В.М. Брадис, В.Л. Минковский, А. К. Харчева

ОШИБКИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЯХ

Учпедгиз 1959

В. М. БРАДИС, В. Л. МИНКОВСКИЙ, А. К. ХАРЧЕВА

ОШИБКИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЯХ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Москва —1959

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.

Бесконечно разнообразны те ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть с учащимися средней школы хотя бы некоторые такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь ошибкой, мы страхуем себя от повторения такой ошибки в будущем; во-вторых, самый процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным для учащихся, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.

Рассуждение, в котором допущена та или другая ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь явной нелепости, или так называемый софизм. Разобрать софизм — это значит указать ту ошибку, которая была допущена в рассуждении и из-за которой получился нелепый вывод.

Известен целый ряд подобных ошибочных рассуждений из разных разделов математики, и существует несколько сборников таких рассуждений. Однако эти издания давно разошлись, и этим оправдывается выпуск в свет настоящего сборника. Он предназначен для учащихся неполных средних и средних школ и содержит материал разной трудности, который учителя могут рекомендовать в соответствующих классах школы от V до X включительно. Этот материал удобнее всего использовать в работе школьных математических кружков, но некоторые вопросы можно разобрать с пользой для дела и на обычных классных занятиях, особенно при повторении.

Отметим, что при работе по разбору ошибок безусловно необходимо добиваться полной ясности: учащиеся должны

совершенно отчетливо установить, в чем заключается допущенная в рассуждении ошибка и как ее исправить. Учитывая это, авторы снабдили подробным разъяснением почти каждое ошибочное рассуждение, приведенное в настоящем сборнике. Разумеется, читать это разъяснение следует не сразу после ознакомления с постановкой вопроса, а после настойчивых попыток разобраться в вопросе самостоятельно. Во многих случаях читатели найдут разъяснение самостоятельно или после небольших указаний со стороны учителя. Особое внимание следует обращать на точность формулировок. Дело в том, что недостаточная точность обычной у учащихся словесной формулировки теоремы может быть иногда причиной недоразумения (хороший пример такого недоразумения дает § 1 главы III*), а неточности встречаются не только в ответах учащихся, но и в общепринятых формулировках...

Основой настоящего сборника послужило сочинение Харчевой А. К. «Математические софизмы и их применение в школе», представленное ею при окончании Калининского педагогического института в качестве дипломной работы**. Окончательная редакция книги и несколько добавлений к первоначальному тексту принадлежат Брадису В. М.

1937 год Авторы: В. М, Брадис

А. К. Харчева

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.

Книга В. М. Брадиса и А. К. Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях», изданная в 1938 году и давно исчезнувшая из продажи, имела в свое время значительный успех среди учителей. По договоренности с авторами я предпринял ее переработку для переиздания. При подготовке нового издания использована моя статья «Опыт классификации упражнений на опровержение ложных математических рассуждений», напечатанная в 1956 году в «Ученых записках кафедр физико-математического факультета Орловского государственного педагогического института» (том XI, вып. II, стр. 122—148), исключены некоторые менее удачные разделы первого издания книги, добавлено несколько новых

* В настоящем втором издании это пункт 7 второго раздела гл. I.

** В те годы, до введения государственных экзаменов, выпускники педагогических институтов должны были выполнять и защищать дипломные работы.

ошибочных рассуждений, а разъяснения вынесены в отдельные разделы соответствующих глав.

В предлагаемой вниманию читателя книге «Ошибки в математических рассуждениях» ложные доказательства расположены по предметно-классификационному принципу. Это означает, что традиционное деление материала на арифметический, алгебраический, геометрический и тригонометрический сохранено, но внутри названных разделов школьного курса математики осуществлено распределение предлагаемых упражнений в соответствии с изложенной в первой главе классификацией.

При составлении настоящего сборника авторами были использованы различные источники, в том числе:

Обреимов В. И., Математические софизмы, изд. 3, Пб., 1898.

Горячев Д. Н. и Воронец А. М., Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики, М., 1903.

Лямин А. А., Математические парадоксы и интересные задачи, М., 1911.

Лянченков М. С, Математическая хрестоматия, Пб., 1911—1912.

Надеюсь, что лица, ознакомившиеся с книгой и имеющие замечания, не откажутся поделиться ими, направляя их в редакцию математики Учпедгиза, по адресу: Москва, И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, дом 41.

В. Л. Минковский

Глава I.

ОБ УПРАЖНЕНИЯХ НА ОПРОВЕРЖЕНИЕ ОШИБОЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ И ИХ КЛАССИФИКАЦИИ.

ВВЕДЕНИЕ.

В науке принято всякое доказываемое или опровергаемое утверждение называть тезисом. Например, доказывая какую-либо теорему, мы имеем тезис — текст этой теоремы.

Оправдать тезис — это значит установить его истинность; опровергнуть тезис — показать его ложность.

Проверка тезиса состоит в его оправдании или опровержении.

Опровержение доказательства не означает еще опровержения тезиса. Если тезис истинен, то опровержение доказательства свидетельствует лишь о том, что в его защиту приведены неудачные аргументы или допущена оплошность в рассуждении. Однако истинность тезиса до тех пор остается под вопросом, пока не будут представлены должные аргументы и логически безупречная схема доказательства.

При просмотре доказательства, подтверждающего истинный или кажущийся истинным тезис, далеко не во всех случаях легко заметить наличие ошибки. Задача значительно облегчается, когда мы, зная заранее, что в доказательстве содержится ошибка, исходим из специальной установки на ее обнаружение.

Если тезис выражает ложное суждение, то и любое доказательство этого тезиса всегда оказывается ложным. Умение

опровергнуть доказательство тезиса в случае его ложности столь же необходимо, как и умение доказать тезис в случае его истинности.

В ходе политических, научных и житейских споров, в процессе судебного следствия и разбирательства, в поисках решения различных задач приходится не только доказывать, но и опровергать.

В. И. Ленин, анализируя сознательные и бессознательные ошибки в области логического мышления своих политических противников, напоминал о тех рассуждениях, «...которые математики называют математическими софизмами и в которых,— строго логичным, на первый взгляд, путем,— доказывается, что дважды два пять, что часть больше целого й т. д.», и указывал, что «Существуют сборники таких математических софизмов, и учащимся детям они приносят свою пользу»*.

В методическом письме Министерства просвещения РСФСР «О преподавании математики в V — X классах» (1952, стр. 41) указывается, что «весьма полезным подспорьем для развития логических способностей учащихся являются всевозможные софизмы».

I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ И ИХ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ РОЛЬ.

Софизм — слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на формально-логическое установление абсурдного положения.

Математические софизмы представляют собой тот частный случай ошибок в математических рассуждениях, когда при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее хорошо замаскирована. Раскрыть софизм — это значит указать ошибку в рассуждении, с помощью которой была создана внешняя видимость доказательства. Осознание ошибки обычно достигается противопоставлением ложному рассуждению истинного.

В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, очень часто на забвении условий применимости теорем, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобще-

* В. И. Ленин, Сочинения, т. 7, изд. 4, М., 1946, стр. 78.

ниях, особенно при переходе от конечного числа объектов к бесконечному, и на маскировке ошибочных рассуждений или предположений с помощью геометрической «очевидности». В. И. Ленин дает обобщающую формулировку, характеризуя софистику, как «...выхватывание внешнего сходства случаев вне связи событий...»*.

Математический софизм тем более замысловат, чем более тонкого характера проводимая в нем ошибка, чем менее она предупреждена обычным школьным изложением предмета и чем искуснее она замаскирована неточностями внешнего выражения. С целью маскировки обычно усложняют завязку софизма, т. е. формулируют такое положение, в процессе доказательства которого приходится использовать несколько истинных математических утверждений, способствующих отвлечению того лица, кто ищет ошибку, на ложный путь. В некоторых софизмах достижению подобного отвлечения удачно содействует оптическая иллюзия.

Основная цель введения софизмов в школу заключается в приобщении к критическому мышлению, к умению не только воспроизводить определенные логические схемы, определенные мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления и вычислительной практики.

Практика преподавания убедительно подтверждает, что возможности целесообразного использования математических софизмов возрастают по мере продвижения учащихся по ступеням классной лестницы, по мере роста их интереса к логической структуре науки. Особенно серьезно и углубленно эта работа может быть поставлена в математическом кружке учащихся старших классов, где обычно проявляется повышенный интерес к логическим основам методов математического доказательства.

Математические софизмы заставляют особо внимательно, с большой настороженностью прочитывать их тексты, тщательно следить за наличием должной точности в формулировках и записях, за соблюдением всех условий применимости теорем, за отсутствием незаконных обобщений, запрещенных действий, ссылок на кажущиеся свойства фигур и вспомогательных построений. Все эти моменты ценны в методическом отношении, так как они направлены на содержательное усвоение предмета, противопоставляемое формаль-

* В. И. Ленин, Сочинения, т. 21, изд. 4, М., 1948, стр. 100.

ному, для которого «характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта» (А. Я. Хинчин).

Прочность же усвоения математического факта значительно повышается усилением элемента эмоции при восприятии, вызываемым абсурдным утверждением формулировки софизма.

Упражнения в раскрытии софизмов не гарантируют от появления подобных же ошибок в самостоятельных рассуждениях учащихся, но дают возможность в случае появления ошибки скорее ее обнаружить и в ней разобраться. В педагогическом плане высказанная мысль реализуется в том, что математические софизмы, предлагаемые вниманию учащихся, должны, как правило, использоваться не столько для предупреждения ошибок, сколько для проверки степени сознательности усвоения и закрепления определенного материала. На этом положении базируется практика работы наших лучших учителей математики, использующих в некотором объеме материал софизмов на заключительном этапе упражнений по разделу и при повторении.

Ошибки же учащихся педагог предупреждает путем всестороннего рассмотрения изучаемых понятий в классе. Хорошее знание самим педагогом типичных ученических ошибок, причин их возникновения и материала математических софизмов способствует лучшему достижению этой цели. Степень подготовленности в этом направлении педагога ощутительно сказывается в подборе примеров, в выявлении всех существенных в пределах данного типа вариаций с целью предупреждения возникновения односторонних ассоциаций и неправильных обобщений.

Большинство педагогов сходится на том мнении, что при объяснении нового материала в подавляющей массе случаев следует избегать фиксации внимания учащихся на ошибках, еще только могущих возникнуть, чтобы не создавать ложных наглядных представлений.

Педагогически оправданное использование математических софизмов не исключает, а, наоборот, часто предполагает как предварительную стадию работы постановку вопросов в отвлеченной форме на мотивы поучительных ошибок. На эти вопросы ученик не находит готовых ответов в тексте учебника. Здесь от него требуется понимание сущности пройденного теоретического материала, самостоятельное размышле-

ние и сознательное оперирование с известным запасом математических фактов. К числу таких вопросов относятся:

1. Когда -у равно единице?

2. Из того, что а>6, можно ли заключить, что и |а|>|6|?

3. Из равенства (а—Ь)2=(т — п)2 можно ли сделать вывод, что а — Ь=т — п?

4. При всех ли значениях х и у имеет место формула:

5. При любом ли действительном значении х справедливо тождество:

6. Определить смысл знака V в записи 2а\/аУ положив а равным: a) lgy, б) lg cos а, где 0<а^90°, и сделать обобщение.

7. При каких значениях х теряют смысл выражения:

8. Установить неправильность и исправить формулировку теоремы, взятую из одного учебника геометрии: «Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному».

9. Может ли в прямоугольном треугольнике медиана, опущенная на катет, совпасть с биссектрисой?

Необходимое условие применимости того или иного математического софизма в обучении ученика состоит в наличии в распоряжении последнего предпосылок для раскрытия этого софизма. Несоблюдение этого необходимого условия не только полностью обесценивает применение софизмов, но и делает их вредными: ученик, не имеющий возможности разобраться в существе вопроса, беспомощно хватающийся за внешние приемы, сводящий свою работу к простой догадке, теряет равновесие, вырабатывает в себе черты нерешительности. Все это, конечно, не имеет ничего общего с задачей постепенного и настойчивого воспитания осторожности в утверждениях, как с осознанной потребностью разобраться в условиях вопроса и в средствах для его ответственного решения. Кстати, во всяком месте курса учитель должен быть вполне искренним с учеником, откровенно указывая

ему те логические пробелы своего изложения, которые являются следствием сознательного педагогического корректива.

II. КЛАССИФИКАЦИЯ УПРАЖНЕНИЙ НА ОПРОВЕРЖЕНИЕ ЛОЖНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ.

В истории развития науки математические софизмы (в свое время парадоксы) играли существенную роль: они способствовали усилению требований содержательного анализа и строгого доказательства и порой приводили к длительному отказу, по крайней мере официальному, от использования тех понятий и методов, которые не были еще доступны для строго логической обработки. Отсюда понятен и рано возникший интерес к изучению, систематизации и педагогическому использованию заведомо ложных доказательств.

Осознание педагогической роли математических упражнений на опровержение ложных доказательств порождает стремление к выявлению и характеристике их основных видов как необходимого условия для рационального отбора и использования этого материала в школе.

Первый опыт составления сборника геометрических софизмов был предпринят автором «Начал» Евклидом из Александрии. К великому сожалению, этот труд Евклида, носивший название «Псевдария», считается безнадежно утерянным. О его назначении и содержании рассказывает нам Прокл (410—485). Из слов Прокла видно, что работа предназначалась для начинающих изучать геометрию. Она ставила своей задачей научить учащихся обнаруживать ложные заключения и тем самым иметь возможность их избегать.

Для обнаружения ошибок Евклидом были предложены остроумные методы, которые он, перечисляя в определенном порядке, сопровождает соответствующими упражнениями. Ложному выводу Евклид противопоставляет истинный и показывает, как иногда интуиция может служить источником заблуждения.

Выдающийся русский педагог-математик В. И. Обреимов (1843—1910) предложил свой «опыт группировки» упражнений указанного типа и перечислил эти группы.

Первые три группы классификации В. И. Обреимова (равенство неравных, неравенство равных и меньшее превышает большее) охватывают те ложные доказательства, тезисы которых противоречат применению критериев сравнения, т. е. понятий больше, меньше и равно.

Четвертая группа — геометрические несообразности. В нее включены такие умозаключения, в которых нелепый вывод возникает из-за ошибки чертежа при безукоризненном проведении всех остальных логических рассуждений.

Пятая группа — «мнимое реально». Здесь нашли себе место ложные доказательства, связанные с неправильной трактовкой понятия мнимого числа.

Классификация В. И. Обреимова не свободна от недостатков. Во-первых, при перечислении видов делимого понятия не выдержан принцип единственности основания деления: критерии сравнения, с одной стороны, и принадлежность к геометрии или к данному разделу курса алгебры (мнимые числа), с другой. Во-вторых, за основание первых трех групп классификации В. И. Обреимова выбран чисто внешний, весьма общий и несущественный для характеристики ложных доказательств признак деления. В силу этого материал, относящийся к уяснению одной и той же ошибки, разбросан по разным разделам. Недоразумения в связи с делением на нуль изложены в первом и во втором разделах, а недоразумения из-за отсутствия перемены знака при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число — во втором и третьем разделах, и т. п.

Положительным моментом классификации В. И. Обреимова является выделение в особую группу ложных доказательств, основанных на ошибках построения.

Перейдем теперь к рассмотрению указаний на классификацию ложных доказательств немецкого ученого Германа Шуберта (1848—1911). Он высказывается за выделение четырех видов ложных доказательств, основанных на делении на нуль, на двузначности квадратного корня, на геометрическом обмане (ошибка в построении) и на приписывании сумме бесконечного множества чисел бесконечно большой величины.

Ценным в предложении Г. Шуберта является распределение ложных доказательств по характеру тех ошибок, которые приводят к ложным выводам. Однако классификация по избранному принципу осталась неразвернутой. Перечисленные Г. Шубертом четыре вида ложных доказательств не исчерпывают даже минимального объема рассматриваемого понятия. В частности, ничего не сказано о ложных доказательствах, построенных на излишнем доверии к геометрической интуиции в тех случаях, когда прямой геометрический обман не имеет места.

Французский педагог и историк математики Е. Фурре относит к геометрическим софизмам все те софизмы, формулировки которых касаются геометрических объектов. Таким образом, сюда включаются и геометрические воплощения алгебраических софизмов, основанные на допущении чисто алгебраических ошибок. Разумеется, эти ошибки могут быть замаскированы не только различными геометрическими предложениями, но и относящимися к другим отделам математики. Ясно, что классификация, основанная на внешней форме ошибочного рассуждения, есть чисто внешняя классификация.

Геометрические софизмы в указанном широком смысле этого термина Е. Фурре разделяет на два вида: основанные на ошибках в построении и основанные на ошибках в рассуждении. В ошибках рассуждения Е. Фурре различает ошибки, связанные с отклонением от точных определений и с выполнением недозволенных операций над числами.

Теперь мы предложим вниманию читателя наш опыт классификации упражнений на опровержение ложных математических рассуждений по важнейшим разделам ошибок в речи и мышлении, которые, обычно не именуя их, упорно предотвращает учитель всей практикой своей повседневной работы как при изучении теории, так и при выполнении упражнений.

Предлагаемая классификация рассчитана прежде всего на учителя. С этой целью в ней подчеркивается уже названием каждого вида специфическое педагогическое назначение того или иного упражнения, что создает возможности для быстрой ориентировки в материале и предупреждает бессистемность в его использовании.

Наш педагогический опыт позволяет утверждать, что эта классификация полезна и ученикам старших классов, у которых рассуждения начинают совершаться не только в соответствии с определенными принципами, но и на основе осознания этих принципов. В этот переходный период учащиеся ощущают настоятельную потребность в проверке точности своих познаний, их логической обоснованности, степени своего понимания и удовлетворительности словесного выражения.

Мы далеки от мысли, что предлагаемая классификация свободна от недостатков. Она, конечно, не свободна от тех недостатков, которые характерны, например, для классификации арифметических задач по существенным особенностям

способов их решения. Использование более широкого опыта работы и критика помогут внести в нее необходимые коррективы. Однако мы позволяем себе думать, что и в настоящем виде она представляет некоторый шаг вперед по сравнению с существующими классификациями, преследующими, как и данная, чисто педагогические цели.

Перейдем теперь к конкретному рассмотрению вопроса.

1. Неправильности речи.

Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем (384—322 до н. э.) в особом трактате, посвященном софистическим опровержениям, в котором все ошибки разделяются на два класса: «неправильности речи» и ошибки «вне речи», т. е. в мышлении.

Нет необходимости доказывать, что каждый правильно спланированный и проведенный урок по предмету математики является одновременно и уроком по развитию речи учащихся. На страницах методической литературы неоднократно подчеркивалось благотворное влияние математики на совершенствование речи ученика в смысле ее точности и последовательности. Однако эти цели не достигаются автоматически. Для их достижения необходима повседневная работа учителя математики над словом ученика, над формой выражения его мысли как при устных ответах, так и при выполнении различных письменных работ. Интенсивному искоренению неправильностей, встречающихся в речи учащихся, способствует привлечение самих учащихся к корректированию ответов своих товарищей. Следует отчетливо довести до сознания учащихся, что неправильности речи не только затрудняют изучение математики, но и являются одним из источников различных заблуждений.

Двусмысленность слова.

Как правило, каждое понятие в математике обозначается своим особым термином. В исключительных же случаях, т. е. когда один и тот же термин употребляется в разных смыслах, необходимы специальные указания, в каком именно смысле здесь употреблен данный термин, если это неясно из самого контекста. К числу неоднозначных математических терминов относятся, например, следующие: квадрат (показатель степени и геометрическая фигура), корень (в смысле

решения уравнения и как синоним слова радикал), число (количественное и порядковое, отвлеченное и именованное, точное и приближенное).

Пример. Отец и сын прибыли в город на постоянное жительство. Мальчик, знавший из рассказов родителей, что в городе 25 тыс. жителей, поспешил уже на вокзале заявить, что теперь в городе жителей 25 002. Отец засмеялся и начал что-то объяснять сыну. Что сказал отец?

Двусмысленность произношения.

Здесь речь идет об искажении первоначального смысла фразы из-за измененной постановки ударения в каком-нибудь слове.

Пример. Сто сорок да сто сорок будет двести сорок Двусмысленность конструкции.

Имеется в виду такая конструкция предложения, которая допускает разное восприятие его смысла.

Пример. Сколько будет трижды три и семь?

Со смыслом этой фразы согласуются два различных, друг друга исключающих, порядка действий, а именно: 3-3+7 и 3.(3+7).

Ошибка распределения

Эта ошибка имеет место, когда термину, употребленному в собирательном смысле, придается значение разделительного.

Пример. Все углы треугольника равны двум прямым углам.

Здесь слово «все» употреблено в смысле «сумма». Однако выбор термина неудачен, так как можно его понимать и в смысле «каждый». Мысль становится абсурдной: «Каждый угол треугольника равен сумме двух прямых углов».

Ошибка составления.

Ошибка, противоположная предыдущей. Она возникает тогда, когда термину, употребленному в разделительном смысле, придается значение собирательного.

Пример. Все углы треугольника меньше двух прямых углов.

Здесь слово «все» употреблено в смысле «каждый». Однако выбор термина нельзя признать удачным, так как его можно понимать и в смысле «сумма». Мысль для системы евклидовой

геометрии становится абсурдной: «Сумма углов треугольника меньше двух прямых углов».

Разбор ошибок «вне речи» мы начнем с ложных доказательств, построенных на поспешных, непродуманных обобщениях. Рассмотрение некоторых из них в школе весьма полезно, так как «прежде всего совершенно ясно замечается тенденция к расширенному пониманию тех правил, с которыми оперирует элементарная память» (Д. Д. Мордухай-Болтовской).

2. Распространение на исключительные случаи.

Здесь речь идет об использовании действительно общего правила, но в таком специальном случае, при котором некоторые дополнительные обстоятельства исключают возможность его применения.

Большая часть софизмов этой категории возникает потому, что из поля зрения неопытного вычислителя ускользает, что предложенное или полученное выражение содержит указания на действия, невозможные над величинами, входящими в его состав.

Учащийся должен хорошо осознать, что обе формы ~ и -g-суть только рисунки из математических знаков, только кажущиеся формулы, потому что всякая математическая формула теряет смысл, как только делитель делается равным нулю. Осознанию этой мысли весьма содействует разбор соответствующих математических примеров. В этой связи они приводятся не только в книгах по элементарной математике, но и в учебниках математического анализа.

Пример, принадлежащий Б. Больцано (1781 — 1848).

«Если а и 6—пара различных величин, то будут иметь место два тождества:

а — Ь=а — Ь\ Ь — а=Ь — а

Сложение дает:

а — а=Ь — 6, или а-(1 — l)=ft-(l — 1).

Если допустить деление обеих частей равенства на множитель, равный нулю, то мы получим нелепый результат: а=Ь при всяких а и 6». («Парадоксы бесконечного», Одесса, 1911, стр. 56.)

Заметим, что Больцано не предпринимает попытки деления на нуль. Дойдя до выражения я-0=6-О, он обращает внимание на то, что деление на нуль послужило бы причиной абсурдного вывода.

Учитель математики должен помнить, что «задача состоит как раз в том, чтобы приучить учащихся никогда не предпринимать попытки деления на нуль» (А. Я- Хинчин).

3. Приписывание свойств определенного вида всему роду.

Особенно часто встречаются ошибки этого типа, состоящие в отождествлении любой возрастающей или убывающей функции соответственно с прямой или обратной пропорциональной зависимостью.

Однако перенесение свойств вида на род может относиться к самым различным вопросам. Об этом красноречиво говорят знаменитые парадоксы Валлиса, И. Бернулли, Л. Карно, Даламбера и многие другие.

Учащихся обычно интересуют геометрические воплощения, которыми представляются некоторые из этих софизмов.

Пример. Во всяком прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы.

Возьмем разность квадратов гипотенузы и одного из катетов А В2 — ВС2 (черт. 1).Это выражение можно представить в виде произведения AB2— ВС2=(АВ+ВС)-(АВ — ВС), или АВ2 — ВС2 = = (AB + ВС) • (ВС — AB). Разделив обе части последнего равенства на произведение — (АВ+ВС)-(АВ — ВС), получим пропорцию:

Так как положительная величина больше отрицательной, то АВ+ВО—(АВ+ВС). Но тогда и ВС — АВ>АВ — ВС, а потому 2ВС>2АВ, или ВС>АВ.

Разъяснение. Утверждение, что если а : Ь=с : d и а>6, то и c>d, справедливо для положительных чисел; на множество чисел, включающее отрицательные, оно не распространяется.

Черт. 1.

4. Неправильное применение принципа непосредственных умозаключений путем обращения.

Ученики средней школы далеко не сразу достигают понимания необходимости доказывать обратные теоремы. Психологическую подоплеку этого явления можно видеть в том, что в учебнике за прямыми теоремами, естественно, следуют только те из обратных, которые оказываются справедливыми. Отсюда в умы учащихся навязчиво вкрадывается ложное представление о неизбежной справедливости обратной теоремы в силу установленной истинности прямой. Противодействуя этому впечатлению, учителю неоднократно приходится приводить разительные примеры, убедительно свидетельствующие о незаконности такого обращения.

Еще большую трудность для учащихся представляет самостоятельное формулирование вывода, непосредственно вытекающего путем обращения некоторого общеутвердительного суждения. Часто на основании того, что «всякое S есть Р», хотя сказуемое Р и не распределено, ученики склонны утверждать, что «все Р суть 5», вместо частно-утвердительного «некоторые Р суть S». Конечно, даже самый плохой ученик на основании того, что вертикальные углы равны, не станет утверждать, что все равные углы обязательно вертикальны. Однако даже хороший ученик порой впадает в ошибку этого типа, когда неправильно выполненное обращение приводит к такой ошибке в содержании суждения, которая не бросается ему в глаза. На последнем построены некоторые математические софизмы.

Пример 1. Любые два числа друг другу равны.

Пусть афЬ. Напишем тождество: —а=Ь — (а+Ь) и —Ь=а—(а+Ь). Так как (—а)-Ь=а-(—о),то [Ь—(а+Ь)]-Ь= — [а—(а+Ь)]-а. Раскрыв квадратные скобки, будем иметь: Ь2—(а+Ь)-Ь=а2—(a+b)-а. Прибавив к каждой части равенства [-+-) , дополним их до квадрата разности двух чисел:

Из равенства квадратов двух чисел заключаем о равенстве оснований:

Разъяснение. Здесь допущена ошибка в обращении суждения: «Если основания равны, то и квадраты их

равны». Из этого суждения мы непосредственно заключили, что «если квадраты равны, то и основания равны». На самом деле, имеет место частно-утвердительное суждение: «Если квадраты равны, то основания могут быть равны». Происходит это потому, что сказуемое исходного суждения не распределено: квадраты равны не только равных чисел, но и чисел, равных только по абсолютной величине.

Пример 2. Во всяком треугольнике все углы равны.

Обозначим углы произвольно взятого разностороннего треугольника ABC через а, ß, 7, a стороны, лежащие против этих углов, через a, Ь, с (черт. 2).

На продолжении сторон В А и CA отложим отрезки AD и АЕ, соответственно равные Ь и с. Соединим теперь точки D и С, Е и В.

Так как в д ВЕС ^гЕ=-£-, а ^СВЕ = ß + то по теореме синусов имеем:

(1)

Так как в ABDC ^iD=-^, a ^rßCD=Y+~, то по той же теореме имеем:

(2)

В равенствах (1) и (2) правые части равны, следовательно, равны и левые:

откуда а потому

Черт. 2.

Продолжив стороны AB и СВ и повторив аналогичные рассуждения, придем к выводу, что а=^, чем и заканчивается доказательство сделанного утверждения.

Разъяснение. На основании того, что

можно сделать три предположения:

Первое и третье предположения следует отбросить. Одно как приводящее к абсурду, другое как содержащее невозможное требование, чтобы разность двух положительных углов, из которых каждый меньше 180°, равнялась бы 360°. k, где А=1, 2, 3,... Остается второе предположение, которое при k=\ не противоречит смыслу задачи и связывает углы треугольника известным соотношением.

Из сказанного видно, что и здесь ошибка изучаемого нами сейчас типа. Тот факт, что равные углы имеют равные синусы, не дает еще основания заключать о справедливости обратного утверждения. Можно только сказать: «Если синусы двух углов равны, то и углы могут быть равны».

Английский математик Чарлз Доджсон (1832—1898) считал, что с непосредственными умозаключениями путем обращения полезно знакомить детей на примерах житейского обихода задолго до периода серьезного изучения математики. В своей широко известной в мировой литературе детской книге «Алиса в стране чудес», выпущенной им в Англии в 1865 году под псевдонимом Льюис Кэрролл и выдержавшей в этой стране свыше трехсот изданий, он приводит следующий разговор между героями сказки:

«— Ты думаешь, что знаешь ответ?— спросил Заяц.

— Вот именно,— сказала Алиса.

— Тогда говори, что думаешь,— закончил Заяц.

— Я это и делаю,— поспешно сказала Алиса,— по крайней мере... я думаю, что говорю, а это одно и то же, знаете!

— Совершенно не одно и то же!— воскликнул Шляпочник.— Может быть, ты скажешь еще, «я вижу то, что ем» и «я ем то, что вижу» — тоже одно и то же?

— Может быть, ты скажешь ещё,— добавил Заяц,— что: «я люблю всё, что имею» и «я имею всё, что люблю»— тоже одно и то же?

— Может быть, ты скажешь ещё,— продолжала Соня, которая, по-видимому, говорила во сне,— что: «Я дышу, пока сплю» и «я сплю, пока дышу» — тоже одно и то же?

— Это и есть одно и то же — для тебя!— сказал Шляпочник— и на этом разговор оборвался»*.

5. Подмена точных определений геометрической интуицией.

Доказательство всякого математического суждения должно быть основано: на первичных понятиях, на точных определениях всех остальных понятий, аксиомах, ранее доказанных теоремах данной научной области и только на них. Определения устраняют неопределенность используемых понятий (терминов), которая часто служит причиной разнообразных заблуждений. Известное правило Паскаля (1623— 1662) предупреждает, что для проверки нужно подставлять определения вместо терминов.

Однако нередко возникают ошибки из попыток учащихся устанавливать в качестве дополнительных оснований доказательства какие-либо данные опыта, извлекаемые из наглядного изображения. Это дало повод для появления еще в середине прошлого века среди ярко выраженных умов аналитического склада тенденции к изгнанию чертежа из математики.

Созерцание чертежа производит на начинающих изучение курса математики сильное впечатление. Оно выступает в качестве бесспорного факта, которому надлежит только подыскать подходящее объяснение. Даже студенты под влиянием наглядного образа порой склонны забывать о точных определениях тех или иных понятий, особенно там, где зрительное впечатление, казалось бы, полностью дает непосредственный ответ на поставленный вопрос, не требуя косвенной проверки.

* Льюис Кэрролл, Алиса в стране чудес, П., 1923, стр. 68—69.

Итак, рассматриваемый вопрос достаточно сложен, а правильное его понимание имеет исключительно большое идейно-образовательное значение. Последнему способствует разбор специально подобранных примеров, построенных на излишнем доверии к геометрической интуиции, которая, казалось бы, выступает в качестве эквивалента соответствующих точных определений. Пожалуй, это особенно относится к применению понятия предела. Софизмы на эту тему нашли свое отражение и в некоторых методически обработанных задачниках по математическому анализу.

Пример. Сумма катетов равна гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами а, Ь и гипотенузой с разделим последнюю на две равные части (черт. 3). Из точки деления F опустим перпендикуляры на катеты. Легко видеть, что длина полученной ломаной линии AEFDB равна сумме катетов а+Ь. Если взять теперь точки К и L в середине отрезков AF и FB, то с помощью такого же построения получим ломаную AMKNFPL Qß, длина которой равна той же сумме катетов а-\-Ь. Наконец, мы можем мыслить такой процесс неограниченно продолжающимся, однако длина каждой из последовательно образованных ломаных линий будет оставаться неизменной. Но, с другой стороны, по мере возрастания числа своих звеньев ломаная все более и более приближается к гипотенузе треугольника. В самом деле, так как длины отрезков, составляющих ломаные линии, неограниченно уменьшаются, а их концы неограниченно приближаются к гипотенузе, то выходит, что ломаная стремится к слиянию с гипотенузой. Но тогда пределом длины ломаной служит длина гипотенузы. Однако одна и та же величина не может иметь двух пределов, а потому остается положить, что с=а+Ь.

Разъяснение. В приведенном рассуждении допущен произвольный вывод: из стремления ломаной слиться с гипотенузой в том смысле, как это указано в тексте, нет оснований заключать, что пределом длины ломаной является длина гипотенузы. Таким образом, это предположение оста-

Черт. 3.

лось необоснованным. Обосновать его и нельзя, так как оно ложно. В самом деле, мы здесь не находимся в условиях применимости понятия предела: разность между переменной величиной, в частном случае постоянной (длина ломаной), и ее предполагаемым пределом (гипотенузой) не является ни бесконечно малой величиной, ни ее частным случаем — нулем.

Для лучшего понимания вопроса и во избежание механического переноса этого вывода на определение длины окружности следует провести контрастное сопоставление.

Выдающийся популяризатор знаний почетный академик Н. А. Морозов (1854—1946) считал, что софизмы типа «гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме его катетов» «имеют научный интерес, так как обращают наше внимание на важные особенности математических методов или самых наших математических представлений и генезиса этих представлений в наших головах».

6. Ошибки построения.

Мы уже рассматривали вопрос об ошибках, могущих возникнуть при пользовании верным чертежом. Здесь мы проанализируем основные типы заблуждений, возникающих в силу той или иной ошибки чертежа.

Взгляд некоторых математиков на сведение на нет роли чертежа в геометрии не мог найти сколько-нибудь значительного числа последователей. И это вполне закономерно, так как вся многовековая история геометрии убедительно свидетельствует об исключительно большом значении чертежа в выявлении новых геометрических положений и изыскании способов их доказательства. Однако проблема взаимоотношения логики и интуиции в процессе творчества и преподавания и в связи с этим проблема правильного использования наглядных изображений остается до сих пор в числе актуальных вопросов методологии и методики математики.

