РУКОВОДСТВО КЪ АРИѲМЕТИКѢ

АРИѲМЕТИКА ДРОБНЫХЪ ЧИСЕЛЪ.

СОСТАВИЛЪ

Н. В. Бугаевъ,

Ординарный профессоръ Императорскаго Московскаго Университета.

Изданіе пятое.

Книжный магазинъ Н. И. Мамонтова:

Москва, Кузнецкій мостъ, домъ Фирсанова.

1886.

Типографія А. И. Мамонтова и К°, Леонтьевскій пер., № 5.

Оглавленіе.

Стран.

I. Основныя свойства дробей. § 1— § 10................... 1

Происхожденіе и счисленіе дробей........................—

Отношеніе дробей къ единицѣ............................ 5

Измѣненіе величины дробей..............................10

Рѣшеніе нѣкоторыхъ задачъ, относящихся къ дробямъ. . 12

II. О дѣлителяхъ. § 11- § 25..............................15

Признаки дѣлимости ................................... 17

Разложеніе цѣлаго числа на первоначальныхъ производителей.................................................22

Общій наибольшій дѣлитель и наименьшее кратное число. 24

III. Измѣненіе вида дробей. § 26—§ 29......................33

Сокращеніе дробей.......................................—

Приведеніе дробей къ одному знаменателю................35

IV. Основныя дѣйствія съ дробями § 30—§ 33................40

V. Дробныя именованныя числа. § 34—§ 38.................49

VI. Десятичныя дроби. § 39—§ 56...........................56

Основныя дѣйствія съ десятичными дробями...............63

Періодическія дроби....................................75

VII. Непрерывныя дроби. § 57—§ 60...........................84

VIII. Отношенія. § 61—§ 65..................................91

Ариѳметическое отношеніе...............................92

Геометрическое отношеніе...............................95

IX. Пропорціи. § 66—§ 77.................................100

Ариѳметическая пропорція..............................101

Геометрическая пропорція..............................105

Стран.

X. Тройныя правила. § 78—§ 88............................115

Простое тройное правило...................... . . . . —

Сложное тройное правило............................... 119

Правило процентовъ....................................127

Правило учета векселей................................ 130

Правило товарищества..................................135

Правило смѣшенія......................................137

Цѣпное правило ........................................ 139

XI. Прибавленія. § 89—§ 102................................141

Повѣрка ариѳметическихъ дѣйствій числомъ 9..............—

Признаки дѣлимости на 11, 7 и 13.......................143

Десятичныя приближенія.................................145

Метрическая система мѣръ...............................146

Сравнительная таблица русскихъ монетъ съ иностранными ................................................163

Нѣкоторыя приложенія алгебры къ ариѳметикѣ.............164

a) Дополненія къ теоріи дѣлителей....................—

b) Нѣсколько замѣчаній о пропорціяхъ................171

Вопросы къ ариѳметикѣ дробныхъ чиселъ..................173

I. Основныя свойства дробей.

ПРОИСХОЖДЕНІЕ и СЧИСЛЕНІЕ ДРОБЕЙ.

§ 1. Происхожденіе дробей отъ измѣренія. Чтобы измѣрить величину сравниваютъ ее съ однородною единицею. При измѣреніи бываютъ два случая:

a) Когда единица содержится въ измѣряемой величинѣ ровное число разъ, тогда результатъ измѣренія выражаютъ цѣлымъ числомъ.

b) Когда единица не содержится въ измѣряемой величинѣ ровное число разъ, тогда результатъ измѣренія нельзя выразить цѣлымъ числомъ. Въ этомъ случаѣ при измѣреніи величины получается остатокъ меньше единицы. Этотъ остатокъ и всякую другую величину меньше единицы измѣряютъ частями единицы. Для этого раздѣляютъ единицу на нѣсколько равныхъ частей или долей и опредѣляютъ, сколько разъ такая часть содержится въ измѣряемой величинѣ. Частямъ единицы даютъ особое названіе. Это названіе дается по числу, показывающему на сколько равныхъ частей раздѣлена единица. Если единица разбивается на двѣ равныя части, каждая изъ двухъ равныхъ частей называется половиною. Въ единицѣ двѣ половины. Если единица разбивается на три равныя части, каждая изъ трехъ равныхъ частей

называется третью. Въ единицѣ три трети. Каждая изъ 4, 5, 6 равныхъ частей единицы называется четвертою, пятою, шестою долею.

Половина, треть, четверть, пятая и т. д. есть ни что иное какъ одна изъ равныхъ частей единицы. Каждую изъ такихъ равныхъ частей единицы называютъ дробью.

Разбивъ единицу на нѣсколько равныхъ частей, берутъ одну часть и опредѣляютъ, сколько разъ она содержится въ измѣряемой величинѣ. Положимъ, для измѣренія данной величины мы разбили единицу на 4 равныя части и, взявъ одну четверть, нашли, что она содержится въ измѣряемой величинѣ три раза. Въ такомъ случаѣ говорятъ: ^измѣряемая величина содержитъ три четверти“. Если единицу разобьемъ на семь равныхъ частей и найдемъ, что седьмая доля содержится въ данной величинѣ 4 раза, говоримъ: ^измѣряемая величина содержитъ четыре седьмыхъ“.

Четыре седьмыхъ, три четверти составляютъ нѣсколько равныхъ частей единицы. Нѣсколько равныхъ частей единицы мы тоже называемъ дробью или дробнымъ числомъ.

Опредѣленіе дроби. Дробь или дробное число есть одна или нѣсколько равныхъ частей единицы. Дробь есть результатъ измѣренія какой-нибудь величины частями однородной съ нею единицы.

Объяснимъ происхожденіе дробей на такомъ примѣрѣ, въ которомъ за единицу принята нѣкоторая опредѣленная длина AB.

Раздѣливъ ее послѣдовательно на 2, 3, 4 и 7 равныхъ частей, и взявъ одну изъ нихъ, будемъ имѣть половину, одну треть, одну четверть, одну седьмую и т. д.

черт. 1.

черт. 2.

черт. 3.

черт. 4.

Взявъ на чертежѣ 4 три равныя части или три доли, мы имѣемъ три седьмыхъ.

§ 2. Члены дроби. Предложенные примѣры показываютъ, что для того, чтобы имѣть ясное понятіе о какой-нибудь дроби, необходимо опредѣлить:

a) на сколько равныхъ частей раздѣлена единица и

b) сколько такихъ частей взято.

Чѣмъ больше равныхъ частей въ единицѣ, тѣмъ онѣ мельче.

Указывая, на сколько равныхъ частей раздѣлена единица, мы тѣмъ самымъ опредѣляемъ величину частей. Указывая, сколько частей взято для образованія дроби, мы опредѣляемъ число частей.

Такимъ образомъ, чтобы дать полное понятіе о дроби, указываютъ два числа. Одно изъ нихъ опредѣляетъ число, а другое величину частей единицы. Въ примѣрѣ три седьмыхъ величина частей опредѣляется числомъ 7. Это число показываетъ, что единица раздѣлена на семь равныхъ частей, а число частей опредѣляется числомъ три; оно показываетъ, что такихъ частей взято три.

Числитель и знаменатель. Дробь выражается при помощи двухъ чиселъ. Эти числа называются чи-

слителемъ и знаменателемъ. Знаменатель показываетъ, на сколько равныхъ частей раздѣлена единица, а числитель показываетъ, сколько такихъ частей взято. Короче: числитель показываетъ число частей, а знаменатель величину частей. Числитель и знаменатель называются членами дроби.

§ 3. Счисленіе дробей. Счисленіе дробей имѣетъ цѣлью изображать дроби письменно и словесно.

Чтобы изобразить дробь письменно, ставятъ числителя надъ знаменателемъ, отдѣляя ихъ горизонтальною чертою.

Въ дроби три седьмыхъ числителемъ будетъ 3, знаменателемъ число 7. Дробь эта изображается при помощи чиселъ 3 и 7 письменно

Чтобы произнести дробь словесно нужно, начиная съ числителя, послѣдовательно выговаривать оба члена дроби отдѣльно.

Въ нижеприведенныхъ примѣрахъ однѣ и тѣ же дроби изображаются

письменно:

словесно:

(одна) половина

(одна) треть

(одна) четверть

двѣ пятыхъ пятнадцать двадцать девятыхъ.

§ 4. Происхожденіе дробей отъ дѣленія. Дробь происходить отъ измѣренія величины частями единицы. Дробь происходитъ также отъ такого дѣленія цѣлыхъ чиселъ, въ которомъ дѣлимое не дѣлится нацѣло на дѣлителя.

Положимъ, нужно длину въ 17 аршинъ раздѣлить на 7 равныхъ частей. Производя дѣленіе, мы въ цѣломъ частномъ получаемъ 2 и въ остаткѣ 3. Чтобы получить полное частное, нужно остатокъ 3 аршина раздѣлить еще на 7 равныхъ частей. Каждый аршинъ, будучи раздѣленъ на 7 равныхъ частей, даетъ 4 аршина. Взявъ отъ каждаго изъ 3 арш. по седьмой части, мы получаемъ 4 арш. Такимъ образомъ т есть результатъ, полученный отъ раздѣленія 3 на 7 Отсюда

Другое опредѣленіе дроби. Дробь есть частное, происходящее отъ раздѣленія числителя на знаменателя.

Чтобы выразить частное при раздѣленіи 17 на 7, мы должны къ цѣлому частному 2 приложить еще дробь 4- Частное выразится въ видѣ 2 + 4- Знакъ -j- обыкновенно опускаютъ и пишутъ цѣлое число рядомъ съ дробью.

Частное будетъ 24, слѣд.

17 : 7 = 4 = 24.

Отсюда видно: если дѣленіе не совершается нацѣло, для полученія частнаго нужно къ цѣлому частному приписать дробь, въ которой числителемъ будетъ остатокъ, а знаменателемъ дѣлитель.

ОТНОШЕНІЕ ДРОБЕЙ КЪ ЕДИНИЦѢ.

§ 5. Раздѣленіе дробей по ихъ отношенію къ единицѣ. Единица содержитъ столько долей, на сколько равныхъ частей мы ее раздѣлимъ. Части бываютъ тѣмъ мельче, чѣмъ ихъ больше. Раздѣливъ единицу на 5 равныхъ частей, мы величину каждой части вы-

ражаемъ дробью 4- Взявъ 4 и повторяя ее послѣдовательно одинъ, два, три, четыре раза, мы будемъ имѣть дроби А, 4, 4’ V- Всѣ эти дроби менѣе единицы. Въ нихъ числитель менѣе знаменателя. Онѣ называются правильными дробями.

Продолжая увеличивать число частей, мы получимъ дробь 4- Дробь эта равна единицѣ; въ ней числитель равенъ знаменателю. Эта дробь есть только другая Форма выраженія единицы. Такая дробь называется неправильною.

Продолжая увеличивать число частей, мы получаемъ дроби 4, 4, 4 и т- Вти дроби уже болѣе единицы; въ нихъ числитель болѣе знаменателя. Такія дроби также называются неправильными.

Правильныя и неправильныя дроби. Дроби раздѣляются на правильныя и неправильныя. Правильныя дроби такія, въ которыхъ числитель меньше знаменателя. Неправильныя дроби такія, въ которыхъ числитель равенъ или болѣе знаменателя. Правильныя дроби менѣе единицы, неправильныя дроби равны или болѣе единицы

Неравенство. Слово ^болѣе“ замѣняется знакомъ >, слово ^менѣе“ знакомъ <. Совокупность неравныхъ чиселъ по обѣ стороны знаковъ > или < называется неравенствомъ.

Отношеніе дробей къ единицѣ можно выразить слѣдующими неравенствами:

Неправильная дробь 4>1-

Знакъ > былъ введенъ Гарріотомъ.

§ 6. Исключеніе цѣлаго числа изъ неправильной дроби. Неправильная дробь равна или болѣе единицы. Исключить цѣлое число изъ неправильной дроби значитъ опредѣлить, сколько въ ней содержится единицъ. Въ единицѣ содержится столько долей, на сколько равныхъ частей раздѣлена единица. Въ неправильной дроби 4 единица раздѣлена на 7 частей. Въ каждой единицѣ 4- Въ Дроби 4 содержится столько единицъ, сколько разъ 7 содержится въ 19. Раздѣляя 19 на 7, находимъ, что въ 4 единица содержится два раза и кромѣ того еще остается 4 долей, слѣд.

На основаніи происхожденія дроби отъ дѣленія мы знаемъ, что дробь 4 есть частное, происходящее отъ дѣленія 19 на 7.

Сдѣлавъ дѣленіе

находимъ

Правило. Чтобы исключить цѣлое число изъ неправильной дроби, нужно числителя раздѣлить на знаменателя, цѣлое частное поставить цѣлымъ числомъ, остатокъ числителемъ, а, дѣлителя знаменателемъ.

Смѣшанное число. Число, состоящее изъ цѣлаго числа и дроби, называется смѣшаннымъ числомъ Число 24 есть смѣшанное число. Оно сокращенно выражаетъ сумму 2 + 4-

§ 7. Обращеніе цѣлаго и смѣшаннаго чиселъ въ неправильную дробь. При обращеніи цѣлаго числа въ неправильную дробь указываютъ, въ какія доли требуется обратить число, то-есть указываютъ знаменателя той неправильной дроби, въ которую нужно обратить цѣлое число. Чтобы обратить 4 въ седьмыя доли, замѣчаютъ, что единица содержитъ -1; четыре единицы содержатъ седьмыхъ долей вчетверо болѣе, слѣд. 4- Такимъ образомъ

Правило. Чтобы обратитъ цѣлое число въ неправильную дробь, нужно цѣлое число умножитъ на знаменателя и подписать того же знаменателя.

Смѣшанное число обыкновенно обращаютъ въ доли той дроби, которая находится въ смѣшанномъ числѣ. Такъ, смѣшанное число 34 обращаютъ въ пятыя доли. Единица содержитъ три единицы содержатъ Присоединяя къ 15 пятымъ еще двѣ пятыхъ, получимъ ”, слѣд.

Правило. Чтобы обратить смѣшанное число въ неправильную дробь, нужно цѣлое число умножить на знаменателя, къ произведенію приложить числителя и подъ суммою подписать того же знаменателя.

На смѣшанное число можно смотрѣть какъ на результатъ дѣленія, въ которомъ цѣлое число было цѣлымъ частнымъ, остаткомъ числитель, а дѣлителемъ знаменатель. Обратить смѣшанное число въ неправильную дробь значитъ опредѣлить, отъ дѣленія какихъ чиселъ оно произошло. Для этого нужно

найти дѣлимое. Изъ того, что дѣлимое равно произведенію дѣлителя на цѣлое частное, сложенному съ остаткомъ, вытекаетъ правило обращенія смѣшаннаго числа въ неправильную дробь.

§ 8. Сравненіе дробей съ одинакими знаменателями или одинакими числителями. При сравненіи дробей встрѣчаются три случая: дроби могутъ имѣть одинакихъ знаменателей, одинакихъ числителей, разныхъ числителей и знаменателей.

a) Всѣ дроби съ одинакими знаменателями имѣютъ части одинаковой величины. Изъ нихъ, очевидно, та дробь больше, въ которой частей больше, слѣд.

Если дроби имѣютъ одинакихъ знаменателей, та дробь больше, у которой числитель больше.

Располагая по ихъ величинѣ дроби ~, ~, 4, мы должны, начиная съ большей, написать ихъ въ порядкѣ

b) Всѣ дроби съ одинакими числителями имѣютъ одно и тоже число частей. Эти части тѣмъ крупнѣе, чѣмъ знаменатель меньше, слѣд.

Если дроби имѣютъ одинакихъ числителей, та, дробь больше, у которой знаменатель меньше.

Располагая по ихъ величинѣ дроби

мы должны, начиная съ большей, написать ихъ въ порядкѣ

с) Въ случаѣ, если дроби имѣютъ разныхъ числителей и знаменателей, приводятъ ихъ къ одному знаменателю или къ одному числителю и потомъ уже дѣлаютъ заключеніе объ ихъ величинѣ.

ИЗМѢНЕНІЕ ВЕЛИЧИНЫ ДРОБЕЙ.

§ 9. Съ измѣненіемъ числителя и знаменателя дроби могутъ увеличиваться, уменьшаться гі не измѣняться, то-есть сохранятъ свою величину.

Увеличиваніе дробей. Если въ дроби 4 увеличимъ числителя вдвое, получимъ дробь 4, У которой величина частей осталась та же, а число частей увеличилось вдвое, слѣд. и сама дробь увеличилась вдвое.

Если въ дроби 4 уменьшимъ знаменателя вдвое, получимъ дробь 4, У которой число частей осталось то же, но части сдѣлались вдвое крупнѣе, а слѣд. и сама дробь увеличилась вдвое. Отсюда выводимъ

Правило увеличенія дробей. Чтобы увеличить дробь, нужно числителя умножить, или, если можно, знаменателя раздѣлить.

Если въ дроби 4 отбросимъ знаменателя, получимъ цѣлое число 5 больше дроби въ 8 разъ, ибо каждая 4 доля при этомъ обратилась въ единицу, то-есть увеличилась въ 8 разъ. Откуда заключаемъ: отбрасывая знаменателя, мы увеличиваемъ дробь въ число разъ равное знаменателю.

Примѣры:

Уменьшеніе дробей. Если въ дроби 4 уменьшимъ числителя втрое, получимъ дробь 4, которая тоже уменьшилась втрое, ибо число частей уменьшилось втрое. Если увеличимъ знаменателя той же дроби

втрое, получимъ дробь которая уменьшилась втрое, ибо ея части сдѣлались втрое мельче. Отсюда выводимъ

Правило уменьшенія дробей. Чтобы уменьшить дробь нужно или умножить знаменателя, или, если можно, раздѣлить числителя.

Примѣры:

Сохраненіе величины дробей. Если числителя и знаменателя дроби -- умножить на одно и то же цѣлое число 3, получимъ дробь 4- Эта дробь не измѣняетъ своей величины, ибо во сколько разъ мы дѣлаемъ части мельче, во столько же разъ мы увеличиваемъ число ихъ, слѣд.

Если числителя и знаменателя дроби раздѣлимъ на одно и то же число 2, получимъ дробь А. Эта дробь не измѣнила своей величины, ибо если число частей и уменьшилось вдвое, за то части сдѣлались вдвое крупнѣе. Отсюда выводимъ

Правило. Дроби не измѣняютъ своей величины, если числителя и знаменателя одновременно умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же число.

Такимъ образомъ

Всѣ эти правила вытекаютъ изъ того общаго свойства дробей, по которому всякая дробь есть част-

иое отъ такого дѣленія, въ которомъ дѣлимымъ является числитель, а дѣлителемъ знаменатель.

Съ измѣненіемъ числителя и знаменателя дробь измѣняется точно также, какъ измѣняется частное отъ измѣненія дѣлимаго и дѣлителя.

Чтобы увеличитъ или уменьшитъ смѣшанное число нужно обратить его въ неправильную дробь и потомъ поступать по общимъ правиламъ.

Примѣръ: Увеличить 2-А впятеро все равно, что увеличить 21 въ пять разъ.

РѢШЕНІЕ НѢКОТОРЫХЪ ЗАДАЧЪ, ОТНОСЯЩИХСЯ КЪ ДРОБЯМЪ.

§ 10. Къ числу задачъ, разрѣшаемыхъ при помощи основныхъ свойствъ дробей, принадлежатъ двѣ:

1) Опредѣленіе частей какого-нибудь числа.

2) Опредѣленіе числа по данной его части.

А. Опредѣленіе частей какого нибудь числа.

Примѣръ 1. Найти А части числа 33.

Все число или

21 одинадцать одиннадцатыхъ долей его составляютъ 33.

-А одиннадцатая доля его въ 11 разъ меньше, слѣд. составляетъ 21 = 3.

А вчетверо болѣе А, слѣд. составляютъ 3x4=12.

Чтобы взять 4 числа нужно его увеличить въ 4 и уменьшить въ 11 разъ. Иногда неизвѣстное число означаютъ чрезъ х и самый ходъ вычисленія располагаютъ письменно такъ:

Примѣръ 2. Найти 4 дроби 4’

Вся дробь или 4 ея составляютъ

4 дроби 4 вчетверо менѣе, слѣд. составитъ 4 ибо, чтобы уменьшить дробь вчетверо, нужно ея знаменателя умножить на 4.

4 дроби, будучи втрое болѣе А, составятъ 4 ■, ибо, чтобы 48 увеличить втрое, нужно умножить числителя на 3, слѣд. 4 дроби 4 составятъ

Чтобы взять 4 Дроби нужно увеличить ее въ 3 и уменьшить въ 4 раза. Отсюда выводимъ

Правило. Чтобы взять нѣсколько частей числа, нужно ею увеличить въ число разъ, равное числителю и уменьшить въ число разъ, равное знаменателю дроби.

В. Опредѣленіе числа по данной его части.

Примѣръ 1. 4 числа составляютъ 12, найти все число.

— числа, будучи втрое менѣе 4, составитъ 12 : 3 =

Все число или 4 его, будучи въ 7 разъ болѣе 4, составитъ 4x7 = 28.

Чтобы по части 4 найти все число, нужно его увеличить въ 7 и уменьшить въ 3 раза.

Ходъ вычисленія иногда располагаютъ письменно:

Примѣръ 2. 4 числа составляютъ -ѣ, найти все число.

Все число X въ 5 разъ болѣе, слѣд. составитъ -1?, отсюда выводимъ

Правило: Чтобы по нѣсколькимъ даннымъ частямъ числа составить все число, нужно его увеличить въ число разъ, равное знаменателю, и уменьшить въ число разъ, равное числителю.

Свойство дроби не измѣнять своей величины, если мы числителя и знаменателя умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же число, ясно показываетъ, что мы можемъ измѣнить видъ дроби, не измѣняя ея величины. Такъ, умножая оба члена дроби А на 2, 3, 4, 5, мы можемъ ее представить въ видѣ

Въ этомъ случаѣ дробь выражается числами, большими данныхъ.

Раздѣляя оба члена дроби на 2, 3 и на 6, мы можемъ представить ее въ видѣ -і, 4о’ 4-

Въ этомъ случаѣ дробь выражается числами, меньшими данныхъ.

Чтобы возможно было выражать дроби числами, меньшими данныхъ, нужно найти такое число, которое могло бы дѣлить оба члена дроби. Для этого нужно умѣть узнавать, на какія числа дѣлится всякое данное число нацѣло.

II. О дѣлителяхъ.

§ 11. Дѣлитель и кратное число. Если большее число 12 дѣлится нацѣло на меньшее 3, меньшее число 3 называется дѣлителемъ числа 12, а большее число 12 называется числомъ кратнымъ числу 3.

Дѣлитель. Дѣлителемъ какою-нибудь цѣлаго числа называется такое число, которое дѣлитъ его нацѣло.

Кратное число. Числомъ кратнымъ другому называется такое число, которое дѣлится на другое число нацѣло.

Дополнительный дѣлитель. Частное, происходящее отъ раздѣленія большаго числа на меньшее или кратнаго числа на дѣлителя, называется дополнительнымъ дѣлителемъ.

Такимъ образомъ въ данномъ примѣрѣ частное 4, происходящее отъ раздѣленія 12 на 3, есть дѣлитель дополнительный дѣлителю 3.

12 : 3 = 4

12 = 3X4

Кратное число равно своему дѣлителю, умноженному на дополнительнаго дѣлителя.

Всякое число дѣлится нацѣло на 1 гі само на себя, слѣдовательно, всякое число имѣетъ дѣлителями 1 и само себя.

§ 12. Числа простыя и составныя. Числа, расположенныя въ томъ порядкѣ, въ какомъ мы производимъ счетъ, составляютъ рядъ натуральныхъ чиселъ.

Разсматривая рядъ натуральныхъ чиселъ, мы замѣчаемъ, что они раздѣляются на два класса.

Къ первому классу принадлежатъ такія числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19..., которыя не имѣютъ ни-

какихъ дѣлителей кромѣ 1 и самого числа. Такія числа называются первоначальными или простыми Ко второму классу принадлежатъ такія числа

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...,

которыя кромѣ единицы и самого числа имѣютъ другихъ дѣлителей. Такія числа называются составными.

Простое число. Первоначальнымъ или простымъ называется число, не имѣющее никакихъ дѣлителей кромѣ 1 и самого себя.

Составное число. Составнымъ называется число, имѣющее другихъ дѣлителей кромѣ 1 и самого себя.

Такъ, составное число 12 дѣлится на 2, 3, 4, 6.

Простое число не можетъ быть представлено въ видѣ произведенія двухъ цѣлыхъ чиселъ, одновременно меньшихъ самого числа.

Составное число можетъ быть представлено въ видѣ произведенія двухъ цѣлыхъ чиселъ, одновременно меньшихъ самого числа.

Такъ 12 = 3 X 4.

Числа называются составными, потому что они могутъ быть составлены перемноженіемъ простыхъ чиселъ.

Простыхъ чиселъ безчисленное множество.

Чтобы узнать, будетъ ли данное число простымъ или составнымъ, нужно его дѣлить на рядъ простыхъ чиселъ, начиная съ 2; если при всякомъ дѣленіи получается остатокъ, данное число есть простое. Отыскивать всякій разъ, будетъ ли данное число простымъ, очень трудно. Для облегченія составляютъ таблицы простыхъ чиселъ, гдѣ приведены въ возрастающемъ порядкѣ простыя числа, начиная съ 2.

См. таблица простыхъ чиселъ. ІІриб. § 100.

Признаки дѣлимости.

§ 13. Иногда, не производя самаго дѣленія, можно узнать, будетъ ли одно цѣлое число дѣлителемъ другаго. Признаки, по которымъ узнаютъ, дѣлится ли нацѣло одно цѣлое число на другое, называются признаками дѣлимости.

Въ основѣ теоріи признаковъ дѣлимости лежитъ слѣдующее простое свойство суммы:

если каждое изъ двухъ или нѣсколькихъ слагаемыхъ дѣлится безъ остатка на одно и то же цѣлое число, сумма ихъ также раздѣлится на то же число безъ остатка.

Положимъ, имѣемъ два числа 171 и 36. Оба эти числа дѣлятся на 9 безъ остатка. Первое даетъ въ частномъ 19, втрое 4. Докажемъ, что и сумма ихъ 207 тоже раздѣлится на 9 безъ остатка. Раздѣливъ на 9 обѣ части равенства

имѣемъ:

Во второй части имѣемъ сумму двухъ цѣлыхъ чиселъ, слѣд. и первая часть есть число цѣлое. Раздѣляя 206 на 9, имѣемъ въ частномъ 23.

Разсмотримъ признаки дѣлимости на числа: 2, 4, 8, 9, 3, 5, 10, 6 и т. д.

Эти числа представляютъ три первыя числа 2, 3,

5 въ различныхъ степеняхъ (4, 8, 9) и числа 6, 10, составленныя изъ произведенія простыхъ чиселъ

6 = 2X3, 10 = 2 X 5.

§ 14. Признаки дѣлимости на 2. Всѣ числа, дѣлящіяся на 2 безъ остатка или кратныя 2, называются числами четными. Остальныя числа называются не-

четными. Цифръ четныхъ четыре: 2, 4, 6, 8; остальныя цифры 1, 3, 5, 7, 9 нечетныя.

Опредѣлить признакъ дѣлимости на 2 значитъ опредѣлить признакъ четности или нечетности числа.

Одинъ десятокъ дѣлится нацѣло на 2, ибо 10 = 2X5, слѣд. всякое число, состоящее изъ однихъ десятковъ, то-есть оканчивающееся нулемъ, дѣлится безъ остатка на 2.

Всякое другое число 17254 можно выразить суммою двухъ чиселъ 17254 = 17250 + 4.

Первое число дѣлится на 2 безъ остатка, ибо состоитъ изъ десятковъ, и дѣлимость всего числа зависитъ отъ дѣлимости единицъ. Если на мѣстѣ единицъ стоитъ одна изъ четырехъ ци®ръ 2, 4, 6, 8, все число дѣлится на 2 безъ остатка. Отсюда

Правило. Число дѣлится на 2 безъ остатка, если оно оканчивается нулемъ или четною цифрою.

§ 15. Признаки дѣлимости на 4. Сотня дѣлится нацѣло на 4, ибо 100 = 25 х 4, слѣд. всякое число, состоящее изъ однихъ сотенъ, то-есть оканчивающееся двумя нулями, дѣлится на 4 безъ остатка.

Всякое другое число 17254 можно выразить суммою двухъ чиселъ:

17254 = 17200 + 54.

Первое число 17200 дѣлится нацѣло на 4, ибо состоитъ изъ однихъ сотенъ, и дѣлимость всего числа на 4 зависитъ только отъ дѣлимости числа 54, состоящаго изъ десятковъ и единицъ. Отсюда выводимъ

Правило. Число дѣлится на 4 безъ остатка, если оно оканчивается двумя нулями, или если его десятки съ единицами дѣлятся на 4 безъ остатка.

Данное число 17254 не дѣлится безъ остатка на 4, ибо 54 не дѣлится безъ остатка на 4.

§ 16. Признаки дѣлимости на 8. Одна тысяча дѣлится на 8 безъ остатка, ибо 1000 = 8 X 125, слѣд. всякое число, состоящее только изъ однихъ тысячъ, т.-е. оканчивающееся тремя нулями, дѣлится безъ остатка на 8.

Всякое другое число 17464 можно выразить суммою двухъ чиселъ

17464 = 17000 + 464.

