Болтянский В. Г., Яглом И. М. Геометрия : для 9 класса средней школы. — 2-е изд. — М. : Просвещение, 1964. — 128 с.

В. Г. Болтянский и И. М. Яглом

ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ 9 КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

ПРОСВЕЩЕНИЕ • 1964

В. Г. БОЛТЯНСКИЙ и И. М. ЯГЛОМ

ГЕОМЕТРИЯ

ДЛЯ IX КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Рекомендовано Министерством просвещения РСФСР в качестве учебного пособия

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»

МОСКВА 1964

От редакции

Во второе издание внесены незначительные редакционные изменения.

Владимир Григорьевич Болтянский, Исаак Моисеевич Яглом

ГЕОМЕТРИЯ

для IX класса средней школы

Редактор В. Г. Долгополов. Художественный редактор Б. Л. Николаев. Технический редактор М. И. Смирнова. Корректор Р. Б. Берман.

Подписано к печати с матриц 25/VI 1964 г. бОхЭО'Лв. Печ. л. 8. Уч.-изд. л. 7,13. Тираж 2000 тыс. (700 001—1 400 000) экз.

Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по печати. Москва. 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Отпечатано с матриц в типографии издательства «Уральский рабочий», Свердловск, проспект Ленина. 49. Заказ № 502. Цена без переплета 9 к., переплет 5 к.

Часть I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ГЛАВА I. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

§ 1. Определение осевой симметрии

Две фигуры, расположенные на рисунке 1 слева и справа от прямой симметричны друг другу относительно этой прямой. Изображения двух рыб (рис. 2) также симметричны друг другу относительно проведенной прямой L Напротив, на рисунке 3 фигуры не симметричны.

Рис. 1.

Рис. 2.

Симметричные фигуры можно получить с помощью следующего приема. Проведем в плоскости чертежа некоторую прямую / и по одну сторону от нее начертим какую-либо фигуру. Приставим затем к прямой I край зеркала, перпендикулярного к плоскости чертежа (рис. 4). В зеркале мы увидим вторую фигуру, симметричную первой относительно прямой /.

Точное определение симметричных фигур будет дано ниже.

Точки, симметричные относительно прямой. Определение. Точки А и А называются симметричными относительно прямой I, если отрезок А А перпендикулярен прямой I и делится этой прямой пополам (рис. 5).

Пусть на плоскости задана некоторая прямая /. Тогда для каждой точки Л, не лежащей на прямой /, найдется единственная точка А\ симметричная точке Л относительно прямой I. Чтобы построить эту точку Л', достаточно опустить из точки А на прямую I перпендикуляр АР и на его продолжении за точку Р отложить отрезок РА' = АР (рис. 5).

Если точка А' симметрична точке А относительно прямой I, то и у обратно, точка А симметрична точке А' относительно I. Именно поэтому можно сказать, что точки Л и Л' симметричны друг другу (или просто симметричны) относительно прямой /,

Если точка А лежит на прямой /, то точка, симметричная точке А относительно прямой /, по определению, совпадает с точкой Л.

Фигуры, симметричные относительно прямой. Предположим, что на плоскости, кроме прямой /, задана некоторая фигура F, например отрезок, кривая линия, окружность, треугольник, трапеция или какая-либо иная фигура. Возьмем произвольную точку Л фигуры F и найдем точку Л', симметричную точке Л относительно прямой I (рис 6). Затем возьмем точку В фигуры F и найдем симметричную ей точку В'; потом возьмем точку С фигуры F и симметричную ей точку С и т. д. Рассмотрим всевозможные точки Л', В', С',..., симметричные точкам Л, В, С,... фигуры F, или, как говорят в математике, множество всех точек, симметричных точкам фигуры F относительно прямой L Это множество, состоящее из точек Л', В\ С, ..., представляет собой некоторую фигуру F'\ на рисунке 6 фигура F' изображена пунктиром. Фигуру F называют фигурой, симметричной фигуре F относительно прямой /. Говорят также и иначе: фигуры F и F симметричны относительно прямой /,

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5.

Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Определение. Фигура F, образованная всеми точками, симметричными точкам фигуры F относительно заданной прямой I, называется фигурой, симметричной фигу ре F относительно прямой I.

Рис. 6.

Для каждой фигуры F и каждой прямой / на плоскости найдется фигура F\ симметричная фигуре F относительно /. Переход от фигуры F к симметричной ей фигуре F называется симметрией относительно прямой I или, как иногда говорят, осевой симметрией.

Рис. 7.

Рис. 8.

Если фигура F симметрична фигуре F относительно прямой /, то и, обратно, фигура F симметрична фигуре F относительно /. Таким образом, при осевой симметрии фигуры F и F' меняются местами (т. е. каждая из них переходит во вторую фигуру).

Фигуры, обладающие осью симметрии. Фигура, изображенная на рисунке 7, разделена вертикальной прямой / на две части, причем правая и левая половины этой фигуры симметричны друг

другу относительно прямой /. При симметрии относительно прямой I правая и левая половины фигуры меняются местами, а вся фигура в целом переходит при симметрии относительно прямой I в ту же самую фигуру. То же мы наблюдаем на рисунке 8. В этих случаях говорят, что фигура симметрична относительно прямой /.

Определение. Фигура F называется симметричной относительно прямой I, если при симметрии относительно этой прямой фигура F переходит снова в ту же самую фигуру.

Если фигура F симметрична относительно прямой /, то эта прямая называется осью симметрии фигуры F.

§ 2. Самостоятельная работа

Построение симметричных фигур на миллиметровой бумаге. С помощью линейки проведите карандашом прямую /, совпадающую с одной из жирных линий, намеченных на миллиметровой бумаге. По одну сторону от проведенной прямой изобразите какую-либо фигуру, например замкнутую линию F (рис. 9). На линии F отметьте ряд точек, достаточно густо расположенных на ней. Для каждой из этих точек найдите симметричную ей точку относи-

Рис. 9.

тельно прямой / (это легко сделать, используя деления миллиметровой бумаги). Соедините между собой полученные точки; это даст линию г% симметричную линии F.

§ 3. Перегибание листа бумаги

Проведем на листе бумаги прямую линию I и возьмем какую-нибудь точку Л, не лежащую на этой прямой. Перегнем лист бумаги по линии / до совмещения обеих половин листа. Тогда точка Л совместится с некоторой точкой А другой половины листа.

Рис. 10.

Отметим эту точку А' и затем снова разогнем лист бумаги. Докажем, что точки А и А симметричны относительно прямой I (рис. 10).

Соединим точки Л и Л' отрезком прямой. Так как при перегибании отмеченные на рисунке 10 углы 1 и 2 совмещаются один с другим, то 1 = Z 2. Но углы эти смежные; следовательно, оба они — прямые. Из совмещения точек Л и Л' при перегибании следует также, что изображенные на рисунке 10 отрезки К А и КА равны между собой. Таким образом, отрезок АА' перпендикулярен прямой / и делится этой прямой пополам, т. е. точки Л и Л' симметричны относительно прямой L.

Верно и обратное: две точки А и А, симметричные относительно прямой I, при перегибании чертежа по прямой I совмещаются. Действительно, из симметрии точек Л и Л' следует, что отрезки КА и КА равны между собой и перпендикулярны прямой /. Поэтому при перегибании листа бумаги отрезок КА пойдет по КА и точки Л и Л' совпадут.

Таким способом можно получать и симметричные фигуры. Например, если по одну сторону от линии перегиба / изображена не застывшей еще краской некоторая фигура, то при перегибании чертежа мы получим на другой стороне листа симметричный отпечаток этой фигуры (рис. 11).

Рис. 11.

§ 4. Самостоятельная работа

Построение симметричных фигур с помощью листа кальки. Наложите кальку на лист миллиметровой бумаги с изображенными на нем симметричными относительно прямой / фигурами F и F (§ 2).

С помощью линейки проведите на кальке прямую / и, кроме того, обведите на кальке фигуру F. Теперь снимите лист кальки с миллиметровой бумаги и перегните его по линии / так, чтобы начерченная фигура находилась на внешней стороне сложенного листа кальки. На второй стороне листа кальки обведите снова изображение фигуры F. Развернув теперь лист кальки, вы увидите по одну сторону линии / фигуру F, а по другую сторону — симметричную ей фигуру F'. Сравните полученный чертеж с чертежом, полученным при выполнении предыдущей работы.

§ 5. Свойства осевой симметрии

Следующие свойства осевой симметрии вытекают из связи осевой симметрии с перегибанием листа бумаги.

Теорема 1. Фигуры, симметричные относительно прямой I, равны между собой.

В самом деле, так как при перегибании листа бумаги по прямой / симметричные относительно / фигуры f и F совмещаются, то они равны между собой.

Частными случаями теоремы 1 являются следующие теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Фигура, симметричная отрезку АВ относительно прямой I, представляет собой отрезок А'В', равный отрезку АВ. Концы Л' и В' отрезка А'В' симметричны концам А и В первоначального отрезка.

Теорема 3. Фигура, симметричная окружности радиуса г относительно прямой I, представляет собой окружность того же радиуса г. Центром этой окружности служит точка О', симметричная относительно / центру О первоначальной окружности (рис. 12).

В самом деле, если А — произвольная точка исходной окружности, а А' — симметричная ей относительно / точка, то, в силу теоремы 2, О'А' = ОА — г.

Теорема 4. Фигура а\ симметричная прямой а относительно прямой I, также является прямой линией. Если прямая а пересекает /, то d пересекает / в той же точке, причем прямые а и а' образуют с прямой / равные углы. Если прямая а парал-

Рис. 12.

лельна /, то d также параллельна / и удалена от / на то же расстояние, что и а. Наконец, если прямая а совпадет с /, то и d совпадет с /.

Доказательство. Фигура, равная прямой линии (т. е. совпадающая с ней при наложении), также является прямой линией. Поэтому, в силу теоремы 1, d есть прямая. Если прямая а пересекается с / в точке М (рис. 13, а), то прямая d также проходит через точку М (ибо при симметрии относительно / точка М переходит сама в себя). Изображенные на рисунке 13, а углы 1 и 2 симметричны друг другу относительно прямой / и потому равны (теорема 1). Предположим теперь, что прямая а параллельна / (рис. 13,6). В этом случае прямая d не может пересечь /, так как иначе симметричная d прямая а должна была бы пересечь / в той же самой точке. Следовательно, прямая d параллельна /. Далее, расстояния от прямых а и а' до прямой / равны, так как любой перпендикуляр к прямой / пересекает а и d в симметричных точках Л и Л', и потому АК = А'К (см. рис. 13,6).

Последнее утверждение теоремы 4 очевидно.

§ 6. Примеры симметричных фигур

Многие из геометрических фигур, встречавшихся в курсе геометрии VI—VIII классов, обладают осью симметрии, т. е. являются симметричными фигурами. Так, перпендикуляр I, восставленный к отрезку АВ в его середине, является осью симметрии этого отрезка (рис. 14). В самом деле, при симметрии относительно прямой / отрезок А В переходит в отрезок, концы которого симметричны точкам Л и В относительно / (см. теорему 2 из § 5). Но точке Л симметрична точка В, а точке В — точка Л. Поэтому при симметрии относительно прямой / отрезок А В перейдет сам в себя и, значит, прямая / является его осью симметрии. Осью симметрии угла ABC является его биссектриса BD (рис. 15). В самом деле, при симметрии относительно прямой BD луч В А перейдет в луч ВС, а луч ВС —в луч В А (см. теорему 4 из $ 5). Но это означает, что угол ЛВС при симметрии относительно прямой BD перейдет сам в себя.

Рис. 13.

Рис. 14.

Осью симметрии равнобедренного треугольника ABC является биссектриса I угла при вершине (рис. 16). В самом деле, при симметрии относительно прямой / луч ВА перейдет в луч ВС и наоборот. Так как отрезки ВА и ВС равны, то при симметрии относительно прямой / они перейдут один в другой. А отсюда следует, что треугольник ABC при симметрии относительно / перейдет сам в себя.

Рассмотрим теперь равнобочную трапецию ADEC и продолжим ее боковые стороны AD и СЕ до пересечения в точке В (рис. 17). Мы получим равнобедренный треугольник ABC (так как LA—^C). Биссектриса / угла В является осью симметрии этого треугольника. Так как DE || Л С, т. е. DE _L 19 то точки D и Е симметричны относительно /, и потому прямая / делит отрезок DE пополам. Мы видим, что прямая I, проходящая через середины оснований и равнобочной трапеции, является ее осью симметрии.

Каждая прямая I, проходящая через центр О окружности, является осью симметрии этой окружности (рис 18). В самом деле, при симметрии относительно / рассматриваемая окружность переходит в окружность того же радиуса с центром в точке О', симметричной О относительно / (см. теорему 3 из § 5). Но точка О' совпадает с О, и потому окружность переходит сама в себя.

Рис. 15.

Рис. 16. Рис. 17.

Рис. 18.

§ 7. Применение осевой симметрии к доказательству теорем

С помощью осевой симметрии могут быть доказаны многие геометрические теоремы, как уже известные из курса VI—VIII классов, так и новые. Приведем некоторые примеры.

Рис 19.

Рис. 20.

Каждая точка М прямой I, перпендикулярной отрезку А В и проходящей через его середину, равноудалена от концов отрезка (рис. 19). В самом деле, точки Л и В симметричны относительно прямой /; поэтому отрезки AM и ВМ симметричны относительно / и, следовательно, равны (теорема 2, § 5).

Каждая точка М биссектрисы I угла ABC равноудалена от сторон угла (рис. 20). Действительно, опустим из точки М перпендикуляр MP на сторону В А. При симметрии относительно биссектрисы ВМ точка Р переходит в некоторую точку Q стороны ВС (так как сторона ВА переходит в ВС). Угол MP В переходит при симметрии относительно прямой / в угол MQB. Следовательно, L MQB — LMPB — 90°, т. е. MQ _1_ ВС. Наконец, MP = MQ, так как эти отрезки симметричны друг другу относительно прямой /.

Углы при основании АС равнобедренного треугольника ABC равны, а биссектриса BD угла при вершине является в то же время медианой и высотой (рис. 21). Это вытекает из того, что прямая BD — ось симметрии треугольника ABC. При симметрии относительно этой прямой угол ВАС переходит в угол ВСЛ, отрезок AD — в отрезок CD, угол ЛОВ —в угол CDB (значит, эти углы — прямые).

Диаметр I, перпендикулярный к хорде А В окружности, делит эту хорду пополам (рис. 22). Это вытекает из того, что прямая / — ось симметрии окружности и точке Л окружности симметрична относительно прямой / точка В.

Рис. 21.

Касательные МА и MB, проверенные к окружности из внешней, точки М, образуют равные углы с хордой АВ. Отрезки МА и MB равны между собой. Прямая МО, соединяющая точку М с центром окружности, перпендикулярна хорде АВ и пересекает эту хорду в ее середине К (рис. 23).

Прямая ОМ является осью симметрии окружности. Касательная МА, имеющая единственную общую точку с окружностью, переходит при симметрии относительно прямой ОМ в прямую, также имеющую единственную общую точку с окружностью, т. е. в касательную MB. При симметрии относительно прямой ОМ отрезок МА переходит в отрезок MB, угол МАВ переходит в угол MB А, отрезок А К переходит в отрезок ВК\ угол МКА переходит в угол МКВ. Поэтому МА = МВ, </ МАВ= £ MBAt АК = ВК, L МКА = L МКВ = 90°.

Рис. 22.

Рис. 23.

§ 8. Задачи

При решении задачи осевая симметрия иногда применяется не ко всему чертежу в целом, а лишь к некоторой его части. При этом мы приходим к новому чертежу, который может оказаться более удобным для решения задачи, чем исходный.

Приведем два примера.

Задача 1. Дана прямая I и две точки А и В по одну сторону от нее. Найти на прямой I такую точку М, чтобы сумма АМ-\-МВ была наименьшей.

Можно представить себе следующий случай, приводящий к решению этой задачи. Туристы разбили палатку в пункте Л, расположенном недалеко от берега / реки. В другом пункте В находится костер. Одному из туристов предстоит взять в палатке ведро, наполнить его водой на реке и принести к костру. Берег реки считается строго прямолинейным; никаких препятствий на местности нет. Спрашивается, какой путь будет наиболее выгодным для туриста (т. е. самым коротким)?

Решение. Рассмотрим точку В\ симметричную точке В относительно прямой / (рис. 24). Тогда для любой точки N пря-

Рис. 24.

мой / мы имеем NB = NBr (теорема 2, § 5), и потому AN + NB = AN-\-NB\

Таким образом, сумма AN-^-NB равна длине ломаной AN В'. Следовательно, наименьшую величину сумма расстояний AN -\-NB будет иметь в том случае, когда наименьшую длину будет иметь ломаная ANB\ Но ломаная AN В' будет иметь наименьшую длину, если она обратится в отрезок прямой, т. е. в случае, когда роль точки N играет точка М пересечения прямой / с отрезком АВ\ Эта точка М и является искомой (рис. 24).

Задача 2. Построить квадрат, две противоположные вершины которого лежат на данной прямой I, а две другие — на двух данных окружностях.

Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и A BCD — искомый квадрат; точки Л и С лежат на прямой /, точка В — на данной окружности F, а точка D — на другой данной окружности G (рис. 25). Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам, то точки В и D симметричны относительно прямой АС (т. е. относительно прямой /). Но точка В принадлежит окружности F; поэтому симметричная ей точка D должна лежать на окружности F9 симметричной окружности F относительно прямой /. Кроме того, точка D лежит на окружности G. Следовательно, D есть точка пересечения окружностей G и F.

Построение. Построим окружность F\ симметричную окружности F относительно прямой / (см. теорему 3, § 5). Пусть D — точка пересечения окружностей G и F. Обозначим через В точку, симметричную точке D относительно прямой I, и через Q — точку пересечения отрезка BD с прямой /. Наконец, отложим на прямой / по обе стороны от точки Q отрезки QA и QC, равные отрезку QD. Тогда A BCD — искомый квадрат.

Доказательство. Четырехугольник ABCD является квадратом, так как диагонали его равны, перпендикулярны и делятся

Рис. 25.

в точке пересечения Q пополам. Точки Л и С лежат, по построению, на прямой /, а точка D —на окружности G. Наконец, так как точка D лежит на окружности F\ то симметричная ей точка В лежит на окружности F.

Исследование. В зависимости от расположения окружностей F и G они могут иметь две, одну или ни одной общей точки. В соответствующих случаях задача будет иметь два, одно или ни одного решения. Может даже случиться, что окружности G и F совпадут, т. е. имеют бесконечно много общих точек (это будет в том случае, если окружности F и G симметричны относительно прямой /). В этом случае задача будет иметь бесконечно много решений.

ГЛАВА II. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

§ 9. Определение центральной симметрии

Наряду с симметрией относительно прямой в геометрии рассматривают также симметрию относительно точки (центральную симметрию). Две фигуры, симметричные относительно точки О, изображены на рисунке 26.

Дадим точное определение симметрии относительно точки.

Центральная симметрия точек. Определение. Точки А и А' называются симметричными относительно точки О, если отрезок АА' проходит через точку О и делится этой точкой пополам (рис. 27).

Выберем на плоскости определенную точку О. Для каждой отличной от О точки А найдется единственная точка А\ симметричная точке А относительно О. Для построения точки А надо провести прямую АО и отложить на ней (на продолжении отрезка Л О за точку О) отрезок ОА' = ОА. Если точка А' симметрична точке А относительно точки О, то и, обратно, точка А симметрична точке А относительно О.

Для точки О симметричная ей относительно О точка считается совпадающей с ней самой.

Рис. 26.

Рис. 27.

Центральная симметрия фигур. Пусть на плоскости выбрана точка О и задана некоторая фигура F. Возьмем произвольную точку А фигуры F и найдем точку А\ симметричную точке А относительно точки О (рис. 28). Затем возьмем еще одну точку В фигуры F и найдем симметричную ей относительно О точку В' и т. д. Множество всех точек А\ В\ С, ..., симметричных точкам Л, В, С, ... фигуры F относительно точки 0, представляет собой новую фигуру F' (рис. 28). Фигура F называется фигурой, симметричной фигуре F относительно точки О. Говорят также, что фигуры F и F симметричны относительно точки О.

Таким образом, мы приходим к следующему определению. Определение. Фигура F, образованная всеми точками, симметричными точкам фигуры F относительно данной точки О, называется фигурой, симметричной фигуре Р относительно точки О.

Примеры симметричных друг другу фигур показаны на рисунках 26, 28, 29.

Для каждой фигуры F найдется фигура F\ симметричная фигуре F относительно заданной точки О. Переход от фигуры F к симметричной ей относительно О фигуре F называется симметрией относительно точки О, или центральной симметрией.

Если фигура F симметрична фигуре F относительно точки О, то и, обратно, фигура F симметрична фигуре F относительно О. Другими словами, при центральной симметрии фигуры F и F меняются местами.

Фигуры, обладающие центром симметрии. Изображенная на рисунке 30 фигура не имеет осей симметрии, но она также представляется нам «симметричной». Это связано с существованием

Рис. 28.

Рис. 29. Рис. 30.

такой точки О, что для каждой точки А этой фигуры найдется другая точка А' этой же фигуры, симметричная точке А относительно О. Другими словами, симметрия относительно О переводит рассматриваемую фигуру снова в ту же самую фигуру.

Определение. Фигура F называется симметричной относительно точки О (или центрально-симметричной), если при симметрии относительно точки О эта фигура переходит сама в себя.

Если фигура F симметрична относительно точки О, то эта точка называется центром симметрии фигуры F.

Примеры центрально-симметричных фигур даны на рисунках 30, 31.

§ 10. Самостоятельная работа

Построение фигуры, симметричной данной относительно точки О. Отметьте на листе бумаги некоторую точку О и изобразите на этом же листе какую-либо фигуру, например замкнутую линию F (рис. 28). На линии F отметьте ряд точек, достаточно густо расположенных на ней. Для каждой из этих точек постройте точку, симметричную ей относительно О (для чего соедините каждую из точек с О и на продолжении соединяющего отрезка отложите такое же расстояние). Соедините между собой полученные точки; вы получите линию F, симметричную линии F относительно точки О.

Рис. 31.

§ 11. Центральная симметрия как поворот на 180°

Точки, симметричные относительно данной точки О, можно также получить следующим образом. Отметим на листе бумаги некоторую точку О и укрепим лист на столе с помощью булавки, проткнув его в точке О (рис. 32). Теперь, не вынимая булавки, повернем лист бумаги на 180°, перемещая его по поверхности стола. Каждая точка А в результате этого поворота займет новое положение по другую сторону от точки О и на том же расстоянии от О. Иначе говоря, точка А займет положение точки А', симметричной точке А

Рис. 32.

относительно О. Таким образом, если точки А и А' симметричны относительно точки О, то в результате поворота на 180° они поменяются местами: каждая из них займет то положение, которое до поворота занимала другая точка.

Аналогично обстоит дело и с фигурами. Если F и F — две фигуры, симметричные друг другу относительно точки О, то в результате указанного поворота каждая из них займет то положение, которое ранее занимала другая фигура. Если мы представим себе теперь, что фигура F неподвижна (например, вырезана из листа бумаги и прикреплена к столу), а фигура F совершает тот же поворот на 180°, то ясно, что в результате этого поворота фигура F совместится с фигурой F. Если фигура F центрально-симметрична (имеет центр симметрии О), то после поворота вокруг О на 180° она перейдет сама в себя.

§ 12. Самостоятельная работа

Осуществление центральной симметрии с помощью поворота. Наложите кальку на имеющийся у вас чертеж (фигуры F и F\ симметричные относительно точки О, § 10). Проткните кальку и чертеж булавкой в точке О и обведите на кальке фигуру F. Затем, оставляя чертеж неподвижным, поверните лист кальки ровно на 180° и убедитесь в том, что начерченная на кальке фигура совместится с имеющейся на чертеже фигурой F.

§ 13. Свойства центральной симметрии

Связь центральной симметрии с поворотом на 180° (см. § 11, 12) убеждает нас в справедливости следующих теорем:

Теорема 1. Две фигуры, симметричные друг другу относительно некоторой точки, равны между собой.

В самом деле, так как эти фигуры можно совместить поворотом одной из них на 180°, то они равны.

Теорема 2. Фигура, симметричная отрезку АВ относительно точки О, представляет собой отрезок А'В', равный первоначальному отрезку АВ; точки А' и В' симметричны концам Л, В первоначального отрезка относительно точки О. Отрезки АВ и А'В' либо параллельны (рис. 33, а), либо расположены на одной прямой, проходящей через точку О (рис. 33, б).

Первое утверждение теоремы 2 непосредственно следует из теоремы 1. Параллельность отрезков АВ и А'В' (в случае, когда прямая Л В не проходит через О) вытекает из того, что отрезки АА' и ВВ' делятся в точке О пополам, и поэтому четырехугольник АВА'В' — параллелограмм. Если же прямая АВ проходит через О, то концы Л', В' отрезка А'В' принадлежат той же прямой АВ в силу определения центральной симметрии.

Теорема 3. Фигура, симметричная окружности относительно точки О, представляет собой окружность того же радиуса. Центр ее симметричен центру первоначальной окружности относительно точки О.

Первое утверждение теоремы 3 вытекает из теоремы 1. Точка симметричная центру Q первоначальной окружности, служит центром полученной окружности, ибо в силу теоремы 2

QA=Q'A' = r

(см. рис. 34).

Из теорем 1 и 2 непосредственно вытекает следующая теорема: Теорема 4. Фигура а\ симметричная прямой а относительно точки О, также является прямой линией. Если прямая а не проходит через О, то прямая d параллельна а и находится от точки О на том же расстоянии, что и а. Если же прямая а проходит через точку О, то прямая d совпадает с а.

§ 14. Центр симметрии параллелограмма

Теорема. Параллелограмм является центрально-симметричной фигурой, центром симметрии которой служит точка пересечения диагоналей.

Эту точку часто называют просто центром параллелограмма.

Доказательство. Пусть A BCD — произвольный параллелограмм и О — точка пересечения его диагоналей (рис. 35). Так как диагонали АС и BD делятся в точке О пополам, то точки Л и С симметричны относительно точки О; точки В и О также симметричны относительно О. Из этого в силу теоремы 2 § 13 вытекает, что

Рис. 33.

Рис. 34.

Рис. 35.

отрезки А В и CD симметричны относительно точки О и точно так же отрезки ВС и DA симметричны относительно точки О. Поэтому при симметрии относительно О (при повороте вокруг О на угол 180°) параллелограмм перейдет сам в себя.

Из существования у параллелограмма центра симметрии вытекает ряд его свойств. Приведем несколько примеров:

1) противоположные углы параллелограмма равны;

2) на всякой прямой, проходящей через точку О пересечения диагоналей параллелограмма, стороны параллелограмма высекают отрезок MN, делящийся в точке О пополам (рис. 36);

3) биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны между собой (или совпадают).

Предложение 1) вытекает из того, что противоположные углы параллелограмма симметричны относительно точки О (см. теорему 1, § 13).

Предложение 2) вытекает из того, что точки М и N (рис. 36) симметричны относительно точки О.