Во всяком случае учащимися должно быть хорошо осознано, что геометрическое наглядное представление еще не гарантирует истину или по крайней мере логическую строгость; что нельзя судить об условиях теоремы по тому впечатлению, которое производит чертеж. Одновременно с этим учащиеся должны проникнуться сознанием, что верный чертеж, как правило, помогает сделать правильную догадку, оказывая неоценимую услугу познанию; неправильный же чертеж, наоборот, способствует порождению различных оши-

бок. Исключительной педагогической сложностью и важностью этой проблемы объясняется то особое внимание, которым она пользуется в нашей методико-математической прессе последних лет (работы проф. Н. Ф. Четверухина, проф. М. Л. Франка, доц. Г. А. Владимирского и др.).

При изложении геометрических доказательств, связанных с точками пересечения различных линий, в учебниках обычно ведутся рассуждения на основании готового чертежа, в котором точки пересечения взяты в надлежащем месте. Вопрос о том, пересекаются ли рассматриваемые линии, и если да, то где находится точка их пересечения, как правило, не обсуждается. Однако умение осмысленно и правильно решать перечисленные вопросы имеет весьма существенное значение для овладения методами геометрических доказательств.

Пониманию учащимися целесообразности высказанных требований и проверке развития их критического чутья служат геометрические софизмы, основанные на ошибках в построении, среди которых мы выделяем шесть разновидностей.

Совпадающие точки рассматриваются как различные.

Пример. Внешний угол треугольника равен внутреннему, с ним не смежному.

Пусть в четырехугольнике A BCD ^А дополняет ^С до 2d (черт. 4). Так как любые три точки, не лежащие на одной прямой, вполне определяют положение окружности, то, следовательно, можно утверждать, что через точки Л, В и D проходит единственная окружность. Точку пересечения этой окружности со стороной DC обозначим через Е. Соединив ее отрезком прямой с точкой ß, получаем четырехугольник ABED, вписанный в окружность. В нем сумма двух любых противоположных углов составляет 2d.

Подводя итоги, выписываем два соотношения:

1) ^4+^C=2d;2) ^Л+^о£Х> = 2</. Из них, как легко

Черт. 4.

видеть, следует, что -^ߣD = ^C, т. е. внешний угол AB ЕС равен внутреннему, с ним не смежному.

Разъяснение. Так как в первоначально взятом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d, то все его вершины, в том числе и С, должны лежать на окружности. Выходит, что точки £ и С не различные, а совпадающие. В силу этого треугольник ВЕС вообще исчезает.

Различные точки рассматриваются как совпадающие.

Пример. Площадь равностороннего треугольника равна нулю.

В равностороннем треугольнике ABC проводим высоту AD (черт. 5). Рассматриваемый треугольник равновелик прямоугольнику ADCE, смежными сторонами которого являются отрезки AD и CD. На продолжении AD откладываем отрезок DF, равный CD. На отрезке AF, как на диаметре, описываем полуокружность, которая пересечется с продолжением DC в некоторой точке К. Тогда KD2=AD-DF. Квадрат KDIH, как и прямоугольник ADCE, равновелик треугольнику ABC.

Представляя /\СЕА сдвинутым вдоль АС так, что С совпадает с N, Е с H и А с /,, заметим, что квадрат KHID состоит из фигуры CL ID и фигуры, равновеликой BMID, следовательно, квадрат KHID равновелик трапеции CBML. Отсюда следует, что площадь равностороннего треугольника ALM равна нулю.

Разъяснение. Утверждение, что при указанном параллельном перенесении точка Е совпадает с точкой //, ошибочно. Для того чтобы в этом убедиться и иметь возможность оценить численную величину ошибки, найдем отрезки HQ и LI.

Черт. 5.

где буквой а обозначена сторона А ABC.

Откуда находим:

Точка берется там, где она не может быть.

Пример. Каждая точка диаметра окружности лежит на самой окружности.

Пусть С—любая точка диаметра AB. Построив к точкам A, B, С четвертую гармоническую D, делим пополам отрезок CD и обозначаем его середину через Н. Тогда, если M обозначает центр окружности, имеем по известной теореме: MC-MD=MA2.

Напомним читателю вывод этой теоремы. Из чертежа непосредственно усматриваем, что пропорцию

имеющую место для четырех гармонических точек Л, ß, С и D, можно переписать так:

Воспользовавшись свойством пропорции, по которому сумма членов первого отношения так относится к их разности,

Черт. 6.

как сумма членов второго отношения к их разности, заключаем:

откуда

Заметив, что МС=МН — СН и MD=MH+CH, утверждаем:

С другой стороны, если перпендикуляр в точке H к AB пересечет окружность в точке Е, то

2) МЕ2=МН2+НЕ* и

3) СЕ2=СН2+НЕ2.

Вычитая почленно 3) из 2), будем иметь:

4) МН2— СН2=МЕ2— СЕ2=МА2— СЕ*.

Но из 1) и 4) следует, что МА2=МА2 — СЕ2, откуда СЕ2=0, т. е. точка С лежит на окружности, и так как С есть произвольно взятая точка диаметра, то это справедливо для любой точки диаметра AB.

Разъяснение. В пропорции

произведем перестановку крайних членов:

Так как ЛО>ЛС, то, следовательно, и DB должно быть больше СВ. А потому точка Я, которая должна быть серединой отрезка CD, лежит не внутри круга, а вне его, правее точки В.

Итак, ошибка явилась следствием неправильного чертежа: точка H нами была взята там, где она не может быть.

Классическим софизмом этого типа является «доказательство» утверждения, что нет треугольников, отличных от равнобедренных. Индийский математик Сундара Роу приводит его в качестве примера такой ошибки, самую возможность появления которой исключают геометрические упражнения с куском бумаги. «Было бы совершенно правильно,— утверждает Роу,— требовать от учеников складывания этих чертежей на бумаге. Это давало бы им отчетливые и точные фигуры и невольно запечатлевало бы в их умах истины предложений».

Предположенная точка пересечения на самом деле отсутствует.

Профессор Н. Ф. Четверухин в своей фундаментальной работе сЧертежи пространственных фигур в курсе геометрии» (М., 1946), анализируя педагогическую постановку задачи о построении изображений, подчеркивает следующее положение: сОсобенно же велико значение изображений пространственных фигур в воспитании пространственного воображения (разрядка автора.— Авт.) у учащихся, в выработке у них более тонкого, более развитого пространственного мышления, столь необходимого в условиях современной сложной техники» (стр. 7). Некоторую роль в решении этой ответственной задачи может играть и разбор стереометрических вариантов некоторых софизмов.

Пример. Прямой угол равен тупому.

Пусть имеем четырехугольник A BCD (черт. 7), у которого сторона DA образует со стороной AB прямой угол и равна стороне ВС, образующей с AB тупой угол.

Восстановим из середины стороны AB перпендикуляр к плоскости четырехугольника A BCD, а из середины стороны DC перпендикуляр к этой прямой, пересекающий перпендикуляр к AB в некоторой точке S. Соединим точку 5 с точками Л, В, С и D.

Из прямой теоремы о трех перпендикулярах легко усмотреть, что AD±_SA, т. е. ^SAD=90°.

Замечая, что по построению AS=SB (как наклонные к одной прямой, имеющие равные проекции) и DS=SC (как наклонные к прямой DC, имеющие равные проекции), а по условию AD — BC, утверждаем, что aSAD = aSBC.

Из равенства этих треугольников имеем: ^:SBC=^SAD = =90*. Применяя обратную теорему о трех перпендикулярах, утверждаем, что ВС перпендикулярна к AB, а потому *cABC—^DAB, что и требовалось доказать.

Черт. 7.

Разъяснение. При использованном построении ADSC является равнобедренным, что и приводит к противоречию, так как при равенстве наклонных SD и SC их проекции DF и CF оказываются неравными, что видно из рассмотрения ADAF и ACBF (AF=FB, AD = BC, но DF<CF, так как ^Л<^£). Отсюда вывод, что прямые SF и SE не могут иметь общей точки.

Источник анализируемой весьма грубой ошибки состоит в том, что при построении постулировалось существование точки пересечения S как точки пересечения плоскости (перпендикулярной к прямой DC и делящей отрезок DC пополам) и прямой (перпендикуляром к данной плоскости, восставленным к ней из середины отрезка AB). Короче говоря, при построении исходили из предположения, что плоскость и прямая всегда пересекаются.

Ломаная принимается за прямую.

Пример. Софизм 64=65 и его обобщение.

Этот софизм исключительно ценен по своему идейно-образовательному значению. Обобщенная трактовка этого софизма, привлекающая теорию непрерывных дробей, изложена Игнатьевым*. Более элементарное изложение этого обобщения дано в главе IV.

Прямая принимается за ломаную.

Ошибка, обратная предыдущей.

Пример. Два треугольника равны, если они имеют по две соответственно равных стороны и по равному углу, противолежащему одной из них.

Легко увидеть,что в этом предложении «обобщен» четвертый признак равенства треугольников. В самом деле, обычный признак предусматривает, что угол берется против большей стороны. В приведенной же формулировке это ограничение снято.

Итак, даны треугольники ABC

Черт. 8.

* Игнатьев Е., В царстве смекалки, кн. 2, Спб., 1909, стр. 163—167.

и А'В'С, причем ВС=В'С, АВ=А'В'9 ^А = ^А'\ требуется доказать, что ААВС= А А 'В'С.

Доказательство. Приложим ДЛ'В'С и ААВС один к другому так, чтобы их равные стороны ВС и В'С совместились (черт. 8), причем точка В' совпала бы с точкой

точка С— с точкой С. Соединяем точки Л и Л'. На основании равенства отрезков ВА и ВА' заключаем, что АВАА' равнобедренный, а, следовательно, ^ВАА' = ^ВА'А. А так как по условию теоремы дано, что ^.А — ^:А\ то в зависимости от вида треугольника с помощью сложения или вычитания получаем соотношение: ^:САА'= ^СА'А. Значит, ДСЛЛ' равнобедренный, а потому СА=СА'. Ссылкой на третий признак равенства треугольников заканчивается доказательство теоремы.

Разъяснение. По условию имеем:

АВ=А'В'=с\ ВС=В'С'=а; ^А = ^А'=ь Из А А ВС находим:

(1)

Из АА'В'С находим:

(2)

Так как в соотношениях (1) и (2) правые части равны, то равны и левые:

sinC=slnC.

Относительно углов С и С возможно сделать три предположения:

1) ^С=^:С'. В этом случае мы имеем действительно равные треугольники. Их равенство устанавливаем по 1-му или 2-му признакам равенства треугольников.

Черт. 9.

2) ^C=180e—В этом случае ^С+^С' = 180°. Следовательно, приведенный чертеж неправилен: стороны АС и А'С лежат на одной прямой (черт. 9). Прямая была принята за ломаную, и все наше доказательство, как построенное на неправильном чертеже, рушится.

Таково конкретное проявление ошибки. Однако источник ее в другом — в неполном перечислении возможных случаев.

3)^С=360°+^гС\ Этот случай невозможен, так как разность двух углов треугольника не может быть равна 360°.

Опровержение же утверждения «теоремы» легко достигается путем построения треугольников, удовлетворяющих требованиям «теоремы», но неравных между собой (см. черт. 45, стр. 161).

7. Ошибки, являющиеся следствием буквального толкования сокращенной (условной) формулировки некоторых геометрических утверждений.

Некоторые из геометрических истин в постоянной практике отбора нужных теорем для решения различных задач приобретают сокращенную, чисто условную, формулировку. Когда же потребность в применении той или иной теоремы возобновляется после относительно длительного перерыва, то часто из памяти исчезает существо вопроса, а сохранившаяся лаконическая формулировка, вроде «по стороне и двум углам треугольники равны», может стать источником любопытных заблуждений. Углубленный разбор подобных заблуждений учащихся и отдельных софизмов этого типа приобретает исключительно важное воспитательное значение.

Пример. Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.

Дана окружность, в которой проведен диаметр AB. Произвольно взяв на окружности какую-нибудь точку С, соединим ее с точкой А. Обозначим середину хорды АС через D и проведем через нее и точку В хорду BE. Теперь соединим точки С и Е.

Рассмотрим треугольники ADB и DCE. Они равны по стороне и двум углам: AD=DC по построению, ^В=^:С как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу АЕ\ ^ADB=^:CDE как вертикальные. А так как в равных треугольниках против равных углов лежат и равные стороны, то АВ=ЕС.

Разъяснение. К ошибке привело буквальное истолкование чисто условной формулировки. Для сравнения вспомним правильную формулировку второго признака равенства треугольников. Она гласит: «Два треугольника равны, если сторона и два прилежащие к ней угла в одном треугольнике равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам в другом треугольнике». Посмотрев снова на чертеж, видим, что мы пренебрегли требованием, чтобы равные углы треугольников прилежали к их равным сторонам. В самом деле, углы ADB и CDE сопоставлены верно, но углы A BD и DCE ошибочно, так как первый из них не прилежит к стороне AD, а лежит против нее.

Черт. 10.

8. Нарушение смысла условных записей.

Подстановка в буквенную формулу численных значений, заведомо не выходящих из области ее существования, рассматривается как задача чисто механическая. Однако нельзя забывать, что в записи некоторых формул имеет место момент условности. Здесь автоматическая подстановка чревата абсурдными выводами. Так, если, например, в записи я! = 1 •2«3-...-(/î— поясняющей понятие факториала, положить лг=3 и произвести «бездумную» подстановку, то получим такой «результат»: 3! = 1 -2-3-...-2-3. Подобную ошибку склонны совершать учащиеся при пользовании формулой бинома Ньютона.

Пример. Единица равна двум.

Напишем формулу бинома Ньютона:

Так как законность ее использования для любого натурального п доказана в учебнике, то нет препятствий положить, что, например, п—1. Подстановка этого значения в формулу бинома Ньютона дает:

В частном случае, когда а+&=0, этот результат не приводит к противоречию. Но в общем случае, когда а+ЬфО, сокращение на этот множитель приводит к утверждению: 1=2.

Разъяснение. Осуществляя «бездумную» подстановку, мы упускаем из внимания, что разложение бинома имеет (ai+1) член, где п — показатель степени бинома. Последовательное выписывание слагаемых правой части для данного натурального п обрывается появлением первого нулевого слагаемого, представляющего собой (я+2)-й член разложения.

9. Уклонение от тезиса.

Некоторые софизмы построены на том, что в ходе доказательства абсурдный тезис софизма подменяется каким-либо истинным утверждением. Отождествление истинного с ложным достигается наличием внешнего сходства в их формулировках. В силу же такой подмены «доказательство» ложного суждения получает вид безукоризненного доказательства. Сказанное станет более рельефным, если вспомнить, например, софизм Прокла.

Прокл в своих комментариях к Евклиду рассказывает о том, что в греческой науке существовала попытка опровергнуть постулат параллельности. С этой целью стремились показать, что две прямые не пересекаются между собой и тогда, когда, будучи пересечены третьей, они образуют такие внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых.

Пусть две прямые AB к CD пересечены третьей прямой EF (черт. 11). По ту сторону от EF, по которую сумма внутренних углов меньше 2d, отложим на прямых AB и CD отрезки А К и CL, равные-^-. Точки К и L совпасть не могут, ибо в этом случае получился бы треугольник АКС (или CLA), в котором сумма двух сторон равна третьей, что невозможно.

Соединим теперь отрезком прямой точки К и L. На прямых AB и CD отложим, сохраняя направление, отрезки

Черт. 11.

КМ и LN, равные —. Легко видеть, что по соображениям, высказанным ранее, точки M и N совпасть не могут.

Так как подобные рассуждения можно повторять сколько угодно раз, то приходим к выводу, что прямые AB и CD не пересекутся.

В этом доказательстве мы сталкиваемся с подменой тезиса. В самом деле, здесь вместо того чтобы доказать отсутствие точки пересечения, доказывается только, что ее действительно невозможно достигнуть с помощью охарактеризованного процесса рассуждений.

В простейшем случае, когда углы CAB и ACD равны, рассуждение сводится к воспроизведению софизма «Ахиллес и черепаха» и так же опровергается.

Характеризуя случай, когда углы CAB и ACD не равны, заметим, что из того факта, что первый отрезок на А В не пересекает первый же отрезок на CD, второй отрезок одной прямой не пересекает второй же отрезок другой прямой и т. д., было бы поспешным заключать, что вообще ни один отрезок прямой AB не пересекает ни одного отрезка прямой CD. В парадоксальном же рассуждении как раз и допускалась только возможность пересечения п-го (лг = 1, 2, 3...) отрезка прямой AB с одноименным же отрезком прямой CD и молчаливо исключалась всякая возможность обнаружения этой точки как точки пересечения двух неодноименных отрезков.

Анализируемую чисто логическую ошибку мы представим себе еще более выпукло, если сопоставим ее со следующим рассуждением аналогичной структуры.

Посылки. Отец семьи X не знает отца семьи У; мать первой семьи не знает матери второй семьи; единственный сын одной семьи не знает единственного сына другой семьи.

Вывод. Ни один член семьи X не знает ни одного члена семьи К.

Софизмы этого же типа могут быть построены и на том, что под видом привлечения к решению задачи другого способа происходит не изменение способа решения или во всяком случае не только его, но и изменение самой задачи.

Пример. Отец, умирая, оставил своим трем сыновьям завещание, в котором распорядился, чтобы после его смерти братья поделили между собой стадо в 17 верблюдов так: старшему — половину, среднему — третью часть, а младшему — девятую.

Завещание старика казалось не поддающимся точному выполнению, так как братья и не допускали мысли резать

верблюдов на части. Однако, воспользовавшись разумным советом, они начали с того, что одолжили одного верблюда у соседа и присоединили его к своему стаду. После этого осуществление дележа не вызывало уже затруднений. В результате его старший получил 9 верблюдов, средний — 6, а младший — 2. Теперь потребность в верблюде соседа отпала, и он был возвращен своему хозяину.

Таким образом, выходит, что завещание отца по крайней мере теоретически может быть точно выполнено не только в дробных, но и в целых числах.

Разъяснение. Отец составил завещание непредусмотрительно. Сумма долей + у+ -g- составляет -j^-, а не единицу. Точное выполнение завещания, не считающееся с требованиями целесообразности и практической реализацией, предполагает передачу старшему сыну у голов стада, среднему и младшему Это в сумме составит -у^-= 16jg, а Л от одного верблюда остаются вне требований раздела. Мудрый совет состоял в такой подмене тезиса завещания, благодаря которой бралось — частей не от 17, а от 18 единиц, что как раз совпадает с численностью стада, подвергаемого дроблению. Такое решение вопроса представляет собой, однако, не точную реализацию завещания, а только целесообразное приближение к выполнению его требований. В самом деле, старший фактически получил больше на 9 — "2_=="2 верблюда, средний на 6 — ~з~=у ' а мла^шии на^ — ~д~==~д •

Эти прибавки в своей сумме исчерпывают остававшиеся согласно завещанию вне раздела ~ от одного верблюда.

Глава II.

АРИФМЕТИКА.

I. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.

1. Размещение по одному тринадцати человек в двенадцати комнатах.

Администратор одной гостиницы не отказался от решения следующей, казалось бы, неразрешимой задачи: разместить в двенадцати одноместных комнатах тринадцать человек, не допуская поселения в одной комнате двух человек.

Предупредив тринадцатого (под этим номером занесенного в список приехавших), что он временно помещается в первой комнате, предприимчивый администратор принялся за размещение остальных по одному в каждой комнате, начиная с первой.

В итоге расселения в первой комнате оказалось два человека; третий человек был помещен во второй комнате, четвертый — в третьей, пятый — в четвертой и так до двенадцатого, который, очевидно, был вселен в одиннадцатую комнату.

Двенадцатую комнату, которая, как видим, осталась свободной, администратор предоставил временному жильцу первой комнаты — тринадцатому клиенту гостиницы.

Выходит, что задача разрешима: 12=13.

2. На двух нормальных руках одиннадцать пальцев.

В наличии десяти элементов в некоторой совокупности можно с одинаковым успехом убедиться как с помощью счета

от одного до десяти, так и посредством так называемого обратного счета. Однако, если мы отнесем числительные к пальцам каждой из двух вполне нормальных рук так, как это предложено на прилагаемой иллюстрации, и результаты сложим, то число пальцев окажется равным одиннадцати.

3. Квадратные рубли.

Как известно, всякие два равенства можно перемножать почленно. Применяя эту теорему к следующим двум равенствам:

а рублей=100а копеек, 1 рубль=100 копеек,

мы получим новое равенство:

а рублей=(100а-100) копеек,

или

а рублей=10 000а копеек, что явно неверно.

4. 45-45=45.

Некто упорно утверждал, что 45 — 45=45.

В подтверждение своей мысли он рассуждал так.

Записываем вычитаемое в виде суммы последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же чисел, но взятых в обратном порядке (от 9 до 1).

Расположив вычитаемое под уменьшаемым

1) 9+8+7+6+5+4+3+2+1

2) 1+2+3+4+5+6+7+8+9,

приступаем к вычислению разности. С этой целью будем последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой строки, начиная с вычитания 9. Так как 9 из 1 вычесть нельзя, то, занимая единицу из двух, имеем: 11 — 9=2. Подобным же образом получаем в качестве разностей чисел

11 и 8, 12 и 7, 13 и 6, 14 и 5 соответственно 3, 5, 7 и 9. Выполнение же вычитания из пяти четырех, из семи трех, из восьми двух и, наконец, из девяти единицы, не требуя занимания, дает последовательно такие результаты: 1, 4, 6, 8. Итак:

Нетрудно установить, что

8+6+4+1+9+7+5+3+2=45.

Итак, 45 — 45=45.

5. 40: 8=41

Маленький Петя очень не любил считать устно.

Решая задачу о дележе 40 орехов между 8 мальчиками поровну, он и в этом случае обратился к схеме письменного деления.

Выполнение действия деления у него выглядело так:

Полученный ответ, естественно, смутил Петю. Он хорошо понимал, что не может каждый из мальчиков получить больше орехов, чем их было у всех вместе, но своей ошибки в делении все-таки обнаружить не мог.

Помогите маленькому Пете понять свою ошибку.

6. Дважды два — пять!

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:

4 : 4=5 : 5. (1)

После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства (1) будем иметь:

4-(1 : 1)=5-(1 : 1)

или

(2-2).(1 : 1)=5-(1 : 1). (2)

Наконец, зная, что 1 : 1 = 1, мы из соотношения (2) устанавливаем:

2-2=5. (3)

7. Есть ли здесь пропорциональность?

Рассмотрим несколько задач вместе с их решениями, получаемыми в результате применения простого тройного правила.

I. Самолет поднялся на высоту 8 км за 32 мин.

На какую высоту он поднимется за 4 часа?

Ответ. На —^— =60 (км).

II. Мотор в лошадиной силы, установленный на лодке, придает лодке скорость в 8 км в час. Какую скорость придаст этой лодке мотор в 10 лошадиных сил?

Ответ. 1 25 = 64 (км в час).

III. Победитель на состязании в беге пробежал 100 м за 10,2 сек. Сколько он пробежит за 1 час?

Ответ. '00 X 60 X 60 ^35)3 (км)

IV. Мальчик бросил диск в 800 г на 12 м. На какое расстояние он бросит диск в 20 г?

Ответ. —2ö— = 480 (м)-

V. С помощью секундомера установили, что промежуток времени от первого до шестого последовательных ударов молотка в пружину часов с боем составил 6 сек. (секундомер был включен при первом ударе, остановлен при шестом).

За какое время часы сделают 12 последовательных ударов?

Ответ . ^2 = 12 (сек.).

8. 100% экономии.

На обложке технического журнала находится несколько объявлений. Одно, рекомендующее некоторое усовершенствование в паровой машине, сулит 40% экономии топлива; другое, предлагающее иное усовершенствование, независимое от первого, обещает 35 % экономии, и, наконец, третье

патентованное нововведение, независимое от первых двух, дает 2596 экономии.

Некто, реализовав усовершенствование первое, затем второе и, наконец, третье, был весьма удручен тем, что машины без топлива все-таки не работали. Он считал себя обманутым и обвинял рекламные объявления в научной и деловой недобросовестности .

— Ведь эти же объявления,— жаловался разочаровавшийся,— обещали в своей совокупности стопроцентную экономию топлива, так как каждому ясно, что сумма 40, 35 и 25 составляет 100.

Очевидно расчет неправилен. Какую же экономию топлива дает в действительности введение этих трех изобретений?

9. Как вычислять средний процент?

Рассмотрим несколько более сложную задачу. Фабрика выпустила:

в I квартале 161 m изделий, в том числе I сорта —85%

во II » 207 » » » » » » —6296

в III » 120 » » » » » » » —88% » IV » 185 » » » » » » » —86%

Найти средний процент выпуска I сорта за год.

Определяя количество тонн изделий I сорта по каждому кварталу, предварительно находим, что всего за год выпущено 673 m и в том числе I сорта:

161.0,85+207-0,62+120-0,88+185-0,86,=529,89 (m), что составляет 78,7% всего выпуска.

Если взять просто среднее число процентов выпуска I сорта по кварталам, то получим (85+62+88+86) : 4= =80,25(%), что заметно больше правильного ответа.

Чем объяснить это расхождение?

10. Что даст ежегодный прирост в 40% за пять лет?

Некоторое предприятие согласно установленному для него плану должно за пятилетку утроить свою производительность. В течение первых трех лет оно ежегодно увеличивало свою производительность на 30% (по сравнению с предшествующим годом). Выполняет ли предприятие свой пятилетний план или нет?

Напомним, что производительностью предприятия называется количество продукции, выпускаемой за какую-нибудь определенную единицу времени, например за сутки (суточная производительность). Если принять производительность к началу пятилетки за 100%, то (при ее утроении за пятилетку) к концу пятилетки производительность должна стать равной 300%, т. е. возрасти на 200%. Таков прирост производительности за 5 лет, за один же год она должна получать прирост в среднем на 200% : 5=40%. Следовательно, рассматриваемое предприятие, дающее ежегодный прирост в 30%, своего пятилетнего плана не выполняет.

Однако это заключение совершенно неправильно. В рассуждении содержится ошибка. Укажите ее.

11. Новое правило умножения дробей.

Один ученик заявил своему учителю математики: «Я нашел новое правило умножения смешанных чисел, гораздо более простое и понятное, чем то, которое вы нам объяснили и о котором пишут в учебниках. Дело в том, что при сложении смешанных чисел надо отдельно складывать целые и отдельно дроби; например:

То же самое делается и при вычитании: из целых вычитаем целые, из дроби — дробь, в случае надобности делаем «заем»; например:

Очевидно, так же надо поступать и при умножении смешанных чисел: надо целые умножить на целые, дробь на дробь; например:

Мое правило и проще для применения, и более понятно, чем ваше».

В самом деле, нельзя ли производить умножение смешанных чисел так, как предлагает юный изобретатель?

12. Куда делся рубль?

В ларьке было две корзины с грушами, в каждой по 150 штук. Цена на груши определялась следующим несколько своеобразным расчетом: из первой корзины груши должны продаваться по рублю за десяток, а из второй корзины по рублю за полтора десятка. Таким образом, за все груши первой корзины надо было получить 150 : 10=15 (руб.), за все груши второй корзины 150 : 15=10 (руб.), а всего 25 руб.

Продавец рассудил, что, взяв из первой корзины десяток груш, а из второй — полтора, он должен продать 2у десятка груш за 2 руб. Поэтому он смешал груши из обеих корзин вместе и продавал эти 150-2=300 (груш) по 2 руб. за 2-^- десятка. В результате получил 2• (300 : 25)=24 (руб.), т. е. на 1 руб. меньше предполагаемой суммы выручки. Куда делся рубль?

13. Откуда появился лишний гривенник?

В буфете было две корзины с грушами разных сортов, по 60 штук в каждой. За этот товар предполагалось получить 9 руб. 50 коп. при следующем несколько необычном расчете: 30 коп. за 4 груши из первой корзины и 50 коп. за 6 груш из второй корзины.

Однако буфетчица для упрощения своей работы решила смешать груши обоих сортов и продавать десяток смеси за 80 коп.

Но в результате продажи груш денег оказалось на гривенник больше: не 9 руб. 50 коп., а 9 руб. 60 коп. Откуда появился этот липший гривенник?

14. Завещание отца.

По завещанию умершего родителя три сына должны были поделить между собой табун в 7 лошадей так, чтобы старшему досталась половина табуна, среднему — четвертая часть, а младшему — восьмая.

Завещание отца весьма смутило наследников. В самом деле, его реализация была связана с необходимостью резать лошадей на части.

Однако выход из затруднительного положения нашелся. Старик сосед, присоединив к подлежащему разделу табуну своего коня, предложил, к удивлению братьев, приступить к разделу.

В результате его осуществления старший сын получил четыре лошади, средний — две, а младший — одну. Что же касается лошади соседа, то в ней теперь потребность миновала, и она с благодарностью была возвращена своему мудрому хозяину.

Таким образом, выходит, что завещание отца допускает решение и в целых числах.

Так ли это?

15. 2-3=4.

Некто взялся доказать, что 3 раза по 2 будет не 6, а 4. Выполняя свою странную затею, он взял в руки обыкновенную спичку и попросил присутствующих внимательно следить за ходом его мысли.

— Переломив спичку пополам,— заявил странный математик,— будем иметь один раз 2. Проделав то же самое над одной из половинок, будем иметь второй раз 2. Наконец, проделав эту же операцию над второй из половинок, получим третий раз 2.

Итак, беря три раза по два, мы получили четыре, а не шесть, как принято обычно думать.

Укажите заблуждающемуся на его ошибку.

II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ.

1. В рассуждении допущена ошибка: второй клиент гостиницы остался без комнаты, так как об его существовании просто «забыли» при распределении номеров гостиницы.

Однако здесь нельзя ограничиться одним указанием ошибки. Следует объяснить, почему эта грубая ошибка далеко не каждому сразу бросается в глаза.

Объяснение же этого факта состоит в том, что понятие целого положительного числа не является однозначным: оно может быть и количественным и порядковым. Путем сознательного смешения понятий количественного и порядкового

чисел и достигается иллюзия правдоподобности приведенного рассуждения. В самом деле, мы рассуждали так: «в итоге расселения в первой комнате оказалось два человека» — число количественное: «третий человек был помещен во второй комнате»—число порядковое. Подобная структура рассуждения и дала возможность отвлечь внимание читающего текст софизма от факта пропуска второго клиента.

Этот софизм указывает на необходимость четко уяснить себе, какой смысл вкладывается в используемый термин, особенно тогда, когда он принадлежит к числу неоднозначных математических терминов.

2. В рассуждении допущено намеренное отождествление понятий порядкового и количественного чисел.

Ошибка возникает потому, что для пальцев правой руки совпадение порядкового и количественного чисел не имеет места.

3. Отметим, что, взяв вместо денежных единиц единицы длины и поступая точно так же, мы не получим ничего неверного:

а м=\00а ему 1 л*=100 см,

ci кв. м = (100а-100) кв. см,

или

а кв. м^= 10 000а кв. см.

Получив от умножения чисел, выражающих метры, число, выражающее уже не простые (линейные), а квадратные метры, мы догадываемся, в чем была допущена ошибка, когда мы имели дело с деньгами: умножить а рублей на 1 рубль нельзя, так как никаких «квадратных рублей» и «квадратных копеек» не существует.

Иногда говорят, что множимое может быть и отвлеченным, и именованным числом, множитель же должен быть обязательно числом отвлеченным. Уже такое умножение, как 2лiXЗ м=6 кв. м, показывает, что это неверно. Можно указать еще сколько угодно примеров умножения именованного числа на именованное. Так, количество работы, которую надо затратить для выполнения некоторого задания, выражают обычно числом рабочих дней, т. е. произведением числа рабочих на число дней, в течение которых они будут заняты; работу транспорта характеризуют числом пассажиро-километров (произведением числа пассажиров на число километров). Каждый раз умножение двух именованных чисел приводит к некоторой новой, сложной единице. Почленное умножение

двух равенств между именованными числами законно всегда, когда существует соответствующая сложная единица. Так, имея равенства:

1 т= 1000 кг, 1 /ои=1000л*,

мы можем перемножить их почленно и получим совершенно правильный результат:

1 т/км=\ 000 000 кг/м.

Это показывает, что для подъема груза в 1 m на высоту в 1 км надо затратить в миллион раз больше работы, чем для подъема груза в 1 кг на высоту 1 м.

4. Ошибка состоит в том, что мы занимаемую единицу возводили в ранг десятка.

Возникает вопрос: случайно ли сумма таким образом полученных разностей равна 45?

Нет, не случайно. В самом деле мы занимали пять раз по единице и каждую из занимаемых единиц считали десятком.

Таким образом образовалась сумма пяти лишних девяток, составляющих 45.

Допускаемая грубая ошибка не каждым сразу обнаруживается в результате ложной аналогии с выполнением вычитания чисел, записанных по принципам позиционной десятичной системы счисления.

Имела место попытка предлагать тезис этого софизма «45 — 45=45» в качестве задачи для отыскания ее «решения». «Как из 45 (сумма, которая составляется из сложения чисел от 1 до 9) вычесть 45, чтобы в итоге получилось ... 45?» (Журнал «Огонек», 1953, № 26, стр. 32.) Разумеется, подобная постановка вопроса должна вызвать решительный протест со стороны представителей методико-математической мысли.

5. Грубая ошибка маленького Пети, как показывает опытная проверка, не всем детям сразу бросается в глаза, а объяснить ее затрудняются многие. Это происходит потому, что в основе рассуждений мальчика, как это ни странно, лежит правильная мысль. Она состоит в том, что точное деление (деление без остатка) сводится к последовательному вычитанию делителя из делимого до получения разности, равной нулю.

Производя деление 40 на 8, Петя должен был установить, сколько раз из 40 можно вычесть 8. Он установил, что это можно сделать четыре раза (8-4=32) и еще один раз (8-1=8),

т. е. выполнить деление так:

40 : 8=(32+8) : 8 -32 : 8+8 : 8=4+1.

Однако в силу неправильного использования записи при вычислении единицы первого слагаемого возведены Петей в ранг десятков: 4+1 оказались у него приравненными 4-10+1, т. е. 41. В этом его ошибка.