Первое число 17000 дѣлится на 8 безъ остатка, ибо состоитъ изъ однихъ тысячъ, и дѣлимость всего числа зависитъ только отъ дѣлимости числа 464, состоящаго изъ сотенъ, десятковъ и единицъ. Отсюда выводимъ

Правило. Число дѣлится на 8 безъ остатка, если оно оканчивается тремя нулями, или если его сотни съ десятками и единицами дѣлятся на 8 безъ остатка.

Данное число 17464 дѣлится на 8 безъ остатка, ибо 464 дѣлится на 8 безъ остатка.

§ 17. Признаки дѣлимости на 9. Десятокъ, сотня, тысяча при раздѣленіи на 9 даютъ въ остаткѣ 1, ибо

Числа же 9, 99, 999, 9999 дѣлятся на 9 безъ остатка. Нѣсколько десятковъ, сотенъ, тысячъ даютъ вь остаткѣ число единицъ равное числу десятковъ, сотенъ, тысячъ и т. д.

Дѣйствительно, умножая вышенаписанный равенства, имѣемъ:

Такимъ образомъ, имѣя какое-нибудь число 27256 и выражая его суммою

мы знаемъ, что каждый порядокъ числа даетъ въ остаткѣ столько единицъ, сколько ихъ содержится въ цифрѣ порядка. Выразивъ каждый порядокъ числа въ видѣ:

и сложивъ, мы можемъ данное число представить въ видѣ

Сумма единицъ

выражаемыхъ всѣми цифрами числа 27256, называется суммою цифръ.

Число 2.9999 + 7.999 + 2.99 + 5.9 дѣлится на 9 безъ остатка, или есть число кратное 9, поэтому 27256 = числу кратному 9 +(2+ 7 + 2 + 5 +6).

Дѣлимость числа 27256 зависитъ отъ дѣлимости на 9 суммы цифръ 2 + 7 + 2 + 5 + 6. Отсюда выводимъ

Правило. Число дѣлится на 9 безъ остатка, если, сумма, его цифръ дѣлится на 9 безъ остатка.

Данное число 27256 не дѣлится на 9 безъ остатка, ибо сумма его цифръ 22 не дѣлится на 9 безъ остатка.

Число 27256 при раздѣленіи на 9 даетъ въ остаткѣ 4, ибо сумма цифръ 22 даетъ въ остаткѣ 4. Этимъ свойствомъ числа 9 пользуются для провѣрки ариѳметическихъ дѣйствій надъ цѣлыми числами.

См. Повѣрка ариѳметическихъ дѣйствій числомъ 9. Приб. § 89.

§ 18. Признаки дѣлимости на 3. Мы видѣли, что всякое число равно числу кратному 9, сложенному съ суммою цифръ.

Число = числу кратному 9 + сумма цифръ.

Число кратное 9 дѣлится безъ остатка на 3, слѣд. дѣлимость числа на 3 зависитъ отъ дѣлимости на 3 суммы его цифръ. Отсюда выводимъ

Правило. Число дѣлится на 3 безъ остатка, если сумма цифръ дѣлится на 3 безъ остатка.

Число 5421 дѣлится на 3 безъ остатка, ибо его сумма цифръ 12 дѣлится на 3 безъ остатка.

§ 19. Признаки дѣлимости на 5. Десятокъ дѣлится на 5 безъ остатка, ибо 10 = 5 X 2 слѣд. всякое число, состоящее изъ однихъ десятковъ, то-есть оканчивающееся нулемъ, дѣлится на 5 безъ остатка.

Всякое другое число 2247 можно разбить на сумму двухъ чиселъ

2247 = 2240 + 7

Первое число 2240 дѣлится безъ остатка на 5, и дѣлимость числа 2247 на 5 зависитъ отъ дѣлимости цифры единицъ на 5. Изъ всѣхъ цифръ только 5 дѣлится безъ остатка на 5. Отсюда выводимъ

Правило. Число дѣлится на 5 безъ остатка, если оно оканчивается нулемъ или пятью.

Числа 1540, 2135 дѣлятся безъ остатка на 5.

§ 20. Признаки дѣлимости на 10. Число дѣлится на 10 нацѣло, если оно оканчивается нулемъ, ибо такое число состоитъ изъ однихъ десятковъ.

Признаки дѣлимости на 6, 12, 15. Число дѣлится на 6 безъ остатка, если оно дѣлится на 2 и на 3.

Число дѣлится на 12 безъ остатка, если оно дѣлится на 3 и на 4 безъ остатка.

Число дѣлится на 13 безъ остатка, если оно дѣлится на 3 и на 5 безъ остатка.

Признаки дѣлимости на простыя числа 7, 11, 13 выражаются болѣе сложными правилами.

См. Признаки дѣлимости на 11, 7, и 13. Приб. § 90.

§ 21. Разложеніе цѣлаго числа на первоначальныхъ производителей. Разложить составное число на первоначальныхъ производителей или первоначальныхъ множителей значитъ представить его въ видѣ произведенія однихъ простыхъ чиселъ.

Чтобы разложить число 180 на первоначальныхъ производителей, нужно его дѣлить на рядъ простыхъ чеселъ, начиная съ 2, перваго простаго числа. Дѣленіе это нужно продолжать до тѣхъ поръ, пока это возможно. Затѣмъ послѣдовательно дѣлимъ частныя на слѣдующія простыя числа 3, 5, 7 и т. д., причемъ каждый разъ дѣлимъ до тѣхъ поръ, пока это возможно. Это дѣленіе останавливаютъ только тогда, когда въ послѣднемъ частномъ получатъ единицу.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

словесно:

a) Проводимъ вертикальную черту и, раздѣляя 180 на 2, подписываемъ частное 90 подъ дѣлимымъ; частное 90 снова дѣлимъ на 2 и подписываемъ частное 45 подъ 90; 45 не дѣлится на 2.

b) Дѣлимъ 45 на 3. Раздѣляя, получаемъ въ частномъ 15 и, продолжая дѣленіе на 3, получимъ въ частномъ 5.

c) Раздѣляя число 5 на слѣдующее простое число 5, получаемъ въ послѣднемъ частномъ 1.

Послѣ каждаго дѣленія связь между дѣлимымъ, дѣлителемъ и частнымъ выразится въ видѣ равенствъ:

Данное число 180 выразится въ видѣ произведенія простыхъ дѣлителей:

180 = 2 X 2 X 3 X 3 X 5,

ибо 180 = 2.90 = 2.2.45 = 2.2.3.15 = 2.2.3.3.5.

Въ разложеніи 180 на первоначальныхъ множителей числа 2 и 3 входятъ множителями 2 раза или во 2-й степени, а число 5 производителемъ одинъ разъ или въ первой степени.

Изъ предложеннаго примѣра выводимъ

Правило. А) Чтобы, разложить какое нибудь составное число на первоначальныхъ множителей, нужно данное число дѣлить на 2, пока это возможно.

В) Если данное число или полученное частное не дѣлится на 2, нужно испытать дѣленіе на слѣдующія простыя числа 3, 5, 7 и т. д., дѣля каждый разъ, пока это возможно.

C) Дѣленіе нужно продолжатъ до тѣхъ поръ, пока ни получимъ въ послѣднемъ частномъ 1.

D) Данное число равно произведенію всѣхъ простыхъ множителей.

Примѣръ. Разложимъ число 84 на первоначальныхъ производителей.

Общій наибольшій дѣлитель и наименьшее кратное число.

§ 22. Общій наибольшій дѣлитель. Число 2 одновременно дѣлитъ нацѣло числа 216 и 180. Число 2 будетъ общимъ дѣлителемъ двухъ чиселъ 216 и 180.

Общій дѣлитель. То число, которое одновременно дѣлитъ нацѣло два или нѣсколько чиселъ, называется ихъ общимъ дѣлителемъ.

Кромѣ общаго дѣлителя 2 числа 216 и 180 имѣютъ общими дѣлителями числа 3, 4, 9, 12, 18, 36, ибо оба числа 216 и 180 дѣлятся нацѣло на всѣ эти числа. Наибольшій изъ этихъ дѣлителей есть 36.

Общій наибольшій дѣлитель. Наибольшій изъ общихъ дѣлителей двухъ или нѣсколькихъ чиселъ называется общимъ наибольшимъ дѣлителемъ.

Число 36 будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ 180 и 216.

Общими дѣлителями трехъ чиселъ 12, 18 и 30 будутъ числа 2, 3, 6. Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ трехъ чиселъ 12, 18 и 30 будетъ число 6.

Существуютъ два способа находить общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ: 1 ) способъ разложенія чиселъ на первоначальныхъ множителей и 2) способъ послѣдовательнаго дѣленія.

А) Способъ разложенія на первоначальныхъ множителей. Раскладывая два числа 216 и 180 на первоначальныхъ производителей

имѣемъ:

Составивъ произведеніе изъ всѣхъ простыхъ множителей, общихъ этимъ двумъ числамъ, имѣемъ число

2.2.3.3=36.

Это число и будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ двухъ чиселъ 216 и 180.

Въ случаѣ трехъ или нѣсколькихъ чиселъ, ихъ также разлагаютъ на первоначальныхъ множителей. Такъ, взявъ три числа 12, 18, 30 и разложивъ на первоначальныхъ множителей

получаемъ:

Составляя произведеніе всѣхъ общихъ простыхъ множителей, имѣемъ число

2x3 = 6

которое и будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ трехъ чиселъ 12, 18 и 30.

Мы видимъ, что при составленіи общаго наибольшаго дѣлителя нужно каждаго простаго множителя брать производителемъ наименьшее число разъ, встрѣчающееся въ разложеніяхъ данныхъ чиселъ на первоначальныхъ множителей, или въ меньшей степени. Отсюда выводимъ

Первое правило. Чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ или нѣсколькихъ чиселъ, нужно ихъ разложить на первоначальныхъ производителей и за, тѣмъ выписать всѣхъ простыхъ множителей, общихъ разложеніямъ данныхъ чиселъ. Для этого каждое простое число нужно выписывать производителемъ наименьшее число разъ, встрѣчающееся въ данныхъ разложеніяхъ или въ наименьшей степени. За тѣмъ всѣхъ этихъ множителей нужно перемножить.

§ 23. В) Способъ послѣдовательнаго дѣленія. Найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ 889 и 161.

а) Общій наибольшій дѣлитель двухъ чиселъ 889 и 161 не можетъ быть болѣе 161. Убѣдимся, не будетъ ли такимъ дѣлителемъ меньшее число 161. Для этого дѣлимъ 889 на 161.

889 не дѣлится нацѣло на 161, слѣд. 161 не есть общій наибольшій дѣлитель. Дѣлимое равно произ-

веденію дѣлителя на цѣлое частное, сложенному съ остаткомъ.

889 = 161.5 + 84

b) Всякій дѣлитель, общій 889 и 161, долженъ дѣлить первый остатокъ 84, ибо, раздѣляя нацѣло числа 161 и 161.5 + 84, онъ непремѣнно долженъ дѣлить нацѣло число 84.

Общій наибольшій дѣлитель 889 и 161 долженъ быть также общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ 161 и 84. Онъ не можетъ быть болѣе 84. Удостовѣримся, не равенъ ли онъ 84. Для этого дѣлимъ меньшее число 161 на первый остатокъ 84.

161 не дѣлится нацѣло на 84, слѣд. 84 не есть общій наибольшій дѣлитель и

с) Всякій дѣлитель, общій числамъ 161 и 84, долженъ дѣлить и 2-й остатокъ 77. Общій наибольшій дѣлитель чиселъ 161 и 84 долженъ быть общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ 84 и 77. Онъ не можетъ быть болѣе 77. Удостовѣримся, не равенъ ли онъ 77. Дѣлимъ первый остатокъ 84 на второй 77.

Число 77 не дѣлитъ нацѣло 84, слѣд. 77 не есть общій наибольшій дѣлитель и

d) Всякій дѣлитель, общій 84 и 77, долженъ быть

7. Общій наибольшій дѣлитель 84 и 77

долженъ быть общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ 77 и 7. Онъ не можетъ быть болѣе 7. Удостовѣримся, не равенъ ли онъ 7. Дѣлимъ 2-й остатокъ 77 на третій 7.

77 дѣлится нацѣло на 7, слѣд. число 7 и будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ данныхъ чиселъ 889 и 161.

Ходъ вычисленія обыкновенно выражаютъ письменно:

Иногда также вычисленіе выражаютъ письмено:

При такомъ расположеніи вычисленія помѣщаютъ частныя сверху, и послѣдовательныя дѣленія выполняютъ, помѣщая дѣлителей рядомъ.

Примѣръ. Найти общаго наибольшаго дѣлителя чиселъ 72 и 25.

Здѣсь послѣдній остатокъ равенъ 1, слѣд. числа 72 и 25 не имѣютъ общаго наибольшаго дѣлителя.

Изъ предложенныхъ примѣровъ выводимъ

Второе правило. Чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ, нужно большее число раздѣлитъ на меньшее, меньшее на первый остатокъ, первый на второй, второй на третій и т. д. послѣдовательно продолжать дѣленіе до тѣхъ поръ, пока, не получится въ остаткѣ 0 или 1. Если получится въ остаткѣ нуль, послѣдній дѣлитель будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ; если же получится въ остаткѣ единица, данныя числа не имѣютъ общаго наибольшаго дѣлителя.

Чтобы найти общаго наибольшаго дѣлителя трехъ чиселъ, отыскиваютъ его сначала для двухъ чиселъ; затѣмъ отыскиваютъ общаго наибольшаго дѣлителя между третьимъ числомъ и найденнымъ наибольшимъ дѣлителемъ двухъ чиселъ. Найденное число и будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ всѣхъ трехъ чиселъ.

Дѣйствительно, общій наибольшій дѣлитель трехъ чиселъ не можетъ быть болѣе общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ и слѣд. при отысканіи общаго наибольшаго дѣлителя трехъ чиселъ, можно вмѣсто двухъ чиселъ разсматривать ихъ общаго наибольшаго дѣлителя.

Подобнымъ образомъ поступаютъ и въ томъ случаѣ, когда чиселъ болѣе трехъ.

Числа взаимно-простыя. Два числа, не имѣющія никакихъ общихъ дѣлителей кромѣ единицы, называются числами взаимно-простыми.

Числа 15 и 8 суть числа взаимно-простыя.

§ 24. Наименьшее кратное число. Число 9, имѣющее своимъ дѣлителемъ число 3, называется числомъ кратнымъ 3.

Число 24 дѣлится нацѣло на 6 и 4. Число 24 есть число кратное двухъ чиселъ 6 и 4. Число 30 дѣлится на числа 5, 6, 15, 30. Число 30 есть число кратное 4-хъ чиселъ: 5, 6, 15 и 30.

Кратное число. Кратнымъ числомъ нѣсколькихъ данныхъ чиселъ называется такое число, которое дѣлится нацѣло на всѣ эти числа.

Кромѣ 24, числа кратнаго числамъ 6 и 4, существуетъ безчисленное множество другихъ кратныхъ чиселъ 6 и 4. Числа 12, 24, 36, 48, 60 всѣ будутъ числами кратными 6 и 4. Наименьшее изъ всѣхъ этихъ кратныхъ чиселъ есть число 12. Число 12 есть наименьшее кратное чиселъ 4 и 6.

Наименьшее кратное число. Наименьшимъ кратнымъ нѣсколькихъ данныхъ чиселъ называется самое меньшее изъ тѣхъ чиселъ, которыя дѣлятся на всѣ данныя числа.

Чтобы найти наименьшее кратное чиселъ 18, 30, 24, мы разлагаемъ ихъ на первоначальныхъ производителей.

Разложенія эти дадутъ:

Чтобы составить наименьшее кратное число, нужно взять произведеніе всѣхъ различныхъ простыхъ множителей, входящихъ въ эти разложенія. Такимъ образомъ въ искомое произведеніе, выражающее наименьшее кратное число, должны входить множители 2, 3, 5. Каждый изъ этихъ множителей долженъ входить производителемъ столько разъ, чтобы искомое произведеніе могло раздѣлиться нацѣло на каждое изъ данныхъ чиселъ. Такимъ образомъ множитель 2 долженъ входить производителемъ 3 раза, ибо онъ входитъ въ 24 въ третьей степени. Онъ не долженъ входить въ произведеніе менѣе трехъ разъ, ибо тогда кратное число не раздѣлилось бы на 24. Онъ не долженъ входить въ произведеніе болѣе трехъ разъ, потому что мы отыскиваемъ наименьшее кратное число. На томъ же основаніи множитель 3 долженъ входить 2 раза и множитель 5 одинъ разъ.

Наименьшее кратное число выразится произведеніемъ

2.2.2.3.3.5 = 360.

Мы видимъ, что, при составленіи наименьшаго кратнаго числа, нужно каждаго простаго множителя брать производителемъ наибольшее число разъ, встрѣчающееся въ разложеніяхъ данныхъ чиселъ, то есть брать его въ высшей степени.

Изъ предложеннаго примѣра выводимъ

Правило. Чтобы составить наименьшее кратное нѣсколькихъ ванныхъ чиселъ, нужно ихъ разложить на первоначальныхъ производителей, затѣмъ выписать всѣхъ

простыхъ множителей данныхъ разложеній въ высшихъ степеняхъ. Наименьшее кратное число равно произведенію всѣхъ этихъ множителей.

Примѣръ. Найти наименьшее кратное чиселъ 180, 225, 72 и 70. Разлагая ихъ на первоначальныхъ множителей

получ. наименьшее кратное=2.2.2.3.3.5.5.7 = 12600.

Если данныя числа взаимно простыя, наименьшее кратное равно прямо ихъ произведенію, ибо, слѣдуя общему пріему составленія наименьшаго кратнаго, мы должны ввести для его образованія всѣхъ наличныхъ дѣлителей, входящихъ въ данныя числа.

Такъ, составляя наименьшее кратное взаимно простыхъ чиселъ 9, 10 и 7, имѣемъ:

и наименьшее кратное этихъ чиселъ=2.3.3.5.7== 9.10.7 = 630.

§ 25. Дополнительный дѣлитель. Частное, происходящее отъ раздѣленія кратнаго на данное число, будетъ дополнительнымъ дѣлителемъ даннаго числа до кратнаго.

Такъ, раздѣляя 360 на 18, 30, 24, получаемъ въ частномъ 20, 12, 15. Числа 20, 12, 15 суть дополнительные дѣлители чиселъ 18, 30, 24 до ихъ наименьшаго кратнаго числа 360, ибо

Чтобы найти дополнительнаго дѣлителя до кратнаго числа, нужно въ разложеніи кратнаго числа исключить только множителей, принадлежащихъ данному числу, и перемножить остальныхъ.

Такъ:

Отмѣтивъ въ разложеніи 360 звѣздочками простыхъ множителей числа 18 и перемноживъ остальныхъ, находимъ дополнительнаго дѣлителя 2.2.5=20.

III. Измѣненіе вида дробей.

СОКРАЩЕНІЕ ДРОБЕЙ.

§ 26. Величина дроби не измѣняется, если мы числителя и знаменателя одновременно умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же цѣлое число.

Увеличивая или уменьшая члены дроби, мы только выражаемъ дробь большими или меньшими числами.

Опредѣленіе. Сократить дробь значитъ представить дробь меньшими числами, не измѣняя ея величины. Сокращеніе есть приведеніе дробей въ простѣйшій видъ.

Сокращеніе дробей основано на свойствѣ дробей не измѣнять своей величины, если числителя и знаменателя одновременно раздѣлимъ на одно и то же цѣлое число.

Чтобы сократить дробь, нужно числителя и знаменателя дроби раздѣлить на ихъ общаго дѣлителя.

Имѣя дробь мы замѣчаемъ, что числитель и знаменатель имѣютъ общаго дѣлителя 2. Раздѣляя ихъ одновременно на 2, мы сокращаемъ дробь на

2. Дробь 4 послѣ сокращенія на 2 обратится въ

дробь 25. Дробь 4 выражена числами вдвое меньшими данныхъ. Эту дробь можно опять сократить на 3, ибо числитель и знаменатель имѣютъ общаго дѣлителя 3. Раздѣливъ на 3 числителя и знаменателя дроби -*?, мы находимъ равную ей дробь А, выраженную еще меньшими числами.

Самое вычисленіе изображаютъ письменно:

Здѣсь дѣлителя, на котораго сокращаютъ дробь, помѣщаютъ сверху, отдѣляя его скобкой.

Дробь А выражена числами 5 и 8 взаимно-простыми. Ее уже нельзя сократить.

Несократимая дробь. Дробь, выраженная взаимно - простыми числами, называется несократимою дробью.

При сокращеніи дробей стараются привести данную дробь къ несократимой. Чтобы привести данную дробь къ несократимой, или а) послѣдовательно сокращаютъ дробь до тѣхъ поръ, пока это возможно, или b) раздѣляютъ сразу ея числителя и знаменателя на такое число, чтобы полученныя частныя были взаимно-простыми числами.

Такое число есть ихъ общій наибольшій дѣлитель.

Чтобы привести данную дробь къ несократимой, нужно числителя и знаменателя раздѣлить на ихъ общаго наибольшаго дѣлителя.

Послѣдовательное сокращеніе прилагаютъ къ дробямъ съ малыми числителями и знаменателями. Общаго наибольшаго дѣлителя отыскиваютъ въ тѣхъ случаяхъ, когда члены дроби выражены очень боль-

шими числами, или когда не замѣчаютъ сразу общихъ дѣлителей.

Примѣръ. Сократить дробь

Отыскиваемъ общаго наибольшаго дѣлителя чиселъ 847 и 363.

Общій наибольшій дѣлитель чиселъ 847 и 363 есть число 121. Сокративъ дробь на 121, находимъ

Приведеніе дробей къ одному знаменателю.

§ 27. Легко сравнить нѣсколько дробей, имѣющихъ одинаковыхъ числителей и знаменателей. Если же дроби имѣютъ разныхъ числителей и знаменателей, прямое сравненіе ихъ представляетъ нѣкоторыя затрудненія. Въ этомъ случаѣ, не измѣняя величины дробей, приводятъ ихъ къ такому виду, чтобы у нихъ знаменатели были одинаковы, то-есть выражаютъ данныя дроби въ одинаковыхъ доляхъ единицы.

Опредѣленіе. Дѣйствіе, посредствомъ котораго выражаютъ дроби въ одинаковыхъ доляхъ единицы, называется приведеніемъ дробей къ одному знаменателю.

Приведеніе дробей къ одному знаменателю основано на свойствѣ дробей не измѣняться, если числителя и знаменателя дроби умножимъ на одно и то же число. Чтобы привести дроби къ одному знаменателю, нужно числителя и знаменателя каждой

дроби умножить на такое число, чтобы знаменатели всѣхъ данныхъ дробей были одинаковы. При этомъ стараются, чтобы общимъ знаменателемъ было наименьшее число, поэтому, когда говорятъ о приведеніи дробей къ одному знаменателю, всегда подразумѣваетъ, что этотъ знаменатель есть наименьшій.

Если найдемъ наименьшее кратное число всѣмъ даннымъ знаменателямъ и дополнительнаго дѣлителя для каждаго знаменателя, тогда произведеніе каждаго знаменателя на своего дополнительнаго дѣлителя дастъ наименьшее кратное число. Отсюда вытекаетъ

Общее правило приведенія дробей къ одному знаменателю. Чтобы привести дроби къ одному знаменателю, нужно найти наименьшее кратное число всѣмъ знаменателямъ и потомъ умножить числителя и знаменателя каждой дроби на своею дополнительнаго знаменателя.

§ 28. Это общее правило въ различныхъ частныхъ случаяхъ получаетъ различное выраженіе.

При приведеніи дробей къ одному знаменателю встрѣчаются три случая:

1. Когда знаменатели числа взаимно простыя.

2. Когда знаменатели имѣютъ обгцихъ дѣлителей.

3. Когда одинъ изъ знаменателей есть число кратное остальнымъ.

Первый случай. Знаменатели числа взаимно-простыя.

Привести къ одному знаменателю дроби А, т» у которыхъ знаменатели 7, 15, 8 суть числа взаимно-простыя, очень легко.

Въ этомъ случаѣ наименьшее кратное число равно произведенію всѣхъ знаменателей

7 X 15 X 8.

Дополнительный дѣлитель для каждаго знаменателя состоитъ изъ произведенія всѣхъ остальныхъ знаменателей. Умножая числителя и знаменателя каждой дроби на произведенія всѣхъ остальныхъ знаменателей, мы имѣемъ

Эти дроби удовлетворяютъ неравенствамъ:

Изъ предложеннаго примѣра выводимъ

Правило. Чтобы привести къ одному знаменателю дроби, у которыхъ знаменатели числа взаимно-простыя, нужно для составленія общаго знаменателя перемножить всѣхъ знаменателей, а числителя каждой дроби помножить на всѣхъ знаменателей, кромѣ своего.

Это правило прилагаютъ и въ тѣхъ случаяхъ, когда въ знаменателяхъ не замѣчаютъ общихъ дѣлителей.

Второй случай. Знаменатели имѣютъ общихъ дѣлителей.

Если знаменатели 8, 12, 20 дробей

имѣютъ общихъ дѣлителей, нужно найти наименьшее кратное этимъ знаменателямъ. Разлагая зна-

менателей на первоначальныхъ производителей, имѣемъ

откуда наименьшее кратное =2. 2.2. 3.5 = 120 Дополнительные дѣлители будутъ

для знаменателя 8 число 15, ибо 8Х 15 = 120

для знаменателя 12 число 10, ибо 12 X 10 = 120

для знаменателя 20 число 6, ибо 20 X 6 = 120

Умножая числителя и знаменателя каждой дроби на дополнительнаго дѣлителя, имѣемъ

Самое вычисленіе располагаютъ письменно:

Изъ предложеннаго примѣра выводимъ

Правило. Чтобы привести дроби къ одному знаменателю, когда ихъ знаменатели имѣютъ общихъ дѣлителей, нужно найти наименьшее кратное всѣмъ знаменателямъ и сдѣлать его общимъ знаменателемъ, числителя же каждой дроби нужно помножать на дѣлителя дополнительнаго своему знаменателю.

Третій случай. Одинъ изъ знаменателей есть число кратное остальнымъ.

Въ рядѣ дробей

наибольшій знаменатель 36 есть число кратное остальнымъ. Въ этомъ случаѣ дѣлаютъ 36 общимъ знаменателемъ и числителя каждой дроби умножаютъ на своего дополнительнаго дѣлителя.

Дѣлитель дополнительный знаменателю 6 есть 6, ибо 6.6 = 36.

Дѣлитель дополнительный знаменателю 9 есть 4, ибо 9.4 = 36.

Дѣлитель дополнительный знаменателю 4 есть 9, ибо 4.9 = 36.

Ходъ вычисленія выражаютъ письменно:

Отсюда выводимъ

Правило. Чтобы привести дроби къ одному знаменателю въ томъ случаѣ, когда одинъ изъ знаменателей есть число кратное остальнымъ, дѣлаютъ его общимъ знаменателемъ, а числителей остальныхъ дробей умножаютъ на дополнительныхъ дѣлителей.

§ 29. Приведеніе дробей къ одному числителю.

Приведеніе дробей къ одному числителю совершается по тѣмъ же правиламъ, какъ и приведеніе дробей къ одному знаменателю.

Чтобы привести дроби къ одному числителю нужно найти наименьшее кратное число всѣмъ числителямъ, поставить его общимъ числителемъ и затѣмъ знаменателя каждой дроби помножать на дѣлителя дополнительнаго своему числителю.

Примѣръ. Привести къ одному числителю дроби

Вычисленіе располагаютъ письменно:

По приведеніи къ одному числителю получаемъ дроби:

IV. Основныя дѣйствія съ дробями.

Сложеніе дробей.

§ 30. При сложеніи дробей бываютъ три случая:

1. Сложеніе дробей съ одинакими знаменателями.

2. Сложеніе дробей съ разными знаменателями.

3. Сложеніе смѣшанныхъ чиселъ.

I. Сложеніе дробей съ одинакими знаменателями.

Складывая дроби съ одинакими знаменателяи А, 2., 2-, А, мы пишемъ эти дроби рядомъ, соединяя ихъ знакомъ +

Во всѣхъ этихъ дробяхъ доли одинаковы. Въ суммѣ должно быть столько долей, сколько ихъ находится во всѣхъ слагаемыхъ, взятыхъ вмѣстѣ. Складывая числителей, находимъ, что въ суммѣ содержится Сложеніе выразится письменно:

Правило. Чтобы сложить дроби съ одинакими знаменателями, нужно сложить числителей и подписать того же знаменателя.

II. Сложеніе дробей съ разными знаменателями. Чтобы сложить дроби съ разными знаменателями 4,4’4, нужно сначала привести ихъ къ одному знаменателю и потомъ складывать.

Сложеніе выразится письменно'.

Правило. Чтобы сложить дроби съ разными знаменателями, нужно привести дроби къ одному знаменателю, сложить числителей и подписать общаго знаменателя.

III. Сложеніе смѣшанныхъ чиселъ. При сложеніи смѣшанныхъ чиселъ, складываютъ отдѣльно цѣлыя числа съ цѣлыми, а дроби съ дробями.

Примѣръ. Складывая числа 24,54,4’ изображаютъ сложеніе письменно:

словесно:

Складывая цѣлыя числа, получимъ 7; складывая дроби, получимъ неправильную дробь 4г- Исключая цѣлое число изъ неправильной дроби и присоединяя цѣлое число къ 7, получимъ въ результатѣ 8^-

Вычитаніе дробей.

§ 31. При вычитаніи дробей бываютъ три случая:

1. Вычитаніе дробей съ одинакими знаменателями.

2. Вычитаніе дробей съ разными знаменателями.

3. Вычитаніе смѣшанныхъ чиселъ.