Предложение 3) вытекает из того, что при повороте вокруг точки О на 180° углы ABC и ADC параллелограмма совместятся и биссектриса угла ABC совместится с биссектрисой угла A DC. Но это значит, что прямые, которым принадлежат эти биссектрисы, симметричны относительно точки О, т. е. либо параллельны, либо совпадают (см. теорему 4, § 13).

Рис. 36.

§ 15. Задачи

Существование у фигуры центра симметрии позволяет устанавливать различные ее свойства. Выше мы видели это на примере параллелограмма. Вот еще одна задача такого рода.

Задача 1. Две равные окружности касаются друг друга внешним образом в точке М. Доказать, что на каждой прямой, проходящей через точку М, окружности высекают равные хорды (рис. 37).

Решение. Рассматриваемые окружности симметричны относительно точки М: это следует из того, что они равны и их центры симметричны относительно точки М (рис 37; см. теорему 3, § 13). Поэтому изображенные на рисунке 37 точки Л и В симметричны относительно точки М, откуда AM —MB.

Рис. 37.

При решении задач центральная симметрия часто применяется также не ко всему чертежу в целом, а лишь к некоторой его части. При этом мы приходим к новому чертежу, который может оказаться более удобным для решения задачи, чем исходный (см. § 8). Приведем пример.

Задача 2. Дан угол ABC и точка О внутри него. Провести через точку О прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла ABC, делится в точке О пополам.

Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и MN — искомая прямая (точка М лежит на стороне А В, точка N — на стороне ВС; рис. 38). Так как точка О — середина отрезка MNy то точки М и N симметричны относительно О. Но точка М принадлежит прямой АВ\ следовательно, симметричная ей точка N должна лежать на прямой А'В\ симметричной А В относительно точки О (на рисунке 38 прямая А'ВГ проведена пунктиром). Таким образом, N должна быть точкой пересечения прямых А'В' и ВС.

Построение. Пусть А—какая-то точка луча В А (эту точку можно выбрать произвольно). Построим точки А' и В\ симметричные точкам Л и В относительно точки О. Проведем прямую А'В' и обозначим через N точку пересечения этой прямой с прямой ВС. Тогда прямая N0 — искомая.

Доказательство правильности построения и исследование (показывающее, что задача всегда имеет одно решение) предоставляется учащемуся.

Рис. 38.

ГЛАВА III. ПОВОРОТ

§ 16. Определение поворота

При изучении центральной симметрии мы уже пользовались (в § 11) поворотом на угол 180°. Теперь мы рассмотрим поворот на произвольный угол.

Чтобы получить наглядное представление о повороте, поступим так же, как в § 11. Отметим на листе бумаги некоторую точку О и укрепим лист на столе с помощью булавки, проткнув его в точке О. Затем, не вынимая булавки, повернем лист вокруг точки О на некоторый угол а (рис. 39). Каждая точка А в результате этого поворота займет новое положение А'. Мы будем

говорить, что точка А' получается из точки А поворотом вокруг точки О на угол а. Если на листе бумаги изображена некоторая фигура F, то после указанного поворота листа бумаги она займет новое положение. Обозначим фигуру в новом се положении через F (рис. 39). Здесь мы также говорим, что фигура F получается из фигуры F поворотом вокруг точки О на угол а.

Угол а будем, как принято в тригонометрии, считать положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным, если поворот совершается по часовой стрелке.

Дадим теперь точное определение поворота вокруг точки О на угол а.

Определение. Пусть даны точка О и угол а (положительный или отрицательный). Возьмем произвольную отличную от О точку А и обозначим через А' точку, определяемую следующими двумя условиями: 1) угол от луча OA до луча OA' равен а; 2) отрезок OA равен отрезку OA (рис. 40). Переход от точки А к точке А' называется поворотом вокруг точки О на угол а.

Сама точка О переходит при повороте вокруг точки О (на любой угол) в ту же самую точку О.

Подчеркнем, что в этом определении угол а может быть как положительным, так и отрицательным. Знак угла а определяет направление поворота (см. рис. 41, на котором изображены точки А и А", получающиеся из одной и той же точки А поворотами вокруг точки О на углы а и —а).

Поворот фигуры. Если на плоскости задана некоторая фигура F, то для любой ее точки А можно найти точку А\ в которую

Рис. 39. Рис. 40.

Рис. 41.

переходит Л при повороте вокруг точки О на угол а (рис.42). Множество всех получающихся таким образом точек А' представляет собой новую фигуру F. Об этой фигуре говорят, что она получается из фигуры F при помощи поворота вокруг точки О на угол а.

Определение. Фигура F', образованная всеми точками, получающимися из точек фигуры F поворотом вокруг точки О на угол а, называется фигурой, получающейся из фигуры F поворотом вокруг точки О на угол а.

Рис 42.

§ 17. Самостоятельная работа

Построение фигуры, получающейся из данной поворотом на угол 45°. Отметьте на листе бумаги некоторую точку О и изобразите на этом же листе какую-либо фигуру, например замкнутую линию F (рис 42). На линии F отметьте ряд точек, достаточно густо расположенных на ней. Если А—какая-либо из отмеченных точек, то проведите отрезок OA и, пользуясь угольником с углом 45°, постройте такой луч ОМ, что L А0М = -\-4Ь° (луч ОМ получается из луча OA поворотом на 45° против часовой стрелки). На луче ОМ отложите отрезок ОА' = ОА. Тогда Л'-— первая найденная вами точка фигуры F. Поступив точно так же со всеми отмеченными на линии F точками, вы получите ряд точек линии F. Соедините их между собой — это и даст линию F, которая получается из F поворотом на 45° вокруг точки О.

Теперь положите на полученный чертеж лист кальки и проткните кальку и чертеж булавкой в точке О. Обведите на кальке линию F. Оставляя чертеж неподвижным, поверните лист кальки вокруг точки О на 45° против часовой стрелки. Убедитесь, что обведенная на кальке линия после поворота совместится с линией Рш

§ 18. Свойства поворота

Теорема 1. Фигура F, получающаяся из фигуры F поворотом на угол си вокруг точки О, равна фигуре F.

В самом деле, фигура F может быть совмещена с фигурой F (см. § 16, 17).

Теорема 2. Фигура, получающаяся из отрезка А В с помощью поворота вокруг точки О на угол а, представляет собой

отрезок А'В', равный отрезку А В (рис. 43). Концы А' и В' отрезка А В' получаются из концов А и В отрезка А В с помощью того же поворота.

Теорема 3. Фигура, получающаяся из данной окружности F с помощью поворота вокруг точки О на угол а, представляет собой окружность F, равную окружности F (рис 44). Центр окружности F получается из центра первоначальной окружности с помощью того же поворота (см. рис. 44).

Действительно, поворот вокруг точки О переводит точку Q, удаленную от всех точек окружности F на одно и то же расстояние г (т. е. центр окружности F), в точку Q\ удаленную на расстояние г от всех точек окружности F (см. теорему 2).

Теорема 4. Фигура а', в которую переходит прямая а при повороте вокруг точки О на угол а, также является прямой линией. Если —180°<а< 180° и а^О, то углы между прямыми а и а' равны |а| и 180° — |а|; если же а = 0 или а =—180°, то прямые а и а' параллельны или совпадают между собой.

Доказательство. Фигура а представляет собой прямую в силу теоремы 1. Если прямая а проходит через точку О, то заключительное утверждение теоремы 4 очевидно (см. рис. 45; напомним, что, в отличие от угла поворота а, смежные углы, образованные при пересечении двух прямых, мы считаем положительными). Пусть теперь прямая а не проходит через точку О. Прямая а', получающаяся из а поворотом вокруг точки О на угол а, может быть найдена следующим образом. Опустим из точки О перпендикуляр ОР на прямую а (рис. 46). Затем найдем

Рис. 43.

Рис. 44. Рис. 45.

точку Р\ в которую переходит Р при рассматриваемом повороте. Наконец, через точку Р' проведем прямую, перпендикулярную отрезку ОР'\ это и есть искомая прямая d. В самом деле, прямой угол ОРА (рис 46) переходит при повороте вокруг точки О на угол а в прямой угол ОР А (см. теорему 1); отсюда и следует, что прямая РА перейдет в прямую Р'А.

Углы между прямыми а и d равны углам между прямыми ОР и 0Р\ проведенными через точку О (рис. 46) перпендикулярно а и а. Таким образом, при а^О0 и а ^±180° эти углы равны |а| и 180° — Iа] (рис. 46). При а = 0° или а = ± 180°, прямые ОР и ОР' совпадают между собой, и потому прямые а и а совпадают или параллельны.

Рис. 46.

§ 19. Задачи

Применение поворота к решению задач мы проиллюстрируем двумя примерами.

Задача 1. На сторонах А В и АС треугольника ABC построены равносторонние треугольники АВМ и ACN, причем треугольник АВМ расположен вне треугольника ABC, а треугольник ACN — с той же стороны от прямой АС, что и исходный треугольник АБС (рис 47). Доказать, что расстояние между точками М и N равно стороне ВС.

Решение. Предположим, например, что поворот на £А, переводящий луч АВ в луч АС, происходит против часовой стрелки (рис. 47). В таком случае £ ВАМ = — 60° и £CAN = — 60°; кроме того, АМ = АВ и AN = AC. Но это означает, что точки М и N получаются из точек В и С поворотом вокруг точки А на угол —60°. Поэтому отрезок MN получается из отрезка ВС поворотом вокруг точки А на угол —60°. Но отсюда следует, что эти отрезки равны (см. теорему 2, § 18).

Задача 2. Даны три параллельные прямые а, Ь и cv Построить равносторонний треугольник ABCt вершины А, В, С которого лежат на данных прямых.

Рис. 47.

Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и ЛВС —искомый треугольник (рис. 48). Так как АВ = АС и £ВЛС = 60°, то точка В переходит в точку С при повороте вокруг точки Л на угол -f- 60° или на угол—60°. Пусть, например, В переходит в С при повороте вокруг Л на угол -J- 60°.

Точка В лежит на прямой Ь. Поэтому точка С, получающаяся из нее поворотом вокруг Л на угол -f- 60°, должна лежать на прямой Ъ\ получающейся из прямой Ь поворотом вокруг Л на угол 4- 60°.

Кроме того, точка С лежит, по условию, на прямой с. Поэтому б есть точка пересечения прямых Ьт и с.

Рис. 48.

Аналогично, если точка В переходит в С при повороте вокруг Л на угол —60° (рис. 49), то С есть точка пересечения прямой с и прямой Ь'\ получающейся из b поворотом вокруг точки Л на угол — 60°.

Построение. Выберем точку Л на прямой а произвольно. Затем построим прямую Ь\ получающуюся из Ь поворотом вокруг Л на угол -f-60 (рис. 48). В пересечении прямых Ь' и с получаем точку С. Третья вершина В искомого треугольника ABC получается из точки С поворотом вокруг Л на угол — 60°. Другое построение мы получим, заменяя поворот вокруг точки Л на угол -J- 60° поворотом вокруг той же точки на угол —60° (рис. 49).

Доказательство. При повороте вокруг точки Л на угол — 60° прямая Ь' переходит в прямую Ь (рис. 48). Следовательно, точка С прямой Ь' переходит при этом повороте в точку, лежащую на прямой Ъ. Иначе говоря, точка В лежит на прямой Ъ. Далее, по определению поворота, мы имеем: £ ВАС = 60°, АС — АВ. Поэтому треугольник ЛВС — равнобедренный с углом 60° при вершине; следовательно, он равносторонний. Точно

Рис. 49.

так же доказывается, что равносторонним является и изображенный на рисунке 49 треугольник.

Исследование. Прямая V (рис. 48) не параллельна прямой Ъ (см. теорему 4, § 18); поэтому она пересечет прямую с\\Ь в некоторой точке С. Следовательно, треугольник ABC всегда существует. Также всегда существует и второй треугольник (рис. 49). Поэтому при выбранной точке А задача всегда имеет два решения. (Точка А может быть выбрана на прямой а произвольно.)

ГЛАВА IV. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

§ 20. Вектор

Часто приходится, кроме обычных отрезков, рассматривать направленные отрезки, считая один из концов отрезка его началом, а второй концом. На чертежах направленные отрезки изображают в виде отрезков со стрелками (рис. 50), причем стрелка указывает направление от начала отрезка к его концу.

Направленные отрезки называют также векторами; этим названием мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Вектор с началом А и концом В (рис. 50) обозначается через А В (в отличие от обычного, т. е. ненаправленного, отрезка с концами в точках Л и В, который обозначается символом АВ — без черточки сверху). Вектор обозначают также одной жирной буквой, например, а, Ь, с,... Так как в тетради или на доске писать жирные буквы неудобно, то вместо них пишут обычные (светлые) буквы с черточкой сверху (пишут й вместо а, Ь вместо & и т. д.).

Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ. Если вектор обозначен одной жирной буквой, то его длина обозначается той же светлой буквой (а в тетради или на доске —той же буквой без черточки). Длину вектора иногда обозначают вертикальными черточками, как и абсолютную величину числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или | а | (а в тетради или на доске длина вектора а обозначается через а или | й |).

Равенство векторов. Векторы АВ и CD называются равными (рис. 51), если выполнены следующие три условия:

1) прямые АВ и CD параллельны (или совпадают);

2) направление (на прямой АВ) от точки А к точке В совпадает с направлением (на прямой CD) от точки С к точке D;

3) отрезки АВ и CD равны между собой.

Рис. 50.

Равенство векторов обозначается тем же знаком =■=*, что и равенство чисел: AB — CD (рис. 51), или а — Ь (рис. 52).

Рис. 51. Рис. 52.

Важно подчеркнуть, что равенство отрезков А В и CD (т. е. равенство длин векторов АВ и CD) не достаточно для того, чтобы были равны векторы АВ и CD. Если отрезки АВ и CD равны между собой, но не выполнено условие 1) (рис. 53, а) или выполнено условие 1), но не выполнено условие 2) (рис. 53, б), то векторы АВ и CD не считаются равными.

Из приведенного определения следует, что равенство векторов обладает тем же основным свойством, что и равенство чисел: два вектора, порознь равные третьему, равны между собой. Иначе говоря, если а —с и Ь — с, то а — Ь (рис. 54). °—2——

Во многих случаях бывает полезен следующий признак равенства векторов: Для векторов АВ и CD, не 0—-— расположенных на одной прямой, равенство AB = CD имеет место в том, и только в том случае, если ABDC — параллелограмм (рис. 55). Это утверждение вытекает из определения равенства векторов.

Рис. 54.

Откладывание вектора от точки. Если на плоскости даны некоторый вектор АВ и точка С, то существует единственный вектор CD с началом С, равный вектору АВ. Для того чтобы

Рис. 53.

получить конец D этого вектора, достаточно провести через точку С прямую, параллельную прямой АВ (рис. 55) или совпадающую с ней (рис. 56), и отложить на этой прямой в направлении, указываемом вектором Л В, отрезок CD = AB.

Рис. 55. Рис. 56.

§ 21. Определение параллельного переноса

Определение. Пусть дан некоторый вектор а. Для произвольной точки А мы обозначим через А такую точку, что АА = а (рис 57). Переход от точки А к точке А называется параллельным переносом на вектор а.

Иначе говоря, для того чтобы найти точку А\ в которую переходит точка А в результате параллельного переноса на вектор а, нужно отложить от точки А вектор, равный вектору а (рис. 57). Конец этого вектора и будет искомой точкой А.

Рис. 57.

Рис. 58.

Параллельный перенос фигуры. Предположим, что на плоскости заданы вектор а и некоторая фигура F (рис. 58). Для каждой точки А этой фигуры найдем точку А\ получающуюся из А с помощью параллельного переноса на вектор а. Множество всех точек, получающихся из точек фигуры F с помощью параллельного переноса на вектор а, представляет собой некоторую новую фигуру F (рис. 58) — фигуру, получающуюся из фигуры F с помощью параллельного переноса на вектор а.

Определение. Фигура F, образованная всеми точками, получающимися из точек заданной фигуры F параллельным переносом на вектор а, называется фигурой, получающейся из F параллельным переносом на вектор а.

§ 22. Самостоятельная работа

Построение фигуры, получающейся из данной параллельным переносом. На листе бумаги начертите некоторый вектор MN и какую-либо фигуру, например замкнутую линию F (рис. 58). На линии F отметьте ряд точек Л, В, С,..., достаточно густо расположенных на ней. С помощью линейки и угольника проведите через каждую из отмеченных точек прямую линию, параллельную MN. Измерив теперь с помощью циркуля отрезок МЛ/, отложите на прямой, проходящей через точку Л, отрезок AA'=MN, причем так, чтобы имело место равенство A A' = MN (рис. 58). Аналогично постройте точки В', С,..., получающиеся из точек В, С,... параллельным переносом на вектор MN. Последовательно соедините построенные точки Л', В', С,...; это и даст линию F, получающуюся из F с помощью параллельного переноса на вектор MN.

Теперь наложите на полученный чертеж лист кальки. Обведите на кальке линию F и прямую MN, отметив на этой прямой точку М. Оставляя чертеж неподвижным, сдвиньте лист кальки в направлении прямой MN так, чтобы отмеченная на кальке точка М совместилась с точкой N на чертеже. Убедитесь, что при таком сдвиге изображение линии F на кальке совместилось с фигурой F на чертеже.

§ 23. Свойства параллельного переноса

Теорема 1. Фигура F получающаяся из фигуры F параллельным переносом, равна фигуре F.

В самом деле, пусть фигура F получается из фигуры F параллельным переносом на вектор a — MN (рис. 58). В таком случае при перемещении фигуры F как твердого целого в направлении вектора а на расстояние, равное длине вектора а, эта фигура совместится с F (см. § 22). Так как фигуры F и F могут быть совмещены друг с другом, то они равны.

Теорема 2. Фигура, получающаяся из отрезка А В с помощью параллельного переноса на вектор а, представляет собой отрезок А'В', равный отрезку АВ (рис. 59, а, б). Концы А' и В' отрезка А'В' получаются из концов Л и В отрезка Л В с помощью того же параллельного переноса.

Теорема 3. Фигура F, получающаяся из данной окружности F с помощью параллельного переноса, представляет собой окружность, равную окружности F (рис. 60). Центр окружности F

получается из центра окружности F с помощью того же параллельного переноса.

В самом деле, параллельный перенос переводит окружность F в окружность F (теорема 1), а центр О окружности F, т. е. точку, удаленную от всех точек окружности F на расстояние г, — в точку 0\ удаленную на расстояние г от всех точек окружности F (см. теорему 2).

Теорема 4. Фигура V, получающаяся из прямой I параллельным переносом на вектор а, также представляет собой прямую линию. Прямая V либо параллельна /, либо совпадает с ней.

Рис. 59. Рис. 60.

Первое утверждение теоремы 4 вытекает из теоремы 1 (так как фигура, равная прямой линии, есть прямая). Если 1%а% то мы возьмем две точки Л, В прямой I и обозначим через А и В' точки, в которые переходят А а В при рассматриваемом параллельном переносе (рис 59, а). Тогда A A — EW=a и, следовательно, ААВ'В — параллелограмм (см. признак равенства векторов, § 20). Следовательно, АВ || АВ\ т. е. 11| Г. Если же 1\\а (рис. 59, б), то рассматриваемый перенос переводит любую точку прямой / в точку, лежащую снова на той же прямой /; поэтому Г совпадает с /.

§ 24. Задачи

При решении задач параллельный перенос обычно применяется не ко всему чертежу в целом, а лишь к некоторой его части. Проиллюстрируем это двумя примерами.

Задача 1. Даны две окружности F и G и отрезок MN (рис. 61). Построить отрезок, равный и параллельный отрезку МЫг концы которого лежат на данных окружностях.

Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и А В — искомый отрезок (точка А лежит на окружности F, точка В — на окружности G). Так как отрезок АВ равен и параллелен отрезку MN, то имеет место один из двух случаев: либо AB = MNy либо АВ = Ш.

Рис. 61. Рис. 62.

Пусть, например, AB — MN (рис. 62). Тогда точка получается из точки А параллельным переносом на вектор MN. Так как точка А лежит на окружности F, то точка В должна принадлежать окружности F9 получающейся из F с помощью параллельного переноса на вектор MN. Кроме того, точка В, по условию, лежит на окружности G. Поэтому В есть точка пересечения окружностей F' и G.

Аналогично, если А В — NM (рис. 63), то В есть точка пересечения окружности G и окружности получающейся из F параллельным переносом на вектор NM.

Построение. Строим окружность F\ получающуюся из F параллельным переносом на вектор MN (теорема 3, § 23). Пусть В —одна из точек пересечения окружностей F и G. Если А — та точка окружности F, которая переходит в В при параллельном переносе на вектор MN, то отрезок АВ — искомый.

В этом построении параллельный перенос на вектор MN может быть заменен переносом на вектор NM.

Рис. 63.

Доказательство правильности построения предоставляем учащемуся.

Исследование. Если окружность G получается из F параллельным переносом на вектор MN или на вектор NM, то задача имеет бесконечно много решений (рис. 64). 3 остальных случаях задача имеет не более четырех решений, так как окружность G имеет не более двух точек пересечения с окружностью F' и не более двух точек пересечения с окружностью F\ Случай, когда задача имеет четыре решения, показан на рисунке 65.

Задача 2. В каком месте следует построить мост MN через реку, чтобы путь AMNB из деревни А в расположенную по другую сторону реки деревню В (рис. 66) был кратчайшим? (Предполагается, что берега реки — параллельные прямые; мост должен быть перпендикулярен берегам.)

Решение.

Анализ. Предположим, что AMNB — некоторый путь (рис. 66). Перенесем параллельно отрезок AM на вектор MN; мы получим отрезок AN (где А! — точка, получающаяся из А параллельным переносом на вектор MN). Так как AMNA — параллелограмм, то AM -f- MN = АА' -+-A'N и AM -f- MN -f- NB = = AA'-\-A'N-\-NB. Но длина отрезка MN = А А нам известна — она равна расстоянию между параллельными берегами реки. Следовательно, для того чтобы путь AMNB был кратчайшим, необходимо, чтобы наименьшей была длина ломаной AN В. Это будет, очевидно, в том случае, если ломаная AN В, соединяющая точки А и В, превращается в отрезок прямой. Таким образом, точка N, принадлежащая кратчайшему пути, лежит на прямой АВ и, кроме того, на ближайшем к деревне В берегу реки, т. е. иско-

Рис. 64. Рис. 65.

Рис. 66.

мая точка N есть точка пересечения прямой А'В и этого берега (рис. 67).

Построение. Проведем прямую, перпендикулярную берегам реки, и обозначим через Р точку пересечения этой пря мой с берегом, ближайшим к деревне Л, а через Q — точку пересечения с другим берегом (рис. 67). Построим точку А\ получающуюся из А параллельным переносом на вектор PQ. Проведем отрезок А'В и обозначим через N точку пересечения этого отрезка с берегом, ближайшим к деревне В. Опустив из точки N перпендикуляр NM на второй берег реки, мы и получаем место расположения требуемого моста MN.

Доказательство правильности построения и исследование (показывающее, что задача всегда имеет ровно одно решение) предоставляется учащемуся.

Рис. 67.

ГЛАВА V. ГОМОТЕТИЯ

§ 25. Определение гомотетии

Гомотетия с положительным коэффициентом. Определение. Пусть О —данная точка плоскости и k —данное положительное число. Для любой отличной от О точки А на луче OA найдется такая точка А', что

OA' = k-OA

(рис. 68).

Переход от точки А к точке А' называется гомотетией с центром О и коэффициентом k.

Это определение не указывает, в какую точку переходит при гомотетии точка О. Условимся считать, что точка О (центр гомотетии) переходит при гомотетии сама в себя.

Гомотетия фигур. Предположим, что нам заданы точка О плоскости и положительное число ft, а также некоторая фигура Р. Для любой точки А фигуры F можно найти точку А\ получающуюся из Л с помощью гомотетии с центром О и коэффициентом k (рис. 69).

Рис. 68.

Множество всех точек, получающихся из точек фигуры F с помощью рассматриваемой гомотетии, представляет собой некоторую новую фигуру F. Эта фигура F называется фигурой, получающейся из F при помощи гомотетии с центром О и коэффициентом k, или, короче, фигурой, гомотетичной фигуре F (с центром гомотетии О и коэффициентом k).

Гомотетию с центром О и коэффициентом меньшим единицы, иногда называют «сжатием к точке О». Это название объясняется тем, что в результате такой гомотетии все точки плоскости приближаются к точке О, причем расстояния всех точек от точки О уменьшаются в одинаковое число раз. Так, например, при каждая точка А плоскости переходит в середину Л' отрезка OA (рис. 70). На рисунке 69 показана гомотетия с коэффициентом

Рис. 69. Рис. 70.

Рис. 71.

k= j . Мы видим, что фигура F\ гомотетичная F, будет иметь тем меньшие размеры, чем меньше коэффициент гомотетии. Форма же фигуры при гомотетии не меняется, т. е. фигура F\ гомотетичная фигуре F с коэффициентом гомотетии &<Ч, представляет собой «уменьшенную копию» фигуры F.

При k^>l гомотетия увеличивает («растягивает») фигуры (см. рис. 71, на котором изображена гомотетия с коэффициентом

Гомотетия с отрицательным коэффициентом. Предположим снова, что заданы точка О на плоскости и число которое, однако, мы теперь будем считать отрицательным. Для любой отличной от О точки Л на продолжении луча OA за точку О найдется такая точка Л\ что (рис. 72)

Рис. 72.

Переход от точки А к точке Л' называется гомотетией с центром О и (отрицательным) коэффициентом k.

Как и в случае положительного fe, считают, что точка О (центр гомотетии) переходит при гомотетии сама в себя.

Предположим теперь, что заданы точка О плоскости, некоторое отрицательное число ft, а также фигура Р. Для любой точки Л фигуры Р можно найти точку Л', получающуюся из Л с помощью гомотетии с центром О и коэффициентом k (рис. 73). Множество всех точек, получающихся из точек фигуры F с помощью рассматриваемой гомотетии, представляет собой новую фигуру F. Эта фигура называется фигурой, получающейся из F при помощи гомотетии с центром О и коэффициентом ft<0, или, короче, фигурой, гомотетичной фигуре F.

Гомотетия с центром О и коэффициентом гомотетии ft= — 1 совпадает, очевидно, с симметрией относительно точки О.

Рис. 73.

§ 26. Самостоятельная работа

Построение гомотетических фигур. На листе бумаги отметьте некоторую точку О и изобразите замкнутую линию F. На линии F отметьте ряд точек, достаточно густо расположенных на ней. Каждую из отмеченных точек соедините отрезком с точкой О и разделите соединяющий отрезок пополам. Последовательно соедините середины всех проведенных отрезков — это даст линию F, гомотетичную линии F с центром гомотетии О и коэффициентом .

Постройте на этом же чертеже фигуру F\ гомотетичную фигуре F с тем же центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k—~

§ 27. Пантограф

Пантографом называется прибор, позволяющий механически вычерчивать фигуры, гомотетичные заданным фигурам. Рассмотрим четыре стержня, соединенных между собой так, как показано на рисунке 74. Стержни соединены шарнирами в таких точках А, М, N и Р, что MP = AN и NP = A'M. Четырехугольник ANPM с равными противоположными сторонами является параллелограммом; углы его можно по желанию менять. Длины стержней выбраны так, что выполняется соотношение

ON _ NA' ОР~ РА ;

общую величину этих двух отношений мы обозначим через k.