6. Из курса арифметики известно, что от деления членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, величина отношения не изменяется. Вопреки этому, в анализируемом рассуждении величина отношения, в данном случае равная единице, умножалась на число, являющееся общим наибольшим делителем членов отношения.

В рассуждении создана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения относительно сложения.

Существенно заметить, что подобные ошибки становятся невозможными при использовании в качестве знака деления черты дроби. В самом деле:

7. Неправильность полученных ответов бросается в глаза (за исключением пятого, неправильность которого не столь очевидна). Все они получены в предположении, что между теми двумя величинами, о которых идет речь в задаче, имеется прямо или обратно пропорциональная зависимость; в действительности же зависимость между величинами, с которыми мы имеем дело в каждой из этих задач, более сложная.

Решая первую задачу, мы пришли к заключению, что за 4 часа самолет поднимется на 60 км. Это было бы верно, если бы высота набиралась пропорционально времени: во сколько раз больше продолжительность подъема, во столько раз больше и достигнутая высота. В действительности же такой пропорциональности нет: по мере того как увеличивается высота подъема, растет и время, нужное для подъема на каждый следующий метр, и всякий самолет имеет свой «потолок», т. е. такую высоту подъема, превзойти которую он уже не может.

Во второй задаче решение дано в предположении, что скорость моторной лодки пропорциональна числу лошади-

ных сил (мощности) мотора. Оказалось, что сравнительно небольшой мотор, всего в 10 лошадиных сил, даст лодке скорость в 64 км в час, т. е. скорость курьерского поезда. Этот расчет тоже неправилен, так как в действительности увеличение скорости моторной лодки, как и вообще всякого судна с механическим двигателем, происходит гораздо медленнее, чем увеличение мощности мотора. Опыты показывают, что мощность растет приблизительно пропорционально кубу скорости: чтобы увеличить скорость в а раз, надо увеличить мощность не в а раз, а в а-а-а=ал раз. Чтобы дать лодке скорость в 64 км в час, т. е. увеличить скорость в 8 раз по сравнению с уже имеющейся и указанной в условии задачи (8 км в час), мощность мотора надо увеличить в 8x8x8= =512 раз, т. е. мотор в 1,25 лошадиных силы надо заменить мотором в 1,25x512=640 (сил). Замена же мотора в 1,25 силы мотором в 10 сил, т. е. в 8 раз более мощным, даст лишь удвоение скорости, так как 2x2x2=8, и моторная лодка будет делать вместо 8 всего 8x2=16 (км в час).

Решение третьей задачи гласит, что человек, пробегающий 100 м за 10,2 сек., пробежит за час больше 35 км. Как показывает опыт, силы человека при таком быстром беге очень быстро истощаются, и каждые следующие 100 м челочек будет бежать уже гораздо дольше, а затем и вовсе остановится. О пропорциональности между продолжительностью пробега, начатого с такой большой скоростью, и пройденным расстоянием не может быть и речи.

Четвертая задача решена в предположении, что человек бросает диск на расстояние, обратно пропорциональное весу диска. Полученный фантастический ответ (диск забрасывается на 480 м — почти полкилометра!) показывает неправильность этого предположения. Объясняется это тем, что лишь при очень небольших изменениях веса бросаемого диска пролетаемое им расстояние изменяется приблизительно обратно пропорционально весу (точнее: если бросать снаряд в безвоздушном пространстве под одним и тем же углом к горизонту и сообщать ему одно и то же количество энергии, то для увеличения пролетаемого им расстояния в 2, 3, 4, вообще в а раз, надо вес снаряда уменьшить в 2x2=4 раза, 3x3= =9 раз, 4x4=16 раз, вообще а-а=а2 раз). Когда диск бросают в воздухе, то при уменьшении веса диска и увеличении его скорости все большее и большее влияние на дальность его полета оказывает сопротивление воздуха. Кроме того, диску очень малого веса нельзя сообщить при бросании его рукой всего того количества энергии, какое можно сообщить

диску более тяжелому. В силу этих причин очень малые диски летят не дальше, а ближе более тяжелых, и расчет дальности полета, основанный на применении обратно пропорциональной зависимости, дает результаты совершенно неправильные.

При решении пятой задачи мы исходили из предположения, что количество ударов и время находятся в прямой пропорциональной зависимости. Однако эти две величины связаны между собой иной, причем более сложной зависимостью.

Это ясно из следующих соображений.

Так как любые из двух последовательных ударов отделены друг от друга одним промежутком, то, очевидно, шесть ударов, следующих один за другим, отделены друг от друга пятью промежутками. Итак, за 6 сек. происходит 6 ударов, отделенных друг от друга пятью промежутками, длительность каждого из которых составляет 1,2 сек.

Наше утверждение об отсутствии пропорциональности следует из того факта, что, считая двенадцать ударов, мы имеем не десять, а одиннадцать промежутков между ними.

Теперь не представляет труда дать ответ на вопрос задачи: за какое время часы сделают 12 ударов?

Очевидно, часы сделают 12 ударов за (12+/) секунд, где мы буквой / обозначили длительность в секундах промежутка времени между двумя последовательными ударами (/=1,2 сек.).

Из всего сказанного надо сделать вывод о необходимости соблюдения большой осторожности при решении задач посредством тройного правила: всякий раз, прежде чем применить это правило, надо убедиться, что рассматриваемые в задаче величины действительно находятся в пропорциональной зависимости. Можно привести сколько угодно примеров нелепых выводов, основанных на применении тройного правила в случаях, когда его применять нельзя. Мы с ними еще встретимся.

8. Здесь допущена ошибка при вычислении процента экономии топлива. При наличии всех трех усовершенствований расчет экономии топлива должен быть проведен следующим образом: 40% экономии топлива, получающиеся от введения первого изобретения, нужно взять от всего количества топлива, потребляемого машиной. 35% экономии от введения второго изобретения вычисляются от остатка после вычета экономии от первого усовершенствования. 25% экономии топлива, получающиеся от введения третьего усовершенствования, вычисляются от второго остатка. Расчет

будет верен и в том случае, если мы проведем вычисление в другом порядке, т. е. начнем со второго или третьего усовершенствования. Возьмем конкретный пример. Допустим, что машина потребляет 100 кг топлива; тогда расчет должен быть проведен следующим образом:

40% от 100 равны 40 100 — 40 = 60 (кг) 35% » 60 » 21 60 — 21 =39 » 25% » 39 » 9,75 39 — 9,75 = 29,25 (кг).

Следовательно, при наличии трех усовершенствований в топку нужно будет заложить вместо 100 кг только 29,25 кг. Результат может быть выражен так:

100.(1 — 0,40).(1 — 0,35).(1 — 0,25)=29,25 (кг).

Это выражение показывает, что общий процент экономии не зависит от того, в каком порядке мы вводим отдельные усовершенствования.

В ошибочном решении этой задачи мы сталкиваемся с использованием ложной аналогии.

Привыкая принимать при решении очень многих задач данное первоначальное количество за 100% (например, в рассматриваемой задаче: «если принять количество топлива, употребляемого машиной, за 100%»), ученики довольно часто склонны полагать, что проценты следует всегда вычислять от указанного в задаче первоначального количества («основного, стопроцентного числа»), и считают возможным пренебрегать необходимостью учитывать изменение этого количества (новое, другое «основное, стопроцентное число») в результате определенных действий (в данном случае в результате последовательного введения усовершенствований, дающих экономию топлива).

9. Необходимо твердо помнить, что при вычислении среднего процента х по нескольким группам (или, как говорят статистики, по нескольким частным совокупностям) простое среднее арифметическое из чисел pl9 р2, рз, р„, выражающих соответствующий процент по каждой группе отдельно, дает правильный ответ лишь в том случае, когда все эти группы одинаковой численности (имеют одинаковый вес). Если же среди этих групп не все одинаковой численности, средний процент х необходимо вычислять по формуле взвешенного среднего, а именно:

х=(р!а1+р2а2+рзаз+. . .+рпап) : (ai+ü2+. . .+ап),

где аь а2, аз,..., ап—числа, выражающие численность (вес)

каждой группы. В случае я1=а2=аз=...=аЛ эта формула приводится к формуле простого, т. е. не взвешенного среднего арифметического х=(р1+р2+рз+...+р„) : п.

10. Для осознания ошибки начнем с противопоставления правильного рассуждения ложному.

Пусть имеем ежегодный прирост в 40% по сравнению с предшествующим годом. К началу первого года производительность была 100%, к концу его она стала уже 100% +40% = = 140%. Новый 40-процентный прирост за второй год надо вычислить не от первоначальной производительности в 100%, а от той, какая была к началу второго года, т. е. от 140%. Следовательно, прирост за второй год равен 40% от 140%, т. е. 56%, и к концу второго года производительность составит 140%+56% =196%. Прибавив сюда 40% от 196%, найдем, что к концу третьего года мы будем иметь уже 196%+78,4% = =274,4%. К концу четвертого года будем иметь 274,4% плюс 40% от 274,4%, или 274,4% + 109,76%=384,16%, а к концу пятого года уже 384,16% плюс 40% от 384,16%, или 384,16% +153,66% = =537,82%.

Таким образом, ежегодный прирост производительности в 40% даст не утроение, а более чем пятикратное увеличение производительности за пятилетку.

Чтобы иметь за пятилетку утроение, мы должны взять за год не 40% прироста, а меньше. Взяв 20%, убедимся, что к концу первого, второго и так далее лет пятилетки мы будем иметь 120%, 144%, 172,8%, 207,36%, 248,83%, и утроения за пятилетку не получим. При 25% ежегодного прироста утроение за пятилетку уже обеспечено — к концу пятилетки получим 305,18% производительности. Ежегодный прирост в 30% даст к концу пятилетки 371,29%.

Ошибка первого рассуждения, которое привело к заключению, что 30% ежегодного прироста утроения за пятилетку не дадут, состояла в том, что там не были учтены проценты на проценты: 30% прироста за год надо считать не от производительности к началу пятилетки, принятой нами за 100%, а от производительности к началу каждого года. Другими словами, здесь мы имеем дело не с простыми, а со сложными процентами. Более точный расчет, основанный на применении формулы сложных процентов:

(для решения нашей задачи надо взять Л=3а, п=5 и провести вычисление р посредством логарифмов), приводит к за-

ключению, что ежегодный прирост в р=24,6% уже обеспечивает утроение за пятилетку (300,32%), а ежегодный прирост в р=24,5% его не обеспечивает (299,12%).

11. Рассмотрим задачу: если человек проходит по 6~ км в час, то сколько он пройдет за 2-^- часа? Решим эту задачу, не пользуясь никаким правилом умножения дробей, ни старым, ни новым.

За час человек пройдет -^- км или 6500 м, за 2 часа 6500Х2=13 000 (м), за четверть часа 6500 : 4=1625 (м), а всего за 2-J- часа 13 000+1625=14 625 (м), или 14 км 625 м, или

Казалось бы, задачу эту можно решить одним действием — умножением 6~ на 2-^-. Действительно, при любом целом числе часов пройденный путь равен пути, пройденному в 1 час, повторенному столько раз, сколько часов продолжалось движение, т. е. равен произведению 6-^- на число часов. Естественно ожидать, что и при дробном числе часов результат должен получаться посредством того же действия умножения. Но если принять новое правило умножения, то произведение 6у на 2—, как мы видели выше, оказывается равным 12 у, а не Ну, как должно быть. Обычное же правило умножения в настоящем случае дает:

т. е. именно тот результат, который мы получили выше, обходясь без дробей (посредством раздробления километров в метры).

Итак, «новое правило» умножения смешанных чисел приходится забраковать. Но интересно выяснить, почему сложение (и вычитание) смешанных чисел можно выполнять, складывая (и вычитая) отдельно целые и отдельно дроби, а умножение выполнять таким образом (т. е. умножая целое на целое, а дробь на дробь) нельзя.

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, нужно это третье число прибавить к одному из слагаемых, оставляя другое неизменным. Например, чтобы к 8+5 прибавить

2, мы должны взять либо (8+2)+5^10+5, либо 8+(5+2) = =8+7. В обоих случаях получается правильный результат (15). Мы имеем здесь формулу:

(a+b)+c=a+(b+c),

выражающую так называемое «сочетательное» свойство суммы. Используя «переместительное свойство» суммы (а+6=6+а), мы получим (a+b)+c^(b+a)+c^=b-{-(a-\-c) = (a+c)+b и придем к другому выражению «сочетательного свойства» суммы:

(a+b)+c=(a+c) + b.

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, надо умножить на это третье число один из сомножителей, оставляя второй неизменным. Например, чтобы умножить 3-4 на 5, надо взять либо (3-5)-4 = 15-4, либо 3-(4-5) = =3-20. В обоих случаях получается правильный результат (60). Здесь имеем формулу:

(a-b)-c=a-(b-c),

выражающую «сочетательное» свойство произведения.

Мы рассмотрели случаи, когда дважды выполняется одно и то же действие: два раза сложение или два раза умножение. Теперь возьмем случай, когда выполняется сначала сложение, затем умножение. Чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, оказывается, нельзя ограничиться умножением одного лишь из данных чисел: надо умножить каждое слагаемое. Например, чтобы умножить на 5 сумму 3+4, нельзя взять 3-5+4=15+4=19 или 3+4-5=3+20=23 необходимо взять 3-5+4-5=15+20=35. Таким образом здесь нельзя ограничиться простым сочетанием третьего числа с одним из двух первых. Здесь второе действие (умножение) как бы распределяется между двумя числами, над которыми производится первое действие (сложение). Говорят, что произведение суммы обладает распределительным свойством, которое выражается формулой:

(a+b)-c=ac+bc.

Итак, прибавляя к сумме двух чисел третье число, мы должны применять сочетательное свойство, а умножая сумму двух чисел на третье число, должны применять распределительное свойство.

Теперь вернемся к действиям над дробями. Всякое смешанное число можно рассматривать как сумму двух чисел,

целого и правильной дроби, например, 6у=6+у. Складывая два смешанных числа, например, 6~ и 2~, мы можем прибавить к 6~- сначала 2, потом ~. Чтобы прибавить к 6у = = 6+~число 2, мы увеличим на 2 первое слагаемое (6), а второе ^-j оставим без изменения. Получим (6 + 2) +у. К этой сумме двух слагаемых (6+2) и -^-остаетсяприбавить еще Пользуясь еще раз сочетательным свойством, оставим первое слагаемое (6+2) без изменения, а второе ^yj увеличим на Окончательно имеем:

Рассмотрим умножение смешанных чисел

Чтобы умножить 6у=6+у на 2—, мы должны, используя распределительное свойство, умножить на 2—^- как первое слагаемое (6), так и второе слагаемое ^yj, а затем произведения сложить:

Но для получения произведения

опять используем распределительное свойство:

Точно так же поступаем и для получения произведения

а именно:

В конце концов оказывается, что наше произведение двух смешанных чисел равно сумме четырех частных произведений, а именно:

Теперь ясно, что, умножая целое на целое и дробь на дробь, мы получаем не все произведение, а лишь часть его:

теряются второе и третье частные произведения (б~ и -^--2),

т. е. произведение целой части первого сомножителя на дробную часть второго и целой части второго на дробную часть первого.

Черт. 12.

Применяя умножение для вычисления площади прямоугольника по основанию и высоте, мы можем очень наглядно представить все четыре частных произведения, входящие в произведение двух смешанных чисел. Взяв, например, прямоугольник со сторонами 6у и 2-^-, видим (черт. 12), что

его площадь состоит из 4 частей: большого прямоугольника со сторонами 6 и 2, узкой длинной полоски — прямоугольника со сторонами 6 и более широкой полоски справа — прямоугольника со сторонами у и 2, маленького прямоугольника со сторонами ~ и ~. Площадь большого прямоугольника содержит 12 квадратов (кв. единиц), площадь узкой длинной полоски — 6 четвертей квадрата, или 1—= ly квадрата, площадь полоски справа — две половины, или 1 целый квадрат, а площадь маленького прямоугольника есть половина одной четверти, или одна восьмая квадрата. Всего имеем 12+ 1у+1~Ь§~= 14-g- квадрата, как и должно быть.

Если обозначить целые и дробные части обоих сомножителей буквами, то мы получим не что иное, как известное из курса алгебры правило умножения двучленов: (a+b) (c+d)=ac+bc+ad+bd, наглядно изображенное на чертеже 13.

12. Из второй корзины (15 груш на 1 руб.) продавец мог брать по 15 штук всего 10 раз. Добавляя к каждым 15 грушам по 10 штук из первой корзины (10 груш на 1 руб.), он вынет из нее только 100 груш. Составленные таким образом десять совокупностей по 25 груш он продаст за 20 руб. После этого останется 50 груш только из первой корзины; из них каждый десяток груш он должен был продавать по рублю и получить за все 50 груш 5 руб.; на самом же деле он эти 50 груш продал за 4 руб. (по 2 руб. за 25 штук) и, таким образом, потерпел 1 руб. убытка.

Разъясняя этот софизм, надо напомнить ученикам и правильный расчет стоимости 25 груш в случае продажи смеси.

Так как стоимость 150 груш, находящихся в первой корзине, составляет 15 руб., а стоимость 150 груш, находящихся во второй корзине, составляет 10 руб., то стоимость каждой груши смеси составит 150^_150 = 355= -у^(руб.)- Следовательно, стоимость 25 груш составит -утр25 (руб.)-Всего же совокупностей по 25 груш из множества груш двух корзин можно выделить 300 : 25= 12. При их продаже будет выручено j2 • 12 =25 (руб.), т. е. столько же, что и при раздельной продаже по различным ценам.

В анализируемом рассуждении мы столкнулись с отклонением от тезиса: под видом изменения способа решения одна задача заменена другой, не равносильной первой.

Задача, эквивалентная первоначальной, формулируется так: «Каждые 25 груш, составленные из 10 груш первой корзины и 15 груш второй, продаются по 2 руб.; остаток груш первой корзины продается по ранее установленной для них цене».

В ошибочном же рассуждении исходная задача подменена следующей, ей не эквивалентной: «150 груш одного сорта, стоящие 15 руб., и 150 груш другого сорта, стоящие 10 руб.,

Черт. 13.

решили смешать и продавать по 2 руб. за 25 штук. Какая сумма будет выручена при реализации груш по указанной цене (сопоставить с первоначально установленной стоимостью этого товара)?»

13. В этом рассуждении допущена та же самая ошибка, что и в рассуждении п. 12.

Оно предназначено для самостоятельного опровержения учащимися, которое становится им доступным на основе предварительного анализа подобного же рассуждения под руководством учителя.

14. В завещании умершего родителя допущена оплошность. В самом деле, сумма долеиу+-j-+-g- составляет -g-, а не единицу. Точное выполнение завещания предполагает передачу старшему сыну у голов табуна, среднему ~ и младшему -g-. Это в сумме составит -g- =6-g-, a -g- от одной лошади остаются вне требований раздела.

Старик сосед своими действиями подсказал такую подмену тезиса завещания, благодаря которой бралось ~ не от 7, а от 8 единиц. Однако такое решение вопроса неточностью реализует завещание, так как старший сын получил больше на 4 — у—у лошади, средний на 2 — -^-= j-, а младший на 1 — ~8=='s' ^ти пРи^авки в своей сумме исчерпывают оставшиеся вне раздела-g- от одной лошади.

15. В рассуждении допущено уклонение от тезиса: вопрос о числе, составляющем произведение двух единиц на три, подменен вопросом о числе обломков спички, полученных в результате определенного процесса, привлеченного для ложной иллюстрации анализируемого рассуждения.

Мы называем иллюстрацию ложной потому, что в ней в качестве множимого сначала выступают две половины от целой спички, а затем две четверти от той же спички.

Глава III.

АЛГЕБРА.

I. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.

16. Половина рубля равна пяти копейкам.

Каждый, конечно, согласится, что

\ руб. = 25 коп. (1)

Однако, извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (1), получим:

1 руб. = 5 коп., (2)

т. е. половина рубля равна пяти копейкам.

17. 6=2.

Ученику предложили решить уравнение:

I Т+ *=2. (1)

Он быстро и уверенно записал в своей тетради следующие выкладки:

Y~x=2—х\ х=4—4х+х2;

X2—5*-+4=0 (2)

л'х=4; х2= 1.

Будучи твердо уверен в правильности проделанных преобразований и вычислений, ученик был весьма обескуражен результатами подстановки значения Xi в уравнение (1). Ему казалось, что он доказал явно абсурдное: 6=2!

Помогите ученику понять свою ошибку.

18. 12=6=0

В тетради одного юноши, самостоятельно занимающегося математикой, была обнаружена любопытная запись, которую мы полностью воспроизводим.

«Решить уравнение:

3Vx+x+2=0.

Решение.

31/7= — X — 2 (1); 9х=л;2+4х+4; х2— 5х+4=0 JCi=4; Х2=\.

Проверка. При jc=4 имеем:

3^4+4+2=12, т. е. 12=0. (!) При х=\ имеем: 3+1+2=6, т. е. 6=0. (!)

Ответ».

На этом запись решения уравнения обрывалась. Помогите товарищу преодолеть его затруднения.

19. Делимость многочленов и делимость чисел.

Установив, что некоторое утверждение о свойстве чисел оказывается верным в ряде частных случаев, т. е. для ряда определенных чисел, мы отнюдь не можем быть уверены, что это утверждение окажется верным всегда: заключать о т частного к общему можно лишь в виде предположения, догадки, которая в дальнейшем должна быть либо доказана, либо опровергнута. Но если такое доказательство проведено, то мы можем смело применять наше общее утверждение в каждом отдельном случае: заключение от общего к частному вполне законно. Так, уменьшая на единицу квадраты простых (первоначальных) чисел, больших 3, а именно чисел 5, 7, 11, 13, 17 и т. д., мы получим числа 24, 48, 120, 168, 288 и т. д., кратные 24. Естественно сделать догадку: не будут ли кратными 24 все числа вида р2— 1, где р(р>3) простое число? Представив р2—1 в виде (р+1)-(р—1), замечаем, что числа р+1 и р—1 оба четные, причем одно из них даже четно-четное, т. е. делится не только на 2, но и на 4, а потому р2—1 кратно 8. С другой стороны, из трех последовательных целых чисел р—1, р, р+1 одно непременно крат-

но 3, а так как р, будучи числом простым, большим 3, не может быть кратным 3, то кратным 3 оказывается одно из чисел р—1 или а следовательно, и их произведение.

Итак, каково бы ни было простое число р>3, всегда р2—1 кратно 8-3=24. Доказав это утверждение в общем виде, мы можем быть уверены, что оно окажется справедливым и в каждом частном случае, т. е. для всякого числа, удовлетворяющего поставленным условиям.

Положим, однако, что некоторое утверждение, доказанное в общем виде, оказывается неверным в каком-либо частном случае. Ясно, что здесь непременно имеет место какая-нибудь путаница или просто ошибка: либо общее утверждение, которое мы считали доказанным, на самом деле неверно, т. е. ошибка была допущена в доказательстве, либо неправильно само указание на то, что в данном случае наше общее утверждение не оправдывается.

Любопытный пример такого рода путаницы мы имеем в следующем рассуждении.

Возьмем двучлен хп—ап, где п произвольное натуральное (т. е. целое положительное) число; х и а произвольные, неравные друг другу, действительные числа, причем афО.

Полагая— =у, имеем:

Замечая, что ап делится на a, a уп— 1 делится на у — 1 (разность степеней всегда делится на разность оснований), заключаем, что хп— ап делится на ап"г(х — а).

Таково общее доказанное нами утверждение. Применим его к частному случаю, когда а=2у х=3, п=3. Имеем: хп— an=3:i— 2S= 19, а^х — а)=22(3 — 2)=4, и, следовательно, 19 делится на 4!!!

В чем тут дело?

20. Произвольно взятое число а равно нулю.

Пусть а есть произвольно взятое действительное число, отличное от нуля.

Составим квадратное уравнение:

(1)

Решая это уравнение в множестве действительных чисел, ученик рассуждал так.

Умножим обе его части на —За, a затем прибавим к обеим частям разность Xя— а8; получаем:

— Зах2+3а2х=-а3 X3— Зал:2+3а2л:— а8=лЛ

Пользуясь формулой куба разности двух чисел, перепишем полученное уравнение в более коротком виде:

(х — а)3= л:3,

a после извлечения из обеих частей кубического корня будем иметь:

X — а=х, (2)

откуда а=0. Итак, оказалось, что произвольно взятое действительное число а, отличное от нуля, равно нулю.

21. 7=13.

Уравнение

(1)

может быть преобразовано так:

(2)

Из соотношения (2) делаем вывод, что 7=13.

22. Положительная единица равна отрицательной единице.

Пусть Ь есть положительное число, отличное от единицы. Определим число а так, чтобы

ba=— 1. (1)

Исходя из этого соотношения, утверждаем, что£2а = 1. Легко видеть, что а=0, так как по условию Ьф\. Из этого же вывода следует, что Ьа = 1. (2)

Сопоставив соотношения (1) и (2), устанавливаем, что

1 = — 1.

23. Другое «доказательство» равенства положительной и отрицательной единиц.

Из курса алгебры X класса известно, что мнимая единица обозначается буквой /, а квадрат этой мнимой единицы равен — 1, т. е. i2-=— 1.

Однако, с другой стороны,

i=V^TnV^A • |/—Г=У(—1 )• (-1 ) = VТ = 1,

а поэтому, очевидно, *2=1.

Итак, выходит, что отрицательная единица равна положительной единице.

24. Мнимая единица и действительная отрицательная единица равны.

Пусть х=—1. Тогда г* = (—1)4 = + 1, а так как + 1 = =(-1).(-1), то

(1)

Извлекая из обеих частей корень 4-й степени, получаем:

(2)

где буква i обозначает, как обычно, мнимую единицу, т. е. квадратный корень из числа — 1 (i=V— 1). Производя преобразования, показанные в строке (2), мы воспользовались следующими теоремами алгебры: 1) корень из корня можно заменить одним корнем, показатель которого равен произведению показателей данных корней; на основании обратной теоремы мы заменили корень 4-й степени корнем квадратным из квадратного корня от подкоренного выражения; 2) корень из произведения равен произведению корней из сомножителей; 3) действие извлечения квадратного корня и возведения в квадрат взаимно уничтожаются.

В строке (2) мы установили, что х=/. Но мы исходили из того, что х=—1. Следовательно, i=—1, т. е. мнимая единица и действительная отрицательная единица равны.

Где же ошибка, допущенная нами, которая привела нас к такому абсурду?

Равенство

25. i2=1.

не вызывает у нас никаких сомнений.

Используя операцию извлечения квадратного корня, имеем:

т. е.

а отсюда

26. Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение.

Нижеследующее рассуждение основано на очевидной истине: если предыдущий член первого отношения некоторой пропорции больше последующего его члена, то и предыдущий член второго отношения этой пропорции больше своего последующего. Короче говоря, если а>й и а : Ь=с : d, то и c>d. Берем произвольное положительное число а и, замечая, что

(+а) : (- а)=- 1 и (-а) : (+а)=— 1,

составляем пропорцию:

(+а):(- а)=(-«):(+«)•

Здесь предыдущий член первого отношения больше последующего его члена, так как +а>— а. Согласно сказанному выше, в таком случае и предыдущий член второго отношения больше своего последующего. Следовательно, имеем, что — а>+а.

27. Если а>о, то а>2b.

Возьмем два произвольных положительных числа а и Ь, причем предположим, что a>ô. Умножив обе части этого

неравенства на ô, получим новое неравенство abyb2. Отняв от обеих частей по а2, придем к неравенству ab — а2>62— а2, или, что то же, к неравенству:

a(b-a)>(b+a) (Ь — а). (1)

После деления обеих частей на b — а имеем соотношение:

а>Ь+а. (2)

Если к этому последнему неравенству прибавить почленно исходное неравенство а>6, то получим неравенство 2а>26+а, или, после отнимания от обеих частей по а, неравенство:

а>2Ь. (3)

Итак, если a>è, то а>26. Например, из того, что 10>9, заключаем, согласно доказанному, что 10>18.

28. Если а и b положительные числа, то a>b и b>а.

Как известно, имея два неравенства одинакового смысла, т. е. оба со знаком > (больше) или оба со знаком < (меньше), мы можем сложить или перемножить их почленно, и новое неравенство будет того же смысла, что и оба данных: из неравенства а>6 и c>d вытекает, что

a+c>b+d, ac>bd.

Возьмем два положительных числа а и b и напишем два следующих совершенно бесспорных неравенства:

а> — Ь, 6> — 6.

Перемножая их почленно, придем к заключению, что aô>è2, или, после деления обеих частей на b (è>0), получим:

a>b.

Если же напишем два других тоже бесспорных неравенства: ô> — а, а> — а,

то окажется, что 6а>а2 и 6>а.

Итак, из любых двух положительных чисел каждое больше другого.

29. Положительное число меньше нуля.

Пусть а и b — произвольно взятые положительные числа, удовлетворяющие неравенству:

a>b. (1)

Умножив обе части соотношения (1) на b — а, имеем: а(Ь — a)>b(b — а).

Дальнейшие преобразования не требуют пояснений:

(2)

Однако (а—б)2, где афЬ, есть число положительное, так как квадрат всякого действительного числа, отличного от нуля, положителен.

Итак, соотношение (2) позволяет утверждать, что положительное число меньше нуля.

30. Сумма натуральных чисел, каждое из которых превосходит единицу, больше их произведения.

Будем исходить из несомненного равенства:

(1)

Воспользовавшись логарифмированием обеих частей равенства (1), запишем:

(2)

От соотношения (2) перейдем к неравенству:

(3)

которое перепишем в следующем виде:

Потенцируя, имеем:

(4)

Наконец, разделив обе части неравенства (4) на

получаем:

откуда

31. Чему равен квадратный корень из числа а2?

Ученикам была дана задача: найти числовое значение выражения 2jt+]/l — 2х+х2 при х=3. Эту нетрудную задачу ребята решили быстро, но оказалась странная вещь: одни прямо подставляли вместо х данное число 3 и, выполняя действия над числами, пришли к ответу 8, другие же, заметив, что подкоренное выражение есть квадрат разности чисел 1 и Ху предварительно преобразовали данное выражение к виду 2х+|/(1 —лс)2=2л;+(1 —х) = \+х и получили после подстановки другой ответ: 1+3=4.

32. Еще одно «доказательство» равенства нулю произвольно взятого числа.

Пусть Ь — произвольное число, отличное от нуля. Если а=— by (1)

то, очевидно, а2=Ь2. (2)

Прологарифмировав соотношение (2), будем иметь:

21g a=21g b. (3)

Введя новые обозначения:

lg а=а, lg 6=ß, (4)

можно записать:

10* =а; 10? =Ь.

На основании соотношений (3) и (4) утверждаем, что а = ß, а потому:

10* =10? , т. е. а=Ь. (5)

Складывая почленно равенства (1) и (5), имеем:

2а=0, т. е. а=0. Отсюда делаем вывод, что произвольное число, отличное от нуля, равно нулю.

33. Число не изменяется, если в нем переставить любые цифры!

Чтобы доказать «теорему», формулировка которой дана в заголовке настоящего параграфа, рассуждаем следующим образом.

Всякое число, сумма цифр которого равна нулю, само необходимо равно нулю, так как все его цифры — нули.

Возьмем два произвольных, хотя бы трехзначных, числа:

N =100а4-106+с, Nt^lOOai+lObi+Ci,

где буквы а, Ь, с, аь Ьъ Ci означают произвольные цифры. Первое число имеет сумму цифр s=a+b-\-c, второе — sx= =cii+bi+ci.

Рассмотрим разность

N — ^=100(0 — ai) + 10(ô — Ьх)+{с — ci).

Сумма цифр этого последнего числа N — Ni равна

(а — ai)+(b — bL)+(c — Ci)=a — ai+b — bi+c — Ci= =(a+b+c) — (ai+bi+ci)=s — st.

Если взятые числа N и Nt имеют одинаковые суммы цифр, т. е. если s=Si, то сумма цифр числа N — Ni равна нулю.

Следовательно, при s=Si имеем всегда N=Ni.

Числа jV и Ni, отличающиеся одно от другого лишь порядком цифр, имеют одну и ту же сумму цифр. Следовательно, такие числа всегда равны друг другу (например, 257=725!).

«Доказательство», проведенное для трехзначных чисел, без существенных изменений применимо к любым многозначным числам.

34. Что говорит теорема о существовании корня в алгебре комплексных чисел?

Один человек слыхал, что в высшей алгебре доказывается теорема, которая утверждает, что всякое уравнение имеет по крайней мере один корень, действительный или мнимый.

Человек этот был очень смущен, встретившись с иррациональным уравнением

+УТ=-1, (1)

которое после освобождения от радикала приводится к уравнению jc=1. «Решив» это последнее уравнение, он нашел его единственный корень 1. Помня, что почленное возведение обеих частей уравнения в степень может дать посторонние корни, он сделал подстановку найденного корня в данное уравнение и убедился, что корень этот данному уравнению не удовлетворяет. Следовательно, данное уравнение корней не имеет вовсе. Но как же быть с теоремой о существовании корня?

Заметим, что можно указать сколько угодно уравнений, вовсе не имеющих корней, подобно уравнению (1). Таково, например, уравнение:

так как оба значения Xi=0 и ЛГ2=4, которые получаются, если решать это уравнение, освобождая его от радикалов, ему не удовлетворяют.

35. Об одном способе получать правильные результаты, применение которого требует большой осторожности.

Как известно, всякая несократимая дробь у которой знаменатель п содержит хотя бы один первоначальный множитель, отличный от 2 и 5, при обращении в десятичную дробь дает бесконечную периодическую дробь. Поставим себе обратную задачу: имея какую-нибудь бесконечную периодическую дробь, найти ту обыкновенную дробь, от обращения которой в десятичную она получилась. При этом ограничимся «чистыми» периодическими дробями, т. е. такими, у которых период начинается сразу после знака дробности.

Пусть дана, например, дробь 0,242424..., т. е. чистая периодическая дробь с целой частью 0 и периодом 24. Обозначив величину этой дроби через х, возьмем равенство

*=0,242424...

и умножим обе его части на 100; получим:

100л;=24,242424...=24+0,242424...

Замечаем, что это последнее равенство можно переписать в новом конечном виде (бесконечное повторение периода исключено):

Ю0л:=24-1-л'.