I. Вычитаніе дробей съ одинакими знаменателями.

Вычитая изъ 4 дробь 4, мы изображаемъ дѣйствіе

письменно:

Правило. Чтобы вычесть дроби съ одинакими знаменателями, нужно числителей вычесть и подписать того же знаменателя.

II. Вычитаніе дробей съ разными знаменателями. Вычитая 4 изъ 4, выражаютъ ходъ вычисленія письменно:

Правило. Чтобы вычесть дроби съ разными знаменателями, нужно привести ихъ къ одному знаменателю, вычесть однихъ числителей и подъ разностію подписать общаго знаменателя.

III. Вычитаніе смѣшанныхъ чиселъ. Чтобы изъ 5 4 вычесть 2 4, вычитаемъ цѣлое число изъ цѣлаго, а дробь изъ дроби. Вычитаніе изображаютъ письменно:

Иногда дробь вычитаемаго болѣе дроби уменьшаемаго. Такъ, въ примѣрѣ

дробь вычитаемаго ~ болѣе дроби уменьшаемаго Въ этомъ случаѣ занимаютъ единицу у цѣлаго

числа, обращаютъ ее въ тридцатыя доли, прикладываютъ къ дроби уменьшаемаго и вычитаютъ. Въ единицѣ Да 4т составитъ 4т- Вычитая 4т ’ получимъ въ остаткѣ 2А. Въ этомъ случаѣ цѣлое число уменьшаемаго считаютъ на единицу менѣе.

Вычитаніе изобразится письменно:

Если въ уменьшаемомъ нѣтъ вовсе дроби, занимаютъ единицу у уменьшаемаго, обращаютъ ее въ доли дроби вычитаемой и производятъ вычитаніе по общему правилу.

Отсюда выводимъ

Правило. Чтобы сдѣлать вычитаніе смѣшанныхъ чиселъ, вычитаютъ отдѣльно цѣлое изъ цѣлаго, а дробь изъ дроби. Если дробь вычитаемаго болѣе дроби уменьшаемаго, или въ уменьшаемомъ нѣтъ вовсе дробей, занимаютъ у уменьшаемаго единицу, обращаютъ ее въ доли дроби вычитаемаго и дѣлаютъ такимъ образомъ вычитаніе возможнымъ.

Умноженіе дробей.

§ 38. При умноженіи дробей бываютъ 4 случая:

1. Умноженіе дроби, на цѣлое число.

2. Умноженіе цѣлаго числа на дробь.

3. Умноженіе дроби на дробь.

4. Умноженіе смѣшанныхъ чиселъ.

I. Умноженіе дроби на цѣлое число.

Выводъ правила. Умножить 4 на 5 значитъ увеличить дробь въ 5 разъ, поэтому при умноженіи дроби на цѣлое число нужно поступать такъ, какъ мы поступаемъ при увеличеніи дробей

Правило. Чтобы умножить дробь на цѣлое число нужно или числителя умножить, или, если можно, знаменателя раздѣлить.

Умноженіе изображаютъ письменно'.

II. Умноженіе цѣлаго числа на дробь.

Выводъ правила. Умножимъ 4 на 4- Отбросивъ знаменателя у множителя и умноживъ 4 на 3, мы получаемъ произведеніе 4x3 = 12. Это произведеніе болѣе настоящаго въ 7 разъ, ибо, отбрасывая знаменателя, мы множителя, а слѣд. и произведеніе, увеличили въ 7 разъ. Чтобы получить истинное произведеніе, нужно произведеніе 4X3 уменьшить въ 7 разъ, то есть раздѣлить на 7.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Правило. Чтобы умножить цѣлое число на дробь, нужно цѣлое число умножить на числителя и полученное произведеніе раздѣлить на знаменателя.

Другой выводъ правила. Умножить 4 на 4 значитъ изъ 4 составить произведеніе такъ, какъ дробь составлена изъ единицы. Для составленія 4 мы дѣлимъ единицу на 7 частей и беремъ такихъ частей 3, слѣд., 4 нужно раздѣлить на 7 и умножить на 3, то есть

Это правило показываетъ, что умножить цѣлое число на дробь значитъ взять отъ цѣлаго число столько

частей, сколько ихъ содержится во множителѣ и такихъ, какія имъ выражаются.

III. Умноженіе дроби на дробь.

Выводъ правила. Чтобы умножить 4 на 4, пишемъ

Отбросивъ знаменателя у множителя и умножая 4 на 2, получаемъ произведеніе 4- Это произведеніе болѣе настоящаго въ 7 разъ, ибо, отбрасывая знаменателя, мы множетеля, а слѣд. и произведеніе увеличили въ 7 разъ. Чтобы получить истинное произведеніе, нужно произведеніе 4 уменьшить въ 7 разъ. Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Правило. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно произведеніе числителей раздѣлить на произведеніе знаменателей.

Другой выводъ правила. Умножить 4 на4 значитъ изъ 4 составить произведеніе такъ, какъ 4 составлены изъ единицы. Для составленія 4 мы дѣлимъ единицу на 7 частей и беремъ такихъ частей 2, слѣд. 4 нужно уменьшить въ 7 разъ и умножить на 2.

Умножить 4 на 4 значитъ взять 4 части числа 4-

Умножить дробь на дробь значитъ взять отъ данной дроби столько частей, сколько ихъ во множителѣ и такихъ, какія имъ выражаются.

IV. Умноженіе смѣшанныхъ чиселъ.

а) Умноженіе смѣшаннаго числа на цѣлое. Умножая 2~ на 3, мы смѣшанное число обращаемъ въ неправильную дробь.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

При умноженіи смѣшаннаго числа на цѣлое можно цѣлое число и дробь умножать отдѣльно:

b) Умноженіе цѣлаго числа на смѣшанное

При уможеніи цѣлаго числа на смѣшанное, можно на цѣлое число и на дробь умножать отдѣльно

с) Умноженіе смѣшаннаго числа на смѣшанное.

Изъ предложенныхъ примѣровъ выводимъ

Правило. При умноженіи смѣшанныхъ чиселъ нужно ихъ обращать въ неправильную дробь и потомъ поступать по общимъ правиламъ умноженія дробей.

При умноженіи дробей сохраняется основное свойство произведенія не измѣнять своей величины отъ перемѣны порядка производителей.

Умножить данное число на дробь, значитъ взять одну или нѣсколько частей даннаго числа. Отсюда легко видѣть, почему число уменьшается при умноженіи на правильную дробь.

Дѣленіе дробей.

§ 33. При дѣленіи дробей бываютъ 4 случая:

1. Дѣленіе дроби на цѣлое число,

2. Дѣленіе цѣлаго числа на дробь,

3. Дѣленіе дроби на дробь,

4. Дѣленіе смѣшанныхъ чиселъ.

I. Дѣленіе дроби на цѣлое число.

Выводъ правила. Раздѣлить 4 на 4 значитъ уменьшить дробь въ 4 раза, поэтому нужно поступать такъ, какъ поступаютъ при уменьшеніи дробей.

Правило. Чтобы раздѣлить дробь на цѣлое число, нужно или знаменателя умножить или, если можно, числителя раздѣлитъ на это число

II. Дѣленіе цѣлаго числа на дробь.

Выводъ правила. Раздѣлить 3 на 4- Отбросивъ знаменателя у дѣлителя и раздѣливъ 3 на 2, получаемъ 4- Это частное менѣе настоящаго, ибо, увеличивъ дѣлителя, мы частное уменьшили въ 7 разъ. Чтобы получить настоящее частное, нужно 4 увеличить въ 7 разъ.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Правило. Чтобы раздѣлить цѣлое число на дробь, нужно цѣлое число умножить на знаменателя и произведеніе раздѣлить на числителя.

Это правило показываетъ, что раздѣлить цѣлое число на дробь все равно, что по данной части числа найти все число.

Другой выводъ правила. Приведя цѣлое число въ доли дроби дѣлителя, имѣемъ:

Частное не измѣняется, если мы дѣлимое и дѣлителя увеличимъ въ одно и то же число разъ. Отбрасывая знаменателя у дѣлимаго и дѣлителя, мы одновременно увеличиваемъ ихъ въ 7 разъ, слѣд.

III. Дѣленіе дроби на дробь.

Выводъ правила. Раздѣлить -А на ±. Отбросивъ знаменателя у дѣлителя и раздѣливъ -А на 4, получаемъ Это частное менѣе настоящаго, ибо, отбрасывая знаменателя, мы увеличили дѣлителя, а слѣд. уменьшили частное въ 9 разъ. Чтобы получить настоящее частное, нужно увеличить въ 9 разъ. Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Правило. Чтобы раздѣлить дробь на дробь, нужно числителя первой дроби умножить на знаменателя второй и это произведеніе сдѣлать числителемъ, а числителя второй на знаменателя первой и это произведеніе сдѣлать знаменателемъ.

Другой выводъ правила. Чтобы раздѣлить -А на приведемъ дроби къ одному знаменателю и потомъ отбросимъ знаменателей. Отбрасывая знаменателей, мы дѣлимое и дѣлителя увеличиваемъ въ одно и то же число разъ. Частное отъ этого не измѣняется. Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Чтобы раздѣлить на дробь, нужно умножить на знаменателя и раздѣлить на числителя, слѣд. раздѣлить дробь на дробь значитъ по данной части найти все число.

IV. Дѣленіе смѣшанныхъ чиселъ. При дѣленіи смѣшанныхъ чиселъ приводимъ смѣшанныя числа въ неправильныя дроби.

а) Дѣленіе смѣшаннаго числа на цѣлое.

b) Дѣленіе цѣлаго числа на смѣшанное.

с) Дѣленіе смѣшаннаго числа на смѣшанное.

Изъ предложенныхъ примѣровъ выводимъ

Правило. Если при дѣленіи дробей будутъ входить смѣшанныя числа, нужно ихъ обратить въ неправильныя дроби и потомъ поступать по общимъ правиламъ дѣленія дробей.

V. Дробныя именованныя числа.

§ 34. Раздробленіе. Чтобы раздробить дробное именованное число, нужно послѣдовательно крупныя мѣры обращать въ слѣдующія мелкія, умножая для этого каждый разъ на знаменательное число.

1. Чтобы раздробить простое дробное именованное число 4 пуда въ золотники

а) Обращаемъ пуды въ фунты-, для этого умножаемъ на 40.

b) Обращаемъ фунты въ золотники-.

2. Раздробляя составное дробное именованное число

а) Обращаемъ годы въ мѣсяцы:

Прикладывая 5 мѣсяцевъ, имѣемъ:

b) Обращаемъ мѣсяцы въ дни:

Прикладывая ~ дня, имѣемъ

с) Обращаемъ дни въ часы:

При раздробленіи простыхъ или составныхъ дробныхъ именованныхъ чиселъ поступаютъ по тѣмъ же правиламъ, какъ при раздробленіи цѣлыхъ именованныхъ чиселъ.

§ 35. Превращеніе. Чтобы превратитъ дробкое именованное число, нужно послѣдовательно мелкія мѣры обращать въ слѣдующія крупныя, раздѣляя для этого каждый разъ на знаменательное число.

Чтобы превратить 2-2 золотника въ пуды

а) Обращаемъ золотники въ фунты; для этого дѣлимъ на 96

b) Обращаемъ фунты въ пуды, для этого дѣлимъ на 40

§ 36. Обращеніе простаго дробнаго именованнаго числа въ составное и обратно.

А) При помощи раздробленія легко обратитъ простое дробное именованное число въ составное. Для этого нужно только каждый разъ исключать цѣлое число.

Чтобы обратить А берковца въ составное именованное число

а) обращаемъ берковцы въ пуды:

Оставляемъ 7 пуд. безъ перемѣны и

b) обращаемъ А пуда въ фунты'.

Оставляемъ 5 ф. безъ перемѣны и

с) обращаемъ А ф. въ золотники:

При обращеніи простаго дробнаго именованнаго числа въ составное въ дробной формѣ выражаютъ только одно наименьшее наименованіе.

В) При помощи превращенія можно обратить составное дробное именованное число въ простое высшаго наименованія.

Такъ, превращая 5 час. 6 м. 11 сек. въ сутки,

а) Обращаемъ секунды въ минуты:

Прикладывая 6 мин. имѣемъ 64- мин.

b) Обращая минуты въ часы, имѣемъ:

Прикладывая 5 час. получаемъ 544 час.

с) Обращаемъ часы въ сутки:

Четыре дѣйствія съ дробными именованными числами.

§ 37. Дѣйствія надъ дробными именованными числами производятъ двоякимъ образомъ:

a) или, приводя всѣ именованныя числа къ одному и тому же наименованію, поступаютъ съ ними какъ съ простыми дробями, или,

b) обращая всѣ данныя въ составныя именованныя числа, поступаютъ съ ними точно также, какъ поступали при дѣйствіяхъ съ цѣлыми именованными числами.

Сложеніе дробныхъ именованныхъ чиселъ. Найти сумму

Обращая 4 пуд. и '^4 фунта въ составныя именованные числа, находимъ:

Складывая всѣ эти составныя именованныя числа, имѣемъ:

Вычитаніе дробныхъ именованныхъ чиселъ. Изъ 5 сут. 8 час. 14 мин. вычесть 3 сут. 9 ч. 24 мин. Вычисленіе изображаютъ письменно:

словесно:

а) Вычитаемъ минуты; 24 нельзя вычесть изъ І4, занимаемъ у часовъ одинъ часъ и присоединяемъ 60 минутъ къ 14 минутамъ.

b) Вычитаемъ часы. Занимаемъ одни сутки и прикладываемъ къ 7

с) Вычитаемъ сутки. 4 — 3 = 1 сутки.

§ 38. Умноженіе и дѣленіе дробныхъ именованныхъ чиселъ. При умноженіи и дѣленіи дробныхъ именованныхъ чиселъ на цѣлое число поступаютъ по тѣмъ

правиламъ, какія были изложены при умноженіи и дѣленіи цѣлыхъ именованныхъ чиселъ.

Примѣръ умноженія. Умножимъ 6 п. 2 ф. 11-2 зол. на 9.

Вычисленіе изображаемъ письменно:

словесно:

а) Умножаемъ золотники:

Обращаемъ золотники въ Фунты; для этого дѣлимъ на знаменательное число 96

Остатокъ 5-2 зол. подписываемъ подъ золотниками, а частное присоединяемъ къ слѣдующему произведенію.

b) Умножаемъ фунты:

2 ф. X 9 = 18 ф. да 1 ф. составитъ 19 ф. Подписываемъ подъ Фунтами 19.

с ) Умножаемъ пуды :

Подписываемъ подъ пудами 54.

Искомое произведеніе будетъ 54 п. 19 ф. 5-2 зол.

Примѣръ дѣленія. Раздѣлить 3 вер. 17 саж. 5-2 вершка на 5.

Раздѣляя

имѣемъ

Умноженіе и дѣленіе дробныхъ именованныхъ чиселъ на дробныя числа приводится къ тому случаю, когда множитель или дѣлитель суть числа цѣлыя.

Такъ, чтобы умножить дробное именованное число на 4-, нужно его сначала умножить на 3, а потомъ раздѣлить на 5; чтобы раздѣлить дробное именованное число на 4-, нужно его сначала умножить на 7, а потомъ раздѣлить на 4.

Примѣръ: Раздѣлить

Умножая

имѣемъ:

Раздѣляя полученное произведеніе на 4, имѣемъ:

При дѣленіи дробнаго именованнаго числа на именованное приводятъ дѣлимое и дѣлителя къ одному наименованію и дѣлятъ какъ отвлеченныя числа.

VI. Десятичныя дроби.

§ 39. Опредѣленіе. Десятичными называются дроби, имѣющія своимъ знаменателемъ числа 10, 100, 1000 и вообще единицу съ однимъ или нѣсколькими нулями.

Дроби 4, 44, будутъ дробями десятичными.

Дроби называется десятичными, потому что знаменатели этихъ дробей 10, 100, 1000 и т. д., могутъ быть составлены простымъ перемноженіемъ числа 10 самого на себя.

слѣд. всѣ десятичныя дроби имѣютъ своими знаменателями число 10 въ различныхъ степеняхъ.

Счисленіе десятичныхъ дробей. Знаменатели десятичныхъ дробей имѣютъ опредѣленный видъ, потому при счисленіи десятичныхъ дробей обыкновенно изображаютъ однихъ числителей, а знаменателей подразумѣваютъ.

При счисленіи десятичныхъ дробей принимаютъ въ соображеніе то обстоятельство, что десятая доля въ десять разъ менѣе единицы, сотая доля въ десять разъ менѣе десятой и т. д. Это даетъ возможность для изображенія десятичныхъ дробей примѣнить тѣ же правила, какія прилагаются для изображенія цѣлыхъ чиселъ.

Въ десятичной системѣ счисленія, при перемѣщеніи отъ правой руки къ лѣвой, цифра получаетъ значеніе въ десять разъ больше предыдущаго, и обратно, при перемѣщеніи отъ лѣвой руки къ правой, значеніе каждой цифры уменьшается въ десять разъ. Десятичную систему счисленія примѣняютъ къ изображенію десятичныхъ дробей. Для этого, отдѣляя запятою цѣлыя числа, изображаютъ вправо отъ единицъ на первомъ мѣстѣ десятыя, на второмъ сотыя, на третьемъ тысячныя доли и т. д.

На основаніи этого замѣчанія рядъ цифръ

выговариваютъ словесно:

3 цѣлыя единицы или 3 цѣлыхъ, 5 десятыхъ, одна сотая, 2 тысячныхъ и 7 десятитысячныхъ, или

Если вовсе нѣтъ цѣлыхъ единицъ, пишутъ, вмѣсто цѣлыхъ 0 и отдѣляютъ его запятою ошъ десятичной дроби.

Такъ 0,027 выговариваютъ словесно:

0 цѣлыхъ, двѣ сотыхъ, 7 тысячныхъ или

Десятичные знаки. Цифры, стоящія послѣ запятой, называются десятичными знаками. Дробь содержитъ столько десятичныхъ знаковъ, сколько содержится цифръ иослѣ запятой.

Изъ предложенныхъ примѣровъ вытекаетъ

Правило. Чтобы произнести десятичную дробь, нужно выговаривать до запятой цѣлыя числа и затѣмъ выговаривать десятичные знаки съ соотвѣтствующими знаменателями.

Десятичную дробь 0,5127 можно выговаривать нѣсколько иначе.

Такъ, въ равенствѣ

приводя вторую часть къ одному знаменателю, имѣемъ:

Изъ этого примѣра видно, что число послѣ запятой выражаетъ числителя такой десятичной дроби,

у которой знаменателемъ является число, состоящее изъ единицы со столькими нулями, сколько находится десятичныхъ знаковъ. Отсюда выводимъ

Правило выговариванія десятичныхъ дробей. Чтобы произнести десятичную дробь, сначала выговариваютъ цѣлое число, затѣмъ выговариваютъ десятичную дробь, причемъ числителемъ десятичной дроби будетъ число послѣ запятой, а знаменателемъ единица со столькими нулями, сколько находится десятичныхъ знаковъ послѣ запятой.

Слѣдуя этому правилу, выговариваютъ десятичныя дроби

§ 40. На тѣхъ же самыхъ соображеніяхъ основываются правила изображенія десятичныхъ дробей. Чтобы изобразить десятичную дробь 5^ пишутъ сначала цѣлое число 5, отдѣляютъ его запятой и потомъ пишутъ десятичную дробь. Въ данной дроби должно быть 3 десятичныхъ знака. Такъ какъ въ числителѣ тоже 3 знака, то данная десятичная дробь изобразится письменно:

Чтобы изобразить дробь -4L , пишутъ вмѣсто цѣлыхъ чиселъ нуль, отдѣляютъ его запятою и потомъ замѣчаютъ, что десятичная дробь должна состоять изъ 4-хъ десятичныхъ знаковъ, ибо въ знаменателѣ 4 нуля. Такъ какъ числитель состоитъ только изъ двухъ цифръ, то вмѣсто двухъ недостающихъ цифръ пишутъ тотчасъ послѣ запятой два нуля. Дробь 4öö изобразится письменно:

Изъ предложенныхъ примѣровъ вытекаетъ

Правило изображенія десятичныхъ дробей. А) Чтобы изобразить десятичную дробь безъ знаменателя, нужно прежде всего написать цѣлое число, отдѣлить его запятою и потомъ написать числителя.

В) Если цѣлаго числа нѣтъ, пишутъ вмѣсто него нуль и отдѣляютъ его запятою.

С) При изображеніи десятичной дроби нужно всегда имѣть въ виду, что послѣ запятой должно быть столько десятичныхъ знаковъ, сколько нулей въ знаменателѣ.

D) Недостающіе знаки въ числителѣ замѣняютъ нулями, написанными тотчасъ послѣ запятой.

Изображать десятичную дробь безъ знаменателя предложилъ Отредъ въ XVII столѣтіи.

Измѣненіе вида и величина десятичныхъ дробей.

§ 41. Сохраненіе величины десятичной дроби.

а) Десятичная дробь не измѣняетъ своей величины, если мы припишемъ справа одинъ или нѣсколько нулей.

Это происходитъ отъ того, что, если при этомъ числитель десятичной дроби увеличится въ 10,100, 1000 и т. д. разъ, знаменатель точно также увеличится въ то же самое число разъ.

Такъ, 2,37 = 2,370 = 2,3700

Дѣйствительно

Точно также

b) Десятичная дробь не измѣняется, если слѣва мы припишемъ нѣсколько нулей, ибо нули, приписанные слѣва, вовсе не имѣютъ никаго вліянія на дробь.

На томъ же основаніи с) десятичная дробь не измѣняется, если мы справа отбросимъ одинъ или нѣсколько нулей.

0,2700 = 0,270 = 0,27

§ 42. Увеличеніе десятичныхъ дробей въ 10, 100, 1000 и вообще на единицу съ нулями. Чтобы увеличить десятичную дробь въ 10 разъ, нужно десятыя доли обратить въ единицы, сотыя въ десятыя, тысячныя въ сотыя и т. д., то есть нужно повысить порядокъ всѣхъ десятичныхъ знаковъ на единицу. Этого достигаютъ, перенося запятую вправо на одинъ знакъ. Чтобы увеличить десятичную дробь въ 100 разъ, переносятъ запятую вправо на 2 знака и т. д.

Правило увеличиванія десятичныхъ дробей. А) Чтобы увеличить десятичную дробь въ 10, 100, 1000 разъ и вообще на единицу съ нулями, нужно перенести запятую вправо чрезъ одинъ, два, три и вообще черезъ столько десятичныхъ знаковъ, сколько нулей во множителѣ.

В) Если десятичныхъ знаковъ менѣе числа нулей во множителѣ, ихъ дополняютъ нулями справа.

Изъ предложеннаго правила объясняется, почему, отбрасывая запятую, мы увеличиваемъ дробь во столько разъ, сколько единицъ въ знаменателѣ.

§ 43. Уменьшеніе десятичныхъ дробей въ 10, 100, 1000 разъ и вообще на единицу съ нулями. Чтобы уменьшить десятичную дробь въ 10 разъ, нужно единицы обратить въ десятыя доли, десятыя въ со

тыя и т. д.,то есть понизить порядокъ всѣхъ десятичныхъ знаковъ на единицу. Этого достигаютъ, перенося запятую влѣво на одинъ десятичный знакъ. Чтобы уменьшить во 100 разъ переносятъ запятую влѣво на 2 знака и т. д. Такъ,

Изъ предложенныхъ примѣровъ выводимъ

Правило уменьшенія десятичныхъ дробей.

A) Чтобы уменьшить десятичную дробь въ 10, 100, 1000 разъ и т. д., нужно перенести запятую влѣво на одинъ, два, три и вообще на столько знаковъ, сколько содержится нулей въ дѣлителѣ.

B) Если въ цѣломъ числѣ цифръ менѣе числа нулей дѣлителя, приписываютъ слѣва столько нулей, сколько нужно для того, чтобы возможно было сдѣлать перенесеніе запятой на требуемое число цифръ.

Примѣръ. Уменьшить 2,021 въ 1000 разъ.

§ 44. Приведеніе десятичныхъ дробей къ одному знаменателю. Десятичныя дроби имѣютъ тогда одинаковыхъ знаменателей, когда онѣ состоятъ изъ одинаковаго числа десятичныхъ знаковъ. Десятичная дробь не измѣняется, если мы справа припишемъ одинъ или нѣсколько нулей. Изъ этихъ свойствъ десятичныхъ дробей вытекаетъ

Правило приведенія десятичныхъ дробей къ одному знаменателю. Чтобы привести десятичныя дроби къ одному знаменателю, нужно съ правой стороны уравнять число десятичныхъ знаковъ нулями.

Дроби 0,1 ; 2,03 ; 3,007 ; 0,00267, приведенныя къ одному знаменателю, даютъ:

0,10000 ; 2,03000 ; 3,00700 ; 0,00267.

Основныя дѣйствія съ десятичными дробями.

Сложеніе и вычитаніе десятичныхъ дробей.

§ 45. Правило сложенія и вычитанія десятичныхъ дробей. Чтобы сдѣлать сложеніе или вычитаніе десятичныхъ дробей, нужно привести дроби къ одному знаменателю, подписать ихъ одну подъ другой такъ, чтобы десятичные знаки одинаковыхъ порядковъ находились въ одномъ вертикальномъ столбцѣ, и за тѣмъ складывать или вычитать какъ цѣлыя числа. Въ суммѣ отдѣляютъ для десятичныхъ знаковъ столько цифръ, сколько ихъ было въ слагаемыхъ.

Примѣръ сложенія. Найти сумму десятичныхъ дробей

Послѣ приведенія къ одному знаменателю, ходъ вычисленія выражаютъ письменно:

При сложеніи иногда вовсе не приводятъ къ одному знаменателю, а ограничиваются только тѣмъ, что десятичные знаки одинаковыхъ порядковъ подписываютъ въ одномъ вертикальномъ столбцѣ и складываютъ ихъ вмѣстѣ.

Въ данномъ примѣрѣ Сложеніе выразится письменно:

Примѣръ вычитанія. Найти разность

Послѣ приведенія къ одному знаменателю вычитаніе выразится письменно:

Примѣръ. Найти разность 4—2,071.

Умноженіе десятичныхъ дробей.

§ 46. Выводъ правила. Чтобы умножить 2,3 на 0,15 отбрасываемъ запятыя во множимомъ и во множителѣ и находимъ произведеніе 23 X 15 = 345. Отбросивъ запятыя, мы множимое увеличиваемъ въ 10, а множителя во 100 разъ. Произведеніе отъ этого увеличится въ 10X100 = 1000 разъ. Произведеніе болѣе истиннаго въ 1000 разъ; чтобы получить истинное произведеніе, нужно 345 уменьшить въ 1000 разъ. Сдѣлавъ это, имѣемъ:

3,2 X 0,15 =0,345.

Отсюда выводимъ

Правило умноженія десятичныхъ дробей. Чтобы умножить десятичныя дроби, нужно отбросить запятыя въ обоихъ производителяхъ и помножатъ

ихъ какъ цѣлыя числа. Въ полученномъ произведеніи отъ правой руки къ лѣвой, нужно отдѣлить запятою столько десятичныхъ знаковъ, сколько ихъ находится во множимомъ и во множителѣ.

Другой выводъ правила. Умножить десятичныя дроби 0,23 на 0,002 все равно, что умножить простыя дроби 4? на Ï(L. Умножая ихъ, находимъ

При умноженіи получается дробь, у которой знаменателемъ будетъ единица со столькими нулями, сколько содержится десятичныхъ знаковъ во множимомъ и во множителѣ, а числитель дроби составленъ изъ произведенія такихъ цѣлыхъ чиселъ, которыя получатся, когда мы отбросимъ запятыя.

Примѣръ. 1) Найти произведеніе 2,026 X 0,0201

Отбросивъ запятыя и перемноживъ цѣлыя числа, имѣемъ:

Отдѣляя въ произведеніи 7 десятичныхъ знаковъ имѣемъ:

Умноженіе десятичныхъ дробей на десятую, сотую, тысячную долю и т. д. Умножить число на 0,1 значитъ взять десятую часть числа. Взять десятую долю значитъ уменьшить число въ 10 разъ. Для

этого нужно перенести запятую влѣво на одинъ знакъ. Чтобы умножить на 0,01, нужно перенести запятую влѣво на 2 знака и т. д. Отсюда

Правило. Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, сотую, 0,001 и т. д. нужно запятую перенести влѣво черезъ одинъ, два, три десятичныхъ знака и т. д.

Примѣръ. Умножить 2,021 на 0,01

2,021 X 0,01 = 0,02021.

Дѣленіе десятичныхъ дробей.

§ 47. Чтобы раздѣлить десятичную дробь 3,24 на десятичную дробь 0,00036 мы приводимъ ихъ къ одному знаменателю. Сдѣлавъ это, имѣемъ:

3,24000 : 0,00036

Отбросивъ знаменателей, мы дѣлимое и дѣлителя увеличиваемъ въ одно и то же число разъ. Частное отъ этого не измѣняется, слѣд.

3,24 : 0,00036=3,24000 : 0,00036=324000 : 36=90000.

Примѣръ. Найти частное 0,4 : 0,124. Приводя къ одному знаменателю, имѣемъ:

Изъ предложенныхъ примѣровъ выводимъ

Правило дѣленія десятичныхъ дробей. Чтобы сдѣлать дѣленіе десятичныхъ дробей, нужно дѣлимое и дѣлителя привести къ одному знаменателю, отбросить запятыя и потомъ дѣлить какъ цѣлыя числа.

Въ томъ случаѣ, когда дѣлителемъ будетъ цѣлое число, можно дѣленіе производить прямо, не приводя къ одному знаменателю.