Из выписанного соотношения и равенства углов ON А' и ОРА (соответственные углы при параллельных N А и РА) заключаем, что треугольники ON А и ОРА подобны (у них равны углы и отношения заключающих эти углы сторон).

Поэтому Z. AON — Z. АОР и, следовательно, точки О, А я А всегда лежат на одной прямой. Из подобия треугольников ON А и ОРА вытекает также, что

Рис. 74.

Следовательно, при любых углах параллелограмма A'NPM точка А' получается из точки А при помощи гомотетии с центром О и коэффициентом k.

Прибор используется следующим образом. Точка О укрепляется на чертеже неподвижно. В точке А помещается острие, а в точке А'— пишущее устройство (грифель). Если теперь мы будем двигать пантограф так, чтобы острие А описывало некоторую изображенную на чертеже линию F (рис. 74), то грифель Л' опишет линию F\ гомотетичную линии F с центром О и коэффициентом k.

В описанном устройстве коэффициент k может меняться: шарниры можно перемещать вдоль стержней, устанавливая значение коэффициента гомотетии k по желанию.

§ 28. Свойства гомотетии

Теорема 1. Фигура, гомотетичная отрезку АВ, представляет собой отрезок АВ\ Точки А и В' получаются из точек А и В с помощью той же гомотетии. Отрезок АВ' параллелен отрезку АВ (либо расположен с ним на одной прямой) и имеет длину \k\-l, где k — коэффициент гомотетии, а / — длина отрезка АВ.

Доказательство. Пусть А и В —концы первоначального отрезка, а Л' и В' —точки, получающиеся из Л и В при рассматриваемой гомотетии. Если прямая АВ не проходит через центр гомотетии О (рис. 75), то треугольники ОЛВ и OA В' подобны (ибо LAOB=L А'ОВ' и OA: OA = OB : OB = =r| k\). Следовательно, /, OAB= L OABf и, значит, АВ' || AB\ кроме того,

т. е.

Далее, пусть М — произвольная точка отрезка ЛВ; обозначим через М! точку пересечения прямой ОМ с отрезком АВ' (рис. 75). Из подобия треугольников О AM и О AM' следует, что

Поэтому при гомотетии точка М переходит в точку М'. Обратно, если N' — произвольная точка отрезка А В' и N — точка пересе-

Рис. 75.

чения прямой ON' с отрезком АВ (рис. 75), то из подобия треугольников OAN и OA'N' вытекает, что

Поэтому в точку ЛГ при гомотетии переходит точка N.

Рис. 76.

Итак, каждая точка М отрезка АВ переходит при гомотетии в некоторую точку отрезка А'В' и притом в каждую точку N' отрезка А'В' переходит некоторая точка отрезка АВ. Это и означает, что отрезок АВ переходит при гомотетии в отрезок А'В'.

(На рис. 75 изображен случай, когда k^>0; случай k<^0 показан на рис. 76.)

Если прямая АВ проходит через точку О, то приведенное выше доказательство неприменимо. Рассмотрим этот случай.

Предположим сначала, что точки А и В расположены на прямой АВ по одну сторону от точки О. Для определенности будем считать, что точка В расположена ближе к Оу чем А (точка В может и совпадать с О). Выберем на отрезке АВ произвольную точку М и обозначим через А', В' и ЛГ точки, в которые переходят Л, В и М при рассматриваемой гомотетии. Так как точки Л, В и М лежат на прямой АВ по одну сторону от точки О, то точки А', В' и ЛГ также лежат по одну сторону от точки О. (При k > 0 точки Л', В' и ЛГ лежат по ту же сторону от О, что и точки Л, В, Му а при & <0 — по другую сторону; см. рис. 77, а, б.) Из определения гомотетии следует, что

Так как ОВ < ОМ < ОЛ, то отсюда вытекает, что ОВ' < ОМ' < ОА\ и поэтому точка ЛГ лежит на отрезке А'В'. Обратно, в каждую точку TV' отрезка А'В' переходит при рассматриваемой гомотетии некоторая точка N

Рис. 77.

отрезка АВ. Таким образом, отрезок АВ переходит при рассматриваемой гомотетии ь отрезок АВ'. Далее,

А В = OA — ОВ = I k I. OA — I k I • OB = I k I - (OA — OB) = | k |. ЛВ.

Пусть, наконец, точки Л и В расположены на прямой ЛЯ по разные стороны от О (рис. 78). Тогда А и Б' также расположены по разные стороны от О. В силу доказанного выше, отрезок OA переходит при гомотетии в отрезок OA у а отрезок ОВ — в ОВ'. Следовательно, отрезок АВ переходит в отрезок АВ'. При этом

А В = OA + ОВ' = | k | • OA +1 k I • OB = I k I • (OA + OB) = | k \ - AB.

Рис. 78.

Следствие. При гомотетии все размеры фигуры изменяются пропорционально.

Более точно это означает следующее. Пусть F — произвольная фигура и F — фигура, гомотетичная F с коэффициентом гомотетии k. Тогда, если А и В — две произвольные точки фигуры F, а А' и Вг — точки фигуры Р\ в которые переходят А и В при рассматриваемой гомотетии, то

Рис. 79.

Например, если Л, В, С, Д... — какие-то точки фигуры F и Л', В\ С\ D',... соответствующие им точки фигуры F (т. е. точки, в которые переходят точки Л, В, С, D, ... при рассматриваемой гомотетии; рис. 79), то

Теорема 2. Фигура, гомотетичная многоугольнику М с коэффициентом гомотетии k, представляет собой многоугольник М\ подобный многоугольнику М с коэффициентом подобия \k\. Вер-

шины многоугольника N1' получаются из вершин многоугольника М с помощью той же гомотетии (рис. 80).

Доказательство. Обозначим через Л, В, С, Д..., К вершины многоугольника М, а через Л', В', С',..., К' — точки, в которые переходят эти вершины при рассматриваемой гомотетии (рис. 80). В силу теоремы 1,, отрезок АВ переходит в Л'В', отрезок ВС—-в В'С и т. д. Поэтому многоугольник М переходит в многоугольник М' с вершинами Л', В', С, D',... ,.., /С'. Далее, A'B' = \k\-AB, B'C = \k\-BCt... ...,K'A'=\k\.KA. Кроме того,

L АВС=£А'В'С\ £BCD= Z.B'CD\... LKAB= LK'A'B*

(как углы с параллельными сторонами). Следовательно, многоугольник № подобен многоугольнику М с коэффициентом подобия \k\.

Теорема 3. Фигура, гомотетичная окружности радиуса г с коэффициентом гомотетии k, представляет собой окружность радиуса \k\-r. Центр этой окружности получается из центра исходной окружности с помощью той же гомотетии (рис. 81).

Рис. 80.

Рис. 81.

Доказательство. Пусть Q — центр данной окружности F, a Q — точка, в которую переходит Q при рассматриваемой гомотетии. Возьмем произвольную точку М окружности F и обозначим через М' точку, в которую переходит при гомотетии точка М (рис. 80). В силу теоремы 1 имеем:

Следовательно, точка М' принадлежит окружности F с центром <7 и радиусом |ft|*r, откуда видно, что окружность F переходит при гомотетии в окружность F.

Теорема 4. При гомотетии любая прямая а переходит в прямую а'. Прямая а либо параллельна прямой а, либо совпадает с ней.

Доказательство. Пусть а—прямая, не проходящая через центр гомотетии О. Выберем на этой прямой точку А и обозначим через А точку, в которую переходит А при рассматриваемой гомотетии. Наконец, проведем через А' прямую а', параллельную прямой а (рис. 82). Еслц М — произвольная точка прямой а, то прямая ОМ пересекает а в некоторой точке М\ и из подобия треугольников ОМА и ОМТА мы имеем:

ОМ —OA — l*[e

Следовательно, при рассматриваемой гомотетии точка М переходит в М'. Обратно, в любую точку N' прямой а' переходит некоторая точка N прямой а. Это значит, что прямая а переходит в прямую а'.

Если прямая а проходит через центр гомотетии О, то любая точка прямой а снова переходит в некоторую точку прямой а. Поэтому прямая а переходит при гомотетии сама в себя.

Рис. 82.

§ 29. Точка пересечения высот треугольника

Теорема. Высоты произвольного треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке Н. Точка Н лежит на прямой, проходящей через центр О описанной окружности и точку М пересечения медиан, причем точка М расположена между точками О и И и МО = ~ МН.

Доказательство. Пусть А ВС — данный треугольник, Д Е, F — середины его сторон (рис. 83), Тогда

(в силу теоремы об отношении отрезков медиан). Следовательно, гомотетия с центром М и коэффициентом —~ переводит точки А, В, С а точки Dt Е, F (заметим, что точки А и D располо-

жены по разные стороны от М). Иначе говоря, рассматриваемая гомотетия переводит треугольник А ВС в треугольник DEF.

Высота АР треугольника ABC переходит при этой гомотетии в отрезок, проходящий через точку D и параллельный АР (см. теорему 1, § 28), т. е. в отрезок DK, перпендикулярный к стороне ВС треугольника ЛВС и проходящий через ее середину D. Прямая DK проходит через центр О описанной окружности треугольника ABC. Обозначим через Я точку, которая переходит в О при рассматриваемой гомотетии. Так как прямая DK проходит через О и гомотетична АР, то прямая АР проходит через точку Я. Точно так же доказывается, что высоты BQ и CR треугольника ABC (или их продолжения) проходят через точку Я. Таким образом, Я — точка пересечения высот треугольника ЛВС. Заключительное утверждение теоремы вытекает из того, что при гомотетии с центром М и коэффициентом — точка Я переходит в О. ft

Рис 83.

Рис. 84.

Замечание. В случае остроугольного треугольника точка Я пересечения высот расположена внутри треугольника (см. рис. 83). В прямоугольном треугольнике точка Я совпадает с вершиной прямого угла (рис. 84, а), а в случае тупоугольного треугольника точка Я лежит вне его (рис. 84, б).

§ 30. Задачи

Приведем примеры применения гомотетии к решению задач на построение.

Задача 1. Дан угол ABC и внутри него точка Р. Провести через точку Р прямую, отрезок MN которой, заключенный между

сторонами угла, делится точкой Р в отношении NP: РМ = 1:2. (Точка N лежит на стороне ЛВ, точка М — на стороне ВС.)

Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и прямая MN— искомая (рис. 85). Так как точка Р лежит между точками М и N и NP: РМ = 1:2, то точка N получается из точки М гомотетией с центром Р и коэффициентом—у. Но точка М принадлежит прямой ВС. Следовательно, точка N принадлежит прямой В'С, в которую переходит прямая ВС при рассматриваемой гомотетии. Кроме того, точка Л/, по условию, принадлежит прямой АВ. Поэтому N— точка пересечения прямых А В и В'С.

Построение. Найдем точки В' и С, в которые переходят В и С при гомотетии с центром Р и коэффициентом — -^.

(Точку С выберем на прямой ВС произвольно.) Точку пересечения прямых АВ и В'С обозначим через N. Прямая NP — искомая.

Доказательство правильности построения и исследование, показывающее, что задача всегда имеет единственное решение, мы предоставляем учащемуся.

Задача 2. Вписать в данный треугольник ABC квадрат, две вершины которого лежат на основании АС треугольника, а две другие— на боковых сторонах (рис 86). Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и KLMN — искомый квадрат (рис. 86). Произведем гомотетию с центром А и некоторым коэффициентом k. В результате этой гомотетии квадрат KLMN перейдет в новый квадрат K'L'M'N', две вершины /С' и II которого по-прежнему лежат на прямой ЛС, а вершина ЛГ— на прямой Л В. Однако вершина ЛГ уже не будет принадлежать стороне ВС.

Если заранее задать точку ЛГ на прямой А В, то квадрат K'L'M'N' нетрудно будет построить (рис. 86). При этом точки Л, М и ЛГ лежат на одной прямой. Следовательно, точка М лежит на прямой AM! и, кроме того, на прямой ВС, т. е. является точкой пересечения этих прямых.

Рис. 85.

Рис. 86.

Построение. Выбрав произвольную точку N' стороны Л В, опустим из нее перпендикуляр N'R на основание АС и на отрезке N К построим квадрат K'L'M'N' (рис. 86). Затем вершину М\ не лежащую на сторонах АВ и АС, соединим прямой с точкой Л. Пусть М — точка пересечения этой прямой со стороной ВС. Проведя прямую MN || АС до пересечения в точке N со стороной АВ и опустив из точек М и JV перпендикуляры NK и ML на основание ЛС, мы и получим искомый квадрат KLMN.

Доказательство правильности построения предоставляется учащемуся.

§ 31. Общее понятие о подобии

В курсе геометрии VIII класса было дано следующее определение подобия многоугольников: два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Однако это определение относится только к многоугольникам; оно не применимо ни к каким другим фигурам. Здесь мы дадим более общее определение подобия, применимое к л ю б ы м геометрическим фигурам.

Рис. 87.

Определение. Две фигуры F2 и F1 называются подобными, если существует фигура F\ равная одной из них и гомотетичная второй (рис 87, а).

Если фигура F равна фигуре Fx и гомотетична фигуре F2 с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k, то говорят, что фигура Fi подобна фигуре F2 с коэффициентом подобия |ft|.

В частности, если Fx и F2 — любые две окружности радиусов гх и г2, то окружность Fx подобна F2 с коэффициентом подобия k = -- (рис. 87, б). В самом деле, окружность F\ гомотетичная окружности F2 с коэффициентом гомотетии k (или — &), равна окружности Ft (см. теорему 3, § 28).

Согласно нашему определению, любые две гомотетичные фигуры являются подобными. Наоборот, если фигуры F2 и Fl подобны,

то, переместив фигуру Ft в новое положение (т. е. заменив ее равной ей фигурой F% можно добиться того, чтобы рассматриваемые фигуры стали гомотетичными.

В § 28 мы отмечали, что при гомотетии все размеры фигуры пропорционально изменяются (см. рис. 79). Поэтому все размеры одной из двух подобных фигур получаются про» порциональным уменьшением (или увеличением) соответствующих размеров другой фигуры. Например, на рисунке 88

где k — коэффициент подобия фигур.

Укажем без доказательства, что справедливо и обратное утверждение: если для каждой точки Л, фигуры Fx можно указать соответствующую ей точку Л2 фигуры F%, причем так, что расстояния между точками фигуры Ft пропорциональны расстояниям между соответствующими им точками фигуры F2i то фигуры Ft и F2 подобны. Иными словами, подобие двух фигур полностью характеризуется тем, что при переходе от одной из них к другой все размеры пропорционально изменяются.

Эквивалентность двух определений подобия многоугольников. Докажем, что для многоугольников новое определение подобия совпадает с известным из курса VIII класса. В самом деле, если два многоугольника Fj и F2 таковы, что существует многоугольник F, гомотетичный Fa и равный Ft (рис. 89), то углы многоугольника F2 соответственно равны углам многоугольника F и стороны многоугольника F2 соответственно пропорциональны сторонам многоугольника F' (см. теорему 2, § 28). Но у многоугольника F те же самые углы и стороны, что и у равного ему мно-

Рис. 88.

Рис. 89.

гоугольника Plt Следовательно, многоугольники Ft и F9 подобны в том смысле, в каком это понималось в курсе геометрии VIII класса.

Обратно, пусть многоугольники Fx и F2 таковы, что их углы соответственно равны и стороны соответственно пропорциональны. Отношение сторон многоугольника Fx к соответствующим сторонам многоугольника F2 обозначим через к. Далее, обозначим через F многоугольник, получающийся из F2 гомотетией с коэффициентом k (и каким угодно центром гомотетии; рис. 89). В таком случае в силу теоремы 2, § 28 многоугольники F и Рх будут иметь соответственно равные стороны и углы, т. е. эти многоугольники будут равны. Поэтому многоугольники Fx и F2 будут подобны и в смысле приведенного здесь определения подобия.

ГЛАВА VI. ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ

§ 32. Что такое геометрическое преобразование?

Осевая симметрия, центральная симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия имеют то общее, что все они «преобразуют» каждую фигуру F в некоторую новую фигуру F'. Поэтому их называют геометрическими преобразованиями.

Вообще, геометрическим преобразованием называют всякое правило, позволяющее для каждой точки А на плоскости указать новую точку А', в которую переводится точка А рассматриваемым преобразованием. Если на плоскости задана какая-либо фигура F, то множество всех точек, в которые переходят точки фигуры F при рассматриваемом преобразовании, представляет собой новую фигуру F'. В этом случае говорят, что F получается из F при помощи рассматриваемого преобразования.

Пример. Симметрия относительно прямой / является геометрическим преобразованием. Правило, позволяющее по точке А найти соответствующую ей точку Л', в этом случае заключается в следующем: из точки Л опускается перпендикуляр АР на прямую I и на его продолжении за точку Р откладывается отрезок РА —АР (см. рис. 5).

Преобразования, которым были посвящены главы I—V, являются важнейшими в геометрии. Кроме них, в геометрии рассматриваются и многие другие преобразования; однако их изучение выходит за рамки курса средней школы.

§ 33. Сложение геометрических преобразований

Предположим, что мы рассматриваем два геометрических преобразования, одно из которых называем «первым», а другое — «вторым». Возьмем на плоскости произвольную точку Л и обо-

Рис. 90.

значим через А ту точку, в которую переходит Л при первом преобразовании (рис. 90). В свою очередь точка А переводится вторым преобразованием в некоторую новую точку Л". Иначе говоря, точка Л" получается из точки Л при помощи последовательного применения двух преобразований — сначала первого, а затем второго.

Результат последовательного выполнения взятых двух преобразований также представляет собой геометрическое преобразование: оно переводит точку Л в точку А". .Это «результирующее» преобразование называется суммой первого и второго рассмотренных преобразований.

Пусть на плоскости задана какая-либо фигура F. Первое преобразование переводит ее в некоторую фигуру F (рис. 90). Вторым преобразованием эта фигура F переводится в некоторую новую фигуру F\ Сумма же первого и второго преобразований сразу переводит фигуру F в фигуру F".

Пример. Пусть первое преобразование представляет собой симметрию относительно точки Оь а второе преобразование — симметрию относительно другой точки 02. Найдем сумму этих двух преобразований.

Пусть Л — произвольная точка плоскости. Предположим сначала, что точка Л не лежит на прямой Обозначим через Л' точку, симметричную точке Л относительно Оь а через Л"—точку, симметричную точке А относительно 02 (рис. 91). Так как Ot02 — средняя линия треугольника ААА\ то отрезок Л Л" параллелен отрезку Ot02 и имеет вдвое большую длину. Направление от точки Л к точке Л" совпадает с направлением от точки Ot к точке 02. Обозначим теперь через MN такой вектор, что отрезки MN и Ог02 параллельны, отрезок MN в два раза длиннее отрезка 0{02 и лучи MN и Ох02 имеют одно и тоже направление. Тогда А А"' = MN\ т. е. точка А" получается из точки Л параллельным переносом на вектор MN.

Рис. 91.

То же справедливо и для точки, лежащей на прямой ОхО%. Это легко получается из рассмотрения того же рисунка 91 (на котором BB' = AAm = MN).

Окончательно мы получаем: сумма симметрии относительно точки Ох и симметрии относительно точки Ов представляет собой параллельный перенос (на вектор MN, определение которого по точкам Oi и 02 было описано выше; см. рис. 91).

§ 34. Движения

Осевая симметрия, поворот (в частности, центральная симметрия) и параллельный перенос имеют то общее, что каждое из этих преобразований переводит любую фигуру F на плоскости в равную ей фигуру г. Преобразования, обладающие этим свойством, называются движениями. Гомотетия представляет собой (при \k\^l) пример преобразования, не являющегося движением. Действительно, каждое движение переводит любую фигуру в равную ей фигуру, т. е. изменяет лишь положение фигур на плоскости; гомотетия же изменяет и размеры фигур.

При выполнении самостоятельных работ, связанных с движениями (см. § 4, 12, 17, 22), мы пользовались листом кальки. Перемещая лист кальки, мы каждый раз убеждались, что фигура F, полученная из фигуры F рассматриваемым преобразованием, равна фигуре F. В случае гомотетии такое использование кальки невозможно: фигуры F и F' в этом случае не равны между собой.

Роль движений в геометрии. Движения играют в геометрии чрезвычайно важную роль. Они не изменяют ни формы, ни размеров фигур, меняя лишь расположение фигуры. Но фигуры, отличающиеся лишь своим расположением на плоскости (рис. 92), с точки зрения геометрии совершенно одинаковы. Именно поэтому их и называют в геометрии «равными фигурами». Ни одно свойство геометрической фигуры не отличается от соответствующего свойства равной ей фигуры. Так, например, равные треугольники имеют не только одинаковые стороны, но и одинаковые углы, медианы, биссектрисы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей и т. д.

На уроках геометрии мы всегда считали равные фигуры (т. е. такие, которые можно совместить при помощи движения) одинаковыми или неразличимыми. Такие фигуры часто принимают за одну и ту же фигуру. Именно поэтому мы можем сказать, что,

Рис. 92.

например, задача построения треугольника по двум сторонам а, Ь и заключенному между ними углу С имеет только одно решение. На самом деле, конечно, треугольников, имеющих данные стороны а и Ь и заключенный между ними угол С данной величины, можно найти бесконечно много (см. рис. 93). Однако все эти треугольники одинаковы, равны, поэтому их можно принять за «один» треугольник.

Таким образом, геометрия изучает те свойства фигур, которые одинаковы у равных фигур. Такие свойства можно назвать «геометрическими свойствами». Другими словами: геометрия изучает свойства фигур, не зависящие от их расположения. Но фигуры, отличающиеся только расположением (равные фигуры), — это те, которые можно совместить с помощью движения. Поэтому мы приходим к следующему определению предмета геометрии: геометрия изучает те свойства фигур, которые сохраняются при движениях.

Движения и расстояния. Итак, понятие движения играет в геометрии первостепенную роль. Движения («наложения») использовались в VI классе для определения равных фигур, для доказательства признаков равенства треугольников; понятие движения, как мы видели выше, позволяет также дать описание предмета геометрии.

Между тем в определениях понятия равенства фигур и понятия движения имеется пробел. В самом деле, равные фигуры определялись (в VI классе) как такие фигуры, которые могут быть совмещены наложением (т. е. движением). Движения же были определены выше как такие преобразования, которые переводят каждую фигуру в равную ей. Таким образом, равенство фигур определялось с помощью понятия движения, а движение в свою очередь определялось через понятие равенства фигур. С точки зрения логики здесь получается так называемый «порочный круг»: первое понятие определяется через второе, а второе — через первое.

Для того чтобы устранить этот логический пробел, нужно дать определение движений, не опирающееся на понятие равенства фигур. Такое определение можно дать, используя понятие расстояния между точками.

Движениями называются такие преобразования плоскости, которые сохраняют расстояния между точками. Иными словами, геометрическое преобразование в том, и только в том случае является движением, если любые две точки Л, В оно переводит в такие точки Л\ В', что АВ = А'В\

Рис. 93.

При таком определении понятия движения становится неочевидным, что осевая симметрия, центральная симметрия, поворот и параллельный перенос являются движениями, и это уже нужно доказывать.

Доказательства эти сравнительно несложны. Например, если точки А и В' получаются из точек А и В симметрией относительно прямой, то АВ = А В'. Действительно (рис. 94), Д APQ = Д APQ (по двум катетам), следовательно, / AQP = ^ AQP и Л(? = Л'(?. Далее, / AQB = 90° — / AQP = = 90° — L AQP = £ AQB'. Наконец, Д Л<?В= = &AQB' (по двум сторонам и заключенному между ними углу); следовательно, АВ = АВ'. (Другие случаи расположения точек, А, В и прямой / предоставляем рассмотреть учащемуся.)

Мы знаем, что две фигуры Рг и F2 называются равными, если существует движение, переводящее фигуру Pt в F2. Поэтому приведенное выше определение движения позволяет следующим образом определить равные фигуры, основываясь на понятии расстояния:

Две фигуры Ft и F2 называются равными, если для каждой точки Ах фигуры Ft можно указать соответствующую ей точку А2 фигуры F2, причем так, что расстояние между любыми точками Alf Bi фигуры Fx равно расстоянию между соответствующими им точками Аъ В% фигуры F^ (ср. со сказанным о подобных фигурах на стр. 45).

При таких определениях движений и равенства фигур теоремы 1 в § 5, 13, 18 и 23, ранее не доказывавшиеся, а лишь пояснявшиеся с помощью листа бумаги или кальки, могут быть строго доказаны. Эти доказательства совпадают с доказательством того, что рассмотренные в главах I—IV преобразования сохраняют расстояния между точками.

Движения в геометрии и физике. Отмеченный выше логический пробел в изложении геометрии не мешает, однако, правильному ее пониманию. Дело в том, что когда в VI классе говорят о «перемещении» и «наложении» фигур, то имеют в виду вовсе не геометрическое преобразование (движение), а физическое движение, т. е. механическое перемещение тела, как твердого целого. С понятием же механического перемещения тела каждый из нас хорошо знаком из повседневного опыта; поэтому использование «перемещения фигур» в геометрии не вызывает никаких неясностей.

Таким образом, понятие движения и понятие равенства фигур имеют опытное происхождение, связанное с наблюдением окружающего нас материального мира. Никакого другого, чисто геометрического определения этих понятий в школьном курсе геометрии нет.

Рис. 94.

Однако использование физических представлений характерно лишь для самых первых шагов геометрии; большинство же теорем доказывается «чисто геометрически»: они выводятся из установленных ранее геометрических фактов.

Намеченное выше определение движений и равенства фигур с помощью понятия расстояния свободно от указанного на странице 49 логического пробела. Однако оно также не исключает использования физических представлений — только теперь эти физические представления будут относиться к процессу измерения расстояний.

Возможно и строго логическое построение геометрии, заключающееся в выводе всех предложений из небольшого числа аксиом, описывающих свойства основных геометрических понятий (точек, прямых, движений или расстояний и т. д.). Однако такое построение геометрии слишком сложно для того, чтобы его можно было излагать в школе.

Так, например, при доказательстве теорем о равенстве треугольников по существу используются следующие предложения. Каждую точку А плоскости можно совместить движением с любой другой точкой А. При этом движений, переводящих точку А в точку А, существует бесконечно много. Среди них можно выбрать такое, которое совмещает произвольный луч а, исходящий из точки А, с заданным лучом а!', исходящим из точки А. Этим, однако, движение все еще не определяется однозначно; можно еще потребовать, чтобы определенная полуплоскость а, ограниченная прямой, по которой идет луч а, совместилась с выбранной полуплоскостью а', ограниченной прямой, по которой идет луч d (рис. 95). Все эти требования, вместе взятые, уже однозначно определяют движение плоскости, т. е. движение, переводящее точку А в точку А, луч а — в луч d и полуплоскость а— в полуплоскость а', существует только одно. Эти предложения в геометрии обычно не доказываются, т. е. их принимают за аксиому, описывающую свойства движений.