Мы получили уравнение первой степени, решение которого дает х= gg—gg • Для проверки обращаем ^в десятичную дробь и после деления 8 на 33 действительно получаем данную периодическую дробь 0,242424...

Этим способом можно обратить в обыкновенную дробь любую чистую периодическую дробь, но только умножать надо не всегда на 100: если в периоде k цифр, то умножать надо на 10*. Для обращения в обыкновенную дробь «смешанной» периодической дроби, т. е. такой, у которой между знаком дробности и периодом находятся еще цифры, надо предварительно преобразовать смешанную дробь так, чтобы свести вопрос к обращению чистой периодической дроби. Например, если дана дробь х=0,8333..., то сначала умножаем обе части этого равенства на 10, а потом, получив 10x^8,33333... = 8+0,333..., полагаем у = 0,333... и находим У=4 и х = (8 +у):10 = -g-. Проверка (делением 5 на 6) показывает, что задача решена правильно.

Характерной особенностью примененного нами метода было исключение бесконечного повторения периода.

Вот еще задача, где применяется аналогичный прием.

Надо найти У 2 + V 2+1/2+..., предполагая, что действие извлечения квадратного корня повторяется неограниченное количество раз. Полагая х= У 2 + V 2+у 2+..., возводим обе части этого равенства в квадрат и убеждаемся, что после переноса числа 2 налево в правой части опять получается выражение, обозначенное нами через х. Делая замену, исключаем бесконечное множество корней и приходим к квадратному уравнению, из которого и определяем х:

Пригодным, разумеется, является лишь положительный корень. Итак, искомое выражение равно 2.

Правильность нашего утверждения легко проверить, произведя следующие вычисления:

Как видим, последовательность чисел

которую можно продолжать как угодно далеко, состоит из чисел, действительно приближающихся к указанному значению 2, как к своему пределу (насколько можно об этом судить по нашему небольшому вычислению, проведенному с точностью до тысячных).

Наш прием исключения бесконечного ряда повторяющихся операций в рассмотренных двух случаях привел к правильным результатам. Но рассмотрим еще одно применение этого приема.

Возьмем какое угодно положительное число а и обозначим буквой X сумму бесконечного множества слагаемых, равных а; затем производим исключение бесконечности и приходим к неожиданному заключению, что а=0:

Применение нашего приема исключения бесконечности привело здесь к противоречию между заключением (а=0) и исходным условием (а>0).

Вот еще пример: обозначив через х значение алгебраической суммы бесконечного множества слагаемых

1 —2+4 — 8+16 — 32+...,

имеем:

Ответ явно неверный, так как, находя суммы последовательно возрастающего числа слагаемых, мы получим ряд целых чисел:

не обнаруживающих никакого приближения к найденному нами числу

Итак, примененный нами способ устранения бесконечности, дающий иногда правильные результаты, иногда дает результаты явно неправильные, а потому его применение требует осторожности: необходимо выяснить, при каких условиях этот прием дает правильные результаты.

36, О сумме 1—1 + 1—1 + ...

Пусть имеется сумма (алгебраическая) бесконечного множества слагаемых, равных поочередно плюс единице и минус единице; попробуем найти значение этой суммы. Обозначив ее через х> имеем:

х=1 — 1 + 1 — 1 + 1 — . . . (1)

Переписав равенство (1) в несколько преобразованном виде, а именно:

х=1 — (1-1 + 1-1 + 1 -...)>

замечаем, что в скобке у нас получилась снова первоначально взятая сумма; заменяя ее через х, имеем уравнение х= \ — х, корень которого равен 0,5.

Но если мы будем находить значение х интересующей нас суммы (1), предварительно заключив в скобки каждую

пару слагаемых, состоящую из одного положительного и одного отрицательного слагаемого, то получим:

Можно действовать еще по-другому. Будем соединять слагаемые в пары, начиная не с первого, а со второго слагаемого, и ставить перед каждой парой слагаемых знак минус. Тогда получим, что

Наконец, переставив каждое положительное слагаемое на место отрицательного и обратно, мы придем к сумме:

Итак, действуя четырьмя различными и, казалось бы, одинаково правильными способами, мы пришли к четырем различным заключениям о значении х, а именно: х оказался у нас равным 0,5, 0, + 1,— 1. Это можно рассматривать как «доказательство» явной нелепости, что

0,5=0= + 1=— 1.

37. Всегда ли целое больше своей части?

Рассмотрим множество N всех натуральных чисел, т. е. совокупность всех чисел 1, 2, 3, 4,... и т. д., и множество Q квадратов всех целых чисел, т. е. совокупность всех чисел P^i, 22=4, 32=9, 42=16, 52=25 и т. д. (Числа 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. будем называть квадратными числами.) Всякое натуральное число является «элементом» множества N, всякое квадратное — «элементом» множества Q. Каждое из этих множеств бесконечно, но ясно, что второе множество является лишь частью первого: ведь среди натуральных чисел 1, 2, 3, 4, ... мы встречаем все без исключения квадратные числа: 1, 4, 9, 16, но, кроме того, еще сколько угодно чисел, не являющихся квадратами, как 2, 3, 5, 6, 7 и т. д.

Теперь напишем натуральные числа в порядке их возрастания в одну строку и под каждым натуральным числом подпишем его квадрат. Получим две бесконечно длинные строки, начала которых приводим:

1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 12,..., 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144,...

Сопоставление этих двух строк приводит к совершенно неожиданному заключению: оба взятых множества, а именно множество всех натуральных чисел (первая строка) и множество всех квадратных чисел (вторая строка) имеют равное число элементов. Другими словами: сколько существует натуральных чисел, столько же существует и квадратных чисел, и обратно. Следовательно, часть (множество Q) равна своему целому (множеству N).

Неравенство есть некоторое отношение между величинами. Оно, естественно, должно обладать некоторыми общими свойствами. Одно из этих свойств выражено восьмой аксиомой первой книги «Начал» Евклида: «И целое больше части»*.

Возникает вопрос: всегда ли целое больше своей части?

38. Еще одно «доказательство» равенства двух произвольно взятых чисел.

Возьмем два произвольных числа а и 6>а и напишем тождество:

a2— 2ab+b2=b2— 2ab+a2, (1)

где алгебраические суммы в правой и левой частях отличаются одна от другой лишь порядком слагаемых.

Равенство (1) перепишем в более коротком виде, пользуясь формулой квадрата разности:

(а— ьу={Ь — а)\ (2)

Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим:

a—b=b — at (3)

откуда, после перенесения членов, приведения подобных и деления обеих частей на 2, имеем:

a+a=b+b, 2a=2b, a=b. (4)

* «Начала» Евклида, книги I—VI, М.. 1948, стр. 15.

39. Сумма двух произвольных одинаковых чисел равна нулю.

Возьмем произвольное неравное нулю число а и напишем равенство:

х—а.

Производим над этим равенством следующие преобразования:

(1) (2)

Заменяя в последнем равенстве х равным ему числом а, получим:

40. Число не изменится, если к нему прибавить 1.

Возьмем произвольное число п и будем исходить из тождества:

n2— n(2n+l) = (n+iy— (п+1) (2/7+1),

справедливость которого легко проверить, раскрывая скобки.

/2/1-4-1 \2

Прибавив к обеим частям этого тождества по ^—^—I , перепишем его в таком виде:

или в таком:

(1)

откуда следует, что

(2)

или

41. Ахиллес и черепаха.

Отметим на горизонтальной прямой две точки А и В на расстоянии 100 м одна от другой (А левее, В правее). Положим, что по этой прямой движутся две точки M и N, одновременно выходящие из точек А и ß, обе слева направо, но точка M со скоростью 10 м в секунду, точка N со скоростью лишь 1 м в секунду (обе скорости предполагаются постоянными).

Будем доказывать, что точка М, догоняющая точку N, никогда ее не догонит.

Когда точка M достигнет точки ß, точку N она здесь уже не застанет: эта последняя будет уже впереди, в некоторой точке В\. Когда точка M доберется до точки ßb точки jV здесь опять-таки уже не будет, так как она успеет перейти в некоторую новую точку ß2, расположенную правее В\. Когда M достигнет ß2, точка N будет уже в точке Вз, расположенной еще правее. Повторять это рассуждение можно сколько угодно раз, а потому приходится признать, что точка M никогда не догонит точки N, хотя движется быстрее ее в 10 раз.

Где же ошибка в этом, с виду правильном, рассуждении, которое привело нас к такой нелепости?

Только что сформулированный софизм был указан греческим философом Зеноном еще в V в. до н. э. Зенон доказывал, что как бы быстро ни бежал Ахиллес (легендарный греческий герой), он никогда не догонит медленно ползущую черепаху.

42. О некоторых ученических ошибках.

В заключение настоящей главы, отведенной рассмотрению ошибок в алгебраических рассуждениях, проанализируем две очень простые, но, к сожалению, очень часто допускаемые ошибки, а затем предложим несколько вопросов для самостоятельных размышлений читателя.

Первая из них относится к сокращению алгебраических дробей: зачеркивают одинаковые буквы в числителе и знаменателе дроби, не заботясь о том, означают ли эти буквы множители всего числителя и всего знаменателя или нет.

Так, производят сокращение дроби ь^сх на * и получают дробь -j^T^r, забывая о том, что сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число

и что, хотя для деления одночленного числителя а2х на х достаточно зачеркнуть в нем х, для деления двучленного знаменателя Ь2+сх на X надо разделить на х каждый член, как Ь2, так и сх. После деления на х данная дробь примет такой вид:

а вовсе не-^2_^ . Наше «сокращение» привело к неудобной «трехэтажной» дроби, и делать его здесь, конечно, не следует.

Итак, надо твердо помнить, что при сокращении алгебраических дробей можно зачеркивать лишь одинаковые множители всего числителя и всего знаменателя. Не соблюдая этого правила, легко прийти к такому заключению:

Совершаемая при таком «сокращении» ошибка сводится к нарушению распределительного закона (или распределительного свойства) для частного от деления алгебраической суммы. Закон этот говорит, что для деления суммы на некоторое число надо разделить на это число каждый член этой суммы, и выражается формулой:

(а+6) : с=а : с+Ь : с.

Другая, тоже очень распространенная, ошибка заключается в почленном извлечении корня из суммы: считают, что для извлечения корня из суммы надо извлечь корень из каждого слагаемого отдельно, т. е. что ]/а2+62=а+6. Ясно, что это неверно: ведь (а-\-Ь)2 равно a2+2aô+62, а не а2-\-Ь2. РавенствоуЛа2+о2=а+6 является очевидной нелепостью и с точки зрения геометрии: ведь оно выражает равенство гипотенузы и суммы катетов в произвольном прямоугольном треугольнике! Оказывается, что действие извлечения корня не обладает распределительным свойством по отношению к сумме и разности, но обладает им по отношению к произведению и частному:

Отметим, что действия второй ступени (умножение и деление) обладают распределительным свойством по отношению к результатам действий первой ступени (сложению и вычитанию). Действия третьей ступени (возведение в степень и извлечение корня) обладают распределительным свойством по отношению к результатам действий второй ступени и не обладают им по отношению к результатам действий первой ступени.

Всякий ошибочный ответ противоречит одному из исходных принципов или одному из ранее полученных выводов данной отрасли знания. Возникает возможность постановки вопроса: существуют ли условия, и если да, то какие, при соблюдении которых ошибочное (в общем случае) утверждение оказывается справедливым.

В практике преподавания следует воспользоваться некоторыми из ученических ошибок как поводом для проведения весьма ценных в педагогическом отношении элементарных исследований. От учащихся здесь требуется установить, при каком дополнительном условии ошибочное соотношение окажется справедливым. Подобными упражнениями достигается углубленное осознание теории и допущенной ошибки. Эти же упражнения играют известную роль в развитии функционального мышления учащихся, так как на каждое выражение вырабатывается взгляд как на функцию входящих в него букв.

Конкретизируем высказанные утверждения на анализе одного примера.

Ученик VII класса, выполняя действие сложения двух дробей, сложил их числители и знаменатели отдельно, первую сумму взял за числитель, вторую за знаменатель, т. е. выполнил сложение дробей так:

(1)

Несмотря на явную неправильность формулы (1), если под буквами разуметь произвольные числа, можно указать бесконечное множество таких значений для a, ft, с и d, при которых равенство (1) будет иметь место. К числу таких значений принадлежат, например, следующие: а=—12, 0=2, с=3, d=l. Вообще равенство (1) будет удовлетворяться любой системой из четырех чисел, взятых при условии:

К последнему соотношению приходим с помощью следующих элементарных выкладок:

(2)

Придавая произвольные значения &, с и d, исключая ö=0, d = 0, b + d = 0 и находя соответствующие значения а по формуле (2), получим бесконечное множество систем из четырех чисел, удовлетворяющих формуле (1).

Равенство (1) справедливо тогда и только тогда, когда выполнено дополнительное условие (2). Подобные формулы не имеют, конечно, практического значения. С их помощью можно только пополнить коллекцию арифметических курьезов.

Формула же + = ad\^° не связана ни с какими ограничениями, если не считать требования, чтобы Ь и d были отличными от нуля, выражающего запрет деления на нуль. Разумеется, только эта формула выражает правило сложения алгебраических дробей.

Теперь предложим упражнения для самостоятельного проведения подобных исследований.

В каких частных случаях эта грубейшая ошибка не приведет к заблуждению?

Тот же вопрос.

Аналогичный вопрос.

II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ.

16. Если исходить из того, что в математике как науке все действия производятся над отвлеченными числами, то переход от соотношения (1) к (2) не имеет смысла.

Однако можно дать и другое объяснение этой ошибки, указав на то, что никаких «квадратных рублей» и «квадратных копеек» не существует, а потому операция извлечения корня из обеих частей соотношения (1) бессмысленна.

Иллюзорная правдоподобность этого рассуждения основывается на неоднозначности термина «число», в данном случае на смешении понятия отвлеченного числа с именованным.

17. Ученик, очевидно, забыл о неоднозначности термина «корень» (в данном случае: истинный и посторонний). В частности, забыл он и о том, что при решении иррационального уравнения могут быть получены посторонние корни. Только этим можно объяснить, почему он рассматривал проверку лишь в плане подтверждения истинности произведенных им преобразований и вычислений, а не в качестве органической части предлагаемого им решения.

Не допустив этого, нельзя понять его смущения в связи с получением неверного равенства (6=2), которое представляло возможность сделать правильный вывод.

Выявим причину смущения ученика.

С этой целью нам следует ответить на два вопроса:

1) Почему появился посторонний корень?

2) Корнем какого уравнения он является?

Для достижения возможно большей ясности полезно использовать прием решения, несколько отличный от использованного учеником. Он состоит в том, что мы уравнение (1) преобразуем к виду /(jt)=0, а затем умножаем левую и правую его части на такой множитель, чтобы в левой части иметь разность квадратов двух функциональных выражений.

Итак, уравнение (1) представляем в виде:

Ух— (2 — jk)=0.

Умножим обе части его на множитель:

Ш=УТ + (2-х).

Тогда, очевидно, получим:

х - (2 — х)2=0, или X2— 5х+4=0.

Мы пришли к уравнению (2), стр. 57, корни которого равны 4 и 1.

Корень jc=4 является посторонним для уравнения (1). Он появился в результате умножения обеих частей уравнения на множитель fx(x) = Yx +(2 — х), корнем которого он и является. В самом деле, /г(4)=уЛ4+(2 — 4)=2 — 2=0.

Способ решения, использованный учеником, конечно, равносилен способу сейчас рассмотренному, но с помощью последнего отчетливее выявляется тот множитель, который может дать посторонние корни.

18. Отсутствие корней у уравнения (1) легко усмотреть из того факта, что его левая часть 3|/х неотрицательна и имеет смысл при х>0, а правая часть — х —2 при этом условии отрицательна. Следовательно, полученные решения *i=4 и jc2=1 являются корнями функции fi(x)=3]/x—(jc+2), в чем легко убедиться непосредственной подстановкой.

19. Самая тщательная проверка доказательства делимости разности хп — ап на ап~\х — а) не обнаруживает никакой ошибки. Точно так же не вызывает никаких сомнений и рассмотренный частный случай: при jc=3, а=2, п=3 разность хп—ал = 19 не делится на ап~х(х — а)=4.

Попробуем найти частное от деления хп—ап на ап~1(х—а) = =^ап~1х — ап\ оно равно:

Дроби, появившиеся во всех членах частного, кроме последнего, заставляют насторожиться и сразу указывают, в чем источник путаницы: слово «делиться» в алгебре и в арифметике имеет различный смысл.

Когда в алгебре говорят, что один многочлен, расположенный по степеням какой-нибудь главной буквы, например X, «делится» на другой многочлен, расположенный по степеням того же х, то под этим разумеют возможность получения целого частного, т. е. многочлена, тоже расположенного по степеням х. Будут ли при этом коэффициенты отдельных членов частного числами целыми или дробными — совершенно безразлично. Например, двучлен ах2— ал делится на X — а и дает в частном ах+а2\ коэффициенты а и а2 могут при этом оказаться и целыми и дробными. Двучлен хг— а2 делится на ах — а2 и дает в частном 1 ; коэффициент — опять-таки может иметь при этом и целое значение (например, при а=4-) и дробное (например, при а=2).

В арифметике же в применении к натуральным числам слово «делится» имеет совсем другой смысл: если натуральное число а делится на натуральное число о, то существует такое натуральное же число с, которое, будучи умножено на 6, дает а.

Поэтому из делимости одного многочлена на другой (в алгебраическом смысле!) еще не вытекает делимость (в арифметическом смысле!) тех чисел, которые получатся, если заменить в многочленах буквы числами. Делимость чисел будет вытекать из делимости многочленов лишь в том случае, когда все коэффициенты частного — целые алгебраические выражения, а не дроби (при условии, разумеется, что все буквы заменяются натуральными числами и что делитель получает значение, отличное от нуля).

Отметим еще одно различие между делением многочленов и делением натуральных чисел. При делении многочлена на многочлен степень остатка (относительно главной буквы) всегда ниже степени делителя, при делении же натуральных чисел остаток всегда меньше делителя. Деление многочленов, выполненное совершенно правильно, может после замены букв числами привести к такому случаю деления чисел, которое не будет правильным в арифметическом смысле. Например, при делении многочлена х3— Зх2+4л;+3 на X2— 2х+1 получаем в частном х— 1 и в остатке Jc+4. Если заменить х через 3, делимое принимает значение 15, делитель 4, а частное и остаток равны 3— 1=2 и 3+4=7 (вместо правильных значений 3 и 3), т. е. остаток оказывается больше делителя.

Итак, не всегда правильное в алгебраическом смысле, правильно и с точки зрения арифметической!

20. В рассуждении допущена грубая ошибка. Из уравнения X — а=х, где а — произвольно взятое действительное число, отличное от нуля, не следует, конечно, что а=0.

В самом деле, решение уравнения х — а^=х приводит к следующим выводам:

X — х=а, откуда (1 — 1)-х=а или 0-х^а.

Так как по условию афО, то уравнение 0-х=а не имеет решений: нет такого числа, которое, будучи умножено на нуль, дает число, отличное от нуля.

Однако у читателя возможно возникло сомнение: законен ли переход от (х — а)9=х3 к х — а=х?

Подобный переход вполне законен, если возведенные в куб числа оба действительные: кубический корень из действительного числа, если ограничиваться только действительными значениями, имеет только одно значение (положительное, если подкоренное число положительно, и отрицательное, если оно отрицательно).

Из сказанного следует, что полученный результат — уравнение (2) не имеет корней — указывает на отсутствие корней во множестве действительных чисел у уравнения (1).

21. Корнем уравнения (1) является число 10, в чем легко убедиться.

При #=10 соотношение (2) принимает такой вид:

Так как частное от деления нуля на любое число, отличное от нуля, равно 0, то, очевидно, из соотношения у нельзя делать заключения о равенстве Ь и d, если а=0.

Мы здесь встретились с использованием ложной аналогии, а именно: с распространением некоторого утверждения

(еслиу=-|- и афОу то b=d) на случай исключения (а=0).

22. Во множестве действительных чисел соотношение (1) не имеет смысла: любая степень положительного числа есть положительное число.

Соотношение (1) приобретает смысл, если рассматривать вопрос в множестве комплексных чисел. В этом случае, положив b=i, а а=2 мы имеем правильное соотношение /2=— 1, не приводящее, как известно, к противоречиям.

Однако при такой постановке вопроса мы выходим за те пределы, в которых проводилось анализируемое ошибочное рассуждение.

23. Понятие арифметического корня во множестве комплексных чисел не вводится.

Правильное вычисление произведения У— 1 • У— 1 предполагает следующий ход рассуждений:

У—\. У—[= (±i)-(±i) = ±i2 = ±U

который приводит к тому же результату, что и извлечение квадратного корня из единицы: У 1 = ±1.

Если же взять для каждого из сомножителей произведения У—1 • У—1 одно и тоже значение корня квадратного из минус единицы, то мы получим в результате — 1.

В самом деле:

24. И в этом рассуждении, как и в рассуждении п. 23, мы подвергли забвению положение о том, что во множестве комплексных чисел понятие арифметического корня не вводится.

Преобразования, выполненные в строке (2), ошибочны. Для лучшего осознания допущенных здесь ошибок противопоставляем ложному рассуждению истинное:

Если множители подкоренного выражения взять с одинаковыми знаками, то х = Y? =±i.

Если множители подкоренного выражения взять с разными знаками, то х = У 1 = ± 1.

Следовательно, в результате извлечения корня 4-й степени из произведения (—1)-(—1) получено четыре значения х, а именно: 1, —1, /, —/.

Легко проверить правильность полученных результатов. В самом деле, числа 1, — 1, i и — i должны удовлетворять уравнению *4=1,что и имеет место: 14=(— 1)4=/4=(—Д4=1.

Тот же результат можно получить, решая уравнение Xх— 1=0 способом разложения левой части на множители:

(х— 1).(*+1).(хЧ-1)=0.

Итак, уравнению (1) удовлетворяет каждое из четырех чисел: 1, —1, /, —i. Одно из значений х, естественно, должно совпадать с исходным предположением, что и имеет место.

Неверное заключение отпало.

Поставим теперь вопрос шире, рассматривая правило умножения квадратных корней не только из отрицательных чисел, а из чисел комплексных, т. е. чисел вида z=x+iy, где X и у числа действительные. Как известно из курса математики X класса средней школы, всякое такое число

Черт. 14.

изображается определенной точкой плоскости, а именно точкой с абсциссой х и ординатой у, и может быть представлено в тригонометрической форме z=r (cosa + i sin a), где «модуль» г действительное положительное (или равное нулю) число, выражающее расстояние этой точки от начала координат, а «аргумент» a выражает угол между положительным направлением оси X и лучом, проведенным из начала в эту точку (черт. 14). Угол а, взятый в градусной или радианной мере, может выражаться любым действительным числом (положительным, отрицательным, равным нулю), но это число всегда можно «привести» в интервал 0°; 360°, прибавляя или отнимая целое число, кратное 360°, а потому будем считать, что 0°<а<360°.

Правило умножения комплексных чисел, выраженных в тригонометрической форме, дается известной формулой Моавра:

если z=r(cos л+l sin a), Zi=A*i(cos,ai+j sinax), то Z2i=/T1[cos(a+ai)-f / sin (a+ax)],

которая легко получается, если перемножить выражения для z и Zi, применяя обычное правило умножения многочленов, заменяя /2 через — 1 и пользуясь формулами для синуса и косинуса суммы двух углов.

Теперь найдем, чему равен квадратный корень из числа z=r(cos а+/ sin а). Полагая, что он равен некоторому комплексному же числу (D=p(cos <р+/ sin ср), найдем неизвестные р и ср по данным г и а. По условию,

u=V~z , откуда ü)2=z.

По формуле Моавра:

ü)2=pp [cos (<p+ff)+ï sin (cp+cp]=p2(cos 2cp+t sin 2cp).

Имеем равенство:

p2(cos 2cp+î sin 2cp) =r(cos a+i sin a).

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической

форме, равны (и изображают, следовательно, одну и ту же точку плоскости) тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы либо равны, либо отличаются друг от друга на целое число, кратное 360°. Отсюда заключаем, что р2=г, 2ср=а+360°-п, где п любое целое число. Модуль р, как действительное неотрицательное число, равен арифметическому (положительному) значению квадратного корня из неотрицательного действительного числа г: р=+|/"г, а аргумент ср имеет бесконечное множество значений, определяемых формулой cp=-^-a+180°-AZ при произвольном целом п. Однако если из всего этого бесконечного множества значений ср выбросить те, какие отличаются от других на целое число, кратное 360°, то останутся только два значения, соответствующие числам п=0 и п=1, а именно:

и мы приходим к заключению, что существует два и только два значения квадратного корня из числа

а именно:

причем

На чертеже 15 точка А изображает данное число z, точки ßi и Вг— оба значения У г (здесь ОА=г, ОВг=

а именно точка ßi—первое значение у г=щУ точка Бг — второе значение 1^2=0)2=—щ.

Аргумент а, как мы видели выше, всегда можно считать удовлетворяющим неравенству 0°<a<360°, а потому

Таким образом, из двух значений квадратного корня одно

всегда изображается точкой верхней полуплоскости (т. е. той части плоскости, которая расположена выше оси абсцисс) или в крайнем случае (при а=0°) точкой положительной части оси X, а другое — всегда точкой нижней полуплоскости, или в крайнем случае (при а=0°) точкой отрицательной части оси X.

Черт. 15.

В случае, когда корень извлекается из действительного положительного числа, имеем а=0°, и первое значение щ есть не что иное, как арифметическое значение корня +|/ г. Поэтому одно из двух значений квадратного корня из комплексного числа z, а именно то его значение, которое выражается точкой положительной полуоси X или точкой верхней полуплоскости, будем называть «первым» или «арифметическим» значением корня. Другое значение корня, а именно то, которое изображается точкой отрицательной полуоси X или нижней полуплоскости, будем называть «вторым» или «неарифметическим» значением корня.

Возьмем теперь два произвольных комплексных числа:

и найдем «первые» значения их квадратных корней:

Перемножим их, применяя правило Моавра:

Кроме того, найдем произведение чисел гиг'и оба значения квадратного корня из него:

Теперь у нас подготовлено все нужное для решения вопроса о том, дает ли произведение «первых» значений квадратного корня из двух произвольных комплексных чисел «первое» значение квадратного корня из произведения этих чисел, или нет.

Как видим, произведение «первых» значений квадратного корня из чисел

а именно

равно одному из значений квадратного корня из числа zz', а именно числу:

Но возникает вопрос, является ли это последнее число и «первым» значением корня из zz', или этим «первым» значением является другое значение корня из zz', обозначенное V нас буквой v.

Из условий 0°<а<360° и 0°< а'<360° выводим, что 0°<а+а'<720° и 0°<у(а+а/)<360°. Значит, точка, изображающая число и, может лежать и на положительной части оси Х (при^^=0о), и выше оси х (при 0°<^~^< 180°), и на отрицательной части оси X (при^£-==180°), и ниже оси X (при 180o<^^L<360°^. Таким образом, произведение «первых» значений корней из г и г' может быть равно в некоторых случаях «первому» значению корня из zz\ а в других случаях «второму» его значению.

Рассматривая вместо значений полусуммы аргументов -jj-(aH" а') значение целой суммы а+а' и объединяя попарно установленные выше четыре случая, придем к следующим двум случаям:

Случай I. Если a+a'<360°, то либо ^^-==0°, либо 0°<--^— <180°; число и изображается либо точкой положительной части оси Ху либо точкой верхней полуплоскости; и равно «первому» значению корня из zz'.

Случай II. Если а+а'>360°, то либо ^ç- = 180°, либо 180°<-^— <360°, число и изображается либо точкой отрицательной части оси X, либо точкой нижней полуплоскости; и равно «второму» значению корня из zz'.

Теперь получаем окончательный вывод: произведение «первых» значений квадратных корней из комплексных чисел гиг' равно «первому» значению квадратного корня из произведения этих чисел, тогда и только тогда, когда сумма аргументов этих чисел меньше 360° (предполагается, что аргументы приведены в границы 0°; 360°).

Замечая, что «второе» значение квадратного корня равно «первому» его значению, взятому с противоположным знаком, легко составим, пользуясь последним предложением, следующую «таблицу умножения» квадратных корней из комплексных чисел («первое» значение квадратного корня будем обозначать знаком плюс, поставленным перед знаком корня, «второе»— знаком минус); как и раньше, будем предполагать, что аргументы а и а' чисел гиг' заключаются между 0° и 360°.

Случай I,

Случай II,

Вернемся теперь к тому частному случаю умножения корней, которым мы занимались в начале настоящего параграфа: пусть г и г' два действительных отрицательных числа. Всякое такое число можно написать в виде z=x+i-0, где X действительное отрицательное число, а потому такое число z изображается точкой отрицательной полуоси X. Следовательно,

и здесь мы имеем случай II: произведение «первых» значений квадратных корней из двух действительных отрицательных чисел равно «второму» значению квадратного корня из произведения этих чисел.

25. Для осознания ошибки противопоставим неправильному рассуждению, которое привело к абсурдному выводу, правильное.

Исходя из соотношения ^у=:у- и используя операцию извлечения квадратного корня, будем иметь:

т. е.

а отсюда

Это соотношение ни к какому противоречию не приводит при соответствующем выборе знаков. В самом деле:

26. Внимательно просматривая все рассуждение в поисках ошибки, которая привела нас к этому абсурдному выводу, мы обнаруживаем, что она заключается в той «очевидной истине», с формулировки которой мы начали этот

параграф. Для чисел положительных это утверждение правильно: если а : Ь=с : d, и а>6, причем все четыре числа a, bt с и d — положительны, то, полагая а : b=q> заключаем, что <7>1; но отношение с : d тоже равно q, а если отношение двух положительных чисел больше 1, то первое число больше второго; следовательно, c>d.

Для чисел рациональных, как показывает настоящий софизм, это заключение может быть и неверным. Кроме рассмотренной в нем пропорции (+а) : (—а) = (—а) : (+а), можно привести сколько угодно других, для которых «очевидная истина» начала настоящего параграфа не оправдывается. Например:

15 : 3=(—15) : (—3), 15 : (—3) = (—10) : 2.

В настоящем софизме мы имеем очень поучительный пример того, как легко ошибиться, доверяясь «очевидной истине», т. е. принимая без доказательства некоторое утверждение, представляющееся с первого взгляда правильным. Принимая некоторое утверждение без доказательства, мы должны внести его в список аксиом. Все же утверждения, не включаемые в список аксиом, должны рассматриваться как теоремы и подлежат доказательству (на основе принятых аксиом и определений, а также ранее доказанных теорем). Слово «очевидно» хорошо бы вовсе изгнать из употребления в математических рассуждениях: вместо ссылки на «очевидность» необходима либо ссылка на определенную аксиому, либо доказательство, т. е. сведение нового утверждения к аксиомам и ранее доказанным теоремам.

С другой стороны, настоящий софизм показывает пример того, как может перестать быть верным утверждение, доказанное для некоторых чисел (в данном случае положительных), после перехода к числам более общего вида (в данном случае рациональным). Уже при переходе от целых чисел к дробным ученик, привыкнув к тому, что умножение на целое связано с увеличением (при множителе, большем 1), а деление — с уменьшением взятого числа, с большим трудом привыкает к тому, что при умножении и делении на правильную дробь все происходит наоборот.

В дальнейшем мы встретим еще ряд примеров ошибок, происходящих от подобного применения теорем, справедливых при некоторых условиях, в таких случаях, когда эти условия не выполняются.

27. Легко убедиться, взяв хотя бы числовые значения,

что ошибка сделана при переходе от неравенства (1) к неравенству (2), т. е. при делении обеих частей неравенства (1) на разность Ь — а, имеющую при а>6 отрицательное значение. Дело в том, что деление обеих частей неравенства на одно и то же число приводит к неравенству того же смысла, т. е. к неравенству с тем же из двух знаков (> и <), лишь тогда, когда делитель положителен; при отрицательном же делителе смысл неравенства изменяется. Доказательство этого свойства неравенств можно найти в любом руководстве алгебры. Если при переходе от неравенства (1) к неравенству (2) примем во внимание перемену смысла неравенства, то получим, что а<Ь+а и неверный вывод о том, что a>2ft отпадает.

28. Теорема об умножении неравенств, приведенная в начале п. 28, формулирована у нас неточно: она верна лишь для неравенств, все части которых положительны. Вот ее точная формулировка: можно перемножать почленно два неравенства одного и того же смысла, если все части его положительны; новое неравенство будет того же смысла, что и каждое из данных неравенств. Если же применять эту теорему к таким неравенствам, как 5>—1 и 2>—15, может получиться нелепость: 5-2>(—1)-(—15), т. е. 10>15. Неосторожное умножение неравенств и привело к абсурдному выводу, что а>й и ô>a.

29. Ошибка допущена при умножении обеих частей неравенства а>6 на Ь — а. Дело в том, что разность чисел Ь и а отрицательна, так как по условию а>6. Следовательно, умножая на Ь — а, т. е. на число отрицательное, надо было изменить знак неравенства на противоположный. Однако этого сделано не было, что и привело к абсурдному выводу.

30. Ошибка допущена при переходе от равенства (2) к неравенству (3). Здесь сознательно подвергнут забвению тот факт, что так как логарифм правильной дроби отрицателен, то в соотношении (3) должен быть поставлен не знак больше, а, наоборот, знак меньше: удвоенное отрицательное число меньше этого отрицательного числа.

31. Тщательно проверяя оба решения, мы находим только один сомнительный пункт: имеем ли мы право считать, что + )/(1—х)2=1—X? Другими словами: всегда ли арифметическое значение квадратного корня из квадрата какого-нибудь числа равно этому числу, всегда ли +)/a2=+ a? Последняя формула, очевидно, верна при а>0, но при а<0 она должна быть заменена другой, а именно формулой

4-"j/û*=—а, так как, если а отрицательно, то для получения арифметического (положительного) значения корня надо взять не a, a —а. Обе эти формулы можно соединить в одну:

Решая поставленную выше задачу вторым способом, мы брали +1/(1 — х)2= \ — X. Это верно, если 1 — х>0, т. е. если л:<1. Но в дальнейшем мы заменяли х числом 3, т. е. делали разность 1 — х отрицательной. Значит, для получения положительного значения квадратного корня из (1 — je)2, при таком значении х, надо брать не 1 — xt а —(1—х) или X—1. Правильным будет такое решение:

2х+У(1 — х)2=2х+[—(1 —х)]=2х— 1+х=Зх—1 = =3-3—1=8.