Такъ, раздѣляя 3,2512 на 8, изображаютъ дѣленіе словесно:

б) Отыскиваемъ цѣлыя частнаго. 8 не содержится въ 3, слѣд., въ частномъ цѣлыхъ нѣтъ; пишемъ на мѣстѣ цѣлыхъ 0 и отдѣляемъ его запятою.

b) Отыскиваемъ десятыя частнаго. Въ дѣлимомъ находится 32 десятыхъ доли; 8 въ 32 содержится 4 раза; пишемъ въ частномъ на мѣстѣ десятыхъ 4.

Вычитая произведеніе дѣлителя на частное, получаемъ въ остаткѣ нуль.

Сносимъ слѣдующую цифру дѣлимаго 5.

c) Отыскиваемъ сотыя частнаго. 8 въ 5 не содержится; пишемъ въ частномъ на мѣстѣ сотыхъ 0. Сносимъ слѣдующую цифру дѣлимаго 1.

d) Отыскиваемъ тысячныя частнаго. 8 въ 51 содержится 6 разъ; пишемъ въ частномъ 6. Вычитая произведеніе 48 дѣлителя на новую цифру частнаго, получаемъ въ остаткѣ 3. Сносимъ слѣдующую цифру дѣлимаго 2.

e) Отыскиваемъ 4-й десятичный знакъ частнаго. 8 въ 32 содержится 4 раза; пишемъ въ частномъ 4.

Такимъ образомъ послѣ дѣленія получаемъ въ остаткѣ 0 и въ частномъ 0,4064.

Правило. Чтобы раздѣлить десятичную дробь на цѣлое число, нужно послѣдовательно отыскивать цѣлое

число и десятичные знаки частнаго, поступая при этомъ точно также, кокъ мы поступаемъ при дѣленіи цѣлыхъ чиселъ.

Дѣленіе десятичныхъ дробей на десятую, сотую, тысячную и т. д.

Раздѣлить на десятую все равно, что увеличить дѣлимое въ 10 разъ. Для этого нужно перенести запятую вправо на одинъ знакъ. Чтобы раздѣлить на 0,01 нужно перенести запятую вправо на 2 десятичныхъ знака и т. д. Отсюда

Правило. Чтобы раздѣлитъ десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и т. д., нужно запятую перенести вправо черезъ одинъ, два, три десятичныхъ знака и т. д.

Примѣръ. Раздѣлить 4,0213 на 0,001. Производя дѣленіе, имѣемъ 4,0213 : 0,001=4021,3.

Обращеніе десятичныхъ дробей въ простыя и простыхъ въ десятичныя.

§ 48. Обращеніе десятичныхъ дробей въ простыя.

Чтобы обратить десятичную дробь въ простую, нужно только подписать подразумѣваемаго знаменателя и потомъ, если можно, сдѣлать сокращеніе.

На этомъ основаніи имѣемъ:

§ 49. Обращеніе простыхъ дробей въ десятичныя.

Положимъ, намъ нужно обратить простую дробь -4

въ десятичную. При обращеніи простыхъ дробей въ десятичныя, мы ходъ вычисленія выражаемъ словесно.

Дробь 4 есть частное, происходящее отъ дѣленія 7 на 8.

a) Отыскиваемъ цѣлыя частнаго. Для этого дѣлимъ 7 на 8; 8 въ 7 не содержится, слѣд. въ частномъ мы не имѣемъ цѣлаго числа. Пишемъ въ частномъ вмѣсто цѣлаго числа нуль и отдѣляемъ его запятою.

b) Отыскиваемъ десятыя доли частнаго. Для этого обращаемъ 7 въ десятыя доли. Въ единицѣ 10 десятыхъ, слѣд. въ 7 единицахъ находится 70 десятыхъ. Раздѣляя 70 на 8, находимъ въ частномъ 8 десятыхъ. Пишемъ въ частномъ послѣ запятой 8. Вычитая произведеніе 64 изъ 70, получаемъ въ остаткѣ 6 десятыхъ.

c) Отыскиваемъ сотыя доли частнаго. Обращая 6 десятыхъ въ сотыя доли, находимъ 60 сотыхъ. Раздѣляя 60 на 8, получаемъ въ частномъ 7 и въ остаткѣ 4 (сотыхъ).

d) Отыскиваемъ тысячныя доли частнаго. Обращая 4 сотыхъ въ тысячныя, получаемъ 40 тысячныхъ;

8 въ 40 содержится 5 разъ. Умножая 8 на 5 и вычитая, получаемъ въ остаткѣ 0.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Въ результатѣ имѣемъ

Изъ предложенаго примѣра выводимъ

Правило обращенія простыхъ дробей въ десятичныя. А) Чтобы обратить простую дробь съ десятичную, нужно числителя раздѣлить на знаменателя и полученное цѣлое число отдѣлить запятою. Если дробь правильная, пишутъ въ частномъ на мѣстѣ цѣлыхъ нуль и отдѣляютъ его запятою.

B) Полученный остатокъ обращаютъ въ десятыя доли, умножая на 10, дѣлятъ на знаменателя и получаютъ десятыя доли частнаго. Остатокъ снова умножаютъ на десять, раздѣляютъ на знаменателя и получаютъ сотыя доли частнаго. Продолжая поступать подобнымъ образомъ, получаютъ всѣ десятичные знаки, частнаго.

C) Всякій разъ, когда дѣлитель болѣе дѣлимаго, пишутъ въ частномъ нуль.

50. Точныя и неточныя десятичныя дроби. Обращая простую дробь А въ десятичную

мы получили въ послѣднемъ остаткѣ нуль.

Здѣсь дѣленіе могло быть окончено и простая дробь А обратилась въ точную десятичную

Обращая простую дробь 2- въ десятичную

мы постоянно получаемъ въ остаткѣ 7 и въ частномъ 7. Дѣленіе никогда не можетъ быть окончено и слѣд. нѣтъ такой десятичной дроби, которая бы въ точности выражала данную простую.

Простая дробь 2. болѣе десятичныхъ дробей 0,7; 0,77; 0,777 и менѣе десятичныхъ дробей 0,8; 0,78; 0,778 и т. д.

Чтобы означить, что простая дробь 2. не обращается въ точную десятичную, въ равенствѣ

ставятъ за десятичными знаками рядъ точекъ. Этотъ рядъ точекъ показываетъ, что обращеніе не можетъ бытъ кончено и что за данными слѣдуютъ другіе десятичные знаки.

Изъ предложенныхъ примѣровъ заключаемъ:

При, обращеніи простыхъ дробей въ десятичныя встрѣчаются два случая: а) когда, простая дробь можетъ быть точно выражена и b) когда она не можетъ бытъ точно выражена десятичною дробью. Въ первомъ случаѣ говорятъ: простая дробь обращается въ точную десятичную дробь; во второмъ: простая дробь обращается въ неточную десятичную дробь.

Если простая дробь не обращается въ точную десятичную, ее обращаютъ въ десятичную точно до какихъ-нибудь долей. Простую дробь обращаютъ въ десятичную точно до десятыхъ, сотыхъ, тысячныхъ долей и т. д.

Обратить простую дробь точно до десятыхъ, сотыхъ долей и т. д., значитъ найти такую десятичную дробь, которая отличалась бы отъ данной простой менѣе чѣмъ на одну десятую, сотую, тысячную долю и т. д.

Чтобы найти такую десятичную дробь, нужно самое обращеніе остановить на первомъ, второмъ, третьемъ десятичномъ знакѣ и т. д.

При этомъ данная простая дробь по своей величинѣ заключается между двумя десятичными дробями, одной больше, другой меньше данной.

Въ нашемъ примѣрѣ десятичная дробь 0,7 выражаетъ простую дробь А точно до 0,1.

Дробь 0,77 выражаетъ дробь 4 точно до 0,01.

Дроби 0,7; 0,77 менѣе 4-

Дроби 0,8; 0,78 также выражаютъ дробь 4 точно до А, ïoô съ тѣмъ различіемъ, что онѣ болѣе данной простой дроби 4-

Приближенныя дроби. Дроби, выражающія данную дробь приближенно, называются приближенными дробями. Отношеніе данной дроби къ приближеннымъ выражается неравенствами:

Иногда имѣютъ въ виду обратить простую дробь въ десятичную точно только до какихъ-нибудь долей, причемъ напередъ опредѣляютъ желаемую точность.

Правило. Чтобы обратить простую дробь въ десятичную точно до десятыхъ, сотыхъ, тысячныхъ долей

и т. д., сразу умножаютъ числителя на 10, 100, 1000 и т. д. и дѣлятъ на знаменателя. Частное показываетъ, сколько десятыхъ, сотыхъ и тысячныхъ долей и т. д. содержится въ донной дроби.

Такъ, чтобы обратить дробь А въ десятичную точно до 0,0001, умножаютъ числителя на 10000, раздѣляютъ на 7 и въ частномъ отдѣляютъ справа запятою 4 десятичныхъ знака.

Ходъ вычисленія изображается письменно:

слѣд., А = 0,2857 точно до 0,0001.

Прежде чѣмъ обращать простую дробь въ десятичную, ее обыкновенно сокращаютъ, или приводятъ къ дроби несократимой.

§ 51. Очень легко опредѣлить, когда простая несократимая дробь обращается въ точную и когда въ неточную десятичную.

Обращая простую дробь въ десятичную, мы умножаемъ числителя на 10, 100, 1000 и т. д. и раздѣляемъ на знаменателя. При этомъ въ частномъ можетъ получаться цѣлое число только тогда, когда знаменатель имѣетъ тѣхъ же простыхъ дѣлителей, какихъ имѣютъ числа 10, 100, 1000 и т. д. Числа

10, 100, 1000 имѣютъ простыми дѣлителями только множителей 2 и 5 въ различныхъ степеняхъ.

Такъ

Слѣд., простая дробь обратится въ точную десятичную только тогда, когда въ составъ ея знаменателя входятъ только первоначальные множители 2 и 5. Если же кромѣ множителей 2 и 5 въ составъ знаменателя дроби входятъ еще другіе первоначальные множители, какъ, напр., 3, 7, 11, простая- дробь обращается въ неточную десятичную.

Такимъ образомъ дроби -1, 2., 4, обратятся въ точныя десятичныя, ибо изъ разложеній знаменателей на первоначальныхъ множителей

видно, что въ составъ знаменателей входятъ только множители 2 и 5.

Дроби же 2-, 2- обратятся въ неточныя десятичныя, ибо изъ разложеній

видно, что въ составъ знаменателей кромѣ 2 и 5 входятъ еще множители 3 и 7.

§ 52. Число цифръ точной десятичной дроби. Разлагая знаменателей на первоначальныхъ множите-

лей, мы можемъ опредѣлить, изъ сколькихъ цифръ состоитъ точная десятичная дробь. Для этого мы должны разсмотрѣть, который изъ множителей 2 или 5 чаще повторяется въ разложеніи.

Число цифръ десятичной дроби равно степени того изъ множителей 2 или 5, который чаще встрѣчается въ разложеніи.

Разлагая знаменателей на первоначальныхъ множителей, мы видимъ, что въ дроби А высшая степень 3 принадлежитъ множителю 2, въ дроби высшая степень 2 принадлежитъ множителю 5, и въ дроби 4ö высшая степень 4 принадлежитъ множителю 2, поэтому дробь 4 состоитъ изъ 3 цифръ, 4 изъ 2-хъ цифръ и -А; изъ 4-хъ ци®ръ.

Періодическія дроби.

§ 53. Точная десятичная дробь состоитъ изъ конечнаго числа десятичныхъ знаковъ и называется также конечною.

Дробь 4 не обращается въ конечную десятичную дробь, ибо при дѣленіи всегда получается остатокъ. Дѣленіе никогда не можетъ быть окончено. Неточная десятичная дробь называется безконечною.

Обращая А въ десятичную дробь

имѣемъ:

Въ этомъ равенствѣ десятичную дробь сопровождаютъ точками. Эти точки означаютъ, что за написанными должны слѣдовать другіе десятичные знаки.

Разсматривая безконечную десятичную дробь, мы замѣчаемъ, что послѣ нѣкотораго времени цифры частнаго начинаютъ повторяться въ томъ же порядкѣ, въ какомъ онѣ уже входили. Это обстоятельство объясняется очень просто. Съ одной стороны остатокъ менѣе дѣлителя, съ другой число частныхъ дѣленій безгранично, слѣд., когда нибудь необходимо долженъ повториться какой нибудь остатокъ.

Вмѣстѣ съ остаткомъ станутъ повторяться въ томъ же порядкѣ и цифры частнаго.

На этомъ основаніи безконечныя десятичныя дроби называютъ періодическими.

Опредѣленіе. Періодическими называются такія десятичныя дроби, въ которыхъ однѣ и тѣ же цифры повторяются въ одномъ и томъ же порядкѣ безконечное число разъ.

Періодическія дроби происходятъ отъ обращенія простыхъ дробей въ десятичныя.

Періодъ. Рядъ цифръ періодической дроби, повторяющійся въ одномъ и томъ же неизмѣнномъ порядкѣ, называется періодомъ.

§ 54. Раздѣленіе періодическихъ дробей. Обращая простыя дроби въ десятичныя, мы находимъ

Всѣ эти дроби періодическія. Дробь 2- имѣетъ періодъ 7, состоящій изъ одной цифры и начинающійся съ перваго десятичнаго знака.

Дробь 2_ имѣетъ періодъ 5, состоящій тоже изъ одной цифры и начинающійся со втораго десятичнаго знака.

Дробь А имѣетъ періодъ 076923, состоящій изъ 6 цифръ и начинающійся съ перваго десятичнаго знака.

Дробь 2L имѣетъ періодъ 17, состоящій изъ двухъ цифръ и начинающійся съ 3-го десятичнаго знака.

Иногда въ періодическихъ дробяхъ указываютъ періодъ тѣмъ, что заключаютъ его въ скобкахъ. Вышеприведенныя дроби иногда изображаютъ письменно:

Чистыя и смѣшанныя періодическія дроби. Періодическія дроби раздѣляются на чистыя и смѣшанныя. Чистыми называются такія періодическія дроби, у которыхъ періодъ начинается тотчасъ послѣ запятой. Смѣшанными называются такія періодическія дроби, у которыхъ періодъ начинается не тотчасъ послѣ запятой

Такъ, дроби

чистыя періодическія дроби.

смѣшанныя періодическія дроби

Простая дробь обращается въ чистую періодическую всякій разъ, когда въ разложеніи ея знаменателя вовсе не входятъ множители 2 и 5; она обращается въ смѣшанную періодическую, когда эти множители входятъ въ знаменателя отдѣльно или вмѣстѣ. Число цифръ до періода, или число цифръ неперіодической части смѣшанной дроби равно степени того изъ множителей 2 или 5, который чаще встрѣчается въ разложеніи.

Такимъ образомъ дроби А, А обратятся въ чистыя періодическія дроби, ибо ихъ знаменатели

не содержатъ въ разложеніи множителей 2 и 5. Дроби -А, А обратятся въ смѣшанныя періодическія, ибо ихъ знаменатели

содержатъ въ разложеніи множителей 2 и 5.

Періодъ дроби JL начинается съ 3-й, а дроби со второй цифры послѣ запятой.

Дѣйствительно

§ 55. Обращеніе періодическихъ дробей въ простыя. При обращеніи періодическихъ дробей въ простыя встрѣчаются два случая:

a) Когда періодическая дробь чистая,

b) Когда она смѣшанная.

Обращеніе чистыхъ періодическихъ дробей въ простыя основано на томъ простомъ замѣчаніи, что простыя дроби А, А, А и т. д. обращаются въ такія періодическія дроби, съ которыми можно легко сравнить всѣ остальныя чистыя періодическія дроби.

Дѣйствительно, обращая дроби 2-, 2-, ± въ періодическія

находимъ:

Періодъ дроби 2. состоитъ изъ одной цифры 1.

Періодъ дроби 2- состоитъ изъ двухъ цифръ 01.

Періодъ дроби 2- состоитъ изъ трехъ цифръ 001.

Періодъ дроби 4 состоитъ изъ четырехъ цифръ 0001 и т. д.

Всякую другую чистую періодическую дробь можно сравнить съ одной изъ предыдущихъ. Такъ, взявъ чистую періодическую дробь 0,(23)23 и раздѣляя ее на цѣлое число, равное періоду, находимъ

Дѣлимое равно дѣлителю умноженному на частное

Чистая періодическая дробь 0,(23)23.. равна такой простой, у которой числителемъ служитъ періодъ 23, а знаменателемъ 99, то есть число 9, повторенное столько разъ, сколько въ періодѣ цифръ. Отсюда выводимъ

Правило. Чтобы обратить чистую періодическую дробь въ простую, нужно числителемъ поставить періодъ, а знаменателемъ цифру 9, повторенную столько разъ, сколько въ періодѣ цифръ.

На этомъ основаніи имѣемъ:

Другой выводъ. Величину чистой періодической дроби можно еще опредѣлить на основаніи слѣдующихъ соображеній. Означимъ черезъ х величину періодической дроби 0,(025)025... съ періодомъ 025.

# = 0,(025)025...

Перенося запятую до втораго періода черезъ три знака, мы увеличиваемъ десятичную дробь въ 1000 разъ и слѣд. будемъ имѣть 1000# = 25,(025)025 ..

Подписавъ одно равенство подъ другимъ и вычитая нижнее изъ верхняго, имѣемъ:

то есть вышеприведенное правило.

Обращеніе смѣшанныхъ періодическихъ дробей въ простыя. Если въ смѣшанной періоди-

ческой дроби 0,2(4)44... перенесемъ запятую до перваго періода, получимъ чистую періодическую дробь 2,(4)44... Эта чистая періодическая дробь равна 24 и болѣе данной въ 10 разъ, ибо перенесеніемъ запятой, мы увеличили данную дробь вдесятеро. Чтобы получить истинную величину смѣшанной періодической дроби, нужно дробь 24 уменьшить въ 10 разъ.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Правило. Чтобы, обратить смѣшанную періодическую дробь въ простую, нужно запятую перенести до перваго періода, обратить полученную чистую періодическую дробь въ простую и затѣмъ уменьшить результатъ во столько разъ, во сколько мы увеличили дробь перенесеніемъ запятой.

Подобнымъ образомъ, обращая смѣшанную періодическую дробь 2,00(13)13 ... въ простую, имѣемъ:

Примѣчаніе. Чтобы опредѣлить число цифръ періода для дроби, имѣющей своимъ знаменателемъ простое число, нужно изъ этого простаго числа вычесть единицу. Число цифръ періода равно одному изъ дѣлителей этой разности. Полное рѣшеніе этого вопроса зависитъ отъ теоріи указателей или индикаторовъ.

Ариѳметическія дѣйствія съ простыми и десятичными дробями, входящими совокупно.

§ 56. Если при вычисленіяхъ входятъ вмѣстѣ простыя и десятичныя дроби, поступаютъ двоякимъ образомъ:

a) или всѣ десятичныя дроби обращаютъ въ простыя, или

b) всѣ простыя дроби обращаютъ въ десятичныя.

Если при этомъ встрѣтятся неточныя десятичныя дроби, ограничиваются извѣстнымъ числомъ десятичныхъ знаковъ, смотря по той точности, которую желаютъ получитъ въ результатѣ.

Примѣръ 1. Найти величину ариѳметическаго выраженія

Обращая все въ десятичныя дроби, имѣемъ:

Примѣръ 2. Найти величину ариѳметическаго выраженія

Обращая все въ простыя дроби, имѣемъ:

Можно бы всѣ дроби обратить въ десятичныя и ограничиться приближеннымъ результатомъ. Сдѣлавъ это, имѣемъ:

результатъ, отличающійся отъ истиннаго на нѣкоторую величину.

Совокупность пріемовъ, которыми пользуются при приближенныхъ вычисленіяхъ, составляетъ предметъ десятичныхъ приближеній.

См. Десятичныя приближенія. Приб. § 91.

Въ прямой связи съ десятичными дробями находится метрическая система мѣръ.

См. Метрическая система мѣръ. Приб. § 96.

VII. Непрерывныя дроби.

§ 57. Происхожденіе непрерывныхъ дробей. Правильная дробь 4, У которой числитель 5 и знаменатель 17 суть числа взаимно простыя, не можетъ быть сокращена. Такую дробь приводятъ иногда къ

новому виду, раздѣляя ея числителя и знаменателя на числителя. Сдѣлавъ это, получаемъ дробь, числителемъ которой будетъ 1, а знаменателемъ смѣшанное число. Дробь А приметъ видъ

Выразить дробь такимъ образомъ, чтобы у нея числителемъ была единица, а знаменателемъ смѣшанное число, значитъ привести числителя дроби къ единицѣ.

Съ дробью знаменателя А поступаютъ такимъ же образомъ. Приводя числителя дроби А къ единицѣ, получимъ:

Замѣняя А ея новымъ выраженіемъ, мы можемъ изобразить А въ видѣ:

Послѣднее выраженіе называется непрерывною или цѣпною дробью, ибо такое расположеніе простыхъ дробей называется цѣпью.

Опредѣленіе. Непрерывною или цѣпною называется такая дробь, которая выражается помощію цѣпи дробей, числители которыхъ приведены къ единицѣ.

Дробь А выражается помощію трехъ частныхъ дробей

Звено цѣпной дроби. Каждая изъ частныхъ дробей, входящихъ въ составъ непрерывной, называется звеномъ цѣпной дроби.

§ 58. Обращеніе непрерывныхъ дробей въ простыя. Обращеніе непрерывной дроби въ простую начинаютъ

обыкновенно съ послѣдняго звена, при чемъ продолжаютъ вычисленіе, послѣдовательно подвигаясь снизу вверхъ.

Чтобы вычислить величину непрерывной дроби

мы опредѣляемъ величину смѣшаннаго числа

Послѣдовательный ходъ вычисленія выразится письменно:

§ 59. Обращеніе простой дроби въ непрерывную. Чтобы обратить простую дробъ -4 въ непрерывную, раздѣляемъ ея числителя и знаменателя на числителя, то есть приводимъ числителя этой дроби къ единицѣ.

Раздѣливъ для этого большее число 29 на меньшее 17, получаемъ въ частномъ 1 и въ первомъ остаткѣ 12. Дробь -4 приметъ видъ

Затѣмъ числителя дроби -1? также приводимъ къ 1.

Раздѣливъ для этого меньшее число 17 на первый

остатокъ 12, получаемъ въ частномъ 1 и во вто ромъ остаткѣ 5.

Продолжая поступать такъ до конца, имѣемъ:

Откуда

Чтобы найти знаменателей всѣхъ звеньевъ, мы располагаемъ вычисленіе такъ, какъ его располагаютъ при нахожденіи общаго наибольшаго дѣлителя

Частныя 1, 1, 2, 2, 2 будутъ знаменателями звеньевъ непрерывной дроби. Отсюда выводимъ

Правило. А) Чтобы обратить простую дробь въ непрерывную, нужно послѣдовательно приводить числителей всѣхъ дробей къ единицѣ. Для этого нужно поступать также, какъ мы поступаемъ при нахожденіи общаго наибольшаго дѣлителя.

B) Частныя, получаемыя при этомъ, будутъ знаменателями всѣхъ простыхъ дробей, необходимыхъ для образованія непрерывной.

C) Если дана дробь неправильная, необходимо предварительно исключить цѣлое число.

§ 60. Подходящія дроби. Имѣя непрерывную дробь

мы можемъ найти цѣлый рядъ дробей, составляя ихъ изъ одного, двухъ, трехъ звеньевъ данной дроби.

Такія дроби будутъ

Опредѣленіе. Дроби, составленныя изъ нѣсколькихъ звеньевъ данной непрерывной, начиная съ перваго, называются подходящими дробями. Онѣ получаютъ такое названіе, потому что величина ихъ приближается или подходитъ къ величинѣ данной дроби.

Иногда необходимо выразить приближенную величину данной дроби съ цѣлію имѣть объ ней болѣе ясное понятіе. Въ этомъ случаѣ вычисляютъ различныя подходящія дроби. Вычисляя подходящія дроби въ данномъ примѣрѣ, мы находимъ, что первая подходящая дробь А

вторая подходящая дробь

третья подходящая дробь

четвертая подходящая дробь

Подходящая дробь приближенно выражаетъ данную дробь и называется иногда приближеніемъ къ данной дроби.

Первая подходящая дробь будетъ первымъ приближеніемъ къ дроби 4, вторая подходящая дробь 2-будетъ вторымъ приближеніемъ къ данной дроби и т. д.

Первая подходящая дробь 2- болѣе данной дроби, ибо, откинувъ остальныя звенья, мы тѣмъ самымъ уменьшили знаменателя.

Вторая подходящая дробь

менѣе данной

Третья подходящая дробь или третье приближеніе къ данной дроби будетъ

Величина подходящихъ дробей. Нечетныя подходящія дроби всегда болѣе, а четныя всегда менѣе данной правильной дроби.

Означимъ величину данной правильной дроби черезъ X. Данная дробь содержится между двумя смежными подходящими дробями, изъ которыхъ одна болѣе, а другая менѣе данной. Эта зависимость можетъ быть выражена неравенствами:

Желая выразить какую-нибудь несократимую дробь меньшими числами, разлагаютъ ее въ непрерывную и отыскиваютъ какую-нибудь подходящую дробь.

Разность двухъ подходящихъ дробей. Разность между двумя подходящими дробями всегда равна единицѣ, раздѣленной на произведеніе знаменателей подходящихъ дробей.

слѣд. погрѣшность, происходящая отъ замѣны данной дроби подходящею, менѣе единицы, раздѣленной на произведеніе знаменателей двухъ смежныхъ подходящихъ дробей.

Полное доказательство этого свойства можно найти въ алгебрѣ.

Непрерывныя дроби вошли въ науку въ половинѣ XVII столѣтія.

Примѣчаніе. Лордъ Брункеръ первый выразилъ непрерывною дробью отношеніе площади квадрата, описаннаго около круга къ площади круга.

VIII. Отношенія.

§ 61. Предварительныя опредѣленія. Можно сравнивать два числа 8 и 2 двумя способами:

a) можно опредѣлить, чѣмъ число 8 болѣе 2 и

b) можно опредѣлить, во сколько разъ число 8 болѣе 2.

Чтобы опредѣлить, чѣмъ число 8 болѣе 2, нужно вычесть 2 изъ 8, или найти разность двухъ чиселъ 8 и 2. Число 8 болѣе 2 шестью единицами.

Чтобы опредѣлить, во сколько разъ число 8 болѣе 2, нужно 8 раздѣлить на 2, или найти частное отъ дѣленія двухъ чиселъ 8 на 2. Число 8 болѣе 2 въ 4 раза.

Такимъ образомъ, сравнивая два числа 8 и 2 двумя различными способами, мы получаемъ два различныхъ вывода: 6 и 4.

Можно сравнивать два числа двумя способами:

a) Можно опредѣлять чѣмъ одно число больше другаго.

b) Можно опредѣлять, во сколько разъ одно число болѣе другаго.

Отношеніе. Выводъ, получаемый изъ сравненія двухъ чиселъ, называется отношеніемъ.

Отношенія бываютъ двухъ родовъ: разностное или ариѳметическое и кратное или геометрическое

Ариѳметическое отношеніе. Разностное или ариѳметическое отношеніе есть выводъ, показывающій чѣмъ одно число болѣе другаго.

Геометрическое отношеніе. Кратное или геометрическое отношеніе двухъ чиселъ есть выводъ, указывающій, во сколько разъ одно число болѣе другаго.

Разностное отношеніе двухъ чиселъ 8 и 2 при помощи знака вычитанія выражается письменно: 8-2 = 6

словесно:

8 болѣе 2 шестью.

Кратное отношеніе двухъ чиселъ 8 и 2 при помощи знака дѣленія выражается письменно:

8 : 2 = 4

словесно:

8 болѣе 2 вчетверо.

Ариѳметическое отношеніе.

§ 62. Разностное отношеніе

8 — 2 = 6

состоитъ изъ трехъ членовъ: 8, 2 и 6. Первый членъ называется предыдущимъ, второй послѣдующимъ, а выводъ, полученный изъ сравненія двухъ чиселъ, называется въ ариѳметическомъ отношеніи разностью отношенія.

Зависимость между членами ариѳметическихъ отношеній. Ариѳметическое отношеніе находится посредствомъ вычитанія, въ которомъ предыдущій членъ служитъ уменьшаемымъ, послѣдующій вычитаемымъ, а разность отношенія остаткомъ или разностію двухъ членовъ.

Между членами ариѳметическаго отношенія существуетъ такая же зависимость, какая существуетъ между данными и искомымъ вычитанія.

Въ отношеніи

8 — 2 = 6

1) Предыдущій членъ равенъ своему послѣдующему, сложенному съ разностію

ибо уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному съ разностію.

2) Послѣдующій членъ равенъ предыдущему безъ разности.

ибо вычитаемое равно уменьшаемому безъ разности.

Опредѣленіе неизвѣстнаго члена ариѳметическаго отношенія. На основаніи этой зависимости можно по двумъ даннымъ членамъ отношенія найти третій, если онъ неизвѣстенъ. Обыкновенно неизвѣстный членъ отношенія обозначаютъ буквою х и находятъ его по предыдущимъ правиламъ взаимной зависимости между членами отношенія.

Такъ, ариѳметическое отношеніе, въ которомъ послѣдующій членъ равенъ 7, разность 15, а предъидущій неизвѣстенъ, изображаютъ письменно:

а величина предыдущаго члена опредѣляется по равенству:

Точно также изъ отношенія

находимъ неизвѣстный послѣдующій членъ по равенству

§ 63. Измѣненіе разности ариѳметическаго отношенія. Въ ариѳметическомъ отношеніи разность измѣняется отъ измѣненія членовъ отношенія точно также, какъ измѣняется разность при вычитаніи отъ измѣненія уменьшаемаго и вычитаемаго.

a) Если предыдущій членъ ариѳметическаго отношенія увеличимъ или послѣдующій уменьшимъ какимъ-нибудь числомъ, разность увеличится тѣмъ же числомъ.