Полный список аксиом, из которых можно выводить все теоремы геометрии, не обращаясь к физическим представлениям, довольно велик и поэтому не может быть приведен в школьном учебнике.

Рис. 95.

Часть II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ГЛАВА I. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

§ 35. Сумма двух векторов

Пусть а и Ь — два произвольных вектора на плоскости (рис. 96). Возьмем на плоскости произвольную точку О и отложим вектор ОМ, равный вектору а:

ОМ = а. Затем от точки М отложим вектор MN, равный вектору &:

Вектор ON называется суммой векторов а и Ь и обозначается через а + Ь:

Ш = а + Ь.

Таким образом, для построения суммы а-\-Ь двух векторов а и Ь нужно отложить на плоскости произвольный вектор, равный вектору а, и от конца его отложить вектор, равный вектору Ь. Тогда «замыкающий» вектор (т. е. вектор, начало которого совпадает с началом первого из отложенных векторов, а конец — с концом второго) и будет равен вектору а-\-Ь.

Независимость суммы от выбора начальной точки. Согласно определению, для построения суммы а + Ь нужно не только знать векторы а и Ь, но, кроме того, выбрать на плоскости некоторую точку О (от которой откладывается вектор а). Покажем, что если заменить точку О другой точкой 0\ то вектор ОУУ = а + ^ заменится равным ему вектором, т. е. что сумма а -\-Ь не зависит от выбора точки О.

В самом деле, пусть О' — произвольная, отличная от О точка плоскости. Отложим от точки О' вектор О'М' = а, а от полученной точки М' вектор M'iV' = b (рис.97). Так как О'М' = ОМ, то О'М'МО — параллелограмм (см. §20, стр. 27); следовательно, 00' = ММ'. Точно так же из равенства

Рис. 96.

M'N' = MN вытекает, что M'WNM — параллелограмм, и потому MM'—NN'. Таким образом,

Ш7=1Ш'

Из равенства 00' = NN' вытекает теперь, что OO'N'N—параллелограмм, и потому O'N' = ON. Тем самым независимость суммы а-\-Ь от выбора точки О доказана.

Рис. 97.

Правило трех точек. Определение суммы двух векторов непосредственно приводит к следующему простому, но важному выводу:

Для любых трех точек А, В, С на плоскости справедливо равенство:

ЛВ-f ВС = ЛС.

Это соотношение называют правилом трех точек.

Правило трех точек очень часто применяется при решении задач.

§ 36. Сумма двух параллельных переносов

Теорема. Сумма параллельного переноса на вектор а и параллельного переноса на вектор Ь представляет собой параллельный перенос на вектор а-\-Ь,

Доказательство. Согласно определению суммы двух геометрических преобразований (§ 33), суммой двух параллельных переносов называется геометрическое преобразование, получаемое в результате последовательного выполнения этих переносов. Пусть а — вектор первого переноса, а Ь — вектор второго переноса. Возьмем на плоскости произвольную точку А. В результате первого переноса точка А переходит в такую точку А'} что Л Л'= а (рис. 98). При выполнении второго параллельного переноса точ-

ка А переходит в такую точку А\ что АА" — Ъ. Но в силу правила трех точек, мы можем написать равенство:

АА + АА = АА9 или, иначе, а-\-Ь = АА\

Рис. 98.

Полученное равенство АА"=а-\-Ь означает, что точка А" получается из точки А переносом на вектор а-\-Ь.

§ 37. Нулевой вектор

Правило трех точек приводит к тому, что сумма АВ-\-ВА векторов АВ и В А представляет собой «вектор» АА, начало и конец которого совпадают:

АВ + ВА = АА.

«Вектор» АА изображается «отрезком нулевой длины», т. е. точкой, и не имеет какого-либо определенного направления.

А А мы также считаем вектором; этот вектор называется нулевым вектором и обозначается символом 0 (а в тетради и на доске — символом б). Если В — любая другая точка, то вектор ВВ мы считаем равным вектору А А и обозначаем тем же символом 0. Таким образом, нулевым вектором называется такой вектор, начало и конец которого совпадают.

Свойство нулевого вектора. Из правила трех точек вытекает, что для любого вектора а = АВ имеем:

АВ + ВВ = АВ,

или, иначе,

а-\-0 = а.

Это равенство, напоминающее знакомое из арифметики равенство а-(-0 = а, и послужило причиной того, что вектор ВВ, начало и конец которого совпадают, называется «нулевым» вектором.

§ 38. Коммутативность сложения векторов

Лемма. Пусть векторы а и b отложены от одной точки О: а = ОА1 Ъ=Ш.

Обозначим через М середину отрезка АВ, а через С — точку, симметричную точке О относительно точки М (рис. 97). Тогда

ОС = а + Ь.

Доказательство. Так как М — середина отрезка Л В, то точки Л и В симметричны относительно точки М. Таким образом, при симметрии относительно М точки О и В переходят в точки С и Л, и поэтому отрезки ОВ и С А равны между собой и параллельны (теорема 2, § 13). Кроме того, направление от О к В противоположно направлению от С к Л (так как симметрия относительно точки М представляет собой поворот на 180°, а при таком повороте направление от О к В переходит в противоположное направление). Следовательно, направление от О к В совпадает с направлением от Л к С. Но тогда ОВ = АС9 и мы имеем:

а + ь=Ш+Ш=бА + Ж:=дс.

Лемма доказана.

Правило параллелограмма. Если в предыдущей лемме векторы OA и ОВ не лежат на одной прямой (рис. 99), то четырехугольник О АС В является параллелограммом (так как ОВ=АС). В этом случае доказанное в лемме равенство OA -\-ОВ = ОС выражает правило параллелограмма, применяющееся в физике для определения суммы векторов («параллелограмм сил»): сумма векторов OA и ОВ равна вектору ОС, изображаемому диагональю параллелограмма ОАСВ, построенного на векторах OA и ОВ (рис. 99). Следует отметить, что «правило параллелограмма» менее удобно для определения суммы векторов, чем правило трех точек: «правило параллелограмма» теряет смысл в случае параллельности векторов-слагаемых и нуждается в этом случае в дополнительных разъяснениях, в то время как правило трех точек применимо во всех случаях. В тех же случаях, когда векторы-

Рис. 99.

слагаемые не параллельны, правило параллелограмма и правило трех точек лишь несущественно отличаются друг от друга.

Коммутативный (переместительный) закон сложения векторов.

Сложение векторов коммутативно (перестановочно), т. е. для любых двух векторов а, Ь справедливо равенство:

а + Ь = Ь-\-а.

Для доказательства отложим векторы а и & от одной точки О и обозначим через М середину отрезка Л В, а через С — точку, симметричную точке О относительно М (рис. 99). Тогда, согласно лемме, а-\-Ь — ОС. Но так как серединой отрезка В А является та же точка М9 то, согласно лемме, Ь-\-а = ОС. Таким образом, a-\-b = b-\-a. (В случае, когда векторы а, Ь не параллельны, равенство аА^Ъ^Ъ-^-а вытекает также из правила параллелограмма.)

§ 39. Ассоциативность сложения векторов

Как и в обычной алгебре, в «алгебре векторов» справедлив ассоциативный (сочетательный) закон сложения векторов, выражаемый равенством:

(a + b) + c = a + (b + c). Для доказательства этого закона мы отложим от произвольной точки О вектор ОА=а, от точки А—вектор АВ = Ь и от точки В — вектор ВС = с. В силу правила трех точек имеем: (а^Ь) + с==(Ш+Ш) + Ш = Ш + Ж = ОС

и

а + (Ь + с) = ОА+(АВ + ВС) = ОА+АС = ОС,

откуда и следует ассоциативность сложения векторов.

Замечание. Приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач и доказательства теорем при помощи векторов. При желании учащийся может повторить вывод соотношения ассоциативности, воспользовавшись рисунком 100.

Сумма нескольких векторов. Сумма трех векторов определяется равенством:

(т. е. для получения суммы трех векторов нужно к сумме первых двух прибавить третий). Так как в силу ассоциативного за-

Рис. 100.

кона векторы (a + ft) + c и а + (& + с) равны между собой, то (a-\-b) + c = a + (b + c) = a-\-b + c.

Приведенное выше доказательство ассоциативного закона (см. рис. 100) убеждает нас в том, что сумма а-\-Ь-\-с трех векторов а, Ь, с представляет собой замыкающую этих векторов, отложенных один за другим. Иначе говоря,

для любых четырех точек О, Л, В, С.

То же справедливо и для любого числа слагаемых. Суммой нескольких векторов называется вектор, получаемый в результате последовательного прибавления каждого из векторов к сумме предшествующих. Например, в случае четырех векторов (рис. 101)

Рис. 101.

Из этого определения вытекает следующее правило. Если несколько векторов отложены таким образом, что начало второго совпадает с концом первого, начало третьего—с концом второго и т. д., то замыкающая, т. е. вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом последнего, представляет собой сумму всех взятых векторов. Например,

АВ+Ж + Ш + Ш = ~АЁ

(см. рис. 101).

Условие замкнутости. Из того, что сумма нескольких векторов может быть определена как замыкающая, непосредственно вытекает следующее условие замкнутости векторного многоугольника. Пусть a, by с, ... — несколько векторов; отложим их последовательно один за другим (т. е. так, чтобы начало второго совпадало с концом первого, начало третьего —с концом второго и т. д.). Для того чтобы получающаяся ломаная, составленная из векторов (она может оказаться невыпуклой и даже .пересекающей себя), была замкнутой (т. е. чтобы конец последнего вектора совпадал с началом первого, рис. 102), необходимо и достаточно, чтобы сумма всех этих векторов была равна нулевому вектору:

a-\-b-\-c-\r- ... =0.

Рис. 102.

Замечание. Коммутативный и ассоциативный законы выполняются и для сложения чисел, и для сложения векторов. Это очень важно, так как позволяет, не переучиваясь, производить действия над равенствами, содержащими векторы, используя навыки, выработанные при изучении действий над числами. В частности, в векторной сумме, как и в сумме чисел, можно как угодно переставлять и группировать слагаемые. Например,

a + b + c + d=(a + b) + (c + d), a + b + c + d=(a + c) + (b + d)9 a + b + c + d=a + [(b + c) + d}

и т. д.

Аналогия между числами и векторами, как мы сейчас увидим, сохраняется и далее, при определении вычитания векторов и в действиях над равенствами.

§ 40. Вычитание векторов

Как и в случае чисел, разностью

х = а — Ь

векторов а и Ъ называется такой вектор х, который в сумме с вектором Ь дает вектор а:

х-\-Ъ=а.

Иначе говоря, равенство х = а — Ь, по определению, означает, что справедливо соотношение Ь-\-х = а.

Нахождение разности. Существует ли вектор лг, который (при заданных а и Ь) удовлетворяет соотношению Ь-\-х = а? Рисунок 103 изображает это соотношение; на нем векторы а = ОА и Ь = — ОБ отложены от одной точки О. Из этого рисунка видно, что разностью векторов OA и ОВ является вектор В А:

ОА—ОВ = ВА.

Это следует непосредственно и из правила трех точек, так как

бВ + ВА = ОА.

Итак, для получения разности а — Ь достаточно отложить векторы а и Ь от одной точки и взять вектор, идущий от конца вектора Ь к концу вектора а. Таким образом, операция вычитания векторов всегда выполнима.

Разность а — а двух равных векторов, очевидно, является нулевым вектором:

а — а = 0.

Рис. 103.

Рис. 104.

Противоположные векторы. Определение. Два параллельных (или лежащих на одной прямой) вектора, имеющих равные длины, но направленных в противоположные стороны (рис. 104), называются противоположными векторами.

Примером противоположных векторов являются векторы АВ и ВА, где Л и В — какие угодно точки плоскости. Равенство АВ-\-ВА=АА (см. стр. 54) означает, что сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору.

Далее, вектор 0 — а является вектором, противоположным вектору а. В самом деле, находя разность 0—а по данному выше правилу, мы приходим к выводу, что вектор 0 — а изображается тем же отрезком, что и вектор а, но направленным в противоположную сторону:

АА — ~АВ = ВА.

Для краткости вектор 0—а, противоположный вектору а, обозначают символом— а.

Мы уже знаем (см. § 37), что

а + (— а) = 0.

Другое определение разности. Докажем, что

а — Ь = а + (— Ь).

В самом деле, если а = ОА, Ь = ОВ, — Ь = ВО, то (см. рис. 103)

а — Ъ = ОА — ОВ = ВА

и

а + (- Ь) = {— Ь) + а = ВО + ОА='ВА.

Формула а — Ь = а-{-(— Ь) дает другое определение операции вычитания: для того чтобы вычесть из некоторого вектора а вектор Ь, достаточно прибавить к нему противоположный вектор — b (рис. 105).

Действия над векторными равенствами. Напомним еще раз, что равенства

Ъ-\-х — а и х — а — Ь,

по определению, означают одно и то же. Это показывает, что для равенств, составленных из векторов, справедливо следующее правило (выполняющееся и для равенств, составленных из чисел): слагаемые из одной части равенства можно переносить в другую, ме-

Рис. 105.

няя стоящие перед этими слагаемыми знаки на обратные. Иначе говоря, для сложения и вычитания векторов выполняются все свойства, выполняющиеся для сложения и вычитания чисел.

ГЛАВА II. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

§ 41. Определение умножения вектора на число

Пусть а = ОА—некоторый вектор и k — отличное от нуля число. Обозначим через А' точку, в которую переходит точка А при гомотетии с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k (рис. 106). В этом случае вектор OA' называют произведением вектора а на число k и пишут:

Рис. 106. Рис. 107.

Произведение любого вектора на число 0 считается равным нулевому вектору:

0а = 0.

Таким образом, произведение ka определено для любого числа k и любого вектора а.

Вспоминая определение гомотетии (§ 25), мы можем сформулировать определение произведения вектора на число следующим образом:

Произведение ka вектора а на число k представляет собой вектор, удовлетворяющий следующим трем условиям:

1) вектор ka параллелен вектору а;

2) длина вектора ka равна длине вектора а, умноженной на абсолютную величину числа k:

\ka\ = \k\.\a\;

3) вектор ka при k^>0 направлен в ту же сторону, что и вектор а, а при k<^0 направлен в противоположную сторону.

На рисунке 107 изображены векторы ka при разных значениях k.

Свойство параллельных векторов. Из определения операции умножения вектора на число вытекает:

Если векторы а и Ь параллельны (и аф 0), то существует такое число /, что b = la.

§ 42. Свойства операции умножения вектора на число

Из определения умножения вектора на число непосредственно вытекают следующие соотношения:

0я = 0, ft0 = 0, la —а,

(— 1)а = — а, (—k)a = — (ka).

Все они напоминают хорошо известные свойства операции умножения чисел. Следующие три свойства также подчеркивают эту аналогию:

1) k(la) = (kl)a;

2) (k + l)a=ka-\-la;

3) k(a + b) = ka + kb.

Доказательство свойства 1). Будем предполагать, что аф0, kzfiQ, 1ф0, так как в противном случае доказываемое соотношение очевидно. Из определения операции умножения вектора на число следует, что векторы k (la) и (kl) а параллельны вектору а и что они имеют одну и ту же длину:

|Л(/а)|«|Л1-|/«1 = !*|-т-|л|. |(fcQe| —|М|Ча| —ifthl'l' |а|.

Поэтому остается только проверить, что эти векторы одинаково направлены. Но если k и / — числа одного знака, то и вектор k (la) и вектор (kl) а направлены в ту же сторону, что и вектор а; если же числа k и I имеют разные знаки, то и вектор (kl) а и вектор k (la) направлены противоположно вектору а. Тем самым равенство k(la) — (kl)a доказано.

Доказательство свойства 2). Будем предполагать, что аф0, так как в противном случае доказываемое соотношение очевидно. Рассмотрим сначала случай, когда числа k и / имеют один и тот же знак. В этом случае все три вектора (k + /) a, ka и la имеют одно и то же направление (рис. 108). Кроме того, длина вектора ka равна \k\-\a\, а длина вектора la равна | / J • | а |. Следовательно, вектор ka + la имеет длину:

|ft|.|aH-|/|.|ai=()^i + |/|)-|a| = |fe + /|.|a|,

т. е. ту же длину, что и вектор (k + 0 а. Так как, кроме того, векторы ka + la и (fc + /)a направлены в одну сторону, то они равны.

Предположим теперь, что Ли/ имеют противоположные знаки, и пусть, например, число k -\-1 имеет тот же знак, что и число / (т. е. знак, проти-

Рис. 108.

воположный знаку числа к). Тогда числа — к и к + / имеют одинаковые знаки, и потому

(_ k)а + (k + /)а = [(- Л) + (к + /)] а =/а.

Учитывая, что (— k) а = — (ka), получим:

— (ka) + (k + /) а = /а.

Отсюда и следует справедливость равенства (к + /) а = £а -f /а в этом случае.

Наконец, если хотя бы одно из чисел k, /, к + / равно нулю, то соотношение (& + /)а = /га + /а очевидно.

Рис. 109а. Рис. 1096.

Доказательство свойства 3). Отложим векторы а и b от одной точки О:

а = 04, & = ОД

и обозначим через М середину отрезка АВ, а через С—точку, симметричную точке О относительно точки М (рис. 109 а, б). Тогда (в силу леммы § 38)

ОС=ОА + ОВ = а-\ Ь.

При гомотетии с центром О и коэффициентом к точка О перейдет в себя, а точки А, В, С, М перейдут в некоторые новые точки А', В', С, АГ. По определению умножения вектора на число, мы имеем:

OA' = k-07i = ka, UW=k-OB = kb, OC' = k'6C = k(a + b).

Так как при гомотетии середина отрезка переходит в середину отрезка, то точка М' — середина отрезка А'В', а точка С симметрична точке О относительно АГ. Следовательно, согласно лемме § 38,

OA -f-OB' = ОС'% т. е. ka +kb = k(a + b).

§ 43. Деление отрезка в данном отношении

Пусть А В — произвольный отрезок и С — его внутренняя точка (рис. 110 а). Тогда число называется отношением, в котором точка С делит отрезок АВ. Например, если С — середина отрезка АВ, то отношение, в котором точка С делит отрезок АВ, равно 1 (так как АС = СВ). Если, далее, Сг и Сеточки, делящие отрезок АВ на три равные части (рис. 110 6), то точка Сх делит отрезок АВ в отношении а точка С2 делит отрезок АВ з отношении 2.

Теорема. Пусть С —точка, делящая отрезок АВ в отношении ~ ^т. е. АС :СВ — !1^ , Q — произвольная точка плоскости (рис. 111). Тогда

Обратно, если выполнено это соотношение, то точка С делит отрезок АВ в отношении

Рис. 110а.

Рис. 1106.

Доказательство. Если точка С делит отрезок Л В в отношении --, то п 9

Но направления векторов АС и СВ совпадают; поэтому

Заменяя здесь вектор АС на QC — QA, а вектор С В на QB — QC, получаем: g

откуда

Рис. 111.

Умножая обе части этого соотношения на т^_я» получаем:

Обратно, если последнее равенство выполнено, то, проводя вычисления в обратном порядке, мы найдем, что АС :СВ = ~.

§ 44. Следствия

1) Точка С тогда, и только тогда, является серединой отрезка АВ, когда

где Q —- произвольная точка плоскости. Иначе это соотношение может быть записано в виде:

Это вытекает из формулы, доказанной в § 43, если положить в ней m = n (см. рис. 111).

2) Пусть ABC — произвольный треугольник и М — его центр тяжести (точка пересечения медиан). Тогда

где Q — произвольная точка плоскости (рис. 112).

В самом деле, если D — середина стороны ВС, то в силу следствия 1) имеем:

Рис. 112.

Далее, точка М делит медиану AD в отношении ■^*=у (рис. 112). Поэтому, в силу теоремы § 43, имеем:

§ 45. Задачи

Приведем примеры применения векторов к решению геометрических задач.

Задача 1. Доказать, что в произвольном четырехугольнике средние линии (т. е. отрезки, соединяющие середины противоположных сторон), пересекаясь, делятся пополам.

Решение. Пусть Л, В, С, D — вершины четырехугольника, К у L, My N — середины его сторон и Q — произвольная точка плоскости (рис. ИЗ). В силу следствия 1), § 44 имеем:

Обозначим через S середину отрезка КМ, а через 7 — середину отрезка LN. Тогда

Таким образом, QS — QT, откуда вытекает, что точки S и Т совпадают. Иначе говоря, точка S является общей серединой отрезков КМ и LN.

Рис. 113. Рис. 114.

Задача 2. Пусть A BCDEF — произвольный шестиугольник и U, V, W, X, У, Z — середины его сторон (рис, 114). Доказать, что центры тяжести треугольников UWY и VXZ совпадают.

Решение. В силу следствия 1), § 44 имеем:

здесь Q — произвольная точка плоскости. Далее, обозначим через М и N центры тяжести треугольников UWY и VXZ. Тогда согласно следствию 2), § 44

Таким образом,

откуда вытекает, что тонки М и N савпадают.

ГЛАВА III. ПРОЕКЦИИ И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

§ 46. Проекция вектора на ось

Определения. Прямая линия, на которой задано некоторое направление (на чертежах указываемое стрелкой) и задана единица измерения длин, называется осью. Вектор, имеющий длину 1 и направление, совпадающее с направлением оси, называется единичным вектором этой оси.

Пусть I — некоторая ось, е — ее единичный вектор (рис. 115) и а = =АВ — произвольный вектор на плоскости. Обозначим через Ах и Вх проекции точек Л и В на прямую / (т. е. основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на прямую /). Проекцией вектора АВ на ось I называется длина отрезка АхВи взятая со знаком «-(-», если направления векторов AXBX и е совпадают, и со знаком «—» в противном случае. Проекция вектора А В на ось / обозначается символом пр, АВ. Из этого определения следует, что если ЛВ_1_/, то пр, Л£ = 0и, обратно, если пр, ЛВ = 0, то ЛВ_1_/.

Теорема 1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Доказательство. Пусть AB = CD. Обозначим через Аи Blt Си Di проекции точек Л, В, С, D на прямую /. Через точки В и D проведем прямые, параллельные I, и обозначим через М и N точки пересечения этих прямых с ЛЛ1 и ССХ (рис. 116). В получившихся прямоугольных треугольниках АВМ и CDN равны гипотенузы и, кроме того, 2 АВМ= £ CDN (как углы с параллельными сторонами). Следовательно, aABM = aCDN

Рис 115.

и потому MB=*ND. Кроме того, AxBx = MBt CXDX — ND (так как АХВХВМ и CXDXDN— прямоугольники). Таким образом, AtB\ = МВ=Ш=СД.

Равенство Л1В1 = С101 означает, что отрезки АХВХ и имеют одну и ту же длину и одно и то же направление, т. е. что проекции векторов А В и CD на ось I равны между собой.

Теорема 2. Пусть Ах и Вх—проекции точек А и В на ось I. Тогда _

AxBx = ke,

где е — единичный вектор оси /, a k — npz АВ.

Доказательство. Так как векторы АХВХ ив расположены на одной прямой, причем е Ф О, то в силу свойства параллельных векторов (§ 41) справедливо равенство AxBx — ke, где k — некоторое число.

Если АВ J_ /, то

пр, АВ = 0;

в этом случае АхВх = 0у ибо точки Ах и Вх совпадают и потому в равенстве AxBx = ke число k равно нулю, т. е. k = npl AS. Если же прямая А В не перпендикулярна оси /, то точки Ах и Вх не совпадают. Так как длина вектора е равна единице, то из равенства AxBx = ke вытекает (см. § 41), что | | = |Л|, т. е. что число k равно длине отрезка АхВХу взятой с некоторым знаком. В силу того же определения умножения вектора на число (§41) число k положительно, если векторы АХВХ и е одинаково направлены, и отрицательно в противном случае. Поэтому во всех случаях k = npl АВ.

Рис. 116.

§ 47. Свойства проекции

Мы докажем следующие важные свойства проекции вектора на ось:

1) пр/(а + &) = пр/а + пр/&;

2) npl(ka) = k-npla.

Доказательство свойства 1). Пусть а — АВ% Ь = ВС\ тогда а-\-Ь = АС (рис. 117). Обозначим через Аи Вх, Сх проекции точек Л, В, С на ось /. Тогда мы можем написать:

где

Но мы имеем:

Отсюда следует:

что и требовалось доказать.

Доказательство свойства 2). Отложим вектор а от точки О, лежащей на оси /:

и обозначим через Ах проекцию точки А на прямую /. Тогда ААХ±1. Обозначим через А' и А\ точки, в которые переходят точки А и А\ при гомотетии с центром О и коэффициентом k (рис. 118). Согласно теореме 1, § 28, отрезок А'А\ параллелен отрезку ААХ (или расположен с ним на одной прямой), и потому А'А\±_1. Следовательно, А\ — проекция точки А' на прямую /. В силу определения умножения вектора на число, мы имеем:

Далее,

где

Рис. 117. Рис. 118.

Таким образом,

Отсюда следует:

что и требовалось доказать.

§ 48. Координаты вектора

Пусть ОХ и 07 —две взаимно перпендикулярные оси на плоскости, составляющие вместе систему координат. Мы будем предполагать направления осей выбранными таким образом, что поворот оси ОХ вокруг точки О против часовой стрелки на 90э переводит ее в ось 0Y (рис. 119). Обычно ось ОХ (или, иначе, ось абсцисс) представляют себе в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось 0Y (ось ординат) — вертикальной прямой, направленной вверх (рис. 119).

Пусть а — произвольный вектор на плоскости. Обозначим его проекции на оси ОХ и 0Y соответственно через х и у:

х = проха, у = пр0уа.

Числа л: и у, т. е. проекции вектора а на оси координат, называются координатами вектора а (в системе XOY). Вектор с координатами х, у мы будем иногда обозначать символом {х\ у). Например, запись а = {2; —3} означает, что вектор а имеет координаты х = 2, у = — 3.

Разложение вектора по осям координат. Теорема. Пусть XOY — прямоугольная система координат на плоскости, i и j — единичные векторы осей ОХ и 0Y (рис. 119). Для любого вектора а справедливо равенство:

a = xi + yj,

где х и у —- координаты вектора а в системе XOY.

Доказательство. Отложим вектор а от начала координат О:

Рис. 119.

(рис. 119). Обозначим через Ах и Л2 проекции точки А на оси координат. В силу определения координат вектора мы имеем:

OAx = xi, OA 2 = yj.

Далее.

а—Ш = ОАх-\-ОАъ

(§ 38, «правило параллелограмма»). Отсюда и вытекает требуемое соотношение:

a=xi + yj.

§ 49. Координаты суммы двух векторов и произведения вектора на число

Теорема 1. Пусть вектор а имеет в системе XOY координаты {хх; ух}, а вектор Ь — координаты {х2; у.2}. Тогда вектор а-\-Ь имеет в этой же системе XOY координаты {хх -j- Х£ ух + Уз}.

Доказательство. В самом деле, координаты х, у вектора а -{- Ь определяются как проекции этого вектора на оси координат:

* = пРох (а + ь)> У= пРоу (а + &)-

Отсюда имеем (см. § 47):

* = пРо* (« + *) = пРоха 4~ пРо*& = *г + х*>

У — ПР OY (а + &) = ПР0Ка + ПР0Г& = У1 + У2.