Получено то же, что и при вычислении первым способом.

32. Равенство lg x2=2lg х верно, если л:>0, и неверно, если *<0.

Если jc<0, то \gx2=2\g(—x).

Вообще, если хфО> то имеет место равенство:

lg *2=21g|*|.

Из сказанного ясно, что в анализируемом рассуждении из соотношения а2=Ь2 (2) должно следовать не соотношение 21g a=21g b (3), которое является ложным, а соотношение:

2Ig|a|=21g|ô|. Из последнего равенства заключаем:

и-м.

которое не противоречит соотношению а=— b (1) и не дает оснований для нелепых выводов.

Анализируемое ложное рассуждение сыграло настолько значительную роль в истории развития математики, что на этом вопросе следует остановиться несколько подробнее.

В истории математики XVIII в. весьма заметное место по своему научному и методологическому содержанию занимает дискуссия о том, существуют ли действительные значения логарифмов отрицательных чисел.

При разработке проблем интегрирования Лейбниц (1646— 1716) и Иоганн Бернулли (1667—1748) столкнулись с вопросом о логарифмах отрицательных чисел. Вначале они, заботясь лишь о выработке определенных алгоритмов интегри-

рования, чисто формально подходили к логарифмированию чисел той или иной природы. Но в 1712—1713 годах между названными учеными возникает оживленный спор в форме переписки, посвященный уже существу проблемы. В своих письмах Бернулли оспаривает мнение Лейбница, что логарифмы отрицательных чисел мнимы, утверждая, что они действительны, так как, по его убеждению, In л:=1п (—х).

В 1745 году переписка Лейбница и Бернулли была обнародована. Ознакомившись с ней, Л. Эйлер (1707—1783) в 1749 году опубликовал статью «О споре между Бернулли и Лейбницем о логарифмах отрицательных и мнимых чисел», в которой дал блестящее решение вопроса. Установив правоту Лейбница, Эйлер не удовлетворяется его аргументацией, достигая решения вопроса с помощью своей формулы для мнимых показателей.

Однако публикацией работы Эйлера спор еще не заканчивается. Авторитетную поддержку взгляд Бернулли находит у Даламбера (1717—1783). Он ее осуществляет публикацией в 1761 году полемической статьи «О логарифмах отрицательных чисел» и в том же духе написанной статьей о логарифмах для XX тома знаменитой «Энциклопедии» (1778). Точка зрения Бернулли — Даламбера разделяется и некоторыми другими математиками XVIII в.*

Отголоском этого интересного спора и является сохранившийся до нашего времени весьма распространенный софизм, носящий имя И. Бернулли.

Бернулли, исходя из бесспорного равенства (—а)2=(+а)2, утверждал, что так как 1п(—а)2=1п(+а)2, то 21п(—а) = = 21п(+а), а потому 1п(—а) = 1п(+а). Отсюда он делал вывод, что логарифмы отрицательных чисел имеют действительные значения.

Здесь при переходе от равенства 1п(—а)2=\п(+а)2 к равенству 21п(—а) = 21п(+а) совершается ошибка. Дело в том, что в то время как множества значений 1п(—а)2 и 1п(+а)2 совпадают, множества значений 2 1п(—а) и 2 In (+а) не только не совпадают, но даже и не имеют общей части.

Разберемся в этом вопросе подробнее.

Из формулы Эйлера для мнимых показателей е1* = —cos y+i sin у непосредственно усматриваем, что е2/ш'=1 и In 1=2/ш, где п равно 0, ±1, ±2,...

Из формулы, дающей тригонометрическую форму комплекс-

* Достаточно подробно и очень хорошо история этого вопроса изложена в книге А. И. Маркушевича «Элементы теории аналитических функций», М., 1944, стр. 42—46.

ного числа £=r(cos cp+t sin у)=ге'* =ге'(*+2пк\гд,е n равно 0, ± 1, ±2,..., находим, что lnz=\nr+i(y+2mz), откуда ln(—1) = = ln 1+^+2птг) = /(2п+1)т:.

Возможность равенства 1п(+1) и 1п(—1) исключена, ибо множества (2/iitf) и ((2/г+1)ти), где п равно 0, ±1, ±2,..., не пересекаются, т. е. не имеют ни одного общего элемента.

Итак, из равенства 1п(—1)2 = 1п(+1)2 незаконно заключить, что 21п(—1)=21п(+1). Из равенства можно только заключить, что 1п(—1)+1п(—1)=1п(+1)-Ь1п(+1). Здесь в каждой части выступают в качестве слагаемых, вообще говоря, неравные значения 1п(—1) и неравные значения 1п(+1). В самом деле, переходя от последнего соотношения к соотношению:

i(2tii +1 )т:+i(2n2 +1 )tz = 2п3к1+2n^i,

видим, что, например, при tti=0, я2=0, п3=1, п4=0 равенство удовлетворяется.

33. Ошибку настоящего ложного доказательства легко обнаружить, рассматривая разности а — аь Ъ — bu о — Си которые появляются при вычитании Ni из N. Будут ли эти разности цифрами в обычном смысле этого слова, т. е. всегда ли каждая из них является одним из чисел 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9? Если N=257, #х=725, то

и разность а — ai отрицательна. Легко понять, что если числа N и Ni имеют одну и ту же сумму цифр, то по крайней мере одна из разностей а — аъ Ь — Ьъ с — Ci отрицательна (исключением является лишь тот случай, когда а=Ь= =c=ai=bi=ci и когда перестановка цифр действительно числа не меняет). В самом деле, переписывая равенство a+b+c=ai+bi+ci в виде

(a-ai)+(b-bi)+(c-ci)=0,

убеждаемся, что если одна из этих разностей положительна,

то по крайней мере одна из двух других должна иметь отрицательное значение.

Итак, записав разность N— в виде 100(а — аг) + + 10(6 — bi)+(c — Ci), мы не имеем права утверждать, что в числе N — Ni имеется а — ai сотен, Ь — Ьх десятков, с — Ci единиц. Вместо разностей надо взять их абсолютные значения:

Сумма цифр числа N — Ni равна не алгебраической сумме (а — ai)+(b — bi)+(c — ci),

а арифметической сумме:

\а — аг\+\Ь — bi\+\c — ci|,

и все дальнейшие преобразования, проведенные в нашем «доказательстве», отпадают.

34. Недоразумение разрешается очень просто. Теорема о существовании корня в алгебре комплексных чисел относится лишь к уравнению вида:

a0xn+aixn-1+a2xn~2+ . . . +an-ix+an=0, (2)

где п некоторое натуральное число, т. е. имеет одно из значений 1, 2, 3, 4, а все коэффициенты а0> аь аг,...., аЛ_ь ап произвольные комплексные числа, причем а0=/=0. Относительно такого уравнения доказано, что оно всегда имеет по крайней мере один корень (действительный или мнимый). Надо твердо помнить, что эта теорема высшей алгебры (или теорема Гаусса, как ее называют по имени великого немецкого математика, впервые почти безупречно ее доказавшего) относится только к уравнениям вида (2) и что она ничего не говорит об уравнениях другого вида, как, например, об уравнении (1). Существенна и сделанная выше оговорка относительно значений коэффициентов. Если, например, мы возьмем уравнение

0.*+1=0, (3)

то окажется, что никакого корня оно не имеет: какое число мы ни возьмем вместо л:, всегда произведение 0-х будет 0, и левая часть уравнения всегда окажется равной 1; равенство левой и правой частей, таким образом, невозможно ни при каком значении х. Это обстоятельство ничуть не проти-

воречит теореме Гаусса: в уравнении (3) коэффициент старшего члена а0=0, между тем как в условиях теоремы указывается, что ßo^O.

Из теоремы Гаусса легко выводится следствие, гласящее, что левая часть уравнения (2) всегда разлагается на п линейных множителей, т. е. что уравнение (2) всегда можно представить в виде:

а0(х — ах) (х — а2) (х — а8) . . . . (х — аЛ)=0. (4)

Числа ai, a2, a3, . . ., ал, которые могут быть и действительными (положительными, равными нулю, отрицательными) и мнимыми, как неравными, так и равными друг другу, представляют собой не что иное, как корни уравнений (2) и (4); замена в уравнении (4) х одним из этих чисел аь а2, а3, . . ., ап превращает уравнение (4) в тождество 0=0. Поэтому это следствие теоремы Гаусса можно формулировать иначе: всякое уравнение вида (2) имеет (при я0=£0) ровно п корней, т. е. столько корней, сколько единиц в показателе его степени.

Зная следствие теоремы Гаусса лишь в последней его формулировке, можно прийти в недоумение, встретившись, например, с уравнением х*=0. Ведь оно имеет лишь один корень *=0, так как никакое неравное нулю число, ни действительное, ни мнимое, не даст 0 после возведения в куб. Следствие теоремы Гаусса в первой его формулировке в применении к уравнению л8=0 гласит, что левую часть этого уравнения можно разложить на три линейных множителя вида X—а. Но это сделать очень легко: хл=(х — 0) (х — 0) (д: — 0). Теперь становится ясным, что уравнение х:,=0 имеет три корня, но что все эти корни равны между собой.

Применяя следствие теоремы Гаусса, никогда не следует забывать о возможности равенства некоторых (или даже всех) корней уравнения.

35. Во всех рассмотренных нами примерах, как в первых двух, когда использованный способ решения дал правильные результаты, так и в последних двух, когда он привел к неверным выводам, все выполненные нами преобразования не вызывают никакого сомнения: все делалось в строгом соответствии с правилами алгебры. Единственная операция, для которой нельзя указать основания в виде некоторого правила алгебры, это само обозначение результата бесконечной совокупности операций буквой хл над которой мы в дальнейшем производим действия, предполагая, конечно, что эта буква X обозначает некоторое определенное, хотя нам пока

еще неизвестное число. Ведь все правила алгебры относятся к действиям над числами! Причина появления в результатах наших рассуждений в примерах третьем и четвертом нелепых выводов в том и заключается, что в этих примерах не существует определенного числа, которое получалось бы после бесконечного повторения рассматриваемых операций. Выражаясь точнее, можно сказать, что в примере третьем мы имеем дело с бесконечной последовательностью чисел

Х\=а,

х2=а+а=2ау Хз=а+а+а=3а, Xt=a+a-{-a+a=4a, . . . ,

которая при а>0 не имеет никакого предела, так как эти числа неограниченно возрастают: как бы велико ни было данное число Л, всегда можно указать такой номер пу что все члены нашей последовательности, имеющие номера выше п, будут больше А (для этого достаточно взять п>—). Обозначив «сумму» бесконечного множества равных чисел буквой X и произведя над х действия так, как будто этот х обозначал число, мы и пришли к нелепому выводу.

Подобным же образом обстоит дело и в примере четвертом. Здесь мы имеем последовательность чисел *i=l, Х2 = — I, JC3=3, х*=—5, x5=ll, . . ., которая никакого предельного значения не имеет. Неправильным было само обозначение этого несуществующего предельного значения буквой х и действия над этим ху как над определенным числом.

Теперь появляется вопрос: а как узнать существует л и предельное значение у рассматриваемой бесконечной последовательности чисел или нет? Ответ на этот вопрос дают различные признаки существования предела у бесконечных последовательностей. Простейший признак такого рода изучается в IX классе: если дана бесконечная последовательность возрастающих чисел

öi, а2>а1у а3>а2у а4>а3, аъ>а^у

но каждое из этих чисел меньше некоторого числа Ьу то числа Qu Яг» Qs> • • • стремятся к пределу, который либо меньше Ьу либо равен Ь.

В первом рассмотренном выше примере мы имели последовательность бесконечного множества возрастающих чисел :

лг!=0,24; *2=0,2424;- л:3=0,242424; . . . ,

но каждое из этих чисел меньше, например, 0,3. Следовательно, предельное значение существует. Обозначив его буквой Ху мы можем спокойно оперировать над х, как это было сделано выше, и придем к заключению, что

Точно так же

и во втором примере мы имеем бесконечную последовательность возрастающих чисел:

Xx=V2y х2=уг2+Хху х.л = У2+х2у х4 = У 2+х3,...,

но каждое из этих чисел меньше 2, так как каждое подкоренное выражение меньше 4. Следовательно, и здесь предельное значение существует, и его можно обозначить через х.

Итак, применяя прием исключения бесконечности, мы только тогда можем быть уверены в правильности получаемого результата, когда предварительно установим, что искомое предельное значение действительно существует.

36. Читатель, уже ознакомившийся с п. 35, конечно, давно понял, в чем тут дело: наша сумма бесконечно большого множества слагаемых вообще не имеет никакого определенного значения, так как последовательное суммирование все большего и большего числа слагаемых не дает приближения ни к какому предельному значению:

xi=l, ЛГ2= 1—1 =0, лгз= 1—14-1 = 4-1, *4=1—1 + 1—1=0, ...

Ошибка первого рассуждения, которое привело к значению 0,5, заключалась в том, что мы производили над х действия, не установив предварительно, что буква х означает определенное число.

Во втором рассуждении, которое дало х=0, мы воспользовались сочетательным свойством алгебраической суммы: в любой алгебраической сумме, состоящей из определенного числа слагаемых, можно заключить произвольное число слагаемых в скобки. Перенесение этого сочетательного свойства на сумму бесконечного множества слагаемых ничем не оправдано, и полученный результат (определенное числовое значение, а именно 0, для выражения, явно не имеющего никакого определенного числового значения) обнаруживает, что такое перенесение может привести к неверному заключению.

В третьем рассуждении, приведшем к значению #=1, мы опять незаконно использовали это сочетательное свойство алгебраической суммы в применении к сумме бесконечного множества слагаемых.

В четвертом рассуждении, в котором мы нашли, что х=—1, мы имеем опять-таки незаконное использование соче-

тательного свойства, но, кроме того, незаконное же использование свойства переместительного: как известно, значение алгебраической суммы определенного числа слагаемых не изменяется от перемещения слагаемых, если каждое слагаемое переносить с тем знаком, какой стоит перед ним; перемещая же слагаемые в сумме, содержащей бесконечное множество слагаемых, мы в некоторых случаях изменяем значение этой суммы.

Итак, все наши четыре рассуждения — сплошное нагромождение ошибок, основанных на применении к сумме бесконечного множества слагаемых таких приемов, которые законны лишь в применении к суммам определенного числа слагаемых.

Ошибки охарактеризованного типа имеют поучительную историю, а потому остановимся на некоторых подробностях.

Операции сложения и вычитания в области действительных чисел всегда выполнимы и однозначны. Математикам XVIII в. это было хорошо известно по крайней мере в применении к рациональным числам, но они не были склонны ограничить применение принципов арифметики областью сумм с ограниченным числом слагаемых. На пути же произвольного расширения материала арифметических суждений возникли непримиримые противоречия. «Сохранение» однозначности за операцией сложения заставляло прибегать к уловкам, подчас остроумным, но явно стоящим в противоречии с законом достаточного основания.

Желая, например, найти «сумму» ряда 1—1 + 1—1+. . ., вычислители писали S=l—1 + 1—1+. . ., откуда, перенося первое слагаемое правой части в левую, находили S— 1 = =— 1 + 1—1 + 1— . . ., т. е. 5 — 1=—S, а потому заключали, что S=

Но от математиков не могли ускользнуть и другие вполне прозрачные «ответы», как, например:

5 = (1—1)+(1—1)+(1 — 1)+. . .=0 или S = l-(1-1)-(1-1)-(1-1)- . . . = 1.

Естественно возникал вопрос: на каком же решении, как единственно верном, надо остановиться?

Итальянский математик Гвидо Гранди, желая установить аргументы для подтверждения справедливости ответа Ь=~2, излагает любопытные размышления. Допустим, рассуждает Гранди, что некий отец, умирая, оставил своим двум сы-

новьям драгоценный камень. В своем завещании родитель указал, что по прошествии каждого года наследство должно переходить от одного сына к другому. Подсчитаем же исходя из приведенных условий долю богатства каждого наследника. Выражая для этой цели год обладания камнем одним из братьев за +1, а год, в течение которого он будет у другого брата, за —1, получим ряд: 1—1 + 1—1 + . . ., который должен равняться так как братья имеют одинаковые права на оставленное им наследство.

Вокруг этого вопроса возникла длительная и оживленная дискуссия-переписка, в которой, кроме самого Гранди, приняли участие Лейбниц, Вольф, Вариньон и Николай Бернулли старший. Лейбниц указал, что ряд 1—1 + 1—1+ . . . не имеет никакого отношения к примеру Гранди. Ведь братья будут в равной степени обладать камнем, если они будут иметь его, например, сто лет, но сумма ста членов ряда равна все-таки нулю, а не половине. Однако и Лейбниц считал ответ ~y единственно правильным, мотивируя его истинность метафизическими рассуждениями о законе справедливости в природе.

Равенство рассматриваемого ряда половине отстаивал и Эйлер, утверждая, что так как при последовательном суммировании получается то 1, то 0, а ряд не имеет конца, то должно получиться среднее, т. е.—-^—=~^-

Этот любопытный спор математиков XVIII в. был разрешен установлением точного понятия о сходящемся ряде и осознанием незаконности формального распространения свойств сумм с определенным числом слагаемых на ряды. Ряд, послуживший предметом дискуссии, является, как известно, расходящимся, т. е. таким, для которого понятие суммы вообще не имеет смысла*.

37. Прежде всего заметим, что математики предпочитают говорить не о равенстве бесконечных множеств, а об их «эквивалентности»: два множества, конечные или бесконеч-

* Мы здесь формулируем одно из основных положений классического анализа. Это необходимо заметить, так как самый вопрос о смысле того или иного выражения становится содержательным только при указании условий рассмотрения. Дело в том, что и ряду 1—1 +1—1 +1—1 +... можно однозначно отнести число —, если условиться под суммой ряда So±S1±li:±Sn понимать lim-- , где Sn означает сумму п первых членов ряда.

ные, называются эквивалентными, если каждому элементу первого соответствует один и только один элемент второго, и обратно, каждому элементу второго множества соответствует один и только один элемент первого.

Итак, имеем два факта: 1) множество Q есть часть множества N; 2) множества N и Q тем не менее эквиваленты.

Во избежание недоразумений отметим еще раз, что речь идет о множествах бесконечных, состоящих из всех квадратных и всех натуральных чисел. Если взять конечное множество из натуральных чисел, не превышающих, например, один миллион, и множество квадратных чисел, тоже не превышающих один миллион, то никакой эквивалентности в этих двух множествах мы, конечно, не обнаружим: на миллион натуральных чисел у нас придется лишь тысяча чисел квадратных, часть окажется меньше своего целого.

Если же рассматривать все натуральные и все квадратные числа, не ограничивая ничем их величину, то окажется, что множество Q, будучи частью множества N, в то же время эквивалентно ему: часть равна своему целому.

Получив такой вывод, мы непременно усомнимся в правильности наших рассуждений, так как привыкли считать одной из основных общематематических истин, что часть меньше своего целого (это утверждение составляет одну из аксиом I книги «Начал» Евклида). Но рассуждения безупречны, и этот вывод приходится принять. Аксиома «часть меньше своего целого» верна лишь для конечных множеств, бесконечное же множество может быть и равно своей части. На вопрос, какое множество называется бесконечным, иногда отвечают так: бесконечным называется всякое множество, у которого есть часть, эквивалентная всему множеству.

Кроме алгебры конечных чисел, существует еще алгебра бесконечных (или «трансфинитных») чисел. Ее изучает математическая наука, носящая название «Теория множеств». Как видим, обе эти алгебры резко отличны одна от другой. Мы получаем новое подтверждение сказанного в п. 35: если мы обозначаем некоторую величину буквой х и выполняем над этим X операции по правилам обыкновенной алгебры, мы только тогда можем быть уверены в правильности полученных выводов, если предварительно убедимся, что х определенное число.

38. Взяв вместо а и b какие-нибудь определенные числа, например, а=3> 6=1, легко убедимся, что равенства (1) и (2) верны, равенства (3) и (4) уже неверны. Следовательно, ошибка допущена при переходе от равенства (2) к равенству

(3). Этот переход был сделан на основе того соображения, что извлечение корня одной и той же степени из двух равных чисел должно привести к равным же результатам. Это, конечно, совершенно справедливо, если мы имеем дело с одними положительными числами: если х и у два положительных числа, а п произвольное натуральное число, то из равенства хп=уп вытекает равенство х=у. Действительно, если бы было или х<у, то и хп было бы больше или меньше уп. При п=2 теорему эту можно формулировать так: если два квадрата имеют одну и ту же площадь, то стороны их равны.

Все это так, если числа х и у — положительные. Если же они оба (или одно из них) могут быть и положительными и отрицательными, то из равенства степеней этих чисел еще нельзя заключить о равенстве самих чисел. Например, при х=5 и у=—5 мы имеем равенство квадратов, так как х2= =у2=25, но здесь х>у.

Принимая во внимание правило знаков при возведении рациональных чисел в квадрат, легко придем к такому заключению: если квадраты двух рациональных чисел равны, то самые эти числа либо равны, либо противоположны (т. е. имеют одно и то же абсолютное значение, но разные знаки). Короче: из равенства х2=у2 вытекает одно из равенств: х=у или х=—у. Какое именно — надо выяснять каждый раз особо на основании тех сведений о числах х и у, какими мы располагаем.

В изложенном выше рассуждении, которое привело нас к ложному заключению о равенстве чисел а и 6, мы имели равенство (а — b)2=(b — а)2. Если а>6, как было предположено, то а — b число положительное, a b — а число отрицательное. Таким образом, здесь мы имеем дело с числами рациональными и должны считаться с тем, что из равенства квадратов этих чисел вытекает одно из двух: либо эти числа а—b и b — а равны друг другу, либо противоположны. Но числа а — b и b — а имеют разные знаки; возможность их равенства отпадает, остается лишь возможность их противоположности. Равенство (3) в приведенном выше рассуждении надо заменить таким:

а — Ь=— (Ь — а),

откуда

а — Ь=— b+a> а — а=Ь — 6,

а не

a+a=b+b,

как было получено выше, и нелепый вывод устранен.

Для разъяснения настоящего софизма часто ограничиваются просто указанием на то, что извлечение квадратного корня дает результат с двумя знаками (плюс и минус). Для полной ясности необходимо добавить еще несколько указаний. Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства (2), мы должны писать результат в виде ±(а— Ь) = = ±(Ь — а), где любой знак левой части может браться одновременно с любым знаком правой части. Вместо одного равенства (3) мы имеем теперь четыре равенства:

Меняя знаки обеих частей в последних двух равенствах на противоположные, мы сведем эти четыре равенства к двум:

+(а — Ь)=+{Ь — а),

+(а- Ь)=-(Ь — а),

a пользуясь двойным знаком ±, даже к одному: а — Ь=±(Ь — а),

в котором надо еще произвести выбор знака.

Ошибки, обусловленные переходом от х2=у2 к х=у, встречаются очень часто. Необходимо твердо помнить, что из х2=у2 вытекают два равенства: х=у и х=—уу или, короче, х=±уУ и никогда не забывать о необходимости выяснения вопроса о выборе знака.

39. Ошибочным является равенство (2): из равенства (1) вытекает, что либо х—2а=хУ либо х—2а=—х. В силу условия х=а имеем: х—2а=а—2а=—a, a потому равенство (2) отпадает (при аФО число х—2а, равное —а, не может равняться je, равному а) и должно быть заменено другим: х—2а= =—X. Но из него следует, что 2х—2а=0 и х=а. Мы пришли к исходному равенству, устранив нелепый вывод.

40. Как в п. 39 ошибка допущена при извлечении квадратного корня из обеих частей равенства (1): из равенства (1) следует, что выражения в скобках либо равны, и тогда имеет место равенство (2), либо эти выражения равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, и тогда вместо (2) надо написать равенство:

(3)

Легко убедиться в правильности равенства (3), а не (2).

41. Посмотрим, как расположены те точки Л, ß, ßb Бг, 03, В4 и т. д., о которых была речь, и сколько времени надо точке Ж, чтобы пройти отрезки AB, ВВЪ В\Вч, ВчВз и т. д. По условию, ;4ß=100 м. Отрезок ВВХ точка jV, двигаясь со скоростью 1 м в сек., проходит за то время, в течение которого точка УИ, двигаясь со скоростью 10 м в сек., проходит отрезок АВ=\00 мУ т.е. за 100 : 10= 10 (сек.); легко видеть, что ßßi=10 л*. Точно так же устанавливаем, что для перехода от В к Вх точке M нужна 1 сек. (в течение которой точка N пройдет отрезок ВВъ=\ м), а для перехода от ßi к Вг нужно 0,1 сек. (за этот промежуток точка N пройдет отрезок ВгВз=0,\ м). Повторяя эти рассуждения, легко убедимся, что расстояния (в метрах) между точками А и ß, В и ßb ßi и Вч и так далее образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001;..,

а промежутки времени (в секундах), в течение которых точка M проходит эти расстояния, образуют другую такую же прогрессию:

10; 1; 0,1; 0,01; 0,001;...

Приведенное выше рассуждение, «доказывающее», что точка M никогда не догонит точку jV, действительно доказывает, что точка M не догонит точку N в течение времени, равного сумме любого числа п промежутков 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001; ... Но сумма п членов этой прогрессии равна:

и всегда меньше числа

Следовательно, наше рассуждение доказывает лишь то, что точка M не догонит точки N ни в какой промежуток времени, меньший ll-i-сек. А в этом утверждении ничего абсурдного нет:

точка M сближается с точкой на 10—1=9 (м в сек.) и догонит ее, т. е. сблизится на все первоначально бывшее между ними расстояние в 100 м, как раз через 100 : 9= = 11-^-(сек.), но не раньше.

Только что рассмотренный софизм был указан греческим философом Зеноном.

В древнейшей греческой математике в число основных аксиом этой науки входило утверждение, по которому «сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и чрезвычайно малых, протяженных величин обязательно должна быть бесконечно большой»*. На этот момент обращает внимание комментатор Аристотеля Симпликий (умер в 549 г.)

С признанием приведенной аксиомы связаны знаменитые «апории»— доказательства Зенона, жившего в V в. до н. э. Диоген Лаэрций (писатель конца II и начала III в.) свидетельствует, что Зенон обладал необыкновенным даром красноречия, написал произведения, выявляющие большую силу его ума и глубокую ученость, и приобрел известность в философии и политике. В философии его имя связано с отрицанием возможности выразить движение в научном понятии, а в политике с активной поддержкой сил реакции в открытой политической борьбе против античной демократии.

Зенон выступал как противник некоторой вполне определенной математической теории, по которой одновременно постулировалось существование минимального, далее неделимого, отрезка пространства или времени и бесконечная делимость величин. Своим скептическим воззрениям античный философ придал блестящую форму великолепно построенных апагогических доказательств.

«Есть четыре рассуждения Зенона о движении («Дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «Стрела», «Ристалище»— Авт.),— говорит Аристотель,— доставляющие большие затруднения тем, которые хотят их разрешить». «Второе,— продолжает Аристотель,— так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо более медленное в беге никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество»**.

Психологической основой приведенного парадокса является интуитивное отождествление суммы бесконечного множества членов с бесконечно большой величиной, хотя на самом деле речь идет лишь о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии

равной

* С. Я. Лурье, Теория бесконечно малых у древних атомистов, М, 1935, стр. 31.

** Аристотель, Физика, пер. В. П. Карпова, М., 1936, стр. 119—120.

дроби п_{ , где п указывает, во сколько раз Ахиллес двигается быстрее черепахи.

Уровень философской и математической культуры Греции времен Зенона Элейского не позволяет допустить, что описанная грубая ошибка могла бы ввести в заблуждение выдающихся мыслителей этой эпохи. Заметить, что сумма как угодно большого числа членов подобного ряда не превзойдет все-таки некоторого числа, не могло составить для них большого труда. Все дело в том, что греческий ученый подходил к разрешению этого вопроса, исходя из безоговорочного признания двух противоречивых воззрений: неограниченной делимости и существования последних элементов деления. Истинный смысл «Ахилла» и состоит в иллюстрации того факта, что сумма бесконечно большого числа неделимых является всегда величиной бесконечно большой.

На подобном толковании парадокса Зенона сходятся авторитетные историки и математики. Впервые эта гипотеза была выставлена П. Таннери. Крупнейший советский знаток Эллады С. Я. Лурье, разделяя мнение Целлера, Нестле и Гиса, оспаривает точку зрения Таннери, что в противниках Зенона следует видеть пифагорейцев. Лурье указывает, что «все, что нам известно об Анаксагоре, говорит за то, что он, с античной точки зрения, был повинен как раз в том противоречии, на котором сыграл Зенон»*. Однако профессор Лурье не утверждает, что Зенон имел в виду именно Анаксагора (500—428), считая, что современное состояние науки не дает еще достаточных оснований для решения этого вопроса.

Таким представляется «Ахилл» Зенона в плане воззрений современной ему философии и математики.

Но уже Аристотель лишает апорий Зенона о движении той базы, на которой они возникли. Он признает бесконечную делимость непрерывных величин и отрицает существование последних элементов деления (неделимых)**. Благодаря этому у Аристотеля та сумма, о которой говорится в «Ахилле», не является уже величиной бесконечно большой.

Аристотелево объяснение парадокса Зенона лишило его математической базы. Однако дискуссия о подлинных гносеологических истоках апорий Зенона не сходила со страниц историко-философской литературы на протяжении многих столетий. Только диалектика позволила до конца показать несостоятельность философии Зенона, в частности, его апо-

* С. Я. Лурье, Теория бесконечно малых у древних атомистов, М., 1935, стр. 34.

** Аристотель, Физика, пер. В. П. Карпова, М., 1936, стр. 105.

рий. В. И. Ленин, вскрывший сущность Зеноновых апорий, подчеркивал, что пространство делится в данном случае абстрактно, в уме, что на самом деле, т. е. в процессе движения, оно и делимо, и неделимо одновременно, так как реальное движение представляет собой противоречивое единство непрерывности и прерывности пространства и времени*.

42. 1. *±*=i±*. (3)

Весьма распространенная ошибка: сокращение на общий множитель знаменателя с одним из слагаемых числителя.

Исследование дает: ac+bc=ac+abc\ bc=abc или b=ab, так как знаменатель с не может быть равен нулю. Из соотношения b (1—а)=0 следует, что равенство (3) будет справедливо только в двух частных случаях: во-первых, когда Ь=0 и формула (3) принимает вид —=—; во-вторых, когда а=1 и формула (3) принимает вид Ц^=ЬУ\

Типичная и весьма упорная ошибка. Исследование дает:

abc=ac (b+c)+ab (b+c)\ abc=abc+ac2+ab2+abc\ ac2+ab2+abc=0; a (b2+c2+bc)=0.

Из последнего равенства следует, что или а=0, или b2+c2+bc=0.

Однако трехчлен b2+c2+bc ни при каких действительных отличных от нуля значениях b и с в нуль не обратится. В самом деле, если Ьфс, то или b2>\bc\ или с2>|£с|, если Ь=с, то b2=c2=bc. А потому во всех случаях

Ь2+с2+Ьс>0.

Выходит, что «формула» (4) оказалась справедливой только в том тривиальном случае, когда а=0.

Мы не случайно остановились на примерах, относящихся к тождественным преобразованиям над алгебраическими дробями и к действиям над ними. Дело в том, что очень большое число массовых ошибок учащихся падает именно на эти вопросы.

* В. И. Ленин, Философские тетради, М., 1947, стр. 242—243.

(5)

Ошибки этого типа весьма распространены и требуют упорной работы по их предупреждению. Исследование дает:

(6)

Формула (5) имеет место во множестве действительных чисел, когда а>1 и выполнено соотношение (6).

Если, например, а=2, то 6=4- и

Глава IV

ГЕОМЕТРИЯ.

I. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.

43. Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны.

Возьмем произвольный угол и пересечем его стороны двумя произвольными параллельными прямыми. Пусть AB и CD будут отрезки параллельных, заключенные между сторонами этого угла, а точка Е — его вершина (черт. 16).

Как известно, параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки; следовательно,

АЕ:СЕ=ВЕ: DE

AE-DE=BE-CE. (1)

Умножив обе части равенства (1) на разность AB — CD, производим следующие преобразования:

AE-DE-AB — АЕ-DE-CD=BE-СЕ-AB— BE-CE-CD у AE-DE-AB — BE-CE-AB=AE-DE-CD — BE-CE-CD, AB (AE-DE — BE-CE)=CD (AE-DE — BE-CE). (2)

Разделив обе части последнего равенства на разность AE-DE — ВЕ-СЕ, получим равенство AB=CD; таким образом отрезки параллельных, заключенные между сторонами данного угла, всегда равны.

44. Отрезок прямой равен своей правильной части.

Пересечем произвольно взятую прямую в точках А и В прямыми MN и PQ, перпендикулярными к AB (черт. 17).

Проведем прямую, пересекающую MN, AB и PQ соответственно в точках £, С и D.

Из подобия треугольников CBD и АСЕ устанавливаем:

(1)

Пересечем в точках F я H стороны CD и BD треугольника CBD прямой, параллельной его третьей стороне.

Черт. 16.

Черт. 17.

Из подобия треугольников CBD и FHD устанавливаем:

(2)

Определяя из соотношений (1) и (2) BD, соответственно имеем:

Следовательно,

(3)

Освободившись от знаменателей и раскрыв скобки, получим:

Прибавив к обеим частям последнего равенства разность

AE-HF-AC— DH-AB-AC,

после приведения подобных членов и вынесения общих множителей за скобки, имеем:

AB-(AE-FH — AC-HD)=AC-(AE-FH — АС-HD) (4)

Наконец, из соотношения (4) устанавливаем:

АВ=АС. (5)

45. Все треугольники равновелики.

Обозначим стороны произвольно взятого треугольника буквами а, Ъ и с9 соответственные высоты —Ai, Аг и Аз, площадь — 5.

Используя другие произвольно взятые треугольники, будем придерживаться тех же обозначений, но для отличия снабдим их соответствующим числом штрихов.