Такъ въ отношеніи

8-6 = 2,

увеличивая предыдущій членъ 3 единицами, получимъ отношеніе

11-6 = 5,

въ которомъ разность тоже увеличилась тремя единицами.

Уменьшая послѣдующій членъ 3 единицами, получаемъ отношеніе

8 — 3=5,

въ которомъ разность увеличилась 3 единицами.

b) Если предыдущій членъ уменьшимъ, или послѣдующій увеличимъ какимъ-нибудь числомъ, разность уменьшится тѣмъ же числомъ.

Такъ, въ отношеніи

8-6 = 2

уменьшая предыдущій членъ 8 на единицу, получаемъ отношеніе

7- 6 = 1,

въ которомъ разность тоже уменьшилась на единицу.

Увеличивая послѣдующій членъ 6 на 1, получаемъ отношеніе

8- 7 = 1,

въ которомъ разность уменьшилась на 1.

c) Во всякомъ ариѳметическомъ отношеніи разность не измѣняется, если оба члена отношенія увеличимъ, или уменьшимъ на одно и то же число.

Такъ, увеличивая на 3 единицы оба члена отношенія 8 — 6 = 2,

получаемъ отношеніе:

Уменьшая оба члена отношенія на 3 единицы, получаемъ отношеніе:

Въ этихъ обоихъ случаяхъ разность отношенія 2 сохраняетъ свою величину.

Геометрическое отношеніе.

§ 64. Чтобы получить геометрическое отношеніе двухъ чиселъ 6 и 2, нужно раздѣлить 6 на 2. Геометрическое отношеніе изображаютъ письменно:

Геометрическое отношеніе состоитъ изъ трехъ членовъ. Первый членъ называется предыдущимъ, второй послѣдующимъ, а третій знаменателемъ отношенія.

Зависимость между членами геометрическаго отношенія. Геометрическое отношеніе находится посредствомъ дѣленія, въ которомъ предыдущій членъ служитъ дѣлимымъ, послѣдующій дѣлителемъ, а знаменатель отношенія частнымъ.

Между членами геометрическаго отношенія существуетъ такая же зависимость, какая существуетъ между данными и искомымъ дѣленія.

Въ отношеніи

1) Предыдущій членъ равенъ своему послѣдующему, умноженному на знаменателя отношенія

ибо дѣлимое равно дѣлителю, умноженному на частное.

2) Послѣдующій членъ равенъ предыдущему, дѣленному на знаменателя отношенія 2 = 6:3, ибо дѣлитель равенъ дѣлимому, раздѣленному на частное.

Опредѣленіе неизвѣстнаго члена геометрическаго отношенія. На основаніи этой зависимости, можно по двумъ даннымъ членамъ отношенія найти третій, если онъ неизвѣстенъ.

Геометрическое отношеніе, въ которомъ послѣдующій членъ равенъ 7, знаменатель отношенія 5, а предыдущій членъ отношенія неизвѣстенъ, изображаютъ письменно:

ж : 7 = 5

и величина предыдущаго члена опредѣляется равенствомъ:

л: = 7 х 5 = 35

Точно также изъ отношенія

8 : х = 4 находимъ послѣдующій членъ по равенству

х -= 8 : 4 = 2

§ 65. Измѣненіе знаменателя отношенія. Знаменатель отношенія измѣняется съ измѣненіемъ членовъ геометрическаго отношенія точно также, какъ измѣняется частное при дѣленіи отъ измѣненія дѣлимаго и дѣлителя.

а) Если предыдущій членъ геометрическаго отношенія увеличимъ или послѣдующій уменьшимъ въ нѣсколько разъ, знаменатель отношенія увеличится въ то же самое число разъ.

Такъ, увеличивая втрое предыдущій членъ отношенія

6:3 = 2,

получимъ отношеніе

18 : 3 = 6,

въ которомъ знаменатель отношенія 6 увеличился тоже втрое.

b) Если предыдущій членъ геометрическаго отношенія уменьшимъ, или послѣдующій увеличимъ въ нѣсколько разъ, знаменатель отношенія уменьшится въ то же самое число разъ.

Такъ, въ отношеніи

6:3 = 2

уменьшая предыдущій членъ вдвое, получаемъ отношеніе

3:3 = 1,

въ которомъ знаменатель отношенія уменьшился вдвое.

Увеличивая послѣдующій членъ вдвое, получаемъ отношеніе

6:6 = 1,

въ которомъ знаменатель отношенія тоже уменьшился вдвое.

c) Во всякомъ геометрическомъ отношеніи знаменатель отношенія не измѣняется, если оба члена отношенія одновременно увеличимъ или уменьшимъ въ одно и то же число разъ.

Такъ, увеличивая втрое оба члена отношенія

6:3 = 2,

получаемъ отношеніе

Уменьшая оба члена отношенія втрое, получаемъ отношеніе

Въ этихъ обоихъ отношеніяхъ знаменатель отношенія 2 не измѣнилъ своей величины.

На основаніи послѣдняго свойства отношеніе между дробями можно замѣнить отношеніемъ между цѣлыми числами.

Дѣйствительно, приводя оба члена отношенія

къ одному знаменателю, получимъ отношеніе

Отбрасывая знаменателей въ этомъ отношеніи, мы оба члена отношенія увеличиваемъ въ одно и то же число разъ. Знаменатель отношенія отъ этого не измѣняется и отношеніе между дробями замѣнится отношеніемъ между цѣлыми числами. Отсюда

Правило. Чтобы, отношеніе между дробями замѣнить отношеніемъ между цѣлыми числами, нужно оба члена отношенія привести къ одному знаменателю и отбросить знаменателей.

Такъ,

Сокращеніе членовъ отношенія. Оба члена геометрическаго отношенія можно сокращать на одно и то же число.

Правило. Чтобы сократить геометрическое отношеніе, нужно оба члена отношенія раздѣлить на одно и то же число.

Сокращая послѣдовательно отношеніе

18 : 12,

получаемъ отношенія:

9 : 6, 3 : 2

Прямыя и обратныя отношенія. По данному геометрическому отношенію

6:3 = 2

можно составить такое другое геометрическое отношеніе

въ которомъ первые два члена расположены въ обратномъ порядкѣ, то есть предыдущій членъ перваго отношенія поставленъ послѣдующимъ во второмъ отношеніи, а послѣдующій предыдущимъ.

Изъ такихъ двухъ отношеній одно называютъ прямымъ, а другое обратнымъ.

Такъ, если назвать прямымъ отношеніе

6:3 = 2,

то отношеніи

будетъ обратнымъ.

Если же назвать прямымъ отношеніе

то отношеніе

будетъ обратнымъ.

Обратнымъ называютъ такое отношеніе, въ которомъ члены прямаго отношенія расположены въ обратномъ порядкѣ.

Если въ прямомъ отношеніи знаменатель отношенія болѣе единицы, то въ обратномъ онъ менѣе

единицы; если въ прямомъ отношеніи знаменатель отношенія менѣе единицы, то въ обратномъ онъ болѣе единицы.

IX. Пропорціи.

§ 66. Предварительныя опредѣленія. Два отношенія

7-5 = 2

6-4=2,

которыхъ разности равны, называются равными ариѳметическими отношеніями.

Соединяя два равныхъ ариѳметическихъ отношенія знакомъ равенства, получаемъ геометрическую пропорцію:

7_5 = 6 —4

Соединяя два равныхъ геометрическихъ отношенія знакомъ равенства, получаемъ геометрическую пропорцію:

6 : 2 = 9 : 3

Пропорція. Пропорція есть равенство двухъ одноименныхъ отношеній.

Пропорціи бываютъ двухъ родовъ: ариѳметическая и геометрическая.

Члены пропорціи. Числа, составляющія пропорцію, называются ея членами. Во всякой пропорціи 4 члена. Первый и четвертый называются крайними, второй и третій средними. Первый и третій называются предыдущими, а 2-й и 4-й послѣдующими членами.

Первый и второй члены составляютъ первое, 3-й и 4-й составляютъ второе отношеніе.

Въ ариѳметической пропорціи

7 — 5 = 6 —4

7 и 4 будутъ крайними, а 5 и 6 средними членами; 7 и 6 будутъ предыдущими, 5 и 4 послѣдующими членами.

Ариѳметическая пропорція показываетъ, что первый членъ болѣе или менѣе втораго, такимъ же числомъ, какимъ третій болѣе или менѣе четвертаго.

Въ геометрической пропорціи

6 : 2 = 9 : 3

6 и 3 будутъ крайними, 2 и 9 средними членами; 6 и 9 предыдущіе, а 2 и 3 послѣдующіе члены.

Геометрическая пропорція показываетъ, что первый членъ во столько разъ болѣе или менѣе втораго, во сколько разъ третій членъ болѣе или менѣе четвертаго.

Ариѳметическая пропорція.

§ 67. Опредѣленіе. Ариѳметическая пропорція есть равенство двухъ ариѳметическихъ отношеній.

Ариѳметическая пропорція выражается письменно:

7 _ 5 = 6 — 4

словесно: 1 на столько болѣе 5, насколько 6 болѣе 4.

Основное свойство ариѳметической пропорціи вытекаетъ изъ разсматриванія обоихъ отношеній пропорціи.

Въ ариѳметической пропорціи

7 _5 =6 —4

первый членъ 7 есть предыдущій членъ перваго отношенія и четвертый членъ 4 есть послѣдующій членъ 2-го отношенія.

По свойству ариѳметическихъ отношеній

7 = 5 + разность

4 = 6 — разность

или

1-й членъ = 2-му + разность

4-й членъ = 3-му — разность

Сложивъ эти два равенства, находимъ:

1-й членъ + 4-й членъ = 2-му члену + 3-й членъ + разность — разность.

Прибавить и вычесть разность значитъ не измѣнить самаго числа, слѣд.

1-й членъ + 4-й членъ = 2-му члену + 3-й членъ или

7 + 4 = 5 + 6

Изъ этого вытекаетъ

Основное свойство ариѳметической пропорціи. Сумма крайнихъ членовъ ариѳметической пропорціи равна суммѣ среднихъ.

Это свойство очень удобно примѣняется къ повѣркѣ ариѳметической пропорціи. Если основное свойство имѣетъ мѣсто для данной пропорціи, ариѳметическая пропорція составлена вѣрно.

§ 68. Опредѣленіе неизвѣстнаго члена пропорціи. Во всякой ариѳметической пропорціи по тремъ даннымъ членамъ, можно опредѣлить неизвѣстный четвертый. Такъ, изъ пропорціи

я —4 = 5_2

имѣемъ по основному свойству пропорціи равенство ж+2 = 4 + 5,

показывающее, что нужно къ извѣстному члену прибавить 2, чтобы получить 9, сумму среднихъ

членовъ, слѣд., чтобы получить неизвѣстный крайній членъ, нужно изъ 9 суммы среднихъ членовъ вычесть 2 извѣстный крайній.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

# = 4 + 5 — 2 = 9 —2 = 7

Разсуждая подобнымъ образомъ во всѣхъ случаяхъ, получаемъ слѣдующее

Правило. Во всякой ариѳметической пропорціи неизвѣстный крайній членъ равенъ суммѣ среднихъ безъ другаго крайняго; неизвѣстный средній членъ равенъ суммѣ крайнихъ безъ другаго средняго.

Изъ пропорціи

выходитъ

§ 69. Непрерывная ариѳметическая пропорція. Непрерывной ариѳметической пропорціей называется такая, въ которой средніе или крайніе члены равны.

Пропорціи

будутъ непрерывными ариѳметическими пропорціями.

Въ непрерывной пропорціи

неизвѣстный средній членъ опредѣляется по основному свойству пропорціи изъ равенства

или

откуда

Неизвѣстный средній членъ непрерывной ариѳметической пропорціи равенъ суммѣ крайнихъ, раздѣленныхъ на 2, или неизвѣстный средній членъ равенъ полусуммѣ крайнихъ.

Неизвѣстный краній членъ изъ пропорціи

х _ iß = 16 — 7

опредѣляется равенствомъ

#+7 = 16 + 16 = 2.16

# = 2.16 _ 7 = 32 — 7 = 25

Неизвѣстный крайній членъ равенъ удвоенному среднему безъ извѣстнаго крайняго.

Ариѳметическая средина. Средній членъ ариѳметической пропорціи называется среднимъ ариѳметическимъ числомъ, или ариѳметической срединой двухъ чиселъ.

Въ пропорціи

число 8 будетъ ариѳметической срединой двухъ чиселъ, 12 и 4.

Чтобы найти ариѳметическую средину двухъ чиселъ, нужно взятъ ихъ сумму и раздѣлить на 2, или короче взять ихъ полусумму.

Подобнымъ образомъ ариѳметической срединой нѣсколькихъ чиселъ называютъ то число, которое получится, если мы сумму всѣхъ данныхъ чиселъ раздѣлимъ на число ихъ.

Такимъ образомъ ариѳметической срединой 5 чиселъ 2, 7, 8, 15, 3 будетъ число 7. Оно опредѣляется равенствомъ:

Геометрическая пропорція.

§ 70. Опредѣленіе. Геометрическая пропорція есть равенство двухъ геометрическихъ отношеній.

Геометрическая пропорція выражается письменно:

словесно: 6 относится къ 2 такъ, какъ 9 относится къ 3, или 6 во столько разъ болѣе 2, во сколько разъ 9 болѣе 3.

Пропоціональныя числа. Четыре числа, составляющія геометрическую пропорцію и взятыя въ такомъ порядкѣ, въ какомъ они входятъ въ нее, называются числами пропорціональными. Числа 6, 2, 9, 3, суть числа пропорціональныя.

Отношеніе первыхъ двухъ равно отношенію другихъ двухъ чиселъ.

Основное свойство геометрической пропорціи вытекаетъ изъ разсматриванія обоихъ отношеній пропорціи.

Въ геометрической пропорціи

первый членъ 6 есть предыдущій членъ перваго отношенія и четвертый членъ 3 есть послѣдующій членъ 2-го отношенія

По свойству геометрическаго отношенія

или

1-й членъ = 2-му X знамен. отнош.

4-й членъ = 3-му : знамен. отнош.

Умноживъ эти равенства, находимъ:

1-й членъ X 4-й членъ = 2-му чл. X 3-й членъ X знам. отнош. : знамен. отнош.

Одновременно умножить и раздѣлить на знаменателя отношенія, значитъ не измѣнить самого числа, слѣд.

1-й чл. X 4-й чл. — 2-му чл. X 3-й членъ

или

6X3 = 2X9 = 18

Отсюда вытекаетъ

Основное свойство геометрической пропорціи. Произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ.

Это свойство очень удобно примѣняется къ повѣркѣ геометрической пропорціи. Если это основное свойство имѣетъ мѣсто, геометрическая пропорція составлена вѣрно.

Изъ двухъ равныхъ произведеній всегда можно составить пропорцію, расположивъ четыре числа такъ, чтобы два множителя одного произведенія занимали мѣста крайнихъ, а два множителя другаго произведенія, занимали мѣста среднихъ членовъ.

Такъ, изъ членовъ двухъ равныхъ произведеній

можно составить пропорціи:

§ 71. Опредѣленіе неизвѣстнаго члена геометрической пропорціи. Во всякой геометрической пропорціи можно по тремъ даннымъ членамъ опредѣлить неизвѣстный четвертый.

Такъ, изъ пропорціи

имѣемъ по основному свойству пропорціи равенство

Изъ послѣдняго равенства видно, что х есть одинъ изъ двухъ производителей, произведеніе которыхъ извѣстно.

Не трудно видѣть, что можно разсматривать число 70 какъ дѣлимое, 7 какъ дѣлителя, а х какъ частное, слѣд.

Неизвѣстный крайній равенъ произведенію среднихъ членовъ, дѣленному на другой крайній.

Разсуждая подобнымъ же образомъ надъ пропорціей

8 : ж=6 : 3.

найдемъ

Неизвѣстный средній членъ равенъ произведенію крайнихъ, дѣленному на другой средній.

Изъ пропорціи

выходитъ

§ 72. Измѣненіе вида пропорціи. Пропорція не нарушится, если мы предыдущіе или послѣдующіе члены обоихъ отношеній умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же число, ибо такимъ образомъ мы увеличиваемъ или уменьшаемъ знаменателей отношеній въ одно и то же число разъ.

Пропорція не нарушится и тогда, когда мы увеличимъ или уменьшимъ оба члена одного и того же отношенія въ одинаковое число разъ, ибо въ этомъ случаѣ знаменатели обоихъ отношеній не измѣнятся.

Такъ, имѣя пропорціи

можемъ написать пропорціи:

Въ первой пропорціи мы умножили оба предыдущіе члена на 2, во второй мы умножили оба послѣдующіе члена на 5.

Изъ пропорціи

получаемъ пропорціи:

Въ первой оба предыдущіе члена раздѣлили на 2, во второй оба послѣдующіе члена раздѣлили на 4.

Изъ пропорціи

получаемъ пропорцію

въ которой члены перваго отношенія раздѣлили на 7, а члены втораго умножили на 3.

Въ геометрической пропорціи можно также какъ и въ геометрическихъ отношеніяхъ пропорцію между дробными числами замѣнитъ пропорціей между цѣлыми числами.

§ 73. Сокращеніе членовъ пропорціи. Сокращеніе членовъ основано на свойствѣ пропорціи не измѣняться, если мы соотвѣтсвующіе члены ея раздѣлимъ на одно и тоже число. Сократить пропорцію, значитъ раздѣлить два члена пропорціи на одно и то же число, не измѣняя самой пропорціи. Сокращая пропорцію, мы ее представляемъ помощію меньшихъ чиселъ.

Сокращать можно а) предыдущіе члены обоихъ отношеній, b) послѣдующіе члены обоихъ отношеній, с) предыдущій членъ каждаго отношенія съ своимъ послѣдующимъ.

Можно сокращать

Изъ этихъ частныхъ правилъ вытекаетъ

Общее правило сокращенія геометрическихъ пропорцій. Каждый крайній членъ пропорціи можно сокращать съ каждымъ среднимъ, а каждый средній съ каждымъ крайнимъ.

Пропорція

даетъ пропорціи:

3 : 27 = 1 : 9 послѣ сокращенія предыдущихъ членовъ на 6

18 : 3 = 6 : 1 послѣ сокращенія послѣдующихъ членовъ на 9

2 : 3 = 6 : 9 послѣ сокращенія членовъ перваго отношенія на 9

18 : 27 = 2 : 3 послѣ сокращенія членовъ втораго отношенія на 3

§ 74. Перемѣщеніе членовъ пропорціи. Можно перемѣщать члены геометрической пропорціи такимъ образомъ, чтобы ея основное свойство не измѣнялось. Такъ въ пропорціи

6 : 2 = 9 : 3 (1)

перемѣщая между собою крайніе члены 6 и 3, получаемъ пропорцію

3 : 2 = 9 : 6 (2)

для которой по прежнему имѣемъ мѣсто равенство

3 X 6 = 2 X 9

Точно также, перемѣщая одни средніе члены, получаемъ пропорцію:

6 : 9 = 2 : 3 (3)

Основное свойство пропорціи не нарушится, если крайніе члены сдѣлаемъ средними, а средніе крайними. Сдѣлавъ это, получаемъ пропорцію:

2 : 6 = 3 : 9

Отсюда выводимъ слѣдующее

Правило перемѣщенія членовъ пропорціи. Перемѣщать можно

a) крайніе члены между собою;

b) средніе члены между собою;

c) оба крайніе члена можно сдѣлать средними, а средніе крайними.

§ 75. Сложныя пропорціи. Сложною называется пропорція, составленная изъ сочетанія нѣсколькихъ данныхъ пропорцій.

При составленіи сложной пропорціи изъ 2-хъ данныхъ встрѣчаются два случая: 1) когда знаменатели отношеній одинаковы, 2) когда знаменатели отношеній разные.

1) Если знаменатели отношеній одинаковы, сходственные члены обѣихъ пропорцій можно складывать и вычитать; при этомъ знаменатель отношенія сложной пропорціи не измѣняется.

Такъ, складывая и вычитая сходственные члены двухъ пропорцій, имѣющихъ знаменателями отношеній число 4

получаемъ сложныя пропорціи:

у которыхъ знаменатель отношенія есть то же самое число 4.

2) Если знаменатели отношеній разные, сходственные члены пропорцій можно перемножать и дѣлить.

Такъ, изъ двухъ пропорцій съ разными знаменателями отношенія:

получаемъ послѣ умноженія слѣдующую пропорцію

или

Знаменатель отношенія сложной пропорціи составленъ изъ произведенія всѣхъ знаменателей отношенія

15 = 5 X 3.

Послѣ раздѣленія сходственныхъ членовъ получаемъ сложную пропорцію:

5 : 3 = 10 : 6

Знаменатель отношенія этой пропорціи А есть частное, происходящее отъ дѣленія знаменателей отношенія данныхъ пропорцій.

Т-5:3

§ 76. Производныя пропорціи. Производными называются такія пропорціи, которыя происходятъ изъ данной послѣ того, какъ надъ ея членами были исполнены нѣкоторыя ариѳметическія дѣйствія.

Производныя пропорціи получаются очень просто, если мы оба отношенія данной пропорціи выразимъ въ видѣ дробей.

Такъ, выразивъ пропорцію

въ видѣ

и прибавивъ къ обѣимъ частямъ равенства по 1, получаемъ:

Приведя къ одному знаменателю, имѣемъ производную пропорцію:

откуда

Правило. Сумма членовъ перваго отношенія относится къ своему послѣдующему точно также, какъ сумма членовъ втораго отношенія относится къ своему послѣдующему.

Вычитая по единицѣ изъ обоихъ отношеній пропорціи

имѣемъ:

откуда получаемъ производную пропорцію

или

b) Разность членовъ перваго отношенія относится къ своему послѣдующему точно также, какъ разность членовъ втораго отношенія относится къ своему послѣдующему.

Перемѣщая члены пропорціи (1) и (2), мы получилъ пропорціи:

Производная пропорція (3) показываетъ, что

с) Сумма членовъ перваго отношенія относится къ суммѣ членовъ втораго отношенія, какъ соотвѣтствующіе послѣдующіе члены.

Производная пропорція (4) распространяетъ это правило и на разности членовъ.

Изъ пропорціи (3) и (4) получаемъ производную пропорцію

изъ которой видно, что

d) Сумма членовъ перваго отношенія относится къ суммѣ членовъ втораго отношенія точно также, какъ разность членовъ перваго отношенія относится къ разности членовъ втораго отношенія.

Перемѣщая члены пропорціи (5), получаемъ производную пропорцію:

изъ которой видно, что

е) Сумма членовъ перваго отношенія относится къ ихъ разности такъ, какъ сумма членовъ втораго отношенія относится къ своей разности.

Можно получить очень много такихъ правилъ для образованія производныхъ пропорцій.

Свойства производныхъ пропорцій легко выводятся при помощи буквеннаго обозначенія.

§ 77. Непрерывная геометрическая пропорція. Геометрическая пропорція, у которой средніе или крайніе члены равны, называется непрерывною.

Пропорціи

будутъ непрерывными пропорціями. Непрерывную пропорцію

иногда изображаютъ въ видѣ

Средне-геометрическое число. Одинъ изъ равныхъ членовъ непрерывной пропорціи называется среднимъ геометрическимъ числомъ двухъ другихъ чиселъ.

Число 4 есть среднее геометрическое число между 8 и 2.

Средне-геометрическое число средне - пропорціонально между остальными числами.

По основному свойству пропорціи видно, что

4.4 = 8 . 2

Квадратъ средняго геометрическаго числа, равенъ произведенію двухъ другихъ чиселъ.

X. Тройныя правила.

§ 78. Четыре числа, изъ которыхъ можно составить геометрическую пропорцію, называются пропорціональными числами. Каждый изъ четырехъ членовъ пропорціи называется числомъ, пропорціональнымъ тремъ остальнымъ. Такимъ образомъ четыре числа 6, 8, 3, 4 будутъ числами пропорціональными, ибо изъ нихъ можно составить геометрическую пропорцію:

6 : 8 = 3 : 4

Число 6 есть число, пропорціональное тремъ остальнымъ числамъ 8, 3, 4.

Простое тройное правило. Свойствами геометрической пропорціи пользуются для рѣшенія различныхъ ариѳметическихъ задачъ. Для примѣра можетъ служить слѣдующая

Задача. За 4 пуда муки заплачено 6 рублей. Сколько пудовъ муки можно купить за 27 рублей?

Въ этой задачѣ находятся 3 данныхъ числа: 6 рублей, 27 рублей и 4 пуда, и четвертое искомое число пудовъ муки.

Означивъ искомое число чрезъ х, мы видимъ, что двѣ данныя величины, 6 рублей и 27 рублей, между собою однородны, а искомое количество, выражая пуды, однородно съ 3-мъ даннымъ.

Чтобы яснѣе обнаружить зависимость между числами, располагаютъ задачу такимъ образомъ, чтобы однородныя величины помѣщались въ одномъ вертикальномъ столбцѣ.

Наша задача изобразится письменно:

6 р. — 4 пуд.

27 р. — х

Очевидно, за 27 рублей можно купить муки больше 4 пудовъ во столько разъ, во сколько 27 болѣе 6. Четыре числа, 4, 27 и 6, составятъ геометрическую пропорцію. Эта пропорція будетъ показывать, что х, искомое число пудовъ муки, во столько разъ болѣе 4 пудовъ, во сколько разъ 27 болѣе 6.

Самая пропорція изобразится письменно:

х : 4 = 27 : 6

Обыкновенно составляютъ пропорціи такимъ образомъ, чтобы каждое отношеніе состояло изъ однородныхъ чиселъ. Такимъ образомъ въ данномъ случаѣ одно отношеніе состоитъ изъ 27 и 6, а другое изъ однородныхъ чиселъ 4 и неизвѣстнаго х, выражающаго пуды. Въ обоихъ отношеніяхъ предыдущіе члены должны быть одновременно болѣе или менѣе послѣдующихъ. Въ данной пропорціи предъидущій членъ х болѣе 4, слѣдовательно, и во второмъ отношеніи мы должны поставить предыдущимъ членомъ число 27 болѣе 6.

Самую пропорцію обыкновенно составляютъ такъ, чтобы неизвѣстное число находилось въ ней на мѣстѣ перваго члена.

Неизвѣстное число опредѣлится по общему правилу изъ равенства:

Сдѣлавъ предварительно сокращенія въ пропорціи или въ самомъ результатѣ, находимъ

Отв. За 27 рублей можно купить 18 пудовъ муки.

Опредѣленіе. Способы, въ которыхъ для рѣшенія задачъ примѣняются пропорціи, называются тройными правилами.

Тройное правило раздѣляется на простое и сложное.

Опредѣленіе простаго тройнаго правила. Простое тройное правило есть такое, въ которомъ по тремъ даннымъ числамъ находится четвертое имъ пропорціональное. Задачи простаго тройнаго правила зависятъ отъ одного условія и рѣшаются только одною пропорціею.

Прежде, чѣмъ рѣшать задачу, располагаютъ ее такъ, чтобы однородныя величины находились въ одномъ вертикальномъ столбцѣ.

При этомъ два данныхъ числа располагаютъ въ одномъ, а неизвѣстное х вмѣстѣ съ третьимъ даннымъ располагаютъ въ другомъ столбцѣ.

Правило рѣшенія задачъ простаго тройнаго правила. При рѣшеніи задачъ простаго тройнаго правила

A) Каждое изъ двухъ отношеній пропорціи должно быть составлено изъ однородныхъ величинъ.

B) Неизвѣстное обыкновенно пишутъ предыдущимъ членомъ перваго отношенія.

C) Самую пропорцію составляютъ такъ, чтобы въ обоихъ отношеніяхъ оба, предыдущіе члена были одновременно болѣе или менѣе своихъ послѣдующихъ.

D) Однородныя количества нужно всегда приводитъ къ одному наименованію.

§ 79. При рѣшеніи задачъ встрѣчается двоякая пропорціональность: прямая и обратная. Прямая пропорціональность встрѣтилась въ нашей задачѣ въ отношеніи между количествомъ муки и ея стоимостію: чѣмъ болѣе муки, тѣмъ болѣе стоитъ она. Прямая пропорціональность выражается словами: чѣмъ больше, тѣмъ больше, или чѣмъ меньше, тѣмъ меньше.

Обратная пропорціональность выражается словами: чѣмъ больше, тѣмъ меньше, или чѣмъ меньше, тѣмъ больше.

Примѣромъ обратной пропорціональности можетъ послужить

Задача. Пять работниковъ окончили нѣкоторую работу въ 8 часовъ. Во сколько времени окончатъ ту же работу 12 работниковъ?

Задачу располагаемъ письменно:

5 раб. — 8 час.

12 » — х

Очевидно, чѣмъ болѣе работниковъ, тѣмъ меньше времени нужно для окончанія работы.

Если 5 работниковъ оканчиваютъ работу въ 8 часовъ, 12 работниковъ окончатъ ее скорѣе, слѣд. х менѣе 8 часовъ. Здѣсь мы встрѣчаемъ примѣръ обратной пропорціональности.

Пропорція, рѣшающая данную задачу, будетъ

§ 80. Сложное тройное правило. Сложнымъ тройнымъ правиломъ рѣшаются задачи, въ которыхъ по 3. 7, 9 и т. д. извѣстнымъ числамъ находится шестое, восьмое, десятое имъ пропорціональное.

Задачи сложнаго тройнаго правила располагаются такъ, чтобы однородныя величины находились въ одномъ вертикальномъ столбцѣ.

