разность 6

Такимъ образомъ составляется общее правило для рѣшенія подобныхъ задачъ: меньшее число равно полуразности данныхъ чиселъ, а большее—полуразности, сложенной съ меньшимъ изъ данныхъ чиселъ.

Правило это выражается довольно длинно.

Положимъ теперь, что намъ дана для рѣшенія

Алгебраическая задача. Найти два числа, сумма которыхъ равна S, а разность d.

Если означимъ меньшее число черезъ х, то большее будетъ X + d.

Очевидно, остатокъ s — d будетъ равенъ двумъ меньшимъ числамъ

слѣд. меньшее число

Большее число будетъ

Два рѣшенія

даютъ прямо

Общее правило. Меньшее число равно полуразности, а большее—полусуммѣ двухъ данныхъ чиселъ.

Это правило остается общимъ для всѣхъ подобныхъ задачъ, ибо подъ буквами s и d мы подразумѣваемъ какія угодно числа. Правило это выражается двумя формулами

гораздо короче, и въ такой формѣ его легче запомнить.

Польза формулъ въ приложеніи къ теоремамъ видна изъ того, что ими сокращается самое выраженіе теоремъ. Такъ словесное выраженіе теоремъ:

а) Сумма двухъ чиселъ не измѣняется отъ перемѣны порядка слагаемыхъ.

b ) Произведеніе не измѣняется отъ перемѣны порядка множителей.

можетъ быть замѣнено письменно помощію формулъ равенствани:

Въ такой формѣ эти теоремы выражаются коротко и легче удерживаются въ памяти.

Цѣль алгебры. Алгебра имѣетъ цѣлію сокращеніе, упрощеніе и обобщеніе при рѣшеніи вопросовъ и выводѣ теоремъ.

Для этихъ цѣлей имѣютъ большое значеніе алгебраическія выраженія или формулы, поэтому существуетъ

Другое опредѣленіе алгебры. Алгебра есть наука о формулахъ. Она имѣетъ въ виду составленіе, вычисленіе, упрощеніе и преобразованіе (формулъ.

Положительныя и отрицательныя числа.

§ 14. Положительныя и отрицательныя числа. Не всегда легко опредѣлить численную величину какого нибудь алгебраическаго выраженія. Иногда приходится имѣть дѣло съ результатами, не встрѣчавшимися въ ариѳметикѣ.

Такъ, легко найти численную величину разности а—Ъ, если число а больше числа Ь.

Полагая а = 7, 6 = 2, получаемъ въ остаткѣ 5. Численная величина выраженія а—Ъ будетъ 7—2 = 5.

Въ этомъ случаѣ число 5 опредѣляетъ, сколько остается или сколько имѣется послѣ вычитанія; оно выражаетъ чѣмъ уменьшаемое болѣе вычитаемаго, или сколько лишнихъ единицъ или частей единицы у уменьшаемаго сравнительно съ вычитаемымъ.

Каждая единица такого остатка называется положительною единицею. Самое число называется положительнымъ .

Совсѣмъ не то будетъ, если въ Формулѣ а — Ъ положимъ а = 2, & = 7. Численная величина выраженія а—b получится, если найдемъ разность 2—7. Вычитаніе невозможно, ибо нельзя вычесть большаго числа изъ меньшаго; нельзя найти, сколько остается или имѣется единицъ послѣ вычитанія.

Въ этомъ случаѣ опредѣляютъ, сколько въ уменьшаемомъ недостаетъ единицъ, чтобы оно сравнялось съ вычитаемымъ

Въ данномъ примѣрѣ 2 — 7 результатъ долженъ показывать, что въ уменьшаемомъ недостаетъ 5 единицъ для того, чтобы оно могло сравняться съ вычитаемымъ или для того, чтобы вычитаніе могло быть возможнымъ. Такой результатъ также называютъ разностію. Его выражаютъ условно. Для этого вычитаютъ 2 изъ 7, и ставятъ впереди—(минусъ), знакъ большаго количества. Результатъ такого вычитанія будетъ — 5. Связь между данными и искомымъ выразится равенствомъ:

Къ такому обозначенію прибѣгаютъ на основаніи слѣдующихъ соображеній.

Вычесть 7 изъ 2 значитъ все равно, что вычесть 2 и потомъ еще вычесть 5.

Разность 2—7 можно выразить въ видѣ 2—2—5, то есть 2 изъ 2 можно вычесть

Остается вычесть еще 5.

Разность 2 — 7 можно выразить въ видѣ 0 — 5. Такимъ образомъ

Обыкновенно 0 опускаютъ и пишутъ просто: —5.

Численная величина выраженія а — b при а = 2, b — 1 будетъ:

Число — 5 также называютъ разностію. Чтобы получить это число, вычитаютъ меньшее число изъ большаго и ставятъ знакъ большаго числа.

Число — 5 называется отрицательнымъ числомъ. Оно выражаетъ, что недостаетъ 5 единицъ у уменьшаемаго. Слово недостаетъ выражается знакомъ — (минусъ).

Отрицательное число. Число, опредѣляющее сколько недостаетъ у уменьшаемаго, чтобы сравняться съ вычитаемымъ, называется отрицательнымъ числомъ.

Оно есть результатъ вычитанія большаго числа- изъ меньшаго. Оно изображается тѣмъ, что передъ числомъ ставятъ знакъ — (минусъ). Отрицательное число разсматривается нераздѣльно со знакомъ — (минусъ).

Число—1 называется отрицательною единицею. На каждую положительную единицу можно смотрѣть какъ на единицу слагаемаго, а на каждую отрицательную какъ на единицу вычитаемаго.

Отрицательное число выражаетъ въ такомъ случаѣ, сколько единицъ или частей единицы находится въ вычитаемомъ.

Нѣсколько слагаемыхъ вмѣстѣ образуютъ одно слагаемое, нѣсколько вычитаемыхъ вмѣстѣ образу-

ютъ одно вычитаемое, содержащее столько единицъ или частей единицы, сколько ихъ было во всѣхъ вычитаемыхъ. Отсюда

Правило. Нѣсколько положительныхъ чиселъ образуютъ одно положительное число, и нѣсколько отрицательныхъ чиселъ, взятыхъ вмѣстѣ, образуютъ одно отрицательное число, заключающее въ себѣ столько единицъ или частей единицы, сколько ихъ было во всѣхъ отрицательныхъ числахъ.

Такимъ образомъ

Если въ ариѳметическомъ выраженіи входитъ нѣсколько слагаемыхъ и вычитаемыхъ, нужно всѣ слагаемыя соединить въ одно слагаемое и всѣ вычитаемыя въ одно вычитаемое, и за тѣмъ вычислить величину самаго выраженія.

Такъ въ выраженіи

соединяя всѣ слагаемыя, получаемъ:

Соединяя всѣ вычитаемыя, имѣемъ:

слѣд.

Приведеніе чиселъ. Такое дѣйствіе, въ которомъ по нѣсколькимъ слагаемымъ и вычитаемымъ находимъ величину ариѳметическаго выраженія, называется приведеніемъ чиселъ.

Правило приведенія чиселъ. Чтобы сдѣлать приведеніе чиселъ въ ариѳметическомъ выраженіи, нужно всѣ положительныя и отрицательныя числа сложить отдѣльно, и за тѣмъ вычесть меньшее число изъ большаго и поставить знакъ большаго числа.

Приведеніе.

§ 15. Члены + 4«2&3с,— 3«2&3с,— а1Ъ3с называются подобными членами. У такихъ членовъ входятъ одинакія буквы съ одинакими показателями.

Подобные члены. Члены многочлена, состоящіе изъ одинакихъ буквъ съ одинакими показателями, называются подобными. Подобные члены отличаются только коеффиціента ми и знаками.

Нѣсколько подобныхъ членовъ можно замѣнять однимъ или, какъ обыкновенно выражаются, можно соединять въ одинъ.

Приведеніе. Дѣйствіе, посредствомъ котораго нѣсколько подобныхъ членовъ многочлена замѣняются однимъ, называется приведеніемъ.

Такъ два члена въ суммѣ 3«2Z> + 5«2& могутъ быть замѣнены членомъ 8«2&, два члена двучлена — 5а3& — 4«3& могутъ быть замѣнены членомъ — 9«3&.

Въ случаѣ, когда знаки подобныхъ членовъ одинаковы, складываютъ коеффиціенты « ставятъ знакъ общій.

Два подобныхъ члена выраженія 6«4с—3«4с могутъ быть замѣнены членомъ 3«4f, и два члена выраженія — 5«2& + 3«2Z> членомъ —2«2Z>.

Въ случаѣ, когда знаки подобныхъ членовъ разные, вычитаютъ меньшій коеффиціентъ изъ большаго и ставятъ знакъ большаго коеффиціента.

Если въ многочленѣ нѣсколько подобныхъ членовъ, соединяютъ отдѣльно въ одинъ всѣ члены со знакомъ + и со знакомъ — и потомъ съ ними дѣлаютъ приведеніе.

Такъ, въ многочленѣ

На основаніи этой замѣны имѣетъ мѣсто равенство:

Отсюда заключаемъ:

Чтобы сдѣлать приведеніе, нужно соединить отдѣльно въ одинъ всѣ подобные члены многочлена со знакомъ + и всѣ подобные члены со знакомъ—. Затѣмъ нужно меньшую сумму вычесть изъ большей и поставить впереди знакъ большей суммы. Результатъ будетъ коеффиціентомъ подобнаго члена.

Короче можно слѣдующимъ образомъ выразить это

Правило приведенія. Чтобы сдѣлать приведеніе, нужно коеффиціенты всѣхъ подобныхъ членовъ привести къ одному числу и сдѣлать въ результатѣ это число коеффиціентомъ подобнаго члена.

Если въ многочленѣ много членовъ, выписываютъ иногда всѣ подобные члены вмѣстѣ, располагая ихъ въ одномъ вертикальномъ столбцѣ.

Такъ, многочленъ

и самое приведеніе можно расположить въ видѣ

Неприводимый членъ. Членъ многочлена, не имѣющій себѣ подобныхъ, называется неприводимымъ членомъ.

Въ данномъ примѣрѣ такимъ неприводимымъ членомъ будетъ членъ + Іа3 или 7<Р.

II. Дѣйствія съ алгебраическими количествами.

§ 16. Всякое алгебраическое выраженіе получаетъ опредѣленную численную величину, какъ скоро мы замѣняемъ въ немъ алгебраическія количества числами.

Тождественныя выраженія. Два алгебраическія выраженія, численныя величины которыхъ одинаковы при всякихъ значеніяхъ буквъ, входящихъ въ нихъ, называются тождественными.

Такъ выраженія а + b и b + а будутъ тождественными выраженіями.

Тождество. Совокупность двухъ тождественныхъ выраженій, соединенныхъ знакомъ равенства, называется тождествомъ.

Равенство а -j- Ь = b + а будетъ тождествомъ.

Алгебраическія дѣйствія. При алгебраическихъ дѣйствіяхъ буквы не сливаются, поэтому алгебраическія дѣйствія состоятъ въ послѣдовательномъ преобразованіи одного выраженія въ другое, ему тождественное.

При этомъ имѣютъ въ виду, чтобы преобразованное выраженіе было проще даннаго.

Алгебраическое вычисленіе. Совокупность дѣйствій надъ алгебраическими количествами называютъ алгебраическимъ вычисленіемъ.

Цѣль алгебраическаго вычисленія. Алгебраическое вычисленіе имѣетъ цѣлію указать тѣ условія, при которыхъ одинъ рядъ дѣйствій можетъ быть замѣненъ другимъ.

Во всякомъ многочленѣ разсматриваютъ каждый членъ нераздѣльно съ его знакомъ. Такъ, многочленъ—За2& + 5#&—Іа3 состоитъ изъ трехъ членовъ: —3«2ô, + 5ab, —Іа3.

Члены со знакомъ + (плюсъ) называютъ положительными, а члены со знакомъ — (минусъ) отрицательными членами многочлена.

Знаки + и — называются по отношенію другъ къ другу знаками противуположными.

Перестановка членовъ. Во всякомъ многочленѣ можно переставлять члены вмѣстѣ съ ихъ знаками.

Это зависитъ отъ того, что результатъ не мѣняется, если мы измѣняемъ порядокъ сложеній и вычитаній. Такимъ образомъ вмѣсто многочлена

можно написать многочлены:

Сложеніе.

§ 17. Сложеніе одночленовъ. Чтобы сложить нѣсколько одночленовъ нужно написать ихъ рядомъ, соединяя ихъ знакомъ + (плюсъ).

Такимъ образомъ сумму одночленовъ За2&, 5й&, 6г3 изображаютъ письменно:

Сложеніе многочленовъ. Чтобы означить, что къ количеству а нужно приложить двучленъ Ь — с, заключаютъ b — с въ скобки и сумму изображаютъ письменно:

Выводъ правила. Сумма не измѣняется, если мы .уменьшимъ одно слагаемое и увеличимъ другое на одно и тоже число с. Вычтя изъ перваго слагаемаго и прибавивъ ко второму слагаемому по с, имѣемъ:

Другой выводъ правила. Приложивъ къ а только одно Z», получимъ а + Ъ. Эта сумма болѣе настоящей, ибо, приложивъ Ъ вмѣсто Ъ — с, мы слагаемое, а слѣд. и сумму увеличили на с. Чтобы получить истинное слагаемое, нужно его уменьшить на с.

Вычитая с изъ а + &, получимъ:

Отсюда вытекаетъ

Правило сложенія многочленовъ. Чтобы приложить многочленъ нужно, отбросивъ скобки, приписать члены слагаемаго многочлена съ тѣми же знаками и потомъ, если можно, сдѣлать приведеніе.

Подобнымъ же образомъ можно поступать, если у многочлена нѣсколько положительныхъ и отрицательныхъ членовъ. Сумма

можетъ быть написана въ видѣ

Полагая въ ней

мы можемъ эту сумму представить въ видѣ:

Замѣняя А и В ихъ величинами, имѣемъ

Располагая члены въ томъ порядкѣ, въ какомъ они были написаны, получимъ многочленъ:

Примѣръ. Найти сумму многочленовъ

Сдѣлавъ сложеніе, имѣемъ въ суммѣ:

Переписывая для приведенія эти члены такъ, чтобы подобные члены были расположены въ одномъ столбцѣ, получаемъ:

искомая сумма.

Вычитаніе.

§ 18. При вычитаніи алгебраическихъ количествъ по данной суммѣ и одному слагаемому отыскивается другое слагаемое. Данная сумма называется уменьшаемымъ, данное слагаемое вычитаемымъ, а искомое слагаемое называется разностію или остаткомъ.

Случаи вычитанія. При вычитаніи алгебраическихъ количествъ встрѣчаются два случая: вычитаніе одночленовъ и вычитаніе многочленовъ.

Вычитаніе одночленовъ. Чтобы вычесть одинъ одночленъ изъ другаго, нужно вычитаемый одночленъ приписать къ уменьшаемому со знакомъ — (минусъ).

Чтобы обозначить, что изъ одночлена З«2 нужно вычесть одночленъ 5«3ô, пишутъ:

Вычитаніе многочленовъ. Чтобы изъ одночлена а вычесть двучленъ b—с, пишутъ:

Выводъ правила. Остатокъ не измѣнится, если мы къ уменьшаемому и вычитаемому одновременно прибавимъ по с.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Сравнивая результатъ съ данными, получаемъ

Правило вычитанія многочленовъ. Чтобы вычесть многочленъ, нужно къ уменьшаемому, отбросивъ скобки, приписать члены вычитаемаго многочлена съ противуположными знаками и потомъ, если можно, сдѣлать приведеніе.

Примѣръ. Изъ многочлена

вычесть многочленъ

Ходъ вычисленія выразится письменно:

§ 19. Разсматривая члены многочлена послѣ сложенія, мы не встрѣчаемъ въ суммѣ скобокъ, хотя въ ней и заключаются всѣ члены многочлена съ тѣми же знаками. Точно также послѣ вычитанія мы не встрѣчаемъ скобокъ въ разности, хотя и входятъ въ нее всѣ члены вычитаемаго многочлена съ противуположными знаками.

Изъ такого разсмотрѣнія мы заключаемъ, что въ правилахъ сложенія и вычитанія заключаются и правила освобожденія членовъ многочлена отъ скобокъ или

Правила раскрытія сковокъ, а) Если передъ скобками стоитъ знакъ -г, можно опуститъ скобки вмѣстѣ со знакомъ +, сохранивъ при членахъ многочлена тѣ же знаки. b) Если передъ скобками стоитъ знакъ— (минусъ), можно опуститъ скобки со знакомъ—, перемѣнивъ знаки всѣхъ членовъ многочлена на противуположные.

Такимъ образомъ вмѣсто

можно написать

Когда при членѣ многочлена въ скобкахъ нѣтъ знака, при немъ обыкновенно подразумѣваютъ знакъ +.

Точно также вмѣсто выраженія

имѣемъ послѣ раскрытія скобокъ выраженіе

Изъ правилъ для раскрытія скобокъ вытекаютъ Правила заключенія многочленовъ въ скобки, а) Чтобы заключитъ многочленъ въ скобки со знакомъ + передъ скобками, нужно при всѣхъ его членахъ сохранитъ тѣ- же самые знаки.

b) Чтобы заключить многочленъ въ скобки со знакомъ —передъ скобками, нужно перемѣнитъ знаки при всѣхъ членахъ многочлена, заключеннаго въ скобки, на противуположные.

Такъ въ выраженіи

заключая въ скобки многочленъ — b + с — d со знакомъ + передъ скобками, пишемъ:

Точно также, заключая многочленъ с—d въ скобки со знакомъ — передъ нимъ, пишемъ:

Объ отрицательныхъ количествахъ.

§ 20. Все, что мы сказали объ отрицательныхъ числахъ, имѣетъ мѣсто и для отрицательныхъ количествъ вообще.

Если а болѣе b на число г, то, вычитая b изъ «, получаемъ остатокъ г.

Этотъ остатокъ называется положительнымъ количествомъ. Онъ означаетъ сколько остается или сколько имѣется послѣ вычитанія.

Разность же b — а нельзя получить прямо, ибо нельзя вычесть большаго количества а изъ меньшаго Ъ. Въ этомъ случаѣ опредѣляютъ, сколько недостаетъ у уменьшаемаго, чтобы сравняться съ вычитаемымъ. Самый результатъ условно выражаютъ въ видѣ:

Число — г называется отрицательнымъ количествомъ.

Такимъ условнымъ обозначеніемъ пользуются на основаніи слѣдующихъ соображеній.

Если а болѣе Ъ на число г, то

Въ выраженіи о — г нуль опускаютъ и пишутъ просто — г.

Отрицательное количество. Отрицательное количество опредѣляетъ, сколько недостаетъ у уменьшаемаго, чтобы сравнятся съ вычитаемымъ. Оно есть результатъ вычитанія большаго количества изъ меньшаго. Для обозначенія его ставятъ передъ количествомъ знакъ — (минусъ).

Можно смотрѣть на всякое положительное количество какъ на слагаемое, на всякое отрицательное, какъ на вычитаемое.

Иногда отрицательное количество — г заключаютъ въ скобки, и изображаютъ письменно въ видѣ (—r).

Свойства отрицательныхъ количествъ. Отрицательное количество есть результатъ вычитанія и обладаетъ всѣми свойствами разности, потому изъ свойствъ разности вытекаютъ всѣ свойства отрицательнаго количества.

Когда въ разности а — х вычитаемое количество х, оставаясь меньше а, будетъ постоянно увеличиваться, остатокъ а — х, оставаясь положительнымъ числомъ, будетъ постоянно уменьшаться. Если х сравняется съ а, остатокъ сдѣлается равнымъ нулю. Если вычитаемое х сдѣлается больше а, остатокъ, продолжая уменьшаться, сдѣлается отрицательнымъ количествомъ. На этихъ соображеніяхъ основывается

Первое свойство отрицательнаго количества. Отрицательное количество меньше нуля. Это свойство отрицательнаго количества выражаютъ неравенствомъ

Если будемъ продолжать увеличивать вычитаемое х, остатокъ, уменьшаясь, продолжаетъ оставаться отрицательнымъ количествомъ, числовая величина котораго дѣлается все больше и больше. Изъ всего вышесказаннаго выводимъ

Другое свойство отрицательнаго количества. Чѣмъ болѣе числовая величина отрицательнаго количества, тѣмъ оно менѣе.

На этомъ основаніи имѣютъ мѣсто неравенства:

Примѣчаніе. Иногда разсматриваютъ численную величину количества, не обращая вниманія на знакъ. Въ этомъ случаѣ эту величину количества называютъ абсолютною величиною.

§ 21. Сложеніе и вычитаніе отрицательныхъ количествъ.

Отрицательное количество есть условное выраженіе разности такихъ двухъ количествъ, изъ которыхъ вычитаемое больше уменьшаемаго.

Помня это, легко вывести правила сложенія и вычитанія этихъ количествъ.

Положивъ по прежнему

имѣемъ:

Прикладывая къ числу с отрицательное количество (— г), имѣемъ сумму:

замѣняя (— г) его величиною, имѣемъ:

Заключая Ъ — « въ скобки со знакомъ — впереди, имѣемъ:

Замѣняя а — Ъ черезъ г, имѣемъ:

откуда вытекаетъ

Правило. Приложить отрицательное количество все равно, что вычесть положительное.

Точно также, вычитая изъ с отрицательное количество (—г), имѣемъ

замѣняя а—Ъ черезъ г, имѣемъ:

откуда вытекаетъ

Правило. Вычесть отрицательное количество все равно, что приложить положительное.

Точно также имѣемъ мѣсто

Обратное правило. Приложить положительное количество все равно, что вычесть отрицательное и вычесть положительное все равно, что приложить отрицательное.

Изъ уравненій

видно, что при сложеніи и вычитаніи мы опускали скобки, слѣдуя общему правилу раскрытія скобокъ, то есть въ случаѣ сложенія приписывали членъ съ тѣмъ же знакомъ, а при вычитаніи приписывали членъ съ противуположнымъ знакомъ. Отсюда выводимъ

Общее правило сложенія и вычитанія отрицательныхъ количествъ. При сложеніи и вычитаніи отрицательныхъ количествъ нужно поступать съ ними по тѣмъ же правиламъ, какъ мы поступали при сложеніи и вычитаніи многочленовъ.

Складывая положительное количество съ отрицательнымъ одинаковой числовой величины, получаемъ:

Откуда выводимъ

Заключеніе. Сумма положительнаго количества, съ отрицательнымъ той же числовой величины равна нулю.

На этомъ основаніи положительное и отрицательное количество называютъ по отношенію другъ къ другу количествами противуположными. Отрицательныя количества называютъ также обратными количествами.

§ 22. При помощи отрицательныхъ чиселъ всякую разность величинъ можно представить въ видѣ суммы. Такъ, разность а — Ь, представленная въ видѣ суммы, даетъ а + (—Ь).

Алгебраическая сумма. Всякая сумма, которая въ числѣ своихъ слагаемыхъ содержитъ, какъ положительныя, такъ и отрицательныя количества, называется алгебраическою суммою.

Всякій многочленъ можетъ быть представленъ въ видѣ алгебраической суммы.

Такъ многочленъ а — Ъ — Зс + 5<Z можетъ быть представленъ въ видѣ алгебраической суммы

Обратно, каждая сумма можетъ быть представлена въ видѣ разности.

Такъ вмѣсто а + b можно написать а — (— Ъ)

Въ выраженіи а + b подъ а и b можно подразумѣвать не только всякое положительное, но и вся-

кое отрицательное число, поэтому алгебраическою суммою называютъ иногда всякую сумму алгебраическихъ количествъ.

Такъ а + Ъ будетъ алгебраическая сумма, ‘ибо, полагая а = 2, Ъ — — 7, найдемъ, что численная величина а + Ъ будетъ:

§ 23. Значеніе отрицательныхъ количествъ при рѣшеніи задачъ. Положительныя и отрицательныя количества называются количествами противуположными не по одному только своему происхожденію.

При рѣшеніи нѣкоторыхъ задачъ они дѣйствительно иногда означаютъ величины, имѣющія противуположный смыслъ.

Такъ, если положительное число означаетъ величину имущества, отрицательное число означаетъ величину долга. Долгъ и имущество два противуположныя понятія. Когда говорятъ, что имущество лица равно — 50 рублей (минусъ 50 рублей), это значитъ, что лицо не только не имѣетъ имущества, но имѣетъ долгъ въ 50 рублей.

Въ этомъ смыслѣ отрицательное количество меньше нуля, ибо лицо, имѣющее только долгъ, имѣетъ менѣе лица, ничего не имѣющаго. Легко объясняется также теорема: чѣмъ болѣе числовая величина отрицательнаго количества, тѣмъ оно менѣе; этой теоремѣ въ данномъ случаѣ соотвѣтствуетъ то обстоятельство, что чѣмъ болѣе лицо имѣетъ долгу, тѣмъ его имущество менѣе.

Точно также выигрышу, какъ величинѣ положительной, соотвѣтствуетъ проигрышъ, какъ величина отрицательная. Прибыль и убытокъ — будутъ также

двумя противуположными понятіями. Имъ соотвѣтствуютъ противуположныя величины. Такихъ противуположныхъ понятій очень много.

Въ каждомъ частномъ случаѣ нужно при рѣшеніи задачи обращать вниманіе на величины, входящія въ разсматриваемый вопросъ, тогда отрицательное рѣшеніе означаетъ иногда такое рѣшеніе, смыслъ. котораго легко объяснить изъ сущности самаго вопроса.

Въ случаѣ двухъ противуположныхъ величинъ совершенно отъ нашего произвола зависитъ, какую изъ двухъ величинъ считать за положительную. Выбравъ одну, обыкновенно величину ей противуположную считаютъ величиною отрицательною.Такъ, если мы условились считать долгъ положительною величиною, имущество нужно считать уже величиною отрицательною.

Въ этомъ смыслѣ говорятъ, что долгъ есть отрицательное имущество, имущество есть отрицательный долгъ, проигрышъ есть отрицательный выигрышъ и т. д.

Такая противуположность въ значеніи величинъ выражается въ алгебрѣ знаками + и —

— 5 рублей проигрышу = 5 рублей выигрышу.

5 рублей долгу = — 5 рублей имущества,

и т. д.

Умноженіе.

§ 24. Всѣ правила умноженія алгебраическихъ количествъ основываются на свойствѣ произведенія не измѣняться отъ перемѣны порядка производителей.

Случаи умноженія. При умноженіи алгебраическихъ количествъ встрѣчаются три главныхъ случая:

1) умноженіе одночлена на одночленъ, 2) умноженіе многочлена на одночленъ и обратно, 3) умноженіе многочлена на многочленъ.

Умноженіе одночленовъ. Если оба одночлена будутъ состоять изъ различныхъ степеней одной и той же буквы, произведеніе получится прямо, если мы замѣнимъ каждаго множителя его выраженіемъ. Такъ, умножая «3 на а4 и замѣняя я3 и «'* ихъ выраженіями, получимъ произведеніе

Здѣсь мы при умноженіи а3 на а'1 получили въ произведеніи выраженіе (?7, въ которомъ показатель 7 есть сумма чиселъ 3 и 4, или сумма показателей множимаго и множителя.

Положимъ, нужно умножить одночленъ J.=3«7/c6 на одночленъ В = Sa^bc^d*.

Произведеніе изображаютъ письменно:

Это произведеніе можно представлять въ видѣ

Произведеніе AB не измѣняется, если перемѣнить въ немъ порядокъ множителей.

Напишемъ этихъ множителей въ такомъ порядкѣ, чтобы коеффиціенты и множители, выражаемые тою же буквою, стояли въ произведеніи рядомъ.

Сдѣлавъ это, получимъ:

Разсматривая произведеніе въ такомъ видѣ, замѣчаемъ, что коеффиціентъ произведенія 15 будетъ произведеніе коеффиціентовъ данныхъ одночленовъ. Буква а, входила множителемъ 3 раза въ одинъ одночленъ

и два раза въ другой; въ произведеніи она будетъ входить 5 разъ, то есть столько, сколько разъ она входитъ во множимомъ и во множителѣ вмѣстѣ. То же замѣчаніе имѣетъ мѣсто для буквы b и с. Буквы d и е входятъ въ произведеніе точно также, какъ онѣ входили въ одинъ изъ производителей.

Написавъ произведеніе при помощи показателей, находимъ:

Откуда вытекаетъ

Правило умноженія одночленовъ. Чтобы умножить одночлены, нужно коеффиціенты перемножить, а показателей одинаковыхъ буквъ складывать. Буквы, входящія въ одинъ изъ множителей, появляются въ произведеніи съ тѣмъ же показателемъ. У буквы, не имѣющей показателя, нужно подразумѣвать показателемъ единицу.

Это правило сохраняется и при умноженіи нѣсколькихъ одночленовъ.

Примѣръ 1.

Примѣръ 2. Произведеніе трехъ одночленовъ

даетъ:

§ 25. Умноженіе многочлена на одночленъ и обратно.

1. Въ томъ случаѣ, когда нужно умножить мно-

гочленъ а + Ъ — с на цѣлое число 4, произведеніе выражаютъ письменно:

Умножить на цѣлое число 4 значитъ повторить многочленъ а + Ъ — с четыре раза, слѣд.

что по раскрытіи скобокъ даетъ послѣ приведенія

Сравнивая результатъ съ даннымъ количествомъ, замѣчаемъ, что при умноженіи многочлена на цѣлое положительное число мы каждый членъ многочлена умножаемъ на цѣлое число, сохраняя въ произведеніи прежній знакъ члена.

2. Когда множителемъ въ произведеніи

будетъ дробное число 8/4, тогда мы должны умножить многочленъ на 3 и раздѣлить на 4.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

откуда видимъ, что при умноженіи многочлена на дробь правило остается тоже, какъ и при умноженіи многочлена на цѣлое число.

Итакъ, если множимое будетъ цѣлое или дробное число ж, всегда

Отсюда вытекаетъ

Правило. Чтобы умножить многочленъ на положительный одночленъ, нужно каждый членъ многочлена отдѣльно умножитъ на одночленъ, сохраняя прежній знакъ члена.

Примѣръ. Умножая многочленъ

на одночленъ

имѣемъ:

3. Произведеніе не мѣняется отъ перемѣны порядка производителей, поэтому при умноженіи одночлена на многочленъ правило остается тоже самое, какъ и при умноженіи многочлена на одночленъ.

Примѣръ. Умножая одночленъ

на многочленъ

имѣемъ:

§ 26. Внесеніе и вынесеніе общаго множителя за скобку. Разсматривая произведеніе

мы видимъ, что результатъ am + Ът — cm можно представить въ видѣ (am + Ьт — cm). Въ такомъ видѣ множитель т, бывшій прежде за скобкой, явился въ скобкахъ, поэтому правило умноженія многочлена на одночленъ можно назвать еще правиломъ внесенія одночлена въ скобку.

Обратно, многочленъ am + bm — cm замѣняется вполнѣ произведеніемъ (а + Ъ — с) т.

Въ такомъ видѣ т общій множитель всѣхъ членовъ многочлена является за скобкой.

Изъ сравненія этихъ результатовъ мы выводимъ

Правило. Множителя, общаго всѣмъ членамъ многочлена, можно выносить за скобку.

Такъ, вмѣсто многочлена За2& + 5аЬ — abc можно написать (За2 + 5а — ас) Ь, ибо b общій множитель всѣхъ членовъ, или (3aZ» + ob — be) а, ибо а общій множитель всѣхъ членовъ многочлена.

Данный многочленъ можно еще представить въ видѣ

Изъ послѣдняго выраженія мы видимъ, что произведеніе ab служитъ также общимъ множителемъ, поэтому можно также вынести многочленъ ab за скобку.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Вносить и выноситъ за скобку можно какого угодно общаго множителя.

Вмѣсто выраженій „вноситъ и выноситъ за скобку“ употребляютъ иногда выраженія „вводить и выводить за скобку“.

§ 27. Умноженіе многочлена на многочленъ. Легко найти произведеніе въ томъ случаѣ, когда всѣ члены обоихъ многочленовъ будутъ со знакомъ + (плюсъ).

Произведеніе многочлена А = а + b + с на многочленъ В = т + п + р выражаютъ письменно:

Замѣняя въ этомъ произведеніи многочленъ тА-п + р буквою В, имѣемъ:

По правилу умноженія многочлена на одночленъ имѣемъ:

Замѣняя В его величиною, получимъ:

Производя показанныя дѣйствія получимъ:

Сравнивая члены произведенія съ данными членами множителей, видимъ, что всѣ члены произведенія получились отъ перемноженія всѣхъ членовъ множимаго на всѣхъ членовъ множителя. Число всѣхъ членовъ произведенія равно произведенію числа членовъ множимаго на число членовъ множителя.

Выводъ правила не измѣняется, если въ множимомъ и во множителѣ входятъ члены со знакомъ — (минусъ).

Здѣсь можетъ встрѣтиться нѣсколько случаевъ:

а) Умноженіе положительнаго количества на положительное. Если обѣ разности а — Ъ и с — d положительны, то, полагая А = а—b и В = с — d, имѣемъ произведеніе

Слѣдуя правилу умноженія многочлена на одночленъ, имѣемъ:

Замѣняя В разностію с — d, имѣемъ:

Раскрывая скобки въ послѣднемъ выраженіи, имѣемъ:

Сравнивая произведеніе съ данными членами множителей, мы видимъ, что здѣсь также члены произведенія по своему составу получились отъ перемноженія всѣхъ членовъ множимаго на всѣхъ членовъ множителя.

Различіе этого случая отъ предъидущаго заключается только въ томъ, что здѣсь должно обращать вниманіе на знаки.

Въ произведеніи положительный членъ ас получился отъ умноженія положительнаго числа а на положительное число с. Положительный членъ + bd получился отъ перемноженія отрицательнаго члена — & на отрицательный членъ — d. Отрицательный членъ — Ъс получился отъ перемноженія отрицательнаго члена — b на положительный членъ с и отрицательный членъ —ad получился отъ перемноженія положительнаго члена а на отрицательный членъ — d.

При умноженіи многочленовъ эту связь результата съ данными количествами по отношенію къ знакамъ выражаютъ такою таблицею:

или короче:

+ на + даетъ + (плюсъ на плюсъ даетъ плюсъ)

— на — даетъ + (минусъ на минусъ даетъ плюсъ)

— на + даетъ — (минусъ на плюсъ даетъ минусъ)

+ на — даетъ — (плюсъ на минусъ даетъ минусъ).

Эти таблицы показываютъ, что при умноженіи многочленовъ нужно соблюдать слѣдующее

Правило знаковъ. При умножении двухъ членовъ съ одинакими знаками получаютъ въ произведеніи членъ со знакомъ +, а при умножении двухъ членовъ съ разными знаками членъ со знакомъ — (минусъ).

Выражая всѣ эти результаты вмѣстѣ, мы имѣемъ слѣдующее

Правило умноженія многочлена на многочленъ. Чтобы умножить многочленъ на многочленъ, нужно каждый членъ множимаго умножить на каждый членъ множителя, соблюдая при этомъ правило знаковъ и потомъ, если можно, сдѣлать приведеніе.

При выводѣ этого правила мы допускали, что оба множителя произведенія

суть положительныя числа, то есть а > Ъ и с > d.

Правило это остается справедливымъ для всѣхъ остальныхъ случаевъ.

b) Умноженіе отрицательнаго количества на положительное.

Если вторая разность с — d будетъ положительна, а разность а — Ъ отрицательна, тогда по правилу заключенія многочленовъ въ скобки, можно положить

Раскрывая эти скобки, получимъ по прежнему тотъ же самый результатъ

Правило знаковъ остается тоже.

с) Умноженіе положительнаго количества на отрицательное.

Если первая разность а — Ъ положительна, а вторая с — d отрицательна, то, перемѣняя порядокъ производителей

имѣемъ предыдущій случай умноженія отрицательнаго на положительное количество.

Въ этомъ случаѣ правило остается также безъ измѣненія.

d) Умноженіе отрицательнаго количества на отрицательное.

Если обѣ разности произведенія (« — Ъ) (с — d) отрицательны, то, перемѣняя знакъ у первой разности, получимъ

гдѣ знакъ — стоитъ передъ произведеніемъ положительнаго числа на отрицательное, слѣд.

Правило и въ этомъ случаѣ не измѣняется.

Принимая въ соображеніе всѣ эти результаты, мы заключаемъ, что правило умноженія многочленовъ остается справедливымъ во всѣхъ возможныхъ случаяхъ.

Не трудно вывести то правило, которое имѣетъ мѣсто, когда множителями будутъ одночлены съ различными знаками.

Произведеніе

есть тождество, поэтому оно должно оставаться справедливымъ для всѣхъ возможныхъ чиселъ а, Ь, с, d.

Полагая въ немъ

имѣемъ:

Отсюда вытекаетъ

Правило знаковъ при умноженіи одночленовъ. При умноженіи одночлена на одночленъ правило знаковъ остается безъ измѣненія.

Расположеніе вычисленій при умноженіи. Обыкновенно при умноженіи многочлена на многочленъ подписываютъ множителя подъ множимымъ и перемножаютъ каждый членъ множимаго на каждый членъ множителя, начиная умноженіе слѣва.

Примѣръ. Найти произведеніе

Вычисленіе располагаютъ письменно:

полное произведеніе послѣ приведенія,

§ 28. Въ одночленѣ, зависящемъ отъ нѣсколькихъ буквъ, обращаютъ вниманіе на измѣреніе одночлена.

Измѣреніе. Измѣреніемъ одночлена называется сумма показателей всѣхъ буквъ, входящихъ въ одночленъ.

Измѣреніе одночленовъ 3«, будетъ 1, измѣреніемъ одночленовъ «2, ab, be, будетъ число 2, измѣреніемъ одночленовъ «3, «2&, 3«62, ѢаЬс, будетъ число 3; измѣреніе одночлена Sa'lfcd будетъ число 7, ибо сумма показателей его буквъ будетъ 3 + 2 _[_. ^ + 1 = 7

Однородный многочленъ. Цѣлый многочленъ, состоящій изъ одночленовъ одинаковаго измѣренія, называется однороднымъ многочленомъ. Въ этомъ случаѣ число, выражающее величину самаго измѣренія, называютъ показателемъ или степенью однородности.

Такимъ образомъ многочленъ

будетъ однороднымъ многочленомъ 3-й степени,

многочленъ

будетъ однороднымъ многочленомъ 8-й степени.

Измѣреніе произведенія нѣсколькихъ одночленовъ равно суммѣ измѣреній всѣхъ одночленовъ.

Такъ, въ произведеніи

измѣреніе перваго множителя будетъ 3, втораго 5, третьяго 2. Измѣреніе произведенія 10 равно суммѣ измѣреній всѣхъ его множителей:

Иногда въ многочленѣ останавливаютъ главное вниманіе на одной какой нибудь буквѣ и разсматриваютъ члены многочлена только по отношенію къ этой буквѣ.

Старшій и младшій члены многочлена. Членъ, въ которомъ буква входитъ въ высшей степени, называется старшимъ членомъ многочлена относительно этой буквы. Членъ же, въ которомъ буква входитъ въ низшей степени, называется младшимъ членомъ многочлена.

Въ многочленѣ

членъ g а3Ь'‘с будетъ старшимъ членомъ, а членъ &4с4 будетъ младшимъ членомъ относительно буквы а. Относительно же буквы b старшимъ членомъ будетъ членъ — у ab1, а младшимъ членъ ?>ab.

Обыкновенно въ многочленѣ выбираютъ одну какую нибудь букву за главную.

Главная буква. Буква, на которой преимущественно останавливаютъ вниманіе, называется главною буквою многочлена.

Расположеніе многочлена. Написать члены многочлена въ такомъ порядкѣ, чтобы въ нихъ показатели главной буквы шли постоянно возрастая или убывая, значитъ расположитъ члены, многочлена относительно этой буквы.

Многочленъ можетъ быть расположенъ по убывающимъ или возрастающимъ степенямъ главной буквы.

Многочленъ расположенъ по убывающимъ или возрастающимъ степенямъ буквы, смотря потому, уменьшаются или возрастаютъ показатели буквы въ его членахъ.

Выбравъ х за главную букву многочлена

и располагая его по убывающимъ степенямъ этой буквы, мы должны написать:

Располагая же его по возрастающимъ степенямъ буквы х пишутъ:

Располагая этотъ многочленъ по убывающимъ степенямъ буквы у, мы должны написать:

Располагая его по возрастающимъ степенямъ буквы у, пишутъ:

Возрастающія и убывающія степени называютъ также восходящими или нисходящими степенями буквы.

§ 29. Умноженіе многочленовъ, расположенныхъ по степенямъ какой нибудь буквы. Когда одна и таже буква встрѣчается во множимомъ и множителѣ, тогда

располагаютъ оба многочлена по нисходящимъ или восходящимъ степенямъ этой буквы и производятъ умноженіе. Такое расположеніе даютъ съ тѣмъ, чтобы при приведеніи легче отыскать подобные члены.

Такъ, отыскивая произведеніе

и располагая оба множителя по нисходящимъ степенямъ буквы х, получаемъ:

Производя умноженіе, располагаемъ самое вычисленіе письменно:

полное произведеніе.

Умножая многочленъ 4а2 + 9&2 — 12а& на многочленъ 12а& + 9&2 + 4а2 и располагая ихъ по восходящимъ степенямъ буквы а, имѣемъ произведеніе;

Производя самое вычисленіе, получимъ:

полное произведеніе.

Въ обоихъ примѣрахъ мы располагали вычисленіе такъ, что подобные члены частныхъ произведеній находились въ одномъ столбцѣ.

Сравнивая по отношенію къ буквѣ а произведеніе съ множителями, мы видимъ, что старшій членъ 4а2 множимаго, умноженный на 4а2 старшій членъ множителя, даетъ 16ö4 тоже старшій членъ произведенія. Этотъ членъ остается неприводимымъ. Точно также 9Z»2, младшій членъ множимаго, умноженный на 9&2, младшій членъ множителя, даетъ 81# тоже младшій членъ произведенія. Этотъ членъ также неприводимъ. Это заключеніе остается справедливымъ для каждой буквы. Отсюда выводимъ

Свойства произведенія. Произведеніе старшихъ или младшихъ членовъ относительно какой нибудь буквы даетъ старшаго или младшаго члена произведенія. Эти члены остаются въ произведеніи членами неприводимыми, поэтому въ каждомъ произведеніи многочленовъ существуютъ по крайней мѣрѣ два члена, неприводимыхъ съ другими.

§ 30. Между различными произведеніями многочленовъ нѣкоторыя заслуживаютъ особеннаго вниманія.

Квадратъ многочлена. Произведеніе двухъ равныхъ многочленовъ называется квадратомъ многочлена.

Кубъ многочлена. Произведеніе трехъ равныхъ многочленовъ называется кубомъ многочлена.

Степень многочлена. Произведеніе нѣсколькихъ равныхъ многочленовъ называется степенью многочлена.

Степени многочленовъ выражаются также, какъ и степени буквъ. Многочленъ, возвышаемый въ степень, обыкновенно заключается въ скобки, а показатель степени ставится надъ скобками.

Такимъ образомъ вмѣсто

пишутъ

Точно также произведеніе трехъ многочленовъ

замѣняютъ выраженіемъ:

Обратно (3« — ЗЬу выражаетъ произведеніе 4-хъ равныхъ двучленовъ

Вычисляя выраженіе (а + b)\ получаемъ:

откуда

Квадратъ суммы двухъ чиселъ равняется квадрату перваго числа, + (плюсъ) удвоенное произведеніе перваго числа на второе, 4- (плюсъ) квадратъ втораго числа

Подобнымъ же образомъ

Квадратъ разности двухъ чиселъ равняется квадрату перваго числа, минусъ (—) удвоенное произведеніе перваго числа на второе, плюсъ ( + ) квадратъ втораго числа.

Умножая аb на а — Ъ, получаемъ:

Произведеніе суммы двухъ чиселъ на ихъ разность равняется разности квадратовъ и обратно

Разность квадратовъ двухъ чиселъ равняется произведенію суммы чиселъ на ихъ разность.

Вычисляя выраженіе

имѣемъ:

Кубъ суммы двухъ чиселъ равняется кубу перваго числа, плюсъ (+) утроенное произведеніе квадрата перваго числа на второе, плюсъ (+) утроенное произведеніе перваго числа на квадратъ втораго, плюсъ (+) кубъ втораго числа.

Вычисляя (а — b)3, имѣемъ:

Кубъ разности двухъ чиселъ равняется кубу перваго числа, минусъ (—) утроенное произведеніе квадрата перваго числа на второе, плюсъ (+) утроенное произведеніе перваго числа на квадратъ втораго, минусъ (—) кубъ втораго числа.

Послѣднее выраженіе куба разности можно прямо получить изъ куба суммы, замѣняя въ немъ + b черезъ — Ь. Дѣйствительно, изъ равенства

получаемъ:

Въ этомъ равенствѣ

Дѣленіе.

§ 31. При дѣленіи двухъ алгебраическихъ количествъ частное обыкновенно выражается въ видѣ дроби. Иногда эту дробь упрощаютъ. Въ правилахъ этого упрощенія и заключаются всѣ правила дѣленія.

При дѣленіи алгебраическихъ количествъ всегда соблюдается

Основное свойство дѣленія, по которому дѣлимое всегда равно дѣлителю, умноженному на частное. Въ дѣленіи по данному произведенію и одному изъ множителей отыскивается другой множитель.

Изъ этихъ свойствъ вытекаютъ всѣ правила дѣленія.

При дѣленіи нужно обращать вниманіе на знакъ частнаго. Правило знаковъ при дѣленіи вытекаетъ прямо изъ правила знаковъ при умноженіи.

Означивъ чрезъ р произведеніе двухъ положительныхъ количествъ т и п, мы имѣемъ 4 произведенія:

Откуда получаемъ 4 частныхъ:

Изъ этихъ примѣровъ видимъ, что частное имѣетъ знакъ + или —, смотря потому, будутъ ли дѣлимое и дѣлитель имѣть одинаковые или разные знаки.

Отсюда вытекаетъ

Правило знаковъ при дѣленіи. При дѣленіи для частнаго остается тоже самое правило знаковъ, какое существуетъ для произведенія двухъ количествъ. Частное при дѣленіи величинъ съ одинакими знаками будетъ величиною положительною, частное отъ раздѣленія величинъ съ разными знаками будетъ величиною отрицательною.

Случаи дѣленія. При дѣленіи алгебраическихъ количествъ встрѣчаются три главныхъ случая: 1 ) дѣленіе одночлена на одночленъ, 2) дѣленіе многочлена на одночленъ и 3) дѣленіе многочлена на многочленъ.

§ 32. Дѣленіе одночленовъ. Частное отъ раздѣленія одночлена 24rz5è2cW2 на одночленъ изобразится въ видѣ дроби:

Дѣлимое равно произведенію дѣлителя на частное. Коеффиціентъ дѣлителя 6 нужно умножить на 4, чтобы получить коеффиціентъ дѣлимаго 24, слѣд. коеффиціентомъ частнаго будетъ число 4, частное отъ дѣленія коеффиціентовъ. Чтобы получить а3, нужно дѣлителя а3 умножить на а2. Въ дѣлимомъ 5, показатель буквы а долженъ равняться суммѣ показателей той же буквы въ дѣлителѣ и частномъ, слѣд. показателъ буквы въ частномъ есть разность показателей буквы дѣлимаго и дѣлителя. Точно также показатель у буквы Ъ въ частномъ будетъ 1, то есть равняться 2, показателю буквы Ъ въ дѣлимомъ безъ 1, показателя той же буквы въ дѣлителѣ.

Буквы с не будетъ въ частномъ, ибо —3 даетъ въ

частномъ 1. Буква d останется въ частномъ безъ измѣненія съ тѣмъ же показателемъ. Результатъ дѣленія выразится письменно:

Отсюда выводимъ

Правило дѣленія одночленовъ. При дѣленіи одночленовъ на одночленъ

A. Дѣлятъ коеффиціентъ дѣлимаго на коеффиціентъ дѣлителя;

B. У одинакихъ буквъ вычитаютъ показателя дѣлителя изъ показателя дѣлимаго, и эту разность пишутъ показателемъ той же буквы въ частномъ;

C. Переписываютъ въ частномъ безъ перемѣны буквы дѣлимаго, которыхъ нѣтъ въ дѣлителѣ;

D. Въ частномъ вовсе не войдетъ тѣхъ буквъ дѣлимаго, показатели которыхъ одинаковы въ дѣлимомъ и дѣлителѣ;

E. При дѣленіи соблюдаютъ правило знаковъ.

§ 33. Частное въ видѣ дроби. Иногда частное не выражается въ видѣ цѣлаго одночлена. Такъ, въ примѣрѣ

коеффиціентъ дѣлимаго 6 не дѣлится нацѣло на 5, коеффиціентъ дѣлителя и частное выражается дробью.

Точно также въ примѣрѣ

частное выражается дробью, потому что въ дѣлителѣ есть буква с, которой нѣтъ въ дѣлимомъ. Она остается въ знаменателѣ безъ измѣненія.