Теорема 2. Пусть а — вектор, имеющий в системе XOY координаты \х\ у}, и k — некоторое число. Тогда вектор ka имеет в той же системе XOY координаты {kx\ ky}.

В самом деле, координаты вектора ka имеют следующие значения (см. § 47):

nipox(ka) = k-npoxa = kx, up0Y (ka) — k • прок а = ky.

§ 50. Связь между координатами вектора и координатами точки

Пусть вектор а имеет в системе XOY координаты {х\ у\. Отложим вектор а от точки О:

а = О А

(рис. 119). Вектор UA называется радиусом-вектором точки Л. Очевидно, что координаты точки А в прямоугольной системе координат XOY совпадают с координатами радиуса-вектора &А этой точки.

Теорема. Если в прямоугольной системе координат XOY точка А имеет координаты (хх\ ух), а точка В—координаты (лу, у2), то вектор АВ (рис. 120) имеет координаты:

{** — хх; У2 — У1}.

Доказательство. Вектор OA, как мы знаем, имеет координаты {*п У\}, а вектор ОВ — координаты \*ъ {/2}. Обозначим неизвестные нам координаты вектора АВ через \х\ у). Так как ОВ = ОА-\-АВУ то согласно теореме 1, § 49 имеем:

*«=*i4-*, j/2=yi-fy.

Отсюда и вытекает, что

x—Xi—Xu y=y* — yi.

Рис. 120.

§ 51. Связь проекций и координат вектора с тригонометрическими функциями

Теорема 1. Проекция вектора на ось равна длине проектируемого вектора, умноженной на косинус угла между осью и вектором.

Другими словами, пусть / — некоторая ось, а — произвольный вектор длины а. Обозначим через а угол (ненаправленный, т. е. заключенный между 0 и 180°) между направлением оси I и направлением вектора а (рис. 121). Тогда

npz а = a cos а.

Доказательство. Отложим вектор а от точки О оси /

a = OAt

и пусть Ах — проекция точки А на ось /. Если угол а, который вектор а образует с осью ОХ, острый (рис 122), то пр^ ОА — -\-ОАх. Но из треугольника ОААх имеем:

ОАх = OA • cos а = a cos а,

Рис. 121.

и потому

Пру 0 as а cos а.

Если же вектор а образует с осью ОХ тупой угол а (рис. 123), то пр/ОЛ= — ОАх. Но в этом случае

OAt = OA-cos Z АОАх = ОА cos(180° — а) = — acosa

и поэтому по-прежнему

пр, а = a cos а.

Замечание. Если XOY — прямоугольная система координат на плоскости и е = ОЕ — вектор длины 1, образующей с осью ОХ угол а (рис. 124), то, как известно из тригонометрии, вектор е имеет в системе XOY координаты:

X = cos а, у = sin a.

Угол а здесь может быть как положительным, 7ак и отрицательным.

Теорема 2. Пусть XOY — прямоугольная система координат на плоскости и а = ОА — вектор длины а, образующий с осью ОХ угол а. Тогда вектор а имеет в системе XOY координаты:

х —a cos а, у = a sin а.

Доказательство. Обозначим через е = ОЕ вектор длины 1, направление которого совпадает с направлением вектора а. В силу определения умножения вектора на число, мы имеем:

а = ае

(так как оба вектора а и ае одинаково направлены и имеют одну и ту же длину а). Но мы уже знаем, что вектор е имеет координаты {cos a; sin а}. Отсюда в силу теоремы 2, § 49 вытекает, что вектор а = ае имеет координаты {a cos a; a sin а}.

Рис. 122. Рис. 123.

Рис. 124.

ГЛАВА IV. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

§ 52. Определение скалярного произведения

В этом параграфе мы будем предполагать, что выбрана определенная единица измерения длин.

Пусть а и & —два произвольных вектора, причем а ф 0. Обозначим через / ось, параллельную вектору а и имеющую то же направление (рис. 125). Под проекцией вектора Ь на вектор а мы будем понимать проекцию вектора Ь на ось I:

пра b = npz b.

Произведение a-npab (т. е. произведение длины вектора а и проекции на него другого вектора Ь) называется скалярным произведением вектора а на вектор Ь и обозначается символом ab:

ab = a- пра Ь.

Это определение теряет смысл, если а = 0, так как в этом случае направление вектора а не определено. Однако в этом случае а = 0, и скалярное произведение ab считается равным нулю: если а = 0, то ab = 0.

Так как в силу теоремы § 51 npa& = bcosa, где а — угол между направлениями векторов а и b (рис. 126), то

аЬ = аЬ cos а.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.

Скалярный квадрат вектора. Если а = Ь, то скалярное произведение ab принимает вид аа\ его называют скалярным квадратом вектора а и обозначают символом а2. Так как cos0°=l, то из формулы аЬ = аЬ cos а вытекает, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

а* = а\

Знак скалярного произведения. Косинус острого угла положителен, косинус прямого угла равен нулю, а косинус тупого угла отрицателен. Поэтому:

Рис. 125. Рис. 126.

скалярное произведение ab двух отличных от нуля векторов а и Ь, образующих угол а,

положительно, если а — острый угол (или а = СГ), равно нулю, если а — прямой угол, отрицательно, если а — тупой угол (или а=180:>). Особо подчеркнем, что два не равных нулю вектора а и b в том, и только в том случае перпендикулярны друг другу, если аЬ — 0 (условие перпендикулярности векторов).

§ 53. Свойства скалярного произведения

Теорема 1. Скалярное умножение коммутативно, т. е.

ab = ba

для любых векторов а и Ь.

Доказательство теоремы вытекает из формулы ab = я= ab cos а.

Из коммутативности скалярного умножения векторов и равенства ab = a-upab вытекает, что также а6 = &-пр«,а.

Теорема 2. Скалярное умножение ассоциативно по отношению к умножению вектора на число, т. е.

(ka) b = k (ab), a (kb) = k (ab)

для любых векторов a, b и числа k.

Доказательство. Если а=0, то соотношение a (kb)=k(ab) очевидно — обе части последнего равенства обращаются в нуль.

Пусть fl^O. Тогда мы имеем (см. § 47, свойство 2):

a (kb) = а • пра (kb) = a-(k- пра b) = k-(a- пра b) = k (ab).

Далее, в силу коммутативности скалярного умножения, имеем:

(ka) b = b (ka) = k (ba) = k (ab).

Теорема 3. Скалярное умножение дистрибутивно (распределительно) относительно сложения векторов, т. е.

а (Ь + с) = ab -f- ас; (a-\-b)c — ac-\-bc

для любых трех векторов а, Ь, с.

Доказательство. Соотношение a(b-\-c) = abJrac очевидно, если а = 0 — в этом случае а(Ь-\-с) — 0 и ab-\-ac — 0. Пусть теперь а Ф 0. Тогда в силу свойства 1 проекции вектора (§ 47) мы имеем:

а (Ь + с) = а • пра (Ь + с) = а • (пра b -f - пра с) = = а • пря b а • пра с = ab + ас.

Второе соотношение дистрибутивности получается из первого перестановкой сомножителей:

(a \-b)c = c(a-{-b) = са -f cb = ас -j- be.

Замечания. Свойства скалярного умножения, составляющие содержание теорем 1—3, похожи на хорошо знакомые правила действий с числами. Это позволяет легко производить вычисления со скалярными произведениями.

Например:

(a + b) (c + d) = a(c-\-d) + b(c-{-d) = ac + ad+bc-\-bd; (2а + Ь) (3d—c)=2a (3d—с) + b (3d—с) = 6ad—2ac + 3bd—bc\ (a — bf = (a — b) (а — &) = а2 — 2ab + b\ + (а — &)=а* — Ь*

и т. д. В этом и заключается ценность скалярного произведения. С одной стороны, оно геометрически интересно, так как позволяет находить длины отрезков и величины углов (см. §55); с другой стороны, скалярное произведение алгебраически удобно, так как вычисления со скалярными произведениями производятся по правилам, хорошо знакомым из алгебры.

Имеются, однако, и серьезные различия между скалярным умножением векторов и умножением чисел. Заметим прежде всего, что скалярное произведение двух векторов является не вектором, а числом («скаляром»)1. Далее, в то время как в обычной алгебре произведение двух чисел равно нулю только в том случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, в «алгебре векторов» дело обстоит совсем не так. Равенство ab = 0 может выполняться и при а^О, b Ф О (если векторы а и b взаимно перпендикулярны).

Последнее замечание влечет за собой еще одно существенное различие между «алгеброй векторов» и обычной алгеброй: векторные равенства нельзя сокращать на отличный от нуля множитель. В самом деле, если из соотношения ас^Ьс для чисел a, b и с^О вытекает, что а = 6, то из равенства

ас = Ьс (сФ 0)

вытекает лишь, что ас — Ьс = 0, или (а — Ь)с = 0 и, следовательно, вектор а — Ь или равен нулю, или перпендикулярен вектору с (рис. 127).

Рис. 127.

1 Это обстоятельство делает невозможным саму постановку вопроса об определении «векторного деления»: символу — нельзя приписать никакого смысла. Это же обстоятельство мешает рассматривать произведения трех векторов; например, формула

(а + Ъ)* = я3 + За*Ь + ЗаЬ* + Ь* на область векторов никак не переносится.

§ 54. Вычисление скалярного произведения в координатах

Теорема. Пусть в некоторой прямоугольной системе координат XOY вектор а имеет координаты [хх\ ух}, а вектор b— координаты {х2\ у*). Тогда

ab = xlx2 + y1yi.

Доказательство. В силу теоремы § 48 мы имеем:

а = xj + yrf, b = х4 + yd,

где / и j— единичные векторы, направленные по осям ОХ и 0Y (см. рис. 119). Учитывая, что P=j*=l (ибо векторы / и j — единичные) и что ij=0 (ибо векторы i и j перпендикулярны), мы получаем:

ab = (xj + yd) (xj + yd) = XiXijP + xxy4j + yxxdi + yxy%P =

Словами эту формулу можно выразить так: скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Следствие. Скалярный квадрат а* вектора а с координатами {х\ у] вычисляется по формуле:

а* = а' = х2 + у\

§ 55. Вычисление длин и углов

Теорема. Пусть точка А имеет в прямоугольной системе XOY координаты (хх; ух), а точка В — координаты (л:2; у*). Тогда длина отрезка А В равна:

АВ = У(х* — хху + {уъ — уху.

Доказательство. Мы знаем, что вектор АВ имеет координаты {х2 — хх\ у2 — У\} (см. § 50). Вычисляя скалярный квадрат этого вектора, находим (см. § 54, следствие):

А В' = А'В' = (х, - xxf + (у, - У1)\

Отсюда и вытекает теорема.

Пример. Найти расстояние между точками А (1; — 2) и В (— 5; 6).

Решение. В силу теоремы 1, имеем:

АВ = У[—Ъ — 1]2 + [6^(-2)Г2 = |/'(-6)2 + 8^ = КТ00=10

(рис. 128).

Вычисление углов. Из формулы

ab = ab cos а

следует, что, зная скалярное произведение двух векторов а, b и их длины, мы можем определить косинус угла а между этими векторами:

аЬ

COS а = —г. а ■ о

В частности, cos а можно вычислить, если известны координаты векторов а и b (скалярное произведение ab и длины векторов а и b вычисляются с помощью формул § 54).

Рис. 129.

Как известно из тригонометрии, угол а, заключенный между 0° и 180°, однозначно определяется, если известен его косинус. Таким образом, зная координаты двух векторов, можно найти угол между ними.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Найти угол между векторами а = {1; —2} и Ь = ={-3;Ц.

Решение. Имеем:

Рис. 13U.

Отсюда находим: а =135° (рис.129).

Пример 2. Четыре точки заданы своими координатами (рис. 130):

Л(3; 1), В(1; 4), С(1; 0), 0(4; 5). Определить угол между прямыми АВ и CD.

Решение. Согласно теореме § 50, вектор а = А В имеет координаты {—2; 3}, а вектор b = CD имеет координаты {3; 5}. Найдем угол а между этими векторами — это и будет искомый угол между прямыми АВ и CD. Имеем:

Отсюда по таблицам находим: а^64°39\

§ 56. Задачи

Приведем примеры, иллюстрирующие применение скалярного произведения векторов к решению геометрических задач.

Задача 1. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Рис. 131. Рис. 132.

Решение. Пусть A BCD — параллелограмм (рис. 131). Обозначим АВ = а, AD = b. Тогда

AC=a-\-b, DB — a — b,

и мы находим:

AC + DB* = AC* + DB*=={a + by + (a — Ь? = = (а* + 2ab + &*) + (а1 — 2ab + й2) = 2а* + 2bk = = 2а2 + 262 = Л52 + ВС2 + СОа + ОЛ2.

Задача 2. Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если известно, что медианы, проведенные к его боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Решение. Пусть ABC — треугольник, о котором идет речь в условии задачи, АС—ВС (рис 132). Обозначим через М и N

середины сторон АС и ВС и положим СМ = а, CN = b. Тогда Далее,

Ш1 = ВС + Ш = ~-2Ь-\-а, AN==AC + C7J = — 2a + b. По условию, прямые ВМ и AN перпендикулярны, т. е.

вм.Ш=оу

или, иначе,

(— 2Ь + а)(— 2а + й) = 0. Раскрывая скобки, находим:

ЬаЬ — 2а1 — 2й2 = 0,

или, что то же самое,

ЬаЬ cos* — 2a* — 2b2 = 0,

где a — угол между векторами а и &, т. е. искомый угол С треугольника ЛВС. Но a2 = 62 = afe (так как a = 6). Следовательно, имеем: 4

5 cos a — 4 = 0, т. е. cosa = y.

По таблицам находим: ая^36°52'.

ГЛАВА V. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

§ 57. Теорема косинусов

Для любого треугольника ABC со сторонами АВ = с, ВС=* — а, СА = Ь имеет место формула:

c* = a*+b2 — 2ab cos С.

Другими словами, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, уменьшенных на удвоенное произведение этих сторон на косинус заключенного между ними угла. Это соотношение называется теоремой косинусов.

Доказательство. Обозначим СВ = а, СА = Ь, АВ — с (рис. 133). Тогда

с = а — Ь

и, кроме того, угол между векторами а и b равен С. Отсюда имеем:

c* = c* = (a-b? = a* — 2ab-{-b* = a* — 2abcosC + b\

Мы знаем, что косинус острого угла положителен, косинус тупого угла отрицателен и косинус прямого угла равен нулю. Учитывая это, получаем из теоремы косинусов такое следствие.

Следствие. Квадрат стороны, лежащей против острого угла треугольника, меньше суммы квадратов двух других сторон; квадрат стороны, лежащей против прямого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон (теорема Пифагора); квадрат стороны, лежащей против тупого угла треугольника, больше суммы квадратов двух других сторон.

Рис. 133.

§ 58. Вычисление площади треугольника по его элементам

Теорема 1. Для любого треугольника ABC справедливо соотношение

где S —- площадь треугольника, а и b — длины сторон ВС и АС, а С — угол между этими сторонами.

Доказательство. Расположим треугольник ABC так, чтобы вершина С совпала с началом системы координат XOY, вершина В лежала на положительной части оси ОХ, а вершина А лежала выше оси ОХ (рис. 134). Обозначим через Л, проекцию точки А на ось OY. Тогда ордината у вектора СА равна длине отрезка САХ, т. е. равна высоте h треугольника ABC, проведенной из вершины А. Но согласно теореме 2 § 51, координата у вектора СА равна b sin С (так как этот вектор имеет длину b и образует с осью ОХ угол С). Таким образом, h = b sin С и потому

S = ~ ah = ab sin С.

Теорема 2. Пусть a, b и с — длины сторон треугольника и

р = 1(а + 6 + с)

— его полупериметр. Тогда для площади S этого треугольника справедлива формула:

Рис. 134.

(Эта формула известна под названием формулы Герона1.) Доказательство. В силу теоремы 1 имеем:

Но из теоремы косинусов имеем:

и потому

Подкоренное выражение преобразуется следующим образом:

Последнее выражение упрощается таким образом:

Окончательно мы получаем:

§ 59. Теорема синусов

Для любого треугольника ABC со сторонами АВ = с, ВС = а, С А = b имеют место формулы:

(Эти соотношения носят название теоремы синусов.) Доказательство. Согласно теореме 1, § 58, мы имеем:

и потому

1 Герон Александрийский—древнегреческий математик, живший во II или в I веке до нашей эры в г. Александрии (Египет).

Аналогично, заменяя сторону с стороной а или 6, мы получим:

Отсюда и вытекает справедливость теоремы синусов.

§ 60. Решение треугольников

Решением треугольников называется нахождение всех его элементов (сторон и углов), если известны три из них. Рассмотрим основные случаи решения треугольников.

I. Известны две стороны треугольника и заключенный между ними угол. Пусть, например, даны стороны ВС = ау АС = Ь и угол С. По теореме косинусов мы можем определить сторону с:

с* = а* + bl — 2ab cos С.

После вычисления стороны с углы А и В могут быть найдены с помощью той же теоремы косинусов. В самом деле, написав

a*=b* + c% — 2bccosA9

мы найдем:

откуда с помощью таблиц можно определить угол А. Аналогично определяется и угол В. (Можно также определить угол В из формулы В = 180° — А — С.)

Пример. Дано: а = 50,8; £ = 32,3; С = 23°30'. Найти с, А и В. Решение. По таблицам (или с помощью логарифмической линейки) находим:

cosC= cos 23°30' = 0,917. Далее, по теореме косинусов получаем:

откуда находим: с =^24,8.

Второй раз теорему косинусов применяем для определения угла А:

Отсюда имеем:

Наконец,

II. Известны сторона треугольника и два прилежащих к ней угла. Пусть, например, даны сторона АВ — с и углы А и В.

Прежде всего из соотношения LC — 180° мы можем определить угол С. Далее, для нахождения сторон а и Ъ можно воспользоваться теоремой синусов. В самом деле, из равенств

легко находим:

Пример: Дано: с = 48,8; А — 106е; £ = 25в20'. Найти л, Ь и С. Решение. Прежде всего находим:

Далее, применим теорему синусов. Для этого найдем синусы углов треугольника:

Используя эти значения, получаем:

III. Известны три стороны треугольника. В этом случае для нахождения углов треугольника пользуются теоремой косинусов, из которой следует:

(ср. со случаем I).

Пример. Дано: я = 28; # = 35; с = 42. Найти Л, /?, С. Решение. Из теоремы косинусов находим:

откуда получаем: Аналогично

и, следовательно,

Наконец,

Замечание. Иногда встречаются и иные случаи решения треугольников. Например, может случиться, что заданными тремя элементами являются три медианы треугольника или, скажем, два угла и площадь и т. и. Разумеется, три заданных элемента треугольника должны однозначно определить этот треугольник, так как иначе «решить> треугольник по этим трем элементам невозможно. Например, задача «решить треугольник по заданным трем его углам» не может быть поставлена, так как задание трех углов не определяет треугольника (любой треугольник, подобный искомому, имеет те же углы).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Часть I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ГЛАВА I. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Определение осевой симметрии

1. Перерисуйте в тетрадь фигуры, изображенные на рисунке 135. Для каждой из этих фигур изобразите фигуру, симметричную ей относительно оси.

2. Укажите оси симметрии фигур, изображенных на рисунке 136.

3. Какие из заглавных букв русского алфавита (рис. 137)

симметричны? Какие из них имеют несколько осей симметрии?

4, Может ли фигура иметь бесконечно много осей симметрии?

Перегибание листа бумаги

5. На листе бумаги изображены три точки А, В и С. С помощью перегибания листа бумаги, без помощи каких бы то ни было геометрических инструментов, отметьте:

а) центр вписанной окружности треугольника ABC;

б) центр описанной окружности треугольника ЛВС.

6. На листе бумаги отмечены две точки Л и В. С помощью перегибания листа бумаги изобразите квадрат со стороной А В.

Рис. 135.

Свойства осевой симметрии

7. Даны прямая / и точка Л, не лежащая на этой прямой. Постройте точку Л', симметричную точке Л относительно прямой /.

8. Даны прямая I и отрезок А В. Постройте отрезок А'В\ симметричный отрезку А В относительно прямой /.

Рассмотрите разные случаи расположения отрезка А В относительно прямой /.

Рис. 136.

9. Даны прямая / и четырехугольник A BCD. Постройте четырехугольник A'B'C'D', симметричный четырехугольнику ABCD относительно прямой /.

10. Даны прямая / и окружность F. Постройте окружность F, симметричную окружности F относительно прямой /.

Рассмотрите различные случаи расположения прямой I и окружности F.

АБВГДЕЖЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЙЬЭЮЯ

Рис. 137.

11. Даны две точки А и В\ постройте такую прямую /, что А и В симметричны друг другу относительно /.

12. Даны две прямые а и Ъ\ постройте такую прямую /, что а и Ь симметричны друг другу относительно /.

13. Какие прямые переходят сами в себя при симметрии относительно прямой /?

14. Пусть ABC и А'В'С — два треугольника, симметричные друг другу относительно некоторой прямой I. Докажите, что точка М пересечения медиан треугольника ABC симметрична

относительно прямой I точке М' пересечения медиан треугольника А'В'С.

15. Какие из перечисленных ниже фигур имеют оси симметрии: отрезок; разносторонний треугольник; равнобедренный треугольник; равносторонний треугольник; параллелограмм; прямоугольник; ромб; квадрат; неравнобочная трапеция; равнобочная трапеция; правильный пятиугольник; правильный п-угольник?

Укажите в каждом случае число осей симметрии.

16. Укажите оси симметрии многоугольников, изображенных на рисунке 138. Для каждой из вершин этих многоугольников укажите вершину, симметричную ей относительно оси симметрии.

17. Какие из следующих фигур имеют оси симметрии: круг; полукруг; сектор; сегмент; линза, образованная пересечением двух неравных кругов; линза, образованная пересечением двух равных кругов; кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями; кольцо, образованное двумя эксцентрическими (т. е. не концентрическими) окружностями?

Какие из этих фигур имеют больше одной оси симметрии?

18. Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось симметрии.

19. а) Перечислите все виды выпуклых четырехугольников, имеющих ось симметрии.

б) Перечислите все виды выпуклых четырехугольников, имеющих две или больше осей симметрии.

20. Какое наибольшее число осей симметрии может иметь четырехугольник?

Рис. 138.

Применение осей симметрии к доказательству теорем

21. Какие свойства ромба вытекают из существования у него осей симметрии?

22. Какие известные вам свойства равнобочной трапеции вытекают из существования у нее оси симметрии?

23. Докажите, что прямая, соединяющая середины оснований равнобочной трапеции, перпендикулярна основаниям.

24. Через произвольную точку М биссектрисы угла ABC проведен к ней перпендикуляр, пересекающий стороны угла в точках Р и Q. Докажите, что эти точки симметричны относительно прямой ВМ.

25. На равных сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки AM и CN. Докажите, что

а) отрезки СМ и AN равны;

б) точка пересечения прямых СМ и AM принадлежит биссектрисе BD треугольника.

26. На боковых сторонах А В и ВС равнобедренного треугольника ABC вне его построены квадраты ABKL и BCMN. Докажите, что AM = CL и AN — CK\ докажите также, что отрезки AM и CL, AN и С К пересекаются на высоте BD треугольника ЛВС.

27. Докажите, что если прямая, соединяющая середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция — равнобочная.

28. Докажите, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей равнобочной трапеции с точкой пересечения продолжений боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.

29. На стороне В А угла ABC отложены отрезки ВМ и BN, а на стороне ВС — равные им отрезки BP = ВМ и BQ = BN. Докажите, что отрезки MQ и NP пересекаются на биссектрисе угла ЛВС.

30. Докажите, что линия центров двух пересекающихся окружностей делит пополам их общую хорду.

31. На касательных МА и MB, проведенных к окружности из одной точки М, отложены равные отрезки МК и ML; Л и В — точки окружности. Докажите, что

а) точки К и L равноудалены от центра О окружности;

б) три прямые AL, В/С и МО пересекаются в одной точке.

32. Две окружности пересекаются в точках Л и В. Докажите, что угол между касательными к окружностям, проведенными в точке Л, равен углу между касательными, проведенными в точке В.

33. Докажите, что общие внешние касательные двух окружностей пересекаются на линии центров или параллельны ей; общие внутренние касательные пересекаются на линии центров.

34. Прямая пересекает одну из двух концентрических окружностей в точках Л, В, а вторую — в точках С, Ь. Докажите, что AC = BD.

35. Окружность S пересекает одну из двух концентрических окружностей в точках Л и В, а вторую —в точках С и D. Докажите, что АВ || CD, AC = BD, AD=BC.

Разные задачи

36. Дана прямая MN и две точки Л и В по одну сторону от MN. Найдите на прямой MN такую точку Q, чтобы прямые AQ и BQ образовывали с MN одинаковые углы.

37. Даны прямая / и две точки Л и В по разные стороны от нее. Найдите на прямой такую точку М, чтобы разность расстояний МЛ и MB была наибольшей.

38. На плоскости даны угол ЛВС и прямая /. Постройте квадрат, две противоположные вершины которого принадлежат прямой /, а две другие— сторонам угла ЛВС.

39. Даны прямая MN и две точки Л и В по одну сторону от нее. Найдите на прямой MN такую точку Q, чтобы было /mAQM = 2/mBQM.

40*. Даны прямая MN и две точки Л и В по одну сторону от MN. Найдите на прямой MN такую точку Q, чтобы было Z. AQM = 2 /_ BQN.

41*. Постройте четырехугольник Л BCD, у которого диагональ АС является биссектрисой угла Л, зная длины всех сторон, четырехугольника.

42. Высоты АР и BQ треугольника ЛВС пересекают описанную вокруг треугольника окружность в точках D и Е. Докажите, что точка, симметричная D относительно прямой ВС, совпадает с точкой, симметричной Е относительно прямой АС.

Выведите отсюда, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

43. Докажите, что из всех треугольников с данными основаниями и высотой равнобедренный имеет наименьший периметр.

44. Даны прямая / и две точки Р и Q по одну сторону от I. Укажите на прямой / такую точку /?, чтобы периметр треугольника PQR был наименьшим.

45*. Даны угол ЛВС и внутри него точка Р. Постройте треугольник PQR наименьшего периметра, одна вершина которого совпадает с точкой Р, а две другие принадлежат сторонам данного угла.

46*. Докажите, что если фигура имеет две оси симметрии I и /ь то и прямая /2, симметричная I относительно прямой /ь также является осью симметрии фигуры.

47*. Докажите, что если фигура имеет только две оси симметрии, то эти оси симметрии взаимно перпендикулярны.

ГЛАВА II. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Определение центральной симметрии

48. Перерисуйте в тетрадь фигуры, изображенные на рисунке 139. Для каждой из этих фигур постройте фигуру, симметричную ей относительно точки О.

49. Какие из заглавных букв русского алфавита (рис 137) имеют центр симметрии?

50. Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет и центр симметрии.

51. Обязательно ли точка пересечения осей симметрии плоской фигуры F будет ее центром симметрии?

Рис. 139.

* Звездочкой отмечены задачи повышенной трудности.