Въ сложномъ тройномъ правилѣ неизвѣстное зависитъ отъ нѣсколькихъ условій и отыскивается при помощи нѣсколькихъ пропорцій.

Рѣшеніе задачи на сложное приводится къ рѣшенію нѣсколькихъ задачъ на простое тройное правило.

Примѣромъ на сложное тройное правило можетъ послужить

Задача 1. Пять работниковъ, работая ежедневно по 8 часовъ, вырыли ровъ въ 12 дней. Сколько часовъ должны работать ежедневно 10 работниковъ, чтобы вырыть тотъ же ровъ въ 4 дня?

Задача располагается письменно:

Неизвѣстное х, выражающее число часовъ ежедневной работы, зависитъ отъ 5 данныхъ. Это неизвѣстное зависитъ отъ двухъ условій: числа работниковъ и числа рабочихъ дней.

Чтобы привести задачу къ простому тройному правилу, мы сначала принимаемъ одинакими всѣ условія, кромѣ одного, то есть полагаемъ, что вторые рабочіе работаютъ также 12 дней.

Тѣ условія, которыя мы будемъ считать одинакими, помѣщаемъ въ скобкахъ, или переписываемъ внизу. Задача выразится письменно-.

Означимъ число часовъ ежедневной работы, соотвѣтствующее этимъ измѣненнымъ условіямъ задачи, чрезъ Мы видимъ, что х' опредѣлится изъ простаго тройнаго правила.

5 работниковъ окончили работу, ежедневно работая по 8 часовъ.

10 раб. окончатъ ту же работу, работая ежедневно по х' часовъ.

Чѣмъ болѣе работниковъ, тѣмъ они должны ежедневно работать менѣе, чтобы окончить ту же работу въ то же число дней, слѣд.

Принимаемъ теперь въ соображеніе второе условіе, ибо вторые работники работаютъ не 12, а 4 дня.

Работая 4 дня, они должны работать болѣе х' часовъ, слѣд. х > х'.

Соотношеніе между х и х' выразится пропорціею

Изъ первой пропорціи можно найти х' и, вставивъ во вторую пропорцію, отыскать х. Дѣйствительно,

Замѣняя во второй пропорціи #', имѣемъ

откуда

Величину х можно также найти, составивъ сложную пропорцію простымъ перемноженіемъ соотвѣтствующихъ членовъ этихъ двухъ пропорцій.

Сдѣлавъ это, имѣемъ сложную пропорцію

Сокративъ первыя два члена пропорціи на х, находимъ:

откуда

Весь ходъ вычисленія располагаютъ въ этой задачѣ письменно:

Задача 2. Вода, протекая чрезъ 5 трубъ въ 12 часовъ, наполняетъ водоемъ, имѣющій 3 сажени длины, 2 аршина ширины и 4 Фута глубины. Опредѣлить, во сколько часовъ наполняется водоемъ, имѣющій 2 арш. длины, 4-| сажени ширины и 1 сажень глубины, если вода будетъ втекать въ него чрезъ 7 точно такихъ же трубъ.

Задача изобразится письменно:

Прежде всего мы приведемъ однородныя числа къ одному наименованію. Задача приметъ видъ

Принимая одинакими всѣ условія, кромѣ одного и означая черезъ х число часовъ, соотвѣтствующее измѣненнымъ условіямъ, имѣемъ задачу простаго тройнаго правила:

Если 5 трубъ наполняютъ водоемъ въ 12 часовъ,

7 трубъ наполнятъ водоемъ въ меньшее число часовъ, слѣд. .г'<12

Принимая въ соображеніе, что длина водоема не 9, а 2 аршина и означая чрезъ х" число часовъ, нужное для его наполненія, находимъ, что а"<+, и составляемъ для задачи

пропорцію:

Принимая въ соображеніе 3-е условіе или ширину водоема, имѣемъ задачу:

Если въ х” часовъ наполнится водоемъ въ 2 ар. ширины, водоемъ въ 14 ар. ширины наполнится въ большее число часовъ, слѣд. х'” > х".

Для рѣшенія задачи имѣемъ пропорцію

(3)

Наконецъ для послѣдняго условія имѣемъ задачу

и составляемъ пропорцію:

(4)

Перемножая 4 пропорціи (1), (2), (3) и (4), имѣемъ сложную пропорцію:

Сокращая пропорцію, получимъ:

откуда

Ходъ вычисленія выражаютъ письменно:

При рѣшеніи этой задачи можно было бы сначала вычислить ж', вставить въ пропорцію и найти зная можно бы найти х" и затѣмъ самое неизвѣстное х. Такое послѣдовательное вычисленіе неизвѣстнаго замѣняютъ прямымъ вычисленіемъ.

Правило рѣшенія задачъ сложнаго тройнаго правила. Чтобы рѣшить задачу на сложное тройное правило:

A) Нужно расположить данныя задачи такъ, чтобы однородныя величины, принадлежащія къ одному условію, находились въ одномъ вертикальномъ столбцѣ.

B) Эти однородныя величины должны быть приведены къ одному и тому же наименованію.

C) Задачи сложнаго приводятся къ нѣсколькимъ задачамъ простаго тройнаго правила.

D) При рѣшеніи задачи сначала принимаютъ одинакими всѣ условія, кромѣ одного, и составляютъ пропорцію.

E) Затѣмъ послѣдовательно принимаютъ въ соображеніе всѣ остальныя условія и составляютъ для каждаго изъ нихъ пропорцію.

F) Неизвѣстное опредѣляютъ или послѣдовательно рѣшая всѣ пропорціи, или составляя сложную пропорцію простымъ перемноженіемъ данныхъ пропорцій.

G) Число пропорцій равно числу условій.

§ 81. Рѣшеніе задачъ тройнаго правила помощію способа приведенія къ единицѣ. Задачи тройныхъ правилъ простаго и сложнаго могутъ быть легко рѣшаемы помощію способа приведенія къ единицѣ.

Этотъ способъ состоитъ въ томъ, что сначала рѣшаютъ задачу для того случая, когда всѣ условія приведены къ единицѣ, и затѣмъ отъ этихъ условій переходятъ къ требуемымъ.

Для примѣра мы рѣшимъ этимъ способомъ тѣ же самыя задачи простаго и тройнаго правила.

Задача простаго тройнаго правила. За 4 пуда муки заплачено 6 рублей. Сколько пудовъ муки можно купить за 27 рублей?

Задачу располагаютъ письменно:

Мы сначала отыскиваемъ неизвѣстное для случая, когда условіе приведено къ единицѣ. Разсуждаемъ слѣдующимъ образомъ:

за 6 рублей куплено 4 пуда;

за 1 рубль куплено въ 6 разъ менѣе, слѣд. -g-пуда

за 27 рублей куплено въ 27 разъ болѣе, то есть 4 X 27 = 18 пудовъ.

Задача сложнаго тройнаго правила. Рѣшимъ этимъ способомъ вторую задачу о водоемѣ.

Задачу располагаютъ письменно:

Сначала отыскиваемъ рѣшеніе для случая, когда всѣ условія приведены къ 1, то есть опредѣляемъ, во сколько часовъ одною трубою наполнится водоемъ, имѣющій 1 ар. длины, 1 ар. ширины и 1 Футъ глубины.

Для этого разсуждаемъ слѣдующимъ образомъ:

Для наполненія водоема одною трубою требуется времени въ 5 разъ болѣе, слѣд. 5 X 12 час.

Водоемъ въ 1 аршинъ длины, сравнительно съ водоемомъ въ 9 ар. длины, требуетъ меньшаго времени, то есть —g— час.

Водоемъ въ 1 ар. ширины сравнительно съ водоемомъ въ 2 ар. шир. требуетъ для наполненія 5 х 12 времени вдвое меньше, слѣд. х 2 час‘

Водоемъ въ 1 Футъ глубины, сравнительно съ водоемомъ въ 4 фута глубины, требуетъ для напол-5 X 12 ненія времени въ 4 раза менѣе, слѣд., д^2х4 час‘

Отъ этого результата, полученнаго для всѣхъ условій, приведенныхъ къ 1, легко перейти къ искомому результату.

Одна труба наполняетъ водоемъ въ 1 ар. длины, 1 ар. ширины, 1 футъ глубины въ 7 трубъ наполнятъ скорѣе, то есть требуютъ времени

Водоемъ въ 2 арш. длины требуетъ времени вдвое болѣе, то есть

Водоемъ въ 14 ар. ширины требуетъ времени въ 14 разъ болѣе, то есть

Водоемъ въ 7 ф. ширины требуетъ времени въ 7 разъ болѣе, то есть

Правило процентовъ.

§ 82. Процентъ. Процентомъ называютъ прибыль, получаемую въ одинъ годъ на каждые 100 рублей капитала.

Если каждые 100 рублей капитала приносятъ въ годъ 5 рублей прибыли, говорятъ: капиталъ приноситъ 5 процентовъ. Когда капиталъ приноситъ 72-процентовъ, это значитъ, что каждые 100 рублей капитала даютъ въ годъ прибыли 7-- рублей.

Проценты бываютъ простые и сложные. Простыми процентами называютъ прибыль, получаемую только

на одинъ капиталъ. Проценты называются сложными въ томъ случаѣ, когда они по прошествіи каждаго года присоединяются къ капиталу, и въ слѣдующій годъ прибыль получается съ капитала, увеличеннаго процентами.

Лицо, у котораго берутъ взаймы, называется кредиторомъ или заимодавцемъ. Лицо занимающее называется должникомъ. Проценты уплачиваетъ обыкновенно должникъ своему кредитору. Слово процентъ обозначаютъ обыкновенно знакомъ А-

Въ правилѣ процентовъ принимаютъ въ соображеніе капиталъ, прибыль и время, въ которое она получается, и опредѣляютъ одну изъ этихъ величинъ по остальнымъ.

При этихъ вычисленіяхъ прилагаютъ пріемы простаго или сложнаго тройнаго правила.

Задачи на правило процентовъ рѣшаются или пропорціями или способомъ приведенія къ единицѣ.

Задача 1. Сколько доходу приноситъ капиталъ въ 17540 рублей, отданныхъ въ ростъ по 4-|- процентовъ?

Задачу располагаютъ письменно:

и выговариваютъ словесно:

Со 100 рублей получено прибыли 4А рубля. Съ 17540 рублей сколько получится прибыли?

Она рѣшается пропорціей:

Помощію правила приведенія къ единицѣ эта задача рѣшается такъ:

Задача 2. По скольку процентовъ нужно отдать капиталъ въ 1200 рублей, чтобы онъ въ 5 лѣтъ принесъ прибыли 300 рублей?

Задачу располагаютъ письменно:

и выговариваютъ словесно:

Если 1200 рублей въ 5 лѣтъ принесли прибыли 300 рублей,

Сколько прибыли должны давать 100 рублей въ 1 годъ?

Прилагая пріемъ приведенія къ 1, разсуждаемъ такъ: 1200 руб. дали доходу въ 5 лѣтъ 300 рублей.

При рѣшеніи этой задачи сложнымъ тройнымъ правиломъ не встрѣчается никакихъ особенныхъ затрудненій.

§ 83. Сложные проценты. Въ случаѣ сложныхъ процентовъ вычисляютъ возрастаніе капитала съ году на годъ. Примѣромъ на сложные проценты можетъ послужить

Задача. Опредѣлить прибыль съ капитала въ 1200 рублей, отданнаго на 2 года по 52 въ случаѣ, если проценты по прошествіи каждаго года присчитываются къ капиталу.

Опредѣлимъ прибыль, получаемую въ концѣ перваго года:

Проценты присчитываются къ капиталу.

По прошествіи года будемъ имѣть капиталъ въ 1260 рублей.

Для опредѣленія прибыли въ концѣ 2-го года рѣшаемъ задачу:

Такимъ образомъ прибыль въ 2 года будетъ 123 рубля, и капиталъ обратится въ 1323 рубля.

Правило учета векселей.

§ 84. Должникъ обыкновенно выдаетъ кредитору письменное обязательство уплатить въ назначенный срокъ опредѣленную сумму. Это обязательство на-

зывается векселемъ. Если капиталъ занятъ подъ опредѣленные проценты, ихъ причисляютъ къ занятому капиталу и сумма, обозначенная въ векселѣ, заключаетъ въ себѣ занятый капиталъ вмѣстѣ съ процентами, причисляющимися по срокъ платежа.

Валюта. Сумма денегъ, обозначенная въ векселѣ, называется цѣною, или валютою векселя.

Если вексель выданъ на годъ по 6° на сумму 1060 рублей это значитъ, что должникъ получилъ только 1000 рублей. Вексель выданъ на 1060 рублей, потому что къ заемной суммѣ присоединены проценты, причитающіеся за цѣлый годъ.

Если по векселю уплачивается долгъ раньше срока, вносится обыкновенно сумма меньше означенной въ векселѣ. Изъ цѣны векселя вычитаются проценты за все время, остающееся до срока.

Учетъ. Вычесть изъ цѣны векселя проценты за время, остающееся до срока, значитъ учесть или дисконтировать вексель. Сумма, на которую учитываютъ вексель, называется учетомъ или дисконтомъ.

При учетѣ векселя разсчитываютъ, за сколько мѣсяцевъ, или дней ранѣе срока уплаченъ долгъ. При учетѣ годъ считаютъ въ 360, а мѣсяцъ въ 30 дней.

Правило учета векселей обратно правилу процентовъ и рѣшается тройными правилами.

Задача 1. Учесть вексель въ 3000 рублей на 8 мѣсяцевъ по 6-2, уплачиваемый за 3 мѣсяца до срока.

*) Вексель обыкновенно выдается по слѣдующей формѣ:

Городъ N, число, мѣсяцъ, годъ. Вексель на такую-то сумму. Отъ такого-то числа, мѣсяца, года чрезъ столько-то времени по сему векселю обязанъ я заплатить такому-то N, или кому онъ прикажетъ, столько-то рублей, которые я отъ него получилъ сполна наличными деньгами или товарами. Подпись занимающаго.

Съ каждыхъ 101-1. рублей нужно учесть 1-1 рубля. Задача выразится письменно:

Со 101-1 рублей нужно учесть 1-1 руб.

Съ 3000 „ „ ri х

Задача рѣшается пропорціей

откуда

слѣд. нужно учесть почти 44 р. 33-Е коп. и заплатить не 3000 рублей, а 2955 р. 66-Е коп.

При вычисленіяхъ иногда прямо опредѣляютъ цѣну векселя, и наша задача выразится письменно.

Учетъ, опредѣляемый въ этой задачѣ, называютъ иногда математическимъ.

Коммерческій учетъ. При торговыхъ сдѣлкахъ обыкновенно учитываютъ не со 101-1 рублей, а со 100, то есть повышаютъ учетъ за рискъ при покупкѣ векселя и вычисляютъ такъ:

Такимъ образомъ въ данномъ случаѣ приходится, вмѣсто 44 р. 33-А коп., учесть 45 рублей.

Такой учетъ называется коммерческимъ учетомъ.

Кромѣ величины учета можно опредѣлять время уплаты векселя до срока, цѣну векселя и размѣры процентовъ, по которымъ учитывается вексель.

Рѣшимъ нѣсколько задачъ, имѣющихъ въ виду эти частные случаи.

Задача 2. За вексель въ 10000 рублей по 6-А уплачено 9000 рублей. За сколько времени до срока произведена уплата?

Съ 100 руб. учитывается 6 р. въ 12 мѣсяцевъ.

Эта задача рѣшается сложнымъ тройнымъ правиломъ. Принимая одно условіе одинакимъ, имѣемъ:

Со 100 рублей учитывается 6 рублей въ 12 мѣсяцевъ, съ 10000 рублей учитывается 6 рублей въ меньшее время у, слѣд. у < 12.

у : 12 = 100 : 10000 (1)

Затѣмъ имѣемъ:

6 рублей учитывается въ у мѣсяцевъ, 1000 рублей учитывается въ большее время х, слѣд. х > у

Перемножая пропорцію (1) и (2), имѣемъ

откуда

Задача 3. Купецъ заплатилъ 1000 рублей за 10 мѣсяцевъ до срока съ учетомъ по 6А въ годъ. Опредѣлить цѣну векселя.

Задача 4. По векселю въ 1500 руб. получено за 15 мѣсяцевъ до срока 1350 рублей. По скольку процентовъ сдѣланъ учетъ?

Учетъ сдѣланъ по

Правило товарищества.

§ 85. При различныхъ торговыхъ операціяхъ, при раздѣлѣ наслѣдствъ и взиманіи податей встрѣчаются случаи, когда приходится одно число дѣлить на части, пропорціональныя другимъ числамъ. Въ такомъ случаѣ прибѣгаютъ къ правилу товарищества.

Опредѣлеhie. Правило товарищества или пропорціональнаго дѣленія есть такое правило, въ которомъ одно число дѣлится на части, пропорціональныя другимъ числамъ.

Къ правилу товарищества относится

Задача. Три товарища получили за работу 60 р. Сколько приходится на долю каждаго изъ нихъ, если первый работалъ 5 дней, второй 17 и третій 8 дней?

Кто работалъ больше дней, тотъ долженъ получить большую плату.

Плату за работу нужно раздѣлить пропорціонально числу рабочихъ дней.

Задачу располагаютъ письменно:

Общее число рабочихъ дней будетъ 5+17 + 8=30. Означивъ чрезъ х, у, z долю каждаго изъ нихъ, мы опредѣлимъ эти величины изъ пропорцій:

откуда

Эта задача можетъ быть рѣшена и способомъ приведенія къ единицѣ.

За 30 рабочихъ дней получена плата 60 руб.

Правило. Чтобы рѣшить задачу, относящуюся къ правилу товарищества, нужно найти сумму чиселъ, пропорціонально которымъ дѣлится данное число, и затѣмъ опредѣлять каждую долю изъ пропорціи, первая часть которой выражаетъ отношеніе искомаго къ данному числу, а вторая часть отношеніе числа соотвѣтствующаго искомой части къ полной суммѣ.

§ 86. Правило товарищества раздѣляется на простое и сложное. Оно называется простымъ, когда искомое число зависитъ отъ одного условія, сложнымъ, когда неизвѣстныя зависятъ отъ нѣсколькихъ условій.

Въ предъидущей задачѣ доля каждаго зависѣла только отъ числа рабочихъ дней.

Къ сложному правилу товарищества относится

Задача. Трое получили за работу 148 рублей. Какъ велика доля каждаго, если первый работалъ 5 дней по 7 часовъ, 2-п 6 дней по 2 часа и третій 3 дня по 9 часовъ?

Задачу выражаютъ письменно:

Здѣсь доля каждаго зависитъ отъ двухъ условій: числа рабочихъ дней и числа рабочихъ часовъ.

Задача приводится къ простому правилу товарищества.

Опредѣляя число рабочихъ часовъ, мы найдемъ, что первый работалъ 5.7=35, второй 12 и третій 27 часовъ.

Плата 148 рублей должна быть раздѣлена пропорціонально числамъ: 35, 12 и 27.

Полная сумма рабочихъ часовъ будетъ

Доля каждаго опредѣлится пропорціями:

Правило смѣшенія.

§ 87. Опредѣленіе. Правило смѣшенія есть способъ опредѣлять:

1) цѣну смѣси по цѣнѣ и количеству смѣшиваемыхъ вещей и

2) количество смѣшиваемыхъ вещей по количеству и цѣнѣ смѣси и цѣнѣ смѣшиваемыхъ вещей.

Задачи на правило смѣшенія бываютъ двухъ родовъ:

1. Въ задачахъ перваго рода имѣютъ въ виду опредѣлить цѣну смѣси по цѣнѣ и количеству смѣшиваемыхъ вещей.

Задача. Смѣшано три сорта муки. Для этого взято 9 Фунтовъ 1-го сорта по 16 коп. за Фунтъ. 7 Фунт. 2-го сорта по 10 коп. и 4 Фунта 3-го по 5 к. Опредѣлить цѣну смѣси.

Задачу и ходъ вычисленія располагаютъ письменно:

Правило. Чтобы найти цѣну смѣси, нужно опредѣлить количество смѣси и ея цѣну и раздѣлить второе число на первое.

2. Въ задачахъ втораго рода по цѣнѣ и количеству смѣси, а также по цѣнѣ смѣшиваемыхъ вещей опредѣляютъ ихъ количество.

Задача. Даны два сорта чаю въ 7 руб..и въ 2 руб. фунтъ. Требуется составить 12 фун. смѣси, цѣнностію по 4 руб. фунтъ. Сколько нужно взять чаю перваго и втораго сорта?

Въ смѣсь долженъ входить чай обоихъ сортовъ, слѣд. будемъ имѣть убытку 3 р. на каждый Фунтъ чаю перваго сорта и прибыли 2 руб. на каждый Фунтъ чаю втораго сорта.

Чаю перваго сорта должно входить въ смѣсь менѣе.

На 5 Фунтовъ смѣси должно входить чаю перваго сорта 2 ф., а втораго 3 ф.

Задача рѣшится при помощи простаго тройнаго правила.

На 5 ф. смѣси нужно взять чаю перваго сорта 2 ф.

откуда

Не трудно повѣрить эту задачу

Задача будетъ неопредѣленною, если смѣшиваемыхъ вещей болѣе двухъ, ибо тогда смѣшеніе можно производить различнымъ образомъ.

Цѣпное правило.

§ 88. Опредѣленіе. Цѣпное правило есть способъ переводить однѣ мѣра въ другія однородныя.

При помощи цѣпнаго правила рѣшается слѣдующая

Задача. Сколько рублей составляютъ 1200 франковъ, если по курсу 180 фр. = 77 гульденамъ, 50 гульденовъ = 11 червонцамъ и 9 червонцевъ = 26 рублямъ.

Всѣ данныя числа задачи располагаютъ въ 2 столбцахъ:

Лѣвый столбецъ начинается съ неизвѣстнаго, а правый съ извѣстнаго числа. Каждое наименованіе праваго повторяется въ слѣдующемъ наименованіи лѣваго столбца.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Разсматривая рѣшеніе, мы видимъ, что числитель составленъ изъ произведенія всѣхъ чиселъ, стоящихъ въ правомъ, а знаменатель изъ произведенія всѣхъ данныхъ чиселъ, стоящихъ въ лѣвомъ столбцѣ. Отсюда вытекаетъ

Правило. Чтобы перевести однѣ мѣры въ другія однородныя, нужно произведеніе всѣхъ чиселъ праваго раздѣлить на произведеніе всѣхъ данныхъ чиселъ лѣваго столбца.

XI. Прибавленія.

Повѣрка ариѳметическихъ дѣйствій числомъ 9.

§ 89. Сравнимыя числа. Числа, дающія одинъ и тотъ же остатокъ при раздѣленіи на другое число, называются числами сравнимыми по этому числу.

Такимъ образомъ числа 11, 20, 3809, дающія при раздѣленіи на 9 одинъ и тотъ же остатокъ 2, будутъ сравнимы по числу 9. При раздѣленіи на 9 сумма сравнима со всѣми слагаемымы, взятыми вмѣстѣ. Сумма и каждое слагаемое сравнимы съ своимъ остаткомъ, отсюда

Повѣрка сложенія. Чтобы сложеніе было вѣрно, необходимо, чтобы остатокъ суммы былъ сравнимъ съ суммою остатковъ всѣхъ слагаемыхъ.

Такъ, повѣряя сложеніе

2675+429+101+19=3224

находимъ, что слагаемыя даютъ остатки

Отсюда видимъ, что сумма 3224 и сумма остатковъ 2 + 6+ 2 + 1 = 11 даютъ одинъ и тотъ же остатокъ 2; сложеніе можетъ быть вѣрно.

Повѣрка вычитанія. Если вычитаніе вѣрно, остатокъ уменьшаемаго сравнимъ съ суммою остатковъ вычитаемаго и разности.

Вычитаніе можетъ быть вѣрно.

Повѣрка умноженія. Если умноженіе сдѣлано вѣрно, произведеніе остатковъ множимаго и множителя сравнимо съ остаткомъ всего произведенія.

слѣд. умноженіе можетъ быть сдѣлано вѣрно.

Повѣрка дѣленія. Если дѣленіе нацѣло вѣрно, остатокъ дѣлимаго сравнимъ съ произведеніемъ остатковъ дѣлителя и частнаго.

Дѣленіе можетъ быть вѣрно.

Если эти правила не выполняются, ариѳметическое дѣйствіе исполнено невѣрно. Если они выполняются, мы не можемъ еще утверждать, что дѣйствіе исполнено вѣрно.

Такіе признаки называютъ необходимыми, но недостаточными .

Признаки дѣлимости на 11, 7 и 13.

§ 90. Признаки дѣлимости на 11. Изъ таблицы

видно, что числа 100, 10000, 100000, у которыхъ единица сопровождается четнымъ числомъ нулей при раздѣленіи на 11 даетъ въ остаткѣ 1, а числа 10, 1000, 100000, у которыхъ единица сопровождается нечетнымъ числомъ нулей, даютъ при раздѣленіи на 11 въ остаткѣ 10.

Такимъ образомъ при раздѣленіи на 11 всѣ части числа 832567 даютъ въ остаткѣ:

Число 832567 даетъ остатокъ 67 + 25 + 83=175.

Если 175 дѣлится на 11 безъ остатка, все число тоже раздѣлится на 11 безъ остатка. Число 175, а слѣд. и данное число даетъ въ остаткѣ 10. Отсюда выводимъ.

Правило. Чтобы узнать дѣлится ли данное число на 11, нужно разбить его отъ правой руки къ лѣвой на грани, по 2 цифры въ каждой-, въ послѣдней грани можетъ быть одна цифра. Если сумма этихъ граней дѣлится на 11 безъ остатка, все число тоже дѣлится на 11 безъ остатка.

Примѣръ. При раздѣленіи на 11 числа 102356375. имѣемъ 75+63 + 35 + 2 + 1=176.

176 дѣлится на 11, а слѣд. и все число дѣлится на 11 безъ остатка.

Признаки дѣлимости на 7 и 13. Изъ таблицы

видно, что числа 1000000, 1000000000000, у котовыхъ единица сопровождается 6, 12, 18 и т. д. нулями даютъ при раздѣленіи на 7 и 13 въ остаткѣ 1. а у чиселъ 1000, 1000000000, оканчивающихся 3, 9. 15 нулями, не достаетъ единицы для того, чтобы они могли раздѣлиться на 7 или 13. Число 17268357 при раздѣленіи на 7 или 13 даетъ:

Если 106 дѣлится на 7 или 13, все число также раздѣляется на 7 или 13 безъ остатка. Отсюда

Правило. Чтобы узнать, дѣлится ли данное число на 7 или 13, нужно раздѣлить его на грани по 3 цифры въ каждой, сложить нечетныя и четныя грани отдѣльно и найти ихъ разность. Если эта розность дѣлится на 7 или 13 безъ остатка, все число тоже раздѣлится на 7 или на 13 безъ остатка.

Примѣръ. Число 1022008002001 даетъ

для суммы нечетныхъ граней = 001 + 008 + 1 = 1 + 8 + 1 = 10

для суммы четныхъ граней = 002 + 022 = 2+22=24

Разность 24—10=14.

Разность дѣлится на 7 и не дѣлится на 13, слѣд., данное число дѣлится безъ остатка на 7 и не дѣлится безъ остатка на 13.

Десятичныя приближенія.

§ 91. Приближенныя величины. Величину каждой десятичной дроби мы можемъ выразить приближенно.

Приближенная дробь. Дробь, замѣняющая данную съ большимъ или меньшимъ приближеніемъ, называется приближенною дробью.

Погрѣшность. Разность между данною и приближенною дробью называютъ погрѣшностью. Величина погрѣшности опредѣляетъ величину или точность приближенія.

При вычисленіяхъ съ десятичными дробями точность приближенія всегда выражаютъ въ десятичныхъ доляхъ.

Такъ, дробь 2,37244561 можно замѣнить дробью 2,37.

Дробь 2,37 будетъ приближенною дробью. Приближенная дробь получается изъ данной десятичной, если мы въ послѣдней опустимъ одинъ или нѣсколько десятичныхъ знаковъ.

Опущенные десятичные знаки составляютъ разность 0,00244561, которая называется погрѣшностью.

Эта погрѣшность менѣе 0,01, слѣдов., приближенная дробь 2,37 выражаетъ данную дробь 2,37244561 точно до 0,01.

Приближенныя дроби, выражающія данную точно до 0,1 одной сотой и 0,001, называютъ также приближенными дробями, выражающими данную точно до перваго, втораго, третьяго десятичнаго знака.

Можно разсматривать двѣ приближенныя дроби, выражающія данную точно до 0,01. Одна изъ нихъ 2,37 менѣе данной, другая 2,38 болѣе данной.

Погрѣшность для обѣихъ дробей <0,01.

Первую дробь называютъ меньшею, вторую большею приближенною дробью. Иногда изъ этихъ дробей выбираютъ ту, для которой погрѣшность меньше.

Двѣ приближенныя дроби, выражающія данную 2,37244561 точно до 0,001 или до третьяго десятичнаго знака, будутъ:

2.372 меньшая приближенная дробь,

2.373 большая приближенная дробь.

Погрѣшность первой дроби 0,00044561 < 0,001 Погрѣшность второй дроби 0,00055439 < 0,001

Первая дробь ближе къ данной, ибо ея погрѣшность меньше.

Ближайшая приближенная дробь. Приближенную дробь, наиближе подходящую къ данной, называютъ ближайшею приближенною дробью.

Чтобы упростить вычисленія, замѣняютъ данныя десятичныя дроби приближенными.

Въ теоріи приближеній являются два вопроса:

1. Опредѣлить приближенія данныхъ дробей по данной точности результата,

2. Опредѣлить точность результата по данному приближенію дробей.