Въ примѣрѣ

показатель 5 буквы а въ дѣлителѣ больше 3, показателя ея въ дѣлимомъ. Въ этомъ случаѣ, раздѣляя дѣлимое и дѣлителя на а3, мы не измѣняемъ частнаго. Сдѣлавъ это, опять получаемъ частное въ видѣ дроби:

Эти примѣры указываютъ на слѣдующіе

Случаи дробнаго частнаго. При дѣленіи одночленовъ частное изображается въ видѣ дроби, когда

A. Коеффиціентъ дѣлимаго не дѣлится нацѣло на коеффиціентъ дѣлителя;

B. Когда въ дѣлитель входитъ буква, которой нѣтъ въ дѣлимомъ;

C. Когда показатель буквы въ дѣлителѣ болѣе показателя той же буквы въ дѣлимомъ. Въ этомъ случаѣ вычитаютъ показателя буквы въ дѣлимомъ изъ показателя буквы въ дѣлителѣ и ставятъ эту разность показателемъ буквы въ дѣлителѣ или знаменателѣ.

Примѣръ. Найти частное:

Въ тѣхъ случаяхъ, когда частное не можетъ быть выражено цѣлымъ одночленомъ, его выражаютъ въ видѣ дроби. При этомъ обыкновенно дробь сокращаютъ. Въ правилахъ дѣленія заключается и

Правило сокращенія дробей. Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числителя и знаменателя дроби раздѣлить на одно и тоже количество.

Сокращая дробь

на количество ЗаЧРссІ, имѣемъ:

Точно также по сокращеніи имѣемъ:

§ 34. Дѣленіе многочлена на одночленъ. При дѣленіи многочлена на одночленъ частное должно быть непремѣнно многочленомъ, ибо одночленъ дѣлителя только при умноженіи на многочленъ можетъ дать многочленъ дѣлимаго. На томъ же основаніи въ частномъ должно быть столько же членовъ, сколько ихъ въ дѣлимомъ.

Такимъ образомъ

гдѣ а, ß, у три одночлена частнаго.

Дѣлимое равно дѣлителю, умноженному на частное

Чтобы это равенство имѣло мѣсто, нужно чтобы имѣли мѣсто равенства:

откуда

Каждый членъ дѣлимаго получается отъ перемноженія дѣлителя на соотвѣтствующій членъ частнаго, а каждый членъ частнаго получается отъ раздѣленія члена дѣлимаго на дѣлителя.

Частное будетъ

Отсюда

Правило. Чтобы раздѣлить многочленъ на одночленъ, нужно отдѣльно каждый членъ многочлена, раздѣлить на одночленъ дѣлителя, соблюдая при этомъ дѣленіи правило знаковъ.

Примѣръ 1). Раздѣлить

§ 35. Дѣленіе многочлена на многочленъ. При дѣленіи многочлена на многочленъ обыкновенно выбираютъ одну какую нибудь букву за главную и располагаютъ многочлены дѣлимаго и дѣлителя по убывающимъ степенямъ этой буквы. Дѣлимое равно произведенію дѣлителя на частное. Во всякомъ произведеніи старшій членъ произведенія получится отъ умноженія старшаго члена множимаго на старшій членъ множителя, слѣд. старшій членъ дѣлимаго есть произведеніе старшаго члена дѣлителя на старшій членъ частнаго. Стало быть, чтобы найти старшій членъ частнаго нужно старшій членъ дѣлимаго раздѣлить на старшій членъ дѣлителя.

Выводъ правила. Положимъ, нужно раздѣлить многочленъ а*Ь—ab2—&3+«3на многочленъ «4+&2+2«Z.

Выбравъ букву а за главную и располагая дѣлимое и дѣлителя по убывающимъ степенямъ буквы а, получимъ:

Раздѣляя а3 старшій членъ дѣлимаго на а2 старшій членъ дѣлителя, получимъ а старшій членъ частнаго. Умножая всего дѣлителя на а и вычитая изъ дѣлимаго получимъ:

Остатокъ —а2— 2а&2— Ъ3 есть произведеніе дѣлителя на остальныя члены частнаго.

Старшій членъ въ остальныхъ членахъ частнаго найдется по тому же правилу.

Раздѣляя старшій членъ остатка — а2& на а2 старшій членъ дѣлителя, получимъ — b старшій членъ между остальными членами частнаго. Умножая дѣлителя на — b и вычитая изъ дѣлимаго, получимъ въ остаткѣ нуль. Самый ходъ вычисленія располагаютъ письменно:

Отсюда вытекаетъ

Правило дѣленія многочлена на многочленъ. Чтобы, раздѣлить многочленъ на многочленъ

1. Располагаютъ оба многочлена по убывающимъ степенямъ какой нибудь буквы;

2. Раздѣляя первый членъ дѣлимаго на первый членъ дѣлителя, получаютъ первый членъ частнаго;

3. Умножаютъ на этотъ членъ всего дѣлителя и вычитая произведеніе изъ дѣлимаго, получаютъ первый остатокъ. Этотъ остатокъ выражаетъ произведеніе дѣлителя на остальные члены частнаго.

4) За тѣмъ, раздѣляя старшій членъ остатка на тотъ же первый (старшій) членъ дѣлителя, получаютъ второй членъ частнаго-, умножая на него дѣлителя и вычитая произведеніе изъ перваго остатка, получаютъ второй остатокъ. Со вторымъ остаткомъ поступаютъ, какъ и съ первымъ.

5) Дѣленіе продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока не получатъ въ остаткѣ нуль, или пока показатель старшей буквы въ остаткѣ будетъ менѣе показателя той же буквы въ дѣлителѣ.

Примѣръ. Раздѣлить 2cw? + ах* — §х3 — Ах на 3«+ .+ 2«.

Выбравъ х за главную букву, выражаютъ ходъ вычисленія письменно:

Дѣленіе нацѣло и дѣленіе съ остаткомъ. Алгебраическое дѣленіе совершается нацѣло, если въ остаткѣ получится нуль. Если же въ остаткѣ получится многочленъ, у котораго показатель главной буквы въ старшемъ членѣ менѣе показателя перваго (старшаго) члена дѣлителя, дѣленіе совершается съ остаткомъ.

Остатокъ. Остаткомъ обыкновенно называютъ такой многочленъ, въ которомъ главная буква входитъ въ степени меньшей старшаго члена дѣлителя. Когда полученъ остатокъ, дѣленія обыкновенно не продолжаютъ. Такъ поступаютъ, потому что остальные члены частнаго будутъ имѣть главную букву въ знаменателѣ, то есть будутъ по отношенію къ этой буквѣ выражаться въ дробной формѣ. Цѣлый многочленъ въ частномъ называютъ цѣлымъ частнымъ. Полное частное обыкновенно выражается въ видѣ цѣлаго частнаго съ присоединеніемъ соотвѣтствующей дроби, числителемъ которой будетъ остатокъ, а знаменателемъ дѣлитель. При помощи дѣленія отдѣляютъ цѣлую часть частнаго отъ дробной.

Примѣръ. Раздѣлить

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Цѣлымъ частнымъ будетъ цѣлый многочленъ 6# + 9# — 7, остаткомъ двучленъ — 61ж. -+- 42.

Полное частное выразится въ видѣ:

Въ этомъ случаѣ при помощи дѣленія мы отдѣлили цѣлую алгебраическую часть отъ дробной.

§ 36. Есть нѣкоторые признаки, по которымъ иногда очень легко убѣдиться въ томъ, что дѣленіе должно совершаться непремѣнно съ остаткомъ. Въ случаѣ, если оба многочлена расположены по нисходящимъ степенямъ главной буквы, низшій членъ частнаго долженъ получиться отъ раздѣленія низшаго члена дѣлимаго на низшій членъ дѣлителя. Такимъ образомъ величина низшаго члена частнаго всегда извѣстна. Это обстоятельство и даетъ

Признаки дѣленія съ остаткомъ. 1) Если при дѣленіи въ частномъ получимъ членъ, степень котораго ниже степени низшаго члена частнаго, дѣленіе должно совершаться съ остаткомъ.

2) Дѣленіе двухъ многочленовъ не совершается нацѣло даже и тогда, когда въ частномъ получится членъ, степень котораго хотя и будетъ тоже, что у низшаго члена, но самый членъ не равенъ низшему члену частнаго.

Примѣръ. Совершая дѣленіе многочлена #5—2#‘-]-3#2 на #3 — #, мы замѣчаемъ, что величина низшаго члена частнаго должна равняться --3#, частному отъ раздѣленія Зж2 низшаго члена дѣлимаго на — х низшій членъ дѣлителя.

Совершая самое дѣленіе

мы получили второй членъ частнаго — 2#, степень котораго, хотя и равна степени низшаго члена, но

величина его — 2ж иная. Дѣленіе это должно совершиться съ остаткомъ.

Дѣйствительно, въ данномъ случаѣ получится остатокъ ж2 + х.

См. Прибавленія. Условія дѣлимости многочлена на разность х — а.

§ 37. Дѣленіе многочленовъ, расположенныхъ по восходящимъ степенямъ. Дѣленіе можно производить, располагая дѣлимое и дѣлителя также по восходящимъ степенямъ главной буквы. Въ этомъ случаѣ, начиная съ младшаго члена частнаго, будемъ послѣдовательно получатъ всѣ члены частнаго, расположенные тоже по восходящимъ степенямъ главной буквы.

Ходъ и порядокъ вычисленія остается прежній. Такъ, раздѣляя 1—л? на 1 — #, получимъ:

Дѣленіе совершилось нацѣло и

При такомъ дѣленіи степени главной буквы въ частномъ будутъ постоянно возрастать. Дѣленіе можетъ быть окончено только тогда, когда одинъ многочленъ дѣлится нацѣло на другой.

§ 38. Если же одинъ многочленъ не дѣлится нацѣло на другой, степени главной буквы въ послѣ-

довательныхъ остаткахъ и въ частномъ будутъ постоянно возрастать и дѣйствіе дѣленія можетъ быть продолжено неопредѣленно. Такой случай называютъ случаемъ безконечнаго дѣленія.

Случай подобнаго дѣленія является въ примѣрѣ:

§ 39. Здѣсь также легко узнать, когда дѣленіе не совершается нацѣло, то есть когда дѣленіе не можетъ быть окончено. Старшій членъ дѣлимаго равенъ произведенію старшаго члена дѣлителя на старшій членъ частнаго, слѣд. старшій членъ частнаго, въ случаѣ дѣленія нацѣло, долженъ происходить отъ раздѣленія старшаго члена дѣлимаго на старшій членъ дѣлителя Старшій членъ частнаго, въ случаѣ дѣленія нацѣло, всегда извѣстенъ. Это обстоятельство и даетъ

Признакъ безконечнаго дѣленія. Если въ частномъ получится членъ, степень котораго выше степени старшаго члена частнаго, или членъ той же степени, но неравный старшему члену частнаго, дѣленіе не совершается нацѣло и дѣйствіе можетъ бытъ продолжено неопредѣленно.

Въ нашемъ примѣрѣ при дѣленіи нацѣло старшимъ членомъ частнаго должно быть количество х, частное отъ дѣленія х3 на х\ Совершая же самое дѣленіе, мы встрѣчаемъ въ частномъ членъ Ах, неравный х и даже членъ 8#, степень котораго

выше х. Дѣленіе въ данномъ случаѣ никогда не можетъ быть окончено и степень х въ частномъ должна постоянно возрастать.

§ 40. На нѣкоторыхъ случаяхъ безконечнаго дѣленія останавливаютъ особое вниманіе.

Такъ, раздѣляя 1 на 1 — #, находимъ:

Здѣсь частное состоитъ изъ послѣдовательно возрастающихъ степеней буквы такъ, что

Для обозначенія, что частное продолжается неопредѣленно и что за рядомъ написанныхъ членовъ слѣдуютъ другіе, ставятъ обыкновенно точки.

§ 41. На нѣкоторые случаи дѣленія нацѣло обращаютъ особенное вниманіе, ибо въ нихъ легко замѣтить законъ послѣдовательнаго образованія членовъ. Къ числу этихъ частныхъ принадлежитъ частное отъ раздѣленія разности степеней ат — Ьт на разность количествъ а — Ъ. Дѣленіе въ этомъ случаѣ совершается нацѣло. Изъ вычисленія

видно, что въ частномъ получаются послѣдовательно члены, начиная съ а”*-1, въ которыхъ степень а убываетъ, а степень Ъ возрастаетъ. Остатки тоже слѣдуютъ тому же закону. Изъ предложеннаго примѣра выводимъ

Заключеніе. Разность степеней дѣлится нацѣло на разность чиселъ, то есть

§ 42. Многочлены, расположенные столбцами. Выбравъ какую нибудь букву за главную, мы часто можемъ встрѣтить въ многочленѣ нѣсколько членовъ, содержащихъ одну и туже степень этой буквы. Въ этомъ случаѣ всѣ эти члены соединяютъ иногда въ одинъ, вынося эту степень главной буквы за скобку. Въ скобкахъ получаютъ тогда многочленъ, расположенный по степенямъ другой буквы. Въ этомъ случаѣ на этотъ многочленъ въ скобкахъ смотрятъ, какъ на коеффиціентъ при данной степени главной буквы и принимаютъ всѣ члены, содержащіе одну и туже степень, за одночленъ.

Такъ, въ многочленѣ

соединяя вмѣстѣ члены, содержащіе одну и туже степень, мы получимъ многочленъ:

Въ такомъ видѣ онъ состоитъ изъ пяти членовъ, имѣющихъ коеффиціентами многочлены, зависящіе отъ буквы а. Такіе многочлены для удобства вычисленія располагаютъ иногда столбцами:

(А)

отдѣляя коеффиціенты отъ степеней главной буквы вертикальною чертою.

Правило умноженія и дѣленія. При умноженіи и дѣленіи съ многочленами, расположенными столбцами, поступаютъ по тѣмъ же правиламъ, какъ и при умноженіи и дѣленіи обыкновенныхъ многочленовъ.

Умноженіе многочленовъ, расположенныхъ столбцами. Найти произведеніе

Располагая оба множителя столбцами, имѣемъ:

Умножаемъ множимое на первый членъ

Умножаемъ множимое на второй членъ

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Дѣленіе многочленовъ, расположенныхъ столбцами. Принимая многочленъ (А) за дѣлимое и располагая многочленъ дѣлителя #2 + а#2 + 2мх — а2# + Зж — За2 — За по нисходящимъ степенямъ буквы х въ такой же формѣ какъ и дѣлимое, мы выражаемъ ходъ вычисленія письменно:

Вспомогательныя вычисленія:

При умноженіи и дѣленіи нужно только принимать въ соображеніе, что коеффиціентами служатъ цѣлые многочлены, поэтому самое умноженіе и дѣленіе коеффиціентовъ совершаютъ отдѣльно на сторонѣ. Ходъ вычисленія остается прежній. При дѣленіи дѣлятъ старшій членъ дѣлимаго относительно главной буквы на старшій членъ дѣлителя, получаютъ старшій членъ частнаго; умножаютъ на него дѣлителя и вычитаютъ произведеніе изъ дѣлимаго. Съ остаткомъ поступаютъ снова какъ съ дѣлимымъ.

III. Общій наибольшій дѣлитель и наименьшее кратное алгебраическихъ выраженій.

§ 48. Общій наибольшій дѣлитель. Одинъ цѣлый многочленъ дѣлится нацѣло на другой, когда при дѣленіи получается въ остаткѣ нуль.

Дѣлитель. Дѣлителемъ цѣлаго многочлена называютъ такое алгебраическое выраженіе, которое дѣлитъ его нацѣло.

Выраженіе а — b будетъ дѣлителемъ выраженія а2 - Ь2.

Дополнительный дѣлитель. Частное, происходящее отъ раздѣленія цѣлаго алгебраическаго выраженія на своего дѣлителя, называется дополнительнымъ дѣлителемъ

Въ данномъ примѣрѣ частное отъ раздѣленія

Выраженіе а + b будетъ дѣлителемъ дополнительнымъ дѣлителю а — Ь.

Каждое выраженіе равно произведенію дѣлителя на своего дополнительнаго дѣлителя.

Общій дѣлитель Общимъ дѣлителемъ двухъ цѣлыхъ многочленовъ называется выраженіе, дѣлящее нацѣло оба эти многочлена.

Такъ, выраженіе а — Ъ будетъ общимъ дѣлителемъ цѣлыхъ многочленовъ

Взаимно-простые многочлены. Два цѣлыхъ выраженія, не имѣющія общихъ дѣлителей, называются первыми между собою или взаимно-простыми.

Выраженія а — b и а + Ъ будутъ первыми между собою.

Общій наибольшій дѣлитель. Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ двухъ цѣлыхъ алгебраическихъ выраженій называется такой ихъ общій дѣлитель, по раздѣленіи на который получаютъ въ частномъ цѣлыя взаимно-простыя выраженія.

То обстоятельство, что Д есть общій наибольшій дѣлитель выраженій Руі Q, изображаютъ письменно:

§ 44. Нахожденіе общаго наибольшаго дѣлителя значительно облегчается различными теоремами, выражающими взаимную связь его съ разсматриваемыми многочленами.

Теорема первая. Если умножимъ или раздѣлимъ два выраженія на одно и тоже количество, общій наибольшій дѣлитель новыхъ выраженій измѣнится. Онъ будетъ равенъ прежнему общему наибольшему дѣлителю, умноженному или раздѣленному на тоже количество.

Доказательство: а) Пусть д будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ двухъ выраженій Р и Q такъ, что частныя

(1)

суть два цѣлыхъ взаимно-простыхъ многочлена. По вышевыведенному обозначенію

Изъ равенствъ (1) имѣемъ:

Умноживъ оба эти равенства на Z, получаемъ:

Изъ этихъ равенствъ видно, что общимъ наибольшимъ дѣлителемъ выраженій PL и QL будетъ выраженіе д7/, равное произведенію прежняго дѣлителя д на новаго множителя L. слѣд. если D(P.Q) ==Д, то D (PL, QL) = ді.

b) Точно также, раздѣливъ оба равенства на ихъ общаго дѣлителя L,, имѣемъ:

Если Р и Q дѣлятся нацѣло на Д, то выраженіе Д тоже должно дѣлиться нацѣло на L., ибо Pt и Q, взаимно-простыя выраженія.

Общій наибольшій дѣлитель выраженій

будетъ выраженіе

равное частному отъ раздѣленія д на Д, то есть, если

Теорема 2. Общій наибольшій дѣлитель не измѣняется, если умножимъ или раздѣлимъ одно изъ выраженій на количество взаимно-простое съ другимъ.

Доказательство. Такъ, умножая первое изъ двухъ равенствъ

на количество L взаимно-простое съ Q, получимъ:

изъ которыхъ видно, что общимъ наибольшимъ дѣлителемъ выраженій PL и Q будетъ по прежнему выраженіе д, то есть, если

Теорема 3. Общій наибольшій дѣлитель дѣлимаго и дѣлителя будетъ общимъ дѣлителемъ у дѣлителя и остатка.

Доказательство. Означимъ частное отъ раздѣленія большаго многочлена Р на многочленъ Q черезъ <7, а остатокъ черезъ Р.

Взаимная зависимость между этими количествами выражается равенствомъ

Раздѣливъ все равенство на d общаго дѣлителя выраженій Р и Q, имѣемъ:

Положивъ

имѣемъ равенство

есть цѣлое выраженіе, стало быть R дѣлится нацѣло на d, и слѣдовательно d будетъ также дѣлителемъ остатка R. Это заключеніе имѣетъ мѣсто для всякаго дѣлителя, слѣд. общій наибольшій дѣлитель R и Q будетъ общимъ дѣлителемъ Q и R.

Обратная теорема. Общій наибольшій дѣлитель остатка и дѣлителя будетъ общимъ дѣлителемъ дѣлимаго и дѣлителя.

Доказательство. Означимъ черезъ Д] общаго наибольшаго дѣлителя Q и R, мы изъ равенства

имѣемъ по раздѣленіи на

Положивъ

имѣемъ равенство

указывающее, что — есть цѣлое выраженіе, слѣд. Ді есть дѣлитель многочлена Р. Общій наибольшій дѣлитель Q и R будетъ общимъ дѣлителемъ Р и Q.

Изъ сопоставленія этихъ двухъ теоремъ вытекаетъ

Теорема 4. Общій наибольшій дѣлитель у дѣлимаго и дѣлителя будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ у дѣлителя и остатка.

Доказательство. Допустимъ, что общимъ наибольшимъ дѣлителемъ Р и Q будетъ д, а общимъ наибольшимъ дѣлителемъ Q и R будетъ д,. По теоремѣ 3 выраженіе д должно быть общимъ дѣлителемъ выраженій Q и R, слѣд. оно должно дѣлить нацѣло выраженіе дІ5 общаго наибольшаго дѣлителя Q и R-, по теоремѣ же обратной выраженіе д, должно дѣлить нацѣло Р и Q, слѣд. д, должно быть дѣлителемъ д, общаго наибольшаго дѣлителя Р и Q. Такимъ образомъ оба выраженія д и Д, должно дѣлить другъ друга нацѣло. Два выраженія ди А, могутъ взаимно дѣлить другъ друга нацѣло только тогда, когда они равны, слѣд.

Такимъ образомъ, если

то на основаніи равенства

заключаемъ по послѣдней теоремѣ, что

§ 45. Всѣхъ этихъ теоремъ вполнѣ достаточно для нахожденія общаго наибольшаго дѣлителя. Самый способъ нахожденія очень простъ, если алгебраическія выраженія разложены на множителей. Въ этомъ случаѣ нужно только выбрать всѣхъ общихъ множителей въ низшихъ степеняхъ. Одночленъ всегда выражается въ видѣ произведенія множителей и потому этотъ пріемъ всегда примѣняется, когда отыскивается

Общій наибольшій дѣлитель одночленовъ. Чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя въ случаѣ двухъ или нѣсколькихъ одночленовъ, нужно перемножить всѣ буквы, общія всѣмъ одночленамъ, въ низшихъ степеняхъ, поставивъ коеффиціентомъ общаго наибольшаго дѣлителя всѣхъ коеффиціентовъ.

Такъ, отыскивая общаго наибольшаго дѣлителя двухъ одночленовъ Qaddcd и 10«4&с3, мы находимъ 2, общаго наибольшаго дѣлителя коеффиціентовъ 6 и 10, за тѣмъ выписываемъ въ общаго наибольшаго дѣлителя буквы, входящія въ оба одночлена въ низшихъ степеняхъ: букву а во второй степени, букву Ъ въ первой степени, букву с въ первой степени.

Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ одночленовъ SadPcd и ІОР&с3 будетъ одночленъ 2«2йс

Точно также

Частныя послѣ раздѣленія данныхъ одночленовъ на ихъ общаго дѣлителя будутъ взаимно-простыми одночленами. Въ послѣднемъ примѣрѣ этими частными будутъ выраженія

Правило это остается безъ измѣненія и въ случаѣ многочленовъ.

Такъ, имѣя многочлены

мы разлагаемъ въ послѣднемъ многочленѣ а2 — Ь2 на два множителя и отыскиваемъ общаго наибольшаго дѣлителя многочленовъ

Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ этихъ многочленовъ будетъ выраженіе

Не всегда однако примѣнимъ этотъ простой способъ нахожденія общаго наибольшаго дѣлителя, ибо не всегда многочлены могутъ быть легко разложены на множителей.

§ 46. Въ томъ случаѣ, когда многочлены не разложены на множителей, примѣняютъ для нахожденія общаго наибольшаго дѣлителя двухъ многочленовъ.

Способъ послѣдовательнаго дѣленія. Чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя цѣлыхъ многочленовъ Р и Q, дѣлимъ Р на Q Означимъ частное черезъ ÿi, остатокъ черезъ Rx. Зависимость между этими величинами выразится формулою

Общій наибольшій дѣлитель # и Q будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ Q и Rx.

Удостовѣримся, не будетъ ли общимъ наибольшимъ дѣлителемъ первый остатокъ Rx.

Для этого дѣлимъ Q на Rx. Если Q дѣлится на-

цѣло на R^ то R. и будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ Р и Q. Если же Q не дѣлится нацѣло на Ri, то, означивъ частное черезъ q2 и второй остатокъ черезъ Рг, имѣемъ:

Общій наибольшій дѣлитель Q и Рл будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ перваго остатка Rt и втораго остатка Rt.

Удостовѣримся, не будетъ ли этимъ дѣлителемъ остатокъ Rt. Для этого дѣлимъ R{ на R^. Если не дѣлится нацѣло на R^ то, означивъ частное черезъ ÿ3, а остатокъ черезъ Æ3, имѣемъ:

откуда

Продолжая разсуждать подобнымъ же образомъ, мы послѣдовательно дѣлимъ 3-й остатокъ на 4-й, 4-й на 5-й и т. д. продолжаемъ до тѣхъ поръ, пока не получимъ остатка Rn, который дѣлитъ нацѣло предшествующій остатокъ R^. Означивъ послѣдовательныя частныя черезъ г/3, • • • qn, qn+l и послѣдовательные остатки чрезъ Rt, Rs, • • • Rn, мы выразимъ зависимость между этими величинами рядомъ уравненій:

Изъ этихъ уравненій видно, что общимъ наибольшимъ дѣлителемъ Р и Q будетъ послѣдній дѣлитель Rn.

Весь ходъ послѣдовательныхъ разсужденій, приводящихъ къ этому заключенію, мы можемъ выразить письменно равенствами:

При этихъ дѣленіяхъ степень полинома относительно главной буквы будетъ въ рядѣ послѣдовательныхъ остатковъ постоянно понижаться.

Такъ, степень перваго остатка Ry будетъ ниже степени Р и Q, степень втораго остатка R* ниже степени R, и т. д. Самую меньшую степень будетъ имѣть послѣдній остатокъ (дѣлитель) Rn. Если остатокъ Rn не зависитъ отъ главной буквы, не существуетъ алгебраическаго выраженія, которое бы могло быть общимъ наибольшимъ дѣлителемъ Р и Q.

§ 47. Отыскивая общаго наибольшаго дѣлителя, обыкновенно прибѣгаютъ къ цѣлому ряду послѣдовательныхъ преобразованій и упрощеній, облегчающихъ самый ходъ вычисленія.

Всѣ эти упрощенія основаны на предыдущихъ теорамахъ.

Для поясненія найдемъ общаго наибольшаго дѣлителя двухъ многочленовъ:

Вынося въ этихъ многочленахъ общихъ множителей за скобку, имѣемъ:

Общій дѣлитель въ одночленныхъ множителяхъ будетъ выраженіе 2«. Это выраженіе мы потомъ внесемъ въ число множителей общаго наибольшаго дѣлителя.

Раздѣливъ оба многочлена на 2а, получимъ:

Общій наибольшій дѣлитель Р и Q отличается отъ общаго наибольшаго дѣлителя Рх и только множителемъ 2а

Общій наибольшій дѣлитель Рх и Qx не измѣнится, если мы на основаніи 2-й теоремы отбросимъ множителей За и 56 и такимъ образомъ

Изъ этихъ уравненій видно, что слѣдуетъ найти общаго наибольшаго дѣлителя многочленовъ

Для этого дѣлимъ первый многочленъ на второй. Здѣсь при раздѣленіи х* на 2# во избѣжаніе дробныхъ коеффиціентовъ умножаемъ дѣлимое на 2. По теоремѣ 2-й введеніе этого множителя не измѣняетъ общаго наибольшаго дѣлителя. Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Продолжая дѣленіе, мы опять встрѣчаемъ въ остаткѣ членъ — 7д?3, коеффиціентъ котораго 7 не дѣлится нацѣло на 2. Этотъ остатокъ умножаемъ опять на 2 и получаемъ въ частномъ — 7. Членъ этотъ отдѣляемъ отъ предыдущаго запятою, принимая въ соображеніе то обстоятельство, что членъ этотъ получился послѣ измѣненія величины дѣлимаго и не принадлежитъ къ числу членовъ одного и того же частнаго. Вычитая произведеніе — 7 на дѣлителя, получаемъ въ остаткѣ 33# — 132. Сокращая этотъ остатокъ на 33, ибо 33 не входитъ въ общаго наибольшаго дѣлителя, мы получаемъ двучленъ # — 4. Раздѣляя дѣлителя на # — 4, получаемъ въ остаткѣ нуль. Двучленъ х2 — 4 будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ полиномовъ:

Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ полиномовъ

будетъ двучленъ х2 — 4, умноженный на 2а или выраженіе

Весь ходъ вычисленія выразится письменно:

Изъ всего предыдущаго вытекаетъ слѣдующее

Правило. Чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ многочленовъ

A) Принимаютъ въ этихъ многочленахъ одну букву за главную и располагаютъ ихъ по убывающимъ степенямъ этой буквы;

B) Выносятъ въ каждомъ многочленѣ за скобку одночленныхъ множителей, отмѣчаютъ общихъ множителей и записываютъ на сторонѣ съ тѣмъ, чтобы потомъ ввести ихъ въ общаго наибольшаго дѣлителя обоихъ многочленовъ.

C) Сокративъ оба многочлена на общихъ множителей, отбрасываютъ въ обоихъ полиномахъ остальныхъ множителей, какъ не имѣющихъ вліянія на общихъ дѣлителей.

D) За тѣмъ дѣлятъ большій многочленъ на меньшій, меньшій на первый остатокъ, первый остатокъ на второй u m. д. продолжаютъ дѣленіе до тѣхъ поръ, пока въ послѣднемъ остаткѣ не получится нуль или какое нибудь выраженіе, не зависящее отъ главной буквы.

E) Если получится въ остаткѣ нуль, послѣдній дѣлитель будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ-, если же получится въ остаткѣ выраженіе, не зависящее отъ главной буквы, многочлены не имѣютъ никакихъ общихъ дѣлителей кромѣ тѣхъ одночленовъ, какіе были записаны общими дѣлителями при самомъ началѣ вычисленія.

F) Для облегченія вычисленія и въ тѣхъ видахъ, чтобы избѣжать дробныхъ коеффиціентовъ, можно умножать и дѣлить полиномы на величины, не зависящія отъ главной дуквы.

Примѣръ 1. Найти общаго наибольшаго дѣлителя многочленовъ

Располагаемъ оба многочлена по нисходящимъ степенямъ буквы х и производимъ вычисленіе, раздѣляя первый многочленъ на второй:

Первое дѣленіе.

Сокращая остатокъ на а, имѣемъ:

Второе дѣленіе.

умножаемъ дѣлителя на -а* — а3

Третье дѣленіе.

Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ будетъ выраженіе ах + 1.

Примѣръ 2. Найти общаго наибольшаго дѣлителя многочленовъ

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Остатокъ а — а4 не зависитъ отъ главной буквы, слѣд. между данными многочленами нѣтъ общаго наибольшаго дѣлителя.

§ 48. Общій наибольшій дѣлитель нѣсколькихъ многочленовъ. Чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя нѣсколькихъ многочленовъ, отыскиваютъ его сна-

чала между какими нибудь двумя многочленами: за тѣмъ послѣдовательно отыскиваютъ его между третьимъ многочленомъ и полученнымъ наибольшимъ дѣлителемъ, между 4-мъ и вновь полученнымъ и т. д. продолжаютъ такъ поступать до тѣхъ поръ, пока не примутъ въ соображеніе всѣхъ многочленовъ.

При помощи нашего обозначенія можно выразить ходъ вычисленія письменно:

Примѣръ.

Общій наибольшій дѣлитель между первымъ и вторымъ многочленомъ будетъ

Общій наибольшій дѣлитель между х — а и третьимъ многочленомъ будетъ

Общій наибольшій дѣлитель между всѣми тремя многочленами будетъ

§ 49. Наименьшее кратное алгебраическихъ выраженій.

Кратное выраженіе. Кратнымъ двухъ или нѣсколькихъ алгебраическихъ выраженій называется такое выраженіе, которое дѣлится нацѣло на всѣ данныя алгебраическія выраженія.

Наименьшее кратное. Наименьшимъ кратнымъ называется такое кратное выраженіе, которое, будучи раздѣлено на данныя выраженія, даетъ въ частномъ взаимно-простыя выраженія.

Найти наименьшее кратное очень легко, если данныя выраженія разложены на множители.

Правило. Чтобы найти наименьшее кратное, нужно взять произведеніе всѣхъ простыхъ множителей, входящихъ въ выраженія, въ высшихъ степеняхъ.

Такъ, для составленія наименьшаго кратнаго одночленовъ

мы перемножаемъ всѣхъ простыхъ множителей въ высшихъ степеняхъ:

Наименьшее кратное будетъ

Наименьшее кратное выраженій

будетъ выраженіе

Такой способъ отысканія наименьшаго кратнаго требуетъ предварительнаго разложенія многочленовъ на произведеніе простыхъ множителей.

§ 50. Въ томъ случаѣ, когда подобнаго разложенія не имѣется, можно при отысканіи наименьшаго кратнаго пользоваться свойствами общаго наибольшаго дѣлителя. Означивъ наименьшее кратное двухъ многочленовъ Р и Q чрезъ m(P,Q) и общаго наибольшаго дѣлителя чрезъ Д, имѣемъ:

Положивъ

мы замѣчаемъ, что наименьшимъ кратнымъ выраженій Р и Q или Р,д и будетъ выраженіе P^Q^, ибо PbQi взаимно-простые многочлены.

Принимая это въ соображеніе, имѣемъ рядъ соотношеній:

Произведеніе наименьшаго кратнаго на общаго наибольшаго дѣлителя двухъ многочленовъ равно произведенію многочленовъ.

Величина наименьшаго кратнаго. Наименьшее кратное двухъ цѣлыхъ алгебраическихъ выраженій равно частному отъ раздѣленія произведенія двухъ выраженій на ихъ общаго наибольшаго дѣлителя.

Примѣръ. Найти наименьшее кратное двухъ многочленовъ

Общій наибольшій дѣлитель ихъ будетъ х — 3

Наименьшее кратное=

IV. Алгебраическія дроби.

§ 51. Алгебраическая дробь. называется дробь, у которой въ знаменателя входятъ алгебраическія количества.

Частное очень часто выражается въ видѣ дроби. Въ этомъ случаѣ числитель будетъ дѣлимымъ, а знаменатель — дѣлителемъ.

Алгебраическія дроби имѣютъ свойства, одинаковыя съ ариѳметическими. Алгебраическая дробь находится въ такой же зависимости отъ числителя и знаменателя, въ какой частное находится отъ дѣлимаго и дѣлителя. Алгебраическую дробь, какъ и ариѳметическую, можно преобразовывать, упрощать и сокращать. При дѣйствіяхъ съ алгебраическими дробями поступаютъ по тѣмъ же правиламъ, какъ и съ ариѳметическими.

Алгебраическая дробь не измѣняетъ своей величины, если числителя и знаменателя умножимъ или раздѣлимъ на одно и тоже количество.

Дѣйствительно, имѣя дробь

мы получаемъ равенство:

Умножая обѣ части этого равенства на т, получимъ равенство:

Раздѣляя обѣ части равенства на Ът, получимъ:

Изъ этого равенства видно, что дробь не измѣняется отъ умноженія ея членовъ на т. Съ другой стороны видно, что дробь т— не измѣняется отъ

раздѣленія ея членовъ на т. На этомъ свойствѣ основано

Правило сокращенія дробей. Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно ея числителя и знаменателя раздѣлить на общаго множителя.

§ 52. На свойствѣ дроби сохранять свою величину, если мы умножимъ члены ея на одно и тоже количество, основывается

Правило приведенія дробей къ одному знаменателю. Чтобы привести алгебраическія дроби къ одному знаменателю, нужно найти наименьшее кратное всѣмъ знаменателямъ и потомъ числителя и знаменателя каждой дроби умножить на своего дополнительнаго дѣлителя до кратнаго выраженія.

Здѣсь существуютъ тѣже частные случаи, какъ и при приведеніи алгебраическихъ дробей къ одному знаменателю.

1. Знаменатели дробей количества взаимно-простыя или первыя между собою.

Примѣръ. Привести къ одному знаменателю дроби:

Знаменатели Ъ, а, с количества взаимно-простыя. Общимъ знаменателемъ будетъ произведеніе abc. Числителя каждой дроби нужно умножить на произведеніе всѣхъ остальныхъ знаменателей. Послѣ приведенія къ одному знаменателю будемъ имѣть дроби:

2. Одинъ знаменатель есть количество кратное остальнымъ.

Примѣръ. Привести къ одному знаменателю дроби:

Знаменатель 24а36Ѵ дѣлится нацѣло на остальныхъ знаменателей.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

3. Знаменатели выраженія кратныя.

Примѣръ. Привести къ одному знаменателю дроби;

Выраженіе 12Oas&3c3 будетъ наименьшее кратное знаменателямъ.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Правила приведенія дробей къ одному знаменателю остаются тѣже, когда знаменателями будутъ многочлены. Затрудненія будутъ заключаться только въ составленіи наименьшаго кратнаго выраженія. Во многихъ случаяхъ эти затрудненія устраняются простымъ разсмотрѣніемъ знаменателей.

Привести къ одному знаменателю дроби:

Разсматривая знаменателей, мы замѣчаемъ, что они раскладываются на множителей слѣдующимъ образомъ:

Въ общаго знаменателя мы должны внести, множителя 3 одинъ разъ, количества а и Ъ по разу, двучленный множитель (а + b) два раза, множитель (а — Ъ) тоже два раза.

Общимъ знаменателемъ будетъ выраженіе

Ходъ вычисленія выразится письменно:

§ 53. Дѣйствія съ алгебраическими дробями. При дѣйствіяхъ съ алгебраическими дробями нужно поступать по тѣмъ же правиламъ, какія имѣютъ мѣсто при дѣйствіяхъ съ ариѳметическими дробями.

Сложеніе и вычитаніе дробей. Въ случаѣ сложенія и вычитанія дробей съ одинакими знаменателями, нужно складывать или вычитать однихъ числителей, а знаменателемъ оставить ихъ общаго знаменателя. Если знаменатели будутъ разные, нужно дроби привести къ одному знаменателю и поступать по предыдущему правилу.

Дѣйствительно, изъ равенствъ

получаются равенства:

Складывая ихъ, имѣемъ:

Вынося р за скобку, получимъ

откуда послѣ раздѣленія на р имѣемъ:

Примѣръ. Складывая дроби имѣемъ:

Умноженіе. Произведеніе двухъ дробей

(1)

выразится въ видѣ

Изъ равенствъ (1) получаемъ равенства:

(2)

Перемножая равенства (2), получаемъ:

Раздѣливъ обѣ части послѣдняго равенства на bb', находимъ:

При умноженіи дробей нужно числителя умножить на числителя, а знаменателя на знаменателя и первое произведеніе раздѣлитъ на второе.

Дѣленіе. Раздѣляя дробь

Раздѣляя равенство

db = а на равенство d'b' = а', получимъ:

Умножая обѣ части равенства на

имѣемъ:

При дѣленіи дробей нужно числителя первой дроби умножить на знаменателя, второй, а числителя второй на знаменателя первой и раздѣлитъ первое произведеніе на второе.

Примѣръ 1. Найти произведеніе

Примѣръ 2. Найти частное

При умноженіи и дѣленіи цѣлаго выраженія на дробь соблюдаются тѣже правила, какъ и въ ариѳметикѣ, ибо на цѣлое выраженіе можно смотрѣть какъ на дробь, у которой знаменатель равенъ единицѣ.

§ 54. Нулевые и отрицательные показатели. Извѣстно, что при дѣленіи одинаковыхъ буквъ нужно показателя дѣлителя вычитать изъ показателя дѣлимаго и разность сдѣлать показателемъ буквы въ частномъ.

Раздѣляя ат на ап, мы получаемъ въ частномъ ат~п

Съ тѣмъ, чтобы не было исключеній, эту формулу дѣленія условились употреблять не только въ томъ случаѣ, когда т > п, но и тогда, когда т = п или т < п.

Дѣйствительно при дѣленіи могутъ встрѣтиться три случая:

1. Если т > п разность т — п будетъ положительнымъ числомъ и въ частномъ будемъ имѣть букву въ степени положительной. Полагая т—п = р, имѣемъ:

2. Если т = п, тогда т — п = 0 и въ частномъ получается а™-" = а"

Смыслъ этого выраженія уяснится тотчасъ, какъ скоро мы обратимся къ происхожденію этого выраженія. Очевидно, что при т = п дѣлимое ат равно дѣлителю а". Въ этомъ случаѣ частное равно единицѣ.

Отсюда легко вывести, что значитъ

Нулевой показатель. Всякое количество въ степени нуля равно единицѣ. Оно происходитъ отъ дѣленія буквъ съ одинакими показателями.

3. Если т < п и разность п —т =р, тогда

Въ томъ случаѣ, когда въ дѣлителѣ входитъ буква со степенью большею, чѣмъ въ дѣлимомъ, слѣдуя общему правилу, получимъ въ частномъ букву съ отрицательною степенью. Значеніе этого количества тотчасъ объяснится, какъ скоро мы обратимъ вниманіе на происхожденіе этого количества.

Сокращая на ат дробь

имѣемъ:

слѣд.

Отсюда видно, что значитъ

Отрицательный показатель. Всякое количество съ отрицательнымъ показателемъ равно единицѣ, раздѣленной на тоже количество съ положительнымъ показателемъ. Оно происходитъ отъ такого дѣленія, въ которомъ показатель буквы въ дѣлителѣ болѣе показателя буквы въ дѣлимомъ.

Выраженія а" и а~р суть выраженія условныя. Введеніе ихъ даетъ возможность распространить правила умноженія и дѣленія одинакихъ буквъ на случаи отрицательныхъ показателей.

Выраженіе дроби въ формѣ цѣлаго одночлена. Отрицательные показатели даютъ возможность всякое дробное одночленное выраженіе представить въ видѣ цѣлаго одночлена, то есть безъ знаменателя.

На этомъ основаніи имѣютъ мѣсто равенства

Точно также обратно:

Можно всѣ множители, находящіеся въ числителѣ, перенести въ знаменателя, перемѣняя знаки у показателей буквъ.

Дѣйствительно, раздѣливъ въ выраженіи ^ числителя и знаменателя на аЧ), получимъ:

§ 55. Правила умноженія и дѣленія буквъ съ отрицательными показателями. Правила показателей при умноженіи и дѣленіи буквъ съ отрицательными показателями остаются безъ измѣненія.

Докажемъ сначала, что правило сложенія показателей остается безъ измѣненія при умноженіи количествъ съ отрицательными показателями.

При этомъ могутъ встрѣтиться слѣдующіе случаи:

а) Множитель съ отрицательнымъ показателемъ. Умножая ат на имѣемъ:

Показатель буквы въ произведеніи получился отъ сложенія показателей обоихъ множителей

b) Множимое съ отрицательнымъ показателемъ. Умножая а~т на а”, имѣемъ:

Показатель буквы въ произведеніи равенъ суммѣ показателей обоихъ множителей

с) Множимое и множитель съ отрицательными показателями.

Умножая а~т на а~п, имѣемъ:

Показатель буквы въ произведеніи равенъ суммѣ показателей обоихъ множителей

Мы видимъ такимъ образомъ, что во всѣхъ случаяхъ правило сложенія показателей осталось безъ измѣненія и при умноженіи количествъ съ отрицательными показателями.

Разсмотримъ различные случаи дѣленія буквъ съ отрицательными показателями.

а) Дѣлитель съ отрицательнымъ показателемъ.

Раздѣляя ат на а ”, имѣемъ

Показатель буквы въ частномъ есть разность показателей дѣлимаго и дѣлителя

т~\~п = т — (—п)

b) Дѣлимое съ отрицательнымъ показателемъ.

Раздѣляя а~т на а", имѣемъ

Показатель буквы въ частномъ есть разность показателей дѣлимаго и дѣлителя

— т — п = (— т) — п:

с) Дѣлимое и дѣлитель съ отрицательными показателями.

Показатель буквы въ частномъ по прежнему есть разность показателей дѣлимаго и дѣлителя

Отсюда заключаемъ, что при дѣленіи количествъ съ отрицательными показателями соблюдается тоже самое правило вычитанія показателей.

Примѣръ.

V. Уравненія первой степени.

§ 56. Равенство. Совокупность двухъ равныхъ количествъ, соединенныхъ знакомъ =, называется равенствомъ.

Тождество. Равенство двухъ алгебраическихъ выраженій, имѣющее мѣсто при всѣхъ значеніяхъ буквъ, входящихъ въ нихъ, называется тождествомъ.

Уравненіе. Равенство, имѣющее мѣсто только при нѣкоторыхъ значеніяхъ входящихъ въ него буквъ, называется уравненіемъ.

Такимъ образомъ равенства

будутъ тождествами, ибо они справедливы при всѣхъ значеніяхъ х и а.

Равенства

будутъ уравненіями, ибо первое справедливо только при х = 1, а второе при х = а и при х = — а

Части уравненія. Два выраженія, стоящія по обѣимъ сторонамъ знака равенства, называются частями уравненія. Выраженіе, стоящее по лѣвой сторонѣ знака равенства, называется первою или лѣвою частію, а по правой сторонѣ—правою или второю частію уравненія.

Во всякомъ уравненіи существуютъ данныя и искомыя величины.

Искомыя. Тѣ величины, которыя обращаютъ уравненіе въ тождество, называются искомыми или неизвѣстными.

Рѣшить уравненіе значитъ опредѣлить, при какихъ величинахъ неизвѣстныхъ уравненіе обращается въ тождество.

Когда найдены величины искомыхъ, при которыхъ уравненіе имѣетъ мѣсто, тогда говорятъ, что эти величины удовлетворяютъ уравненію.

Данныя обыкновенно обозначаются начальными, а искомыя послѣдними буквами латинскаго или греческаго алфавита (х, у, z, Ц т), с).

§ 57 Раздѣленіе уравненій. Уравненія раздѣляются по числу и порядку входящихъ въ нихъ неизвѣстныхъ.

По числу неизвѣстныхъ уравненія раздѣляются на уравненія съ однимъ, двумя, тремя и болѣе неизвѣстными.

Такимъ образомъ уравненіе

будетъ уравненіемъ съ однимъ неизвѣстнымъ х. Уравненіе

будетъ уравненіемъ съ двумя неизвѣстными х и у. Уравненіе

будетъ уравненіемъ съ 3 неизвѣстными.

По степени или порядку неизвѣстныхъ уравненія раздѣляются на уравненія первой, второй, третьей степени и т. д. или уравненія перваго, втораго, третьяго порядка и т. д.

Уравненія

будутъ уравненіями первой степени.

Уравненія

будутъ уравненіями второй степени или втораго порядка, ибо въ первомъ уравненіи неизвѣстное х прямо входитъ во второй степени, а второе уравненіе содержитъ членъ ху втораго порядка относительно неизвѣстныхъ.

Рѣшенія уравненій. Величины неизвѣстныхъ, удовлетворяющія данному уравненію, называются рѣшеніями уравненій.

Корни уравненій. Рѣшенія уравненій называются также корнями уравненій.

Число корней. Уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ имѣетъ столько рѣшеній или корней, сколько существуетъ величинъ, ему удовлетворяющихъ.

Всякое уравненіе, удовлетворяемое съ даннымъ одними и тѣми же величинами неизвѣстныхъ, называется уравненіемъ одинакимъ или тождественнымъ съ даннымъ.

Тождественныя уравненія отличаются только видомъ, а не своими рѣшеніями.

§ 58. Упрощеніе уравненій. Рѣшеніе уравненій основано на такихъ преобразованіяхъ, которыя обращаютъ данное уравненіе въ другое ему тождественное. Эти преобразованія не должны измѣнять корней уравненія. Они основаны на слѣдующихъ аксіомахъ:

1. Если къ двумъ равнымъ величинамъ прибавимъ или вычтемъ поровну, то въ суммѣ или разности получимъ также величины равныя.

2. Если двѣ равныя величины умножимъ или раздѣ-

лимъ на одно и тоже число, то въ произведеніи или въ частномъ получимъ также величины равныя.

На этихъ аксіомахъ основываются способы упрощенія уравненій. Упрощаютъ уравненія перенесеніемъ членовъ уравненія изъ одной части въ другую и освобожденіемъ уравненій отъ дробей.

Перенесеніе членовъ уравненія. Во всякомъ уравненіи можно переносить членъ изъ одной части уравненія въ другую, перемѣняя знакъ члена.

Такъ, прибавивъ по dкъ обѣимъ частямъ уравненія

ах + Ъ = сх — d (1)

получимъ

уравненіе, въ которомъ членъ — d со знакомъ — (минусъ) перенесенъ въ первую часть со знакомъ + (плюсъ).

Точно также, вычитая по Ъ изъ обѣихъ частей уравненія (1), получимъ уравненіе, въ которомъ членъ со знакомъ + изъ первой части былъ перенесенъ во вторую со знакомъ —

Два члена съ одинакими знаками въ обѣихъ частяхъ уравненія можно сокращать.

Дѣйствительно, вычитая по а изъ обѣихъ частей уравненія

получаемъ

Прикладывая по Ь къ обѣимъ частямъ уравненія

имѣемъ

Знаки при всѣхъ членахъ уравненія можно перемѣнять.

Дѣйствительно изъ уравненія

перенося всѣ члены первой части во вторую, а второй въ первую, получимъ уравненіе

и ставя первую часть вмѣсто второй, а вторую вмѣсто первой, получаемъ уравненіе

которое получилось изъ прежняго послѣ перемѣны знаковъ у всѣхъ его членовъ на противуположные.