Свойства центральной симметрии

52. Даны две точки О, А. Постройте точку А\ симметричную точке А относительно точки О.

53. Даны три точки О, Л, В. Постройте отрезок А'В', симметричный отрезку А В относительно точки О. Рассмотрите различные случаи расположения отрезка АВ и точки О.

54. Даны точка О и четырехугольник A BCD. Постройте четырехугольник A'B'C'D', симметричный четырехугольнику A BCD относительно точки О.

55. Даны точка О и окружность F. Постройте окружность F9 симметричную окружности F относительно точки О.

Рассмотрите различные случаи расположения точки О и окружности F.

56. Сколько центров симметрии имеет фигура, образованная двумя пересекающимися прямыми? Сколько центров симметрии имеет фигура, образованная двумя параллельными прямыми?

57. Два треугольника симметричны друг другу относительно точки О. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников симметричны относительно точки О.

58. Пусть D, Е, F — середины сторон треугольника АВС\ Лоточка пересечения его медиан; К, L, Л/—середины отрезков МА, MB и МС. Докажите, что треугольник KLN равен треугольнику DEF.

59. Какую форму может иметь пересечение треугольника ABC и треугольника А'В'С, симметричного ABC относительно некоторой точки О?

60. Какие из следующих фигур имеют центр симметрии: разносторонний треугольник; равносторонний треугольник; отрезок; луч; прямая; угол; пара вертикальных углов; полоса, заключенная между двумя параллельными прямыми; трапеция; прямоугольник; правильный шестиугольник; правильный п-угольник?

Какие из этих фигур имеют больше одного центра симметрии?

61. Какие из следующих фигур имеют центр симметрии: окружность; круг; сектор; сегмент; кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями; кольцо, образованное двумя эксцентрическими (т. е. не концентрическими) окружностями; линза, образованная пересечением двух равных кругов; линза, образованная пересечением двух неравных кругов.

62. Докажите, что никакой многоугольник с нечетным числом сторон не имеет центра симметрии.

Центр симметрии параллелограмма

63. Докажите, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то этот четырехугольник — параллелограмм.

64. Докажите, что если шестиугольник имеет центр симметрии, то противоположные стороны ею равны и параллельны.

Обратно, если противоположные стороны шестиугольника равны и параллельны, то этот шестиугольник имеет центр симметрии.

65. Может ли центрально-симметричный шестиугольник не являться правильным?

66. Прямая ЕР, проходящая через центр О параллелограмма A BCD, пересекает противоположные стороны АВ и CD параллелограмма в точках Е и Р. Докажите, что AE — CF.

67. На противоположных сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD отложены равные отрезки: AM = CN. Докажите, что прямая MN проходит через центр параллелограмма.

68. Прямые MN и PQ, проходящие через центр О параллелограмма A BCD, пересекают противоположные стороны параллелограмма в точках М и N, Р и Q. Докажите, что MP — NQ.

69. Пусть A BCD — параллелограмм, Л,, Вх, Сь D{—такие точки на продолжениях его сторон, что В есть середина отрезка ЛЛЬ С — середина отрезка ВВ{, D — середина отрезка ССХ и А—середина отрезка DDX. Докажите, что четырехугольник AXB\CXD\ —параллелограмм.

70. На противоположных сторонах АВ и CD параллелограмма A BCD вне его построены равные треугольники ABE и CDF, причем так, что AE = CF, BE = DF. Докажите, что отрезок EF проходит через точку О пересечения диагоналей параллелограмма A BCD и делится в этой точке пополам.

71. ABCD — параллелограмм, Qx и Q2 — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC и ADC. Докажите, что отрезки AC, BD и QjQ2 пересекаются в одной точке.

72. На сторонах параллелограмма вне его построены правильные пятиугольники. Докажите, что их центры образуют параллелограмм.

Разные задачи

73. Выведите из свойств центральной симметрии теорему о равенстве вертикальных углов.

74. Пусть А и В, С и D — диаметрально противоположные точки двух концентрических окружностей. Докажите, что отрезки АС и BD равны и параллельны (или принадлежат одной прямой).

75. В окружности с центром О проведены равные и параллельные хорды А В и CD. Далее, выбраны такие точки М и N, лежащие вне полосы между прямыми А В и CD, что д АВМ = = a CDN. Докажите, что отрезок MN либо перпендикулярен прямой А В, либо проходит через точку О.

76. В четырехугольнике ABCD диагональ BD делится в точке О пересечения диагоналей пополам. Докажите, что если OA ОС, то / Л<^С.

77*. Может ли ограниченная фигура иметь два разных центра симметрии? А неограниченная фигура?

78*. Пусть Z — ось симметрии фигуры F, а О — ее центр симметрии. Докажите, что точка Оь симметричная О относительно прямой /, также является центром симметрии фигуры F.

79. Через данную точку Q проведите прямую так, чтобы отрезок, заключенный между точкой пересечения этой прямой с данной прямой I и с данной окружностью F, делился точкой Q пополам.

80. Через точку Л пересечения двух окружностей F и G проведите прямую так, чтобы обе окружности высекали на этой прямой равные хорды.

ГЛАВА III. ПОВОРОТ

Определение поворота

81. Перерисуйте в тетрадь изображенную на рисунке 140 фигуру F; изобразите на том же чертеже фигуру F', полученную из F поворотом вокруг точки О на угол + 90°; заштрихуйте общую часть фигур F и F.

82. Фигура Ft получается из фигуры F поворотом вокруг точки О на угол + 90°, а фигура F% получается из F поворотом вокруг той же точки О на угол — 90°. Докажите, что фигура F2 симметрична Ft относительно точки О.

83. Фигура F получается из фигуры F поворотом вокруг точки О на угол а. Докажите, что фигура F также может быть получена из фигуры F' некоторым поворотом.

84*. Докажите, что если фигура F имеет две оси симметрии lt и /2, пересекающиеся в точке О и образующие между собой угол а, то F переходит в себя при повороте вокруг точки О на угол 2а.

Свойства поворота

85. Даны две различные точки О и Л. Постройте точки, получающиеся из точки А поворотом вокруг точки О на угол: 1) +45°; 2) --60°; 3) -135°; 4) +180°.

86. Даны три различные точки О, Л, В и угол а. Постройте отрезок А'В', получающийся из отрезка А В поворотом вокруг точки О на угол а.

Рис. 140.

87. Дан ромб, один угол которого равен 60°. Постройте ромб, получающийся из данного ромба поворотом вокруг его центра на угол —90°.

88. Постройте окружность, получающуюся из данной окружности поворотом на угол -j-45° вокруг известной точки О. Рассмотрите различные случаи расположения точки О и данной окружности.

89. Для каких а существуют прямые, переходящие сами в себя при повороте вокруг точки О на угол а? Что это за прямые?

90. Треугольник А'В'С получен из треугольника ABC поворотом вокруг некоторой точки О на угол 4-90°. Докажите, что медиана А'М' треугольника А'В'С перпендикулярна медиане AM треугольника ABC.

91. Даны два равных непараллельных (и не лежащих на одной прямой) отрезка АВ и CD. Докажите, что всегда существует единственный поворот, переводящий точку А в точку С, а точку В — в точку D.

92*. Пусть АВ и CD — два равных отрезка, М—точка пересечения прямых А В и CD, F и G — окружности, описанные вокруг треугольников АСМ и BDM, N — отличная от М точка пересечения этих окружностей (рис. 141). Докажите, что отрезок А В можно перевести в отрезок CD поворотом вокруг точки N.

Разберите отдельно случай, когда окружности F и G касаются друг друга в точке М.

Рис. 141.

Разные задачи

93. Даны три концентрические окружности. Постройте равносторонний треугольник, вершины которого принадлежат этим окружностям.

94. Даны угол и внутри него точка А. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершина прямого угла которого совпадает с точкой Л, а две другие вершины принадлежат сторонам угла.

95. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC построены квадраты ABMN и BCPQ, причем квадрат ABMN и треугольник ABC расположены по разные стороны от прямой АВ, а квадрат BCPQ и треугольник ABC — по одну сторону от прямой ВС. Докажите, что отрезок MQ равен стороне АС и перпендикулярен этой стороне.

96. Даны две прямые 1{ и /2, точка А и угол а. Проведите такую окружность с центром Л, чтобы одна из дуг этой окруж-

гюсти, концы которой принадлежат прямым /х и I*, по угловой мере была равна а.

97*. На последовательных отрезках А В и ВС прямой А С по одну сторону от нее построены равносторонние треугольники ABE и BCF. Пусть М — середина отрезка AF, N — середина отрезка СЕ. Докажите, что треугольник BMN — равносторонний.

98*. На сторонах АВ и АС треугольника ABC вне его построены квадраты ABMN и ACPQ. Докажите, что медиана АЕ треугольника ABC перпендикулярна стороне NQ треугольника ANQ и равна ее половине.

99. При повороте на какой угол вокруг точки пересечения медиан равносторонний треугольник переходит сам в себя?

100. Через точку О пересечения медиан правильного треугольника ABC проведены две прямые MN и PQ, образующие между собой угол 60°; пусть М, N и Р, Q — точки пересечения этих прямых со сторонами треугольника. Докажите, что MN = PQ.

101*. На сторонах АВ и АС правильного треугольника ABC отложены такие отрезки AD и АЕ, что AD-\- АЕ = АВ. Через О обозначим точку пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что OD = OE и что £ DOE= 120°.

102. Некоторая прямая пересекает стороны А В и CD квадрата A BCD (или их продолжения) в точках М и N; перпендикулярная к ней прямая пересекает стороны ВС и AD (или их продолжения) в точках Р и Q. Докажите, что MN = PQ.

ГЛАВА IV. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Вектор, равенство векторов

103. Изобразите на чертеже несколько разных векторов, имеющих одинаковую длину.

104. На плоскости даны две различные точки А, В. Справедливы ли равенства: 1) АВ = ВА; 2) \ АВ\ = \ВА\?

105. Перерисуйте в тетрадь изображенные на рисунке 142 точки А у В, С, D, О; отложите от точки О векторы, равные векторам АВ, AC, AD, ВА, BC,W,CD и DC.

Определение параллельного переноса

106. Перерисуйте в тетрадь изображенную на рисунке 143 фигуру F и отрезок

Рис. 142.

Рис. 143.

MN; изобразите на том же чертеже фигуры Ft и F9, получающиеся из фигуры F параллельными переносами на векторы MN и NM.

107. Фигура F получается из фигуры Р при помощи параллельного переноса. Докажите, что и фигура F получается из фигуры F при помощи некоторого параллельного переноса.

108. Пусть фигура F получается из фигуры F параллельным переносом на вектор а. Соединим отрезком каждую точку А фигуры F с соответствующей ей точкой А! фигуры F и разделим этот отрезок пополам. Докажите, что множество всех точек деления образует фигуру С, также получающуюся из фигуры F некоторым параллельным переносом.

109*. Докажите, что если фигура F имеет две параллельные оси симметрии 1Х и /2, то она переводится в себя некоторым параллельным переносом. Укажите примеры таких фигур.

Свойства параллельного переноса

110. Дан треугольник ABC. Постройте треугольники, получающиеся из данного треугольника параллельным переносом 1) на вектор АВ; 2) на вектор ВС; 3) на вектор СЛ.

111. Дан параллелограмм A BCD с центром О. Постройте параллелограмм, получающийся из данного параллельным переносом: 1) на вектор АО; 2) на вектор ОС; 3) на вектор ОЛ.

112. Длина вектора а равна диаметру окружности F. Докажите, что окружность F, получаемая из окружности F параллельным переносом на вектор а, касается окружности F.

113. Треугольник А'В'С получен |параллельным переносом из треугольника ЛВС. Докажите, что соответствующие медианы треугольников ABC и А'В'С параллельны (или расположены на одной прямой).

114. Треугольник А'В'С получается из треугольника ABC параллельным переносом; О и О' — центры вписанных окружностей треугольников ABC и А'В'С, a Q и Q' — центры их описанных окружностей. Докажите, что 00' = QQ'.

115. На сторонах АВ и DC параллелограмма ABCD со сторонами АВ = а и ВС = Ь построены равные треугольники АВМ и DCN, где AM=DNf BM — CN, причем треугольник АВМ лежит вне параллелограмма, а треугольник DCN — с той же стороны от прямой DC, что и параллелограмм A BCD. Чему равно расстояние между точками М и №

116. К двум равным окружностям F и Ft с центрами в точках О и 0{ проведены параллельные касательные I и /ь причем / касается окружности F в точке М9 а 1Х касается окружности Ft в точке Мх. Докажите, что прямая ММХ либо параллельна отрезку 00и либо проходит через его середину.

117. На противоположных сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены квадраты; Qx и Q2 — их центры. Докажите, что либо QXQ21| ВС, либо отрезок QXQ2 проходит через центр параллелограмма.

118. Пусть F, D и Е — середины сторон АВ, ВС и С А треугольника ABC; центры окружностей, описанных вокруг треугольников AEFy BDF и CDE, мы обозначим через Оь 02 и 03, а центры окружностей, вписанных в те же треугольники, —через Qb q2 и Q3. Докажите, что треугольники 0x0*0$ и q1q2q3 равны.

Разные задачи

119. Даны окружность F и две прямые I и Л'Ш. Постройте отрезок Л В данной длины а так, чтобы он был параллелен прямой MN и чтобы один конец его принадлежал прямой /, а другой — окружности F.

120. Деревни Л и В разделяются двумя реками (берега которых мы считаем параллельными прямыми; рис. 144). Как надо расположить мосты MN и PQ через эти реки (мосты ставятся перпендикулярно направлению реки), чтобы путь AMNPQB из деревни Л в деревню В был кратчайшим?

121. Постройте трапецию, зная ее основания и боковые стороны.

122. Докажите, что если стороны одной трапеции равны соответствующим сторонам второй трапеции, то эти трапеции равны.

123. Постройте трапецию, зная ее диагонали, угол между диагоналями и одну из боковых сторон.

124. Постройте четырехугольник ABCD, зная все его стороны и угол между продолжениями сторон Л В и CD.

Рис. 144. Рис. 145.

125*. Даны две окружности F и С и прямая /. Проведите прямую, параллельную прямой /, на которой окружности F и G высекают равные хорды.

126*. По одну сторону от железной дороги (которую мы представляем себе в виде прямой линии) расположены две деревни Л и В (рис. 145). Где надо расположить на железной дороге платформу MN данной длины а, чтобы общая длина дорог AM и BN, которые надо провести для соединения станции с деревнями Л и В, была наименьшей?

ГЛАВА V. ГОМОТЕТИЯ

Определение гомотетии

127. Пусть фигура F получается из фигуры F гомотетией с центром О и коэффициентом k. Докажите, что и фигура F получается из фигуры F при помощи некоторой гомотетии. Каков будет коэффициент этой гомотетии?

128. Фигуры Fx и F* гомотетичны одной и той же фигуре F с центром гомотетии О и коэффициентами гомотетии kx и k2. Докажите, что эти фигуры гомотетичны между собой. Каков будет коэффициент гомотетии?

129. Докажите, что фигуры F и гомотетичные фигуре F с центром О и коэффициентами k и — /г, симметричны относительно точки О.

Свойства гомотетии

130. Пусть точка О совпадает с серединой стороны Л В треугольника ЛВС Постройте треугольник Л'В'С, гомотетичный треугольнику ЛВС с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии: 1) fe = ~-; 2) k=—-~; 3) k = 2\ 4) k = — 2.

131. Постройте параллелограмм, гомотетичный данному параллелограмму ABCD с центром гомотетии в точке Q, делящей диагональ АС в отношении AQ:QC= 1:2, и коэффициентом гомотетии к— — ~.

132. Постройте четырехугольник, гомотетичный данному четырехугольнику ABCD с коэффициентом гомотетии & = у и данным центром гомотетии, лежащим вне четырехугольника.

133. Постройте окружность F', гомотетичную данной окружности F с данным центром гомотетии О и коэффициентом у.

Рассмотрите различные случаи расположения точки О и окру лености.

134. Треугольник А'В'С получен из треугольника ABC некоторой гомотетией. Докажите, что биссектрисы треугольника А'В С параллельны биссектрисам треугольника ABC.

135*. Стороны треугольника А'В'С параллельны соответствующим им сторонам треугольника ABC. Докажите, что треугольник А'В'С можно получить из треугольника ABC при помощи гомотетии или параллельного переноса.

136. Треугольник А'В'С получается из треугольника ABC гомотетией с центром О и коэффициентом —Чему равно отношение периметра треугольника А'В'С к периметру треугольника ABC? Чему равно отношение площади треугольника А'В'С к площади треугольника ABC?

137. На основаниях АВ и CD трапеции вне трапеции построены квадраты. Докажите, что прямая, соединяющая их центры, проходит через точку Е пересечения диагоналей трапеции.

138*. Докажите, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон и через точку пересечения диагоналей.

139. На сторонах АВ к АС треугольника ABC взяты такие точки М и iV, что MN \\ ВС. Докажите, что прямая, соединяющая центры окружностей, описанных вокруг треугольников ABC и AMN, проходит через точку А.

140. Что представляет собой множество середин всех хорд окружности Р, проходящих через фиксированную ее точку А?

141. Дана окружность и на ней три точки Л, В и С. Проведите через точку А такую хорду AD, которая делилась бы хордой ВС пополам.

142. Через точку касания М двух окружностей F и G проведена секущая, пересекающая второй раз окружности F и G в точках Л и В. Докажите, что касательные к окружностям Ри С в точках Л и В параллельны.

143. Через точку М касания двух окружностей F и G проведены секущие k и I, пересекающие окружность F в точках Л и В, а окружность G — в точках С и D. Докажите, что прямые Л В и CD параллельны.

144. Докажите, что точка пересечения общих внешних касательных двух окружностей является центром гомотетии, переводящей одну из этих окружностей во вторую. Докажите то же и для точки пересечения общих внутренних касательных.

145*. Даны две окружности F и G. Докажите, что либо существуют две гомотетии, переводящие окружность F в окружность G, либо одна гомотетия и параллельный перенос. Что представляет собой гомотетия, переводящая окружность Р в окружность G, если F можно перевести в G также и параллельным переносом?

146. Через точку М пересечения общих внутренних касательных k и / окружностей F и С проведена секущая, пересекающая окружность F в точках Л и В, а окружность G— в точках С и Ь; прямая k касается окружностей F и G в точках Р и Q. Докажите, что треугольник АВР подобен треугольнику CDQ.

147. Пусть М — точка пересечения продолжений боковых сторон AD и ВС трапеции ABCD, N — точка пересечения ее диагоналей. Докажите, что:

а) окружности F и G, описанные вокруг треугольников АВМ и DCM, касаются между собой;

б) окружности Fx и Gu описанные вокруг треугольников ABN и DCN, касаются между собой;

в) радиусы окружностей Fx и Gx относятся, как радиусы окружностей F и С.

Разные задачи

148. Даны две окружности F и G и точка М. Найдите на окружности F такую точку Л, а на окружности G — такую точку В, что точки Л, В, М лежат на одной прямой и AM: МВ = = 2:3.

149. На стороне ВА угла ABC дана точка М. Найдите на этой же стороне точку Л/, расстояние которой от точки М в два раза больше расстояния до стороны ВС угла.

150. Впишите в данный треугольник ABC другой треугольник MNP, стороны которого параллельны трем данным прямым т, /г, р.

151. На стороне АВ треугольника ABC от его вершин Л и В отложены равные отрезки AM = BN; через точки М и N проведены прямые, параллельные сторонам АС и ВС треугольника. Докажите, что точка пересечения этих прямых лежит на медиане CD треугольника ЛВС.

152. Дан треугольник ЛВС. Найдите внутри него такую точку М, расстояния от которой до сторон ЛВ, ВС и СЛ треугольника относятся друг к другу, как 1:2:3.

153. Впишите в данный сектор ЛОВ окружность, касающуюся радиусов OA и О В и дуги Л В сектора.

154. Впишите в данный угол ЛОВ окружность F, проходящую через известную точку М.

155*. Через середины £>, Е и F сторон треугольника ЛВС проведены прямые, параллельные биссектрисам противолежащих углов. Докажите, что: а) эти три прямые пересекаются в одной точке Q; б) точка Q лежит на одной прямой с точкой М пересечения медиан треугольника и центром О вписанной в треугольник окружности, причем QM : МО= 1: 2.

156*. Соедините данную точку М с точкой N пересечения двух заданных прямых а и 6, если точка N находится за пре-

делами доступной нам области плоскости, например за пределами листа бумаги или доски, на которых осуществляется построение (рис. 146).

Рис. 146.

Общее определение подобия

157. Докажите, что два круговых сектора подобны в том, и только в том случае, если они имеют одинаковый центральный угол.

158. Докажите, что два круговых сегмента подобны в том, и только в том случае, если ограничивающие их дуги имеют одинаковую угловую меру.

159. Докажите, что два кольца, образованные парой концентрических окружностей, подобны в том, и только в том случае, если одинаковы отношения радиусов окружностей, образующих кольцо.

ГЛАВА VI. ПОНЯТИЕ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ

Сложение геометрических преобразований

160. Отличается ли сумма симметрии относительно точки 0А и симметрии относительно точки Оа от суммы симметрии относительно точки 02 и симметрии относительно точки Ot (обратите внимание на порядок, в котором берутся рассматриваемые преобразования)?

161. Что представляет собой сумма симметрии относительно двух параллельных прямых / и ш?

162. Что представляет собой сумма симметрии относительно двух пересекающихся прямых I и т?

163. В каком случае сумма симметрии относительно двух прямых / и т не зависит от порядка, в котором осуществляются эти преобразования?

164. Докажите, что сумма гомотетии с центром О и коэффициентом k и симметрии относительно точки О представляет собой гомотетию с центром О и коэффициентом —k.

Движения

165. Докажите, что сумма двух движений всегда также представляет собой движение.

166. Каким должен быть коэффициент гомотетии для того, чтобы это преобразование представляло собой движение?

167. В каких случаях сумма гомотетии с центром Ох и коэффициентом kx и гомотетии с центром Оа и коэффициентом k% представляет собой движение?

Часть II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ГЛАВА I. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Сумма векторов

168. Пусть ABCD — произвольный четырехугольник. Докажите, что

AB + BC=AD + DC.

169. Пусть ABCDE — произвольный пятиугольник. Выразите векторы Л С, AD, С A, DA в виде сумм векторов, по величине и направлению совпадающих со сторонами пятиугольника.

170. Докажите, что:

а) если векторы а и Ь параллельны и одинаково направлены, то вектор а-\-Ъ также параллелен им, направлен в ту же сторону и имеет длину а-\-Ь\

б) если векторы а и Ь параллельны и противоположно направлены, причем a^>bt то вектор а-\-Ь также параллелен а й 6, его направление совпадает с направлением вектора а, а длина равна а — Ь.

171. Докажите, что для любых векторов а и Ь справедливы неравенства:

a — b^\a~\-b\^a + b.

В каком случае справедливы равенства: 1) \a-\-b\ = a-\-b\ 2) \a + b\=a — b?

172. а) На числовой оси с нулевой отметкой в точке О взяты точки Л и В, которым соответствуют числа а и Ь. Точку, которой соответствует число a -f- 6, обозначим через С. Докажите, что OA -f ОВ = ОС. Рассмотрите случаи: 1) а = 2, 6 = 3; 2) а = 3, Ь = — 2; 3) а = 2, Ь = — 6; 4) а = —2, 6 = 5; 5) а = — 1, 6 = = — 3.

б) На числовой оси с нулевой отметкой в точке О взяты точки Л и В, которым соответствуют числа а и Ь. Отложим от точки В вектор, равный OA. В какой точке окончится полученный вектор?

173. Может ли длина вектора а-\-Ь быть меньше, чем длина каждого из векторов a, ft?

174. Векторы АВ—р и AF = q служат двумя смежными сторонами правильного шестиугольника ABCDEF. Выразите через р и q векторы ВС, CD, FE, ED, идущие по сторонам этого шестиугольника.

175. Точки Л, В, С, D — вершины прямоугольника, О — его центр. Какие векторы, начинающиеся и кончающиеся в точках Л, В, С, D, О, равны между собой? Какие из них представляются в виде суммы двух других?

Сумма параллельных переносов

176. Точки Л, В, С, D являются вершинами параллелограмма ABCD. Что представляет собой сумма двух параллельных переносов на векторы Л В и С В?

177. Постройте прямоугольный треугольник, катеты которого равны и параллельны двум данным взаимно перпендикулярным отрезкам, а концы гипотенузы лежат на двух данных окружностях.

178. ABCDE — правильный пятиугольник. Сумма параллельных переносов на векторы Л В и ВС переводит некоторую точку М в N, а сумма параллельных переносов на векторы CD и ЕА переводит эту же точку М в другую точку Р. Докажите, что точки М, N н Р лежат на одной прямой. Какой стороне пятиугольника параллельна эта прямая?

Коммутативность сложения. Правило параллелограмма

179. Докажите равенство а~\-Ъ=Ъ-\-а в случае, когда векторы а и 6 параллельны, используя результат задачи 172, а).

180. От точки О пересечения двух прямых lt и /2 отложен вектор OA —а, не идущий ни по одной из этих прямых. Можно ли вектор а представить в виде суммы двух векторов, направленных по прямым li и /2? Как это сделать?

181. Докажите, что сумма двух векторов только в том случае равна нулевому вектору, если эти векторы противоположны.

182. Докажите, что если AB = CD, то и AC = BD- Сохраняет ли силу это утверждение, если заменить в нем направленные отрезки (векторы) обыкновенными отрезками?

183. Докажите, что точки Л и В в том, и только в том случае можно перевести параллельным переносом в точки С и D, если AB — CD.

184. Груз Р весом 1 т поддерживается двумя стержнями Л В и СВ, прикрепленными к стенке с помощью шарниров (рис. 147). Найдите усилия, возникающие в стержнях, если Z СЛВ = 90°, L ЛСВ = 60°.

185, Груз Р весом 1 т подвешен в середине троса ЛВС, прикрепленного к крюкам Л и С, расположенным на одной высоте.

Рис. 147.

Рис. 148.

Определите натяжение троса на участках АВ и ВС, если длина троса равна 2а, а ЛС = а"^2 (рис. 148).

Ассоциативность, сумма нескольких векторов, условие замкнутости

186. Найдите сумму векторов АВ, 7ЛА, ВМ (Л, В, УИ-—три данные точки).

187. Точки Л, В, С, D — вершины параллелограмма, О — его центр. Каким векторам равны суммы:

(АВ + Щ-\-бА\ (BC + O4) + 0D; Ш + BC + DO + CD?

188. Существует ли пятиугольник, стороны которого равны и параллельны диагоналям произвольного заданного пятиугольника?

Вычитание векторов

189. Точки Л, В, С, D — вершины параллелограмма, О —его центр. Выразите векторы ЛВ, ВС, CD и DA, являющиеся сторонами этого параллелограмма, через векторы а = АО и Ь = ВО-

190. Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF. Выразите векторы ОЛ, ОВ, ОС, OD через векторы ОЕ—рк OF = q.

191. На векторах АВ = а и AD = b построен параллелограмм ABCD. Какой из векторов, соединяющих вершины параллелограмма, равен сумме a -f- Ь? разности а — Ь?