Из курса геометрии известно:

(1)

(2)

Определяя из соотношений (1) и (2) 5, соответственно имеем:

Следовательно,

или, освобождаясь от знаменателей:

(3)

Умножив обе части равенства (3) на разность и раскрыв скобки, будем иметь:

(4)

Прибавив к обеим частям равенства (4) разность S'2ahia"fi"i—SS"a'h'ibh2, после приведения подобных членов и вынесения общих множителей за скобки получим:

S (Sfahla,/h,/l—Sf/ah,ibh2)=Sf(S,ah1af,h,/1—S,/ah\bh2). (5)

Наконец, из соотношения (5) устанавливаем:

(6)

46. Сумма оснований любой трапеции равна нулю.

Для «доказательства» этой удивительной «теоремы» нам понадобится известное из элементарного курса алгебры свойство ряда равных отношений: если несколько отношений равны между собой, то сумма всех предыдущих членов относится к сумме всех последующих, как один из предыдущих относится к своему последующему.

Черт. 18.

Возьмем произвольную трапецию A BCD (черт. 18) и продолжим нижнее основание а, хотя бы направо, на отрезок, равный верхнему основанию Ь. Верхнее же основание Ь продолжим в противоположную сторону, т. е. налево, на отрезок, равный нижнему основанию а. Проведем диагонали трапеции и обозначим буквами х, у, z три отрезка, на которые диагональ АС делится другой диагональю BD и прямой, соединяющей концы продолженных оснований, т. е. прямой FE.

Из подобия треугольников CD G и ABG имеем пропорцию (х+у) : z=a : by а из подобия треугольников AFH и СЕН пропорцию (y+z) : x=a : 6, что дает новую пропорцию (х+у) : z=(y+z) : х. Умножив оба члена второго отношения на—1, придем к пропорции

(х+у) : z=( — y— z) : (— х).

Применяя к этой пропорции упомянутое выше свойство ряда равных отношений, получим, что

Сопоставляя полученный результат с пропорцией (х+у) : z=a : b, находим, что а : Ь=— 1, откуда а=— b и а+Ь=0.

47. Объемлемая и объемлющая.

На чертеже 19 мы имеем две ломаные с общими концами, объемлемую ADC и объемлющую ABC. Как известно, выпуклая объемлемая всегда короче своей объемлющей. Следующее рассуждение приводит к результату, находящемуся в противоречии с этой теоремой.

Черт. 19.

Пусть отрезки AB и ВС взяты произвольно, отрезки же AD и DC взяты не произвольно, а пропорциональными отрезкам AB и ВС, т. е. AD=k-AB, DC=k-BC, где k некоторая правильная положительная дробь (на чертеже 19 взято k=-^). Из последних равенств вытекает, что

следовательно,

(1)

В пропорции (1) предыдущий член второго отношения меньше последующего его члена; следовательно, и предыдущий член первого отношения меньше своего последующего, т. е.

(2)

Перенося все члены из первой части неравенства во вторую, и из второй в первую, имеем:

АВ+ВС< AD+DC.

Таким образом, объемлющая ABC оказывается не длиннее, как должно бы быть, а короче своей выпуклой объемлемой ADC.

48. Еще о пропорциональности.

В п. 7 (глава II) мы имели несколько примеров ошибок, происшедших из-за того, что за пропорциональные величины принимались величины, отнюдь не пропорциональные. Вот примеры ошибок в вопросах геометрического характера, обусловленных тем же обстоятельством.

I. На плане с масштабом в 1 : 10 000 изображен прямоугольник, имеющий на плане стороны 2 см и 3 см. Какова площадь этого прямоугольника в натуре? Здесь дробь 1 : 10 000 («численный масштаб») является отношением длины любого отрезка на плане к длине соответствующего отрезка в натуре.

Правильно ли утверждение, что площадь прямоугольника в натуре (2 см-3 см)-10 000=60 000 кв. см=6 кв. м?

II. Имеются три банки в форме прямых круглых цилиндров. Вторая имеет вдвое больший поперечник (диаметр) основания, чем первая, но зато вдвое меньшую высоту. Третья имеет, наоборот, вдвое меньший поперечник основания по сравнению с первой, но зато двойную высоту. Правильно ли утверждение, что удвоение одного измерения компенсируется уменьшением вдвое другого измерения, и что в силу этого объем у всех трех банок один и тот же?

III. Модель сооружения в натуральной величины изготовлена из того же материала, из которого будет строиться само сооружение. Взвешивание показало, что эта модель весит 3 кг. Следует ли ожидать, что само сооружение будет весить 3 кг X 20=60 кг?

IV. Желая сравнить два участка, человек обмерил их границы (периметры), и, найдя границу первого участка равной 60 му а границу второго — равной 50 м, заключил, что площадь первого участка больше площади второго на 20%. Так ли это?

49. Две окружности разного радиуса имеют одну и ту же длину.

Возьмем два колеса радиусов R и r< R и представим себе, что они насажены на общую ось. Будем катить колесо радиуса R без скольжения по прямой DE (черт. 20). Когда точка А на окружности этого колеса, находившаяся в начальный момент на прямой DE, совершит полный оборот и снова окажется на прямой DE, совпадая с точкой Аъ то путь Cd, пройденный за это время центром окружности С, будет равен отрезку А Ах, который равен в свою очередь длине окружности колеса 2kR.

Черт. 20.

Если второе (меньшее) колесо насажено на общую ось с первым и наглухо с ним скреплено, то оба колеса совершат один полный оборот одновременно. Но можно считать, что в то время как первое колесо катится по прямой DE, второе колесо катится по прямой FG. Совершив один полный оборот, второе колесо пройдет путь ßßi, равный длине своей окружности, т. е. 2тг/\ Но ВВх=ССху а потому 2тг/-=2тг/?, т.е. длины двух окружностей разных радиусов оказываются равными!

В чем ошибка нашего рассуждения?

50. Сумма катетов равна гипотенузе.

Возьмем произвольный прямоугольный треугольник ABC и разделим его гипотенузу ВС на п равных частей, где п некоторое натуральное число, а затем через каждую точку деления проведем пару прямолинейных отрезков, один параллельно катету AB, другой параллельно катету АС. Продолжив эти отрезки до их взаимного пересечения вне треугольника, получим ступенчатую ломаную, изображенную на чертеже 21. Сумма Sn всех звеньев этой ломаной от точки В до

точки С равна сумме катетов АВ+ВС, так как сумма всех проведенных отрезков, параллельных одному из катетов, равна этому катету.

Будем теперь неограниченно увеличивать число п, придавая ему последовательно значения 2, 4, 8, 16, ... и т. д. Число звеньев в нашей ломаной линии ВС будет при этом неограниченно возрастать (оно равно 2я), но длина каждого звена будет стремиться к нулю, и ломаная линия будет все меньше и меньше отличаться от прямой ВС. В пределе при П-+ОЭ ломаная сольется с гипотенузой ВС, а потому

пред. Sn=BC. (1)

Но каково бы ни было натуральное число я, всегда имеем, как мы видели выше, равенство Sn=AB+AC. Следовательно, и пред. Sn при п-+оо равен той же сумме:

пред. Sn=AB+AC. (2)

Сопоставление равенств (1) и (2) приводит к заключению, что АВ+АС=ВС, т. е. что сумма катетов произвольного прямоугольного треугольника равна его гипотенузе.

51. Длина полуокружности равна ее диаметру.

Возьмем полуокружность радиуса г вместе с ограничивающим ее диаметром и разделим последний на п равных частей. На каждом полученном отрезке диаметра построим новые маленькие полуокружности, располагая их поочередно по одну и по другую стороны диаметра. Получаем зигзаго-

Черт. 21.

образную кривую, вьющуюся около диаметра (черт. 22). При неограниченном увеличении числа п эта кривая линия делается все менее и менее отличной от прямой и в пределе, при /г-)-оо, с ней совпадает. Обозначив длину этой кривой линии из п равных полуокружностей буквой Ln, имеем в силу этого:

пред. Ln = 2r. (1)

Но длина каждой маленькой полуокружности, построенной на диаметре и с радиусом ~, равна ^2гс~) : 2 =— а потому Ln=— . п=тсг. Таким образом, полная длина нашей кривой линии равна всегда длине первоначальной взятой полуокружности; этой же длине равен и предел длины этой кривой линии:

пред. Ln=r.r. (2)

Сопоставление равенств (1) и (2) приводит к выводу, что тгг=2г, 7г=2. Следовательно, длина произвольной полуокружности равна длине своего диаметра, и число тс, выражающее отношение длины всякой окружности к своему диаметру, равно 2.

Черт. 22.

52. Боковая поверхность круглого прямого конуса с радиусом основания г и высотой h выражается формулой P=Tzr(r+h).

Возьмем круглый прямой конус с радиусом основания г и высотой h и проведем в нем сечения плоскостями, перпендикулярными к оси конуса и отстоящими одна от другой на расстоянии —, где п некоторое натуральное число. Каждое из полученных п — 1 круговых сечений примем за верхнее основание цилиндра, имеющего высотой отрезок-^-. Получим всего п — 1 цилиндров, образующих в своей совокупности ступенчатое тело, вписанное в данный конус. Разрез конуса и этого ступенчатого тела по оси конуса представлен на чертеже 23.

Найдем боковую поверхность тела. Она состоит из суммы боковых поверхностей всех цилиндров и суммы площадей колец, остающихся на верхнем основании каждого цилиндра за вычетом площади, занятой нижним основанием ближайшего выше расположенного цилиндра; у самого верхнего цилиндра верхнее основание надо взять целиком.

Черт. 23.

Установив из подобия треугольников, что радиус основания нижнего цилиндра равен г(1--^-), второго снизу г(1— —), третьего снизу ——) и так далее — до самого верхнего, у которого радиус основания равен г [\——^—), легко находим, что сумма боковых поверхностей всех цилиндров равна:

Что касается площадей колец, то их сумма равна площади основания нижнего (самого большого) цилиндра, т. е. 1г [г ( 1 — 4")] " ^ля боковой поверхности ступенчатого тела получаем формулу:

или, после упрощений:

Замечая, что при неограниченном увеличении числа п ступенчатое тело будет приближаться к конусу, как к пределу, находим для боковой поверхности Р конуса формулу, указанную в заголовке:

Но эта формула существенно отличается от той, которая выводится в любом курсе геометрии (Р=кг1, где / образующая конуса), так как сумма отрезков Л и г, являющихся катетами прямоугольного треугольника, всегда больше его гипотенузы /.

53. В данной точке на прямой можно восставить два перпендикуляра к этой прямой.

На прямой MN точка А является данной. Восставим из точки А перпендикуляр АК к этой прямой.

Начертим окружность произвольного радиуса, проходящую через точку А. Обозначив буквой В вторую точку пересечения окружности с прямой MN, проведем диаметр ВС. Наконец, соединим точки А и С.

АС перпендикулярно к MN: угол ВАС, как вписанный, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Таким образом, в точке А к прямой MN восставлены два перпендикуляра: АК и АС.

Черт. 24.

54. Через одну точку можно провести две прямые, параллельные данной прямой.

Пусть MN — данная прямая, а К — произвольно взятая точка, не лежащая на этой прямой.

Проведем через точку К прямую PQ, параллельную прямой MN. Соединив точку К с произвольно взятой на прямой MN точкой L, описываем на отрезке KL, как на диаметре, полуокружность. Наконец, в точке L восставляем перпендикуляр, пересекающий дугу полуокружности в некоторой точке Е.

Прямая КЕ параллельна MN. В самом деле, угол KEL, как вписанный, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Таким образом, к прямой MN проведены через точку К две параллельные прямые: PQ и КЕ.

Черт. 25.

55. Окружность имеет два центра.

Построим произвольный угол ABC и, взяв на его сторонах две произвольные точки D и Е, восставим из этих точек перпендикуляры к сторонам угла (черт. 26а и 266). Перпендикуляры эти должны пересечься (если бы они были

Черт. 26а. Черт. 266.

параллельны, параллельны были бы и стороны AB и С В). Обозначим их точку пересечения буквой F.

Через три точки D, Е, F проводим окружность, что всегда возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой. Если при этом точка В окажется вне окружности (черт. 26а), то после соединения точек пересечения H и G с точкой F мы получим два вписанных в окружность прямых угла GDF и HEF. Отсюда заключаем, что каждая из дуг GHEF и HGDF равна полуокружности (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается!), а потому отрезки GF и HF — диаметры нашей окружности. Следовательно, точки О и Oi, делящие отрезки GF и HF пополам, представляют собой не что иное, как два центра этой окружности. Предположение, что точка В окажется внутри окружности, проведенной через точки D, Et F (черт. 266), приводит к тому же заключению.

56. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.

Возьмем какой-нибудь треугольник ЛВС и на сторонах его AB и ВС, как на диаметрах, опишем окружности I и II (черт. 27). Точки D и Е пересечения этих окружностей со стороной АС соединим с точкой В. Угол BE А, будучи вписанным в окружность / и опирающийся на диаметр, есть прямой, а потому ВЕ±АС. Угол BDC, как вписанный в окруж-

Черт. 27.

ность // и опирающийся на ее диаметр, тоже прямой и следовательно BD 1_АС. Таким образом, из точки В опущены на прямую АС два перпендикуляра BE и BD.

57. Через две данные точки можно провести две прямые.

Возьмем произвольный треугольник ABC (черт. 28) и на каждой из его сторон AB и ЛС, как на диаметрах, построим по окружности. Пересекаясь в точке Л, эти две окружности пересекутся еще в одной точке; обозначим ее буквой D. Угол ADB, как вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр AB у есть прямой. По той же причине угол ADC, опирающийся на диаметр Л С, тоже прямой. Углы ADB и ADC, имеющие общую вершину D, общую сторону AD и составляющие в сумме 2d, имеют две другие стороны BD и DC на одной прямой. Следовательно, линия BDC не ломаная, как показано на чертеже, а прямая. Итак, на чертеже получаются две прямые, соединяющие точки В и С: прямая BDC и прямая ВЕС.

58. Любой треугольник — равнобедренный.

Возьмем произвольный треугольник АБС и предположим, что АС>ВС. Проведем биссектрису CG угла АСВ и ось симметрии DDi стороны AB (осью симметрии отрезка называют прямую, делящую отрезок пополам и перпендикулярную к нему). Эти две линии CG и DDX не могут ни совпадать друг с другом, ни быть параллельными, так как в обоих этих случаях биссектриса служила бы одновременно и высотой, что возможно лишь в равнобедренном треугольнике, т. е. при АС=ВС. Следовательно, прямые CG и DDi обязательно пересекаются в некоторой точке Е. Относительно этой

Черт. 28.

точки Е возможны три предположения: либо точка Е находится внутри треугольника ABC, либо вне его, либо на стороне AB.

Чертеж 29а соответствует первому предположению. Проводим отрезки АЕ и BE, а также EF±АС и EGl.BC. Прямоугольные треугольники CEF и CEG равны по гипотенузе СЕ и катетам EF=EG (точка Е, находясь на биссектрисе угла С, одинаково удалена от его сторон), а потому CF=CG. Прямоугольные треугольники ADE и BDE тоже равны — по общему катету DE и равным катетам AD = BD, а потому АЕ=ВЕ. Наконец, прямоугольные треугольники AEF и BEG равны в силу равенства гипотенуз АЕ и BE и катетов EF и EG; следовательно, AF=BG. Почленное сложение равенства CF=CG и AF=BG приводит к равенству АС=ВС, противоречащему условию АС>ВС. Получается, что всякий неравнобедренный треугольник есть в то же время равнобедренный!

Черт. 29а. Черт. 296. Черт. 29в.

К тому же заключению мы придем, сделав предположение, что точка Е не внутри, а вне треугольника ABC (черт. 296). Рассмотрение треугольников EFC и EGC, EAD и EBD, EAF и EBG позволяет установить, что CF=CG, AF=BG, а почленное вычитание последних равенств приводит к выводу, что АС=ВС.

Ничего не меняет и предположение, что точка Е оказывается на стороне AB, т. е. совпадает с точкой D (черт. 29в). Равенство треугольников ADF и BDG, CDF и CD G влечет за собой равенства AF=BG, FC=GC, откуда опять АС=ВС.

Итак, при каждом из трех сделанных предположений получается один и тот же нелепый вывод. В чем же ошибка?

59. Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике ABC (черт. 30) ВО — биссектриса угла В, D — середина катета AC, DO а. АС, ОЕ A_ABf OF±BC.

Легко видеть, что прямоугольные треугольники ВОЕ и BOF равны, как имеющие общую гипотенузу ВО и равные катеты ОЕ и OF. В равных же треугольниках против равных углов лежат равные стороны:

BE=BF. (1)

Рассмотрим теперь другую пару прямоугольных треугольников: ОЕА и OCF. Они также равны по гипотенузе и катету: ОА = ОС (каждая точка перпендикуляра, проходящего через середину отрезка, равноудалена от его концов) и ОЕ= OF. Из равенства же этих треугольников следует:

(2)

Складывая почленно (1) и (2), имеем:

Черт. 30.

60. Прямой угол равен тупому (планиметрический вариант).

Пусть в четырехугольнике ABCD (черт. 31) ^D—d, ^C>d и BC=DA.

Из середин сторон AB и CD восставим перпендикуляры, которые пересекутся в точке О; соединим точку О со всеми вершинами четырехугольника.

Из попарно равных прямоугольных треугольников АКО и ВКО, DLO и CLO устанавливаем:

(1)

Так как DA=BC, ОА=ОВ, OD=OC, то AAOD = /\BOC. Из равенства же этих треугольников следует:

(2)

Вычитая почленно из равенства (2) равенство (1), имеем:

т. е. прямой угол равен тупому.

61. 64 кв. см = 65 кв. см.

Возьмем квадрат со стороной в 8 см и разрежем его на четыре части: две трапеции и два прямоугольных треугольника, как показано на чертеже 32а. Укладывая эти четыре части в другом порядке, а именно так, как показано на чертеже 326, мы получим прямоугольник с основанием 5 см+8 сж=13 см и высотой 5 см. Площадь этого прямоугольника равна 13 смхЬ см =65 кв. см, в то время как площадь первоначально взятого квадрата равнялась 8 см X 8 сж=64 кв. см.

Каким же образом могло получиться, что простое перекладывание частей фигуры привело к увеличению их общей площади? Площадь первоначально взятого квадрата

Черт. 31.

Черт. 32а.

Черт. 326.

равна 64 кв. см — в этом не может быть никакого сомнения. Площадь каждой получившейся после разрезания трапеции равна-^-Х(5 см+3 см)х5 см=20 кв. см, площадь каждого прямоугольного треугольника равна уХЗ смХ8 см=\2 кв. см.

Следовательно, общая площадь всех четырех частей равна (20 кв. см+12 кв. см)х2=64 кв. см, как и должно быть. Из этих четырех частей общей площадью в 64 кв. см никоим образом нельзя построить фигуру площадью в 65 кв. см. Между тем у нас получился прямоугольник со сторонами 5 см и 13 см, площадь которого равна 65 кв. см. Естественно возникает вопрос: действительно ли является прямоугольником фигура, получившаяся у нас после перекладывания?

62. Задача о заплате.

Мастеру поручили поставить заплату на шубу из дорогого меха, чтобы уничтожить дыру, имеющую форму разностороннего треугольника. Мастер взял шкурку, полученную им для заплаты, положил ее на стол мехом вниз, а сверху положил шубу мехом вверх. Очертив фигуру дыры, он вырезал заплату и, приступив к вшиванию, спохватился, что вырезал заплату не той стороной, какой надо было. Считая дело непоправимым, он готов был выбросить приготовленную заплату и искать материал для новой. Прав ли он, или есть возможность исправить допущенную ошибку?

II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ.

43. В рассуждении допущена ошибка: почленное деление равенства (2) на разность AE-DE— BE-СЕ недопустимо, так как эта разность в силу равенств (1) равна нулю; нулю же равны и обе части равенства (2).

44. В анализируемом рассуждении, содержащем значительное число вполне правильных соображений, допущена ошибка при переходе от правильного равенства (4) к неправильному равенству (5). В самом деле, разность AE-FH — — АС-HD, на которую мы разделили обе части равенства (4), равна нулю. Это ясно из пропорции АЕ : AC=DH : FH, имеющей место для сторон подобных треугольников АСЕ и HFD.

45. Ошибка допущена при переходе от правильного равенства (5) к неправильному равенству (6). В самом деле, разность

S'ah1a"h"1—S"a'h'1bh%,

на которую мы разделили обе части равенства (5), равна нулю. Это ясно из анализа уменьшаемого и вычитаемого, каждое из которых равно произведению 4 SS'S", так как

i-aAi=S, }-a"h\=S\ \a'h\ = 5', \bh*=S.

Выявление типичной ошибки (распространение на случай исключения) в этом несколько громоздком в отношении записи софизме требует проявления известной самостоятельности мысли ученика.

46. Нелепость вывода очевидна, но самый внимательный просмотр всего рассуждения нигде ошибки не обнаруживает. Приходится заподозрить правильность указания на свойство ряда равных отношений. Вспомним, как это свойство доказывается.

Пусть ах : bi=ci2 : 62=9. Здесь 6i, 62, q совершенно произвольные числа, причем ЬгфО, ЬгФО. Числа ах и аг определяются равенствами ai=bi-q, 02=62-9. Сложив эти два равенства почленно, получим новое равенство:

cii+ci2=(bi+b2)-q.

Если 61+62=^0, это последнее равенство можно преобразовать к виду (ах+аг) : (bi+b2)=q, и мы приходим к свойству ряда равных отношений:

ах : 6i=a2 : 62=(ai+ß2) : (6i+62).

Как видим, свойство это доказано при двух существенных оговорках: ни одно из чисел Ь\ и Ь2 не равно нулю, и, кроме того, сумма 61+62 также не равна нулю. Если сумма 61+62 равна нулю, то, в силу равенства ai+a2=(6i+62) • q и сумма Û1+Û2 равна нулю, и последнее отношение имеет вид 0 : 0. Число же 0 : 0 выражает, как известно, какое угодно число.

Итак, применяя свойство ряда равных отношений, мы всегда должны убедиться, что сумма последующих членов не равна нулю. Если же она равна нулю, применять свойство ряда равных отношений нельзя.

Не получилась ли нелепость в приведенном выше рассуждении о сторонах трапеции в силу того, что применение свойства ряда равных отношений было здесь незаконным? Не равна ли нулю та сумма последующих членов z и —х,

которую мы там имели, т. е. не равны ли два отрезка z и х'? Чертеж как будто подтверждает это подозрение. Следующий простой расчет показывает, что это действительно так.

Две пропорции, полученные выше из подобия треугольников, после освобождения от знаменателей получают такой вид:

Ьх — az=—by у ах — bz=by.

Решая эти два уравнения относительно х и z, получаем, предполагая афЬ:

х=Ьу : (а — b), z=by : (а — Ь).

Значит, отрезки х и z действительно равны.

Случай а=Ь надо рассмотреть особо. В этом случае пропорции дают x+y=z и x=y+zy откуда х=у+х+г/, 2у=0, у=0 и x=z. Итак, и в этом случае отрезки х и z равны.

Причина получения нелепого вывода вполне выяснена: получив пропорцию а : Ь = (х+у) : z и отношение (х— z) : (z — х), мы отнюдь не можем считать, что последнее отношение равно —1, так как оно в силу равенства x=z равно не —1, а чему угодно.

47. Ошибка допущена при переходе от равенства (1) к неравенству (2). Дело в том, что оба члена первого отношения равенства (1) отрицательны, а потому нужна особая осторожность при сравнении их величины: имея пропорцию (—1) : (—2) = 1 : 2, мы не можем утверждать, что —1<—2.

48. I. Ответ 2 смХЗсмХ 10 000 = 60 000 кв.см = 6 кв. м неверен, так как площади подобных фигур (прямоугольник A BCD на плане и прямоугольник i4ißiCiDi в натуре подобны) не пропорциональны сторонам, а пропорциональны квадратам сторон. Стороны прямоугольника AiBiCiDi больше соответствующих сторон прямоугольника A BCD в 10 000 раз, площадь же больше не в 10 000 раз, а в 10 0002 раз, а потому площадь

i4ißiCiDi=6x 100 000 000=600 000 000 (кв. см), т. е. 6 га.

II. Это утверждение было бы правильным, если бы объем V цилиндра был пропорционален и высоте А, и поперечнику основания d. Но формула У=0Э25 itd2h показывает, что объем цилиндра пропорционален не поперечнику основания, а его квадрату. Отсюда заключаем, что вторая банка имеет объем вдвое больший, чем первая, а третья — вдвое меньший, чем первая. Это подтверждают и формулы: для первой банки Ух=0,25т:а2ку

для второй банки l/2=0,25Tr.(2d)2.0,5/i=0t5T:d2/i=2Vi, для третьей банки К3=0,25тс - (0,5d)2 - 2Л=О Л 25тг^2/г=0,5 l/i.

III. Модель сооружения и само сооружение являются телами, геометрически подобными, а объемы подобных тел, как известно из геометрии, пропорциональны кубам их линейных размеров, веса же пропорциональны объемам (если тела сделаны из одинакового материала). Поэтому увеличение размеров модели до размеров самого сооружения, а именно увеличение в 20 раз, вызовет увеличение объема и веса в 203=8000 раз, и само сооружение будет весить 3 кгХ8000=24 000 кг=24 т.

IV. Простое рассмотрение нескольких фигур, хотя бы простейшей прямоугольной формы, сразу показывает, что между площадями и периметрами определенной зависимости нет. Так, прямоугольник со сторонами 10 ж и 15 м имеет периметр 50 м, площадь 150 кв. м, а прямоугольник со сторонами 5 ж и 20 ле, имея такой же периметр, имеет площадь значительно меньшую (только 100 кв. ж), прямоугольник же со сторонами 12 л* и 13 м имеет периметр 50 му а площадь уже 156 кв. м. Судить о площадях двух фигур по их периметрам можно лишь в том случае, если фигуры эти геометрически подобны. Тогда площади их пропорциональны квадратам их периметров. Два геометрически подобных участка, имея периметры в 60 ж и 50 ле, имеют площади, отношение которых 602 : 502= 1,44, а потому площадь первого участка больше площади второго на 44% площади последнего. Если же участки с периметрами 60 м и 50 м не подобны, то об их площадях ничего сказать нельзя.

49. Мы предположили, что большее колесо катится по прямой DE без скольжения. Это означает, что при каждом полном обороте колеса центр его проходит путь, равный длине его окружности. Конечно, мы в праве считать, что меньшее колесо, насаженное на общую ось с большим и наглухо с ним скрепленное, катится по прямой FG. Но будет ли это меньшее колесо катиться тоже без скольжения? Конечно, нет, так как при одном полном его обороте его центр проходит путь CG, не равный длине его окружности 2тиг, а больший этой длины (CG=2tc7?, /?>г, 2тс/?>2?гг). Следовательно, меньшее колесо не только катится по прямой FG, но и скользит по ней.

Что же касается математической сущности этого рассуждения, то она состоит в возможности установления взаимно однозначного соответствия между множеством точек любых двух концентрических окружностей, наглядно осуществляемого

проведением радиусов из их общего центра. Разумеется, что установлением подобного соответствия утверждается не равенство длин, а только равномощность двух точечных множеств. Таким образом, мы здесь сталкиваемся с характерическим свойством бесконечных множеств, позволяющим отобразить целое на его правильной части.

Анализируемое рассуждение — знаменитое так называемое «аристотелево колесо». Эта проблема, которую Аристотель причислял к наиболее изумительным в области механики, изложена им в качестве 25-й главы «Проблем механики».

Разъяснение этого рассуждения Аристотелем не было достаточно четким. Не удовлетворяясь им, Галилей (1564— 1642) в «Беседах по механике» предложил свое приближенное решение проблемы, основанное на сравнении катящегося круга с последовательно прилегающим к прямой правильным многоугольником с большим числом сторон*. Наконец, вскрытие математической сущности «аристотелева колеса» достигается использованием канторовского (Г. Кантор, 1845—1918) определения эквивалентных множеств.

50. Найти ошибку, которая привела нас к этому нелепому выводу, совсем легко, если вспомнить точное определение предела: число а является пределом переменной величины X, если абсолютная величина разности х — а в процессе изменения переменной величины х стремится к нулю, т. е. с некоторого момента становится и в дальнейшем остается меньше любого наперед заданного числа. В нашем рассуждении мы имеем дело с переменной величиной 5Л, выражающей сумму всех звеньев ломаной ВС и принимающей значения 5г, S4, 58, S™ и т. д. Все эти значения равны между собой, так как всегда Sn=AB+AC. Следовательно, величина Sn является лишь кажущейся переменной, по существу же эта величина постоянная. Но это ничуть не мешает поставить вопрос о пределе Sn при п-+со. Ясно, что пределом для Sn не может быть никакое другое число, кроме того, которое выражает сумму длин обоих катетов АВ+АС: если а отлично от АВ+АС, то абсолютное значение разности Sn—а=АВ+АС— а, будучи постоянной и неравной нулю величиной, отнюдь не стремится к нулю. Следовательно, написанное выше равенство (1) неправильно и должно быть заменено другим, а именно пред. Sn=AB+AC> т. е. равенством (2). Нелепый вывод, как видим, отпадает.

* Галилео Галилей, Сочинения, том I, пер. С. Н. Долгова, М., 1934, стр. 78-85.

Настоящий софизм очень поучителен. Он показывает, как внимательно и критически надо относиться к тому, что нам дает наглядное представление. Ступенчатая ломаная, из п одинаковых ступенек, которую мы видим на чертеже 21, при неограниченном увеличении числа п все менее и менее отличается от гипотенузы ВС. При достаточно больших значениях п наш глаз не в состоянии будет отличить эту ломаную от прямой: представьте себе, например, что мы взяли п равным 1 000 000! Эта ломаная линия связана с целым рядом переменных величин: можно говорить о длине ломаной, о площади фигуры, ограниченной катетами AB и ЛС и этой ломаной, о сумме площадей всех треугольников, расположенных между гипотенузой ВС и ломаной, о сумме периметров всех этих треугольников, о сумме их внутренних углов и т. д. К какому пределу стремится каждая из этих переменных величин и стремится ли она вообще к какому-нибудь пределу — эти вопросы надо решать, основываясь не на зрительном образе, а на точном определении понятия предела. Зрительный образ помогает, да и то не всегда, сделать правильную догадку, вопрос же решает рассуждение.

Любопытно отметить, что при решении вопроса о пределе площади Qn фигуры, ограниченной катетами AB и АС и ступенчатой ломаной, наглядное представление приводит к совершенно правильному заключению о том, что этим пределом является площадь треугольника ABC. Действительно, полагая АВ = Ь, АС=/г, находим, что площадь каждого треугольника, образованного двумя соседними звеньями ломаной и гипотенузой, равна у • — • — = а сумма площадей всех таких треугольников равна ^ • л =2^- ^ля площади всей фигуры получаем формулу Qn=~bh 4- ^= ~bh [\ +~) и убеждаемся, что предел Qn есть убЛ, так как предел ~ равен 0, при П-+0О.

51. Равенство (2) правильно, равенство (1) ошибочно. Здесь допущена та же ошибка, что и в п. 50.

52. Конечно, верна формула Р=ъг1, а не полученная нами формула Р=кг (h+r). При выводе последней мы приняли без доказательства, что пред. Pn=P, а это неверно.

Замечая, что тгг (h+r)=izr2+2iz. -Л, убеждаемся, что пределом для Рп служит не боковая поверхность конуса, а сумма

площади основания конуса и боковой поверхности цилиндра с радиусом основания -у-г и высотой п.

53. Чертеж, изображающий прямые АК и АС раздельно, ошибочен: эти прямые совпадают. В противном случае сумма углов, лежащих по одну сторону от прямой линии, превосходила бы 180°. В самом деле, ^:BAK+^KAC+^:CAN= = 180°+^г/СЛС>180°. Этим самым методом приведения к противоречию устанавливается равенство угла КАС нулю, т. е. совпадение прямых АК и АС.

Итак, этот софизм основан на ошибке построения: совпадающие точки Z и С рассматриваются как различные.

54. Этот софизм построен на ошибке чертежа: совпадающие точки Е и F рассматриваются как различные.

Прямая LE должна удовлетворять двум требованиям: 1) она перпендикулярна PQ (так как по построению перпендикулярна MN, a MN H PQ), т. е. образует с этой линией прямой угол, стороны которого проходят через концы диаметра KL\ 2) является стороной вписанного угла, опирающегося на диаметр KL.

Из сказанного делаем вывод, что вершина вписанного угла должна находиться и на прямой PQ, и на полуокружности, т. е. в точке их пересечения F.

55. Два сделанных предположения о положении точки В относительно окружности не исчерпывают всех возможностей: эта точка В может находиться не вне и не внутри, а на окружности.

Тогда две точки G и Я пересечения окружности со сторонами угла сливаются в одну, совпадающую с ß, и вместо двух диаметров GF и HF мы получим один, а именно BF. Противоречие, к какому приводят предположения о том, что точка В находится вне или внутри окружности, доказывает, что единственно правильным является третье предположение, при котором неправильный вывод отпадает.

56. В получившемся противоречии опять виноват чертеж. Обозначив вторую точку пересечения окружностей / и // буквой F и соединив F с точками Л, В и С, легко убеждаемся, что ^AFB = ^CFB = d, а потому отрезки AF и CF лежат на одной прямой АС. Следовательно, эта прямая АС пересекается окружностями / и // не в двух различных точках D и £, а в одной точке F, и существует один только перпендикуляр BF, опущенный из точки В на прямую АС.

57. Конечно, приведенное рассуждение показывает лишь то, что точка D лежит на прямой ВС, совпадая с точкой Е:

окружности, построенные на сторонах AB и АС треугольника ABC, как на диаметрах, пересекаются в точке Е, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из вершины А на сторону ВС.

58. Аккуратное выполнение чертежа сразу укажет, в чем причина противоречия, но установить ее можно и без нового чертежа следующим рассуждением.