Освобожденіе отъ дробей. На основаніи второй аксіомы можно уравненіе умножать и дѣлить на одно и тоже количество. Такъ, уравненіе

можетъ быть замѣнено уравненіемъ

или уравненіемъ

На этихъ свойствахъ уравненія основано его упрощеніе, извѣстное подъ именемъ освобожденія

уравненія отъ дробей. По этому упрощенію уравненіе между дробными можно всегда замѣнить уравненіемъ между цѣлыми числами

Такъ, въ уравненіи

приводя всѣ члены уравненія къ одному общему знаменателю, получаемъ уравненіе:

Умножая все уравненіе на общаго знаменателя Ьп, получаемъ уравненіе

въ которомъ уже нѣтъ дробей.

Это упрощеніе называется также освобожденіемъ уравненія отъ знаменателей. Иногда сокращенно это выражаютъ словами: отбросимъ знаменателей.

Уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.

§ 59. Чтобы рѣшить уравненіе первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, нужно сперва привести его къ общему виду.

Общій видъ. Общимъ видомъ уравненія первой степени называется такое уравненіе, въ которомъ всѣ неизвѣстныя перенесены, въ первую, а извѣстныя во вторую часть уравненія.

Уравненіе первой степени считается приведеннымъ къ общему виду, когда оно выражено равенствомъ

Чтобы рѣшить уравненіе

нужно обѣ части уравненія раздѣлить на коеффиціентъ неизвѣстнаго. Сдѣлавъ это, имѣемъ

Освобожденіе отъ коеффиціента. Такое дѣйствіе, по которому все уравненіе раздѣляется на коеффиціентъ при неизвѣстномъ, называется освобожденіемъ неизвѣстнаго отъ коеффиціента или приведеніемъ коеффиціента къ единицѣ.

Приведеніе уравненія къ общему виду. Чтобы привести уравненіе къ общему виду, нужно: а) раскрытъ скобки, Ъ) освободитъ уравненіе отъ знаменателей, с) неизвѣстныя перенести въ первую часть, а извѣстныя во вторую и d) сдѣлать приведеніе.

Приведемъ къ общему виду уравненіе

Раскрывая скобки, имѣемъ:

Освободивъ отъ знаменателей, получаемъ:

Перенося неизвѣстныя въ первую, а извѣстныя во вторую часть, находимъ:

Сдѣлавъ приведеніе, получимъ уравненіе, приведенное къ общему виду:

Раздѣляя обѣ части уравненія на коеффиціентъ при неизвѣстномъ, находимъ величину неизвѣстнаго

Изъ всего сказаннаго вытекаетъ

Правило рѣшенія уравненій первой степени.

Чтобы рѣшить уравненіе первой степени, нужно:

A) Раскрыть скобки,

B) Освободить уравненіе отъ знаменателей,

C) Перенести неизвѣстныя въ одну, а извѣстныя въ другую частъ уравненія,

D) Сдѣлать приведеніе и

E) Раздѣлить все уравненіе на коеффиціентъ при неизвѣстномъ или привести коеффиціентъ неизвѣстнаго къ единицѣ.

Примѣръ. Рѣшить уравненіе

А) Раскрывая скобки, имѣемъ:

В) Приводя къ одному знаменателю и особождая отъ знаменателей, получимъ:

С) Перенося неизвѣстныя въ первую, а извѣстныя во вторую часть уравненія, получимъ:

D) Сдѣлавъ приведеніе, находимъ:

Е) Раздѣливъ все уравненіе на коеффиціентъ при неизвѣстномъ, имѣемъ величину неизвѣстнаго:

Повѣрка рѣшенія есть способъ убѣдиться, что рѣшеніе удовлетворяетъ уравненію.

Къ повѣркѣ прибѣгаютъ для того, чтобы убѣдиться не сдѣлано ли ошибки въ вычисленіяхъ. Чтобы повѣрить рѣшеніе вставляютъ величину неизвѣстнаго въ данное уравненіе. Если уравненіе обращается въ тождество, рѣшеніе вѣрно.

Рѣшеніе задачъ помощію уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.

§ 60. При рѣшеніи задачъ помощію уравненій, необходимо обращать вниманіе на 1) составленіе уравненій, разрѣшающихъ задачу, 2) рѣшеніе уравненій и 3) изслѣдованіе рѣшеній.

Изслѣдованіе рѣшеній называютъ иногда изслѣдованіемъ задачи.

Мы уже изложили способъ рѣшенія уравненій первой степени. Остановимся теперь на составленіи уравненій и изслѣдованіи рѣшеній.

Составленіе уравненій изъ задачъ. Составить уравненіе по задачѣ значитъ найти алгебраическое соотношеніе между неизвѣстными и извѣстными величинами.

Чтобы составить уравненіе, обозначаютъ неизвѣстное особою буквою и выражаютъ алгебраическимъ языкомъ зависимость между неизвѣстными и извѣстными величинами.

Эта зависимость опредѣляется условіями самой задачи.

Весьма трудно дать общій пріемъ составленія уравненій по задачѣ. При составленіи уравненій наибольшаго вниманія заслуживаетъ слѣдующее

Правило составленія уравненій по задачѣ. Означивъ неизвѣстную величину особою буквою, производятъ надъ нею тѣ самыя дѣйствія, которыя нужно было бы выполнитъ, если бы мы хотѣли повѣритъ рѣшеніе задачи. Эти дѣйствія, будучи различными, должны давать по смыслу задачи одинакіе результаты. Уравнивая эти результаты, получимъ уравненіе, рѣшающее задачу.

Правило это остается справедливымъ, какъ для уравненій съ однимъ, такъ и для уравненій со многими неизвѣстными.

§ 61. Приведемъ нѣсколько примѣровъ составленія уравненій.

Задача 1. Нѣкто раскладываетъ монеты по кошелькамъ. Если онъ положитъ въ каждый кошелекъ по 3 монеты, то у него останется 2 монеты лишнихъ; если же онъ разложитъ по 5 монетъ, то у него останутся два кошелька безъ монетъ. Сколько у него монетъ?

Означимъ число монетъ черезъ х. Число кошельковъ по первой раскладкѣ будетъ

по второй раскладкѣ оно будетъ

Эти величины равны, слѣд.

Рѣшая это уравненіе, имѣемъ:

откуда

От. Всѣхъ монетъ 20, а кошельковъ

Задача 2. Водоемъ наполняется одною трубою въ 3 часа, а другою въ 5 часовъ. Обѣ трубы были откры. ты 1 часа. Чтобы совершенно наполнить водоемъ нужно еще 18 ведеръ воды и pg водоема. Сколько ведеръ воды можетъ помѣщаться въ водоемѣ?

Означимъ число ведеръ воды черезъ #. Чрезъ первую трубу вытекаетъ въ часъ а чрезъ вторую ^ ведеръ. Чрезъ оба водоема вытекаетъ въ часъ ведеръ, а въ полтора часа

Съ одной стороны осталось для наполненія

а съ другой .

Эти величины должны быть равны, слѣд.

откуда

От. Въ водоемѣ можетъ помѣститься 180 ведеръ воды.

Изслѣдованіе рѣшеній.

§ 62. Когда въ задачѣ данныя величины изображаются буквами, тогда рѣшеніе ея выразится формулою. Это рѣшеніе имѣетъ мѣсто для всѣхъ однородныхъ задачъ, то есть для всѣхъ задачъ, которыя при одинаковыхъ условіяхъ отличаются только величинами данныхъ чиселъ.

Рѣшеніе измѣняется вмѣстѣ съ измѣненіемъ данныхъ величинъ и принимаетъ иногда такія значенія, которыя не могутъ служить прямымъ отвѣтомъ на вопросъ.

Изслѣдованіе задачи вообще. Опредѣлить вообще, какъ измѣняется рѣшеніе въ зависимости отъ измѣненія данныхъ величинъ, значитъ изслѣдовать рѣшеніе.

Изслѣдованіе задачи въ частности. При изслѣдованіи задачъ въ частности имѣютъ въ виду: а) опредѣлить, въ какихъ предѣлахъ могутъ измѣняться данныя величины для того, чтобы задача была возможна, b) опредѣлить, отъ чею зависитъ невозможность рѣшенія задачи и с) изучить всѣ замѣчательныя обстоятельства, могущія встрѣтиться при рѣшеніи задачи.

При изслѣдованіи рѣшенія нужно обращать вниманіе на его числовую величину и на его значеніе или смыслъ по отношенію къ данной задачѣ.

Числовая величина прямо опредѣляется численною величиною рѣшенія.

Смыслъ же и значеніе рѣшенія нужно разъяснять въ каждомъ частномъ случаѣ отдѣльно въ зависимости отъ условій задачи.

§ 63. Мы остановимся на изслѣдованіи различныхъ случаевъ, могущихъ встрѣтиться при число-

вомъ рѣшеніи задачъ, укажемъ какой смыслъ могутъ имѣть эти различныя числовыя рѣшенія и примѣнимъ эти общія соображенія къ ислѣдованію нѣкоторыхъ задачъ.

При рѣшеніи уравненій первой степени предварительно приводятъ уравненія къ виду

откуда

(1)

При численномъ рѣшеніи уравненія могутъ встрѣтиться слѣдующіе случаи:

1. Рѣшенія положительныя.

а) Если d>b и а>с

разности d—Ъ и а—с суть положительныя величины. Означивъ ихъ чрезъ /> и г/

имѣемъ:

Это рѣшеніе, будучи частнымъ отъ дѣленія двухъ положительныхъ количествъ, есть само число положительное.

Иногда по смыслу задачи рѣшеніе должно быть цѣлымъ, а величина J будетъ числомъ дробнымъ; въ этомъ случаѣ иногда дробное рѣшеніе означаетъ, что задача невозможна.

b) Если d < Ъ и а < с

тогда числитель и знаменатель отрицательныя числа, а самое рѣшеніе есть число положительное. Дѣйствительно, полагая

Рѣшеніе это приведется къ предъидущему виду, если мы въ уравненіи

будемъ вести вычисленіе иначе.

Такъ, перенося неизвѣстныя во вторую, а извѣстныя въ первую часть, имѣемъ:

откуда

2. Рѣшенія отрицательныя. а) Если d > Ъ и а < с, тогда

Рѣшеніе отрицательное.

Въ этомъ случаѣ нѣтъ положительнаго числа, могущаго удовлетворить уравненію.

Дѣйствительно, изъ уравненія

видно, что при с > а, d > b и х положительномъ

то есть первая часть уравненія менѣе второй.

По рѣшенію видно, что въ этомъ случаѣ уравненію удовлетворяютъ числа отрицательныя.

Смыслъ отрицательнаго рѣшенія зависитъ отъ формы выраженія самой задачи', а) Если по смыслу задачи ищется положительное рѣшеніе, въ такомъ случаѣ отрицательное рѣшеніе показываетъ, что задача невозможна и несправедливость уравненія указываетъ на несообразность самаго вопроса", въ этомъ случаѣ условія самой задачи надо измѣнить. b) Если же въ задачѣ нѣтъ ясно высказаннаго опредѣленнаго требованія, тогда отрицательное рѣшеніе показываетъ, что условія задачи взяты нами не въ томъ смыслѣ, въ какомъ ихъ нужно понимать"; въ этомъ случаѣ нужно измѣнить тотъ смыслъ, съ которымъ мы принимаемъ условія задачи, на противоположный.

Уравненіе

не имѣющее положительнаго рѣшенія при условіяхъ

будетъ его имѣть, если перемѣнимъ знакъ при членахъ, содержащихъ х, или если «-перемѣнимъ на—х. Дѣйствительно, тогда данное уравненіе приметъ видъ:

откуда

Количество х при данныхъ условіяхъ будетъ величиною положительною.

Такой замѣнѣ х черезъ —х соотвѣтствуетъ измѣненіе самаго смысла вопроса, а вмѣстѣ съ тѣмъ и самаго смысла рѣшенія.

Отрицательное рѣшеніе. Отрицательное рѣшеніе показываетъ, что рѣшеніе нужно иногда прини-

мать въ противоположномъ смыслѣ. Такъ, вмѣсто капитала нужно подразумѣвать долгъ, вмѣсто прибыли убытокъ, вмѣсто скорости или длины въ одномъ направленіи считать ту или другую въ направленіи противоположномъ.

Этотъ смыслъ зависитъ въ каждомъ частномъ случаѣ отъ условій самой задачи. Впрочемъ допустить противоположное значеніе можно только тогда, когда это дозволяетъ сама задача.

b) Если b > d и с < а, то

рѣшеніе отрицательное.

Здѣсь имѣетъ мѣсто все то, что мы сказали выше.

3. Рѣшенія нулевыя.

Если d = Ъ и а > с или а < с

Въ этомъ случаѣ единственное число, удовлетворяющее уравненію, есть нуль. Нуль и будетъ рѣшеніемъ задачи.

4. Рѣшенія безконечныя.

Если d > Ъ и а = с, то полагая

имѣемъ

Количество называютъ безконечно великимъ.

Дѣйствительно, если въ дроби ~ будемъ убавлять знаменателя, дробь будетъ возрастать. Количество а

можно взять настолько малымъ, что дробь | сдѣлается болѣе всякаго даннаго числа. Убавляя постепенно а и приближая его въ предѣлѣ къ нулю, мы тѣмъ самымъ увеличиваемъ и въ предѣлѣ оно будетъ приближаться къ безконечно большому числу.

Безконечность. Число, величина котораго болѣе всякаго даннаго числа, называется безконечностію и обозначается знакомъ оо.

При данныхъ условіяхъ

Уравненіе

при а=сіл.б>Ьнъ имѣетъ слысла, ибо вторая часть очевидно болѣе второй.

Рѣшеніе оо- Рѣшеніе х — со указываетъ на невозможность задачи.

5. Рѣшенія неопредѣленныя.

Если d = Ъ, а = с, то

Въ этомъ случаѣ уравненіе

ах + Ъ = ex d-d

будетъ уравненіемъ тождественнымъ; оно удовлетворяется всякою величиною неизвѣстнаго.

Дѣйствительно, выраженіе можно приравнять всякой величинѣ у, ибо для всякой величины у справедливы уравненія:

Рѣшеніе q . Выраженіе q означаетъ, что задача имѣетъ рѣшеніе неопредѣленное, то есть удовлетворяется всякимъ значеніемъ неизвѣстнаго.

Неопредѣленное выраженіе q иногда происходитъ отъ того, что въ числителя и знаменателя входятъ одновременно общіе множители, обращающіеся въ нуль. Въ такомъ случаѣ этихъ общихъ множителей нужно предварительно исключить, тогда неопредѣленный отвѣтъ можетъ сдѣлаться вполнѣ опредѣленнымъ.

Такъ, выраженіе

обращается въ при а = Ъ отъ того, что въ числителя и знаменателя входитъ общій множитель а—Ъ.

Сокративъ дробь на этого общаго множителя, получимъ:

выраженіе, которое при а = b обращается въ выраженіе «-•

§ 64. Для объясненія всѣхъ этихъ общихъ соображеній можетъ послужить

Первая задача о курьерахъ. Два курьера выѣхали одновременно изъ двухъ мѣстъ А и В, находящихся другъ отъ друга на разстояніи AB = d. Оба курьера ѣдутъ вправо по направленію къ М, первый со скоростію ѵ, а второй со скоростью ѵг верстъ въ часъ. Опредѣлить Q мѣсто ихъ встрѣчи.

Рѣшеніе. Означимъ черезъ х разстояніе точки Ç отъ точки А, считая отъ точки А къ точкѣ Q

Первый курьеръ проѣдетъ AQ = х верстъ, а второй BQ = х — d верстъ

Первый можетъ проѣхать пространство AQ въ часовъ, а второй пространство BQ въ

Они выѣхали одновременно, поэтому время ихъ ѣзды одинаково, слѣд.

откуда

Изслѣдованіе задачи. Здѣсь могутъ встрѣтиться слѣдующіе случаи:

1. Если V то рѣшеніе будетъ положительное.

Дѣйствительно, если ѵ > ѵ', то первый курьеръ ѣдетъ скорѣе втораго и непремѣнно догонитъ втораго гдѣ нибудь въ точкѣ Q.

2. Если имѣемъ рѣшеніе отрицательное.

Въ этомъ случаѣ отрицательное рѣшеніе указываетъ на несообразность задачи.

Дѣйствительно, если второй курьеръ ѣдетъ быстрѣе перваго, то первый курьеръ никогда его догнать не можетъ, а будетъ все болѣе и болѣе отъ него отставать.

3. Если ѵ = ®', то

Задача невозможная. Дѣйствительно первый курьеръ при ѣздѣ со скоростію, одинаковою со вторымъ, никогда не догонитъ втораго курьера.

§ 65. Болѣе полнымъ примѣромъ изслѣдованія можетъ послужить

Вторая задача о курьерахъ. Два курьера ѣхали по направленію AB, первый со скоростію ѵ, а второй со скоростью ѵ' верстъ въ часъ. Второй проѣхалъ чрезъ точку В черезъ t часовъ послѣ того, какъ первый проѣхалъ черезъ А. Опрѣдилить мѣсто ихъ встрѣчи, если разстояніе AB между точками А и В равно d верстамъ.

Рѣшеніе. Означимъ черезъ Q искомую точку встрѣчи и черезъ х разстояніе BQ, считая его отъ В къ Q.

BQ = х

Первый курьеръ проѣдетъ отъ А разстояніе AQ=d+x верстъ.

Второй курьеръ проѣдетъ отъ В разстояніе BQ=x верстъ.

Первый курьеръ проѣдетъ разстояніе AQ въ часовъ.

Второй курьръ проѣдетъ разстояніе BQ въ-,часовъ.

Такъ какъ второй курьеръ проѣхалъ точку В на t часовъ послѣ того, какъ первый курьеръ проѣхалъ че-

резъ А, то число часовъ необходимое второму для проѣзда разстоянія BQ на t часовъ менѣе, числа часовъ необходимаго первому для проѣзда разстоянія AQ, слѣд.

откуда

Изслѣдованіе задачи. Изслѣдованіе задачи состоитъ въ изученіи всѣхъ случаевъ, при которыхъ задача возможна, всѣхъ замѣчательныхъ обстоятельствъ, могущихъ встрѣтиться при рѣшеніи задачи и въ разъясненіи смысла самого рѣшенія.

1. Положительное рѣшеніе будетъ имѣть мѣсто въ двухъ случаяхъ:

a) Если d>vt и ѵ>ѵ'

Дѣйствительно, первый въ t часовъ не успѣетъ доѣхать до точки В, ибо d>vt-, онъ пріѣдетъ въ В, когда второй курьеръ уже выѣхалъ изъ В, и такъ какъ онъ ѣдетъ быстрѣе втораго (#>«/), то онъ догонитъ втораго вь точкѣ Q, лежащей за точкою В.

b) Если d<vt и ѵ<ѵ', то

х = положительной величинѣ.

Это рѣшеніе означаетъ, что второй курьеръ пріѣдетъ позднѣе перваго въ точку В, и такъ какъ онъ ѣдетъ скорѣе перваго то второй курьеръ до-

гонитъ перваго за точкою В.

2. Отрицательное рѣшеніе имѣетъ мѣсто въ двухъ случаяхъ :

a) Если d > vt и и < ѵ', то

отрицательной величинѣ.

Первый курьеръ достигаетъ точки В послѣ втораго, и такъ какъ онъ ѣдетъ медленнѣе втораго, то встрѣча должна была уже произойти гдѣ нибудь раньше въ точкѣ Здѣсь видно, что разстояніе BQ, считается отъ В въ противуположномъ направленіи. Перемѣна знака соотвѣтствуетъ перемѣнѣ направленія.

b) Если d < vt и ѵ > ѵ', то также х = отрицательной величинѣ.

Первый пріѣхалъ въ В раньше втораго, и такъ какъ онъ ѣдетъ скорѣе втораго, то онъ обогналъ уже втораго раньше въ точкѣ на разстояніи

3. Нулевое рѣшеніе.

Если d = vt, а п > или < ѵ' или иначе

то

Первый курьеръ пріѣхалъ въ В въ то время, когда туда пріѣхалъ второй, и такъ какъ ихъ скорости не равны, то они уже болѣе не встрѣчаются, слѣд. В есть единственная точка встрѣчи.

Разстояніе BQ = 0, то есть точка встрѣчи Q совпадаетъ съ точкою В.

4. Безконечное рѣшеніе.

Если d > vt, а ® = ѵ', то

X = ОО

Курьеры достигаютъ точки В въ разное время, и такъ какъ ихъ скорости равны, то они нигдѣ не встрѣтятся.

5. Неопредѣленное рѣшеніе. Если d = ѵі п ѵ = ѵ', то

Первый курьеръ пріѣдетъ въ точку В въ то время, когда туда пріѣдетъ второй, и такъ какъ они ѣдутъ съ одинаковою скоростію, то они на всемъ протяженіи за точкою В будутъ вмѣстѣ; они ѣхали вмѣстѣ и до точки В. Всякое разстояніе можетъ служить рѣшеніемъ и слѣд. нѣтъ опредѣленнаго отвѣта на вопросъ или всякій отвѣтъ будетъ рѣшеніемъ.

§ 66. Изъ разбора задачи мы видѣли, что въ случаѣ отрицательнаго рѣшенія нужно разстояніе точки встрѣчи считать отъ точки В влѣво, то есть въ направленіи, противуположномъ прежнему.

Такая связь между перемѣной знака и перемѣной направленія на противуположное можетъ имѣть мѣсто не только для искомыхъ, но и для данныхъ величинъ самой задачи.

Такъ, если напримѣръ второй курьеръ ѣдетъ съ тою же скоростію на встрѣчу перваго, направленіе втораго курьера будетъ противуположно прежнему направленію.

Это измѣненіе въ направленіи скорости втораго курьера мы можемъ выразить на данныхъ задачи тѣмъ, что скорость ѵ' должны измѣнить на — ѵ'.

Вмѣсто того, чтобы рѣшать снова задачу для этого случая, мы можемъ прямо сдѣлать это измѣненіе въ самомъ рѣшеніи задачи.

Величина неизвѣстнаго выражается для этого случая формулою

которая получилась изъ прежней Формулы послѣ перемѣны въ ней знака при ѵ' на противуположный.

§ 67. Вторая задача о курьерахъ разрѣшалась формулою

(1)

Какъ мы видѣли, этою формулою разрѣшались всѣ возможныя однородныя задачи о курьерахъ, въ которыхъ отыскивается разстояніе точки встрѣчи Q отъ точки В.

Въ этой формулѣ входятъ 5 величинъ: ѵ, ѵ’, d, t, х.

При ближайшемъ разсмотрѣніи обнаруживается новое преимущество алгебраическаго рѣшенія въ видѣ формулъ.

Оказывается, что какъ скоро найдена Формула, связывающая всѣ количества задачи о курьерахъ, мы можемъ рѣшать всѣ остальныя задачи о курьерахъ, въ которыхъ отыскивается не только разстояніе, но любая изъ 5 величинъ.

Такъ, напримѣръ, если неизвѣстнымъ является не разстояніе Q отъ В, а скорость ѵ перваго курьера, для опредѣленія ѵ нѣтъ необходимости вновь составлять уравненія. Для этого достаточно изъ найденной формулы опредѣлить ѵ какъ неизвѣстное по уравненію

въ которомъ всѣ величины считаются извѣстными кромѣ V.

Рѣшивъ это уравненіе, имѣемъ:

Такимъ образомъ по разъ найденной Формулѣ можно рѣшать и изслѣдовать такія задачи, которыя различаются не только величинами данныхъ чиселъ, но и самыми требованіями.

Рѣшая одну задачу, мы вмѣстѣ съ тѣмъ рѣшаемъ много и другихъ сходственныхъ задачъ.

Уравненія совмѣстныя

§ 68. Система уравненій. Совокупность нѣсколькихъ уравненій, содержащихъ одни и тѣже неизвѣстныя величины, называется системою уравненій.

Въ системѣ каждое уравненіе должно одновременно удовлетворяться одними и тѣми же величинами неизвѣстныхъ

Совмѣстныя уравненія. Уравненія, составляющія систему, называются совмѣстными уравненіями.

Раздѣленіе совмѣстныхъ уравненій. Совмѣстныя уравненія, смотря по отношенію между числомъ уравненій и числомъ неизвѣстныхъ, раздѣляются на уравненія опредѣленныя, неопредѣленныя и условныя. Совмѣстныя уравненія называются опредѣленными, если въ системѣ столько уравненій, сколько неизвѣстныхъ-, неопредѣленными, если число уравненій менѣе числа неизвѣстныхъ и условными, если число уравненій болѣе числа неизвѣстныхъ.

Такимъ образомъ система двухъ уравненій

будетъ системою опредѣленныхъ уравненій съ двумя неизвѣстными.

Она удовлетворяется системою неизвѣстныхъ величинъ:

Уравненіе

есть уравненіе неопредѣленное, ибо неизвѣстныхъ два, а уравненій одно.

Точно также система уравненій

будетъ неопредѣленною, ибо уравненій два, а неизвѣстныхъ три.

Уравненія

будутъ условными, ибо число уравненій три болѣе числа неизвѣстныхъ.

Они называются условными, потому что коеффиціенты должны удовлетворять нѣкоторымъ условіямъ для того, чтобы уравненія могли имѣть рѣшенія.

Тождественная система. Всякая система уравненій, имѣющая съ данной одни и тѣже корни, называется одинаковою или тождественною системою уравненій.

При рѣшеніи уравненій замѣняютъ иногда данную систему такою другою тождественною съ данной, которую можно рѣшить легче.

При этомъ кромѣ общихъ аксіомъ пользуются тѣмъ свойствомъ, что

уравненія, принадлежащія къ одной и той же системѣ можно складывать или вычитать. Величина корней отъ этого не измѣняется.

Мы прежде всего изложимъ теорію опредѣленныхъ уравненій.

Совмѣстныя опредѣленныя уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными.

§ 69. Прежде, чѣмъ рѣшать совмѣстныя уравненія, ихъ приводятъ къ общему виду.

Общій видъ. Совмѣстныя уравненія считаются приведенными къ общему виду тогда, когда они освобождены отъ знаменателей, неизвѣстныя перенесены въ первую, а извѣстныя во вторую часть уравненій.

Общій видъ системы уравненій съ двумя неизвѣстными будетъ

Замѣчаніе. Иногда надъ буквами ставятъ значки сверху или снизу. Это дѣлаютъ или тогда, когда приходится употреблять очень много новыхъ буквъ. Иногда нѣсколькимъ величинамъ даютъ одинакое буквенное названіе съ тою цѣлію, чтобы показать ихъ однородность въ какомъ нибудь отношеніи. Въ послѣднемъ случаѣ ставятъ значки съ цѣлію различить эти буквы другъ отъ друга. Для этого ставятъ сверху римскія цифры, чтобы не смѣшивать ихѣ съ показателями.

Такъ, пишутъ

Значки, стоящіе снизу буквы, называются указателями. Въ этомъ случаѣ пишутъ:

Существуютъ четыре способа рѣшенія совмѣстныхъ уравненій первой степени съ нѣсколькими неизвѣстными.

Всѣ эти способы рѣшенія уравненій со многими

неизвѣстными заключаются въ различныхъ пріемахъ исключенія неизвѣстныхъ. Мы разсмотримъ ихъ сначала въ примѣненіи къ рѣшенію системы двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными. Существуютъ четыре способа исключенія неизвѣстныхъ.

1. Способъ подстановки

Имѣя два опредѣленныхъ уравненія, приведенныхъ къ общему виду

опредѣляютъ какое нибудь неизвѣстное изъ одного уравненія и вставляютъ въ другое.

Опредѣливъ х изъ перваго уравненія:

и вставивъ его величину во второе, имѣемъ:

Освободивъ отъ знаменателя, получаемъ:

Приведя къ общему виду, имѣемъ:

Раздѣляя обѣ части уравненія на коеффиціентъ неизвѣстнаго, имѣемъ величину неизвѣстнаго:

Зная у, найдемъ х.

Вставляя у въ уравненіе съ двумя неизвѣстными, получаемъ:

Изъ предложеннаго вычисленія вытекаетъ

Правило. Чтобы рѣшить два уравненія съ двумя неизвѣстными способомъ подстановки, нужно опредѣлить неизвѣстное изъ одного уравненія и вставитъ въ другое, тогда получимъ уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ, изъ котораго опредѣляютъ неизвѣстное. Зная одно неизвѣстное, находятъ и другое, вставляя его величину въ одно изъ уравненій съ двумя неизвѣстными.

Примѣръ. Рѣшить уравненія

2. Способъ сравненія неизвѣстныхъ.

Въ этомъ способѣ исключенія неизвѣстнаго опредѣляютъ одно и тоже неизвѣстное изъ обоихъ уравненій и сравниваютъ ихъ величины.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Сравнивая обѣ величины неизвѣстнаго, имѣемъ:

Освобождая отъ знаменателей, получимъ:

Опредѣляя неизвѣстное, имѣемъ:

Зная у, найдемъ х

Изъ приведеннаго вычисленія вытекаетъ

Правило. Чтобы рѣшить два уравненія съ двумя неизвѣстными, нужно опредѣлить одно и тоже неизвѣстное изъ обоихъ уравненій. Сравнивая ихъ величины, получаютъ уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ, изъ котораго опредѣляютъ это неизвѣстное. Зная одно, опредѣляютъ другое неизвѣстное, вставляя величину найденнаго неизвѣстнаго въ одно изъ уравненій съ двумя неизвѣстными.

Примѣръ.

Система величинъ, удовлетворяющихъ данному уравненію, будетъ: х == 2, у = 3.

3. Способъ уравненія коеффиціентовъ или способъ сложенія и вычитанія.

Въ этомъ способѣ уравниваютъ коеффиціенты одного и того же неизвѣстнаго и потомъ исключаютъ неизвѣстное, складывая или вычитая уравненія.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Умножая первое уравненіе на «', а второе на а, получимъ уравненія

Вычитая второе изъ перваго, имѣемъ:

откуда

Опредѣляя х, имѣемъ:

Изъ предложеннаго вычисленія вытекаетъ

Правило. Чтобы рѣшить два уравненія съ двумя неизвѣстными способомъ уравненія коеффиціентовъ или способомъ сложенія или вычитанія, уравниваютъ въ обоихъ уравненіяхъ коеффиціенты при одномъ и томъ же неизвѣстномъ, умножая ихъ на соотвѣтствующіе множители. За тѣмъ складываютъ или вычитаютъ эти

уравненія, смотря по тому, будутъ ли разные или одинакіе знаки у коеффиціентовъ неизвѣстнаго. Этимъ пріемомъ исключаютъ одно неизвѣстное и получаютъ уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ, изъ котораго его и опредѣляютъ. Зная одно неизвѣстное, вставляютъ его величину въ одно изъ уравненій съ двумя неизвѣстными и такимъ образомъ опредѣляютъ другое неизвѣстное.

Приведеніе, коеффиціентовъ къ одному и тому же коеффиціенту совершается точно также, какъ и приведеніе знаменателей къ одному и тому же знаменателю. Если коеффиціентами будутъ цѣлыя числа, находятъ наименьшее кратное для коеффиціентовъ исключаемаго неизвѣстнаго и умножаютъ каждое уравненіе на дополнительнаго множителя.

Примѣръ 1.

Исключаемъ у. Для этого умножаемъ первое уравненіе на 2 и складываемъ оба уравненія. Сдѣлавъ это, имѣемъ:

откуда х = 1

Примѣръ 2.

Уравниваемъ коеффиціенты у неизвѣстнаго х. Наименьшее кратное 15 и 20 есть 60.

Умножая первое уравненіе на 4, а второе на 3, получаемъ:

Вычитая второе уравненіе изъ перваго, находимъ

откуда у = — 1

Вставляя эту величину у въ уравненіе

имѣемъ:

4 Способъ неопредѣленныхъ множителей или способъ Безу.

Изъ двухъ уравненій

умножаютъ одно, напримѣръ второе на неопредѣленнаго множителя à и прикладываютъ къ первому уравненію.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

(1)

Неопредѣленный множитель выбираемъ подъ такимъ условіемъ, чтобы въ послѣднемъ уравненіи коеффиціентъ при х обратился въ нуль

Для этого нужно, чтобы

откуда

Уравненіе (1) приметъ видъ

откуда

Откуда выводимъ

Правило. Чтобы рѣшить два уравненія съ двумя неизвѣстными способомъ неопредѣленныхъ множителей, умножаютъ одно изъ уравненій на неопредѣленнаго множителя и прикладываютъ къ другому. Въ новомъ уравненіи приравниваютъ нулю коеффиціентъ при неизвѣстномъ. Опредѣливъ величину этого множителя, получаютъ одно уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ, изъ котораго находятъ величину неизвѣстнаго. Зная величину одного, легко находятъ и другое неизвѣстное.

Примѣръ

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Зная у, найдемъ х

Вставляя величину х, найдемъ:

Совмѣстныя опредѣленныя уравненія первой степени со многими неизвѣстными.

§ 70. Изложенные способы рѣшенія двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными имѣютъ мѣсто и при рѣшеніи системы опредѣленныхъ уравненій съ тремя и болѣе неизвѣстными.

Здѣсь имѣютъ мѣсто тѣже самые четыре способа исключенія неизвѣстныхъ.

1. Способъ подстановокъ. Чтобы рѣшитъ п уравненій съ п неизвѣстными способомъ подстановокъ, опредѣляютъ неизвѣстное изъ какого нибудь уравненія и вставляютъ его величину во всѣ остальныя уравненія. Такимъ образомъ получаютъ систему, состоящую изъ п—1 уравненій съ п—1 неизвѣстными. Приведя всѣ уравненія новой системы къ общему виду, поступаютъ съ нею по тому же способу. Такое послѣдовательное исключеніе продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока не получатъ одного уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ. Опредѣливъ неизвѣстное и вставивъ его въ одно изъ уравненій съ двумя неизвѣстными, опредѣляютъ другое неизвѣстное. Вставивъ ихъ величины въ одно изъ уравненій съ тремя неизвѣстными, опредѣляютъ третье неизвѣстное. Такъ продолжаютъ поступать до тѣхъ поръ, пока не опредѣлятъ величины всѣхъ неизвѣстныхъ.

Примѣръ:

Опредѣливъ х изъ перваго уравненія, имѣемъ:

Вставивъ его величину въ остальныя два уравненія, получаемъ:

Приводя къ общему виду, имѣемъ систему двухъ уравненій:

Вставляя величины у и z въ уравненіе съ 3 неизвѣстными, находимъ:

Система величинъ, удовлетворяющихъ даннымъ уравненіямъ, будетъ:

2. Способъ сравненія неизвѣстныхъ. Чтобы рѣшить п уравненій съ п неизвѣстными способомъ сравненія неизвѣстныхъ, опредѣляютъ одно и тоже неизвѣстное изъ всѣхъ уравненій и сравниваютъ его величины. Такимъ образомъ можно получить систему, имѣющую однимъ неизвѣстнымъ и однимъ уравненіемъ меньше, то есть систему изъ п—1 уравненій съ п—1 неизвѣстными. Съ этою системою поступаютъ подобнымъ же образомъ. Вычис-

леніе продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока не получатъ одною уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ. Остальныя величины опредѣляютъ по предыдущему правилу.

Примѣръ.

Приведя къ общему виду, получимъ два уравненія съ двумя неизвѣстными:

откуда находимъ:

Примѣчаніе. Сравнивать неизвѣстныя нужно такимъ образомъ, чтобы каждое уравненіе новой системы не было слѣдствіемъ прежнихъ уравненій. Такъ, опредѣливъ неизвѣстное изъ 1-го, 2-го и 3-го уравненія и, сравнивъ первую величину со второй и съ третьей, мы получимъ два уравненія новой системы. Для третьяго уравненія нельзя уже сравнивать вторую величину съ третьею, ибо это уравненіе не

будетъ уже новымъ уравненіемъ, а будетъ простымъ слѣдствіемъ первыхъ двухъ уравненій. Дѣйствительно, въ равенствахъ А = В и А = С само собою заключается равенство В — С, ибо двѣ величины, равныя одной и той же третьей, равны между собою.

3. Способъ уравненія коеффиціентовъ или способъ сложенія и вычитанія. Чтобы рѣшить п уравненій съ п неизвѣстными способомъ сложенія и вычитанія, исключаютъ одно и тоже неизвѣстное изъ каждыхъ двухъ уравненій, сравнивая ихъ коеффиціенты. Такимъ образомъ получаютъ систему п — 1 уравненій съ п — 1 неизвѣстными. Съ этою системою продолжаютъ вычисленіе подобнымъ же образомъ.

Примѣръ.

Исключаемъ х изъ первыхъ двухъ уравненій.

Умножая первое уравненіе на 5, а второе на 3, получаемъ уравненія:

Вычитая второе уравненіе изъ перваго, имѣемъ:

Исключаемъ х изъ 2-го и третьяго уравненія, для чего умножаемъ первое уравненіе на 2, а второе просто переписываемъ.

Вычитая нижнее уравненіе изъ верхняго, имѣемъ:

Изъ двухъ уравненій

исключаемъ у. Для этого умножаемъ первое уравненіе на 16, а второе на 43.

Такое умноженіе цѣлаго уравненія обозначаютъ тѣмъ, что выписываютъ рядомъ на сторонѣ соотвѣтствующаго множителя.

Изъ двухъ уравненій

получимъ послѣ сложенія уравненіе

откуда

4. Способъ Безу. Чтобы рѣшитъ п уравненій съ п неизвѣстными способомъ неопредѣленныхъ множителей, умножаютъ всѣ уравненія кромѣ одного на неопредѣленныхъ множителей и складываютъ потомъ всѣ уравненія. За тѣмъ коеффиціенты при всѣхъ неизвѣстныхъ кромѣ одного приравниваютъ нулю и получаютъ систему п — 1 уравненій съ п — 1 неизвѣстными.

Изъ этой системы опредѣляютъ неопредѣленныхъ множителей, при помощи которыхъ находятъ величину неизвѣстнаго.

Примѣръ:

Умножая второе уравненіе на х, третье на н и складывая всѣ три уравненія, получимъ уравненіе

Приравнивая нулю коеффиціенты при у и z, получимъ:

откуда

§ 71. Общія формулы рѣшеній опредѣленныхъ уравненій съ 2 и 3 неизвѣстными. Существуютъ очень простые пріемы написать прямо общія формулы рѣшеній опредѣленныхъ уравненій съ 2 и 3 неизвѣстными.

Имѣя 2 уравненія съ 2 неизвѣстными

и разсматривая ихъ общія рѣшенія:

мы замѣчаемъ, что знаменатели обоихъ неизвѣстныхъ одинаковы. Эти знаменатели зависятъ только отъ коеффиціентовъ при неизвѣстныхъ. Числители же каждаго неизвѣстнаго получаются помощію простаго замѣщенія коеффиціентовъ неизвѣстнаго соотвѣтствующими извѣстными количествами с и с,. Такъ, числитель при х получается послѣ замѣщенія а и at коеффиціентовъ при х буквами с и с,, а числитель при у помощію замѣщенія Ъ и bt коеффиціентовъ при у буквами с и ct.

Составленіе знаменателя. Для составленія знаменателя можно руководиться слѣдующимъ пріемомъ. Написавъ 4 коеффиціента при неизвѣстныхъ въ томъ порядкѣ, въ какомъ они стоятъ въ уравненіяхъ

мы приводимъ косвенныя черты аЪ( и Ъа. слѣва направо и справа налѣво.

Поставивъ въ первомъ случаѣ знакъ +, а во второмъ знакъ —, мы составляемъ общаго знаменателя обоихъ неизвѣстныхъ

Въ случаѣ 3-хъ уравненій съ тремя неизвѣстными

мы составляемъ таблицу:

и проводимъ три линіи слѣва направо и справа налѣво.

Поставивъ при первыхъ знакъ + , а при вторыхъ знакъ —, мы составляемъ выраженіе

dbfa + афсл — — сгЬах

Это выраженіе и будетъ общимъ знаменателемъ всѣхъ трехъ неизвѣстныхъ.

Для составленія же числителей мы замѣняемъ коеффиціенты при соотвѣтствующихъ неизвѣстныхъ количествами d, d„ d2.

Такъ, для неизвѣстнаго х мы должны замѣнить а, ах, а2 буквами d, d}, d2, для у буквы 6, 615 62 буквами d, dt, d2 и т. д.

Сдѣлавъ это имѣемъ слѣдующія выраженія для неизвѣстныхъ х, у, z.

Этотъ способъ составленія величинъ неизвѣстныхъ по коеффиціентамъ уравненія называется способомъ Саррюса.

§ 72. Нѣкоторыя упрощенія при рѣшеніи уравненій со многими неизвѣстными. При рѣшеніи уравненій со многими неизвѣстными пользуются однимъ или другимъ способомъ исключенія неизвѣстныхъ, и ведутъ самое вычисленіе въ томъ или другомъ порядкѣ, сообразуясь съ тѣмъ, какъ и съ какими коеффиціентами входятъ неизвѣстныя величины въ уравненія.

Трудно исчерпать въ общихъ замѣчаніяхъ всѣ случаи упрощенія. Можно только указать на нѣкоторыя изъ нихъ.

1. Для исключенія вначалѣ можно выбрать любое неизвѣстное. Обыкновенно выбираютъ то изъ нихъ, исключеніе котораго наиболѣе легко.

Если въ рядѣ уравненій одно изъ неизвѣстныхъ имѣетъ своимъ коеффиціентомъ единицу, выгодно опредѣлитъ его величину и вставить во всѣ остальныя уравненія.

Поступая такъ, мы не будемъ имѣть дѣла съ дробями, и способъ подстановокъ представляетъ въ этомъ случаѣ наибольшія удобства.

Примѣръ.

Неизвѣстное у входитъ въ первое уравненіе съ коеффиціентомъ равнымъ единицѣ.

Опредѣливъ у изъ перваго уравненія и вставивъ его величину въ остальныя, получимъ уравненія:

или

2. Если нѣкоторыя неизвѣстныя вовсе не входятъ въ какія нибудь уравненія, выгодно исключить эти неизвѣстныя изъ остальныхъ уравненій и присоединить полученныя уравненія къ тѣмъ, въ которыхъ нѣтъ этого неизвѣстнаго. Такимъ образомъ очень быстро получается система съ меньшимъ числомъ неизвѣстныхъ и уравненій.

Вообще исключеніе выгодно начинать съ того неизвѣстнаго, которое входитъ въ системѣ въ меньшее число уравненій.

Примѣръ.

Третье уравненіе не содержитъ у. Исключивъ у изъ перваго и втораго уравненія и просто присоединивъ къ нему третье уравненіе, получаемъ два уравненія съ двумя неизвѣстными х и z.

3. Вспомогательныя неизвѣстныя. Къ числу пріемовъ, облегчающихъ вычисленіе, принадлежитъ введеніе вспомогательныхъ неизвѣстныхъ.

Пріемъ этотъ состоитъ въ томъ, что данныя неизвѣстныя, при помощи цѣлаго ряда соотношеній, замѣняются другими. При этомъ данныя уравненія иногда замѣняются такими другими, которыя легче рѣшить.

Отыскавъ величину вспомогательныхъ, находятъ по нимъ и величину данныхъ неизвѣстныхъ.

Примѣръ 1. Дана система двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными

Положивъ

имѣемъ два уравненія

Рѣшивъ эти уравненія, имѣемъ:

слѣд

откуда

откуда

Примѣръ 2. Систему трехъ уравненій

можно замѣнить системою

Полагая

имѣемъ три уравненія:

откуда

Зная величины s, і, и, находимъ

4. Иногда неизвѣстныя входятъ симметрично. Въ этомъ случаѣ можно найти неизвѣстныя очень скоро при помощи разныхъ искуственныхъ пріемовъ.

Примѣръ.

Здѣсь въ каждомъ изъ уравненій нѣтъ только одного неизвѣстнаго.

Сложивъ эти уравненія, имѣемъ:

откуда

слѣд.

§ 73. Рѣшеніе за дачъ, относящихся къ уравненіямъ со многими неизвѣстными.

Правила для рѣшенія задачъ на совмѣстныя уравненія со многими неизвѣстными остаются тѣ же, какъ и при рѣшеніи задачъ на одно неизвѣстное. Чтобы рѣшить задачу нужно обозначить буквами всѣ неизвѣстныя и составить столько уравненій, сколько условій. Для этого нужно перевести на алгебраическій языкъ тѣ соотношенія, которыя существуютъ между данными и неизвѣстными.

При этомъ остается тоже самое

Правило составленія уравненій. Означивъ неизвѣстныя величины буквами х, у, z..., производятъ надъ ними тѣ же самыя дѣйствія, которыя нужно было бы выполнить, если бы мы хотѣли повѣрить рѣшеніе задачи. Число уравненій равно числу условій.

Примѣръ 1. Найти дробь, которая обращается въ к ■) когда къ числителю и знаменателю прибавимъ по 1 и въ 4, когда изъ числителя и знаменателя обращенной дроби вычтемъ по 1.

Означивъ черезъ х и у числителя и знаменателя искомой дроби, имѣемъ по условіямъ задачи:

Приведя къ общему виду, получимъ уравненія:

Величины неизвѣстныхъ, удовлетворяющія этимъ уравненіямъ, будутъ:

Искомая дробь будетъ

Примѣръ 2. Имѣются три слитка: въ первомъ 20 Фунтовъ золота, 30 ф. серебра и 40 ф. мѣди; во второмъ 30 ф. золота, 40 ф. серебра и 50 ф. мѣди; въ третьемъ 40 ф. золота, 50 ф. серебра и 90 ф. мѣди. Поскольку нужно взять изъ каждаго слитка, чтобы образовать новый слитокъ, имѣющій 75 ф. золота, 100 ф. серебра и 149 ф. мѣди?

Положимъ, что изъ перваго слитка нужно взять х, изъ втораго у, изъ третьяго z фунтовъ.

Въ первомъ слиткѣ входитъ g части золота, g серебра и q мѣди; во второмъ -г золота, серебра и

-g мѣди; въ третьемъ -х золота, серебра и ~ мѣди. Три уравненія, рѣшающія вопросъ, будутъ:

Первое уравненіе опредѣляетъ вѣсъ золота, второе серебра и третье вѣсъ мѣди въ новомъ слиткѣ.

Величины, удовлетворяющія уравненіямъ, будутъ:

Отъ перваго слитка нужно взять 72 Фунта, отъ втораго 108 Фунтовъ, отъ третьяго 144 Фунта.

Изслѣдованіе рѣшеній уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными.

§ 74. Корни двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными

выражаются формулами

Величины х и у могутъ получать различныя значенія, смотря по величинѣ коеффиціентовъ уравненія.

Здѣсь могутъ встрѣтиться слѣдующіе случаи:

1. Когда знаменатель ab' — a'b обоихъ неизвѣстныхъ не равенъ нулю.

Въ этомъ случаѣ, смотря по величинѣ коеффиціентовъ, могутъ быть:

a) Оба неизвѣстныхъ положительными,

b) Оба неизвѣстныхъ отрицательными,

c) Одно неизвѣстное положительнымъ, а другое отрицательнымъ.

Отрицательныя величины неизвѣстныхъ, какъ и въ уравненіяхъ первой степени, указываютъ или на невозможность задачи или на то, что условія задачи взяты нами не въ томъ смыслѣ, въ какомъ нужно ихъ понимать. Въ такомъ случаѣ нужно или измѣнить эти условія, или понимать рѣшеніе въ противоположномъ смыслѣ.

d) Если оба числителя равны нулю

тогда

Въ этомъ случаѣ с = с' = 0, ибо

2. Если знаменатель ab' — ba' = 0, коеффиціенты при неизвѣстныхъ суть величины пропорціональныя

Величины неизвѣстныхъ получаютъ различныя значенія, смотря по виду числителей:

а) Числители не равны нулю.

Эти рѣшенія указываютъ на невозможность задачи.

Дѣйствительно, уравнивая коеффиціенты при у, изъ уравненій

получаемъ уравненія:

у которыхъ первыя части равны, ибо коеффиціенты при у равны, а при х равны на основаніи равенствъ

Вторыя же части не равны, слѣд. одно уравненіе противорѣчитъ другому.

b) Знаменатель и одинъ изъ числителей равенъ нулю.

Знаменатель «&' — а'Ь = О

Числитель сЬ' — Ьс' = О

Въ этомъ случаѣ другой числитель тоже равенъ нулю. Дѣйствительно, изъ этихъ уравненій имѣемъ:

Раздѣляя ихъ одно на другое, получаемъ

откуда другой числитель

Неизвѣстныя будутъ неопредѣленными величинами'.

Уравнявъ коеффиціенты данныхъ уравненій при у, получаемъ два уравненія

совершенно тождественныя, ибо первыя и вторыя части ихъ равны

Эти неопредѣленныя величины связаны между собою уравненіемъ

с) Исключеніе изъ этого правила представляетъ одинъ случай. Если знаменатель и одинъ числитель равны нулю, а другой числитель не равенъ нулю, тогда

Это можетъ имѣть мѣсто только при особыхъ условіяхъ. Изъ предыдущихъ уравненій имѣемъ:

Умножая ихъ, находимъ

откуда

Разность

Не трудно показать, что Ь и 6' одновременно равны нулю.