192. На плоскости заданы параллелограмм ABCD и точка О. Докажите, что OA + OC = OB + OD.

193. Докажите, что если четырехугольник A BCD обладает тем свойством, что OA-\-OC = OB-\-OD, где О — некоторая точка плоскости, то ABCD — параллелограмм.

194. Рассматривая параллелограмм, построенный на векторах а и &, проверьте правильность соотношения:

(а — Ь)-\-Ь = а.

195. На числовой оси с нулевой отметкой в точке О взяты точки Л и В, которым соответствуют числа а и Ь. Точку, которой соответствует число а — Ь, обозначим через С. Докажите, что ОА—ОВ = ОС.

196. Определите неизвестный вектор х из равенства

1) а-\-х — Ь = а-\-с\

2) а — х = с — Ь-\-а.

197. Докажите, что длина вектора а — & не превосходит суммы длин векторов а и &, но не меньше разности этих длин.

В каком случае выполняется каждое из следующих равенств:

1) \a-b\ = a + b;

2) \а — Ь\=а — Ь;

3) \а — Ъ\ = Ь — а.

198. Докажите, что если ~AB = D~E и AC = DP, то BC = EF. Сохраняет ли силу это утверждение, если заменить в нем направленные отрезки (векторы) обыкновенными отрезками?

Противоположные векторы

199. Докажите, что если фигура Fx получается из F параллельным переносом на вектор АВ, то фигура F получается из РА параллельным переносом на противоположный вектор ВЛ.

200. Даны две точки М и N. Найдите такую точку Р, что векторы MP и NP противоположны.

ГЛАВА II. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Определение произведения вектора на число

201. Изобразите какой-либо вектор а. Постройте следующие векторы:

202. Изобразите два непараллельных вектора а и Ь. Постройте векторы:

а + 2&; — /2а — б; — 3a + ~ft; -|a — 2&.

203. Пусть точки М и iV —середины сторон ЛС и ВС треугольника ЛВС. Докажите, что

Ш==~(СВ — СА).

204. Точка Р — середина стороны AD параллелограмма A BCD. Выразите вектор PC через векторы Л В и ЛО.

205. Пусть точки М и N— середины сторон CD и AD параллелограмма A BCD. Выразите вектор MN через векторы СВ = а и DC=b.

206. Векторы ЛС = а и BD=b служат диагоналями параллелограмма A BCD. Выразите через а и Ь векторы Л В,

ВС, CD и ОЛ, направленные по сторонам этого параллелограмма.

207. Докажите, что если точки О, Л и В расположены на одной прямой, причем точки Л и В — по одну сторону от О, то OA = k- ОВ, где k — отношение длин отрезков OA и ОВ. Как изменится это равенство, если точки Л и В расположены по разные стороны от точки О?

208. Докажите, что если а — произвольный вектор, ае— вектор длины 1, параллельный вектору а и направленный в ту же сторону, то а = ае и е=-~а.

209. Даны два непараллельных вектора ОА = а, ОВ = Ь. Докажите, что векторы ОМ =а-\-Ь и ON = ~а-\-~Ьсимметричны относительно биссектрисы угла между векторами а и Ъ.

210. Из точки О выходят два вектора ОЛ = а, ОВ = Ь. Докажите, что вектор OM = ba-\-ab направлен по биссектрисе угла ЛОВ.

211. Докажите, что вектор ОР = Ьа — аЬ направлен по биссектрисе угла, смежного с углом между векторами а = ОА и Ь = ОВ.

212. Обозначим через е вектор, идущий от точки О к точке 1 на числовой оси, и отложим от точки О вектор ke. Какое число будет соответствовать концу этого вектора?

Свойства умножения вектора на число

213. Векторы а и Ь отличны от нулевого вектора и не параллельны. Докажите, что если числа аир удовлетворяют условию aa + pft=^0, то а = 0 и р = 0.

214. Докажите соотношение (k-\-l)a = ka-{-la, воспользовавшись результатами задач 172, а и 212.

215. Определите неизвестный вектор х из уравнения:

П х + а — Ъ = 2а — 3&; 2) 2лг —а + 5& = — г + & + За.

Какие свойства действий над векторами используются при решении этих уравнений?

216. Пусть m = a-f-6, n = a — b\ выразите через а и b векторы: 2т—2п\ Зт + ^-я; —т — ~п.

217. Пусть m = 2a-\-b, п = а-{-2Ь. Выразите векторы 2а — 2&, За + yft» — а —^& через тип.

218. Векторы а и 6 отличны от нулевого вектора и не параллельны. Вычислите аир, если дано:

1) За + 5& = аа + (2р+1)&;

2) (а + р— 1)а + (2а — (3)6 = 0;

3) (2а —р — 1)а —(3a-f-p+ 10)ft = 0;

4) аа + р& = (р+ 1)а —(а— \)Ь.

219. В трапеции ABCD основание AD в раз больше основания ВС. Выразите вектор QD через векторы QA = at QB = b, QC = с (Q — произвольная точка плоскости).

220. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Выразите векторы, направленные по сторонам этого шестиугольника, через векторы АВ — а и_Б/) = &.

221. Векторы АВ=р и AF = q служат двумя смежными сторонами правильного шестиугольника ABCDEF. Выразите через р и q векторы, идущие по диагоналям этого шестиугольника.

222. Докажите, что если Л, В, С, D — середины последовательных сторон четырехугольника, то Л£-}-СО = 0. Выведите отсюда, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

223. Докажите, что если Л, В, С, £>,_£, F — середины последовательных сторон шестиугольника, то АВ -{-CD + EF = 0.

224. Даны две различные точки Л, В и число 6. Найдите такую точку М, что векторы ЛУИ и k-BM

а) равны между собой; б) противоположны.

225. Существует ли в _плоскости треугольника ЛВС такая точка Q, что QA + 2QB +3QC = 0?

226. В треугольнике ЛВС проведены медианы ЛД В£ и С/7. Найдите сумму векторов AD-{- BE + CF.

227*. В треугольнике найдите такую точку, чтобы сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам треугольника, была равна нулевому вектору.

228. В параллелограмме найдите такую точку, чтобы сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам параллелограмма, была равна нулевому вектору. Докажите, что такая точка только одна.

Деление отрезка в данном отношении

229. Точки Ми М2 делят отрезок А В на три равные части; Q—произвольная точка. Выразите векторы QMU QM* через векторы QA=a, QB = b-

230. Точки Си С2, С3 делят отрезок А В па четыре равные части; D — произвольная точка. Выразите векторы DCU DC2, DC3 через векторы DA=a, DB = b.

231. В плоскости взяты три точки А, В и М. На отрезке АВ взята такая точка С, что AC:CB = k. Выразите вектор МС через Ш и Жв.

232*. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD взяты такие точки /С, L, М, N, что

AK:KB = bl:lc = CM:MD = DN: NA=k,

причем число k отлично от 1. Докажите, что если KLMN — параллелограмм, то и ABCD— параллелограмм.

Середина отрезка; центр тяжести треугольника

233. Пусть D, Е, F — середины сторон треугольника ABC, Q — произвольная точка плоскости. Докажите, что

qd-\-qE-\-QF=QA + QB + QC-

234. В окружности с центром О проведены две перпендикулярные хорды АВ и cd, пересекающиеся в точке М. Докажите, что

Ш + 0В + 0С + 0О = 20М.

235. В треугольнике ABC проведена медиана СМ и взята точка N так, что СуИ + СЛ/ = 0. Выразите векторы NA и NB через векторы СА и СВ.

236*. Через точку М, взятую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Они пересекают стороны параллелограмма в точках А, Си В, D. Докажите,что точка пересечения средних линий четырехугольника ABCD является серединой отрезка ОМ, где О — центр данного параллелограмма.

237. Точки М u N являются серединами сторон А В a CD четырехугольника ABCD. Докажите, что

238. В четырехугольнике A BCD положим АВ = т, ВС — п, CD=p. Найдите вектор EF, соединяющий середины диагоналей АС и BD.

239. В четырехугольнике ABCD точки М и N — середины сторон АВ и CD. Докажите, что 2MN^BC-\-AD.

В каком случае имеет место равенство?

240*. В плоскости треугольника дана точка М. Докажите, что точки, симметричные с точкой М относительно середин сторон треугольника, являются вершинами треугольника, центрально-симметричного данному.

241. Докажите, что в произвольном четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

242. Точка М — середина отрезка А В, точка М'— середина отрезка А'В'. Докажите, что середины отрезков АА\ ВВ' и ММ' расположены на одной прямой.

243. Существует ли треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника?

244*. На равных сторонах АС и ВС равнобедренного треугольника ABC взяты такие точки М и N, что CM -\-CN= АС. Докажите, что средняя линия PQt параллельная основанию АВ, делит отрезок MN пополам.

245. Точки М и N — середины сторон АВ и CD четырехугольника A BCD. Докажите, что середины диагоналей четырехугольников AMND и BMNC являются вершинами параллелограмма (или лежат на одной прямой).

246*. Докажите, что если средняя линия четырехугольника проходит через точку пересечения его диагоналей, то этот четырехугольник является трапецией (или параллелограммом).

247. Даны три точки Оь 02, 03 и еще одна точка М. Обозначим через Mi точку, симметричную точке М относительно Ои через М<2 — точку, симметричную точке Мх относительно Оъ через Мъ — точку, симметричную точке М2 относительно 03, через М4 — точку, симметричную точке Мъ относительно Оь через М* — точку, симметричную точке М4 относительно 09, и через М6 — точку, симметричную точке Мв относительно 03. Докажите, что точки УН и М6 совпадают.

248. Дан треугольник ABC. Докажите, что равенство

QA + QB + QC = 0

имеет место в том, и только в том случае, если Q — центр тяжести треугольника.

249. Пусть М и ТУ—центры тяжести треугольников ABC и DEF. Докажите, что AD-\- BE + CF = <MF[.

250. Пусть М и Mt— центры тяжести треугольников ЛВС и AxBiCt. Докажите, что если прямые ААи ВВХ и СС4 параллельны, то прямая ММг также параллельна этим прямым.

251*. Пусть ЛВС, ABD и ABE — три треугольника, М, N и Р — точки пересечения их медиан. Докажите, что если точки С, D и Е принадлежат одной прямой, то и точки М> N к Р также принадлежат одной прямой.

252*. Докажите, что если О — центр описанной окружности треугольника ЛВС, а Н — точка пересечения его высот, то

Ш===ОА + ОВ-{-бС.

253. Пусть Л BCD — произвольный четырехугольник. Обозначим через М, N, Р, Q центры тяжести треугольников BCD, ЛСД ЛВД ЛВС. Докажите, что отрезки AM, BN, CP, DQ пересекаются в одной точке и каждый из них делится этой точкой в отношении 3: 1 (считая от вершин четырехугольника).

254. В плоскости треугольника ЛВС взята точка М и от нее отложены векторы MD=AB, ME —ВС, MF = CA. Докажите, что центром тяжести треугольника DEF является точка М.

255*. Из точки Р, лежащей внутри треугольника ЛВС, опущены перпендикуляры на стороны ВС, ЛС, АВ и на этих перпендикулярах отложены отрезки РАи РВЬ РСЬ равные этим сторонам. Докажите, что центром тяжести треугольника А\ВХСХ является точка Р.

ГЛАВА III. ПРОЕКЦИИ И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ

Проекция вектора на ось

256. Даны два вектора а и ft. Существует ли ось /, для которой пр/а = пр/&?

257. Векторы а и а! симметричны относительно прямой т; при каком расположении оси I справедливы следующие равенства:

1) np/a = np/af; 2) npla = — npla'?

258. Докажите, что если для двух непараллельных осей Z, т выполнены соотношения np:a = 0, npma = 0, то а — нулевой вектор.

259. Дано: пр/а =—1, пр/& = 3. Вычислите следующие проекции:

пр/ (а + 2ft); пр, (— а + 26); пр, [Ъа — ~ ft); npz (а — ft).

260. Докажите, что пр, (а — ft) = npz а — np/ ft.

Координаты вектора

261. Векторы а и ft отложены от начала координат О. Как расположены друг по отношению к другу эти векторы в каждом из следующих случаев:

а) абсциссы векторов а и ft совпадают, а ординаты равны по абсолютной величине и противоположны по знаку;

б) ординаты совпадают, а абсциссы отличаются знаком;

в) абсцисса и ордината вектора а отличаются знаком от абсциссы и ординаты вектора ft.

Сделайте чертежи для следующих случаев:

1) а = {1; 2}, * = {!; -2}; 2) а = {-2; 1}, ft={-2; -1};

3)а = {1;3}, 6=1-1; 3); 4) а = {2; -3}, ft = {-2;-3};

5) а = {0; 1}, 6 = Ю; -1}; 6) « = {3; 0}, 6 = {-3; 0};

7) а = {2; 3}; ft = j_2;-3}; 8) а = {2; -3}, &={-2; 3}.

262. Выразите векторы а = {2; 3}, &={—1; 3}, с = {0; —2}; d={—1; —5}, е = {5; —4} через единичные векторы /, /, направленные по осям координат.

263. Дано: а = 3/ —2/, & = / — 5/, г=у + 3/, d= — 2i, е = — — у, /= — 5/+ 3/, где i и у — единичные векторы, направленные по осям координат. Найдите координаты векторов а, Ь, с, d, е, f.

Координаты суммы двух векторов и произведения вектора на число

264. Как найти координаты вектора —а% если известны координаты вектора а?

265. Как найти координаты вектора а—&, зная координаты векторов а и &?

266. Даны три вектора а = {2; 4}, ft = {—3; 1}, с = {5; — 2}. Найдите координаты векторов:

1) 2а + 3& — Ъс\ 2) а + 24&+14с; 3) 2а— у &; 4) 5с.

267*. В каждом из следующих случаев определите, при каком значении k вектор a-\-kb будет параллелен вектору с: 1)а = {2; 3}, & = {3; 5}, с={-1; 3};

2) а={1; 0}, & = {2; 2}, с = { 3; -5};

3) а = {3; -2}, & = {1; 1}, с = { 0; 5}.

Связь между координатами вектора и координатами точки

268. Найдите координаты вектора АВ, если точки Л и В имеют следующие координаты:

1) Л(3; 1), В (5; 0);

2) Л(-1; 3), В (-2; 1);

3) Л(0; 4), В (5; 0);

4) Л(3; 1), В(~- 1; -3).

269. Вершинами треугольника ЛВС являются точки .4(1; 1), В(0; 3), С(— 1; — 1). Найдите координаты векторов АВ, ВС, СЛ. Проверьте с помощью координат соотношение АВ-\-ВС~\-+ СЛ = 0. г_

270. От точки А отложен вектор АВ = а. Найдите координаты точки В в каждом из случаев:

а) Л(0; 0), а = {-2; 1};

б) Л(-1; 5), а = {1; -3};

в) А (2; 7), а = {—2; —5}.

271. Найдите координаты середины отрезка АВ в каждом из следующих случаев:

а) Л(0; 0), В(1; 5);

б) Л (-2; 3), В (-5; 7).

272. Даны четыре точки Л (0; 2), В(3; 1), С (—5; 3). Р(2; 4). Найдите координаты такой точки Q, что (?Л -f-QS + QC,-|-QO = 0.

273. Известны координаты трех вершин Л, В, С параллелограмма Л BCD; найдите координаты вершины D:

1) Л (2; 3), В(1; 4), С(0; -2);

2) А (—2; -1), В(3; 0), С(1; -2).

274. Проверьте, пользуясь координатами векторов, справедливость соотношений:

a + Ь = b + а\ (а + Ь) + с — а + (6 + с); k(a-\-b) = ka-\-kb\ (k + l)a = ka + la\ k(la) = (kl)a.

Связь координат вектора с тригонометрическими функциями

275. Вектор а образует с осью ОХ угол а и имеет длину а. Определите координаты вектора а в каждом из следующих случаев:

1) а = 0°, а = 3; 2) а = 90°, а = 2\

3)а=180°, а = у; 4) а = — 90°, а = у;

5) а = 45°, а=1; 6) а = 60°, а = 2;

7) а= 135°, а = 3; 8) а = — 120°, а = 5;

9) а = — 30°, а=4\ 10)а = —135°, а = 6;

11) а = — 60°, а = у.

276. Вектор а образует с осью ОХ угол а и имеет длину а. Пользуясь таблицами или логарифмической линейкой, определите координаты вектора а в каждом из следующих случаев:

277. Векторы АВ, ВС и CD имеют длины а, Ь, с и образуют с осью ОХ углы а, р, 7. Определите координаты вектора AD.

278. Точки Л, В и С — три последовательные вершины правильного /г-угольника со стороной а. Чему равна проекция вектора АВ на ось ВС (направленную от точки В к С)?

ГЛАВА IV. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение скалярного произведения

279. Зная длины векторов а, Ь и угол а между ними, вычислите их скалярное произведение:

1) а = 8, 6 = 5, а = 60°;

2) а = Ь=\, а=135°;

3) а = 90°;

4) а = 3, 6 = 6; векторы а и & параллельны и одинаково направлены;

5) а = 3, 6=1; векторы а и & параллельны и противоположно направлены.

280. При каком расположении векторов а и b справедливы соотношения: 1) ab = ab, 2) ab = — ab?

281. Что можно сказать о расположении векторов а и Ь, если их скалярное произведение ab:

1) положительно; 2) отрицательно; 3) равно нулю?

282. Дан равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна 1. Полагая а = ВС, Ь = СА, с = АВ, вычислите выражение ab-\-bc~\-ca.

283. Определите угол между векторами а и & в каждом из следующих случаев:

Свойства скалярного произведения

284. В каком случае имеет место равенство (ab)c = (bc)a?

285. Раскройте скобки в следующих выражениях:

+ (я-3&)2; (a + b-c)(a-b + c).

286. Докажите, что вектор (ab)c — (ac)b перпендикулярен вектору а.

287. Вычислите скалярное произведение (За — &)(2& + 2а)> если известно, что а и & — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

288. Какой угол образуют единичные векторы s и t, если известно, что векторы $-\-2t и 5s — At взаимно перпендикулярны?

289. Используя скалярное произведение, докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

290. Используя скалярное произведение, докажите, что диагонали прямоугольника равны между собой.

291. Докажите, что при любом расположении точек Л, В, С, D на плоскости имеет место равенство ВС • A D -f- С А • BD -f--f ~AB-CD = 0.

292. Используя результат задачи 291, докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

293. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и CF. Вычислите W:-AD + CA-BE + AB-CF.

294. На стороне АВ треугольника ABC взята такая точка D, что AD:DB=m:n. Зная длины сторон С А, СВ и величину угла С, найдите длину отрезка CD.

295. Вычислите длину медианы та треугольника, зная заключающие ее стороны Ь, с и угол А.

296. Докажите, что если М — середина отрезка АВ, то

QA* -f QB2 = 2QM* + ~ А В2

(Q — произвольная точка плоскости).

297. Вычислите длину медианы та треугольника, зная его стороны а, Ъ, с.

298. Даны три точки А, В, С, для которых

Л С2 -;-вс2= ~ А В".

Докажите, что АС ^ ВС = 0.

299. Найдите множество всех точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух заданных точек плоскости имеет заданное значение.

300. Пусть М — центр тяжести треугольника ABC и Q — произвольная точка. Докажите, что

QA2 + QB2 + QC2 = 3QM2 + МЛ2 + MB2 + МС\

301. В плоскости прямоугольника ABCD дана точка М. Докажите, что МЛ2 + МС2 = МВ2 + М02.

302. В плоскости прямоугольника ABCD дана точка М. Докажите, что скалярное произведение векторов, идущих от точки М

к двум противоположным вершинам прямоугольника, равно скалярному произведению векторов, идущих от той же точки к двум другим вершинам.

303. Докажите, что разность между суммой квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин параллелограмма и суммой квадратов расстояний от этой точки до двух других его вершин не зависит от выбора точки плоскости (а только от параллелограмма). В каком случае эти две суммы будут равны?

304. Докажите, что если в четырехугольнике суммы квадратов противоположных сторон равны, то диагонали взаимно перпендикулярны. Обратно, если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.

305. Докажите, что в трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

306*. Дан треугольник ABC. Вектор С А повернут вокруг точки С на угол +90°, а вектор СБ — на угол — 90°. Полученные векторы обозначены через САХ и СВХ. Докажите, что медиана треугольника САхВи проведенная из вершины С, перпендикулярна прямой АВ.

307*. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами квадрата.

308*. На сторонах четырехугольника вне его построены квадраты. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами четырехугольника с равными и взаимно перпендикулярными диагоналями.

Вычисление скалярного произведения в координатах, нахождение длин отрезков и величин углов

309. Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев:

310. Дан вектор а = {—6; 8}. Найдите координаты единичного вектора, параллельного вектору а и направленного 1) в ту же сторону, 2) в противоположную сторону.

311. Найдите npza, если а = {7; —4}, а ось / параллельна вектору {—8; 6} и имеет то же направление.

312. Определите длину отрезка АВ в каждом из следующих случаев:

1) А (2; 3), В (3; 1);

2) А (-2; 5), В (1; 9);

3) А (-2; 0), В (-7; 12).

313. Определите угол а между двумя векторами а и ^заданными своими координатами, в каждом из нижеследующих случаев:

1) а = {4; 3}, 6 = {1; 7};

2) а = {6; —8}, & = {9; —12};

3) а = {2; 5}, & = {3; —7};

4) а = {2; —6}, Ь = {— 3; 9}.

314. Какой угол образуют с осью ОХ следующие векторы: а = {2; 3}; 6={-2; 5}; г = {-5; 1}; rf={—1; -1}?

315. Определить угол между прямыми АВ и CD в каждом из нижеследующих случаев:

1) А (3; 1), В(3; 5), С(1; 2), D(0; 1);

2) Л (5; -2), В(0; - 1), С(- 1, 2), D(0; 0).

316. По координатам вершин треугольника ABC выясните, является ли он прямоугольным, остроугольным или тупоугольным:

1) Л(1; 2), В(2; 3), с(2±9 2-1);

2) А(1; 1), В(2; 4), С(8; 3);

3) Л (2; 1), В(-1; 3), С (2; 5).

317. Найдите Z ЛВС, если точки Л, В, С имеют следующие координаты:

1) Л(0; 1), В(1; 0), С (4; 4);

2) Л(0; 3), В(3; 2), С (2; 5);

3) Л (2; -1), В (2; 2), С(-3; 5).

ГЛАВА V. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Теорема косинусов

318. Сформулируйте и докажите предложения, обратные тем, которые сформулированы в конце § 57.

319. Найдите диагонали ромба со стороной 4 и углом 65°1Г.

320. Диагонали параллелограмма имеют длины 5 и 8 и наклонены друг к другу под углом 77° 18'. Определите стороны параллелограмма.

321. Смежные стороны параллелограмма равны 2 и 3^, угол между ними 18°24\ Определите диагонали параллелограмма.

322. Две силы Fx = 70 кГ и F2 = 60 кГ приложены к одной точке под углом 40° друг к другу. Найдите величину равнодействующей и углы, которые она составляет с силами Ft и Fa.

323. Для измерения расстояния между двумя пунктами А и В выбрали третий пункт С (рис. 149) и измерили расстояния ЛС, ВС и Z АС В. По результатам измерения найдите АВ, если

1) ЛС = 73,2 м, ВС = 68,1 м,

L АСВ = 72°10';

2) ЛС = 275 ж, ВС = 311 м,

Z ЛСВ = 4Г54\

Площадь треугольника

324. В параллелограмме две смежные стороны равны а и 6, а угол между ними равен а. Докажите, что площадь параллелограмма равна ab sin а.

325. Докажите, что площадь вписанного в круг четырехугольника равна (ab + cd) sin а, где а, 6, с, d —длины сторон четырехугольника, а а—угол между сторонами а и Ь.

326. Вычислите площадь ромба со стороной 7,2 см и углом 69°48\

327. Вычислите площадь земельного участка, имеющего форму треугольника, если при съемке плана этого участка с масштабом 1 : 200000 две его стороны изображены отрезками 3,7 см и 4,2 см и угол между ними равен 54°.

328. При съемке плана участка ABCD полярным способом (за полюс взята точка О, одна из внутренних точек участка) измерением были получены следующие данные:

OA =28 м, ОВ = 31 му ОС = 24 м, OD = 37 м\ /ЛОВ = 36°, /ВОС = 78°, LCOD= 110°, £DOA = 136°.

Вычертите план участка Л BCD и вычислите его площадь; угол NOA (азимут направления OA) равен 280°.

329. Вычислите площадь треугольника по следующим данным:

Рис. 149.

330*. Докажите, что площадь вписанного а круг четырехугольника равна V(p — a)(p — b) (р ~~cj(p~~~dj, где а, 6, с9 d — стороны четырехугольника, a р — его полупериметр.

Теорема синусов

331. Для измерения расстояния между двумя пунктами Л и В, расположенными на разных берегах реки, выбрали третий пункт С (рис. 150) и измерили расстояние АС и углы А и С треугольника ABC. По результатам измерения найдите А В, если:

1) ЛС = 200 ас, Л=62°, С = 75°; 2)ЛС=172л1, Л = 57°, С = 82°.

332. На горе, склон которой понижается к горизонту под углом р, стоит дерево. Тень дерева, падающая вниз по склону горы, при высоте солнца <х(а>р) имеет длину I. Определите высоту дерева (рис. 151). 333*. Спутник, движущийся по круговой орбите на высоте h над Землей, прошел (в зените) над точкой Л земной поверхности, а спустя t секунд был виден из точки Л под углом а к горизонту. Определить (зная радиус Земли R) период обращения спутника. Для числовых подсчетов возьмите следующие данные:

334. Сила, равная 30 асГ, разложена на две составляющие, которые образуют с ее направлением углы 67°15' и 5Г36'. Найдите величины этих составляющих.

335. Докажите, что для любого треугольника ABC справедлива формула -£-£===2R, где # —радиус описанного круга.

Выведите отсюда новое доказательство теоремы синусов.

336. Вычислите радиус круга, описанного около треугольника, если дано:

Рис. 150.

Рис. 151.

337. Докажите, что для любого треугольника имеет место соотношение:

abc = 4RS,

где а, Ь, с — стороны треугольника, S — его площадь и R — радиус описанного круга.

Решение треугольников

338. Решите треугольник по следующим элементам:

1) а = 6 = 31,2, Л = 58°12';

2) а=6 = 28,1, с= 13,7;

3) о = с=0,576, Д = 104°16'; 4)а=118,6 = 92, С=58°4Г; 5) о = 54,2, В = 41°14', С = 73°5Г; 6)о=18, 6 = 24, с=13;

7) 0=153, 6=117, с=134;

8) 0=17,6, с=13,1, # = 118°34';

9) 0=113, Л=73°15', fi = 29°13';

10) 6=18,3, с= 11,8, Л = 7Г44'; 11)о = 5,41,6 = 7,14, с = 6,28; 12) 6 = 31,2, Л = 124°7', В = 18°39'.