При рѣшеніи предложенныхъ вопросовъ нужно руководиться каждый разъ особыми правилами, смотря по тому, какое ариѳметическое дѣйствіе приходится выполнять.

Разсмотримъ каждое ариѳметическое дѣйствіе отдѣльно.

§ 92. Сложеніе. При сложеніи приближенныхъ дробей обращаютъ вниманіе на число слагаемыхъ.

Положимъ, намъ нужно сложить числа 2,3801; 0,276014; 3,2007; 15,0574; 6,95477 и получить сумму точно до втораго десятичнаго знака. Если число слагаемыхъ менѣе 10, замѣняютъ эти слагаемыя меньшими приближенными дробями съ точностью до 0.001 или до третьяго десятичнаго знака. Ходъ вычисленія выразится письменно:

Отбросивъ третій десятичный знакъ и увеличивъ второй на 1, получимъ приближенную сумму 27,87 съ точностію до 0,01 или до втораго десятичнаго знака.

Дѣйствительно, погрѣшность каждой приближенной дроби < 0,001.

Погрѣшность суммы менѣе произведенія числа слагаемыхъ на 0,001.

Слагаемыхъ менѣе 10, слѣд., погрѣшность суммы менѣе 0,01 то есть 0,001X10.

Дѣйствительная сумма>27,867

Взявъ для суммы число 27,87, содержащееся въ этихъ предѣлахъ, мы тѣмъ самымъ совершаемъ погрѣшность <0,01.

Если число слагаемыхъ болѣе 10 и менѣе 100, нужно взять приближенныя дроби до 4-го десятичнаго знака, чтобы получить приближеніе до 0,01 и т. д. Отсюда вытекаетъ

Правило. А) Если требуется вычислять сумму съ точностію до какого нибудь десятичнаго знака, обращаютъ вниманіе на число слагаемыхъ.

B) Если слагаемыхъ менѣе 10, замѣняютъ данныя дроби такими меньшими приближенными, у которыхъ число десятичныхъ знаковъ на единицу болѣе требуемаго числа знаковъ суммы, складываютъ эти дроби, отбрасываютъ послѣдній десятичный знакъ, увеличивъ предпослѣдній на единицу.

C) Если число слагаемыхъ менѣе 10 и болѣе 100, замѣняютъ данныя дроби меньшими приближенными, у которыхъ число десятичныхъ знаковъ на двѣ единицы болѣе требуемаго числа знаковъ суммы, и складываютъ ихъ. Для искомой суммы берутъ требуемое число знаковъ, увеличивъ послѣднюю десятичную цифру на единицу.

§ 93. Вычитаніе. Чтобы получить разность съ точностію до какого нибудь десятичнаго знака, нужно замѣнить обѣ данныя дроби меньшими или большими приближенными дробями съ тою же точностію.

Такъ, желая получить разность дробей 9,27824 и 6,7304507 съ точностію до 0,001. мы замѣняемъ двѣ данныя дроби меньшими приближенными до третьяго десятичнаго знака. Сдѣлавъ это, получаемъ:

Разность отличается отъ точнаго результата или погрѣшность разности менѣе 0,001.

§ 94. Умноженіе. Чтобы найти произведеніе 23,78050715 на 325, 421 съ точностью до 0,01, мы отыскиваемъ всѣ частныя произведенія, послѣдовательно умножая множимое на 5, на 20, на 300, на 0,4 на 0,02, и на 0,001. Точность каждаго частнаго произведенія опредѣляютъ въ зависимости отъ суммы цифръ всего множителя. Если сумма цифръ менѣе 10, вычисляютъ частныя произведенія на одинъ десятичный знакъ болѣе результата. Если сумма цифръ болѣе 10 и менѣе 100, вычисляютъ частныя произведенія на два десятичные знака болѣе результата, то есть вычисляютъ въ 100 разъ точнѣе требуемаго приближенія и т. д.

Въ данномъ примѣрѣ сумма цифръ множителя болѣе 10 и менѣе 100, а требуется точность 0,01, слѣд., частныя произведенія нужно вычислять до 4-го десятичнаго знака.

а) При умноженіи на 5 нужно начинать умноженіе числа 23,78050715 съ четвертаго десятичнаго знака. На десятичные знаки послѣ 4-го можно не обращать вниманія, ибо они не могутъ вліять на сотыя доли произведенія. Сдѣлавъ это, получаемъ частное произведеніе:

Въ этомъ произведеніи погрѣшность < 0,0001 X 5 или <0,0005.

b) Чтобы получить результатъ той же точности при умноженіи на 20, нужно начинать умноженіе

на 2 съ пятаго десятичнаго знака, ибо число 20 содержитъ десятки.

Сдѣлавъ это, имѣемъ:

Погрѣши ость <0,00001x20 или< 0,0002

с) Чтобы умножить на 300, нужно начинать умноженіе на 3 съ 6-го десятичнаго знака.

Погрѣшность<0,000001X300 или<0,0003

d) При умноженіи на 0,4 нужно для той же точности подписывать 4 подъ 3-мъ десятичнымъ знакомъ.

Погрѣшность<0,001х0,4 или<0,0004.

Поступая подобнымъ образомъ и сводя вмѣстѣ всѣ эти результаты, мы можемъ ходъ вычисленія выразить письменно:

Отдѣляя запятою 4 цифры, мы сохраняемъ для приближенной дроби только два десятичныхъ знака, увеличивая второй знакъ на 1.

Искомое приближенное произведеніе 7738,68 будетъ вѣрно до сотыхъ долей.

Дѣйствительно, погрѣшность всего произведенія менѣе 0,0003 + 0,0002 + 0,0005 + 0,0004 + 0,0002 + 0,0001 или погрѣшность < 0,0001, умноженной на сумму цифръ 3+2+5+44-2 + 1.

Погрѣшность < 0,0017, а слѣдовательно подавно <0,01.

При вычисленіи мы располагаемъ цифры множителя въ обратномъ порядкѣ. Умноженіе начинаемъ съ той цифры множимаго, которая стоитъ надъ множителемъ, слѣд. мы не обращаемъ вниманія на цифры множимаго, стоящія справа отъ данной цифры множителя.

Изъ предложеннаго примѣра выводимъ

Правило. А) При приближенномъ умноженіи подписываютъ цифры множителя подъ множимымъ въ обратномъ порядкѣ.

B) Если сумма цифръ множителя менѣе, 10, простыя единицы множителя должны приходиться подъ разрядомъ множимаго въ 10 разъ менѣе требуемаго приближенія. Если сумма цифръ множителя болѣе 10 и менѣе 100, подписываютъ простыя единицы подъ разрядомъ множимаго въ 100 разъ менѣе даннаго приближенія и т.д.

C) Умножаемъ множимое на всѣ цифры множителя, начиная каждый разъ умноженіе съ той цифры множимаго, которая находится надъ цифрою множителя.

D) Частныя произведенія располагаемъ одно надъ другимъ такимъ образомъ, чтобы, всѣ цифры частныхъ про-

изведеній справа,, помѣщались въ одномъ вертикальномъ столбцѣ.

Е) Сложивъ частныя произведенія, ограничиваемся даннымъ приближеніемъ, отбрасывая одну или двѣ остальныя цифры произведенія и увеличивая послѣднюю цифру приближенія на единицу.

Примѣръ. Найти произведеніе 15,021 на 375,217016 съ точностію до 0,001.

Выбираемъ множителемъ число 15,021. Сумма цифръ множителя<10. Располагаемъ единицы множителя подъ 4-мъ десятичнымъ знакомъ и подписываемъ всего множителя подъ множимымъ въ обратномъ порядкѣ.

Ходъ вычисленія выразится письменно:

Для приближеннаго произведенія беремъ три десятичныхъ знака, увеличивая послѣдній на 1.

Приближенное произведеніе будетъ 5636, 135.

§ 95. Дѣленіе. Чтобы найти частное отъ дѣленія 255,02313 на 429,1 съ приближеніемъ до 0,001, мы прежде всего приводимъ дѣлителя къ цѣлому числу.

Для этого умножаемъ дѣлимое и дѣлителя на 10. Чтобы раздѣлить 2550,2313 на 4291 съ точностію до 0,001, увеличиваемъ дѣлимое въ 1000 разъ и

отыскиваемъ частное съ точностію до 1, то есть находимъ цѣлую часть частнаго или просто цѣлое частное.

Раздѣляя 2550231,3 на 4291, мы можемъ отбросить десятичные знаки, ибо они не имѣютъ вліянія на единицы частнаго.

Такимъ образомъ въ данномъ примѣрѣ приходится раздѣлить 2550231 на 4291 съ точностію до единицы.

Двѣ послѣднія цифры дѣлимаго не имѣютъ вліянія на единицы частнаго, поэтому ихъ зачеркиваемъ или замѣняемъ нулями.

Сдѣлавъ это, мы частное уменьшаемъ на величину менѣе 0,01.

а) Производя дѣленіе до тѣхъ поръ, пока не придется снести перваго изъ тѣхъ нулей, которыми мы замѣнили зачеркнутыя цифры, имѣемъ:

b) Вмѣсто того, чтобы сносить нуль и дѣлить, мы остатокъ и дѣлителя одновременно уменьшаемъ въ 10 разъ.

Для этого оставляемъ остатокъ безъ перемѣны, а дѣлителя уменьшаемъ вдесятеро, зачеркивая цифру единицъ. Раздѣляя 4047 на 429, находимъ въ частномъ 9. Умножая на 9, мы обращаемъ вниманіе на зачеркнутую цифру дѣлителя.

Произведеніе 1.9=9 болѣе 5, поэтому присчитываемъ единицу къ произведенію слѣдующей цифры

на дѣлителя. Принимая это въ соображеніе, получимъ

с) Чтобы отыскать третью цифру частнаго, поступаемъ точно также, то-есть зачеркиваемъ слѣдующую цифру дѣлителя 9 и, раздѣляя 185 на 42, получаемъ 4, третью цифру частнаго.

Умножая 42 на 4, мы принимаемъ въ соображеніе зачеркнутую цифру 9.

4 X 9 = 36, слѣд., присчитываемъ 3 или лучше 4 къ произведенію дѣлителя 42 на частное 4. Сдѣлавъ это, имѣемъ произведеніе 172 и остатокъ 13. Вмѣсто того, чтобы замѣнить нулями цифры дѣлимаго, мы ихъ просто зачеркиваемъ.

Весь ходъ вычисленія выразится письменно:

d) Уменьшая 594 въ 1000 разъ, мы получаемъ частное 0,594 съ точностію до 0,001. Это частное вѣрно до 3-го десятичнаго знака.

Примѣръ. Найти частное отъ раздѣленія 41391,02174 на 412,17 съ приближеніемъ до 0,01.

41391,02174 : 512,17 = 4139102,174 : 41217

Увеличивъ дѣлимое во 100 разъ, дѣлимъ 413910217 на 41217 съ точностію до 1. Для этого зачеркиваемъ въ дѣлимомъ три цифры.

Ходъ вычисленія выразится

Правило сокращеннаго дѣленія цѣлыхъ чиселъ съ приближеніемъ до единицы.

A) Чтобы раздѣлитъ цѣлыя числа съ приближеніемъ до единицы, зачеркиваютъ въ дѣлимомъ столько послѣднихъ цифръ, сколько ихъ въ дѣлителѣ безъ двухъ, и дѣлятъ до первой зачеркнутой цифры по правиламъ обыкновеннаго дѣленія.

B) Зачеркнувъ въ дѣлителѣ цифру единицъ, получаютъ втораго дѣлителя и дѣлятъ на него остатокъ, умножаютъ втораго дѣлителя на вторую цифру частнаго, при чемъ принимаютъ въ соображеніе десятки, получаемые при умноженіи зачеркнутой цифры на цифру частнаго, и вычитая получаютъ новый остатокъ.

C) Зачеркнувъ справа вторую цифру дѣлителя, получаютъ третьяго дѣлителя и дѣлятъ на него этотъ остатокъ.

D) Дѣленіе продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока не зачеркнутъ въ дѣлителѣ столько цифръ, сколько ихъ зачеркнуто въ дѣлимомъ.

Правило дѣленія десятичныхъ дробей съ даннымъ приближеніемъ. Чтобы раздѣлить десятичныя дроби съ даннымъ приближеніемъ, приводятъ дѣлителя къ цѣлому числу, увеличиваютъ дѣлимое въ 10, 100, 1000 разъ и т. д., смотря по приближенію, откидываютъ въ дѣлимомъ десятичные знаки и производятъ сокращенное дѣленіе цѣлыхъ чиселъ съ приближеніемъ до 1. Частное уменьшаютъ во столько разъ, во сколько мы увеличили дѣлимое.

Метрическая система мѣръ.

§ 96. Каждое государство имѣетъ свои мѣры. Это приводитъ къ большимъ затрудненіямъ при переводѣ однѣхъ мѣръ въ другія. При международныхъ сношеніяхъ давно уже чувствовалась потребность имѣть однообразныя, общепринятыя мѣры. Затрудненія состояли въ томъ, чтобы остановиться на такой единицѣ длины, которая отличалась бы наибольшимъ постоянствомъ.

Въ 1790 году во Франціи составлена была комиссія изъ знаменитыхъ ученыхъ, Лапласа, Лагранжа, Монжа, Борда и Кондорсе, которой поручили выработать проектъ однообразныхъ мѣръ.

Комиссія предложила принять за единицу длины мѣру, существующую въ природѣ. Для этого выбрана была длина четверти парижскаго меридіана. Раздѣливъ эту длину на 10000000 частей, комиссія выбрала эту часть за единицу длины и назвала ее метромъ.

Метръ. Метръ есть десятимилліонная доля четверти меридіана.

Метръ былъ положенъ въ основу системы мѣръ.

§ 97. Остальныя мѣры длины составлены по десятичной системѣ. Принято за правило для означенія мѣръ большихъ метра въ 10, 100, 1000 разъ присоединять впереди греческія слова дека (десять), гекта (сто), кило (тысяча), миріа (десять тысячъ). Для означенія мѣръ меньшихъ метра въ 10, 100, 1000 разъ принято приставлять впереди латинскія слова деци (десятая), центи (сотая), милли (тысячная). При помощи этихъ правилъ составлены

Таблицы десятичныхъ мѣръ.

МѢРЫ ДЛИНЫ.

Метръ = 10000000 части четверти меридіана (около 22-1 вершковъ).

Декаметръ = 10 метрамъ.

Гектаметръ = 10 декаметрамъ, 100 метрамъ.

Километръ = 10 гектаметрамъ, = 100 декаметрамъ = 1000 метрамъ.

Миріаметръ = 10 километрамъ, 100 гектаметрамъ = 1000 декаметр. = 10000 метрамъ.

Дециметръ = десятой части метра = 0,1 метра.

Центиметръ (сантиметръ) = сотой части метра = 0,01 метр.

Миллиметръ = тысячной части метра = 0,001 метр.

Эта система называется метрическою и была введена во Франціи 2-го ноября 1801 года.

МѢРА ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Квадратный метръ. За единицу поверхностей принятъ квадратный метръ.

Аръ. Площадь квадрата, у котораго каждая сторона равна десяти метрамъ, называется аромъ.

Аръ имѣетъ 100 кв. метр.

Гекторъ » 100 аровъ = 10000 кв. метр.

Миріаръ » 10000 аровъ.

Центіаръ=сотой долѣ ара или квадратному метру. Квадратный метръ имѣетъ 100 кв. дециметровъ. Квадр, дециметръ » 100 » сантиметровъ.

» сантиметръ » 100 > миллиметровъ.

МѢРА ОБЪЕМОВЪ.

Стеръ. За единицу объемовъ принятъ кубическій метръ, называемый стеромъ.

Стеръ равенъ кубическому метру.

Декастеръ » 10 куб. метрамъ.

Децистеръ » 0,1 кубическаго метра.

Кубическій метръ имѣетъ 1000 куб. дециметровъ (10 х 10 х 10).

Кубич. дециметръ имѣетъ 1000 кубич. сантиметровъ (10 X 10 X 10).

Кубич. сантиметръ имѣетъ 1000 кубич. миллиметровъ (10 х 10 X 10).

Кубическій метръ = 1000 X1000 х 1000=1000000000 куб. миллиметровъ.

МѢРА ЖИДКОСТЕЙ И ЗЕРНОВАГО ХЛѢБА.

Литръ. Для измѣренія жидкостей и зерноваго хлѣба принятъ литръ.

Литръ = кубическому дециметру.

Декалитръ = 10 литрамъ.

Гекталитръ = 100 литрамъ.

Килолитръ = 1000 литрамъ.

Децилитръ = 0,1 литра.

Сантилитръ = 0,01 литра.

Литръ, декалитръ, гекталитръ и килолитръ служатъ преимущественно для измѣренія сыпучихъ, а декалитръ, литръ и децилитръ для измѣренія жидкихъ тѣлъ.

МѢРЫ ВѢСА.

Граммъ. За единицу вѣса принятъ вѣсъ кубическаго сантиметра чистой воды при температурѣ наибольшей плотности (4° Цельсія). Этотъ вѣсъ называется граммомъ

Граммъ = 0,2344 золотника.

Декаграммъ = 10 граммамъ.

Гектаграммъ = 100 граммамъ.

Килограммъ = 1000 грамм. (около 2-1- русскихъ Фунтовъ).

Квинталъ = 100 килограмм.

Тонна = 1000 килограмм.

Дециграммъ = 0,1 грамм.

Центиграммъ = 0,01 грамм.

Миллиграммъ = 0,001 грамм.

Названія декаграммъ и гектаграммъ почти никогда не употребляются.

МѢРЫ СТОИМОСТИ.

Франкъ. За мѣру стоимости принятъ франкъ, серебряная монета вѣсомъ въ 5 граммовъ, состоящая изъ 9 частей чистаго серебра и 1 части лигатуры.

Франкъ имѣетъ 100 сантимовъ.

Метрическія мѣры имѣютъ непосредственную связь съ десятичными дробями. Всякое составное именованное число выражается въ метрическихъ мѣрахъ десятичною дробью. Такъ, именованное число 5 метр. 6 дециметр. 3 сантиметр. 9 миллиметр. можетъ быть выражено десятичною дробью 5,639 метр.

Дѣйствія съ метрическими мѣрами. При дѣйствіяхъ съ метрическими мѣрами поступаютъ также, какъ поступаютъ при вычисленіяхъ съ десятичными дробями.

Чтобы обратить метры въ дециметры, центиметры, миллиметры, нужно поступать такъ, какъ поступаемъ при увеличеніи десятичныхъ дробей въ 10, 100, 1000 разъ, то-есть переносить запятую вправо черезъ одинъ, два, три десятичныхъ знака и т. д.

Чтобы обратить миллиметры въ дециметры, сантиметры, метры, нужно уменьшать въ 10, 100, 1000 разъ, то-есть переносить запятую влѣво черезъ одинъ, два, три десятичныхъ знака.

Чтобы обратить квадратные метры въ квадратные дециметры, сантиметры, миллиметры, нужно умножать на 100, 10000, 1000000, то-есть переносить запятую вправо черезъ 2, 4, 6 десятичныхъ знаковъ.

Чтобы обратить квадратные миллиметры въ квадратные дециметры, сантиметры, метры, нужно запятую переносить влѣво черезъ 2, 4, 6 десятичныхъ знаковъ.

Чтобы обратить кубическіе метры въ кубическіе дециметры, сантиметры, миллиметры, нужно умножать на 1000, 1000000, 1000000000, то-есть переносить запятую вправо черезъ 3, 6, 9 десятичныхъ знаковъ.

Чтобы обратить кубическіе миллиметры въ кубическіе дециметры, сантиметры или метры, нужно запятую переносить влѣво черезъ 3, 6, 9 десятичныхъ знаковъ.

§ 98. Сравненіе метрическихъ мѣръ съ русскими.

Весьма важно имѣть точныя сравнительныя таблицы русскихъ мѣръ съ метрическими.

Основныя числа. При составленіи такихъ таблицъ профессорш Петрушевскій и Еремѣевъ *) выбрали слѣдующія основныя числа:

1 метръ = 39,3708 дюймовъ.

Плотность воды при 13-Ео Реомюра = 1 : 1,001142.

1 кубическій дюймъ воды вѣситъ 368,361 долей.

1 Фунтъ вѣсу = 25,01893 куб. дюймовъ воды при ІЗАо Реомюра.

Ведро вмѣщаетъ въ себѣ 30 Фунтовъ воды при 13-1 „ Реомюра.

Четверикъ вмѣщаетъ въ себѣ 64 Фунта воды при 13-Ео Реомюра.

Приведемъ нѣкоторыя числа изъ этихъ таблицъ.

МѢРЫ ДЛИНЫ.

1 верста = 1,067 километра = 1 километръ и 67 метровъ.

1 сажень = 2,1336 метровъ = 2 метра 133,6 миллиметра.

1 Футъ = 0,3048 метр. или 304,8 миллиметра.

1 дюймъ = 25,3995 миллиметра.

1 линія = 2,53995 миллиметра.

1 аршинъ = 711,2 миллиметра.

Километръ = 0,9374 версты = 468 саж. 4,9 Фута.

Метръ = 3,2809 фута = 3 Фут. 3 д. 3,708 лин.

Метръ = 0,4687 саж. = 1 ар. 6-1 вер. = 22-1 вер.

(22.4976 вершк.) = 1,4061 арш.

*) Петрушевскій и Еремѣевъ. Сравнительная таблица десятичныхъ и русскихъ мѣръ. 1868.

Дециметръ = 3,93708 дюйма.

Сантиметръ =0,39371 дюйма.

Миллиметръ = 0,03939 дюйма.

КВАДРАТНЫЯ МѢРЫ.

Квадратная верста= 1,13802 кв. километра.

„ сажень = 4кв. метра и 552082 кв. миллим.

„ футъ = 92899,64 кв. миллиметр.

,, дюймъ = 645,13636 кв. миллиметр.

Квадратная линія =6,4513636 кв. миллиметр.

„ аршинъ = 505786,91 кв. миллиметр. „ вершк. = 1975,73 кв. миллиметр.

Десятина =1 гект. 924,997 кв. метр.

Гектаръ = 100 арамъ = 2196,7969 кв. саж.

Аръ =21 кв. саж. 47 кв. фут.

Квадр, метр. = 0,21967969 кв. саж. =10,76430481 кв. Футовъ =10 кв. Фут. 110 кв. дюймамъ.

Квадр, миллим. =0,00155 кв. дюйма.

КУБИЧЕСКІЯ МѢРЫ.

Кубическая сажень = 9,712145 куб. метра. Кубическій Футъ = 0,028315290 кубич. метр. Кубическій дюймъ =16386,163 куб. миллиметр. Кубическій аршинъ = 0,359709 куб. метр.

Кубическій метръ =0,102963870703 куб. саж.

= 35,316607651129 куб. фут.

Кубич. миллиметръ = 0,000061027098 куб. дюйм.

МѢРЫ ВѢСА.

Пудъ = 16,3799 килогр. = 16 килогр. 379,9 грам. Фунтъ = 0,409497 килогр. = 409,497 грам.

Лотъ = 12,7967724 грамма.

Золоти. = 4,2655908 грамма.

Доля = 44,43324 миллиграм.

Аптекар. Фунтъ = 0,358310 килогр.=358,31 грам.

Унція = 29,8591355 грам.

Драхма = 3,7323919 грамм.

Гранъ = 62,2065 миллиграм.

Тонна =1000 килогр. 61, 050551 пуд.

Квинталъ =100 килогр.= 244,202203 фун.

= 6 пуд. 4 ф. 19 зол. Килограммъ =2 ф. 42 зол.

Граммъ =0,23443411 зол.=22,505 долей.

Кромѣ того Четверть = 209,90175 литра.

Четверикъ = 26,23772 литра.

Ведро = 12,298931 литра.

Литръ или куб. дециметръ=61,027098021 куб. дюйм.

=0,08130788 ведеръ.

=0,03811307 четвериковъ

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ТАБЛИЦА РУССКИХЪ МОНЕТЪ СЪ ИНОСТРАННЫМИ.

§ 99. Номинальная стоимость. Въ этой таблицѣ мы приведемъ только монеты главнѣйшихъ государствъ Европы. При опредѣленіи ихъ цѣнности будемъ принимать въ соображеніе ихъ номинальную стоимость, зависящую отъ количества металла, входящаго въ монету. Эта стоимость постоянна и не подлежитъ колебаніямъ.

Главнѣйшія государства Европы ведутъ монетный счетъ

Англія:

Фунтъ стерлингъ = 20 шилинговъ=6 р. 28,87 коп.

Шиллингъ =12 пенсовъ=31,44 коп.

Пенсъ = 2,4 коп.

Франція:

Франкъ = 20 су = 100 сантимовъ = 25 коп.

Су =5 сантимовъ.

Германія:

Талеръ = 30 зильбергрошей = 92,5 коп.

Марка = 100 пфениговъ = 30,87 коп. =4 талера. Австрія:

Гульденъ =100 крейцеровъ =61,27 коп.

Крейцеръ = 0,61 коп.

Въ Италіи и Бельгіи монетный счетъ такой же какъ и во Франціи. Франкъ въ Италіи называется лирой.

Курсъ. При торговыхъ оборотахъ и денежныхъ переводахъ рубль считаютъ по той цѣнѣ, какая устанавливается на биржѣ. Эта цѣна называется курсомъ. Она подлежитъ колебаніямъ и зависитъ отъ тѣхъ денежныхъ счетовъ, которые встрѣчаются при международныхъ сношеніяхъ.

Нѣкоторыя приложенія алгебры къ ариѳметикѣ.

Дополненіе къ теоріи дѣлителей.

§ 100. Если цѣлое число п дѣлится нацѣло на цѣлое число d, число d называется дѣлителемъ числа п, а число п называется кратнымъ числа d.

Означимъ черезъ S частное отъ раздѣленія п на d. Частное 8 называется дѣлителемъ дополнительнымъ дѣлителю d для кратнаго числа п.

Всякое число равно произведенію дѣлителя на дополнительнаго дѣлителя.

Числа простыя и составныя. Число называется простымъ, если оно не имѣетъ никакихъ дѣлителей кромѣ 1 и самого себя. Всякое другое число называется составнымъ.

Число простыхъ чиселъ. Число простыхъ чиселъ безконечно. Это положеніе доказалъ еще Эвклидъ. Его доказательство основано на слѣдующихъ соображеніяхъ. Допустимъ, что число простыхъ чиселъ конечно, и число N есть наибольшее изъ простыхъ чиселъ.

Написавъ всѣ простыя числа въ возрастающемъ порядкѣ:

2, 3, 5, 7, ... N (1)

и составивъ число К, равное произведенію всѣхъ этихъ чиселъ, сложенному съ единицей:

А=2.3.5.7 . . . у + 1

мы видимъ, что цѣлое число К не дѣлится нацѣло ни на одно простое число ряда (1). При раздѣленіи на каждое простое число ряда (1), число К даетъ въ остаткѣ единицу. Отсюда мы заключаемъ, что или число К есть само простое, или оно дѣлится на какое нибудь простое число, не содержащееся въ рядѣ (1). Такимъ образомъ видно, что число простыхъ чиселъ не можетъ быть конечнымъ. Это число безконечно.

Если число велико, очень трудно каждый разъ опредѣлять, будетъ ли оно простымъ. Для облегченія составляютъ таблицы простыхъ чиселъ. Въ этихъ таблицахъ простыя числа расположены въ возрастающемъ порядкѣ. Примѣромъ такихъ таблицъ можетъ послужить

Таблица простыхъ чиселъ, не превосходящихъ 300.

Важность этихъ таблицъ побуждала нѣкоторыхъ ученыхъ заниматься ихъ составленіемъ. Такъ Шepнакъ (Chernac), профессоръ въ Девентерѣ, составилъ таблицу простыхъ чиселъ до 1000000, а Буркхардтъ (Burkhardt) до 3036000.

Чтобы узнать, будетъ ли данное число простымъ, нужно, начиная съ 2, послѣдовательно дѣлить его на всѣ простыя числа таблицы до тѣхъ поръ, пока въ частномъ не получимъ числа менѣе дѣлителя. Если данное число при этомъ не раздѣлилось нацѣло на какое нибудь простое число, оно само будетъ простымъ.

Доказательство. Допустимъ, что, послѣдовательно раздѣляя число N на простыя числа таблицы, мы постоянно получали остатокъ и при раз

дѣленіи на простое число D въ первый разъ получили въ цѣломъ частномъ число & менѣе дѣлителя D

% < D

Число N есть простое, и далѣе продолжать дѣленія не слѣдуетъ.

Дѣйствительно, продолжая далѣе дѣленіе числа А на числа, большія 1), мы должны получать въ частномъ числа меньше <5, а слѣдовательно, и подавно меньше D.

Допустимъ, что, продолжая дѣлить число N на простыя числа, нашли, что оно дѣлится нацѣло на число D, > D и даетъ въ частномъ число

Мы знаемъ, что число

Изъ равенства

N = ЯД

видно, что число 2Ѵ должно было бы также дѣлиться нацѣло на число 8і меньше D.

Но мы уже прежде убѣдились, что число N не дѣлится нацѣло ни на одно изъ чиселъ меньшихъ D. Итакъ, число Лт есть число простое.

§ 101. Общій наибольшій дѣлитель. Къ числу важнѣйшихъ принадлежитъ вопросъ о нахожденіи общаго наибольшаго дѣлителя двухъ или нѣсколькихъ чиселъ.

Найдемъ общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ а и Ъ гдѣ а > Ъ.