Дѣйствительно, если 6=0, а 6'drO, то изъ уравненій

вышло бы, что

и тогда бы

ас' — са' = О

что противорѣчило бы предположенію, слѣд. одновременно

Въ этомъ случаѣ два уравненія

противорѣчатъ другъ другу, ибо даютъ для х двѣ разныя величины.

b) Когда Ъ = О, Ь' = 0 и въ то же время

тогда

Въ этомъ случаѣ не трудно показать, что неопредѣленность величины х только кажущаяся. Она происходитъ отъ того, что въ числителя и знаменателя входитъ общій множитель, обращающійся въ нуль, который нужно исключить.

Дѣйствительно, вставляя въ уравненіе

величну с' = —•> опредѣленную изъ уравненія ас' — са = 0, получаемъ:

что по сокращеніи на ab' — ba' даетъ

Рѣшеніями будутъ величины

§ 75. Предложенныхъ случаевъ достаточно для того, чтобы показать, какъ нужно изслѣдовать рѣшенія опредѣленныхъ уравненій съ двумя неизвѣстными въ различныхъ предположеніяхъ. Примѣромъ изслѣдованія можетъ послужить слѣдующая

Задача о курьерахъ. Два курьера ѣхали по направленію AB. Первый со скоростію ѵ верстъ въ часъ чрезъ точку А проѣхалъ t часами раньше, нежели второй со скоростію ѵ' проѣхалъ чрезъ точку В. Разстояніе AB равно d верстамъ.

Опредѣлить время и мѣсто ихъ встрѣчи.

Рѣшеніе задачи. Пусть Q будетъ мѣсто ихъ встрѣчи. Означивъ разстояніе BQ чрезъ х, а чрезъ у число часовъ, протекшее отъ момента, когда первый курьеръ проѣхалъ чрезъ точку А до момента ихъ встрѣчи.

Первый проѣхалъ разстояніе AQ въ у часовъ, второй разстояніе BQ въ у—t часовъ.

Разстояніе BQ = d + х верстъ.

Разстояніе BQ = х верстъ.

Первый въ у часовъ можетъ проѣхать оу верстъ.

Второй въ y—t часовъ можетъ проѣхать »'(’/—/) верстъ, слѣд.

Изъ двухъ уравненій

имѣемъ:

Изслѣдованіе задачи.

1. Положительныя рѣшенія.

a) ѵ > ѵ' первый курьеръ ѣдетъ быстрѣе втораго d > vt, слѣд. и подавно d > v't.

ѵ—ѵ' > 0, d—vt > 0, d—v't > 0, слѣд.

х = положительной величинѣ

у = полож. вел.

Первый курьеръ пріѣдетъ въ В послѣ того, какъ второй уже выѣхалъ изъ В.

Такъ какъ первый курьеръ ѣдетъ быстрѣе втораго, то и догонитъ втораго въ точкѣ Q, лежащей за точкою В.

b) ѵ < ѵ'

d < vt

Первый курьеръ ѣдетъ медленнѣе втораго

Первый курьеръ пріѣдетъ въ В раньше втораго (W < vt).

Въ этомъ случаѣ и подавно d < v't, слѣд.

х = полож. вел., у == полож. вел.

Первый курьеръ пріѣдетъ въ В ранѣе втораго, но второй ѣдетъ быстрѣе перваго, слѣд. онъ догонитъ перваго въ точкѣ Q, лежащей за В.

2. Рѣшенія отрицательныя.

a) Если d>vt, ь < ѵ', но d < v’t.

тогда

х == отриц. вел., у = полож. вел.

Первый курьеръ пріѣзжаетъ въ В послѣ того, какъ второй выѣхалъ оттуда, и такъ какъ второй курьеръ ѣдетъ быстрѣе перваго, встрѣча должна была произойти послѣ того, какъ первый курьеръ выѣхалъ изъ А, слѣд. въ какой нибудь точкѣ лежащей между А и В.

b) Если V > ѵ', d < vt и d < v’t

х = отриц. вел., у = отриц. вел.

Первый курьеръ ѣдетъ быстрѣе втораго и пріѣзжаетъ въ В ранѣе втораго. Встрѣча происходитъ ранѣе В. Она происходитъ даже ранѣе точки А, ибо у отрицательная величина, слѣд. встрѣча происходитъ въ какой нибудь точкѣ прежде, нежели первый курьеръ выѣхалъ изъ А.

Дѣйствительно

3) Рѣшеніе нулевое.

а) Если ь > ѵ', d = vt, d > v't

# = 0, y = пол. вел.

Встрѣча произойдетъ въ точкѣ В.

4. Рѣшенія безконечныя и неопредѣленныя.

а) Если ѵ = d, d > vt, d > v't

X = СО} y = со

Два курьера, ѣдущіе съ одинаковою скоростію и

проѣзжающіе неодновременно чрезъ одну и туже точку, никогда не встрѣтятся.

b) Если п = d, d = vt, слѣд. d = dl

Два курьера, ѣдущіе съ одинаковою скоростію и одновременно проѣзжающіе чрезъ одну и туже точку, во всякое время и во всякой точкѣ будутъ ѣхать вмѣстѣ.

с) Если 0 = 0, d = 0, d=vt и слѣд. d = di

Здѣсь можно доказать, что х имѣетъ вполнѣ опредѣленное значеніе.

Дѣйствительно, вставляя d = dt въ формулу

получаемъ

Такъ какъ

то разстояніе AB = 0 и тогда В сливается съ А. Встрѣча будетъ въ А и два курьера, оставаясь въ А, во всякое время будутъ вмѣстѣ.

VI. Степени и корни.

§ 76. Степень. Степенью называется произведеніе равныхъ множителей. Число равныхъ множителей называется показателемъ степени.

Возвышеніе въ степень. Возвысить въ степень значитъ найти величину произведенія равныхъ множителей.

Возвышая произведеніе abc въ степень т, мы повторяемъ abc множителемъ т разъ.

откуда выводимъ правило, показывающее какъ найти

Степень произведенія. Чтобы найти степень произведенія, нужно возвышать въ степень отдѣльно каждаго изъ производителей. Степень произведенія равна произведенію степеней всѣхъ множителей.

Возвышая дробь у въ степень т, имѣемъ:

откуда

Степень дроби. Чтобы найти степень дроби, нужно возвысить въ степень отдѣльно числителя и знаменателя.

Возвышая ап въ степень т, имѣемъ:

Степень степени. Чтобы возвысить степень количества въ другую степень, нужно показателя буквы, умножить на показателя степени.

Примѣръ.

Изъ самаго опредѣленія степени видно, что

a) Степень положительнаго количества даетъ всегда положительное количество.

Степень отрицательнаго количества имѣетъ знаки + или —, смотря по числу единицъ самой степени.

b) Четная степень отрицательнаго количества даетъ число положительное, а нечетная—количество отрицательное.

Такъ

§ 77. Степень одночлена. Возвышая одночленъ За362с въ четвертую степень, имѣемъ:

Отсюда вытекаетъ

Правило возвышенія въ степень одночлена. Чтобы возвысить одночленъ въ какую нибудь степень, нужно коеффиціентъ возвысить въ степень, а показателя каждой буквы умножить на показателя степени. При этомъ, если одночленъ имѣетъ знакъ +, нужно его оставить безъ перемѣны-, если же передъ одночленомъ стоитъ знакъ —, нужно въ степени поставить знакъ + или —, смотря по тому, будетъ ли степень четная или нечетная.

Возвышеніе въ отрицательную степень. Разсмотримъ тотъ случай, когда въ одночленъ входятъ буквы въ отрицательныхъ степеняхъ, или когда онъ самъ возвышается въ отрицательную степень.

При этомъ могутъ встрѣтиться слѣдующіе три случая:

а) Возвышеніе отрицательной степени въ положительную степень.

Показатель степени — тп есть произведеніе числа — п на т.

b) Возвышеніе положительной степени въ отрицательную.

Показатель степени — тп есть произведеніе числа п на число — т.

с) Возвышеніе отрицательной степени въ отрицательную.

Показатель степени тп есть произведеніе числа — п на число —т.

Изъ этихъ случаевъ вытекаетъ слѣдующее

Заключеніе. Въ случаѣ отрицательныхъ степеней остается безъ измѣненія правило умноженія степеней.

Примѣръ.

§ 78. Степени многочленовъ. Мы видѣли, что

Квадратъ двучлена равенъ квадрату перваго члена, (плюсъ) удвоенное произведеніе перваго члена на второй, 4- (плюсъ) квадратъ втораго члена.

Примѣръ.

Опредѣленіе квадрата трехчлена приводится къ опредѣленію квадрата двучлена.

Дѣйствительно, опредѣляя (а + & + с)2 и замѣняя а + Ъ черезъ s

а 4- Ъ = s

имѣемъ-

Вставляя s, получимъ:

Квадратъ трехчлена равенъ суммѣ квадратовъ всѣхъ членовъ, + (плюсъ) сумма удвоенныхъ произведеніи перваго на второй, перваго на третій и втораго на третій, то есть сумма удвоенныхъ произведеній каждаго члена на каждый изъ слѣдующихъ членовъ трехчлена.

Не трудно вывести правила для возвышенія въ квадратъ какого нибудь многочлена.

Докажемъ, что, если вышевыведенное правило справедливо для многочлена, состоящаго изъ п членовъ, оно справедливо и для многочлена, состоящаго изъ п + 1 членовъ.

Разсмотримъ квадратъ многочлена

состоящаго изъ п + 1 членовъ

Полагая

имѣемъ:

Здѣсь членъ s2 есть квадратъ многочлена, состоящаго изъ п членовъ. Онъ содержитъ сумму квадратовъ всѣхъ п членовъ вмѣстѣ съ удвоенными произведеніями каждаго члена на всѣ остальные члены, слѣдующіе за нимъ. Къ этой суммѣ s2 присоединяется квадратъ послѣдняго члена «2 и удвоенное произведеніе ‘Isu всѣхъ членовъ на послѣдній.

Принимая это въ соображеніе, мы видимъ, что сумма s2 + 2s« + «2 содержитъ совокупность членовъ, удовлетворяющихъ выше высказанному правилу. Такъ какъ правило это справедливо для многочлена, состоящаго изъ 3-хъ членовъ, то оно справедливо и для многочленовъ, состоящихъ изъ 4-хъ, 5, 6 и вообще какого угодно числа членовъ, слѣд.

Квадратъ многочлена равенъ суммѣ квадратовъ всѣхъ членовъ, плюсъ сумма удвоенныхъ произведеній каждаго члена, на, всякій членъ, слѣдующій за нимъ.

Доказательство отъ п къ п+1. Пріемъ доказательства, изложенный здѣсь, называютъ способомъ, доказательства, помощію заключенія отъ п къ п + 1.

§ 79. Кубъ двучлена равенъ кубу перваго члена, + (плюсъ) утроенное произведеніе квадрата перваго члена на второй, + плюсъ утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ втораго,+(плюсъ ) кубъ втораго члена.

На основаніи этой формулы мы имѣемъ:

Точно также

Опредѣленіе куба трехчлена приводится къ опредѣленію куба двучлена.

Полагая а + b = s, имѣемъ:

Кубъ трехчлена равенъ суммѣ кубовъ всѣхъ членовъ, + (плюсъ) утроенное произведеніе квадратовъ на первую степень всякихъ двухъ членовъ, + (плюсъ) ушестеренное произведеніе всѣхъ трехъ членовъ.

Корни.

§ 80. Количество, возвышаемое въ степень, по отношенію къ своей степени называется корнемъ.

Такимъ образомъ въ выраженіи а3 = ааааа, количество а3 называется пятою степенью а, количество а называется корнемъ пятой степени количества а3.

Знакъ корня. Корень изображается знакомъ ]/ .

Надъ знакомъ корня ставится число, показывающее какой степени берется корень.

Показатель корня. Число, показывающее какой корень берется, называется показателемъ корня.

Такимъ образомъ изъ произведеній

видно, что

Показателя корня 2 обыкновенно не ставятъ вовсе. Если нѣтъ никакого показателя надъ знакомъ |/ , подразумѣваетъ обыкновенно 2.

По смыслу корня подъ выраженіемъ j/A подразумѣваютъ такое количество, которое, будучи взято въ произведеніи множителемъ т разъ, даетъ количество А, то есть

Корень. Корнемъ называется такое число, которое, будучи умножено само на себя нѣсколько разъ, даетъ нѣкоторую степень.

Въ выраженіи |/А количество 4 называется подкореннымъ количествомъ.

Подкоренное количество. Число, стоящее подъ знакомъ корня, называется подкореннымъ количествомъ.

Извлеченіе корней. Дѣйствіе обратное возвышенію въ степень называется извлеченіемъ корней. Извлечь корень п-й степени изъ даннаго количества значитъ найти такое количество, которое, будучи взято множителемъ п разъ, дало бы данное количество.

Извлеченіе корней основывается на тѣхъ же общихъ правилахъ, какъ и возвышеніе въ степень.

Корень произведенія. Корень изъ произведенія равенъ произведенію корней изъ множителей.

Дѣйствительно, полагая

и возвышая въ степень п, имѣемъ:

откуда

Корень частнаго равенъ частному изъ корней. Дѣйствительно, полагая

и возвышая обѣ части равенства въ степень ??, имѣемъ:

откуда

Нечетная степень какого нибудь количества имѣетъ знакъ одинакій со знакомъ количества; возвышая же положительное и отрицательное количество въ четную степень, получимъ всегда количество положительное. Это замѣчаніе даетъ основаніе заключать о томъ, какой знакъ должно ставить при корнѣ.

Знакъ при корнѣ. Коренъ нечетной степени изъ количества имѣетъ знакъ одинакій со знакомъ количества-, корень же четной степени изъ количество можетъ имѣть знакъ -J- (плюсъ) и — (минусъ), то есть корень четной степени изъ положительнаго количества можетъ быть какъ положительнымъ, такъ и отрицательнымъ количествомъ.

Изъ примѣровъ

видно, что а и — а будутъ одинаково корнями второй степени количества а2, то есть справедливы оба равенства

Оба эти равенства пишутъ вмѣстѣ, ставя передъ количествомъ двойной знакъ

При возвышеніи въ степень умножаютъ показателя буквы на показателя степени, при извлеченіи корней нужно показателя буквы дѣлить на показателя корня.

Дѣйствительно,

слѣд.

Отсюда вытекаетъ

Правило извлеченія корней изъ одночленовъ. Чтобы извлечь корень изъ одночлена, нужно извлечь корень изъ коеффиціента, а показателя каждой

буквы дѣлить на показателя корня. При томъ, если извлекается корень нечетной степени, при корнѣ ставятъ знакъ подкореннаго количества-, если же извлекается корень четной степени изъ положительнаго количества, при корнѣ ставятъ знаки + и —.

По этому правилу имѣемъ:

Эти два равенства пишутъ вмѣстѣ, ставя при корнѣ двойной знакъ ( ± ), то есть вмѣсто двухъ равенствъ пишутъ:

Точно также

§ 81. Всякое количество въ четной степени даетъ величину положительную, поэтому не существуетъ такого положительнаго или отрицательнаго количества, которое, будучи возвышено въ четную степень, дало бы величину отрицательную. На этомъ основаніи корень четной степени изъ отрицательнаго количества не можетъ быть выраженъ ни положительнымъ, ни отрицательнымъ количествомъ, Корень четной степени изъ отрицательнаго количества только изображается знаками и называется количествомъ мнимымъ.

Мнимое количество есть вообще корень четной степени изъ отрицательнаго числа.

Количества

будутъ величинами мнимыми.

Дѣйствительныя величины. Обыкновенныя положительныя и отрицательныя числа называются величинами дѣйствительными.

§ 82. Ирраціональныя количества- Извлечь точно корень можно только тогда, когда показатель буквы дѣлится нацѣло на показателя корня.

Если же показатель буквы не дѣлится нацѣло на показателя корня, извлечь точно корня нельзя. Въ такомъ случаѣ дѣйствіе извлеченія корня только обозначаютъ.

Количество ирраціональное. Корень изъ такого количества, изъ котораго нельзя извлечь точно корня, называется количествомъ ирраціональнымъ.

Обыкновенная дѣйствительная величина называется количествомъ раціональнымъ.

Раціональное количество, стоящее множителемъ передъ ирраціональнымъ, называется его коеффиціентомъ.

Выраженія

суть выраженія ирраціональныя. Количества 1, 5, т будутъ ихъ коеффиціентами.

Ирраціональныя выраженія обыкновенно упрощаютъ. Для этого разлагаютъ подкоренную величину на два такіе множителя, чтобы одинъ представлялъ точную степень и извлекаютъ корень изъ этого множителя, а другаго оставляютъ подъ корнемъ.

Такъ въ примѣрѣ / 8а’6Ѵ разлагаютъ подкоренную величину на два множителя, изъ которыхъ одинъ будетъ полнымъ кубомъ.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Извлекая корень изъ перваго множителя, получимъ:

Такое упрощеніе есть ничто иное, какъ выведеніе множителя за корень.

Правило выведенія множителя за корень. Чтобы вывести множителя за корень, нужно: а) разбить подкоренную величину на два такихъ множителя, чтобы одинъ представлялъ точную степень, Ъ) извлечь коренъ изъ этой степени, а с) другаго множителя оставить подъ корнемъ безъ перемѣны.

Примѣры.

Отсюда же вытекаетъ и

Правило введенія множителя подъ корень. Чтобы ввести множителя подъ корень, нужно возвысить его въ степень корня и умножить на подкоренную величину.

Дѣйствительно, возвышая обѣ части уравненія

въ степень т, получаемъ:

слѣд.

Примѣры. 1)

Дѣйствія съ количествами ирраціональными.

§ 83. Подобныя ирраціональныя выраженія. Ирраціональныя количества называются подобными въ томъ случаѣ, когда они подъ одинакими корнями содержатъ одинаковыя подкоренныя величины.

Ирраціональныя количества

будутъ подобными.

Коеффиціентъ ирраціональнаго выраженія. Раціональный множитель, стоящій передъ ирраціональнымъ выраженіемъ, называется его коеффициентомъ. Онъ носитъ названіе коеффиціента даже и тогда, когда онъ самъ есть выраженіе буквенное. Подобныя ирраціональныя выраженія отличаются только коеффиціентами.

Иногда два ирраціональныхъ количества становятся подобными, если въ одномъ изъ нихъ выведемъ множителя за корень.

Такъ, выраженія 3|/ ab и 5 j/«3&s сдѣлаются подобными, если во второмъ выведемъ соотвѣтствующаго множителя за корень.

Дѣйствительно, выраженіе 5j/ö3&s = 5«62|/ab

Приведеніе подобныхъ ирраціональныхъ выраженій. Нѣсколько подобныхъ ирраціональныхъ выраженій можно привести къ одному. Для этого съ ихъ коеффиціентами нужно поступать по общимъ правиламъ приведенія.

Сложеніе и вычитаніе ирраціональныхъ количествъ. При сложеніи и вычитаніи подобныхъ ирраціональныхъ количествъ нужно складывать и вычитать одни коеффиціенты.

Примѣръ.

Умноженіе ирраціональныхъ количествъ. При умноженіи ирраціональныхъ количествъ, принадлежащихъ къ одному корню, нужно отдѣльно перемножить коеффиціенты и подкоренныя величины.

Дѣйствительно, умножая т|/ А на п[/В, получимъ въ произведеніи

Въ примѣрѣ

умножая отдѣльно коеффиціенты и подкоренныя величины, получимъ:

Дѣленіе ирраціональныхъ количествъ. При дѣленіи ирраціональныхъ количествъ, принадлежащихъ къ одному корню, нужно коеффиціенты и подкоренныя величины дѣлить отдѣльно.

1) Раздѣляя \/А но, В, имѣемъ:

2) Раздѣляя уЛ на у В, имѣемъ:

Послѣдній результатъ основанъ на томъ, что частное изъ корней равно корню изъ частнаго.

3) Раздѣляя А\/В на С\/'В имѣемъ:

Возвышеніе въ степень ирраціональныхъ количествъ. Чтобы возвыситъ въ степень ирраціональное количество, нужно возвысить въ степень отдѣльно коеффиціентъ и подкоренную величину.

Дѣйствительно, возвышая Aÿ В въ степень я, имѣемъ:

Примѣръ.

Извлеченіе корней изъ ирраціональныхъ количествъ. Означая чрезъ х корень и-й степени изъ ирраціональнаго количества |/ А,имѣемъ:

Возвышая обѣ части уравненія въ степень я, получимъ;

Возвышая снова обѣ части послѣдняго уравненія въ степень т, получимъ:

Извлекая изъ обѣихъ частей равенства корень степени тп, найдемъ:

Отсюда вытекаетъ

Правило. При извлеченіи корня изъ ирраціональнаго количества, нужно показателей корней перемножатъ.

Обратно

Корень сложной степени можно замѣнить послѣдовательнымъ извлеченіемъ корней простыхъ степеней.

Такимъ образомъ

На основаніи правилъ возвышенія въ степень и извлеченія корней изъ ирраціональныхъ количествъ основано

Приведеніе ирраціональныхъ количествъ къ одному корню. Два ирраціональныхъ количества |/ а и ÿ Ь можно привести къ одному и тому же корню тп. Для этого возводимъ первое ирраціональное количество въ степень п и за тѣмъ извлекаемъ корень и-й степени. Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Подобнымъ же образомъ, возводя второе ирраціональное выраженіе ÿ Ъ въ степень т и потомъ извлекая корень »г-й степени, получимъ:

Два обратныхъ дѣйствія не измѣнятъ ариѳметической величины разсматриваемыхъ количествъ, и ирраціональныя количества /«, у/Ъ замѣнятся равными имъ ирраціональными количествами J/«", у'Ът, принадлежащими къ одному и тому же корню тп.

Обыкновенно приводятъ ирраціональныя количества къ такому общему корню, показатель котораго есть наименьшее кратное число всѣмъ показателямъ корня данныхъ ирраціональныхъ количествъ.

Такъ выраженія j/«, у ab слѣдуетъ привести къ корню 12 степени, ибо наименьшее кратное для чиселъ 6 и 4 есть 12.

Приводя ихъ къ корню 12, имѣемъ:

/ а = j/ö2, \/аЪ = j/a’ô3

Изъ вышеизложеннаго видно, что въ ирраціональномъ количествѣ можно одновременно степень корня и всѣ степени подкоренной величины умножить на одно и тоже цѣлое число.

Такимъ образомъ имѣетъ мѣсто слѣдующее

Правило. Чтобы привести ирраціональныя количества къ одному и тому же корню, нужно извлечь корень и возвысить ихъ въ степень, дополнительную до наименьшаго кратнаго числа всѣмъ корнямъ.

Способъ приведенія ирраціональныхъ количествъ къ одному и тому же корню даетъ возможность умножать и дѣлить ирраціональныя количества, принадлежащія къ разнымъ корнямъ.

Умноженіе и дѣленіе ирраціональныхъ

количествъ, принадлежащихъ къ разнымъ корнямъ. Чтобы умножить и раздѣлить ирраціональныя количества, принадлежащія къ разнымъ корнямъ, нужно привести ихъ къ одному корню и потомъ поступать по общему правилу.

Примѣры.

§ 84. Упрощеніе ирраціональныхъ выраженій. При помощи вышевыведенныхъ свойствъ можно дѣлать различныя упрощенія надъ выраженіями, содержащими ирраціональныя количества.

Такъ можно всегда привести дробь съ ирраціональнымъ знаменателемъ къ дроби съ знаменателемъ раціональнымъ.

а) Умножая числителя и знаменателя выраженія

б) Умножая числителя и знаменателя выраженія

получимъ:

откуда

Знаменатель преобразованнаго выраженія будетъ уже выраженіемъ раціональнымъ.

§ 85. Дробные показатели. При извлеченіи корней показателя буквы дѣлятъ на показателя корня въ томъ случаѣ, когда дѣленіе совершается нацѣло.

Если же этого дѣленія нельзя выполнить нацѣло, результатъ изображаютъ при помощи корней.

Съ цѣлію обобщить результаты распрастраняютъ правило дѣленія показателей и на тотъ случай, когда дѣленіе не совершается нацѣло.

Въ этомъ случаѣ количества будутъ имѣть дробные показатели.

Такъ, выраженіе

изображаютъ въ видѣ

Количество съ дробнымъ показателемъ выражаетъ корень степени знаменателя изъ количества, возвышеннаго въ степень числителя.

Такимъ образомъ имѣютъ мѣсто слѣдующія равенства:

Дѣйствія съ количествами, имѣющими дробныхъ показателей. Условное обозначеніе ирраціональныхъ количествъ помощію дробныхъ показателей удобно въ томъ отношеніи, что оно даетъ возможность распространить на дробные показатели всѣ правила умноженія, дпленія, возвышенія въ степень и извлеченія корней, имѣющія мѣсто для цѣлыхъ показателей.

Два количества съ дробными показателями

равны, если показатели равны.

Дѣйствительно, полагая

имѣемъ:

Приводя эти выраженія къ одному корню, имѣемъ:

ибо изъ предыдущей пропорціи

слѣд.

Умноженіе. При умноженіи двухъ количествъ съ дробными показателями нужно показателей складывать.

Умножая

имѣемъ:

слѣд.

Дѣленіе. При дѣленіи количествъ съ дробными показателями нужно показателя дѣлителя вычитать изъ показателя дѣлимаго.

Дѣйствительно, съ одной стороны

Съ другой стороны

Возвышеніе въ степень. При возвышеніи въ степень въ случаѣ дробныхъ показателей нужно показателя буквы умножать на показателя степени.

Возвышая количество ап въ степень -, имѣемъ:

Показатель —^есть произведеніе показателей—на

Извлеченіе корней. При извлеченіи корня нужно показателя буквы дѣлитъ на показателя корня.

Положимъ, нужно изъ количества а п извлечь корень степени •

Для этого нужно найти такое количество #, которое, будучи возвышено въ степень—-, дало бы 7 слѣд.

Возвышая обѣ части равенства въ степень*/, имѣемъ:

Извлекая корень степени р, имѣемъ:

слѣд.

Эти правила остаются безъ перемѣны и для тѣхъ случаевъ, когда входятъ количества съ отрицательными показателями.

Мы видѣли справедливость этого правила для случая возвышенія въ степень. Подтвердимъ справедливость ихъ для случаевъ извлеченія корней. Разсмотримъ три частныхъ случая:

1. Показатель корня число положительное, а показатель количества число отрицательное.

2. Показатель корня число отрицательное, а показатель количества число положительное.

слѣд.

откуда

3. Показатели корня и количества- числа отрицательныя.

Во всѣхъ этихъ случаяхъ при извлеченіи корней приходится показателя буквы дѣлить на показателя корня.

Это правило остается безъ измѣненія не только для цѣлыхъ, но и для дробныхъ чиселъ т и п.

Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ.

§ 86. Квадратъ всякаго числа, оканчивающагося нулями, содержитъ вдвое болѣе нулей.

Такъ

Число цифръ квадрата. Квадратъ цѣлаго числа содержитъ цифръ или вдвое болѣе илгг вдвое болѣе безъ единицы.

Доказательство. Всякое число N, состоящее изъ п цифръ, заключается между числами 10"_1 и 10", изъ которыхъ ІО"-1 есть первое число, состоящее изъ п, а 10" есть первое число, состоящее изъ яД-1 цифръ. Число N удовлетворяетъ такимъ образомъ неравенствамъ:

Квадратъ Æ2 будетъ заключаться между квадратами этихъ чиселъ и удовлетворяетъ неравенствамъ:

При помощи этой таблицы легко опредѣлить по числу, изъ сколькихъ цифръ состоитъ его квадратный корень.

Для этого раздѣляютъ все число на грани, отдѣляя отъ правой руки къ лѣвой по двѣ цифры на каждую грань; въ послѣдней грани можетъ быть и и одна цифра.

Число граней равно числу цифръ его квадратнаго корня.

Такимъ образомъ число 12321, разбитое па грани, выразится въ видѣ 1,23,21 и его корень состоитъ изъ трехъ цифръ; число 32456478, разбитое на грави, выразится въ видѣ 32,45,64,78 и его корень состоитъ изъ 4-хъ цифръ..

Отсюда

Число цифръ квадратнаго корня. Если въ квадратѣ четное число цифръ, въ корнѣ ихъ вдвое менѣе; если въ квадратѣ нечетное число цифръ, его коренъ содержитъ половину всего числа цифръ, увеличеннаго единицею.

Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ. Отыскать корень въ томъ случаѣ, когда онъ выражается одною цифрою очень легко. Случай этотъ просто разрѣшается таблицею умноженія.

Изъ этихъ неравенствъ видно, что квадратъ числа, состоящаго изъ п цифръ, имѣетъ 2w—1 или 2» цифръ.

Такимъ образомъ квадратъ числа, состоящаго изъ одной цифры имѣетъ одну или 2 цифры „ двухъ „ „ 3 или 4 „

„ 3 „ „5 или 6 „

Разсмотримъ случай, когда число состоитъ изъ 3-хъ или 4-хъ цифръ, а его корень изъ двухъ цифръ.

Положимъ, нужно извлечь квадратный корень изъ числа 625. Раздѣливъ его на грани, имѣемъ 6,25. Корень его состоитъ изъ десятковъ и единицъ. Означимъ число десятковъ черезъ а, а число единицъ черезъ Ъ.

Число, состоящее изъ двухъ цифръ а и 6, будемъ писать въ видѣ (а, 6). Корень (а, 6) выражаетъ число 10а -J- Ъ

Квадратъ его будетъ

Онъ состоитъ изъ квадрата десятковъ, удвоеннаго произведенія десятковъ на единицы и квадрата единицъ.

Квадратъ десятковъ оканчивается двумя нулями, слѣд. послѣдняя грань не имѣетъ вліянія на число десятковъ. Это число зависитъ только отъ первой грани. Въ данномъ примѣрѣ число десятковъ а не должно быть болѣе 2. Написавъ въ корнѣ 2 десятка, имѣемъ:

Вычитая 400, квадратъ 20 изъ 625, имѣемъ въ остаткѣ 225.

По остатку 225 опредѣляемъ число единицъ Ь. Вычитая удвоенное произведеніе десятковъ на единицы 2.20.6, мы видимъ, что это число будетъ

оканчиваться нулемъ, слѣд. послѣдняя цифра 5 не имѣетъ вліянія на число единицъ. Отдѣливъ ее, мы видимъ, что число единицъ зависитъ только отъ 22.

Число единицъ Ъ не должно превосходить частнаго отъ раздѣленія 22 на 4 удвоенное произведеніе числа десятковъ. Это число должно быть не болѣе 5.

Взявъ для второй цифры корня 5, имѣемъ въ корнѣ 20 + 5. Вычитая удвоенное произведеніе числа десятковъ на единицы и квадратъ единицъ, получимъ:

Замѣтимъ, что сумма удвоеннаго произведенія десятковъ на единицы съ квадратомъ единицъ можетъ быть выражена въ видѣ

Число въ скобкахъ можетъ быть представлено въ видѣ (2«,Z>), слѣд. послѣднія два числа по формулѣ могутъ быть замѣнены тѣмъ, что мы къ удвоенному числу десятковъ присоединяемъ цифру единицъ и умножаемъ на единицы

Въ нашемъ примѣрѣ мы должны къ 4 удвоенному числу десятковъ присоединить 5 и все число 45 умножить на 5. Дѣйствительно

Если не писать нулей и произвести всѣ требуемыя сокращенія, то ходъ вычисленія выразится письменно:

словесно:

1) Разбиваемъ число на грани, отдѣляя для каждой грани справа по двѣ цифры;

2) извлекаемъ изъ первой грани квадратный корень и помѣщаемъ 2 на мѣстѣ первой цифры корня;

3) вычитаемъ изъ первой грани 4 квадратъ первой цифры корня;

4) къ остатку 2 сносимъ слѣдующую грань 25;

5) отдѣляемъ одну цифру 5 для остальныхъ частей квадрата.

6) Раздѣливъ 22 на 4 удвоенную первую цифру корня, получаемъ 5 вторую цифру корня.

7) Приписываемъ ее къ удвоенной первой цифрѣ и, умноживъ полученное число на эту же цифру корня, вычитаемъ полученное произведеніе.

Если полученное произведеніе болѣе остатка, вторую цифру корня нужно уменьшить на единицу. Если получится въ остаткѣ 0, данное число будетъ полнымъ квадратомъ.

Этотъ ходъ вычисленія не измѣняется, если число состоитъ изъ 4-хъ цифръ.

Такъ, извлекая квадратный корень изъ числа 8670, имѣемъ:

Въ данномъ случаѣ получился остатокъ, показывающій, что число 8670 есть неполный квадратъ и число 93 есть приближенный корень числа 8670 съ точностію до единицы, то есть разность между найденнымъ и истиннымъ корнемъ менѣе 1.

Если удвоенная первая цифра корня не содержится въ отдѣленномъ числѣ, пишутъ въ частномъ на мѣстѣ второй цифры корня нуль. Такъ въ примѣрѣ

14 не содержится въ .13, пишутъ въ частномъ нуль и приближеннымъ корнемъ будетъ число 70.

Пріемъ извлеченія квадратныхъ корней остается безъ измѣненія, если въ числѣ 5 или 6 цифръ, а стало быть въ его квадратномъ корнѣ 3 цифры.

Въ этомъ случаѣ его корень также можно разсматривать состоящимъ изъ десятковъ и единицъ. Такъ, корень 223 числа 49729 содержитъ 22 десятка и 3 единицы; его можно представить въ видѣ 22.10 + 3.

Въ такомъ видѣ корень числа 105625 можно представить въ видѣ (10а + 6). Число десятковъ а не зависитъ отъ послѣдней грани. Оно зависитъ отъ первыхъ двухъ граней. Для опредѣленія этого числа

не обращаемъ вниманія на послѣднюю грань, а извлекаемъ корень только изъ числа 1056, состоящаго изъ первыхъ двухъ граней. Извлекая изъ этого числа корень по предъидущему правилу, имѣемъ:

Остается опредѣлить Ъ цифру единицъ, третью цифру корня.

Изъ Формулы ІО2«2 + 2.10«&+ // видимъ, что полученный остатокъ 3225 выражаетъ 2.10«ô ~г Ö2.

По этому остатку видно, что число единицъ корня не зависитъ отъ послѣдней цифры 5, а только отъ числа 322. Эта цифра единицъ b не должна быть больше частнаго отъ раздѣленія 322 на 2«, то есть на удвоенное число десятковъ корня. Въ данномъ случаѣ 2« = 64, слѣд. b не должно быть « * §§2.

Раздѣливъ 322 на 64, имѣемъ въ цѣломъ частномъ 5. Приписавъ 5 къ 64 и умноживъ 645 на 5, мы тѣмъ самымъ вычитаемъ удвоенное произведеніе десятковъ на единицы и квадратъ единицъ.

Этотъ пріемъ остается справедливымъ и для всѣхъ остальныхъ случаевъ.

Извлекая квадратный корень изъ числа 20313049, мы ходъ вычисленія выражаемъ письменно:

словесно:

1) Разбиваемъ число 20313049 на 4 грани. Корень состоитъ изъ 4-хъ цифръ. Извлекаемъ корень изъ первой грани и находимъ 4 первую цифру корня. Вычитаемъ изъ первой грани 16 квадратъ 4.

2) Къ остатку 4 сносимъ 31 слѣдующую грань, отдѣляемъ запятою одну цифру для остальныхъ частей квадрата, дѣлимъ 43 число до запятой на 8 удвоенную первую цифру корня и получаемъ въ частномъ 5 вторую цифру корня; приписавъ 5 къ 8, умножаемъ 85 на 5 и вычитая произведеніе изъ 431, получаемъ въ остаткѣ 6.

3) Къ остатку 6 сносимъ слѣдующую грань 30; отдѣляя запятою одну цифру и раздѣляя 63 на 90 удвоенный корень, получаемъ въ частномъ 0 третью цифру корня.

4) Сносимъ слѣдующую грань 49, отдѣляемъ одну цифру 9 и дѣлимъ 6304 на 900 удвоенный корень, получаемъ въ частномъ 7 послѣднюю цифру корня. Приписываемъ 7 къ удвоенному корню; умноживъ 9007 на 7 и вычитая произведеніе, получаемъ въ остаткѣ 0.

Число 20313049 есть полный квадратъ числа 4507.

Всегда можно опредѣлить, когда мы выбираемъ для корня очень малую цифру.

Признакъ этотъ зависитъ отъ того обстоятельства, что разность между квадратами двухъ рядомъ стоящихъ чиселъ (а + I)2 и а2 равна 2а + 1.

Отсюда

Замѣчаніе. Если для корня выбрана очень малая цифра, въ остаткѣ получится число равное или болѣе удвоеннаго корня, сложеннаго съ единицею (равное или болѣе 2а+1). Обратно: если въ остаткѣ получилось число 2а+1 или болѣе, необходимо корень увеличить на единицу,

Изъ всего вышесказаннаго вытекаетъ слѣдующее Правило извлеченія квадратныхъ корней изъ чиселъ. Чтобы извлечь квадратный корень изъ числа нужно

A) отъ правой руки къ лѣвой разбить число на, грани по двѣ цифры въ каждой. Въ послѣдней грани можетъ быть и одна цифра.

B) Извлечь корень изъ первой грани и, получивъ первую цифру корня, вычесть квадратъ ея изъ первой грани-, разность даетъ первой остатокъ.

C) Къ остатку нужно снести слѣдующую грань, отдѣлить справа одну цифру для остальныхъ частей квадрата и раздѣлить число до запятой на удвоенную цифру корня. Частное дастъ вторую цифру корня. Эту цифру нужно приписать къ удвоенному корню и умножить полученное число на вторую цифру корня. Если полученное произведеніе болѣе остатка, вторую цифру корня надо убавить на единицу. Если удвоенный корень не содержится пишутъ въ корнѣ нуль. Вычтя полученное произведеніе, получимъ второй остатокъ.

В) Сносимъ къ остатку слѣдующую грань, отдѣляемъ одну цифру и дѣлимъ число до запятой на удвоенный

коренъ, состоящій изъ двухъ цифръ. Частное дастъ третью цифру корня, которую приписываемъ къ удвоенному корню и умножаемъ на нее все число.

Подобнымъ образомъ дѣйствіе извлеченія корня продолжается до тѣхъ поръ, пока не будетъ снесена послѣдняя грань. Если послѣдній остатокъ будетъ нуль, число есть полный квадратъ, если же онъ не равенъ нулю, данное число не имѣетъ точнаго корня, выраженнаго цѣлымъ числомъ.

§ 87. Приближенное извлеченіе корня. Если квадратный корень не выражается цѣлымъ, то онъ не можетъ выражаться гг дробнымъ числомъ.

Доказательство. Положимъ, что /.У не выражается цѣлымъ числомъ. Допустимъ, что онъ выражается въ видѣ несократимой дроби

откуда

Если р и q числа взаимно простыя, то и числа р2, q1 тоже взаимно простыя, слѣд. есть несократимая дробь.

Равенство

было бы при этомъ предположеніи несообразно. Оно выражало бы, что цѣлое число равно несократимой дроби.

Въ томъ случаѣ, когда нельзя найти точно корня, его опредѣляютъ приблизительно до какихъ угодно долей.

Положимъ, мы желаемъ найти У /V точно до —

Это значитъ, что мы желаемъ найти такую величину корня, чтобы разность между найденнымъ и дѣйствительнымъ значеніемъ корня была менѣе ~-

Пусть истинная величина корня будетъ «

Умноживъ и раздѣливъ на п, имѣемъ:

Подведя въ числителѣ п подъ корень, имѣемъ:

Найдя цѣлое число А, выражающее приближенно величину /Ära2 съ точностью до 1, имѣемъ:

Величина VNrd удовлетворяетъ неравенствамъ:

Раздѣливъ на п, имѣемъ неравенства:

изъ которыхъ видно, что величина ^ заключается между

Изъ этихъ вычисленій вытекаетъ

Правило извлеченія квадратнаго корня

по приближенію. Чтобы извлечь квадратный корень изъ числа съ точностію до—і нужно умножить число на квадратъ п, извлечь изъ полученнаго результата квадратный корень съ точностію до 1 и за тѣмъ полученный корень раздѣлить на п.

Обыкновенно приближеніе выражаютъ десятичными дробями и извлекаютъ квадратные корни съ точностію до 0, 1; 0, 01; 0, 001 или съ точностію до первой, второй, третьей десятичной цифры и т. д.

Для этого приписываютъ къ числу 2, 4, 6 и вообще четное число нулей, извлекаютъ корень и за тѣмъ дѣлятъ на 10, 100, 1000 и т. д.

Примѣръ. Найти V1 съ точностію до 0, 01.

Приписываемъ къ 7 четыре нуля и находимъ:

Несоизмѣримое число Корень изъ числа, который не можетъ быть точно выраженъ ни цѣлымъ, ни дробнымъ числомъ, называется числомъ несоизмѣримымъ.

Числа /5 , Ÿ 2 суть числа неизмѣримыя.

§ 88. Квадратные корни изъ дробей. При извлеченіи квадратныхъ корней изъ простыхъ дробей извлекаютъ корень изъ числителя и знаменателя отдѣльно.

Если знаменатель не будетъ полнымъ квадратомъ, приводятъ обыкновенно дробь къ такому виду, чтобы зна-

менатель былъ полнымъ квадратомъ. Для этого числителя и знаменателя умножаютъ на знаменателя. Въ этомъ случаѣ придется извлекать корень только изъ числителя, а знаменателемъ корня останется прежній знаменатель.

Дѣйствительно,

Примѣръ.

При извлеченіи квадратнаго корня изъ десятичныхъ дробей очень легко сдѣлать знаменателя десятичной дроби полнымъ квадратомъ. Для этого необходимо, чтобы десятичная дробь имѣла четное число десятичныхъ знаковъ. Если это число нечетное, приписываютъ справа одинъ или нечетное число нулей.

Обыкновенно извлекаютъ квадратный корень изъ десятичной дроби по приближенію до какихъ нибудь долей.

Правило. Чтобы извлечь изъ десятичной дроби квадратный корень по приближенію до десятыхъ, сотыхъ долей и т. д., нужно прибавить къ десятичной дроби столько нулей, чтобы число десятичныхъ знаковъ было вдвое болѣе числа нулей дроби, выражающей приближеніе. За тѣмъ нужно отбросить запятую, извлекать корень изъ полученнаго цѣлаго числа съ точностію до единицы и въ полученномъ корнѣ отдѣлить запятою для десятичныхъ знаковъ столько цифръ, сколько нулей въ знаменателѣ дроби, выражающей приближеніе.

Примѣръ. Найти / 3, 5 съ точностію до 0,01. Для этого въ корнѣ прибавляемъ три нуля.

Извлекаемъ корень изъ 35000

слѣд.

Въ данномъ случаѣ /3, 5 имѣетъ два приближенія: 1,87 и 1,88. Каждое изъ нихъ отличается отъ /3, 5 менѣе, чѣмъ на 0,01. Одно изъ нихъ менѣе, а другое болѣе /3, 5, такъ что

Изъ этихъ двухъ величинъ считается болѣе близкою къ корню та изъ величинъ, для которой погрѣшность меньше. Это же зависитъ отъ того, какое изъ двухъ цѣлыхъ чиселъ 187 и 188 ближе къ /35000.'

Изъ двухъ цѣлыхъ чиселъ 187 и 188, удовлетворяющихъ неравенствамъ

Если разность

то ближе число 187, если же разность эта

ближе число 188.

Опредѣлить, будетъ ли эта разность < или > легко по остатку.

Дѣйствительно, изъ уравненія

видно, что, если остатокъ < « + 1, разность эта <^, если же остатокъ болѣе или = а + 1, разность эта > 2 , и тогда удобнѣе брать высшую цифру. Отсюда вытекаетъ

Правило. При приближенномъ вычисленіи корней послѣднюю цифру корня удобно оставлять безъ перемѣны, если остатокъ менѣе корня, сложеннаго съ единицею, если же остатокъ равенъ или болѣе корня съ единицею, можно послѣднюю цифру корня увеличивать на единицу.

Примѣръ. Найти /0,023 съ точностію до 0,001.

Для этого нужно, чтобы въ квадратѣ было 6 десятичныхъ знаковъ.

Изъ двухъ чиселъ 151 и 152, выражающихъ /23000 ближе къ этому корню число 152, ибо остатокъ 199 > 151 + 1, слѣд. изъ двухъ дробей 0,151 и 0,152, выражающихъ /0,023 съ точностію до 0,001 ближе къ корню дробь 0,152 нѣсколько большая даннаго корня.

При извлеченіи корней изъ большихъ чиселъ можетъ послужить слѣдующая

Теорема. Если коренъ содержитъ 2п +1 цифръ, достаточно найти только первыя п + 1 цифръ, остальныя п цифръ будутъ цѣлымъ частнымъ отъ раздѣленія остатка на удвоенную часть корня.

Доказательство. Положимъ, что VN содержитъ 2^+1 цифръ, и допустимъ, что первыя n-f-1 цифръ найдены. Означимъ найденную часть корня черезъ А, а остальную черезъ х, тогда

Число æ содержитъ п цифръ, число # содержитъ или 2я или 2я — 1 цифръ, тогда какъ число А состоитъ изъ п +1 значущихъ цифръ съ п нулями, то есть содержитъ 2п 4~ 1 цифръ, слѣд.

Откуда заключаемъ, что х остальное число есть цѣлое частное отъ раздѣленія остатка N-—А2 на 2А.

Примѣръ Найти 532086503

Корень состоитъ изъ 5 цифръ. Достаточно найти только 3 цифры.

Найдя 3 цифры корня 230, мы для опредѣленія остальныхъ дѣлимъ остатокъ

Цѣлое частное 67 даетъ остальныя двѣ цифры корня и съ точностію до 1.

§ 89. Извлеченіе квадратныхъ корней изъ многочленовъ основано на формулѣ, выражающей квадратъ многочлена. Означивъ въ многочленѣ a+J-|-c4-..+ к~УІ черезъ s сумму

имѣемъ формулу

изъ которой видно, что квадратъ многочлена состоитъ изъ квадрата перваго члена, удвоеннаго произведенія перваго члена на всѣ остальные и квадрата суммы остальныхъ членовъ. Это замѣчаніе даетъ возможность отыскивать корень многочлена.

Обыкновенно въ многочленѣ выбираютъ одну букву за главную и располагаютъ его по нисходящимъ степенямъ этой буквы. Члены корня отыскиваются также, начиная съ старшаго члена корня.

Найдемъ квадратный корень изъ многочлена

Выбравъ букву х за главную и расположивъ многочленъ по нисходящимъ степенямъ этой буквы, имѣемъ:

Въ корнѣ получимъ тоже многочленъ, расположенный по нисходящимъ степенямъ главной буквы.

Квадратъ перваго члена корня долженъ дать старшій членъ многочлена, слѣд. первый членъ корня найдемъ, извлекая квадратный корень изъ одночлена 9«2«'1. Этотъ корень будетъ 3«ж2.

Вычитая квадратъ его изъ многочлена, получимъ первый остатокъ

Этотъ остатокъ выражаетъ удвоенное произведеніе перваго члена на всѣ остальные и квадратъ суммы остальныхъ членовъ. Въ этомъ остаткѣ старшій членъ относительно буквы х получится отъ произведенія удвоеннаго перваго члена на второй.

Старшій членъ=удвоенному первому члену X второй членъ; откуда, раздѣливъ старшій или первый членъ остатка на удвоенный первый членъ корня, найдемъ второй членъ корня.

Сдѣлавъ это, имѣемъ

второй членъ корня

Вычитая удвоенное произведеніе перваго члена на второй и квадратъ втораго члена, имѣемъ въ остаткѣ нуль.

Ходъ вычисленія располагаютъ письменно-.

Удвоенное произведеніе перваго члена на второй и квадратъ втораго отнимаютъ заразъ, вычитая сразу произведеніе втораго члена на сумму удвоеннаго перваго со вторымъ членомъ.

Ходъ вычисленія не измѣняется, если въ корнѣ будетъ многочленъ.

Найдемъ квадратный корень многочлена

Располагая его по нисходящимъ степенямъ х и извлекая корень, выражаютъ вычисленіе письменно:

первый остатокъ

второй остатокъ

Словесно:

a) Извлекая корень изъ перваго члена, получимъ З#2 первый членъ корня; вычитая квадратъ, получаемъ первый остатокъ, выражающій остальные члены квадрата.

b) Раздѣляя старшій членъ остатка на удвоенный первый членъ, получимъ—5х второй членъ квадрата. Приписывая этотъ членъ къ удвоенному первому члену и умножая на второй членъ, вычитаемъ произведеніе (6#2 — 5#).—5#, выражающее удвоенное произведеніе перваго члена на второй и квадратъ втораго члена. Въ результатѣ вычитанія получаемъ второй остатокъ, выражающій произведеніе перваго

члена на всѣ остальные члены корня и квадратъ суммы всѣхъ остальныхъ членовъ, начиная съ перваго.