339. Даны две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них. Укажите, в каких случаях остальные элементы треугольника однозначно определяются, а в каких нет; объясните почему:

1)а = 31, 6=18, Л = ЗГ36';

2) о = 27,1, 6 = 34,5, Л=36°15';

3)а = 0,31, с = 0,26, Л=32°45';

4) о = 3,75, с = 2,24, С = 58с29'; 5)6 = 31, с = 27, В=129°12'; 6)6=135, с=189, В = 35°49\

В тех случаях, когда данные задачи однозначно определяют остальные элементы треугольника, вычислите эти элементы.

340. Определите стороны и углы треугольника по следующим данным {R — радиус описанного круга, г — радиус вписанного круга, S — площадь треугольника, ha, hb, hc — высоты, la — биссектриса угла Л):

1) # = 5,63, Л = 57°1Г, В=108°19';

2) S = 372, Л —29°13', С = 54°9';

3) Л = 72°, /га = 37, 1, а = 6;

4) S=152, Л = 62°19\ a = b;

5) a = 3,72, Ла=1,72, 6 = с; 6)ft0 = 2,71, В=128°15', С=15°18'; 7)^=1,207, В=123°15', С=37°11';

8) г =13, В=108°13', С = 52°18';

9) S=15,8, а = 3,25, В = 86°18'; 10)Ла = 8, Л>=12, Лс=16.

341. Вычислите угол между диагоналями выпуклого четырехугольника ABCD, если известны его стороны и диагональ:

ЛБ = 31, БС = 29, CD = 33, ЯЛ =35, ЛС = 27.

342. Дана выпуклая ломаная ABCD, в которой

ЛВ = 9, ВС=11, CD = 32, LABC= 109°, £BCD= 154°.

Найдите длину отрезка ЛЯ.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Часть I. Геометрические преобразования

4. Может (приведите примеры).

5. а) Воспользуйтесь тем, что биссектриса угла является его осью симметрии.

б) Воспользуйтесь тем, что перпендикуляр, проведенный к отрезку в его середине, является его осью симметрии.

19. а) Ромбоид (т. е. четырехугольник ABCD, соседние стороны которого равны: АВ = АС, BC = CD)> в частности ромб или квадрат; равнобедренная трапеция, в частности прямоугольник или квадрат.

б) Ромб (в частности, квадрат); прямоугольник (в частности, квадрат).

20. Четыре.

25. Отрезки СМ и AN симметричны относительно прямой BD. 32. Эти углы симметричны относительно линии центров окружностей. 36—37. Замените точку В точкой В\ симметричной В относительно данной прямой.

39. Воспользуйтесь тем, что точка А\ симметричная точке А относительно прямой BQy принадлежит прямой MN.

40. Пусть точка В' симметрична В относительно прямой MN. Можно воспользоваться тем, что точка Л', симметричная А относительно прямой B'Q, принадлежит прямой MN (первое решение) или же тем, что прямая AQ касается окружности S с центром В' и радиусом, равным расстоянию от В' до M/V (второе решение).

41. Пусть ABCD—искомый четырехугольник и D' — точка, симметричная точке D относительно прямой АС\ тогда треугольник BCD' можно построить.

42. Докажите, что прямая BD образует со стороной ВС такой же угол, как и высота BQ, т. е. прямые BD и #0 симметричны относительно прямой ВС. Поэтому точка, симметричная D относительно ВС, принадлежит как высоте АР, так и высоте BQ.

43. Пусть АВ — основание треугольника, /1| АВ — прямая, расстояние которой от АВ равно высоте треугольника. Достаточно найти такую точку С прямой /, чтобы сумма расстояний АС и ВС была наименьшей.

45. Замените отрезки PQ и PR отрезками P'Q и P"R, симметричными первоначальным отрезкам относительно сторон угла.

46. Пусть М — произвольная точка фигуры, а М'и М\—точки, симметричные точке М относительно прямых / и lt; М, — точка, симметричная точке М относительно прямой 1Х. Докажите, что точка М\ симметрична точке Mt относительно прямой /2.

47. Воспользуйтесь результатом задачи 46. 51. Не обязательно.

56. Один; бесконечно много.

59. Форму параллелограмма или форму шестиугольника, противоположные стороны которого равны и параллельны; это пересечение может также быть отрезком или точкой.

60. Правильный я-угольник имеет центр симметрии лишь при четном п. Больше одного центра симметрии имеет лишь полоса, заключенная между двумя параллельными прямыми.

65. Не всегда.

70. Точки В и F симметричны относительно точки О.

76. Сравните L BAD и L BCD, где точка С симметрична С относительно точки О.

77. Если фигура F имеет два разных центра симметрии О и Olt то она имеет бесконечно много центров симметрии, неограниченно удаляющихся вдоль прямой 00{\ поэтому F не может быть ограниченной.

Неограниченная фигура F может иметь бесконечно много центров симметрии (пример: полоса, ограниченная двумя параллельными прямыми).

83. Фигура F получается из фигуры F' поворотом вокруг точки О на угол 360° — а (или на угол—а).

84. Если точка At симметрична точке А фигуры F относительно прямой /„ а точка А' симметрична точке Ах относительно прямой /2, то точка А получается из точки А поворотом вокруг точки О на угол 2а.

91. Это есть такой поворот на L ВАМ (где отрезок AM параллелен CD и одинаково направлен с CD), который переводит точку А в точку С.

92. Если окружности F и G касаются в точке М, то центр поворота, переводящего отрезок АВ в отрезок CD, совпадает с М.

94. Поверните одну сторону угла вокруг точки А на угол + 90° (или —90е); найдите точку пересечения полученной прямой с другой стороной угла.

97. Воспользуйтесь тем, что треугольник ВСЕ получается из треугольника BFA поворотом вокруг точки В на угол 60°.

98. Отложите на продолжении АЕ за точку Е отрезок ЕК = АЕ; сравните треугольник ANQ с треугольником ANK, получаемым из треугольника АВК поворотом вокруг точки А на 90°.

99. На угол, кратный 120°.

100. Поворот вокруг О на 120° переводит отрезок MN в отрезок PQ.

101. Поворот вокруг О на 120° переводит отрезок OD в отрезок ОЕ.

102. Пусть Mj/Vj || MN и PiQi\\PQ проходят через центр О квадрата; тогда поворот вокруг точки О на 90° переводит MXNX в PiQv

104. 1) Несправедливо; 2) справедливо.

109. Если точка At симметрична точке А фигуры F относительно прямой 1и а точка А' симметрична точке At относительно прямой /2, то точка А получается из А параллельным переносом в направлении, перпендикулярном /, и /3 на расстояние, в два раза большее расстояния между lt и /2.

115. Ь.

116. Касательная / переходит в 1Х либо при параллельном переносе на вектор ООи либо при симметрии относительно середины отрезка ООх.

118. Воспользуйтесь тем, что, например, треугольник BDF получается из треугольника AEF параллельным переносом на вектор AF.

120. Замените точку А точкой Л', получаемой из точки А параллельным переносом на вектор MN; тогда вы придете к задаче 2, разобранной в § 24.

121—122. Перенесите параллельно одну из боковых сторон трапеции в направлении ее оснований на расстояние, равное меньшему основанию трапеции.

123. Перенесите параллельно одну из диагоналей трапеции параллельно ее основаниям на расстояние, равное меньшему основанию трапеции.

124. Перенесите параллельно сторону CD в положение BD'.

125. Перенесите параллельно окружность F в направлении прямой / в такое положение F', что линия центров окружностей г и G перпендикулярна прямой /.

126. Перенесите параллельно точку А в направлении железной дороги на расстояние а в положение At; далее воспользуйтесь задачей 1, разобранной в § 8.

127. 1

128. Фигура Fo гомотетична фигуре Ft с коэффициентом гомотетии

135. Докажите, что если прямая ВВ' пересекает прямую АА' в некоторой точке О, то и прямая СО пересекает АА' в той же точке О.

137. Квадраты гомотетичны с центром гомотетии в точке Е.

138. Найдите две гомотетии, переводящие одно из оснований трапеции в другое.

141. Воспользуйтесь результатом задачи 140.

145. Эта гомотетия представляет собой центральную симметрию.

146. Эти треугольники даже гомотетичны (с центром гомотетии в точке М).

147. Воспользуйтесь тем, что треугольники АВМ и DCM гомотетичны с центром М и коэффициентом треугольники ABN и CDN гомотетичны с центром N и коэффициентом — ^^.

149. Пусть TV, — какая угодно точка стороны ВА, Pt — такая точка, что N\P\1.BC и 2NlP1 = MNl. Все определенные таким образом точки Рх образуют две прямые, проходящие через точку М.

151. Треугольник ABC и полученный треугольник MNP гомотетичны с центром гомотетии в середине и стороны АВ.

152. Воспользуйтесь тем, что множество точек )V, расстояния которых до АВ и до ВС относятся, как 1 :2, представляет собой прямую.

153—154. Воспользуйтесь тем, что любая окружность, вписанная в угол ОАВ, гомотетична искомой.

155. Воспользуйтесь тем, что треугольники ABC и DEF гомотетичны с центром гомотетии в точке М пересечения медиан треугольника ABC и коэффициентом гомотетии —~.

156. Выберите на плоскости произвольную точку О и произведите гомотетию с центром О и таким коэффициентом k, чтобы точка TV перешла в «доступную» точку N'; далее осуществите переход от преобразованного чертежа к первоначальному.

160. Отличается.

161. Параллельный перенос.

162. Поворот.

163. Если прямые / и т перпендикулярны друг другу или совпадают между собой.

166. k = ±\.

167. Если k1ki = \ или ^^2 = —!.

Часть II. Векторная алгебра

171. Если векторы а и Ь 1) параллельны и направлены в одну сторону; 2) параллельны и направлены в противоположные стороны.

Указание. Воспользоваться результатами задачи 170 и теоремой о том, что каждая сторона треугольника меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

172. б) В точке, которой соответствует число а-\-Ь.

173. Может: если ABC — такой треугольник, что в нем АС—наименьшая сторона, то векторы а-=АВ и Ь = ВС—искомые, так как вектор а-\ Ь~АС имеет меньшую длину, чем векторы а и Ь.

174. BC=p + q; CD=-q\ FE^p + q; ~ED=p.

175. AB = DQ BA~CD± AD— ВС; DA = CB; ЛО = ОС; U~A = CO', DO = OB't OD=zB0\

AD=:Aq + qD = OC + Op = OC + BO]

AO = AD + Dd = BC + DO=~BCj+-OB и т. д.

176. Параллельный перенос на вектор DB.

177. Приняв данные отрезки за векторы, найдите их сумму s; затем к одной из данных окружностей нужно применить параллельный перенос на вектор s. В точке пересечения полученной окружности со второй данной окружностью будет находиться одна из вершин искомого треугольника. Задача может иметь до шестнадцати решений.

178. Параллельна стороне DE. 180. Можно.

Указание. Нужно провести через точку А прямые, параллельные /j и /2, и рассмотреть получившийся параллелограмм.

184. Стержень ВС сжимается силой 2т, стержень АВ растягивается силой ^1,732 т.

185. ^0,707 т. 186.

187. DBy BD, ВА.

188. Существует.

189. Аё==а — Ь; ВС = а-{- b\JCD = b — a\JDA = - a- b.

190. OA = q—p\ OB = —jrtOC = — q; OD=p — q.

191. a + b = AC; a —b== DB.

192—193. Перенесите OB и ОС из одной части равенства в другую.

196. 1) х = Ь + с; 2) х = Ь—с.

197. 1) Если векторы а и Ъ параллельны и противоположно направлены; 2) если векторы а и Ь параллельны и одинаково направлены, причем а^>Ь\ 3) если векторы а и b параллельны и одинаково направлены, причем

200. Середина отрезка MN.

Указание. Надо доказать, что никакая точка, кроме середины отрезка M7V, требуемым свойством не обладает.

204. РС = АВ, + ~Ш

205. Ш = ~ а—~ Ь.

206. лВ = 1а—-ift BC = ~-a + ~b; CD = -~a + ±-b;

210. Воспользоваться тем, что \ba\ = \ab\, 212. Число k.

215. \)x = a—2b; 2) jc = 2a — 2b — -| c.

216. 2/и — 2n = 4d; Зт + ~ n= ™ a + -| b\

1 11 9 ь

-т-ш n=-wa-wb.

217. 2a—2b = 2m — 2n; За + ~ b = ~ m —^ n\

Указание. Рассматривая соотношения /w = 2a-|-&, л = а + 2£как систему уравнений, найдите а и Ь.

218. 1) « = 3, (5 = 2; 2) « = p=|; 3) * = -| , P = -^-; 4) o = l, p = 0.

Указание. Приведите подобные члены и воспользуйтесь результатом задачи 213.

219. Q~D = a—kb + kc.

220. АВ = а; ВС = ~а + ~ *>'> CD = ~ Ь — ~ а\

Ш = -а\ EF= — ^а—~ Ь\ FA = ~a — ~b.

221. AC^=FD = 2p + q; _/Ш = 2р + 2# AE = BD==2q+p; CE = BF = q — p; CF = —2p; BE = 2q.

222—223. Выразите указанные векторы через векторы, идущие по сторонам многоугольника.

224. а) Ж=-^-уАВ; б) АМ = k^_{AB.

225. Существует и только одна: AQ = у АВ + АС»

226. 0.

227. Такая точка только одна: центр тяжести треугольника.

228. Точка пересечения диагоналей параллелограмма.

229. ОЖ^-а + у^; QM2 = ~ а + |- Ь.

230. = ^ a + ~b; DCl=^a + ~b\ Щ==1а + |-&.

231. Ж = т^Ш+1-^Ш.

232. Выбрав на плоскости произвольную точку Q, выразите векторы QK, QL, QM, QN через QA> QB, QC> QD и воспользуйтесь результатом задач 192, 193.

235. NA = ~CA + ~CB; Ш = ~СА+~Ш

236. Обозначьте стороны параллелограмма через а и Ь, а векторы МА и ШГ через ka и /6.

238. EF = -2-m + ±p.

239. Воспользуйтесь задачей 237. Равенство имеет место при ВС \\ AD.

243. Существует.

244. Положив СА = а, СВ — b и обозначив через k отношение AM:АС, найдите векторы PQ и PF, где F — середина отрезка MN.

246. Пусть М — середина стороны АВ, а N— середина стороны CD и средняя линия MN проходит через точку О пересечения диагоналей. Положим ОА = а, OB — b, OC = ka, OD — lb. Следует найти векторы ОМ и ON и воспользоваться тем, что эти векторы направлены по одной прямой.

248. Воспользуйтесь задачей 226.

249. Воспользуйтесь задачей 248.

250. Воспользуйтесь задачей 249.

252. Используя теорему § 29, докажите, что ОМ = -i- UH-254—255. Воспользуйтесь задачей 248.

256. Существует: эта ось должна быть перпендикулярна вектору а—Ь.

257. 1) при /1| ш; 2) при / _|_ т.

259. 5; 7; — 4-Ь —4.

261. а) Симметричны относительно оси абсцисс; б) симметричны относительно оси ординат; в) симметричны относительно начала координат (т. е. а=. — Ь).

262. а==2/+ЗУ; b=—i + 3j; с = —2j; d = —i—5j; e = 5l — 4j.

263. а = {3; —2}; b = {\; — 5}; с = {3; 1}; d = { — 2; 0}; * = {0; — 1}; /={3; -5}.

266. 1) { -30, 21}; 2) {0; 0}; 3) jii; Щ; 4) {25; -10}.

267. 1) * = 2) = —3) * = -3.

Указание. Для параллельности вектора а + kb вектору с ф0 нужно, чтобы выполнялось равенство а -\- kb = 1с.

268. 1)J2; -1}; 2) { —1; -2}; 3) {5; -4}; 4) {- 4; -4}.

269. Л# = {—1; 2}; #С={ —1; —4}; ~C4 = {2; 2}.

270. а) ( — 2; 1); б) (0; 2); в) (0; 2).

ЭТ,.,, (■.*); «(-4, 5).

Указание. Воспользуйтесь равенством ОМ = СМ + у ^» где М — середина отрезка АВ, а О—начало координат.

272. (0; »).

273. 1) (1; —3); 2) (—4; —3).

275. 1) {3; 0}; 2) {0; 2}; 3) {-|; о}; 4) {в;

5>{w;wb":m7){-7?:#

«){-|; -Щ-);*) {2/3; -2[; 10){-ЗУ2; -3/2 j;

»» {h -Ч-Y

276. 1) {1,47; 2,32}; 2) {—1,16; —1,43}; 3) {—0,97; 2,95}; 4) {0,92; —0,21}; 5) {—1,7; 0,32}; 6) {1,4; 0,63}; 7) {1,14; — 3,361-; 8) { —0,18; —0,015}.

277. х = a cos а + Ь cos р + с cos 7; у = a sin a -J- Ь sin р + с sm 7*

360°

278. а cos-.

279. 1) 20; 2) — -L,; 3) 0; 4) 18; 5) —3.

280. 1) Векторы а и b параллельны и одинаково направлены; 2) векторы а и b параллельны и противоположно направлены.

281. 1) Векторы образуют острый угол (либо параллельны и одинаково направлены); 2) векторы образуют тупой угол (либо параллельны и противоположно направлены); 3) векторы взаимно перпендикулярны.

282. -|.

283. 1) 36°13'; 2) 27°; 3) 47°; 4) 145°36'.

284. В случае, если векторы awe параллельны.

285. р2 — q*\ а2 — 6ab + 9&-; а- — &2 — с* + 2Ьс.

287. 4.

288. 60°.

291. Воспользуйтесь равенством AD =~АВ + BD*

292. Примите за D точку пересечения двух высот треугольника ABC.

293. Ж-АВ+~СА'ВЕ + АВ'СР = 0.

294. CD =—\— У п2а2 + т*Е* + 2т nab cos С , где я и £—длины сторон СЛ и С£.

Указание. Выразите вектор CD через векторы СЛ = а, С£ = & и возведите его в квадрат.

295. ma=^~Vb2 + с2 + 2bccos А .

296. Выразите векторы (?Л и QZ? через векторы и ~Л#.

297. та=уУ2$8 + 2с*— а9.

298. Воспользуйтесь задачей 296.

299. Окружность с центром в середине данного отрезка. Указание. Воспользуйтесь задачей 296.

300. Воспользуйтесь задачей 248.

301. Выразите все векторы через МА=р, АВ = а и ВС = Ь.

306. Обозначим через АХВ'С треугольник, получающийся из треугольника ABC поворотом на + 90° вокруг точки С. Тогда (САХ —~СВ') J_ (СА—ВС). Выразите медиану треугольника АгВхС через векторы CAt и СВ'.

307—308. Пусть a, b—два вектора, а а' и Ь'—векторы, получающиеся из них поворотом на угол + 90°. Тогда aa' = 0; W =0; а2 = а'2\ b2 = b'2; ab = a'b'. Этими соотношениями и следует пользоваться при решении задач 307—308 (выбирая векторы a, b по смыслу задачи).

309. 1) —3; 2) 0; 3) 1.

•*{-* тЬ -4}-

311. -8.

312. 1) УЪ\ 2) 5; 3) 13.

313. 1) а = 45°; 2) <х = 0°; 3) а = 135°; 4) а =180°.

314. 1) 56°19'; 2) 11Г48'; 3) 168°42'; 4) —135°.

315. П 45°; 2) 52°8\

316. 1) Прямоугольный (В—вершина прямого угла);

2) тупоугольный (В — вершина тупого угла);

3) остроугольный.

317. 1) 81°52'; 2) 53°8'; 3) 120°58\

319. 4,31 и 6,74.

320. 5,16 и 4,22.

321. 5,43 и 1,72.

322. Величина равнодействующей 122 кГ\ образует угол 2Г36' с силой 60 к Г и угол 18°24' с силой 70 к Г.

323. 1) 83,3 м\ 2) 212 м.

326. 48,6.

327. 25,1 кв. км.

328. ^ 1400 кв. м.

329. П 1871; 2) 60,6; 3) 75,4; 4) 131; 5) 284.

330. Используйте задачу 325 и формулу sin2a + cos2a = 1; для вычисления cos а воспользуйтесь теоремой косинусов.

331. 1) 283 м; 2) 260 м.

332. /Sin(a-P>

333. Угол 7, под которым из центра земли видна дуга, пройденная спутником за t сек, равен 90е—а —р, где р-—острый угол, определяемый из равенства sm р =-^^-^ sin (90°а).

Период обращения спутника равен-s— сек (для числовых данных ^ 90 мин).

334. 26,8 кГц 31,6 кГ.

335. Проведите диаметр BD и хорду DC. Рассмотрите отдельно случаи, когда угол А является острым, тупым, прямым.

336. 1) 9,1; 2) 19,36.

337. Воспользуйтесь теоремой 1, § 58 и результатом задачи 335.

338. 1) С = 63°36', с = 32,9;

2) А = В = 75°54', С = 28° 12';

3) Л = С = 37°52', £ = 0,91;

4) с =105, А = 73°, Я = 48°19';

5) А = 64°55', £ = 39,4, с = 57,5;

6) Л = 47°34\ Я = 100°13', С = 32°13';

7) А = 74°48' В = 47°33', С = 57°39';

8) £ = 26,5, Л = 35°42\ С = 25°44';

9) С = 77°32\ £ = 57,6, с = 115;

10) а = 18,4, £ = 70°44\ С = 37°32';

11) А = 47° Г, £ = 74'53', С = 58°6';

12) С = 37°14', а = 80,8, с = 59,0.

339. По указанным данным можно определить синус угла, лежащего против второй стороны. Если первая сторона (угол против которой задан) меньше второй стороны, то угол против второй стороны больше угла, противолежащего первой; он может быть и острым и тупым. Поэтому, зная синус, мы не можем однозначно определить этот угол. Если же первая сторона больше второй, то угол против второй стороны меньше угла, противолежащего первой, так что угол против второй стороны обязательно острый. Следовательно, зная синус, можно этот угол определить однозначно.

В примерах 2), 4) и 6) дан угол против меньшей из двух заданных сторон, и потому остальные элементы не определяются однозначно. В примерах же 1), 3), 5) определяются.

1)Я=17°43', С=130°41\ с = 44,9;

3) С = 26°59', В = 120°16\ £ = 0,5;

5) С = 42в27\ Л = 8в21', я = 5,8.

340. 1) С= 14°30', а = 9,46, £ = 10,7, с = 2,82;

2) Я = 96°38', а = 21,2, £ = 43,2, с = 35,3;

3) В = 72°, С= 36°, а = £ = 63,1, с = 39; 4)Д = 62°19', С = 55°22\ а = £=19,2, с = 17,9; 5)Л=94°28', £ = С = 42°46', £ = с = 2,53;

6) А = 36°27', а = 7,77, £ = 10,3, с = 3,45;

7) А = 19°34', а = 0,58, £ = 1,46, с = 1,05;

8) А = 19°34', а = 35,9, £ = 102,2, с = 85,1;

9) с = 9,74, £=10,1, Л = 18°44', С = 74°15'; 10) А = 117° 17', В = 36в20', С = 26°23';

а = 27, £ = 18, С = 13,5.

341. 9Г58' Указание. Находим сначала L ВАС, L CAD, L BAD, затем BD и, наконец, L ABD.

342. 43.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Часть I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Глава I. Осевая симметрия

§ 1. Определение осевой симметрии....................... 3

§ 2. Самостоятельная работа............................ 6

§ 3. Перегибание листа бумаги.......................... 7

§ 4. Самостоятельная работа............................ 8

§ 5. Свойства осевой симметрии......................... —

§ 6. Примеры симметричных фигур....................... 9

§ 7. Применение осевой симметрии к доказательству теорем....... 11

§ 8. Задачи....................................... 12

Глава II. Центральная симметрия

§ 9. Определение центральной симметрии................... 14

§ 10. Самостоятельная работа............................ 16

§ 11. Центральная симметрия как поворот на 180°.............. —

§ 12. Самостоятельная работа............................ 17

§ 13. Свойства центральной симметрии...................... —

§ 14. Центр симметрии параллелограмма..................... 18

§ 15. Задачи....................................... 19

Глава III. Поворот

§ 16. Определение поворота............................. 20

§ 17. Самостоятельная работа............................ 22

§ 18. Свойства поворота............................... —

§ 19. Задачи....................................... 24

Глава IV. Параллельный перенос

§ 20. Вектор....................................... 26

§ 21. Определение параллельного переноса................... 28

§ 22. Самостоятельная работа............................ 29

§ 23. Свойства параллельного переноса..................... —

§ 24. Задачи....................................... 30

Глава V. Гомотетия

§ 25. Определение гомотетии............................ 33

§ 26. Самостоятельная работа............................ 36

§ 27. Пантограф..................................... —

§ 28. Свойства гомотетии............................... 37

§ 29. Точка пересечения высот треугольника.................. 41

§ 30. Задачи....................................... 42

§ 31. Общее понятие о подобии.......................... 44

Глава VI. Понятие о геометрическом преобразовании

§ 32. Что такое геометрическое преобразование?............... 46

§ 33. Сложение геометрических преобразований................ —

§ 34. Движения..................................... 48

Часть II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Глава 1. Сложение и вычитание векторов

§ 35. Сумма двух векторов............................. 52

§ 36. Сумма двух параллельных переносов................... 53

§ 37. Нулевой вектор................................. 54

§ 38. Коммутативность сложения векторов................... 55

§ 39. Ассоциативность сложения векторов................... 56

§ 40. Вычитание векторов.............................. 58

Глава II. Умножение вектора на число

§ 41. Определение умножения вектора на число............... 60

§ 42. Свойства операции умножения вектора на число........... 61

§ 43. Деление отрезка в данном отношении................... 62

§ 44. Следствия..................................... 64

§ 45. Задачи....................................... —

Глава III. Проекции и координаты вектора

§ 46. Проекция вектора на ось........................... 66

§ 47. Свойства проекции............................... 67

§ 48. Координаты вектора.............................. 69

§ 49. Координаты суммы двух векторов и произведения вектора на число 70

§ 50. Связь между координатами вектора и координатами точки..... —

§ 51. Связь проекций и координат вектора с тригонометрическими функциями.................................... 71

Глава IV. Скалярное умножение векторов

§ 52. Определение скалярного произведения.................. 73

§ 53. Свойства скалярного произведения..................... 74

§ 54. Вычисление скалярного произведения в координатах......... 76

§ 55. Вычисление длин и углов........................... —

§ 56. Задачи....................................... 78

Глава V. Метрические соотношения в треугольнике

§ 57. Теорема косинусов............................... 79

§ 58. Вычисление площади треугольника по его элементам......... 80

§ 59. Теорема синусов................................. 81

§ 60. Решение треугольников............................ 82

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Часть I. Геометрические преобразования

Глава I. Осевая симметрия........................... 84

Глава II. Центральная симметрия. ....................... 88

Глава III. Поворот................................. 91

Глава IV. Параллельный перенос........................ 93

Глава V. Гомотетия................................ 96

Глава VI. Понятие о геометрическом преобразовании........... 99

Часть II. Векторная алгебра

Глава I. Сложение и вычитание векторов.................. 100

Глава II. Умножение вектора на число.................... 103

Глава III. Проекции и координаты векторов................. 108

Глава IV. Скалярное умножение векторов.................. 111

Глава V. Метрические соотношения в треугольнике........... 114

Ответы и указания.................................. 119