Опишем около А ЛВС окружность. Ось симметрии DDi, будучи перпендикуляром к хорде AB, проведенным через середину этой хорды, пройдет через середину дуги AB, которая стягивается этой хордой. Но биссектриса угла АС В тоже должна пройти через середину этой дуги: иначе вписанные углы АССг и ßCCi, измеряемые половинами соответствующих дуг, не были бы равны друг другу. Следовательно, эта середина дуги AB, являясь общей точкой биссектрисы и медианы, есть не что иное, как их точка пересечения Е. Итак, точка Е находится непременно вне треугольника — предположения первое и третье отпадают, остается предположение второе, которому соответствует чертеж 296.

Четырехугольник АЕВС оказывается таким образом вписанным в окружность. Но у всякого вписанного в окружность четырехугольника сумма каждых двух противолежащих углов равна, как известно, 2d, а потому об углах ЕАС и ЕВС можно сделать два предположения: либо оба они прямые, либо один из них острый, другой тупой. Если имеет место первое, то перпендикуляры EF и EG — опущенные на стороны ЛС и ВС, совпадают со сторонами ЕА и ЕВ, и прямоугольные треугольники АСЕ и ВСЕ равны, как имеющие общую гипотенузу СЕ и равные катеты АЕ=ВЕ. Следовательно, АС=ВС, что противоречит условию ЛС>ВС. Таким образом, предположение, что ^EAC=^EBC=d отпадает, и из этих двух углов один острый, другой тупой. Отсюда заключаем, что расположение треугольников AEF и BEG, показанное на чертеже 296, не соответствует действительности: обе точки F и G не могут быть вне треугольника АБС, так как тогда оба угла ЕАС и ЕВС были бы тупые. Правильным будет лишь расположение, показанное на чертеже 33, где одна из точек F и G находится внутри треугольника ABC, другая же вне его. Но тогда из равенств CF=CG и AF=BG отнюдь не вытекает, что АС=ВС, так как ЛС= =AF+CF, a BC=CG — BG, и никакого противоречия с условием ЛС>ВС не получается.

59. В «доказательстве» рассмотрены не все возможные предположения. В самом деле, мы ограничились предполо-

Черт. 33.

жением, что биссектриса угла В и ось симметрии отрезка CA (т. е. прямая, перпендикулярная к CA в середине D этого отрезка) пересекаются внутри треугольника ABC. Между тем необходимо было рассмотреть и все другие возможные предположения: 1) точка пересечения лежит на отрезке CA, 2) точка пересечения находится вне треугольника ABC.

На основе анализа всех случаев следовало выяснить, какие из них возможны.

Докажем, что единственно возможным является случай третий: в любом прямоугольном треугольнике ABC биссектриса угла В пересекается с осью симметрии катета CA вне этого треугольника.

Опишем около А ЛВС окружность (черт 34). Ее центр, находящийся на середине отрезка AB, обозначим буквой /С. Легко видеть, что радиус КО, перпендикулярный к хорде CA, разделит пополам и эту хорду, и стягиваемую ею дугу. Таким образом, точка О есть середина дуги CA.

Проведем теперь биссектрису угла В. Так как точка В лежит на окружности, а биссектриса делит угол В пополам, то и биссектриса угла В проходит через точку О.

Следовательно, пересечение биссектрисы угла В с осью симметрии катета CA в любом прямоугольном треугольнике ABC происходит вне этого треугольника.

Черт. 34.

Сказанным устраняются возможности для абсурдного вывода.

60. В «доказательстве» рассмотрены не все возможные предположения. В самом деле, кроме рассмотренного, можно указать следующие: 1) точка О находится внутри четырехугольника ABCD; 2) точка О лежит на DC, т. е. является серединой этого отрезка.

Однако и в этих случаях легко получить тот же самый абсурдный вывод: прямой угол равен тупому.

Для выяснения недоразумения надо заметить, что рассмотренный нами в тексте софизма случай необходимо в свою очередь подразделить на два, а именно: тупой угол BCD и треугольник ВОС лежат 1) по одну сторону от прямой ВС (черт. 31), 2) по разные стороны от прямой ВС (черт. 35).

Допущение первого предположения приводит к абсурдному выводу, в чем мы уже убедились.

Допущение второго предположения не приводит к нелепости: прямой угол ADC, как и раньше, представляется разностью двух углов (^ADO и ^ODC), а тупой угол BCD дополняет до 360° сумму двух таких же углов ( ^ВСО и ^OCD). Рассуждая методом приведения к противоречию, устанавливаем, что только второе предположение случая третьего является единственно возможным.

61. Трапеция ABCD с основаниями АВ=5 см и CD=3cm и высотой AD—Ъ см имеет при вершинах А и D прямые углы. Прикладывая к ней треугольник CDE с прямым углом при вершине D и катетами CD=3cm и DE=8cm, мы получим новую фигуру, ограниченную снизу прямолинейным отрезком АЕ, так как два прямых угла ADC и CDE дают в сумме развернутый угол. Но будут ли лежать на одной прямой линии стороны

Черт. 35.

ВС и СЕ7 Хотя на глаз кажется, что это так, но уже тщательно выполненный чертеж ясно показывает, что в действительности линия ВСЕ — ломаная, а не прямая. Всякое сомнение в этом вопросе устраняется, если мы заметим, что в случае прямолинейности ВСЕ у нас получается пара подобных треугольников ABE и CDEy у которых отношение вертикальных катетов AB и DC, лежащих против общего угла Е, равно 5 : 3=1,666 . . . , а отношение горизонтальных катетов АЕ и DE равно 13 : 8=1,625. Таким образом, фигура, полученная после перекладывания, не прямоугольник. Она превращается в прямоугольник лишь после добавления к ней длинного и узкого параллелограмма, хорошо видного на чертеже 36 и имеющего площадь как раз в 1 кв. см.

Черт. 36.

Итак, в настоящем недоразумении виноват наш глаз, не замечающий небольшой разницы в направлениях отрезков ВС и СЕ\

Полученный нами вывод из рассмотрения частного случая (64=65) допускает обобщение.

Рассмотрим 3 чертежа, изображающие фигуры, составленные из одних и тех же кусков, а именно: двух равных трапеций и двух равных треугольников (черт 37а, 376, 37в).

Обозначив площадь каждой фигуры буквой S с соответствующим индексом, запишем следующие очевидные равенства:

(черт. 37а);

(черт. 376);

(черт. 37в).

Установим условие, при котором будет справедливо равенство:

S1==S2==S3. (1)

Для этого найдем разности:

Итак, соотношение (1) будет иметь место при выполнении равенства х2—ху—у2=0 (2). Решим это уравнение относительно х:

Произведя выбор знака, определим отношение х к у:

(3)

Соотношение (3) указывает, что х и у — несоизмеримые отрезки, т. е. их отношение не может быть выражено рациональным числом. Отсюда приходим к мысли, что если взять числа х и у рациональными, в частности целыми положительными, но такими, чтобы их отношение

подходило к величине дроби —~— с определенной степенью точности, то при перекладывании частей фигуры восприятие различия в направлении отрезков, используемых для составления прямой, останется вне поля нашего зрения.

Черт. 37а.

Черт. 376. Черт. 37в.

Прежде всего обратим внимание на свойство функции F (*! У)=х2— ху — у2у выражающееся в том, что F (jc, у)= =— F (х+уу х). В самом деле, F (х+у, х) = (х+у)2— (х+у)х— — х2=х2+2ху+у2— X2— ху — х2=— (х2— ху — у2) =— F (х> у).

Установленная закономерность позволяет указать такие последовательные целочисленные значения аргумента, которые не меняют абсолютной величины значения функции.

Таблица содержит последовательные пары целых неотрицательных значений х и у, для которых абсолютные величины разностей S 2—S у и S3—Si равны единице.

Закон ее составления довольно простой:

yi+i=xh xi+i=Xi+yit где i равно 1, 2, 3, ...

Для достижения должной иллюзии при перекладывании фигур следует брать значения таблицы, начиная с шестой строки. Беря за X и у соответственно 5 и 3, получаем приближение к иррациональной дроби , разнящееся в сотых долях единицы, беря 21 и 13 — в тысячных и далее со все возрастающей степенью точности.

62. Если взять неравносторонний треугольник ABC (черт.38а) и перевернуть его другой стороной, то он после совмещения точки Л с С, а точки С с А займет положение треугольника ABiCy не совпадающего с треугольником АБС. Но нельзя ли разрезать треугольник АБС на такие части, чтобы

каждая часть в отдельности переворачивание допускала? Ясно, что всякий равнобедренный треугольник допускает переворачивание, а потому перед нами задача: разрезать данный неравносторонний треугольник так, чтобы каждая часть представляла собой равнобедренный треугольник. Чертеж 38 б показывает, как это сделать. Сначала проводим BD LAC, затем из вершины D прямого угла каждого из полученных прямоугольных треугольников проводим медианы DE и DF (точка Е есть середина отрезка AB, точка F — середина отрезка ВС).

Черт. 38а. Черт. 386".

Легко доказать, что медиана всякого прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому все четыре треугольника ADE, BDE, BDF, CDF, полученные на чертеже 38 б, равнобедренные (AE=DE=BE, DF=CF=BF). Разрезав приготовленную заплату на четыре таких части, а затем перевернув каждую из них в отдельности, мастер получит возможность исправить свою ошибку (конечно, ему придется не только вшивать всю заплату на место, но и предварительно сшить между собой треугольники первый, второй, третий и четвертый). Чтобы лучше уяснить себе все дело, рекомендуется вырезать чертеж 38 б из бумаги, одна сторона которой закрашена.

Отметим, что равнобедренный треугольник — далеко не единственная фигура, допускающая переворачивание. Переворачивание допускает всякая фигура, имеющая хотя бы одну ось симметрии. К таким фигурам принадлежит и всякий прямоугольник (2 оси симметрии), и квадрат (4 оси симметрии), и ромб (2 оси симметрии), и всякий правильный я-угольник (п осей симметрии), и окружность (осью симметрии слу-

жит любой диаметр), и еще бесконечное множество более сложных фигур.

Воспользовавшись сказанным в предыдущем абзаце, можно упростить решение задачи о заплате. В самом деле, четырехугольник BFDE, как имеющий ось симметрии EF, допускает переворачивание. Следовательно, для исправления ошибки мастера достаточно сделать не три, а два разреза, выполняя их по направлениям DE и DF. Это, разумеется, целесообразнее, так как придется сшивать не четыре, а три куска.

III. РАССКАЗЫ-ОБЪЯСНЕНИЯ ПО ПОВОДУ ОШИБОЧНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.

63. Подобные треугольники с равными сторонами.

Возьмем два подобных разносторонних треугольника и обозначим стороны первого в порядке возрастания буквами а, Ь, с (а<й<с), a сходственные стороны второго буквами flii Ьъ Ci. В силу пропорциональности сходственных сторон подобных многоугольников имеем: di=aq, bi=bq, Ci=cqt где q коэффициент подобия, а потому ßi<6i<Ci.

Если q=l, то все стороны наших двух треугольников соответственно равны, равны и треугольники. Равенство треугольников является, таким образом, частным случаем подобия.

Может показаться, что раз треугольники подобны, но не равны, то равных сторон у них нет. Ошибочность такого заключения показывает простое рассмотрение треугольников со сторонами 8, 12, 18 см и 12, 18, 27 см. Стороны второго в 1у раза больше соответствующих сторон первого, а потому эти треугольники подобны (но не равны). Как видим, эти два треугольника имеют две пары соответственно равных сторон.

Установим условия, которым должны удовлетворять два подобных, но не равных треугольника, имеющие две пары соответственно равных сторон.

Будем считать </>1. Наименьшая сторона а первого треугольника (со сторонами а, Ь, с) меньше наименьшей стороны ai второго треугольника (со сторонами üi=aq, bi=bq, Ci=cq) и не может равняться ни одной из сторон последнего.

Средняя по величине сторона b первого треугольника может равняться только наименьшей стороне аг второго

треугольника (так как Ь меньше b\=bq и подавно меньше Ci=cq), а наибольшая сторона с первого треугольника равна либо наименьшей стороне аь либо средней стороне Ь\ второго треугольника. В случае, когда две стороны первого треугольника равны двум сторонам второго треугольника, должно быть b=di, с= Ь\. Отсюда выводим, что b=aq, c=bq= =aq-q=aq2. Таким образом, стороны первого треугольника образуют геометрическую прогрессию a, aq, aq2. Стороны второго треугольника равны aq, aq2, aq*, и представляют собой второй, третий и четвертый члены той же геометрической прогрессии.

Сторона а может быть какой угодно. Но число q не вполне произвольно. Оно должно удовлетворять неравенству aq2< a+aq, так как наибольшая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. Разделив обе части этого неравенства на а, получаем неравенство q2—q—1<0, которому должно удовлетворять число q (к этому же неравенству приводит и рассмотрение второго треугольника). Разлагая квадратный трехчлен q2—q—1 на множители, переписываем это неравенство в виде --(и--!~^5 j<0 или в виде (q—0,5—0,5)/ 5)-(q—0,5+0,5|Лэ)<0 и замечаем, что выражение во второй скобке при ç> 1 всегда положительно. Следовательно, выражение в первой скобке должно быть отрицательным, а потому:

q < 0,5+0,5^5, q< 0,5+0,5-2,236 <7<1,618...

Итак, два подобных неравных треугольника имеют две пары соответственно равных сторон тогда и только тогда, когда стороны первого треугольника равны a, aq, aq2, а стороны второго aq, aq2, aq3, причем сторона а произвольна, а число q заключается между 1 и 0,5+0,5|/~5^1,618.

Можно указать сколько угодно пар таких треугольников.

64. Трисекция угла.

Выполнить трисекцию угла — это значит разделить угол на три равные части. Сделать это, конечно, совсем нетрудно. Можно, например, измерить данный угол транспортиром, разделить найденное число градусов на три, а затем отложить посредством того же транспортира угол, содержащий полученное в частном число градусов. Но можно обойтись

и без транспортира, применяя метод «последовательных приближений»: построив произвольным радиусом дугу, для которой данный угол является центральным, возьмем на глаз хорду, соответствующую третьей части дуги, и отложим эту хорду последовательно три раза по дуге, начиная от одного из ее концов. Если после этого мы окажемся на другом конце дуги, задача решена. Если же, как это обыкновенно и бывает, мы не дойдем до другого конца дуги, или перейдем через него, то взятую нами на глаз хорду надо исправить, увеличив или уменьшив ее на одну треть расстояния от полученной точки до конца дуги, причем эту одну треть берем опять-таки на глаз. Эту исправленную хорду снова откладываем на дуге и в случае надобности вновь исправляем тем же способом. Каждая новая (исправленная) хорда будет давать все более точное решение, и, наконец, повторив операцию несколько раз, мы получим хорду, которая уложится на данной дуге практически ровно три раза, и трисекция угла будет выполнена. Конечно, эти два способа позволяют делить данный угол не только на три, но на любое число равных частей.

Однако, когда математики говорят о проблеме трисекции угла, они имеют в виду не эти весьма ценные в практическом отношении, но все же лишь приближенные способы, а точный способ, притом основанный на применении исключительно циркуля и линейки. Необходимо еще отметить, что имеется в виду использование одного лишь ребра линейки и что линейка должна служить только для проведения прямых (не допускается использование, например, масштабных делений), а циркуль — только для вычерчивания окружностей. Наконец, искомый способ должен давать решение задачи посредством конечного числа операций проведения прямых и окружностей. Последнее замечание очень существенно. Так, установив (по формуле суммы геометрической бесконечно убывающей прогрессии), что

можно предложить следующее решение задачи трисекции угла, требующее применения только линейки и циркуля: делим данный угол на 4 равные части, что, как известно, выполнимо посредством циркуля и линейки, а затем к полученному углу прибавляем поправку, равную четверти его самого, т. е. С данного угла, потом вторую поправку, рав-

ную-j первой, т. е. ^данного угла, и т. д. Точное решение

задачи этим способом требует бесконечно большого числа операций (делений углов на 4 равные части), а потому не является тем классическим решением, какое имеют в виду, когда говорят о решении задачи трисекции угла и других задач на построение.

Итак, у нас будет идти речь о точном решении задачи трисекции угла посредством проведения конечного числа прямых и окружностей.

Для некоторых углов эта задача решается весьма просто. Так, для трисекции угла в 180° достаточно построить угол в 60°, т. е. угол равностороннего треугольника, а для трисекции углов в 90° и 45° — углы в 30° и 15°, т. е. половину и четверть угла равностороннего треугольника. Однако доказано, что наряду с бесконечным множеством углов, допускающих трисекцию, существует бесконечное же множество углов, не допускающих трисекции (в указанном выше смысле). Так, нельзя разделить на три равные части (посредством проведения конечного числа прямых и окружностей) ни угол в 60°, ни угол в 30°, ни угол в 15°, ни угол в 40°, ни угол в 120°, ни бесконечное множество других углов*.

Теперь выясним, правилен ли следующий часто рекомендуемый способ деления произвольного угла ABC на три равные части. Из вершины В произвольным радиусом проводим дугу окружности, которая пересечет стороны угла в точках D и Е (черт. 39). Делим хорду DE на три равные части и соединяем точки деления F и G с В. Углы DBF, FBG, GBE окажутся, будто бы, равными, и трисекция произвольного угла ABC, следовательно, будет выполнена так, как тре-

Черт. 39.

* См., например, книги: Адлер А., Теория геометрических построении, Л., 1940, стр. 173—180; Александров И., Геометрические задачи на построение и методы их решения, М., 1934, стр. 144—150; Аргунов Б. и Балк М., Геометрические построения на плоскости, М, 1957, стр. 214—218.

буется, т. е. посредством проведения конечного числа прямых и окружностей: деление отрезка DE на три равные части, которое здесь требовалось, выполнимо, как известно, именно так.

Предлагающие такое решение полагают, что равенство отрезков DF, FG, GE, на которые мы разделили хорду DE, влечет за собой и равенство дуг DH, HI, IE, которые получатся, если продолжить BF и BG до пересечения с окружностью. Так ли это? Если эти дуги равны, то равны и углы DBH, HBI, IBE (пусть каждый из них равен а), равны и стягивающие их хорды DH, HI, IE. Но отрезок HI больше отрезка FG (это утверждение подсказывается чертежом, но ниже мы его докажем), а отрезок DH равен отрезку DF, так как углы DFH и DHF равны:

Следовательно, при равенстве отрезков DH и HI отрезки DF и FG вопреки условию неравны, и предположение о равенстве DH и HI надо отвергнуть.

Опустив перпендикуляр ВК из вершины В на хорду DE, замечаем, что вся фигура симметрична относительно ВК: перегнув чертеж по ВК, мы приведем обе его половинки к совпадению. Отсюда заключаем, что отрезок HI перпендикулярен к ВК, а в силу этого отрезок F G параллелен HI, и треугольники BHI и BFG подобны, что дает: HI : FG= = ВН : BF. Но В H у BF, а потому и HI>FG, как мы и утверждали выше.

Итак, деление хорды на три равные части не дает деления на равные части соответствующей дуги и не дает, следовательно, три секции соответствующего центрального угла: средний угол окажется непременно несколько больше каждого крайнего. Правда, при небольшом угле ABC разница будет невелика, и на практике этим способом иногда пользуются для приближенного деления малого угла на три равные части.

Приведем еще одно доказательство неправильности предположения, что из равенства отрезков DF, FG, GE вытекает равенство дуг DH, HI, IE и углов DBH, HBI, IBE. Допустив, что все это так, и положив a=2ß, мы легко получим формулы: DK=BK-\g^, FK=BK-tg р; но DK=3FK, откуда tg 3ß=

=3 tg ß. Но, применяя формулу тангенса суммы двух углов легко найдем, что

Сопоставляя это безусловно правильное соотношение с полученной выше формулой tg 3ß=3 tg ß, мы придем к равенству 9 tg3ß=tg3ß или 8 tg3ß=0, верному лишь при tg ß=0. Отсюда вытекает, что при равенстве отрезков DF, FG, GE соответствующие центральные углы не могут быть равными.

65. Еще о трисекции угла.

Вот способ деления произвольного угла на три равные части (посредством «вставки»), указанный еще в древней Греции (возможно Архимедом, жившим около 287—212 г.г. до н. э.)*.

Черт. 40.

Может показаться, что этот способ дает то решение задачи о трисекции произвольного угла, о котором говорилось выше, как о невозможном для бесконечного множества углов.

Продолжим одну из сторон данного произвольного угла ^АВС=а (черт. 40) за вершину В и начертим произвольным радиусом г полуокружность с центром в В\ пусть эта полуокружность пересекает вторую сторону угла в точке D. Затем берем линейку и делаем на ее ребре две метки Е и F на расстоянии г друг от друга. Укладываем линейку так, чтобы ее ребро проходило через точку D и чтобы метка Е оказалась на продолжении ВА. Метка F окажется при этом либо вне

* Цейтен Г., История математики в древности и в средние века, М., 1932, стр. 64—67.

полуокружности, либо внутри ее, либо на ней. В первых двух случаях будем перемещать линейку, соблюдая оба указанных условия (линейка должна проходить через точку D, а метка Е должна лежать на продолжении ВА), и добьемся того, чтобы метка F оказалась на полуокружности. Как говорят, выполнена «вставка» отрезка EF=r между прямой ВА и окружностью, причем эта «вставка» делается на луче, исходящем из точки D.

Теперь мы получили равнобедренный треугольник BFE (EF=BF=r). Обозначив каждый из двух равных углов при его основании через ß, имеем, что ^ ß/7D=2ß. Но треугольник BDF тоже равнобедренный, а потому ^ BDE= = ^ BFD=2$. Остается рассмотреть треугольник BDE, для которого угол АВС=(х, как внешний, равен сумме ^ ߣD=ß и ^ BDE=2$. Итак, a=3ß, и ^ BED = $ есть, следовательно, ровно треть данного произвольного угла а.

Мы решили задачу трисекции произвольного угла посредством циркуля и линейки, и с первого взгляда представляется, что это решение опровергает то, что сказано в п. 64 о невозможности трисекции очень многих углов. Но более внимательное рассмотрение показывает, что никакого противоречия здесь нет. Доказано, что не всякий угол можно разделить на три равные части посредством проведения конечного числа прямых и окружностей. Но при решении по способу «вставки» линейка была использована не только для проведения прямых линий, а и для выполнения более сложной операции — самой «вставки» радиуса между продолжением ВА и полуокружностью: линейка была использована не так, как предусмотрено теорией. В сущности говоря, мы использовали линейку для вычерчивания особой кривой, так назы-

Черт. 41.

ваемой конхоиды: вращая линейку около точки D и одновременно перемещая ее так, чтобы точка Е все время была на прямой ВА, мы заставляем вторую метку (точку F) двигаться по плоскости, вычерчивая кривую, показанную на чертеже 41. Эта кривая и называется конхоидой. В нашем решении была использована точка Fs пересечения конхоиды с полуокружностью.

Итак, решение задачи трисекции угла по способу «вставки» основано на. построении, кроме прямых и окружности, еще и конхоиды, и ни в какой мере не опровергает доказываемую в теории геометрических построений теорему о невозможности трисекции произвольного угла посредством конечного числа прямых и окружностей.

66. Квадратура круга.

Знаменитая задача о квадратуре круга была поставлена еще задолго до начала нашего летоисчисления, окончательно же ее решили лишь в 1882 г.*. Состоит эта задача в том, что требуется построить квадрат, равновеликий данному кругу, т. е. имеющий одинаковую с ним площадь. Обозначив радиус данного круга буквой г, а сторону искомого квадрата буквой X, имеем уравнение ic/*=jcf, из которого находим x=r}/riz. Так как число it, выражающее отношение длины окружности к диаметру, известно с очень большой точностью, а извлечь квадратный корень из любого числа можно с произвольно высокой точностью, то для X легко получаем следующее выражение:

x^rV 3,14159265жл 1,77245385,

где значения гс и |/тс"взяты с восемью десятичными знаками. Однако, говоря о решении задачи о квадратуре круга, имеют в виду не это вычисление, а построение стороны искомого квадрата по данному радиусу круга, притом построение, выполняемое посредством проведения конечного числа прямых и окружностей, т. е. при употреблении только линейки и циркуля, и дающее сторону искомого квадрата точно, а не приближенно. Доказано, что в такой постановке

* См. историю вопроса в книге Рудио Ф. «О квадратуре круга», перевод с немецкого под редакцией академика Бернштейна С.Н., М., 1936.

задача эта неразрешима. Однако попытки решения этой задачи людьми, мало знающими математику, продолжаются и до сегодняшнего дня.

Рассмотрим следующий давно известный способ построения квадрата, равновеликого данному кругу. Возьмем прямой круглый цилиндр, основанием которого служит данный круг радиуса г, высоту же цилиндра сделаем равной уГ.

Если катить этот цилиндр без скольжения по плоскости, на которую он кладется так, чтобы его ось была параллельна плоскости, то при одном обороте он покроет на плоскости прямоугольник, равный его развернутой боковой поверхности, а именно прямоугольник со сторонами 2ъг и|л Но площадь этого прямоугольника равна 2тгг • \^г=кг2, т. е. равна площади данного круга. Теперь остается лишь превратить полученный прямоугольник в равновеликий квадрат, а для этого, как известно, достаточно построить отрезок, являющийся средним пропорциональным между двумя смежными сторонами прямоугольника.

Было бы большой ошибкой думать, что это решение опровергает сказанное выше о невозможности решения задачи о квадратуре круга. Ведь здесь, кроме циркуля и линейки, которые были нужны для деления радиуса г пополам и для построения среднего пропорционального между 2кг и -~ г, мы пользовались еще одним инструментом, а именно тем цилиндром, который катили по плоскости.

67. Об одном доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Возьмем произвольный треугольник АБС и совершим обход по его периметру из вершины А через вершины В и С снова в А. Представим себе, что, совершая этот обход, я держу перед собой руку, вытянув ее по направлению своего движения. Двигаясь от А до ß, я сохраняю направление руки неизменным. Достигнув вершины ß, я вращаю руку против часовой стрелки на угол ВгВС (черт. 42). Далее, при движении от В до С направление руки снова остается неизменным. В точке С рука делает новый поворот — на угол С\СА. Затем при движении от С до А направление руки

не меняется и, наконец, в Л рука делает последний поворот — на угол AiAB. Обход закончен, я вернулся в исходную точку, рука вернулась в исходное положение — она вновь направлена от Л к В. Во время своего обхода рука совершила один полный оборот, т. е. повернулась на 360°. Но этот полный оборот является суммой трех поворотов, а именно на углы ßißC, dCA, AiAB, которые являются внешними для данного треугольника ABC. Итак,

^В1ВС+^С1СА + + ^АгАВ = 360°.

Но каждый из внешних углов можно заменить разностью между 180° и соответствующим внутренним углом. Поэтому имеем:

(180°— ^ß)+(180°— ^С)+(180°— ^Л)=360°,

где ^ Л, ^ ß, ^ С — внутренние углы треугольника ABC. Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, приходим к равенству:

^А + ^В+^С=№°.

Это простое и понятное доказательство не опирается ни на какие теоремы геометрии, кроме теоремы о сумме двух смежных углов, в частности, не ссылается на теоремы о параллельных прямых и не зависит, следовательно, от аксиомы о параллельных. Это обстоятельство было бы огромным преимуществом нашего доказательства, если бы только в ходе доказательства мы не опирались незаметным образом на некоторую новую аксиому.

В том, что это так, мы убеждаемся в силу следующего соображения. Возьмем сферу и на ней три точки D, Е, F, притом так, чтобы дуги DE, EF, FD больших кругов сферы равнялись бы каждая 90° (можно за точку D принять Северный полюс, точки Е и F взять на экваторе). Все приведенное выше рассуждение, доказывающее, что сумма внутренних

Черт. 42.

углов плоского треугольника ABC равна 180°, применимо без каких бы то ни было изменений и к нашему сферическому треугольнику DEF\ надо только иметь в виду, что под направлением дуги на сфере разумеют направление касательной к этой дуге (в рассматриваемой точке). Итак, наше рассуждение доказывает, что и сумма внутренних углов сферического треугольника DEF равна 180°. Но это неверно, так как каждый из внутренних углов взятого нами сферического треугольника равен 90°, а их сумма, следовательно, равна 270°.

Обходя сферический треугольник с рукой, вытянутой по направлению движения, и вернувшись в исходное положение, мы совершим рукой, таким образом, поворот не на 360°, как в случае обхода плоского треугольника, а на другой угол. Утверждая, что после обхода плоского треугольника и возвращения к исходному положению мы имеем поворот на 360°, мы высказываем не что-то само собой разумеющееся и верное при всяких условиях, а основываемся на следующем свойстве плоскости, которого не имеет сфера: обход всякого треугольника на плоскости связан с поворотом на 360°. Принимая это свойство плоскости за очевидное, мы и вводим новую аксиому.

Итак, утверждение, что мы доказали теорему о сумме внутренних углов треугольника, не пользуясь ни аксиомой о параллельных, ни некоторой новой аксиомой, является ошибочным. Еще более ста лет назад наш гениальный геометр Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что невозможно устранить из нашей (евклидовой) геометрии аксиому о параллельных, не вводя взамен нее некоторую другую аксиому.

68. Как вычислять объем усеченной пирамиды?

Как известно, площадь трапеции можно получить, взяв произведение полусуммы ее оснований на высоту, или же взяв произведение ее средней линии на высоту. Оба способа дают одно и то же, так как трапеция равновелика прямоугольнику, основанием которого служит средняя линия трапеции, а высота одинакова с высотой трапеции.

В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли вычислить объем усеченной пирамиды вместо обычного способа, основанного на формуле V^-jh (ß1+ß2+|/ßiß2), где h высота усеченной пирамиды, Вг и Вг площади двух ее осно-

ваний, другим способом, основанным на замене усеченной пирамиды призмой, основанием которой служит среднее сечение усеченной пирамиды, а высота одинакова с высотой усеченной пирамиды? Средним сечением усеченной пирамиды называют такое ее сечение, которое производится параллельно ее основаниям через середину высоты.

Заметим, что в технике при вычислении объема усеченной пирамиды (например, при обмере куч песка, заготовленного для дорожных работ) поступают обычно именно так: находят площадь среднего сечения, затем умножают ее на высоту усеченной пирамиды.

Многие думают, что этот способ дает результаты вполне точные, подобно тому, как точные результаты дает вычисление площади трапеции как произведения средней линии на высоту. Выясним, так ли это, ограничиваясь рассмотрением лишь простого случая, когда основания усеченной пирамиды — квадраты со сторонами а и Ь <а.

Объем такой усеченной пирамиды выражается формулой V = уА (a2-\-b2+ab). Среднее сечение представляет собой квадрат со стороной у(д+Ь). Объем призмы, основанием которой служит это среднее сечение, а высота равна высоте усеченной пирамиды, вычисляется по формуле V\—-^h(a-\- b)2.

Найдем разность V—Vi. Как показывает расчет, она равна (а—б)2, а потому является всегда величиной положительной. Итак, Vi не равно 1/, а всегда меньше V.

Как велико может быть расхождение между V и Vi? Выражение для разности V—Vi показывает, что она растет с возрастанием разности между а и о. Самым неблагоприятным случаем будет тот, когда 6=0, т. е. когда верхнее основание усеченной пирамиды обращается в одну точку и пирамида из усеченной делается полной. В этом случае V = -^а2А, Vi = = ~à2hy V— Vi= -j7>tf2A = |к, и вычисление по формуле для Vi дает значение объема, меньшее истинного его значения на 25% последнего.

Чтобы оценить погрешность в общем случае, когда ЬфО, положим ж х и выразим в зависимости от х отношение v . Так как 6=а(1 — х), то подстановка дает, после со-

кращения на а% и Л, формулу

. Если X малая дробь, ее значением сравнительно с 1 можно пренебречь, тем более можно пренебречь и дробью -^-х2. Все выражение в скобке в знаменателе дроби заменится при этом единицей, и мы приходим к формуле:

Эта формула говорит, что при разнице между а и Ь, например, в 0,1 от а, Vi меньше V приблизительно на "]^0Л2= )2QQ от V. Действительно, взяв а=\0 см, Ь=9 см, h=\2 см, получаем по точной формуле 1Л=1084 куб. см, а по приближенной l^i = 1083 куб. см. Разность V— Vi равна 1 куб. см, что составляет около от V.

При небольших значениях разности а — b сравнительно с а приближенная формула дает, как видим, довольно точные результаты.

Конечно, этот же прием приближенного вычисления объема применим и к вычислению объема усеченного конуса: берется произведение среднего сечения усеченного конуса на высоту; среднее сечение усеченного конуса есть окружность с радиусом (диаметром), равным полусумме радиусов (диаметров) обоих оснований усеченного конуса.

Глава V.

ТРИГОНОМЕТРИЯ.

I. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.

69.

Будем исходить из равенства, справедливость которого вполне очевидна:

(1)

так как

Используя соотношение

и освобождаясь от знаменателя, имеем:

откуда

(2)

Из соотношения (2) устанавливаем, что cos^-=l. (3) Следовательно,

(4)

что при k=0 дает требуемый результат:

(5)

70. Синус угла уменьшается, если к углу прибавить 360°.

Пусть а какой-нибудь угол, заключающийся между 0° и 180°. Его половина, которую мы обозначим буквой jc, заключается, следовательно, между 0° и 90°. Синус и косинус этого угла первой четверти положительны. Прибавив же к X еще 180°, получим угол третьей четверти, у которого и синус и косинус, как известно, отрицательны. Но всякая отрицательная величина меньше положительной, а потому:

sin (180°+*) < sin X, cos (180°+*) < cos*. (1)

Перемножив эти два неравенства почленно, получим неравенство:

sin (180°+*).cos (180°+*) < sin *.cosjt, (2)

которое можно переписать короче, используя формулу синуса двойного угла (sin 2а=2 sin а-cos а), а именно:

у sin(360°+2jc) <у sin 2х.

После умножения обеих частей последнего неравенства на 2 и замены х через у a имеем окончательно:

sin (360°+a)<sin a,

что и «доказывает» высказанное в заглавии настоящего пункта утверждение, противоречащее тому общеизвестному факту, что ни одна из тригонометрических функций не меняется от увеличения угла на 360°.

71. Косинус любого острого угла больше единицы.