с) Въ этомъ остаткѣ старшій членъ долженъ получиться отъ произведенія удвоеннаго перваго члена па старшій изъ остальныхъ членовъ корня, то есть на третій членъ. Раздѣливъ 42# старшій членъ остатка на удвоенный первый членъ, получимъ+7 третій членъ корня. Приписавъ его къ удвоенной суммѣ первыхъ двухъ членовъ и умноживъ на третій членъ, мы вычитаемъ количество (6# — 10ж + 7)7, выражающее заразъ удвоенное произведеніе перваго члена на третій, втораго на третій и квадратъ третьяго члена. Въ остаткѣ получимъ нуль.

Данный многочленъ есть полный квадратъ трехчлена

Изъ предложенныхъ примѣровъ выводимъ слѣдующее

Правило извлеченія квадратныхъ корней изъ многочленовъ. При извлеченіи квадратныхъ корней изъ многочленовъ

A) Располагаютъ многочленъ по нисходящимъ степенямъ главной буквы.

B) Извлекая коренъ изъ перваго члена многочлена, получаютъ первый членъ корня, квадратъ котораго вычитаютъ изъ многочлена.

C) Въ полученномъ первомъ остаткѣ выбираютъ снова старшій членъ и, раздѣливъ его на удвоенный первый членъ корня, получаютъ второй членъ корня. Приписавъ его къ удвоенному первому члену и умноживъ все на второй членъ, вычитаютъ произведеніе изъ перваго остатка.

В) Въ полученномъ второмъ остаткѣ снова выбираютъ старшій членъ и, раздѣляя его на удвоенный первый членъ, получаютъ третій членъ корня. Его приписываютъ къ удвоенной суммѣ первыхъ двухъ членовъ и, умноживъ все на третій членъ, вычитаютъ произведеніе изъ втораго остатка. Съ полученнымъ остаткомъ поступаютъ подобнымъ же образомъ.

Квадратный корень изъ многочлена не всегда выражается точно многочленомъ.

Въ этомъ случаѣ дѣйствіе это не можетъ быть окончено. Корни получаютъ тогда названіе ирраціональнныхъ.

Это бываетъ всякій разъ: 1) когда высшій или низшій члены многочлена не будутъ точными квадратами, 2) когда первый членъ остатка не дѣлится наглѣло на удвоенный первый членъ.

Извлеченіе кубичнаго корня.

§ 90. Извлеченіе кубичнаго корня изъ чиселъ. Кубъ всякаго числа, оканчивающагося нулями, содержитъ втрое болѣе нулей. Разсматривая кубы чиселъ, состоящихъ изъ единицы съ нулями, мы имѣемъ таблицу:

изъ которой видно, что кубы всѣхъ чиселъ, состоящихъ изъ одной цифры, выражаются одной, двумя или тремя цифрами, кубы чиселъ, состоящихъ изъ 2 цифръ, выражаются 4, 5 или 6 цифрами и т. д.

Вообще число У, состоящее изъ п цифръ, содержится между двумя числами 1О'І_1 и 10", то есть удовлетворяетъ неравенствамъ:

Возвышая въ кубъ эти числа, имѣемъ неравенства:

изъ которыхъ видно, что число У3 состоитъ изъ За, За—1 или За—2 цифръ. Отсюда выводимъ правило, опредѣляющее

Число цифръ куба. Кубъ числа, состоящаго изъ п цифръ, выражается Зп, Зп—1 или Зп—2 цифрами.

Это правило даетъ возможность обратно по числу У опредѣлить, изъ сколькихъ цифръ состоитъ кубичный корень. Для этого раздѣляютъ все число на, грани, отдѣляя отъ правой руки къ лѣвой по три цифры для каждой грани. Въ послѣдней грани могутъ быть одна или двѣ цифры.

Число цифръ кубичнаго корня равно числу граней.

Въ томъ случаѣ, когда корень состоитъ изъ одной цифры, его величину опредѣляютъ при помощи слѣдующей таблицы кубовъ первыхъ десяти чиселъ:

Такъ кубичный корень 645 будетъ по этой таблицѣ заключаться между 8 и 9. Онъ удовлетворяетъ неравенствамъ:

Принимая 8 за кубичный корень 645, мы совершаемъ ошибку менѣе 1.

Кубическій корень, отличающійся отъ истинной величины корня менѣе чѣмъ на единицу, называется корнемъ, опредѣленнымъ съ точностію до единицы.

Здѣсь 8 опредѣляетъ ]/б45 съ точностію до единицы.

Извлеченіе кубичнаго корня изъ чиселъ. Разсмотримъ случай, когда число состоитъ изъ 2-хъ граней, то есть изъ 4, 5, 6 цифръ, а его кубическій корень изъ двухъ цифръ.

Извлечемъ кубическій корень изъ числа 12167. Раздѣливъ его на грани, имѣемъ 12,167. Число состоитъ изъ двухъ граней. Корень его состоитъ изъ десятковъ и единицъ. Означимъ число десятковъ корня черезъ а, а число единицъ черезъ 6. Число, выраженное этими двумя цифрами, будетъ обозначать выраженіемъ (а, b).

Кубъ этого числа будетъ

Онъ состоитъ изъ куба десятковъ, утроеннаго произведенія квадрата десятковъ на единицы, утроеннаго произведенія десятковъ на квадратъ единицъ и куба единицъ.

Кубъ десятковъ ІООО.а3 оканчивается тремя нулями. Очевидно, послѣдняя грань 167 не имѣетъ вліянія на число десятковъ. Это число а зависитъ только отъ первой грани 12. Оно не должно превосходить 2, слѣд.

Вычитая кубъ десятковъ или 203 изъ числа, имѣемъ:

Остатокъ содержитъ всѣ остальные члены куба. Вычисляя число 3 100.22&, то есть утроенное произведеніе квадрата перваго члена на второй, мы видимъ, что оно оканчивается двумя нулями, слѣд. двѣ послѣднія цифры 67 не имѣютъ вліянія на число единицъ.

Отдѣливъ эти двѣ цифры, мы замѣчаемъ, что число 41 не должно превосходить 3.2Ѵ>, слѣд. вторая цифра не должна превосходить частнаго отъ раздѣленія 41 на 12, то есть частнаго отъ раздѣленія 41 на утроенный квадратъ первой цифры. Раздѣляя 41 на 12, имѣемъ вторую цифру корня 3.

Вычитая послѣдовательно утроенное произведеніе квадрата десятковъ на единицы, утроенное произведеніе десятковъ на квадратъ единицъ и кубъ единицъ имѣемъ:

Если не писать лишнихъ нулей, ходъ вычисленія выразится письменно:

Замѣтимъ, что утроенное произведеніе десятковъ на квадратъ единицъ и кубъ единицъ мы можемъ вычесть заразъ.

Изъ уравненія

видно, что сумма этихъ двухъ членовъ представляетъ произведеніе числа 3 10а+& на Ь'1. Число же 3.10а+& есть число, состоящее изъ За десятковъ и b единицъ, слѣд число (За,&). Такимъ образомъ эти два числа выражаютъ произведеніе (За,й)&.

Чтобы вычесть заразъ это произведеніе, нужно къ утроенной первой цифрѣ приписать вторую цифру корня и полученное число умножить на квадратъ второй цифры.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

словесно:

1) Извлекая корень изъ первой грани 12, получаемъ 2 первую цифру корня и вычитаемъ 8 кубъ первой цифры изъ первой грани.

2) Къ остатку 4 сносимъ слѣдующую грань 167 и отдѣляемъ двѣ послѣднія цифры грани для остальныхъ частей куба.

3) Дѣлимъ 41 на 12, утроенный квадратъ первой цифры. Частное 3 даетъ вторую цифру корня.

4) Умножаемъ 12 на 3, вычитаемъ изъ 41 и къ остатку сносимъ остальныя двѣ цифры.

5) Беремъ 6 утроенную первую цифру, приписываемъ къ ней вторую цифру 3, и, умноживъ число 63 на 9 квадратъ второй цифры, вычитаемъ произведеніе изъ остатка. При этомъ могутъ встрѣтиться три случая:

а) Если въ остаткѣ получимъ нуль, данное число есть кубъ-, Ъ) если произведеніе велико и его нельзя вычесть, нужно вторую цифру корня уменьшить на единицу, с) если получится остатокъ, данное число не есть полный кубъ, и мы получимъ его кубичный корень съ приближеніемъ до единицы.

Если число состоитъ изъ 3-хъ граней, корень его состоитъ изъ трехъ цифръ. Въ этомъ случаѣ, изображая его въ видѣ (10а+6), мы видимъ, что число десятковъ а выражается двумя цифрами. По-

слѣдня грань не имѣетъ вліянія на число десятковъ. Оно зависитъ только отъ первыхъ двухъ граней. Для опредѣленія его нужно извлекать кубичный корень изъ первыхъ двухъ граней, не обращая вниманія на послѣднюю. При этомъ нужно примѣнять прежнія правила.

Найдя первыя двѣ цифры корня и снося къ остатку слѣдующую грань, мы должны руководиться предыдущими правилами для отысканія третьей цифры корня. Въ этомъ случаѣ число десятковъ будетъ выражаться двумя первыми цифрами.

Извлекая кубическій корень изъ числа 119095488, мы выражаемъ ходъ вычисленія письменно-.

словесно-.

1) Извлекая корень изъ первой грани 119, получаемъ 4 первую цифру корня. Вычитаемъ 64 кубъ 4 изъ первой грани.

2) Къ остатку 55 сносимъ слѣдующую грань 095; въ числѣ 55095 отдѣляемъ двѣ цифры для остальныхъ частей куба и дѣлимъ 550 на 48 утроенный квадратъ первой цифры. Для второй цифры корня беремъ высшую цифру 9.

3) Умножаемъ утроенный квадратъ 48 на вторую цифру 9 и вычитаемъ 432 изъ 550; къ остатку 118 сносимъ слѣдующія двѣ цифры. Приписываемъ къ утроенной первой цифрѣ 12 вторую цифру 9 и число 129 умножаемъ на 81 квадратъ второй цифры. Вычитаемъ 10449 произведеніе 129. 81.

4) Къ остатку 1446 сносимъ слѣдующую грань 488 и въ числѣ 1446488 отдѣляемъ 88 послѣднія двѣ цифры для остальныхъ частей куба. Дѣлимъ число 14464 на 7203 утроенный квадратъ первыхъ двухъ цифръ 3.492, въ частномъ получаемъ 2 третью цифру корня.

5) Умножаемъ 7203 на 2 и вычитаемъ изъ 14464. Къ остатку 58 сносимъ слѣдующія двѣ цифры 88. Беремъ 147 утроенное число, состоящее изъ первыхъ двухъ цифръ 3. 49, приписываемъ къ нему третью цифру 2 и число 1472 умножаемъ на 4 квадратъ 2. Вычитая произведеніе 5888, получаемъ въ остаткѣ нуль. Корень числа есть 492.

Изъ предыдущаго вытекаетъ слѣдующее

Правило извлеченія кубичныхъ корней изъ чиселъ. При извлеченіи, кубичнаго корня изъ цѣлаго числа.

A) Отъ правой руки къ лѣвой раздѣляютъ число на грани по три цифры въ каждой, при чемъ въ послѣдней грани могутъ быть одна или двѣ цифры.

B) Начинаютъ извлеченіе корня отъ лѣвой руки къ правой-, для этого извлекаютъ кубичный корень изъ первой грани и находятъ первую цифру корня. Вычитая кубъ этой цифры изъ первой грани, получаютъ первый остатокъ.

C) Къ остатку сносятъ слѣдующую гранъ, отдѣляютъ справа двѣ цифры для остальныхъ частей куба и число до запятой дѣлятъ на утроенный квадратъ пер-

вой цифры. Частное даетъ вторую цифру корня. Умножая на нее утроенный квадратъ первой цифры, вычитаютъ это произведеніе и къ остатку сносятъ двѣ отдѣленныя цифры. За тѣмъ берутъ утроенную цифру корня, приписываютъ вторую цифру и умножаютъ полученное число на квадратъ второй цифры. Если полученное произведеніе болѣе числа, уменьшаютъ вторую цифру корня на единицу, если же оно менѣе, его вычитаютъ.

D) Къ остатку сносятъ слѣдующую грань, отдѣляютъ двѣ цифры и число до запятой дѣлятъ на утроенный квадратъ числа, состоящаго изъ первыхъ двухъ цифръ корня. Въ частномъ получаютъ третью цифру корня. Умножаютъ на нее утроенный квадратъ, вычитаютъ и къ остатку сносятъ отдѣленныя двѣ цифры. Берутъ утроенное число, составленное изъ первыхъ двухъ цифръ корня, приписываютъ третью цифру, умножаютъ полученное число на квадратъ третьей цифры и вычитаютъ. Извлеченіе продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока не получатъ всѣхъ цифръ корня.

§ 91. При извлеченіи кубичныхъ корней изъ большихъ чиселъ оказывается полезною слѣдующая

Теорема. Если корень состоитъ изъ 2п~]-2 цифръ, достаточно найти только п-\-2 цифръ корня, остальныя п цифръ получатся какъ цѣлое частное отъ раздѣленія остатка на утроенный квадратъ найденной части корня.

Доказательство. Положимъ кубичный корень числа N состоитъ изъ 2я+2 цифръ и допустимъ, что мы нашли первыя я+2 цифры корня. Означивъ черезъ А найденную часть и черезъ х остальную часть корня, получимъ:

слѣд.

откуда

Число х состоитъ изъ п цифръ, а число А изъ. п + 2 цифръ съ п нулями, слѣд.

и сумма

Число х есть цѣлое частное отъ раздѣленія остатка N-—А3 на ЗА2 утроенный квадратъ найденной части корня.

92. Кубичные корни изъ чиселъ но приближенію. Если нельзя выразить кубическаго корня цѣлымъ, числомъ, его выражаютъ приближенно съ точностію до какихъ нибудь долей. Такъ, чтобы выразить /TV съ точностію до -, умножаемъ и дѣлимъ этотъ корень на п, тогда

Допустимъ, что /Nп3 заключается между А и А+1. Въ этомъ случаѣ имѣютъ мѣсто неравенства:

откуда

Изъ этихъ неравенствъ видно, что У N заключается между величинами — и — + —, слѣд. — выражаетъ величину V N съ точностію до— •

Отсюда вытекаетъ

Правило. Чтобы выразить кубичный корень съ какимъ нибудь приближеніемъ, умножаютъ число на кубъ знаменателя дроби, выражающей приближеніе, извлекаютъ корень кубичный съ точностію до единицы и дѣлятъ на знаменателя.

Обыкновенно приближеніе выражаютъ десятичными дробями и извлекаютъ кубичный корень съ точностію до 0,1; 0, 01 и т. д.

Правило. Чтобы извлечь кубичный коренъ съ приближеніемъ до 0,1', 0, 01 и т. д. умножаютъ число на 1 съ числомъ нулей втрое болѣе числа нулей приближенной дроби, извлекаютъ коренъ съ точностію до единицы и дѣлятъ на знаменателя.

Примѣръ. Опредѣвилъ /7 съ точностію до 0,01, находимъ:

слѣд.

§ 93. Извлеченіе кубичнаго корня изъ дробей. При извлеченіи кубичнаго корня изъ дробей стараются сдѣлать знаменателя полнымъ кубомъ. Для

этого числителя и знаменателя дроби умножаютъ на квадратъ знаменателя и за тѣмъ извлекаютъ корень изъ числителя и знаменателя отдѣльно.

Извлеченіе кубичнаго корня изъ десятичной дроби. Чтобы сдѣлать знаменателя полнымъ кубомъ въ томъ случаѣ, когда данная дробь десятичная, дополняютъ справа число десятичныхъ знаковъ дроби столькими нулями, чтобы число десятичныхъ знаковъ было число кратное тремъ.

Корень десятичной дроби извлекаютъ также по приближенію. При этомъ имѣютъ въ виду слѣдующее

Правило. Чтобы извлечь кубичный корень изъ десятичной дроби по приближенію съ точностію до 0, 1; 0,01 и т. д. приписываютъ къ дроби справа столько нулей, чтобы число десятичныхъ знаковъ было втрое болѣе числа нулей приближенной дроби, отбрасываютъ запятую, извлекаютъ корень съ точностію до единицы и отдѣляютъ въ корнѣ требуемое число десятичныхъ знаковъ.

Найти /2,5 съ точностію до 0, 01. Въ корнѣ должно быть два десятичныхъ знака. Приписывая къ подкоренной величинѣ 5 нулей, имѣемъ:

Отбрасывая запятую и извлекая кубичный корень съ точностію до единицы, находимъ

слѣд.

Предварительныя понятія о мнимыхъ величинахъ.

§ 94. Опредѣленіе. Мнимою величиною называютъ вообще корень четной степени изъ отрицательнаго количества.

Всѣ мнимыя величины приводятся въ зависимость отъ простѣйшаго мнимаго выраженія вида ]/—1. Это выраженіе, заключающее въ себѣ квадратный корень изъ—1, принято называть буквою /.

Всякій квадратный корень изъ отрицательнаго числа приводится въ зависимость отъ выраженія і простымъ преобразованіемъ.

Такъ

Всякое другое количество приводится къ виду а-\-ЬѴ—1 или а-\-Ы, гдѣ а и Ъ дѣйствительныя количества.

Общій видъ мнимаго количества. Выраженіе а-\-Ы называется общимъ видомъ мнимаго количества.

Въ своемъ общемъ видѣ мнимое выраженіе а-(-Ьі состоитъ изъ двухъ частей: дѣйствительной а и мнимой Ъі.

Модуль мнимаго выраженія. Количество /«2+&* называется модулемъ мнимаго выраженія. Модулъ считаютъ всегда положительною величиною.

Дѣйствія съ мнимыми выраженіями приводятся къ дѣйствіямъ надъ количествомъ і.

Дѣйствія съ количествомъ і. Изъ самаго опредѣленія видно, что

Первыя четыре степени і имѣютъ четыре значенія, отличающихся другъ отъ друга;

Всѣ остальныя степени і приводятся къ этимъ значеніямъ.

При этомъ вообще

Отсюда вытекаетъ

Правило. Чтобы опредѣлитъ величину iN, нужно найти г остатокъ отъ дѣленія N на 4, тогда і1Ѵ=іг.

Дѣйствительное количество а и мнимое Ъі между собою не однородны и потому они неприводимы. Результатъ ихъ сложенія и вычитанія выражается прямо въ формѣ аМЫ или а—Ы.

Два мнимыхъ количества ai и Ы складываются и вычитаются какъ количества однородныя, то есть складываются и вычитаются только коэффиціенты при і.

§ 95. Дѣйствія съ мнимыми выраженіями.

Сложеніе и вычитаніе. При сложеніи и вычитаніи мнимыхъ выраженій дѣйствительныя и мнимыя части складываютъ и вычитаютъ отдѣльно.

Сопряженныя мнимыя количества. Два мнимыхъ количества а + bi и а—bi называются сопряженными мнимыми количествами.

Сумма двухъ сопряженныхъ мнимыхъ количествъ равна удвоенной мнимой части.

Разность двухъ сопряженныхъ мнимыхъ количествъ равна удвоенной мнимой части.

Теорема 1. Если мнимое выраженіе равно нулю, то дѣйствительная и мнимая части отдѣльно равны нулю.

Доказательство. Если

то

Возвышая въ квадратъ обѣ части равенства, имѣемъ:

Квадратъ всякаго дѣйствительнаго количества равенъ положительной величинѣ.

Страница временно отсутствует

Страница временно отсутствует

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Положивъ

мы видимъ, что всякое

квадратное уравненіе можетъ быть приведено къ виду:

Этотъ видъ квадратнаго уравненія называютъ общимъ.

Составъ квадратнаго уравненія. Квадратное уравненіе имѣетъ три члена: а) членъ, содержащій вторую степень неизвѣстнаго, Ъ) членъ, содержащій первую степень неизвѣстнаго и с) членъ, не содержащій неизвѣстнаго и называемый просто извѣстнымъ членомъ.

Полное уравненіе. Квадратное уравненіе называется полнымъ или трехчленнымъ, если всѣ три члена уравненія имѣются на лицо.

Неполное уравненіе. Уравненіе называется неполнымъ или двучленнымъ, если имѣются на лицо только два члена уравненія.

Уравненіе ах2 + Ъх + с= 0 будетъ уравненіемъ полнымъ.

Уравненія

будутъ неполными уравненіями.

Корни уравненія. Величины, удовлетворяющія квадратному уравненію, называются корнями уравненія.

Найти корни уравненія значитъ рѣшить уравненіе.

Разсмотримъ способъ рѣшенія неполныхъ уравненій.

§ 97. Рѣшеніе неполныхъ уравненій. При рѣшеніи неполныхъ уравненій встрѣчаются два случая:

1. Рѣшеніе уравненія ах3 + hx = О (1)

Выводя х за скобку въ первой части уравненія, имѣемъ:

Первая часть выражаетъ произведеніе двухъ множителей. Это произведеніе можетъ обратиться въ нуль, когда одинъ изъ этихъ множителей обращается въ нуль. Произведеніе обратится въ нуль, когда

Такимъ образомъ уравненіе (1) имѣетъ два рѣшенія или два корня, изъ которыхъ одинъ всегда равенъ нулю.

Назвавъ эти рѣшенія буквами xt и xt, имѣемъ:

2. Рѣшеніе уравненія ахг + с == 0.

Перенося извѣстное число во вторую часть уравненія и раздѣляя на а, получаемъ:

Извлекая корень, имѣемъ:

слѣд. уравненіе «ж2+с=0 также имѣетъ два корня:

Если—— есть число положительное, оба корня суть величины дѣйствительныя, если — -- величина отрицательная, оба корня—величины мнимыя.

Если—— = 0, то есть с = О, оба корня равны нулю. Уравненіе въ этомъ случаѣ принимаетъ видъ ах~ = О

Примѣръ. 5#2 — 7=0

§ 98. Рѣшеніе полнаго уравненія. Чтобы рѣшить уравненіе

переносимъ извѣстный членъ во вторую часть уравненія

за тѣмъ прибавляемъ къ обѣимъ частямъ уравненія такое количество, чтобы первая часть его была полнымъ квадратомъ.

Допустимъ, что это количество есть «2, тогда получимъ уравненіе:

Если количество #2+а2 есть полный квадратъ двучлена х + «, то должно имѣть мѣсто тождество:

откуда

или

слѣд., чтобы сдѣлать первую часть полнымъ квадратомъ, нужно прибавить къ обѣимъ частямъ уравненія , квадратъ половины коеффиціента при х (неизвѣстномъ первой степени).

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Первая часть есть квадратъ двучлена

Уравненіе приметъ видъ:

Извлекая корень изъ обѣихъ частей уравненія, получимъ:

откуда имѣемъ:

Отсюда вытекаетъ

Правило. Чтобы рѣшить квадратное уравненіе нужно перенести извѣстное во вторую часть уравненія, прибавить къ обѣимъ частямъ квадратъ половины ко-

еффиціента при неизвѣстномъ первой степени, извлечь изъ обѣихъ частей квадратный корень и опредѣлить неизвѣстное.

Полное квадратное уравненіе имѣетъ такимъ образомъ два корня:

Оба эти корня выражаютъ иногда одной Формулой:

которая даетъ такое словесное

Выраженіе корня квадратнаго уравненія. Корень квадратнаго уравненія равенъ половинѣ коеффиціента при х первой степени съ противуположнымъ знакомъ ± (плюсъ или минусъ) корень изъ извѣстнаго числа во второй части уравненія, сложеннаго съ квадратомъ половины коеффиціента при х.

Примѣръ. # + Зж — 10 = О

Два корня уравненія будутъ:

§ 99. Изслѣдованіе корней квадратнаго уравненія.

Корни квадратнаго уравненія

выражаются формулами:

Корни квадратнаго уравненія могутъ быть дѣйствительными, мнимыми и равными.

1. Два корня будутъ величинами дѣйствительными, если подкоренное количество будетъ положительною величиною, то есть, если

2. Два корня будутъ величинами мнимыми, если подкоренное количество будетъ величиною отрицательною, то есть, если

Уравненіе

можетъ быть тогда представлено въ видѣ:

или

Представивъ его въ такомъ видѣ, мы видимъ, что оно не можетъ быть удовлетворено дѣйствительны

ми величинами #, ибо тогда (#+^ )2 какъ квадратъ — есть величина положительная, количество q — такжа величина положительная по условію; а сумма двухъ положительныхъ величинъ не можетъ равняться нулю.

Два мнимыхъ корня квадратнаго уравненія будутъ сопряженными мнимыми величинами, то есть, если одинъ равенъ мнимому количеству а Д- ßa, другой равенъ мнимому количеству «—ßr

3. Корни квадратнаго уравненія будутъ равными, если подкоренное количество равно нулю, то есть, если

Въ этомъ случаѣ х, = х2 = —

Данное уравненіе принимаетъ видъ:

§ 100. Зависимость между коеффиціентами и корнями квадратнаго уравненія. Между коеффиціентами и корнями квадратнаго уравненія существуетъ очень простая зависимость.

Два корня квадратнаго уравненія

выражаются формулами:

Складывая ихъ находимъ:

Перемножая ихъ, получимъ:

слѣд.

Сумма корней равна коеффиціенту при неизвѣстномъ первой степени съ противуположнымъ знакомъ.

Произведеніе корней равно извѣстному числу въ первой части уравненія съ тѣмъ же знакомъ.

Зависимость между коеффиціентами и корнями даетъ легкій способъ по даннымъ корнямъ составить соотвѣтствующее имъ квадратное уравненіе. Для этого опредѣляемъ сумму и произведеніе корней. Зная это, составляемъ самое уравненіе.

Пусть корнями уравненія будутъ числа 2 и 3.

Сумма корней 5, а произведеніе 6

Квадратное уравненіе, имѣющее данные корни, будетъ

Эта же зависимость даетъ возможность найти

§ 101. Разложеніе квадратнаго уравненія на производители первой степени. Допустимъ, что одинъ корень будетъ другой [і.

Квадратное уравненіе, имѣющее эти корни, будетъ

откуда вытекаетъ

Заключеніе. Всякое квадратное уравненіе можетъ быть разложено на произведеніе двухъ двучленныхъ множителей, изъ которыхъ каждый равенъ разности между неизвѣстнымъ и корнемъ.

§ 102. Всѣ вышевыведенныя формулы имѣютъ мѣсто и для уравненія

Раздѣляя все уравненіе на а, мы приводимъ его къ виду:

слѣд. это уравненіе одинаково съ уравненіемъ

если въ послѣднемъ положимъ

Сдѣлавъ это, имѣемъ для двухъ корней уравненія (2) выраженія:

или

Здѣсь могутъ быть три случая:

1) Корни будутъ величинами дѣйствительными, если

2) мнимыми, если

3) равными, если

См. Прибавленія. Свойства трехчлена второй степени.

§ 108. Примѣромъ изслѣдованія различныхъ случаевъ при рѣшеніи квадратнаго уравненія можетъ послужить слѣдующая

Задача. На линіи AB, соединяющей два источника свѣта А и В, отстоящихъ другъ отъ друга на разстояніи AB = а, опредѣлить точку /У, равно освѣщенную обоими источниками, если извѣстно, что на разстояніи единицы сила свѣта источника А равна I, а сила свѣта источника В равна т. Кромѣ того извѣстно, что сила освѣщенія прямо пропорціональна силѣ свѣта и обратно пропорціональна квадрату разстоянія, то есть сила освѣщенія по мѣрѣ увеличенія разстоянія уменьшается, какъ квадратъ разстоянія.

Рѣшеніе задачи. Допустимъ, что точка S, равно освѣщенная обоими источниками А п В, находится отъ А на разстояніи х.

Разстояніе AA = х, разстояніе BS = а — х Сила освѣщенія точки *S' источникомъ А будетъ

Сила освѣщенія точки /У источникомъ #б удетъ Эти величины равны, слѣд.

откуда

откуда

Два корня будутъ:

Мнимыхъ рѣшеній задача не имѣетъ, ибо I и т суть величины положительныя.

Изслѣдованіе задачи. При изслѣдованіи задачи встрѣчаются слѣдующіе случаи:

1) 1> т, то есть источникъ А свѣтитъ сильнѣе В.

Въ этомъ случаѣ имѣемъ двѣ равно освѣщенныя точки:

одна находится на разстояніи АА=

другая на разстояніи A*Ç, =

Дѣйствительно, изъ неравенствъ

видно, что ЛА < а и А6\ > а, то есть одна точка находится между 4 и В, а другая за точкою В.

Изъ неравенства

видно, что AS > '/2 а, то есть точка лежитъ ближе ко второму источнику свѣта.

2) I < т, то есть источникъ А свѣтитъ слабѣе истичника В.

Въ этомъ случаѣ

= полож. величинѣ, = отриц. величинѣ, то есть одна точка А лежитъ между А и В, а другая St лежитъ влѣво отъ слабѣйшаго источника свѣта А.

3) Если I = т, то

то есть, когда сила свѣта обоихъ источниковъ одинакова, одна равно освѣщенная точка лежитъ посреди между А и В, а другая въ безконечномъ разстояніи отъ обоихъ источниковъ свѣта.

4) Если а = 0 и I = т, то

то есть, если оба источника равной силы помѣщены вмѣстѣ, второе неопредѣленное рѣшеніе означаетъ, что всякая точка на линіи ABS будетъ ими одинаково освѣщена.

§ 104. Уравненія, приводимыя къ квадратнымъ.

Къ квадратнымъ уравненіямъ приводятся трехчленныя уравненія вида: хіт -|- рхт + у = О

Эти уравненія приводятся къ квадратнымъ простымъ введеніемъ новаго неизвѣстнаго.

Полагая хт = у, получимъ квадратное уравненіе

изъ котораго имѣемъ:

Зная у, найдемъ х изъ уравненія

Величина х будетъ:

Въ томъ частномъ случаѣ, когда т=2, имѣемъ уравненіе 4-й степени или

Уравненіе биквадратное х'' + рх* + у = О, корни котораго выражаются формулою:

Въ этой формулѣ заключаются слѣдующіе 4 корня биквадратнаго уравненія:

Кромѣ этихъ существуютъ и другіе случаи, въ которыхъ иными преобразованіями можно привести уравненія высшей степени къ квадратнымъ. Изученіе этихъ случаевъ принадлежитъ къ той статьѣ алгебры, которая извѣстна подъ именемъ преобразованія корней и имѣетъ между прочимъ въ виду и вопросъ о пониженіи степени уравненія.

Примѣръ. # — 13# + 36 = О

Четыре корня будутъ:

§ 105. Выраженіе

въ видѣ

Въ числѣ различныхъ задачъ, рѣшаемыхъ при помощи квадратнаго уравненія, заслуживаетъ вниманія одна чисто теоретическая

Задача. Опредѣлить тѣ условія, при которыхъ выраженіе |/ а -\-Ѵ Ь можетъ быть представлено въ видѣ суммы V х+Ѵ у въ случаѣ, если а, х, у раціональныя числа.

Возвышая въ квадратъ уравненіе

имѣемъ:

откуда

Возвышая въ квадратъ обѣ части этого уравненія, получаемъ:

Въ это уравненіе входитъ только одно ирраціональное количество У Ъ. Оно несоизмѣримо съ остальными величинами, и потому соизмѣримыя и несоизмѣримыя величины должны отдѣльно удовлетворять уравненію.

Для этого нужно, чтобы коеффиціентъ при у Ъ обращался въ нуль.

Положивъ

имѣемъ еще уравненіе

Изъ уравненій

опредѣляющихъ сумму и произведеніе чиселъ, можно опредѣлить х и у какъ корни квадратнаго уравненія:

откуда

Величины х и у будутъ раціональными числами только тогда, когда величина а2—Ъ будетъ полнымъ квадратомъ какого нибудь раціональнаго числа.

Въ этомъ случаѣ

Двѣ величины х и у выразятся въ видѣ:

.а искомое выраженіе будетъ:

(1)

Примѣръ.

Уравненіе

(2)

остается справедливымъ и въ томъ случаѣ, когда разность аг — Ъ не равна квадрату раціональнаго числа. Дѣйствительно, возвышая обѣ части уравненія въ квадратъ, мы находимъ тождество. Въ этомъ случаѣ уравненіе (2) не представляетъ никакихъ особенныхъ выгодъ.

Разсуждая подобнымъ образомъ, мы находимъ уравненіе

которое въ случаѣ, когда а2 — Ъ будетъ полнымъ квадратомъ, дастъ выраженіе * въ видѣ разности двухъ корней изъ раціональныхъ чиселъ.

См. Прибавленія. Рѣшеніе ирраціональныхъ уравненій. Освобожденіе уравненій отъ корней.

§ 106. Извлеченіе квадратнаго корня изъ мнимаго количества. Положимъ, что квадратный корень изъ мнимаго количества а-УЪі выражается въ видѣ мнимаго количества х + уі, гдѣ х и у дѣйствительныя величины.

Опредѣляемъ х и у. Возвышая въ квадратъ обѣ части уравненія, получаемъ:

откуда

Рѣшая уравненіе, находимъ:

Мы взяли величину С только со знакомъ + при корнѣ, ибо х должна быть дѣйствительною величиною

откуда

Изъ уравненія 2жг/=6 видимъ, что при Ъ положительномъ знаки х и у должны быть одинакими, а при b отрицательномъ знаки х и у должны быть разными, слѣд.

Въ этихъ обѣихъ Формулахъ величина b положительна.

Изъ этого видимъ, что квадратный корень изъ мнимой величины есть тоже мнимая величина.

Доказательство этого заключенія для корней высшихъ степеней зависитъ отъ разсмотренія уравненій высшихъ степеней.

См. Прибавленія. Совмѣстныя уравненія второй степени съ двумя неизвѣстными.

VIII. Неравенства.

§ 107. Для означенія, что одна величина болѣе или менѣе другой, соединяютъ ихъ знаками: > (болѣе) или < (менѣе).

Знаки неравенствъ. Знаки > или < называютъ знаками неравенствъ.

Неравенство. Совокупность двухъ неравныхъ количествъ по обѣ стороны знаковъ > или < называется неравенствомъ.

Такимъ образомъ неравенство 6 > 3 означаетъ, что 6 болѣе 3, неравенство 3<6 означаетъ, что три менѣе шести.

Расположеніе знаковъ неравенства. Обыкновенно располагаютъ знаки неравенствъ такъ, чтобы отверстіе знака было обращено къ большей величинѣ.

Части неравенства. Выраженія, стоящія по обѣ стороны знака неравенства, называютъ частями неравенства.

Изъ двухъ неравныхъ величинъ а и Ь считаютъ а болѣе b только тогда, когда разность а—Ъ величина положительная.

Такимъ образомъ неравенства

выражаютъ, въ то же время, что а — Ъ есть величина подозрительная.

На этомъ основаніи считаютъ, что

а) Всякое положительное число болѣе отрицательнаго

b) Нуль болѣе всякой отрицательной величины

с) Отрицательная величина тѣмъ болѣе, чѣмъ менѣе его числовая величина.

Дѣйствительно, во всѣхъ этихъ случаяхъ всѣ три разности выражаются Формулами: въ первомъ:

во второмъ:

въ третьемъ:

Всѣ эти разности суть величины положительныя.

На этомъ основаніи имѣютъ мѣсто неравенства:

5 > 4 > 1 > О — 1 > — 5 > — 6 и т. д.

Такое соотношеніе между неравными величинами вытекаетъ также изъ того соображенія, что величина убываетъ всякій разъ, если мы вычитаемъ положительное число.

Имѣя рядъ чиселъ

6, 5, 4, 3, 2, 1, О

постоянно убывающій на 1, мы получаемъ все меньшія и меньшія числа. Продолжая постоянно уменьшать ихъ на единицу, мы будемъ за нулемъ получать уже отрицательныя числа.

Рядъ чиселъ выразится въ видѣ

6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, —1, —2, —3...

Отрицательныя числа, слѣдующія за нулемъ, представляютъ также рядъ постоянно убывающихъ величинъ, не смотря на то, что числовая величина ихъ возрастаетъ.

Величины, опредѣляемыя неравенствомъ.

Неизвѣстныя величины кромѣ уравненій могутъ опредѣляться неравенствами. Между величинами, опредѣляемыми уравненіемъ и неравенствомъ, существуетъ важная разница. Въ томъ случаѣ, когда мы величину опредѣляемъ уравненіемъ, напр. ж=2, мы точно означаемъ ея величину. Въ томъ же случаѣ, когда ея опредѣляемъ неравенствомъ напр:

#>2

мы указываемъ только, что она можетъ быть всякою величиною большею 2. Предѣлы, внутри которыхъ заключается значеніе #, будутъ 2 и <».

Въ этомъ случаѣ число 2 будетъ низшимъ предѣломъ неизвѣстной величины.

Если величина будетъ опредѣляться неравенствомъ

#<2

всякая величина менѣе 2 можетъ выражать неизвѣстное х.

Величина неизвѣстнаго заключается въ предѣлахъ между—со и 2. Въ этомъ случаѣ 2 будетъ высшимъ предѣломъ неизвѣстной величины. Отсюда мы имѣемъ слѣдующее

Опредѣленіе высшаго и низшаго предѣла. Если неизвѣстное опредѣляется неравенствомъ х>а, величина а будетъ низшимъ предѣломъ неизвѣстнаго', если же неизвѣстное опредѣляется неравенствомъ х<а, величина а будетъ высшимъ предѣломъ неизвѣстнаго.

Неравенства одинаковыя и неодинаковыя. Два неравенства, у которыхъ знаки неравенстъ тѣ же самые, называютъ неравенствами одинаковыми-, неравенства же, отличающіяся знаками неравенства, называются неодинаковыми.

Неравенства

будутъ одинаковыми.

Неравенства

будутъ неодинаковыми.

Если величина неизвѣстнаго опредѣляется однимъ неравенствомъ, извѣстенъ только одинъ высшій или низшій предѣлъ ея.

Величины, опредѣляемыя двумя неравенствами. Если же величина неизвѣстнаго опредѣляется двумя совмѣстными неравенствами, предѣлы неизвѣстной величины зависятъ отъ свойствъ этихъ неравенствъ.

1) Если оба неравенства одинаковы, то одно изъ нихъ дѣлается излишнимъ.

Такъ, неравенства

существуя вмѣстѣ, опредѣляютъ, что х должно быть болѣе 7. При этомъ неравенство «>2 дѣлается излишнимъ.

Точно также изъ двухъ неравенствъ

неравенство х < 5 дѣлается излишнимъ.

2) Два неодинаковыхъ неравенства, существуя вмѣстѣ, опредѣляютъ высшій и низшій предѣлы неизвѣстнаго.

Такъ неравенства

указываютъ, что величина х заключается между предѣлами 1 и 2, при чемъ неравенство х > 1 опредѣляетъ низшій, а неравенство х < 2—высшій предѣлъ величины.

3) Когда величина неизвѣстнаго опредѣляется двумя неодинаковыми неравенствами, изъ которыхъ одно противорѣчивъ другому, тогда не существуетъ величины, имъ удовлетворяющей. Это бываетъ всякій разъ, когда низшій предѣлъ бываетъ болѣе высшаго.

Такъ, неравенства

взаимно противорѣчатъ другъ другу, ибо 2 низшій предѣлъ болѣе 0 высшаго предѣла.

§ 108. Основныя свойства неравенствъ. 1. Неравенство не измѣняется, если къ обѣимъ частямъ его придадимъ или вычтемъ поровну.

Такъ неравенство

можетъ быть замѣнено неравенствами:

На этомъ свойствѣ основывается

Правило перенесенія членовъ неравенства изъ одной части въ другую. Можно члены неравенства переносить изъ одной части неравенства въ другую, перемѣняя при этомъ знаки членовъ неравенства.

Доказательство. Прибавляя по Ъ къ обѣимъ частямъ неравенства

имѣемъ:

или

Вычитая по с изъ обѣихъ частей неравенства, имѣемъ:

2. Неравенство не измѣняется, если обѣ части неравенства умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же положительное число.

Такъ, неравенства

при т положительномъ могутъ быть замѣнены неравенствами:

Это зависитъ отъ того, что, если разность а—b положительна, остаются положительными и разности:

Неравенства между дробными можно замѣнить неравенствами между цѣлыми числами.

Для этого нужно всѣ члены неравенства привести къ одному знаменателю и отбросить знаменателя. Отбрасывая знаменателя, мы умножаемъ только все неравенство на знаменателя.

Неравенство

можетъ быть замѣнено неравенствомъ:

или неравенствомъ

3. Умножая неравенство на отрицательное число, нужно измѣнить знакъ неравенства.

Дѣйствительно, если неравенство

умножимъ на отрицательное число —т, то разность (а— b) (—т) будетъ отрицательна, то есть

откуда

Знакъ неравенства измѣнился.

Умножая неравенство на —1, мы измѣняемъ знаки всѣхъ членовъ неравенства, поэтому, перемѣняя знаки у всѣхъ членовъ неравенства, мы должны измѣнить и самый знакъ неравенства.

Разсматривая два совмѣстныхъ неравенства, мы выводимъ слѣдующія свойства:

4. Два одинаковыхъ неравенства Можно складывать, не измѣняя знака неравенства.

Дѣйствительно, имѣя два неравенства:

мы заключаемъ, что разности а—b и c—d положительны, слѣд. и сумма ихъ тоже положительна, то есть

откуда

Точно также два неравенства

даютъ неравенство

5. Два неодинаковыя неравенства можно вычитать одно изъ другаго, при чемъ знакъ новаго неравенства долженъ быть одинаковъ съ знакомъ неравенства уменьшаемаго.

Такъ, два неодинаковыя неравенства:

даютъ одинаковыя неравенства

откуда имѣемъ неравенство

Это неравенство получилось отъ вычитанія втораго неравенства изъ перваго, при чемъ знакъ новаго неравенства одинаковъ со знакомъ перваго.

Точно также изъ двухъ неодинаковыхъ неравенствъ

получаемъ одинаковыя неравенства

или

откуда имѣемъ неравенство

Это неравенство сохраняетъ знакъ одинакій со знакомъ перваго неравенства.

6. Если всѣ четыре части двухъ неравенствъ положительны, можно перемножать одинаковыя и дѣлить неодинаковыя неравенства.

Такъ двѣ пары одинаковыхъ неравенствъ съ положительными членами:

даютъ неравенства:

Точно также неодинаковыя неравенства:

даютъ одинаковыя неравенства:

откуда

§ 109. Рѣшеніе неравенствъ. При рѣшеніи неравенствъ, содержащихъ неизвѣстныя, поступаютъ точно также какъ и при рѣшеніи уравненій.

Для этого приводятъ неравенства къ одному знаменателю, отбрасываютъ знаменателя, переносятъ неизвѣстныя въ одну, а извѣстныя въ другую часть неравенства и дѣлятъ все неравенство на коеффиціентъ не-

извѣстнаго, при чемъ сохраняютъ или измѣняютъ знакъ неравенства, смотря по тому, будетъ ли этотъ коеффиціентъ положительное или отрицательное число.

Имѣя неравенство

и перенося неизвѣстныя въ первую, а извѣстныя во вторую часть неравенства, получаемъ:

Вынося х за скобку, имѣемъ:

откуда, если а — с > 0 получаемъ:

если а — с < 0, имѣемъ:

Примѣръ. Рѣшить неравенство

Приводя къ одному знаменателю и отбросивъ знаменателя, имѣемъ:

откуда

IX. Неопредѣленныя уравненія.

§ 110. Неопредѣленное уравненіе. Неопредѣленнымъ называется такое уравненіе, въ которомъ неизвѣстныхъ болѣе одного.

Система неопредѣленныхъ уравненій. Системою неопредѣленныхъ уравненій называется такая совокупность совмѣстныхъ уравненій, въ которой число неизвѣстныхъ болѣе числа уравненій.

Неопредѣленныя уравненія получаются при рѣшеніи такихъ задачъ, въ которыхъ число неизвѣстныхъ болѣе числа условій.

Неопредѣленныя уравненія раздѣляются по числу и степени неизвѣстныхъ, а также по отношенію между числомъ уравненій и неизвѣстныхъ.

Разсмотримъ сперва случай одного неопредѣленнаго уравненія.

Неопредѣленное уравненіе можетъ имѣть 2, 3 и вообще п неизвѣстныхъ. Смотря по порядку неизвѣстныхъ, входящихъ въ уравненіе, его называютъ уравненіемъ первой, второй степени и т. д.

Всякое неопредѣленное уравненіе можетъ быть приведено къ такому виду, чтобы всѣ его коеффиціенты были цѣлыми числами.

§ 111. Неопредѣленное уравненіе первой степени съ двумя неизвѣстными. Общій видъ неопредѣленнаго уравненія первой степени есть уравненіе

гдѣ а, Ь, с цѣлыя положительныя или отрицательныя числа.

Такое уравненіе имѣетъ безчисленное множество рѣшеній.

Такъ, опредѣляя у, имѣемъ:

Величина х не ограничивается никакими условіями. Она совершенно произвольна.

Давая х значенія 0, а, ß, у... имѣемъ:

Каждой величинѣ х будетъ соотвѣтствовать вполнѣ опредѣленная величина у.

Системы величинъ

попарно вполнѣ удовлетворяютъ уравненію.

Число рѣшеній неопредѣленнаго уравненія безконечно.

Дополнительныя условія. Безчисленное множество рѣшеній неопредѣленнаго уравненія ограничиваютъ различными дополнительными условіями. Такъ, иногда ставятъ условіемъ, чтобы всѣ рѣшенія были цѣлыми числами; иногда же требуютъ, чтобы рѣшенія были не только цѣлыми, но и положительными числами.

Мы будемъ разсматривать только цѣлыя рѣшенія неопредѣленнаго уравненія

Здѣсь могутъ быть два главныхъ случая:

1) Когда коеффиціенты a и b имѣютъ общаго дѣлителя,

2) Когда a и b суть взаимно простыя числа.

I. Случай. Коеффиціенты при неизвѣстныхъ a и b имѣютъ общаго дѣлителя.

Если а и b имѣютъ общаго дѣлителя d, на который дѣлится и число с, обыкновенно сокращаютъ все уравненіе на этого общаго дѣлителя.

Уравненіе ах + by = с замѣняютъ уравненіемъ:

гдѣ

суть цѣлыя числа.

Всѣ цѣлыя рѣшенія этого уравненія будутъ и рѣшеніями уравненія <

Когда а и b имѣютъ общаго дѣлителя d, на который не дѣлится число с, тогда данное уравненіе вовсе не имѣетъ цѣлыхъ рѣшеній.

Дѣйствительно, означивъ чрезъ а' и Ъ' цѣлыя числа

и раздѣливъ на d данное уравненіе, имѣемъ:

или

Изъ послѣдняго уравненія видно, что нѣтъ цѣлыхъ чиселъ, ему удовлетворяющихъ. Дѣйствительно, первая часть при цѣлыхъ значеніяхъ х и у есть всегда число цѣлое, а вторая есть число дробное. Цѣлое же число никогда не можетъ равняться дробному.

Отсюда выводимъ

Правило. Если коеффиціенты неизвѣстныхъ имѣютъ общаго дѣлителя, который не дѣлитъ нацѣло извѣстнаго числа, неопредѣленное уравненіе не имѣетъ цѣлыхъ рѣшеній.

II. Случай. Коеффиціенты при неизвѣстныхъ неопредѣленнаго уравненія суть числа взаимно-простыя.

Въ томъ случаѣ, когда а и b цѣлыя взаимно-простыя числа, нужно прежде всего разсмотрѣть уравненіе

Опредѣливъ у, имѣемъ

Мы отыскиваемъ только цѣлыя рѣшенія, слѣд. х и у должны быть цѣлыми числами.

Чтобы у было цѣлымъ числомъ, нужно, чтобы

было цѣлымъ числомъ.

Такъ какъ а и Ъ взаимно простыя числа то

будетъ только тогда цѣлымъ числомъ, когда -убудетъ цѣлымъ числомъ.

Положивъ

имѣемъ:

Давая і всѣ возможныя положительныя и отрицательныя значенія, будемъ имѣть пары величинъ х и у, удовлетворяющихъ уравненію ах Д- Ъу = О

и т. д.

Отсюда выводимъ

Заключеніе. Для уравненія ах-\-Ьу = О, неизвѣстное х равно коеффиціенту при у, умноженному на цѣлое число, а неизвѣстное у равно коеффиціенту при х съ обратнымъ знакомъ, умноженному на тоже самое цѣлое число.

Такимъ образомъ величины, удовлетворяющія уравненію

заключаются въ формулахъ:

§ 112. Теорема. Если извѣстна одна пара рѣшеній уравненія ах-\-Ьу=с, то извѣстны и всѣ остальныя рѣшенія этого уравненія.

Пусть д?=а, ^-=ß цѣлыя числа, удовлетворяющія уравненію

такъ что

Вычитая второе уравненіе изъ перваго, имѣемъ

Означивъ черезъ х' и у' величины

имѣемъ уравненіе

По предыдущему

Замѣняя х' и у' ихъ величинами, имѣемъ:

откуда

Отсюда имѣемъ

Правило. Всѣ рѣшенія неопредѣленнаго уравненія могутъ быть выражены двучленами, у которыхъ первые члены а и ß представляютъ какую нибуть пару величинъ, удовлетворяющихъ уравненію, а вторыми членами будетъ перемѣнное t съ коэффиціентами, равными коеффиціентамъ уравненія.