Положимъ, что, раздѣливъ большее число а на меньшее Ъ, получили въ цѣломъ частномъ т и въ первомъ остаткѣ с; раздѣливъ меньшее число Ъ на первый остатокъ с, получили въ цѣломъ частномъ т, и во второмъ остаткѣ d и т. д.; раздѣливъ f на д получили въ цѣломъ частномъ и въ остаткѣ h\ наконецъ, раздѣливъ д на h находимъ, что дѣленіе совершается нацѣло и въ частномъ получаемъ р

Рядъ послѣдовательныхъ дѣйствій можетъ быть представленъ въ видѣ:

Взаимная зависимость чиселъ выразится равенствами:

(2)

Изъ этихъ уравненій видно, что дѣлитель, общій числамъ а и Ь, долженъ дѣлить и с\ будучи общимъ для с и d, долженъ дѣлить и е. Продолжая разсуждать подобнымъ образомъ, мы заключаемъ, что дѣлитель, общій а и Ъ, долженъ быть общимъ для чиселъ f и д, а слѣдовательно долженъ дѣлить и h.

Общій наибольшій дѣлитель а и Ъ есть число 1г.

Изъ самаго хода дѣйствій вытекаетъ и правило нахожденія общаго наибольшаго дѣлителя, изложенное въ § 23.

Взаимно простыя числа. Числа называются взаимно простыми, если ихъ общій наибольшій дѣлитель равенъ 1.

Поступая по общимъ пріемамъ нахожденія общаго наибольшаго дѣлителя для двухъ взаимно-простыхъ чиселъ а и Ъ замѣчаемъ, что въ этомъ случаѣ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ будетъ 1, слѣд. въ уравненіяхъ (2) /? = 1.

Взаимная зависимость чиселъ выразится въ этомъ случаѣ равенствами:

(3)

Для теоріи дѣлимости имѣютъ важное значеніе нѣкоторыя свойства взаимно простыхъ чиселъ.

Для вывода этихъ свойствъ служитъ слѣдующее Основное предложеніе. Если два числа а и b взаимно простыя, общій дѣлитель чиселъ ак и b будетъ общимъ дѣлителемъ чиселъ к и Ь.

Умноживъ уравненія (3) на к, получимъ равенства:

(4)

изъ которыхъ видно, что

дѣлитель, общій ак и Ь, долженъ быть дѣлителемъ числа ск; будучи общимъ дѣлителемъ b и ск, долженъ дѣлить и dk

будучи общимъ дѣлителемъ /^ и дк, долженъ дѣлить и к = fk — тѵук.

Отсюда общій наибольшій дѣлитель чиселъ «и b долженъ быть общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ к и Ь.

Изъ этого предложенія вытекаетъ цѣлый рядъ слѣдствій.

Слѣдствіе 1. Произведеніе двухъ чиселъ а и к, взаимно простыхъ съ Ь, будетъ само взаимно-простымъ съ Ь.

Доказательство. Если а и b взаимно-простыя числа, по основному предложенію общій наибольшій дѣлитель ак и b будетъ общимъ наибольшимъ дѣли

телемъ чиселъ к и Ь. Общій наибольшій дѣлитель чиселъ к и b есть единица, (к и Ъ взаимно простыя числа), слѣдовательно, общій наибольшій дѣлитель чиселъ ак и Ъ есть 1, то есть ак и b будутъ взаимно простыми числами.

Слѣдствіе 2. Если а и Ъ взаимно простыя числа и произведеніе ак дѣлится нацѣло на Ъ, число к должно тоже дѣлиться нацѣло на Ь.

Слѣдствіе 3. Если три числа, а, Ь, с взаимно-простыя съ «, произведеніе abc будетъ тоже числомъ взаимно-простымъ съ а.

Доказательство. Числа а и b взаимно-простыя, слѣд., и произведеніе ab есть число взаимнопростое съ а (по первому слѣдствію).

Два числа ab и с взаимно-простыя съ », слѣдов. и произведеніе ихъ ab х с = abc будетъ тоже числомъ взаимно-простымъ съ а.

Подобное же слѣдствіе легко вывести для случая т неравныхъ и равныхъ множителей.

Слѣдствіе 4. Если цѣлое число N дѣлится безъ остатка на два взаимно-простыхъ числа а и Ь, оно раздѣлится и на ab, ихъ произведеніе.

Доказательство. Число N дѣлится нацѣло на а. Означимъ частное отъ раздѣленія N на а чрезъ А, тогда

.У = а А.

Число N или аА дѣлится нацѣло на Ь. Такъ какъ число а взаимно-простое съ Ь, то число А должно дѣлиться безъ остатка на b (по 2-му слѣдствію). Означивъ черезъ А частное отъ раздѣленія В на Ь, находимъ:

слѣд., число N дѣлится безъ остатка на ab.

На этомъ свойствѣ основано

Предложеніе. Число дѣлится на произведеніе двухъ взаимно-простыхъ чиселъ, если оно дѣлится на каждое изъ этихъ чиселъ безъ остатка.

Это предложеніе объясняетъ основанія, по которымъ имѣютъ мѣсто признаки дѣлимости, изложенные въ § 20.

Нѣсколько замѣчаній о пропорціяхъ.

§ 102. Основное свойство ариѳметической пропорціи выводится очень просто при помощи буквеннаго обозначенія чиселъ. Означая чрезъ а, Ъ, с, d четыре члена ариѳметической пропорціи, выражаемъ ее письменно:

а — Ь = с — d

Означая разность черезъ г, мы имѣемъ изъ 1-го и 2-го отношенія:

Складывая эти два равенства, имѣемъ:

сумма крайнихъ равна суммѣ среднихъ членовъ. Геометрическая пропорція при помощи буквеннаго обозначенія чиселъ выражается письменно:

Означивъ знаменателя обоихъ отношеній черезъ р, имѣемъ:

а = Ьр, с = dp.

Изъ перваго отношенія находимъ:

а — Ьр

Изъ втораго

Перемноживъ эти равенства, имѣемъ:

или ad = be

основное свойство геометрической пропорціи.

Свойства производныхъ пропорцій легко выводятся при помощи буквеннаго обозначенія. Прикладывая по единицѣ къ обѣимъ частямъ пропорціи

получаемъ:

или

Вычитая по единицѣ

получаемъ:

или

Изъ равенствъ (2) и (4) находимъ:

ВОПРОСЫ КЪ АРИѲМЕТИКѢ ДРОБНЫХЪ ЧИСЕЛЪ.

I. Основныя свойства дробей.

Происхожденіе и счисленіе дробей.

1. Сколько случаевъ бываетъ при измѣреніи величины? (§ 1).

2. Какъ выражаютъ результатъ измѣренія величины?

3. Какъ дается названіе частямъ единицы?

4. Что называютъ половиною, третью и т. д.?

5. Что есть дробь? (Опредѣленіе).

6. Объяснить на примѣрѣ дроби А, А, А.

7. Что нужно для того, чтобы имѣть ясное понятіе о дроби? (§ 2).

8. Какъ выражается дробь?

9. Что показываетъ знаменатель?

10. Что показываетъ числитель?

11. Какъ называютъ вмѣстѣ числителя и знаменателя?

12. Что имѣетъ въ виду счисленіе дробей? (§ 3).

13. Какъ изображаютъ дробь письменно?

14. Какъ произнести дробь словесно?

15. Отъ какого дѣленія происходитъ дробь? (§ 4).

16. Что выражаетъ дробь при дѣленіи?

17. Какъ получить частное, если дѣленіе цѣлыхъ чиселъ не совершается нацѣло?

Отношеніе дробей къ единицѣ.

18. Сколько долей содержитъ единица (§ 5).

19. Какъ раздѣляются дроби?

20. Что такое правильная дробь?

21. Что такое неправильная дробь?

22. Въ какомъ отношеніи къ единицѣ находятся правильныя и неправильныя дроби?

23. Какими знаками изображаютъ слова болѣе и менѣе?

24. Что называется неравенствомъ?

25. Кѣмъ былъ введенъ знакъ болѣе?

26. Что значитъ исключить цѣлое число изъ неправильной дроби? (§ 6).

27. Какъ исключить цѣлое число изъ неправильной дроби? (Правило).

28. Что называется смѣшаннымъ числомъ?

29. Что сокращенно выражаетъ смѣшанное число 5А?

30. На что указываютъ при обращеніи цѣлаго числа въ неправильную дробь? (§ 7).

31. Какъ обратить цѣлое число въ неправильную дробь? (Правило).

32. Въ какія доли обращаютъ обыкновенно смѣшанное число?

33. Какъ обратить смѣшанное число въ неправильную дробь? (Правило).

34. Какъ можно смотрѣть на смѣшанное число?

35. Что значитъ обратить смѣшанное число въ неправильную дробь?

36. Въ какомъ отношеніи находятся дроби съ одинакими знаменателями?

37. Въ какомъ отношеніи находятся дроби съ одинакими числителями?

Измѣненіе величины дробей.

38. Что происходитъ съ дробями съ измѣненіемъ ихъ числителя и знаменателя? (§ 9).

39. Какъ увеличить дробь?

40. Что мы дѣлаемъ съ дробью, отбрасывая знаменателя?

41. Какъ уменьшить дробь?

42. Когда дробь не измѣняетъ своей величины?

43. Изъ какого общаго свойства вытекаютъ правила увеличенія и уменьшенія дробей?

44. Какъ увеличить или уменьшить смѣшанное число?

Рѣшеніе нѣкоторыхъ задачъ, относящихся къ дробямъ.

45. Какія задачи рѣшаются при помощи основныхъ свойствъ дробей? (§ 10).

46. Какъ взять нѣсколько частей числа?

47. Какъ по нѣсколькимъ даннымъ частямъ числа составить все число?

II. О дѣлителяхъ

48. Что называется дѣлителемъ какого-нибудь числа? (§ 11).

49. Что называется числомъ кратнымъ другому?

50. Что называется дополнительнымъ дѣлителемъ?

51. Чему равно кратное число?

52. Какихъ дѣлителей имѣетъ всякое число?

53. Что такое рядъ натуральныхъ чиселъ? (§ 12).

54. Какъ раздѣляются числа?

55. Что называется простымъ числомъ?

56. Что называется составнымъ числомъ?

57. Чѣмъ отличается простое число отъ составнаго, если ихъ выразить произведеніемъ двухъ чиселъ?

58. Почему числа называются составными?

59. Сколько простыхъ чиселъ?

60. Какъ отличить простое число отъ составнаго?

Признаки дѣлимости.

61. Что такое признаки дѣлимости? (§ 13).

62. Какое свойство суммы лежитъ въ основѣ теоріи признаковъ дѣлимости?

63. Какія числа называются четными и нечетными? (§ 14).

64. Вывести признакъ дѣлимости на 2.

65. Когда число дѣлится на 2 безъ остатка? (Правило).

66. Вывести признакъ дѣлимости на 4 (§ 15).

67. Когда число дѣлится на 4 безъ остатка? (Правило).

68. Вывести признакъ дѣлимости на 8 (§ 16).

69. Когда число дѣлится на 8 безъ остатка?(Правило).

70. Вывести признакъ дѣлимости на 9 (§ 17).

71. Что называется суммою цифръ?

72. Когда число дѣлится на 9 безъ остатка? (Правило).

73. Когда число дѣлится на 3 безъ остатка? (§ 18).

74. Вывести признакъ дѣлимости на 5 (§ 19).

75. Когда число дѣлится на 5 безъ остатка? (Правило).

76. Когда число дѣлится на 10, на 6 безъ остатка? (§ 20).

77. Что значитъ разложить составное число на первоначальныхъ производителей? (§ 21).

78. Какъ разложить составное число на первоначальныхъ производителей? (Правило).

Общій наибольшій дѣлитель и наименьшее кратное число.

79. Что называется общимъ дѣлителемъ нѣсколькихъ чиселъ? (§ 22).

80. Что называется общимъ наибольшимъ дѣлителемъ нѣсколькихъ чиселъ?

81. Сколько способовъ находить общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ?

82. Какъ найти общаго наибольшаго дѣлителя способомъ разложенія на первоначальныхъ множителей? (Первое правило).

Найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ 889 и 161 способомъ послѣдовательнаго дѣленія. (§ 23). .

83. Какъ найти общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ способомъ послѣдовательнаго дѣленія? (Второе правило).

84. Какъ найти общаго наибольшаго дѣлителя трехъ чиселъ?

85. Какія числа называются взаимно-простыми?

86. Что называется числомъ кратнымъ нѣсколькихъ чиселъ? (§ 24).

87. Что называется наименьшимъ кратнымъ числомъ нѣсколькихъ чиселъ?

88. Какъ составить наименьшее кратное нѣсколькихъ данныхъ чиселъ? (Правило).

89. Чему равно наименьшее кратное взаимно-простыхъ чиселъ?

90. Что называется дополнительнымъ дѣлителемъ даннаго числа до кратнаго? (§ 25).

91. Какъ найти дополнительнаго дѣлителя до кратнаго числа?

III. Измѣненіе вида дробей.

Сокращеніе дробей.

92. Когда величина дроби не измѣняется? (§ 26).

93. Что значитъ сократить дробь?

94. Что есть сокращеніе дробей?

95. На чемъ основано сокращеніе дробей?

96. Какъ сократить дробь?

97. Что называется несократимою дробью?

98. Какъ привести данную дробь къ несократимой?

Приведеніе дробей къ одному знаменателю.

99. Что называется приведеніемъ дробей къ одному знаменателю? (§ 27).

100. На чемъ основано приведеніе дробей къ одному знаменателю?

101. Въ чемъ состоитъ общее правило приведенія дробей къ одному знаменателю?

102. Сколько случаевъ при приведеніи дробей къ одному знаменателю? (§ 28).

103. Какъ привести дроби къ одному знаменателю, когда знаменатели числа взаимно-простыя?

104. Какъ привести дроби къ одному знаменателю, когда знаменатели имѣютъ общихъ дѣлителей?

105. Какъ привести дроби къ одному знаменателю, когда одинъ знаменатель есть число кратное остальнымъ?

106. Какъ привести дроби къ одному числителю? (§ 29).

IV*. Основныя дѣйствія съ дробями.

Сложеніе дробей.

99. Сколько случаевъ при сложеніи дробей? (§ 30).

100. Какъ сдѣлать сложеніе дробей съ одинакими знаменателями? (Правило).

101. Какъ сложить дроби съ разными знаменателями? (Правило).

102. Какъ складывать смѣшанныя числа?

Вычитаніе дробей.

103. Сколько бываетъ случаевъ при вычитаніи дробей? (§ 31).

104. Какъ сдѣлать вычитаніе дробей съ одинакими знаменателями?

105. Какъ сдѣлать вычитаніе дробей съ разными знаменателями?

106. Какъ сдѣлать вычитаніе смѣшанныхъ чиселъ?

107. Какъ поступать, если дробь вычитаемаго болѣе дроби уменьшаемаго?

Умноженіе дробей.

108. Какіе случаи бываютъ при умноженіи дробей (§ 32).

109. Какъ умножить дробь на цѣлое число?

110. Вывести правило для умноженія цѣлаго числа на дробь.

111. Какъ умножить цѣлое число на дробь?

112. Что значитъ умножить цѣлое число на дробь?

113. Вывести правило для умноженія дроби на дробь?

114. Какъ умножить дробь на дробь?

115. Что значитъ умножить дробь на дробь?

116. Какъ поступить при умноженіи смѣшанныхъ чиселъ?

117. Какое основное свойство произведенія сохраняется при умноженіи дробей?

118. Что значитъ умножить число на дробь?

119. Что дѣлается съ числомъ при умноженіи на правильную дробь?

Дѣленіе дробей.

120. Какіе случаи бываютъ при дѣленіи дробей? (§ 33).

121. Какъ раздѣлить цѣлое число на дробь?

122. Вывести правило для дѣленія цѣлаго числа на дробь.

123. Какъ раздѣлить цѣлое число на дробь?

124. Что значитъ раздѣлить цѣлое число на дробь?

125. Вывести правило для дѣленія дроби на дробь.

126. Какъ раздѣлить дробь на дробь?

127. Что значитъ раздѣлить дробь на дробь?

128. Какъ поступаютъ, если при дѣленіи будутъ входить смѣшанныя числа?

V Дробныя именованныя числа.

129. Какъ раздробить дробное именованное число? (§ 34). .

130. Какъ превратить дробное именованное число? (§ 35).

131. Какъ обратить простое дробное именованное число въ составное?

132. Что выражаютъ обыкновенно въ дробной формѣ въ составномъ именованномъ числѣ?

133. Какъ обращаютъ составное дробное именованное число въ простое высшаго наименованія?

Четыре дѣйствія съ дробными именованными числами.

134. Какъ производятъ дѣйствія надъ дробными именованными числами? (§ 37).

135. Какъ поступаютъ при умноженіи и дѣленіи дробныхъ именованныхъ чиселъ на цѣлое число? (§ 38).

136. Къ какому случаю приводится умноженіе и дѣленіе дробныхъ именованныхъ чиселъ на дробныя числа?

137. Какъ поступаютъ при дѣленіи дробнаго именованнаго числа на именованное?

Десятичныя дроби.

138. Какія дроби называются десятичными? (§ 99. Опредѣленіе).

139. Какихъ знаменателей имѣютъ десятичныя дроби?

140. Что изображаютъ обыкновенно при счисленіи десятичныхъ дробей?

141. Какое обстоятельство принимаютъ въ соображеніе при счисленіи десятичныхъ дробей?

142. Что изображаютъ вправо отъ единицъ на первомъ, второмъ, третьемъ мѣстѣ послѣ запятой и т. д.?

143. Какъ изображаютъ цѣлыя числа въ десятичныхъ дробяхъ, если вовсе нѣтъ цѣлыхъ единицъ?

144. Что называютъ десятичными знаками?

145. Сколько десятичныхъ знаковъ содержитъ десятичная дробь?

146. Какъ произнести десятичную дробь? (Правило выговариванія десятичныхъ дробей).

147. Какъ изображаютъ десятичную дробь? (§ 40. Правило изображенія десятичныхъ дробей).

148. Когда и кто предложилъ изображать десятичную дробь безъ знаменателя?

Измѣненіе вида и величины десятичныхъ дробей.

149. Когда десятичная дробь не измѣняется? (§ 14).

150. Какъ увеличить десятичную дробь въ 10, 100, 1000 разъ и вообще на единицу съ нулями? (§ 42. Правило увеличенія десятичныхъ дробей).

151. Какъ уменьшить десятичную дробь въ 10, 100, 1000 разъ и вообще на единицу съ нулями? (§ 43. Правило уменьшенія десятичныхъ дробей).

152. Какъ привести десятичныя дроби къ одному знаменателю? (§ 44. Правило приведенія десятичныхъ дробей къ одному знаменателю).

Основныя дѣйствія съ десятичными дробями

153. Какъ сдѣлать сложеніе или вычитаніе десятичныхъ дробей? (§ 45. Правило сложенія и вычитанія десятичныхъ дробей).

154. Всегда ли при сложеніи приводятъ десятичныя дроби къ одному знаменателю?

155. Какъ умножаютъ десятичныя дроби? (§ 46. Правило умноженія десятичныхъ дробей).

156. Какъ умножаютъ десятичныя дроби на десятую, сотую, тысячную и т д.?

157. Какъ сдѣлать дѣленіе десятичныхъ дробей? (§ 47. Правило дѣленія десятичныхъ дробей).

158. Какъ раздѣлить десятичную дробь на цѣлое число?

159. Какъ раздѣлить десятичную дробь на десятую, сотую, тысячную и т. д ?

Обращеніе десятичныхъ дробей въ простыя и простыхъ въ десятичныя.

160. Какъ обратить десятичную дробь въ простую? (§ 48).

161. Какъ обратить простую дробь въ десятичную? (§ 49. Правило обращенія простыхъ дробей въ десятичныя).

162. Какіе два случая встрѣчаются при обращеніи простыхъ дробей въ десятичныя? (§ 50).

163. Какія дроби называются приближенными?

164. Какъ обратить простую дробь въ десятичную точно до какихъ-нибудь долей?

165. Когда простая дробь обращается въ точную и неточную десятичную? (§ 51).

166. Сколько цифръ въ точной десятичной дроби? (§ 52).

Періодическія дроби. Дѣйствія съ простыми и десятичными дробями, входящими совокупно.

167. Какъ называется точная десятичная дробь? (§ 53).

168. Какъ называется неточная десятичная дробь?

169. Какія дроби называются періодическими?(Опредѣленіе).

170. Что называется періодомъ?

171. Какъ раздѣляются періодическія дроби? (§ 54).

172. Что такое чистая періодическая дробь?

173 Что такое смѣшанная періодическая дробь?

174. Когда простая дробь обращается въ чистую періодическую?

175. Когда простая дробь обращается въ смѣшанную періодическую?

176. Какъ велико число цифръ до періода?

177. Какъ обратить чистую періодическую дробь въ простую? (§ 55. Правило).

178. Какъ обратить смѣшанную періодическую дробь въ простую? (Правило).

179. Какъ поступаютъ, если при вычисленіяхъ входятъ совмѣстно простыя и десятичныя дроби? (§ 56).

180. Какъ поступаютъ, если при вычисленіяхъ входятъ періодическія дроби?

181. Что составляетъ предметъ десятичныхъ приближеній?

VII. Непрерывныя дроби.

182. Что называется непрерывною или цѣпною дробью? (§ 57. Опредѣленіе).

183. Что называется звеномъ цѣпной дроби?

184. Какъ производятъ обращеніе непрерывной дроби въ простую? (§ 58).

185. Какъ обратить простую дробь въ непрерывную? (§ 59).

186. Какія дроби называются подходящими? (§ 60).

187. Въ какомъ отношеніи находятся подходящія дроби къ данной по величинѣ?

188. Чему равна разность между двумя подходящими дробями?

189 Какъ велика погрѣшность отъ замѣны данной дроби подходящею?

Отношенія.

190. Сколькими способами можно сравнивать два числа? (§ 61).

191. Что называется отношеніемъ?

192. Что такое разностное отношеніе?

193. Что такое кратное отношеніе?

194. Какъ называются члены ариѳметическаго отношенія?

195. Какая существуетъ зависимость между членами ариѳметическаго отношенія? (§ 62).

196. Что можно опредѣлить на основаніи зависимости между членами ариѳметическаго отношенія?

197. Какъ измѣняется разность ариѳметическаго отношенія? (§ 63).

198. Изъ сколькихъ членовъ состоитъ геометрическое отношеніе? (§ 64).

199. Какая зависимость существуетъ между членами геометрическаго отношенія?

200. Что можно опредѣлить на основаніи зависимости между членами геометрическаго отношенія?

201. Какъ измѣняется знаменатель геометрическаго отношенія? (§ 65).

202. Какъ отношеніе между дробями замѣняется отношеніемъ между цѣлыми числами? (Правило).

203. Какъ сократить геометрическое отношеніе?

204. Что называютъ обратнымъ отношеніемъ?

IX. Пропорціи

205. Что есть пропорція? (§ 66).

206. Какія бываютъ пропорціи?

207. Что называютъ членами пропорціи?

208. Сколько членовъ имѣетъ пропорція?

209. Какъ называются члены пропорціи?

210. Что показываетъ ариѳметическая пропорція?

211. Что показываетъ геометрическая пропорція?

Ариѳметическая пропорція.

212. Что есть ариѳметическая пропорція? (§ 67).

213. Какое основное свойство ариѳметической пропорціи?

214. Чему равенъ неизвѣстный крайній или средній членъ въ ариѳметической пропорціи? (§ 68. Правило).

215. Что такое непрерывная ариѳметическая пропорція? (§ 69).

216. Чему равенъ средній и крайній членъ въ непрерывной ариѳметической пропорціи.

217. Какое число называется среднимъ ариѳметическимъ или ариѳметической срединой?

218. Какъ найти ариѳметическую средину двухъ чиселъ?

219. Что называютъ ариѳметической срединой нѣсколькихъ чиселъ?

Геометрическая пропорція.

220. Что такое геометрическая пропорція (§ 70).

221. Какія числа называются пропорціональными?

222. Какое основное свойство геометрической пропорціи?

223. Чему равенъ неизвѣстный крайній или средній членъ геометрической пропорціи? (§ 71).

224. При какихъ обстоятельствахъ геометрическая пропорція не измѣняется? (§ 72).

225. На какомъ свойствѣ геометрической пропорціи основано ея сокращеніе? (§ 73).

226. Что значитъ сократить пропорцію?

227. Какіе члены пропорціи можно сокращать?

228. Какое общее правило сокращенія пропорцій?

229. Какъ можно перемѣщать члены пропорціи? (§ 74).

230. Что называется сложною пропорціею? (§ 75).

231. Какіе случаи встрѣчаются при составленіи сложной пропорціи изъ двухъ данныхъ?

232. Что можно дѣлать съ двумя пропорціями, если знаменатели отношеній одинаковы?

233. Что можно дѣлать съ двумя пропорціями, если знаменатели отношеній разные?

234. Какія пропорціи называются производными? (§ 76).

235. Перечислить различные случаи производныхъ пропорцій?

236. Какая геометрическая пропорція называется непрерывною? (§ 77).

237. Какое число называется среднимъ геометрическимъ?

238. Чему равенъ квадратъ средняго геометрическаго числа?

X. Тройныя правила

239. Какія числа называются пропорціональными? (§ 78).

240 Для чего пользуются свойствами геометрической пропорціи?

241. Что называются тройными правилами?

242. Что есть простое тройное правило? (Опредѣленіе).

243. Какимъ свойствомъ обладаютъ задачи простаго тройнаго правила?

244. Какъ поступаютъ при рѣшеніи задачъ простаго тройнаго правила? (Правило рѣшенія задачъ простаго тройнаго правила).

A) Какъ составляютъ каждое изъ двухъ отношеній пропорціи?

B) Гдѣ пишутъ неизвѣстное?

C) Какъ составляютъ пропорцію?

D) Что дѣлаютъ съ однородными величинами?

245. Какая пропорціональность встрѣчается въ тройномъ правилѣ?

246. Какими словами выражается прямая и обратная пропорціональность? (§ 79).

247. Какія задачи рѣшаются сложнымъ тройнымъ правиломъ? (§ 80).

248. Какъ рѣшить задачи сложнаго тройнаго правила? (Правило рѣшенія задачъ сложнаго тройнаго правила).

A) Какъ располагаютъ данныя задачи?

B) Что дѣлаютъ съ однородными величинами?

C) Къ чему приводится рѣшеніе задачъ на сложное тройное правило?

D) Какъ поступаютъ сначала съ условіями задачи?

E) Что дѣлаютъ потомъ съ условіями задачи?

F) Какъ опредѣляютъ неизвѣстное?

G) Сколько составляютъ пропорцій?

249. Въ чемъ состоитъ способъ приведенія къ единицѣ.

Правило процентовъ.

250. Что называютъ процентомъ? (§ 82).

251. Какіе бываютъ проценты?

252. Что называютъ простыми процентами?

253. Что называютъ сложными процентами?

254. Кто называется кредиторомъ и должникомъ?

255. Какъ рѣшаются задачи на правило процентовъ?

256. Какъ поступаютъ въ случаѣ сложныхъ процентовъ? (§ 83).

Правило учета векселей.

257. Что называется векселемъ? (§ 84).

258. Что называется валютою векселя?

259. Что значитъ учесть или дисконтировать вексель?

260. Что называется дисконтомъ?

261. Какой учетъ называется коммерческимъ?

Правило товарищества

262. Когда прибѣгаютъ къ правилу товарищества? (§ 85).

263. Что есть правило товарищества? (Опредѣленіе).

264. Какъ рѣшить задачу, относящуюся къ правилу товарищества?

265. Какъ раздѣляется правило товарищества? (§ 86).

Правило смѣшенія.

266. Что такое правило смѣшенія? (§ 87. Опредѣленіе).

267. Что имѣютъ въ виду въ задачахъ перваго рода?

268. Какъ найти цѣну смѣси? (Правило).

269. Что имѣютъ въ виду въ задачахъ 2-го рода?

270. Когда задача на правило смѣшенія будетъ неопредѣленною?

Цѣпное правило.

271. Что есть цѣпное правило? (§ 88).

272. Какъ перевести однѣ мѣры въ другія? (Правило).

XI Прибавленія.

273. Какія числа называются сравнимыми? (§ 89).

274. Какъ повѣряютъ ариѳметическія дѣйствія числомъ 9?

275. Какъ узнать, что данное число дѣлится нацѣло на 11?

276. Какъ узнать, что данное число дѣлится нацѣло на 7 и 13?

Десятичныя приближенія.

277. Что называется приближенною дробью? (§ 91).

278. Что называютъ погрѣшностію?

279 Что опредѣляетъ точность приближенія?

280. Что называютъ ближайшею приближенною дробью?

281. Какіе вопросы являются въ теоріи приближеній?

282. На что обращаютъ вниманіе при сложеніи приближенныхъ дробей? (§ 92).

283. Какъ поступаютъ, если нужно вычислить сумму приближенно? (Правило).

284. Какъ получить разность приближенно? (§ 93).

285. Какъ производятъ умноженіе приближенно? (§ 94. Правило).

286. Какъ раздѣлить цѣлыя числа съ приближеніемъ до единицы? (§ 95).

287. Какъ раздѣлить десятичныя дроби съ даннымъ приближеніемъ?

Метрическая система мѣръ.

288. Что есть метръ? (§ 96).

289. Какое правило принято въ метрической системѣ для означенія мѣръ? (§ 97).

290. Какъ называются въ метрической системѣ мѣры длины поверхностей, объемовъ, мѣры жидкостей, мѣры вѣса?

291. Какія мѣры стоимости въ метрической системѣ?

292. Съ какими дробями имѣетъ непосредственную связь метрическая система?

293. Какая стоимость монеты называется номинальною? (§ 99).

294. Что называется курсомъ?