Взяв произвольный острый угол а, напишем тождество cos a=cos a и прологарифмируем его (хотя бы по основанию 10); получим:

lg cos a= lg cos a. (1)

Заменим равенство (1) неравенством, увеличивая вдвое левую его часть:

2 lg cos a> lg cos a, (2)

или, что то же:

lg cos2 a> lg cos a. (3)

Принимая во внимание, что при основании, большем 1, большему числу соответствует больший логарифм, и обратно, из неравенства (3) выводим, что cos2 а > cos а. Разделив обе части последнего неравенства на положительное число cosa, получим неравенство того же смысла:

cos a > 1,

и придем к противоречию с определением косинуса острого угла как отношения прилежащего катета к гипотенузе.

72.

Будем исходить из несомненного равенства:

(1)

Воспользовавшись логарифмированием его обеих частей, запишем:

(2)

От соотношения (2) перейдем к неравенству:

(3)

которое перепишем в следующем виде:

Потенцируя, имеем:

(4)

Неравенство (4) утверждает, что

(5)

73. 22=42.

Обе части известного из курса тригонометрии соотношения

cos2 х=\ — sin2 X (1)

возведем в степень -75-:

(2)

Увеличим каждую из частей равенства (2) на три единицы и полученные суммы возведем в квадрат:

(3)

Подставляя в соотношение (3) значение дс, равное, например, у, получаем верное равенство: (0+3)2= [(1 — I)2 +3]2? т. е.

32=32.

Однако, подставляя в это же соотношение значение х, равное, например, тс, получаем неверное равенство:

Объясните причину мнимого парадокса.

74. Площадь прямоугольника равна нулю.

Возьмем тригонометрический круг и отметим на его окружности точку УИ, представляющую собой конец некоторой дуги AM первой четверти (черт. 43). Проведя MMi 1 AAlt MQlBBlt MiQi lBBi где A Ai и BBi пара взаимно перпендикулярных диаметров тригонометрического круга, получим прямоугольник MQQiMi и займемся вычислением его площади S. Основание прямоугольника QiMi равно отрезку ОР, который является линией косинуса для угла а и равен в силу этого г cosa, где г радиус тригонометрического круга. Высота MiM прямо-

Черт. 43.

угольника представляет собой сумму двух отрезков РМ и РМг. Первый из этих отрезков есть линия синуса для угла ос и равен г sin а, второй же является линией синуса для угла —а и равен г sin (—а)=—г sina. Далее получаем:

(1)

75. Существуют равные треугольники, у которых не все стороны равны.

Чтобы убедиться в равенстве двух треугольников, нет необходимости знать о равенстве всех элементов этих треугольников; достаточно убедиться в равенстве некоторых из них. Действительно, первый признак равенства треугольников требует равенства двух сторон и угла, второй признак— двух углов и стороны и, наконец, третий признак — трех сторон.

Итак, для утверждения равенства двух треугольников требуется знать о равенстве трех элементов их, среди которых представлен по крайней мере один линейный.

Рассмотрим треугольники со сторонами:

cii=l8cM, bi=\2cM, Ci= 8 см, £2=27 см, 02=18 см, съ=\2 см.

Легко видеть, что треугольники этой пары имеют по две равные стороны.

С помощью формул

устанавливаем, что для каждого из углов одного треугольника найдется равный ему среди углов другого.

В самом деле:

Следовательно,

Значит,

Итак, пять элементов одного треугольника, среди которых два линейных, равны пяти элементам другого треугольника. Отсюда делаем вывод о равенстве этих треугольников.

Итак, существуют равные треугольники, у которых не все стороны равны.

76. Каждый треугольник—прямоугольный.

ABC—произвольно взятый треугольник, со сторонами a, by с, углами а, р, j и высотой Л, которая опущена на сторону с и делит ее на отрезки рид.

Черт. 44.

Из чертежа без труда устанавливаем:

(1)

Используя соотношения (1), придадим формуле:

(2)

несколько иной вид, а именно:

(3)

Для дальнейших преобразований формулы (3) вспомним, что:

a=2/?sina, 0=2/? sin ß, c=2/?sinï,

где R — радиус описанной около этого треугольника окружности. Подстановка этих соотношений в правую часть формулы (3) преобразует ее к виду:

sin (tt+ß) = oPVinT. • (4)

Наконец, заметив, что A=6sina = 2/? sin a sin ß, приходим к выводу:

sin(a+ß) = sinT, (5)

откуда:

a+ß = T, (6)

что, очевидно, может иметь место лишь при условии равенства -jf прямому углу.

II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ

69. Ошибка допущена при переходе от верного равенства (2) к неверному равенству (3). Ложность равенства (3) объясняется тем, что оно получено в результате деления обеих частей равенства (2) на разность sin-^—cos, которая равна нулю.

70. В результате почленного умножения двух неравенств одинакового смысла, все части которых положительны, получается новое неравенство того же смысла. Умножение же неравенств, не удовлетворяющих этому требованию, может давать что угодно: и неравенство другого смысла, и даже равенство.

В неравенствах (1) левые и правые части равны по абсолютной величине, но различны по знакам:

sin (180°+х) =— sin X и cos (180°+л:)=—cos х.

Почленное их перемножение приводит к двум равным по абсолютной величине произведениям, имеющим знак плюс, а потому равным друг другу. Неравенство (2) в силу этого неправильно и должно быть заменено равенством:

sin (180°+*)-cos (180°+.*;) = sin jt-cos x,

которое приводит к общеизвестной формуле:

sin (360°+2;t) = sin 2х и sin (360°+a) = sina.

71. При переходе от равенства (1) к неравенству (2) мы умножили на 2 левую часть равенства (1).

Но действительно ли это умножение на 2 есть увеличение? Всегда ли 2а>а? Перенося в этом последнем неравенстве число а из правой части в левую, убеждаемся, что из неравенства 2а>а вытекает неравенство а>0. Следовательно, если а не больше нуля, а меньше нуля или равно нулю, то неравенство 2а>а не может иметь места.

Итак, переход от равенства а=а к неравенству 2а>а возможен исключительно при а>0. Но косинус острого угла всегда заключен между нулем и единицей, десятичный логарифм этого косинуса отрицателен, а потому из равенства lg cos а= lg cos а не вытекает неравенство

21g cosa> lg cos а.

72. Ошибка допущена при переходе от равенства (2) к неравенству (3). Здесь упускается из внимания, что так как sin -£=y, т. е. правильной дроби, то lg sin-j? отрицателен, а потому в соотношении (3) должен быть поставлен не знак больше, а, наоборот, знак меньше: удвоенное отрицательное число меньше этого отрицательного числа.

73. Ошибка основана на забвении определения арифметического корня. В соответствии с этим определением)/^ фа, а он равен |а|, т. е. }/а2=а, если а>0, Hj/а2^—а, если а<0.

В анализируемом примере: (cos2*) 2 =1/cos6jc=cossjc, если —у+2*7г<х<~+2А7г, Hj/cos6jt =— cos3*, если х не принадлежит множеству значений, указанному двойным неравенством. В частности, при значении х равном тг левая часть соотношения (3) должна быть взята в виде: (—cos3a:+3)2. Абсурдный вывод, естественно, устраняется.

74. Ошибка настоящего рассуждения заключается, конечно, в неправильном вычислении высоты прямоугольника. Приписывая отрезку определенный знак (+ или —), мы тем самым указываем, в каком направлении этот отрезок откладывается, или, что то же, в каком направлении мы этот отрезок проходим. Для линии синуса знак плюс указывает, что она откладывается вверх от горизонтального диаметра, минус — вниз. Рассматривая такие направленные отрезки и обозначая каждый отрезок двумя буквами, всегда предполагают, что первая буква означает начало отрезка, вторая —

его конец. Поэтому два направленных отрезка AB и ВА не тождественны: имея одинаковую длину, они имеют противоположные направления, и в силу этого АВ=—В А.

На чертеже 43 отрезок РМ откладывается вверх, а потому РМ = +г sin а, отрезок же РМХ—вниз, и следовательно, РМ\——г sin а. Чтобы получить высоту прямоугольника со знаком плюс, мы должны двигаться от точки Мх к точке M в одном и том же направлении, а именно вверх. Поэтому формула (1) неверна, правильной же является формула MiM = MiP+PM, или, что то же MiM = PM+MiP. Замечая, что МХР=—РМХ=—(—г sin a) = +r sin а, имеем: MxM=r sin а+г sin а=2г sin а, как и должно быть.

Разъяснить настоящий софизм можно было бы гораздо короче, просто указав, что при вычислении площади прямоугольника мы должны брать лишь длины его основания и высоты, не принимая во внимание их знаков. Однако, во-первых, нередко и площадям приписывают определенные знаки (+ и —); во-вторых, важно выяснить, как, зная направленные отрезки, ведущие от некоторой данной точки к концам некоторого интересующего нас отрезка, получить длину этого отрезка (в нашей задаче вопрос заключался именно в этом: надо было найти длину отрезка УИ1М, зная направленные отрезки, ведущие от точки Р к точкам М\ и М).

75. На основе анализа трех признаков равенства треугольников методом неполной индукции сделан ложный вывод: «Итак, для утверждения равенства двух треугольников требуется знать (т. е. достаточно знать!) о равенстве трех элементов их, среди которых представлен по крайней мере один линейный».

На самом же деле, равенство трех основных элементов одного треугольника трем основным элементам другого треугольника, включая по крайней мере и один линейный элемент, является необходимым, но недостаточным условием для равенства рассматриваемых фигур. Взглянув на чертеж 45, мы легко убеждаемся в недостаточности этого условия.

Приняв ложное утверждение за истинное и применив его к анализу примера, в котором речь идет о подобных треугольниках со сторонами 18, 12, 8 и 27, 18, 12, мы пришли к утверждению нелепости: существуют равные треугольники, у которых не все стороны равны.

Этот софизм мы уже рассматривали в геометрии (гл. IV, п. 63). Там же было дано подробное раскрытие его.

Черт. 45.

76. Ошибка сделана при переходе от соотношения (5) к соотношению (6). Она состоит в неправильном применении принципа непосредственных умозаключений путем обращения. Тот факт, что равные углы имеют равные синусы, не дает еще основания заключать о справедливости обратного утверждения. Здесь можно утверждать только следующее: «Если синусы двух углов равны, то и углы могут быть равны».

Относительно углов (a+ß) и f возможно сделать три предположения:

1) a+ß=Y- В этом частном случае мы действительно будем иметь прямоугольный треугольник. Но этот случай, как видно из дальнейшего, не исчерпывает всех возможных случаев.

2) a-fß=180°— 7. В этом случае a+ß+7=180°, что не противоречит смыслу задачи и связывает углы треугольника известным соотношением. Однако этот случай не дает никаких оснований для абсурдного вывода о наличии прямого угла в любом треугольнике.

3) a-bß=360°+if. Этот случай невозможен, так как разность суммы двух любых углов треугольника и его третьего угла не может быть равна 360°.

Как видим, абсурдный вывод устраняется.

Глава VI.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

РАССКАЗЫ-ОБЪЯСНЕНИЯ ПО ПОВОДУ ОШИБОЧНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.

77. Сколько лет древней статуе?

На вопрос о том, сколько лет древней статуе, хранящейся в музее, служащий музея ответил: «Ей 4008 лет». Дальше последовал вопрос: «Каким образом возраст такой древней вещи установили с такой высокой точностью?». Служащий объяснил, что он поступил работать в музей еще восемь лет назад и узнал тогда от директора музея, что этой статуе 4000 лет; с тех пор прошло восемь лет, а потому возраст статуи в настоящее время 4000+8=4008 (лет).

Как отнестись к такому объяснению?

Служащий музея, очевидно, не понимает, что возраст статуи определен в четыре тысячи лет не точно, а лишь приближенно: известно, сколько тысячелетий прошло с того времени, когда эта статуя была сделана, но сколько с тех пор прошло веков, десятков лет, тем более отдельных лет — остается неизвестным. Заменяя неизвестные цифры в указанном директором возрасте статуи знаками вопроса, мы должны записать проделанное служащим сложение в таком виде:

+ "8 4008.

Но совершенно ясно, что от прибавления 8 к числу, выраженному неизвестной нам цифрой единиц первого слагаемого, может получиться число с какой угодно цифрой единиц, а вовсе йе обязательно с цифрой 8. Точно так же ничем не оправдана и постановка нулей в качестве цифр

десятков и сотен суммы. Единственно правильным будет такой результат:

Следовательно, возраст статуи, определенный первоначально в 4 тысячи лет, остается таким же и по прошествии 8 лет.

Складывая и вычитая числа, известные нам не абсолютно точно, а лишь с некоторым приближением, мы всегда должны выяснить, какие цифры результата заслуживают доверия, а какие нет, и вовсе отбрасывать последние.

Положим, получен ящик с прибором; на ящике надпись: вес брутто (т. е. вес товара вместе с упаковкой) 35 кг. Пусть вес самого прибора (вес нетто) оказывается, как показало взвешивание на точных весах, равным 2,853 кг. Заключение, что упаковка (тара) весит 35—2,853=32,147 (кг), является неправильным; все цифры после запятой не заслуживают никакого доверия, результат надо округлить до целых: упаковка весит 32 кг.

78. Все большие числа приближенно равны между собой.

Условимся считать числа, начиная с миллиона, большими и докажем, что, например, 1 000 000^2 000 000.

Утверждение, что для всякого большого числа N можно считать

N^N+h (1)

не вызывает возражений.

Последовательно подставляя в соотношение (1) 1 000 000, 1 000 001, 1 000 002, ... , 1 999 999, имеем:

(2)

Перемножая левые и правые части миллиона приближенных равенств (2), получим:

Сократив обе части приближенного равенства (3) на 1 000 001 -1 000 002.1 000 003- ... . 1 999 999, получим требуемое соотношение:

1 000 000^2 000 000.

В чем здесь дело?

К числу законных математических операций относится почленное перемножение равенств. Однако здесь имеются в виду точные равенства. Что же касается приближенных равенств, то они, по своему математическому смыслу, представляют из себя неравенства: запись х^а с точностью до Ю~п равносильна записи а— 10 ~/7<Гл:<а+10~/г, a с точностью до 10^ записи а — 10п<х<а+\0п.

Из сказанного ясно, что почленное перемножение приближенных равенств следует трактовать как перемножение соответствующих неравенств. Но, как известно, при почленном умножении неравенств одинакового смысла (а только такие и можно перемножать) неравенство усиливается. В самом деле, имея неравенства а—a<jc<a+a и b—ß<*/<6+ß, выводим отсюда, что ab — ab — ßa+aß<jq/<ao+ao+ßa+aß, т. е. перемножение двух двойных неравенств усиливает каждое.

Естественно, что при перемножении большого числа неравенств (в анализируемом примере миллиона) неравенство усиливается весьма разительно.

Таким образом, абсурдный вывод устраняется.

Этот софизм построен на двузначности термина «равенство»: равенство точное и равенство приближенное.

79. О точности произведения приближенных чисел.

Положим, требуется найти произведение двух чисел 124— и 2^j. Не желая иметь дело с обыкновенными дробями, переходим к десятичным, ограничиваясь точностью до десятых. Так как-i- = 0,33..., ~ = 0,13..., то выполняем умножение десятичных чисел 124,3 и 2,1, и получаем произведение 261,03.

Сомножители были взяты с точностью до десятых. Считая, что с такой же точностью получен и результат, пишем окончательно: 124-j • 2^ = 261,0. Так ли это?

Производя умножение без предварительного обращения сомножителей в десятичные дроби, мы найдем, что произведение равно 265^ или 265,698... Следовательно, в полученном выше результате, вопреки нашему ожиданию, неверна не только цифра десятых долей, но и цифра целых единиц.

Для того чтобы понять, почему так получилось, запишем приближенные сомножители в виде 124,3? и 2,1?, заменяя знаками вопроса неизвестные цифры сотых долей, и выполним умножение так, как будто эти цифры сотых были нам известны. Умножая неизвестные цифры, в частных произведениях ставим в соответствующих местах тоже знаки вопроса:

Все цифры произведения направо от вертикальной пунктирной черты получены от сложения неизвестных цифр с известными или одних неизвестных цифр друг с другом, а потому никакого доверия не заслуживают. Отбрасывая эти цифры результата, записываем произведение в виде 260 или, еще лучше: в виде 26о: уменьшенный размер нуля целых указывает, что этот нуль поставлен вместо неизвестной нам цифры единиц.

При умножении приближенных чисел следует руководствоваться правилом: в произведении двух приближенных чисел следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет тот сомножитель, у которого значащих цифр меньше. Под значащими цифрами числа разумеют все его цифры, т. е. цифры как целой, так и дробной его части, за исключением нулей, которые стоят левее первой отличной от нуля цифры, и тех нулей, которые могут быть у числа справа, если эти нули поставлены взамен неизвестных цифр (например, числа 20,6, 206, 0,00206 имеют по три значащие цифры каждое).

В применении к рассмотренному выше примеру умноже-

ния приближенных чисел это правило рекомендует сохранить в произведении лишь две первые значащие цифры, так как приближенное множимое (124,3) имеет 4 значащие цифры, приближенный же множитель (2,1)—только 2. Но мы убедились, что только эти две первые цифры произведения в нем и верны. Взяв множитель 2^-=2,1370 ... в виде десятичной дроби не с 2, а с 3 значащими цифрами (2,14), мы получили бы произведение 266,002, в котором следовало бы, согласно правилу, сохранить уже 3 первые значащие цифры, и мы имели бы 124—2^^-266, т. е. как раз то, что получается, если точное произведение 265,698... округлить до 3 значащих цифр. Взяв множитель с 4 значащими цифрами (2,137), мы получили бы произведение 265,6291, в котором согласно правилу надо бы было сохранить 4 первые значащие цифры. И, действительно, расхождение между этим приближенным произведением и точным его значением (265,698...) начинается лишь после четвертой значащей цифры.

Пользоваться этим очень удобным правилом округления произведения приближенных чисел можно и тогда, когда один из сомножителей — число точное. Надо только считать, что в этом сомножителе бесконечно много значащих цифр, и сохранять в произведении столько значащих цифр, сколько их имеет второй (приближенный) сомножитель. Например, если взять 7г^3,14 и находить длину окружности с диаметром ровно в 2,6 см, то в произведении 3,14-2,6=8,164 следует сохранить 3 первые значащие цифры, которые и являются единственными верными цифрами этого произведения (взяв тг^З,14159, мы получили бы тг-2,6=8,1681 ...).

Следует заметить, что могут быть случаи, когда произведение двух чисел имеет больше верных цифр, чем можно ожидать на основании этого правила, так как один приближенный сомножитель может быть меньше соответствующего точного значения, а другой — больше. Точно также может случиться, что последняя цифра, которую мы сохраняем в произведении согласно правилу, будет не вполне точной; теория указывает, что в этой последней цифре может быть неточность, приближающаяся в исключительных случаях к 6 единицам этого разряда, но никогда не превосходящая этого предельного значения*.

* О деталях, касающихся обоснования и применения этого правила округления произведения приближенных чисел, см. книгу В. М. Брадиса «Средства и способы элементарных вычислений», М., 1954, § 13.

Подобные же правила надо соблюдать и при выполнении других действий над приближенными числами: в частном двух приближенных чисел следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет то из данных чисел (делимое и делитель), в котором меньше значащих цифр; при возведении в квадрат и куб в результате надо сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число; квадратный и кубический корни из приближенного числа надо извлекать со столькими значащими цифрами, сколько их имеет подкоренное число*.

80. Верна ли формула ^^-^ = tg а?

Один ученик, ознакомившись с формулой ° = tg а, решил проверить ее. Выписав из таблицы значения всех трех функций при а=89°42', a именно sin а= 1,0000, cos а= =0,0052, tg а= 191,0, он разделил sin а= 1,0000 на cos а= =0,0052, но получил не число 191,0, как ожидал, а число 192,3..., и заключил, что либо неверна формула, либо неверно по крайней мере одно из трех взятых табличных значений.

Конечно, причиной расхождения является то обстоятельство, что все выписанные табличные значения, как и подавляющее большинство других табличных значений, являются числами приближенными, дающими лишь несколько первых значащих цифр соответствующих точных значений. При делении двух приближенных чисел частное получается, разумеется, не точно, а лишь приближенно. Правила, о которых была речь в п. 79, указывают, сколько значащих цифр следует сохранять в таком частном. В настоящем случае делимое (1,0000) имеет пять значащих цифр, делитель (0,0052) только две, а потому и в частном мы должны сохранить лишь две первые значащие цифры. Получив частное 192,3..., округляем его так, чтобы оставались лишь две первые значащие цифры, и получаем число 190, которое совпадает в пределах первых двух значащих цифр с табличным значением tg 89°42', равным 191,0.

Чтобы получить частное с четырьмя значащими цифрами, надо повысить точность делителя, взяв его не с двумя, как

* О деталях, касающихся обоснования и применения этих правил, см. книгу В. М. Брадиса «Средства и способы элементарных вычислений», М., 1954, § 14 и 19.

было у нас, а по крайней мере тоже с четырьмя значащими цифрами (чтобы получить четыре вполне надежные значащие цифры частного, делимое и делитель лучше брать с одной «запасной» цифрой, т. е. не с четырьмя, а с пятью значащими цифрами). Итак, найдя (по более точной таблице), что cos 89°42'=0,0052360, делим 1,0000 на 0,0052360 и получаем в частном 190,98... или, после округления до четырех значащих цифр, как раз табличное значение tg 89°42', а именно 191,0.

81. Сколько цифр надо знать в подкоренном числе, чтобы получить корень с заданной точностью?

Положим, что мы желаем вычислить значение sin 15° по формуле sin 15°=0,5V^2—]/3, причем ставим себе задачей получить это значение с четырьмя десятичными знаками. С какой точностью необходимо извлечь |^3, чтобы обеспечить при втором извлечении квадратного корня (из 2—|/3) требуемую точность результата? Часто рассуждают так: для получения каждой следующей цифры квадратного корня нужна новая грань из пары цифр подкоренного; следовательно, для получения четырех цифр после запятой в значении корня из 2—Y 3 в этом последнем числе необходимо иметь 2-4=8 цифр после запятой. Руководствуясь этим соображением, извлекают корень из 3 с восемью десятичными знаками и, получив Y 3=1,73205081, находят 2—|/3 =0,26794919; после этого вычисляют V 2—1/3 =0,5176 и, наконец, sin 15°=0,5/2— /3=0,2588.

Как показывает справка в таблице синусов, все четыре десятичных знака полученного результата верны. Но тот же самый результат дает и следующее вычисление, требующее значительно меньше выкладок:

Этот пример наводит на мысль, что для получения каждой лишней цифры в значении квадратного корня нет надобности знать целую лишнюю грань, т. е. две лишние цифры в

подкоренном числе. И действительно, нетрудно доказать целесообразность такого правила: при извлечении квадратного корня из приближенного числа, имеющего п значащих цифр, надо брать в корне тоже п значащих цифр*. Последняя цифра полученного корня будет при этом или вполне точна, или отлична от точной на одну единицу. Поэтому для получения квадратного корня с п значащими цифрами, подкоренное число достаточно брать тоже с п значащими цифрами (или, если желательно иметь полную гарантию точности последней цифры, то с n-f-1 значащей цифрой).

Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти значение х= |/^28у с точностью до сотых долей. Замечая, что корень содержит лишь одну цифру в целой части, видим, что его значение надо найти с тремя значащими цифрами (цифра целых единиц, цифры десятых и сотых долей). Поэтому и число 28у достаточно взять с тремя значащими цифрами, т. е. в виде 28,3. Извлекая корень из этого последнего числа, имеем окончательный результат 5,32. Для проверки найдем тот же корень другим способом, а именно, сводя вопрос к извлечению корня из целого числа:

82. Зачем освобождаются от иррациональности в знаменателе?

Нередко необходимость освобождения от иррациональности в знаменателе дробного выражения объясняют тем, что благодаря этому достигается повышение точности. Так, в пользующейся известностью книге Шмулевича П. И. «Дополнения к курсу алгебры, требуемые программами конкурсных экзаменов» (изд. 10, 1917 г.) мы находим (на стр.63) утверждение, что, вычисляя корень до

мы получим численное значение выражения —— в b раз точнее, если предварительно преобразуем это выражение к виду-

* Обоснование этого правила см. в книге В. М. Брадиса «Средства и способы элементарных вычислений»М., 1954, §19.

Действительно ли это так?

Рассмотрим пример. Пусть х= а , где а=1, ft = 10, т=2, и надо найти значение х, извлекая корень с точностью до десятых. Подставляя числовые значения непосредственно, имеем

Xi =—^^^==0,3125.

Применяя предварительное уничтожение иррациональности в знаменателе, получаем хг— îÇl?~^|=o,32.

Сравнивая оба найденных приближенных значения с более точным, равным 0,ll/FÖ=0,l-3,1622...=0,31622..., убеждаемся, что первое из них (*i) имеет погрешность 0,31622...—0,3125= =0,00372... по недостатку, второе же (хг)—погрешность 0,032—0,31622...=0,00378... по избытку. Как видим, вопреки утверждению, в книге уничтожение иррациональности в знаменателе отнюдь не повысило точность в 6=10 раз, а даже немного ее понизило.

Легко показать, что при замене корней их приближенными значениями, отличающимися от точных их значений меньше чем на — долю единицы, мы получим значение выражения—^— с погрешностью, не больше чем —— , а значения выражения -jy^b™-1—с погрешностью, не большей^-

Эти границы погрешности при т — 2 равны, что и подтвердил только что рассмотренный пример. При /я>2 и 6>1 вторая граница погрешности меньше первой, но не в b раз как утверждает книга, а лишь в уГЬт-2раз. При т^>2иЬ<1 вторая граница больше первой.

Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти значение выражения х= при а = 1,02, b = 1,01, имея в своем распоряжении четырехзначную таблицу квадратных корней. Таблица дает f/â= 1,010, у~ь = 1,005, и, делая подстановку непосредственно в данное выражение, мы получим Xi =2Ж5~ 0,4963. Если же предварительно преобразовать данное выражение, уничтожая (посредством умножения числителя и знаменателя на yä—у~ь) иррациональность в знаменателе, то получим:

В то время как первое вычисление дало значение х с четырьмя десятичными знаками второе дало его лишь с одним, т. е. значительно менее точно.

Как видим, уничтожение иррациональности в знаменателе далеко не всегда повышает точность результата вычисления, а иногда даже понижает ее.

Зачем же тогда ведут эту «борьбу с иррациональностями в знаменателе»?

Дело в том, что вычисление производится в громадном большинстве случаев значительно удобнее, если в знаменателе нет корней, чем в тех случаях, когда там корни имеются.

Например, для вычисления L. мы должны произвести деление на многозначное приближенное значение корня, а после уничтожения иррациональности в знаменателе деление выполняется гораздо проще [^цН* Попробуйте упростить выражение:

сначала уничтожив предварительно корни в знаменателе каждой дроби, а затем не прибегая к этому приему, и польза «борьбы с иррациональностями в знаменателях» станет вполне очевидной. Не надо, однако, думать, что вести эту борьбу надо всегда. Во многих вопросах высшей математики (при разыскании пределов, при интегрировании иррациональностей и т. д.) нередко приходится делать обратное: уничтожать иррациональности в числителе, переводя их в знаменатель. Вот простой пример. Надо установить, что делается с разностью

при неограниченном возрастании х, т. е. вычислить lim (Ух + 1 —У х).

Из элементов теории пределов, изучаемой в курсе алгебры IX класса, известно: предел разности двух переменных, имеющих пределы, равен разности их пределов.

Легко видеть, что в этом примере нельзя применить теорему о пределе разности, так как пределов уменьшаемого и вычитаемого не существует (выражение оо—оо просто не имеет никакого смысла).

Однако мы легко справимся с поставленной задачей, если воспользуемся следующими преобразованиями выражения, находящегося под знаком предела:

ОГЛАВЛЕНИЕ

Из предисловия к первому изданию ............ 3

Предисловие ко второму изданию .............. 4

Глава I. Об упражнениях на опровержение ошибочных математических рассуждений и их классификации.

Введение ............................. 6

I. Математические софизмы и их педагогическая роль . . 7

II. Классификация упражнений на опровержение ложных математических рассуждений................ 11

1. Неправильности речи ............... 14

2. Распространение на исключительные случаи . . 16

3. Приписывание свойств определенного вида всему роду ......................... 17

4. Неправильное применение принципа непосредственных умозаключений путем обращения .... 18

5. Подмена точных определений геометрической интуицией ........................ 21

6. Ошибки построения ................ 23

7. Ошибки, являющиеся следствием буквального толкования сокращенной (условной) формулировки некоторых геометрических утверждений .... 31

8. Нарушение смысла условных записей ..... 32

9. Уклонение от тезиса ............... 33

Глава II. Арифметико»

I. Примеры ложных рассуждений .............. 36

1. Размещение по одному тринадцати человек в двенадцати комнатах ................. —

2. На двух нормальных руках одиннадцать пальцев —

3. Квадратные рубли ................. 37

4. 45—45=^=45 ..................... —

5. 40 : 8=41 ...................... 38

6. Дважды два — пять! ................ —

7. Есть ли здесь пропорциональность? ....... 39

8. 100% экономии ................... 39

9. Как вычислять средний процент? ......... 40

10. Что даст ежегодной прирост в 40% за пять лет? —

11. Новое правило умножения дробей ....... 41

12. Куда делся рубль? ................. 42

13. Откуда появился лишний гривенник? ...... —

14. Завещание отца ................... —

15. 2-3 = 4 ....................... 43

II. Анализ примеров ...................... 43

Глава III. Алгебра.

I. Примеры ложных рассуждений .............. 57

16. Половина рубля равна пяти копейкам ..... —

17. 6=2 .......................... —

18. 12=6=0 ....................... 58

19. Делимость многочленов и делимость чисел ... —

20. Произвольно взятое число а равно нулю .... 59

21. 7=13 ......................... 60

22. Положительная единица равна отрицательной единице .......................... —

23. Другое «доказательство» равенства положительной и отрицательной единиц ............. 61

24. Мнимая единица и действительная отрицательная единица равны ................... —

25. /«=1 .......................... 62

26. Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение . . —

27. Если а>Ь, то а>2Ь ................ —

28. Если а и b положительные числа, то а> b и Ь>а 63

29. Положительное число меньше нуля ....... 64

30. Сумма натуральных чисел, каждое из которых превосходит единицу, больше их произведения . —

31. Чему равен квадратный корень из числа а2? . 65

32. Еще одно «доказательство» равенства нулю произвольно взятого числа .............. —

33. Число не изменяется, если в нем переставить любые цифры! ................... 66

34. Что говорит теорема о существовании корня в алгебре комплексных чисел? .......... —

35. Об одном способе получать правильные результаты, применение которого требует большой осторожности ....................... 67

36. О сумме 1 — 1 + 1 — 1 +................ 70

37. Всегда ли целое больше своей части? ...... 71

38. Еще одно «доказательство» равенства двух произвольно взятых чисел .............. 72

39. Сумма двух произвольных одинаковых чисел равна нулю ......................... 73

40. Число не изменится, если к нему прибавить единицу. ......................... —

41. Ахиллес и черепаха ................ 74

42. О некоторых ученических ошибках ..... —

II. Анализ примеров ...................... 78

Глава IV, Геометрия.

I, Примеры ложных рассуждений ............. 108

43. Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны ............

44. Отрезок прямой равен своей правильной части

45. Все треугольники равновелики ......... ||у

46. Сумма оснований любой трапеции равна нулю 111

47. Объемлемая и объемлющая ........... 112

48. Еще о пропорциональности ........... 113

49. Две окружности разного радиуса имеют одну и ту же длину ................... 114

50. Сумма катетов равна гипотенузе ........

51. Длина полуокружности равна ее диаметру . .

52. Боковая поверхность круглого прямого конуса с радиусом основания г и высотой h выражается формулой Р=7СГ (г+Л) ............... 116

53. В данной точке на прямой можно восставить два перпендикуляра к этой прямой .........

54. Через одну точку можно провести две прямые, параллельные данной прямой .......... 119

55. Окружность имеет два центра ..........

56. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра .......................

57. Через две данные точки можно провести две прямые .......................... 121

58. Любой треугольник — равнобедренный .....

59. Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе ......................

60. Прямой угол равен тупому ........... г"

61. 64 кв. сж = 65 кв. см ................

62. Задача о заплате .................

II. Анализ примеров .....................

III. Рассказы-объяснения по поводу ошибочных рассуждений .......................... 139

63. Подобные треугольники с равными сторонами . —

64. Трисекция угла .................. 140

65. Еще о трисекции угла ............... 144

66. Квадратура круга ................. 146

67. Об одном доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника............. 147

68. Как вычислять объем усеченной пирамиды? . . 149

Глава V. Тригонометрия.

I. Примеры ложных рассуждений. 152

69. ~ =0 .......................... —

70. Синус угла уменьшается, если к углу прибавить

360° .......................... 153

71. Косинус любого острого угла больше единицы —

72. ........................ 154

73. 2«=4» .........................

74. Площадь прямоугольника равна нулю ..... 155

75. Существуют равные треугольники, у которых не

все стороны равны ................. 156

76. Каждый треугольник — прямоугольный .... 157

II. Анализ примеров.................... 158

Глава VI. Приближенные вычисления.

Рассказы-объяснения по поводу ошибочных рассуждений.......................... 162

77. Сколько лет древней статуе? ........... —

78. Все большие числа приближенно равны между собой ......................... 163

79. О точности произведения приближенных чисел . 164

80. Верна ли формула -^~=tg а?........... 167

81. Сколько цифр надо знать в подкоренном числе, чтобы получить корень с заданной точностью? . 168

82. Зачем освобождаются от иррациональности в знаменателе? ..................... 169

Владимир Модестович Брадис Владимир Львович Минковский Августа Константиновна Харчева

ОШИБКИ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЯХ

Редактор Н. И. Лепёшкина Обложка художника В. П. Белякова Художественный редактор А. В. Максаев Технический редактор В. Л. Коваленко Корректоры Н. И. Багаева и К. А. Иванова

Сдано в набор 16/11 1959 г. Подписано к печати 11/VII 1959 г. 84Х108'/з2. Печ. л. 11 (9,02). Уч.-изд.л. 7,99. Тираж 40 000 экз. А 06062. Заказ №226. Цена без переплета 2 руб. 15 коп., переплет 80 коп.

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Полиграфический комбинат Ярославского Совета народного хозяйства. Ярославль, ул. Свободы, 97,