Система всѣхъ цѣлыхъ рѣшеній получится, если мы вмѣсто t будемъ вставлять всѣ возможныя цѣлыя положительныя и отрицательныя числа.

Полагая послѣдовательно

t = 0, 1, 2,... - 1, - 2 имѣемъ

Примѣръ. Уравненію

удовлетворяютъ величины

Всѣ рѣшенія этого уравненія выразятся формулами :

Система цѣлыхъ чиселъ, удовлетворяющихъ данному уравненію, будетъ:

§ 113. Рѣшеніе неопредѣленнаго уравненія.

Разсмотримъ теперь, какимъ образомъ находится одна пара величинъ, удовлетворяющихъ неопредѣленному уравненію и самыя выраженія, заключающія всѣ остальныя цѣлыя рѣшенія.

Чтобы рѣшить уравненіе

въ которомъ 6 и 35 взаимно простыя числа, мы опредѣляемъ величину х того перемѣннаго, у котораго коеффиціентъ наименьшій.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Исключая цѣлое число, имѣемъ:

Числа х и у должны быть цѣлыми числами. Для этого у должно быть такимъ цѣлымъ числомъ, чтобы дробь —g— была цѣлымъ числомъ.

Означивъ черезъ t величину того цѣлаго числа, которому должна равняться эта дробь, имѣемъ:

откуда

Опредѣливъ у и исключивъ цѣлое число, имѣемъ

у и t должны быть цѣлыми числами. Для этого і должно быть такимъ цѣлымъ числомъ, чтобы дробь ^ была цѣлымъ числомъ. Означая ее черезъ ,имѣемъ :

откуда

Опредѣляя у и х по имѣемъ:

Выраженія у и х будутъ

Полагая въ нихъ

имѣемъ:

Число всѣхъ цѣлыхъ рѣшеній безконечно. Изъ этихъ рѣшеній только одно положительное

Самый ходъ вычисленія выражаютъ письменно;

Примѣръ.

Уравненіе имѣетъ безчисленное множество цѣлыхъ и положительныхъ рѣшеній.

Изъ разсмотрѣнныхъ примѣровъ вытекаетъ слѣдующее

Правило рѣшенія неопредѣленнаго уравненія. Чтобы рѣшить въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленное уравненіе въ томъ случаѣ, когда коеффиціенты неизвѣстныхъ взаимно-простыя числа нужно:

1. Опредѣлить то неизвѣстное, у котораго коеффиціентъ наименьшій и исключить цѣлое число.

2. Приравнять дробь новому цѣлому числу и съ полученнымъ уравненіемъ поступать по предъидущему.

3. Означенное вычисленіе нужно продолжать до тѣхъ поръ, пока не получится неопредѣленное уравненіе, въ которомъ коеффиціентъ одного неизвѣстнаго равенъ единицѣ.

4. За тѣмъ помощію послѣдняго вспомогательнаго неизвѣстнаго нужно выразитъ оба неизвѣстныя неопредѣленнаго уравненія.

5. Давая вспомогательному неизвѣстному всѣ возможныя цѣлыя значенія, получимъ всѣ величины обоихъ неизвѣстныхъ.

§ 114. Различныя упрощенія при рѣшеніи неопредѣленныхъ уравненій.

При рѣшеніи неопредѣленныхъ уравненій прибѣгаютъ иногда къ различнымъ упрощеніямъ, ускоряющимъ ходъ вычисленія.

1. Иногда простымъ преобразованіемъ перемѣннаго исключаютъ общаго дѣлителя между коэффиціентомъ неизвѣстнаго и извѣстнымъ числомъ.

Такъ въ уравненіи

коеффиціентъ при х и извѣстное число имѣютъ общаго множителя 3.

Его исключаютъ преобразованіемъ

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Сокращая все уравненіе на 3, имѣемъ для рѣшенія болѣе простое неопредѣленное уравненіе:

откуда

Полагая въ выраженіяхъ

величины

найдемъ всѣ рѣшенія даннаго уравненія:

2. Иногда въ дробяхъ выносятъ общаго множителя за скобку

Такъ, рѣшая уравненіе

находимъ:

Здѣсь вмѣсто того, чтобы приравнять дробь

новому цѣлому числу, мы выводимъ за скобку общаго множителя 3 и полагаемъ

откуда

3. Иногда при исключеніи цѣлаго числа увеличиваютъ или уменьшаютъ его на единицу.

Такъ, опредѣляя величину х изъ уравненія

имѣемъ :

Величину х мы можетъ опредѣлить еще помощію уравненія

Здѣсь мы при исключеніи цѣлаго числа повысили на единицу коеффиціентъ при у и тѣмъ упростили коеффиціентъ при у въ прибавочной дроби.

Полагая

имѣемъ:

Примѣняя одно или всѣ эти пріемы упрощенія вмѣстѣ, можно въ значительной степени сократить ходъ вычисленій.

§ 115. Изслѣдованіе рѣшеній неопредѣленныхъ уравненій. Если х = а, у = ß есть одна пара рѣшеній, удовлетворяющихъ уравненію

всѣ остальныя рѣшенія заключаются въ формулахъ;

Давая величинѣ і всѣ цѣлыя значенія въ предѣлахъ между — со и + оо, мы получимъ безчисленное множество цѣлыхъ рѣшеній даннаго опредѣленнаго уравненія.

Это число ограничиваютъ условіемъ, чтобы всѣ рѣшенія были цѣлыми и положительными.

Для этого необходимо, чтобы величины х и у были болѣе нуля.

Въ такомъ случаѣ величина t должна одновременно удовлетворять неравенствамъ:

Оба эти неравенства ограничиваютъ величину t, ибо изъ нихъ вытекаютъ предѣлы, внутри которыхъ должны заключаться цѣлыя значенія t.

Существуютъ два предѣла низшій и высшій, внутри которыхъ могутъ измѣняться цѣлыя значенія t.

Число цѣлыхъ и положительныхъ рѣ-

шеній неопредѣленнаго уравненія Зависитъ отъ тою, въ какой мѣрѣ эти два неравенства опредѣляютъ оба предѣла измѣненій і.

1. Число рѣшеній безконечно, если оба неравенства одинаковы. Въ этомъ случаѣ оба неравенства опредѣляютъ только одинъ предѣлъ для измѣненій величины, і.

а) Такъ, для уравненія

имѣемъ:

откуда два неравенства

даютъ

Оба неравенства опредѣляютъ только низшій предѣлъ измѣненія Величина можетъ получить всѣ возможныя цѣлыя значенія отъ 0 до оо. Число цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній безконечно.

b) Для уравненія

имѣемъ:

Предѣлы измѣненій величинъ it опредѣлятся неравенствами:

откуда

Здѣсь неравенства опредѣляютъ высшій предѣлъ ^. Величина можетъ принимать всѣ возможныя цѣлыя значенія отъ — со до 0. Число цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній безконечно.

2. Число рѣшеній конечно, если неравенства неодинаковы и другъ другу не противорѣчатъ. Въ этомъ случаѣ оба неравенства опредѣляютъ высшій и низшій предѣлы измѣненія t.

Такъ для уравненія

имѣемъ:

откуда неравенства

даютъ два предѣла измѣненій величинъ t:

Низшій предѣлъ менѣе высшаго. Неравенства не противорѣчатъ другъ другу.

Число і можетъ получить цѣлыя значенія: — 7, — 6, ...—1, 0. Число рѣшеній 8.

3. Неопредѣленное уравненіе не имѣетъ рѣшеній, если неравенства неодинаковы и противорѣчатъ другъ другу, или если въ промежуткѣ между двумя предѣлами измѣненія і нѣтъ цѣлаго числа.

Такъ для уравненія

имѣемъ:

откуда изъ неравенствъ

имѣемъ:

Неопредѣленное уравненіе не имѣетъ цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній, ибо въ промежуткѣ между двумя предѣлами для t нѣтъ цѣлаго числа.

Можно по виду неопредѣленнаго уравненія ax by =с имѣть нѣкоторое понятіе о числѣ его рѣшеній.

Означивъ чрезъ а и ß пару рѣшеній уравненія

мы знаемъ, что остальныя рѣшенія заключаются въ формулахъ:

1. Число положительныхъ рѣшеній не-

опредѣленнаго уравненія безконечно, если коеффиціенты при х и у будутъ противуположная, по знаку.

Дѣйствительно, въ этомъ случаѣ оба неравенства, опредѣляющія предѣлы /, будутъ одинаковы.

Такъ

а) для уравненія

гдѣ а, b положительныя числа, имѣемъ:

Изъ неравенствъ

получатся предѣлы измѣненія t

Оба неравенства одинаковы.

b) Точно также изъ уравненія

Ъу — ах = с, которому удовлетворяютъ рѣшенія х = а, y = ß, имѣемъ:

откуда

Величины t опредѣляются неравенствами:

Оба неравенства одинаковы.

2. Число положительныхъ рѣшеній неопредѣленнаго уравненія конечно, если коеффиціенты неизвѣстныхъ имѣютъ одинаковые знаки съ извѣстнымъ числомъ. Въ этомъ случаѣ неравенства, опрѣдѣляющія предѣлы измѣненія /, будутъ неодинаковы.

Дѣйствительно для уравненія

гдѣ а, Ъ, с положительныя числа, имѣемъ:

Неравенства, опредѣляющія предѣлы /, будутъ:

Оба неравенства неодинаковы.

3. Уравненіе вовсе не имѣетъ положительныхъ рѣшеній, если оба коеффиціента неизвѣстныхъ имѣютъ знаки противуположные съ извѣстнымъ числомъ.

Дѣйствительно, изъ простаго разсмотрѣнія уравненія

гдѣ а, Ь, с положительныя числа, видно, что первая часть будетъ всегда положительна при положительныхъ величинахъ х и у, а вторая всегда отрицательна.

Уравненіе не имѣетъ положительныхъ рѣшеній и тогда, когда сумма двухъ коеффиціентовъ неизвѣстныхъ болѣе извѣстнаго числа, ибо тогда уравненіе

не можетъ быть удовлетворено даже самыми малыми цѣлыми положительными числами, не считая нуля

х — 1, у = 1.

§ 116. Совмѣстныя неопредѣленныя уравненія первой степени. При рѣшеніи такихъ совмѣстныхъ неопредѣленныхъ уравненій первой степени, въ которыхъ только однимъ неизвѣстнымъ болѣе числа уравненій, обыкновенно исключаютъ послѣдовательно неизвѣстныя, пока не получатъ одного уравненія съ двумя неизвѣстными. Рѣшая его обыкновеннымъ способомъ, выражаютъ оба неизвѣстныхъ помощію одного вспомогательнаго неизвѣстнаго. Вставляя эти величины въ одно изъ уравненій съ тремя неизвѣстными, снова получаютъ неопредѣленное уравненіе съ двумя неизвѣстными, изъ котораго выражаютъ ихъ снова помощію новаго вспомогательнаго неизвѣстнаго. Вычисленіе продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока не выразятъ всѣхъ неизвѣстныхъ помощію одной и той же перемѣнной величины.

Примѣръ. Найти рѣшеніе системы неопредѣленныхъ уравненій

Исключая z, находимъ неопредѣленное уравненіе

рѣшеніе котораго выразятся выраженіями:

Вставляя величины х и у въ уравненіе съ тремя неизвѣстными

получаемъ неопредѣленное уравненіе съ двумя неизвѣстными

откуда находимъ величины z и t, выраженныя по новому вспомогательному неизвѣстному іх,

Вычисляя х, у, z по /1} находимъ;

Полагая въ нихъ послѣдовательно

/1 = 0, 1, 2, 3....

имѣемъ:

« = 3, 22, 41, 60 ...

у = 2, 20, 38, 56....

х = 1,-7,—15,—23....

X. Непрерывныя дроби.

§ 117. Опредѣленіе непрерывной дроби. Непрерывными или цѣпными называются такія алгебраическія дроби, въ которыхъ знаменатели дробей также зависятъ отъ дробей.

Общій видъ непрерывной дроби. Непрерывныя дроби самаго общаго вида изображаются выраженіями:

Мы будемъ разсматривать такія непрерывныя дроби, въ которыхъ числители дробей приведены къ единицѣ. Такія дроби имѣютъ видъ:

Звено. Каждая изъ частныхъ дробей, входящихъ въ образованіе непрерывной, называется звеномъ цѣпной дюоби.

Дроби

суть звенья непрерывной дроби.

Частные знаменатели. Знаменатели частныхъ дробей называются частными знаменателями.

Раздѣленіе непрерывныхъ дробей. Непрерывныя дроби по числу звеньевъ раздѣляются на конечныя и безконечныя. Когда число звеньевъ конечно, непрерывная дробь называется конечною; когда же число звеньевъ безконечно, непрерывная дробь называется безконечною.

Дробь

будетъ конечною. Дробь

будетъ безконечною.

Въ этой дроби точки означаютъ, что дробь не конечна, а за послѣднимъ слѣдуетъ безконечный рядъ другихъ звеньевъ.

Мы будемъ разсматривать конечныя непрерывныя дроби.

§ 118. Обращеніе непрерывной дроби въ простую. Чтобы обратить непрерывную дробь въ простую, нужно совершатъ всѣ показанныя дѣйствія, начиная съ послѣдняго звена.

Такъ, для обращенія непрерывной дроби

обращаемъ дробь с + въ простую

Тогда

Затѣмъ вычисляемъ

откуда

слѣд.

§ 119. Обращеніе простой дроби въ непрерывную

Простую дробь обращаютъ въ непрерывную, послѣдовательно исключая цѣлое число и приводя числителя каждой дроби къ единицѣ.

Такъ обращая простую дробь

въ непрерывную и исключая цѣлое число, находимъ по раздѣленіи а3—3а2+3а—2 на а2—За+З въ частномъ а, въ остаткѣ а—2, слѣд.

Приводя числителя дроби къ единицѣ, имѣемъ:

Исключая цѣлое число изъ дроби

имѣемъ въ частномъ а—1, въ остаткѣ 1, слѣд.

Данная дробь выражается помощію непрерывной равенствомъ:

Весь ходъ вычисленій при обращеніи простой

дроби -ç- въ непрерывную вытекаетъ изъ слѣдующихъ соображеній.

Обращая дробь -ц въ непрерывную и раздѣляя Р на Q, получаемъ въ частномъ q и въ первомъ остаткѣ jßt. Затѣмъ, раздѣляя Q на первый остатокъ Rx, получаемъ второе частное qx и второй остатокъ R,. Раздѣляя первый остатокъ Rx на второй R^, получаемъ третье частное qt и третій остатокъ R3.

Допустимъ, что R^ дѣлится нацѣло на R3 и даетъ въ послѣднемъ частномъ q3.

Послѣдовательный рядъ частныхъ и остатковъ можетъ быть выраженъ таблицею:

Зависимостъ между этими количествами выразится уравненіями:

Изъ этихъ уравненій получаемъ равенства:

откуда

Изъ этого вытекаетъ

Правило обращенія простыхъ дробей въ непрерывныя. Чтобы обратить простую дробь въ непрерывную нужно съ числителемъ и знаменателемъ простой дроби поступать такъ, какъ поступаютъ при отысканіи общаго наибольшаго дѣлителя. Послѣдовательныя частныя будутъ частными знаменателями непрерывной дроби.

Примѣръ. Обратить простую дробь въ непрерывную.

Поступая по предыдущему правилу, мы составляемъ слѣдующую таблицу частныхъ:

откуда получаемъ непрерывную дробь:

§ 120. Подходящія дроби. Имѣя непрерывную дробь

мы можемъ прервать вычисленіе на какомъ нибудь частномъ знаменателѣ. Такъ вмѣсто величины х мы можемъ разсматривать величины:

Эти дроби называются подходящими дробями.

Опредѣленіе подходящихъ дробей. Подходящими называются такія дроби, которыя получаются изъ непрерывной, если въ ней останавливаютъ вычисленіе на какомъ нибудь звенѣ. Онѣ названы такъ по тому, что ихъ величины приближаются или подходятъ къ величинѣ непрерывной дроби. Ими пользуются всякій разъ, когда нужно составить приближенное понятіе о величинѣ дроби.

Приближеніе данной дроби. Подходящую дробь называютъ также приближеніемъ данной дроби.

Означивъ подходящія дроби чрезъ

мы имѣемъ первое приближеніе:

второе приближеніе:

третье приближеніе:

и т. д.

Числитель и знаменатель подходящей дроби могутъ быть составлены по числителю и знаменателю двухъ предыдущихъ подходящихъ дробей.

Числитель подходящей дроби равенъ произведенію числителя предыдущей подходящей дроби на знаменателя послѣдняго звена, сложенному съ числителемъ еще предыдущей подходящей дроби.

Знаменатель подходящей дроби равенъ произведенію знаменателя предыдущей подходящей дроби на, знаменателя послѣдняго звена, сложенному съ знаменателемъ еще предыдущей подходящей дроби.

Разсматривая три первыя подходящія дроби

мы видимъ, что на нихъ оправдывается предыдущій законъ образованія числителя и знаменателя подходящихъ дробей.

Дѣйствительно

Докажемъ теперь, что, если этотъ законъ справедливъ для одной, то онъ справедливъ и для слѣдующей подходящей дроби.

Положимъ, законъ образованія числителя и знаменателя справедливъ для подходящей дроби

докажемъ, что онъ справедливъ для дроби

Для дроби — имѣемъ равенства:

Чтобы получить подходящую дробь, нужно въ дроби замѣнить знаменателя ап выраженіемъ Чп

слѣд.

откуда

Такъ какъ теорема справедлива для ^ и^3, т?2и<?2, р3 и ç3, то она справедлива и для pk, qk и вообще для рп и qn.

§ 121. Означивъ чрезъ х непрерывную дробь

Означивъ чрезъ В величину

чрезъ ■ 1 , — подходящія дроби:

гдѣ т < п

мы имѣемъ равенство:

мы видимъ, что непрерывная дробь х получается изъ дроби если въ ней замѣнимъ ат черезъ в, слѣд.

Опредѣливъ разность между х и двумя рядомъ стоящими подходящими дробями, имѣемъ:

Не трудно видѣть, что разности

имѣютъ противуположные знаки, то есть

Отсюда заключаемъ:

Величина непрерывной дроби заключается между двумя рядомъ стоящими подходящими дробями.

Съ другой стороны мы знаемъ, что

и т. д.

откуда получаемъ

Правило. Нечетная подходящая дробь меньше, а четная больше данной непрерывной дроби.

§ 122. Теорема. Всякая подходящая дробь приближается къ величинѣ данной дроби ближе предыдущей подходящей дроби.

Доказательство. Взявъ двѣ рядомъ стоящія подходящія дроби и сравнивая ихъ съ данной, имѣемъ двѣ разности:

Сопоставляя эти двѣ разности А, и д а, мы находимъ, что по абсолютной величинѣ первая разность болѣе второй.

Дѣйствительно, отношеніе двухъ разностей будетъ

Абсолютная величина этого отношенія будетъ

и слѣд. абсолютная величина первой болѣе абсолютной величины второй разности.

Разность между двумя подходящими дробями по абсолютной величинѣ равна единицѣ, дѣленной на произведеніе ихъ знаменателей.

Доказательство. Двѣ первыя подходящія дроби оправдываютъ эту теорему. Дѣйствительно, изъ уравненій

имѣемъ:

Разность между всякими двумя рядомъ стоящими подходящими дробями будетъ:

Докажемъ, что, если

то для слѣдующихъ двухъ подходящихъ дробей она по абсолютной величинѣ равна единицѣ.

Дѣйствительно для дробей эта разность будетъ

Замѣняя qm и рт величинами

получимъ:

откуда

Изъ этого уравненія мы заключаемъ, что если

то

Такъ какъ теорема справедлива для первыхъ двухъ подходящихъ дробей, то она должна быть справедлива для слѣдующихъ двухъ и вообще для какихъ угодно двухъ рядомъ стоящихъ подходящихъ дробей.

Въ означенныхъ разностяхъ верхніе знаки имѣютъ мѣсто для т четнаго, а нижніе для т нечетнаго числа.

Подходящая дробь не сократима, ибо, если бы дробь — могла быть сокращена на число d > 1, то ^?и и дп имѣли бы общимъ дѣлителемъ число d, и числитель разности двухъ подходящихъ дробей

то есть выраженіе

дѣлилось бы на число d, что невозможно, потому что ±1 не дѣлится нацѣло на d.

Разность между данною и подходящею дробью менѣе единицы, дѣленной на произведеніе знаменателей данной и слѣдующей подходящей дроби.

Доказательство. Данная дробь х заключается между дробями и •

Разность между этими дробями по абсолютной величинѣ выражается дробью -, слѣд. разность между данною и подходящею дробью ^^по абсолютной величинѣ менѣе -

Такъ какъ знаменатели подходящихъ дробей возрастаютъ, то разность между данною и подходящею дробью по абсолютной величинѣ все убавляется по мѣрѣ того, какъ мы переходимъ къ слѣдующей подходящей дроби.

Разность эта <

и такъ какъ

то и подавно разность <

§ 123. Теорема. Подходящая дробь къ данной дроби ближе всякой другой дроби, имѣющей меньшаго знаменателя.

Доказательство. Величина данной дроби заключается между двумя подходящими дробями:

Допустимъ что дробь— подходитъ къ данной ближе подходящей дроби — •

Очевидно, что ~ подходитъ и подавно къ данной ближе подходящей дроби ——- ; по этому величина — заключается между величинами двухъ подходящихъ дробей ----и — и слѣд. по абсолютной величинѣ

или по абсолютной величинѣ

откуда, умножая на nqn_x, имѣемъ;

Для означенія, что разсматриваютъ абсолютную величину какого нибудь количества, заключаютъ его въ скобки.

Такъ какъ разность (mqn_x — прп-і) > 1, то

и слѣд.

Что значитъ, что и знаменатель всякой дроби — подходящей къ данной ближе дроби — , болѣе знаменателя подходящей дроби — •

§ 124. Рѣшеніе неопредѣленныхъ уравненій непрерывными дробями.

Можно найти одну пару рѣшеній неопредѣленнаго уравненія

(1) при помощи непрерывныхъ дробей.

Для этого обращаемъ несократимую дробь въ непрерывную и беремъ предпослѣднюю подходящую дробь . Послѣдняя подходящая дробь, какъ извѣстно, и будетъ дробь Если дробь т правильная, ставятъ вмѣсто цѣлаго числа нуль

На томъ основаніи, что нечетная подходящая дробь меньше, а четная больше дроби , будемъ имѣть

а) Если ^ нечетная подходящая дробь, имѣемъ равенство

Умноживъ на с, получимъ

Сравнивъ это равенство съ уравненіемъ (1) видимъ, что ему удовлетворяютъ величины неизвѣстныхъ:

(2)

b) Если — четная подходящая дробь

Умноживъ на с, получимъ равенство

Сравнивъ его съ уравненіемъ (1), видимъ что ему удовлетворяютъ величины неизвѣстныхъ

(3)

Отсюда вытекаетъ слѣдующее

Правило. Чтобы найти одну пару рѣшеній, удовлетворяющихъ неопредѣленному уравненію ах-\-Ъу=с, нужно разложить въ непрерывную дробь, найти предпослѣднюю подходящую дробь и выразить пару рѣшеній формулами х = ус, у = —рс, если нечетная и формулами х = — qc, у = ре, если четная подходящая дробь.

Примѣръ 1. Для уравненія

четная подходящая дробь

Полагая р = 2, q — 5, имѣемъ по формуламъ (3)

Общее рѣшеніе будетъ выражаться формулами:

Полагая t = 9 + получимъ:

Примѣръ 2. Для уравненія

Полагая р=—1, 9 = 4, имѣемъ по формуламъ (2)

Общее рѣшеніе выражается формулами

Полагая t = 1 + имѣемъ:

XI. Отношенія и пропорціи.

§ 125. Разность двухъ количествъ называется ариѳметическимъ, а частное геометрическимъ отношеніемъ.

Означивъ разность двухъ количествъ а и Ъ черезъ г, имѣемъ ариѳметическое отношеніе:

а — Ъ = г

Означивъ ихъ частное черезъ q, имѣемъ геометрическое отношеніе:

Ариѳметическая пропорція есть равенство двухъ ариѳметическихъ отношеній.

Сравнивая два равныхъ ариѳметическихъ отношенія

получаемъ ариѳметическую пропорцію:

а — Ъ = с — d (1)

Количества а и d называются крайними, b и с средними членами пропорціи.

Перенося отрицательныя члены изъ одной части въ другую, получимъ равенство

а + d — b + с (2)

изъ котораго вытекаетъ

Основное свойство ариѳметической пропорціи. Сумма крайнихъ членовъ равна суммѣ среднихъ.

Изъ уравненій (1) выходитъ:

(3)

слѣд.

Каждый крайній равенъ суммѣ среднихъ членовъ безъ другаго крайняго.

Изъ уравненія (1) также получаемъ:

слѣд.

Каждый средній членъ равенъ суммѣ крайнихъ безъ другаго средняго.

Непрерывная ариѳметическая пропорція. Ариѳметическая пропорція, въ которой крайніе или средніе члены равны, называется непрерывною.

Пропорціи

будутъ непрерывными.

Среднее ариѳметическое число. Одинъ изъ равныхъ членовъ непрерывной ариѳметической пропорціи называется среднимъ ариѳметическимъ числомъ.

Изъ непрерывной пропорціи

получимъ;

слѣд.

Одинъ изъ равныхъ среднихъ членовъ непрерывной пропорціи равенъ полусуммѣ крайнихъ-, одинъ изъ неравныхъ крайнихъ членовъ равенъ двойному среднему безъ другаго крайняго.

Изъ этихъ же уравненій заключаемъ, что

Среднее ариѳметическое двухъ чиселъ равно ихъ полусуммѣ.

Среднимъ ариѳметическимъ нѣсколькихъ величинъ называютъ сумму величинъ, дѣленную на ихъ число.

Среднее ариѳметическое п чиселъ а, , аі ... ап будетъ величина

§ 126. Геометрическимъ отношеніемъ называется частное двухъ величинъ.

Означивъ чрезъ а дѣлимое, b дѣлителя и чрезъ q частное двухъ величинъ, имѣемъ геометрическое отношеніе:

Количество а называется предыдущимъ, b послѣдующимъ, q знаменателемъ отношенія.

Можно смотрѣть на отношеніе какъ на дробь, въ которой предыдущій членъ будетъ числителемъ, а послѣдующій знаменателемъ дроби.

Изъ двухъ отношеній

одно называютъ прямымъ, а другое обратнымъ.

Обратнымъ называютъ такое отношеніе, въ которомъ члены прямаго отношенія расположены въ обратномъ порядкѣ.

Сравнивая два равныхъ отношенія

получаемъ пропорцію:

или

Геометрическая пропорція есть равенство двухъ геометрическихъ отношеній.

Количества а и Ъ называются крайними, а Ъ и с средними членами пропорціи, при чемъ а, Ь, с, d по мѣсту, занимаемому ими въ пропорціи, называются первымъ, вторымъ, третьимъ и четвертымъ членами пропорціи.

Умножая bd обѣ части пропорціи

имѣемъ:

ad = be

Основное свойствогеометрической пропорціи. Во всякой геометрической пропорціи произведеніе крайнихъ равно произведенію среднихъ членовъ.

Обратно, можно всегда составить пропорцію изъ такихъ четырехъ количествъ, которыя образуютъ два равныхъ произведенія. Такъ раздѣляя на db два равныхъ произведенія

получимъ пропорцію

или

Изъ этой же пропорціи имѣемъ:

Каждый крайній равенъ произведенію среднихъ членовъ дѣленному на другой крайній.

Точно также

Каждый средній равенъ произведенію крайнихъ членовъ, дѣленному на другой средній.

Непрерывная геометрическая пропорція. Геометрическая пропорція, въ которой крайніе или средніе члены равны, называется непрерывною пропорціею.

Пропорціи

будутъ непрерывными.

По основному свойству имѣемъ для непрерывной пропорціи

откуда

Одинъ изъ равныхъ членовъ непрерывной пропорціи равенъ корню квадратному изъ произведенія остальныхъ членовъ.

Среднее геометрическое число. Одинъ изъ равныхъ среднихъ членовъ непрерывной пропорціи называется среднимъ геометрическимъ числомъ.

Средне-геометрическое число двухъ чиселъ равно квадратному корню изъ ихъ произведенія.

Средняя геометрическая нѣсколькихъ величинъ. Среднею геометрическою величиною между п величинами а, Ъ, с, d, . . I называютъ корень п-й степени изъ произведенія ихъ.

Средняя геометрическая = \Zabc .1

Теорема. Среднее ариѳметическое двухъ положительныхъ чиселъ всегда болѣе средняго геометрическаго.

Имѣя два положительныхъ числа а и 6, имѣемъ:

Прибавляя по 2аЬ къ обѣимъ частямъ неравенства, имѣемъ:

Перемѣщеніе членовъ пропорціи. Можно перемѣщать члены пропорціи, основываясь на нѣкоторыхъ свойствахъ пропорціи.

Геометрическая пропорція есть равенство двухъ равныхъ геометрическихъ отношеній, слѣд. не измѣняя пропорціи, можно:

a) перемѣнить мѣста обоихъ отношеній по отношенію къ знаку равенства:

b) каждое изъ равныхъ отношеній можно замѣнять обратнымъ;

с) можно перемѣщать крайніе и средніе члены между собою.

Отъ такихъ перемѣщеній не нарушится основное свойство пропорціи.

Всѣ эти перемѣщенія можно производить совмѣстно.

Примѣняя эти правила, мы изъ четырехъ пропорціональныхъ чиселъ о, Ь, с, d можемъ составить слѣдующія восемь пропорцій:

§ 127. Сложныя пропорціи. Можно изъ двухъ или нѣсколькихъ геометрическихъ пропорцій составить новую пропорцію. Такая пропорція называется сложною. При этомъ встрѣчаются два случая: 1) когда знаменатели отношеній одинаковы, 2) когда знаменатели отношеній разные.

Если знаменатели отношеній одинаковы, можно сходственные члены складывать, вычитать, умножать и дѣлить.

Такъ имѣя нѣсколько пропорцій, имѣющихъ одинаковаго знаменателя отношенія q

мы получаемъ рядъ равенствъ;

Складывая эти уравненія, имѣемъ:

откуда находимъ пропорцію

Можно перемножатъ и дѣлить пропорціи, не обращая вниманія на то, будутъ ли онѣ имѣть одинаковыхъ или неодинаковыхъ знаменателей отношенія.

Такъ изъ пропорцій

послѣ ихъ перемноженія получаемъ сложную пропорцію:

Раздѣляя двѣ пропорціи

имѣемъ пропорцію:

Возвышая въ степень равенство

имѣемъ пропорцію:

изъ которой видно, что, если числа пропорціональны, то и степени ихъ пропорціональны.

Если же пропорціи имѣютъ разныхъ знаменателей, то складывать и вычитать ихъ можно только при извѣстныхъ условіяхъ. Эти условія легко опредѣлить. Такъ, изъ двухъ пропорцій, принадлежащихъ къ разнымъ знаменателямъ

составляя сложную пропорцію сложеніемъ членовъ

мы замѣчаемъ, что она имѣетъ мѣсто, когда члены удовлетворяютъ опредѣленому условію.

Вставляя величины

имѣемъ:

откуда

или

Если не равно ç, необходимо должно удовлетворяться условіе

то есть

Складывать и вычитать овѣ пропорціи съ разными знаменателями можно только тогда, когда вторые и четвертые члены ихъ пропорціональны. Въ этомъ случаѣ первые и третіе члены будутъ тоже пропорціональны.

Дѣйствительно, изъ условія (а), имѣемъ:

по единицѣ, получаемъ пропорцію:

§ 128. Производныя пропорціи. Производными называются такія пропорціи, которыя происходятъ изъ данной пропорціи послѣ того, какъ надъ ея членами были исполнены нѣкоторыя дѣйствія.

Такъ, прибавляя къ пропорціи

Вычитая по единицѣ, имѣемъ:

Раздѣляя пропорціи (Z») и (с), имѣемъ пропорцію:

Такихъ производныхъ пропорцій можно получить очень много.

Между различными сложными и производными пропорціями заслуживаютъ вниманія пропорціи, зависящія отъ корней.

Изъ пропорцій:

вытекаютъ пропорціи:

слѣд.

Для т = 2 имѣемъ:

§ 129. Гармоническая пропорція. Гармоническою пропорціею трехъ величинъ а, Ъ, с называютъ такую пропорцію, въ которой разности а—b, b—с пропорціональны первой и третьей величинѣ.

Гармоническая пропорція имѣетъ видъ

Число Ъ называется среднимъ гармоническимъ числомъ. Изъ гармонической пропорціи вытекаетъ уравненіе

Опредѣляя среднее гармоническое число Z»,находимъ

Сумма —2~- есть среднее ариѳметическое, а произведеніе ас есть квадратъ средняго геометрическаго числа.

Изъ уравненія (й) вытекаетъ, что

Среднее гармоническое число равно квадрату средняго геометрическаго, дѣленному на среднее ариѳметическое число.

Изъ уравненія О вытекаетъ равенство

показывающее, что у величина обратная среднему гармоническому числу есть среднее ариѳметическое число обратныхъ величинъ -у и у

Среднее гармоническое п чиселъ «, Ъ^с..Д выражается равенствомъ:

XII. Прогрессіи.

Ариѳметическая прогрессія.

§ 130. Опредѣленіе ариѳметической прогрессіи. Ариѳметическою прогрессіею называется рядъ чиселъ, постоянно возрастающій или убывающій на одно и тоже число.

Рядъ чиселъ

1, 2, 3, 4, 5, 6...

составляетъ ариѳметическую прогрессію. Въ ней идутъ числа, постоянно возрастая на 1.

Рядъ чиселъ

15, 13, 11, 9, 7, 5, 3.

также образуетъ ариѳметическую прогрессію. Въ ней идутъ числа, постоянно убывая на 2.

Ариѳметическую прогрессію обыкновенно пишутъ въ видѣ

: 1. 2. 3. 4. 5. 6..

Ч— 15. 13. II. 9. 7. 5. 3..

Членъ прогрессіи. Каждое изъ чиселъ прогрессіи называютъ членомъ прогрессіи.

Члены по мѣсту, занимаемому ими въ прогрессіи, получаютъ названіе перваго, втораго и т. д.

Члены прогрессіи отдѣляютъ другъ отъ друга точками или запятыми.

Разность. Число, на которое измѣняется послѣдующій членъ сравнительно съ предыдущимъ, называется разностью прогрессіи.

Раздѣленіе прогрессій. Прогрессіи раздѣляются на возрастающія и убывающія.

Возрастающая прогрессія. Возрастающей прогрессіей называется рядъ членовъ, постоянно возрастающихъ.

Убывающая прогрессія. Убывающей прогрессіей называютъ рядъ членовъ, постоянно убывающихъ.

Величина разности. Разностію прогрессіи обыкновенно называютъ разность между двумя рядомъ стоящими членами послѣдующимъ и предыдущимъ.

Прогрессія

- 1. 4. 7. 10. 13.

будетъ возрастающею ариѳметическою прогрессіею.

Ея разность = 4 — 1 =3.

Прогрессія

: 25. 21. 17. 13. 9. 5.

будетъ убывающею ариѳметическою прогрессіею.

Ея разность = 13 — 17 = — 4.

Знакъ разности. Разность возрастающей прогрессіи положительна, разность убывающей отрицательна. Во всякой прогрессіи послѣдующій членъ равенъ предыдущему, сложенному съ разностію.

§ 131. Возмемъ ариѳметическую прогрессію, имѣющую п членовъ съ разностію г:

тогда

Сложивъ эти уравненія, имѣемъ:

откуда

Величина послѣдняго члена. Послѣдній членъ равенъ первому, сложенному съ разностію, умноженной на число предыдущихъ членовъ-, слѣд. п-й членъ равенъ первому, сложенному съ разностію, умноженной на п — 1.

Изъ уравненія (1) вытекаетъ уравненіе

показывающее, что

Первый членъ равенъ п-му безъ разности, умноженной на — 1.

Изъ опредѣленія ариѳметической прогрессіи видно, что

откуда видно, что

Связь трехъ членовъ прогрессіи. Каждые три рядомъ стоящіе члена ариѳметической прогрессіи образуютъ непрерывную ариѳметическую пропорцію, въ которой средній членъ есть среднее ариѳметическое число.

Если въ ариѳметической прогрессіи съ разностію г

написать члены въ обратномъ порядкѣ, получится прогрессія

у которой разность будетъ — г. Если въ прогрессіи

возьмемъ два члена х и у такихъ, чтобы они равно отстояли отъ крайнихъ членовъ, тогда членъ #, стоящій на мѣстѣ к отъ перваго члена, выразится формулою:

членъ же у, стоящій на мѣстѣ к отъ послѣдняго члена, выразится формулою:

Это видно впрочемъ и изъ того, что членъ у будетъ стоять на мѣстѣ к въ прогрессіи обращенной

имѣющей своею разностію число — г. Складывая два уравненія

получимъ:

т. е.

Сумма двухъ членовъ, равно отстоящихъ отъ крайнихъ, равна суммѣ крайнихъ.

Это замѣчаніе даетъ легкій способъ опредѣлять сумму членовъ ариѳметической прогрессіи.

Написавъ рядомъ съ данною прогрессію обращенную, имѣемъ двѣ прогрессіи:

Означивъ сумму членовъ прогрессіи черезъ s, мы имѣемъ уравненія

Сложивъ эти два уравненія почленно, получимъ:

На основаніи свойства равноотстоящихъ членовъ имѣемъ:

слѣд.

откуда

.(2)

Сумма членовъ ариѳметической прогрессіи равна полусуммѣ крайнихъ членовъ, умноженной на число членовъ.

§ 132. Два уравненія, выражающія величину послѣдняго члена и сумму членовъ ариѳметической прогрессіи

связываютъ между собою пять величинъ: аЛ первый членъ, а„ послѣдній членъ, п число членовъ, г разность и s сумму членовъ.

Эти уравненія могутъ послужить для рѣшенія всякой задачи, въ которой три изъ этихъ пяти величинъ даны; остальныя двѣ величины могутъ быть найдены изъ предложенныхъ двухъ уравненій.

Такихъ различныхъ задачъ можетъ-быть десять. Въ этихъ задачахъ могутъ быть

Между различными задачами, могущими здѣсь встрѣтиться. заслуживаетъ вниманія

Задача 1. Между двумя числами а и b вставить т такихъ членовъ, чтобы они съ данными составили ариѳметическую прогрессію.

Для этого нужно найти разность прогрессіи, въ которой извѣстны первый, послѣдній членъ и число членовъ.

Прилагая уравненіе, опредѣляющее п й членъ по первому, мы имѣемъ для даннаго случая величину перваго члена а, послѣдняго Ь, стоящаго на мѣстѣ т + 2.

Означивъ черезъ х разность, находимъ:

откуда

Величина разности прогрессіи равна разности между двумя данными членами, дѣленной на число членовъ, которое нужно вставить, сложенное съ единицею.

Примѣръ Вставить между 2 и 4 три члена.

Прогрессія будетъ

Задача 2. Опредѣлить сум ну натуральныхъ чиселъ отъ 1 до п.

Для этого нужно опредѣлить сумму членовъ прогрессіи

Полагая въ формулѣ

ал = 1, ап = п, имѣемъ:

См. Прибавленія. Сумма квадратовъ н кубовъ натуральныхъ чиселъ.

Геометрическая прогрессія.

§ 133. Опредѣленіе геометрической прогрессіи. Геометрическою прогрессіею называется рядъ членовъ, постоянно возрастающихъ или убывающихъ въ одно и тоже число разъ.

Каждый послѣдующій членъ прогрессіи получается изъ предыдущаго посредствомъ умноженія его на одно и тоже число.

Геометрическая прогрессія изображается въ видѣ: w 2. 4 8. 16. 32. 64 . . .

Здѣсь члены идутъ постоянно возрастая вдвое.

Знаменатель прогрессіи. Число, на которое нужно умножить предыдущій членъ, чтобы получить послѣдующій, называется знаменателемъ прогрессіи.

Прогрессія называется возрастающею, если знаменатель прогрессіи болѣе единицы, убывающею, если знаменатель менѣе единицы.

Величина знаменателя. Знаменатель прогрессіи равенъ послѣдующему члену, дѣленному на предыдущій.

Положимъ, мы имѣемъ геометрическую прогрессію

знаменатель которой есть q.

На основаніи закона послѣдовательнаго образованія ея членовъ имѣемъ п— 1 уравненій:

Перемножая эти уравненія, получимъ:

что послѣ сокращенія даетъ

(1)

откуда опредѣляется

Величина послѣдняго члена. Каждый членъ прогрессіи равенъ первому члену, умноженному на знаменателя прогрессіи, возвышеннаго въ степень числа предыдущихъ членовъ.

Взявъ три члена геометрической прогрессіи ak+i, ak+i, мы изъ уравненій

выводимъ пропорцію

изъ которой обнаруживается слѣдующая

Связь трехъ членовъ прогрессіи. Каждые три рядомъ стоящіе члена геометрической прогрессіи образуютъ непрерывную геометрическую пропорцію, въ которой средній членъ есть средне-геометрическое число.

Взявъ въ геометрической прогрессіи

два члена х и у, равно отстоящіе отъ концовъ, мы имѣемъ съ одной стороны

гдѣ у. означаетъ, что х занимаетъ мѣсто у съ лѣваго конца.

Съ другой стороны, написавъ члены въ обратномъ порядкѣ

мы имѣемъ прогрессію у которой знаменатель прогрессіи есть •

Такъ какъ у занимаетъ мѣсто у., то

Перемножая уравненія

имѣемъ уравненіе

которое показываетъ, что

Произведеніе членовъ, равно отстоящихъ отъ крайнихъ, равно произведенію крайнихъ членовъ.

Складывая уравненія

имѣемъ:

Означая черезъ s сумму членовъ геометрической прогрессіи, имѣемъ:

откуда

(2)

Сумма членовъ геометрической прогрессіи равна разности произведенія послѣдняго члена на знаменателя прогрессіи безъ перваго члена, дѣленной на знаменателя прогрессіи безъ единицы.

Можно эту сумму выразить иначе, замѣнивъ послѣдній членъ его величиною изъ уравненія (1).

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Формула (2) выражаетъ сумму членовъ какъ возрастающей такъ и убывающей геометрической прогрессіи.

Въ убывающей прогрессіи знаменатель q < 1, поэтому сумму эту выражаютъ формулою

перемѣняя одновременно знаки числителя и знаменателя.

Изъ формулы, выражающей величину члена стоящаго на мѣстѣ п

видно, что для возрастающей прогрессіи члены, постоянно возрастая, приближаются къ безконечности; въ убывающей же прогрессіи члены постоянно убываютъ и приближаются къ нулю.

Дѣйствительно, для п = со

Имѣя постояно убывающую прогрессію съ знаменателемъ отношенія q меньшимъ единицы, мы можемъ продолжать ея члены до безконечности.

Прогрессія приметъ видъ

или

Такая прогрессія называется убывающею прогрессіею съ безконечнымъ числомъ членовъ или безконечно-убывающею прогрессіею.

Сумму всѣхъ членовъ такой прогрессіи опредѣлить легко, зная сумму п ея членовъ:

Полагая п = со, мы знаемъ, что а„ обратится въ нуль и послѣдняя формула приметъ видъ:

(3)

Сумма членовъ безконечно убывающей прогрессіи равна первому члену, дѣленному на единицу безъ знаменателя.

Примѣръ. Взявъ безконечно убывающую прогрессію

Два уравненія

содержатъ пять различныхъ величинъ: в15 ап, q, s, п и даютъ возможность опредѣлять всякія двѣ величины по тремъ остальнымъ.

Здѣсь имѣютъ мѣсто такія же 10 задачъ, какія имѣли мѣсто для ариѳметической прогрессіи.

Между различными задачами заслуживаетъ вниманія слѣдующая

Задача. Между двумя числами а и b вставитъ т такихъ чиселъ, чтобы они съ данными составили геометрическую прогрессію.

Для этого нужно найти знаменателя такой прогрессіи, въ которой извѣстны первый членъ а, послѣдній Ъ и число всѣхъ членовъ т + 2.

Для даннаго случая нужно въ уравненіи

положить

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

откуда

Знаменатель прогрессіи равенъ корню степени числа вставляемыхъ членовъ, сложенной съ единицею, изъ частнаго, происходящаго отъ раздѣленія послѣдняго члена на первый.

XIII. Логариѳмы.

§ 134. Если возмемъ двѣ прогрессіи геометрическую, начинающуюся съ единицы:

" 1 . а . а2. а3. . . .

и ариѳметическую, начинающуюся съ нуля:

^-0.1.2.3....

и подпишемъ ихъ одну подъ другой, соотвѣтственно располагая ихъ члены, то получимъ систему двухъ прогрессій:

члены которыхъ получаютъ особыя названія:

члены геометрической прогрессіи называютъ обыкновенно числами, а соотвѣтствующіе члены ариѳметической прогрессіи называютъ ихъ логариѳмами.

Опредѣленіе логариѳма. Логариѳмами называютъ члены ариѳметической прогрессіи, начинающейся съ О, соотвѣтствующіе членамъ геометрической прогрессіи, начинающейся съ единицы.

Такимъ образомъ 0 есть логариѳмъ единицы, 4 есть логариѳмъ числа а*, п есть логариѳмъ числа ап.

Такое соотношеніе между каждыми двумя соотвѣтствующими членами двухъ прогрессій выражаютъ равенствами:

Система логариѳмовъ. Вся совокупность чиселъ, составляющихъ эти двѣ прогрессіи, называется системою логариѳмовъ.

Число а, имѣющее своимъ логариѳмомъ единицу, называется основаніемъ системы логариѳмовъ.

Основаніе системы. Основаніемъ системы логариѳмовъ называется число, имѣющее своимъ логариѳмомъ единицу.

Основаніе системы можетъ быть больше или меньше единицы.

Изъ самого способа образованія двухъ прогрессій видно, что для всякой системы

Логариѳмъ основанія равенъ единицѣ.

Логариѳмъ единицы равенъ нулю.

Продолжая обѣ прогрессіи влѣво, мы получаемъ слѣдующую систему:

Разсматривая различныя системы логариѳмовъ, мы имѣемъ два случая: когда основаніе системы болѣе и когда основаніе системы менѣе единицы.

Основаніе системы болѣе единицы. Если основаніе системы болѣе единицы, то изъ простого разсмотрѣнія двухъ прогрессій видно, что «) логариѳмы чиселъ большихъ единицы будутъ числа положительныя, b) логариѳмы дробей будутъ числа отрицательныя, с) логариѳмъ безконечности будетъ безконечность (оо), d) логариѳмъ нуля будетъ—(минусъ) безконечность (—со).

Основаніе системы менѣе единицы. Если основаніе системы менѣе единицы,, то а) логариѳмы дробей будутъ числа положительныя, Ъ) логариѳмы чиселъ большихъ единицы будутъ числа отрицательныя, с) логариѳмъ безконечности будетъ—(минусъ) безконечность, d) логариѳмъ нуля будетъ безконечность.

§ 135. Въ уравненіи

можемъ давать величинамъ п значенія 0, 1, 2. 3. . . составляющія ариѳметическую прогрессію, тогда N = ап будетъ получать значенія а" = 1, а,а'2, . . . ап . і , составляющія геометрическую прогрессію.

Написавъ эти значенія въ системѣ чиселъ, выражающихъ двѣ прогрессіи:

мы видимъ, что значенія N = ап будутъ выражать числа, а значенія п будутъ логариѳмами этихъ чиселъ. Количество а будетъ основаніемъ этой системы логариѳмовъ.

Отсюда вытекаетъ

Другое опредѣленіе логариѳма. Въ уравненіи N = ап логариѳмомъ числа N называется показатель степени п, въ которую нужно возвысить основаніе а для полученія числа N. Число п есть логариѳмъ N.

Эту связь двухъ величинъ выражаютъ уравненіемъ:

Иногда внизу подписываютъ число а для означенія основанія системы логариѳмовъ и пишутъ

Изъ уравненія N = ап видно, что

1) при п = О, N = 1

слѣдоват.

2) При а = 1, Æ = а,

Логариѳмъ основанія всегда равенъ единицѣ.

3) Если "> 1, то при п = со, N = оо или

Логариѳмъ безконечности = оо

4) Если п = — оо, то

слѣд.

Логариѳмъ нуля равенъ — со.

Изъ уравненія N = ап видно, что при а положительномъ нѣтъ дѣйствительнаго числа п, которое бы дѣлало N = ап числомъ отрицательнымъ, слѣд.

При положительномъ основаніи отрицательныя числа не имѣютъ дѣйствительныхъ логариѳмовъ.

§ 136. Логариѳмы произведенія, частнаго, степени и корня

Перемноживъ два уравненія:

получаемъ уравненіе

слѣд.

Логариѳмъ произведенія равенъ суммѣ логариѳмовъ множителей.

Это правило остается справедливымъ и для случая нѣсколькихъ множителей.

Дѣйствительно, перемножая уравненія:

имѣемъ уравненіе

изъ котораго видно, что

Раздѣляя уравненіе на уравненіе получаемъ:

слѣдовательно

Логариѳмъ частнаго равенъ логариѳму дѣлимаго безъ логариѳма дѣлителя.

Возвышая уравненіе N=an въ степень у, имѣемъ:

откуда

Логариѳмъ степени равенъ показателю степени, умноженному на логариѳмъ числа, возвышеннаго въ степень.

Извлекая корень степени у изъ уравненія

имѣемъ:

откуда

Логариѳмъ корня равенъ логариѳму подкоренной величины, дѣленному на показателя корня.

Эти правила даютъ возможность вычислять логариѳмы различныхъ сложныхъ выраженій по логариѳмамъ входящихъ въ нихъ величинъ.

Такъ, полагая

§ 137. Вычисленіе логариѳмовъ послѣдовательнымъ приближеніемъ. Имѣя систему логариѳмовъ при основаніи а

мы можемъ опредѣлить логариѳмы другихъ чиселъ изъ уравненія

Для этого можно давать величинамъ п различныя значенія и опредѣлять соотвѣтственныя величины N помощію возвышенія въ степень или извлеченія корней, или для данныхъ величинъ N можемъ опредѣлять соотвѣтственныя величины п послѣдовательнымъ приближеніемъ.

Такъ, имѣя систему логариѳмовъ при основаніи 2

опредѣлимъ логариѳмъ 10. Зависимость между чис-

лами и логариѳмами при основаніи 2 выражается уравненіемъ:

Для нашего случая число А=10, слѣд. для опредѣленія логариѳма нужно найти п изъ уравненія

Эту величину мы будемъ опредѣлять послѣдовательнымъ приближеніемъ.

Величина п заключается между 3 и 4. Полагая

имѣемъ:

Величина пх заключается между 3 и 4, ибо

Полагая

имѣемъ:

Величина пі заключается между 9 и 10

Такимъ образомъ

Мы можемъ съ нѣкоторымъ приближеніемъ допустить, что

Эта величина логариѳма будетъ менѣе настоящей.

Погрѣшность не будетъ превосходить gp Такой способъ вычисленія логариѳмовъ требуетъ длиннаго счета, поэтому чаще примѣняютъ

§ 138. Вычисленіе логариѳмовъ помощію вставки промежуточныхъ членовъ.

Этотъ способъ вычисленія логариѳмовъ состоитъ въ томъ, что между двумя членами геометрической и соотвѣтствующими членами ариѳметической прогрессіи послѣдовательно вставляютъ одинъ или нѣсколько членовъ. Вставленные члены ариѳметической будутъ логариѳмами соотвѣтственныхъ членовъ геометрической прогрессіи.

Такъ, въ системѣ

вставляя между 4 и одинъ членъ, имѣемъ для его величины

Вставляя членъ между 2 и 3, имѣемъ

Если вставить между каждыми двумя членами геометрической и ариѳметической прогрессіи большое число членовъ, получимъ такимъ образомъ логариѳмы многихъ другихъ чиселъ.

§ 139. Таблицы логариѳмовъ. Вставляя значительное число членовъ, составляютъ таблицы логариѳмовъ. При составленіи таблицъ находятъ логариѳмы только цѣлыхъ чиселъ. Для этого вставляютъ въ ариѳметическую и геометрическую прогрессіи значительное число членовъ, тогда числа геометрической прогрессіи, а равно и ихъ логариѳмы будутъ измѣняться чрезъ весьма малые промежутки.

Между этими числами будудъ такія, которыя мало отличаются отъ цѣлыхъ чиселъ. Эти числа принимаютъ за самыя цѣлыя числа, а соотвѣтствующіе имъ члены ариѳметической прогрессіи за ихъ логариѳмы. Поступая такимъ образомъ, составляютъ таблицу логариѳмовъ цѣлыхъ чиселъ. При этомъ достаточно вычислить только логариѳмы простыхъ чиселъ, ибо логариѳмы сложныхъ очень легко получить по логариѳмамъ простыхъ чиселъ.

Такъ, разлагая сложное число А на первоначальныхъ множителей

мы его логариѳмъ опредѣлимъ изъ уравненія:

Составивъ такимъ образомъ логариѳмы цѣлыхъ чиселъ, выписываютъ ихъ въ формѣ таблицы, по одну сторону которой располагаютъ числа, а по другую логариѳмы. Въ этихъ таблицахъ вычисляютъ логариѳмы съ приближеніемъ до какой нибудь десятичной цифры, смотря по той точности, какую имѣютъ въ виду при вычисленіяхъ.

Характеристика и мантисса. Цѣлое число логариѳма называется характеристикой, а дробное мантиссой.

Названія таблицъ. Таблицы логариѳмовъ получаютъ свое названіе по числу цифръ десятичныхъ знаковъ мантиссы логариѳма и по величинѣ основанія. Если логариѳмы вычислены до пятаго десятичнаго знака, таблицы логариѳмовъ называются пятизначными, если до седьмаго—семизначными

Десятичная система логариѳмовъ Можно вычислить таблицы логариѳмовъ для какого угодно основанія. Самыя распространенныя таблицы вычислены при основаніи 10. Эти логариѳмы суть ни что иное какъ развитіе системы двухъ прогрессій:

въ которой каждая пара величинъ N и п удовлетворяетъ уравненію

§ 140. Переходъ отъ одной системы логариѳмовъ къ другой. Отъ таблицъ, составленныхъ по одному основанію, легко перейти къ таблицамъ, составленнымъ по другому основанію. Положимъ, п есть логариѳмъ числа N ири основаніи а, то есть

Здѣсь N и п удовлетворяютъ уравненію

Выразимъ логариѳмъ числа N при основаніи Ь.

Взявъ логариѳмъ при основаніи b отъ обѣихъ частей уравненія (1), получимъ

Замѣняя п его величиною

имѣемъ:

откуда выводимъ, что

(2)

Такъ какъ Lgb а есть величина постоянная для двухъ данныхъ системъ, то есть она не зависитъ отъ величины числа Л7, то отсюда заключаемъ, что

Отношеніе логариѳмовъ всѣхъ чиселъ двухъ системъ есть величина постоянная. Эта постоянная величина называется модулемъ.

Модуль. Модулемъ называется то число, на которое нужно помножитъ логариѳмы одной системы для того, чтобы получить логариѳмы другой системы.

Если система дана, то модуль для перехода отъ одной системы b къ другой системѣ а равенъ -у—

Величина модуля. Модуль равенъ единицѣ, раздѣленной на логариѳмъ при основаніи системы намъ извѣстной отъ основанія системы неизвѣстной.

Изъ Формулы (2) видно, что

Логариѳмъ при основаніи системы неизвѣстной равенъ логариѳму при основаніи системы извѣстной, умноженной на модуль.

Когда извѣстны логариѳмы при основаніи 10, модуль для перехода отъ системы при основаніи 10 въ системѣ при основаніи 2 будетъ:

§ 141. Польза логариѳмическихъ таблицъ. Таблицы логариѳмовъ даютъ возможность умноженіе замѣнять сложеніемъ, дѣленіе вычитаніемъ, возвышеніе въ степень умноженіемъ и извлеченіе корней дѣленіемъ.

Дѣйствительно, чтобы вычислить величины:

опредѣляютъ логариѳмы этихъ выраженій. Величина логариѳма этихъ выраженій будетъ:

Вычисливъ логариѳмы этихъ выраженій помощію 4-хъ основныхъ дѣйствій, отыскиваютъ въ таблицахъ по данному логариѳму число. Это число и будетъ выражать величину одного изъ этихъ выраженій.

Такимъ образомъ таблицы логариѳмовъ значительно облегчаютъ вычисленіе.

Изобрѣтатель логариѳмовъ англичанинъ Неперъ первый вычислилъ таблицы логариѳмовъ.

За основаніе своей системы Неперъ выбралъ несоизмѣримое число 0 = 2,71828...

Они названы неперовыми, а также натуральными или гиперболическими.

Его соотечественникъ и современникъ Бриггъ вычислилъ таблицы логариѳмовъ при основаніи 10.

§ 142. Таблицы Бригга. Бриггъ составилъ таблицы логариѳмовъ при основаніи 10.

Основаніе системы логариѳмовъ Бригга совпадаетъ съ основаніемъ общепринятой системы десятичнаго счисленія. Въ этомъ обстоятельствѣ и лежитъ главное объясненіе того, что эти таблицы наиболѣе распространены.

Таблицы Бригга представляютъ систему величинъ А’ и п, удовлетворяющихъ уравненію

Числа и п суть соотвѣтствующія числа двухъ прогрессій:

Продолжая обѣ эти прогрессіи влѣво, мы будемъ имѣть

Особенности системы Бригга. Изъ способа образованія бригговой системы логариѳмовъ видно, что

1) Въ системѣ Бригга логариѳмъ числа равнаго единицѣ съ нѣсколькими нулями равенъ цѣлому числу, содержащему столько единицъ, сколько въ числѣ нулей.

Такимъ образомъ

Логариѳмъ всякаго числа между 1 и 10 есть число между нулемъ и единицею, то есть логариѳмъ числа, состоящаго изъ одной цифры, имѣетъ въ характеристикѣ нуль. Логариѳмъ всякаго числа между 10 и 100 заключается между 1 и 2, то есть логариѳмъ всякаго числа, состоящаго изъ двухъ цифръ, имѣетъ въ характеристикѣ единицу. Можно такимъ образомъ по числу цифръ опредѣлить

2) Число единицъ въ характеристикѣ логариѳма. Логариѳмъ всякаго числа, которое больше единицы, имѣетъ въ характеристикѣ столько единицъ, сколько въ числѣ цифръ безъ единицы.

Обратно, по данному логариѳму можно всегда сказать, изъ сколькихъ цифръ состоитъ соотвѣтствующее число.

3) Число цифръ числа. Число цифръ въ числѣ на единицу болѣе числа единицъ въ характеристикѣ логариѳма.

4) Умножая число на 10, 100, 1000 и т. д. мы увеличимъ характеристику логариѳма на 1, 2, 3 и т. д.', мантисса же остается безъ перемѣны.

5) Уменьшая число въ 10, 100, 1000 разъ и т. д. мы уменьшимъ характеристику логариѳма на 1, 2, 3 и т. д.: мантисса же остается безъ перемѣны.

Дѣйствительно

Логариѳмическія таблицы даютъ логариѳмы только цѣлыхъ чиселъ. Кромѣ того эти таблицы составлены до какого нибудь предѣла. Не смотря на это, помощію этихъ таблицъ можно отыскать логариѳмы какъ дробныхъ чиселъ, не содержащихся въ таблицѣ, такъ и цѣлыхъ чиселъ, превосходящихъ предѣлы таблицы.

Логариѳмъ какого-нибудь дробнаго числа получается изъ уравненія

Для вычисленія логариѳма чиселъ, не заключающихся въ таблицахъ, пользуются особыми пріемами вычисленія.

§ 143. Таблицы Лаланда. Чтобы имѣть понятіе о томъ, въ какомъ порядкѣ располагаютъ таблицы логариѳмовъ, мы выписываемъ одну страницу пятизначныхъ таблицъ Лаланда, составленныхъ до 10000.

Въ этихъ таблицахъ въ столбцахъ, озаглавленныхъ Nomb (Числа-Nombres) написаны числа въ послѣдовательномъ порядкѣ, въ столбцахъ, озаглавленныхъ Logarit (Логариѳмы-Logarithmes) написаны ихъ логариѳмы, а въ столбцахъ, озаглавленныхъ буквами D (Разности-Differences), приведены разности между логариѳмами

§ 144. Употребленіе логариѳмическихъ таблицъ. При употребленіи таблицъ логариѳмовъ приходится рѣшать два вопроса:.

1. Опредѣлить логариѳмъ по данному числу,

2. Опредѣлитъ число по данному логариѳму.

Мы остановимся на рѣшеніи этихъ обоихъ вопросовъ отдѣльно. Для этого будемъ пользоваться пятизначными таблицами Лаланда, составленными до 10000.

§ 145. Опредѣленіе логариѳма даннаго числа.

Примѣръ 1. Найти логариѳмъ числа 35, 65.

Логариѳмъ числа 35, 65 имѣетъ своей характеристикой 1, ибо цѣлая часть числа состоитъ изъ двухъ цифръ. Мантисса же у этого числа будетъ таже, что и у 3565 числа въ 100 разъ большаго. Отыскивая логариѳмъ 3565, находимъ:

Такимъ образомъ для отысканія мантиссы мы увеличиваемъ число въ 10, 100, 1000 и вообще во столько разъ, чтобы наибольшее полученное число заключалось въ предѣлахъ таблицы-, отыскиваемъ логариѳмъ этого числа, и отъ этою логариѳма переходимъ къ логариѳму даннаго числа, взявъ для характеристики извѣстное число единицъ.

Примѣръ 2. Найти логариѳмъ числа 356, 523.

Характеристикою логариѳма будетъ 2, ибо цѣлая часть даннаго числа состоитъ изъ 3-хъ цифръ.

Увеличивая число въ 10 разъ, получаемъ число 3565,23, заключающееся въ предѣлахъ таблицъ.

Это число заключается между двумя цѣлыми числами 3565 и 3566. Оно удовлетворяетъ неравенствамъ: 3565 < 3565, 23 < 3566

Опредѣляя логариѳмы чиселъ 3566 и 3565, находимъ:

Логариѳмъ числа 3565, 23 находимъ, допуская, что разность между мантиссами пропорціальна разности между числами.

Разность между мантиссами логариѳмовъ чиселъ 3566 и 3565 равна 12. Эта разность мантиссъ соотвѣтствуетъ единицѣ разности между числами. Разность между мантиссами логариѳмовъ числа 3565 и числа 3565,23 должна быть менѣе, ибо разность между числами равна 0,23.

Опредѣляемъ эту разность помощію простаго тройнаго правила.

Если разности между числами 1 соотвѣтствуетъ разность между мантиссами 12, то какая разность между мантиссами соотвѣствуетъ разности между числами 0,23? Эту задачу письменно выражаемъ въ видѣ:

Такъ какъ мы ограничиваемся въ мантиссахъ пятымъ мѣстомъ, то имѣемъ право взять 2 или 3. Мы беремъ 3, ибо, взявъ 2, мы дѣлаемъ ошибку только на 0,24.

Эту разность 3 прикладываемъ къ мантиссѣ логариѳма числа 3565, то есть къ 3,55206 и тогда получаемъ:

Логариѳмъ же даннаго числа получится, если, оставивъ туже мантиссу, возьмемъ соотвѣтствующую характеристику

Примѣръ 3. Найти логариѳмъ числа 3565337,1.

Въ этомъ случаѣ число болѣе того предѣла, до котораго составлены таблицы. Логариѳмъ этого числа имѣетъ своей характеристикой 6, ибо число до запятой состоитъ изъ 7 цифръ.

Чтобы опредѣлить мантиссу логариѳма, уменьшаемъ число въ 1000 разъ для того, чтобы полученное число было наибольшимъ цѣлымъ числомъ, содержащимся въ таблицахъ.

Число 3565,3371 заключается между двумя числами 3565 и 3566. Логариѳмы этихъ чиселъ будутъ:

На разность между числами 0, 3371 приходится съ большимъ приближеніемъ разность между мантиссами 4. Эту разность 4 прибавляемъ къ логариѳму числа 3565 и получаемъ:

Логариѳмъ числа 3565337,1 будетъ имѣть ту же самую мантиссу

Если число выходитъ изъ предѣловъ таблицъ, мы при вычисленіи уменьшаемъ его въ 10, 100 и вообще во столько разъ, чтобы получилось наибольшее число, заключающееся въ таблицахъ и опредѣляемъ его мантиссу.

Изъ предложенныхъ примѣровъ выводимъ слѣдующее

Правило опредѣленія логариѳма по числу. Чтобы, вычислить логариѳмъ какою нибудь числа, не содержащагося въ таблицахъ, а) увеличиваемъ или (уменьшаемъ число въ 10, 100 и вообще во столько разъ, чтобы получилось наибольшее число, содержащееся въ таблицахъ, b) опредѣляемъ мантиссу, соотвѣтствующую этому числу, при чемъ допускаемъ, что разность между мантиссами пропорціальна разности между логариѳмами. с) Опредѣливъ мантиссу логариѳма даннаго числа, мы опредѣляемъ и логариѳмъ числа, прибавляя или вычитая изъ характеристики число единицъ, соотвѣтствующее тому числу, на которое мы умножили или раздѣлили данное число.

§ 146. Опредѣленіе числа по данному логариѳму. Характеристика логариѳма всегда даетъ возможность опредѣлить, изъ сколькихъ цифръ состоитъ цѣлая часть соотвѣтствующаго числа.

Цѣлая часть числа имѣетъ цифръ на единицу болѣе числа единицъ характеристики.

При точномъ вычисленіи самаго числа всегда пользуются тѣмъ же правиломъ пропорціональности разности между числами разности между логариѳмами или мантиссами.

Самый ходъ вычисленій разъясняется на слѣдующихъ примѣрахъ.

Примѣръ 1. Опредѣлить число, котораго логариѳмъ 1,35011.

Прежде всего прибавляемъ къ характеристикѣ логариѳма столько единицъ, чтобы полученный логариѳмъ былъ наибольшимъ логариѳмомъ, помѣщающимся въ таблицахъ.

Такъ какъ мы разсматриваемъ логариѳмическія таблицы до 10000, то наибольшій логариѳмъ въ таблицахъ есть 4. Къ характеристикѣ даннаго логариѳма мы можемъ прибавить только 2 единицы. Сдѣлавъ это, получаемъ 3, 55011.

Прибавивъ къ характеристикѣ 2 единицы, мы тѣмъ самымъ увеличили соотвѣтствующее число во 100 разъ. Впослѣдствіи мы должны уменьшить число, соотвѣтствующее логариѳму 3, 55011 тоже во 100 разъ.

Отыскивая въ таблицахъ въ столбцѣ логариѳмовъ число 3, 55011, находимъ, что ему соотвѣтствуетъ число 3549.

Число, соотвѣтствующее логариѳму 1,55011, будетъ 35,49.

Примѣръ 2. Найти число, соотвѣтствующее логариѳму 0,55392.

Прибавляя характеристикѣ логариѳма 3 единицы, получимъ 3,55392.

Отыскивая его въ таблицахъ въ столбцѣ логариѳмовъ, видимъ, что оно заключается между двумя логариѳмами:

Данный логариѳмъ болѣе однаго и менѣе другаго. Онъ удовлетворяетъ неравенствамъ:

слѣд. число содержится между 3580 и 3581.

Разность между мантиссами логариѳмовъ двухъ рядомъ стоящихъ цѣлыхъ чиселъ 3580 и 3581 есть 12. Разность же между мантиссами логариѳма числа 3580 и даннаго логариѳма 3,55392 есть 4. Число, соотвѣтствующее этой разности, опредѣляемъ, рѣшая задачу простаго тройнаго правила.

Число, соотвѣтствующее логариѳму 3,55392, есть 3580 * или 3580,333.. .

Число, соотвѣтствующее логариѳму 0,55392, бу-

детъ въ 1000 разъ менѣе. Оно будетъ

Примѣръ 3. Найти число, соотвѣтствующее лологариѳму 5,54-808. Данный логариѳмъ выходитъ изъ предѣловъ таблицъ.

Вычитая изъ характеристики 2 единицы для того, чтобы получить наибольшій логариѳмъ, содержащійся въ таблицахъ, получимъ 3, 54808. Этотъ логариѳмъ содержится между £#3532 = 3,54802 и £#3533 = 3, 54814.

Разность между мантиссами нашего логариѳма и £#3532 будетъ 6.

Число, соотвѣтствующее логариѳму 3, 54808, будетъ 3532,5.

Число, соотвѣтствующее логариѳму 5,54808, будетъ въ 100 разъ больше. Оно будетъ 353250.

Изъ предложенныхъ примѣровъ вытекаетъ слѣдующее

Правило опредѣленія числа по логариѳму. Чтобы найти число, соотвѣтствующее данному логариѳму, а) прибавляютъ или вычитаютъ изъ характеристики столько единицъ, чтобы полученный логариѳмъ былъ наибольшимъ логариѳмомъ, заключающимся въ таблицахъ, Ъ) отыскиваютъ число, соотвѣтствующее данному логариѳму, при чемъ допускаютъ, что разность

между мантиссами пропорціональна разности между логариѳмами, с) За тѣмъ полученное число увеличиваютъ или уменьшаютъ въ число разъ, соотвѣтствующее первоначальному измѣненію характеристики.

§ 147. Отрицательные логариѳмы. Логариѳмы правильныхъ дробей суть отрицательныя числа.

Эти отрицательныя числа называются отрицательными логариѳмами. При опредѣленіи числа, соотвѣтствующаго этимъ логариѳмамъ, поступаютъ по общему правилу.

Отрицательныя характеристики. Отрицательные логариѳмы иногда представляютъ въ особой Формѣ, болѣе удобной для вычисленій. Для этого

Отрицательный логариѳмъ иногда преобразуютъ такимъ образомъ, чтобы характеристика была отрицательной, а мантисса положительной.

Такъ, прибавляя и вычитая къ отрицательному логариѳму—2,12156 по 3, получимъ:

Въ логариѳмѣ 3, 87844 мантисса положительна, а характеристика отрицательна. Для означенія этого надъ характеристикой 3 ставятъ знакъ—(минусъ).

§ 148. Дѣйствія съ отрицательными логариѳмами. Дѣйствія надъ логариѳмами съ отрицательными характеристиками производятъ, принимая всегда во вниманіе, что логариѳмъ съ отрицательной характеристикой можетъ быть представленъ въ видѣ разности.

Такъ

Въ случаѣ дѣленія логариѳма съ отрицательною характеристикою на цѣлое число, обыкновенно представляютъ логариѳмъ такою разностію, чтобы отрицательная часть дѣлилась нацѣло, и дѣлятъ отдѣльно положительную и отрицательную часть.

Такъ, раздѣляя 3,56325 на 5, представляютъ этотъ логариѳмъ въ видѣ разности

Раздѣляя на 5, имѣемъ:

Это дѣлаютъ для того, чтобы результатъ снова былъ прдставленъ въ видѣ логариѳма съ положительною мантиссою и отрицательною характеристикою.

Какъ примѣръ вычисленій съ логариѳмами, имѣющими отрицательныя характеристики, найдемъ величину выраженія

При помощи логариѳмовъ легко рѣшаются

§ 149. Неопредѣленно-степенныя уравненія. Неопредѣленно-степенныя суть такія уравненія, въ которыхъ неизвѣстное входитъ показателемъ.

Такъ уравненіе

будетъ неопредѣленно-степеннымъ.

Взявъ логариѳмъ обѣихъ частей, имѣемъ:

§ 150. Однимъ изъ приложеній логариѳмическихъ таблицъ является возможность очень скоро вычислять

Сложные проценты. Проценты называются сложными въ томъ случаѣ, когда они ежегодно причисляются къ капиталу, и въ каждый слѣдующій годъ проценты наростаютъ на полученный такимъ образомъ капиталъ процеитами .

Въ этомъ случаѣ проценты наростаютъ на проценты.

Въ теоріи сложныхъ процентовъ наиболѣе важною является

Задача 1. Капиталъ а отданъ въ ростъ на t лѣтъ по р процентовъ. Опредѣлить, какъ великъ будетъ капиталъ въ случаѣ сложныхъ процентовъ?

Рѣшеніе задачи. Означимъ чрезъ 4 ту вели-

чину, которую будетъ имѣть капиталъ черезъ t лѣтъ. Капиталъ во 100 рублей черезъ годъ обратится въ капиталъ 100+7? рублей.

Капиталъ въ одинъ рубль черезъ годъ обратится въ капиталъ

Капиталъ а черезъ годъ обратится въ капиталъ

Въ концѣ втораго года онъ обрятится въ капиталъ

Въ концѣ третьяго года онъ обратится въ капиталъ

Въ концѣ t лѣтъ онъ обратится въ капиталъ

слѣд.

Формула (1) связываетъ четыре величины: А величину капитала въ концѣ t лѣтъ, а величину капитала, положеннаго въ первый годъ; р величину процентовъ и t число лѣтъ, въ теченіи которыхъ наростаютъ сложные проценты.

Эта формула можетъ такимъ образомъ послужить основаніемъ для опредѣленія каждой изъ этихъ величинъ по тремъ остальнымъ.

Примѣръ 1. Во что обратится черезъ 11 лѣтъ капиталъ въ 150 рублей, положенный но 5 % °/ч-

Въ данномъ случаѣ

Взявъ логариѳмъ отъ обѣихъ частей, имѣемъ:

От. Капиталъ обратился въ 270 р. 29 коп.

Разсмотримъ, какъ будутъ рѣшаться по Формулѣ (1) три остальныя задачи.

Задача 2. Какой капиталъ а нужно положить по р процентовъ, чтобы черезъ t лѣтъ получить капиталъ А?

Рѣшеніе. Въ формулѣ

неизвѣстно а.

Взявъ логариѳмъ обѣихъ частей, находимъ:

откуда

Примѣръ 2. Какой капиталъ нужно положить по 8'70, чтобы черезъ 10 лѣтъ имѣть 10000 руб.?

От. Капиталъ въ 4632 р. 33 коп.

Задача 3. На сколько лѣтъ нужно положить капиталъ а по р процентовъ, чтобы получить капиталъ А?

Рѣшеніе. По формулѣ

видно, что неизвѣстное t входитъ въ показателя.

Взявъ логариѳмъ обѣихъ частей, имѣемъ:

откуда

Примѣръ 3. Насколько лѣтъ нужно положить 100 рублей по 67., чтобы получить капиталъ въ 1000 рублей?

От. Капиталъ нужно положить на 39 ^ц лѣтъ.

Задача 4. По скольку процентовъ р нужно положить капиталъ а, чтобы чрезъ t лѣтъ имѣть капиталъ Ä?

Рѣшеніе. Изъ формулы

имѣемъ:

откуда

Примѣръ 4. По скольку процентовъ нужно положить 120 рублей, чтобы черезъ 10 лѣтъ получить 200 рублей?

Здѣсь А = 200, а == 120, і = 10

От. Капиталъ нужно положить по 5,239%.

§ 151. Между различными задачами на сложные проценты заслуживаетъ наибольшаго вниманія

Задача ежегодныхъ взносовъ. Опредѣлить, какой капиталъ А составится въ t лѣтъ, если, начиная съ перваго, будемъ ежегодно вносить по а рублей на сложные проценты по р со ста?

Капиталы, вносимые ежегодно, будутъ въ оборотѣ не одинаковое число лѣтъ. Такъ, капиталъ а, вносимый въ началѣ перваго года, будетъ въ оборотѣ t лѣтъ, капиталъ, вносимый въ началѣ втораго года, будетъ въ оборотѣ t—1 лѣтъ и т. д.

Капиталъ, находящійся въ оборотѣ t лѣтъ, обратится въ капиталъ

Капиталъ, находящійся въ оборотѣ і—1 лѣтъ, обратится въ капиталъ

Капиталъ, внесенный въ началѣ послѣдняго года, обратится въ капиталъ

Сложивъ всѣ эти величины, мы найдемъ капиталъ:

Положивъ

имѣемъ:

Такъ какъ

(2)

Формула (2) называется формулою ежегодныхъ взносовъ.

§ 152 Срочныя уплаты. Иногда случается, что долгъ банку А уплачивается ежегодными взносами въ теченіи t лѣтъ. Въ этомъ случаѣ ежегодный взносъ долженъ заключать въ себѣ процентъ и часть капитала.—

Такой ежегодный взносъ называется срочною уплатою.

Такихъ срочныхъ уплатъ въ t лѣтъ будетъ t. Первая уплата будетъ въ концѣ 1-го, а послѣдняя въ концѣ года і.

Капиталъ А въ t лѣтъ обратится въ капиталъ Аф.

Первая срочная уплата сдѣлана за t—1 лѣтъ до срока и равносильна капиталу aql~l.

Вторая срочная уплата равносильна капиталу ау*~\

Послѣдняя срочная уплата будетъ а.

Всѣ срочныя уплаты по цѣнѣ составятъ

Эти срочныя уплаты должны погашать долгъ А, слѣд.

(3)

и величина ежегодной срочной уплаты будетъ

XIV. Соединенія. Биномъ Ньютона.

§ 153. Имѣя т предметовъ или буквъ

а, Ъ, с, d, е, ... k, I

мы можемъ соединять ихъ вмѣстѣ по двѣ, по три и т. д.

Составленныя такимъ образомъ выраженія abc, acd, ab, ас, са, bac, abed . . . называются соединеніями.

Соединенія. Соединеніями называются такія выраженія, въ которыхъ нѣсколько буквъ взяты вмѣстѣ и расположены въ опредѣленномъ порядкѣ.

Въ соединеніяхъ обращаютъ вниманіе на группу буквъ, нужныхъ для образованія всей совокупности соединеній, на число буквъ, нужныхъ для образованія каждаго соединенія въ отдѣльности и на порядокъ самыхъ буквъ.

Соединеніе abc будетъ соединеніемъ по 3, ас по двѣ, abed по четыре буквы.

Соединенія, состоящія изъ одного и того же числа буквъ, разсматриваютъ обыкновенно вмѣстѣ.

Переложенія. Полная совокупность всѣхъ возможныхъ соединеній, взятыхъ изъ какой нибудь группы по опредѣленному числу буквъ и отличающихся другъ отъ друга или буквами или порядкомъ буквъ, называется переложеніями. (Arrangements).

Имѣя 5 буквъ а, Ь, с, d, е, мы имѣемъ въ выраженіяхъ

всѣ переложенія изъ 5 буквъ по двѣ.

Въ этой системѣ соединеній выраженія ab, ас, de отличаются буквами, а выраженія ba, ab порядкомъ буквъ.

Переложенія получаютъ особыя названія, смотря по тому, отличаются ли они другъ отъ друга, только буквами или порядкомъ буквъ.

Сочетанія. Совокупность всѣхъ переложеній, отличающихся другъ отъ друга буквами, а не порядкомъ ихъ, называется сочетаніями. (Combinaisons).

Такъ для группы изъ 5 буквъ; а, Ь, с, d, е соединенія выражаютъ всѣ сочетанія изъ пяти буквъ по три.

Перемѣщенія. Совокупность всѣхъ переложеній,

которыя можно получитъ изъ даннаго соединенія, перемѣняя только одинъ порядокъ буквъ, называютъ перемѣщеніями.

Перемѣщенія называютъ иногда перестановленіями.

Такъ, совокупность выраженій

ale, acb, bca, bac, cab, cba представляетъ всѣ перестановленія изъ трехъ буквъ а, Ь, с.

Эти перестановленія изъ трехъ буквъ суть тѣже переложенія изъ трехъ буквъ по три.

Самый простой вопросъ, являющійся въ теоріи соединеніи, состоитъ въ опредѣленіи числа переложеній и сочетаній, которыя можно сдѣлать изъ п буквъ по р.

Будемъ обозначать число переложеній изъ п буквъ по р выраженіемъ (пАр) „ „ число сочетаній изъ п буквъ по

р выраженіемъ (пСр).

„ „ число перемѣщеній изъ п буквъ

выраженіемъ Рп.

Число Рп есть ничто иное, какъ число переложеній изъ п буквъ по п

Рп = (пАп).

§ 154. Зависимость между числомъ переложеній, сочетаній и перемѣщеній.

Чтобы получить всѣ возможныя переложенія изъ п буквъ по р, нужно взять всѣ возможныя сочетанія изъ п буквъ по р и потомъ въ каждомъ сочетаніи перемѣстить буквы всѣми возможными способами. Каждое сочетаніе дастъ въ этомъ случаѣ столько перемѣщеній, сколько таковыхъ можно сдѣлать изъ р буквъ. Изъ такого способа полученія всѣхъ переложеній вытекаетъ

Правило. Число переложеній изъ п буквъ по р равно числу сочетаній изъ п буквъ по р, умноженному на число всѣхъ перемѣщеній изъ р буквъ.

(1)

Изъ этой формулы видно, что достаточно найти только два члена этого выраженія для того, чтобы опредѣлить третій.

§ 155. Имѣя п буквъ

допустимъ, что всѣ переложенія изъ п буквъ по р написаны.

Очевидно, мы будемъ имѣть одинаковое число переложеній, начинающихся съ а, Ь, с... k, I, слѣд. всѣ переложенія раздѣляются на п группъ. Одна изъ этихъ группъ будетъ начинаться съ а, другая съ Ъ и т. д.

Если въ группѣ переложеній, начинающихся съ а, отбросимъ букву а, получимъ всѣ переложенія изъ п—1 остальныхъ буквъ, взятыхъ по р—1 буквъ.

Такимъ образовъ число всѣхъ переложеній въ группѣ, начинающейся съ а, будетъ [(w— 1)АЦ>— 1)].

Всѣхъ такихъ группъ п, .поэтому

Изъ этой основной Формулы вытекаютъ всѣ остальныя слѣдствія.

Не трудно видѣть, что изъ п буквъ а, Ь, с, d... k, I можно сдѣлать слѣдующія п * переложеній по одной буквѣ

слѣд.

Полагая въ Формулѣ (2) р = 2, имѣемъ:

но

слѣд.

Полагая р = 3, имѣемъ

слѣд.

Подобнымъ образомъ имѣемъ вообще

Продолжая подобнымъ образомъ вычисленіе, имѣемъ вообще

Число переложеній изъ п буквъ по р. Число переложеній изъ п буквъ по р выражается формулою:

(3).

§ 156. Переложенія изъ п буквъ по п выражаютъ всѣ возможныя перемѣщенія изъ п буквъ.

Полагая въ формулѣ (3)

имѣемъ:

Число перемѣщеній. Число перемѣщеній изъ п буквъ равно произведенію всѣхъ натуральныхъ чиселъ отъ 1 до п.

(4).

§ 157. Замѣняя въ формулѣ

выраженія (пАр) и Рр ихъ выраженіями (3) и (4), имѣемъ:

откуда

Число сочетаній изъ п буквъ по р выражается формулою-.

Число сочетаній изъ п буквъ по р иногда обозначаютъ выраженіемъ (п)р.

§ 158. Связь между соединеніями. Имѣя т буквъ

и означивъ чрезъ

сумму всѣхъ сочетаній изъ т буквъ по одной, по двѣ, по три буквы и т. д., мы имѣемъ слѣдующія Формулы для выраженія этихъ суммъ:

Sim)

сумму всѣхъ сочетаній изъ т р

буквъ по р, мы легко можемъ замѣтить самый законъ образованія этой суммы.

Въ суммѣ \ входятъ члены, содержащіе букву I, и члены, ея несодержащіе.

Члены, содержащіе букву I, представляютъ сумму всѣхъ возможныхъ сочетаній изъ m—1 буквъ п (т—1) а, Ь, с.. . J. к по р буквъ, то есть сумму X . Если въ членахъ, содержащихъ букву I, вынести I за скобку, они представятъ въ скобкахъ сумму всѣхъ возможныхъ сочетаній изъ т—1 буквъ по р—1, то есть \

Такимъ образомъ

При помощи формулы (6) мы можемъ составить

§ 159. Выраженіе произведенія т двучленовъ:

Непосредственнымъ перемноженіемъ мы находимъ, что

Изъ выраженія послѣдняго произведенія трехъ двучленовъ мы находимъ, что оно состоитъ изъ четырехъ членовъ, расположенныхъ по убывающимъ степенямъ #, начиная съ третьей.

Въ этихъ членахъ коеффиціентъ перваго члена равенъ 1, коеффиціентъ втораго члена есть сумма всѣхъ сочетаній изъ трехъ буквъ а, Ь, с по одной, коеффиціентъ третьяго члена выражаетъ сумму всѣхъ сочетаній изъ 3-хъ буквъ по двѣ, наконецъ коеффиціентъ четвертаго члена выражаетъ сумму сочетаній изъ трехъ буквъ по три.

По нашему обозначенію

Докажемъ, что если такой законъ справедливъ для произведенія т — 1 двучленовъ, онъ справедливъ и для произведенія т двучленовъ.

Допустимъ, что произведеніе (т—1) двучленовъ будетъ

Произведеніе

слѣд.

По формулѣ (6)

слѣд.

(7)

Непосредственно мы убѣдились въ справедливости этого закона для произведенія двухъ и трехъ двучленовъ, слѣд. онъ справедливъ и для произведенія 4, 5 и сколькихъ угодно двучленовъ,

§ 160. Биномъ Ньютона. Если въ Формулѣ (7) положимъ

произведеніе обратится въ произведеніе т равныхъ двучленовъ, то есть въ (ж+а)т или ш-ую степень двучлена (ж+а).

Коеффиціенты при различныхъ степеняхъ напр. выразятъ сумму равныхъ членовъ, изъ которыхъ каждый членъ будетъ вида ар, при чемъ число членовъ равно числу сочетаній изъ т буквъ по р, слѣд. въ этомъ случаѣ

Принимая это въ соображеніе, имѣемъ:

Замѣняя здѣсь коеффиціенты ихъ выраженіями по формулѣ (5)

получимъ:

(9)

Эта формула называется биномомъ Ньютона. Разсматривая формулу (9), мы находимъ слѣдующій

Законъ образованія членовъ бинома Ньютона.

Въ разложеніи выраженія (х-\-а)т мы имѣемъ:

1) Полиномъ, начинающійся съ члена хт.

2) Каждый слѣдующій членъ содержитъ степень 'х на / меньше, а степень а на 1 больше.

3) Коеффиціенты, начиная со 2-го, выражаютъ число сочетаній изъ т буквъ по /, 2, 3 и т. д.

4) Каждый послѣдующій коеффиціентъ получается изъ предыдущаго введеніемъ въ числителя однаго лишняго числового множителя меньшаго на 1 и въ знаменателя лишняго множителя большаго на единицу.

5) Сумма показателей буквъ а и х всегда равна т.

По этой формулѣ

Замѣняя въ формулѣ (9) а черезъ — а, имѣемъ м?-ую степень разности:

(10)

Полагая въ формулахъ (9) и (10)

#=а=1

имѣемъ:

Изъ Формулы (11) видно, что

Сумма коеффиціентовъ бинома Ньютона РАВНА 2”.

XV. Прибавленія.

1. Краткія замѣчанія по исторіи алгебры.

Слово алгебра происходитъ отъ арабскаго слова algeber (возстановленіе). Такое названіе у Арабовъ носила операція перенесенія членовъ изъ одной части уравненія въ другую. Отъ нее получила алгебра свое названіе. Сами же Арабы называли алгебру al mucalah (сравненіе). Главныя основанія алгебры Аравитяне заимствовали у Грековъ въ особенности у александрійскаго математика Діофанта, жившаго въ IV вѣкѣ по Р. X. Въ началѣ XII вѣка Lionhard Fibonacci изъ Пизы познакомилъ италіанскихъ ученыхъ съ алгебраическими знаніями Арабовъ. Знаки (+) и (—) встрѣчаются въ первый разъ въ сочиненіи “Die Cdss„ Христофора Рудольфа (въ 1524 году). Знакъ умноженія ( X ) былъ вве-

денъ англійскимъ математикомъ Отредомъ Oughtred (1631 г.), а знакъ ( . ) Христіаномъ Вольфомъ (1752 г.).

Опускать точку при умноженіи двухъ алгебраическихъ количествъ и писать просто ab вмѣсто а.b сталъ въ первый разъ англичанинъ Ѳома Гарріотъ (Thomas Harriot). Знакъ дѣленія ( : ) перешелъ къ намъ отъ древнихъ математиковъ.

Означать m-ю степень количества а въ видѣ ат сталъ въ первый разъ Французскій ученый Estienne de la Roche (съ 1520 г.). Это обозначеніе стало распространяться со временъ Декарта (1596—1650г.). Для означенія корня m-й степени Estienne de la Roche употреблялъ знакъ R)m. Впослѣдствіи Рудольфъ сталъ замѣнять большую букву R маленькою г, что повело къ обозначенію / а, которое стало распространяться со временъ Декарта (Descartes).

Знакъ равенства (=) ввелъ англійскій математикъ Robert Reccorde (1557 г.). Обозначать неравенство въ видѣ а>Ъ началъ Гарріотъ. Введеніе скобокъ принадлежитъ Алберту Жирарду (Albert Jirard въ 1629 г.). Самое введеніе буквъ принадлежитъ Французскому геометру Віету (Viète въ 1540 г. ). Віетъ пользовался для этого большими или прописными буквами, а Гарріотъ началъ употреблять и маленькія буквы алфавита (1631 г.). Віету принадлежитъ названіе коеффиціента, а также положительныхъ и отрицательныхъ количествъ.

Теорема о составленіи числителей по знаменателямъ для всѣхъ рѣшеніи уравненій первой степени со многими неизвѣстными высказана Крамеромъ (Cramer 1750 г.) и доказана Лапласомъ (1772 г.), положившимъ основаніе теоріи опредѣлителей.

Отрицательные показатели ввелъ Михаилъ Штифель (1509—1567 г.), а показатели дробные Симеонъ Стевинъ (1588 г.).

Введеніемъ знака ]/^І обязаны болонскому математику Рафаилу Бомбелли (1579 г.), а Албертъ Жирардъ первый указалъ на пользу введенія мнимыхъ величинъ въ алгебру.

Непрерывныя дроби вошли въ науку только съ половины XVIII столѣтія. Лордъ Брункеръ первый выразилъ непрерывною дробью отношеніе площади квадрата, описаннаго около круга, къ площади самаго круга.

Шотландецъ Неперъ (Neper), изобрѣтатель логариѳмовъ выбралъ за основаніе своей системы несоизмѣримое число 2,7182818..., которое онъ назвалъ черезъ е. Бриггъ въ 1624 г. по указанію Непера вычислилъ при основаніи 10 логариѳмы всѣхъ чиселъ отъ 1 до 20000 и чиселъ между 90000 и 100000. •

Пробѣлъ пополнилъ въ 1628 г. Adrien Vlacq.

Первыя изысканія о соединеніяхъ находимъ въ логистикѣ Ивана Буттео (1559 г.). Развитіемъ своимъ теорія соединеній обязана трудамъ Паскаля, Фермата, Лейбница, Бернулли и др

Еще до Ньютона Паскаль (Pascal) построилъ свой триугольникъ и далъ такимъ образомъ элементы для вывода бинома Ньютона.

Обозначать произведеніе 1.2.3...я въ видѣ /г! сталъ въ первый разъ Крампъ.

2. Условія дѣлимости многочлена на разность х — а.

Въ случаѣ многочленовъ, цѣлыхъ относительно х, обращаетъ на себя вниманіе тотъ случай, когда дѣлителемъ служитъ разность х—а.

При раздѣленіи цѣлаго многочлена на х—а остатокъ вовсе не содержитъ степени х или, какъ обыкновенно говорятъ, не зависитъ отъ х.

Относительно этого остатка имѣетъ мѣсто слѣдующая

Теорема. Цѣлый многочленъ относительно х, при раздѣленіи на разность х—а, даетъ въ остаткѣ этотъ самый многочленъ, когда въ немъ букву х замѣнимъ буквою а.

Доказательство. Пусть данный многочленъ m-й степени

далъ при раздѣленіи на х—а въ цѣломъ частномъ многочленъ (т-1)й степени

и въ остаткѣ число R.

Здѣсь числа q2 . . зависятъ отъ р^р^р^ • . коеффиціентовъ даннаго полинома.

Дѣлимое равно дѣлителю, умноженному на цѣлое частное и сложенному съ остаткомъ

или

Это равенство, будучи тождествомъ, должно имѣть мѣсто при всѣхъ значеніяхъ х. Полагая въ немъ х = а, получимъ равенство:

Здѣсь величину многочлена X для значенія х = а означаемъ черезъ Ха.

Равенство R = Ха показываетъ, что остатокъ R равняется данному многочлену, когда въ немъ буква х замѣнена буквою а.

Такъ, при раздѣленіи х3—7 на х— 2 получимъ въ остаткѣ 1, ибо 23 —7 = 1.

Слѣдствіе. Если многочленъ, при замѣнѣ буквы х величиною а, обращается въ нуль, полиномъ дѣлится нацѣло на х—а или дѣлится на х—а безъ остатка.

Доказательство. Пусть данный многочленъ

обращается въ нуль, какъ скоро буква х замѣнена буквою а, то есть

Изъ уравненія

видно, что при ж = а

Æ= Ха

а такъ какъ Ха = 0, то и R = О слѣдовательно при дѣленіи полинома X на х — а остатка не получается, и полиномъ X дѣлится нацѣло на х—а. Такъ, полиномъ 2ж3—11х—21 обращает ся въ нуль при х = 3, слѣд. онъ дѣлится нацѣло на х— 3

3. Свойства тричлена второй степени.

Свойства тричлена второй степени а#+&ж+с зависятъ отъ корней уравненія: .

или корней тричлена

Здѣсь могутъ быть три случая:

1) когда корни тричлена дѣйствительны, и неравны, 2) равны и 3) мнимы.

Какъ извѣстно въ первомъ случаѣ Ь2—4«с>0, во второмъ Ь~—Аас=О, въ третьемъ Ь2 — Аас < 0. Для каждаго изъ этихъ случаевъ имѣютъ мѣсто слѣдующія теоремы.

Теорема 1. Когда корни тричлена ахг-\-Ьх-\-с дѣйствительны и неравны, онъ получаетъ величину со знакомъ противуположныхъ или одинаковымъ со знакомъ коеффиціента перваго члена, смотря потому, будутъ ли величины х заключаться или не заключаться между корнями.

Пусть х', х" будутъ неравные дѣйствительные корни тричлена и при томъ х'<х”.

Тричленъ ах2-\-Ъх~\- с можетъ быть выраженъ по корнямъ въ видѣ произведенія

Если величина х заключается между корнями х' и х", то она удовлетворяетъ неравенствамъ:

или неравенствамъ:

Въ этомъ случаѣ разности ОС ■ ОС •) ОС ОС имѣютъ противуположные знаки, и произведеніе (х—х' )О -х") отрицательно, слѣд. знакъ тричлена противуположенъ знаку а.

Если же величина х не заключается между корнями, она удовлетворяетъ или неравенствамъ:

или неравенствамъ:

Разности х—х', х—х" въ обоихъ случаяхъ имѣютъ одинаковые знаки. Произведеніе (х—х') (х—х") положительно, слѣд. знакъ тричлена одинаковъ со знакомъ а.

Теорема 2. Когда корни тричлена ах2+Ьх-\-с равны, знакъ его при всѣхъ величинахъ х всегда одинаковъ со знакомъ а, кромѣ величины корня, обращающей его въ нуль.

При помощи простыхъ преобразованій видно, что

Въ случаѣ равныхъ корней

слѣд.

Для всякой дѣйствительной величины х величина

квадрата

положительна и слѣд. знакъ тричлена одинаковъ со знакомъ а.

Теорема 3. Когда корни тричлена мнимы, знакъ его для всѣхъ дѣйствительныхъ величинъ х одинаковъ со знакомъ а.

Въ случаѣ мнимыхъ корней

и имѣетъ мѣсто равенство

Въ скобкахъ входитъ сумма двухъ положительныхъ величинъ

и знакъ тричлена зависитъ отъ знака а.

4. Рѣшеніе ирраціональныхъ уравненій. Освобожденіе уравненій отъ радикаловъ.

Ирраціональное уравненіе. Ирраціональными называются такія уравненія, въ которыхъ неизвѣстныя входятъ подъ корнемъ.

Для рѣшенія этихъ уравненій приводятъ ихъ къ раціональнымъ. Этого иногда достигаютъ, возвышая обѣ части уравненія въ степень.

При возвышеніи уравненій въ степень данное уравненіе замѣняется другимъ не вполнѣ ему тождественнымъ.

При возвышеніи уравненія въ степень получается уравненіе, имѣющее нѣкоторые лишніе корни.

Такъ, имѣя уравненіе

г - « (1)

гдѣ Р и Q содержатъ неизвѣстныя, и возвышая его въ квадратъ, получимъ уравненіе

(2)

Послѣднее уравненіе не тождественно съ первымъ. Всѣ величины, удовлетворяющія уравненію (1), удовлетворяютъ и уравненію (2), но не наоборотъ. Уравненіе (2) содержитъ нѣкоторые лишніе корни.

Это видно изъ того, что уравненіе (2) можетъ быть представлено въ видѣ:

Какъ видно выраженіе Р2 — Q2 обращается въ нуль не только тогда, когда Р—Q обращается въ нуль, но и тогда, когда обращается въ нуль множитель Р 4~ Q.

Такимъ образомъ уравненіе

не только содержитъ корни уравненія

но и корни уравненія

Рѣшивъ уравненіе Р2—Qi==0, нужно отличить, которые изъ этихъ корней удовлетворяютъ уравненію Р = Q отъ тѣхъ, которые удовлетворяютъ уравненію Р+$=0 или отдѣлить одни корни отъ другихъ.

Этого достигаютъ простою повѣркою.

Всѣ корни уравненія Р2 = Q2 мы вставляемъ въ уравненіе Р = Q и тѣ изъ нихъ, которые обращаютъ уравненіе Р = Q въ тождество, считаемъ его корнями. Корни же, не удовлетворяющіе этому уравненію, удовлетворяютъ уравненію Р + Q = О и будутъ посторонними или лишними для даннаго уравненія: Р = Q.

Вообще, возвышая данное уравненіе

P-Q

въ степень п и рѣшая уравненіе

мы, какъ видно изъ уравненія

получимъ не только корни даннаго уравненія

но и корни уравненія

и только прямой повѣркой можемъ отдѣлить одни отъ другихъ.

Возвышая такимъ образомъ уравненіе въ степень, мы получаемъ лишніе корни.

Освобожденіе уравненій отъ радикаловъ.

Общій способъ освобожденія уравненій отъ радикаловъ заключается въ пріемахъ исключенія неизвѣстныхъ изъ нѣсколькихъ совмѣстныхъ уравненій высшихъ степеней.

Эти пріемы излагаются въ высшей алгебрѣ.

Такъ, имѣя уравненіе

мы можемъ ввести новыя перемѣнныя положивъ

или

Исключая помощію пріемовъ высшей алгебры неизвѣстныя у, z, t изъ системы 4-хъ уравненій:

получаютъ уравненіе раціональное относительно х.

Въ начальной алгебрѣ освобождаютъ уравненіе отъ радикаловъ пріемами простаго возвышенія въ степень.

Разсмотримъ различные случаи, могущіе встрѣтиться при этомъ

Случай одного радикала не представляетъ никакого затрудненія.

Въ случаѣ одного радикала переносятъ ирраціональную часть въ одну, а раціональную въ другую часть уравненія и возвышаютъ обѣ части въ соотвѣтствующую степень.

Такъ, въ примѣрѣ

возвышая обѣ части въ квадратъ, получимъ

Вставляя величину х = 6 въ данное уравненіе, видимъ, что она удовлетворяетъ уравненію, слѣд. х=& есть корень даннаго ирраціональнаго уравненія.

Возвышая въ кубъ уравненіе

получаемъ:

откуда

Вставляя эти величины въ данное уравненіе видимъ, что онѣ обѣ ему удовлетворяютъ, слѣд. данное уравненіе имѣетъ два корня:

х I = 3, а 2 = 3

Перенося въ уравненіи

(1)

ирраціональныя выраженія въ одну, а раціональныя въ другую часть и возвышая въ квадратъ, получаемъ послѣ приведенія уравненіе

которому удовлетворяютъ величины

Повѣряя данное уравненіе (1), видимъ, что ему удовлетворяетъ только величина ж = 6. Она и будетъ

корнемъ уравненія (1). Вторая же величина ему не удовлетворяетъ, а будетъ корнемъ уравненія

Случай двухъ квадратныхъ радикаловъ. Если въ уравненіи заключаются два квадратныхъ радикала, ихъ переносятъ въ одну часть уравненія и возвышаютъ въ квадратъ. Такимъ пріемомъ ирраціональное уравненіе приводится къ уравненію, зависящему отъ одного квадратнаго радикала.

Примѣръ. Приводя уравненіе

(2)

къ одному знаменателю, получимъ:

Возвышая въ квадратъ, имѣемъ:

Возвышая снова въ квадратъ, получимъ:

откуда

Вставляя въ уравненіе (2), видимъ, что величина х = 3 ему удовлетворяетъ, слѣд. х = 3 будетъ корнемъ уравненія.

Пріемы простаго возвышенія не всегда удаются въ случаѣ трехъ квадратныхъ радикаловъ.

Такъ, возвышая въ квадратъ уравненіе

получимъ новое уравненіе

зависящее тоже отъ трехъ радикаловъ.

Этотъ пріемъ не всегда удается и въ случаѣ двухъ кубичныхъ радикаловъ. Во всѣхъ этихъ случаяхъ прибѣгаютъ къ указаннымъ выше пріемамъ высшей алгебры.

5. Совмѣстныя уравненія второй степени съ 2-мя неизвѣстными.

Самый простой случай двухъ совмѣстныхъ уравненій второй степени есть тотъ, когда дана

Система, состоящая изъ одного уравненія второй и одного первой степени относительно неизвѣстныхъ.

Примѣромъ такой системы могутъ служить два уравненія:

Въ этомъ случаѣ, опредѣляя одно неизвѣстное напримѣръ у изъ уравненія втораго

и вставляя его величину въ уравненіе первое, получаемъ уравненіе

второй степени относительно х.

Означимъ черезъ х. и х2 два корня этого уравненія.

Неизвѣстное у будетъ имѣть соотвѣтственно этимъ корнямъ х два значенія

Двѣ пары величинъ, удовлетворяющихъ этимъ уравненіямъ, будутъ

Примѣръ. Дана система двухъ уравненій

Опредѣляя у, находимъ:

Вставляя въ первое уравненіе, получаемъ:

что послѣ приведенія даетъ

откуда

Соотвѣтсвующія величины у будутъ

Рѣшенія данной системы будутъ выражаться парами корней

Самымъ общимъ случаемъ будетъ тотъ, когда дана

Система двухъ уравненій второй степени. Въ общей

формѣ такая система является въ видѣ двухъ уравненій:

(1)

(2)

Для рѣшенія ихъ исключаемъ квадратъ какого нибудь неизвѣстнаго изъ обоихъ уравненій. Исключимъ напримѣръ у2. Для этого умножимъ первое уравненіе на с', а второе на с и вычтемъ второе произведеніе изъ перваго. Сдѣлавъ это, имѣемъ уравненіе первой степени относительно у:

Опредѣливъ у изъ этого уравненія

и вставивъ въ уравненіе (1), получимъ послѣ приведенія уравненіе 4-й степени относительно х:

(3)

въ которомъ коеффиціенты А, В, С, D, Е зависятъ отъ коеффиціентовъ данныхъ уравненій (1) и (2).

Уравненіе (3) въ частныхъ случаяхъ

1. Когда А = 0, В = 0 приводится къ квадратному.

2. Когда 5=0, 5=0 приводится къ биквадратному.

3. Когда А = 0, Е=0 приводится къ уравненію 3-й степени, у котораго одинъ корень равенъ нулю. Въ этомъ случаѣ послѣ сокращенія на х уравненіе опять приводится къ квадратному.

4. Когда 5=0, 5=0 уравненіе (3) по сокращенію на х2 приводится къ квадратному.

5. Когда 5=0, С7=0,5=0 уравненіе (3) приводится къ уравненію

которое рѣшить очень просто.

Примѣръ. Дана система уравненій

Складывая эти уравненія, получаемъ уравненіе

Опредѣляя у, находимъ:

Вставляя въ первое изъ данныхъ, получимъ уравненіе

которое имѣетъ 4 корня:

Величины у, соотвѣтствующія этимъ величинамъ г, получатся изъ уравненія (6). Онѣ будутъ

Система величинъ, удовлетворяющихъ этимъ уравненіямъ, будетъ:

Частные пріемы исключенія. При рѣшеніи совмѣстныхъ уравненій очень часто прибѣгаютъ къ различнымъ частнымъ пріемамъ, значительно облегчающимъ исключеніе одного неизвѣстнаго. Во всѣхъ этихъ пріемахъ имѣютъ въ виду одну систему совмѣстныхъ уравненій замѣнить другою простѣйшею.

Примѣръ 1. Дана система

(7)

Умноживъ второе уравненіе на 2 и затѣмъ приложивъ и вычтя изъ перваго, получимъ два уравненія

или

(8)

Такимъ образомъ система уравненій (7) замѣнена системою уравненій (8).

Послѣдняя система послѣ извлеченія корней замѣняется системою уравненій:

откуда

Въ этихъ формулахъ мы имѣемъ для х четыре величины, которымъ соотвѣтствуютъ четыре величины у. Въ величинахъ х и у при корняхъ берутъ одновременно верхніе или нижніе знаки. Поступая такимъ образомъ, мы получаемъ слѣдующія 4 пары величинъ, удовлетворяющихъ даннымъ уравненіямъ

Знаки при корняхъ нужно брать такъ, чтобы удовлетворялось уравненіе ху = Ъ.

Примѣръ 2. Дана система уравненій

(9)

Раздѣливъ первое уравненіе на второе, получимъ:

Такимъ образомъ система уравненій (9) замѣняется системою уравненій:

(10)

откуда

6. Сумма квадратовъ и кубовъ натуральныхъ чиселъ.

Зная сумму натуральныхъ чиселъ, легко опредѣлить сумму ихъ квадратовъ и кубовъ.

Сумма натуральныхъ чиселъ ф выражается формулою:

Сумма квадратовъ натуральныхъ чиселъ. Чтобы найти 8\ сумму квадратовъ натуральныхъ чиселъ

мы возьмемъ кубы всѣхъ натуральныхъ чиселъ отъ 1 до п + 1.

Для этого въ формулу

вставляемъ вмѣсто п всѣ числа отъ 0 до п. Сдѣлавъ это, имѣемъ рядъ равенствъ:

Сложивъ всѣ эти равенства и сокративъ, получимъ:

или

Такъ какъ

то изъ уравненія

находимъ:

(1)

Сумма кубовъ натуральныхъ чиселъ. Чтобы найти сумму кубовъ

мы въ формулу

вставляемъ вмѣсто п всѣ числа отъ 0 до п.

Сдѣлавъ это, получимъ равенства:

Сложивъ эти равенства, получимъ по сокращеніи уравненіе:

получимъ

Вставляя величины

откуда

Сумма кубовъ натуральныхъ чиселъ равна квадрату суммы натуральныхъ чиселъ.

Это предложеніе было еще извѣстно индѣйскимъ математикамъ.

ВОПРОСЫ КЪ АЛГЕБРѢ.

I. Основныя алгебраическія понятія.

1. Какія задачи называются однородными? (Однородныя задачи. § 1).

2. Какія задачи называются разнородными? (Разнородныя задачи).

3. На что нужно обращать вниманіе при рѣшеніи однородныхъ задачъ?

4. Для чего изображаютъ числа буквами?

5. Что должно разумѣть подъ буквами а, Ь, с?

6. Что такое алгебра? (Опредѣленіе алгебры).

7. Что такое алгебраическое количество? (Алгебраическое количество).

8. Какъ изображаютъ въ алгебрѣ дѣйствія? (§ 2).

9. Какъ изображаютъ въ алгебрѣ дѣйствіе сложенія и вычитанія? (Сложеніе. Вычитаніе).

10. Какъ умножаютъ въ алгебрѣ дѣйствіе умноженія? (Умноженіе).

11. Что дѣлаютъ въ алгебрѣ со знакомъ умноженія?

12. Почему не опускаютъ въ ариѳметикѣ знака умноженія?

13. Какъ изображаютъ въ алгебрѣ дѣйствіе дѣленія? (Дѣленіе).

14. Что такое равенство? (Равенство. § 3)

15. Что такое части равенства? (Части равенства).

16. Какъ называются части равенства?

17. Какіе бываютъ знаки неравенства? (Знаки неравенства).

18. Что такое неравенство? (Неравенство).

19. Что такое части неравенства? (Части неравенства).

20. Какъ въ алгебрѣ отрицаютъ какое нибудь соотношеніе?

21. Что такое степень? (Степень § 4).

22. Что такое показатель? (Показатель).

23. Что дѣлаютъ если показателемъ будетъ единица?

24. Что такое квадратъ? (Квадратъ).

25. Что такое кубъ? (Кубъ).

26. Что называется возвышеніемъ въ степень? (Возвышеніе въ степень. § 5).

27. Что нужно дѣлать для возведенія числа въ степень?

28. Что есть корень? (Корень).

29. Какой знакъ употребляется для означенія корня?

30. Что такое показатель корня? (Показатель корня).

31. Что такое подкоренное количество?

32. Что называется извлеченіемъ корня? (Извлеченіе корня).

33. Что называется коеффиціентомъ и гдѣ онъ пишется? (Коеффиціентъ. § 6).

34. Что выражаетъ коеффиціентъ, если онъ есть цѣлое число?

35. Какой коеффиціентъ подразумѣваютъ въ выраженіи, не имѣющемъ числоваго множителя?

36. Что дѣлаютъ, если коеффиціентомъ будетъ единица?

37. Какую пользу приносятъ коеффиціентъ и показатель? (Польза коеффиціента и показателя).

38. Что такое алгебраическое выраженіе или формула? (Алгебраическое выраженіе. § 7).

39. Что такое членъ? (Членъ).

40. Какъ раздѣляются алгебраическія выраженія? (Раздѣленіе алгебраическихъ выраженій).

41. Что такое одночленъ? (Одночленъ).

42. Что такое двучленъ? (Двучленъ).

43. Что такое многочленъ? (Многочленъ).

44. Какъ разсматриваютъ члены мъ многочленѣ?

45. Какой знакъ подразумѣваютъ при членахъ, не имѣющихъ знака?

46. Когда опускаютъ знакъ +?

47. Какъ раздѣляются алгебраическія выраженія? (Классификація алгебраическихъ выраженій).

48. Какое алгебраическое выраженіе называется раціональнымъ? (Раціональное выраженіе).

49. Какое алгебраическое выраженіе называется ирраціональнымъ? (Ирраціональное выраженіе).

50. Какое алгебраическое выраженіе называется цѣлымъ? (Цѣлое выраженіе).

51. Какое алгебраическое выраженіе называется дробнымъ? (Дробное выраженіе).

52. Для чего употребляютъ скобки? (Назначеніе скобокъ. § 8).

53. Чѣмъ замѣняютъ скобки при дѣленіи?

54. Чѣмъ замѣняютъ скобки при извлеченіи корней?

55. Что называется численною величиною? (Опредѣленіе численной величины. § 9).

56. Въ чемъ заключается основное отличіе и преимущества алгебры предъ ариѳметикою? (Отличіе и преимущества алгебры предъ ариѳметикою. § 10).

57. Что имѣютъ въ виду въ алгебрѣ, замѣняя числа буквами?

58. Какъ называются иногда буквы?

59 На что обращаютъ болѣе вниманія въ алгебрѣ, обозначая дѣйствія знаками?

60. Какъ называютъ иногда алгебру?

61. Какое преимущество имѣетъ алгебра при рѣшеніи задачъ? (Преимущества при рѣшеніи задачъ. § 11).

62. Какія преимущества имѣетъ алгебра при выводѣ теоремъ? (Преимущества при выводѣ теоремъ. § 12).

63. Какъ получается общее правило въ ариѳметикѣ? (§ 13).

64. Какую цѣль имѣетъ алгебра? (Цѣль алгебры)-

65. Какое существуетъ другое опредѣленіе алгебры? (Другое опредѣленіе алгебры).

66. Что опредѣляютъ въ томъ случаѣ, когда уменьшаемое менѣе вычитаемаго? (§ 14).

67. Какъ выражаютъ условно разность, когда уменьшаемое менѣе вычитаемаго?

68. Что такое отрицательное число? (Отрицательное число).

69. Когда получается отрицательное число?

70. Какъ изображается отрицательное число?

71. Какъ называется число—1?

72. Что образуютъ вмѣстѣ нѣсколько положительныхъ или отрицательныхъ чиселъ? (Правило).

73. Что называется приведеніемъ чиселъ? (Приведеніе чиселъ).

74. Какъ сдѣлать приведеніе чиселъ? (Правило приведенія чиселъ).

75. Какіе члены называются подобными? (Подобные члены § 15).

76. Что называется приведеніемъ? (Приведеніе).

77. Какъ сдѣлать приведеніе?

78. Какъ выражается правило приведенія короче? (Правило приведенія).

79. Что такое неприводимый членъ многочлена? (Неприводимый членъ).

II. Дѣйствія съ алгебраическими количествами.

80. Какія алгебраическія выраженія называются тождественными? (Тождественныя выраженія. § 16).

81. Что есть тождество? (Тождество).

82. Въ чемъ состоятъ алгебраическія дѣйствія? (Алгебраическія дѣйствія).

83. Что такое алгебраическое вычисленіе? (Алгебраическое вычисленіе).

84. Какую цѣль имѣетъ алгебраическое вычисленіе? (Цѣль алгебраическаго вычисленія).

85. Какіе члены многочлена называются положительными и отрицательными?

86. Какъ называются знаки и — по отношенію другъ къ другу?

87. Въ чемъ состоитъ перестановка членовъ многочлена? (Перестановка членовъ).

Сложеніе.

88. Какъ сложить нѣсколько одночленовъ? (Сложеніе одночленовъ. § 17).

89. Какъ приложить многочленъ? (Правило сложенія многочленовъ).

Вычитаніе.

90. Какъ вычесть одинъ одночленъ изъ другаго? (Вычитаніе одночленовъ § 18).

91. Какъ вычесть многочленъ? (Правило вычитанія многочленовъ).

92. Какъ раскрыть скобки? (Правило раскрытія скобокъ. § 19).

93. Какъ заключить многочленъ въ скобки? (Правило заключенія многочленовъ въ скобки).

Объ отрицательныхъ количествахъ.

94. Что такое отрицательное количество? (Отрицательное количество § 20).

95. Какое свойство имѣетъ отрицательное количество по отношенію къ нулю? (Первое свойство отрицательнаго количества).

96. Какое свойство имѣетъ отрицательное количество по отношенію къ числовой величинѣ? (Другое свойство отрицательнаго количества).

97. Какъ поступаютъ при сложеніи и вычитаніи отрицательныхъ количествъ? (Общее правило сложенія и вычитанія отрицательныхъ количествъ § 21).

98. Что такое алгебраическая сумма? (Алгебраическая сумма. § 22).

99. Какое значеніе имѣютъ отрицательныя количества при рѣшеніи задачъ? (§ 23).

Умноженіе.

100. На какомъ свойствѣ основываются всѣ правила умноженія? (§ 24).

101. Какіе случаи встрѣчаются при умноженіи алгебраическихъ количествъ? (Случаи умноженія).

102. Какъ умножать одночлены? (Правило умноженія одночленовъ).

103. Какъ умножить многочленъ на одночленъ? (Правило. § 25).

104. Въ чемъ заключаются правила внесенія и вынесенія общаго множителя за скобку? (§ 26).

105. Въ чемъ заключается правило знаковъ при умноженіи многочленовъ? (Правило знаковъ. § 27).

106. Какъ умножить многочленъ на многочленъ? (Правило умноженія многочлена на многочленъ).

107. Въ чемъ состоитъ правило знаковъ при умноженіи одночлена на одночленъ? (Правило знаковъ при умноженіи одночленовъ).

108. Что называется измѣреніемъ одночлена? (Измѣреніе. § 28).

109. Что такое однородный многочленъ? (Однородный многочленъ).

110. Чему равно измѣреніе произведенія нѣсколькихъ одночленовъ?

111. Что такое старшій и младшій члены многочлена? (Старшій и младшій члены многочлена).

112. Что такое главная буква? (Главная буква).

113. Что значитъ расположить члены многочлена относительно главной буквы? (Расположеніе многочлена).

114. Какое бываетъ расположеніе многочлена?

115. Какія свойства имѣетъ произведеніе? Свойства произведенія. § 29).

116 Что такое квадратъ многочлена? (Квадратъ многочлена. § 30).

117. Что такое кубъ многочлена? (Кубъ многочлена).

118. Что такое степень многочлена? (Степень многочлена).

119. Какъ выражаются степени многочленовъ?

120. Чему равенъ квадратъ суммы двухъ чиселъ? (Квадратъ суммы).

121. Чему равенъ квадратъ разности двухъ чиселъ? (Квадратъ разности).

122. Чему равно произведеніе суммы двухъ чиселъ на разность? (Произведеніе суммы двухъ чиселъ на ихъ разность).

123. Чему равна разность квадратовъ? (Разность квадратовъ).

124. Чему равенъ кубъ суммы? (Кубъ суммы).

125. Чему равенъ кубъ разности? (Кубъ разности).

Дѣленіе.

126. Какое основное свойство дѣленія? (§ 31).

127. Въ чемъ состоитъ правило знаковъ при дѣленіи? (Правило знаковъ при дѣленіи).

128. Какіе бываютъ случаи при дѣленіи? (Случаи дѣленія).

129. Какъ поступаютъ при дѣленіи одночлена на одночленъ? (Правило дѣленія одночленовъ. § 3 2).

130. Когда при дѣленіи одночленовъ частное получается въ видѣ дроби? (Случаи дробнаго частнаго §33).

131. Какъ раздѣлить многочленъ на одночленъ? (Правило. § 34).

132. Какъ раздѣлить многочленъ на многочленъ? (Правило дѣленія многочлена на многочленъ § 3 5).

133. Когда совершается дѣленіе нацѣло и дѣленіе съ остаткомъ? (Дѣленіе нацѣло и дѣленіе съ остаткомъ).

134. Что такое остатокъ? (Остатокъ).

135. Какъ выражается полное частное, если получится остатокъ?

136. Когда совершается дѣленіе съ остаткомъ? (Признаки дѣленія съ остаткомъ. § 3 6).

137. Какъ совершается дѣленіе многочленовъ, расположенныхъ по восходящимъ степенямъ? (Дѣленіе многочленовъ, расположенныхъ но восходящимъ степенямъ. § 37).

138. Въ чемъ заключается признакъ безконечнаго дѣленія? (Признакъ безконечнаго дѣленія. § 39).

139. Какъ выражается частное отъ раздѣленія разности ат—Ь'п на разность а—6? (§ 41).

140. Какъ поступаютъ при умноженіи и дѣленіи многочленовъ, расположенныхъ столбцами? (Правило умноженія и дѣленія. § 42).

III. Общій наибольшій дѣлитель и наименьшее кратное алгебраическихъ выраженій.

141. Что называется дѣлителемъ цѣлаго многочлена? (Дѣлитель. § 4 3).

142. Что такое дополнительный дѣлитель? (Дополнительный дѣлитель).

143. Что такое общій дѣлитель? (Общій дѣлитель).

144. Что такое взаимно-простые многочлены? (Взаимно-простые многочлены).

145. Что такое общій наибольшій дѣлитель? Общій наибольшій дѣлитель).

146. Какъ измѣняется общій наибольшій дѣлитель отъ введенія новыхъ множителей или дѣлителей? (Теорама первая. § 44).

147. Когда не измѣняется общій наибольшій дѣлитель отъ введенія новыхъ множителей и дѣлителей? (Теорема 2).

148. Въ какой связи находится общій наибольшій дѣлителей съ дѣлимымъ, дѣлителемъ и остаткомъ? (Теорема 3. Обратная теорема. Теорема 4).

149. Какъ найти общаго наибольшаго дѣлителя нѣсколькихъ одночленовъ? (Общій наибольшій дѣлитель одночленовъ § 45).

150. Какъ найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ многочленовъ способомъ послѣдовательнаго дѣленія? (Правило. § 47).

151. Что такое кратное выраженіе? (Кратное выраженіе. § 49).

152. Что такое наименьшее кратное? (Наименьшее кратное).

153. Какъ найти наименьшее кратное? (Правило).

154. Какъ выражается наименьшее краткое по двумъ даннымъ многочленамъ и ихъ общему наибольшему дѣлителю? (Величина наименьшаго кратнаго. § 50).

IV. Алгебраическія дроби.

155. Что такое алгебраическая дробь? (Алгебраическая дробь. § 51).

156. Когда алгебраическая дробь не измѣняется?

157. Какъ сократить алгебраическую дробь? (Правило сокращенія дробей).

158. Какъ привести алгебраическія дроби къ одному знаменателю? (Правило приведенія дробей къ одному знаменателю. § 52).

159. Какъ складывать и вычитать алгебраическія дроби? (Сложеніе и вычитаніе дробей. § 53 .

160. Какъ поступать при умноженіи и дѣленіи дробей?

161. Что такое количество съ нулевымъ показателемъ? (Нулевой показатель. § 54).

161. Что такое количество съ отрицательнымъ показателемъ? (Отрицательный показатель).

162. Какъ выражаютъ дробный одночленъ въ

формѣ цѣлаго одночлена? Выраженіе дроби въ формѣ цѣлаго одночлена).

163. Какъ поступаютъ при умноженіи и дѣленіи буквъ съ отрицательнымъ показателемъ? Правило умноженія и дѣленія буквъ съ отрицательнымъ показателемъ. § 55).

V. Уравненія первой степени.

164. Что такое равенство? (Равенство. § 56).

165. Что такое тождество? (Тождество).

166. Что такое уравненіе? (Уравненіе).

167. Что такое части уравненія? (Части уравненія).

168. Что такое искомыя? (Искомыя).

169. Что значитъ рѣшить уравненіе?

170. Какъ раздѣляются уравненія по числу и степени неизвѣстныхъ? (Раздѣленіе уравненій. § 57).

171. Что называютъ рѣшеніями уравненій? (Рѣшенія уравненій).

172. Что называютъ корнями уравненій? (Корни уравненій).

173. Какъ велико число корней уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ? (Число корней).

174. На какихъ аксіомахъ основано упрощеніе уравненій. (§ 58).

175. Какъ упрощаютъ уравненія?

176. Въ чемъ состоитъ перенесеніе членовъ уравненія? (Перенесеніе членовъ уравненія).

177. Въ чемъ состоитъ освобожденіе уравненія отъ дробей? (Освобожденіе отъ дробей).

178. Что такое общій видъ уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ?(Общій видъ.§ 59).

179. Что такое освобожденіе уравненія отъ коеффиціента? (Освобожденіе отъ коеффиціента).

180. Какъ привести уравненіе къ общему виду? (Приведенія уравненія къ общему виду).

181. Какъ рѣшить уравненіе первой степени? (Правило рѣшенія уравненій первой степени).

181а. Что такое повѣрка рѣшенія? (Повѣрка рѣшенія).

181b. Когда прибѣгаютъ къ повѣркѣ?

181c. Какъ дѣлать повѣрку?

182. На что обращаютъ вниманіе при рѣшеніи задачъ? (§ 60).

183. Что значитъ составить уравненіе по задачѣ? (Составленіе уравненій изъ задачъ).

184. Какъ составляютъ уравненіе по задачѣ? (Правило составленія уравненій по задачѣ).

185. Что значитъ изслѣдовать рѣшеніе? (Изслѣдованіе задачи вообще. § 62).

186. Что имѣютъ въ виду при изслѣдованіи задачи въ частности? (Изслѣдованіе задачи въ частности).

187. На что нужно обращать вниманіе при изслѣдованіи рѣшенія?

188. Какое значеніе имѣютъ отрицательныя рѣшенія? (Смыслъ отрицательнаго рѣшенія. § 63).

189. Что показываетъ отрицательное рѣшеніе? (Отрицательное рѣшеніе).

190. Что такое безконечность? (Безконечность).

191. Что означаетъ выраженіе ^ ? ^ Рѣшеніе^ •

Уравненія совмѣстныя.

192. Что называется системою уравненій? (Система уравненій. § 68).

193. Какія уравненія называются совмѣстными? (Совмѣстныя уравненія).

194. Какъ раздѣляются совмѣстныя уравненія? (Раздѣленіе совмѣстныхъ уравненій).

195. Что такое тождественная система уравненій? (Тождественная система).

196. Какія совмѣстныя уравненія считаются приведенными къ общему виду? (Общій видъ. §69).

197. Сколько способовъ исключенія неизвѣстныхъ?

198. Какъ рѣшить два уравненія съ двумя неизвѣстными способомъ подстановки? (Правило).

199. Какъ рѣшить два уравненія съ двумя неизвѣстными способомъ сравненія неизвѣстныхъ? (Правило).

200. Какъ рѣшить два уравненія съ двумя неизвѣстными способомъ уравненія коеффиціентовъ? (Правило).

201. Какъ совершается приведеніе коеффиціентовъ къ одному и тому же коеффиціенту?

202. Какъ рѣшить два уравненія съ двумя неизвѣстными способомъ неопредѣленныхъ множителей? (Правило).

203. Какъ рѣшить п уравненій съ п неизвѣстными способомъ подстановокъ? (Способъ подстановокъ. § 70).

204. Какъ рѣшить п уравненій съ п неизвѣстными способомъ сравненія неизвѣстныхъ. (Способъ сравненія неизвѣстныхъ).

205. На что нужно обращать вниманіе при сравненіи неизвѣстныхъ? (Примѣчаніе).

206. Какъ рѣшить п уравненій съ п неизвѣстными способомъ уравненія коеффиціентовъ? (Способъ уравненія коеффиціентовъ или способъ сложенія и вычитанія).

207. Какъ рѣшить п уравненій съ п неизвѣстными способомъ неопредѣленныхъ множителей? (Способъ Везу).

208. Какъ составляются общія формулы рѣшеній опредѣленныхъ уравненій съ двумя и тремя неизвѣстными? (§ 71).

209. Какіе существуютъ случаи упрощенія при рѣшеніи уравненій со многими неизвѣстными? (§ 72)-

210. Что означаютъ отрицательныя величины неизвѣстныхъ? § (73).

VI. Степени и корни.

211. Что называется степенью? (Степень § 76).

212. Что значитъ возвысить въ степень? (Возвышеніе въ степень).

213. Какъ найти степень произведенія? Чему равна степень произведенія? (Степень произведенія).

214. Чему равна степень дроби? (Степень дроби).

215. Чему равна степень степени. (Степень степей и).

216. Какъ возвысить одночленъ въ степень? (Правило возвышенія въ степень одночлена. § 77).

217. Какъ поступаютъ въ случаѣ отрицательныхъ степеней? (Заключеніе).

218. Чему равенъ квадратъ двучлена? (Квадратъ двучлена § 78).

219. Чему равенъ квадратъ трехчлена? (Квадратъ трехчлена).

220. Чему равенъ квадратъ многочлена? (Квадратъ многочлена).

221. Чему равенъ кубъ двучлена? (Кубъ двучлена).

222 Чему равенъ кубъ трехчлена? (Кубъ трехчлена. § 79).

223. Какой знакъ корня? (Знакъ корня. §80).

224. Что называется показателемъ корня? (Показатель корня).

225. Что называется корнемъ? (Корень).

226. Что такое подкоренное количество? (Подкоренное количество).

227. Что такое извлеченіе корней? (Извлеченіе корней).

228. Чему равенъ корень произведенія? (Корень произведенія).

229. Чему равенъ корень частнаго? (Корень частнаго).

230. Какой ставятъ знакъ при корнѣ? (Знакъ при корнѣ)

231. Какъ извлечь корень изъ одночлена? (Правило извлеченія корней изъ одночленовъ).

232. Что такое мнимое количество? (Мнимое количество. § 81).

233. Какія величины называются дѣйствительными? (Дѣйствительныя величины).

234. Что такое количество ирраціональное? (Количество ирраціональное. § 82).

235. Какъ вывести множителя за корень? (Правило выведенія множителя за корень).

236. Какъ ввести множителя подъ корень? (Правило введенія множителя подъ корень).

237. Какія ирраціональныя выраженія называются подобными? (Подобныя ирраціональныя выраженія. § 83).

238. Что называется коеффиціентовъ ирраціональнаго выраженія? (Коеффиціентъ ирраціональнаго выраженія).

239. Какъ сдѣлать приведеніе подобныхъ ирраціональныхъ выраженій? (Приведеніе подобныхъ ирраціональныхъ выраженій).

240. Какъ поступать при сложеніи и вычитаніи подобныхъ ирраціональныхъ количествъ? (Сложеніе и вычитаніе ирраціональныхъ количествъ).

241. Какъ умножать ирраціональныя количества, принадлежащія къ одному корню? (Умноженіе ирраціональныхъ количествъ).

242. Какъ дѣлить ирраціональныя количества, принадлежащія къ одному корню? (Дѣленіе ирраціональныхъ количествъ).

243. Какъ возвысить въ степень ирраціональное количество? (Возвышеніе въ степень ирраціональныхъ количествъ).

244. Какъ извлечь корень изъ ирраціональнаго количества? (Правило).

245. Какъ можно замѣнить корень сложной степени?

246. Къ какому общему корню приводятъ ирраціональныя количества?

247. Какъ приводятъ къ общему корню ирраціональныя количества? (Правило).

248. Какъ умножать и дѣлить ирраціональныя количества, принадлежащія къ разнымъ корнямъ? (Умноженіе и дѣленіе ирраціональныхъ количествъ, принадлежащихъ къ разнымъ корнямъ).

249. Какія упрощенія допускаютъ ирраціональныя количества? (§ 84).

250. Что выражаетъ количество съ дробнымъ показателемъ? (§ 85).

251. Какую пользу приносятъ дробные показатели? (Дѣйствія съ количествами, имѣющими дробные показатели).

252. Какъ поступаютъ съ дробными показателями при умноженіи, дѣленіи, возвышеніи въ степень и извлеченіи корней?

253. Сколько цифръ имѣетъ квадратъ числа? (Число цифръ квадрата. § 86Д

254. Сколько цифръ въ квадратномъ корнѣ? (Число цифръ квадратнаго корня).

255. Какъ узнать когда для корня выбрана очень малая цифра? (Замѣчаніе).

256. Какъ извлечь квадратный корень изъ числа? (Правило извлеченія квадратныхъ корней изъ чиселъ).

257. Что значитъ найти ]/ N точно до -? (§ 87).

258. Какъ извлечь квадратный корень изъ числа съ точностію до-? (Правило извлеченія квадратнаго корня по приближенію).

258а. Что такое несоизмѣримое число?

259. Какъ извлечь квадратный корень изъ дробей? (Квадратные корни изъ дробей. § 87).

260. Какъ извлечь квадратный корень изъ десятичной дроби по приближенію? (Правило).

261. Въ какихъ случаяхъ при приближенномъ вычисленіи корней увеличиваютъ послѣднюю цифру на единицу? (Правило).

262. Какая теорема облегчаетъ вычисленіе квадратныхъ корней изъ большихъ чиселъ? (Теорема)

263. На чемъ основано извлеченіе корней изъ многочленовъ? (§ 89).

264 Какъ извлечь квадратный корень изъ многочленовъ? (Правило извлеченія квадратныхъ корней изъ многочленовъ)

265. Сколько цифръ имѣетъ кубъ числа? (Число цифръ куба. § 90).

266. Чему равно число цифръ кубичнаго корня?

267. Чему равенъ кубъ первыхъ 9 чиселъ?

268. Какъ извлечь кубичный корень изъ чиселъ? (Правило извлеченія кубичныхъ корней изъ чиселъ).

269. Какъ по п + 2 найденнымъ цифрамъ найти остальныя п цифръ кубичнаго корня? (Теорема. § 91).

270. Какъ найти кубичный корень съ приближеніемъ? (§ 92).

271. Какъ найти кубичный корень съ приближеніемъ до 0, 1; 0, 01; и т. д.?

272. Какъ извлечь кубичный корень изъ дробей? (Извлеченіе кубичнаго корня изъ дробей. § 93).

273. Какъ извлечь кубичный корень изъ десятичной дроби по приближенію съ точностію до 0, 1; 0, 01; и т. д.?

274. Что называютъ мнимою величиною? (Опредѣленіе. § 94).

275. Что называется общимъ видомъ мнимаго количества? (Общій видъ мнимаго количества).

276. Что есть модуль мнимаго количества?

277. Какъ опредѣлить F? (Правило).

278. Какъ поступаютъ при сложеніи и вычита-

ніи мнимыхъ выраженій? (Сложеніе и вычитаніе § 95).

279. Какія мнимыя количества называются сопряженными? (Сопряженныя мнимыя количества).

280. Чему равна сумма и разность двухъ сопряженныхъ мнимыхъ количествъ?

281. Въ какомъ случаѣ мнимое выраженіе равно нулю? (Теорема 1).

282. Когда два мнимыхъ количества равны? (Теорема 2).

283. Чему равно произведеніе двухъ сопряженныхъ мнимыхъ величинъ?

284. Что мы получаемъ при дѣйствіяхъ съ мнимыми величинами? (Теорема).

VII. Уравненіе второй степени съ однимъ неизвѣстнымъ или уравненія квадратныя.

285. Какія уравненія называются квадратными? (Опредѣленіе. § 96).

286. Какъ привести коеффиціентъ неизвѣстнаго второй степени къ единицѣ?

287. Какой общій видъ квадратнаго уравненія?

288. Изъ какихъ членовъ состоитъ квадратное уравненіе? (Составъ квадратнаго уравненія).

289. Какое квадратное уравненіе называется полнымъ?

290. Какъ рѣшить квадратное полное уравненіе? (Правило. § 98).

292. Чему равенъ корень квадратнаго уравненія? (Выраженіе корня квадратнаго уравненія).

293. Когда корни квадратнаго уравненія бываютъ дѣйствительными, мнимыми и равными? (§ 99).

294. Чему равна сумма корней? (§ 100).

295. Чему равно произведеніе корней?

296. Какъ разлагается квадратное уравненіе на произведеніе двухъ множителей? (Заключеніе. § 101).

297. Какія уравненія приводятся къ квадратнымъ? (§ 104).

298. Какое уравненіе называется биквадратнымъ?

298а. Какъ выражается а±і/Ь?

299. Какъ выражается квадратный корень изъ мнимаго количества? (§ 106).

VIII. Неравенства.

300. Какъ располагаютъ знаки неравенства?(§ 107).

301. Что называютъ частями неравенства?

302. Когда считаютъ количество а болѣе 6?

303. Какая изъ двухъ отрицательныхъ величинъ болѣе?

304. Что называютъ низшимъ и высшимъ препредѣломъ величины #?

305. Какія неравенства называютъ одинаковыми и неодинаковыми?

306. Какіе случаи бываютъ при опредѣленіи величины двумя неравенстами? (Величины, опредѣляемыя двумя неравенствами).

307. Какія основныя свойства неравенства?

308. Какъ поступаютъ при рѣшеніи неравенствъ? (Рѣшеніе неравенствъ. § 109).

IX. Неопредѣленныя уравненія.

309. Что такое неопредѣленное уравненіе?(§ 110).

310. Что называютъ системою неопредѣленныхъ уравненій?

311/Какой общій видъ неопредѣленнаго уравненія съ двумя неизвѣстными?

312. Сколько рѣшеній имѣетъ неопредѣленное уравненіе?

313. Какъ ограничиваютъ число рѣшеній неопредѣленнаго уравненія? (Дополнительныя условія. § 111).

314. Какіе случаи бываютъ при рѣшеніи неопредѣленныхъ уравненій?

315. Какъ выражаются рѣшенія неопредѣленнаго уравненія аяЧ~6у=о? (Заключеніе).

316. Какъ выражаются всѣ рѣшенія неопредѣленнаго уравненія ах ~г by = с, если извѣстна одна пара рѣшеній: х = а, у = ß? (Правило. § 112).

317. Какъ рѣшить въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленное уравненіе? (Правило рѣшенія неопредѣленнаго уравненія. § 113).

318. Какія бываютъ упрощенія при рѣшеніи неопредѣленныхъ уравненій? (§ 114).

319. Отъ чего зависитъ число цѣлыхъ и положительныхъ рѣшеній неопредѣленнаго уравненія? (§ 115).

320. Когда число рѣшеній неопредѣленнаго уравненія безконечно, конечно, и когда неопредѣленное уравненіе вовсе не имѣетъ рѣшеній?

321. Какъ по виду неопредѣленнаго уравненія ах-\-Ьу=с узнать о числѣ рѣшеній неопредѣленнаго уравненія?

322. Какъ рѣшать совмѣстныя неопредѣленныя уравненія первой степени, если въ нихъ только однимъ неизвѣстнымъ болѣе числа уравненій? (§ 116).

X. Непрерывныя дроби.

323. Какія дроби называются непрерывными? (§ 117).

324. Какой общій видъ непрерывной дроби?

325. Что называется звеномъ цѣпной дроби? (Звено).

326. Что называютъ частными знаменателями?

327. Какъ раздѣляются непрерывныя дроби?

328. Какъ обратить непрерывную дробь въ простую? (§ 118).

329. Какъ обратить простую дробь въ непрерывную? (Правило обращенія простыхъ дробей въ непрерывныя. § 119).

330. Какія дроби называются подходящими? (Опредѣленіе подходящей дроби § 120).

331. Чему равенъ числитель и знаменатель подходящей дроби?

332. Какъ данная дробь относится по величинѣ къ двумъ рядомъ стоящимъ подходящимъ дробямъ? (Правило).

333. Какая подходящая дробь ближе къ данной дроби? (Теорема. § 122).

334. Чему равна разность между двумя подходящими дробями?

335. Какъ велика разность между данною и подходящею дробью?

336. Какое свойство имѣетъ знаменатель подходящей дроби? (Теорема. § 123).

336а. Какъ рѣшать неопредѣленное уравненіе непрерывными дробями? (Правило. § 124).

XI. Отношенія и пропорціи.

337. Что есть ариѳметическая пропорція? (§ 125).

338. Какое основное свойство ариѳметической пропорціи?

339. Что такое непрерывная ариѳметическая пропорція?

340. Что такое среднее ариѳметическое число и чему оно равно?

341. Что называется среднимъ ариѳметическимъ нѣсколькихъ чиселъ?

342. Что такое геометрическая пропорція? (§ 126).

343 Какое основное свойство геометрической пропорціи?

344. Что называютъ непрерывной геометрической пропорціей?

345. Что такое среднее геометрическое число?

346 Въ какомъ отношеніи находится среднее ариѳметическое къ среднему геометрическому числу? (Теорема).

347. Какъ перемѣщаютъ члены геометрической пропорціи?

348. Какъ образуютъ сложныя пропорціи изъ пропорцій, если знаменатели одинаковы?

349. При какомъ условіи можно складывать и вычитать двѣ пропорціи съ разными знаменателями?

350. Какія пропорціи называются производными? (§ 128).

350а. Что такое гармоническая пропорція?

XII. Прогрессіи.

351. Что называютъ ариѳметическою прогрессіею? (§ 130).

352. Что такое членъ прогрессіи?

353. Что такое разность прогрессіи?

354. Какъ раздѣляются ариѳметическія прогрессіи?

355. Что такое возрастающая прогрессія?

356. Что такое убывающая прогрессія?

357. Чему равна разность ариѳметической прогрессіи? (Величина разности).

358. Какой знакъ разности?

359. Чему равенъ послѣдній членъ ариѳметической прогрессіи? (§ 131).

360. Чему равенъ первый членъ ариѳметической прогрессіи?

361. Въ какомъ отношеніи находятся каждые три рядомъ стоящіе члена ариѳметической прогрессіи?

362. Чему равна сумма двухъ членовъ равно отстоящихъ отъ крайнихъ?

363. Чему равна сумма членовъ ариѳметической прогрессіи?

363a. Какія десять задачъ имѣютъ мѣсто въ прогрессіяхъ? (§ 132).

363b. Чему равна сумма натуральныхъ чиселъ?

364. Что такое геометрическая прогрессія? (§133).

365. Что такое знаменатель геометрической прогрессіи?

366. Что такое возрастающая и убывающая геометрическая прогрессія?

367. Чему равенъ знаменатель прогрессіи?

368. Чему равенъ каждый членъ прогрессіи?

369. Въ какомъ отношеніи находятся три рядомъ стоящіе члена геометрической прогрессіи?

370. Чему равно произведеніе членовъ равно отстоящихъ отъ крайнихъ?

371. Чему равна сумма членовъ геометрической прогрессіи?

372. Чему равна сумма членовъ безконечно убыщей прогрессіи?

XIII. Логариѳмы.

373. Что называютъ логариѳмами? (§ 134).

374. Что называютъ системою логариѳмовъ?

375. Что называютъ основаніемъ системы логариѳмовъ?

376. Чему равенъ логариѳмъ основанія и логариѳмъ единицы?

377. Какъ выражаются логариѳмы разныхъ чиселъ, если основаніе системы болѣе и менѣе единицы?

378. Какое существуетъ другое опредѣленіе логариѳма? (§ 135).

379. Какъ выражается логариѳмъ произведенія, частнаго, степени и корня? (§ 136).

380. Какіе существуютъ способы вычисленія логариѳмовъ?

381. Что такое характеристика и мантисса? (§ 139).

382. Какимъ свойствомъ обладаетъ отношеніе логариѳмовъ всѣхъ чиселъ двухъ системъ? (§ 140).

383. Что такое модуль?

384. Чему равенъ модуль?

385. Какую пользу приносятъ логариѳмическія таблицы? (§ 141).

386. Кто былъ изобрѣтателемъ логариѳмовъ?

387. Какое основаніе въ системѣ Бригга? (§ 142).

388. Какія особенности имѣетъ система Бригга?

389. Какіе вопросы приходится рѣшать при употребленіи таблицъ логариѳмовъ? (§ 143).

390 Какъ опредѣлить логариѳмъ по числу? (Правило опредѣленія логариѳма по числу. § 145).

391. Какъ опредѣлить число по логариѳму? (Правило опредѣленія числа по логариѳму § 146).

392. Какъ выражаютъ иногда отрицательные логариѳмы? (§ 147).

393. Какъ производятъ дѣйствія надъ логариѳмами съ отрицательными характеристиками? (§ 148).

394. Какъ поступаютъ въ случаѣ дѣленія логариѳма съ отрицательными характеристиками на цѣлое число?

395. Какія уравненія называются неопредѣленностепенными? (§ 149).

396. Какіе проценты называются сложными (§ 150).

397. Въ чемъ состоитъ задача ежегодныхъ взносовъ? (§ 151).

398. Что называется срочною уплатою? (§ 152).

XIV. Соединенія Биномъ Ньютона.

399. Что называютъ соединеніями? (§ 153)

400. На что обращаютъ вниманіе въ соединеніяхъ?

401. Что называютъ переложеніями?

402. Что называютъ сочетаніями?

403. Что называютъ перемѣщеніями?

404. Какая связь между числомъ переложеній, сочетаній и перемѣщеній? (Правило. § 154).

405. Какъ выражается число переложеній изъ п буквъ по р? (§ 155).

406. Какъ выражается число перемѣщеній изъ п буквъ? (§ 156).

407. Какъ выражается число сочетаній изъ п буквъ по р? (§ 157).

408. Какая существуетъ связь между соединеніями? (§ 158).

409. Какъ выражается произведеніе п двучленовъ? (§ 159).

410. Какой существуетъ законъ образованія членовъ Бинома Ньютона? (§ 160).

411. Чему равна сумма коеффиціентовъ всѣхъ членовъ Бинома Ньютона?

XV. Прибавленія.

412. Какой остатокъ даетъ цѣлый многочленъ при раздѣленіи его на х—а? (Теорема. Прибавленіе 2).

413. Какія свойства имѣетъ тричленъ 2-й степени ах2 + Ъх + с? (Приб. 3).

414. Что такое ирраціональное уравненіе? (Приб.4).

415. Какъ рѣшаютъ ирраціональныя уравненія?

416. Какъ освобождаютъ ирраціональныя уравненія отъ корней?

417. Какіе бываютъ случаи при рѣшеніи двухъ совмѣстныхъ уравненій 2-й степени? (Приб. 5).

418. Чему равна сумма квадратовъ и кубовъ натуральныхъ чиселъ? (Приб. 6).

Оглавленіе.

Стр.

Предисловіе.................................. .... I

I. Основныя алгебраическія понятія § 1 —§ 15 . . . 1

Положительныя и отрицательныя числа............. 20

Приведеніе...................................... 24

II. Дѣйствія съ алгебраическими количествами § 16—§ 42 26

Сложеніе........................................ 28

Вычитаніе...................................... 30

Объ отрицательныхъ количествахъ .................... 33

Умноженіе ...... 39

Дѣленіе. ........................................... 57

III. Общій наибольшій дѣлитель и наименьшее кратное алгебраическихъ выраженій § 43—§ 50. . . . 73

IV. Алгебраическія дроби § 51—§ 55. . . ............... 90

Нулевые и отрицательные показатели . ............... 97

V Уравненія первой степени § 56—§ 75 ..... . 102

Уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. . 107

Рѣшеніе задачъ помощію уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ............................... 110

Изслѣдованіе рѣшеній.......................... ... 113

Уравненія совмѣстныя.............................. 126

Совмѣстныя опредѣленныя уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными............................... 128

Совмѣстныя опредѣленныя уравненія первой степени со многими неизвѣстными ............................ 136

Изслѣдованіе рѣшеній уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными..................................... 150

Сстр.

VI. Степени и корни §§ 76—93 ........................ 159

Корни........................................... 164

Дѣйствія съ количествами ирраціональными ..... 171

Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ. 181

Извлеченіе кубическаго корня . ...................201

Предварительныя понятія о мнимыхъ величинахъ. . . 213

VII. Уравненія второй степени съ однимъ неизвѣстнымъ §§ 95-106 .................................... 217

VIII. Неравенства §§ 107—109.......................... 236

IX. Неопредѣленыя уравненія §§ 110—116............... 245

X. Нѳпрерывнныя дроби §§ 117—124 ................... 264

XI. Отношенія и пропорціи §§ 125 -129. ...... 282

XII. Прогрессіи §§ 130—133 .......................... 294

XIII. Логариѳмы §§ 134—132 ........................... 306

XIV. Соединенія. Виномъ Ньютона §§ 133 160........ 338

XV. Прибавленія . ................................ 348

1. Краткія замѣчанія по исторіи алгебры ..... 348

2. Условія дѣлимости многочлена на разность х—а. . 330

3. Свойство тричлена второй степени. ........... 332

4. Рѣшеніе ирраціональныхъ уравненій. Освобожденіе уравненій отъ корней . . ... 355

5. Совмѣстныя уравненія второй степени съ двумя неизвѣстными. ............... ...... . 360

6. Сумма квадратовъ и кубовъ натуральныхъ чиселъ . 365

Вопросы къ Алгебрѣ............................... 368